---
title: "กฎของคราเมอร์ Cramer's rule เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ การแก้ระบบสมการเชิงเส้น การหาดีเทอร์มิแนนท์"
url: https://modsengineeringmath.com/videos/cramers-rule/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-11-03
---

> คลิปสอนกฎของคราเมอร์ (Cramer's rule) ภาษาไทย: หาดีเทอร์มิแนนต์หลัก Δ แทนคอลัมน์เพื่อหา Δx Δy แล้วได้ x = Δx/Δ เงื่อนไข Δ ≠ 0 และการใช้ในวงจรไฟฟ้า พร้อมสรุปสูตรและตัวอย่าง

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/videos/cramers-rule/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# กฎของคราเมอร์ Cramer's rule เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ การแก้ระบบสมการเชิงเส้น การหาดีเทอร์มิแนนท์

Mod's Engineering Mathematicsอาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
ติดตามดูบน YouTube ↗

เผยแพร่ 9 ส.ค. 2563 · ภาษาไทย

คลิปสอนการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยกฎของคราเมอร์ (Cramer's rule) ภาษาไทย: หาดีเทอร์มิแนนต์หลัก Δ (เดลตา) ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ แทนคอลัมน์ของตัวแปรด้วยค่าคงที่ทางขวาเพื่อหา Δx Δy Δz แล้วได้ x = Δx/Δ, y = Δy/Δ, z = Δz/Δ โดยมีเงื่อนไขสำคัญว่า Δ ต้องไม่เท่ากับศูนย์ วิธีนี้ใช้จริงในการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า ฟิสิกส์ และกลศาสตร์วิศวกรรม ทำไว้ทบทวนสำหรับนักศึกษาวิศวกรรมไฟฟ้าชั้นปีที่ 2 สอนโดยอาจารย์มด (ธีรวุฒิ แสวงบุญ) ช่อง Mod's Engineering Mathematics

## สรุปสูตรอ่านประกอบคลิป

สำหรับระบบ $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ที่มีจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปร ให้ $\Delta = \det A$ และ $\Delta_i$ คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการแทนคอลัมน์ที่ $i$ ของ $A$ ด้วย $\mathbf{b}$

$$x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}, \qquad \Delta \neq 0$$

ขั้นตอน 4 ข้อ

- เขียนเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ แล้วหาดีเทอร์มิแนนต์หลัก $\Delta$

- ตรวจว่า $\Delta \neq 0$ ถ้าเป็นศูนย์ ระบบไม่มีคำตอบเดียว หยุดใช้วิธีนี้

- แทนคอลัมน์ของ $x$ ด้วยค่าคงที่ทางขวา หา $\Delta x$ แล้วทำซ้ำกับ $\Delta y$, $\Delta z$

- หาร: $x = \Delta x/\Delta$, $y = \Delta y/\Delta$, $z = \Delta z/\Delta$ แล้วแทนกลับเพื่อตรวจคำตอบ

### ตัวอย่างฝึกเพิ่ม 2×2

แก้ระบบ $2x + 3y = 8$ และ $x - y = -1$

$$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (3)(1) = -5$$

$$\Delta x = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -5, \qquad \Delta y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -10$$

$$x = \frac{-5}{-5} = 1, \qquad y = \frac{-10}{-5} = 2$$

ตรวจ: $2(1) + 3(2) = 8$ และ $1 - 2 = -1$ ถูกต้องทั้งสองสมการ

## เรียนต่อจากคลิปนี้

- บทเรียน 7 · สูตร C1–C10กฎของคราเมอร์ฉบับเต็ม: 3×3, กรณี Δ = 0 และโจทย์วงจรเมช AC

- บทเรียน 7 · สูตร D1–D4วิธีหาดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 3×3 ซาร์รัส และการกระจายโคแฟกเตอร์

- บทความกฎของคราเมอร์ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้

- บทเรียน 7ระบบสมการเชิงเส้นและการกำจัดแบบเกาส์

## คำถามที่พบบ่อย

กฎของคราเมอร์ใช้ได้เมื่อไร?
ใช้ได้เมื่อจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปร (เมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์จัตุรัส) และดีเทอร์มิแนนต์หลัก Δ ≠ 0 ถ้า Δ = 0 ระบบไม่มีคำตอบเดียว อาจไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบมากมายไม่จำกัด ต้องใช้วิธีกำจัดตัวแปรแทน

Δx หาอย่างไร?
นำเมทริกซ์สัมประสิทธิ์มา แล้วแทนคอลัมน์ของ x ด้วยคอลัมน์ค่าคงที่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ จากนั้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใหม่นี้ ทำแบบเดียวกันกับ Δy และ Δz โดยแทนคอลัมน์ของตัวแปรนั้น

วิศวกรไฟฟ้าใช้กฎของคราเมอร์ทำอะไร?
ใช้แก้สมการกระแสเมช (mesh analysis) และแรงดันโนด (nodal analysis) ของวงจร ทั้งวงจร DC และวงจร AC ที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน และใช้หาฟังก์ชันถ่ายโอนในโดเมน s ซึ่งต้องการผลลัพธ์เป็นสูตร

## วิดีโออื่นที่น่าดู

อินเวอร์สของเมทริกซ์ Inverse of a matrixMod's Engineering Mathematicsเผยแพร่ 2 ม.ค. 2565 · เมทริกซ์ · อินเวอร์ส

ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ Minor cofactorMod's Engineering Mathematicsเผยแพร่ 22 ก.ย. 2565 · เมทริกซ์ · ดีเทอร์มิแนนต์

Dc to dc converter Buck converter วงจรบั๊กคอนเวอร์เตอร์ การคำนวณหาค่าดิวตี้ไซเคิ้ล duty cycleMod's Engineering Mathematicsเผยแพร่ 30 ส.ค. 2566 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

ดูวิดีโอทั้งหมด 4 คลิป →

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**กฎของคราเมอร์ใช้ได้เมื่อไร?**
ใช้ได้เมื่อจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปร (เมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์จัตุรัส) และดีเทอร์มิแนนต์หลัก Δ ≠ 0 ถ้า Δ = 0 ระบบไม่มีคำตอบเดียว อาจไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบมากมายไม่จำกัด ต้องใช้วิธีกำจัดตัวแปรแทน

**Δx หาอย่างไร?**
นำเมทริกซ์สัมประสิทธิ์มา แล้วแทนคอลัมน์ของ x ด้วยคอลัมน์ค่าคงที่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ จากนั้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใหม่นี้ ทำแบบเดียวกันกับ Δy และ Δz โดยแทนคอลัมน์ของตัวแปรนั้น

**วิศวกรไฟฟ้าใช้กฎของคราเมอร์ทำอะไร?**
ใช้แก้สมการกระแสเมช (mesh analysis) และแรงดันโนด (nodal analysis) ของวงจร ทั้งวงจร DC และวงจร AC ที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน และใช้หาฟังก์ชันถ่ายโอนในโดเมน s ซึ่งต้องการผลลัพธ์เป็นสูตร