พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. บทความ
  3. เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น
  4. Dot กับ Cross product

// บทความ · เวกเตอร์

Dot Product กับ Cross Product ต่างกันอย่างไร: สูตร ความหมาย ตัวอย่าง

เวกเตอร์สองตัวคูณกันได้สองแบบ แบบแรกได้ตัวเลข แบบที่สองได้เวกเตอร์ใหม่ ทั้งสองมีความหมายทางกายภาพที่ชัดเจน: dot product ใช้หางานและมุม ส่วน cross product ใช้หาแรงบิดและพื้นที่

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • Dot: a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ=axbx+ayby+azbz\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z → สเกลาร์
  • Cross: ∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡θ|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta → เวกเตอร์ ตั้งฉากกับทั้งคู่ ทิศตามกฎมือขวา
  • Dot = 0 ⇒ ตั้งฉาก · Cross = 0 ⇒ ขนาน

เปรียบเทียบสั้น ๆ

Dot product a⋅b\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}Cross product a×b\mathbf{a}\times\mathbf{b}
ผลลัพธ์สเกลาร์เวกเตอร์ (3 มิติ)
สูตรด้วยมุม∣a∣∣b∣cos⁡θ|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\thetaขนาด ∣a∣∣b∣sin⁡θ|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta
สูตรด้วยองค์ประกอบaxbx+ayby+azbza_xb_x+a_yb_y+a_zb_zดีเทอร์มิแนนต์ของ i,j,k\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}
ความหมายเรขาคณิตภาพฉายของเวกเตอร์หนึ่งบนอีกเวกเตอร์ × ความยาวพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองสร้างขึ้น
สลับลำดับเหมือนเดิมเครื่องหมายกลับ
เท่ากับศูนย์เมื่อตั้งฉากกันขนานกัน
ใช้หางาน มุม ภาพฉาย กำลังจริงแรงบิด สนามแม่เหล็ก ทิศตั้งฉาก

Dot product (ผลคูณเชิงสเกลาร์)

สำหรับ a=(ax,ay,az)\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) และ b=(bx,by,bz)\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z) นำองค์ประกอบที่แกนเดียวกันมาคูณแล้วบวกกัน

a⋅b=axbx+ayby+azbz=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta

จึงหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้จาก cos⁡θ=a⋅b∣a∣∣b∣\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} ถ้าค่าเป็นบวก มุมแหลม เป็นลบ มุมป้าน

ตัวอย่างงาน

แรง 50 N ทำมุม 30° กับการเคลื่อนที่ 4 m

  1. W=F⋅d=∣F∣∣d∣cos⁡θ=50×4×cos⁡30∘W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{d}=|\mathbf{F}||\mathbf{d}|\cos\theta=50\times4\times\cos30^\circ

W=200×0.866≈173.2W = 200\times0.866 \approx 173.2 J (เฉพาะองค์ประกอบของแรงที่ขนานการเคลื่อนที่เท่านั้นที่ทำงาน)

Cross product (ผลคูณเชิงเวกเตอร์)

ผลลัพธ์ตั้งฉากกับ a\mathbf{a} และ b\mathbf{b} ทิศตามกฎมือขวา: ชี้นิ้วไปตาม a\mathbf{a} ม้วนไปหา b\mathbf{b} นิ้วโป้งชี้ทิศของ a×b\mathbf{a}\times\mathbf{b} คำนวณด้วยองค์ประกอบดังนี้

a×b=∣ijkaxayazbxbybz∣=(aybz−azby) i−(axbz−azbx) j+(axby−aybx) k\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}=(a_yb_z-a_zb_y)\,\mathbf{i}-(a_xb_z-a_zb_x)\,\mathbf{j}+(a_xb_y-a_yb_x)\,\mathbf{k}
ตัวอย่างแรงบิด

ประแจยาว 0.3 m ออกแรง 100 N ตั้งฉากกับด้ามประแจ

  1. τ=r×F,∣τ∣=rFsin⁡90∘=0.3×100×1\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F},\quad |\boldsymbol{\tau}|=rF\sin90^\circ=0.3\times100\times1

∣τ∣=30|\boldsymbol{\tau}|=30 N·m ทิศของแรงบิดตามแกนหมุนของน็อต ถ้าออกแรงเฉียง แรงบิดจะลดลงตาม sin⁡θ\sin\theta

ตัวอย่างเดียวกัน คำนวณทั้งสองแบบ

ให้ a=(2,3,1)\mathbf{a}=(2,3,1) และ b=(1,−1,4)\mathbf{b}=(1,-1,4)

  1. Dot product

    a⋅b=2(1)+3(−1)+1(4)=3\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(1)+3(-1)+1(4)=3

  2. Cross product

    a×b=(3⋅4−1⋅(−1),  1⋅1−2⋅4,  2⋅(−1)−3⋅1)=(13, −7, −5)\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\big(3\cdot4-1\cdot(-1),\; 1\cdot1-2\cdot4,\; 2\cdot(-1)-3\cdot1\big)=(13,\,-7,\,-5)

  3. มุมระหว่างเวกเตอร์ ด้วย ∣a∣=14|\mathbf{a}|=\sqrt{14}, ∣b∣=18|\mathbf{b}|=\sqrt{18}

    cos⁡θ=31418≈0.189  ⇒  θ≈79.1∘\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{14}\sqrt{18}}\approx0.189\;\Rightarrow\;\theta\approx79.1^\circ

  4. ตรวจด้วยขนาดของ cross product ต้องเท่ากับ ∣a∣∣b∣sin⁡θ|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta

    ∣a×b∣=132+72+52=243≈15.59|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=\sqrt{13^2+7^2+5^2}=\sqrt{243}\approx15.59

14×18 sin⁡79.1∘≈15.87×0.982≈15.59\sqrt{14\times18}\,\sin79.1^\circ\approx15.87\times0.982\approx15.59 ✓ และ a⋅(a×b)=2(13)+3(−7)+1(−5)=0\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=2(13)+3(-7)+1(-5)=0 ✓ (cross product ตั้งฉากกับ a\mathbf{a})

ใช้ในงานไฟฟ้าอย่างไร

  • กำลังไฟฟ้าจริง เมื่อมองเฟสเซอร์ของแรงดันและกระแส (ค่า RMS) เป็นเวกเตอร์ในระนาบ 2 มิติ กำลังจริง P=VIcos⁡φP=VI\cos\varphi คือ dot product ของมัน
  • แรงที่กระทำต่อลวดตัวนำ F=I L×B\mathbf{F}=I\,\mathbf{L}\times\mathbf{B} และแรงลอเรนซ์ F=q v×B\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B} เป็น cross product
  • แรงบิดของมอเตอร์ τ=r×F\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}

เรียนต่อในคลังความรู้

คำถามที่พบบ่อย

ผลลัพธ์ของ dot product และ cross product ต่างกันอย่างไร?

dot product ให้ค่าสเกลาร์ (ตัวเลขตัวเดียว) ส่วน cross product ให้เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองและมีทิศตามกฎมือขวา ผลคูณ cross product ใช้ได้เฉพาะเวกเตอร์ 3 มิติ

ถ้า dot product เป็นศูนย์หมายความว่าอะไร?

เวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน (เมื่อทั้งคู่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์) เช่น แรงที่ตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ทำงานเป็นศูนย์

ถ้า cross product เป็นเวกเตอร์ศูนย์หมายความว่าอะไร?

เวกเตอร์ทั้งสองขนานกันหรืออยู่แนวเส้นตรงเดียวกัน เพราะ sin⁡θ=0\sin\theta = 0

ทำไม cross product สลับลำดับแล้วเครื่องหมายเปลี่ยน?

เพราะทิศของผลลัพธ์กำหนดด้วยกฎมือขวา สลับลำดับ b×a\mathbf{b}\times\mathbf{a} ทิศจะกลับ จึงได้ b×a=− a×b\mathbf{b}\times\mathbf{a}=-\,\mathbf{a}\times\mathbf{b} ส่วน dot product สลับที่ได้

พีชคณิตเชิงเส้น กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้ สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k… อ่านบทความ → พีชคณิตเชิงเส้น สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์… อ่านบทความ → วิธีเชิงตัวเลข แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเชิงตัวเลข: เกาส์ LU จาโคบี หรือเกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหนดี เปรียบเทียบวิธีเชิงตัวเลขสำหรับระบบสมการเชิงเส้นแบบเห็นภาพรวม การกำจัดแบบเกาส์กับการสลับแถว LU โชเลสกี จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR เงื่อนไขการลู่เข้า… อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด