--- title: "เฉลยอินทิเกรต ∫dx/√(x²+a²) ด้วยการแทนค่าแบบออยเลอร์ (Euler's substitution)" url: https://modsengineeringmath.com/solutions/integral-euler-substitution-sqrt-x2-a2/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-24 --- > เฉลยละเอียดทีละขั้น ∫dx/√(x²+a²) ด้วยการแทนค่าแบบออยเลอร์ (Euler's substitution) อธิบายที่มาของ u − x = √(x²+a²) ทำไม x² หายไป ได้ ln(x+√(x²+a²)) + C พร้อมตรวจคำตอบและตัวอย่างตัวเลข ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/solutions/integral-euler-substitution-sqrt-x2-a2/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # เฉลยอินทิเกรต ∫dx/√(x²+a²) ด้วยการแทนค่าแบบออยเลอร์ (Euler's substitution) // เฉลยโจทย์อินทิเกรต #001 · Euler's substitution โจทย์ · อินทิเกรต #001 จงหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขตต่อไปนี้ เมื่อ $a > 0$ เป็นค่าคงที่ โดยใช้การแทนค่าแบบออยเลอร์ (Euler's substitution) $u - x = \sqrt{x^2+a^2}$ และอธิบายว่าทำไมต้องกำหนดแบบนี้ $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$$ แตะเพื่อดูคำตอบสุดท้าย (ลองคิดเองก่อนนะ) $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) + C$$ ระดับ ●●○ ปานกลางเทคนิค: Euler's substitutionเฉลยโดย อาจารย์มดอัปเดต 24 ต.ค. 2569 ไปที่วิธีทำ ↓ แชร์ให้เพื่อน LINE Facebook X ## มองโจทย์ก่อน: อะไรทำให้ข้อนี้ยาก ตัวที่ขวางอยู่คือรากที่สอง $\sqrt{x^2+a^2}$ ลองการเปลี่ยนตัวแปรแบบปกติ (u-substitution) ก่อน ถ้าให้ $u = x^2+a^2$ จะได้ $du = 2x\,dx$ แต่ตัวเศษมีแค่ $dx$ ไม่มี $x$ มาจับคู่ วิธีนี้จึงใช้ไม่ได้ เป้าหมายจริงของการแทนค่าในข้อนี้คือ หาตัวแปรใหม่ u ที่ทำให้ทั้ง $x$ และ $\sqrt{x^2+a^2}$ กลายเป็นเศษส่วนของพหุนามใน u (rational function) เพราะเมื่อไม่มีรากที่สองเหลืออยู่ อินทิกรัลจะเป็นฟังก์ชันตรรกยะ ซึ่งอินทิเกรตได้เสมอด้วยสูตรพื้นฐานหรือเศษส่วนย่อย การแทนค่าแบบออยเลอร์ (Euler's substitution) คือสูตรสำเร็จสำหรับรากที่สองของพหุนามกำลังสองทุกตัว ข้อนี้ใช้แบบที่ 1 คือ $\sqrt{x^2+a^2} = u - x$ คำถามที่สำคัญกว่าวิธีทำคือ ทำไมต้องเป็น $u - x$ ซึ่งอธิบายได้สามมุม ## ที่มาของการกำหนด u − x = √(x²+a²) ### มุมที่ 1 · พีชคณิต: เลือกเพื่อให้ x² หายไปเอง สมมติว่ายังไม่รู้ว่าควรลบ x กี่เท่า ให้ลอง $\sqrt{x^2+a^2} = u - kx$ แล้วยกกำลังสองทั้งสองข้าง $$x^2 + a^2 = u^2 - 2kux + k^2x^2$$ ถ้า $k^2 \ne 1$ ทั้งสองฝั่งยังมี $x^2$ ต้องแก้สมการกำลังสอง ได้ x ที่มีรากที่สองซ้อนอยู่อีก ไม่ได้อะไรขึ้นมา แต่ถ้าเลือก $k^2 = 1$ คือ $k = 1$ พจน์ $x^2$ ตัดกันพอดี $$\cancel{x^2} + a^2 = u^2 - 2ux + \cancel{x^2} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = u^2 - 2ux$$ เหลือ สมการเชิงเส้นของ x แก้ได้ทันที $x = \dfrac{u^2-a^2}{2u}$ ไม่มีรากที่สองเลย นี่คือหัวใจของวิธี: สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ใต้รากคือ $1$ เราจึงลบ $\sqrt{1}\cdot x = x$ ออก ถ้าใต้รากเป็น $px^2+qx+r$ ที่ $p > 0$ ก็กำหนด $\sqrt{px^2+qx+r} = u - \sqrt{p}\,x$ ด้วยเหตุผลเดียวกัน ### มุมที่ 2 · ผลต่างกำลังสอง: อีกครึ่งตามมาเอง ให้ $y = \sqrt{x^2+a^2}$ จะได้ $y^2 - x^2 = a^2$ แยกตัวประกอบแบบผลต่างกำลังสอง (difference of squares) $$(y + x)(y - x) = a^2$$ ถ้าตั้ง ${u = y + x}$ ซึ่งก็คือ $u - x = \sqrt{x^2+a^2}$ อีกตัวประกอบหนึ่งได้มาฟรี $y - x = \dfrac{a^2}{u}$ ตอนนี้มีสมการเชิงเส้นสองสมการ บวกและลบกันได้ $$y = \frac{1}{2}\left(u + \frac{a^2}{u}\right) = \frac{u^2+a^2}{2u}, \qquad x = \frac{1}{2}\left(u - \frac{a^2}{u}\right) = \frac{u^2-a^2}{2u}$$ ได้ผลเดียวกับมุมที่ 1 คือทั้ง x และรากที่สองเป็นเศษส่วนของ u ปริมาณ $\sqrt{x^2+a^2} + x$ กับ $\sqrt{x^2+a^2} - x$ เป็นคู่สังยุค (conjugate) ที่คูณกันได้ค่าคงที่ $a^2$ การเลือก u เป็นตัวหนึ่ง จึงล็อกอีกตัวไว้ด้วย ### มุมที่ 3 · เรขาคณิต: เส้นขนานเส้นกำกับตัดไฮเพอร์โบลาจุดเดียว ตัวอย่าง $a = 2$: เส้นตรง $y = u - x$ ที่ $u = 5$ ตัดกราฟที่ $P(2.1,\ 2.9)$ จุดเดียว ส่วนที่ $u = 3$ ตัดที่ $(0.83,\ 2.17)$ จุดเดียวเช่นกัน แต่ละค่า u จึงบอกตำแหน่งบนกราฟได้หนึ่งจุดพอดี กราฟของ $y = \sqrt{x^2+a^2}$ คือกิ่งบนของไฮเพอร์โบลา (hyperbola) $y^2 - x^2 = a^2$ ซึ่งมีเส้นกำกับ (asymptote) $y = \pm x$ สมการ $u - x = \sqrt{x^2+a^2}$ ก็คือเส้นตรง $y = u - x$ ความชัน $-1$ ตัดแกน y ที่ u ขนานกับเส้นกำกับ $y = -x$ เส้นตรงทั่วไปตัดไฮเพอร์โบลาได้ 2 จุด (สมการกำลังสองมี 2 ราก) แต่เส้นที่ขนานกับเส้นกำกับตัดได้ จุดเดียว เพราะสมการกำลังสองเสื่อมลงเหลือเชิงเส้น นี่คือภาพของ $x^2$ ที่หายไปในมุมที่ 1 ผลคือ ค่า u แต่ละค่าจับคู่กับจุด P บนกราฟได้หนึ่งต่อหนึ่ง เมื่อ x วิ่งจาก $-\infty$ ถึง $\infty$ ค่า u เพิ่มขึ้นจาก $0$ ถึง $\infty$ ตลอด u จึงใช้แทน x ได้โดยไม่มีจุดซ้ำหรือจุดขาด สรุปที่มาในบรรทัดเดียว: เลือก $u - x = \sqrt{x^2+a^2}$ เพราะลบด้วย x หนึ่งเท่าพอดีทำให้ $x^2$ ตัดกันตอนยกกำลังสอง (พีชคณิต) ตัวสังยุคได้มาฟรีเป็น $a^2/u$ (ผลต่างกำลังสอง) และเส้นตรงนี้ขนานเส้นกำกับจึงตัดกราฟจุดเดียว (เรขาคณิต) ทั้งสามมุมคือเรื่องเดียวกัน ## วิธีทำอย่างละเอียด วิธีทำ · Euler's substitution แบบที่ 1 ### หา $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$ เมื่อ $a > 0$ - กำหนดตัวแปรใหม่ตามแนวคิดด้านบน สังเกตว่า $u = x + \sqrt{x^2+a^2} > 0$ เสมอ เพราะ $\sqrt{x^2+a^2} > |x|$ $${u - x = \sqrt{x^2+a^2}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad {u = x + \sqrt{x^2+a^2}}$$ - ยกกำลังสองทั้งสองข้าง พจน์ $x^2$ ตัดกัน แล้วแก้หา x $$\begin{aligned} (u - x)^2 &= x^2 + a^2 \\ u^2 - 2ux + \cancel{x^2} &= \cancel{x^2} + a^2 \\ 2ux &= u^2 - a^2 \\ {x} &{= \frac{u^2 - a^2}{2u}} \end{aligned}$$ - เขียนรากที่สองในรูป u โดยใช้ $\sqrt{x^2+a^2} = u - x$ (ไม่ต้องถอดรากอีกเลย) $$\sqrt{x^2+a^2} = u - \frac{u^2 - a^2}{2u} = \frac{2u^2 - u^2 + a^2}{2u} = {\frac{u^2 + a^2}{2u}}$$ - หา dx: แยก x เป็นสองพจน์ก่อนแล้วหาอนุพันธ์เทียบ u ทีละพจน์ $$\begin{aligned} x &= \frac{u}{2} - \frac{a^2}{2u} \\ \frac{dx}{du} &= \frac{1}{2} + \frac{a^2}{2u^2} = \frac{u^2 + a^2}{2u^2} \\ {dx} &{= \frac{u^2 + a^2}{2u^2}\,du} \end{aligned}$$ - แทนค่า dx และรากที่สองลงในอินทิกรัล หารเศษส่วนด้วยการคูณส่วนกลับ แล้วตัด $(u^2+a^2)$ กับ $2u$ $$\begin{aligned} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} &= \int \frac{{\dfrac{u^2 + a^2}{2u^2}\,du}}{{\dfrac{u^2 + a^2}{2u}}} \\ &= \int \frac{\cancel{u^2 + a^2}}{2u^2}\cdot\frac{2u}{\cancel{u^2 + a^2}}\,du \\ &= \int \frac{2u}{2u^2}\,du = \int \frac{du}{u} \end{aligned}$$ - อินทิเกรตด้วยสูตรส่วนกลับ F3 ∫du/u = ln|u| $$\int \frac{du}{u} = {\ln|u|} + {C}$$ - แทนกลับ $u = x + \sqrt{x^2+a^2}$ และเพราะ $u > 0$ ทุกค่า x จึงเอาค่าสัมบูรณ์ออกได้ $$\ln\left|x + \sqrt{x^2+a^2}\right| + C = \ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right) + {C}$$ $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right) + C$ ตรงกับสูตร S5 ในหน้าสูตรอินทิเกรต ตรวจคำตอบ: $\dfrac{d}{dx}\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$ ✓ (ทำละเอียดในหัวข้อถัดไป) ทำไมผลถึงเหลือ du/u สวยขนาดนี้: หาอนุพันธ์ของ u ตรง ๆ จะได้ $\dfrac{du}{dx} = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} = \dfrac{\sqrt{x^2+a^2} + x}{\sqrt{x^2+a^2}} = \dfrac{u}{\sqrt{x^2+a^2}}$ จัดรูปได้ $\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \dfrac{du}{u}$ ทันที แปลว่าตัวถูกอินทิเกรตคือ $u'/u$ อยู่แล้ว ตัวแปร u ที่ออยเลอร์เลือกคือฟังก์ชันที่ $\ln u$ เป็นคำตอบพอดี ## ตรวจคำตอบด้วยการหาอนุพันธ์ ให้ $F(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right)$ ใช้กฎลูกโซ่ (chain rule) สองชั้น: อนุพันธ์ของ $\ln g$ คือ $g'/g$ และอนุพันธ์ของ $\sqrt{x^2+a^2}$ คือ $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$ $$\begin{aligned} F'(x) &= \frac{1}{x + \sqrt{x^2+a^2}}\cdot\left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\right) \\ &= \frac{1}{\cancel{x + \sqrt{x^2+a^2}}}\cdot\frac{\cancel{\sqrt{x^2+a^2} + x}}{\sqrt{x^2+a^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \quad \checkmark \end{aligned}$$ ได้ตัวถูกอินทิเกรตกลับมาพอดี คำตอบจึงถูกต้องทุกค่า x ## คำตอบรูปอื่นที่ถูกเหมือนกัน: sinh⁻¹(x/a) ตำราหลายเล่มเขียนคำตอบเป็นฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกผกผัน (inverse hyperbolic sine) โดยใช้นิยาม $\sinh^{-1} z = \ln\left(z + \sqrt{z^2+1}\right)$ ดึง a ออกจากรากได้ $$\ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right) = \ln\left[a\left(\frac{x}{a} + \sqrt{\frac{x^2}{a^2}+1}\right)\right] = \sinh^{-1}\frac{x}{a} + \ln a$$ สองแบบต่างกันแค่ค่าคงที่ $\ln a$ ซึ่งรวมเข้าไปใน C ได้ จึงถูกทั้งคู่ | รูปของคำตอบ | ใช้เมื่อ | | $\ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right) + C$ | ได้จากวิธีออยเลอร์โดยตรง แทนค่าขอบเขตง่าย | | $\sinh^{-1}\dfrac{x}{a} + C$ | ได้จากการแทนค่า $x = a\sinh t$ เครื่องคิดเลขส่วนใหญ่มีปุ่ม sinh⁻¹ | | $\ln\left(\dfrac{x + \sqrt{x^2+a^2}}{a}\right) + C$ | ไม่มีหน่วยใน ln เหมาะกับงานฟิสิกส์ที่ x และ a มีหน่วยเมตร | ## ตัวอย่างตัวเลข: อินทิกรัลจำกัดเขต ตัวอย่างตัวเลข · a = 3 ### หา $\displaystyle\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}$ - ใช้การแทนค่าเดิม ${u = x + \sqrt{x^2+9}}$ และเปลี่ยนขอบเขตเป็นค่า u ไปพร้อมกัน จะได้ไม่ต้องแทนกลับ $$\begin{aligned} x = 0 &\;\Rightarrow\; u = 0 + \sqrt{9} = 3 \\ x = 4 &\;\Rightarrow\; u = 4 + \sqrt{25} = 9 \end{aligned}$$ - จากวิธีทำด้านบน $\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+9}} = \dfrac{du}{u}$ $$\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}} = \int_3^9 \frac{du}{u} = \Big[\ln u\Big]_3^9 = \ln 9 - \ln 3 = \ln 3$$ $\displaystyle\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}} = \ln 3 \approx 1.0986$ ตรวจด้วยรูปอื่น: $\sinh^{-1}\frac{4}{3} - \sinh^{-1}0 = \ln\left(\frac{4}{3} + \frac{5}{3}\right) = \ln 3$ ✓ และการอินทิเกรตเชิงตัวเลขได้ 1.098612 ✓ ## เทียบกับการแทนค่าตรีโกณและไฮเพอร์โบลิก โจทย์เดียวกันทำได้อย่างน้อยสามวิธี ทุกวิธีได้คำตอบเดียวกัน แต่ระยะทางต่างกัน | วิธี | แทนค่า | อินทิกรัลที่ได้ | ข้อสังเกต | | ออยเลอร์ (Euler) | $u = x + \sqrt{x^2+a^2}$ | $\int \frac{du}{u} = \ln u$ | ได้ฟังก์ชันตรรกยะเสมอ ใช้ได้กับรากของพหุนามกำลังสองทุกแบบ | | ตรีโกณ (trigonometric) | $x = a\tan\theta$ | $\int \sec\theta\,d\theta$ | ต้องรู้ว่า $\int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta|$ ซึ่งพิสูจน์ด้วยเทคนิคคูณพิเศษ | | ไฮเพอร์โบลิก (hyperbolic) | $x = a\sinh t$ | $\int dt = t$ | สั้นที่สุด แต่ต้องคุ้นกับ sinh, cosh และ $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$ | ที่น่าสนใจคือทั้งสามวิธีใช้ “u ตัวเดียวกัน” แต่สวมชุดต่างกัน เมื่อ $x = a\tan\theta$ จะได้ $\sec\theta + \tan\theta = \dfrac{\sqrt{x^2+a^2} + x}{a} = \dfrac{u}{a}$ และเมื่อ $x = a\sinh t$ จะได้ $e^t = \dfrac{x + \sqrt{x^2+a^2}}{a} = \dfrac{u}{a}$ เทคนิคคูณด้วย $\sec\theta + \tan\theta$ ที่ใช้พิสูจน์ $\int\sec\theta\,d\theta$ ในตำราแคลคูลัส จึงเป็นการแทนค่าแบบออยเลอร์ที่ซ่อนอยู่ในรูปตรีโกณนั่นเอง ## อินทิกรัลนี้โผล่ที่ไหนในงานวิศวกรรมไฟฟ้า ตัวอย่างที่เจอบ่อยคือ ศักย์ไฟฟ้าของแท่งประจุ (finite line charge) แท่งยาว L มีประจุสม่ำเสมอ λ (C/m) หาศักย์ที่จุด P ห่างจากกึ่งกลางแท่งตามแนวตั้งฉากเป็นระยะ d ประจุชิ้นเล็ก $\lambda\,dx$ ที่ตำแหน่ง x อยู่ห่างจาก P เป็น $\sqrt{x^2+d^2}$ ศักย์รวมจึงเป็นอินทิกรัลของข้อนี้พอดี โดยมี d แทน a $$V = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-L/2}^{L/2} \frac{dx}{\sqrt{x^2+d^2}} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{\sqrt{L^2/4 + d^2} + L/2}{\sqrt{L^2/4 + d^2} - L/2}$$ ตัวเลข: $\lambda = 1\ \text{nC/m}$, $L = 0.6\ \text{m}$, $d = 0.4\ \text{m}$ จะได้ $\sqrt{0.09 + 0.16} = 0.5$ อัตราส่วนใน ln เท่ากับ $\dfrac{0.5 + 0.3}{0.5 - 0.3} = 4$ และ $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99\times10^9$ ดังนั้น $V \approx 8.99\times10^9 \times 10^{-9} \times \ln 4 \approx 12.5\ \text{V}$ ลองวางประจุและดูเส้นสนามได้ที่แล็บสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กเสมือน ## การแทนค่าของออยเลอร์ทั้ง 3 แบบ สำหรับอินทิกรัลที่มี $\sqrt{px^2+qx+r}$ ออยเลอร์ให้การแทนค่าไว้ 3 แบบ ทุกแบบมีเป้าหมายเดียวกัน คือยกกำลังสองแล้วให้พจน์หนึ่งตัดกันจนเหลือสมการเชิงเส้นของ x | แบบ | ใช้เมื่อ | กำหนด | ยกกำลังสองแล้วอะไรหายไป | | 1 | $p > 0$ | $\sqrt{px^2+qx+r} = u - \sqrt{p}\,x$ | $px^2$ ตัดกัน (ข้อนี้: $p = 1,\ q = 0,\ r = a^2$) | | 2 | $r > 0$ | $\sqrt{px^2+qx+r} = xu + \sqrt{r}$ | $r$ ตัดกัน แล้วหารด้วย x ได้ | | 3 | มีรากจริง α, β | $\sqrt{p(x-\alpha)(x-\beta)} = (x-\alpha)u$ | ตัดตัวประกอบ $(x-\alpha)$ ได้ | ข้อนี้มี $r = a^2 > 0$ ด้วย จึงใช้แบบที่ 2 ได้เช่นกัน แต่จะได้ฟังก์ชันตรรกยะที่ยาวกว่าและต้องแยกเศษส่วนย่อย แบบที่ 1 จึงเป็นทางที่สั้นที่สุด ส่วนรากที่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ เช่น $\sqrt{x^2+2x+5}$ ให้ทำกำลังสองสมบูรณ์ก่อนเป็น $\sqrt{(x+1)^2+4}$ แล้วใช้ผลของข้อนี้ได้ทันที ## จุดที่มักพลาด - แทน x แล้วไม่แปลง dx ต้องหา $dx = \dfrac{u^2+a^2}{2u^2}\,du$ ทุกครั้ง ถ้าเขียน $dx$ ค้างไว้ อินทิกรัลจะผสมสองตัวแปรและผิดทันที - ใช้ $u = x^2 + a^2$ ใช้ไม่ได้ เพราะตัวเศษไม่มี $x\,dx$ มาเป็น du - ลืมเปลี่ยนขอบเขต ในอินทิกรัลจำกัดเขต ถ้าอินทิเกรตในตัวแปร u ขอบเขตต้องเป็นค่า u (3 ถึง 9) ไม่ใช่ค่า x (0 ถึง 4) - คิดว่า ln(x+√(x²+a²)) กับ sinh⁻¹(x/a) เป็นคนละคำตอบ ต่างกันแค่ค่าคงที่ $\ln a$ - เอาค่าสัมบูรณ์ออกในกรณี $\sqrt{x^2-a^2}$ สูตรคล้ายกันคือ $\ln\left|x + \sqrt{x^2-a^2}\right| + C$ แต่ต้องคงค่าสัมบูรณ์ไว้ เพราะเมื่อ $x \le -a$ ค่าในวงเล็บติดลบ ทบทวนสูตรที่เกี่ยวข้องได้ที่สูตรอินทิกรัลที่มีรากที่สองของ x² ± a², สูตร ∫dx/x = ln|x| และบทเรียนอินทิกรัลฉบับเต็ม ## คำถามที่พบบ่อย ∫dx/√(x²+a²) เท่ากับเท่าไร? เท่ากับ $\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) + C$ ซึ่งเขียนอีกแบบได้ว่า $\sinh^{-1}(x/a) + C$ สองแบบต่างกันแค่ค่าคงที่ $\ln a$ จึงถูกทั้งคู่ ทำไมต้องกำหนด u − x = √(x²+a²)? เพราะเมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้าง พจน์ $x^2$ ทั้งสองฝั่งตัดกันพอดี เหลือสมการเชิงเส้นของ x จึงเขียน x รากที่สอง และ dx เป็นเศษส่วนของ u ได้ทั้งหมด แล้วอินทิกรัลเหลือแค่ $\int du/u$ ทำไมคำตอบไม่ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ใน ln? เพราะ $\sqrt{x^2+a^2} > |x| \ge -x$ ทำให้ $x+\sqrt{x^2+a^2} > 0$ ทุกค่า x แต่ถ้าเป็น $\sqrt{x^2-a^2}$ ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ เพราะเมื่อ $x \le -a$ ผลบวกนี้ติดลบ Euler's substitution ต่างจากการแทนค่าตรีโกณ x = a tan θ อย่างไร? การแทนค่าตรีโกณได้ $\int\sec\theta\,d\theta$ ซึ่งต้องใช้เทคนิคคูณด้วย $\sec\theta+\tan\theta$ อีกชั้น ส่วนการแทนค่าแบบออยเลอร์ได้ฟังก์ชันตรรกยะของ u ทันที และ $\sec\theta+\tan\theta$ ก็คือ $u/a$ นั่นเอง คำตอบจึงตรงกัน ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **∫dx/√(x²+a²) เท่ากับเท่าไร?** เท่ากับ $\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) + C$ ซึ่งเขียนอีกแบบได้ว่า $\sinh^{-1}(x/a) + C$ สองแบบต่างกันแค่ค่าคงที่ $\ln a$ จึงถูกทั้งคู่ **ทำไมต้องกำหนด u − x = √(x²+a²)?** เพราะเมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้าง พจน์ $x^2$ ทั้งสองฝั่งตัดกันพอดี เหลือสมการเชิงเส้นของ x จึงเขียน x รากที่สอง และ dx เป็นเศษส่วนของ u ได้ทั้งหมด แล้วอินทิกรัลเหลือแค่ $\int du/u$ **ทำไมคำตอบไม่ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ใน ln?** เพราะ $\sqrt{x^2+a^2} > |x| \ge -x$ ทำให้ $x+\sqrt{x^2+a^2} > 0$ ทุกค่า x แต่ถ้าเป็น $\sqrt{x^2-a^2}$ ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ เพราะเมื่อ $x \le -a$ ผลบวกนี้ติดลบ **Euler's substitution ต่างจากการแทนค่าตรีโกณ x = a tan θ อย่างไร?** การแทนค่าตรีโกณได้ $\int\sec\theta\,d\theta$ ซึ่งต้องใช้เทคนิคคูณด้วย $\sec\theta+\tan\theta$ อีกชั้น ส่วนการแทนค่าแบบออยเลอร์ได้ฟังก์ชันตรรกยะของ u ทันที และ $\sec\theta+\tan\theta$ ก็คือ $u/a$ นั่นเอง คำตอบจึงตรงกัน