พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. บทความ
  3. ลำดับและอนุกรม
  4. รัศมีการลู่เข้า

// บทความ · ลำดับและอนุกรม

รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร: 3 วิธี ตรวจปลายช่วง และเหตุผลจากระนาบเชิงซ้อน

อนุกรมกำลังเหมือนพหุนามที่ยาวไม่สิ้นสุด มันแทนฟังก์ชันได้เฉพาะในช่วงหนึ่งรอบจุดศูนย์กลาง ความกว้างครึ่งหนึ่งของช่วงนั้นคือรัศมีการลู่เข้า R บทความนี้สอนสามวิธีหา R ขั้นตอนตรวจปลายช่วงที่ข้อสอบเก็บคะแนน และคำอธิบายที่ตำราไม่ค่อยบอกว่าทำไม R จึงมีค่าเท่านั้น

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • วิธี 1 อัตราส่วน: R=lim⁡∣cncn+1∣R = \lim\left|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}\right| · วิธี 2 ราก: 1R=lim⁡∣cn∣n\dfrac1R = \lim\sqrt[n]{|c_n|}
  • วิธี 3 ระนาบเชิงซ้อน: R = ระยะจาก a ถึงจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดของฟังก์ชัน
  • ปลายช่วง x=a±Rx = a \pm R ต้องแทนค่าแล้วทดสอบแยกเสมอ

รัศมีการลู่เข้าคืออะไร

a − Raa + Rลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ลู่ออกลู่ออก? ตรวจเอง? ตรวจเอง
ในช่วง |x − a| < R อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ นอกช่วงลู่ออก ส่วนที่ปลายทั้งสองต้องตรวจเอง

ทฤษฎีบทสำคัญบอกว่าอนุกรมกำลัง ∑cn(x−a)n\sum c_n(x-a)^n มีพฤติกรรมได้แบบเดียว: มีจำนวน R (อาจเป็น 0 หรือ ∞) ที่ข้างในลู่เข้า ข้างนอกลู่ออก ไม่มีทางที่จะลู่เข้าเป็นหย่อม ๆ หรือลู่เข้าเฉพาะด้านขวาของ a งานของเราจึงเหลือแค่หา R แล้วตรวจสองจุดที่ขอบ

วิธีที่ 1: การทดสอบอัตราส่วน (ใช้บ่อยที่สุด)

ใช้ ratio test กับค่าสัมบูรณ์ของพจน์เต็ม แล้วแก้อสมการ “ลิมิต < 1” จะได้ R โดยไม่ต้องจำว่า cnc_n อยู่บนหรือล่าง

ตัวอย่าง 1

หาช่วงการลู่เข้าของ ∑n=1∞(x−3)nn 2n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^n}{n\,2^n}

  1. ∣an+1an∣=∣x−3∣2⋅nn+1→∣x−3∣2<1  ⟺  ∣x−3∣<2\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \dfrac{|x-3|}{2}\cdot\dfrac{n}{n+1} \to \dfrac{|x-3|}{2} < 1 \iff |x - 3| < 2 ⇒ R=2R = 2

  2. ปลาย x = 1: ∑(−1)nn\sum\dfrac{(-1)^n}{n} ลู่เข้า (ไลบ์นิซ) · ปลาย x = 5: ∑1n\sum\dfrac{1}{n} ลู่ออก

R=2R = 2 · ช่วงการลู่เข้า [1,5)[1, 5)

ตัวอย่าง 2 · R เป็น e

หาช่วงการลู่เข้าของ ∑n! xnnn\sum\dfrac{n!\,x^n}{n^n}

  1. ∣an+1an∣=∣x∣(nn+1)n→∣x∣e\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = |x|\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac{|x|}{e} ⇒ R=eR = e

  2. ที่ x=±ex = \pm e: ขนาดพจน์ n! ennn≈2πn→∞\dfrac{n!\,e^n}{n^n} \approx \sqrt{2\pi n} \to \infty (สเตอร์ลิง) ลู่ออกทั้งสองปลาย

(−e,e)(-e, e)

วิธีที่ 2: การทดสอบราก (เมื่อมีกำลัง n ซ้อน)

สูตรโคชี-อาดามาร์ 1R=lim sup⁡∣cn∣n\dfrac{1}{R} = \limsup\sqrt[n]{|c_n|} ใช้ได้เสมอ และสะดวกเมื่อสัมประสิทธิ์ยกกำลัง n หรือมีช่องว่าง (สัมประสิทธิ์เป็นศูนย์สลับ) ที่วิธีอัตราส่วนใช้ไม่ได้

ตัวอย่าง 3

หารัศมีการลู่เข้าของ ∑n=1∞(nn+1)n2xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}x^n

  1. ∣cn∣n=(nn+1)n→1e\sqrt[n]{|c_n|} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n} \to \dfrac1e ⇒ R=eR = e

  2. ที่ x=±ex = \pm e: (nn+1)n2en→e1/2≠0\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n^2}e^n \to e^{1/2} \ne 0 ลู่ออกทั้งสองปลาย

(−e,e)(-e, e) — วิธีอัตราส่วนกับข้อนี้ยุ่งกว่ามาก

วิธีที่ 3: มองจากระนาบเชิงซ้อน (เข้าใจว่าทำไม)

ลองดูอนุกรม 11+x2=1−x2+x4−⋯\dfrac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots บนเส้นจำนวนจริงฟังก์ชันนี้เรียบทุกจุด ไม่มีจุดไหนระเบิด แต่อนุกรมลู่เข้าแค่ ∣x∣<1|x| < 1 ทำไม? คำตอบคืออนุกรมกำลังลู่เข้าเป็นดิสก์ในระนาบเชิงซ้อน และดิสก์ขยายได้จนชนจุดเอกฐานแรก ซึ่งสำหรับ 11+z2\tfrac{1}{1+z^2} อยู่ที่ z=±iz = \pm i ห่างจากศูนย์กลาง 1 หน่วยพอดี

i−i−11R = 1ReImเส้นเขียว: ช่วง (−1, 1) บนแกนจริง
ดิสก์การลู่เข้ารอบ 0 ของ 1/(1+z²) ชนโพล ±i ที่ระยะ 1 สิ่งที่เห็นบนแกนจริงคือรอยตัด (−1, 1)
ตัวอย่าง 4 · ไม่ต้องคำนวณสัมประสิทธิ์

อนุกรมเทย์เลอร์ของ f(x)=1x2−4x+13f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4x + 13} รอบ (ก) 0 (ข) 2 มีรัศมีการลู่เข้าเท่าไร

  1. โพลของ f: z2−4z+13=0⇒z=2±3iz^2 - 4z + 13 = 0 \Rightarrow z = 2 \pm 3i

  2. (ก) ระยะจาก 0: ∣2±3i∣=13|2 \pm 3i| = \sqrt{13} · (ข) ระยะจาก 2: ∣±3i∣=3|\pm 3i| = 3

(ก) R=13≈3.61R = \sqrt{13} \approx 3.61 · (ข) R=3R = 3

วิธีนี้ใช้ตรวจคำตอบของวิธีที่ 1–2 ได้ดีมาก และอธิบายว่าทำไม tan⁡x\tan x มีรัศมี π/2\pi/2 (เพราะ cos⁡z=0\cos z = 0 ที่ z=±π/2z = \pm\pi/2) ส่วน ex,sin⁡x,cos⁡xe^x, \sin x, \cos x ไม่มีจุดเอกฐานเลยจึงมี R=∞R = \infty

ตรวจปลายช่วง: เช็กลิสต์

  1. แทน x=a+Rx = a + R และ x=a−Rx = a - R ลงในอนุกรม ได้อนุกรมตัวเลขสองตัว
  2. ถ้าพจน์ไม่เข้าใกล้ 0 ⇒ ลู่ออกที่ปลายนั้น
  3. ถ้าเป็นรูป ∑1np\sum\tfrac{1}{n^p} ใช้อนุกรม p · ถ้าสลับเครื่องหมายใช้ไลบ์นิซ (และตรวจค่าสัมบูรณ์ถ้าโจทย์ถามชนิดการลู่เข้า)
  4. เขียนช่วงด้วยวงเล็บที่ถูก: ( ) ไม่รวม · [ ] รวม

จำตัวอย่างมาตรฐานนี้ไว้เทียบ: ∑xn\sum x^n ได้ (−1,1)(-1, 1) · ∑xnn\sum\tfrac{x^n}{n} ได้ [−1,1)[-1, 1) · ∑xnn2\sum\tfrac{x^n}{n^2} ได้ [−1,1][-1, 1] — รัศมีเท่ากัน แต่ปลายช่วงต่างกันหมด

ลองเองในแล็บ

แล็บรัศมีการลู่เข้า แสดงผลบวกย่อยเทียบกับฟังก์ชันบนเส้นจำนวน พร้อมดิสก์ในระนาบเชิงซ้อนข้างกัน เลื่อนดีกรีแล้วจะเห็นว่าในช่วงลู่เข้าผลบวกย่อยเกาะฟังก์ชันแน่นขึ้น นอกช่วงแกว่งหนีออกไป และพิมพ์ cnc_n เองได้

เรียนต่อในคลังความรู้

คำถามที่พบบ่อย

รัศมีการลู่เข้าคืออะไร?

อนุกรมกำลัง ∑cn(x−a)n\sum c_n(x-a)^n จะลู่เข้าเมื่อ ∣x−a∣<R|x - a| < R และลู่ออกเมื่อ ∣x−a∣>R|x - a| > R ค่า R นี้คือรัศมีการลู่เข้า อาจเป็น 0 (ลู่เข้าแค่ที่ x = a) หรือ ∞ (ลู่เข้าทุก x)

รัศมีการลู่เข้ากับช่วงการลู่เข้าต่างกันอย่างไร?

รัศมีเป็นตัวเลขตัวเดียว ส่วนช่วงการลู่เข้าคือช่วง (a−R,a+R)(a - R, a + R) รวมปลายช่วงที่ลู่เข้า ซึ่งต้องตรวจแยกที่ x = a − R และ x = a + R ช่วงจึงอาจเป็นแบบเปิด ปิด หรือครึ่งเปิด

ทำไม ratio test ใช้ตรวจปลายช่วงไม่ได้?

เพราะที่ ∣x−a∣=R|x - a| = R ลิมิตของอัตราส่วนเท่ากับ 1 พอดีทุกครั้ง ซึ่งเป็นกรณีที่ ratio test สรุปไม่ได้ ต้องแทนค่า x แล้วใช้การทดสอบอื่น เช่น อนุกรม p ไลบ์นิซ หรือพจน์ที่ n

หารัศมีการลู่เข้าโดยไม่คำนวณสัมประสิทธิ์ได้ไหม?

ได้ ถ้ารู้ฟังก์ชันที่อนุกรมแทน รัศมีรอบ a เท่ากับระยะจาก a ไปยังจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดในระนาบเชิงซ้อน เช่น 1/(x2−4x+13)1/(x^2 - 4x + 13) มีโพลที่ 2±3i2 \pm 3i รอบ 0 จึงมีรัศมี 13\sqrt{13}

ลำดับและอนุกรม เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น พร้อมตัวอย่างทุกขั้น วิธีเลือกการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมให้ถูกตั้งแต่ครั้งแรก: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น (พจน์ที่ n เรขาคณิต อนุกรม p กล้องส่องทางไกล เปรียบเทียบลิมิต… อ่านบทความ → ลำดับและอนุกรม อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ) อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว… อ่านบทความ → ลำดับและอนุกรม ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์ ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า… อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด