อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ตัวอย่างพร้อมวิธีทำทีละขั้น รวมอุปนัยแบบเข้ม

1. ให้ $P(n)$: $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$

2. กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1$ ขวา $= 1^2 = 1$ จริง

3. สมมติ $1 + 3 + \cdots + (2k - 1) = k^2$ ต้องแสดงว่า $1 + 3 + \cdots + (2k + 1) = (k+1)^2$

4. $\underbrace{1 + 3 + \cdots + (2k - 1)}_{= k^2\ \text{(สมมติฐาน)}} + (2k + 1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$ ✓

โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ $P(n)$ จริงทุก $n \ge 1$ ∎

1. กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1\cdot 2 = 2$ ขวา $= \dfrac{1\cdot2\cdot3}{3} = 2$ จริง

2. สมมติจริงที่ $n = k$ ต้องแสดงว่าผลบวกถึงพจน์ $(k+1)(k+2)$ เท่ากับ $\dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$

3. $\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = \dfrac{(k+1)(k+2)\,(k + 3)}{3}$ (ดึงตัวร่วม $(k+1)(k+2)$ ไม่ต้องกระจาย) ✓

จริงทุก $n \ge 1$ · เคล็ดลับ: เขียนเป้าหมายก่อนเสมอ จะรู้ว่าต้องดึงตัวร่วมอะไร

1. กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1$ ขวา $= \dfrac{1\cdot2\cdot3}{6} = 1$ จริง

2. สมมติ $1^2 + \cdots + k^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ เป้าหมาย: $1^2 + \cdots + (k+1)^2 = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

3. $\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \dfrac{(k+1)\big[k(2k+1) + 6(k+1)\big]}{6} = \dfrac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}$

4. $2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3)$ จึงได้ผลบวกเท่ากับ $\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ ✓

จริงทุก $n \ge 1$ · เป้าหมายบอกให้มองหาตัวประกอบ $(k+2)$ และ $(2k+3)$ ในวงเล็บ

1. กรณีฐาน $n = 1$: $4 - 1 = 3 = 3\cdot1$ หารลงตัว

2. สมมติ $4^k - 1 = 3m$ สำหรับจำนวนเต็ม $m$ บางตัว

3. $4^{k+1} - 1 = 4\cdot 4^k - 1 = 4(4^k - 1) + 3 = 4(3m) + 3 = 3(4m + 1)$ หารด้วย 3 ลงตัว ✓

จริงทุก $n \ge 1$ · กลเม็ดหลัก: “บวกลบ” ให้ได้ $4(4^k - 1)$ ซึ่งเป็นก้อนของสมมติฐาน

1. กรณีฐาน $n = 1$: $7 - 2 = 5$ หารลงตัว

2. สมมติ $7^k - 2^k = 5m$ สำหรับจำนวนเต็ม $m$ บางตัว

3. $7^{k+1} - 2^{k+1} = 7\cdot7^k - 2\cdot2^k = 7(7^k - 2^k) + 7\cdot2^k - 2\cdot2^k = 7(5m) + 5\cdot2^k = 5(7m + 2^k)$ ✓

จริงทุก $n \ge 1$ · เมื่อมีฐานสองตัว ให้บวกลบ $7\cdot2^k$ เพื่อให้วงเล็บหนึ่งเป็น $f(k)$ พอดี

1. กรณีฐาน $n = 1$: $1 - 1 = 0 = 6\cdot0$ หารลงตัว

2. สมมติ $k^3 - k = 6m$

3. $(k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = (k^3 - k) + 3k(k+1) = 6m + 3k(k+1)$

4. $k(k+1)$ เป็นผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวที่ติดกัน จึงเป็นจำนวนคู่: $k(k+1) = 2j$ ได้ $3k(k+1) = 6j$ รวมเป็น $6(m + j)$ ✓

จริงทุก $n \ge 1$ · ขั้นอุปนัยต้องใช้ข้อเท็จจริงเพิ่มหนึ่งข้อ (จำนวนเต็มสองตัวติดกันต้องมีตัวหนึ่งเป็นเลขคู่) ให้เขียนบอกให้ชัด อย่าข้าม

1. ทำไมเริ่มที่ 5: $n = 2, 3, 4$ ได้ $4 = 4,\ 8 < 9,\ 16 = 16$ ไม่จริง

2. กรณีฐาน $n = 5$: $2^5 = 32 > 25$ จริง

3. สมมติ $2^k > k^2$ ($k \ge 5$): $2^{k+1} = 2\cdot 2^k > 2k^2$

4. $2k^2 - (k+1)^2 = (k-1)^2 - 2 > 0$ เมื่อ $k \ge 3$ จึงได้ $2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2$ ✓

จริงทุก $n \ge 5$

1. ทำไมเริ่มที่ 4: $1! = 1 < 2,\ 2! = 2 < 4,\ 3! = 6 < 8$ แต่ $4! = 24 > 16$

2. กรณีฐาน $n = 4$: $24 > 16$ จริง

3. สมมติ $k! > 2^k$ ($k \ge 4$): $(k+1)! = (k+1)\cdot k! > (k+1)\cdot 2^k$

4. เพราะ $k + 1 \ge 5 > 2$: $(k+1)\cdot2^k > 2\cdot 2^k = 2^{k+1}$ ✓

จริงทุก $n \ge 4$ · นี่คือเหตุผลที่พจน์ $x^n/n!$ ในอนุกรมเลขชี้กำลังเล็กลงเร็วมาก

1. กรณีฐาน $n = 1$: $1 + x \ge 1 + x$ จริง

2. สมมติ $(1 + x)^k \ge 1 + kx$

3. คูณทั้งสองข้างด้วย $1 + x$ ซึ่งทำได้โดยเครื่องหมายไม่กลับ เพราะ $1 + x \ge 0$: $(1 + x)^{k+1} \ge (1 + x)(1 + kx) = 1 + (k+1)x + kx^2$

4. $kx^2 \ge 0$ จึงได้ $(1 + x)^{k+1} \ge 1 + (k+1)x$ ✓

จริงทุก $n \ge 1$, $x \ge -1$ · เงื่อนไข $x \ge -1$ ถูกใช้ในบรรทัดเดียว คือตอนคูณอสมการด้วย $1 + x$

1. พจน์แรก ๆ: $1, 3, 7, 15, \dots$ น้อยกว่า $2, 4, 8, 16$ อยู่หนึ่ง จึงเดาว่า $2^n - 1$

2. กรณีฐาน $n = 1$: $a_1 = 1 = 2^1 - 1$ จริง

3. สมมติ $a_k = 2^k - 1$: $a_{k+1} = 2a_k + 1 = 2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 1$ ✓

$a_n = 2^n - 1$ ทุก $n \ge 1$ · คือจำนวนครั้งที่ต้องย้ายในปัญหาหอคอยฮานอยที่มี n แผ่น

1. กรณีฐาน $n = 1$: กฎผลคูณ $\dfrac{d}{dx}(xe^x) = e^x + xe^x = (x + 1)e^x$ จริง

2. สมมติ $\dfrac{d^k}{dx^k}(xe^x) = (x + k)e^x$

3. $\dfrac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}(xe^x) = \dfrac{d}{dx}\big[(x + k)e^x\big] = e^x + (x + k)e^x = (x + k + 1)e^x$ ✓

จริงทุก $n \ge 1$ · ที่ $x = 0$ อนุพันธ์อันดับ n มีค่า $n$ ได้อนุกรมแมคลอริน $xe^x = \sum_{n\ge1} \dfrac{x^n}{(n-1)!}$ ดูอนุกรมเทย์เลอร์คืออะไร

1. กรณีฐาน $n = 2$: 2 เป็นจำนวนเฉพาะ จริง

2. สมมติฐานแบบเข้ม: สมมติว่าจำนวนเต็ม $j$ ทุกตัวที่ $2 \le j \le k$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือผลคูณของจำนวนเฉพาะ

3. พิจารณา $k + 1$ ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะก็จบ ถ้าไม่ใช่ จะเขียนได้ $k + 1 = ab$ โดย $2 \le a \le k$ และ $2 \le b \le k$

4. ตามสมมติฐาน $a$ และ $b$ ต่างเป็นจำนวนเฉพาะหรือผลคูณของจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $ab = k + 1$ เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ ✓

จริงทุก $n \ge 2$ · อุปนัยธรรมดาใช้ไม่ได้ในข้อนี้ เพราะรู้เรื่องของ $k$ ก็ไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับตัวประกอบของ $k + 1$ ซึ่งเป็นจำนวนที่เล็กกว่าตัวไหนก็ได้

1. กรณีฐาน (สามค่า): $8 = 3 + 5,\ 9 = 3 + 3 + 3,\ 10 = 5 + 5$

2. สมมติฐานแบบเข้ม: ให้ $k \ge 10$ และสมมติว่าทุกราคาตั้งแต่ 8 ถึง $k$ บาทรวมได้

3. $k + 1 = (k - 2) + 3$ และ $8 \le k - 2 \le k$ ราคา $k - 2$ จึงรวมได้ตามสมมติฐาน เติมแสตมป์ 3 บาทอีกดวง ✓

รวมได้ทุกราคาตั้งแต่ 8 บาทขึ้นไป (7 บาทรวมไม่ได้) · ขั้นอุปนัยย้อนไป 3 ขั้น จึงต้องมีกรณีฐาน 3 ค่า ถ้าตรวจแค่ $n = 8$ ขั้นจาก 8 ไป 9 จะต้องพึ่ง $9 - 3 = 6$ ซึ่งไม่เคยแสดงไว้

1. กรณีฐาน (สองค่า เพราะความสัมพันธ์ใช้สองพจน์ก่อนหน้า): $a_1 = 2 - 1 = 1$ และ $a_2 = 4 + 1 = 5$ จริง

2. สมมติฐานแบบเข้ม: ให้ $k \ge 2$ และสมมติ $a_j = 2^j + (-1)^j$ ทุก $j \le k$

3. $a_{k+1} = a_k + 2a_{k-1} = 2^k + (-1)^k + 2\big(2^{k-1} + (-1)^{k-1}\big) = 2^{k+1} + (-1)^{k-1}\big(-1 + 2\big)$

4. $= 2^{k+1} + (-1)^{k-1} = 2^{k+1} + (-1)^{k+1}$ ✓ (ตรวจ: $a_3 = 7,\ a_4 = 17,\ a_5 = 31$)

จริงทุก $n \ge 1$ · แนวคิดเดียวกันใช้พิสูจน์ขอบเขตของเลขฟีโบนัชชี และรูปปิดของสมการผลต่างอันดับสองที่ใช้ในระบบควบคุมดิจิทัล