# Mod's Engineering Mathematics

> Free Thai-language engineering mathematics lessons, interactive labs and reference tables for electrical engineering students, written by Teerawut Savangboon (ธีรวุฒิ แสวงบุญ, "อาจารย์มด", Ajarn Mod), lecturer in Electrical Engineering, Faculty of Science and Technology, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan campus, Thailand.

The site teaches mathematics the way an electrical engineer uses it: every lesson ends in a real circuit or system (RC/RL circuits, mesh analysis, transfer functions, control systems, power electronics). Content is in Thai with English technical terms. All pages are free to read, link to and cite. Math is written in LaTeX notation in the full-text file.

When citing, please name "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" and link the page URL.

## Lessons (reading order)
- [Functions — ฟังก์ชัน: โดเมน เรนจ์ กราฟ และการแปลง](https://modsengineeringmath.com/learn/functions/): ฟังก์ชันคืออะไร โดเมน เรนจ์ กราฟของฟังก์ชันพื้นฐาน การเลื่อน ยืด สะท้อน ฟังก์ชันประกอบ ฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชันเป็นช่วง และสัญญาณขั้นบันได แรมป์ เอกซ์โพเนนเชียล ไซน์ในงานวิศวกรรม พร้อมแล็บกราฟโต้ตอบ
- [Trigonometric Identities & Table — สูตรตรีโกณมิติและตารางค่า](https://modsengineeringmath.com/learn/trigonometry/): วงกลมหนึ่งหน่วยแบบโต้ตอบ สูตรครบทุกหมวดพร้อมชื่ออังกฤษ และตาราง sin cos tan ทุก 0.05° ตั้งแต่ 0° ถึง 90° ทั้งองศาและเรเดียน
- [Limits & Continuity — ลิมิตและความต่อเนื่อง](https://modsengineeringmath.com/learn/limits/): ลิมิตจากกราฟและตาราง นิยาม ε–δ แบบโต้ตอบ ลิมิตทางเดียว สมบัติของลิมิต รูปแบบ 0/0 ลิมิตที่อนันต์ ลิมิตตรีโกณ e ทฤษฎีบทแซนด์วิช ความต่อเนื่อง IVT และกฎของโลปิตาล · หน้าย่อย: ลำดับและอนุกรม อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
  - [Sequences and Series — ลำดับและอนุกรม (Sequences and Series): สูตร ตัวอย่าง การลู่เข้า และอนุกรมเทย์เลอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/limits/sequences-series/): ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ ε–N ซิกมาและสูตรผลบวก อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ การทดสอบการลู่เข้าครบทุกแบบ อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์-แมคลอริน พร้อมแล็บและงานวิศวกรรม
  - [Mathematical Induction — อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction): หลักการ วิธีพิสูจน์ และตัวอย่าง](https://modsengineeringmath.com/learn/limits/mathematical-induction/): หลักโดมิโน กรณีฐาน ขั้นอุปนัย แม่แบบเขียนพิสูจน์ สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ อุปนัยแบบเข้ม อุปนัยในแคลคูลัสและลาปลาซ บทพิสูจน์ผิดที่พบบ่อย พร้อมตัวตรวจแบบโต้ตอบ
- [Differential Calculus — อนุพันธ์ (Differential Calculus)](https://modsengineeringmath.com/learn/differential-calculus/): นิยามอนุพันธ์จากเส้นตัด–เส้นสัมผัส สูตรอนุพันธ์ครบ กฎลูกโซ่ อนุพันธ์โดยปริยาย อันดับสูง ค่าสุดขีด อัตราสัมพัทธ์ การประมาณเชิงเส้น นิวตัน-ราฟสัน และการประยุกต์ในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา
  - [Applications of Derivatives in Electrical, Mechanical & Civil Engineering — การประยุกต์อนุพันธ์ทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา](https://modsengineeringmath.com/learn/differential-calculus/engineering-applications/): i = C dv/dt, v = L di/dt ถ่ายโอนกำลังสูงสุด ความไว ความเร็ว-ความเร่ง กลไกข้อเหวี่ยง ออกแบบภาชนะต้นทุนต่ำสุด ความชันและความโค้งของคาน แรงเฉือน dM/dx และการหาค่าเหมาะสมที่สุด
- [Integral Calculus — อินทิกรัล: สูตรและวิธีทำ](https://modsengineeringmath.com/learn/integral-calculus/): สูตรอินทิเกรตพร้อมชื่อสากล คุณสมบัติ สูตรสำเร็จ และวิธีทำทีละขั้น: เปลี่ยนตัวแปร u หารยาว เศษส่วนย่อย ทีละส่วน อินทิกรัลจำกัดเขต พร้อมแคลคูลัสเบื้องต้นและการประยุกต์ในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา
  - [Basic Calculus — แคลคูลัสเบื้องต้นสำหรับวิศวกรรมไฟฟ้า](https://modsengineeringmath.com/learn/integral-calculus/calculus-basics/): ลิมิต อนุพันธ์ และปริพันธ์ในหน้าเดียว พร้อมตัวอย่างกระแสในตัวเก็บประจุ พลังงานที่สะสม และค่า RMS ของไฟบ้าน 220 V
  - [Applications of Integrals in Electrical, Mechanical & Civil Engineering — การประยุกต์อินทิกรัลทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา](https://modsengineeringmath.com/learn/integral-calculus/engineering-applications/): ประจุ พลังงาน ค่าเฉลี่ยและ RMS งานของแรง จุดศูนย์ถ่วง โมเมนต์ความเฉื่อย แรงดันน้ำบนเขื่อน ปริมาตรดินขุด-ถม และแล็บคาน น้ำหนัก → แรงเฉือน → โมเมนต์ → ความชัน → การโก่ง
- [Vectors: Forces, Fields & Phasors — เวกเตอร์: จากแรงลัพธ์ถึงเฟสเซอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/): เวกเตอร์ 2D/3D ทิศทางโคไซน์ แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์ ระบบแรงและโมเมนต์ การหมุนแกน แขนกล สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก sin/cos สู่เฟสเซอร์และวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ พร้อมแล็บ 3 มิติหมุนได้ แล็บกลศาสตร์ แล็บสนาม และแล็บวงจร AC
  - [Vector foundations — เวกเตอร์ ขนาด ทิศทาง และพิกัด 2D/3D](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/foundations/): แยกสเกลาร์กับเวกเตอร์ พิกัด จุดต้นปลาย ขนาด เวกเตอร์หนึ่งหน่วย และทิศทางสามมิติ
  - [Vector operations — การบวก ลบ และคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/operations/): ต่อหัวกับหาง กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน แรงลัพธ์ และการคำนวณทีละองค์ประกอบ
  - [Components & projection — องค์ประกอบและการฉายเวกเตอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/components-projection/): แตกแรงตามแกน ฉายบนทิศที่ไม่ใช่เวกเตอร์หนึ่งหน่วย และแยกส่วนขนานกับตั้งฉาก
  - [Direction cosines & 3D force components — ทิศทางโคไซน์และการแตกแรงสามมิติ: α β γ มุมราบ-มุมเงย และแรงตามแนวเส้น](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/direction-cosines/): มุม α β γ กับสามแกน cos²α + cos²β + cos²γ = 1 แตกแรงสองขั้นด้วยมุมราบ-มุมเงย แรงตามสายเคเบิลจากพิกัดสองจุด และฉาก 3 มิติหมุนดูได้
  - [Dot product — ผลคูณจุดและมุมระหว่างเวกเตอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/dot-product/): ความหมายเชิงเรขาคณิต พิสูจน์สูตร หามุม ความตั้งฉาก และงานของแรง
  - [Cross product — ผลคูณไขว้ กฎมือขวา พื้นที่และปริมาตร](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/cross-product/): คำนวณสามมิติ ลำดับและเครื่องหมาย พื้นที่เวกเตอร์ และผลคูณสามชั้น
  - [Resultant forces: laws of sines & cosines — แรงลัพธ์ด้วยกฎของโคไซน์และกฎของไซน์: สี่เหลี่ยมด้านขนาน สามเหลี่ยมแรง และการแตกแรงตามแนวเฉียง](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/resultant-forces/): พิสูจน์กฎโคไซน์จากเวกเตอร์ รวมสองแรงด้วยสามเหลี่ยมแรง หาทิศด้วยกฎไซน์และกรณีกำกวม แตกแรงตามสองแนวที่ไม่ตั้งฉาก สามแรงขึ้นไปด้วยองค์ประกอบ และทฤษฎีของลามี
  - [Force systems, moments & equilibrium — ระบบแรง: โมเมนต์ แรงคู่ควบ ระบบสมมูล แรงลัพธ์เดี่ยว และสมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/force-systems/): แรงร่วมจุด แรงในระนาบ โมเมนต์ M = r × F และทฤษฎีวาริยอง แรงคู่ควบ ย้ายแรงเป็นระบบแรง-แรงคู่ควบ แรงลัพธ์เดี่ยว แผนภาพวัตถุอิสระ และแรงปฏิกิริยาของคาน
  - [Rotation of axes & rotation matrices — การหมุนแกนพิกัด 2D/3D: เมทริกซ์หมุน มุมออยเลอร์ และการเปลี่ยนกรอบอ้างอิง](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/coordinate-rotation/): องค์ประกอบเดียวกันในสองกรอบ หมุนแกนกับหมุนเวกเตอร์ เมทริกซ์หมุนตั้งฉาก RᵀR = I มุมออยเลอร์ Z-Y-X สูตรโรดริเกส พื้นเอียง และกรอบ dq ของมอเตอร์
  - [Vectors in robot arms — เวกเตอร์ในแขนกล: จลนศาสตร์ไปข้างหน้า-ย้อนกลับ Jacobian ความเร็ว และแรงบิดข้อต่อ](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/robot-arm/): ตำแหน่งปลายแขนเป็นผลบวกเวกเตอร์ของข้อแขน FK/IK ของแขน 2 ข้อต่อ แขน 3 มิติ Jacobian v = Jθ̇ ภาวะเอกฐาน และ τ = JᵀF สำหรับเลือกมอเตอร์
  - [Engineering applications — การประยุกต์เวกเตอร์ทางวิศวกรรม](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/engineering-applications/): แรงในสายเคเบิล งาน แรงบิด แรงแม่เหล็ก และการเคลื่อนที่ของหุ่นยนต์ พร้อมหน่วยและข้อสมมติ
  - [Vectors in electromagnetic fields — เวกเตอร์ในสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก: คูลอมบ์ การซ้อนทับ ลอเรนซ์ F = IL × B และแรงบิดของมอเตอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/em-fields/): แรงคูลอมบ์เชิงเวกเตอร์ สนามจากประจุหลายตัว ศักย์สเกลาร์ ฟลักซ์ Φ = B·A แรงลอเรนซ์ แรงบนลวด สนามจากลวดตรง แรงระหว่างลวดขนาน และแรงบิดบนขดลวด τ = m × B
  - [Sine & cosine in AC circuits — ความสัมพันธ์ของ sin และ cos ในไฟฟ้ากระแสสลับ: แอมพลิจูด เฟส นำหน้า-ตามหลัง และค่า RMS](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/sinusoids/): v(t) = Vm sin(ωt + φ) ความถี่ คาบ ω เปลี่ยน sin เป็น cos ด้วย ±90° หาความต่างเฟสและนำหน้า-ตามหลัง รวม A cos + B sin เป็นไซน์เดียว ค่าเฉลี่ยและ RMS
  - [Phasor fundamentals — พื้นฐานเฟสเซอร์: เวกเตอร์หมุน สูตรออยเลอร์ จำนวนเชิงซ้อน และการบวกไซน์ด้วยเวกเตอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/phasors/): เฟสเซอร์คือลูกศรหมุนที่หยุดไว้ที่ t = 0 สูตรออยเลอร์ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและเชิงขั้ว บวก คูณ หาร อนุพันธ์เป็น jω และการบวกไซน์ความถี่เดียวกันด้วยกฎโคไซน์
  - [AC circuit analysis with phasors — วิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: อิมพีแดนซ์ KVL KCL เชิงเวกเตอร์ แผนภาพเฟสเซอร์ กำลัง และเรโซแนนซ์](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/ac-circuits/): อิมพีแดนซ์ R jX_L −jX_C วงจรอนุกรม ขนาน และผสม KVL/KCL เป็นการบวกเวกเตอร์ แผนภาพเฟสเซอร์ กำลังเชิงซ้อน S = VI* การแก้ PF เรโซแนนซ์ และ nodal analysis
  - [Vector Studio 2D/3D — สตูดิโอเวกเตอร์ 2D/3D: วาด หมุนแกน วิเคราะห์ และส่งออกไป GeoGebra MATLAB Python](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/vector-lab/): หมุนมุมมอง 3 มิติด้วยการลาก มุมมอง xy xz yz ผลรวม หัวต่อหาง กล่ององค์ประกอบ มุม α β γ projection cross กรอบหมุนมุมออยเลอร์ และเครื่องคิดเลขเวกเตอร์เดิม
  - [Virtual mechanics lab (Physics 1) — แล็บกลศาสตร์เสมือน (ฟิสิกส์ 1): โต๊ะแรง สามเหลี่ยมแรง เชือกแขวน พื้นเอียง คาน และแขนกล](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/mechanics-lab/): ทดลองโต๊ะแรงหาแรงสมดุลพร้อม %error กฎไซน์-โคไซน์ ทฤษฎีลามี พื้นเอียงกับแรงเสียดทาน ระบบแรงบนคาน และแขนกล พร้อมใบงานแบบรายงานแล็บ
  - [Virtual electric & magnetic field lab (Physics 2) — แล็บสนามไฟฟ้าและแม่เหล็กเสมือน (ฟิสิกส์ 2): ประจุจุด เส้นแรง ศักย์ ลวดตัวนำ และแรงลอเรนซ์](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/field-lab/): ลากประจุแล้วเห็นเวกเตอร์สนาม เส้นแรง เส้นศักย์เท่า และการซ้อนทับที่จุด P สนามจากลวดตรง แรงระหว่างลวด และอนุภาคในสนาม E กับ B
  - [Virtual AC circuit lab — แล็บวงจรไฟฟ้ากระแสสลับเสมือน: เฟสเซอร์หมุน บวกไซน์ วงจร RLC และเครื่องคิดเลขจำนวนเชิงซ้อน](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/ac-lab/): เฟสเซอร์หมุนกับรูปคลื่น บวกไซน์ด้วยเวกเตอร์ วงจร RLC อนุกรม ขนาน และแก้ PF พร้อมแผนภาพเฟสเซอร์ สามเหลี่ยมกำลัง ผลตอบสนองเชิงความถี่ และเครื่องคิดเลขเชิงซ้อน
  - [World-class vector tools — เครื่องมือระดับโลกสำหรับเวกเตอร์ สนาม และวงจร AC: PhET GeoGebra Falstad MATLAB Python](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/vector-tools/): เปิดซิมูเลชัน PhET GeoGebra 3D และ Falstad ในหน้าเดียว วิธีใช้ให้ได้ผลกับบทเรียน ส่งออกเวกเตอร์ไป GeoGebra MATLAB Python และตารางเลือกเครื่องมือ
- [Linear Algebra — พีชคณิตเชิงเส้น](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/): เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ ระบบสมการ แรงก์ (ค่าลำดับขั้น) อินเวอร์ส กฎของคราเมอร์ ผลเฉลยเชิงตัวเลข (LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล) ค่าเฉพาะ และแนวข้อสอบ 45 ข้อ พร้อมโจทย์วงจรไฟฟ้า ตั้งแต่ ม.ปลาย ถึง ป.โท
  - [Matrices & Matrix Operations — เมทริกซ์และการดำเนินการ](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/matrices/): ชนิดของเมทริกซ์ บวก ลบ คูณ ทรานสโพส เทรซ กำลัง และเมทริกซ์บล็อก พร้อมตัวช่วยดูการคูณทีละช่อง
  - [Determinants — ดีเทอร์มิแนนต์](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/determinants/): 2×2 ซาร์รัส ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ กระจายลาปลาซ สมบัติตามการดำเนินการแถว ความหมายเชิงพื้นที่ และวิธีลดแถว
  - [Systems of Linear Equations — ระบบสมการเชิงเส้นและการกำจัดแบบเกาส์](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/linear-systems/): เมทริกซ์แต่งเติม การดำเนินการแถว เกาส์ เกาส์-จอร์แดน ลำดับชั้น (rank) คำตอบเดียว ไม่มีคำตอบ อนันต์ LU และกำลังสองน้อยสุด
  - [Matrix Inverse — อินเวอร์สของเมทริกซ์](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/inverse/): สูตร 2×2 วิธีแอดจอยต์ วิธีเกาส์-จอร์แดน [A | I] สมบัติ ทฤษฎีบทเมทริกซ์หาอินเวอร์สได้ และการแก้ x = A⁻¹b
  - [Cramer's Rule — กฎของคราเมอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/cramers-rule/): แก้ระบบสมการทีละตัวแปรด้วยดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 กรณี Δ = 0 จำนวนเชิงซ้อน และตัวแปร s
  - [Eigenvalues & Eigenvectors — ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/eigenvalues/): สมการลักษณะเฉพาะ ค่าซ้ำ ค่าเชิงซ้อน การทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม เมทริกซ์สมมาตร เคย์ลีย์-แฮมิลตัน และเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล
  - [Applications in Electrical Engineering — ประยุกต์ในวิศวกรรมไฟฟ้า](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/ee-applications/): เมช โนด แหล่งจ่ายไม่อิสระ เฟเซอร์ AC ฟังก์ชันถ่ายโอน ปริภูมิสถานะ RLC สองพอร์ต องค์ประกอบสมมาตร และ Y-bus
  - [Linear Algebra in Electrical, Mechanical & Civil Engineering — การประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้นทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/engineering-applications/): เมทริกซ์อุบัติการณ์กับ KCL/KVL การไหลของกำลังเชิงเส้น ระบบมวล-สปริงหลายองศาอิสระและโหมดการสั่น วิธีสติฟเนส โครงข้อหมุน (truss) การปรับแก้งานรังวัดด้วยกำลังสองน้อยสุด และสมดุลโครงข่ายจราจร พร้อมแล็บ
  - [Matrix Lab — แล็บเมทริกซ์: เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ ดูการคูณทีละช่อง และการแปลง 2×2](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/matrix-lab/): ดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส แก้ Ax = b และค่าเฉพาะด้วยเศษส่วนแม่นตรงทีละขั้น ดูการคูณเมทริกซ์ทีละช่อง และลากหลักของเมทริกซ์ 2×2 ดูพื้นที่กับทิศเวกเตอร์เฉพาะ
  - [Rank of a Matrix — ค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ (Rank): ลดแถว ไมเนอร์ พารามิเตอร์ k และการมีคำตอบของระบบสมการ](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/rank/): แรงก์คือจำนวนแถวอิสระ หาด้วยการลดแถวเป็นขั้นบันไดและด้วยไมเนอร์ โจทย์แรงก์มีพารามิเตอร์ k ทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี (มีคำตอบเดียว ไม่จำกัด ไม่มี) ปริภูมิหลัก ปริภูมิศูนย์ แรงก์-ภาวะศูนย์ และแรงก์ในวงจรกับระบบควบคุม พร้อมแล็บสามระนาบ
  - [Numerical Solution of Linear Systems — การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของระบบสมการเชิงเส้น: เกาส์ การสลับแถว LU โชเลสกี โทมัส จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR และเลขเงื่อนไข](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/numerical-methods/): ทำไมคอมพิวเตอร์ไม่ใช้คราเมอร์ จำนวนการคำนวณ การกำจัดแบบเกาส์กับการสลับแถว (partial pivoting) LU และ PA = LU โชเลสกี อัลกอริทึมโทมัส วิธีทำซ้ำจาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR เงื่อนไขการลู่เข้า รัศมีสเปกตรัม เลขเงื่อนไข และซิมูเลเตอร์แผ่นความร้อน
  - [Matrices, Determinants, Rank & Cramer's Rule: Exam Practice — แนวข้อสอบเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ และกฎของคราเมอร์ 45 ข้อ พร้อมเฉลย: เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/exam-practice/): 45 ข้อพร้อมเฉลยทีละขั้น 3 ระดับ: เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย (A-Level) ป.ตรีพีชคณิตเชิงเส้น และวิธีเชิงตัวเลขกับงานวิศวกรรม พร้อมเครื่องสุ่มโจทย์ 10 แบบที่ตรวจคำตอบและแสดงเฉลยได้ไม่จำกัด
- [Laplace Transform — การแปลงลาปลาซ](https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/): นิยาม การมีอยู่ ตารางคู่การแปลง จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ เรซิดิว แผนภาพโพล-ซีโร่และ ROC คุณสมบัติครบทุกข้อ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง-สอง และการแปลงลาปลาซผกผันระดับตำรา Ogata พร้อมแล็บโต้ตอบ
  - [Complex Variables, Analytic Functions & Residues — จำนวนเชิงซ้อน ตัวแปรเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ และเรซิดิว สำหรับการแปลงลาปลาซ](https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/complex-analysis/): รูปคาร์ทีเซียน เชิงขั้ว ออยเลอร์ ราก n ตัว ระนาบ s ฟังก์ชันเชิงซ้อนและการส่ง (mapping) ลิมิต อนุพันธ์ สมการโคชี-รีมันน์ ฟังก์ชันวิเคราะห์ ภาวะเอกฐาน อนุกรมโลรองต์ เรซิดิว และทฤษฎีบทเรซิดิว
  - [Pole–Zero Diagrams & Region of Convergence — แผนภาพโพล-ซีโร่และบริเวณลู่เข้า (ROC) ของการแปลงลาปลาซ](https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/pole-zero-roc/): โพล ซีโร่ อันดับ แผนภาพบนระนาบ s ROC ของสัญญาณด้านขวา ด้านซ้าย สองด้าน และช่วงจำกัด สมบัติ ROC ทั้ง 8 ข้อ ตารางคู่การแปลงพร้อม ROC ตำแหน่งโพลกับรูปคลื่น เสถียรภาพ และความเป็นเหตุเป็นผล
  - [Properties of the Laplace Transform — คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซครบทุกข้อ พร้อมพิสูจน์และตัวอย่าง](https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/properties/): เชิงเส้น เลื่อนเวลา เลื่อนความถี่ สเกลเวลา อนุพันธ์ ปริพันธ์ คูณด้วย t หารด้วย t คอนโวลูชัน ฟังก์ชันคาบ ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น-ค่าสุดท้าย พร้อมผลต่อ ROC
  - [Solving ODEs with the Laplace Transform — แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองด้วยการแปลงลาปลาซ](https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/differential-equations/): ขั้นตอนมาตรฐาน อันดับหนึ่ง RC RL อันดับสอง RLC มวล-สปริง-ตัวหน่วง ผลตอบสนองอิสระกับบังคับ สัมประสิทธิ์ตัวแปร ระบบสมการ และอินพุตไม่ต่อเนื่อง พร้อมตัวแก้สมการโต้ตอบ
  - [Inverse Laplace Transform — การแปลงลาปลาซผกผัน (Inverse Laplace Transform) ครบทุกกรณี](https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/inverse-laplace-transform/): เศษส่วนย่อยโพลเดี่ยว โพลซ้ำ โพลเชิงซ้อน เศษส่วนไม่แท้ วิธีปิดตัวประกอบของเฮวิไซด์ สูตรอนุพันธ์สำหรับโพลซ้ำ เติมกำลังสอง ตัวหน่วงเวลา คอนโวลูชัน อินทิกรัลบรอมวิชกับเรซิดิว และเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ
- [First-Order System · Lab — ระบบอันดับหนึ่ง](https://modsengineeringmath.com/learn/first-order-system/): แล็บโต้ตอบ: ปรับค่าคงตัวเวลา τ หรือ R, C, L แล้วดูผลตอบสนอง สเกลลอการิทึม ระนาบ s และ Bode พร้อมเส้นช่วยวิเคราะห์
- [Second-Order System · Lab — ระบบอันดับสอง](https://modsengineeringmath.com/learn/second-order-system/): แล็บโต้ตอบ: ζ กำหนดรูปร่าง ωn กำหนดความเร็ว ลากขั้วบนระนาบ s แล้วดูผลตอบสนองเวลา เปลือก %OS และ Bode เปลี่ยนพร้อมกัน
- [Signals · Lab — สัญญาณเบื้องต้น](https://modsengineeringmath.com/learn/signals/): แล็บโต้ตอบ: พิมพ์สมการสัญญาณเอง ทั้ง x(t) และ x[n] ดูอนุพันธ์ ส่วนคู่คี่ พลังงาน สเปกตรัม การแปลงเวลา และคอนโวลูชัน
- [Function Generator & Oscilloscope Lab — แล็บเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคป](https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/): แล็บจำลองเสมือนจริง: เครื่องกำเนิดสัญญาณคู่กับออสซิลโลสโคป 2 ช่อง ปรับได้ทุกปุ่ม พร้อมทฤษฎี Vpp Vrms ทริกเกอร์ โพรบ การวัดเฟส Bode วงจร RC RLC ไดโอด ออปแอมป์ และการสร้างเครื่องเอง ตั้งแต่ ม.ปลาย ถึง ป.โท
  - [Waveforms & Their Values — สัญญาณพื้นฐานและการอ่านค่า: Vp Vpp Vrms ความถี่ ดิวตี้ และเฟส](https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/waveforms/): ไซน์ สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม พัลส์ ค่ายอด ยอดถึงยอด RMS ค่าเฉลี่ย ออฟเซต DC คาบ ความถี่ ดิวตี้ เฟส และเดซิเบล พร้อมตารางสูตร RMS ทุกรูปคลื่น
  - [The Function Generator — เครื่องกำเนิดสัญญาณ (Function Generator): ปุ่ม เอาต์พุต 50 Ω มอดูเลชัน และ DDS](https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/generator/): ทุกปุ่มบนแผงหน้า ความต้านทานขาออก 50 Ω โหลด High-Z กับ 50 Ω ขีดจำกัดแอมพลิจูด AM FM PWM Sweep Burst Sync และหลักการ DDS
  - [The Oscilloscope — ออสซิลโลสโคป: V/div Time/div ทริกเกอร์ โพรบ และแบนด์วิดท์](https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/oscilloscope/): อ่านกราติคูล ตั้งทริกเกอร์ให้ภาพนิ่ง โพรบ 1× 10× การชดเชยโพรบ คัปปลิง AC DC แบนด์วิดท์ เวลาขาขึ้น อัตราสุ่ม อเลียสซิง FFT และความปลอดภัยเรื่องกราวด์
  - [FG + Oscilloscope Simulator — แล็บจำลองเครื่องกำเนิดสัญญาณ + ออสซิลโลสโคป เสมือนจริง](https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/simulator/): โต๊ะแล็บเสมือนจริง: เครื่องกำเนิดสัญญาณ บอร์ดวงจร 15 แบบ และสโคป 2 ช่อง ปุ่มหมุนครบ วัดอัตโนมัติ เคอร์เซอร์ XY FFT พร้อมใบงาน 16 การทดลอง
  - [Measurement Techniques — เทคนิคการวัด: แอมพลิจูด ความถี่ เฟส ลิสซาจู และผลตอบสนองความถี่ (Bode)](https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/measurements/): วัดจากกราติคูลและเคอร์เซอร์ ความคลาดเคลื่อน วัดเฟสจาก Δt และวงรีลิสซาจู วัด Bode ทีละความถี่ กวาดความถี่ และวัดอิมพีแดนซ์
  - [RC, RL & RLC on the Bench — วงจร RC RL RLC กับคลื่นสี่เหลี่ยมและไซน์](https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/rc-rlc/): หา τ จากกราฟ ความถี่ตัด −3 dB เฟส −45° อินทิเกรเตอร์และดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์แบบพาสซีฟ เรโซแนนซ์ Q แบนด์วิดท์ และการแกว่งเมื่อป้อนคลื่นสี่เหลี่ยม
  - [Op-Amp Lab — ออปแอมป์บนโต๊ะแล็บ: ขยาย อินทิเกรต ดิฟเฟอเรนชิเอต คอมพาเรเตอร์ และชมิตต์ทริกเกอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/op-amp/): เกนกลับเฟสและไม่กลับเฟส GBW สลูว์เรต แบนด์วิดท์กำลังเต็ม การอิ่มตัว อินทิเกรเตอร์ ดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์ คอมพาเรเตอร์ และฮิสเทอรีซิสของชมิตต์ทริกเกอร์
  - [Build Your Own Signal Generator — สร้างเครื่องกำเนิดสัญญาณเอง: 555 ออสซิลเลเตอร์ Wien และ DDS AD9833](https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/build/): ออสซิลเลเตอร์ผ่อนคลายด้วยออปแอมป์ ไอซี 555 วงจร Wien bridge XR2206 DAC R-2R และ DDS AD9833 กับ Arduino/ESP32 พร้อมภาคขาออกและสโคปทำเอง
  - [Engineering Applications — งานประยุกต์และโจทย์ที่เจอเสมอ: เรกติไฟเออร์ PWM คลิปเปอร์ และการวัด L C](https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/applications/): รูปแบบงานจริงที่เจอบ่อย: แรงดันริปเปิล PWM กับค่าเฉลี่ย คลิปเปอร์ แคลมเปอร์ หา C และ L จากการวัด ความต้านทานขาออก ทดสอบเครื่องขยายเสียง และสัญญาณเซนเซอร์
- [Control Systems Engineering — ระบบควบคุม (Control Systems Engineering)](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/): วิศวกรรมระบบควบคุมจากพื้นฐานถึงขั้นสูง: ป้อนกลับ แบบจำลอง เสถียรภาพ Routh–Hurwitz รูทโลคัสแบบวาดด้วยมือ ตอบสนองความถี่ Bode Nyquist ตัวชดเชย P PI PD PID ปริภูมิสถานะ ดิจิทัล ไปจนถึงเมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ และตัวแปลงกำลัง
  - [What Is a Control System? — ระบบควบคุมคืออะไร: วงเปิด วงปิด และการป้อนกลับ](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/introduction/): ระบบควบคุมอัตโนมัติทำงานอย่างไร เปรียบเทียบวงเปิดกับวงปิด ป้อนกลับลดความผิดพลาดและต้านการรบกวนได้อย่างไร เป้าหมายการออกแบบ และตัวอย่างระบบจริงจากไฟฟ้า เมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ ถึงอิเล็กทรอนิกส์กำลัง
  - [Mathematical Modeling — แบบจำลองทางคณิตศาสตร์: วงจรไฟฟ้า มอเตอร์ กลไก ความร้อน](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/modeling/): จากกฎฟิสิกส์สู่ฟังก์ชันถ่ายโอน วงจร RLC ออปแอมป์ มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง มวล-สปริง-ดัมเปอร์ ระบบหมุน ความร้อน ของไหล ความคล้ายเชิงอุปมาไฟฟ้า-กล และการทำให้เป็นเชิงเส้น
  - [Block Diagrams & Signal-Flow Graphs — บล็อกไดอะแกรม แผนภาพสัญญาณ และฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/block-diagrams/): การลดรูปบล็อกแบบอนุกรม ขนาน และป้อนกลับ ย้ายจุดรวมสัญญาณและจุดแยก กฎของเมสัน ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด ความผิดพลาด และสัญญาณรบกวน
  - [Time Response & Specifications — ผลตอบสนองเวลา: ขั้ว ศูนย์ และสเปกการออกแบบ](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/time-response/): ผลตอบสนองต่อขั้นบันไดของระบบอันดับหนึ่ง สอง และสูงกว่า ขั้วเด่น ผลของศูนย์และขั้วเพิ่ม เวลาขึ้น overshoot เวลาเข้าที่ และความสัมพันธ์กับตำแหน่งบนระนาบ s
  - [Steady-State Error & System Type — ความผิดพลาดสถานะอยู่ตัว ชนิดของระบบ และความไว](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/steady-state-error/): ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย ชนิดของระบบ (type 0, 1, 2) ค่าคงตัวความผิดพลาด Kp Kv Ka ความผิดพลาดจากการรบกวน ความไว (sensitivity) และการยกชนิดด้วยอินทิเกรเตอร์
  - [Stability of Control Systems — เสถียรภาพของระบบควบคุม: ขั้วบนระนาบ s และเงื่อนไขเบื้องต้น](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/stability/): นิยามเสถียรภาพแบบ BIBO และเชิงอาการ ตำแหน่งขั้วบนระนาบ s เสถียรวิกฤต เงื่อนไขจำเป็นของสัมประสิทธิ์ ความไม่เสถียรจากการป้อนกลับ และเสถียรภาพสัมพัทธ์
  - [Routh–Hurwitz Stability Criterion — เกณฑ์เสถียรภาพของเราท์–เฮอร์วิตซ์ (Routh–Hurwitz Criterion)](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/routh-hurwitz/): สร้างตารางเราท์ทีละขั้น นับขั้วฝั่งขวา กรณีพิเศษ (ศูนย์ในคอลัมน์แรก แถวเป็นศูนย์) หาช่วงเกน K ที่เสถียร เกนวิกฤตและความถี่วิกฤต ε-method พหุนามช่วย เฮอร์วิตซ์ดีเทอร์มิแนนต์ และเสถียรภาพสัมพัทธ์
  - [Root Locus: Definition & Sketching Rules — รูทโลคัส (Root Locus): นิยามและกฎการวาดทุกข้อ](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/root-locus/): ขั้วของวงปิดเคลื่อนอย่างไรเมื่อเกน K เปลี่ยน เงื่อนไขมุมและขนาด กฎการวาดทุกข้อ: จุดเริ่ม-จบ เส้นกำกับ จุดแยก จุดตัดแกน jω มุมออก-เข้า พร้อมที่มาของแต่ละกฎ
  - [Sketching Root Loci by Hand — ฝึกวาดรูทโลคัสด้วยมือ: ทีละขั้น พร้อมตัวอย่างและแกลเลอรีรูปแบบ](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/root-locus-sketching/): ตัวอย่างวาดด้วยมือทีละขั้นตั้งแต่ระบบง่ายถึงซับซ้อน ขั้วเชิงซ้อน ศูนย์ จุดแยกเชิงซ้อน ขั้วซ้ำ ผลของการเพิ่มศูนย์ (PD) แกลเลอรีรูปแบบมาตรฐาน และแล็บที่ตรวจคำตอบของกฎแต่ละข้อ ใช้แทน MATLAB
  - [Design by Root Locus — ออกแบบด้วยรูทโลคัส: เลือกเกน เพิ่มขั้วหรือศูนย์ และตัวชดเชย](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/root-locus-design/): เลือก K จากสเปก ζ และ ωn ผลของการเพิ่มขั้วและศูนย์ต่อรูปร่างโลคัส ออกแบบ PD PI และ lead/lag ด้วยรูทโลคัส การหักล้างขั้ว-ศูนย์ รูทโลคัสเมื่อ K ติดลบ และรูทโลคัสของพารามิเตอร์อื่น
  - [Frequency Response — ผลตอบสนองความถี่: G(jω) ขนาด เฟส และแบนด์วิดท์](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/frequency-response/): ป้อนไซน์เข้าระบบเชิงเส้น ออกมาเป็นไซน์ที่ขนาดและเฟสเปลี่ยน ที่มาของ G(jω) ความถี่เรโซแนนซ์ ยอดเรโซแนนซ์ Mr แบนด์วิดท์ และความสัมพันธ์กับผลตอบสนองเวลาของระบบอันดับสอง
  - [Bode Plot by Hand — โบดไดอะแกรม (Bode Plot): วาดด้วยมือทีละขั้น](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/bode-plot/): เดซิเบล เดคาด การวาดขนาดและเฟสด้วยเส้นกำกับ ปัจจัยพื้นฐาน K sⁿ (1+τs) อันดับสอง และหน่วงเวลา ค่าแก้ที่จุดมุม ตัวอย่างหลายแบบ การหาฟังก์ชันถ่ายโอนจากกราฟ และแล็บโบดที่ตรวจคำตอบ
  - [Gain & Phase Margins — วิเคราะห์โบด: เกนมาร์จิน เฟสมาร์จิน และเสถียรภาพจากกราฟ](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/margins/): ความถี่ครอสโอเวอร์ เกนมาร์จิน เฟสมาร์จิน อ่านจากโบด ความสัมพันธ์ PM กับ ζ และ overshoot แบนด์วิดท์กับความเร็ว ระบบเสถียรแบบมีเงื่อนไข ผลของหน่วงเวลา และฟังก์ชันความไว S T
  - [Nyquist Stability Criterion — เกณฑ์เสถียรภาพของไนควิสต์ (Nyquist Criterion)](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/nyquist/): ทฤษฎีบทอาร์กิวเมนต์ เส้นทางไนควิสต์ Z = N + P วาดกราฟขั้วทีละขั้น จัดการขั้วบนแกน jω ตัวอย่างเสถียร ไม่เสถียร และมีเงื่อนไข อ่านมาร์จิน และเปรียบเทียบกับโบด
  - [Lead, Lag & Lag-Lead Compensators — ตัวชดเชย Lead, Lag และ Lag-Lead: ออกแบบด้วยโบดและรูทโลคัส](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/compensators/): ตัวชดเชยเลื่อนเฟส (lead) ลดความผิดพลาดอยู่ตัว (lag) และรวมสองแบบ สูตรเลือก α และ T ขั้นตอนออกแบบทีละขั้นด้วยโบดและรูทโลคัส วงจรออปแอมป์และ RC จริง และข้อควรระวัง
  - [P, PI, PD & PID Controllers — ตัวควบคุม P, PI, PD และ PID: โครงสร้าง ผลของแต่ละเทอม และการออกแบบ](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/pid/): โครงสร้างขนาน อุดมคติ และอนุกรม ผลของเทอม P I D ต่อ rise time overshoot และความผิดพลาดอยู่ตัว ความเกี่ยวข้องกับ lead/lag ออกแบบ PID ด้วยรูทโลคัสและโบด พร้อมแล็บ PID แบบโต้ตอบ
  - [PID Tuning & Practical Issues — การจูน PID: Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, IMC และเรื่องที่ใช้งานจริง](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/pid-tuning/): จูนจากกราฟตอบสนองขั้นบันได (reaction curve) และเกนวิกฤต (ultimate gain) Cohen–Coon, Lambda/IMC ฟิลเตอร์อนุพันธ์ anti-windup setpoint weighting ตัวควบคุม 2 องศาอิสระ และ relay auto-tune
  - [State-Space Representation — ปริภูมิสถานะ (State-Space): สมการสถานะ รูปแบบมาตรฐาน และ e^{At}](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/state-space/): ตัวแปรสถานะ สมการสถานะและสมการเอาต์พุต จากสมการเชิงอนุพันธ์ วงจร และฟังก์ชันถ่ายโอน รูปแบบมาตรฐานควบคุมได้ สังเกตได้ และโมดัล คำตอบ e^{At} ขั้วคือค่าเฉพาะ G(s) = C(sI − A)⁻¹B + D
  - [Controllability & Observability — ความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้ (Controllability & Observability)](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/controllability-observability/): นิยาม เมทริกซ์ควบคุมได้และสังเกตได้ ทดสอบแบบ Kalman และ PBH การแยกส่วนของ Kalman ความเกี่ยวข้องกับการหักล้างขั้ว-ศูนย์ และ realization ที่น้อยที่สุด
  - [State Feedback, Observers & LQR — ป้อนกลับสถานะ: วางขั้ว ตัวสังเกต และ LQR](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/state-feedback/): การวางขั้ว (pole placement) สูตร Ackermann ตัวสังเกตสถานะ Luenberger หลักการแยกส่วน การติดตามสัญญาณอ้างอิงและอินทิเกรเตอร์ LQR สมการริคคาติเบื้องต้น และตัวกรองคาลมานโดยย่อ
  - [Digital Control — ระบบควบคุมดิจิทัล: การสุ่ม z-transform และ PID ดิจิทัล](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/digital-control/): การสุ่มและ ZOH, aliasing, การแปลง z, ฟังก์ชันถ่ายโอนแบบไม่ต่อเนื่อง เสถียรภาพบนวงกลมหนึ่งหน่วย (Jury) การแปลงตัวควบคุม (Euler, Tustin) PID ดิจิทัล และการเลือกความถี่สุ่ม
  - [Nonlinear & Robust Control — ระบบไม่เชิงเส้นและการควบคุมแบบทนทาน](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/nonlinear-robust/): การอิ่มตัว dead-zone backlash ฟังก์ชันพรรณนา (describing function) ลิมิตไซเคิล ระนาบเฟส เสถียรภาพแบบลียาปูนอฟ sliding mode ความไม่แน่นอนของแบบจำลอง ความทนทาน และแนวคิด H∞
  - [Mechatronic Systems Control — ระบบควบคุมเมคาทรอนิกส์: เซนเซอร์ แอคชูเอเตอร์ เซอร์โว และคาสเคด](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/mechatronics/): มอเตอร์ DC เซนเซอร์ (เอนโค้ดเดอร์ โพเทนชิโอมิเตอร์ IMU) ไดรเวอร์และ PWM ลูปกระแส-ความเร็ว-ตำแหน่งแบบคาสเคด เซอร์โวตำแหน่ง ชุดเกียร์ ความฝืด backlash และตัวอย่างจริง
  - [Robotics & Robot Control — ระบบควบคุมโรโบติกส์: แขนกล หุ่นยนต์เคลื่อนที่ และการควบคุมข้อต่อ](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/robotics/): จลนศาสตร์ตรงและผกผัน จาโคเบียน พลศาสตร์แขนกล (Euler–Lagrange) ควบคุมข้อต่อแบบ PD/PID ชดเชยแรงโน้มถ่วง computed torque การสร้างวิถี หุ่นยนต์ล้อ differential drive และการติดตามเส้นทาง
  - [Control of Power Converters — ควบคุมตัวแปลงกำลัง: จากฟังก์ชันถ่ายโอนบั๊กคอนเวอร์เตอร์ ถึงตัวชดเชย Type II/III](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/power-electronics-control/): แบบจำลองสัญญาณเล็กของบั๊กคอนเวอร์เตอร์ Gvd(s) โหมดแรงดันและโหมดกระแส เลือกความถี่ครอสโอเวอร์ ตัวชดเชย Type II และ Type III ด้วยออปแอมป์ เฟสมาร์จิน และเส้นทางสู่บทอิเล็กทรอนิกส์กำลัง
  - [Control Systems Examples Gallery — คลังไอเดียระบบควบคุม 60+ ระบบ: ตั้งแต่เทอร์โมสตัทถึงโดรน](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/examples/): รวมระบบควบคุมรอบตัวพร้อมตัวแปรที่ควบคุม แอคชูเอเตอร์ เซนเซอร์ ชนิดตัวควบคุม และบทเรียนที่เกี่ยวข้อง ใช้เป็นโจทย์โปรเจกต์ ไอเดียสอน และแรงบันดาลใจ
- [Fourier Series & Harmonic Analysis — อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/): อนุกรมฟูเรียร์ทีละขั้นจนใช้งานจริง: หาสัมประสิทธิ์ สมมาตร สเปกตรัม พาร์เซวาล วิเคราะห์วงจรทีละฮาร์มอนิก THD PF และกำลังไฟฟ้า เรกติไฟเออร์ อินเวอร์เตอร์ PWM บั๊กคอนเวอร์เตอร์ การแก้ฮาร์มอนิก และ FFT พร้อมแล็บออสซิลโลสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้าเสมือน
  - [What Is a Fourier Series? — อนุกรมฟูเรียร์คืออะไร: ทุกคลื่นคาบคือผลรวมของไซน์](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/introduction/): สัญญาณคาบ ฮาร์มอนิก สเปกตรัม การสังเคราะห์และการวิเคราะห์ ทำไมวิศวกรไฟฟ้าต้องรู้ และแผนที่การเรียนทั้งชุด
  - [Finding the Fourier Coefficients — หาสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ทีละขั้น: ความตั้งฉากและสูตรออยเลอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/coefficients/): ความตั้งฉากของไซน์ สูตรออยเลอร์ a₀ aₙ bₙ อินทิกรัลที่ใช้บ่อย ขั้นตอน 6 ขั้น ตัวอย่างสี่เหลี่ยม พัลส์ ฟันเลื่อย สามเหลี่ยม เรียงกระแส และข้อผิดพลาดที่เจอบ่อย
  - [Symmetry Shortcuts — ทางลัดด้วยสมมาตร: ฟังก์ชันคู่ คี่ ครึ่งคลื่น เสี้ยวคลื่น และการเลื่อน](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/symmetry/): รู้ก่อนอินทิเกรตว่าพจน์ไหนเป็นศูนย์ สมมาตรครึ่งคลื่นกับฮาร์มอนิกคู่ เสี้ยวคลื่นของอินเวอร์เตอร์ การเลื่อนเวลา การตัดยอด และอนุกรมครึ่งช่วง
  - [Complex Form & Spectrum — รูปเชิงซ้อน สเปกตรัมขนาด–เฟส และสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/complex-spectrum/): cₙ จากสูตรออยเลอร์ รูปแอมพลิจูด–เฟส สเปกตรัมด้านเดียวและสองด้าน พัลส์กับเอนเวโลป sinc สมบัติการเลื่อน อนุพันธ์ ปริพันธ์ และเฟเซอร์ของแต่ละฮาร์มอนิก
  - [Convergence, Gibbs & Parseval — การลู่เข้า ปรากฏการณ์กิบส์ ทฤษฎีบทพาร์เซวาล และอัตราลดของฮาร์มอนิก](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/convergence-parseval/): เงื่อนไขดีริชเลต์ ค่าที่จุดกระโดด หูกิบส์ 9 % พาร์เซวาลกับค่า RMS และ THD ความเรียบกับอัตราลด 1/n 1/n² และควรรวมกี่ฮาร์มอนิกในงานจริง
  - [Fourier Series Table of Common Waveforms — ตารางอนุกรมฟูเรียร์ของรูปคลื่นในงานไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์กำลัง](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/waveform-table/): 18 รูปคลื่นพร้อมอนุกรม RMS และ THD: สี่เหลี่ยม พัลส์ สามเหลี่ยม ฟันเลื่อย เรียงกระแส quasi-square six-step กระแส 6 พัลส์ SPWM คางหมู ไตรแอก ตัดยอด และริปเปิลตัวเหนี่ยวนำ
  - [Circuit Analysis with Fourier Series — วิเคราะห์วงจรด้วยอนุกรมฟูเรียร์: ซูเปอร์โพซิชันทีละฮาร์มอนิก](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/circuit-analysis/): แยก คูณ H(jnω₀) แล้วรวม: สี่เหลี่ยมเข้า RC อินเวอร์เตอร์ป้อนโหลด RL ฟิลเตอร์ LC ของเรียงกระแส RLC คัดฮาร์มอนิก กำลังเฉลี่ยจากฮาร์มอนิก และข้อจำกัดของวิธี
  - [Power, THD & Power Factor with Harmonics — กำลังไฟฟ้าเมื่อมีฮาร์มอนิก: RMS THD PF DPF P Q S D และมาตรฐาน IEEE 519](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/power-harmonics/): True RMS THD TDD crest factor กำลังจริง Q₁ และกำลังความเพี้ยน D เพาเวอร์แฟกเตอร์ที่แก้ด้วยคาปาซิเตอร์ไม่ได้ K-factor ลำดับเฟสกับนิวทรัลร้อน แรงดันเพี้ยนที่ PCC และขีดจำกัด IEEE 519-2022
  - [Rectifier Harmonics — ฮาร์มอนิกของวงจรเรียงกระแส: 1 เฟส 3 เฟส 6 พัลส์ 12 พัลส์ และตัวเก็บประจุ](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/rectifiers/): ฝั่ง DC และฝั่ง AC ของบริดจ์ 1 เฟส บริดจ์ + ตัวเก็บประจุของ SMPS และ VFD กฎ h = kp ± 1 ช่วงทับซ้อน μ ไทริสเตอร์กับ cos α และการหักล้างฮาร์มอนิกด้วย 12 และ 18 พัลส์
  - [Inverter & PWM Spectra — สเปกตรัมของอินเวอร์เตอร์: สี่เหลี่ยม quasi-square six-step SHE และ SPWM](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/inverters-pwm/): อินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยม กำจัดฮาร์มอนิกด้วยมุม α six-step 3 เฟส SHE SPWM ไบโพลาร์และยูนิโพลาร์ mₐ m_f ตำแหน่งไซด์แบนด์ WTHD และผลต่อมอเตอร์
  - [DC-DC Converters: Ripple & EMI — ฟูเรียร์ในคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: บั๊ก ริปเปิล ฟิลเตอร์ LC และ EMI](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/dc-dc-converters/): โหนดสวิตช์คือพัลส์ DC = DV_in ประมาณริปเปิลด้วยฮาร์มอนิกแรกเทียบสูตรจริง กระแสตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุอินพุต เอนเวโลปคางหมูกับ EMI และการเลือกความถี่สวิตช์
  - [Harmonic Mitigation — แก้ปัญหาฮาร์มอนิก: รีแอกเตอร์ เรโซแนนซ์ คาปาซิเตอร์ดีจูน ฟิลเตอร์จูน ฟิลเตอร์แอกทีฟ และ PFC](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/mitigation/): รีแอกเตอร์ไลน์และโช้ก DC เรโซแนนซ์ขนาน h_r = √(S_sc/Q_c) คาปาซิเตอร์ดีจูน 7 % 14 % ออกแบบฟิลเตอร์จูนทีละขั้น 12 พัลส์ ฟิลเตอร์แอกทีฟ PFC และเช็กลิสต์แก้ปัญหาหน้างาน
  - [From Fourier Series to DFT & FFT — จากอนุกรมฟูเรียร์สู่ DFT และ FFT: เครื่องวัดคำนวณฮาร์มอนิกอย่างไร](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/dft-fft/): สุ่มสัญญาณแล้วได้ cₙ ความละเอียดความถี่ อเลียสซิง การรั่วของสเปกตรัมและหน้าต่าง มาตรฐาน IEC 61000-4-7 การใช้ FFT บนสโคป และ Goertzel บนไมโครคอนโทรลเลอร์
  - [Harmonic Analyzer Lab (Virtual Oscilloscope & Power Analyzer) — แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก: ออสซิลโลสโคปเสมือน + เครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้า](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/analyzer-lab/): สังเคราะห์และวิเคราะห์ฟูเรียร์ ป้อนคลื่นเข้าวงจรทีละฮาร์มอนิก และวัดโหลดจริง 10 แบบด้วยสโคปกับเครื่องวิเคราะห์กำลัง พร้อมแปลผลอัตโนมัติ วิธีคำนวณทีละขั้น ใบงาน และกรณีศึกษาหน้างาน
- [Power Electronics — อิเล็กทรอนิกส์กำลัง](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/): วงจรแปลงผัน DC-DC บั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ ชุค ตั้งแต่ volt-second balance ถึงแบบจำลองสัญญาณเล็ก ออกแบบตัวชดเชย Type II/III peak current mode ควบคุมด้วยออปแอมป์และไมโครคอนโทรลเลอร์ ตัวสังเกต AI ออกแบบตัวเหนี่ยวนำ แหล่งจ่ายทดสอบ SMPS เทคนิคหน้างาน วิเคราะห์อาการเสีย พร้อมแล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์
  - [Buck Converter — บั๊กคอนเวอร์เตอร์ (Buck Converter): หลักการ สูตร ริปเปิล CCM/DCM การออกแบบ และฟังก์ชันถ่ายโอน](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-converter/): วงจรลดแรงดัน: volt-second balance V_o = DV_in ริปเปิลกระแสและแรงดัน ขอบ CCM/DCM ความเค้นของอุปกรณ์ การสูญเสีย G_vd(s) และตัวอย่างออกแบบ 24 V → 12 V
  - [Buck in CCM: Duty-Cycle Derivation — บั๊กคอนเวอร์เตอร์โหมด CCM: ไล่วงจรทีละขั้นเพื่อหาดิวตี้ไซเคิล D = Vo/Vin พร้อมค่าแฝงและแล็บรูปคลื่น](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-ccm-analysis/): ไล่วงจรช่วงสวิตช์ ON และ OFF ด้วย KVL/KCL หา volt-second balance charge balance ริปเปิล ขอบเขต CCM/DCM และดิวตี้ที่ต้องใช้เมื่อมี Rds(on) DCR และ Vf พร้อมแล็บรูปคลื่นเทียบทฤษฎีกับซิมูเลชันสวิตชิ่ง
  - [Buck in DCM: Three-Interval Analysis — บั๊กคอนเวอร์เตอร์โหมด DCM: ไล่วงจรสามช่วงเวลาเพื่อหาดิวตี้ไซเคิลจากโหลด M = 2/(1+√(1+4K/D²))](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-dcm-analysis/): ช่วง D₁ D₂ D₃ กระแสพีก ipk หา D₂ จาก volt-second สมการกำลังสองของ M สูตร M(D,K) และดิวตี้ที่ต้องใช้ D = M√(K/(1−M)) ทำไมแรงดันขาออกสูงขึ้นเมื่อไร้โหลด กราฟดิวตี้เทียบโหลด และแล็บ
  - [Buck Averaged Model & State Space — แบบจำลองบั๊กด้วยการเฉลี่ยสถานะ (State-Space Averaging): จากสวิตช์ ON/OFF สู่สเตตสเปซสัญญาณเล็กทีละขั้น](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-averaged-model/): เขียนสมการสถานะช่วง ON และ OFF เฉลี่ยกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุตลอดคาบ หาจุดทำงาน DC แล้วรบกวนด้วยสัญญาณเล็ก ได้เมทริกซ์ A B C E พร้อมแล็บสร้างสเตตสเปซเองและแล็บเทียบแบบจำลองเฉลี่ยกับสวิตชิ่งจริง
  - [Buck Transfer Functions — ฟังก์ชันถ่ายโอนของบั๊กทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต: Gvd Gvg Zout Zin GiLd พร้อมที่มาและเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือน](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-transfer-functions/): ตาราง 12 ฟังก์ชันจากอินพุต d̂ v̂g îx ไปเอาต์พุต v̂o îL îC îg ที่มาด้วย C(sI−A)⁻¹B+E รูปปิดแม่นยำเมื่อมี DCR และ ESR ผลของ ESR zero DCM แบบอันดับหนึ่ง และเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือนที่ฉีดไซน์ใส่สวิตชิ่งจริงแล้วเทียบกับทฤษฎี
  - [Buck Design Lab & Load Program — ออกแบบและทดสอบบั๊กคอนเวอร์เตอร์ครบวงจร: เลือกแรงดันอินพุต ไดโอด ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ และโปรแกรมโหลดหลายสภาวะ](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-design-lab/): ขั้นตอนออกแบบ 8 ขั้น คัดเลือกไดโอด 10 แบบ ตัวเหนี่ยวนำ 22 แบบ ตัวเก็บประจุ 10 แบบ MOSFET 6 แบบ กำหนดโปรแกรมโหลดเป็นช่วงๆ กี่โอห์มนานเท่าไร ดูแรงดันและกระแสแบบเรียลไทม์ ตรวจความเค้น ความสูญเสีย การอิ่มตัว และกราฟศักยภาพการจ่ายกระแส
  - [Boost Converter — บูสต์คอนเวอร์เตอร์ (Boost Converter): สูตร ขีดจำกัดอัตราขยาย RHP zero และการออกแบบ](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/boost-converter/): วงจรเพิ่มแรงดัน 1/(1−D) ความต้านทานแฝงจำกัดอัตราขยาย ริปเปิลและ ESR ขอบ DCM อันตรายเมื่อไร้โหลด RHP zero และตัวอย่าง 24 V → 48 V
  - [Buck-Boost Converter — บั๊ก-บูสต์คอนเวอร์เตอร์: แบบกลับขั้ว แบบ 4 สวิตช์ และการเลือกโทโพโลยี](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-boost-converter/): บั๊ก-บูสต์กลับขั้ว −D/(1−D) ความเค้น V_in + |V_o| RHP zero บั๊ก-บูสต์ 4 สวิตช์แบบไม่กลับขั้ว และตารางเลือกระหว่าง SEPIC Ćuk และ flyback
  - [Ćuk Converter — ชุคคอนเวอร์เตอร์ (Ćuk Converter): ตัวเก็บประจุคัปปลิ้ง การออกแบบ การหน่วง และ zero ripple](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/cuk-converter/): ถ่ายโอนพลังงานผ่านตัวเก็บประจุ C1 สมการออกแบบ L1 L2 C1 ไดนามิกอันดับสี่และการหน่วง coupled inductor กับกระแสริปเปิลเกือบศูนย์
  - [Small-Signal Modeling — แบบจำลองสัญญาณเล็กของคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: State-Space Averaging และฟังก์ชันถ่ายโอน](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/small-signal-model/): เฉลี่ยสถานะตลอดคาบแล้ว linearize ได้ G_vd G_vg Z_out ตารางฟังก์ชันถ่ายโอนของบั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ PWM gain ลูปเกน และเกณฑ์ฟิลเตอร์ขาเข้าของ Middlebrook
  - [Compensator Design — ออกแบบตัวชดเชย Type I II III ด้วยวิธี k-factor และ Peak Current Mode กับ Slope Compensation](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/compensator-design/): เป้าหมายลูป เฟสมาร์จิน ขีดจำกัดความถี่ครอสโอเวอร์ สูตรค่า R C ของ Type II/III ด้วย k-factor ตัวอย่างบั๊กที่ตรวจด้วย python-control และ peak current mode
  - [Analog Control with Op-Amps — ควบคุมคอนเวอร์เตอร์แบบอนาล็อกด้วยออปแอมป์: PWM, Error Amplifier, วัดกระแส, TL494, UC3843](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/analog-control/): สร้าง PWM ด้วยออปแอมป์ล้วน error amplifier การเลือกออปแอมป์ วิธีวัดกระแส 4 แบบ ชิปคลาสสิก TL494 UC384x TL431 + optocoupler และเช็กลิสต์
  - [Digital Control — ควบคุมคอนเวอร์เตอร์ DC-DC แบบดิจิทัล: ADC, DPWM, Limit Cycle, Tustin และโค้ด PI](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/digital-control/): จังหวะสุ่มสัญญาณ ดีเลย์ ความละเอียด DPWM กับ limit cycle แปลงตัวชดเชยด้วย Tustin โค้ด PI พร้อม anti-windup การป้องกันในฮาร์ดแวร์ และขั้นตอน bring-up
  - [Observers & Condition Monitoring — ตัวสังเกตกระแสและสถานะ (Observer) ในคอนเวอร์เตอร์ และการเฝ้าสังเกตสภาวะแวดล้อม](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/observers/): Luenberger observer ประมาณ i_L disturbance observer ประมาณกระแสโหลดเพื่อ feedforward Kalman filter ข้อควรระวัง และการเฝ้าสังเกต V_in อุณหภูมิ ESR และการอิ่มตัว
  - [AI-Assisted Control & Diagnosis — AI ช่วยควบคุมและวินิจฉัยคอนเวอร์เตอร์: ปรับจูนอัตโนมัติ RL วินิจฉัยจากรูปคลื่น และ LLM](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/ai-control/): แบ่งชั้นให้ปลอดภัย ลูปเร็วต้องเชิงกำหนด AI อยู่ชั้นกำกับ ปรับจูนอัตโนมัติ RL วินิจฉัยความผิดพลาดจากรูปคลื่น บำรุงรักษาเชิงพยากรณ์ และใช้ LLM เป็นผู้ช่วยออกแบบ
  - [Power Inductor Design — ออกแบบและพันตัวเหนี่ยวนำกำลัง: เลือกแกน จำนวนรอบ ช่องอากาศ ลวด และการสูญเสีย](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/inductor-design/): สมการ L = N²A_L ความหนาแน่นฟลักซ์ area product ขั้นตอนออกแบบพร้อมตัวเลข skin depth Steinmetz เลือกวัสดุแกน และวิธีวัด L กับกระแสอิ่มตัวในแล็บ
  - [Test Power Sources — แหล่งจ่ายไฟสำหรับทดสอบวงจร: แบตเตอรี่ ไฟบ้าน 220 V ผ่านเรกติไฟเออร์ และโซลาร์เซลล์](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/test-power-sources/): กฎทองของการทดสอบ แบตเตอรี่ 3 ชนิด คำนวณตัวเก็บประจุหลังบริดจ์ inrush ฟิวส์ หม้อแปลงแยกขด แบบจำลองแผงโซลาร์ MPPT และตารางเลือกแหล่งจ่าย
  - [Controller & MCU Selection — เลือกชิปควบคุมและไมโครคอนโทรลเลอร์สำหรับคอนเวอร์เตอร์: รุ่นปัจจุบันและรุ่นที่ไม่ตกยุค](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/controller-selection/): กรอบการตัดสินใจ ชิปอนาล็อกคลาสสิก TL494 SG3525 UC3843 TL431 ชิปรุ่นปัจจุบัน MCU C2000 STM32G4 dsPIC33 gate driver และคำเตือนเรื่องของปลอม
  - [Switching Power Supply (SMPS) — แหล่งจ่ายไฟสวิตชิ่ง (SMPS): Flyback Forward Bridge LLC PFC และมาตรฐานความปลอดภัย](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/switching-power-supply/): โครงสร้างแหล่งจ่ายต่อไฟบ้าน EMI filter PFC ตระกูลวงจรแยกฉนวน ขั้นตอนออกแบบ flyback 7 ขั้น มาตรฐาน IEC 62368-1 และ CISPR 32
  - [Engineering Techniques & Routine Work — เทคนิคเชิงช่างและวิศวกรรมสำหรับวงจรสวิตชิ่ง: Layout, Snubber, การวัด, Bode, Bring-up และงานประจำ](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/engineering-techniques/): hot loop และ layout ออกแบบ RC snubber วัดด้วยสโคปให้ถูก วัดลูปเกนจริง ขั้นตอน bring-up 7 ขั้น ตารางงานบำรุงรักษา และกฎจากประสบการณ์
  - [Troubleshooting — วิเคราะห์อาการเสียของคอนเวอร์เตอร์และแหล่งจ่ายไฟสวิตชิ่ง: อาการ สาเหตุ วิธีตรวจ](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/troubleshooting/): วิธีคิดแบบเป็นระบบ ตาราง 17 อาการ เช่น ไม่มีเอาต์พุต hiccup แกว่ง เสียงหอน MOSFET ระเบิด แกนอิ่มตัว ริปเปิลสูง EMI และวิธีฝึกด้วยซิมูเลเตอร์
  - [DC-DC Converter Simulator Lab — แล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: ออสซิลโลสโคป ฟังก์ชันเจนเนอเรเตอร์ แหล่งจ่าย โหลด และคำนวณตัวเหนี่ยวนำ](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/converter-lab/): ซิมูเลเตอร์ระดับการสวิตช์ของบั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ ชุค กับแบตเตอรี่ ไฟบ้าน โซลาร์ โหลด 3 แบบ ตัวควบคุม 4 โหมด สโคป 2 ช่อง ฟังก์ชันเจนฯ คำนวณ L และใบงาน 10 ชุด
- [Solar PV System Design — ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/): ออกแบบและใช้งานโซลาร์เซลล์ครบวงจร ตั้งแต่เส้นโค้ง I-V เลือกแผง แสงอาทิตย์ในไทย ระบบ on-grid off-grid hybrid ออกแบบสตริง สายไฟและการป้องกัน แบตเตอรี่ คาดการณ์พลังงานและความคุ้มค่า พยากรณ์ล่วงหน้า MPPT อินเวอร์เตอร์ เลือกตัวควบคุม โซลาร์จ่ายแอร์ โซลาร์ฟาร์ม ปั๊มน้ำเพื่อการเกษตร งานติดตั้งและบำรุงรักษา พร้อมเครื่องคำนวณออกแบบฟรี
  - [How a Solar Cell Works: I-V Curve — เซลล์แสงอาทิตย์ทำงานอย่างไร: เส้นโค้ง I-V แบบจำลองไดโอด STC NOCT และผลของอุณหภูมิ](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/pv-cell/): รอยต่อ p-n กับแสง แบบจำลองไดโอดเดี่ยว Isc Voc MPP fill factor ประสิทธิภาพ STC กับ NOCT สัมประสิทธิ์อุณหภูมิ บายพาสไดโอด พร้อมแล็บเส้นโค้ง I-V และเงาบัง
  - [Solar Resource, Orientation & Shading — แสงอาทิตย์ในประเทศไทย: ความเข้มแสง ชั่วโมงแดดสูงสุด มุมเอียง ทิศ และเงาบัง](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/solar-resource/): GHI DNI DHI POA ชั่วโมงแดดสูงสุด (PSH) ข้อมูลแสงของไทย ตำแหน่งดวงอาทิตย์ มุมเอียงและทิศที่เหมาะ ระยะห่างแถวกันเงา และวิธีประเมินเงาบังหน้างาน
  - [Choosing Solar Panels — เลือกแผงโซลาร์เซลล์: PERC TOPCon HJT Back-contact Bifacial อ่านดาต้าชีต และมาตรฐาน](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/panel-selection/): เทคโนโลยีเซลล์ปัจจุบัน half-cut multi-busbar bifacial อ่านดาต้าชีตทุกบรรทัด tolerance การเสื่อม ประกัน มาตรฐาน IEC 61215 61730 มอก. และเช็กลิสต์เลือกซื้อ
  - [System Types & Grid Connection — ระบบโซลาร์ On-grid Off-grid Hybrid และการขนานไฟกับ กฟภ. กฟน.](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/system-types/): เปรียบเทียบ on-grid off-grid hybrid และระบบ DC ตรง zero export net billing ขั้นตอนขออนุญาต กฟภ. กฟน. กกพ. ท้องถิ่น และการเลือกระบบตามรูปแบบการใช้ไฟ
  - [String Sizing & Inverter Matching — ออกแบบสตริงและจับคู่อินเวอร์เตอร์: Voc ตอนหนาว ช่วง MPPT กระแส และ DC/AC ratio](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/string-sizing/): คำนวณจำนวนแผงต่ออนุกรมสูงสุดต่ำสุด สตริงขนานต่อ MPPT ตรวจกระแส Isc DC/AC ratio และ clipping พร้อมเครื่องคำนวณและตัวอย่างระบบ 5 kW 10 kW และ 100 kW
  - [Wiring, Protection & Earthing — สายไฟ ฟิวส์ เบรกเกอร์ SPD กราวด์ และการต่อเข้าตู้ไฟ สำหรับระบบโซลาร์](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/wiring-protection/): สาย PV1-F ขั้วต่อ MC4 แรงดันตก ฟิวส์สตริง DC isolator SPD Type 1/2 RCD Type A/B กราวด์และ equipotential bonding การต่อเข้าตู้ไฟบ้าน ไฟไหม้ DC และ rapid shutdown
  - [Battery Storage for PV — แบตเตอรี่สำหรับโซลาร์: LiFePO4 ขนาด kWh DoD C-rate BMS และระบบสำรองไฟ](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/battery-storage/): เคมีแบตเตอรี่ LFP NMC ตะกั่วกรด โซเดียมไอออน ขนาดตามพลังงานกลางคืนและวันสำรอง DoD C-rate อายุรอบ BMS ระบบ 48 V กับ high voltage ความปลอดภัย และความคุ้มค่า
  - [Energy Yield Prediction — คาดการณ์พลังงานที่ผลิตได้: Performance Ratio ห่วงโซ่การสูญเสีย และ kWh/kWp ในไทย](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/energy-yield/): สมการพลังงาน E = P·H·PR แยกการสูญเสียทีละขั้น อุณหภูมิ ฝุ่น สาย อินเวอร์เตอร์ clipping การเสื่อมรายปี P50 P90 รายเดือน และการใช้ PVGIS PVsyst SAM
  - [Sizing from Bills & Load Profile — เลือกขนาดระบบจากบิลค่าไฟและโปรไฟล์โหลด: ใช้เองกลางวัน ส่งคืนกริด และแบตเตอรี่](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/load-sizing/): อ่านบิลค่าไฟ แยกโหลดกลางวันกลางคืน self-consumption self-sufficiency โปรไฟล์บ้าน ร้านค้า โรงงาน TOU ความต้องการพลังไฟฟ้า และตัวอย่างเลือกขนาด 3 กรณี
  - [Economics: Payback, NPV, IRR, LCOE — ความคุ้มค่าของโซลาร์เซลล์: ระยะคืนทุน NPV IRR LCOE และการวิเคราะห์ความไว](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/economics/): ต้นทุนระบบ ผลประหยัดรายปี ระยะคืนทุนอย่างง่ายและคิดลด NPV IRR LCOE ค่าเสื่อม การเปลี่ยนอินเวอร์เตอร์ ภาษีและสินเชื่อ และการวิเคราะห์ความไวพร้อมเครื่องคำนวณ
  - [PV Forecasting & Monitoring — พยากรณ์กำลังผลิตโซลาร์ล่วงหน้าและการเฝ้าติดตาม: clear-sky พยากรณ์อากาศ ML และตรวจจับความผิดปกติ](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/forecasting-monitoring/): ระยะพยากรณ์นาทีถึงวัน แบบจำลอง clear-sky persistence NWP ดาวเทียม machine learning ตัวชี้วัด MAE RMSE skill score ระบบเฝ้าติดตาม KPI และตรวจจับความผิดปกติอัตโนมัติ
  - [Maximum Power Point Tracking — MPPT ติดตามจุดกำลังสูงสุด: P&O Incremental Conductance เงาบังบางส่วน และ Global MPPT](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/mppt/): ทำไมต้องมีคอนเวอร์เตอร์ระหว่างแผงกับโหลด จุดทำงานกับความต้านทาน P&O InC ขนาดก้าว ความถี่ ประสิทธิภาพ MPPT เงาบังกับหลายยอด global scan และโค้ดตัวอย่าง พร้อมซิมูเลเตอร์
  - [PV Inverters & Grid-Tie Control — อินเวอร์เตอร์โซลาร์: โครงสร้าง Boost + H-bridge PLL ควบคุมกระแสกริด Anti-islanding และมาตรฐาน](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/pv-inverter/): string micro optimizer central โครงสร้างสองขั้น DC-link SPWM ฟิลเตอร์ L LCL PLL ควบคุมกระแสแบบ PR และ dq anti-islanding grid code ride-through Volt-VAR และฮาร์มอนิก
  - [Choosing Solar Controllers, Chips & MCUs — เลือกตัวควบคุมโซลาร์: ชาร์จคอนโทรลเลอร์ อินเวอร์เตอร์ ชิป และ MCU รุ่นปัจจุบันกับรุ่นที่แข็งแกร่งไม่ตกยุค](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/controller-selection/): PWM กับ MPPT ชาร์จคอนโทรลเลอร์ เกณฑ์เลือกอินเวอร์เตอร์ on-grid hybrid ชิป MPPT ชาร์จเจอร์ gate driver MCU C2000 STM32G4 dsPIC33 ESP32 การสื่อสาร Modbus CAN และการวางแผนไม่ให้ตกยุค
  - [Solar Power for Air Conditioning — โซลาร์เซลล์จ่ายแอร์: คำนวณ BTU เป็น kW ขนาดแผง แอร์อินเวอร์เตอร์ แอร์ DC/AC ไฮบริด และกระแสกระชาก](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/solar-air-conditioner/): ภาระความเย็น BTU COP EER SEER แอร์เบอร์ 5 กำลังไฟจริงตลอดวัน ทำไมแอร์กับโซลาร์เข้ากันดี วิธีต่อแบบ on-grid hybrid และแอร์โซลาร์ DC การเลือกขนาดและตัวอย่าง
  - [Utility-Scale Solar Farm Design — ออกแบบโซลาร์ฟาร์ม: ผังแผง ระยะห่างแถว GCR Tracker อินเวอร์เตอร์ หม้อแปลง และการเชื่อมต่อระบบ](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/solar-farm/): ขั้นตอนพัฒนาโครงการ เลือกที่ดิน ผังและ GCR fixed tilt กับ single-axis tracker bifacial central กับ string inverter MV สถานีไฟฟ้า SCADA grid code โซลาร์ลอยน้ำ และพลังงานต่อไร่
  - [Solar Pumping & Agrivoltaics — โซลาร์เพื่อการเกษตร: ปั๊มน้ำโซลาร์ คำนวณ Head และอัตราไหล Agrivoltaics และฟาร์มอัจฉริยะ](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/solar-agriculture/): ความต้องการน้ำของพืช กำลังปั๊ม ρgQH หัวสูบรวม ปั๊ม DC บัสเลส ปั๊ม AC ผ่าน VFD ถังเก็บน้ำแทนแบตเตอรี่ โซลาร์ร่วมกับเกษตร โรงเรือน ฟาร์มปศุสัตว์และประมง และ IoT
  - [Installation, Commissioning & O&M — ติดตั้ง ทดสอบ ส่งมอบ และบำรุงรักษาระบบโซลาร์: IEC 62446 I-V tracer ภาพความร้อน และวิเคราะห์อาการเสีย](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/installation-maintenance/): หลังคาและโครงยึด ขั้นตอนติดตั้งปลอดภัย การทดสอบก่อนจ่ายไฟ Voc Isc ฉนวน I-V curve ภาพถ่ายความร้อน ล้างแผง ตารางบำรุงรักษา และตารางอาการเสีย 20 แบบ
  - [Solar PV Design Calculator — เครื่องมือออกแบบระบบโซลาร์ออนไลน์: สตริง พลังงาน แบตเตอรี่ แอร์ ปั๊มน้ำ สายไฟ และความคุ้มค่า](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/design-lab/): รวมเครื่องคำนวณทุกตัวในหน้าเดียว: แล็บเส้น I-V ขนาดจากบิล ออกแบบสตริง คาดการณ์พลังงาน แบตเตอรี่ แอร์ ปั๊มน้ำ แรงดันตก และความคุ้มค่า พร้อมใบงานฝึกออกแบบ
- [Home EV Charging — ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน](https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/): ชาร์จช้าด้วยสายชาร์จพกพาจากเต้ารับบ้าน (Mode 2) กับชาร์จเร็วที่บ้านด้วยวอลล์บ็อกซ์ (Mode 3) ตั้งแต่ kW กับ kWh แบตเตอรี่ CC-CV สัญญาณ Control Pilot ขนาดมิเตอร์ สายไฟ เบรกเกอร์ RCD Type B กราวด์ ค่าไฟ TOU และการใช้โซลาร์ แอร์ และรถ EV ร่วมกันในบ้านเดียว พร้อมเครื่องคำนวณและซิมูเลเตอร์พลังงานบ้าน 24 ชั่วโมง
  - [EV Charging Basics: Modes, AC vs DC, Connectors — พื้นฐานการชาร์จรถยนต์ไฟฟ้า: kW กับ kWh, Mode 1–4, AC กับ DC, On-board Charger และหัวชาร์จ](https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/charging-basics/): กำลังกับพลังงาน ชาร์จช้า ชาร์จเร็วที่บ้าน และชาร์จด่วน DC ต่างกันอย่างไร Mode 1–4 ตาม IEC 61851 เครื่องชาร์จในรถ (OBC) หัว Type 2 CCS2 CHAdeMO GB/T และตารางเลือกวิธีชาร์จ
  - [EV Battery & Charging Time — แบตเตอรี่รถ EV กับเวลาชาร์จ: SOC, CC-CV, ประสิทธิภาพ, กำลังที่ลดลงหลัง 80 % และอายุแบตเตอรี่](https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/battery-charging/): ความจุ kWh กับ Ah แรงดันแพ็ก SOC กราฟ CC-CV ทำไมชาร์จช้าลงหลัง 80 % การสูญเสียในเครื่องชาร์จ คำนวณเวลาชาร์จจริง อุณหภูมิ และวิธีชาร์จให้แบตอายุยาว
  - [Portable Charger from a House Socket (Mode 2) — ชาร์จช้าด้วยไฟบ้าน (Mode 2): สายชาร์จพกพา เต้ารับ 16 A กระแสที่ปลอดภัย และความร้อนที่ปลั๊ก](https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/portable-charger/): สายชาร์จพกพา (ICCB) ทำงานอย่างไร เลือกกระแส 8–16 A ให้เหมาะกับเต้ารับและสาย ความร้อนที่หน้าสัมผัส I²R แรงดันตก เต้ารับ IEC 60309 กับเต้ารับบ้าน ข้อห้ามสายพ่วง และเวลาชาร์จ
  - [Home Wallbox Charger (Mode 3) & Control Pilot — ชาร์จเร็วที่บ้านด้วยวอลล์บ็อกซ์ (Mode 3): 7.4 kW 11 kW 22 kW, Control Pilot PWM, Proximity และการเลือกเครื่อง](https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/wallbox/): วอลล์บ็อกซ์ไม่ใช่ตัวชาร์จแต่เป็นสวิตช์อัจฉริยะ สัญญาณ Control Pilot ±12 V PWM duty → กระแส สถานะ A–F ตัวต้านทาน Proximity 1 เฟสกับ 3 เฟส ขีดจำกัด OBC load balancing และเกณฑ์เลือกซื้อ
  - [Home Electrical System for EV Charging — เตรียมระบบไฟบ้านสำหรับชาร์จรถ EV: ขนาดมิเตอร์ โหลดรวม สายเมน เบรกเกอร์ ขนาดสาย และแรงดันตก](https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/home-electrical/): คำนวณโหลดรวมของบ้านเมื่อเพิ่มรถ EV ดีมานด์แฟกเตอร์ มิเตอร์ 15(45) A กับ 30(100) A เมนเบรกเกอร์ วงจรย่อยเฉพาะ ขนาดสายตามกระแสต่อเนื่อง 125 % แรงดันตก และขั้นตอนขอ กฟภ. กฟน.
  - [EV Charging Safety, RCD & Earthing — ความปลอดภัยการชาร์จรถ EV: RCD Type A กับ Type B, กระแสรั่ว DC 6 mA, การต่อลงดิน, มาตรฐาน และอาการเสีย](https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/safety-standards/): ไฟดูดเกิดอย่างไร RCD ทำงานด้วยหลักอะไร ทำไมต้อง Type B หรือ RDC-DD 6 mA ระบบ TN-C-S กับ TT หลักดิน แรงดันสัมผัส IP มาตรฐาน IEC 61851 IEC 62196 IEC 60364-7-722 วสท. และตารางอาการเสีย
  - [Home Charging Cost: Tariffs, TOU & Cost per km — ค่าชาร์จรถ EV ที่บ้าน: ค่าไฟอัตราก้าวหน้ากับ TOU, ค่าใช้จ่ายต่อกิโลเมตร และความคุ้มค่าของการเปลี่ยนมิเตอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/charging-cost/): อ่านโครงสร้างค่าไฟบ้าน อัตราก้าวหน้า ค่า Ft VAT อัตรา TOU On-Peak Off-Peak พลังงานต่อ 100 km ค่าใช้จ่ายต่อกิโลเมตรเทียบน้ำมัน และคำนวณว่าเปลี่ยนเป็นมิเตอร์ TOU คุ้มหรือไม่
  - [Solar PV, Air Conditioning & EV in One Home — โซลาร์เซลล์ แอร์ และรถ EV ในบ้านเดียว: สมดุลพลังงาน การชาร์จจากโซลาร์ส่วนเกิน การจัดการโหลด และ V2H](https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/solar-ac-ev/): หลักการที่เชื่อมสามระบบ: กำลังทุกขณะต้องสมดุล ไฟไหลไปทางไหน โปรไฟล์โหลด 24 ชั่วโมง self-consumption การชาร์จจากโซลาร์ส่วนเกิน dynamic load balancing แบตเตอรี่บ้าน V2L V2H และขนาดระบบที่เหมาะ
  - [Home EV Charging Calculators & Energy Simulator — เครื่องมือคำนวณการชาร์จรถ EV ที่บ้าน และซิมูเลเตอร์พลังงานบ้าน 24 ชั่วโมง (โซลาร์ + แอร์ + รถ)](https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/ev-lab/): เวลาชาร์จ สายชาร์จพกพา Control Pilot ระบบไฟบ้าน ขนาดสายและแรงดันตก ค่าไฟและ TOU และซิมูเลเตอร์ที่จำลองโซลาร์ แอร์ และรถ EV ทุก 15 นาทีตลอดวัน พร้อมใบงาน
- [Power Systems & Protection — ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/): ปูพื้นก่อนเรียนวิชาระบบไฟฟ้ากำลังและการป้องกันระบบไฟฟ้ากำลัง: โครงสร้างระบบไฟฟ้าไทย เฟสเซอร์ สามเฟส กำลังเชิงซ้อน ระบบต่อหน่วย หม้อแปลงและสายส่ง การลัดวงจร องค์ประกอบสมมาตร หลักการป้องกัน CT รีเลย์กระแสเกินและการประสาน การต่อลงดิน รีเลย์ผลต่างและระยะทาง พร้อมแล็บคำนวณ
  - [Power System Overview — ภาพรวมระบบไฟฟ้ากำลัง: ผลิต ส่ง จำหน่าย ระดับแรงดันในประเทศไทย และทำไมต้องส่งด้วยแรงดันสูง](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/power-system-overview/): โรงไฟฟ้า สายส่ง สถานีไฟฟ้า ระบบจำหน่าย 500/230/115 kV 22/33 kV 400/230 V บทบาท กฟผ. กฟภ. กฟน. ทำไมแรงดันสูงลดการสูญเสีย I²R ความถี่ 50 Hz สมดุลกำลัง และแผนที่วิชาที่ต้องเรียน
  - [Phasors, Complex Power & Three-Phase Systems — เฟสเซอร์ อิมพีแดนซ์ กำลังเชิงซ้อน และระบบสามเฟส: Y กับ Δ, √3 และกำลังสามเฟส](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/phasors-three-phase/): เขียนไซน์เป็นเฟสเซอร์ อิมพีแดนซ์ R X Z กำลังเชิงซ้อน S = VI* แรงดันเฟสกับแรงดันสาย การต่อ Y และ Δ กำลังสามเฟส √3 V_L I_L cosφ และวงจรสมมูลเฟสเดียว
  - [Per-Unit System — ระบบต่อหน่วย (Per-Unit System): ค่าฐาน การเปลี่ยนฐาน หม้อแปลง และไดอะแกรมอิมพีแดนซ์](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/per-unit/): ทำไมวิศวกรระบบไฟฟ้าใช้ pu เลือก S_base V_base คำนวณ Z_base I_base เปลี่ยนฐานอิมพีแดนซ์ หม้อแปลงหายไปจากวงจร ตัวอย่างระบบเครื่องกำเนิด–หม้อแปลง–สายส่ง–โหลด
  - [Transformers, Lines & Power Transfer — หม้อแปลงและสายส่งในระบบกำลัง: วงจรสมมูล %Z การควบคุมแรงดัน แบบจำลองสายส่ง และสมการส่งกำลัง P-δ](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/transformers-lines/): วงจรสมมูลหม้อแปลง %Z จากการทดสอบลัดวงจร voltage regulation การต่อ Dyn11 แบบจำลองสายสั้น ปานกลาง ยาว แรงดันตก ΔV ≈ (RP + XQ)/V และ P = V₁V₂ sin δ / X
  - [Short-Circuit Calculation — คำนวณกระแสลัดวงจร: ลัดวงจรสามเฟสด้วย %Z และวิธี MVA, แหล่งจ่าย หม้อแปลง สาย และค่ายอดที่ไม่สมมาตร](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/fault-analysis/): ทำไมต้องรู้กระแสลัดวงจร แหล่งจ่ายต้นทาง หม้อแปลง สายเคเบิล วิธี %Z กับวิธี MVA กระแสลัดวงจรที่ตู้ MDB อัตรา X/R ค่ายอด i_p พิกัดตัดกระแส (Icu kA) และตัวอย่างหม้อแปลง 1,000 kVA
  - [Symmetrical Components & Unbalanced Faults — องค์ประกอบสมมาตรและการลัดวงจรไม่สมมาตร: ลำดับบวก ลบ ศูนย์ ลัดลงดินหนึ่งเฟส สองเฟส และสองเฟสลงดิน](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/symmetrical-components/): ตัวดำเนินการ a เมทริกซ์ Fortescue แยกระบบไม่สมดุลเป็นลำดับ 1 2 0 วงจรลำดับของเครื่องกำเนิด หม้อแปลง Dyn สายส่ง การต่อวงจรลำดับสำหรับ SLG LL DLG และกระแสลงดิน
  - [Protection Principles, CTs & Relays — หลักการระบบป้องกันไฟฟ้ากำลัง: โซนป้องกัน การเลือกตัด CT VT รหัส ANSI และคุณสมบัติของรีเลย์](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/protection-principles/): คุณสมบัติ 5 ข้อของระบบป้องกัน โซนป้องกันและการซ้อนทับ ป้องกันหลักกับสำรอง เบรกเกอร์ CT ความอิ่มตัว คลาส 5P20 VT รหัส ANSI 50 51 50N 87 21 27 59 81 และรีเลย์ดิจิทัล
  - [Overcurrent Protection & Coordination — รีเลย์กระแสเกินและการประสานการป้องกัน: กราฟ IDMT IEC 60255, TMS, CTI, ฟิวส์ และเบรกเกอร์ MCB/MCCB](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/overcurrent-coordination/): รีเลย์ 50/51 กราฟ Standard Very Extremely Inverse ตั้ง pickup และ TMS ช่วงเวลาประสาน CTI 0.3 s การประสานรีเลย์–ฟิวส์–เบรกเกอร์ กราฟ MCB B C D และตัวอย่างประสาน 3 ระดับ
  - [Earthing Systems & Shock Protection — การต่อลงดินและการป้องกันไฟดูด: TN-C-S TT IT อิมพีแดนซ์วงรอบ เวลาตัดวงจร RCD แรงดันสัมผัส และหลักดิน](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/earthing-safety/): ระบบการต่อลงดิน TN TT IT วงรอบความผิดพร่อง Z_s เงื่อนไขตัดวงจรอัตโนมัติ 0.4 s แรงดันสัมผัส RCD 30 mA ความต้านทานหลักดิน 5 Ω ตามแบบไทย และการวัดด้วย fall-of-potential
  - [Differential (87) & Distance (21) Protection — รีเลย์ผลต่าง (87) และรีเลย์ระยะทาง (21): ป้องกันหม้อแปลง บัส สายส่ง เปอร์เซ็นต์ไบแอส และโซน Mho](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/differential-distance/): หลักกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ในรีเลย์ผลต่าง ไบแอสเปอร์เซ็นต์ inrush และฮาร์มอนิกที่ 2 ป้องกันหม้อแปลง รีเลย์ระยะทาง Z = V/I วงกลม Mho โซน 1 2 3 และระยะเวลาหน่วง
  - [Power Systems & Protection Lab — แล็บคำนวณระบบไฟฟ้ากำลังและการป้องกัน: Per-unit กระแสลัดวงจร TCC ประสานรีเลย์ P-δ และองค์ประกอบสมมาตร](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/power-lab/): ระบบต่อหน่วย เปลี่ยนฐาน กระแสลัดวงจรจากแหล่งจ่าย–หม้อแปลง–สาย ประสานรีเลย์ IDMT 3 ระดับบนกราฟ log-log การส่งกำลัง P-δ และแยกองค์ประกอบสมมาตร พร้อมใบงาน
- [Power Factor Explained — เพาเวอร์แฟกเตอร์ เข้าใจได้ทุกระดับ](https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/): เพาเวอร์แฟกเตอร์ตั้งแต่ภาพเปรียบเทียบง่าย ๆ จนถึงสมการ รูปคลื่น v i p สามเหลี่ยมกำลัง P Q S การปรับปรุงด้วยคาปาซิเตอร์ ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติ ค่าปรับ kvar ของการไฟฟ้า ฮาร์มอนิกกับ PF จริง และการวัด พร้อมซิมูเลเตอร์และอุปกรณ์จำลองเสมือนที่ทดลองได้ทันที
  - [What Is Power Factor? — เพาเวอร์แฟกเตอร์คืออะไร: ภาพเปรียบเทียบ สามเหลี่ยมกำลัง P Q S, cos φ, ตามหลังกับนำหน้า](https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/pf-basics/): เริ่มจากแก้วเบียร์และเรือลากจูง แล้วไปสู่ P (kW) Q (kvar) S (kVA) สามเหลี่ยมกำลัง cos φ โหลดตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ PF ของเครื่องใช้ไฟฟ้า และ PF ต่ำทำให้เสียอะไร
  - [Power Factor in Waveforms & Phasors — เพาเวอร์แฟกเตอร์ในรูปคลื่น: กำลังขณะหนึ่ง p(t) กำลังไหลกลับ เฟสเซอร์ และความหมายของกำลังรีแอกทีฟ](https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/waveforms-power/): คูณ v(t) กับ i(t) ทีละจุด ได้ p(t) ที่มีค่าเฉลี่ยคือ P และแกว่งด้วยความถี่สองเท่า กำลังไหลกลับไปมา พลังงานที่เก็บในสนามแม่เหล็กและไฟฟ้า เฟสเซอร์ และพิสูจน์ P = VI cos φ
  - [Power Factor Correction Calculation — ปรับปรุงเพาเวอร์แฟกเตอร์ด้วยคาปาซิเตอร์: Q_c = P(tan φ₁ − tan φ₂), kvar เป็น μF, กระแสลด การสูญเสียลด และ kVA ที่ได้คืน](https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/pf-correction/): สูตรขนาดคาปาซิเตอร์ ตารางตัวคูณ kvar/kW แปลง kvar เป็น μF ทั้ง 1 เฟส สามเฟส Y Δ กระแสสายลดลงเท่าไร การสูญเสียลดตาม 1/PF² kVA หม้อแปลงที่ได้คืน แรงดันเพิ่ม และการชดเชยมอเตอร์รายตัว
  - [Automatic Capacitor Banks — ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติ: PF Controller ขั้นสวิตช์ C/k คอนแทกเตอร์ ตัวต้านทานคายประจุ กระแสพุ่งเข้า และการบำรุงรักษา](https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/capacitor-bank/): ส่วนประกอบของตู้ คอนโทรลเลอร์วัดและตัดต่ออย่างไร ค่า C/k การแบ่งขั้น 1:1:2:2 คอนแทกเตอร์สำหรับคาปาซิเตอร์ inrush ตัวต้านทานคายประจุ แรงดันเกิน การตรวจเช็กประจำปี และอาการเสีย
  - [Power Factor & the Electricity Bill — เพาเวอร์แฟกเตอร์กับค่าไฟ: ค่าปรับ kvar ส่วนที่เกิน 61.97 % ของ kW ความต้องการพลังไฟฟ้า และความคุ้มค่าของตู้คาปาซิเตอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/pf-billing/): ผู้ใช้ไฟประเภทใดเสียค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์ ทำไมเกณฑ์คือ PF 0.85 คำนวณ kvar ที่ถูกเรียกเก็บ ค่าความต้องการพลังไฟฟ้า และระยะคืนทุนของตู้คาปาซิเตอร์จากบิลจริง
  - [True Power Factor & Harmonics — PF จริงกับฮาร์มอนิก: Displacement PF, Distortion PF, THD, เรโซแนนซ์ของคาปาซิเตอร์ และตู้ Detuned 7 %](https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/harmonics-true-pf/): ทำไมโหลดอิเล็กทรอนิกส์มี cos φ ≈ 1 แต่ PF จริงแค่ 0.6 PF = DPF/√(1+THD²) คาปาซิเตอร์ช่วยไม่ได้ เรโซแนนซ์ h = √(S_sc/Q_c) ตู้ detuned 7 % 14 % active filter และ PFC
  - [Measuring Power Factor — วัดเพาเวอร์แฟกเตอร์: แคลมป์มิเตอร์วัดกำลัง เพาเวอร์มิเตอร์ วัตต์มิเตอร์สองตัว และการอ่านมิเตอร์ของการไฟฟ้า](https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/pf-measurement/): วัด P Q S PF ด้วยแคลมป์มิเตอร์ เพาเวอร์อนาไลเซอร์ และมิเตอร์ดิจิทัล วิธีวัตต์มิเตอร์สองตัว tan φ = √3(W₁−W₂)/(W₁+W₂) ทิศ CT ที่กลับข้าง การบันทึกโหลด และเช็กลิสต์ก่อนออกแบบตู้
  - [Power Factor Simulator & Virtual Capacitor Bank — ซิมูเลเตอร์เพาเวอร์แฟกเตอร์: รูปคลื่น เฟสเซอร์ สามเหลี่ยมกำลัง มิเตอร์เสมือน และตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติจำลอง](https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/pf-lab/): เลือกโหลดจริง เช่น มอเตอร์ หลอดไฟ ฮีตเตอร์ ไดรเวอร์ LED เปิดคาปาซิเตอร์ทีละขั้น เห็นคลื่น v i p เฟสเซอร์หมุน สามเหลี่ยมกำลัง มิเตอร์ และค่าไฟ พร้อมตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติจำลองตลอดวันทำงาน
- [Sensors & Transducers — เซนเซอร์และทรานส์ดิวเซอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/): เซนเซอร์ (sensor) ทรานส์ดิวเซอร์ (transducer) และเครื่องมือวัดคุมกระบวนการครบชุด: นิยามตาม VIM ประวัติ หน่วย SI มาตรวิทยา มาตรฐานพร้อมประเทศต้นแบบ การวัดอุณหภูมิ ความดัน อัตราการไหล ระดับ แรง ตำแหน่ง กระแส แรงดัน สัญญาณมาตรฐาน 4–20 mA HART Modbus PROFIBUS FOUNDATION Fieldbus IO-Link PROFINET Ethernet-APL เซนเซอร์อัจฉริยะ IIoT สัญลักษณ์ P&ID การสอบเทียบ และแล็บวัดคุมเสมือน
  - [Sensor & Transducer Fundamentals — หลักการเบื้องต้นของเซนเซอร์และทรานส์ดิวเซอร์: ห่วงโซ่การวัด ความคลาดเคลื่อน และการตอบสนอง](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/fundamentals/): นิยามตาม VIM ห่วงโซ่การวัด หลักการแปลงพลังงาน sensitivity hysteresis nonlinearity %FS กับ %RDG ค่าคงตัวเวลา พร้อมแล็บ 3 ชุด
  - [History & Evolution of Instrumentation — ประวัติและวิวัฒนาการของเซนเซอร์และเครื่องมือวัดคุม: จากเทอร์โมสโคปถึง Ethernet-APL](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/history-technology/): เส้นเวลา 400 ปี: ปรากฏการณ์ที่ค้นพบ ยุคนิวแมติก 3–15 psi ยุค 4–20 mA ยุคดิจิทัล HART ฟิลด์บัส และยุคเซนเซอร์อัจฉริยะ พร้อมประเทศต้นกำเนิด
  - [Units & Systems of Units — หน่วยและระบบหน่วยสำหรับงานเซนเซอร์: SI ค่าคงตัวนิยามปี 2019 คำนำหน้า และกับดักในดาต้าชีต](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/units/): SI 7 หน่วยฐาน หน่วยอนุพันธ์ทางไฟฟ้า คำนำหน้า ระบบหน่วยอื่น psi kgf gauss กฎการเขียน และเครื่องมือวิเคราะห์มิติ
  - [Unit Converter Lab — เครื่องมือแปลงหน่วยออนไลน์ สเกล 4–20 mA และเครื่องมือเดซิเบล](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/unit-lab/): แปลงหน่วยแบบพิมพ์นิพจน์ psi bar kgf/cm² °C/°F rpm W/(m·K) สเกลกระแส 4–20 mA และเดซิเบล ทำงานในเบราว์เซอร์
  - [Metrology & Measurement Standards — มาตรฐานการวัดและมาตรวิทยา: การสอบกลับ SI ปี 2019 Josephson และ ITS-90](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/measurement-standards/): โซ่การสอบกลับจาก SI ถึงเซนเซอร์หน้างาน ประวัติต้นแบบ มาตรฐานไฟฟ้าควอนตัม จุดคงที่ ITS-90 และเครื่องคิดเลขงบความไม่แน่นอน
  - [Standards & Their Countries of Origin — มาตรฐานสำหรับเซนเซอร์และเครื่องมือวัด: IEC ISO IEEE ISA NAMUR DIN JIS มอก. และประเทศต้นแบบ](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/electrical-standards/): ฐานข้อมูลมาตรฐานที่ค้นหาและกรองได้ พร้อมประเทศและองค์กรต้นแบบ แผนที่ประเทศ และตัวเลือกมาตรฐานตามชนิดเซนเซอร์
  - [Temperature Measurement — การวัดอุณหภูมิ: RTD Pt100 เทอร์โมคัปเปิล เทอร์มิสเตอร์ IC และอินฟราเรด](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/temperature-sensors/): สมการ Callendar–Van Dusen ตาม IEC 60751 การต่อ 2/3/4 สาย เทอร์โมคัปเปิล IEC 60584 การชดเชยจุดเย็น Steinhart–Hart ไพโรมิเตอร์ ทรานสมิตเตอร์อุณหภูมิ พร้อมเครื่องคำนวณ
  - [Pressure Measurement — การวัดความดัน: Gauge Absolute DP เบอร์ดอง สเตรนเกจ ไพอีโซรีซิสทีฟ คาปาซิทีฟ และทรานสมิตเตอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/pressure-sensors/): ความดันสัมบูรณ์ เกจ และผลต่าง หลักการเซนเซอร์ทุกแบบ ทรานสมิตเตอร์ DP ซีลไดอะแฟรม การเลือกช่วงและ turndown พร้อมแล็บ
  - [Flow Measurement — การวัดอัตราการไหล: ออริฟิซ ISO 5167 แม่เหล็กไฟฟ้า อัลตราโซนิก วอร์เท็กซ์ คอริโอลิส และเทอร์ไบน์](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/flow-measurement/): เรย์โนลด์ส์ สมการเบอร์นูลลีสู่ ISO 5167 การถอดรากที่สอง magmeter E = kBDv อัลตราโซนิกเวลาเดินทาง วอร์เท็กซ์ Strouhal คอริโอลิส และตารางเลือกมิเตอร์
  - [Level Measurement — การวัดระดับ: ความดันไฮโดรสแตติก DP เรดาร์ FMCW เรดาร์นำคลื่น อัลตราโซนิก ลูกลอย และสวิตช์ระดับ](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/level-measurement/): h = ΔP/(ρg) ถังเปิดและถังปิด ขาเปียกขาแห้ง เรดาร์ FMCW 80 GHz TDR อัลตราโซนิก การชดเชยอุณหภูมิ ปริมาตรถังนอน และสวิตช์ระดับ
  - [Force, Weight & Position — เซนเซอร์แรง น้ำหนัก ตำแหน่ง และการเคลื่อนที่: สเตรนเกจ โหลดเซลล์ LVDT เอนโค้ดเดอร์ และพร็อกซิมิตี](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/force-position/): สเตรนเกจและสะพานวีตสโตน โหลดเซลล์ mV/V LVDT เอนโค้ดเดอร์ A/B/Z พร็อกซิมิตีสวิตช์ NPN/PNP และความเร็วรอบ
  - [Current & Voltage Sensing — เซนเซอร์วัดกระแสและแรงดัน: ชันต์ CT ฮอลล์ โรโกวสกี และตัวแบ่งแรงดันแบบแยกโดดเดี่ยว](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/current-voltage-sensing/): ชันต์และ Kelvin หม้อแปลงกระแส IEC 61869 คลาสและภาระ ฮอลล์ open/closed loop ขดโรโกวสกี และการวัดแรงดันแบบแยกโดดเดี่ยว
  - [Signal Conditioning & ADC — การปรับสภาพสัญญาณและ ADC: บริดจ์ อินสทรูเมนเทชันแอมป์ ฟิลเตอร์ การแยกโดดเดี่ยว และการสุ่ม](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/signal-conditioning-adc/): สะพานวีตสโตน INA CMRR ฟิลเตอร์กันรอยต่อ (anti-aliasing) ความละเอียด LSB ENOB สัญญาณรบกวน การต่อกราวด์ และงบความคลาดเคลื่อนทั้งห่วงโซ่
  - [Standard Signals: 4–20 mA & HART — สัญญาณมาตรฐานอุตสาหกรรม: 4–20 mA สองสาย 0–10 V NAMUR NE 43 และ HART](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/industrial-signals/): ทำไมต้อง 4–20 mA ลูปสองสาย สามสาย สี่สาย งบแรงดันลูปและความต้านทานโหลด NE 43 HART FSK 1200/2200 Hz พร้อมซิมูเลเตอร์ลูปและโมเด็ม HART
  - [Modbus RTU & TCP — Modbus RTU และ Modbus TCP: RS-485 เฟรม ฟังก์ชันโค้ด รีจิสเตอร์ CRC-16 และ Float32](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/modbus/): RS-485 การต่อสายและเทอร์มิเนเตอร์ แบบจำลองข้อมูล 4 ตาราง ฟังก์ชันโค้ด 03/04/06/16 คำนวณ CRC-16 และเวลาเฟรม แปลง Float32 สลับไบต์ พร้อมเครื่องสร้างเฟรม
  - [Fieldbus & Industrial Ethernet — ฟิลด์บัสและ Industrial Ethernet: PROFIBUS DP/PA FOUNDATION Fieldbus IO-Link PROFINET EtherNet/IP EtherCAT และ Ethernet-APL](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/fieldbus/): เปรียบเทียบเครือข่ายภาคสนาม: ชั้นกายภาพ ความเร็ว ระยะ การจ่ายไฟบนสาย ความปลอดภัยในตัว งบกระแสเซกเมนต์ ประเทศต้นกำเนิด และวิธีเลือก
  - [Smart Sensors & IIoT — เซนเซอร์อัจฉริยะและ IIoT: MEMS เซนเซอร์ไร้สาย IEEE 1451 OPC UA MQTT และการบำรุงรักษาเชิงพยากรณ์](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/smart-sensors-iiot/): หลักการสมัยใหม่: MEMS วินิจฉัยตัวเอง TEDS WirelessHART ISA100 LoRaWAN OPC UA MQTT NAMUR Open Architecture สถาปัตยกรรม Industry 4.0 และงบพลังงานแบตเตอรี่
  - [P&ID Symbols & Instrument Tags (ISA-5.1) — สัญลักษณ์และแท็กเครื่องมือวัดบน P&ID ตาม ISA-5.1: อ่าน FT-101 TIC-205 และวงจรควบคุม](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/pid-symbols/): ตัวอักษรตัวแรกและตัวตาม สัญลักษณ์วงกลมตามตำแหน่ง เส้นสัญญาณ ตัวอย่างลูปควบคุมระดับ อัตราไหล ความดัน อุณหภูมิ และเครื่องมือถอดรหัสแท็ก
  - [Selection, Installation & Calibration — เลือก ติดตั้ง และสอบเทียบเครื่องมือวัด: ช่วงวัด IP Ex SIL การสอบเทียบ 5 จุด ลูปเช็ก และใบรับรอง](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/installation-calibration/): เช็กลิสต์เลือกเครื่องมือ IP ตาม IEC 60529 พื้นที่อันตราย Ex SIL ตาม IEC 61508/61511 การสอบเทียบ as-found/as-left TUR ลูปเช็กและการแก้ปัญหาหน้างาน
  - [Virtual Instrumentation & Control Lab — ห้องแล็บวัดคุมเสมือน: ถังน้ำ ปั๊ม วาล์ว ทรานสมิตเตอร์ 4–20 mA Modbus และ PID ในหน้าเดียว](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/instrumentation-lab/): โรงงานจำลองแบบเรียลไทม์: LT FT PT TT ส่ง 4–20 mA เข้า PLC ควบคุม PID ใส่ความผิดพลาด (สายขาด drift ฟองอากาศ) อ่านรีจิสเตอร์ Modbus และใบงาน
- [AC Motor Control: Contactors, Star–Delta & VFDs — การควบคุมมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับด้วยแมกเนติกคอนแทกเตอร์และอินเวอร์เตอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/): มอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสสำหรับอุตสาหกรรมบนระบบ 230/400 V 50 Hz ของไทยและเพื่อนบ้าน การต่อสตาร์-เดลต้า แมกเนติกคอนแทกเตอร์ โอเวอร์โหลด สัญลักษณ์และแบบวงจร IEC วงจร DOL กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้าแบบละเอียด ซอฟต์สตาร์ท อินเวอร์เตอร์ VFD การออกแบบติดตั้ง และซิมูเลเตอร์
  - [Three-phase induction motors for industry — หลักการมอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสสำหรับอุตสาหกรรม: สนามแม่เหล็กหมุน สลิป แรงบิด-ความเร็ว กระแสสตาร์ท และแผ่นป้าย](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/induction-motor/): สนามหมุน n_s = 120f/p สลิป วงจรสมมูล กราฟแรงบิด-ความเร็ว กระแสสตาร์ท 6–8 เท่า ประสิทธิภาพ IE2–IE4 ตาม IEC 60034-30-1 อ่านแผ่นป้าย และคำนวณกระแสพิกัดจาก kW
  - [Low-voltage 230/400 V 50 Hz supply in Thailand, Laos, Cambodia, Vietnam, Myanmar, Malaysia and Singapore — ระบบไฟฟ้าแรงต่ำ 230/400 V 50 Hz ในไทย ลาว กัมพูชา เวียดนาม เมียนมา มาเลเซีย สิงคโปร์: แรงดันสาย แรงดันเฟส ระบบสายดิน และผลต่อมอเตอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/supply-systems/): IEC 60038 แรงดันใช้งานจริงแต่ละประเทศ 220/380 ถึง 230/400 V ค่าเผื่อ ±10 % ระบบ TN-C-S และ TT ลำดับเฟส แรงดันไม่สมดุล และมอเตอร์ 60 Hz บนไฟ 50 Hz
  - [Star and delta motor connections — การต่อขั้วมอเตอร์สตาร์และเดลต้า: กล่องขั้ว U1 V1 W1 / W2 U2 V2 มอเตอร์ 230/400 V กับ 400/690 V และการกลับทางหมุน](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/motor-connections/): แรงดันต่อขดลวด กระแสสายกับกระแสเฟส แผ่นทองแดงเชื่อมในกล่องขั้ว เลือกการต่อจากแผ่นป้าย มอเตอร์ที่สตาร์-เดลต้าได้ การตรวจทางหมุน และข้อผิดพลาดที่ทำให้มอเตอร์ไหม้
  - [Magnetic contactors, overload relays, motor-protection breakers and control devices — แมกเนติกคอนแทกเตอร์ โอเวอร์โหลดรีเลย์ เบรกเกอร์ป้องกันมอเตอร์ และอุปกรณ์ควบคุม: AC-3 คลาสทริป ไทเมอร์ ปุ่มกด และไฟแสดงสถานะ](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/control-devices/): โครงสร้างคอนแทกเตอร์ คอยล์ หน้าสัมผัสหลักและช่วย ประเภทการใช้งาน AC-1 AC-3 AC-4 ตาม IEC 60947-4-1 โอเวอร์โหลดคลาส 10/20 MPCB ฟิวส์ aM การประสาน Type 1/2 ไทเมอร์ และสีปุ่มกดตาม IEC 60204-1
  - [Reading motor-control drawings — อ่านแบบวงจรควบคุมมอเตอร์: สัญลักษณ์ IEC 60617 เทียบ NEMA รหัสอุปกรณ์ IEC 81346 เลขขั้ว เลขสาย และการอ้างอิงข้าม](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/diagrams-symbols/): วงจรกำลังกับวงจรควบคุม สัญลักษณ์หน้าสัมผัส คอยล์ ไทเมอร์ เลขขั้ว 1/L1–2/T1, A1–A2, 13–14, 21–22 รหัส -Q -K -F -S -H -M การอ้างอิงข้ามหน้า และแบบวงจรระบบยุโรป อเมริกา ญี่ปุ่น
  - [Direct-on-line starter — วงจรสตาร์ทมอเตอร์โดยตรง (DOL): วงจรกำลัง วงจรควบคุมแบบล็อกตัวเอง ควบคุมสองจุด จ็อก และการเลือกอุปกรณ์ทีละขั้น](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/dol-starter/): หลักการล็อกตัวเอง (self-holding) ปุ่ม STOP แบบ NC ทำไมต้องต่อสายอนุกรม ควบคุมหลายจุด จ็อก ไฟแสดงสถานะ ตัวอย่างเลือก MPCB คอนแทกเตอร์ สาย สำหรับมอเตอร์ 7.5 kW 400 V
  - [Three-phase motor reversing circuits — วงจรกลับทางหมุนมอเตอร์สามเฟส: สลับสองเฟส อินเตอร์ล็อกทางไฟฟ้า ทางกล และปุ่มกด และการกลับทางอัตโนมัติด้วยลิมิตสวิตช์](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/forward-reverse/): ทำไมสลับ L1 กับ L3 แล้วกลับทาง ป้องกันลัดวงจรด้วยอินเตอร์ล็อกสามชั้น กลับทางผ่าน STOP กับกลับทันที ประตูม้วน รอกไฟฟ้า สายพานลำเลียง และลิมิตสวิตช์
  - [The star–delta starter in detail — วงจรสตาร์ทสตาร์-เดลต้าแบบละเอียด: วงจรกำลัง วงจรควบคุม ขนาดคอนแทกเตอร์ 0.58 In การตั้งโอเวอร์โหลด ไทเมอร์ และเวลาเปลี่ยนจังหวะ](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/star-delta/): กระแสและแรงบิดเหลือ 1/3 คอนแทกเตอร์สามตัว KM1 KM2 KM3 ตั้งโอเวอร์โหลด 0.58 In เวลาตั้งไทเมอร์ ช่วงตายระหว่าง Y กับ Δ กระแสกระชากตอนเปลี่ยนจังหวะ ลำดับเฟสด้านเดลต้า สตาร์-เดลต้าแบบปิดวงจร และการเดินสายหกเส้น
  - [Star–Delta Analysis — สตาร์-เดลต้าเชิงลึก: ตั้งไทเมอร์กี่วินาที เลือกเดินสตาร์หรือเดลต้า กระแส พลังงาน และงานวิจัยเชิงตัวเลข](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/star-delta-analysis/): ตั้งไทเมอร์จากค่าคงตัวเวลาทางกล τm = J·ωs/Tn ช่วงตายกับแรงดันค้าง ลำดับเฟส KM3 แบบตามหลัง สตาร์-เดลต้าแบบปิดวงจร I²t ความร้อนโรเตอร์ แรงดันตก เดินสตาร์ถาวรที่โหลดเบา กรณีศึกษา อดีต ปัจจุบัน อนาคต และแล็บจำลองพลวัต
  - [Soft starters, autotransformer starters and a comparison of motor starting methods — ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ ออโต้ทรานส์ฟอร์เมอร์ และการเปรียบเทียบวิธีสตาร์ทมอเตอร์: กระแส แรงบิด แรงดันตก และราคา](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/soft-starters/): ไทริสเตอร์ควบคุมมุมจุดชนวน ลดแรงดันแบบ ramp จำกัดกระแส ควบคุมแรงบิด บายพาสคอนแทกเตอร์ หยุดนุ่มสำหรับปั๊ม (water hammer) สตาร์ทด้วยออโต้ทรานส์ และตารางเลือกวิธีสตาร์ท
  - [Applied motor-control circuits from real plants — วงจรควบคุมมอเตอร์ประยุกต์ในงานจริง: สตาร์ทเรียงลำดับ ปั๊มน้ำลูกลอย สลับปั๊ม ปั๊มลมสวิตช์ความดัน มอเตอร์สองความเร็ว และรีเลย์ป้องกันเฟส](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/applied-circuits/): สตาร์ทเรียงลำดับด้วยไทเมอร์ สายพานหลายตัว ปั๊มน้ำควบคุมด้วยลูกลอยหรืออิเล็กโทรด สลับปั๊มหลัก-สำรอง Hand-Off-Auto ปั๊มลม มอเตอร์ดาห์ลันเดอร์ และรีเลย์ป้องกันเฟสขาด-กลับเฟส
  - [Variable frequency drives for motors — อินเวอร์เตอร์ (VFD) สำหรับมอเตอร์: วงจรเรียงกระแส บัส DC IGBT PWM การควบคุม V/f เวกเตอร์ และการต่อสายที่ถูกต้อง](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/vfd/): บัส DC 540–565 V จากไฟ 400 V PWM V/f คงที่และย่าน field weakening sensorless vector ห้ามมีคอนแทกเตอร์หรือคาปาซิเตอร์ด้านออก สายชีลด์ EMC ความยาวสาย dv/dt RCD Type B ตัวต้านทานเบรก และอินเวอร์เตอร์ 1 เฟสเข้า 3 เฟสออก
  - [Setting up and applying VFDs — ตั้งค่าและใช้งานอินเวอร์เตอร์: พารามิเตอร์พื้นฐาน ความเร็วหลายสเต็ป 0–10 V / 4–20 mA ปั๊มแรงดันคงที่ PID และการประหยัดพลังงานตามกฎแอฟฟินิตี](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/vfd-applications/): ขั้นตอนตั้งค่า 12 ข้อ เวลาเร่ง-ลด แหล่งคำสั่ง ความเร็วสเต็ป อินพุตแอนะล็อก ปั๊มน้ำแรงดันคงที่ สายพาน พัดลม กฎกำลัง ∝ n³ คำนวณการประหยัดพลังงานและระยะคืนทุน ลดพิกัดตามอุณหภูมิ และบายพาส
  - [Designing and installing motor circuits — ออกแบบและติดตั้งวงจรมอเตอร์: เลือกเบรกเกอร์ ขนาดสาย แรงดันตกขณะสตาร์ท ตู้ควบคุม ทดสอบ Megger และตารางแก้ปัญหา](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/design-installation/): ขั้นตอนออกแบบ 10 ข้อ ขนาดสายตามกระแสและแรงดันตก มาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้า วสท. และ IEC 60364 ตู้ IEC 61439 IP ความร้อนในตู้ ทดสอบความเป็นฉนวน ลูปเช็ก และอาการเสียที่พบบ่อยพร้อมสาเหตุ
  - [Motor starter simulator — ซิมูเลเตอร์วงจรสตาร์ทมอเตอร์: DOL กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้า ซอฟต์สตาร์ท และอินเวอร์เตอร์ เห็นกระแส แรงบิด ความเร็ว และหน้าสัมผัสทำงานจริง](https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/motor-lab/): กดปุ่ม START STOP เห็นเส้นทางไฟในวงจรควบคุม คอนแทกเตอร์ดูด ไทเมอร์นับ กราฟกระแส แรงบิด ความเร็วรอบแบบเรียลไทม์ ใส่ความผิดพลาด เช่น โอเวอร์โหลด เฟสขาด และเปรียบเทียบวิธีสตาร์ท
- [PLC Automation — การควบคุมอัตโนมัติด้วย PLC](https://modsengineeringmath.com/learn/plc/): PLC ตั้งแต่โครงสร้างและวงรอบการสแกน การต่อสาย I/O PNP/NPN แลดเดอร์ ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ ภาษา IEC 61131-3 ควบคุมมอเตอร์ DOL กลับทาง สตาร์-เดลต้า การควบคุมแบบลำดับขั้น อนาล็อก PID สั่งอินเวอร์เตอร์ ทดสอบระบบและความปลอดภัย พร้อมซิมูเลเตอร์แลดเดอร์ในเบราว์เซอร์
  - [What a PLC is — PLC คืออะไร: โครงสร้าง CPU หน่วยความจำ I/O วงรอบการสแกน เวลาสแกน มาตรฐาน IEC 61131 และการเลือก PLC](https://modsengineeringmath.com/learn/plc/plc-fundamentals/): ประวัติจากรีเลย์สู่ PLC สถาปัตยกรรม การสแกนอินพุต-โปรแกรม-เอาต์พุต เวลาสแกนและเวลาตอบสนอง PLC แบบคอมแพกต์ โมดูลาร์ เซฟตี้ เทียบรีเลย์และไมโครคอนโทรลเลอร์ และยี่ห้อที่ใช้ในภูมิภาค
  - [Wiring PLC inputs and outputs — การต่อสายอินพุต-เอาต์พุต PLC: ซิงก์-ซอร์ส เซนเซอร์ PNP/NPN เอาต์พุตรีเลย์-ทรานซิสเตอร์ โหลดเหนี่ยวนำ และแหล่งจ่าย 24 VDC](https://modsengineeringmath.com/learn/plc/io-wiring/): อินพุต 24 VDC ตาม IEC 61131-2 ซิงก์กับซอร์ส เซนเซอร์ 3 สาย PNP NPN และ 2 สาย เอาต์พุตรีเลย์ ทรานซิสเตอร์ ไทรแอก ไดโอดและ RC สนับเบอร์ รีเลย์ต่อกลาง อนาล็อก 4–20 mA และการเลือกแหล่งจ่าย
  - [Ladder diagram basics — แลดเดอร์ไดอะแกรมพื้นฐาน: หน้าสัมผัส NO NC คอยล์ AND OR ล็อกตัวเอง SET RESET ขอบสัญญาณ และพีชคณิตบูลีน](https://modsengineeringmath.com/learn/plc/ladder-basics/): อ่านแลดเดอร์เหมือนวงจรรีเลย์ ตารางความจริง ปุ่ม STOP ที่ต่อแบบ NC ใช้หน้าสัมผัส NO ในโปรแกรม ทำไม? คอยล์ซ้ำ ขอบขาขึ้น-ขาลง และรูปแบบแอดเดรส Mitsubishi Omron Siemens IEC
  - [IEC 61131-3 timers and counters — ไทเมอร์และเคาน์เตอร์ตาม IEC 61131-3: TON TOF TP CTU CTD CTUD พร้อมไดอะแกรมเวลาและตัวอย่างงานจริง](https://modsengineeringmath.com/learn/plc/timers-counters/): หน่วงเวลาเปิด หน่วงเวลาปิด พัลส์ วงจรไฟกะพริบ นับชิ้นงาน รีเซ็ต เคาน์เตอร์ความเร็วสูง และกับดักเวลาสแกน
  - [PLC programming languages in IEC 61131-3 — ภาษาโปรแกรม PLC ตาม IEC 61131-3: LD FBD ST SFC และ IL โปรแกรมเดียวกันในหลายภาษา ชนิดข้อมูล และการเลือกใช้](https://modsengineeringmath.com/learn/plc/iec-languages/): แลดเดอร์ ฟังก์ชันบล็อก Structured Text Sequential Function Chart ชนิดข้อมูล BOOL INT REAL TIME ฟังก์ชันบล็อกที่สร้างเอง และเมื่อไรควรใช้ภาษาไหน
  - [Motor control with a PLC — ควบคุมมอเตอร์ด้วย PLC: DOL กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้า รายการ I/O การต่อสาย อินเตอร์ล็อกฮาร์ดไวร์ และการตรวจสอบป้อนกลับคอนแทกเตอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/plc/plc-motor-control/): แปลงวงจรคอนแทกเตอร์เป็นแลดเดอร์และ ST สิ่งที่ต้องคงไว้ในฮาร์ดแวร์ อินพุตโอเวอร์โหลด ตรวจคอนแทกเตอร์ค้าง และแบบวงจร PLC ควบคุมสตาร์-เดลต้าครบชุด
  - [Sequential control — การควบคุมแบบลำดับขั้น: สเตตแมชชีน SFC/GRAFCET สัญญาณไฟจราจร สายพานคัดแยก และถังผสมแบบแบตช์](https://modsengineeringmath.com/learn/plc/sequential-control/): ออกแบบด้วยแผนภาพสถานะ ขั้นและเงื่อนไขเปลี่ยนขั้น เขียนเป็นแลดเดอร์แบบ SET/RESET และ ST แบบ CASE โหมดอัตโนมัติ-มือ หยุดฉุกเฉินและการกลับสู่จุดเริ่ม
  - [Analog, PID and commanding VFDs from a PLC — อนาล็อก PID และการสั่งงานอินเวอร์เตอร์ด้วย PLC: สเกล 4–20 mA บล็อก PID ปั๊มแรงดันคงที่ และ Modbus RTU](https://modsengineeringmath.com/learn/plc/analog-pid-vfd/): สูตรสเกลค่า raw เป็นหน่วยวิศวกรรม ตรวจสายขาด PID แบบ positional ปรับจูน สั่ง VFD ด้วยดิจิทัล อนาล็อก และ Modbus RTU พร้อมแผนที่รีจิสเตอร์ตัวอย่าง
  - [PLC commissioning, machine safety and troubleshooting — ทดสอบระบบ PLC ความปลอดภัยเครื่องจักร และการแก้ปัญหา: ลูปเช็ก การ Force หยุดฉุกเฉิน IEC 60204-1 ISO 13849 และเอกสาร](https://modsengineeringmath.com/learn/plc/commissioning-safety/): ขั้นตอนก่อนจ่ายไฟ ทดสอบ I/O ทีละจุด อันตรายของการ Force หมวดหยุด 0/1/2 รีเลย์เซฟตี้ PL และ SIL การสำรองโปรแกรม และผังแก้ปัญหา
  - [In-browser PLC ladder simulator — ซิมูเลเตอร์ PLC แลดเดอร์ในเบราว์เซอร์: เขียนโปรแกรม เห็นกระแสไหลในแลดเดอร์ ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ และตัวอย่างพร้อมใช้](https://modsengineeringmath.com/learn/plc/plc-lab/): แก้ไขโปรแกรมแบบข้อความ แสดงเป็นแลดเดอร์อัตโนมัติ กดอินพุตแล้วเห็นการสแกน TON TOF CTU SET RESET ขอบสัญญาณ ตัวอย่าง DOL กลับทาง สตาร์-เดลต้า ไฟจราจร ถังน้ำ และใบงาน
- [AC Motor Control: Contactors, Star–Delta & VFDs — AC Motor Control with Magnetic Contactors & VFDs](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/): Industrial three-phase induction motors on the 230/400 V 50 Hz systems of Thailand and its neighbours, star and delta connections, magnetic contactors and overloads, IEC symbols and drawings, DOL, reversing, a detailed star–delta starter, soft starters, VFDs, design and installation, and a simulator.
  - [Three-phase induction motors for industry — Three-phase induction motors for industry: rotating field, slip, torque–speed curve, starting current and the nameplate](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/induction-motor/): Rotating field n_s = 120f/p, slip, equivalent circuit, torque–speed curve, 6–8× starting current, IE2–IE4 efficiency (IEC 60034-30-1), reading the nameplate and rated current from kW
  - [Low-voltage 230/400 V 50 Hz supply in Thailand, Laos, Cambodia, Vietnam, Myanmar, Malaysia and Singapore — Low-voltage 230/400 V 50 Hz supply in Thailand, Laos, Cambodia, Vietnam, Myanmar, Malaysia and Singapore: line and phase voltage, earthing systems and their effect on motors](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/supply-systems/): IEC 60038, declared voltages per country from 220/380 to 230/400 V, ±10 % tolerance, TN-C-S and TT earthing, phase sequence, voltage unbalance and 60 Hz motors on 50 Hz
  - [Star and delta motor connections — Star and delta motor connections: the U1 V1 W1 / W2 U2 V2 terminal box, 230/400 V vs 400/690 V motors, and reversing](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/motor-connections/): Voltage per winding, line vs phase current, terminal-box links, choosing the connection from the nameplate, which motors can be star-delta started, checking rotation and the mistakes that burn motors
  - [Magnetic contactors, overload relays, motor-protection breakers and control devices — Magnetic contactors, overload relays, motor-protection breakers and control devices: AC-3, trip class, timers, push-buttons and pilot lights](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/control-devices/): Contactor construction, coil, main and auxiliary contacts, utilization categories AC-1 AC-3 AC-4 (IEC 60947-4-1), class 10/20 overloads, MPCBs, aM fuses, Type 1/2 coordination, timers and IEC 60204-1 colours
  - [Reading motor-control drawings — Reading motor-control drawings: IEC 60617 vs NEMA symbols, IEC 81346 device codes, terminal markings, wire numbers and cross-references](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/diagrams-symbols/): Power vs control circuits, contact, coil and timer symbols, terminal markings 1/L1–2/T1, A1–A2, 13–14, 21–22, device letters -Q -K -F -S -H -M, cross-referencing and European, American and Japanese drawing styles
  - [Direct-on-line starter — Direct-on-line starter: power circuit, self-holding control circuit, two-location control, jogging and step-by-step device selection](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/dol-starter/): Self-holding (latching) contact, why STOP is a normally-closed button in series, multi-location control, jog, pilot lights, and selecting the MPCB, contactor and cable for a 7.5 kW 400 V motor
  - [Three-phase motor reversing circuits — Three-phase motor reversing circuits: swapping two phases, electrical, mechanical and push-button interlocks, and automatic reversing with limit switches](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/forward-reverse/): Why swapping L1 and L3 reverses rotation, three layers of interlock against a phase-to-phase short, reversing via STOP vs direct, roller doors, hoists, conveyors and limit switches
  - [The star–delta starter in detail — The star–delta starter in detail: power and control circuits, 0.58·In contactor sizing, overload setting, timer and changeover time](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/star-delta/): Current and torque reduced to 1/3, contactors KM1 KM2 KM3, overload at 0.58·In, timer setting, Y–Δ dead time, transition current peaks, phase order on the delta side, closed-transition starters and six-wire cabling
  - [Star–Delta Analysis — Star–Delta Analysis: Timer Setting, Star or Delta Operation, Currents, Energy and Numerical Research](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/star-delta-analysis/): Timer from the mechanical time constant τm = J·ωs/Tn, dead time and residual voltage, the lagging KM3 order, closed transition, I²t, rotor heat, voltage dip, running in star at light load, case studies, past, present and future, and a dynamic simulation lab
  - [Soft starters, autotransformer starters and a comparison of motor starting methods — Soft starters, autotransformer starters and a comparison of motor starting methods: current, torque, voltage dip and cost](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/soft-starters/): Thyristor phase-angle control, voltage ramp, current limit, torque control, bypass contactor, soft stop against water hammer, autotransformer starting and a starting-method selection table
  - [Applied motor-control circuits from real plants — Applied motor-control circuits from real plants: sequence starting, float-switch pumps, duty/standby alternation, pressure-switch compressors, two-speed motors and phase-failure relays](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/applied-circuits/): Timed sequence starting, conveyor chains, float or electrode pump control, duty/standby alternation, Hand-Off-Auto, compressors, Dahlander two-speed motors and phase-loss/phase-reversal relays
  - [Variable frequency drives for motors — Variable frequency drives for motors: rectifier, DC bus, IGBT PWM, V/f and vector control, and correct wiring](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/vfd/): 540–565 V DC bus from 400 V, PWM, constant V/f and field weakening, sensorless vector, no contactor or capacitor on the output, shielded cable and EMC, cable length and dv/dt, RCD Type B, braking resistor, and single-phase-in three-phase-out drives
  - [Setting up and applying VFDs — Setting up and applying VFDs: basic parameters, multi-speed, 0–10 V / 4–20 mA, constant-pressure PID pumping and energy savings from the affinity laws](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/vfd-applications/): A 12-step commissioning procedure, accel/decel times, command source, preset speeds, analog inputs, constant-pressure pumps, conveyors, fans, P ∝ n³, energy-saving and payback calculation, temperature derating and bypass
  - [Designing and installing motor circuits — Designing and installing motor circuits: breaker selection, cable size, starting voltage dip, control panels, megger testing and a troubleshooting table](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/design-installation/): A 10-step design procedure, cable sizing for current and voltage drop, Thai EIT wiring code and IEC 60364, IEC 61439 panels, IP rating, panel heat, insulation-resistance testing, loop checks and common faults with causes
  - [Motor starter simulator — Motor starter simulator: DOL, reversing, star–delta, soft starter and VFD with live current, torque, speed and contacts](https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/motor-lab/): Press START and STOP and watch power flow through the control circuit, contactors pull in, the timer run and current, torque and speed plotted in real time; inject faults such as overload and phase loss and compare starting methods
- [PLC Automation — PLC Automation](https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/): PLCs from architecture and the scan cycle to PNP/NPN I/O wiring, ladder logic, timers, counters, the IEC 61131-3 languages, motor control (DOL, reversing, star–delta), sequential control, analog and PID, commanding VFDs, commissioning and safety, with an in-browser ladder simulator.
  - [What a PLC is — What a PLC is: CPU, memory and I/O architecture, the scan cycle, scan time, IEC 61131 and choosing a PLC](https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/plc-fundamentals/): From relays to PLCs, architecture, the input–program–output scan, scan and response time, compact, modular and safety PLCs, PLC vs relays vs microcontrollers, and brands used in the region
  - [Wiring PLC inputs and outputs — Wiring PLC inputs and outputs: sinking and sourcing, PNP/NPN sensors, relay vs transistor outputs, inductive loads and the 24 VDC supply](https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/io-wiring/): 24 VDC inputs per IEC 61131-2, sink vs source, 3-wire PNP/NPN and 2-wire sensors, relay, transistor and triac outputs, diodes and RC snubbers, interposing relays, 4–20 mA analog and power-supply sizing
  - [Ladder diagram basics — Ladder diagram basics: NO and NC contacts, coils, AND, OR, self-holding, SET/RESET, edges and Boolean algebra](https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/ladder-basics/): Reading ladder like a relay circuit, truth tables, why a STOP button wired NC is programmed with an NO contact, double coils, rising and falling edges, and Mitsubishi, Omron, Siemens and IEC addressing
  - [IEC 61131-3 timers and counters — IEC 61131-3 timers and counters: TON, TOF, TP, CTU, CTD and CTUD with timing diagrams and real examples](https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/timers-counters/): On-delay, off-delay, pulse, flasher circuits, part counting, reset, high-speed counters and scan-time pitfalls
  - [PLC programming languages in IEC 61131-3 — PLC programming languages in IEC 61131-3: LD, FBD, ST, SFC and IL — one program in several languages, data types and when to use which](https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/iec-languages/): Ladder, function block diagram, Structured Text and Sequential Function Chart, data types BOOL INT REAL TIME, user function blocks, and choosing a language
  - [Motor control with a PLC — Motor control with a PLC: DOL, reversing, star–delta, I/O lists, wiring, hard-wired interlocks and contactor feedback monitoring](https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/plc-motor-control/): Translating contactor circuits into ladder and ST, what must stay in hardware, overload inputs, detecting welded contactors, and a complete PLC star–delta drawing
  - [Sequential control — Sequential control: state machines, SFC/GRAFCET, traffic lights, sorting conveyors and batch mixing tanks](https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/sequential-control/): Designing with state diagrams, steps and transitions, implementing in ladder with SET/RESET and in ST with CASE, auto/manual modes, emergency stop and homing
  - [Analog, PID and commanding VFDs from a PLC — Analog, PID and commanding VFDs from a PLC: 4–20 mA scaling, the PID block, constant-pressure pumping and Modbus RTU](https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/analog-pid-vfd/): Scaling raw counts to engineering units, wire-break detection, positional PID and tuning, commanding a VFD by digital, analog and Modbus RTU, with a sample register map
  - [PLC commissioning, machine safety and troubleshooting — PLC commissioning, machine safety and troubleshooting: loop checks, forcing, emergency stop, IEC 60204-1, ISO 13849 and documentation](https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/commissioning-safety/): Pre-power checks, point-by-point I/O tests, the dangers of forcing, stop categories 0/1/2, safety relays, PL and SIL, program backups and a troubleshooting flow
  - [In-browser PLC ladder simulator — In-browser PLC ladder simulator: write a program, watch power flow, timers and counters, with ready-made examples](https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/plc-lab/): Edit the program as text, see it drawn as ladder automatically, toggle inputs and watch the scan, TON TOF CTU SET RESET and edges, with DOL, reversing, star–delta, traffic light and tank examples and worksheets
- [AC Induction Motors · Complete Guide — มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับ ฉบับสมบูรณ์](https://modsengineeringmath.com/learn/ac-induction-motor/): มอเตอร์เหนี่ยวนำตั้งแต่ระบบไฟฟ้าไทยถึงเพลา: มอเตอร์ 1 เฟสและ 3 เฟส กรงกระรอก กรงคู่ โรเตอร์พันขดลวด กราฟแรงบิด-ความเร็วกับเส้นโหลด ทรานเซียนต์ สตาร์-เดลต้าเชิงลึก และการออกแบบสาย-เบรกเกอร์ พร้อมแล็บจำลอง
- [Multivariable & Vector Calculus — แคลคูลัสหลายตัวแปรและแคลคูลัสเวกเตอร์](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/): ฟังก์ชันหลายตัวแปร อนุพันธ์ย่อย gradient ค่าสุดขีดและ Lagrange อินทิกรัลสองชั้น-สามชั้น ฟังก์ชันเวกเตอร์ divergence curl อินทิกรัลตามเส้น Green Gauss Stokes พร้อมงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา และแล็บโต้ตอบ 15 ชุด
  - [Functions of Several Variables — ฟังก์ชันหลายตัวแปร (Functions of Several Variables) คืออะไร: โดเมน กราฟผิว เส้นชั้นความสูง และลิมิต](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/functions-of-several-variables/): z = f(x, y) กราฟเป็นผิว โดเมนและเรนจ์ เส้นชั้นความสูง (level curves) ผิวระดับ (level surfaces) ผิวกำลังสอง ลิมิตตามหลายเส้นทางและความต่อเนื่อง พร้อมแล็บพื้นผิว 3 มิติกับแผนที่ contour
  - [Partial Derivatives — อนุพันธ์ย่อย (Partial Derivatives): สูตร ตัวอย่าง ระนาบสัมผัส กฎลูกโซ่ และการประมาณความคลาดเคลื่อน](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/partial-derivatives/): อนุพันธ์ย่อยคืออะไร ความหมายเชิงเรขาคณิต อนุพันธ์อันดับสูงและทฤษฎีบทของแคลโร ระนาบสัมผัสและการประมาณเชิงเส้น ผลต่างรวม กฎลูกโซ่ อนุพันธ์โดยปริยาย และการแพร่ความคลาดเคลื่อน
  - [Gradient & Directional Derivative — เกรเดียนต์ (Gradient) และอนุพันธ์ตามทิศ (Directional Derivative): ความหมาย สูตร และตัวอย่าง](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/gradient-directional-derivative/): ∇f ชี้ทางขึ้นชันที่สุด D_u f = ∇f·u ตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง เวกเตอร์ปกติของผิวระดับ ระนาบสัมผัสของ F(x,y,z)=c และ gradient descent พร้อมแล็บกราฟขั้ว
  - [Optimization, Lagrange Multipliers & Least Squares — ค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันหลายตัวแปร: จุดวิกฤต Hessian ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange Multiplier) และกำลังสองน้อยสุด](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/optimization/): ∇f = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง (D = fxx fyy − fxy²) ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บนบริเวณปิด ตัวคูณลากรองจ์ λ ความหมายของ λ การถดถอยเชิงเส้นด้วยกำลังสองน้อยสุด และโจทย์ออกแบบวิศวกรรม
  - [Double & Triple Integrals — อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น (Double & Triple Integrals): พิกัดขั้ว ทรงกระบอก ทรงกลม และ Jacobian](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/multiple-integrals/): ผลรวมรีมันน์ในสองมิติ ทฤษฎีบทฟูบินี บริเวณ type I/II สลับลำดับ พิกัดขั้ว อินทิกรัลสามชั้น พิกัดทรงกระบอกและทรงกลม จาโคเบียนเปลี่ยนตัวแปร มวล จุดศูนย์กลางมวล และโมเมนต์ความเฉื่อย
  - [Vector-Valued Functions & Space Curves — ฟังก์ชันเวกเตอร์ (Vector-Valued Functions): เส้นโค้งในอวกาศ ความเร็ว ความเร่ง ความยาวส่วนโค้ง และความโค้ง](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/vector-functions/): r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ ลิมิต อนุพันธ์ อินทิกรัล เส้นสัมผัส ความเร็ว-ความเร่ง ลูกกระสุน ความยาวส่วนโค้ง ความโค้ง κ กรอบ Frenet–Serret (T, N, B) torsion และ a_T a_N พร้อมแล็บเส้นโค้ง 3 มิติ
  - [Vector Fields: Divergence & Curl — สนามเวกเตอร์ (Vector Fields): Gradient, Divergence, Curl และสนามอนุรักษ์](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/vector-fields/): F(x,y,z) ตัวดำเนินการ ∇ ดีเวอร์เจนซ์ เคิร์ล ลาปลาเซียน เอกลักษณ์ curl(grad)=0 และ div(curl)=0 สนามอนุรักษ์และฟังก์ชันศักย์ เส้นกระแส พร้อมแล็บสนามเวกเตอร์ที่วัด div curl บนวงกลม
  - [Line Integrals & Green's Theorem — อินทิกรัลตามเส้น (Line Integrals) งานของแรง และทฤษฎีบทกรีน (Green's Theorem)](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/line-integrals/): ∫ f ds และ ∫ F·dr งานของแรงตามเส้นทาง ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น ความไม่ขึ้นกับเส้นทาง ทฤษฎีบทกรีนทั้งรูปการหมุนและฟลักซ์ พื้นที่ด้วยอินทิกรัลเส้น และตัวอย่างวิศวกรรม
  - [Surface Integrals, Divergence Theorem & Stokes' Theorem — อินทิกรัลบนผิว (Surface Integrals) ฟลักซ์ ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ (Gauss) และทฤษฎีบทสโตกส์ (Stokes)](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/surface-integrals/): ผิวพารามิเตอร์ พื้นที่ผิว ฟลักซ์ ∬F·n dS ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ ทฤษฎีบทสโตกส์ กฎของเกาส์ กฎของฟาราเดย์ และสมการแมกซ์เวลล์ พร้อมตัวตรวจ Gauss–Stokes ที่คำนวณทั้งสองฝั่ง
  - [Multivariable Calculus in Electrical Engineering — แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมไฟฟ้า: สนามไฟฟ้า ศักย์ กฎของเกาส์ ตัวเก็บประจุ และสมการแมกซ์เวลล์](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/electrical-engineering/): E = −∇V ประจุจุดและแล็บลากประจุ กฎของเกาส์ในรูปปริพันธ์และอนุพันธ์ สมการลาปลาซ-พัวซอง ความจุของตัวเก็บประจุ ฟลักซ์แม่เหล็กและกฎของฟาราเดย์ เวกเตอร์พอยน์ติง และความต้านทานจากสนาม
  - [Multivariable Calculus in Mechanical Engineering — แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมเครื่องกล: การนำความร้อน การไหลของของไหล จุดศูนย์กลางมวล และจาโคเบียนหุ่นยนต์](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/mechanical-engineering/): กฎของฟูริเยร์ q = −k∇T สมการความร้อนและลาปลาซ ท่อกลมและผนัง ความต่อเนื่อง ∇·v = 0 ความหมุนวน (vorticity) ของไหล จุดศูนย์กลางมวลและโมเมนต์ความเฉื่อย อนุพันธ์ย่อยทางเทอร์โมไดนามิกส์ และจาโคเบียนแขนกล
  - [Multivariable Calculus in Civil Engineering — แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมโยธา: ภูมิประเทศ ดินขุด-ถม คุณสมบัติหน้าตัด แรงดันน้ำ และการไหลซึมของน้ำ](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/civil-engineering/): แผนที่เส้นชั้นความสูง ความชันและทิศน้ำไหล ปริมาตรดินขุด-ถมด้วยอินทิกรัลสองชั้น ระดับสมดุล A ȳ I ของหน้าตัดด้วยทฤษฎีบทกรีน น้ำหนักแผ่นพื้นที่กระจายไม่สม่ำเสมอ แรงดันน้ำบนผิวโค้ง และฟลักซ์ซึมผ่านดิน
  - [Multivariable Calculus Lab Bench — แล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร: พื้นผิว gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล เส้นโค้ง สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes ในหน้าเดียว](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/multivariable-lab/): ห้องแล็บ 19 ชุดในหน้าเดียว: พื้นผิวและระนาบสัมผัส gradient และ gradient descent จุดวิกฤต Lagrange กำลังสองน้อยสุด อินทิกรัลสองชั้น-สามชั้น Jacobian เส้นโค้งในอวกาศ สนามเวกเตอร์ และตัวตรวจ Gauss–Stokes
- [DC Circuit Analysis — วงจรไฟฟ้ากระแสตรง](https://modsengineeringmath.com/learn/dc-circuits/): วงจร DC ตั้งแต่ศูนย์ถึงระดับโอลิมปิก: ปริมาณพื้นฐาน R L C แหล่งจ่ายไม่อิสระ KCL KVL อนุกรม-ขนาน Δ-Y วิธีโหนด เมช MNA เทวินิน นอร์ตัน กำลังสูงสุด ทรานเซียนต์ RC RL RLC เทคโนโลยี DC ล่าสุด แล็บต่อวงจรที่แก้สมการจริง และโจทย์ 4 ระดับ
- [Sequences & Series — ลำดับและอนุกรม: จากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/): ลำดับ ลิมิตของลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้าทุกแบบ อนุกรมสลับ อนุกรมกำลัง อนุกรมเทย์เลอร์-แมคลอริน อนุกรมโลรองต์ และอุปนัยแบบเข้ม ตั้งแต่ระดับเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม พร้อมเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ 6 ชุด แล็บ 23 ชุด แนวข้อสอบ 60 ข้อ และเครื่องสุ่มโจทย์
  - [Sequences & Their Limits — ลำดับ (Sequences): เลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ และทฤษฎีบทการลู่เข้า](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/sequences/): นิยามลำดับ สูตรพจน์ทั่วไป ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต ฮาร์มอนิก ความสัมพันธ์เวียนเกิดและสมการลักษณะเฉพาะ ลิมิต ε–N ทฤษฎีบทลิมิต แซนด์วิช ลำดับทางเดียวมีขอบเขต ลำดับย่อย ลำดับโคชี และลิมิตมาตรฐาน
  - [Infinite Series — อนุกรมอนันต์ (Infinite Series): ผลบวกย่อย อนุกรมเรขาคณิต กล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก และอนุกรม p](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/infinite-series/): อนุกรมคือลิมิตของผลบวกย่อย อนุกรมเรขาคณิตและทศนิยมซ้ำ อนุกรมกล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก อนุกรม p สมบัติเชิงเส้น nth-term test สูตรผลบวก Σk Σk² Σk³ และอนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต พร้อมแล็บผลบวกย่อย
  - [Convergence Tests for Series — การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม (Convergence Tests): พจน์ที่ n ปริพันธ์ เปรียบเทียบ อัตราส่วน ราก และผังเลือกใช้](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/convergence-tests/): nth-term test การทดสอบด้วยปริพันธ์และขอบเขตเศษเหลือ การเปรียบเทียบโดยตรงและแบบลิมิต อัตราส่วน ราก การควบแน่นของโคชี ราบี และผังตัดสินใจเลือกการทดสอบ พร้อมเกมฝึกเลือกการทดสอบ
  - [Alternating Series & Absolute Convergence — อนุกรมสลับและการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (Alternating Series & Absolute Convergence): ไลบ์นิซ ความคลาดเคลื่อน และการจัดเรียงใหม่](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/alternating-series/): การทดสอบอนุกรมสลับ (Leibniz) ขอบเขตความคลาดเคลื่อน ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์และมีเงื่อนไข ทฤษฎีบทการจัดเรียงใหม่ของรีมันน์ การทดสอบดีริชเลต์-อาเบล และผลคูณโคชี พร้อมแล็บจัดเรียงอนุกรมให้ได้ผลบวกที่ต้องการ
  - [Power Series — อนุกรมกำลัง (Power Series): รัศมีและช่วงการลู่เข้า อนุพันธ์-อินทิกรัลทีละพจน์ และการแทนฟังก์ชัน](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/power-series/): รูปทั่วไป Σcₙ(x − a)ⁿ หารัศมีการลู่เข้าด้วยอัตราส่วน ราก และโคชี-อาดามาร์ ตรวจปลายช่วง อนุพันธ์และอินทิกรัลทีละพจน์ แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรมเรขาคณิต ทฤษฎีบทของอาเบล และแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยอนุกรม
  - [Taylor & Maclaurin Series — อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน (Taylor & Maclaurin Series): สูตร ตารางอนุกรม เศษเหลือ ทวินาม และการประมาณค่า](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/taylor-series/): สร้างพหุนามเทย์เลอร์ ตารางแมคลอรินที่ต้องจำ ทฤษฎีบทเทย์เลอร์และเศษเหลือลากรองจ์ จำนวนพจน์ที่ต้องใช้ อนุกรมทวินาม เทคนิคแทนค่า คูณ หาร หาลิมิตด้วยอนุกรม หาผลบวกอนุกรม สูตรออยเลอร์ และฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันวิเคราะห์
  - [Laurent Series — อนุกรมโลรองต์ (Laurent Series): บริเวณวงแหวน ภาวะเอกฐาน เรซิดิว และการแปลง Z](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/laurent-series/): ทำไมอนุกรมเทย์เลอร์ใช้ไม่ได้ใกล้จุดเอกฐาน วงแหวนการลู่เข้า ส่วนหลัก กระจาย 1/((z−1)(z−2)) ทั้งสามบริเวณ จุดเอกฐานถอดได้ โพล เอกฐานแท้ เรซิดิวและทฤษฎีบทเรซิดิว และการแปลง Z ที่แท้จริงคืออนุกรมโลรองต์
  - [Series in Engineering — อนุกรมในงานวิศวกรรม (Series in Engineering): การประมาณ วงจรไม่เชิงเส้น สัญญาณดิจิทัล การแปลง Z และวิธีเชิงตัวเลข](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/engineering-applications/): ประมาณมุมเล็กและคาบลูกตุ้ม แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด บันไดตัวต้านทานอนันต์ การคำนวณ sin และ eˣ ในไมโครคอนโทรลเลอร์ ตัวกรองดิจิทัลและการแปลง Z มูลค่าปัจจุบันของโครงการ และการแพร่ความคลาดเคลื่อน
  - [Sequences & Series Exam Practice — แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม (Exam Practice): เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย มิดเทอม และไฟนอล พร้อมเฉลยละเอียดและโจทย์สุ่ม](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/exam-practice/): โจทย์แบ่งสามระดับ: เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย (A-Level · TCAS) แคลคูลัส 1-2 ในมหาวิทยาลัย และคณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง ทุกข้อมีเฉลยทีละขั้น พร้อมเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัดที่ตรวจคำตอบให้ทันที
  - [Sequences & Series Lab Bench — แล็บลำดับและอนุกรม (Series Lab): ผลบวกย่อย การทดสอบ อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ในหน้าเดียว](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/series-lab/): รวมเครื่องมือโต้ตอบทุกบท: สำรวจลำดับและใยแมงมุม ผลบวกย่อย ทดสอบการลู่เข้า ขอบเขตปริพันธ์ จัดเรียงอนุกรมสลับ รัศมีการลู่เข้าในระนาบเชิงซ้อน พหุนามเทย์เลอร์ จำนวนพจน์ที่ต้องใช้ และวงแหวนโลรองต์
  - [Sequence & Series Calculators — เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม (Sequence & Series Calculators): พื้นฐาน กลาง ขั้นสูง พร้อมวิธีทำและโหมดฝึก](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/calculators/): ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต (กรอก 3 ค่า หาที่เหลือ) ซิกมาแบบรูปปิด (สูตรผลบวกกำลัง กล้องส่องทางไกล พหุนาม×rᵏ) หาสูตรจากพจน์ด้วยตารางผลต่าง แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดพร้อมฟังก์ชันก่อกำเนิดและบทพิสูจน์ ออยเลอร์–แมคลอริน ทศนิยมซ้ำ และเงินงวด ทุกเครื่องมือแสดงวิธีทำและสุ่มโจทย์ฝึก
  - [Strong Induction — อุปนัยแบบเข้ม (Strong Induction): หลักการ จำนวนกรณีฐาน ตัวอย่างเข้มข้น 17 ข้อ และแล็บฝึกพิสูจน์](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/strong-induction/): หลักอุปนัยแบบเข้มและความเท่าเทียมกับอุปนัยธรรมดาและหลักการจัดอันดับดี กฎจำนวนกรณีฐาน แสตมป์และจำนวนโฟรเบเนียส ทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิต ฟีโบนัชชีและสูตรบิเนต์ ขอบเขตเรขาคณิต ช็อกโกแลต ปูกระเบื้อง เซกเคนดอร์ฟ เกมหยิบ merge sort เบซู และระบบควบคุมดิจิทัล

## Articles (short answers to common search questions, each linking into the lessons; grouped by category)
- [All articles](https://modsengineeringmath.com/blog/)
### Sequences & Series (ลำดับและอนุกรม)
- [Category page: ลำดับและอนุกรม](https://modsengineeringmath.com/blog/category/sequences-series/): รวมบทความลำดับและอนุกรมภาษาไทย ผังเลือกวิธีทดสอบการลู่เข้า สูตรอนุกรมเรขาคณิต รัศมีการลู่เข้า อนุกรมเทย์เลอร์ อนุกรมโลรองต์ และอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ พร้อมตัวอย่างที่ตรวจแล้ว
- [เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น พร้อมตัวอย่างทุกขั้น](https://modsengineeringmath.com/blog/convergence-test-flowchart/): วิธีเลือกการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมให้ถูกตั้งแต่ครั้งแรก: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น (พจน์ที่ n เรขาคณิต อนุกรม p กล้องส่องทางไกล เปรียบเทียบลิมิต อัตราส่วน ราก ปริพันธ์ อนุกรมสลับ) พร้อมตัวอย่างและกับดัก
- [อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)](https://modsengineeringmath.com/blog/laurent-series-vs-taylor-series/): อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว และความเชื่อมโยงกับการแปลง Z พร้อมตัวอย่างทีละขั้น
- [รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร: 3 วิธี ตรวจปลายช่วง และเหตุผลจากระนาบเชิงซ้อน](https://modsengineeringmath.com/blog/radius-of-convergence/): วิธีหารัศมีการลู่เข้า (radius of convergence) ของอนุกรมกำลัง 3 วิธี: การทดสอบอัตราส่วน การทดสอบราก และระยะถึงจุดเอกฐานเชิงซ้อน พร้อมขั้นตอนตรวจปลายช่วงเพื่อหาช่วงการลู่เข้าและตัวอย่างทีละขั้น
- [ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์](https://modsengineeringmath.com/blog/sequences-and-series-roadmap/): ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ ถึงอนุกรมโลรองต์
- [อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series): สูตร ตัวอย่าง และวิธีหาผลบวก](https://modsengineeringmath.com/blog/geometric-series-formula/): อนุกรมเรขาคณิตคืออะไร สูตรผลบวก n พจน์ และอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ (infinite geometric series) a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 พร้อมที่มาของสูตร ตัวอย่างทีละขั้น ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และการใช้ในงานวิศวกรรม
- [อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ตัวอย่างพร้อมวิธีทำทีละขั้น รวมอุปนัยแบบเข้ม](https://modsengineeringmath.com/blog/mathematical-induction-examples/): ตัวอย่างพิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 14 ข้อพร้อมวิธีทำ: เขียนข้อความ P(n) สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ ลำดับเวียนเกิด และอุปนัยแบบเข้ม (strong induction) พร้อมแม่แบบ 4 ขั้นและข้อผิดพลาดที่เสียคะแนน
- [อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์, Taylor Series) คืออะไร ใช้ทำอะไร พร้อมตัวอย่าง](https://modsengineeringmath.com/blog/what-is-taylor-series/): อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์) คืออะไร สูตรและตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ ตัวอย่าง 8 ข้อ: ประมาณค่า กระจายรอบจุดอื่น ใช้กี่พจน์ หาอินทิกรัลและลิมิต พร้อมการใช้ในงานวิศวกรรม

### Vectors & Linear Algebra (เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น)
- [Category page: เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น](https://modsengineeringmath.com/blog/category/linear-algebra/): รวมบทความเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้นภาษาไทย dot product cross product ดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์ผกผัน แรงก์ กฎของคราเมอร์ และจาโคบีกับเกาส์-ไซเดล พร้อมตัวอย่างคำนวณทีละขั้น
- [กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้](https://modsengineeringmath.com/blog/cramers-rule/): สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k และเหตุผลที่คอมพิวเตอร์ไม่ใช้กับระบบใหญ่
- [สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง](https://modsengineeringmath.com/blog/determinant-properties/): สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์ พร้อมตัวอย่างโจทย์และกับดักที่พบบ่อย
- [แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเชิงตัวเลข: เกาส์ LU จาโคบี หรือเกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหนดี](https://modsengineeringmath.com/blog/jacobi-vs-gauss-seidel/): เปรียบเทียบวิธีเชิงตัวเลขสำหรับระบบสมการเชิงเส้นแบบเห็นภาพรวม การกำจัดแบบเกาส์กับการสลับแถว LU โชเลสกี จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR เงื่อนไขการลู่เข้า และเลขเงื่อนไข พร้อมตัวอย่างตัวเลขและตารางเลือกวิธี
- [เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม](https://modsengineeringmath.com/blog/matrix-determinant-roadmap/): แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน ป.ตรีต้องเพิ่มอะไร และแผนฝึก 7 วันพร้อมลิงก์บทเรียนและแล็บ
- [แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ](https://modsengineeringmath.com/blog/matrix-rank/): อธิบายแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ให้เห็นภาพ วิธีหาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ ใช้แรงก์ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี โจทย์พารามิเตอร์ k และการใช้ในวงจรไฟฟ้า
- [วิธีหา Determinant และ Inverse Matrix (2×2 และ 3×3) พร้อมตัวอย่าง](https://modsengineeringmath.com/blog/determinant-and-inverse-matrix/): สอนหาดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 ด้วยโคแฟกเตอร์ และหาอินเวอร์สเมทริกซ์ด้วยสูตร adjugate พร้อมตัวอย่างตัวเลขที่ตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับ และเงื่อนไขเมทริกซ์เอกฐาน
- [Dot Product กับ Cross Product ต่างกันอย่างไร: สูตร ความหมาย ตัวอย่าง](https://modsengineeringmath.com/blog/dot-product-cross-product/): เปรียบเทียบ dot product (ผลคูณเชิงสเกลาร์) กับ cross product (ผลคูณเชิงเวกเตอร์) ทั้งสูตร ความหมายทางเรขาคณิต วิธีคำนวณด้วยองค์ประกอบ และการใช้หางาน แรงบิด และมุม

### Laplace Transform (การแปลงลาปลาซ)
- [Category page: การแปลงลาปลาซ](https://modsengineeringmath.com/blog/category/laplace-transform/): รวมบทความการแปลงลาปลาซภาษาไทย Laplace transform คืออะไรและใช้ทำอะไรในวงจรไฟฟ้า ตารางสูตรที่ใช้บ่อย และการหา Inverse Laplace ด้วยเศษส่วนย่อย พร้อมตัวอย่างทีละขั้น
- [Inverse Laplace Transform ทำอย่างไร: วิธีเศษส่วนย่อย 3 กรณีพร้อมตัวอย่าง](https://modsengineeringmath.com/blog/inverse-laplace-transform-partial-fractions/): วิธีแปลงลาปลาซผกผันด้วยเศษส่วนย่อยสำหรับโพลเดี่ยว โพลซ้ำ และโพลเชิงซ้อน พร้อมตัวอย่างที่ตรวจคำตอบแล้ว และข้อควรระวังเมื่อดีกรีตัวเศษไม่น้อยกว่าตัวส่วน
- [ตารางการแปลงลาปลาซ (Laplace Transform Table) ที่ใช้บ่อย](https://modsengineeringmath.com/blog/laplace-transform-table/): ตารางคู่การแปลงลาปลาซ 15 คู่ที่พบบ่อยที่สุด และตารางคุณสมบัติ (เลื่อนเวลา เลื่อนความถี่ อนุพันธ์ ปริพันธ์ คอนโวลูชัน ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย) พร้อมเคล็ดลับการจำ
- [การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform) คืออะไร ใช้ทำอะไร](https://modsengineeringmath.com/blog/what-is-laplace-transform/): การแปลงลาปลาซเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ให้เป็นสมการพีชคณิต อธิบายนิยาม ขั้นตอน 3 ขั้น ตัวอย่าง y′ + 3y = 6 และวงจร RC ที่คำนวณทีละบรรทัด

### Control Systems & PID (ระบบควบคุมและ PID)
- [Category page: ระบบควบคุมและ PID](https://modsengineeringmath.com/blog/category/control-systems/): รวมบทความระบบควบคุมภาษาไทย PID controller คืออะไร ทำงานอย่างไร และคู่มือจูน PID ฉบับเต็มตั้งแต่ step test และ Ziegler–Nichols ไปจนถึง anti-windup พร้อมผลจำลองที่ตรวจแล้ว
- [การจูน PID ฉบับสมบูรณ์: จาก Step Test ถึง Ziegler–Nichols, SIMC และ Anti-Windup](https://modsengineeringmath.com/blog/pid-tuning-guide/): คอร์สจูน PID ครบในบทความเดียว: หาแบบจำลองด้วย step test จูนด้วย Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC และ relay เทียบผลด้วยการจำลอง แล้วแก้ปัญหา windup และสัญญาณรบกวนหน้างาน
- [PID Controller คืออะไร: Kp Ki Kd ทำงานอย่างไร และจูนอย่างไร](https://modsengineeringmath.com/blog/what-is-pid-controller/): ตัวควบคุม PID รวมสามเทอมคือสัดส่วน ปริพันธ์ และอนุพันธ์ของค่าผิดพลาด อธิบายผลของ Kp Ki Kd ตารางผลต่อการตอบสนอง ตัวอย่างจูนด้วย Ziegler–Nichols และปัญหาที่พบจริง

### Power Systems & Motors (ไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์)
- [Category page: ไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์](https://modsengineeringmath.com/blog/category/power-motors/): รวมบทความไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ภาษาไทย Power Factor คืออะไร คำนวณคาปาซิเตอร์แก้ PF การต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า และการตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้าจากงานวิจัย พร้อมตัวเลขจริง
- [ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที: ผลการทดลองเชิงตัวเลขของมอเตอร์เหนี่ยวนำกรงกระรอก เรื่องเวลาเปลี่ยนจังหวะ ช่วงตาย กระแส และพลังงาน](https://modsengineeringmath.com/blog/star-delta-timer-setting/): ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที? บทความวิจัยจำลองพลวัตมอเตอร์กรงกระรอก 7.5 kW: สูตร t = c·τm ตาราง c ตามชนิดโหลด ช่วงตาย ลำดับเฟส KM3 กระแสกระชาก I²t พลังงาน และกรณีศึกษา
- [การต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (Δ): จำ U1–W2, V1–U2, W1–V2 และเลือกจากเนมเพลต](https://modsengineeringmath.com/blog/3-phase-motor-delta-connection/): วิธีต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (delta) ในกล่องขั้ว U1-W2, V1-U2, W1-V2 ความหมายของ U1 V1 W1 U2 V2 W2 และสีสายไฟเข้า แรงดันกับกระแส การเลือกจากเนมเพลต 230/400 V กับ 400/690 V พร้อมคลิป 16 วินาที
- [วิธีคำนวณขนาดคาปาซิเตอร์แก้ Power Factor (kvar) พร้อมตัวอย่าง](https://modsengineeringmath.com/blog/power-factor-correction-capacitor-calculation/): สูตร Qc = P(tan φ1 − tan φ2) ตัวอย่างโหลด 100 kW 400 V ปรับ PF 0.75 เป็น 0.95 ได้ 55.3 kvar คำนวณไมโครฟารัดต่อเฟส ตารางตัวคูณ และข้อควรระวังเรื่องฮาร์มอนิก
- [Power Factor (เพาเวอร์แฟกเตอร์) คืออะไร: สูตร cos φ และความสัมพันธ์ kW kVA kvar](https://modsengineeringmath.com/blog/power-factor-explained/): Power Factor คืออัตราส่วนกำลังจริงต่อกำลังปรากฏ อธิบายสามเหลี่ยมกำลัง P Q S ตัวอย่างคำนวณกระแสเมื่อ PF 0.8 กับ 1.0 PF ตามหลังกับนำหน้า และผลของฮาร์มอนิก

### Programming & AI (การเขียนโปรแกรมและ AI)
- [Category page: การเขียนโปรแกรมและ AI](https://modsengineeringmath.com/blog/category/programming-ai/): รวมบทความการเขียนโปรแกรมสำหรับนักศึกษาและวิศวกรในยุค AI เริ่มต้นด้วย Python เข้าใจแนวคิดแกนกลาง สั่งงาน AI ให้ชัด และตรวจโค้ดด้วยความรู้วิศวกรรม พร้อมตัวอย่างวงจรจริง
- [เริ่มต้นเข้าใจการเขียนโปรแกรมในยุค AI: ทำไมควรเริ่มที่ Python](https://modsengineeringmath.com/blog/learn-programming-ai-era-python/): ยุค AI เขียนโค้ดได้ทุกภาษา แต่คนที่อ่านโค้ดไม่ออกจะตรวจไม่ได้ว่าถูกหรือผิด บทความนี้อธิบายว่าทำไม Python เหมาะเป็นภาษาแรก 6 แนวคิดที่ต้องเข้าใจ ตัวอย่างตรวจโค้ดวงจร RC และแผน 4 สัปดาห์

## Articles in English (full translations of the Thai articles above, same formulas and worked examples; grouped by category)
- [All English articles](https://modsengineeringmath.com/en/blog/)
### Sequences & Series
- [Category page: Sequences & Series](https://modsengineeringmath.com/en/blog/category/sequences-series/): Articles on sequences and series: a convergence-test flowchart, the geometric series formula, radius of convergence, Taylor and Laurent series and mathematical induction, with checked examples.
- [How to Choose a Convergence Test: an 8-Step Flowchart with an Example at Every Step](https://modsengineeringmath.com/en/blog/convergence-test-flowchart/): Pick the right convergence test the first time: an 8-step flowchart (n-th term, geometric, p-series, telescoping, limit comparison, ratio, root, integral, alternating) with examples and traps.
- [What Is a Laurent Series and How Is It Different from a Taylor Series? (Explained with Pictures)](https://modsengineeringmath.com/en/blog/laurent-series-vs-taylor-series/): Laurent series vs Taylor series: negative powers, the principal part, the annulus of convergence, types of singularity, residues and the link to the z-transform, with step-by-step examples.
- [How to Find the Radius of Convergence: 3 Methods, Endpoint Checks and the Complex-Plane Reason](https://modsengineeringmath.com/en/blog/radius-of-convergence/): Three ways to find the radius of convergence of a power series (ratio test, root test, nearest complex singularity), plus the endpoint checks for the interval of convergence, with examples.
- [What Do You Learn in Sequences and Series? A Roadmap from Sequences to Laurent Series](https://modsengineeringmath.com/en/blog/sequences-and-series-roadmap/): The whole sequences and series chapter on one page: what each topic answers, its key formula and typical exam questions, from sequences and convergence tests to Taylor and Laurent series.
- [Geometric Series: Formula, Examples and How to Find the Sum](https://modsengineeringmath.com/en/blog/geometric-series-formula/): Geometric series formula for the sum of n terms and the infinite sum a₁/(1 − r) when |r| < 1, with the derivation, step-by-step examples, common mistakes and engineering uses.
- [Mathematical Induction Examples with Step-by-Step Solutions, Including Strong Induction](https://modsengineeringmath.com/en/blog/mathematical-induction-examples/): 14 worked proof-by-induction examples: writing the induction statement P(n), sums, divisibility, inequalities, recurrences and strong induction, with a four-step template and common mistakes.
- [What Is a Taylor Series, What Is It Used For, with Examples](https://modsengineeringmath.com/en/blog/what-is-taylor-series/): What a Taylor series is, the Maclaurin series table to memorise, and 8 worked examples: approximation, expanding about other points, how many terms, integrals, limits and engineering uses.

### Vectors & Linear Algebra
- [Category page: Vectors & Linear Algebra](https://modsengineeringmath.com/en/blog/category/linear-algebra/): Articles on vectors and linear algebra: dot and cross products, determinants, the inverse matrix, rank, Cramer's rule and Jacobi vs Gauss–Seidel, each with step-by-step worked examples.
- [Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It](https://modsengineeringmath.com/en/blog/cramers-rule/): Cramer's rule explained: replace a column by the constants and divide determinants, 2×2 and 3×3 examples, one unknown, a two-line proof, the Δ = 0 case and why computers avoid it.
- [12 Determinant Properties That Appear on Every Exam: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) and the Traps](https://modsengineeringmath.com/en/blog/determinant-properties/): The 12 determinant properties used in entrance exams and engineering mathematics: row operations, det(kA) = kⁿ det A, products, inverses and the adjugate, with examples and traps.
- [Solving Linear Systems Numerically: Gauss, LU, Jacobi or Gauss–Seidel — Which Should You Use?](https://modsengineeringmath.com/en/blog/jacobi-vs-gauss-seidel/): Numerical methods for linear systems compared: Gaussian elimination with pivoting, LU, Cholesky, Jacobi, Gauss–Seidel, SOR, convergence and the condition number, plus a decision table.
- [Learning Matrices and Determinants: A 7-Step Roadmap from High School and Entrance Exams to Engineering Mathematics](https://modsengineeringmath.com/en/blog/matrix-determinant-roadmap/): A roadmap for matrices, determinants, rank, Cramer's rule and numerical methods: what to learn first, how far entrance exams go, what university adds, and a 7-day practice plan.
- [What Is the Rank of a Matrix? How to Find It and What It Tells You About a Linear System](https://modsengineeringmath.com/en/blog/matrix-rank/): The rank of a matrix explained visually: finding it by row reduction and by minors, using rank to decide whether Ax = b has one, infinitely many or no solutions, parameter-k problems and circuit uses.
- [How to Find the Determinant and Inverse Matrix (2×2 and 3×3) with Examples](https://modsengineeringmath.com/en/blog/determinant-and-inverse-matrix/): Learn to find 2×2 and 3×3 determinants by cofactors and the inverse matrix with the adjugate formula, with numeric examples checked by multiplying back, and the condition for a singular matrix.
- [Dot Product vs Cross Product: Formulas, Meaning and Examples](https://modsengineeringmath.com/en/blog/dot-product-cross-product/): Compare the dot product (scalar product) and cross product (vector product): formulas, geometric meaning, calculation from components, and how they are used for work, torque and angles.

### Laplace Transform
- [Category page: Laplace Transform](https://modsengineeringmath.com/en/blog/category/laplace-transform/): Articles on the Laplace transform: what it is and why circuits and control use it, a table of the most used pairs, and the inverse Laplace transform by partial fractions, step by step.
- [How to Find the Inverse Laplace Transform: 3 Partial-Fraction Cases with Examples](https://modsengineeringmath.com/en/blog/inverse-laplace-transform-partial-fractions/): Invert the Laplace transform with partial fractions for distinct, repeated and complex poles, with checked examples and what to do when the numerator degree is too high.
- [Laplace Transform Table: The Most Commonly Used Pairs](https://modsengineeringmath.com/en/blog/laplace-transform-table/): The 15 most common Laplace transform pairs and a table of properties (time shift, frequency shift, derivative, integral, convolution, initial and final value), with tips for remembering them.
- [What Is the Laplace Transform and What Is It Used For?](https://modsengineeringmath.com/en/blog/what-is-laplace-transform/): The Laplace transform turns differential equations into algebraic equations. See the definition, the 3-step method, a worked y′ + 3y = 6 example and an RC circuit calculated line by line.

### Control Systems & PID
- [Category page: Control Systems & PID](https://modsengineeringmath.com/en/blog/category/control-systems/): Articles on control systems: what a PID controller is and how it works, and a complete PID tuning guide from the step test and Ziegler–Nichols to anti-windup, with checked simulations.
- [PID Tuning: The Complete Guide from Step Test to Ziegler–Nichols, SIMC and Anti-Windup](https://modsengineeringmath.com/en/blog/pid-tuning-guide/): A full PID tuning course in one article: identify the process with a step test, tune with Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC or relay, compare the results by simulation, then fix windup and noise.
- [What Is a PID Controller? How Kp, Ki and Kd Work and How to Tune Them](https://modsengineeringmath.com/en/blog/what-is-pid-controller/): A PID controller adds proportional, integral and derivative action on the error. See what Kp, Ki and Kd do, the step-response table, a Ziegler–Nichols example and field problems.

### Power Systems & Motors
- [Category page: Power Systems & Motors](https://modsengineeringmath.com/en/blog/category/power-motors/): Articles on power systems and motors: what power factor is, sizing a correction capacitor, connecting a three-phase motor in delta, and setting a star–delta timer, with real 400 V 50 Hz numbers.
- [How Many Seconds Should a Star–Delta Timer Be Set To? Numerical Experiments on a Squirrel-Cage Induction Motor: Changeover Time, Dead Time, Current and Energy](https://modsengineeringmath.com/en/blog/star-delta-timer-setting/): How many seconds for a star–delta timer? Research simulating a 7.5 kW squirrel-cage motor: t = c·τm, a c table by load, dead time, KM3 phase order, surge current, I²t, energy and case studies.
- [3-Phase Motor Delta (Δ) Connection: Remember U1–W2, V1–U2, W1–V2 and Choose from the Nameplate](https://modsengineeringmath.com/en/blog/3-phase-motor-delta-connection/): How to connect a 3-phase motor in delta: links U1-W2, V1-U2, W1-V2, what U1 V1 W1 U2 V2 W2 mean and which wire colours go where, line vs phase values, and choosing from the nameplate.
- [How to Calculate the Size of a Power Factor Correction Capacitor (kvar) with an Example](https://modsengineeringmath.com/en/blog/power-factor-correction-capacitor-calculation/): The formula Qc = P(tan φ1 − tan φ2) with a 100 kW, 400 V load corrected from PF 0.75 to 0.95 giving 55.3 kvar, microfarads per phase, a multiplier table and cautions about harmonics.
- [What Is Power Factor? The cos φ Formula and the Relationship between kW, kVA and kvar](https://modsengineeringmath.com/en/blog/power-factor-explained/): Power factor is the ratio of real power to apparent power. See the P Q S power triangle, a worked current calculation at PF 0.8 versus 1.0, lagging versus leading PF, and the effect of harmonics.

### Programming & AI
- [Category page: Programming & AI](https://modsengineeringmath.com/en/blog/category/programming-ai/): Articles on programming for engineering students and engineers in the AI era: start with Python, master the core concepts, give AI clear instructions and verify its code with engineering knowledge.
- [Learning to Program in the AI Era: Why Start with Python](https://modsengineeringmath.com/en/blog/learn-programming-ai-era-python/): AI writes code in any language, but if you cannot read code you cannot tell whether it is right. Why Python is the best first language, six core concepts, an RC-circuit check and a 4-week plan.

## Worked solutions (one problem per page, full step-by-step working in Thai, math in LaTeX)
- [All worked solutions](https://modsengineeringmath.com/solutions/)
- [Integration #001: ∫dx/√(x²+a²) ด้วยการแทนค่าแบบออยเลอร์](https://modsengineeringmath.com/solutions/integral-euler-substitution-sqrt-x2-a2/): เฉลยละเอียดทีละขั้น ∫dx/√(x²+a²) ด้วยการแทนค่าแบบออยเลอร์ (Euler's substitution) อธิบายที่มาของ u − x = √(x²+a²) ทำไม x² หายไป ได้ ln(x+√(x²+a²)) + C พร้อมตรวจคำตอบและตัวอย่างตัวเลข

## Interactive labs and references
- [Vector Studio 2D/3D (rotatable)](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/vector-lab/): free browser-based 3D vector tool in Thai: up to 8 vectors, drag to orbit, xy/xz/yz views, perspective, resultant and head-to-tail polygon, component box, direction angles α β γ and direction cosines, projection, dot/cross products, triple product, rotated frame with Z-Y-X Euler angles, pairwise angle table, shareable link (#studio=…), export to GeoGebra commands, MATLAB/Octave quiver3, Python NumPy/Matplotlib and CSV; plus a step-by-step two-vector calculator
- [Vector formula index (forces, fields & phasors)](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/#formulas): every vector formula with a citable ID: F foundations, V operations, P components/projection, K direction cosines, D dot, C cross, R resultant forces (laws of sines/cosines, oblique resolution, Lami), S force systems (moments, couples, equivalent systems, distributed loads, equilibrium), T rotation of axes (rotation matrices, Euler angles, Rodrigues, Clarke/Park), A robot arms (FK/IK, Jacobian, τ = JᵀF), E engineering applications, M electromagnetic fields (Coulomb, superposition, potential, flux, Lorentz force, F = IL×B, parallel conductors, τ = m×B), W sinusoids (phase, lead/lag, RMS), H phasors, Z AC circuits (impedance, complex power, PF correction, resonance, RC filter, three-phase)
- [Virtual mechanics lab (Physics 1)](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/mechanics-lab/): force table with equilibrant and percent error, force triangle with laws of sines and cosines (including the obtuse-angle arcsin trap) and oblique resolution, two-cable equilibrium with Lami's theorem, inclined plane with rotated axes and static/kinetic friction, beam force system (equivalent force-couple, single resultant, support reactions), two-link robot arm with FK/IK (drag the target), Jacobian, tip velocity and joint torques; worksheets with data tables
- [Virtual electric & magnetic field lab (Physics 2)](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/field-lab/): draggable point charges with field vectors, RK4 field lines, equipotentials and potential map, superposition breakdown at a probe point, Coulomb force on a selected charge, zero-field point, parallel plates; long straight wires with B = μ0I/(2πr), field lines as A_z contours and force per metre between wires; charged particle in uniform E and B (circle, velocity selector, cycloid, E×B drift) with a Boris integrator; 3D superposition scene
- [Virtual AC circuit lab (phasors)](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/ac-lab/): rotating phasor with sine/cosine projections and lead/lag, adding sinusoids as vectors (law of cosines) and why different frequencies cannot be added as phasors, series/parallel RLC and RL∥C power-factor correction with phasor diagram (KVL/KCL polygons), waveforms, power triangle, frequency sweep and resonance, complex-number calculator
- [World-class tools for vectors, fields and AC circuits](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/vector-tools/): click-to-load PhET simulations (Vector Addition, Charges and Fields, Faraday's Electromagnetic Lab, Circuit Construction Kit: AC, Trig Tour), Falstad Circuit Simulator, GeoGebra 3D command table, MATLAB/Octave and Python starter code matching the lessons, and a tool-selection table
- [Linear algebra formula index](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/#formulas): every matrix, determinant, linear-system, rank, inverse, Cramer, numerical-method and eigenvalue formula with a citable ID (M1…, D1…, L1…, R1…, I1…, C1…, N1…, E1…, A1…) in one searchable list
- [Matrix lab: matrix calculator with steps](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/matrix-lab/): matrix product visualiser (row × column), determinant by cofactor expansion, inverse by Gauss–Jordan, Cramer's rule and eigenvalues with every step shown; shareable #calc= links
- [Linear algebra engineering applications labs](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/engineering-applications/): nodal and mesh analysis as Ax = b, truss analysis by the method of joints (assembled matrix + Gaussian elimination), 2/3-DOF vibration modes from the eigenvalue problem with animation, balancing reactions, coordinate rotation
- [2×2 transformation & eigenvector lab](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/eigenvalues/): drag a 2×2 matrix's columns: grid and unit circle transform, determinant as signed area, eigen-directions and Av vs v shown live
- [Rank explorer & three-planes 3D lab](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/rank/): type any matrix (up to 6×7, fractions allowed): exact row reduction to REF/RREF with pivots highlighted, rank, nullity, bases of the column and null spaces, Rouché–Capelli test for [A | b] with the parametric solution; rank and det(k) as a parameter k moves; three planes in 3-D (unique point, line, prism, parallel) with draggable rotation
- [Numerical linear systems simulators](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/numerical-methods/): round-off and partial pivoting at 2–10 significant digits, LU / PA = LU / Cholesky factoriser with forward and back substitution, Jacobi vs Gauss–Seidel vs SOR with convergence plot, spectral radius, 2×2 geometric path and optimal-ω scan, condition-number lab with exact Hilbert-matrix κ, and a heat-plate (Laplace equation) relaxation simulator
- [Matrix & determinant exam practice + random drill](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/exam-practice/): 45 solved problems in three levels (university entrance / A-Level, undergraduate linear algebra, numerical methods and engineering) plus a random problem generator for determinants, determinant properties, Cramer's rule, rank, parameter k, inverse entries, one Jacobi/Gauss–Seidel step and condition number, with answer checking
- [Integral calculus formulas & worked solutions](https://modsengineeringmath.com/learn/integral-calculus/): every basic and standard integral with international names (power rule, linearity, u-substitution, integration by parts, partial fractions, FTC, definite-integral properties); step-by-step lecture-style solutions with highlighted formulas, red cancellations and polynomial long division; Riemann-sum visualiser
- [Integral calculus engineering applications & beam lab](https://modsengineeringmath.com/learn/integral-calculus/engineering-applications/): RMS/average of waveforms, capacitor charge and energy, work of a spring and pumping, centroid and second moment of area, hydrostatic force on a dam, beam lab (simply supported or cantilever, length slider) integrating w → V → M → θ → y
- [Functions lab](https://modsengineeringmath.com/learn/functions/): type f(x) and g(x): shift, stretch, reflect, compose f∘g, inverse by reflection in y = x; library of basic graphs and the unit step u(t)
- [Limits lab (epsilon–delta)](https://modsengineeringmath.com/learn/limits/): draggable ε–δ band around any typed function with a numeric approach table; 0/0 techniques, limits at infinity, continuity and L'Hôpital
- [Sequences & series lab (12 tools)](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/series-lab/): free browser-based lab in Thai, works on phones: sequence explorer with ε–N band and cobweb, partial sums Sₙ of any typed series, full-reasoning convergence tester for 14 standard series, integral-test rectangles, alternating-series error bound and Riemann rearrangement to any target, 40-series test-choice game, power-series interval on the real line plus convergence disc and complex singularities, Taylor polynomial vs f(x) with Lagrange bound, how-many-terms calculator, Laurent series by annulus with draggable z, principal part, residue and Z-transform ROC view, unlimited auto-checked drill (9 problem types), engineering approximations (pendulum period, MCU sine in C with Horner, diode small-signal)
- [Sequences & series formula index](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/#formulas): 148 formulas with citable IDs: Q sequences (ε–N, recurrences, Binet, monotone convergence, Cauchy), S infinite series (geometric, telescoping, p-series), T convergence tests (integral, comparison, ratio, root, condensation, Raabe), A alternating series (Leibniz bound, rearrangement, Dirichlet/Abel, Cauchy product), P power series (radius, Cauchy–Hadamard, term-by-term calculus, singularities), Y Taylor/Maclaurin (standard table, Lagrange remainder, Euler), L Laurent (annulus, singularities, residues, Z-transform ROC), E engineering applications, C calculators (arithmetic/geometric, Faulhaber power sums, telescoping, arithmetico-geometric, Newton forward differences, characteristic equation, repeated/complex roots, particular solutions, generating functions, Euler–Maclaurin, harmonic numbers, repeating decimals, annuities), N strong induction (principle, equivalence with well-ordering, number of base cases, Frobenius number, fundamental theorem of arithmetic, Fibonacci bounds and Binet, geometric bounds aₙ ≤ Crⁿ, divide-and-conquer bounds, take-away games)
- [Sequence & series calculators with step-by-step solutions (6 tools)](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/calculators/): free browser-based calculators in Thai with exact arithmetic (BigInt fractions and surds in Q(√D)), worked steps and a practice mode that generates and checks problems: arithmetic/geometric solver from any 3 of a₁, d or r, n, aₙ, Sₙ, S∞ (or two given terms, with both signs of r), Σ calculator with closed forms (Faulhaber power sums, polynomial × rᵏ by discrete anti-difference, telescoping via partial fractions, infinite sums), formula finder from terms (difference table and Newton's formula, geometric, hypergeometric ratio, Berlekamp–Massey recurrences), linear recurrence solver up to order 3 with forcing P(n)sⁿ (characteristic roots incl. repeated/complex/irrational, resonance, constants, verification table, generating function, auto-written strong-induction proof), Euler–Maclaurin and Cohen–Villegas–Zagier high-precision sums, repeating decimals, inserting means, deposits and loan payments; accepts ?q= links such as ?q=sum k^2, k=1..n
- [Strong induction lab (11 tools)](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/strong-induction/): interactive proof workbench in Thai, works on phones: which earlier cases each P(n) needs and how many base cases (try removing one), postage stamps with Frobenius number and a generated proof, factor tree for the fundamental theorem of arithmetic, chocolate-bar breaking (mn − 1), take-away game vs computer with W/L table, binary and Zeckendorf representations, all 2×n domino tilings, geometric bound aₙ ≤ Crⁿ with a slider for r, the recurrence solver that writes the proof, proof-line ordering game with a decoy line, and find-the-flaw (aⁿ = 1, Fibonacci all even, too few base cases)
- [Sequences & series exam practice (60 problems)](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/exam-practice/): 60 worked problems in three levels (university entrance, calculus II, engineering mathematics) with hidden step-by-step solutions, an unlimited random problem generator with answer checking, and a list of common mistakes
- [Derivative labs: tangent, Newton–Raphson, optimization](https://modsengineeringmath.com/learn/differential-calculus/): secant → tangent animation with f′ and f″ plots and critical points; Newton–Raphson iteration table; optimisation presets (box, power transfer, can, fence, beam)
- [Derivative engineering applications labs](https://modsengineeringmath.com/learn/differential-calculus/engineering-applications/): capacitor/inductor i = C dv/dt and v = L di/dt, maximum power transfer, slider-crank velocity and acceleration, beam deflection maximum, related rates and linearisation in electrical, mechanical and civil engineering
- [Trigonometry formulas & table](https://modsengineeringmath.com/learn/trigonometry/): interactive unit circle; 91 identities with English and Thai names; sin/cos/tan table every 0.05° from 0° to 90° in degrees and radians (1,801 rows) with angle and inverse lookup
- [Inverse Laplace transform calculator with steps](https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/inverse-laplace-transform/#calculator): type any rational F(s) with optional e^(-Ts) delays: factored denominator, poles with multiplicity, partial fractions by residues (distinct, complex-conjugate and repeated poles, improper fractions), f(t) term by term and a plot; Ogata-level worked examples V1…V17
- [Laplace transform table with ROC](https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/): 22 Laplace pairs each with its region of convergence, plus the Laplace formula index (L, Z, R, P, Q, V prefixes) across the six-page series
- [Pole-zero & ROC lab](https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/pole-zero-roc/#lab): drag poles and zeros on the s-plane, choose a right-sided, left-sided or two-sided ROC, and see x(t), |X(jω)|, causality and stability update live
- [Complex analysis labs (complex numbers, mappings, residues)](https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/complex-analysis/): complex arithmetic on the plane, w = f(z) mappings with a Cauchy–Riemann check, |F(s)| surface over the s-plane, residue theorem on a draggable contour
- [Laplace properties lab](https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/properties/): every Laplace property with its name (linearity, time shift, frequency shift, scaling, differentiation, integration, convolution, initial and final value, multiplication by t, periodic functions) checked numerically: definition vs inverse transform
- [Laplace ODE solver (first and second order)](https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/differential-equations/): solve a y″ + b y′ + c y = K·u(t) with initial conditions by Laplace transform, showing Y(s), partial fractions and y(t) step by step with a plot; RC, RL, RLC and mass-spring-damper presets
- [First-order system lab](https://modsengineeringmath.com/learn/first-order-system/): time-constant simulator: step/impulse/ramp/sine input, RC and RL circuits, log view, s-plane, Bode plot
- [Second-order system lab](https://modsengineeringmath.com/learn/second-order-system/): damping ratio ζ and natural frequency ωn explorer: draggable poles, envelope, %OS, settling time, Bode, RLC mode
- [Signals lab](https://modsengineeringmath.com/learn/signals/): type any x(t) or x[n]; derivative, integral, even/odd parts, energy/power, spectrum, time shift/scale/reversal, convolution with flip-and-slide
- [Function generator + oscilloscope simulator (virtual bench)](https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/simulator/): free browser-based virtual lab bench: 25 MHz function generator (sine, square, ramp, pulse, noise, arbitrary; AM, FM, PWM, sweep, burst; 50 Ω output with High-Z/50 Ω load setting) driving 15 circuits (RC, RL, RLC, half/full-wave rectifier, clipper, clamper, op-amp inverting/non-inverting/integrator/differentiator/comparator/Schmitt with real GBW, slew rate and saturation) into a 2-channel 100 MHz 8-bit digital oscilloscope with edge trigger (auto/normal/single), 1×/10× probes with compensation trimmer, AC/DC coupling, bandwidth limit, aliasing, automatic measurements, cursors, XY Lissajous, math and FFT; 16 guided worksheets; every setup shareable as a link
- [Function generator & oscilloscope formula index](https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/): every waveform, generator, oscilloscope, measurement, RC/RLC, op-amp, oscillator and application formula with a citable ID (W1…, V1…, O1…, B1…, R1…, U1…, K1…, X1…) in one searchable list
- [Op-amp lab](https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/op-amp/): inverting and non-inverting gain, gain-bandwidth product, slew rate and full-power bandwidth, clipping, integrator, differentiator, comparator and Schmitt trigger hysteresis, each with an embedded oscilloscope
- [Control systems lab: root locus, Bode, Nyquist and step response](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/#lab): type any open-loop L(s) (with time delay): root locus with draggable poles and zeros and every sketching-rule result (real-axis segments, asymptotes and centroid, breakaway points, jω crossings with critical gain, departure/arrival angles), Bode magnitude and phase with straight-line asymptotes, gain and phase margins, Nyquist plot with Z = N + P, closed-loop step response with overshoot, rise and settling time; practice mode hides the answers
- [Routh–Hurwitz calculator with steps](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/routh-hurwitz/): Routh array for any characteristic polynomial or 1 + K·G(s) written as an expression; entries kept as rational functions of K, epsilon method and auxiliary-polynomial special cases, stable K range, critical gain and oscillation frequency, cross-checked against the actual roots
- [PID simulation lab](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/pid/): time-domain PID loop around a typed plant (with dead time): log-scaled Kp Ki Kd sliders, derivative filter N, derivative on measurement, actuator saturation with/without anti-windup, load disturbance, overshoot / settling / IAE readouts and a pinned comparison trace
- [Control systems formula index](https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/#formulas): every control-systems formula with a citable ID (F1… modeling M, block diagrams B, time response T, steady-state error E, stability S, Routh R, root locus L/W/J, frequency Q, Bode D, margins G, Nyquist N, compensators C, PID P, tuning Z, state space X, controllability O, state feedback V, digital Y, nonlinear/robust U, mechatronics K, robotics A, power converters H) in one searchable list
- [Harmonic analyzer lab: virtual oscilloscope + power analyzer](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/analyzer-lab/): free browser-based power-quality bench in three tabs: (1) Fourier synthesis/analysis of 13 waveforms or any typed x(t) with closed-form coefficients, partial sums, Gibbs and σ-smoothing, amplitude/%/dB/phase spectrum and step-by-step working (symmetry, Euler formulas, coefficient table, Parseval check); (2) periodic waveform into RC/RL/LC/RLC solved harmonic by harmonic and compared with the exact periodic steady state; (3) oscilloscope + power analyzer for 10 loads (resistor, RL motor, SMPS/LED capacitor-input bridge, bridge + choke, TRIAC, active PFC, 6-pulse with α and overlap, 12-pulse, VFD, custom spectrum) reading U, I, I1, CF, P, Q1, S, D, PF, DPF, THD-U, THD-I, TDD, K-factor and neutral current, harmonic bars against IEEE 519-2022 / PEA-MEA / IEC 61000-3-2 limits, source strength Isc/IL and X/R, mitigation (line reactor, DC choke, plain/detuned capacitor, tuned filter, active filter) with automatic diagnosis; 16 worksheets with answers and 6 field case studies; presets via #preset=<name>
- [Fourier series formula index](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/#formulas): every Fourier-series and harmonics formula with a citable ID (F basics, T coefficients, S symmetry, C complex/spectrum, P convergence/Parseval, W waveform table, A circuit analysis, H power/THD/PF/IEEE 519, R rectifiers, V inverters/PWM, B DC-DC converters, M mitigation, D DFT/FFT) in one searchable list
- [Fourier series table of 18 waveforms](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/waveform-table/): Fourier series, RMS and THD of square, pulse, triangle, sawtooth, half/full-wave rectified sine, 6-pulse line current, TRIAC phase control, clipped sine, SMPS current, quasi-square, six-step, SPWM, trapezoid and inductor-ripple waveforms, each with a thumbnail and a link to its derivation
- [DC-DC converter simulator lab](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/converter-lab/): free browser-based switching-level (cycle-by-cycle) simulator of buck, boost, inverting buck-boost and Cuk converters with Rds(on), diode Vf, inductor DCR and capacitor ESR; sources: battery with internal resistance, 220 V 50 Hz mains through transformer + bridge rectifier + bulk capacitor, or PV panel (single-diode model); loads: resistor, constant current (e-load), step load; control: open loop, digital voltage-mode PI with anti-windup and soft-start, peak current mode with slope compensation, P&O MPPT; 2-channel oscilloscope with min/max envelope, function generator injecting square/sine/triangle into Vref or duty (for Gvd measurement), efficiency/CCM-DCM readouts, L/C design and inductor turns/flux/wire calculator; 10 worksheets with one-click presets via #preset=<name>
- [Buck converter waveform & duty-cycle lab (CCM/DCM)](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-ccm-analysis/#lab-wave): free browser lab: choose Vin, D or target Vo, load, L, C, fs and parasitics (Rds(on), DCR, ESR, Vf, synchronous rectifier) and see iL, vsw, vL and output ripple from a switching-level simulation overlaid on the closed-form theory, with a theory-vs-simulation table; derives D = Vo/Vin by volt-second balance, ripple, CCM/DCM boundary K > 1-D and the duty cycle required with parasitics D = (Vo + Vf + IL(rL+Rd))/(Vin + Vf - IL(Ron-Rd)); 5 worksheets
- [Buck duty cycle versus load & DCM conversion ratio](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-dcm-analysis/#lab-duty): interactive plot of the duty cycle required to hold Vo as the load changes (flat in CCM, falls as sqrt(Io) in DCM) with the CCM/DCM boundary, and the family M(D,K) = 2/(1+sqrt(1+4K/D^2)); derivation with D1, D2, D3, peak current, RMS currents and ripple in DCM; no-load voltage rise; worked examples (J-1…J-4)
- [Buck state-space averaging builder](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-averaged-model/#lab-ss): enter Vin, D, R, L, C and parasitics to get the ON and OFF state matrices A1 B1 A2 B2, the averaged A and B, the DC operating point X = -A^-1 B Vg (checked against the switching simulation), the small-signal matrices Bd Bg Bx C, and the poles (omega0, zeta, Q); step-by-step derivation of state-space averaging, perturbation and linearisation
- [Averaged model vs switching simulation (small-signal test)](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-averaged-model/#lab-avg): runs the real switching converter, its cycle averages, the nonlinear averaged model and the linear small-signal model side by side for a duty step or sinusoid, with RMS and peak errors; shows when linearisation fails (large steps) and when averaging fails (switching frequency close to the LC resonance)
- [Buck transfer function explorer & virtual network analyzer](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-transfer-functions/#lab-tf): pick any input (duty d, line vg, load current ix) and output (vo, iL, iC, ig) of a buck converter: numerator/denominator, DC gain, poles, zeros, Bode plot, step response, a table of all 12 transfer functions (Gvd, Gvg, Zout, Zin, GiLd, GiLg …), CCM and first-order DCM models, and a virtual network analyzer that injects a small sine into the switching simulation and overlays the measured gain and phase on the theory
- [Buck converter design lab with programmable load](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-design-lab/#lab-design): set Vin (min/nom/max), Vo, Io, fs and ripple; choose from 6 MOSFETs, 10 diodes, 22 inductors (ferrite, powder, toroid, air; hard or soft saturation) and 10 capacitors (electrolytic, polymer, tantalum, MLCC); pass/warn/fail stress checks and loss budget; define a load program (ohms or amperes and Vin per time slot); switching-level simulation with open loop or peak current mode and cycle-by-cycle limit; per-slot table (Vo, ripple, CCM/DCM, efficiency, saturation) and a load-line capability sweep
- [Power electronics formula index](https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/#formulas): every DC-DC converter formula with a citable ID (B buck, U boost, W buck-boost, K Cuk, S small-signal model, C compensator design, A analog control, Z digital control, O observers, L inductor design, V test sources) in one searchable list
- [Solar PV design calculators](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/design-lab/): free browser-based solar PV design tools (Thai): I-V and P-V curve lab of a 580 Wp module with three bypass-diode substrings, irradiance, temperature and partial shading (shows global vs local MPP that P&O gets stuck on); system size from the electricity bill; string sizing (Voc at minimum temperature, Vmp at hot cell temperature, MPPT window, current per MPPT, DC/AC ratio); energy yield with a loss chain and Performance Ratio for Thai sites by month; battery sizing (kWh, Ah, DoD, C-rate, inverter surge); solar for air conditioners (BTU, SEER, kWp); solar water pump sizing (crop water, total dynamic head, kWp); DC/AC voltage drop and cable size; economics (payback, NPV, IRR, LCOE)
- [Solar PV formula index](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/#formulas): every solar PV design formula with a citable ID (P cell & I-V, R solar resource, M modules, S system types, D string sizing, W wiring & protection, B batteries, E energy yield, L load sizing, F economics, A forecasting, T MPPT, V inverters, C controllers, H air conditioning, G solar farms, K pumping & agriculture, I installation & O&M) in one searchable list
- [Home energy simulator: solar PV + air conditioning + EV charging](https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/ev-lab/): free browser-based 24-hour home energy simulator (15-minute steps, Thai tariffs): PV yield shape, base/morning/evening loads, daytime and bedroom air conditioners, EV daily driving with charging strategies (plug-in on arrival, off-peak timer 22:00, solar-surplus only, solar first then off-peak top-up), home battery, normal vs TOU tariff, export price, main-breaker current check; plus calculators for charging time with CC-CV taper, Mode 2 portable charger socket heating (I²R contact resistance) and voltage drop, Control Pilot PWM duty ↔ current with A–F states and Proximity resistor, home load/meter sizing (15(45) vs 30(100) A), EV circuit breaker/cable/voltage drop, monthly cost normal vs TOU and cost per km, solar share of EV charging
- [EV charging formula index](https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/#formulas): every home EV charging formula with a citable ID (C basics, B battery & charging time, M Mode 2 portable charger, W wallbox & Control Pilot, H home electrical system, P safety/RCD/earthing, T tariffs, S solar + AC + EV energy management)
- [Overcurrent relay coordination (TCC) lab](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/overcurrent-coordination/): three IDMT relays (IEC 60255 SI/VI/EI/LTI/DT) with pickup, TMS and instantaneous settings on a log-log time-current plot, operating times and CTI at the chosen fault current, automatic TMS grading
- [Power systems & protection calculators](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/power-lab/): per-unit bases and change of base, transformer regulation, P-δ power transfer, IEC 60909 style LV short-circuit current (source + transformer + cable, κ and peak i_p, MVA method), symmetrical components with phasor diagrams, SLG/LL/DLG fault currents, IDMT relay time, TN/TT automatic disconnection and touch voltage, percentage-bias differential relay
- [Power systems & protection formula index](https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/#formulas): every formula with a citable ID (G overview, A phasors/three-phase, U per-unit, L transformers/lines, F short circuit, S symmetrical components, P protection/CT, R overcurrent coordination, E earthing, D differential/distance)
- [Power factor simulator & virtual capacitor bank](https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/pf-lab/): animated v(t), i(t), p(t) with negative-power shading, rotating phasors, power triangle, PF dial and digital meters for real loads (heater, induction motor with load-dependent PF, magnetic-ballast fluorescent, SMPS/LED without PFC with harmonics, inverter AC with PFC, fridge, custom R-X) and a 6-step capacitor bank; automatic capacitor bank over a factory day with PF controller, C/k, step arrangements, switching count and Thai kvar penalty; calculators for capacitor kvar/µF, PF penalty and payback, true PF with THD, resonance and detuned banks, motor individual compensation, two-wattmeter method; presets via #preset=<name>
- [Power factor formula index](https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/#formulas): every power factor formula with a citable ID (B basics, W waveforms, C correction, K capacitor banks, T billing, H harmonics, M measurement)
- [Build your own signal generator](https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/build/): op-amp relaxation oscillator, 555 astable, Wien-bridge oscillator, XR2206, R-2R DAC and AD9833 DDS with Arduino/ESP32 code, output stage design, DDS phase-accumulator visualiser and calculators
- [Virtual instrumentation & control lab](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/instrumentation-lab/): real-time tank, VFD pump, valve and heater with LT/FT/PT/TT 4–20 mA transmitters (NAMUR NE 43), two PID loops, alarms and interlocks, live Modbus registers, eight injectable faults and four worksheets
- [4–20 mA loop simulator & HART modem](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/industrial-signals/): 2/3/4-wire loops, loop power budget, NE 43 failure currents, open wire, short, ground loop, HART Bell 202 FSK bits and waveform
- [Modbus RTU/TCP frame builder, CRC-16 & float32 tool](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/modbus/): request/response frames with a virtual transmitter, exceptions, MBAP header, CRC-16 checker, IEEE 754 word orders ABCD/CDAB, RS-485 poll-time calculator
- [Temperature calculators (Pt100, NIST thermocouples, CJC, NTC)](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/temperature-sensors/): IEC 60751 Callendar–Van Dusen with 2/3/4-wire error, NIST ITS-90 reference functions for types B E J K N R S T, cold-junction compensation, thermistor divider
- [ISO 5167 orifice, magmeter, ultrasonic & vortex calculators](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/flow-measurement/): Reader-Harris/Gallagher discharge coefficient with iteration, expansibility, permanent pressure loss, square-root rangeability
- [Sensors & transducers formula index](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/#formulas): every formula with a citable ID (S overview, H history, T temperature, P pressure, Q flow, L level, R force/position, V current/voltage, A conditioning/ADC, I 4–20 mA, D Modbus, B fieldbus, N IIoT, K calibration)
- [Lesson editor](https://modsengineeringmath.com/tools/lesson-editor/): online Markdown + LaTeX editor for writing math lessons; exports .md, HTML and PDF
- [Celtic Cross tarot reader](https://modsengineeringmath.com/tools/tarot/) ([English](https://modsengineeringmath.com/en/tools/tarot/)): physical shuffle models (GSR riffle, overhand, table wash, three-pile cut), mixing meter, question-aware reading with Golden Dawn correspondences
- [Celtic Cross tarot reading from a photo](https://modsengineeringmath.com/tools/tarot-photo/) ([English](https://modsengineeringmath.com/en/tools/tarot-photo/)): photograph a real spread, pin the ten positions with two taps (similarity transform), name each card and its direction with a reader-chosen rule for the crossing card, elemental-dignity links, same reading engine; the photo stays in the browser
- Lab presets can be opened directly, e.g. https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/simulator/#preset=rc-square (RC low-pass with a square wave), #preset=probe-comp, #preset=lissajous, #preset=opamp-slew, #preset=aliasing
- Inverse Laplace calculator links: https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/inverse-laplace-transform/#f=(s%2B3)%2F(s%5E2%2B3s%2B2)
- Solar PV design calculators (string sizing, energy yield, battery, air conditioner, solar pump, voltage drop, payback/NPV/IRR/LCOE): https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/design-lab/ ; MPPT switching-level simulation: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/converter-lab/#preset=solar-mppt
- Harmonic lab presets, e.g. https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/analyzer-lab/#preset=smps (SMPS without PFC), #preset=neutral (hot neutral), #preset=six (6-pulse rectifier), #preset=cap-resonance (PF capacitor resonance), #preset=detuned (7 % detuned bank), #preset=square-gibbs, #preset=lc-buck
- Sensors & instrumentation: virtual plant presets https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/instrumentation-lab/ (level PID, aggressive tuning, density change, open wire, level + temperature); Thai spelling used on this site: เซนเซอร์ (also written เซ็นเซอร์) and ทรานส์ดิวเซอร์ (also ทรานสดิวเซอร์)

## Markdown versions (for AI assistants)
Every page listed above has a clean Markdown copy at its URL followed by `index.html.md` (for example https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/index.html.md or https://modsengineeringmath.com/blog/cramers-rule/index.html.md), with math as LaTeX. Each HTML page also points to its copy with `<link rel="alternate" type="text/markdown">`. Complete series guides:
- [Linear algebra: matrices, determinants, rank, Cramer's rule & numerical solution of linear systems — complete guide (Thai, Markdown)](https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/guide.md): 13-page structure and reading path, key formulas with IDs (determinant and adjugate shortcuts, rank and Rouché–Capelli, Cramer with a parameter, LU / Cholesky / Thomas, Jacobi / Gauss–Seidel / SOR convergence, condition number), SymPy-verified example numbers, interactive labs, Thai/English articles and FAQ
- [Sequences & series: from sequences to Laurent series — complete guide (Thai, Markdown)](https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/guide.md): 11-page structure, study paths for university entrance / calculus II / engineering mathematics, 122 key formulas with IDs (sequences, infinite series, convergence tests, alternating series, power series, Taylor and Laurent series, residues, Z-transform ROC), convergence-test flowchart, verified example numbers, 12 interactive labs, Thai/English articles and FAQ
- [Multivariable & vector calculus — learning guide & formula summary (Thai, Markdown)](https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/guide.md): functions of several variables, partial derivatives, gradient and directional derivative, critical points and Lagrange multipliers, double and triple integrals with Jacobian, vector-valued functions, vector fields, line and surface integrals, Green's, divergence (Gauss) and Stokes' theorems, and applications in electrical, mechanical and civil engineering
- [Vectors: forces, fields & phasors — learning guide & formula summary (Thai, Markdown)](https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/guide.md): 2D/3D foundations, projections, direction cosines, dot/cross products, resultant forces with the laws of sines and cosines, moments and equilibrium, rotation matrices and Euler angles, robot-arm kinematics and Jacobian, electric/magnetic field vectors and Lorentz force, sinusoids, phasors and AC circuit analysis, labs and reference sources
- [Fourier series & harmonic analysis — complete guide (Thai, Markdown)](https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/guide.md): structure, learning path, key formulas with IDs, standards (IEEE 519-2022, IEC 61000-3-2, IEC 61000-4-7, PEA/MEA), lab features and presets, field problems, keywords and FAQ
- [Solar PV system design — complete guide (Thai, Markdown)](https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/guide.md): 19-chapter structure, 10-step design workflow, key formulas with IDs (cell, resource, modules, string sizing, wiring, batteries, yield, economics, forecasting, MPPT, inverters, air conditioning, solar farms, pumping), Thai solar data, worked-example numbers, calculators, standards (IEC 61215/61730/62548/62446/62109/62116, IEEE 1547, PEA/MEA) and FAQ
- [Sensors, transducers & industrial instrumentation — complete guide (Thai, Markdown)](https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/guide.md): spelling decision (เซนเซอร์/ทรานส์ดิวเซอร์), 20-chapter structure, verified example numbers (Pt100, thermocouple CJC, ISO 5167 orifice, magmeter, radar level, 4–20 mA loop budget, NE 43, HART, Modbus frames and CRC, fieldbus segments, SIL), standards with countries of origin, interactive tools and FAQ

## For AI agents (MCP)
- [MCP server](https://modsengineeringmath.com/mcp): read-only Model Context Protocol endpoint (Streamable HTTP, no sign-in). Tools: `search_site` (Thai or English query → pages and section links), `get_page` (Markdown of any page or one section of it), `list_topics` (the lesson map) and `get_updates` (what is new). In Claude, add it as a custom connector with the URL https://modsengineeringmath.com/mcp

## About
- [Home](https://modsengineeringmath.com/): overview, eight separate mathematics subjects in reading order (functions, trigonometry, limits, derivatives, integrals, vectors, linear algebra, Laplace transform) each with engineering applications, learning path from matrices to Laplace transforms, control systems (stability, root locus, Bode, PID, mechatronics, robotics), Fourier series and harmonic analysis (THD, PF, IEEE 519, rectifiers, inverters, filters), power electronics and solar PV system design (string sizing, batteries, energy yield, MPPT, inverters, solar air conditioning, solar farms, solar pumping), home EV charging (Mode 2/Mode 3, Control Pilot, meters, RCD Type B, TOU, solar + AC + EV), power systems & protection fundamentals (per-unit, short circuit, symmetrical components, relay coordination, earthing) and power factor (correction, capacitor banks, kvar penalty, harmonics) with simulators
- [About อาจารย์มด](https://modsengineeringmath.com/about/): profile, teaching, current projects and status updates
- [Knowledge library](https://modsengineeringmath.com/learn/): index of all lessons, books in progress and video series
- [Updates feed (RSS)](https://modsengineeringmath.com/feed.xml)

## Video playlists (YouTube, Thai)
- [Matrix and Determinant](https://www.youtube.com/playlist?list=PLAJhR5azwWpJkUHNvACZSpBG2C7l7VJTO)
- [Laplace Transforms](https://www.youtube.com/playlist?list=PLAJhR5azwWpLgWalcHsCEE8q_bPJv0Eaa)
- [Feedback Control](https://www.youtube.com/playlist?list=PLAJhR5azwWpK04F2C2Vp6h3v82Wvqn9ka)
- [Power Electronics: Buck Converter](https://www.youtube.com/playlist?list=PLAJhR5azwWpJEprWclikULegqCgddv0PF)

## Optional
- [Full text of every lesson](https://modsengineeringmath.com/llms-full.txt): all lesson and lab theory text in one file, math as LaTeX
- [YouTube channel](https://www.youtube.com/@modsengineeringmath)
- [Facebook page](https://www.facebook.com/modsengineeringmath)
- [University profile](https://sci.dru.ac.th/electrical-engineering/teerawutsavangboon.html)