มองโจทย์ก่อน: อะไรทำให้ข้อนี้ยาก
ตัวที่ขวางอยู่คือรากที่สอง x 2 + a 2 \sqrt{x^2+a^2} x 2 + a 2 u = x 2 + a 2 u = x^2+a^2 u = x 2 + a 2 d u = 2 x d x du = 2x\,dx d u = 2 x d x d x dx d x x x x
เป้าหมายจริงของการแทนค่าในข้อนี้คือ หาตัวแปรใหม่ u ที่ทำให้ทั้ง x x x x 2 + a 2 \sqrt{x^2+a^2} x 2 + a 2 เพราะเมื่อไม่มีรากที่สองเหลืออยู่ อินทิกรัลจะเป็นฟังก์ชันตรรกยะ ซึ่งอินทิเกรตได้เสมอด้วยสูตรพื้นฐานหรือเศษส่วนย่อย
การแทนค่าแบบออยเลอร์ (Euler's substitution) คือสูตรสำเร็จสำหรับรากที่สองของพหุนามกำลังสองทุกตัว ข้อนี้ใช้แบบที่ 1 คือ x 2 + a 2 = u − x \sqrt{x^2+a^2} = u - x x 2 + a 2 = u − x ทำไมต้องเป็น u − x u - x u − x ซึ่งอธิบายได้สามมุม
ที่มาของการกำหนด u − x = √(x²+a²)
มุมที่ 1 · พีชคณิต: เลือกเพื่อให้ x² หายไปเอง
สมมติว่ายังไม่รู้ว่าควรลบ x กี่เท่า ให้ลอง x 2 + a 2 = u − k x \sqrt{x^2+a^2} = u - kx x 2 + a 2 = u − k x
x 2 + a 2 = u 2 − 2 k u x + k 2 x 2 x^2 + a^2 = u^2 - 2kux + k^2x^2 x 2 + a 2 = u 2 − 2 k ux + k 2 x 2 ถ้า k 2 ≠ 1 k^2 \ne 1 k 2 = 1 x 2 x^2 x 2 k 2 = 1 k^2 = 1 k 2 = 1 k = 1 k = 1 k = 1 x 2 x^2 x 2
x 2 + a 2 = u 2 − 2 u x + x 2 ⟹ a 2 = u 2 − 2 u x \rc{x^2} + a^2 = u^2 - 2ux + \rc{x^2} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = u^2 - 2ux x 2 + a 2 = u 2 − 2 ux + x 2 ⟹ a 2 = u 2 − 2 ux เหลือ สมการเชิงเส้นของ x แก้ได้ทันที x = u 2 − a 2 2 u x = \dfrac{u^2-a^2}{2u} x = 2 u u 2 − a 2 x 2 x^2 x 2 1 1 1 1 ⋅ x = x \sqrt{1}\cdot x = x 1 ⋅ x = x p x 2 + q x + r px^2+qx+r p x 2 + q x + r p > 0 p > 0 p > 0 p x 2 + q x + r = u − p x \sqrt{px^2+qx+r} = u - \sqrt{p}\,x p x 2 + q x + r = u − p x
มุมที่ 2 · ผลต่างกำลังสอง: อีกครึ่งตามมาเอง
ให้ y = x 2 + a 2 y = \sqrt{x^2+a^2} y = x 2 + a 2 y 2 − x 2 = a 2 y^2 - x^2 = a^2 y 2 − x 2 = a 2
( y + x ) ( y − x ) = a 2 (y + x)(y - x) = a^2 ( y + x ) ( y − x ) = a 2 ถ้าตั้ง u = y + x \hlU{u = y + x} u = y + x u − x = x 2 + a 2 u - x = \sqrt{x^2+a^2} u − x = x 2 + a 2 y − x = a 2 u y - x = \dfrac{a^2}{u} y − x = u a 2
y = 1 2 ( u + a 2 u ) = u 2 + a 2 2 u , x = 1 2 ( u − a 2 u ) = u 2 − a 2 2 u y = \frac{1}{2}\left(u + \frac{a^2}{u}\right) = \frac{u^2+a^2}{2u}, \qquad x = \frac{1}{2}\left(u - \frac{a^2}{u}\right) = \frac{u^2-a^2}{2u} y = 2 1 ( u + u a 2 ) = 2 u u 2 + a 2 , x = 2 1 ( u − u a 2 ) = 2 u u 2 − a 2 ได้ผลเดียวกับมุมที่ 1 คือทั้ง x และรากที่สองเป็นเศษส่วนของ u ปริมาณ x 2 + a 2 + x \sqrt{x^2+a^2} + x x 2 + a 2 + x x 2 + a 2 − x \sqrt{x^2+a^2} - x x 2 + a 2 − x a 2 a^2 a 2
มุมที่ 3 · เรขาคณิต: เส้นขนานเส้นกำกับตัดไฮเพอร์โบลาจุดเดียว
x
y
เส้นกำกับ y = x
เส้นกำกับ y = −x
y = √(x²+a²)
u = 3
y = u − x
ขนาน y = −x
u
P(x, √(x²+a²))
a
ตัวอย่าง a = 2 a = 2 a = 2 y = u − x y = u - x y = u − x u = 5 u = 5 u = 5 P ( 2.1 , 2.9 ) P(2.1,\ 2.9) P ( 2.1 , 2.9 ) u = 3 u = 3 u = 3 ( 0.83 , 2.17 ) (0.83,\ 2.17) ( 0.83 , 2.17 )
กราฟของ y = x 2 + a 2 y = \sqrt{x^2+a^2} y = x 2 + a 2 y 2 − x 2 = a 2 y^2 - x^2 = a^2 y 2 − x 2 = a 2 y = ± x y = \pm x y = ± x u − x = x 2 + a 2 u - x = \sqrt{x^2+a^2} u − x = x 2 + a 2 y = u − x y = u - x y = u − x − 1 -1 − 1 ขนานกับเส้นกำกับ y = − x y = -x y = − x
เส้นตรงทั่วไปตัดไฮเพอร์โบลาได้ 2 จุด (สมการกำลังสองมี 2 ราก) แต่เส้นที่ขนานกับเส้นกำกับตัดได้ จุดเดียว เพราะสมการกำลังสองเสื่อมลงเหลือเชิงเส้น นี่คือภาพของ x 2 x^2 x 2 − ∞ -\infty − ∞ ∞ \infty ∞ 0 0 0 ∞ \infty ∞
สรุปที่มาในบรรทัดเดียว: เลือก
u − x = x 2 + a 2 u - x = \sqrt{x^2+a^2} u − x = x 2 + a 2 เพราะลบด้วย x หนึ่งเท่าพอดีทำให้
x 2 x^2 x 2 ตัดกันตอนยกกำลังสอง (พีชคณิต) ตัวสังยุคได้มาฟรีเป็น
a 2 / u a^2/u a 2 / u (ผลต่างกำลังสอง) และเส้นตรงนี้ขนานเส้นกำกับจึงตัดกราฟจุดเดียว (เรขาคณิต) ทั้งสามมุมคือเรื่องเดียวกัน
วิธีทำอย่างละเอียด
อ่านวิธีทำ
วิธีทำ · Euler's substitution แบบที่ 1 หา ∫ d x x 2 + a 2 \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} ∫ x 2 + a 2 d x a > 0 a > 0 a > 0
กำหนดตัวแปรใหม่ตามแนวคิดด้านบน สังเกตว่า u = x + x 2 + a 2 > 0 u = x + \sqrt{x^2+a^2} > 0 u = x + x 2 + a 2 > 0 x 2 + a 2 > ∣ x ∣ \sqrt{x^2+a^2} > |x| x 2 + a 2 > ∣ x ∣
u − x = x 2 + a 2 ⟺ u = x + x 2 + a 2 \hlU{u - x = \sqrt{x^2+a^2}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \hlU{u = x + \sqrt{x^2+a^2}} u − x = x 2 + a 2 ⟺ u = x + x 2 + a 2 ยกกำลังสองทั้งสองข้าง พจน์ x 2 x^2 x 2
( u − x ) 2 = x 2 + a 2 u 2 − 2 u x + x 2 = x 2 + a 2 2 u x = u 2 − a 2 x = u 2 − a 2 2 u \begin{aligned} (u - x)^2 &= x^2 + a^2 \\ u^2 - 2ux + \rc{x^2} &= \rc{x^2} + a^2 \\ 2ux &= u^2 - a^2 \\ \hlU{x} &\hlU{= \frac{u^2 - a^2}{2u}} \end{aligned} ( u − x ) 2 u 2 − 2 ux + x 2 2 ux x = x 2 + a 2 = x 2 + a 2 = u 2 − a 2 = 2 u u 2 − a 2 เขียนรากที่สองในรูป u โดยใช้ x 2 + a 2 = u − x \sqrt{x^2+a^2} = u - x x 2 + a 2 = u − x
x 2 + a 2 = u − u 2 − a 2 2 u = 2 u 2 − u 2 + a 2 2 u = u 2 + a 2 2 u \sqrt{x^2+a^2} = u - \frac{u^2 - a^2}{2u} = \frac{2u^2 - u^2 + a^2}{2u} = \hlU{\frac{u^2 + a^2}{2u}} x 2 + a 2 = u − 2 u u 2 − a 2 = 2 u 2 u 2 − u 2 + a 2 = 2 u u 2 + a 2 หา dx: แยก x เป็นสองพจน์ก่อนแล้วหาอนุพันธ์เทียบ u ทีละพจน์
x = u 2 − a 2 2 u d x d u = 1 2 + a 2 2 u 2 = u 2 + a 2 2 u 2 d x = u 2 + a 2 2 u 2 d u \begin{aligned} x &= \frac{u}{2} - \frac{a^2}{2u} \\ \frac{dx}{du} &= \frac{1}{2} + \frac{a^2}{2u^2} = \frac{u^2 + a^2}{2u^2} \\ \hlU{dx} &\hlU{= \frac{u^2 + a^2}{2u^2}\,du} \end{aligned} x d u d x d x = 2 u − 2 u a 2 = 2 1 + 2 u 2 a 2 = 2 u 2 u 2 + a 2 = 2 u 2 u 2 + a 2 d u แทนค่า dx และรากที่สองลงในอินทิกรัล หารเศษส่วนด้วยการคูณส่วนกลับ แล้วตัด ( u 2 + a 2 ) (u^2+a^2) ( u 2 + a 2 ) 2 u 2u 2 u
∫ d x x 2 + a 2 = ∫ u 2 + a 2 2 u 2 d u u 2 + a 2 2 u = ∫ u 2 + a 2 2 u 2 ⋅ 2 u u 2 + a 2 d u = ∫ 2 u 2 u 2 d u = ∫ d u u \begin{aligned} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} &= \int \frac{\hlU{\dfrac{u^2 + a^2}{2u^2}\,du}}{\hlU{\dfrac{u^2 + a^2}{2u}}} \\ &= \int \frac{\rc{u^2 + a^2}}{2u^2}\cdot\frac{2u}{\rc{u^2 + a^2}}\,du \\ &= \int \frac{2u}{2u^2}\,du = \int \frac{du}{u} \end{aligned} ∫ x 2 + a 2 d x = ∫ 2 u u 2 + a 2 2 u 2 u 2 + a 2 d u = ∫ 2 u 2 u 2 + a 2 ⋅ u 2 + a 2 2 u d u = ∫ 2 u 2 2 u d u = ∫ u d u อินทิเกรตด้วยสูตรส่วนกลับ F3 ∫du/u = ln|u|
∫ d u u = ln ∣ u ∣ + C \int \frac{du}{u} = \hlF{\ln|u|} + \hlC{C} ∫ u d u = ln ∣ u ∣ + C แทนกลับ u = x + x 2 + a 2 u = x + \sqrt{x^2+a^2} u = x + x 2 + a 2 u > 0 u > 0 u > 0
ln ∣ x + x 2 + a 2 ∣ + C = ln ( x + x 2 + a 2 ) + C \ln\left|x + \sqrt{x^2+a^2}\right| + C = \ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right) + \hlC{C} ln x + x 2 + a 2 + C = ln ( x + x 2 + a 2 ) + C
∫ d x x 2 + a 2 = ln ( x + x 2 + a 2 ) + C \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right) + C ∫ x 2 + a 2 d x = ln ( x + x 2 + a 2 ) + C S5 ในหน้าสูตรอินทิเกรต
ตรวจคำตอบ: d d x ln ( x + x 2 + a 2 ) = 1 x 2 + a 2 \dfrac{d}{dx}\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} d x d ln ( x + x 2 + a 2 ) = x 2 + a 2 1
ทำไมผลถึงเหลือ du/u สวยขนาดนี้: หาอนุพันธ์ของ u ตรง ๆ จะได้
d u d x = 1 + x x 2 + a 2 = x 2 + a 2 + x x 2 + a 2 = u x 2 + a 2 \dfrac{du}{dx} = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} = \dfrac{\sqrt{x^2+a^2} + x}{\sqrt{x^2+a^2}} = \dfrac{u}{\sqrt{x^2+a^2}} d x d u = 1 + x 2 + a 2 x = x 2 + a 2 x 2 + a 2 + x = x 2 + a 2 u จัดรูปได้
d x x 2 + a 2 = d u u \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \dfrac{du}{u} x 2 + a 2 d x = u d u ทันที แปลว่าตัวถูกอินทิเกรตคือ
u ′ / u u'/u u ′ / u อยู่แล้ว ตัวแปร u ที่ออยเลอร์เลือกคือฟังก์ชันที่
ln u \ln u ln u เป็นคำตอบพอดี
ตรวจคำตอบด้วยการหาอนุพันธ์
ให้ F ( x ) = ln ( x + x 2 + a 2 ) F(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right) F ( x ) = ln ( x + x 2 + a 2 ) ln g \ln g ln g g ′ / g g'/g g ′ / g x 2 + a 2 \sqrt{x^2+a^2} x 2 + a 2 x x 2 + a 2 \dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} x 2 + a 2 x
F ′ ( x ) = 1 x + x 2 + a 2 ⋅ ( 1 + x x 2 + a 2 ) = 1 x + x 2 + a 2 ⋅ x 2 + a 2 + x x 2 + a 2 = 1 x 2 + a 2 ✓ \begin{aligned} F'(x) &= \frac{1}{x + \sqrt{x^2+a^2}}\cdot\left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\right) \\ &= \frac{1}{\rc{x + \sqrt{x^2+a^2}}}\cdot\frac{\rc{\sqrt{x^2+a^2} + x}}{\sqrt{x^2+a^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \quad \checkmark \end{aligned} F ′ ( x ) = x + x 2 + a 2 1 ⋅ ( 1 + x 2 + a 2 x ) = x + x 2 + a 2 1 ⋅ x 2 + a 2 x 2 + a 2 + x = x 2 + a 2 1 ✓ ได้ตัวถูกอินทิเกรตกลับมาพอดี คำตอบจึงถูกต้องทุกค่า x
ตำราหลายเล่มเขียนคำตอบเป็นฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกผกผัน (inverse hyperbolic sine) โดยใช้นิยาม sinh − 1 z = ln ( z + z 2 + 1 ) \sinh^{-1} z = \ln\left(z + \sqrt{z^2+1}\right) sinh − 1 z = ln ( z + z 2 + 1 )
ln ( x + x 2 + a 2 ) = ln [ a ( x a + x 2 a 2 + 1 ) ] = sinh − 1 x a + ln a \ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right) = \ln\left[a\left(\frac{x}{a} + \sqrt{\frac{x^2}{a^2}+1}\right)\right] = \sinh^{-1}\frac{x}{a} + \ln a ln ( x + x 2 + a 2 ) = ln [ a ( a x + a 2 x 2 + 1 ) ] = sinh − 1 a x + ln a สองแบบต่างกันแค่ค่าคงที่ ln a \ln a ln a
รูปของคำตอบ ใช้เมื่อ
ln ( x + x 2 + a 2 ) + C \ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right) + C ln ( x + x 2 + a 2 ) + C ได้จากวิธีออยเลอร์โดยตรง แทนค่าขอบเขตง่าย sinh − 1 x a + C \sinh^{-1}\dfrac{x}{a} + C sinh − 1 a x + C ได้จากการแทนค่า x = a sinh t x = a\sinh t x = a sinh t ln ( x + x 2 + a 2 a ) + C \ln\left(\dfrac{x + \sqrt{x^2+a^2}}{a}\right) + C ln ( a x + x 2 + a 2 ) + C ไม่มีหน่วยใน ln เหมาะกับงานฟิสิกส์ที่ x และ a มีหน่วยเมตร
ตัวอย่างตัวเลข: อินทิกรัลจำกัดเขต
ตัวอย่างตัวเลข · a = 3 หา ∫ 0 4 d x x 2 + 9 \displaystyle\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}} ∫ 0 4 x 2 + 9 d x
ใช้การแทนค่าเดิม u = x + x 2 + 9 \hlU{u = x + \sqrt{x^2+9}} u = x + x 2 + 9
x = 0 ⇒ u = 0 + 9 = 3 x = 4 ⇒ u = 4 + 25 = 9 \begin{aligned} x = 0 &\;\Rightarrow\; u = 0 + \sqrt{9} = 3 \\ x = 4 &\;\Rightarrow\; u = 4 + \sqrt{25} = 9 \end{aligned} x = 0 x = 4 ⇒ u = 0 + 9 = 3 ⇒ u = 4 + 25 = 9 จากวิธีทำด้านบน d x x 2 + 9 = d u u \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+9}} = \dfrac{du}{u} x 2 + 9 d x = u d u
∫ 0 4 d x x 2 + 9 = ∫ 3 9 d u u = [ ln u ] 3 9 = ln 9 − ln 3 = ln 3 \int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}} = \int_3^9 \frac{du}{u} = \Big[\ln u\Big]_3^9 = \ln 9 - \ln 3 = \ln 3 ∫ 0 4 x 2 + 9 d x = ∫ 3 9 u d u = [ ln u ] 3 9 = ln 9 − ln 3 = ln 3
∫ 0 4 d x x 2 + 9 = ln 3 ≈ 1.0986 \displaystyle\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}} = \ln 3 \approx 1.0986 ∫ 0 4 x 2 + 9 d x = ln 3 ≈ 1.0986
ตรวจด้วยรูปอื่น: sinh − 1 4 3 − sinh − 1 0 = ln ( 4 3 + 5 3 ) = ln 3 \sinh^{-1}\frac{4}{3} - \sinh^{-1}0 = \ln\left(\frac{4}{3} + \frac{5}{3}\right) = \ln 3 sinh − 1 3 4 − sinh − 1 0 = ln ( 3 4 + 3 5 ) = ln 3
เทียบกับการแทนค่าตรีโกณและไฮเพอร์โบลิก
โจทย์เดียวกันทำได้อย่างน้อยสามวิธี ทุกวิธีได้คำตอบเดียวกัน แต่ระยะทางต่างกัน
วิธี แทนค่า อินทิกรัลที่ได้ ข้อสังเกต
ออยเลอร์ (Euler) u = x + x 2 + a 2 u = x + \sqrt{x^2+a^2} u = x + x 2 + a 2 ∫ d u u = ln u \int \frac{du}{u} = \ln u ∫ u d u = ln u ได้ฟังก์ชันตรรกยะเสมอ ใช้ได้กับรากของพหุนามกำลังสองทุกแบบ ตรีโกณ (trigonometric) x = a tan θ x = a\tan\theta x = a tan θ ∫ sec θ d θ \int \sec\theta\,d\theta ∫ sec θ d θ ต้องรู้ว่า ∫ sec θ d θ = ln ∣ sec θ + tan θ ∣ \int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| ∫ sec θ d θ = ln ∣ sec θ + tan θ ∣ ไฮเพอร์โบลิก (hyperbolic) x = a sinh t x = a\sinh t x = a sinh t ∫ d t = t \int dt = t ∫ d t = t สั้นที่สุด แต่ต้องคุ้นกับ sinh, cosh และ cosh 2 t − sinh 2 t = 1 \cosh^2 t - \sinh^2 t = 1 cosh 2 t − sinh 2 t = 1
ที่น่าสนใจคือทั้งสามวิธีใช้ “u ตัวเดียวกัน” แต่สวมชุดต่างกัน เมื่อ x = a tan θ x = a\tan\theta x = a tan θ sec θ + tan θ = x 2 + a 2 + x a = u a \sec\theta + \tan\theta = \dfrac{\sqrt{x^2+a^2} + x}{a} = \dfrac{u}{a} sec θ + tan θ = a x 2 + a 2 + x = a u x = a sinh t x = a\sinh t x = a sinh t e t = x + x 2 + a 2 a = u a e^t = \dfrac{x + \sqrt{x^2+a^2}}{a} = \dfrac{u}{a} e t = a x + x 2 + a 2 = a u sec θ + tan θ \sec\theta + \tan\theta sec θ + tan θ ∫ sec θ d θ \int\sec\theta\,d\theta ∫ sec θ d θ
อินทิกรัลนี้โผล่ที่ไหนในงานวิศวกรรมไฟฟ้า
ตัวอย่างที่เจอบ่อยคือ ศักย์ไฟฟ้าของแท่งประจุ (finite line charge) แท่งยาว L มีประจุสม่ำเสมอ λ (C/m) หาศักย์ที่จุด P ห่างจากกึ่งกลางแท่งตามแนวตั้งฉากเป็นระยะ d ประจุชิ้นเล็ก λ d x \lambda\,dx λ d x x 2 + d 2 \sqrt{x^2+d^2} x 2 + d 2
V = λ 4 π ε 0 ∫ − L / 2 L / 2 d x x 2 + d 2 = λ 4 π ε 0 ln L 2 / 4 + d 2 + L / 2 L 2 / 4 + d 2 − L / 2 V = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-L/2}^{L/2} \frac{dx}{\sqrt{x^2+d^2}} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{\sqrt{L^2/4 + d^2} + L/2}{\sqrt{L^2/4 + d^2} - L/2} V = 4 π ε 0 λ ∫ − L /2 L /2 x 2 + d 2 d x = 4 π ε 0 λ ln L 2 /4 + d 2 − L /2 L 2 /4 + d 2 + L /2 ตัวเลข: λ = 1 nC/m \lambda = 1\ \text{nC/m} λ = 1 nC/m L = 0.6 m L = 0.6\ \text{m} L = 0.6 m d = 0.4 m d = 0.4\ \text{m} d = 0.4 m 0.09 + 0.16 = 0.5 \sqrt{0.09 + 0.16} = 0.5 0.09 + 0.16 = 0.5 0.5 + 0.3 0.5 − 0.3 = 4 \dfrac{0.5 + 0.3}{0.5 - 0.3} = 4 0.5 − 0.3 0.5 + 0.3 = 4 1 4 π ε 0 ≈ 8.99 × 10 9 \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99\times10^9 4 π ε 0 1 ≈ 8.99 × 1 0 9 V ≈ 8.99 × 10 9 × 10 − 9 × ln 4 ≈ 12.5 V V \approx 8.99\times10^9 \times 10^{-9} \times \ln 4 \approx 12.5\ \text{V} V ≈ 8.99 × 1 0 9 × 1 0 − 9 × ln 4 ≈ 12.5 V แล็บสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กเสมือน
การแทนค่าของออยเลอร์ทั้ง 3 แบบ
สำหรับอินทิกรัลที่มี p x 2 + q x + r \sqrt{px^2+qx+r} p x 2 + q x + r
แบบ ใช้เมื่อ กำหนด ยกกำลังสองแล้วอะไรหายไป
1 p > 0 p > 0 p > 0 p x 2 + q x + r = u − p x \sqrt{px^2+qx+r} = u - \sqrt{p}\,x p x 2 + q x + r = u − p x p x 2 px^2 p x 2 p = 1 , q = 0 , r = a 2 p = 1,\ q = 0,\ r = a^2 p = 1 , q = 0 , r = a 2 2 r > 0 r > 0 r > 0 p x 2 + q x + r = x u + r \sqrt{px^2+qx+r} = xu + \sqrt{r} p x 2 + q x + r = xu + r r r r 3 มีรากจริง α, β p ( x − α ) ( x − β ) = ( x − α ) u \sqrt{p(x-\alpha)(x-\beta)} = (x-\alpha)u p ( x − α ) ( x − β ) = ( x − α ) u ตัดตัวประกอบ ( x − α ) (x-\alpha) ( x − α )
ข้อนี้มี r = a 2 > 0 r = a^2 > 0 r = a 2 > 0 x 2 + 2 x + 5 \sqrt{x^2+2x+5} x 2 + 2 x + 5 ( x + 1 ) 2 + 4 \sqrt{(x+1)^2+4} ( x + 1 ) 2 + 4
จุดที่มักพลาด
แทน x แล้วไม่แปลง dx ต้องหา d x = u 2 + a 2 2 u 2 d u dx = \dfrac{u^2+a^2}{2u^2}\,du d x = 2 u 2 u 2 + a 2 d u d x dx d x ใช้ u = x 2 + a 2 u = x^2 + a^2 u = x 2 + a 2 ใช้ไม่ได้ เพราะตัวเศษไม่มี x d x x\,dx x d x ลืมเปลี่ยนขอบเขต ในอินทิกรัลจำกัดเขต ถ้าอินทิเกรตในตัวแปร u ขอบเขตต้องเป็นค่า u (3 ถึง 9) ไม่ใช่ค่า x (0 ถึง 4)คิดว่า ln(x+√(x²+a²)) กับ sinh⁻¹(x/a) เป็นคนละคำตอบ ต่างกันแค่ค่าคงที่ ln a \ln a ln a เอาค่าสัมบูรณ์ออกในกรณี x 2 − a 2 \sqrt{x^2-a^2} x 2 − a 2 สูตรคล้ายกันคือ ln ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C \ln\left|x + \sqrt{x^2-a^2}\right| + C ln x + x 2 − a 2 + C x ≤ − a x \le -a x ≤ − a
ทบทวนสูตรที่เกี่ยวข้องได้ที่สูตรอินทิกรัลที่มีรากที่สองของ x² ± a² , สูตร ∫dx/x = ln|x| และบทเรียนอินทิกรัลฉบับเต็ม
คำถามที่พบบ่อย ∫dx/√(x²+a²) เท่ากับเท่าไร? เท่ากับ ln ( x + x 2 + a 2 ) + C \ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) + C ln ( x + x 2 + a 2 ) + C sinh − 1 ( x / a ) + C \sinh^{-1}(x/a) + C sinh − 1 ( x / a ) + C ln a \ln a ln a
ทำไมต้องกำหนด u − x = √(x²+a²)? เพราะเมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้าง พจน์ x 2 x^2 x 2 ∫ d u / u \int du/u ∫ d u / u
ทำไมคำตอบไม่ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ใน ln? เพราะ x 2 + a 2 > ∣ x ∣ ≥ − x \sqrt{x^2+a^2} > |x| \ge -x x 2 + a 2 > ∣ x ∣ ≥ − x x + x 2 + a 2 > 0 x+\sqrt{x^2+a^2} > 0 x + x 2 + a 2 > 0 x 2 − a 2 \sqrt{x^2-a^2} x 2 − a 2 x ≤ − a x \le -a x ≤ − a
Euler's substitution ต่างจากการแทนค่าตรีโกณ x = a tan θ อย่างไร? การแทนค่าตรีโกณได้ ∫ sec θ d θ \int\sec\theta\,d\theta ∫ sec θ d θ sec θ + tan θ \sec\theta+\tan\theta sec θ + tan θ sec θ + tan θ \sec\theta+\tan\theta sec θ + tan θ u / a u/a u / a
อยากเข้าใจพื้นฐานของโจทย์นี้
อ่านบทเรียนอินทิเกรต (Integration) ในคลังความรู้ มีสูตร ที่มา และตัวอย่างอีกหลายข้อ หรือดูเฉลยโจทย์ทั้งหมด