พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. ลำดับและอนุกรม
  4. เครื่องคิดเลข

// บทที่ 26.11 · ลำดับและอนุกรม · Calculators

เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม (Sequence & Series Calculators): พื้นฐาน กลาง ขั้นสูง พร้อมวิธีทำและโหมดฝึก

หกเครื่องมือที่ไม่ได้แค่บอกคำตอบ แต่เขียนวิธีทำให้ดูทีละขั้นเหมือนเฉลยในห้อง ทุกตัวคำนวณด้วยเลขแม่นตรง (เศษส่วนและกรณฑ์) ตรวจคำตอบย้อนกลับเอง และมีปุ่ม 🎯 ฝึกทำ ที่สุ่มโจทย์ให้ลองคิดก่อนดูเฉลย ใช้เป็นภาคปฏิบัติคู่กับบทเรียนได้ทันที

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · เตรียมสอบเข้ากลาง แคลคูลัส · คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องขั้นสูง คณิตศาสตร์วิศวกรรม · วิธีเชิงตัวเลข
6 เครื่องมือในหน้านี้
เครื่องคิดเลขซิกมาเวียนเกิดฝึกทำ 12 ข้อ

ใช้ให้เป็น “ภาคปฏิบัติ” ไม่ใช่แค่ดูคำตอบ

เครื่องคิดเลขที่ดีที่สุดสำหรับการเรียนคือเครื่องที่บังคับให้เราคิดก่อน ลำดับที่แนะนำสำหรับทุกเครื่องมือในหน้านี้คือ

  1. กด 🎯 ฝึกทำ ระบบสุ่มโจทย์ระดับข้อสอบ ทำในกระดาษก่อน แล้วพิมพ์คำตอบ (รับ 3/4, 2^10, sqrt(5))

  2. ดูวิธีทำทีละขั้น เทียบกับของเราทีละบรรทัด ว่าพลาดที่สูตร การแทนค่า หรือพีชคณิต

  3. เปลี่ยนตัวเลขเอง แล้วทำนายผลก่อนกดคำนวณ เช่น ถ้า r เปลี่ยนจาก 2 เป็น −2 ผลบวกจะเป็นอย่างไร นี่คือวิธีสร้างความเข้าใจที่อยู่ได้นาน

พื้นฐาน1. เลขคณิต · เรขาคณิตกรอกอะไรก็ได้ 3 ค่าจาก a₁, d หรือ r, n, aₙ, Sₙ, S∞ หรือรู้สองพจน์ใด ๆ กลาง2. ซิกมา Σสูตรผลบวกกำลัง กล้องส่องทางไกล พหุนาม×rᵏ และอนุกรมอนันต์ กลาง3. หาสูตรจากพจน์ตารางผลต่าง สูตรของนิวตัน เรขาคณิต ผลคูณ และเวียนเกิด ขั้นสูง4. เวียนเกิดเชิงเส้นสมการลักษณะเฉพาะ รากซ้ำ-เชิงซ้อน คำตอบเฉพาะ ฟังก์ชันก่อกำเนิด ขั้นสูง5. ผลบวกความแม่นยำสูงออยเลอร์–แมคลอริน และเร่งการลู่เข้าของอนุกรมสลับ พื้นฐาน6. ทศนิยมซ้ำ · ค่าเฉลี่ย · เงินงวดอนุกรมเรขาคณิตในชีวิตจริง

1. ลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต: กรอก 3 ค่า หาที่เหลือ พื้นฐาน

ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเรื่องลำดับเกือบทุกข้อคือ “รู้ 3 อย่าง หาอย่างที่ 4” จากห้าปริมาณ a1a_1 (พจน์แรก), dd หรือ rr (ผลต่างหรืออัตราส่วนร่วม), nn, ana_n และ SnS_n เครื่องมือนี้รับทุกชุดค่าที่เป็นไปได้ บอกเมื่อข้อมูลขัดกันเอง และบอกเมื่อมีคำตอบมากกว่าหนึ่ง (เช่นเมื่อแก้สมการกำลังสองหา n หรือถอดรากที่มีเลขชี้กำลังคู่)

C1 Arithmetic progression ลำดับและอนุกรมเลขคณิต

an=a1+(n−1)dSn=n2(a1+an)=n2[2a1+(n−1)d]\begin{gathered} a_n = a_1 + (n-1)d \\ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\big[2a_1 + (n-1)d\big] \end{gathered}

รู้ ap,aqa_p, a_q: d=aq−apq−pd = \dfrac{a_q - a_p}{q - p} · หา n จาก SnS_n ได้สมการกำลังสองใน n

C2 Geometric progression ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต

an=a1rn−1Sn=a1(1−rn)1−r=a1−anr1−r (r≠1)S∞=a11−r (∣r∣<1)\begin{gathered} a_n = a_1 r^{n-1} \\ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a_1 - a_n r}{1 - r}\ (r \ne 1) \\ S_\infty = \frac{a_1}{1-r}\ (|r| < 1) \end{gathered}

รู้ ap,aqa_p, a_q: rq−p=aq/apr^{q-p} = a_q/a_p ถ้า q−pq - p เป็นเลขคู่จะได้ r สองค่า (บวกและลบ)

C3 Inserting means แทรกค่าเฉลี่ย k จำนวนระหว่าง a กับ b

d=b−ak+1r=(ba)1k+1ฮาร์มอนิก: 1a,…,1b เป็นเลขคณิต\begin{gathered} d = \frac{b - a}{k + 1} \\ r = \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{k+1}} \\ \text{ฮาร์มอนิก: } \frac1a, \dots, \frac1b \text{ เป็นเลขคณิต} \end{gathered}

ทั้งหมดมี k+2k + 2 พจน์ จึงมี k+1k + 1 ช่วง

ตัวอย่าง C-1 · รู้สองพจน์

ลำดับเลขคณิตมี a5=17a_5 = 17 และ a12=38a_{12} = 38 จงหา a30a_{30} และ S30S_{30}

  1. สองพจน์ห่างกัน 12−5=712 - 5 = 7 ช่วง ⇒ 7d=38−17=217d = 38 - 17 = 21 ⇒ d=3d = 3

  2. a1=a5−4d=17−12=5a_1 = a_5 - 4d = 17 - 12 = 5 ⇒ an=3n+2a_n = 3n + 2

  3. a30=5+29(3)=92a_{30} = 5 + 29(3) = 92 และ S30=302(5+92)=1455S_{30} = \tfrac{30}{2}(5 + 92) = 1455

a30=92, S30=1455a_{30} = 92,\ S_{30} = 1455

ตัวอย่าง C-2 · กับดักสองคำตอบ

ลำดับเรขาคณิตมี a2=6a_2 = 6 และ a4=54a_4 = 54 จงหา S6S_6

  1. r2=a4a2=9r^2 = \dfrac{a_4}{a_2} = 9 ⇒ r=3r = 3 หรือ r=−3r = -3 (นักเรียนจำนวนมากตอบแค่ค่าบวก)

  2. r=3r = 3: a1=2a_1 = 2, S6=2(36−1)3−1=728S_6 = \dfrac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} = 728

  3. r=−3r = -3: a1=−2a_1 = -2, S6=−2(1−(−3)6)1−(−3)=−2(−728)4=364S_6 = \dfrac{-2\left(1 - (-3)^6\right)}{1 - (-3)} = \dfrac{-2(-728)}{4} = 364

S6=728S_6 = 728 หรือ 364364 ถ้าโจทย์ไม่บอกว่าพจน์เป็นบวก ต้องตอบทั้งสองกรณี

2. เครื่องคิดเลขซิกมา (Σ): สูตรผลบวก กล้องส่องทางไกล และพหุนาม × rᵏ กลาง

พิมพ์พจน์ f(k)f(k) ขอบล่าง และขอบบน (ตัวเลข, n หรือ inf) เครื่องมือเลือกวิธีให้อัตโนมัติจากรูปของพจน์ และบอกชื่อวิธีที่ใช้ทุกครั้ง เพื่อให้รู้ว่าโจทย์แบบนี้ “ต้องคิดอย่างไร” ไม่ใช่แค่ได้ตัวเลข

รูปของพจน์ f(k)วิธีตัวอย่าง
พหุนามใน kกระจาย + สมบัติเชิงเส้น + สูตรผลบวกกำลัง (Faulhaber)∑k(k+1)\sum k(k+1), ∑(2k−1)3\sum (2k-1)^3
c rkc\,r^kอนุกรมเรขาคณิต∑3⋅2k−1\sum 3\cdot 2^{k-1}
พหุนาม × rkr^kวิธี S−rSS - rS (หาผลต่างย้อนกลับแบบไม่ต่อเนื่อง)∑k 2k\sum k\,2^k, ∑k/2k\sum k/2^k
เศษส่วนของพหุนามที่ตัวส่วนแยกเป็นตัวประกอบเชิงเส้นเศษส่วนย่อย → กล้องส่องทางไกล∑1k(k+1)\sum \frac{1}{k(k+1)}, ∑1(2k−1)(2k+1)\sum \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}
อื่น ๆ (1/k21/k^2, k\sqrt k, …)บวกตรงแบบแม่นตรง หรือออยเลอร์–แมคลอริน∑1/k2=π2/6\sum 1/k^2 = \pi^2/6

C4 Power sums (Faulhaber) สูตรผลบวกกำลัง

∑k=1nk=n(n+1)2∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6∑k=1nk3=[n(n+1)2]2\begin{gathered} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 \end{gathered}

∑k4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)30\sum k^4 = \tfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} · ∑kp\sum k^p เป็นพหุนามดีกรี p+1p + 1 เสมอ

C5 Linearity & index shift สมบัติเชิงเส้นและการเลื่อนดัชนี

∑(αf+βg)=α∑f+β∑g∑k=mnf(k)=∑k=1nf(k)−∑k=1m−1f(k)\begin{gathered} \sum (\alpha f + \beta g) = \alpha\sum f + \beta \sum g \\ \sum_{k=m}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} f(k) - \sum_{k=1}^{m-1} f(k) \end{gathered}

∑k=1nc=cn\sum_{k=1}^{n} c = cn · ข้อควรระวัง ∑fg≠∑f⋅∑g\sum f g \ne \sum f \cdot \sum g

C6 Telescoping กล้องส่องทางไกล

∑k=1n[g(k)−g(k+1)]=g(1)−g(n+1)1k(k+m)=1m(1k−1k+m)\begin{gathered} \sum_{k=1}^{n} \big[g(k) - g(k+1)\big] = g(1) - g(n+1) \\ \frac{1}{k(k+m)} = \frac1m\left(\frac1k - \frac{1}{k+m}\right) \end{gathered}

ยุบได้เมื่อสัมประสิทธิ์ของเศษส่วนย่อยในแต่ละกลุ่มที่ห่างกันเป็นจำนวนเต็มรวมกันเป็นศูนย์

C7 Arithmetico-geometric อนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต

∑k=1∞krk=r(1−r)2 (∣r∣<1)∑k=1nP(k)rk=Q(n)rn−Q(0)\begin{gathered} \sum_{k=1}^{\infty} k r^{k} = \frac{r}{(1-r)^2}\ (|r| < 1) \\ \sum_{k=1}^{n} P(k)r^k = Q(n)r^n - Q(0) \end{gathered}

Q มีดีกรีเท่า P และ Q(k)−Q(k−1)/r=P(k)Q(k) - Q(k-1)/r = P(k) นี่คือรูปทั่วไปของวิธี S−rSS - rS

ตัวอย่าง C-3 · กล้องส่องทางไกล

หา ∑k=1n1(2k−1)(2k+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} และผลบวกเมื่อ n→∞n \to \infty

  1. เศษส่วนย่อย: 1(2k−1)(2k+1)=12(12k−1−12k+1)\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right)

  2. เขียนออกมา พจน์กลางหักล้างกันเป็นคู่ ๆ

    12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]\tfrac12\Big[\big(1 - \tfrac13\big) + \big(\tfrac13 - \tfrac15\big) + \dots + \big(\tfrac{1}{2n-1} - \tfrac{1}{2n+1}\big)\Big]

  3. เหลือ 12(1−12n+1)=n2n+1\tfrac12\left(1 - \tfrac{1}{2n+1}\right) = \dfrac{n}{2n+1} และ lim⁡n→∞n2n+1=12\lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{2n+1} = \dfrac12

Sn=n2n+1, S∞=12S_n = \dfrac{n}{2n+1},\ S_\infty = \dfrac12

ตัวอย่าง C-4 · พหุนาม × rᵏ

หา ∑k=1∞k2k\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k}

  1. ให้ S=12+24+38+⋯S = \tfrac12 + \tfrac{2}{4} + \tfrac{3}{8} + \cdots และ 12S=14+28+316+⋯\tfrac12 S = \tfrac14 + \tfrac{2}{8} + \tfrac{3}{16} + \cdots

  2. ลบกัน S−12S=12+14+18+⋯=1S - \tfrac12 S = \tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1 (อนุกรมเรขาคณิต)

  3. 12S=1\tfrac12 S = 1 ⇒ S=2S = 2 ตรงกับสูตร C7: r(1−r)2=1/21/4=2\dfrac{r}{(1-r)^2} = \dfrac{1/2}{1/4} = 2

S=2S = 2

3. หาสูตรจากพจน์ที่ให้มา: ตารางผลต่างและสูตรของนิวตัน กลาง

ใส่พจน์ที่รู้แล้วเครื่องมือจะลองสี่แบบตามลำดับ: พหุนาม (ผลต่างอันดับใดอันดับหนึ่งคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) ผลคูณ (อัตราส่วนพจน์ติดกันเป็นพหุนามใน n เช่น แฟกทอเรียล) และเวียนเกิดเชิงเส้น (อัลกอริทึม Berlekamp–Massey) พร้อมพจน์ถัดไปและสูตรผลบวก

C8 Newton forward differences สูตรผลต่างเดินหน้าของนิวตัน

an=∑j=0dΔja1(n−1j)Δan=an+1−an\begin{gathered} a_n = \sum_{j=0}^{d} \Delta^j a_1 \binom{n-1}{j} \\ \Delta a_n = a_{n+1} - a_n \end{gathered}

ผลต่างอันดับ d คงที่ ⇔ ana_n เป็นพหุนามดีกรี d (เหมือนอนุพันธ์อันดับ d ของพหุนามดีกรี d)

C9 Sum from differences ผลบวก n พจน์จากตารางผลต่าง

Sn=∑k=1nak=∑j=0dΔja1(nj+1)S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{j=0}^{d} \Delta^j a_1 \binom{n}{j+1}

เช่น 2, 6, 12, 20 มี Δ0=2, Δ1=4, Δ2=2\Delta^0 = 2,\ \Delta^1 = 4,\ \Delta^2 = 2 ⇒ Sn=2n+4(n2)+2(n3)=n(n+1)(n+2)3S_n = 2n + 4\binom n2 + 2\binom n3 = \tfrac{n(n+1)(n+2)}{3}

กับดัก: 1, 2, 4, 8, 16, …ส่วนใหญ่ตอบ 32 แต่โจทย์ “ลากเส้นเชื่อม n จุดบนวงกลม แบ่งได้มากที่สุดกี่ส่วน” ให้ 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57 ซึ่งเป็นพหุนามดีกรีสี่ n4−6n3+23n2−18n+2424\tfrac{n^4 - 6n^3 + 23n^2 - 18n + 24}{24} ลองใส่ 6 พจน์นี้ในเครื่องมือ พจน์จำนวนจำกัดไม่ได้กำหนดลำดับเพียงหนึ่งเดียว ต้องมีกฎหรือการพิสูจน์เสมอ
ตัวอย่าง C-5 · ผลต่างอันดับสาม

หาสูตรของ 3,10,29,66,127,…3, 10, 29, 66, 127, \dots และผลบวก n พจน์แรก

  1. ผลต่าง: 7,19,37,617, 19, 37, 61 → 12,18,2412, 18, 24 → 6,66, 6 ผลต่างอันดับสามคงที่ ⇒ พหุนามดีกรีสาม

  2. ผลต่างอันดับสาม =6=3!⋅a= 6 = 3!\cdot a ⇒ สัมประสิทธิ์ n3n^3 คือ 1 ลอง an−n3=2,2,2,…a_n - n^3 = 2, 2, 2, \dots ⇒ an=n3+2a_n = n^3 + 2

  3. Sn=∑k3+∑2=[n(n+1)2]2+2nS_n = \sum k^3 + \sum 2 = \left[\tfrac{n(n+1)}{2}\right]^2 + 2n

an=n3+2, Sn=n2(n+1)24+2na_n = n^3 + 2,\ S_n = \tfrac{n^2(n+1)^2}{4} + 2n

4. แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น: สมการลักษณะเฉพาะ คำตอบเฉพาะ และฟังก์ชันก่อกำเนิด ขั้นสูง

เครื่องมือแก้ an=c1an−1+c2an−2+c3an−3+f(n)a_n = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} + c_3 a_{n-3} + f(n) เมื่อสัมประสิทธิ์คงที่ และ f(n)f(n) อยู่ในรูปพหุนาม × sns^n ผลลัพธ์เป็นเลขแม่นตรงแม้รากเป็นกรณฑ์หรือจำนวนเชิงซ้อน (คำนวณในฟีลด์ Q(D)\mathbb{Q}(\sqrt D)) และให้ครบทั้งรากซ้ำ เรโซแนนซ์ รูปจริงของรากเชิงซ้อน ตารางตรวจ ฟังก์ชันก่อกำเนิด และบทพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มที่สร้างให้อัตโนมัติ

C10 Characteristic equation สมการลักษณะเฉพาะ

an=c1an−1+⋯+ckan−k⇒ tk−c1tk−1−⋯−ck=0an=∑iAi ti n\begin{gathered} a_n = c_1 a_{n-1} + \dots + c_k a_{n-k} \\ \Rightarrow\ t^k - c_1 t^{k-1} - \dots - c_k = 0 \\ a_n = \sum_i A_i\, t_i^{\,n} \end{gathered}

ค่าคงตัว AiA_i หาจากค่าเริ่มต้น k ค่า (ระบบสมการเชิงเส้น k ตัวแปร)

C11 Repeated & complex roots รากซ้ำและรากเชิงซ้อน

t ซ้ำ m ครั้ง⇒(A0+A1n+⋯+Am−1nm−1)tnt=ρe±iθ⇒ρn(Acos⁡nθ+Bsin⁡nθ)\begin{gathered} t \text{ ซ้ำ } m \text{ ครั้ง} \Rightarrow (A_0 + A_1 n + \dots + A_{m-1}n^{m-1})t^n \\ t = \rho e^{\pm i\theta} \Rightarrow \rho^n(A\cos n\theta + B\sin n\theta) \end{gathered}

เช่น an=2an−1−2an−2a_n = 2a_{n-1} - 2a_{n-2} มี t=1±i=2e±iπ/4t = 1 \pm i = \sqrt2 e^{\pm i\pi/4}

C12 Particular solution คำตอบเฉพาะ (เดาสัมประสิทธิ์)

f(n)=Pd(n) sn⇒ an(p)=nm Qd(n) sn\begin{gathered} f(n) = P_d(n)\,s^n \\ \Rightarrow\ a_n^{(p)} = n^m\,Q_d(n)\,s^n \end{gathered}

m = จำนวนครั้งที่ s เป็นรากของสมการลักษณะเฉพาะ (m = 0 ถ้าไม่เป็นราก) · an=an(h)+an(p)a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)} แล้วจึงใช้ค่าเริ่มต้น

C13 Generating function ฟังก์ชันก่อกำเนิด

G(x)=∑n≥0anxn=N(x)1−c1x−⋯−ckxkฟีโบนัชชี: x1−x−x2\begin{gathered} G(x) = \sum_{n\ge0} a_n x^n = \frac{N(x)}{1 - c_1x - \dots - c_kx^k} \\ \text{ฟีโบนัชชี: } \frac{x}{1 - x - x^2} \end{gathered}

แยกเศษส่วนย่อยแล้วกระจายเป็นอนุกรมเรขาคณิต ได้สูตรปิดเดียวกับสมการลักษณะเฉพาะ

ตัวอย่าง C-6 · เรโซแนนซ์

a0=0, a1=1, an=3an−1−2an−2+2na_0 = 0,\ a_1 = 1,\ a_n = 3a_{n-1} - 2a_{n-2} + 2^n จงหาสูตรปิด

  1. สมการลักษณะเฉพาะ t2−3t+2=(t−1)(t−2)=0t^2 - 3t + 2 = (t-1)(t-2) = 0 ⇒ an(h)=A⋅2n+Ba_n^{(h)} = A\cdot 2^n + B

  2. f(n)=2nf(n) = 2^n และ 2 เป็นรากหนึ่งครั้ง ⇒ เดา an(p)=Cn 2na_n^{(p)} = Cn\,2^n (ไม่ใช่ C2nC2^n ซึ่งถูกส่วนเอกพันธ์กลืนไป)

  3. แทน: Cn2n−3C(n−1)2n−1+2C(n−2)2n−2=2nCn2^n - 3C(n-1)2^{n-1} + 2C(n-2)2^{n-2} = 2^n ⇒ C(n−32(n−1)+12(n−2))=1C\big(n - \tfrac32(n-1) + \tfrac12(n-2)\big) = 1 ⇒ 12C=1\tfrac12 C = 1 ⇒ C=2C = 2

  4. an=A2n+B+2n2na_n = A2^n + B + 2n2^n จาก a0=0a_0 = 0: A+B=0A + B = 0 · จาก a1=1a_1 = 1: 2A+B+4=12A + B + 4 = 1 ⇒ A=−3, B=3A = -3,\ B = 3

an=(2n−3)2n+3a_n = (2n - 3)2^n + 3 · ตรวจ a2=7a_2 = 7 ✓

5. ผลบวกความแม่นยำสูง: ออยเลอร์–แมคลอริน และเร่งการลู่เข้าของอนุกรมสลับ ขั้นสูง

อนุกรมอย่าง ∑1/k2\sum 1/k^2 ลู่เข้าช้ามาก: บวกหนึ่งล้านพจน์ยังคลาดราว 10−610^{-6} สูตรออยเลอร์–แมคลอรินเปลี่ยนหางของอนุกรมเป็นปริพันธ์บวกพจน์แก้ที่มีอนุพันธ์ ได้ค่าถูก 15 หลักจากเพียง 10 พจน์ และใช้ได้กับผลบวกจำกัดที่ n ใหญ่มาก เช่น H1012H_{10^{12}} ส่วนอนุกรมสลับใช้อัลกอริทึม Cohen–Villegas–Zagier ที่ความคลาดลดลงราว 5.8−n5.8^{-n}

C14 Euler–Maclaurin สูตรออยเลอร์–แมคลอริน

∑k=MNf(k)=∫MNf dx+f(M)+f(N)2+∑j=1pB2j(2j)!(f(2j−1)(N)−f(2j−1)(M))+Rp\begin{aligned} \sum_{k=M}^{N} f(k) &= \int_M^N f\,dx + \tfrac{f(M) + f(N)}{2} \\ &\quad + \sum_{j=1}^{p} \tfrac{B_{2j}}{(2j)!}\Big(f^{(2j-1)}(N) - f^{(2j-1)}(M)\Big) \\ &\quad + R_p \end{aligned}

B2=16, B4=−130, B6=142B_2 = \tfrac16,\ B_4 = -\tfrac{1}{30},\ B_6 = \tfrac{1}{42} · ทำงานดีเมื่อ M ไม่เล็กเกินไป (บวกตรงช่วงแรกก่อน)

C15 Harmonic numbers จำนวนฮาร์มอนิก

Hn=∑k=1n1k=ln⁡n+γ+12n−112n2+⋯γ≈0.5772156649\begin{gathered} H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac1k = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \cdots \\ \gamma \approx 0.5772156649 \end{gathered}

ลู่ออกแบบลอการิทึม: H1012≈28.21H_{10^{12}} \approx 28.21 เท่านั้น

ตัวอย่าง C-7 · ปัญหาบาเซิลด้วย 10 พจน์

ประมาณ ∑k=1∞1/k2\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2 ด้วยออยเลอร์–แมคลอรินที่ M=11M = 11

  1. บวกตรง ∑k=1101/k2=1.5497677311665\sum_{k=1}^{10} 1/k^2 = 1.5497677311665

  2. ปริพันธ์ ∫11∞x−2dx=111=0.0909090909091\int_{11}^{\infty} x^{-2}dx = \tfrac{1}{11} = 0.0909090909091 และ 12f(11)=1242=0.0041322314050\tfrac12 f(11) = \tfrac{1}{242} = 0.0041322314050

  3. พจน์แก้แรก −B22f′(11)=−112⋅(−2113)=0.0001252191335-\tfrac{B_2}{2}f'(11) = -\tfrac{1}{12}\cdot\left(-\tfrac{2}{11^3}\right) = 0.0001252191335 พจน์ต่อไปเล็กลงเร็วมาก

รวม ≈1.6449340668482\approx 1.6449340668482 ตรงกับ π2/6\pi^2/6 ถึง 15 หลัก ขณะที่บวกตรง 10 พจน์ได้แค่ 1.5498

6. ทศนิยมซ้ำ ค่าเฉลี่ย และเงินฝาก-เงินกู้: อนุกรมเรขาคณิตในชีวิตจริง พื้นฐาน

สามโจทย์ที่ดูไม่เกี่ยวกัน แต่เบื้องหลังคืออนุกรมเรขาคณิตเหมือนกัน: ทศนิยมซ้ำคือผลบวกอนันต์ a1−r\frac{a}{1-r} เงินฝากรายงวดคือผลบวกจำกัด (1+i)n−1i\frac{(1+i)^n - 1}{i} และค่างวดผ่อนบ้านคือมูลค่าปัจจุบันของค่างวดทุกงวดรวมกัน

C16 Repeating decimal ทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

0.b1…bLc1…cp‾=b1…bLc1…cp‾−b1…bL‾9⋯9⏟p0⋯0⏟L0.b_1\dots b_L\overline{c_1\dots c_p} = \frac{\overline{b_1\dots b_Lc_1\dots c_p} - \overline{b_1\dots b_L}}{\underbrace{9\cdots9}_{p}\underbrace{0\cdots0}_{L}}

เช่น 0.123‾=123−1990=614950.1\overline{23} = \dfrac{123 - 1}{990} = \dfrac{61}{495} · 0.9‾=10.\overline{9} = 1 พอดี

C17 Annuities เงินฝากรายงวดและค่างวดเงินกู้

FV=P (1+i)n−1iR=PV⋅i1−(1+i)−n\begin{gathered} FV = P\,\frac{(1+i)^n - 1}{i} \\ R = \frac{PV\cdot i}{1 - (1+i)^{-n}} \end{gathered}

i = ดอกเบี้ยต่องวด, n = จำนวนงวด · ฝากต้นงวดคูณ (1+i)(1+i) เพิ่ม

ตัวอย่าง C-8 · ผ่อนบ้าน

กู้ 1,500,000 บาท ดอกเบี้ย 6% ต่อปี ผ่อนรายเดือน 20 ปี ค่างวดเท่าไร

  1. i=0.06/12=0.005i = 0.06/12 = 0.005, n=240n = 240 งวด

  2. R=1,500,000×0.0051−1.005−240≈10,746.47R = \dfrac{1{,}500{,}000 \times 0.005}{1 - 1.005^{-240}} \approx 10{,}746.47 บาท

  3. จ่ายรวม 240R≈2,579,151.81240R \approx 2{,}579{,}151.81 บาท เป็นดอกเบี้ยราว 1.08 ล้านบาท

ค่างวดประมาณ 10,746.47 บาทต่อเดือน

ฝึกทำแบบภาคปฏิบัติ: 12 โจทย์ไล่ระดับ

ทำในกระดาษก่อน แล้วกด “เฉลย” หรือ “เปิดในเครื่องคิดเลข” เพื่อดูวิธีทำเต็ม (โจทย์สุ่มไม่จำกัดอยู่ในปุ่ม 🎯 ของแต่ละเครื่องมือ)

P1 พื้นฐานลำดับเลขคณิต 7, 11, 15, … พจน์ใดเท่ากับ 203

d=4, an=7+4(n−1)=203d = 4,\ a_n = 7 + 4(n-1) = 203 ⇒ n=50n = 50

พจน์ที่ 50

P2 พื้นฐานบวกจำนวนคี่ 1 + 3 + 5 + ⋯ ได้ 625 ต้องบวกกี่พจน์

Sn=n2=625S_n = n^2 = 625 ⇒ n=25n = 25 (หรือแก้ n2[2+2(n−1)]=625\tfrac{n}{2}[2 + 2(n-1)] = 625)

25 พจน์

P3 พื้นฐานอนุกรมเรขาคณิตอนันต์มีผลบวก 12 และพจน์แรก 8 จงหา r

12=81−r12 = \dfrac{8}{1 - r} ⇒ 1−r=231 - r = \tfrac23 ⇒ r=13r = \tfrac13

r=13r = \tfrac13

P4 พื้นฐานเขียน 1.245‾1.2\overline{45} เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

1245−12990=1233990=137110\dfrac{1245 - 12}{990} = \dfrac{1233}{990} = \dfrac{137}{110}

137110\tfrac{137}{110}

P5 กลาง∑k=1n(2k−1)2\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2

4∑k2−4∑k+n=2n(n+1)(2n+1)3−2n(n+1)+n=n(2n−1)(2n+1)34\sum k^2 - 4\sum k + n = \tfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n = \tfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}

n(4n2−1)3\tfrac{n(4n^2 - 1)}{3}

P6 กลาง∑k=2∞1k2−1\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2 - 1}

1k2−1=12(1k−1−1k+1)\dfrac{1}{k^2-1} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k+1}\right) ห่างกันสองขั้น เหลือหัว 12(1+12)\tfrac12\left(1 + \tfrac12\right)

34\tfrac34

P7 กลาง∑k=1nk⋅2k\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\cdot 2^k

S−2S=2+22+⋯+2n−n2n+1S - 2S = 2 + 2^2 + \dots + 2^n - n2^{n+1} ⇒ S=(n−1)2n+1+2S = (n-1)2^{n+1} + 2

(n−1)2n+1+2(n-1)2^{n+1} + 2

P8 กลางหาสูตรของ 1, 5, 14, 30, 55, 91, …

ผลต่าง 4, 9, 16, 25, 36 คือกำลังสอง ⇒ an=∑k=1nk2a_n = \sum_{k=1}^{n} k^2

n(n+1)(2n+1)6\tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

P9 ขั้นสูงa0=1, a1=4, an=4an−1−4an−2a_0 = 1,\ a_1 = 4,\ a_n = 4a_{n-1} - 4a_{n-2} จงหาสูตรปิด

(t−2)2=0(t-2)^2 = 0 รากซ้ำ ⇒ an=(A+Bn)2na_n = (A + Bn)2^n, A=1A = 1, 2(1+B)=42(1 + B) = 4 ⇒ B=1B = 1

an=(n+1)2na_n = (n + 1)2^n

P10 ขั้นสูงหอคอยฮานอย a1=1, an=2an−1+1a_1 = 1,\ a_n = 2a_{n-1} + 1 ย้าย 64 แผ่นต้องกี่ครั้ง

an+1=2(an−1+1)a_n + 1 = 2(a_{n-1} + 1) ⇒ an=2n−1a_n = 2^n - 1

264−1≈1.8×10192^{64} - 1 \approx 1.8\times10^{19} ครั้ง

P11 ขั้นสูงa0=1, a1=2, an=2an−1−2an−2a_0 = 1,\ a_1 = 2,\ a_n = 2a_{n-1} - 2a_{n-2} จงหา a8a_8 โดยไม่ไล่ทีละพจน์

t=1±i=2e±iπ/4t = 1 \pm i = \sqrt2e^{\pm i\pi/4} ⇒ an=(2)n(cos⁡nπ4+sin⁡nπ4)a_n = (\sqrt2)^n\left(\cos\tfrac{n\pi}{4} + \sin\tfrac{n\pi}{4}\right) ⇒ a8=16(1+0)a_8 = 16(1 + 0)

a8=16a_8 = 16

P12 ขั้นสูงประมาณ H109=1+12+⋯+1109H_{10^{9}} = 1 + \tfrac12 + \dots + \tfrac{1}{10^9} ถึงทศนิยม 6 ตำแหน่ง

Hn≈ln⁡n+γ+12n=20.7232658+0.5772157+0.0000000005H_n \approx \ln n + \gamma + \tfrac{1}{2n} = 20.7232658 + 0.5772157 + 0.0000000005

≈21.300482\approx 21.300482

เครื่องมือนี้คำนวณอย่างไร และเชื่อถือได้แค่ไหน

  • เลขแม่นตรง: ทุกค่าที่เป็นเศษส่วนเก็บเป็นตัวเศษ-ตัวส่วนจำนวนเต็มขนาดไม่จำกัด (BigInt) ไม่มีการปัดเศษ รากของสมการกำลังสองเก็บในรูป p+qDp + q\sqrt D จึงได้คำตอบอย่าง 55\tfrac{\sqrt5}{5} แทน 0.4472
  • ตรวจย้อนกลับเสมอ: สูตรผลบวกเทียบกับการบวกตรงทุกพจน์ สูตรปิดของเวียนเกิดเทียบกับการไล่ความสัมพันธ์ทีละพจน์ และแสดงตารางตรวจให้ดู
  • ส่วนที่เป็นค่าประมาณบอกชัด: รากของพหุนามดีกรีสามที่ไม่มีรากตรรกยะ ผลบวกอนันต์ที่ไม่มีรูปปิด และการ “จับคู่” กับค่าคงตัวอย่าง π2/6\pi^2/6 เป็นหลักฐานเชิงตัวเลข ไม่ใช่บทพิสูจน์
  • ทดสอบกับ sympy: ตัวอย่างทุกข้อในหน้านี้ตรวจด้วย sympy และชุดทดสอบอัตโนมัติของเครื่องมือ (scripts/test-seq-calc.mjs)
  • ขอบเขต: เวียนเกิดสัมประสิทธิ์คงที่อันดับไม่เกิน 3 · พจน์ไม่เอกพันธ์ในรูปพหุนาม × sns^n · ซิกมาแบบรูปปิดสำหรับพหุนาม พหุนาม×rkr^k และเศษส่วนที่ยุบได้

ลิงก์ตรงไปยังโจทย์ใช้รูปแบบ ?q= ได้ เช่น sum k^2, k=1..n · a(n)=a(n-1)+a(n-2), a(0)=0, a(1)=1 · 2, 6, 12, 20, 30 หรือกดปุ่ม “🔗 ลิงก์โจทย์นี้” ในเครื่องมือเพื่อส่งโจทย์ให้เพื่อนในกลุ่มเรียน

เรียนต่อ

พิสูจน์ว่าสูตรที่เครื่องคิดเลขให้ “จริงทุก n” ด้วย อุปนัยแบบเข้ม (26.12) ทบทวนทฤษฎีที่ ลำดับ (26.1) และ อนุกรมอนันต์ (26.2) ใช้เครื่องมือเชิงภาพที่ แล็บลำดับและอนุกรม หรือทดสอบตัวเองด้วย แนวข้อสอบ 60 ข้อ

คำถามที่พบบ่อย

เครื่องคิดเลขนี้ต่างจากการกดเครื่องคิดเลขธรรมดาอย่างไร?

คำนวณด้วยเลขแม่นตรง (เศษส่วนและกรณฑ์ เช่น 61495\tfrac{61}{495} หรือ 1+52\tfrac{1+\sqrt5}{2}) ไม่ใช่ทศนิยมปัดเศษ และแสดงวิธีทำทุกขั้นแบบที่เขียนในข้อสอบ: สูตรที่ใช้ การแทนค่า การตรวจคำตอบ และมีโหมดฝึกที่สุ่มโจทย์ให้ลองทำเองก่อนดูเฉลย

หาสูตรผลบวก Σk² หรือ Σk(k+1) ได้อย่างไร?

พิมพ์พจน์ในช่อง f(k) เช่น k^2 หรือ k(k+1) ให้ขอบบนเป็น n เครื่องมือจะกระจายพจน์ แยกด้วยสมบัติเชิงเส้น ใช้สูตรผลบวกกำลัง ∑k=n(n+1)2, ∑k2=n(n+1)(2n+1)6, ∑k3=(n(n+1)2)2\sum k = \tfrac{n(n+1)}{2},\ \sum k^2 = \tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},\ \sum k^3 = \left(\tfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 แล้วแยกตัวประกอบคำตอบให้ เช่น ∑k(k+1)=n(n+1)(n+2)3\sum k(k+1) = \tfrac{n(n+1)(n+2)}{3}

ถ้ารู้แค่พจน์แรก ๆ ของลำดับ จะหาสูตรพจน์ทั่วไปได้ไหม?

ได้ถ้าลำดับเป็นพหุนาม (ใช้ตารางผลต่างและสูตรของนิวตัน) เรขาคณิต ผลคูณ หรือเวียนเกิดเชิงเส้น แต่พจน์จำนวนจำกัดไม่ได้กำหนดลำดับเพียงหนึ่งเดียว เช่น 1, 2, 4, 8, 16 อาจต่อด้วย 31 ก็ได้ (โจทย์แบ่งวงกลม) สูตรที่เครื่องมือให้คือสูตรที่ง่ายที่สุดที่เข้ากับข้อมูล ในข้อสอบต้องยืนยันด้วยกฎของโจทย์หรือพิสูจน์ด้วยอุปนัย

แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด a(n) = 5a(n−1) − 6a(n−2) อย่างไร?

เขียนสมการลักษณะเฉพาะ t2−5t+6=0t^2 - 5t + 6 = 0 ได้ราก 2 และ 3 คำตอบทั่วไปคือ an=A⋅3n+B⋅2na_n = A\cdot 3^n + B\cdot 2^n แล้วหา A, B จากค่าเริ่มต้น เช่น a0=1, a1=4a_0 = 1,\ a_1 = 4 ได้ an=2⋅3n−2na_n = 2\cdot3^n - 2^n เครื่องมือในหน้านี้ทำครบรวมรากซ้ำ รากเชิงซ้อน พจน์ไม่เอกพันธ์ ฟังก์ชันก่อกำเนิด และพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้ม

ทำไม Σ 1/k² ไม่มีสูตรผลบวกแบบ Σk²?

เพราะ 1/k21/k^2 ไม่ใช่พหุนามและแยกเศษส่วนย่อยแล้วไม่หักล้างกันแบบกล้องส่องทางไกล ผลบวกอนันต์คือ π2/6\pi^2/6 (ปัญหาบาเซิล) ซึ่งต้องใช้วิธีอื่น เช่น อนุกรมฟูริเยร์ เครื่องมือผลบวกความแม่นยำสูงในหน้านี้ใช้สูตรออยเลอร์–แมคลอรินคำนวณได้ถูก 15 หลักจากเพียง 10 พจน์

ใช้ตรวจการบ้านได้ไหม และเชื่อถือได้แค่ไหน?

ได้ ส่วนที่เป็นเศษส่วนและกรณฑ์คำนวณแม่นตรงทุกหลัก และตรวจย้อนกลับโดยแทนค่าทุกครั้ง ส่วนที่เป็นค่าประมาณ (รากที่ไม่เป็นตรรกยะของพหุนามดีกรีสาม ผลบวกอนันต์ที่ไม่มีรูปปิด) จะบอกชัดว่าเป็นค่าประมาณ ทั้งนี้ข้อสอบยังต้องเขียนเหตุผลเอง เครื่องมือมีไว้ตรวจและฝึก

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์