---
title: "ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ Minor cofactor"
url: https://modsengineeringmath.com/videos/minor-cofactor/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-11-03
---

> คลิปสอนการหาไมเนอร์ (minor) และโคแฟกเตอร์ (cofactor) ของเมทริกซ์ภาษาไทย: ตัดแถวและหลักหาดีเทอร์มิแนนต์ที่เหลือ คูณเครื่องหมาย (−1)^(i+j) แล้วใช้กระจายหาดีเทอร์มิแนนต์ พร้อมตัวอย่าง 3×3

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/videos/minor-cofactor/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ Minor cofactor

Mod's Engineering Mathematicsอาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
ติดตามดูบน YouTube ↗

เผยแพร่ 22 ก.ย. 2565 · ภาษาไทย

คลิปสอนการหาไมเนอร์ (minor) และโคแฟกเตอร์ (cofactor) ของเมทริกซ์ ภาษาไทย ต้องหาไมเนอร์ก่อน โดยตัดแถวและหลักของสมาชิกตัวนั้นออก แล้วหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่เหลือ จากนั้นคูณด้วยเครื่องหมาย (−1)^(i+j) จึงได้โคแฟกเตอร์ ไมเนอร์และโคแฟกเตอร์นำไปใช้หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติสูงด้วยการกระจายโคแฟกเตอร์ และใช้หาแอดจอยต์เพื่อหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ สอนโดยอาจารย์มด (ธีรวุฒิ แสวงบุญ) ช่อง Mod's Engineering Mathematics

## สรุปสูตรอ่านประกอบคลิป

ไมเนอร์ $M_{ij}$ คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่เหลือหลังตัดแถว $i$ และหลัก $j$ ของ $A$ ออก แล้วโคแฟกเตอร์คือไมเนอร์ที่เติมเครื่องหมาย

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$

เครื่องหมายของโคแฟกเตอร์ 3×3

$$\begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}$$

### ตัวอย่างฝึกเพิ่ม 3×3: หาโคแฟกเตอร์แถวแรก แล้วกระจายหาดีเทอร์มิแนนต์

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{bmatrix}$$

$$M_{11} = \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} = 24, \quad C_{11} = +24$$

$$M_{12} = \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} = -5, \quad C_{12} = -(-5) = 5$$

$$M_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -4, \quad C_{13} = -4$$

$$\begin{aligned} \det A &= a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} \\ &= 1(24) + 2(5) + 3(-4) = 22 \end{aligned}$$

## เรียนต่อจากคลิปนี้

- บทเรียน 7 · สูตร D3 D4ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ และการกระจายลาปลาซในบทดีเทอร์มิแนนต์

- วิดีโอนำโคแฟกเตอร์ไปหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ด้วยแอดจอยต์

- บทความวิธีหา Determinant และ Inverse Matrix (2×2 และ 3×3) พร้อมตัวอย่าง

- วิดีโอใช้ดีเทอร์มิแนนต์แก้ระบบสมการด้วยกฎของคราเมอร์

## คำถามที่พบบ่อย

ไมเนอร์กับโคแฟกเตอร์ต่างกันอย่างไร?
ไมเนอร์ Mᵢⱼ คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่เหลือหลังตัดแถว i และหลัก j ส่วนโคแฟกเตอร์คือไมเนอร์ที่คูณเครื่องหมายแล้ว Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ·Mᵢⱼ จึงมีค่าเท่ากันหรือต่างกันแค่เครื่องหมาย

จำเครื่องหมายของโคแฟกเตอร์อย่างไร?
ใช้ลายกระดานหมากรุกเริ่มจาก + ที่มุมซ้ายบน แล้วสลับ + − ไปทั้งแนวนอนและแนวตั้ง ตำแหน่งที่ i + j เป็นเลขคู่ได้ + และเลขคี่ได้ −

โคแฟกเตอร์ใช้ทำอะไร?
ใช้กระจายหาดีเทอร์มิแนนต์ (cofactor หรือ Laplace expansion) ของเมทริกซ์ 3×3 ขึ้นไป และใช้สร้างแอดจอยต์ adj(A) = Cᵀ เพื่อหาอินเวอร์ส A⁻¹ = adj(A)/det(A)

## วิดีโออื่นที่น่าดู

กฎของคราเมอร์ Cramer's rule เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ การแก้ระบบสมการเชิงเส้น การหาดีเทอร์มิแนนท์Mod's Engineering Mathematicsเผยแพร่ 9 ส.ค. 2563 · เมทริกซ์ · ดีเทอร์มิแนนต์

อินเวอร์สของเมทริกซ์ Inverse of a matrixMod's Engineering Mathematicsเผยแพร่ 2 ม.ค. 2565 · เมทริกซ์ · อินเวอร์ส

Dc to dc converter Buck converter วงจรบั๊กคอนเวอร์เตอร์ การคำนวณหาค่าดิวตี้ไซเคิ้ล duty cycleMod's Engineering Mathematicsเผยแพร่ 30 ส.ค. 2566 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

ดูวิดีโอทั้งหมด 4 คลิป →

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ไมเนอร์กับโคแฟกเตอร์ต่างกันอย่างไร?**
ไมเนอร์ Mᵢⱼ คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่เหลือหลังตัดแถว i และหลัก j ส่วนโคแฟกเตอร์คือไมเนอร์ที่คูณเครื่องหมายแล้ว Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ·Mᵢⱼ จึงมีค่าเท่ากันหรือต่างกันแค่เครื่องหมาย

**จำเครื่องหมายของโคแฟกเตอร์อย่างไร?**
ใช้ลายกระดานหมากรุกเริ่มจาก + ที่มุมซ้ายบน แล้วสลับ + − ไปทั้งแนวนอนและแนวตั้ง ตำแหน่งที่ i + j เป็นเลขคู่ได้ + และเลขคี่ได้ −

**โคแฟกเตอร์ใช้ทำอะไร?**
ใช้กระจายหาดีเทอร์มิแนนต์ (cofactor หรือ Laplace expansion) ของเมทริกซ์ 3×3 ขึ้นไป และใช้สร้างแอดจอยต์ adj(A) = Cᵀ เพื่อหาอินเวอร์ส A⁻¹ = adj(A)/det(A)