# Mod's Engineering Mathematics — full text

> Thai engineering mathematics lessons by อาจารย์มด (Teerawut Savangboon). Source: https://modsengineeringmath.com/ · Math in LaTeX ($...$ inline, $$...$$ display). Generated 2026-10-27.

---

# Mod's Engineering Mathematics | คณิตศาสตร์วิศวกรรมโดยอาจารย์มด

URL: https://modsengineeringmath.com/
Updated: 2026-10-14
Summary: คลิปและบทเรียนคณิตศาสตร์วิศวกรรมภาษาไทย แยกวิชาครบ ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ ลิมิต อนุพันธ์ อินทิกรัล พร้อมการประยุกต์ในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา พีชคณิตเชิงเส้นและแล็บเมทริกซ์ การแปลงลาปลาซครบชุด (จำนวนเชิงซ้อน เรซิดิว โพล-ซีโร่ ROC คุณสมบัติ แก้สมการเชิงอนุพันธ์ Inverse Laplace พร้อมเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ) เวกเตอร์ 2D/3D ทิศทางโคไซน์ แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์ โมเมนต์ แขนกล สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก เฟสเซอร์และวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ พร้อมแล็บ 3 มิติ เมทริกซ์ ค่าเฉพาะ การแปลงลาปลาซ ระบบควบคุม (เสถียรภาพ รูทโลคัส โบด PID เมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์) อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก (THD PF IEEE 519 เรกติไฟเออร์ อินเวอร์เตอร์ PWM) แล็บเครื่องกำเนิดสัญญาณ ออสซิลโลสโคป และเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้าจำลอง อิเล็กทรอนิกส์กำลัง การออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ (เลือกแผง ออกแบบสตริง แบตเตอรี่ MPPT อินเวอร์เตอร์ โซลาร์จ่ายแอร์ โซลาร์ฟาร์ม ปั๊มน้ำเกษตร) และเซนเซอร์กับเครื่องมือวัดคุมอุตสาหกรรม (อุณหภูมิ ความดัน การไหล ระดับ 4–20 mA HART Modbus ฟิลด์บัส P&ID การสอบเทียบ แล็บวัดคุมเสมือน) โดย ว่าที่ร้อยตรีธีรวุฒิ แสวงบุญ (อาจารย์มด) มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ

ใหม่ 26 ต.ค. 2569เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม 6 ชุด พร้อมวิธีทำ + อุปนัยแบบเข้ม 17 ตัวอย่าง →
// Mod's Engineering Mathematics

# คณิตศาสตร์วิศวกรรม
ที่เข้าใจจริง
ไม่ใช่ท่องสูตร

คลิปและบทเรียนภาษาไทยโดยอาจารย์มด อาจารย์วิศวกรรมไฟฟ้า ที่พาคุณเดินจากสมการบนกระดาษ ไปจนถึงวงจรอิเล็กทรอนิกส์กำลังที่ทำงานได้จริง เรียนฟรี

▶ เริ่มดูคลิป
อ่านบทเรียน

ภาษาไทยเรียนฟรีสำหรับนักศึกษาวิศวกรรมไฟฟ้า

step response · ระบบอันดับสองy(t)

ζ 0.35

ลองเลื่อนค่า ζ (damping ratio) แล้วดูว่า overshoot เปลี่ยนอย่างไร — เปิดแล็บระบบอันดับสอง เพื่อดูครบทุกมุม

// อัปเดตล่าสุด 26 ต.ค. 2569 · บันทึกการปรับปรุงเว็บไซต์

## มีอะไรใหม่บนเว็บไซต์

ทุกครั้งที่เพิ่มบทเรียน แล็บ แนวข้อสอบ หรือบทความ จะบันทึกไว้ที่นี่พร้อมลิงก์ตรงไปยังหน้านั้น

ดูบันทึกทั้งหมด 52 รายการ →

-
🧪แล็บ26 ต.ค. 2569ใหม่

เปิดเครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม 6 ชุดที่แสดงวิธีทำทุกขั้นด้วยเลขแม่นตรง (เศษส่วนและกรณฑ์) ไล่ระดับพื้นฐาน กลาง ขั้นสูง: ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต (กรอก 3 ค่า หาที่เหลือ) ซิกมาแบบรูปปิด (สูตรผลบวกกำลัง กล้องส่องทางไกล พหุนาม×rᵏ) หาสูตรจากพจน์ด้วยตารางผลต่าง แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดพร้อมฟังก์ชันก่อกำเนิดและบทพิสูจน์ ออยเลอร์–แมคลอริน ทศนิยมซ้ำ และเงินฝาก-เงินกู้ ทุกตัวมีปุ่ม 🎯 ฝึกทำที่สุ่มโจทย์และตรวจคำตอบ ใช้บนมือถือได้
ฝึกทำ 12 ข้อแก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด
เปิดเครื่องคิดเลข →

-
📘บทเรียน26 ต.ค. 2569

บทใหม่ 26.12 อุปนัยแบบเข้ม (Strong Induction): หลักการ กฎจำนวนกรณีฐาน และตัวอย่างเข้มข้น 17 ข้อ ตั้งแต่แสตมป์ (จำนวนโฟรเบเนียส) จำนวนเฉพาะ ฟีโบนัชชีและสูตรบิเนต์ ช็อกโกแลต ปูกระเบื้อง เกมหยิบเหรียญ จนถึง merge sort เอกลักษณ์ของเบซู และระบบควบคุมดิจิทัล พร้อมแล็บโต้ตอบ 11 ชุด เช่น ลดกรณีฐานแล้วดูบทพิสูจน์พัง เกมเรียงบรรทัดบทพิสูจน์ และเกมหาจุดผิด
แล็บกรณีฐานฝึกพิสูจน์
อ่านอุปนัยแบบเข้ม →

-
🛠️เว็บไซต์26 ต.ค. 2569

เพิ่มแถบขอความยินยอมคุกกี้ตามแนวทาง PDPA: โฆษณา Google AdSense และคุกกี้โฆษณาจะโหลดก็ต่อเมื่อผู้ใช้กด “ยอมรับ” เท่านั้น ปุ่มยอมรับและไม่ยอมรับมีขนาดเท่ากัน ไม่ยอมรับก็ใช้งานทุกส่วนได้ครบ และเปลี่ยนใจได้ทุกเมื่อที่ปุ่ม “ตั้งค่าคุกกี้” ท้ายทุกหน้า พร้อมย้ายฟอนต์ทั้งหมดมาไว้บนเว็บไซต์เอง ไม่โหลดจาก Google Fonts อีกต่อไป
อ่านนโยบายความเป็นส่วนตัว →

-
🛠️เว็บไซต์26 ต.ค. 2569

ปรับระบบค้นหาและ AI: เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรมรองรับลิงก์โจทย์ ?q= และ structured data แบบ MathSolver สำหรับ Google, เพิ่มหน้าใหม่ทั้งสองในคู่มือ Markdown สำหรับผู้ช่วย AI, llms.txt, ดัชนีค้นหาในเว็บ และตัวเชื่อมต่อ /mcp, เพิ่มลิงก์สั้น เช่น /series-calculator, /sigma-calculator, /recurrence-solver, /strong-induction และเพิ่มหน้านโยบายความเป็นส่วนตัว
นโยบายความเป็นส่วนตัว →

-
📘บทเรียน26 ต.ค. 2569

บทเรียนวงจรไฟฟ้ากระแสตรงเพิ่มตารางสรุปสูตร 15 แถวไว้ต้นหน้า: กฎของโอห์มและกำลัง อนุกรม-ขนาน แบ่งแรงดัน-กระแส KCL KVL Δ-Y บริดจ์วีตสโตน เทวินิน กำลังสูงสุด และ RC RL RLC แต่ละสูตรลิงก์ไปการ์ดที่มีที่มาและตัวอย่าง
ดูตารางสรุปสูตร →

-
🛠️เว็บไซต์26 ต.ค. 2569

เพิ่มหน้าอ่านไพ่ทาโรต์จากภาพถ่าย ภาษาไทยและอังกฤษ สำหรับคนที่วางไพ่จริงบนโต๊ะ ถ่ายภาพแล้วแตะ 2 ครั้งเพื่อปักหมุดครบ 10 ตำแหน่ง ระบุไพ่และทิศ รวมถึงทิศหัวไพ่ของใบที่ 2 ที่วางขวางตามกติกาที่เลือกเอง ผังแสดงเส้นเชื่อมตำแหน่งคู่ตามความสัมพันธ์ของธาตุ และอ่านผลด้วยระบบตีความชุดเดียวกับหน้าดูดวงไพ่ทาโรต์ ภาพไม่ออกจากเครื่อง
Englishใบที่ 2 กลับหัวหรือไม่
เปิดหน้าอ่านไพ่จากภาพถ่าย →

F(s) = ℒ{f(t)}Ax = bH(s) = Y(s)/X(s)e^{jθ} = cos θ + j sin θζ = α/ωₙV_o = D·V_inT(s) = G/(1+GH)det(A) ≠ 0Av = λv
F(s) = ℒ{f(t)}Ax = bH(s) = Y(s)/X(s)e^{jθ} = cos θ + j sin θζ = α/ωₙV_o = D·V_inT(s) = G/(1+GH)det(A) ≠ 0Av = λv

// เส้นทางการเรียน

## จากสมการ สู่วงจรจริง

สี่เพลย์ลิสต์ที่ต่อกันเป็นระบบเดียว แต่ละขั้นคือเครื่องมือที่ขั้นถัดไปต้องใช้ เริ่มจากขั้นไหนก็ได้ แต่ถ้าติดตรงไหน ให้ย้อนกลับไปขั้นก่อนหน้า

ติดตรงไหน ย้อนกลับไปทบทวน

อ่านต่อเป็นบทเรียน: อนุพันธ์ · อินทิกรัล · พีชคณิตเชิงเส้น · ลาปลาซ · Inverse Laplace · ระบบควบคุมป้อนกลับ · ควบคุมบั๊กคอนเวอร์เตอร์ · อนุกรมฟูเรียร์และฮาร์มอนิก · ริปเปิลบั๊กด้วยฟูเรียร์ · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์

// คณิตศาสตร์วิศวกรรม · แยกวิชา

## เรียนทีละวิชา จากฟังก์ชันถึงการแปลงลาปลาซ

ทุกวิชามีแท็บของตัวเองในเมนูด้านบน เรียงตามลำดับที่ควรเรียน แต่ละวิชามีสูตรพร้อมรหัสอ้างอิง ตัวอย่างวิธีทำทีละขั้น แล็บโต้ตอบ และหน้าการประยุกต์ในงานวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา

01f(x)ฟังก์ชันโดเมน เรนจ์ กราฟพื้นฐาน เลื่อน ยืด สะท้อน ประกอบ ผกผัน ขั้นบันได u(t)แล็บกราฟ →
02θตรีโกณมิติวงกลมหนึ่งหน่วย 91 สูตรพร้อมชื่อสากล ตาราง sin cos tan ทุก 0.05°สูตรและตาราง →
03limลิมิต · อุปนัยนิยาม ε–δ ที่ลากได้ เทคนิค 0/0 โลปิตาล ความต่อเนื่อง อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ และลำดับ-อนุกรมฉบับสรุปแล็บ ε–δ · 2 หน้าย่อย →
04Σลำดับและอนุกรมลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า อนุกรมสลับ อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ โลรองต์ + แนวข้อสอบ 60 ข้อ10 หน้า + แล็บ 12 ชุด →
05dy/dxอนุพันธ์สูตรครบ กฎลูกโซ่ ค่าสูงสุด-ต่ำสุด นิวตัน-ราฟสัน + การประยุกต์ไฟฟ้า เครื่องกล โยธา2 หน้า →
06∫อินทิกรัลสูตรและวิธีทำทีละขั้น แคลคูลัสเบื้องต้น + การประยุกต์และแล็บคาน3 หน้า →
07→เวกเตอร์แรงลัพธ์ โมเมนต์ แขนกล สนาม เฟสเซอร์ แล็บ 3 มิติ20 หน้า →
08⊞พีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ ผลเฉลยเชิงตัวเลข ค่าเฉพาะ + แนวข้อสอบ 45 ข้อ12 หน้า + แล็บ →
09ℒการแปลงลาปลาซจำนวนเชิงซ้อน เรซิดิว โพล-ซีโร่ ROC คุณสมบัติ แก้สมการ Inverse Laplace ระดับ Ogata6 หน้า →
10∇แคลคูลัสหลายตัวแปรอนุพันธ์ย่อย gradient Lagrange อินทิกรัลหลายชั้น div curl Gauss–Stokes + ไฟฟ้า เครื่องกล โยธา13 หน้า + แล็บ 19 ชุด →

// บทที่ 8 · Laplace Transform

### การแปลงลาปลาซครบชุด: ตั้งแต่ระนาบเชิงซ้อนถึงการแปลงกลับทุกกรณี

ปูพื้นจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ สมการโคชี-รีมันน์ และทฤษฎีบทเรซิดิว อ่านโพล-ซีโร่และ ROC ให้เป็น (สมบัติ 8 ข้อ สัญญาณด้านขวา ซ้าย สองด้าน) คุณสมบัติการแปลงครบทุกข้อพร้อมแล็บพิสูจน์ด้วยตัวเลข แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง-สอง แล้วจบที่ Inverse Laplace ทุกกรณีแบบตำรา Ogata: โพลเดี่ยว โพลเชิงซ้อน โพลซ้ำ เศษส่วนไม่แท้ ตัวหน่วงเวลา เรซิดิว และ MATLAB

- 93 สูตรมีรหัสอ้างอิง
- 62 ตัวอย่างวิธีทำ
- 8 แล็บโต้ตอบ
- เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ

จำนวนเชิงซ้อน · เรซิดิวโพล-ซีโร่ · ROCคุณสมบัติครบแก้สมการเชิงอนุพันธ์Inverse Laplace

เครื่องคิดเลข Inverse Laplace →
แล็บโพล-ซีโร่-ROC

// บทที่ 26 · Sequences & Series

### ลำดับและอนุกรมครบทุกระดับ: จากเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยถึงอนุกรมโลรองต์

ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต ลิมิตของลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้าทุกแบบพร้อมผังเลือกใช้ อนุกรมสลับและการจัดเรียงใหม่ของรีมันน์ อนุกรมกำลังกับรัศมีการลู่เข้าในระนาบเชิงซ้อน อนุกรมเทย์เลอร์และเศษเหลือ อนุกรมโลรองต์ เรซิดิว การแปลง Z และการประยุกต์กับลูกตุ้ม ไดโอด ไมโครคอนโทรลเลอร์ และตัวกรองดิจิทัล

- 148 สูตรมีรหัสอ้างอิง
- 82 ตัวอย่างวิธีทำ
- 23 แล็บโต้ตอบ
- 6 เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ
- 60 ข้อสอบพร้อมเฉลย

ลำดับอนุกรมอนันต์การทดสอบการลู่เข้าอนุกรมสลับอนุกรมกำลังเทย์เลอร์โลรองต์งานวิศวกรรมแนวข้อสอบเครื่องคิดเลขพร้อมวิธีทำอุปนัยแบบเข้ม

เริ่มเรียนลำดับและอนุกรม →
เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ
เปิดแล็บรวม 12 ชุด

// ดูคลิป

## เลือกเพลย์ลิสต์ แล้วเริ่มได้เลย

อ่านบทเรียน → เปิดใน YouTube ↗

บนช่องยังมีคลิปอีกมาก ทั้งแคลคูลัส คณิตศาสตร์วิศวกรรม และหัวข้ออื่น ๆ ที่ไม่ได้อยู่ในเส้นทางนี้

ดูเพลย์ลิสต์ทั้งหมด ↗

// ชุดบทเรียน · เวกเตอร์ครบชุด 20 หน้า

## เวกเตอร์ที่หมุนดูได้ทุกมุม: จากแรงลัพธ์ แขนกล สนามแม่เหล็ก ถึงเฟสเซอร์

ปรับปรุงทั้งชุดให้เข้มข้นระดับวิศวกร: ทิศทางโคไซน์และแรงสามมิติ แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์ ระบบแรงและโมเมนต์ การหมุนแกนและมุมออยเลอร์ แขนกลกับ Jacobian สนามไฟฟ้า-แม่เหล็กและแรงลอเรนซ์ แล้วต่อสู่ sin/cos เฟสเซอร์ และวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ ทุกหน้ามีฉาก 3 มิติที่ลากหมุนได้ และห้องแล็บแบบฟิสิกส์ 1 ฟิสิกส์ 2 และวงจร AC

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

// บทที่ 6 · Vectors: Forces, Fields & Phasors · 20 หน้าย่อย

### ลากเพื่อหมุนแกน แล้วดูตัวเลขเปลี่ยนตามทันที

ฉาก 3 มิติ 13 ฉากหมุนได้ด้วยนิ้วหรือเมาส์ มีมุมมอง xy xz yz และหมุนอัตโนมัติ สตูดิโอเวกเตอร์วาดได้ 8 ตัวพร้อมกรอบหมุน แล้วส่งออกคำสั่งไป GeoGebra MATLAB Python ได้ในคลิกเดียว ทุกตัวอย่างตรวจตัวเลขแล้วและเปิดในแล็บได้

- 149 สูตรมีรหัสอ้างอิง
- 105 ตัวอย่างวิธีทำ
- 13 ฉาก 3 มิติ + สตูดิโอ
- 20 การทดลองแบบแล็บ

ทิศทางโคไซน์ α β γแรงลัพธ์ · กฎไซน์-โคไซน์โมเมนต์ · สมดุลหมุนแกน · ออยเลอร์แขนกล · Jacobianสนามไฟฟ้า-แม่เหล็กsin · cos ไฟฟ้า ACเฟสเซอร์วิเคราะห์วงจร ACแล็บฟิสิกส์ 1แล็บฟิสิกส์ 2แล็บวงจร ACPhET · GeoGebra · Falstad

เปิดชุดเวกเตอร์ →
สตูดิโอเวกเตอร์ 3D
แล็บวงจร AC

// พีชคณิตเชิงเส้น · แรงก์ · ผลเฉลยเชิงตัวเลข · แนวข้อสอบ

## เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ ไปจนถึงค่าเฉพาะ ครบในที่เดียว

พื้นฐานของการวิเคราะห์วงจรหลายลูป ระบบควบคุม และระบบไฟฟ้ากำลัง เรียงจากง่ายไปยาก มีป้ายบอกระดับทุกหัวข้อ ค้นสูตรได้ทันที และมีเครื่องคิดเลขที่แสดงวิธีทำทีละขั้นให้ตรวจการบ้าน

// บทที่ 7 · Linear Algebra · 12 หน้าย่อย · อัปเดต 25 ต.ค. 2569

### พีชคณิตเชิงเส้นสำหรับวิศวกรไฟฟ้า ตั้งแต่ ม.ปลาย ถึง ป.โท

เริ่มจากการคูณเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ (มีสูตรลัดที่ออกสอบ) ต่อด้วยการแก้ระบบสมการด้วยเกาส์ แรงก์ (ค่าลำดับขั้น) อินเวอร์ส กฎของคราเมอร์ และผลเฉลยเชิงตัวเลข LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR ไปจนถึงค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะที่บอกว่าวงจร RLC หน่วงหรือแกว่ง ปิดท้ายด้วยรูปแบบโจทย์วงจรที่เจอเสมอ ตั้งแต่เมช โนด วงจร AC ถึงองค์ประกอบสมมาตรในระบบสามเฟส

- 176 สูตรมีรหัสอ้างอิง
- 80 ตัวอย่างวิธีทำทีละขั้น
- แล็บสามระนาบ 3 มิติ
- ซิมูเลเตอร์วิธีทำซ้ำ
- แนวข้อสอบ 45 ข้อ

เมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์ระบบสมการแรงก์อินเวอร์สคราเมอร์ผลเฉลยเชิงตัวเลขแนวข้อสอบ 45 ข้อค่าเฉพาะ λงานวงจรไฟฟ้าไฟฟ้า · เครื่องกล · โยธาแล็บเมทริกซ์

เปิดพีชคณิตเชิงเส้น →
แนวข้อสอบ + โจทย์สุ่ม
ซิมูเลเตอร์ LU · จาโคบี

// ชุดบทเรียน · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์

## โซลาร์เซลล์ตั้งแต่เส้นโค้ง I-V ถึงหลังคาบ้าน แอร์ ฟาร์ม และไร่นา

19 หน้าเรียงตามขั้นตอนออกแบบจริง: เลือกแผง แสงอาทิตย์ในไทย ชนิดระบบและการขนานไฟ ออกแบบสตริง สายไฟและการป้องกัน แบตเตอรี่ คาดการณ์พลังงานและความคุ้มค่า พยากรณ์ล่วงหน้า MPPT อินเวอร์เตอร์ เลือกตัวควบคุมที่ทันสมัยแต่ไม่ตกยุค โซลาร์จ่ายแอร์ โซลาร์ฟาร์ม ปั๊มน้ำเกษตร และงานติดตั้งบำรุงรักษา

// บทที่ 16 · Solar PV System Design · 19 หน้าย่อย

### ลองบังแผงด้วยใบไม้หนึ่งใบ แล้วดูว่ากำลังหายไปไหน

แล็บนี้ใช้แบบจำลองไดโอดของแผง 580 Wp จริง เปลี่ยนแสง อุณหภูมิ และเงาได้ เห็นทันทีว่าทำไมเงาเล็ก ๆ ทำให้ P-V มีสองยอด และทำไมอินเวอร์เตอร์บางรุ่นจึงติดยอดผิด ทุกหน้ามีตัวอย่างคำนวณด้วยตัวเลขจริงและเครื่องคำนวณออกแบบ

- 105 สูตรมีรหัสอ้างอิง
- 46 ตัวอย่างวิธีทำ
- 9 เครื่องคำนวณออกแบบ
- ข้อมูลและมาตรฐานของไทย

เส้นโค้ง I-VเลือกแผงOn-grid · Hybridออกแบบสตริงสายไฟ · SPDแบตเตอรี่คาดการณ์พลังงานขนาดจากบิลคืนทุน · IRRพยากรณ์ล่วงหน้าMPPTอินเวอร์เตอร์เลือกตัวควบคุมโซลาร์จ่ายแอร์โซลาร์ฟาร์มปั๊มน้ำ · เกษตรติดตั้ง · บำรุงรักษา

เปิดออกแบบระบบโซลาร์ →
เครื่องมือออกแบบ 9 ตัว
โซลาร์จ่ายแอร์

// ชุดบทเรียน 3 ชุด · ไฟฟ้ากำลัง

## ชาร์จรถ EV ที่บ้าน ระบบไฟฟ้ากำลัง และเพาเวอร์แฟกเตอร์

สามเรื่องที่เชื่อมกัน: บ้านที่มีรถยนต์ไฟฟ้า โซลาร์เซลล์ และแอร์ ต้องเข้าใจกำลัง กระแส สายไฟ และการป้องกัน ส่วนเพาเวอร์แฟกเตอร์และระบบไฟฟ้ากำลังคือพื้นฐานที่ทำให้คิดเรื่องเหล่านี้ได้ถูกต้อง ทุกชุดมีสูตรรหัสอ้างอิง ตัวอย่างคำนวณ และเครื่องมือที่ใช้ได้จริง

// บทที่ 17 · 16 · 17

### เห็นกระแสไหลไปกลับจริง แล้วแก้ด้วยคาปาซิเตอร์

ซิมูเลเตอร์เพาเวอร์แฟกเตอร์แสดงแรงดัน กระแส และกำลังขณะหนึ่ง ช่วงสีแดงคือเวลาที่มอเตอร์คืนพลังงานกลับ กดคาปาซิเตอร์ทีละขั้นแล้วดูกระแสลดลงทั้งที่งานเท่าเดิม

- 54 สูตร EV
- 74 สูตรระบบไฟฟ้ากำลัง
- 47 สูตร PF
- ซิมูเลเตอร์ 4 ตัว

ชาร์จช้าด้วยไฟบ้านวอลล์บ็อกซ์มิเตอร์ · สายไฟโซลาร์ + แอร์ + รถค่าไฟ TOUPer-unitกระแสลัดวงจรองค์ประกอบสมมาตรประสานรีเลย์PF คืออะไรคำนวณคาปาซิเตอร์PF จริง · ฮาร์มอนิก

ชาร์จรถ EV ที่บ้าน →
ระบบไฟฟ้ากำลัง
เพาเวอร์แฟกเตอร์

// ชุดบทเรียน · ควบคุมมอเตอร์และระบบอัตโนมัติ · ไทย / English

## ควบคุมมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับด้วยแมกเนติกคอนแทกเตอร์ อินเวอร์เตอร์ และ PLC

สองชุดรวม 25 หน้า ใช้งานจริงกับระบบ 230/400 V 50 Hz ของไทย ลาว กัมพูชา เวียดนาม เมียนมา มาเลเซีย และสิงคโปร์: หลักการมอเตอร์เหนี่ยวนำ เนมเพลต ต่อสตาร์–เดลต้า เลือกคอนแทกเตอร์และโอเวอร์โหลด วงจร DOL กลับทางหมุน สตาร์–เดลต้าแบบละเอียด ซอฟต์สตาร์ท อินเวอร์เตอร์ VFD จนถึง PLC แลดเดอร์ ไทเมอร์ SFC อนาล็อก PID และความปลอดภัยเครื่องจักร พร้อมไดอะแกรม เครื่องคำนวณ และซิมูเลเตอร์ มีฉบับภาษาอังกฤษครบทุกหน้า

// บทที่ 21 · มอเตอร์ 15 หน้า · บทที่ 22 · PLC 11 หน้า

### ทำไมสตาร์–เดลต้าลดกระแสสตาร์ทเหลือ 1/3 แต่แรงบิดก็ลดด้วย

ซิมูเลเตอร์คำนวณจากวงจรสมมูลของมอเตอร์ 7.5 kW 400 V จริง เทียบสตาร์ทตรง สตาร์–เดลต้า ซอฟต์สตาร์ท และ VFD ส่วนซิมูเลเตอร์แลดเดอร์ให้เขียนโปรแกรม PLC คุมมอเตอร์ ไฟจราจร และถังน้ำได้ในเบราว์เซอร์

- 104 สูตรมอเตอร์
- 43 สูตร PLC
- 29 ตัวอย่างวิธีทำ
- ไทย + English

ต่อสตาร์ · เดลต้าคอนแทกเตอร์ · โอเวอร์โหลดDOLกลับทางหมุนสตาร์–เดลต้าสตาร์–เดลต้าเชิงลึก · ตั้งไทเมอร์ซอฟต์สตาร์ทอินเวอร์เตอร์แลดเดอร์ไทเมอร์PLC คุมมอเตอร์PID · VFD

เปิดชุดควบคุมมอเตอร์ →
เปิดชุด PLC →
ซิมูเลเตอร์สตาร์ทมอเตอร์
แล็บสตาร์-เดลต้าเชิงพลวัต
ซิมูเลเตอร์แลดเดอร์
English edition

// ชุดบทเรียน · เซนเซอร์และเครื่องมือวัดคุม

## เซนเซอร์และทรานส์ดิวเซอร์: จาก Pt100 ถึง 4–20 mA, Modbus และฟิลด์บัส

20 หน้าเหมือนเรียนในภาควิชาวัดคุม: นิยาม ประวัติ หน่วย มาตรฐานพร้อมประเทศต้นแบบ การวัดอุณหภูมิ ความดัน อัตราการไหล ระดับ แรง ตำแหน่ง กระแส แรงดัน สัญญาณมาตรฐาน 4–20 mA NAMUR NE 43 HART Modbus PROFIBUS FOUNDATION Fieldbus IO-Link Ethernet-APL เซนเซอร์อัจฉริยะ IIoT สัญลักษณ์ P&ID การติดตั้ง Ex SIL และการสอบเทียบ

// บทที่ 20 · Sensors & Transducers · 20 หน้าย่อย

### ทำให้ทรานสมิตเตอร์เสีย แล้วดูว่า PLC เห็นอะไร

แล็บวัดคุมเสมือนด้านล่างคือถังน้ำ ปั๊ม วาล์ว และทรานสมิตเตอร์สี่ตัวที่ส่งกระแส 4–20 mA จริงตาม NE 43 ลองเลื่อนค่าตั้ง จูน PID แล้วใส่ความผิดพลาด เช่น สายขาด ศูนย์เลื่อน หรือความหนาแน่นเปลี่ยน ทุกสมการในชุดนี้ตรวจกับมาตรฐาน IEC 60751 ตาราง NIST ITS-90 และ ISO 5167

- 87 สูตรมีรหัสอ้างอิง
- 36 ตัวอย่างวิธีทำ
- 25+ เครื่องคำนวณ
- ฐานข้อมูล 64 มาตรฐาน

Pt100 · เทอร์โมคัปเปิลความดัน DPอัตราการไหลระดับ · เรดาร์4–20 mA · HARTModbusPROFIBUS · APLP&IDสอบเทียบ · Ex · SILประวัติ

เปิดชุดเซนเซอร์และทรานส์ดิวเซอร์ →
แล็บวัดคุมเสมือน
แปลงหน่วย

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

// ชุดบทเรียน · วิศวกรรมระบบควบคุม

## ระบบควบคุม: เสถียรภาพ รูทโลคัส โบด PID ถึงหุ่นยนต์และพาวเวอร์ซัพพลาย

26 หน้าเรียงจากพื้นฐานถึงขั้นสูง เริ่มจากวงจรไฟฟ้าที่คุ้นเคย ผ่านเราท์–เฮอร์วิตซ์ การวาดรูทโลคัสด้วยมือ โบดและมาร์จิน ตัวชดเชย lead lag และ PID แล้วต่อยอดสู่ปริภูมิสถานะ ควบคุมดิจิทัล เมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ และตัวชดเชย Type III ของสวิตชิงพาวเวอร์ซัพพลาย

// บทที่ 13 · Control Systems Engineering · 26 หน้าย่อย

### วาดรูทโลคัสและโบดให้เป็น แล้วใช้แล็บตรวจแทน MATLAB

ทุกตัวอย่างคำนวณทีละขั้นแบบที่อาจารย์สอนในห้อง และตรวจตัวเลขด้วยการจำลองทุกข้อ มีแล็บรูทโลคัสที่ลากขั้วและศูนย์ได้พร้อมผลของกฎการวาดทุกข้อ โบดที่แสดงเส้นกำกับเทียบกราฟจริง ไนควิสต์ เครื่องคิดเลขตารางเราท์ที่ใส่ K ได้ และแล็บจำลอง PID ที่มีการอิ่มตัวและ windup

- 176 สูตรมีรหัสอ้างอิง
- 93 ตัวอย่างวิธีทำ
- 70 ไอเดียระบบควบคุม
- แล็บรูทโลคัส · โบด · ไนควิสต์ · PID

เราท์–เฮอร์วิตซ์กฎรูทโลคัสฝึกวาดรูทโลคัสโบดGM · PMไนควิสต์lead · lagPIDปริภูมิสถานะเมคาทรอนิกส์โรโบติกส์สะพานสู่อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

เปิดระบบควบคุม →
แล็บรูทโลคัส · โบด
70 ไอเดียระบบควบคุม

// ชุดบทเรียน · เครื่องมือวัดไฟฟ้า

## เครื่องกำเนิดสัญญาณ + ออสซิลโลสโคป: จากปุ่มแรก ถึงสร้างเครื่องเอง

คู่เครื่องมือที่ใช้ในทุกห้องแล็บไฟฟ้า อธิบายทุกปุ่ม ทุกสูตร และทุกอาการ “ทำไมค่าไม่ตรง” พร้อมโต๊ะแล็บเสมือนจริงที่หมุนได้ทุกปุ่ม ใช้ได้ทั้ง ม.ปลาย ป.ตรี และ ป.โท แล้วต่อยอดไปสู่สัญญาณและระบบ ออปแอมป์ และงานประยุกต์ที่เจอเสมอ

// บทที่ 12 · Function Generator & Oscilloscope · 9 หน้าย่อย

### ทดลองได้จริงในเบราว์เซอร์ ไม่ต้องรอคิวเครื่องในห้องแล็บ

เครื่องกำเนิดสัญญาณ 25 MHz ที่มีขาออก 50 Ω มอดูเลชัน กวาดความถี่ และเบิสต์ บอร์ดวงจร 15 แบบตั้งแต่ RC ถึงชมิตต์ทริกเกอร์ และสโคป 2 ช่องที่มีทริกเกอร์ โพรบ 10× ชดเชยโพรบ แบนด์วิดท์ อเลียสซิง เคอร์เซอร์ XY และ FFT เหมือนเครื่องจริง ทฤษฎีทุกหน้ามีสโคปจำลองฝังอยู่ข้าง ๆ ให้ลองทันที

- 132 สูตรมีรหัสอ้างอิง
- 57 ตัวอย่างวิธีทำ
- 46 การทดลองสำเร็จรูป
- 16 ใบงานพร้อมเฉลย
- 12 เครื่องคิดเลข

อ่านค่าสัญญาณเครื่องกำเนิดสัญญาณออสซิลโลสโคปแล็บจำลองเทคนิคการวัดRC · RLCออปแอมป์สร้างเครื่องเองงานประยุกต์

เปิดแล็บจำลอง →
ดูทั้ง 9 หน้า
ค้นหาสูตร

// ชุดบทเรียน · คณิตศาสตร์สู่ไฟฟ้ากำลัง

## อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก: จากอินทิกรัล ถึงเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้า

ทุกคลื่นคาบคือผลรวมของไซน์ เรียนทีละขั้นตั้งแต่หา a₀ aₙ bₙ สมมาตร สเปกตรัม พาร์เซวาล ไปจนถึง THD เพาเวอร์แฟกเตอร์ IEEE 519 ฮาร์มอนิกของเรกติไฟเออร์ อินเวอร์เตอร์ PWM บั๊กคอนเวอร์เตอร์ และวิธีแก้ด้วยรีแอกเตอร์ คาปาซิเตอร์ดีจูน และฟิลเตอร์ พร้อมแล็บที่ทดลองและแก้ปัญหาได้ด้วยตัวเอง

// บทที่ 14 · Fourier Series & Harmonic Analysis · 14 บท

### เข้าใจฮาร์มอนิกจากคณิตศาสตร์ แล้ววัดและแก้เองในแล็บเสมือน

ทุกตัวอย่างคำนวณทีละขั้นและตรวจตัวเลขด้วยการจำลอง แล็บมีสามเครื่องมือ: สังเคราะห์และแยกรูปคลื่นพร้อมวิธีคิด ป้อนคลื่นเข้าวงจรทีละฮาร์มอนิก และออสซิลโลสโคปกับเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้าที่วัดโหลด 10 แบบ อ่าน P Q S D PF THD TDD K-factor แล้วแปลผลให้อัตโนมัติ

- 146 สูตรมีรหัสอ้างอิง
- 53 ตัวอย่างวิธีทำ
- 18 รูปคลื่นในตาราง
- 16 ใบงานพร้อมเฉลย
- สโคป + เครื่องวิเคราะห์กำลัง

ฟูเรียร์คืออะไรหา a₀ aₙ bₙสมมาตรสเปกตรัมกิบส์ · พาร์เซวาลตารางรูปคลื่นวิเคราะห์วงจรTHD · PF · IEEE 519เรกติไฟเออร์อินเวอร์เตอร์ PWMบั๊ก · EMIแก้ฮาร์มอนิกDFT · FFTแล็บเสมือน

เปิดแล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก →
เรียนทีละขั้น
ค้นหาสูตร

// แล็บโต้ตอบ

## เห็นสัญญาณและระบบด้วยตาตัวเอง

พิมพ์สมการสัญญาณ ปรับพารามิเตอร์หรือค่าอุปกรณ์ในวงจรจริง แล้วดูผลตอบสนองเวลา ตำแหน่งขั้ว และสเปกตรัมเปลี่ยนไปพร้อมกัน หรือหยิบเครื่องกำเนิดสัญญาณกับสโคปมาวัดเองบนโต๊ะแล็บจำลอง

บทที่ 9 · ระบบอันดับหนึ่ง
ค่าคงตัวเวลา τ
ทุก τ ส่วนที่เหลือลดลงเหลือ 1/e ดูเส้นแบ่ง 1τ–5τ เส้นสัมผัส และวงจร RC, RL
เปิดแล็บระบบอันดับหนึ่ง →

บทที่ 10 · ระบบอันดับสอง
อัตราส่วนการหน่วง ζ และความถี่ธรรมชาติ ωn
ζ กำหนดรูปร่าง ωn กำหนดความเร็ว ลากขั้วบนระนาบ s แล้วดู %OS เปลือก และ Bode เปลี่ยนตาม
เปิดแล็บระบบอันดับสอง →

บทที่ 11 · สัญญาณและระบบ
สัญญาณเบื้องต้น
พิมพ์สมการสัญญาณเอง ทั้ง x(t) และ x[n] ดูหน้าตาหลายมุม แปลงเวลา และคอนโวลูชันแบบกลับและเลื่อน
เปิดแล็บสัญญาณ →

บทที่ 12 · เครื่องมือวัด
เครื่องกำเนิดสัญญาณ + ออสซิลโลสโคปจำลอง
ป้อนคลื่นเข้าวงจร RC RLC ไดโอด ออปแอมป์ แล้ววัดด้วยสโคปสองช่อง ทริกเกอร์ โพรบ FFT ครบ พร้อมใบงาน 16 การทดลอง
เปิดแล็บจำลอง →

บทที่ 13 · ระบบควบคุม
รูทโลคัส โบด ไนควิสต์ ในจอเดียว
พิมพ์ฟังก์ชันวงเปิด ลากขั้วและศูนย์ เลื่อนเกน K ดูขั้ววงปิดเดิน มาร์จินเปลี่ยน และผลตอบสนองขั้นบันได พร้อมโหมดฝึกวาดที่ซ่อนเฉลย
เปิดแล็บระบบควบคุม →

บทที่ 14 · อนุกรมฟูเรียร์
แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก: สโคป + เครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้า
สังเคราะห์รูปคลื่นด้วยไซน์ ป้อนคลื่นเข้าวงจร และวัดโหลด SMPS ไดรฟ์ VFD เรกติไฟเออร์ 6 พัลส์ อ่าน THD PF เทียบ IEEE 519 แล้วลองแก้ด้วยฟิลเตอร์ พร้อมแปลผลอัตโนมัติ
เปิดแล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก →

// สูตรอ้างอิง

## สูตรที่ต้องเปิดดูบ่อย พร้อมวิธีทำ

ทุกสูตรมีชื่อภาษาอังกฤษกำกับ ค้นหาในหน้าได้ และมีตัวอย่างแสดงวิธีทำทีละขั้น

// บทที่ 2 · สูตรและตาราง

### สูตรตรีโกณมิติทั้งหมด และตาราง sin cos tan

เริ่มจากวงกลมหนึ่งหน่วยที่ลากมุมได้ ไล่ไปทุกสูตรพร้อมชื่อภาษาอังกฤษ ตั้งแต่มุมพิเศษ ผลบวกของมุม มุมสองเท่า ครึ่งมุม ไปจนถึงออยเลอร์และกฎของโคไซน์ ท้ายหน้ามีตารางค่าทุก 0.05° จาก 0° ถึง 90° ทั้งองศาและเรเดียน ค้นมุมหรือหามุมจากค่าได้ทันที

15°30°37°45°53°60°75°

เปิดสูตรตรีโกณมิติ →
ตารางค่า 0°–90°

// บทที่ 5 · สูตรและวิธีทำ

### สูตรอินทิเกรตครบ พร้อมวิธีทำทีละขั้น

สูตรพื้นฐาน สูตรสำเร็จ และคุณสมบัติพร้อมชื่อสากล ตัวอย่างเขียนแบบจดเลกเชอร์ มีไฮไลต์บอกสูตรที่ใช้ ขีดเส้นแดงตรงที่ตัดกัน ตั้งแต่เปลี่ยนตัวแปร u หารยาว จนถึงอินทิกรัลจำกัดเขต

สูตรพื้นฐานเปลี่ยนตัวแปร uหารยาวเศษส่วนย่อยทีละส่วนจำกัดเขตไฟฟ้า · เครื่องกล · โยธาแล็บคาน

เปิดสูตรอินทิเกรต →
ฝึกเปลี่ยนตัวแปร u

// บทความ

## บทความอ่านง่าย ตอบคำถามที่คนค้นหาบ่อย

Laplace, Inverse Laplace, เวกเตอร์, Power Factor ฯลฯ อธิบายสั้น ตรงประเด็น มีตัวอย่างคำนวณ แล้วพาไปต่อยังบทเรียนเต็ม

ดูบทความทั้งหมด (24) →

ระบบควบคุม
การจูน PID ฉบับสมบูรณ์: จาก Step Test ถึง Ziegler–Nichols, SIMC และ Anti-Windup
คอร์สจูน PID ครบในบทความเดียว: หาแบบจำลองด้วย step test จูนด้วย Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC และ relay เทียบผลด้วยการจำลอง แล้วแก้ปัญหา windup…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Python · AI
เริ่มต้นเข้าใจการเขียนโปรแกรมในยุค AI: ทำไมควรเริ่มที่ Python
ยุค AI เขียนโค้ดได้ทุกภาษา แต่คนที่อ่านโค้ดไม่ออกจะตรวจไม่ได้ว่าถูกหรือผิด บทความนี้อธิบายว่าทำไม Python เหมาะเป็นภาษาแรก 6 แนวคิดที่ต้องเข้าใจ…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

// เฉลยโจทย์

## เฉลยโจทย์ทีละขั้น ข้อละหน้า

โจทย์จากเพจ Facebook พร้อมวิธีทำละเอียดและที่มาของแต่ละขั้น ลองทำเองก่อนแล้วค่อยเปิดดู

ดูเฉลยทั้งหมด (1) →

อินทิเกรต #001●●○ ปานกลาง

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$$

∫dx/√(x²+a²) ด้วยการแทนค่าแบบออยเลอร์
Euler's substitution
24 ต.ค. 2569ดูเฉลยทีละขั้น →

// คลังความรู้

## อ่านบทเรียนทีละหัวข้อ

แนวคิด สูตร และตัวอย่างที่เชื่อมกับงานวิศวกรรมจริง พร้อมชุดบทเรียนและแล็บโต้ตอบ

ดูคลังความรู้ทั้งหมด →

f(x)01
ฟังก์ชัน: โดเมน เรนจ์ กราฟ และการแปลง
Functions
ฟังก์ชันคืออะไร โดเมน เรนจ์ กราฟของฟังก์ชันพื้นฐาน การเลื่อน ยืด สะท้อน ฟังก์ชันประกอบ ฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชันเป็นช่วง และสัญญาณขั้นบันได แรมป์ เอกซ์โพเนนเชียล ไซน์ในงานวิศวกรรม พร้อมแล็บกราฟโต้ตอบ
อ่านบทเรียน →

θ02
สูตรตรีโกณมิติและตารางค่า
Trigonometric Identities & Table
วงกลมหนึ่งหน่วยแบบโต้ตอบ สูตรครบทุกหมวดพร้อมชื่ออังกฤษ และตาราง sin cos tan ทุก 0.05° ตั้งแต่ 0° ถึง 90° ทั้งองศาและเรเดียน
อ่านบทเรียน →

lim03
ลิมิตและความต่อเนื่อง
Limits & Continuity
ลิมิตจากกราฟและตาราง นิยาม ε–δ แบบโต้ตอบ ลิมิตทางเดียว สมบัติของลิมิต รูปแบบ 0/0 ลิมิตที่อนันต์ ลิมิตตรีโกณ e ทฤษฎีบทแซนด์วิช ความต่อเนื่อง IVT และกฎของโลปิตาล · หน้าย่อย: ลำดับและอนุกรม อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
2 หน้าย่อย →

dy/dx04
อนุพันธ์ (Differential Calculus)
Differential Calculus
นิยามอนุพันธ์จากเส้นตัด–เส้นสัมผัส สูตรอนุพันธ์ครบ กฎลูกโซ่ อนุพันธ์โดยปริยาย อันดับสูง ค่าสุดขีด อัตราสัมพัทธ์ การประมาณเชิงเส้น นิวตัน-ราฟสัน และการประยุกต์ในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา
1 หน้าย่อย →

∫05
อินทิกรัล: สูตรและวิธีทำ
Integral Calculus
สูตรอินทิเกรตพร้อมชื่อสากล คุณสมบัติ สูตรสำเร็จ และวิธีทำทีละขั้น: เปลี่ยนตัวแปร u หารยาว เศษส่วนย่อย ทีละส่วน อินทิกรัลจำกัดเขต พร้อมแคลคูลัสเบื้องต้นและการประยุกต์ในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา
2 หน้าย่อย →

→06
เวกเตอร์: จากแรงลัพธ์ถึงเฟสเซอร์
Vectors: Forces, Fields & Phasors
เวกเตอร์ 2D/3D ทิศทางโคไซน์ แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์ ระบบแรงและโมเมนต์ การหมุนแกน แขนกล สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก sin/cos สู่เฟสเซอร์และวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ พร้อมแล็บ 3 มิติหมุนได้ แล็บกลศาสตร์ แล็บสนาม และแล็บวงจร AC
20 หน้าย่อย →

⊞07
พีชคณิตเชิงเส้น
Linear Algebra
เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ ระบบสมการ แรงก์ (ค่าลำดับขั้น) อินเวอร์ส กฎของคราเมอร์ ผลเฉลยเชิงตัวเลข (LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล) ค่าเฉพาะ และแนวข้อสอบ 45 ข้อ พร้อมโจทย์วงจรไฟฟ้า ตั้งแต่ ม.ปลาย ถึง ป.โท
12 หน้าย่อย →▶ มีวิดีโอ

ℒ08
การแปลงลาปลาซ
Laplace Transform
นิยาม การมีอยู่ ตารางคู่การแปลง จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ เรซิดิว แผนภาพโพล-ซีโร่และ ROC คุณสมบัติครบทุกข้อ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง-สอง และการแปลงลาปลาซผกผันระดับตำรา Ogata พร้อมแล็บโต้ตอบ
5 หน้าย่อย →▶ มีวิดีโอ

τ09
ระบบอันดับหนึ่ง
First-Order System · Lab
แล็บโต้ตอบ: ปรับค่าคงตัวเวลา τ หรือ R, C, L แล้วดูผลตอบสนอง สเกลลอการิทึม ระนาบ s และ Bode พร้อมเส้นช่วยวิเคราะห์
อ่านบทเรียน →

ζ10
ระบบอันดับสอง
Second-Order System · Lab
แล็บโต้ตอบ: ζ กำหนดรูปร่าง ωn กำหนดความเร็ว ลากขั้วบนระนาบ s แล้วดูผลตอบสนองเวลา เปลือก %OS และ Bode เปลี่ยนพร้อมกัน
อ่านบทเรียน →

∿11
สัญญาณเบื้องต้น
Signals · Lab
แล็บโต้ตอบ: พิมพ์สมการสัญญาณเอง ทั้ง x(t) และ x[n] ดูอนุพันธ์ ส่วนคู่คี่ พลังงาน สเปกตรัม การแปลงเวลา และคอนโวลูชัน
อ่านบทเรียน →

Hz12
แล็บเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคป
Function Generator & Oscilloscope Lab
แล็บจำลองเสมือนจริง: เครื่องกำเนิดสัญญาณคู่กับออสซิลโลสโคป 2 ช่อง ปรับได้ทุกปุ่ม พร้อมทฤษฎี Vpp Vrms ทริกเกอร์ โพรบ การวัดเฟส Bode วงจร RC RLC ไดโอด ออปแอมป์ และการสร้างเครื่องเอง ตั้งแต่ ม.ปลาย ถึง ป.โท
9 หน้าย่อย →

G(s)13
ระบบควบคุม (Control Systems Engineering)
Control Systems Engineering
วิศวกรรมระบบควบคุมจากพื้นฐานถึงขั้นสูง: ป้อนกลับ แบบจำลอง เสถียรภาพ Routh–Hurwitz รูทโลคัสแบบวาดด้วยมือ ตอบสนองความถี่ Bode Nyquist ตัวชดเชย P PI PD PID ปริภูมิสถานะ ดิจิทัล ไปจนถึงเมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ และตัวแปลงกำลัง
26 หน้าย่อย →▶ มีวิดีโอ

Σ14
อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก
Fourier Series & Harmonic Analysis
อนุกรมฟูเรียร์ทีละขั้นจนใช้งานจริง: หาสัมประสิทธิ์ สมมาตร สเปกตรัม พาร์เซวาล วิเคราะห์วงจรทีละฮาร์มอนิก THD PF และกำลังไฟฟ้า เรกติไฟเออร์ อินเวอร์เตอร์ PWM บั๊กคอนเวอร์เตอร์ การแก้ฮาร์มอนิก และ FFT พร้อมแล็บออสซิลโลสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้าเสมือน
14 หน้าย่อย →

⚡15
อิเล็กทรอนิกส์กำลัง
Power Electronics
วงจรแปลงผัน DC-DC บั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ ชุค ตั้งแต่ volt-second balance ถึงแบบจำลองสัญญาณเล็ก ออกแบบตัวชดเชย Type II/III peak current mode ควบคุมด้วยออปแอมป์และไมโครคอนโทรลเลอร์ ตัวสังเกต AI ออกแบบตัวเหนี่ยวนำ แหล่งจ่ายทดสอบ SMPS เทคนิคหน้างาน วิเคราะห์อาการเสีย พร้อมแล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์
22 หน้าย่อย →

☀16
ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์
Solar PV System Design
ออกแบบและใช้งานโซลาร์เซลล์ครบวงจร ตั้งแต่เส้นโค้ง I-V เลือกแผง แสงอาทิตย์ในไทย ระบบ on-grid off-grid hybrid ออกแบบสตริง สายไฟและการป้องกัน แบตเตอรี่ คาดการณ์พลังงานและความคุ้มค่า พยากรณ์ล่วงหน้า MPPT อินเวอร์เตอร์ เลือกตัวควบคุม โซลาร์จ่ายแอร์ โซลาร์ฟาร์ม ปั๊มน้ำเพื่อการเกษตร งานติดตั้งและบำรุงรักษา พร้อมเครื่องคำนวณออกแบบฟรี
19 หน้าย่อย →

🔌17
ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน
Home EV Charging
ชาร์จช้าด้วยสายชาร์จพกพาจากเต้ารับบ้าน (Mode 2) กับชาร์จเร็วที่บ้านด้วยวอลล์บ็อกซ์ (Mode 3) ตั้งแต่ kW กับ kWh แบตเตอรี่ CC-CV สัญญาณ Control Pilot ขนาดมิเตอร์ สายไฟ เบรกเกอร์ RCD Type B กราวด์ ค่าไฟ TOU และการใช้โซลาร์ แอร์ และรถ EV ร่วมกันในบ้านเดียว พร้อมเครื่องคำนวณและซิมูเลเตอร์พลังงานบ้าน 24 ชั่วโมง
9 หน้าย่อย →

⚡18
ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน
Power Systems & Protection
ปูพื้นก่อนเรียนวิชาระบบไฟฟ้ากำลังและการป้องกันระบบไฟฟ้ากำลัง: โครงสร้างระบบไฟฟ้าไทย เฟสเซอร์ สามเฟส กำลังเชิงซ้อน ระบบต่อหน่วย หม้อแปลงและสายส่ง การลัดวงจร องค์ประกอบสมมาตร หลักการป้องกัน CT รีเลย์กระแสเกินและการประสาน การต่อลงดิน รีเลย์ผลต่างและระยะทาง พร้อมแล็บคำนวณ
11 หน้าย่อย →

φ19
เพาเวอร์แฟกเตอร์ เข้าใจได้ทุกระดับ
Power Factor Explained
เพาเวอร์แฟกเตอร์ตั้งแต่ภาพเปรียบเทียบง่าย ๆ จนถึงสมการ รูปคลื่น v i p สามเหลี่ยมกำลัง P Q S การปรับปรุงด้วยคาปาซิเตอร์ ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติ ค่าปรับ kvar ของการไฟฟ้า ฮาร์มอนิกกับ PF จริง และการวัด พร้อมซิมูเลเตอร์และอุปกรณ์จำลองเสมือนที่ทดลองได้ทันที
8 หน้าย่อย →

🌡20
เซนเซอร์และทรานส์ดิวเซอร์
Sensors & Transducers
เซนเซอร์ (sensor) ทรานส์ดิวเซอร์ (transducer) และเครื่องมือวัดคุมกระบวนการครบชุด: นิยามตาม VIM ประวัติ หน่วย SI มาตรวิทยา มาตรฐานพร้อมประเทศต้นแบบ การวัดอุณหภูมิ ความดัน อัตราการไหล ระดับ แรง ตำแหน่ง กระแส แรงดัน สัญญาณมาตรฐาน 4–20 mA HART Modbus PROFIBUS FOUNDATION Fieldbus IO-Link PROFINET Ethernet-APL เซนเซอร์อัจฉริยะ IIoT สัญลักษณ์ P&ID การสอบเทียบ และแล็บวัดคุมเสมือน
20 หน้าย่อย →

M3~21
การควบคุมมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับด้วยแมกเนติกคอนแทกเตอร์และอินเวอร์เตอร์
AC Motor Control: Contactors, Star–Delta & VFDs
มอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสสำหรับอุตสาหกรรมบนระบบ 230/400 V 50 Hz ของไทยและเพื่อนบ้าน การต่อสตาร์-เดลต้า แมกเนติกคอนแทกเตอร์ โอเวอร์โหลด สัญลักษณ์และแบบวงจร IEC วงจร DOL กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้าแบบละเอียด ซอฟต์สตาร์ท อินเวอร์เตอร์ VFD การออกแบบติดตั้ง และซิมูเลเตอร์
15 หน้าย่อย →

PLC22
การควบคุมอัตโนมัติด้วย PLC
PLC Automation
PLC ตั้งแต่โครงสร้างและวงรอบการสแกน การต่อสาย I/O PNP/NPN แลดเดอร์ ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ ภาษา IEC 61131-3 ควบคุมมอเตอร์ DOL กลับทาง สตาร์-เดลต้า การควบคุมแบบลำดับขั้น อนาล็อก PID สั่งอินเวอร์เตอร์ ทดสอบระบบและความปลอดภัย พร้อมซิมูเลเตอร์แลดเดอร์ในเบราว์เซอร์
10 หน้าย่อย →

T–n23
มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับ ฉบับสมบูรณ์
AC Induction Motors · Complete Guide
มอเตอร์เหนี่ยวนำตั้งแต่ระบบไฟฟ้าไทยถึงเพลา: มอเตอร์ 1 เฟสและ 3 เฟส กรงกระรอก กรงคู่ โรเตอร์พันขดลวด กราฟแรงบิด-ความเร็วกับเส้นโหลด ทรานเซียนต์ สตาร์-เดลต้าเชิงลึก และการออกแบบสาย-เบรกเกอร์ พร้อมแล็บจำลอง
อ่านบทเรียน →

∇24
แคลคูลัสหลายตัวแปรและแคลคูลัสเวกเตอร์
Multivariable & Vector Calculus
ฟังก์ชันหลายตัวแปร อนุพันธ์ย่อย gradient ค่าสุดขีดและ Lagrange อินทิกรัลสองชั้น-สามชั้น ฟังก์ชันเวกเตอร์ divergence curl อินทิกรัลตามเส้น Green Gauss Stokes พร้อมงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา และแล็บโต้ตอบ 15 ชุด
13 หน้าย่อย →

Ω25
วงจรไฟฟ้ากระแสตรง
DC Circuit Analysis
วงจร DC ตั้งแต่ศูนย์ถึงระดับโอลิมปิก: ปริมาณพื้นฐาน R L C แหล่งจ่ายไม่อิสระ KCL KVL อนุกรม-ขนาน Δ-Y วิธีโหนด เมช MNA เทวินิน นอร์ตัน กำลังสูงสุด ทรานเซียนต์ RC RL RLC เทคโนโลยี DC ล่าสุด แล็บต่อวงจรที่แก้สมการจริง และโจทย์ 4 ระดับ
อ่านบทเรียน →

Σ26
ลำดับและอนุกรม: จากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์
Sequences & Series
ลำดับ ลิมิตของลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้าทุกแบบ อนุกรมสลับ อนุกรมกำลัง อนุกรมเทย์เลอร์-แมคลอริน อนุกรมโลรองต์ และอุปนัยแบบเข้ม ตั้งแต่ระดับเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม พร้อมเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ 6 ชุด แล็บ 23 ชุด แนวข้อสอบ 60 ข้อ และเครื่องสุ่มโจทย์
12 หน้าย่อย →

// เครื่องมือ

## เขียนบทเรียนคณิตศาสตร์ของคุณเอง

เครื่องมือออนไลน์สำหรับครูและนักศึกษา พิมพ์ Markdown กับสูตร LaTeX แล้วเห็นผลทันที ใช้ฟรี ไม่ต้องติดตั้ง

- บันทึกเป็นไฟล์ .md และเปิดกลับมาแก้ได้

- ส่งออกเป็นหน้า HTML หรือพิมพ์เป็น PDF

- ดูตัวอย่างแบบหน้าจอมือถือ

เปิดเครื่องมือเขียนบทเรียน →

## ตัวอย่าง

$$
\int x^n\,dx =
\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
$$
ตัวอย่าง
$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

// เกี่ยวกับอาจารย์มด

## วิศวกรต่างจากช่างเทคนิค
ตรงที่เข้าใจ “ทำไม”

“เข้าใจจริงด้วยของราคาถูก ดีกว่าซื้อของแพงโดยไม่รู้หลักการ”

ดูโปรไฟล์และผลงาน →
ตอนนี้กำลังทำอะไร

// ติดตามและติดต่อ

## ช่องทางของอาจารย์มด

YouTube
คลิปสอนทั้งหมด เรียนฟรี กดติดตามเพื่อไม่พลาดคลิปใหม่
@modsengineeringmath ↗

Facebook Page
อัปเดตคลิปใหม่ และสอบถามเรื่องเนื้อหาได้ทางข้อความ
facebook.com/modsengineeringmath ↗

หน้าอาจารย์ · มหาวิทยาลัย
สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ
sci.dru.ac.th ↗

---

# อาจารย์มด ธีรวุฒิ แสวงบุญ — โปรไฟล์ ผลงาน และสิ่งที่กำลังทำ | Mod's Engineering Mathematics

URL: https://modsengineeringmath.com/about/
Summary: โปรไฟล์ ว่าที่ร้อยตรีธีรวุฒิ แสวงบุญ (อาจารย์มด) วศ.ม. วิศวกรรมระบบควบคุม สจล. อาจารย์วิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ ประวัติการศึกษา ผลงาน ORCID Scopus และประวัติย่อพร้อมคัดลอก

// เกี่ยวกับอาจารย์มด

# ว่าที่ร้อยตรีธีรวุฒิ แสวงบุญ

TEERAWUT SAVANGBOON · “อาจารย์มด” · M.Eng. Control Engineering, KMITL

อาจารย์ประจำสาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ และผู้สร้างช่อง Mod's Engineering Mathematics ที่สอนคณิตศาสตร์วิศวกรรมเป็นภาษาไทย

- คณิตศาสตร์วิศวกรรม
- ระบบควบคุม
- อิเล็กทรอนิกส์กำลัง
- สัญญาณและระบบ
- PLC และระบบอัตโนมัติ

ติดต่อ

## ตอนนี้กำลังทำ

Now

- ✍️เขียนตำราภาษาอังกฤษ 3 เล่ม ได้แก่ Engineering Mathematics 1, Signals and Systems และ Control Systems ตามหลักสูตรวิศวกรรมไฟฟ้า พ.ศ. 2568
- ⚡ออกแบบวงจร Buck Converter 12 V → 5 V / 2 A ที่ 50 kHz ควบคุมด้วยออปแอมป์แบบแอนะล็อกล้วน สำหรับใช้สอนนักศึกษา
- 📊พัฒนาเครื่องวัดกำลังไฟฟ้าสามเฟสสี่สายสำหรับห้องเรียน ให้นักศึกษาเห็นความต่างของ P, Q, S และ D บนหน้าจอมือถือ
- 🎥เตรียมคอร์สออนไลน์การแปลงลาปลาซ 3 ตอน: พื้นฐาน → อินเวอร์ส → การประยุกต์

13+ปี

สอนวิศวกรรมไฟฟ้าระดับอุดมศึกษา

358หน้า

เอกสารคำสอนคณิตศาสตร์วิศวกรรม 1

3เล่ม

ตำราภาษาอังกฤษที่กำลังเขียน

3ปีติดต่อกัน

วิทยากรค่ายโอลิมปิกวิชาการ หัวข้อเวกเตอร์

// คุณวุฒิ · Credentials

## ประวัติการศึกษาและสังกัด

### ประวัติการศึกษา Education

- วศ.ม. วิศวกรรมระบบควบคุมสถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้าเจ้าคุณทหารลาดกระบัง (สจล.)M.Eng. in Control Engineering · King Mongkut's Institute of Technology Ladkrabang (KMITL)

- วศ.บ. วิศวกรรมระบบควบคุมสถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้าเจ้าคุณทหารลาดกระบัง (สจล.)B.Eng. in Control Engineering · King Mongkut's Institute of Technology Ladkrabang (KMITL)

### ตำแหน่งปัจจุบัน Current position

- อาจารย์ประจำหลักสูตรวิศวกรรมศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้าคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ (มรธ.สป.)Lecturer, B.Eng. Program in Electrical Engineering · Faculty of Science and Technology, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan Campus

- รายวิชาที่สอนคณิตศาสตร์วิศวกรรม 1, 2, 3 · สัญญาณและระบบ · ระบบควบคุม · วงจรและอุปกรณ์ควบคุม · อิเล็กทรอนิกส์กำลังEngineering Mathematics I–III · Signals and Systems · Control Systems · Control Circuits and Devices · Power Electronics

### ตัวระบุนักวิจัย Researcher IDs

- ORCID iD0009-0007-0285-2919 ↗

- Scopus Author ID57216452293 ↗

- Google Scholarผลงานและการอ้างอิง ↗

// อัปเดต

## ความเคลื่อนไหวล่าสุด

-
แล็บ26 ต.ค. 2569

เปิดเครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม 6 ชุดที่แสดงวิธีทำทุกขั้นด้วยเลขแม่นตรง (เศษส่วนและกรณฑ์) ไล่ระดับพื้นฐาน กลาง ขั้นสูง: ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต (กรอก 3 ค่า หาที่เหลือ) ซิกมาแบบรูปปิด (สูตรผลบวกกำลัง กล้องส่องทางไกล พหุนาม×rᵏ) หาสูตรจากพจน์ด้วยตารางผลต่าง แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดพร้อมฟังก์ชันก่อกำเนิดและบทพิสูจน์ ออยเลอร์–แมคลอริน ทศนิยมซ้ำ และเงินฝาก-เงินกู้ ทุกตัวมีปุ่ม 🎯 ฝึกทำที่สุ่มโจทย์และตรวจคำตอบ ใช้บนมือถือได้
ฝึกทำ 12 ข้อแก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด
เปิดเครื่องคิดเลข →

-
บทเรียน26 ต.ค. 2569

บทใหม่ 26.12 อุปนัยแบบเข้ม (Strong Induction): หลักการ กฎจำนวนกรณีฐาน และตัวอย่างเข้มข้น 17 ข้อ ตั้งแต่แสตมป์ (จำนวนโฟรเบเนียส) จำนวนเฉพาะ ฟีโบนัชชีและสูตรบิเนต์ ช็อกโกแลต ปูกระเบื้อง เกมหยิบเหรียญ จนถึง merge sort เอกลักษณ์ของเบซู และระบบควบคุมดิจิทัล พร้อมแล็บโต้ตอบ 11 ชุด เช่น ลดกรณีฐานแล้วดูบทพิสูจน์พัง เกมเรียงบรรทัดบทพิสูจน์ และเกมหาจุดผิด
แล็บกรณีฐานฝึกพิสูจน์
อ่านอุปนัยแบบเข้ม →

-
เว็บไซต์26 ต.ค. 2569

เพิ่มแถบขอความยินยอมคุกกี้ตามแนวทาง PDPA: โฆษณา Google AdSense และคุกกี้โฆษณาจะโหลดก็ต่อเมื่อผู้ใช้กด “ยอมรับ” เท่านั้น ปุ่มยอมรับและไม่ยอมรับมีขนาดเท่ากัน ไม่ยอมรับก็ใช้งานทุกส่วนได้ครบ และเปลี่ยนใจได้ทุกเมื่อที่ปุ่ม “ตั้งค่าคุกกี้” ท้ายทุกหน้า พร้อมย้ายฟอนต์ทั้งหมดมาไว้บนเว็บไซต์เอง ไม่โหลดจาก Google Fonts อีกต่อไป
อ่านนโยบายความเป็นส่วนตัว →

-
เว็บไซต์26 ต.ค. 2569

ปรับระบบค้นหาและ AI: เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรมรองรับลิงก์โจทย์ ?q= และ structured data แบบ MathSolver สำหรับ Google, เพิ่มหน้าใหม่ทั้งสองในคู่มือ Markdown สำหรับผู้ช่วย AI, llms.txt, ดัชนีค้นหาในเว็บ และตัวเชื่อมต่อ /mcp, เพิ่มลิงก์สั้น เช่น /series-calculator, /sigma-calculator, /recurrence-solver, /strong-induction และเพิ่มหน้านโยบายความเป็นส่วนตัว
นโยบายความเป็นส่วนตัว →

-
บทเรียน26 ต.ค. 2569

บทเรียนวงจรไฟฟ้ากระแสตรงเพิ่มตารางสรุปสูตร 15 แถวไว้ต้นหน้า: กฎของโอห์มและกำลัง อนุกรม-ขนาน แบ่งแรงดัน-กระแส KCL KVL Δ-Y บริดจ์วีตสโตน เทวินิน กำลังสูงสุด และ RC RL RLC แต่ละสูตรลิงก์ไปการ์ดที่มีที่มาและตัวอย่าง
ดูตารางสรุปสูตร →

-
เว็บไซต์26 ต.ค. 2569

เพิ่มหน้าอ่านไพ่ทาโรต์จากภาพถ่าย ภาษาไทยและอังกฤษ สำหรับคนที่วางไพ่จริงบนโต๊ะ ถ่ายภาพแล้วแตะ 2 ครั้งเพื่อปักหมุดครบ 10 ตำแหน่ง ระบุไพ่และทิศ รวมถึงทิศหัวไพ่ของใบที่ 2 ที่วางขวางตามกติกาที่เลือกเอง ผังแสดงเส้นเชื่อมตำแหน่งคู่ตามความสัมพันธ์ของธาตุ และอ่านผลด้วยระบบตีความชุดเดียวกับหน้าดูดวงไพ่ทาโรต์ ภาพไม่ออกจากเครื่อง
Englishใบที่ 2 กลับหัวหรือไม่
เปิดหน้าอ่านไพ่จากภาพถ่าย →

-
เว็บไซต์26 ต.ค. 2569

เปิดหน้าดูดวงไพ่ทาโรต์ (ไพ่ยิปซี) แบบ Celtic Cross 10 ใบ ภาษาไทยและอังกฤษ พิมพ์คำถาม สับไพ่เองด้วยแบบจำลองการสับจริง (ริฟเฟิล Gilbert–Shannon–Reeds โอเวอร์แฮนด์ วนไพ่บนโต๊ะ ตัด 3 กอง) พร้อมมาตรวัดระดับการผสมของสำรับ แล้วอ่านผลตามคำถาม วิเคราะห์ธาตุ ราศี เดแคน ตัวเลข ต้นไม้แห่งชีวิต และกุญแจจากวันเกิด
Englishคณิตศาสตร์ของการสับไพ่
เปิดหน้าดูดวงไพ่ทาโรต์ →

-
บทความ25 ต.ค. 2569

บทความใหม่ “เริ่มต้นเข้าใจการเขียนโปรแกรมในยุค AI: ทำไมควรเริ่มที่ Python” ทั้งภาษาไทยและภาษาอังกฤษ พร้อมตัวอย่างตรวจโค้ดวงจร RC ด้วยความรู้วงจรและแผนเรียน 4 สัปดาห์ และจัดหน้าบทความใหม่เป็น 6 หมวด ได้แก่ ลำดับและอนุกรม เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น การแปลงลาปลาซ ระบบควบคุมและ PID ไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ และการเขียนโปรแกรมและ AI แต่ละหมวดมีหน้าของตัวเองทั้งไทยและอังกฤษ ค้นหาได้จากปุ่มค้นหาบนเว็บ
English editionหมวดการเขียนโปรแกรมและ AIบทความทั้ง 6 หมวด
อ่านบทความ →

-
บทความ25 ต.ค. 2569

ขยายบทความเดิม 3 เรื่องทั้งภาษาไทยและภาษาอังกฤษ: อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เพิ่มเป็นตัวอย่าง 14 ข้อ พร้อมวิธีเขียนข้อความ P(n) และอุปนัยแบบเข้ม (strong induction) · อนุกรมเทย์เลอร์เพิ่มตารางอนุกรมแมคลอริน ตัวอย่างกระจายรอบจุดอื่น ใช้กี่พจน์ หาอินทิกรัลและลิมิต · การต่อมอเตอร์เดลต้าเพิ่มความหมายของขั้ว U1 V1 W1 U2 V2 W2 เทียบขั้วรุ่นเก่าและ NEMA และสีสายไฟเข้า
อนุกรมเทย์เลอร์ขั้ว U1 V1 W1 และสีสาย
อ่านบทความอุปนัย →

-
บทเรียน25 ต.ค. 2569

พีชคณิตเชิงเส้นขยายเป็น 12 หน้า: เพิ่มบท “ค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ (แรงก์)” ทั้งการลดแถว ไมเนอร์ โจทย์พารามิเตอร์ k ทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี ปริภูมิศูนย์ และบท “การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของระบบสมการเชิงเส้น” ทั้งเกาส์กับการสลับแถว LU โชเลสกี โทมัส จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR และเลขเงื่อนไข พร้อมสูตรลัดดีเทอร์มิแนนต์ที่ออกสอบและคราเมอร์กับพารามิเตอร์ ทุกตัวอย่างตรวจตัวเลขด้วย SymPy
แรงก์ (ค่าลำดับขั้น)ผลเฉลยเชิงตัวเลขสูตรลัด det ออกสอบคราเมอร์กับพารามิเตอร์ k
ดูเส้นทางเรียนเรื่องระบบสมการ →

-
แนวข้อสอบ25 ต.ค. 2569

แนวข้อสอบเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ และกฎของคราเมอร์ 45 ข้อ พร้อมเฉลยทีละขั้น 3 ระดับ (เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย · ป.ตรี · วิธีเชิงตัวเลข) สูตรต้องจำ 8 สูตร และเครื่องสุ่มโจทย์ 10 แบบที่ตรวจคำตอบและแสดงเฉลยได้ไม่จำกัด
ชุด A เข้ามหาวิทยาลัยชุด B ป.ตรีชุด C เชิงตัวเลขโจทย์สุ่ม
เริ่มทำแนวข้อสอบ →

-
แล็บ25 ต.ค. 2569

แล็บใหม่ 8 ชุดที่ใช้บนมือถือได้: หาแรงก์ทีละขั้นแบบเศษส่วนแม่นตรง แรงก์กับพารามิเตอร์ k สามระนาบ 3 มิติที่หมุนได้ การปัดเศษกับการสลับแถว แยก LU / PA = LU / โชเลสกี ซิมูเลเตอร์จาโคบี · เกาส์-ไซเดล · SOR เลขเงื่อนไขกับเมทริกซ์ฮิลเบิร์ต และแผ่นความร้อนด้วยวิธีผ่อนคลาย
สามระนาบ 3 มิติแล็บหาแรงก์แล็บ LUแผ่นความร้อน
ลองซิมูเลเตอร์วิธีทำซ้ำ →

-
บทความ25 ต.ค. 2569

บทความใหม่ 5 เรื่อง ทั้งภาษาไทยและภาษาอังกฤษแยกลิงก์: แผนที่การเรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ของเมทริกซ์คืออะไร กฎของคราเมอร์ใช้อย่างไร สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย และเกาส์ LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหน
แรงก์ของเมทริกซ์กฎของคราเมอร์สมบัติดีเทอร์มิแนนต์จาโคบี vs เกาส์-ไซเดลEnglish: Matrices roadmap
เริ่มจากแผนที่การเรียน →

-
เว็บไซต์25 ต.ค. 2569

ปรับหน้าแรก: แถบ “ใหม่” ด้านบนและกล่อง “มีอะไรใหม่บนเว็บไซต์” อัปเดตตามบันทึกการปรับปรุงโดยอัตโนมัติ พร้อมปุ่มลิงก์ตรงไปยังหน้าที่เพิ่ม · เมนูพีชคณิตเชิงเส้น (แฮมเบอร์เกอร์บนมือถือ) เพิ่มแรงก์ ผลเฉลยเชิงตัวเลข และแนวข้อสอบ · ลิงก์ท้ายเว็บเพิ่มบทความภาษาอังกฤษ
ดูบันทึกทั้งหมด →

-
เว็บไซต์25 ต.ค. 2569

เชื่อมเว็บไซต์กับผู้ช่วย AI: เพิ่มที่อยู่ modsengineeringmath.com/mcp เป็น connector ใน Claude แล้ว Claude จะค้นและอ่านบทเรียน บทความ และเฉลยโจทย์ทั้งเว็บได้โดยตรง พร้อมลิงก์กลับมายังหน้าที่ใช้อ้างอิง ใช้ฟรีและไม่ต้องสมัคร · ทุกหน้ามีฉบับ Markdown สำหรับ AI โดยต่อท้ายที่อยู่ของหน้าด้วย index.html.md
วิธีเชื่อมกับ Claude →

-
เว็บไซต์24 ต.ค. 2569

เปิดส่วนใหม่ เฉลยโจทย์ทีละขั้น ข้อละหน้า แชร์ต่อใน LINE, Facebook และ X ได้พร้อมภาพโจทย์ ข้อแรก: อินทิเกรต ∫dx/√(x²+a²) ด้วยการแทนค่าแบบออยเลอร์ พร้อมที่มาของการกำหนด u − x = √(x²+a²)
ดูเฉลยข้อแรก →

-
บทเรียน24 ต.ค. 2569

เปิดบทใหม่ ลำดับและอนุกรมครบชุด 10 หน้า (บทที่ 26): ลำดับและลิมิตของลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้าพร้อมผังเลือกใช้ อนุกรมสลับ อนุกรมกำลังและรัศมีการลู่เข้า อนุกรมเทย์เลอร์-แมคลอริน อนุกรมโลรองต์ เรซิดิว การแปลง Z และอนุกรมในงานวิศวกรรม รวม 122 สูตรมีรหัสอ้างอิง ทุกตัวอย่างตรวจตัวเลขด้วย sympy ตั้งแต่ระดับเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
เปิดบทลำดับและอนุกรม →

-
แล็บ24 ต.ค. 2569

แล็บลำดับและอนุกรม 12 ชุดที่ใช้บนมือถือได้: ผลบวกย่อย ขอบเขตปริพันธ์ จัดเรียงอนุกรมสลับให้ได้ผลบวกตามต้องการ (ทฤษฎีบทรีมันน์) รัศมีการลู่เข้าบนเส้นจำนวนและในระนาบเชิงซ้อน พหุนามเทย์เลอร์ ต้องใช้กี่พจน์ วงแหวนอนุกรมโลรองต์ที่ลากจุดทดสอบได้ และการประมาณในงานวิศวกรรม (ลูกตุ้ม sin บนชิป ไดโอด)
เปิดแล็บรวม →

-
แนวข้อสอบ24 ต.ค. 2569

แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม 60 ข้อ 3 ระดับพร้อมเฉลยทีละขั้น (เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย · แคลคูลัส 2 · คณิตศาสตร์วิศวกรรม) เกมเลือกการทดสอบการลู่เข้า 40 ข้อ และเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัด 9 หมวดที่ตรวจคำตอบให้ทันที
ฝึกโจทย์ →

-
บทความ24 ต.ค. 2569

บทความใหม่ 4 เรื่อง ภาษาไทยและภาษาอังกฤษแยกลิงก์: ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง (แผนที่ภาพรวม) · เลือกการทดสอบการลู่เข้าด้วยผัง 8 ขั้น · รัศมีการลู่เข้าหาอย่างไร · อนุกรมโลรองต์ต่างจากเทย์เลอร์อย่างไร
อ่านบทความ →

-
เว็บไซต์24 ต.ค. 2569

หน้าแรกมีกล่อง “มีอะไรใหม่บนเว็บไซต์” ที่ดึงจากบันทึกการปรับปรุงโดยอัตโนมัติ และเปิดหน้า /updates/ รวมทุกการปรับปรุงพร้อมตัวกรอง · เมนูหลักเพิ่มลิงก์ “มีอะไรใหม่” และหมวด “ลำดับ · อนุกรม” ทั้งในเมนูแฮมเบอร์เกอร์และแถบเมนูบนจอคอมพิวเตอร์ · แก้แถบเมนูบนจอกว้างที่เคยซ้อนทับโลโก้ · กราฟในแล็บปรับขนาดตามจอมือถือให้ตัวอักษรอ่านง่ายขึ้น
ดูบันทึกทั้งหมด →

-
บทความ19 ต.ค. 2569

บทความวิจัยใหม่ (ไทย + English): ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที — ทดลองเชิงตัวเลข 14 ชุดด้วยแบบจำลองพลวัตมอเตอร์กรงกระรอก สรุปเป็นสูตร t = c·τm พร้อมตาราง c ตามชนิดโหลด พบว่ายอดกระแสตอนเปลี่ยนของปั๊มและพัดลมเกือบเท่าสตาร์ทตรงทุกค่าไทเมอร์ แต่ไทเมอร์ที่ถูกลดเวลากระแสสูงได้ราว 20 เท่า
อ่านบทความวิจัย →

-
งานสอน19 ต.ค. 2569

บทเรียนใหม่ 21.9 สตาร์-เดลต้าเชิงลึก (ไทย + English): เลือกต่อสตาร์ วาย หรือเดลต้าจากแผ่นป้าย ตั้งไทเมอร์จาก τm = J·ωs/Tn ช่วงตายกับแรงดันค้าง ลำดับเฟส KM3 แบบปิดวงจร I²t ความร้อนโรเตอร์ แรงดันตกบนหม้อแปลงและเจนเนอเรเตอร์ เดินสตาร์ถาวรที่โหลดเบา กรณีศึกษา 8 กรณี อดีต-ปัจจุบัน-อนาคต และแล็บจำลองพลวัตที่แก้สมการมอเตอร์ทุก 0.2 ms
เปิดบทเรียนและแล็บ →

-
บทความ17 ต.ค. 2569

บทความใหม่: การต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า จำ U1–W2, V1–U2, W1–V2 ด้วยหลักต้นขดต่อปลายขดก่อนหน้า พร้อมวงจรและกล่องขั้ว แรงดันกับกระแสสาย-เฟส และการเลือกจากเนมเพลต 230/400 V กับ 400/690 V ฝังคลิป Shorts 16 วินาทีที่มียอดดูกว่า 6.6 หมื่นครั้ง
อ่านบทความและดูคลิป →

-
บทความ16 ต.ค. 2569

คู่มือจูน PID ฉบับสมบูรณ์ (PID Academy) ภาษาไทยและอังกฤษ: อ่านสมการของตัวควบคุม ทำ step test หา K L T จูนด้วย Ziegler–Nichols Cohen–Coon SIMC และ relay เทียบผลจำลองบนพลานต์เดียวกัน พร้อม anti-windup ตัวกรอง D ตารางแก้ปัญหา และโจทย์ฝึกทำ
อ่านคู่มือจูน PID →

-
บทความ16 ต.ค. 2569

บทความทั้ง 8 เรื่องมีฉบับภาษาอังกฤษเต็ม (แปลทั้งเนื้อหา สูตรและตัวอย่างตัวเลขเหมือนต้นฉบับ) ที่ /en/blog/ พร้อมปุ่มสลับภาษา TH/EN ในทุกบทความ
Read in English →

-
บทความ16 ต.ค. 2569

เปิดหมวดบทความ /blog/ 8 เรื่องแรก: การแปลงลาปลาซ ตารางลาปลาซ Inverse Laplace dot และ cross product Power Factor การคำนวณคาปาซิเตอร์ ดีเทอร์มิแนนต์และอินเวอร์ส และ PID พร้อมตัวอย่างคำนวณและลิงก์ไปยังบทเรียนเต็ม
เปิดบทความ →

-
บทเรียน15 ต.ค. 2569

เพิ่มบั๊กคอนเวอร์เตอร์เชิงลึก 5 หน้า: ไล่วงจรโหมด CCM และ DCM ทีละขั้นเพื่อหาดิวตี้ไซเคิล (D = Vo/Vin ค่าแฝง และ M = 2/(1+√(1+4K/D²))) · แบบจำลองเฉลี่ยด้วยสเตตสเปซและการทดสอบด้วยสัญญาณเล็ก · ฟังก์ชันถ่ายโอนทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต (Gvd Gvg Zout Zin GiLd) พร้อมเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือน · แล็บออกแบบเลือกไดโอด ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ และโปรแกรมโหลดหลายสภาวะ ดูศักยภาพการจ่ายกระแส
เปิดบั๊กเชิงลึก →

-
บทเรียน14 ต.ค. 2569

เปิดสองชุดใหม่ ควบคุมมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับด้วยแมกเนติกคอนแทกเตอร์ (14 หน้า: มอเตอร์เหนี่ยวนำ ต่อสตาร์–เดลต้า DOL กลับทางหมุน สตาร์–เดลต้าแบบละเอียด ซอฟต์สตาร์ท อินเวอร์เตอร์ VFD ออกแบบและแก้ปัญหา) และการควบคุมอัตโนมัติด้วย PLC (11 หน้า: แลดเดอร์ ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ SFC อนาล็อก PID ความปลอดภัย) สำหรับระบบ 230/400 V 50 Hz พร้อมซิมูเลเตอร์ และฉบับภาษาอังกฤษครบทุกหน้า
เปิดชุดควบคุมมอเตอร์ →

-
บทเรียน14 ต.ค. 2569

เปิดหมวดใหม่ เซนเซอร์และทรานส์ดิวเซอร์ ครบ 20 หน้า: ประวัติ หน่วย มาตรฐานพร้อมประเทศต้นแบบ การวัดอุณหภูมิ ความดัน อัตราการไหล ระดับ แรง ตำแหน่ง กระแส แรงดัน สัญญาณ 4–20 mA HART Modbus PROFIBUS ฟิลด์บัส IIoT P&ID การสอบเทียบ และแล็บวัดคุมเสมือนที่ทำให้ทรานสมิตเตอร์เสียได้
เปิดหมวดเซนเซอร์ →

-
บทเรียน14 ต.ค. 2569

แยกเมนูคณิตศาสตร์เป็น 8 วิชา มีแท็บของตัวเอง: ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ ลิมิต อนุพันธ์ อินทิกรัล เวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเส้น การแปลงลาปลาซ พร้อมหน้าใหม่ ฟังก์ชัน ลิมิต อนุพันธ์ และหน้าการประยุกต์ทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล โยธา ของอนุพันธ์ อินทิกรัล และพีชคณิตเชิงเส้น
ดูทุกวิชา →

-
บทเรียน14 ต.ค. 2569

การแปลงลาปลาซทำใหม่เป็นชุด 6 หน้า: จำนวนเชิงซ้อนและเรซิดิว แผนภาพโพล-ซีโร่และ ROC คุณสมบัติครบทุกข้อ แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง-สอง และหน้า Inverse Laplace Transform ระดับตำรา Ogata พร้อมเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำและแล็บโต้ตอบ 8 ตัว
เปิด Inverse Laplace →

-
แล็บ14 ต.ค. 2569

แล็บเมทริกซ์ย้ายมาเป็นหน้าของตัวเองในพีชคณิตเชิงเส้น: คูณเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส คราเมอร์ ค่าเฉพาะ แสดงวิธีทำทุกขั้น
เปิดแล็บเมทริกซ์ →

-
บทเรียน13 ต.ค. 2569

เปิดชุดเพาเวอร์แฟกเตอร์ เข้าใจได้ทุกระดับ 8 หน้า: ภาพเปรียบเทียบ P Q S รูปคลื่น v i p คำนวณคาปาซิเตอร์ ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติ ค่าปรับ kvar PF จริงกับฮาร์มอนิก การวัด พร้อมซิมูเลเตอร์ภาพเคลื่อนไหวและตู้คาปาซิเตอร์จำลอง
เปิดเพาเวอร์แฟกเตอร์ →

-
บทเรียน13 ต.ค. 2569

เปิดชุดปูพื้นระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน 11 หน้า: เฟสเซอร์ สามเฟส per-unit หม้อแปลง สายส่ง P-δ กระแสลัดวงจร องค์ประกอบสมมาตร CT รีเลย์กระแสเกินและการประสาน TCC การต่อลงดิน รีเลย์ 87 และ 21 พร้อมแล็บคำนวณ
เปิดระบบไฟฟ้ากำลัง →

-
บทเรียน13 ต.ค. 2569

เปิดชุดระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน 9 หน้า: ชาร์จช้าด้วยไฟบ้าน (Mode 2) ชาร์จเร็วด้วยวอลล์บ็อกซ์ Control Pilot มิเตอร์ สายไฟ RCD Type B ค่าไฟ TOU และซิมูเลเตอร์พลังงานบ้านที่มีโซลาร์ แอร์ และรถ EV
เปิดชาร์จรถ EV ที่บ้าน →

-
บทเรียน13 ต.ค. 2569

ขยายชุดพีชคณิตเวกเตอร์เป็น 7 หน้าย่อย: เวกเตอร์ 2D/3D บวก ลบ คูณสเกลาร์ Component และ Projection อย่างละเอียด Dot product Cross product และโจทย์แรง งาน แรงบิด สนามแม่เหล็ก พร้อมภาพ สรุปสูตรอ้างอิง และแล็บเวกเตอร์โต้ตอบ
เปิดชุดบทเรียนเวกเตอร์ →

-
บทเรียน13 ต.ค. 2569

เปิดชุดออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ 19 หน้า: เส้นโค้ง I-V เลือกแผง แสงอาทิตย์ในไทย on-grid off-grid hybrid และการขนานไฟ ออกแบบสตริง สายไฟและการป้องกัน แบตเตอรี่ คาดการณ์พลังงาน ความคุ้มค่า พยากรณ์ล่วงหน้า MPPT อินเวอร์เตอร์ เลือกตัวควบคุม โซลาร์จ่ายแอร์ โซลาร์ฟาร์ม ปั๊มน้ำเกษตร และงานติดตั้งบำรุงรักษา
เปิดออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ →

-
แล็บ13 ต.ค. 2569

เครื่องมือออกแบบโซลาร์เซลล์ออนไลน์ 9 ตัว: แล็บเส้นโค้ง I-V พร้อมเงาบัง ขนาดจากบิลค่าไฟ ออกแบบสตริง คาดการณ์พลังงานรายเดือน แบตเตอรี่ แอร์ ปั๊มน้ำ แรงดันตก และระยะคืนทุน NPV IRR LCOE
เปิดเครื่องมือออกแบบ →

-
บทเรียน12 ต.ค. 2569

เปิดชุดอนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก 15 หน้า เรียนทีละขั้นจากการหาสัมประสิทธิ์ สมมาตร สเปกตรัม กิบส์ พาร์เซวาล ตารางอนุกรมของ 18 รูปคลื่น วิเคราะห์วงจรทีละฮาร์มอนิก จนถึง THD PF IEEE 519 ฮาร์มอนิกของเรกติไฟเออร์ อินเวอร์เตอร์ PWM บั๊กคอนเวอร์เตอร์ การแก้ด้วยคาปาซิเตอร์ดีจูนและฟิลเตอร์ และ DFT FFT
เปิดอนุกรมฟูเรียร์ →

-
แล็บ12 ต.ค. 2569

แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก: ออสซิลโลสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้าเสมือน วัดโหลด 10 แบบ (SMPS LED ไตรแอก 6 พัลส์ 12 พัลส์ VFD PFC) อ่าน P Q S D PF THD TDD K-factor กระแสนิวทรัล เทียบ IEEE 519-2022 กฟภ. IEC 61000-3-2 ลองแก้ด้วยรีแอกเตอร์ คาปาซิเตอร์ดีจูน ฟิลเตอร์จูน ฟิลเตอร์แอกทีฟ พร้อมแปลผลอัตโนมัติและใบงาน 16 ชุด
เปิดแล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก →

-
บทเรียน12 ต.ค. 2569

เปิดชุดระบบควบคุม (Control Systems Engineering) 26 หน้า จากพื้นฐานถึงขั้นสูง: แบบจำลอง เสถียรภาพ เราท์–เฮอร์วิตซ์ รูทโลคัสวาดด้วยมือ โบด มาร์จิน ไนควิสต์ lead lag PID การจูน ปริภูมิสถานะ ควบคุมดิจิทัล เมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ และตัวชดเชย Type III ของพาวเวอร์ซัพพลาย พร้อมแล็บรูทโลคัส โบด ไนควิสต์ เครื่องคิดเลขเราท์ แล็บ PID และคลังไอเดีย 70 ระบบ
เปิดระบบควบคุม →

-
แล็บ12 ต.ค. 2569

เปิดแล็บเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคป 9 หน้า: อ่านค่า Vpp Vrms ทุกปุ่มของเครื่อง ทริกเกอร์ โพรบ แบนด์วิดท์ วัดเฟส Bode วงจร RC RLC ออปแอมป์ สร้างเครื่องเองด้วย 555 และ AD9833 และงานประยุกต์ พร้อมโต๊ะแล็บจำลองเสมือนจริงฟรี 46 การทดลอง ใบงาน 16 ชุดพร้อมเฉลย
เปิดแล็บ FG + สโคป →

-
บทเรียน12 ต.ค. 2569

เปิดชุดบทเรียนพีชคณิตเชิงเส้น 7 หน้า: เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ ระบบสมการเชิงเส้น อินเวอร์ส กฎของคราเมอร์ ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ และรูปแบบโจทย์วงจรไฟฟ้า ตั้งแต่ ม.ปลาย ถึง ป.โท ทุกสูตรมีรหัสอ้างอิง ค้นหาได้ในที่เดียว พร้อมเครื่องคิดเลขเมทริกซ์แสดงวิธีทำแบบเศษส่วน
เปิดพีชคณิตเชิงเส้น →

-
บทเรียน10 ต.ค. 2569

เพิ่มบทอินทิกรัล: สูตรอินทิเกรตครบพร้อมชื่อสากล คุณสมบัติ สูตรสำเร็จ และตัวอย่างวิธีทำทีละขั้นแบบจดเลกเชอร์ ทั้งเปลี่ยนตัวแปร u หารยาวพหุนาม เศษส่วนย่อย ทีละส่วน และอินทิกรัลจำกัดเขตจากนิยามผลบวกรีมันน์
เปิดบทอินทิกรัล →

-
บทเรียน9 ต.ค. 2569

เพิ่มหน้าสูตรตรีโกณมิติครบทุกหมวด พร้อมชื่อภาษาอังกฤษ วงกลมหนึ่งหน่วยแบบลากได้ และตารางค่า sin cos tan ทุก 0.05° ตั้งแต่ 0° ถึง 90° ทั้งองศาและเรเดียน ค้นมุม หามุมจากค่า และดาวน์โหลด CSV ได้
เปิดสูตรและตาราง →

-
แล็บ9 ต.ค. 2569

เปิดแล็บสัญญาณเบื้องต้น พิมพ์สมการสัญญาณเองได้ทั้ง x(t) และ x[n] ดูอนุพันธ์ ส่วนคู่คี่ พลังงาน สเปกตรัม ลองเลื่อน สเกล กลับเวลา และคอนโวลูชันแบบกลับและเลื่อน
เปิดแล็บ →

-
แล็บ9 ต.ค. 2569

เปิดแล็บระบบอันดับสองแบบโต้ตอบ เน้นให้เข้าใจ ζ และ ωn ลากขั้วบนระนาบ s ได้ ดูเปลือกเอกซ์โพเนนเชียล %OS Bode plot และระนาบเฟสเปลี่ยนไปพร้อมกัน
เปิดแล็บ →

-
แล็บ9 ต.ค. 2569

เปิดแล็บระบบอันดับหนึ่งแบบโต้ตอบ ปรับค่าคงตัวเวลา τ หรือ R, C, L แล้วดูผลตอบสนองพร้อมเส้นแบ่งทุกช่วง τ เส้นสัมผัส สเกลลอการิทึม ระนาบ s และ Bode plot
เปิดแล็บ →

-
เว็บไซต์9 ต.ค. 2569

เปิดเครื่องมือเขียนบทเรียนคณิตศาสตร์ออนไลน์ พิมพ์ Markdown กับสูตร LaTeX แล้วเห็นผลทันที บันทึกเป็น .md ส่งออก HTML หรือพิมพ์เป็น PDF ได้ ใช้ฟรี
ลองใช้เครื่องมือ →

-
เว็บไซต์7 ต.ค. 2569

เปิดหน้าโปรไฟล์และคลังความรู้ใหม่ เริ่มจากบทเรียน 4 หัวข้อ: แคลคูลัสเบื้องต้น พีชคณิตของเวกเตอร์ เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ และการแปลงลาปลาซ
ไปที่คลังความรู้ →

-
เว็บไซต์6 ต.ค. 2569

ออกแบบ modsengineeringmath.com ใหม่ ให้เหลือเฉพาะเนื้อหาที่มีอยู่จริง พร้อมเส้นทางการเรียนจากเมทริกซ์ไปจนถึงวงจรบั๊กคอนเวอร์เตอร์
ดูหน้าแรก →

// ผลงาน

## ตำรา โปรเจกต์ และงานสอน

ตำรา · ภาษาไทย

### เอกสารคำสอนคณิตศาสตร์วิศวกรรม 1

เอกสาร 358 หน้า ครอบคลุมเวกเตอร์ ลิมิต อนุพันธ์ ปริพันธ์ เทคนิคการอินทิเกรต ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ และปริพันธ์เชิงตัวเลข

● ใช้สอนในชั้นเรียน

ตำรา · English

### Engineering Mathematics 1, Signals and Systems, Control Systems

ตำราภาษาอังกฤษ 3 เล่มพร้อมสไลด์ประกอบ ตั้งเป้ามาตรฐานระดับสากล ตามหลักสูตรวิศวกรรมไฟฟ้า พ.ศ. 2568

◐ กำลังเขียน

โปรเจกต์ · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

### Buck Converter ควบคุมด้วยออปแอมป์แบบแอนะล็อก

12 V → 5 V / 2 A ที่ 50 kHz ใช้ pulse transformer ขับเกต และ current transformer วัดกระแส ออกแบบด้วย PSIM, MATLAB และ Excel เป็นขั้นแรกของเส้นทาง Buck → Solar MPPT → Bidirectional → EV Charger

◐ กำลังพัฒนา

โปรเจกต์ · เครื่องมือสอน

### เครื่องวัดกำลังไฟฟ้าสามเฟสสี่สาย

ESP32-S3 ร่วมกับไอซี ADS131M08 และ ATM90E36A ส่งข้อมูลผ่าน MQTT ไปยังแดชบอร์ดบนมือถือ มีโหมดสาธิตในห้องเรียน ให้เห็นความต่างของ P, Q, S และ D

◐ กำลังพัฒนา

สื่อการสอน

### ช่อง YouTube Mod's Engineering Mathematics

คลิปสอนคณิตศาสตร์วิศวกรรมภาษาไทย ตั้งแต่เมทริกซ์ การแปลงลาปลาซ การควบคุมป้อนกลับ จนถึงวงจรบั๊กคอนเวอร์เตอร์

@modsengineeringmath ↗

เว็บไซต์

### เว็บไซต์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า

ออกแบบและสร้างเว็บไซต์ของสาขาวิชา รวมคำอธิบายรายวิชาทั้งหมด 85 วิชาจากหลักสูตร

sci.dru.ac.th/electrical-engineering ↗

// วิธีสอน

## เข้าใจที่มา ก่อนใช้สูตร

“เข้าใจจริงด้วยอุปกรณ์ราคาถูก ดีกว่าใช้ของแพงโดยไม่รู้หลักการ”

- 01 · HOOK

### เริ่มจากปัญหาจริง
เปิดด้วยวงจรหรือปรากฏการณ์ที่นักศึกษาสงสัย ก่อนเข้าสู่ทฤษฎี

- 02 · CONCEPT

### สร้างแนวคิดจากหลักการพื้นฐาน
อธิบายว่าสูตรมาจากไหน ด้วยหลายมุมมอง ทั้งการเปรียบเทียบ ตัวเลข สมการ และภาพที่ปรับค่าได้

- 03 · PRACTICE

### ฝึกจนใช้เป็น
ทำโจทย์ที่ต่อยอดไปถึงงานไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์กำลังจริง

// รายวิชาที่สอน

## ห้องเรียนของอาจารย์มด

- คณิตศาสตร์วิศวกรรม 1–3
- สัญญาณและระบบ
- ระบบควบคุม
- อิเล็กทรอนิกส์กำลังในงานอุตสาหกรรม

- ฟิสิกส์ 1
- เคมี
- วงจรและอุปกรณ์ควบคุม
- การเดินสายตู้ควบคุม
- PLC

นอกจากงานสอนในมหาวิทยาลัย ยังเป็นวิทยากรค่ายโอลิมปิกวิชาการหัวข้อพีชคณิตของเวกเตอร์แบบออนไลน์ต่อเนื่องเป็นปีที่ 3 และมีประสบการณ์ด้านระบบอัตโนมัติในอุตสาหกรรม เช่น การเขียนไลบรารีภาษา C สื่อสารกับ PLC Omron CP1H ผ่านโปรโตคอล FINS

// ในห้องเรียน

### ภาพจากห้องเรียนของอาจารย์มด

นิยามอนุพันธ์: ซูมเข้าไปที่เส้นโค้งจนเห็นเป็นเส้นตรง แล้วจึงได้ dy/dx · บทเรียนอนุพันธ์

ลาปลาซผกผันสู่ผลตอบสนองของระบบอันดับหนึ่ง e₀(t) = 1 − e−t/τ · แล็บระบบอันดับหนึ่ง

อินทิเกรตทีละบรรทัด ∫ 5/x² dx ด้วยสูตรยกกำลัง · บทเรียนอินทิกรัล

// นอกห้องเรียน

## เวลาที่ไม่ได้อยู่หน้ากระดาน

ศึกษาดูงาน · พลังงาน

### กฟผ. ลำตะคอง จังหวัดนครราชสีมา

ออกไปดูระบบผลิตไฟฟ้าของจริง ทั้งศูนย์การเรียนรู้และกังหันลมผลิตไฟฟ้าของการไฟฟ้าฝ่ายผลิตแห่งประเทศไทย เพื่อนำภาพและเรื่องจริงกลับมาเล่าในห้องเรียน

ต่อยอดในบทเรียน: ระบบไฟฟ้ากำลัง · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์

กังหันลม กฟผ. ลำตะคอง

ศูนย์การเรียนรู้ กฟผ. ลำตะคอง

🚵

### ปั่นจักรยาน
เสือภูเขา และปั่นในเมืองตอนกลางคืนเป็นกิจวัตร

🫀

### สรีรวิทยาการออกกำลังกาย
ชอบหาเหตุผลเชิงสรีรวิทยาเบื้องหลังคำแนะนำด้านสุขภาพ การออกกำลังกาย และโภชนาการ

🎬

### ดนตรีและภาพยนตร์
พักสมองจากสมการด้วยเพลงและหนังดี ๆ

// ประวัติสำหรับนำไปใช้

## ประวัติย่อ พร้อมคัดลอก

สำหรับผู้จัดงาน สื่อ หรือหน่วยงานที่ต้องการแนะนำวิทยากร เลือกความยาวที่ต้องการ แล้วกดคัดลอกได้เลย

ว่าที่ร้อยตรีธีรวุฒิ แสวงบุญ (อาจารย์มด) อาจารย์ประจำสาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ สำเร็จการศึกษา วศ.บ. และ วศ.ม. วิศวกรรมระบบควบคุม จากสถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้าเจ้าคุณทหารลาดกระบัง และเป็นผู้สร้างช่อง YouTube “Mod's Engineering Mathematics” ที่สอนคณิตศาสตร์วิศวกรรมเป็นภาษาไทย

ว่าที่ร้อยตรีธีรวุฒิ แสวงบุญ (อาจารย์มด) เป็นอาจารย์ประจำสาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ สำเร็จการศึกษาวิศวกรรมศาสตรบัณฑิตและวิศวกรรมศาสตรมหาบัณฑิต สาขาวิศวกรรมระบบควบคุม จากสถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้าเจ้าคุณทหารลาดกระบัง (สจล.) มีประสบการณ์สอนในระดับอุดมศึกษามากกว่า 13 ปี ในรายวิชาคณิตศาสตร์วิศวกรรม 1–3 สัญญาณและระบบ ระบบควบคุม วงจรและอุปกรณ์ควบคุม อิเล็กทรอนิกส์กำลัง และ PLC

ผลงานประกอบด้วยเอกสารคำสอนคณิตศาสตร์วิศวกรรม 1 ความยาว 358 หน้า ตำราภาษาอังกฤษ 3 เล่มที่อยู่ระหว่างการเขียน และโปรเจกต์เครื่องมือสอน เช่น วงจร Buck Converter ที่ควบคุมด้วยออปแอมป์แบบแอนะล็อก และเครื่องวัดกำลังไฟฟ้าสามเฟส อีกทั้งเป็นวิทยากรค่ายโอลิมปิกวิชาการหัวข้อพีชคณิตของเวกเตอร์

อาจารย์มดสร้างช่อง YouTube “Mod's Engineering Mathematics” และเว็บไซต์ modsengineeringmath.com เพื่อสอนคณิตศาสตร์วิศวกรรมเป็นภาษาไทย โดยยึดหลักว่าผู้เรียนต้องเข้าใจที่มาของสูตรก่อนนำไปใช้

Acting Sub-Lieutenant Teerawut Savangboon (“Ajarn Mod”) is a lecturer in Electrical Engineering at the Faculty of Science and Technology, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan campus, Thailand. He holds B.Eng. and M.Eng. degrees in Control Engineering from King Mongkut's Institute of Technology Ladkrabang (KMITL) and has more than 13 years of university teaching experience. He teaches Engineering Mathematics I–III, signals and systems, control systems, control circuits and devices, power electronics and PLC, and is writing three English-language textbooks in these areas. He runs the Thai-language YouTube channel “Mod's Engineering Mathematics” and the website modsengineeringmath.com, where he teaches from first principles: understand why a formula works before using it.

// ติดต่อ

## ช่องทางติดต่ออาจารย์มด

สอบถามเรื่องเนื้อหา หรือเชิญเป็นวิทยากร ส่งข้อความได้ทาง Facebook Page

Facebook Page
ส่งข้อความถึงอาจารย์มดโดยตรง
facebook.com/modsengineeringmath ↗

YouTube
ดูคลิปสอนและคอมเมนต์ถามได้ใต้คลิป
@modsengineeringmath ↗

หน้าอาจารย์ · มหาวิทยาลัย
ข้อมูลทางการในเว็บไซต์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า
sci.dru.ac.th ↗

---

# บทความวิศวกรรมไฟฟ้าและคณิตศาสตร์วิศวกรรม แยกตามหมวด: PID Laplace เมทริกซ์ Python | อาจารย์มด

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/
Updated: 2026-10-25
Summary: บทความภาษาไทยจากอาจารย์มด แยกตามหมวด: ลำดับและอนุกรม เวกเตอร์และเมทริกซ์ การแปลงลาปลาซ ระบบควบคุมและ PID ไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ และการเขียนโปรแกรมยุค AI พร้อมตัวอย่างที่ตรวจแล้ว

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · 24 เรื่อง · 6 หมวด

# บทความคณิตศาสตร์วิศวกรรม ไฟฟ้ากำลัง และการเขียนโปรแกรม

บทความสั้นแต่ละเรื่องตอบคำถามเดียวที่นักศึกษาและวิศวกรค้นหาบ่อย เช่น Laplace คืออะไร Inverse Laplace ทำอย่างไร Power Factor แก้อย่างไร หรือควรเริ่มเขียนโปรแกรมภาษาไหนในยุค AI อ่านจบแล้วคำนวณหรือลงมือเองได้ ส่วน คู่มือจูน PID ฉบับสมบูรณ์ เป็นบทความยาวแบบ PID Academy ทุกเรื่องมีลิงก์ไปยังบทเรียนเต็ม แล็บโต้ตอบ และสูตรอ้างอิงในคลังความรู้ เลือกหมวดที่สนใจได้จากปุ่มด้านล่าง

✎ทั้งหมด 24Σลำดับและอนุกรม 7[A]เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น 7ℒการแปลงลาปลาซ 3PIDระบบควบคุมและ PID 23φไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ 4</>การเขียนโปรแกรมและ AI 1

## บทความล่าสุด

Python · AI
เริ่มต้นเข้าใจการเขียนโปรแกรมในยุค AI: ทำไมควรเริ่มที่ Python
ยุค AI เขียนโค้ดได้ทุกภาษา แต่คนที่อ่านโค้ดไม่ออกจะตรวจไม่ได้ว่าถูกหรือผิด บทความนี้อธิบายว่าทำไม Python เหมาะเป็นภาษาแรก 6 แนวคิดที่ต้องเข้าใจ…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

## บทความแยกตามหมวด

## Σลำดับและอนุกรม Sequences & Series
7 เรื่อง · เปิดหน้าหมวด →

บทความสั้นที่ตอบคำถามเรื่องลำดับและอนุกรมทีละเรื่อง ตั้งแต่สูตรอนุกรมเรขาคณิต ผังเลือกวิธีทดสอบการลู่เข้า จนถึงอนุกรมเทย์เลอร์และโลรองต์ที่ใช้ในงานวิศวกรรม ทุกเรื่องมีตัวอย่างตัวเลขและลิงก์ไปยังบทเรียนเต็ม

ลำดับและอนุกรม
เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น พร้อมตัวอย่างทุกขั้น
วิธีเลือกการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมให้ถูกตั้งแต่ครั้งแรก: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น (พจน์ที่ n เรขาคณิต อนุกรม p กล้องส่องทางไกล เปรียบเทียบลิมิต…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)
อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร: 3 วิธี ตรวจปลายช่วง และเหตุผลจากระนาบเชิงซ้อน
วิธีหารัศมีการลู่เข้า (radius of convergence) ของอนุกรมกำลัง 3 วิธี: การทดสอบอัตราส่วน การทดสอบราก และระยะถึงจุดเอกฐานเชิงซ้อน…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์
ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series): สูตร ตัวอย่าง และวิธีหาผลบวก
อนุกรมเรขาคณิตคืออะไร สูตรผลบวก n พจน์ และอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ (infinite geometric series) a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 พร้อมที่มาของสูตร…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ตัวอย่างพร้อมวิธีทำทีละขั้น รวมอุปนัยแบบเข้ม
ตัวอย่างพิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 14 ข้อพร้อมวิธีทำ: เขียนข้อความ P(n) สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ ลำดับเวียนเกิด และอุปนัยแบบเข้ม (strong…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์, Taylor Series) คืออะไร ใช้ทำอะไร พร้อมตัวอย่าง
อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์) คืออะไร สูตรและตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ ตัวอย่าง 8 ข้อ: ประมาณค่า กระจายรอบจุดอื่น ใช้กี่พจน์…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

## [A]เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น Vectors & Linear Algebra
7 เรื่อง · เปิดหน้าหมวด →

เวกเตอร์และเมทริกซ์คือภาษากลางของวงจร แรง และระบบควบคุม บทความหมวดนี้ตอบคำถามที่ค้นหาบ่อย เช่น หาดีเทอร์มิแนนต์และอินเวอร์สอย่างไร แรงก์บอกอะไร และควรแก้ระบบสมการขนาดใหญ่ด้วยวิธีไหน

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

วิธีเชิงตัวเลข
แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเชิงตัวเลข: เกาส์ LU จาโคบี หรือเกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหนดี
เปรียบเทียบวิธีเชิงตัวเลขสำหรับระบบสมการเชิงเส้นแบบเห็นภาพรวม การกำจัดแบบเกาส์กับการสลับแถว LU โชเลสกี จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR เงื่อนไขการลู่เข้า…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ
อธิบายแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ให้เห็นภาพ วิธีหาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ ใช้แรงก์ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
วิธีหา Determinant และ Inverse Matrix (2×2 และ 3×3) พร้อมตัวอย่าง
สอนหาดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 ด้วยโคแฟกเตอร์ และหาอินเวอร์สเมทริกซ์ด้วยสูตร adjugate พร้อมตัวอย่างตัวเลขที่ตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับ…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

เวกเตอร์
Dot Product กับ Cross Product ต่างกันอย่างไร: สูตร ความหมาย ตัวอย่าง
เปรียบเทียบ dot product (ผลคูณเชิงสเกลาร์) กับ cross product (ผลคูณเชิงเวกเตอร์) ทั้งสูตร ความหมายทางเรขาคณิต วิธีคำนวณด้วยองค์ประกอบ…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

## ℒการแปลงลาปลาซ Laplace Transform
3 เรื่อง · เปิดหน้าหมวด →

การแปลงลาปลาซเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรและระบบควบคุมให้เป็นพีชคณิต บทความหมวดนี้เริ่มจากความหมายและตารางสูตร ไปจนถึงการแปลงกลับด้วยเศษส่วนย่อย

Laplace
Inverse Laplace Transform ทำอย่างไร: วิธีเศษส่วนย่อย 3 กรณีพร้อมตัวอย่าง
วิธีแปลงลาปลาซผกผันด้วยเศษส่วนย่อยสำหรับโพลเดี่ยว โพลซ้ำ และโพลเชิงซ้อน พร้อมตัวอย่างที่ตรวจคำตอบแล้ว และข้อควรระวังเมื่อดีกรีตัวเศษไม่น้อยกว่าตัวส่วน
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Laplace
ตารางการแปลงลาปลาซ (Laplace Transform Table) ที่ใช้บ่อย
ตารางคู่การแปลงลาปลาซ 15 คู่ที่พบบ่อยที่สุด และตารางคุณสมบัติ (เลื่อนเวลา เลื่อนความถี่ อนุพันธ์ ปริพันธ์ คอนโวลูชัน ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย)…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Laplace
การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform) คืออะไร ใช้ทำอะไร
การแปลงลาปลาซเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ให้เป็นสมการพีชคณิต อธิบายนิยาม ขั้นตอน 3 ขั้น ตัวอย่าง y′ + 3y = 6 และวงจร RC ที่คำนวณทีละบรรทัด
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

## PIDระบบควบคุมและ PID Control Systems & PID
2 เรื่อง · เปิดหน้าหมวด →

ตัวควบคุม PID อยู่ในเครื่องจักรแทบทุกเครื่อง บทความหมวดนี้อธิบายว่า P I และ D ทำหน้าที่อะไร และสอนจูนค่าจริงทีละขั้นด้วยแบบจำลองที่ตรวจสอบแล้ว

ระบบควบคุม
การจูน PID ฉบับสมบูรณ์: จาก Step Test ถึง Ziegler–Nichols, SIMC และ Anti-Windup
คอร์สจูน PID ครบในบทความเดียว: หาแบบจำลองด้วย step test จูนด้วย Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC และ relay เทียบผลด้วยการจำลอง แล้วแก้ปัญหา windup…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ระบบควบคุม
PID Controller คืออะไร: Kp Ki Kd ทำงานอย่างไร และจูนอย่างไร
ตัวควบคุม PID รวมสามเทอมคือสัดส่วน ปริพันธ์ และอนุพันธ์ของค่าผิดพลาด อธิบายผลของ Kp Ki Kd ตารางผลต่อการตอบสนอง ตัวอย่างจูนด้วย Ziegler–Nichols…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

## 3φไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ Power Systems & Motors
4 เรื่อง · เปิดหน้าหมวด →

งานไฟฟ้าในโรงงานและอาคาร ตั้งแต่ค่าตัวประกอบกำลัง ค่าปรับในบิลค่าไฟ การเลือกคาปาซิเตอร์ ไปจนถึงการต่อและสตาร์ตมอเตอร์สามเฟส ทุกบทความใช้ตัวเลขของระบบ 230/400 V 50 Hz

มอเตอร์ · งานวิจัย
ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที: ผลการทดลองเชิงตัวเลขของมอเตอร์เหนี่ยวนำกรงกระรอก เรื่องเวลาเปลี่ยนจังหวะ ช่วงตาย กระแส และพลังงาน
ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที? บทความวิจัยจำลองพลวัตมอเตอร์กรงกระรอก 7.5 kW: สูตร t = c·τm ตาราง c ตามชนิดโหลด ช่วงตาย ลำดับเฟส KM3 กระแสกระชาก…
19 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

มอเตอร์ 3 เฟส
การต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (Δ): จำ U1–W2, V1–U2, W1–V2 และเลือกจากเนมเพลต
วิธีต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (delta) ในกล่องขั้ว U1-W2, V1-U2, W1-V2 ความหมายของ U1 V1 W1 U2 V2 W2 และสีสายไฟเข้า แรงดันกับกระแส…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Power Factor
วิธีคำนวณขนาดคาปาซิเตอร์แก้ Power Factor (kvar) พร้อมตัวอย่าง
สูตร Qc = P(tan φ1 − tan φ2) ตัวอย่างโหลด 100 kW 400 V ปรับ PF 0.75 เป็น 0.95 ได้ 55.3 kvar คำนวณไมโครฟารัดต่อเฟส ตารางตัวคูณ…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Power Factor
Power Factor (เพาเวอร์แฟกเตอร์) คืออะไร: สูตร cos φ และความสัมพันธ์ kW kVA kvar
Power Factor คืออัตราส่วนกำลังจริงต่อกำลังปรากฏ อธิบายสามเหลี่ยมกำลัง P Q S ตัวอย่างคำนวณกระแสเมื่อ PF 0.8 กับ 1.0 PF ตามหลังกับนำหน้า…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

## </>การเขียนโปรแกรมและ AI Programming & AI
1 เรื่อง · เปิดหน้าหมวด →

ในยุคที่ AI เขียนโค้ดได้ทุกภาษา ทักษะที่ยังสำคัญคือการคิดเป็นขั้นตอน อ่านโค้ดออก และตรวจผลด้วยความรู้ทางวิศวกรรม บทความหมวดนี้เริ่มจาก Python และเชื่อมไปยังงานวงจร การคำนวณเชิงตัวเลข และ PLC

Python · AI
เริ่มต้นเข้าใจการเขียนโปรแกรมในยุค AI: ทำไมควรเริ่มที่ Python
ยุค AI เขียนโค้ดได้ทุกภาษา แต่คนที่อ่านโค้ดไม่ออกจะตรวจไม่ได้ว่าถูกหรือผิด บทความนี้อธิบายว่าทำไม Python เหมาะเป็นภาษาแรก 6 แนวคิดที่ต้องเข้าใจ…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

// อ่านต่อ

## อยากเรียนให้ลึกกว่าบทความ

บทความเป็นทางลัดสำหรับตอบคำถามเฉพาะเรื่อง ถ้าต้องการพื้นฐานครบ พิสูจน์สูตร และแล็บที่ลองปรับค่าได้ ไปที่คลังความรู้

เปิดคลังความรู้ →
การแปลงลาปลาซ
เวกเตอร์
เพาเวอร์แฟกเตอร์
พีชคณิตเชิงเส้น
ระบบควบคุม

---

# การต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (Δ): จำ U1–W2, V1–U2, W1–V2 และเลือกจากเนมเพลต

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/3-phase-motor-delta-connection/
Updated: 2026-10-25
Summary: วิธีต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (delta) ในกล่องขั้ว U1-W2, V1-U2, W1-V2 ความหมายของ U1 V1 W1 U2 V2 W2 และสีสายไฟเข้า แรงดันกับกระแส การเลือกจากเนมเพลต 230/400 V กับ 400/690 V พร้อมคลิป 16 วินาที

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · มอเตอร์ 3 เฟส

# การต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (Δ): จำ U1–W2, V1–U2, W1–V2 และเลือกจากเนมเพลต

การต่อเดลต้า (delta connection) คือการต่อขดลวดทั้งสามชุดของมอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสแบบหัวชนท้ายเป็นวงปิดรูปสามเหลี่ยม แล้วป้อนไฟเข้าที่มุมทั้งสาม ในกล่องขั้วทำได้ด้วยแผ่นต่อเพียงสามแผ่น บทความนี้สรุปวิธีจำ แรงดันกับกระแส และจุดที่ต้องดูบนเนมเพลตก่อนจ่ายไฟ

สรุปใน 30 วินาที

- จัมพ์ U1–W2 · V1–U2 · W1–V2 แล้วต่อ L1 → U1, L2 → V1, L3 → W1

- ขดลวดรับแรงดันเต็มแรงดันสาย $V_{ph}=V_L$ และกระแสสาย $I_L=\sqrt{3}\,I_{ph}$

- ต่อเดลต้าได้เฉพาะเมื่อตัวเลขฝั่ง Δ บนเนมเพลตเท่ากับแรงดันระหว่างสายของระบบ เช่น 400/690 V บนไฟ 400 V

## ดูคลิปสรุป 16 วินาที

U1–W2 · V1–U2 · W1–V2

### การต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า
YouTube Shorts · 16 วินาที · ยอดดูกว่า 6.6 หมื่นครั้ง

สอนโดยอาจารย์มด · ภาษาไทยเปิดใน YouTube ↗

## จำ U1–W2, V1–U2, W1–V2 ได้อย่างไร

ขดลวดแต่ละเฟสมีต้นขด (เลข 1) และปลายขด (เลข 2) คือ U1–U2, V1–V2 และ W1–W2 การต่อเดลต้าคือเอา ต้นขดของเฟสหนึ่ง ไปต่อกับ ปลายขดของเฟสก่อนหน้า วนตามลำดับ U → V → W → U แล้วจ่ายไฟเข้าที่จุดต่อทั้งสาม

- ต้น U (U1) ต่อกับปลาย W (W2) แล้วป้อน L1

- ต้น V (V1) ต่อกับปลาย U (U2) แล้วป้อน L2

- ต้น W (W1) ต่อกับปลาย V (V2) แล้วป้อน L3

ซ้าย: วงจรเดลต้า ขดลวดสามชุดต่อหัวชนท้ายเป็นวงปิด · ขวา: กล่องขั้วตาม IEC 60034-8 วางแผ่นต่อแนวตั้งสามแผ่น สีของขั้วตรงกับขดลวดแต่ละเฟส

## U1 V1 W1 U2 V2 W2 คืออะไร และสีสายควรเป็นอย่างไร

ตาม IEC 60034-8 ตัวอักษร U V W คือขดลวดสามเฟส ส่วนตัวเลขบอกปลายของขด: 1 = ต้นขด และ 2 = ปลายขด มอเตอร์ 6 ขั้วจึงมีขั้ว U1 V1 W1 (ต้นขด) กับ U2 V2 W2 (ปลายขด) ถ้าเจอมอเตอร์เก่าหรือมอเตอร์มาตรฐานอเมริกัน ชื่อขั้วจะต่างไป แต่เทียบกันได้ตามตารางนี้

| ขดลวด | ต้นขด – ปลายขด (IEC) | รุ่นเก่า | NEMA (สหรัฐฯ) | สายไฟเข้า (สีตาม มอก. 11-2553) |

| เฟส U | U1 – U2 | U – X | T1 – T4 | L1 สีน้ำตาล → U1 |

| เฟส V | V1 – V2 | V – Y | T2 – T5 | L2 สีดำ → V1 |

| เฟส W | W1 – W2 | W – Z | T3 – T6 | L3 สีเทา → W1 |

| ดิน | ขั้วดินในกล่องขั้ว ⏚ | – | – | PE สีเขียวแถบเหลือง |

- สายขดลวดในมอเตอร์ไม่มีสีมาตรฐาน IEC 60034-8 กำหนดชื่อขั้วด้วยตัวอักษรและตัวเลข ไม่ได้กำหนดสีของสายที่ออกจากขดลวด ผู้ผลิตหลายรายใช้สายสีเดียวกันทั้งหมดแล้วพิมพ์ชื่อขั้วบนปลอกสาย บางยี่ห้อใช้สีแยกแต่แต่ละยี่ห้อไม่เหมือนกัน ให้ยึดชื่อขั้วที่พิมพ์ไว้และแผนภาพใต้ฝากล่องขั้ว ไม่ใช่สี

- สายไฟเข้าใช้สีตาม มอก. 11-2553 (สอดคล้องกับ IEC 60445): L1 น้ำตาล L2 ดำ L3 เทา N ฟ้า PE เขียวแถบเหลือง การต่อน้ำตาล → U1, ดำ → V1, เทา → W1 ทำให้ตรวจงานง่าย แต่สีไม่ได้รับประกันลำดับเฟส อาคารเก่าอาจเดินสายตามสีแบบเดิม ให้วัดด้วยเครื่องวัดลำดับเฟส (phase sequence meter) หรือทดลองเดินดูทิศ

- ทิศหมุนตาม IEC 60034-8 ป้อน L1 L2 L3 เข้า U1 V1 W1 ตามลำดับเฟส มอเตอร์หมุนตามเข็มนาฬิกาเมื่อมองที่ปลายเพลา (ด้านขับ) ถ้าต้องการกลับทิศ สลับสายไฟเข้าสองเส้นใดก็ได้

- ปลอกสายหลุดจนอ่านไม่ออก ใช้มัลติมิเตอร์ย่านโอห์มหาปลายที่ต่อถึงกัน จะได้สามคู่ (สามขดลวด) ที่มีความต้านทานใกล้เคียงกัน แต่การแยกว่าปลายไหนเป็นต้นขด (1) ปลายไหนเป็นปลายขด (2) ต้องทดสอบขั้ว (polarity test) ตามวิธีของร้านพันมอเตอร์หรือคู่มือผู้ผลิต ถ้าต่อเดลต้าโดยกลับต้นปลายของขดใดขดหนึ่ง แรงดันรอบวงเดลต้าจะไม่หักล้างกัน เกิดกระแสวนในวงสูงมากแม้ไม่มีโหลด

## ทำไมแถวล่างของกล่องขั้วเรียง W2 U2 V2

ในกล่องขั้วหกขั้ว แถวบนเรียง U1 V1 W1 ส่วนแถวล่างเลื่อนไปหนึ่งตำแหน่งเป็น W2 U2 V2 (W2 อยู่ใต้ U1) การเลื่อนนี้ตั้งใจให้แผ่นต่อชุดเดียวกันใช้ได้ทั้งสองแบบ

- เดลต้า (Δ): วางแผ่นต่อ แนวตั้ง สามแผ่น ได้ U1–W2, V1–U2, W1–V2 พอดี

- สตาร์ (Y): วางแผ่นต่อ แนวนอน เชื่อม W2 U2 V2 เข้าด้วยกันเป็นจุดสตาร์

ไฟเข้าที่ U1 V1 W1 เหมือนกันทั้งสองแบบ ภาพเปรียบเทียบการวางแผ่นต่อทั้งสองแบบและขั้วรุ่นเก่า U-X, V-Y, W-Z อยู่ในบท การต่อขั้วมอเตอร์สตาร์และเดลต้า

## แรงดันและกระแสในการต่อเดลต้า

ในเดลต้า ขดลวดแต่ละชุดคร่อมอยู่ระหว่างสายสองเส้นโดยตรง แรงดันขดลวดจึงเท่ากับแรงดันสาย ส่วนกระแสที่จุดต่อแต่ละมุมเป็นผลต่างเฟสเซอร์ของกระแสขดลวดสองชุดที่ต่างเฟสกัน 120°

$$V_{ph}=V_L, \qquad I_L=\sqrt{3}\,I_{ph}, \qquad P=\sqrt{3}\,V_L I_L\cos\varphi$$

- มอเตอร์ต่อเดลต้าบนระบบ 400 V วัดกระแสสายได้ 15 A แรงดันที่ขดลวดแต่ละชุด

$$V_{ph}=V_L=400\ \text{V}$$

- กระแสในขดลวดแต่ละชุด

$$I_{ph}=\frac{I_L}{\sqrt{3}}=\frac{15}{1.732}\approx 8.66\ \text{A}$$

แคลมป์มิเตอร์ที่คล้องสายไฟเข้ามอเตอร์อ่านค่ากระแสสาย ไม่ใช่กระแสในขดลวด ถ้าต้องการกระแสขดลวดต้องหารด้วย √3

ที่มาของ $\sqrt{3}$ จากเฟสเซอร์ และการเปรียบเทียบสตาร์กับเดลต้าแบบเต็ม ดูได้ที่ เฟสเซอร์และระบบสามเฟส: Y กับ Δ

## เลือกเดลต้าหรือสตาร์จากเนมเพลต

จุดที่พลาดบ่อยไม่ใช่การวางแผ่นต่อ แต่คือการเลือกแบบการต่อโดยไม่ดูเนมเพลต ตัวเลขสองค่าบนเนมเพลตบอกแรงดันระหว่างสายที่ใช้ได้เมื่อต่อเดลต้า (ค่าน้อย) และเมื่อต่อสตาร์ (ค่ามาก)

| เนมเพลต (Δ / Y) | บนไฟ 3 เฟส 400 V ต้องต่อ | ถ้าต่อผิด |

| 230/400 V (รุ่นเก่าเขียน 220/380 V) | สตาร์ (Y) | ต่อเดลต้า ขดลวดรับแรงดันเกินพิกัด √3 เท่า แกนเหล็กอิ่มตัว กระแสสูงมาก ไหม้เร็ว |

| 400/690 V (รุ่นเก่าเขียน 380/660 V) | เดลต้า (Δ) | ต่อสตาร์ ขดลวดได้แรงดันเพียง 1/√3 แรงบิดเหลือราว 1/3 ถ้ามีโหลดจะกินกระแสเกินและร้อน |

กฎจำง่าย: ตัวเลขฝั่ง Δ บนเนมเพลตต้องเท่ากับแรงดันระหว่างสายของระบบ จึงต่อเดลต้าได้ มอเตอร์ 400/690 V บนไฟ 400 V นี่เองที่ใช้วงจร สตาร์ทสตาร์-เดลต้า ได้ โดยออกตัวแบบสตาร์ให้กระแสสตาร์ทเหลือราว 1/3 แล้วสลับเป็นเดลต้าเมื่อรอบขึ้น ส่วนจะตั้งไทเมอร์กี่วินาที ดูผลจำลองเชิงตัวเลขใน ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที

## ขั้นตอนต่อเดลต้าที่กล่องขั้ว

- ตัดไฟ ล็อกและแขวนป้าย (lockout/tagout) แล้ววัดยืนยันว่าไม่มีแรงดัน

- อ่านเนมเพลต ตัวเลขฝั่ง Δ ต้องตรงกับแรงดันระหว่างสายของระบบ

- วางแผ่นต่อแนวตั้งสามแผ่น U1–W2, V1–U2, W1–V2 แล้วขันน็อตให้แน่น

- ต่อ L1 → U1, L2 → V1, L3 → W1 และต่อสายดิน (PE) เข้าขั้วดินของมอเตอร์

- ทดลองเดิน ถ้าหมุนกลับทิศ ให้สลับสายไฟเข้าสองเส้นใดก็ได้ ดู วงจรกลับทางหมุนมอเตอร์สามเฟส

## เรียนต่อในคลังความรู้

- การต่อขั้วมอเตอร์สตาร์และเดลต้า: กล่องขั้ว เนมเพลต และต่อผิดแล้วเกิดอะไร

- หลักการมอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟส: สนามแม่เหล็กหมุนและสลิป

- วงจรสตาร์ทสตาร์-เดลต้าแบบละเอียด

- ซิมูเลเตอร์วงจรสตาร์ทมอเตอร์: ลองต่อเองบนหน้าจอ

- ทิศการหมุนตาม IEC 60034-8 และการกลับทางในวงจรสตาร์-เดลต้า

- อ่านต่อ: ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที งานวิจัยเชิงตัวเลข

- อ่านต่อ: Power Factor คืออะไร ทำไมมอเตอร์ทำให้ PF ต่ำ

## คำถามที่พบบ่อย

U1 V1 W1 U2 V2 W2 บนมอเตอร์หมายถึงอะไร?
ตามมาตรฐาน IEC 60034-8 ตัวอักษร U V W คือขดลวดสามเฟส เลข 1 คือต้นขด และเลข 2 คือปลายขด ขดลวดเฟส U มีขั้ว U1 กับ U2 เป็นต้น มอเตอร์รุ่นเก่าใช้ U-X, V-Y, W-Z และมอเตอร์มาตรฐาน NEMA ของสหรัฐฯ ใช้ T1-T4, T2-T5, T3-T6

สายมอเตอร์ U1 V1 W1 ต้องเป็นสีอะไร?
IEC 60034-8 กำหนดชื่อขั้วด้วยตัวอักษรและตัวเลข ไม่ได้กำหนดสีสายขดลวด ผู้ผลิตหลายรายใช้สายสีเดียวกันแล้วพิมพ์ชื่อขั้วบนปลอกสาย จึงต้องยึดชื่อขั้ว ไม่ใช่สี ส่วนสายไฟเข้าตาม มอก. 11-2553 นิยมต่อ L1 สีน้ำตาลเข้า U1, L2 สีดำเข้า V1, L3 สีเทาเข้า W1 และสายดินสีเขียวแถบเหลืองเข้าขั้วดิน

ต่อมอเตอร์แบบเดลต้าต้องจัมพ์ขั้วไหนบ้าง?
จัมพ์สามคู่ U1–W2, V1–U2 และ W1–V2 ในกล่องขั้วมาตรฐาน IEC คือวางแผ่นต่อแนวตั้งสามแผ่น แล้วต่อไฟ L1 เข้า U1, L2 เข้า V1 และ L3 เข้า W1

มอเตอร์ 230/400 V ต่อเดลต้ากับไฟ 400 V ได้ไหม?
ไม่ได้ ตัวเลข 230 V คือแรงดันขดลวดเมื่อต่อเดลต้า กับไฟ 400 V ต้องต่อสตาร์ ถ้าต่อเดลต้าขดลวดจะรับแรงดันเกินพิกัด √3 เท่า กระแสสูงมากและมอเตอร์ไหม้ได้

ต่อเดลต้าแล้วกระแสสายกับกระแสในขดลวดต่างกันอย่างไร?
ในเดลต้า แรงดันขดลวดเท่ากับแรงดันสาย ส่วนกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสในขดลวด เช่น กระแสสาย 15 A กระแสในขดลวดแต่ละชุดประมาณ 8.66 A

ต่อเดลต้าแล้วมอเตอร์หมุนกลับทางต้องทำอย่างไร?
ตัดไฟแล้วสลับสายไฟเข้าสองเส้นใดก็ได้ เช่น L1 กับ L2 ไม่ต้องแก้แผ่นต่อในกล่องขั้ว

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

มอเตอร์ · งานวิจัย
ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที: ผลการทดลองเชิงตัวเลขของมอเตอร์เหนี่ยวนำกรงกระรอก เรื่องเวลาเปลี่ยนจังหวะ ช่วงตาย กระแส และพลังงาน
ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที? บทความวิจัยจำลองพลวัตมอเตอร์กรงกระรอก 7.5 kW: สูตร t = c·τm ตาราง c ตามชนิดโหลด ช่วงตาย ลำดับเฟส KM3 กระแสกระชาก…
19 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Power Factor
วิธีคำนวณขนาดคาปาซิเตอร์แก้ Power Factor (kvar) พร้อมตัวอย่าง
สูตร Qc = P(tan φ1 − tan φ2) ตัวอย่างโหลด 100 kW 400 V ปรับ PF 0.75 เป็น 0.95 ได้ 55.3 kvar คำนวณไมโครฟารัดต่อเฟส ตารางตัวคูณ…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Power Factor
Power Factor (เพาเวอร์แฟกเตอร์) คืออะไร: สูตร cos φ และความสัมพันธ์ kW kVA kvar
Power Factor คืออัตราส่วนกำลังจริงต่อกำลังปรากฏ อธิบายสามเหลี่ยมกำลัง P Q S ตัวอย่างคำนวณกระแสเมื่อ PF 0.8 กับ 1.0 PF ตามหลังกับนำหน้า…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ (4 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**U1 V1 W1 U2 V2 W2 บนมอเตอร์หมายถึงอะไร?**
ตามมาตรฐาน IEC 60034-8 ตัวอักษร U V W คือขดลวดสามเฟส เลข 1 คือต้นขด และเลข 2 คือปลายขด ขดลวดเฟส U มีขั้ว U1 กับ U2 เป็นต้น มอเตอร์รุ่นเก่าใช้ U-X, V-Y, W-Z และมอเตอร์มาตรฐาน NEMA ของสหรัฐฯ ใช้ T1-T4, T2-T5, T3-T6

**สายมอเตอร์ U1 V1 W1 ต้องเป็นสีอะไร?**
IEC 60034-8 กำหนดชื่อขั้วด้วยตัวอักษรและตัวเลข ไม่ได้กำหนดสีสายขดลวด ผู้ผลิตหลายรายใช้สายสีเดียวกันแล้วพิมพ์ชื่อขั้วบนปลอกสาย จึงต้องยึดชื่อขั้ว ไม่ใช่สี ส่วนสายไฟเข้าตาม มอก. 11-2553 นิยมต่อ L1 สีน้ำตาลเข้า U1, L2 สีดำเข้า V1, L3 สีเทาเข้า W1 และสายดินสีเขียวแถบเหลืองเข้าขั้วดิน

**ต่อมอเตอร์แบบเดลต้าต้องจัมพ์ขั้วไหนบ้าง?**
จัมพ์สามคู่ U1–W2, V1–U2 และ W1–V2 ในกล่องขั้วมาตรฐาน IEC คือวางแผ่นต่อแนวตั้งสามแผ่น แล้วต่อไฟ L1 เข้า U1, L2 เข้า V1 และ L3 เข้า W1

**มอเตอร์ 230/400 V ต่อเดลต้ากับไฟ 400 V ได้ไหม?**
ไม่ได้ ตัวเลข 230 V คือแรงดันขดลวดเมื่อต่อเดลต้า กับไฟ 400 V ต้องต่อสตาร์ ถ้าต่อเดลต้าขดลวดจะรับแรงดันเกินพิกัด √3 เท่า กระแสสูงมากและมอเตอร์ไหม้ได้

**ต่อเดลต้าแล้วกระแสสายกับกระแสในขดลวดต่างกันอย่างไร?**
ในเดลต้า แรงดันขดลวดเท่ากับแรงดันสาย ส่วนกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสในขดลวด เช่น กระแสสาย 15 A กระแสในขดลวดแต่ละชุดประมาณ 8.66 A

**ต่อเดลต้าแล้วมอเตอร์หมุนกลับทางต้องทำอย่างไร?**
ตัดไฟแล้วสลับสายไฟเข้าสองเส้นใดก็ได้ เช่น L1 กับ L2 ไม่ต้องแก้แผ่นต่อในกล่องขั้ว

---

# บทความระบบควบคุมและ PID: หลักการและการจูนตัวควบคุม

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/category/control-systems/
Updated: 2026-10-16
Summary: รวมบทความระบบควบคุมภาษาไทย PID controller คืออะไร ทำงานอย่างไร และคู่มือจูน PID ฉบับเต็มตั้งแต่ step test และ Ziegler–Nichols ไปจนถึง anti-windup พร้อมผลจำลองที่ตรวจแล้ว

THภาษาไทยENEnglish
// หมวดบทความ · 2 เรื่อง

# บทความระบบควบคุมและ PID: หลักการและการจูนตัวควบคุม

ตัวควบคุม PID อยู่ในเครื่องจักรแทบทุกเครื่อง บทความหมวดนี้อธิบายว่า P I และ D ทำหน้าที่อะไร และสอนจูนค่าจริงทีละขั้นด้วยแบบจำลองที่ตรวจสอบแล้ว

✎ทั้งหมด 24Σลำดับและอนุกรม 7[A]เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น 7ℒการแปลงลาปลาซ 3PIDระบบควบคุมและ PID 23φไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ 4</>การเขียนโปรแกรมและ AI 1

## บทความทั้งหมดในหมวดระบบควบคุมและ PID

ระบบควบคุม
การจูน PID ฉบับสมบูรณ์: จาก Step Test ถึง Ziegler–Nichols, SIMC และ Anti-Windup
คอร์สจูน PID ครบในบทความเดียว: หาแบบจำลองด้วย step test จูนด้วย Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC และ relay เทียบผลด้วยการจำลอง แล้วแก้ปัญหา windup…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ระบบควบคุม
PID Controller คืออะไร: Kp Ki Kd ทำงานอย่างไร และจูนอย่างไร
ตัวควบคุม PID รวมสามเทอมคือสัดส่วน ปริพันธ์ และอนุพันธ์ของค่าผิดพลาด อธิบายผลของ Kp Ki Kd ตารางผลต่อการตอบสนอง ตัวอย่างจูนด้วย Ziegler–Nichols…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

// อ่านต่อ

## เรียนต่อให้ลึกในคลังความรู้

วิศวกรรมระบบควบคุม 26 หน้า →
ตัวควบคุม PID
การจูน PID พร้อมแล็บ
บทความทั้งหมด

---

# บทความการแปลงลาปลาซ: ความหมาย ตารางสูตร และ Inverse Laplace

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/category/laplace-transform/
Updated: 2026-10-16
Summary: รวมบทความการแปลงลาปลาซภาษาไทย Laplace transform คืออะไรและใช้ทำอะไรในวงจรไฟฟ้า ตารางสูตรที่ใช้บ่อย และการหา Inverse Laplace ด้วยเศษส่วนย่อย พร้อมตัวอย่างทีละขั้น

THภาษาไทยENEnglish
// หมวดบทความ · 3 เรื่อง

# บทความการแปลงลาปลาซ: ความหมาย ตารางสูตร และ Inverse Laplace

การแปลงลาปลาซเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรและระบบควบคุมให้เป็นพีชคณิต บทความหมวดนี้เริ่มจากความหมายและตารางสูตร ไปจนถึงการแปลงกลับด้วยเศษส่วนย่อย

✎ทั้งหมด 24Σลำดับและอนุกรม 7[A]เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น 7ℒการแปลงลาปลาซ 3PIDระบบควบคุมและ PID 23φไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ 4</>การเขียนโปรแกรมและ AI 1

## บทความทั้งหมดในหมวดการแปลงลาปลาซ

Laplace
Inverse Laplace Transform ทำอย่างไร: วิธีเศษส่วนย่อย 3 กรณีพร้อมตัวอย่าง
วิธีแปลงลาปลาซผกผันด้วยเศษส่วนย่อยสำหรับโพลเดี่ยว โพลซ้ำ และโพลเชิงซ้อน พร้อมตัวอย่างที่ตรวจคำตอบแล้ว และข้อควรระวังเมื่อดีกรีตัวเศษไม่น้อยกว่าตัวส่วน
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Laplace
ตารางการแปลงลาปลาซ (Laplace Transform Table) ที่ใช้บ่อย
ตารางคู่การแปลงลาปลาซ 15 คู่ที่พบบ่อยที่สุด และตารางคุณสมบัติ (เลื่อนเวลา เลื่อนความถี่ อนุพันธ์ ปริพันธ์ คอนโวลูชัน ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย)…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Laplace
การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform) คืออะไร ใช้ทำอะไร
การแปลงลาปลาซเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ให้เป็นสมการพีชคณิต อธิบายนิยาม ขั้นตอน 3 ขั้น ตัวอย่าง y′ + 3y = 6 และวงจร RC ที่คำนวณทีละบรรทัด
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

// อ่านต่อ

## เรียนต่อให้ลึกในคลังความรู้

การแปลงลาปลาซ ครบชุด →
เครื่องคิด Inverse Laplace ทีละขั้น
แก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยลาปลาซ
บทความทั้งหมด

---

# บทความเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น: เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ และวิธีเชิงตัวเลข

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/category/linear-algebra/
Updated: 2026-10-25
Summary: รวมบทความเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้นภาษาไทย dot product cross product ดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์ผกผัน แรงก์ กฎของคราเมอร์ และจาโคบีกับเกาส์-ไซเดล พร้อมตัวอย่างคำนวณทีละขั้น

THภาษาไทยENEnglish
// หมวดบทความ · 7 เรื่อง

# บทความเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น: เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ และวิธีเชิงตัวเลข

เวกเตอร์และเมทริกซ์คือภาษากลางของวงจร แรง และระบบควบคุม บทความหมวดนี้ตอบคำถามที่ค้นหาบ่อย เช่น หาดีเทอร์มิแนนต์และอินเวอร์สอย่างไร แรงก์บอกอะไร และควรแก้ระบบสมการขนาดใหญ่ด้วยวิธีไหน

✎ทั้งหมด 24Σลำดับและอนุกรม 7[A]เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น 7ℒการแปลงลาปลาซ 3PIDระบบควบคุมและ PID 23φไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ 4</>การเขียนโปรแกรมและ AI 1

## บทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

วิธีเชิงตัวเลข
แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเชิงตัวเลข: เกาส์ LU จาโคบี หรือเกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหนดี
เปรียบเทียบวิธีเชิงตัวเลขสำหรับระบบสมการเชิงเส้นแบบเห็นภาพรวม การกำจัดแบบเกาส์กับการสลับแถว LU โชเลสกี จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR เงื่อนไขการลู่เข้า…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ
อธิบายแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ให้เห็นภาพ วิธีหาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ ใช้แรงก์ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
วิธีหา Determinant และ Inverse Matrix (2×2 และ 3×3) พร้อมตัวอย่าง
สอนหาดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 ด้วยโคแฟกเตอร์ และหาอินเวอร์สเมทริกซ์ด้วยสูตร adjugate พร้อมตัวอย่างตัวเลขที่ตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับ…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

เวกเตอร์
Dot Product กับ Cross Product ต่างกันอย่างไร: สูตร ความหมาย ตัวอย่าง
เปรียบเทียบ dot product (ผลคูณเชิงสเกลาร์) กับ cross product (ผลคูณเชิงเวกเตอร์) ทั้งสูตร ความหมายทางเรขาคณิต วิธีคำนวณด้วยองค์ประกอบ…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

// อ่านต่อ

## เรียนต่อให้ลึกในคลังความรู้

พีชคณิตเชิงเส้น 12 หน้า →
เวกเตอร์: แรง สนาม และเฟเซอร์
เครื่องคิดเลขเมทริกซ์ทีละขั้น
บทความทั้งหมด

---

# บทความไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์: Power Factor การต่อเดลต้า และสตาร์-เดลต้า

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/category/power-motors/
Updated: 2026-10-25
Summary: รวมบทความไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ภาษาไทย Power Factor คืออะไร คำนวณคาปาซิเตอร์แก้ PF การต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า และการตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้าจากงานวิจัย พร้อมตัวเลขจริง

THภาษาไทยENEnglish
// หมวดบทความ · 4 เรื่อง

# บทความไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์: Power Factor การต่อเดลต้า และสตาร์-เดลต้า

งานไฟฟ้าในโรงงานและอาคาร ตั้งแต่ค่าตัวประกอบกำลัง ค่าปรับในบิลค่าไฟ การเลือกคาปาซิเตอร์ ไปจนถึงการต่อและสตาร์ตมอเตอร์สามเฟส ทุกบทความใช้ตัวเลขของระบบ 230/400 V 50 Hz

✎ทั้งหมด 24Σลำดับและอนุกรม 7[A]เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น 7ℒการแปลงลาปลาซ 3PIDระบบควบคุมและ PID 23φไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ 4</>การเขียนโปรแกรมและ AI 1

## บทความทั้งหมดในหมวดไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์

มอเตอร์ · งานวิจัย
ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที: ผลการทดลองเชิงตัวเลขของมอเตอร์เหนี่ยวนำกรงกระรอก เรื่องเวลาเปลี่ยนจังหวะ ช่วงตาย กระแส และพลังงาน
ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที? บทความวิจัยจำลองพลวัตมอเตอร์กรงกระรอก 7.5 kW: สูตร t = c·τm ตาราง c ตามชนิดโหลด ช่วงตาย ลำดับเฟส KM3 กระแสกระชาก…
19 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

มอเตอร์ 3 เฟส
การต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (Δ): จำ U1–W2, V1–U2, W1–V2 และเลือกจากเนมเพลต
วิธีต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (delta) ในกล่องขั้ว U1-W2, V1-U2, W1-V2 ความหมายของ U1 V1 W1 U2 V2 W2 และสีสายไฟเข้า แรงดันกับกระแส…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Power Factor
วิธีคำนวณขนาดคาปาซิเตอร์แก้ Power Factor (kvar) พร้อมตัวอย่าง
สูตร Qc = P(tan φ1 − tan φ2) ตัวอย่างโหลด 100 kW 400 V ปรับ PF 0.75 เป็น 0.95 ได้ 55.3 kvar คำนวณไมโครฟารัดต่อเฟส ตารางตัวคูณ…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Power Factor
Power Factor (เพาเวอร์แฟกเตอร์) คืออะไร: สูตร cos φ และความสัมพันธ์ kW kVA kvar
Power Factor คืออัตราส่วนกำลังจริงต่อกำลังปรากฏ อธิบายสามเหลี่ยมกำลัง P Q S ตัวอย่างคำนวณกระแสเมื่อ PF 0.8 กับ 1.0 PF ตามหลังกับนำหน้า…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

// อ่านต่อ

## เรียนต่อให้ลึกในคลังความรู้

เพาเวอร์แฟกเตอร์ 8 หน้า →
การควบคุมมอเตอร์
มอเตอร์เหนี่ยวนำ AC ฉบับสมบูรณ์
บทความทั้งหมด

---

# บทความการเขียนโปรแกรมและ AI สำหรับนักศึกษาและวิศวกร

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/category/programming-ai/
Updated: 2026-10-25
Summary: รวมบทความการเขียนโปรแกรมสำหรับนักศึกษาและวิศวกรในยุค AI เริ่มต้นด้วย Python เข้าใจแนวคิดแกนกลาง สั่งงาน AI ให้ชัด และตรวจโค้ดด้วยความรู้วิศวกรรม พร้อมตัวอย่างวงจรจริง

THภาษาไทยENEnglish
// หมวดบทความ · 1 เรื่อง

# บทความการเขียนโปรแกรมและ AI สำหรับนักศึกษาและวิศวกร

ในยุคที่ AI เขียนโค้ดได้ทุกภาษา ทักษะที่ยังสำคัญคือการคิดเป็นขั้นตอน อ่านโค้ดออก และตรวจผลด้วยความรู้ทางวิศวกรรม บทความหมวดนี้เริ่มจาก Python และเชื่อมไปยังงานวงจร การคำนวณเชิงตัวเลข และ PLC

✎ทั้งหมด 24Σลำดับและอนุกรม 7[A]เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น 7ℒการแปลงลาปลาซ 3PIDระบบควบคุมและ PID 23φไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ 4</>การเขียนโปรแกรมและ AI 1

## บทความทั้งหมดในหมวดการเขียนโปรแกรมและ AI

Python · AI
เริ่มต้นเข้าใจการเขียนโปรแกรมในยุค AI: ทำไมควรเริ่มที่ Python
ยุค AI เขียนโค้ดได้ทุกภาษา แต่คนที่อ่านโค้ดไม่ออกจะตรวจไม่ได้ว่าถูกหรือผิด บทความนี้อธิบายว่าทำไม Python เหมาะเป็นภาษาแรก 6 แนวคิดที่ต้องเข้าใจ…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

// อ่านต่อ

## เรียนต่อให้ลึกในคลังความรู้

วิธีเชิงตัวเลขพร้อมโค้ด NumPy/SciPy →
วงจรไฟฟ้ากระแสตรงและแล็บจำลอง
ภาษา PLC มาตรฐาน IEC 61131-3
บทความทั้งหมด

---

# บทความลำดับและอนุกรม: การลู่เข้า อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมโลรองต์

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/category/sequences-series/
Updated: 2026-10-26
Summary: รวมบทความลำดับและอนุกรมภาษาไทย ผังเลือกวิธีทดสอบการลู่เข้า สูตรอนุกรมเรขาคณิต รัศมีการลู่เข้า อนุกรมเทย์เลอร์ อนุกรมโลรองต์ และอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ พร้อมตัวอย่างที่ตรวจแล้ว

THภาษาไทยENEnglish
// หมวดบทความ · 7 เรื่อง

# บทความลำดับและอนุกรม: การลู่เข้า อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมโลรองต์

บทความสั้นที่ตอบคำถามเรื่องลำดับและอนุกรมทีละเรื่อง ตั้งแต่สูตรอนุกรมเรขาคณิต ผังเลือกวิธีทดสอบการลู่เข้า จนถึงอนุกรมเทย์เลอร์และโลรองต์ที่ใช้ในงานวิศวกรรม ทุกเรื่องมีตัวอย่างตัวเลขและลิงก์ไปยังบทเรียนเต็ม

✎ทั้งหมด 24Σลำดับและอนุกรม 7[A]เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น 7ℒการแปลงลาปลาซ 3PIDระบบควบคุมและ PID 23φไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ 4</>การเขียนโปรแกรมและ AI 1

## บทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม

ลำดับและอนุกรม
เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น พร้อมตัวอย่างทุกขั้น
วิธีเลือกการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมให้ถูกตั้งแต่ครั้งแรก: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น (พจน์ที่ n เรขาคณิต อนุกรม p กล้องส่องทางไกล เปรียบเทียบลิมิต…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)
อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร: 3 วิธี ตรวจปลายช่วง และเหตุผลจากระนาบเชิงซ้อน
วิธีหารัศมีการลู่เข้า (radius of convergence) ของอนุกรมกำลัง 3 วิธี: การทดสอบอัตราส่วน การทดสอบราก และระยะถึงจุดเอกฐานเชิงซ้อน…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์
ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series): สูตร ตัวอย่าง และวิธีหาผลบวก
อนุกรมเรขาคณิตคืออะไร สูตรผลบวก n พจน์ และอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ (infinite geometric series) a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 พร้อมที่มาของสูตร…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ตัวอย่างพร้อมวิธีทำทีละขั้น รวมอุปนัยแบบเข้ม
ตัวอย่างพิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 14 ข้อพร้อมวิธีทำ: เขียนข้อความ P(n) สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ ลำดับเวียนเกิด และอุปนัยแบบเข้ม (strong…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์, Taylor Series) คืออะไร ใช้ทำอะไร พร้อมตัวอย่าง
อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์) คืออะไร สูตรและตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ ตัวอย่าง 8 ข้อ: ประมาณค่า กระจายรอบจุดอื่น ใช้กี่พจน์…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

// อ่านต่อ

## เรียนต่อให้ลึกในคลังความรู้

ลำดับและอนุกรม ครบชุด 12 หน้า →
เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม พร้อมวิธีทำ
อุปนัยแบบเข้ม 17 ตัวอย่าง
บทความทั้งหมด

---

# เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น พร้อมตัวอย่างทุกขั้น

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/convergence-test-flowchart/
Updated: 2026-10-24
Summary: วิธีเลือกการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมให้ถูกตั้งแต่ครั้งแรก: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น (พจน์ที่ n เรขาคณิต อนุกรม p กล้องส่องทางไกล เปรียบเทียบลิมิต อัตราส่วน ราก ปริพันธ์ อนุกรมสลับ) พร้อมตัวอย่างและกับดัก

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · ลำดับและอนุกรม

# เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น พร้อมตัวอย่างทุกขั้น

ในข้อสอบแคลคูลัส 2 คนที่ทำข้ออนุกรมได้เร็วไม่ใช่คนที่จำทฤษฎีบทได้มากที่สุด แต่เป็นคนที่มองพจน์แล้วรู้ทันทีว่าควรใช้เครื่องมือไหน บทความนี้รวมประสบการณ์นั้นเป็นผังตัดสินใจ 8 ขั้น เรียงจากเร็วที่สุดไปถึงที่ใช้แรงมากที่สุด พร้อมตัวอย่างหนึ่งข้อต่อขั้น

สรุปใน 30 วินาที

- เช็กพจน์ที่ n ก่อนเสมอ (5 วินาที) แล้วดูว่าเป็นเรขาคณิตหรืออนุกรม p

- เศษส่วนพหุนาม → เปรียบเทียบลิมิต · แฟกทอเรียล/เลขยกกำลัง → อัตราส่วน · ยกกำลัง n ทั้งก้อน → ราก · มี ln → ปริพันธ์

- เครื่องหมายสลับ: ทดสอบ Σ|aₙ| ก่อน แล้วค่อยใช้ไลบ์นิซ

## ผังตัดสินใจ

อ่านจากบนลงล่าง หยุดที่ข้อแรกที่ตอบ “ใช่” แล้วใช้การทดสอบทางขวา

## 8 ขั้นพร้อมตัวอย่าง

### ขั้น 1 · พจน์เข้าใกล้ศูนย์ไหม

$\sum\dfrac{n}{n+1}$: พจน์ → 1 ≠ 0 จึงลู่ออกทันที ข้อนี้ใช้ได้ทางเดียว ถ้าพจน์ → 0 ให้ไปขั้นถัดไป

### ขั้น 2 · เป็นเรขาคณิตหรืออนุกรม p ไหม

$\sum\dfrac{5}{4^n}$ เรขาคณิต $r = \tfrac14$ ลู่เข้า · $\sum\dfrac{1}{\sqrt n}$ อนุกรม p ที่ $p = \tfrac12 \le 1$ ลู่ออก — จำผลได้ ไม่ต้องคำนวณ

### ขั้น 3 · แยกเศษส่วนย่อยได้ไหม

$\sum\dfrac{1}{n(n+1)} = \sum\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+1}\right) = 1$ กล้องส่องทางไกลให้ทั้งคำตอบลู่เข้าและค่าผลบวก

### ขั้น 4 · เป็นเศษส่วนของพหุนามหรือรากไหม

$\sum\dfrac{3n+5}{n^3-2}$: ตัวเด่น $\tfrac{3n}{n^3} = \tfrac{3}{n^2}$ เทียบลิมิตกับ $\tfrac{1}{n^2}$ ได้ 3 (บวกและจำกัด) จึงลู่เข้า · สูตรลัด: ลู่เข้า ⇔ ดีกรีล่าง − ดีกรีบน > 1

### ขั้น 5 · มีแฟกทอเรียลหรือเลขยกกำลังไหม

$\sum\dfrac{n!}{n^n}$: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac1e < 1$ ลู่เข้า · ถ้าได้ 1 พอดี ratio test สรุปไม่ได้

### ขั้น 6 · ยกกำลัง n ทั้งก้อนไหม

$\sum\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^n$: $\sqrt[n]{a_n} = \dfrac{n}{2n+1} \to \tfrac12$ ลู่เข้า รากตัดเลขชี้กำลังทิ้งให้ทันที

### ขั้น 7 · มี ln หรืออินทิเกรตได้ง่ายไหม

$\sum\dfrac{1}{n\ln n}$: $\int_2^\infty\dfrac{dx}{x\ln x} = [\ln\ln x]_2^\infty = \infty$ ลู่ออก (แม้ตัวเลขจากคอมพิวเตอร์จะดูนิ่ง) · ส่วน $\sum\dfrac{1}{n(\ln n)^2}$ ลู่เข้า

### ขั้น 8 · เครื่องหมายสลับไหม

$\sum\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}$: ค่าสัมบูรณ์ $\sum\tfrac{1}{\sqrt n}$ ลู่ออก แต่ $\tfrac{1}{\sqrt n}$ ลดลง → 0 ไลบ์นิซบอกว่าลู่เข้า จึงเป็นลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

## ตารางสรุปสำหรับทบทวนก่อนสอบ

| การทดสอบ | ใช้เมื่อ | สรุปไม่ได้เมื่อ |

| พจน์ที่ n | ทุกข้อ (ด่านแรก) | พจน์ → 0 |

| เปรียบเทียบลิมิต | เศษส่วนพหุนาม ราก sin(1/n) | ลิมิตเป็น 0 หรือ ∞ ในทิศที่ผิด |

| อัตราส่วน | n!, cⁿ, nⁿ | ρ = 1 |

| ราก | (…)ⁿ ทั้งก้อน | ρ = 1 |

| ปริพันธ์ | ln n, ฟังก์ชันที่อินทิเกรตได้ | f ไม่ลดลง |

| อนุกรมสลับ | (−1)ⁿ bₙ | bₙ ไม่ลดลง |

## กับดักสามข้อที่ทำให้เสียคะแนน

- $\sum\dfrac{1}{n^{1 + 1/n}}$ ดูเหมือนอนุกรม p ที่ p > 1 แต่เลขชี้กำลังเข้าใกล้ 1 เทียบลิมิตกับ $\tfrac1n$ ได้ 1 จึงลู่ออก

- $\sum\left(1 + \tfrac1n\right)^n$ ไม่ต้องใช้ราก พจน์ → e ≠ 0 จึงลู่ออกด้วยพจน์ที่ n

- $\sum\dfrac{1}{3^n - n}$ เปรียบเทียบตรงกับ $\tfrac{1}{3^n}$ ใช้ไม่ได้เพราะพจน์ใหญ่กว่า ต้องใช้เปรียบเทียบลิมิต

ฝึกให้มองเป็นอัตโนมัติด้วยเกมเลือกการทดสอบ 40 ข้อ ที่ตรวจทั้งการทดสอบและผลสรุป

## เรียนต่อในคลังความรู้

- การทดสอบการลู่เข้าฉบับเต็ม: ทฤษฎีบท ตัวอย่าง ราบี และสเตอร์ลิง

- อนุกรมสลับ: ไลบ์นิซ ความคลาดเคลื่อน การจัดเรียงใหม่

- ตัวทดสอบอนุกรมแบบโต้ตอบ

- แนวข้อสอบแคลคูลัส 2 ชุด B

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมไม่ใช้ ratio test กับทุกข้อ?
เพราะอนุกรมที่เป็นเศษส่วนของพหุนามหรือราก เช่น $\sum 1/n^2$ และ $\sum 1/n$ ให้อัตราส่วนเข้าใกล้ 1 เสมอ ซึ่งสรุปไม่ได้ ratio test เหมาะกับพจน์ที่มีแฟกทอเรียลหรือเลขยกกำลังเท่านั้น

การทดสอบพจน์ที่ n ใช้สรุปว่าลู่เข้าได้ไหม?
ไม่ได้ สรุปได้ทางเดียวคือถ้าพจน์ไม่เข้าใกล้ศูนย์แล้วอนุกรมลู่ออก ถ้าพจน์เข้าใกล้ศูนย์ต้องทดสอบต่อ

เลือก b(n) สำหรับ limit comparison อย่างไร?
เก็บเฉพาะตัวเด่น (กำลังสูงสุด) ของเศษและส่วน เช่น $\dfrac{3n+5}{n^3-2}$ เก็บ $\dfrac{3n}{n^3} = \dfrac{3}{n^2}$ จึงเลือก $b_n = 1/n^2$

อนุกรมที่เครื่องหมายสลับต้องเริ่มทดสอบอะไร?
ทดสอบค่าสัมบูรณ์ $\sum|a_n|$ ก่อน ถ้าลู่เข้าก็เป็นการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ถ้าลู่ออกจึงใช้การทดสอบอนุกรมสลับ (ไลบ์นิซ) ถ้าผ่านคือลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)
อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร: 3 วิธี ตรวจปลายช่วง และเหตุผลจากระนาบเชิงซ้อน
วิธีหารัศมีการลู่เข้า (radius of convergence) ของอนุกรมกำลัง 3 วิธี: การทดสอบอัตราส่วน การทดสอบราก และระยะถึงจุดเอกฐานเชิงซ้อน…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์
ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**ทำไมไม่ใช้ ratio test กับทุกข้อ?**
เพราะอนุกรมที่เป็นเศษส่วนของพหุนามหรือราก เช่น $\sum 1/n^2$ และ $\sum 1/n$ ให้อัตราส่วนเข้าใกล้ 1 เสมอ ซึ่งสรุปไม่ได้ ratio test เหมาะกับพจน์ที่มีแฟกทอเรียลหรือเลขยกกำลังเท่านั้น

**การทดสอบพจน์ที่ n ใช้สรุปว่าลู่เข้าได้ไหม?**
ไม่ได้ สรุปได้ทางเดียวคือถ้าพจน์ไม่เข้าใกล้ศูนย์แล้วอนุกรมลู่ออก ถ้าพจน์เข้าใกล้ศูนย์ต้องทดสอบต่อ

**เลือก b(n) สำหรับ limit comparison อย่างไร?**
เก็บเฉพาะตัวเด่น (กำลังสูงสุด) ของเศษและส่วน เช่น $\dfrac{3n+5}{n^3-2}$ เก็บ $\dfrac{3n}{n^3} = \dfrac{3}{n^2}$ จึงเลือก $b_n = 1/n^2$

**อนุกรมที่เครื่องหมายสลับต้องเริ่มทดสอบอะไร?**
ทดสอบค่าสัมบูรณ์ $\sum|a_n|$ ก่อน ถ้าลู่เข้าก็เป็นการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ถ้าลู่ออกจึงใช้การทดสอบอนุกรมสลับ (ไลบ์นิซ) ถ้าผ่านคือลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

---

# กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/cramers-rule/
Updated: 2026-10-25
Summary: สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k และเหตุผลที่คอมพิวเตอร์ไม่ใช้กับระบบใหญ่

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · พีชคณิตเชิงเส้น

# กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้

กฎของคราเมอร์ให้สูตรตรงของตัวแปรแต่ละตัวในระบบสมการเชิงเส้น ไม่ต้องลดแถว ไม่ต้องหาอินเวอร์ส เหมาะมากกับข้อสอบที่ถามตัวแปรเพียงตัวเดียว แต่ก็มีข้อจำกัดที่ต้องรู้ บทความนี้สรุปทั้งวิธีใช้ ที่มา กรณีพิเศษ และขอบเขตการใช้งานในที่เดียว

สรุปใน 30 วินาที

- $x_i = \dfrac{\Delta_i}{\Delta}$ โดย $\Delta = \det A$ และ $\Delta_i$ คือ $\det$ ของ $A$ ที่แทนหลักที่ $i$ ด้วยค่าคงที่ $\mathbf b$

- ใช้ได้เมื่อ $A$ จัตุรัสและ $\Delta \ne 0$ · ถามตัวแปรเดียวใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว

- ระบบใหญ่กว่า 3×3 หรือในโปรแกรม ใช้การกำจัดแบบเกาส์หรือ LU แทน

## สูตรในประโยคเดียว

หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ $\Delta$ จากนั้นเอาค่าคงที่ทางขวาไปแทนหลักของตัวแปรที่ต้องการ หาดีเทอร์มิแนนต์ใหม่ $\Delta_i$ แล้วหารกัน

ระบบ 2×2 ตัวอย่าง: แทนหลักแรกด้วย $\mathbf b$ ได้ $\Delta_x$ แทนหลักที่สองได้ $\Delta_y$

$$\begin{aligned} 3x + 2y &= 7 \\ x - y &= -1 \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad \Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -5,\quad x = \frac{\begin{vmatrix} 7 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1,\quad y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$

## ระบบ 3×3: หาเฉพาะตัวแปรที่โจทย์ถาม

ตัวอย่าง

### หา $y$ จาก $2x + y - z = 3,\ x + 3y + 2z = 14,\ 3x - y + z = 2$

-
$$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2(3 + 2) - 1(1 - 6) + (-1)(-1 - 9) = 25$$

-
$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 14 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(14 - 4) - 3(1 - 6) + (-1)(2 - 42) = 75$$

$y = 75/25 = 3$ — ไม่ต้องหา $x$ และ $z$ เลย

ถ้าต้องการทุกตัวแปรของระบบ 3×3 ต้องใช้ดีเทอร์มิแนนต์ 4 ตัว ตรวจคำตอบด้วยการแทนกลับทุกครั้ง หรือใช้ เครื่องคิดเลขคราเมอร์แสดงวิธีทำ

## ทำไมสูตรนี้ถูก (พิสูจน์สองบรรทัด)

ให้ $X_i$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่แทนหลักที่ $i$ ด้วยเวกเตอร์คำตอบ $\mathbf x$ เมื่อคูณ $A$ เข้าไป หลักที่ $i$ จะกลายเป็น $A\mathbf x = \mathbf b$ ส่วนหลักอื่นยังเป็นหลักของ $A$ นั่นคือ $AX_i = A_i$ จากนั้นใช้สมบัติ $\det(AB) = \det A\det B$

$$\det A\cdot\det X_i = \det A_i,\qquad \det X_i = x_i \ \Rightarrow\ x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$$

อีกมุมหนึ่ง คราเมอร์คือการเขียน $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b = \dfrac{\operatorname{adj}A\,\mathbf b}{\det A}$ ทีละตัวแปร คำตอบจึงเท่ากับวิธีอินเวอร์สเสมอ

## เมื่อ Δ = 0 และโจทย์พารามิเตอร์ k

ถ้า $\Delta = 0$ สูตรใช้ไม่ได้ ระบบอาจไม่มีคำตอบหรือมีไม่จำกัด ตัวอย่างที่ออกสอบบ่อย

$$\begin{aligned} kx + y &= 1 \\ x + ky &= 1 \end{aligned}\qquad \Delta = k^2 - 1,\quad \Delta_x = \Delta_y = k - 1$$

- $k \ne \pm1$: $x = y = \dfrac{1}{k + 1}$

- $k = 1$: $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$ สองสมการเป็นเส้นเดียวกัน → คำตอบไม่จำกัด

- $k = -1$: $\Delta = 0$ แต่ $\Delta_x = -2 \ne 0$ → เส้นขนาน → ไม่มีคำตอบ

กับดัก ห้ามตัดตัวประกอบ $(k - 1)$ ทิ้งก่อนตรวจกรณี $k = 1$ และสำหรับระบบ 3×3 แม้ $\Delta$ กับ $\Delta_i$ ทุกตัวเป็นศูนย์ ระบบก็ยังอาจไม่มีคำตอบได้ ต้องใช้แรงก์ตัดสิน

## เมื่อไรควรใช้ และเมื่อไรไม่ควรใช้

| ควรใช้ | ไม่ควรใช้ |

| ระบบ 2–3 ตัวแปร ทำมือ | ระบบตั้งแต่ 4 ตัวแปรขึ้นไป |

| ถามตัวแปรเดียว เช่น กระแสในเมชเดียว | $\Delta = 0$ หรือใกล้ศูนย์มาก |

| สัมประสิทธิ์เป็นตัวอักษร ($R$, $k$, $s$) อยากได้สูตรทั่วไป | จำนวนสมการไม่เท่าจำนวนตัวแปร |

| วงจร AC 2×2 ที่อิมพีแดนซ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน | งานคอมพิวเตอร์ที่ต้องการความเร็วและความแม่นเชิงตัวเลข |

ต้นทุนคือเหตุผลหลัก ถ้าหาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยการกระจายโคแฟกเตอร์ คราเมอร์ใช้การคูณราว $(n + 1)!$ ครั้ง ระบบ 20 ตัวแปรจึงต้องคูณราว $5\times10^{19}$ ครั้ง (ราว 1,600 ปีที่พันล้านครั้งต่อวินาที) ขณะที่การกำจัดแบบเกาส์ใช้ราว $n^3/3 \approx 2{,}700$ ครั้ง รายละเอียดอยู่ใน ผลเฉลยเชิงตัวเลข

## อ่านต่อในคลังความรู้

- กฎของคราเมอร์ฉบับเต็ม: วงจรสามลูป วงจร AC และฟังก์ชันถ่ายโอน

- ดีเทอร์มิแนนต์: ซาร์รัส โคแฟกเตอร์ และสมบัติ

- วิธีเชิงตัวเลขที่ใช้แทนคราเมอร์ในระบบใหญ่

- แนวข้อสอบคราเมอร์และระบบสมการพร้อมเฉลย

- บทความ: สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ที่ออกสอบบ่อย

## คำถามที่พบบ่อย

กฎของคราเมอร์ใช้กับระบบแบบไหนได้?
ใช้ได้กับระบบที่จำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปร (เมทริกซ์สัมประสิทธิ์จัตุรัส) และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์ ถ้า Δ = 0 ระบบอาจไม่มีคำตอบหรือมีไม่จำกัด ต้องตรวจด้วยการลดแถว

ทำไมกฎของคราเมอร์จึงเร็วในข้อสอบ?
เพราะถ้าโจทย์ถามเพียงตัวแปรเดียว ใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว คือ Δ และ Δ ของตัวแปรนั้น ไม่ต้องแก้ทุกตัวแปรหรือหาอินเวอร์สทั้งเมทริกซ์ เหมาะกับระบบ 2–3 ตัวแปรที่ทำมือ

ทำไมโปรแกรมคอมพิวเตอร์ไม่ใช้กฎของคราเมอร์?
เพราะต้นทุนสูงมากเมื่อระบบใหญ่ ถ้าหาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยโคแฟกเตอร์ ระบบ 20 ตัวแปรต้องคูณราว 5 × 10¹⁹ ครั้ง ส่วนการกำจัดแบบเกาส์ใช้ราว 2,700 ครั้ง และการกำจัดแบบเกาส์ที่สลับแถวยังเสถียรเชิงตัวเลขกว่า

ใช้คราเมอร์กับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับได้ไหม?
ได้ ขั้นตอนมีแค่บวก ลบ คูณ หาร จึงใช้กับอิมพีแดนซ์ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ตรง ๆ และใช้กับตัวแปร s ของการแปลงลาปลาซได้ด้วย โดย Δ(s) = 0 คือสมการลักษณะเฉพาะของวงจร

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ
อธิบายแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ให้เห็นภาพ วิธีหาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ ใช้แรงก์ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**กฎของคราเมอร์ใช้กับระบบแบบไหนได้?**
ใช้ได้กับระบบที่จำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปร (เมทริกซ์สัมประสิทธิ์จัตุรัส) และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์ ถ้า Δ = 0 ระบบอาจไม่มีคำตอบหรือมีไม่จำกัด ต้องตรวจด้วยการลดแถว

**ทำไมกฎของคราเมอร์จึงเร็วในข้อสอบ?**
เพราะถ้าโจทย์ถามเพียงตัวแปรเดียว ใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว คือ Δ และ Δ ของตัวแปรนั้น ไม่ต้องแก้ทุกตัวแปรหรือหาอินเวอร์สทั้งเมทริกซ์ เหมาะกับระบบ 2–3 ตัวแปรที่ทำมือ

**ทำไมโปรแกรมคอมพิวเตอร์ไม่ใช้กฎของคราเมอร์?**
เพราะต้นทุนสูงมากเมื่อระบบใหญ่ ถ้าหาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยโคแฟกเตอร์ ระบบ 20 ตัวแปรต้องคูณราว 5 × 10¹⁹ ครั้ง ส่วนการกำจัดแบบเกาส์ใช้ราว 2,700 ครั้ง และการกำจัดแบบเกาส์ที่สลับแถวยังเสถียรเชิงตัวเลขกว่า

**ใช้คราเมอร์กับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับได้ไหม?**
ได้ ขั้นตอนมีแค่บวก ลบ คูณ หาร จึงใช้กับอิมพีแดนซ์ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ตรง ๆ และใช้กับตัวแปร s ของการแปลงลาปลาซได้ด้วย โดย Δ(s) = 0 คือสมการลักษณะเฉพาะของวงจร

---

# วิธีหา Determinant และ Inverse Matrix (2×2 และ 3×3) พร้อมตัวอย่าง

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/determinant-and-inverse-matrix/
Updated: 2026-10-16
Summary: สอนหาดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 ด้วยโคแฟกเตอร์ และหาอินเวอร์สเมทริกซ์ด้วยสูตร adjugate พร้อมตัวอย่างตัวเลขที่ตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับ และเงื่อนไขเมทริกซ์เอกฐาน

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · พีชคณิตเชิงเส้น

# วิธีหา Determinant และ Inverse Matrix (2×2 และ 3×3) พร้อมตัวอย่าง

ดีเทอร์มิแนนต์บอกว่าเมทริกซ์กลับด้านได้หรือไม่ ส่วนอินเวอร์สใช้แก้ระบบสมการ เช่น กระแสในวงจรหลายลูป บทความนี้ไล่วิธีคำนวณด้วยมือพร้อมตัวอย่างที่ตรวจด้วยการคูณกลับ

สรุปใน 30 วินาที

- 2×2: $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$

- 3×3: กระจายตามแถวแรกด้วยโคแฟกเตอร์ (เครื่องหมายสลับ $+\,-\,+$)

- อินเวอร์ส: $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)$ มีได้เมื่อ $\det A\ne0$ เท่านั้น

## Determinant 2×2

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

ตัวอย่าง: $\det\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}=4\cdot6-7\cdot2=24-14=10$

## Determinant 3×3 ด้วยโคแฟกเตอร์

กระจายตามแถวแรก: ตัวประกอบแต่ละตัวคูณด้วยดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 ที่เหลือเมื่อตัดแถวและหลักของมันออก เครื่องหมายสลับ $+,-,+$

$$\det A=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}$$

ตัวอย่าง

### $A=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&-1&4\\1&2&5\end{pmatrix}$

-
$$\det A=2\begin{vmatrix}-1&4\\2&5\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}0&4\\1&5\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}0&-1\\1&2\end{vmatrix}$$

-
$$=2(-5-8)-1(0-4)+3(0+1)=-26+4+3$$

$\det A=-19$ (ไม่เป็นศูนย์ จึงมีอินเวอร์ส)

สำหรับ 3×3 ยังใช้วิธี Sarrus ได้: คัดลอกสองหลักแรกต่อท้าย รวมผลคูณเส้นทแยงลงทั้งสามเส้น ลบผลคูณเส้นทแยงขึ้นทั้งสามเส้น ได้ผลเท่ากัน

## Inverse 2×2 (สูตรลัด)

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$

สลับ $a$ กับ $d$ เปลี่ยนเครื่องหมาย $b$ และ $c$ แล้วหารด้วย determinant

ตัวอย่าง

### $N=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}$

-
$$N^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.6&-0.7\\-0.2&0.4\end{pmatrix}$$

- ตรวจ แถวแรกของ $N$ คูณหลักแรกของ $N^{-1}$

$$4(0.6)+7(-0.2)=2.4-1.4=1$$

และ $4(-0.7)+7(0.4)=0$, $2(0.6)+6(-0.2)=0$, $2(-0.7)+6(0.4)=1$ จึงได้ $NN^{-1}=I$ ✓

## Inverse 3×3 ด้วย adjugate

ขั้นตอน: (1) หาเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ $C$ (2) สลับแถวเป็นหลัก ได้ $\operatorname{adj}(A)=C^{T}$ (3) หารด้วย $\det A$

ต่อจากตัวอย่าง $A$ ข้างบน

### หา $A^{-1}$

- โคแฟกเตอร์ $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

$$C=\begin{pmatrix}-13&4&1\\1&7&-3\\7&-8&-2\end{pmatrix}$$

- สลับแถวเป็นหลัก

$$\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix}-13&1&7\\4&7&-8\\1&-3&-2\end{pmatrix}$$

- หารด้วย $\det A=-19$

$$A^{-1}=\frac{1}{19}\begin{pmatrix}13&-1&-7\\-4&-7&8\\-1&3&2\end{pmatrix}$$

ตรวจ แถวแรกของ $A$ คูณหลักแรกของ $A^{-1}$: $\dfrac{1}{19}\big(2(13)+1(-4)+3(-1)\big)=\dfrac{19}{19}=1$ ✓ และแถวแรกคูณหลักที่สอง: $\dfrac{1}{19}\big(2(-1)+1(-7)+3(3)\big)=0$ ✓

## ใช้ทำอะไร

- แก้ระบบสมการ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}\Rightarrow\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ เช่น กระแสลูปในวงจรไฟฟ้าหลายลูป

- ตรวจการมีคำตอบเดียว ถ้า $\det A\ne0$ ระบบมีคำตอบเดียว

- ค่าเฉพาะ หาจาก $\det(A-\lambda I)=0$ ในการวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบสเตตสเปซ

## เรียนต่อในคลังความรู้

- ดีเทอร์มิแนนต์: สมบัติ โคแฟกเตอร์ การดำเนินการแถว

- อินเวอร์สเมทริกซ์ ทั้ง adjugate และเกาส์–จอร์แดน

- แล็บเมทริกซ์: เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำทีละขั้น

- ประยุกต์ในวงจรไฟฟ้าและระบบไฟฟ้ากำลัง

## คำถามที่พบบ่อย

Determinant เป็นศูนย์หมายความว่าอะไร?
เมทริกซ์เป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular) ไม่มีอินเวอร์ส และระบบสมการ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ไม่มีคำตอบเดียว คือไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบมากมาย แถวหรือหลักของเมทริกซ์ขึ้นต่อกันเชิงเส้น

ใช้วิธี Sarrus กับเมทริกซ์ 4×4 ได้ไหม?
ไม่ได้ วิธี Sarrus (ลากเส้นทแยง) ใช้ได้กับ 3×3 เท่านั้น เมทริกซ์ขนาดใหญ่กว่านั้นใช้การกระจายโคแฟกเตอร์ หรือการดำเนินการแถวจนเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม

ทำไมหารด้วย determinant ตอนหาอินเวอร์ส?
เพราะ $A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I$ จึงต้องหารด้วย $\det(A)$ เพื่อให้ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งทำไม่ได้เมื่อ $\det(A)=0$

นิยมหาอินเวอร์สด้วยวิธีไหนในทางปฏิบัติ?
ในมือเขียนสำหรับ 2×2 ใช้สูตรลัด สำหรับ 3×3 ใช้ adjugate หรือการดำเนินการแถว (เกาส์–จอร์แดน) ในโปรแกรมคอมพิวเตอร์มักแก้ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ด้วยการแยกตัวประกอบโดยไม่คำนวณอินเวอร์สตรง ๆ เพื่อความแม่นยำ

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**Determinant เป็นศูนย์หมายความว่าอะไร?**
เมทริกซ์เป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular) ไม่มีอินเวอร์ส และระบบสมการ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ไม่มีคำตอบเดียว คือไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบมากมาย แถวหรือหลักของเมทริกซ์ขึ้นต่อกันเชิงเส้น

**ใช้วิธี Sarrus กับเมทริกซ์ 4×4 ได้ไหม?**
ไม่ได้ วิธี Sarrus (ลากเส้นทแยง) ใช้ได้กับ 3×3 เท่านั้น เมทริกซ์ขนาดใหญ่กว่านั้นใช้การกระจายโคแฟกเตอร์ หรือการดำเนินการแถวจนเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม

**ทำไมหารด้วย determinant ตอนหาอินเวอร์ส?**
เพราะ $A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I$ จึงต้องหารด้วย $\det(A)$ เพื่อให้ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งทำไม่ได้เมื่อ $\det(A)=0$

**นิยมหาอินเวอร์สด้วยวิธีไหนในทางปฏิบัติ?**
ในมือเขียนสำหรับ 2×2 ใช้สูตรลัด สำหรับ 3×3 ใช้ adjugate หรือการดำเนินการแถว (เกาส์–จอร์แดน) ในโปรแกรมคอมพิวเตอร์มักแก้ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ด้วยการแยกตัวประกอบโดยไม่คำนวณอินเวอร์สตรง ๆ เพื่อความแม่นยำ

---

# สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/determinant-properties/
Updated: 2026-10-25
Summary: สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์ พร้อมตัวอย่างโจทย์และกับดักที่พบบ่อย

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · พีชคณิตเชิงเส้น

# สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง

ข้อสอบเรื่องดีเทอร์มิแนนต์ส่วนใหญ่ไม่ได้ให้คำนวณจากตัวเลขตรง ๆ แต่ให้ $\det A$ มาเพียงค่าเดียว แล้วถามดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่สร้างจาก $A$ ทุกข้อแก้ได้ในบรรทัดเดียวถ้ารู้สมบัติ 12 ข้อนี้ ให้ $A, B$ เป็นเมทริกซ์ $n\times n$ และ $k$ เป็นค่าคงที่

สามสูตรที่ต้องจำให้ขึ้นใจ

- $\det(kA) = k^n\det A$ — เลขชี้กำลังคือขนาด $n$

- $\det(AB) = \det A\det B$ จึงได้ $\det A^{-1} = 1/\det A$ และ $\det A^m = (\det A)^m$

- $\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1}$

## ทำไมสมบัติเหล่านี้จึงจริง: ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวคูณพื้นที่

เมทริกซ์ 2×2 เปลี่ยนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วยเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และ $|\det A|$ คือพื้นที่ของมัน (3×3 คือปริมาตร) เมื่อมองแบบนี้ สมบัติส่วนใหญ่ก็ชัดเจน เช่น ขยายทุกด้าน 2 เท่า พื้นที่โต $2^2$ เท่า ปริมาตรโต $2^3$ เท่า

ซ้าย: $\det A = 5$ คือพื้นที่ที่สี่เหลี่ยมหนึ่งหน่วยกลายเป็น · ขวา: คูณทุกแถวด้วย 2 พื้นที่โต $2^2$ เท่า

## ข้อ 1–6: การดำเนินการตามแถวและเมทริกซ์พิเศษ

- ทรานสโพส: $\det A^T = \det A$ — สมบัติทุกข้อของแถวจึงใช้กับหลักได้ด้วย

- สลับสองแถว: ค่าเปลี่ยนเครื่องหมาย

- คูณแถวหนึ่งด้วย $k$: ค่าถูกคูณด้วย $k$ (ดึงตัวร่วมออกได้ทีละแถว)

- บวกพหุคูณของแถวอื่น $R_i \leftarrow R_i + kR_j$: ค่าไม่เปลี่ยน — เครื่องมือหลักในการลดแถว

- แถวศูนย์ แถวซ้ำ หรือแถวเป็นสัดส่วนกัน: $\det = 0$

- เมทริกซ์สามเหลี่ยมหรือทแยงมุม: $\det$ = ผลคูณสมาชิกแนวทแยง

ตัวอย่าง

### ถ้า $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 5$ จงหา $\begin{vmatrix} 2a & 2b & 2c \\ g & h & i \\ d + 3a & e + 3b & f + 3c \end{vmatrix}$

- ดึง 2 ออกจากแถว 1 (ข้อ 3) · แถว 3 ลบพหุคูณของแถว 1 ได้ $(d, e, f)$ โดยค่าไม่เปลี่ยน (ข้อ 4)

- เหลือแถว $(a, b, c), (g, h, i), (d, e, f)$ สลับแถว 2 กับ 3 เครื่องหมายเปลี่ยน (ข้อ 2)

$2\times(-5) = -10$

## ข้อ 7–10: ค่าคงที่ ผลคูณ อินเวอร์ส และกำลัง

- $\det(kA) = k^n\det A$ — เพราะ $k$ อยู่ในทุกแถว $n$ แถว

- $\det(AB) = \det A\det B = \det(BA)$ แม้ $AB \ne BA$

- $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$ — และ $A$ มีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อ $\det A \ne 0$

- $\det(A^m) = (\det A)^m$

ตัวอย่าง

### $A$ เป็น $3\times3$ ที่ $\det A = 4$ จงหา $\det(2A^{-1}A^T)$

-
$$\det(2A^{-1}A^T) = 2^3\cdot\frac14\cdot4 = 8$$

8

## ข้อ 11: แอดจอยต์ (adj A) ที่นักเรียนพลาดบ่อย

จาก $A\operatorname{adj}A = (\det A)I$ หาดีเทอร์มิแนนต์ทั้งสองข้าง ได้ $\det A\cdot\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^n$

$$\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1},\qquad \operatorname{adj}(kA) = k^{n-1}\operatorname{adj}A,\qquad \operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-2}A$$

ตัวอย่าง

### $A$ เป็น $3\times3$ ที่ $\det A = 3$ จงหา $\det(2\operatorname{adj}A)$ และ $\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A))$

-
$$\det(2\operatorname{adj}A) = 2^3\cdot3^{2} = 72$$

-
$$\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A)) = \det(3A) = 3^3\cdot3 = 81$$

72 และ 81

## ข้อ 12: สิ่งที่ “ไม่มี” สูตร

กับดักที่เจอทุกปี

- $\det(A + B) \ne \det A + \det B$ — ต้องบวกเมทริกซ์ก่อน (มีแค่สมบัติเชิงเส้นทีละแถว)

- $\det(kA) \ne k\det A$ และ $\det(\operatorname{adj}A) \ne \det A$ — เลขชี้กำลังขึ้นกับ $n$

- $\det(-A) = (-1)^n\det A$ — เมทริกซ์ 2×2 ได้ค่าเดิม แต่ 3×3 ได้เครื่องหมายตรงข้าม

- $|A|$ ไม่ใช่ค่าสัมบูรณ์ ดีเทอร์มิแนนต์ติดลบได้

เทคนิคเสริม: ถ้าทุกแถวมีผลบวกเท่ากัน ให้บวกทุกหลักเข้าหลักแรกแล้วดึงผลบวกนั้นออกมา จะได้ตัวประกอบทันที เช่น เมทริกซ์ที่แนวทแยงเป็น $a$ ตัวอื่นเป็น $b$ มี $\det = (a - b)^{n-1}(a + (n - 1)b)$

## อ่านต่อในคลังความรู้

- ดีเทอร์มิแนนต์ฉบับเต็ม: สูตรลัดออกสอบ D22–D25 และพิสูจน์

- อินเวอร์สของเมทริกซ์และแอดจอยต์

- แนวข้อสอบชุด A: สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 18 ข้อ

- บทความ: วิธีหา Determinant และ Inverse 2×2, 3×3

- บทความ: กฎของคราเมอร์ใช้อย่างไร

## คำถามที่พบบ่อย

det(2A) เท่ากับ 2 det A ใช่ไหม?
ไม่ใช่ การคูณเมทริกซ์ด้วย 2 คือคูณทุกแถวด้วย 2 และแต่ละแถวดึง 2 ออกมาได้หนึ่งครั้ง สำหรับเมทริกซ์ n×n จึงได้ det(2A) = 2ⁿ det A เช่น เมทริกซ์ 3×3 ได้ 8 det A

det(adj A) หาอย่างไร?
ใช้สูตร det(adj A) = (det A)ⁿ⁻¹ ซึ่งมาจาก A adj A = (det A)I เมื่อหาดีเทอร์มิแนนต์ทั้งสองข้างได้ det A · det(adj A) = (det A)ⁿ เช่น เมทริกซ์ 3×3 ที่ det A = −2 จะได้ det(adj A) = 4

det(A + B) เท่ากับ det A + det B ไหม?
ไม่เท่า ดีเทอร์มิแนนต์ไม่มีสมบัติการบวกทั้งเมทริกซ์ ต้องบวกเมทริกซ์ก่อนแล้วจึงหาดีเทอร์มิแนนต์ สมบัติเชิงเส้นมีเฉพาะการแยกทีละแถวเท่านั้น

การดำเนินการแถวแบบไหนไม่เปลี่ยนค่าดีเทอร์มิแนนต์?
การบวกพหุคูณของแถวหนึ่งเข้ากับอีกแถว (R_i ← R_i + kR_j) ไม่เปลี่ยนค่า ส่วนการสลับสองแถวเปลี่ยนเครื่องหมาย และการคูณแถวหนึ่งด้วย k ทำให้ค่าถูกคูณด้วย k

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ
อธิบายแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ให้เห็นภาพ วิธีหาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ ใช้แรงก์ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**det(2A) เท่ากับ 2 det A ใช่ไหม?**
ไม่ใช่ การคูณเมทริกซ์ด้วย 2 คือคูณทุกแถวด้วย 2 และแต่ละแถวดึง 2 ออกมาได้หนึ่งครั้ง สำหรับเมทริกซ์ n×n จึงได้ det(2A) = 2ⁿ det A เช่น เมทริกซ์ 3×3 ได้ 8 det A

**det(adj A) หาอย่างไร?**
ใช้สูตร det(adj A) = (det A)ⁿ⁻¹ ซึ่งมาจาก A adj A = (det A)I เมื่อหาดีเทอร์มิแนนต์ทั้งสองข้างได้ det A · det(adj A) = (det A)ⁿ เช่น เมทริกซ์ 3×3 ที่ det A = −2 จะได้ det(adj A) = 4

**det(A + B) เท่ากับ det A + det B ไหม?**
ไม่เท่า ดีเทอร์มิแนนต์ไม่มีสมบัติการบวกทั้งเมทริกซ์ ต้องบวกเมทริกซ์ก่อนแล้วจึงหาดีเทอร์มิแนนต์ สมบัติเชิงเส้นมีเฉพาะการแยกทีละแถวเท่านั้น

**การดำเนินการแถวแบบไหนไม่เปลี่ยนค่าดีเทอร์มิแนนต์?**
การบวกพหุคูณของแถวหนึ่งเข้ากับอีกแถว (R_i ← R_i + kR_j) ไม่เปลี่ยนค่า ส่วนการสลับสองแถวเปลี่ยนเครื่องหมาย และการคูณแถวหนึ่งด้วย k ทำให้ค่าถูกคูณด้วย k

---

# Dot Product กับ Cross Product ต่างกันอย่างไร: สูตร ความหมาย ตัวอย่าง

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/dot-product-cross-product/
Updated: 2026-10-16
Summary: เปรียบเทียบ dot product (ผลคูณเชิงสเกลาร์) กับ cross product (ผลคูณเชิงเวกเตอร์) ทั้งสูตร ความหมายทางเรขาคณิต วิธีคำนวณด้วยองค์ประกอบ และการใช้หางาน แรงบิด และมุม

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · เวกเตอร์

# Dot Product กับ Cross Product ต่างกันอย่างไร: สูตร ความหมาย ตัวอย่าง

เวกเตอร์สองตัวคูณกันได้สองแบบ แบบแรกได้ตัวเลข แบบที่สองได้เวกเตอร์ใหม่ ทั้งสองมีความหมายทางกายภาพที่ชัดเจน: dot product ใช้หางานและมุม ส่วน cross product ใช้หาแรงบิดและพื้นที่

สรุปใน 30 วินาที

- Dot: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$ → สเกลาร์

- Cross: $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$ → เวกเตอร์ ตั้งฉากกับทั้งคู่ ทิศตามกฎมือขวา

- Dot = 0 ⇒ ตั้งฉาก · Cross = 0 ⇒ ขนาน

## เปรียบเทียบสั้น ๆ

| | Dot product $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ | Cross product $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ |

| ผลลัพธ์ | สเกลาร์ | เวกเตอร์ (3 มิติ) |

| สูตรด้วยมุม | $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$ | ขนาด $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$ |

| สูตรด้วยองค์ประกอบ | $a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$ | ดีเทอร์มิแนนต์ของ $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ |

| ความหมายเรขาคณิต | ภาพฉายของเวกเตอร์หนึ่งบนอีกเวกเตอร์ × ความยาว | พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองสร้างขึ้น |

| สลับลำดับ | เหมือนเดิม | เครื่องหมายกลับ |

| เท่ากับศูนย์เมื่อ | ตั้งฉากกัน | ขนานกัน |

| ใช้หา | งาน มุม ภาพฉาย กำลังจริง | แรงบิด สนามแม่เหล็ก ทิศตั้งฉาก |

## Dot product (ผลคูณเชิงสเกลาร์)

สำหรับ $\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$ และ $\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)$ นำองค์ประกอบที่แกนเดียวกันมาคูณแล้วบวกกัน

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$$

จึงหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้จาก $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$ ถ้าค่าเป็นบวก มุมแหลม เป็นลบ มุมป้าน

ตัวอย่างงาน

### แรง 50 N ทำมุม 30° กับการเคลื่อนที่ 4 m

-
$$W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{d}=|\mathbf{F}||\mathbf{d}|\cos\theta=50\times4\times\cos30^\circ$$

$W = 200\times0.866 \approx 173.2$ J (เฉพาะองค์ประกอบของแรงที่ขนานการเคลื่อนที่เท่านั้นที่ทำงาน)

## Cross product (ผลคูณเชิงเวกเตอร์)

ผลลัพธ์ตั้งฉากกับ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ ทิศตามกฎมือขวา: ชี้นิ้วไปตาม $\mathbf{a}$ ม้วนไปหา $\mathbf{b}$ นิ้วโป้งชี้ทิศของ $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ คำนวณด้วยองค์ประกอบดังนี้

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}=(a_yb_z-a_zb_y)\,\mathbf{i}-(a_xb_z-a_zb_x)\,\mathbf{j}+(a_xb_y-a_yb_x)\,\mathbf{k}$$

ตัวอย่างแรงบิด

### ประแจยาว 0.3 m ออกแรง 100 N ตั้งฉากกับด้ามประแจ

-
$$\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F},\quad |\boldsymbol{\tau}|=rF\sin90^\circ=0.3\times100\times1$$

$|\boldsymbol{\tau}|=30$ N·m ทิศของแรงบิดตามแกนหมุนของน็อต ถ้าออกแรงเฉียง แรงบิดจะลดลงตาม $\sin\theta$

## ตัวอย่างเดียวกัน คำนวณทั้งสองแบบ

ให้ $\mathbf{a}=(2,3,1)$ และ $\mathbf{b}=(1,-1,4)$

- Dot product

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(1)+3(-1)+1(4)=3$$

- Cross product

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\big(3\cdot4-1\cdot(-1),\; 1\cdot1-2\cdot4,\; 2\cdot(-1)-3\cdot1\big)=(13,\,-7,\,-5)$$

- มุมระหว่างเวกเตอร์ ด้วย $|\mathbf{a}|=\sqrt{14}$, $|\mathbf{b}|=\sqrt{18}$

$$\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{14}\sqrt{18}}\approx0.189\;\Rightarrow\;\theta\approx79.1^\circ$$

- ตรวจด้วยขนาดของ cross product ต้องเท่ากับ $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$

$$|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=\sqrt{13^2+7^2+5^2}=\sqrt{243}\approx15.59$$

$\sqrt{14\times18}\,\sin79.1^\circ\approx15.87\times0.982\approx15.59$ ✓ และ $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=2(13)+3(-7)+1(-5)=0$ ✓ (cross product ตั้งฉากกับ $\mathbf{a}$)

## ใช้ในงานไฟฟ้าอย่างไร

- กำลังไฟฟ้าจริง เมื่อมองเฟสเซอร์ของแรงดันและกระแส (ค่า RMS) เป็นเวกเตอร์ในระนาบ 2 มิติ กำลังจริง $P=VI\cos\varphi$ คือ dot product ของมัน

- แรงที่กระทำต่อลวดตัวนำ $\mathbf{F}=I\,\mathbf{L}\times\mathbf{B}$ และแรงลอเรนซ์ $\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ เป็น cross product

- แรงบิดของมอเตอร์ $\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}$

## เรียนต่อในคลังความรู้

- Dot product: มุม งาน และภาพฉาย

- Cross product: กฎมือขวา แรงบิด พื้นที่

- สตูดิโอเวกเตอร์ 3 มิติ ลากเวกเตอร์แล้วดู dot และ cross ทันที

- เฟสเซอร์และการวิเคราะห์วงจร AC

## คำถามที่พบบ่อย

ผลลัพธ์ของ dot product และ cross product ต่างกันอย่างไร?
dot product ให้ค่าสเกลาร์ (ตัวเลขตัวเดียว) ส่วน cross product ให้เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองและมีทิศตามกฎมือขวา ผลคูณ cross product ใช้ได้เฉพาะเวกเตอร์ 3 มิติ

ถ้า dot product เป็นศูนย์หมายความว่าอะไร?
เวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน (เมื่อทั้งคู่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์) เช่น แรงที่ตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ทำงานเป็นศูนย์

ถ้า cross product เป็นเวกเตอร์ศูนย์หมายความว่าอะไร?
เวกเตอร์ทั้งสองขนานกันหรืออยู่แนวเส้นตรงเดียวกัน เพราะ $\sin\theta = 0$

ทำไม cross product สลับลำดับแล้วเครื่องหมายเปลี่ยน?
เพราะทิศของผลลัพธ์กำหนดด้วยกฎมือขวา สลับลำดับ $\mathbf{b}\times\mathbf{a}$ ทิศจะกลับ จึงได้ $\mathbf{b}\times\mathbf{a}=-\,\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ ส่วน dot product สลับที่ได้

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

วิธีเชิงตัวเลข
แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเชิงตัวเลข: เกาส์ LU จาโคบี หรือเกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหนดี
เปรียบเทียบวิธีเชิงตัวเลขสำหรับระบบสมการเชิงเส้นแบบเห็นภาพรวม การกำจัดแบบเกาส์กับการสลับแถว LU โชเลสกี จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR เงื่อนไขการลู่เข้า…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**ผลลัพธ์ของ dot product และ cross product ต่างกันอย่างไร?**
dot product ให้ค่าสเกลาร์ (ตัวเลขตัวเดียว) ส่วน cross product ให้เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองและมีทิศตามกฎมือขวา ผลคูณ cross product ใช้ได้เฉพาะเวกเตอร์ 3 มิติ

**ถ้า dot product เป็นศูนย์หมายความว่าอะไร?**
เวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน (เมื่อทั้งคู่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์) เช่น แรงที่ตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ทำงานเป็นศูนย์

**ถ้า cross product เป็นเวกเตอร์ศูนย์หมายความว่าอะไร?**
เวกเตอร์ทั้งสองขนานกันหรืออยู่แนวเส้นตรงเดียวกัน เพราะ $\sin\theta = 0$

**ทำไม cross product สลับลำดับแล้วเครื่องหมายเปลี่ยน?**
เพราะทิศของผลลัพธ์กำหนดด้วยกฎมือขวา สลับลำดับ $\mathbf{b}\times\mathbf{a}$ ทิศจะกลับ จึงได้ $\mathbf{b}\times\mathbf{a}=-\,\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ ส่วน dot product สลับที่ได้

---

# อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series): สูตร ตัวอย่าง และวิธีหาผลบวก

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/geometric-series-formula/
Updated: 2026-10-17
Summary: อนุกรมเรขาคณิตคืออะไร สูตรผลบวก n พจน์ และอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ (infinite geometric series) a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 พร้อมที่มาของสูตร ตัวอย่างทีละขั้น ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และการใช้ในงานวิศวกรรม

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · ลำดับและอนุกรม

# อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series): สูตร ตัวอย่าง และวิธีหาผลบวก

อนุกรมเรขาคณิตคือการบวกตัวเลขที่คูณด้วยค่าเดิมทุกครั้ง เช่น $2 + 6 + 18 + 54$ มีสูตรเดียวที่ต้องจำ และมีเงื่อนไขเดียวที่ต้องดูเมื่อบวกไม่สิ้นสุด บทความนี้สรุปสูตร ที่มา และตัวอย่างที่ออกสอบบ่อย

สรุปใน 30 วินาที

- พจน์ทั่วไป: $a_n = a_1 r^{n-1}$ โดย $r$ คืออัตราส่วนร่วม (common ratio) $= a_{n+1}/a_n$

- ผลบวก n พจน์: $S_n = a_1\dfrac{1 - r^n}{1 - r}$ เมื่อ $r \ne 1$

- อนุกรมอนันต์: $S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - r}$ ใช้ได้เฉพาะ $|r| < 1$

## อนุกรมเรขาคณิตคืออะไร

ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence) คือลำดับที่พจน์ถัดไปได้จากการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงที่ $r$ เช่น $2, 6, 18, 54, \dots$ มี $r = 3$ ส่วนอนุกรมเรขาคณิต (geometric series) คือผลบวกของพจน์เหล่านั้น $2 + 6 + 18 + 54 + \cdots$

วิธีหา $r$: เอาพจน์ใดหารด้วยพจน์ก่อนหน้า ถ้าได้ค่าเท่ากันทุกคู่ก็เป็นเรขาคณิต $r$ เป็นลบได้ (เครื่องหมายสลับ) และเป็นเศษส่วนได้ (ค่าลดลง)

## สูตรผลบวก n พจน์ และที่มา

$$S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots + a_1r^{n-1} = a_1\,\frac{1 - r^n}{1 - r},\quad r \ne 1$$

ที่มาใช้แค่สองบรรทัด: เขียน $S_n$ แล้วคูณด้วย $r$ จะได้พจน์ชุดเดียวกันที่เลื่อนไปหนึ่งตำแหน่ง

$$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_1r + \cdots + a_1r^{n-1} \\ rS_n &= \phantom{a_1 + {}} a_1r + \cdots + a_1r^{n-1} + a_1r^n \end{aligned}$$

ลบกัน พจน์กลางหายหมด เหลือ $S_n - rS_n = a_1 - a_1r^n$ จึงได้สูตรข้างบน ถ้า $r > 1$ จะเขียนเป็น $a_1\dfrac{r^n - 1}{r - 1}$ ก็ได้ (ค่าเท่ากัน แต่ไม่ต้องจัดการเครื่องหมายลบ)

ตัวอย่าง 1

### ลำดับเรขาคณิตมี $a_2 = 6$ และ $a_5 = 162$ หา $S_6$

- $\dfrac{a_5}{a_2} = r^3 = \dfrac{162}{6} = 27$ จึงได้ $r = 3$ และ $a_1 = a_2/r = 2$

- $S_6 = 2\cdot\dfrac{3^6 - 1}{3 - 1} = 2\cdot\dfrac{728}{2} = 728$

$S_6 = 728$ ตรวจ: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728$ ✓

ตัวอย่าง 2 · หาจำนวนพจน์ก่อน

### หาผลบวก $3 + 6 + 12 + \cdots + 768$

- $a_1 = 3,\ r = 2$ พจน์สุดท้าย $3\cdot 2^{n-1} = 768 \Rightarrow 2^{n-1} = 256 = 2^8$ จึงมี $n = 9$ พจน์

- $S_9 = 3\cdot\dfrac{2^9 - 1}{2 - 1} = 3(511) = 1533$

$1533$ · ความผิดพลาดที่พบบ่อยคือนับ n ผิด ต้องหาจาก $a_n = a_1r^{n-1}$ ทุกครั้ง

## อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ (Infinite Geometric Series)

เมื่อบวกไม่สิ้นสุด ให้ดูว่า $r^n$ ในสูตร $S_n$ ไปทางไหนเมื่อ $n \to \infty$ ถ้า $|r| < 1$ แล้ว $r^n \to 0$ ผลบวกจึงเข้าใกล้ค่าจำกัด

$$S_\infty = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots = \frac{a_1}{1 - r},\qquad |r| < 1$$

| ค่า r | พฤติกรรมของอนุกรมอนันต์ |

| $|r| < 1$ | ลู่เข้า (convergent) ผลบวก $a_1/(1 - r)$ |

| $r = 1$ | ลู่ออก ผลบวกโตแบบ $na_1$ |

| $r = -1$ | ลู่ออก ผลบวกย่อยแกว่ง $a_1, 0, a_1, 0, \dots$ |

| $|r| > 1$ | ลู่ออก พจน์โตไม่มีขอบเขต |

ตัวอย่าง 3 · ทศนิยมซ้ำและ r ติดลบ

### (ก) เขียน $0.\overline{36}$ เป็นเศษส่วน (ข) หา $8 - 4 + 2 - 1 + \cdots$

- (ก) $0.3636\ldots = 0.36 + 0.0036 + \cdots$ มี $a_1 = 0.36,\ r = 0.01$: $\dfrac{0.36}{1 - 0.01} = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}$

- (ข) $a_1 = 8,\ r = -\tfrac12$ และ $|r| < 1$: $S_\infty = \dfrac{8}{1 + \frac12} = \dfrac{16}{3}$

(ก) $\tfrac{4}{11}$ (ข) $\tfrac{16}{3}$ · ด้วยเหตุผลเดียวกัน $0.999\ldots = \tfrac{0.9}{1 - 0.1} = 1$ พอดี

ตัวอย่าง 4 · ลูกบอลเด้ง

### ปล่อยลูกบอลจากความสูง 10 m ทุกครั้งที่กระทบพื้นเด้งขึ้น 60% ของความสูงเดิม หาระยะทางรวมทั้งหมด

- ขาลงครั้งแรก 10 m จากนั้นทุกการเด้งมีขาขึ้นและขาลงเท่ากัน: $6 + 3.6 + 2.16 + \cdots$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต $a_1 = 6,\ r = 0.6$

- ระยะรวม $= 10 + 2\cdot\dfrac{6}{1 - 0.6} = 10 + 30 = 40\ \text{m}$

$40\ \text{m}$ · เด้งนับครั้งไม่ถ้วน แต่ระยะทางรวมมีค่าจำกัด

## ใช้ในงานวิศวกรรม

- ตัวกรองดิจิทัล (EMA) $y[n] = 0.8\,y[n-1] + 0.2\,x[n]$ ป้อนขั้นบันได 1 ได้ $y[n] = 0.2(1 + 0.8 + \cdots + 0.8^n) = 1 - 0.8^{n+1}$ ถึง 95% ที่ตัวอย่างที่ 14 และเสถียรเพราะ $|0.8| < 1$

- มูลค่าปัจจุบัน โซลาร์รูฟท็อปประหยัดปีละ 12,000 บาท นาน 20 ปี อัตราคิดลด 5%: $PV = 12000\cdot\dfrac{1 - 1.05^{-20}}{0.05} \approx 149{,}547$ บาท

- อนุกรมกำลัง $\dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots$ ($|x| < 1$) เป็นจุดตั้งต้นของอนุกรม $\ln(1 + x)$ และ $\arctan x$ ในอนุกรมเทย์เลอร์

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

- ใช้ $a_1/(1 - r)$ ทั้งที่ $|r| \ge 1$ เช่น $1 + 2 + 4 + \cdots$ ไม่ได้เท่ากับ $\tfrac{1}{1 - 2} = -1$ แต่ลู่ออก

- ใช้สูตรตอน $r = 1$ (หารด้วยศูนย์) กรณีนี้ $S_n = na_1$

- นับจำนวนพจน์ผิด โดยเฉพาะเมื่อเริ่มที่ $r^0$ หรือเริ่มที่ $r^1$

- ลืมว่า $r$ ติดลบได้: ลำดับที่เครื่องหมายสลับก็เป็นเรขาคณิต

## เรียนต่อในคลังความรู้

- ลำดับและอนุกรมเรขาคณิตฉบับเต็ม พร้อมบทพิสูจน์ด้วยภาพ

- แล็บลำดับ: ดูพจน์ ผลบวกย่อย และลิมิตแบบโต้ตอบ

- อนุกรมอนันต์ฉบับเต็ม: เรขาคณิต กล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก และอนุกรม p

- การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมทุกแบบ พร้อมผังเลือกใช้และเกมฝึก

- บทความต่อ: เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร

- พิสูจน์สูตรอนุกรมเรขาคณิตด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

## คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ลู่เข้าเมื่อไร?
ลู่เข้าเมื่อ $|r|
ถ้า r = 1 ใช้สูตรผลบวกได้ไหม?
ไม่ได้ เพราะส่วน $1 - r = 0$ แต่กรณีนี้ทุกพจน์เท่ากับ $a_1$ ผลบวก n พจน์จึงเท่ากับ $n a_1$ โดยตรง

ลำดับเรขาคณิตกับอนุกรมเรขาคณิตต่างกันอย่างไร?
ลำดับเรขาคณิตคือรายการตัวเลข $a_1, a_1r, a_1r^2, \dots$ ส่วนอนุกรมเรขาคณิตคือผลบวกของตัวเลขเหล่านั้น $a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots$

อนุกรมเรขาคณิตใช้ทำอะไรในงานวิศวกรรม?
ใช้หาผลตอบสนองของตัวกรองดิจิทัล มูลค่าปัจจุบันของโครงการ เช่นโซลาร์รูฟท็อป ระยะทางรวมของการสะท้อน และเป็นจุดเริ่มของอนุกรมกำลัง $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots$ ที่ใช้สร้างอนุกรมเทย์เลอร์

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

ลำดับและอนุกรม
ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์
ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ตัวอย่างพร้อมวิธีทำทีละขั้น รวมอุปนัยแบบเข้ม
ตัวอย่างพิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 14 ข้อพร้อมวิธีทำ: เขียนข้อความ P(n) สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ ลำดับเวียนเกิด และอุปนัยแบบเข้ม (strong…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์, Taylor Series) คืออะไร ใช้ทำอะไร พร้อมตัวอย่าง
อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์) คืออะไร สูตรและตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ ตัวอย่าง 8 ข้อ: ประมาณค่า กระจายรอบจุดอื่น ใช้กี่พจน์…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ลู่เข้าเมื่อไร?**
ลู่เข้าเมื่อ $|r| < 1$ เท่านั้น และผลบวกคือ $\dfrac{a_1}{1 - r}$ ถ้า $|r| \ge 1$ พจน์ไม่เข้าใกล้ศูนย์ อนุกรมจึงลู่ออก

**ถ้า r = 1 ใช้สูตรผลบวกได้ไหม?**
ไม่ได้ เพราะส่วน $1 - r = 0$ แต่กรณีนี้ทุกพจน์เท่ากับ $a_1$ ผลบวก n พจน์จึงเท่ากับ $n a_1$ โดยตรง

**ลำดับเรขาคณิตกับอนุกรมเรขาคณิตต่างกันอย่างไร?**
ลำดับเรขาคณิตคือรายการตัวเลข $a_1, a_1r, a_1r^2, \dots$ ส่วนอนุกรมเรขาคณิตคือผลบวกของตัวเลขเหล่านั้น $a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots$

**อนุกรมเรขาคณิตใช้ทำอะไรในงานวิศวกรรม?**
ใช้หาผลตอบสนองของตัวกรองดิจิทัล มูลค่าปัจจุบันของโครงการ เช่นโซลาร์รูฟท็อป ระยะทางรวมของการสะท้อน และเป็นจุดเริ่มของอนุกรมกำลัง $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots$ ที่ใช้สร้างอนุกรมเทย์เลอร์

---

# Inverse Laplace Transform ทำอย่างไร: วิธีเศษส่วนย่อย 3 กรณีพร้อมตัวอย่าง

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/inverse-laplace-transform-partial-fractions/
Updated: 2026-10-16
Summary: วิธีแปลงลาปลาซผกผันด้วยเศษส่วนย่อยสำหรับโพลเดี่ยว โพลซ้ำ และโพลเชิงซ้อน พร้อมตัวอย่างที่ตรวจคำตอบแล้ว และข้อควรระวังเมื่อดีกรีตัวเศษไม่น้อยกว่าตัวส่วน

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · Inverse Laplace Transform

# Inverse Laplace Transform ทำอย่างไร: วิธีเศษส่วนย่อย 3 กรณีพร้อมตัวอย่าง

หลังแก้สมการในโดเมน $s$ ได้ $Y(s)$ เป็นเศษส่วนของพหุนาม ขั้นสุดท้ายคือแปลงกลับเป็น $y(t)$ วิธีมาตรฐานที่ใช้ได้เกือบทุกโจทย์คือแยกเป็นเศษส่วนย่อยแล้วเปิดตาราง บทความนี้แยกเป็น 3 กรณีตามชนิดของโพล

สรุปใน 30 วินาที

- แยกตัวส่วนเป็นตัวประกอบ → ดูชนิดโพล → เขียนเศษส่วนย่อย → หาสัมประสิทธิ์ → เปิดตาราง

- โพลเดี่ยว: ใช้ cover-up · โพลซ้ำ: ต้องมีเทอม $(s+p)^k$ ครบทุกกำลัง · โพลเชิงซ้อน: เติมกำลังสอง

- ถ้าดีกรีตัวเศษ ≥ ตัวส่วน ให้หารยากก่อน

## คู่การแปลงที่ต้องใช้

ทั้งสามกรณีใช้คู่การแปลงชุดเล็ก ๆ นี้ (ชุดเต็มดู ตารางการแปลงลาปลาซ)

| $F(s)$ | $f(t)$, $t \ge 0$ |

| $\dfrac{1}{s}$ | $1$ |

| $\dfrac{1}{s+a}$ | $e^{-at}$ |

| $\dfrac{1}{(s+a)^2}$ | $t\,e^{-at}$ |

| $\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$ | $e^{-at}\sin\omega t$ |

| $\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$ | $e^{-at}\cos\omega t$ |

## กรณีที่ 1: โพลเดี่ยว (รากจริงไม่ซ้ำ)

ถ้า $F(s)=\dfrac{N(s)}{(s+p_1)(s+p_2)}$ เขียนได้เป็น $\dfrac{A}{s+p_1}+\dfrac{B}{s+p_2}$ โดย $A = \left[(s+p_1)F(s)\right]_{s=-p_1}$ นี่คือวิธี cover-up: ปิดตัวประกอบที่สนใจ แล้วแทนค่า $s$ ลงในส่วนที่เหลือ

ตัวอย่าง 1

### หา $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{3s+5}{(s+1)(s+2)}\right\}$

- หา $A$ ที่โพล $s=-1$: ปิด $(s+1)$ แล้วแทน $s=-1$

$$A = \frac{3(-1)+5}{(-1)+2} = \frac{2}{1} = 2$$

- หา $B$ ที่โพล $s=-2$

$$B = \frac{3(-2)+5}{(-2)+1} = \frac{-1}{-1} = 1$$

- เปิดตาราง

$$F(s)=\frac{2}{s+1}+\frac{1}{s+2} \;\Rightarrow\; f(t) = 2e^{-t} + e^{-2t}$$

ตรวจ: $\dfrac{2}{s+1}+\dfrac{1}{s+2} = \dfrac{2(s+2)+(s+1)}{(s+1)(s+2)} = \dfrac{3s+5}{(s+1)(s+2)}$ ✓

## กรณีที่ 2: โพลซ้ำ

โพลที่ซ้ำ $k$ ครั้งต้องมีเทอมครบทุกกำลังตั้งแต่ 1 ถึง $k$ เช่น $(s+1)^2$ ต้องเขียนเป็น $\dfrac{B}{s+1}+\dfrac{C}{(s+1)^2}$ ถ้าเขียนแค่เทอมกำลังสองจะหาสัมประสิทธิ์ไม่ลงตัว สัมประสิทธิ์ของกำลังสูงสุดหาด้วย cover-up ได้ ส่วนเทอมที่เหลือหาจากอนุพันธ์

$$\text{ถ้า } F(s)=\frac{G(s)}{(s+p)^2}: \quad C = G(-p), \quad B = \left.\frac{dG}{ds}\right|_{s=-p}$$

ตัวอย่าง 2

### หา $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s+1)^2}\right\}$

- เขียนรูปเศษส่วนย่อย

$$\frac{1}{s(s+1)^2} = \frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^2}$$

- โพลเดี่ยวที่ $s=0$: $A = \dfrac{1}{(0+1)^2}=1$

- โพลซ้ำที่ $s=-1$: ให้ $G(s)=1/s$ จะได้ $C=G(-1)=-1$ และ $B=G'(-1)=-\dfrac{1}{s^2}\Big|_{s=-1}=-1$

- เปิดตาราง

$$F(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^2} \;\Rightarrow\; f(t)=1-e^{-t}-t\,e^{-t}$$

ตรวจค่าเริ่มต้น: $f(0)=1-1-0=0$ ตรงกับทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น $\lim_{s\to\infty} sF(s)=\lim \dfrac{1}{(s+1)^2}=0$ ✓

## กรณีที่ 3: โพลเชิงซ้อน (เติมกำลังสอง)

ถ้าส่วนเป็นกำลังสองที่แยกเป็นรากจริงไม่ได้ อย่าแยกเป็นจำนวนเชิงซ้อน ให้เติมกำลังสองให้เป็น $(s+a)^2+\omega^2$ แล้วจัดตัวเศษให้อยู่ในรูป $(s+a)$ กับค่าคงที่ จะตรงกับคู่ cos และ sin ที่มีตัวคูณ $e^{-at}$

ตัวอย่าง 3

### หา $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s+3}{s^2+2s+5}\right\}$

- เติมกำลังสองที่ตัวส่วน: $s^2+2s+5=(s+1)^2+2^2$

- จัดตัวเศษ: $s+3=(s+1)+2$ แล้วแยก

$$F(s)=\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2}+\frac{2}{(s+1)^2+2^2}$$

- เปิดตาราง ด้วย $a=1$, $\omega=2$

$$f(t)=e^{-t}\cos 2t + e^{-t}\sin 2t = e^{-t}(\cos 2t+\sin 2t)$$

โพลอยู่ที่ $s=-1\pm j2$ ผลตอบสนองจึงเป็นการแกว่งที่ความถี่ 2 rad/s ซึ่งแอมพลิจูดลดลงด้วย $e^{-t}$ และเนื่องจากโพลอยู่ซีกซ้าย ระบบเสถียร

## เมื่อตัวเศษดีกรีสูงเกินไป

เศษส่วนย่อยใช้ได้กับเศษส่วนแท้เท่านั้น ถ้าดีกรีตัวเศษ ≥ ตัวส่วน ให้หารยาวก่อน ผลหารที่เป็นค่าคงที่คือแรงกระตุ้น $\delta(t)$ ส่วนผลหารที่เป็นพหุนามของ $s$ คืออนุพันธ์ของแรงกระตุ้น ซึ่งมักบ่งบอกว่าแบบจำลองมีการหาอนุพันธ์อินพุตที่ไม่เป็นจริงในทางกายภาพ ควรตรวจโจทย์อีกครั้ง

## เช็กลิสต์ก่อนส่งคำตอบ

- แทน $t=0$ เทียบกับทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: $f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s)$

- ถ้าโพลของ $sF(s)$ อยู่ซีกซ้ายทั้งหมด (โพลเดี่ยวที่ $s=0$ ใน $F(s)$ ใช้ได้) ลองเทียบ $f(\infty)$ กับ $\lim_{s\to0}sF(s)$

- รวมเศษส่วนย่อยกลับ ต้องได้ตัวเศษเดิม

## เรียนต่อในคลังความรู้

- การแปลงลาปลาซผกผันครบทุกกรณี พร้อมเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ

- แผนภาพโพล-ซีโร่ และ ROC

- คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซ (เลื่อนเวลา คอนโวลูชัน ฯลฯ)

- ย้อนไปอ่าน: การแปลงลาปลาซคืออะไร

## คำถามที่พบบ่อย

ถ้าดีกรีของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนต้องทำอย่างไร?
ต้องหารยาวก่อนเพื่อให้เหลือเศษส่วนแท้ (ดีกรีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน) เช่น $\dfrac{s^2+1}{s(s+1)} = 1 + \dfrac{-s+1}{s(s+1)}$ จำนวน 1 ที่ได้คือแรงกระตุ้น $\delta(t)$ ในโดเมนเวลา

วิธี cover-up (ปิดตัวประกอบ) ใช้ได้กับกรณีไหน?
ใช้หาสัมประสิทธิ์ของโพลเดี่ยวได้เร็วที่สุด โดยคูณทั้งสองข้างด้วย $(s+p)$ แล้วแทน $s=-p$ สำหรับโพลซ้ำใช้ได้เฉพาะสัมประสิทธิ์ของเทอมกำลังสูงสุด ส่วนเทอมที่เหลือต้องหาอนุพันธ์หรือเทียบสัมประสิทธิ์

โพลเชิงซ้อนต้องแยกเป็นเศษส่วนย่อยที่มี j เสมอไหม?
ไม่จำเป็น สำหรับสมการกำลังสองที่รากเป็นเชิงซ้อน ให้เติมกำลังสองให้ส่วนอยู่ในรูป $(s+a)^2+\omega^2$ แล้วใช้คู่การแปลง $e^{-at}\cos\omega t$ และ $e^{-at}\sin\omega t$ ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงตั้งแต่ต้น

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

Laplace
ตารางการแปลงลาปลาซ (Laplace Transform Table) ที่ใช้บ่อย
ตารางคู่การแปลงลาปลาซ 15 คู่ที่พบบ่อยที่สุด และตารางคุณสมบัติ (เลื่อนเวลา เลื่อนความถี่ อนุพันธ์ ปริพันธ์ คอนโวลูชัน ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย)…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Laplace
การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform) คืออะไร ใช้ทำอะไร
การแปลงลาปลาซเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ให้เป็นสมการพีชคณิต อธิบายนิยาม ขั้นตอน 3 ขั้น ตัวอย่าง y′ + 3y = 6 และวงจร RC ที่คำนวณทีละบรรทัด
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)
อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดการแปลงลาปลาซ (3 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**ถ้าดีกรีของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนต้องทำอย่างไร?**
ต้องหารยาวก่อนเพื่อให้เหลือเศษส่วนแท้ (ดีกรีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน) เช่น $\dfrac{s^2+1}{s(s+1)} = 1 + \dfrac{-s+1}{s(s+1)}$ จำนวน 1 ที่ได้คือแรงกระตุ้น $\delta(t)$ ในโดเมนเวลา

**วิธี cover-up (ปิดตัวประกอบ) ใช้ได้กับกรณีไหน?**
ใช้หาสัมประสิทธิ์ของโพลเดี่ยวได้เร็วที่สุด โดยคูณทั้งสองข้างด้วย $(s+p)$ แล้วแทน $s=-p$ สำหรับโพลซ้ำใช้ได้เฉพาะสัมประสิทธิ์ของเทอมกำลังสูงสุด ส่วนเทอมที่เหลือต้องหาอนุพันธ์หรือเทียบสัมประสิทธิ์

**โพลเชิงซ้อนต้องแยกเป็นเศษส่วนย่อยที่มี j เสมอไหม?**
ไม่จำเป็น สำหรับสมการกำลังสองที่รากเป็นเชิงซ้อน ให้เติมกำลังสองให้ส่วนอยู่ในรูป $(s+a)^2+\omega^2$ แล้วใช้คู่การแปลง $e^{-at}\cos\omega t$ และ $e^{-at}\sin\omega t$ ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงตั้งแต่ต้น

---

# แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเชิงตัวเลข: เกาส์ LU จาโคบี หรือเกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหนดี

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/jacobi-vs-gauss-seidel/
Updated: 2026-10-25
Summary: เปรียบเทียบวิธีเชิงตัวเลขสำหรับระบบสมการเชิงเส้นแบบเห็นภาพรวม การกำจัดแบบเกาส์กับการสลับแถว LU โชเลสกี จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR เงื่อนไขการลู่เข้า และเลขเงื่อนไข พร้อมตัวอย่างตัวเลขและตารางเลือกวิธี

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · วิธีเชิงตัวเลข

# แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเชิงตัวเลข: เกาส์ LU จาโคบี หรือเกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหนดี

โปรแกรมจำลองวงจร วิเคราะห์โครงสร้าง และคำนวณความร้อนต้องแก้ $A\mathbf x = \mathbf b$ ที่มีตัวแปรนับพันถึงนับล้าน วิธีที่ใช้ในห้องเรียนจึงไม่พอ บทความนี้เปรียบเทียบวิธีหลักทั้งหมดแบบเห็นภาพรวม ว่าแต่ละวิธีทำงานอย่างไร เร็วแค่ไหน และควรเลือกเมื่อไร

สรุปใน 30 วินาที

- วิธีตรง (เกาส์ LU โชเลสกี โทมัส) จบในจำนวนขั้นที่แน่นอน เหมาะกับระบบหนาแน่นขนาดกลาง ต้องสลับแถวเสมอ

- วิธีทำซ้ำ (จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR) ปรับค่าเดาทีละรอบ เหมาะกับระบบใหญ่และเบาบาง

- เกาส์-ไซเดลมักเร็วกว่าจาโคบีราวสองเท่า SOR ที่ $\omega$ เหมาะสมเร็วกว่าอีกหลายเท่า

- ก่อนเชื่อคำตอบ ดูเลขเงื่อนไข $\kappa(A)$ ซึ่งบอกว่าอาจเสียความแม่นยำราว $\log_{10}\kappa$ หลัก

## ภาพรวม: วิธีตรงกับวิธีทำซ้ำ

สองตระกูลของวิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น เลือกตามขนาด ความเบาบาง และโครงสร้างของเมทริกซ์

กฎของคราเมอร์ไม่อยู่ในแผนที่นี้ เพราะต้นทุนโตแบบแฟกทอเรียล ระบบ 20 ตัวแปรต้องคูณราว $5\times10^{19}$ ครั้ง ขณะที่การกำจัดแบบเกาส์ใช้ราว 2,700 ครั้ง (ดูเหตุผลใน บทความกฎของคราเมอร์)

## วิธีตรง: เกาส์ LU โชเลสกี และโทมัส

การกำจัดแบบเกาส์ ทำให้ใต้แนวทแยงเป็นศูนย์แล้วแทนค่าย้อนกลับ ใช้ราว $\tfrac23n^3$ flops จุดสำคัญคือการสลับแถว (partial pivoting) ให้ตัวหลักใหญ่ที่สุดในหลัก ตัวอย่างบนเครื่องที่เก็บ 3 หลักนัยสำคัญ

$$\begin{aligned} 0.0001x + y &= 1 \\ x + y &= 2 \end{aligned} \qquad \text{ไม่สลับ: } x = 0\ (\text{ผิด}),\qquad \text{สลับแถว: } x = 1.00\ (\text{ถูก})$$

เพราะตัวคูณ $1/0.0001 = 10^4$ ทำให้ $1 - 10^4$ ปัดเป็น $-1.00\times10^4$ ข้อมูลของสมการแรกหายไปหมด ลองปรับจำนวนหลักเองได้ใน แล็บการสลับแถว

- การแยก LU คือเกาส์ที่เก็บตัวคูณไว้ใน $L$ แยกครั้งเดียวแล้วแก้ $\mathbf b$ ใหม่ได้ด้วยต้นทุนแค่ $\approx 2n^2$ เหมาะกับวงจรที่แหล่งจ่ายเปลี่ยนแต่โครงสร้างเดิม

- โชเลสกี $A = LL^T$ สำหรับเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอน เช่น เมทริกซ์ความนำของวงจรตัวต้านทาน เร็วกว่า LU สองเท่าและไม่ต้องสลับแถว

- โทมัส สำหรับเมทริกซ์สามแนวทแยง (แท่งความร้อน สายส่งแบบขั้นบันได) ใช้เวลา $O(n)$ เช่น แท่งที่ปลาย 100 °C กับ 0 °C แบ่ง 4 โหนดได้ $T = (80, 60, 40, 20)$ °C

## วิธีทำซ้ำ: จาโคบีเทียบเกาส์-ไซเดล

ทั้งสองวิธีแก้สมการที่ $i$ หา $x_i$ โดยใช้ค่าประมาณของตัวแปรอื่น ต่างกันแค่ว่าใช้ค่า “เก่า” หรือค่า “ใหม่”

$$\text{จาโคบี: } x_i^{(k+1)} = \frac{b_i - \sum_{j\ne i}a_{ij}x_j^{(k)}}{a_{ii}},\qquad \text{เกาส์-ไซเดล: ใช้ } x_j^{(k+1)} \text{ ทันทีสำหรับ } j \lt i$$

ระบบ $4x - y + z = 7,\ 4x - 8y + z = -21,\ -2x + y + 5z = 15$ มีคำตอบ $(2, 4, 3)$ เริ่มที่ $(1, 2, 2)$

| รอบ | จาโคบี | เกาส์-ไซเดล |

| 1 | (1.750, 3.375, 3.000) | (1.750, 3.750, 2.950) |

| 2 | (1.844, 3.875, 3.025) | (1.950, 3.969, 2.986) |

| 3 | (1.963, 3.925, 2.963) | (1.996, 3.996, 2.999) |

ความคลาดเคลื่อนของเกาส์-ไซเดลลดลงราว 8 เท่าต่อรอบ ($\rho = 0.125$) จาโคบีราว 3 เท่า ($\rho \approx 0.335$)

## ลู่เข้าเมื่อไร และ SOR เร่งได้อย่างไร

- ทแยงเด่นแท้ $|a_{ii}| \gt \sum_{j\ne i}|a_{ij}|$ ทุกแถว → ลู่เข้าแน่นอน ถ้าไม่ทแยงเด่นให้ลองสลับลำดับสมการก่อน

- เงื่อนไขแท้คือรัศมีสเปกตรัม $\rho(T) \lt 1$ และต้องใช้ราว $d/(-\log_{10}\rho)$ รอบเพื่อเพิ่มความแม่น $d$ หลัก

- SOR ก้าวเลยค่าของเกาส์-ไซเดลด้วยตัวประกอบ $1 \lt \omega \lt 2$ ระบบแท่งความร้อน 10 ตัวแปรต้องใช้ราว 334 รอบ (จาโคบี) 167 รอบ (เกาส์-ไซเดล) แต่ SOR ที่ $\omega \approx 1.56$ ใช้เพียงราว 24 รอบ

เปรียบเทียบทั้งสามวิธีพร้อมกันได้ใน ซิมูเลเตอร์จาโคบี · เกาส์-ไซเดล · SOR และดูความร้อนแผ่ในแผ่นโลหะทีละรอบใน แล็บแผ่นความร้อน

## เลขเงื่อนไข: คำตอบเชื่อได้แค่ไหน

ระบบที่สมการเกือบขนานกัน ข้อมูลผิดนิดเดียวคำตอบเปลี่ยนมาก เช่น $x + y = 2,\ x + 1.0001y = 2.0001$ มีคำตอบ $(1, 1)$ แต่ถ้าค่าทางขวาเป็น $2.0002$ คำตอบกลายเป็น $(0, 2)$ เลขเงื่อนไข $\kappa_\infty \approx 4\times10^4$ จึงอาจเสียความแม่นราว 4–5 หลัก

$$\frac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \kappa(A)\,\frac{\lVert\delta\mathbf b\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert}$$

## ตารางเลือกวิธี

| ระบบของคุณ | ใช้ |

| 2–3 ตัวแปร ทำมือ | คราเมอร์หรือลดแถว |

| หนาแน่น ขนาดกลาง หลาย $\mathbf b$ | LU + การสลับแถว (numpy.linalg.solve, MATLAB A\b) |

| สมมาตรบวกแน่นอน | โชเลสกี |

| สามแนวทแยง | โทมัส |

| ใหญ่ เบาบาง ทแยงเด่น | เกาส์-ไซเดล หรือ SOR |

| ใหญ่มาก สมมาตรบวกแน่นอน | Conjugate Gradient + preconditioner |

## อ่านต่อในคลังความรู้

- ผลเฉลยเชิงตัวเลขฉบับเต็ม: สูตร N1–N26 ตัวอย่าง และซิมูเลเตอร์ 5 ชุด

- ระบบสมการเชิงเส้นและการกำจัดแบบเกาส์ (ทำมือ)

- ค่าเฉพาะ: ที่มาของรัศมีสเปกตรัม

- แนวข้อสอบวิธีเชิงตัวเลขพร้อมเฉลย

- บทความ: แรงก์ของเมทริกซ์และการมีคำตอบ

## คำถามที่พบบ่อย

จาโคบีกับเกาส์-ไซเดลต่างกันตรงไหน?
จาโคบีคำนวณทุกตัวแปรในรอบใหม่จากค่ารอบก่อนทั้งหมด ส่วนเกาส์-ไซเดลนำค่าที่เพิ่งได้ในรอบเดียวกันมาใช้ทันที เกาส์-ไซเดลจึงมักลู่เข้าเร็วกว่าราวสองเท่าและใช้หน่วยความจำน้อยกว่า ส่วนจาโคบีคำนวณแบบขนานได้ง่าย

เมื่อไรควรใช้วิธีทำซ้ำแทนการแยก LU?
เมื่อระบบใหญ่มากและเมทริกซ์ส่วนใหญ่เป็นศูนย์ (เบาบาง) เช่น การจำลองความร้อน สนามไฟฟ้า หรือไฟไนต์เอลิเมนต์ ที่มีตัวแปรหลักหมื่นถึงหลักล้าน วิธีทำซ้ำไม่ต้องเก็บเมทริกซ์เต็มและไม่เกิดการเติมศูนย์ ส่วนระบบหนาแน่นขนาดกลางให้ใช้ LU กับการสลับแถว

ทำไมต้องสลับแถวในการกำจัดแบบเกาส์?
เพื่อให้ตัวหลักเป็นค่าที่มีขนาดใหญ่ที่สุดในหลัก ตัวคูณจึงไม่เกิน 1 และความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษไม่ถูกขยาย ถ้าตัวหลักเล็กมาก เช่น 0.0001 เครื่องที่เก็บ 3 หลักจะได้คำตอบผิดทั้งหมด

วิธีทำซ้ำจะลู่เข้าเมื่อไร?
ถ้าเมทริกซ์ทแยงเด่นแท้ จาโคบีและเกาส์-ไซเดลลู่เข้าแน่นอน เงื่อนไขที่แท้จริงคือรัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์การทำซ้ำน้อยกว่า 1 และจำนวนรอบที่ต้องใช้ประมาณได้จากจำนวนหลักที่ต้องการหารด้วย −log₁₀ ของรัศมีสเปกตรัม

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**จาโคบีกับเกาส์-ไซเดลต่างกันตรงไหน?**
จาโคบีคำนวณทุกตัวแปรในรอบใหม่จากค่ารอบก่อนทั้งหมด ส่วนเกาส์-ไซเดลนำค่าที่เพิ่งได้ในรอบเดียวกันมาใช้ทันที เกาส์-ไซเดลจึงมักลู่เข้าเร็วกว่าราวสองเท่าและใช้หน่วยความจำน้อยกว่า ส่วนจาโคบีคำนวณแบบขนานได้ง่าย

**เมื่อไรควรใช้วิธีทำซ้ำแทนการแยก LU?**
เมื่อระบบใหญ่มากและเมทริกซ์ส่วนใหญ่เป็นศูนย์ (เบาบาง) เช่น การจำลองความร้อน สนามไฟฟ้า หรือไฟไนต์เอลิเมนต์ ที่มีตัวแปรหลักหมื่นถึงหลักล้าน วิธีทำซ้ำไม่ต้องเก็บเมทริกซ์เต็มและไม่เกิดการเติมศูนย์ ส่วนระบบหนาแน่นขนาดกลางให้ใช้ LU กับการสลับแถว

**ทำไมต้องสลับแถวในการกำจัดแบบเกาส์?**
เพื่อให้ตัวหลักเป็นค่าที่มีขนาดใหญ่ที่สุดในหลัก ตัวคูณจึงไม่เกิน 1 และความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษไม่ถูกขยาย ถ้าตัวหลักเล็กมาก เช่น 0.0001 เครื่องที่เก็บ 3 หลักจะได้คำตอบผิดทั้งหมด

**วิธีทำซ้ำจะลู่เข้าเมื่อไร?**
ถ้าเมทริกซ์ทแยงเด่นแท้ จาโคบีและเกาส์-ไซเดลลู่เข้าแน่นอน เงื่อนไขที่แท้จริงคือรัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์การทำซ้ำน้อยกว่า 1 และจำนวนรอบที่ต้องใช้ประมาณได้จากจำนวนหลักที่ต้องการหารด้วย −log₁₀ ของรัศมีสเปกตรัม

---

# ตารางการแปลงลาปลาซ (Laplace Transform Table) ที่ใช้บ่อย

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/laplace-transform-table/
Updated: 2026-10-16
Summary: ตารางคู่การแปลงลาปลาซ 15 คู่ที่พบบ่อยที่สุด และตารางคุณสมบัติ (เลื่อนเวลา เลื่อนความถี่ อนุพันธ์ ปริพันธ์ คอนโวลูชัน ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย) พร้อมเคล็ดลับการจำ

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · Laplace Transform Table

# ตารางการแปลงลาปลาซ (Laplace Transform Table) ที่ใช้บ่อย

หน้าสรุปคู่การแปลงและคุณสมบัติที่ใช้ในโจทย์วงจรและระบบควบคุมเกือบทั้งหมด ทุกคู่เป็นลาปลาซด้านเดียว ($t \ge 0$) พร้อมเคล็ดลับที่ทำให้ไม่ต้องท่องทั้งตาราง

## ตารางคู่การแปลงพื้นฐาน

ในตาราง $a$ และ $\omega$ เป็นค่าคงที่จริง $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และทุกฟังก์ชันของเวลาถือว่ามี $u(t)$ คูณอยู่

| # | $f(t)$, $t \ge 0$ | $F(s)$ |

| 1 | $\delta(t)$ (แรงกระตุ้นหนึ่งหน่วย) | $1$ |

| 2 | $1$ หรือ $u(t)$ | $\dfrac{1}{s}$ |

| 3 | $t$ | $\dfrac{1}{s^2}$ |

| 4 | $t^n$ | $\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ |

| 5 | $e^{-at}$ | $\dfrac{1}{s+a}$ |

| 6 | $t\,e^{-at}$ | $\dfrac{1}{(s+a)^2}$ |

| 7 | $t^n e^{-at}$ | $\dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}}$ |

| 8 | $\sin\omega t$ | $\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$ |

| 9 | $\cos\omega t$ | $\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$ |

| 10 | $e^{-at}\sin\omega t$ | $\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$ |

| 11 | $e^{-at}\cos\omega t$ | $\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$ |

| 12 | $\sinh at$ | $\dfrac{a}{s^2-a^2}$ |

| 13 | $\cosh at$ | $\dfrac{s}{s^2-a^2}$ |

| 14 | $t\sin\omega t$ | $\dfrac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}$ |

| 15 | $t\cos\omega t$ | $\dfrac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}$ |

## ตารางคุณสมบัติที่ใช้บ่อย

ให้ $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$ และ $\mathcal{L}\{g(t)\}=G(s)$

| คุณสมบัติ | โดเมนเวลา | โดเมน $s$ |

| เชิงเส้น | $af(t)+bg(t)$ | $aF(s)+bG(s)$ |

| เลื่อนความถี่ (คูณเอกซ์โพเนนเชียล) | $e^{-at}f(t)$ | $F(s+a)$ |

| เลื่อนเวลา (หน่วงเวลา) | $f(t-T)\,u(t-T)$, $T>0$ | $e^{-sT}F(s)$ |

| อนุพันธ์อันดับหนึ่ง | $f'(t)$ | $sF(s)-f(0)$ |

| อนุพันธ์อันดับสอง | $f''(t)$ | $s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ |

| ปริพันธ์ | $\displaystyle\int_0^t f(\tau)\,d\tau$ | $\dfrac{F(s)}{s}$ |

| คูณด้วย $t$ | $t\,f(t)$ | $-\dfrac{dF}{ds}$ |

| คอนโวลูชัน | $(f*g)(t)$ | $F(s)\,G(s)$ |

| ค่าเริ่มต้น | $f(0^+)$ | $\displaystyle\lim_{s\to\infty}sF(s)$ |

| ค่าสุดท้าย | $f(\infty)$ | $\displaystyle\lim_{s\to0}sF(s)$ (เมื่อโพลของ $sF$ อยู่ซีกซ้ายทั้งหมด) |

## เคล็ดลับจำตารางแบบไม่ท่อง

- จำสามคู่แรกพอ: $1/s$, $1/(s+a)$, $\omega/(s^2+\omega^2)$ ที่เหลือสร้างได้

- เห็น $(s+a)$ แทนที่ $s$ แปลว่าในโดเมนเวลาคูณด้วย $e^{-at}$ เช่น จาก $\omega/(s^2+\omega^2)$ แทน $s \to s+a$ ได้คู่ที่ 10

- sin กับ cos: sin มี $\omega$ อยู่ตัวเศษ (เพราะ $\sin 0 = 0$ จึงไม่มีเทอม $s$) ส่วน cos มี $s$ อยู่ตัวเศษ (เพราะ $\cos 0 = 1$)

- คูณ $t$ คือหาอนุพันธ์เทียบ $s$ แล้วใส่เครื่องหมายลบ เช่น $-\dfrac{d}{ds}\dfrac{1}{s+a}=\dfrac{1}{(s+a)^2}$ ได้คู่ที่ 6

ตัวอย่างการใช้เคล็ดลับ

### หา $\mathcal{L}\{t\cos\omega t\}$ จากคู่ที่ 9

- คูณด้วย $t$ คือ $-\dfrac{d}{ds}$

$$-\frac{d}{ds}\frac{s}{s^2+\omega^2} = -\frac{(s^2+\omega^2) - s(2s)}{(s^2+\omega^2)^2} = \frac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}$$

ตรงกับคู่ที่ 15 ในตาราง ✓

## เรียนต่อในคลังความรู้

- ตารางคู่การแปลง 22 คู่ พร้อมบริเวณลู่เข้า (ROC) และดัชนีสูตรค้นหาได้

- พิสูจน์คุณสมบัติทุกข้อ พร้อมแล็บทดลอง

- นำตารางไปแก้สมการเชิงอนุพันธ์ RC RL RLC (มีตัวแก้โต้ตอบ)

- ใช้ตารางนี้แปลงกลับด้วยเศษส่วนย่อย

## คำถามที่พบบ่อย

ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายใช้ได้เมื่อไร?
$f(\infty)=\lim_{s\to0}sF(s)$ ใช้ได้เมื่อ $sF(s)$ มีโพลทั้งหมดอยู่ซีกซ้ายของระนาบ $s$ เท่านั้น ถ้ามีโพลบนแกนจินตภาพหรือซีกขวา (เช่นสัญญาณ sin ที่แกว่งไม่หยุด) สูตรนี้ให้คำตอบที่ผิด

ตารางนี้ใช้ได้กับ t น้อยกว่า 0 ไหม?
ไม่ได้ ตารางนี้เป็นของลาปลาซด้านเดียว ซึ่งถือว่าฟังก์ชันเป็นศูนย์เมื่อเวลาติดลบ ทุกฟังก์ชันในตารางจึงต้องมีตัวคูณ $u(t)$ อยู่ในใจเสมอ

จำตารางทั้งหมดได้อย่างไร?
จำสามคู่หลักก่อน คือ $1/s$, $1/(s+a)$ และ $\omega/(s^2+\omega^2)$ ที่เหลือหาได้จากสมบัติ เช่น เติม $e^{-at}$ เท่ากับแทน $s$ ด้วย $s+a$ และคูณ $t$ เท่ากับหาอนุพันธ์เทียบ $s$ แล้วใส่เครื่องหมายลบ

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

Laplace
Inverse Laplace Transform ทำอย่างไร: วิธีเศษส่วนย่อย 3 กรณีพร้อมตัวอย่าง
วิธีแปลงลาปลาซผกผันด้วยเศษส่วนย่อยสำหรับโพลเดี่ยว โพลซ้ำ และโพลเชิงซ้อน พร้อมตัวอย่างที่ตรวจคำตอบแล้ว และข้อควรระวังเมื่อดีกรีตัวเศษไม่น้อยกว่าตัวส่วน
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Laplace
การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform) คืออะไร ใช้ทำอะไร
การแปลงลาปลาซเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ให้เป็นสมการพีชคณิต อธิบายนิยาม ขั้นตอน 3 ขั้น ตัวอย่าง y′ + 3y = 6 และวงจร RC ที่คำนวณทีละบรรทัด
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)
อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดการแปลงลาปลาซ (3 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายใช้ได้เมื่อไร?**
$f(\infty)=\lim_{s\to0}sF(s)$ ใช้ได้เมื่อ $sF(s)$ มีโพลทั้งหมดอยู่ซีกซ้ายของระนาบ $s$ เท่านั้น ถ้ามีโพลบนแกนจินตภาพหรือซีกขวา (เช่นสัญญาณ sin ที่แกว่งไม่หยุด) สูตรนี้ให้คำตอบที่ผิด

**ตารางนี้ใช้ได้กับ t น้อยกว่า 0 ไหม?**
ไม่ได้ ตารางนี้เป็นของลาปลาซด้านเดียว ซึ่งถือว่าฟังก์ชันเป็นศูนย์เมื่อเวลาติดลบ ทุกฟังก์ชันในตารางจึงต้องมีตัวคูณ $u(t)$ อยู่ในใจเสมอ

**จำตารางทั้งหมดได้อย่างไร?**
จำสามคู่หลักก่อน คือ $1/s$, $1/(s+a)$ และ $\omega/(s^2+\omega^2)$ ที่เหลือหาได้จากสมบัติ เช่น เติม $e^{-at}$ เท่ากับแทน $s$ ด้วย $s+a$ และคูณ $t$ เท่ากับหาอนุพันธ์เทียบ $s$ แล้วใส่เครื่องหมายลบ

---

# อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/laurent-series-vs-taylor-series/
Updated: 2026-10-24
Summary: อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว และความเชื่อมโยงกับการแปลง Z พร้อมตัวอย่างทีละขั้น

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · ลำดับและอนุกรม

# อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)

อนุกรมเทย์เลอร์เขียนฟังก์ชันเป็นพหุนามยาวไม่สิ้นสุดรอบจุดที่ฟังก์ชัน “ปกติดี” แต่ในงานวิศวกรรมเรามักสนใจจุดที่ฟังก์ชันระเบิด เช่น โพลของฟังก์ชันถ่ายโอน อนุกรมโลรองต์แก้ปัญหานี้ด้วยไอเดียเดียว: ยอมให้มีกำลังลบ บทความนี้เทียบสองอนุกรมแบบเห็นภาพ และพาไปถึงเหตุผลที่วิศวกรไฟฟ้าใช้มันทุกวันผ่านการแปลง Z

สรุปใน 30 วินาที

- เทย์เลอร์: $\sum_{n\ge0} a_n(z-c)^n$ ลู่เข้าในดิสก์ · โลรองต์: $\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-c)^n$ ลู่เข้าในวงแหวน

- ฟังก์ชันเดียวมีอนุกรมโลรองต์ได้หลายแบบ หนึ่งแบบต่อหนึ่งวงแหวน

- สัมประสิทธิ์ $a_{-1}$ คือเรซิดิว · การแปลง Z คืออนุกรมโลรองต์รอบ 0

## เทียบกันตรง ๆ

| | อนุกรมเทย์เลอร์ | อนุกรมโลรองต์ |

| รูป | $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-c)^n$ | $\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-c)^n$ |

| บริเวณที่ลู่เข้า | ดิสก์ $|z - c| < R$ | วงแหวน $r_1 < |z - c| < r_2$ |

| ต้องการ | f วิเคราะห์ที่ c | f วิเคราะห์ในวงแหวน (ที่ c จะเป็นอะไรก็ได้) |

| สัมประสิทธิ์ | $a_n = f^{(n)}(c)/n!$ | $a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}dz$ |

| จำนวนแบบต่อฟังก์ชัน | หนึ่งแบบต่อจุด c | หนึ่งแบบต่อวงแหวน |

| ใช้ทำอะไร | ประมาณค่า ลิมิต ทำให้เป็นเชิงเส้น | จำแนกจุดเอกฐาน เรซิดิว อินทิกรัล การแปลง Z |

## ทำไมต้องมีกำลังลบ

ลองกระจาย $\dfrac{e^z}{z^2}$ รอบ 0 ด้วยเทย์เลอร์ ทำไม่ได้เพราะ $f(0)$ ไม่นิยาม แต่ถ้าเอาอนุกรม $e^z = 1 + z + \tfrac{z^2}{2} + \cdots$ มาหารด้วย $z^2$ จะได้ทันที

$$\frac{e^z}{z^2} = \underbrace{\frac{1}{z^2} + \frac{1}{z}}_{\text{ส่วนหลัก}} + \underbrace{\frac12 + \frac{z}{6} + \frac{z^2}{24} + \cdots}_{\text{ส่วนที่เหมือนเทย์เลอร์}},\qquad 0 < |z| < \infty$$

พจน์กำลังลบสองตัวแรกบอกพฤติกรรมใกล้ 0 ทั้งหมด: ฟังก์ชันระเบิดแบบ $1/z^2$ (โพลอันดับ 2) และพจน์ $1/z$ มีสัมประสิทธิ์ 1 ซึ่งคือเรซิดิว ส่วนที่เหลือเป็นพหุนามธรรมดาที่ไม่มีปัญหา

## ฟังก์ชันเดียว หลายอนุกรม: เรื่องของวงแหวน

นี่คือจุดที่ทำให้นักศึกษาสับสนมากที่สุด $f(z) = \dfrac{1}{(z-1)(z-2)}$ มีโพลที่ 1 และ 2 วงกลมที่ผ่านโพลแบ่งระนาบรอบ 0 ออกเป็นสามบริเวณ และแต่ละบริเวณมีอนุกรมของตัวเอง

สามบริเวณรอบ 0: (ก) ดิสก์ |z| < 1 ให้อนุกรมเทย์เลอร์ (ข) วงแหวน 1 < |z| < 2 (ค) ภายนอก |z| > 2

เคล็ดลับมีข้อเดียว: แยกเศษส่วนย่อย $f = \dfrac{1}{z-2} - \dfrac{1}{z-1}$ แล้วกระจายแต่ละตัวด้วยอนุกรมเรขาคณิต โดยโพลที่อยู่ข้างในบริเวณให้กำลังลบ โพลที่อยู่ข้างนอกให้กำลังบวก

- (ก) $|z| < 1$: $f = \tfrac12 + \tfrac34 z + \tfrac78 z^2 + \cdots$ (ไม่มีกำลังลบ = เทย์เลอร์)

- (ข) $1 < |z| < 2$: $f = \cdots - \tfrac{1}{z^2} - \tfrac{1}{z} - \tfrac12 - \tfrac{z}{4} - \tfrac{z^2}{8} - \cdots$ (มีทั้งสองทิศ)

- (ค) $|z| > 2$: $f = \tfrac{1}{z^2} + \tfrac{3}{z^3} + \tfrac{7}{z^4} + \cdots$ (มีแต่กำลังลบ)

ตรวจด้วยการแทนค่าก็ได้: ที่ $z = 1.5$ อนุกรม (ข) ลู่เข้าสู่ $f(1.5) = -4$ แต่ถ้าใช้อนุกรม (ก) ที่ $z = 1.5$ จะลู่ออก ทั้งที่ f(1.5) มีค่าปกติ ลองลากจุดดูเองในแล็บวงแหวนโลรองต์

## อ่านชนิดจุดเอกฐานจากส่วนหลัก

ถอดได้: มีขอบเขต · โพล: ระเบิดทุกทิศ · เอกฐานแท้: พฤติกรรมขึ้นกับทิศที่เข้าใกล้

- ไม่มีกำลังลบ → ถอดได้ เช่น $\tfrac{\sin z}{z} = 1 - \tfrac{z^2}{6} + \cdots$

- กำลังลบจำนวนจำกัด สูงสุด m → โพลอันดับ m เช่น $\tfrac{\sin z}{z^4} = \tfrac{1}{z^3} - \tfrac{1}{6z} + \cdots$ (อันดับ 3)

- กำลังลบอนันต์พจน์ → เอกฐานแท้ เช่น $e^{1/z} = 1 + \tfrac1z + \tfrac{1}{2z^2} + \cdots$

## เรซิดิว: ตัวเลขตัวเดียวที่เหลือจากอินทิกรัล

เมื่ออินทิเกรตอนุกรมโลรองต์รอบวงกลมในวงแหวน ทุกพจน์ $(z-c)^n$ ให้ศูนย์ ยกเว้น $n = -1$ ที่ให้ $2\pi i$ ดังนั้น $\oint f\,dz = 2\pi i\,a_{-1}$ ตัวเลข $a_{-1}$ จึงชื่อเรซิดิว (ส่วนที่เหลือ) และนี่คือที่มาของเทคนิค “cover-up” ในการแยกเศษส่วนย่อยเพื่อหาการแปลงลาปลาซผกผัน ซึ่งแท้จริงคือการหาเรซิดิวที่แต่ละโพล

## ทำไมวิศวกรไฟฟ้าต้องรู้: การแปลง Z

การแปลง Z ของสัญญาณดิจิทัล $X(z) = \sum x[n]z^{-n}$ คืออนุกรมโลรองต์รอบ 0 โดยตรง สัญญาณ x[n] คือสัมประสิทธิ์ของ $z^{-n}$ เรื่องที่ตำราระบบสัญญาณเรียก “ROC” ก็คือวงแหวนการลู่เข้า ตัวอย่าง $X(z) = \dfrac{z}{z - 0.5}$:

- ROC $|z| > 0.5$ (นอกโพล): $X = 1 + 0.5z^{-1} + 0.25z^{-2} + \cdots$ ⇒ $x[n] = 0.5^n u[n]$ สัญญาณข้างขวา

- ROC $|z| < 0.5$ (ในโพล): กระจายเป็นกำลังบวก ⇒ $x[n] = -0.5^n u[-n-1]$ สัญญาณข้างซ้าย

สูตรเดียวกัน สองสัญญาณ ต่างกันที่วงแหวน และระบบเสถียรเมื่อวงแหวนครอบวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งคือเงื่อนไขการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ $\sum|h[n]| < \infty$ ดูตัวอย่างสามบริเวณแบบเต็มในหัวข้อการแปลง Z

## สรุป: ใช้ตัวไหนเมื่อไร

- ต้องการประมาณค่า ทำให้เป็นเชิงเส้น หาลิมิต → เทย์เลอร์

- ต้องการรู้พฤติกรรมใกล้โพล หาเรซิดิว อินทิกรัลเส้นปิด การแปลงผกผัน → โลรองต์

- ถ้าบริเวณที่สนใจไม่มีจุดเอกฐานเลย สองอย่างคืออนุกรมเดียวกัน

## เรียนต่อในคลังความรู้

- อนุกรมโลรองต์ฉบับเต็ม: วงแหวน ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว อินทิกรัลจริง การแปลง Z

- อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน: ตาราง เศษเหลือ เทคนิคลัด

- จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ และทฤษฎีบทเรซิดิว

- แนวข้อสอบคณิตศาสตร์วิศวกรรมชุด C

## คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมโลรองต์ใช้เมื่อไร แทนอนุกรมเทย์เลอร์?
ใช้เมื่อต้องการกระจายฟังก์ชันรอบจุดที่ฟังก์ชันไม่วิเคราะห์ (จุดเอกฐาน) หรือในบริเวณที่มีจุดเอกฐานอยู่ข้างใน เช่นวงแหวน $1
ส่วนหลัก (principal part) คืออะไร?
คือกลุ่มพจน์กำลังลบ $\sum_{n\ge1} a_{-n}(z-c)^{-n}$ ของอนุกรมโลรองต์ เป็นส่วนที่บอกว่าฟังก์ชัน “ระเบิด” อย่างไรใกล้ c ไม่มีส่วนหลักคือจุดเอกฐานที่ถอดได้ มีจำนวนจำกัดคือโพล มีอนันต์คือเอกฐานแท้

เรซิดิวสำคัญอย่างไร?
เรซิดิวคือสัมประสิทธิ์ $a_{-1}$ เป็นพจน์เดียวที่เหลือเมื่ออินทิเกรตรอบเส้นปิด จึงได้ทฤษฎีบทเรซิดิว $\oint f\,dz = 2\pi i\sum\operatorname{Res}$ ใช้คำนวณอินทิกรัลจริงที่ยาก การแปลงลาปลาซผกผัน และการแปลง Z ผกผัน

การแปลง Z เกี่ยวกับอนุกรมโลรองต์อย่างไร?
การแปลง Z นิยามเป็น $X(z) = \sum x[n]z^{-n}$ ซึ่งคืออนุกรมโลรองต์รอบ 0 สัญญาณ x[n] คือสัมประสิทธิ์ และบริเวณการลู่เข้า (ROC) คือวงแหวนของอนุกรม X(z) เดียวกันกับ ROC ต่างกันจึงให้สัญญาณต่างกัน

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

ลำดับและอนุกรม
เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น พร้อมตัวอย่างทุกขั้น
วิธีเลือกการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมให้ถูกตั้งแต่ครั้งแรก: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น (พจน์ที่ n เรขาคณิต อนุกรม p กล้องส่องทางไกล เปรียบเทียบลิมิต…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร: 3 วิธี ตรวจปลายช่วง และเหตุผลจากระนาบเชิงซ้อน
วิธีหารัศมีการลู่เข้า (radius of convergence) ของอนุกรมกำลัง 3 วิธี: การทดสอบอัตราส่วน การทดสอบราก และระยะถึงจุดเอกฐานเชิงซ้อน…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์
ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**อนุกรมโลรองต์ใช้เมื่อไร แทนอนุกรมเทย์เลอร์?**
ใช้เมื่อต้องการกระจายฟังก์ชันรอบจุดที่ฟังก์ชันไม่วิเคราะห์ (จุดเอกฐาน) หรือในบริเวณที่มีจุดเอกฐานอยู่ข้างใน เช่นวงแหวน $1 < |z| < 2$ ของ $1/((z-1)(z-2))$ ถ้าฟังก์ชันวิเคราะห์ทั้งดิสก์ อนุกรมโลรองต์จะกลายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์เอง

**ส่วนหลัก (principal part) คืออะไร?**
คือกลุ่มพจน์กำลังลบ $\sum_{n\ge1} a_{-n}(z-c)^{-n}$ ของอนุกรมโลรองต์ เป็นส่วนที่บอกว่าฟังก์ชัน “ระเบิด” อย่างไรใกล้ c ไม่มีส่วนหลักคือจุดเอกฐานที่ถอดได้ มีจำนวนจำกัดคือโพล มีอนันต์คือเอกฐานแท้

**เรซิดิวสำคัญอย่างไร?**
เรซิดิวคือสัมประสิทธิ์ $a_{-1}$ เป็นพจน์เดียวที่เหลือเมื่ออินทิเกรตรอบเส้นปิด จึงได้ทฤษฎีบทเรซิดิว $\oint f\,dz = 2\pi i\sum\operatorname{Res}$ ใช้คำนวณอินทิกรัลจริงที่ยาก การแปลงลาปลาซผกผัน และการแปลง Z ผกผัน

**การแปลง Z เกี่ยวกับอนุกรมโลรองต์อย่างไร?**
การแปลง Z นิยามเป็น $X(z) = \sum x[n]z^{-n}$ ซึ่งคืออนุกรมโลรองต์รอบ 0 สัญญาณ x[n] คือสัมประสิทธิ์ และบริเวณการลู่เข้า (ROC) คือวงแหวนของอนุกรม X(z) เดียวกันกับ ROC ต่างกันจึงให้สัญญาณต่างกัน

---

# เริ่มต้นเข้าใจการเขียนโปรแกรมในยุค AI: ทำไมควรเริ่มที่ Python

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/learn-programming-ai-era-python/
Updated: 2026-10-25
Summary: ยุค AI เขียนโค้ดได้ทุกภาษา แต่คนที่อ่านโค้ดไม่ออกจะตรวจไม่ได้ว่าถูกหรือผิด บทความนี้อธิบายว่าทำไม Python เหมาะเป็นภาษาแรก 6 แนวคิดที่ต้องเข้าใจ ตัวอย่างตรวจโค้ดวงจร RC และแผน 4 สัปดาห์

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · การเขียนโปรแกรมและ AI

# เริ่มต้นเข้าใจการเขียนโปรแกรมในยุค AI: ทำไมควรเริ่มที่ Python

วันนี้เราพิมพ์ภาษาไทยบอก AI ว่า “เขียนโปรแกรมคำนวณค่าไฟให้หน่อย” แล้วได้โค้ดที่รันได้ภายในไม่กี่วินาที ภาษาโปรแกรมจึงไม่ใช่กำแพงเหมือนเมื่อสิบปีก่อนอีกแล้ว แต่โค้ดที่รันได้ไม่ได้แปลว่าถูก AI อาจใช้สูตรผิด สับสนหน่วย หรือลืมกรณีพิเศษ และคนที่อ่านโค้ดไม่ออกจะไม่มีทางรู้เลย

สรุปใน 30 วินาที

- เป้าหมายใหม่ของการเรียนเขียนโปรแกรมไม่ใช่ท่องจำ syntax แต่คือ อ่านออก สั่งเป็น ตรวจได้

- เริ่มที่ Python เพราะอ่านง่ายที่สุด เป็นภาษาหลักของงาน AI และวิศวกรรม และเริ่มได้ทันทีบน Google Colab

- เข้าใจ 6 แนวคิดแกนกลาง ให้แน่น แล้วจะอ่านโค้ดที่ AI เขียนได้แทบทุกภาษา

- ตรวจงาน AI ด้วยความรู้วิศวกรรม เช่น ค่าคงตัวเวลาของวงจร RC แล้วเขียนการตรวจเป็น assert ไว้ในโค้ด

## AI รับงานพิมพ์ไป แต่งานคิดยังเป็นของคุณ

ทักษะการเขียนโปรแกรมแยกได้เป็นสองกลุ่ม คืองานที่ AI ทำแทนได้ดีแล้ว กับงานที่ยังต้องใช้ความเข้าใจของคน และกลุ่มหลังสำคัญขึ้นกว่าเดิม

| ทักษะ | ก่อนยุค AI | ยุค AI |

| จำ syntax และชื่อฟังก์ชัน | ต้องจำหรือเปิดคู่มือ | AI ทำแทนได้เกือบทั้งหมด |

| พิมพ์โค้ดซ้ำ ๆ (boilerplate) | ทำเองทุกบรรทัด | AI ทำแทนได้ |

| แปลงโค้ดข้ามภาษา | ต้องรู้ทั้งสองภาษา | AI ทำแทนได้ แต่ต้องตรวจ |

| แตกปัญหาเป็นขั้นตอน | จำเป็น | จำเป็นยิ่งกว่าเดิม เพราะคือสิ่งที่เราสั่ง AI |

| อ่านและเข้าใจโค้ด | จำเป็น | จำเป็นยิ่งกว่าเดิม เพราะต้องตรวจงาน AI |

| ทดสอบและดีบัก | จำเป็น | จำเป็นยิ่งกว่าเดิม |

| ความรู้เฉพาะด้าน (คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ วงจร) | จำเป็น | เป็นตัวตัดสินว่าโค้ดถูกหรือผิด |

เทียบกับงานวิศวกรรม วิศวกรไฟฟ้าไม่ต้องเดินสายเองทุกเส้น แต่ต้องอ่านแบบวงจรออกและรู้ว่าจุดไหนผิด บทบาทของคนเขียนโปรแกรมยุค AI ก็เปลี่ยนแบบเดียวกัน คือจาก “คนพิมพ์โค้ด” เป็น “ผู้ออกแบบและผู้ตรวจ”

## ทำไม Python ควรเป็นภาษาแรก

Python อ่านง่ายที่สุดในบรรดาภาษาหลัก และเป็นภาษาหลักของงาน AI วิทยาศาสตร์ และวิศวกรรม จึงเหมาะกับเป้าหมาย “อ่านออก สั่งเป็น ตรวจได้” มากที่สุด

- อ่านเหมือนภาษาคน ไม่ต้องประกาศชนิดตัวแปร ไม่มีวงเล็บปีกกาหรือเซมิโคลอน ใช้การย่อหน้าแสดงโครงสร้าง โค้ดที่อ่านง่ายคือโค้ดที่ตรวจง่าย

- ภาษาหลักของงาน AI รายงาน GitHub Octoverse 2025 ↗ ระบุว่าเกือบครึ่งของ repository ด้าน AI ที่สร้างใหม่ใช้ Python

- ครอบคลุมงานวิศวกรรมจริง NumPy และ SciPy สำหรับคำนวณเชิงตัวเลข Matplotlib สำหรับพล็อตกราฟ pandas สำหรับข้อมูลการทดลอง และ MicroPython สำหรับไมโครคอนโทรลเลอร์อย่าง ESP32 ดูตัวอย่างการใช้ NumPy/SciPy แก้ระบบสมการใน บทวิธีเชิงตัวเลขของพีชคณิตเชิงเส้น

- เริ่มได้ทันที เปิด Google Colab ↗ บนเบราว์เซอร์ก็เขียนและรันได้ ไม่ต้องติดตั้งโปรแกรม

- นิยมอันดับ 1 ดัชนี TIOBE เดือนตุลาคม 2026 ให้ Python อยู่อันดับ 1 ที่ 19.23% ทิ้งห่างอันดับ 2 คือภาษา C ที่ 11.33% (TechRepublic ↗)

ข้อควรรู้อีกด้าน Octoverse 2025 รายงานว่า TypeScript แซง Python ขึ้นเป็นภาษาที่มีผู้ร่วมพัฒนาบน GitHub มากที่สุดเมื่อสิงหาคม 2025 GitHub ให้เหตุผลส่วนหนึ่งว่าระบบชนิดข้อมูล (type system) ช่วยจับข้อผิดพลาดของโค้ดที่ AI สร้างก่อนนำไปใช้จริง บทเรียนคือการตรวจโค้ด AI สำคัญจริง และ Python ก็มี type hints ให้ฝึกต่อเมื่อพร้อม

## 6 แนวคิดแกนกลางที่ต้องเข้าใจจริง

โปรแกรมทุกภาษาสร้างจาก 6 แนวคิดนี้ เข้าใจครบแล้วจะอ่านโค้ดที่ AI เขียนได้แทบทุกภาษา

| แนวคิด | หน้าที่ | ตัวอย่าง Python | คำถามเมื่ออ่านโค้ด AI |

| ตัวแปรและชนิดข้อมูล | เก็บค่า เช่น ตัวเลข ข้อความ | R = 4.7e3 | ค่าและหน่วยถูกไหม เป็นจำนวนเต็มหรือทศนิยม |

| เงื่อนไข | ตัดสินใจตามสถานการณ์ | if V > 5: | ครอบคลุมทุกกรณีไหม ควรเป็น > หรือ >= |

| การวนซ้ำ | ทำงานเดิมหลายรอบ | for t in times: | วนกี่รอบ หยุดเมื่อไร มีโอกาสวนไม่รู้จบไหม |

| ฟังก์ชัน | แยกงานเป็นก้อน รับค่าเข้า คืนผลลัพธ์ | def power(V, I): return V * I | รับอะไร คืนอะไร ทดสอบแยกได้ไหม |

| โครงสร้างข้อมูล | เก็บข้อมูลหลายชิ้นอย่างเป็นระบบ | parts = {"R": 1e3, "C": 1e-6} | ข้อมูลจัดเก็บแบบไหน ดึงออกมาอย่างไร |

| การทดสอบและดีบัก | พิสูจน์ว่าโค้ดถูก และหาจุดผิด | assert abs(tau - 0.1) < 1e-9 | ทดสอบกับกรณีที่รู้คำตอบแล้วหรือยัง |

คอลัมน์ขวาสุดคือหัวใจของการเรียนยุค AI เพราะเป็นคำถามที่เราต้องตอบเองก่อนจะเชื่อผลลัพธ์ แนวคิดเดียวกันนี้อยู่ในภาษา PLC ด้วย ดูได้จาก โจทย์เดียวเขียนห้าภาษาตามมาตรฐาน IEC 61131-3

## ตัวอย่างงานวิศวกรรม: ให้ AI เขียน แล้วเราตรวจ

AI ทำเพียงขั้นเดียวในวงจรนี้ ส่วนการสั่งงาน การอ่าน และการทดสอบเป็นงานของเรา ตัวอย่างด้านล่างเดินตามวงจรนี้ทีละขั้น

โจทย์คือวงจร RC ชาร์จจากแหล่งจ่าย 10 V ผ่าน R = 1 kΩ และ C = 100 µF ต้องการกราฟแรงดันตัวเก็บประจุช่วง 0 ถึง 0.5 s (ทบทวนทฤษฎีได้ใน ทรานเซียนต์ของวงจร DC)

-
สั่งงานให้ชัด ใช้ภาษาไทยได้เลย แต่ต้องระบุค่า หน่วย และผลลัพธ์ที่ต้องการ

เขียน Python คำนวณแรงดันตัวเก็บประจุในวงจร RC ที่ชาร์จจาก 10 V, R = 1 kΩ, C = 100 µF แล้วพล็อตกราฟช่วง 0 ถึง 0.5 วินาที ใส่ชื่อแกนพร้อมหน่วย

-
อ่านโค้ดที่ได้ ทุกบรรทัดต้องอธิบายได้ว่าทำอะไร

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Vs = 10 # แรงดันแหล่งจ่าย (V)
R = 1e3 # 1 kΩ
C = 100e-6 # 100 µF
tau = R * C # ค่าคงตัวเวลา (s)

t = np.linspace(0, 0.5, 500)
v = Vs * (1 - np.exp(-t / tau))

plt.plot(t, v)
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("v_C (V)")
plt.grid(True)
plt.show()

-
ตรวจด้วยความรู้วงจร ไม่ใช่แค่ดูว่ารันผ่าน สมการที่โค้ดใช้คือ

$$v_C(t) = V_s\left(1 - e^{-t/RC}\right)$$

- ค่าคงตัวเวลา τ = RC = 1000 × 0.0001 = 0.1 s

- ที่ t = τ แรงดันต้องเป็น 63.2% ของ Vs คือประมาณ 6.32 V

- ที่ t = 5τ = 0.5 s แรงดันต้องเกือบเต็ม คือประมาณ 9.93 V

เขียนการตรวจเหล่านี้ลงในโค้ดด้วย จะได้ตรวจซ้ำได้ทุกครั้งที่แก้

assert abs(tau - 0.1) < 1e-9 # τ = RC = 0.1 s
assert abs(np.interp(0.1, t, v) - 6.32) < 0.01 # ที่ t = τ ต้องได้ ≈ 6.32 V

ถ้า AI ตีความ µ เป็น m แล้วเขียน C = 100e-3 โค้ดจะรันได้โดยไม่มี error แต่ τ กลายเป็น 100 s และกราฟแทบเป็นเส้นราบใกล้ 0 V (ที่ 0.5 s ได้เพียงราว 0.05 V) คนที่รู้ว่า τ ควรเป็น 0.1 s จะจับได้ทันที ส่วนคนที่ไม่รู้จะส่งงานผิดโดยไม่รู้ตัว เทียบผลกับรูปคลื่นจริงบนออสซิลโลสโคปได้ใน การวัดค่าคงตัวเวลา τ ของวงจร RC

## แผนเริ่มต้น 4 สัปดาห์ เรียนร่วมกับ AI

ใช้วันละ 30–60 นาทีบน Google Colab และยึดกฎ 3 ข้อตลอดทาง คือลองคิดเองก่อนถาม AI อธิบายได้ทุกบรรทัดก่อนใช้ และทดสอบกับค่าที่รู้คำตอบ

- สัปดาห์ที่ 1: ตัวแปร ชนิดข้อมูล การรับและแสดงผล
ฝึก: โปรแกรมคำนวณกฎของโอห์ม และคำนวณค่าไฟฟ้าจากจำนวนหน่วยที่ใช้ · ใช้ AI: ให้อธิบายโค้ดทีละบรรทัด ยังไม่ขอโค้ดทั้งก้อน

- สัปดาห์ที่ 2: เงื่อนไขและการวนซ้ำ
ฝึก: ตัดเกรดจากคะแนน และหาความต้านทานรวมของตัวต้านทานหลายตัว · ใช้ AI: เขียนเองก่อน แล้วให้ AI รีวิวและชี้จุดที่ปรับได้

- สัปดาห์ที่ 3: ฟังก์ชันและโครงสร้างข้อมูล
ฝึก: ฟังก์ชันคำนวณ R อนุกรมและขนาน เก็บข้อมูลอุปกรณ์ไว้ใน dict · ใช้ AI: ให้ AI เขียนฟังก์ชัน แล้วเราเขียน assert ทดสอบเอง

- สัปดาห์ที่ 4: NumPy, Matplotlib และโปรเจกต์เล็ก
ฝึก: พล็อตกราฟวงจร RC หรือข้อมูลจากการทดลองในแล็บ · ใช้ AI: สั่งงานละเอียดเป็นภาษาไทย แล้วตรวจผลด้วยการคำนวณมือ

บทบาทของ AI ค่อย ๆ เพิ่มจากผู้อธิบาย เป็นผู้รีวิว จนเป็นผู้เขียน ขณะที่บทบาทของเราเพิ่มจากผู้เรียนเป็นผู้ตรวจ

## กับดักที่ผู้เริ่มต้นยุค AI ควรระวัง

ความเสี่ยงใหญ่ที่สุดของยุคนี้คือได้โปรแกรมที่ใช้งานได้ โดยไม่ได้ความเข้าใจติดตัวมาด้วย

- คัดลอกโดยไม่อ่าน ได้งานเร็วในวันแรก แต่เมื่อโค้ดใหญ่ขึ้นหรือเจอบั๊ก จะแก้ไม่ได้เลย

- เชื่อว่ารันได้แปลว่าถูก ข้อผิดพลาดที่อันตรายที่สุดคือข้อผิดพลาดที่ไม่มี error แจ้ง เช่น หน่วยผิดในตัวอย่างข้างต้น

- ข้ามพื้นฐานไปทำโปรเจกต์ใหญ่ เมื่อไม่เข้าใจโครงสร้าง ก็สั่ง AI แก้ได้ไม่ตรงจุด

- เปลี่ยนภาษาไปเรื่อย ๆ แนวคิดทั้ง 6 เหมือนกันทุกภาษา เข้าใจภาษาเดียวให้ลึกคุ้มกว่ารู้หลายภาษาแบบผิวเผิน

- วางข้อมูลลับให้ AI เช่น รหัสผ่าน API key หรือข้อมูลส่วนตัวของผู้อื่น ควรลบออกก่อนวางโค้ดทุกครั้ง

## แล้วภาษาอื่นล่ะ

เมื่อเข้าใจแนวคิดจาก Python แล้ว ภาษาที่สองจะเรียนเร็วขึ้นมาก เพราะ AI ช่วยแปล syntax ให้ได้ เหลือเพียงเรียนรู้จุดเด่นของภาษานั้น

| ภาษา | เหมาะกับงาน | ควรเรียนต่อเมื่อ |

| C / C++ | เฟิร์มแวร์ ไมโครคอนโทรลเลอร์ (Arduino, ESP32, STM32) งานที่ต้องการความเร็ว เช่น ตัวควบคุม PI ภาษา C ในคอนเวอร์เตอร์ | ต้องควบคุมฮาร์ดแวร์ เวลาจริง และหน่วยความจำโดยตรง |

| JavaScript / TypeScript | เว็บไซต์ แดชบอร์ด แอปบนเบราว์เซอร์ | อยากสร้างหน้าเว็บหรือส่วนติดต่อผู้ใช้ |

| MATLAB / Simulink | ระบบควบคุม การจำลองระบบ | หลักสูตรหรือที่ทำงานใช้เป็นมาตรฐาน |

| Ladder / Structured Text (IEC 61131-3) | PLC และระบบอัตโนมัติในโรงงาน | ทำงานด้านควบคุมอุตสาหกรรม |

ทุกภาษาในตารางยังใช้ 6 แนวคิดเดิม ต่างกันแค่รูปแบบการเขียนและสภาพแวดล้อมที่โปรแกรมทำงาน

## สรุป

ยุค AI ไม่ได้ทำให้การเรียนเขียนโปรแกรมหมดความจำเป็น แต่เปลี่ยนสิ่งที่ต้องเรียน จากการท่อง syntax เป็นการเข้าใจตรรกะ อ่านโค้ดออก และตรวจผลลัพธ์ได้

เริ่มที่ Python เรียน 6 แนวคิดแกนกลางให้แน่น และฝึกตรวจงาน AI ด้วยความรู้คณิตศาสตร์และวิศวกรรมที่มี AI เขียนโค้ดได้เร็ว แต่คนที่รู้ว่าโค้ดถูกหรือผิดคือคนที่เข้าใจทั้งโปรแกรมและปัญหาจริง

แหล่งอ้างอิง: GitHub, Octoverse 2025 (28 ต.ค. 2025, ปรับปรุง 28 ก.พ. 2026) ↗ · TechRepublic, TIOBE Index for October 2026 (12 ต.ค. 2026) ↗

## อ่านต่อในคลังความรู้

- วิธีเชิงตัวเลขสำหรับระบบสมการเชิงเส้น พร้อมโค้ด NumPy/SciPy/MATLAB

- แล็บวงจรจำลอง: ลองวงจร RC แล้วเทียบกับผลจากโค้ดของคุณ

- ภาษา PLC ห้าภาษาตามมาตรฐาน IEC 61131-3

- บทความ: เกาส์ LU จาโคบี หรือเกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหน

## คำถามที่พบบ่อย

ยุค AI ยังต้องเรียนเขียนโปรแกรมอยู่ไหม?
ยังต้องเรียน แต่เปลี่ยนสิ่งที่เรียน AI พิมพ์โค้ดและจำ syntax แทนได้ แต่เราต้องแตกปัญหาเป็นขั้นตอนเพื่อสั่งงาน อ่านโค้ดให้ออก และทดสอบกับค่าที่รู้คำตอบ เพราะโค้ดที่รันได้ไม่ได้แปลว่าถูก

ทำไมควรเริ่มเรียนเขียนโปรแกรมด้วย Python?
Python อ่านง่ายที่สุดในบรรดาภาษาหลัก ใช้การย่อหน้าแสดงโครงสร้าง จึงตรวจโค้ดที่ AI เขียนได้ง่าย เป็นภาษาหลักของงาน AI วิทยาศาสตร์ และวิศวกรรม (NumPy, SciPy, Matplotlib) และเริ่มเขียนบน Google Colab ได้ทันทีโดยไม่ต้องติดตั้งโปรแกรม

ต้องเข้าใจแนวคิดอะไรบ้างก่อนใช้ AI เขียนโค้ด?
หกแนวคิดที่ใช้ได้ทุกภาษา คือ ตัวแปรและชนิดข้อมูล เงื่อนไข การวนซ้ำ ฟังก์ชัน โครงสร้างข้อมูล และการทดสอบกับดีบัก เข้าใจครบแล้วจะอ่านโค้ดที่ AI เขียนได้แทบทุกภาษา

จะรู้ได้อย่างไรว่าโค้ดที่ AI เขียนถูกต้อง?
ทดสอบกับกรณีที่รู้คำตอบด้วยความรู้เฉพาะด้าน เช่น วงจร RC ที่ R = 1 kΩ และ C = 100 µF ต้องมีค่าคงตัวเวลา 0.1 s และที่ t = τ แรงดันต้องเป็น 63.2% ของแหล่งจ่าย แล้วเขียนการตรวจเหล่านี้เป็น assert ไว้ในโค้ด

เรียน Python แล้วควรเรียนภาษาอะไรต่อ?
เลือกตามงาน C/C++ สำหรับไมโครคอนโทรลเลอร์และเฟิร์มแวร์ JavaScript/TypeScript สำหรับเว็บ MATLAB/Simulink สำหรับระบบควบคุม และ Ladder หรือ Structured Text สำหรับ PLC แนวคิดเดิมใช้ได้ทั้งหมด และ AI ช่วยแปล syntax ให้

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

ระบบควบคุม
การจูน PID ฉบับสมบูรณ์: จาก Step Test ถึง Ziegler–Nichols, SIMC และ Anti-Windup
คอร์สจูน PID ครบในบทความเดียว: หาแบบจำลองด้วย step test จูนด้วย Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC และ relay เทียบผลด้วยการจำลอง แล้วแก้ปัญหา windup…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดการเขียนโปรแกรมและ AI (1 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**ยุค AI ยังต้องเรียนเขียนโปรแกรมอยู่ไหม?**
ยังต้องเรียน แต่เปลี่ยนสิ่งที่เรียน AI พิมพ์โค้ดและจำ syntax แทนได้ แต่เราต้องแตกปัญหาเป็นขั้นตอนเพื่อสั่งงาน อ่านโค้ดให้ออก และทดสอบกับค่าที่รู้คำตอบ เพราะโค้ดที่รันได้ไม่ได้แปลว่าถูก

**ทำไมควรเริ่มเรียนเขียนโปรแกรมด้วย Python?**
Python อ่านง่ายที่สุดในบรรดาภาษาหลัก ใช้การย่อหน้าแสดงโครงสร้าง จึงตรวจโค้ดที่ AI เขียนได้ง่าย เป็นภาษาหลักของงาน AI วิทยาศาสตร์ และวิศวกรรม (NumPy, SciPy, Matplotlib) และเริ่มเขียนบน Google Colab ได้ทันทีโดยไม่ต้องติดตั้งโปรแกรม

**ต้องเข้าใจแนวคิดอะไรบ้างก่อนใช้ AI เขียนโค้ด?**
หกแนวคิดที่ใช้ได้ทุกภาษา คือ ตัวแปรและชนิดข้อมูล เงื่อนไข การวนซ้ำ ฟังก์ชัน โครงสร้างข้อมูล และการทดสอบกับดีบัก เข้าใจครบแล้วจะอ่านโค้ดที่ AI เขียนได้แทบทุกภาษา

**จะรู้ได้อย่างไรว่าโค้ดที่ AI เขียนถูกต้อง?**
ทดสอบกับกรณีที่รู้คำตอบด้วยความรู้เฉพาะด้าน เช่น วงจร RC ที่ R = 1 kΩ และ C = 100 µF ต้องมีค่าคงตัวเวลา 0.1 s และที่ t = τ แรงดันต้องเป็น 63.2% ของแหล่งจ่าย แล้วเขียนการตรวจเหล่านี้เป็น assert ไว้ในโค้ด

**เรียน Python แล้วควรเรียนภาษาอะไรต่อ?**
เลือกตามงาน C/C++ สำหรับไมโครคอนโทรลเลอร์และเฟิร์มแวร์ JavaScript/TypeScript สำหรับเว็บ MATLAB/Simulink สำหรับระบบควบคุม และ Ladder หรือ Structured Text สำหรับ PLC แนวคิดเดิมใช้ได้ทั้งหมด และ AI ช่วยแปล syntax ให้

---

# อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ตัวอย่างพร้อมวิธีทำทีละขั้น รวมอุปนัยแบบเข้ม

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/mathematical-induction-examples/
Updated: 2026-10-26
Summary: ตัวอย่างพิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 14 ข้อพร้อมวิธีทำ: เขียนข้อความ P(n) สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ ลำดับเวียนเกิด และอุปนัยแบบเข้ม (strong induction) พร้อมแม่แบบ 4 ขั้นและข้อผิดพลาดที่เสียคะแนน

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · ลำดับและอนุกรม

# อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ตัวอย่างพร้อมวิธีทำทีละขั้น รวมอุปนัยแบบเข้ม

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ใช้พิสูจน์ข้อความที่ต้องจริงกับ “ทุกจำนวนนับ n” บทความนี้เริ่มจากวิธีเขียนข้อความ P(n) แล้วรวมตัวอย่าง 14 ข้อในแบบที่ออกสอบบ่อยที่สุด ได้แก่ สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ ลำดับเวียนเกิดและอนุพันธ์ และอุปนัยแบบเข้ม ทุกข้อเขียนตามแม่แบบเดียวกันเพื่อให้เห็นว่าต่างกันแค่ลูกเล่นพีชคณิตในขั้นอุปนัย

สรุปใน 30 วินาที

- ข้อความ P(n) (induction statement): เขียนเป็นประโยคที่จริงหรือเท็จได้สำหรับแต่ละ n

- กรณีฐาน (base case): แสดงว่า $P(n_0)$ จริง โดยคำนวณสองข้างแยกกัน

- ขั้นอุปนัย (inductive step): สมมติ $P(k)$ จริง แล้วแสดงว่า $P(k+1)$ จริง โดยต้องใช้สมมติฐานให้เห็น

- อุปนัยแบบเข้ม (strong induction): สมมติทุกกรณีจนถึง $P(k)$ เมื่อขั้นอุปนัยต้องใช้กรณีก่อนหน้า และตรวจกรณีฐานให้ครบเท่าจำนวนขั้นที่ย้อน

## ข้อความ P(n) (induction statement): สิ่งแรกที่ต้องเขียน

ทุกบทพิสูจน์ด้วยอุปนัยเริ่มจากการตั้งชื่อข้อความที่จะพิสูจน์ $P(n)$ คือประโยคเกี่ยวกับ $n$ ที่เป็นจริงหรือเท็จได้เมื่อแทนตัวเลข การเขียนให้ครบไม่ใช่พิธีการ เพราะขั้นถัดไปต้องแทน $k$ และ $k+1$ ลงไป และความผิดพลาดทางพีชคณิตส่วนใหญ่มาจากการเขียน P(k+1) ไม่ระวัง

| โจทย์บอกว่า | ข้อความ P(n) | เริ่มที่ |

| ผลบวกของจำนวนคี่ n ตัวแรกเท่ากับ n² | $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ | $n = 1$ |

| $4^n - 1$ เป็นพหุคูณของ 3 | มีจำนวนเต็ม $m$ ที่ $4^n - 1 = 3m$ | $n = 1$ |

| ในที่สุด $2^n$ จะมากกว่า $n^2$ | $2^n > n^2$ | $n = 5$ |

| ลำดับ $a_1 = 1,\ a_{n+1} = 2a_n + 1$ มีรูปปิด | $a_n = 2^n - 1$ | $n = 1$ |

- ต้องเป็นข้อความ ไม่ใช่นิพจน์ “ให้ $P(n) = n^2 + n$” ไม่ใช่ข้อความอุปนัย เพราะไม่มีค่าความจริง ต้องเขียนว่า “$P(n)$: $n^2 + n$ เป็นจำนวนคู่”

- สร้าง P(k+1) โดยแทน n ทุกตัวด้วย k+1 รวมทั้งพจน์สุดท้ายของผลบวก: พจน์สุดท้ายของ $1 + 3 + \cdots + (2n - 1)$ กลายเป็น $2(k+1) - 1 = 2k + 1$ และด้านขวากลายเป็น $(k+1)^2$

- เขียนเป้าหมาย P(k+1) ก่อนเริ่มจัดรูป รู้ปลายทางแล้วจะรู้ว่าต้องดึงตัวร่วมตัวไหน หรือต้องบวกลบพจน์ใด

## แม่แบบ 4 ขั้นที่ใช้ได้ทุกข้อ

- นิยาม ให้ $P(n)$ แทนข้อความ … (เขียนให้ชัด)

- กรณีฐาน แทน $n = n_0$ คำนวณด้านซ้ายและด้านขวาแยกกัน แล้วแสดงว่าเป็นจริง

- สมมติฐานการอุปนัย สมมติว่า $P(k)$ จริงสำหรับจำนวนเต็ม $k \ge n_0$ บางค่า (เขียน P(k) ออกมาเต็ม ๆ และเขียนเป้าหมาย P(k+1))

- ขั้นอุปนัย เริ่มจากด้านซ้ายของ P(k+1) จัดรูปให้เห็นก้อนของ P(k) ใช้สมมติฐาน แล้วจัดรูปจนได้ด้านขวา สรุปด้วยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

## ตัวอย่างแบบที่ 1: สูตรผลบวก

เทคนิค: ดึงพจน์สุดท้ายออก ส่วนที่เหลือคือด้านซ้ายของ P(k) พอดี

ตัวอย่าง 1

### พิสูจน์ว่า $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ ทุกจำนวนนับ $n$

- ให้ $P(n)$: $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$

- กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1$ ขวา $= 1^2 = 1$ จริง

- สมมติ $1 + 3 + \cdots + (2k - 1) = k^2$ ต้องแสดงว่า $1 + 3 + \cdots + (2k + 1) = (k+1)^2$

- $\underbrace{1 + 3 + \cdots + (2k - 1)}_{= k^2\ \text{(สมมติฐาน)}} + (2k + 1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$ ✓

โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ $P(n)$ จริงทุก $n \ge 1$ ∎

ตัวอย่าง 2

### พิสูจน์ว่า $1\cdot2 + 2\cdot3 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

- กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1\cdot 2 = 2$ ขวา $= \dfrac{1\cdot2\cdot3}{3} = 2$ จริง

- สมมติจริงที่ $n = k$ ต้องแสดงว่าผลบวกถึงพจน์ $(k+1)(k+2)$ เท่ากับ $\dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$

- $\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = \dfrac{(k+1)(k+2)\,(k + 3)}{3}$ (ดึงตัวร่วม $(k+1)(k+2)$ ไม่ต้องกระจาย) ✓

จริงทุก $n \ge 1$ · เคล็ดลับ: เขียนเป้าหมายก่อนเสมอ จะรู้ว่าต้องดึงตัวร่วมอะไร

ตัวอย่าง 3

### พิสูจน์ว่า $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

- กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1$ ขวา $= \dfrac{1\cdot2\cdot3}{6} = 1$ จริง

- สมมติ $1^2 + \cdots + k^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ เป้าหมาย: $1^2 + \cdots + (k+1)^2 = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

- $\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \dfrac{(k+1)\big[k(2k+1) + 6(k+1)\big]}{6} = \dfrac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}$

- $2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3)$ จึงได้ผลบวกเท่ากับ $\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ ✓

จริงทุก $n \ge 1$ · เป้าหมายบอกให้มองหาตัวประกอบ $(k+2)$ และ $(2k+3)$ ในวงเล็บ

## ตัวอย่างแบบที่ 2: การหารลงตัว

เทคนิค: เขียน “3 หาร b ลงตัว” เป็นสมการ $b = 3m$ แล้วแยก $f(k+1)$ ให้เห็นก้อน $f(k)$

ตัวอย่าง 4

### พิสูจน์ว่า $4^n - 1$ หารด้วย 3 ลงตัว ทุกจำนวนนับ $n$

- กรณีฐาน $n = 1$: $4 - 1 = 3 = 3\cdot1$ หารลงตัว

- สมมติ $4^k - 1 = 3m$ สำหรับจำนวนเต็ม $m$ บางตัว

- $4^{k+1} - 1 = 4\cdot 4^k - 1 = 4(4^k - 1) + 3 = 4(3m) + 3 = 3(4m + 1)$ หารด้วย 3 ลงตัว ✓

จริงทุก $n \ge 1$ · กลเม็ดหลัก: “บวกลบ” ให้ได้ $4(4^k - 1)$ ซึ่งเป็นก้อนของสมมติฐาน

ตัวอย่าง 5

### พิสูจน์ว่า $7^n - 2^n$ หารด้วย 5 ลงตัว ทุกจำนวนนับ $n$

- กรณีฐาน $n = 1$: $7 - 2 = 5$ หารลงตัว

- สมมติ $7^k - 2^k = 5m$ สำหรับจำนวนเต็ม $m$ บางตัว

- $7^{k+1} - 2^{k+1} = 7\cdot7^k - 2\cdot2^k = 7(7^k - 2^k) + 7\cdot2^k - 2\cdot2^k = 7(5m) + 5\cdot2^k = 5(7m + 2^k)$ ✓

จริงทุก $n \ge 1$ · เมื่อมีฐานสองตัว ให้บวกลบ $7\cdot2^k$ เพื่อให้วงเล็บหนึ่งเป็น $f(k)$ พอดี

ตัวอย่าง 6

### พิสูจน์ว่า $n^3 - n$ หารด้วย 6 ลงตัว ทุกจำนวนนับ $n$

- กรณีฐาน $n = 1$: $1 - 1 = 0 = 6\cdot0$ หารลงตัว

- สมมติ $k^3 - k = 6m$

- $(k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = (k^3 - k) + 3k(k+1) = 6m + 3k(k+1)$

- $k(k+1)$ เป็นผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวที่ติดกัน จึงเป็นจำนวนคู่: $k(k+1) = 2j$ ได้ $3k(k+1) = 6j$ รวมเป็น $6(m + j)$ ✓

จริงทุก $n \ge 1$ · ขั้นอุปนัยต้องใช้ข้อเท็จจริงเพิ่มหนึ่งข้อ (จำนวนเต็มสองตัวติดกันต้องมีตัวหนึ่งเป็นเลขคู่) ให้เขียนบอกให้ชัด อย่าข้าม

## ตัวอย่างแบบที่ 3: อสมการ

เทคนิค: ใช้สมมติฐานเพื่อให้เกิดเครื่องหมาย > แล้วต่อด้วยอสมการช่วยที่ต้องใช้เงื่อนไขของ k ซึ่งเป็นตัวบอกว่ากรณีฐานต้องเริ่มที่เท่าไร

ตัวอย่าง 7

### พิสูจน์ว่า $2^n > n^2$ สำหรับทุก $n \ge 5$

- ทำไมเริ่มที่ 5: $n = 2, 3, 4$ ได้ $4 = 4,\ 8 < 9,\ 16 = 16$ ไม่จริง

- กรณีฐาน $n = 5$: $2^5 = 32 > 25$ จริง

- สมมติ $2^k > k^2$ ($k \ge 5$): $2^{k+1} = 2\cdot 2^k > 2k^2$

- $2k^2 - (k+1)^2 = (k-1)^2 - 2 > 0$ เมื่อ $k \ge 3$ จึงได้ $2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2$ ✓

จริงทุก $n \ge 5$

ตัวอย่าง 8

### พิสูจน์ว่า $n! > 2^n$ สำหรับทุก $n \ge 4$

- ทำไมเริ่มที่ 4: $1! = 1 < 2,\ 2! = 2 < 4,\ 3! = 6 < 8$ แต่ $4! = 24 > 16$

- กรณีฐาน $n = 4$: $24 > 16$ จริง

- สมมติ $k! > 2^k$ ($k \ge 4$): $(k+1)! = (k+1)\cdot k! > (k+1)\cdot 2^k$

- เพราะ $k + 1 \ge 5 > 2$: $(k+1)\cdot2^k > 2\cdot 2^k = 2^{k+1}$ ✓

จริงทุก $n \ge 4$ · นี่คือเหตุผลที่พจน์ $x^n/n!$ ในอนุกรมเลขชี้กำลังเล็กลงเร็วมาก

ตัวอย่าง 9 · อสมการแบร์นูลลี

### พิสูจน์ว่า $(1 + x)^n \ge 1 + nx$ ทุกจำนวนนับ $n$ และทุกจำนวนจริง $x \ge -1$

- กรณีฐาน $n = 1$: $1 + x \ge 1 + x$ จริง

- สมมติ $(1 + x)^k \ge 1 + kx$

- คูณทั้งสองข้างด้วย $1 + x$ ซึ่งทำได้โดยเครื่องหมายไม่กลับ เพราะ $1 + x \ge 0$: $(1 + x)^{k+1} \ge (1 + x)(1 + kx) = 1 + (k+1)x + kx^2$

- $kx^2 \ge 0$ จึงได้ $(1 + x)^{k+1} \ge 1 + (k+1)x$ ✓

จริงทุก $n \ge 1$, $x \ge -1$ · เงื่อนไข $x \ge -1$ ถูกใช้ในบรรทัดเดียว คือตอนคูณอสมการด้วย $1 + x$

## ตัวอย่างแบบที่ 4: ลำดับเวียนเกิดและอนุพันธ์อันดับ n

เทคนิค: นิยามของลำดับ (หรือของอนุพันธ์) คือสะพานจาก k ไป k+1 อยู่แล้ว ให้เดารูปแบบจากพจน์แรก ๆ แล้วพิสูจน์ด้วยอุปนัย

ตัวอย่าง 10

### $a_1 = 1,\ a_{n+1} = 2a_n + 1$ พิสูจน์ว่า $a_n = 2^n - 1$

- พจน์แรก ๆ: $1, 3, 7, 15, \dots$ น้อยกว่า $2, 4, 8, 16$ อยู่หนึ่ง จึงเดาว่า $2^n - 1$

- กรณีฐาน $n = 1$: $a_1 = 1 = 2^1 - 1$ จริง

- สมมติ $a_k = 2^k - 1$: $a_{k+1} = 2a_k + 1 = 2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 1$ ✓

$a_n = 2^n - 1$ ทุก $n \ge 1$ · คือจำนวนครั้งที่ต้องย้ายในปัญหาหอคอยฮานอยที่มี n แผ่น

ตัวอย่าง 11 · แคลคูลัส

### พิสูจน์ว่า $\dfrac{d^n}{dx^n}\big(xe^x\big) = (x + n)e^x$ ทุกจำนวนนับ $n$

- กรณีฐาน $n = 1$: กฎผลคูณ $\dfrac{d}{dx}(xe^x) = e^x + xe^x = (x + 1)e^x$ จริง

- สมมติ $\dfrac{d^k}{dx^k}(xe^x) = (x + k)e^x$

- $\dfrac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}(xe^x) = \dfrac{d}{dx}\big[(x + k)e^x\big] = e^x + (x + k)e^x = (x + k + 1)e^x$ ✓

จริงทุก $n \ge 1$ · ที่ $x = 0$ อนุพันธ์อันดับ n มีค่า $n$ ได้อนุกรมแมคลอริน $xe^x = \sum_{n\ge1} \dfrac{x^n}{(n-1)!}$ ดูอนุกรมเทย์เลอร์คืออะไร

## ตัวอย่างอุปนัยแบบเข้ม (Strong Induction)

ในอุปนัยแบบเข้ม (strong หรือ complete induction) สมมติฐานคือทุกกรณี $P(n_0), P(n_0 + 1), \dots, P(k)$ เป็นจริง ไม่ใช่แค่ $P(k)$ ผลที่พิสูจน์ได้เป็นแบบเดียวกันทุกอย่าง เพียงแต่อนุญาตให้ขั้นอุปนัยใช้กรณีก่อนหน้าได้ ใช้เมื่อการไปถึง $k+1$ ต้องพึ่ง $P(k-1)$, $P(k-3)$ หรือกรณีที่เล็กกว่าซึ่งบอกล่วงหน้าไม่ได้

อยากฝึกให้เข้มข้นขึ้น: ดู อุปนัยแบบเข้ม 17 ตัวอย่างพร้อมแล็บฝึกพิสูจน์ (กรณีฐานกี่ตัว แสตมป์ ฟีโบนัชชี เกม merge sort) และใช้ เครื่องแก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด ที่เขียนบทพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มให้อัตโนมัติ

ตัวอย่าง 12 · อุปนัยแบบเข้ม

### พิสูจน์ว่าจำนวนเต็ม $n \ge 2$ ทุกตัวเป็นจำนวนเฉพาะ หรือเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ

- กรณีฐาน $n = 2$: 2 เป็นจำนวนเฉพาะ จริง

- สมมติฐานแบบเข้ม: สมมติว่าจำนวนเต็ม $j$ ทุกตัวที่ $2 \le j \le k$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือผลคูณของจำนวนเฉพาะ

- พิจารณา $k + 1$ ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะก็จบ ถ้าไม่ใช่ จะเขียนได้ $k + 1 = ab$ โดย $2 \le a \le k$ และ $2 \le b \le k$

- ตามสมมติฐาน $a$ และ $b$ ต่างเป็นจำนวนเฉพาะหรือผลคูณของจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $ab = k + 1$ เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ ✓

จริงทุก $n \ge 2$ · อุปนัยธรรมดาใช้ไม่ได้ในข้อนี้ เพราะรู้เรื่องของ $k$ ก็ไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับตัวประกอบของ $k + 1$ ซึ่งเป็นจำนวนที่เล็กกว่าตัวไหนก็ได้

ตัวอย่าง 13 · อุปนัยแบบเข้ม

### มีแสตมป์ราคา 3 บาทและ 5 บาทเท่านั้น แสดงว่ารวมได้พอดีทุกราคา $n \ge 8$ บาท

- กรณีฐาน (สามค่า): $8 = 3 + 5,\ 9 = 3 + 3 + 3,\ 10 = 5 + 5$

- สมมติฐานแบบเข้ม: ให้ $k \ge 10$ และสมมติว่าทุกราคาตั้งแต่ 8 ถึง $k$ บาทรวมได้

- $k + 1 = (k - 2) + 3$ และ $8 \le k - 2 \le k$ ราคา $k - 2$ จึงรวมได้ตามสมมติฐาน เติมแสตมป์ 3 บาทอีกดวง ✓

รวมได้ทุกราคาตั้งแต่ 8 บาทขึ้นไป (7 บาทรวมไม่ได้) · ขั้นอุปนัยย้อนไป 3 ขั้น จึงต้องมีกรณีฐาน 3 ค่า ถ้าตรวจแค่ $n = 8$ ขั้นจาก 8 ไป 9 จะต้องพึ่ง $9 - 3 = 6$ ซึ่งไม่เคยแสดงไว้

ตัวอย่าง 14 · อุปนัยแบบเข้มกับลำดับเวียนเกิด

### $a_1 = 1,\ a_2 = 5,\ a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}$ เมื่อ $n \ge 3$ พิสูจน์ว่า $a_n = 2^n + (-1)^n$

- กรณีฐาน (สองค่า เพราะความสัมพันธ์ใช้สองพจน์ก่อนหน้า): $a_1 = 2 - 1 = 1$ และ $a_2 = 4 + 1 = 5$ จริง

- สมมติฐานแบบเข้ม: ให้ $k \ge 2$ และสมมติ $a_j = 2^j + (-1)^j$ ทุก $j \le k$

- $a_{k+1} = a_k + 2a_{k-1} = 2^k + (-1)^k + 2\big(2^{k-1} + (-1)^{k-1}\big) = 2^{k+1} + (-1)^{k-1}\big(-1 + 2\big)$

- $= 2^{k+1} + (-1)^{k-1} = 2^{k+1} + (-1)^{k+1}$ ✓ (ตรวจ: $a_3 = 7,\ a_4 = 17,\ a_5 = 31$)

จริงทุก $n \ge 1$ · แนวคิดเดียวกันใช้พิสูจน์ขอบเขตของเลขฟีโบนัชชี และรูปปิดของสมการผลต่างอันดับสองที่ใช้ในระบบควบคุมดิจิทัล

## เปรียบเทียบอุปนัยธรรมดากับอุปนัยแบบเข้ม

| | อุปนัยธรรมดา (weak) | อุปนัยแบบเข้ม (strong) |

| สมมติฐาน | $P(k)$ จริง | $P(n_0), \dots, P(k)$ จริงทั้งหมด |

| ใช้เมื่อขั้นอุปนัยต้องการ | กรณีก่อนหน้าหนึ่งกรณี | $P(k-1)$, $P(k-2)$ หรือกรณีที่เล็กกว่าซึ่งไม่รู้ล่วงหน้า |

| กรณีฐาน | มักมีค่าเดียว | เท่ากับจำนวนขั้นที่ย้อน (2 ค่าเมื่อใช้ $a_{k-1}$ กับ $a_k$, 3 ค่าเมื่อใช้ “$k - 2$ แล้วเติมแสตมป์ 3 บาท”) |

| โจทย์ที่พบบ่อย | ผลบวก หารลงตัว อสมการ ลำดับเวียนเกิดอย่างง่าย | แยกตัวประกอบเฉพาะ แสตมป์และเหรียญ ฟีโบนัชชี ลำดับที่ใช้สองพจน์ก่อนหน้า |

ทั้งสองแบบมีพลังเท่ากัน อะไรที่พิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มได้ ก็เขียนใหม่เป็นอุปนัยธรรมดาบนข้อความ “$P(n_0), \dots, P(n)$ จริงทั้งหมด” ได้เสมอ เลือกแบบที่ทำให้ขั้นอุปนัยเขียนง่ายกว่า

## ข้อผิดพลาดที่ทำให้เสียคะแนน

- ลืมกรณีฐาน: สูตรผิด $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n^2 + n + 2}{2}$ ผ่านขั้นอุปนัยได้ แต่ที่ $n = 1$ ได้ $2 \ne 1$

- สรุปจากตัวอย่าง: $n^2 + n + 41$ เป็นจำนวนเฉพาะถึง $n = 39$ แต่ $n = 40$ ได้ $41^2$

- เขียนสมการ P(k+1) แล้วจัดรูปสองข้างจนได้ 0 = 0: เท่ากับสมมติสิ่งที่จะพิสูจน์ ให้เริ่มจากด้านซ้ายด้านเดียว

- ขั้นอุปนัยใช้ไม่ได้กับ k เล็ก: ปัญหา “ม้าทุกตัวสีเดียวกัน” พังที่ขั้น 1 → 2

- อุปนัยแบบเข้มแต่กรณีฐานไม่ครบ: ถ้าขั้นอุปนัยใช้ $P(k-2)$ กรณีที่ย้อนลงไปถึงไม่ได้ต้องตรวจตรงทุกค่า เหมือนตัวอย่าง 13

## ลองทำเอง

- พิสูจน์ว่า $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1$
คำใบ้
ดึง $2^k$ ออก: $(2^k - 1) + 2^k = 2^{k+1} - 1$

- พิสูจน์ว่า $5^n - 1$ หารด้วย 4 ลงตัว
คำใบ้
$5^{k+1} - 1 = 5(5^k - 1) + 4$

- พิสูจน์ว่า $3^n > 2n + 1$ ทุก $n \ge 2$
คำใบ้
กรณีฐาน $9 > 5$ แล้ว $3^{k+1} > 3(2k + 1) = 6k + 3 > 2k + 3$

- มีแสตมป์ 4 บาทและ 7 บาท หาค่า $N$ ที่น้อยที่สุดที่รวมได้ทุกราคา $n \ge N$ แล้วพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้ม
เฉลย
$N = 18$ (17 บาทรวมไม่ได้) กรณีฐาน 18 ถึง 21 (สี่ค่า เพราะขั้นอุปนัยคือ $k + 1 = (k - 3) + 4$)

## เรียนต่อในคลังความรู้

- อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ฉบับเต็ม: แบบเข้ม แคลคูลัส ลาปลาซ และงานวิศวกรรม

- อุปนัยแบบเข้มเพิ่มเติม: แสตมป์ 4 และ 5 บาท ขอบเขตฟีโบนัชชี และลำดับเวียนเกิดที่มีขอบเขต

- ตัวตรวจอุปนัย: แทนตัวเลขในขั้นอุปนัย และตรวจสูตรผลบวกของคุณเอง

- เกมหาบรรทัดผิดในบทพิสูจน์ 5 ข้อ

- สูตรซิกมาและผลบวกที่ใช้อุปนัยพิสูจน์

- อ่านต่อ: สูตรอนุกรมเรขาคณิต และเมื่อไรจึงลู่เข้า

## คำถามที่พบบ่อย

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มีกี่ขั้นตอน?
สองขั้นหลัก คือกรณีฐาน (แสดงว่า $P(n_0)$ จริง) และขั้นอุปนัย (สมมติ $P(k)$ จริงแล้วแสดงว่า $P(k+1)$ จริง) เวลาเขียนตอบนิยมแบ่งเป็น 4 ส่วน: นิยาม P(n) กรณีฐาน สมมติฐานการอุปนัย และขั้นอุปนัยพร้อมข้อสรุป

ข้อความ P(n) (induction statement) คืออะไร?
คือประโยคที่ต้องการพิสูจน์ เขียนให้เป็นจริงหรือเท็จได้เมื่อแทนค่า n เช่น $P(n)$: $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ ต้องเป็นข้อความ ไม่ใช่นิพจน์ การเขียนว่า “ให้ $P(n) = n^2 + n$” ไม่ใช่ข้อความอุปนัย เพราะไม่มีค่าความจริง

อุปนัยธรรมดากับอุปนัยแบบเข้ม (strong induction) ต่างกันอย่างไร?
อุปนัยธรรมดาสมมติเพียง $P(k)$ เพื่อพิสูจน์ $P(k+1)$ ส่วนอุปนัยแบบเข้มสมมติทุกกรณีตั้งแต่ $P(n_0)$ ถึง $P(k)$ ใช้เมื่อขั้นอุปนัยต้องพึ่งกรณีก่อนหน้า เช่น $P(k-1)$ หรือกรณีที่เล็กกว่าซึ่งไม่รู้ล่วงหน้า เช่นลำดับเวียนเกิดที่ใช้สองพจน์ก่อนหน้า การแยกตัวประกอบเฉพาะ และโจทย์แสตมป์หรือเหรียญ อุปนัยแบบเข้มต้องมีกรณีฐานเท่ากับจำนวนขั้นที่ย้อนกลับไป

กรณีฐานต้องเริ่มที่ n = 1 เสมอไหม?
ไม่เสมอ เริ่มที่ค่าแรกที่ข้อความจริงและขั้นอุปนัยใช้ได้ต่อเนื่อง เช่น $2^n > n^2$ ต้องเริ่มที่ $n = 5$ เพราะ $n = 2, 3, 4$ ไม่จริง

ทำไมตรวจหลายค่าแล้วยังไม่ถือว่าพิสูจน์?
เพราะจำนวนนับมีไม่สิ้นสุด เช่น $n^2 + n + 41$ เป็นจำนวนเฉพาะทุกค่าตั้งแต่ $n = 0$ ถึง $39$ แต่ที่ $n = 40$ ได้ $1681 = 41^2$ ต้องมีขั้นอุปนัยที่ใช้ได้กับทุก k

ถ้าพิสูจน์ขั้นอุปนัยได้โดยไม่ใช้สมมติฐานเลย ผิดไหม?
ไม่ผิดทางตรรกะ แต่แปลว่าข้อนั้นพิสูจน์ตรงได้โดยไม่ต้องใช้อุปนัย ในข้อสอบส่วนใหญ่ ถ้าไม่ได้ใช้สมมติฐานมักเป็นสัญญาณว่ามีอะไรผิด ควรทำเครื่องหมายบรรทัดที่ใช้สมมติฐานให้ชัด

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

ลำดับและอนุกรม
ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์
ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series): สูตร ตัวอย่าง และวิธีหาผลบวก
อนุกรมเรขาคณิตคืออะไร สูตรผลบวก n พจน์ และอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ (infinite geometric series) a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 พร้อมที่มาของสูตร…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์, Taylor Series) คืออะไร ใช้ทำอะไร พร้อมตัวอย่าง
อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์) คืออะไร สูตรและตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ ตัวอย่าง 8 ข้อ: ประมาณค่า กระจายรอบจุดอื่น ใช้กี่พจน์…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มีกี่ขั้นตอน?**
สองขั้นหลัก คือกรณีฐาน (แสดงว่า $P(n_0)$ จริง) และขั้นอุปนัย (สมมติ $P(k)$ จริงแล้วแสดงว่า $P(k+1)$ จริง) เวลาเขียนตอบนิยมแบ่งเป็น 4 ส่วน: นิยาม P(n) กรณีฐาน สมมติฐานการอุปนัย และขั้นอุปนัยพร้อมข้อสรุป

**ข้อความ P(n) (induction statement) คืออะไร?**
คือประโยคที่ต้องการพิสูจน์ เขียนให้เป็นจริงหรือเท็จได้เมื่อแทนค่า n เช่น $P(n)$: $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ ต้องเป็นข้อความ ไม่ใช่นิพจน์ การเขียนว่า “ให้ $P(n) = n^2 + n$” ไม่ใช่ข้อความอุปนัย เพราะไม่มีค่าความจริง

**อุปนัยธรรมดากับอุปนัยแบบเข้ม (strong induction) ต่างกันอย่างไร?**
อุปนัยธรรมดาสมมติเพียง $P(k)$ เพื่อพิสูจน์ $P(k+1)$ ส่วนอุปนัยแบบเข้มสมมติทุกกรณีตั้งแต่ $P(n_0)$ ถึง $P(k)$ ใช้เมื่อขั้นอุปนัยต้องพึ่งกรณีก่อนหน้า เช่น $P(k-1)$ หรือกรณีที่เล็กกว่าซึ่งไม่รู้ล่วงหน้า เช่นลำดับเวียนเกิดที่ใช้สองพจน์ก่อนหน้า การแยกตัวประกอบเฉพาะ และโจทย์แสตมป์หรือเหรียญ อุปนัยแบบเข้มต้องมีกรณีฐานเท่ากับจำนวนขั้นที่ย้อนกลับไป

**กรณีฐานต้องเริ่มที่ n = 1 เสมอไหม?**
ไม่เสมอ เริ่มที่ค่าแรกที่ข้อความจริงและขั้นอุปนัยใช้ได้ต่อเนื่อง เช่น $2^n > n^2$ ต้องเริ่มที่ $n = 5$ เพราะ $n = 2, 3, 4$ ไม่จริง

**ทำไมตรวจหลายค่าแล้วยังไม่ถือว่าพิสูจน์?**
เพราะจำนวนนับมีไม่สิ้นสุด เช่น $n^2 + n + 41$ เป็นจำนวนเฉพาะทุกค่าตั้งแต่ $n = 0$ ถึง $39$ แต่ที่ $n = 40$ ได้ $1681 = 41^2$ ต้องมีขั้นอุปนัยที่ใช้ได้กับทุก k

**ถ้าพิสูจน์ขั้นอุปนัยได้โดยไม่ใช้สมมติฐานเลย ผิดไหม?**
ไม่ผิดทางตรรกะ แต่แปลว่าข้อนั้นพิสูจน์ตรงได้โดยไม่ต้องใช้อุปนัย ในข้อสอบส่วนใหญ่ ถ้าไม่ได้ใช้สมมติฐานมักเป็นสัญญาณว่ามีอะไรผิด ควรทำเครื่องหมายบรรทัดที่ใช้สมมติฐานให้ชัด

---

# เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/matrix-determinant-roadmap/
Updated: 2026-10-25
Summary: แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน ป.ตรีต้องเพิ่มอะไร และแผนฝึก 7 วันพร้อมลิงก์บทเรียนและแล็บ

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · พีชคณิตเชิงเส้น

# เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม

เมทริกซ์เป็นหัวข้อที่นักเรียนจำนวนมากรู้สึกว่า “คำนวณได้แต่ไม่เห็นภาพ” เพราะเรียนเป็นสูตรแยกกัน บทความนี้จัดทุกเรื่องให้เป็นเส้นทางเดียว ตั้งแต่การคูณเมทริกซ์ใน ม.5 ไปจนถึงวิธีที่โปรแกรมจำลองวงจรใช้แก้สมการนับล้านตัวแปร พร้อมบอกว่าเป้าหมายแต่ละแบบต้องไปถึงขั้นไหน

สรุปใน 30 วินาที

- ทุกหัวข้อตอบคำถามเดียวกัน: แก้ $A\mathbf x = \mathbf b$ อย่างไร มีคำตอบไหม และคำตอบเชื่อได้แค่ไหน

- สอบเข้า: ขั้น 1–3 (เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส คราเมอร์) · ป.ตรี: เพิ่มขั้น 4–5 (ลดแถว แรงก์) · วิศวกรรม: ขั้น 6–7

- ฝึกด้วยแนวข้อสอบ 45 ข้อและโจทย์สุ่ม ตรวจการบ้านด้วยแล็บเมทริกซ์

## ทำไมต้องเรียนเมทริกซ์: ระบบสมการอยู่ทุกที่

วงจรไฟฟ้าสามลูปให้สมการกระแสสามสมการ โครงหลังคาเหล็กให้สมการสมดุลแรงที่ทุกข้อต่อ แบบจำลองความร้อนให้หนึ่งสมการต่อหนึ่งจุด ทั้งหมดเขียนสั้น ๆ ได้เป็น

$$A\mathbf x = \mathbf b$$

โดย $A$ เก็บสัมประสิทธิ์ $\mathbf x$ คือสิ่งที่ไม่รู้ และ $\mathbf b$ คือค่าที่กำหนด เมทริกซ์จึงไม่ใช่ตารางตัวเลขเฉย ๆ แต่เป็นภาษาที่ทำให้ระบบหลายร้อยสมการจัดการได้เหมือนสมการเดียว

## แผนที่ 7 ขั้น

เส้นทางจาก ม.ปลาย ถึงงานวิศวกรรม สีบอกระดับ: ส้ม = สอบเข้า · น้ำเงิน = ป.ตรี · เขียว = งานวิศวกรรม

| ขั้น | ตอบคำถาม | บทเรียน |

| 1 เมทริกซ์ | เขียนระบบเป็น $A\mathbf x = \mathbf b$ และคูณอย่างไร | 7.1 |

| 2 ดีเทอร์มิแนนต์ | มีคำตอบเดียวไหม ($\det A \ne 0$) | 7.2 |

| 3 อินเวอร์ส · คราเมอร์ | คำตอบคืออะไร (ระบบเล็ก) | 7.4 · 7.5 |

| 4 ลดแถว | แก้ได้ทุกกรณี แม้ $\det = 0$ | 7.3 |

| 5 แรงก์ | คำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี | 7.10 |

| 6 วิธีเชิงตัวเลข | แก้ระบบใหญ่ให้เร็วและแม่น | 7.11 |

| 7 ค่าเฉพาะ · การประยุกต์ | ระบบตอบสนองอย่างไร (ขั้ว โหมด) | 7.6 · 7.7 |

## ถ้าเป้าหมายคือสอบเข้ามหาวิทยาลัย

- คูณเมทริกซ์ให้คล่อง และจำว่า $AB \ne BA$ แต่ $(AB)^T = B^TA^T$

- ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 (ซาร์รัสหรือโคแฟกเตอร์)

- สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ทั้งหมด โดยเฉพาะ $\det(kA) = k^n\det A$ และ $\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1}$ — สรุปไว้ในบทความสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อ

- อินเวอร์ส 2×2 และสมการ $AX = B$ (คูณ $A^{-1}$ ทางซ้าย)

- คราเมอร์หาตัวแปรเดียว และระบบมีพารามิเตอร์ ($\Delta = 0$ แยกไม่มีคำตอบกับไม่จำกัด) — ดูบทความกฎของคราเมอร์

## ถ้าเรียน ป.ตรี และคณิตศาสตร์วิศวกรรม

- การลดแถวแบบเกาส์และเกาส์-จอร์แดน ใช้หาทั้งคำตอบ อินเวอร์ส และแรงก์

- แรงก์และทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี โจทย์ “แรงก์สำหรับทุกค่า $k$” ปริภูมิศูนย์ — ดูบทความแรงก์ของเมทริกซ์

- ค่าเฉพาะ เวกเตอร์เฉพาะ และการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ซึ่งต่อไปยังระบบควบคุมและสมการเชิงอนุพันธ์

- วิธีเชิงตัวเลข LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล และเลขเงื่อนไข — ดูบทความเปรียบเทียบวิธีเชิงตัวเลข

## แผนฝึก 7 วัน (วันละ 45–60 นาที)

- วันที่ 1: อ่าน เมทริกซ์ ใช้ ตัวช่วยดูการคูณทีละช่อง

- วันที่ 2: ดีเทอร์มิแนนต์ จนถึงสูตรลัดออกสอบ ทำชุด A ข้อ 1–6

- วันที่ 3: อินเวอร์ส และ คราเมอร์ ทำชุด A ข้อ 7–12

- วันที่ 4: ลดแถว ทำชุด A ข้อ 13–18

- วันที่ 5: แรงก์ เล่นแล็บสามระนาบ ทำชุด B ข้อ 1–8

- วันที่ 6: วิธีเชิงตัวเลข ทำชุด C

- วันที่ 7: โจทย์สุ่ม ทุกระดับจนถูกติดกัน 10 ข้อ ข้อที่ผิดกลับไปอ่านสูตรตามรหัสในเฉลย

## อ่านต่อในคลังความรู้

- พีชคณิตเชิงเส้นทั้งชุด 12 หน้า พร้อมค้นหาสูตร

- แนวข้อสอบเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ 45 ข้อ

- เมทริกซ์ในวงจรไฟฟ้าและระบบไฟฟ้ากำลัง

- บทความ: วิธีหา Determinant และ Inverse Matrix

## คำถามที่พบบ่อย

เรียนเมทริกซ์ควรเริ่มจากอะไร?
เริ่มจากขนาด การบวก การคูณ และทรานสโพสของเมทริกซ์ ต่อด้วยดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 กับสมบัติของมัน แล้วจึงไปที่อินเวอร์ส กฎของคราเมอร์ และการลดแถวแก้ระบบสมการ หัวข้อหลังทุกเรื่องใช้การคูณเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์เป็นพื้นฐาน

สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้เรื่องเมทริกซ์แค่ไหน?
ต้องคล่องการคูณ ทรานสโพส ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ (det(kA), det(AB), det(A⁻¹), det(adj A)) อินเวอร์ส 2×2 สมการเมทริกซ์ กฎของคราเมอร์ และระบบสมการที่มีพารามิเตอร์ เรื่องแรงก์และวิธีเชิงตัวเลขเป็นของระดับมหาวิทยาลัย

วิศวกรใช้เมทริกซ์ทำอะไร?
ใช้แก้ระบบสมการของวงจรไฟฟ้า (วิเคราะห์โนดและเมช) ระบบไฟฟ้ากำลัง โครงสร้าง และการสั่น ใช้หาขั้วของระบบควบคุมจากค่าเฉพาะ และใช้วิธีเชิงตัวเลขอย่าง LU หรือเกาส์-ไซเดลในโปรแกรมจำลองที่มีตัวแปรนับพันนับล้าน

ฝึกโจทย์เมทริกซ์ได้ที่ไหน?
หน้าแนวข้อสอบในคลังความรู้มี 45 ข้อพร้อมเฉลยทีละขั้น 3 ระดับ (สอบเข้า ป.ตรี และวิธีเชิงตัวเลข) และมีเครื่องสุ่มโจทย์ที่ตรวจคำตอบให้ทันที ฝึกได้ไม่จำกัด

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ
อธิบายแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ให้เห็นภาพ วิธีหาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ ใช้แรงก์ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**เรียนเมทริกซ์ควรเริ่มจากอะไร?**
เริ่มจากขนาด การบวก การคูณ และทรานสโพสของเมทริกซ์ ต่อด้วยดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 กับสมบัติของมัน แล้วจึงไปที่อินเวอร์ส กฎของคราเมอร์ และการลดแถวแก้ระบบสมการ หัวข้อหลังทุกเรื่องใช้การคูณเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์เป็นพื้นฐาน

**สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้เรื่องเมทริกซ์แค่ไหน?**
ต้องคล่องการคูณ ทรานสโพส ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ (det(kA), det(AB), det(A⁻¹), det(adj A)) อินเวอร์ส 2×2 สมการเมทริกซ์ กฎของคราเมอร์ และระบบสมการที่มีพารามิเตอร์ เรื่องแรงก์และวิธีเชิงตัวเลขเป็นของระดับมหาวิทยาลัย

**วิศวกรใช้เมทริกซ์ทำอะไร?**
ใช้แก้ระบบสมการของวงจรไฟฟ้า (วิเคราะห์โนดและเมช) ระบบไฟฟ้ากำลัง โครงสร้าง และการสั่น ใช้หาขั้วของระบบควบคุมจากค่าเฉพาะ และใช้วิธีเชิงตัวเลขอย่าง LU หรือเกาส์-ไซเดลในโปรแกรมจำลองที่มีตัวแปรนับพันนับล้าน

**ฝึกโจทย์เมทริกซ์ได้ที่ไหน?**
หน้าแนวข้อสอบในคลังความรู้มี 45 ข้อพร้อมเฉลยทีละขั้น 3 ระดับ (สอบเข้า ป.ตรี และวิธีเชิงตัวเลข) และมีเครื่องสุ่มโจทย์ที่ตรวจคำตอบให้ทันที ฝึกได้ไม่จำกัด

---

# แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/matrix-rank/
Updated: 2026-10-25
Summary: อธิบายแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ให้เห็นภาพ วิธีหาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ ใช้แรงก์ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี โจทย์พารามิเตอร์ k และการใช้ในวงจรไฟฟ้า

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · พีชคณิตเชิงเส้น

# แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ

แรงก์เป็นตัวเลขตัวเดียวที่บอกว่าในเมทริกซ์มี “ข้อมูลที่ไม่ซ้ำกัน” อยู่กี่แถว รู้แรงก์แล้วก็รู้ทันทีว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว มีไม่จำกัด หรือไม่มีเลย โดยไม่ต้องแก้จนจบ บทความนี้อธิบายความหมาย วิธีหาสองวิธี และการใช้งานจริงแบบเห็นภาพรวม

สรุปใน 30 วินาที

- แรงก์ = จำนวนแถว (หรือหลัก) ที่อิสระเชิงเส้น = จำนวนตัวหลักหลังลดแถวเป็นขั้นบันได

- หาได้สองวิธี: ลดแถวแล้วนับแถวที่ไม่เป็นศูนย์ หรือหาไมเนอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ย่อย) ที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่เป็นศูนย์

- $\operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b]$ ไม่มีคำตอบ · เท่ากัน $= n$ คำตอบเดียว · เท่ากัน $\lt n$ ไม่จำกัด

## แรงก์คือการนับข้อมูลที่ไม่ซ้ำ

ลองดูระบบ $x + 2y - z = 4,\ 2x + 3y + z = 9,\ 3x + 5y = 13$ สมการที่สามคือสมการที่หนึ่งบวกสมการที่สองพอดี จึงไม่ได้ให้ข้อมูลใหม่ ระบบนี้มีสามสมการ แต่มีข้อมูลจริงเพียงสอง เลข 2 นี้คือแรงก์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

มองอีกแบบด้วยภาพ หลักแต่ละหลักของเมทริกซ์คือเวกเตอร์หนึ่งตัว แรงก์คือจำนวน “ทิศทางอิสระ” ที่เวกเตอร์ทั้งหมดกางออกได้ ถ้าทุกตัวอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน แรงก์เป็น 1 ถ้าอยู่บนระนาบเดียวกัน แรงก์เป็น 2

หลักของเมทริกซ์ที่อยู่บนเส้นเดียว ระนาบเดียว หรือกางเต็มสามมิติ ให้แรงก์ 1, 2 และ 3 ตามลำดับ

ข้อเท็จจริงที่ดูแปลกแต่จริงเสมอคือ จำนวนแถวอิสระเท่ากับจำนวนหลักอิสระทุกครั้ง แรงก์จึงไม่เกินจำนวนแถวและไม่เกินจำนวนหลัก: $\operatorname{rank}A \le \min(m, n)$

## วิธีที่ 1: ลดแถวแล้วนับ

การดำเนินการตามแถว (สลับแถว คูณแถว บวกพหุคูณของแถวอื่น) ไม่เปลี่ยนแรงก์ จึงลดแถวให้เป็นรูปขั้นบันได แล้วนับแถวที่ไม่เป็นศูนย์ได้เลย

ตัวอย่าง

### $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

-
$$R_2 - 2R_1,\ R_3 - 3R_1:\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

-
$$R_3 - R_2:\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

แถวไม่เป็นศูนย์ 2 แถว จึง $\operatorname{rank}A = 2$

วิธีนี้ใช้ได้กับเมทริกซ์ทุกขนาด รวมถึงเมทริกซ์ที่ไม่จัตุรัส ลองพิมพ์เมทริกซ์ของคุณเองใน แล็บหาแรงก์ทีละขั้น ซึ่งแสดงทุกขั้นแบบเศษส่วนแม่นตรง

## วิธีที่ 2: ไมเนอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ย่อย)

แรงก์คืออันดับของไมเนอร์ที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่เป็นศูนย์ สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส $n\times n$ จึงได้กฎสั้น ๆ ว่า $\det A \ne 0 \iff \operatorname{rank}A = n$

ตัวอย่างคลาสสิก $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ มีดีเทอร์มิแนนต์ $225 - 225 = 0$ แรงก์จึงน้อยกว่า 3 แต่ไมเนอร์มุมบนซ้าย $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = -3 \ne 0$ แรงก์จึงเป็น 2

กับดัก $\det A = 0$ บอกแค่ว่าแรงก์ไม่เต็ม ไม่ได้บอกว่าเหลือเท่าไร เมทริกซ์ $3\times3$ ที่ทุกตัวเป็น 1 มี $\det = 0$ และแรงก์เพียง 1

## แรงก์บอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ

นี่คือเหตุผลหลักที่ต้องเรียนแรงก์ เทียบแรงก์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ $A$ กับเมทริกซ์แต่งเติม $[A\mid\mathbf b]$ ตามทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี

$$\begin{cases} \operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] & \text{ไม่มีคำตอบ} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = n & \text{คำตอบเดียว} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = r \lt n & \text{ไม่จำกัด มีตัวแปรอิสระ } n - r \text{ ตัว} \end{cases}$$

สามสมการสามตัวแปรคือสามระนาบ แรงก์สองตัวบอกว่ามันตัดกันแบบไหน (ดูแบบหมุนได้ใน แล็บสามระนาบ 3 มิติ)

ตัวอย่าง

### ระบบ $x + y + z = 1,\ x + 2y + 3z = 2,\ x + 3y + az = b$

- ลดแถวเมทริกซ์แต่งเติมจนแถวสุดท้ายเป็น

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & a - 5 & b - 3 \end{array}\right)$$

- $a \ne 5$: แรงก์ทั้งสองเป็น 3 คำตอบเดียว · $a = 5,\ b = 3$: แถวศูนย์ทั้งแถว แรงก์ 2 = 2 คำตอบไม่จำกัด · $a = 5,\ b \ne 3$: แรงก์ 2 กับ 3 ไม่มีคำตอบ

กรณีไม่จำกัด $(x, y, z) = (t,\ 1 - 2t,\ t)$ มีตัวแปรอิสระ $3 - 2 = 1$ ตัว

## โจทย์แรงก์ที่มีพารามิเตอร์ k

ข้อสอบชอบถาม “แรงก์ของ $A$ เป็นเท่าใดสำหรับทุกค่า $k$” ขั้นตอนคือ หา $\det A(k)$ แยกตัวประกอบ ค่า $k$ ที่ไม่ทำให้ $\det$ เป็นศูนย์ได้แรงก์เต็ม แล้วแทนค่า $k$ ที่ทำให้ $\det = 0$ ทีละค่าเพื่อลดแถวนับแรงก์จริง เช่น

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad \det A = -(k - 1)^2(k + 2)$$

ได้แรงก์ 3 เมื่อ $k \ne 1, -2$ · แรงก์ 1 เมื่อ $k = 1$ (ทุกแถวเหมือนกัน) · แรงก์ 2 เมื่อ $k = -2$ เลื่อนค่า $k$ ดูเองได้ใน แล็บแรงก์กับพารามิเตอร์ k

## แรงก์ในงานวิศวกรรม

- วงจรไฟฟ้า: เมทริกซ์อุบัติการณ์ของวงจร $n$ โนดมีแรงก์ $n - 1$ เสมอ จึงเขียน KCL ที่อิสระได้ $n - 1$ สมการ และ KVL อิสระ $b - n + 1$ สมการ (เท่าจำนวนเมช) — เหตุผลที่ต้องเลือกโนดอ้างอิงหนึ่งโนด

- ระบบควบคุม: ระบบควบคุมได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ $[B\ AB\ \cdots\ A^{n-1}B]$ มีแรงก์เต็ม $n$ (การทดสอบของคาลมาน)

- ข้อมูลจริง: ข้อมูลวัดมีความคลาดเคลื่อน จึงใช้แรงก์เชิงตัวเลขจากค่าเอกฐาน (SVD) นับเฉพาะค่าที่ใหญ่กว่าระดับสัญญาณรบกวน

## อ่านต่อในคลังความรู้

- ค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ฉบับเต็ม: ไมเนอร์ ปริภูมิศูนย์ แรงก์-ภาวะศูนย์ และแล็บ 3 มิติ

- ระบบสมการเชิงเส้นและการกำจัดแบบเกาส์

- กฎของคราเมอร์: เมื่อ Δ = 0 ต้องใช้แรงก์ตัดสิน

- แนวข้อสอบแรงก์และระบบสมการพร้อมเฉลย

- บทความ: แผนที่การเรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์

## คำถามที่พบบ่อย

แรงก์กับค่าลำดับขั้นคือสิ่งเดียวกันไหม?
ใช่ ค่าลำดับขั้น (บางตำราเรียกลำดับชั้น) คือคำแปลของ rank of a matrix หมายถึงจำนวนแถวหรือหลักที่อิสระเชิงเส้น ซึ่งเท่ากับจำนวนตัวหลักเมื่อลดแถวเป็นรูปขั้นบันได

แรงก์ของเมทริกซ์ 3×4 มีค่าได้มากที่สุดเท่าใด?
3 เพราะแรงก์ไม่เกินจำนวนแถวและไม่เกินจำนวนหลัก rank A ≤ min(m, n) เมทริกซ์ 3×4 จึงมีแรงก์ได้ 0, 1, 2 หรือ 3

det A = 0 แปลว่าแรงก์เท่ากับ n − 1 ใช่ไหม?
ไม่เสมอไป det A = 0 บอกเพียงว่าแรงก์น้อยกว่า n อาจเป็น n − 1 หรือน้อยกว่านั้น เช่น เมทริกซ์ 3×3 ที่ทุกสมาชิกเป็น 1 มี det = 0 และแรงก์เพียง 1 ต้องลดแถวเพื่อนับแรงก์จริง

แรงก์ใช้ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบได้อย่างไร?
เทียบ rank A กับ rank [A|b] ถ้า rank A น้อยกว่า ระบบไม่มีคำตอบ ถ้าเท่ากันและเท่ากับจำนวนตัวแปร มีคำตอบเดียว ถ้าเท่ากันแต่น้อยกว่าจำนวนตัวแปร มีคำตอบไม่จำกัด โดยมีตัวแปรอิสระเท่ากับจำนวนตัวแปรลบแรงก์

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**แรงก์กับค่าลำดับขั้นคือสิ่งเดียวกันไหม?**
ใช่ ค่าลำดับขั้น (บางตำราเรียกลำดับชั้น) คือคำแปลของ rank of a matrix หมายถึงจำนวนแถวหรือหลักที่อิสระเชิงเส้น ซึ่งเท่ากับจำนวนตัวหลักเมื่อลดแถวเป็นรูปขั้นบันได

**แรงก์ของเมทริกซ์ 3×4 มีค่าได้มากที่สุดเท่าใด?**
3 เพราะแรงก์ไม่เกินจำนวนแถวและไม่เกินจำนวนหลัก rank A ≤ min(m, n) เมทริกซ์ 3×4 จึงมีแรงก์ได้ 0, 1, 2 หรือ 3

**det A = 0 แปลว่าแรงก์เท่ากับ n − 1 ใช่ไหม?**
ไม่เสมอไป det A = 0 บอกเพียงว่าแรงก์น้อยกว่า n อาจเป็น n − 1 หรือน้อยกว่านั้น เช่น เมทริกซ์ 3×3 ที่ทุกสมาชิกเป็น 1 มี det = 0 และแรงก์เพียง 1 ต้องลดแถวเพื่อนับแรงก์จริง

**แรงก์ใช้ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบได้อย่างไร?**
เทียบ rank A กับ rank [A|b] ถ้า rank A น้อยกว่า ระบบไม่มีคำตอบ ถ้าเท่ากันและเท่ากับจำนวนตัวแปร มีคำตอบเดียว ถ้าเท่ากันแต่น้อยกว่าจำนวนตัวแปร มีคำตอบไม่จำกัด โดยมีตัวแปรอิสระเท่ากับจำนวนตัวแปรลบแรงก์

---

# การจูน PID ฉบับสมบูรณ์: จาก Step Test ถึง Ziegler–Nichols, SIMC และ Anti-Windup

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/pid-tuning-guide/
Updated: 2026-10-16
Summary: คอร์สจูน PID ครบในบทความเดียว: หาแบบจำลองด้วย step test จูนด้วย Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC และ relay เทียบผลด้วยการจำลอง แล้วแก้ปัญหา windup และสัญญาณรบกวนหน้างาน

THภาษาไทยENEnglish
// คู่มือ · PID Academy · ระบบควบคุม

# การจูน PID ฉบับสมบูรณ์: จาก Step Test ถึง Ziegler–Nichols, SIMC และ Anti-Windup

การจูนคือสิ่งที่ตัดสินว่าวงควบคุม PID จะเดินเรียบไปสิบปี หรือแกว่งทุกกะ บทความนี้คือคอร์สทั้งหลักสูตรในหน้าเดียว ตั้งแต่การอ่านสมการของตัวควบคุมที่ใช้อยู่ การวัดกระบวนการ กฎจูนเจ็ดแบบพร้อมสูตรและข้อจำกัด การเทียบผลบนพลานต์ตัวเดียวกันด้วยการจำลอง วิธีแก้ปัญหาที่วงควบคุมจริงต้องเจอ และตารางแก้ปัญหาที่พกไปหน้างานได้ ตัวเลขทุกตัวคำนวณและตรวจด้วยการจำลองแล้ว

สรุปใน 30 วินาที

- ดูสมการของตัวควบคุมก่อน (ideal, series หรือ parallel; หน่วยเป็นวินาทีหรือนาที) ตัวเลขชุดเดียวกันให้ผลต่างกันในแต่ละรูปแบบ

- step test วงเปิดครั้งเดียวได้ $K$, $L$, $T$ และอัตราส่วน $L/T$ บอกว่าวงนี้ควบคุมยากแค่ไหน

- ค่าเริ่มต้นที่ดี: SIMC ที่ $\tau_c=L$: $K_p=\dfrac{T}{K(\tau_c+L)}$, $T_i=\min\big(T,\,4(\tau_c+L)\big)$ ส่วน Ziegler–Nichols และ Cohen–Coon เร็วแต่ margin บาง

- วงควบคุมจริงต้องมีเทอม D ที่กรองแล้ว anti-windup เวลาสุ่มตัวอย่างที่เหมาะ และตรวจ stiction ของวาล์ว

## 1. กำหนดก่อนว่า “จูนดี” หมายถึงอะไร

การจูนคือการเลือก $K_p$, $T_i$ และ $T_d$ ให้วงปิดได้ตามข้อกำหนด ก่อนแตะตัวเลขใด ๆ ให้เขียนข้อกำหนดออกมาก่อน เพราะวงควบคุมเก่งทุกอย่างพร้อมกันไม่ได้ มีสี่เรื่องที่ต้องแลกกัน:

- การตามค่าเป้าหมาย (setpoint tracking): เวลาขึ้น การเกินเป้า และเวลาเข้าที่หลังค่าเป้าหมายเปลี่ยน

- การต้านสิ่งรบกวน (disturbance rejection): โหลดเปลี่ยนแล้วค่าที่วัดถูกดันไปไกลแค่ไหน และกลับมาเร็วเพียงใด

- ความทนทาน (robustness): วงยังนิ่งอยู่ไหมเมื่อเกน ค่าคงเวลา หรือเวลาหน่วงของกระบวนการเปลี่ยนไป 30–50%

- แรงที่ใช้ควบคุม (control effort): วาล์ว มอเตอร์ หรือฮีตเตอร์ขยับมากแค่ไหน รวมถึงที่ขยับตามสัญญาณรบกวน ขยับมากทำให้ตัวขับสึกหรอ

การจูนแบบดุดันช่วยสองข้อแรกและเสียสองข้อหลัง วงควบคุมในโรงงานส่วนใหญ่เป็นแบบ regulatory คือค่าเป้าหมายแทบไม่เปลี่ยนและสิ่งรบกวนเป็นตัวหลัก จึงให้ความสำคัญกับเทอมปริพันธ์และการต้านสิ่งรบกวน ส่วนวงควบคุมการเคลื่อนที่เป็นแบบ servo ค่าเป้าหมายเปลี่ยนตลอดและ overshoot เป็นศัตรูหลัก ถ้าต้องการทั้งสองอย่างให้ใช้ setpoint weighting (หัวข้อ 13) เพื่อปรับสองพฤติกรรมแยกกัน

หลักคิด เริ่มจากการจูนที่นุ่มและทนทานก่อน แล้วค่อยเร่งเมื่อกระบวนการต้องการ อธิบายวงที่ช้าไปนิดเดียวได้ง่ายกว่าวงที่แกว่งมาก

## 2. รู้ก่อนว่าตัวควบคุมของคุณใช้สมการแบบไหน

ความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในการจูนคือใส่ตัวเลขถูกต้องลงในสมการผิดรูปแบบ รูปแบบที่พบมีสามแบบ

| รูปแบบ | ฟังก์ชันถ่ายโอน | พบที่ไหน |

| Ideal (ISA, มาตรฐาน) | $C(s)=K_c\left(1+\dfrac{1}{T_is}+T_ds\right)$ | ตำรา DCS และฟังก์ชันบล็อก PLC ส่วนใหญ่ |

| Parallel | $C(s)=K_p+\dfrac{K_i}{s}+K_ds$ | ไลบรารี MATLAB/Python หลายตัว ไดรฟ์และโค้ดไมโครคอนโทรลเลอร์บางชนิด |

| Series (interacting) | $C(s)=K_c'\left(1+\dfrac{1}{T_i's}\right)(1+T_d's)$ | ตัวควบคุมนิวเมติกและอิเล็กทรอนิกส์รุ่นเก่า บางผู้ผลิต |

Ideal กับ parallel แปลงกันตรง ๆ: $K_p=K_c$, $K_i=K_c/T_i$, $K_d=K_cT_d$ ส่วนแบบ series เมื่อคูณออกมาจะได้รูป ideal ที่ตัวเลขต่างไป

$$K_c=K_c'\left(1+\frac{T_d'}{T_i'}\right),\qquad T_i=T_i'+T_d',\qquad T_d=\frac{T_i'T_d'}{T_i'+T_d'}$$

เมื่อ $T_d$ น้อยมากเมื่อเทียบกับ $T_i$ ทั้งสองรูปแบบแทบไม่ต่างกัน แต่ถ้าใช้เทอมอนุพันธ์แรงจะต่างชัดเจน มีรายละเอียดอีกสามอย่างที่เปลี่ยนความหมายของตัวเลข:

- Proportional band: ตัวควบคุมบางรุ่นให้ใส่ PB (%) แทนเกน: $PB=100/K_c$ เมื่ออินพุตและเอาต์พุตเป็นเปอร์เซ็นต์ของช่วงวัดทั้งคู่

- หน่วยของเทอมปริพันธ์: $T_i$ อาจเป็นวินาทีหรือนาที และบางผู้ผลิตใช้ repeats per minute $=1/T_i$ ซึ่งเลขมากหมายถึงปริพันธ์ แรงขึ้น ตรงข้ามกับ $T_i$

- หน่วยวิศวกรรมเทียบกับเปอร์เซ็นต์: ถ้าตัวควบคุมทำงานบนเปอร์เซ็นต์ของช่วงวัด เกนกระบวนการ $K$ ต้องแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์เหมือนกัน เช่น เกนที่วัดเป็น °C ต่อ % ต้องหารด้วยช่วงวัดก่อนนำไปใช้กับกฎจูน

ตรวจก่อนใส่ค่า อ่านสมการในคู่มือ ยืนยันหน่วยเวลา และยืนยันว่าเอาต์พุตเป็นแบบ direct หรือ reverse acting ตัวควบคุมแบบ reverse ที่ต่อกับกระบวนการแบบ direct เปลี่ยนฟีดแบ็กเชิงลบเป็นเชิงบวกภายในไม่กี่วินาที

## 3. P, I และ D ทำอะไรกับการตอบสนอง

สรุปสั้น ๆ ก่อน ส่วนเรื่องเต็มอยู่ในบทความ “PID Controller คืออะไร” กำหนดค่าผิดพลาด $e=r-y$

$$u(t)=K_p\left[e(t)+\frac{1}{T_i}\int_0^t e\,d\tau+T_d\frac{de}{dt}\right]$$

- P ตอบสนองต่อค่าผิดพลาดปัจจุบัน กระบวนการที่มีเกน $K$ และไม่มีตัวอินทิเกรต เมื่อใช้ P อย่างเดียวจะนิ่งที่ค่าผิดพลาดค้าง $e_{ss}=\dfrac{1}{1+KK_p}$ สำหรับค่าเป้าหมายขั้นบันไดหนึ่งหน่วย

- I ตอบสนองต่อค่าผิดพลาดสะสม จึงกำจัดค่าค้างนั้นได้ ราคาที่จ่ายคือเฟสล้าหลัง ปริพันธ์แรง ($T_i$ น้อย) ทำให้วงช้าลงและแกว่งง่ายขึ้น

- D ตอบสนองต่อแนวโน้ม เพิ่มเฟสนำและการหน่วง แต่เกนของมันโตตามความถี่ จึงขยายสัญญาณรบกวนความถี่สูง

| เพิ่ม | เวลาขึ้น | Overshoot | เวลาเข้าที่ | ค่าผิดพลาดค้าง | เสถียรภาพ |

| $K_p$ | สั้นลง | มากขึ้น | เปลี่ยนเล็กน้อย | ลดลง | แย่ลง |

| ปริพันธ์ ($T_i$ น้อยลง) | สั้นลง | มากขึ้น | นานขึ้น | หมดไป | แย่ลง |

| $T_d$ | เปลี่ยนเล็กน้อย | ลดลง | สั้นลง | ไม่เปลี่ยน | ดีขึ้นถึงจุดหนึ่ง |

รูปที่ 1 ควบคุมแบบ P อย่างเดียวกับพลานต์ตัวอย่าง $G(s)=2e^{-2s}/(10s+1)$ ค่าสุดท้ายคือ $KK_p/(1+KK_p)$ ได้ 0.50, 0.75 และ 0.857 เมื่อ $K_p=0.5,\,1.5,\,3$ ตรงกับสูตรทุกค่า และที่ $K_p=K_u=4.25$ วงแกว่งต่อเนื่อง ซึ่งเป็นการทดลองที่อยู่เบื้องหลังวิธี Ziegler–Nichols แบบวงปิด

## 4. จำแนกกระบวนการก่อนจูน

กฎจูนทุกข้อสมมุติแบบจำลองของกระบวนการไว้ กระบวนการในโรงงานเกือบทั้งหมดอธิบายได้ดีพอด้วยสองรูปแบบ:

- Self-regulating (FOPDT): “อันดับหนึ่งบวกเวลาหน่วง” $G(s)=\dfrac{Ke^{-Ls}}{Ts+1}$ ป้อนขั้นบันไดที่เอาต์พุตแล้วค่าวัดจะไปนิ่งที่ค่าใหม่ เช่น อุณหภูมิ การไหล ความดันในปริมาตรที่มีทางระบาย ความเร็ว

- Integrating: $G(s)=\dfrac{K'e^{-Ls}}{s}$ ค่าวัดไต่เป็นทางลาดตราบใดที่อินพุตไม่เป็นศูนย์ เช่น ระดับน้ำในถังที่มีปั๊ม ตำแหน่งของมอเตอร์ที่ขับด้วยความเร็ว

ตัวเลขสามตัวของ FOPDT คือเกนกระบวนการ $K$ (ค่าวัดที่เปลี่ยนต่อเอาต์พุตที่เปลี่ยนหนึ่งหน่วย) เวลาหน่วง $L$ (dead time, delay หรือ $\theta$) และค่าคงเวลา $T$ (หรือ $\tau$) เวลาหน่วงคือศัตรู เพราะตัวควบคุมไม่มีทางตอบสนองก่อนที่ค่าวัดจะขยับ และทุกวินาทีที่หน่วงเพิ่มจะลดเกนที่ใช้ได้อย่างปลอดภัย อัตราส่วน $L/T$ สรุปว่าวงนี้ยากแค่ไหน

| $L/T$ | ลักษณะ | ความหมายต่อการจูน |

| น้อยกว่า 0.1 | Lag-dominant | ใช้เกนสูงได้ ปริพันธ์ควรเร็ว เทอม D ช่วยได้ SIMC จำกัด $T_i$ ที่ $4(\tau_c+L)$ |

| 0.1 ถึง 0.5 | สมดุล | กรณีตามตำรา PI มักพอ PID ได้เพิ่มไม่มาก |

| 0.5 ถึง 1 | เวลาหน่วงเริ่มสำคัญ | ลดเกน เทอม D ช่วยได้น้อย วงช้าลง |

| มากกว่า 1 | Delay-dominant | ใช้เกนต่ำและปริพันธ์เป็นหลัก พิจารณาชดเชยเวลาหน่วง (Smith predictor) หรือ feedforward |

พลานต์ตัวอย่างที่ใช้ตลอดบทความนี้คือ $K=2$ (°C ต่อ % ของเอาต์พุตฮีตเตอร์) $L=2$ วินาที $T=10$ วินาที ได้ $L/T=0.2$ ตัวเลขถูกย่อส่วนให้ตามง่าย วิธีทำเหมือนกันกับเตาที่วัดเป็นนาที

## 5. วัดกระบวนการด้วย step test

step test (หรือ bump test) คือครึ่งชั่วโมงที่คุ้มที่สุดที่ใช้กับวงควบคุม มันเปลี่ยนการเดาให้เป็นตัวเลขสามตัว

### ขั้นตอน

- เตรียม ใส่วงเป็นโหมดแมนนวลและรอให้ค่าวัดนิ่ง ตรวจว่าวงอื่นและผู้ปฏิบัติงานไม่ได้เปลี่ยนกระบวนการอยู่

- ป้อนขั้นบันไดที่เอาต์พุต 5–10% ของช่วง ค่าวัดควรเปลี่ยนอย่างน้อย 5–10 เท่าของแถบสัญญาณรบกวน แต่ไม่ใหญ่จนออกนอกช่วงเชิงเส้นหรือเกินขีดจำกัดความปลอดภัย

- บันทึก ค่าวัดและเอาต์พุตที่เวลาสุ่มราวหนึ่งในยี่สิบของ $T$ ที่คาดไว้หรือเร็วกว่า จนค่าวัดนิ่งอีกครั้ง (ราว 4–5 $T$ หลังเวลาหน่วง)

- คืนค่าเอาต์พุต และถ้าทำได้ให้ทดสอบซ้ำในทิศตรงข้ามและที่จุดทำงานอื่น ถ้าผลต่างกันมากแปลว่ากระบวนการไม่เป็นเชิงเส้น

### อ่าน K, L และ T

เกนกระบวนการคือ $K=\Delta y/\Delta u$ ในหน่วยเดียวกับที่ตัวควบคุมใช้ ส่วน $L$ กับ $T$ มีวิธีอ่านมาตรฐานสองแบบ

รูปที่ 2 step test จำลองของพลานต์ตัวอย่างที่ $\Delta u=10\%$ เส้นสัมผัสที่จุดชันที่สุดตัดค่าเริ่มต้นที่ $t=L$ และตัดค่าสุดท้ายที่ $t=L+T$ วงกลมสองจุดคือ 28.3% และ 63.2% ของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด

- วิธีเส้นสัมผัส (reaction curve): ลากเส้นสัมผัสที่จุดชันที่สุด $L$ คือจุดที่เส้นตัดค่าเริ่มต้น $T$ คือเวลาที่เส้นใช้ไต่จากจุดนั้นถึงค่าสุดท้าย ทำได้เร็วแต่ไวต่อวิธีลากเส้นโดยเฉพาะเมื่อมีสัญญาณรบกวน

- วิธีสองจุด (28.3% และ 63.2%): สำหรับการตอบสนองอันดับหนึ่งที่มีเวลาหน่วง $y$ ถึง 28.3% ของการเปลี่ยนแปลงที่ $t_{28}=L+0.333T$ และถึง 63.2% ที่ $t_{63}=L+T$ ลบกันได้ $T=1.5\,(t_{63}-t_{28})$ และ $L=t_{63}-T$ วิธีนี้ทำซ้ำได้ดีกว่าการลากเส้นสัมผัสด้วยมือ

ตัวอย่างที่ 1

### อ่านค่าจาก step test ในรูปที่ 2

ป้อนขั้นบันไดที่เอาต์พุตฮีตเตอร์ $\Delta u=10\%$ อุณหภูมิเพิ่มขึ้น $\Delta y=20\,^\circ\text{C}$ ถึง 28.3% ของการเปลี่ยนแปลง (5.7 °C) ที่ $t_{28}=5.3$ วินาที และถึง 63.2% (12.6 °C) ที่ $t_{63}=12.0$ วินาที

-
$$K=\frac{\Delta y}{\Delta u}=\frac{20}{10}=2\ ^\circ\text{C}/\%$$

-
$$T=1.5\,(t_{63}-t_{28})=1.5\,(12.0-5.3)=10.05\approx 10\ \text{s}$$

-
$$L=t_{63}-T=12.0-10.05=1.95\approx 2\ \text{s}$$

$K=2$, $L=2$ วินาที, $T=10$ วินาที ได้ $L/T=0.2$ การสร้างเส้นสัมผัสในรูปที่ 2 ให้ค่าเดียวกัน

### กระบวนการแบบ integrating

ถ้าค่าวัดไต่เป็นทางลาดแทนที่จะนิ่ง (เช่นระดับน้ำในถัง) ให้ป้อนขั้นบันไดที่เอาต์พุตแล้ววัดความชันหลังเวลาหน่วง จะได้ $K'=\text{ความชัน}/\Delta u$ และ $L$ คือเวลาตั้งแต่ป้อนขั้นบันไดจนถึงจุดที่ทางลาดเริ่มคงที่ กฎจูนของกรณีนี้อยู่ในหัวข้อ 10

## 6. จูนด้วยมือ: ขั้นตอนที่ใช้ได้เสมอ

เมื่อทำ step test ที่สะอาดไม่ได้ หรือแค่ต้องปรับละเอียดวงที่ทำงานอยู่ ให้จูนแบบลองผิดลองถูก แต่ต้องทำตามลำดับ

- ตรวจวงก่อน เซนเซอร์อ่านค่าสมเหตุสมผลไหม วาล์วขยับถูกทิศไหม ตัวควบคุมเป็น direct หรือ reverse acting ตรงกับที่ต้องการไหม เอาต์พุตไม่ได้ติดขีดจำกัดอยู่ใช่ไหม

- ปิด I และ D ตั้งปริพันธ์เป็นปิด ($T_i$ สูงสุด) และ $T_d=0$ เริ่มจากเกนต่ำ

- หาเกนสัดส่วน เปลี่ยนค่าเป้าหมายครั้งละ 5–10% เพิ่ม $K_p$ ครั้งละประมาณ 1.5–2 เท่าจนการตอบสนองเริ่มสั่น แล้วถอยกลับประมาณครึ่งหนึ่ง ในทางปฏิบัติจะอยู่ใกล้ $0.5K_u$

- เพิ่มปริพันธ์ เริ่มที่ $T_i\approx T$ (หรือเวลาที่ค่าวัดไต่ถึง 63% ของการเปลี่ยนแปลง) แล้วลดลงทีละขั้นจนค่าผิดพลาดค้างหายในเวลาที่ยอมรับได้ หยุดทันทีที่เริ่มเกินเป้าแบบช้า ๆ เป็นลูกคลื่น

- เพิ่มอนุพันธ์เมื่อจำเป็น ลอง $T_d\approx 0.25$–$0.5\,L$ โดยเปิดตัวกรองไว้ ค่อย ๆ เพิ่มจน overshoot ยอมรับได้และเอาต์พุตไม่กระตุก

- ทดสอบให้ครบ ทดสอบทั้งการเปลี่ยนค่าเป้าหมายและสิ่งรบกวน (โหลดเปลี่ยนหรือกระแทกเอาต์พุต) ที่จุดทำงานมากกว่าหนึ่งจุด และดูเอาต์พุตของตัวควบคุมควบคู่ไปกับค่าวัด

| อาการที่เห็น | สาเหตุที่น่าจะเป็น | สิ่งที่ปรับ |

| สั่นถี่ คาบสั้น โตขึ้นหรือค้าง | $K_p$ สูงเกิน (หรือ D สูงเมื่อมีสัญญาณรบกวน) | ลด $K_p$ 30–50% |

| แกว่งช้าเป็นลูกคลื่น คาบนานหลายเท่าของ $T$ | ปริพันธ์แรงเกิน | เพิ่ม $T_i$ (หรือลด $K_i$) |

| ค่อย ๆ เข้าหาเป้าหมายช้ามากและหยุดก่อนถึง | เกนต่ำเกิน ปริพันธ์น้อย | เพิ่ม $K_p$ ลด $T_i$ |

| เกินเป้ามากหลังเปลี่ยนค่าเป้าหมายใหญ่ เอาต์พุตติดขีดจำกัด | Integral windup | เปิด anti-windup (หัวข้อ 13) |

| เอาต์พุตกระโดดแรง แต่ค่าวัดดูปกติ | D ตอบสนองต่อสัญญาณรบกวน | กรอง D ลด $T_d$ หรือเลิกใช้ D |

| ค่าวัดเป็นฟันเลื่อย เอาต์พุตเป็นคลื่นสี่เหลี่ยม | วาล์วติด (stiction) หรือคลอน (backlash) | แก้ที่วาล์ว (ใส่ positioner) ไม่ใช่จูนใหม่ |

การจูนด้วยมือช้าสำหรับกระบวนการที่ค่าคงเวลายาว เพราะการลองแต่ละครั้งใช้เวลาเป็นนาทีหรือชั่วโมง ตรงนั้นคือจุดที่กฎจูนแบบใช้แบบจำลองคุ้มค่า

## 7. Ziegler–Nichols แบบวงปิด (เกนวิกฤต)

วิธีนี้เผยแพร่ในปี 1942 ไม่ต้องใช้แบบจำลอง ให้ตั้ง $T_i$ สูงสุดและ $T_d=0$ แล้วเพิ่ม $K_p$ จนวงแกว่งด้วยแอมพลิจูดคงที่ เกนตรงจุดนั้นคือเกนวิกฤต (ultimate gain) $K_u$ และคาบการแกว่งคือคาบวิกฤต (ultimate period) $P_u$ จากนั้นอ่านค่าจากตาราง

| ตัวควบคุม | $K_p$ | $T_i$ | $T_d$ |

| P | $0.5K_u$ | – | – |

| PI | $0.45K_u$ | $P_u/1.2$ | – |

| PID | $0.6K_u$ | $P_u/2$ | $P_u/8$ |

| PI, Tyreus–Luyben | $K_u/3.2$ | $2.2P_u$ | – |

| PID, Tyreus–Luyben | $K_u/2.2$ | $2.2P_u$ | $P_u/6.3$ |

กฎแบบคลาสสิกตั้งเป้าให้ลดทอนหนึ่งในสี่ต่อรอบ (quarter-amplitude decay) คือยอดแต่ละรอบเป็นหนึ่งในสี่ของยอดก่อนหน้า ซึ่งเร็วแต่แกว่งมาก ส่วนกฎ Tyreus–Luyben (1992) ใช้ $K_u$ และ $P_u$ เท่าเดิมแต่นุ่มนวลกว่ามาก และเหมาะเป็นค่าเริ่มต้นสำหรับกระบวนการเคมี

ตัวอย่างที่ 2

### ZN วงปิดกับพลานต์ตัวอย่าง

สำหรับ $G(s)=2e^{-2s}/(10s+1)$ เฟสถึง $-180^\circ$ ที่ $\omega_u=0.844$ rad/s ซึ่ง $|G|=0.2352$ จึงได้ $K_u=1/0.2352=4.25$ และ $P_u=2\pi/\omega_u=7.44$ วินาที (กับพลานต์จริงคุณจะหาค่าเหล่านี้ด้วยการทดลองเหมือนรูปที่ 1)

-
$$K_p=0.6K_u=0.6\times4.25=2.55$$

-
$$T_i=\frac{P_u}{2}=3.72\ \text{s},\qquad T_d=\frac{P_u}{8}=0.93\ \text{s}$$

-
$$K_i=\frac{K_p}{T_i}=0.686\ \text{s}^{-1},\qquad K_d=K_pT_d=2.37$$

PID: $K_p=2.55$, $T_i=3.72$ วินาที, $T_d=0.93$ วินาที หัวข้อ 12 จะแสดงว่าค่านี้ให้การตอบสนองจริงอย่างไร: overshoot 56%

ความปลอดภัยและข้อจำกัด การทดลองนี้ดันกระบวนการไปที่ขอบเสถียรภาพ ห้ามทำกับหม้อไอน้ำ เครื่องปฏิกรณ์ หรืออะไรก็ตามที่รับการแกว่งต่อเนื่องไม่ได้ และต้องมีเฟสล้าหลังมากพอ กระบวนการอันดับหนึ่งล้วนที่ไม่มีเวลาหน่วงไม่มีวันถึง $-180^\circ$ จึงไม่มี $K_u$ ในกระบวนการที่ช้าการทดลองอาจกินเวลาหลายชั่วโมง วิธี relay ในหัวข้อ 11 ปลอดภัยกว่าสำหรับการหา $K_u$ และ $P_u$

## 8. Ziegler–Nichols แบบวงเปิด (reaction curve)

วิธี ZN แบบที่สองใช้ step test ของหัวข้อ 5 แทนการทดลองที่ขอบเสถียรภาพ จึงปลอดภัยกว่า เมื่อได้ $K$, $L$ และ $T$ จากกราฟแล้ว:

| ตัวควบคุม | $K_p$ | $T_i$ | $T_d$ |

| P | $\dfrac{T}{KL}$ | – | – |

| PI | $\dfrac{0.9\,T}{KL}$ | $3.33\,L$ | – |

| PID | $\dfrac{1.2\,T}{KL}$ | $2L$ | $0.5L$ |

ตัวอย่างที่ 3

### ZN วงเปิดแบบ PID เมื่อ $K=2,\ L=2\ \text{s},\ T=10\ \text{s}$

-
$$K_p=\frac{1.2\,T}{KL}=\frac{1.2\times10}{2\times2}=3.0$$

-
$$T_i=2L=4\ \text{s},\qquad T_d=0.5L=1\ \text{s}$$

$K_p=3.0$, $T_i=4$ วินาที, $T_d=1$ วินาที สังเกตสูตร: เกนแปรผกผันกับ $KL$ เวลาหน่วงหรือเกนกระบวนการที่มากขึ้นจึงลดเกนของตัวควบคุม ซึ่งถูกต้องตามหลักการ

กฎนี้มุ่งให้ลดทอนหนึ่งในสี่ต่อรอบกับกระบวนการที่เวลาหน่วงปานกลาง และจะแย่เมื่อเวลาหน่วงน้อยมากเมื่อเทียบกับ $T$ (เกน $T/(KL)$ โตไม่จำกัด) หรือมากเกินไป (วงจะดุดันเกิน)

## 9. Cohen–Coon

Cohen และ Coon (1953) ปรับกฎแบบ step test โดยเพิ่มเทอมที่ขึ้นกับอัตราส่วน $\tau=L/T$ ทำให้รับมือเวลาหน่วงที่มากขึ้นได้ดีกว่าตาราง ZN วงเปิด แต่ยังตั้งเป้าลดทอนหนึ่งในสี่ต่อรอบ กำหนด $\tau=L/T$:

| ตัวควบคุม | $K_p$ | $T_i$ | $T_d$ |

| PI | $\dfrac{1}{K}\dfrac{T}{L}\left(0.9+\dfrac{\tau}{12}\right)$ | $L\,\dfrac{30+3\tau}{9+20\tau}$ | – |

| PID | $\dfrac{1}{K}\dfrac{T}{L}\left(\dfrac43+\dfrac{\tau}{4}\right)$ | $L\,\dfrac{32+6\tau}{13+8\tau}$ | $\dfrac{4L}{11+2\tau}$ |

ตัวอย่างที่ 4

### Cohen–Coon แบบ PID กับพลานต์เดิม

ที่นี่ $\tau=L/T=0.2$ และ $T/(KL)=2.5$

-
$$K_p=2.5\left(\tfrac43+\tfrac{0.2}{4}\right)=2.5\times1.3833=3.46$$

-
$$T_i=2\,\frac{32+1.2}{13+1.6}=4.55\ \text{s},\qquad T_d=\frac{8}{11+0.4}=0.70\ \text{s}$$

$K_p=3.46$, $T_i=4.55$ วินาที, $T_d=0.70$ วินาที เป็นกฎที่ดุดันที่สุดในบทความนี้ (overshoot 85% ในหัวข้อ 12) จึงควรถือเป็นจุดเริ่มต้นที่ต้องลดเกนต่อ

## 10. IMC, Lambda และ SIMC: จูนด้วยการเลือกความเร็ว

กฎก่อนหน้านี้ถูกปรับให้เข้ากับเกณฑ์สมรรถนะ แนวคิด internal model control (IMC) กลับด้าน: เลือกก่อนว่าต้องการให้วงปิดเร็วแค่ไหน แล้วคำนวณตัวควบคุมที่ให้ผลนั้นพอดี ขอการตอบสนอง $\dfrac{y}{r}=\dfrac{e^{-Ls}}{\tau_cs+1}$ คืออันดับหนึ่งที่มีเวลาหน่วงซึ่งเลี่ยงไม่ได้ เมื่อประมาณเวลาหน่วงเป็น $e^{-Ls}\approx1-Ls$ ตัวควบคุมสำหรับกระบวนการ FOPDT จะออกมาเป็นตัวควบคุม PI:

$$K_p=\frac{T}{K(\tau_c+L)},\qquad T_i=T \qquad\text{(IMC / lambda โดย }\lambda=\tau_c\text{)}$$

กฎ SIMC ของ Skogestad (2003) แก้เพียงตัวเลขเดียว สำหรับกระบวนการ lag-dominant การใช้ $T_i=T$ ทำให้วงฟื้นจากโหลดรบกวนช้า SIMC จึงจำกัดไว้ว่า

$$T_i=\min\big(T,\ 4(\tau_c+L)\big)$$

ปุ่มปรับตัวเดียวคือ $\tau_c$ ซึ่งเป็นค่าคงเวลาวงปิดที่ต้องการ ข้อแนะนำในทางปฏิบัติคือ $\tau_c=L$ เร็วเท่าที่เวลาหน่วงยอมให้ ค่าที่มากกว่านั้นให้วงที่นุ่มและทนทานกว่า ส่วนค่าที่น้อยกว่า $L$ ได้ความเร็วเพิ่มนิดเดียวแต่เสียความทนทานมาก

ตัวอย่างที่ 5

### SIMC แบบ PI เมื่อ $K=2,\ L=2\ \text{s},\ T=10\ \text{s}$

- เมื่อ $\tau_c=L=2$ วินาที:
$$K_p=\frac{10}{2\,(2+2)}=1.25,\qquad T_i=\min(10,\ 4\times4)=10\ \text{s}$$

- เมื่อ $\tau_c=2L=4$ วินาที (นุ่มกว่า):
$$K_p=\frac{10}{2\,(4+2)}=0.833,\qquad T_i=\min(10,\ 24)=10\ \text{s}$$

$K_p=1.25$, $T_i=10$ วินาที สำหรับการตั้งแบบเร็ว และ $K_p=0.83$, $T_i=10$ วินาที สำหรับแบบนุ่ม คำนวณแบบแม่นยำ แบบแรกมี gain margin 3.14 และ phase margin 61°

### กระบวนการรูปแบบอื่น

- กระบวนการ integrating $K'e^{-Ls}/s$ (ระดับน้ำในถัง): $K_p=\dfrac{1}{K'(\tau_c+L)}$, $T_i=4(\tau_c+L)$

- อันดับสองบวกเวลาหน่วง $\dfrac{Ke^{-Ls}}{(T_1s+1)(T_2s+1)}$: ใช้รูป series $K_c=\dfrac{T_1}{K(\tau_c+L)}$, $T_i=\min\big(T_1,4(\tau_c+L)\big)$, $T_d=T_2$ (แปลงเป็นรูป ideal ด้วยสูตรในหัวข้อ 2)

- Lambda tuning คือกฎ PI ตัวเดียวกันโดยใช้ $T_i=T$ เสมอ เป็นที่นิยมในอุตสาหกรรมกระดาษและเคมี เพราะ $\lambda$ ที่มากให้วงนุ่มและไม่รบกวนกันเอง

เพราะการตอบสนองถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าแทนที่จะเป็นสิ่งที่ค้นพบทีหลัง SIMC และ lambda จึงเข้ากับขั้นตอนทำงานได้ดี: มีแบบจำลอง เลือกความเร็ว ได้ตัวควบคุม ซึ่งเป็นเหตุผลที่เหมาะเป็นค่าเริ่มต้น

## 11. Relay auto-tune

การทดลองรีเลย์ของ Åström และ Hägglund (1984) หา $K_u$ และ $P_u$ โดยไม่ต้องพาวงไปที่ขอบเสถียรภาพ ให้แทนตัวควบคุมด้วยรีเลย์ที่สลับเอาต์พุตระหว่าง $u_0+d$ กับ $u_0-d$ กระบวนการส่วนใหญ่จะแกว่งคงที่โดยแอมพลิจูดถูกจำกัดด้วย $d$ ถ้าค่าวัดแกว่งด้วยแอมพลิจูด $a$ การประมาณด้วย describing function ให้

$$K_u\approx\frac{4d}{\pi a},\qquad P_u=\text{คาบของการแกว่งที่วัดได้}$$

จากนั้นนำไปใช้กับตาราง Ziegler–Nichols หรือ Tyreus–Luyben ในหัวข้อ 7 ปุ่ม “auto-tune” ในเชิงพาณิชย์ส่วนใหญ่ทำงานแบบนี้

ตัวอย่างที่ 6

### ออโต้จูนเตาอบ

รีเลย์ $d=5\%$ ทำให้อุณหภูมิเตาอบแกว่งด้วยแอมพลิจูด $a=1.2\,^\circ\text{C}$ คาบ $P_u=7.5$ วินาที

-
$$K_u=\frac{4d}{\pi a}=\frac{4\times5}{\pi\times1.2}=5.31\ \%/^\circ\text{C}$$

- Tyreus–Luyben แบบ PI:
$$K_p=\frac{K_u}{3.2}=1.66,\qquad T_i=2.2P_u=16.5\ \text{s}$$

PI: $K_p=1.66\ \%/^\circ\text{C}$, $T_i=16.5$ วินาที

ข้อควรระวัง: ใส่ hysteresis ที่รีเลย์เล็กน้อยเพื่อไม่ให้สัญญาณรบกวนทำให้สลับผิด เลือก $d$ ให้เล็กพอที่การแกว่งไม่เป็นอันตรายแต่ใหญ่พอที่พ้นสัญญาณรบกวน และจำไว้ว่าการประมาณสมมุติว่ากระบวนการกรองฮาร์มอนิกของคลื่นสี่เหลี่ยมออกได้ ซึ่งจริงสำหรับกระบวนการแบบ lag ส่วนใหญ่

## 12. เทียบกันตรง ๆ: พลานต์เดียว หลายกฎ

แต่ละกฎถูกนำไปใช้กับพลานต์ $2e^{-2s}/(10s+1)$ แล้วจำลอง: ค่าเป้าหมายขั้นบันไดหนึ่งหน่วยที่ $t=0$ จากนั้นโหลดขั้นบันได $-0.5$ ที่อินพุตของกระบวนการที่ $t=70$ วินาที เทอม D ทำงานกับค่าวัดผ่านตัวกรอง $T_d/10$ “เวลาเข้าที่” คือเวลาหลังจากนั้นการตอบสนองอยู่ในช่วง 2% ตลอด IAE คือปริพันธ์ของค่าผิดพลาดสัมบูรณ์ (ยิ่งน้อยยิ่งดี) วัดแยกสำหรับขั้นของค่าเป้าหมายและขั้นของโหลด

| กฎ | $K_p$ | $T_i$ (s) | $T_d$ (s) | Overshoot | เวลาเข้าที่ (s) | IAE ค่าเป้าหมาย | IAE โหลด | Gain margin | Phase margin |

| ZN วงปิด PID | 2.55 | 3.72 | 0.93 | 56% | 19.1 | 5.50 | 0.90 | 1.63 | 40° |

| ZN วงปิด PI | 1.91 | 6.20 | – | 44% | 20.8 | 5.40 | 1.62 | 1.92 | 36° |

| ZN วงเปิด PID | 3.00 | 4.00 | 1.00 | 64% | 19.6 | 5.33 | 0.79 | 1.33 | 39° |

| Cohen–Coon PID | 3.46 | 4.55 | 0.70 | 85% | 24.2 | 6.08 | 0.79 | 1.31 | 27° |

| Tyreus–Luyben PI | 1.33 | 16.4 | – | 0% | 40.2 | 6.08 | 6.05 | 3.06 | 69° |

| Tyreus–Luyben PID | 1.93 | 16.4 | 1.18 | 0% | 13.7 | 4.22 | 4.16 | 1.76 | 75° |

| SIMC PI, $\tau_c=L$ | 1.25 | 10.0 | – | 4% | 12.1 | 4.34 | 3.99 | 3.14 | 61° |

| SIMC PI, $\tau_c=2L$ | 0.83 | 10.0 | – | 0% | 15.7 | 5.99 | 5.99 | 4.71 | 71° |

รูปที่ 3 การตอบสนองวงปิดของกฎสี่ข้อบนพลานต์เดียวกัน ค่าเป้าหมายเปลี่ยนที่ $t=0$ โหลดรบกวนที่ $t=70$ วินาที เส้นสีส้มและม่วง (ZN และ Cohen–Coon) เร็วแต่เกินเป้ามาก ส่วนเส้นสีน้ำเงินและเขียว (SIMC) นุ่มนวล

### ตัวเลขบอกอะไร

- กฎ PID ของ ZN และ Cohen–Coon ต้านโหลดได้ดีกว่าสี่ถึงห้าเท่า (IAE 0.8–0.9 เทียบกับ 4.0 ของ SIMC) แต่เกินเป้า 56–85% และ gain margin เพียง 1.3–1.6 หากเกนกระบวนการเพิ่มขึ้น 30–60% ก็เข้าใกล้ความไม่เสถียร

- ความต่างของการต้านโหลดอธิบายได้ด้วยตัวเลขเดียวคือ $K_i=K_p/T_i$ สำหรับการตอบสนองที่เกินเป้าน้อย พื้นที่ใต้ค่าผิดพลาดหลังโหลดขั้นบันไดขนาด $\Delta d$ มีค่า $\text{IAE}\approx\Delta d/K_i$ กับ SIMC: $K_i=1.25/10=0.125$ ได้ $0.5/0.125=4.0$ ตรงกับผลจำลอง 3.99 กับ ZN PID $K_i=0.686$ ทำนายได้ 0.73 (ผลจำลอง 0.90 สูงกว่าเพราะการตอบสนองนั้นแกว่ง)

- SIMC ที่ $\tau_c=L$ เป็นตัวเลือกที่สมดุลที่สุดในตารางนี้: เวลาเข้าที่เร็วที่สุดของทุกแถว (12.1 วินาที) พื้นที่ความผิดพลาดของค่าเป้าหมาย (4.34) ใกล้ค่าที่ดีที่สุด (4.22 ของ Tyreus–Luyben PID) เกินเป้าเพียง 4% และ gain margin เกิน 3 ราคาที่ต้องจ่ายคือฟื้นจากโหลดช้ากว่า ซึ่งซื้อคืนได้ด้วยการลด $T_i$ ถ้า margin ยอมให้

- Tyreus–Luyben PI ช้ามาก บนพลานต์นี้ เพราะ $T_i=16.4$ วินาทีมากกว่าค่าคงเวลาของกระบวนการ การเพิ่ม D (แถว PID) ช่วยให้ตามค่าเป้าหมายได้ดีขึ้นแต่ทำให้ gain margin ลดเหลือ 1.76

| สถานการณ์ | ตัวเลือกที่สมเหตุสมผล |

| มี step test และต้องการวงที่นุ่มและปลอดภัย | SIMC ที่ $\tau_c=L$ (หรือ $2L$ ถ้ากระบวนการเปลี่ยนแปลงมาก) |

| ทดลองได้เฉพาะวงปิด | ทดสอบ relay แล้วใช้ Tyreus–Luyben (หรือ ZN ที่ลดเกนแล้ว) |

| โหลดรบกวนเป็นตัวหลักและยอมรับ overshoot ได้บ้าง | ZN วงเปิด แล้วลด $K_p$ 20–30% |

| ระดับน้ำในถังพัก (buffer tank) | SIMC สำหรับ integrating ที่ $\tau_c$ มาก หรือ P อย่างเดียว/PI เกนต่ำ |

| เวลาหน่วงยาวมาก ($L/T>1$) | PI เกนต่ำ แล้วพิจารณา Smith predictor หรือ feedforward |

| กระบวนการไม่เป็นเชิงเส้นหรือเปลี่ยนตามเวลา | จูนที่จุดทำงานที่ยากที่สุด และใช้ gain scheduling กับจุดอื่น |

ผลนี้เป็นของพลานต์ตัวเดียว ค่า $L/T$ ที่ต่างกันจะเปลี่ยนภาพ จึงควรตรวจค่าจูนใหม่ด้วยการจำลองหรือการทดสอบหน้างานอย่างระมัดระวังเสมอ

## 13. วิธีแก้ปัญหาที่วงควบคุมจริงต้องมี

### กรองเทอมอนุพันธ์ และไม่ให้ D ตามค่าเป้าหมาย

อนุพันธ์บริสุทธิ์มีเกนไม่จำกัดที่ความถี่สูง จึงใช้ตัวกรองอันดับหนึ่ง:

$$D(s)=\frac{K_pT_ds}{1+\dfrac{T_d}{N}s},\qquad N\approx 5\text{ ถึง }20$$

ทำให้เกนความถี่สูงถูกจำกัดที่ $K_pN$ และให้ใช้อนุพันธ์กับ ค่าวัด $y$ ไม่ใช่ค่าผิดพลาด $e$ เมื่อค่าเป้าหมายเปลี่ยนขั้นบันไดเอาต์พุตจะไม่กระโดดแรงจาก “derivative kick” ตัวควบคุมเชิงพาณิชย์ส่วนใหญ่ทำแบบนี้เป็นค่าเริ่มต้น ควรตรวจตัวที่คุณใช้ ถ้าสัญญาณมีสัญญาณรบกวน การใส่ตัวกรองความถี่ต่ำอันดับหนึ่งที่ค่าวัดแก้ได้ดีกว่าการลด $N$

### Setpoint weighting (สององศาอิสระ)

$K_p$ ตัวเดียวกันที่ต้านโหลดได้ดีทำให้การตอบสนองต่อค่าเป้าหมายเกินเป้า ถ้าถ่วงน้ำหนักเทอมสัดส่วนของค่าเป้าหมาย $u=K_p(b\,r-y)+\dots$ เมื่อ $0ถ้าตัวขับอิ่มตัว (วาล์วเปิดสุด ฮีตเตอร์ 100%) ขณะที่ยังมีค่าผิดพลาด ปริพันธ์จะโตต่อไป เมื่อค่าผิดพลาดกลับเครื่องหมาย ปริพันธ์ต้องใช้เวลานานกว่าจะคลายและค่าวัดเกินเป้า มีวิธีแก้ที่พบบ่อยสองแบบ:

- Clamping (หยุดสะสมตามเงื่อนไข): หยุดอินทิเกรตเมื่อเอาต์พุตอิ่มตัวและค่าผิดพลาดจะดันให้อิ่มตัวหนักขึ้น

- Back-calculation: ป้อนผลต่างจากการอิ่มตัวกลับเข้าตัวอินทิเกรต $\dot I=K_ie+\dfrac{u_{sat}-u}{T_t}$ ค่าที่นิยมคือ $T_t\approx T_i$ สำหรับ PI และ $T_t=\sqrt{T_iT_d}$ สำหรับ PID

รูปที่ 4 ตัวควบคุม PI แบบ SIMC ตัวเดิม ($K_p=1.25$, $T_i=10$ วินาที) เมื่อตัวขับถูกจำกัดที่ $0\le u\le1$ และค่าเป้าหมายกระโดดเป็น 1.6 ถ้าไม่มี anti-windup ค่าวัดเกินเป้า 19% และใช้เวลา 57 วินาทีกว่าจะเข้าที่ แต่เมื่อมี back-calculation ($T_t=T_i$) เกินเป้า 0.5% และเข้าที่ใน 17.5 วินาที

### Bumpless transfer

เมื่อสลับจากแมนนวลเป็นออโต้ (หรือเปลี่ยนแหล่งค่าเป้าหมาย) ให้กำหนดค่าเริ่มต้นของตัวอินทิเกรตเพื่อให้เอาต์พุตเริ่มจากค่าปัจจุบัน ไม่เช่นนั้นเอาต์พุตจะกระโดดและกระตุ้นกระบวนการ

### เวลาสุ่มตัวอย่าง

ตัวควบคุมดิจิทัลสุ่มค่าวัดทุก $T_s$ หลักคร่าว ๆ คือให้ $T_s$ ไม่เกินหนึ่งในสิบของค่าคงเวลา $T$ และไม่เกินราวครึ่งหนึ่งของเวลาหน่วงเมื่อ $L$ มีค่าน้อย zero-order hold ยังเพิ่มเวลาหน่วงอีกราว $T_s/2$ จึงควรจูนด้วย $L_{eff}=L+T_s/2$ บทเรียนเรื่องการควบคุมดิจิทัลอธิบายละเอียดกว่านี้

### เมื่อฮาร์ดแวร์คือปัญหา

- Stiction และ backlash: วาล์วที่ติดจะค้างแล้วกระโดด ผลคือ limit cycle (ค่าวัดเป็นฟันเลื่อย เอาต์พุตเป็นคลื่นสี่เหลี่ยม) ที่แย่ลงเมื่อเพิ่มปริพันธ์ ให้ซ่อมวาล์วหรือเพิ่ม positioner อย่าจูนหนีปัญหา

- Dead band และความละเอียด: เอาต์พุตที่หยาบ (ขั้นละหลายเปอร์เซ็นต์) หรืออินพุตความละเอียดต่ำทำให้วงเดินส่ายไปมา ลดปริพันธ์หรือใส่ dead band ในตัวควบคุม

- ความไม่เป็นเชิงเส้น: ลักษณะของวาล์ว เส้นโค้ง pH และเกนของเตาเปลี่ยนตามจุดทำงาน ให้จูนที่จุดที่ยากที่สุด หรือปรับเกนตามจุดทำงาน (gain scheduling)

- ช่วงของคุณเองอิ่มตัว: ถ้าเอาต์พุตอิ่มตัวเกือบตลอดเวลา การจูนช่วยอะไรไม่ได้ วงนี้เลือกขนาดผิด

## 14. วงควบคุมชนิดทั่วไป และจะเริ่มจากตรงไหน

ใช้เป็นจุดเริ่มต้นเชิงคุณภาพ แล้วปรับละเอียดด้วย step test เพราะพลานต์แต่ละตัวต่างกันมาก

| วงควบคุม | ลักษณะทั่วไป | ตัวควบคุมที่มักใช้ | หมายเหตุ |

| อัตราการไหล | เร็ว เวลาหน่วงน้อย สัญญาณมีสัญญาณรบกวน | PI เกนต่ำ ไม่ใช้ D | กรองค่าวัด และวาล์วมักเป็นส่วนที่ช้าที่สุด |

| ความดัน (ก๊าซ) | เร็ว มักเกือบเป็น integrating | PI บางครั้ง PID | วงเร็วต้องสุ่มตัวอย่างเร็ว |

| ระดับ (ถังพัก) | Integrating | P หรือ PI เกนต่ำ | การควบคุมระดับแบบ averaging ส่งต่อการเปลี่ยนของอัตราไหลไปหน่วยถัดไปอย่างนุ่มนวล อย่าจูนแน่น |

| อุณหภูมิ | ช้า เวลาหน่วงมีนัยสำคัญ | PI หรือ PID | $T$ มากคุ้มกับ D, $L$ มากต้องใจเย็น |

| ความเร็ว (มอเตอร์) | Lag-dominant และเร็ว | PI | มักอยู่ในวงกระแส ให้จูนวงในก่อน |

| ตำแหน่ง | Integrating | P, PD หรือ PID | แรงเสียดทานอาจต้องการปริพันธ์เล็กน้อยกับ anti-windup |

| pH, องค์ประกอบ | ไม่เป็นเชิงเส้นมาก เวลาหน่วงนาน | PI ร่วมกับ gain scheduling | จูนที่จุดที่ความชันสูงสุด แล้วปรับเกนตามจุดทำงาน |

สำหรับวงแบบ cascade (อุณหภูมิเป็นวงนอก การไหลหรือตำแหน่งวาล์วเป็นวงใน) ให้จูน วงใน ก่อนเสมอ และทำให้เร็วกว่าวงนอกหลายเท่า

## 15. ตัดสินค่าจูนอย่างไร

ตัดสินวงควบคุมด้วยตัวเลข ไม่ใช่จากความรู้สึกเวลาดูเทรนด์

- ในโดเมนเวลา: overshoot, เวลาเข้าที่ (±2% หรือ ±5%), ค่าเบี่ยงสูงสุดหลังโหลดขั้นบันได และเวลาฟื้นตัว

- ปริพันธ์ของค่าผิดพลาด: IAE $=\int|e|\,dt$, ISE $=\int e^2dt$, ITAE $=\int t|e|\,dt$ เทียบค่าจูนบนการทดสอบเดียวกัน ยิ่งน้อยยิ่งดี IAE ของโหลดขั้นบันไดมีค่าประมาณ $\Delta d/K_i$

- ความทนทาน: gain margin อย่างน้อย 2 (6 dB) phase margin 45–60° และ peak sensitivity $M_s$ 1.4–2 ในตารางเปรียบเทียบข้างต้น มีเพียงสองแถวของ SIMC และ Tyreus–Luyben PI ที่ gain margin เกิน 2 และ phase margin เกิน 45° ทั้งคู่

- แรงที่ใช้ควบคุม: ดูส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหรือ total variation ของเอาต์พุต สัญญาณรบกวนที่ D ขยายจะเห็นที่นี่ก่อน

เช็กความทนทานเร็วหน้างาน เพิ่ม $K_p$ อีก 50% แล้วเปลี่ยนค่าเป้าหมายหนึ่งขั้น ถ้าวงยังนิ่งและหน่วงดีพอสมควรแสดงว่ามี margin จริง ถ้าสั่นแรงให้ลดเกนกลับ (กับพลานต์ตัวอย่าง ZN PID มี gain margin เพียง 1.63 การเพิ่มเกน 50% จึงพาไปอยู่ที่ขอบความไม่เสถียร)

## 16. คู่มือแก้ปัญหา

| อาการ | สิ่งที่ต้องตรวจ | การแก้ |

| วงวิ่งหนีทันทีหลังสลับเป็นออโต้ | Direct/reverse acting, สเกลของเซนเซอร์, แหล่งค่าเป้าหมาย | แก้ทิศและสเกล ตั้งค่าเริ่มต้นให้ bumpless |

| แกว่งคงที่ คาบใกล้ $P_u$ | $K_p$ ใกล้ $K_u$ หรือไม่ | ลด $K_p$ ครึ่งหนึ่ง แล้วยืนยันด้วยการเพิ่มเกน 50% |

| แกว่งช้า คาบหลายเท่าของ $T$ | $T_i$ สั้นเกินสำหรับเวลาหน่วง | เพิ่ม $T_i$ เป็นสองเท่า (หรือลด $K_p$ และ $T_i$ ไปพร้อมกัน) |

| ไม่ถึงค่าเป้าหมาย หยุดก่อนถึง | ไม่มีปริพันธ์ หรือเอาต์พุตถูกหนีบ | เปิด I ตรวจขีดจำกัดเอาต์พุตและโหมด |

| ถึงค่าเป้าหมายแต่คืบคลานช่วงไม่กี่เปอร์เซ็นต์สุดท้าย | $T_i$ ยาวเกินมาก | ลด $T_i$ เข้าใกล้ $T$ |

| เกินเป้าเฉพาะเมื่อเปลี่ยนค่าเป้าหมายมาก ๆ | Windup | ใช้ anti-windup และจำกัดอัตราการเปลี่ยนค่าเป้าหมาย |

| เอาต์พุตมีสัญญาณรบกวน วาล์วสั่น | D ตามสัญญาณรบกวน ค่าวัดไม่ได้กรอง | กรองค่าวัดและ D ลด $K_pN$ |

| ดีที่โหลดหนึ่ง แย่ที่อีกโหลด | กระบวนการไม่เป็นเชิงเส้น | จูนที่จุดที่ยากที่สุด หรือปรับเกนตามจุดทำงาน |

| Limit cycle ที่แย่ลงเมื่อเพิ่ม I | วาล์ว stiction | ซ่อมหรือติด positioner |

## 17. ขั้นตอนจูนที่ทำซ้ำได้

- เขียนข้อกำหนด: ตามค่าเป้าหมายหรือต้านสิ่งรบกวน overshoot ที่ยอมรับได้ การขยับของตัวขับที่ยอมรับได้

- ตรวจฮาร์ดแวร์และสมการ: เซนเซอร์ วาล์ว direct/reverse รูปแบบของบล็อก PID หน่วยเวลา

- ทำ step test (หัวข้อ 5) อ่าน $K$, $L$, $T$ และคำนวณ $L/T$

- เลือกกฎ: SIMC $\tau_c=L$ เป็นค่าเริ่มต้น ใช้ relay test ถ้าเปิดวงไม่ได้ และใช้ Ziegler–Nichols เป็นค่าเดาครั้งแรกเท่านั้น

- แปลงเป็นรูปแบบและหน่วยของตัวควบคุม (หัวข้อ 2)

- ใส่ส่วนที่ใช้งานจริงต้องมี: ตัวกรอง D, anti-windup, ขีดจำกัดเอาต์พุต, เวลาสุ่มตัวอย่าง

- ทดสอบ ค่าเป้าหมายขั้นบันได สิ่งรบกวน และเพิ่มเกน 50% ที่จุดทำงานที่เกี่ยวข้อง

- ปรับละเอียดและบันทึก ค่าสุดท้าย วันที่ และผลทดสอบ เพื่อให้วิศวกรคนถัดไปไม่ต้องเริ่มจากศูนย์

## 18. โจทย์ฝึกทำ

ลองทำบนกระดาษก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย

โจทย์ที่ 1

### แปลงรูปแบบ

ตัวควบคุมแบบ series มี $K_c'=2$, $T_i'=10$ วินาที, $T_d'=2$ วินาที จงหาค่าในรูป ideal

ดูเฉลย

$$K_c=2\left(1+\frac{2}{10}\right)=2.4,\qquad T_i=10+2=12\ \text{s},\qquad T_d=\frac{10\times2}{12}=1.67\ \text{s}$$

โจทย์ที่ 2

### Ziegler–Nichols จากการทดลอง

การทดลองวงปิดได้ $K_u=6$ และ $P_u=4$ วินาที จงหาค่า ZN แบบ PID และเกน $K_i$, $K_d$ ในรูป parallel

ดูเฉลย

$$K_p=0.6\times6=3.6,\quad T_i=\frac{4}{2}=2\ \text{s},\quad T_d=\frac{4}{8}=0.5\ \text{s},\quad K_i=\frac{3.6}{2}=1.8\ \text{s}^{-1},\quad K_d=3.6\times0.5=1.8\ \text{s}$$

โจทย์ที่ 3

### SIMC กับกระบวนการที่เวลาหน่วงมาก

step test ได้ $K=0.5$, $L=3$ วินาที, $T=12$ วินาที จงหาค่า SIMC แบบ PI เมื่อ $\tau_c=L$ และหา $L/T$

ดูเฉลย

$$K_p=\frac{12}{0.5\,(3+3)}=4,\qquad T_i=\min(12,\ 4\times6)=12\ \text{s},\qquad \frac{L}{T}=0.25$$

โจทย์ที่ 4

### ประมาณการต้านสิ่งรบกวน

วง PI มี $K_p=2$ และ $T_i=8$ วินาที เกินเป้าน้อย เกิดโหลดรบกวน 0.4 (ในหน่วยของเอาต์พุตตัวควบคุม) จงประมาณ IAE และดูว่าเปลี่ยนไปอย่างไรถ้าลด $T_i$ ลงครึ่งหนึ่ง

ดูเฉลย

$$K_i=\frac{2}{8}=0.25,\qquad \text{IAE}\approx\frac{0.4}{0.25}=1.6;\qquad T_i=4\Rightarrow K_i=0.5,\ \text{IAE}\approx0.8$$

ลด $T_i$ ลงครึ่งหนึ่งทำให้พื้นที่ความผิดพลาดลดลงครึ่งหนึ่ง แต่ margin ก็ลดลงด้วย จึงต้องตรวจการตอบสนองอีกครั้ง

## เรียนต่อในคลังความรู้

บทเรียนเต็มและแล็บโต้ตอบที่รันในเบราว์เซอร์อยู่ในคลังความรู้ ใช้สูตรและรหัสอ้างอิงชุดเดียวกับบทความนี้

- ตัวควบคุม PID: โครงสร้าง ผลของแต่ละเทอม และแล็บจำลองในเบราว์เซอร์

- การจูน PID: Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC, relay และแล็บลองค่า

- Gain margin และ phase margin ตัวเลขความทนทานที่ใช้ในบทความนี้

- การตอบสนองเชิงเวลา: เวลาขึ้น overshoot และเวลาเข้าที่

- การควบคุมดิจิทัลและการเลือกเวลาสุ่มตัวอย่าง

- อินพุตเอาต์พุตแอนะล็อก บล็อก PID และ VFD ใน PLC

- บทความสั้น: PID Controller คืออะไร

## คำถามที่พบบ่อย

วิธีจูน PID ที่เร็วและเชื่อถือได้ที่สุดคืออะไร?
ทำ step test วงเปิดหนึ่งครั้ง อ่านเกน K เวลาหน่วง L และค่าคงเวลา T จากกราฟ แล้วใช้กฎ SIMC $K_p=T/(K(\tau_c+L))$, $T_i=\min(T,4(\tau_c+L))$ โดยตั้ง $\tau_c=L$ ใช้การทดลองครั้งเดียว มีปุ่มปรับตัวเดียว ได้การตอบสนองนุ่มนวลและเกน margin ราว 3

ควรใช้ Ziegler–Nichols ไหม?
ใช้เป็นค่าเริ่มต้นเมื่อไม่มีข้อมูลอื่นได้ แต่ต้องรู้ว่า overshoot มักอยู่ที่ 40–80% และ margin บาง เพราะออกแบบให้ลดทอนหนึ่งในสี่ต่อรอบ วิศวกรส่วนใหญ่จึงลดเกน (ลด $K_p$ เพิ่ม $T_i$) หรือใช้ SIMC หรือ Tyreus–Luyben แทน

จำเป็นต้องใช้เทอม D เสมอไหม?
ไม่จำเป็น วงควบคุมในโรงงานส่วนใหญ่ใช้ PI เทอม D ช่วยได้กับกระบวนการที่ตอบสนองช้าแบบ lag-dominant และสัญญาณวัดสะอาด (เช่นอุณหภูมิ บางวงตำแหน่งและความเร็ว) แต่แทบไม่ช่วยเมื่อเวลาหน่วงมากหรือสัญญาณมีสัญญาณรบกวน และถ้าใช้ต้องมีตัวกรองเสมอ

เลือกเวลาปริพันธ์ $T_i$ อย่างไร?
กระบวนการแบบ self-regulating ค่าเริ่มต้นที่ดีคือ $T_i\approx T$ (ค่าคงเวลาของกระบวนการ) และไม่เกิน $4(\tau_c+L)$ เมื่อค่านั้นน้อยกว่า ถ้า $T_i$ สั้นเกินจะแกว่งช้า ๆ เป็นลูกคลื่น ถ้ายาวเกินค่าผิดพลาดจะค้างนาน พื้นที่ความผิดพลาดหลังโหลดรบกวนมีค่าประมาณ $\Delta d/K_i$ เมื่อ $K_i=K_p/T_i$

ควรตั้งเวลาสุ่มตัวอย่าง (sample time) เท่าไร?
ประมาณหนึ่งในสิบของค่าคงเวลาของกระบวนการหรือเล็กกว่า และไม่เกินราวครึ่งหนึ่งของเวลาหน่วงเมื่อเวลาหน่วงมีค่าน้อย การสุ่มตัวอย่างเพิ่มเวลาหน่วงเทียบเท่าอีกราว $T_s/2$ จึงต้องลดเกนลงถ้าสุ่มช้า

ทำไมวงควบคุมยังแกว่งทั้งที่ตั้งเกนต่ำแล้ว?
ให้สงสัยฮาร์ดแวร์ก่อน วาล์วที่ติด (stiction) เฟืองคลอน (backlash) หรือ dead band ทำให้เกิด limit cycle ที่ไม่มีค่าเกนใดแก้ได้ และสัญญาณวัดที่มีสัญญาณรบกวนหรือกรองไม่ดีก็เป็นสาเหตุได้ ดูที่เอาต์พุตของตัวควบคุม ถ้าค่าวัดเป็นฟันเลื่อยและเอาต์พุตเป็นคลื่นสี่เหลี่ยมคือสัญญาณคลาสสิกของ stiction

Integral windup คืออะไร และป้องกันอย่างไร?
windup คือเทอมปริพันธ์สะสมค่าขณะที่ตัวขับอิ่มตัว ทำให้เกินเป้ามากหลังจากนั้น ป้องกันด้วย anti-windup เช่นหยุดสะสม (clamping) หรือ back-calculation $\dot I=K_ie+(u_{sat}-u)/T_t$ ในผลจำลองของบทความนี้ back-calculation ลด overshoot จาก 19% เหลือ 0.5%

รู้ได้อย่างไรว่าค่าจูนทนทานพอ?
เป้าหมายคือ gain margin อย่างน้อย 2 phase margin 45–60° และ peak sensitivity $M_s$ 1.4–2 วิธีเช็กเร็วหน้างานคือเพิ่ม $K_p$ อีก 50% (หรือให้เกนของกระบวนการเพิ่มเป็นสองเท่า) แล้วดูว่าการตอบสนองยังนิ่งอยู่

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

ระบบควบคุม
PID Controller คืออะไร: Kp Ki Kd ทำงานอย่างไร และจูนอย่างไร
ตัวควบคุม PID รวมสามเทอมคือสัดส่วน ปริพันธ์ และอนุพันธ์ของค่าผิดพลาด อธิบายผลของ Kp Ki Kd ตารางผลต่อการตอบสนอง ตัวอย่างจูนด้วย Ziegler–Nichols…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Python · AI
เริ่มต้นเข้าใจการเขียนโปรแกรมในยุค AI: ทำไมควรเริ่มที่ Python
ยุค AI เขียนโค้ดได้ทุกภาษา แต่คนที่อ่านโค้ดไม่ออกจะตรวจไม่ได้ว่าถูกหรือผิด บทความนี้อธิบายว่าทำไม Python เหมาะเป็นภาษาแรก 6 แนวคิดที่ต้องเข้าใจ…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดระบบควบคุมและ PID (2 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**วิธีจูน PID ที่เร็วและเชื่อถือได้ที่สุดคืออะไร?**
ทำ step test วงเปิดหนึ่งครั้ง อ่านเกน K เวลาหน่วง L และค่าคงเวลา T จากกราฟ แล้วใช้กฎ SIMC $K_p=T/(K(\tau_c+L))$, $T_i=\min(T,4(\tau_c+L))$ โดยตั้ง $\tau_c=L$ ใช้การทดลองครั้งเดียว มีปุ่มปรับตัวเดียว ได้การตอบสนองนุ่มนวลและเกน margin ราว 3

**ควรใช้ Ziegler–Nichols ไหม?**
ใช้เป็นค่าเริ่มต้นเมื่อไม่มีข้อมูลอื่นได้ แต่ต้องรู้ว่า overshoot มักอยู่ที่ 40–80% และ margin บาง เพราะออกแบบให้ลดทอนหนึ่งในสี่ต่อรอบ วิศวกรส่วนใหญ่จึงลดเกน (ลด $K_p$ เพิ่ม $T_i$) หรือใช้ SIMC หรือ Tyreus–Luyben แทน

**จำเป็นต้องใช้เทอม D เสมอไหม?**
ไม่จำเป็น วงควบคุมในโรงงานส่วนใหญ่ใช้ PI เทอม D ช่วยได้กับกระบวนการที่ตอบสนองช้าแบบ lag-dominant และสัญญาณวัดสะอาด (เช่นอุณหภูมิ บางวงตำแหน่งและความเร็ว) แต่แทบไม่ช่วยเมื่อเวลาหน่วงมากหรือสัญญาณมีสัญญาณรบกวน และถ้าใช้ต้องมีตัวกรองเสมอ

**เลือกเวลาปริพันธ์ \(T_i\) อย่างไร?**
กระบวนการแบบ self-regulating ค่าเริ่มต้นที่ดีคือ $T_i\approx T$ (ค่าคงเวลาของกระบวนการ) และไม่เกิน $4(\tau_c+L)$ เมื่อค่านั้นน้อยกว่า ถ้า $T_i$ สั้นเกินจะแกว่งช้า ๆ เป็นลูกคลื่น ถ้ายาวเกินค่าผิดพลาดจะค้างนาน พื้นที่ความผิดพลาดหลังโหลดรบกวนมีค่าประมาณ $\Delta d/K_i$ เมื่อ $K_i=K_p/T_i$

**ควรตั้งเวลาสุ่มตัวอย่าง (sample time) เท่าไร?**
ประมาณหนึ่งในสิบของค่าคงเวลาของกระบวนการหรือเล็กกว่า และไม่เกินราวครึ่งหนึ่งของเวลาหน่วงเมื่อเวลาหน่วงมีค่าน้อย การสุ่มตัวอย่างเพิ่มเวลาหน่วงเทียบเท่าอีกราว $T_s/2$ จึงต้องลดเกนลงถ้าสุ่มช้า

**ทำไมวงควบคุมยังแกว่งทั้งที่ตั้งเกนต่ำแล้ว?**
ให้สงสัยฮาร์ดแวร์ก่อน วาล์วที่ติด (stiction) เฟืองคลอน (backlash) หรือ dead band ทำให้เกิด limit cycle ที่ไม่มีค่าเกนใดแก้ได้ และสัญญาณวัดที่มีสัญญาณรบกวนหรือกรองไม่ดีก็เป็นสาเหตุได้ ดูที่เอาต์พุตของตัวควบคุม ถ้าค่าวัดเป็นฟันเลื่อยและเอาต์พุตเป็นคลื่นสี่เหลี่ยมคือสัญญาณคลาสสิกของ stiction

**Integral windup คืออะไร และป้องกันอย่างไร?**
windup คือเทอมปริพันธ์สะสมค่าขณะที่ตัวขับอิ่มตัว ทำให้เกินเป้ามากหลังจากนั้น ป้องกันด้วย anti-windup เช่นหยุดสะสม (clamping) หรือ back-calculation $\dot I=K_ie+(u_{sat}-u)/T_t$ ในผลจำลองของบทความนี้ back-calculation ลด overshoot จาก 19% เหลือ 0.5%

**รู้ได้อย่างไรว่าค่าจูนทนทานพอ?**
เป้าหมายคือ gain margin อย่างน้อย 2 phase margin 45–60° และ peak sensitivity $M_s$ 1.4–2 วิธีเช็กเร็วหน้างานคือเพิ่ม $K_p$ อีก 50% (หรือให้เกนของกระบวนการเพิ่มเป็นสองเท่า) แล้วดูว่าการตอบสนองยังนิ่งอยู่

---

# วิธีคำนวณขนาดคาปาซิเตอร์แก้ Power Factor (kvar) พร้อมตัวอย่าง

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/power-factor-correction-capacitor-calculation/
Updated: 2026-10-16
Summary: สูตร Qc = P(tan φ1 − tan φ2) ตัวอย่างโหลด 100 kW 400 V ปรับ PF 0.75 เป็น 0.95 ได้ 55.3 kvar คำนวณไมโครฟารัดต่อเฟส ตารางตัวคูณ และข้อควรระวังเรื่องฮาร์มอนิก

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · Power Factor Correction

# วิธีคำนวณขนาดคาปาซิเตอร์แก้ Power Factor (kvar) พร้อมตัวอย่าง

การแก้ PF คือติดตั้งคาปาซิเตอร์ที่จ่ายกำลังรีแอกทีฟ (kvar) ให้โหลดเหนี่ยวนำ แทนที่จะดึงจากระบบไฟ ขนาดที่ต้องใช้คำนวณได้จากสูตรเดียว และตรวจสอบด้วยสามเหลี่ยมกำลัง

สรุปใน 30 วินาที

- $Q_c=P\,(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2)$ โดย $\varphi_1$ คือมุมก่อนแก้ $\varphi_2$ คือมุมเป้าหมาย

- กำลังจริง P ไม่เปลี่ยน ส่วนที่ลดลงคือ Q และ S จึงลดกระแสได้

- เลือกขนาดมาตรฐานที่ใกล้ที่สุด และตรวจฮาร์มอนิกก่อนติดตั้ง

## ที่มาของสูตร

จากสามเหลี่ยมกำลัง $Q=P\tan\varphi$ ก่อนแก้ โหลดมี $Q_1=P\tan\varphi_1$ หลังแก้ต้องการ $Q_2=P\tan\varphi_2$ คาปาซิเตอร์ต้องรับผิดชอบส่วนต่าง

$$Q_c=Q_1-Q_2=P\,(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2),\qquad \varphi=\cos^{-1}(\text{PF})$$

จากนั้นหาความจุต่อเฟสจาก $Q_c=3\,\omega C V^2$ เมื่อต่อแบบเดลต้า โดย $V$ คือแรงดันสาย และ $\omega=2\pi f$

## ตัวอย่าง: โหลด 100 kW, 400 V สามเฟส, PF 0.75 → 0.95

- หามุมและแทนเจนต์ก่อนและหลัง

$$\tan\varphi_1=\tan\!\big(\cos^{-1}0.75\big)=0.8819,\qquad \tan\varphi_2=\tan\!\big(\cos^{-1}0.95\big)=0.3287$$

- กำลังรีแอกทีฟที่ต้องชดเชย

$$Q_c=100\times(0.8819-0.3287)\approx55.3\ \text{kvar}$$

- กระแสสายก่อนและหลังแก้ ($I=\dfrac{P}{\sqrt{3}\,V\,\text{PF}}$)

$$I_1=\frac{100000}{\sqrt{3}\,(400)(0.75)}\approx192.5\ \text{A},\qquad I_2=\frac{100000}{\sqrt{3}\,(400)(0.95)}\approx151.9\ \text{A}$$

- ความจุต่อเฟส เมื่อต่อแบบเดลต้า ที่ 50 Hz

$$C=\frac{Q_c}{3\,\omega V^2}=\frac{55323}{3\,(2\pi\cdot50)(400)^2}\approx367\ \mu\text{F}$$

ต้องใช้คาปาซิเตอร์ประมาณ 55.3 kvar เลือกขนาดมาตรฐานที่ถัดขึ้นไป เช่น 60 kvar แบบแบ่งขั้นหลายสเต็ป กระแสสายลดจาก 192.5 A เหลือ 151.9 A (ลดลงประมาณ 21 %) หากต่อแบบวาย ความจุต่อเฟสจะเป็นสามเท่า ประมาณ 1,101 µF

## ตารางตัวคูณ: Qc = P × k เมื่อเป้าหมาย PF 0.95

ค่า $k=\tan\varphi_1-\tan\varphi_2$ ใช้คูณกับกำลังจริงเป็น kW ได้ kvar ทันที

| PF เดิม | $k$ | ตัวอย่าง P = 100 kW |

| 0.70 | 0.692 | 69.2 kvar |

| 0.75 | 0.553 | 55.3 kvar |

| 0.80 | 0.421 | 42.1 kvar |

| 0.85 | 0.291 | 29.1 kvar |

| 0.90 | 0.156 | 15.6 kvar |

## ข้อควรระวังก่อนติดตั้ง

- ใช้ P ที่วัดจริง ไม่ใช่กำลังตามป้ายของมอเตอร์ เพราะโหลดเบา PF จะต่ำกว่าและ P น้อยกว่าพิกัด

- อย่าแก้เกิน ถ้าคาปาซิเตอร์ใหญ่กว่า Q ของโหลดตอนโหลดเบา จะเกิด PF นำหน้าและแรงดันสูงขึ้น ใช้ตู้แบบอัตโนมัติที่ตัดต่อเป็นขั้น

- ฮาร์มอนิก เรโซแนนซ์ระหว่างคาปาซิเตอร์กับความเหนี่ยวนำของระบบอาจขยายกระแสฮาร์มอนิก ควรวัด THD และเลือกแบบมีรีแอกเตอร์ (detuned) เมื่อมีโหลดอิเล็กทรอนิกส์มาก

- พิกัดแรงดัน เลือกคาปาซิเตอร์ที่มีพิกัดแรงดันสูงกว่าแรงดันระบบพอสมควร ตามคำแนะนำของผู้ผลิต

## เรียนต่อในคลังความรู้

- การปรับปรุงเพาเวอร์แฟกเตอร์: คำนวณคาปาซิเตอร์เต็มรูปแบบ

- ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติและ detuned reactor

- ค่าปรับ kvar ในบิลค่าไฟและความคุ้มค่า

- ซิมูเลเตอร์: ลองเพิ่มตู้คาปาซิเตอร์แล้วดูกระแสลด

- ย้อนไปอ่าน: Power Factor คืออะไร

## คำถามที่พบบ่อย

ควรปรับ PF ให้ถึงเท่าไร?
เป้าหมายที่พบบ่อยคือ 0.95 ขึ้นไป เพราะเผื่อช่วงโหลดเบาที่ PF ของมอเตอร์ตกลง และยังไม่ถึง 1.0 ซึ่งต้องใช้คาปาซิเตอร์เพิ่มมากแต่ได้ผลลดกระแสเพิ่มเพียงเล็กน้อย การติดตั้งแบบอัตโนมัติที่ปรับขั้นตามโหลดช่วยไม่ให้ชดเชยเกินจนเป็น PF นำหน้า

ต่อคาปาซิเตอร์แบบเดลต้าหรือวายดี?
ที่ kvar เท่ากัน แบบเดลต้าใช้ความจุต่อเฟสน้อยกว่าแบบวายสามเท่า (เพราะแรงดันคร่อมแต่ละตัวสูงกว่า $\sqrt{3}$ เท่า) ชุดคาปาซิเตอร์แรงต่ำมักต่อแบบเดลต้า

ติดคาปาซิเตอร์แล้วต้องระวังอะไร?
ถ้าระบบมีฮาร์มอนิกมาก คาปาซิเตอร์อาจเกิดเรโซแนนซ์กับความเหนี่ยวนำของหม้อแปลงและขยายกระแสฮาร์มอนิก ควรวัด THD ก่อนติดตั้ง และใช้ชุดคาปาซิเตอร์ที่ต่ออนุกรมกับรีแอกเตอร์ (detuned) เมื่อจำเป็น

คาปาซิเตอร์ช่วยลดค่าไฟส่วนไหน?
ลดค่าปรับ PF ในบิลตามเกณฑ์ของการไฟฟ้า และลดกระแสในสายและหม้อแปลงซึ่งลดการสูญเสีย ไม่ได้ลดพลังงาน kWh ที่โหลดใช้งานจริง

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

Power Factor
Power Factor (เพาเวอร์แฟกเตอร์) คืออะไร: สูตร cos φ และความสัมพันธ์ kW kVA kvar
Power Factor คืออัตราส่วนกำลังจริงต่อกำลังปรากฏ อธิบายสามเหลี่ยมกำลัง P Q S ตัวอย่างคำนวณกระแสเมื่อ PF 0.8 กับ 1.0 PF ตามหลังกับนำหน้า…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

มอเตอร์ · งานวิจัย
ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที: ผลการทดลองเชิงตัวเลขของมอเตอร์เหนี่ยวนำกรงกระรอก เรื่องเวลาเปลี่ยนจังหวะ ช่วงตาย กระแส และพลังงาน
ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที? บทความวิจัยจำลองพลวัตมอเตอร์กรงกระรอก 7.5 kW: สูตร t = c·τm ตาราง c ตามชนิดโหลด ช่วงตาย ลำดับเฟส KM3 กระแสกระชาก…
19 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

มอเตอร์ 3 เฟส
การต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (Δ): จำ U1–W2, V1–U2, W1–V2 และเลือกจากเนมเพลต
วิธีต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (delta) ในกล่องขั้ว U1-W2, V1-U2, W1-V2 ความหมายของ U1 V1 W1 U2 V2 W2 และสีสายไฟเข้า แรงดันกับกระแส…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ (4 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**ควรปรับ PF ให้ถึงเท่าไร?**
เป้าหมายที่พบบ่อยคือ 0.95 ขึ้นไป เพราะเผื่อช่วงโหลดเบาที่ PF ของมอเตอร์ตกลง และยังไม่ถึง 1.0 ซึ่งต้องใช้คาปาซิเตอร์เพิ่มมากแต่ได้ผลลดกระแสเพิ่มเพียงเล็กน้อย การติดตั้งแบบอัตโนมัติที่ปรับขั้นตามโหลดช่วยไม่ให้ชดเชยเกินจนเป็น PF นำหน้า

**ต่อคาปาซิเตอร์แบบเดลต้าหรือวายดี?**
ที่ kvar เท่ากัน แบบเดลต้าใช้ความจุต่อเฟสน้อยกว่าแบบวายสามเท่า (เพราะแรงดันคร่อมแต่ละตัวสูงกว่า $\sqrt{3}$ เท่า) ชุดคาปาซิเตอร์แรงต่ำมักต่อแบบเดลต้า

**ติดคาปาซิเตอร์แล้วต้องระวังอะไร?**
ถ้าระบบมีฮาร์มอนิกมาก คาปาซิเตอร์อาจเกิดเรโซแนนซ์กับความเหนี่ยวนำของหม้อแปลงและขยายกระแสฮาร์มอนิก ควรวัด THD ก่อนติดตั้ง และใช้ชุดคาปาซิเตอร์ที่ต่ออนุกรมกับรีแอกเตอร์ (detuned) เมื่อจำเป็น

**คาปาซิเตอร์ช่วยลดค่าไฟส่วนไหน?**
ลดค่าปรับ PF ในบิลตามเกณฑ์ของการไฟฟ้า และลดกระแสในสายและหม้อแปลงซึ่งลดการสูญเสีย ไม่ได้ลดพลังงาน kWh ที่โหลดใช้งานจริง

---

# Power Factor (เพาเวอร์แฟกเตอร์) คืออะไร: สูตร cos φ และความสัมพันธ์ kW kVA kvar

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/power-factor-explained/
Updated: 2026-10-16
Summary: Power Factor คืออัตราส่วนกำลังจริงต่อกำลังปรากฏ อธิบายสามเหลี่ยมกำลัง P Q S ตัวอย่างคำนวณกระแสเมื่อ PF 0.8 กับ 1.0 PF ตามหลังกับนำหน้า และผลของฮาร์มอนิก

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · Power Factor

# Power Factor (เพาเวอร์แฟกเตอร์) คืออะไร: สูตร cos φ และความสัมพันธ์ kW kVA kvar

Power Factor บอกว่ากำลังไฟฟ้าที่จ่ายเข้าโหลดถูกเปลี่ยนเป็นงานจริงได้กี่ส่วน ค่าต่ำหมายความว่าสายและหม้อแปลงแบกกระแสที่ไม่ได้ทำงาน บทความนี้อธิบายด้วยสามเหลี่ยมกำลังและตัวอย่างตัวเลข

สรุปใน 30 วินาที

- $\text{PF}=\dfrac{P}{S}=\cos\varphi$ เมื่อแรงดันและกระแสเป็นไซน์

- P = กำลังจริง (kW) · Q = กำลังรีแอกทีฟ (kvar) · S = กำลังปรากฏ (kVA) และ $S^2=P^2+Q^2$

- กำลังจริงเท่าเดิม แต่ PF ต่ำ ⇒ กระแสสูงขึ้นเป็น $1/\text{PF}$ เท่า

## Power Factor คืออะไร

ในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ แรงดันและกระแสไม่จำเป็นต้องขึ้นลงพร้อมกัน ถ้ามันต่างเฟสกันเป็นมุม $\varphi$ กำลังที่เปลี่ยนเป็นงานจริงจะเหลือเพียงส่วนหนึ่งของ $V\times I$

$$P = V I \cos\varphi, \qquad S = V I, \qquad \text{PF} = \frac{P}{S} = \cos\varphi$$

ที่นี่ $V$, $I$ เป็นค่า RMS โหลดตัวต้านทานล้วน (ฮีตเตอร์ หลอดไส้) มี $\varphi=0$ และ PF = 1 ส่วนมอเตอร์เหนี่ยวนำ หม้อแปลง และบัลลาสต์แกนเหล็ก มีขดลวด ทำให้กระแสตามหลังแรงดัน PF จึงต่ำกว่า 1

## สามเหลี่ยมกำลัง P Q S

กำลังทั้งสามชนิดสัมพันธ์กันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

| กำลัง | สัญลักษณ์ · หน่วย | ความหมาย | สูตร |

| กำลังจริง | $P$ · W, kW | กำลังที่เปลี่ยนเป็นงาน ความร้อน แสง หรือแรงบิด | $VI\cos\varphi$ |

| กำลังรีแอกทีฟ | $Q$ · var, kvar | กำลังที่วิ่งไปกลับระหว่างแหล่งจ่ายกับสนามแม่เหล็กหรือสนามไฟฟ้าในโหลด | $VI\sin\varphi$ |

| กำลังปรากฏ | $S$ · VA, kVA | ภาระที่สาย หม้อแปลง และเครื่องกำเนิดต้องรองรับ | $VI=\sqrt{P^2+Q^2}$ |

สำหรับระบบสามเฟสสมดุล ใช้แรงดันและกระแสสาย (line) $P=\sqrt{3}\,V_L I_L\cos\varphi$ และ $S=\sqrt{3}\,V_L I_L$

## ตัวอย่าง: โหลด 230 V, 10 A, PF 0.8 ตามหลัง

- กำลังปรากฏและกำลังจริง

$$S=VI=230\times10=2300\ \text{VA},\qquad P=S\cos\varphi=2300\times0.8=1840\ \text{W}$$

- กำลังรีแอกทีฟจากสามเหลี่ยมกำลัง

$$Q=\sqrt{S^2-P^2}=\sqrt{2300^2-1840^2}=1380\ \text{var}$$

- ถ้าปรับ PF เป็น 1.0 โดยกำลังจริงเท่าเดิม กระแสที่ต้องใช้

$$I'=\frac{P}{V}=\frac{1840}{230}=8\ \text{A}$$

- เปรียบเทียบการสูญเสียในสาย $\propto I^2$

$$\left(\frac{10}{8}\right)^2=1.5625$$

PF 0.8 ใช้กระแส 10 A แต่ PF 1.0 ใช้เพียง 8 A เพื่องาน 1840 W เท่ากัน กระแสต่างกัน 25 % และการสูญเสียในสายสูงกว่าประมาณ 56 % (2300 : 1840 : 1380 คือสามเหลี่ยม 5 : 4 : 3)

## PF ตามหลัง (lagging) และนำหน้า (leading)

- ตามหลัง: กระแสตามหลังแรงดัน โหลดเหนี่ยวนำ (มอเตอร์ หม้อแปลง) ซึ่งเป็นโหลดส่วนใหญ่ในโรงงาน

- นำหน้า: กระแสนำแรงดัน โหลดเก็บประจุ หรือคาปาซิเตอร์แก้ PF ที่ใส่เกินจำเป็น สายเคเบิลยาวที่ไม่มีโหลดก็ให้ผลคล้ายกัน

ค่า PF อย่างเดียวบอกไม่ได้ว่าตามหลังหรือนำหน้า ต้องระบุคำกำกับ เช่น "0.8 ตามหลัง"

## เมื่อมีฮาร์มอนิก: PF จริงต่ำกว่า cos φ

โหลดอิเล็กทรอนิกส์ เช่น สวิตชิ่งซัพพลาย และวงจรเรียงกระแส ดึงกระแสไม่เป็นไซน์ ทำให้ PF ที่แท้จริงลดลงแม้กระแสหลักจะอยู่เฟสเดียวกับแรงดัน

$$\text{PF}_{true}=\underbrace{\cos\varphi_1}_{\text{displacement}}\times\frac{1}{\sqrt{1+\text{THD}_I^2}}$$

ตัวอย่าง: $\cos\varphi_1=1$ และ $\text{THD}_I=30\,\%$ ได้ $\text{PF}_{true}=1/\sqrt{1.09}\approx0.958$ การติดตั้งคาปาซิเตอร์แก้ PF อย่างเดียวจึงไม่พอ และอาจก่อเรโซแนนซ์กับฮาร์มอนิก ต้องพิจารณา THD ด้วย

## เรียนต่อในคลังความรู้

- เพาเวอร์แฟกเตอร์คืออะไร: ภาพเปรียบเทียบและสามเหลี่ยมกำลังเต็มรูปแบบ

- ซิมูเลเตอร์เพาเวอร์แฟกเตอร์: เห็นรูปคลื่นและเฟสเซอร์

- PF กับค่าไฟ: ค่าปรับ kvar และเกณฑ์ 0.85

- ฮาร์มอนิกกับ PF จริง

- ต่อไป: วิธีคำนวณคาปาซิเตอร์แก้ PF

## คำถามที่พบบ่อย

Power Factor ที่ดีควรเป็นเท่าไร?
ยิ่งใกล้ 1.0 ยิ่งดี ในทางปฏิบัติของไทยผู้ใช้ไฟประเภทที่มีค่าปรับมักปรับ PF ให้สูงกว่า 0.85 ตามเกณฑ์ของการไฟฟ้า และออกแบบให้อยู่ราว 0.95 เพื่อเผื่อช่วงโหลดเบา ดูรายละเอียดเกณฑ์ที่หน้าเพาเวอร์แฟกเตอร์กับค่าไฟ

PF ตามหลัง (lagging) กับนำหน้า (leading) ต่างกันอย่างไร?
ตามหลังคือกระแสตามหลังแรงดัน เกิดจากโหลดเหนี่ยวนำ เช่น มอเตอร์ หม้อแปลง ส่วนนำหน้าคือกระแสนำแรงดัน เกิดจากโหลดเก็บประจุ หรือคาปาซิเตอร์ที่ใส่มากเกินไป

PF ต่ำทำให้เสียหายอย่างไร?
ต้องใช้กระแสมากขึ้นเพื่อกำลังจริงเท่าเดิม ทำให้สาย หม้อแปลง และเบรกเกอร์รับภาระมากขึ้น การสูญเสียในสาย ($I^2R$) และแรงดันตกเพิ่มขึ้น และผู้ใช้ไฟบางประเภทต้องเสียค่าปรับ

PF จริง (true PF) กับ cos φ ต่างกันอย่างไร?
cos φ คือ displacement PF ของความถี่หลักเท่านั้น ถ้ากระแสบิดเบี้ยวจากฮาร์มอนิก PF จริงคือ $\text{PF}=\cos\varphi_1/\sqrt{1+\text{THD}_I^2}$ ซึ่งต่ำกว่า cos φ

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

Power Factor
วิธีคำนวณขนาดคาปาซิเตอร์แก้ Power Factor (kvar) พร้อมตัวอย่าง
สูตร Qc = P(tan φ1 − tan φ2) ตัวอย่างโหลด 100 kW 400 V ปรับ PF 0.75 เป็น 0.95 ได้ 55.3 kvar คำนวณไมโครฟารัดต่อเฟส ตารางตัวคูณ…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

มอเตอร์ · งานวิจัย
ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที: ผลการทดลองเชิงตัวเลขของมอเตอร์เหนี่ยวนำกรงกระรอก เรื่องเวลาเปลี่ยนจังหวะ ช่วงตาย กระแส และพลังงาน
ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที? บทความวิจัยจำลองพลวัตมอเตอร์กรงกระรอก 7.5 kW: สูตร t = c·τm ตาราง c ตามชนิดโหลด ช่วงตาย ลำดับเฟส KM3 กระแสกระชาก…
19 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

มอเตอร์ 3 เฟส
การต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (Δ): จำ U1–W2, V1–U2, W1–V2 และเลือกจากเนมเพลต
วิธีต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (delta) ในกล่องขั้ว U1-W2, V1-U2, W1-V2 ความหมายของ U1 V1 W1 U2 V2 W2 และสีสายไฟเข้า แรงดันกับกระแส…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ (4 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**Power Factor ที่ดีควรเป็นเท่าไร?**
ยิ่งใกล้ 1.0 ยิ่งดี ในทางปฏิบัติของไทยผู้ใช้ไฟประเภทที่มีค่าปรับมักปรับ PF ให้สูงกว่า 0.85 ตามเกณฑ์ของการไฟฟ้า และออกแบบให้อยู่ราว 0.95 เพื่อเผื่อช่วงโหลดเบา ดูรายละเอียดเกณฑ์ที่หน้าเพาเวอร์แฟกเตอร์กับค่าไฟ

**PF ตามหลัง (lagging) กับนำหน้า (leading) ต่างกันอย่างไร?**
ตามหลังคือกระแสตามหลังแรงดัน เกิดจากโหลดเหนี่ยวนำ เช่น มอเตอร์ หม้อแปลง ส่วนนำหน้าคือกระแสนำแรงดัน เกิดจากโหลดเก็บประจุ หรือคาปาซิเตอร์ที่ใส่มากเกินไป

**PF ต่ำทำให้เสียหายอย่างไร?**
ต้องใช้กระแสมากขึ้นเพื่อกำลังจริงเท่าเดิม ทำให้สาย หม้อแปลง และเบรกเกอร์รับภาระมากขึ้น การสูญเสียในสาย ($I^2R$) และแรงดันตกเพิ่มขึ้น และผู้ใช้ไฟบางประเภทต้องเสียค่าปรับ

**PF จริง (true PF) กับ cos φ ต่างกันอย่างไร?**
cos φ คือ displacement PF ของความถี่หลักเท่านั้น ถ้ากระแสบิดเบี้ยวจากฮาร์มอนิก PF จริงคือ $\text{PF}=\cos\varphi_1/\sqrt{1+\text{THD}_I^2}$ ซึ่งต่ำกว่า cos φ

---

# รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร: 3 วิธี ตรวจปลายช่วง และเหตุผลจากระนาบเชิงซ้อน

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/radius-of-convergence/
Updated: 2026-10-24
Summary: วิธีหารัศมีการลู่เข้า (radius of convergence) ของอนุกรมกำลัง 3 วิธี: การทดสอบอัตราส่วน การทดสอบราก และระยะถึงจุดเอกฐานเชิงซ้อน พร้อมขั้นตอนตรวจปลายช่วงเพื่อหาช่วงการลู่เข้าและตัวอย่างทีละขั้น

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · ลำดับและอนุกรม

# รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร: 3 วิธี ตรวจปลายช่วง และเหตุผลจากระนาบเชิงซ้อน

อนุกรมกำลังเหมือนพหุนามที่ยาวไม่สิ้นสุด มันแทนฟังก์ชันได้เฉพาะในช่วงหนึ่งรอบจุดศูนย์กลาง ความกว้างครึ่งหนึ่งของช่วงนั้นคือรัศมีการลู่เข้า R บทความนี้สอนสามวิธีหา R ขั้นตอนตรวจปลายช่วงที่ข้อสอบเก็บคะแนน และคำอธิบายที่ตำราไม่ค่อยบอกว่าทำไม R จึงมีค่าเท่านั้น

สรุปใน 30 วินาที

- วิธี 1 อัตราส่วน: $R = \lim\left|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}\right|$ · วิธี 2 ราก: $\dfrac1R = \lim\sqrt[n]{|c_n|}$

- วิธี 3 ระนาบเชิงซ้อน: R = ระยะจาก a ถึงจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดของฟังก์ชัน

- ปลายช่วง $x = a \pm R$ ต้องแทนค่าแล้วทดสอบแยกเสมอ

## รัศมีการลู่เข้าคืออะไร

ในช่วง |x − a| < R อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ นอกช่วงลู่ออก ส่วนที่ปลายทั้งสองต้องตรวจเอง

ทฤษฎีบทสำคัญบอกว่าอนุกรมกำลัง $\sum c_n(x-a)^n$ มีพฤติกรรมได้แบบเดียว: มีจำนวน R (อาจเป็น 0 หรือ ∞) ที่ข้างในลู่เข้า ข้างนอกลู่ออก ไม่มีทางที่จะลู่เข้าเป็นหย่อม ๆ หรือลู่เข้าเฉพาะด้านขวาของ a งานของเราจึงเหลือแค่หา R แล้วตรวจสองจุดที่ขอบ

## วิธีที่ 1: การทดสอบอัตราส่วน (ใช้บ่อยที่สุด)

ใช้ ratio test กับค่าสัมบูรณ์ของพจน์เต็ม แล้วแก้อสมการ “ลิมิต < 1” จะได้ R โดยไม่ต้องจำว่า $c_n$ อยู่บนหรือล่าง

ตัวอย่าง 1

### หาช่วงการลู่เข้าของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^n}{n\,2^n}$

- $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \dfrac{|x-3|}{2}\cdot\dfrac{n}{n+1} \to \dfrac{|x-3|}{2} < 1 \iff |x - 3| < 2$ ⇒ $R = 2$

- ปลาย x = 1: $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ ลู่เข้า (ไลบ์นิซ) · ปลาย x = 5: $\sum\dfrac{1}{n}$ ลู่ออก

$R = 2$ · ช่วงการลู่เข้า $[1, 5)$

ตัวอย่าง 2 · R เป็น e

### หาช่วงการลู่เข้าของ $\sum\dfrac{n!\,x^n}{n^n}$

- $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = |x|\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac{|x|}{e}$ ⇒ $R = e$

- ที่ $x = \pm e$: ขนาดพจน์ $\dfrac{n!\,e^n}{n^n} \approx \sqrt{2\pi n} \to \infty$ (สเตอร์ลิง) ลู่ออกทั้งสองปลาย

$(-e, e)$

## วิธีที่ 2: การทดสอบราก (เมื่อมีกำลัง n ซ้อน)

สูตรโคชี-อาดามาร์ $\dfrac{1}{R} = \limsup\sqrt[n]{|c_n|}$ ใช้ได้เสมอ และสะดวกเมื่อสัมประสิทธิ์ยกกำลัง n หรือมีช่องว่าง (สัมประสิทธิ์เป็นศูนย์สลับ) ที่วิธีอัตราส่วนใช้ไม่ได้

ตัวอย่าง 3

### หารัศมีการลู่เข้าของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}x^n$

- $\sqrt[n]{|c_n|} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n} \to \dfrac1e$ ⇒ $R = e$

- ที่ $x = \pm e$: $\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n^2}e^n \to e^{1/2} \ne 0$ ลู่ออกทั้งสองปลาย

$(-e, e)$ — วิธีอัตราส่วนกับข้อนี้ยุ่งกว่ามาก

## วิธีที่ 3: มองจากระนาบเชิงซ้อน (เข้าใจว่าทำไม)

ลองดูอนุกรม $\dfrac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$ บนเส้นจำนวนจริงฟังก์ชันนี้เรียบทุกจุด ไม่มีจุดไหนระเบิด แต่อนุกรมลู่เข้าแค่ $|x| < 1$ ทำไม? คำตอบคืออนุกรมกำลังลู่เข้าเป็นดิสก์ในระนาบเชิงซ้อน และดิสก์ขยายได้จนชนจุดเอกฐานแรก ซึ่งสำหรับ $\tfrac{1}{1+z^2}$ อยู่ที่ $z = \pm i$ ห่างจากศูนย์กลาง 1 หน่วยพอดี

ดิสก์การลู่เข้ารอบ 0 ของ 1/(1+z²) ชนโพล ±i ที่ระยะ 1 สิ่งที่เห็นบนแกนจริงคือรอยตัด (−1, 1)

ตัวอย่าง 4 · ไม่ต้องคำนวณสัมประสิทธิ์

### อนุกรมเทย์เลอร์ของ $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4x + 13}$ รอบ (ก) 0 (ข) 2 มีรัศมีการลู่เข้าเท่าไร

- โพลของ f: $z^2 - 4z + 13 = 0 \Rightarrow z = 2 \pm 3i$

- (ก) ระยะจาก 0: $|2 \pm 3i| = \sqrt{13}$ · (ข) ระยะจาก 2: $|\pm 3i| = 3$

(ก) $R = \sqrt{13} \approx 3.61$ · (ข) $R = 3$

วิธีนี้ใช้ตรวจคำตอบของวิธีที่ 1–2 ได้ดีมาก และอธิบายว่าทำไม $\tan x$ มีรัศมี $\pi/2$ (เพราะ $\cos z = 0$ ที่ $z = \pm\pi/2$) ส่วน $e^x, \sin x, \cos x$ ไม่มีจุดเอกฐานเลยจึงมี $R = \infty$

## ตรวจปลายช่วง: เช็กลิสต์

- แทน $x = a + R$ และ $x = a - R$ ลงในอนุกรม ได้อนุกรมตัวเลขสองตัว

- ถ้าพจน์ไม่เข้าใกล้ 0 ⇒ ลู่ออกที่ปลายนั้น

- ถ้าเป็นรูป $\sum\tfrac{1}{n^p}$ ใช้อนุกรม p · ถ้าสลับเครื่องหมายใช้ไลบ์นิซ (และตรวจค่าสัมบูรณ์ถ้าโจทย์ถามชนิดการลู่เข้า)

- เขียนช่วงด้วยวงเล็บที่ถูก: ( ) ไม่รวม · [ ] รวม

จำตัวอย่างมาตรฐานนี้ไว้เทียบ: $\sum x^n$ ได้ $(-1, 1)$ · $\sum\tfrac{x^n}{n}$ ได้ $[-1, 1)$ · $\sum\tfrac{x^n}{n^2}$ ได้ $[-1, 1]$ — รัศมีเท่ากัน แต่ปลายช่วงต่างกันหมด

## ลองเองในแล็บ

แล็บรัศมีการลู่เข้า แสดงผลบวกย่อยเทียบกับฟังก์ชันบนเส้นจำนวน พร้อมดิสก์ในระนาบเชิงซ้อนข้างกัน เลื่อนดีกรีแล้วจะเห็นว่าในช่วงลู่เข้าผลบวกย่อยเกาะฟังก์ชันแน่นขึ้น นอกช่วงแกว่งหนีออกไป และพิมพ์ $c_n$ เองได้

## เรียนต่อในคลังความรู้

- อนุกรมกำลังฉบับเต็ม: อนุพันธ์-อินทิกรัลทีละพจน์ ทฤษฎีบทอาเบล แก้สมการเชิงอนุพันธ์

- อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน: ตารางที่ต้องจำ เศษเหลือ

- อนุกรมโลรองต์: เมื่อจุดศูนย์กลางเป็นจุดเอกฐาน

- โจทย์ช่วงการลู่เข้า B7–B10 พร้อมเฉลย

## คำถามที่พบบ่อย

รัศมีการลู่เข้าคืออะไร?
อนุกรมกำลัง $\sum c_n(x-a)^n$ จะลู่เข้าเมื่อ $|x - a| R$ ค่า R นี้คือรัศมีการลู่เข้า อาจเป็น 0 (ลู่เข้าแค่ที่ x = a) หรือ ∞ (ลู่เข้าทุก x)

รัศมีการลู่เข้ากับช่วงการลู่เข้าต่างกันอย่างไร?
รัศมีเป็นตัวเลขตัวเดียว ส่วนช่วงการลู่เข้าคือช่วง $(a - R, a + R)$ รวมปลายช่วงที่ลู่เข้า ซึ่งต้องตรวจแยกที่ x = a − R และ x = a + R ช่วงจึงอาจเป็นแบบเปิด ปิด หรือครึ่งเปิด

ทำไม ratio test ใช้ตรวจปลายช่วงไม่ได้?
เพราะที่ $|x - a| = R$ ลิมิตของอัตราส่วนเท่ากับ 1 พอดีทุกครั้ง ซึ่งเป็นกรณีที่ ratio test สรุปไม่ได้ ต้องแทนค่า x แล้วใช้การทดสอบอื่น เช่น อนุกรม p ไลบ์นิซ หรือพจน์ที่ n

หารัศมีการลู่เข้าโดยไม่คำนวณสัมประสิทธิ์ได้ไหม?
ได้ ถ้ารู้ฟังก์ชันที่อนุกรมแทน รัศมีรอบ a เท่ากับระยะจาก a ไปยังจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดในระนาบเชิงซ้อน เช่น $1/(x^2 - 4x + 13)$ มีโพลที่ $2 \pm 3i$ รอบ 0 จึงมีรัศมี $\sqrt{13}$

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

ลำดับและอนุกรม
เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น พร้อมตัวอย่างทุกขั้น
วิธีเลือกการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมให้ถูกตั้งแต่ครั้งแรก: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น (พจน์ที่ n เรขาคณิต อนุกรม p กล้องส่องทางไกล เปรียบเทียบลิมิต…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)
อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์
ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**รัศมีการลู่เข้าคืออะไร?**
อนุกรมกำลัง $\sum c_n(x-a)^n$ จะลู่เข้าเมื่อ $|x - a|  R$ ค่า R นี้คือรัศมีการลู่เข้า อาจเป็น 0 (ลู่เข้าแค่ที่ x = a) หรือ ∞ (ลู่เข้าทุก x)

**รัศมีการลู่เข้ากับช่วงการลู่เข้าต่างกันอย่างไร?**
รัศมีเป็นตัวเลขตัวเดียว ส่วนช่วงการลู่เข้าคือช่วง $(a - R, a + R)$ รวมปลายช่วงที่ลู่เข้า ซึ่งต้องตรวจแยกที่ x = a − R และ x = a + R ช่วงจึงอาจเป็นแบบเปิด ปิด หรือครึ่งเปิด

**ทำไม ratio test ใช้ตรวจปลายช่วงไม่ได้?**
เพราะที่ $|x - a| = R$ ลิมิตของอัตราส่วนเท่ากับ 1 พอดีทุกครั้ง ซึ่งเป็นกรณีที่ ratio test สรุปไม่ได้ ต้องแทนค่า x แล้วใช้การทดสอบอื่น เช่น อนุกรม p ไลบ์นิซ หรือพจน์ที่ n

**หารัศมีการลู่เข้าโดยไม่คำนวณสัมประสิทธิ์ได้ไหม?**
ได้ ถ้ารู้ฟังก์ชันที่อนุกรมแทน รัศมีรอบ a เท่ากับระยะจาก a ไปยังจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดในระนาบเชิงซ้อน เช่น $1/(x^2 - 4x + 13)$ มีโพลที่ $2 \pm 3i$ รอบ 0 จึงมีรัศมี $\sqrt{13}$

---

# ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/sequences-and-series-roadmap/
Updated: 2026-10-24
Summary: ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ ถึงอนุกรมโลรองต์

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · ลำดับและอนุกรม

# ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์

นักเรียนหลายคนเจอลำดับและอนุกรมเป็นสูตรแยกกันหลายสิบสูตร จนไม่เห็นว่ามันคือเรื่องเดียวกันทั้งหมด บทความนี้วาดแผนที่ให้เห็นภาพใหญ่ก่อน: ทั้งบทตอบคำถามข้อเดียวที่ลึกขึ้นเรื่อย ๆ คือ “บวกจำนวนไม่สิ้นสุดแล้วได้อะไร” แต่ละจุดแวะมีคำถามของมัน เครื่องมือหลัก และข้อสอบแบบที่เจอบ่อย

สรุปใน 30 วินาที

- ลำดับ → อนุกรม (ลิมิตของผลบวกย่อย) → ทดสอบว่าลู่เข้าไหม → อนุกรมที่มี x (อนุกรมกำลัง) → สัมประสิทธิ์จากอนุพันธ์ (เทย์เลอร์) → ยอมให้มีกำลังลบ (โลรองต์)

- ตัวเทียบที่ต้องจำ: อนุกรมเรขาคณิต $\sum r^n$ และอนุกรม p $\sum 1/n^p$

- ม.ปลายหยุดที่อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ · แคลคูลัส 2 ถึงเทย์เลอร์ · คณิตศาสตร์วิศวกรรมถึงโลรองต์และการแปลง Z

## ภาพใหญ่ในรูปเดียว

แปดจุดแวะของบทลำดับและอนุกรม แต่ละจุดใช้ผลของจุดก่อนหน้า ตัวเลขคือหมายเลขหน้าในบทเรียน

ลองนึกถึงการเติมน้ำลงถังทีละแก้ว แต่ละแก้วคือ พจน์ $a_n$ ปริมาณน้ำในถังหลังเติม n แก้วคือ ผลบวกย่อย $S_n$ คำถามคือถังจะเต็มที่ระดับหนึ่ง (ลู่เข้า) หรือล้นไม่หยุด (ลู่ออก) ถ้าแก้วเล็กลงครึ่งหนึ่งทุกครั้ง น้ำจะหยุดที่ระดับจำกัด แต่ถ้าเล็กลงแบบ 1, ½, ⅓, ¼, … น้ำจะล้นในที่สุด ทั้งที่แก้วเล็กลงเรื่อย ๆ เหมือนกัน ความต่างเล็ก ๆ นี้คือหัวใจของทั้งบท

## แปดจุดแวะ: คำถาม เครื่องมือ และแนวข้อสอบ

1 · ลำดับพจน์เข้าใกล้ค่าใด?เลขคณิต $a_1 + (n-1)d$ · เรขาคณิต $a_1r^{n-1}$ · ลิมิต ε–N · $(1 + \tfrac{x}{n})^n \to e^x$
2 · อนุกรมบวกทั้งหมดได้เท่าไร?$\sum ar^n = \tfrac{a}{1-r}$ · กล้องส่องทางไกล · ฮาร์มอนิกลู่ออก
3 · การทดสอบลู่เข้าไหม (เมื่อหาผลบวกไม่ได้)?พจน์ที่ n · ปริพันธ์ · เปรียบเทียบ · อัตราส่วน · ราก
4 · อนุกรมสลับบวกลบสลับแล้วเป็นอย่างไร?ไลบ์นิซ · $|S - S_N| \le b_{N+1}$ · สัมบูรณ์ vs มีเงื่อนไข
5 · อนุกรมกำลังใช้ได้กับ x ช่วงไหน?$\sum c_n(x-a)^n$ · รัศมี R · ตรวจปลายช่วง
6 · เทย์เลอร์เขียนฟังก์ชันเป็นพหุนามได้ไหม?$c_n = f^{(n)}(a)/n!$ · ตาราง eˣ sin cos · เศษเหลือ
7 · โลรองต์รอบจุดที่ฟังก์ชันระเบิดล่ะ?กำลังลบ · วงแหวน · เรซิดิว $a_{-1}$
8 · วิศวกรรมใช้ทำอะไรได้จริง?มุมเล็ก · ไดโอดสัญญาณเล็ก · sin บนชิป · การแปลง Z

จุด 1–2 คือเนื้อหาระดับมัธยมปลาย ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยถามหาพจน์ หาผลบวก และลิมิตของลำดับ เช่น “ลำดับเรขาคณิตมี $a_2 = 12,\ a_5 = 96$ หา $S_6$” หรือ “เขียน $0.1\overline{23}$ เป็นเศษส่วน” · จุด 3–6 คือแคลคูลัส 2 ข้อสอบถามว่าอนุกรมลู่เข้าแบบใด หาช่วงการลู่เข้า และใช้อนุกรมเทย์เลอร์หาลิมิตหรือประมาณค่า · จุด 7–8 คือคณิตศาสตร์วิศวกรรม ข้อสอบถามอนุกรมโลรองต์ในบริเวณที่กำหนด เรซิดิว และการแปลง Z ผกผัน

## ไม้บรรทัดสองอันที่ใช้วัดทุกอนุกรม

การทดสอบการลู่เข้าแทบทุกแบบคือการเอาอนุกรมที่ไม่รู้จักไปเทียบกับอนุกรมที่รู้ผลแล้ว ซึ่งมีแค่สองตระกูล:

- อนุกรมเรขาคณิต $\sum r^n$ ลู่เข้า ⇔ $|r| < 1$ — เป็นตัวเทียบของการทดสอบอัตราส่วนและราก (ถ้าพจน์หดตัวเร็วกว่าเรขาคณิตบางตัว ก็ลู่เข้า)

- อนุกรม p $\sum 1/n^p$ ลู่เข้า ⇔ $p > 1$ — เป็นตัวเทียบของเศษส่วนพหุนามผ่านการเปรียบเทียบแบบลิมิต เช่น $\dfrac{3n+5}{n^3-2}$ ประพฤติเหมือน $\dfrac{3}{n^2}$ จึงลู่เข้า

จำสองตัวนี้ให้แม่น แล้วการทดสอบที่เหลือจะกลายเป็นเรื่อง “หาว่าพจน์ของเราเหมือนตัวไหน” ดูวิธีเลือกแบบเป็นขั้นตอนในบทความ เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร

## เรียนลำดับไหน ตามเป้าหมายของคุณ

| เป้าหมาย | ลำดับที่แนะนำ | ฝึกโจทย์ |

| สอบเข้ามหาวิทยาลัย | ลำดับ → อนุกรมอนันต์ (ซิกมา เรขาคณิต กล้องส่องทางไกล) | ชุด A |

| แคลคูลัส 2 | เพิ่ม การทดสอบ → อนุกรมสลับ → อนุกรมกำลัง → เทย์เลอร์ | ชุด B |

| คณิตศาสตร์วิศวกรรม | เพิ่ม โลรองต์ → วิศวกรรม (ต่อด้วยการแปลงลาปลาซและ Z) | ชุด C |

## ทำไมวิศวกรต้องสนใจอนุกรม

- สูตรที่ท่องคือพจน์แรกของอนุกรม — $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ มาจาก $\sin\theta \approx \theta$ ที่มุม 60° คาบจริงยาวกว่าสูตร 7.3 %

- อิเล็กทรอนิกส์อนาล็อกทั้งวิชาใช้แบบจำลองสัญญาณเล็ก — คือพหุนามเทย์เลอร์ดีกรีหนึ่ง $r_d = V_T/I_D$

- ชิปคำนวณ sin ด้วยการบวกและคูณ — ลดช่วงแล้วใช้พหุนามดีกรี 11 ก็พอสำหรับ float32

- ระบบดิจิทัลเสถียรเมื่ออนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ — $\sum|h[n]| < \infty$ และการแปลง Z คืออนุกรมโลรองต์

ทุกตัวอย่างมีแล็บให้ลองใน อนุกรมในงานวิศวกรรม

## ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

- “พจน์เข้าใกล้ศูนย์ แปลว่าบวกแล้วจำกัด” — ผิด อนุกรมฮาร์มอนิก $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$ ลู่ออก (บวก 12,367 พจน์จึงเกิน 10 แต่โตไม่หยุด)

- “บวกตามลำดับไหนก็ได้ผลเท่ากัน” — จริงเฉพาะอนุกรมที่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ จัดเรียงใหม่ได้ผลบวกเท่าใดก็ได้ (ลองในแล็บจัดเรียงใหม่)

- “ฟังก์ชันเรียบบนเส้นจำนวน อนุกรมเทย์เลอร์ต้องลู่เข้าทุกที่” — $\tfrac{1}{1+x^2}$ มีรัศมีแค่ 1 เพราะจุดเอกฐานเชิงซ้อน ±i (อ่าน รัศมีการลู่เข้า)

- “อนุกรมโลรองต์ของฟังก์ชันหนึ่งมีแบบเดียว” — มีหนึ่งแบบต่อหนึ่งวงแหวน (อ่าน โลรองต์ vs เทย์เลอร์)

## เรียนต่อในคลังความรู้

- บทลำดับและอนุกรมครบ 10 หน้า พร้อมดัชนีสูตร 122 สูตร

- แล็บรวม 12 ชุด: ผลบวกย่อย รัศมีการลู่เข้า เทย์เลอร์ โลรองต์

- แนวข้อสอบ 60 ข้อพร้อมเฉลย และเครื่องสุ่มโจทย์

- ลำดับและอนุกรมฉบับสรุปหน้าเดียว

## คำถามที่พบบ่อย

ลำดับและอนุกรมยากไหม ควรเริ่มตรงไหน?
ส่วนที่หาผลบวกได้ (เลขคณิต เรขาคณิต ซิกมา) ไม่ยาก ส่วนที่ยากคือการตัดสินว่าอนุกรมลู่เข้าหรือไม่ เพราะต้องเลือกเครื่องมือให้ถูก ควรเริ่มที่ลำดับและลิมิตของลำดับ แล้วไปอนุกรมเรขาคณิตซึ่งเป็นตัวเทียบของทุกการทดสอบ

อนุกรมกำลัง อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมโลรองต์ต่างกันอย่างไร?
อนุกรมกำลังคืออนุกรมรูป $\sum c_n (x-a)^n$ ใด ๆ อนุกรมเทย์เลอร์คืออนุกรมกำลังที่สัมประสิทธิ์เป็น $f^{(n)}(a)/n!$ เพื่อแทนฟังก์ชัน f ส่วนอนุกรมโลรองต์ยอมให้มีกำลังลบ ใช้แทนฟังก์ชันรอบจุดเอกฐานบนวงแหวน

ต้องรู้ลำดับและอนุกรมไปทำไมในวิศวกรรม?
ใช้ประมาณฟังก์ชันด้วยพหุนาม (มุมเล็ก แบบจำลองสัญญาณเล็ก) คำนวณ sin และ exp ในไมโครคอนโทรลเลอร์ วิเคราะห์ตัวกรองดิจิทัลและการแปลง Z อนุกรมฟูริเยร์ของสัญญาณ และแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่มีคำตอบเป็นสูตร

มีที่ฝึกโจทย์ลำดับและอนุกรมพร้อมเฉลยไหม?
มีแนวข้อสอบ 60 ข้อสามระดับพร้อมเฉลยทีละขั้น และเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัดที่ตรวจคำตอบอัตโนมัติในบทลำดับและอนุกรมของเว็บไซต์นี้

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

ลำดับและอนุกรม
เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น พร้อมตัวอย่างทุกขั้น
วิธีเลือกการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมให้ถูกตั้งแต่ครั้งแรก: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น (พจน์ที่ n เรขาคณิต อนุกรม p กล้องส่องทางไกล เปรียบเทียบลิมิต…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)
อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร: 3 วิธี ตรวจปลายช่วง และเหตุผลจากระนาบเชิงซ้อน
วิธีหารัศมีการลู่เข้า (radius of convergence) ของอนุกรมกำลัง 3 วิธี: การทดสอบอัตราส่วน การทดสอบราก และระยะถึงจุดเอกฐานเชิงซ้อน…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**ลำดับและอนุกรมยากไหม ควรเริ่มตรงไหน?**
ส่วนที่หาผลบวกได้ (เลขคณิต เรขาคณิต ซิกมา) ไม่ยาก ส่วนที่ยากคือการตัดสินว่าอนุกรมลู่เข้าหรือไม่ เพราะต้องเลือกเครื่องมือให้ถูก ควรเริ่มที่ลำดับและลิมิตของลำดับ แล้วไปอนุกรมเรขาคณิตซึ่งเป็นตัวเทียบของทุกการทดสอบ

**อนุกรมกำลัง อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมโลรองต์ต่างกันอย่างไร?**
อนุกรมกำลังคืออนุกรมรูป $\sum c_n (x-a)^n$ ใด ๆ อนุกรมเทย์เลอร์คืออนุกรมกำลังที่สัมประสิทธิ์เป็น $f^{(n)}(a)/n!$ เพื่อแทนฟังก์ชัน f ส่วนอนุกรมโลรองต์ยอมให้มีกำลังลบ ใช้แทนฟังก์ชันรอบจุดเอกฐานบนวงแหวน

**ต้องรู้ลำดับและอนุกรมไปทำไมในวิศวกรรม?**
ใช้ประมาณฟังก์ชันด้วยพหุนาม (มุมเล็ก แบบจำลองสัญญาณเล็ก) คำนวณ sin และ exp ในไมโครคอนโทรลเลอร์ วิเคราะห์ตัวกรองดิจิทัลและการแปลง Z อนุกรมฟูริเยร์ของสัญญาณ และแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่มีคำตอบเป็นสูตร

**มีที่ฝึกโจทย์ลำดับและอนุกรมพร้อมเฉลยไหม?**
มีแนวข้อสอบ 60 ข้อสามระดับพร้อมเฉลยทีละขั้น และเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัดที่ตรวจคำตอบอัตโนมัติในบทลำดับและอนุกรมของเว็บไซต์นี้

---

# ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที: ผลการทดลองเชิงตัวเลขของมอเตอร์เหนี่ยวนำกรงกระรอก เรื่องเวลาเปลี่ยนจังหวะ ช่วงตาย กระแส และพลังงาน

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/star-delta-timer-setting/
Updated: 2026-10-19
Summary: ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที? บทความวิจัยจำลองพลวัตมอเตอร์กรงกระรอก 7.5 kW: สูตร t = c·τm ตาราง c ตามชนิดโหลด ช่วงตาย ลำดับเฟส KM3 กระแสกระชาก I²t พลังงาน และกรณีศึกษา

## 2. ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง

ที่ความเร็วเดียวกัน การต่อสตาร์ให้กระแสสายและแรงบิด 1/3 ของเดลต้า และแรงบิดสูงสุดก็เหลือ 1/3 ด้วย มอเตอร์จึงเร่งได้ถึงเพียง ความเร็วสมดุลในสตาร์ $n_Y$ ที่แรงบิดสตาร์เท่ากับแรงบิดโหลด เวลาเร่งหาได้จากกฎข้อสองของนิวตันสำหรับการหมุน

$$t(\omega_1) = J\int_0^{\omega_1}\frac{d\omega}{T_Y(\omega) - T_L(\omega)} \qquad \tau_m = \frac{J\,\omega_s}{T_n}$$

ค่าคงตัวเวลาทางกล $\tau_m$ คือเวลาที่แรงบิดพิกัดใช้เร่งมวลหมุนจากนิ่งถึงความเร็วซิงโครนัส เมื่อวัดเวลาเป็นหน่วย $\tau_m$ และแรงบิดเป็นหน่วย $T_n$ สมการข้างบนไม่มีขนาดมอเตอร์อยู่เลย ผลจึงนำไปใช้กับมอเตอร์ขนาดอื่นที่มีกราฟแรงบิดรูปร่างคล้ายกันได้

ระหว่างช่วงตาย (dead time) ที่มอเตอร์หลุดจากไฟ ฟลักซ์ในโรเตอร์ยังค้างและสร้าง แรงดันค้าง $\underline e$ ที่ขั้ว ซึ่งหมุนช้ากว่าไฟและเลื่อนมุมไป $\delta$ เมื่อ KM3 ต่อ ทรานเซียนต์ถูกขับด้วยผลต่างเวกเตอร์

$$\delta \approx s_{ch}\,\omega_s t_d + \frac{p\,T_L}{2J}t_d^2 \qquad |\Delta\underline V| = |\underline V_\Delta - \underline e| \qquad I_{pk} \approx k_a\,\frac{|\Delta\underline V|}{V_\Delta}\,I_{LR}$$

โดย $k_a \approx 1.35\text{–}1.45$ คือตัวคูณความไม่สมมาตรของไซเคิลแรก รายละเอียดการพิสูจน์และสูตรทั้งหมด (E1–E24) อยู่ใน สตาร์-เดลต้าเชิงลึก และพื้นฐานกราฟแรงบิด-ความเร็วอยู่ใน คู่มือมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับ

## 3. วิธีการวิจัย

3.1 แบบจำลอง มอเตอร์ 7.5 kW 4 ขั้ว 400 V Δ 50 Hz โรเตอร์กรงคู่ (In 14.0 A, Tn 49.3 N·m, 1471 rpm, Is/In 6.53, Ts/Tn 2.15, Tk/Tn 3.0, J มอเตอร์ 0.045 kg·m²) เขียนเป็นสมการเวกเตอร์อวกาศในปริมาณจริงของขดลวด สถานะคือฟลักซ์ลิงเกจของสเตเตอร์ กรงนอก กรงใน และความเร็ว แก้ด้วย Runge–Kutta อันดับ 4 ทุก 0.1 ms ระหว่างช่วงตายกระแสสเตเตอร์เป็นศูนย์และคำนวณเฉพาะกรงโรเตอร์ทั้งสอง (ฟลักซ์ต่อเนื่องข้ามการสวิตช์)

3.2 การตรวจสอบ สถานะคงตัว 12 จุดตรงกับวงจรสมมูลถึง 10⁻¹⁶ และทรานเซียนต์ตอนเปลี่ยนจังหวะ (ยอดกระแส แรงบิดสูงสุด-ต่ำสุด ความเร็ว) ตรงกับตัวแก้สมการ LSODA ของ scipy ภายใน 0.3 %

3.3 โหลดและการทดลอง ปั๊มหอยโข่ง 80 % ($T_L \propto n^2$, J รวม 0.105 kg·m², τm 0.33 s) พัดลมใหญ่ (J รวม 2.245 kg·m², τm 7.15 s) และสายพานแรงบิดคงที่ 50 % (J รวม 0.395 kg·m², τm 1.26 s) ทำการทดลอง 14 ชุด:

| ชุด | ตัวแปรต้น | ตัวแปรตาม |

| E1, E7, E13 | ชนิดและขนาดโหลด | ความเร็วสมดุลสตาร์ เวลา t95 t98 สัมประสิทธิ์ c |

| E2, E5 | เวลาไทเมอร์ · วิธีสั่งเปลี่ยน (ไทเมอร์ รีเลย์กระแส ความเร็ว) | ยอดกระแส เวลากระแส > 3·In I²t ความร้อนโรเตอร์ |

| E3, E11 | ช่วงตาย 5–800 ms · ลำดับเฟส KM3 · มุมไฟตอนต่อ | ยอดกระแส แรงบิด แรงดันค้างและมุม |

| E4 | ตัวต้านทานแบบปิดวงจร Rt/Zb | ยอดกระแส แรงบิด พลังงานในตัวต้านทาน |

| E6, E8 | แรงดัน 80–105 % · ความเฉื่อย 0.1–8 kg·m² | เวลาเร่ง เทียบสูตรคลอสส์และแรงบิดเฉลี่ย |

| E9, E10, E12, E14 | วิธีสตาร์ท · โหลดขณะเดิน · ขนาดแหล่งจ่าย | พลังงาน I²t แรงดันตก งบความร้อนโอเวอร์โหลด การเดินสตาร์ถาวร |

3.4 เกณฑ์ตั้งไทเมอร์ที่เสนอ $t_{set} = \max\big(1.2\,t_{98}(V_n),\ t_{95}(0.9V_n)\big)$ คือรอให้ถึง 98 % ของความเร็วสมดุลพร้อมเผื่อ 20 % และต้องไม่สั้นกว่าเวลาถึง 95 % เมื่อไฟตก 10 %

## 4. ผลการทดลอง

### 4.1 เวลาไทเมอร์ (RQ1)

เมื่อวัดเป็นหน่วย τm โค้งการเร่งของปั๊มและพัดลมแทบซ้อนกัน และการเพิ่ม J เป็นสี่เท่าไม่เปลี่ยนค่า t98/τm เลย ผลที่ได้คือตารางสัมประสิทธิ์ที่ใช้กับมอเตอร์ทุกขนาด:

| โหลด (k = แรงบิดที่ความเร็วพิกัด/Tn) | nY/nN | t98/τm | t95/τm ที่ไฟ 90 % | c |

| ปั๊ม T ∝ n² · k 0.6 | 98.2 % | 1.63 | 2.08 | 2.1 |

| ปั๊ม T ∝ n² · k 0.8 | 96.5 % | 1.89 | 2.56 | 2.6 |

| ปั๊ม T ∝ n² · k 1.0 | 94.1 % | 2.31 | 3.44 | 3.4 |

| พัดลม · k 1.0 | 94.2 % | 2.10 | 2.94 | 2.9 |

| T ∝ n · k 0.8 | 96.2 % | 2.37 | 3.96 | 4.0 |

| แรงบิดคงที่ · k 0.5 | 98.8 % | 3.10 | ออกตัวไม่ได้ | 3.7 |

รูป 1 · การเร่งในช่วงสตาร์ของสามโหลดเทียบเวลาในหน่วย τm

ตัวอย่าง: ปั๊ม 37 kW 1480 rpm J รวม 0.87 kg·m² → $T_n = 238.8$ N·m, $\tau_m = 0.87 \times 157.08/238.8 = 0.572$ s → $t_{set} = 2.6 \times 0.572 \approx 1.5$ s (ตั้งจริง 2–3 s) ส่วนพัดลม 7.5 kW J รวม 2.245 kg·m² → $\tau_m = 7.15$ s → $t_{set} = 2.94 \times 7.15 \approx 21$ s ค่า “5–10 s สำหรับทุกงาน” จึงนานเกินจำเป็นสำหรับปั๊มเล็ก และสั้นเกินไปมากสำหรับพัดลมความเฉื่อยสูง สูตรคลอสส์แบบปิดซึ่งนิยมในตำราประเมินเวลาของมอเตอร์กรงคู่สูงเกินราว 74 % (เพราะให้แรงบิดเริ่มเพียง 0.79·Tn แทน 2.15·Tn) ขณะที่วิธีแรงบิดเฉลี่ยคลาดเพียง 2 %

### 4.2 ยอดกระแสตอนเปลี่ยน ช่วงตาย และลำดับเฟส (RQ2)

ผลที่ขัดกับความเชื่อทั่วไปที่สุดของงานนี้คือ ยอดกระแส 1–3 ไซเคิลตอนเปลี่ยนของปั๊มและพัดลมไม่ลดลงตามเวลาไทเมอร์ การกวาดไทเมอร์ของพัดลมจาก 1 ถึง 30 s ได้ยอด 7.6–10.4·In และของปั๊ม 7.7–10.5·In เทียบกับ DOL 8.9·In สิ่งที่ไทเมอร์ที่ถูกต้องลดได้คือ เวลาที่กระแสสูงกว่า 3·In หลังเปลี่ยน: พัดลมตั้ง 8 s (เปลี่ยนที่ 66 % ความเร็ว) ค้าง 0.96 s ตั้ง 20 s เหลือ 0.05 s ส่วนโหลดที่สลิปในสตาร์ต่ำ (สายพาน 50 %) เมื่อเปลี่ยนที่ความเร็วสมดุลได้ยอดเพียง 5.6·In

รูป 2 · การกวาดเวลาไทเมอร์ของพัดลม: ความเร็วตอนเปลี่ยน ยอดกระแส เวลากระแสสูง I²t และความร้อนโรเตอร์

ยอดอธิบายได้ด้วยแรงดันค้าง ตัวอย่างปั๊ม (ช่วงตาย 50 ms): ก่อนเปิด n = 1419 rpm สลิป 0.054 แรงบิดโหลด 37.1 N·m J = 0.105 → $\delta = 0.848 + 0.883 = 1.73$ rad (99°) ครึ่งหนึ่งมาจากการชะลอของโหลดความเฉื่อยต่ำ แรงดันค้าง 134 V ที่มุม −87° เทียบแรงดันเดลต้าใหม่ → $|\Delta V| = 415$ V = 1.04 เท่าของ DOL → $I_{pk} \approx 1.36 \times 1.04 \times 6.53 = 9.2\,I_n$ (จำลอง 9.7·In) ถ้าต่อ KM3 แบบมาตรฐาน มุมเป็น −147° → $|\Delta V| = 518$ V → 11.5·In (จำลอง 11.5·In) และแรงบิดต่ำสุดเป็น −4.4·Tn แทน −0.55·Tn

รูป 3 · เฟสเซอร์ของแรงดันขับทรานเซียนต์ |VΔ − e| ของปั๊มเมื่อต่อ KM3 แบบตามหลังและแบบมาตรฐาน

ช่วงตายมีผลแบบคลื่น (“ลอตเตอรีเฟส”) ในช่วง 5–60 ms ยิ่งสั้นยิ่งดี (ปั๊ม: 5.0·In ที่ 10 ms, 6.8·In ที่ 30 ms, 9.7·In ที่ 50 ms) และแบบตามหลังชนะแบบมาตรฐาน 10–40 % หลังจากนั้นยอดขึ้นลงตามมุมและไม่มีค่าใดดีกับทุกโหลด แบบปิดวงจรที่ Rt = 0.1–0.3·Zb ลดยอดเหลือ 2.9–3.8·In (ปั๊ม) และ 5.6–6.7·In (พัดลม) โดยไม่มีแรงบิดติดลบ

### 4.3 กระแส พลังงาน และความร้อน (RQ3)

| วิธี (พัดลม) | ยอดกระแส | เวลา | I²t สายจ่าย | ความร้อนโรเตอร์ |

| สตาร์ทตรง | 8.9·In | 3.3 s | 100 % | 100 % (30.8 kJ) |

| สตาร์-เดลต้า | 3.0 → 10.4·In | 12.7 s | 51 % | 130 % |

| ซอฟต์สตาร์ท 3·In | 3.0·In | 16.3 s | 140 % | 135 % |

| VFD | 1.2·In | 29.2 s | 17 % | 6 % |

รูป 4 · I²t ของสายจ่ายและความร้อนโรเตอร์ของแต่ละวิธีสตาร์ทเทียบ DOL

พลังงานไฟฟ้าต่อการสตาร์ทหนึ่งครั้งไม่เกินราวร้อยกว่ากิโลจูล (≤ 0.04 kWh ในทุกกรณีของงานนี้) จึง ไม่มีวิธีสตาร์ทใดประหยัดพลังงาน อย่างมีนัยสำคัญ ทฤษฎีบอกว่าถ้าไม่มีโหลด ความร้อนในโรเตอร์เท่ากับ $\tfrac12 J\omega_s^2$ ไม่ว่าจะใช้แรงดันเท่าไร แต่เมื่อมีโหลด แรงดันที่ต่ำทำให้เร่งช้าและสลิปสูงนานขึ้น โรเตอร์จึงร้อนกว่า DOL ประโยชน์จริงของสตาร์-เดลต้าคือ I²t และแรงดันตกระยะยาวที่ลดลง บนหม้อแปลง 250 kVA ปั๊ม 37 kW ทำแรงดันตก 4.8 % (DOL) 1.6 % (ช่วงสตาร์) และ 6.9 % เพียง 1–2 ไซเคิลตอนเปลี่ยน แต่บนเครื่องกำเนิดไฟฟ้า 100 kVA ตัวเลขเป็น 32 %, 13.5 % และ 41 % ตามลำดับ

การทดลองเพิ่มเติม (E9) พบว่าการ เดินสตาร์ถาวร ที่โหลดเบาประหยัดพลังงานได้จริง: 188 W ต่อมอเตอร์ 7.5 kW ที่โหลด 25 % และ cos φ ดีขึ้นจาก 0.46 เป็น 0.79 จุดคุ้มทุนราว 53 % แต่ขอบเผื่อแรงบิด (Tk,Y/TL ≥ 2.5) จำกัดการใช้งานจริงไว้ที่ราว 35–40 % ของพิกัด

รูป 5 · ประสิทธิภาพ ตัวประกอบกำลัง และกำลังที่ประหยัดเมื่อเดินสตาร์เทียบเดลต้า

## 5. อภิปรายผลและกรณีศึกษา

เทียบกับแนวปฏิบัติเดิม คำแนะนำ “เปลี่ยนที่ 85–90 % ความเร็ว” ถูกต้องในหลักการ แต่ช่างวัดความเร็วไม่ได้ เกณฑ์ c·τm แปลงหลักการนี้เป็นตัวเลขจากแคตตาล็อก (J มอเตอร์ J โหลด Pn nN) ส่วนความเชื่อว่า “ยืดช่วงตายให้นานจะลดกระชาก” ไม่ได้รับการสนับสนุนจากผลการทดลอง และ “ไทเมอร์นานไว้ก่อนปลอดภัย” จริงเพียงบางส่วน เพราะขณะค้างที่ความเร็วสมดุล ขดลวดของพัดลมรับกระแส 1.68 เท่าของพิกัดขดลวด (0.97·In ในสตาร์ เทียบพิกัด 0.58·In) ไทเมอร์ 30 s ใช้งบความร้อนของโอเวอร์โหลดคลาส 10 ไป 36 % ต่อครั้ง

กรณีศึกษา (กรณีจำลองจากอาการที่พบบ่อย ตัวเลขจากแบบจำลอง):

- พัดลมดูดอากาศ ไฟกระพริบเกือบวินาที — ตั้ง 8 s เหมือนปั๊ม เปลี่ยนที่ 66 % ความเร็ว กระแสเกิน 3·In ค้าง 0.96 s → ตั้งใหม่ 21 s หรือใช้รีเลย์กระแส เหลือ 0.05–0.22 s

- ปั๊มทริปเป็นครั้งคราวตอนเปลี่ยน — ยอด rms 9.7–11.5·In อยู่ในช่วงปลดทันทีของ MCB แบบ C → ใช้ MPCB/MCCB ปลดทันที ≥ 12–13·In ต่อ KM3 แบบตามหลัง หรือแบบปิดวงจร

- คัปปลิ้งเสียหายหลังซ่อมบำรุง — KM3 ถูกต่อกลับเป็นแบบมาตรฐาน แรงบิดกระชาก −4.4·Tn → ต่อ L1→V2 L2→W2 L3→U2

- ปั๊มบนเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ทำให้คอนแทกเตอร์ตัวอื่นหลุด — ยอดตอนเปลี่ยนทำแรงดันตก 41 % → แบบปิดวงจร (≈ 17 %) ซอฟต์สตาร์ท (≈ 18 %) หรือ VFD (≈ 9 %)

ข้อจำกัด แบบจำลองเป็นแม่เหล็กเชิงเส้น คอนแทกเตอร์เปิดสามเฟสพร้อมกันในอุดมคติ แหล่งจ่ายไม่มีอิมพีแดนซ์ในพลวัต และขยายผลไปขนาดอื่นแบบต่อหน่วย ผลจึงเป็นแนวโน้มเชิงปริมาณที่ควรยืนยันด้วยการวัดหน้างาน

## 6. อดีต ปัจจุบัน และอนาคต

- 1889–1891Dolivo-Dobrovolsky (AEG) สร้างมอเตอร์สามเฟสโรเตอร์กรงกระรอกและระบบสามเฟสที่ใช้การต่อสตาร์และเดลต้า

- ต้น–กลางศตวรรษที่ 20จากสวิตช์สตาร์-เดลต้าแบบมือโยก สู่คอนแทกเตอร์กับไทเมอร์ลมและกลไก การไฟฟ้าหลายประเทศจำกัดกระแสสตาร์ท สตาร์-เดลต้าจึงเป็นมาตรฐานในยุโรปและเอเชีย

- 1970–1990ไทเมอร์อิเล็กทรอนิกส์ที่ล็อกช่วงตาย ซอฟต์สตาร์ทไทริสเตอร์ และอินเวอร์เตอร์ IGBT

- ปัจจุบันมอเตอร์ IE3/IE4 (IEC 60034-30-1) มีกระแสสตาร์ทสูงขึ้น คอนแทกเตอร์ประเภท AC-3e (IEC 60947-4-1:2018) รีเลย์วัดกระแส และสตาร์ทเตอร์อัจฉริยะ แบบจำลองแบบในบทความนี้ใช้ออกแบบก่อนติดตั้งได้

- อนาคต (คาดการณ์)การเปลี่ยนจังหวะตามสถานะมอเตอร์และแบบซิงโครนัสที่วัดแรงดันค้าง ไมโครกริดและอินเวอร์เตอร์แบตเตอรี่ที่ทำให้ยอดตอนเปลี่ยนสำคัญขึ้น มอเตอร์ IE4/IE5 ที่ส่วนใหญ่ใช้ VFD และดิจิทัลทวินสำหรับการตั้งค่าหน้างาน

## 7. สรุปและข้อเสนอแนะ

- ตั้งไทเมอร์ $t_{set} = c\,\tau_m$ จากตาราง c (2.1–4.0) และยืนยันด้วยแคลมป์มิเตอร์ว่ากระแสช่วงสตาร์นิ่งก่อนเปลี่ยน

- ถ้าแรงดันหรือโหลดเปลี่ยนบ่อย ใช้รีเลย์กระแสหรือความเร็วแทนไทเมอร์คงที่ (ลดเวลากระแสสูง 3–4 เท่า)

- ใช้ช่วงตายสั้นที่สุดที่ผู้ผลิตรับรอง และต่อ KM3 แบบตามหลัง L1→V2 L2→W2 L3→U2

- บนเครื่องกำเนิดไฟฟ้าหรือไฟอ่อน พิจารณาแบบปิดวงจร ซอฟต์สตาร์ท หรือ VFD

- อุปกรณ์ป้องกันต้องทนยอดตอนเปลี่ยน ~10·In ได้ และสตาร์ทนานกว่า 10 s ใช้โอเวอร์โหลดคลาส 20

- มอเตอร์ที่เดินโหลดเบาคงที่ต่ำกว่า 35–40 % ประเมินการเดินสตาร์ถาวรเพื่อประหยัดไฟ

ลองเปลี่ยนไทเมอร์ ช่วงตาย และลำดับเฟสเองในแล็บจำลองพลวัตที่ สตาร์-เดลต้าเชิงลึก · ห้องทดลอง ผลทุกตัวในบทความทำซ้ำได้ด้วย node scripts/yd_research.mjs และ python3 scripts/yd_check.py ในคลังโค้ดของเว็บไซต์

### เอกสารอ้างอิง

- IEC 60034-1, Rotating electrical machines — Rating and performance

- IEC 60034-12, Starting performance of single-speed three-phase cage induction motors

- IEC 60034-30-1, Efficiency classes of line-operated AC motors (IE code)

- IEC 60947-4-1, Contactors and motor-starters

- IEEE Std 3002.7, Recommended Practice for Conducting Motor-Starting Studies in Industrial and Commercial Power Systems

- S. D. Umans, Fitzgerald & Kingsley's Electric Machinery, 7th ed., McGraw-Hill, 2014

- P. C. Krause et al., Analysis of Electric Machinery and Drive Systems, 3rd ed., Wiley-IEEE Press, 2013

- I. Boldea, S. A. Nasar, The Induction Machine Handbook, CRC Press, 2002

## เรียนต่อในคลังความรู้

- สตาร์-เดลต้าเชิงลึก: ตั้งไทเมอร์ เลือกเดินสตาร์หรือเดลต้า กระแส พลังงาน และแล็บจำลองพลวัต

- วงจรสตาร์ทสตาร์-เดลต้าแบบละเอียด: วงจรกำลัง วงจรควบคุม 0.58 In

- การต่อขั้วมอเตอร์สตาร์และเดลต้า: เลือกจากแผ่นป้าย

- คู่มือมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับ: กราฟแรงบิด-ความเร็วกับโหลด

- ซอฟต์สตาร์ทเตอร์และการเปรียบเทียบวิธีสตาร์ทมอเตอร์

- อ่านต่อ: การต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า U1–W2, V1–U2, W1–V2

## คำถามที่พบบ่อย

ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที?
คำนวณค่าคงตัวเวลาทางกล τm = J·ωs/Tn แล้วคูณด้วย c ≈ 2–4 ตามชนิดโหลด (ปั๊มหอยโข่ง 80 % ≈ 2.6 พัดลม ≈ 2.9 รวมเผื่อไฟตก 10 %) เช่น ปั๊ม 37 kW ที่ J รวม 0.87 kg·m² ได้ราว 1.5 s (ตั้ง 2–3 s) ส่วนพัดลม 7.5 kW ที่ J รวม 2.245 kg·m² ได้ราว 21 s แล้วยืนยันด้วยแคลมป์มิเตอร์ว่ากระแสช่วงสตาร์นิ่งก่อนเปลี่ยน

ตั้งไทเมอร์นานขึ้นแล้วกระแสกระชากตอนเปลี่ยนจะลดลงไหม?
ลดเฉพาะส่วนที่ค้างนาน ผลจำลองปั๊มและพัดลมให้ยอด 1–3 ไซเคิลราว 7.6–10.5·In ไม่ว่าตั้งเท่าไร (DOL 8.9·In) เพราะยอดถูกกำหนดโดยผลต่างระหว่างแรงดันเดลต้ากับแรงดันค้างในมอเตอร์ สิ่งที่ไทเมอร์ที่ถูกต้องลดได้คือเวลาที่กระแสสูงกว่า 3·In หลังเปลี่ยน เช่น พัดลมจาก 0.96 s (ตั้ง 8 s) เหลือ 0.05 s (ตั้ง 20 s)

ช่วงตายระหว่าง KM2 กับ KM3 ยิ่งนานยิ่งดีไหม?
ไม่ ช่วงตายต้องนานพอให้อาร์กใน KM2 ดับก่อน KM3 ต่อ (ไทเมอร์สำเร็จรูปมักใช้ราว 30–80 ms) แต่การยืดให้นานขึ้นไม่ได้ลดกระชาก เพราะมุมของแรงดันค้างหมุนไปเรื่อยๆ ผลจำลองชี้ว่าใช้ค่าสั้นที่สุดที่ปลอดภัย และต่อ KM3 แบบตามหลัง L1→V2 L2→W2 L3→U2 ดีกว่า

สตาร์-เดลต้าดีกว่าสตาร์ทตรงในเรื่องใดจริงๆ?
ลดกระแสช่วงเร่งเหลือ 1/3 แรงดันตกระยะยาวเหลือ 1/3 และ I²t ของสายจ่าย 25–50 % แต่ไม่ประหยัดพลังงาน และโรเตอร์ร้อนกว่า DOL 30–55 % บนเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ยอดตอนเปลี่ยนอาจทำแรงดันตกมากกว่า DOL ด้วยซ้ำ

ทำซ้ำผลการทดลองในบทความนี้ได้อย่างไร?
เปิดแล็บจำลองในหน้า สตาร์-เดลต้าเชิงลึก ของคลังความรู้ หรือรัน node scripts/yd_research.mjs และ python3 scripts/yd_check.py ในคลังโค้ดของเว็บไซต์ ซึ่งใช้แบบจำลองเดียวกับที่ใช้เขียนบทความนี้

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

มอเตอร์ 3 เฟส
การต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (Δ): จำ U1–W2, V1–U2, W1–V2 และเลือกจากเนมเพลต
วิธีต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า (delta) ในกล่องขั้ว U1-W2, V1-U2, W1-V2 ความหมายของ U1 V1 W1 U2 V2 W2 และสีสายไฟเข้า แรงดันกับกระแส…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Power Factor
วิธีคำนวณขนาดคาปาซิเตอร์แก้ Power Factor (kvar) พร้อมตัวอย่าง
สูตร Qc = P(tan φ1 − tan φ2) ตัวอย่างโหลด 100 kW 400 V ปรับ PF 0.75 เป็น 0.95 ได้ 55.3 kvar คำนวณไมโครฟารัดต่อเฟส ตารางตัวคูณ…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Power Factor
Power Factor (เพาเวอร์แฟกเตอร์) คืออะไร: สูตร cos φ และความสัมพันธ์ kW kVA kvar
Power Factor คืออัตราส่วนกำลังจริงต่อกำลังปรากฏ อธิบายสามเหลี่ยมกำลัง P Q S ตัวอย่างคำนวณกระแสเมื่อ PF 0.8 กับ 1.0 PF ตามหลังกับนำหน้า…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ (4 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที?**
คำนวณค่าคงตัวเวลาทางกล τm = J·ωs/Tn แล้วคูณด้วย c ≈ 2–4 ตามชนิดโหลด (ปั๊มหอยโข่ง 80 % ≈ 2.6 พัดลม ≈ 2.9 รวมเผื่อไฟตก 10 %) เช่น ปั๊ม 37 kW ที่ J รวม 0.87 kg·m² ได้ราว 1.5 s (ตั้ง 2–3 s) ส่วนพัดลม 7.5 kW ที่ J รวม 2.245 kg·m² ได้ราว 21 s แล้วยืนยันด้วยแคลมป์มิเตอร์ว่ากระแสช่วงสตาร์นิ่งก่อนเปลี่ยน

**ตั้งไทเมอร์นานขึ้นแล้วกระแสกระชากตอนเปลี่ยนจะลดลงไหม?**
ลดเฉพาะส่วนที่ค้างนาน ผลจำลองปั๊มและพัดลมให้ยอด 1–3 ไซเคิลราว 7.6–10.5·In ไม่ว่าตั้งเท่าไร (DOL 8.9·In) เพราะยอดถูกกำหนดโดยผลต่างระหว่างแรงดันเดลต้ากับแรงดันค้างในมอเตอร์ สิ่งที่ไทเมอร์ที่ถูกต้องลดได้คือเวลาที่กระแสสูงกว่า 3·In หลังเปลี่ยน เช่น พัดลมจาก 0.96 s (ตั้ง 8 s) เหลือ 0.05 s (ตั้ง 20 s)

**ช่วงตายระหว่าง KM2 กับ KM3 ยิ่งนานยิ่งดีไหม?**
ไม่ ช่วงตายต้องนานพอให้อาร์กใน KM2 ดับก่อน KM3 ต่อ (ไทเมอร์สำเร็จรูปมักใช้ราว 30–80 ms) แต่การยืดให้นานขึ้นไม่ได้ลดกระชาก เพราะมุมของแรงดันค้างหมุนไปเรื่อยๆ ผลจำลองชี้ว่าใช้ค่าสั้นที่สุดที่ปลอดภัย และต่อ KM3 แบบตามหลัง L1→V2 L2→W2 L3→U2 ดีกว่า

**สตาร์-เดลต้าดีกว่าสตาร์ทตรงในเรื่องใดจริงๆ?**
ลดกระแสช่วงเร่งเหลือ 1/3 แรงดันตกระยะยาวเหลือ 1/3 และ I²t ของสายจ่าย 25–50 % แต่ไม่ประหยัดพลังงาน และโรเตอร์ร้อนกว่า DOL 30–55 % บนเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ยอดตอนเปลี่ยนอาจทำแรงดันตกมากกว่า DOL ด้วยซ้ำ

**ทำซ้ำผลการทดลองในบทความนี้ได้อย่างไร?**
เปิดแล็บจำลองในหน้า สตาร์-เดลต้าเชิงลึก ของคลังความรู้ หรือรัน node scripts/yd_research.mjs และ python3 scripts/yd_check.py ในคลังโค้ดของเว็บไซต์ ซึ่งใช้แบบจำลองเดียวกับที่ใช้เขียนบทความนี้

---

# การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform) คืออะไร ใช้ทำอะไร

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/what-is-laplace-transform/
Updated: 2026-10-16
Summary: การแปลงลาปลาซเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ให้เป็นสมการพีชคณิต อธิบายนิยาม ขั้นตอน 3 ขั้น ตัวอย่าง y′ + 3y = 6 และวงจร RC ที่คำนวณทีละบรรทัด

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · Laplace Transform

# การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform) คืออะไร ใช้ทำอะไร

การแปลงลาปลาซคือเครื่องมือที่เปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งแก้ยาก ให้เป็นสมการพีชคณิตซึ่งแก้ง่าย แล้วแปลงคำตอบกลับมาเป็นฟังก์ชันของเวลา บทความนี้อธิบายแนวคิด นิยาม และตัวอย่างวงจร RC ที่คำนวณตามได้ทุกบรรทัด

สรุปใน 30 วินาที

- นิยาม $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt$

- การหาอนุพันธ์ในโดเมนเวลา กลายเป็นการคูณด้วย $s$ ในโดเมน $s$

- ขั้นตอน: แปลง → แก้สมการพีชคณิต → แปลงกลับ

- ตำแหน่งโพลของ $F(s)$ บอกความเสถียรของระบบโดยไม่ต้องแก้สมการ

## แนวคิด: ทำไมต้องแปลง

สมมติวงจรหรือระบบกลไกหนึ่งอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ เช่น $y' + 3y = 6$ การแก้ตรง ๆ ต้องใช้ตัวประกอบอินทิเกรตหรือเดาคำตอบ แต่ถ้าเราย้ายสมการไปอยู่ในโดเมน $s$ อนุพันธ์จะหายไป เหลือเพียงการคูณและการบวก แก้เสร็จแล้วค่อยย้ายกลับ

เปรียบเทียบกับการใช้ลอการิทึมคูณเลขใหญ่ในสมัยก่อน: เปลี่ยนการคูณเป็นการบวก คำนวณให้เสร็จ แล้วเปลี่ยนกลับ ลาปลาซทำเช่นเดียวกันกับการหาอนุพันธ์และอินทิกรัล

## นิยามของการแปลงลาปลาซ

สำหรับฟังก์ชัน $f(t)$ ที่กำหนดสำหรับ $t \ge 0$ การแปลงลาปลาซด้านเดียวคือ

$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt, \qquad s = \sigma + j\omega$$

ตัวคูณ $e^{-st}$ ทำหน้าที่เหมือนตัวกรอง: $f(t)$ ที่โตช้ากว่าเอกซ์โพเนนเชียลจะทำให้อินทิกรัลลู่เข้า ตัวอย่างพื้นฐานที่สุดคือ

$$\mathcal{L}\{e^{-at}\} = \int_0^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt = \frac{1}{s+a}, \qquad \operatorname{Re}(s) > -a$$

จากสูตรนี้ ถ้า $a=0$ จะได้ $\mathcal{L}\{u(t)\}=1/s$ ส่วนสูตรอื่นที่ใช้บ่อยรวมไว้ใน ตารางการแปลงลาปลาซ แล้ว

## กุญแจสำคัญ: อนุพันธ์กลายเป็นการคูณ

เมื่ออินทิเกรตทีละส่วน จะได้สมบัติที่ทำให้ลาปลาซมีประโยชน์ที่สุด

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0)$$

สังเกตว่าเงื่อนไขเริ่มต้น $y(0)$, $y'(0)$ ถูกใส่เข้าไปในสมการตั้งแต่ต้น ไม่ต้องหาค่าคงที่ทีหลังเหมือนวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบดั้งเดิม

## ขั้นตอนแก้สมการด้วยลาปลาซ 3 ขั้น

- แปลง ทั้งสองข้างของสมการเชิงอนุพันธ์ไปเป็นโดเมน $s$ โดยใส่เงื่อนไขเริ่มต้น

- แก้ หา $Y(s)$ ด้วยพีชคณิต

- แปลงกลับ เป็น $y(t)$ ด้วยเศษส่วนย่อยและตาราง (ดู วิธี Inverse Laplace ด้วยเศษส่วนย่อย)

## ตัวอย่างที่ 1: แก้ y′ + 3y = 6 เมื่อ y(0) = 0

- แปลงสมการ

$$sY(s) - 0 + 3Y(s) = \frac{6}{s}$$

- แก้หา $Y(s)$

$$Y(s)\,(s+3) = \frac{6}{s} \;\Rightarrow\; Y(s) = \frac{6}{s(s+3)}$$

- แยกเศษส่วนย่อย

$$\frac{6}{s(s+3)} = \frac{2}{s} - \frac{2}{s+3}$$

- แปลงกลับด้วย $\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1$ และ $\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+3)\}=e^{-3t}$

$$y(t) = 2 - 2e^{-3t}, \quad t \ge 0$$

ตรวจคำตอบ: $y' = 6e^{-3t}$ ดังนั้น $y' + 3y = 6e^{-3t} + 6 - 6e^{-3t} = 6$ ✓ และ $y(0)=2-2=0$ ✓

## ตัวอย่างที่ 2: วงจร RC รับแรงดันขั้นบันได 5 V

ตัวต้านทาน $R = 1\,\text{k}\Omega$ ต่ออนุกรมกับตัวเก็บประจุ $C = 100\,\mu\text{F}$ ป้อนแรงดัน $v_{in}(t) = 5\,u(t)$ โวลต์ ตัวเก็บประจุเริ่มต้นว่าง ค่าคงที่เวลา $\tau = RC = 1000 \times 100\times10^{-6} = 0.1$ วินาที

- สมการวงจร $RC\,\dfrac{dv_c}{dt} + v_c = v_{in}$ แปลงเป็นโดเมน $s$ ด้วย $v_c(0)=0$

$$(RCs + 1)V_c(s) = \frac{5}{s} \;\Rightarrow\; V_c(s) = \frac{5}{s(0.1s+1)} = \frac{50}{s(s+10)}$$

- เศษส่วนย่อย

$$\frac{50}{s(s+10)} = \frac{5}{s} - \frac{5}{s+10}$$

- แปลงกลับ

$$v_c(t) = 5\left(1 - e^{-10t}\right)\ \text{V}$$

ที่ $t = \tau = 0.1$ s แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ $= 5(1 - e^{-1}) \approx 3.16$ V (ประมาณ 63.2 % ของ 5 V) ตรงกับนิยามของค่าคงที่เวลา โพลอยู่ที่ $s=-10 = -1/\tau$

## ลาปลาซใช้ทำอะไรในงานวิศวกรรม

- วิเคราะห์วงจรไฟฟ้า RC, RL, RLC ที่มีสวิตช์หรือแหล่งจ่ายขั้นบันได ได้ทั้งผลตอบสนองชั่วครู่และสภาวะคงตัว

- ฟังก์ชันถ่ายโอน $G(s)=Y(s)/U(s)$ ใช้อธิบายระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลาทุกชนิด ตั้งแต่มอเตอร์ถึงตัวกรอง

- ความเสถียร ถ้าโพลทุกตัวอยู่ซีกซ้ายของระนาบ $s$ ระบบเสถียร (ใช้ต่อในเกณฑ์ Routh–Hurwitz และรูทโลคัส)

- ระบบควบคุม ออกแบบตัวควบคุม PID ชดเชย และวิเคราะห์ผลตอบสนองความถี่

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

- ลืมเงื่อนไขเริ่มต้นตอนแปลงอนุพันธ์ ทำให้คำตอบผิดทั้งข้อ

- ลืมว่าลาปลาซด้านเดียวสนใจเฉพาะ $t \ge 0$ คำตอบที่ได้จึงต้องเขียนกำกับว่า $t \ge 0$ หรือคูณ $u(t)$

- สับสนระหว่าง $s$ กับ $\omega$ ในโดเมนเวลาไม่ต้องมี $j$ แต่ในโดเมน $s$ ความถี่แกว่งอยู่ที่ส่วนจินตภาพของโพล

## เรียนต่อในคลังความรู้

- การแปลงลาปลาซ: นิยาม ตารางคู่การแปลงพร้อม ROC

- คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซครบทุกข้อ

- แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองด้วยลาปลาซ (มีตัวแก้โต้ตอบ)

- แล็บระบบอันดับหนึ่ง: ค่าคงที่เวลาของ RC และ RL

## คำถามที่พบบ่อย

การแปลงลาปลาซกับการแปลงฟูเรียร์ต่างกันอย่างไร?
ลาปลาซใช้ตัวแปรเชิงซ้อน $s = \sigma + j\omega$ จึงจัดการกับสัญญาณที่โตขึ้นหรือลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลและเงื่อนไขเริ่มต้นได้ ส่วนฟูเรียร์ใช้เฉพาะ $j\omega$ ถ้าบริเวณลู่เข้า (ROC) รวมแกน $j\omega$ การแปลงฟูเรียร์คือลาปลาซที่แทน $s = j\omega$

ลาปลาซด้านเดียว (unilateral) คืออะไร ทำไมอินทิเกรตจาก 0?
ในงานวงจรและระบบควบคุมเรามักสนใจเหตุการณ์ตั้งแต่ $t = 0$ เป็นต้นไป และใส่ผลของสภาวะก่อนหน้าไว้ในเงื่อนไขเริ่มต้น ลาปลาซด้านเดียวจึงอินทิเกรตจาก 0 ไปถึงอนันต์ ส่วนแบบสองด้านอินทิเกรตจาก $-\infty$ ใช้ในวิชาสัญญาณและระบบเมื่อต้องวิเคราะห์ ROC อย่างเต็มรูปแบบ

ต้องแปลงกลับเป็นฟังก์ชันของเวลาเสมอไหม?
ไม่เสมอไป ถ้าต้องการแค่ความเสถียรหรือรูปแบบการตอบสนอง ดูตำแหน่งโพลของ $F(s)$ ก็บอกได้เลย แต่ถ้าต้องการค่า $y(t)$ ที่เวลาใดเวลาหนึ่งต้องทำการแปลงกลับ ซึ่งมักใช้วิธีเศษส่วนย่อยร่วมกับตาราง

ตัวแปร s มีหน่วยหรือความหมายอย่างไร?
$s$ มีหน่วยเป็นความถี่ (1/วินาที) ส่วนจริง $\sigma$ บอกอัตราการโตหรือลดแบบเอกซ์โพเนนเชียล ส่วนจินตภาพ $\omega$ คือความถี่การแกว่ง เช่น โพลที่ $s = -10$ หมายถึงสัญญาณลดลงแบบ $e^{-10t}$

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

Laplace
Inverse Laplace Transform ทำอย่างไร: วิธีเศษส่วนย่อย 3 กรณีพร้อมตัวอย่าง
วิธีแปลงลาปลาซผกผันด้วยเศษส่วนย่อยสำหรับโพลเดี่ยว โพลซ้ำ และโพลเชิงซ้อน พร้อมตัวอย่างที่ตรวจคำตอบแล้ว และข้อควรระวังเมื่อดีกรีตัวเศษไม่น้อยกว่าตัวส่วน
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Laplace
ตารางการแปลงลาปลาซ (Laplace Transform Table) ที่ใช้บ่อย
ตารางคู่การแปลงลาปลาซ 15 คู่ที่พบบ่อยที่สุด และตารางคุณสมบัติ (เลื่อนเวลา เลื่อนความถี่ อนุพันธ์ ปริพันธ์ คอนโวลูชัน ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย)…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)
อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดการแปลงลาปลาซ (3 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**การแปลงลาปลาซกับการแปลงฟูเรียร์ต่างกันอย่างไร?**
ลาปลาซใช้ตัวแปรเชิงซ้อน $s = \sigma + j\omega$ จึงจัดการกับสัญญาณที่โตขึ้นหรือลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลและเงื่อนไขเริ่มต้นได้ ส่วนฟูเรียร์ใช้เฉพาะ $j\omega$ ถ้าบริเวณลู่เข้า (ROC) รวมแกน $j\omega$ การแปลงฟูเรียร์คือลาปลาซที่แทน $s = j\omega$

**ลาปลาซด้านเดียว (unilateral) คืออะไร ทำไมอินทิเกรตจาก 0?**
ในงานวงจรและระบบควบคุมเรามักสนใจเหตุการณ์ตั้งแต่ $t = 0$ เป็นต้นไป และใส่ผลของสภาวะก่อนหน้าไว้ในเงื่อนไขเริ่มต้น ลาปลาซด้านเดียวจึงอินทิเกรตจาก 0 ไปถึงอนันต์ ส่วนแบบสองด้านอินทิเกรตจาก $-\infty$ ใช้ในวิชาสัญญาณและระบบเมื่อต้องวิเคราะห์ ROC อย่างเต็มรูปแบบ

**ต้องแปลงกลับเป็นฟังก์ชันของเวลาเสมอไหม?**
ไม่เสมอไป ถ้าต้องการแค่ความเสถียรหรือรูปแบบการตอบสนอง ดูตำแหน่งโพลของ $F(s)$ ก็บอกได้เลย แต่ถ้าต้องการค่า $y(t)$ ที่เวลาใดเวลาหนึ่งต้องทำการแปลงกลับ ซึ่งมักใช้วิธีเศษส่วนย่อยร่วมกับตาราง

**ตัวแปร s มีหน่วยหรือความหมายอย่างไร?**
$s$ มีหน่วยเป็นความถี่ (1/วินาที) ส่วนจริง $\sigma$ บอกอัตราการโตหรือลดแบบเอกซ์โพเนนเชียล ส่วนจินตภาพ $\omega$ คือความถี่การแกว่ง เช่น โพลที่ $s = -10$ หมายถึงสัญญาณลดลงแบบ $e^{-10t}$

---

# PID Controller คืออะไร: Kp Ki Kd ทำงานอย่างไร และจูนอย่างไร

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/what-is-pid-controller/
Updated: 2026-10-16
Summary: ตัวควบคุม PID รวมสามเทอมคือสัดส่วน ปริพันธ์ และอนุพันธ์ของค่าผิดพลาด อธิบายผลของ Kp Ki Kd ตารางผลต่อการตอบสนอง ตัวอย่างจูนด้วย Ziegler–Nichols และปัญหาที่พบจริง

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · ระบบควบคุม

# PID Controller คืออะไร: Kp Ki Kd ทำงานอย่างไร และจูนอย่างไร

PID เป็นตัวควบคุมที่ใช้มากที่สุดในอุตสาหกรรม เพราะหลักการง่าย: ดูค่าผิดพลาดระหว่างค่าที่ต้องการกับค่าที่วัดได้ แล้วปรับสัญญาณควบคุมด้วยสามมุมมอง คือปัจจุบัน อดีต และอนาคตของค่าผิดพลาด

สรุปใน 30 วินาที

- $u(t)=K_pe(t)+K_i\int e\,dt+K_d\dfrac{de}{dt}$ โดย $e=r-y$

- P = ปัจจุบัน · I = อดีต (กำจัดค่าผิดพลาดคงตัว) · D = แนวโน้ม (ลดการเกินเป้า)

- จูนเริ่มต้นด้วย Ziegler–Nichols แล้วปรับละเอียดจากผลตอบสนองจริง

## สูตรและฟังก์ชันถ่ายโอนของ PID

ให้ $r(t)$ เป็นค่าที่ต้องการ $y(t)$ เป็นค่าที่วัดได้ และค่าผิดพลาด $e(t)=r(t)-y(t)$

$$u(t)=K_p\,e(t)+K_i\int_0^t e(\tau)\,d\tau+K_d\,\frac{de(t)}{dt}$$

ในโดเมน $s$ ได้ตัวควบคุมที่เขียนได้สองรูปเทียบเท่ากัน

$$C(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_d s \;=\; K_p\left(1+\frac{1}{T_i s}+T_d s\right),\qquad K_i=\frac{K_p}{T_i},\; K_d=K_pT_d$$

รูปแรกใช้ในคู่มือซอฟต์แวร์หลายตัว รูปหลังพบในตำราและตัวควบคุมอุตสาหกรรม ต้องดูว่าอุปกรณ์ที่ใช้ตั้งค่าแบบไหน

## แต่ละเทอมทำอะไร

- P (สัดส่วน): ผิดพลาดมากสั่งแรง ผิดพลาดน้อยสั่งเบา เพิ่ม $K_p$ ทำให้เร็วขึ้น แต่ถ้ามากเกินไปจะแกว่งหรือไม่เสถียร และระบบส่วนใหญ่ยังเหลือค่าผิดพลาดคงตัวเมื่อมี P อย่างเดียว

- I (ปริพันธ์): ยังมีค่าผิดพลาดค้างอยู่ก็สะสมต่อไปจนสั่งแรงพอจะกำจัดมัน จึงทำให้ค่าผิดพลาดคงตัวต่อค่าคงที่เป็นศูนย์ แต่ทำให้ตอบสนองช้าลงและเกินเป้าได้

- D (อนุพันธ์): ดูอัตราการเปลี่ยนของค่าผิดพลาด ช่วยเบรกล่วงหน้า ลดการเกินเป้า แต่ขยายสัญญาณรบกวนความถี่สูง

### ผลของการเพิ่มแต่ละค่าต่อการตอบสนองขั้นบันได

| เพิ่ม | เวลาขึ้น | เกินเป้า | เวลาเข้าที่ | ค่าผิดพลาดคงตัว |

| $K_p$ | ลดลง | เพิ่มขึ้น | เปลี่ยนเล็กน้อย | ลดลง |

| $K_i$ | ลดลง | เพิ่มขึ้น | เพิ่มขึ้น | กำจัดได้ |

| $K_d$ | เปลี่ยนเล็กน้อย | ลดลง | ลดลง | ไม่เปลี่ยน |

ตารางนี้เป็นแนวโน้มทั่วไปของระบบอันดับต่ำ ค่าทั้งสามส่งผลต่อกัน จึงต้องจูนร่วมกัน ไม่ใช่ปรับทีละตัวแล้วเสร็จ

## จูนเริ่มต้นด้วย Ziegler–Nichols (วิธีวงปิด)

ตั้ง $K_i=K_d=0$ เพิ่ม $K_p$ ทีละน้อยจนระบบแกว่งสม่ำเสมอ บันทึกค่า $K_p$ ตอนนั้นเป็น $K_u$ (ultimate gain) และคาบการแกว่งเป็น $P_u$ แล้วอ่านค่าจากตาราง

| ชนิด | $K_p$ | $T_i$ | $T_d$ |

| P | $0.5K_u$ | – | – |

| PI | $0.45K_u$ | $P_u/1.2$ | – |

| PID | $0.6K_u$ | $P_u/2$ | $P_u/8$ |

ตัวอย่าง

### พบ $K_u=8$ และ $P_u=2$ วินาที

-
$$K_p=0.6\times8=4.8,\qquad T_i=\frac{2}{2}=1\ \text{s},\qquad T_d=\frac{2}{8}=0.25\ \text{s}$$

-
$$K_i=\frac{K_p}{T_i}=4.8,\qquad K_d=K_pT_d=4.8\times0.25=1.2$$

ค่าเริ่มต้น $K_p=4.8$, $K_i=4.8\ \text{s}^{-1}$, $K_d=1.2\ \text{s}$ วิธีนี้มักให้การเกินเป้าสูง ให้ใช้เป็นจุดเริ่มต้นแล้วลด $K_p$ หรือ $K_i$ ลงตามผลตอบสนองจริง

## ปัญหาที่พบจริง

- Integral windup: ตัวขับอิ่มตัวแต่เทอม I ยังสะสม ทำให้เกินเป้ามากเมื่อค่าผิดพลาดกลับเครื่องหมาย แก้ด้วย anti-windup เช่น หยุดสะสมเมื่ออิ่มตัว

- สัญญาณรบกวนในเทอม D: ใส่ตัวกรองความถี่ต่ำที่เทอมอนุพันธ์ และหาอนุพันธ์จากค่าที่วัด $y$ แทนค่าผิดพลาด $e$ เพื่อไม่ให้เกิดการกระชากเมื่อเปลี่ยนค่าเป้าหมายทันที

- ความหน่วงเวลา (dead time): ยิ่งมาก ยิ่งต้องลด $K_p$ และเทอม D ไม่ช่วยมากนัก

## เรียนต่อในคลังความรู้

- ตัวควบคุม PID: โครงสร้าง ผล และแล็บจำลองในเบราว์เซอร์

- การจูน PID: Ziegler–Nichols, Cohen–Coon และวิธีอื่น

- เสถียรภาพของระบบควบคุม

- ระบบควบคุมทั้งชุด: ป้อนกลับ รูทโลคัส โบด

## คำถามที่พบบ่อย

Kp Ki Kd แต่ละค่าทำหน้าที่อะไร?
Kp ตอบสนองต่อค่าผิดพลาดปัจจุบัน เพิ่มแล้วเร็วขึ้นแต่เสี่ยงเกินเป้า Ki สะสมค่าผิดพลาดในอดีต ช่วยกำจัดค่าผิดพลาดคงตัว Kd ดูแนวโน้มของค่าผิดพลาด ช่วยลดการเกินเป้าแต่ไวต่อสัญญาณรบกวน

ทำไมบางระบบใช้แค่ PI ไม่ใช้ PID?
เพราะเทอมอนุพันธ์ขยายสัญญาณรบกวนจากเซนเซอร์ วงควบคุมที่สัญญาณวัดมีสัญญาณรบกวนมาก เช่น อัตราการไหลและระดับของเหลว จึงมักใช้ PI ซึ่งเรียบง่ายและเพียงพอ ส่วนระบบที่ตอบสนองช้าและสัญญาณวัดสะอาดอาจได้ประโยชน์จากเทอม D

Integral windup คืออะไร?
เมื่อตัวขับ (วาล์ว มอเตอร์ ฮีตเตอร์) อิ่มตัวแล้ว แต่ค่าผิดพลาดยังไม่เป็นศูนย์ เทอมปริพันธ์จะสะสมค่าต่อไปเรื่อย ๆ พอค่าผิดพลาดกลับเครื่องหมายจึงใช้เวลานานกว่าจะคลาย ทำให้เกินเป้ามาก แก้ด้วย anti-windup เช่น หยุดสะสมเมื่ออิ่มตัว

Ziegler–Nichols ใช้ได้กับระบบทุกชนิดไหม?
ไม่ทุกชนิด วิธีวงปิดต้องปล่อยให้ระบบแกว่งต่อเนื่องที่ $K_u$ ซึ่งอาจอันตรายกับกระบวนการจริง และให้ผลเริ่มต้นที่มักแกว่งแรง ควรใช้เป็นจุดเริ่มต้นแล้วจูนละเอียดต่อ

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

ระบบควบคุม
การจูน PID ฉบับสมบูรณ์: จาก Step Test ถึง Ziegler–Nichols, SIMC และ Anti-Windup
คอร์สจูน PID ครบในบทความเดียว: หาแบบจำลองด้วย step test จูนด้วย Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC และ relay เทียบผลด้วยการจำลอง แล้วแก้ปัญหา windup…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Python · AI
เริ่มต้นเข้าใจการเขียนโปรแกรมในยุค AI: ทำไมควรเริ่มที่ Python
ยุค AI เขียนโค้ดได้ทุกภาษา แต่คนที่อ่านโค้ดไม่ออกจะตรวจไม่ได้ว่าถูกหรือผิด บทความนี้อธิบายว่าทำไม Python เหมาะเป็นภาษาแรก 6 แนวคิดที่ต้องเข้าใจ…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดระบบควบคุมและ PID (2 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**Kp Ki Kd แต่ละค่าทำหน้าที่อะไร?**
Kp ตอบสนองต่อค่าผิดพลาดปัจจุบัน เพิ่มแล้วเร็วขึ้นแต่เสี่ยงเกินเป้า Ki สะสมค่าผิดพลาดในอดีต ช่วยกำจัดค่าผิดพลาดคงตัว Kd ดูแนวโน้มของค่าผิดพลาด ช่วยลดการเกินเป้าแต่ไวต่อสัญญาณรบกวน

**ทำไมบางระบบใช้แค่ PI ไม่ใช้ PID?**
เพราะเทอมอนุพันธ์ขยายสัญญาณรบกวนจากเซนเซอร์ วงควบคุมที่สัญญาณวัดมีสัญญาณรบกวนมาก เช่น อัตราการไหลและระดับของเหลว จึงมักใช้ PI ซึ่งเรียบง่ายและเพียงพอ ส่วนระบบที่ตอบสนองช้าและสัญญาณวัดสะอาดอาจได้ประโยชน์จากเทอม D

**Integral windup คืออะไร?**
เมื่อตัวขับ (วาล์ว มอเตอร์ ฮีตเตอร์) อิ่มตัวแล้ว แต่ค่าผิดพลาดยังไม่เป็นศูนย์ เทอมปริพันธ์จะสะสมค่าต่อไปเรื่อย ๆ พอค่าผิดพลาดกลับเครื่องหมายจึงใช้เวลานานกว่าจะคลาย ทำให้เกินเป้ามาก แก้ด้วย anti-windup เช่น หยุดสะสมเมื่ออิ่มตัว

**Ziegler–Nichols ใช้ได้กับระบบทุกชนิดไหม?**
ไม่ทุกชนิด วิธีวงปิดต้องปล่อยให้ระบบแกว่งต่อเนื่องที่ $K_u$ ซึ่งอาจอันตรายกับกระบวนการจริง และให้ผลเริ่มต้นที่มักแกว่งแรง ควรใช้เป็นจุดเริ่มต้นแล้วจูนละเอียดต่อ

---

# อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์, Taylor Series) คืออะไร ใช้ทำอะไร พร้อมตัวอย่าง

URL: https://modsengineeringmath.com/blog/what-is-taylor-series/
Updated: 2026-10-25
Summary: อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์) คืออะไร สูตรและตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ ตัวอย่าง 8 ข้อ: ประมาณค่า กระจายรอบจุดอื่น ใช้กี่พจน์ หาอินทิกรัลและลิมิต พร้อมการใช้ในงานวิศวกรรม

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · ลำดับและอนุกรม

# อนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor Series) คืออะไร ใช้ทำอะไร พร้อมตัวอย่าง

เครื่องคิดเลขไม่รู้จัก sin หรือ eˣ โดยตรง มันรู้แค่บวกและคูณ อนุกรมเทย์เลอร์ (หลายตำราสะกดว่า อนุกรมเทเลอร์) คือวิธีเปลี่ยนฟังก์ชันอะไรก็ได้ให้เป็นพหุนามที่คำนวณด้วยการบวกและคูณ และเป็นเหตุผลที่วิศวกรเขียน $\sin\theta \approx \theta$ ได้อย่างมั่นใจ บทความนี้มีสูตร ตารางอนุกรมที่ต้องจำ และตัวอย่าง 8 ข้อพร้อมวิธีทำ

สรุปใน 30 วินาที

- $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$ ภายในรัศมีการลู่เข้า

- กระจายรอบ $a = 0$ เรียกว่าอนุกรมแมคลอริน (Maclaurin series)

- ตัดไว้ n พจน์ได้พหุนามเทย์เลอร์ $P_n(x)$ และคลาดไม่เกิน $\dfrac{M|x - a|^{n+1}}{(n+1)!}$

## อนุกรมเทย์เลอร์คืออะไร

ถ้าต้องการพหุนามที่ “เหมือน” $f(x)$ มากที่สุดรอบจุด $a$ ให้บังคับให้ค่าฟังก์ชัน ความชัน ความโค้ง และอนุพันธ์อันดับสูงขึ้นไปที่ $a$ ตรงกันทั้งหมด ผลที่ได้คือสัมประสิทธิ์ $c_k = \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}$ และอนุกรม

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots$$

พจน์แรกสองพจน์ $f(a) + f'(a)(x - a)$ คือเส้นสัมผัส ซึ่งเป็นการประมาณเชิงเส้น (linearization) ที่ใช้บ่อยที่สุดในวิศวกรรม พจน์ที่เพิ่มเข้ามาแต่ละพจน์ทำให้พหุนามแนบฟังก์ชันได้ไกลขึ้น

## วิธีหาอนุกรมเทย์เลอร์: ตัวอย่าง eˣ

ตัวอย่าง 1

### หาอนุกรมแมคลอรินของ $e^x$ แล้วประมาณ $e^{0.5}$ ด้วย 5 พจน์

- อนุพันธ์ทุกอันดับของ $e^x$ คือ $e^x$ ที่ $x = 0$ ได้ $f^{(k)}(0) = 1$ ทุก k

- สัมประสิทธิ์ $c_k = \dfrac{1}{k!}$: $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \cdots$

- $e^{0.5} \approx 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208333 + 0.0026042 = 1.6484375$

- ค่าจริง $1.6487213$ คลาด $2.8\times10^{-4}$ ขอบเขตลากรองจ์: $\dfrac{e^{0.5}(0.5)^5}{5!} < \dfrac{1.65\times0.03125}{120} \approx 4.3\times10^{-4}$ ✓

$e^{0.5} \approx 1.6484$ ด้วยการบวกเพียง 5 พจน์ และรู้ล่วงหน้าว่าคลาดไม่เกิน $4.3\times10^{-4}$

### ตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ

ทำแบบเดียวกันกับฟังก์ชันอื่นได้ตารางด้านล่าง ช่องขวาสุดคือช่วงที่อนุกรมลู่เข้าสู่ฟังก์ชัน นอกช่วงนี้ใช้ไม่ได้

| ฟังก์ชัน | อนุกรมแมคลอริน | ใช้ได้เมื่อ |

| $e^x$ | $1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$ | ทุก x |

| $\sin x$ | $x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ | ทุก x |

| $\cos x$ | $1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots$ | ทุก x |

| $\dfrac{1}{1 - x}$ | $1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ | $|x| < 1$ |

| $\ln(1 + x)$ | $x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ | $-1 < x \le 1$ |

| $\tan^{-1} x$ | $x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \cdots$ | $|x| \le 1$ |

| $(1 + x)^{\alpha}$ | $1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots$ | $|x| < 1$ |

จำสามแถวแรกกับอนุกรมเรขาคณิต $1/(1 - x)$ ไว้ก็สร้างแถวอื่นได้ เช่น อินทิเกรต $1/(1 + t)$ ได้ $\ln(1 + x)$ และอินทิเกรต $1/(1 + t^2)$ ได้ $\tan^{-1} x$ (ดูสูตรอนุกรมเรขาคณิต)

## ตัวอย่างการประมาณค่า

ตัวอย่าง 2 · การประมาณมุมเล็ก

### ใช้ $\sin\theta \approx \theta$ ที่ $\theta = 5^\circ$ คลาดกี่เปอร์เซ็นต์ และถ้าเพิ่มพจน์ $-\theta^3/6$ จะแม่นขึ้นเท่าไร

- แปลงเป็นเรเดียน: $\theta = 5\pi/180 = 0.0872665$ ค่าจริง $\sin 5^\circ = 0.0871557$

- $\sin\theta \approx \theta$ คลาด $0.0001107$ หรือ $0.13\%$

- $\theta - \theta^3/6 = 0.0871557$ คลาดเพียง $4.2\times10^{-8}$

มุม 5° ใช้ $\sin\theta \approx \theta$ คลาดแค่ 0.13% ต้องเป็นเรเดียนเท่านั้น (ดูตารางความคลาดเคลื่อนตามมุมในหน้าตรีโกณมิติ)

ตัวอย่าง 3

### ประมาณ $\cos 0.2$ และ $\sqrt{1.02}$ โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลข

- $\cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}$: $\cos 0.2 \approx 1 - 0.02 + 0.0000667 = 0.9800667$ (จริง 0.9800666)

- $\sqrt{1 + x} \approx 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8}$: $\sqrt{1.02} \approx 1 + 0.01 - 0.00005 = 1.00995$ (จริง 1.0099505)

$\cos 0.2 \approx 0.98007$ · $\sqrt{1.02} \approx 1.00995$

## อนุกรมเทย์เลอร์รอบจุดอื่นที่ไม่ใช่ 0

ถ้า x ที่ต้องการอยู่ไกลจาก 0 อนุกรมแมคลอรินต้องใช้หลายพจน์ ให้เลือกจุดกระจาย $a$ ที่รู้ค่าฟังก์ชันง่าย ๆ และอยู่ใกล้ x แทน พจน์จะเป็นกำลังของ $(x - a)$ ซึ่งเล็กมาก

ตัวอย่าง 4

### ใช้พหุนามเทย์เลอร์อันดับ 2 ของ $\sqrt{x}$ รอบ $a = 4$ ประมาณ $\sqrt{4.1}$ พร้อมขอบเขตความคลาดเคลื่อน

- $f(x) = x^{1/2},\ f'(x) = \tfrac12 x^{-1/2},\ f''(x) = -\tfrac14 x^{-3/2}$ ที่ $a = 4$: $f = 2,\ f' = \tfrac14,\ f'' = -\tfrac{1}{32}$

- $P_2(x) = 2 + \dfrac{x - 4}{4} - \dfrac{(x - 4)^2}{64}$ (สัมประสิทธิ์อันดับ 2 คือ $f''(4)/2! = -1/64$)

- $P_2(4.1) = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375$ ค่าจริง $2.02484567$ คลาด $1.92\times10^{-6}$

- ขอบเขตลากรองจ์: $f'''(x) = \tfrac38 x^{-5/2} \le \tfrac38\cdot\tfrac{1}{32}$ บนช่วง $[4,\ 4.1]$ จึงได้ $|R_2| \le \dfrac{3/256}{3!}(0.1)^3 \approx 1.95\times10^{-6}$ ✓

$\sqrt{4.1} \approx 2.024844$ ถูกถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 5 ด้วยพหุนามแค่ดีกรีสอง เพราะ $x - a = 0.1$ เล็ก

## ต้องใช้กี่พจน์: ตัวอย่างหาค่า e

ตัวอย่าง 5

### ต้องใช้อนุกรมของ $e^x$ ถึงพจน์ใด จึงรับประกันว่าค่า $e = e^1$ คลาดไม่เกิน $5\times10^{-5}$ (ถูกทศนิยม 4 ตำแหน่ง)

- ขอบเขตลากรองจ์ที่ $x = 1$: $|R_n| \le \dfrac{M}{(n+1)!}$ โดย $M = \max e^c \le e < 3$ บนช่วง $[0,\ 1]$

- ต้องการ $\dfrac{3}{(n+1)!} < 5\times10^{-5}$ หรือ $(n+1)! > 60\,000$ เนื่องจาก $8! = 40\,320$ ยังไม่พอ แต่ $9! = 362\,880$ พอ จึงได้ $n = 8$

- $\sum_{k=0}^{8} \dfrac{1}{k!} = 2.7182788$ ค่าจริง $2.7182818$ คลาด $3.1\times10^{-6}$ ✓

ใช้ถึงพจน์ $x^8/8!$ (9 พจน์) จึงรับประกันได้ · ที่จริงถึง $x^7/7!$ ก็คลาดเพียง $2.8\times10^{-5}$ แล้ว ขอบเขตลากรองจ์เป็นค่ารับประกัน จึงมักมากกว่าความคลาดเคลื่อนจริง

## สร้างอนุกรมใหม่จากตาราง: หาอินทิกรัลและลิมิต

ไม่ต้องหาอนุพันธ์ใหม่ทุกครั้ง แทนตัวแปร คูณ อินทิเกรต หรือหาอนุพันธ์ของอนุกรมในตารางทีละพจน์ได้เลย (ภายในรัศมีการลู่เข้า) วิธีนี้ทำให้หาค่าอินทิกรัลที่ไม่มีปฏิยานุพันธ์ในรูปฟังก์ชันพื้นฐานได้

ตัวอย่าง 6 · อินทิกรัลที่อินทิเกรตตรงไม่ได้

### ประมาณค่า $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

- แทน $x$ ด้วย $-x^2$ ในอนุกรมของ $e^x$: $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{2!} - \dfrac{x^6}{3!} + \dfrac{x^8}{4!} - \cdots$

- อินทิเกรตทีละพจน์จาก 0 ถึง 1: $1 - \dfrac13 + \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{42} + \dfrac{1}{216} - \dfrac{1}{1320} + \cdots$

- ห้าพจน์แรก: $1 - 0.333333 + 0.1 - 0.023810 + 0.004630 = 0.747487$

- เป็นอนุกรมสลับเครื่องหมายที่พจน์ลดลง ความคลาดเคลื่อนจึงไม่เกินพจน์ถัดไป $1/1320 \approx 7.6\times10^{-4}$ ค่าจริง $0.746824$ คลาด $6.6\times10^{-4}$ ✓

$\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}dx \approx 0.7475$ · ฟังก์ชันนี้ไม่มีปฏิยานุพันธ์ในรูปฟังก์ชันพื้นฐาน แต่เป็นหัวใจของการแจกแจงปกติและฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน (error function) ที่ใช้วิเคราะห์สัญญาณรบกวน

ตัวอย่าง 7 · ลิมิตรูปแบบ 0/0

### หา $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^3}$

- แทนอนุกรม: $\sin x - x = -\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$

- หารด้วย $x^3$: $-\dfrac16 + \dfrac{x^2}{120} - \cdots \to -\dfrac16$ เมื่อ $x \to 0$

ลิมิตเท่ากับ $-\tfrac16$ · ถ้าใช้กฎโลปีตาลต้องหาอนุพันธ์สามรอบ อนุกรมเทย์เลอร์ให้คำตอบในบรรทัดเดียว และยังบอกด้วยว่า $\sin x$ ต่างจาก $x$ ประมาณ $x^3/6$

## ใช้ในงานวิศวกรรม

ตัวอย่าง 8 · แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด

### ไดโอดมี $i = I_S e^{v/V_T}$ ทำงานที่ $I_D = 1\ \text{mA}$, $V_T = 26\ \text{mV}$ ถ้าแรงดันเพิ่ม $\Delta v = 2\ \text{mV}$ กระแสเป็นเท่าไร

- เทย์เลอร์อันดับหนึ่งรอบจุดทำงาน: $i \approx I_D\left(1 + \dfrac{\Delta v}{V_T}\right)$ ความต้านทานสัญญาณเล็ก $r_d = V_T/I_D = 26\ \Omega$

- ประมาณ: $1\ \text{mA}\times(1 + 2/26) = 1.0769\ \text{mA}$

- ค่าจริง: $1\ \text{mA}\times e^{2/26} = 1.0800\ \text{mA}$ คลาด 0.3% เพราะ $\Delta v$ เล็กกว่า $V_T$ มาก

$\approx 1.077\ \text{mA}$ นี่คือที่มาของวงจรสมมูลสัญญาณเล็กทั้งหมดในอิเล็กทรอนิกส์

- ลูกตุ้มและระบบควบคุม $\sin\theta \approx \theta$ ทำให้สมการไม่เชิงเส้นกลายเป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่แก้ด้วยลาปลาซได้

- ความไวของปริมาณ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$: แรงดันเพิ่ม 3% กำลัง $V^2/R$ เพิ่มราว 6%

- เฟิร์มแวร์ ไมโครคอนโทรลเลอร์ที่ไม่มีหน่วยคำนวณ sin ใช้พหุนามเทย์เลอร์ไม่กี่พจน์บนช่วงมุมแคบ

## เรียนต่อในคลังความรู้

- อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอรินฉบับเต็ม: ตารางที่ต้องจำ เศษเหลือลากรองจ์ และใช้กี่พจน์

- อนุกรมกำลังและรัศมีการลู่เข้า พร้อมแล็บดิสก์ในระนาบเชิงซ้อน

- แล็บพหุนามเทย์เลอร์: เลือกฟังก์ชัน จุดกระจาย และดีกรีเอง

- บทความต่อ: อนุกรมโลรองต์ต่างจากเทย์เลอร์อย่างไร

- หาสูตรอนุพันธ์อันดับ n ด้วยอุปนัย เพื่อใช้กับอนุกรมเทย์เลอร์

- บทความต่อ: ตัวอย่างอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 14 ข้อ รวมสูตรอนุพันธ์อันดับ n

- บทความต่อ: รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร

- ทบทวนอนุพันธ์ ซึ่งเป็นพื้นฐานของสัมประสิทธิ์เทย์เลอร์

## คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมเทเลอร์กับอนุกรมเทย์เลอร์เป็นเรื่องเดียวกันไหม?
เป็นเรื่องเดียวกัน คือ Taylor series ที่ตั้งชื่อตาม Brook Taylor ต่างกันแค่การสะกดชื่อเป็นภาษาไทย ตำราและข้อสอบบางแห่งเขียน เทเลอร์ บางแห่งเขียน เทย์เลอร์ สูตรและวิธีใช้เหมือนกันทุกอย่าง

อนุกรมเทย์เลอร์กับอนุกรมแมคลอรินต่างกันอย่างไร?
อนุกรมแมคลอรินคืออนุกรมเทย์เลอร์ที่กระจายรอบ $a = 0$ เป็นกรณีพิเศษ สูตรเหมือนกันทุกอย่างเพียงแทน $a = 0$

ต้องใช้กี่พจน์จึงพอ?
ขึ้นกับความแม่นที่ต้องการและระยะ $|x - a|$ ใช้ขอบเขตเศษเหลือลากรองจ์ $|R_n| \le M|x - a|^{n+1}/(n+1)!$ เลือก n ที่ทำให้ขอบเขตต่ำกว่าค่าที่ยอมรับได้ ยิ่ง x อยู่ใกล้ a ยิ่งใช้พจน์น้อย

อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ได้ทุกค่า x ไหม?
ไม่เสมอ ใช้ได้ภายในรัศมีการลู่เข้า R เท่านั้น เช่น $e^x,\ \sin x,\ \cos x$ มี $R = \infty$ แต่ $\ln(1 + x)$ และ $1/(1 - x)$ มี $R = 1$ นอกช่วงนี้เพิ่มพจน์เท่าไรก็ไม่เข้าใกล้ค่าจริง

วิศวกรใช้อนุกรมเทย์เลอร์ทำอะไร?
ใช้ประมาณฟังก์ชันซับซ้อนด้วยพหุนาม เช่น $\sin\theta \approx \theta$ ในลูกตุ้มและระบบควบคุม การทำให้เป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงานในแบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดและทรานซิสเตอร์ และการคำนวณ sin, eˣ ในไมโครคอนโทรลเลอร์

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

ลำดับและอนุกรม
ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์
ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series): สูตร ตัวอย่าง และวิธีหาผลบวก
อนุกรมเรขาคณิตคืออะไร สูตรผลบวก n พจน์ และอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ (infinite geometric series) a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 พร้อมที่มาของสูตร…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ตัวอย่างพร้อมวิธีทำทีละขั้น รวมอุปนัยแบบเข้ม
ตัวอย่างพิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 14 ข้อพร้อมวิธีทำ: เขียนข้อความ P(n) สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ ลำดับเวียนเกิด และอุปนัยแบบเข้ม (strong…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## FAQ

**อนุกรมเทเลอร์กับอนุกรมเทย์เลอร์เป็นเรื่องเดียวกันไหม?**
เป็นเรื่องเดียวกัน คือ Taylor series ที่ตั้งชื่อตาม Brook Taylor ต่างกันแค่การสะกดชื่อเป็นภาษาไทย ตำราและข้อสอบบางแห่งเขียน เทเลอร์ บางแห่งเขียน เทย์เลอร์ สูตรและวิธีใช้เหมือนกันทุกอย่าง

**อนุกรมเทย์เลอร์กับอนุกรมแมคลอรินต่างกันอย่างไร?**
อนุกรมแมคลอรินคืออนุกรมเทย์เลอร์ที่กระจายรอบ $a = 0$ เป็นกรณีพิเศษ สูตรเหมือนกันทุกอย่างเพียงแทน $a = 0$

**ต้องใช้กี่พจน์จึงพอ?**
ขึ้นกับความแม่นที่ต้องการและระยะ $|x - a|$ ใช้ขอบเขตเศษเหลือลากรองจ์ $|R_n| \le M|x - a|^{n+1}/(n+1)!$ เลือก n ที่ทำให้ขอบเขตต่ำกว่าค่าที่ยอมรับได้ ยิ่ง x อยู่ใกล้ a ยิ่งใช้พจน์น้อย

**อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ได้ทุกค่า x ไหม?**
ไม่เสมอ ใช้ได้ภายในรัศมีการลู่เข้า R เท่านั้น เช่น $e^x,\ \sin x,\ \cos x$ มี $R = \infty$ แต่ $\ln(1 + x)$ และ $1/(1 - x)$ มี $R = 1$ นอกช่วงนี้เพิ่มพจน์เท่าไรก็ไม่เข้าใกล้ค่าจริง

**วิศวกรใช้อนุกรมเทย์เลอร์ทำอะไร?**
ใช้ประมาณฟังก์ชันซับซ้อนด้วยพหุนาม เช่น $\sin\theta \approx \theta$ ในลูกตุ้มและระบบควบคุม การทำให้เป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงานในแบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดและทรานซิสเตอร์ และการคำนวณ sin, eˣ ในไมโครคอนโทรลเลอร์

---

# Engineering Math, Power & Programming Articles: PID, Laplace, Matrices, Python | Ajarn Mod

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/
Updated: 2026-10-25
Summary: English articles from Ajarn Mod in six categories: sequences and series, vectors and linear algebra, the Laplace transform, control and PID, power and motors, and programming in the AI era.

THภาษาไทยENEnglish
// Articles · 24 in English · 6 categories

# Engineering Mathematics, Power Systems and Programming Articles

Each short article answers one question that students and engineers search for again and again: what the Laplace transform is, how to invert it, how to correct a low power factor, or which programming language to start with in the AI era. Read one through and you can do the work yourself. The complete PID tuning guide is the long one, a full PID Academy lesson. Every article links to the full lessons, interactive labs and reference formulas in the library. Pick a category below.

✎All 24ΣSequences & Series 7[A]Vectors & Linear Algebra 7ℒLaplace Transform 3PIDControl Systems & PID 23φPower Systems & Motors 4</>Programming & AI 1

## Latest articles

Python · AI
Learning to Program in the AI Era: Why Start with Python
AI writes code in any language, but if you cannot read code you cannot tell whether it is right. Why Python is the best first language, six core…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It
Cramer's rule explained: replace a column by the constants and divide determinants, 2×2 and 3×3 examples, one unknown, a two-line proof, the Δ = 0…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
12 Determinant Properties That Appear on Every Exam: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) and the Traps
The 12 determinant properties used in entrance exams and engineering mathematics: row operations, det(kA) = kⁿ det A, products, inverses and the…
25 Oct 2026Read the article →

## Articles by category

## ΣSequences & Series
7 articles · Open the category →

Short articles that answer one question about sequences and series at a time, from the geometric series formula and a flowchart for choosing a convergence test to the Taylor and Laurent series used in engineering. Each has worked numbers and links to the full lessons.

Sequences & series
How to Choose a Convergence Test: an 8-Step Flowchart with an Example at Every Step
Pick the right convergence test the first time: an 8-step flowchart (n-th term, geometric, p-series, telescoping, limit comparison, ratio, root,…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Is a Laurent Series and How Is It Different from a Taylor Series? (Explained with Pictures)
Laurent series vs Taylor series: negative powers, the principal part, the annulus of convergence, types of singularity, residues and the link to…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
How to Find the Radius of Convergence: 3 Methods, Endpoint Checks and the Complex-Plane Reason
Three ways to find the radius of convergence of a power series (ratio test, root test, nearest complex singularity), plus the endpoint checks for…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Do You Learn in Sequences and Series? A Roadmap from Sequences to Laurent Series
The whole sequences and series chapter on one page: what each topic answers, its key formula and typical exam questions, from sequences and…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
Geometric Series: Formula, Examples and How to Find the Sum
Geometric series formula for the sum of n terms and the infinite sum a₁/(1 − r) when |r| < 1, with the derivation, step-by-step examples, common…
17 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
Mathematical Induction Examples with Step-by-Step Solutions, Including Strong Induction
14 worked proof-by-induction examples: writing the induction statement P(n), sums, divisibility, inequalities, recurrences and strong induction,…
17 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Is a Taylor Series, What Is It Used For, with Examples
What a Taylor series is, the Maclaurin series table to memorise, and 8 worked examples: approximation, expanding about other points, how many…
17 Oct 2026Read the article →

## [A]Vectors & Linear Algebra
7 articles · Open the category →

Vectors and matrices are the common language of circuits, forces and control systems. The articles in this category answer the questions people search for most: how to find a determinant and an inverse, what rank tells you, and which method to use for a large linear system.

Linear algebra
Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It
Cramer's rule explained: replace a column by the constants and divide determinants, 2×2 and 3×3 examples, one unknown, a two-line proof, the Δ = 0…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
12 Determinant Properties That Appear on Every Exam: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) and the Traps
The 12 determinant properties used in entrance exams and engineering mathematics: row operations, det(kA) = kⁿ det A, products, inverses and the…
25 Oct 2026Read the article →

Numerical methods
Solving Linear Systems Numerically: Gauss, LU, Jacobi or Gauss–Seidel — Which Should You Use?
Numerical methods for linear systems compared: Gaussian elimination with pivoting, LU, Cholesky, Jacobi, Gauss–Seidel, SOR, convergence and the…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
Learning Matrices and Determinants: A 7-Step Roadmap from High School and Entrance Exams to Engineering Mathematics
A roadmap for matrices, determinants, rank, Cramer's rule and numerical methods: what to learn first, how far entrance exams go, what university…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
What Is the Rank of a Matrix? How to Find It and What It Tells You About a Linear System
The rank of a matrix explained visually: finding it by row reduction and by minors, using rank to decide whether Ax = b has one, infinitely many or…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
How to Find the Determinant and Inverse Matrix (2×2 and 3×3) with Examples
Learn to find 2×2 and 3×3 determinants by cofactors and the inverse matrix with the adjugate formula, with numeric examples checked by multiplying…
16 Oct 2026Read the article →

Vectors
Dot Product vs Cross Product: Formulas, Meaning and Examples
Compare the dot product (scalar product) and cross product (vector product): formulas, geometric meaning, calculation from components, and how they…
16 Oct 2026Read the article →

## ℒLaplace Transform
3 articles · Open the category →

The Laplace transform turns the differential equations of circuits and control systems into algebra. This category starts with what the transform means and the table of pairs, and goes on to inverting it with partial fractions.

Laplace
How to Find the Inverse Laplace Transform: 3 Partial-Fraction Cases with Examples
Invert the Laplace transform with partial fractions for distinct, repeated and complex poles, with checked examples and what to do when the…
16 Oct 2026Read the article →

Laplace
Laplace Transform Table: The Most Commonly Used Pairs
The 15 most common Laplace transform pairs and a table of properties (time shift, frequency shift, derivative, integral, convolution, initial and…
16 Oct 2026Read the article →

Laplace
What Is the Laplace Transform and What Is It Used For?
The Laplace transform turns differential equations into algebraic equations. See the definition, the 3-step method, a worked y′ + 3y = 6 example…
16 Oct 2026Read the article →

## PIDControl Systems & PID
2 articles · Open the category →

A PID controller sits inside almost every machine. This category explains what the P, I and D terms do and teaches real tuning step by step on a checked plant model.

Control systems
PID Tuning: The Complete Guide from Step Test to Ziegler–Nichols, SIMC and Anti-Windup
A full PID tuning course in one article: identify the process with a step test, tune with Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC or relay, compare the…
16 Oct 2026Read the article →

Control systems
What Is a PID Controller? How Kp, Ki and Kd Work and How to Tune Them
A PID controller adds proportional, integral and derivative action on the error. See what Kp, Ki and Kd do, the step-response table, a…
16 Oct 2026Read the article →

## 3φPower Systems & Motors
4 articles · Open the category →

Electrical work in factories and buildings, from power factor and the penalty on the bill to choosing a capacitor and connecting and starting three-phase motors. Every article uses the numbers of a 230/400 V 50 Hz system.

Motors · research
How Many Seconds Should a Star–Delta Timer Be Set To? Numerical Experiments on a Squirrel-Cage Induction Motor: Changeover Time, Dead Time, Current and Energy
How many seconds for a star–delta timer? Research simulating a 7.5 kW squirrel-cage motor: t = c·τm, a c table by load, dead time, KM3 phase order,…
19 Oct 2026Read the article →

3-phase motors
3-Phase Motor Delta (Δ) Connection: Remember U1–W2, V1–U2, W1–V2 and Choose from the Nameplate
How to connect a 3-phase motor in delta: links U1-W2, V1-U2, W1-V2, what U1 V1 W1 U2 V2 W2 mean and which wire colours go where, line vs phase…
17 Oct 2026Read the article →

Power factor
How to Calculate the Size of a Power Factor Correction Capacitor (kvar) with an Example
The formula Qc = P(tan φ1 − tan φ2) with a 100 kW, 400 V load corrected from PF 0.75 to 0.95 giving 55.3 kvar, microfarads per phase, a multiplier…
16 Oct 2026Read the article →

Power factor
What Is Power Factor? The cos φ Formula and the Relationship between kW, kVA and kvar
Power factor is the ratio of real power to apparent power. See the P Q S power triangle, a worked current calculation at PF 0.8 versus 1.0, lagging…
16 Oct 2026Read the article →

## </>Programming & AI
1 article · Open the category →

Now that AI can write code in any language, the skills that still matter are thinking in steps, reading code and checking results against engineering knowledge. This category starts with Python and connects it to circuits, numerical computing and PLCs.

Python · AI
Learning to Program in the AI Era: Why Start with Python
AI writes code in any language, but if you cannot read code you cannot tell whether it is right. Why Python is the best first language, six core…
25 Oct 2026Read the article →

// Keep reading

## Want to go deeper than an article?

An article is a shortcut for one specific question. For the full background, derivations and labs where you can change the values, open the library. The lessons are written in Thai with English technical terms, and the formulas are the same as in these articles. The motor control and PLC courses are also available in full English editions.

English lessons →
Thai library
Laplace transform (Thai)
Vectors (Thai)
Power factor (Thai)
Linear algebra (Thai)
Control systems (Thai)

---

# 3-Phase Motor Delta (Δ) Connection: Remember U1–W2, V1–U2, W1–V2 and Choose from the Nameplate

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/3-phase-motor-delta-connection/
Updated: 2026-10-25
Summary: How to connect a 3-phase motor in delta: links U1-W2, V1-U2, W1-V2, what U1 V1 W1 U2 V2 W2 mean and which wire colours go where, line vs phase values, and choosing from the nameplate.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · 3-phase motors

# 3-Phase Motor Delta (Δ) Connection: Remember U1–W2, V1–U2, W1–V2 and Choose from the Nameplate

A delta connection joins the three windings of a 3-phase induction motor end to end in a closed triangle and feeds the supply into its three corners. In the terminal box it takes only three links. This article covers how to remember the pairs, the voltage and current relationships, and what to check on the nameplate before switching on.

The 30-second summary

- Link U1–W2 · V1–U2 · W1–V2, then connect L1 → U1, L2 → V1, L3 → W1

- Each winding sees the full line voltage, $V_{ph}=V_L$, and the line current is $I_L=\sqrt{3}\,I_{ph}$

- Use delta only when the Δ figure on the nameplate equals the supply's line voltage, for example 400/690 V on a 400 V supply

## Watch the 16-second summary

U1–W2 · V1–U2 · W1–V2

### 3-Phase Motor Delta Connection
YouTube Shorts · 16 seconds · over 66,000 views · Thai narration

Taught by Ajarn ModOpen on YouTube ↗

## How to remember U1–W2, V1–U2, W1–V2

Each phase winding has a start (number 1) and an end (number 2): U1–U2, V1–V2 and W1–W2. A delta connection joins the start of one phase to the end of the previous phase, going round in the order U → V → W → U, and the supply is connected to the three junctions.

- Start of U (U1) joins the end of W (W2) and is fed from L1

- Start of V (V1) joins the end of U (U2) and is fed from L2

- Start of W (W1) joins the end of V (V2) and is fed from L3

Left: the delta circuit, three windings joined end to end in a closed loop · Right: the terminal box to IEC 60034-8 with three vertical links; terminal colours match each phase winding

## What U1 V1 W1 U2 V2 W2 mean, and which wire colours go where

Under IEC 60034-8 the letters U V W name the three phase windings and the number gives the end of the winding: 1 = start and 2 = end. A six-terminal motor therefore has U1 V1 W1 (the starts) and U2 V2 W2 (the ends). Older motors and American motors use other names, which map across as follows.

| Winding | Start – end (IEC) | Older marking | NEMA (US) | Supply conductor (IEC 60445 colour) |

| Phase U | U1 – U2 | U – X | T1 – T4 | L1 brown → U1 |

| Phase V | V1 – V2 | V – Y | T2 – T5 | L2 black → V1 |

| Phase W | W1 – W2 | W – Z | T3 – T6 | L3 grey → W1 |

| Earth | earth terminal in the box ⏚ | – | – | PE green-yellow |

- The leads inside the motor have no standard colour. IEC 60034-8 identifies terminals by letters and numbers, not by the colour of the winding leads. Many manufacturers use one colour for every lead and print the marking on a sleeve; others use colours, but the schemes differ between brands. Go by the printed marking and the diagram inside the terminal-box lid, not by colour.

- The supply cable follows IEC 60445 (in Thailand, TIS 11-2553): L1 brown, L2 black, L3 grey, N blue, PE green-yellow. Connecting brown → U1, black → V1, grey → W1 makes the work easy to inspect, but colour does not guarantee phase sequence: older installations may follow an earlier colour code. Check with a phase-sequence meter or by a test run.

- Direction of rotation under IEC 60034-8. With L1, L2, L3 connected to U1, V1, W1 in phase sequence, the motor turns clockwise seen from the shaft (drive) end. To reverse it, swap any two supply conductors.

- Markings lost? An ohmmeter finds which leads are connected, giving three pairs (the three windings) of similar resistance. Telling the start (1) from the end (2) of each winding needs a polarity test, done the way a motor-rewind shop or the manufacturer's manual describes. If one winding is reversed in a delta, the voltages round the delta no longer cancel and a large current circulates in the loop even with no load.

## Why the bottom row of the terminal box reads W2 U2 V2

In a six-terminal box the top row is U1 V1 W1, while the bottom row is shifted by one position to W2 U2 V2 (W2 sits under U1). The shift is deliberate: the same set of links serves both connections.

- Delta (Δ): place three vertical links to get exactly U1–W2, V1–U2, W1–V2

- Star (Y): place the links horizontally to join W2, U2 and V2 into the star point

The supply enters at U1, V1 and W1 in both cases. A side-by-side drawing of both link layouts, including the older U-X, V-Y, W-Z markings, is in the lesson star and delta motor connections.

## Voltage and current in a delta connection

In delta each winding sits directly between two lines, so the winding voltage equals the line voltage. The current at each corner is the phasor difference of two winding currents that are 120° apart.

$$V_{ph}=V_L, \qquad I_L=\sqrt{3}\,I_{ph}, \qquad P=\sqrt{3}\,V_L I_L\cos\varphi$$

- A motor connected in delta on a 400 V system draws a line current of 15 A. The voltage across each winding is

$$V_{ph}=V_L=400\ \text{V}$$

- The current in each winding is

$$I_{ph}=\frac{I_L}{\sqrt{3}}=\frac{15}{1.732}\approx 8.66\ \text{A}$$

A clamp meter around a supply cable reads the line current, not the winding current. Divide by √3 to get the current in a winding.

Where the $\sqrt{3}$ comes from, and the full comparison of star and delta, is covered in phasors and three-phase systems: Y and Δ (in Thai).

## Choosing delta or star from the nameplate

The common mistake is not placing the links but choosing the connection without reading the nameplate. Its two figures give the line voltage to use in delta (the lower value) and in star (the higher value).

| Nameplate (Δ / Y) | On a 400 V 3-phase supply connect in | If connected wrongly |

| 230/400 V (older plates: 220/380 V) | Star (Y) | In delta each winding sees √3 times its rating, the core saturates, the current is very high and it burns out quickly |

| 400/690 V (older plates: 380/660 V) | Delta (Δ) | In star each winding gets only 1/√3 of its voltage, torque falls to about 1/3, and under load it draws too much current and overheats |

Rule of thumb: the Δ figure on the nameplate must equal the supply's line voltage before you connect in delta. A 400/690 V motor on a 400 V supply is exactly the kind that can use a star-delta starter: it starts in star, cutting the starting current to about 1/3, then switches to delta once it is up to speed. How many seconds to set on the timer is worked out numerically in star–delta timer: how many seconds?

## Steps to connect delta at the terminal box

- Isolate the supply, apply lockout/tagout and prove that no voltage is present

- Read the nameplate: the Δ figure must match the supply's line voltage

- Fit three vertical links U1–W2, V1–U2, W1–V2 and tighten the nuts

- Connect L1 → U1, L2 → V1, L3 → W1 and the protective earth (PE) to the motor's earth terminal

- Test run. If it turns the wrong way, swap any two supply lines; see forward-reverse control of a 3-phase motor

## Continue in the library

- Star and delta motor connections: terminal box, nameplate and what happens when it is wrong

- How the 3-phase induction motor works: rotating field and slip

- The star-delta starter in detail

- Motor starter simulator: wire it yourself on screen

- Direction of rotation under IEC 60034-8, and reversing a star–delta starter

- Read next: star–delta timer, how many seconds? A numerical study

- Read next: what power factor is and why motors lower it

## Frequently asked questions

What do U1 V1 W1 U2 V2 W2 mean on a motor?
Under IEC 60034-8 the letters U, V and W are the three phase windings, the number 1 is the start of a winding and 2 is its end, so phase U has terminals U1 and U2. Older motors use U-X, V-Y, W-Z, and NEMA motors in the United States use T1-T4, T2-T5, T3-T6.

What colour are the U1 V1 W1 wires?
IEC 60034-8 identifies terminals by letters and numbers, not by colour, and many manufacturers use one colour for every lead with the marking printed on a sleeve, so go by the marking, not the colour. For the supply cable, the IEC 60445 colours (also used in Thailand under TIS 11-2553) are brown for L1 to U1, black for L2 to V1, grey for L3 to W1, and green-yellow for protective earth.

Which terminals are linked for a delta connection?
Three pairs: U1–W2, V1–U2 and W1–V2. In a standard IEC terminal box this means three vertical links, with L1 to U1, L2 to V1 and L3 to W1.

Can a 230/400 V motor be connected in delta on a 400 V supply?
No. The 230 V figure is the line voltage for delta. On a 400 V supply it must be connected in star. In delta each winding would see √3 times its rated voltage, the current becomes very high and the motor can burn out.

How do line current and winding current differ in delta?
In delta the winding voltage equals the line voltage, and the line current is √3 times the winding current. For example, a 15 A line current means about 8.66 A in each winding.

The motor runs backwards after connecting in delta. What should I do?
Switch off and swap any two supply lines, for example L1 and L2. The links in the terminal box stay as they are.

## More articles worth reading

Motors · research
How Many Seconds Should a Star–Delta Timer Be Set To? Numerical Experiments on a Squirrel-Cage Induction Motor: Changeover Time, Dead Time, Current and Energy
How many seconds for a star–delta timer? Research simulating a 7.5 kW squirrel-cage motor: t = c·τm, a c table by load, dead time, KM3 phase order,…
19 Oct 2026Read the article →

Power factor
How to Calculate the Size of a Power Factor Correction Capacitor (kvar) with an Example
The formula Qc = P(tan φ1 − tan φ2) with a 100 kW, 400 V load corrected from PF 0.75 to 0.95 giving 55.3 kvar, microfarads per phase, a multiplier…
16 Oct 2026Read the article →

Power factor
What Is Power Factor? The cos φ Formula and the Relationship between kW, kVA and kvar
Power factor is the ratio of real power to apparent power. See the P Q S power triangle, a worked current calculation at PF 0.8 versus 1.0, lagging…
16 Oct 2026Read the article →

All 4 articles in Power Systems & Motors → · All articles

## FAQ

**What do U1 V1 W1 U2 V2 W2 mean on a motor?**
Under IEC 60034-8 the letters U, V and W are the three phase windings, the number 1 is the start of a winding and 2 is its end, so phase U has terminals U1 and U2. Older motors use U-X, V-Y, W-Z, and NEMA motors in the United States use T1-T4, T2-T5, T3-T6.

**What colour are the U1 V1 W1 wires?**
IEC 60034-8 identifies terminals by letters and numbers, not by colour, and many manufacturers use one colour for every lead with the marking printed on a sleeve, so go by the marking, not the colour. For the supply cable, the IEC 60445 colours (also used in Thailand under TIS 11-2553) are brown for L1 to U1, black for L2 to V1, grey for L3 to W1, and green-yellow for protective earth.

**Which terminals are linked for a delta connection?**
Three pairs: U1–W2, V1–U2 and W1–V2. In a standard IEC terminal box this means three vertical links, with L1 to U1, L2 to V1 and L3 to W1.

**Can a 230/400 V motor be connected in delta on a 400 V supply?**
No. The 230 V figure is the line voltage for delta. On a 400 V supply it must be connected in star. In delta each winding would see √3 times its rated voltage, the current becomes very high and the motor can burn out.

**How do line current and winding current differ in delta?**
In delta the winding voltage equals the line voltage, and the line current is √3 times the winding current. For example, a 15 A line current means about 8.66 A in each winding.

**The motor runs backwards after connecting in delta. What should I do?**
Switch off and swap any two supply lines, for example L1 and L2. The links in the terminal box stay as they are.

---

# Control Systems & PID Articles: How PID Works and How to Tune It

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/category/control-systems/
Updated: 2026-10-16
Summary: Articles on control systems: what a PID controller is and how it works, and a complete PID tuning guide from the step test and Ziegler–Nichols to anti-windup, with checked simulations.

THภาษาไทยENEnglish
// Article category · 2 articles

# Control Systems & PID Articles: How PID Works and How to Tune It

A PID controller sits inside almost every machine. This category explains what the P, I and D terms do and teaches real tuning step by step on a checked plant model.

✎All 24ΣSequences & Series 7[A]Vectors & Linear Algebra 7ℒLaplace Transform 3PIDControl Systems & PID 23φPower Systems & Motors 4</>Programming & AI 1

## All articles in Control Systems & PID

Control systems
PID Tuning: The Complete Guide from Step Test to Ziegler–Nichols, SIMC and Anti-Windup
A full PID tuning course in one article: identify the process with a step test, tune with Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC or relay, compare the…
16 Oct 2026Read the article →

Control systems
What Is a PID Controller? How Kp, Ki and Kd Work and How to Tune Them
A PID controller adds proportional, integral and derivative action on the error. See what Kp, Ki and Kd do, the step-response table, a…
16 Oct 2026Read the article →

// Keep reading

## Go deeper in the lessons

Control systems engineering (Thai) →
PID controller (Thai)
PID tuning lab (Thai)
All articles

---

# Laplace Transform Articles: Meaning, Table and Inverse Laplace

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/category/laplace-transform/
Updated: 2026-10-16
Summary: Articles on the Laplace transform: what it is and why circuits and control use it, a table of the most used pairs, and the inverse Laplace transform by partial fractions, step by step.

THภาษาไทยENEnglish
// Article category · 3 articles

# Laplace Transform Articles: Meaning, Table and Inverse Laplace

The Laplace transform turns the differential equations of circuits and control systems into algebra. This category starts with what the transform means and the table of pairs, and goes on to inverting it with partial fractions.

✎All 24ΣSequences & Series 7[A]Vectors & Linear Algebra 7ℒLaplace Transform 3PIDControl Systems & PID 23φPower Systems & Motors 4</>Programming & AI 1

## All articles in Laplace Transform

Laplace
How to Find the Inverse Laplace Transform: 3 Partial-Fraction Cases with Examples
Invert the Laplace transform with partial fractions for distinct, repeated and complex poles, with checked examples and what to do when the…
16 Oct 2026Read the article →

Laplace
Laplace Transform Table: The Most Commonly Used Pairs
The 15 most common Laplace transform pairs and a table of properties (time shift, frequency shift, derivative, integral, convolution, initial and…
16 Oct 2026Read the article →

Laplace
What Is the Laplace Transform and What Is It Used For?
The Laplace transform turns differential equations into algebraic equations. See the definition, the 3-step method, a worked y′ + 3y = 6 example…
16 Oct 2026Read the article →

// Keep reading

## Go deeper in the lessons

Laplace transform (Thai) →
Inverse Laplace calculator
Solving ODEs with Laplace (Thai)
All articles

---

# Vectors & Linear Algebra Articles: Matrices, Determinants, Rank and Numerical Methods

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/category/linear-algebra/
Updated: 2026-10-25
Summary: Articles on vectors and linear algebra: dot and cross products, determinants, the inverse matrix, rank, Cramer's rule and Jacobi vs Gauss–Seidel, each with step-by-step worked examples.

THภาษาไทยENEnglish
// Article category · 7 articles

# Vectors & Linear Algebra Articles: Matrices, Determinants, Rank and Numerical Methods

Vectors and matrices are the common language of circuits, forces and control systems. The articles in this category answer the questions people search for most: how to find a determinant and an inverse, what rank tells you, and which method to use for a large linear system.

✎All 24ΣSequences & Series 7[A]Vectors & Linear Algebra 7ℒLaplace Transform 3PIDControl Systems & PID 23φPower Systems & Motors 4</>Programming & AI 1

## All articles in Vectors & Linear Algebra

Linear algebra
Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It
Cramer's rule explained: replace a column by the constants and divide determinants, 2×2 and 3×3 examples, one unknown, a two-line proof, the Δ = 0…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
12 Determinant Properties That Appear on Every Exam: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) and the Traps
The 12 determinant properties used in entrance exams and engineering mathematics: row operations, det(kA) = kⁿ det A, products, inverses and the…
25 Oct 2026Read the article →

Numerical methods
Solving Linear Systems Numerically: Gauss, LU, Jacobi or Gauss–Seidel — Which Should You Use?
Numerical methods for linear systems compared: Gaussian elimination with pivoting, LU, Cholesky, Jacobi, Gauss–Seidel, SOR, convergence and the…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
Learning Matrices and Determinants: A 7-Step Roadmap from High School and Entrance Exams to Engineering Mathematics
A roadmap for matrices, determinants, rank, Cramer's rule and numerical methods: what to learn first, how far entrance exams go, what university…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
What Is the Rank of a Matrix? How to Find It and What It Tells You About a Linear System
The rank of a matrix explained visually: finding it by row reduction and by minors, using rank to decide whether Ax = b has one, infinitely many or…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
How to Find the Determinant and Inverse Matrix (2×2 and 3×3) with Examples
Learn to find 2×2 and 3×3 determinants by cofactors and the inverse matrix with the adjugate formula, with numeric examples checked by multiplying…
16 Oct 2026Read the article →

Vectors
Dot Product vs Cross Product: Formulas, Meaning and Examples
Compare the dot product (scalar product) and cross product (vector product): formulas, geometric meaning, calculation from components, and how they…
16 Oct 2026Read the article →

// Keep reading

## Go deeper in the lessons

Linear algebra, 12 pages (Thai) →
Vectors (Thai)
Step-by-step matrix calculator
All articles

---

# Power Systems & Motors Articles: Power Factor, Delta Connection and Star–Delta

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/category/power-motors/
Updated: 2026-10-25
Summary: Articles on power systems and motors: what power factor is, sizing a correction capacitor, connecting a three-phase motor in delta, and setting a star–delta timer, with real 400 V 50 Hz numbers.

THภาษาไทยENEnglish
// Article category · 4 articles

# Power Systems & Motors Articles: Power Factor, Delta Connection and Star–Delta

Electrical work in factories and buildings, from power factor and the penalty on the bill to choosing a capacitor and connecting and starting three-phase motors. Every article uses the numbers of a 230/400 V 50 Hz system.

✎All 24ΣSequences & Series 7[A]Vectors & Linear Algebra 7ℒLaplace Transform 3PIDControl Systems & PID 23φPower Systems & Motors 4</>Programming & AI 1

## All articles in Power Systems & Motors

Motors · research
How Many Seconds Should a Star–Delta Timer Be Set To? Numerical Experiments on a Squirrel-Cage Induction Motor: Changeover Time, Dead Time, Current and Energy
How many seconds for a star–delta timer? Research simulating a 7.5 kW squirrel-cage motor: t = c·τm, a c table by load, dead time, KM3 phase order,…
19 Oct 2026Read the article →

3-phase motors
3-Phase Motor Delta (Δ) Connection: Remember U1–W2, V1–U2, W1–V2 and Choose from the Nameplate
How to connect a 3-phase motor in delta: links U1-W2, V1-U2, W1-V2, what U1 V1 W1 U2 V2 W2 mean and which wire colours go where, line vs phase…
17 Oct 2026Read the article →

Power factor
How to Calculate the Size of a Power Factor Correction Capacitor (kvar) with an Example
The formula Qc = P(tan φ1 − tan φ2) with a 100 kW, 400 V load corrected from PF 0.75 to 0.95 giving 55.3 kvar, microfarads per phase, a multiplier…
16 Oct 2026Read the article →

Power factor
What Is Power Factor? The cos φ Formula and the Relationship between kW, kVA and kvar
Power factor is the ratio of real power to apparent power. See the P Q S power triangle, a worked current calculation at PF 0.8 versus 1.0, lagging…
16 Oct 2026Read the article →

// Keep reading

## Go deeper in the lessons

Power factor (Thai) →
Motor control (English edition available)
AC induction motors (Thai)
All articles

---

# Programming & AI Articles for Engineering Students and Engineers

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/category/programming-ai/
Updated: 2026-10-25
Summary: Articles on programming for engineering students and engineers in the AI era: start with Python, master the core concepts, give AI clear instructions and verify its code with engineering knowledge.

THภาษาไทยENEnglish
// Article category · 1 article

# Programming & AI Articles for Engineering Students and Engineers

Now that AI can write code in any language, the skills that still matter are thinking in steps, reading code and checking results against engineering knowledge. This category starts with Python and connects it to circuits, numerical computing and PLCs.

✎All 24ΣSequences & Series 7[A]Vectors & Linear Algebra 7ℒLaplace Transform 3PIDControl Systems & PID 23φPower Systems & Motors 4</>Programming & AI 1

## All articles in Programming & AI

Python · AI
Learning to Program in the AI Era: Why Start with Python
AI writes code in any language, but if you cannot read code you cannot tell whether it is right. Why Python is the best first language, six core…
25 Oct 2026Read the article →

// Keep reading

## Go deeper in the lessons

Numerical methods with NumPy/SciPy code (Thai) →
DC circuits and circuit lab (Thai)
PLC languages, IEC 61131-3 (Thai)
All articles

---

# Sequences & Series Articles: Convergence Tests, Taylor and Laurent Series

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/category/sequences-series/
Updated: 2026-10-26
Summary: Articles on sequences and series: a convergence-test flowchart, the geometric series formula, radius of convergence, Taylor and Laurent series and mathematical induction, with checked examples.

THภาษาไทยENEnglish
// Article category · 7 articles

# Sequences & Series Articles: Convergence Tests, Taylor and Laurent Series

Short articles that answer one question about sequences and series at a time, from the geometric series formula and a flowchart for choosing a convergence test to the Taylor and Laurent series used in engineering. Each has worked numbers and links to the full lessons.

✎All 24ΣSequences & Series 7[A]Vectors & Linear Algebra 7ℒLaplace Transform 3PIDControl Systems & PID 23φPower Systems & Motors 4</>Programming & AI 1

## All articles in Sequences & Series

Sequences & series
How to Choose a Convergence Test: an 8-Step Flowchart with an Example at Every Step
Pick the right convergence test the first time: an 8-step flowchart (n-th term, geometric, p-series, telescoping, limit comparison, ratio, root,…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Is a Laurent Series and How Is It Different from a Taylor Series? (Explained with Pictures)
Laurent series vs Taylor series: negative powers, the principal part, the annulus of convergence, types of singularity, residues and the link to…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
How to Find the Radius of Convergence: 3 Methods, Endpoint Checks and the Complex-Plane Reason
Three ways to find the radius of convergence of a power series (ratio test, root test, nearest complex singularity), plus the endpoint checks for…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Do You Learn in Sequences and Series? A Roadmap from Sequences to Laurent Series
The whole sequences and series chapter on one page: what each topic answers, its key formula and typical exam questions, from sequences and…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
Geometric Series: Formula, Examples and How to Find the Sum
Geometric series formula for the sum of n terms and the infinite sum a₁/(1 − r) when |r| < 1, with the derivation, step-by-step examples, common…
17 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
Mathematical Induction Examples with Step-by-Step Solutions, Including Strong Induction
14 worked proof-by-induction examples: writing the induction statement P(n), sums, divisibility, inequalities, recurrences and strong induction,…
17 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Is a Taylor Series, What Is It Used For, with Examples
What a Taylor series is, the Maclaurin series table to memorise, and 8 worked examples: approximation, expanding about other points, how many…
17 Oct 2026Read the article →

// Keep reading

## Go deeper in the lessons

Sequences & series, 12 pages (Thai) →
Sequence & series calculators with steps (Thai)
Strong induction, 17 examples (Thai)
All articles

---

# How to Choose a Convergence Test: an 8-Step Flowchart with an Example at Every Step

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/convergence-test-flowchart/
Updated: 2026-10-24
Summary: Pick the right convergence test the first time: an 8-step flowchart (n-th term, geometric, p-series, telescoping, limit comparison, ratio, root, integral, alternating) with examples and traps.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Sequences & series

# How to Choose a Convergence Test: an 8-Step Flowchart with an Example at Every Step

In a Calculus 2 exam, the students who finish the series questions quickly are not the ones who memorised the most theorems; they are the ones who look at a term and know at once which tool to use. This article turns that experience into an 8-step flowchart, ordered from the fastest check to the one that takes the most work, with one example per step.

In 30 seconds

- Always check the n-th term first (5 seconds), then ask whether it is geometric or a p-series

- Ratio of polynomials → limit comparison · factorials/exponentials → ratio · whole term to the n-th power → root · contains ln → integral

- Alternating signs: test Σ|aₙ| first, then use Leibniz

## The flowchart

Read from top to bottom, stop at the first “yes” and use the test on the right.

## The 8 steps with examples

### Step 1 · Do the terms go to zero?

$\sum\dfrac{n}{n+1}$: the terms → 1 ≠ 0, so the series diverges at once. This test works in one direction only; if the terms → 0, go to the next step.

### Step 2 · Is it geometric or a p-series?

$\sum\dfrac{5}{4^n}$ is geometric with $r = \tfrac14$ and converges · $\sum\dfrac{1}{\sqrt n}$ is a p-series with $p = \tfrac12 \le 1$ and diverges — remember the result, no computation needed.

### Step 3 · Can you split it into partial fractions?

$\sum\dfrac{1}{n(n+1)} = \sum\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+1}\right) = 1$. Telescoping gives both the verdict and the value of the sum.

### Step 4 · Is it a ratio of polynomials or roots?

$\sum\dfrac{3n+5}{n^3-2}$: the dominant part is $\tfrac{3n}{n^3} = \tfrac{3}{n^2}$; the limit comparison with $\tfrac{1}{n^2}$ gives 3 (positive and finite), so it converges · Shortcut: it converges ⇔ (degree of denominator − degree of numerator) > 1.

### Step 5 · Does it contain factorials or exponentials?

$\sum\dfrac{n!}{n^n}$: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac1e < 1$, so it converges · If the limit is exactly 1, the ratio test is inconclusive.

### Step 6 · Is the whole term raised to the n-th power?

$\sum\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^n$: $\sqrt[n]{a_n} = \dfrac{n}{2n+1} \to \tfrac12$, so it converges; the root removes the exponent immediately.

### Step 7 · Does it contain ln, or is it easy to integrate?

$\sum\dfrac{1}{n\ln n}$: $\int_2^\infty\dfrac{dx}{x\ln x} = [\ln\ln x]_2^\infty = \infty$, so it diverges (even though computer sums look as if they settle) · $\sum\dfrac{1}{n(\ln n)^2}$, on the other hand, converges.

### Step 8 · Do the signs alternate?

$\sum\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}$: the absolute values $\sum\tfrac{1}{\sqrt n}$ diverge, but $\tfrac{1}{\sqrt n}$ decreases to 0, so Leibniz says the series converges — it converges conditionally.

## Summary table for exam revision

| Test | Use when | Inconclusive when |

| n-th term | Every question (first check) | Terms → 0 |

| Limit comparison | Ratios of polynomials, roots, sin(1/n) | The limit is 0 or ∞ in the wrong direction |

| Ratio | n!, cⁿ, nⁿ | ρ = 1 |

| Root | The whole term to the n-th power | ρ = 1 |

| Integral | ln n, functions you can integrate | f is not decreasing |

| Alternating series | (−1)ⁿ bₙ | bₙ is not decreasing |

## Three traps that cost marks

- $\sum\dfrac{1}{n^{1 + 1/n}}$ looks like a p-series with p > 1, but the exponent tends to 1; the limit comparison with $\tfrac1n$ gives 1, so it diverges.

- $\sum\left(1 + \tfrac1n\right)^n$ does not need the root test: the terms → e ≠ 0, so it diverges by the n-th term test.

- $\sum\dfrac{1}{3^n - n}$: direct comparison with $\tfrac{1}{3^n}$ fails because the terms are larger; use the limit comparison test instead.

Build the reflex with the 40-question test-choice game (in Thai), which checks both the test you choose and your verdict.

## Continue in the library (in Thai)

- Convergence tests in full: theorems, examples, Raabe and Stirling

- Alternating series: Leibniz, error bound, rearrangement

- Interactive series tester

- Calculus 2 practice set B

## Frequently asked questions

Why not use the ratio test for everything?
Because series built from ratios of polynomials or roots, such as $\sum 1/n^2$ and $\sum 1/n$, always give a ratio limit of 1, which is inconclusive. The ratio test is the right tool only when the terms contain factorials or exponentials.

Can the n-th term test prove convergence?
No. It works in one direction only: if the terms do not tend to zero, the series diverges. If the terms do tend to zero, you must keep testing.

How do I choose b(n) for the limit comparison test?
Keep only the dominant (highest-power) part of the numerator and denominator. For $\dfrac{3n+5}{n^3-2}$ keep $\dfrac{3n}{n^3} = \dfrac{3}{n^2}$, so choose $b_n = 1/n^2$.

Where do I start with an alternating series?
Test the absolute values $\sum|a_n|$ first. If that converges, the series converges absolutely. If it diverges, apply the alternating series (Leibniz) test; if that passes, the series converges conditionally.

## More articles worth reading

Sequences & series
What Is a Laurent Series and How Is It Different from a Taylor Series? (Explained with Pictures)
Laurent series vs Taylor series: negative powers, the principal part, the annulus of convergence, types of singularity, residues and the link to…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
How to Find the Radius of Convergence: 3 Methods, Endpoint Checks and the Complex-Plane Reason
Three ways to find the radius of convergence of a power series (ratio test, root test, nearest complex singularity), plus the endpoint checks for…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Do You Learn in Sequences and Series? A Roadmap from Sequences to Laurent Series
The whole sequences and series chapter on one page: what each topic answers, its key formula and typical exam questions, from sequences and…
24 Oct 2026Read the article →

All 7 articles in Sequences & Series → · All articles

## FAQ

**Why not use the ratio test for everything?**
Because series built from ratios of polynomials or roots, such as $\sum 1/n^2$ and $\sum 1/n$, always give a ratio limit of 1, which is inconclusive. The ratio test is the right tool only when the terms contain factorials or exponentials.

**Can the n-th term test prove convergence?**
No. It works in one direction only: if the terms do not tend to zero, the series diverges. If the terms do tend to zero, you must keep testing.

**How do I choose b(n) for the limit comparison test?**
Keep only the dominant (highest-power) part of the numerator and denominator. For $\dfrac{3n+5}{n^3-2}$ keep $\dfrac{3n}{n^3} = \dfrac{3}{n^2}$, so choose $b_n = 1/n^2$.

**Where do I start with an alternating series?**
Test the absolute values $\sum|a_n|$ first. If that converges, the series converges absolutely. If it diverges, apply the alternating series (Leibniz) test; if that passes, the series converges conditionally.

---

# Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/cramers-rule/
Updated: 2026-10-25
Summary: Cramer's rule explained: replace a column by the constants and divide determinants, 2×2 and 3×3 examples, one unknown, a two-line proof, the Δ = 0 case and why computers avoid it.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Linear algebra

# Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It

Cramer's rule gives a direct formula for each unknown of a linear system — no row reduction and no inverse. It is perfect for exam questions that ask for a single unknown, but it has limits you must know. This article collects how to use it, where it comes from, the special cases and its practical range in one place.

The 30-second summary

- $x_i = \dfrac{\Delta_i}{\Delta}$, where $\Delta = \det A$ and $\Delta_i$ is the determinant of $A$ with column $i$ replaced by the constants $\mathbf b$

- Valid when $A$ is square and $\Delta \ne 0$ · one unknown needs only two determinants

- For systems larger than 3×3, or in software, use Gaussian elimination or LU instead

## The rule in one sentence

Compute the determinant $\Delta$ of the coefficient matrix, put the right-hand constants in place of the column of the unknown you want, compute the new determinant $\Delta_i$, and divide.

A 2×2 example: replacing the first column by $\mathbf b$ gives $\Delta_x$; replacing the second gives $\Delta_y$.

$$\begin{aligned} 3x + 2y &= 7 \\ x - y &= -1 \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad \Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -5,\quad x = \frac{\begin{vmatrix} 7 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1,\quad y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$

## 3×3 systems: solve only for what is asked

Example

### Find $y$ from $2x + y - z = 3,\ x + 3y + 2z = 14,\ 3x - y + z = 2$

-
$$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2(3 + 2) - 1(1 - 6) + (-1)(-1 - 9) = 25$$

-
$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 14 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(14 - 4) - 3(1 - 6) + (-1)(2 - 42) = 75$$

$y = 75/25 = 3$ — no need to find $x$ and $z$ at all

All three unknowns of a 3×3 system need four determinants. Always check by substituting back, or use the step-by-step Cramer calculator (in Thai).

## Why the rule works (a two-line proof)

Let $X_i$ be the identity matrix with column $i$ replaced by the solution vector $\mathbf x$. Multiplying by $A$, column $i$ becomes $A\mathbf x = \mathbf b$ while the other columns stay those of $A$, so $AX_i = A_i$. Now use $\det(AB) = \det A\det B$:

$$\det A\cdot\det X_i = \det A_i,\qquad \det X_i = x_i \ \Rightarrow\ x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$$

Seen another way, Cramer's rule is $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b = \dfrac{\operatorname{adj}A\,\mathbf b}{\det A}$ written one unknown at a time, so it always agrees with the inverse method.

## When Δ = 0, and parameter-k problems

If $\Delta = 0$ the formula fails, and the system has either no solution or infinitely many. A favourite exam example:

$$\begin{aligned} kx + y &= 1 \\ x + ky &= 1 \end{aligned}\qquad \Delta = k^2 - 1,\quad \Delta_x = \Delta_y = k - 1$$

- $k \ne \pm1$: $x = y = \dfrac{1}{k + 1}$

- $k = 1$: $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$; both equations are the same line → infinitely many solutions

- $k = -1$: $\Delta = 0$ but $\Delta_x = -2 \ne 0$ → parallel lines → no solution

Trap Never cancel the factor $(k - 1)$ before checking $k = 1$. And for 3×3 systems, even if $\Delta$ and every $\Delta_i$ are zero the system can still have no solution — use rank to decide (in Thai).

## When to use it, and when not to

| Use it for | Avoid it for |

| 2–3 unknowns by hand | 4 or more unknowns |

| A single unknown, e.g. one mesh current | $\Delta = 0$ or very close to zero |

| Symbolic coefficients ($R$, $k$, $s$) when you want a general formula | Different numbers of equations and unknowns |

| 2×2 AC circuits with complex impedances | Software that needs speed and numerical accuracy |

Cost is the main reason. With determinants by cofactor expansion, Cramer's rule needs about $(n + 1)!$ multiplications, so a 20-unknown system needs about $5\times10^{19}$ of them (roughly 1,600 years at a billion per second), while Gaussian elimination needs about $n^3/3 \approx 2{,}700$. Details are in numerical solution of linear systems (in Thai).

## Continue in the library (in Thai)

- Cramer's rule in full: three-mesh circuits, AC circuits and transfer functions

- Determinants: Sarrus, cofactors and properties

- The numerical methods used instead of Cramer for large systems

- Cramer's rule and linear-system exam problems with solutions

- Article: 12 determinant properties for exams

## Frequently asked questions

When can Cramer's rule be used?
When the number of equations equals the number of unknowns (a square coefficient matrix) and the determinant of the coefficient matrix is non-zero. If Δ = 0 the system has either no solution or infinitely many, and row reduction is needed to tell which.

Why is Cramer's rule fast in exams?
If the question asks for only one unknown you need just two determinants, Δ and the determinant for that unknown, instead of solving for everything or inverting the whole matrix. It is ideal for 2–3 unknowns by hand.

Why don't computer programs use Cramer's rule?
The cost explodes. With cofactor expansion a 20-unknown system needs about 5 × 10¹⁹ multiplications, while Gaussian elimination needs about 2,700, and Gaussian elimination with partial pivoting is also more stable numerically.

Can Cramer's rule be used for AC circuits?
Yes. It uses only addition, subtraction, multiplication and division, so it works directly with complex impedances, and also with the Laplace variable s, where Δ(s) = 0 is the characteristic equation of the circuit.

## More articles worth reading

Linear algebra
12 Determinant Properties That Appear on Every Exam: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) and the Traps
The 12 determinant properties used in entrance exams and engineering mathematics: row operations, det(kA) = kⁿ det A, products, inverses and the…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
Learning Matrices and Determinants: A 7-Step Roadmap from High School and Entrance Exams to Engineering Mathematics
A roadmap for matrices, determinants, rank, Cramer's rule and numerical methods: what to learn first, how far entrance exams go, what university…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
What Is the Rank of a Matrix? How to Find It and What It Tells You About a Linear System
The rank of a matrix explained visually: finding it by row reduction and by minors, using rank to decide whether Ax = b has one, infinitely many or…
25 Oct 2026Read the article →

All 7 articles in Vectors & Linear Algebra → · All articles

## FAQ

**When can Cramer's rule be used?**
When the number of equations equals the number of unknowns (a square coefficient matrix) and the determinant of the coefficient matrix is non-zero. If Δ = 0 the system has either no solution or infinitely many, and row reduction is needed to tell which.

**Why is Cramer's rule fast in exams?**
If the question asks for only one unknown you need just two determinants, Δ and the determinant for that unknown, instead of solving for everything or inverting the whole matrix. It is ideal for 2–3 unknowns by hand.

**Why don't computer programs use Cramer's rule?**
The cost explodes. With cofactor expansion a 20-unknown system needs about 5 × 10¹⁹ multiplications, while Gaussian elimination needs about 2,700, and Gaussian elimination with partial pivoting is also more stable numerically.

**Can Cramer's rule be used for AC circuits?**
Yes. It uses only addition, subtraction, multiplication and division, so it works directly with complex impedances, and also with the Laplace variable s, where Δ(s) = 0 is the characteristic equation of the circuit.

---

# How to Find the Determinant and Inverse Matrix (2×2 and 3×3) with Examples

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/determinant-and-inverse-matrix/
Updated: 2026-10-16
Summary: Learn to find 2×2 and 3×3 determinants by cofactors and the inverse matrix with the adjugate formula, with numeric examples checked by multiplying back, and the condition for a singular matrix.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Linear algebra

# How to Find the Determinant and Inverse Matrix (2×2 and 3×3) with Examples

The determinant tells you whether a matrix is invertible, and the inverse is used to solve systems of equations such as the currents in a multi-loop circuit. This article walks through the hand calculations with examples checked by multiplying back.

30-second summary

- 2×2: $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$

- 3×3: expand along the first row with cofactors (alternating signs $+\,-\,+$)

- Inverse: $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)$, which exists only when $\det A\ne0$

## The 2×2 determinant

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

Example: $\det\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}=4\cdot6-7\cdot2=24-14=10$

## The 3×3 determinant by cofactors

Expand along the first row: multiply each entry by the 2×2 determinant that remains when its row and column are removed, with alternating signs $+,-,+$.

$$\det A=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}$$

Example

### $A=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&-1&4\\1&2&5\end{pmatrix}$

-
$$\det A=2\begin{vmatrix}-1&4\\2&5\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}0&4\\1&5\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}0&-1\\1&2\end{vmatrix}$$

-
$$=2(-5-8)-1(0-4)+3(0+1)=-26+4+3$$

$\det A=-19$ (not zero, so the inverse exists)

For 3×3 you can also use the Sarrus rule: copy the first two columns to the right, add the products along the three downward diagonals and subtract the products along the three upward diagonals. The result is the same.

## The 2×2 inverse (shortcut formula)

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$

Swap $a$ and $d$, change the signs of $b$ and $c$, then divide by the determinant.

Example

### $N=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}$

-
$$N^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.6&-0.7\\-0.2&0.4\end{pmatrix}$$

- Check: the first row of $N$ times the first column of $N^{-1}$

$$4(0.6)+7(-0.2)=2.4-1.4=1$$

And $4(-0.7)+7(0.4)=0$, $2(0.6)+6(-0.2)=0$, $2(-0.7)+6(0.4)=1$, so $NN^{-1}=I$ ✓

## The 3×3 inverse with the adjugate

Steps: (1) find the cofactor matrix $C$; (2) swap rows and columns (transpose) to get $\operatorname{adj}(A)=C^{T}$; (3) divide by $\det A$.

Continuing the example $A$ above

### Find $A^{-1}$

- Cofactors $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

$$C=\begin{pmatrix}-13&4&1\\1&7&-3\\7&-8&-2\end{pmatrix}$$

- Transpose

$$\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix}-13&1&7\\4&7&-8\\1&-3&-2\end{pmatrix}$$

- Divide by $\det A=-19$

$$A^{-1}=\frac{1}{19}\begin{pmatrix}13&-1&-7\\-4&-7&8\\-1&3&2\end{pmatrix}$$

Check: the first row of $A$ times the first column of $A^{-1}$: $\dfrac{1}{19}\big(2(13)+1(-4)+3(-1)\big)=\dfrac{19}{19}=1$ ✓ and the first row times the second column: $\dfrac{1}{19}\big(2(-1)+1(-7)+3(3)\big)=0$ ✓

## What it is used for

- Solving systems of equations: $A\mathbf{x}=\mathbf{b}\Rightarrow\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$, for example the loop currents in a multi-loop electric circuit.

- Checking for a unique solution: if $\det A\ne0$ the system has exactly one solution.

- Eigenvalues: found from $\det(A-\lambda I)=0$, used in the stability analysis of state-space systems.

## Keep learning in the library

The full lessons are in Thai, with English technical terms and the same formulas.

- Determinants: properties, cofactors and row operations (in Thai)

- The inverse matrix, by both the adjugate and Gauss–Jordan (in Thai)

- Matrix lab: a calculator that shows the working step by step (in Thai)

- Applications in electric circuits and power systems (in Thai)

## Frequently asked questions

What does a zero determinant mean?
The matrix is singular and has no inverse, and the system $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ does not have a unique solution: it has either no solution or infinitely many. The rows or columns of the matrix are linearly dependent.

Can the Sarrus rule be used for a 4×4 matrix?
No. The Sarrus rule (drawing diagonals) works only for 3×3. Larger matrices use cofactor expansion or row operations down to a triangular matrix.

Why do we divide by the determinant when finding the inverse?
Because $A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I$, so we must divide by $\det(A)$ to get the identity matrix. That is impossible when $\det(A)=0$.

Which method is preferred for finding an inverse in practice?
By hand, use the shortcut formula for 2×2, and the adjugate or row operations (Gauss–Jordan) for 3×3. In computer programs one usually solves $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ by factorisation without forming the inverse explicitly, for better accuracy.

## More articles worth reading

Linear algebra
Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It
Cramer's rule explained: replace a column by the constants and divide determinants, 2×2 and 3×3 examples, one unknown, a two-line proof, the Δ = 0…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
12 Determinant Properties That Appear on Every Exam: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) and the Traps
The 12 determinant properties used in entrance exams and engineering mathematics: row operations, det(kA) = kⁿ det A, products, inverses and the…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
Learning Matrices and Determinants: A 7-Step Roadmap from High School and Entrance Exams to Engineering Mathematics
A roadmap for matrices, determinants, rank, Cramer's rule and numerical methods: what to learn first, how far entrance exams go, what university…
25 Oct 2026Read the article →

All 7 articles in Vectors & Linear Algebra → · All articles

## FAQ

**What does a zero determinant mean?**
The matrix is singular and has no inverse, and the system $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ does not have a unique solution: it has either no solution or infinitely many. The rows or columns of the matrix are linearly dependent.

**Can the Sarrus rule be used for a 4×4 matrix?**
No. The Sarrus rule (drawing diagonals) works only for 3×3. Larger matrices use cofactor expansion or row operations down to a triangular matrix.

**Why do we divide by the determinant when finding the inverse?**
Because $A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I$, so we must divide by $\det(A)$ to get the identity matrix. That is impossible when $\det(A)=0$.

**Which method is preferred for finding an inverse in practice?**
By hand, use the shortcut formula for 2×2, and the adjugate or row operations (Gauss–Jordan) for 3×3. In computer programs one usually solves $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ by factorisation without forming the inverse explicitly, for better accuracy.

---

# 12 Determinant Properties That Appear on Every Exam: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) and the Traps

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/determinant-properties/
Updated: 2026-10-25
Summary: The 12 determinant properties used in entrance exams and engineering mathematics: row operations, det(kA) = kⁿ det A, products, inverses and the adjugate, with examples and traps.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Linear algebra

# 12 Determinant Properties That Appear on Every Exam: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) and the Traps

Most determinant exam questions do not ask you to compute from numbers. They give a single value of $\det A$ and ask for the determinant of a matrix built from $A$. Every such question is a one-liner once you know these 12 properties. Throughout, $A$ and $B$ are $n\times n$ and $k$ is a constant.

Three formulas to know by heart

- $\det(kA) = k^n\det A$ — the exponent is the size $n$

- $\det(AB) = \det A\det B$, hence $\det A^{-1} = 1/\det A$ and $\det A^m = (\det A)^m$

- $\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1}$

## Why the properties hold: the determinant is an area factor

A 2×2 matrix turns the unit square into a parallelogram, and $|\det A|$ is its area (for 3×3, a volume). Seen this way most properties are obvious: stretch every side by 2 and the area grows by $2^2$, the volume by $2^3$.

Left: $\det A = 5$ is the area the unit square becomes · right: scaling every row by 2 multiplies the area by $2^2$.

## Properties 1–6: row operations and special matrices

- Transpose: $\det A^T = \det A$ — so every row rule also works for columns

- Swap two rows: the sign changes

- Multiply one row by $k$: the determinant is multiplied by $k$ (factors come out one row at a time)

- Add a multiple of another row $R_i \leftarrow R_i + kR_j$: no change — the main tool of row reduction

- A zero row, two equal rows or proportional rows: $\det = 0$

- Triangular or diagonal matrix: $\det$ = product of the diagonal entries

Example

### If $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 5$, find $\begin{vmatrix} 2a & 2b & 2c \\ g & h & i \\ d + 3a & e + 3b & f + 3c \end{vmatrix}$

- Take 2 out of row 1 (property 3) · subtract a multiple of row 1 from row 3 to get $(d, e, f)$ without changing the value (property 4)

- The rows are now $(a, b, c), (g, h, i), (d, e, f)$; swapping rows 2 and 3 flips the sign (property 2)

$2\times(-5) = -10$

## Properties 7–10: constants, products, inverses and powers

- $\det(kA) = k^n\det A$ — because $k$ sits in all $n$ rows

- $\det(AB) = \det A\det B = \det(BA)$, even though $AB \ne BA$

- $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$ — and $A$ is invertible exactly when $\det A \ne 0$

- $\det(A^m) = (\det A)^m$

Example

### $A$ is $3\times3$ with $\det A = 4$. Find $\det(2A^{-1}A^T)$

-
$$\det(2A^{-1}A^T) = 2^3\cdot\frac14\cdot4 = 8$$

8

## Property 11: the adjugate, where students slip most

Taking determinants of $A\operatorname{adj}A = (\det A)I$ gives $\det A\cdot\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^n$:

$$\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1},\qquad \operatorname{adj}(kA) = k^{n-1}\operatorname{adj}A,\qquad \operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-2}A$$

Example

### $A$ is $3\times3$ with $\det A = 3$. Find $\det(2\operatorname{adj}A)$ and $\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A))$

-
$$\det(2\operatorname{adj}A) = 2^3\cdot3^{2} = 72$$

-
$$\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A)) = \det(3A) = 3^3\cdot3 = 81$$

72 and 81

## Property 12: what has no formula

Traps that appear every year

- $\det(A + B) \ne \det A + \det B$ — add the matrices first (only row-by-row linearity exists)

- $\det(kA) \ne k\det A$ and $\det(\operatorname{adj}A) \ne \det A$ — the exponent depends on $n$

- $\det(-A) = (-1)^n\det A$ — unchanged for 2×2 but sign-flipped for 3×3

- $|A|$ is not an absolute value; determinants can be negative

A bonus trick: if every row has the same sum, add all columns into the first column and take that sum out as a factor. For example, the matrix with $a$ on the diagonal and $b$ elsewhere has $\det = (a - b)^{n-1}(a + (n - 1)b)$.

## Continue in the library (in Thai)

- Determinants in full: exam shortcuts D22–D25 with proofs

- The inverse of a matrix and the adjugate

- Exam set A: 18 determinant and matrix problems

- Article: how to find a determinant and an inverse (2×2, 3×3)

- Article: how to use Cramer's rule

## Frequently asked questions

Is det(2A) equal to 2 det A?
No. Multiplying a matrix by 2 multiplies every row by 2, and a factor 2 can be taken out of each row once. For an n×n matrix det(2A) = 2ⁿ det A, so a 3×3 matrix gives 8 det A.

How do you find det(adj A)?
Use det(adj A) = (det A)ⁿ⁻¹, which follows from A adj A = (det A)I: taking determinants of both sides gives det A · det(adj A) = (det A)ⁿ. For a 3×3 matrix with det A = −2, det(adj A) = 4.

Is det(A + B) equal to det A + det B?
No. Determinants are not additive over whole matrices; add the matrices first and then take the determinant. Linearity only holds one row at a time.

Which row operation leaves the determinant unchanged?
Adding a multiple of one row to another (R_i ← R_i + kR_j) leaves it unchanged. Swapping two rows changes the sign, and multiplying one row by k multiplies the determinant by k.

## More articles worth reading

Linear algebra
Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It
Cramer's rule explained: replace a column by the constants and divide determinants, 2×2 and 3×3 examples, one unknown, a two-line proof, the Δ = 0…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
Learning Matrices and Determinants: A 7-Step Roadmap from High School and Entrance Exams to Engineering Mathematics
A roadmap for matrices, determinants, rank, Cramer's rule and numerical methods: what to learn first, how far entrance exams go, what university…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
What Is the Rank of a Matrix? How to Find It and What It Tells You About a Linear System
The rank of a matrix explained visually: finding it by row reduction and by minors, using rank to decide whether Ax = b has one, infinitely many or…
25 Oct 2026Read the article →

All 7 articles in Vectors & Linear Algebra → · All articles

## FAQ

**Is det(2A) equal to 2 det A?**
No. Multiplying a matrix by 2 multiplies every row by 2, and a factor 2 can be taken out of each row once. For an n×n matrix det(2A) = 2ⁿ det A, so a 3×3 matrix gives 8 det A.

**How do you find det(adj A)?**
Use det(adj A) = (det A)ⁿ⁻¹, which follows from A adj A = (det A)I: taking determinants of both sides gives det A · det(adj A) = (det A)ⁿ. For a 3×3 matrix with det A = −2, det(adj A) = 4.

**Is det(A + B) equal to det A + det B?**
No. Determinants are not additive over whole matrices; add the matrices first and then take the determinant. Linearity only holds one row at a time.

**Which row operation leaves the determinant unchanged?**
Adding a multiple of one row to another (R_i ← R_i + kR_j) leaves it unchanged. Swapping two rows changes the sign, and multiplying one row by k multiplies the determinant by k.

---

# Dot Product vs Cross Product: Formulas, Meaning and Examples

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/dot-product-cross-product/
Updated: 2026-10-16
Summary: Compare the dot product (scalar product) and cross product (vector product): formulas, geometric meaning, calculation from components, and how they are used for work, torque and angles.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Vectors

# Dot Product vs Cross Product: Formulas, Meaning and Examples

Two vectors can be multiplied in two ways. The first gives a number; the second gives a new vector. Both have clear physical meanings: the dot product is used for work and angles, while the cross product is used for torque and area.

30-second summary

- Dot: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$ → scalar

- Cross: $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$ → vector perpendicular to both, direction by the right-hand rule

- Dot = 0 ⇒ perpendicular · Cross = 0 ⇒ parallel

## A short comparison

| | Dot product $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ | Cross product $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ |

| Result | Scalar | Vector (3D) |

| Formula with the angle | $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$ | Magnitude $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$ |

| Formula with components | $a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$ | Determinant with $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ |

| Geometric meaning | Projection of one vector onto the other × length | Area of the parallelogram the two vectors span |

| Swapping the order | Unchanged | Sign reverses |

| Equals zero when | Perpendicular | Parallel |

| Used to find | Work, angle, projection, real power | Torque, magnetic force, a perpendicular direction |

## Dot product (scalar product)

For $\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$ and $\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)$, multiply the components along the same axis and add them.

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$$

So the angle between the vectors follows from $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$. A positive value means an acute angle, a negative value an obtuse angle.

Work example

### A 50 N force at 30° to a 4 m displacement

-
$$W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{d}=|\mathbf{F}||\mathbf{d}|\cos\theta=50\times4\times\cos30^\circ$$

$W = 200\times0.866 \approx 173.2$ J (only the component of the force parallel to the displacement does work)

## Cross product (vector product)

The result is perpendicular to both $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$, with direction given by the right-hand rule: point your fingers along $\mathbf{a}$ and curl them toward $\mathbf{b}$; your thumb points in the direction of $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$. With components it is calculated as follows.

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}=(a_yb_z-a_zb_y)\,\mathbf{i}-(a_xb_z-a_zb_x)\,\mathbf{j}+(a_xb_y-a_yb_x)\,\mathbf{k}$$

Torque example

### A 0.3 m wrench with a 100 N force perpendicular to the handle

-
$$\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F},\quad |\boldsymbol{\tau}|=rF\sin90^\circ=0.3\times100\times1$$

$|\boldsymbol{\tau}|=30$ N·m, with the torque direction along the axis of rotation of the nut. If the force is applied at a slant, the torque falls in proportion to $\sin\theta$.

## The same example, computed both ways

Let $\mathbf{a}=(2,3,1)$ and $\mathbf{b}=(1,-1,4)$.

- Dot product

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(1)+3(-1)+1(4)=3$$

- Cross product

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\big(3\cdot4-1\cdot(-1),\; 1\cdot1-2\cdot4,\; 2\cdot(-1)-3\cdot1\big)=(13,\,-7,\,-5)$$

- The angle between the vectors, with $|\mathbf{a}|=\sqrt{14}$, $|\mathbf{b}|=\sqrt{18}$

$$\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{14}\sqrt{18}}\approx0.189\;\Rightarrow\;\theta\approx79.1^\circ$$

- Check with the magnitude of the cross product, which must equal $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$

$$|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=\sqrt{13^2+7^2+5^2}=\sqrt{243}\approx15.59$$

$\sqrt{14\times18}\,\sin79.1^\circ\approx15.87\times0.982\approx15.59$ ✓ and $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=2(13)+3(-7)+1(-5)=0$ ✓ (the cross product is perpendicular to $\mathbf{a}$)

## How it is used in electrical engineering

- Real power: treating the voltage and current phasors (RMS values) as vectors in a 2D plane, the real power $P=VI\cos\varphi$ is their dot product.

- Force on a conductor: $\mathbf{F}=I\,\mathbf{L}\times\mathbf{B}$ and the Lorentz force $\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ are cross products.

- Motor torque: $\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}$.

## Keep learning in the library

The full lessons are in Thai, with English technical terms and the same formulas.

- Dot product: angle, work and projection (in Thai)

- Cross product: right-hand rule, torque and area (in Thai)

- 3D vector studio: drag vectors and see the dot and cross products instantly (in Thai)

- Phasors and AC circuit analysis (in Thai)

## Frequently asked questions

How do the results of the dot product and cross product differ?
The dot product gives a scalar (a single number). The cross product gives a vector perpendicular to both vectors, with its direction given by the right-hand rule. The cross product is defined only for 3D vectors.

What does it mean if the dot product is zero?
The two vectors are perpendicular (when neither is the zero vector). For example, a force perpendicular to the motion does zero work.

What does it mean if the cross product is the zero vector?
The two vectors are parallel or lie along the same line, because $\sin\theta = 0$.

Why does the sign change when you swap the order of a cross product?
Because the direction of the result is set by the right-hand rule. Swapping the order, $\mathbf{b}\times\mathbf{a}$, reverses the direction, so $\mathbf{b}\times\mathbf{a}=-\,\mathbf{a}\times\mathbf{b}$. The dot product is commutative.

## More articles worth reading

Linear algebra
Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It
Cramer's rule explained: replace a column by the constants and divide determinants, 2×2 and 3×3 examples, one unknown, a two-line proof, the Δ = 0…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
12 Determinant Properties That Appear on Every Exam: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) and the Traps
The 12 determinant properties used in entrance exams and engineering mathematics: row operations, det(kA) = kⁿ det A, products, inverses and the…
25 Oct 2026Read the article →

Numerical methods
Solving Linear Systems Numerically: Gauss, LU, Jacobi or Gauss–Seidel — Which Should You Use?
Numerical methods for linear systems compared: Gaussian elimination with pivoting, LU, Cholesky, Jacobi, Gauss–Seidel, SOR, convergence and the…
25 Oct 2026Read the article →

All 7 articles in Vectors & Linear Algebra → · All articles

## FAQ

**How do the results of the dot product and cross product differ?**
The dot product gives a scalar (a single number). The cross product gives a vector perpendicular to both vectors, with its direction given by the right-hand rule. The cross product is defined only for 3D vectors.

**What does it mean if the dot product is zero?**
The two vectors are perpendicular (when neither is the zero vector). For example, a force perpendicular to the motion does zero work.

**What does it mean if the cross product is the zero vector?**
The two vectors are parallel or lie along the same line, because $\sin\theta = 0$.

**Why does the sign change when you swap the order of a cross product?**
Because the direction of the result is set by the right-hand rule. Swapping the order, $\mathbf{b}\times\mathbf{a}$, reverses the direction, so $\mathbf{b}\times\mathbf{a}=-\,\mathbf{a}\times\mathbf{b}$. The dot product is commutative.

---

# Geometric Series: Formula, Examples and How to Find the Sum

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/geometric-series-formula/
Updated: 2026-10-17
Summary: Geometric series formula for the sum of n terms and the infinite sum a₁/(1 − r) when |r| < 1, with the derivation, step-by-step examples, common mistakes and engineering uses.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Sequences & series

# Geometric Series: Formula, Examples and How to Find the Sum

A geometric series adds numbers that are multiplied by the same factor each time, such as $2 + 6 + 18 + 54$. There is one formula to remember and one condition to check when the sum goes on forever. This article covers the formula, where it comes from, and the examples that appear most often in exams.

30-second summary

- General term: $a_n = a_1 r^{n-1}$, where $r$ is the common ratio $= a_{n+1}/a_n$

- Sum of n terms: $S_n = a_1\dfrac{1 - r^n}{1 - r}$ for $r \ne 1$

- Infinite series: $S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - r}$, valid only when $|r| < 1$

## What is a geometric series?

A geometric sequence is a sequence in which each term is the previous one multiplied by a constant $r$, for example $2, 6, 18, 54, \dots$ with $r = 3$. A geometric series is the sum of those terms, $2 + 6 + 18 + 54 + \cdots$.

To find $r$, divide any term by the one before it. If every pair gives the same value, the sequence is geometric. $r$ can be negative (the signs alternate) or a fraction (the terms shrink).

## Sum of n terms, and where the formula comes from

$$S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots + a_1r^{n-1} = a_1\,\frac{1 - r^n}{1 - r},\quad r \ne 1$$

The derivation takes two lines: write $S_n$, then multiply by $r$. You get the same terms shifted by one place.

$$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_1r + \cdots + a_1r^{n-1} \\ rS_n &= \phantom{a_1 + {}} a_1r + \cdots + a_1r^{n-1} + a_1r^n \end{aligned}$$

Subtract: all the middle terms cancel, leaving $S_n - rS_n = a_1 - a_1r^n$, which gives the formula above. When $r > 1$ you can write it as $a_1\dfrac{r^n - 1}{r - 1}$ instead (same value, fewer minus signs).

Example 1

### A geometric sequence has $a_2 = 6$ and $a_5 = 162$. Find $S_6$.

- $\dfrac{a_5}{a_2} = r^3 = \dfrac{162}{6} = 27$, so $r = 3$ and $a_1 = a_2/r = 2$

- $S_6 = 2\cdot\dfrac{3^6 - 1}{3 - 1} = 2\cdot\dfrac{728}{2} = 728$

$S_6 = 728$. Check: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728$ ✓

Example 2 · Count the terms first

### Find the sum $3 + 6 + 12 + \cdots + 768$.

- $a_1 = 3,\ r = 2$. The last term is $3\cdot 2^{n-1} = 768 \Rightarrow 2^{n-1} = 256 = 2^8$, so there are $n = 9$ terms

- $S_9 = 3\cdot\dfrac{2^9 - 1}{2 - 1} = 3(511) = 1533$

$1533$. A common mistake is miscounting n; always find it from $a_n = a_1r^{n-1}$.

## Infinite geometric series

When the sum never stops, look at what $r^n$ in the formula for $S_n$ does as $n \to \infty$. If $|r| < 1$, then $r^n \to 0$ and the sum approaches a finite value.

$$S_\infty = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots = \frac{a_1}{1 - r},\qquad |r| < 1$$

| Value of r | Behaviour of the infinite series |

| $|r| < 1$ | Converges, with sum $a_1/(1 - r)$ |

| $r = 1$ | Diverges; the sum grows like $na_1$ |

| $r = -1$ | Diverges; the partial sums oscillate $a_1, 0, a_1, 0, \dots$ |

| $|r| > 1$ | Diverges; the terms grow without bound |

Example 3 · Repeating decimals and negative r

### (a) Write $0.\overline{36}$ as a fraction. (b) Find $8 - 4 + 2 - 1 + \cdots$.

- (a) $0.3636\ldots = 0.36 + 0.0036 + \cdots$ with $a_1 = 0.36,\ r = 0.01$: $\dfrac{0.36}{1 - 0.01} = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}$

- (b) $a_1 = 8,\ r = -\tfrac12$ and $|r| < 1$: $S_\infty = \dfrac{8}{1 + \frac12} = \dfrac{16}{3}$

(a) $\tfrac{4}{11}$ (b) $\tfrac{16}{3}$. By the same reasoning, $0.999\ldots = \tfrac{0.9}{1 - 0.1} = 1$ exactly.

Example 4 · A bouncing ball

### A ball is dropped from a height of 10 m. Each time it hits the floor it bounces back to 60% of its previous height. Find the total distance travelled.

- The first fall is 10 m. After that, every bounce has equal up and down legs: $6 + 3.6 + 2.16 + \cdots$ is a geometric series with $a_1 = 6,\ r = 0.6$

- Total distance $= 10 + 2\cdot\dfrac{6}{1 - 0.6} = 10 + 30 = 40\ \text{m}$

$40\ \text{m}$: infinitely many bounces, but a finite total distance.

## Engineering uses

- Digital filter (EMA) $y[n] = 0.8\,y[n-1] + 0.2\,x[n]$ with a unit step input gives $y[n] = 0.2(1 + 0.8 + \cdots + 0.8^n) = 1 - 0.8^{n+1}$. It reaches 95% at the 14th sample and is stable because $|0.8| < 1$.

- Present value Rooftop solar that saves 12,000 baht a year for 20 years at a 5% discount rate: $PV = 12000\cdot\dfrac{1 - 1.05^{-20}}{0.05} \approx 149{,}547$ baht.

- Power series $\dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots$ ($|x| < 1$) is the starting point for the series of $\ln(1 + x)$ and $\arctan x$ in Taylor series.

## Common mistakes

- Using $a_1/(1 - r)$ when $|r| \ge 1$. For example, $1 + 2 + 4 + \cdots$ does not equal $\tfrac{1}{1 - 2} = -1$; it diverges.

- Using the formula when $r = 1$ (division by zero). In that case $S_n = na_1$.

- Miscounting the number of terms, especially when the series starts at $r^0$ versus $r^1$.

- Forgetting that $r$ can be negative: a sequence with alternating signs can still be geometric.

## Keep learning in the library

The full lessons are in Thai, with English technical terms and the same formulas.

- The full geometric sequence and series lesson, with a visual proof (in Thai)

- Sequence lab: explore terms, partial sums and limits interactively (in Thai)

- Infinite series in depth: geometric, telescoping, harmonic and p-series (in Thai)

- Every convergence test for series, with a decision chart and practice game (in Thai)

- Next article: how to choose a convergence test

- Proving the geometric series formula by mathematical induction (in Thai)

## Frequently asked questions

When does an infinite geometric series converge?
Only when $|r|
Can I use the sum formula when r = 1?
No, because the denominator $1 - r = 0$. In that case every term equals $a_1$, so the sum of n terms is simply $n a_1$.

What is the difference between a geometric sequence and a geometric series?
A geometric sequence is the list of numbers $a_1, a_1r, a_1r^2, \dots$; a geometric series is their sum $a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots$.

Where are geometric series used in engineering?
In the response of digital filters, the present value of projects such as rooftop solar, total distances in repeated reflections, and as the starting point of the power series $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots$ used to build Taylor series.

## More articles worth reading

Sequences & series
What Do You Learn in Sequences and Series? A Roadmap from Sequences to Laurent Series
The whole sequences and series chapter on one page: what each topic answers, its key formula and typical exam questions, from sequences and…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
Mathematical Induction Examples with Step-by-Step Solutions, Including Strong Induction
14 worked proof-by-induction examples: writing the induction statement P(n), sums, divisibility, inequalities, recurrences and strong induction,…
17 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Is a Taylor Series, What Is It Used For, with Examples
What a Taylor series is, the Maclaurin series table to memorise, and 8 worked examples: approximation, expanding about other points, how many…
17 Oct 2026Read the article →

All 7 articles in Sequences & Series → · All articles

## FAQ

**When does an infinite geometric series converge?**
Only when $|r| < 1$, and then its sum is $\dfrac{a_1}{1 - r}$. If $|r| \ge 1$ the terms do not approach zero, so the series diverges.

**Can I use the sum formula when r = 1?**
No, because the denominator $1 - r = 0$. In that case every term equals $a_1$, so the sum of n terms is simply $n a_1$.

**What is the difference between a geometric sequence and a geometric series?**
A geometric sequence is the list of numbers $a_1, a_1r, a_1r^2, \dots$; a geometric series is their sum $a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots$.

**Where are geometric series used in engineering?**
In the response of digital filters, the present value of projects such as rooftop solar, total distances in repeated reflections, and as the starting point of the power series $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots$ used to build Taylor series.

---

# How to Find the Inverse Laplace Transform: 3 Partial-Fraction Cases with Examples

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/inverse-laplace-transform-partial-fractions/
Updated: 2026-10-16
Summary: Invert the Laplace transform with partial fractions for distinct, repeated and complex poles, with checked examples and what to do when the numerator degree is too high.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Inverse Laplace Transform

# How to Find the Inverse Laplace Transform: 3 Partial-Fraction Cases with Examples

After solving an equation in the $s$ domain you get $Y(s)$ as a ratio of polynomials, and the final step is to convert back to $y(t)$. The standard method that works for almost every problem is to split into partial fractions and then use the table. This article divides the work into 3 cases according to the type of pole.

30-second summary

- Factor the denominator → identify the pole type → write the partial fractions → find the coefficients → use the table

- Distinct poles: use cover-up · repeated poles: include every power of $(s+p)^k$ · complex poles: complete the square

- If the numerator degree ≥ the denominator degree, do long division first

## The transform pairs you need

All three cases use this small set of pairs (the full set is in the Laplace transform table).

| $F(s)$ | $f(t)$, $t \ge 0$ |

| $\dfrac{1}{s}$ | $1$ |

| $\dfrac{1}{s+a}$ | $e^{-at}$ |

| $\dfrac{1}{(s+a)^2}$ | $t\,e^{-at}$ |

| $\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$ | $e^{-at}\sin\omega t$ |

| $\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$ | $e^{-at}\cos\omega t$ |

## Case 1: distinct poles (non-repeated real roots)

If $F(s)=\dfrac{N(s)}{(s+p_1)(s+p_2)}$, it can be written as $\dfrac{A}{s+p_1}+\dfrac{B}{s+p_2}$ where $A = \left[(s+p_1)F(s)\right]_{s=-p_1}$. This is the cover-up method: cover the factor you are interested in, then substitute the value of $s$ into what remains.

Example 1

### Find $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{3s+5}{(s+1)(s+2)}\right\}$

- Find $A$ at the pole $s=-1$: cover $(s+1)$ and substitute $s=-1$

$$A = \frac{3(-1)+5}{(-1)+2} = \frac{2}{1} = 2$$

- Find $B$ at the pole $s=-2$

$$B = \frac{3(-2)+5}{(-2)+1} = \frac{-1}{-1} = 1$$

- Use the table

$$F(s)=\frac{2}{s+1}+\frac{1}{s+2} \;\Rightarrow\; f(t) = 2e^{-t} + e^{-2t}$$

Check: $\dfrac{2}{s+1}+\dfrac{1}{s+2} = \dfrac{2(s+2)+(s+1)}{(s+1)(s+2)} = \dfrac{3s+5}{(s+1)(s+2)}$ ✓

## Case 2: repeated poles

A pole repeated $k$ times needs a term for every power from 1 to $k$. For example $(s+1)^2$ must be written as $\dfrac{B}{s+1}+\dfrac{C}{(s+1)^2}$. If you write only the squared term, the coefficients cannot be matched. The coefficient of the highest power can be found by cover-up, and the remaining terms from derivatives.

$$\text{If } F(s)=\frac{G(s)}{(s+p)^2}: \quad C = G(-p), \quad B = \left.\frac{dG}{ds}\right|_{s=-p}$$

Example 2

### Find $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s+1)^2}\right\}$

- Write the partial-fraction form

$$\frac{1}{s(s+1)^2} = \frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^2}$$

- Distinct pole at $s=0$: $A = \dfrac{1}{(0+1)^2}=1$

- Repeated pole at $s=-1$: let $G(s)=1/s$, so $C=G(-1)=-1$ and $B=G'(-1)=-\dfrac{1}{s^2}\Big|_{s=-1}=-1$

- Use the table

$$F(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^2} \;\Rightarrow\; f(t)=1-e^{-t}-t\,e^{-t}$$

Check the initial value: $f(0)=1-1-0=0$, which matches the initial value theorem $\lim_{s\to\infty} sF(s)=\lim \dfrac{1}{(s+1)^2}=0$ ✓

## Case 3: complex poles (complete the square)

If the denominator is a quadratic that does not factor into real roots, do not split it into complex numbers. Complete the square to get $(s+a)^2+\omega^2$, then arrange the numerator as $(s+a)$ plus a constant. This matches the cosine and sine pairs with the factor $e^{-at}$.

Example 3

### Find $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s+3}{s^2+2s+5}\right\}$

- Complete the square in the denominator: $s^2+2s+5=(s+1)^2+2^2$

- Arrange the numerator: $s+3=(s+1)+2$, then split

$$F(s)=\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2}+\frac{2}{(s+1)^2+2^2}$$

- Use the table with $a=1$, $\omega=2$

$$f(t)=e^{-t}\cos 2t + e^{-t}\sin 2t = e^{-t}(\cos 2t+\sin 2t)$$

The poles are at $s=-1\pm j2$, so the response is an oscillation at 2 rad/s whose amplitude decays as $e^{-t}$. Because the poles are in the left half plane, the system is stable.

## When the numerator degree is too high

Partial fractions work only for proper fractions. If the numerator degree ≥ the denominator degree, do long division first. A constant quotient is an impulse $\delta(t)$, while a quotient that is a polynomial in $s$ corresponds to derivatives of the impulse, which usually indicates a model that differentiates its input in a physically unrealistic way. Check the problem again.

## Checklist before you hand in the answer

- Substitute $t=0$ and compare with the initial value theorem: $f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s)$.

- If all poles of $sF(s)$ are in the left half plane (a distinct pole at $s=0$ in $F(s)$ is fine), compare $f(\infty)$ with $\lim_{s\to0}sF(s)$.

- Add the partial fractions back together; you must recover the original numerator.

## Keep learning in the library

The full lessons are in Thai, with English technical terms and the same formulas.

- The inverse Laplace transform in every case, with a calculator that shows the working (in Thai)

- Pole-zero diagrams and the ROC (in Thai)

- Properties of the Laplace transform: time shift, convolution and more (in Thai)

- Read first: what is the Laplace transform?

## Frequently asked questions

What if the numerator degree is greater than or equal to the denominator degree?
Do polynomial long division first so that a proper fraction remains (numerator degree less than denominator degree). For example, $\dfrac{s^2+1}{s(s+1)} = 1 + \dfrac{-s+1}{s(s+1)}$. The constant 1 becomes an impulse $\delta(t)$ in the time domain.

When does the cover-up method work?
It is the fastest way to find the coefficient of a distinct pole: multiply both sides by $(s+p)$ and substitute $s=-p$. For a repeated pole it works only for the coefficient of the highest-power term; the remaining terms need differentiation or equating coefficients.

Do complex poles always have to be split into partial fractions containing j?
No. For a quadratic with complex roots, complete the square so the denominator has the form $(s+a)^2+\omega^2$, then use the pairs for $e^{-at}\cos\omega t$ and $e^{-at}\sin\omega t$. The result is real from the start.

## More articles worth reading

Laplace
Laplace Transform Table: The Most Commonly Used Pairs
The 15 most common Laplace transform pairs and a table of properties (time shift, frequency shift, derivative, integral, convolution, initial and…
16 Oct 2026Read the article →

Laplace
What Is the Laplace Transform and What Is It Used For?
The Laplace transform turns differential equations into algebraic equations. See the definition, the 3-step method, a worked y′ + 3y = 6 example…
16 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Is a Laurent Series and How Is It Different from a Taylor Series? (Explained with Pictures)
Laurent series vs Taylor series: negative powers, the principal part, the annulus of convergence, types of singularity, residues and the link to…
24 Oct 2026Read the article →

All 3 articles in Laplace Transform → · All articles

## FAQ

**What if the numerator degree is greater than or equal to the denominator degree?**
Do polynomial long division first so that a proper fraction remains (numerator degree less than denominator degree). For example, $\dfrac{s^2+1}{s(s+1)} = 1 + \dfrac{-s+1}{s(s+1)}$. The constant 1 becomes an impulse $\delta(t)$ in the time domain.

**When does the cover-up method work?**
It is the fastest way to find the coefficient of a distinct pole: multiply both sides by $(s+p)$ and substitute $s=-p$. For a repeated pole it works only for the coefficient of the highest-power term; the remaining terms need differentiation or equating coefficients.

**Do complex poles always have to be split into partial fractions containing j?**
No. For a quadratic with complex roots, complete the square so the denominator has the form $(s+a)^2+\omega^2$, then use the pairs for $e^{-at}\cos\omega t$ and $e^{-at}\sin\omega t$. The result is real from the start.

---

# Solving Linear Systems Numerically: Gauss, LU, Jacobi or Gauss–Seidel — Which Should You Use?

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/jacobi-vs-gauss-seidel/
Updated: 2026-10-25
Summary: Numerical methods for linear systems compared: Gaussian elimination with pivoting, LU, Cholesky, Jacobi, Gauss–Seidel, SOR, convergence and the condition number, plus a decision table.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Numerical methods

# Solving Linear Systems Numerically: Gauss, LU, Jacobi or Gauss–Seidel — Which Should You Use?

Circuit simulators, structural software and heat models must solve $A\mathbf x = \mathbf b$ with thousands to millions of unknowns, where classroom methods are not enough. This article compares all the main methods at a glance: how each works, how fast it is, and when to choose it.

The 30-second summary

- Direct methods (Gauss, LU, Cholesky, Thomas) finish in a fixed number of steps; best for dense, moderate-size systems; always pivot

- Iterative methods (Jacobi, Gauss–Seidel, SOR) refine a guess each sweep; best for large sparse systems

- Gauss–Seidel is usually about twice as fast as Jacobi; SOR with a good $\omega$ is several times faster still

- Before trusting an answer, check the condition number $\kappa(A)$: about $\log_{10}\kappa$ digits may be lost

## The big picture: direct versus iterative

Two families of methods; choose by size, sparsity and the structure of the matrix.

Cramer's rule is not on this map because its cost grows factorially: a 20-unknown system needs about $5\times10^{19}$ multiplications against about 2,700 for Gaussian elimination (see the Cramer's rule article).

## Direct methods: Gauss, LU, Cholesky and Thomas

Gaussian elimination zeroes everything below the diagonal and then back-substitutes, using about $\tfrac23n^3$ flops. The crucial detail is partial pivoting: use the largest entry in the column as the pivot. On a machine keeping 3 significant digits:

$$\begin{aligned} 0.0001x + y &= 1 \\ x + y &= 2 \end{aligned} \qquad \text{no pivoting: } x = 0\ (\text{wrong}),\qquad \text{pivoting: } x = 1.00\ (\text{right})$$

The multiplier $1/0.0001 = 10^4$ makes $1 - 10^4$ round to $-1.00\times10^4$, wiping out the information in the first equation. Try other digit counts in the pivoting lab (in Thai).

- LU factorisation is Gaussian elimination that keeps the multipliers in $L$. Factor once, then each new $\mathbf b$ costs only $\approx 2n^2$ — ideal for a circuit whose sources change but whose structure does not.

- Cholesky $A = LL^T$ is for symmetric positive definite matrices such as the conductance matrix of a resistor network: twice as fast as LU and no pivoting.

- Thomas handles tridiagonal matrices (heat rods, ladder networks) in $O(n)$; a rod held at 100 °C and 0 °C with 4 interior nodes gives $T = (80, 60, 40, 20)$ °C.

## Iterative methods: Jacobi versus Gauss–Seidel

Both solve equation $i$ for $x_i$ using current estimates of the other unknowns; the only difference is whether they use the “old” or the “new” values.

$$\text{Jacobi: } x_i^{(k+1)} = \frac{b_i - \sum_{j\ne i}a_{ij}x_j^{(k)}}{a_{ii}},\qquad \text{Gauss–Seidel: use } x_j^{(k+1)} \text{ at once for } j \lt i$$

The system $4x - y + z = 7,\ 4x - 8y + z = -21,\ -2x + y + 5z = 15$ has solution $(2, 4, 3)$; start from $(1, 2, 2)$:

| Sweep | Jacobi | Gauss–Seidel |

| 1 | (1.750, 3.375, 3.000) | (1.750, 3.750, 2.950) |

| 2 | (1.844, 3.875, 3.025) | (1.950, 3.969, 2.986) |

| 3 | (1.963, 3.925, 2.963) | (1.996, 3.996, 2.999) |

Gauss–Seidel's error shrinks about 8× per sweep ($\rho = 0.125$), Jacobi's about 3× ($\rho \approx 0.335$).

## When they converge, and how SOR speeds things up

- Strict diagonal dominance $|a_{ii}| \gt \sum_{j\ne i}|a_{ij}|$ in every row → guaranteed convergence. If it fails, try reordering the equations first.

- The exact condition is a spectral radius $\rho(T) \lt 1$, and about $d/(-\log_{10}\rho)$ sweeps are needed to gain $d$ digits.

- SOR overshoots the Gauss–Seidel value by a factor $1 \lt \omega \lt 2$. A 10-unknown heat rod needs about 334 sweeps (Jacobi) and 167 (Gauss–Seidel), but SOR with $\omega \approx 1.56$ needs only about 24.

Compare all three side by side in the Jacobi · Gauss–Seidel · SOR simulator and watch heat spread through a plate sweep by sweep in the heat-plate lab (both in Thai).

## The condition number: how far can you trust the answer?

When equations are nearly parallel, a tiny change in the data moves the answer a lot. $x + y = 2,\ x + 1.0001y = 2.0001$ has solution $(1, 1)$, but changing the right-hand side to $2.0002$ gives $(0, 2)$. Its condition number $\kappa_\infty \approx 4\times10^4$ means 4–5 digits may be lost.

$$\frac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \kappa(A)\,\frac{\lVert\delta\mathbf b\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert}$$

## Decision table

| Your system | Use |

| 2–3 unknowns by hand | Cramer's rule or row reduction |

| Dense, moderate size, several $\mathbf b$ | LU with pivoting (numpy.linalg.solve, MATLAB A\b) |

| Symmetric positive definite | Cholesky |

| Tridiagonal | Thomas |

| Large, sparse, diagonally dominant | Gauss–Seidel or SOR |

| Very large, symmetric positive definite | Conjugate gradient + preconditioner |

## Continue in the library (in Thai)

- Numerical solution of linear systems in full: formulas N1–N26, examples and five simulators

- Systems of linear equations and Gaussian elimination by hand

- Eigenvalues: where the spectral radius comes from

- Numerical-methods exam problems with solutions

- Article: the rank of a matrix and the existence of solutions

## Frequently asked questions

What is the difference between Jacobi and Gauss–Seidel?
Jacobi computes every unknown of the new sweep from the previous sweep's values, while Gauss–Seidel uses each newly computed value immediately within the same sweep. Gauss–Seidel therefore usually converges about twice as fast and needs less memory, while Jacobi is easier to parallelise.

When should an iterative method be used instead of LU?
When the system is very large and the matrix is mostly zeros (sparse), as in heat, electric-field or finite-element simulations with tens of thousands to millions of unknowns. Iterative methods need no full matrix storage and cause no fill-in. For dense systems of moderate size, use LU with partial pivoting.

Why pivot in Gaussian elimination?
Choosing the largest entry in the column as the pivot keeps every multiplier at most 1, so round-off errors are not amplified. With a tiny pivot such as 0.0001, a machine that keeps 3 significant digits returns a completely wrong answer.

When does an iterative method converge?
If the matrix is strictly diagonally dominant, Jacobi and Gauss–Seidel are guaranteed to converge. The exact condition is that the spectral radius of the iteration matrix is less than 1, and the number of sweeps needed is roughly the number of digits wanted divided by −log₁₀ of the spectral radius.

## More articles worth reading

Linear algebra
Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It
Cramer's rule explained: replace a column by the constants and divide determinants, 2×2 and 3×3 examples, one unknown, a two-line proof, the Δ = 0…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
12 Determinant Properties That Appear on Every Exam: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) and the Traps
The 12 determinant properties used in entrance exams and engineering mathematics: row operations, det(kA) = kⁿ det A, products, inverses and the…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
Learning Matrices and Determinants: A 7-Step Roadmap from High School and Entrance Exams to Engineering Mathematics
A roadmap for matrices, determinants, rank, Cramer's rule and numerical methods: what to learn first, how far entrance exams go, what university…
25 Oct 2026Read the article →

All 7 articles in Vectors & Linear Algebra → · All articles

## FAQ

**What is the difference between Jacobi and Gauss–Seidel?**
Jacobi computes every unknown of the new sweep from the previous sweep's values, while Gauss–Seidel uses each newly computed value immediately within the same sweep. Gauss–Seidel therefore usually converges about twice as fast and needs less memory, while Jacobi is easier to parallelise.

**When should an iterative method be used instead of LU?**
When the system is very large and the matrix is mostly zeros (sparse), as in heat, electric-field or finite-element simulations with tens of thousands to millions of unknowns. Iterative methods need no full matrix storage and cause no fill-in. For dense systems of moderate size, use LU with partial pivoting.

**Why pivot in Gaussian elimination?**
Choosing the largest entry in the column as the pivot keeps every multiplier at most 1, so round-off errors are not amplified. With a tiny pivot such as 0.0001, a machine that keeps 3 significant digits returns a completely wrong answer.

**When does an iterative method converge?**
If the matrix is strictly diagonally dominant, Jacobi and Gauss–Seidel are guaranteed to converge. The exact condition is that the spectral radius of the iteration matrix is less than 1, and the number of sweeps needed is roughly the number of digits wanted divided by −log₁₀ of the spectral radius.

---

# Laplace Transform Table: The Most Commonly Used Pairs

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/laplace-transform-table/
Updated: 2026-10-16
Summary: The 15 most common Laplace transform pairs and a table of properties (time shift, frequency shift, derivative, integral, convolution, initial and final value), with tips for remembering them.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Laplace Transform Table

# Laplace Transform Table: The Most Commonly Used Pairs

A summary of the transform pairs and properties used in almost every circuit and control problem. Every pair is the unilateral Laplace transform ($t \ge 0$), with tips so you do not have to memorise the whole table.

## Table of basic transform pairs

In the table, $a$ and $\omega$ are real constants, $n$ is a positive integer, and every time function is understood to be multiplied by $u(t)$.

| # | $f(t)$, $t \ge 0$ | $F(s)$ |

| 1 | $\delta(t)$ (unit impulse) | $1$ |

| 2 | $1$ or $u(t)$ | $\dfrac{1}{s}$ |

| 3 | $t$ | $\dfrac{1}{s^2}$ |

| 4 | $t^n$ | $\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ |

| 5 | $e^{-at}$ | $\dfrac{1}{s+a}$ |

| 6 | $t\,e^{-at}$ | $\dfrac{1}{(s+a)^2}$ |

| 7 | $t^n e^{-at}$ | $\dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}}$ |

| 8 | $\sin\omega t$ | $\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$ |

| 9 | $\cos\omega t$ | $\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$ |

| 10 | $e^{-at}\sin\omega t$ | $\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$ |

| 11 | $e^{-at}\cos\omega t$ | $\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$ |

| 12 | $\sinh at$ | $\dfrac{a}{s^2-a^2}$ |

| 13 | $\cosh at$ | $\dfrac{s}{s^2-a^2}$ |

| 14 | $t\sin\omega t$ | $\dfrac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}$ |

| 15 | $t\cos\omega t$ | $\dfrac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}$ |

## Table of commonly used properties

Let $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$ and $\mathcal{L}\{g(t)\}=G(s)$.

| Property | Time domain | $s$ domain |

| Linearity | $af(t)+bg(t)$ | $aF(s)+bG(s)$ |

| Frequency shift (multiplying by an exponential) | $e^{-at}f(t)$ | $F(s+a)$ |

| Time shift (delay) | $f(t-T)\,u(t-T)$, $T>0$ | $e^{-sT}F(s)$ |

| First derivative | $f'(t)$ | $sF(s)-f(0)$ |

| Second derivative | $f''(t)$ | $s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ |

| Integral | $\displaystyle\int_0^t f(\tau)\,d\tau$ | $\dfrac{F(s)}{s}$ |

| Multiplication by $t$ | $t\,f(t)$ | $-\dfrac{dF}{ds}$ |

| Convolution | $(f*g)(t)$ | $F(s)\,G(s)$ |

| Initial value | $f(0^+)$ | $\displaystyle\lim_{s\to\infty}sF(s)$ |

| Final value | $f(\infty)$ | $\displaystyle\lim_{s\to0}sF(s)$ (when all poles of $sF$ are in the left half plane) |

## Tips for remembering the table without rote learning

- Three pairs are enough: $1/s$, $1/(s+a)$, $\omega/(s^2+\omega^2)$. The rest can be built from them.

- Seeing $(s+a)$ in place of $s$ means multiplying by $e^{-at}$ in the time domain. For example, replacing $s \to s+a$ in $\omega/(s^2+\omega^2)$ gives pair 10.

- Sine versus cosine: sine has $\omega$ in the numerator (since $\sin 0 = 0$ there is no $s$ term), while cosine has $s$ in the numerator (since $\cos 0 = 1$).

- Multiplying by $t$ means differentiating with respect to $s$ and changing the sign, for example $-\dfrac{d}{ds}\dfrac{1}{s+a}=\dfrac{1}{(s+a)^2}$ gives pair 6.

Using the tip

### Find $\mathcal{L}\{t\cos\omega t\}$ from pair 9

- Multiplying by $t$ means $-\dfrac{d}{ds}$

$$-\frac{d}{ds}\frac{s}{s^2+\omega^2} = -\frac{(s^2+\omega^2) - s(2s)}{(s^2+\omega^2)^2} = \frac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}$$

This matches pair 15 in the table ✓

## Keep learning in the library

The full lessons are in Thai, with English technical terms and the same formulas.

- The table of 22 transform pairs with regions of convergence (ROC) and a searchable formula index (in Thai)

- Proofs of every property, with an experiment lab (in Thai)

- Use the table to solve differential equations for RC, RL and RLC circuits, with an interactive solver (in Thai)

- Use this table to invert with partial fractions

## Frequently asked questions

When can the final value theorem be used?
$f(\infty)=\lim_{s\to0}sF(s)$ is valid only when all poles of $sF(s)$ lie in the left half of the $s$ plane. If there are poles on the imaginary axis or in the right half plane (for example a sine that oscillates forever) the formula gives a wrong answer.

Does this table apply for t less than 0?
No. This table is for the unilateral Laplace transform, which treats the function as zero for negative time. Every function in the table therefore has an implied factor of $u(t)$.

How do I remember the whole table?
Remember three main pairs first: $1/s$, $1/(s+a)$ and $\omega/(s^2+\omega^2)$. The rest follow from properties: multiplying by $e^{-at}$ replaces $s$ with $s+a$, and multiplying by $t$ means differentiating with respect to $s$ and changing the sign.

## More articles worth reading

Laplace
How to Find the Inverse Laplace Transform: 3 Partial-Fraction Cases with Examples
Invert the Laplace transform with partial fractions for distinct, repeated and complex poles, with checked examples and what to do when the…
16 Oct 2026Read the article →

Laplace
What Is the Laplace Transform and What Is It Used For?
The Laplace transform turns differential equations into algebraic equations. See the definition, the 3-step method, a worked y′ + 3y = 6 example…
16 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Is a Laurent Series and How Is It Different from a Taylor Series? (Explained with Pictures)
Laurent series vs Taylor series: negative powers, the principal part, the annulus of convergence, types of singularity, residues and the link to…
24 Oct 2026Read the article →

All 3 articles in Laplace Transform → · All articles

## FAQ

**When can the final value theorem be used?**
$f(\infty)=\lim_{s\to0}sF(s)$ is valid only when all poles of $sF(s)$ lie in the left half of the $s$ plane. If there are poles on the imaginary axis or in the right half plane (for example a sine that oscillates forever) the formula gives a wrong answer.

**Does this table apply for t less than 0?**
No. This table is for the unilateral Laplace transform, which treats the function as zero for negative time. Every function in the table therefore has an implied factor of $u(t)$.

**How do I remember the whole table?**
Remember three main pairs first: $1/s$, $1/(s+a)$ and $\omega/(s^2+\omega^2)$. The rest follow from properties: multiplying by $e^{-at}$ replaces $s$ with $s+a$, and multiplying by $t$ means differentiating with respect to $s$ and changing the sign.

---

# What Is a Laurent Series and How Is It Different from a Taylor Series? (Explained with Pictures)

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/laurent-series-vs-taylor-series/
Updated: 2026-10-24
Summary: Laurent series vs Taylor series: negative powers, the principal part, the annulus of convergence, types of singularity, residues and the link to the z-transform, with step-by-step examples.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Sequences & series

# What Is a Laurent Series and How Is It Different from a Taylor Series? (Explained with Pictures)

A Taylor series writes a function as an endless polynomial around a point where the function is well behaved. In engineering, though, we usually care about the points where a function blows up, such as the poles of a transfer function. A Laurent series fixes this with one idea: allow negative powers. This article compares the two series visually and ends with the reason electrical engineers use Laurent series every day, through the z-transform.

In 30 seconds

- Taylor: $\sum_{n\ge0} a_n(z-c)^n$ converges on a disc · Laurent: $\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-c)^n$ converges on an annulus

- One function can have several Laurent series, one per annulus

- The coefficient $a_{-1}$ is the residue · the z-transform is a Laurent series about 0

## Side by side

| | Taylor series | Laurent series |

| Form | $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-c)^n$ | $\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-c)^n$ |

| Region of convergence | Disc $|z - c| < R$ | Annulus $r_1 < |z - c| < r_2$ |

| Requires | f analytic at c | f analytic on the annulus (anything may happen at c) |

| Coefficients | $a_n = f^{(n)}(c)/n!$ | $a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}dz$ |

| How many per function | One per centre c | One per annulus |

| Used for | Approximation, limits, linearisation | Classifying singularities, residues, integrals, the z-transform |

## Why negative powers are needed

Try to expand $\dfrac{e^z}{z^2}$ about 0 as a Taylor series: you cannot, because $f(0)$ is undefined. But divide the series $e^z = 1 + z + \tfrac{z^2}{2} + \cdots$ by $z^2$ and the expansion appears at once:

$$\frac{e^z}{z^2} = \underbrace{\frac{1}{z^2} + \frac{1}{z}}_{\text{principal part}} + \underbrace{\frac12 + \frac{z}{6} + \frac{z^2}{24} + \cdots}_{\text{Taylor-like part}},\qquad 0 < |z| < \infty$$

The first two negative-power terms describe everything that happens near 0: the function blows up like $1/z^2$ (a pole of order 2), and the $1/z$ term has coefficient 1, which is the residue. The rest is an ordinary, harmless power series.

## One function, several series: it is all about the annulus

This is what confuses students most. $f(z) = \dfrac{1}{(z-1)(z-2)}$ has poles at 1 and 2. The circles through the poles split the plane around 0 into three regions, and each region has its own series.

Three regions about 0: (a) the disc |z| < 1 gives the Taylor series, (b) the annulus 1 < |z| < 2, (c) the outside |z| > 2.

There is one trick: split into partial fractions, $f = \dfrac{1}{z-2} - \dfrac{1}{z-1}$, and expand each with the geometric series, where a pole inside the region gives negative powers and a pole outside gives positive powers.

- (a) $|z| < 1$: $f = \tfrac12 + \tfrac34 z + \tfrac78 z^2 + \cdots$ (no negative powers = Taylor)

- (b) $1 < |z| < 2$: $f = \cdots - \tfrac{1}{z^2} - \tfrac{1}{z} - \tfrac12 - \tfrac{z}{4} - \tfrac{z^2}{8} - \cdots$ (both directions)

- (c) $|z| > 2$: $f = \tfrac{1}{z^2} + \tfrac{3}{z^3} + \tfrac{7}{z^4} + \cdots$ (negative powers only)

You can check by substitution: at $z = 1.5$ series (b) converges to $f(1.5) = -4$, but series (a) diverges there, even though f(1.5) is perfectly ordinary. Drag the test point yourself in the Laurent annulus lab (in Thai).

## Reading the type of singularity from the principal part

Removable: bounded · pole: blows up from every direction · essential: the behaviour depends on the direction of approach.

- No negative powers → removable, e.g. $\tfrac{\sin z}{z} = 1 - \tfrac{z^2}{6} + \cdots$

- Finitely many negative powers, highest m → pole of order m, e.g. $\tfrac{\sin z}{z^4} = \tfrac{1}{z^3} - \tfrac{1}{6z} + \cdots$ (order 3)

- Infinitely many negative powers → essential singularity, e.g. $e^{1/z} = 1 + \tfrac1z + \tfrac{1}{2z^2} + \cdots$

## The residue: the one number left after integration

When you integrate a Laurent series around a circle inside its annulus, every term $(z-c)^n$ gives zero except $n = -1$, which gives $2\pi i$. So $\oint f\,dz = 2\pi i\,a_{-1}$; the number $a_{-1}$ is called the residue (what remains). It is also where the “cover-up” trick for partial fractions in the inverse Laplace transform (in Thai) comes from — it is really computing the residue at each pole.

## Why electrical engineers need it: the z-transform

The z-transform of a digital signal, $X(z) = \sum x[n]z^{-n}$, is literally a Laurent series about 0. The signal x[n] is the coefficient of $z^{-n}$, and what signals-and-systems textbooks call the “ROC” is the annulus of convergence. Take $X(z) = \dfrac{z}{z - 0.5}$:

- ROC $|z| > 0.5$ (outside the pole): $X = 1 + 0.5z^{-1} + 0.25z^{-2} + \cdots$ ⇒ $x[n] = 0.5^n u[n]$, a right-sided signal

- ROC $|z| < 0.5$ (inside the pole): expand in positive powers ⇒ $x[n] = -0.5^n u[-n-1]$, a left-sided signal

Same formula, two signals, different annuli. And the system is stable when the annulus contains the unit circle, which is exactly absolute convergence, $\sum|h[n]| < \infty$. A full three-region example is in the z-transform section (in Thai).

## Summary: which one to use

- Approximating, linearising, finding limits → Taylor

- Behaviour near a pole, residues, contour integrals, inverse transforms → Laurent

- If the region of interest contains no singularity, the two are the same series

## Continue in the library (in Thai)

- Laurent series in full: annuli, singularities, residues, real integrals, the z-transform

- Taylor and Maclaurin series: tables, remainders, shortcuts

- Complex numbers, analytic functions and the residue theorem

- Engineering mathematics practice set C

## Frequently asked questions

When should I use a Laurent series instead of a Taylor series?
When you need to expand a function around a point where it is not analytic (a singularity), or on a region that has a singularity inside it, such as the annulus $1
What is the principal part?
It is the group of negative-power terms $\sum_{n\ge1} a_{-n}(z-c)^{-n}$ of a Laurent series. It describes how the function blows up near c: no principal part means a removable singularity, finitely many terms mean a pole, infinitely many mean an essential singularity.

Why does the residue matter?
The residue is the coefficient $a_{-1}$, the only term that survives integration around a closed curve. That gives the residue theorem $\oint f\,dz = 2\pi i\sum\operatorname{Res}$, used for hard real integrals, the inverse Laplace transform and the inverse z-transform.

How is the z-transform related to Laurent series?
The z-transform is defined as $X(z) = \sum x[n]z^{-n}$, which is a Laurent series about 0. The signal x[n] is the list of coefficients and the region of convergence (ROC) is the annulus of the series. The same X(z) with a different ROC gives a different signal.

## More articles worth reading

Sequences & series
How to Choose a Convergence Test: an 8-Step Flowchart with an Example at Every Step
Pick the right convergence test the first time: an 8-step flowchart (n-th term, geometric, p-series, telescoping, limit comparison, ratio, root,…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
How to Find the Radius of Convergence: 3 Methods, Endpoint Checks and the Complex-Plane Reason
Three ways to find the radius of convergence of a power series (ratio test, root test, nearest complex singularity), plus the endpoint checks for…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Do You Learn in Sequences and Series? A Roadmap from Sequences to Laurent Series
The whole sequences and series chapter on one page: what each topic answers, its key formula and typical exam questions, from sequences and…
24 Oct 2026Read the article →

All 7 articles in Sequences & Series → · All articles

## FAQ

**When should I use a Laurent series instead of a Taylor series?**
When you need to expand a function around a point where it is not analytic (a singularity), or on a region that has a singularity inside it, such as the annulus $1 < |z| < 2$ of $1/((z-1)(z-2))$. If the function is analytic on the whole disc, the Laurent series simply becomes the Taylor series.

**What is the principal part?**
It is the group of negative-power terms $\sum_{n\ge1} a_{-n}(z-c)^{-n}$ of a Laurent series. It describes how the function blows up near c: no principal part means a removable singularity, finitely many terms mean a pole, infinitely many mean an essential singularity.

**Why does the residue matter?**
The residue is the coefficient $a_{-1}$, the only term that survives integration around a closed curve. That gives the residue theorem $\oint f\,dz = 2\pi i\sum\operatorname{Res}$, used for hard real integrals, the inverse Laplace transform and the inverse z-transform.

**How is the z-transform related to Laurent series?**
The z-transform is defined as $X(z) = \sum x[n]z^{-n}$, which is a Laurent series about 0. The signal x[n] is the list of coefficients and the region of convergence (ROC) is the annulus of the series. The same X(z) with a different ROC gives a different signal.

---

# Learning to Program in the AI Era: Why Start with Python

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/learn-programming-ai-era-python/
Updated: 2026-10-25
Summary: AI writes code in any language, but if you cannot read code you cannot tell whether it is right. Why Python is the best first language, six core concepts, an RC-circuit check and a 4-week plan.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Programming & AI

# Learning to Program in the AI Era: Why Start with Python

Today you can type a request in plain Thai or English, “write a program that calculates my electricity bill,” and get runnable code in seconds. Programming languages are no longer the wall they were ten years ago. But code that runs is not code that is right. AI can use the wrong formula, mix up units or miss an edge case, and someone who cannot read code will never notice.

The 30-second summary

- The new goal of learning to program is not memorizing syntax but being able to read it, direct it and verify it

- Start with Python: it is the most readable, the main language of AI and engineering work, and runs in Google Colab right away

- Get the six core concepts solid and you can read AI-written code in almost any language

- Check AI's work with engineering knowledge, such as the time constant of an RC circuit, and write the checks into the code as assert statements

## AI took over the typing; the thinking is still yours

Programming skills now split into two groups: work AI already does well, and work that still needs human understanding. The second group matters more than ever.

| Skill | Before AI | In the AI era |

| Remembering syntax and function names | Memorize or look it up | AI handles almost all of it |

| Typing repetitive boilerplate | Write every line yourself | AI handles it |

| Translating code between languages | Must know both languages | AI handles it, but you must check |

| Breaking a problem into steps | Required | More important, because it is what you tell the AI |

| Reading and understanding code | Required | More important, because you must check AI's work |

| Testing and debugging | Required | More important |

| Domain knowledge (math, physics, circuits) | Required | Decides whether the code is right or wrong |

Think of an electrical engineer. They do not pull every cable themselves, but they must read the schematic and spot what is wrong. The programmer's role shifts the same way: from typist to designer and reviewer.

## Why Python should be your first language

Python is the most readable of the major languages, and it is the main language of AI, science and engineering work. That makes it the best fit for “read it, direct it, verify it.”

- Reads like plain language. No variable declarations, no curly braces or semicolons; indentation shows the structure. Code that is easy to read is code that is easy to check.

- The main language of AI work. GitHub's Octoverse 2025 report ↗ says Python powers nearly half of all new AI repositories.

- Covers real engineering work. NumPy and SciPy for numerical computing, Matplotlib for plots, pandas for lab data, and MicroPython for microcontrollers such as the ESP32. See NumPy/SciPy solving linear systems in the numerical methods chapter of the linear algebra lessons (in Thai).

- Start in a minute. Open Google Colab ↗ in a browser and you can write and run code with nothing to install.

- Ranked number one. The October 2026 TIOBE index puts Python first at 19.23%, well ahead of C in second at 11.33% (TechRepublic ↗).

The other side of the story: Octoverse 2025 also reports that TypeScript overtook Python in August 2025 as the language with the most contributors on GitHub. GitHub credits part of that to type systems catching errors in AI-generated code before production. The lesson for beginners is that checking AI code really matters, and Python's type hints are there to learn once you are ready.

## Six core concepts you must truly understand

Every program in every language is built from these six concepts. Master them and you can read AI-written code in almost any language.

| Concept | What it does | Python example | Question to ask of AI code |

| Variables and data types | Store values such as numbers and text | R = 4.7e3 | Are the value and unit right? Integer or float? |

| Conditions | Make decisions | if V > 5: | Are all cases covered? Should it be > or >=? |

| Loops | Repeat work | for t in times: | How many times? When does it stop? Can it loop forever? |

| Functions | Package work: inputs in, result out | def power(V, I): return V * I | What goes in, what comes out? Can it be tested on its own? |

| Data structures | Organize many pieces of data | parts = {"R": 1e3, "C": 1e-6} | How is the data stored and retrieved? |

| Testing and debugging | Prove the code is right and find faults | assert abs(tau - 0.1) < 1e-9 | Has it been tested against a case with a known answer? |

The last column is the heart of learning in the AI era: these are the questions you must answer yourself before trusting the output. The same concepts appear in PLC languages too; see one task written in five IEC 61131-3 languages (in Thai).

## Engineering example: let AI write it, then verify it yourself

AI does only one step in this loop; prompting, reading and testing are your job. The example below follows the loop step by step.

The task: an RC circuit charges from a 10 V source through R = 1 kΩ and C = 100 µF. We want a plot of the capacitor voltage from 0 to 0.5 s (review the theory in transients in DC circuits, in Thai).

-
Give a clear instruction. Any language works, but state the values, the units and the output you want.

Write Python that computes the capacitor voltage of an RC circuit charging from 10 V with R = 1 kΩ and C = 100 µF, and plot it from 0 to 0.5 seconds with labeled axes and units.

-
Read the code you get back. You should be able to explain every line.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Vs = 10 # source voltage (V)
R = 1e3 # 1 kΩ
C = 100e-6 # 100 µF
tau = R * C # time constant (s)

t = np.linspace(0, 0.5, 500)
v = Vs * (1 - np.exp(-t / tau))

plt.plot(t, v)
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("v_C (V)")
plt.grid(True)
plt.show()

-
Check it with circuit knowledge, not just by seeing that it runs. The code implements

$$v_C(t) = V_s\left(1 - e^{-t/RC}\right)$$

- Time constant τ = RC = 1000 × 0.0001 = 0.1 s

- At t = τ the voltage must be 63.2% of Vs, about 6.32 V

- At t = 5τ = 0.5 s the voltage must be nearly full, about 9.93 V

Write those checks into the code so they run again after every change.

assert abs(tau - 0.1) < 1e-9 # τ = RC = 0.1 s
assert abs(np.interp(0.1, t, v) - 6.32) < 0.01 # at t = τ expect ≈ 6.32 V

If the AI misreads µ as m and writes C = 100e-3, the code still runs with no error. But τ becomes 100 s and the plot is an almost flat line near 0 V (only about 0.05 V at 0.5 s). Anyone who knows τ should be 0.1 s catches it at once; anyone who does not ships a wrong answer. Compare the result with a real waveform on an oscilloscope in measuring the RC time constant τ (in Thai).

## A four-week starter plan, learning alongside AI

Spend 30–60 minutes a day in Google Colab and keep three rules throughout: try it yourself before asking AI, explain every line before you use it, and test against values you already know.

- Week 1: Variables, data types, input and output
Practice: an Ohm's law calculator and an electricity-bill calculator · Use AI to: explain code line by line; do not ask for whole programs yet

- Week 2: Conditions and loops
Practice: assign grades from scores, and total the resistance of several resistors · Use AI to: review code you wrote yourself and point out improvements

- Week 3: Functions and data structures
Practice: functions for series and parallel resistance; store component data in a dict · Use AI to: write the functions, while you write the assert tests yourself

- Week 4: NumPy, Matplotlib and a small project
Practice: plot an RC circuit response or data from a lab experiment · Use AI to: build the whole thing from a detailed instruction, then verify it with hand calculations

The AI's role grows from explainer to reviewer to author, while yours grows from learner to verifier.

## Traps for beginners in the AI era

The biggest risk today is ending up with a working program and no understanding to show for it.

- Copying without reading. Fast on day one, but once the code grows or breaks, you cannot fix it.

- Believing “it runs” means “it's right.” The most dangerous bugs raise no error, like the unit mistake in the example above.

- Skipping the basics for a big project. Without understanding the structure, you cannot tell the AI what to fix.

- Hopping between languages. The six concepts are the same everywhere; one language understood deeply beats several known on the surface.

- Pasting secrets into AI. Remove passwords, API keys and other people's personal data before you paste any code.

## What about other languages?

Once you understand the concepts through Python, a second language comes much faster: AI can translate the syntax, so you only need to learn what makes that language different.

| Language | Best for | Learn it next when |

| C / C++ | Firmware and microcontrollers (Arduino, ESP32, STM32) and speed-critical work, such as a PI controller in C for a converter (in Thai) | You need direct control of hardware, timing and memory |

| JavaScript / TypeScript | Websites, dashboards, browser apps | You want to build web pages or user interfaces |

| MATLAB / Simulink | Control systems (in Thai) and system simulation | Your course or workplace uses it as the standard |

| Ladder / Structured Text (IEC 61131-3) | PLCs and factory automation (English edition) | You work in industrial control |

Every language in this table still uses the same six concepts; only the notation and the environment the program runs in change.

## Conclusion

AI has not made learning to program unnecessary; it has changed what you need to learn. The focus moves from memorizing syntax to understanding logic, reading code and verifying results.

Start with Python, get the six core concepts solid, and practice checking AI's work with the math and engineering you already know. AI can write code quickly, but the person who knows whether that code is right is the one who understands both the program and the real problem.

Sources: GitHub, Octoverse 2025 (Oct 28, 2025, updated Feb 28, 2026) ↗ · TechRepublic, TIOBE Index for October 2026 (Oct 12, 2026) ↗

## Keep reading in the library

- Numerical methods for linear systems, with NumPy/SciPy/MATLAB code (in Thai)

- Circuit lab: try the RC circuit and compare it with your code's output

- PLC programming languages under IEC 61131-3 (English edition)

- Article: Gauss, LU, Jacobi or Gauss–Seidel — which should you use?

## Frequently asked questions

Do you still need to learn programming in the AI era?
Yes, but what you learn changes. AI can type the code and remember the syntax, but you still have to break the problem into steps to instruct it, read the code it returns, and test it against values you already know, because code that runs is not necessarily code that is right.

Why start learning to program with Python?
Python is the most readable of the major languages and uses indentation to show structure, so AI-written code is easy to check. It is the main language of AI, science and engineering work (NumPy, SciPy, Matplotlib), and you can start in Google Colab with nothing to install.

Which concepts should you understand before using AI to write code?
Six concepts that apply to every language: variables and data types, conditions, loops, functions, data structures, and testing and debugging. Once you understand them you can read AI-written code in almost any language.

How can you tell whether AI-generated code is correct?
Test it against cases with known answers from your own field. For an RC circuit with R = 1 kΩ and C = 100 µF the time constant must be 0.1 s, and at t = τ the voltage must be 63.2% of the source. Then write those checks into the code as assert statements.

Which language should you learn after Python?
Choose by the work: C/C++ for microcontrollers and firmware, JavaScript/TypeScript for the web, MATLAB/Simulink for control systems, and Ladder or Structured Text for PLCs. The same concepts carry over, and AI can translate the syntax for you.

## More articles worth reading

Control systems
PID Tuning: The Complete Guide from Step Test to Ziegler–Nichols, SIMC and Anti-Windup
A full PID tuning course in one article: identify the process with a step test, tune with Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC or relay, compare the…
16 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It
Cramer's rule explained: replace a column by the constants and divide determinants, 2×2 and 3×3 examples, one unknown, a two-line proof, the Δ = 0…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
12 Determinant Properties That Appear on Every Exam: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) and the Traps
The 12 determinant properties used in entrance exams and engineering mathematics: row operations, det(kA) = kⁿ det A, products, inverses and the…
25 Oct 2026Read the article →

All 1 article in Programming & AI → · All articles

## FAQ

**Do you still need to learn programming in the AI era?**
Yes, but what you learn changes. AI can type the code and remember the syntax, but you still have to break the problem into steps to instruct it, read the code it returns, and test it against values you already know, because code that runs is not necessarily code that is right.

**Why start learning to program with Python?**
Python is the most readable of the major languages and uses indentation to show structure, so AI-written code is easy to check. It is the main language of AI, science and engineering work (NumPy, SciPy, Matplotlib), and you can start in Google Colab with nothing to install.

**Which concepts should you understand before using AI to write code?**
Six concepts that apply to every language: variables and data types, conditions, loops, functions, data structures, and testing and debugging. Once you understand them you can read AI-written code in almost any language.

**How can you tell whether AI-generated code is correct?**
Test it against cases with known answers from your own field. For an RC circuit with R = 1 kΩ and C = 100 µF the time constant must be 0.1 s, and at t = τ the voltage must be 63.2% of the source. Then write those checks into the code as assert statements.

**Which language should you learn after Python?**
Choose by the work: C/C++ for microcontrollers and firmware, JavaScript/TypeScript for the web, MATLAB/Simulink for control systems, and Ladder or Structured Text for PLCs. The same concepts carry over, and AI can translate the syntax for you.

---

# Mathematical Induction Examples with Step-by-Step Solutions, Including Strong Induction

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/mathematical-induction-examples/
Updated: 2026-10-26
Summary: 14 worked proof-by-induction examples: writing the induction statement P(n), sums, divisibility, inequalities, recurrences and strong induction, with a four-step template and common mistakes.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Sequences & series

# Mathematical Induction Examples with Step-by-Step Solutions, Including Strong Induction

Mathematical induction proves statements that must hold for every natural number n. This article starts with how to write the induction statement P(n), then works through 14 examples of the kinds that appear most often in exams: summation formulas, divisibility, inequalities, recurrences and derivatives, and strong induction. Every one follows the same template, so you can see that only the algebra trick in the inductive step changes.

30-second summary

- Induction statement: write $P(n)$ as a sentence that is true or false for each n

- Base case: show $P(n_0)$ is true by evaluating the two sides separately

- Inductive step: assume $P(k)$ is true, then show $P(k+1)$ is true, visibly using the assumption

- Strong induction: assume every case up to $P(k)$ when the step needs an earlier case, and check one base case for each step you reach back

## The induction statement P(n): what to write first

Every proof by induction starts by naming the statement to be proved. $P(n)$ is a sentence about $n$ that becomes true or false once a number is put in. Writing it out in full is not a formality: you substitute $k$ and $k+1$ into it in the next steps, and most algebra mistakes come from a careless P(k+1).

| The question says | Induction statement P(n) | Starts at |

| The sum of the first n odd numbers is n² | $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ | $n = 1$ |

| $4^n - 1$ is a multiple of 3 | there is an integer $m$ with $4^n - 1 = 3m$ | $n = 1$ |

| $2^n$ eventually beats $n^2$ | $2^n > n^2$ | $n = 5$ |

| The sequence $a_1 = 1,\ a_{n+1} = 2a_n + 1$ has a closed form | $a_n = 2^n - 1$ | $n = 1$ |

- A statement, not an expression. “Let $P(n) = n^2 + n$” is not an induction statement because it has no truth value. Write “$P(n)$: $n^2 + n$ is even”.

- Build P(k+1) by replacing every n with k+1, including the last term of a sum: the last term of $1 + 3 + \cdots + (2n - 1)$ becomes $2(k+1) - 1 = 2k + 1$, and the right side becomes $(k+1)^2$.

- Write the target P(k+1) before you start the algebra. Knowing where you must end up tells you which factor to pull out or which term to add and subtract.

## A four-step template that works every time

- Define Let $P(n)$ be the statement … (write it out clearly)

- Base case Put $n = n_0$, evaluate the left and right sides separately, and show the statement holds

- Inductive hypothesis Assume $P(k)$ is true for some integer $k \ge n_0$ (write P(k) out in full, and write the target P(k+1))

- Inductive step Start from the left side of P(k+1), rearrange it to expose the part that appears in P(k), apply the hypothesis, and rearrange until you reach the right side. Conclude by the principle of mathematical induction.

## Type 1: summation formulas

Technique: split off the last term; what remains is exactly the left side of P(k).

Example 1

### Prove that $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ for every natural number $n$.

- Let $P(n)$: $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$

- Base case $n = 1$: left side $= 1$, right side $= 1^2 = 1$. True.

- Assume $1 + 3 + \cdots + (2k - 1) = k^2$. We must show $1 + 3 + \cdots + (2k + 1) = (k+1)^2$.

- $\underbrace{1 + 3 + \cdots + (2k - 1)}_{= k^2\ \text{(hypothesis)}} + (2k + 1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$ ✓

By the principle of mathematical induction, $P(n)$ is true for all $n \ge 1$. ∎

Example 2

### Prove that $1\cdot2 + 2\cdot3 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

- Base case $n = 1$: left side $= 1\cdot 2 = 2$, right side $= \dfrac{1\cdot2\cdot3}{3} = 2$. True.

- Assume it holds for $n = k$. We must show the sum up to the term $(k+1)(k+2)$ equals $\dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.

- $\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = \dfrac{(k+1)(k+2)\,(k + 3)}{3}$ (factor out $(k+1)(k+2)$ instead of expanding) ✓

True for all $n \ge 1$. Tip: always write the target first, so you know which common factor to pull out.

Example 3

### Prove that $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

- Base case $n = 1$: left side $= 1$, right side $= \dfrac{1\cdot2\cdot3}{6} = 1$. True.

- Assume $1^2 + \cdots + k^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$. Target: $1^2 + \cdots + (k+1)^2 = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.

- $\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \dfrac{(k+1)\big[k(2k+1) + 6(k+1)\big]}{6} = \dfrac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}$

- $2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3)$, so the sum equals $\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ ✓

True for all $n \ge 1$. The target told us to look for the factors $(k+2)$ and $(2k+3)$ in the bracket.

## Type 2: divisibility

Technique: write “3 divides b” as the equation $b = 3m$, then split $f(k+1)$ to expose $f(k)$.

Example 4

### Prove that $4^n - 1$ is divisible by 3 for every natural number $n$.

- Base case $n = 1$: $4 - 1 = 3 = 3\cdot1$, divisible.

- Assume $4^k - 1 = 3m$ for some integer $m$.

- $4^{k+1} - 1 = 4\cdot 4^k - 1 = 4(4^k - 1) + 3 = 4(3m) + 3 = 3(4m + 1)$, divisible by 3 ✓

True for all $n \ge 1$. The key trick: add and subtract to create $4(4^k - 1)$, which is the hypothesis.

Example 5

### Prove that $7^n - 2^n$ is divisible by 5 for every natural number $n$.

- Base case $n = 1$: $7 - 2 = 5$, divisible.

- Assume $7^k - 2^k = 5m$ for some integer $m$.

- $7^{k+1} - 2^{k+1} = 7\cdot7^k - 2\cdot2^k = 7(7^k - 2^k) + 7\cdot2^k - 2\cdot2^k = 7(5m) + 5\cdot2^k = 5(7m + 2^k)$ ✓

True for all $n \ge 1$. With two different bases, add and subtract $7\cdot2^k$ so that one bracket is exactly $f(k)$.

Example 6

### Prove that $n^3 - n$ is divisible by 6 for every natural number $n$.

- Base case $n = 1$: $1 - 1 = 0 = 6\cdot0$, divisible.

- Assume $k^3 - k = 6m$.

- $(k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = (k^3 - k) + 3k(k+1) = 6m + 3k(k+1)$

- $k(k+1)$ is a product of two consecutive integers, so it is even: $k(k+1) = 2j$. Then $3k(k+1) = 6j$ and the total is $6(m + j)$ ✓

True for all $n \ge 1$. The step needs one extra fact (consecutive integers include an even number); state it clearly instead of hiding it.

## Type 3: inequalities

Technique: use the hypothesis to produce the > sign, then finish with a helper inequality that needs a condition on k. That condition tells you where the base case must start.

Example 7

### Prove that $2^n > n^2$ for all $n \ge 5$.

- Why start at 5: $n = 2, 3, 4$ give $4 = 4,\ 8 < 9,\ 16 = 16$, which are false.

- Base case $n = 5$: $2^5 = 32 > 25$. True.

- Assume $2^k > k^2$ ($k \ge 5$): $2^{k+1} = 2\cdot 2^k > 2k^2$

- $2k^2 - (k+1)^2 = (k-1)^2 - 2 > 0$ for $k \ge 3$, so $2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2$ ✓

True for all $n \ge 5$.

Example 8

### Prove that $n! > 2^n$ for all $n \ge 4$.

- Why start at 4: $1! = 1 < 2,\ 2! = 2 < 4,\ 3! = 6 < 8$, but $4! = 24 > 16$.

- Base case $n = 4$: $24 > 16$. True.

- Assume $k! > 2^k$ ($k \ge 4$): $(k+1)! = (k+1)\cdot k! > (k+1)\cdot 2^k$

- Since $k + 1 \ge 5 > 2$: $(k+1)\cdot2^k > 2\cdot 2^k = 2^{k+1}$ ✓

True for all $n \ge 4$. This is why the terms $x^n/n!$ of the exponential series shrink so fast.

Example 9 · Bernoulli's inequality

### Prove that $(1 + x)^n \ge 1 + nx$ for every natural number $n$ and every real $x \ge -1$.

- Base case $n = 1$: $1 + x \ge 1 + x$. True.

- Assume $(1 + x)^k \ge 1 + kx$.

- Multiply both sides by $1 + x$, which is allowed without flipping the sign because $1 + x \ge 0$: $(1 + x)^{k+1} \ge (1 + x)(1 + kx) = 1 + (k+1)x + kx^2$

- $kx^2 \ge 0$, so $(1 + x)^{k+1} \ge 1 + (k+1)x$ ✓

True for all $n \ge 1$, $x \ge -1$. The condition $x \ge -1$ is used in exactly one line: multiplying an inequality by $1 + x$.

## Type 4: recurrences and nth derivatives

Technique: the definition of the sequence (or of the derivative) is the bridge from k to k+1. Guess the pattern from the first few terms, then prove it by induction.

Example 10

### $a_1 = 1,\ a_{n+1} = 2a_n + 1$. Prove that $a_n = 2^n - 1$.

- First terms: $1, 3, 7, 15, \dots$, one less than $2, 4, 8, 16$, which suggests $2^n - 1$.

- Base case $n = 1$: $a_1 = 1 = 2^1 - 1$. True.

- Assume $a_k = 2^k - 1$: $a_{k+1} = 2a_k + 1 = 2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 1$ ✓

$a_n = 2^n - 1$ for all $n \ge 1$. This is the number of moves in the Tower of Hanoi with n discs.

Example 11 · Calculus

### Prove that $\dfrac{d^n}{dx^n}\big(xe^x\big) = (x + n)e^x$ for every natural number $n$.

- Base case $n = 1$: product rule, $\dfrac{d}{dx}(xe^x) = e^x + xe^x = (x + 1)e^x$. True.

- Assume $\dfrac{d^k}{dx^k}(xe^x) = (x + k)e^x$.

- $\dfrac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}(xe^x) = \dfrac{d}{dx}\big[(x + k)e^x\big] = e^x + (x + k)e^x = (x + k + 1)e^x$ ✓

True for all $n \ge 1$. At $x = 0$ the nth derivative is $n$, which gives the Maclaurin series $xe^x = \sum_{n\ge1} \dfrac{x^n}{(n-1)!}$; see what the Taylor series is.

## Strong induction examples

In strong induction (also called complete induction) the hypothesis is that every case $P(n_0), P(n_0 + 1), \dots, P(k)$ is true, not only $P(k)$. It proves exactly the same kind of result; it simply lets the step use an earlier case. Use it when getting to $k+1$ needs $P(k-1)$, $P(k-3)$ or some smaller case you cannot name in advance.

Want more practice? See strong induction: 17 worked examples and 11 interactive proof labs (in Thai), and the recurrence solver that writes the strong-induction proof for you (in Thai).

Example 12 · Strong induction

### Prove that every integer $n \ge 2$ is a prime or a product of primes.

- Base case $n = 2$: 2 is prime. True.

- Strong hypothesis: assume every integer $j$ with $2 \le j \le k$ is a prime or a product of primes.

- Consider $k + 1$. If it is prime, we are done. If not, $k + 1 = ab$ with $2 \le a \le k$ and $2 \le b \le k$.

- By the hypothesis, $a$ and $b$ are each a prime or a product of primes, so $ab = k + 1$ is a product of primes ✓

True for all $n \ge 2$. Ordinary induction fails here: knowing about $k$ tells you nothing about the factors of $k + 1$, which can be any smaller numbers.

Example 13 · Strong induction

### Using only 3-cent and 5-cent stamps, show that every postage of $n \ge 8$ cents can be made exactly.

- Base cases (three of them): $8 = 3 + 5,\ 9 = 3 + 3 + 3,\ 10 = 5 + 5$

- Strong hypothesis: let $k \ge 10$ and assume every amount from 8 to $k$ cents can be made.

- $k + 1 = (k - 2) + 3$, and $8 \le k - 2 \le k$, so $k - 2$ can be made by the hypothesis. Add one 3-cent stamp ✓

Every amount from 8 cents up can be made (7 cents cannot). The step reaches back 3 places, so it needs 3 base cases; with only $n = 8$ checked, the step from 8 to 9 would rely on $9 - 3 = 6$, which was never shown.

Example 14 · Strong induction on a recurrence

### $a_1 = 1,\ a_2 = 5,\ a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}$ for $n \ge 3$. Prove that $a_n = 2^n + (-1)^n$.

- Base cases (two, because the recurrence uses two previous terms): $a_1 = 2 - 1 = 1$ and $a_2 = 4 + 1 = 5$. True.

- Strong hypothesis: let $k \ge 2$ and assume $a_j = 2^j + (-1)^j$ for every $j \le k$.

- $a_{k+1} = a_k + 2a_{k-1} = 2^k + (-1)^k + 2\big(2^{k-1} + (-1)^{k-1}\big) = 2^{k+1} + (-1)^{k-1}\big(-1 + 2\big)$

- $= 2^{k+1} + (-1)^{k-1} = 2^{k+1} + (-1)^{k+1}$ ✓ (check: $a_3 = 7,\ a_4 = 17,\ a_5 = 31$)

True for all $n \ge 1$. The same idea proves bounds on Fibonacci numbers and the closed forms of second-order difference equations used in digital control.

## Ordinary vs strong induction at a glance

| | Ordinary (weak) induction | Strong induction |

| Hypothesis | $P(k)$ is true | $P(n_0), \dots, P(k)$ are all true |

| Use when the step needs | only the previous case | $P(k-1)$, $P(k-2)$ or an unknown smaller case |

| Base cases | usually one | one for each step reached back (2 for $a_{k-1}$ and $a_k$, 3 for “$k - 2$ plus a 3-cent stamp”) |

| Typical questions | sums, divisibility, inequalities, simple recurrences | prime factorisation, stamps and coins, Fibonacci, two-term recurrences |

The two are equally powerful: anything provable by strong induction can be rewritten as ordinary induction on the statement “$P(n_0), \dots, P(n)$ are all true”. Choose whichever makes the step easier to write.

## Mistakes that cost marks

- Forgetting the base case: the false formula $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n^2 + n + 2}{2}$ passes the inductive step, but at $n = 1$ it gives $2 \ne 1$.

- Generalising from examples: $n^2 + n + 41$ is prime up to $n = 39$, but $n = 40$ gives $41^2$.

- Writing the equation P(k+1) and simplifying both sides to 0 = 0: that assumes what you want to prove. Start from the left side only.

- An inductive step that fails for small k: the “all horses are the same colour” puzzle breaks at the step from 1 to 2.

- Strong induction with too few base cases: if the step uses $P(k-2)$, the cases it cannot reach from below must all be checked directly, as in Example 13.

## Try these yourself

- Prove $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1$.
Hint
Split off $2^k$: $(2^k - 1) + 2^k = 2^{k+1} - 1$.

- Prove that $5^n - 1$ is divisible by 4.
Hint
$5^{k+1} - 1 = 5(5^k - 1) + 4$.

- Prove that $3^n > 2n + 1$ for all $n \ge 2$.
Hint
Base case $9 > 5$. Then $3^{k+1} > 3(2k + 1) = 6k + 3 > 2k + 3$.

- With 4-cent and 7-cent stamps, find the smallest $N$ such that every amount $n \ge N$ can be made, then prove it by strong induction.
Answer
$N = 18$ (17 cannot be made). Base cases 18 to 21 (four of them, because the step is $k + 1 = (k - 3) + 4$).

## Keep learning in the library

The full lessons are in Thai, with English technical terms and the same formulas.

- The full mathematical induction lesson: strong induction, calculus, Laplace and engineering (in Thai)

- More strong induction: 4- and 5-cent stamps, a Fibonacci bound and a bounded recurrence (in Thai)

- Induction checker: plug numbers into the inductive step and test your own summation formula (in Thai)

- Find the wrong line in five flawed proofs (in Thai)

- Sigma notation and the summation formulas proved by induction (in Thai)

- Read next: the geometric series formula and when it converges

## Frequently asked questions

How many steps does mathematical induction have?
Two main steps: the base case (show $P(n_0)$ is true) and the inductive step (assume $P(k)$ is true and show $P(k+1)$ is true). In written answers it is usually laid out in four parts: define P(n), base case, inductive hypothesis, and inductive step with the conclusion.

What is the induction statement P(n)?
It is the sentence you want to prove, written so that it becomes true or false once a value of n is put in, for example $P(n)$: $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$. It must be a statement, not an expression: “let $P(n) = n^2 + n$” is not an induction statement because it has no truth value.

What is the difference between ordinary (weak) induction and strong induction?
Ordinary induction assumes only $P(k)$ to prove $P(k+1)$. Strong induction assumes every case from $P(n_0)$ up to $P(k)$. Use strong induction when the step needs an earlier case such as $P(k-1)$ or an unknown smaller case, for example recurrences with two previous terms, prime factorisation and coin or stamp problems. Strong induction needs as many base cases as the number of steps the argument reaches back.

Must the base case always be n = 1?
No. Start at the first value where the statement is true and the inductive step keeps working. For example $2^n > n^2$ must start at $n = 5$, because it fails for $n = 2, 3, 4$.

Why does checking many values not count as a proof?
Because there are infinitely many natural numbers. For example $n^2 + n + 41$ is prime for every $n$ from 0 to 39, but at $n = 40$ it equals $1681 = 41^2$. You need an inductive step that works for every k.

Is it wrong if I prove the inductive step without using the hypothesis?
It is not logically wrong, but it means the statement could be proved directly without induction. In most exam questions, not using the hypothesis is a sign that something has gone wrong, so mark clearly the line where you use it.

## More articles worth reading

Sequences & series
What Do You Learn in Sequences and Series? A Roadmap from Sequences to Laurent Series
The whole sequences and series chapter on one page: what each topic answers, its key formula and typical exam questions, from sequences and…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
Geometric Series: Formula, Examples and How to Find the Sum
Geometric series formula for the sum of n terms and the infinite sum a₁/(1 − r) when |r| < 1, with the derivation, step-by-step examples, common…
17 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Is a Taylor Series, What Is It Used For, with Examples
What a Taylor series is, the Maclaurin series table to memorise, and 8 worked examples: approximation, expanding about other points, how many…
17 Oct 2026Read the article →

All 7 articles in Sequences & Series → · All articles

## FAQ

**How many steps does mathematical induction have?**
Two main steps: the base case (show $P(n_0)$ is true) and the inductive step (assume $P(k)$ is true and show $P(k+1)$ is true). In written answers it is usually laid out in four parts: define P(n), base case, inductive hypothesis, and inductive step with the conclusion.

**What is the induction statement P(n)?**
It is the sentence you want to prove, written so that it becomes true or false once a value of n is put in, for example $P(n)$: $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$. It must be a statement, not an expression: “let $P(n) = n^2 + n$” is not an induction statement because it has no truth value.

**What is the difference between ordinary (weak) induction and strong induction?**
Ordinary induction assumes only $P(k)$ to prove $P(k+1)$. Strong induction assumes every case from $P(n_0)$ up to $P(k)$. Use strong induction when the step needs an earlier case such as $P(k-1)$ or an unknown smaller case, for example recurrences with two previous terms, prime factorisation and coin or stamp problems. Strong induction needs as many base cases as the number of steps the argument reaches back.

**Must the base case always be n = 1?**
No. Start at the first value where the statement is true and the inductive step keeps working. For example $2^n > n^2$ must start at $n = 5$, because it fails for $n = 2, 3, 4$.

**Why does checking many values not count as a proof?**
Because there are infinitely many natural numbers. For example $n^2 + n + 41$ is prime for every $n$ from 0 to 39, but at $n = 40$ it equals $1681 = 41^2$. You need an inductive step that works for every k.

**Is it wrong if I prove the inductive step without using the hypothesis?**
It is not logically wrong, but it means the statement could be proved directly without induction. In most exam questions, not using the hypothesis is a sign that something has gone wrong, so mark clearly the line where you use it.

---

# Learning Matrices and Determinants: A 7-Step Roadmap from High School and Entrance Exams to Engineering Mathematics

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/matrix-determinant-roadmap/
Updated: 2026-10-25
Summary: A roadmap for matrices, determinants, rank, Cramer's rule and numerical methods: what to learn first, how far entrance exams go, what university adds, and a 7-day practice plan.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Linear algebra

# Learning Matrices and Determinants: A 7-Step Roadmap from High School and Entrance Exams to Engineering Mathematics

Many students feel that matrices are something they can compute but cannot see, because the topics are taught as separate formulas. This article puts everything on one path, from multiplying matrices at school to the methods circuit simulators use to solve millions of equations, and shows how far each goal needs to go.

The 30-second summary

- Every topic answers one question: how to solve $A\mathbf x = \mathbf b$, whether a solution exists, and how far it can be trusted

- Entrance exams: steps 1–3 (matrices, determinants, inverse, Cramer) · university: add steps 4–5 (row reduction, rank) · engineering: steps 6–7

- Practise with the 45 exam problems and random drill and check homework with the matrix lab (in Thai)

## Why matrices: systems of equations are everywhere

A three-mesh circuit gives three current equations, a steel roof truss gives force-balance equations at every joint, and a heat model gives one equation per point. All of them fit in one short line:

$$A\mathbf x = \mathbf b$$

Here $A$ holds the coefficients, $\mathbf x$ the unknowns and $\mathbf b$ the given values. A matrix is therefore not just a table of numbers but a language that lets you handle hundreds of equations as if they were one.

## The 7-step map

The path from school to engineering; colour shows the level: orange = entrance exam · blue = undergraduate · green = engineering practice.

| Step | Answers | Lesson (in Thai) |

| 1 Matrices | how to write a system as $A\mathbf x = \mathbf b$ and multiply | 7.1 |

| 2 Determinants | is the solution unique ($\det A \ne 0$)? | 7.2 |

| 3 Inverse · Cramer | what is the solution (small systems)? | 7.4 · 7.5 |

| 4 Row reduction | solve every case, even when $\det = 0$ | 7.3 |

| 5 Rank | one, infinitely many or no solutions? | 7.10 |

| 6 Numerical methods | solve large systems fast and accurately | 7.11 |

| 7 Eigenvalues · applications | how does the system respond (poles, modes)? | 7.6 · 7.7 |

## If your goal is a university entrance exam

- Multiply matrices fluently, and remember $AB \ne BA$ but $(AB)^T = B^TA^T$

- 2×2 and 3×3 determinants (Sarrus or cofactors)

- All determinant properties, especially $\det(kA) = k^n\det A$ and $\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1}$ — summarised in the 12 determinant properties article

- The 2×2 inverse and matrix equations $AX = B$ (multiply by $A^{-1}$ on the left)

- Cramer's rule for one unknown, and systems with a parameter ($\Delta = 0$: no solution versus infinitely many) — see the Cramer's rule article

## If you study engineering mathematics at university

- Gaussian and Gauss–Jordan elimination, used for solutions, inverses and rank

- Rank and the Rouché–Capelli theorem, “rank for every $k$” problems, the null space — see the rank of a matrix article

- Eigenvalues, eigenvectors and diagonalisation, which lead into control systems and differential equations

- Numerical methods: LU, Jacobi, Gauss–Seidel and the condition number — see the numerical methods comparison

## A 7-day practice plan (45–60 minutes a day)

- Day 1: read matrices and use the cell-by-cell product viewer

- Day 2: determinants up to the exam shortcuts; do set A, problems 1–6

- Day 3: inverse and Cramer's rule; set A, problems 7–12

- Day 4: row reduction; set A, problems 13–18

- Day 5: rank and the three-planes lab; set B, problems 1–8

- Day 6: numerical methods; set C

- Day 7: the random drill at every level until you get 10 in a row; revisit the formula codes in the solutions you missed

## Continue in the library (in Thai)

- The full 12-page linear algebra series with formula search

- 45 exam problems on matrices, determinants, rank and Cramer's rule

- Matrices in electric circuits and power systems

- Article: how to find a determinant and an inverse matrix

## Frequently asked questions

Where should I start learning matrices?
Start with size, addition, multiplication and the transpose, then 2×2 and 3×3 determinants and their properties, and only then the inverse, Cramer's rule and row reduction for solving systems. Every later topic relies on matrix multiplication and determinants.

How much matrix work do entrance exams need?
Fluent multiplication and transposes, 2×2 and 3×3 determinants, determinant properties (det(kA), det(AB), det(A⁻¹), det(adj A)), the 2×2 inverse, matrix equations, Cramer's rule and systems with a parameter. Rank and numerical methods belong to university courses.

What do engineers use matrices for?
To solve the equations of electric circuits (nodal and mesh analysis), power systems, structures and vibrations, to find the poles of control systems from eigenvalues, and to run numerical methods such as LU or Gauss–Seidel inside simulators with thousands to millions of unknowns.

Where can I practise matrix problems?
The exam-practice page in the library has 45 problems with step-by-step solutions at three levels (entrance exam, undergraduate and numerical methods) and a random problem generator that checks your answers instantly.

## More articles worth reading

Linear algebra
Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It
Cramer's rule explained: replace a column by the constants and divide determinants, 2×2 and 3×3 examples, one unknown, a two-line proof, the Δ = 0…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
12 Determinant Properties That Appear on Every Exam: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) and the Traps
The 12 determinant properties used in entrance exams and engineering mathematics: row operations, det(kA) = kⁿ det A, products, inverses and the…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
What Is the Rank of a Matrix? How to Find It and What It Tells You About a Linear System
The rank of a matrix explained visually: finding it by row reduction and by minors, using rank to decide whether Ax = b has one, infinitely many or…
25 Oct 2026Read the article →

All 7 articles in Vectors & Linear Algebra → · All articles

## FAQ

**Where should I start learning matrices?**
Start with size, addition, multiplication and the transpose, then 2×2 and 3×3 determinants and their properties, and only then the inverse, Cramer's rule and row reduction for solving systems. Every later topic relies on matrix multiplication and determinants.

**How much matrix work do entrance exams need?**
Fluent multiplication and transposes, 2×2 and 3×3 determinants, determinant properties (det(kA), det(AB), det(A⁻¹), det(adj A)), the 2×2 inverse, matrix equations, Cramer's rule and systems with a parameter. Rank and numerical methods belong to university courses.

**What do engineers use matrices for?**
To solve the equations of electric circuits (nodal and mesh analysis), power systems, structures and vibrations, to find the poles of control systems from eigenvalues, and to run numerical methods such as LU or Gauss–Seidel inside simulators with thousands to millions of unknowns.

**Where can I practise matrix problems?**
The exam-practice page in the library has 45 problems with step-by-step solutions at three levels (entrance exam, undergraduate and numerical methods) and a random problem generator that checks your answers instantly.

---

# What Is the Rank of a Matrix? How to Find It and What It Tells You About a Linear System

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/matrix-rank/
Updated: 2026-10-25
Summary: The rank of a matrix explained visually: finding it by row reduction and by minors, using rank to decide whether Ax = b has one, infinitely many or no solutions, parameter-k problems and circuit uses.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Linear algebra

# What Is the Rank of a Matrix? How to Find It and What It Tells You About a Linear System

The rank is a single number that tells you how many rows of a matrix carry genuinely new information. Once you know it, you know immediately whether a system of equations has one solution, infinitely many, or none, without solving it to the end. This article explains the meaning, two ways to compute it, and where it is used in practice.

The 30-second summary

- Rank = number of linearly independent rows (or columns) = number of pivots after row reduction to echelon form

- Two methods: row-reduce and count the non-zero rows, or find the largest non-zero minor (sub-determinant)

- $\operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b]$: no solution · equal $= n$: unique · equal $\lt n$: infinitely many

## Rank counts non-redundant information

Look at the system $x + 2y - z = 4,\ 2x + 3y + z = 9,\ 3x + 5y = 13$. The third equation is exactly the sum of the first two, so it adds nothing new. The system has three equations but only two pieces of real information. That number, 2, is the rank of the coefficient matrix.

There is also a geometric picture. Each column of the matrix is a vector, and the rank is the number of independent directions those vectors span. If they all lie on one line the rank is 1; if they all lie in one plane the rank is 2.

Columns lying on one line, in one plane, or filling 3-D space give rank 1, 2 and 3.

A fact that looks surprising but is always true: the number of independent rows equals the number of independent columns. The rank therefore can exceed neither the number of rows nor the number of columns: $\operatorname{rank}A \le \min(m, n)$.

## Method 1: row-reduce and count

Elementary row operations (swapping rows, scaling a row, adding a multiple of another row) do not change the rank, so reduce the matrix to row echelon form and count the non-zero rows.

Example

### $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

-
$$R_2 - 2R_1,\ R_3 - 3R_1:\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

-
$$R_3 - R_2:\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Two non-zero rows, so $\operatorname{rank}A = 2$

This works for every size, including non-square matrices. Type your own matrix into the step-by-step rank lab (in Thai), which shows every step with exact fractions.

## Method 2: minors (sub-determinants)

The rank is the order of the largest non-zero minor. For a square $n\times n$ matrix this gives a short rule: $\det A \ne 0 \iff \operatorname{rank}A = n$.

In the classic example $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ the determinant is $225 - 225 = 0$, so the rank is below 3, but the top-left minor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = -3 \ne 0$, so the rank is 2.

Trap $\det A = 0$ only says the rank is not full; it does not say how far it drops. The 3×3 matrix of all ones has $\det = 0$ and rank 1.

## What rank tells you about a system of equations

This is the main reason to learn rank. Compare the rank of the coefficient matrix $A$ with that of the augmented matrix $[A\mid\mathbf b]$ (the Rouché–Capelli theorem):

$$\begin{cases} \operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] & \text{no solution} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = n & \text{unique solution} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = r \lt n & \text{infinitely many, } n - r \text{ free variables} \end{cases}$$

Three equations in three unknowns are three planes; the two ranks tell you how they meet (rotate them in the 3-D three-planes lab, in Thai).

Example

### The system $x + y + z = 1,\ x + 2y + 3z = 2,\ x + 3y + az = b$

- Row-reduce the augmented matrix until the last row is

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & a - 5 & b - 3 \end{array}\right)$$

- $a \ne 5$: both ranks are 3, unique solution · $a = 5,\ b = 3$: a zero row, ranks 2 = 2, infinitely many · $a = 5,\ b \ne 3$: ranks 2 and 3, no solution

In the infinite case $(x, y, z) = (t,\ 1 - 2t,\ t)$ with $3 - 2 = 1$ free variable

## Rank problems with a parameter k

Exams love “find the rank of $A$ for every value of $k$”. Compute $\det A(k)$ and factor it; values of $k$ that keep $\det \ne 0$ give full rank, and each value that makes $\det = 0$ must be substituted and row-reduced to find the actual rank. For example

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad \det A = -(k - 1)^2(k + 2)$$

gives rank 3 for $k \ne 1, -2$, rank 1 for $k = 1$ (all rows equal) and rank 2 for $k = -2$. Slide $k$ yourself in the rank-versus-k lab (in Thai).

## Rank in engineering

- Circuits: the incidence matrix of an $n$-node circuit always has rank $n - 1$, so there are $n - 1$ independent KCL equations and $b - n + 1$ independent KVL equations (the number of meshes) — the reason nodal analysis picks one reference node.

- Control systems: a system is controllable exactly when $[B\ AB\ \cdots\ A^{n-1}B]$ has full rank $n$ (Kalman's test).

- Measured data: real data contain errors, so the numerical rank from the singular values (SVD) counts only the values above the noise level.

## Continue in the library (in Thai)

- Rank of a matrix in full: minors, null space, rank–nullity and the 3-D lab

- Systems of linear equations and Gaussian elimination

- Cramer's rule: when Δ = 0, rank decides

- Rank and linear-system exam problems with solutions

- Article: a roadmap for matrices and determinants

## Frequently asked questions

What is the rank of a matrix in simple terms?
It is the number of linearly independent rows of the matrix, which always equals the number of independent columns. After row reduction to echelon form it is simply the number of non-zero rows (the number of pivots). For a system of equations it counts the equations that are not redundant.

What is the largest possible rank of a 3×4 matrix?
3, because the rank can exceed neither the number of rows nor the number of columns: rank A ≤ min(m, n). A 3×4 matrix can have rank 0, 1, 2 or 3.

Does det A = 0 mean the rank is n − 1?
Not necessarily. det A = 0 only says the rank is less than n; it may be n − 1 or smaller. The 3×3 matrix of all ones has det = 0 and rank 1. Row-reduce to find the actual rank.

How does rank decide whether a system has solutions?
Compare rank A with rank [A|b]. If rank A is smaller, there is no solution. If they are equal and equal the number of unknowns, the solution is unique. If they are equal but smaller than the number of unknowns, there are infinitely many solutions with (unknowns − rank) free variables.

## More articles worth reading

Linear algebra
Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It
Cramer's rule explained: replace a column by the constants and divide determinants, 2×2 and 3×3 examples, one unknown, a two-line proof, the Δ = 0…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
12 Determinant Properties That Appear on Every Exam: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) and the Traps
The 12 determinant properties used in entrance exams and engineering mathematics: row operations, det(kA) = kⁿ det A, products, inverses and the…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
Learning Matrices and Determinants: A 7-Step Roadmap from High School and Entrance Exams to Engineering Mathematics
A roadmap for matrices, determinants, rank, Cramer's rule and numerical methods: what to learn first, how far entrance exams go, what university…
25 Oct 2026Read the article →

All 7 articles in Vectors & Linear Algebra → · All articles

## FAQ

**What is the rank of a matrix in simple terms?**
It is the number of linearly independent rows of the matrix, which always equals the number of independent columns. After row reduction to echelon form it is simply the number of non-zero rows (the number of pivots). For a system of equations it counts the equations that are not redundant.

**What is the largest possible rank of a 3×4 matrix?**
3, because the rank can exceed neither the number of rows nor the number of columns: rank A ≤ min(m, n). A 3×4 matrix can have rank 0, 1, 2 or 3.

**Does det A = 0 mean the rank is n − 1?**
Not necessarily. det A = 0 only says the rank is less than n; it may be n − 1 or smaller. The 3×3 matrix of all ones has det = 0 and rank 1. Row-reduce to find the actual rank.

**How does rank decide whether a system has solutions?**
Compare rank A with rank [A|b]. If rank A is smaller, there is no solution. If they are equal and equal the number of unknowns, the solution is unique. If they are equal but smaller than the number of unknowns, there are infinitely many solutions with (unknowns − rank) free variables.

---

# PID Tuning: The Complete Guide from Step Test to Ziegler–Nichols, SIMC and Anti-Windup

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/pid-tuning-guide/
Updated: 2026-10-16
Summary: A full PID tuning course in one article: identify the process with a step test, tune with Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC or relay, compare the results by simulation, then fix windup and noise.

THภาษาไทยENEnglish
// Guide · PID Academy · Control systems

# PID Tuning: The Complete Guide from Step Test to Ziegler–Nichols, SIMC and Anti-Windup

Tuning decides whether a PID loop runs quietly for ten years or rings every shift. This is the whole course in one article: how to read your controller's equation, how to measure the process, seven tuning methods with their formulas and limits, a simulated head-to-head comparison on one plant, the practical fixes that real loops need, and a troubleshooting table you can take to the plant floor. Every number is worked out and checked by simulation.

30-second summary

- Check the controller's equation first (ideal, series or parallel; seconds or minutes). The same numbers mean different things in different forms.

- One open-loop step test gives $K$, $L$, $T$. The ratio $L/T$ tells you how hard the loop is.

- Good default: SIMC with $\tau_c=L$: $K_p=\dfrac{T}{K(\tau_c+L)}$, $T_i=\min\big(T,\,4(\tau_c+L)\big)$. Ziegler–Nichols and Cohen–Coon are fast but leave thin margins.

- Real loops also need a filtered D term, anti-windup, sensible sample time and a check of valve stiction.

## 1. Decide what “well tuned” means

Tuning is choosing $K_p$, $T_i$ and $T_d$ so that the closed loop meets a specification. Before touching a number, write that specification down, because a loop cannot be best at everything at once. Four things compete:

- Setpoint tracking: rise time, overshoot and settling time after the setpoint moves.

- Disturbance rejection: how far the measurement is pushed by a load change and how fast it returns.

- Robustness: whether the loop stays well damped when the process gain, time constant or dead time drifts by 30–50%.

- Control effort: how much the valve, motor or heater moves, including noise. Excess movement wears actuators.

Aggressive tuning improves the first two and costs the last two. Most process loops are regulatory: the setpoint rarely moves and disturbances dominate, so integral action and disturbance rejection matter most. Motion-control loops are servo loops: the setpoint moves constantly and overshoot is the main enemy. If both matter, use setpoint weighting (section 13) to tune the two behaviours separately.

Rule of thumb. Start from a smooth, robust tuning and speed it up only if the process demands it. It is much easier to explain a slightly slow loop than an oscillating one.

## 2. Know the equation your controller really uses

The most common tuning mistake is entering correct numbers into the wrong form. Three forms are common.

| Form | Transfer function | Where you meet it |

| Ideal (ISA, standard) | $C(s)=K_c\left(1+\dfrac{1}{T_is}+T_ds\right)$ | Textbooks, most DCS and PLC function blocks |

| Parallel | $C(s)=K_p+\dfrac{K_i}{s}+K_ds$ | Many MATLAB/Python libraries, some drives and microcontroller code |

| Series (interacting) | $C(s)=K_c'\left(1+\dfrac{1}{T_i's}\right)(1+T_d's)$ | Older pneumatic and electronic controllers, some vendors |

Ideal and parallel convert directly: $K_p=K_c$, $K_i=K_c/T_i$, $K_d=K_cT_d$. The series form multiplies out to the ideal form with different numbers:

$$K_c=K_c'\left(1+\frac{T_d'}{T_i'}\right),\qquad T_i=T_i'+T_d',\qquad T_d=\frac{T_i'T_d'}{T_i'+T_d'}$$

When $T_d$ is small compared with $T_i$ the two forms nearly agree, but with strong derivative action they do not. Three more details change what a number means:

- Proportional band: some controllers ask for PB (%) instead of gain: $PB=100/K_c$ when input and output are both in percent of span.

- Integral units: $T_i$ may be in seconds or minutes, and some vendors use repeats per minute $=1/T_i$. A larger number then means more integral action, the opposite of $T_i$.

- Engineering units vs percent: if the controller works on percent of span, the process gain $K$ must be expressed in the same percent. A gain measured in °C per % must be divided by the span of the measurement before you use a rule.

Check before you enter. Read the manual's equation, confirm the time units, and confirm whether the output is direct or reverse acting. A reverse-acting controller on a direct-acting process turns negative feedback into positive feedback within seconds.

## 3. What P, I and D do to the response

Here is a short recap; the article “What is a PID controller?” has the longer story. With error $e=r-y$:

$$u(t)=K_p\left[e(t)+\frac{1}{T_i}\int_0^t e\,d\tau+T_d\frac{de}{dt}\right]$$

- P acts on the present error. For a process with gain $K$ and no integrator, a P-only loop settles with a permanent offset $e_{ss}=\dfrac{1}{1+KK_p}$ for a unit setpoint step.

- I acts on the accumulated error, so it removes that offset. Its price is phase lag: more integral action (smaller $T_i$) means a slower, more oscillatory loop.

- D acts on the trend. It adds phase lead and damping, but its gain grows in proportion to frequency, so it amplifies high-frequency noise.

| Raise | Rise time | Overshoot | Settling | Offset | Stability |

| $K_p$ | Shorter | Larger | Little change | Smaller | Worse |

| Integral action (smaller $T_i$) | Shorter | Larger | Longer | Removed | Worse |

| $T_d$ | Little change | Smaller | Shorter | No change | Better, up to a point |

Figure 1. P-only control of the example plant $G(s)=2e^{-2s}/(10s+1)$. The final value is $KK_p/(1+KK_p)$: 0.50, 0.75 and 0.857 for $K_p=0.5,\,1.5,\,3$, exactly as the formula predicts. At $K_p=K_u=4.25$ the loop oscillates continuously; this is the experiment behind the Ziegler–Nichols closed-loop method.

## 4. Classify the process before you tune

Every tuning rule assumes a process model. Nearly all industrial processes can be described well enough by one of two shapes:

- Self-regulating (FOPDT): “first order plus dead time”, $G(s)=\dfrac{Ke^{-Ls}}{Ts+1}$. After a step in the output the measurement settles to a new value. Temperature, flow, pressure in a vented volume, speed.

- Integrating: $G(s)=\dfrac{K'e^{-Ls}}{s}$. The measurement ramps for as long as the input is nonzero. Tank level with a pump, the position of a motor driven by velocity.

The three FOPDT numbers are the process gain $K$ (change in measurement per change in output), the dead time $L$ (also called delay or $\theta$) and the time constant $T$ (also $\tau$). Dead time is the enemy: no controller can react before the measurement moves, and every extra second of delay lowers the gain you can safely use. The ratio $L/T$ summarises how hard the loop is.

| $L/T$ | Character | What it means for tuning |

| below 0.1 | Lag-dominant | High gain is possible; integral action should be fast; derivative can help; SIMC limits $T_i$ to $4(\tau_c+L)$. |

| 0.1 to 0.5 | Balanced | The “textbook” case. PI is usually enough; PID gives modest gains. |

| 0.5 to 1 | Delay matters | Lower the gain; derivative adds little; expect slower loops. |

| above 1 | Delay-dominant | Use low gain and mostly integral action. Consider dead-time compensation (Smith predictor) or feedforward. |

The example plant used throughout this article is $K=2$ (°C per % of heater output), $L=2$ s, $T=10$ s, so $L/T=0.2$. The numbers are scaled so they are easy to follow; the method is the same for a furnace measured in minutes.

## 5. Measure the process with a step test

A step test (also called a bump test) is the single most valuable half hour you can spend on a loop. It turns guesswork into three numbers.

### Procedure

- Prepare. Put the loop in manual and wait until the measurement is steady. Make sure other loops and operators are not changing the process.

- Step the output by 5–10% of its range. The measurement change should be at least 5–10 times the noise band, but small enough to stay in the linear region and within safety limits.

- Record the measurement and the output at a sample time of about one twentieth of the expected $T$ or faster, until the measurement is flat again (about 4–5 $T$ after the dead time).

- Restore the output and, if you can, repeat in the other direction and at another operating point. A large difference tells you the process is nonlinear.

### Reading K, L and T

The process gain is $K=\Delta y/\Delta u$ in the same units the controller uses. For $L$ and $T$ there are two standard readings.

Figure 2. Simulated step test of the example plant with $\Delta u=10\%$. The tangent at the steepest point cuts the starting value at $t=L$ and the final value at $t=L+T$. The two circles mark 28.3% and 63.2% of the final change.

- Tangent (reaction-curve) method. Draw the tangent at the steepest point. $L$ is where it crosses the initial value; $T$ is the time it takes to rise from there to the final value. It is quick but sensitive to how you draw the line, particularly with noise.

- Two-point method (28.3% and 63.2%). For a first-order response with delay, $y$ reaches 28.3% of its final change at $t_{28}=L+0.333T$ and 63.2% at $t_{63}=L+T$. Subtracting gives $T=1.5\,(t_{63}-t_{28})$ and $L=t_{63}-T$. This is more repeatable than a hand-drawn tangent.

Example 1

### Reading the step test in Figure 2

The heater output is stepped by $\Delta u=10\%$. The temperature rises by $\Delta y=20\,^\circ\text{C}$. It reaches 28.3% of the change (5.7 °C) at $t_{28}=5.3$ s and 63.2% (12.6 °C) at $t_{63}=12.0$ s.

-
$$K=\frac{\Delta y}{\Delta u}=\frac{20}{10}=2\ ^\circ\text{C}/\%$$

-
$$T=1.5\,(t_{63}-t_{28})=1.5\,(12.0-5.3)=10.05\approx 10\ \text{s}$$

-
$$L=t_{63}-T=12.0-10.05=1.95\approx 2\ \text{s}$$

$K=2$, $L=2$ s, $T=10$ s, so $L/T=0.2$. The tangent construction in Figure 2 gives the same values.

### Integrating processes

If the measurement ramps instead of settling (a tank level), step the output and measure the slope after the dead time. Then $K'=\text{slope}/\Delta u$, and $L$ is the time from the step to the start of the steady ramp. The tuning rules for this case are in section 10.

## 6. Manual tuning: the procedure that always works

When you cannot run a clean step test, or you only need to refine a loop that already runs, tune by trial and error, but in a fixed order.

- Verify the loop first. Is the sensor reading sensible, does the valve move the right way, is the controller direct or reverse acting as required, is the output not already at a limit?

- Remove I and D. Set integral action off ($T_i$ at maximum) and $T_d=0$. Start with a low gain.

- Find the proportional gain. Make setpoint steps of 5–10%. Raise $K_p$ by factors of about 1.5–2 until the response begins to ring, then back off to roughly half. In practice this lands near $0.5K_u$.

- Add integral action. Begin with $T_i\approx T$ (or the time the measurement takes to reach 63% of its change). Shorten it step by step until the offset disappears in an acceptable time. Stop as soon as a slow, rolling overshoot appears.

- Add derivative only if needed. Try $T_d\approx 0.25$–$0.5\,L$, with its filter on. Increase until overshoot is acceptable and the output is not jittery.

- Test properly. Check a setpoint step and a disturbance (a load change or an output bump), at more than one operating point, and watch the controller output as well as the measurement.

| What you see | Probable cause | What to change |

| Fast ringing with short period, grows or persists | $K_p$ too high (or D too high with noise) | Lower $K_p$ by 30–50% |

| Slow rolling oscillation, period several times $T$ | Integral action too strong | Increase $T_i$ (or lower $K_i$) |

| Approaches setpoint very slowly and stops short | Gain too low, little integral action | Raise $K_p$; shorten $T_i$ |

| Large overshoot after a big setpoint change, controller output pinned at a limit | Integral windup | Enable anti-windup (section 13) |

| Output jumps wildly, measurement looks fine | D acting on noise | Filter D, lower $T_d$, or drop D |

| Sawtooth measurement with square-wave output | Valve stiction or backlash | Fix the valve (positioner); do not retune |

Manual tuning is slow for processes with long time constants, because each trial takes minutes or hours. That is when a model-based rule pays off.

## 7. Ziegler–Nichols closed-loop (ultimate gain) method

Published in 1942, this method needs no model. With $T_i$ at maximum and $T_d=0$, raise $K_p$ until the loop oscillates with constant amplitude. The gain at that point is the ultimate gain $K_u$ and the oscillation period is the ultimate period $P_u$. Then read the table.

| Controller | $K_p$ | $T_i$ | $T_d$ |

| P | $0.5K_u$ | – | – |

| PI | $0.45K_u$ | $P_u/1.2$ | – |

| PID | $0.6K_u$ | $P_u/2$ | $P_u/8$ |

| PI, Tyreus–Luyben | $K_u/3.2$ | $2.2P_u$ | – |

| PID, Tyreus–Luyben | $K_u/2.2$ | $2.2P_u$ | $P_u/6.3$ |

The classic rules aim for a quarter-amplitude decay ratio, in which each overshoot is a quarter of the previous one. That is fast but very oscillatory. The Tyreus–Luyben variant (1992) keeps $K_u$ and $P_u$ but is much gentler, and is a better default for chemical processes.

Example 2

### ZN closed-loop on the example plant

For $G(s)=2e^{-2s}/(10s+1)$, the phase reaches $-180^\circ$ at $\omega_u=0.844$ rad/s, where $|G|=0.2352$. So $K_u=1/0.2352=4.25$ and $P_u=2\pi/\omega_u=7.44$ s. (On the real plant you would find these values by experiment, as in Figure 1.)

-
$$K_p=0.6K_u=0.6\times4.25=2.55$$

-
$$T_i=\frac{P_u}{2}=3.72\ \text{s},\qquad T_d=\frac{P_u}{8}=0.93\ \text{s}$$

-
$$K_i=\frac{K_p}{T_i}=0.686\ \text{s}^{-1},\qquad K_d=K_pT_d=2.37$$

PID: $K_p=2.55$, $T_i=3.72$ s, $T_d=0.93$ s. Section 12 shows what this does to the real response: 56% overshoot.

Safety and limits. The experiment drives the process to the edge of stability. Do not run it on a boiler, reactor or anything that cannot tolerate sustained oscillation. It also needs enough phase lag: a pure first-order process with no dead time never reaches $-180^\circ$, so $K_u$ does not exist. On slow processes the test can take hours. The relay method in section 11 is a safer way to get $K_u$ and $P_u$.

## 8. Ziegler–Nichols open-loop (reaction-curve) method

The second ZN method uses the step test of section 5 instead of a stability experiment, and is safer. With $K$, $L$ and $T$ from the recording:

| Controller | $K_p$ | $T_i$ | $T_d$ |

| P | $\dfrac{T}{KL}$ | – | – |

| PI | $\dfrac{0.9\,T}{KL}$ | $3.33\,L$ | – |

| PID | $\dfrac{1.2\,T}{KL}$ | $2L$ | $0.5L$ |

Example 3

### ZN open-loop PID for $K=2,\ L=2\ \text{s},\ T=10\ \text{s}$

-
$$K_p=\frac{1.2\,T}{KL}=\frac{1.2\times10}{2\times2}=3.0$$

-
$$T_i=2L=4\ \text{s},\qquad T_d=0.5L=1\ \text{s}$$

$K_p=3.0$, $T_i=4$ s, $T_d=1$ s. Notice the formula: the gain is inversely proportional to $KL$, so a larger dead time or a larger process gain lowers the controller gain, which is exactly right.

The rule aims for quarter-amplitude decay on moderate-delay processes. It becomes poor when the dead time is very small compared with $T$ (the gain $T/(KL)$ grows without limit) or very large (the loop is then too aggressive).

## 9. Cohen–Coon

Cohen and Coon (1953) refined the step-test rules by adding terms that depend on the ratio $\tau=L/T$, so they cope better with a larger dead time than the ZN open-loop table. They still aim at quarter-amplitude decay. With $\tau=L/T$:

| Controller | $K_p$ | $T_i$ | $T_d$ |

| PI | $\dfrac{1}{K}\dfrac{T}{L}\left(0.9+\dfrac{\tau}{12}\right)$ | $L\,\dfrac{30+3\tau}{9+20\tau}$ | – |

| PID | $\dfrac{1}{K}\dfrac{T}{L}\left(\dfrac43+\dfrac{\tau}{4}\right)$ | $L\,\dfrac{32+6\tau}{13+8\tau}$ | $\dfrac{4L}{11+2\tau}$ |

Example 4

### Cohen–Coon PID for the same plant

Here $\tau=L/T=0.2$ and $T/(KL)=2.5$.

-
$$K_p=2.5\left(\tfrac43+\tfrac{0.2}{4}\right)=2.5\times1.3833=3.46$$

-
$$T_i=2\,\frac{32+1.2}{13+1.6}=4.55\ \text{s},\qquad T_d=\frac{8}{11+0.4}=0.70\ \text{s}$$

$K_p=3.46$, $T_i=4.55$ s, $T_d=0.70$ s. It is the most aggressive of the rules in this article (85% overshoot in section 12), so treat it as a starting point to be detuned.

## 10. IMC, lambda and SIMC: tune by choosing the speed

The earlier rules are fitted to a performance criterion. The internal model control (IMC) idea turns it around: decide how fast you want the closed loop to be and calculate the controller that gives exactly that. Ask for the response $\dfrac{y}{r}=\dfrac{e^{-Ls}}{\tau_cs+1}$, a first-order response with the unavoidable dead time. Approximating the delay as $e^{-Ls}\approx1-Ls$, the controller for a FOPDT process is a PI controller:

$$K_p=\frac{T}{K(\tau_c+L)},\qquad T_i=T \qquad\text{(IMC / lambda, with }\lambda=\tau_c\text{)}$$

Skogestad's SIMC rule (2003) modifies one number. For lag-dominant processes $T_i=T$ makes the loop slow to recover from a load disturbance, so SIMC caps it:

$$T_i=\min\big(T,\ 4(\tau_c+L)\big)$$

The single tuning knob $\tau_c$ is the desired closed-loop time constant. A practical recommendation is $\tau_c=L$: about as fast as the dead time allows. Larger values give smoother, more robust loops; values below $L$ buy little speed and cost a lot of robustness.

Example 5

### SIMC PI for $K=2,\ L=2\ \text{s},\ T=10\ \text{s}$

- With $\tau_c=L=2$ s:
$$K_p=\frac{10}{2\,(2+2)}=1.25,\qquad T_i=\min(10,\ 4\times4)=10\ \text{s}$$

- With $\tau_c=2L=4$ s (smoother):
$$K_p=\frac{10}{2\,(4+2)}=0.833,\qquad T_i=\min(10,\ 24)=10\ \text{s}$$

$K_p=1.25$, $T_i=10$ s for the tight setting; $K_p=0.83$, $T_i=10$ s for the smooth one. Computed exactly, the first has a gain margin of 3.14 and a phase margin of 61°.

### Other process shapes

- Integrating process $K'e^{-Ls}/s$ (tank level): $K_p=\dfrac{1}{K'(\tau_c+L)}$, $T_i=4(\tau_c+L)$.

- Second-order plus delay $\dfrac{Ke^{-Ls}}{(T_1s+1)(T_2s+1)}$: use the series form $K_c=\dfrac{T_1}{K(\tau_c+L)}$, $T_i=\min\big(T_1,4(\tau_c+L)\big)$, $T_d=T_2$ (convert to ideal form with the formulas of section 2).

- Lambda tuning is the same PI rule with $T_i=T$ always. It is popular in the paper and chemical industries because a large $\lambda$ gives smooth, non-interacting loops.

Because the response is specified rather than discovered, SIMC and lambda tuning fit well into a procedure: a model, a speed, a controller. That is why they are a good default.

## 11. Relay auto-tuning

The relay experiment of Åström and Hägglund (1984) finds $K_u$ and $P_u$ without taking the loop to the edge of stability. Replace the controller with a relay that switches the output between $u_0+d$ and $u_0-d$. Most processes then settle into a steady oscillation whose amplitude is limited by $d$. If the measurement oscillates with amplitude $a$, the describing-function approximation gives

$$K_u\approx\frac{4d}{\pi a},\qquad P_u=\text{measured period of the oscillation}$$

Then you apply the Ziegler–Nichols or Tyreus–Luyben table of section 7. This is how most commercial “auto-tune” buttons work.

Example 6

### Auto-tune of an oven

A relay of $d=5\%$ makes the oven temperature oscillate with amplitude $a=1.2\,^\circ\text{C}$ and period $P_u=7.5$ s.

-
$$K_u=\frac{4d}{\pi a}=\frac{4\times5}{\pi\times1.2}=5.31\ \%/^\circ\text{C}$$

- Tyreus–Luyben PI:
$$K_p=\frac{K_u}{3.2}=1.66,\qquad T_i=2.2P_u=16.5\ \text{s}$$

PI: $K_p=1.66\ \%/^\circ\text{C}$, $T_i=16.5$ s.

Practical points: use some hysteresis on the relay so measurement noise does not cause false switching; choose $d$ small enough that the oscillation is harmless but large enough to be clear of noise; and keep in mind that the approximation assumes the process filters out the harmonics of the square wave, which is true for most lag-type processes.

## 12. Head-to-head: the same plant, many rules

Each rule was applied to the plant $2e^{-2s}/(10s+1)$ and simulated: a unit setpoint step at $t=0$, then a load step of $-0.5$ at the process input at $t=70$ s. The D term acts on the measurement with a filter $T_d/10$. “Settling” is the time after which the response stays within 2%; IAE is the integrated absolute error (smaller is better), measured separately for the setpoint step and the load step.

| Rule | $K_p$ | $T_i$ (s) | $T_d$ (s) | Overshoot | Settling (s) | IAE setpoint | IAE load | Gain margin | Phase margin |

| ZN closed-loop PID | 2.55 | 3.72 | 0.93 | 56% | 19.1 | 5.50 | 0.90 | 1.63 | 40° |

| ZN closed-loop PI | 1.91 | 6.20 | – | 44% | 20.8 | 5.40 | 1.62 | 1.92 | 36° |

| ZN open-loop PID | 3.00 | 4.00 | 1.00 | 64% | 19.6 | 5.33 | 0.79 | 1.33 | 39° |

| Cohen–Coon PID | 3.46 | 4.55 | 0.70 | 85% | 24.2 | 6.08 | 0.79 | 1.31 | 27° |

| Tyreus–Luyben PI | 1.33 | 16.4 | – | 0% | 40.2 | 6.08 | 6.05 | 3.06 | 69° |

| Tyreus–Luyben PID | 1.93 | 16.4 | 1.18 | 0% | 13.7 | 4.22 | 4.16 | 1.76 | 75° |

| SIMC PI, $\tau_c=L$ | 1.25 | 10.0 | – | 4% | 12.1 | 4.34 | 3.99 | 3.14 | 61° |

| SIMC PI, $\tau_c=2L$ | 0.83 | 10.0 | – | 0% | 15.7 | 5.99 | 5.99 | 4.71 | 71° |

Figure 3. Closed-loop response of four of the rules on the same plant. The setpoint step is at $t=0$, the load disturbance at $t=70$ s. The orange and purple curves (ZN and Cohen–Coon) are fast but overshoot heavily; the blue and green curves (SIMC) are smooth.

### What the numbers say

- The ZN and Cohen–Coon PID rules reject the load four to five times better (IAE 0.8–0.9 versus 4.0 for SIMC) but overshoot by 56–85% and run with gain margins of 1.3–1.6, so a 30–60% rise in process gain would push them toward instability.

- The load-rejection difference is explained by one number, $K_i=K_p/T_i$. For a response with little overshoot, the area under the error after a load step of size $\Delta d$ is $\text{IAE}\approx\Delta d/K_i$. For SIMC: $K_i=1.25/10=0.125$ so $0.5/0.125=4.0$, matching the simulated 3.99. For ZN PID $K_i=0.686$, predicting 0.73 (the simulated 0.90 is higher because that response oscillates).

- SIMC with $\tau_c=L$ is the best all-rounder here: the fastest settling of every row (12.1 s), a setpoint error area (4.34) close to the best (4.22 for Tyreus–Luyben PID), only 4% overshoot, and a gain margin above 3. Its price is slower disturbance recovery, which you can buy back by choosing a smaller $T_i$ if the margins allow.

- Tyreus–Luyben PI is very slow on this plant because $T_i=16.4$ s exceeds the process time constant; adding D (the PID row) helps the setpoint response but narrows the gain margin to 1.76.

| Situation | Reasonable choice |

| You have a step test and want a smooth, safe loop | SIMC with $\tau_c=L$ (or $2L$ if the process varies) |

| You can only run experiments on the closed loop | Relay test, then Tyreus–Luyben (or ZN detuned) |

| Load disturbances dominate and some overshoot is acceptable | ZN open-loop, then detune $K_p$ by 20–30% |

| Level of a buffer tank | Integrating-process SIMC with a large $\tau_c$, or P-only/low-gain PI |

| Very long dead time ($L/T>1$) | Low-gain PI, then consider Smith predictor or feedforward |

| Process is nonlinear or varies | Tune at the worst operating point; use gain scheduling for the rest |

These results are for one plant. Different $L/T$ values change the picture, which is why you should always check a new tuning by simulation or a careful field test.

## 13. Practical fixes every real loop needs

### Filter the derivative and keep it off the setpoint

A pure derivative has infinite gain at high frequency. Use a first-order filter:

$$D(s)=\frac{K_pT_ds}{1+\dfrac{T_d}{N}s},\qquad N\approx 5\text{ to }20$$

so the high-frequency gain is limited to $K_pN$. Also apply the derivative to the measurement $y$, not the error $e$: a setpoint step then does not cause a huge “derivative kick” on the output. Most commercial controllers do this by default; check yours. If the signal is noisy, a first-order low-pass filter on the measurement is a better cure than a lower $N$.

### Setpoint weighting (two degrees of freedom)

The same $K_p$ that rejects disturbances makes the setpoint response overshoot. Weighting the proportional term of the setpoint, $u=K_p(b\,r-y)+\dots$ with $0If the actuator saturates (valve fully open, heater at 100%) while an error remains, the integral keeps growing. When the error finally reverses, the integral takes a long time to unwind and the measurement overshoots. Two common remedies:

- Clamping (conditional integration): stop integrating while the output is saturated and the error would push it further.

- Back-calculation: feed the saturation difference back into the integrator, $\dot I=K_ie+\dfrac{u_{sat}-u}{T_t}$. A common choice is $T_t\approx T_i$ for PI and $T_t=\sqrt{T_iT_d}$ for PID.

Figure 4. The same SIMC PI controller ($K_p=1.25$, $T_i=10$ s) with the actuator limited to $0\le u\le1$ and a setpoint step to 1.6. Without anti-windup the measurement overshoots by 19% and needs 57 s to settle; with back-calculation ($T_t=T_i$) the overshoot is 0.5% and it settles in 17.5 s.

### Bumpless transfer

When switching from manual to auto (or changing a setpoint source), initialise the integrator so that the output starts from its present value. Otherwise the output jumps and the process is bumped.

### Sample time

Digital controllers sample the measurement every $T_s$. As a rule of thumb, take $T_s$ at most one tenth of the time constant $T$, and no more than about half the dead time when $L$ is small. A zero-order hold also adds about $T_s/2$ of delay, so tune with $L_{eff}=L+T_s/2$. The lesson on digital control covers this in detail.

### When the hardware is the problem

- Stiction and backlash: a sticky valve sticks, then jumps. The result is a limit cycle (sawtooth measurement, square-wave output) that gets worse as you add integral action. Fix the valve or add a positioner; do not retune around it.

- Dead band and resolution: a coarse output (a few percent steps) or low-resolution input forces the loop to hunt. Reduce integral action or add a dead band in the controller.

- Nonlinearity: valve characteristics, pH curves and furnace gains change with the operating point. Tune at the most difficult point, or schedule the gain with the operating point.

- Saturation of your own range: if the output is saturated most of the time, no tuning will help; the loop is mis-sized.

## 14. Typical loop types and where to begin

Use these as qualitative starting points, then refine with a step test; plants differ widely.

| Loop | Typical character | Usual controller | Notes |

| Flow | Fast, small dead time, noisy signal | PI, low gain, no D | Filter the measurement; the valve is often the slowest element. |

| Pressure (gas) | Fast, often nearly integrating | PI, sometimes PID | Fast loops need fast sampling. |

| Level (buffer tank) | Integrating | P or low-gain PI | Averaging level control passes flow changes smoothly to the next unit; do not tune it tight. |

| Temperature | Slow, significant dead time | PI or PID | Large $T$ rewards D; large $L$ rewards patience. |

| Speed (motor) | Lag-dominant, fast | PI | Often inside a current loop; tune inner loops first. |

| Position | Integrating | P, PD or PID | Friction can need a little integral action and anti-windup. |

| pH, composition | Strongly nonlinear, long delay | PI with gain scheduling | Tune where the slope is steepest, then schedule. |

For cascade loops (temperature outer, flow or valve position inner) always tune the inner loop first and make it several times faster than the outer loop.

## 15. How to judge a tuning

Judge the loop with numbers, not by how the trend “feels”.

- Time-domain: overshoot, settling time (±2% or ±5%), peak deviation after a load step, and recovery time.

- Error integrals: IAE $=\int|e|\,dt$, ISE $=\int e^2dt$, ITAE $=\int t|e|\,dt$. Compare tunings on the same test; the lower the better. IAE for a load step is about $\Delta d/K_i$.

- Robustness: gain margin at least 2 (6 dB), phase margin 45–60° and peak sensitivity $M_s$ of 1.4–2. In the comparison table above, only the two SIMC rows and Tyreus–Luyben PI have both a gain margin above 2 and a phase margin above 45°.

- Control effort: look at the standard deviation or total variation of the output. Noise amplified by D shows up here first.

Quick robustness test in the field. Increase $K_p$ by 50% and run a setpoint step. If the loop stays stable and reasonably damped, you have real margin; if it rings badly, back the gain off. (On the example plant the ZN PID has a gain margin of only 1.63, so a 50% increase would leave it on the edge of instability.)

## 16. Troubleshooting guide

| Symptom | Check | Action |

| Loop runs away immediately after switching to auto | Direct/reverse action, sensor scaling, setpoint source | Fix action and scaling; initialise for bumpless transfer |

| Steady oscillation with period near $P_u$ | Is $K_p$ near $K_u$? | Halve $K_p$; verify with a 50% gain test |

| Slow oscillation, a few times $T$ | $T_i$ too small for the dead time | Double $T_i$ (or lower $K_p$ and $T_i$ together) |

| Never reaches setpoint, sits short | No integral action, or output clamped | Enable I; check output limits and mode |

| Reaches setpoint but crawls the last few percent | $T_i$ much too long | Shorten $T_i$ toward $T$ |

| Overshoots only after large moves | Windup | Anti-windup; limit the setpoint rate |

| Output noisy, valve chatters | D on noise, unfiltered measurement | Filter the measurement and D; lower $K_pN$ |

| Good at one load, bad at another | Nonlinear process | Tune at the hardest point or schedule the gain |

| Limit cycle that gets worse with more I | Valve stiction | Repair or add a positioner |

## 17. A repeatable tuning workflow

- Write the specification: tracking or regulation, allowed overshoot, allowed actuator movement.

- Check the hardware and the equation: sensor, valve, direct/reverse, form of the PID block, time units.

- Run a step test (section 5) and read $K$, $L$, $T$; compute $L/T$.

- Choose the rule: SIMC $\tau_c=L$ by default; a relay test if you cannot open the loop; Ziegler–Nichols only as a first guess.

- Convert to the controller's form and units (section 2).

- Add the practical items: D filter, anti-windup, output limits, sample time.

- Test a setpoint step, a disturbance and a 50% gain increase at the relevant operating points.

- Refine and document the final values, the date and the test results, so the next engineer does not start from zero.

## 18. Practice problems

Try each one on paper, then open the answer.

Problem 1

### Form conversion

A series-form controller has $K_c'=2$, $T_i'=10$ s, $T_d'=2$ s. Find the ideal-form values.

Show the answer

$$K_c=2\left(1+\frac{2}{10}\right)=2.4,\qquad T_i=10+2=12\ \text{s},\qquad T_d=\frac{10\times2}{12}=1.67\ \text{s}$$

Problem 2

### Ziegler–Nichols from an experiment

A closed-loop test gives $K_u=6$ and $P_u=4$ s. Find the ZN PID values and the parallel-form gains $K_i$ and $K_d$.

Show the answer

$$K_p=0.6\times6=3.6,\quad T_i=\frac{4}{2}=2\ \text{s},\quad T_d=\frac{4}{8}=0.5\ \text{s},\quad K_i=\frac{3.6}{2}=1.8\ \text{s}^{-1},\quad K_d=3.6\times0.5=1.8\ \text{s}$$

Problem 3

### SIMC for a delay-heavy process

A step test gives $K=0.5$, $L=3$ s, $T=12$ s. Find the SIMC PI values with $\tau_c=L$. What is $L/T$?

Show the answer

$$K_p=\frac{12}{0.5\,(3+3)}=4,\qquad T_i=\min(12,\ 4\times6)=12\ \text{s},\qquad \frac{L}{T}=0.25$$

Problem 4

### Estimating disturbance rejection

A PI loop has $K_p=2$ and $T_i=8$ s, with little overshoot. A load disturbance of 0.4 (in controller-output units) arrives. Estimate the IAE. How does it change if $T_i$ is halved?

Show the answer

$$K_i=\frac{2}{8}=0.25,\qquad \text{IAE}\approx\frac{0.4}{0.25}=1.6;\qquad T_i=4\Rightarrow K_i=0.5,\ \text{IAE}\approx0.8$$

Halving $T_i$ halves the error area, but it also lowers the margins, so check the response.

## Keep learning in the library

The full lessons are in Thai, with English technical terms and the same formulas; the interactive labs run in the browser.

- The PID controller: structure, effects and a simulation lab (in Thai)

- PID tuning: Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC, relay and a try-it lab (in Thai)

- Gain and phase margins, the robustness numbers used here (in Thai)

- Time response: rise time, overshoot, settling time (in Thai)

- Digital control and choosing the sample time (in Thai)

- Analog I/O, PID blocks and VFDs in a PLC (English)

- Short article: what is a PID controller?

## Frequently asked questions

What is the fastest reliable way to tune a PID loop?
Run one open-loop step test, read the gain K, dead time L and time constant T from the recording, then apply the SIMC rule $K_p=T/(K(\tau_c+L))$, $T_i=\min(T,4(\tau_c+L))$ with $\tau_c=L$. It needs one experiment, has one knob, and gives a smooth response with a gain margin near 3.

Should I use Ziegler–Nichols?
Use it as a starting point when you have nothing else, and expect 40–80% overshoot and thin stability margins, because it was designed for a quarter-amplitude decay ratio. Most engineers detune it (lower $K_p$, larger $T_i$) or use SIMC or Tyreus–Luyben instead.

Do I always need the D term?
No. Most industrial loops run PI. Derivative action helps lag-dominant processes with clean measurements (temperature, some position and speed loops) and is of little use when dead time dominates or the signal is noisy. If you use it, always filter it.

How do I choose the integral time $T_i$?
For a self-regulating process a good first value is $T_i\approx T$ (the process time constant), limited to $4(\tau_c+L)$ when that is smaller. A $T_i$ that is too short gives slow, rolling oscillation; too long leaves the error hanging around. The load-disturbance error area is about $\Delta d/K_i$ with $K_i=K_p/T_i$.

What sample time should the controller use?
Roughly one tenth of the process time constant or smaller, and no more than about half the dead time when the dead time is small. Sampling adds about $T_s/2$ of extra delay, so slow sampling forces lower gains.

Why does my loop oscillate even with small gains?
Suspect the hardware first: valve stiction, backlash or a dead band produces a limit cycle that no gain setting removes, and a noisy or badly filtered measurement can do the same. Look at the controller output: a sawtooth in the measurement with a square-wave output is the classic sign of stiction.

What is integral windup and how do I stop it?
Windup is the integral term growing while the actuator is saturated, which causes large overshoot afterwards. Stop it with anti-windup: clamp the integrator, or use back-calculation $\dot I=K_ie+(u_{sat}-u)/T_t$. In the simulation in this guide, back-calculation cut the overshoot from 19% to 0.5%.

How can I tell whether a tuning is robust enough?
Aim for a gain margin of at least 2, a phase margin of 45–60° and a peak sensitivity $M_s$ of 1.4–2. A quick field check is to raise $K_p$ by 50% (or let the process gain double) and confirm that the response stays damped.

## More articles worth reading

Control systems
What Is a PID Controller? How Kp, Ki and Kd Work and How to Tune Them
A PID controller adds proportional, integral and derivative action on the error. See what Kp, Ki and Kd do, the step-response table, a…
16 Oct 2026Read the article →

Python · AI
Learning to Program in the AI Era: Why Start with Python
AI writes code in any language, but if you cannot read code you cannot tell whether it is right. Why Python is the best first language, six core…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It
Cramer's rule explained: replace a column by the constants and divide determinants, 2×2 and 3×3 examples, one unknown, a two-line proof, the Δ = 0…
25 Oct 2026Read the article →

All 2 articles in Control Systems & PID → · All articles

## FAQ

**What is the fastest reliable way to tune a PID loop?**
Run one open-loop step test, read the gain K, dead time L and time constant T from the recording, then apply the SIMC rule $K_p=T/(K(\tau_c+L))$, $T_i=\min(T,4(\tau_c+L))$ with $\tau_c=L$. It needs one experiment, has one knob, and gives a smooth response with a gain margin near 3.

**Should I use Ziegler–Nichols?**
Use it as a starting point when you have nothing else, and expect 40–80% overshoot and thin stability margins, because it was designed for a quarter-amplitude decay ratio. Most engineers detune it (lower $K_p$, larger $T_i$) or use SIMC or Tyreus–Luyben instead.

**Do I always need the D term?**
No. Most industrial loops run PI. Derivative action helps lag-dominant processes with clean measurements (temperature, some position and speed loops) and is of little use when dead time dominates or the signal is noisy. If you use it, always filter it.

**How do I choose the integral time \(T_i\)?**
For a self-regulating process a good first value is $T_i\approx T$ (the process time constant), limited to $4(\tau_c+L)$ when that is smaller. A $T_i$ that is too short gives slow, rolling oscillation; too long leaves the error hanging around. The load-disturbance error area is about $\Delta d/K_i$ with $K_i=K_p/T_i$.

**What sample time should the controller use?**
Roughly one tenth of the process time constant or smaller, and no more than about half the dead time when the dead time is small. Sampling adds about $T_s/2$ of extra delay, so slow sampling forces lower gains.

**Why does my loop oscillate even with small gains?**
Suspect the hardware first: valve stiction, backlash or a dead band produces a limit cycle that no gain setting removes, and a noisy or badly filtered measurement can do the same. Look at the controller output: a sawtooth in the measurement with a square-wave output is the classic sign of stiction.

**What is integral windup and how do I stop it?**
Windup is the integral term growing while the actuator is saturated, which causes large overshoot afterwards. Stop it with anti-windup: clamp the integrator, or use back-calculation $\dot I=K_ie+(u_{sat}-u)/T_t$. In the simulation in this guide, back-calculation cut the overshoot from 19% to 0.5%.

**How can I tell whether a tuning is robust enough?**
Aim for a gain margin of at least 2, a phase margin of 45–60° and a peak sensitivity $M_s$ of 1.4–2. A quick field check is to raise $K_p$ by 50% (or let the process gain double) and confirm that the response stays damped.

---

# How to Calculate the Size of a Power Factor Correction Capacitor (kvar) with an Example

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/power-factor-correction-capacitor-calculation/
Updated: 2026-10-16
Summary: The formula Qc = P(tan φ1 − tan φ2) with a 100 kW, 400 V load corrected from PF 0.75 to 0.95 giving 55.3 kvar, microfarads per phase, a multiplier table and cautions about harmonics.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Power Factor Correction

# How to Calculate the Size of a Power Factor Correction Capacitor (kvar) with an Example

Correcting the PF means installing capacitors that supply the reactive power (kvar) to inductive loads, instead of drawing it from the grid. The size you need follows from a single formula and can be checked with the power triangle.

30-second summary

- $Q_c=P\,(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2)$, where $\varphi_1$ is the angle before correction and $\varphi_2$ the target angle

- Real power P does not change; what falls is Q and S, so the current falls

- Choose the nearest standard size, and check harmonics before installing

## Where the formula comes from

From the power triangle, $Q=P\tan\varphi$. Before correction the load has $Q_1=P\tan\varphi_1$; after correction we want $Q_2=P\tan\varphi_2$. The capacitor must supply the difference.

$$Q_c=Q_1-Q_2=P\,(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2),\qquad \varphi=\cos^{-1}(\text{PF})$$

Then find the capacitance per phase from $Q_c=3\,\omega C V^2$ for a delta connection, where $V$ is the line voltage and $\omega=2\pi f$.

## Example: a 100 kW, 400 V three-phase load, PF 0.75 → 0.95

- Find the angles and tangents before and after

$$\tan\varphi_1=\tan\!\big(\cos^{-1}0.75\big)=0.8819,\qquad \tan\varphi_2=\tan\!\big(\cos^{-1}0.95\big)=0.3287$$

- The reactive power to compensate

$$Q_c=100\times(0.8819-0.3287)\approx55.3\ \text{kvar}$$

- Line current before and after correction ($I=\dfrac{P}{\sqrt{3}\,V\,\text{PF}}$)

$$I_1=\frac{100000}{\sqrt{3}\,(400)(0.75)}\approx192.5\ \text{A},\qquad I_2=\frac{100000}{\sqrt{3}\,(400)(0.95)}\approx151.9\ \text{A}$$

- Capacitance per phase for a delta connection at 50 Hz

$$C=\frac{Q_c}{3\,\omega V^2}=\frac{55323}{3\,(2\pi\cdot50)(400)^2}\approx367\ \mu\text{F}$$

About 55.3 kvar of capacitors is needed. Choose the next standard size up, for example 60 kvar in several switched steps. The line current falls from 192.5 A to 151.9 A (about 21 % lower). If connected in wye, the capacitance per phase would be three times larger, about 1,101 µF.

## Multiplier table: Qc = P × k for a target PF of 0.95

Multiply the real power in kW by $k=\tan\varphi_1-\tan\varphi_2$ to get kvar directly.

| Original PF | $k$ | Example P = 100 kW |

| 0.70 | 0.692 | 69.2 kvar |

| 0.75 | 0.553 | 55.3 kvar |

| 0.80 | 0.421 | 42.1 kvar |

| 0.85 | 0.291 | 29.1 kvar |

| 0.90 | 0.156 | 15.6 kvar |

## Cautions before installing

- Use the measured P, not the motor nameplate power, because at light load the PF is lower and P is below the rating.

- Do not over-correct. If the capacitor is larger than the load's Q at light load, you get a leading PF and a higher voltage. Use an automatic bank that switches in steps.

- Harmonics: resonance between the capacitors and the system inductance can amplify harmonic currents. Measure THD, and choose a detuned type with reactors when there are many electronic loads.

- Voltage rating: choose capacitors with a voltage rating comfortably above the system voltage, as the manufacturer recommends.

## Keep learning in the library

The full lessons are in Thai, with English technical terms and the same formulas.

- Power factor correction: the complete capacitor calculation (in Thai)

- Automatic capacitor banks and detuned reactors (in Thai)

- kvar penalties on the electricity bill and whether it pays off (in Thai)

- Simulator: add a capacitor bank and watch the current fall (in Thai)

- Read first: what is power factor?

## Frequently asked questions

What power factor should I correct to?
A common target is 0.95 or above, because it allows for light-load periods when a motor's PF drops, and it stops short of 1.0, which needs a lot more capacitance for only a small further reduction in current. An automatic installation that switches steps with the load prevents over-compensation into a leading PF.

Should capacitors be connected in delta or wye?
For the same kvar, a delta connection needs one third of the capacitance per phase of a wye connection (because the voltage across each unit is $\sqrt{3}$ times higher). Low-voltage capacitor banks are usually connected in delta.

What should I watch for after installing capacitors?
If the system has a lot of harmonics, the capacitors may resonate with the transformer inductance and amplify harmonic currents. Measure THD before installing, and use a capacitor bank in series with reactors (detuned) when necessary.

Which part of the electricity bill do capacitors reduce?
They reduce the PF penalty on the bill under the utility's criteria, and they reduce current in cables and transformers, which lowers losses. They do not reduce the kWh the load actually uses.

## More articles worth reading

Power factor
What Is Power Factor? The cos φ Formula and the Relationship between kW, kVA and kvar
Power factor is the ratio of real power to apparent power. See the P Q S power triangle, a worked current calculation at PF 0.8 versus 1.0, lagging…
16 Oct 2026Read the article →

Motors · research
How Many Seconds Should a Star–Delta Timer Be Set To? Numerical Experiments on a Squirrel-Cage Induction Motor: Changeover Time, Dead Time, Current and Energy
How many seconds for a star–delta timer? Research simulating a 7.5 kW squirrel-cage motor: t = c·τm, a c table by load, dead time, KM3 phase order,…
19 Oct 2026Read the article →

3-phase motors
3-Phase Motor Delta (Δ) Connection: Remember U1–W2, V1–U2, W1–V2 and Choose from the Nameplate
How to connect a 3-phase motor in delta: links U1-W2, V1-U2, W1-V2, what U1 V1 W1 U2 V2 W2 mean and which wire colours go where, line vs phase…
17 Oct 2026Read the article →

All 4 articles in Power Systems & Motors → · All articles

## FAQ

**What power factor should I correct to?**
A common target is 0.95 or above, because it allows for light-load periods when a motor's PF drops, and it stops short of 1.0, which needs a lot more capacitance for only a small further reduction in current. An automatic installation that switches steps with the load prevents over-compensation into a leading PF.

**Should capacitors be connected in delta or wye?**
For the same kvar, a delta connection needs one third of the capacitance per phase of a wye connection (because the voltage across each unit is $\sqrt{3}$ times higher). Low-voltage capacitor banks are usually connected in delta.

**What should I watch for after installing capacitors?**
If the system has a lot of harmonics, the capacitors may resonate with the transformer inductance and amplify harmonic currents. Measure THD before installing, and use a capacitor bank in series with reactors (detuned) when necessary.

**Which part of the electricity bill do capacitors reduce?**
They reduce the PF penalty on the bill under the utility's criteria, and they reduce current in cables and transformers, which lowers losses. They do not reduce the kWh the load actually uses.

---

# What Is Power Factor? The cos φ Formula and the Relationship between kW, kVA and kvar

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/power-factor-explained/
Updated: 2026-10-16
Summary: Power factor is the ratio of real power to apparent power. See the P Q S power triangle, a worked current calculation at PF 0.8 versus 1.0, lagging versus leading PF, and the effect of harmonics.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Power Factor

# What Is Power Factor? The cos φ Formula and the Relationship between kW, kVA and kvar

Power factor tells you how much of the electrical power supplied to a load is turned into real work. A low value means the cables and transformers carry current that does no work. This article explains it with the power triangle and numeric examples.

30-second summary

- $\text{PF}=\dfrac{P}{S}=\cos\varphi$ when voltage and current are sinusoidal

- P = real power (kW) · Q = reactive power (kvar) · S = apparent power (kVA), and $S^2=P^2+Q^2$

- Same real power but a low PF ⇒ the current rises by a factor of $1/\text{PF}$

## What is power factor

In an AC circuit, voltage and current do not necessarily rise and fall together. If they are out of phase by an angle $\varphi$, the power converted to real work is only a fraction of $V\times I$.

$$P = V I \cos\varphi, \qquad S = V I, \qquad \text{PF} = \frac{P}{S} = \cos\varphi$$

Here $V$ and $I$ are RMS values. A purely resistive load (a heater, an incandescent lamp) has $\varphi=0$ and PF = 1. Induction motors, transformers and iron-core ballasts contain coils, which make the current lag the voltage, so their PF is below 1.

## The P Q S power triangle

The three kinds of power are related as a right triangle.

| Power | Symbol · unit | Meaning | Formula |

| Real power | $P$ · W, kW | Power converted to work, heat, light or torque | $VI\cos\varphi$ |

| Reactive power | $Q$ · var, kvar | Power that shuttles back and forth between the source and the magnetic or electric field in the load | $VI\sin\varphi$ |

| Apparent power | $S$ · VA, kVA | The burden that cables, transformers and generators must support | $VI=\sqrt{P^2+Q^2}$ |

For a balanced three-phase system, using line voltage and line current, $P=\sqrt{3}\,V_L I_L\cos\varphi$ and $S=\sqrt{3}\,V_L I_L$.

## Example: a 230 V, 10 A load with a lagging PF of 0.8

- Apparent power and real power

$$S=VI=230\times10=2300\ \text{VA},\qquad P=S\cos\varphi=2300\times0.8=1840\ \text{W}$$

- Reactive power from the power triangle

$$Q=\sqrt{S^2-P^2}=\sqrt{2300^2-1840^2}=1380\ \text{var}$$

- If the PF is corrected to 1.0 with the same real power, the current needed is

$$I'=\frac{P}{V}=\frac{1840}{230}=8\ \text{A}$$

- Compare the line loss $\propto I^2$

$$\left(\frac{10}{8}\right)^2=1.5625$$

At PF 0.8 the load draws 10 A, but at PF 1.0 only 8 A for the same 1840 W of work. The current differs by 25 % and the line loss is about 56 % higher (2300 : 1840 : 1380 is a 5 : 4 : 3 triangle).

## Lagging and leading PF

- Lagging: the current lags the voltage. Inductive loads (motors, transformers), which make up most of a factory's load.

- Leading: the current leads the voltage. Capacitive loads, or PF-correction capacitors installed beyond what is needed. A long unloaded cable has a similar effect.

A PF value alone does not say whether it is lagging or leading, so state it explicitly, for example "0.8 lagging".

## With harmonics: the true PF is lower than cos φ

Electronic loads such as switching power supplies and rectifiers draw non-sinusoidal current, which lowers the true PF even when the fundamental current is in phase with the voltage.

$$\text{PF}_{true}=\underbrace{\cos\varphi_1}_{\text{displacement}}\times\frac{1}{\sqrt{1+\text{THD}_I^2}}$$

Example: $\cos\varphi_1=1$ and $\text{THD}_I=30\,\%$ give $\text{PF}_{true}=1/\sqrt{1.09}\approx0.958$. Installing PF-correction capacitors alone is therefore not enough, and may cause resonance with the harmonics, so THD must be considered as well.

## Keep learning in the library

The full lessons are in Thai, with English technical terms and the same formulas.

- What is power factor: analogies and the complete power triangle (in Thai)

- Power factor simulator: see the waveforms and phasors (in Thai)

- PF and the electricity bill: kvar penalties and the 0.85 criterion (in Thai)

- Harmonics and true PF (in Thai)

- Next: how to calculate a PF-correction capacitor

## Frequently asked questions

What is a good power factor?
The closer to 1.0 the better. In Thai practice, customers in tariff classes that carry a penalty usually correct the PF to above 0.85 under the utility's criterion, and design for about 0.95 to allow for light-load periods. See the power factor and electricity bill page for the criteria.

What is the difference between lagging and leading PF?
Lagging means the current lags the voltage, caused by inductive loads such as motors and transformers. Leading means the current leads the voltage, caused by capacitive loads or by too many capacitors installed.

What harm does a low PF cause?
More current is needed for the same real power, so cables, transformers and breakers carry a heavier load, line losses ($I^2R$) and voltage drop increase, and some customer classes must pay a penalty.

How does true PF differ from cos φ?
cos φ is only the displacement PF of the fundamental frequency. If the current is distorted by harmonics, the true PF is $\text{PF}=\cos\varphi_1/\sqrt{1+\text{THD}_I^2}$, which is lower than cos φ.

## More articles worth reading

Power factor
How to Calculate the Size of a Power Factor Correction Capacitor (kvar) with an Example
The formula Qc = P(tan φ1 − tan φ2) with a 100 kW, 400 V load corrected from PF 0.75 to 0.95 giving 55.3 kvar, microfarads per phase, a multiplier…
16 Oct 2026Read the article →

Motors · research
How Many Seconds Should a Star–Delta Timer Be Set To? Numerical Experiments on a Squirrel-Cage Induction Motor: Changeover Time, Dead Time, Current and Energy
How many seconds for a star–delta timer? Research simulating a 7.5 kW squirrel-cage motor: t = c·τm, a c table by load, dead time, KM3 phase order,…
19 Oct 2026Read the article →

3-phase motors
3-Phase Motor Delta (Δ) Connection: Remember U1–W2, V1–U2, W1–V2 and Choose from the Nameplate
How to connect a 3-phase motor in delta: links U1-W2, V1-U2, W1-V2, what U1 V1 W1 U2 V2 W2 mean and which wire colours go where, line vs phase…
17 Oct 2026Read the article →

All 4 articles in Power Systems & Motors → · All articles

## FAQ

**What is a good power factor?**
The closer to 1.0 the better. In Thai practice, customers in tariff classes that carry a penalty usually correct the PF to above 0.85 under the utility's criterion, and design for about 0.95 to allow for light-load periods. See the power factor and electricity bill page for the criteria.

**What is the difference between lagging and leading PF?**
Lagging means the current lags the voltage, caused by inductive loads such as motors and transformers. Leading means the current leads the voltage, caused by capacitive loads or by too many capacitors installed.

**What harm does a low PF cause?**
More current is needed for the same real power, so cables, transformers and breakers carry a heavier load, line losses ($I^2R$) and voltage drop increase, and some customer classes must pay a penalty.

**How does true PF differ from cos φ?**
cos φ is only the displacement PF of the fundamental frequency. If the current is distorted by harmonics, the true PF is $\text{PF}=\cos\varphi_1/\sqrt{1+\text{THD}_I^2}$, which is lower than cos φ.

---

# How to Find the Radius of Convergence: 3 Methods, Endpoint Checks and the Complex-Plane Reason

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/radius-of-convergence/
Updated: 2026-10-24
Summary: Three ways to find the radius of convergence of a power series (ratio test, root test, nearest complex singularity), plus the endpoint checks for the interval of convergence, with examples.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Sequences & series

# How to Find the Radius of Convergence: 3 Methods, Endpoint Checks and the Complex-Plane Reason

A power series is like a polynomial that never ends; it represents a function only on an interval around its centre. Half the width of that interval is the radius of convergence R. This article teaches three ways to find R, the endpoint checks where exams award the marks, and the explanation textbooks rarely give: why R has exactly the value it has.

In 30 seconds

- Method 1, ratio: $R = \lim\left|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}\right|$ · Method 2, root: $\dfrac1R = \lim\sqrt[n]{|c_n|}$

- Method 3, complex plane: R = distance from a to the nearest singularity of the function

- Always substitute the endpoints $x = a \pm R$ and test them separately

## What the radius of convergence is

Inside |x − a| < R the series converges absolutely, outside it diverges, and the two endpoints must be checked by hand.

A key theorem says a power series $\sum c_n(x-a)^n$ can behave in only one way: there is a number R (possibly 0 or ∞) such that it converges inside and diverges outside. It never converges in scattered patches, and never only to the right of a. So the job is just to find R and then check the two boundary points.

## Method 1: the ratio test (used most often)

Apply the ratio test to the absolute value of the whole term and solve “limit < 1”. You get R without having to remember whether $c_n$ goes on top or at the bottom.

Example 1

### Find the interval of convergence of $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^n}{n\,2^n}$

- $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \dfrac{|x-3|}{2}\cdot\dfrac{n}{n+1} \to \dfrac{|x-3|}{2} < 1 \iff |x - 3| < 2$ ⇒ $R = 2$

- Endpoint x = 1: $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ converges (Leibniz) · endpoint x = 5: $\sum\dfrac{1}{n}$ diverges

$R = 2$ · interval of convergence $[1, 5)$

Example 2 · R equals e

### Find the interval of convergence of $\sum\dfrac{n!\,x^n}{n^n}$

- $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = |x|\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac{|x|}{e}$ ⇒ $R = e$

- At $x = \pm e$ the size of the terms is $\dfrac{n!\,e^n}{n^n} \approx \sqrt{2\pi n} \to \infty$ (Stirling), so both endpoints diverge

$(-e, e)$

## Method 2: the root test (for nested n-th powers)

The Cauchy–Hadamard formula $\dfrac{1}{R} = \limsup\sqrt[n]{|c_n|}$ always works, and it is convenient when the coefficients are raised to the n-th power or have gaps (zero coefficients in between) where the ratio method breaks down.

Example 3

### Find the radius of convergence of $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}x^n$

- $\sqrt[n]{|c_n|} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n} \to \dfrac1e$ ⇒ $R = e$

- At $x = \pm e$: $\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n^2}e^n \to e^{1/2} \ne 0$, so both endpoints diverge

$(-e, e)$ — the ratio method is much messier here

## Method 3: look from the complex plane (understand why)

Consider $\dfrac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$. On the real line the function is smooth everywhere and never blows up, yet the series converges only for $|x| < 1$. Why? Because a power series converges on a disc in the complex plane, and the disc grows until it hits the first singularity, which for $\tfrac{1}{1+z^2}$ sits at $z = \pm i$, exactly one unit from the centre.

The disc of convergence of 1/(1+z²) about 0 hits the poles ±i at distance 1; what we see on the real axis is the slice (−1, 1).

Example 4 · no coefficients needed

### What is the radius of convergence of the Taylor series of $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4x + 13}$ about (a) 0 (b) 2?

- Poles of f: $z^2 - 4z + 13 = 0 \Rightarrow z = 2 \pm 3i$

- (a) Distance from 0: $|2 \pm 3i| = \sqrt{13}$ · (b) distance from 2: $|\pm 3i| = 3$

(a) $R = \sqrt{13} \approx 3.61$ · (b) $R = 3$

This method is an excellent check on Methods 1–2, and it explains why $\tan x$ has radius $\pi/2$ (because $\cos z = 0$ at $z = \pm\pi/2$), while $e^x, \sin x, \cos x$ have no singularities at all and so $R = \infty$.

## Endpoint checklist

- Substitute $x = a + R$ and $x = a - R$ into the series to get two numerical series.

- If the terms do not tend to 0 ⇒ divergence at that endpoint.

- If it has the form $\sum\tfrac{1}{n^p}$, use the p-series result · if the signs alternate, use Leibniz (and test the absolute values if the question asks how it converges).

- Write the interval with the right brackets: ( ) excludes, [ ] includes.

Keep these standard examples for comparison: $\sum x^n$ gives $(-1, 1)$ · $\sum\tfrac{x^n}{n}$ gives $[-1, 1)$ · $\sum\tfrac{x^n}{n^2}$ gives $[-1, 1]$ — the same radius, but all three endpoint behaviours differ.

## Try it in the lab

The radius-of-convergence lab (in Thai) plots the partial sums against the function on the real line, with the disc in the complex plane beside it. Move the degree slider: inside the interval the partial sums hug the function more tightly, outside they swing away. You can also type your own $c_n$.

## Continue in the library (in Thai)

- Power series in full: term-by-term calculus, Abel's theorem, solving differential equations

- Taylor and Maclaurin series: the table to memorise, remainders

- Laurent series: when the centre is a singularity

- Interval-of-convergence problems B7–B10 with solutions

## Frequently asked questions

What is the radius of convergence?
A power series $\sum c_n(x-a)^n$ converges when $|x - a| R$. That number R is the radius of convergence. It can be 0 (convergence only at x = a) or ∞ (convergence for every x).

How is the radius different from the interval of convergence?
The radius is a single number. The interval of convergence is $(a - R, a + R)$ together with whichever endpoints converge, which must be checked separately at x = a − R and x = a + R, so the interval can be open, closed or half-open.

Why can't the ratio test decide the endpoints?
At $|x - a| = R$ the limit of the ratio is exactly 1 every time, which is the inconclusive case. Substitute the endpoint value and use another test such as the p-series, Leibniz or n-th term test.

Can I find the radius without computing coefficients?
Yes, if you know the function the series represents: the radius about a equals the distance from a to the nearest singularity in the complex plane. For $1/(x^2 - 4x + 13)$ the poles are $2 \pm 3i$, so the radius about 0 is $\sqrt{13}$.

## More articles worth reading

Sequences & series
How to Choose a Convergence Test: an 8-Step Flowchart with an Example at Every Step
Pick the right convergence test the first time: an 8-step flowchart (n-th term, geometric, p-series, telescoping, limit comparison, ratio, root,…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Is a Laurent Series and How Is It Different from a Taylor Series? (Explained with Pictures)
Laurent series vs Taylor series: negative powers, the principal part, the annulus of convergence, types of singularity, residues and the link to…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Do You Learn in Sequences and Series? A Roadmap from Sequences to Laurent Series
The whole sequences and series chapter on one page: what each topic answers, its key formula and typical exam questions, from sequences and…
24 Oct 2026Read the article →

All 7 articles in Sequences & Series → · All articles

## FAQ

**What is the radius of convergence?**
A power series $\sum c_n(x-a)^n$ converges when $|x - a|  R$. That number R is the radius of convergence. It can be 0 (convergence only at x = a) or ∞ (convergence for every x).

**How is the radius different from the interval of convergence?**
The radius is a single number. The interval of convergence is $(a - R, a + R)$ together with whichever endpoints converge, which must be checked separately at x = a − R and x = a + R, so the interval can be open, closed or half-open.

**Why can't the ratio test decide the endpoints?**
At $|x - a| = R$ the limit of the ratio is exactly 1 every time, which is the inconclusive case. Substitute the endpoint value and use another test such as the p-series, Leibniz or n-th term test.

**Can I find the radius without computing coefficients?**
Yes, if you know the function the series represents: the radius about a equals the distance from a to the nearest singularity in the complex plane. For $1/(x^2 - 4x + 13)$ the poles are $2 \pm 3i$, so the radius about 0 is $\sqrt{13}$.

---

# What Do You Learn in Sequences and Series? A Roadmap from Sequences to Laurent Series

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/sequences-and-series-roadmap/
Updated: 2026-10-24
Summary: The whole sequences and series chapter on one page: what each topic answers, its key formula and typical exam questions, from sequences and convergence tests to Taylor and Laurent series.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Sequences & series

# What Do You Learn in Sequences and Series? A Roadmap from Sequences to Laurent Series

Many students meet sequences and series as dozens of separate formulas and never see that they are one story. This article draws the map first: the whole chapter answers a single question that keeps getting deeper, “what do you get when you add infinitely many numbers?” Each stop on the way has its own question, its main tool and the kind of exam question you will see.

In 30 seconds

- Sequences → series (limit of partial sums) → does it converge? → series with x (power series) → coefficients from derivatives (Taylor) → negative powers allowed (Laurent)

- Two yardsticks to memorise: the geometric series $\sum r^n$ and the p-series $\sum 1/n^p$

- High school stops at the infinite geometric series · Calculus 2 goes to Taylor · engineering mathematics goes to Laurent and the z-transform

## The big picture in one figure

The eight stops of the sequences and series chapter; each uses the results of the one before. Numbers are the lesson page numbers.

Think of filling a bucket one glass at a time. Each glass is a term $a_n$; the water in the bucket after n glasses is the partial sum $S_n$. The question is whether the level settles at some height (converges) or overflows forever (diverges). If each glass is half the previous one, the level stops at a finite height. If the glasses shrink like 1, ½, ⅓, ¼, …, the bucket overflows eventually, even though the glasses also keep getting smaller. That small difference is the heart of the whole chapter.

## Eight stops: the question, the tool and the exam question

1 · SequencesWhat do the terms approach?Arithmetic $a_1 + (n-1)d$ · geometric $a_1r^{n-1}$ · ε–N limits · $(1 + \tfrac{x}{n})^n \to e^x$
2 · SeriesWhat is the total?$\sum ar^n = \tfrac{a}{1-r}$ · telescoping · the harmonic series diverges
3 · TestsDoes it converge (when you cannot sum it)?n-th term · integral · comparison · ratio · root
4 · AlternatingWhat happens with ± signs?Leibniz · $|S - S_N| \le b_{N+1}$ · absolute vs conditional
5 · Power seriesFor which x does it work?$\sum c_n(x-a)^n$ · radius R · check the endpoints
6 · TaylorCan a function be a polynomial?$c_n = f^{(n)}(a)/n!$ · table of eˣ, sin, cos · remainder
7 · LaurentWhat about where the function blows up?Negative powers · annulus · residue $a_{-1}$
8 · EngineeringWhat is it used for?Small angles · diode small-signal model · sin on a chip · z-transform

All lesson pages linked above are in Thai. Stops 1–2 are high-school material; university entrance exams ask for terms, sums and limits of sequences, for example “a geometric sequence has $a_2 = 12,\ a_5 = 96$; find $S_6$” or “write $0.1\overline{23}$ as a fraction”. Stops 3–6 are Calculus 2; exams ask how a series converges, for the interval of convergence, and for limits or approximations using Taylor series. Stops 7–8 are engineering mathematics; exams ask for the Laurent series on a given region, residues and inverse z-transforms.

## Two rulers that measure every series

Almost every convergence test compares an unknown series with one whose behaviour is already known, and there are only two families:

- The geometric series $\sum r^n$ converges ⇔ $|r| < 1$ — the yardstick of the ratio and root tests (if the terms shrink faster than some geometric series, the series converges).

- The p-series $\sum 1/n^p$ converges ⇔ $p > 1$ — the yardstick for ratios of polynomials through the limit comparison test; for example $\dfrac{3n+5}{n^3-2}$ behaves like $\dfrac{3}{n^2}$, so it converges.

Know these two well and the remaining tests become a matter of “finding which one my term looks like”. A step-by-step procedure is in the article How to choose a convergence test.

## What to study, by goal

| Goal | Suggested order | Practice |

| University entrance exam | Sequences → infinite series (sigma notation, geometric, telescoping) | Set A |

| Calculus 2 | Add tests → alternating series → power series → Taylor | Set B |

| Engineering mathematics | Add Laurent → engineering (then the Laplace and z-transforms) | Set C |

All pages in the table are in Thai; the formulas and worked numbers can be followed without reading the text.

## Why engineers should care about series

- The formulas you memorised are first terms of series — $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ comes from $\sin\theta \approx \theta$; at a 60° amplitude the true period is 7.3 % longer.

- All of analogue electronics uses small-signal models — a first-degree Taylor polynomial, $r_d = V_T/I_D$.

- A chip computes sin with additions and multiplications — after range reduction a degree-11 polynomial is enough for float32.

- A digital system is stable when a series converges absolutely — $\sum|h[n]| < \infty$, and the z-transform is a Laurent series.

Every example has an interactive lab in Series in engineering (in Thai).

## Common misconceptions

- “The terms go to zero, so the sum is finite.” Wrong: the harmonic series $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$ diverges (it needs 12,367 terms to pass 10, but never stops growing).

- “The order of addition does not matter.” True only for absolutely convergent series; $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ can be rearranged to any sum (try the rearrangement lab).

- “If a function is smooth on the real line, its Taylor series converges everywhere.” $\tfrac{1}{1+x^2}$ has radius 1 because of the complex singularities ±i (read Radius of convergence).

- “A function has one Laurent series.” It has one per annulus (read Laurent vs Taylor).

## Continue in the library (in Thai)

- The full sequences and series chapter: 10 pages and an index of 122 formulas

- Lab bench with 12 tools: partial sums, radius of convergence, Taylor, Laurent

- 60 exam-style problems with solutions and a random problem generator

- One-page summary of sequences and series

## Frequently asked questions

Is sequences and series hard, and where should I start?
The parts where you can find the sum (arithmetic, geometric, sigma notation) are not hard. The hard part is deciding whether a series converges, because you must pick the right tool. Start with sequences and their limits, then the geometric series, which is the yardstick for every convergence test.

How do power series, Taylor series and Laurent series differ?
A power series is any series of the form $\sum c_n (x-a)^n$. A Taylor series is the power series whose coefficients are $f^{(n)}(a)/n!$, so that it represents a function f. A Laurent series also allows negative powers and represents a function around a singularity, on an annulus.

Why do engineers need sequences and series?
To approximate functions by polynomials (small angles, small-signal models), to compute sin and exp on microcontrollers, to analyse digital filters and the z-transform, for Fourier series of signals, and to solve differential equations that have no closed-form solution.

Where can I practise sequences and series problems with solutions?
The sequences and series chapter on this site (in Thai) has 60 exam-style problems at three levels with step-by-step solutions, plus an unlimited random problem generator that checks your answers automatically.

## More articles worth reading

Sequences & series
How to Choose a Convergence Test: an 8-Step Flowchart with an Example at Every Step
Pick the right convergence test the first time: an 8-step flowchart (n-th term, geometric, p-series, telescoping, limit comparison, ratio, root,…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Is a Laurent Series and How Is It Different from a Taylor Series? (Explained with Pictures)
Laurent series vs Taylor series: negative powers, the principal part, the annulus of convergence, types of singularity, residues and the link to…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
How to Find the Radius of Convergence: 3 Methods, Endpoint Checks and the Complex-Plane Reason
Three ways to find the radius of convergence of a power series (ratio test, root test, nearest complex singularity), plus the endpoint checks for…
24 Oct 2026Read the article →

All 7 articles in Sequences & Series → · All articles

## FAQ

**Is sequences and series hard, and where should I start?**
The parts where you can find the sum (arithmetic, geometric, sigma notation) are not hard. The hard part is deciding whether a series converges, because you must pick the right tool. Start with sequences and their limits, then the geometric series, which is the yardstick for every convergence test.

**How do power series, Taylor series and Laurent series differ?**
A power series is any series of the form $\sum c_n (x-a)^n$. A Taylor series is the power series whose coefficients are $f^{(n)}(a)/n!$, so that it represents a function f. A Laurent series also allows negative powers and represents a function around a singularity, on an annulus.

**Why do engineers need sequences and series?**
To approximate functions by polynomials (small angles, small-signal models), to compute sin and exp on microcontrollers, to analyse digital filters and the z-transform, for Fourier series of signals, and to solve differential equations that have no closed-form solution.

**Where can I practise sequences and series problems with solutions?**
The sequences and series chapter on this site (in Thai) has 60 exam-style problems at three levels with step-by-step solutions, plus an unlimited random problem generator that checks your answers automatically.

---

# How Many Seconds Should a Star–Delta Timer Be Set To? Numerical Experiments on a Squirrel-Cage Induction Motor: Changeover Time, Dead Time, Current and Energy

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/star-delta-timer-setting/
Updated: 2026-10-19
Summary: How many seconds for a star–delta timer? Research simulating a 7.5 kW squirrel-cage motor: t = c·τm, a c table by load, dead time, KM3 phase order, surge current, I²t, energy and case studies.

## 2. Background

At the same speed, the star connection gives 1/3 of the delta line current and torque, and the breakdown torque also falls to 1/3. The motor can therefore accelerate only to its star equilibrium speed $n_Y$, where the star torque equals the load torque. The run-up time follows from Newton's second law for rotation:

$$t(\omega_1) = J\int_0^{\omega_1}\frac{d\omega}{T_Y(\omega) - T_L(\omega)} \qquad \tau_m = \frac{J\,\omega_s}{T_n}$$

The mechanical time constant $\tau_m$ is the time rated torque would need to accelerate the rotating mass from rest to synchronous speed. With time measured in $\tau_m$ and torque in $T_n$, the equation above contains no motor size at all, so the results carry over to other motors whose torque curves have a similar shape.

During the dead time, when the motor is disconnected, flux trapped in the rotor produces a residual voltage $\underline e$ at the terminals, which turns slower than the supply and drifts by an angle $\delta$. When KM3 closes, the transient is driven by the vector difference

$$\delta \approx s_{ch}\,\omega_s t_d + \frac{p\,T_L}{2J}t_d^2 \qquad |\Delta\underline V| = |\underline V_\Delta - \underline e| \qquad I_{pk} \approx k_a\,\frac{|\Delta\underline V|}{V_\Delta}\,I_{LR}$$

where $k_a \approx 1.35\text{–}1.45$ is the first-cycle asymmetry factor. The derivations and all formulas (E1–E24) are in Star–delta analysis, and the basics of torque–speed curves are in the induction motor lesson Induction motor.

## 3. Method

3.1 Model. A 7.5 kW 4-pole 400 V Δ 50 Hz motor with a double-cage rotor (In 14.0 A, Tn 49.3 N·m, 1471 rpm, Is/In 6.53, Ts/Tn 2.15, Tk/Tn 3.0, motor J 0.045 kg·m²), written as space-vector equations in physical winding quantities. The states are the flux linkages of the stator, the outer cage and the inner cage, plus the speed, solved with fourth-order Runge–Kutta every 0.1 ms. During the dead time the stator current is zero and only the two rotor cages are integrated (their flux is continuous across the switching).

3.2 Verification. Twelve steady-state points agree with the equivalent circuit to 10⁻¹⁶, and the changeover transient (peak current, maximum and minimum torque, speed) agrees with scipy's LSODA solver within 0.3 %.

3.3 Loads and experiments. A centrifugal pump at 80 % ($T_L \propto n^2$, total J 0.105 kg·m², τm 0.33 s), a large fan (total J 2.245 kg·m², τm 7.15 s) and a constant-torque conveyor at 50 % (total J 0.395 kg·m², τm 1.26 s), in 14 sets of experiments:

| Set | Independent variable | Dependent variables |

| E1, E7, E13 | Load type and size | Star equilibrium speed, t95, t98, coefficient c |

| E2, E5 | Timer setting · changeover trigger (timer, current relay, speed) | Peak current, time above 3·In, I²t, rotor heat |

| E3, E11 | Dead time 5–800 ms · KM3 phase order · switch-on angle | Peak current, torque, residual voltage and angle |

| E4 | Closed-transition resistor Rt/Zb | Peak current, torque, resistor energy |

| E6, E8 | Voltage 80–105 % · inertia 0.1–8 kg·m² | Run-up time, compared with Kloss and average torque |

| E9, E10, E12, E14 | Starting method · running load · supply size | Energy, I²t, voltage dip, overload thermal budget, permanent star running |

3.4 Proposed timer criterion. $t_{set} = \max\big(1.2\,t_{98}(V_n),\ t_{95}(0.9V_n)\big)$: wait until 98 % of the equilibrium speed with a 20 % margin, and never less than the time to 95 % with a 10 % voltage dip.

## 4. Results

### 4.1 Timer setting (RQ1)

Measured in τm, the run-up curves of the pump and the fan almost coincide, and making J four times larger does not change t98/τm at all. The result is a coefficient table that applies to motors of any size:

| Load (k = torque at rated speed / Tn) | nY/nN | t98/τm | t95/τm at 90 % voltage | c |

| Pump T ∝ n² · k 0.6 | 98.2 % | 1.63 | 2.08 | 2.1 |

| Pump T ∝ n² · k 0.8 | 96.5 % | 1.89 | 2.56 | 2.6 |

| Pump T ∝ n² · k 1.0 | 94.1 % | 2.31 | 3.44 | 3.4 |

| Fan · k 1.0 | 94.2 % | 2.10 | 2.94 | 2.9 |

| T ∝ n · k 0.8 | 96.2 % | 2.37 | 3.96 | 4.0 |

| Constant torque · k 0.5 | 98.8 % | 3.10 | no breakaway | 3.7 |

Figure 1 · Star-stage run-up of the three loads against time in units of τm

Example: a 37 kW, 1480 rpm pump with a total J of 0.87 kg·m² → $T_n = 238.8$ N·m, $\tau_m = 0.87 \times 157.08/238.8 = 0.572$ s → $t_{set} = 2.6 \times 0.572 \approx 1.5$ s (set 2–3 s in practice). A 7.5 kW fan with a total J of 2.245 kg·m² → $\tau_m = 7.15$ s → $t_{set} = 2.94 \times 7.15 \approx 21$ s. A blanket “5–10 s for every job” is therefore longer than needed for small pumps and far too short for high-inertia fans. The closed-form Kloss formula popular in textbooks overestimates the time of a double-cage motor by about 74 % (it gives a starting torque of only 0.79·Tn instead of 2.15·Tn), whereas the average-torque method is within 2 %.

### 4.2 Changeover peak, dead time and phase order (RQ2)

The result that contradicts common belief most is that the 1–3-cycle changeover peak of pumps and fans does not fall with the timer setting. Sweeping the fan timer from 1 to 30 s gives peaks of 7.6–10.4·In, and the pump 7.7–10.5·In, against 8.9·In for DOL. What a correct timer reduces is the time the current stays above 3·In after the changeover: the fan set to 8 s (changeover at 66 % speed) stays above 3·In for 0.96 s, set to 20 s for 0.05 s. A load with low slip in star (conveyor at 50 %) changing over at its equilibrium speed peaks at only 5.6·In.

Figure 2 · Timer sweep for the fan: speed at changeover, peak current, high-current time, I²t and rotor heat

The peak is explained by the residual voltage. Pump example (50 ms dead time): before opening n = 1419 rpm, slip 0.054, load torque 37.1 N·m, J = 0.105 → $\delta = 0.848 + 0.883 = 1.73$ rad (99°), half of it from the deceleration of the low-inertia load. The residual voltage is 134 V at −87° to the new delta voltage → $|\Delta V| = 415$ V = 1.04 times DOL → $I_{pk} \approx 1.36 \times 1.04 \times 6.53 = 9.2\,I_n$ (simulated 9.7·In). With KM3 in the standard order the angle is −147° → $|\Delta V| = 518$ V → 11.5·In (simulated 11.5·In), and the minimum torque is −4.4·Tn instead of −0.55·Tn.

Figure 3 · Phasors of the pump's transient driving voltage |VΔ − e| with KM3 in the lagging and the standard order

The dead time acts in waves (a “phase lottery”). Between 5 and 60 ms, shorter is better (pump: 5.0·In at 10 ms, 6.8·In at 30 ms, 9.7·In at 50 ms) and the lagging order beats the standard order by 10–40 %; beyond that the peak rises and falls with the angle and no value suits every load. Closed transition with Rt = 0.1–0.3·Zb cuts the peak to 2.9–3.8·In (pump) and 5.6–6.7·In (fan), without negative torque.

### 4.3 Current, energy and heat (RQ3)

| Method (fan) | Peak current | Time | Supply I²t | Rotor heat |

| Direct on line | 8.9·In | 3.3 s | 100 % | 100 % (30.8 kJ) |

| Star–delta | 3.0 → 10.4·In | 12.7 s | 51 % | 130 % |

| Soft starter 3·In | 3.0·In | 16.3 s | 140 % | 135 % |

| VFD | 1.2·In | 29.2 s | 17 % | 6 % |

Figure 4 · Supply I²t and rotor heat of each starting method compared with DOL

The electrical energy of one start is at most about a hundred-odd kilojoules (≤ 0.04 kWh in every case of this work), so no starting method saves a meaningful amount of energy. Theory says that without load the rotor heat equals $\tfrac12 J\omega_s^2$ whatever the voltage, but with load a lower voltage means slower acceleration and high slip for longer, so the rotor gets hotter than with DOL. The real benefit of star–delta is the lower I²t and sustained voltage dip. On a 250 kVA transformer a 37 kW pump dips the voltage by 4.8 % (DOL), 1.6 % (star stage) and 6.9 % for only 1–2 cycles at the changeover; on a 100 kVA generator set the figures are 32 %, 13.5 % and 41 %.

An additional experiment (E9) found that running permanently in star at light load does save energy: 188 W per 7.5 kW motor at 25 % load, with cos φ improving from 0.46 to 0.79. The break-even point is about 53 %, but the torque margin (Tk,Y/TL ≥ 2.5) limits practical use to about 35–40 % of rating.

Figure 5 · Efficiency, power factor and power saved running in star versus delta

## 5. Discussion and case studies

Compared with existing practice. The advice “change over at 85–90 % speed” is right in principle, but electricians cannot measure speed. The c·τm criterion turns this principle into a number from catalogue data (motor J, load J, Pn, nN). The belief that “a longer dead time reduces the surge” is not supported by the experiments, and “a long timer is the safe side” is only partly true: while hanging at the equilibrium speed the fan's winding carries 1.68 times its rated winding current (0.97·In in star against a winding rating of 0.58·In), and a 30 s timer uses 36 % of a class 10 overload's thermal budget per start.

Case studies (simulated cases built from common symptoms; numbers from the model):

- Exhaust fan, lights flicker for almost a second — set to 8 s like the pumps; changeover at 66 % speed, above 3·In for 0.96 s → reset to 21 s or use a current relay: 0.05–0.22 s.

- Pump trips now and then at the changeover — an rms peak of 9.7–11.5·In falls inside the instantaneous band of a type C MCB → use an MPCB/MCCB with instantaneous trip ≥ 12–13·In, the lagging KM3 order, or closed transition.

- Coupling damage after maintenance — KM3 was rewired in the standard order, torque surge −4.4·Tn → wire L1→V2 L2→W2 L3→U2.

- Pump on a generator set drops out other contactors — the changeover peak dips the voltage by 41 % → closed transition (≈ 17 %), soft starter (≈ 18 %) or VFD (≈ 9 %).

Limitations. The model has linear magnetics, ideal contactors that open all three phases at once and a zero-impedance supply in the dynamics, and it is extended to other sizes per unit. The results are therefore quantitative trends that should be confirmed by measurement on site.

## 6. Past, present and future

- 1889–1891Dolivo-Dobrovolsky (AEG) builds a three-phase squirrel-cage motor and a three-phase system using star and delta connections.

- early–mid 20th centuryFrom hand-operated star–delta switches to contactors with pneumatic and mechanical timers. Utilities in many countries limit starting currents, so star–delta becomes standard in Europe and Asia.

- 1970–1990Electronic timers with a fixed dead time, thyristor soft starters and IGBT inverters.

- TodayIE3/IE4 motors (IEC 60034-30-1) with higher starting currents, AC-3e contactors (IEC 60947-4-1:2018), current-monitoring relays and smart starters. Simulation models like the one in this article can be used to design before installing.

- Future (projections)Changeover from the motor's state and synchronous closing from residual-voltage measurement; microgrids and battery inverters that make the changeover peak more important; IE4/IE5 motors mostly on VFDs; digital twins for setting up on site.

## 7. Conclusions and recommendations

- Set the timer to $t_{set} = c\,\tau_m$ from the c table (2.1–4.0) and confirm with a clamp meter that the star current has settled before the changeover.

- Where the voltage or the load varies, use a current or speed relay instead of a fixed timer (3–4 times shorter high-current time).

- Use the shortest dead time the manufacturer approves and wire KM3 in the lagging order L1→V2 L2→W2 L3→U2.

- On generator sets or weak supplies consider closed transition, a soft starter or a VFD.

- Protective devices must ride through a ~10·In changeover peak, and starts longer than 10 s need a class 20 overload.

- For motors running a constant light load below 35–40 %, evaluate permanent star operation to save energy.

Change the timer, the dead time and the phase order yourself in the dynamic simulation lab at Star–delta analysis · lab. Every result in this article can be reproduced with node scripts/yd_research.mjs and python3 scripts/yd_check.py in the site's code repository.

### References

- IEC 60034-1, Rotating electrical machines — Rating and performance

- IEC 60034-12, Starting performance of single-speed three-phase cage induction motors

- IEC 60034-30-1, Efficiency classes of line-operated AC motors (IE code)

- IEC 60947-4-1, Contactors and motor-starters

- IEEE Std 3002.7, Recommended Practice for Conducting Motor-Starting Studies in Industrial and Commercial Power Systems

- S. D. Umans, Fitzgerald & Kingsley's Electric Machinery, 7th ed., McGraw-Hill, 2014

- P. C. Krause et al., Analysis of Electric Machinery and Drive Systems, 3rd ed., Wiley-IEEE Press, 2013

- I. Boldea, S. A. Nasar, The Induction Machine Handbook, CRC Press, 2002

## Continue in the library

- Star–delta analysis: timer, star or delta operation, currents, energy and a dynamic simulation lab

- The star–delta starter in detail: power circuit, control circuit, 0.58 In

- Star and delta motor connections: choosing from the nameplate

- How the 3-phase induction motor works: rotating field, slip and torque

- Soft starters and a comparison of motor starting methods

- Read next: 3-phase motor delta connection U1–W2, V1–U2, W1–V2

## Frequently asked questions

How many seconds should a star–delta timer be set to?
Calculate the mechanical time constant τm = J·ωs/Tn and multiply it by c ≈ 2–4 depending on the load (centrifugal pump at 80 % ≈ 2.6, fan ≈ 2.9, including a 10 % voltage-dip margin). A 37 kW pump with a total J of 0.87 kg·m² gives about 1.5 s (set 2–3 s), while a 7.5 kW fan with a total J of 2.245 kg·m² gives about 21 s. Then confirm with a clamp meter that the star current has settled before the changeover.

Does a longer timer reduce the current surge at the changeover?
Only the lasting part. The simulated pump and fan give a 1–3-cycle peak of about 7.6–10.5·In whatever the setting (DOL 8.9·In), because the peak is set by the difference between the delta voltage and the residual voltage in the motor. What a correct timer reduces is the time the current stays above 3·In after the changeover, for the fan from 0.96 s (8 s timer) to 0.05 s (20 s timer).

Is a longer dead time between KM2 and KM3 better?
No. The dead time must be long enough for the arc in KM2 to go out before KM3 closes (ready-made timers typically use about 30–80 ms), but lengthening it does not reduce the surge because the angle of the residual voltage keeps rotating. The simulations favour the shortest safe value and the lagging KM3 order L1→V2 L2→W2 L3→U2.

What is star–delta really better at than a direct-on-line start?
It reduces the run-up current to 1/3, the sustained voltage dip to 1/3 and the supply I²t by 25–50 %. It does not save energy, and the rotor gets 30–55 % hotter than with DOL. On a generator set the changeover peak can even dip the voltage more than DOL does.

How can the experiments in this article be reproduced?
Open the dynamic simulation lab on the Star–delta analysis page of the lesson library, or run node scripts/yd_research.mjs and python3 scripts/yd_check.py in the site's code repository, which use the same model as this article.

## More articles worth reading

3-phase motors
3-Phase Motor Delta (Δ) Connection: Remember U1–W2, V1–U2, W1–V2 and Choose from the Nameplate
How to connect a 3-phase motor in delta: links U1-W2, V1-U2, W1-V2, what U1 V1 W1 U2 V2 W2 mean and which wire colours go where, line vs phase…
17 Oct 2026Read the article →

Power factor
How to Calculate the Size of a Power Factor Correction Capacitor (kvar) with an Example
The formula Qc = P(tan φ1 − tan φ2) with a 100 kW, 400 V load corrected from PF 0.75 to 0.95 giving 55.3 kvar, microfarads per phase, a multiplier…
16 Oct 2026Read the article →

Power factor
What Is Power Factor? The cos φ Formula and the Relationship between kW, kVA and kvar
Power factor is the ratio of real power to apparent power. See the P Q S power triangle, a worked current calculation at PF 0.8 versus 1.0, lagging…
16 Oct 2026Read the article →

All 4 articles in Power Systems & Motors → · All articles

## FAQ

**How many seconds should a star–delta timer be set to?**
Calculate the mechanical time constant τm = J·ωs/Tn and multiply it by c ≈ 2–4 depending on the load (centrifugal pump at 80 % ≈ 2.6, fan ≈ 2.9, including a 10 % voltage-dip margin). A 37 kW pump with a total J of 0.87 kg·m² gives about 1.5 s (set 2–3 s), while a 7.5 kW fan with a total J of 2.245 kg·m² gives about 21 s. Then confirm with a clamp meter that the star current has settled before the changeover.

**Does a longer timer reduce the current surge at the changeover?**
Only the lasting part. The simulated pump and fan give a 1–3-cycle peak of about 7.6–10.5·In whatever the setting (DOL 8.9·In), because the peak is set by the difference between the delta voltage and the residual voltage in the motor. What a correct timer reduces is the time the current stays above 3·In after the changeover, for the fan from 0.96 s (8 s timer) to 0.05 s (20 s timer).

**Is a longer dead time between KM2 and KM3 better?**
No. The dead time must be long enough for the arc in KM2 to go out before KM3 closes (ready-made timers typically use about 30–80 ms), but lengthening it does not reduce the surge because the angle of the residual voltage keeps rotating. The simulations favour the shortest safe value and the lagging KM3 order L1→V2 L2→W2 L3→U2.

**What is star–delta really better at than a direct-on-line start?**
It reduces the run-up current to 1/3, the sustained voltage dip to 1/3 and the supply I²t by 25–50 %. It does not save energy, and the rotor gets 30–55 % hotter than with DOL. On a generator set the changeover peak can even dip the voltage more than DOL does.

**How can the experiments in this article be reproduced?**
Open the dynamic simulation lab on the Star–delta analysis page of the lesson library, or run node scripts/yd_research.mjs and python3 scripts/yd_check.py in the site's code repository, which use the same model as this article.

---

# What Is the Laplace Transform and What Is It Used For?

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/what-is-laplace-transform/
Updated: 2026-10-16
Summary: The Laplace transform turns differential equations into algebraic equations. See the definition, the 3-step method, a worked y′ + 3y = 6 example and an RC circuit calculated line by line.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Laplace Transform

# What Is the Laplace Transform and What Is It Used For?

The Laplace transform is a tool that turns a hard differential equation into an easy algebraic equation, then converts the answer back into a function of time. This article explains the idea, the definition and an RC circuit example you can follow line by line.

30-second summary

- Definition: $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt$

- Differentiation in the time domain becomes multiplication by $s$ in the $s$ domain

- Method: transform → solve the algebraic equation → inverse transform

- The pole locations of $F(s)$ tell you the stability of the system without solving the equation

## The idea: why transform at all

Suppose a circuit or mechanical system is described by a differential equation such as $y' + 3y = 6$. Solving it directly needs an integrating factor or a guessed solution. But if we move the equation into the $s$ domain, the derivatives disappear and only multiplication and addition remain. Solve there, then move back.

Compare this with using logarithms to multiply large numbers in the old days: turn multiplication into addition, finish the calculation, then convert back. Laplace does the same for derivatives and integrals.

## Definition of the Laplace transform

For a function $f(t)$ defined for $t \ge 0$, the unilateral Laplace transform is

$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt, \qquad s = \sigma + j\omega$$

The factor $e^{-st}$ acts like a filter: an $f(t)$ that grows more slowly than an exponential makes the integral converge. The most basic example is

$$\mathcal{L}\{e^{-at}\} = \int_0^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt = \frac{1}{s+a}, \qquad \operatorname{Re}(s) > -a$$

From this, $a=0$ gives $\mathcal{L}\{u(t)\}=1/s$. Other commonly used formulas are collected in the Laplace transform table.

## The key: derivatives become multiplication

Integrating by parts gives the property that makes Laplace most useful.

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0)$$

Notice that the initial conditions $y(0)$, $y'(0)$ go into the equation from the start. You do not have to find constants afterwards, as in the traditional method for differential equations.

## Solving an equation with Laplace in 3 steps

- Transform both sides of the differential equation into the $s$ domain, including the initial conditions.

- Solve for $Y(s)$ with algebra.

- Invert to $y(t)$ using partial fractions and a table (see Inverse Laplace by partial fractions).

## Example 1: solve y′ + 3y = 6 with y(0) = 0

- Transform the equation

$$sY(s) - 0 + 3Y(s) = \frac{6}{s}$$

- Solve for $Y(s)$

$$Y(s)\,(s+3) = \frac{6}{s} \;\Rightarrow\; Y(s) = \frac{6}{s(s+3)}$$

- Split into partial fractions

$$\frac{6}{s(s+3)} = \frac{2}{s} - \frac{2}{s+3}$$

- Invert using $\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1$ and $\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+3)\}=e^{-3t}$

$$y(t) = 2 - 2e^{-3t}, \quad t \ge 0$$

Check: $y' = 6e^{-3t}$, so $y' + 3y = 6e^{-3t} + 6 - 6e^{-3t} = 6$ ✓ and $y(0)=2-2=0$ ✓

## Example 2: an RC circuit with a 5 V step input

A resistor $R = 1\,\text{k}\Omega$ in series with a capacitor $C = 100\,\mu\text{F}$ is driven by $v_{in}(t) = 5\,u(t)$ volts. The capacitor starts empty. The time constant is $\tau = RC = 1000 \times 100\times10^{-6} = 0.1$ seconds.

- The circuit equation $RC\,\dfrac{dv_c}{dt} + v_c = v_{in}$ transforms to the $s$ domain with $v_c(0)=0$

$$(RCs + 1)V_c(s) = \frac{5}{s} \;\Rightarrow\; V_c(s) = \frac{5}{s(0.1s+1)} = \frac{50}{s(s+10)}$$

- Partial fractions

$$\frac{50}{s(s+10)} = \frac{5}{s} - \frac{5}{s+10}$$

- Invert

$$v_c(t) = 5\left(1 - e^{-10t}\right)\ \text{V}$$

At $t = \tau = 0.1$ s the capacitor voltage is $5(1 - e^{-1}) \approx 3.16$ V (about 63.2 % of 5 V), matching the definition of the time constant. The pole is at $s=-10 = -1/\tau$.

## What Laplace is used for in engineering

- Electric circuit analysis: RC, RL and RLC circuits with switches or step sources, giving both the transient response and the steady state.

- Transfer functions: $G(s)=Y(s)/U(s)$ describes every linear time-invariant system, from motors to filters.

- Stability: if all poles lie in the left half of the $s$ plane, the system is stable (continued in the Routh–Hurwitz criterion and root locus).

- Control systems: designing PID controllers and compensators, and analysing the frequency response.

## Common mistakes

- Forgetting the initial conditions when transforming a derivative, which makes the whole answer wrong.

- Forgetting that the unilateral transform only covers $t \ge 0$, so the answer must be written with $t \ge 0$ or multiplied by $u(t)$.

- Confusing $s$ with $\omega$: in the time domain there is no $j$, but in the $s$ domain the oscillation frequency is the imaginary part of the pole.

## Keep learning in the library

The full lessons are in Thai, with English technical terms and the same formulas.

- The Laplace transform: definition and transform-pair table with ROC (in Thai)

- All the properties of the Laplace transform (in Thai)

- Solving first- and second-order differential equations with Laplace, with an interactive solver (in Thai)

- First-order system lab: the time constant of RC and RL circuits (in Thai)

## Frequently asked questions

How does the Laplace transform differ from the Fourier transform?
Laplace uses the complex variable $s = \sigma + j\omega$, so it can handle signals that grow or decay exponentially, and initial conditions. Fourier uses only $j\omega$. If the region of convergence (ROC) includes the $j\omega$ axis, the Fourier transform is the Laplace transform with $s = j\omega$.

What is the unilateral Laplace transform, and why integrate from 0?
In circuits and control we usually care about events from $t = 0$ onward, and the effect of earlier conditions is captured in the initial conditions. The unilateral transform therefore integrates from 0 to infinity. The bilateral transform integrates from $-\infty$ and is used in signals and systems when the ROC must be analysed in full.

Do I always have to transform back to a function of time?
Not always. If you only want stability or the shape of the response, the pole locations of $F(s)$ tell you directly. But to get $y(t)$ at a specific time you must invert the transform, usually with partial fractions and a table.

What are the units and meaning of the variable s?
$s$ has units of frequency (1/second). The real part $\sigma$ gives the exponential growth or decay rate, and the imaginary part $\omega$ is the oscillation frequency. For example, a pole at $s = -10$ means a signal decaying as $e^{-10t}$.

## More articles worth reading

Laplace
How to Find the Inverse Laplace Transform: 3 Partial-Fraction Cases with Examples
Invert the Laplace transform with partial fractions for distinct, repeated and complex poles, with checked examples and what to do when the…
16 Oct 2026Read the article →

Laplace
Laplace Transform Table: The Most Commonly Used Pairs
The 15 most common Laplace transform pairs and a table of properties (time shift, frequency shift, derivative, integral, convolution, initial and…
16 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
What Is a Laurent Series and How Is It Different from a Taylor Series? (Explained with Pictures)
Laurent series vs Taylor series: negative powers, the principal part, the annulus of convergence, types of singularity, residues and the link to…
24 Oct 2026Read the article →

All 3 articles in Laplace Transform → · All articles

## FAQ

**How does the Laplace transform differ from the Fourier transform?**
Laplace uses the complex variable $s = \sigma + j\omega$, so it can handle signals that grow or decay exponentially, and initial conditions. Fourier uses only $j\omega$. If the region of convergence (ROC) includes the $j\omega$ axis, the Fourier transform is the Laplace transform with $s = j\omega$.

**What is the unilateral Laplace transform, and why integrate from 0?**
In circuits and control we usually care about events from $t = 0$ onward, and the effect of earlier conditions is captured in the initial conditions. The unilateral transform therefore integrates from 0 to infinity. The bilateral transform integrates from $-\infty$ and is used in signals and systems when the ROC must be analysed in full.

**Do I always have to transform back to a function of time?**
Not always. If you only want stability or the shape of the response, the pole locations of $F(s)$ tell you directly. But to get $y(t)$ at a specific time you must invert the transform, usually with partial fractions and a table.

**What are the units and meaning of the variable s?**
$s$ has units of frequency (1/second). The real part $\sigma$ gives the exponential growth or decay rate, and the imaginary part $\omega$ is the oscillation frequency. For example, a pole at $s = -10$ means a signal decaying as $e^{-10t}$.

---

# What Is a PID Controller? How Kp, Ki and Kd Work and How to Tune Them

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/what-is-pid-controller/
Updated: 2026-10-16
Summary: A PID controller adds proportional, integral and derivative action on the error. See what Kp, Ki and Kd do, the step-response table, a Ziegler–Nichols example and field problems.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Control systems

# What Is a PID Controller? How Kp, Ki and Kd Work and How to Tune Them

PID is the most widely used controller in industry because the idea is simple: look at the error between the desired value and the measured value, then adjust the control signal from three viewpoints: the present, the past and the future of the error.

30-second summary

- $u(t)=K_pe(t)+K_i\int e\,dt+K_d\dfrac{de}{dt}$ where $e=r-y$

- P = present · I = past (removes steady-state error) · D = trend (reduces overshoot)

- Start with Ziegler–Nichols, then fine-tune from the real response

## The PID formula and transfer function

Let $r(t)$ be the desired value, $y(t)$ the measured value, and the error $e(t)=r(t)-y(t)$.

$$u(t)=K_p\,e(t)+K_i\int_0^t e(\tau)\,d\tau+K_d\,\frac{de(t)}{dt}$$

In the $s$ domain the controller can be written in two equivalent forms.

$$C(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_d s \;=\; K_p\left(1+\frac{1}{T_i s}+T_d s\right),\qquad K_i=\frac{K_p}{T_i},\; K_d=K_pT_d$$

The first form is used in many software manuals; the second appears in textbooks and industrial controllers. Check which form your device uses before entering values.

## What each term does

- P (proportional): a large error gives a strong command, a small error a gentle one. Raising $K_p$ makes the response faster, but too much causes oscillation or instability, and most systems still keep a steady-state error with P alone.

- I (integral): as long as some error remains, it keeps accumulating until the command is strong enough to remove it. This drives the steady-state error to a constant reference to zero, but it slows the response and can cause overshoot.

- D (derivative): looks at the rate of change of the error and brakes in advance, reducing overshoot, but it amplifies high-frequency noise.

### Effect of increasing each gain on the step response

| Increase | Rise time | Overshoot | Settling time | Steady-state error |

| $K_p$ | Decreases | Increases | Small change | Decreases |

| $K_i$ | Decreases | Increases | Increases | Eliminated |

| $K_d$ | Small change | Decreases | Decreases | No change |

This table shows general trends for low-order systems. The three gains interact, so tune them together rather than finishing one at a time.

## Starting values with Ziegler–Nichols (closed-loop method)

Set $K_i=K_d=0$ and raise $K_p$ a little at a time until the system oscillates steadily. Record that $K_p$ as $K_u$ (the ultimate gain) and the oscillation period as $P_u$, then read the values from the table.

| Type | $K_p$ | $T_i$ | $T_d$ |

| P | $0.5K_u$ | – | – |

| PI | $0.45K_u$ | $P_u/1.2$ | – |

| PID | $0.6K_u$ | $P_u/2$ | $P_u/8$ |

Example

### You find $K_u=8$ and $P_u=2$ seconds

-
$$K_p=0.6\times8=4.8,\qquad T_i=\frac{2}{2}=1\ \text{s},\qquad T_d=\frac{2}{8}=0.25\ \text{s}$$

-
$$K_i=\frac{K_p}{T_i}=4.8,\qquad K_d=K_pT_d=4.8\times0.25=1.2$$

Starting values: $K_p=4.8$, $K_i=4.8\ \text{s}^{-1}$, $K_d=1.2\ \text{s}$. This method often gives high overshoot, so use it as a starting point and then reduce $K_p$ or $K_i$ according to the real response.

## Problems you meet in practice

- Integral windup: the actuator saturates but the I term keeps accumulating, causing large overshoot when the error changes sign. Fix it with anti-windup, for example stop integrating while saturated.

- Noise in the D term: add a low-pass filter on the derivative, and take the derivative of the measurement $y$ instead of the error $e$ so a sudden setpoint change does not cause a kick.

- Dead time: the larger it is, the more you must reduce $K_p$, and the D term helps little.

## Keep learning in the library

The full lessons are in Thai, with English technical terms and the same formulas.

- The PID controller: structure, effects and a browser simulation lab (in Thai)

- PID tuning: Ziegler–Nichols, Cohen–Coon and other methods (in Thai)

- Stability of control systems (in Thai)

- The whole control systems series: feedback, root locus, Bode (in Thai)

## Frequently asked questions

What do Kp, Ki and Kd each do?
Kp reacts to the present error: raising it speeds up the response but risks overshoot. Ki accumulates past error and removes steady-state error. Kd looks at the trend of the error: it reduces overshoot but is sensitive to noise.

Why do some systems use only PI instead of PID?
Because the derivative term amplifies sensor noise. Loops with noisy measurements, such as flow and liquid level, usually use PI, which is simple and good enough. Slow processes with clean measurements may benefit from the D term.

What is integral windup?
When the actuator (valve, motor, heater) saturates but the error is still not zero, the integral term keeps accumulating. When the error finally changes sign it takes a long time to unwind, causing large overshoot. Anti-windup, such as stopping integration while saturated, fixes it.

Does Ziegler–Nichols work for every kind of system?
No. The closed-loop method requires letting the system oscillate continuously at $K_u$, which can be dangerous on a real process, and the result is usually an aggressive, oscillatory response. Use it as a starting point and then fine-tune.

## More articles worth reading

Control systems
PID Tuning: The Complete Guide from Step Test to Ziegler–Nichols, SIMC and Anti-Windup
A full PID tuning course in one article: identify the process with a step test, tune with Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, SIMC or relay, compare the…
16 Oct 2026Read the article →

Python · AI
Learning to Program in the AI Era: Why Start with Python
AI writes code in any language, but if you cannot read code you cannot tell whether it is right. Why Python is the best first language, six core…
25 Oct 2026Read the article →

Linear algebra
Cramer's Rule: How to Use It, Why It Works, and When Not to Use It
Cramer's rule explained: replace a column by the constants and divide determinants, 2×2 and 3×3 examples, one unknown, a two-line proof, the Δ = 0…
25 Oct 2026Read the article →

All 2 articles in Control Systems & PID → · All articles

## FAQ

**What do Kp, Ki and Kd each do?**
Kp reacts to the present error: raising it speeds up the response but risks overshoot. Ki accumulates past error and removes steady-state error. Kd looks at the trend of the error: it reduces overshoot but is sensitive to noise.

**Why do some systems use only PI instead of PID?**
Because the derivative term amplifies sensor noise. Loops with noisy measurements, such as flow and liquid level, usually use PI, which is simple and good enough. Slow processes with clean measurements may benefit from the D term.

**What is integral windup?**
When the actuator (valve, motor, heater) saturates but the error is still not zero, the integral term keeps accumulating. When the error finally changes sign it takes a long time to unwind, causing large overshoot. Anti-windup, such as stopping integration while saturated, fixes it.

**Does Ziegler–Nichols work for every kind of system?**
No. The closed-loop method requires letting the system oscillate continuously at $K_u$, which can be dangerous on a real process, and the result is usually an aggressive, oscillatory response. Use it as a starting point and then fine-tune.

---

# What Is a Taylor Series, What Is It Used For, with Examples

URL: https://modsengineeringmath.com/en/blog/what-is-taylor-series/
Updated: 2026-10-25
Summary: What a Taylor series is, the Maclaurin series table to memorise, and 8 worked examples: approximation, expanding about other points, how many terms, integrals, limits and engineering uses.

THภาษาไทยENEnglish
// Article · Sequences & series

# What Is a Taylor Series, What Is It Used For, with Examples

A calculator does not know sin or eˣ directly; it only knows how to add and multiply. A Taylor series turns almost any function into a polynomial that can be computed with additions and multiplications, and it is the reason engineers can write $\sin\theta \approx \theta$ with confidence. This article gives the formula, the table of series worth memorising and 8 worked examples.

30-second summary

- $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$ inside the radius of convergence

- Expanding about $a = 0$ gives the Maclaurin series

- Keep n terms to get the Taylor polynomial $P_n(x)$, with error at most $\dfrac{M|x - a|^{n+1}}{(n+1)!}$

## What is a Taylor series?

To find the polynomial that looks most like $f(x)$ near a point $a$, force its value, slope, curvature and every higher derivative at $a$ to match those of $f$. The result is the coefficients $c_k = \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}$ and the series

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots$$

The first two terms $f(a) + f'(a)(x - a)$ are the tangent line, the linearization that engineers use more than any other approximation. Each extra term makes the polynomial follow the function over a wider range.

## How to find a Taylor series: the example of eˣ

Example 1

### Find the Maclaurin series of $e^x$ and approximate $e^{0.5}$ with 5 terms.

- Every derivative of $e^x$ is $e^x$; at $x = 0$ this gives $f^{(k)}(0) = 1$ for every k

- Coefficients $c_k = \dfrac{1}{k!}$: $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \cdots$

- $e^{0.5} \approx 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208333 + 0.0026042 = 1.6484375$

- The true value is $1.6487213$, an error of $2.8\times10^{-4}$. Lagrange bound: $\dfrac{e^{0.5}(0.5)^5}{5!} < \dfrac{1.65\times0.03125}{120} \approx 4.3\times10^{-4}$ ✓

$e^{0.5} \approx 1.6484$ from just 5 terms, and we know in advance that the error is below $4.3\times10^{-4}$.

### The Maclaurin series table to memorise

Doing the same for other functions gives the table below. The right-hand column is where the series converges to the function; outside it the series cannot be used.

| Function | Maclaurin series | Valid for |

| $e^x$ | $1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$ | all x |

| $\sin x$ | $x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ | all x |

| $\cos x$ | $1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots$ | all x |

| $\dfrac{1}{1 - x}$ | $1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ | $|x| < 1$ |

| $\ln(1 + x)$ | $x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ | $-1 < x \le 1$ |

| $\tan^{-1} x$ | $x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \cdots$ | $|x| \le 1$ |

| $(1 + x)^{\alpha}$ | $1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots$ | $|x| < 1$ |

Remember the first three rows and the geometric series $1/(1 - x)$, and you can build the rest: integrating $1/(1 + t)$ gives $\ln(1 + x)$, and integrating $1/(1 + t^2)$ gives $\tan^{-1} x$ (see the geometric series formula).

## Approximation examples

Example 2 · The small-angle approximation

### What is the percentage error of $\sin\theta \approx \theta$ at $\theta = 5^\circ$, and how much better is it with the extra term $-\theta^3/6$?

- Convert to radians: $\theta = 5\pi/180 = 0.0872665$. The true value is $\sin 5^\circ = 0.0871557$

- $\sin\theta \approx \theta$ is off by $0.0001107$, or $0.13\%$

- $\theta - \theta^3/6 = 0.0871557$, off by only $4.2\times10^{-8}$

At 5°, $\sin\theta \approx \theta$ is only 0.13% off, but only in radians (see the error table by angle in the trigonometry lesson, in Thai).

Example 3

### Approximate $\cos 0.2$ and $\sqrt{1.02}$ without a calculator.

- $\cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}$: $\cos 0.2 \approx 1 - 0.02 + 0.0000667 = 0.9800667$ (true 0.9800666)

- $\sqrt{1 + x} \approx 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8}$: $\sqrt{1.02} \approx 1 + 0.01 - 0.00005 = 1.00995$ (true 1.0099505)

$\cos 0.2 \approx 0.98007$ · $\sqrt{1.02} \approx 1.00995$

## Taylor series about a point other than 0

If the x you need is far from 0, a Maclaurin series needs many terms. Choose instead an expansion point $a$ near x where the function is easy to evaluate; the terms are then powers of $(x - a)$, which is small.

Example 4

### Use the second-order Taylor polynomial of $\sqrt{x}$ about $a = 4$ to approximate $\sqrt{4.1}$, with an error bound.

- $f(x) = x^{1/2},\ f'(x) = \tfrac12 x^{-1/2},\ f''(x) = -\tfrac14 x^{-3/2}$. At $a = 4$: $f = 2,\ f' = \tfrac14,\ f'' = -\tfrac{1}{32}$

- $P_2(x) = 2 + \dfrac{x - 4}{4} - \dfrac{(x - 4)^2}{64}$ (the second-order coefficient is $f''(4)/2! = -1/64$)

- $P_2(4.1) = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375$. The true value is $2.02484567$, an error of $1.92\times10^{-6}$

- Lagrange bound: $f'''(x) = \tfrac38 x^{-5/2} \le \tfrac38\cdot\tfrac{1}{32}$ on $[4,\ 4.1]$, so $|R_2| \le \dfrac{3/256}{3!}(0.1)^3 \approx 1.95\times10^{-6}$ ✓

$\sqrt{4.1} \approx 2.024844$, correct to 5 decimal places from a polynomial of degree two, because $x - a = 0.1$ is small.

## How many terms? Computing e

Example 5

### How far must the series of $e^x$ go to guarantee that $e = e^1$ is within $5\times10^{-5}$ (correct to 4 decimal places)?

- Lagrange bound at $x = 1$: $|R_n| \le \dfrac{M}{(n+1)!}$ with $M = \max e^c \le e < 3$ on $[0,\ 1]$

- We need $\dfrac{3}{(n+1)!} < 5\times10^{-5}$, that is $(n+1)! > 60\,000$. Since $8! = 40\,320$ is not enough but $9! = 362\,880$ is, $n = 8$

- $\sum_{k=0}^{8} \dfrac{1}{k!} = 2.7182788$. The true value is $2.7182818$, an error of $3.1\times10^{-6}$ ✓

Going up to $x^8/8!$ (9 terms) guarantees it. In fact stopping at $x^7/7!$ already gives an error of only $2.8\times10^{-5}$: the Lagrange bound is a guarantee, so it is usually larger than the actual error.

## New series from the table: integrals and limits

You do not have to differentiate from scratch every time. Substitute, multiply, integrate or differentiate the series in the table term by term (inside the radius of convergence). This lets you evaluate integrals that have no antiderivative in terms of elementary functions.

Example 6 · An integral with no elementary antiderivative

### Approximate $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$.

- Replace $x$ by $-x^2$ in the series of $e^x$: $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{2!} - \dfrac{x^6}{3!} + \dfrac{x^8}{4!} - \cdots$

- Integrate term by term from 0 to 1: $1 - \dfrac13 + \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{42} + \dfrac{1}{216} - \dfrac{1}{1320} + \cdots$

- First five terms: $1 - 0.333333 + 0.1 - 0.023810 + 0.004630 = 0.747487$

- This is an alternating series with decreasing terms, so the error is at most the next term, $1/1320 \approx 7.6\times10^{-4}$. The true value is $0.746824$, an error of $6.6\times10^{-4}$ ✓

$\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}dx \approx 0.7475$. This function has no elementary antiderivative, yet it is at the heart of the normal distribution and the error function used in noise analysis.

Example 7 · A 0/0 limit

### Find $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^3}$.

- Substitute the series: $\sin x - x = -\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$

- Divide by $x^3$: $-\dfrac16 + \dfrac{x^2}{120} - \cdots \to -\dfrac16$ as $x \to 0$

The limit is $-\tfrac16$. L'Hôpital's rule needs three rounds of differentiation; the Taylor series gives the answer in one line and also tells you that $\sin x$ differs from $x$ by about $x^3/6$.

## Engineering uses

Example 8 · Small-signal diode model

### A diode obeys $i = I_S e^{v/V_T}$ and operates at $I_D = 1\ \text{mA}$, $V_T = 26\ \text{mV}$. If the voltage rises by $\Delta v = 2\ \text{mV}$, what is the current?

- First-order Taylor expansion about the operating point: $i \approx I_D\left(1 + \dfrac{\Delta v}{V_T}\right)$, with small-signal resistance $r_d = V_T/I_D = 26\ \Omega$

- Approximation: $1\ \text{mA}\times(1 + 2/26) = 1.0769\ \text{mA}$

- Exact: $1\ \text{mA}\times e^{2/26} = 1.0800\ \text{mA}$, an error of 0.3%, because $\Delta v$ is much smaller than $V_T$

$\approx 1.077\ \text{mA}$. This is where every small-signal equivalent circuit in electronics comes from.

- Pendulums and control systems $\sin\theta \approx \theta$ turns a nonlinear equation into a linear differential equation that can be solved with Laplace transforms.

- Sensitivity $(1 + x)^n \approx 1 + nx$: a 3% rise in voltage raises the power $V^2/R$ by about 6%.

- Firmware Microcontrollers without a floating-point sine unit use a Taylor polynomial of a few terms over a narrow angle range.

## Keep learning in the library

The full lessons are in Thai, with English technical terms and the same formulas.

- The full Taylor and Maclaurin series lesson: the table to memorise, Lagrange remainder and how many terms (in Thai)

- Power series and the radius of convergence, with a complex-plane disc lab (in Thai)

- Taylor polynomial lab: choose the function, centre and degree (in Thai)

- Next article: Laurent series vs Taylor series

- Finding the nth-derivative formula by induction, for use in Taylor series (in Thai)

- Next article: 14 mathematical induction examples, including an nth-derivative formula

- Next article: how to find the radius of convergence of a power series

- Derivatives, the foundation of Taylor coefficients (in Thai)

## Frequently asked questions

What is the difference between a Taylor series and a Maclaurin series?
A Maclaurin series is a Taylor series expanded about $a = 0$, a special case. The formula is the same with $a = 0$ substituted.

How many terms are enough?
It depends on the accuracy you need and the distance $|x - a|$. Use the Lagrange remainder bound $|R_n| \le M|x - a|^{n+1}/(n+1)!$ and choose n so the bound is below your tolerance. The closer x is to a, the fewer terms you need.

Does a Taylor series work for every x?
Not always, only inside the radius of convergence R. For example $e^x,\ \sin x,\ \cos x$ have $R = \infty$, but $\ln(1 + x)$ and $1/(1 - x)$ have $R = 1$. Outside that range, adding more terms never approaches the true value.

What do engineers use Taylor series for?
To approximate complicated functions with polynomials, for example $\sin\theta \approx \theta$ for pendulums and control systems, linearization about an operating point in small-signal models of diodes and transistors, and computing sin and eˣ on microcontrollers.

## More articles worth reading

Sequences & series
What Do You Learn in Sequences and Series? A Roadmap from Sequences to Laurent Series
The whole sequences and series chapter on one page: what each topic answers, its key formula and typical exam questions, from sequences and…
24 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
Geometric Series: Formula, Examples and How to Find the Sum
Geometric series formula for the sum of n terms and the infinite sum a₁/(1 − r) when |r| < 1, with the derivation, step-by-step examples, common…
17 Oct 2026Read the article →

Sequences & series
Mathematical Induction Examples with Step-by-Step Solutions, Including Strong Induction
14 worked proof-by-induction examples: writing the induction statement P(n), sums, divisibility, inequalities, recurrences and strong induction,…
17 Oct 2026Read the article →

All 7 articles in Sequences & Series → · All articles

## FAQ

**What is the difference between a Taylor series and a Maclaurin series?**
A Maclaurin series is a Taylor series expanded about $a = 0$, a special case. The formula is the same with $a = 0$ substituted.

**How many terms are enough?**
It depends on the accuracy you need and the distance $|x - a|$. Use the Lagrange remainder bound $|R_n| \le M|x - a|^{n+1}/(n+1)!$ and choose n so the bound is below your tolerance. The closer x is to a, the fewer terms you need.

**Does a Taylor series work for every x?**
Not always, only inside the radius of convergence R. For example $e^x,\ \sin x,\ \cos x$ have $R = \infty$, but $\ln(1 + x)$ and $1/(1 - x)$ have $R = 1$. Outside that range, adding more terms never approaches the true value.

**What do engineers use Taylor series for?**
To approximate complicated functions with polynomials, for example $\sin\theta \approx \theta$ for pendulums and control systems, linearization about an operating point in small-signal models of diodes and transistors, and computing sin and eˣ on microcontrollers.

---

# Celtic Cross Tarot Reading from a Photo

URL: https://modsengineeringmath.com/en/tools/tarot-photo/
Updated: 2026-10-26
Summary: Photograph a real Celtic Cross tarot spread, pin all ten positions with two taps, name each card and its direction, including which way the sideways crossing card points, see elemental links and get a detailed reading. Your photo never leaves the browser.

THภาษาไทยENEnglish
// Tools · Tarot · Photo

# Celtic Cross Tarot Reading from a Photo

For readers who shuffle and lay out real cards. Photograph the spread, tap twice to pin all ten positions, name each card and the way it lies, then read it with the same interpretation engine as the Celtic Cross tarot reader. The photo stays in your browser.

## Read your own spread from a photo

This page needs JavaScript to show the photo, place the pins and read the cards.

What this page does

- Your real cards. Shuffle, cut and lay out the cards on the table as usual, then take a photo or choose one from your device.

- Card names float over the real cards. Tap the centre of the cross and card 10; the page pins the other eight positions and labels each card on the photo.

- No more doubt about card 2. You only say whether its head points left or right; the page reads it by the rule you chose.

- See the connections. Lines join positions that are read as pairs and show their elemental relationship, before the full reading of elements, zodiac, numbers and the Key of Life.

## Taking a photo that works

- Lay the cards on a plain cloth or table with a little space between them, except card 2, which crosses card 1 as usual.

- Hold the phone parallel to the table and shoot straight down with all ten cards in the frame, in even light and without the shadow of your hand.

- Shoot from any side: pinning works out the rotation from the points you tap. If the whole spread faces the querent, tick “Photo taken from the querent's side” to invert every card.

- If your layout is spaced differently from the standard diagram, a pin may land off its card. Drag it onto the right card.

## Is card 2 reversed? Reading the direction of the crossing card

Card 2 of the Celtic Cross lies across card 1 and stands for the force that crosses your situation. A card lying on its side has no built-in “upright” or “reversed”, so a rule has to decide. Books and traditions differ; three rules are common.

- Always upright. The crossing card is already the obstacle, so no reversed meaning is layered on top.

- Head left = upright. If the head points toward card 4 (the past) it is upright; toward card 6 it is reversed.

- Head right = upright. The opposite of the previous rule.

This page keeps what you see apart from how it is read. You record only the fact on the table, which way the head points, and the page applies your rule. The diagram turns card 2 so its head points the same way as the real card. If you change the rule later, the recorded direction stays and the reading follows at once.

The head is the top edge of the picture, where the figure's head and the sky are. On Rider–Waite style cards the number sits at the top and the title banner at the bottom.

## Lines in the spread: paired positions and elemental dignities

The Celtic Cross can be read in pairs. The diagram draws the pairs used most often and colours each line by the Golden Dawn elemental dignity of the two cards.

- 1–2 the heart of the matter and what crosses it · 3–5 root and crown · 4–6 the recent past flowing into the near future

- 1–10 from situation to outcome · 5–10 what you aim for against where things are heading

- 7–8 how you see yourself against how others see you · 7–9 your stance and your hopes and fears · 9–10 hopes and fears shaping the outcome

The same element strengthens (thick gold line). Fire with Air and Water with Earth are friendly and support each other (green). Fire with Water and Air with Earth are contrary and weaken each other (red dashes). Other pairs are neutral (dotted). Major Arcana take the element of their sign or planet. The full reading explains every pair again, together with signs, planets, numbers and the Key of Life on the Tree of Life.

## How two taps place all ten pins

The standard Celtic Cross diagram already gives every position a coordinate. A photo differs from it only by a shift, a rotation and a scale, and one complex number captures all three. With $z$ a point on the diagram and $w$ the same point on the photo,

$$w = A + a\,(z - z_A), \qquad a = \frac{B - A}{z_B - z_A}$$

where $z_A$ is the centre of the cross, $z_B$ the centre of card 10, and $A$, $B$ the two points you tap. The modulus of $a$ is the scale and its argument is the angle the photo is turned by. Putting the other eight diagram coordinates through the same formula gives their pins on the photo.

## Before you use it

This page does not read card names from the photo; you name the cards and their directions, and the photo lets you check them against the table. Your photo, question and birth date are never sent anywhere. Only the card names, directions and card 2 rule are kept on your device.

There is no scientific evidence that tarot predicts the future. Use the reading as a tool for reflection, never in place of medical, legal or financial advice. No cards to hand? The Celtic Cross tarot reader shuffles a deck for you in the browser.

## Frequently asked questions

Is my photo uploaded anywhere?
No. The photo is opened in your browser only; the page never sends the photo, your question or your birth date anywhere. Close the page or tap Remove photo and it is gone. The only things kept on your device are the ten card names, their directions and your card 2 rule.

Does the page recognise the cards in the photo?
No. This page does not use AI image recognition. You name each card and its direction; the photo is there to pin the positions and float the card names over your real cards so you can check them against the table. The interpretation uses the same engine as this site's tarot reader.

When is the sideways card in position 2 reversed?
There is no single standard. Card 2 lies across card 1, so it has no natural up or down. Some readers always read it upright, some treat head-left as upright and some treat head-right as upright. On this page you say which way its head points, and the page applies the rule you have chosen. Pick one rule and keep it.

Which edge is the head of the card?
The head is the top edge of the picture, where the figure's head and the sky are. On Rider–Waite style cards the number sits at the top and the title banner at the bottom. When the card lies sideways, check whether the numbered edge points toward card 4 (left) or card 6 (right).

What do the coloured lines in the spread mean?
They join positions that are read as pairs in the Celtic Cross, such as 1 and 10 (situation and outcome) or 3 and 5 (root and crown). The colour and dash show the Golden Dawn elemental dignity: the same element strengthens, Fire with Air or Water with Earth support each other, Fire with Water or Air with Earth weaken each other, and other pairs are neutral.

What if I photograph the spread from the querent's side?
Tick “Photo taken from the querent's side” and every card's direction is inverted, because a card that is upright for the reader looks reversed from the opposite side of the table. Pinning works at any angle, since the rotation is computed from the two points you tap.

How accurate is a tarot reading?
There is no scientific evidence that tarot predicts the future. The reader applies traditional reading rules consistently, so use the result as a perspective for reflection, never as a substitute for a doctor, lawyer or financial adviser.

## FAQ

**Is my photo uploaded anywhere?**
No. The photo is opened in your browser only; the page never sends the photo, your question or your birth date anywhere. Close the page or tap Remove photo and it is gone. The only things kept on your device are the ten card names, their directions and your card 2 rule.

**Does the page recognise the cards in the photo?**
No. This page does not use AI image recognition. You name each card and its direction; the photo is there to pin the positions and float the card names over your real cards so you can check them against the table. The interpretation uses the same engine as this site's tarot reader.

**When is the sideways card in position 2 reversed?**
There is no single standard. Card 2 lies across card 1, so it has no natural up or down. Some readers always read it upright, some treat head-left as upright and some treat head-right as upright. On this page you say which way its head points, and the page applies the rule you have chosen. Pick one rule and keep it.

**Which edge is the head of the card?**
The head is the top edge of the picture, where the figure's head and the sky are. On Rider–Waite style cards the number sits at the top and the title banner at the bottom. When the card lies sideways, check whether the numbered edge points toward card 4 (left) or card 6 (right).

**What do the coloured lines in the spread mean?**
They join positions that are read as pairs in the Celtic Cross, such as 1 and 10 (situation and outcome) or 3 and 5 (root and crown). The colour and dash show the Golden Dawn elemental dignity: the same element strengthens, Fire with Air or Water with Earth support each other, Fire with Water or Air with Earth weaken each other, and other pairs are neutral.

**What if I photograph the spread from the querent's side?**
Tick “Photo taken from the querent's side” and every card's direction is inverted, because a card that is upright for the reader looks reversed from the opposite side of the table. Pinning works at any angle, since the rotation is computed from the two points you tap.

**How accurate is a tarot reading?**
There is no scientific evidence that tarot predicts the future. The reader applies traditional reading rules consistently, so use the result as a perspective for reflection, never as a substitute for a doctor, lawyer or financial adviser.

---

# Celtic Cross Tarot Reading (10 Cards)

URL: https://modsengineeringmath.com/en/tools/tarot/
Updated: 2026-10-26
Summary: A 10-card Celtic Cross tarot reading: type your question, shuffle with physical models (riffle, overhand, table wash, three-pile cut) and get a detailed reading with elements, zodiac, numbers and the Tree of Life. Free, in your browser.

THภาษาไทยENEnglish
// Tools · Tarot · Celtic Cross

# Celtic Cross Tarot Reading (10 Cards)

Type your question, shuffle the deck yourself, cut it into three piles and lay out ten cards in the Celtic Cross. The reader interprets every position in the light of your question and analyses elements, zodiac signs, planets, numbers and the Tree of Life. Everything happens in your browser.

## Your online tarot reading

This page needs JavaScript to shuffle and read the cards.

How this differs from a random card draw

- Real shuffling, not random draws. Every card moves as a riffle, overhand or table wash moves it, and you cut the deck into three piles yourself.

- The deck remembers. Like a real deck left on the table, a short shuffle leaves traces of your last reading, and the meter shows it.

- Reads your question. The reader detects the topic and the type of question (yes/no, when, what should I do) and interprets accordingly.

- Many layers. Elements and their dignities, signs, decans, planets, the energy trend, numbers, the Tree of Life and keys from your birth date.

Already laid out real cards on the table? Photograph them and name the cards in Tarot reading from a photo.

## The 10 positions of the Celtic Cross

The Celtic Cross is the most popular tarot spread, published by A. E. Waite in 1910. The first six cards form a cross that shows the situation and its time line; the four cards on the right form a staff for you, your surroundings, your hopes and fears, and the outcome.

| Position | Meaning |

| 1 Heart of the matter | the situation and main energy now |

| 2 Challenge | the crossing card: the obstacle or force to handle |

| 3 Foundation | the root: the distant past or a subconscious drive |

| 4 Recent past | what is fading out |

| 5 Crown | your conscious aim and the best possible result |

| 6 Near future | what comes next |

| 7 Yourself | your attitude and approach |

| 8 Environment | other people and your surroundings |

| 9 Hopes and fears | what you hope for or fear, often the same thing |

| 10 Outcome | where things are heading on the present course |

The reader also reads the axes between positions: the time line 4 → 1 → 6, root and aim 3 ↔ 5, you and your surroundings 7 ↔ 8, hopes and outcome 9 → 10, and aim and outcome 5 → 10.

## The mathematics of shuffling: why shuffle for real

78 cards can be ordered in $78! \approx 1.13\times10^{115}$ ways; counting upright and reversed it is $78!\cdot 2^{78} \approx 3.42\times10^{138}$, about 460 bits. Shuffling is a random walk on this enormous set, one step at a time. So this page never draws a fresh random order in one go; the cards move according to a model of each shuffle.

### The riffle: the Gilbert–Shannon–Reeds model

The shuffler splits the deck into two packets. The split is not exactly in the middle but binomial, $P(K=k)=\binom{n}{k}\big/2^{n}$. Cards then drop from the bottom of the left or right packet: with $a$ cards left on the left and $b$ on the right, the next card comes from the left with probability $\frac{a}{a+b}$. Diaconis found that this model fits real human shuffles closely.

Bayer and Diaconis (1992) proved that after $k$ riffles, a permutation with $r$ rising sequences has probability

$$P_k(\pi)=\frac{1}{2^{kn}}\binom{2^{k}+n-r}{n}$$

so the distance from perfect randomness (total variation distance) can be computed exactly. For 78 cards:

| Riffles | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

| TV distance | 1.000 | 0.893 | 0.571 | 0.307 | 0.153 | 0.078 | 0.039 | 0.020 |

The distance collapses around $\tfrac{3}{2}\log_2 n \approx 9.4$ riffles, so a 78-card tarot deck needs more shuffling than a 52-card deck (about 7). With reversals on, the shuffler turns the bottom packet 180° half of the time before riffling, so reversed cards come from a real action rather than a separate coin toss.

### The overhand shuffle and the table wash

The overhand shuffle pulls packets off the top with the thumb into the other hand; each packet lands on the last, so the packet order reverses while the order inside a packet is kept. Here a break happens between two cards with probability 0.16 (packets of about 6 cards). Pemantle (1989) and Jonasson (2006) showed that it takes on the order of $n^{2}\log n$ shuffles, compared with $\log n$ for the riffle, so the overhand mixes very slowly.

The table wash is modelled as diffusion of position and angle. After washing for $t$ seconds, card $i$ drifts to $i+\sigma(t)Z_i$ with $\sigma(t)=4t^{0.85}$ and turns to $\theta_i+0.9\sqrt{t}\,Z_i'$. When the cards are swept together they are ordered by their new places, and a card ends reversed when $\cos\theta_iThe meter compares the current order with the order before this round of shuffling, using three statistics, and reports the worst.

- Rising sequences count how many runs of formerly neighbouring cards are still in order. A well-shuffled deck averages $\frac{n+1}{2}=39.5$; after $k$ riffles there can be at most $2^{k}$.

- Neighbour pairs: a well-shuffled deck keeps only about $\frac{2(n-1)}{n}\approx 2$ pairs together.

- Spearman correlation $\rho=1-\frac{6\sum d_i^{2}}{n(n^{2}-1)}$ between old and new positions should be near 0.

Note that such statistics can look random before the deck truly is: after 7 riffles they look excellent, yet the TV distance is still 0.57. That is why the page also shows the Bayer–Diaconis theoretical bound when you riffle.

### The imprecision of a hand

A computer cannot reproduce every detail of your hands, so the models reproduce the structure of real shuffles and use randomness only where a human hand is imprecise: the split point, which card falls first, packet sizes and drift. The randomness comes from the browser's crypto.getRandomValues, mixed with the timing of your mouse moves, taps, keystrokes and how long you hold the wash button, and fed to an sfc32 generator for every shuffle.

## How the cards are interpreted: elements, zodiac, numbers and the Tree of Life

Each card carries the correspondences of the Hermetic Order of the Golden Dawn, the system behind the Rider–Waite–Smith deck.

| Suit | Element | Decans (cards 2–10) | World on the Tree of Life |

| Wands | Fire | 2–4 Aries · 5–7 Leo · 8–10 Sagittarius | Atziluth (will) |

| Cups | Water | 2–4 Cancer · 5–7 Scorpio · 8–10 Pisces | Briah (feeling) |

| Swords | Air | 2–4 Libra · 5–7 Aquarius · 8–10 Gemini | Yetzirah (thought) |

| Pentacles | Earth | 2–4 Capricorn · 5–7 Taurus · 8–10 Virgo | Assiah (matter) |

- Cards 2–10 each rule one decan (10° of the zodiac) with a planet in Chaldean order, e.g. 2 of Wands = Mars in Aries, 9 of Swords = Mars in Gemini, 7 of Pentacles = Saturn in Taurus. The number also places the card on a Sephirah (Ace = Kether … 10 = Malkuth).

- Court cards: King = Fire of the suit's element, Queen = Water, Knight = Air, Page = Earth. Kings, Queens and Knights span 20° of one sign to 20° of the next; Aces and Pages rule a quarter of the zodiac.

- Major Arcana carry the 22 Hebrew letters and the 22 paths (11–32) of the Tree of Life, with a sign, planet or element, e.g. The Emperor = ה Heh, Aries; Death = נ Nun, Scorpio.

### Elemental dignities

Cards of the same element strengthen each other strongly; Fire and Air, and Water and Earth, are friendly; Fire and Water, and Air and Earth, are contrary; the other pairs are neutral. The reader uses this to judge how much the challenge (position 2) weakens the heart of the matter, whether root and aim pull together, and whether the neighbouring cards strengthen or weaken the outcome.

### Trend, score and statistics

Every card has a valence $v$ from −3 to +3, upright and reversed separately. Positions 3, 4, 1, 6 and 10 sit on a time line $t=-2,\dots,2$, and the trend is the least-squares slope

$$b=\frac{\sum t_i\,(v_i-\bar v)}{\sum t_i^{2}}$$

The overall score $S=\dfrac{\sum w_p v_p}{3\sum w_p}$ lies between −1 and 1, weighting the outcome 1.6, the near future 1.2 and the present 1.0 above the other positions. For yes/no questions it is blended with the outcome card. The number of Major Arcana is compared with its expectation $10\cdot\tfrac{22}{78}\approx 2.8$ and the hypergeometric tail $P(X\ge k)=\sum_{x\ge k}\binom{22}{x}\binom{56}{10-x}\big/\binom{78}{10}$.

### Timing from decans and the Sun's position

When the outcome card rules a span of the zodiac, the reader finds the next dates on which the Sun stands in that span, using a solar position formula good to about 0.01° ($d$ is days since 1 January 2000, 12:00 UT):

$$\lambda_\odot = q + 1.915^\circ\sin g + 0.020^\circ\sin 2g,\quad q=280.459^\circ+0.98564736^\circ d,\quad g=357.529^\circ+0.98560028^\circ d$$

Cards ruled by a planet take the planet's speed as their pace, and the suit sets how fast events move: Wands and Swords fast, Cups moderate, Pentacles slow but sure.

### Key of Life: quintessence, the Tree of Life and your birth date

- Quintessence: add the numbers of the Major Arcana and of the cards 1–10, and reduce until the total is 22 or less; the Major Arcana card with that number is the core of the reading.

- Tree of Life: Minor Arcana land on the Sephirah of their number and Major Arcana on their path; the weights add up to the Pillar of Mercy, the Pillar of Severity or the Middle Pillar, and to the upper, middle or lower level.

- Birth date: your sun sign comes from the Sun's actual position (with a warning near a sign boundary); the Life Path number keeps the master numbers 11, 22 and 33; the birth cards follow Mary K. Greer (day + month + year reduced to 22 or less); the year card uses the current year in place of the birth year.

## Before you use it

This page makes every step of the reading transparent, from the shuffle to the rules of interpretation, so you can see where each result comes from. Still, there is no scientific evidence that tarot predicts the future. Detailed interpretation does not make a reading statistically more accurate; it gives you more angles to think with. Use the result for reflection, and never in place of advice on health, law or money.

If the mathematics behind it interests you — probability, least squares, angles — explore the English lessons or the articles.

## Frequently asked questions

Why does this page make me shuffle instead of drawing random cards?
Most tarot programs generate a whole new random order in one step. This page simulates real shuffling step by step: every card moves the way that shuffle moves it, the deck keeps its order from your last reading, and a short shuffle leaves traces of the previous order, just like a real deck on the table. Randomness enters only where a hand is imprecise, such as where the deck is split or which card falls first.

How many times should I shuffle?
With riffles alone, the Bayer–Diaconis theory says a 78-card deck needs about 9–10 riffles before its order is close to perfectly random. A table wash should total about 30 seconds or more. The overhand shuffle mixes very slowly. Watch the mixing meter on the page.

What do reversed cards mean?
A reversed card usually means its energy is blocked, delayed or internal rather than outward; for a difficult card it can mean the situation is easing. Here reversals arise from turning half the deck during a riffle and from the table wash, not from a separate coin toss, and you can switch them off.

How does the reader interpret the cards?
It classifies your question by topic (love, work, money, health, family) and type, reads each card in its Celtic Cross position, links related positions, and applies Golden Dawn elemental dignities, zodiac decans, planets, numbers, the quintessence and the Tree of Life. With a birth date it also computes your sun sign from the Sun's position, your Life Path number and your tarot birth cards.

Is anything I type stored or sent anywhere?
No. Everything runs in your browser; your question and birth date are never sent anywhere. Only the deck order and your reversal setting are kept on your device, so the deck continues from your last reading.

How accurate is a tarot reading?
There is no scientific evidence that tarot predicts the future. This reader applies traditional reading rules carefully and consistently, so use the result as a perspective for reflection, never as a substitute for a doctor, lawyer or financial adviser.

## FAQ

**Why does this page make me shuffle instead of drawing random cards?**
Most tarot programs generate a whole new random order in one step. This page simulates real shuffling step by step: every card moves the way that shuffle moves it, the deck keeps its order from your last reading, and a short shuffle leaves traces of the previous order, just like a real deck on the table. Randomness enters only where a hand is imprecise, such as where the deck is split or which card falls first.

**How many times should I shuffle?**
With riffles alone, the Bayer–Diaconis theory says a 78-card deck needs about 9–10 riffles before its order is close to perfectly random. A table wash should total about 30 seconds or more. The overhand shuffle mixes very slowly. Watch the mixing meter on the page.

**What do reversed cards mean?**
A reversed card usually means its energy is blocked, delayed or internal rather than outward; for a difficult card it can mean the situation is easing. Here reversals arise from turning half the deck during a riffle and from the table wash, not from a separate coin toss, and you can switch them off.

**How does the reader interpret the cards?**
It classifies your question by topic (love, work, money, health, family) and type, reads each card in its Celtic Cross position, links related positions, and applies Golden Dawn elemental dignities, zodiac decans, planets, numbers, the quintessence and the Tree of Life. With a birth date it also computes your sun sign from the Sun's position, your Life Path number and your tarot birth cards.

**Is anything I type stored or sent anywhere?**
No. Everything runs in your browser; your question and birth date are never sent anywhere. Only the deck order and your reversal setting are kept on your device, so the deck continues from your last reading.

**How accurate is a tarot reading?**
There is no scientific evidence that tarot predicts the future. This reader applies traditional reading rules carefully and consistently, so use the result as a perspective for reflection, never as a substitute for a doctor, lawyer or financial adviser.

---

# คลังความรู้คณิตศาสตร์วิศวกรรม: แคลคูลัส พีชคณิตเชิงเส้น ลาปลาซ ระบบควบคุม | อาจารย์มด

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/
Updated: 2026-10-14
Summary: บทเรียนคณิตศาสตร์วิศวกรรมภาษาไทยแยกตามวิชา ฟังก์ชัน สูตรและตารางตรีโกณมิติ ลิมิต อนุพันธ์ อินทิกรัลพร้อมวิธีทำและการประยุกต์ทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล โยธา พีชคณิตเวกเตอร์ 2D/3D Component Projection Dot/Cross และการประยุกต์วิศวกรรม พีชคณิตเชิงเส้น (เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส คราเมอร์ ค่าเฉพาะ แล็บเมทริกซ์ โครงถัก) การแปลงลาปลาซ (จำนวนเชิงซ้อน เรซิดิว โพล-ซีโร่ ROC คุณสมบัติ Inverse Laplace) ระบบควบคุม (เราท์–เฮอร์วิตซ์ รูทโลคัส โบด PID เมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์) และอนุกรมฟูเรียร์กับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก (THD PF IEEE 519 อิเล็กทรอนิกส์กำลัง) พร้อมตัวอย่างที่เชื่อมกับวงจรไฟฟ้า โดยอาจารย์มด

// คลังความรู้

# คลังความรู้ของอาจารย์มด

บทเรียนคณิตศาสตร์วิศวกรรมภาษาไทย แยกหัวข้อละหนึ่งหน้า แต่ละบทสรุปแนวคิด สูตร และตัวอย่างที่ต่อไปถึงวงจรไฟฟ้า อ่านตามลำดับจะได้พื้นฐานครบสำหรับวิชาระบบควบคุมและอิเล็กทรอนิกส์กำลัง

## อ่านตามลำดับ

เลขกำกับคือลำดับที่แนะนำ บทหลังใช้เครื่องมือจากบทก่อนหน้า

f(x)01
ฟังก์ชัน: โดเมน เรนจ์ กราฟ และการแปลง
Functions
ฟังก์ชันคืออะไร โดเมน เรนจ์ กราฟของฟังก์ชันพื้นฐาน การเลื่อน ยืด สะท้อน ฟังก์ชันประกอบ ฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชันเป็นช่วง และสัญญาณขั้นบันได แรมป์ เอกซ์โพเนนเชียล ไซน์ในงานวิศวกรรม พร้อมแล็บกราฟโต้ตอบ
อ่านบทเรียน →

θ02
สูตรตรีโกณมิติและตารางค่า
Trigonometric Identities & Table
วงกลมหนึ่งหน่วยแบบโต้ตอบ สูตรครบทุกหมวดพร้อมชื่ออังกฤษ และตาราง sin cos tan ทุก 0.05° ตั้งแต่ 0° ถึง 90° ทั้งองศาและเรเดียน
อ่านบทเรียน →

lim03
ลิมิตและความต่อเนื่อง
Limits & Continuity
ลิมิตจากกราฟและตาราง นิยาม ε–δ แบบโต้ตอบ ลิมิตทางเดียว สมบัติของลิมิต รูปแบบ 0/0 ลิมิตที่อนันต์ ลิมิตตรีโกณ e ทฤษฎีบทแซนด์วิช ความต่อเนื่อง IVT และกฎของโลปิตาล · หน้าย่อย: ลำดับและอนุกรม อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
2 หน้าย่อย →

dy/dx04
อนุพันธ์ (Differential Calculus)
Differential Calculus
นิยามอนุพันธ์จากเส้นตัด–เส้นสัมผัส สูตรอนุพันธ์ครบ กฎลูกโซ่ อนุพันธ์โดยปริยาย อันดับสูง ค่าสุดขีด อัตราสัมพัทธ์ การประมาณเชิงเส้น นิวตัน-ราฟสัน และการประยุกต์ในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา
1 หน้าย่อย →

∫05
อินทิกรัล: สูตรและวิธีทำ
Integral Calculus
สูตรอินทิเกรตพร้อมชื่อสากล คุณสมบัติ สูตรสำเร็จ และวิธีทำทีละขั้น: เปลี่ยนตัวแปร u หารยาว เศษส่วนย่อย ทีละส่วน อินทิกรัลจำกัดเขต พร้อมแคลคูลัสเบื้องต้นและการประยุกต์ในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา
2 หน้าย่อย →

→06
เวกเตอร์: จากแรงลัพธ์ถึงเฟสเซอร์
Vectors: Forces, Fields & Phasors
เวกเตอร์ 2D/3D ทิศทางโคไซน์ แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์ ระบบแรงและโมเมนต์ การหมุนแกน แขนกล สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก sin/cos สู่เฟสเซอร์และวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ พร้อมแล็บ 3 มิติหมุนได้ แล็บกลศาสตร์ แล็บสนาม และแล็บวงจร AC
20 หน้าย่อย →

⊞07
พีชคณิตเชิงเส้น
Linear Algebra
เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ ระบบสมการ แรงก์ (ค่าลำดับขั้น) อินเวอร์ส กฎของคราเมอร์ ผลเฉลยเชิงตัวเลข (LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล) ค่าเฉพาะ และแนวข้อสอบ 45 ข้อ พร้อมโจทย์วงจรไฟฟ้า ตั้งแต่ ม.ปลาย ถึง ป.โท
12 หน้าย่อย →▶ มีวิดีโอ

ℒ08
การแปลงลาปลาซ
Laplace Transform
นิยาม การมีอยู่ ตารางคู่การแปลง จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ เรซิดิว แผนภาพโพล-ซีโร่และ ROC คุณสมบัติครบทุกข้อ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง-สอง และการแปลงลาปลาซผกผันระดับตำรา Ogata พร้อมแล็บโต้ตอบ
5 หน้าย่อย →▶ มีวิดีโอ

τ09
ระบบอันดับหนึ่ง
First-Order System · Lab
แล็บโต้ตอบ: ปรับค่าคงตัวเวลา τ หรือ R, C, L แล้วดูผลตอบสนอง สเกลลอการิทึม ระนาบ s และ Bode พร้อมเส้นช่วยวิเคราะห์
อ่านบทเรียน →

ζ10
ระบบอันดับสอง
Second-Order System · Lab
แล็บโต้ตอบ: ζ กำหนดรูปร่าง ωn กำหนดความเร็ว ลากขั้วบนระนาบ s แล้วดูผลตอบสนองเวลา เปลือก %OS และ Bode เปลี่ยนพร้อมกัน
อ่านบทเรียน →

∿11
สัญญาณเบื้องต้น
Signals · Lab
แล็บโต้ตอบ: พิมพ์สมการสัญญาณเอง ทั้ง x(t) และ x[n] ดูอนุพันธ์ ส่วนคู่คี่ พลังงาน สเปกตรัม การแปลงเวลา และคอนโวลูชัน
อ่านบทเรียน →

Hz12
แล็บเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคป
Function Generator & Oscilloscope Lab
แล็บจำลองเสมือนจริง: เครื่องกำเนิดสัญญาณคู่กับออสซิลโลสโคป 2 ช่อง ปรับได้ทุกปุ่ม พร้อมทฤษฎี Vpp Vrms ทริกเกอร์ โพรบ การวัดเฟส Bode วงจร RC RLC ไดโอด ออปแอมป์ และการสร้างเครื่องเอง ตั้งแต่ ม.ปลาย ถึง ป.โท
9 หน้าย่อย →

G(s)13
ระบบควบคุม (Control Systems Engineering)
Control Systems Engineering
วิศวกรรมระบบควบคุมจากพื้นฐานถึงขั้นสูง: ป้อนกลับ แบบจำลอง เสถียรภาพ Routh–Hurwitz รูทโลคัสแบบวาดด้วยมือ ตอบสนองความถี่ Bode Nyquist ตัวชดเชย P PI PD PID ปริภูมิสถานะ ดิจิทัล ไปจนถึงเมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ และตัวแปลงกำลัง
26 หน้าย่อย →▶ มีวิดีโอ

Σ14
อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก
Fourier Series & Harmonic Analysis
อนุกรมฟูเรียร์ทีละขั้นจนใช้งานจริง: หาสัมประสิทธิ์ สมมาตร สเปกตรัม พาร์เซวาล วิเคราะห์วงจรทีละฮาร์มอนิก THD PF และกำลังไฟฟ้า เรกติไฟเออร์ อินเวอร์เตอร์ PWM บั๊กคอนเวอร์เตอร์ การแก้ฮาร์มอนิก และ FFT พร้อมแล็บออสซิลโลสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้าเสมือน
14 หน้าย่อย →

⚡15
อิเล็กทรอนิกส์กำลัง
Power Electronics
วงจรแปลงผัน DC-DC บั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ ชุค ตั้งแต่ volt-second balance ถึงแบบจำลองสัญญาณเล็ก ออกแบบตัวชดเชย Type II/III peak current mode ควบคุมด้วยออปแอมป์และไมโครคอนโทรลเลอร์ ตัวสังเกต AI ออกแบบตัวเหนี่ยวนำ แหล่งจ่ายทดสอบ SMPS เทคนิคหน้างาน วิเคราะห์อาการเสีย พร้อมแล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์
22 หน้าย่อย →

☀16
ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์
Solar PV System Design
ออกแบบและใช้งานโซลาร์เซลล์ครบวงจร ตั้งแต่เส้นโค้ง I-V เลือกแผง แสงอาทิตย์ในไทย ระบบ on-grid off-grid hybrid ออกแบบสตริง สายไฟและการป้องกัน แบตเตอรี่ คาดการณ์พลังงานและความคุ้มค่า พยากรณ์ล่วงหน้า MPPT อินเวอร์เตอร์ เลือกตัวควบคุม โซลาร์จ่ายแอร์ โซลาร์ฟาร์ม ปั๊มน้ำเพื่อการเกษตร งานติดตั้งและบำรุงรักษา พร้อมเครื่องคำนวณออกแบบฟรี
19 หน้าย่อย →

🔌17
ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน
Home EV Charging
ชาร์จช้าด้วยสายชาร์จพกพาจากเต้ารับบ้าน (Mode 2) กับชาร์จเร็วที่บ้านด้วยวอลล์บ็อกซ์ (Mode 3) ตั้งแต่ kW กับ kWh แบตเตอรี่ CC-CV สัญญาณ Control Pilot ขนาดมิเตอร์ สายไฟ เบรกเกอร์ RCD Type B กราวด์ ค่าไฟ TOU และการใช้โซลาร์ แอร์ และรถ EV ร่วมกันในบ้านเดียว พร้อมเครื่องคำนวณและซิมูเลเตอร์พลังงานบ้าน 24 ชั่วโมง
9 หน้าย่อย →

⚡18
ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน
Power Systems & Protection
ปูพื้นก่อนเรียนวิชาระบบไฟฟ้ากำลังและการป้องกันระบบไฟฟ้ากำลัง: โครงสร้างระบบไฟฟ้าไทย เฟสเซอร์ สามเฟส กำลังเชิงซ้อน ระบบต่อหน่วย หม้อแปลงและสายส่ง การลัดวงจร องค์ประกอบสมมาตร หลักการป้องกัน CT รีเลย์กระแสเกินและการประสาน การต่อลงดิน รีเลย์ผลต่างและระยะทาง พร้อมแล็บคำนวณ
11 หน้าย่อย →

φ19
เพาเวอร์แฟกเตอร์ เข้าใจได้ทุกระดับ
Power Factor Explained
เพาเวอร์แฟกเตอร์ตั้งแต่ภาพเปรียบเทียบง่าย ๆ จนถึงสมการ รูปคลื่น v i p สามเหลี่ยมกำลัง P Q S การปรับปรุงด้วยคาปาซิเตอร์ ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติ ค่าปรับ kvar ของการไฟฟ้า ฮาร์มอนิกกับ PF จริง และการวัด พร้อมซิมูเลเตอร์และอุปกรณ์จำลองเสมือนที่ทดลองได้ทันที
8 หน้าย่อย →

🌡20
เซนเซอร์และทรานส์ดิวเซอร์
Sensors & Transducers
เซนเซอร์ (sensor) ทรานส์ดิวเซอร์ (transducer) และเครื่องมือวัดคุมกระบวนการครบชุด: นิยามตาม VIM ประวัติ หน่วย SI มาตรวิทยา มาตรฐานพร้อมประเทศต้นแบบ การวัดอุณหภูมิ ความดัน อัตราการไหล ระดับ แรง ตำแหน่ง กระแส แรงดัน สัญญาณมาตรฐาน 4–20 mA HART Modbus PROFIBUS FOUNDATION Fieldbus IO-Link PROFINET Ethernet-APL เซนเซอร์อัจฉริยะ IIoT สัญลักษณ์ P&ID การสอบเทียบ และแล็บวัดคุมเสมือน
20 หน้าย่อย →

M3~21
การควบคุมมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับด้วยแมกเนติกคอนแทกเตอร์และอินเวอร์เตอร์
AC Motor Control: Contactors, Star–Delta & VFDs
มอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสสำหรับอุตสาหกรรมบนระบบ 230/400 V 50 Hz ของไทยและเพื่อนบ้าน การต่อสตาร์-เดลต้า แมกเนติกคอนแทกเตอร์ โอเวอร์โหลด สัญลักษณ์และแบบวงจร IEC วงจร DOL กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้าแบบละเอียด ซอฟต์สตาร์ท อินเวอร์เตอร์ VFD การออกแบบติดตั้ง และซิมูเลเตอร์
15 หน้าย่อย →

PLC22
การควบคุมอัตโนมัติด้วย PLC
PLC Automation
PLC ตั้งแต่โครงสร้างและวงรอบการสแกน การต่อสาย I/O PNP/NPN แลดเดอร์ ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ ภาษา IEC 61131-3 ควบคุมมอเตอร์ DOL กลับทาง สตาร์-เดลต้า การควบคุมแบบลำดับขั้น อนาล็อก PID สั่งอินเวอร์เตอร์ ทดสอบระบบและความปลอดภัย พร้อมซิมูเลเตอร์แลดเดอร์ในเบราว์เซอร์
10 หน้าย่อย →

T–n23
มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับ ฉบับสมบูรณ์
AC Induction Motors · Complete Guide
มอเตอร์เหนี่ยวนำตั้งแต่ระบบไฟฟ้าไทยถึงเพลา: มอเตอร์ 1 เฟสและ 3 เฟส กรงกระรอก กรงคู่ โรเตอร์พันขดลวด กราฟแรงบิด-ความเร็วกับเส้นโหลด ทรานเซียนต์ สตาร์-เดลต้าเชิงลึก และการออกแบบสาย-เบรกเกอร์ พร้อมแล็บจำลอง
อ่านบทเรียน →

∇24
แคลคูลัสหลายตัวแปรและแคลคูลัสเวกเตอร์
Multivariable & Vector Calculus
ฟังก์ชันหลายตัวแปร อนุพันธ์ย่อย gradient ค่าสุดขีดและ Lagrange อินทิกรัลสองชั้น-สามชั้น ฟังก์ชันเวกเตอร์ divergence curl อินทิกรัลตามเส้น Green Gauss Stokes พร้อมงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา และแล็บโต้ตอบ 15 ชุด
13 หน้าย่อย →

Ω25
วงจรไฟฟ้ากระแสตรง
DC Circuit Analysis
วงจร DC ตั้งแต่ศูนย์ถึงระดับโอลิมปิก: ปริมาณพื้นฐาน R L C แหล่งจ่ายไม่อิสระ KCL KVL อนุกรม-ขนาน Δ-Y วิธีโหนด เมช MNA เทวินิน นอร์ตัน กำลังสูงสุด ทรานเซียนต์ RC RL RLC เทคโนโลยี DC ล่าสุด แล็บต่อวงจรที่แก้สมการจริง และโจทย์ 4 ระดับ
อ่านบทเรียน →

Σ26
ลำดับและอนุกรม: จากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์
Sequences & Series
ลำดับ ลิมิตของลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้าทุกแบบ อนุกรมสลับ อนุกรมกำลัง อนุกรมเทย์เลอร์-แมคลอริน อนุกรมโลรองต์ และอุปนัยแบบเข้ม ตั้งแต่ระดับเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม พร้อมเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ 6 ชุด แล็บ 23 ชุด แนวข้อสอบ 60 ข้อ และเครื่องสุ่มโจทย์
12 หน้าย่อย →

// งานเขียน

## ตำราที่อาจารย์มดเขียน

เนื้อหาจากตำราเหล่านี้จะทยอยแปลงเป็นบทเรียนในคลังนี้ หัวข้อละหนึ่งหน้า

∫

### เอกสารคำสอนคณิตศาสตร์วิศวกรรม 1

ภาษาไทย 358 หน้า: เวกเตอร์ ลิมิต อนุพันธ์ ปริพันธ์ เทคนิคการอินทิเกรต ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ และปริพันธ์เชิงตัวเลข

● ใช้สอนในชั้นเรียน

EN

### ตำราภาษาอังกฤษ 3 เล่ม

Engineering Mathematics 1, Signals and Systems และ Control Systems พร้อมสไลด์ประกอบ ตามหลักสูตรวิศวกรรมไฟฟ้า พ.ศ. 2568

◐ กำลังเขียน

// วิดีโอ

## ซีรีส์วิดีโอบน YouTube

หัวข้อที่ยังไม่มีบทความ ดูแบบวิดีโอได้ก่อน

Feedback Control · การควบคุมป้อนกลับเพลย์ลิสต์ ↗
Power Electronics: Buck Converter · วงจรบั๊กคอนเวอร์เตอร์เพลย์ลิสต์ ↗
เพลย์ลิสต์ทั้งหมดของช่องYouTube ↗

---

# เฉลยโจทย์คณิตศาสตร์วิศวกรรมแบบละเอียดทีละขั้น

URL: https://modsengineeringmath.com/solutions/
Updated: 2026-10-24
Summary: รวมเฉลยโจทย์แคลคูลัสและคณิตศาสตร์วิศวกรรมแบบละเอียดทีละขั้น ข้อละหน้า เช่น โจทย์อินทิเกรต (integration) การแทนค่าแบบออยเลอร์ อนุพันธ์ ลาปลาซ เมทริกซ์ พร้อมที่มาของแต่ละขั้น การตรวจคำตอบ และโหมดฝึกทำ

// เฉลยโจทย์ · 1 ข้อ

# เฉลยโจทย์คณิตศาสตร์วิศวกรรมแบบละเอียดทีละขั้น

โจทย์ที่โพสต์บนเพจ Mod's Engineering Mathematics เฉลยไว้ที่นี่ข้อละหน้า ทุกขั้นบอกว่าใช้สูตรหรือเหตุผลอะไร และทำไมถึงเลือกวิธีนั้น ไม่ใช่แค่คำตอบ เปิด โหมดฝึกทำ เพื่อซ่อนวิธีทำ ลองคิดเองก่อน แล้วกด ดูทีละขั้น เมื่อติด

∫อินทิเกรต 1

## ∫เฉลยโจทย์อินทิเกรต Integration
1 ข้อ · ทบทวนบทเรียน →

อินทิเกรต #001●●○ ปานกลาง

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$$

∫dx/√(x²+a²) ด้วยการแทนค่าแบบออยเลอร์
Euler's substitution
24 ต.ค. 2569ดูเฉลยทีละขั้น →

// วิธีใช้

## อ่านเฉลยให้ได้มากกว่าคำตอบ

- อ่านโจทย์แล้วลองทำเองก่อน อย่างน้อยให้ได้ขั้นแรก คำตอบสุดท้ายซ่อนอยู่ใต้กล่องโจทย์ ใช้ตรวจหลังทำเสร็จ

- ติดตรงไหน ค่อยเปิดทีละขั้น ปุ่ม “ดูทีละขั้น” เปิดเฉลยครั้งละหนึ่งขั้น สีในสมการบอกว่าขั้นนั้นใช้สูตร ตัวแปรใหม่ หรือตัดทอนอะไร

- อ่านส่วน “ที่มา” เสมอ โจทย์ส่วนใหญ่ยากที่การเลือกวิธี ไม่ใช่การคำนวณ ส่วนนี้อธิบายว่าทำไมต้องแทนค่าแบบนั้น จะได้ใช้กับข้ออื่นได้เอง

- แชร์ให้เพื่อน ทุกข้อมีปุ่มแชร์ LINE, Facebook และ X พร้อมภาพโจทย์ ส่งเข้ากลุ่มเรียนแล้วให้เพื่อนลองทำก่อนเปิดเฉลย

ติดตามโจทย์ใหม่บน Facebook ↗
สูตรอินทิเกรตทั้งหมด
คลังความรู้
บทความ

---

# เฉลยอินทิเกรต ∫dx/√(x²+a²) ด้วยการแทนค่าแบบออยเลอร์ (Euler's substitution)

URL: https://modsengineeringmath.com/solutions/integral-euler-substitution-sqrt-x2-a2/
Updated: 2026-10-24
Summary: เฉลยละเอียดทีละขั้น ∫dx/√(x²+a²) ด้วยการแทนค่าแบบออยเลอร์ (Euler's substitution) อธิบายที่มาของ u − x = √(x²+a²) ทำไม x² หายไป ได้ ln(x+√(x²+a²)) + C พร้อมตรวจคำตอบและตัวอย่างตัวเลข

// เฉลยโจทย์อินทิเกรต #001 · Euler's substitution

# เฉลยอินทิเกรต ∫dx/√(x²+a²) ด้วยการแทนค่าแบบออยเลอร์ (Euler's substitution)

โจทย์ · อินทิเกรต #001
จงหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขตต่อไปนี้ เมื่อ $a > 0$ เป็นค่าคงที่ โดยใช้การแทนค่าแบบออยเลอร์ (Euler's substitution) $u - x = \sqrt{x^2+a^2}$ และอธิบายว่าทำไมต้องกำหนดแบบนี้

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$$

แตะเพื่อดูคำตอบสุดท้าย (ลองคิดเองก่อนนะ)

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) + C$$

ระดับ ●●○ ปานกลางเทคนิค: Euler's substitutionเฉลยโดย อาจารย์มดอัปเดต 24 ต.ค. 2569

ไปที่วิธีทำ ↓

แชร์ให้เพื่อน
LINE
Facebook
X

## มองโจทย์ก่อน: อะไรทำให้ข้อนี้ยาก

ตัวที่ขวางอยู่คือรากที่สอง $\sqrt{x^2+a^2}$ ลองการเปลี่ยนตัวแปรแบบปกติ (u-substitution) ก่อน ถ้าให้ $u = x^2+a^2$ จะได้ $du = 2x\,dx$ แต่ตัวเศษมีแค่ $dx$ ไม่มี $x$ มาจับคู่ วิธีนี้จึงใช้ไม่ได้

เป้าหมายจริงของการแทนค่าในข้อนี้คือ หาตัวแปรใหม่ u ที่ทำให้ทั้ง $x$ และ $\sqrt{x^2+a^2}$ กลายเป็นเศษส่วนของพหุนามใน u (rational function) เพราะเมื่อไม่มีรากที่สองเหลืออยู่ อินทิกรัลจะเป็นฟังก์ชันตรรกยะ ซึ่งอินทิเกรตได้เสมอด้วยสูตรพื้นฐานหรือเศษส่วนย่อย

การแทนค่าแบบออยเลอร์ (Euler's substitution) คือสูตรสำเร็จสำหรับรากที่สองของพหุนามกำลังสองทุกตัว ข้อนี้ใช้แบบที่ 1 คือ $\sqrt{x^2+a^2} = u - x$ คำถามที่สำคัญกว่าวิธีทำคือ ทำไมต้องเป็น $u - x$ ซึ่งอธิบายได้สามมุม

## ที่มาของการกำหนด u − x = √(x²+a²)

### มุมที่ 1 · พีชคณิต: เลือกเพื่อให้ x² หายไปเอง

สมมติว่ายังไม่รู้ว่าควรลบ x กี่เท่า ให้ลอง $\sqrt{x^2+a^2} = u - kx$ แล้วยกกำลังสองทั้งสองข้าง

$$x^2 + a^2 = u^2 - 2kux + k^2x^2$$

ถ้า $k^2 \ne 1$ ทั้งสองฝั่งยังมี $x^2$ ต้องแก้สมการกำลังสอง ได้ x ที่มีรากที่สองซ้อนอยู่อีก ไม่ได้อะไรขึ้นมา แต่ถ้าเลือก $k^2 = 1$ คือ $k = 1$ พจน์ $x^2$ ตัดกันพอดี

$$\cancel{x^2} + a^2 = u^2 - 2ux + \cancel{x^2} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = u^2 - 2ux$$

เหลือ สมการเชิงเส้นของ x แก้ได้ทันที $x = \dfrac{u^2-a^2}{2u}$ ไม่มีรากที่สองเลย นี่คือหัวใจของวิธี: สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ใต้รากคือ $1$ เราจึงลบ $\sqrt{1}\cdot x = x$ ออก ถ้าใต้รากเป็น $px^2+qx+r$ ที่ $p > 0$ ก็กำหนด $\sqrt{px^2+qx+r} = u - \sqrt{p}\,x$ ด้วยเหตุผลเดียวกัน

### มุมที่ 2 · ผลต่างกำลังสอง: อีกครึ่งตามมาเอง

ให้ $y = \sqrt{x^2+a^2}$ จะได้ $y^2 - x^2 = a^2$ แยกตัวประกอบแบบผลต่างกำลังสอง (difference of squares)

$$(y + x)(y - x) = a^2$$

ถ้าตั้ง ${u = y + x}$ ซึ่งก็คือ $u - x = \sqrt{x^2+a^2}$ อีกตัวประกอบหนึ่งได้มาฟรี $y - x = \dfrac{a^2}{u}$ ตอนนี้มีสมการเชิงเส้นสองสมการ บวกและลบกันได้

$$y = \frac{1}{2}\left(u + \frac{a^2}{u}\right) = \frac{u^2+a^2}{2u}, \qquad x = \frac{1}{2}\left(u - \frac{a^2}{u}\right) = \frac{u^2-a^2}{2u}$$

ได้ผลเดียวกับมุมที่ 1 คือทั้ง x และรากที่สองเป็นเศษส่วนของ u ปริมาณ $\sqrt{x^2+a^2} + x$ กับ $\sqrt{x^2+a^2} - x$ เป็นคู่สังยุค (conjugate) ที่คูณกันได้ค่าคงที่ $a^2$ การเลือก u เป็นตัวหนึ่ง จึงล็อกอีกตัวไว้ด้วย

### มุมที่ 3 · เรขาคณิต: เส้นขนานเส้นกำกับตัดไฮเพอร์โบลาจุดเดียว

ตัวอย่าง $a = 2$: เส้นตรง $y = u - x$ ที่ $u = 5$ ตัดกราฟที่ $P(2.1,\ 2.9)$ จุดเดียว ส่วนที่ $u = 3$ ตัดที่ $(0.83,\ 2.17)$ จุดเดียวเช่นกัน แต่ละค่า u จึงบอกตำแหน่งบนกราฟได้หนึ่งจุดพอดี

กราฟของ $y = \sqrt{x^2+a^2}$ คือกิ่งบนของไฮเพอร์โบลา (hyperbola) $y^2 - x^2 = a^2$ ซึ่งมีเส้นกำกับ (asymptote) $y = \pm x$ สมการ $u - x = \sqrt{x^2+a^2}$ ก็คือเส้นตรง $y = u - x$ ความชัน $-1$ ตัดแกน y ที่ u ขนานกับเส้นกำกับ $y = -x$

เส้นตรงทั่วไปตัดไฮเพอร์โบลาได้ 2 จุด (สมการกำลังสองมี 2 ราก) แต่เส้นที่ขนานกับเส้นกำกับตัดได้ จุดเดียว เพราะสมการกำลังสองเสื่อมลงเหลือเชิงเส้น นี่คือภาพของ $x^2$ ที่หายไปในมุมที่ 1 ผลคือ ค่า u แต่ละค่าจับคู่กับจุด P บนกราฟได้หนึ่งต่อหนึ่ง เมื่อ x วิ่งจาก $-\infty$ ถึง $\infty$ ค่า u เพิ่มขึ้นจาก $0$ ถึง $\infty$ ตลอด u จึงใช้แทน x ได้โดยไม่มีจุดซ้ำหรือจุดขาด

สรุปที่มาในบรรทัดเดียว: เลือก $u - x = \sqrt{x^2+a^2}$ เพราะลบด้วย x หนึ่งเท่าพอดีทำให้ $x^2$ ตัดกันตอนยกกำลังสอง (พีชคณิต) ตัวสังยุคได้มาฟรีเป็น $a^2/u$ (ผลต่างกำลังสอง) และเส้นตรงนี้ขนานเส้นกำกับจึงตัดกราฟจุดเดียว (เรขาคณิต) ทั้งสามมุมคือเรื่องเดียวกัน

## วิธีทำอย่างละเอียด

วิธีทำ · Euler's substitution แบบที่ 1

### หา $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$ เมื่อ $a > 0$

- กำหนดตัวแปรใหม่ตามแนวคิดด้านบน สังเกตว่า $u = x + \sqrt{x^2+a^2} > 0$ เสมอ เพราะ $\sqrt{x^2+a^2} > |x|$

$${u - x = \sqrt{x^2+a^2}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad {u = x + \sqrt{x^2+a^2}}$$

- ยกกำลังสองทั้งสองข้าง พจน์ $x^2$ ตัดกัน แล้วแก้หา x

$$\begin{aligned} (u - x)^2 &= x^2 + a^2 \\ u^2 - 2ux + \cancel{x^2} &= \cancel{x^2} + a^2 \\ 2ux &= u^2 - a^2 \\ {x} &{= \frac{u^2 - a^2}{2u}} \end{aligned}$$

- เขียนรากที่สองในรูป u โดยใช้ $\sqrt{x^2+a^2} = u - x$ (ไม่ต้องถอดรากอีกเลย)

$$\sqrt{x^2+a^2} = u - \frac{u^2 - a^2}{2u} = \frac{2u^2 - u^2 + a^2}{2u} = {\frac{u^2 + a^2}{2u}}$$

- หา dx: แยก x เป็นสองพจน์ก่อนแล้วหาอนุพันธ์เทียบ u ทีละพจน์

$$\begin{aligned} x &= \frac{u}{2} - \frac{a^2}{2u} \\ \frac{dx}{du} &= \frac{1}{2} + \frac{a^2}{2u^2} = \frac{u^2 + a^2}{2u^2} \\ {dx} &{= \frac{u^2 + a^2}{2u^2}\,du} \end{aligned}$$

- แทนค่า dx และรากที่สองลงในอินทิกรัล หารเศษส่วนด้วยการคูณส่วนกลับ แล้วตัด $(u^2+a^2)$ กับ $2u$

$$\begin{aligned} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} &= \int \frac{{\dfrac{u^2 + a^2}{2u^2}\,du}}{{\dfrac{u^2 + a^2}{2u}}} \\ &= \int \frac{\cancel{u^2 + a^2}}{2u^2}\cdot\frac{2u}{\cancel{u^2 + a^2}}\,du \\ &= \int \frac{2u}{2u^2}\,du = \int \frac{du}{u} \end{aligned}$$

- อินทิเกรตด้วยสูตรส่วนกลับ F3 ∫du/u = ln|u|

$$\int \frac{du}{u} = {\ln|u|} + {C}$$

- แทนกลับ $u = x + \sqrt{x^2+a^2}$ และเพราะ $u > 0$ ทุกค่า x จึงเอาค่าสัมบูรณ์ออกได้

$$\ln\left|x + \sqrt{x^2+a^2}\right| + C = \ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right) + {C}$$

$\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right) + C$ ตรงกับสูตร S5 ในหน้าสูตรอินทิเกรต

ตรวจคำตอบ: $\dfrac{d}{dx}\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$ ✓ (ทำละเอียดในหัวข้อถัดไป)

ทำไมผลถึงเหลือ du/u สวยขนาดนี้: หาอนุพันธ์ของ u ตรง ๆ จะได้ $\dfrac{du}{dx} = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} = \dfrac{\sqrt{x^2+a^2} + x}{\sqrt{x^2+a^2}} = \dfrac{u}{\sqrt{x^2+a^2}}$ จัดรูปได้ $\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \dfrac{du}{u}$ ทันที แปลว่าตัวถูกอินทิเกรตคือ $u'/u$ อยู่แล้ว ตัวแปร u ที่ออยเลอร์เลือกคือฟังก์ชันที่ $\ln u$ เป็นคำตอบพอดี

## ตรวจคำตอบด้วยการหาอนุพันธ์

ให้ $F(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right)$ ใช้กฎลูกโซ่ (chain rule) สองชั้น: อนุพันธ์ของ $\ln g$ คือ $g'/g$ และอนุพันธ์ของ $\sqrt{x^2+a^2}$ คือ $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$

$$\begin{aligned} F'(x) &= \frac{1}{x + \sqrt{x^2+a^2}}\cdot\left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\right) \\ &= \frac{1}{\cancel{x + \sqrt{x^2+a^2}}}\cdot\frac{\cancel{\sqrt{x^2+a^2} + x}}{\sqrt{x^2+a^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \quad \checkmark \end{aligned}$$

ได้ตัวถูกอินทิเกรตกลับมาพอดี คำตอบจึงถูกต้องทุกค่า x

## คำตอบรูปอื่นที่ถูกเหมือนกัน: sinh⁻¹(x/a)

ตำราหลายเล่มเขียนคำตอบเป็นฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกผกผัน (inverse hyperbolic sine) โดยใช้นิยาม $\sinh^{-1} z = \ln\left(z + \sqrt{z^2+1}\right)$ ดึง a ออกจากรากได้

$$\ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right) = \ln\left[a\left(\frac{x}{a} + \sqrt{\frac{x^2}{a^2}+1}\right)\right] = \sinh^{-1}\frac{x}{a} + \ln a$$

สองแบบต่างกันแค่ค่าคงที่ $\ln a$ ซึ่งรวมเข้าไปใน C ได้ จึงถูกทั้งคู่

| รูปของคำตอบ | ใช้เมื่อ |

| $\ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right) + C$ | ได้จากวิธีออยเลอร์โดยตรง แทนค่าขอบเขตง่าย |

| $\sinh^{-1}\dfrac{x}{a} + C$ | ได้จากการแทนค่า $x = a\sinh t$ เครื่องคิดเลขส่วนใหญ่มีปุ่ม sinh⁻¹ |

| $\ln\left(\dfrac{x + \sqrt{x^2+a^2}}{a}\right) + C$ | ไม่มีหน่วยใน ln เหมาะกับงานฟิสิกส์ที่ x และ a มีหน่วยเมตร |

## ตัวอย่างตัวเลข: อินทิกรัลจำกัดเขต

ตัวอย่างตัวเลข · a = 3

### หา $\displaystyle\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}$

- ใช้การแทนค่าเดิม ${u = x + \sqrt{x^2+9}}$ และเปลี่ยนขอบเขตเป็นค่า u ไปพร้อมกัน จะได้ไม่ต้องแทนกลับ

$$\begin{aligned} x = 0 &\;\Rightarrow\; u = 0 + \sqrt{9} = 3 \\ x = 4 &\;\Rightarrow\; u = 4 + \sqrt{25} = 9 \end{aligned}$$

- จากวิธีทำด้านบน $\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+9}} = \dfrac{du}{u}$

$$\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}} = \int_3^9 \frac{du}{u} = \Big[\ln u\Big]_3^9 = \ln 9 - \ln 3 = \ln 3$$

$\displaystyle\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}} = \ln 3 \approx 1.0986$

ตรวจด้วยรูปอื่น: $\sinh^{-1}\frac{4}{3} - \sinh^{-1}0 = \ln\left(\frac{4}{3} + \frac{5}{3}\right) = \ln 3$ ✓ และการอินทิเกรตเชิงตัวเลขได้ 1.098612 ✓

## เทียบกับการแทนค่าตรีโกณและไฮเพอร์โบลิก

โจทย์เดียวกันทำได้อย่างน้อยสามวิธี ทุกวิธีได้คำตอบเดียวกัน แต่ระยะทางต่างกัน

| วิธี | แทนค่า | อินทิกรัลที่ได้ | ข้อสังเกต |

| ออยเลอร์ (Euler) | $u = x + \sqrt{x^2+a^2}$ | $\int \frac{du}{u} = \ln u$ | ได้ฟังก์ชันตรรกยะเสมอ ใช้ได้กับรากของพหุนามกำลังสองทุกแบบ |

| ตรีโกณ (trigonometric) | $x = a\tan\theta$ | $\int \sec\theta\,d\theta$ | ต้องรู้ว่า $\int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta|$ ซึ่งพิสูจน์ด้วยเทคนิคคูณพิเศษ |

| ไฮเพอร์โบลิก (hyperbolic) | $x = a\sinh t$ | $\int dt = t$ | สั้นที่สุด แต่ต้องคุ้นกับ sinh, cosh และ $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$ |

ที่น่าสนใจคือทั้งสามวิธีใช้ “u ตัวเดียวกัน” แต่สวมชุดต่างกัน เมื่อ $x = a\tan\theta$ จะได้ $\sec\theta + \tan\theta = \dfrac{\sqrt{x^2+a^2} + x}{a} = \dfrac{u}{a}$ และเมื่อ $x = a\sinh t$ จะได้ $e^t = \dfrac{x + \sqrt{x^2+a^2}}{a} = \dfrac{u}{a}$ เทคนิคคูณด้วย $\sec\theta + \tan\theta$ ที่ใช้พิสูจน์ $\int\sec\theta\,d\theta$ ในตำราแคลคูลัส จึงเป็นการแทนค่าแบบออยเลอร์ที่ซ่อนอยู่ในรูปตรีโกณนั่นเอง

## อินทิกรัลนี้โผล่ที่ไหนในงานวิศวกรรมไฟฟ้า

ตัวอย่างที่เจอบ่อยคือ ศักย์ไฟฟ้าของแท่งประจุ (finite line charge) แท่งยาว L มีประจุสม่ำเสมอ λ (C/m) หาศักย์ที่จุด P ห่างจากกึ่งกลางแท่งตามแนวตั้งฉากเป็นระยะ d ประจุชิ้นเล็ก $\lambda\,dx$ ที่ตำแหน่ง x อยู่ห่างจาก P เป็น $\sqrt{x^2+d^2}$ ศักย์รวมจึงเป็นอินทิกรัลของข้อนี้พอดี โดยมี d แทน a

$$V = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-L/2}^{L/2} \frac{dx}{\sqrt{x^2+d^2}} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{\sqrt{L^2/4 + d^2} + L/2}{\sqrt{L^2/4 + d^2} - L/2}$$

ตัวเลข: $\lambda = 1\ \text{nC/m}$, $L = 0.6\ \text{m}$, $d = 0.4\ \text{m}$ จะได้ $\sqrt{0.09 + 0.16} = 0.5$ อัตราส่วนใน ln เท่ากับ $\dfrac{0.5 + 0.3}{0.5 - 0.3} = 4$ และ $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99\times10^9$ ดังนั้น $V \approx 8.99\times10^9 \times 10^{-9} \times \ln 4 \approx 12.5\ \text{V}$ ลองวางประจุและดูเส้นสนามได้ที่แล็บสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กเสมือน

## การแทนค่าของออยเลอร์ทั้ง 3 แบบ

สำหรับอินทิกรัลที่มี $\sqrt{px^2+qx+r}$ ออยเลอร์ให้การแทนค่าไว้ 3 แบบ ทุกแบบมีเป้าหมายเดียวกัน คือยกกำลังสองแล้วให้พจน์หนึ่งตัดกันจนเหลือสมการเชิงเส้นของ x

| แบบ | ใช้เมื่อ | กำหนด | ยกกำลังสองแล้วอะไรหายไป |

| 1 | $p > 0$ | $\sqrt{px^2+qx+r} = u - \sqrt{p}\,x$ | $px^2$ ตัดกัน (ข้อนี้: $p = 1,\ q = 0,\ r = a^2$) |

| 2 | $r > 0$ | $\sqrt{px^2+qx+r} = xu + \sqrt{r}$ | $r$ ตัดกัน แล้วหารด้วย x ได้ |

| 3 | มีรากจริง α, β | $\sqrt{p(x-\alpha)(x-\beta)} = (x-\alpha)u$ | ตัดตัวประกอบ $(x-\alpha)$ ได้ |

ข้อนี้มี $r = a^2 > 0$ ด้วย จึงใช้แบบที่ 2 ได้เช่นกัน แต่จะได้ฟังก์ชันตรรกยะที่ยาวกว่าและต้องแยกเศษส่วนย่อย แบบที่ 1 จึงเป็นทางที่สั้นที่สุด ส่วนรากที่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ เช่น $\sqrt{x^2+2x+5}$ ให้ทำกำลังสองสมบูรณ์ก่อนเป็น $\sqrt{(x+1)^2+4}$ แล้วใช้ผลของข้อนี้ได้ทันที

## จุดที่มักพลาด

- แทน x แล้วไม่แปลง dx ต้องหา $dx = \dfrac{u^2+a^2}{2u^2}\,du$ ทุกครั้ง ถ้าเขียน $dx$ ค้างไว้ อินทิกรัลจะผสมสองตัวแปรและผิดทันที

- ใช้ $u = x^2 + a^2$ ใช้ไม่ได้ เพราะตัวเศษไม่มี $x\,dx$ มาเป็น du

- ลืมเปลี่ยนขอบเขต ในอินทิกรัลจำกัดเขต ถ้าอินทิเกรตในตัวแปร u ขอบเขตต้องเป็นค่า u (3 ถึง 9) ไม่ใช่ค่า x (0 ถึง 4)

- คิดว่า ln(x+√(x²+a²)) กับ sinh⁻¹(x/a) เป็นคนละคำตอบ ต่างกันแค่ค่าคงที่ $\ln a$

- เอาค่าสัมบูรณ์ออกในกรณี $\sqrt{x^2-a^2}$ สูตรคล้ายกันคือ $\ln\left|x + \sqrt{x^2-a^2}\right| + C$ แต่ต้องคงค่าสัมบูรณ์ไว้ เพราะเมื่อ $x \le -a$ ค่าในวงเล็บติดลบ

ทบทวนสูตรที่เกี่ยวข้องได้ที่สูตรอินทิกรัลที่มีรากที่สองของ x² ± a², สูตร ∫dx/x = ln|x| และบทเรียนอินทิกรัลฉบับเต็ม

## คำถามที่พบบ่อย

∫dx/√(x²+a²) เท่ากับเท่าไร?
เท่ากับ $\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) + C$ ซึ่งเขียนอีกแบบได้ว่า $\sinh^{-1}(x/a) + C$ สองแบบต่างกันแค่ค่าคงที่ $\ln a$ จึงถูกทั้งคู่

ทำไมต้องกำหนด u − x = √(x²+a²)?
เพราะเมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้าง พจน์ $x^2$ ทั้งสองฝั่งตัดกันพอดี เหลือสมการเชิงเส้นของ x จึงเขียน x รากที่สอง และ dx เป็นเศษส่วนของ u ได้ทั้งหมด แล้วอินทิกรัลเหลือแค่ $\int du/u$

ทำไมคำตอบไม่ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ใน ln?
เพราะ $\sqrt{x^2+a^2} > |x| \ge -x$ ทำให้ $x+\sqrt{x^2+a^2} > 0$ ทุกค่า x แต่ถ้าเป็น $\sqrt{x^2-a^2}$ ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ เพราะเมื่อ $x \le -a$ ผลบวกนี้ติดลบ

Euler's substitution ต่างจากการแทนค่าตรีโกณ x = a tan θ อย่างไร?
การแทนค่าตรีโกณได้ $\int\sec\theta\,d\theta$ ซึ่งต้องใช้เทคนิคคูณด้วย $\sec\theta+\tan\theta$ อีกชั้น ส่วนการแทนค่าแบบออยเลอร์ได้ฟังก์ชันตรรกยะของ u ทันที และ $\sec\theta+\tan\theta$ ก็คือ $u/a$ นั่นเอง คำตอบจึงตรงกัน

## FAQ

**∫dx/√(x²+a²) เท่ากับเท่าไร?**
เท่ากับ $\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) + C$ ซึ่งเขียนอีกแบบได้ว่า $\sinh^{-1}(x/a) + C$ สองแบบต่างกันแค่ค่าคงที่ $\ln a$ จึงถูกทั้งคู่

**ทำไมต้องกำหนด u − x = √(x²+a²)?**
เพราะเมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้าง พจน์ $x^2$ ทั้งสองฝั่งตัดกันพอดี เหลือสมการเชิงเส้นของ x จึงเขียน x รากที่สอง และ dx เป็นเศษส่วนของ u ได้ทั้งหมด แล้วอินทิกรัลเหลือแค่ $\int du/u$

**ทำไมคำตอบไม่ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ใน ln?**
เพราะ $\sqrt{x^2+a^2} > |x| \ge -x$ ทำให้ $x+\sqrt{x^2+a^2} > 0$ ทุกค่า x แต่ถ้าเป็น $\sqrt{x^2-a^2}$ ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ เพราะเมื่อ $x \le -a$ ผลบวกนี้ติดลบ

**Euler's substitution ต่างจากการแทนค่าตรีโกณ x = a tan θ อย่างไร?**
การแทนค่าตรีโกณได้ $\int\sec\theta\,d\theta$ ซึ่งต้องใช้เทคนิคคูณด้วย $\sec\theta+\tan\theta$ อีกชั้น ส่วนการแทนค่าแบบออยเลอร์ได้ฟังก์ชันตรรกยะของ u ทันที และ $\sec\theta+\tan\theta$ ก็คือ $u/a$ นั่นเอง คำตอบจึงตรงกัน

---

# เครื่องมือเขียนบทเรียนคณิตศาสตร์ออนไลน์ Markdown + LaTeX | Mod's Engineering Mathematics

URL: https://modsengineeringmath.com/tools/lesson-editor/
Updated: 2026-10-09
Summary: เขียนบทเรียนคณิตศาสตร์ด้วย Markdown และสูตร LaTeX เห็นผลทันที บันทึกเป็นไฟล์ .md ส่งออก HTML หรือพิมพ์เป็น PDF ใช้ฟรีในเบราว์เซอร์ ไม่ต้องติดตั้ง โดยอาจารย์มด

// เครื่องมือ · Lesson Editor

# เครื่องมือเขียนบทเรียนคณิตศาสตร์

เขียนด้วย Markdown และสูตร LaTeX เห็นผลทันทีทางขวา แล้วบันทึกเป็นไฟล์ .md ส่งออกเป็นหน้า HTML หรือพิมพ์เป็น PDF ทุกอย่างทำงานในเบราว์เซอร์ของคุณ ไม่มีการส่งเนื้อหาขึ้นเซิร์ฟเวอร์

วิธีเขียนสูตรและหัวข้อ

| ต้องการ | พิมพ์ |

| สูตรในบรรทัด | $x^2 + 1$ |

| สูตรแยกบรรทัด | $$ \int_0^1 x\,dx $$ |

| หลายบรรทัดจัดแนว | \begin{aligned} a &= b \\ &= c \end{aligned} |

| หัวข้อ | # บท · ## หัวข้อ · ### หัวข้อย่อย |

| ตัวหนา / ตัวเอียง | **หนา** · *เอียง* |

| กล่องหมายเหตุ | > ข้อความ |

| รายการ | - ข้อ หรือ 1. ข้อ |

กด Ctrl + S (หรือ ⌘ + S) เพื่อบันทึกไฟล์ .md

เปิดไฟล์ .md

ต้นฉบับMarkdown + LaTeX

ตัวอย่างอัปเดตอัตโนมัติ

กำลังโหลด…

// อ่านตัวอย่างบทเรียนจริง

## บทเรียนในคลังความรู้

บทเรียนในคลังความรู้เขียนด้วยรูปแบบเดียวกัน ใช้เป็นแนวทางจัดหัวข้อ ตัวอย่าง และสูตรได้

ไปที่คลังความรู้ →

f(x)01
ฟังก์ชัน: โดเมน เรนจ์ กราฟ และการแปลง
Functions
ฟังก์ชันคืออะไร โดเมน เรนจ์ กราฟของฟังก์ชันพื้นฐาน การเลื่อน ยืด สะท้อน ฟังก์ชันประกอบ ฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชันเป็นช่วง และสัญญาณขั้นบันได แรมป์ เอกซ์โพเนนเชียล ไซน์ในงานวิศวกรรม พร้อมแล็บกราฟโต้ตอบ
อ่านบทเรียน →

θ02
สูตรตรีโกณมิติและตารางค่า
Trigonometric Identities & Table
วงกลมหนึ่งหน่วยแบบโต้ตอบ สูตรครบทุกหมวดพร้อมชื่ออังกฤษ และตาราง sin cos tan ทุก 0.05° ตั้งแต่ 0° ถึง 90° ทั้งองศาและเรเดียน
อ่านบทเรียน →

lim03
ลิมิตและความต่อเนื่อง
Limits & Continuity
ลิมิตจากกราฟและตาราง นิยาม ε–δ แบบโต้ตอบ ลิมิตทางเดียว สมบัติของลิมิต รูปแบบ 0/0 ลิมิตที่อนันต์ ลิมิตตรีโกณ e ทฤษฎีบทแซนด์วิช ความต่อเนื่อง IVT และกฎของโลปิตาล · หน้าย่อย: ลำดับและอนุกรม อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
2 หน้าย่อย →

dy/dx04
อนุพันธ์ (Differential Calculus)
Differential Calculus
นิยามอนุพันธ์จากเส้นตัด–เส้นสัมผัส สูตรอนุพันธ์ครบ กฎลูกโซ่ อนุพันธ์โดยปริยาย อันดับสูง ค่าสุดขีด อัตราสัมพัทธ์ การประมาณเชิงเส้น นิวตัน-ราฟสัน และการประยุกต์ในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา
1 หน้าย่อย →

∫05
อินทิกรัล: สูตรและวิธีทำ
Integral Calculus
สูตรอินทิเกรตพร้อมชื่อสากล คุณสมบัติ สูตรสำเร็จ และวิธีทำทีละขั้น: เปลี่ยนตัวแปร u หารยาว เศษส่วนย่อย ทีละส่วน อินทิกรัลจำกัดเขต พร้อมแคลคูลัสเบื้องต้นและการประยุกต์ในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา
2 หน้าย่อย →

→06
เวกเตอร์: จากแรงลัพธ์ถึงเฟสเซอร์
Vectors: Forces, Fields & Phasors
เวกเตอร์ 2D/3D ทิศทางโคไซน์ แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์ ระบบแรงและโมเมนต์ การหมุนแกน แขนกล สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก sin/cos สู่เฟสเซอร์และวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ พร้อมแล็บ 3 มิติหมุนได้ แล็บกลศาสตร์ แล็บสนาม และแล็บวงจร AC
20 หน้าย่อย →

⊞07
พีชคณิตเชิงเส้น
Linear Algebra
เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ ระบบสมการ แรงก์ (ค่าลำดับขั้น) อินเวอร์ส กฎของคราเมอร์ ผลเฉลยเชิงตัวเลข (LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล) ค่าเฉพาะ และแนวข้อสอบ 45 ข้อ พร้อมโจทย์วงจรไฟฟ้า ตั้งแต่ ม.ปลาย ถึง ป.โท
12 หน้าย่อย →▶ มีวิดีโอ

ℒ08
การแปลงลาปลาซ
Laplace Transform
นิยาม การมีอยู่ ตารางคู่การแปลง จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ เรซิดิว แผนภาพโพล-ซีโร่และ ROC คุณสมบัติครบทุกข้อ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง-สอง และการแปลงลาปลาซผกผันระดับตำรา Ogata พร้อมแล็บโต้ตอบ
5 หน้าย่อย →▶ มีวิดีโอ

τ09
ระบบอันดับหนึ่ง
First-Order System · Lab
แล็บโต้ตอบ: ปรับค่าคงตัวเวลา τ หรือ R, C, L แล้วดูผลตอบสนอง สเกลลอการิทึม ระนาบ s และ Bode พร้อมเส้นช่วยวิเคราะห์
อ่านบทเรียน →

ζ10
ระบบอันดับสอง
Second-Order System · Lab
แล็บโต้ตอบ: ζ กำหนดรูปร่าง ωn กำหนดความเร็ว ลากขั้วบนระนาบ s แล้วดูผลตอบสนองเวลา เปลือก %OS และ Bode เปลี่ยนพร้อมกัน
อ่านบทเรียน →

∿11
สัญญาณเบื้องต้น
Signals · Lab
แล็บโต้ตอบ: พิมพ์สมการสัญญาณเอง ทั้ง x(t) และ x[n] ดูอนุพันธ์ ส่วนคู่คี่ พลังงาน สเปกตรัม การแปลงเวลา และคอนโวลูชัน
อ่านบทเรียน →

Hz12
แล็บเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคป
Function Generator & Oscilloscope Lab
แล็บจำลองเสมือนจริง: เครื่องกำเนิดสัญญาณคู่กับออสซิลโลสโคป 2 ช่อง ปรับได้ทุกปุ่ม พร้อมทฤษฎี Vpp Vrms ทริกเกอร์ โพรบ การวัดเฟส Bode วงจร RC RLC ไดโอด ออปแอมป์ และการสร้างเครื่องเอง ตั้งแต่ ม.ปลาย ถึง ป.โท
9 หน้าย่อย →

G(s)13
ระบบควบคุม (Control Systems Engineering)
Control Systems Engineering
วิศวกรรมระบบควบคุมจากพื้นฐานถึงขั้นสูง: ป้อนกลับ แบบจำลอง เสถียรภาพ Routh–Hurwitz รูทโลคัสแบบวาดด้วยมือ ตอบสนองความถี่ Bode Nyquist ตัวชดเชย P PI PD PID ปริภูมิสถานะ ดิจิทัล ไปจนถึงเมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ และตัวแปลงกำลัง
26 หน้าย่อย →▶ มีวิดีโอ

Σ14
อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก
Fourier Series & Harmonic Analysis
อนุกรมฟูเรียร์ทีละขั้นจนใช้งานจริง: หาสัมประสิทธิ์ สมมาตร สเปกตรัม พาร์เซวาล วิเคราะห์วงจรทีละฮาร์มอนิก THD PF และกำลังไฟฟ้า เรกติไฟเออร์ อินเวอร์เตอร์ PWM บั๊กคอนเวอร์เตอร์ การแก้ฮาร์มอนิก และ FFT พร้อมแล็บออสซิลโลสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้าเสมือน
14 หน้าย่อย →

⚡15
อิเล็กทรอนิกส์กำลัง
Power Electronics
วงจรแปลงผัน DC-DC บั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ ชุค ตั้งแต่ volt-second balance ถึงแบบจำลองสัญญาณเล็ก ออกแบบตัวชดเชย Type II/III peak current mode ควบคุมด้วยออปแอมป์และไมโครคอนโทรลเลอร์ ตัวสังเกต AI ออกแบบตัวเหนี่ยวนำ แหล่งจ่ายทดสอบ SMPS เทคนิคหน้างาน วิเคราะห์อาการเสีย พร้อมแล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์
22 หน้าย่อย →

☀16
ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์
Solar PV System Design
ออกแบบและใช้งานโซลาร์เซลล์ครบวงจร ตั้งแต่เส้นโค้ง I-V เลือกแผง แสงอาทิตย์ในไทย ระบบ on-grid off-grid hybrid ออกแบบสตริง สายไฟและการป้องกัน แบตเตอรี่ คาดการณ์พลังงานและความคุ้มค่า พยากรณ์ล่วงหน้า MPPT อินเวอร์เตอร์ เลือกตัวควบคุม โซลาร์จ่ายแอร์ โซลาร์ฟาร์ม ปั๊มน้ำเพื่อการเกษตร งานติดตั้งและบำรุงรักษา พร้อมเครื่องคำนวณออกแบบฟรี
19 หน้าย่อย →

🔌17
ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน
Home EV Charging
ชาร์จช้าด้วยสายชาร์จพกพาจากเต้ารับบ้าน (Mode 2) กับชาร์จเร็วที่บ้านด้วยวอลล์บ็อกซ์ (Mode 3) ตั้งแต่ kW กับ kWh แบตเตอรี่ CC-CV สัญญาณ Control Pilot ขนาดมิเตอร์ สายไฟ เบรกเกอร์ RCD Type B กราวด์ ค่าไฟ TOU และการใช้โซลาร์ แอร์ และรถ EV ร่วมกันในบ้านเดียว พร้อมเครื่องคำนวณและซิมูเลเตอร์พลังงานบ้าน 24 ชั่วโมง
9 หน้าย่อย →

⚡18
ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน
Power Systems & Protection
ปูพื้นก่อนเรียนวิชาระบบไฟฟ้ากำลังและการป้องกันระบบไฟฟ้ากำลัง: โครงสร้างระบบไฟฟ้าไทย เฟสเซอร์ สามเฟส กำลังเชิงซ้อน ระบบต่อหน่วย หม้อแปลงและสายส่ง การลัดวงจร องค์ประกอบสมมาตร หลักการป้องกัน CT รีเลย์กระแสเกินและการประสาน การต่อลงดิน รีเลย์ผลต่างและระยะทาง พร้อมแล็บคำนวณ
11 หน้าย่อย →

φ19
เพาเวอร์แฟกเตอร์ เข้าใจได้ทุกระดับ
Power Factor Explained
เพาเวอร์แฟกเตอร์ตั้งแต่ภาพเปรียบเทียบง่าย ๆ จนถึงสมการ รูปคลื่น v i p สามเหลี่ยมกำลัง P Q S การปรับปรุงด้วยคาปาซิเตอร์ ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติ ค่าปรับ kvar ของการไฟฟ้า ฮาร์มอนิกกับ PF จริง และการวัด พร้อมซิมูเลเตอร์และอุปกรณ์จำลองเสมือนที่ทดลองได้ทันที
8 หน้าย่อย →

🌡20
เซนเซอร์และทรานส์ดิวเซอร์
Sensors & Transducers
เซนเซอร์ (sensor) ทรานส์ดิวเซอร์ (transducer) และเครื่องมือวัดคุมกระบวนการครบชุด: นิยามตาม VIM ประวัติ หน่วย SI มาตรวิทยา มาตรฐานพร้อมประเทศต้นแบบ การวัดอุณหภูมิ ความดัน อัตราการไหล ระดับ แรง ตำแหน่ง กระแส แรงดัน สัญญาณมาตรฐาน 4–20 mA HART Modbus PROFIBUS FOUNDATION Fieldbus IO-Link PROFINET Ethernet-APL เซนเซอร์อัจฉริยะ IIoT สัญลักษณ์ P&ID การสอบเทียบ และแล็บวัดคุมเสมือน
20 หน้าย่อย →

M3~21
การควบคุมมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับด้วยแมกเนติกคอนแทกเตอร์และอินเวอร์เตอร์
AC Motor Control: Contactors, Star–Delta & VFDs
มอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสสำหรับอุตสาหกรรมบนระบบ 230/400 V 50 Hz ของไทยและเพื่อนบ้าน การต่อสตาร์-เดลต้า แมกเนติกคอนแทกเตอร์ โอเวอร์โหลด สัญลักษณ์และแบบวงจร IEC วงจร DOL กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้าแบบละเอียด ซอฟต์สตาร์ท อินเวอร์เตอร์ VFD การออกแบบติดตั้ง และซิมูเลเตอร์
15 หน้าย่อย →

PLC22
การควบคุมอัตโนมัติด้วย PLC
PLC Automation
PLC ตั้งแต่โครงสร้างและวงรอบการสแกน การต่อสาย I/O PNP/NPN แลดเดอร์ ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ ภาษา IEC 61131-3 ควบคุมมอเตอร์ DOL กลับทาง สตาร์-เดลต้า การควบคุมแบบลำดับขั้น อนาล็อก PID สั่งอินเวอร์เตอร์ ทดสอบระบบและความปลอดภัย พร้อมซิมูเลเตอร์แลดเดอร์ในเบราว์เซอร์
10 หน้าย่อย →

T–n23
มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับ ฉบับสมบูรณ์
AC Induction Motors · Complete Guide
มอเตอร์เหนี่ยวนำตั้งแต่ระบบไฟฟ้าไทยถึงเพลา: มอเตอร์ 1 เฟสและ 3 เฟส กรงกระรอก กรงคู่ โรเตอร์พันขดลวด กราฟแรงบิด-ความเร็วกับเส้นโหลด ทรานเซียนต์ สตาร์-เดลต้าเชิงลึก และการออกแบบสาย-เบรกเกอร์ พร้อมแล็บจำลอง
อ่านบทเรียน →

∇24
แคลคูลัสหลายตัวแปรและแคลคูลัสเวกเตอร์
Multivariable & Vector Calculus
ฟังก์ชันหลายตัวแปร อนุพันธ์ย่อย gradient ค่าสุดขีดและ Lagrange อินทิกรัลสองชั้น-สามชั้น ฟังก์ชันเวกเตอร์ divergence curl อินทิกรัลตามเส้น Green Gauss Stokes พร้อมงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา และแล็บโต้ตอบ 15 ชุด
13 หน้าย่อย →

Ω25
วงจรไฟฟ้ากระแสตรง
DC Circuit Analysis
วงจร DC ตั้งแต่ศูนย์ถึงระดับโอลิมปิก: ปริมาณพื้นฐาน R L C แหล่งจ่ายไม่อิสระ KCL KVL อนุกรม-ขนาน Δ-Y วิธีโหนด เมช MNA เทวินิน นอร์ตัน กำลังสูงสุด ทรานเซียนต์ RC RL RLC เทคโนโลยี DC ล่าสุด แล็บต่อวงจรที่แก้สมการจริง และโจทย์ 4 ระดับ
อ่านบทเรียน →

Σ26
ลำดับและอนุกรม: จากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์
Sequences & Series
ลำดับ ลิมิตของลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้าทุกแบบ อนุกรมสลับ อนุกรมกำลัง อนุกรมเทย์เลอร์-แมคลอริน อนุกรมโลรองต์ และอุปนัยแบบเข้ม ตั้งแต่ระดับเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม พร้อมเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ 6 ชุด แล็บ 23 ชุด แนวข้อสอบ 60 ข้อ และเครื่องสุ่มโจทย์
12 หน้าย่อย →

---

# อ่านไพ่ทาโรต์จากภาพถ่าย Celtic Cross 10 ใบ

URL: https://modsengineeringmath.com/tools/tarot-photo/
Updated: 2026-10-26
Summary: วางไพ่ทาโรต์ (ไพ่ยิปซี) จริงแบบ Celtic Cross แล้วถ่ายภาพ ปักหมุด 10 ตำแหน่งบนภาพด้วยการแตะ 2 ครั้ง ระบุไพ่และทิศ รวมถึงทิศหัวไพ่ของใบที่ 2 ที่วางขวาง ดูเส้นเชื่อมธาตุ แล้วอ่านผลละเอียด ภาพไม่ออกจากเครื่อง

THภาษาไทยENEnglish
// เครื่องมือ · ไพ่ทาโรต์ · ภาพถ่าย

# อ่านไพ่ทาโรต์จากภาพถ่าย Celtic Cross 10 ใบ

สำหรับคนที่สับและวางไพ่จริงบนโต๊ะ ถ่ายภาพการวางไพ่ แตะ 2 ครั้งเพื่อปักหมุดครบ 10 ตำแหน่ง บอกชื่อไพ่และทิศของแต่ละใบ แล้วอ่านผลด้วยระบบตีความชุดเดียวกับหน้าดูดวงไพ่ทาโรต์ ภาพอยู่ในเบราว์เซอร์ของคุณเท่านั้น

## อ่านไพ่จากภาพการวางไพ่ของคุณ

หน้านี้ต้องเปิด JavaScript เพื่อแสดงภาพ ปักหมุด และอ่านผล

หน้านี้ทำอะไรได้

- ใช้ไพ่จริงของคุณ สับ ตัด และวางไพ่บนโต๊ะตามปกติ แล้วถ่ายภาพหรือเลือกภาพจากเครื่อง

- ชื่อไพ่ลอยเหนือไพ่จริง แตะกลางกากบาทกับไพ่ใบที่ 10 ระบบปักหมุดอีก 8 ตำแหน่งให้ และแสดงชื่อไพ่ที่คุณระบุบนภาพ

- ใบที่ 2 ไม่สับสนอีก คุณบอกแค่ว่าหัวไพ่ชี้ซ้ายหรือขวา ระบบตีความตามกติกาที่คุณเลือกไว้

- เห็นความเชื่อมโยง เส้นในผังเชื่อมตำแหน่งที่อ่านคู่กัน และบอกความสัมพันธ์ของธาตุ ก่อนอ่านผลละเอียดเรื่องธาตุ ราศี ตัวเลข และ Key of Life

## ถ่ายภาพไพ่ให้ใช้งานง่าย

- วางไพ่บนผ้าหรือโต๊ะสีเรียบ ให้ไพ่แต่ละใบมีช่องว่างพอเห็นขอบ ยกเว้นใบที่ 2 ที่วางขวางทับใบที่ 1 ตามธรรมเนียม

- ถือกล้องขนานกับโต๊ะ ถ่ายตรงจากด้านบน ให้ไพ่ทั้ง 10 ใบอยู่ในกรอบ แสงสม่ำเสมอ ไม่มีเงามือทับไพ่

- ถ่ายจากฝั่งไหนก็ได้ การปักหมุดคำนวณการหมุนของภาพจากจุดที่แตะเอง แต่ถ้าไพ่ทั้งชุดหันหาผู้ถาม ให้ติ๊ก “ถ่ายภาพจากฝั่งผู้ถาม” เพื่อกลับทิศทุกใบ

- ถ้าการวางจริงห่างไม่เท่ากับผังมาตรฐาน หมุดบางตัวอาจเหลื่อม ลากหมุดไปวางบนไพ่ที่ถูกต้องได้

## ใบที่ 2 กลับหัวหรือไม่: ดูทิศหัวไพ่ของไพ่ไขว้

ไพ่ใบที่ 2 ของ Celtic Cross วางขวางทับใบที่ 1 แทนแรงที่ตัดผ่านเรื่องของคุณ เมื่อไพ่นอนตะแคง คำว่า “ตั้งตรง” หรือ “กลับหัว” จึงไม่มีความหมายในตัว ต้องมีกติกากำกับ หนังสือและสายการอ่านไพ่ใช้กติกาต่างกัน โดยแบบที่พบบ่อยมี 3 แบบ

- อ่านตั้งตรงเสมอ ถือว่าไพ่ไขว้เป็นแรงที่ขวางอยู่แล้ว จึงไม่ซ้อนความหมายกลับหัวลงไปอีก

- หัวชี้ซ้าย = ตั้งตรง หัวไพ่ชี้ไปทางใบที่ 4 (อดีต) คืออ่านตั้งตรง ชี้ไปทางใบที่ 6 คืออ่านกลับหัว

- หัวชี้ขวา = ตั้งตรง กลับกันกับแบบก่อน

หน้านี้แยกสิ่งที่เห็นออกจากการตีความ คุณบอกเพียงข้อเท็จจริงที่เห็นบนโต๊ะ คือหัวไพ่ชี้ไปทางไหน แล้วระบบตีความตามกติกาที่เลือก ผังจะหมุนไพ่ใบที่ 2 ให้หัวไพ่ชี้ทิศเดียวกับไพ่จริง ถ้าภายหลังเปลี่ยนกติกา ข้อมูลทิศเดิมยังอยู่ ผลการอ่านเปลี่ยนตามได้ทันที

หัวไพ่คือขอบบนของภาพบนหน้าไพ่ ฝั่งที่มีศีรษะของตัวละครและท้องฟ้า ในสำรับ Rider–Waite เลขไพ่อยู่ขอบบน แถบชื่อไพ่อยู่ขอบล่าง

## เส้นเชื่อมในผัง: ตำแหน่งคู่และความสัมพันธ์ของธาตุ

Celtic Cross อ่านเป็นคู่ได้หลายคู่ ผังในหน้านี้ลากเส้นระหว่างคู่ที่ใช้บ่อย และใช้สีกับลายเส้นบอกความสัมพันธ์ของธาตุตามระบบ Golden Dawn (elemental dignities)

- 1–2 แก่นของเรื่องกับแรงที่ขวาง · 3–5 รากฐานกับเป้าหมาย · 4–6 อดีตส่งต่อสู่อนาคตใกล้

- 1–10 จากสถานการณ์สู่ผลลัพธ์ · 5–10 สิ่งที่ตั้งใจเทียบกับทิศที่เรื่องกำลังไป

- 7–8 มุมที่คุณมองตัวเองเทียบกับที่คนอื่นมอง · 7–9 ท่าทีของคุณกับความหวังและความกลัว · 9–10 ความหวังและความกลัวที่ส่งผลต่อผลลัพธ์

ธาตุเดียวกันเสริมแรงกัน (เส้นทองหนา) ไฟกับลม และน้ำกับดิน เป็นธาตุมิตรที่หนุนกัน (เส้นเขียว) ไฟกับน้ำ และลมกับดิน เป็นธาตุตรงข้ามที่ลดทอนกัน (เส้นประแดง) คู่ที่เหลือเป็นกลาง (เส้นจุด) ไพ่ชุดใหญ่ใช้ธาตุตามราศีหรือดาวที่กำกับ ส่วนการอ่านผลละเอียดจะอธิบายแต่ละคู่อีกครั้ง พร้อมราศี ดาวเคราะห์ ตัวเลข และ Key of Life บนต้นไม้แห่งชีวิต

## แตะ 2 จุดแล้วได้หมุดครบ 10 ตำแหน่งได้อย่างไร

ผังมาตรฐานของ Celtic Cross มีพิกัดของทุกตำแหน่งอยู่แล้ว ภาพถ่ายต่างจากผังเพียงการเลื่อน การหมุน และการย่อขยาย ซึ่งเขียนรวมกันได้ด้วยจำนวนเชิงซ้อนตัวเดียว ถ้าให้ $z$ เป็นพิกัดบนผังและ $w$ เป็นพิกัดบนภาพ

$$w = A + a\,(z - z_A), \qquad a = \frac{B - A}{z_B - z_A}$$

โดย $z_A$ คือกลางกากบาท $z_B$ คือกลางไพ่ใบที่ 10 ส่วน $A$ กับ $B$ คือจุดที่คุณแตะบนภาพ ขนาดของ $a$ คืออัตราย่อขยาย และมุมของ $a$ คือมุมที่ภาพหมุนไป จากนั้นนำพิกัดของอีก 8 ตำแหน่งบนผังมาแทนค่าในสูตรเดียวกัน ก็ได้ตำแหน่งหมุดบนภาพ อ่านพื้นฐานเพิ่มได้ที่ ตรีโกณมิติ

## ข้อควรรู้ก่อนใช้

หน้านี้ไม่ได้อ่านชื่อไพ่จากภาพเอง คุณเป็นคนระบุไพ่และทิศ ภาพช่วยให้ตรวจได้ว่ากรอกตรงกับไพ่บนโต๊ะ ภาพ คำถาม และวันเกิดไม่ถูกส่งไปที่ใด สิ่งที่จำไว้ในเครื่องมีเพียงรายชื่อไพ่ ทิศ และกติกาใบที่ 2

ยังไม่มีหลักฐานทางวิทยาศาสตร์ว่าไพ่ทาโรต์ทำนายอนาคตได้ ใช้ผลเป็นเครื่องมือทบทวนความคิด และอย่าใช้แทนคำปรึกษาเรื่องสุขภาพ กฎหมาย หรือการเงิน ถ้ายังไม่มีไพ่จริง ใช้หน้าดูดวงไพ่ทาโรต์ที่สับไพ่ให้บนเบราว์เซอร์ได้

## คำถามที่พบบ่อย

ภาพที่ถ่ายถูกอัปโหลดไปที่ไหนไหม
ไม่ ภาพเปิดอยู่ในเบราว์เซอร์ของคุณเท่านั้น หน้าเว็บไม่ได้ส่งภาพ คำถาม หรือวันเกิดไปที่ใด เมื่อปิดหน้าหรือกดเอาภาพออก ภาพก็หายไป สิ่งที่จำไว้ในเครื่องมีเพียงรายชื่อไพ่ 10 ใบ ทิศของไพ่ และกติกาใบที่ 2

ระบบอ่านชื่อไพ่จากภาพเองได้ไหม
ไม่ หน้านี้ไม่ใช้ AI วิเคราะห์ภาพ คุณเป็นคนบอกชื่อไพ่และทิศของแต่ละใบ ภาพมีไว้ให้ปักหมุดตำแหน่งและแสดงชื่อไพ่ลอยเหนือไพ่จริง ช่วยตรวจว่ากรอกตรงกับไพ่บนโต๊ะ ส่วนการตีความใช้เอนจินเดียวกับหน้าดูดวงไพ่ทาโรต์ของเว็บนี้

ไพ่ใบที่ 2 ที่วางขวาง ถือว่ากลับหัวเมื่อไร
ไม่มีมาตรฐานเดียว ใบที่ 2 วางขวางทับใบที่ 1 จึงไม่มีบน-ล่างตามธรรมชาติ ผู้อ่านบางคนอ่านใบนี้ตั้งตรงเสมอ บางคนถือว่าหัวไพ่ชี้ซ้ายคือตั้งตรง และบางคนถือว่าชี้ขวาคือตั้งตรง หน้านี้ให้คุณบอกว่าหัวไพ่ชี้ไปทางไหน แล้วตีความตามกติกาที่คุณเลือกไว้ เลือกแบบเดียวและใช้ทุกครั้ง

หัวไพ่ดูจากตรงไหน
หัวไพ่คือขอบด้านบนของภาพบนหน้าไพ่ ฝั่งที่มีศีรษะของตัวละครและท้องฟ้า ในสำรับ Rider–Waite เลขไพ่อยู่ขอบบนและแถบชื่อไพ่อยู่ขอบล่าง เมื่อไพ่วางขวาง ให้ดูว่าขอบที่มีเลขไพ่ชี้ไปทางใบที่ 4 (ซ้าย) หรือใบที่ 6 (ขวา)

เส้นสีในผังหมายถึงอะไร
เส้นเชื่อมตำแหน่งที่อ่านคู่กันใน Celtic Cross เช่น 1 กับ 10 สถานการณ์กับผลลัพธ์ หรือ 3 กับ 5 รากฐานกับเป้าหมาย สีและลายเส้นบอกความสัมพันธ์ของธาตุแบบ Golden Dawn ธาตุเดียวกันเสริมแรง ไฟกับลมหรือน้ำกับดินหนุนกัน ไฟกับน้ำหรือลมกับดินลดทอนกัน ส่วนคู่อื่นเป็นกลาง

ถ้าถ่ายภาพจากฝั่งผู้ถามต้องทำอย่างไร
ติ๊กช่อง “ถ่ายภาพจากฝั่งผู้ถาม” ระบบจะกลับทิศของไพ่ทุกใบให้ เพราะไพ่ที่ผู้อ่านเห็นตั้งตรง ผู้ถามที่นั่งฝั่งตรงข้ามจะเห็นกลับหัว การปักหมุดบนภาพใช้ได้ทุกมุม เพราะคำนวณการหมุนจากจุดที่แตะ 2 จุด

การดูดวงไพ่ทาโรต์แม่นยำแค่ไหน
ยังไม่มีหลักฐานทางวิทยาศาสตร์ว่าไพ่ทาโรต์ทำนายอนาคตได้ ระบบตีความตามธรรมเนียมการอ่านไพ่อย่างสม่ำเสมอ ผลจึงเหมาะใช้เป็นมุมมองหนึ่งในการทบทวนความคิด ไม่ควรใช้แทนคำปรึกษาจากแพทย์ นักกฎหมาย หรือที่ปรึกษาการเงิน

## FAQ

**ภาพที่ถ่ายถูกอัปโหลดไปที่ไหนไหม**
ไม่ ภาพเปิดอยู่ในเบราว์เซอร์ของคุณเท่านั้น หน้าเว็บไม่ได้ส่งภาพ คำถาม หรือวันเกิดไปที่ใด เมื่อปิดหน้าหรือกดเอาภาพออก ภาพก็หายไป สิ่งที่จำไว้ในเครื่องมีเพียงรายชื่อไพ่ 10 ใบ ทิศของไพ่ และกติกาใบที่ 2

**ระบบอ่านชื่อไพ่จากภาพเองได้ไหม**
ไม่ หน้านี้ไม่ใช้ AI วิเคราะห์ภาพ คุณเป็นคนบอกชื่อไพ่และทิศของแต่ละใบ ภาพมีไว้ให้ปักหมุดตำแหน่งและแสดงชื่อไพ่ลอยเหนือไพ่จริง ช่วยตรวจว่ากรอกตรงกับไพ่บนโต๊ะ ส่วนการตีความใช้เอนจินเดียวกับหน้าดูดวงไพ่ทาโรต์ของเว็บนี้

**ไพ่ใบที่ 2 ที่วางขวาง ถือว่ากลับหัวเมื่อไร**
ไม่มีมาตรฐานเดียว ใบที่ 2 วางขวางทับใบที่ 1 จึงไม่มีบน-ล่างตามธรรมชาติ ผู้อ่านบางคนอ่านใบนี้ตั้งตรงเสมอ บางคนถือว่าหัวไพ่ชี้ซ้ายคือตั้งตรง และบางคนถือว่าชี้ขวาคือตั้งตรง หน้านี้ให้คุณบอกว่าหัวไพ่ชี้ไปทางไหน แล้วตีความตามกติกาที่คุณเลือกไว้ เลือกแบบเดียวและใช้ทุกครั้ง

**หัวไพ่ดูจากตรงไหน**
หัวไพ่คือขอบด้านบนของภาพบนหน้าไพ่ ฝั่งที่มีศีรษะของตัวละครและท้องฟ้า ในสำรับ Rider–Waite เลขไพ่อยู่ขอบบนและแถบชื่อไพ่อยู่ขอบล่าง เมื่อไพ่วางขวาง ให้ดูว่าขอบที่มีเลขไพ่ชี้ไปทางใบที่ 4 (ซ้าย) หรือใบที่ 6 (ขวา)

**เส้นสีในผังหมายถึงอะไร**
เส้นเชื่อมตำแหน่งที่อ่านคู่กันใน Celtic Cross เช่น 1 กับ 10 สถานการณ์กับผลลัพธ์ หรือ 3 กับ 5 รากฐานกับเป้าหมาย สีและลายเส้นบอกความสัมพันธ์ของธาตุแบบ Golden Dawn ธาตุเดียวกันเสริมแรง ไฟกับลมหรือน้ำกับดินหนุนกัน ไฟกับน้ำหรือลมกับดินลดทอนกัน ส่วนคู่อื่นเป็นกลาง

**ถ้าถ่ายภาพจากฝั่งผู้ถามต้องทำอย่างไร**
ติ๊กช่อง “ถ่ายภาพจากฝั่งผู้ถาม” ระบบจะกลับทิศของไพ่ทุกใบให้ เพราะไพ่ที่ผู้อ่านเห็นตั้งตรง ผู้ถามที่นั่งฝั่งตรงข้ามจะเห็นกลับหัว การปักหมุดบนภาพใช้ได้ทุกมุม เพราะคำนวณการหมุนจากจุดที่แตะ 2 จุด

**การดูดวงไพ่ทาโรต์แม่นยำแค่ไหน**
ยังไม่มีหลักฐานทางวิทยาศาสตร์ว่าไพ่ทาโรต์ทำนายอนาคตได้ ระบบตีความตามธรรมเนียมการอ่านไพ่อย่างสม่ำเสมอ ผลจึงเหมาะใช้เป็นมุมมองหนึ่งในการทบทวนความคิด ไม่ควรใช้แทนคำปรึกษาจากแพทย์ นักกฎหมาย หรือที่ปรึกษาการเงิน

---

# ดูดวงไพ่ทาโรต์ Celtic Cross 10 ใบ

URL: https://modsengineeringmath.com/tools/tarot/
Updated: 2026-10-26
Summary: ดูดวงไพ่ยิปซี (ไพ่ทาโรต์) แบบ Celtic Cross 10 ใบ พิมพ์คำถามแล้วสับไพ่เองด้วยแบบจำลองการสับจริง ริฟเฟิล โอเวอร์แฮนด์ วนไพ่ ตัด 3 กอง วิเคราะห์ธาตุ ราศี ตัวเลข และต้นไม้แห่งชีวิต ใช้ฟรีบนเบราว์เซอร์

THภาษาไทยENEnglish
// เครื่องมือ · ไพ่ทาโรต์ · Celtic Cross

# ดูดวงไพ่ทาโรต์ Celtic Cross 10 ใบ

พิมพ์คำถาม สับไพ่ด้วยมือคุณเอง ตัดไพ่ 3 กอง แล้ววางไพ่ 10 ใบตามแบบ Celtic Cross ระบบตีความแต่ละตำแหน่งตามคำถามของคุณ พร้อมวิเคราะห์ธาตุ ราศี ดาวเคราะห์ ตัวเลข และต้นไม้แห่งชีวิต ทุกขั้นตอนเกิดขึ้นในเบราว์เซอร์ของคุณ

## ดูดวงไพ่ทาโรต์ออนไลน์

หน้านี้ต้องเปิด JavaScript เพื่อสับไพ่และอ่านผล

ต่างจากการสุ่มไพ่ทั่วไปอย่างไร

- สับไพ่จริง ไม่ใช่สุ่มไพ่ ไพ่ทุกใบเคลื่อนตามกลไกของการริฟเฟิล โอเวอร์แฮนด์ หรือการวนไพ่บนโต๊ะ แล้วคุณตัดไพ่เป็น 3 กองเอง

- สำรับจำลำดับเดิม เหมือนสำรับจริงที่วางบนโต๊ะ ถ้าสับน้อย ร่องรอยของการเปิดครั้งก่อนจะยังอยู่ และมาตรวัดจะบอกให้รู้

- อ่านตามคำถาม ระบบแยกหมวดคำถามและชนิดคำถาม (ใช่/ไม่ใช่ เมื่อไหร่ ควรทำอย่างไร) แล้วตีความให้ตรงเรื่อง

- ตีความหลายชั้น ธาตุและความสัมพันธ์ของธาตุ ราศี เดแคน ดาวเคราะห์ แนวโน้มพลังงาน ตัวเลข ต้นไม้แห่งชีวิต และกุญแจจากวันเกิด

มีไพ่จริงวางอยู่บนโต๊ะแล้ว ถ่ายภาพแล้วระบุไพ่ได้ที่ อ่านไพ่ทาโรต์จากภาพถ่าย

## ความหมาย 10 ตำแหน่งของ Celtic Cross

Celtic Cross เป็นรูปแบบการวางไพ่ที่ได้รับความนิยมที่สุด เผยแพร่โดย A. E. Waite ในปี 1910 ไพ่ 6 ใบแรกวางเป็นรูปกากบาท แทนสถานการณ์และเส้นเวลา ส่วน 4 ใบทางขวาวางเป็นแนวตั้ง แทนตัวคุณ สิ่งแวดล้อม ความหวัง และผลลัพธ์

| ตำแหน่ง | ความหมาย |

| 1 หัวใจของเรื่อง | สถานการณ์และพลังหลักในตอนนี้ |

| 2 สิ่งที่ท้าทาย | ไพ่ที่วางขวาง คืออุปสรรคหรือแรงที่ต้องรับมือ |

| 3 รากฐาน | ที่มาลึก ๆ อดีตไกล หรือแรงขับในจิตใต้สำนึก |

| 4 อดีตที่เพิ่งผ่าน | สิ่งที่กำลังคลายอิทธิพลลง |

| 5 เป้าหมาย | สิ่งที่คุณตั้งใจ และผลดีที่สุดที่เป็นไปได้ |

| 6 อนาคตอันใกล้ | สิ่งที่กำลังเข้ามาในช่วงถัดไป |

| 7 ตัวคุณ | ท่าทีและวิธีวางตัวต่อเรื่องนี้ |

| 8 สิ่งแวดล้อม | คนรอบข้าง อีกฝ่าย และสภาพแวดล้อม |

| 9 ความหวังและความกลัว | สิ่งที่หวังหรือกลัวลึก ๆ ซึ่งมักเป็นเรื่องเดียวกัน |

| 10 ผลลัพธ์ | ปลายทางที่มีแนวโน้มหากเดินตามทิศทางนี้ |

ระบบยังอ่านแกนความสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่ง ได้แก่ แกนเวลา 4 → 1 → 6 แกนรากฐานกับเป้าหมาย 3 ↔ 5 ตัวคุณกับสิ่งแวดล้อม 7 ↔ 8 ความหวังกับผลลัพธ์ 9 → 10 และเป้าหมายกับผลลัพธ์ 5 → 10

## คณิตศาสตร์ของการสับไพ่: ทำไมต้องสับจริง

ไพ่ 78 ใบเรียงได้ $78! \approx 1.13\times10^{115}$ แบบ และถ้านับทิศตั้งตรงหรือกลับหัวด้วยจะเป็น $78!\cdot 2^{78} \approx 3.42\times10^{138}$ แบบ หรือราว 460 บิตของข้อมูล การสับไพ่คือการเดินสุ่มบนเซตขนาดมหาศาลนี้ทีละก้าว หน้านี้จึงไม่สุ่มลำดับใหม่ในขั้นเดียว แต่ให้ไพ่เคลื่อนตามแบบจำลองของการสับแต่ละวิธี

### ริฟเฟิล: แบบจำลอง Gilbert–Shannon–Reeds

ผู้สับแบ่งสำรับเป็นสองกอง จุดแบ่งไม่ได้อยู่ตรงกลางพอดี แต่กระจายแบบทวินาม $P(K=k)=\binom{n}{k}\big/2^{n}$ จากนั้นไพ่หล่นจากก้นกองซ้ายหรือขวา โดยถ้าเหลือ $a$ ใบในกองซ้ายและ $b$ ใบในกองขวา ใบถัดไปมาจากกองซ้ายด้วยความน่าจะเป็น $\frac{a}{a+b}$ งานของ Diaconis พบว่าแบบจำลองนี้ใกล้เคียงกับการสับของคนจริงมาก

Bayer และ Diaconis (1992) พิสูจน์ว่าหลังริฟเฟิล $k$ ครั้ง ความน่าจะเป็นของลำดับที่มีลำดับขาขึ้น (rising sequences) $r$ ชุด คือ

$$P_k(\pi)=\frac{1}{2^{kn}}\binom{2^{k}+n-r}{n}$$

จึงคำนวณระยะห่างจากการสุ่มสมบูรณ์ (total variation distance) ได้แม่นยำ สำหรับไพ่ 78 ใบ:

| ริฟเฟิล (ครั้ง) | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

| ระยะห่าง TV | 1.000 | 0.893 | 0.571 | 0.307 | 0.153 | 0.078 | 0.039 | 0.020 |

ค่าจะตกฮวบแถว $\tfrac{3}{2}\log_2 n \approx 9.4$ ครั้ง ไพ่ทาโรต์ 78 ใบจึงต้องสับมากกว่าไพ่ป๊อก 52 ใบ (ราว 7 ครั้ง) ตอนริฟเฟิล ถ้าเปิดใช้ไพ่กลับหัว ผู้สับมีโอกาสครึ่งหนึ่งที่จะหมุนกองล่าง 180° ก่อนสลับ ไพ่กลับหัวจึงเกิดจากการกระทำจริง ไม่ได้สุ่มแยก

### โอเวอร์แฮนด์และการวนไพ่บนโต๊ะ

โอเวอร์แฮนด์ คือการใช้นิ้วโป้งดึงไพ่ทีละก้อนจากบนสำรับลงอีกมือ ก้อนใหม่วางทับก้อนเก่า ลำดับของก้อนจึงกลับด้าน แต่ไพ่ในก้อนยังเรียงเหมือนเดิม หน้านี้ให้จุดตัดเกิดระหว่างไพ่สองใบด้วยความน่าจะเป็น 0.16 (ก้อนละราว 6 ใบ) งานของ Pemantle (1989) และ Jonasson (2006) แสดงว่าวิธีนี้ต้องทำซ้ำในระดับ $n^{2}\log n$ ครั้ง ขณะที่ริฟเฟิลใช้เพียงระดับ $\log n$ โอเวอร์แฮนด์จึงผสมไพ่ช้ามาก

การวนไพ่บนโต๊ะ (wash) จำลองด้วยการแพร่ของตำแหน่งและมุม เมื่อวนนาน $t$ วินาที ไพ่ใบที่ $i$ เลื่อนไปอยู่ที่ $i+\sigma(t)Z_i$ โดย $\sigma(t)=4t^{0.85}$ และหมุนไป $\theta_i+0.9\sqrt{t}\,Z_i'$ เมื่อกวาดไพ่รวมกัน ลำดับจะเรียงตามตำแหน่งใหม่ และไพ่จะกลับหัวเมื่อ $\cos\theta_iมาตรวัดเทียบลำดับปัจจุบันกับลำดับก่อนเริ่มสับในรอบนั้น ด้วยตัวชี้วัดสามตัว แล้วรายงานตัวที่แย่ที่สุด

- ลำดับขาขึ้น นับว่าไพ่ที่เคยติดกันยังเรียงตามกันอยู่กี่ชุด สำรับที่สุ่มดีมีค่าเฉลี่ย $\frac{n+1}{2}=39.5$ และหลังริฟเฟิล $k$ ครั้งจะมีไม่เกิน $2^{k}$

- คู่ไพ่ที่ยังติดกัน สำรับที่สุ่มดีเหลือเฉลี่ยเพียง $\frac{2(n-1)}{n}\approx 2$ คู่

- สหสัมพันธ์สเปียร์แมน $\rho=1-\frac{6\sum d_i^{2}}{n(n^{2}-1)}$ ระหว่างตำแหน่งเดิมกับตำแหน่งใหม่ ควรใกล้ 0

ข้อควรรู้คือ สถิติเหล่านี้อาจดูสุ่มแล้วทั้งที่สำรับยังไม่สุ่มจริง เช่น หลังริฟเฟิล 7 ครั้งตัวชี้วัดดูดีมาก แต่ระยะห่าง TV ยังเหลือ 0.57 หน้านี้จึงแสดงขอบเขตบนทางทฤษฎีของ Bayer–Diaconis ควบคู่ไปด้วยเมื่อคุณริฟเฟิล

### ความไม่แน่นอนของมือ

คอมพิวเตอร์จำลองฟิสิกส์ของมือคุณไม่ได้ทุกรายละเอียด แบบจำลองจึงทำซ้ำโครงสร้างของการสับจริง และใช้ความสุ่มเฉพาะจุดที่มือคนไม่แม่นยำ คือจุดแบ่งกอง ใบไหนหล่นก่อน ขนาดก้อน และระยะที่ไพ่เลื่อน แหล่งสุ่มคือ crypto.getRandomValues ของเบราว์เซอร์ ผสมกับจังหวะเวลาที่คุณขยับเมาส์ แตะจอ พิมพ์คำถาม และระยะเวลาที่กดค้างตอนวนไพ่ แล้วป้อนให้ตัวสร้างเลขสุ่ม sfc32 ทุกครั้งที่สับ

## ระบบตีความ: ธาตุ ราศี ตัวเลข และต้นไม้แห่งชีวิต

ไพ่แต่ละใบผูกกับสัญลักษณ์ตามระบบของ Hermetic Order of the Golden Dawn ซึ่งเป็นรากของสำรับ Rider–Waite–Smith

| ชุด | ธาตุ | เดแคน (ไพ่ 2–10) | โลกบนต้นไม้แห่งชีวิต |

| ไม้เท้า | ไฟ | 2–4 เมษ · 5–7 สิงห์ · 8–10 ธนู | อัทซิลูท (เจตจำนง) |

| ถ้วย | น้ำ | 2–4 กรกฎ · 5–7 พิจิก · 8–10 มีน | บริยาห์ (ความรู้สึก) |

| ดาบ | ลม | 2–4 ตุลย์ · 5–7 กุมภ์ · 8–10 เมถุน | เยทซิราห์ (ความคิด) |

| เหรียญ | ดิน | 2–4 มังกร · 5–7 พฤษภ · 8–10 กันย์ | อัสสิยาห์ (วัตถุ) |

- ไพ่ 2–10 แต่ละใบครองหนึ่งเดแคน (10° ของจักรราศี) มีดาวประจำตามลำดับคัลเดียน เช่น 2 ไม้เท้า = อังคารในเมษ 9 ดาบ = อังคารในเมถุน 7 เหรียญ = เสาร์ในพฤษภ และเลขของไพ่ตรงกับเสฟิราบนต้นไม้แห่งชีวิต (เอซ = เคเธอร์ … 10 = มัลคูท)

- ไพ่บุคคล ราชา = ไฟของธาตุชุดนั้น ราชินี = น้ำ อัศวิน = ลม เพจ = ดิน ราชา ราชินี และอัศวินคาบช่วง 20° ของราศีหนึ่งถึง 20° ของราศีถัดไป ส่วนเอซและเพจครองหนึ่งในสี่ของจักรราศี

- ไพ่ชุดใหญ่ ผูกกับอักษรฮีบรู 22 ตัว และเส้นทาง 22 เส้น (เส้นทางที่ 11–32) บนต้นไม้แห่งชีวิต พร้อมราศี ดาว หรือธาตุ เช่น จักรพรรดิ = ה เฮ ราศีเมษ ความตาย = נ นูน ราศีพิจิก

### ความสัมพันธ์ของธาตุ (Elemental dignities)

ธาตุเดียวกันเสริมกันแรง ไฟกับลม และน้ำกับดินเป็นมิตร ไฟกับน้ำ และลมกับดินขัดกัน คู่อื่นเป็นกลาง ระบบใช้กฎนี้อ่านว่าอุปสรรค (ตำแหน่ง 2) บั่นทอนหัวใจของเรื่องแค่ไหน รากฐานกับเป้าหมายไปทางเดียวกันหรือไม่ และไพ่ข้างเคียงหนุนหรือลดทอนไพ่ผลลัพธ์

### แนวโน้ม คะแนน และสถิติ

ไพ่แต่ละใบมีค่าพลังงาน $v$ ตั้งแต่ −3 ถึง +3 แยกตั้งตรงกับกลับหัว ระบบวางไพ่ตำแหน่ง 3, 4, 1, 6, 10 บนเส้นเวลา $t=-2,\dots,2$ แล้วหาความชันด้วยวิธีกำลังสองน้อยที่สุด

$$b=\frac{\sum t_i\,(v_i-\bar v)}{\sum t_i^{2}}$$

คะแนนรวม $S=\dfrac{\sum w_p v_p}{3\sum w_p}$ อยู่ในช่วง −1 ถึง 1 โดยให้น้ำหนักผลลัพธ์ 1.6 อนาคตอันใกล้ 1.2 และปัจจุบัน 1.0 มากกว่าตำแหน่งอื่น สำหรับคำถามใช่/ไม่ใช่ ระบบผสมคะแนนรวมกับไพ่ผลลัพธ์ จำนวนไพ่ชุดใหญ่เทียบกับค่าคาดหมาย $10\cdot\tfrac{22}{78}\approx 2.8$ ใบ และความน่าจะเป็นแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก $P(X\ge k)=\sum_{x\ge k}\binom{22}{x}\binom{56}{10-x}\big/\binom{78}{10}$

### ช่วงเวลาจากเดแคนและตำแหน่งดวงอาทิตย์

ถ้าไพ่ผลลัพธ์ผูกกับช่วงบนจักรราศี ระบบหาวันที่ดวงอาทิตย์จะเข้าสู่ช่วงนั้นครั้งถัดไป ด้วยสูตรตำแหน่งดวงอาทิตย์ความแม่นยำราว 0.01° ($d$ คือจำนวนวันนับจาก 1 ม.ค. 2000 เวลา 12:00 UT)

$$\lambda_\odot = q + 1.915^\circ\sin g + 0.020^\circ\sin 2g,\quad q=280.459^\circ+0.98564736^\circ d,\quad g=357.529^\circ+0.98560028^\circ d$$

ไพ่ที่ผูกกับดาวเคราะห์ใช้ความเร็วของดาวเป็นจังหวะ และชุดไพ่บอกความเร็วของเหตุการณ์ ไม้เท้าและดาบเร็ว ถ้วยปานกลาง เหรียญช้าแต่มั่นคง

### Key of Life: แก่นสาร ต้นไม้แห่งชีวิต และวันเกิด

- แก่นสาร (Quintessence) รวมเลขไพ่ชุดใหญ่และไพ่ 1–10 ทั้งหมด แล้วทอนจนเหลือไม่เกิน 22 ได้ไพ่ชุดใหญ่หนึ่งใบที่เป็นแก่นของการอ่าน

- ต้นไม้แห่งชีวิต ไพ่ชุดเล็กลงที่เสฟิราตามเลข ไพ่ชุดใหญ่ลงที่เส้นทางของตน ระบบรวมน้ำหนักเป็นเสาเมตตา เสาความเข้มงวด หรือเสาสมดุล และแยกระดับบน กลาง ล่าง

- วันเกิด ราศีคำนวณจากตำแหน่งดวงอาทิตย์จริง (เตือนเมื่อเกิดใกล้รอยต่อราศี) เลขเส้นทางชีวิตเก็บเลขพิเศษ 11, 22, 33 ไพ่ประจำตัวใช้วิธีของ Mary K. Greer (วัน + เดือน + ปี ทอนจนไม่เกิน 22) และไพ่ประจำปีใช้ปีปัจจุบันแทนปีเกิด

## ข้อควรรู้ก่อนใช้

หน้านี้ทำให้ทุกขั้นของการเปิดไพ่โปร่งใส ตั้งแต่การสับจนถึงกฎที่ใช้ตีความ เพื่อให้เห็นว่าผลการอ่านมาจากไหน อย่างไรก็ตาม ยังไม่มีหลักฐานทางวิทยาศาสตร์ว่าไพ่ทาโรต์ทำนายอนาคตได้ ความละเอียดของการตีความไม่ได้ทำให้ผลแม่นขึ้นในทางสถิติ แต่ช่วยให้มีมุมมองให้คิดต่อได้มากขึ้น ใช้ผลเป็นเครื่องมือทบทวนความคิด และอย่าใช้แทนคำปรึกษาเรื่องสุขภาพ กฎหมาย หรือการเงิน

ถ้าสนใจคณิตศาสตร์เบื้องหลัง เช่น ความน่าจะเป็น การถดถอยเชิงเส้น หรือการแปลงมุม ลองอ่านต่อที่ คลังความรู้ หรือ ลำดับและอนุกรม และ ตรีโกณมิติ

## คำถามที่พบบ่อย

ไพ่ทาโรต์กับไพ่ยิปซีต่างกันไหม
ในภาษาไทยคนส่วนใหญ่เรียกไพ่ทาโรต์ว่าไพ่ยิปซี จึงหมายถึงไพ่ชุดเดียวกัน คือไพ่ 78 ใบ แบ่งเป็นไพ่ชุดใหญ่ (Major Arcana) 22 ใบ และไพ่ชุดเล็ก (Minor Arcana) 56 ใบ ในสี่ชุด ไม้เท้า ถ้วย ดาบ และเหรียญ หน้านี้ใช้ลำดับและความหมายตามสำรับ Rider–Waite–Smith

ทำไมหน้านี้ให้สับไพ่เองแทนการสุ่มไพ่
โปรแกรมทั่วไปสุ่มลำดับใหม่ทั้งสำรับในขั้นเดียว แต่หน้านี้จำลองการสับจริงทีละขั้น ไพ่ทุกใบเคลื่อนตามกลไกของการสับแบบนั้น สำรับยังจำลำดับจากการเปิดครั้งก่อน และถ้าสับน้อย ลำดับเดิมจะยังหลงเหลืออยู่ เหมือนสำรับจริงบนโต๊ะ ส่วนที่สุ่มคือความไม่แม่นยำของมือ เช่น จุดที่แบ่งครึ่ง หรือใบไหนหล่นก่อน

ควรสับไพ่กี่ครั้ง
ถ้าใช้ริฟเฟิลอย่างเดียว ทฤษฎีของ Bayer และ Diaconis บอกว่าไพ่ 78 ใบต้องริฟเฟิลราว 9–10 ครั้ง ลำดับจึงใกล้การสุ่มสมบูรณ์ การวนไพ่บนโต๊ะควรวนรวมกันราว 30 วินาทีขึ้นไป ส่วนโอเวอร์แฮนด์ผสมไพ่ช้ามาก ดูมาตรวัดระดับการผสมบนหน้าได้เลย

ไพ่กลับหัวหมายถึงอะไร
ไพ่กลับหัว (reversed) มักหมายถึงพลังของไพ่ใบนั้นติดขัด ล่าช้า เกิดขึ้นภายในใจมากกว่าภายนอก หรือในไพ่ด้านลบอาจหมายถึงสถานการณ์กำลังคลี่คลาย ในหน้านี้ไพ่กลับหัวเกิดจากการหมุนกองไพ่ตอนริฟเฟิลและการวนไพ่บนโต๊ะ ไม่ได้สุ่มเพิ่ม และปิดการใช้ไพ่กลับหัวได้

ระบบตีความไพ่อย่างไร
ระบบอ่านคำถามเพื่อหาหมวด (ความรัก การงาน การเงิน สุขภาพ ครอบครัว) และชนิดคำถาม แล้วตีความไพ่ตามตำแหน่ง Celtic Cross เชื่อมไพ่ที่เกี่ยวข้องกัน ใช้ความสัมพันธ์ของธาตุแบบ Golden Dawn ราศีและเดแคน ดาวเคราะห์ ตัวเลข แก่นสาร (Quintessence) ต้นไม้แห่งชีวิต และถ้าใส่วันเกิด จะคำนวณราศีจากตำแหน่งดวงอาทิตย์ เลขเส้นทางชีวิต และไพ่ประจำตัวด้วย

ข้อมูลที่พิมพ์ถูกเก็บหรือส่งไปที่ไหนไหม
ไม่ ทุกอย่างคำนวณในเบราว์เซอร์ของคุณ คำถามและวันเกิดไม่ถูกส่งออกไปที่ใด สิ่งเดียวที่เก็บไว้ในเครื่องคือลำดับไพ่ในสำรับและการตั้งค่าไพ่กลับหัว เพื่อให้สำรับต่อเนื่องจากครั้งก่อน

การดูดวงไพ่ทาโรต์แม่นยำแค่ไหน
ยังไม่มีหลักฐานทางวิทยาศาสตร์ว่าไพ่ทาโรต์ทำนายอนาคตได้ ระบบนี้ตีความตามธรรมเนียมการอ่านไพ่อย่างละเอียดและสม่ำเสมอ ผลจึงเหมาะใช้เป็นมุมมองหนึ่งในการทบทวนความคิด ไม่ควรใช้แทนคำปรึกษาจากแพทย์ นักกฎหมาย หรือที่ปรึกษาการเงิน

## FAQ

**ไพ่ทาโรต์กับไพ่ยิปซีต่างกันไหม**
ในภาษาไทยคนส่วนใหญ่เรียกไพ่ทาโรต์ว่าไพ่ยิปซี จึงหมายถึงไพ่ชุดเดียวกัน คือไพ่ 78 ใบ แบ่งเป็นไพ่ชุดใหญ่ (Major Arcana) 22 ใบ และไพ่ชุดเล็ก (Minor Arcana) 56 ใบ ในสี่ชุด ไม้เท้า ถ้วย ดาบ และเหรียญ หน้านี้ใช้ลำดับและความหมายตามสำรับ Rider–Waite–Smith

**ทำไมหน้านี้ให้สับไพ่เองแทนการสุ่มไพ่**
โปรแกรมทั่วไปสุ่มลำดับใหม่ทั้งสำรับในขั้นเดียว แต่หน้านี้จำลองการสับจริงทีละขั้น ไพ่ทุกใบเคลื่อนตามกลไกของการสับแบบนั้น สำรับยังจำลำดับจากการเปิดครั้งก่อน และถ้าสับน้อย ลำดับเดิมจะยังหลงเหลืออยู่ เหมือนสำรับจริงบนโต๊ะ ส่วนที่สุ่มคือความไม่แม่นยำของมือ เช่น จุดที่แบ่งครึ่ง หรือใบไหนหล่นก่อน

**ควรสับไพ่กี่ครั้ง**
ถ้าใช้ริฟเฟิลอย่างเดียว ทฤษฎีของ Bayer และ Diaconis บอกว่าไพ่ 78 ใบต้องริฟเฟิลราว 9–10 ครั้ง ลำดับจึงใกล้การสุ่มสมบูรณ์ การวนไพ่บนโต๊ะควรวนรวมกันราว 30 วินาทีขึ้นไป ส่วนโอเวอร์แฮนด์ผสมไพ่ช้ามาก ดูมาตรวัดระดับการผสมบนหน้าได้เลย

**ไพ่กลับหัวหมายถึงอะไร**
ไพ่กลับหัว (reversed) มักหมายถึงพลังของไพ่ใบนั้นติดขัด ล่าช้า เกิดขึ้นภายในใจมากกว่าภายนอก หรือในไพ่ด้านลบอาจหมายถึงสถานการณ์กำลังคลี่คลาย ในหน้านี้ไพ่กลับหัวเกิดจากการหมุนกองไพ่ตอนริฟเฟิลและการวนไพ่บนโต๊ะ ไม่ได้สุ่มเพิ่ม และปิดการใช้ไพ่กลับหัวได้

**ระบบตีความไพ่อย่างไร**
ระบบอ่านคำถามเพื่อหาหมวด (ความรัก การงาน การเงิน สุขภาพ ครอบครัว) และชนิดคำถาม แล้วตีความไพ่ตามตำแหน่ง Celtic Cross เชื่อมไพ่ที่เกี่ยวข้องกัน ใช้ความสัมพันธ์ของธาตุแบบ Golden Dawn ราศีและเดแคน ดาวเคราะห์ ตัวเลข แก่นสาร (Quintessence) ต้นไม้แห่งชีวิต และถ้าใส่วันเกิด จะคำนวณราศีจากตำแหน่งดวงอาทิตย์ เลขเส้นทางชีวิต และไพ่ประจำตัวด้วย

**ข้อมูลที่พิมพ์ถูกเก็บหรือส่งไปที่ไหนไหม**
ไม่ ทุกอย่างคำนวณในเบราว์เซอร์ของคุณ คำถามและวันเกิดไม่ถูกส่งออกไปที่ใด สิ่งเดียวที่เก็บไว้ในเครื่องคือลำดับไพ่ในสำรับและการตั้งค่าไพ่กลับหัว เพื่อให้สำรับต่อเนื่องจากครั้งก่อน

**การดูดวงไพ่ทาโรต์แม่นยำแค่ไหน**
ยังไม่มีหลักฐานทางวิทยาศาสตร์ว่าไพ่ทาโรต์ทำนายอนาคตได้ ระบบนี้ตีความตามธรรมเนียมการอ่านไพ่อย่างละเอียดและสม่ำเสมอ ผลจึงเหมาะใช้เป็นมุมมองหนึ่งในการทบทวนความคิด ไม่ควรใช้แทนคำปรึกษาจากแพทย์ นักกฎหมาย หรือที่ปรึกษาการเงิน

---

# อัปเดตล่าสุด: บันทึกการปรับปรุงเว็บไซต์

URL: https://modsengineeringmath.com/updates/
Updated: 2026-10-24
Summary: บันทึกการปรับปรุงเว็บไซต์ Mod's Engineering Mathematics ทั้งหมด เรียงจากล่าสุด: บทเรียนใหม่ แล็บโต้ตอบ แนวข้อสอบ บทความไทยและอังกฤษ และการปรับปรุงหน้าเว็บ กรองตามหมวดได้ และติดตามผ่าน RSS

// บันทึกการปรับปรุง · ล่าสุดอยู่บนสุด

# อัปเดตล่าสุด: บันทึกการปรับปรุงเว็บไซต์

ทุกบทเรียน แล็บ แนวข้อสอบ และบทความที่เพิ่มหรือปรับปรุงบนเว็บไซต์ ทั้งหมด 52 รายการ กดหมวดด้านล่างเพื่อกรอง หรือรับข่าวผ่าน RSS · กลับไปที่ หน้าแรก หรือดู คลังความรู้ทั้งหมด

-
แล็บ26 ต.ค. 2569

เปิดเครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม 6 ชุดที่แสดงวิธีทำทุกขั้นด้วยเลขแม่นตรง (เศษส่วนและกรณฑ์) ไล่ระดับพื้นฐาน กลาง ขั้นสูง: ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต (กรอก 3 ค่า หาที่เหลือ) ซิกมาแบบรูปปิด (สูตรผลบวกกำลัง กล้องส่องทางไกล พหุนาม×rᵏ) หาสูตรจากพจน์ด้วยตารางผลต่าง แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดพร้อมฟังก์ชันก่อกำเนิดและบทพิสูจน์ ออยเลอร์–แมคลอริน ทศนิยมซ้ำ และเงินฝาก-เงินกู้ ทุกตัวมีปุ่ม 🎯 ฝึกทำที่สุ่มโจทย์และตรวจคำตอบ ใช้บนมือถือได้
ฝึกทำ 12 ข้อแก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด
เปิดเครื่องคิดเลข →

-
บทเรียน26 ต.ค. 2569

บทใหม่ 26.12 อุปนัยแบบเข้ม (Strong Induction): หลักการ กฎจำนวนกรณีฐาน และตัวอย่างเข้มข้น 17 ข้อ ตั้งแต่แสตมป์ (จำนวนโฟรเบเนียส) จำนวนเฉพาะ ฟีโบนัชชีและสูตรบิเนต์ ช็อกโกแลต ปูกระเบื้อง เกมหยิบเหรียญ จนถึง merge sort เอกลักษณ์ของเบซู และระบบควบคุมดิจิทัล พร้อมแล็บโต้ตอบ 11 ชุด เช่น ลดกรณีฐานแล้วดูบทพิสูจน์พัง เกมเรียงบรรทัดบทพิสูจน์ และเกมหาจุดผิด
แล็บกรณีฐานฝึกพิสูจน์
อ่านอุปนัยแบบเข้ม →

-
เว็บไซต์26 ต.ค. 2569

เพิ่มแถบขอความยินยอมคุกกี้ตามแนวทาง PDPA: โฆษณา Google AdSense และคุกกี้โฆษณาจะโหลดก็ต่อเมื่อผู้ใช้กด “ยอมรับ” เท่านั้น ปุ่มยอมรับและไม่ยอมรับมีขนาดเท่ากัน ไม่ยอมรับก็ใช้งานทุกส่วนได้ครบ และเปลี่ยนใจได้ทุกเมื่อที่ปุ่ม “ตั้งค่าคุกกี้” ท้ายทุกหน้า พร้อมย้ายฟอนต์ทั้งหมดมาไว้บนเว็บไซต์เอง ไม่โหลดจาก Google Fonts อีกต่อไป
อ่านนโยบายความเป็นส่วนตัว →

-
เว็บไซต์26 ต.ค. 2569

ปรับระบบค้นหาและ AI: เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรมรองรับลิงก์โจทย์ ?q= และ structured data แบบ MathSolver สำหรับ Google, เพิ่มหน้าใหม่ทั้งสองในคู่มือ Markdown สำหรับผู้ช่วย AI, llms.txt, ดัชนีค้นหาในเว็บ และตัวเชื่อมต่อ /mcp, เพิ่มลิงก์สั้น เช่น /series-calculator, /sigma-calculator, /recurrence-solver, /strong-induction และเพิ่มหน้านโยบายความเป็นส่วนตัว
นโยบายความเป็นส่วนตัว →

-
บทเรียน26 ต.ค. 2569

บทเรียนวงจรไฟฟ้ากระแสตรงเพิ่มตารางสรุปสูตร 15 แถวไว้ต้นหน้า: กฎของโอห์มและกำลัง อนุกรม-ขนาน แบ่งแรงดัน-กระแส KCL KVL Δ-Y บริดจ์วีตสโตน เทวินิน กำลังสูงสุด และ RC RL RLC แต่ละสูตรลิงก์ไปการ์ดที่มีที่มาและตัวอย่าง
ดูตารางสรุปสูตร →

-
เว็บไซต์26 ต.ค. 2569

เพิ่มหน้าอ่านไพ่ทาโรต์จากภาพถ่าย ภาษาไทยและอังกฤษ สำหรับคนที่วางไพ่จริงบนโต๊ะ ถ่ายภาพแล้วแตะ 2 ครั้งเพื่อปักหมุดครบ 10 ตำแหน่ง ระบุไพ่และทิศ รวมถึงทิศหัวไพ่ของใบที่ 2 ที่วางขวางตามกติกาที่เลือกเอง ผังแสดงเส้นเชื่อมตำแหน่งคู่ตามความสัมพันธ์ของธาตุ และอ่านผลด้วยระบบตีความชุดเดียวกับหน้าดูดวงไพ่ทาโรต์ ภาพไม่ออกจากเครื่อง
Englishใบที่ 2 กลับหัวหรือไม่
เปิดหน้าอ่านไพ่จากภาพถ่าย →

-
เว็บไซต์26 ต.ค. 2569

เปิดหน้าดูดวงไพ่ทาโรต์ (ไพ่ยิปซี) แบบ Celtic Cross 10 ใบ ภาษาไทยและอังกฤษ พิมพ์คำถาม สับไพ่เองด้วยแบบจำลองการสับจริง (ริฟเฟิล Gilbert–Shannon–Reeds โอเวอร์แฮนด์ วนไพ่บนโต๊ะ ตัด 3 กอง) พร้อมมาตรวัดระดับการผสมของสำรับ แล้วอ่านผลตามคำถาม วิเคราะห์ธาตุ ราศี เดแคน ตัวเลข ต้นไม้แห่งชีวิต และกุญแจจากวันเกิด
Englishคณิตศาสตร์ของการสับไพ่
เปิดหน้าดูดวงไพ่ทาโรต์ →

-
บทความ25 ต.ค. 2569

บทความใหม่ “เริ่มต้นเข้าใจการเขียนโปรแกรมในยุค AI: ทำไมควรเริ่มที่ Python” ทั้งภาษาไทยและภาษาอังกฤษ พร้อมตัวอย่างตรวจโค้ดวงจร RC ด้วยความรู้วงจรและแผนเรียน 4 สัปดาห์ และจัดหน้าบทความใหม่เป็น 6 หมวด ได้แก่ ลำดับและอนุกรม เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น การแปลงลาปลาซ ระบบควบคุมและ PID ไฟฟ้ากำลังและมอเตอร์ และการเขียนโปรแกรมและ AI แต่ละหมวดมีหน้าของตัวเองทั้งไทยและอังกฤษ ค้นหาได้จากปุ่มค้นหาบนเว็บ
English editionหมวดการเขียนโปรแกรมและ AIบทความทั้ง 6 หมวด
อ่านบทความ →

-
บทความ25 ต.ค. 2569

ขยายบทความเดิม 3 เรื่องทั้งภาษาไทยและภาษาอังกฤษ: อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เพิ่มเป็นตัวอย่าง 14 ข้อ พร้อมวิธีเขียนข้อความ P(n) และอุปนัยแบบเข้ม (strong induction) · อนุกรมเทย์เลอร์เพิ่มตารางอนุกรมแมคลอริน ตัวอย่างกระจายรอบจุดอื่น ใช้กี่พจน์ หาอินทิกรัลและลิมิต · การต่อมอเตอร์เดลต้าเพิ่มความหมายของขั้ว U1 V1 W1 U2 V2 W2 เทียบขั้วรุ่นเก่าและ NEMA และสีสายไฟเข้า
อนุกรมเทย์เลอร์ขั้ว U1 V1 W1 และสีสาย
อ่านบทความอุปนัย →

-
บทเรียน25 ต.ค. 2569

พีชคณิตเชิงเส้นขยายเป็น 12 หน้า: เพิ่มบท “ค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ (แรงก์)” ทั้งการลดแถว ไมเนอร์ โจทย์พารามิเตอร์ k ทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี ปริภูมิศูนย์ และบท “การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของระบบสมการเชิงเส้น” ทั้งเกาส์กับการสลับแถว LU โชเลสกี โทมัส จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR และเลขเงื่อนไข พร้อมสูตรลัดดีเทอร์มิแนนต์ที่ออกสอบและคราเมอร์กับพารามิเตอร์ ทุกตัวอย่างตรวจตัวเลขด้วย SymPy
แรงก์ (ค่าลำดับขั้น)ผลเฉลยเชิงตัวเลขสูตรลัด det ออกสอบคราเมอร์กับพารามิเตอร์ k
ดูเส้นทางเรียนเรื่องระบบสมการ →

-
แนวข้อสอบ25 ต.ค. 2569

แนวข้อสอบเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ และกฎของคราเมอร์ 45 ข้อ พร้อมเฉลยทีละขั้น 3 ระดับ (เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย · ป.ตรี · วิธีเชิงตัวเลข) สูตรต้องจำ 8 สูตร และเครื่องสุ่มโจทย์ 10 แบบที่ตรวจคำตอบและแสดงเฉลยได้ไม่จำกัด
ชุด A เข้ามหาวิทยาลัยชุด B ป.ตรีชุด C เชิงตัวเลขโจทย์สุ่ม
เริ่มทำแนวข้อสอบ →

-
แล็บ25 ต.ค. 2569

แล็บใหม่ 8 ชุดที่ใช้บนมือถือได้: หาแรงก์ทีละขั้นแบบเศษส่วนแม่นตรง แรงก์กับพารามิเตอร์ k สามระนาบ 3 มิติที่หมุนได้ การปัดเศษกับการสลับแถว แยก LU / PA = LU / โชเลสกี ซิมูเลเตอร์จาโคบี · เกาส์-ไซเดล · SOR เลขเงื่อนไขกับเมทริกซ์ฮิลเบิร์ต และแผ่นความร้อนด้วยวิธีผ่อนคลาย
สามระนาบ 3 มิติแล็บหาแรงก์แล็บ LUแผ่นความร้อน
ลองซิมูเลเตอร์วิธีทำซ้ำ →

-
บทความ25 ต.ค. 2569

บทความใหม่ 5 เรื่อง ทั้งภาษาไทยและภาษาอังกฤษแยกลิงก์: แผนที่การเรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ของเมทริกซ์คืออะไร กฎของคราเมอร์ใช้อย่างไร สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย และเกาส์ LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหน
แรงก์ของเมทริกซ์กฎของคราเมอร์สมบัติดีเทอร์มิแนนต์จาโคบี vs เกาส์-ไซเดลEnglish: Matrices roadmap
เริ่มจากแผนที่การเรียน →

-
เว็บไซต์25 ต.ค. 2569

ปรับหน้าแรก: แถบ “ใหม่” ด้านบนและกล่อง “มีอะไรใหม่บนเว็บไซต์” อัปเดตตามบันทึกการปรับปรุงโดยอัตโนมัติ พร้อมปุ่มลิงก์ตรงไปยังหน้าที่เพิ่ม · เมนูพีชคณิตเชิงเส้น (แฮมเบอร์เกอร์บนมือถือ) เพิ่มแรงก์ ผลเฉลยเชิงตัวเลข และแนวข้อสอบ · ลิงก์ท้ายเว็บเพิ่มบทความภาษาอังกฤษ
ดูบันทึกทั้งหมด →

-
เว็บไซต์25 ต.ค. 2569

เชื่อมเว็บไซต์กับผู้ช่วย AI: เพิ่มที่อยู่ modsengineeringmath.com/mcp เป็น connector ใน Claude แล้ว Claude จะค้นและอ่านบทเรียน บทความ และเฉลยโจทย์ทั้งเว็บได้โดยตรง พร้อมลิงก์กลับมายังหน้าที่ใช้อ้างอิง ใช้ฟรีและไม่ต้องสมัคร · ทุกหน้ามีฉบับ Markdown สำหรับ AI โดยต่อท้ายที่อยู่ของหน้าด้วย index.html.md
วิธีเชื่อมกับ Claude →

-
เว็บไซต์24 ต.ค. 2569

เปิดส่วนใหม่ เฉลยโจทย์ทีละขั้น ข้อละหน้า แชร์ต่อใน LINE, Facebook และ X ได้พร้อมภาพโจทย์ ข้อแรก: อินทิเกรต ∫dx/√(x²+a²) ด้วยการแทนค่าแบบออยเลอร์ พร้อมที่มาของการกำหนด u − x = √(x²+a²)
ดูเฉลยข้อแรก →

-
บทเรียน24 ต.ค. 2569

เปิดบทใหม่ ลำดับและอนุกรมครบชุด 10 หน้า (บทที่ 26): ลำดับและลิมิตของลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้าพร้อมผังเลือกใช้ อนุกรมสลับ อนุกรมกำลังและรัศมีการลู่เข้า อนุกรมเทย์เลอร์-แมคลอริน อนุกรมโลรองต์ เรซิดิว การแปลง Z และอนุกรมในงานวิศวกรรม รวม 122 สูตรมีรหัสอ้างอิง ทุกตัวอย่างตรวจตัวเลขด้วย sympy ตั้งแต่ระดับเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
เปิดบทลำดับและอนุกรม →

-
แล็บ24 ต.ค. 2569

แล็บลำดับและอนุกรม 12 ชุดที่ใช้บนมือถือได้: ผลบวกย่อย ขอบเขตปริพันธ์ จัดเรียงอนุกรมสลับให้ได้ผลบวกตามต้องการ (ทฤษฎีบทรีมันน์) รัศมีการลู่เข้าบนเส้นจำนวนและในระนาบเชิงซ้อน พหุนามเทย์เลอร์ ต้องใช้กี่พจน์ วงแหวนอนุกรมโลรองต์ที่ลากจุดทดสอบได้ และการประมาณในงานวิศวกรรม (ลูกตุ้ม sin บนชิป ไดโอด)
เปิดแล็บรวม →

-
แนวข้อสอบ24 ต.ค. 2569

แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม 60 ข้อ 3 ระดับพร้อมเฉลยทีละขั้น (เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย · แคลคูลัส 2 · คณิตศาสตร์วิศวกรรม) เกมเลือกการทดสอบการลู่เข้า 40 ข้อ และเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัด 9 หมวดที่ตรวจคำตอบให้ทันที
ฝึกโจทย์ →

-
บทความ24 ต.ค. 2569

บทความใหม่ 4 เรื่อง ภาษาไทยและภาษาอังกฤษแยกลิงก์: ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง (แผนที่ภาพรวม) · เลือกการทดสอบการลู่เข้าด้วยผัง 8 ขั้น · รัศมีการลู่เข้าหาอย่างไร · อนุกรมโลรองต์ต่างจากเทย์เลอร์อย่างไร
อ่านบทความ →

-
เว็บไซต์24 ต.ค. 2569

หน้าแรกมีกล่อง “มีอะไรใหม่บนเว็บไซต์” ที่ดึงจากบันทึกการปรับปรุงโดยอัตโนมัติ และเปิดหน้า /updates/ รวมทุกการปรับปรุงพร้อมตัวกรอง · เมนูหลักเพิ่มลิงก์ “มีอะไรใหม่” และหมวด “ลำดับ · อนุกรม” ทั้งในเมนูแฮมเบอร์เกอร์และแถบเมนูบนจอคอมพิวเตอร์ · แก้แถบเมนูบนจอกว้างที่เคยซ้อนทับโลโก้ · กราฟในแล็บปรับขนาดตามจอมือถือให้ตัวอักษรอ่านง่ายขึ้น
ดูบันทึกทั้งหมด →

-
บทความ19 ต.ค. 2569

บทความวิจัยใหม่ (ไทย + English): ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที — ทดลองเชิงตัวเลข 14 ชุดด้วยแบบจำลองพลวัตมอเตอร์กรงกระรอก สรุปเป็นสูตร t = c·τm พร้อมตาราง c ตามชนิดโหลด พบว่ายอดกระแสตอนเปลี่ยนของปั๊มและพัดลมเกือบเท่าสตาร์ทตรงทุกค่าไทเมอร์ แต่ไทเมอร์ที่ถูกลดเวลากระแสสูงได้ราว 20 เท่า
อ่านบทความวิจัย →

-
งานสอน19 ต.ค. 2569

บทเรียนใหม่ 21.9 สตาร์-เดลต้าเชิงลึก (ไทย + English): เลือกต่อสตาร์ วาย หรือเดลต้าจากแผ่นป้าย ตั้งไทเมอร์จาก τm = J·ωs/Tn ช่วงตายกับแรงดันค้าง ลำดับเฟส KM3 แบบปิดวงจร I²t ความร้อนโรเตอร์ แรงดันตกบนหม้อแปลงและเจนเนอเรเตอร์ เดินสตาร์ถาวรที่โหลดเบา กรณีศึกษา 8 กรณี อดีต-ปัจจุบัน-อนาคต และแล็บจำลองพลวัตที่แก้สมการมอเตอร์ทุก 0.2 ms
เปิดบทเรียนและแล็บ →

-
บทความ17 ต.ค. 2569

บทความใหม่: การต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า จำ U1–W2, V1–U2, W1–V2 ด้วยหลักต้นขดต่อปลายขดก่อนหน้า พร้อมวงจรและกล่องขั้ว แรงดันกับกระแสสาย-เฟส และการเลือกจากเนมเพลต 230/400 V กับ 400/690 V ฝังคลิป Shorts 16 วินาทีที่มียอดดูกว่า 6.6 หมื่นครั้ง
อ่านบทความและดูคลิป →

-
บทความ16 ต.ค. 2569

คู่มือจูน PID ฉบับสมบูรณ์ (PID Academy) ภาษาไทยและอังกฤษ: อ่านสมการของตัวควบคุม ทำ step test หา K L T จูนด้วย Ziegler–Nichols Cohen–Coon SIMC และ relay เทียบผลจำลองบนพลานต์เดียวกัน พร้อม anti-windup ตัวกรอง D ตารางแก้ปัญหา และโจทย์ฝึกทำ
อ่านคู่มือจูน PID →

-
บทความ16 ต.ค. 2569

บทความทั้ง 8 เรื่องมีฉบับภาษาอังกฤษเต็ม (แปลทั้งเนื้อหา สูตรและตัวอย่างตัวเลขเหมือนต้นฉบับ) ที่ /en/blog/ พร้อมปุ่มสลับภาษา TH/EN ในทุกบทความ
Read in English →

-
บทความ16 ต.ค. 2569

เปิดหมวดบทความ /blog/ 8 เรื่องแรก: การแปลงลาปลาซ ตารางลาปลาซ Inverse Laplace dot และ cross product Power Factor การคำนวณคาปาซิเตอร์ ดีเทอร์มิแนนต์และอินเวอร์ส และ PID พร้อมตัวอย่างคำนวณและลิงก์ไปยังบทเรียนเต็ม
เปิดบทความ →

-
บทเรียน15 ต.ค. 2569

เพิ่มบั๊กคอนเวอร์เตอร์เชิงลึก 5 หน้า: ไล่วงจรโหมด CCM และ DCM ทีละขั้นเพื่อหาดิวตี้ไซเคิล (D = Vo/Vin ค่าแฝง และ M = 2/(1+√(1+4K/D²))) · แบบจำลองเฉลี่ยด้วยสเตตสเปซและการทดสอบด้วยสัญญาณเล็ก · ฟังก์ชันถ่ายโอนทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต (Gvd Gvg Zout Zin GiLd) พร้อมเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือน · แล็บออกแบบเลือกไดโอด ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ และโปรแกรมโหลดหลายสภาวะ ดูศักยภาพการจ่ายกระแส
เปิดบั๊กเชิงลึก →

-
บทเรียน14 ต.ค. 2569

เปิดสองชุดใหม่ ควบคุมมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับด้วยแมกเนติกคอนแทกเตอร์ (14 หน้า: มอเตอร์เหนี่ยวนำ ต่อสตาร์–เดลต้า DOL กลับทางหมุน สตาร์–เดลต้าแบบละเอียด ซอฟต์สตาร์ท อินเวอร์เตอร์ VFD ออกแบบและแก้ปัญหา) และการควบคุมอัตโนมัติด้วย PLC (11 หน้า: แลดเดอร์ ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ SFC อนาล็อก PID ความปลอดภัย) สำหรับระบบ 230/400 V 50 Hz พร้อมซิมูเลเตอร์ และฉบับภาษาอังกฤษครบทุกหน้า
เปิดชุดควบคุมมอเตอร์ →

-
บทเรียน14 ต.ค. 2569

เปิดหมวดใหม่ เซนเซอร์และทรานส์ดิวเซอร์ ครบ 20 หน้า: ประวัติ หน่วย มาตรฐานพร้อมประเทศต้นแบบ การวัดอุณหภูมิ ความดัน อัตราการไหล ระดับ แรง ตำแหน่ง กระแส แรงดัน สัญญาณ 4–20 mA HART Modbus PROFIBUS ฟิลด์บัส IIoT P&ID การสอบเทียบ และแล็บวัดคุมเสมือนที่ทำให้ทรานสมิตเตอร์เสียได้
เปิดหมวดเซนเซอร์ →

-
บทเรียน14 ต.ค. 2569

แยกเมนูคณิตศาสตร์เป็น 8 วิชา มีแท็บของตัวเอง: ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ ลิมิต อนุพันธ์ อินทิกรัล เวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเส้น การแปลงลาปลาซ พร้อมหน้าใหม่ ฟังก์ชัน ลิมิต อนุพันธ์ และหน้าการประยุกต์ทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล โยธา ของอนุพันธ์ อินทิกรัล และพีชคณิตเชิงเส้น
ดูทุกวิชา →

-
บทเรียน14 ต.ค. 2569

การแปลงลาปลาซทำใหม่เป็นชุด 6 หน้า: จำนวนเชิงซ้อนและเรซิดิว แผนภาพโพล-ซีโร่และ ROC คุณสมบัติครบทุกข้อ แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง-สอง และหน้า Inverse Laplace Transform ระดับตำรา Ogata พร้อมเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำและแล็บโต้ตอบ 8 ตัว
เปิด Inverse Laplace →

-
แล็บ14 ต.ค. 2569

แล็บเมทริกซ์ย้ายมาเป็นหน้าของตัวเองในพีชคณิตเชิงเส้น: คูณเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส คราเมอร์ ค่าเฉพาะ แสดงวิธีทำทุกขั้น
เปิดแล็บเมทริกซ์ →

-
บทเรียน13 ต.ค. 2569

เปิดชุดเพาเวอร์แฟกเตอร์ เข้าใจได้ทุกระดับ 8 หน้า: ภาพเปรียบเทียบ P Q S รูปคลื่น v i p คำนวณคาปาซิเตอร์ ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติ ค่าปรับ kvar PF จริงกับฮาร์มอนิก การวัด พร้อมซิมูเลเตอร์ภาพเคลื่อนไหวและตู้คาปาซิเตอร์จำลอง
เปิดเพาเวอร์แฟกเตอร์ →

-
บทเรียน13 ต.ค. 2569

เปิดชุดปูพื้นระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน 11 หน้า: เฟสเซอร์ สามเฟส per-unit หม้อแปลง สายส่ง P-δ กระแสลัดวงจร องค์ประกอบสมมาตร CT รีเลย์กระแสเกินและการประสาน TCC การต่อลงดิน รีเลย์ 87 และ 21 พร้อมแล็บคำนวณ
เปิดระบบไฟฟ้ากำลัง →

-
บทเรียน13 ต.ค. 2569

เปิดชุดระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน 9 หน้า: ชาร์จช้าด้วยไฟบ้าน (Mode 2) ชาร์จเร็วด้วยวอลล์บ็อกซ์ Control Pilot มิเตอร์ สายไฟ RCD Type B ค่าไฟ TOU และซิมูเลเตอร์พลังงานบ้านที่มีโซลาร์ แอร์ และรถ EV
เปิดชาร์จรถ EV ที่บ้าน →

-
บทเรียน13 ต.ค. 2569

ขยายชุดพีชคณิตเวกเตอร์เป็น 7 หน้าย่อย: เวกเตอร์ 2D/3D บวก ลบ คูณสเกลาร์ Component และ Projection อย่างละเอียด Dot product Cross product และโจทย์แรง งาน แรงบิด สนามแม่เหล็ก พร้อมภาพ สรุปสูตรอ้างอิง และแล็บเวกเตอร์โต้ตอบ
เปิดชุดบทเรียนเวกเตอร์ →

-
บทเรียน13 ต.ค. 2569

เปิดชุดออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ 19 หน้า: เส้นโค้ง I-V เลือกแผง แสงอาทิตย์ในไทย on-grid off-grid hybrid และการขนานไฟ ออกแบบสตริง สายไฟและการป้องกัน แบตเตอรี่ คาดการณ์พลังงาน ความคุ้มค่า พยากรณ์ล่วงหน้า MPPT อินเวอร์เตอร์ เลือกตัวควบคุม โซลาร์จ่ายแอร์ โซลาร์ฟาร์ม ปั๊มน้ำเกษตร และงานติดตั้งบำรุงรักษา
เปิดออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ →

-
แล็บ13 ต.ค. 2569

เครื่องมือออกแบบโซลาร์เซลล์ออนไลน์ 9 ตัว: แล็บเส้นโค้ง I-V พร้อมเงาบัง ขนาดจากบิลค่าไฟ ออกแบบสตริง คาดการณ์พลังงานรายเดือน แบตเตอรี่ แอร์ ปั๊มน้ำ แรงดันตก และระยะคืนทุน NPV IRR LCOE
เปิดเครื่องมือออกแบบ →

-
บทเรียน12 ต.ค. 2569

เปิดชุดอนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก 15 หน้า เรียนทีละขั้นจากการหาสัมประสิทธิ์ สมมาตร สเปกตรัม กิบส์ พาร์เซวาล ตารางอนุกรมของ 18 รูปคลื่น วิเคราะห์วงจรทีละฮาร์มอนิก จนถึง THD PF IEEE 519 ฮาร์มอนิกของเรกติไฟเออร์ อินเวอร์เตอร์ PWM บั๊กคอนเวอร์เตอร์ การแก้ด้วยคาปาซิเตอร์ดีจูนและฟิลเตอร์ และ DFT FFT
เปิดอนุกรมฟูเรียร์ →

-
แล็บ12 ต.ค. 2569

แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก: ออสซิลโลสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้าเสมือน วัดโหลด 10 แบบ (SMPS LED ไตรแอก 6 พัลส์ 12 พัลส์ VFD PFC) อ่าน P Q S D PF THD TDD K-factor กระแสนิวทรัล เทียบ IEEE 519-2022 กฟภ. IEC 61000-3-2 ลองแก้ด้วยรีแอกเตอร์ คาปาซิเตอร์ดีจูน ฟิลเตอร์จูน ฟิลเตอร์แอกทีฟ พร้อมแปลผลอัตโนมัติและใบงาน 16 ชุด
เปิดแล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก →

-
บทเรียน12 ต.ค. 2569

เปิดชุดระบบควบคุม (Control Systems Engineering) 26 หน้า จากพื้นฐานถึงขั้นสูง: แบบจำลอง เสถียรภาพ เราท์–เฮอร์วิตซ์ รูทโลคัสวาดด้วยมือ โบด มาร์จิน ไนควิสต์ lead lag PID การจูน ปริภูมิสถานะ ควบคุมดิจิทัล เมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ และตัวชดเชย Type III ของพาวเวอร์ซัพพลาย พร้อมแล็บรูทโลคัส โบด ไนควิสต์ เครื่องคิดเลขเราท์ แล็บ PID และคลังไอเดีย 70 ระบบ
เปิดระบบควบคุม →

-
แล็บ12 ต.ค. 2569

เปิดแล็บเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคป 9 หน้า: อ่านค่า Vpp Vrms ทุกปุ่มของเครื่อง ทริกเกอร์ โพรบ แบนด์วิดท์ วัดเฟส Bode วงจร RC RLC ออปแอมป์ สร้างเครื่องเองด้วย 555 และ AD9833 และงานประยุกต์ พร้อมโต๊ะแล็บจำลองเสมือนจริงฟรี 46 การทดลอง ใบงาน 16 ชุดพร้อมเฉลย
เปิดแล็บ FG + สโคป →

-
บทเรียน12 ต.ค. 2569

เปิดชุดบทเรียนพีชคณิตเชิงเส้น 7 หน้า: เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ ระบบสมการเชิงเส้น อินเวอร์ส กฎของคราเมอร์ ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ และรูปแบบโจทย์วงจรไฟฟ้า ตั้งแต่ ม.ปลาย ถึง ป.โท ทุกสูตรมีรหัสอ้างอิง ค้นหาได้ในที่เดียว พร้อมเครื่องคิดเลขเมทริกซ์แสดงวิธีทำแบบเศษส่วน
เปิดพีชคณิตเชิงเส้น →

-
บทเรียน10 ต.ค. 2569

เพิ่มบทอินทิกรัล: สูตรอินทิเกรตครบพร้อมชื่อสากล คุณสมบัติ สูตรสำเร็จ และตัวอย่างวิธีทำทีละขั้นแบบจดเลกเชอร์ ทั้งเปลี่ยนตัวแปร u หารยาวพหุนาม เศษส่วนย่อย ทีละส่วน และอินทิกรัลจำกัดเขตจากนิยามผลบวกรีมันน์
เปิดบทอินทิกรัล →

-
บทเรียน9 ต.ค. 2569

เพิ่มหน้าสูตรตรีโกณมิติครบทุกหมวด พร้อมชื่อภาษาอังกฤษ วงกลมหนึ่งหน่วยแบบลากได้ และตารางค่า sin cos tan ทุก 0.05° ตั้งแต่ 0° ถึง 90° ทั้งองศาและเรเดียน ค้นมุม หามุมจากค่า และดาวน์โหลด CSV ได้
เปิดสูตรและตาราง →

-
แล็บ9 ต.ค. 2569

เปิดแล็บสัญญาณเบื้องต้น พิมพ์สมการสัญญาณเองได้ทั้ง x(t) และ x[n] ดูอนุพันธ์ ส่วนคู่คี่ พลังงาน สเปกตรัม ลองเลื่อน สเกล กลับเวลา และคอนโวลูชันแบบกลับและเลื่อน
เปิดแล็บ →

-
แล็บ9 ต.ค. 2569

เปิดแล็บระบบอันดับสองแบบโต้ตอบ เน้นให้เข้าใจ ζ และ ωn ลากขั้วบนระนาบ s ได้ ดูเปลือกเอกซ์โพเนนเชียล %OS Bode plot และระนาบเฟสเปลี่ยนไปพร้อมกัน
เปิดแล็บ →

-
แล็บ9 ต.ค. 2569

เปิดแล็บระบบอันดับหนึ่งแบบโต้ตอบ ปรับค่าคงตัวเวลา τ หรือ R, C, L แล้วดูผลตอบสนองพร้อมเส้นแบ่งทุกช่วง τ เส้นสัมผัส สเกลลอการิทึม ระนาบ s และ Bode plot
เปิดแล็บ →

-
เว็บไซต์9 ต.ค. 2569

เปิดเครื่องมือเขียนบทเรียนคณิตศาสตร์ออนไลน์ พิมพ์ Markdown กับสูตร LaTeX แล้วเห็นผลทันที บันทึกเป็น .md ส่งออก HTML หรือพิมพ์เป็น PDF ได้ ใช้ฟรี
ลองใช้เครื่องมือ →

-
เว็บไซต์7 ต.ค. 2569

เปิดหน้าโปรไฟล์และคลังความรู้ใหม่ เริ่มจากบทเรียน 4 หัวข้อ: แคลคูลัสเบื้องต้น พีชคณิตของเวกเตอร์ เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ และการแปลงลาปลาซ
ไปที่คลังความรู้ →

-
เว็บไซต์6 ต.ค. 2569

ออกแบบ modsengineeringmath.com ใหม่ ให้เหลือเฉพาะเนื้อหาที่มีอยู่จริง พร้อมเส้นทางการเรียนจากเมทริกซ์ไปจนถึงวงจรบั๊กคอนเวอร์เตอร์
ดูหน้าแรก →

---

# มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับ (AC Induction Motor) คืออะไร: จากระบบไฟฟ้าไทยถึงกราฟแรงบิด-ความเร็ว การต่อสตาร์-เดลต้า และสูตรออกแบบสาย-เบรกเกอร์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/ac-induction-motor/
Updated: 2026-10-17
Summary: มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับแบบเหนี่ยวนำ (AC induction motor) ละเอียดครบ: ระบบไฟไทย 500/230/115 kV ถึง 230/400 V มอเตอร์ 1 เฟส (capacitor start, PSC) และ 3 เฟส squirrel cage, double cage, wound rotor กราฟ speed-torque กับเส้นโหลด จุดทำงาน การต่อ star-delta เชิงลึก ทรานเซียนต์ตอนสตาร์ท สูตรเลือกสายไฟและเบรกเกอร์ (125 %, 250 %) พร้อมแล็บจำลอง

// บทที่ 23 · มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับ · AC Induction Motors — Complete Guide

# มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับ (AC Induction Motor) คืออะไร: จากระบบไฟฟ้าไทยถึงกราฟแรงบิด-ความเร็ว การต่อสตาร์-เดลต้า และสูตรออกแบบสาย-เบรกเกอร์

หน้านี้เล่ามอเตอร์เหนี่ยวนำตั้งแต่ไฟฟ้าออกจากโรงไฟฟ้า ผ่านสายส่ง หม้อแปลง ตู้ไฟ จนถึงขดลวดและเพลา แล้วให้ความสำคัญกับเครื่องมือที่วิศวกรต้องดูตลอดเวลา คือ กราฟแรงบิด-ความเร็ว (speed–torque curve) ซ้อนกับเส้นแรงบิดของโหลด เพราะสตาร์ทได้หรือไม่ เร็วแค่ไหน ร้อนแค่ไหน และวิธีสตาร์ทแบบใดใช้ได้ ล้วนอ่านได้จากสองเส้นนี้ กราฟทุกรูปคำนวณจากแบบจำลองมอเตอร์ 7.5 kW 4 ขั้ว 400 V 50 Hz ตัวเดียวกับชุดบทเรียนควบคุมมอเตอร์ ไม่ใช่ภาพวาดประกอบ

สรุปใน 30 วินาที

- ไฟฟ้าไทยผลิต 10–24 kV ส่ง 500/230/115 kV จำหน่าย 22/33 kV (กฟภ.) หรือ 24 kV (กฟน.) แล้วแปลงเป็น 230/400 V 50 Hz ที่บ้านและโรงงาน

- มอเตอร์ 1 เฟสไม่มีแรงบิดเริ่ม ต้องมีขดช่วย + คาปาซิเตอร์ · มอเตอร์ 3 เฟสสร้างสนามหมุนเอง ความเร็วซิงโครนัส $n_s = 120f/p$

- ชนิดโรเตอร์ (กรงเดี่ยว แท่งลึก กรงคู่ พันขดลวด) กำหนดรูปร่างกราฟ: แรงบิดเริ่ม กระแสสตาร์ท และสลิปพิกัด

- จุดทำงาน = จุดตัดเส้นมอเตอร์กับเส้นโหลด · แรงบิดเร่ง = ส่วนต่างสองเส้น · $t = J\!\int\! d\omega/(T_m - T_L)$

- สตาร์-เดลต้าลดกระแสและแรงบิดเหลือ 1/3 · ใช้ได้เมื่อเส้น Y อยู่เหนือโหลดและตัดโหลดที่ ≥ 90 % ความเร็ว · ต่อเดลต้าลำดับ U1–V2 เพื่อลดกระชาก

- สายวงจรย่อย ≥ 125 % In · เบรกเกอร์เวลาผกผัน ≤ 250 % In · ตรวจแรงดันตกขณะสตาร์ทและกระแสลัดวงจรปลายสาย

## อ่านหน้านี้อย่างไร พื้นฐาน

มอเตอร์เหนี่ยวนำ (induction motor) แปลงพลังงานไฟฟ้ากระแสสลับเป็นพลังงานกลโดยไม่มีแปรงถ่านหรือคอมมิวเตเตอร์ ใช้ไฟฟ้าราวครึ่งหนึ่งของที่โรงงานทั่วโลกใช้ ตั้งแต่ปั๊มน้ำในบ้านจนถึงพัดลมโรงงานหลายร้อยกิโลวัตต์ หน้านี้จัดลำดับตามเส้นทางพลังงานและเปิดอ่านเฉพาะส่วนได้

1 · ระบบไฟฟ้าไทยผลิต ส่ง จำหน่าย และไฟเข้ามอเตอร์ในโรงงานกับบ้าน
2 · หลักการสนามหมุน สลิป วงจรสมมูล การไหลของกำลัง สูตรแรงบิด
3 · มอเตอร์ 1 เฟสทำไมต้องมีคาปาซิเตอร์ CS · PSC · CSCR
4 · ชนิดโรเตอร์ 3 เฟสกรงกระรอก แท่งลึก กรงคู่ โรเตอร์พันขดลวด เทคโนโลยีใหม่
5 · กราฟแรงบิด-ความเร็วกับโหลดหัวใจของหน้านี้ พร้อมแล็บจำลอง
6 · ช่วงเริ่มต้นและช่วงคงตัวทรานเซียนต์ไซเคิลแรก ประสิทธิภาพ cos φ
7 · สตาร์-เดลต้าเชิงลึกเส้น Y กับโหลด จุดเปลี่ยน ทรานเซียนต์ ลำดับเฟส
8 · ออกแบบสายและเบรกเกอร์ว.ส.ท. 125 % · 250 % แรงดันตก กระแสลัดวงจร

ทุกตัวเลขในตัวอย่างคำนวณจากแบบจำลองเดียวกัน: มอเตอร์ 7.5 kW 4 ขั้ว 400 V Δ IE3 · In ≈ 14 A (แผ่นป้าย 14.6 A) · Is/In ≈ 6.5 · Ts/Tn ≈ 2.15 · Tk/Tn ≈ 3.0 · 1471 rpm · J = 0.045 kg·m² ตัวเลขของมอเตอร์จริงให้ใช้แผ่นป้ายและแคตตาล็อก

## ระบบไฟฟ้าของประเทศไทย: ผลิต ส่ง จำหน่าย พื้นฐาน

ไฟฟ้าที่เข้ามอเตอร์เริ่มจากเครื่องกำเนิดไฟฟ้าซิงโครนัสสามเฟสในโรงไฟฟ้า ซึ่งผลิตแรงดันระดับ 10–24 kV ที่ 50 Hz แล้วผ่านหม้อแปลงเพิ่มแรงดันขึ้นสู่ระบบส่งของการไฟฟ้าฝ่ายผลิตแห่งประเทศไทย (กฟผ., EGAT) ที่ 500, 230 และ 115 kV (บางส่วน 69 kV) จากนั้นสถานีไฟฟ้าย่อย (substation) ลดแรงดันส่งต่อให้การไฟฟ้านครหลวง (กฟน., MEA) ในกรุงเทพฯ นนทบุรี สมุทรปราการ และการไฟฟ้าส่วนภูมิภาค (กฟภ., PEA) ในจังหวัดอื่น

รูป 1 · เส้นทางไฟฟ้าจากโรงไฟฟ้าถึงมอเตอร์ จุดสีส้มคือจุดที่ผู้ใช้ไฟแต่ละขนาดรับไฟ

| ระดับ | แรงดัน (เฟสต่อเฟส) | ผู้ดูแล | หมายเหตุ |

| ผลิต (generation) | 10–24 kV | กฟผ. และผู้ผลิตเอกชน | ขั้วเครื่องกำเนิด ต่อหม้อแปลงเพิ่มแรงดันทันที |

| ส่ง (transmission) | 500 · 230 · 115 (69) kV | กฟผ. | สามเฟสสามสาย ระยะทางหลายร้อยกิโลเมตร |

| ส่งย่อย (subtransmission) | 115 · 69 kV | กฟน. · กฟภ. | โรงงานใหญ่รับไฟระดับนี้และมีสถานีไฟฟ้าย่อยของตัวเอง |

| จำหน่ายแรงกลาง | กฟภ. 22 kV · 33 kV (ภาคใต้ตั้งแต่ระนองลงไป เชียงราย พะเยา) · กฟน. 24 kV (บางพื้นที่ยังเป็น 12 kV) | กฟภ. · กฟน. | โรงงานขนาดกลางรับไฟระดับนี้และติดตั้งหม้อแปลงเอง |

| จำหน่ายแรงต่ำ | 230/400 V 3 เฟส 4 สาย · 230 V 1 เฟส 2 สาย | กฟภ. · กฟน. | บ้าน ร้านค้า โรงงานเล็ก (หม้อแปลงบนเสา 416/240 V ไม่มีโหลด) |

ทำไมต้องส่งที่แรงดันสูง? กำลังที่ส่งได้คือ $P = \sqrt3 V I \cos\varphi$ ถ้าเพิ่มแรงดัน กระแสลดลงตามสัดส่วน และการสูญเสียในสายแปรตามกำลังสองของกระแส

G1 Line loss versus voltage การสูญเสียในสายส่งเทียบแรงดัน

$$I = \frac{P}{\sqrt3\,V_L\cos\varphi} \qquad P_{loss} = 3I^2R = \frac{P^2 R}{V_L^2\cos^2\varphi} \;\propto\; \frac{1}{V_L^2}$$

ตัวอย่าง G-1

### ส่ง 100 MW (cos φ 0.95) ผ่านสายที่มีความต้านทาน 5 Ω ต่อเฟส ที่ 115, 230 และ 500 kV

- 115 kV: $I = 100\times10^6/(\sqrt3 \times 115{,}000 \times 0.95) = 528$ A → $P_{loss} = 3(528)^2(5) = 4.19$ MW (4.2 %)

- 230 kV: $I = 264$ A → $P_{loss} = 1.05$ MW (1.05 %)

- 500 kV: $I = 122$ A → $P_{loss} = 0.22$ MW (0.22 %) — แรงดันเพิ่ม 4.35 เท่า การสูญเสียลด 19 เท่า

อ่านเพิ่มเรื่องระบบกำลังและการป้องกันได้ที่บทระบบไฟฟ้ากำลังและการป้องกัน ส่วนตัวประกอบกำลังของมอเตอร์ที่ทำให้กระแสในสายสูงเกินจำเป็นอยู่ในบทตัวประกอบกำลัง

## ไฟฟ้ากำลังที่เข้ามอเตอร์: โรงงานกับบ้าน พื้นฐาน

โรงงาน ส่วนใหญ่รับไฟแรงกลาง 22/24/33 kV แล้วใช้หม้อแปลงของตัวเอง (เช่น 22 kV/416-240 V ต่อแบบ Dyn11) จ่ายตู้เมน (MDB) ไปตู้ควบคุมมอเตอร์ (MCC) ในตู้แต่ละวงจรมีเบรกเกอร์หรือ MPCB คอนแทกเตอร์ และโอเวอร์โหลดรีเลย์ ก่อนสายไปถึงมอเตอร์ 3 เฟส เพราะหม้อแปลงอยู่ใกล้ ระดับกระแสลัดวงจรจึงสูงหลายสิบกิโลแอมแปร์ อุปกรณ์ต้องมีพิกัดตัดกระแส (Icu) พอ

บ้านพักอาศัย รับไฟแรงต่ำจากหม้อแปลงบนเสาของการไฟฟ้า ส่วนใหญ่เป็น 1 เฟส 2 สาย 230 V ผ่านมิเตอร์ เช่น 5(15) A หรือ 15(45) A มอเตอร์ในบ้านจึงเป็นมอเตอร์ 1 เฟส เช่น ปั๊มน้ำ พัดลม คอมเพรสเซอร์แอร์ ส่วนบ้านที่ขอไฟ 3 เฟส 4 สาย (มิเตอร์ 15(45) A หรือ 30(100) A 3 เฟส) ใช้มอเตอร์ 3 เฟส 400 V ได้

รูป 2 · แผนภาพเส้นเดียว (single-line diagram) ของวงจรมอเตอร์ในโรงงานกับในบ้าน

รูป 3 · ระบบสามเฟสสี่สาย 230/400 V: แรงดันเฟส 230 V ห่างกัน 120° แรงดันสาย 400 V

G2 Three-phase relations ความสัมพันธ์ระบบสามเฟส

$$V_L = \sqrt3\,V_{ph} \;(400 = \sqrt3 \times 230.9) \qquad P = \sqrt3\,V_L I_L\cos\varphi \qquad P_{1\phi} = V I\cos\varphi$$

G3 Transformer fault level กระแสลัดวงจรสามเฟสที่ขั้วหม้อแปลง

$$I_{n,tr} = \frac{S}{\sqrt3\,V_L} \qquad I_{k3} \approx \frac{I_{n,tr}}{u_k} \qquad Z_{tr} = u_k\frac{V_L^2}{S}$$

ตัวอย่าง: หม้อแปลง 500 kVA 400 V uk 4 % → $I_{n,tr} = 500/(\sqrt3 \times 0.4) = 722$ A → $I_{k3} \approx 722/0.04 = 18$ kA และ $Z_{tr} = 0.04 \times 400^2/500{,}000 = 12.8$ mΩ ต่อเฟส ตัวเลขนี้ใช้ต่อในส่วนออกแบบสายและเบรกเกอร์ รายละเอียดแรงดันประเทศเพื่อนบ้าน ระบบสายดิน TN-C-S/TT และแรงดันไม่สมดุลอยู่ในบทระบบไฟ 230/400 V 50 Hz

## หลักการมอเตอร์เหนี่ยวนำ: สนามหมุน สลิป และแรงบิด กลาง

ขดลวดสเตเตอร์ (stator) สามชุดวางห่างกัน 120° ทางไฟฟ้า เมื่อป้อนกระแสสามเฟสที่ห่างกัน 120° ทางเวลา ผลรวมของสนามแม่เหล็กเป็นสนามขนาดคงที่ที่หมุนด้วย ความเร็วซิงโครนัส (synchronous speed) สนามหมุนตัดแท่งตัวนำของโรเตอร์ (rotor) เหนี่ยวนำแรงดันและกระแส กระแสในสนามแม่เหล็กเกิดแรง โรเตอร์จึงหมุนตามสนาม แต่หมุนช้ากว่าเล็กน้อยเสมอ ส่วนต่างนี้เรียกว่า สลิป (slip)

รูป 4 · กระแสสามเฟสสร้างสนามลัพธ์ขนาดคงที่ที่หมุนรอบตัว

P1 Synchronous speed ความเร็วซิงโครนัส

$$n_s = \frac{120 f}{p}\ \text{rpm} \qquad \omega_s = \frac{2\pi n_s}{60} \qquad 50\ \text{Hz}: 2\text{ ขั้ว } 3000 \cdot 4 \text{ ขั้ว } 1500 \cdot 6 \text{ ขั้ว } 1000$$

P2 Slip and rotor frequency สลิปและความถี่ของกระแสโรเตอร์

$$s = \frac{n_s - n}{n_s} \qquad f_2 = s\,f \qquad n = n_s(1-s)$$

ความถี่โรเตอร์ $f_2$ เป็นกุญแจของทั้งหน้า: ตอนสตาร์ท (s = 1) กระแสโรเตอร์มีความถี่ 50 Hz รีแอกแตนซ์โรเตอร์สูงและกระแสอัดอยู่ผิวบนของแท่ง ตอนวิ่ง (s ≈ 0.02) $f_2$ เหลือราว 1 Hz รีแอกแตนซ์แทบหายไป มอเตอร์จึงมีพฤติกรรมต่างกันมากระหว่างสองช่วง

### วงจรสมมูลและการไหลของกำลัง

รูป 5 · วงจรสมมูลต่อเฟส: ความต้านทานโรเตอร์ “มองเห็น” เป็น R₂′/s ซึ่งแยกได้เป็นการสูญเสียทองแดงโรเตอร์กับกำลังกล

P3 Power split in the rotor การแบ่งกำลังในโรเตอร์

$$P_{ag} = 3I_2'^2\frac{R_2'}{s} \qquad P_{cu2} = s\,P_{ag} \qquad P_{mi} = (1-s)P_{ag} \qquad P_{ag} : P_{cu2} : P_{mi} = 1 : s : (1-s)$$

P4 Torque from power แรงบิดจากกำลัง

$$T = \frac{P_{ag}}{\omega_s} = \frac{P_{mi}}{\omega} \qquad T_n = \frac{9550\,P_n[\text{kW}]}{n_n[\text{rpm}]}\ \text{N}\cdot\text{m}$$

รูป 6 · การไหลของกำลังที่พิกัด: ทองแดงโรเตอร์ = สลิป × กำลังช่องว่างอากาศ จึงเป็นเหตุผลที่มอเตอร์สลิปสูงประสิทธิภาพต่ำ

### สูตรแรงบิดเต็มรูปและแรงบิดสูงสุด

แปลงด้านสเตเตอร์กับ Xm เป็นวงจรเทวินิน (Thevenin) จะได้สูตรแรงบิดเทียบสลิปที่ใช้วิเคราะห์ทุกอย่างในหน้านี้ แรงบิดแปรตาม $V^2$ และค่าสูงสุดไม่ขึ้นกับ $R_2'$ — เป็นที่มาของการเพิ่มความต้านทานโรเตอร์เพื่อย้ายตำแหน่งแรงบิดสูงสุด

P5 Torque–slip equation สมการแรงบิด-สลิป

$$T(s) = \frac{3V_{th}^2\,R_2'/s}{\omega_s\left[(R_{th} + R_2'/s)^2 + (X_{th} + X_2')^2\right]} \qquad V_{th} = V_1\frac{jX_m}{R_1 + j(X_1 + X_m)}$$

P6 Breakdown torque แรงบิดสูงสุดและสลิปที่จุดนั้น

$$s_k = \frac{R_2'}{\sqrt{R_{th}^2 + (X_{th} + X_2')^2}} \qquad T_k = \frac{3V_{th}^2}{2\omega_s\left[R_{th} + \sqrt{R_{th}^2 + (X_{th} + X_2')^2}\right]}$$

P7 Kloss approximation สูตรประมาณของคลอสส์ (ละ R₁)

$$\frac{T}{T_k} \approx \frac{2}{s/s_k + s_k/s} \qquad s = s_k\left(\frac{T_k}{T} - \sqrt{\frac{T_k^2}{T^2} - 1}\right)$$

ตัวอย่าง P-1

### แรงบิดสูงสุดของโรเตอร์กรงเดี่ยวจากวงจรสมมูล

- สเตเตอร์ R₁ = 0.414 Ω X₁ = 1.599 Ω Xm = 34.33 Ω · โรเตอร์ R₂′ = 0.3425 Ω X₂′ = 1.2 Ω · V₁ = 400/√3 = 230.9 V

- เทวินิน: $V_{th} = 220.6$ V · $Z_{th} = 0.378 + j1.532\ \Omega$ · $\sqrt{0.378^2 + (1.532 + 1.2)^2} = 2.758\ \Omega$

- P6: $s_k = 0.3425/2.758 = 0.124$ → $n_k = 1500(1 - 0.124) = 1314$ rpm

- $T_k = 3(220.6)^2/[2(157.08)(0.378 + 2.758)] = 148.2$ N·m = 3.0 × Tn (Tn = 49.3 N·m)

- P7: สลิปที่แรงบิดพิกัด $s \approx 0.124(3 - \sqrt8) = 0.0213$ — ค่าจริงจากวงจรเต็มคือ 0.0194 คลอสส์คลาดเพราะละ R₁

หลักการโดยละเอียด แผ่นป้าย และคลาสประสิทธิภาพอยู่ในบทมอเตอร์เหนี่ยวนำ การแปลงลาปลาซและแบบจำลองพลวัตที่ใช้วิเคราะห์ทรานเซียนต์มีพื้นฐานในบทการแปลงลาปลาซ

## มอเตอร์เหนี่ยวนำ 1 เฟส (Single-Phase Induction Motor) กลาง

ขดลวดเฟสเดียวสร้างสนามแม่เหล็กที่ขึ้นลงอยู่บนแกนเดียว (สนามพัลส์) ไม่หมุน ทฤษฎีสนามหมุนคู่ (double-revolving field) แยกสนามพัลส์เป็นสนามหมุนสองสนามขนาดครึ่งหนึ่งที่หมุนสวนทางกัน ตอนหยุดนิ่งแรงบิดจากสองสนามเท่ากันและหักล้างกัน มอเตอร์จึงไม่หมุนเอง แต่ถ้ามีอะไรผลักให้หมุนไปทางใดทางหนึ่ง สนามที่หมุนตามจะได้เปรียบ มอเตอร์จะเร่งต่อไปทางนั้น

รูป 7 · สนามพัลส์ (สีน้ำเงิน) = ผลรวมของสนามหมุนตามเข็ม (ส้ม) กับทวนเข็ม (เขียว)

S1 Double-revolving-field torque แรงบิดของมอเตอร์ 1 เฟส

$$T = T_f - T_b = \frac{I_m^2}{\omega_s}\left[\,\mathrm{Re}\,Z_F/2 - \mathrm{Re}\,Z_B/2\,\right] \qquad Z_F = jX_m \parallel \left(\frac{R_2'}{s} + jX_2'\right),\ Z_B = jX_m \parallel \left(\frac{R_2'}{2-s} + jX_2'\right)$$

ที่ s = 1, $Z_F = Z_B$ แรงบิดจึงเป็นศูนย์พอดี วิธีแก้คือเพิ่ม ขดลวดช่วย (auxiliary winding) วางห่างจากขดหลัก 90° ทางไฟฟ้า และทำให้กระแสในขดช่วยต่างเฟสจากขดหลัก ถ้ากระแสสองขดต่างเฟสกัน 90° และขนาดเหมาะสม จะได้สนามหมุนสมบูรณ์เหมือนมอเตอร์สองเฟส

| แบบ | วิธีทำให้ต่างเฟส | แรงบิดเริ่ม | งานที่พบ |

| สปลิตเฟส (split-phase) | ขดช่วยลวดเล็ก R สูง + สวิตช์แรงเหวี่ยง | 1–1.5 Tn | เครื่องมือช่างเล็ก พัดลมเก่า |

| คาปาซิเตอร์สตาร์ท (CS) | คาปาซิเตอร์อิเล็กโทรไลต์ต่ออนุกรมขดช่วยเฉพาะตอนสตาร์ท ตัดด้วยสวิตช์แรงเหวี่ยงหรือรีเลย์ที่ ~75 % ความเร็ว | 2.5–3.5 Tn | ปั๊มน้ำ ปั๊มลม เครื่องมือหนัก |

| PSC (permanent split capacitor) | คาปาซิเตอร์ฟิล์มต่อค้างตลอด ไม่มีสวิตช์ | 0.3–0.6 Tn | พัดลม โบลเวอร์ คอมเพรสเซอร์แอร์แบบเดิม |

| สองคาปาซิเตอร์ (CSCR) | C สตาร์ทใหญ่ + C รันเล็ก ได้ทั้งแรงบิดเริ่มสูงและ cos φ ดี | 2.5–3.5 Tn | ปั๊ม คอมเพรสเซอร์ขนาด 1–3 kW |

| ขั้วบังเงา (shaded pole) | วงแหวนทองแดงบนขั้ว หน่วงฟลักซ์บางส่วน | < 0.5 Tn | พัดลมเล็ก พัดลมระบายตู้ ประสิทธิภาพ 20–30 % |

รูป 8 · กราฟแรงบิด-ความเร็วของมอเตอร์ 1 เฟส 0.75 kW จากแบบจำลองสองขดลวด: เส้นประคือแรงบิดจากสนามหน้าและหลัง

สังเกตสามเรื่องในรูป 8: (1) ขดหลักอย่างเดียวมีแรงบิดเป็นศูนย์ที่ n = 0 แต่ถ้าหมุนแล้วให้แรงบิดสูงสุดถึง ~2.8 Tn (2) คาปาซิเตอร์สตาร์ทยกแรงบิดเริ่มเป็น 3.1 Tn ด้วยกระแส ~34 A แล้วตัดออกที่ 75 % ความเร็ว (3) PSC มีแรงบิดเริ่มเพียง 0.34 Tn จึงสตาร์ทได้เฉพาะโหลดที่แรงบิดเริ่มต่ำ นี่คือเหตุผลที่แอร์รุ่นเก่าต้องมีวงจรหน่วงเวลา 3 นาทีก่อนสตาร์ทคอมเพรสเซอร์ใหม่ ให้ความดันน้ำยาฝั่งสูงและต่ำสมดุลก่อน แรงบิดโหลดตอนสตาร์ทจึงต่ำพอที่ PSC จะหมุนได้

รูป 9 · การต่อมอเตอร์ 1 เฟสสามแบบ

S2 Single-phase current and capacitor current กระแสมอเตอร์ 1 เฟสและกระแสผ่านคาปาซิเตอร์

$$I_n = \frac{P_{out}}{V\,\eta\cos\varphi} \qquad I_C = V\,(2\pi f)\,C \qquad X_C = \frac{1}{2\pi f C}$$

ตัวอย่าง S-1

### ปั๊มน้ำ 0.75 kW 230 V ในบ้าน: กระแส กระแสสตาร์ท และเลือกเบรกเกอร์

- S2: $I_n \approx 750/(230 \times 0.745 \times 0.657) = 6.7$ A — แผ่นป้ายปั๊ม 0.75 kW ทั่วไปอยู่ราว 5.5–7 A ตัวอย่างนี้ใช้ 6.4 A จากแบบจำลอง

- กระแสสตาร์ทแบบคาปาซิเตอร์สตาร์ท ≈ 34 A = 5.3 × In แรงบิดเริ่ม 3.1 Tn

- สายวงจรย่อย ≥ 1.25 × 6.4 = 8 A → ใช้ 2.5 mm² ได้สบาย (แรงดันตกขณะสตาร์ทในสาย 30 m ≈ 2.8 %)

- เบรกเกอร์ ≤ 2.5 × 6.4 = 16 A → MCB 16 A แบบ C ส่วนปลดทันที 80–160 A สูงกว่ากระแสสตาร์ท 34 A ✓ ใช้ RCBO 30 mA เพราะปั๊มอยู่ในที่เปียก

อาการคาปาซิเตอร์สตาร์ทเสีย: เปิดแล้วมอเตอร์ “ฮัม” ไม่หมุน กระแสสูงเท่ากระแสล็อกโรเตอร์ เบรกเกอร์หรือเทอร์โมสตัทในตัวมอเตอร์ตัด ห้ามจ่ายไฟค้างนาน เพราะขดหลักรับ 4–5 เท่าของกระแสพิกัดโดยไม่มีลมระบาย เปลี่ยนคาปาซิเตอร์ให้ได้ค่า µF และแรงดันพิกัดเท่าเดิม

มอเตอร์ 3 เฟสใช้กับไฟ 1 เฟสได้ด้วยการต่อคาปาซิเตอร์แบบสไตน์เมตซ์ (Steinmetz) แต่ได้กำลังเพียงราว 60–70 % และแรงบิดเริ่มต่ำ วิธีที่ดีกว่าในปัจจุบันคืออินเวอร์เตอร์ 1 เฟสเข้า 3 เฟสออก (ดูบทอินเวอร์เตอร์)

## มอเตอร์ 3 เฟส: ชนิดโรเตอร์กำหนดรูปร่างกราฟ กลาง

สเตเตอร์ของมอเตอร์เหนี่ยวนำ 3 เฟสแทบไม่ต่างกัน ความต่างอยู่ที่โรเตอร์ ซึ่งกำหนดว่ามอเตอร์จะให้แรงบิดเริ่มเท่าไร ดึงกระแสสตาร์ทเท่าไร และสลิปพิกัดเท่าไร ข้อขัดแย้งพื้นฐานคือ

- อยากได้ แรงบิดเริ่มสูง กระแสสตาร์ทต่ำ ต้องการ R₂ สูงตอนสตาร์ท

- อยากได้ ประสิทธิภาพสูง สลิปต่ำ ต้องการ R₂ ต่ำตอนวิ่ง เพราะ $P_{cu2} = s P_{ag}$

ทางออกคือทำให้ความต้านทานโรเตอร์ “เปลี่ยนเอง” ตามความถี่โรเตอร์ $f_2 = s f$ ด้วยรูปร่างแท่ง หรือเปลี่ยนจากภายนอกด้วยสลิปริง

รูป 10 · ภาพตัดร่องโรเตอร์สี่แบบ

### กรงกระรอก (squirrel cage) และแท่งลึก (deep bar)

โรเตอร์กรงกระรอกคือแท่งอะลูมิเนียม (หรือทองแดงในรุ่นประสิทธิภาพสูง) หล่อเข้ากับแหวนลัดวงจรสองปลาย ไม่มีจุดต่อให้เสีย ถ้าใช้แท่งกลมตื้น R ต่ำ ประสิทธิภาพดีแต่แรงบิดเริ่มต่ำมาก ถ้าทำแท่งลึก ปรากฏการณ์ผิว (skin effect) ทำให้ตอนสตาร์ทกระแสไหลเฉพาะส่วนบนของแท่ง พื้นที่ใช้งานน้อย R สูง ตอนวิ่งกระแสกระจายเต็มแท่ง R ต่ำ

R1 Skin depth ความลึกผิวในแท่งโรเตอร์

$$\delta = \sqrt{\frac{2\rho}{\omega_2\,\mu_0}} = \sqrt{\frac{\rho}{\pi f_2\,\mu_0}} \qquad \xi = \frac{h}{\delta}$$

R2 Deep-bar resistance ratio อัตราส่วนความต้านทาน AC ต่อ DC ของแท่งลึก

$$\frac{R_{ac}}{R_{dc}} = \xi\,\frac{\sinh 2\xi + \sin 2\xi}{\cosh 2\xi - \cos 2\xi} \qquad \frac{L_{ac}}{L_{dc}} = \frac{3}{2\xi}\,\frac{\sinh 2\xi - \sin 2\xi}{\cosh 2\xi - \cos 2\xi}$$

รูป 11 · แท่งอะลูมิเนียมลึก 30 mm: ตอนสตาร์ท (50 Hz) กระแสด้านบนแท่งสูงกว่าเฉลี่ย 2.6 เท่า ความต้านทานเพิ่มเป็น 2.4 เท่า

### กรงคู่ (double cage)

กรงคู่ทำผลเดียวกันให้ชัดขึ้น: กรงนอกใกล้ช่องอากาศเป็นแท่งเล็ก R สูง ฟลักซ์รั่วน้อย (X ต่ำ) กรงในฝังลึกเป็นแท่งใหญ่ R ต่ำ แต่ฟลักซ์รั่วมาก (X สูง) ตอนสตาร์ท X ของกรงในบังกระแสไว้ กระแสส่วนใหญ่ไหลกรงนอก ตอนวิ่ง X แทบเป็นศูนย์ กระแสไหลกรงในที่ R ต่ำ แบบจำลองวงจรสมมูลของมอเตอร์ตัวอย่างในหน้านี้เป็นกรงคู่

รูป 12 · แรงบิดของกรงนอก (ฟ้า) และกรงใน (เขียว) รวมกันเป็นกราฟมอเตอร์ (ส้ม)

รูป 13 · สเตเตอร์เดียวกัน เปลี่ยนเฉพาะโรเตอร์ กราฟเปลี่ยนรูปร่างทั้งหมด

| โรเตอร์ (แบบจำลอง) | Ts/Tn | Is/In | Tk/Tn ที่ n | สลิปพิกัด | P_cu2 ที่พิกัด | เทียบมาตรฐาน |

| กรงเดี่ยว R ต่ำ | 0.81 | 5.8 | 3.0 · 1314 rpm | 1.94 % | 150 W | คล้าย NEMA A |

| กรงคู่ / แท่งลึก | 2.15 | 6.5 | 3.0 · 1298 rpm | 1.94 % | 150 W | IEC Design N / NEMA B–C |

| กรงเดี่ยว R สูง | 2.87 | 4.5 | 3.0 · 412 rpm | 11.3 % | 878 W | NEMA D (เครื่องปั๊มขึ้นรูป รอก) |

IEC 60034-12 จัดกลุ่มลักษณะการสตาร์ทเป็น Design N (ปกติ), H (แรงบิดเริ่มสูง) และ NY/HY (สำหรับสตาร์-เดลต้า) ส่วนมาตรฐานอเมริกา NEMA MG 1 ใช้ Design A, B, C, D ตัวเลขในตารางเป็นของแบบจำลองเพื่อการเปรียบเทียบ ไม่ใช่ค่าบังคับของมาตรฐาน

### โรเตอร์พันขดลวด (wound rotor / slip ring)

โรเตอร์มีขดลวดสามเฟสจริง ปลายต่อออกมาที่สลิปริงสามวง ผ่านแปรงถ่านไปยังตัวต้านทานภายนอก การเพิ่ม R ภายนอกย้ายจุดแรงบิดสูงสุดไปทางซ้ายโดยแรงบิดสูงสุดคงเดิม (P6) จึงเลือกได้ว่าจะให้แรงบิดสูงสุดตอนสตาร์ทด้วยกระแสต่ำ แล้วตัด R ออกทีละขั้นเมื่อความเร็วเพิ่ม

R3 External rotor resistance ความต้านทานภายนอกให้แรงบิดสูงสุดที่สลิปที่ต้องการ

$$R_2' + R_{ext}' = s_{k,new}\sqrt{R_{th}^2 + (X_{th} + X_2')^2} \qquad R_{ext} = \frac{R_{ext}'}{a^2}\ \ (a = \text{อัตราส่วนรอบสเตเตอร์:โรเตอร์})$$

รูป 14 · กราฟเมื่อเพิ่ม R ภายนอก และเส้นทางสตาร์ทแบบตัด R สี่ขั้น

ตัวอย่าง R-1

### ต้องการแรงบิดสูงสุดตอนสตาร์ท (s = 1)

- จากตัวอย่าง P-1: $\sqrt{R_{th}^2 + (X_{th} + X_2')^2} = 2.758\ \Omega$

- R3 กับ s = 1: $R_2' + R_{ext}' = 2.758$ → $R_{ext}' = 2.758 - 0.3425 = 2.42\ \Omega$ (อ้างอิงด้านสเตเตอร์)

- ผล: แรงบิดเริ่ม 3.0 Tn ด้วยกระแส 3.9 In เทียบกับ 0.81 Tn ที่ 5.8 In เมื่อลัดวงจรสลิปริง

- ถ้าอัตราส่วนรอบ a = 2 ตัวต้านทานจริงต่อเฟสฝั่งโรเตอร์ = 2.42/4 = 0.6 Ω

### เทคโนโลยีใหม่: IE4 IE5 แม่เหล็กถาวร และรีลักแตนซ์

มอเตอร์เหนี่ยวนำมีการสูญเสียทองแดงโรเตอร์ $sP_{ag}$ ที่หลีกไม่ได้ เทคโนโลยีใหม่จึงตัดการสูญเสียส่วนนี้ด้วยการทำให้โรเตอร์หมุนเท่าสนามพอดี (ซิงโครนัส) มาตรฐาน IEC 60034-30-1 แบ่งประสิทธิภาพเป็น IE1–IE4 และ IEC TS 60034-30-2 ขยายถึง IE5 สำหรับมอเตอร์ที่ใช้กับอินเวอร์เตอร์ สหภาพยุโรปบังคับขั้นต่ำ IE3 สำหรับ 0.75–1000 kW และ IE4 สำหรับ 75–200 kW ส่วนไทยมีมาตรฐาน มอก. 866 เล่ม 30 ที่อิง IEC 60034-30-1 และมีประกาศมาตรฐานบังคับสำหรับมอเตอร์เหนี่ยวนำ 3 เฟส ตรวจขอบเขตกำลังและระดับ IE ในประกาศ สมอ. ฉบับล่าสุดก่อนจัดซื้อ

| เทคโนโลยี | หลักการ | ต้องใช้อินเวอร์เตอร์? | ประสิทธิภาพ | งานที่เหมาะ |

| กรงกระรอกโรเตอร์ทองแดง | หล่อแท่งทองแดงแทนอะลูมิเนียม R₂ ต่ำลง ~40 % | ไม่ต้อง (DOL ได้) | IE3–IE4 | ทดแทนมอเตอร์เดิมโดยตรง |

| Line-start PM (LSPM) | กรงกระรอกช่วยสตาร์ท + แม่เหล็กฝังให้หมุนซิงโครนัส | ไม่ต้อง | IE4 | ปั๊ม พัดลมที่เดินคงที่ ความเฉื่อยไม่สูง (ดึงเข้าซิงค์ได้จำกัด) |

| PMSM (แม่เหล็กถาวร) | แม่เหล็กนีโอดิเมียมบนโรเตอร์ หมุนเท่าสนาม | ต้อง | IE4–IE5 | คอมเพรสเซอร์ ปั๊มปรับรอบ รถไฟฟ้า แอร์อินเวอร์เตอร์ |

| SynRM (รีลักแตนซ์ซิงโครนัส) | โรเตอร์เหล็กเจาะช่องให้มีแกนแม่เหล็กง่าย-ยาก ไม่มีแม่เหล็ก ไม่มีกระแสโรเตอร์ | ต้อง | IE4–IE5 | ปั๊ม พัดลม ปรับรอบในอาคารและโรงงาน |

| EC / BLDC | แม่เหล็กถาวร + วงจรขับในตัว รับไฟ AC แปลงเป็น DC | ในตัว | สูงมากในขนาดเล็ก | พัดลมเพดาน พัดลมระบายตู้ เครื่องใช้ไฟฟ้าในบ้าน |

เทคโนโลยีซิงโครนัสเกือบทั้งหมดต้องใช้อินเวอร์เตอร์ กราฟแรงบิด-ความเร็วจึงถูกควบคุมด้วยวงจรขับ ไม่ได้มาจากรูปร่างโรเตอร์เหมือนมอเตอร์เหนี่ยวนำที่ต่อตรงกับสายไฟ ความรู้เรื่องเส้นโหลดในส่วนถัดไปยังใช้ได้ทั้งหมด เพราะโหลดไม่สนใจว่ามอเตอร์เป็นชนิดใด

## การต่อมอเตอร์: กล่องขั้ว สตาร์ เดลต้า และการเลือกจากแผ่นป้าย พื้นฐาน

มอเตอร์ 3 เฟสส่วนใหญ่มีขั้วหกขั้วในกล่องขั้ว: U1 V1 W1 (ต้นขดลวด) และ U2 V2 W2 (ปลายขดลวด) วางสลับแถวเพื่อให้ต่อสตาร์หรือเดลต้าได้ด้วยแผ่นทองแดงสามแผ่น

รูป 15 · การวางแผ่นเชื่อมในกล่องขั้วสำหรับต่อสตาร์และเดลต้า

รูป 16 · เลือกการต่อจากแรงดันบนแผ่นป้าย เมื่อใช้ไฟ 400 V

- ป้าย 230/400 V Δ/Y (มอเตอร์เล็ก ≤ ~3 kW) บนไฟ 400 V → ต่อ สตาร์ ขดลวดรับ 230 V สตาร์ท-เดลต้าไม่ได้ เพราะถ้าต่อเดลต้าขดลวดจะรับ 400 V เกินพิกัด

- ป้าย 400/690 V Δ/Y (มอเตอร์ใหญ่) บนไฟ 400 V → ต่อ เดลต้า ขดลวดรับ 400 V และสตาร์ทแบบสตาร์-เดลต้าได้ (ช่วงสตาร์ขดลวดรับ 230 V)

- กลับทางหมุน: สลับสายเมนสองเส้นใดก็ได้ (เช่น L1 กับ L3) ลำดับเฟสเปลี่ยน สนามหมุนกลับทิศ

- มอเตอร์ 1 เฟส: กลับทางด้วยการสลับปลายขดช่วย (รูป 9) มอเตอร์บางรุ่นมีขั้ว Z1 Z2 สำหรับขดช่วยแยกไว้

ขั้นตอนตรวจก่อนจ่ายไฟ วัดความต้านทานขดลวด และอาการเมื่อต่อผิดอยู่ในบทการต่อขั้ว สตาร์ · เดลต้า และบทความสั้นการต่อมอเตอร์ 3 เฟสแบบเดลต้า

## หัวใจของเรื่อง: กราฟแรงบิด-ความเร็ว ซ้อนกับเส้นโหลด กลาง

มอเตอร์ไม่ได้ “เลือก” ความเร็วเอง ความเร็วที่ได้คือจุดที่แรงบิดของมอเตอร์เท่ากับแรงบิดที่โหลดต้องการพอดี และระหว่างทางจากหยุดนิ่งถึงจุดนั้น มอเตอร์ต้องมีแรงบิดมากกว่าโหลดตลอด ส่วนเกินคือแรงบิดเร่ง (accelerating torque) ซึ่งเป็นตัวกำหนดเวลาเร่ง ความร้อน และความสำเร็จของวิธีสตาร์ททุกแบบ ดังนั้นทุกการตัดสินใจเรื่องมอเตอร์ต้องกลับมาที่กราฟสองเส้นนี้เสมอ

L1 Equation of motion สมการการเคลื่อนที่ของเพลา

$$J\,\frac{d\omega}{dt} = T_m(\omega) - T_L(\omega) = T_a \qquad J = J_{motor} + J_{load}'$$

### ชนิดของโหลด

รูป 17 · ลักษณะแรงบิดโหลดสี่แบบ

L4 Load laws กฎของโหลด

$$T_L \propto n^k \;\Rightarrow\; P_L = T_L\,\omega \propto n^{k+1} \qquad k = 0 \text{ (คงที่)},\ 1,\ 2 \text{ (ปั๊ม/พัดลม)},\ -1 \text{ (กำลังคงที่)}$$

L6 Load referred through a gear โหลดผ่านเกียร์หรือสายพาน (อัตราทด i = n_motor/n_load)

$$T_L' = \frac{T_L}{i\,\eta_g} \qquad J_L' = \frac{J_L}{i^2} \qquad J' = m\left(\frac{v}{\omega_m}\right)^2 \ \text{(มวลเคลื่อนที่เชิงเส้น)}$$

สิ่งที่มักพลาด: โหลดจริงเกือบทุกแบบมีแรงบิดเริ่มจากแรงเสียดทานสถิต (breakaway) ปั๊มหอยโข่งที่ควรเป็น n² ก็ยังต้องการ 10–15 % ตอนเริ่ม สายพานที่หนักอาจต้องการ 120–150 % ของแรงบิดเดินในช่วงแรก ความเฉื่อยของโหลดที่หมุนช้าผ่านเกียร์จะเล็กลงตาม i² เมื่ออ้างถึงเพลามอเตอร์ แต่มวลขนาดใหญ่ (สายพานยาว ถังผสม) ยังทำให้เวลาเร่งยาวได้

### จุดทำงาน

รูป 18 · จุดทำงานของปั๊มและสายพานที่โหลด 100 % และ 50 %: ภาพขยายด้านขวาแสดงว่าความเร็วเปลี่ยนเพียงไม่กี่ rpm

ในย่านทำงาน (ด้านขวาของแรงบิดสูงสุด) กราฟมอเตอร์เกือบเป็นเส้นตรงและชันมาก แรงบิดแปรตามสลิป $T \approx T_n\,s/s_n$ โหลดลดครึ่งหนึ่ง สลิปลดเกือบครึ่ง ความเร็วขึ้นจาก 1471 เป็น 1486 rpm แต่กระแสลดจาก 14.0 เป็น 8.8–8.9 A ไม่ใช่ครึ่งหนึ่ง เพราะกระแสแม่เหล็กยังต้องจ่ายเท่าเดิม (cos φ ลดลง)

### เสถียรภาพของจุดทำงาน

L3 Stability criterion เกณฑ์เสถียรภาพของจุดทำงาน

$$T_m(n_0) = T_L(n_0) \quad\text{และ}\quad \left.\frac{dT_m}{dn}\right|_{n_0} \lt \left.\frac{dT_L}{dn}\right|_{n_0}$$

รูป 19 · จุดตัดสองจุดของโหลดคงที่ 2.5 Tn: จุดซ้ายไม่เสถียร จุดขวาเสถียร

ที่จุดขวา ถ้าความเร็วลดลงเล็กน้อย แรงบิดมอเตอร์จะมากกว่าโหลด ดึงความเร็วกลับมา ถ้าเร็วขึ้น แรงบิดมอเตอร์น้อยกว่าโหลด ชะลอกลับมา ที่จุดซ้ายเป็นตรงข้าม จึงอยู่ไม่ได้ ข้อนี้อธิบายว่าทำไมมอเตอร์ที่หมุนอยู่แล้วรับโหลดเกินชั่วคราวได้ถึงเกือบ Tk แต่ถ้าหยุดลงจะสตาร์ทกับโหลดเดิมไม่ขึ้น

### แรงบิดเร่งและเวลาเร่ง

L2 Acceleration time เวลาเร่งความเร็ว

$$t_a = J\int_0^{\omega_1}\frac{d\omega}{T_m(\omega) - T_L(\omega)} \;\approx\; \frac{J\,\omega_1}{\overline{T_m - T_L}}$$

L7 Rotor heat during a start ความร้อนในโรเตอร์ระหว่างสตาร์ท

$$E_{r} = \int s\,P_{ag}\,dt = \int_0^{\omega_1} J\,\omega_s\,s\,\frac{T_m}{T_m - T_L}\,d\omega \;\ge\; \tfrac12 J\omega_s^2\big(1 - (1-s_1)^2\big) \;\approx\; \tfrac12 J\omega_s^2$$

รูป 20 · ซ้าย: พื้นที่แรเงาคือแรงบิดเร่งของสายพาน · ขวา: ความเร็วเทียบเวลาของโหลดสามแบบที่สตาร์ทตรง

ตัวอย่าง L-1

### เวลาเร่งของสายพาน (1.0 Tn คงที่) และพัดลมใหญ่ (J รวม 2.245 kg·m²) ด้วยแรงบิดเร่งเฉลี่ย

- ถึง 95 % ของ 1471 rpm: $\omega_1 = 0.95 \times 154.0 = 146.3$ rad/s · แรงบิดมอเตอร์เฉลี่ยช่วงนี้ 2.49 Tn = 122.6 N·m

- สายพาน: $\overline{T_L} = 1.0\,T_n$ → $\overline{T_a} = 73.2$ N·m · J = 0.045 + 0.35 = 0.395 → L2: $t \approx 0.395(146.3)/73.2 = 0.79$ s (อินทิเกรตจริง 0.81 s)

- พัดลม: $\overline{T_L} = 0.34\,T_n$ → $\overline{T_a} = 106.1$ N·m → $t \approx 2.245(146.3)/106.1 = 3.10$ s

- L7: พลังงานจลน์พัดลม $\tfrac12(2.245)(154.0)^2 = 26.6$ kJ ความร้อนในโรเตอร์จากการจำลอง 30.7 kJ — มอเตอร์ 7.5 kW สตาร์ทพัดลมนี้ซ้ำถี่ๆ ไม่ได้

### แรงดันตกกับกราฟ

L5 Torque versus voltage แรงบิดแปรตามกำลังสองของแรงดัน

$$T(s, V) = T(s, V_n)\left(\frac{V}{V_n}\right)^2 \qquad I(s, V) = I(s, V_n)\,\frac{V}{V_n} \qquad s_k \text{ ไม่เปลี่ยน}$$

รูป 21 · แรงดันลดลง กราฟทั้งเส้นหดลงตาม V² จุดทำงานกับโหลดคงที่เลื่อนไปทางสลิปสูง

แรงดันตกขณะสตาร์ทเป็นสาเหตุอันดับต้นของ “มอเตอร์สตาร์ทไม่ขึ้น” ในโรงงานที่หม้อแปลงเล็กหรือสายยาว: แรงดันเหลือ 80 % แรงบิดเริ่มเหลือ 64 % (2.15 → 1.38 Tn) และเวลาเร่งยาวขึ้นจนโอเวอร์โหลดตัด ให้คิดแรงดันตกขณะสตาร์ทก่อนเลือกวิธีสตาร์ท (D7)

### แล็บ: ลองขับโหลดเองบนกราฟแรงบิด-ความเร็ว

เลือกชนิดโรเตอร์ วิธีสตาร์ท แรงดัน และโหลด แล้วดูว่าเส้นมอเตอร์อยู่เหนือเส้นโหลดตลอดหรือไม่ เส้นสีม่วงคือเส้นทางจริงที่มอเตอร์เดินระหว่างสตาร์ท และกราฟล่างคือความเร็วกับกระแสตามเวลา กดปุ่มสถานการณ์เพื่อโหลดตัวอย่าง

## ช่วงเริ่มต้น (transient) และช่วงทำงานคงตัว (steady state) ขั้นสูง

กราฟแรงบิด-ความเร็วในส่วนที่แล้วเป็นกราฟสถิต (steady-state) ที่สมมติว่าฟลักซ์ในมอเตอร์ปรับตัวทันที ใช้ออกแบบเวลาเร่งได้ดี แต่ไม่บอกสิ่งที่เกิดใน 2–5 ไซเคิลแรกหลังสับคอนแทกเตอร์ เพื่อดูช่วงนั้นต้องใช้แบบจำลองพลวัตที่มีฟลักซ์เป็นตัวแปรสถานะ

T1 Space-vector dynamic model แบบจำลองพลวัตในกรอบอยู่กับที่ (αβ)

$$\vec v_s = R_1\vec i_s + \frac{d\vec\psi_s}{dt} \qquad 0 = R_{2}\vec i_{2} + \frac{d\vec\psi_{2}}{dt} - j\omega_r\vec\psi_{2} \qquad T_e = \tfrac32\,p_p\,\mathrm{Im}\{\vec\psi_s^{\,*}\,\vec i_s\}$$

โรเตอร์กรงคู่มีสมการโรเตอร์สองชุด (กรงนอก กรงใน) ใช้ค่า R และ L จากวงจรสมมูลเดียวกัน แบบจำลองนี้ให้ผลเท่าวงจรสมมูลทุกประการเมื่อเข้าสภาวะคงตัว (ตรวจแล้วตรงกันถึง 10⁻⁶) แต่เผยทรานเซียนต์ที่วงจรสมมูลมองไม่เห็น

รูป 22 · สตาร์ทตรงปั๊ม 7.5 kW: กระแสเฟส L1 ชั่วขณะ แรงบิด และความเร็วใน 320 ms แรก

- ยอดกระแสไซเคิลแรก 176 A สูงกว่ายอดของกระแสสตาร์ทคงตัว (√2 × 91 = 129 A) เพราะมีส่วน DC ที่ขึ้นกับมุมแรงดันขณะสับ เฟสที่สับตอนแรงดันผ่านศูนย์จะมีส่วน DC มากที่สุด — นี่คือเหตุที่เบรกเกอร์ลูกย่อยแบบ C ทริปตอนสตาร์ทมอเตอร์ (รูป 34)

- แรงบิดแกว่ง 50 Hz ยอด 5.4 Tn และติดลบ −1.0 Tn ในไซเคิลแรก กระแทกเพลา คัปปลิ้ง และเกียร์ แม้กราฟสถิตบอกแรงบิดเริ่มเพียง 2.15 Tn งานที่มีเกียร์หรือสายพานบอบบางจึงนิยมซอฟต์สตาร์ทหรือ VFD

- หลังทรานเซียนต์ ความเร็วและแรงบิดเดินตามกราฟสถิต: ปั๊มถึง 95 % ใน 173 ms (กราฟสถิตทำนาย 150 ms) พัดลมใหญ่ 3.14 s (ทำนาย 3.10 s)

รูป 23 · วิถีแรงบิด-ความเร็วจริงจากแบบจำลองพลวัตทับกราฟสถิต: แกว่งแรงช่วงแรก แล้วเดินตามกราฟสถิตตลอดช่วงเร่ง

### ช่วงทำงานคงตัว: ประสิทธิภาพ cos φ และกระแสเทียบโหลด

รูป 24 · สมรรถนะคงตัวของมอเตอร์ 7.5 kW IE3 เทียบโหลด

มอเตอร์ที่เดินเบา (25 % ของพิกัด) ยังดึงกระแส ~50 % In เพราะกระแสแม่เหล็กแทบคงที่ ประสิทธิภาพลดเหลือ ~79 % และ cos φ เหลือ 0.45 การเลือกมอเตอร์ใหญ่เกินจริงจึงเสียทั้งพลังงานและค่าปรับตัวประกอบกำลัง ส่วนการเดินเกินพิกัดเพิ่มสลิปและกระแสเกือบเป็นเส้นตรง ความร้อนเพิ่มตามกำลังสองของกระแส

จำนวนครั้งสตาร์ทต่อชั่วโมงถูกจำกัดด้วยความร้อนโรเตอร์ (L7) ผู้ผลิตกำหนดไว้ในแคตตาล็อก (เช่น 3 ครั้งเย็นติดกัน หรือ 2 ครั้งร้อน) โหลดความเฉื่อยสูงต้องถามผู้ผลิตโดยระบุ J ของโหลด

## สตาร์-เดลต้า (Star–Delta, Y-Δ) แบบละเอียดเชิงลึก ขั้นสูง

มอเตอร์ที่วิ่งเดลต้าที่ 400 V (ป้าย 400/690 V) ถ้าเริ่มด้วยการต่อสตาร์ แต่ละขดลวดจะรับแรงดัน 400/√3 = 230 V กระแสในขดลดลง √3 เท่า และเมื่อต่อสตาร์ กระแสสายเท่ากับกระแสขด ขณะที่ต่อเดลต้ากระแสสายเท่ากับ √3 × กระแสขด รวมแล้วกระแสสายลดลง 3 เท่า แรงบิดซึ่งแปรตามกำลังสองของแรงดันขดลวดก็ลดลง 3 เท่าเช่นกัน

Y1 Star start reduces current and torque to 1/3 สตาร์ลดกระแสสายและแรงบิดเหลือ 1/3

$$I_{L,Y}(s) = \frac{V_L/\sqrt3}{Z_w(s)} = \frac13\,\frac{\sqrt3\,V_L}{Z_w(s)} = \frac{I_{L,\Delta}(s)}{3} \qquad T_Y(s) = \frac{T_\Delta(s)}{3}$$

### อ่านสตาร์-เดลต้าจากกราฟ

รูป 25 · เส้น Y (ส้มทึบ) เป็น 1/3 ของเส้น Δ (ประ) ทุกจุด: ปั๊ม 80 % และสายพาน 50 % เร่งในสตาร์ได้ถึง 1419 และ 1454 rpm ส่วนสายพาน 100 % สตาร์ทไม่ขึ้นเลย

จากรูป 25 แรงบิดเริ่มช่วงสตาร์เหลือ 0.72 Tn และแรงบิดสูงสุดช่วงสตาร์เหลือ 1.0 Tn เท่านั้น จึงสรุปกฎใช้งานได้ว่า

- โหลดแรงบิดคงที่เต็มพิกัด (สายพานหนัก เครื่องบด ปั๊มลูกสูบที่มีความดัน) สตาร์-เดลต้าไม่ได้ เพราะ 0.72 Tn ไม่พอแม้แต่แรงบิดเริ่ม

- โหลดแรงบิดคงที่ ≤ ~50–60 % หรือโหลด n² (ปั๊ม พัดลม) ใช้ได้ แต่ต้องตรวจว่าเส้น Y ตัดเส้นโหลดที่ความเร็ว ≥ ~90 % ของพิกัด

- ยิ่งเปลี่ยนเป็นเดลต้าที่ความเร็วต่ำ กระแสกระโดดยิ่งสูง: ปั๊ม 80 % เปลี่ยนที่ 1419 rpm กระโดดเป็น 2.3 In แต่ถ้าเปลี่ยนที่ 800 rpm จะกระโดดเกือบ 5.6 In แทบไม่ต่างจากสตาร์ทตรง

Y4 Changeover condition เงื่อนไขก่อนเปลี่ยนเป็นเดลต้า

$$\frac{T_\Delta(n)}{3} \gt T_L(n)\ \ \forall\,n \lt n_{ch} \qquad n_{ch} \ge 0.9\,n_n \qquad I_{jump} = I_{L,\Delta}(s_{ch})$$

### ตั้งไทเมอร์จากเวลาเร่งในสตาร์

📊 งานวิจัยเชิงตัวเลขฉบับเต็ม (ตาราง c·τm สำหรับทุกชนิดโหลด ช่วงตาย แรงดันค้าง ลำดับเฟส KM3 แบบปิดวงจร พลังงาน และการเดินสตาร์ถาวรที่โหลดเบา) อยู่ใน สตาร์-เดลต้าเชิงลึก พร้อมแล็บจำลองพลวัตที่ปรับไทเมอร์และช่วงตายได้เอง

ตัวอย่าง Y-1

### พัดลมใหญ่ (J รวม 2.245 kg·m²) กับมอเตอร์ 7.5 kW แบบสตาร์-เดลต้า

- Y4: เส้น Y ตัดเส้นพัดลมที่ 1385 rpm (94 % ของพิกัด) → ใช้สตาร์-เดลต้าได้

- L2 ในช่วงสตาร์ (แรงบิดเหลือ 1/3): จำลองได้ 13.6 s กว่าจะถึง 95 % ของ 1385 rpm — นานกว่าสตาร์ทตรง (3.1 s) สี่เท่า

- ตั้งไทเมอร์ 16 s: เปลี่ยนที่ ~1373 rpm (ยังเร่งอยู่เล็กน้อย) กระแสกระโดดเป็น 45 A (3.2 In) ✓ ถึงจุดทำงานรวม 16.1 s

- ถ้าตั้งตามความเคยชิน 6 s: เปลี่ยนที่ 786 rpm กระแสกระโดดเป็น 79 A (5.6 In) เกือบเท่าสตาร์ทตรง — สตาร์-เดลต้าไม่ได้ประโยชน์

- สตาร์ทนาน 16 s ต้องใช้โอเวอร์โหลดคลาส 20 หรือ 30 และตรวจเวลาทนล็อกโรเตอร์ของมอเตอร์ ลองในแล็บด้านบนด้วยปุ่ม “พัดลมใหญ่ Y-Δ”

### ทรานเซียนต์ตอนเปลี่ยนจังหวะและลำดับเฟสด้านเดลต้า

สตาร์-เดลต้าทั่วไปเป็นแบบเปิดวงจร (open transition): KM2 (สตาร์) ปล่อยก่อน แล้วมีช่วงตาย (dead time) 30–80 ms เพื่อให้อาร์กดับ จึงสับ KM3 (เดลต้า) ช่วงตายนี้สร้างปัญหาสองข้อที่กราฟสถิตมองไม่เห็น

- มอเตอร์ช้าลง: ไม่มีแรงบิดขับ แต่โหลดยังเบรก ปั๊มความเฉื่อยต่ำ (J = 0.105) ช้าลงจาก 1419 เหลือ ~1250 rpm ใน 50 ms กระแสกระโดดตามความเร็วที่ลดลง

- แรงดันค้างเลื่อนเฟส: ฟลักซ์โรเตอร์ยังค้างและสร้างแรงดันที่ขั้วซึ่งหมุนตามความเร็วโรเตอร์ จึงล้าหลังไฟเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เมื่อสับ KM3 ความต่างระหว่างไฟกับแรงดันค้างทำให้เกิดกระแสกระชากเหมือนต่อแหล่งจ่ายสองตัวที่เฟสไม่ตรงกัน

รูป 26 · การต่อเดลต้ามีสองแบบที่หมุนทิศเดียวกัน แต่แรงดันขดลวดหลังเปลี่ยนนำหน้าหรือล้าหลัง 30° ขึ้นกับว่าต่อ U2 กับ L2 หรือ L3

รูป 27 · จำลองการเปลี่ยนจังหวะของปั๊ม 80 %: ลำดับถูก (ฟ้า) กระแสยอด 9.7 In แรงบิด −0.5…3.0 Tn · ลำดับผิด (ม่วง) กระแส 11.5 In แรงบิดติดลบถึง −4.4 Tn

ผลจำลองยืนยันข้อแนะนำของผู้ผลิตอุปกรณ์: ให้ต่อ KM3 ตามคู่ U1–V2 · V1–W2 · W1–U2 (คือ L1→V2 L2→W2 L3→U2 เมื่อ KM1 ต่อ L1→U1 L2→V1 L3→W1) ซึ่งทำให้แรงดันขดลวดหลังเปลี่ยนล้าหลัง 30° ไปทางเดียวกับที่แรงดันค้างเลื่อน ความต่างเฟสตอนสับจึงเล็กลง การต่อแบบ U1–W2 ก็เป็นเดลต้าที่หมุนทิศเดียวกันและใช้เดินเครื่องได้ แต่ตอนเปลี่ยนจังหวะความต่างเฟสจะรวม 30° เข้าไปด้วย

กระแสกระชากตอนเปลี่ยนจังหวะอาจสูงกว่ากระแสสตาร์ทตรง ดังนั้นสตาร์-เดลต้า “ลดกระแสสตาร์ท” แต่ไม่ได้ลดยอดกระแสเสมอไป ปัจจัยที่ทำให้แย่: ไทเมอร์สั้นเกิน ช่วงตายยาวเกิน (ใช้ไทเมอร์ Y-Δ เฉพาะ 30–50 ms) โหลดความเฉื่อยต่ำที่ช้าลงเร็ว และต่อเดลต้าผิดลำดับ ถ้ากลับทางหมุนด้วยการสลับสายเมน ความสัมพันธ์ 30° นี้กลับด้าน ชุดกลับทางหมุนแบบสตาร์-เดลต้าจึงต้องออกแบบเฉพาะ

### วงจรกำลัง ขนาดคอนแทกเตอร์ และโอเวอร์โหลด

รูป 28 · วงจรกำลังสตาร์-เดลต้าที่ต่อ KM3 ลำดับลดกระชาก: KM1 + KM2 ช่วงสตาร์ · KM1 + KM3 ช่วงเดลต้า

Y2 Contactor and overload sizing ขนาดคอนแทกเตอร์และค่าตั้งโอเวอร์โหลด

$$I_{KM1} = I_{KM3} \ge \frac{I_n}{\sqrt3} = 0.58\,I_n \qquad I_{KM2} \ge \frac{I_n}{3} = 0.33\,I_n \qquad I_{r,F2} = 0.58\,I_n \ \text{(ติดหลัง KM1)}$$

Y3 Six-wire motor cable สายหกเส้นไปมอเตอร์ (EIT: × 1.25)

$$I_{cable} \ge 1.25 \times 0.58\,I_n \qquad \Delta V\% = \frac{2\,(I_n/\sqrt3)\,L\,(R\cos\varphi + X\sin\varphi)}{400}\times100$$

ตัวอย่าง Y-2

### พัดลม 30 kW 400 V Δ In = 55 A Is/In = 7 — เลือกอุปกรณ์สตาร์-เดลต้า

- สตาร์ทตรง $7 \times 55 = 385$ A → ช่วงสตาร์ $385/3 = 128$ A

- Y2: KM1 = KM3 ≥ 0.58 × 55 = 31.9 A → 32 A AC-3 · KM2 ≥ 0.33 × 55 = 18.2 A → 25 A AC-3

- โอเวอร์โหลดหลัง KM1 ตั้ง 31.9 A คลาส 20 (พัดลมเร่งนาน)

- Y3: สายหกเส้น แต่ละเส้น ≥ 1.25 × 31.9 = 39.9 A → 10 mm² (50 × 0.87 = 43.5 A) เทียบสตาร์ทตรงที่ต้องการ 3 × 25 mm²

- เบรกเกอร์เวลาผกผัน ≤ 2.5 × 55 = 137.5 A → 125 A ตรวจว่าส่วนปลดทันทีสูงกว่ายอดกระแสตอนเปลี่ยนจังหวะ

รูป 29 · วงจรควบคุมสตาร์-เดลต้าแบบเปิดวงจรพร้อมอินเตอร์ล็อก (จากบทสตาร์-เดลต้า)

รูป 30 · ลำดับเวลาของคอนแทกเตอร์และช่วงตาย

สตาร์-เดลต้าแบบปิดวงจร (closed transition) เพิ่มคอนแทกเตอร์ตัวที่สี่กับตัวต้านทาน ต่อคร่อมไว้ระหว่างเปลี่ยน มอเตอร์จึงไม่ขาดไฟเลย ไม่มีแรงดันค้างเลื่อนเฟส กระชากต่ำมาก ใช้กับมอเตอร์ใหญ่หรือระบบที่ไวต่อแรงดันกระเพื่อม รายละเอียดวงจรควบคุมทีละขั้น สายหกเส้น แบบ NEMA และตารางแก้ปัญหาอยู่ในบทสตาร์-เดลต้าแบบละเอียด และการเขียนด้วย PLC ในPLC คุมมอเตอร์

## เปรียบเทียบวิธีสตาร์ทบนกราฟเดียวกัน กลาง

รูป 31 · กระแสสาย (บน) และแรงบิด (ล่าง) เทียบความเร็วของห้าวิธีสตาร์ท พร้อมโหลดปั๊ม 100 %

M1 Autotransformer starter ออโต้ทรานส์ฟอร์เมอร์แทป k

$$I_{motor} = k\,I_{DOL} \qquad I_{line} = k^2 I_{DOL} \qquad T = k^2\,T_{DOL}$$

M2 Reduced-voltage starting ซอฟต์สตาร์ทแบบจำกัดกระแส

$$\frac{V}{V_n} = \frac{I_{lim}}{I_{s}} \qquad T_{start} = T_s\left(\frac{I_{lim}}{I_s}\right)^2 \;\Rightarrow\; 3\,I_n:\ T = 2.15\left(\frac{3}{6.53}\right)^2 = 0.45\,T_n$$

M3 V/f control การควบคุม V/f ของอินเวอร์เตอร์

$$\frac{V}{f} = \frac{400}{50} = 8\ \text{V/Hz} \;\Rightarrow\; \Phi \approx \text{คงที่} \qquad n_s = \frac{120 f}{p} \qquad f \gt 50\ \text{Hz}: T_k \propto \frac{1}{f^2}$$

รูป 32 · อินเวอร์เตอร์ย้ายกราฟทั้งเส้นตามความถี่ ทำให้มอเตอร์ทำงานที่สลิปต่ำตลอดช่วงเร่ง

| วิธีสตาร์ท | กระแสสายเริ่ม | แรงบิดเริ่ม | เหมาะกับโหลด | ไม่เหมาะกับ |

| สตาร์ทตรง DOL | 6.5 In | 2.15 Tn | ทุกแบบ เมื่อระบบไฟรับกระแสสตาร์ทได้ | หม้อแปลงเล็ก สายยาว เกียร์บอบบาง |

| สตาร์-เดลต้า | 2.2 In (แล้วกระโดด) | 0.72 Tn | ปั๊ม พัดลม โหลดเบาตอนสตาร์ท | โหลดคงที่ > ~60 % · ป้าย 230/400 V |

| ออโต้ทรานส์ฯ 65 % | 2.8 In | 0.91 Tn | ปั๊มใหญ่ คอมเพรสเซอร์ที่ปลดโหลด | โหลดคงที่เต็มพิกัด |

| ซอฟต์สตาร์ท 3 In | 3.0 In | 0.45 Tn | ปั๊ม (soft stop ลดค้อนน้ำ) พัดลม | สายพานเต็มโหลด เครื่องบด |

| อินเวอร์เตอร์ VFD | ~1.3–1.5 In | ~1.5 Tn (ตลอดช่วง) | ทุกแบบ โดยเฉพาะโหลดคงที่และงานปรับรอบ | ราคา ฮาร์มอนิก ต้องออกแบบ EMC |

| โรเตอร์พันขดลวด + R | ~3–4 In | สูงสุด ~Tk | เครน โหลดเฉื่อยสูงมาก มอเตอร์ใหญ่เก่า | งานใหม่ (แปรงถ่าน บำรุงรักษา) |

หลักเลือก: เริ่มจากโหลด (รูป 17) → ดูว่าวิธีสตาร์ทให้แรงบิดเหนือเส้นโหลดตลอดช่วงเร่งหรือไม่ (รูป 31) → ตรวจแรงดันตกที่ระบบไฟรับได้ (D7) → เลือกวิธีที่ถูกที่สุดที่ผ่านทั้งสามข้อ รายละเอียดซอฟต์สตาร์ทและออโต้ทรานส์อยู่ในบทซอฟต์สตาร์ท ส่วน VFD อยู่ในหลักการอินเวอร์เตอร์ และงานประยุกต์ VFD

## ออกแบบสายไฟและเบรกเกอร์สำหรับวงจรมอเตอร์ กลาง

วงจรมอเตอร์ต่างจากวงจรโหลดทั่วไปตรงที่มีกระแสสตาร์ท 5–8 เท่าของพิกัดอยู่หลายวินาที การป้องกันจึงแยกเป็นสองหน้าที่ อุปกรณ์ป้องกันลัดวงจร (short-circuit protection) ต้อง “ทน” กระแสสตาร์ทได้โดยไม่ทริป ส่วนการป้องกันโหลดเกิน (overload) ทำโดยโอเวอร์โหลดรีเลย์หรือส่วนความร้อนของ MPCB ที่ตั้งเท่ากระแสพิกัด มาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้าสำหรับประเทศไทยของวิศวกรรมสถานแห่งประเทศไทย (ว.ส.ท.) มีบทมอเตอร์ที่กำหนดเกณฑ์ไว้ดังนี้

D1 Rated current กระแสพิกัด (ใช้แผ่นป้ายเมื่อมี)

$$I_n = \frac{P_{out}}{\sqrt3\,V_L\,\eta\cos\varphi}\ \text{(3 เฟส)} \qquad I_n = \frac{P_{out}}{V\,\eta\cos\varphi}\ \text{(1 เฟส)} \qquad \approx 2\ \text{A/kW ที่ 400 V}$$

D2 Branch-circuit conductor สายวงจรย่อยมอเตอร์ตัวเดียว

$$I_z\,k_{temp}\,k_{group} \ge 1.25\,I_n$$

D3 Feeder for several motors สายป้อนมอเตอร์หลายตัว

$$I_{feeder} \ge 1.25\,I_{n,max} + \sum I_{n,others} \qquad I_{CB,feeder} \le I_{CB,branch,max} + \sum I_{n,others}$$

D4 Branch short-circuit protection (max % of In) พิกัดสูงสุดของเครื่องป้องกันลัดวงจรวงจรย่อย

$$\text{เบรกเกอร์เวลาผกผัน} \le 250\,\% \quad \text{เบรกเกอร์ปลดทันที} \le 800\,\% \quad \text{ฟิวส์ไม่หน่วง} \le 300\,\% \quad \text{ฟิวส์หน่วงเวลา} \le 175\,\%$$

D5 Overload setting ค่าตั้งการป้องกันโหลดเกิน

$$I_r = I_n\ \text{(แผ่นป้าย, IEC)} \qquad I_r \le 1.25\,I_n\ (SF \ge 1.15) \quad I_r \le 1.15\,I_n\ \text{(อื่นๆ)}$$

ค่าใน D4 เป็นของมอเตอร์ 1 เฟสและมอเตอร์หลายเฟสแบบกรงกระรอก (โรเตอร์พันขดลวดใช้ 150 % สำหรับเบรกเกอร์เวลาผกผันและฟิวส์) ตามตารางพิกัดเครื่องป้องกันวงจรย่อยมอเตอร์ในมาตรฐาน ว.ส.ท. ฉบับ พ.ศ. 2564 · D5 เป็นแนวเดียวกับ NEC 430.32 ส่วนแนวปฏิบัติ IEC ตั้งโอเวอร์โหลดเท่ากระแสแผ่นป้าย งานจริงให้ยึดฉบับที่บังคับใช้และข้อกำหนดของการไฟฟ้า

D6 Running voltage drop แรงดันตกขณะเดิน

$$\Delta V\% = \frac{\sqrt3\,I_n\,L\,(R\cos\varphi + X\sin\varphi)}{V_L}\times100 \le 3\,\% \qquad R = \frac{\rho}{A},\ \rho_{Cu,70^\circ C} \approx 0.0225\ \Omega\,\text{mm}^2/\text{m}$$

D7 Starting voltage drop แรงดันตกขณะสตาร์ท (cos φ สตาร์ท ≈ 0.3)

$$\Delta V_{st}\% \approx \frac{S_{st}}{S_{sc,tr}}\times100 + \frac{\sqrt3\,I_{st}\,L\,(0.3R + 0.95X)}{V_L}\times100 \le 10\text{–}15\,\%$$

D8 Fault at the cable end and cable withstand กระแสลัดลงดินปลายสาย (TN) และความทนลัดวงจรของสาย

$$I_f = \frac{U_0}{Z_{tr} + (1 + m)\,\rho L/A} \ge I_{magnetic} \qquad k^2S^2 \ge I^2t\ \ (k_{Cu,PVC} = 115)$$

รูป 33 · ตัวอย่างออกแบบวงจรปั๊ม 7.5 kW สตาร์ทตรงตั้งแต่หม้อแปลงถึงมอเตอร์

ตัวอย่าง D-1

### ปั๊ม 7.5 kW 400 V Δ สตาร์ทตรง ห่างตู้ MCC 40 m หม้อแปลง 500 kVA uk 4 % อุณหภูมิ 40 °C

- D1: แผ่นป้าย In = 14.6 A · กระแสสตาร์ท 6.5 × 14.6 = 95 A

- D2: ต้องการ ≥ 1.25 × 14.6 = 18.3 A · สาย 2.5 mm² ได้ 21 × 0.87 = 18.3 A (เท่าพอดี ไม่มีเผื่อ) → เลือก 4 mm²: 28 × 0.87 = 24.4 A ✓

- D6: $R = 0.0225/4 = 5.63$ mΩ/m · $\Delta V = \sqrt3(14.6)(40)(0.00563 \times 0.82 + 0.00008 \times 0.57) = 4.7$ V = 1.2 % ✓

- D7: สาย $\sqrt3(95)(40)(0.3 \times 0.00563 + 0.95 \times 0.00008) = 11.6$ V = 2.9 % · หม้อแปลง $S_{st}/S_{sc} = 65.7\text{ kVA}/12.5\text{ MVA} = 0.5\,\%$ → รวม 3.4 % ✓

- D4: เบรกเกอร์เวลาผกผัน ≤ 2.5 × 14.6 = 36.5 A → 32 A (หรือใช้ MPCB ช่วง 10–16 A ตั้ง 14.6 A ซึ่งรวมป้องกันโหลดเกินด้วย) · G3: Icu ≥ 18 kA → เลือก 25 kA

- D8: $I_f = 230/(0.0128 + 2 \times 0.225) \approx 0.5$ kA สูงกว่าส่วนแม่เหล็กของ MPCB (~208 A) และ MCCB 32 A (~320 A) → ตัดทันที ✓

- คอนแทกเตอร์ 18 A AC-3 · โอเวอร์โหลด 12–18 A ตั้ง 14.6 A คลาส 10 (เวลาเร่งปั๊มต่ำกว่า 1 s)

รูป 34 · กราฟเวลา-กระแส: เส้นสตาร์ทของมอเตอร์ต้องอยู่ซ้าย-ล่างของเส้นอุปกรณ์ป้องกันทุกตัว

รูป 34 อธิบายคำถามยอดฮิต “ทำไมมอเตอร์ 7.5 kW ใช้เบรกเกอร์ลูกย่อย 20 A แบบ C แล้วทริปตอนสตาร์ท” — ส่วนปลดทันทีของแบบ C อยู่ที่ 5–10 เท่า (100–200 A) ทับกระแสสตาร์ท 95 A รวมยอดไซเคิลแรกที่สูงกว่านั้นอีก ทางแก้คือใช้ MPCB หรือเบรกเกอร์แบบ D/MCCB ที่ออกแบบสำหรับมอเตอร์ ไม่ใช่เพิ่มขนาดเบรกเกอร์จนป้องกันสายไม่ได้

ตัวอย่าง D-2

### สายป้อนตู้ MCC ที่มีมอเตอร์ 55 A (สตาร์-เดลต้า) 28 A และ 14.6 A

- D3: สายป้อน ≥ 1.25 × 55 + 28 + 14.6 = 111.4 A

- เบรกเกอร์วงจรย่อยตัวใหญ่สุด ≤ 2.5 × 55 = 137.5 A → 125 A

- เบรกเกอร์สายป้อน ≤ 125 + 28 + 14.6 = 167.6 A → 160 A และสายป้อนต้องรับได้ตามที่เบรกเกอร์ป้องกัน

ขั้นตอนออกแบบ 10 ข้อ ตู้ควบคุม การทดสอบ Megger และตารางแก้ปัญหาอยู่ในบทออกแบบ · ติดตั้ง · แก้ปัญหา ส่วนคลาสทริปของโอเวอร์โหลดและการประสานการป้องกัน Type 1/Type 2 อยู่ในคอนแทกเตอร์ · โอเวอร์โหลด

## การควบคุมมอเตอร์ 3 เฟส: เลือกวงจรจากโหลด พื้นฐาน

วงจรควบคุมมอเตอร์ทุกแบบประกอบจากอุปกรณ์ชุดเดียวกัน คือ อุปกรณ์ตัดตอนและป้องกันลัดวงจร (เบรกเกอร์ MPCB ฟิวส์) แมกเนติกคอนแทกเตอร์สำหรับสั่งต่อ-ตัด โอเวอร์โหลดรีเลย์สำหรับป้องกันโหลดเกิน และวงจรควบคุมที่มีปุ่ม START/STOP หน้าสัมผัสช่วยล็อกตัวเอง (self-holding) และอินเตอร์ล็อก เลือกวงจรตามสิ่งที่โหลดต้องการ:

| โหลด/ความต้องการ | วงจรที่ใช้ | บทเรียน |

| เดินทางเดียว ระบบไฟรับกระแสสตาร์ทได้ | สตาร์ทตรง DOL + ล็อกตัวเอง ควบคุมสองจุด จ็อก | สตาร์ทตรง DOL |

| ต้องกลับทาง (ประตูม้วน รอก สายพาน) | สลับสองเฟส อินเตอร์ล็อกไฟฟ้า + กล + ปุ่มกด ลิมิตสวิตช์ | กลับทางหมุน |

| ปั๊ม พัดลม ต้องลดกระแสสตาร์ท | สตาร์-เดลต้า / ซอฟต์สตาร์ท | สตาร์-เดลต้า · ซอฟต์สตาร์ท |

| ต้องปรับรอบ ประหยัดพลังงาน หรือสตาร์ทโหลดหนักด้วยกระแสต่ำ | อินเวอร์เตอร์ VFD | VFD · ตั้งค่า VFD |

| หลายมอเตอร์ทำงานตามลำดับ ปั๊มสลับ ลูกลอย | วงจรประยุกต์ หรือ PLC | วงจรประยุกต์ · PLC คุมมอเตอร์ |

รูป 35 · วงจรควบคุมพื้นฐานที่ทุกวงจรต่อยอด: STOP (NC) อนุกรม START (NO) ขนานหน้าสัมผัสล็อกตัวเอง 13-14 และหน้าสัมผัสโอเวอร์โหลด 95-96

ลองกดปุ่มและเห็นกระแส แรงบิด ความเร็วของแต่ละวงจรในซิมูเลเตอร์วงจรสตาร์ท ซึ่งใช้แบบจำลองมอเตอร์ตัวเดียวกับหน้านี้

## สรุปสำหรับหน้างาน

- อ่านแผ่นป้าย แรงดัน (230/400 หรือ 400/690) การต่อ กระแส In Is/In แรงบิด Ts/Tn คลาส IE ความเร็ว

- รู้จักโหลด ชนิดเส้นแรงบิด แรงบิดเริ่ม (breakaway) และความเฉื่อยอ้างถึงเพลามอเตอร์

- วาดสองเส้น มอเตอร์ (ที่แรงดันขณะสตาร์ทจริง) กับโหลด ตรวจว่าเส้นมอเตอร์อยู่เหนือตลอด แล้วประมาณเวลาเร่ง (L2)

- เลือกวิธีสตาร์ท ถูกที่สุดที่ผ่านเงื่อนไขแรงบิดและแรงดันตก · สตาร์-เดลต้าตรวจ Y4 และตั้งไทเมอร์จากเวลาเร่งในสตาร์ ต่อ KM3 ลำดับ U1–V2

- ออกแบบสายและการป้องกัน สาย ≥ 125 % In แรงดันตก ≤ 3 % / ≤ 10–15 % ขณะสตาร์ท เบรกเกอร์ ≤ 250 % ตั้งโอเวอร์โหลดเท่า In คลาสตามเวลาเร่ง ตรวจ Icu และกระแสลัดวงจรปลายสาย

- ทดสอบ ความต้านทานฉนวน ทิศทางหมุน กระแสขณะสตาร์ทและขณะเดินด้วยแคลมป์มิเตอร์เทียบกับค่าที่คำนวณ

### มาตรฐานและแหล่งอ้างอิง

- มาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้าสำหรับประเทศไทย (วิศวกรรมสถานแห่งประเทศไทย, ว.ส.ท.) — บทมอเตอร์ สายวงจรย่อย สายป้อน และเครื่องป้องกัน

- IEC 60034-1 (พิกัดเครื่องจักรไฟฟ้าหมุน) · IEC 60034-12 (ลักษณะการสตาร์ท Design N/H) · IEC 60034-30-1 และ IEC TS 60034-30-2 (คลาสประสิทธิภาพ IE)

- IEC 60947-4-1 (คอนแทกเตอร์ สตาร์ทเตอร์ คลาสทริปโอเวอร์โหลด) · IEC 60898-1 (เบรกเกอร์ลูกย่อยแบบ B C D) · IEC 60364-5-52 (พิกัดกระแสสาย)

- NEMA MG 1 (Design A B C D) · NEC Article 430 (วงจรมอเตอร์)

- ข้อมูลระดับแรงดันระบบส่งและจำหน่ายจาก กฟผ. กฟน. และ กฟภ.

กราฟและตัวเลขในหน้านี้สร้างด้วยสคริปต์ที่เปิดเผยในคลังซอร์สของเว็บไซต์ (แบบจำลองวงจรสมมูลกรงคู่ แบบจำลองพลวัต αβ และแบบจำลองมอเตอร์ 1 เฟสสองขดลวด) ค่าพารามิเตอร์เลือกให้พฤติกรรมใกล้เคียงแคตตาล็อกทั่วไปเพื่อการสอน ไม่ใช่ข้อมูลของผลิตภัณฑ์ใดผลิตภัณฑ์หนึ่ง

## คำถามที่พบบ่อย

มอเตอร์ 3 เฟสต่อสตาร์หรือเดลต้า ดูจากอะไร?
ดูแรงดันบนแผ่นป้ายเทียบกับแรงดันสายของระบบ ระบบไทยคือ 400 V: ป้าย 230/400 V (Δ/Y) ต้องต่อสตาร์ ส่วนป้าย 400/690 V (Δ/Y) ต่อเดลต้า และเฉพาะแบบหลังเท่านั้นที่สตาร์ทแบบสตาร์-เดลต้าได้ เพราะขดลวดทนแรงดันสาย 400 V ตอนวิ่งเดลต้า

ทำไมมอเตอร์ 1 เฟสต้องมีคาปาซิเตอร์ และคาปาซิเตอร์เสียมีอาการอย่างไร?
ขดลวดเฟสเดียวสร้างสนามพัลส์ที่ไม่หมุน แรงบิดตอนหยุดนิ่งเป็นศูนย์ คาปาซิเตอร์ทำให้กระแสขดช่วยต่างเฟสจากขดหลักจนเกิดสนามหมุน ถ้าคาปาซิเตอร์สตาร์ทเสีย มอเตอร์จะครางแต่ไม่หมุน กระแสสูง แต่ถ้าใช้มือหมุนช่วยจะหมุนต่อได้ ถ้าคาปาซิเตอร์รันของแบบ PSC เสื่อม มอเตอร์จะหมุนช้า ร้อน และสตาร์ทยาก

สตาร์-เดลต้าลดกระแสสตาร์ทได้เท่าไร ทำไมบางครั้งเบรกเกอร์ยังทริปตอนเปลี่ยนเป็นเดลต้า?
ช่วงสตาร์ กระแสสายและแรงบิดเหลือ 1/3 ของสตาร์ทตรง แต่ตอนเปลี่ยนเป็นเดลต้ากระแสจะกระโดดตามความเร็วขณะนั้น ถ้าเปลี่ยนเร็วเกินขณะมอเตอร์ยังช้า หรือโหลดหนักจนสตาร์หมุนได้ไม่ถึง ~90 % ความเร็ว กระแสจะเกือบเท่าสตาร์ทตรง และในช่วงตาย 50 ms แรงดันค้างในมอเตอร์เลื่อนเฟส ถ้าต่อเดลต้าผิดลำดับจะเกิดกระแสกระชากสูงกว่าสตาร์ทตรงได้

เลือกขนาดสายไฟและเบรกเกอร์ของมอเตอร์อย่างไร?
ใช้กระแสพิกัดจากแผ่นป้าย สายวงจรย่อยต้องรับกระแสได้ไม่น้อยกว่า 125 % ของกระแสพิกัด แล้วตรวจแรงดันตกขณะเดิน (ไม่เกินราว 3 %) และขณะสตาร์ท (ไม่เกินราว 10–15 %) เบรกเกอร์ป้องกันลัดวงจรแบบเวลาผกผันตั้งได้ไม่เกิน 250 % ของกระแสพิกัด ส่วนการป้องกันโหลดเกินใช้โอเวอร์โหลดรีเลย์หรือ MPCB ตั้งเท่ากระแสแผ่นป้าย

กราฟแรงบิด-ความเร็ว (speed-torque curve) ใช้ดูอะไร และจุดทำงานของมอเตอร์อยู่ตรงไหน?
กราฟบอกแรงบิดที่มอเตอร์ให้ได้ทุกความเร็ว ตั้งแต่แรงบิดเริ่ม แรงบิดสูงสุด จนถึงความเร็วซิงโครนัส เมื่อวาดเส้นแรงบิดของโหลดซ้อน จุดตัดด้านขวาของแรงบิดสูงสุดคือจุดทำงาน ส่วนต่างระหว่างสองเส้นคือแรงบิดเร่งที่บอกว่าสตาร์ทได้หรือไม่และใช้เวลานานเท่าไร

## FAQ

**มอเตอร์ 3 เฟสต่อสตาร์หรือเดลต้า ดูจากอะไร?**
ดูแรงดันบนแผ่นป้ายเทียบกับแรงดันสายของระบบ ระบบไทยคือ 400 V: ป้าย 230/400 V (Δ/Y) ต้องต่อสตาร์ ส่วนป้าย 400/690 V (Δ/Y) ต่อเดลต้า และเฉพาะแบบหลังเท่านั้นที่สตาร์ทแบบสตาร์-เดลต้าได้ เพราะขดลวดทนแรงดันสาย 400 V ตอนวิ่งเดลต้า

**ทำไมมอเตอร์ 1 เฟสต้องมีคาปาซิเตอร์ และคาปาซิเตอร์เสียมีอาการอย่างไร?**
ขดลวดเฟสเดียวสร้างสนามพัลส์ที่ไม่หมุน แรงบิดตอนหยุดนิ่งเป็นศูนย์ คาปาซิเตอร์ทำให้กระแสขดช่วยต่างเฟสจากขดหลักจนเกิดสนามหมุน ถ้าคาปาซิเตอร์สตาร์ทเสีย มอเตอร์จะครางแต่ไม่หมุน กระแสสูง แต่ถ้าใช้มือหมุนช่วยจะหมุนต่อได้ ถ้าคาปาซิเตอร์รันของแบบ PSC เสื่อม มอเตอร์จะหมุนช้า ร้อน และสตาร์ทยาก

**สตาร์-เดลต้าลดกระแสสตาร์ทได้เท่าไร ทำไมบางครั้งเบรกเกอร์ยังทริปตอนเปลี่ยนเป็นเดลต้า?**
ช่วงสตาร์ กระแสสายและแรงบิดเหลือ 1/3 ของสตาร์ทตรง แต่ตอนเปลี่ยนเป็นเดลต้ากระแสจะกระโดดตามความเร็วขณะนั้น ถ้าเปลี่ยนเร็วเกินขณะมอเตอร์ยังช้า หรือโหลดหนักจนสตาร์หมุนได้ไม่ถึง ~90 % ความเร็ว กระแสจะเกือบเท่าสตาร์ทตรง และในช่วงตาย 50 ms แรงดันค้างในมอเตอร์เลื่อนเฟส ถ้าต่อเดลต้าผิดลำดับจะเกิดกระแสกระชากสูงกว่าสตาร์ทตรงได้

**เลือกขนาดสายไฟและเบรกเกอร์ของมอเตอร์อย่างไร?**
ใช้กระแสพิกัดจากแผ่นป้าย สายวงจรย่อยต้องรับกระแสได้ไม่น้อยกว่า 125 % ของกระแสพิกัด แล้วตรวจแรงดันตกขณะเดิน (ไม่เกินราว 3 %) และขณะสตาร์ท (ไม่เกินราว 10–15 %) เบรกเกอร์ป้องกันลัดวงจรแบบเวลาผกผันตั้งได้ไม่เกิน 250 % ของกระแสพิกัด ส่วนการป้องกันโหลดเกินใช้โอเวอร์โหลดรีเลย์หรือ MPCB ตั้งเท่ากระแสแผ่นป้าย

**กราฟแรงบิด-ความเร็ว (speed-torque curve) ใช้ดูอะไร และจุดทำงานของมอเตอร์อยู่ตรงไหน?**
กราฟบอกแรงบิดที่มอเตอร์ให้ได้ทุกความเร็ว ตั้งแต่แรงบิดเริ่ม แรงบิดสูงสุด จนถึงความเร็วซิงโครนัส เมื่อวาดเส้นแรงบิดของโหลดซ้อน จุดตัดด้านขวาของแรงบิดสูงสุดคือจุดทำงาน ส่วนต่างระหว่างสองเส้นคือแรงบิดเร่งที่บอกว่าสตาร์ทได้หรือไม่และใช้เวลานานเท่าไร

---

# ระบบควบคุม (Control Systems Engineering): ป้อนกลับ เสถียรภาพ รูทโลคัส โบด และ PID

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/
Updated: 2026-10-12
Summary: คลังวิศวกรรมระบบควบคุมภาษาไทย ตั้งแต่พื้นฐานถึงขั้นสูง ระบบควบคุมป้อนกลับ (feedback control) แบบจำลอง บล็อกไดอะแกรม ผลตอบสนองเวลา เสถียรภาพ เกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์ รูทโลคัสวาดด้วยมือ โบดไดอะแกรม เกนและเฟสมาร์จิน ไนควิสต์ ตัวชดเชย lead lag ตัวควบคุม P PI PD PID ปริภูมิสถานะ ควบคุมดิจิทัล เมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ และการควบคุมตัวแปลงกำลัง พร้อมแล็บรูทโลคัส โบด และไนควิสต์แบบโต้ตอบ

// บทที่ 13 · วิศวกรรมไฟฟ้า · Control Systems Engineering

# ระบบควบคุม (Control Systems Engineering): ป้อนกลับ เสถียรภาพ รูทโลคัส โบด และ PID

เครื่องปรับอากาศที่รักษาอุณหภูมิ มอเตอร์ที่หมุนได้ความเร็วตามสั่ง แขนหุ่นยนต์ที่หยุดตรงตำแหน่ง โดรนที่ลอยนิ่งกลางลม และพาวเวอร์ซัพพลายที่จ่าย 5.00 V ไม่ว่าโหลดจะเปลี่ยนแค่ไหน ทั้งหมดใช้หลักการเดียวกัน คือวัดผลลัพธ์ เทียบกับเป้าหมาย แล้วแก้ไข ชุดบทเรียนนี้เริ่มจากวงจรไฟฟ้าที่เราคุ้นเคย ไล่ไปถึงการวาดรูทโลคัสด้วยมือ วิเคราะห์โบด ออกแบบตัวชดเชยและ PID จนถึงหุ่นยนต์และตัวแปลงกำลัง

ทั้งวิชาในหนึ่งนาที

- เขียนพลานต์เป็นฟังก์ชันถ่ายโอน $G(s)$ ต่อตัวควบคุม $C(s)$ แล้วปิดวงได้ $T(s) = \dfrac{CG}{1 + CG}$ บล็อกไดอะแกรม

- ระบบเสถียรเมื่อรากของ $1 + KG(s) = 0$ อยู่ซ้ายของแกน $j\omega$ ทุกตัว ตรวจได้โดยไม่ต้องหาราก เราท์–เฮอร์วิตซ์

- รากเหล่านั้นเดินอย่างไรเมื่อปรับ $K$ รูทโลคัส · ห่างจากความไม่เสถียรแค่ไหน เกนและเฟสมาร์จิน

- ไม่ได้ตามสเปก เพิ่มขั้วและศูนย์อย่างมีชั้นเชิง lead · lag และ PID

## Control Engineering หรือ Control Systems เรียกอะไรดี

ทั่วโลกใช้สองคำนี้แทนกันได้ แต่มีน้ำหนักต่างกันเล็กน้อย Control Systems คือชื่อวิชาที่มหาวิทยาลัยส่วนใหญ่ใช้ (Control Systems Engineering ของ Nise, Modern Control Systems ของ Dorf) เน้นตัวระบบและเครื่องมือวิเคราะห์ ส่วน Control Engineering คือชื่อสาขาวิชาชีพ เน้นงานออกแบบ หน้านี้จึงใช้ชื่อเต็ม Control Systems Engineering ครอบทั้งสองคำ ภาษาไทยใช้ ระบบควบคุม และ วิศวกรรมระบบควบคุม

| คำ | ความหมายที่ใช้ในชุดนี้ | เชื่อมไปหน้า |

| Control system | ระบบที่จัดการให้ตัวแปรหนึ่งเป็นไปตามที่ต้องการ | ภาพรวม |

| Feedback control system | ระบบวงปิดที่วัดเอาต์พุตย้อนกลับมาเทียบกับค่าอ้างอิง | ภาพรวม · บล็อก |

| Automatic control | การควบคุมที่ทำงานเองโดยไม่ต้องมีคนคอยปรับ | PID |

| Classical control | วิเคราะห์ในโดเมน $s$ และความถี่: Routh รูทโลคัส โบด ไนควิสต์ | ส่วนที่ 2 ถึง 6 |

| Modern control | วิเคราะห์ในปริภูมิสถานะด้วยเมทริกซ์ | ส่วนที่ 7 |

| Mechatronics | กลไก + ไฟฟ้า + อิเล็กทรอนิกส์ + ซอฟต์แวร์ ที่มีระบบควบคุมเป็นแกนกลาง | เมคาทรอนิกส์ |

| Robotics | เมคาทรอนิกส์ที่มีหลายข้อต่อ รับรู้ และตัดสินใจเอง | โรโบติกส์ |

## แผนที่การเรียน: classical ก่อน แล้วค่อย modern

ลำดับในชุดนี้ตั้งใจเรียงแบบที่อาจารย์สอนในห้อง เริ่ม classical ก่อน เพราะฟังก์ชันถ่ายโอนให้ภาพทางกายภาพชัด (ขั้วคือความเร็วตอบสนอง เฟสคือความล่าช้า) งานออกแบบในอุตสาหกรรมส่วนใหญ่จบได้ที่ PID และตัวชดเชย และเป็นภาษาที่ datasheet ของไอซีควบคุมใช้ เมื่อแน่นแล้วจึงขึ้น modern control ที่ต่อยอดจากค่าเฉพาะ สำหรับระบบหลายตัวแปร หุ่นยนต์ และการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด

1–2แบบจำลอง · สมรรถนะ
→
3เสถียรภาพ · Routh
→
4รูทโลคัส
→
5โบด · ไนควิสต์
→
6Lead · Lag · PID
→
7–9Modern · ดิจิทัล · งานจริง

พื้นฐาน

### ปี 2–3 · เริ่มเรียนวิชาควบคุม

- วงเปิด วงปิด ทำไมต้องป้อนกลับ

- ฟังก์ชันถ่ายโอนของวงจร RLC และมอเตอร์

- ลดรูปบล็อกไดอะแกรม

- สเปก Mp, tr, ts จากขั้ว

- ขั้วบนระนาบ s กับเสถียรภาพ

- สร้างตารางเราท์

กลาง

### ปี 3–4 · ออกแบบตัวควบคุม

- ช่วง K ที่เสถียร · กรณีพิเศษ

- กฎวาดรูทโลคัสทุกข้อ · ฝึกวาด

- วาดโบดด้วยเส้นกำกับ · มาร์จิน

- ออกแบบ lead · lag

- P PI PD PID · จูน PID

ขั้นสูง

### ป.โท · งานวิจัย · งานจริง

- ไนควิสต์และระบบเสถียรแบบมีเงื่อนไข

- ปริภูมิสถานะ · วางขั้ว LQR ตัวสังเกต

- ควบคุมดิจิทัลบนไมโครคอนโทรลเลอร์

- ไม่เชิงเส้นและความทนทาน

- ตัวชดเชย Type II/III ของ SMPS

บางหน้ายังเขียนไม่เสร็จ ลิงก์ของหน้านั้นจะพาไปการ์ดในหัวข้อถัดไปซึ่งติดป้าย “เร็วๆ นี้” ไว้

## เริ่มจากไฟฟ้า ปูทางไปอิเล็กทรอนิกส์กำลัง

นักศึกษาไฟฟ้ามีข้อได้เปรียบ เพราะวงจร RC คือระบบอันดับหนึ่ง วงจร RLC คือระบบอันดับสอง และออปแอมป์คือตัวควบคุมที่สร้างได้จริงบนโต๊ะ ชุดนี้จึงใช้วงจรเป็นตัวอย่างหลักตลอดทาง แล้วค่อยขยายไปมอเตอร์ กลไก และหุ่นยนต์ ปลายทางคือตัวแปลงกำลังแบบสวิตชิ่ง ซึ่งรวมทุกเรื่องในชุดนี้ไว้ในวงจรเดียว

| สิ่งที่รู้จากไฟฟ้า | ในภาษาระบบควบคุม | ใช้ต่อที่ |

| วงจร RC, $\tau = RC$ | ระบบอันดับหนึ่ง ขั้ว $s = -1/\tau$ | แล็บระบบอันดับ 1 |

| วงจร RLC อนุกรม | ระบบอันดับสอง $\zeta,\ \omega_n$ | แล็บระบบอันดับ 2 |

| อิมพีแดนซ์ $Z(s)$ | ฟังก์ชันถ่ายโอน $G(s)$ | แบบจำลอง |

| ออปแอมป์อินเวอร์ติง $-Z_f/Z_i$ | ตัวควบคุม PI, PD, lead, lag | แล็บออปแอมป์ · ตัวชดเชย |

| ฟิลเตอร์ low-pass, $-3$ dB | แบนด์วิดท์ โบดไดอะแกรม | โบด |

| ฟังก์ชันเจเนอเรเตอร์ + สโคป วัดเกนและเฟส | วัดผลตอบสนองความถี่จริง | แล็บ FG + สโคป |

| มอเตอร์ DC: $V = Ri + L\,di/dt + K_e\omega$ | พลานต์ของเซอร์โว | เมคาทรอนิกส์ |

| บั๊กคอนเวอร์เตอร์, LC ฟิลเตอร์, PWM | $G_{vd}(s)$ และตัวชดเชย Type III | สะพานสู่อิเล็กทรอนิกส์กำลัง |

## ทุกหน้าในชุดนี้ แบ่งเป็น 9 ส่วน

อ่านตามลำดับเลขหน้า ตัวอักษรท้ายการ์ดคือรหัสสูตรของหน้านั้น เช่น R3 คือสูตรที่ 3 ของหน้าเราท์–เฮอร์วิตซ์ ใช้อ้างอิงในรายงานหรือค้นหาในหัวข้อถัดไปได้

ส่วนที่ 1

### ภาพรวมและแบบจำลอง Foundations & Modeling
เริ่มจากวงจรไฟฟ้าที่เรารู้จัก แล้วมองมันเป็นระบบที่มีอินพุต เอาต์พุต และป้อนกลับ

⟲13.1
ระบบควบคุมคืออะไร: วงเปิด วงปิด และการป้อนกลับ
What Is a Control System?
ระบบควบคุมอัตโนมัติทำงานอย่างไร เปรียบเทียบวงเปิดกับวงปิด ป้อนกลับลดความผิดพลาดและต้านการรบกวนได้อย่างไร เป้าหมายการออกแบบ และตัวอย่างระบบจริงจากไฟฟ้า เมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ ถึงอิเล็กทรอนิกส์กำลัง
เปิดหน้า →สูตร F1, F2, …

G(s)13.2
แบบจำลองทางคณิตศาสตร์: วงจรไฟฟ้า มอเตอร์ กลไก ความร้อน
Mathematical Modeling
จากกฎฟิสิกส์สู่ฟังก์ชันถ่ายโอน วงจร RLC ออปแอมป์ มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง มวล-สปริง-ดัมเปอร์ ระบบหมุน ความร้อน ของไหล ความคล้ายเชิงอุปมาไฟฟ้า-กล และการทำให้เป็นเชิงเส้น
เปิดหน้า →สูตร M1, M2, …

▭→▭13.3
บล็อกไดอะแกรม แผนภาพสัญญาณ และฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด
Block Diagrams & Signal-Flow Graphs
การลดรูปบล็อกแบบอนุกรม ขนาน และป้อนกลับ ย้ายจุดรวมสัญญาณและจุดแยก กฎของเมสัน ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด ความผิดพลาด และสัญญาณรบกวน
เปิดหน้า →สูตร B1, B2, …

ส่วนที่ 2

### สมรรถนะของระบบ Performance
ระบบดีหรือไม่ดี วัดจากอะไร: ความเร็ว overshoot และความแม่นยำ

y(t)13.4
ผลตอบสนองเวลา: ขั้ว ศูนย์ และสเปกการออกแบบ
Time Response & Specifications
ผลตอบสนองต่อขั้นบันไดของระบบอันดับหนึ่ง สอง และสูงกว่า ขั้วเด่น ผลของศูนย์และขั้วเพิ่ม เวลาขึ้น overshoot เวลาเข้าที่ และความสัมพันธ์กับตำแหน่งบนระนาบ s
เปิดหน้า →สูตร T1, T2, …

e∞13.5
ความผิดพลาดสถานะอยู่ตัว ชนิดของระบบ และความไว
Steady-State Error & System Type
ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย ชนิดของระบบ (type 0, 1, 2) ค่าคงตัวความผิดพลาด Kp Kv Ka ความผิดพลาดจากการรบกวน ความไว (sensitivity) และการยกชนิดด้วยอินทิเกรเตอร์
เปิดหน้า →สูตร E1, E2, …

ส่วนที่ 3

### เสถียรภาพ Stability
คำถามแรกของวิศวกรควบคุม: ระบบนี้เสถียรไหม และเสถียรได้ถึงเกนเท่าไร

Re s<013.6
เสถียรภาพของระบบควบคุม: ขั้วบนระนาบ s และเงื่อนไขเบื้องต้น
Stability of Control Systems
นิยามเสถียรภาพแบบ BIBO และเชิงอาการ ตำแหน่งขั้วบนระนาบ s เสถียรวิกฤต เงื่อนไขจำเป็นของสัมประสิทธิ์ ความไม่เสถียรจากการป้อนกลับ และเสถียรภาพสัมพัทธ์
เปิดหน้า →สูตร S1, S2, …

R13.7
เกณฑ์เสถียรภาพของเราท์–เฮอร์วิตซ์ (Routh–Hurwitz Criterion)
Routh–Hurwitz Stability Criterion
สร้างตารางเราท์ทีละขั้น นับขั้วฝั่งขวา กรณีพิเศษ (ศูนย์ในคอลัมน์แรก แถวเป็นศูนย์) หาช่วงเกน K ที่เสถียร เกนวิกฤตและความถี่วิกฤต ε-method พหุนามช่วย เฮอร์วิตซ์ดีเทอร์มิแนนต์ และเสถียรภาพสัมพัทธ์
เปิดหน้า →สูตร R1, R2, …

ส่วนที่ 4

### รูทโลคัส Root Locus
ดูว่าขั้วเคลื่อนอย่างไรเมื่อปรับเกน วาดด้วยมือให้ได้ก่อนเปิดโปรแกรม

K→13.8
รูทโลคัส (Root Locus): นิยามและกฎการวาดทุกข้อ
Root Locus: Definition & Sketching Rules
ขั้วของวงปิดเคลื่อนอย่างไรเมื่อเกน K เปลี่ยน เงื่อนไขมุมและขนาด กฎการวาดทุกข้อ: จุดเริ่ม-จบ เส้นกำกับ จุดแยก จุดตัดแกน jω มุมออก-เข้า พร้อมที่มาของแต่ละกฎ
เปิดหน้า →สูตร L1, L2, …

✎13.9
ฝึกวาดรูทโลคัสด้วยมือ: ทีละขั้น พร้อมตัวอย่างและแกลเลอรีรูปแบบ
Sketching Root Loci by Hand
ตัวอย่างวาดด้วยมือทีละขั้นตั้งแต่ระบบง่ายถึงซับซ้อน ขั้วเชิงซ้อน ศูนย์ จุดแยกเชิงซ้อน ขั้วซ้ำ ผลของการเพิ่มศูนย์ (PD) แกลเลอรีรูปแบบมาตรฐาน และแล็บที่ตรวจคำตอบของกฎแต่ละข้อ ใช้แทน MATLAB
เปิดหน้า →สูตร W1, W2, …

ζ13.10
ออกแบบด้วยรูทโลคัส: เลือกเกน เพิ่มขั้วหรือศูนย์ และตัวชดเชย
Design by Root Locus
เลือก K จากสเปก ζ และ ωn ผลของการเพิ่มขั้วและศูนย์ต่อรูปร่างโลคัส ออกแบบ PD PI และ lead/lag ด้วยรูทโลคัส การหักล้างขั้ว-ศูนย์ รูทโลคัสเมื่อ K ติดลบ และรูทโลคัสของพารามิเตอร์อื่น
เปิดหน้า →สูตร J1, J2, …

ส่วนที่ 5

### ตอบสนองความถี่ Frequency Response
มองระบบผ่านไซน์: Bode, margin และ Nyquist ภาษาที่วิศวกรทั่วโลกใช้

G(jω)13.11
ผลตอบสนองความถี่: G(jω) ขนาด เฟส และแบนด์วิดท์
Frequency Response
ป้อนไซน์เข้าระบบเชิงเส้น ออกมาเป็นไซน์ที่ขนาดและเฟสเปลี่ยน ที่มาของ G(jω) ความถี่เรโซแนนซ์ ยอดเรโซแนนซ์ Mr แบนด์วิดท์ และความสัมพันธ์กับผลตอบสนองเวลาของระบบอันดับสอง
เปิดหน้า →สูตร Q1, Q2, …

dB13.12
โบดไดอะแกรม (Bode Plot): วาดด้วยมือทีละขั้น
Bode Plot by Hand
เดซิเบล เดคาด การวาดขนาดและเฟสด้วยเส้นกำกับ ปัจจัยพื้นฐาน K sⁿ (1+τs) อันดับสอง และหน่วงเวลา ค่าแก้ที่จุดมุม ตัวอย่างหลายแบบ การหาฟังก์ชันถ่ายโอนจากกราฟ และแล็บโบดที่ตรวจคำตอบ
เปิดหน้า →สูตร D1, D2, …

PM13.13
วิเคราะห์โบด: เกนมาร์จิน เฟสมาร์จิน และเสถียรภาพจากกราฟ
Gain & Phase Margins
ความถี่ครอสโอเวอร์ เกนมาร์จิน เฟสมาร์จิน อ่านจากโบด ความสัมพันธ์ PM กับ ζ และ overshoot แบนด์วิดท์กับความเร็ว ระบบเสถียรแบบมีเงื่อนไข ผลของหน่วงเวลา และฟังก์ชันความไว S T
เปิดหน้า →สูตร G1, G2, …

−113.14
เกณฑ์เสถียรภาพของไนควิสต์ (Nyquist Criterion)
Nyquist Stability Criterion
ทฤษฎีบทอาร์กิวเมนต์ เส้นทางไนควิสต์ Z = N + P วาดกราฟขั้วทีละขั้น จัดการขั้วบนแกน jω ตัวอย่างเสถียร ไม่เสถียร และมีเงื่อนไข อ่านมาร์จิน และเปรียบเทียบกับโบด
เปิดหน้า →สูตร N1, N2, …

ส่วนที่ 6

### ออกแบบตัวควบคุม Compensator & PID Design
นำทุกเครื่องมือมาออกแบบ lead lag และ PID ให้ได้ตามสเปก

α13.15
ตัวชดเชย Lead, Lag และ Lag-Lead: ออกแบบด้วยโบดและรูทโลคัส
Lead, Lag & Lag-Lead Compensators
ตัวชดเชยเลื่อนเฟส (lead) ลดความผิดพลาดอยู่ตัว (lag) และรวมสองแบบ สูตรเลือก α และ T ขั้นตอนออกแบบทีละขั้นด้วยโบดและรูทโลคัส วงจรออปแอมป์และ RC จริง และข้อควรระวัง
เปิดหน้า →สูตร C1, C2, …

PID13.16
ตัวควบคุม P, PI, PD และ PID: โครงสร้าง ผลของแต่ละเทอม และการออกแบบ
P, PI, PD & PID Controllers
โครงสร้างขนาน อุดมคติ และอนุกรม ผลของเทอม P I D ต่อ rise time overshoot และความผิดพลาดอยู่ตัว ความเกี่ยวข้องกับ lead/lag ออกแบบ PID ด้วยรูทโลคัสและโบด พร้อมแล็บ PID แบบโต้ตอบ
เปิดหน้า →สูตร P1, P2, …

ZN13.17
การจูน PID: Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, IMC และเรื่องที่ใช้งานจริง
PID Tuning & Practical Issues
จูนจากกราฟตอบสนองขั้นบันได (reaction curve) และเกนวิกฤต (ultimate gain) Cohen–Coon, Lambda/IMC ฟิลเตอร์อนุพันธ์ anti-windup setpoint weighting ตัวควบคุม 2 องศาอิสระ และ relay auto-tune
เปิดหน้า →สูตร Z1, Z2, …

ส่วนที่ 7

### ระบบควบคุมสมัยใหม่ Modern Control
ปริภูมิสถานะ ต่อยอดจากพีชคณิตเชิงเส้น: วางขั้ว ตัวสังเกต LQR

ẋ=Ax13.18
ปริภูมิสถานะ (State-Space): สมการสถานะ รูปแบบมาตรฐาน และ e^{At}
State-Space Representation
ตัวแปรสถานะ สมการสถานะและสมการเอาต์พุต จากสมการเชิงอนุพันธ์ วงจร และฟังก์ชันถ่ายโอน รูปแบบมาตรฐานควบคุมได้ สังเกตได้ และโมดัล คำตอบ e^{At} ขั้วคือค่าเฉพาะ G(s) = C(sI − A)⁻¹B + D
เปิดหน้า →สูตร X1, X2, …

𝒞13.19
ความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้ (Controllability & Observability)
Controllability & Observability
นิยาม เมทริกซ์ควบคุมได้และสังเกตได้ ทดสอบแบบ Kalman และ PBH การแยกส่วนของ Kalman ความเกี่ยวข้องกับการหักล้างขั้ว-ศูนย์ และ realization ที่น้อยที่สุด
เปิดหน้า →สูตร O1, O2, …

u=−Kx13.20
ป้อนกลับสถานะ: วางขั้ว ตัวสังเกต และ LQR
State Feedback, Observers & LQR
การวางขั้ว (pole placement) สูตร Ackermann ตัวสังเกตสถานะ Luenberger หลักการแยกส่วน การติดตามสัญญาณอ้างอิงและอินทิเกรเตอร์ LQR สมการริคคาติเบื้องต้น และตัวกรองคาลมานโดยย่อ
เปิดหน้า →สูตร V1, V2, …

ส่วนที่ 8

### ดิจิทัลและขั้นสูง Digital & Advanced
เมื่อตัวควบคุมคือไมโครคอนโทรลเลอร์ และเมื่อโลกไม่เป็นเชิงเส้น

z13.21
ระบบควบคุมดิจิทัล: การสุ่ม z-transform และ PID ดิจิทัล
Digital Control
การสุ่มและ ZOH, aliasing, การแปลง z, ฟังก์ชันถ่ายโอนแบบไม่ต่อเนื่อง เสถียรภาพบนวงกลมหนึ่งหน่วย (Jury) การแปลงตัวควบคุม (Euler, Tustin) PID ดิจิทัล และการเลือกความถี่สุ่ม
เปิดหน้า →สูตร Y1, Y2, …

NL13.22
ระบบไม่เชิงเส้นและการควบคุมแบบทนทาน
Nonlinear & Robust Control
การอิ่มตัว dead-zone backlash ฟังก์ชันพรรณนา (describing function) ลิมิตไซเคิล ระนาบเฟส เสถียรภาพแบบลียาปูนอฟ sliding mode ความไม่แน่นอนของแบบจำลอง ความทนทาน และแนวคิด H∞
เปิดหน้า →สูตร U1, U2, …

ส่วนที่ 9

### งานประยุกต์ Mechatronics, Robotics & Power Electronics
ทฤษฎีลงสนามจริง: มอเตอร์ หุ่นยนต์ และตัวแปลงกำลัง ทางไปสู่อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

M13.23
ระบบควบคุมเมคาทรอนิกส์: เซนเซอร์ แอคชูเอเตอร์ เซอร์โว และคาสเคด
Mechatronic Systems Control
มอเตอร์ DC เซนเซอร์ (เอนโค้ดเดอร์ โพเทนชิโอมิเตอร์ IMU) ไดรเวอร์และ PWM ลูปกระแส-ความเร็ว-ตำแหน่งแบบคาสเคด เซอร์โวตำแหน่ง ชุดเกียร์ ความฝืด backlash และตัวอย่างจริง
เปิดหน้า →สูตร K1, K2, …

θ13.24
ระบบควบคุมโรโบติกส์: แขนกล หุ่นยนต์เคลื่อนที่ และการควบคุมข้อต่อ
Robotics & Robot Control
จลนศาสตร์ตรงและผกผัน จาโคเบียน พลศาสตร์แขนกล (Euler–Lagrange) ควบคุมข้อต่อแบบ PD/PID ชดเชยแรงโน้มถ่วง computed torque การสร้างวิถี หุ่นยนต์ล้อ differential drive และการติดตามเส้นทาง
เปิดหน้า →สูตร A1, A2, …

DC13.25
ควบคุมตัวแปลงกำลัง: จากฟังก์ชันถ่ายโอนบั๊กคอนเวอร์เตอร์ ถึงตัวชดเชย Type II/III
Control of Power Converters
แบบจำลองสัญญาณเล็กของบั๊กคอนเวอร์เตอร์ Gvd(s) โหมดแรงดันและโหมดกระแส เลือกความถี่ครอสโอเวอร์ ตัวชดเชย Type II และ Type III ด้วยออปแอมป์ เฟสมาร์จิน และเส้นทางสู่บทอิเล็กทรอนิกส์กำลัง
เปิดหน้า →สูตร H1, H2, …

✦13.26
คลังไอเดียระบบควบคุม 60+ ระบบ: ตั้งแต่เทอร์โมสตัทถึงโดรน
Control Systems Examples Gallery
รวมระบบควบคุมรอบตัวพร้อมตัวแปรที่ควบคุม แอคชูเอเตอร์ เซนเซอร์ ชนิดตัวควบคุม และบทเรียนที่เกี่ยวข้อง ใช้เป็นโจทย์โปรเจกต์ ไอเดียสอน และแรงบันดาลใจ
เปิดหน้า →ตารางและโจทย์โปรเจกต์

## แล็บระบบควบคุม: รูทโลคัส โบด ไนควิสต์ ในจอเดียว

พิมพ์ฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด $L(s)$ เช่น 1/(s(s+1)(s+2)) หรือ (s+3)/(s^2(s+10)) แล้วเลื่อนเกน $K$ ดูขั้ววงปิด (จุดส้ม) เดินตามรูทโลคัส พร้อมกับโบดที่เลื่อนขึ้นลงและกราฟไนควิสต์ที่ขยายจนอ้อม $-1$ ลากขั้ว × หรือศูนย์ ○ เพื่อดูว่ารูปร่างเปลี่ยนอย่างไร คลิกบนเส้นโลคัสเพื่อเลือก $K$ ที่จุดนั้น

ลองตั้งโจทย์ให้ตัวเอง: ระบบ $\dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ เสถียรถึง $K$ เท่าไร (เฉลย $K = 6$ ที่ $\omega = \sqrt2$ ซึ่งตรงกับตารางเราท์ในหน้าเราท์–เฮอร์วิตซ์ และเกนมาร์จินที่ $K = 1$ คือ $20\log 6 = 15.6$ dB ในหน้ามาร์จิน) สามวิธีให้คำตอบเดียวกัน นี่คือความงามของวิชานี้

## ค้นหาสูตรทั้งหมดในที่เดียว

รวมทุกสูตรจากทุกหน้าที่เปิดแล้ว พิมพ์ได้ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ หรือรหัสสูตรตรง ๆ เช่น L4 (จุดตัดเส้นกำกับ) หรือ G3 (เฟสมาร์จินกับ ζ)

## ไอเดียระบบควบคุม: จากไฟฟ้า สู่เมคาทรอนิกส์และหุ่นยนต์

เข้าใจลูปเดียว ใช้ได้กับทุกระบบ ต่างกันแค่ว่าพลานต์คืออะไร วัดด้วยอะไร และขับด้วยอะไร ตารางนี้เป็นตัวอย่างบางส่วน ฉบับเต็ม 60+ ระบบอยู่ในคลังไอเดีย

| ระบบ | ตัวแปรที่ควบคุม | เซนเซอร์ | แอคชูเอเตอร์ | ตัวควบคุมที่นิยม |

| บั๊กคอนเวอร์เตอร์ 12 V → 5 V | แรงดันเอาต์พุต | ตัวแบ่งแรงดัน | PWM + MOSFET | Type III (PID + ขั้ว) |

| ไดรฟ์มอเตอร์ DC | ความเร็วรอบ | เอนโค้ดเดอร์ | H-bridge | PI ลูปกระแส + PI ลูปความเร็ว |

| เซอร์โวตำแหน่ง (เครื่อง CNC, 3D printer) | ตำแหน่งแกน | เอนโค้ดเดอร์เชิงเส้น | เซอร์โวมอเตอร์ | คาสเคด P–PI–PI + feedforward |

| แขนกลหุ่นยนต์ 6 แกน | มุมข้อต่อ | เอนโค้ดเดอร์สัมบูรณ์ | มอเตอร์ BLDC + harmonic drive | PD + ชดเชยแรงโน้มถ่วง, computed torque |

| โดรนสี่ใบพัด | มุมเอียง ความสูง | IMU, บารอมิเตอร์ | ESC + มอเตอร์ BLDC | PID คาสเคดมุม–อัตราหมุน |

| หุ่นยนต์ทรงตัวสองล้อ | มุมเอียง | IMU | มอเตอร์ล้อ | LQR หรือ PID สองลูป |

| หุ่นยนต์เดินตามเส้น | ระยะเบี่ยงจากเส้น | อาร์เรย์อินฟราเรด | มอเตอร์ซ้าย–ขวา | PD |

| หุ่นยนต์ล้อแบบ differential drive | ตำแหน่ง ทิศทาง | เอนโค้ดเดอร์ล้อ, LiDAR | มอเตอร์สองล้อ | pure pursuit + PI ความเร็วล้อ |

| อินเวอร์เตอร์ต่อกริด (โซลาร์) | กระแสที่จ่ายเข้ากริด | เซนเซอร์กระแส, PLL | อินเวอร์เตอร์ PWM | PI ในแกน dq / PR |

| ที่ชาร์จแบตเตอรี่ CC–CV | กระแส แล้วแรงดัน | shunt, ตัวแบ่งแรงดัน | ตัวแปลง DC–DC | PI สองลูปสลับโหมด |

| เตาอบรีโฟลว์ / เครื่องพิมพ์ 3D หัวฉีด | อุณหภูมิ | เทอร์โมคัปเปิล | ฮีตเตอร์ + SSR | PID + anti-windup |

| ลิฟต์ | ตำแหน่ง ความเร่งที่นุ่มนวล | เอนโค้ดเดอร์ | มอเตอร์เหนี่ยวนำ + อินเวอร์เตอร์ | จำกัด jerk + PI คาสเคด |

| ลอยแม่เหล็ก (maglev) | ระยะลอย | Hall sensor | ขดลวดแม่เหล็ก | lead (พลานต์ไม่เสถียรวงเปิด) |

| ระบบเบรก ABS | อัตราลื่นไถลของล้อ | เซนเซอร์ความเร็วล้อ | วาล์วไฮดรอลิก | ควบคุมแบบไม่เชิงเส้น / sliding mode |

## สัญลักษณ์ที่ใช้ในชุดนี้

| สัญลักษณ์ | ความหมาย | English |

| $r,\ y,\ e,\ u,\ d$ | ค่าอ้างอิง เอาต์พุต ความผิดพลาด สัญญาณควบคุม สัญญาณรบกวน | reference, output, error, control, disturbance |

| $G(s),\ C(s),\ H(s)$ | พลานต์ ตัวควบคุม เซนเซอร์ (ทางป้อนกลับ) | plant, controller, feedback path |

| $L(s) = KG(s)H(s)$ | ฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด (loop gain) | open-loop / loop transfer function |

| $T(s),\ S(s)$ | ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด และฟังก์ชันความไว $S = 1/(1 + L)$ | complementary sensitivity, sensitivity |

| $\zeta,\ \omega_n,\ \omega_d$ | อัตราส่วนการหน่วง ความถี่ธรรมชาติ ความถี่แกว่งหน่วง | damping ratio, natural / damped frequency |

| $M_p,\ t_r,\ t_p,\ t_s$ | พุ่งเกิน เวลาขึ้น เวลายอด เวลาเข้าที่ | overshoot, rise, peak, settling time |

| $K_p,\ K_v,\ K_a$ | ค่าคงตัวความผิดพลาดตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง | static error constants |

| $\sigma_a,\ \theta_a$ | จุดตัดและมุมของเส้นกำกับรูทโลคัส | asymptote centroid, angle |

| $\omega_{gc},\ \omega_{pc}$ | ความถี่ครอสโอเวอร์ของเกน และของเฟส | gain / phase crossover frequency |

| GM, PM | เกนมาร์จิน เฟสมาร์จิน | gain margin, phase margin |

| $K_P,\ K_I,\ K_D,\ T_i,\ T_d$ | เกนและค่าคงเวลาของ PID | PID gains, integral / derivative time |

| $\mathbf x,\ A,\ B,\ C,\ D$ | เวกเตอร์สถานะและเมทริกซ์ในปริภูมิสถานะ | state vector, state-space matrices |

| $j$ | หน่วยจินตภาพ $j^2 = -1$ | imaginary unit |

## ต้องรู้อะไรมาก่อน

- การแปลงลาปลาซ: ฟังก์ชันถ่ายโอน เศษส่วนย่อย ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย

- ระบบอันดับหนึ่ง และ ระบบอันดับสอง: $\tau,\ \zeta,\ \omega_n$ และสเปกเวลา

- สัญญาณเบื้องต้น: ขั้นบันได อิมพัลส์ ไซน์

- พีชคณิตเชิงเส้น โดยเฉพาะค่าเฉพาะ: สำหรับส่วนที่ 7

- ตรีโกณมิติ: มุมของเวกเตอร์เชิงซ้อน ซึ่งใช้ตลอดในเงื่อนไขมุมของรูทโลคัส

## ดูวิดีโอประกอบ

G(s)

### Control Systems Engineering
ระบบควบคุม (Control Systems Engineering) · เพลย์ลิสต์บน YouTube

สอนโดยอาจารย์มด · ภาษาไทยเปิดใน YouTube ↗

## คำถามที่พบบ่อย

Control Engineering กับ Control Systems ต่างกันอย่างไร?
ใช้แทนกันได้เกือบทั้งหมด Control Systems มักหมายถึงตัวระบบและทฤษฎีที่ใช้วิเคราะห์ (ชื่อวิชาในมหาวิทยาลัยส่วนใหญ่) ส่วน Control Engineering หมายถึงสาขาวิชาชีพที่ออกแบบระบบเหล่านั้น หน้านี้ใช้ชื่อเต็ม Control Systems Engineering เพื่อให้ครอบคลุมทั้งสองคำ คำค้นที่เกี่ยวข้องคือ feedback control, automatic control และ control theory

ควรเรียน classical control หรือ modern control ก่อน?
แนะนำ classical ก่อน (ฟังก์ชันถ่ายโอน เสถียรภาพ รูทโลคัส โบด PID) เพราะให้ภาพทางกายภาพชัด ใช้ออกแบบงานจริงส่วนใหญ่ได้ และเป็นภาษาที่ datasheet กับวิศวกรใช้คุยกัน จากนั้นต่อ modern control (ปริภูมิสถานะ) ซึ่งต่อยอดจากพีชคณิตเชิงเส้นและจำเป็นกับระบบหลายอินพุตหลายเอาต์พุต หุ่นยนต์ และการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด

ต้องมีพื้นฐานอะไรก่อนเรียนระบบควบคุม?
การแปลงลาปลาซ จำนวนเชิงซ้อน สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสอง และวงจรไฟฟ้าเบื้องต้น ถ้าจะเรียน modern control ต้องมีพีชคณิตเชิงเส้น โดยเฉพาะค่าเฉพาะ ทุกหัวข้อนี้มีหน้าอธิบายในคลังความรู้ของเว็บนี้

ระบบควบคุมเกี่ยวกับอิเล็กทรอนิกส์กำลังอย่างไร?
สวิตชิงพาวเวอร์ซัพพลายทุกตัวคือระบบควบคุมป้อนกลับ ตัวแปลงบั๊ก บูสต์ คือพลานต์ ไอซีควบคุม PWM คือแอคชูเอเตอร์ และตัวชดเชย Type II หรือ Type III คือตัวควบคุม การเลือกความถี่ครอสโอเวอร์และเฟสมาร์จินใช้โบดไดอะแกรมชุดเดียวกับในหน้านี้ทุกประการ

แล็บในหน้านี้ใช้แทน MATLAB ได้ไหม?
สำหรับการเรียนและตรวจการบ้านระดับปริญญาตรีใช้แทนได้: วาดรูทโลคัส โบด ไนควิสต์ ผลตอบสนองขั้นบันได และคำนวณมาร์จินให้ ตัวเลขทุกตัวตรวจเทียบกับ python-control แล้ว แต่สิ่งสำคัญกว่าคือฝึกวาดด้วยมือให้ได้ก่อน แล้วใช้แล็บตรวจ ซึ่งเป็นจุดประสงค์หลักของชุดบทเรียนนี้

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**Control Engineering กับ Control Systems ต่างกันอย่างไร?**
ใช้แทนกันได้เกือบทั้งหมด Control Systems มักหมายถึงตัวระบบและทฤษฎีที่ใช้วิเคราะห์ (ชื่อวิชาในมหาวิทยาลัยส่วนใหญ่) ส่วน Control Engineering หมายถึงสาขาวิชาชีพที่ออกแบบระบบเหล่านั้น หน้านี้ใช้ชื่อเต็ม Control Systems Engineering เพื่อให้ครอบคลุมทั้งสองคำ คำค้นที่เกี่ยวข้องคือ feedback control, automatic control และ control theory

**ควรเรียน classical control หรือ modern control ก่อน?**
แนะนำ classical ก่อน (ฟังก์ชันถ่ายโอน เสถียรภาพ รูทโลคัส โบด PID) เพราะให้ภาพทางกายภาพชัด ใช้ออกแบบงานจริงส่วนใหญ่ได้ และเป็นภาษาที่ datasheet กับวิศวกรใช้คุยกัน จากนั้นต่อ modern control (ปริภูมิสถานะ) ซึ่งต่อยอดจากพีชคณิตเชิงเส้นและจำเป็นกับระบบหลายอินพุตหลายเอาต์พุต หุ่นยนต์ และการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด

**ต้องมีพื้นฐานอะไรก่อนเรียนระบบควบคุม?**
การแปลงลาปลาซ จำนวนเชิงซ้อน สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสอง และวงจรไฟฟ้าเบื้องต้น ถ้าจะเรียน modern control ต้องมีพีชคณิตเชิงเส้น โดยเฉพาะค่าเฉพาะ ทุกหัวข้อนี้มีหน้าอธิบายในคลังความรู้ของเว็บนี้

**ระบบควบคุมเกี่ยวกับอิเล็กทรอนิกส์กำลังอย่างไร?**
สวิตชิงพาวเวอร์ซัพพลายทุกตัวคือระบบควบคุมป้อนกลับ ตัวแปลงบั๊ก บูสต์ คือพลานต์ ไอซีควบคุม PWM คือแอคชูเอเตอร์ และตัวชดเชย Type II หรือ Type III คือตัวควบคุม การเลือกความถี่ครอสโอเวอร์และเฟสมาร์จินใช้โบดไดอะแกรมชุดเดียวกับในหน้านี้ทุกประการ

**แล็บในหน้านี้ใช้แทน MATLAB ได้ไหม?**
สำหรับการเรียนและตรวจการบ้านระดับปริญญาตรีใช้แทนได้: วาดรูทโลคัส โบด ไนควิสต์ ผลตอบสนองขั้นบันได และคำนวณมาร์จินให้ ตัวเลขทุกตัวตรวจเทียบกับ python-control แล้ว แต่สิ่งสำคัญกว่าคือฝึกวาดด้วยมือให้ได้ก่อน แล้วใช้แล็บตรวจ ซึ่งเป็นจุดประสงค์หลักของชุดบทเรียนนี้

---

# บล็อกไดอะแกรม แผนภาพสัญญาณ และฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/block-diagrams/
Updated: 2026-10-12
Summary: วิธีลดรูปบล็อกไดอะแกรมทีละขั้น บล็อกอนุกรม ขนาน วงป้อนกลับ การย้ายจุดรวมสัญญาณและจุดแยกสัญญาณ แผนภาพการไหลของสัญญาณ (signal-flow graph) กฎของเมสัน (Mason's gain formula) ลูปที่ไม่สัมผัสกัน ระบบหลายอินพุต และลูปซ้อนแบบแทโคมิเตอร์ของเซอร์โวมอเตอร์ พร้อมตัวอย่างที่ตรวจด้วยพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์

// บทที่ 13.3 · ระบบควบคุม · Block Diagrams & Signal-Flow Graphs

# บล็อกไดอะแกรม แผนภาพสัญญาณ และฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

ระบบจริงประกอบด้วยตัวควบคุม ตัวขับ พลานต์ เซนเซอร์ และฟิลเตอร์ ต่อกันเป็นลูปซ้อนลูป บล็อกไดอะแกรมคือภาษาภาพที่วิศวกรควบคุมใช้คุยกัน และการลดรูปให้เหลือฟังก์ชันถ่ายโอนเดียวคือทักษะที่ต้องคล่องก่อนวิเคราะห์อะไรต่อ หน้านี้มีกฎลดรูปครบชุด กฎของเมสัน และตัวอย่างลูปซ้อนจากเซอร์โวมอเตอร์ สูตรใช้รหัส B

สรุปใน 30 วินาที

- อนุกรม: คูณ · ขนาน: บวก · ป้อนกลับลบ: $\dfrac{G}{1 + GH}$

- ย้ายจุดรวม/จุดแยกข้ามบล็อก ต้องใส่บล็อกชดเชย $G$ หรือ $1/G$

- เมสัน: $T = \dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}$, $\Delta = 1 - \sum L_i + \sum L_iL_j - \cdots$ (คู่ที่ไม่สัมผัสกัน)

- ลูปในเร็ว (ความเร็ว กระแส) ทำให้ลูปนอก (ตำแหน่ง) ออกแบบง่ายและหน่วงดีขึ้น

## กฎลดรูปพื้นฐาน พื้นฐาน

B1 Series (cascade) อนุกรม

$$G_1 \to G_2 \ \equiv\ G_1G_2$$

ใช้ได้เมื่อบล็อกหลังไม่ “โหลด” บล็อกหน้า (วงจรจริงต้องมีบัฟเฟอร์ เช่น ออปแอมป์)

B2 Parallel ขนาน

$$G_1 \parallel G_2 \ \equiv\ G_1 \pm G_2$$

ตามเครื่องหมายที่จุดรวม · PID แบบขนานคือ $K_P + K_I/s + K_Ds$

B3 Feedback loop วงป้อนกลับ

$$\frac{Y}{R} = \frac{G}{1 \pm GH} \qquad (+\ \text{สำหรับป้อนกลับลบ},\ -\ \text{สำหรับป้อนกลับบวก})$$

จำแบบคำพูด: “ไปข้างหน้า ส่วน หนึ่งบวกรอบลูป” · ป้อนกลับหนึ่งหน่วย ($H = 1$): $\frac{G}{1 + G}$

B4 Moving junctions ย้ายจุดรวมและจุดแยก

$$\begin{array}{l|l} \text{ย้ายจุดรวมไปหลังบล็อก } G & \text{ใส่ } G \text{ ในเส้นที่เข้ามารวม} \\ \text{ย้ายจุดรวมไปหน้าบล็อก } G & \text{ใส่ } 1/G \\ \text{ย้ายจุดแยกไปหลังบล็อก } G & \text{ใส่ } 1/G \text{ ในเส้นที่แยกออก} \\ \text{ย้ายจุดแยกไปหน้าบล็อก } G & \text{ใส่ } G \end{array}$$

หลักการ: สัญญาณทุกเส้นต้องเหมือนเดิมหลังย้าย · ใช้แยกลูปที่พันกันให้เป็นลูปซ้อนกันได้

B5 Equivalent unity feedback แปลงเป็นป้อนกลับหนึ่งหน่วย

$$G_e = \frac{G}{1 + GH - G}$$

ใช้หาชนิดของระบบและความผิดพลาดอยู่ตัวเมื่อ $H \ne 1$

B6 Multiple inputs หลายอินพุต

$$Y = T_R(s)R + T_D(s)D$$

ระบบเชิงเส้นใช้การซ้อนทับ: หาทีละอินพุตโดยตั้งอินพุตอื่นเป็นศูนย์ แล้วบวก

## ลดรูปทีละขั้น: สามลูปซ้อน พื้นฐาน

ระบบสามลูป: ลูปใน $H_1$ รอบ $G_2$ · ลูปกลาง $H_2$ จากเอาต์พุตกลับมาก่อน $G_2$ · ลูปนอกหนึ่งหน่วย

ตัวอย่าง B-1 · ลดรูปจากในออกนอก

### หา $Y/R$ ของระบบในรูปด้านบน

- ลูปในสุด $G_2$ กับ $H_1$ B3: $\dfrac{G_2}{1 + G_2H_1}$ แล้วอนุกรมกับ $G_3$ B1

$$X = \frac{G_2G_3}{1 + G_2H_1}$$

- ลูปกลาง $X$ กับ $H_2$

$$\frac{X}{1 + XH_2} = \frac{G_2G_3}{1 + G_2H_1 + G_2G_3H_2}$$

- อนุกรม $G_1$ แล้วปิดลูปนอกหนึ่งหน่วย

$$\frac{Y}{R} = {\frac{G_1G_2G_3}{1 + G_2H_1 + G_2G_3H_2 + G_1G_2G_3}}$$

ตรวจด้วย sympy ✓ · สังเกตตัวส่วน = 1 + ผลรวมลูปเกนทุกลูป (เพราะทุกลูปสัมผัสกัน) ตรงกับกฎของเมสันด้านล่าง

## กฎของเมสัน (Mason's Gain Formula) กลาง

แปลงบล็อกไดอะแกรมเป็นแผนภาพการไหลของสัญญาณ (signal-flow graph): สัญญาณเป็นโนด บล็อกเป็นกิ่งที่มีเกน แล้วใช้สูตรเดียวได้คำตอบทันที แม้ลูปจะพันกันซับซ้อน (Samuel Mason, 1953)

B7 Mason's gain formula กฎของเมสัน

$$T = \frac{1}{\Delta}\sum_k P_k\Delta_k, \qquad \Delta = 1 - \sum L_i + \sum L_iL_j - \sum L_iL_jL_k + \cdots$$

$P_k$ = เกนของเส้นทางไปข้างหน้าที่ $k$ · $L_i$ = ลูปเกน (รวมเครื่องหมายลบของป้อนกลับลบ) · $L_iL_j$ = ผลคูณของคู่ลูปที่ไม่สัมผัสกัน · $\Delta_k$ = $\Delta$ ที่ตัดลูปซึ่งสัมผัสเส้นทาง $k$ ทิ้ง

ตัวอย่าง B-2 · ลูปที่ไม่สัมผัสกัน

### เส้นทางไปข้างหน้า $G_1G_2G_3G_4$ มีลูป $-G_2H_1$ (รอบ $G_2$) $-G_4H_2$ (รอบ $G_4$) และลูปนอก $-G_1G_2G_3G_4H_3$ หา $Y/R$

- $P_1 = G_1G_2G_3G_4$ · ลูป: $L_1 = -G_2H_1$, $L_2 = -G_4H_2$, $L_3 = -G_1G_2G_3G_4H_3$

- $L_1$ กับ $L_2$ ไม่สัมผัสกัน ($G_2$ กับ $G_4$ ไม่มีโนดร่วม คั่นด้วย $G_3$) · $L_3$ สัมผัสทุกลูป

$$\Delta = 1 + G_2H_1 + G_4H_2 + G_1G_2G_3G_4H_3 + G_2H_1G_4H_2$$

- ทุกลูปสัมผัสเส้นทาง $P_1$: $\Delta_1 = 1$ B7

$$\frac{Y}{R} = \frac{G_1G_2G_3G_4}{1 + G_2H_1 + G_4H_2 + G_1G_2G_3G_4H_3 + G_2G_4H_1H_2}$$

ลดรูปแบบบล็อกตรวจ: ลูปใน $\frac{G_2}{1 + G_2H_1}$ และ $\frac{G_4}{1 + G_4H_2}$ คูณกันได้ตัวส่วน $(1 + G_2H_1)(1 + G_4H_2)$ ซึ่งกระจายแล้วมีพจน์ $G_2H_1G_4H_2$ พอดี ✓

## ลูปซ้อน: ป้อนกลับความเร็วด้วยแทโคมิเตอร์ กลาง

เซอร์โวตำแหน่งที่ใช้ P อย่างเดียวมักแกว่งมาก วิธีคลาสสิกคือวัดความเร็วด้วยแทโคมิเตอร์ (หรือเอนโค้ดเดอร์) ป้อนกลับเป็นลูปใน ทำหน้าที่เหมือนแดมเปอร์ไฟฟ้า หลักเดียวกับลูปกระแส–ความเร็ว–ตำแหน่งของไดรฟ์ทุกตัวในเมคาทรอนิกส์

ตัวอย่าง B-3 · เลือกเกนแทโค

### ในรูปด้านบน ให้ $K = 1$ หา $K_t$ ที่ทำให้วงปิดมี $\zeta = 0.5$ และเทียบกับกรณีไม่มีแทโค

- ลูปใน B3: $\dfrac{\Omega}{U} = \dfrac{10/(s+1)}{1 + 10K_t/(s+1)} = \dfrac{10}{s + 1 + 10K_t}$

- อนุกรม $K$ และ $1/s$ แล้วปิดลูปนอก

$$\frac{\Theta}{\Theta_r} = \frac{10K}{s^2 + (1 + 10K_t)s + 10K}$$

- $K = 1$: $\omega_n = \sqrt{10} = 3.162$ · $2\zeta\omega_n = 1 + 10K_t = 3.162 \Rightarrow K_t = 0.216$

- ไม่มีแทโค: $\zeta = \dfrac{1}{2(3.162)} = 0.158$ overshoot 60%

$K_t = 0.216$ ลด overshoot จาก 60% เหลือ 16.3% โดย $\omega_n$ เท่าเดิม ลูปในเพิ่มการหน่วงโดยไม่เพิ่มศูนย์ (ต่างจาก PD) จึงไม่มี overshoot ส่วนเกินจากศูนย์

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

- เครื่องหมายป้อนกลับ → ดูเครื่องหมายที่จุดรวมทุกครั้ง ป้อนกลับบวกตัวส่วนเป็น $1 - GH$

- ย้ายจุดแยกแล้วลืมบล็อกชดเชย → ตรวจว่าสัญญาณในเส้นที่ย้ายยังเหมือนเดิม B4

- เมสัน: นับคู่ลูปที่สัมผัสกัน → นับเฉพาะคู่ที่ไม่มีโนดร่วมเลย

- ลืม $\Delta_k$ → ถ้ามีลูปที่ไม่แตะเส้นทาง $k$ $\Delta_k \ne 1$

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ได้ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิดแล้ว ขั้นต่อไปคือดูว่ามันตอบสนองอย่างไร เร็วแค่ไหน พุ่งเกินเท่าไร ไปที่ผลตอบสนองเวลาและสเปกการออกแบบ

## คำถามที่พบบ่อย

ลดรูปบล็อกไดอะแกรมกับใช้กฎของเมสัน ควรใช้อะไร?
ระบบที่มีลูปซ้อนกันชัดเจนลดรูปทีละขั้นได้เร็วและเห็นภาพ ส่วนระบบที่ลูปพันกันซับซ้อน หรือต้องการคำตอบในครั้งเดียว กฎของเมสันเป็นระบบกว่า ควรทำได้ทั้งสองวิธีและใช้อีกวิธีตรวจคำตอบ

ลูปที่ไม่สัมผัสกัน (non-touching) คืออะไร?
คือลูปสองลูปที่ไม่มีโนดร่วมกันเลยในแผนภาพการไหลของสัญญาณ ในกฎของเมสัน ผลคูณของลูปที่ไม่สัมผัสกันจะถูกบวกกลับเข้าไปในดีเทอร์มิแนนต์ Δ เพราะตอนลบลูปเดี่ยวทีละลูปเราลบผลรวมนั้นซ้ำไป

ป้อนกลับบวกใช้สูตรอะไร?
G/(1 − GH) คือเปลี่ยนเครื่องหมายในตัวส่วน ในกฎของเมสันให้ใส่เครื่องหมายบวกลงในค่าลูปเกน (ลูปป้อนกลับลบมีเครื่องหมายลบติดอยู่ในลูปเกน)

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ลดรูปบล็อกไดอะแกรมกับใช้กฎของเมสัน ควรใช้อะไร?**
ระบบที่มีลูปซ้อนกันชัดเจนลดรูปทีละขั้นได้เร็วและเห็นภาพ ส่วนระบบที่ลูปพันกันซับซ้อน หรือต้องการคำตอบในครั้งเดียว กฎของเมสันเป็นระบบกว่า ควรทำได้ทั้งสองวิธีและใช้อีกวิธีตรวจคำตอบ

**ลูปที่ไม่สัมผัสกัน (non-touching) คืออะไร?**
คือลูปสองลูปที่ไม่มีโนดร่วมกันเลยในแผนภาพการไหลของสัญญาณ ในกฎของเมสัน ผลคูณของลูปที่ไม่สัมผัสกันจะถูกบวกกลับเข้าไปในดีเทอร์มิแนนต์ Δ เพราะตอนลบลูปเดี่ยวทีละลูปเราลบผลรวมนั้นซ้ำไป

**ป้อนกลับบวกใช้สูตรอะไร?**
G/(1 − GH) คือเปลี่ยนเครื่องหมายในตัวส่วน ในกฎของเมสันให้ใส่เครื่องหมายบวกลงในค่าลูปเกน (ลูปป้อนกลับลบมีเครื่องหมายลบติดอยู่ในลูปเกน)

---

# โบดไดอะแกรม (Bode Plot): วาดด้วยมือทีละขั้น

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/bode-plot/
Updated: 2026-10-12
Summary: วิธีวาดโบดไดอะแกรม (Bode plot) ด้วยมือ เดซิเบล เดคาด รูปมาตรฐานของฟังก์ชันถ่ายโอน ปัจจัยพื้นฐาน K, s^n, ขั้วและศูนย์อันดับหนึ่ง อันดับสองและยอดเรโซแนนซ์ หน่วงเวลา ศูนย์ฝั่งขวา (non-minimum phase) เส้นกำกับขนาดและเฟส ค่าแก้ที่จุดมุม ตัวอย่างทีละขั้น การหาฟังก์ชันถ่ายโอนจากกราฟโบด พร้อมแล็บโบดที่แสดงเส้นกำกับเทียบกราฟจริง

// บทที่ 13.12 · ระบบควบคุม · Bode Plot

# โบดไดอะแกรม (Bode Plot): วาดด้วยมือทีละขั้น

เฮนดริก โบด (Hendrik W. Bode) แห่ง Bell Labs คิดวิธีนี้ในทศวรรษ 1930 เพื่อออกแบบแอมป์ป้อนกลับของระบบโทรศัพท์ทางไกล ความฉลาดคือใช้สเกลลอการิทึม ทำให้ฟังก์ชันถ่ายโอนที่ซับซ้อนกลายเป็นผลบวกของเส้นตรงไม่กี่เส้น วาดได้ด้วยไม้บรรทัด จนทุกวันนี้ datasheet ของออปแอมป์ ไอซีพาวเวอร์ซัพพลาย และไดรฟ์มอเตอร์ยังพูดภาษานี้ หน้านี้สอนวาดให้คล่องจนอ่านกราฟเป็นฟังก์ชันได้ทั้งไปและกลับ สูตรใช้รหัส D

สรุปใน 30 วินาที

- ขนาดเป็น dB: $20\log_{10}|G(j\omega)|$ · แกนนอนเป็น $\log\omega$ · ผลคูณกลายเป็นผลบวก

- เขียนรูปมาตรฐาน $K_b\dfrac{\prod(1 + s/z_i)}{s^q\prod(1 + s/p_j)}$ เริ่มที่ความชัน $-20q$ dB/เดคาด ผ่าน $(1,\ 20\log K_b)$

- ผ่านจุดมุมของขั้ว ความชันลด 20 · ศูนย์ ความชันเพิ่ม 20 · อันดับสอง ±40 พร้อมยอดเรโซแนนซ์

- เฟสของปัจจัยอันดับหนึ่งเปลี่ยน ±90° ใน 2 เดคาด (45° ที่จุดมุม) · หน่วงเวลา $-\omega T$ rad ไม่มีขีดจำกัด

ระดับพื้นฐาน เริ่มเรียนกลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง งานออกแบบ

## เดซิเบลและเดคาด: ภาษาของโบด พื้นฐาน

โบดไดอะแกรมคือกราฟสองรูปของผลตอบสนองความถี่ $G(j\omega)$: ขนาด (dB) และเฟส (องศา) เทียบกับความถี่บนสเกล log วิศวกรไฟฟ้าคุ้นอยู่แล้วจากการวัดฟิลเตอร์ด้วยฟังก์ชันเจเนอเรเตอร์และสโคป

D1 Decibel, decade, octave เดซิเบล เดคาด และออกเทฟ

$$|G|_{\text{dB}} = 20\log_{10}|G(j\omega)|, \qquad \text{เดคาด: } \omega \to 10\omega, \qquad \text{ออกเทฟ: } \omega \to 2\omega$$

ค่าที่ควรจำ: ×10 = 20 dB · ×2 = 6 dB · ×√2 = 3 dB · ×1 = 0 dB · ×0.707 = −3 dB · ×0.1 = −20 dB · −20 dB/เดคาด = −6 dB/ออกเทฟ

D2 Bode (time-constant) form รูปมาตรฐานสำหรับวาดโบด

$$G(s) = K_b\,\frac{(1 + s/z_1)(1 + s/z_2)\cdots}{s^q(1 + s/p_1)(1 + s/p_2)\cdots\left(1 + 2\zeta\frac{s}{\omega_n} + \frac{s^2}{\omega_n^2}\right)\cdots}$$

ดึงค่าคงที่ออกให้ทุกวงเล็บเริ่มด้วย 1 · $K_b$ คือเกน “Bode gain” · $q$ = จำนวนอินทิเกรเตอร์ ($q \lt 0$ คือตัวอนุพันธ์) · จุดมุม (corner, break frequency) คือ $z_i, p_j, \omega_n$

## ปัจจัยพื้นฐาน 5 แบบ พื้นฐาน

ทุกฟังก์ชันถ่ายโอนประกอบจากปัจจัยไม่กี่แบบนี้ วาดแต่ละตัวเป็นเส้นตรงแล้วบวกกัน

D3 Constant K ค่าคงที่

$$20\log|K| \text{ (เส้นราบ)}, \quad \angle K = 0^\circ \ (K \gt 0) \ \text{หรือ} \ \pm180^\circ \ (K \lt 0)$$

เปลี่ยน $K$ = เลื่อนกราฟขนาดขึ้นลงทั้งเส้น เฟสไม่เปลี่ยน

D4 Poles/zeros at the origin $s^{\mp q}$

$$\frac{1}{s^q}:\ -20q\log\omega \ \text{dB}, \ \ -90q^\circ$$

เส้นตรงผ่าน 0 dB ที่ $\omega = 1$ ความชัน $-20q$ dB/เดคาดตลอดย่าน · ตัวอนุพันธ์ $s$ เป็นภาพกลับ: +20 dB/เดคาด, +90°

D5 First-order pole $1/(1 + s/p)$ ขั้วจริงอันดับหนึ่ง (ศูนย์: กลับเครื่องหมายทุกอย่าง)

$$|\cdot|_{\text{dB}} \approx \begin{cases} 0 & \omega \ll p \\ -20\log(\omega/p) & \omega \gg p \end{cases}, \qquad \angle = -\tan^{-1}\frac{\omega}{p} \approx \begin{cases} 0^\circ & \omega \le p/10 \\ -45^\circ & \omega = p \\ -90^\circ & \omega \ge 10p \end{cases}$$

ค่าแก้ของขนาด: −3 dB ที่ $\omega = p$ · −1 dB ที่ $p/2$ และ $2p$ · เฟสเส้นตรงลาดลง 45°/เดคาด จาก $p/10$ ถึง $10p$ (คลาดไม่เกิน 5.7°) · ศูนย์ฝั่งขวา $(1 - s/z)$: ขนาดเหมือนศูนย์ปกติ แต่เฟสลงเหมือนขั้ว

D6 Second-order poles ขั้วเชิงซ้อนคู่ $\dfrac{1}{1 + 2\zeta s/\omega_n + s^2/\omega_n^2}$

$$\text{ชัน } -40 \text{ dB/เดคาด หลัง } \omega_n, \quad \text{ที่ } \omega_n:\ -20\log(2\zeta) \ \text{dB},\ -90^\circ, \quad M_r = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1 - \zeta^2}} \text{ ที่ } \omega_r = \omega_n\sqrt{1 - 2\zeta^2}$$

มียอดเรโซแนนซ์เมื่อ $\zeta \lt 0.707$ · เฟสเปลี่ยน 180° ชันขึ้นเมื่อ $\zeta$ เล็ก (ช่วงประมาณ $\omega_n/10^{\zeta}$ ถึง $\omega_n \cdot 10^{\zeta}$) · ดูภาพ ζ ต่าง ๆ ในหน้าระบบอันดับสอง

D7 Time delay $e^{-sT}$ หน่วงเวลา

$$|e^{-j\omega T}| = 1 \ (0 \text{ dB}), \qquad \angle e^{-j\omega T} = -\omega T \ \text{rad} = -57.3\,\omega T \ \text{องศา}$$

ไม่เปลี่ยนขนาดเลย แต่เฟสลดลงไม่มีขีดจำกัด (บนแกน log ดูเหมือนดิ่งลงเร็วขึ้นเรื่อย ๆ) · เป็นศัตรูตัวฉกาจของเฟสมาร์จิน: พบในระบบความร้อน สายพาน การสื่อสาร และการหน่วงจากการคำนวณของไมโครคอนโทรลเลอร์ (ครึ่งคาบสุ่มของ ZOH)

## ขั้นตอนการวาดโบดด้วยมือ พื้นฐาน

D8 Sketching procedure ขั้นตอนการวาด

- เขียนรูปมาตรฐาน D2 หา $K_b$, $q$ และเรียงจุดมุมจากน้อยไปมาก

- เส้นความถี่ต่ำ: $20\log K_b - 20q\log\omega$ (ผ่านจุด $\omega = 1$ ที่ระดับ $20\log K_b$) ลากจากซ้ายสุดถึงจุดมุมแรก

- ผ่านจุดมุมแต่ละจุด เปลี่ยนความชัน: ขั้ว −20, ศูนย์ +20, คู่เชิงซ้อน ±40 dB/เดคาด

- แก้ค่าที่จุดมุม (−3 dB ต่อขั้วจริง, ยอดเรโซแนนซ์ของคู่เชิงซ้อน) แล้วลากโค้งนุ่ม

- เฟส: เริ่ม $-90q^\circ$ (บวก −180° ถ้า $K_b \lt 0$) แต่ละปัจจัยค่อย ๆ เพิ่ม/ลด 90° (180° สำหรับคู่เชิงซ้อน) ตลอด 2 เดคาดรอบจุดมุม รวมกันทีละช่วง

- ตรวจ: ปลายความถี่สูงต้องชัน $-20(n - m)$ dB/เดคาด เฟสต้องจบที่ $-90(n - m)^\circ$ (ระบบ minimum phase ไม่มีหน่วงเวลา)

ตัวอย่าง D-1 · ขั้วจริงสองตัว

### วาดโบดของ $G(s) = \dfrac{100}{(s+1)(s+10)}$

- รูปมาตรฐาน: $G(s) = \dfrac{100}{10}\cdot\dfrac{1}{(1 + s)(1 + s/10)} \Rightarrow K_b = 10$ ($20$ dB), $q = 0$, จุดมุม 1 และ 10 D2

- ขนาด: ราบที่ 20 dB จนถึง $\omega = 1$ · ชัน −20 dB/เดคาด จาก 1 ถึง 10 (ที่ $\omega = 10$ ลงไปเหลือ 0 dB) · ชัน −40 dB/เดคาดหลัง 10

- ค่าจริงที่จุดมุม: $\omega = 1$: $20 - 3 - 0.04 = 16.96$ dB · $\omega = 10$: $0 - 3 - 0.04 = -3.05$ dB D5

- เฟส: $-\tan^{-1}\omega - \tan^{-1}(\omega/10)$ เริ่ม 0° จบ −180° ที่ $\omega = 1$: $-45^\circ - 5.7^\circ = -50.7^\circ$ · ที่ $\omega = 10$: $-84.3^\circ - 45^\circ = -129.3^\circ$

เส้นทึบคือกราฟจริง เส้นประคือเส้นกำกับที่วาดด้วยมือ

python-control: $|G(j1)| = 16.95$ dB, $\angle G(j1) = -50.7^\circ$ · $|G(j10)| = -3.05$ dB, $\angle = -129.3^\circ$ ✓

ตัวอย่าง D-2 · อินทิเกรเตอร์ + ศูนย์ + ขั้ว

### วาดโบดของ $G(s) = \dfrac{10(s+1)}{s(s+10)}$

- $G = \dfrac{10 \cdot 1}{10}\cdot\dfrac{(1 + s)}{s(1 + s/10)} \Rightarrow K_b = 1$ (0 dB), $q = 1$

- เส้นความถี่ต่ำ: $-20\log\omega$ ผ่าน 0 dB ที่ $\omega = 1$ ชัน −20 D4

- $\omega = 1$ ศูนย์: ความชันเพิ่ม 20 กลายเป็น 0 (ราบที่ 0 dB) · $\omega = 10$ ขั้ว: กลับเป็น −20

- เฟส: เริ่ม −90° ศูนย์ดันขึ้น ขั้วดึงลง สูงสุดที่ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต $\sqrt{1 \cdot 10} = 3.16$: $-90^\circ + 72.5^\circ - 17.5^\circ = -35.1^\circ$ แล้วกลับไป −90°

รูปนี้คือตัวชดเชย lead + อินทิเกรเตอร์: ศูนย์มาก่อนขั้ว ยกเฟสขึ้น “เป็นเนิน” ที่ $\omega = 3.16$ นี่คือวิธีที่ตัวชดเชย Type II ของพาวเวอร์ซัพพลายเพิ่มเฟสมาร์จิน

$|G(j3.16)| = 0.00$ dB และ $\angle = -35.1^\circ$ ✓

## ขั้วเชิงซ้อน: ยอดเรโซแนนซ์ที่เส้นกำกับมองไม่เห็น กลาง

ตัวอย่าง D-3 · ζ = 0.2

### วาดโบดของ $G(s) = \dfrac{1}{s^2 + 0.4s + 1}$ (เช่น วงจร LC ที่หน่วงน้อย หรือแขนกลที่ข้อต่อยืดหยุ่น)

- $\omega_n = 1$, $2\zeta\omega_n = 0.4 \Rightarrow \zeta = 0.2$, $K_b = 1$

- เส้นกำกับ: 0 dB ถึง $\omega = 1$ แล้วชัน −40 dB/เดคาด D6

- ที่ $\omega_n$: $-20\log(2 \times 0.2) = +7.96$ dB เหนือเส้นกำกับ · ยอดจริง $M_r = \dfrac{1}{2(0.2)\sqrt{0.96}} = 2.55$ (8.14 dB) ที่ $\omega_r = \sqrt{1 - 0.08} = 0.959$

- เฟส: 0° → −180° ผ่าน −90° ที่ $\omega = 1$ เปลี่ยนเร็วมากในช่วงแคบ ($\zeta$ เล็ก)

เส้นกำกับคลาดไปถึง 8 dB ตรงจุดมุม ห้ามลืมแก้ เพราะยอดนี้คือสิ่งที่ทำให้ระบบหุ่นยนต์และ LC ฟิลเตอร์ของพาวเวอร์ซัพพลาย “ร้อง” และเป็นจุดที่ GM หายได้

## กลับทาง: หาฟังก์ชันถ่ายโอนจากกราฟโบด กลาง

งานจริงมักวัดผลตอบสนองความถี่ของพลานต์ได้ (ด้วยสโคปหรือ network analyzer) แต่ไม่รู้สมการ อ่านเส้นกำกับย้อนกลับก็ได้แบบจำลอง เทคนิคเรียกว่า system identification แบบกราฟ

D9 Reading G(s) from asymptotes อ่านฟังก์ชันจากเส้นกำกับ

$$\text{ชันเริ่มต้น} = -20q \Rightarrow q, \qquad K_b = 10^{\,|G(j1)|_{\text{dB, asym}}/20}, \qquad \Delta\text{ชัน} = \mp20k \text{ ที่ } \omega_c \Rightarrow (1 + s/\omega_c)^{\pm k}$$

ถ้าเส้นความถี่ต่ำไม่ได้ลากถึง $\omega = 1$ ให้ต่อเส้นออกไปจนถึง · เฟสใช้ยืนยันว่าเป็นขั้ว/ศูนย์ฝั่งซ้ายหรือขวา และตรวจหน่วงเวลา (เฟสลดมากกว่าที่ขนาดบอก)

ตัวอย่าง D-4 · อ่านกราฟย้อนกลับ

### เส้นกำกับขนาดชัน −20 dB/เดคาดผ่าน 20 dB ที่ $\omega = 1$ เปลี่ยนเป็น −40 ที่ $\omega = 5$ และ −60 ที่ $\omega = 50$ จงหา $G(s)$

- ชันเริ่ม −20: $q = 1$ · ที่ $\omega = 1$ ระดับ 20 dB: $K_b = 10$ D9

- ที่ 5 และ 50 ความชันลดทีละ 20: เป็นขั้วอันดับหนึ่ง

$$G(s) = \frac{10}{s(1 + s/5)(1 + s/50)} = \frac{10 \cdot 5 \cdot 50}{s(s + 5)(s + 50)} = {\frac{2500}{s(s + 5)(s + 50)}}$$

$|G(j1)| = 19.83$ dB (เส้นจริงต่ำกว่าเส้นกำกับเล็กน้อยเพราะขั้วที่ 5) ✓ · ปิดวงหนึ่งหน่วยได้ GM = 14.8 dB, PM = 31.7° (ดูหน้ามาร์จิน)

## หน่วงเวลาและศูนย์ฝั่งขวา: เฟสที่ขนาดไม่บอก ขั้นสูง

ระบบ minimum phase (ขั้วและศูนย์อยู่ฝั่งซ้ายทั้งหมด ไม่มีหน่วงเวลา) มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างขนาดกับเฟส (ทฤษฎีบทขนาด-เฟสของโบด: ชัน −20k dB/เดคาดยาว ๆ คู่กับเฟสประมาณ −90k°) แต่หน่วงเวลาและศูนย์ฝั่งขวาเพิ่มเฟสล่าช้าโดยไม่เปลี่ยนขนาดเลย ทำให้ออกแบบยากกว่ามาก

ตัวอย่าง D-5 · หน่วงเวลา

### ฮีตเตอร์ $G(s) = \dfrac{e^{-0.1s}}{s + 1}$ มีเฟสเท่าไรที่ $\omega = 1$ และ $\omega = 10$ rad/s

- ขนาดเหมือน $\frac{1}{s + 1}$ ทุกประการ D7

- $\omega = 1$: $-45^\circ - 57.3(0.1)(1) = -45^\circ - 5.7^\circ = -50.7^\circ$

- $\omega = 10$: $-84.3^\circ - 57.3^\circ = -141.6^\circ$

ที่ความถี่สูงขึ้น หน่วงเวลากินเฟสมากขึ้นแบบเชิงเส้น ถ้าจะปิดวงให้ครอสโอเวอร์ที่ 10 rad/s จะเหลือเฟสมาร์จินแค่ 38° แม้พลานต์จะเป็นแค่อันดับหนึ่ง กฎหัวแม่มือ: เลือก $\omega_{gc} \lt 1/T$

## แล็บโบด: เทียบเส้นกำกับกับกราฟจริง

เส้นประคือเส้นกำกับที่ควรวาดได้ด้วยมือ เส้นทึบคือกราฟจริง ชี้เมาส์บนกราฟเพื่ออ่านค่าที่ความถี่ใด ๆ เลื่อน $K$ ดูขนาดเลื่อนขึ้นลงทั้งเส้นโดยเฟสไม่เปลี่ยน ลองพิมพ์ $e^{-0.1s}/(s+1)$ หรือ $(1-s)/(1+s)$ เพื่อดูเฟสที่ขนาดไม่บอก

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

- ไม่แปลงเป็นรูปมาตรฐาน → $\frac{100}{(s+1)(s+10)}$ เริ่มที่ 20 dB ไม่ใช่ 40 dB D2

- ใช้ 10 log แทน 20 log → 10 log ใช้กับกำลัง ฟังก์ชันถ่ายโอนแรงดัน/กระแส/ตำแหน่งใช้ 20 log

- เฟสเปลี่ยนทันทีที่จุดมุม → เฟสค่อย ๆ เปลี่ยนตลอด 2 เดคาด ($\omega_c/10$ ถึง $10\omega_c$)

- ลืมยอดเรโซแนนซ์ → อันดับสองที่ $\zeta$ เล็ก ต้องแก้ $-20\log 2\zeta$ D6

- ใช้ Hz ปนกับ rad/s → จุดมุมของ $1 + s/p$ อยู่ที่ $p$ rad/s = $p/2\pi$ Hz datasheet ส่วนใหญ่ใช้ Hz

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

วาดโบดได้แล้ว คำถามสำคัญคือ “ปิดวงแล้วจะเสถียรไหม และเหลือที่ว่างเท่าไร” ซึ่งอ่านได้ทันทีจากโบดของวงเปิด ไปต่อที่เกนมาร์จินและเฟสมาร์จิน

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมโบดไดอะแกรมใช้สเกลลอการิทึม?
เพราะลอการิทึมเปลี่ยนการคูณเป็นการบวก ฟังก์ชันถ่ายโอนที่เป็นผลคูณของหลายปัจจัย จึงวาดได้โดยวาดแต่ละปัจจัยแล้วบวกกราฟ และปัจจัยแต่ละตัวกลายเป็นเส้นตรงบนแกน log ω ทำให้วาดด้วยไม้บรรทัดได้ อีกทั้งยังดูช่วงความถี่กว้างหลายเดคาดได้ในรูปเดียว

เส้นกำกับคลาดจากกราฟจริงมากที่สุดเท่าไร?
ขั้วหรือศูนย์จริงอันดับหนึ่งคลาดมากที่สุด 3 dB ที่จุดมุม (และ 1 dB ที่ครึ่งเท่าและสองเท่าของจุดมุม) ส่วนเฟสคลาดไม่เกินประมาณ 6° สำหรับอันดับสองความคลาดเคลื่อนขึ้นกับ ζ ที่จุดมุมเท่ากับ −20 log(2ζ) dB ซึ่ง ζ น้อยจะมียอดสูงมาก ต้องแก้ด้วยมือ

จะรู้ได้อย่างไรว่าเส้นเริ่มที่ระดับไหน?
เขียนฟังก์ชันในรูปมาตรฐาน Kb (1 + s/z)… / [s^q (1 + s/p)…] เส้นความถี่ต่ำคือ 20 log Kb − 20q log ω ซึ่งผ่านจุด (ω = 1, 20 log Kb) เสมอ ความชัน −20q dB/เดคาด และเฟสเริ่มที่ −90q องศา

Bode ต่างจาก Nyquist อย่างไร?
เป็นข้อมูลเดียวกัน G(jω) แต่แสดงคนละแบบ Bode แยกขนาดและเฟสเป็นสองกราฟเทียบกับความถี่ วาดและออกแบบง่าย Nyquist วาดเป็นเส้นโค้งเดียวบนระนาบเชิงซ้อน ใช้ตัดสินเสถียรภาพได้ทุกกรณีรวมถึงพลานต์ไม่เสถียรวงเปิด

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมโบดไดอะแกรมใช้สเกลลอการิทึม?**
เพราะลอการิทึมเปลี่ยนการคูณเป็นการบวก ฟังก์ชันถ่ายโอนที่เป็นผลคูณของหลายปัจจัย จึงวาดได้โดยวาดแต่ละปัจจัยแล้วบวกกราฟ และปัจจัยแต่ละตัวกลายเป็นเส้นตรงบนแกน log ω ทำให้วาดด้วยไม้บรรทัดได้ อีกทั้งยังดูช่วงความถี่กว้างหลายเดคาดได้ในรูปเดียว

**เส้นกำกับคลาดจากกราฟจริงมากที่สุดเท่าไร?**
ขั้วหรือศูนย์จริงอันดับหนึ่งคลาดมากที่สุด 3 dB ที่จุดมุม (และ 1 dB ที่ครึ่งเท่าและสองเท่าของจุดมุม) ส่วนเฟสคลาดไม่เกินประมาณ 6° สำหรับอันดับสองความคลาดเคลื่อนขึ้นกับ ζ ที่จุดมุมเท่ากับ −20 log(2ζ) dB ซึ่ง ζ น้อยจะมียอดสูงมาก ต้องแก้ด้วยมือ

**จะรู้ได้อย่างไรว่าเส้นเริ่มที่ระดับไหน?**
เขียนฟังก์ชันในรูปมาตรฐาน Kb (1 + s/z)… / [s^q (1 + s/p)…] เส้นความถี่ต่ำคือ 20 log Kb − 20q log ω ซึ่งผ่านจุด (ω = 1, 20 log Kb) เสมอ ความชัน −20q dB/เดคาด และเฟสเริ่มที่ −90q องศา

**Bode ต่างจาก Nyquist อย่างไร?**
เป็นข้อมูลเดียวกัน G(jω) แต่แสดงคนละแบบ Bode แยกขนาดและเฟสเป็นสองกราฟเทียบกับความถี่ วาดและออกแบบง่าย Nyquist วาดเป็นเส้นโค้งเดียวบนระนาบเชิงซ้อน ใช้ตัดสินเสถียรภาพได้ทุกกรณีรวมถึงพลานต์ไม่เสถียรวงเปิด

---

# ตัวชดเชย Lead, Lag และ Lag-Lead

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/compensators/
Updated: 2026-10-12
Summary: ออกแบบตัวชดเชยเฟสนำ (lead) เฟสล้าหลัง (lag) และ lag-lead ทีละขั้น ด้วยโบดไดอะแกรม (เฟสมาร์จิน ค่าคงตัวความผิดพลาด) และด้วยรูทโลคัส (เงื่อนไขมุม การชดเชยมุม) สูตร α φmax ωm การวางศูนย์และขั้ว ตัวอย่างที่ตรวจด้วยการจำลองแล้ว เปรียบเทียบกับ PD PI PID วงจร RC และออปแอมป์ที่สร้างได้จริง

// บทที่ 13.15 · ระบบควบคุม · Lead, Lag & Lag-Lead Compensators

# ตัวชดเชย Lead, Lag และ Lag-Lead

เมื่อปรับเกนอย่างเดียวแล้วได้แค่ “เร็วแต่แกว่ง” หรือ “นิ่งแต่ช้าและไม่แม่น” ทางออกคือเพิ่มขั้วและศูนย์อย่างมีชั้นเชิงเพื่อดัดรูปทรงของรูทโลคัสและโบด Lead แก้ปัญหาช่วงความถี่กลาง (ความเร็ว เสถียรภาพ) Lag แก้ปัญหาความถี่ต่ำ (ความแม่นยำ) หน้านี้ออกแบบทั้งสองแบบทีละขั้นด้วยทั้งโบดและรูทโลคัส ตรวจทุกคำตอบด้วยการจำลอง และจบที่วงจรออปแอมป์ที่สร้างได้จริง สูตรใช้รหัส C

สรุปใน 30 วินาที

- Lead: $\dfrac{Ts + 1}{\alpha Ts + 1},\ \alpha \lt 1$ เฟสสูงสุด $\sin\phi_m = \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha}$ ที่ $\omega_m = \frac{1}{T\sqrt\alpha}$ วางให้ $\omega_m$ = ครอสโอเวอร์ใหม่

- Lag: $\dfrac{Ts + 1}{\beta Ts + 1},\ \beta \gt 1$ วางศูนย์ต่ำกว่าครอสโอเวอร์ 1 เดคาด เพิ่มเกนความถี่ต่ำ $\beta$ เท่า

- รูทโลคัส: lead ชดเชย “มุมที่ขาด” ให้โลคัสผ่านจุดที่ต้องการ · lag คู่ขั้ว-ศูนย์ใกล้ 0 เพิ่ม $K_v$ โดยไม่ย้ายโลคัส

- Lead ≈ PD + ฟิลเตอร์ · Lag ≈ PI · Lag-lead ≈ PID

ระดับพื้นฐาน แนวคิดกลาง ออกแบบขั้นสูง งานจริง

## ตัวชดเชยเฟสนำ (Lead) พื้นฐาน

ศูนย์อยู่ใกล้จุดกำเนิดกว่าขั้ว ช่วงระหว่างศูนย์กับขั้ว เฟสเป็นบวก (“นำ”) และเกนค่อย ๆ เพิ่มขึ้น $1/\alpha$ เท่า ใช้เฟสบวกนี้เติมเฟสมาร์จินตรงครอสโอเวอร์

C1 Lead compensator ตัวชดเชยเฟสนำ

$$G_c(s) = K_c\frac{Ts + 1}{\alpha Ts + 1} = K_c\alpha\,\frac{s + 1/T}{s + 1/(\alpha T)}, \qquad 0 \lt \alpha \lt 1$$

ศูนย์ที่ $-1/T$ ขั้วที่ $-1/(\alpha T)$ (ไกลกว่า $1/\alpha$ เท่า) · รูปแบบนี้ไม่เปลี่ยนเกน DC ($G_c(0) = K_c$) ทำให้ใช้ $K_c$ ตั้งความผิดพลาดอยู่ตัวแยกจากเรื่องเฟสได้

C2 Maximum phase lead เฟสนำสูงสุดและตำแหน่ง

$$\sin\phi_m = \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha} \iff \alpha = \frac{1 - \sin\phi_m}{1 + \sin\phi_m}, \qquad \omega_m = \frac{1}{T\sqrt\alpha}, \qquad \left|\frac{j\omega_mT + 1}{j\omega_m\alpha T + 1}\right| = \frac{1}{\sqrt\alpha}$$

$\omega_m$ คือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของศูนย์และขั้ว (กึ่งกลางบนแกน log) · เกนที่ $\omega_m$ เพิ่ม $10\log(1/\alpha)$ dB · ตาราง: $\phi_m$ = 30° → α = 0.333 · 40° → 0.217 · 50° → 0.132 · 60° → 0.072

## ออกแบบ Lead ด้วยโบด ทีละขั้น กลาง

C3 Lead design procedure (Bode) ขั้นตอนออกแบบ lead ด้วยโบด

- เลือก $K_c$ ให้ได้ $K_v$ (หรือ $K_p, K_a$) ตามสเปก วาดโบดของ $K_cG$ หา PM เดิม

- เฟสที่ต้องเติม $\phi_m = \text{PM}_{\text{ต้องการ}} - \text{PM}_{\text{เดิม}} + (5^\circ\text{ ถึง }12^\circ)$ หา α จาก C2

- ครอสโอเวอร์ใหม่ $\omega_m$ คือความถี่ที่ $|K_cG(j\omega)| = -10\log(1/\alpha)$ dB (lead จะยกขึ้นมาเป็น 0 dB พอดี)

- $T = \dfrac{1}{\omega_m\sqrt\alpha}$ · ศูนย์ $1/T$ ขั้ว $1/(\alpha T)$

- ตรวจ PM, GM และผลตอบสนองจริง ถ้าไม่ถึงให้เพิ่มค่าเผื่อแล้วทำซ้ำ

ตัวอย่าง C-1 · Lead ด้วยโบด

### พลานต์ $G(s) = \dfrac{4}{s(s+2)}$ ต้องการ $K_v = 20\ \text{s}^{-1}$ และ PM ≥ 50°

- $K_v = \lim_{s\to0} sK_cG(s) = \dfrac{4K_c}{2} = 20 \Rightarrow K_c = 10$ ได้ $K_cG = \dfrac{40}{s(s+2)}$

- PM เดิม: $\omega_{gc} = 6.17$, PM = 18.0° น้อยเกินไป (step แกว่ง overshoot 60%)

- เฟสที่ต้องเติม: $50^\circ - 18^\circ + 6^\circ = 38^\circ$ C2

$$\alpha = \frac{1 - \sin38^\circ}{1 + \sin38^\circ} = \frac{0.384}{1.616} = 0.2375 \quad (\text{lead เพิ่มเกน } 10\log\tfrac{1}{0.2375} = 6.24 \text{ dB})$$

- หาความถี่ที่ $|K_cG| = -6.24$ dB: $\dfrac{40}{\omega\sqrt{\omega^2 + 4}} = 0.488 \Rightarrow \omega_m = 8.95$ rad/s

- $T = \dfrac{1}{8.95\sqrt{0.2375}} = 0.229$ · ศูนย์ $-4.36$ ขั้ว $-18.4$

$$G_c(s) = 10\,\frac{0.229s + 1}{0.0545s + 1} = {42.1\,\frac{s + 4.36}{s + 18.4}}$$

PM = 50.6° ที่ $\omega_{gc} = 8.95$ rad/s, GM = ∞ · overshoot ลดจาก 60% เหลือ 21.5% และ $t_s$ จาก 3.69 s เหลือ 0.62 s (เร็วขึ้น 6 เท่า) โดย $K_v = 20$ ตามสเปก

ตรวจด้วย python-control ทุกค่า ✓ · ครอสโอเวอร์ขยับจาก 6.17 ไป 8.95 rad/s คือเหตุผลที่ต้องเผื่อเฟส · ลองใส่ $L = 42.1(s+4.36)/(s(s+2)(s+18.4))$ ในแล็บท้ายหน้า

## ตัวชดเชยเฟสล้าหลัง (Lag) พื้นฐาน

ขั้วอยู่ใกล้จุดกำเนิดกว่าศูนย์ ไม่ได้ใช้เฟส (ซึ่งเป็นลบ) แต่ใช้เกนที่ลดลง $\beta$ เท่าที่ความถี่สูง หรือมองกลับกัน: เพิ่มเกน DC $\beta$ เท่าโดยไม่ไปแตะช่วงครอสโอเวอร์ ความผิดพลาดอยู่ตัวจึงลดลง $\beta$ เท่า

C4 Lag compensator ตัวชดเชยเฟสล้าหลัง

$$G_c(s) = K_c\frac{Ts + 1}{\beta Ts + 1} = \frac{K_c}{\beta}\cdot\frac{s + 1/T}{s + 1/(\beta T)}, \qquad \beta \gt 1$$

ที่ความถี่สูง เกนลดลง $\beta$ เท่า ($-20\log\beta$ dB) · วางศูนย์ $1/T \approx \omega_{gc}/10$ เพื่อให้เฟสล้าหลังที่ครอสโอเวอร์เหลือแค่ประมาณ 5°

C5 Lag design procedure (Bode) ขั้นตอนออกแบบ lag ด้วยโบด

- เลือก $K_c$ ให้ได้ค่าคงตัวความผิดพลาดตามสเปก

- หาความถี่ $\omega_{gc}'$ ที่เฟสของ $K_cG$ เท่ากับ $-180^\circ + \text{PM}_{\text{ต้องการ}} + (5^\circ\text{ ถึง }12^\circ)$

- $\beta = |K_cG(j\omega_{gc}')|$ (ลดให้เหลือ 0 dB ที่ความถี่นั้น)

- ศูนย์ $1/T = \omega_{gc}'/10$ · ขั้ว $1/(\beta T)$

## ออกแบบ Lag ด้วยโบด กลาง

ตัวอย่าง C-2 · Lag ด้วยโบด

### พลานต์ $G(s) = \dfrac{1}{s(s+1)(0.5s+1)}$ ต้องการ $K_v = 5\ \text{s}^{-1}$, PM ≥ 40°, GM ≥ 10 dB

- $K_v = K_c = 5$ · ปิดวงด้วยเกนนี้: GM = −4.4 dB, PM = −13° ไม่เสถียร (lead ไม่ช่วย เพราะเฟสลงเร็วมาก ต้องใช้ lag)

- ต้องการเฟส $-180^\circ + 40^\circ + 12^\circ = -128^\circ$: $-90^\circ - \tan^{-1}\omega - \tan^{-1}0.5\omega = -128^\circ \Rightarrow \omega_{gc}' = 0.465$ rad/s

- $|K_cG(j0.465)| = 9.5$ (19.6 dB) ได้ $\beta \approx 10$ C5

- ศูนย์ $\approx 0.465/10 \approx 0.05$ · ขั้ว $0.05/10 = 0.005$

$$G_c(s) = 5\,\frac{20s + 1}{200s + 1} = {0.5\,\frac{s + 0.05}{s + 0.005}}$$

PM = 47.5° ที่ $\omega_{gc} = 0.448$, GM = 15.0 dB และ $K_v = 5$ ตามสเปก · แลกกับความเร็ว: ครอสโอเวอร์ลดจาก 1.8 เหลือ 0.45 rad/s

python-control: PM 47.5°, GM 14.96 dB ✓ · เลือกปัดศูนย์เป็นเลขกลม ๆ ได้ ผลเปลี่ยนเล็กน้อย ถ้าใช้ศูนย์ 0.1 ขั้ว 0.01 PM เหลือ 41.6° (ยังผ่าน แต่หมิ่นเหม่)

## ออกแบบ Lead ด้วยรูทโลคัส: ชดเชยมุมที่ขาด กลาง

ถ้าสเปกให้มาเป็น $\zeta$ และ $\omega_n$ (หรือ $M_p$ และ $t_s$) จะได้จุดที่ต้องการ $s_d$ บนระนาบ $s$ ทันที ถ้ารูทโลคัสเดิมไม่ผ่าน $s_d$ แปลว่าเงื่อนไขมุมไม่ครบ 180° lead ต้องเติมมุมส่วนที่ขาด

C6 Angle deficiency มุมที่ตัวชดเชยต้องเติม

$$\phi_c = -180^\circ - \angle G(s_d), \qquad \angle(s_d + z_c) - \angle(s_d + p_c) = \phi_c, \qquad K = \frac{1}{|G_c(s_d)G(s_d)|}$$

มีศูนย์-ขั้วหลายคู่ที่ให้ $\phi_c$ เท่ากัน วิธีที่นิยม: (1) วางศูนย์ใต้ $s_d$ หรือหักล้างขั้วพลานต์ที่สองแล้วหาขั้ว (2) วิธีเส้นแบ่งครึ่งมุม (bisector) ของ Ogata ซึ่งให้ $\alpha$ ใหญ่ที่สุด

ตัวอย่าง C-3 · Lead ด้วยรูทโลคัส

### พลานต์ $G(s) = \dfrac{1}{s(s+2)}$ ต้องการขั้ววงปิดที่ $\zeta = 0.5,\ \omega_n = 4$ rad/s

- $s_d = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1 - \zeta^2} = -2 \pm j3.464$ · โลคัสเดิมเป็นเส้นดิ่ง $\sigma = -1$ ไม่ผ่าน

- มุมของพลานต์ที่ $s_d$: จาก 0 คือ $120^\circ$ จาก −2 คือ $90^\circ$ ได้ $\angle G = -210^\circ$ มุมที่ขาด $\phi_c = -180^\circ + 210^\circ = 30^\circ$ C6

- วางศูนย์หักล้างขั้ว −2 ของพลานต์ แล้วหาขั้ว $p_c$ ให้มุมรวมถูก: ต้องการ $-120^\circ - \theta_p = -180^\circ \Rightarrow \theta_p = 60^\circ$

$$p_c = -2 - \frac{3.464}{\tan60^\circ} = -4$$

- เกนจากเงื่อนไขขนาด: $L = \dfrac{K}{s(s+4)}$ ที่ $s_d$: $K = |s_d||s_d + 4| = 4 \times 4 = 16$

$G_c(s) = {16\,\dfrac{s + 2}{s + 4}}$ วงปิด $s^2 + 4s + 16$ ได้ $\zeta = 0.5,\ \omega_n = 4$ พอดี · overshoot 16.3%, $t_s = 2.0$ s · $K_v = 16/4 = 4$

python-control: ขั้ววงปิด $-2 \pm j3.464$ ✓ · การหักล้างขั้วใช้ได้เพราะขั้ว −2 เสถียร และแม้ค่าจริงจะคลาดเล็กน้อย คู่ขั้ว-ศูนย์ที่เหลือจะอยู่ใกล้กันจนแทบไม่มีผล

ตัวอย่าง C-4 · เติม Lag ให้แม่นขึ้น 5 เท่า

### จากผลของ C-3 ($K_v = 4$) ต้องการ $K_v = 20$ โดยขั้วเด่นแทบไม่เปลี่ยน

- ต้องเพิ่ม $K_v$ 5 เท่า: $\beta = 5$ C4

- วางคู่ศูนย์-ขั้วใกล้จุดกำเนิดมาก ๆ เทียบกับ $|s_d| = 4$: ศูนย์ −0.1 ขั้ว −0.02 (มุมที่เสียที่ $s_d$ ไม่ถึง 1.2°)

$$L(s) = \frac{16}{s(s+4)}\cdot\frac{s + 0.1}{s + 0.02}, \qquad K_v = \frac{16}{4}\cdot\frac{0.1}{0.02} = 20$$

ขั้ววงปิด $-1.96 \pm j3.44$ (แทบไม่ขยับ) และขั้วช้า $-0.102$ ที่เกือบหักล้างกับศูนย์ $-0.1$ · ความผิดพลาดต่อแรมป์ลดจาก 0.25 เหลือ 0.05

จำลอง: overshoot 18.9% (จาก 16.3%) และ $t_s$ (2%) 2.86 s เพราะหางช้าจากขั้ว −0.102 คือราคาของ lag ที่ต้องรู้

## Lag-Lead และความสัมพันธ์กับ PID กลาง

C7 Lag-lead and PID lag-lead กับ PID

$$G_c(s) = K_c\underbrace{\frac{T_1s + 1}{\beta T_1s + 1}}_{\text{lag}}\ \underbrace{\frac{T_2s + 1}{\alpha T_2s + 1}}_{\text{lead}}, \qquad \beta \to \infty,\ \alpha \to 0:\ \ \text{PID แบบอนุกรม}$$

ออกแบบทีละส่วน: lead ก่อนเพื่อเฟสมาร์จินและความเร็ว แล้ว lag เพื่อความแม่นยำ · lag ที่ขั้วอยู่ที่ 0 พอดีคือ PI · lead ที่ขั้วอยู่อนันต์คือ PD · ใช้ใน Type III compensator ของพาวเวอร์ซัพพลาย

| | Lead | Lag | Lag-lead / PID |

| แก้ปัญหา | overshoot มาก ช้า PM น้อย | ความผิดพลาดอยู่ตัว | ทั้งสองอย่าง |

| บนโบด | เติมเฟสที่ครอสโอเวอร์ ครอสโอเวอร์สูงขึ้น | ลดเกนความถี่สูง ครอสโอเวอร์ต่ำลง | รวมกัน |

| บนรูทโลคัส | ดึงโลคัสไปทางซ้าย | โลคัสเดิมแทบไม่เปลี่ยน | ดึงไปซ้าย + แม่นขึ้น |

| แบนด์วิดท์ | กว้างขึ้น (ไวต่อสัญญาณรบกวน) | แคบลง | ปรับได้ |

| เทียบเท่า | PD + ฟิลเตอร์ | PI (โดยประมาณ) | PID + ฟิลเตอร์ |

## สร้างจริง: วงจร RC และออปแอมป์ กลาง

C8 Op-amp lead/lag วงจรออปแอมป์ตัวเดียว ($Z_i = R_1 \parallel C_1$, $Z_f = R_2 \parallel C_2$)

$$\frac{V_o}{V_i} = -\frac{R_2}{R_1}\cdot\frac{R_1C_1s + 1}{R_2C_2s + 1} \qquad \begin{cases} R_1C_1 \gt R_2C_2 & \text{lead} \\ R_1C_1 \lt R_2C_2 & \text{lag} \end{cases}$$

$T = R_1C_1$, $\alpha T$ (หรือ $\beta T$) $= R_2C_2$ · เกน DC $= R_2/R_1$ · ต่อออปแอมป์อินเวอร์เตอร์อีกตัวเพื่อกลับเครื่องหมายและปรับเกน · ทดลองในแล็บออปแอมป์

C9 Passive RC lead network วงจร RC แบบพาสซีฟ

$$\frac{V_o}{V_i} = \alpha\,\frac{R_1Cs + 1}{\alpha R_1Cs + 1}, \qquad \alpha = \frac{R_2}{R_1 + R_2}$$

$R_1 \parallel C$ อนุกรม แล้ว $R_2$ ลงกราวด์ · ลดทอน $\alpha$ เท่า ต้องชดเชยด้วยแอมป์ · ต้องการโหลดอิมพีแดนซ์สูงตามหลัง

ตัวอย่าง C-5 · ทำ C-3 ด้วยออปแอมป์

### สร้าง $G_c(s) = 16\dfrac{s + 2}{s + 4} = 8\dfrac{0.5s + 1}{0.25s + 1}$ โดยใช้ $C_1 = C_2 = 10\ \mu\text{F}$

- $R_1C_1 = 0.5 \Rightarrow R_1 = 50\ \text{k}\Omega$ · $R_2C_2 = 0.25 \Rightarrow R_2 = 25\ \text{k}\Omega$ C8

- เกน DC ของวงจร $R_2/R_1 = 0.5$ ต้องการ 8 ใช้อินเวอร์เตอร์เกน $-16$ (เช่น $R_f = 160\ \text{k}\Omega,\ R_i = 10\ \text{k}\Omega$)

ออปแอมป์ตัวแรก $R_1 = 50$ k, $C_1 = 10$ µF, $R_2 = 25$ k, $C_2 = 10$ µF ตามด้วยอินเวอร์เตอร์เกน 16 ได้ $+16\dfrac{s+2}{s+4}$

## แล็บ: ก่อนและหลังชดเชย

เลือกรายการ “ก่อน” และ “หลัง” ของแต่ละตัวอย่างเทียบกัน ดู PM GM และผลตอบสนองขั้นบันไดเปลี่ยน ในมุมมองรูทโลคัสจะเห็น lead ดึงโลคัสไปทางซ้าย ส่วน lag แทบไม่เปลี่ยนรูป

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

- วาง $\omega_m$ ไว้ที่ครอสโอเวอร์เดิม → lead ยกเกนทำให้ครอสโอเวอร์ย้าย ต้องวางที่ครอสโอเวอร์ใหม่ (ขั้น 3 ของ C3)

- ลืมเฟสเผื่อ → ได้ PM ต่ำกว่าสเปกเล็กน้อยเสมอ

- ใช้ lead กับระบบที่เฟสลงเร็วมาก → เติมเฟสไม่ทัน (ตัวอย่าง C-2) ใช้ lag หรือ lag-lead

- วาง lag ใกล้ครอสโอเวอร์เกินไป → กินเฟสมาร์จิน วางศูนย์ต่ำกว่าอย่างน้อย 1 เดคาด

- สับสนเกนสองรูปแบบ → $K_c\frac{Ts+1}{\alpha Ts+1} = K_c\alpha\,\frac{s + 1/T}{s + 1/(\alpha T)}$ เกนหน้าวงเล็บต่างกัน $\alpha$ เท่า ตรวจด้วยเกน DC ทุกครั้ง

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ตัวชดเชยที่นิยมที่สุดในอุตสาหกรรมคือPID ซึ่งก็คือ lag-lead ในอีกรูปหนึ่ง และเมื่อเข้าใจหน้านี้ ตัวชดเชย Type II และ Type III ของพาวเวอร์ซัพพลายก็คือ lead/lag ที่ใส่อินทิเกรเตอร์เพิ่ม ออกแบบด้วยขั้นตอนเดียวกันทุกประการ

## คำถามที่พบบ่อย

Lead กับ Lag ต่างกันอย่างไรสั้น ๆ?
Lead (ศูนย์อยู่ก่อนขั้ว) เพิ่มเฟสบวกใกล้ความถี่ครอสโอเวอร์ ทำให้เฟสมาร์จินดีขึ้นและตอบสนองเร็วขึ้น เหมาะกับการแก้ overshoot และความเร็ว Lag (ขั้วอยู่ก่อนศูนย์ ใกล้จุดกำเนิด) เพิ่มเกนความถี่ต่ำ ทำให้ความผิดพลาดอยู่ตัวลดลงโดยแทบไม่แตะช่วงครอสโอเวอร์ เหมาะกับการแก้ความแม่นยำ

ทำไมออกแบบ lead ต้องบวกเฟสเผื่อ 5–12°?
เพราะ lead เพิ่มเกนที่ความถี่สูงด้วย ทำให้ความถี่ครอสโอเวอร์ขยับไปทางขวา ซึ่งเฟสของพลานต์ที่ตำแหน่งใหม่ต่ำกว่าเดิม จึงต้องเผื่อเฟสไว้ชดเชยส่วนที่หายไปนี้ ถ้าคำนวณแล้ว PM ยังไม่ถึง ให้เพิ่มค่าเผื่อแล้วทำซ้ำ

Lead เพิ่มเฟสได้มากสุดเท่าไร?
ในทางทฤษฎีเกือบ 90° เมื่อ α เข้าใกล้ 0 แต่ในทางปฏิบัตินิยมไม่เกิน 60–65° ต่อหนึ่งตัว (α ≥ 0.07) เพราะ α เล็กมากทำให้เกนความถี่สูงเพิ่ม 1/α เท่า ขยายสัญญาณรบกวน ถ้าต้องการเฟสมากกว่านั้นใช้ lead สองตัวต่ออนุกรม

Lag ทำให้ระบบช้าลงไหม?
ช่วงต้นแทบไม่ แต่คู่ขั้ว-ศูนย์ใกล้จุดกำเนิดสร้างขั้ววงปิดช้าที่เกือบถูกหักล้างด้วยศูนย์ ทำให้ผลตอบสนองมีหางยาวค่อย ๆ เข้าที่ (slow tail) ยิ่งวางคู่นี้ใกล้จุดกำเนิดมาก หางยิ่งยาวแต่เล็กลง เป็นการแลกเปลี่ยนที่ต้องพิจารณา

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**Lead กับ Lag ต่างกันอย่างไรสั้น ๆ?**
Lead (ศูนย์อยู่ก่อนขั้ว) เพิ่มเฟสบวกใกล้ความถี่ครอสโอเวอร์ ทำให้เฟสมาร์จินดีขึ้นและตอบสนองเร็วขึ้น เหมาะกับการแก้ overshoot และความเร็ว Lag (ขั้วอยู่ก่อนศูนย์ ใกล้จุดกำเนิด) เพิ่มเกนความถี่ต่ำ ทำให้ความผิดพลาดอยู่ตัวลดลงโดยแทบไม่แตะช่วงครอสโอเวอร์ เหมาะกับการแก้ความแม่นยำ

**ทำไมออกแบบ lead ต้องบวกเฟสเผื่อ 5–12°?**
เพราะ lead เพิ่มเกนที่ความถี่สูงด้วย ทำให้ความถี่ครอสโอเวอร์ขยับไปทางขวา ซึ่งเฟสของพลานต์ที่ตำแหน่งใหม่ต่ำกว่าเดิม จึงต้องเผื่อเฟสไว้ชดเชยส่วนที่หายไปนี้ ถ้าคำนวณแล้ว PM ยังไม่ถึง ให้เพิ่มค่าเผื่อแล้วทำซ้ำ

**Lead เพิ่มเฟสได้มากสุดเท่าไร?**
ในทางทฤษฎีเกือบ 90° เมื่อ α เข้าใกล้ 0 แต่ในทางปฏิบัตินิยมไม่เกิน 60–65° ต่อหนึ่งตัว (α ≥ 0.07) เพราะ α เล็กมากทำให้เกนความถี่สูงเพิ่ม 1/α เท่า ขยายสัญญาณรบกวน ถ้าต้องการเฟสมากกว่านั้นใช้ lead สองตัวต่ออนุกรม

**Lag ทำให้ระบบช้าลงไหม?**
ช่วงต้นแทบไม่ แต่คู่ขั้ว-ศูนย์ใกล้จุดกำเนิดสร้างขั้ววงปิดช้าที่เกือบถูกหักล้างด้วยศูนย์ ทำให้ผลตอบสนองมีหางยาวค่อย ๆ เข้าที่ (slow tail) ยิ่งวางคู่นี้ใกล้จุดกำเนิดมาก หางยิ่งยาวแต่เล็กลง เป็นการแลกเปลี่ยนที่ต้องพิจารณา

---

# ความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้ (Controllability & Observability)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/controllability-observability/
Updated: 2026-10-12
Summary: นิยามความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้ของระบบปริภูมิสถานะ เมทริกซ์ควบคุมได้และเมทริกซ์สังเกตได้ของคาลมาน การทดสอบด้วยแรงก์ การทดสอบ PBH ความเป็นคู่ (duality) ความสัมพันธ์กับการหักล้างขั้ว-ศูนย์ การแยกส่วนของคาลมาน realization ที่น้อยที่สุด เสถียรภาพที่ซ่อนอยู่ และตัวอย่างจากวงจรและมอเตอร์

// บทที่ 13.19 · ระบบควบคุม · Controllability & Observability

# ความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้ (Controllability & Observability)

ก่อนออกแบบตัวควบคุมแบบป้อนกลับสถานะ ต้องตอบสองคำถาม: อินพุตเอื้อมถึงทุกสถานะไหม (ควบคุมได้) และเอาต์พุตที่วัดบอกทุกสถานะไหม (สังเกตได้) ถ้าคำตอบคือใช่ทั้งคู่ เราวางขั้ววงปิดได้ทุกตำแหน่งและประมาณสถานะได้ครบ คาลมานให้วิธีตรวจด้วยแรงก์ของเมทริกซ์ ซึ่งใช้ความรู้จากระบบสมการเชิงเส้นและแรงก์โดยตรง สูตรใช้รหัส O

สรุปใน 30 วินาที

- ควบคุมได้ $\iff \operatorname{rank}[B\ \ AB\ \cdots\ A^{n-1}B] = n$

- สังเกตได้ $\iff \operatorname{rank}\begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1}\end{bmatrix} = n$

- ระบบเดียว: เช็กด้วย $\det \ne 0$ ได้เลย · หักล้างขั้ว-ศูนย์ = เสียอย่างใดอย่างหนึ่ง

- ควบคุมได้ → วางขั้วได้ทุกตำแหน่ง · สังเกตได้ → ออกแบบตัวสังเกตได้

## การทดสอบของคาลมานและ PBH กลาง

O1 Controllability (Kalman) ความสามารถควบคุมได้

$$\mathcal C = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}, \qquad \text{ควบคุมได้} \iff \operatorname{rank}\mathcal C = n$$

อินพุตเดียว: $\mathcal C$ เป็นจัตุรัส ตรวจ $\det\mathcal C \ne 0$ (ดีเทอร์มิแนนต์)

O2 Observability (Kalman) ความสามารถสังเกตได้

$$\mathcal O = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}, \qquad \text{สังเกตได้} \iff \operatorname{rank}\mathcal O = n$$

ความเป็นคู่ (duality): $(A, C)$ สังเกตได้ $\iff (A^T, C^T)$ ควบคุมได้ จึงใช้เครื่องมือเดียวกันออกแบบตัวสังเกต

O3 PBH test การทดสอบ Popov–Belevitch–Hautus

$$\text{ควบคุมได้} \iff \operatorname{rank}\big[\lambda I - A\ \ \ B\big] = n \ \ \forall\lambda \in \operatorname{eig}(A), \qquad \text{สังเกตได้} \iff \operatorname{rank}\begin{bmatrix} \lambda I - A \\ C \end{bmatrix} = n$$

บอกว่าโหมดไหน (ค่าเฉพาะตัวไหน) ที่ควบคุมไม่ได้หรือสังเกตไม่ได้ · ถ้าโหมดที่มีปัญหาเสถียร เรียกว่า stabilizable / detectable ซึ่งยังพอใช้งานได้

ตัวอย่าง O-1 · ระบบปกติ

### ตรวจ $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ C = (3\ \ 1)$ (จาก X-2)

- $AB = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ ได้ $\mathcal C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$, $\det = -1 \ne 0$ ✓ O1

- $CA = (3\ \ 1)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} = (-2\ \ 0)$ ได้ $\mathcal O = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$, $\det = 2 \ne 0$ ✓ O2

ทั้งควบคุมได้และสังเกตได้ (สอดคล้องกับ $G = \frac{s+3}{(s+1)(s+2)}$ ที่ไม่มีการหักล้าง)

ตัวอย่าง O-2 · หักล้างแล้วมองไม่เห็น

### เปลี่ยนเป็น $C = (1\ \ 1)$ คือ $G = \dfrac{s + 1}{(s+1)(s+2)}$ ตรวจอีกครั้ง

- $\mathcal C$ เหมือนเดิม: ควบคุมได้ ✓

- $CA = (-2\ \ -2)$ ได้ $\mathcal O = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$, $\det = 0$ ✗

- PBH ที่ $\lambda = -1$: $\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ แรงก์ 1 $\lt 2$ → โหมด $e^{-t}$ สังเกตไม่ได้ O3

ไม่สังเกตได้: โหมด −1 ถูกศูนย์ที่ −1 ซ่อนไว้ ฟังก์ชันถ่ายโอนเหลือ $\frac{1}{s+2}$ (อันดับหนึ่ง) แต่ระบบจริงยังมีอันดับสอง · ปลอดภัยเพราะโหมดนั้นเสถียร (detectable) ถ้าเป็นขั้วฝั่งขวาจะอันตรายมาก (ดูเสถียรภาพภายใน)

ตัวอย่าง O-3 · สองมอเตอร์เหมือนกันจากไดรเวอร์เดียว

### มอเตอร์สองตัวที่เหมือนกันทุกประการ $\dot\omega_i = -\omega_i + u$ ขับด้วยสัญญาณเดียวกัน ควบคุมความเร็วแยกกันได้ไหม

- $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ · $AB = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

- $\mathcal C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $\det = 0$ ✗

ควบคุมไม่ได้: ผลต่าง $\omega_1 - \omega_2$ ลดลงเองตาม $e^{-t}$ อินพุตไปแตะไม่ได้ ถ้าต้องการให้ล้อซ้ายขวาของหุ่นยนต์หมุนต่างกัน (เลี้ยว) ต้องมีไดรเวอร์แยก ตรงตามสามัญสำนึก แต่คณิตศาสตร์บอกเราล่วงหน้าได้ในระบบที่ซับซ้อนกว่านี้มาก

## Realization ที่น้อยที่สุดและการแยกส่วนของคาลมาน ขั้นสูง

O4 Minimal realization แบบจำลองที่น้อยที่สุด

$$(A, B, C) \text{ น้อยที่สุด} \iff \text{ควบคุมได้และสังเกตได้} \iff n = \text{ดีกรีตัวส่วนของ } G(s) \text{ หลังตัดทอน}$$

การแยกส่วนของคาลมานแบ่งสถานะเป็นสี่กลุ่ม (ควบคุมได้/ไม่ได้ × สังเกตได้/ไม่ได้) ฟังก์ชันถ่ายโอนแสดงเฉพาะกลุ่มที่ควบคุมได้และสังเกตได้

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

เมื่อควบคุมได้ ก็วางขั้ววงปิดได้ทุกตำแหน่งด้วยป้อนกลับสถานะ และเมื่อสังเกตได้ ก็สร้างตัวสังเกตประมาณสถานะที่ไม่ได้วัดได้

## คำถามที่พบบ่อย

ควบคุมได้ (controllable) หมายความว่าอะไรในทางปฏิบัติ?
หมายความว่าอินพุตที่มีอยู่สามารถพาสถานะทุกตัวไปยังค่าใดก็ได้ภายในเวลาจำกัด ถ้าไม่ควบคุมได้ จะมีโหมดบางโหมดที่ตัวขับเอื้อมไม่ถึง ไม่ว่าออกแบบตัวควบคุมอย่างไรก็เปลี่ยนขั้วของโหมดนั้นไม่ได้ ถ้าโหมดนั้นไม่เสถียรก็จบ

ถ้าไม่สังเกตได้ จะเกิดอะไร?
จะมีสถานะบางส่วนที่ไม่ส่งผลถึงเอาต์พุตที่วัด จึงประมาณค่าด้วยตัวสังเกตไม่ได้ ถ้าโหมดนั้นเสถียรก็พอยอมรับได้ (detectable) แต่ถ้าไม่เสถียร สถานะภายในจะโตขึ้นโดยที่เซนเซอร์มองไม่เห็นเลย

ทำไมการหักล้างขั้ว-ศูนย์เกี่ยวกับเรื่องนี้?
ฟังก์ชันถ่ายโอนแสดงเฉพาะส่วนที่ทั้งควบคุมได้และสังเกตได้ เมื่อมีการหักล้างขั้ว-ศูนย์ แบบจำลองปริภูมิสถานะที่มีอันดับเต็มจะสูญเสียความสามารถควบคุมได้หรือสังเกตได้อย่างน้อยหนึ่งอย่าง และโหมดที่ถูกหักล้างจะหายไปจากฟังก์ชันถ่ายโอน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ควบคุมได้ (controllable) หมายความว่าอะไรในทางปฏิบัติ?**
หมายความว่าอินพุตที่มีอยู่สามารถพาสถานะทุกตัวไปยังค่าใดก็ได้ภายในเวลาจำกัด ถ้าไม่ควบคุมได้ จะมีโหมดบางโหมดที่ตัวขับเอื้อมไม่ถึง ไม่ว่าออกแบบตัวควบคุมอย่างไรก็เปลี่ยนขั้วของโหมดนั้นไม่ได้ ถ้าโหมดนั้นไม่เสถียรก็จบ

**ถ้าไม่สังเกตได้ จะเกิดอะไร?**
จะมีสถานะบางส่วนที่ไม่ส่งผลถึงเอาต์พุตที่วัด จึงประมาณค่าด้วยตัวสังเกตไม่ได้ ถ้าโหมดนั้นเสถียรก็พอยอมรับได้ (detectable) แต่ถ้าไม่เสถียร สถานะภายในจะโตขึ้นโดยที่เซนเซอร์มองไม่เห็นเลย

**ทำไมการหักล้างขั้ว-ศูนย์เกี่ยวกับเรื่องนี้?**
ฟังก์ชันถ่ายโอนแสดงเฉพาะส่วนที่ทั้งควบคุมได้และสังเกตได้ เมื่อมีการหักล้างขั้ว-ศูนย์ แบบจำลองปริภูมิสถานะที่มีอันดับเต็มจะสูญเสียความสามารถควบคุมได้หรือสังเกตได้อย่างน้อยหนึ่งอย่าง และโหมดที่ถูกหักล้างจะหายไปจากฟังก์ชันถ่ายโอน

---

# ระบบควบคุมดิจิทัล: การสุ่ม z-transform และ PID ดิจิทัล

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/digital-control/
Updated: 2026-10-12
Summary: ระบบควบคุมดิจิทัลบนไมโครคอนโทรลเลอร์ การสุ่มสัญญาณและ aliasing วงจรคงค่าอันดับศูนย์ (ZOH) การแปลง z ฟังก์ชันถ่ายโอนไม่ต่อเนื่อง การแมป z = e^{sT} เสถียรภาพในวงกลมหนึ่งหน่วย เกณฑ์ของจูรี แปลงตัวควบคุมด้วย Euler และ Tustin (bilinear) สมการผลต่างของ PID ดิจิทัล การเลือกคาบสุ่ม และผลของหน่วงเวลาครึ่งคาบต่อเฟสมาร์จิน

// บทที่ 13.21 · ระบบควบคุม · Digital Control

# ระบบควบคุมดิจิทัล: การสุ่ม z-transform และ PID ดิจิทัล

ตัวควบคุมเกือบทุกตัวในวันนี้คือโค้ดในไมโครคอนโทรลเลอร์หรือ DSP: อ่าน ADC ทุกคาบ $T$ คำนวณ แล้วเขียน PWM ค้างไว้จนคาบถัดไป การทำแบบนี้เปลี่ยนโลกต่อเนื่อง ($s$) เป็นโลกไม่ต่อเนื่อง ($z$) และเพิ่มหน่วงเวลาที่ต้องรู้ทัน หน้านี้พาแปลงทุกอย่างที่เรียนมาเป็นดิจิทัล ตั้งแต่การสุ่ม ความเสถียรในวงกลมหนึ่งหน่วย จนถึงสมการผลต่างของ PID ที่เขียนลงชิปได้ทันที สูตรใช้รหัส Y

สรุปใน 30 วินาที

- $z = e^{sT}$: ฝั่งซ้ายของระนาบ s → ภายในวงกลมหนึ่งหน่วย · เสถียร $\iff |z_i| \lt 1$

- พลานต์ + ZOH: $G(z) = (1 - z^{-1})\mathcal Z\{G(s)/s\}$

- ตัวควบคุม: แทน $s \approx \frac2T\frac{z - 1}{z + 1}$ (Tustin) แล้วเขียนเป็นสมการผลต่าง

- ความถี่สุ่ม 20–30 เท่าของแบนด์วิดท์ · ZOH หน่วงครึ่งคาบ เสียเฟส $\omega_cT/2$

## การสุ่มและวงจรคงค่า กลาง

2 wmax การสุ่ม แอลิแอส">
Y1 Sampling and aliasing การสุ่มและแอลิแอส

$$\omega_s = \frac{2\pi}{T} \gt 2\omega_{max} \qquad (\text{ความถี่ไนควิสต์ } \omega_s/2)$$

ความถี่เหนือ $\omega_s/2$ จะปรากฏเป็นความถี่ต่ำปลอม (alias) ต้องกรองด้วยฟิลเตอร์แอนติแอลิแอส RC ก่อน ADC · ดูภาพการสุ่มในแล็บสัญญาณ

Y2 ZOH equivalent of the plant พลานต์มองจากคอมพิวเตอร์

$$G(z) = (1 - z^{-1})\,\mathcal Z\left\{\frac{G(s)}{s}\right\} \qquad \text{เช่น } \frac{a}{s + a} \to \frac{1 - e^{-aT}}{z - e^{-aT}}$$

แม่นตรงที่จังหวะสุ่ม (step invariant) · ปริภูมิสถานะ: $A_d = e^{AT}$, $B_d = \int_0^Te^{A\tau}d\tau\,B$ (X6)

Y3 s-to-z mapping and stability การแมปและเสถียรภาพ

$$z = e^{sT}: \ \ s = -\sigma \pm j\omega_d \ \mapsto\ |z| = e^{-\sigma T},\ \angle z = \pm\omega_dT, \qquad \text{เสถียร} \iff |z_i| \lt 1$$

แกน $j\omega$ → วงกลมหนึ่งหน่วย · $s = 0$ → $z = 1$ · ขั้วใกล้ $z = 1$ = ช้า · ขั้วบนแกนจริงลบ ($z \lt 0$) = แกว่งสลับทุกคาบ ไม่มีคู่เทียบในโลกต่อเนื่อง

Y4 Jury test (2nd order) เกณฑ์จูรีสำหรับ $P(z) = a_2z^2 + a_1z + a_0,\ a_2 \gt 0$

$$P(1) \gt 0, \qquad P(-1) \gt 0, \qquad |a_0| \lt a_2$$

เทียบเท่าเราท์ในโลก z · อันดับสูงกว่าใช้ตารางของจูรี หรือแปลง $z = \frac{1 + w}{1 - w}$ แล้วใช้เราท์

ตัวอย่าง Y-1 · P ที่เสถียรเสมอ กลายเป็นมีเกนสูงสุด

### พลานต์ $\frac{1}{s + 1}$ ควบคุมด้วย P ผ่านคอมพิวเตอร์ที่ $T = 0.1$ s หาเกนสูงสุด

- Y2: $G(z) = \dfrac{1 - e^{-0.1}}{z - e^{-0.1}} = \dfrac{0.09516}{z - 0.9048}$

- วงปิด: $z - 0.9048 + 0.09516K = 0 \Rightarrow z = 0.9048 - 0.09516K$

- Y3: $|z| \lt 1 \Rightarrow -1 \lt 0.9048 - 0.09516K \Rightarrow K \lt 20.02$

แบบต่อเนื่องเสถียรทุก $K$ แต่แบบดิจิทัลเสถียรเมื่อ $K \lt 20$ เท่านั้น ที่ $K$ ใกล้ 20 ขั้วอยู่ใกล้ $z = -1$ เอาต์พุตแกว่งสลับขึ้นลงทุกคาบ · python-control c2d ยืนยัน $G(z)$ ✓

## แปลงตัวควบคุมเป็นดิจิทัล กลาง

Y5 Discretization methods วิธีแปลง $C(s) \to C(z)$

$$\text{Forward Euler: } s \approx \frac{z - 1}{T}, \qquad \text{Backward Euler: } s \approx \frac{z - 1}{Tz}, \qquad \text{Tustin: } s \approx \frac{2}{T}\cdot\frac{z - 1}{z + 1}$$

Tustin รักษาเสถียรภาพเสมอ · ถ้าต้องการให้ความถี่หนึ่ง (เช่น notch ที่ $\omega_0$) ตรงพอดี ใช้ prewarping: แทน $\frac2T$ ด้วย $\frac{\omega_0}{\tan(\omega_0T/2)}$

Y6 Digital PID PID ดิจิทัล (I แบบ Tustin, D แบบ backward + ฟิลเตอร์)

$$I_k = I_{k-1} + \frac{K_IT}{2}(e_k + e_{k-1}), \qquad D_k = \frac{T_f}{T_f + T}D_{k-1} + \frac{K_D}{T_f + T}(e_k - e_{k-1}), \qquad u_k = K_Pe_k + I_k + D_k$$

รูปแบบความเร็ว (incremental): $\Delta u_k = u_k - u_{k-1}$ ไม่ต้องเก็บอินทิกรัล สลับ manual/auto ไม่กระตุก · ใส่ D จากเอาต์พุตและ anti-windup ตามโค้ดในหน้า PID

Y7 Choosing the sample rate เลือกความถี่สุ่ม

$$\omega_s \approx (20 \text{ ถึง } 30)\,\omega_{BW}, \qquad \Delta\text{PM} \approx \frac{\omega_cT}{2}\ \text{rad} = 28.6\,\omega_cT \ \text{องศา} \ (\text{จาก ZOH})$$

บวกหน่วงจากการคำนวณอีก (มักเป็นหนึ่งคาบเต็มถ้าเขียน PWM คาบถัดไป) · ลูปกระแสของไดรฟ์มอเตอร์มักสุ่ม 10–20 kHz พร้อม PWM

ตัวอย่าง Y-2 · PI ลงชิป

### แปลง PI $C(s) = 2 + \frac{1}{s}$ ด้วย Tustin ที่ $T = 0.01$ s เป็นสมการผลต่าง

- Y5: $\dfrac1s \to \dfrac{T}{2}\cdot\dfrac{z + 1}{z - 1}$ ได้ $C(z) = 2 + 0.005\dfrac{z + 1}{z - 1} = \dfrac{2.005z - 1.995}{z - 1}$

- คูณไขว้: $(z - 1)U = (2.005z - 1.995)E$ → หารด้วย $z$ แล้วแปลงเป็นเวลา

$u_k = u_{k-1} + 2.005\,e_k - 1.995\,e_{k-1}$ · สามบรรทัดในโค้ด รันทุก 10 ms

ตัวอย่าง Y-3 · พาวเวอร์ซัพพลายดิจิทัล

### ลูปแรงดันมีครอสโอเวอร์ 5 kHz ถ้าสุ่มที่ 100 kHz (เท่ากับความถี่สวิตชิ่ง) เสียเฟสเท่าไร และถ้าสุ่ม 50 kHz ล่ะ

- $\omega_c = 2\pi \times 5000 = 31416$ rad/s

- 100 kHz: $T = 10\ \mu$s → $28.6 \times 31416 \times 10^{-5} = 9.0^\circ$ Y7

- 50 kHz: $T = 20\ \mu$s → $18^\circ$

ที่ 100 kHz เสียเฟส 9° (บวกหน่วงคำนวณอีกราว 18° ถ้าอัปเดต PWM คาบถัดไป) ต้องออกแบบตัวชดเชยเผื่อไว้ · ลดความถี่สุ่มลงครึ่งหนึ่งเสียเฟสเพิ่มเท่าตัว

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ทำไม ROC ของการแปลง Z เป็นวงแหวน: เพราะ $X(z) = \sum x[n]z^{-n}$ คืออนุกรมโลรองต์ ดูที่มาและแล็บที่ อนุกรมโลรองต์กับการแปลง Z และตัวกรอง IIR ในรูปอนุกรมเรขาคณิตที่ อนุกรมในงานวิศวกรรม

โลกจริงมีการอิ่มตัว แรงเสียดทาน และพลานต์ที่ไม่ตรงแบบจำลอง ไปที่ระบบไม่เชิงเส้นและการควบคุมแบบทนทาน หรือข้ามไปดูงานจริงที่เมคาทรอนิกส์

## คำถามที่พบบ่อย

ควรเลือกความถี่สุ่มเท่าไร?
กฎหัวแม่มือคือ 20 ถึง 30 เท่าของแบนด์วิดท์วงปิด (หรือของความถี่ครอสโอเวอร์) ต่ำกว่า 10 เท่าเฟสมาร์จินจะหายไปมากจากหน่วงเวลาของ ZOH และควรใส่ฟิลเตอร์แอนติแอลิแอสก่อน ADC ที่ตัดความถี่ต่ำกว่าครึ่งหนึ่งของความถี่สุ่ม

ทำไมระบบที่เสถียรแบบต่อเนื่อง จึงไม่เสถียรเมื่อทำเป็นดิจิทัล?
เพราะการสุ่มและคงค่าเพิ่มหน่วงเวลาเฉลี่ยครึ่งคาบสุ่ม ลดเฟสมาร์จิน ยิ่งเกนสูงและคาบสุ่มยาว ยิ่งแย่ ระบบอันดับหนึ่งที่ปิดวงด้วย P ซึ่งเสถียรทุกเกนแบบต่อเนื่อง จะมีเกนสูงสุดเมื่อทำเป็นดิจิทัล

Tustin ต่างจาก Euler อย่างไร?
Euler แทนอนุพันธ์ด้วยผลต่างไปข้างหน้าหรือย้อนหลัง ง่ายแต่บิดเบี้ยวเมื่อคาบสุ่มยาว และ forward Euler อาจทำให้ระบบเสถียรกลายเป็นไม่เสถียร Tustin (bilinear) แมปฝั่งซ้ายของระนาบ s ไปภายในวงกลมหนึ่งหน่วยพอดี จึงรักษาเสถียรภาพเสมอ แม่นกว่าในช่วงความถี่ต่ำถึงกลาง นิยมที่สุดในการแปลงตัวควบคุม

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ควรเลือกความถี่สุ่มเท่าไร?**
กฎหัวแม่มือคือ 20 ถึง 30 เท่าของแบนด์วิดท์วงปิด (หรือของความถี่ครอสโอเวอร์) ต่ำกว่า 10 เท่าเฟสมาร์จินจะหายไปมากจากหน่วงเวลาของ ZOH และควรใส่ฟิลเตอร์แอนติแอลิแอสก่อน ADC ที่ตัดความถี่ต่ำกว่าครึ่งหนึ่งของความถี่สุ่ม

**ทำไมระบบที่เสถียรแบบต่อเนื่อง จึงไม่เสถียรเมื่อทำเป็นดิจิทัล?**
เพราะการสุ่มและคงค่าเพิ่มหน่วงเวลาเฉลี่ยครึ่งคาบสุ่ม ลดเฟสมาร์จิน ยิ่งเกนสูงและคาบสุ่มยาว ยิ่งแย่ ระบบอันดับหนึ่งที่ปิดวงด้วย P ซึ่งเสถียรทุกเกนแบบต่อเนื่อง จะมีเกนสูงสุดเมื่อทำเป็นดิจิทัล

**Tustin ต่างจาก Euler อย่างไร?**
Euler แทนอนุพันธ์ด้วยผลต่างไปข้างหน้าหรือย้อนหลัง ง่ายแต่บิดเบี้ยวเมื่อคาบสุ่มยาว และ forward Euler อาจทำให้ระบบเสถียรกลายเป็นไม่เสถียร Tustin (bilinear) แมปฝั่งซ้ายของระนาบ s ไปภายในวงกลมหนึ่งหน่วยพอดี จึงรักษาเสถียรภาพเสมอ แม่นกว่าในช่วงความถี่ต่ำถึงกลาง นิยมที่สุดในการแปลงตัวควบคุม

---

# คลังไอเดียระบบควบคุม 70 ระบบ: ตั้งแต่ชักโครกถึงจรวด

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/examples/
Updated: 2026-10-12
Summary: รวมตัวอย่างระบบควบคุมป้อนกลับ 70 ระบบ จัดเป็นหมวด ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ อิเล็กทรอนิกส์กำลังและพลังงาน มอเตอร์และเมคาทรอนิกส์ หุ่นยนต์ ยานยนต์ อากาศยาน กระบวนการและอาคาร ชีวการแพทย์ แต่ละระบบระบุตัวแปรที่ควบคุม เซนเซอร์ ตัวขับ ชนิดตัวควบคุมที่นิยม และบทเรียนที่เกี่ยวข้อง ใช้เป็นไอเดียโปรเจกต์ ตัวอย่างสอน และแบบฝึกวิเคราะห์

// บทที่ 13.26 · ระบบควบคุม · Control Systems Examples Gallery

# คลังไอเดียระบบควบคุม 70 ระบบ: ตั้งแต่ชักโครกถึงจรวด

เมื่อเข้าใจลูปป้อนกลับหนึ่งลูป คุณจะเริ่มเห็นมันทุกที่ ตารางนี้รวบรวมระบบควบคุมจริง 70 ระบบ ตั้งแต่วงจรในห้องแล็บไฟฟ้า พาวเวอร์ซัพพลาย มอเตอร์ หุ่นยนต์ ไปจนถึงรถยนต์ เครื่องบิน และร่างกายมนุษย์ ทุกแถวตอบสี่คำถามเดียวกัน: ควบคุมอะไร วัดด้วยอะไร ขับด้วยอะไร และใช้ตัวควบคุมแบบไหน พร้อมลิงก์ไปบทเรียนที่เกี่ยวข้อง ใช้เป็นไอเดียโปรเจกต์ ตัวอย่างสอน หรือโจทย์ฝึกวาดบล็อกไดอะแกรมก็ได้

ค้นหาระบบ

## วิธีใช้ตารางนี้

- ฝึกวาดบล็อกไดอะแกรม: เลือกหนึ่งแถว วาดลูปแบบลูปมาตรฐาน ระบุ r, e, C, u, G, d, H, y ให้ครบ

- ฝึกสร้างแบบจำลอง: เขียนฟังก์ชันถ่ายโอนของพลานต์อย่างง่าย (แบบจำลอง) แล้วลองปิดวงในแล็บ

- เลือกโปรเจกต์: ระบบที่มีคำว่า PI/PID เหมาะเริ่มต้น · lead, LQR, ไม่เสถียรวงเปิด เหมาะโปรเจกต์ปีสุดท้ายหรือบัณฑิตศึกษา

- สอน: ใช้ระบบใกล้ตัว (แอร์ ครูสคอนโทรล หัวแร้ง) เปิดชั่วโมงแรกของวิชา

## ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ 10 ระบบ

| ระบบ | ตัวแปรที่ควบคุม | เซนเซอร์ | ตัวขับ | ตัวควบคุมที่นิยม | เรียนที่ |

| แอมป์ออปแอมป์เกนคงที่ | แรงดันเอาต์พุต | ตัวแบ่งแรงดัน (β) | ออปแอมป์ | ป้อนกลับลบ เกน 1/β | แบบจำลอง · โบด |

| LDO เรกูเลเตอร์ | แรงดันเอาต์พุต | ตัวแบ่งแรงดัน | ทรานซิสเตอร์ผ่าน | แอมป์ผิดพลาด + ชดเชยด้วย ESR | มาร์จิน · โบด |

| PLL สังเคราะห์ความถี่ | เฟส/ความถี่ | phase detector | VCO | ลูปฟิลเตอร์ type 2 (PI) | ความผิดพลาดอยู่ตัว · โบด |

| AGC ในวิทยุ | แอมพลิจูดสัญญาณ | ตัวตรวจจับแอมพลิจูด | แอมป์เกนปรับได้ | I + ลอการิทึม | ไม่เชิงเส้น · PID |

| เครื่องชาร์จแบต Li-ion CC–CV | กระแส แล้วแรงดัน | shunt, ตัวแบ่งแรงดัน | ตัวแปลง DC–DC | PI สองลูปสลับโหมด | ตัวแปลงกำลัง · PID |

| ตัวขับ LED กระแสคงที่ | กระแส LED | ตัวต้านทานวัดกระแส | บั๊ก/บูสต์ | Type II, hysteretic | ตัวแปลงกำลัง |

| วงจรออสซิลเลเตอร์ Wien bridge | แอมพลิจูดการแกว่ง | หลอด/ไดโอดจำกัด | ออปแอมป์ | ป้อนกลับบวก + เสถียรแอมพลิจูด | ไนควิสต์ · ไม่เชิงเส้น |

| หัวแร้งบัดกรีควบคุมอุณหภูมิ | อุณหภูมิปลาย | เทอร์โมคัปเปิล | ฮีตเตอร์ PWM | PID + anti-windup | จูน PID |

| ลำโพง class-D ป้อนกลับ | แรงดันลำโพง | วัดหลัง LC ฟิลเตอร์ | MOSFET PWM | ป้อนกลับอันดับสูง | โบด · ตัวแปลงกำลัง |

| แหล่งจ่ายแรงดันสูงหลอด X-ray | kV เอาต์พุต | ตัวแบ่งแรงดันสูง | อินเวอร์เตอร์เรโซแนนซ์ | PI + จำกัดอัตรา | ตัวแปลงกำลัง · ไม่เชิงเส้น |

## อิเล็กทรอนิกส์กำลังและพลังงาน 10 ระบบ

| ระบบ | ตัวแปรที่ควบคุม | เซนเซอร์ | ตัวขับ | ตัวควบคุมที่นิยม | เรียนที่ |

| บั๊กคอนเวอร์เตอร์ 12→5 V | แรงดันเอาต์พุต | ตัวแบ่งแรงดัน | PWM + MOSFET | Type III / โหมดกระแส | ตัวแปลงกำลัง |

| บูสต์ PFC หน้าแหล่งจ่าย | กระแสเข้าให้เป็นไซน์ + แรงดันบัส | เซนเซอร์กระแส, ตัวแบ่ง | บูสต์ PWM | ลูปกระแสเร็ว + ลูปแรงดันช้า | ตัวแปลงกำลัง · เมคาทรอนิกส์ |

| อินเวอร์เตอร์โซลาร์ต่อกริด | กระแสจ่ายเข้ากริด | CT, PLL | อินเวอร์เตอร์ฟูลบริดจ์ | PI ในแกน dq / PR | ตัวแปลงกำลัง · ดิจิทัล |

| MPPT แผงโซลาร์ | กำลังสูงสุด | V, I ของแผง | ตัวแปลง DC–DC | perturb & observe (ค้นหา) | ไม่เชิงเส้น |

| UPS ออนไลน์ | แรงดันเอาต์พุต AC | ตัวแบ่ง, CT | อินเวอร์เตอร์ | repetitive / PR controller | ตัวแปลงกำลัง · ดิจิทัล |

| ตัวแปลง LLC เรโซแนนซ์ | แรงดันเอาต์พุต | ออปโตคัปเปลอร์ | ความถี่สวิตช์ | Type II ผ่าน optocoupler | ตัวแปลงกำลัง · โบด |

| AVR เครื่องกำเนิดไฟฟ้า | แรงดันขั้ว | PT | กระแสสนาม (exciter) | PID + PSS | PID · รูทโลคัส |

| Governor ควบคุมความถี่ 50 Hz | ความถี่ระบบ | วัดความถี่ | วาล์วไอน้ำ/น้ำ | droop + I (AGC) | ความผิดพลาดอยู่ตัว · PID |

| กังหันลม pitch control | ความเร็วโรเตอร์ / กำลัง | เอนโค้ดเดอร์ | มอเตอร์ปรับมุมใบ | PI gain-scheduled | ไม่เชิงเส้น · PID |

| BMS สมดุลเซลล์แบต | แรงดันเซลล์ | ADC หลายช่อง | สวิตช์ balancing | on–off + hysteresis | ไม่เชิงเส้น |

## มอเตอร์และเมคาทรอนิกส์ 12 ระบบ

| ระบบ | ตัวแปรที่ควบคุม | เซนเซอร์ | ตัวขับ | ตัวควบคุมที่นิยม | เรียนที่ |

| ไดรฟ์มอเตอร์ DC ความเร็ว | ความเร็วรอบ | เอนโค้ดเดอร์ | H-bridge | PI กระแส + PI ความเร็ว | เมคาทรอนิกส์ |

| เซอร์โว AC/BLDC | ตำแหน่งเพลา | เอนโค้ดเดอร์สัมบูรณ์ | อินเวอร์เตอร์ FOC | P–PI–PI คาสเคด + FF | เมคาทรอนิกส์ |

| เครื่อง CNC / เลเซอร์คัต | ตำแหน่งหลายแกน | เอนโค้ดเดอร์เชิงเส้น | เซอร์โว/สเต็ปเปอร์ | คาสเคด + feedforward + วิถี | เมคาทรอนิกส์ · โรโบติกส์ |

| เครื่องพิมพ์ 3 มิติ | ตำแหน่งหัว + อุณหภูมิหัวฉีด | เทอร์มิสเตอร์, (ไม่มีเซนเซอร์ตำแหน่ง) | สเต็ปเปอร์, ฮีตเตอร์ | วงเปิดตำแหน่ง + PID อุณหภูมิ | จูน PID · เมคาทรอนิกส์ |

| กิมบอลกล้อง | มุมกล้อง | IMU | มอเตอร์ BLDC | PI อัตราหมุน + P มุม | เมคาทรอนิกส์ · ดิจิทัล |

| สายพานลำเลียงคุมแรงตึง | แรงตึงสายพาน | load cell | มอเตอร์ม้วน | PI + ชดเชยเส้นผ่านศูนย์กลาง | PID · ไม่เชิงเส้น |

| ลอยแม่เหล็ก (maglev) | ระยะลอย | Hall sensor | แม่เหล็กไฟฟ้า | lead (พลานต์ไม่เสถียร) | lead/lag · แบบจำลอง |

| Ball-and-beam | ตำแหน่งลูกบอล | IR/กล้อง | เซอร์โวเอียงคาน | PD คาสเคด / lead | lead/lag · รูทโลคัส |

| หัวอ่านฮาร์ดดิสก์ | ตำแหน่งหัวอ่าน | servo pattern บนจาน | voice coil | lead + notch, ดิจิทัลเร็วสูง | เมคาทรอนิกส์ · ดิจิทัล |

| ออโต้โฟกัสกล้อง | ตำแหน่งเลนส์ | contrast / phase detect | voice coil / สเต็ปเปอร์ | ค้นหาค่าสูงสุด + PID | ไม่เชิงเส้น · PID |

| ลิฟต์ | ตำแหน่ง ความเร็ว jerk | เอนโค้ดเดอร์ | มอเตอร์เหนี่ยวนำ + อินเวอร์เตอร์ | วิถี S-curve + PI คาสเคด | โรโบติกส์ · เมคาทรอนิกส์ |

| เครื่องซักผ้าไดรฟ์ตรง | ความเร็วถัง + สมดุล | Hall, กระแส | BLDC | PI + ตรวจโหลดไม่สมดุล | เมคาทรอนิกส์ |

## หุ่นยนต์ 10 ระบบ

| ระบบ | ตัวแปรที่ควบคุม | เซนเซอร์ | ตัวขับ | ตัวควบคุมที่นิยม | เรียนที่ |

| แขนกลอุตสาหกรรม 6 แกน | มุมข้อต่อ | เอนโค้ดเดอร์สัมบูรณ์ | เซอร์โว + harmonic drive | PD + ชดเชยแรงโน้มถ่วง, computed torque | โรโบติกส์ |

| หุ่นยนต์ SCARA หยิบวาง | ตำแหน่ง XY | เอนโค้ดเดอร์ | เซอร์โว | คาสเคด + จลนศาสตร์ผกผัน | โรโบติกส์ |

| หุ่นเดินตามเส้น | ความคลาดจากเส้น | อาร์เรย์อินฟราเรด | มอเตอร์ซ้าย–ขวา | PD | โรโบติกส์ · PID |

| หุ่นยนต์ทรงตัวสองล้อ | มุมเอียง ตำแหน่ง | IMU + เอนโค้ดเดอร์ | มอเตอร์ล้อ | LQR / PID สองลูป | ป้อนกลับสถานะ · โรโบติกส์ |

| หุ่นยนต์ AGV/AMR ในโกดัง | ตำแหน่ง ทิศทาง | LiDAR, เอนโค้ดเดอร์, IMU | มอเตอร์ล้อ | pure pursuit + ตัวกรองคาลมาน | โรโบติกส์ · ป้อนกลับสถานะ |

| โดรนสี่ใบพัด | มุม ความสูง ตำแหน่ง | IMU, บารอมิเตอร์, GPS | ESC + BLDC | PID คาสเคดมุม–อัตรา | PID · ดิจิทัล |

| หุ่นยนต์สี่ขา | ท่าทางลำตัว | IMU, เซนเซอร์แรงที่เท้า | มอเตอร์ข้อต่อแรงบิดสูง | MPC + impedance control | ป้อนกลับสถานะ · โรโบติกส์ |

| มือกลจับของแบบนุ่ม | แรงจับ | เซนเซอร์แรง/กระแสมอเตอร์ | มอเตอร์นิ้ว | force / impedance control | โรโบติกส์ |

| หุ่นยนต์ผ่าตัด | ตำแหน่งปลายเครื่องมือ | เอนโค้ดเดอร์, กล้อง | มอเตอร์ + สายเคเบิล | PD + ชดเชยสายยืด + teleoperation | โรโบติกส์ · ไม่เชิงเส้น |

| Exoskeleton ช่วยเดิน | แรงบิดข้อต่อ | EMG, เอนโค้ดเดอร์ | มอเตอร์ข้อเข่า/สะโพก | admittance control | โรโบติกส์ |

## ยานยนต์และการขนส่ง 8 ระบบ

| ระบบ | ตัวแปรที่ควบคุม | เซนเซอร์ | ตัวขับ | ตัวควบคุมที่นิยม | เรียนที่ |

| ครูสคอนโทรล | ความเร็วรถ | เซนเซอร์ความเร็วล้อ | ลิ้นปีกผีเสื้อ/มอเตอร์ | PI + feedforward ความชัน | PID · ความผิดพลาดอยู่ตัว |

| Adaptive cruise control | ระยะห่างคันหน้า | เรดาร์ | คันเร่ง/เบรก | คาสเคดระยะ–ความเร็ว / MPC | PID · ป้อนกลับสถานะ |

| ABS เบรกกันล้อล็อก | อัตราลื่นไถลล้อ | เซนเซอร์ความเร็วล้อ | วาล์วไฮดรอลิก | ควบคุมไม่เชิงเส้น / sliding mode | ไม่เชิงเส้น |

| ESC/ESP ทรงตัวรถ | อัตราหันเห | ไจโร, มุมพวงมาลัย | เบรกแต่ละล้อ | MPC / อิงแบบจำลอง | ป้อนกลับสถานะ · ไม่เชิงเส้น |

| ควบคุมมอเตอร์ EV | แรงบิด | เซนเซอร์กระแส, resolver | อินเวอร์เตอร์ SiC | FOC + MTPA | เมคาทรอนิกส์ · ตัวแปลงกำลัง |

| เลี้ยวช่วยไฟฟ้า (EPS) | แรงบิดพวงมาลัย | torque sensor | มอเตอร์ช่วย | PI + ชดเชยความเฉื่อย | เมคาทรอนิกส์ |

| ช่วยรักษาเลน | ตำแหน่งในเลน | กล้อง | มอเตอร์พวงมาลัย | pure pursuit / LQR | โรโบติกส์ · ป้อนกลับสถานะ |

| รถไฟฟ้า ATO | ความเร็ว ตำแหน่งหยุด | เอนโค้ดเดอร์ล้อ, balise | มอเตอร์ลาก + เบรก | วิถี + PI | โรโบติกส์ · PID |

## อากาศยานและอวกาศ 5 ระบบ

| ระบบ | ตัวแปรที่ควบคุม | เซนเซอร์ | ตัวขับ | ตัวควบคุมที่นิยม | เรียนที่ |

| ระบบออโต้ไพลอต | ความสูง ทิศทาง | pitot, ไจโร, GPS | แพนหาง | PID คาสเคด + gain scheduling | PID · ไม่เชิงเส้น |

| ควบคุมท่าทางดาวเทียม | มุมดาวเทียม | star tracker, ไจโร | reaction wheel | PD (ระบบ 1/Js²) | PID · รูทโลคัส |

| จรวด thrust vector | มุมลำจรวด | IMU | gimbal เครื่องยนต์ | PD + ทำให้เสถียร (ไม่เสถียรวงเปิด) | ป้อนกลับสถานะ · ไนควิสต์ |

| ร่มร่อนส่งของ (guided parafoil) | ทิศทางไปเป้า | GPS | สายบังคับ | heading control | โรโบติกส์ |

| ใบพัดเฮลิคอปเตอร์ 2-DOF ในแล็บ | pitch, yaw | เอนโค้ดเดอร์ | มอเตอร์ใบพัด | LQR + I | ป้อนกลับสถานะ |

## กระบวนการ อาคาร และเกษตร 8 ระบบ

| ระบบ | ตัวแปรที่ควบคุม | เซนเซอร์ | ตัวขับ | ตัวควบคุมที่นิยม | เรียนที่ |

| แอร์อินเวอร์เตอร์ | อุณหภูมิห้อง | เทอร์มิสเตอร์ | ความเร็วคอมเพรสเซอร์ | PI (หน่วงเวลามาก) | จูน PID |

| ระดับน้ำในถัง | ระดับ | อัลตราโซนิก/ความดัน | ปั๊ม/วาล์ว | PI (ระบบอินทิเกรต) | แบบจำลอง · PID |

| ความดันน้ำประปาปั๊มอินเวอร์เตอร์ | ความดัน | pressure transmitter | ปั๊ม + VFD | PI | จูน PID |

| หม้อไอน้ำ (drum level) | ระดับน้ำ | เซนเซอร์ระดับ | วาล์วน้ำป้อน | สามองค์ประกอบ (FF ไอน้ำ) — RHP zero | lead/lag · ไม่เชิงเส้น |

| เตาอบอุตสาหกรรม | อุณหภูมิ | เทอร์โมคัปเปิล | SCR / แก๊ส | PID + Smith predictor | จูน PID · ไม่เชิงเส้น |

| โรงเรือนอัจฉริยะ | อุณหภูมิ ความชื้น CO₂ | เซนเซอร์สภาพแวดล้อม | พัดลม พ่นหมอก ไฟ | on–off + PI | ไม่เชิงเส้น · PID |

| ปลูกพืชไฮโดรโปนิกส์ | pH, EC สารละลาย | pH probe, EC probe | ปั๊มโดส | PI ช้า + dead-band | ไม่เชิงเส้น |

| ถังหมักเบียร์/ไบโอรีแอคเตอร์ | อุณหภูมิ pH O₂ | โพรบ | ฮีตเตอร์ ปั๊ม แอร์ | PID หลายลูป | จูน PID |

## ชีวการแพทย์และชีวิตประจำวัน 7 ระบบ

| ระบบ | ตัวแปรที่ควบคุม | เซนเซอร์ | ตัวขับ | ตัวควบคุมที่นิยม | เรียนที่ |

| ปั๊มอินซูลิน (artificial pancreas) | ระดับน้ำตาล | CGM | ปั๊มอินซูลิน | MPC / PID ปลอดภัย | ป้อนกลับสถานะ · PID |

| เครื่องช่วยหายใจ | ความดัน/อัตราไหล | flow sensor | โบลเวอร์/วาล์ว | PI รวดเร็ว | PID |

| ตู้อบทารก | อุณหภูมิผิวทารก | เทอร์มิสเตอร์ผิว | ฮีตเตอร์ | PI ช้าและปลอดภัย | จูน PID |

| ร่างกายควบคุมอุณหภูมิ | อุณหภูมิแกนกาย | เทอร์โมรีเซปเตอร์ | เหงื่อ สั่น หลอดเลือด | ป้อนกลับทางชีววิทยา | PID |

| ชักโครก (ลูกลอย) | ระดับน้ำ | ลูกลอย | วาล์ว | P เชิงกล (ระบบควบคุมแรกของบ้าน) | PID |

| หม้อหุงข้าวฟัซซี่ | อุณหภูมิตามช่วง | เทอร์มิสเตอร์ | ฮีตเตอร์ | ฟัซซี่ / ลำดับขั้น | ไม่เชิงเส้น |

| เตารีดไอน้ำ/เตาแม่เหล็กไฟฟ้า | อุณหภูมิ/กำลัง | เทอร์มิสเตอร์, CT | ขดลวดเหนี่ยวนำ | PI + ควบคุมความถี่ | ตัวแปลงกำลัง · PID |

## รูปแบบที่ซ้ำกันข้ามสาขา

| รูปแบบ | พบใน | เครื่องมือ |

| ลูปซ้อน เร็วข้างใน ช้าข้างนอก | เซอร์โว, PFC, โดรน, โหมดกระแส, ACC | คาสเคด |

| พลานต์อันดับหนึ่ง + หน่วงเวลา | อุณหภูมิ, ความดัน, เคมี | FOPDT + SIMC |

| อินทิเกรเตอร์ในพลานต์ (ชนิด 1) | ตำแหน่งมอเตอร์, ระดับน้ำ, PLL | ชนิดของระบบ |

| ไม่เสถียรวงเปิด | ลอยแม่เหล็ก, หุ่นทรงตัว, จรวด | ไนควิสต์, LQR |

| เรโซแนนซ์อันดับสอง | LC ฟิลเตอร์, เพลายืดหยุ่น, ฮาร์ดดิสก์ | โบด, notch |

| ศูนย์ฝั่งขวา (เริ่มผิดทิศ) | บูสต์, หม้อไอน้ำ, แพนหางเครื่องบิน | ผลของศูนย์ |

| อิ่มตัวและ windup | แทบทุกระบบ | anti-windup |

## คำถามที่พบบ่อย

จะเลือกโปรเจกต์ระบบควบคุมสำหรับนักศึกษาอย่างไร?
เริ่มจากระบบที่มีพลานต์อันดับหนึ่งและวัดง่าย เช่น ความเร็วมอเตอร์ อุณหภูมิ หรือระดับน้ำ ฝึก PI และการจูนให้คล่อง จากนั้นขยับไปยังระบบอันดับสองหรือไม่เสถียรวงเปิด เช่น ball-and-beam ลอยแม่เหล็ก หรือหุ่นยนต์ทรงตัว ซึ่งต้องใช้ lead หรือป้อนกลับสถานะ

ทำไมเกือบทุกระบบใช้ PI หรือ PID?
เพราะ PID ต้องการแบบจำลองน้อย จูนได้จากการทดลอง เข้าใจง่ายสำหรับช่างเทคนิค และพอสำหรับพลานต์อันดับต่ำส่วนใหญ่ ระบบที่ต้องการมากกว่านั้น เช่น หลายตัวแปรผูกกัน ไม่เสถียรวงเปิด หรือมีข้อจำกัดเข้มงวด จึงใช้ป้อนกลับสถานะ LQR หรือ MPC

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**จะเลือกโปรเจกต์ระบบควบคุมสำหรับนักศึกษาอย่างไร?**
เริ่มจากระบบที่มีพลานต์อันดับหนึ่งและวัดง่าย เช่น ความเร็วมอเตอร์ อุณหภูมิ หรือระดับน้ำ ฝึก PI และการจูนให้คล่อง จากนั้นขยับไปยังระบบอันดับสองหรือไม่เสถียรวงเปิด เช่น ball-and-beam ลอยแม่เหล็ก หรือหุ่นยนต์ทรงตัว ซึ่งต้องใช้ lead หรือป้อนกลับสถานะ

**ทำไมเกือบทุกระบบใช้ PI หรือ PID?**
เพราะ PID ต้องการแบบจำลองน้อย จูนได้จากการทดลอง เข้าใจง่ายสำหรับช่างเทคนิค และพอสำหรับพลานต์อันดับต่ำส่วนใหญ่ ระบบที่ต้องการมากกว่านั้น เช่น หลายตัวแปรผูกกัน ไม่เสถียรวงเปิด หรือมีข้อจำกัดเข้มงวด จึงใช้ป้อนกลับสถานะ LQR หรือ MPC

---

# ผลตอบสนองความถี่: G(jω) ขนาด เฟส และแบนด์วิดท์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/frequency-response/
Updated: 2026-10-12
Summary: ผลตอบสนองความถี่ของระบบเชิงเส้น ป้อนไซน์ได้ไซน์ ที่มาของ G(jω) ขนาดและเฟส วัดด้วยฟังก์ชันเจเนอเรเตอร์และออสซิลโลสโคป ยอดเรโซแนนซ์ Mr ความถี่เรโซแนนซ์ แบนด์วิดท์ ความสัมพันธ์กับ ζ ωn rise time และ overshoot การมองวงปิดจากวงเปิด และเหตุผลที่วิศวกรใช้โดเมนความถี่ในการออกแบบ

// บทที่ 13.11 · ระบบควบคุม · Frequency Response

# ผลตอบสนองความถี่: G(jω) ขนาด เฟส และแบนด์วิดท์

ต่อฟังก์ชันเจเนอเรเตอร์ป้อนไซน์เข้าวงจร แล้ววัดเอาต์พุตด้วยสโคป จะเห็นไซน์ความถี่เดิม แต่ขนาดและเฟสเปลี่ยน กวาดความถี่ตั้งแต่ต่ำถึงสูง ก็ได้ “ลายนิ้วมือ” ของระบบครบถ้วน นี่คือผลตอบสนองความถี่ ซึ่งเป็นฐานของโบด ไนควิสต์ และการออกแบบตัวชดเชยทั้งหมดในส่วนที่ 5–6 สูตรใช้รหัส Q

สรุปใน 30 วินาที

- อินพุต $A\sin\omega t$ → เอาต์พุตอยู่ตัว $A|G(j\omega)|\sin(\omega t + \angle G(j\omega))$

- หา $G(j\omega)$: แทน $s = j\omega$ แล้วหาขนาดและมุมของจำนวนเชิงซ้อน

- วงปิดอันดับสอง: $M_r = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}$, แบนด์วิดท์ $\approx \omega_n$ (×1.27 ที่ ζ = 0.5)

- แบนด์วิดท์กว้าง = เร็ว · ยอดเรโซแนนซ์สูง = แกว่งมาก

## ป้อนไซน์ ได้ไซน์ พื้นฐาน

Q1 Sinusoidal steady state ผลตอบสนองต่อไซน์ในสถานะอยู่ตัว

$$u(t) = A\sin\omega t \ \Rightarrow\ y_{ss}(t) = A\,|G(j\omega)|\sin\big(\omega t + \angle G(j\omega)\big)$$

ใช้ได้เมื่อ $G$ เสถียร (พจน์ชั่วครู่หายไปแล้ว) · $|G(j\omega)|$ = อัตราขยาย · $\angle G(j\omega)$ = เฟส (ลบ = ล้าหลัง) · คือแนวคิดเฟสเซอร์ในวงจร AC นั่นเอง

ตัวอย่าง Q-1 · วงจร RC กับสโคป

### วงจร RC $R = 1\ \text{k}\Omega,\ C = 1\ \mu\text{F}$ ป้อน $2\sin(2\pi \cdot 1000t)$ V จะเห็นเอาต์พุตบนสโคปเป็นอย่างไร

- $G(s) = \dfrac{1}{RCs + 1} = \dfrac{1}{0.001s + 1}$ ความถี่มุม 1000 rad/s (159 Hz)

- $\omega = 6283$ rad/s: $G(j\omega) = \dfrac{1}{1 + j6.283}$ Q1

$$|G| = \frac{1}{\sqrt{1 + 6.283^2}} = 0.157 \ (-16.1\ \text{dB}), \qquad \angle G = -\tan^{-1}6.283 = -81^\circ$$

เอาต์พุต $0.314\sin(\omega t - 81^\circ)$ V: แอมพลิจูด 0.31 V ล้าหลังเกือบ 90° (เลื่อนไปทางขวา 0.225 ms บนสโคป) · ลองวัดจริงในออสซิลโลสโคปจำลอง

## สเปกในโดเมนความถี่ของวงปิด กลาง

Q2 Resonant peak ยอดเรโซแนนซ์ของวงปิดอันดับสอง

$$M_r = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1 - \zeta^2}}, \qquad \omega_r = \omega_n\sqrt{1 - 2\zeta^2} \qquad (\zeta \lt 0.707)$$

$M_r$ สูง ↔ overshoot มาก · ค่าที่นิยมในการออกแบบ $1.1 \lt M_r \lt 1.5$ (0.8–3.5 dB)

Q3 Bandwidth แบนด์วิดท์วงปิด (−3 dB)

$$\omega_{BW} = \omega_n\sqrt{1 - 2\zeta^2 + \sqrt{4\zeta^4 - 4\zeta^2 + 2}}, \qquad t_r\,\omega_{BW} \approx 1.8 \text{ ถึง } 2.2$$

ζ = 0.5 → $1.27\omega_n$ · ζ = 0.707 → $\omega_n$ · ζ = 1 → $0.64\omega_n$ · ใช้ $\omega_{BW} \approx \omega_{gc}$ ถึง $2\omega_{gc}$ จากโบดวงเปิด (G5)

Q4 Closed loop from open loop อ่านวงปิดจากวงเปิด

$$|L| \gg 1:\ T \approx 1,\ S \approx \frac1L \qquad\qquad |L| \ll 1:\ T \approx L,\ S \approx 1$$

ความถี่ต่ำที่ลูปเกนสูง วงปิดติดตามดี · ความถี่สูงที่ลูปเกนต่ำ วงปิดเท่ากับวงเปิด (ลดสัญญาณรบกวน) · ช่วงรอยต่อที่ $|L| \approx 1$ คือจุดที่เสถียรภาพตัดสิน (มาร์จิน)

ตัวอย่าง Q-2 · ระบบ ζ = 0.5

### วงปิด $T(s) = \dfrac{16}{s^2 + 4s + 16}$ หา $M_r,\ \omega_r$ และแบนด์วิดท์

- $\omega_n = 4,\ \zeta = 0.5$ · $M_r = \dfrac{1}{2(0.5)(0.866)} = 1.155$ (1.25 dB) Q2

- $\omega_r = 4\sqrt{0.5} = 2.83$ rad/s · $\omega_{BW} = 4 \times 1.272 = 5.09$ rad/s Q3

$M_r = 1.155$ ที่ 2.83 rad/s · แบนด์วิดท์ 5.09 rad/s · ทำนายเวลาขึ้น $\approx 1.8/5.09 = 0.35$ s ถึง $2.2/5.09 = 0.43$ s (ค่าจริง 10–90% คือ 0.42 s)

## ทำไมต้องมองในโดเมนความถี่

- วัดได้จริง: ไม่ต้องมีสมการ ใช้ FG + สโคป หรือ network analyzer กวาดความถี่ (ห้องแล็บพาวเวอร์ซัพพลายทำแบบนี้ทุกวัน)

- ต่ออนุกรม = บวกกราฟ: บนโบด เพิ่มตัวชดเชยแค่บวกเส้น

- ใช้กับคลื่นอะไรก็ได้ที่เป็นคาบ: แยกเป็นฮาร์มอนิกด้วยอนุกรมฟูเรียร์ แล้วคูณ $H(jn\omega_0)$ ทีละตัว (วิเคราะห์วงจรทีละฮาร์มอนิก)

- หน่วงเวลาไม่ใช่ปัญหา: $e^{-j\omega T}$ มีขนาด 1 เฟส $-\omega T$

- เห็นสัญญาณรบกวนและเรโซแนนซ์: รู้ทันทีว่าความถี่ไหนถูกขยาย

- ความทนทาน: มาร์จินบอกว่าพลานต์เปลี่ยนได้แค่ไหน

## แล็บ: ชี้ความถี่ อ่านขนาดและเฟส

ชี้เมาส์บนกราฟโบดเพื่ออ่าน $|L(j\omega)|$ และ $\angle L(j\omega)$ ที่ความถี่ใดก็ได้ ลองพิมพ์ $16/(s^2+4s+16)$ แล้วหายอดเรโซแนนซ์

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ข้อมูลความถี่ทั้งหมดวาดให้เร็วและออกแบบได้ด้วยโบดไดอะแกรม ไปฝึกวาดด้วยมือต่อเลย

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมป้อนไซน์เข้าระบบเชิงเส้นแล้วได้ไซน์ความถี่เดิม?
เพราะ e^{jωt} เป็นฟังก์ชันเฉพาะ (eigenfunction) ของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา ผ่านอนุพันธ์และอินทิกรัลแล้วยังเป็นรูปเดิม ถูกคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน G(jω) เท่านั้น ขนาดจึงถูกคูณด้วย |G(jω)| และเฟสถูกเลื่อน ∠G(jω) ส่วนความถี่ไม่เปลี่ยน

แบนด์วิดท์ของระบบควบคุมบอกอะไร?
บอกช่วงความถี่ที่ระบบวงปิดติดตามค่าอ้างอิงได้ดี (ขนาดลดไม่เกิน 3 dB) แบนด์วิดท์กว้างหมายถึงตอบสนองเร็ว เวลาขึ้นประมาณ 1.8 ถึง 2.2 หารด้วยแบนด์วิดท์ แต่ก็รับสัญญาณรบกวนความถี่สูงเข้ามามากขึ้นด้วย

ทำไมวิศวกรชอบออกแบบในโดเมนความถี่?
เพราะวัดได้จากระบบจริงโดยไม่ต้องมีแบบจำลอง จัดการหน่วงเวลาได้ตรง ๆ เห็นผลของสัญญาณรบกวนและเรโซแนนซ์ชัด และการต่อบล็อกอนุกรมเป็นแค่การบวกกราฟโบด จึงเป็นภาษาหลักของงานออกแบบแอมป์ พาวเวอร์ซัพพลาย และเซอร์โว

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมป้อนไซน์เข้าระบบเชิงเส้นแล้วได้ไซน์ความถี่เดิม?**
เพราะ e^{jωt} เป็นฟังก์ชันเฉพาะ (eigenfunction) ของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา ผ่านอนุพันธ์และอินทิกรัลแล้วยังเป็นรูปเดิม ถูกคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน G(jω) เท่านั้น ขนาดจึงถูกคูณด้วย |G(jω)| และเฟสถูกเลื่อน ∠G(jω) ส่วนความถี่ไม่เปลี่ยน

**แบนด์วิดท์ของระบบควบคุมบอกอะไร?**
บอกช่วงความถี่ที่ระบบวงปิดติดตามค่าอ้างอิงได้ดี (ขนาดลดไม่เกิน 3 dB) แบนด์วิดท์กว้างหมายถึงตอบสนองเร็ว เวลาขึ้นประมาณ 1.8 ถึง 2.2 หารด้วยแบนด์วิดท์ แต่ก็รับสัญญาณรบกวนความถี่สูงเข้ามามากขึ้นด้วย

**ทำไมวิศวกรชอบออกแบบในโดเมนความถี่?**
เพราะวัดได้จากระบบจริงโดยไม่ต้องมีแบบจำลอง จัดการหน่วงเวลาได้ตรง ๆ เห็นผลของสัญญาณรบกวนและเรโซแนนซ์ชัด และการต่อบล็อกอนุกรมเป็นแค่การบวกกราฟโบด จึงเป็นภาษาหลักของงานออกแบบแอมป์ พาวเวอร์ซัพพลาย และเซอร์โว

---

# ระบบควบคุมคืออะไร: วงเปิด วงปิด และการป้อนกลับ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/introduction/
Updated: 2026-10-12
Summary: พื้นฐานระบบควบคุมอัตโนมัติ (automatic control) ระบบวงเปิดและวงปิด องค์ประกอบของลูปป้อนกลับ ค่าอ้างอิง ความผิดพลาด ตัวควบคุม พลานต์ เซนเซอร์ ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด ฟังก์ชันความไว S และ T การต้านการรบกวน ความทนต่อการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ ข้อเสียของการป้อนกลับ ประวัติจาก Watt ถึง Kalman และตัวอย่างจากวงจรไฟฟ้า มอเตอร์ และหุ่นยนต์

// บทที่ 13.1 · ระบบควบคุม · Introduction to Feedback Control

# ระบบควบคุมคืออะไร: วงเปิด วงปิด และการป้อนกลับ

ลองเดินในห้องมืดไปหยิบแก้วน้ำ คุณมองตำแหน่งมือ เทียบกับตำแหน่งแก้ว แล้วขยับแก้ไขจนถึง นั่นคือระบบควบคุมป้อนกลับในร่างกายเรา วิศวกรรมระบบควบคุมคือการทำสิ่งเดียวกันนี้ด้วยเซนเซอร์ วงจร และซอฟต์แวร์ ให้เครื่องจักรทำงานได้ตามเป้าหมายโดยอัตโนมัติ แม่นยำ และไม่สนว่าโลกภายนอกจะรบกวนแค่ไหน หน้านี้วางภาษาและแนวคิดพื้นฐานของทั้งชุด สูตรใช้รหัส F

สรุปใน 30 วินาที

- วงเปิด: สั่งแล้วหวังว่าจะได้ · วงปิด: วัด เทียบ แก้ ซ้ำไปเรื่อย ๆ

- $T(s) = \dfrac{CG}{1 + CGH}$ · ตัวหารเดียวกัน $1 + L(s)$ อยู่ในทุกฟังก์ชันของลูป

- ลูปเกนสูง → การรบกวนและการเปลี่ยนแปลงของพลานต์ถูกลดลง $|1 + L|$ เท่า

- ราคาที่ต้องจ่าย: อาจไม่เสถียร ต้องมีเซนเซอร์ที่แม่น และสัญญาณรบกวนจากเซนเซอร์เข้าลูปได้

## วงเปิดกับวงปิด พื้นฐาน

| | วงเปิด (open loop) | วงปิด (closed loop, feedback) |

| หลักการ | คำนวณสัญญาณสั่งจากค่าที่ต้องการล่วงหน้า | วัดเอาต์พุตจริง เทียบกับค่าอ้างอิง แก้ตามความผิดพลาด |

| ตัวอย่าง | ไมโครเวฟตั้งเวลา สเต็ปเปอร์มอเตอร์ไม่มีเอนโค้ดเดอร์ ไฟจราจรตั้งเวลา | แอร์อินเวอร์เตอร์ ครูสคอนโทรล เซอร์โวมอเตอร์ เรกูเลเตอร์แรงดัน |

| เมื่อมีการรบกวน | ไม่รู้ตัว ผลลัพธ์คลาด | รู้และแก้เอง |

| เมื่อพลานต์เปลี่ยน (ร้อน เสื่อม โหลดเปลี่ยน) | ผลลัพธ์เปลี่ยนตาม | แทบไม่เปลี่ยน |

| เสถียรภาพ | เสถียรถ้าพลานต์เสถียร | อาจไม่เสถียรถ้าออกแบบไม่ดี |

| ต้นทุน | ต่ำ ไม่ต้องมีเซนเซอร์ | สูงกว่า ต้องมีเซนเซอร์และการออกแบบ |

ระบบจริงมักใช้ทั้งสองอย่างร่วมกัน: feedforward (วงเปิด) สั่งส่วนใหญ่ที่คำนวณได้ล่วงหน้าให้เร็ว และ feedback (วงปิด) เก็บงานส่วนที่เหลือให้แม่น เช่น เครื่องพิมพ์ 3 มิติและแขนกลอุตสาหกรรม

## กายวิภาคของลูปป้อนกลับ พื้นฐาน

บล็อกไดอะแกรมมาตรฐานที่ใช้ตลอดชุดบทเรียนนี้

| สัญลักษณ์ | ชื่อ | ตัวอย่าง (ไดรฟ์มอเตอร์ควบคุมความเร็ว) |

| $r$ | ค่าอ้างอิง (reference, setpoint) | ความเร็วที่ต้องการ 1500 rpm |

| $e = r - y_m$ | ความผิดพลาด (error) | ต่างจากที่วัดได้กี่ rpm |

| $C(s)$ | ตัวควบคุม (controller, compensator) | PI ในไมโครคอนโทรลเลอร์ |

| $u$ | สัญญาณควบคุม (control signal) | duty cycle ของ PWM |

| $G(s)$ | พลานต์ (plant, process) รวมตัวขับ | H-bridge + มอเตอร์ + โหลด |

| $d$ | การรบกวน (disturbance) | แรงบิดโหลดที่เปลี่ยน แรงดันแบตเตอรี่ตก |

| $H(s)$ | เซนเซอร์ (sensor, transducer) | เอนโค้ดเดอร์ + การนับพัลส์ |

| $y$ | เอาต์พุต (controlled variable) | ความเร็วจริงของเพลา |

## สมการของลูป: ทุกอย่างหารด้วย 1 + L พื้นฐาน

จากบล็อกไดอะแกรม (ให้ $H = 1$ เพื่อความง่าย) $Y = G(CE + D)$ และ $E = R - Y$ แก้สมการได้ (ทบทวนเทคนิคในบล็อกไดอะแกรม)

F1 Closed-loop transfer function ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

$$\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{C(s)G(s)}{1 + C(s)G(s)H(s)} = \frac{\text{เส้นทางไปข้างหน้า}}{1 + \text{ลูปเกน } L(s)}, \qquad L(s) = C(s)G(s)H(s)$$

ขั้ววงปิดคือรากของ $1 + L(s) = 0$ ซึ่งเป็นจุดตั้งต้นของเราท์ รูทโลคัส และไนควิสต์ · ป้อนกลับบวก: เปลี่ยน + เป็น −

F2 Sensitivity functions ฟังก์ชันความไวและความไวเติมเต็ม ($H = 1$)

$$S = \frac{1}{1 + L}, \qquad T = \frac{L}{1 + L}, \qquad S + T = 1, \qquad Y = TR + SGD - TN, \qquad E = SR - SGD + TN$$

$N$ = สัญญาณรบกวนของเซนเซอร์ · ต้องการ $S$ เล็ก (ติดตามดี ต้านการรบกวนดี) แต่ $T$ เล็กจึงจะไม่ส่งสัญญาณรบกวนเซนเซอร์ออก ซึ่งขัดกันเพราะ $S + T = 1$ ทางออก: $|L|$ ใหญ่ที่ความถี่ต่ำ $|L|$ เล็กที่ความถี่สูง (ภาษาของโบด)

F3 Sensitivity to plant variation ความไวต่อการเปลี่ยนแปลงของพลานต์

$$S_G^T = \frac{\partial T/T}{\partial G/G} = \frac{1}{1 + L} = S$$

พลานต์เปลี่ยน 10% วงปิดเปลี่ยนแค่ $10\%/|1 + L|$ · นี่คือเหตุที่ Harold Black (1927) คิดแอมป์ป้อนกลับเชิงลบ: ใช้หลอดสุญญากาศที่เกนไม่คงที่ สร้างแอมป์ที่เกนคงที่ด้วยตัวต้านทาน

ตัวอย่าง F-1 · แอมป์ป้อนกลับของ Black

### แอมป์มีเกนวงเปิด $A = 10^5$ แต่เปลี่ยนได้ ±20% ตามอุณหภูมิ ป้อนกลับด้วยตัวแบ่งแรงดัน $\beta = 0.01$ เกนวงปิดเป็นเท่าไรและเปลี่ยนกี่เปอร์เซ็นต์

- F1: $A_{CL} = \dfrac{A}{1 + A\beta} = \dfrac{10^5}{1 + 1000} = 99.90 \approx \dfrac{1}{\beta}$

- F3: ความไว $= \dfrac{1}{1 + A\beta} = \dfrac{1}{1001}$ ได้การเปลี่ยน $20\% / 1001 = 0.02\%$

- ตรวจ: $A = 0.8 \times 10^5$ ได้ $A_{CL} = 99.875$ เปลี่ยน 0.025% ✓

เกนวงปิด ≈ 100 (= $1/\beta$ กำหนดด้วยตัวต้านทานล้วน) และเปลี่ยนเพียงราว 0.02% แลกกับเกนที่ลดลงพันเท่า หลักการเดียวกับที่ออปแอมป์ทุกตัวใช้ (ดูแล็บออปแอมป์)

ตัวอย่าง F-2 · ต้านการรบกวนของมอเตอร์

### มอเตอร์ $G(s) = \dfrac{2}{0.5s + 1}$ (rad/s ต่อ V) เมื่อมีโหลดเพิ่ม ความเร็วตก 20 rad/s ในแบบวงเปิด ถ้าใช้ตัวควบคุม P $K = 10$ จะตกเท่าไร และตอบสนองเร็วขึ้นเท่าไร

- ลูปเกนที่ DC: $L(0) = KG(0) = 10 \times 2 = 20$

- ผลของการรบกวนถูกคูณด้วย $S(0) = \dfrac{1}{1 + 20} = \dfrac{1}{21}$ F2 ได้ $20/21 = 0.95$ rad/s

- วงปิด: $T(s) = \dfrac{20}{0.5s + 21} = \dfrac{20/21}{(0.5/21)s + 1}$ ค่าคงเวลาจาก 0.5 s เหลือ $0.024$ s

ความเร็วตกแค่ 0.95 rad/s (ลดลง 21 เท่า) และตอบสนองเร็วขึ้น 21 เท่า แต่เอาต์พุตไปได้แค่ $20/21$ ของค่าอ้างอิง (ผิดพลาด 4.8%) ซึ่งแก้ได้ด้วยเทอม I ในPI

## เป้าหมายการออกแบบ 5 ข้อ พื้นฐาน

- เสถียรภาพ (stability): ต้องมาก่อนทุกอย่าง → เสถียรภาพ, เราท์

- สมรรถนะชั่วครู่ (transient): เร็ว ไม่พุ่งเกิน ไม่แกว่งนาน → ผลตอบสนองเวลา

- ความแม่นยำสถานะอยู่ตัว (steady-state accuracy) → ความผิดพลาดอยู่ตัว

- ต้านการรบกวนและสัญญาณรบกวน (disturbance/noise rejection) → $S$ และ $T$

- ความทนทาน (robustness): ยังดีเมื่อพลานต์จริงไม่ตรงแบบจำลอง → มาร์จิน, ทนทาน

บวกข้อจำกัดในโลกจริง: ตัวขับมีขีดจำกัด (PWM เต็ม 100% ไม่ได้มากกว่านั้น) เซนเซอร์มีสัญญาณรบกวนและหน่วงเวลา และตัวควบคุมดิจิทัลทำงานเป็นคาบ

## ประวัติย่อ: จากเครื่องจักรไอน้ำถึงจรวด

| ปี | ผลงาน | ใช้ในชุดนี้ที่ |

| 1788 | James Watt: flyball governor คุมความเร็วเครื่องจักรไอน้ำ | ภาพรวม |

| 1868 | J. C. Maxwell: “On Governors” วิเคราะห์เสถียรภาพด้วยคณิตศาสตร์ครั้งแรก | เสถียรภาพ |

| 1877, 1895 | E. J. Routh, A. Hurwitz: เกณฑ์เสถียรภาพจากสัมประสิทธิ์ | เราท์–เฮอร์วิตซ์ |

| 1922 | N. Minorsky: ตัวควบคุม PID สำหรับบังคับเรือ | PID |

| 1927 | H. S. Black: แอมป์ป้อนกลับเชิงลบ (Bell Labs) | ตัวอย่าง F-1 |

| 1932 | H. Nyquist: เกณฑ์เสถียรภาพจากกราฟความถี่ | ไนควิสต์ |

| 1940 | H. W. Bode: โบดไดอะแกรม มาร์จิน ทฤษฎีบทขนาด-เฟส | โบด |

| 1942 | Ziegler & Nichols: กฎจูน PID | จูน PID |

| 1948 | W. R. Evans: รูทโลคัส | รูทโลคัส |

| 1960 | R. E. Kalman: ปริภูมิสถานะ ควบคุมได้ สังเกตได้ ตัวกรองคาลมาน | ปริภูมิสถานะ |

## ระบบควบคุมอยู่ทุกที่ (โดยเฉพาะในวงจรไฟฟ้า)

- อิเล็กทรอนิกส์: ออปแอมป์ป้อนกลับ ไอซีเรกูเลเตอร์ LDO วงจร PLL สังเคราะห์ความถี่ AGC ในวิทยุ

- อิเล็กทรอนิกส์กำลัง: บั๊ก บูสต์ คอนเวอร์เตอร์ ที่ชาร์จแบตเตอรี่ CC–CV อินเวอร์เตอร์โซลาร์ PFC → สะพานสู่อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

- เมคาทรอนิกส์: เซอร์โว CNC เครื่องพิมพ์ 3 มิติ กิมบอลกล้อง ระบบเบรก ABS → เมคาทรอนิกส์

- หุ่นยนต์: แขนกล หุ่นยนต์ทรงตัว โดรน AGV → โรโบติกส์

- ระบบไฟฟ้ากำลัง: AVR ของเครื่องกำเนิด governor ควบคุมความถี่ 50 Hz ของทั้งประเทศ

รายการเต็มกว่า 60 ระบบพร้อมเซนเซอร์และตัวขับอยู่ในคลังไอเดีย

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ก่อนควบคุมอะไรได้ ต้องเขียนพลานต์เป็นสมการก่อน ไปต่อที่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเริ่มจากวงจร RLC ที่คุ้นเคยแล้วขยายไปมอเตอร์และกลไก

## คำถามที่พบบ่อย

ระบบวงเปิดกับวงปิดต่างกันอย่างไร?
วงเปิดสั่งตัวขับตามค่าที่ตั้งไว้โดยไม่วัดผลลัพธ์ เช่น เครื่องปิ้งขนมปังตั้งเวลา ถ้ามีอะไรเปลี่ยนก็ไม่รู้ตัว วงปิดวัดเอาต์พุตแล้วนำมาเทียบกับค่าอ้างอิงตลอดเวลา เช่น เครื่องปรับอากาศที่วัดอุณหภูมิห้อง จึงแก้ไขผลของการรบกวนและการเปลี่ยนแปลงของระบบได้เอง

ทำไมเรียกว่าป้อนกลับเชิงลบ (negative feedback)?
เพราะสัญญาณที่วัดได้ถูกนำไปลบออกจากค่าอ้างอิง ถ้าเอาต์พุตสูงเกิน ความผิดพลาดเป็นลบ ตัวควบคุมจะลดสัญญาณควบคุม ระบบจึงถูกดึงกลับเข้าหาเป้าหมาย ถ้าเป็นป้อนกลับเชิงบวก เอาต์พุตที่สูงจะยิ่งถูกผลักให้สูงขึ้น ใช้ในวงจรออสซิลเลเตอร์และวงจรชมิตต์ทริกเกอร์

การป้อนกลับมีข้อเสียไหม?
มี การป้อนกลับอาจทำให้ระบบที่เสถียรกลายเป็นไม่เสถียรได้ถ้าเกนสูงเกินหรือมีหน่วงเวลามาก ต้องใช้เซนเซอร์ซึ่งเพิ่มต้นทุนและนำสัญญาณรบกวนเข้ามาในลูป และลดเกนรวมของระบบ วิชาระบบควบคุมจึงเน้นการออกแบบให้ได้ประโยชน์ของการป้อนกลับโดยยังเสถียรและทนทาน

ระบบควบคุมเกี่ยวกับวิศวกรรมไฟฟ้าอย่างไร?
เกือบทุกวงจรที่ทำงานได้แม่นยำใช้การป้อนกลับ ออปแอมป์ที่ต่อเป็นแอมป์เกนคงที่ ไอซีเรกูเลเตอร์ สวิตชิงพาวเวอร์ซัพพลาย PLL ในวิทยุ ไดรฟ์มอเตอร์ อินเวอร์เตอร์โซลาร์ และการควบคุมความถี่ของระบบไฟฟ้ากำลัง ล้วนเป็นระบบควบคุมป้อนกลับ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ระบบวงเปิดกับวงปิดต่างกันอย่างไร?**
วงเปิดสั่งตัวขับตามค่าที่ตั้งไว้โดยไม่วัดผลลัพธ์ เช่น เครื่องปิ้งขนมปังตั้งเวลา ถ้ามีอะไรเปลี่ยนก็ไม่รู้ตัว วงปิดวัดเอาต์พุตแล้วนำมาเทียบกับค่าอ้างอิงตลอดเวลา เช่น เครื่องปรับอากาศที่วัดอุณหภูมิห้อง จึงแก้ไขผลของการรบกวนและการเปลี่ยนแปลงของระบบได้เอง

**ทำไมเรียกว่าป้อนกลับเชิงลบ (negative feedback)?**
เพราะสัญญาณที่วัดได้ถูกนำไปลบออกจากค่าอ้างอิง ถ้าเอาต์พุตสูงเกิน ความผิดพลาดเป็นลบ ตัวควบคุมจะลดสัญญาณควบคุม ระบบจึงถูกดึงกลับเข้าหาเป้าหมาย ถ้าเป็นป้อนกลับเชิงบวก เอาต์พุตที่สูงจะยิ่งถูกผลักให้สูงขึ้น ใช้ในวงจรออสซิลเลเตอร์และวงจรชมิตต์ทริกเกอร์

**การป้อนกลับมีข้อเสียไหม?**
มี การป้อนกลับอาจทำให้ระบบที่เสถียรกลายเป็นไม่เสถียรได้ถ้าเกนสูงเกินหรือมีหน่วงเวลามาก ต้องใช้เซนเซอร์ซึ่งเพิ่มต้นทุนและนำสัญญาณรบกวนเข้ามาในลูป และลดเกนรวมของระบบ วิชาระบบควบคุมจึงเน้นการออกแบบให้ได้ประโยชน์ของการป้อนกลับโดยยังเสถียรและทนทาน

**ระบบควบคุมเกี่ยวกับวิศวกรรมไฟฟ้าอย่างไร?**
เกือบทุกวงจรที่ทำงานได้แม่นยำใช้การป้อนกลับ ออปแอมป์ที่ต่อเป็นแอมป์เกนคงที่ ไอซีเรกูเลเตอร์ สวิตชิงพาวเวอร์ซัพพลาย PLL ในวิทยุ ไดรฟ์มอเตอร์ อินเวอร์เตอร์โซลาร์ และการควบคุมความถี่ของระบบไฟฟ้ากำลัง ล้วนเป็นระบบควบคุมป้อนกลับ

---

# วิเคราะห์โบด: เกนมาร์จิน เฟสมาร์จิน และเสถียรภาพจากกราฟ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/margins/
Updated: 2026-10-12
Summary: เกนมาร์จิน (gain margin) และเฟสมาร์จิน (phase margin) คืออะไร อ่านจากโบดไดอะแกรมอย่างไร ความถี่ครอสโอเวอร์ของเกนและเฟส เกณฑ์เสถียรภาพจากโบด ความสัมพันธ์เฟสมาร์จินกับ ζ และ overshoot แบนด์วิดท์กับความเร็ว ดีเลย์มาร์จิน หา K ให้ได้เฟสมาร์จินตามต้องการ ระบบเสถียรแบบมีเงื่อนไข และค่าแนะนำในงานจริง พร้อมแล็บโบดและผลตอบสนองขั้นบันได

// บทที่ 13.13 · ระบบควบคุม · Gain & Phase Margins

# วิเคราะห์โบด: เกนมาร์จิน เฟสมาร์จิน และเสถียรภาพจากกราฟ

เราท์ตอบว่า “เสถียรหรือไม่” แต่วิศวกรต้องการรู้ว่าห่างจากความไม่เสถียรแค่ไหน เพราะพลานต์จริงเปลี่ยนตามอุณหภูมิ โหลด และอายุการใช้งาน มาร์จินคือ “ระยะปลอดภัย” สองตัวที่อ่านได้จากโบดของวงเปิดทันที โดยไม่ต้องปิดวงหรือแก้สมการ และแปลงเป็น overshoot ได้ด้วย สูตรใช้รหัส G

สรุปใน 30 วินาที

- $\omega_{gc}$: ที่ $|L| = 0$ dB → PM = $180^\circ + \angle L(j\omega_{gc})$

- $\omega_{pc}$: ที่ $\angle L = -180^\circ$ → GM = $-|L(j\omega_{pc})|_{\text{dB}}$

- วงเปิดเสถียร: วงปิดเสถียร $\iff$ GM > 0 dB และ PM > 0°

- $\zeta \approx \text{PM}/100$ · $\omega_{gc}$ ≈ ความเร็วของวงปิด · ค่าแนะนำ PM 45°–60°, GM ≥ 6–10 dB

ระดับพื้นฐาน เริ่มเรียนกลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง งานออกแบบ

## ทำไมจุดอันตรายคือ 0 dB กับ −180° พื้นฐาน

ขั้ววงปิดคือรากของ $1 + L(s) = 0$ หรือ $L(s) = -1$ ถ้าวงปิดมีขั้วบนแกน $j\omega$ (ขอบเสถียร) ที่ $s = j\omega_0$ แปลว่า $L(j\omega_0) = -1$ คือขนาด 1 (0 dB) และเฟส −180° พร้อมกัน ในเชิงฟิสิกส์: สัญญาณไซน์ที่วิ่งรอบลูปกลับมาขนาดเท่าเดิมและกลับเฟสพอดี เมื่อผ่านจุดลบของตัวเปรียบเทียบ กลายเป็นเฟสเดียวกันเสริมกัน วงจรจึงแกว่งค้างด้วยตัวเอง (หลักการเดียวกับวงจรออสซิลเลเตอร์ Barkhausen) มาร์จินวัดว่าเราอยู่ห่างจากสภาวะนี้แค่ไหน

## นิยามเกนมาร์จินและเฟสมาร์จิน พื้นฐาน

G1 Phase margin เฟสมาร์จิน

$$|L(j\omega_{gc})| = 1 \ (0 \text{ dB}), \qquad \text{PM} = 180^\circ + \angle L(j\omega_{gc})$$

เฟสที่ล่าช้าเพิ่มได้อีกเท่าไร (ที่ $\omega_{gc}$) ก่อนจะไม่เสถียร · บนโบด: ลากเส้นดิ่งจากจุดที่ขนาดตัด 0 dB ลงไปกราฟเฟส วัดระยะเหนือเส้น −180°

G2 Gain margin เกนมาร์จิน

$$\angle L(j\omega_{pc}) = -180^\circ, \qquad \text{GM} = \frac{1}{|L(j\omega_{pc})|} \quad \text{หรือ} \quad \text{GM}_{\text{dB}} = -20\log|L(j\omega_{pc})|$$

คูณเกนเพิ่มได้อีกกี่เท่าก่อนจะไม่เสถียร · บนโบด: จากจุดที่เฟสตัด −180° ลากขึ้นไปกราฟขนาด วัดระยะใต้เส้น 0 dB · GM เป็นเท่า = $K_{cr}/K$ จากเราท์

G3 Bode stability criterion เกณฑ์เสถียรภาพจากโบด

$$L(s) \text{ เสถียร, ตัด 0 dB และ −180° อย่างละครั้ง}: \quad \text{วงปิดเสถียร} \iff \text{GM}_{\text{dB}} \gt 0 \ \text{และ} \ \text{PM} \gt 0^\circ \ (\omega_{gc} \lt \omega_{pc})$$

นอกเงื่อนไขนี้ (วงเปิดไม่เสถียร ตัดหลายครั้ง เสถียรแบบมีเงื่อนไข) ต้องใช้ไนควิสต์ ซึ่งเป็นรากฐานของเกณฑ์นี้

ตัวอย่าง G-1 · ระบบเดิมจากเราท์และรูทโลคัส

### หา GM และ PM ของ $L(s) = \dfrac{2}{s(s+1)(s+2)}$

- หา $\omega_{pc}$: $\angle L = -90^\circ - \tan^{-1}\omega - \tan^{-1}\tfrac{\omega}{2} = -180^\circ \Rightarrow \tan^{-1}\omega + \tan^{-1}\tfrac{\omega}{2} = 90^\circ$

$$\Rightarrow\ \omega \cdot \tfrac{\omega}{2} = 1 \ \Rightarrow\ \omega_{pc} = \sqrt2 = 1.414$$

- $|L(j\sqrt2)| = \dfrac{2}{\sqrt2\cdot\sqrt3\cdot\sqrt6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac13$ ได้ GM $= 3$ เท่า $= 20\log3 = {9.54\ \text{dB}}$ G2

- หา $\omega_{gc}$: $\omega\sqrt{1 + \omega^2}\sqrt{4 + \omega^2} = 2$ แก้เชิงตัวเลข (ลองแทน) ได้ $\omega_{gc} = 0.749$

- $\angle L(j0.749) = -90^\circ - 36.8^\circ - 20.5^\circ = -147.4^\circ$ ได้ PM $= {32.6^\circ}$ G1

GM = 9.54 dB (เพิ่มเกนได้อีก 3 เท่า ถึง $K = 6$ ตรงกับเราท์) · PM = 32.6° ค่อนข้างน้อย คาดว่าจะแกว่งพอสมควร

python-control: GM = 9.54 dB ที่ 1.414 rad/s, PM = 32.6° ที่ 0.749 rad/s ✓ · สามเครื่องมือ (เราท์ รูทโลคัส โบด) ให้ $K_{cr} = 6$ เหมือนกัน

## แปลมาร์จินเป็นสเปกเวลา กลาง

สำหรับวงเปิด $L(s) = \dfrac{\omega_n^2}{s(s + 2\zeta\omega_n)}$ วงปิดคือระบบอันดับสองมาตรฐานพอดี จึงหาความสัมพันธ์แบบแม่นตรงได้ ระบบอื่นที่มีคู่ขั้วเด่นใช้เป็นค่าประมาณที่ดี

G4 Phase margin vs damping ratio เฟสมาร์จินกับ ζ

$$\text{PM} = \tan^{-1}\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{1 + 4\zeta^4} - 2\zeta^2}} \ \approx\ 100\zeta \ \ (\zeta \le 0.7)$$

ζ = 0.3 → 33° (Mp 37%) · ζ = 0.5 → 52° (Mp 16%) · ζ = 0.6 → 59° (Mp 9.5%) · ζ = 0.7 → 65° (Mp 4.6%)

G5 Crossover and speed ครอสโอเวอร์กับความเร็ว

$$\omega_{gc} = \omega_n\sqrt{\sqrt{1 + 4\zeta^4} - 2\zeta^2}, \qquad \omega_{gc} \lt \omega_{BW} \lt 2\omega_{gc}$$

กฎหัวแม่มือ: $t_r \approx 1.5/\omega_{gc}$ ถึง $2/\omega_{gc}$ · ครอสโอเวอร์สูง = เร็ว แต่ไวต่อสัญญาณรบกวน

G6 Delay margin ดีเลย์มาร์จิน

$$T_{max} = \frac{\text{PM (rad)}}{\omega_{gc}} = \frac{\text{PM}^\circ \cdot \pi/180}{\omega_{gc}}$$

หน่วงเวลาสูงสุดที่ลูปทนได้ก่อนไม่เสถียร · สำคัญมากกับตัวควบคุมดิจิทัลและระบบผ่านเครือข่าย

ตัวอย่าง G-2 · ดีเลย์มาร์จิน

### ระบบใน G-1 ($K = 2$) ทนหน่วงเวลาในลูปได้สูงสุดเท่าไร ถ้าใช้ไมโครคอนโทรลเลอร์ที่ทำให้หน่วง 0.1 s จะเหลือ PM เท่าไร

- G6: $T_{max} = \dfrac{32.6 \times \pi/180}{0.749} = \dfrac{0.569}{0.749} = {0.76\ \text{s}}$

- หน่วง 0.1 s กินเฟสที่ $\omega_{gc}$: $0.749 \times 0.1 \times 57.3 = 4.3^\circ$ (ขนาดไม่เปลี่ยน $\omega_{gc}$ จึงเท่าเดิม)

ทนได้ 0.76 s · หน่วง 0.1 s เหลือ PM $32.6^\circ - 4.3^\circ = 28.3^\circ$

## ออกแบบ: เลือก K ให้ได้เฟสมาร์จินตามต้องการ กลาง

เปลี่ยน $K$ แค่เลื่อนกราฟขนาดขึ้นลง กราฟเฟสไม่เปลี่ยน ดังนั้นวิธีคือหาความถี่ที่เฟสเท่ากับ $-180^\circ + \text{PM}$ ที่ต้องการ แล้วเลือก $K$ ให้ขนาดที่ความถี่นั้นเป็น 0 dB

ตัวอย่าง G-3 · PM = 45°

### หา $K$ ที่ทำให้ $L(s) = \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ มีเฟสมาร์จิน 45°

- ต้องการ $\angle L = -135^\circ$: $\tan^{-1}\omega + \tan^{-1}\tfrac{\omega}{2} = 45^\circ$

- ใช้ $\tan(A + B)$: $\dfrac{\omega + \omega/2}{1 - \omega^2/2} = 1 \Rightarrow \omega^2 + 3\omega - 2 = 0 \Rightarrow \omega = \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{2} = 0.5616$

- ให้ $|L| = 1$ ที่ความถี่นั้น: $K = \omega\sqrt{1 + \omega^2}\sqrt{4 + \omega^2} = 0.5616 \times 1.147 \times 2.077 = {1.338}$

$K = 1.338$ ได้ PM = 45° ที่ $\omega_{gc} = 0.562$ rad/s และ GM = $20\log(6/1.338) = 13.0$ dB · ใช้ $\zeta \approx 0.45$ ทำนาย overshoot ราว 20%

python-control: PM = 45.0°, GM = 13.03 dB ✓ · overshoot จริง 23.8% (ระบบอันดับสาม ค่าประมาณ $\zeta \approx \text{PM}/100$ ใช้ได้ระดับคร่าว ๆ) · ถ้าต้องการทั้ง PM สูงและเร็วกว่านี้ ต้องใช้ตัวชดเชย lead

## เมื่อมาร์จินหลอกเรา ขั้นสูง

- เสถียรแบบมีเงื่อนไข (conditionally stable): เฟสลงต่ำกว่า −180° แล้วกลับขึ้นมา ทั้งลดและเพิ่มเกนอาจทำให้ไม่เสถียร เช่น $L = \dfrac{K(s+1)^2}{s^3}$ GM ที่อ่านได้มีสองค่า ต้องดูไนควิสต์ (ลองในแล็บ preset “เสถียรแบบมีเงื่อนไข” บนหน้าฮับ)

- วงเปิดไม่เสถียร: เช่น ลูกตุ้มกลับหัว กราฟโบดอาจดูเหมือนมาร์จินติดลบทั้งที่วงปิดเสถียร

- ยอดเรโซแนนซ์ใกล้ 0 dB: GM และ PM ดูดี แต่จุดบนไนควิสต์ผ่านใกล้ −1 ในทิศอื่น ตัวชี้วัดที่ดีกว่าคือระยะใกล้สุดถึง −1 $1/\max|S(j\omega)|$ (modulus margin, นิยม $M_s \lt 2$)

- ขั้วความถี่สูงที่ไม่ได้จำลอง: เซนเซอร์ ไดรเวอร์ ฟิลเตอร์ ADC ล้วนเพิ่มเฟสล่าช้า เผื่อมาร์จินไว้เสมอ

| งาน | PM ที่นิยม | GM ที่นิยม |

| กระบวนการอุตสาหกรรม (อุณหภูมิ การไหล) | 45°–60° | ≥ 6–8 dB |

| เซอร์โวตำแหน่ง แขนกลหุ่นยนต์ | 50°–70° | ≥ 10 dB |

| พาวเวอร์ซัพพลายแบบสวิตชิ่ง | 45°–70° | ≥ 10 dB (ครอสโอเวอร์ ≤ fsw/10) |

| แอมป์ป้อนกลับ / ออปแอมป์ (เสถียรที่ unity gain) | ≥ 45°–60° | ≥ 10 dB |

## แล็บมาร์จิน: เลื่อน K ดู PM GM และ overshoot

เลื่อน $K$ แล้วสังเกตสามอย่างพร้อมกัน: เส้นขนาดเลื่อนขึ้นลง $\omega_{gc}$ ขยับ PM (แท่งเขียวในกราฟเฟส) ลดลงเมื่อ $K$ เพิ่ม และผลตอบสนองขั้นบันไดแกว่งมากขึ้น ลอง $K = 1.338$ (PM 45°) และ $K = 6$ (GM 0 dB แกว่งค้าง)

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

มาร์จินจากโบดคือกรณีพิเศษของเกณฑ์ไนควิสต์ ซึ่งใช้ได้กับทุกระบบ ส่วนถ้ามาร์จินไม่พอ ไปออกแบบตัวชดเชย lead และ lag เพื่อดัดกราฟโบดให้ได้ตามสเปก

## คำถามที่พบบ่อย

เฟสมาร์จินเท่าไรถึงจะดี?
งานทั่วไปใช้ 45° ถึง 60° ซึ่งให้ overshoot ประมาณ 10% ถึง 25% ระบบที่ต้องนุ่มนวล เช่น เซอร์โวตำแหน่งหรือพาวเวอร์ซัพพลายใช้ 60° ขึ้นไป ต่ำกว่า 30° จะแกว่งมากและไวต่อการเปลี่ยนแปลงของพลานต์ เกนมาร์จินควรมากกว่า 6 dB (นิยม 10 dB ขึ้นไป)

เกนมาร์จินเป็นอนันต์หมายความว่าอะไร?
เฟสไม่ตัด −180° เลย เช่น ระบบอันดับหนึ่งหรือสองที่ไม่มีหน่วงเวลา เพิ่มเกนเท่าไรก็ไม่ไม่เสถียร (ในทางทฤษฎี) แต่ในงานจริงมีหน่วงเวลาและขั้วความถี่สูงที่ไม่ได้ใส่ในแบบจำลองเสมอ จึงอย่าเชื่อ GM อนันต์มากนัก ดูเฟสมาร์จินประกอบ

อ่านมาร์จินจากโบดใช้กับทุกระบบได้ไหม?
ใช้ได้กับระบบที่วงเปิดเสถียรและมีครอสโอเวอร์ครั้งเดียว ซึ่งเป็นกรณีส่วนใหญ่ ถ้าวงเปิดไม่เสถียร (มีขั้วฝั่งขวา) หรือขนาดตัด 0 dB หลายครั้ง หรือเป็นระบบเสถียรแบบมีเงื่อนไข ต้องใช้เกณฑ์ไนควิสต์ตัดสิน

ทำไมเฟสมาร์จินสัมพันธ์กับ overshoot?
สำหรับวงเปิด ωn²/(s(s + 2ζωn)) ซึ่งให้วงปิดเป็นระบบอันดับสองมาตรฐาน เฟสมาร์จินเป็นฟังก์ชันของ ζ อย่างเดียว ประมาณ PM ≈ 100ζ เมื่อ ζ ไม่เกิน 0.7 และ ζ กำหนด overshoot ระบบอันดับสูงที่มีขั้วเด่นคู่เดียวจึงใช้ความสัมพันธ์นี้ประมาณได้

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เฟสมาร์จินเท่าไรถึงจะดี?**
งานทั่วไปใช้ 45° ถึง 60° ซึ่งให้ overshoot ประมาณ 10% ถึง 25% ระบบที่ต้องนุ่มนวล เช่น เซอร์โวตำแหน่งหรือพาวเวอร์ซัพพลายใช้ 60° ขึ้นไป ต่ำกว่า 30° จะแกว่งมากและไวต่อการเปลี่ยนแปลงของพลานต์ เกนมาร์จินควรมากกว่า 6 dB (นิยม 10 dB ขึ้นไป)

**เกนมาร์จินเป็นอนันต์หมายความว่าอะไร?**
เฟสไม่ตัด −180° เลย เช่น ระบบอันดับหนึ่งหรือสองที่ไม่มีหน่วงเวลา เพิ่มเกนเท่าไรก็ไม่ไม่เสถียร (ในทางทฤษฎี) แต่ในงานจริงมีหน่วงเวลาและขั้วความถี่สูงที่ไม่ได้ใส่ในแบบจำลองเสมอ จึงอย่าเชื่อ GM อนันต์มากนัก ดูเฟสมาร์จินประกอบ

**อ่านมาร์จินจากโบดใช้กับทุกระบบได้ไหม?**
ใช้ได้กับระบบที่วงเปิดเสถียรและมีครอสโอเวอร์ครั้งเดียว ซึ่งเป็นกรณีส่วนใหญ่ ถ้าวงเปิดไม่เสถียร (มีขั้วฝั่งขวา) หรือขนาดตัด 0 dB หลายครั้ง หรือเป็นระบบเสถียรแบบมีเงื่อนไข ต้องใช้เกณฑ์ไนควิสต์ตัดสิน

**ทำไมเฟสมาร์จินสัมพันธ์กับ overshoot?**
สำหรับวงเปิด ωn²/(s(s + 2ζωn)) ซึ่งให้วงปิดเป็นระบบอันดับสองมาตรฐาน เฟสมาร์จินเป็นฟังก์ชันของ ζ อย่างเดียว ประมาณ PM ≈ 100ζ เมื่อ ζ ไม่เกิน 0.7 และ ζ กำหนด overshoot ระบบอันดับสูงที่มีขั้วเด่นคู่เดียวจึงใช้ความสัมพันธ์นี้ประมาณได้

---

# ระบบควบคุมเมคาทรอนิกส์: เซนเซอร์ แอคชูเอเตอร์ เซอร์โว และคาสเคด

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/mechatronics/
Updated: 2026-10-12
Summary: ระบบควบคุมในงานเมคาทรอนิกส์ องค์ประกอบ เซนเซอร์ (เอนโค้ดเดอร์ Hall IMU วัดกระแส) แอคชูเอเตอร์ (มอเตอร์ DC BLDC สเต็ปเปอร์ เซอร์โว) ไดรเวอร์ H-bridge และ PWM ออกแบบลูปคาสเคดกระแส ความเร็ว ตำแหน่งทีละขั้นพร้อมตัวเลขจริง feedforward แรงเสียดทาน backlash เรโซแนนซ์และฟิลเตอร์ notch ความละเอียดเอนโค้ดเดอร์ และไอเดียโปรเจกต์เมคาทรอนิกส์มากมาย

// บทที่ 13.23 · ระบบควบคุม · Mechatronic Systems Control

# ระบบควบคุมเมคาทรอนิกส์: เซนเซอร์ แอคชูเอเตอร์ เซอร์โว และคาสเคด

เมคาทรอนิกส์คือจุดที่กลไก ไฟฟ้า อิเล็กทรอนิกส์ และซอฟต์แวร์มาบรรจบกัน และระบบควบคุมคือกาวที่ยึดทุกอย่างไว้ เครื่อง CNC เครื่องพิมพ์ 3 มิติ กิมบอลกล้อง สายพานลำเลียง แขนกล และหุ่นยนต์ทุกตัว มีหัวใจเดียวกัน: มอเตอร์ที่ถูกคุมด้วยลูปซ้อนกระแส–ความเร็ว–ตำแหน่ง หน้านี้ออกแบบเซอร์โวจริงตั้งแต่เลือกเซนเซอร์จนถึงตั้งเกนทุกลูป ด้วยตัวเลขจากมอเตอร์ในตัวอย่าง M-2 สูตรใช้รหัส K

สรุปใน 30 วินาที

- คาสเคด: กระแส (kHz) ⊂ ความเร็ว (100 Hz) ⊂ ตำแหน่ง (10 Hz) ห่างกัน 5–10 เท่า

- ลูปกระแส PI: $K_P = L\omega_{ci},\ K_I = R\omega_{ci}$ (ศูนย์หักล้างขั้วไฟฟ้า)

- ลูปความเร็ว PI: $K_P = J\omega_{cs}/K_t$ ศูนย์ที่ $\omega_{cs}/5$ · ลูปตำแหน่ง P: $K_P = \omega_{cp}$

- Feedforward ความเร็ว/ความเร่ง ลดความผิดพลาดขณะเคลื่อนที่ได้มากกว่าเพิ่มเกน

## องค์ประกอบ: เซนเซอร์ แอคชูเอเตอร์ ไดรเวอร์ พื้นฐาน

| ส่วน | ตัวเลือก | ข้อควรรู้ด้านการควบคุม |

| เซนเซอร์ตำแหน่ง | เอนโค้ดเดอร์ incremental/absolute, โพเทนชิโอมิเตอร์, resolver, Hall | ความละเอียดจำกัด → ควอนไทซ์ · อนุพันธ์ของตำแหน่งได้ความเร็วที่มีสัญญาณรบกวน |

| เซนเซอร์ความเร็ว/มุม | แทโคเจเนอเรเตอร์, ไจโร (IMU), คำนวณจากเอนโค้ดเดอร์ | ไจโรมีดริฟต์ ต้องหลอมรวมกับ accelerometer (complementary/Kalman) |

| เซนเซอร์กระแส | ตัวต้านทาน shunt + แอมป์, Hall-effect | สุ่มกลางพัลส์ PWM เพื่อเลี่ยงริปเปิล |

| แอคชูเอเตอร์ | DC มีแปรง, BLDC/PMSM, สเต็ปเปอร์, เซอร์โว RC, โซลินอยด์, นิวแมติก | แบบจำลอง M7 · BLDC ใช้ FOC ทำให้เหมือน DC |

| ไดรเวอร์ | H-bridge (MOSFET), อินเวอร์เตอร์สามเฟส | PWM ≥ 20 kHz (เกินช่วงได้ยิน) · dead-time ทำให้เกิด dead-zone · เกน $V_{bus}$ |

| ตัวควบคุม | MCU (STM32, ESP32, Arduino), DSP, FPGA, PLC | คาบสุ่ม หน่วงคำนวณ ความละเอียด PWM (ดิจิทัล) |

K1 Encoder resolution ความละเอียดเอนโค้ดเดอร์

$$\Delta\theta = \frac{360^\circ}{4N_{PPR}}, \qquad \Delta\omega_{\min} = \frac{2\pi}{4N_{PPR}\,T_s} \ \text{rad/s (วิธีนับพัลส์ต่อคาบ)}$$

ตัวคูณ 4 จาก quadrature (นับทุกขอบของ A และ B) · ความเร็วต่ำใช้วิธีจับเวลาระหว่างพัลส์ (T-method) หรือผสม (M/T method)

ตัวอย่าง K-1 · เอนโค้ดเดอร์ 1000 PPR

### ความละเอียดมุมและความเร็วเป็นเท่าไร ถ้าคำนวณความเร็วทุก 1 ms

- $4 \times 1000 = 4000$ นับต่อรอบ: $\Delta\theta = 0.09^\circ$ K1

- 1 นับต่อ 1 ms = $\frac{1}{4000}$ รอบ ต่อ 1 ms = 0.25 รอบ/วินาที = 15 rpm

มุมละเอียด 0.09° แต่ความเร็วละเอียดแค่ 15 rpm ที่ 1 kHz: ที่ความเร็วต่ำค่าจะกระโดด 0, 15, 0, 15 rpm ทำให้ลูปความเร็วสั่น ต้องเพิ่มคาบคำนวณ ใช้ T-method หรือใช้ตัวสังเกตประมาณความเร็ว

## ออกแบบลูปคาสเคดทีละชั้น กลาง

ออกแบบจากในออกนอก แต่ละลูปถือว่าลูปในเร็วพอจนเป็น 1 (ตามหลักแบนด์วิดท์ห่าง 5–10 เท่า) หลักการเดียวกับลูปแทโค

K2 Current (torque) loop ลูปกระแส

$$\frac{I}{V} \approx \frac{1}{Ls + R}, \qquad C_i(s) = K_{P}\frac{s + R/L}{s}:\ \ K_P = L\,\omega_{ci},\ \ K_I = R\,\omega_{ci} \ \Rightarrow\ \frac{I}{I^*} = \frac{\omega_{ci}}{s + \omega_{ci}}$$

ศูนย์ของ PI หักล้างขั้วไฟฟ้า $-R/L$ วงปิดเป็นอันดับหนึ่งที่แบนด์วิดท์ $\omega_{ci}$ · แรง EMF ต้านช้ามากเทียบกับลูปนี้ (มองเป็นการรบกวน)

K3 Speed loop ลูปความเร็ว

$$\frac{\Omega}{I^*} \approx \frac{K_t}{Js}, \qquad C_\omega(s) = K_P + \frac{K_I}{s}:\ \ K_P = \frac{J\omega_{cs}}{K_t},\ \ K_I = K_P\frac{\omega_{cs}}{5}$$

ครอสโอเวอร์ที่ $\omega_{cs}$ ศูนย์ PI ต่ำกว่า 5 เท่า (PM ≈ 70°) · $J$ ต้องรวมโหลดที่สะท้อนผ่านเกียร์ (M10) ไม่อย่างนั้นแบนด์วิดท์จริงจะต่ำกว่าที่ออกแบบ

K4 Position loop + feedforward ลูปตำแหน่งและป้อนไปข้างหน้า

$$\omega^* = K_{P\theta}(\theta^* - \theta) + \dot\theta^*, \qquad i^* = C_\omega(\omega^* - \omega) + \frac{J}{K_t}\ddot\theta^*, \qquad K_{P\theta} = \omega_{cp}$$

ลูปตำแหน่ง P พอ เพราะพลานต์มีอินทิเกรเตอร์อยู่แล้ว (ชนิด 1) · feedforward ความเร็วและความเร่งจากวิถีที่วางแผนไว้ ทำให้ following error เกือบเป็นศูนย์ขณะเคลื่อนที่ โดยไม่ต้องเพิ่มเกน (ไม่เสียเสถียรภาพ)

ตัวอย่าง K-2 · ตั้งเกนเซอร์โวทั้งสามชั้น

### มอเตอร์ $R = 2\ \Omega,\ L = 1$ mH, $J = 10^{-5}$ kg·m², $K_t = 0.02$ N·m/A ต้องการแบนด์วิดท์ กระแส 1 kHz ความเร็ว 100 Hz ตำแหน่ง 10 Hz

- กระแส K2: $\omega_{ci} = 2\pi(1000) = 6283$ → $K_P = 10^{-3}(6283) = 6.28$ V/A, $K_I = 2(6283) = 12566$ V/(A·s)

- ความเร็ว K3: $\omega_{cs} = 628$ → $K_P = \dfrac{10^{-5}(628)}{0.02} = 0.314$ A·s/rad, $K_I = 0.314 \times 628/5 = 39.5$ A/rad

- ตำแหน่ง K4: $K_{P\theta} = 2\pi(10) = 62.8$ (rad/s)/rad

จำลองแบบเต็ม (รวม EMF และไดนามิกทุกลูป): ลูปกระแส PM 90° แบนด์วิดท์ 1.0 kHz · ลูปความเร็ว PM 73° ครอสโอเวอร์ 101 Hz · ลูปตำแหน่ง PM 89° ครอสโอเวอร์ 10.4 Hz ไม่มี overshoot เข้าที่ใน 64 ms

python-control ✓ · ในงานจริงจำกัด $i^*$ ไม่เกินกระแสสูงสุดของมอเตอร์ และจำกัด $\omega^*$ ด้วย พร้อม anti-windup ทุกชั้น

## ปัญหาจริง: แรงเสียดทาน backlash และเรโซแนนซ์ ขั้นสูง

K5 Mechanical resonance and notch filter เรโซแนนซ์ทางกลและฟิลเตอร์ notch

$$\omega_r = \sqrt{k\left(\frac{1}{J_m} + \frac{1}{J_L}\right)}, \qquad N(s) = \frac{s^2 + 2\zeta_z\omega_0s + \omega_0^2}{s^2 + 2\zeta_p\omega_0s + \omega_0^2},\ \ \zeta_z \ll \zeta_p$$

เพลาหรือสายพานยืดหยุ่น ($k$) ทำให้มอเตอร์กับโหลดเป็นสองมวลที่สั่นใส่กัน ยอดเรโซแนนซ์บนโบดทำให้ GM หาย · วาง notch ที่ $\omega_0 = \omega_r$ หรือจำกัดแบนด์วิดท์ลูปความเร็วให้ต่ำกว่า $\omega_r/3$

K6 Friction compensation ชดเชยแรงเสียดทาน

$$T_f = T_c\operatorname{sign}(\omega) + b\,\omega, \qquad i_{ff} = \frac{\hat T_c\operatorname{sign}(\omega^*) + \hat b\,\omega^*}{K_t}$$

ใช้ $\omega^*$ (ค่าสั่ง) แทน $\omega$ วัด เพื่อไม่ให้สั่นรอบความเร็วศูนย์ · ชดเชยไม่ครบ ปล่อยให้เทอม I จัดการส่วนที่เหลือ

## แล็บ: ลูปความเร็วของมอเตอร์

พลานต์คือมอเตอร์จาก M-2 ($\frac{49.8}{0.05s + 1}$ rad/s ต่อ V) และแบบมีโหลดเฉื่อยมากขึ้น ลองตั้ง PI แล้วดูการรบกวนจากโหลดครึ่งทาง เปิด “จำกัด |u|” ที่ 12 V เพื่อเห็นข้อจำกัดของแหล่งจ่าย

กำลังโหลดแล็บ (ต้องเปิด JavaScript)

## ไอเดียโปรเจกต์เมคาทรอนิกส์ (จากง่ายไปยาก)

| โปรเจกต์ | สิ่งที่ได้เรียน | หน้าที่เกี่ยวข้อง | ระดับ |

| คุมความเร็วพัดลม/มอเตอร์ DC ด้วยเอนโค้ดเดอร์ | PI, PWM, วัดความเร็ว | PID | พื้นฐาน |

| คุมอุณหภูมิกล่อง/หัวแร้ง/เตาอบรีโฟลว์ | FOPDT, จูน PID, anti-windup | จูน PID | พื้นฐาน |

| หุ่นยนต์เดินตามเส้น | PD, เซนเซอร์อาร์เรย์, ความเร็วล้อ | โรโบติกส์ | พื้นฐาน |

| เซอร์โวตำแหน่งจากมอเตอร์ DC | คาสเคด, feedforward | หน้านี้ | กลาง |

| Ball-and-beam / ball-on-plate | ระบบชนิด 2, lead, กล้อง | lead | กลาง |

| ลอยแม่เหล็ก (maglev) | พลานต์ไม่เสถียร, ทำให้เป็นเชิงเส้น, lead | ทำเป็นเชิงเส้น | กลาง |

| กิมบอลกล้องสองแกน | IMU, sensor fusion, PI อัตราหมุน | ดิจิทัล | กลาง |

| ลูกตุ้มกลับหัวบนรถ / Furuta pendulum | ปริภูมิสถานะ, LQR, swing-up | LQR | ขั้นสูง |

| เครื่อง CNC / พล็อตเตอร์ 2 แกน | วางแผนวิถี, ประสานหลายแกน | วิถี | ขั้นสูง |

| ไดรฟ์ BLDC แบบ FOC | Clarke–Park, ลูปกระแส dq | คลาร์ก-พาร์ก | ขั้นสูง |

ไอเดียเพิ่มเติมอีกหลายสิบระบบ พร้อมเซนเซอร์และตัวขับ อยู่ในคลังไอเดียระบบควบคุม

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

รวมมอเตอร์หลายตัวเข้าด้วยกันเป็นแขนกลหรือหุ่นยนต์เคลื่อนที่ ต้องเพิ่มจลนศาสตร์และพลศาสตร์หลายข้อต่อ ไปต่อที่โรโบติกส์

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมเซอร์โวไดรฟ์ใช้ลูปซ้อนสามชั้น?
เพราะแต่ละชั้นจัดการปัญหาคนละความเร็ว ลูปกระแสในสุด (kHz) คุมแรงบิดและป้องกันกระแสเกิน ลูปความเร็ว (หลักร้อย Hz) ต้านการรบกวนจากโหลด ลูปตำแหน่งนอกสุด (หลักสิบ Hz) ทำให้ถึงเป้า ลูปในที่เร็วทำให้ลูปนอกเห็นพลานต์ที่ง่ายขึ้น และจำกัดค่าแต่ละชั้นได้อย่างปลอดภัย

แบนด์วิดท์ของแต่ละลูปควรห่างกันเท่าไร?
กฎทั่วไปคือ 5 ถึง 10 เท่า เช่น ลูปกระแส 1–2 kHz ลูปความเร็ว 100–200 Hz ลูปตำแหน่ง 10–30 Hz ถ้าห่างน้อยกว่านั้น ลูปในจะเพิ่มเฟสล่าช้าให้ลูปนอกจนมาร์จินลดลง

เลือกมอเตอร์สำหรับโปรเจกต์อย่างไร?
สเต็ปเปอร์เหมาะกับงานตำแหน่งเบา ๆ ไม่ต้องมีเซนเซอร์ (เครื่องพิมพ์ 3 มิติ) แต่หลุดขั้นได้ถ้าโหลดเกิน มอเตอร์ DC มีแปรงถ่านควบคุมง่าย ราคาถูก เหมาะกับหุ่นยนต์ล้อ BLDC/PMSM มีประสิทธิภาพสูงและเร็ว ต้องใช้ไดรเวอร์ FOC เหมาะกับโดรนและแขนกล ส่วนเซอร์โว RC รวมมอเตอร์ เกียร์ และตัวควบคุมตำแหน่งไว้ในตัว

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมเซอร์โวไดรฟ์ใช้ลูปซ้อนสามชั้น?**
เพราะแต่ละชั้นจัดการปัญหาคนละความเร็ว ลูปกระแสในสุด (kHz) คุมแรงบิดและป้องกันกระแสเกิน ลูปความเร็ว (หลักร้อย Hz) ต้านการรบกวนจากโหลด ลูปตำแหน่งนอกสุด (หลักสิบ Hz) ทำให้ถึงเป้า ลูปในที่เร็วทำให้ลูปนอกเห็นพลานต์ที่ง่ายขึ้น และจำกัดค่าแต่ละชั้นได้อย่างปลอดภัย

**แบนด์วิดท์ของแต่ละลูปควรห่างกันเท่าไร?**
กฎทั่วไปคือ 5 ถึง 10 เท่า เช่น ลูปกระแส 1–2 kHz ลูปความเร็ว 100–200 Hz ลูปตำแหน่ง 10–30 Hz ถ้าห่างน้อยกว่านั้น ลูปในจะเพิ่มเฟสล่าช้าให้ลูปนอกจนมาร์จินลดลง

**เลือกมอเตอร์สำหรับโปรเจกต์อย่างไร?**
สเต็ปเปอร์เหมาะกับงานตำแหน่งเบา ๆ ไม่ต้องมีเซนเซอร์ (เครื่องพิมพ์ 3 มิติ) แต่หลุดขั้นได้ถ้าโหลดเกิน มอเตอร์ DC มีแปรงถ่านควบคุมง่าย ราคาถูก เหมาะกับหุ่นยนต์ล้อ BLDC/PMSM มีประสิทธิภาพสูงและเร็ว ต้องใช้ไดรเวอร์ FOC เหมาะกับโดรนและแขนกล ส่วนเซอร์โว RC รวมมอเตอร์ เกียร์ และตัวควบคุมตำแหน่งไว้ในตัว

---

# แบบจำลองทางคณิตศาสตร์: วงจรไฟฟ้า มอเตอร์ กลไก ความร้อน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/modeling/
Updated: 2026-10-12
Summary: สร้างฟังก์ชันถ่ายโอนจากกฎฟิสิกส์ วิธีอิมพีแดนซ์ วงจร RC RLC ออปแอมป์ มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง (ความเร็วและตำแหน่ง) ระบบมวล-สปริง-ดัมเปอร์ ระบบหมุน ชุดเกียร์และการสะท้อนความเฉื่อย ระบบความร้อน ระดับของเหลว ความคล้ายเชิงอุปมาระหว่างไฟฟ้ากับกลไก และการทำให้เป็นเชิงเส้นของลูกตุ้มกลับหัว พร้อมตัวอย่างตัวเลขจริง

// บทที่ 13.2 · ระบบควบคุม · Mathematical Modeling

# แบบจำลองทางคณิตศาสตร์: วงจรไฟฟ้า มอเตอร์ กลไก ความร้อน

ตัวควบคุมจะดีได้เท่ากับแบบจำลองที่ใช้ออกแบบ หน้านี้เปลี่ยนกฎฟิสิกส์ (KVL, KCL, นิวตัน, สมดุลพลังงาน) ให้เป็นฟังก์ชันถ่ายโอน เริ่มจากวงจรไฟฟ้าที่นักศึกษาไฟฟ้าถนัดที่สุด แล้วใช้ความคล้ายเชิงอุปมาข้ามไปกลไก ความร้อน และของไหล จนถึงมอเตอร์ DC ซึ่งเป็นหัวใจของเมคาทรอนิกส์และหุ่นยนต์ สูตรใช้รหัส M

สรุปใน 30 วินาที

- ฟังก์ชันถ่ายโอน = $Y(s)/U(s)$ ที่เงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ · วงจรใช้อิมพีแดนซ์ $R,\ sL,\ 1/(sC)$ แล้ววิเคราะห์เหมือน DC

- RLC อนุกรม: $\omega_n = 1/\sqrt{LC}$, $\zeta = \frac R2\sqrt{C/L}$ · มอเตอร์ DC (ความเร็ว): $\frac{K}{\tau s + 1}$ · (ตำแหน่ง): $\frac{K}{s(\tau s + 1)}$

- มวล ↔ ตัวเหนี่ยวนำ, สปริง ↔ ตัวเก็บประจุ, แดมเปอร์ ↔ ตัวต้านทาน

- ระบบไม่เชิงเส้น: ทำให้เป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงานด้วยอนุกรมเทย์เลอร์

## ฟังก์ชันถ่ายโอนและวิธีอิมพีแดนซ์ พื้นฐาน

M1 Transfer function ฟังก์ชันถ่ายโอน

$$a_n y^{(n)} + \cdots + a_1\dot y + a_0y = b_mu^{(m)} + \cdots + b_0u \ \xrightarrow{\ \mathcal L,\ \text{IC} = 0\ }\ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_ms^m + \cdots + b_0}{a_ns^n + \cdots + a_0}$$

รากตัวส่วน = ขั้ว (poles) · รากตัวเศษ = ศูนย์ (zeros) · $n$ = อันดับของระบบ · ระบบจริงเกือบทั้งหมด proper ($m \le n$)

M2 Impedance method วิธีอิมพีแดนซ์ในโดเมน s

$$Z_R = R, \quad Z_L = sL, \quad Z_C = \frac{1}{sC}, \qquad \frac{V_o}{V_i} = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \ \text{(ตัวแบ่งแรงดัน)}$$

ใช้ KVL KCL โนด เมช เหมือนวงจร DC ทุกประการ (ดูประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้นกับวงจร) · ไม่ต้องเขียนสมการเชิงอนุพันธ์

## วงจรไฟฟ้า พื้นฐาน

M3 RC low-pass วงจร RC

$$\frac{V_C}{V_i} = \frac{1/(sC)}{R + 1/(sC)} = \frac{1}{RCs + 1}$$

ระบบอันดับหนึ่ง $\tau = RC$ ขั้วที่ $-1/RC$ · ดูแล็บระบบอันดับหนึ่ง

M4 Series RLC วงจร RLC อนุกรม (เอาต์พุตที่ C)

$$\frac{V_C}{V_i} = \frac{1}{LCs^2 + RCs + 1}, \quad \omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad \zeta = \frac R2\sqrt{\frac CL}$$

ดูแล็บระบบอันดับสอง · LC ฟิลเตอร์ของบั๊กคอนเวอร์เตอร์คือวงจรนี้

M5 Inverting op-amp ออปแอมป์อินเวอร์ติง

$$\frac{V_o}{V_i} = -\frac{Z_f(s)}{Z_i(s)} \qquad \text{เช่น } Z_f = \frac{1}{sC},\ Z_i = R:\ -\frac{1}{RCs} \ (\text{อินทิเกรเตอร์})$$

เครื่องมือสร้างตัวควบคุมแบบแอนะล็อก: PID, lead/lag · ดูแล็บออปแอมป์

ตัวอย่าง M-1 · RLC จริง

### วงจร RLC อนุกรม $R = 10\ \Omega,\ L = 10\ \text{mH},\ C = 100\ \mu\text{F}$ หาฟังก์ชันถ่ายโอนไปที่แรงดันตัวเก็บประจุ $\omega_n$ และ $\zeta$

- $LC = 10^{-2} \times 10^{-4} = 10^{-6}$, $RC = 10^{-3}$ M4

$$G(s) = \frac{1}{10^{-6}s^2 + 10^{-3}s + 1} = \frac{10^6}{s^2 + 1000s + 10^6}$$

- $\omega_n = 1/\sqrt{10^{-6}} = 1000$ rad/s (159 Hz) · $\zeta = 5\sqrt{10^{-4}/10^{-2}} = 0.5$

$\omega_n = 1000$ rad/s, $\zeta = 0.5$: ตอบสนองขั้นบันไดพุ่งเกิน 16.3% ที่เวลา $t_p = \pi/(1000\sqrt{0.75}) = 3.6$ ms

## มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: หัวใจของเมคาทรอนิกส์ กลาง

มอเตอร์ DC ที่ควบคุมด้วยแรงดันอาร์เมเจอร์ $v$ มีสองโลกเชื่อมกัน: วงจรไฟฟ้า ($R, L$, แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน $K_e\omega$) และกลไก ($J, b$, แรงบิด $K_ti$) ในหน่วย SI $K_t = K_e = K$

M6 DC motor equations สมการมอเตอร์ DC

$$v = Ri + L\frac{di}{dt} + K_e\omega, \qquad J\frac{d\omega}{dt} + b\omega = K_ti - T_L \ \Rightarrow\ \frac{\Omega(s)}{V(s)} = \frac{K_t}{(Js + b)(Ls + R) + K_tK_e}$$

$T_L$ = แรงบิดโหลด (การรบกวน) · ตำแหน่ง $\theta = \omega/s$ จึงมีอินทิเกรเตอร์เพิ่มหนึ่งตัว

M7 Simplified motor model แบบจำลองอย่างง่าย ($L/R \ll \tau_m$)

$$\frac{\Omega}{V} \approx \frac{K_m}{\tau_ms + 1}, \qquad \frac{\Theta}{V} \approx \frac{K_m}{s(\tau_ms + 1)}, \qquad K_m = \frac{K_t}{Rb + K_tK_e}, \quad \tau_m = \frac{RJ}{Rb + K_tK_e}$$

นี่คือพลานต์ $\frac{K}{s(s+a)}$ ที่เห็นในรูทโลคัสและ PD ทั้งชุด · ใส่เกียร์ $N$: ความเฉื่อยโหลดสะท้อนมาเป็น $J_L/N^2$ M10

ตัวอย่าง M-2 · มอเตอร์ DC ขนาดเล็ก

### มอเตอร์มี $R = 2\ \Omega,\ L = 1\ \text{mH},\ J = 10^{-5}\ \text{kg\,m}^2,\ b = 10^{-6}\ \text{N\,m\,s},\ K_t = K_e = 0.02$ หาแบบจำลองความเร็ว

- แบบเต็ม M6: $(10^{-5}s + 10^{-6})(10^{-3}s + 2) + 4\times10^{-4} = 10^{-8}s^2 + 2.0\times10^{-5}s + 4.02\times10^{-4}$

ขั้วที่ $-20.3$ (กลไก) และ $-1980$ (ไฟฟ้า) ห่างกันเกือบ 100 เท่า

- แบบย่อ M7: $Rb + K^2 = 2\times10^{-6} + 4\times10^{-4} = 4.02\times10^{-4}$

$$K_m = \frac{0.02}{4.02\times10^{-4}} = 49.8\ \tfrac{\text{rad/s}}{\text{V}}, \quad \tau_m = \frac{2\times10^{-5}}{4.02\times10^{-4}} = 0.0498\ \text{s}$$

$\dfrac{\Omega}{V} \approx \dfrac{49.8}{0.0498s + 1}$ (ประมาณ 475 rpm ต่อโวลต์ ถึง 63% ของความเร็วสุดท้ายใน 50 ms) · ขั้วไฟฟ้าที่ −1980 ตัดทิ้งได้สำหรับลูปความเร็ว แต่ต้องใช้เมื่อออกแบบลูปกระแส

## กลไก ความร้อน ของไหล และความคล้ายเชิงอุปมา พื้นฐาน

M8 Mass–spring–damper มวล-สปริง-ดัมเปอร์

$$m\ddot x + b\dot x + kx = f \ \Rightarrow\ \frac{X}{F} = \frac{1}{ms^2 + bs + k}$$

$\omega_n = \sqrt{k/m}$, $\zeta = \frac{b}{2\sqrt{km}}$ · ระบบหมุน: $J\ddot\theta + b\dot\theta + k\theta = T$

M9 Thermal system ระบบความร้อน

$$C_t\frac{d\theta}{dt} = q - \frac{\theta}{R_t} \ \Rightarrow\ \frac{\Theta}{Q} = \frac{R_t}{R_tC_ts + 1}$$

$\theta$ = อุณหภูมิเหนือแวดล้อม · $C_t$ (J/K) $R_t$ (K/W) · วงจร RC เป๊ะ · ระดับน้ำในถัง: $A\dot h = q_{in} - h/R$ รูปเดียวกัน

M10 Gear train ชุดเกียร์ทด $N$ (มอเตอร์หมุนเร็วกว่า $N$ เท่า)

$$\omega_L = \frac{\omega_m}{N}, \quad T_L = NT_m, \quad J_{eq} = J_m + \frac{J_L}{N^2}, \quad b_{eq} = b_m + \frac{b_L}{N^2}$$

เกียร์ทดสูงทำให้โหลดหนัก ๆ “ดูเบา” สำหรับมอเตอร์ เหตุผลที่หุ่นยนต์ใช้ harmonic drive

M11 Force–voltage analogy ความคล้ายแรง-แรงดัน

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{ไฟฟ้า} & v & i & L & R & \tfrac1C \\ \hline \text{กลไกเลื่อนที่} & f & \dot x & m & b & k \\ \text{กลไกหมุน} & T & \omega & J & b & k \\ \text{ความร้อน} & \theta & q & - & R_t & \tfrac{1}{C_t} \end{array}$$

$L\frac{di}{dt} + Ri + \frac1C\int i\,dt = v$ ↔ $m\ddot x + b\dot x + kx = f$ · ทุกอย่างที่รู้เรื่องวงจร RLC ใช้กับกลไกได้ทันที

ตัวอย่าง M-3 · เตาอบ

### เตาอบมีความจุความร้อน $C_t = 500$ J/K ความต้านทานความร้อนต่อห้อง $R_t = 0.2$ K/W ฮีตเตอร์ 1 kW จะร้อนขึ้นเท่าไร และใช้เวลานานเท่าไร

- M9: $G(s) = \dfrac{0.2}{100s + 1}$ (K/W) · $\tau = 0.2 \times 500 = 100$ s

- สุดท้าย: $0.2 \times 1000 = 200$ K เหนือห้อง · ถึง 98% ใน $4\tau = 400$ s

ร้อนขึ้น 200 °C ใช้เวลาเกือบ 7 นาที · เตาจริงมีหน่วงเวลาจากตำแหน่งเซนเซอร์ด้วย จึงนิยมประมาณเป็น $\frac{Ke^{-Ls}}{Ts + 1}$ ในการจูน PID

## ทำให้เป็นเชิงเส้น: ลูกตุ้มกลับหัว กลาง

M12 Linearization การทำให้เป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงาน

$$\dot x = f(x, u) \ \Rightarrow\ \delta\dot x \approx \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{0}\delta x + \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{0}\delta u$$

ใช้ได้รอบจุดสมดุล $(x_0, u_0)$ ที่ $f(x_0, u_0) = 0$ · หลักเดียวกับ “แบบจำลองสัญญาณเล็ก” ของทรานซิสเตอร์และตัวแปลงกำลัง

ตัวอย่าง M-4 · ลูกตุ้มกลับหัว

### ลูกตุ้มยาว $l = 0.5$ m ตั้งตรงบนข้อต่อที่มีมอเตอร์ $ml^2\ddot\theta = mgl\sin\theta + \tau$ หาแบบจำลองเชิงเส้นรอบ $\theta = 0$ (ตั้งตรง)

- รอบ $\theta = 0$: $\sin\theta \approx \theta$ M12 ได้ $\ddot\theta = \frac gl\theta + \frac{\tau}{ml^2}$

- $\dfrac{\Theta}{T} = \dfrac{1/(ml^2)}{s^2 - g/l}$ ขั้วที่ $s = \pm\sqrt{g/l} = \pm\sqrt{19.62} = \pm4.43$

มีขั้วฝั่งขวาที่ $+4.43$: ล้มเองด้วยค่าคงเวลา ~0.23 s ต้องใช้การป้อนกลับที่เร็วกว่านั้นมาก (ดู R-6 ในเราท์ และหุ่นยนต์ทรงตัวในโรโบติกส์) · ไม้ยาวทรงตัวบนมือง่ายกว่าไม้สั้น เพราะ $\sqrt{g/l}$ เล็กกว่า

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ระบบจริงประกอบจากหลายบล็อก (ตัวขับ พลานต์ เซนเซอร์ ตัวควบคุม) ไปต่อที่บล็อกไดอะแกรมเพื่อรวมทั้งหมดเป็นฟังก์ชันเดียว ส่วนแบบจำลองหลายตัวแปรในรูปเมทริกซ์อยู่ที่ปริภูมิสถานะ

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมฟังก์ชันถ่ายโอนต้องสมมติเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์?
เพราะฟังก์ชันถ่ายโอนนิยามเป็นอัตราส่วน Y(s)/U(s) ซึ่งต้องไม่ขึ้นกับสถานะเริ่มต้น ผลของเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นพจน์แยกที่บวกเข้ามาภายหลัง (ผลตอบสนองอิสระ) ส่วนแบบจำลองปริภูมิสถานะรวมเงื่อนไขเริ่มต้นไว้ได้โดยตรง

แบบจำลองมอเตอร์ DC ตัดตัวเหนี่ยวนำทิ้งได้เมื่อไร?
เมื่อค่าคงเวลาทางไฟฟ้า L/R เล็กกว่าค่าคงเวลาทางกลมาก (ปกติต่างกัน 10 เท่าขึ้นไป) ซึ่งจริงกับมอเตอร์ส่วนใหญ่ แบบจำลองจะลดเป็นอันดับหนึ่งสำหรับความเร็ว แต่ถ้าออกแบบลูปกระแสหรือลูปที่เร็วมาก ต้องเก็บ L ไว้

การทำให้เป็นเชิงเส้นใช้ได้แค่ไหน?
ใช้ได้ดีเมื่อระบบทำงานใกล้จุดทำงาน (operating point) เช่น ลูกตุ้มเอียงไม่เกินประมาณ 15–20 องศา sin θ ≈ θ คลาดไม่ถึง 2% ถ้าระบบออกห่างจากจุดนั้นมาก ต้องใช้แบบจำลองไม่เชิงเส้น หรือหลายแบบจำลองสลับกัน (gain scheduling)

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมฟังก์ชันถ่ายโอนต้องสมมติเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์?**
เพราะฟังก์ชันถ่ายโอนนิยามเป็นอัตราส่วน Y(s)/U(s) ซึ่งต้องไม่ขึ้นกับสถานะเริ่มต้น ผลของเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นพจน์แยกที่บวกเข้ามาภายหลัง (ผลตอบสนองอิสระ) ส่วนแบบจำลองปริภูมิสถานะรวมเงื่อนไขเริ่มต้นไว้ได้โดยตรง

**แบบจำลองมอเตอร์ DC ตัดตัวเหนี่ยวนำทิ้งได้เมื่อไร?**
เมื่อค่าคงเวลาทางไฟฟ้า L/R เล็กกว่าค่าคงเวลาทางกลมาก (ปกติต่างกัน 10 เท่าขึ้นไป) ซึ่งจริงกับมอเตอร์ส่วนใหญ่ แบบจำลองจะลดเป็นอันดับหนึ่งสำหรับความเร็ว แต่ถ้าออกแบบลูปกระแสหรือลูปที่เร็วมาก ต้องเก็บ L ไว้

**การทำให้เป็นเชิงเส้นใช้ได้แค่ไหน?**
ใช้ได้ดีเมื่อระบบทำงานใกล้จุดทำงาน (operating point) เช่น ลูกตุ้มเอียงไม่เกินประมาณ 15–20 องศา sin θ ≈ θ คลาดไม่ถึง 2% ถ้าระบบออกห่างจากจุดนั้นมาก ต้องใช้แบบจำลองไม่เชิงเส้น หรือหลายแบบจำลองสลับกัน (gain scheduling)

---

# ระบบไม่เชิงเส้นและการควบคุมแบบทนทาน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/nonlinear-robust/
Updated: 2026-10-12
Summary: ความไม่เชิงเส้นที่พบในระบบควบคุมจริง การอิ่มตัว dead-zone backlash แรงเสียดทาน การควอนไทซ์ ฟังก์ชันพรรณนา (describing function) ทำนายลิมิตไซเคิล ระนาบเฟส เสถียรภาพแบบลียาปูนอฟ sliding mode control ความไม่แน่นอนของแบบจำลอง เงื่อนไขเสถียรภาพแบบทนทาน small-gain theorem และแนวคิด H-infinity

// บทที่ 13.22 · ระบบควบคุม · Nonlinear & Robust Control

# ระบบไม่เชิงเส้นและการควบคุมแบบทนทาน

ทุกอย่างก่อนหน้านี้สมมติว่าระบบเชิงเส้นและแบบจำลองถูกต้อง แต่ PWM เต็มได้แค่ 100% เกียร์มีระยะคลอน แรงเสียดทานสถิตทำให้มอเตอร์ไม่ขยับที่แรงดันต่ำ และค่าพารามิเตอร์จริงต่างจากแคตตาล็อก 20% หน้านี้รวมเครื่องมือหลักสำหรับโลกจริง ระดับภาพรวมที่ใช้ได้จริง เพื่อเป็นทางไปสู่วิชาระดับบัณฑิตศึกษา สูตรใช้รหัส U

สรุปใน 30 วินาที

- ความไม่เชิงเส้นทั่วไป: อิ่มตัว dead-zone backlash แรงเสียดทาน ควอนไทซ์ · ทำให้เกิด windup และลิมิตไซเคิล

- ฟังก์ชันพรรณนา: ลิมิตไซเคิลที่ $G(j\omega) = -1/N(a)$ · รีเลย์ $N = 4d/(\pi a)$

- ลียาปูนอฟ: $V \gt 0,\ \dot V \lt 0 \Rightarrow$ เสถียร

- ทนทาน: $\|W\,T\|_\infty \lt 1$ (ความไม่แน่นอนแบบคูณ) · small gain: $\|G_1\|\,\|G_2\| \lt 1$

## ความไม่เชิงเส้นที่เจอทุกวัน กลาง

| ความไม่เชิงเส้น | พบที่ | ผลกระทบ | วิธีรับมือ |

| อิ่มตัว (saturation) | PWM 0–100% แรงดันแบต กระแสสูงสุด | integral windup ช้าลง overshoot | anti-windup จำกัดค่าอ้างอิง |

| Dead-zone | วาล์ว มอเตอร์ที่มีแรงเสียดทานสถิต ไดรเวอร์ที่มี dead-time | ความผิดพลาดค้าง | ชดเชยด้วยตัวผกผัน เพิ่ม I |

| Backlash | เกียร์ สายพาน | ลิมิตไซเคิลในลูปตำแหน่ง | เกียร์ไร้ระยะคลอน วัดที่ปลายโหลด ลดเกน |

| แรงเสียดทาน (Coulomb, stiction) | แกนเลื่อน ข้อต่อหุ่นยนต์ | stick–slip, hunting | feedforward แรงเสียดทาน dither |

| ควอนไทซ์ | ADC เอนโค้ดเดอร์ PWM ความละเอียดจำกัด | แกว่งเล็ก ๆ รอบเป้า | ความละเอียดสูงขึ้น dead-band เล็ก ๆ |

| อัตราจำกัด (rate limit) | slew rate ของออปแอมป์ ตัวขับไฮดรอลิก | เหมือนหน่วงเวลาที่แอมพลิจูดสูง | วางแผนวิถี (trajectory) |

## ฟังก์ชันพรรณนาและลิมิตไซเคิล ขั้นสูง

U1 Describing functions ฟังก์ชันพรรณนา (เกนสมมูลต่อไซน์แอมพลิจูด $a$)

$$\text{รีเลย์ } \pm d:\ N(a) = \frac{4d}{\pi a}, \qquad \text{อิ่มตัว (ชัน } k, \text{ ขีด } \delta):\ N(a) = \frac{2k}{\pi}\left[\sin^{-1}\frac{\delta}{a} + \frac{\delta}{a}\sqrt{1 - \frac{\delta^2}{a^2}}\right]\ (a \gt \delta)$$

ประมาณเฉพาะฮาร์มอนิกหลัก ใช้ได้ดีเมื่อพลานต์กรองฮาร์มอนิกสูง (low-pass) · อิ่มตัว: $N$ ลดลงเมื่อ $a$ เพิ่ม (เกนประสิทธิผลลดลง) · $N(a)$ คือ $b_1/a$ ของอนุกรมฟูเรียร์ของขาออก (รีเลย์ = สี่เหลี่ยม W1, อิ่มตัว = ไซน์ตัดยอด W16)

U2 Limit-cycle prediction ทำนายลิมิตไซเคิล

$$1 + N(a)G(j\omega) = 0 \iff G(j\omega) = -\frac{1}{N(a)}$$

วาด $-1/N(a)$ บนกราฟไนควิสต์ จุดตัดให้ทั้งแอมพลิจูดและความถี่ของการแกว่ง · เป็นหลักการของ relay auto-tune

ตัวอย่าง U-1 · ตัวควบคุม on–off

### ตัวควบคุมรีเลย์ ±1 กับพลานต์ $G(s) = \dfrac{10}{s(s+1)(s+2)}$ จะแกว่งที่ความถี่และแอมพลิจูดเท่าไร

- $-1/N(a) = -\pi a/4$ อยู่บนแกนจริงลบ U2

- $G(j\omega)$ ตัดแกนจริงลบที่ $\omega = \sqrt2$ ค่า $-10/6 = -1.667$ (เหมือน N-1)

- $\pi a/4 = 1.667 \Rightarrow a = 2.12$

แกว่งค้างที่ $\omega = 1.414$ rad/s (คาบ 4.44 s) แอมพลิจูดประมาณ 2.12 · เตาอบที่ใช้เทอร์โมสตัท on–off แกว่งรอบจุดตั้งด้วยเหตุผลเดียวกัน

## เสถียรภาพแบบลียาปูนอฟ ขั้นสูง

U3 Lyapunov's direct method วิธีตรงของลียาปูนอฟ

$$V(\mathbf 0) = 0,\ \ V(\mathbf x) \gt 0 \ (\mathbf x \ne \mathbf 0),\ \ \dot V = \nabla V\cdot f(\mathbf x) \lt 0 \ \Rightarrow\ \text{เสถียรเชิงอาการ}$$

ถ้า $V \to \infty$ เมื่อ $\|\mathbf x\| \to \infty$ ด้วย จะเสถียรแบบทั่วทั้งปริภูมิ (global) · ระบบเชิงเส้น: $V = \mathbf x^TP\mathbf x$ กับ $A^TP + PA = -Q$

U4 Lyapunov's indirect method วิธีอ้อม (ทำให้เป็นเชิงเส้น)

$$J = \left.\frac{\partial f}{\partial\mathbf x}\right|_{\mathbf x_0}:\ \ \operatorname{Re}\lambda_i(J) \lt 0 \Rightarrow \text{เสถียรเฉพาะที่}, \quad \operatorname{Re}\lambda_i \gt 0 \text{ บางตัว} \Rightarrow \text{ไม่เสถียร}$$

ถ้ามี $\operatorname{Re}\lambda = 0$ สรุปไม่ได้ ต้องใช้วิธีตรง · เป็นเหตุผลที่การทำให้เป็นเชิงเส้นใช้ได้

ตัวอย่าง U-2 · เมื่อทำเป็นเชิงเส้นแล้วตอบไม่ได้

### $\dot x = -x^3$ เสถียรไหม

- วิธีอ้อม: $J = -3x^2|_0 = 0$ สรุปไม่ได้ U4

- วิธีตรง: $V = x^2 \gt 0$, $\dot V = 2x\dot x = -2x^4 \lt 0$ สำหรับ $x \ne 0$ U3

เสถียรเชิงอาการแบบทั่วทั้งปริภูมิ แต่ลู่เข้าช้ากว่าเอกซ์โพเนนเชียล · หุ่นยนต์ใช้ $V$ = พลังงานจลน์ + พลังงานศักย์เสมือน พิสูจน์ PD + ชดเชยแรงโน้มถ่วง (ดูโรโบติกส์)

U5 Sliding mode control ควบคุมแบบโหมดเลื่อน

$$\sigma = \dot e + \lambda e, \qquad u = u_{eq} - k\,\operatorname{sign}(\sigma), \quad k \gt |\text{ความไม่แน่นอน}|$$

บังคับให้สถานะเลื่อนบนผิว $\sigma = 0$ ซึ่ง $e \to 0$ แบบ $e^{-\lambda t}$ ทนต่อการรบกวนที่จำกัดขอบเขตได้สมบูรณ์ · ข้อเสีย: chattering แก้ด้วย $\operatorname{sat}(\sigma/\phi)$ แทน sign · ใช้ในไดรฟ์มอเตอร์และตัวแปลงกำลัง

## การควบคุมแบบทนทาน ขั้นสูง

U6 Robust stability (multiplicative uncertainty) เสถียรภาพทนทาน

$$G_{\text{จริง}} = G(1 + W\Delta),\ |\Delta| \le 1 \quad\Rightarrow\quad \text{เสถียรทุกพลานต์} \iff |W(j\omega)T(j\omega)| \lt 1 \ \ \forall\omega$$

$|W(j\omega)|$ = ขนาดความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ที่แต่ละความถี่ (มักเล็กที่ความถี่ต่ำ โตที่ความถี่สูง) · จึงต้องให้ $|T|$ เล็กที่ความถี่สูง: แบนด์วิดท์ถูกจำกัดด้วยความรู้เรื่องพลานต์

U7 Small-gain theorem ทฤษฎีบทเกนเล็ก

$$\|G_1\|_\infty\,\|G_2\|_\infty \lt 1 \ \Rightarrow\ \text{ระบบป้อนกลับของ } G_1, G_2 \text{ เสถียร}$$

ใช้ได้แม้ $G_2$ ไม่เชิงเส้นหรือแปรตามเวลา (ใช้เกนแบบ $L_2$) · เป็นฐานของ H∞ control ซึ่งออกแบบตัวควบคุมให้ $\|W_1S\|_\infty$ และ $\|W_2T\|_\infty$ เล็กที่สุดพร้อมกัน

ตัวอย่าง U-3 · เกนพลานต์ไม่แน่นอน

### $L = \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ ออกแบบที่ $K = 2$ แต่พลานต์จริงมีเกนตั้งแต่ 0.5 ถึง 1.5 เท่าของค่าที่ออกแบบ ยังเสถียรไหม

- $K$ จริงอยู่ในช่วง 1 ถึง 3 · เสถียรเมื่อ $K \lt 6$ (R-5)

- มองด้วยมาร์จิน: GM = 3 เท่า (9.54 dB) ครอบความไม่แน่นอน 1.5 เท่า เหลือที่ว่างอีก 2 เท่า

เสถียรทุกกรณี (robustly stable) แต่ที่ $K = 3$ PM ลดเหลือประมาณ 20° แกว่งมาก ถ้าต้องการสมรรถนะทนทานด้วย (robust performance) ต้องออกแบบให้มาร์จินมากกว่านี้

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ได้เครื่องมือครบแล้ว ส่วนที่ 9 คือการลงสนามจริง: เมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ และตัวแปลงกำลัง

## คำถามที่พบบ่อย

ลิมิตไซเคิลคืออะไร เกิดได้อย่างไร?
คือการแกว่งค้างที่มีแอมพลิจูดและความถี่คงที่ ไม่ขึ้นกับเงื่อนไขเริ่มต้น เกิดได้เฉพาะในระบบไม่เชิงเส้น เช่น ตัวควบคุมแบบ on–off ร่วมกับพลานต์ที่มีเฟสล่าช้ามาก หรือ backlash ในเกียร์ร่วมกับลูปตำแหน่งที่มีเกนสูง ฟังก์ชันพรรณนาใช้ทำนายแอมพลิจูดและความถี่ได้ล่วงหน้า

วิธีลียาปูนอฟใช้ทำอะไร?
ใช้พิสูจน์เสถียรภาพของระบบไม่เชิงเส้นโดยไม่ต้องแก้สมการ หาฟังก์ชันคล้ายพลังงาน V(x) ที่เป็นบวก ถ้าอนุพันธ์ตามเวลาเป็นลบเสมอ ระบบจะลู่เข้าจุดสมดุล ใช้มากในการพิสูจน์ตัวควบคุมหุ่นยนต์ เช่น PD + ชดเชยแรงโน้มถ่วง

การควบคุมแบบทนทาน (robust control) ต่างจากการจูนธรรมดาอย่างไร?
การออกแบบทั่วไปใช้แบบจำลองเดียว ส่วน robust control ระบุขอบเขตความไม่แน่นอนของพลานต์อย่างชัดเจน แล้วรับประกันว่าระบบเสถียรและได้สมรรถนะสำหรับพลานต์ทุกตัวในขอบเขตนั้น เกนมาร์จินและเฟสมาร์จินคือรูปแบบง่ายที่สุดของแนวคิดนี้

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ลิมิตไซเคิลคืออะไร เกิดได้อย่างไร?**
คือการแกว่งค้างที่มีแอมพลิจูดและความถี่คงที่ ไม่ขึ้นกับเงื่อนไขเริ่มต้น เกิดได้เฉพาะในระบบไม่เชิงเส้น เช่น ตัวควบคุมแบบ on–off ร่วมกับพลานต์ที่มีเฟสล่าช้ามาก หรือ backlash ในเกียร์ร่วมกับลูปตำแหน่งที่มีเกนสูง ฟังก์ชันพรรณนาใช้ทำนายแอมพลิจูดและความถี่ได้ล่วงหน้า

**วิธีลียาปูนอฟใช้ทำอะไร?**
ใช้พิสูจน์เสถียรภาพของระบบไม่เชิงเส้นโดยไม่ต้องแก้สมการ หาฟังก์ชันคล้ายพลังงาน V(x) ที่เป็นบวก ถ้าอนุพันธ์ตามเวลาเป็นลบเสมอ ระบบจะลู่เข้าจุดสมดุล ใช้มากในการพิสูจน์ตัวควบคุมหุ่นยนต์ เช่น PD + ชดเชยแรงโน้มถ่วง

**การควบคุมแบบทนทาน (robust control) ต่างจากการจูนธรรมดาอย่างไร?**
การออกแบบทั่วไปใช้แบบจำลองเดียว ส่วน robust control ระบุขอบเขตความไม่แน่นอนของพลานต์อย่างชัดเจน แล้วรับประกันว่าระบบเสถียรและได้สมรรถนะสำหรับพลานต์ทุกตัวในขอบเขตนั้น เกนมาร์จินและเฟสมาร์จินคือรูปแบบง่ายที่สุดของแนวคิดนี้

---

# เกณฑ์เสถียรภาพของไนควิสต์ (Nyquist Criterion)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/nyquist/
Updated: 2026-10-12
Summary: เกณฑ์เสถียรภาพไนควิสต์ ทฤษฎีบทอาร์กิวเมนต์ของโคชี เส้นทางไนควิสต์ สูตร Z = N + P การนับรอบอ้อมจุด −1 วาดกราฟไนควิสต์ทีละขั้นจากโบด จัดการขั้วบนแกน jω ระบบวงเปิดไม่เสถียร ระบบที่เสถียรเฉพาะเมื่อเกนสูงพอ อ่านเกนมาร์จินและเฟสมาร์จินจากไนควิสต์ และระยะใกล้สุดถึง −1

// บทที่ 13.14 · ระบบควบคุม · Nyquist Stability Criterion

# เกณฑ์เสถียรภาพของไนควิสต์ (Nyquist Criterion)

แฮร์รี ไนควิสต์ (Harry Nyquist, Bell Labs, 1932) ตอบคำถามที่โบดตอบได้ไม่ครบ: ถ้าวงเปิดไม่เสถียร หรือกราฟตัด 0 dB หลายครั้ง จะรู้ได้อย่างไรว่าวงปิดเสถียร คำตอบคือนับจำนวนรอบที่กราฟ $L(j\omega)$ อ้อมจุด −1 สูตรเดียว $Z = N + P$ ใช้ได้กับระบบเชิงเส้นทุกแบบ รวมหน่วงเวลา สูตรใช้รหัส N

สรุปใน 30 วินาที

- วาด $L(j\omega)$ บนระนาบเชิงซ้อน ω จาก −∞ ถึง ∞ (ครึ่งล่างคือภาพสะท้อน)

- $N$ = จำนวนรอบตามเข็มที่อ้อม −1 · $P$ = ขั้วฝั่งขวาของวงเปิด

- $Z = N + P$ = ขั้ววงปิดฝั่งขวา · เสถียร $\iff Z = 0$

- วงเปิดเสถียร: ห้ามอ้อม −1 · GM จากจุดตัดแกนจริงลบ · PM จากจุดตัดวงกลมหนึ่งหน่วย

## แนวคิด: ทฤษฎีบทอาร์กิวเมนต์ กลาง

ลากจุด $s$ วนรอบเส้นทางปิดตามเข็มนาฬิกา แล้วดูเวกเตอร์ $s - p$ จากขั้วหรือศูนย์ $p$ ถ้า $p$ อยู่ในเส้นทาง เวกเตอร์หมุนครบ 360° หนึ่งรอบ ถ้าอยู่นอกจะส่ายไปมาแล้วกลับที่เดิม (หมุนสุทธิ 0) ฟังก์ชัน $F(s) = 1 + L(s)$ จึงหมุนรอบจุดกำเนิดเท่ากับ (ศูนย์ภายใน − ขั้วภายใน) รอบ

N1 Argument principle ทฤษฎีบทอาร์กิวเมนต์ (โคชี)

$$\#\text{รอบตามเข็มของ } F(s) \text{ รอบ } 0 = Z_F - P_F \quad (\text{ศูนย์และขั้วของ } F \text{ ภายในเส้นทาง})$$

เลือก $F = 1 + L$: ศูนย์ของ $F$ = ขั้ววงปิด, ขั้วของ $F$ = ขั้ววงเปิด · $F$ รอบ 0 ↔ $L$ รอบ −1

N2 Nyquist contour เส้นทางไนควิสต์

$$s:\ j0 \to j\infty \ \to\ \text{ครึ่งวงกลมรัศมี } \infty \text{ (ฝั่งขวา)} \ \to\ -j\infty \to j0$$

ครอบคลุมฝั่งขวาทั้งหมด · ระบบ proper: ครึ่งวงกลมใหญ่ส่งไปจุดเดียว (0 หรือค่าคงที่) · ขั้วบนแกน $j\omega$ อ้อมด้วยครึ่งวงกลมเล็กรัศมี $\varepsilon$ ทางขวา N4

N3 Nyquist stability criterion เกณฑ์ไนควิสต์

$$Z = N + P, \qquad \text{วงปิดเสถียร} \iff Z = 0 \iff N = -P$$

$N$ = รอบตามเข็มที่ $L(j\omega)$ อ้อม −1 (ทวนเข็มนับลบ) · $P$ = ขั้วฝั่งขวาของ $L$ · วงเปิดไม่เสถียร $P$ ตัว ต้องอ้อม −1 ทวนเข็ม $P$ รอบพอดี · ถ้า $L$ ผ่านจุด −1 พอดี: ขั้ววงปิดอยู่บนแกน $j\omega$

## วาดกราฟไนควิสต์ทีละขั้น กลาง

N4 Sketching procedure ขั้นตอนวาด

- $\omega \to 0^+$: จากโบด ขนาดและเฟสเริ่มต้น (ระบบชนิด $q$: ขนาด → ∞ ที่มุม $-90q^\circ$)

- $\omega \to \infty$: ขนาด → 0 เข้าหาจุดกำเนิดที่มุม $-90(n - m)^\circ$

- จุดตัดแกนจริง: ตั้ง $\operatorname{Im}L(j\omega) = 0$ (หรือเฟส = −180°) จุดตัดวงกลมหนึ่งหน่วย: $|L| = 1$

- สะท้อนครึ่งบน/ล่างรอบแกนจริงเพื่อได้ส่วน ω ลบ

- ขั้ว $q$ ตัวที่จุดกำเนิด: ปิดกราฟด้วยส่วนโค้งรัศมีอนันต์ หมุนตามเข็ม $q \times 180^\circ$ จากปลาย $\omega = 0^-$ ไป $\omega = 0^+$

- นับ $N$ แล้วใช้ $Z = N + P$

ตัวอย่าง N-1 · ระบบเดิมของเรา

### ใช้ไนควิสต์ตรวจ $L(s) = \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ ที่ $K = 2$ และ $K = 10$

- $P = 0$ · $\omega \to 0^+$: ขนาด ∞ มุม −90° (ลงมาจากด้านล่างซ้าย ส่วนจริงเข้าหา $-3K/4$) · $\omega \to \infty$: เข้าจุดกำเนิดที่ −270°

- ตัดแกนจริงที่ $\omega = \sqrt2$: $L(j\sqrt2) = -K/6$ N4

- $K = 2$: ตัดที่ $-1/3$ อยู่ขวาของ −1 → ไม่อ้อม $N = 0$ → $Z = 0$ เสถียร · GM $= 1/(1/3) = 3$

- $K = 10$: ตัดที่ $-5/3$ อยู่ซ้ายของ −1 → อ้อมตามเข็ม 2 รอบ $N = 2$ → $Z = 2$ N3

$K = 2$: ไม่อ้อม −1 (เส้นประคือส่วน ω ลบ) · วงกลมม่วงคือ $|L| = 1$

$K = 10$: อ้อม −1 สองรอบ วงปิดมีขั้วฝั่งขวา 2 ตัว

สอดคล้องกับเราท์ ($K \lt 6$) และรูทโลคัส ✓ · python-control นับ $N = 0$ และ $N = 2$ ✓

## วงเปิดไม่เสถียร: ต้องอ้อมทวนเข็ม กลาง

ตัวอย่าง N-2 · พลานต์ไม่เสถียร

### $L(s) = \dfrac{K}{s - 1}$ เสถียรเมื่อ $K$ เท่าไร (ตรวจด้วยไนควิสต์)

- $P = 1$ (ขั้วที่ +1) · $L(j\omega) = \dfrac{K}{j\omega - 1} = \dfrac{-K(1 + j\omega)}{1 + \omega^2}$

- $\omega = 0$: $-K$ · $\omega \to \infty$: 0 จากด้านล่าง (มุม −90°) · เป็นวงกลมศูนย์กลาง $-K/2$ รัศมี $K/2$

- $K \gt 1$: วงกลมครอบ −1 อ้อมทวนเข็ม 1 รอบ $N = -1$ → $Z = -1 + 1 = 0$ เสถียร · $K \lt 1$: ไม่ครอบ $N = 0$ → $Z = 1$ ไม่เสถียร

เสถียรเมื่อ $K \gt 1$ ตรงกับตัวอย่าง S-2 · กรณีนี้ถ้าอ่าน GM จากโบดแบบปกติจะได้คำตอบผิด เพราะเกณฑ์โบดใช้เฉพาะวงเปิดเสถียร

## มาร์จินบนกราฟไนควิสต์ กลาง

N5 Margins on the Nyquist plot มาร์จินบนไนควิสต์

$$\text{GM} = \frac{1}{|a|}\ (\text{จุดตัดแกนจริงลบที่ } -a), \qquad \text{PM} = \angle\text{ระหว่างจุดตัดวงกลม } |L| = 1 \text{ กับแกนจริงลบ}, \qquad s_m = \min_\omega|1 + L(j\omega)| = \frac{1}{M_s}$$

$s_m$ (modulus margin) คือระยะใกล้สุดถึง −1 ในทุกทิศ ครอบคลุมทั้ง GM และ PM · $M_s \lt 2$ รับประกัน GM $\ge 6$ dB และ PM $\ge 29^\circ$

## ระบบที่ลดเกนแล้วไม่เสถียร ขั้นสูง

ตัวอย่าง N-3 · เกนต่ำเกินก็ไม่ได้

### $L(s) = \dfrac{K(s+1)^2}{s^3}$ (ระบบชนิด 3 เช่น เซอร์โวติดตามความเร่ง) เสถียรเมื่อใด

- $P = 0$ · เฟสเริ่ม −270° แล้วศูนย์คู่ดึงขึ้นไปจบที่ −90° ข้ามเส้น −180° หนึ่งครั้ง

- เราท์ของ $s^3 + Ks^2 + 2Ks + K$: $K \cdot 2K \gt K \Rightarrow K \gt 0.5$

- ไนควิสต์: $K = 2$ นับได้ $N = 0$ · $K = 0.3$ นับได้ $N = 2$

เสถียรเมื่อ $K \gt 0.5$ เท่านั้น: ลดเกนกลับทำให้ไม่เสถียร (ต่างจากระบบปกติ) การอิ่มตัวของตัวขับลดเกนประสิทธิผลได้ ระบบแบบนี้จึงอาจแกว่งเมื่ออิ่มตัว (ดูฟังก์ชันพรรณนา) · ลองในแล็บ preset “เกนต่ำไม่เสถียร”

## แล็บไนควิสต์

เลื่อน $K$ ดูกราฟขยายจนอ้อม −1 (กากบาทแดง) ตัวเลข P, N, Z คำนวณให้มุมขวาบน ใช้ปุ่ม + − ซูม ลองเทียบกับรูทโลคัสในจอเดียวกัน

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

- ลืมส่วน ω ลบ และส่วนโค้งที่อนันต์ → นับรอบผิด ต้องปิดเส้นทางให้ครบ

- สลับทิศตามเข็ม/ทวนเข็ม → ตำราบางเล่มนิยาม $N$ เป็นทวนเข็ม และเขียน $Z = P - N$ ผลเหมือนกัน ต้องรู้ว่าใช้แบบไหน

- ลืมนับ P → พลานต์ไม่เสถียรต้องอ้อม −1 ทวนเข็มพอดี P รอบ

- ใช้ GM/PM กับระบบวงเปิดไม่เสถียร → ตัดสินด้วยไนควิสต์เท่านั้น

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

รู้วิธีตัดสินเสถียรภาพครบทุกเครื่องมือแล้ว ถึงเวลาออกแบบ: ตัวชดเชย lead lag ดัดกราฟโบดและไนควิสต์ให้ห่างจาก −1 ตามสเปก

## คำถามที่พบบ่อย

นับรอบอ้อม −1 อย่างไรให้ไม่พลาด?
ลากเส้นตรงจากจุด −1 ออกไปทิศใดก็ได้ (นิยมไปทาง −∞ บนแกนจริง) นับจำนวนครั้งที่กราฟตัดเส้นนั้น ตัดแบบตามเข็มนับ +1 ทวนเข็มนับ −1 ผลรวมคือ N ต้องรวมทั้งส่วน ω บวก ส่วน ω ลบ (ภาพสะท้อน) และส่วนที่ปิดวงที่อนันต์ด้วย

P ในสูตร Z = N + P คืออะไร?
P คือจำนวนขั้วของฟังก์ชันวงเปิด L(s) ที่อยู่ฝั่งขวาของระนาบ s (ไม่รวมขั้วบนแกน jω ซึ่งเลี่ยงด้วยครึ่งวงกลมเล็ก) ถ้าวงเปิดเสถียร P = 0 จึงต้องการ N = 0 คือไม่อ้อม −1 เลย

ไนควิสต์ดีกว่าโบดตรงไหน?
ใช้ได้กับทุกกรณี รวมถึงวงเปิดไม่เสถียร ครอสโอเวอร์หลายครั้ง และหน่วงเวลา และให้ภาพระยะห่างจากจุด −1 ในทุกทิศ ซึ่งบอกความทนทานได้ดีกว่าการดูแค่ GM และ PM ส่วนโบดวาดและออกแบบง่ายกว่าในกรณีทั่วไป

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**นับรอบอ้อม −1 อย่างไรให้ไม่พลาด?**
ลากเส้นตรงจากจุด −1 ออกไปทิศใดก็ได้ (นิยมไปทาง −∞ บนแกนจริง) นับจำนวนครั้งที่กราฟตัดเส้นนั้น ตัดแบบตามเข็มนับ +1 ทวนเข็มนับ −1 ผลรวมคือ N ต้องรวมทั้งส่วน ω บวก ส่วน ω ลบ (ภาพสะท้อน) และส่วนที่ปิดวงที่อนันต์ด้วย

**P ในสูตร Z = N + P คืออะไร?**
P คือจำนวนขั้วของฟังก์ชันวงเปิด L(s) ที่อยู่ฝั่งขวาของระนาบ s (ไม่รวมขั้วบนแกน jω ซึ่งเลี่ยงด้วยครึ่งวงกลมเล็ก) ถ้าวงเปิดเสถียร P = 0 จึงต้องการ N = 0 คือไม่อ้อม −1 เลย

**ไนควิสต์ดีกว่าโบดตรงไหน?**
ใช้ได้กับทุกกรณี รวมถึงวงเปิดไม่เสถียร ครอสโอเวอร์หลายครั้ง และหน่วงเวลา และให้ภาพระยะห่างจากจุด −1 ในทุกทิศ ซึ่งบอกความทนทานได้ดีกว่าการดูแค่ GM และ PM ส่วนโบดวาดและออกแบบง่ายกว่าในกรณีทั่วไป

---

# การจูน PID: Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, IMC และงานจริง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/pid-tuning/
Updated: 2026-10-12
Summary: วิธีจูน PID เมื่อไม่มีแบบจำลอง Ziegler–Nichols แบบเกนวิกฤต (ultimate gain) และแบบกราฟตอบสนองขั้นบันได (reaction curve) Tyreus–Luyben Cohen–Coon การจูนแบบ IMC/Lambda และ SIMC ของ Skogestad relay auto-tune ของ Åström–Hägglund ระบุแบบจำลอง FOPDT จากกราฟ เปรียบเทียบผลจำลองจริง และขั้นตอนจูนด้วยมือหน้างาน

// บทที่ 13.17 · ระบบควบคุม · PID Tuning

# การจูน PID: Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, IMC และงานจริง

ในโรงงาน เรามักไม่มีสมการของพลานต์ แต่มีพลานต์ตัวจริงให้ทดลอง ปี 1942 ซีเกลอร์และนิโคลส์ (Ziegler & Nichols) เสนอวิธีหาเกน PID จากการทดลองง่าย ๆ สองแบบ จากนั้นมีกฎที่ดีขึ้นเรื่อย ๆ หน้านี้รวบรวมกฎที่ใช้จริง พร้อมผลจำลองเปรียบเทียบว่าแต่ละกฎให้ระบบดุดันหรือนุ่มนวลแค่ไหน แล้วจบที่ขั้นตอนจูนหน้างาน สูตรใช้รหัส Z

สรุปใน 30 วินาที

- ZN เกนวิกฤต: เพิ่ม $K_P$ จนแกว่งค้าง ได้ $K_u, T_u$ → PID: $0.6K_u,\ T_u/2,\ T_u/8$

- ZN กราฟขั้นบันได: วัด $K, L, T$ ของแบบจำลอง FOPDT → PID: $1.2T/(KL),\ 2L,\ 0.5L$

- ZN และ Cohen–Coon ดุดัน (overshoot 40–80%) · SIMC/IMC นุ่มและทนทาน (PM ~60°) เหมาะเป็นค่าเริ่มต้นในงานจริง

- Relay test หา $K_u = 4d/(\pi a)$ ได้ปลอดภัยและอัตโนมัติ

ระดับพื้นฐาน ใช้ตารางกลาง เข้าใจที่มาขั้นสูง งานจริง

## Ziegler–Nichols แบบเกนวิกฤต (Ultimate Gain) พื้นฐาน

ปิดวงด้วย P อย่างเดียว ($K_I = K_D = 0$) แล้วค่อย ๆ เพิ่ม $K_P$ จนเอาต์พุตแกว่งค้างคงที่ จดเกนนั้น $K_u$ และคาบการแกว่ง $T_u$ ถ้ามีแบบจำลองก็หาได้จากเราท์ ($K_u = K_{cr}$, $T_u = 2\pi/\omega_{cr}$)

Z1 Ziegler–Nichols (ultimate-gain method) ตาราง ZN แบบเกนวิกฤต (รูปแบบมาตรฐาน P2)

$$\begin{array}{l|ccc} & K_P & T_i & T_d \\ \hline \text{P} & 0.5K_u & - & - \\ \text{PI} & 0.45K_u & T_u/1.2 & - \\ \text{PID} & 0.6K_u & T_u/2 & T_u/8 \\ \text{PID (Tyreus–Luyben)} & K_u/2.2 & 2.2T_u & T_u/6.3 \end{array}$$

ZN ออกแบบให้การแกว่งลดลงเหลือ 1/4 ทุกรอบ (quarter-amplitude decay) ค่อนข้างดุ · Tyreus–Luyben นุ่มกว่ามาก นิยมในกระบวนการเคมี

ตัวอย่าง Z-1 · ZN เกนวิกฤต

### จูน PID ให้ $G(s) = \dfrac{1}{(s+1)^3}$ ด้วย ZN และ Tyreus–Luyben

- $s^3 + 3s^2 + 3s + 1 + K = 0$ สูตรลัด: $9 \gt 1 + K \Rightarrow K_u = 8$ · $3\omega^2 = 9 \Rightarrow \omega_u = \sqrt3$, $T_u = 2\pi/\sqrt3 = 3.63$ s

- ZN-PID Z1: $K_P = 4.8,\ T_i = 1.81,\ T_d = 0.453$ → $K_I = 2.65,\ K_D = 2.18$

- Tyreus–Luyben: $K_P = 3.64,\ T_i = 7.98,\ T_d = 0.576$ → $K_I = 0.456,\ K_D = 2.09$

| กฎ | KP | KI | KD | Overshoot | ts (2%) | PM |

| P (0.5Ku) | 4 | 0 | 0 | 54% | – | 27° |

| ZN-PI | 3.6 | 1.19 | 0 | 56% | 30.8 s | 15° |

| ZN-PID | 4.8 | 2.65 | 2.18 | 40% | 9.4 s | 31° |

| Tyreus–Luyben PID | 3.64 | 0.456 | 2.09 | 2.9% | 20.5 s | 56° |

จำลองด้วย python-control (D อุดมคติ ค่าอ้างอิงเข้าทุกเทอม) · P อย่างเดียวค้างที่ 0.8 ไม่ถึง 1 · ลองค่าเหล่านี้ในแล็บแล้วเปิด “D จากเอาต์พุต” จะเห็น overshoot ของ ZN-PID ลดลงชัดเจน

## Ziegler–Nichols แบบกราฟขั้นบันได (Reaction Curve) พื้นฐาน

เปิดวง (ตัวควบคุมโหมด manual) แล้วสั่งเอาต์พุตตัวควบคุมเป็นขั้นบันไดขนาด $\Delta u$ บันทึกกราฟเอาต์พุต กระบวนการส่วนใหญ่ให้กราฟรูปตัว S ลากเส้นสัมผัสที่จุดชันที่สุด อ่านค่าสามตัวมาสร้างแบบจำลอง FOPDT

Z2 FOPDT model from a step test แบบจำลอง FOPDT จากการทดลองขั้นบันได

$$G(s) \approx \frac{Ke^{-Ls}}{Ts + 1}, \qquad K = \frac{\Delta y_\infty}{\Delta u}, \quad L = \text{จุดที่เส้นสัมผัสตัดระดับเริ่มต้น}, \quad T = \text{ช่วงจาก } L \text{ ถึงจุดตัดระดับสุดท้าย}$$

วิธีสองจุด (แม่นกว่าเส้นสัมผัส): หาเวลา $t_{28}$ และ $t_{63}$ ที่เอาต์พุตขึ้น 28.3% และ 63.2% ได้ $T = 1.5(t_{63} - t_{28})$, $L = t_{63} - T$

Z3 Ziegler–Nichols (reaction-curve method) ตาราง ZN แบบกราฟขั้นบันได

$$\begin{array}{l|ccc} & K_P & T_i & T_d \\ \hline \text{P} & \dfrac{T}{KL} & - & - \\ \text{PI} & \dfrac{0.9T}{KL} & \dfrac{L}{0.3} & - \\ \text{PID} & \dfrac{1.2T}{KL} & 2L & 0.5L \end{array}$$

ใช้ได้ดีเมื่อ $0.1 \lt L/T \lt 1$ · ถ้า $L/T$ เล็กมาก เกนจะสูงเกิน ถ้าใหญ่ (หน่วงเวลาครอบงำ) ใช้ SIMC หรือ Smith predictor

Z4 Cohen–Coon (PID) กฎของโคเฮน–คูน

$$K_P = \frac{T}{KL}\left(\frac43 + \frac{L}{4T}\right), \qquad T_i = L\,\frac{32 + 6L/T}{13 + 8L/T}, \qquad T_d = \frac{4L}{11 + 2L/T}$$

ปรับปรุงจาก ZN ให้ดีขึ้นเมื่อหน่วงเวลามาก แต่ยังดุดันพอกัน

## IMC, Lambda และ SIMC: จูนแบบตั้งความเร็วเอง กลาง

แนวคิดสมัยใหม่: เลือกค่าคงเวลาวงปิดที่ต้องการ $\tau_c$ (หรือ $\lambda$) เอง แล้วคำนวณเกนให้ได้ตามนั้น ปรับความดุ–นุ่มได้ด้วยตัวแปรเดียว Skogestad (2003) เสนอ SIMC ที่ใช้ง่ายและทนทาน ค่าเริ่มต้นที่แนะนำคือ $\tau_c = L$

Z5 SIMC PI rule (Skogestad) กฎ SIMC สำหรับ PI

$$K_P = \frac{1}{K}\cdot\frac{T}{\tau_c + L}, \qquad T_i = \min\{T,\ 4(\tau_c + L)\}, \qquad \tau_c = L \text{ (ค่าแนะนำ)}$$

$\tau_c$ เล็ก = เร็วแต่ทนทานน้อย · $\tau_c$ ใหญ่ = ช้าแต่ทนทาน · IMC/Lambda tuning ใช้ $K_P = \frac{T}{K(\lambda + L)}$, $T_i = T$ (เหมือนกันเมื่อ $T$ ไม่ใหญ่มาก) · ใช้ $T_i = 4(\tau_c + L)$ เมื่อ $T$ ใหญ่มาก (พลานต์เกือบเป็นอินทิเกรเตอร์) เพื่อต้านการรบกวนที่โหลดได้เร็ว

ตัวอย่าง Z-2 · เทียบกฎกับฮีตเตอร์

### ฮีตเตอร์มีแบบจำลอง $G(s) = \dfrac{e^{-s}}{5s + 1}$ ($K = 1,\ L = 1,\ T = 5$) เทียบ ZN, Cohen–Coon และ SIMC

- ZN-PID Z3: $K_P = \frac{1.2(5)}{1} = 6,\ T_i = 2,\ T_d = 0.5$

- ZN-PI: $K_P = 4.5,\ T_i = 3.33$

- Cohen–Coon PID Z4: $K_P = 5\left(\tfrac43 + \tfrac{1}{20}\right) = 6.92,\ T_i = \tfrac{33.2}{14.6} = 2.27,\ T_d = \tfrac{4}{11.4} = 0.351$

- SIMC PI Z5 ($\tau_c = L = 1$): $K_P = \tfrac{5}{2} = 2.5,\ T_i = \min(5, 8) = 5$

| กฎ | KP | Ti | Td | Overshoot | ts (2%) | PM | GM |

| ZN-PI | 4.5 | 3.33 | – | 54% | 11.7 s | 31° | 4.4 dB |

| ZN-PID | 6 | 2 | 0.5 | 73% | 8.7 s | 41° | 3.1 dB |

| Cohen–Coon PID | 6.92 | 2.27 | 0.351 | 81% | 9.0 s | 28° | 2.8 dB |

| SIMC PI | 2.5 | 5 | – | 4.1% | 6.1 s | 61° | 9.9 dB |

กฎเก่าให้ GM เพียง 3–4 dB (ถ้าพลานต์เปลี่ยนเกนแค่ 1.5 เท่าก็แทบไม่เสถียร) ส่วน SIMC PI เข้าที่เร็วกว่า overshoot น้อย และทนทานกว่ามาก แม้ไม่มีเทอม D

จำลองด้วยพาเดอันดับ 10 แทนหน่วงเวลา python-control · ลองในแล็บ: เลือกพลานต์ “ฮีตเตอร์ + หน่วงเวลา” แล้วใส่ $K_P = 2.5,\ K_I = 0.5$

## Relay auto-tune: หาเกนวิกฤตอย่างปลอดภัย ขั้นสูง

Åström และ Hägglund (1984) แทนตัวควบคุมชั่วคราวด้วยรีเลย์ (on–off ขนาด $\pm d$) ระบบจะแกว่งค้างที่ความถี่วิกฤตเองโดยอัตโนมัติ และขนาดการแกว่งถูกจำกัดด้วย $d$ จึงปลอดภัย เป็นหลักการของปุ่ม “Auto-tune” ในตัวควบคุมอุณหภูมิและไดรฟ์มอเตอร์เกือบทุกยี่ห้อ

Z6 Relay feedback test การทดลองรีเลย์

$$K_u \approx \frac{4d}{\pi a}, \qquad T_u = \text{คาบการแกว่งที่วัดได้}$$

$d$ = ขนาดเอาต์พุตรีเลย์ · $a$ = แอมพลิจูดของเอาต์พุตระบบ · มาจากฟังก์ชันพรรณนา (describing function) ของรีเลย์ $N(a) = 4d/(\pi a)$ · ได้ $K_u, T_u$ แล้วใช้ตาราง Z1

ตัวอย่าง Z-3 · ออโต้จูนเตาอบ

### ทดลองรีเลย์ด้วยกำลังฮีตเตอร์ $\pm1$ (หน่วยปกติ) อุณหภูมิแกว่ง $\pm0.25$ หน่วย คาบ 40 s หาเกน PI แบบ ZN

- Z6: $K_u = \dfrac{4(1)}{\pi(0.25)} = 5.09$, $T_u = 40$ s

- ZN-PI Z1: $K_P = 0.45(5.09) = 2.29$, $T_i = 40/1.2 = 33.3$ s → $K_I = 0.069\ \text{s}^{-1}$

$K_P \approx 2.3,\ T_i \approx 33$ s เป็นค่าเริ่มต้น แล้วปรับละเอียดหน้างาน · การแกว่งระหว่างทดลองมีแค่ ±0.25 หน่วย ไม่ทำให้ชิ้นงานเสีย

## ขั้นตอนจูนด้วยมือหน้างาน กลาง

Z7 Field tuning checklist เช็กลิสต์จูนหน้างาน

- ตรวจทิศทาง (direct/reverse acting) เซนเซอร์ หน่วย และขีดจำกัดตัวขับก่อนเสมอ เปิด anti-windup

- เริ่มด้วยค่าจากกฎ (SIMC หรือ ZN ลดเกนลงครึ่งหนึ่ง) หรือ P อย่างเดียวเกนต่ำ

- ทดสอบด้วยการเปลี่ยนค่าอ้างอิงเล็ก ๆ และการรบกวน (ถ้าทำได้) ทีละครั้ง

- แกว่งมาก → ลด $K_P$ หรือเพิ่ม $T_i$ · ช้าเกิน → เพิ่ม $K_P$ · ค้างนาน → ลด $T_i$ · overshoot ต่อค่าอ้างอิงมากแต่ต้านการรบกวนดี → ใช้ setpoint weighting $b \lt 1$

- เพิ่ม $T_d$ ทีละน้อย (เริ่ม $T_i/6$ ถึง $T_i/4$) ถ้าสัญญาณวัดสะอาด พร้อมฟิลเตอร์ $N = 8$ ถึง 10

- บันทึกค่าและทดสอบที่จุดทำงานอื่น (โหลดต่ำ/สูง) ถ้าต่างกันมากพิจารณา gain scheduling

## แล็บ: ลองค่าจากแต่ละกฎ

รายการพลานต์ด้านล่างตั้งเกนไว้ตามกฎในตัวอย่าง เลือกแล้วกด “ปักกราฟไว้เทียบ” ก่อนเปลี่ยนไปกฎอื่น จะเห็นความต่างระหว่างดุดันกับนุ่มนวลชัดเจน เปิด “จำกัด |u|” เพื่อดูผลของ windup

กำลังโหลดแล็บ (ต้องเปิด JavaScript)

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

PID ที่จูนแล้วต้องอยู่ในไมโครคอนโทรลเลอร์ ดูควบคุมดิจิทัล สำหรับการแปลงและเลือกคาบสุ่ม และเมคาทรอนิกส์สำหรับการจูนลูปซ้อน (กระแส ความเร็ว ตำแหน่ง) ที่ใช้ในมอเตอร์และหุ่นยนต์

## คำถามที่พบบ่อย

Ziegler–Nichols ยังใช้ได้ไหมในปัจจุบัน?
ใช้เป็นจุดเริ่มต้นได้ดีและเร็ว แต่ค่าที่ได้ดุดัน ออกแบบให้ลดทอนการแกว่งหนึ่งในสี่ต่อรอบ overshoot มักเกิน 40% และเฟสมาร์จินต่ำ ในงานจริงนิยมลดเกนลง หรือใช้กฎใหม่กว่า เช่น Tyreus–Luyben, SIMC หรือ AMIGO ที่ทนทานกว่า

FOPDT คืออะไร ทำไมกฎจูนส่วนใหญ่ใช้?
First-Order Plus Dead Time คือแบบจำลอง K e^{-Ls}/(Ts + 1) ที่มีแค่สามพารามิเตอร์ เกน K หน่วงเวลา L และค่าคงเวลา T กระบวนการส่วนใหญ่ (อุณหภูมิ ระดับ การไหล) ประมาณด้วยรูปนี้ได้ดีจากการทดลองขั้นบันไดครั้งเดียว จึงเป็นฐานของกฎจูนเกือบทั้งหมด

ทำการทดลองหาเกนวิกฤตกับระบบจริงอันตรายไหม?
อาจอันตราย เพราะต้องดันให้ระบบแกว่งค้างที่ขอบเสถียร ซึ่งเครื่องจักรหรือกระบวนการบางอย่างทนไม่ได้ วิธีที่ปลอดภัยกว่าคือ relay test ที่ควบคุมขนาดการแกว่งได้ หรือใช้การทดลองขั้นบันไดแบบวงเปิด

ควรจูนอะไรก่อนระหว่าง P I D?
เริ่มจาก P อย่างเดียวจนได้ความเร็วที่พอใจโดยยังไม่แกว่งมาก จากนั้นเพิ่ม I ช้า ๆ จนความผิดพลาดค้างหายในเวลาที่ยอมรับได้ (ลด K_P ลงเล็กน้อยถ้าเริ่มแกว่ง) สุดท้ายเพิ่ม D ถ้าต้องการลด overshoot และสัญญาณวัดสะอาดพอ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**Ziegler–Nichols ยังใช้ได้ไหมในปัจจุบัน?**
ใช้เป็นจุดเริ่มต้นได้ดีและเร็ว แต่ค่าที่ได้ดุดัน ออกแบบให้ลดทอนการแกว่งหนึ่งในสี่ต่อรอบ overshoot มักเกิน 40% และเฟสมาร์จินต่ำ ในงานจริงนิยมลดเกนลง หรือใช้กฎใหม่กว่า เช่น Tyreus–Luyben, SIMC หรือ AMIGO ที่ทนทานกว่า

**FOPDT คืออะไร ทำไมกฎจูนส่วนใหญ่ใช้?**
First-Order Plus Dead Time คือแบบจำลอง K e^{-Ls}/(Ts + 1) ที่มีแค่สามพารามิเตอร์ เกน K หน่วงเวลา L และค่าคงเวลา T กระบวนการส่วนใหญ่ (อุณหภูมิ ระดับ การไหล) ประมาณด้วยรูปนี้ได้ดีจากการทดลองขั้นบันไดครั้งเดียว จึงเป็นฐานของกฎจูนเกือบทั้งหมด

**ทำการทดลองหาเกนวิกฤตกับระบบจริงอันตรายไหม?**
อาจอันตราย เพราะต้องดันให้ระบบแกว่งค้างที่ขอบเสถียร ซึ่งเครื่องจักรหรือกระบวนการบางอย่างทนไม่ได้ วิธีที่ปลอดภัยกว่าคือ relay test ที่ควบคุมขนาดการแกว่งได้ หรือใช้การทดลองขั้นบันไดแบบวงเปิด

**ควรจูนอะไรก่อนระหว่าง P I D?**
เริ่มจาก P อย่างเดียวจนได้ความเร็วที่พอใจโดยยังไม่แกว่งมาก จากนั้นเพิ่ม I ช้า ๆ จนความผิดพลาดค้างหายในเวลาที่ยอมรับได้ (ลด K_P ลงเล็กน้อยถ้าเริ่มแกว่ง) สุดท้ายเพิ่ม D ถ้าต้องการลด overshoot และสัญญาณวัดสะอาดพอ

---

# ตัวควบคุม P, PI, PD และ PID

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/pid/
Updated: 2026-10-12
Summary: ตัวควบคุม PID ครบทุกมุม รูปแบบขนาน มาตรฐาน (ISA) และอนุกรม ผลของ Kp Ki Kd ต่อ rise time overshoot settling time และความผิดพลาดอยู่ตัว ออกแบบ P PI PD PID ด้วยการวางขั้ว ความสัมพันธ์กับตัวชดเชย lead lag derivative kick setpoint weighting integral windup และ anti-windup วงจร PID ด้วยออปแอมป์ พร้อมแล็บจำลอง PID ที่ปรับเกนได้ มีการอิ่มตัวและสัญญาณรบกวน

// บทที่ 13.16 · ระบบควบคุม · PID Control

# ตัวควบคุม P, PI, PD และ PID

กว่า 90% ของลูปควบคุมในโรงงาน และแทบทุกลูปในมอเตอร์ไดรฟ์ โดรน และพาวเวอร์ซัพพลาย ใช้ PID หรือญาติของมัน สามเทอมนี้ดูความผิดพลาดในปัจจุบัน (P) อดีต (I) และแนวโน้มอนาคต (D) หน้านี้อธิบายว่าแต่ละเทอมเปลี่ยนขั้ว ศูนย์ และเฟสอย่างไร ออกแบบด้วยการวางขั้ว สร้างจริงด้วยออปแอมป์ และเจอปัญหาจริงอย่าง windup แล้วแก้อย่างไร สูตรใช้รหัส P

สรุปใน 30 วินาที

- $C(s) = K_P + \dfrac{K_I}{s} + K_Ds = \dfrac{K_Ds^2 + K_Ps + K_I}{s}$: เพิ่มขั้วที่ศูนย์ 1 ตัว และศูนย์ 2 ตัว

- P: เร็วขึ้น แต่ยังมีความผิดพลาดค้าง · I: ความผิดพลาดค้างเป็นศูนย์ แต่ช้าและแกว่งขึ้น · D: หน่วงการแกว่ง แต่ขยายสัญญาณรบกวน

- PI ≈ ตัวชดเชย lag · PD ≈ lead · ออกแบบด้วยรูทโลคัส โบด หรือวางขั้วตรง ๆ

- ใช้จริงต้องมี: ฟิลเตอร์ D, D จากเอาต์พุต, anti-windup

ระดับพื้นฐาน เริ่มเรียนควบคุมกลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง งานจริง · ป.โท

## โครงสร้างของ PID สามรูปแบบ พื้นฐาน

ตัวควบคุมรับความผิดพลาด $e(t) = r(t) - y(t)$ แล้วสร้างสัญญาณควบคุม $u(t)$ ส่งให้ตัวขับ (ไดรเวอร์มอเตอร์ PWM ฮีตเตอร์) ตำราและผู้ผลิตแต่ละรายเขียนสูตรต่างกัน ต้องรู้ว่าตัวเลขที่เห็นเป็นรูปแบบไหน ไม่อย่างนั้นจูนผิด

P1 Parallel (independent) form รูปแบบขนาน

$$u(t) = K_Pe(t) + K_I\int_0^t e(\tau)\,d\tau + K_D\frac{de(t)}{dt}, \qquad C(s) = K_P + \frac{K_I}{s} + K_Ds$$

ใช้ในตำราและไลบรารีไมโครคอนโทรลเลอร์ส่วนใหญ่ (Arduino PID, MATLAB pid) · แต่ละเกนเป็นอิสระต่อกัน

P2 Ideal (standard, ISA) form รูปแบบมาตรฐาน

$$C(s) = K_P\left(1 + \frac{1}{T_is} + T_ds\right), \qquad K_I = \frac{K_P}{T_i}, \quad K_D = K_PT_d$$

$T_i$ (เวลาอินทิกรัล, “reset time”) และ $T_d$ (เวลาอนุพันธ์) มีหน่วยวินาที · ใช้ใน PLC และตัวควบคุมอุตสาหกรรม และในตาราง Ziegler–Nichols

P3 Series (interacting) form รูปแบบอนุกรม

$$C(s) = K'\left(1 + \frac{1}{T_i's}\right)\left(1 + T_d's\right) \ \Rightarrow\ K_P = K'\frac{T_i' + T_d'}{T_i'},\ \ T_i = T_i' + T_d',\ \ T_d = \frac{T_i'T_d'}{T_i' + T_d'}$$

= PI อนุกรมกับ PD · ศูนย์สองตัวเป็นจำนวนจริงเสมอ ($-1/T_i'$ และ $-1/T_d'$) · ตัวควบคุมแอนะล็อกรุ่นเก่าและวงจรออปแอมป์หลายแบบเป็นแบบนี้

P4 PID as poles and zeros PID ในภาษาขั้วและศูนย์

$$C(s) = \frac{K_Ds^2 + K_Ps + K_I}{s} = \frac{K_D(s + z_1)(s + z_2)}{s}$$

ขั้วที่ $s = 0$ (ยกชนิดของระบบ) + ศูนย์สองตัว (จริงหรือเชิงซ้อนก็ได้ในรูปแบบขนาน) · PI: ศูนย์ที่ $-K_I/K_P$ · PD: ศูนย์ที่ $-K_P/K_D$ · ภาพนี้คือกุญแจในการออกแบบด้วยรูทโลคัส

## ผลของแต่ละเทอม พื้นฐาน

ตารางนี้เป็นแนวโน้มทั่วไปเมื่อเพิ่มแต่ละเกนทีละตัว (ระบบอันดับต่ำ เสถียรวงเปิด) ใช้เป็นจุดเริ่มคิด ไม่ใช่กฎตายตัว ทดลองเองในแล็บด้านล่างได้ทันที

| เพิ่ม | Rise time | Overshoot | Settling time | ess (ขั้นบันได) | เสถียรภาพ | ในภาษาขั้ว/เฟส |

| $K_P$ | ลดลง | เพิ่มขึ้น | เปลี่ยนเล็กน้อย | ลดลง ไม่เป็นศูนย์ (type 0) | แย่ลง | เลื่อนโบดขึ้น ขั้วเดินตามรูทโลคัส |

| $K_I$ | ลดลง | เพิ่มขึ้น | เพิ่มขึ้น | เป็นศูนย์ | แย่ลง | ขั้วที่ 0 · เฟสล่าช้า −90° ที่ความถี่ต่ำ |

| $K_D$ | เปลี่ยนเล็กน้อย | ลดลง | ลดลง | ไม่เปลี่ยน | ดีขึ้น (ถ้า $K_D$ ไม่มากเกิน) | ศูนย์ · เฟสนำ +90° ที่ความถี่สูง |

ในโบดไดอะแกรม มองง่ายกว่า: เทอม I เพิ่มเกนมหาศาลที่ความถี่ต่ำ (ความแม่นยำ) แต่ดึงเฟสลง เทอม D ยกเฟสขึ้นที่ความถี่สูง (เพิ่มเฟสมาร์จิน) แต่ยกเกนความถี่สูงด้วย (สัญญาณรบกวน) ตัวควบคุมที่ดีจึงวาง “ช่วงทำงาน” ของแต่ละเทอมให้อยู่คนละความถี่

## ตัวควบคุม P: เร็วขึ้น แต่ไม่แม่น พื้นฐาน

ใช้พลานต์ตัวเดียวกันตลอดหน้านี้ $G(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)}$ (เช่น มอเตอร์ที่มีค่าคงเวลาทางกลและทางไฟฟ้า หรือวงจร RC สองชั้น) จะได้เทียบกันได้ว่าแต่ละแบบให้อะไร

P5 P-control offset ความผิดพลาดค้างของตัวควบคุม P

$$e_{ss} = \frac{1}{1 + K_PG(0)}$$

ระบบ type 0 (ไม่มีขั้วที่ 0) จะมีความผิดพลาดค้างเสมอ ลดได้ด้วย $K_P$ สูง แต่จะแกว่งมากขึ้น ดูความผิดพลาดอยู่ตัว

ตัวอย่าง P-1 · ตัวควบคุม P

### หา $K_P$ ที่ให้ $\zeta = 0.5$ สำหรับ $G(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)}$ แล้วหา overshoot และความผิดพลาดค้าง

- สมการลักษณะเฉพาะ: $(s+1)(s+2) + K_P = s^2 + 3s + (2 + K_P) = 0$

- เทียบกับ $s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2$: $2(0.5)\omega_n = 3 \Rightarrow \omega_n = 3$ และ $2 + K_P = 9 \Rightarrow {K_P = 7}$

- $M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} = e^{-\pi(0.5)/0.866} = 16.3\%$ · $t_s \approx 4/(\zeta\omega_n) = 2.67$ s

- ความผิดพลาดค้าง P5: $G(0) = \tfrac12$ ได้ $e_{ss} = \dfrac{1}{1 + 7/2} = \dfrac29 = 0.222$

$K_P = 7$: overshoot 16.3% แต่เอาต์พุตไปค้างที่ 0.778 ไม่ถึง 1 (ผิด 22%) การเพิ่ม $K_P$ ลดความผิดพลาดได้แต่ $\zeta$ จะลดลง แกว่งมากขึ้น P อย่างเดียวจึงแลกกันระหว่าง “แม่น” กับ “นิ่ง”

python-control: overshoot 16.30%, $t_s$ (2%) = 2.70 s, ค่าสุดท้าย 0.778 ✓

## ตัวควบคุม PI: กำจัดความผิดพลาดค้าง พื้นฐาน

เพิ่มอินทิเกรเตอร์ $C(s) = K_P + \dfrac{K_I}{s} = \dfrac{K_P(s + K_I/K_P)}{s}$ ได้ขั้วที่ศูนย์ (ระบบกลายเป็น type 1 ความผิดพลาดต่อขั้นบันไดเป็นศูนย์) และศูนย์ที่ $-K_I/K_P$ เทคนิคที่นิยมคือวางศูนย์ของ PI หักล้างขั้วที่ช้าที่สุดของพลานต์ ระบบที่เหลือจะง่ายและเร็วขึ้น

ตัวอย่าง P-2 · PI หักล้างขั้ว

### ออกแบบ PI ให้พลานต์เดิมมี $\zeta = 0.5$ และความผิดพลาดค้างเป็นศูนย์

- วางศูนย์ของ PI ที่ $s = -1$ หักล้างขั้วช้า: $C(s) = \dfrac{K_P(s + 1)}{s}$ ได้ $L(s) = \dfrac{K_P}{s(s + 2)}$

- วงปิด: $s^2 + 2s + K_P = 0$ · $2\zeta\omega_n = 2 \Rightarrow \omega_n = 2$ · $K_P = \omega_n^2 = 4$

- ศูนย์อยู่ที่ $-K_I/K_P = -1 \Rightarrow {K_I = 4}$

$C(s) = 4 + \dfrac{4}{s}$ · overshoot 16.3% เท่าเดิม ความผิดพลาดค้างเป็นศูนย์ แต่ $t_s \approx 4/1 = 4$ s ช้ากว่าแบบ P (2.7 s) เพราะ $\zeta\omega_n$ ลดจาก 1.5 เหลือ 1 นี่คือราคาของเทอม I

python-control: overshoot 16.30%, $t_s$ = 4.05 s, ค่าสุดท้าย 1.000 ✓ · การหักล้างขั้วใช้ได้เมื่อขั้วของพลานต์เสถียรและรู้ค่าแม่นพอ ห้ามหักล้างขั้วฝั่งขวาเด็ดขาด (ดูหน้าควบคุมได้)

## ตัวควบคุม PD: หน่วงการแกว่ง กลาง

เทอม D ตอบสนองต่ออัตราการเปลี่ยนของความผิดพลาด ถ้าเอาต์พุตกำลังพุ่งเข้าหาเป้าเร็ว D จะ “เบรก” ก่อนถึง จึงลด overshoot ในทางฟิสิกส์ PD กับมอเตอร์ตำแหน่งเหมือนการเพิ่มสปริง (P) และแดมเปอร์ (D) เสมือน ดูตัวอย่างลูปตำแหน่ง $G(s) = \dfrac{1}{s(s+2)}$

ตัวอย่าง P-3 · PD กับเซอร์โวตำแหน่ง

### ออกแบบ PD ให้ $G(s) = \dfrac{1}{s(s+2)}$ มีขั้ววงปิดที่ $\zeta = 0.7,\ \omega_n = 4$ rad/s

- $s(s + 2) + K_Ds + K_P = s^2 + (2 + K_D)s + K_P = 0$

- เทียบสัมประสิทธิ์: $K_P = \omega_n^2 = 16$ และ $2 + K_D = 2(0.7)(4) = 5.6 \Rightarrow {K_D = 3.6}$

- ระวัง: วงปิดคือ $T(s) = \dfrac{3.6s + 16}{s^2 + 5.6s + 16}$ มีศูนย์ที่ $-16/3.6 = -4.44$ ใกล้ขั้ว ทำให้ตอบสนองเร็วและพุ่งเกินกว่าระบบอันดับสองบริสุทธิ์

$K_P = 16,\ K_D = 3.6$ · ขั้วอยู่ตรงตามสเปก แต่ overshoot จริง 9.5% (สูตรอันดับสองทำนาย 4.6%) เพราะศูนย์ของ PD

python-control: overshoot 9.52%, rise 0.32 s · ถ้าต้องการ overshoot ตามสูตรจริง ให้คำนวณ D จากเอาต์พุต ($-K_Dy$ แทน $K_De$) ศูนย์จะหายไปจาก $T(s)$ ทดลองได้ด้วยตัวเลือก “D จากเอาต์พุต” ในแล็บ P7

P6 Filtered derivative เทอม D ที่มีฟิลเตอร์ (ใช้จริงเสมอ)

$$C(s) = K_P + \frac{K_I}{s} + \frac{K_Ds}{1 + T_fs}, \qquad T_f = \frac{T_d}{N} = \frac{K_D}{NK_P},\ \ N \approx 5 \text{ ถึง } 20$$

D บริสุทธิ์มีเกนโตไม่จำกัดที่ความถี่สูง ($|j\omega K_D| \to \infty$) สัญญาณรบกวนจากเซนเซอร์จะถูกขยาย ฟิลเตอร์จำกัดเกนความถี่สูงไว้ที่ $K_P(1 + N)$ · PD + ฟิลเตอร์ = ตัวชดเชย lead ทุกประการ

## ออกแบบ PID ด้วยการวางขั้ว กลาง

พลานต์อันดับสอง + PID ได้ระบบวงปิดอันดับสาม มีสามเกนให้เลือกพอดีกับสามสัมประสิทธิ์ จึงวางขั้ววงปิดได้ทุกตัวตามต้องการ นิยมเลือกคู่ขั้วเด่นจากสเปก $\zeta, \omega_n$ และขั้วที่สามให้ไกลกว่าประมาณ 5 เท่า

ตัวอย่าง P-4 · PID วางขั้ว

### ออกแบบ PID ให้ $G(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)}$ มีขั้วเด่นที่ $\zeta = 0.7,\ \omega_n = 3$ และขั้วที่สามที่ $-10$

- สมการลักษณะเฉพาะ P4: $s(s+1)(s+2) + K_Ds^2 + K_Ps + K_I = 0$

$$s^3 + (3 + K_D)s^2 + (2 + K_P)s + K_I = 0$$

- พหุนามที่ต้องการ

$$(s^2 + 4.2s + 9)(s + 10) = s^3 + 14.2s^2 + 51s + 90$$

- เทียบสัมประสิทธิ์: $3 + K_D = 14.2$, $2 + K_P = 51$, $K_I = 90$

${K_P = 49,\ K_I = 90,\ K_D = 11.2}$ · ศูนย์ของ PID อยู่ที่ $-2.19 \pm j1.80$ ทำให้ overshoot จริง 9.6% (มากกว่า 4.6% ที่ $\zeta = 0.7$ ทำนาย) และ $t_s \approx 1.05$ s

python-control ยืนยันขั้ววงปิด $-2.1 \pm j2.14,\ -10$ และ overshoot 9.57% · แก้ overshoot ส่วนเกินได้ด้วย setpoint weighting P7 หรือ prefilter โดยไม่ต้องเปลี่ยนขั้วเลย

วิธีอื่นที่ใช้บ่อย: ออกแบบด้วยรูทโลคัส (วางศูนย์ของ PD ให้โลคัสผ่านจุดที่ต้องการ แล้ววางศูนย์ PI ใกล้จุดกำเนิด) ด้วยโบด (เลือกความถี่ครอสโอเวอร์และเฟสมาร์จิน) หรือจูนจากการทดลองด้วยกฎ Ziegler–Nichols เมื่อไม่มีแบบจำลอง

## PID ในงานจริง: kick, setpoint weighting และ windup ขั้นสูง

สูตรในตำราทำงานได้ในโลกเชิงเส้นที่ไม่มีขีดจำกัด แต่ตัวขับจริงอิ่มตัว เซนเซอร์มีสัญญาณรบกวน และค่าอ้างอิงเปลี่ยนแบบขั้นบันได ปัญหาสามข้อนี้แก้ได้ด้วยการเปลี่ยนโครงสร้างเล็กน้อย

P7 Setpoint weighting (2-DOF PID) ถ่วงน้ำหนักค่าอ้างอิง

$$u = K_P(br - y) + K_I\int(r - y)\,dt + K_D\frac{d}{dt}(cr - y), \qquad 0 \le b \le 1,\ \ c = 0 \text{ (นิยม)}$$

$c = 0$: D คำนวณจากเอาต์พุตอย่างเดียว ไม่กระตุก (derivative kick) ตอนค่าอ้างอิงกระโดด · $b \lt 1$: ลด overshoot ต่อค่าอ้างอิง · เทอม I ต้องใช้ $r - y$ เต็ม ๆ เพื่อให้ไม่มีความผิดพลาดค้าง · ขั้ววงปิดและการต้านการรบกวนเหมือนเดิมทุกประการ

P8 Anti-windup ป้องกันอินทิกรัลสะสมเกิน

$$\text{clamping: } \dot I = \begin{cases} 0 & u \ne u_{sat} \text{ และ } e\,u \gt 0 \\ K_Ie & \text{กรณีอื่น} \end{cases} \qquad \text{back-calculation: } \dot I = K_Ie + \frac{1}{T_t}(u_{sat} - u)$$

$u_{sat}$ คือค่าหลังอิ่มตัว · $T_t$ (tracking time) นิยม $\sqrt{T_iT_d}$ หรือประมาณ $T_i/2$ · ไมโครคอนโทรลเลอร์ใช้ clamping บ่อยที่สุดเพราะเขียนง่าย

ลองในแล็บ: เลือกพลานต์ “ฮีตเตอร์ + หน่วงเวลา” เปิด “จำกัด |u|” แล้วปิด anti-windup จะเห็นเอาต์พุตพุ่งเกินมากและช้า เพราะอินทิกรัลสะสมระหว่างที่ฮีตเตอร์เปิดเต็ม เปิด anti-windup แล้วเทียบ (กดปักกราฟไว้ก่อน)

## สร้าง PID ด้วยออปแอมป์ตัวเดียว กลาง

สำหรับนักศึกษาไฟฟ้า นี่คือจุดที่ทฤษฎีกลายเป็นวงจรบนเบรดบอร์ด ใช้วงจรออปแอมป์อินเวอร์ติง $V_o/V_i = -Z_f/Z_i$ ให้ $Z_i$ เป็น $R_1$ ขนานกับ $C_1$ และ $Z_f$ เป็น $R_2$ อนุกรมกับ $C_2$

P9 Single op-amp PID PID ด้วยออปแอมป์ตัวเดียว

$$\frac{V_o}{V_i} = -\frac{(1 + R_1C_1s)(1 + R_2C_2s)}{R_1C_2s} \ \Rightarrow\ K_P = \frac{R_1C_1 + R_2C_2}{R_1C_2},\quad K_I = \frac{1}{R_1C_2},\quad K_D = R_2C_1$$

เป็นรูปแบบอนุกรม P3 ศูนย์อยู่ที่ $-1/R_1C_1$ และ $-1/R_2C_2$ · เครื่องหมายลบแก้ด้วยอินเวอร์เตอร์อีกตัว หรือสลับขั้วที่จุดรวมสัญญาณ · ใส่ R เล็กอนุกรมกับ $C_1$ เพื่อเป็นฟิลเตอร์ D P6

ตัวอย่าง P-5 · เลือกค่าอุปกรณ์

### วงจร PID ออปแอมป์ใช้ $R_1 = 100\ \text{k}\Omega,\ C_2 = 1\ \mu\text{F},\ R_2 = 10\ \text{k}\Omega,\ C_1 = 10\ \mu\text{F}$ ได้เกนเท่าไร

- $R_1C_2 = 10^5 \times 10^{-6} = 0.1$ s · $R_1C_1 = 1$ s · $R_2C_2 = 0.01$ s · $R_2C_1 = 0.1$ s

- แทน P9: $K_P = \dfrac{1 + 0.01}{0.1} = 10.1$, $K_I = \dfrac{1}{0.1} = 10\ \text{s}^{-1}$, $K_D = 0.1$ s

$C(s) = -\left(10.1 + \dfrac{10}{s} + 0.1s\right)$ ศูนย์อยู่ที่ $-1$ และ $-100$ rad/s

ตรวจ: $\dfrac{(1 + s)(1 + 0.01s)}{0.1s} = \dfrac{0.01s^2 + 1.01s + 1}{0.1s} = 0.1s + 10.1 + \dfrac{10}{s}$ ✓ · วงจรนี้คือหัวใจของ Type II/III compensator ในพาวเวอร์ซัพพลาย

## PID ในไมโครคอนโทรลเลอร์ กลาง

ทุกคาบสุ่ม $T_s$ อ่านเซนเซอร์ คำนวณ แล้วเขียน PWM โค้ดด้านล่างรวม D จากเอาต์พุต ฟิลเตอร์ D และ anti-windup แบบ clamping ไว้แล้ว รายละเอียดการแปลงและการเลือก $T_s$ อยู่ที่ควบคุมดิจิทัล

// เรียกทุก Ts วินาที (เช่น จาก timer interrupt)
float pid_step(float r, float y) {
float e = r - y;
float P = Kp * e;
// D จากเอาต์พุต + ฟิลเตอร์อันดับหนึ่ง (Tf = Kd/(N*Kp))
D = (Tf * D - Kd * (y - y_prev)) / (Tf + Ts);
y_prev = y;
float u = P + I + D;
float u_sat = fminf(fmaxf(u, U_MIN), U_MAX);
// anti-windup: อินทิเกรตเฉพาะเมื่อไม่ได้ดันให้อิ่มตัวหนักขึ้น
if (u == u_sat || (e * u) < 0) I += Ki * Ts * e;
return u_sat;
}

## แล็บจำลอง PID

เลือกพลานต์ เลื่อน $K_P, K_I, K_D$ (สเกลลอการิทึม ลากซ้ายสุดคือปิดเทอมนั้น) และ $N$ ของฟิลเตอร์ ระบบจำลองในโดเมนเวลาจริงทีละก้าว (ไม่ใช่สูตร) จึงรวมการอิ่มตัว หน่วงเวลา และสัญญาณรบกวนที่โหลด (ขั้นบันไดเข้าที่อินพุตพลานต์ครึ่งทาง ขนาดเทียบเท่าครึ่งหนึ่งของค่าอ้างอิง) ได้ กด “ปักกราฟไว้เทียบ” ก่อนเปลี่ยนค่าจะเห็นผลชัด

กำลังโหลดแล็บ (ต้องเปิด JavaScript)

โจทย์ท้าทาย: (1) เลือกพลานต์อันดับสาม เพิ่ม $K_P$ อย่างเดียวจนแกว่งค้าง จด $K_{cr}$ และคาบ แล้วเทียบกับเราท์ (ควรได้ $K_{cr} = 8$, $\omega_{cr} = \sqrt3$) (2) ใช้ค่านั้นจูนด้วยZiegler–Nichols (3) พลานต์มวล-สปริง ลองเพิ่มแค่ $K_D$ ดูการแกว่งหายไป

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

- ใส่เกน ISA ลงไลบรารีแบบขนาน → $K_I = K_P/T_i$ ไม่ใช่ $T_i$ P2

- ลืมคูณ/หาร $T_s$ ในโค้ด → $K_I$ แบบดิจิทัลต้องคูณ $T_s$ เทอม D ต้องหาร $T_s$ เปลี่ยนคาบสุ่มแล้วต้องแก้ด้วย

- ใช้ D บริสุทธิ์ → สัญญาณรบกวนถูกขยาย ตัวขับสั่น ใส่ฟิลเตอร์เสมอ P6

- overshoot มากเกินสูตรทั้งที่ขั้วถูก → ศูนย์ของ PID ใช้ setpoint weighting P7

- ตัวขับอิ่มตัวแล้ว overshoot มหาศาล → integral windup ใส่ anti-windup P8

- หักล้างขั้วฝั่งขวาด้วยศูนย์ของตัวควบคุม → ขั้วนั้นยังอยู่ภายใน ระบบไม่เสถียรภายใน (internally unstable)

- เพิ่ม KI เพื่อให้เร็วขึ้น → I ไม่ได้ทำให้เร็ว มันทำให้แม่น เพิ่มมากไปจะแกว่งและไม่เสถียร (ดู R-8 ในหน้าเราท์)

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

เมื่อไม่มีแบบจำลองแม่นพอ หรืออยากได้ค่าเริ่มต้นเร็ว ๆ ใช้วิธีจูนจากการทดลอง Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, IMC และ relay auto-tune ส่วนการนำ PID ไปใช้ในลูปซ้อนของมอเตอร์และหุ่นยนต์ ดูเมคาทรอนิกส์

## คำถามที่พบบ่อย

Kp Ki Kd แต่ละตัวทำอะไร พูดสั้น ๆ?
Kp ตอบสนองต่อความผิดพลาดตอนนี้ ยิ่งมากยิ่งเร็วแต่แกว่งมากขึ้น Ki สะสมความผิดพลาดในอดีต ทำให้ความผิดพลาดอยู่ตัวเป็นศูนย์แต่เพิ่มความล่าช้าและ overshoot Kd ดูแนวโน้มอนาคต (อัตราการเปลี่ยน) ช่วยหน่วงการแกว่งและเพิ่มเฟสมาร์จิน แต่ขยายสัญญาณรบกวนความถี่สูง

ทำไม PI จึงทำให้ความผิดพลาดอยู่ตัวเป็นศูนย์?
เทอม I เพิ่มขั้วที่ s = 0 ทำให้ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง ในเชิงกายภาพ ถ้ายังมีความผิดพลาดค้างอยู่แม้นิดเดียว อินทิกรัลจะโตไปเรื่อย ๆ จนสัญญาณควบคุมเปลี่ยนพอที่จะกำจัดความผิดพลาดนั้น สภาวะอยู่ตัวจึงเกิดได้เฉพาะเมื่อความผิดพลาดเป็นศูนย์

ทำไมงานจริงส่วนใหญ่ใช้ PI ไม่ค่อยใช้ D?
เพราะกระบวนการส่วนใหญ่ (อุณหภูมิ การไหล ความดัน ลูปความเร็วมอเตอร์) ช้าและสัญญาณวัดมีสัญญาณรบกวน เทอม D ขยายสัญญาณรบกวนและทำให้ตัวขับทำงานหนัก PI จึงพอ ส่วนระบบที่ต้องการหน่วงเพิ่ม เช่น ลูปตำแหน่งของเซอร์โว โดรน หรือพาวเวอร์ซัพพลาย ใช้ D (หรือ lead) พร้อมฟิลเตอร์

Integral windup คืออะไร แก้อย่างไร?
เมื่อตัวขับอิ่มตัว (เช่น PWM เต็ม 100%) ความผิดพลาดยังค้าง อินทิกรัลจึงสะสมเกินจริง เมื่อเอาต์พุตถึงเป้าแล้วต้องใช้เวลานานกว่าจะคายค่าที่สะสม ทำให้ overshoot มาก แก้ด้วย anti-windup เช่น หยุดอินทิเกรตเมื่ออิ่มตัว (clamping) หรือป้อนกลับส่วนต่างระหว่างค่าที่สั่งกับค่าที่อิ่มตัวมาลดอินทิกรัล (back-calculation)

PID กับตัวชดเชย lead lag เกี่ยวกันอย่างไร?
PI คือ lag ที่ขั้วอยู่ที่ศูนย์พอดี PD คือ lead ที่ขั้วอยู่ไกลมาก (อนันต์) ส่วน PD ที่มีฟิลเตอร์อนุพันธ์คือ lead ทุกประการ ดังนั้น PID ที่มีฟิลเตอร์ก็คือ lag-lead และ Type III compensator ของพาวเวอร์ซัพพลายก็คือ PID บวกขั้วเพิ่มหนึ่งตัว

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**Kp Ki Kd แต่ละตัวทำอะไร พูดสั้น ๆ?**
Kp ตอบสนองต่อความผิดพลาดตอนนี้ ยิ่งมากยิ่งเร็วแต่แกว่งมากขึ้น Ki สะสมความผิดพลาดในอดีต ทำให้ความผิดพลาดอยู่ตัวเป็นศูนย์แต่เพิ่มความล่าช้าและ overshoot Kd ดูแนวโน้มอนาคต (อัตราการเปลี่ยน) ช่วยหน่วงการแกว่งและเพิ่มเฟสมาร์จิน แต่ขยายสัญญาณรบกวนความถี่สูง

**ทำไม PI จึงทำให้ความผิดพลาดอยู่ตัวเป็นศูนย์?**
เทอม I เพิ่มขั้วที่ s = 0 ทำให้ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง ในเชิงกายภาพ ถ้ายังมีความผิดพลาดค้างอยู่แม้นิดเดียว อินทิกรัลจะโตไปเรื่อย ๆ จนสัญญาณควบคุมเปลี่ยนพอที่จะกำจัดความผิดพลาดนั้น สภาวะอยู่ตัวจึงเกิดได้เฉพาะเมื่อความผิดพลาดเป็นศูนย์

**ทำไมงานจริงส่วนใหญ่ใช้ PI ไม่ค่อยใช้ D?**
เพราะกระบวนการส่วนใหญ่ (อุณหภูมิ การไหล ความดัน ลูปความเร็วมอเตอร์) ช้าและสัญญาณวัดมีสัญญาณรบกวน เทอม D ขยายสัญญาณรบกวนและทำให้ตัวขับทำงานหนัก PI จึงพอ ส่วนระบบที่ต้องการหน่วงเพิ่ม เช่น ลูปตำแหน่งของเซอร์โว โดรน หรือพาวเวอร์ซัพพลาย ใช้ D (หรือ lead) พร้อมฟิลเตอร์

**Integral windup คืออะไร แก้อย่างไร?**
เมื่อตัวขับอิ่มตัว (เช่น PWM เต็ม 100%) ความผิดพลาดยังค้าง อินทิกรัลจึงสะสมเกินจริง เมื่อเอาต์พุตถึงเป้าแล้วต้องใช้เวลานานกว่าจะคายค่าที่สะสม ทำให้ overshoot มาก แก้ด้วย anti-windup เช่น หยุดอินทิเกรตเมื่ออิ่มตัว (clamping) หรือป้อนกลับส่วนต่างระหว่างค่าที่สั่งกับค่าที่อิ่มตัวมาลดอินทิกรัล (back-calculation)

**PID กับตัวชดเชย lead lag เกี่ยวกันอย่างไร?**
PI คือ lag ที่ขั้วอยู่ที่ศูนย์พอดี PD คือ lead ที่ขั้วอยู่ไกลมาก (อนันต์) ส่วน PD ที่มีฟิลเตอร์อนุพันธ์คือ lead ทุกประการ ดังนั้น PID ที่มีฟิลเตอร์ก็คือ lag-lead และ Type III compensator ของพาวเวอร์ซัพพลายก็คือ PID บวกขั้วเพิ่มหนึ่งตัว

---

# ควบคุมตัวแปลงกำลัง: จากบั๊กคอนเวอร์เตอร์ถึงตัวชดเชย Type II/III

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/power-electronics-control/
Updated: 2026-10-12
Summary: สะพานจากระบบควบคุมสู่อิเล็กทรอนิกส์กำลัง แบบจำลองเฉลี่ยและสัญญาณเล็กของบั๊กคอนเวอร์เตอร์ ฟังก์ชันถ่ายโอน Gvd(s) ที่มี LC และ ESR zero เกนของ PWM ลูปควบคุมโหมดแรงดัน การเลือกความถี่ครอสโอเวอร์ ตัวชดเชย Type I Type II Type III ด้วยออปแอมป์พร้อมสูตรคำนวณค่าอุปกรณ์ ตัวอย่างออกแบบ 12 V → 5 V ที่ตรวจด้วยการจำลอง โหมดกระแส RHP zero ของบูสต์ และการวัดลูปเกนจริง

// บทที่ 13.25 · ระบบควบคุม · Control of Power Converters

# ควบคุมตัวแปลงกำลัง: จากบั๊กคอนเวอร์เตอร์ถึงตัวชดเชย Type II/III

สวิตชิงพาวเวอร์ซัพพลายทุกตัวคือระบบควบคุมป้อนกลับที่ทำงานเร็วระดับหมื่นเฮิรตซ์: บั๊กคอนเวอร์เตอร์คือพลานต์ (มี LC ฟิลเตอร์เป็นระบบอันดับสอง) โมดูเลเตอร์ PWM คือแอคชูเอเตอร์ ตัวแบ่งแรงดันคือเซนเซอร์ และวงจรออปแอมป์ Type III คือตัวชดเชย lead + อินทิเกรเตอร์ หน้านี้ใช้ทุกอย่างในชุดบทเรียน ทั้งแบบจำลอง โบด มาร์จิน และวงจรออปแอมป์ ออกแบบลูปของบั๊ก 12 V → 5 V จนได้ค่าอุปกรณ์จริง เป็นสะพานสู่หมวดอิเล็กทรอนิกส์กำลังที่จะตามมา สูตรใช้รหัส H

สรุปใน 30 วินาที

- บั๊ก: $G_{vd}(s) \approx V_{in}\dfrac{1 + s/\omega_{esr}}{1 + \frac{s}{Q\omega_0} + \frac{s^2}{\omega_0^2}}$, $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$

- ลูปเกน $T = G_c \cdot \frac{1}{V_{pp}} \cdot G_{vd}$ · ครอสโอเวอร์ $f_c \le f_{sw}/10$ · PM 45°–70°

- Type III: อินทิเกรเตอร์ + ศูนย์คู่ที่ $f_0$ + ขั้วที่ $f_{esr}$ และ $f_{sw}/2$

- บูสต์มี RHP zero $f_{RHPZ} = \frac{R(1-D)^2}{2\pi L}$: ครอสโอเวอร์ต้องต่ำกว่าราว 1/3 ของมัน

## พลานต์: แบบจำลองสัญญาณเล็กของบั๊กคอนเวอร์เตอร์ กลาง

สวิตช์เปิดปิดหลายแสนครั้งต่อวินาทีเป็นระบบไม่เชิงเส้น แต่ถ้าดูค่าเฉลี่ยในหนึ่งคาบสวิตช์ (state-space averaging) แล้วทำให้เป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงาน $D$ จะได้ฟังก์ชันถ่ายโอนจาก duty cycle $d$ ไปแรงดันเอาต์พุต ใช้ได้ดีที่ความถี่ต่ำกว่าประมาณครึ่งหนึ่งของ $f_{sw}$

H1 Buck control-to-output ฟังก์ชันถ่ายโอนจาก duty ไปเอาต์พุต

$$G_{vd}(s) = \frac{\hat v_o}{\hat d} = V_{in}\,\frac{1 + sr_CC}{LC\left(1 + \frac{r_C}{R}\right)s^2 + \left(\frac LR + r_CC\right)s + 1} \approx V_{in}\,\frac{1 + s/\omega_{esr}}{1 + \frac{s}{Q\omega_0} + \frac{s^2}{\omega_0^2}}$$

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ · $Q \approx R\sqrt{C/L}$ (โหลดเบา $Q$ สูง ยอดสูง) · $\omega_{esr} = \frac{1}{r_CC}$ · คือวงจร RLC ที่คูณด้วย $V_{in}$

H2 PWM modulator gain เกนของ PWM

$$\frac{\hat d}{\hat v_c} = \frac{1}{V_{pp}}$$

$V_{pp}$ = แอมพลิจูดของสัญญาณฟันเลื่อยในไอซี (ดู datasheet) · PWM ดิจิทัล: $1/\text{ค่าเต็มสเกลของ counter}$

H3 Voltage-mode loop gain ลูปเกนโหมดแรงดัน

$$T(s) = G_c(s)\cdot\frac{1}{V_{pp}}\cdot G_{vd}(s)\cdot H$$

$H = \frac{V_{ref}}{V_o}$ (ตัวแบ่งแรงดัน) · ถ้าใช้ออปแอมป์ที่ตัวต้านทานด้านบนของตัวแบ่งเป็น $R_1$ ของตัวชดเชย $H$ จะรวมอยู่ใน $G_c$ แล้ว (ตัวล่างกำหนดแค่ DC)

## ตัวชดเชย Type I, II, III กลาง

H4 Type I and Type II ตัวชดเชย Type I และ Type II

$$\text{Type I: } \frac{\omega_I}{s}, \qquad \text{Type II: } G_c(s) = \frac{\omega_I}{s}\cdot\frac{1 + s/\omega_z}{1 + s/\omega_p}$$

Type II = อินทิเกรเตอร์ + lead หนึ่งชุด เติมเฟสได้ไม่เกิน 90° · ใช้กับโหมดกระแส (พลานต์เหลืออันดับหนึ่ง) หรือเมื่อ ESR zero ต่ำกว่าครอสโอเวอร์

H5 Type III (op-amp) ตัวชดเชย Type III ด้วยออปแอมป์

$$G_c(s) = \frac{(1 + sR_2C_1)\big(1 + s(R_1 + R_3)C_3\big)}{sR_1(C_1 + C_2)\left(1 + sR_2\frac{C_1C_2}{C_1 + C_2}\right)(1 + sR_3C_3)}$$

อินทิเกรเตอร์ $\omega_I = \frac{1}{R_1(C_1 + C_2)}$ · ศูนย์ที่ $\frac{1}{R_2C_1}$ และ $\frac{1}{(R_1 + R_3)C_3}$ · ขั้วที่ $\frac{C_1 + C_2}{R_2C_1C_2}$ และ $\frac{1}{R_3C_3}$ · $R_2, C_1, C_2$ คร่อมป้อนกลับ $R_3$ อนุกรม $C_3$ ขนานกับ $R_1$

H6 Type III placement กฎการวางขั้วและศูนย์

$$f_{z1} = f_{z2} \approx f_0, \qquad f_{p1} \approx f_{esr}, \qquad f_{p2} \approx \frac{f_{sw}}{2}, \qquad |T(j2\pi f_c)| = 1 \ \text{ที่ } f_c \le \frac{f_{sw}}{10}$$

ศูนย์คู่หักล้างขั้วคู่ของ LC (เติมเฟส 180°) · ขั้วแรกหักล้าง ESR zero · ขั้วที่สองกรองริปเปิลสวิตชิ่ง · แล้วเลือก $\omega_I$ ให้ได้ครอสโอเวอร์ตามต้องการ

ตัวอย่าง H-1 · ออกแบบลูปบั๊ก 12 V → 5 V

### $V_{in} = 12$ V, $V_o = 5$ V, $I_o = 2$ A ($R = 2.5\ \Omega$), $L = 22\ \mu$H, $C = 100\ \mu$F, ESR $= 20$ mΩ, $f_{sw} = 200$ kHz, $V_{pp} = 1$ V ออกแบบ Type III ให้ครอสโอเวอร์ 20 kHz

- พลานต์ H1: $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{22\mu \cdot 100\mu}} = 3.39$ kHz · $Q = 2.5\sqrt{100/22} = 5.33$ (ยอด 14.5 dB) · $f_{esr} = \dfrac{1}{2\pi(0.02)(100\mu)} = 79.6$ kHz · เกน DC $V_{in}/V_{pp} = 12$ (21.6 dB)

- ที่ 20 kHz พลานต์ (รวม PWM) มีขนาด −8.8 dB เฟส −164° · ถ้าไม่ชดเชย PM เหลือแค่ 16°

- วาง H6: ศูนย์คู่ที่ 3.39 kHz ขั้วที่ 79.6 kHz และ 100 kHz แล้วหา $\omega_I$ ให้ $|T| = 1$ ที่ 20 kHz: $\omega_I = 1.02 \times 10^4\ \text{s}^{-1}$

$$G_c(s) = 10173\,\frac{(1 + s/\omega_0)^2}{s(1 + s/\omega_{esr})(1 + s/\omega_{p2})}$$

- ค่าอุปกรณ์ H5 เลือก $R_1 = 10$ kΩ (ตัวบนของตัวแบ่งแรงดัน): $C_1 + C_2 = \frac{1}{R_1\omega_I} = 9.83$ nF · จาก $R_2C_1 = 1/\omega_0 = 46.9\ \mu$s และขั้ว $f_{esr}$: $C_1 = 9.41$ nF, $C_2 = 419$ pF, $R_2 = 4.98$ kΩ · จาก $(R_1 + R_3)C_3 = 46.9\ \mu$s และ $R_3C_3 = 1.59\ \mu$s: $C_3 = 4.53$ nF, $R_3 = 351\ \Omega$

PM = 61.7° ที่ $f_c$ = 20 kHz, GM = ∞ · ค่ามาตรฐานใกล้เคียง: $R_2 = 4.99$ kΩ, $C_1 = 10$ nF, $C_2 = 390$ pF, $C_3 = 4.7$ nF, $R_3 = 348\ \Omega$ (ตรวจ PM อีกครั้งหลังปัดค่า)

จำลองด้วย python-control ใช้ $G_{vd}$ แบบเต็ม (รวม ESR) ✓ · ลองในแล็บด้านล่าง: PM และ GM ตรงกัน · เมื่อโหลดเบาลง $Q$ สูงขึ้น ต้องตรวจซ้ำที่โหลดต่ำสุดด้วย

## โหมดกระแส และ RHP zero ของบูสต์ ขั้นสูง

H7 Current-mode control ควบคุมโหมดกระแส

$$\frac{\hat v_o}{\hat v_c} \approx \frac{R}{R_i}\cdot\frac{1 + s/\omega_{esr}}{1 + sRC/2}\ (\text{บั๊ก โดยประมาณ})$$

ลูปกระแสในเร็วมาก (ทุกคาบ) ทำให้ตัวเหนี่ยวนำเหมือนแหล่งกระแส ขั้วคู่ของ LC แยกเหลือขั้วเดียวจาก $RC$ · ใช้ Type II ได้ · ป้องกันกระแสเกินในตัว · $D \gt 0.5$ ต้องมี slope compensation (ไม่อย่างนั้นแกว่งที่ $f_{sw}/2$) · หลักการเดียวกับลูปคาสเคดของมอเตอร์

H8 Boost RHP zero ศูนย์ฝั่งขวาของบูสต์

$$G_{vd}^{boost}(s) \propto \frac{1 - s/\omega_{RHP}}{1 + \frac{s}{Q\omega_0} + \frac{s^2}{\omega_0^2}}, \qquad f_{RHPZ} = \frac{R(1 - D)^2}{2\pi L}, \qquad f_c \lt \frac{f_{RHPZ}}{3}$$

เพิ่ม duty ทันที เอาต์พุตลดลงก่อน (ไดโอดนำนานน้อยลงชั่วขณะ) แล้วค่อยเพิ่ม = ศูนย์ฝั่งขวา · เติมเฟสแก้ไม่ได้ จำกัดแบนด์วิดท์ลูปโดยธรรมชาติ

ตัวอย่าง H-2 · บูสต์ 5 V → 12 V

### บูสต์ $L = 10\ \mu$H จ่าย 12 V 1 A จาก 5 V ครอสโอเวอร์ได้สูงสุดเท่าไร

- $D = 1 - \frac{V_{in}}{V_o} = 0.583$ · $R = 12\ \Omega$

- H8: $f_{RHPZ} = \dfrac{12(0.417)^2}{2\pi(10^{-5})} = 33.2$ kHz → $f_c \lt 11$ kHz

ครอสโอเวอร์ไม่ควรเกินประมาณ 10 kHz แม้ $f_{sw}$ จะเป็น 500 kHz ก็ตาม · โหลดหนักขึ้น (R ลด) หรือแรงดันเข้าต่ำลง (D เพิ่ม) RHP zero ยิ่งต่ำ ต้องออกแบบที่กรณีแย่ที่สุด

## วัดลูปเกนจริงบนโต๊ะแล็บ กลาง

H9 Loop-gain measurement วัดลูปเกนด้วยการฉีดสัญญาณ

$$T(j\omega) = -\frac{\hat v_y}{\hat v_x}\ \ (\text{วัดสองฝั่งของตัวต้านทานฉีดสัญญาณ } R_{inj})$$

ใส่ $R_{inj}$ 10–50 Ω ระหว่างเอาต์พุตกับตัวแบ่งแรงดัน (จุดอิมพีแดนซ์ต่ำ→สูง) ฉีดไซน์ขนาดเล็กผ่านหม้อแปลงฉีดสัญญาณ วัดด้วยสโคปสองช่องที่ฟังก์ชันเจเนอเรเตอร์กวาดความถี่ หรือ network analyzer ได้โบดของ $T$ โดยตรง

## แล็บ: ลูปเกนบั๊กคอนเวอร์เตอร์

ความถี่ในแล็บสเกลเป็น krad/s เพื่อให้อ่านง่าย (หาร ω ด้วย 1000): พลานต์ $G_{vd}/V_{pp}$ มีขั้วคู่ที่ 21.3 krad/s และ ESR zero ที่ 500 krad/s ค่าเริ่มต้นคือ Type III จาก H-1: PM 61.7° ที่ครอสโอเวอร์ 125.7 krad/s (20 kHz) สังเกตกราฟเฟสที่ถูกยกขึ้นเป็นเนิน เทียบกับ “ก่อน” ที่ใช้อินทิเกรเตอร์อย่างเดียว ซึ่งต้องลดเกนจนครอสโอเวอร์เหลือแค่ 0.6 krad/s (96 Hz) เพื่อให้ยอดเรโซแนนซ์ 14.5 dB ของ LC อยู่ใต้ 0 dB (ช้ากว่า 200 เท่า)

หน่วยในแล็บ: ω เป็น krad/s และเวลาเป็นมิลลิวินาที (เกน $\omega_I$ จึงเป็น 10.17 ms⁻¹) ผล PM ไม่ขึ้นกับการสเกลนี้

## ทางต่อไป: หมวดอิเล็กทรอนิกส์กำลังและสวิตชิงพาวเวอร์ซัพพลาย

หน้านี้เป็นสะพาน หมวดอิเล็กทรอนิกส์กำลังที่กำลังจะตามมาจะลงลึกในตัวแปลงแต่ละแบบ (บั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ ฟลายแบค ฟอร์เวิร์ด) การเลือก L และ C จากริปเปิล โหมดนำกระแสต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง การออกแบบแม่เหล็ก การสูญเสียและความร้อน และการควบคุมแบบดิจิทัล โดยใช้เครื่องมือจากชุดระบบควบคุมนี้ทั้งหมด

| ในพาวเวอร์ซัพพลาย | เรียนมาแล้วที่ |

| LC ฟิลเตอร์ ขั้วคู่ Q | RLC · โบดอันดับสอง |

| แบบจำลองสัญญาณเล็ก | ทำให้เป็นเชิงเส้น · ปริภูมิสถานะ |

| Type II / III | lead lag · PID ออปแอมป์ |

| PM, GM, ครอสโอเวอร์ | มาร์จิน |

| โหมดกระแส | ลูปซ้อน |

| RHP zero ของบูสต์ | ศูนย์ฝั่งขวา |

| ควบคุมด้วย DSP | ควบคุมดิจิทัล |

| ริปเปิล ฟิลเตอร์ LC และ EMI ของโหนดสวิตช์ | ฟูเรียร์ในคอนเวอร์เตอร์ DC-DC |

| ฮาร์มอนิกของเรกติไฟเออร์ อินเวอร์เตอร์ PWM และ PFC | เรกติไฟเออร์ · อินเวอร์เตอร์ PWM · Active PFC |

เรียนต่อในชุดอิเล็กทรอนิกส์กำลัง บั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ ชุค แบบละเอียด แบบจำลองเฉลี่ยและสเตตสเปซของบั๊ก ฟังก์ชันถ่ายโอนบั๊กทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต แบบจำลองสัญญาณเล็ก ออกแบบตัวชดเชยด้วย k-factor และ peak current mode ควบคุมดิจิทัล และ แล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมบั๊กคอนเวอร์เตอร์โหมดแรงดันต้องใช้ Type III?
เพราะ LC ฟิลเตอร์ให้ขั้วคู่ที่เฟสลดลงเกือบ 180° ใกล้ความถี่เรโซแนนซ์ ถ้าครอสโอเวอร์อยู่สูงกว่าเรโซแนนซ์ (ซึ่งต้องการเพื่อความเร็ว) เฟสของพลานต์เกือบ −180° แล้ว ตัวชดเชยต้องเติมเฟสบวกได้มากกว่า 90° Type III มีศูนย์สองตัวจึงเติมเฟสได้ถึงเกือบ 180° ส่วน Type II เติมได้ไม่ถึง 90° เหมาะกับโหมดกระแสหรือเมื่อ ESR zero อยู่ต่ำ

เลือกความถี่ครอสโอเวอร์ของพาวเวอร์ซัพพลายอย่างไร?
ไม่เกินประมาณหนึ่งในสิบถึงหนึ่งในห้าของความถี่สวิตชิ่ง เพราะแบบจำลองเฉลี่ยใช้ได้แค่ความถี่ต่ำกว่าการสวิตช์มาก และต้องไม่ให้ริปเปิลสวิตชิ่งผ่านลูป สำหรับบูสต์และบั๊ก-บูสต์ต้องต่ำกว่าความถี่ของ RHP zero อีกประมาณ 3 เท่า

วัดลูปเกนของพาวเวอร์ซัพพลายจริงได้อย่างไร?
ใส่ตัวต้านทานเล็ก ๆ (10–50 Ω) อนุกรมในเส้นป้อนกลับ ฉีดสัญญาณไซน์ขนาดเล็กคร่อมตัวต้านทานนั้นด้วยหม้อแปลงฉีดสัญญาณ แล้ววัดอัตราส่วนแรงดันสองฝั่งด้วย network analyzer หรือฟังก์ชันเจเนอเรเตอร์กับสโคปสองช่อง กวาดความถี่ได้โบดของลูปเกนจริง อ่าน PM และ GM ได้ทันที

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมบั๊กคอนเวอร์เตอร์โหมดแรงดันต้องใช้ Type III?**
เพราะ LC ฟิลเตอร์ให้ขั้วคู่ที่เฟสลดลงเกือบ 180° ใกล้ความถี่เรโซแนนซ์ ถ้าครอสโอเวอร์อยู่สูงกว่าเรโซแนนซ์ (ซึ่งต้องการเพื่อความเร็ว) เฟสของพลานต์เกือบ −180° แล้ว ตัวชดเชยต้องเติมเฟสบวกได้มากกว่า 90° Type III มีศูนย์สองตัวจึงเติมเฟสได้ถึงเกือบ 180° ส่วน Type II เติมได้ไม่ถึง 90° เหมาะกับโหมดกระแสหรือเมื่อ ESR zero อยู่ต่ำ

**เลือกความถี่ครอสโอเวอร์ของพาวเวอร์ซัพพลายอย่างไร?**
ไม่เกินประมาณหนึ่งในสิบถึงหนึ่งในห้าของความถี่สวิตชิ่ง เพราะแบบจำลองเฉลี่ยใช้ได้แค่ความถี่ต่ำกว่าการสวิตช์มาก และต้องไม่ให้ริปเปิลสวิตชิ่งผ่านลูป สำหรับบูสต์และบั๊ก-บูสต์ต้องต่ำกว่าความถี่ของ RHP zero อีกประมาณ 3 เท่า

**วัดลูปเกนของพาวเวอร์ซัพพลายจริงได้อย่างไร?**
ใส่ตัวต้านทานเล็ก ๆ (10–50 Ω) อนุกรมในเส้นป้อนกลับ ฉีดสัญญาณไซน์ขนาดเล็กคร่อมตัวต้านทานนั้นด้วยหม้อแปลงฉีดสัญญาณ แล้ววัดอัตราส่วนแรงดันสองฝั่งด้วย network analyzer หรือฟังก์ชันเจเนอเรเตอร์กับสโคปสองช่อง กวาดความถี่ได้โบดของลูปเกนจริง อ่าน PM และ GM ได้ทันที

---

# ระบบควบคุมโรโบติกส์: แขนกล หุ่นยนต์เคลื่อนที่ และการควบคุมข้อต่อ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/robotics/
Updated: 2026-10-12
Summary: ระบบควบคุมหุ่นยนต์สำหรับวิศวกรไฟฟ้า จลนศาสตร์ตรงและผกผันของแขนกลสองข้อต่อ จาโคเบียนและภาวะเอกฐาน สมการพลศาสตร์แขนกล ควบคุมข้อต่ออิสระด้วย PD/PID ชดเชยแรงโน้มถ่วง computed torque control การสร้างวิถีแบบพหุนามกำลังสามและห้า หุ่นยนต์ล้อแบบ differential drive การนำทางไปยังเป้าหมาย หุ่นยนต์ทรงตัวสองล้อ และไอเดียโปรเจกต์หุ่นยนต์

// บทที่ 13.24 · ระบบควบคุม · Robotics & Robot Control

# ระบบควบคุมโรโบติกส์: แขนกล หุ่นยนต์เคลื่อนที่ และการควบคุมข้อต่อ

หุ่นยนต์คือเมคาทรอนิกส์ที่มีหลายข้อต่อทำงานประสานกัน คำถามเปลี่ยนจาก “มอเตอร์หมุนไปมุมนี้” เป็น “ปลายแขนไปตำแหน่งนี้ตามเส้นทางนี้” ต้องเพิ่มจลนศาสตร์ (เรขาคณิต) พลศาสตร์ (แรงบิดที่ต้องใช้) และการวางแผนวิถี แต่ลึก ๆ แล้วทุกข้อต่อยังเป็นเซอร์โวที่คุมด้วยหลักการเดียวกับเมคาทรอนิกส์ หน้านี้พาจากแขนกลสองข้อต่อไปถึงหุ่นยนต์ล้อและหุ่นยนต์ทรงตัว สูตรใช้รหัส A

สรุปใน 30 วินาที

- จลนศาสตร์ตรง $\mathbf x = f(\mathbf q)$ · ผกผัน $\mathbf q = f^{-1}(\mathbf x)$ · ความเร็ว $\dot{\mathbf x} = J(\mathbf q)\dot{\mathbf q}$

- พลศาสตร์: $M(\mathbf q)\ddot{\mathbf q} + C(\mathbf q, \dot{\mathbf q})\dot{\mathbf q} + \mathbf g(\mathbf q) = \boldsymbol\tau$

- PD + ชดเชยแรงโน้มถ่วง → เสถียรเสมอ (ลียาปูนอฟ) · computed torque → ทุกข้อต่อเป็นระบบอันดับสองเชิงเส้นที่เลือก $\zeta, \omega_n$ ได้

- หุ่นยนต์ล้อ: $v = \frac r2(\omega_R + \omega_L)$, $\omega = \frac rb(\omega_R - \omega_L)$

## จลนศาสตร์แขนกลสองข้อต่อ กลาง

A1 Forward kinematics (2-link planar) จลนศาสตร์ตรง

$$x = l_1\cos\theta_1 + l_2\cos(\theta_1 + \theta_2), \qquad y = l_1\sin\theta_1 + l_2\sin(\theta_1 + \theta_2)$$

ใช้ตรีโกณมิติล้วน ๆ · แขนหลายข้อต่อใช้เมทริกซ์แปลงพิกัด (Denavit–Hartenberg) คูณต่อกัน

A2 Inverse kinematics จลนศาสตร์ผกผัน

$$\cos\theta_2 = \frac{x^2 + y^2 - l_1^2 - l_2^2}{2l_1l_2}, \qquad \theta_1 = \operatorname{atan2}(y, x) - \operatorname{atan2}(l_2\sin\theta_2,\ l_1 + l_2\cos\theta_2)$$

$\theta_2 = \pm\cos^{-1}(\cdot)$ ให้สองคำตอบ (ข้อศอกขึ้น/ลง) · ถ้า $|\cos\theta_2| \gt 1$ ปลายแขนเอื้อมไม่ถึง

A3 Jacobian จาโคเบียนและภาวะเอกฐาน

$$\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} -l_1s_1 - l_2s_{12} & -l_2s_{12} \\ l_1c_1 + l_2c_{12} & l_2c_{12} \end{pmatrix}}_{J(\boldsymbol\theta)}\begin{pmatrix} \dot\theta_1 \\ \dot\theta_2 \end{pmatrix}, \qquad \det J = l_1l_2\sin\theta_2, \qquad \boldsymbol\tau = J^T\mathbf F$$

$s_{12} = \sin(\theta_1 + \theta_2)$ · $\theta_2 = 0, \pi$ (แขนเหยียดตรงหรือพับสุด) เป็นภาวะเอกฐาน · $J^T$ แปลงแรงที่ปลายแขนเป็นแรงบิดข้อต่อ (ใช้ใน force control) · ดูอินเวอร์สและดีเทอร์มิแนนต์

ตัวอย่าง A-1 · ไปและกลับ

### แขนกล $l_1 = l_2 = 0.5$ m ที่ $\theta_1 = 30^\circ,\ \theta_2 = 60^\circ$ ปลายแขนอยู่ที่ไหน แล้วคำนวณย้อนกลับ

- A1: $x = 0.5\cos30^\circ + 0.5\cos90^\circ = 0.433$ m · $y = 0.5\sin30^\circ + 0.5\sin90^\circ = 0.75$ m

- A2: $\cos\theta_2 = \dfrac{0.1875 + 0.5625 - 0.25 - 0.25}{0.5} = 0.5 \Rightarrow \theta_2 = 60^\circ$ · $\theta_1 = \operatorname{atan2}(0.75, 0.433) - \operatorname{atan2}(0.433, 0.75) = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$ ✓

- A3: $\det J = 0.25\sin60^\circ = 0.217$ ห่างจากเอกฐาน ✓

ปลายแขนที่ (0.433, 0.75) m · คำนวณย้อนกลับได้มุมเดิม (คำตอบข้อศอกลง) · อีกคำตอบคือ $\theta_2 = -60^\circ,\ \theta_1 = 90^\circ$

## พลศาสตร์และการควบคุมข้อต่อ ขั้นสูง

A4 Manipulator dynamics สมการพลศาสตร์แขนกล

$$M(\mathbf q)\ddot{\mathbf q} + C(\mathbf q, \dot{\mathbf q})\dot{\mathbf q} + \mathbf g(\mathbf q) + \mathbf f(\dot{\mathbf q}) = \boldsymbol\tau$$

$M$ เมทริกซ์ความเฉื่อย (สมมาตร บวกแน่นอน เปลี่ยนตามท่า) · $C$ แรงโคริโอลิสและหนีศูนย์ · $\mathbf g$ แรงโน้มถ่วง · $\mathbf f$ แรงเสียดทาน · ได้จากสมการออยเลอร์–ลากรานจ์ $\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q} - \frac{\partial\mathcal L}{\partial q} = \tau$

A5 PD + gravity compensation PD + ชดเชยแรงโน้มถ่วง

$$\boldsymbol\tau = K_P(\mathbf q_d - \mathbf q) - K_D\dot{\mathbf q} + \mathbf g(\mathbf q)$$

ลู่เข้า $\mathbf q_d$ คงที่เสมอสำหรับ $K_P, K_D \succ 0$ ใดก็ได้ (พิสูจน์ด้วยลียาปูนอฟ $V = \tfrac12\dot{\mathbf q}^TM\dot{\mathbf q} + \tfrac12\mathbf e^TK_P\mathbf e$) · ไม่ต้องรู้ $M$ และ $C$ เลย · ไม่มีเทอม I จึงไม่ต้องกลัว windup

A6 Computed torque (inverse dynamics) คอมพิวเต็ดทอร์ก

$$\boldsymbol\tau = M(\mathbf q)\big[\ddot{\mathbf q}_d + K_D\dot{\mathbf e} + K_P\mathbf e\big] + C\dot{\mathbf q} + \mathbf g \ \Rightarrow\ \ddot{\mathbf e} + K_D\dot{\mathbf e} + K_P\mathbf e = \mathbf 0$$

ความผิดพลาดทุกข้อต่อกลายเป็นระบบอันดับสองเชิงเส้นอิสระ เลือก $K_P = \omega_n^2,\ K_D = 2\zeta\omega_n$ · ต้องรู้แบบจำลองแม่น · คือ feedback linearization

ตัวอย่าง A-2 · ตั้งเกน computed torque

### ต้องการให้ความผิดพลาดของทุกข้อต่อลู่เข้าแบบหน่วงวิกฤต เวลาเข้าที่ประมาณ 0.6 s

- หน่วงวิกฤต $\zeta = 1$: $t_s \approx 5.8/\omega_n$ (2%) → $\omega_n \approx 10$ rad/s

- A6: $K_P = 100\ \text{s}^{-2}$, $K_D = 20\ \text{s}^{-1}$ (เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม)

$K_P = 100I,\ K_D = 20I$ ทุกข้อต่อตอบสนองเหมือนกันไม่ว่าท่าไหน (ตราบที่แบบจำลองถูก) · ต้องตรวจว่าแรงบิดที่คำนวณได้ไม่เกินขีดจำกัดของมอเตอร์

## วางแผนวิถี กลาง

A7 Cubic and quintic trajectories วิถีพหุนาม (จากหยุดนิ่งถึงหยุดนิ่ง)

$$q(t) = q_0 + \Delta\left[3\left(\tfrac tT\right)^2 - 2\left(\tfrac tT\right)^3\right], \qquad \dot q_{max} = \frac{3\Delta}{2T}, \qquad \ddot q_{max} = \frac{6\Delta}{T^2}$$

ความเร็วต่อเนื่อง ความเร่งกระโดดที่ต้นและปลาย · พหุนามกำลังห้า $\Delta[10\tau^3 - 15\tau^4 + 6\tau^5]$ ให้ความเร่งต่อเนื่องด้วย (นุ่มกว่า กระตุ้นเรโซแนนซ์น้อยกว่า) · ส่ง $q, \dot q, \ddot q$ ไปเป็น feedforward (K4)

ตัวอย่าง A-3 · หมุนข้อต่อ 90° ใน 2 วินาที

### หาวิถีกำลังสามและความเร็ว ความเร่งสูงสุด

- $\Delta = \pi/2,\ T = 2$: $q(t) = 1.178t^2 - 0.393t^3$ rad A7

- $\dot q_{max} = \dfrac{3(\pi/2)}{4} = 1.178$ rad/s ที่ $t = 1$ s · $\ddot q_{max} = \dfrac{6(\pi/2)}{4} = 2.356$ rad/s² ที่ $t = 0$

$q(t) = 1.178t^2 - 0.393t^3$ · ความเร็วสูงสุด 67.5°/s · ใช้ตรวจว่ามอเตอร์และเกียร์รับไหว (แรงบิดสูงสุด $\approx J_{eq}\ddot q_{max}$ + แรงโน้มถ่วง)

## หุ่นยนต์ล้อและหุ่นยนต์ทรงตัว กลาง

A8 Differential-drive kinematics จลนศาสตร์หุ่นยนต์สองล้อขับ

$$v = \frac r2(\omega_R + \omega_L), \quad \omega = \frac rb(\omega_R - \omega_L), \quad \dot x = v\cos\phi,\ \dot y = v\sin\phi,\ \dot\phi = \omega$$

$r$ รัศมีล้อ $b$ ระยะห่างล้อ · ผกผัน: $\omega_{R,L} = \dfrac{v \pm \omega b/2}{r}$ แล้วใช้ PI คุมความเร็วล้อแต่ละข้าง

A9 Go-to-goal / heading control นำทางไปเป้าหมาย

$$\phi_d = \operatorname{atan2}(y_g - y,\ x_g - x), \qquad \omega = K_\phi\,\operatorname{wrap}(\phi_d - \phi), \qquad v = \min\big(v_{max},\ K_\rho\rho\big)$$

$\rho$ = ระยะถึงเป้า · wrap มุมให้อยู่ใน $(-\pi, \pi]$ · หุ่นเดินตามเส้นใช้ PD กับความคลาดจากเส้นแทน $\phi_d - \phi$

ตัวอย่าง A-4 · สั่งล้อ

### หุ่นยนต์ล้อรัศมี 5 cm ระยะห่างล้อ 30 cm ต้องการ $v = 0.5$ m/s และเลี้ยวด้วย $\omega = 1$ rad/s

- A8: $\omega_R = \dfrac{0.5 + 1(0.15)}{0.05} = 13$ rad/s · $\omega_L = \dfrac{0.5 - 0.15}{0.05} = 7$ rad/s

ล้อขวา 13 rad/s (124 rpm) ล้อซ้าย 7 rad/s (67 rpm) รัศมีวงเลี้ยว $v/\omega = 0.5$ m · ส่งเป็นค่าอ้างอิงให้ลูปความเร็วล้อแต่ละข้าง

หุ่นยนต์ทรงตัวสองล้อ คือลูกตุ้มกลับหัวบนล้อ (ขั้วฝั่งขวา) วัดมุมเอียงด้วย IMU (complementary filter: $\hat\theta = \alpha(\hat\theta + \omega_{gyro}T) + (1 - \alpha)\theta_{acc}$, $\alpha \approx 0.98$) แล้วใช้ LQR กับสถานะ (มุม อัตรามุม ตำแหน่ง ความเร็ว) หรือ PID สองลูป ลูปในคุมมุมเร็ว ลูปนอกคุมความเร็วช้า

## แล็บ: ข้อต่อหนึ่งข้อต่อ

ข้อต่อที่มีความเฉื่อยและแรงโน้มถ่วงถูกชดเชยแล้ว คือพลานต์ $\frac{1}{Js^2 + bs}$ ลองตั้ง $K_P = 100,\ K_D = 20$ (ตัวอย่าง A-2 กับ $J = 1$) ดูการตอบสนองแบบหน่วงวิกฤต แล้วลองข้อต่อที่ยืดหยุ่น

กำลังโหลดแล็บ (ต้องเปิด JavaScript)

## ไอเดียโปรเจกต์หุ่นยนต์

- พื้นฐาน หุ่นเดินตามเส้น PD · หุ่นหลบสิ่งกีดขวางด้วยอัลตราโซนิก · แขนกลเซอร์โว RC 3 แกนพร้อมจลนศาสตร์ผกผัน

- กลาง หุ่นยนต์ล้อนำทางด้วยเอนโค้ดเดอร์ (odometry) ไปยังพิกัด · หุ่นทรงตัวสองล้อ · พล็อตเตอร์วาดรูป SCARA สองข้อต่อ

- ขั้นสูง แขนกล 6 แกนด้วย computed torque · โดรนสี่ใบพัด (PID คาสเคดมุม–อัตรา) · หุ่นยนต์ทำแผนที่ด้วย LiDAR + ตัวกรองคาลมาน · หุ่นยนต์ขาเดิน

ไอเดียเพิ่มเติมอยู่ในคลังไอเดียระบบควบคุม

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ทุกมอเตอร์ในหุ่นยนต์ต้องการแหล่งจ่ายที่นิ่ง และไดรเวอร์ทุกตัวคือตัวแปลงกำลัง ไปที่สะพานสู่อิเล็กทรอนิกส์กำลัง เพื่อดูว่าวิชาควบคุมทั้งหมดไปอยู่ในพาวเวอร์ซัพพลายได้อย่างไร

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมควบคุมแขนกลด้วย PID แยกแต่ละข้อต่อได้?
เพราะข้อต่อส่วนใหญ่มีเกียร์ทดสูง ความเฉื่อยของโหลดที่สะท้อนมายังมอเตอร์ลดลงตามกำลังสองของอัตราทด ผลกระทบระหว่างข้อต่อ (coupling) จึงเล็กเมื่อเทียบกับความเฉื่อยของมอเตอร์เอง มองเป็นการรบกวนที่ PID จัดการได้ แต่หุ่นยนต์ที่ขับตรง (direct drive) หรือเคลื่อนที่เร็วมาก ต้องใช้ computed torque

ภาวะเอกฐาน (singularity) คืออะไร?
คือท่าที่จาโคเบียนเสียแรงก์ (ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์) เช่น แขนกลเหยียดตรงสุด ปลายแขนเคลื่อนในบางทิศไม่ได้ และการคำนวณความเร็วข้อต่อจากความเร็วปลายแขนจะได้ค่าอนันต์ ต้องวางแผนวิถีให้ห่างจากท่าเหล่านี้

หุ่นยนต์ทรงตัวสองล้อควบคุมอย่างไร?
เป็นลูกตุ้มกลับหัวบนล้อ พลานต์ไม่เสถียรวงเปิด นิยมใช้ LQR กับสถานะ มุมเอียง อัตราเอียง ตำแหน่ง และความเร็วล้อ หรือ PID สองลูป (ลูปในคุมมุมเอียง ลูปนอกคุมความเร็ว) มุมเอียงได้จากการหลอมรวมไจโรกับ accelerometer

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมควบคุมแขนกลด้วย PID แยกแต่ละข้อต่อได้?**
เพราะข้อต่อส่วนใหญ่มีเกียร์ทดสูง ความเฉื่อยของโหลดที่สะท้อนมายังมอเตอร์ลดลงตามกำลังสองของอัตราทด ผลกระทบระหว่างข้อต่อ (coupling) จึงเล็กเมื่อเทียบกับความเฉื่อยของมอเตอร์เอง มองเป็นการรบกวนที่ PID จัดการได้ แต่หุ่นยนต์ที่ขับตรง (direct drive) หรือเคลื่อนที่เร็วมาก ต้องใช้ computed torque

**ภาวะเอกฐาน (singularity) คืออะไร?**
คือท่าที่จาโคเบียนเสียแรงก์ (ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์) เช่น แขนกลเหยียดตรงสุด ปลายแขนเคลื่อนในบางทิศไม่ได้ และการคำนวณความเร็วข้อต่อจากความเร็วปลายแขนจะได้ค่าอนันต์ ต้องวางแผนวิถีให้ห่างจากท่าเหล่านี้

**หุ่นยนต์ทรงตัวสองล้อควบคุมอย่างไร?**
เป็นลูกตุ้มกลับหัวบนล้อ พลานต์ไม่เสถียรวงเปิด นิยมใช้ LQR กับสถานะ มุมเอียง อัตราเอียง ตำแหน่ง และความเร็วล้อ หรือ PID สองลูป (ลูปในคุมมุมเอียง ลูปนอกคุมความเร็ว) มุมเอียงได้จากการหลอมรวมไจโรกับ accelerometer

---

# ออกแบบด้วยรูทโลคัส: เลือกเกน เพิ่มขั้วหรือศูนย์ และตัวชดเชย

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/root-locus-design/
Updated: 2026-10-12
Summary: ใช้รูทโลคัสออกแบบระบบควบคุม เลือกเกน K จากสเปก ζ และเวลาเข้าที่ ผลของการเพิ่มขั้วและศูนย์ต่อรูปร่างโลคัส ออกแบบ PD ด้วยการชดเชยมุม ออกแบบ PI ด้วยคู่ขั้ว-ศูนย์ใกล้จุดกำเนิดและการแลกเปลี่ยนกับหางช้า รูทโลคัสเมื่อ K ติดลบ (ป้อนกลับบวก) และรูทโลคัสของพารามิเตอร์อื่นที่ไม่ใช่เกน พร้อมตัวอย่างที่ตรวจด้วยการจำลอง

// บทที่ 13.10 · ระบบควบคุม · Design by Root Locus

# ออกแบบด้วยรูทโลคัส: เลือกเกน เพิ่มขั้วหรือศูนย์ และตัวชดเชย

วาดรูทโลคัสได้แล้ว คำถามต่อไปคือ “ใช้ทำอะไร” คำตอบคือออกแบบ: ถ้าโลคัสผ่านจุดที่ต้องการ ก็แค่เลือก $K$ ถ้าไม่ผ่าน ก็ดัดโลคัสด้วยการเพิ่มศูนย์ (ดึงไปซ้าย) หรือขั้ว (ผลักไปขวา) ให้ผ่านจุดนั้น หน้านี้คือหัวใจของการออกแบบในโดเมนเวลา สูตรใช้รหัส J

สรุปใน 30 วินาที

- สเปก → จุด $s_d$ → ผ่านโลคัสไหม (เงื่อนไขมุม) → ผ่าน: หา $K$ ด้วยเงื่อนไขขนาด

- ไม่ผ่าน: มุมที่ขาด $\phi_c$ เติมด้วยศูนย์ (PD) หรือคู่ศูนย์-ขั้ว (lead)

- ความผิดพลาดค้าง: คู่ขั้วที่ 0 + ศูนย์ใกล้ 0 (PI) โลคัสเดิมแทบไม่เปลี่ยน

- $K \lt 0$: กฎมุม 0° · พารามิเตอร์อื่น: จัดรูป $1 + \alpha\,F(s) = 0$ แล้ววาดตามปกติ

## ขั้น 1: เลือก K เมื่อโลคัสผ่านจุดที่ต้องการ พื้นฐาน

J1 Gain selection เลือกเกนจากสเปก

$$s_d = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}, \qquad K = \frac{\prod|s_d - p_j|}{\prod|s_d - z_i|}$$

ถ้ากำหนดแค่ $\zeta$: หาจุดตัดของเส้น $\zeta$ กับโลคัส · ถ้ากำหนดทั้ง $\zeta$ และ $\omega_n$ (หรือ $t_s$) ต้องตรวจเงื่อนไขมุมก่อนว่าจุดอยู่บนโลคัส

ตัวอย่าง J-1 · P ได้แค่ไหน

### พลานต์ $G(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+5)}$ หา $K$ ที่ให้ $\zeta = 0.6$ และหาความผิดพลาดค้าง

- โลคัส: ชนกันที่ −3 แล้วขึ้นลงตามเส้น $\sigma = -3$ · จุดบนเส้น $\zeta = 0.6$: $\omega_n = 3/0.6 = 5$ ได้ $s_d = -3 \pm j4$

- J1: $K = |s_d + 1||s_d + 5| = |-2 + j4||2 + j4| = \sqrt{20}\sqrt{20} = 20$

- $e_{ss} = \dfrac{1}{1 + 20/5} = 0.2$

$K = 20$: overshoot 9.5%, $t_s$ ≈ 1.2 s แต่ความผิดพลาดค้าง 20% (เอาต์พุตไปได้แค่ 0.8) ต้องแก้ด้วย PI ในตัวอย่าง J-3

## ผลของการเพิ่มขั้วและศูนย์ต่อรูปร่างโลคัส พื้นฐาน

J2 Adding poles and zeros เพิ่มขั้วและศูนย์

$$\text{เพิ่มศูนย์ } z:\ n - m \downarrow,\ \ \sigma_a \to \frac{\sum p - \sum z - z}{n - m - 1} \quad\text{(ดึงไปซ้าย)}, \qquad \text{เพิ่มขั้ว: } n - m \uparrow \ \text{(ผลักไปขวา)}$$

ศูนย์ยิ่งใกล้จุดกำเนิด ยิ่งดึงแรง แต่ต้องระวังศูนย์ไปโผล่ในวงปิดเพิ่ม overshoot (T9) · ขั้วที่เพิ่มยิ่งใกล้จุดกำเนิด ยิ่งผลักแรง (lag และ I ทำให้แกว่งขึ้น)

เพิ่มศูนย์ที่ −3 ให้ $K/[s(s+1)(s+2)]$: จากเดิมที่ไม่เสถียรเมื่อ $K \gt 6$ กลายเป็นเสถียรทุก $K$

## ออกแบบ PD ด้วยการชดเชยมุม กลาง

J3 PD by angle compensation วางศูนย์ PD

$$\phi_c = -180^\circ - \angle G(s_d), \qquad z = \sigma_d + \frac{\omega_d}{\tan\phi_c} \ \ \text{(ศูนย์ที่ } -z\text{)}, \qquad C(s) = K_D(s + z)$$

$\sigma_d, \omega_d$ = ขนาดส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ $s_d$ · ใช้ได้เมื่อ $0 \lt \phi_c \lt 90^\circ$ ถ้ามากกว่านั้นใช้ lead สองตัวหรือ PD สองตัว

ตัวอย่าง J-2 · PD ให้เซอร์โวเร็วขึ้น 2 เท่า

### พลานต์ $G(s) = \dfrac{1}{s(s+5)}$ ต้องการขั้วที่ $\zeta = 0.5,\ \omega_n = 10$

- $s_d = -5 \pm j8.66$ · โลคัสเดิมเป็นเส้นดิ่ง $\sigma = -2.5$ ไม่ผ่าน

- มุมพลานต์ที่ $s_d$: จาก 0 คือ $120^\circ$ จาก −5 คือ $90^\circ$ ได้ $-210^\circ$ → $\phi_c = 30^\circ$ J3

- $z = 5 + \dfrac{8.66}{\tan30^\circ} = 5 + 15 = 20$ (ศูนย์ที่ −20)

- $K_D = \dfrac{|s_d||s_d + 5|}{|s_d + 20|} = \dfrac{10 \times 8.66}{17.32} = 5$

$C(s) = 5(s + 20) = 100 + 5s$ วงปิด $s^2 + 10s + 100$ ได้ $\zeta = 0.5,\ \omega_n = 10$ พอดี · overshoot จริง 19.1% (ศูนย์ที่ −20 ในวงปิด เพิ่มจาก 16.3%)

python-control: ขั้ว $-5 \pm j8.66$ ✓ · เทียบ C-3 ที่ใช้ lead กับพลานต์คล้ายกัน

## ออกแบบ PI: คู่ขั้ว-ศูนย์ใกล้จุดกำเนิด กลาง

J4 PI by dipole placement วาง PI แบบคู่ขั้ว-ศูนย์

$$C(s) = K\frac{s + z_I}{s}, \qquad z_I \approx \frac{|\operatorname{Re}s_d|}{10}$$

มุมที่ $s_d$ เปลี่ยนน้อยมาก โลคัสเดิมแทบไม่ขยับ แต่เกิดขั้ววงปิดใหม่ใกล้ $-z_I$ (เกือบหักล้างกับศูนย์) ทำให้มีหางช้า ขนาดหางเล็กลงเมื่อ $z_I$ เล็ก แต่ช้าลง

ตัวอย่าง J-3 · ต่อจาก J-1

### เพิ่ม PI ให้ $G = \dfrac{1}{(s+1)(s+5)}$ ที่ $K = 20$ เพื่อกำจัดความผิดพลาดค้าง เลือก $z_I$ อย่างไร

| $z_I$ | ขั้ววงปิด | Overshoot | ts (2%) |

| (P อย่างเดียว) | $-3 \pm j4$ | 9.5% | 1.2 s (แต่ค้างที่ 0.8) |

| 0.1 | $-2.96 \pm j3.97,\ -0.082$ | 0% | 27.5 s |

| 0.3 | $-2.87 \pm j3.91,\ -0.255$ | 0% | 8.2 s |

| 0.5 | $-2.78 \pm j3.85,\ -0.444$ | 0.4% | 4.2 s |

| 1 (หักล้างขั้ว −1) | $-2.5 \pm j3.97$ | 12.0% | 1.3 s |

ทุกตัวเลือกกำจัดความผิดพลาดค้างได้ ขั้วเด่นแทบไม่ขยับ แต่ $z_I$ เล็กมากทำให้เอาต์พุตค่อย ๆ คลานจาก 0.8 ไป 1 นานมาก · การหักล้างขั้วช้าของพลานต์ ($z_I = 1$) เร็วที่สุดเมื่อรู้ค่าขั้วแม่น

จำลองด้วย python-control · แถวสุดท้าย: $L = \frac{20}{s(s+5)}$ วงปิด $s^2 + 5s + 20$ ($\zeta = 0.56$)

## รูทโลคัสเมื่อ K ติดลบ และรูทโลคัสพารามิเตอร์ ขั้นสูง

J5 Complementary (0°) root locus รูทโลคัสเมื่อ $K \lt 0$

$$\sum\angle(s - z_i) - \sum\angle(s - p_j) = 0^\circ + 360^\circ q, \qquad \theta_a = \frac{360^\circ q}{n - m}$$

แกนจริง: จำนวนขั้ว+ศูนย์ทางขวาเป็นเลขคู่ · มุมออก/เข้าใช้ 0° แทน 180° · จุดแยกคือรากของ $dK/ds = 0$ ที่ให้ $K \lt 0$ (ที่ทิ้งไปในกรณีปกติ) · ลองกดปุ่ม “K < 0” ในแล็บ

J6 Parameter root locus รูทโลคัสของพารามิเตอร์อื่น

$$A(s) + \alpha B(s) = 0 \ \Rightarrow\ 1 + \alpha\frac{B(s)}{A(s)} = 0$$

จัดสมการลักษณะเฉพาะให้พารามิเตอร์ $\alpha$ ที่สนใจ (ตำแหน่งขั้ว เกนแทโค ค่าคงเวลา) อยู่หน้า แล้วใช้กฎทุกข้อกับ $B/A$

ตัวอย่าง J-4 · ปรับการหน่วงแทน K

### ระบบ $s^2 + as + 10 = 0$ (มอเตอร์ที่ปรับการหน่วง $a$ ได้ เช่น ด้วยเกนแทโค) ขั้วเดินอย่างไรเมื่อ $a$ เพิ่มจาก 0

- J6: $1 + a\dfrac{s}{s^2 + 10} = 0$ ขั้วของ $F$ ที่ $\pm j\sqrt{10}$ ศูนย์ที่ 0

- คู่ขั้วเชิงซ้อนกับศูนย์จริงหนึ่งตัว: โลคัสเป็นวงกลมรอบศูนย์ (0) รัศมี $\sqrt{10}$ เข้าแกนจริงที่ $-\sqrt{10}$ เมื่อ $a = 2\sqrt{10} = 6.32$

เมื่อ $a$ เพิ่ม ขั้วเดินตามวงกลม $|s| = \sqrt{10}$ ($\omega_n$ คงที่ $\zeta = a/(2\sqrt{10})$ เพิ่ม) จนหน่วงวิกฤตที่ $a = 6.32$ แล้วแยกบนแกนจริง ตรงกับตัวอย่างแทโคในB-3

## แล็บออกแบบ

เส้นสีม่วงคือ $\zeta = 0.5$ และ 0.6 ลองเพิ่มศูนย์ (“+ ศูนย์จริง”) แล้วลากไปมาเพื่อให้โลคัสผ่านจุดที่ต้องการ แล้วคลิกบนโลคัสเลือก $K$ ดูผลตอบสนองทันที

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

รูทโลคัสมองในโดเมนเวลา อีกมุมหนึ่งที่วิศวกรทั่วโลกใช้มากที่สุดคือผลตอบสนองความถี่ ซึ่งวัดจากระบบจริงได้โดยตรง และนำไปสู่การออกแบบ lead lag ด้วยโบด

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมเพิ่มศูนย์แล้วระบบเสถียรขึ้น?
ศูนย์ลดจำนวนเส้นกำกับ (n − m ลดลง) และดึงจุดตัดเส้นกำกับไปทางซ้าย กิ่งที่เคยข้ามไปฝั่งขวาจึงถูกดึงกลับมา ในภาษาความถี่คือศูนย์เพิ่มเฟสบวก ทำให้เฟสมาร์จินมากขึ้น

วางศูนย์ของ PI ไว้ตรงไหนดี?
ใกล้จุดกำเนิดเมื่อเทียบกับขั้วเด่น (ประมาณ 1/10 ของส่วนจริงขั้วเด่น) เพื่อให้รูทโลคัสเดิมแทบไม่เปลี่ยน แต่ยิ่งใกล้มากยิ่งเกิดขั้ววงปิดช้าที่ทำให้หางยาว จึงต้องแลกเปลี่ยน หรือวางศูนย์หักล้างขั้วช้าของพลานต์ถ้ารู้ค่าแม่นพอ

รูทโลคัสเมื่อ K ติดลบใช้เมื่อไร?
เมื่อระบบเป็นป้อนกลับบวก เมื่อพลานต์มีเกนติดลบ (เช่น บางระบบที่มีศูนย์ฝั่งขวาเมื่อจัดรูปแล้วได้เครื่องหมายลบ) หรือเมื่อต้องการดูว่าจะเกิดอะไรถ้าต่อสายกลับขั้ว กฎเปลี่ยนเป็นเงื่อนไขมุม 0° แทน 180°

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมเพิ่มศูนย์แล้วระบบเสถียรขึ้น?**
ศูนย์ลดจำนวนเส้นกำกับ (n − m ลดลง) และดึงจุดตัดเส้นกำกับไปทางซ้าย กิ่งที่เคยข้ามไปฝั่งขวาจึงถูกดึงกลับมา ในภาษาความถี่คือศูนย์เพิ่มเฟสบวก ทำให้เฟสมาร์จินมากขึ้น

**วางศูนย์ของ PI ไว้ตรงไหนดี?**
ใกล้จุดกำเนิดเมื่อเทียบกับขั้วเด่น (ประมาณ 1/10 ของส่วนจริงขั้วเด่น) เพื่อให้รูทโลคัสเดิมแทบไม่เปลี่ยน แต่ยิ่งใกล้มากยิ่งเกิดขั้ววงปิดช้าที่ทำให้หางยาว จึงต้องแลกเปลี่ยน หรือวางศูนย์หักล้างขั้วช้าของพลานต์ถ้ารู้ค่าแม่นพอ

**รูทโลคัสเมื่อ K ติดลบใช้เมื่อไร?**
เมื่อระบบเป็นป้อนกลับบวก เมื่อพลานต์มีเกนติดลบ (เช่น บางระบบที่มีศูนย์ฝั่งขวาเมื่อจัดรูปแล้วได้เครื่องหมายลบ) หรือเมื่อต้องการดูว่าจะเกิดอะไรถ้าต่อสายกลับขั้ว กฎเปลี่ยนเป็นเงื่อนไขมุม 0° แทน 180°

---

# ฝึกวาดรูทโลคัสด้วยมือ: ทีละขั้นจนคล่อง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/root-locus-sketching/
Updated: 2026-10-12
Summary: ฝึกวาดรูทโลคัส (root locus sketching) ด้วยมือแทน MATLAB สูตรการวาด 8 ขั้นตอน ตัวอย่างวาดทีละขั้น 7 แบบ ขั้วจริงสองตัว วงกลมจากศูนย์ ขั้วเชิงซ้อนกับมุมออก มุมเข้าศูนย์ จุดแยกเชิงซ้อน สามกิ่งพบกัน สี่ขั้วจริง ผลของการเพิ่มศูนย์ แกลเลอรีรูปแบบมาตรฐาน และแล็บโหมดฝึกวาดที่ซ่อนเฉลยได้

// บทที่ 13.9 · ระบบควบคุม · Root Locus Sketching

# ฝึกวาดรูทโลคัสด้วยมือ: ทีละขั้นจนคล่อง

วิศวกรควบคุมที่เก่งจริงมองขั้วและศูนย์แล้วเห็นรูปรูทโลคัสในหัวก่อนเปิดโปรแกรม เพราะรูปบอกว่าควรเพิ่มศูนย์ตรงไหน ใช้ lead หรือ lag และเกนสูงสุดเท่าไร ซึ่งโปรแกรมไม่ได้บอก หน้านี้คือสนามฝึก มีสูตรวาด 8 ขั้นที่ใช้ได้กับทุกโจทย์ ตัวอย่างทีละขั้น 7 แบบเรียงจากง่ายไปยาก และแล็บที่ซ่อนเฉลยให้วาดก่อนแล้วค่อยตรวจ ก่อนอ่านควรผ่านกฎการวาดมาแล้ว สูตรใช้รหัส W

สรุปใน 30 วินาที

- วางขั้ว × ศูนย์ ○ → ระบายส่วนแกนจริง → เส้นกำกับ → จุดแยก → ตัด $j\omega$ → มุมออก → ลากโค้งเชื่อม → ตรวจ

- ขั้วจริงสองตัวติดกันบนโลคัส = มีจุดแยกระหว่างกลาง · ศูนย์สองตัวติดกัน = มีจุดเข้า

- ขั้วจริง 2 + ศูนย์จริง 1 = วงกลมรอบศูนย์ · เพิ่มศูนย์ดึงโลคัสไปซ้าย (เสถียรขึ้น) · เพิ่มขั้วผลักไปขวา

- ทุกรูปในหน้านี้คำนวณจากเครื่อง ใช้ตรวจที่วาดเองได้

ระดับพื้นฐาน เริ่มวาดกลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง โจทย์ยาก

## สูตรวาด 8 ขั้น ใช้ได้ทุกโจทย์ พื้นฐาน

W1 Sketching recipe ขั้นตอนการวาดรูทโลคัส

- จัดรูป $1 + KGH = 0$ ให้ $GH$ monic หาขั้ว (×) และศูนย์ (○) วางบนระนาบ $s$ สเกลแกนเท่ากัน

- ระบายส่วนบนแกนจริง (นับขั้ว+ศูนย์ทางขวาเป็นเลขคี่) L5

- ถ้า $n - m \ge 2$: วาดเส้นกำกับจาก $\sigma_a$ ที่มุม $\theta_a$ (เส้นประ) L6

- หาจุดแยก/จุดเข้าในช่วงที่มีขั้วสองฝั่ง (หรือศูนย์สองฝั่ง) L7

- หาจุดตัดแกน $j\omega$ และ $K_{cr}$ ด้วย Routh L8

- มีขั้ว/ศูนย์เชิงซ้อน: หามุมออก/เข้า L9

- ลากโค้งนุ่มนวลเชื่อมทุกจุด ใส่ลูกศรทิศ $K$ เพิ่ม สะท้อนครึ่งล่าง

- ตรวจ: จำนวนกิ่ง = $n$ · กิ่งจบที่ศูนย์หรือตามเส้นกำกับ · ผลรวมขั้วคงที่ ($n - m \ge 2$) L10

## ขั้วจริงสองตัว: รูปพื้นฐานที่สุด พื้นฐาน

ตัวอย่าง W-1 · ระบบอันดับสองแบบ P

### วาดรูทโลคัสของ $\dfrac{K}{(s+1)(s+3)}$

- ขั้ว $-1, -3$ ไม่มีศูนย์ · ส่วนแกนจริง: $[-3, -1]$ (ทางขวามี 1 ตัว)

- $n - m = 2$: $\theta_a = \pm90^\circ$, $\sigma_a = \dfrac{-1 - 3}{2} = -2$

- จุดแยก: $\dfrac{1}{\sigma + 1} + \dfrac{1}{\sigma + 3} = 0 \Rightarrow \sigma = -2$ ($K = 1 \cdot 1 = 1$)

- ไม่ตัดแกน $j\omega$ ($s^2 + 4s + 3 + K$ สัมประสิทธิ์บวกเสมอ)

สองกิ่งวิ่งเข้าหากันบนแกนจริง ชนที่ $-2$ เมื่อ $K = 1$ แล้วแยกขึ้นลงเป็นเส้นดิ่ง ขั้ววงปิดคือ $-2 \pm j\sqrt{K - 1}$

ข้อสังเกตสำคัญ: ส่วนจริงคงที่ $-2$ ทุก $K \gt 1$ แปลว่าเวลาเข้าที่ $t_s \approx 4/2 = 2$ sไม่ดีขึ้นเลยเมื่อเพิ่มเกน มีแต่แกว่งเร็วขึ้นและ overshoot มากขึ้น ตัวควบคุม P จึงมีขีดจำกัด

## เพิ่มศูนย์: โลคัสเป็นวงกลม พื้นฐาน

W2 Circle rule ขั้วจริง 2 ตัว + ศูนย์จริง 1 ตัว

$$\text{วงกลมศูนย์กลาง } z, \quad r = \sqrt{|z - p_1|\,|z - p_2|}$$

ใช้ได้เมื่อศูนย์อยู่นอกช่วงระหว่างขั้วทั้งสอง · จุดแยกและจุดเข้าคือ $z \pm r$

ตัวอย่าง W-2 · PI/PD กับพลานต์อันดับหนึ่งที่มีอินทิเกรเตอร์

### วาดรูทโลคัสของ $\dfrac{K(s+3)}{s(s+1)}$

- ขั้ว $0, -1$ ศูนย์ $-3$ · ส่วนแกนจริง: $[-1, 0]$ และ $(-\infty, -3]$ · $n - m = 1$ กิ่งเดียวไปอนันต์ที่ $180^\circ$

- วงกลม W2: $r = \sqrt{3 \times 2} = \sqrt6 = 2.449$ รอบ $-3$

- จุดแยก $-3 + \sqrt6 = -0.551$ ($K = 0.101$) · จุดเข้า $-3 - \sqrt6 = -5.449$ ($K = 9.899$)

สองกิ่งแยกที่ −0.551 วนตามวงกลมรอบศูนย์ แล้วกลับเข้าแกนจริงที่ −5.449 กิ่งหนึ่งไปหาศูนย์ −3 อีกกิ่งไป −∞ เสถียรทุก $K \gt 0$

เทียบกับ W-1: ศูนย์ดึงโลคัสไปทางซ้ายและโค้งกลับเข้าแกนจริง เกนสูงจึงไม่แกว่งอีกต่อไป นี่คือพลังของศูนย์ (PD, lead) · $\zeta$ ต่ำสุดอยู่ที่จุดสัมผัสวงกลมกับเส้นจากจุดกำเนิด: $\sin\theta = \sqrt6/3 \Rightarrow \zeta_{min} = \sqrt{1 - 6/9} = 0.577$

## ขั้วเชิงซ้อน: มุมออกคือกุญแจ กลาง

ตัวอย่าง W-3 · อินทิเกรเตอร์ + ขั้วเชิงซ้อน

### วาดรูทโลคัสของ $\dfrac{K}{s(s^2 + 2s + 2)}$

- ขั้ว $0,\ -1 \pm j$ · แกนจริง: $(-\infty, 0]$ ทั้งเส้น (ทางขวามีขั้วจริงตัวเดียว คู่เชิงซ้อนไม่นับ)

- $n - m = 3$: $\theta_a = \pm60^\circ, 180^\circ$ · $\sigma_a = \dfrac{0 + (-1) + (-1)}{3} = -\tfrac23$

- จุดแยก: $\dfrac{dK}{ds} = -(3s^2 + 4s + 2) = 0 \Rightarrow s = \dfrac{-2 \pm j\sqrt2}{3}$ เชิงซ้อนและไม่ผ่านเงื่อนไขมุม จึงไม่มีจุดแยก

- ตัด $j\omega$: $s^3 + 2s^2 + 2s + K$ สูตรลัด $2 \cdot 2 \gt K \Rightarrow K_{cr} = 4$ · $2s^2 + 4 = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt2$

- มุมออกจาก $-1 + j$: $180^\circ - (135^\circ + 90^\circ) = -45^\circ$ (จากตัวอย่าง L-2)

กิ่งจากขั้วเชิงซ้อนออกที่ $-45^\circ$ โค้งเข้าหาเส้นกำกับ $\pm60^\circ$ ตัดแกน $j\omega$ ที่ $\pm j\sqrt2$ เมื่อ $K = 4$ · กิ่งจาก 0 วิ่งไปทางซ้ายตลอดแกนจริง

ถ้าคำนวณมุมออกผิดเป็น $+45^\circ$ กิ่งจะวิ่งขึ้นซ้ายผิดทิศ ทั้งที่จุดตัดแกนถูก มุมออกจึงจำเป็นสำหรับรูปที่ถูก

## ขั้วเชิงซ้อนกับศูนย์จริง: วงกลมอีกแบบ กลาง

ตัวอย่าง W-4 · มุมออกและจุดเข้า

### วาดรูทโลคัสของ $\dfrac{K(s+2)}{s^2 + 2s + 3}$

- ขั้ว $-1 \pm j\sqrt2$ ($\pm j1.414$) ศูนย์ $-2$ · แกนจริง: $(-\infty, -2]$ · $n - m = 1$

- มุมออกจาก $p = -1 + j\sqrt2$: มุมจากศูนย์ $\angle(1 + j\sqrt2) = 54.7^\circ$ มุมจากขั้วคู่ $90^\circ$

$$\theta_d = 180^\circ - 90^\circ + 54.7^\circ = {144.7^\circ}$$

- จุดเข้า: $K = -\dfrac{s^2 + 2s + 3}{s + 2}$, $\dfrac{dK}{ds} = 0 \Rightarrow s^2 + 4s + 1 = 0 \Rightarrow s = -2 \pm \sqrt3$ ใช้ $-3.732$ (อยู่บนโลคัส $K = 5.46$) ทิ้ง $-0.268$

กิ่งออกจากขั้วเชิงซ้อนที่ $144.7^\circ$ โค้งเป็นวงกลมรัศมี $\sqrt3$ รอบศูนย์ $-2$ เข้าแกนจริงที่ $-3.732$ แล้วกิ่งหนึ่งไปหา $-2$ อีกกิ่งไป $-\infty$

รัศมี = ระยะจากศูนย์ถึงขั้ว $|-1 + j\sqrt2 + 2| = \sqrt{1 + 2} = \sqrt3$ ✓ และ $-2 - \sqrt3 = -3.732$ ✓

## จุดแยกเชิงซ้อน: โจทย์ระดับสอบเข้า ขั้นสูง

ตัวอย่าง W-5 · สี่ขั้ว มีจุดแยกสามจุด

### วาดรูทโลคัสของ $\dfrac{K}{s(s+4)(s^2 + 4s + 20)}$

- ขั้ว $0, -4, -2 \pm j4$ · แกนจริง: $[-4, 0]$ · $n - m = 4$: $\theta_a = \pm45^\circ, \pm135^\circ$ · $\sigma_a = \dfrac{0 - 4 - 2 - 2}{4} = -2$

- $K = -(s^4 + 8s^3 + 36s^2 + 80s)$ · $\dfrac{dK}{ds} = -4(s^3 + 6s^2 + 18s + 20) = 0$

$$(s + 2)(s^2 + 4s + 10) = 0 \ \Rightarrow\ s = -2,\ \ -2 \pm j\sqrt6$$

$s = -2$: $K = 64$ ✓ · $s = -2 \pm j2.449$: แทนแล้วได้ $K = 100$ เป็นจำนวนจริงบวก ✓ อยู่บนโลคัสทั้งสามจุด

- มุมออกจาก $-2 + j4$: จาก 0 คือ $116.6^\circ$ จาก −4 คือ $63.4^\circ$ จาก $-2 - j4$ คือ $90^\circ$

$$\theta_d = 180^\circ - (116.6^\circ + 63.4^\circ + 90^\circ) = -90^\circ$$

- Routh ของ $s^4 + 8s^3 + 36s^2 + 80s + K$: แถว $s^2$: $26,\ K$ · แถว $s^1$: $\dfrac{2080 - 8K}{26}$ ได้ $K_{cr} = 260$ · $26\omega^2 = 260 \Rightarrow \omega = \sqrt{10} = 3.162$

กิ่งจากขั้วเชิงซ้อนพุ่งลงตรง ($-90^\circ$) มาชนกันที่ $-2 \pm j2.45$ เมื่อ $K = 100$ ส่วนกิ่งจาก 0 และ −4 ชนกันที่ −2 เมื่อ $K = 64$ แล้วแยกขึ้นลงตามเส้น $\sigma = -2$ ไปพบกิ่งเชิงซ้อน จากนั้นทั้งสี่กิ่งแยกไปตามเส้นกำกับ ตัดแกน $j\omega$ ที่ $\pm j3.162$ เมื่อ $K = 260$

โจทย์นี้ (จากตำรา Ogata) หลอกคนที่ใช้เฉพาะรากจริงของ $dK/ds$ · ขั้วทั้งสี่สมมาตรรอบ $\sigma = -2$ โลคัสจึงสมมาตรรอบเส้นนั้นด้วย

## ขั้วซ้ำที่จุดกำเนิดและสามกิ่งพบกัน ขั้นสูง

W3 Repeated poles and multiple meeting ขั้วซ้ำและหลายกิ่งพบกัน

$$\theta_{d} = \frac{180^\circ(2q+1) + \sum\angle(\text{ศูนย์}) - \sum\angle(\text{ขั้วอื่น})}{r}, \qquad \text{กิ่งเข้า-ออกสลับกันทุก } \frac{180^\circ}{r}$$

$r$ = จำนวนขั้วที่ซ้ำ หรือจำนวนกิ่งที่มาพบที่จุดเดียว

ตัวอย่าง W-6 · ระบบ type 2 กับศูนย์

### วาดรูทโลคัสของ $\dfrac{K(s+1)}{s^2(s+9)}$

- ขั้ว $0, 0, -9$ ศูนย์ $-1$ · แกนจริง: $[-9, -1]$ (ช่วง $(-1, 0)$ มีขั้วทางขวา 2 ตัว ไม่ใช่)

- ขั้วคู่ที่ 0: มุมจากศูนย์และขั้ว −9 เป็น $0^\circ$ ได้ $2\theta_d = 180^\circ \Rightarrow \theta_d = \pm90^\circ$ W3

- $n - m = 2$: $\pm90^\circ$ · $\sigma_a = \dfrac{-9 - (-1)}{2} = -4$

- $\dfrac{dK}{ds} = 0 \Rightarrow 2s(s + 3)^2 = 0$ ได้ $s = -3$ รากซ้ำ ($K = 27$) สามกิ่งพบกันพร้อมกัน

สองกิ่งออกจากจุดกำเนิดขึ้นลง โค้งวนมาพบกับกิ่งจาก −9 ที่ −3 พร้อมกันเมื่อ $K = 27$ (ขั้ววงปิดซ้ำสามตัว) แล้วแยกเป็นหนึ่งกิ่งไปหาศูนย์ −1 และสองกิ่งไปตามเส้นกำกับ $\sigma = -4$

ตรวจ: $s^3 + 9s^2 + 27s + 27 = (s + 3)^3$ ✓ ที่ $K = 27$ · ระบบ type 2 แบบนี้พบในเซอร์โวที่ต้องติดตามความเร็วคงที่ได้ไม่มีความผิดพลาด

## สี่ขั้วจริงและผลของการเพิ่มศูนย์ กลาง

ตัวอย่าง W-7 · สี่ขั้วจริง

### วาดรูทโลคัสของ $\dfrac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}$

- แกนจริง: $[-2, -1]$ และ $[-4, -3]$ · $\theta_a = \pm45^\circ, \pm135^\circ$ · $\sigma_a = -10/4 = -2.5$

- $\dfrac{dK}{ds} = 0$: $4s^3 + 30s^2 + 70s + 50 = 0 \Rightarrow s = -2.5,\ -2.5 \pm \tfrac{\sqrt5}{2}$ ใช้ $-1.382$ และ $-3.618$ (ทั้งคู่ $K = 1$) ทิ้ง $-2.5$ (ไม่อยู่บนโลคัส)

- Routh ของ $s^4 + 10s^3 + 35s^2 + 50s + (24 + K)$: $K_{cr} = 126$, $\omega = \sqrt5 = 2.236$

สองคู่ชนกันที่ −1.382 และ −3.618 พร้อมกันที่ $K = 1$ แยกออกไปตามเส้นกำกับ คู่ขวาตัดแกน $j\omega$ ที่ $\pm j2.236$ เมื่อ $K = 126$

เทียบผลของการเพิ่มศูนย์กับตัวอย่าง L-1: เพิ่มศูนย์ที่ $-3$ ให้ $\dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ (คือการใส่ PD) เส้นกำกับเปลี่ยนจาก 3 เส้น (±60°) เหลือ 2 เส้น (±90°) ที่ $\sigma_a = \frac{-3 - (-3)}{2} = 0$ โลคัสจึงไม่ข้ามไปฝั่งขวาอีกต่อไป ระบบเสถียรทุก $K$

$K(s+3)/[s(s+1)(s+2)]$: ศูนย์ที่ −3 ดึงเส้นกำกับมาที่ ±90° โลคัสไม่ตัดแกน $j\omega$ · จุดแยกขยับเป็น −0.468

## แกลเลอรีรูปแบบมาตรฐานที่ควรจำได้ทันที กลาง

รูปเหล่านี้ปรากฏซ้ำในโจทย์และงานจริง ถ้าจำได้จะวาดเร็วขึ้นมาก ลองพิมพ์แต่ละอันลงในแล็บด้านล่างเพื่อดูรูปจริง

| L(s) | ลักษณะรูป | ความหมายในงานจริง |

| $\dfrac{K}{s + a}$ | กิ่งเดียววิ่งจาก $-a$ ไป $-\infty$ | P กับวงจร RC: เร็วขึ้นตาม $K$ ไม่มีวันไม่เสถียร |

| $\dfrac{K}{(s + a)(s + b)}$ | ชนกันกลางแล้วขึ้นลงเป็นเส้นดิ่ง (W-1) | P กับระบบอันดับสอง: $t_s$ ไม่ดีขึ้นเมื่อเพิ่ม $K$ |

| $\dfrac{K}{s(s + a)}$ | เหมือนกันที่ $-a/2$ | เซอร์โวตำแหน่งแบบ P |

| $\dfrac{K(s + c)}{s(s + a)},\ c \gt a$ | วงกลมรอบ $-c$ (W-2) | PD หรือ lead กับเซอร์โว |

| $\dfrac{K}{s(s + a)(s + b)}$ | 3 เส้นกำกับ ±60° ข้ามไปขวาที่ $K_{cr}$ (L-1) | เซอร์โวที่มีค่าคงเวลาไฟฟ้า: มีเกนสูงสุด |

| $\dfrac{K}{s^2}$ | อยู่บนแกน $j\omega$ ตลอด | มวลอิสระ (ดาวเทียม ไจโร): P อย่างเดียวแกว่งค้าง ต้องมี D |

| $\dfrac{K(s + c)}{s^2}$ | วงกลมรอบ $-c$ จากจุดกำเนิด | PD กับมวลอิสระ: เสถียรทุก $K$ |

| $\dfrac{K}{(s - a)(s + b)}$ | ต้อง $K$ เกินค่าหนึ่งจึงข้ามมาซ้าย | ลูกตุ้มกลับหัว ลอยแม่เหล็ก: พลานต์ไม่เสถียร |

| $\dfrac{K(s + z)}{s(s + p)},\ z \ll p$ (z ใกล้ 0) | ขั้ว-ศูนย์คู่ใกล้จุดกำเนิดแทบไม่เปลี่ยนรูป | PI หรือ lag: แม่นขึ้นโดยไม่เสียความเร็ว |

## โหมดฝึกวาด: วาดก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย

กด “ซ่อนเฉลย (โหมดฝึกวาด)” เส้นกำกับ จุดแยก จุดตัด และผลของกฎจะถูกซ่อน เหลือแต่ขั้วและศูนย์ ให้วาดลงกระดาษตามสูตร 8 ขั้น แล้วกด “แสดงเฉลย” เทียบ เลือกโจทย์ได้จากรายการ หรือพิมพ์โจทย์จากตำราเองก็ได้

เฉลยสั้นโจทย์ฝึก 1: $\sigma_a = -3$, ±60°, จุดแยก −1.268 ($K = 10.39$), ตัด $j\omega$ ที่ $\pm j4.243$ เมื่อ $K = 162$ · ฝึก 2: วงกลมรัศมี $\sqrt8$ รอบ −4 จุดแยก −1.172 จุดเข้า −6.828

## ข้อผิดพลาดตอนวาดที่พบบ่อย

- สเกลแกนไม่เท่ากัน → มุมเพี้ยน วงกลมกลายเป็นวงรี เส้น $\zeta$ ผิด ใช้กระดาษกราฟและสเกลเท่ากันเสมอ

- ลืมว่ากิ่งไม่ตัดกันเอง → ยกเว้นที่จุดแยก/จุดเข้า กิ่งสองกิ่งไม่ข้ามกัน (ที่ $K$ เดียวกันมีรากชุดเดียว)

- วาดกิ่งย้อนกลับบนแกนจริง → บนแต่ละช่วงของแกนจริง $K$ เพิ่มทางเดียว จากขั้วไปหาจุดแยก หรือจากจุดเข้าไปหาศูนย์

- ลืมสมมาตร → ครึ่งล่างเป็นภาพสะท้อนของครึ่งบนเสมอ

- ไม่ตรวจผลรวมขั้ว → ถ้า $n - m \ge 2$ กิ่งหนึ่งไปขวา ต้องมีกิ่งไปซ้ายชดเชย ใช้ตรวจว่ารูปสมเหตุสมผล

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

วาดได้แล้วต้องใช้ให้เป็น หน้าออกแบบด้วยรูทโลคัสจะใช้รูปเหล่านี้เลือกเกนจากสเปก วางศูนย์ของ PD และ lead ให้โลคัสผ่านจุดที่ต้องการ และวางคู่ขั้ว-ศูนย์ของ PI หรือ lag เพื่อแก้ความผิดพลาดอยู่ตัว

## คำถามที่พบบ่อย

วาดรูทโลคัสด้วยมือต้องแม่นแค่ไหน?
ไม่ต้องแม่นทุกจุด แต่จุดสำคัญต้องถูก: ส่วนบนแกนจริง เส้นกำกับ (มุมและ σa) จุดแยกและจุดเข้า จุดตัดแกน jω พร้อมค่า K และมุมออกจากขั้วเชิงซ้อน จากนั้นลากเส้นโค้งผ่านจุดเหล่านี้อย่างนุ่มนวลและสมมาตร ก็ใช้ออกแบบได้แล้ว

ทำไมบางระบบไม่มีจุดแยกบนแกนจริง?
เพราะไม่มีช่วงบนแกนจริงที่มีขั้วอยู่สองฝั่ง เช่น K/(s(s²+2s+2)) มีขั้วจริงตัวเดียว ส่วนแกนจริงทั้งหมดคือกิ่งที่วิ่งจาก 0 ไปทาง −∞ สองกิ่งที่เหลือเริ่มจากขั้วเชิงซ้อน dK/ds = 0 จึงได้รากเชิงซ้อนที่ไม่อยู่บนโลคัส

จุดแยกเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ไหม?
ได้ เมื่อขั้วเชิงซ้อนและขั้วจริงจัดตัวกันพอเหมาะ เช่น K/(s(s+4)(s²+4s+20)) มีจุดแยกที่ −2 ± j2.45 ต้องตรวจด้วยเงื่อนไขมุมว่ารากของ dK/ds = 0 อยู่บนโลคัสจริงและให้ K เป็นจำนวนจริงบวก

ฝึกวาดอย่างไรให้เร็ว?
จำรูปแบบมาตรฐานในแกลเลอรีให้ได้ก่อน แล้วฝึกตามสูตร 8 ขั้นทุกครั้งจนเป็นนิสัย ใช้แล็บในหน้านี้กดซ่อนเฉลย วาดลงกระดาษ แล้วค่อยเปิดเทียบ ทำวันละ 2–3 โจทย์สักสัปดาห์จะเห็นรูปในหัวก่อนคำนวณ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**วาดรูทโลคัสด้วยมือต้องแม่นแค่ไหน?**
ไม่ต้องแม่นทุกจุด แต่จุดสำคัญต้องถูก: ส่วนบนแกนจริง เส้นกำกับ (มุมและ σa) จุดแยกและจุดเข้า จุดตัดแกน jω พร้อมค่า K และมุมออกจากขั้วเชิงซ้อน จากนั้นลากเส้นโค้งผ่านจุดเหล่านี้อย่างนุ่มนวลและสมมาตร ก็ใช้ออกแบบได้แล้ว

**ทำไมบางระบบไม่มีจุดแยกบนแกนจริง?**
เพราะไม่มีช่วงบนแกนจริงที่มีขั้วอยู่สองฝั่ง เช่น K/(s(s²+2s+2)) มีขั้วจริงตัวเดียว ส่วนแกนจริงทั้งหมดคือกิ่งที่วิ่งจาก 0 ไปทาง −∞ สองกิ่งที่เหลือเริ่มจากขั้วเชิงซ้อน dK/ds = 0 จึงได้รากเชิงซ้อนที่ไม่อยู่บนโลคัส

**จุดแยกเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ไหม?**
ได้ เมื่อขั้วเชิงซ้อนและขั้วจริงจัดตัวกันพอเหมาะ เช่น K/(s(s+4)(s²+4s+20)) มีจุดแยกที่ −2 ± j2.45 ต้องตรวจด้วยเงื่อนไขมุมว่ารากของ dK/ds = 0 อยู่บนโลคัสจริงและให้ K เป็นจำนวนจริงบวก

**ฝึกวาดอย่างไรให้เร็ว?**
จำรูปแบบมาตรฐานในแกลเลอรีให้ได้ก่อน แล้วฝึกตามสูตร 8 ขั้นทุกครั้งจนเป็นนิสัย ใช้แล็บในหน้านี้กดซ่อนเฉลย วาดลงกระดาษ แล้วค่อยเปิดเทียบ ทำวันละ 2–3 โจทย์สักสัปดาห์จะเห็นรูปในหัวก่อนคำนวณ

---

# รูทโลคัส (Root Locus): นิยามและกฎการวาดทุกข้อ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/root-locus/
Updated: 2026-10-12
Summary: รูทโลคัส (root locus) คือทางเดินของขั้ววงปิดเมื่อเกน K เปลี่ยนจาก 0 ถึงอนันต์ เข้าใจเงื่อนไขมุมและเงื่อนไขขนาดแบบเวกเตอร์ กฎการวาดทุกข้อ จุดเริ่มจุดจบ ส่วนบนแกนจริง เส้นกำกับและจุดตัด จุดแยกและจุดเข้า จุดตัดแกน jω มุมออกและมุมเข้า ผลรวมขั้วคงที่ หาค่า K ที่จุดใด ๆ พร้อมตัวอย่างครบทุกขั้นและแล็บรูทโลคัสที่ลากขั้วได้

// บทที่ 13.8 · ระบบควบคุม · Root Locus

# รูทโลคัส (Root Locus): นิยามและกฎการวาดทุกข้อ

ปี 1948 วอลเตอร์ อีแวนส์ (Walter R. Evans) แสดงว่าเราวาดทางเดินของขั้ววงปิดได้ครบทุกค่าเกน โดยไม่ต้องแก้สมการเลยสักครั้ง ใช้แค่ขั้วและศูนย์ของวงเปิด ไม้บรรทัด และไม้โปรแทรกเตอร์ หน้านี้ไม่ได้ให้ท่องกฎ แต่จะพิสูจน์ทุกกฎจากเงื่อนไขมุมข้อเดียว แล้วใช้ครบทุกข้อกับตัวอย่างคลาสสิก จากนั้นหน้าถัดไปคือการฝึกวาดจนคล่องแทน MATLAB สูตรใช้รหัส L

สรุปใน 30 วินาที

- จุด $s$ อยู่บนโลคัส $\iff$ $\angle G(s)H(s) = \pm180^\circ(2q+1)$ (มุมจากศูนย์ลบมุมจากขั้ว)

- เริ่มที่ขั้ว ($K = 0$) จบที่ศูนย์ ($K \to \infty$) กิ่งส่วนเกิน $n - m$ กิ่งไปตามเส้นกำกับ

- บนแกนจริง: เป็นโลคัสถ้าจำนวนขั้วและศูนย์ทางขวาเป็นเลขคี่

- คำนวณ: $\sigma_a,\ \theta_a$, จุดแยก $dK/ds = 0$, ตัด $j\omega$ (Routh), มุมออกจากขั้วเชิงซ้อน · $K$ ที่จุดใด ๆ = ผลคูณระยะถึงขั้ว ÷ ผลคูณระยะถึงศูนย์

ระดับพื้นฐาน เริ่มเรียนควบคุมกลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท

## แนวคิด: ขั้วเดินอย่างไรเมื่อหมุนปุ่มเกน พื้นฐาน

ระบบป้อนกลับที่มีเกนปรับได้ $K$ อยู่ในลูป (เช่น เกนของแอมป์ขับมอเตอร์ หรือ $K_P$ ของตัวควบคุม) มีขั้ววงปิดเป็นรากของสมการลักษณะเฉพาะ เมื่อหมุน $K$ จาก 0 ขึ้นไป รากแต่ละตัวจะเคลื่อนที่เป็นเส้นต่อเนื่องบนระนาบ $s$ เส้นเหล่านี้คือรูทโลคัส อ่านแล้วรู้ทันทีว่าเกนเท่าไรเร็ว เท่าไรแกว่ง และเท่าไรเริ่มไม่เสถียร ซึ่งต่อยอดจากเราท์–เฮอร์วิตซ์ (บอกแค่ขอบเสถียร) และผลตอบสนองเวลา (ขั้วอยู่ไหน ผลตอบสนองเป็นแบบนั้น)

รูทโลคัสของ $K/[s(s+1)(s+2)]$ · เส้นประคือเส้นกำกับ · ■ จุดแยก · ◆ จุดตัดแกน $j\omega$ · ลูกศรคือทิศที่ $K$ เพิ่ม

L1 Root-locus form รูปแบบมาตรฐานของสมการลักษณะเฉพาะ

$$1 + KG(s)H(s) = 0, \qquad G(s)H(s) = \frac{(s - z_1)(s - z_2)\cdots(s - z_m)}{(s - p_1)(s - p_2)\cdots(s - p_n)}$$

ต้องจัดให้ $K$ อยู่หน้าและ $GH$ เป็นmonic (สัมประสิทธิ์กำลังสูงสุดเป็น 1) ก่อนใช้กฎ · $n$ = จำนวนขั้ว $m$ = จำนวนศูนย์ ($n \ge m$) · ถ้าตัวแปรที่ปรับไม่ใช่เกน (เช่น ตำแหน่งขั้ว) ให้จัดรูปให้เป็นแบบนี้ก่อน

## เงื่อนไขมุมและเงื่อนไขขนาด: หัวใจของทุกกฎ พื้นฐาน

จาก L1 จะได้ $KG(s)H(s) = -1$ จำนวนเชิงซ้อน $-1$ มีขนาด 1 และมุม $180^\circ$ จึงแยกได้เป็นสองเงื่อนไข มองเป็นเวกเตอร์: $(s - p_i)$ คือลูกศรที่ลากจากขั้ว $p_i$ ไปหาจุดทดสอบ $s$ (ทบทวนมุมของเวกเตอร์เชิงซ้อนได้ที่ตรีโกณมิติ)

L2 Angle condition เงื่อนไขมุม (บอกว่าจุดไหนอยู่บนโลคัส)

$$\sum_{i=1}^{m}\angle(s - z_i) - \sum_{j=1}^{n}\angle(s - p_j) = \pm180^\circ(2q + 1), \quad q = 0, 1, 2, \dots$$

“มุมจากศูนย์ทั้งหมด ลบ มุมจากขั้วทั้งหมด ต้องเป็นเลขคี่คูณ 180°” · ไม่เกี่ยวกับ $K$ เลย รูปร่างของโลคัสจึงกำหนดโดยตำแหน่งขั้วและศูนย์ล้วน ๆ

L3 Magnitude condition เงื่อนไขขนาด (บอกว่าจุดนั้นใช้ $K$ เท่าไร)

$$K = \frac{1}{|G(s)H(s)|} = \frac{\prod_{j=1}^{n}|s - p_j|}{\prod_{i=1}^{m}|s - z_i|} = \frac{\text{ผลคูณระยะจากขั้วทุกตัว}}{\text{ผลคูณระยะจากศูนย์ทุกตัว}}$$

ไม่มีศูนย์ ตัวส่วนเป็น 1 · ใช้หลังจากรู้แล้วว่าจุดนั้นอยู่บนโลคัส (ผ่าน L2) · ได้ $K$ ของขั้ววงปิดตัวนั้น และขั้วตัวอื่นที่ $K$ เดียวกันหาได้ต่อด้วยกฎ L10

ตัวอย่าง L-0 · ทดสอบจุด

### สำหรับ $G(s) = \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ จุด $s = -1 + j$ อยู่บนรูทโลคัสไหม และ $s = -\tfrac13 + j\tfrac{1}{\sqrt3}$ ล่ะ

- จุด $-1 + j$: มุมจากขั้ว 0 คือ $135^\circ$ จากขั้ว $-1$ คือ $90^\circ$ จากขั้ว $-2$ คือ $45^\circ$ L2

$$0 - (135^\circ + 90^\circ + 45^\circ) = -270^\circ \ne \pm180^\circ(2q+1) \ \Rightarrow\ \text{ไม่อยู่บนโลคัส}$$

- จุด $s = -\tfrac13 + j0.5774$: มุมจาก 0 คือ $180^\circ - \tan^{-1}\frac{0.5774}{0.3333} = 120^\circ$ · จาก $-1$: $\tan^{-1}\frac{0.5774}{0.6667} = 40.9^\circ$ · จาก $-2$: $\tan^{-1}\frac{0.5774}{1.6667} = 19.1^\circ$

$$-(120^\circ + 40.9^\circ + 19.1^\circ) = -180^\circ \ \checkmark$$

- หา $K$ ด้วยระยะ L3: $|s| = 0.667$, $|s + 1| = 0.882$, $|s + 2| = 1.764$

$$K = 0.667 \times 0.882 \times 1.764 = {1.037} \ (= 28/27)$$

$-1 + j$ ไม่อยู่บนโลคัส · $-\tfrac13 \pm j\tfrac{1}{\sqrt3}$ อยู่บนโลคัสที่ $K = 28/27 \approx 1.037$ จุดนี้อยู่บนเส้น $\zeta = 0.5$ พอดี (มุม $60^\circ$ จากแกนจริงลบ)

ตรวจ: $s^3 + 3s^2 + 2s + \tfrac{28}{27} = (s + \tfrac73)(s^2 + \tfrac23s + \tfrac49)$ รากคือ $-\tfrac73$ และ $-\tfrac13 \pm j0.5774$ ✓

## กฎการวาดรูทโลคัส (สำหรับ K ≥ 0) กลาง

ทุกกฎข้างล่างพิสูจน์ได้จาก L2 และ L3 เท่านั้น ใต้แต่ละกฎมีเหตุผลสั้น ๆ ให้เข้าใจแทนการท่อง ลำดับที่แนะนำเวลาวาดคือตามเลขกฎ

L4 Rule 1 · Branches, start and end จำนวนกิ่ง จุดเริ่ม จุดจบ

$$\#\text{กิ่ง} = n, \qquad K = 0:\ s = p_j \ (\text{ขั้ว}), \qquad K \to \infty:\ s \to z_i \ \text{หรือ} \ \infty \ (n - m \text{ กิ่ง})$$

เหตุผล: L3 ให้ $K \to 0$ เมื่อ $s \to p_j$ และ $K \to \infty$ เมื่อ $s \to z_i$ · โลคัสสมมาตรรอบแกนจริงเสมอ เพราะรากเชิงซ้อนของพหุนามสัมประสิทธิ์จริงมาเป็นคู่สังยุค วาดครึ่งบนแล้วสะท้อน

L5 Rule 2 · Real-axis segments ส่วนบนแกนจริง

$$\text{จุดบนแกนจริงอยู่บนโลคัส} \iff \#(\text{ขั้ว} + \text{ศูนย์ที่อยู่บนแกนจริง ทาง}\textbf{ขวา}\text{ของจุดนั้น}) \text{ เป็นเลขคี่}$$

เหตุผล: คู่เชิงซ้อนให้มุมหักล้างกัน ($+\theta$ กับ $-\theta$) ขั้วหรือศูนย์ทางซ้ายให้มุม $0^\circ$ ทางขวาให้ $180^\circ$ จึงต้องมีจำนวนคี่ตัวทางขวาเพื่อให้รวมเป็น $180^\circ$ คี่เท่า

L6 Rule 3 · Asymptotes เส้นกำกับ: มุมและจุดตัดแกนจริง

$$\theta_a = \frac{(2q + 1)180^\circ}{n - m},\ \ q = 0, 1, \dots, n - m - 1, \qquad \sigma_a = \frac{\sum p_j - \sum z_i}{n - m}$$

$n - m = 1$: 180° · 2: ±90° · 3: ±60°, 180° · 4: ±45°, ±135° · เหตุผล: ไกลมาก ๆ ขั้วและศูนย์ทุกตัวดูเหมือนรวมเป็นจุดเดียวที่ $\sigma_a$ มุมจาก $n - m$ ตัวที่เหลือต้องรวมเป็น 180° · ใน $\sum p_j$ คู่เชิงซ้อนรวมกันเหลือแค่ส่วนจริงสองเท่า

L7 Rule 4 · Breakaway and break-in points จุดแยกและจุดเข้า

$$K(s) = -\frac{1}{G(s)H(s)}, \qquad \frac{dK}{ds} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{\sigma - p_j} = \sum_{i=1}^{m}\frac{1}{\sigma - z_i}$$

ระหว่างขั้วสองตัวที่ติดกันบนโลคัสแกนจริง ต้องมีจุดแยกออก (K บนแกนจริงสูงสุดตรงนั้น) ระหว่างศูนย์สองตัวมีจุดเข้า · เก็บเฉพาะรากที่อยู่บนโลคัสและให้ $K \gt 0$ · $r$ กิ่งมาพบกันจะแยกออกห่างกันมุม $180^\circ/r$ (สองกิ่ง: ตั้งฉากกับแกนจริง)

L8 Rule 5 · jω-axis crossings จุดตัดแกน $j\omega$

$$\text{แทน } s = j\omega \text{ ใน } 1 + KGH = 0:\ \ \operatorname{Re}\{\cdot\} = 0,\ \ \operatorname{Im}\{\cdot\} = 0 \quad \text{หรือใช้ตารางเราท์หา } K_{cr}$$

ได้ $\omega_{cr}$ และ $K_{cr}$ ซึ่งคือขอบเสถียรภาพ R10 · ถ้าไม่มีคำตอบที่ $K \gt 0$ แสดงว่าโลคัสไม่ตัดแกน $j\omega$

L9 Rule 6 · Angles of departure and arrival มุมออกจากขั้วเชิงซ้อนและมุมเข้าศูนย์เชิงซ้อน

$$\theta_{d} = 180^\circ - \sum_{j \ne k}\angle(p_k - p_j) + \sum_{i}\angle(p_k - z_i), \qquad \theta_{a} = 180^\circ - \sum_{i \ne k}\angle(z_k - z_i) + \sum_{j}\angle(z_k - p_j)$$

เหตุผล: ใช้ L2 กับจุดทดสอบที่อยู่ชิดขั้ว $p_k$ มาก ๆ มุมจาก $p_k$ เองคือมุมออกที่ต้องการ มุมจากตัวอื่นแทบไม่เปลี่ยน · ขั้วซ้ำ $r$ ตัว: หาร $r$ และเพิ่มทีละ $360^\circ/r$

= 2 conservation ผลรวมขั้ววงปิดคงที่">
L10 Rule 7 · Sum of closed-loop poles ผลรวมขั้ววงปิดคงที่

$$n - m \ge 2:\ \ \sum_{j} r_j(K) = \sum_j p_j = -a_1 \ \ \text{ทุกค่า } K$$

$K$ ไม่ไปแตะสัมประสิทธิ์ $s^{n-1}$ · กิ่งหนึ่งไปขวา อีกกิ่งต้องไปซ้าย · ใช้หาขั้วที่สามเมื่อรู้คู่เด่น

L11 Product of closed-loop poles ผลคูณขั้ววงปิด (ไม่มีศูนย์)

$$\prod_j(-r_j) = a_n + K$$

พจน์คงที่ของสมการลักษณะเฉพาะ · ใช้ตรวจคำตอบหรือหาขั้วที่เหลือ

## ตัวอย่างครบทุกกฎ: K/(s(s+1)(s+2)) กลาง

ระบบนี้คือมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงควบคุมตำแหน่ง (อินทิเกรเตอร์ $1/s$ จากตำแหน่ง = อินทิกรัลของความเร็ว) ที่มีค่าคงเวลาทางกลและทางไฟฟ้า เป็นโจทย์รูทโลคัสที่ออกสอบบ่อยที่สุดในโลก ทำทีละกฎ

ตัวอย่าง L-1 · ครบ 7 กฎ

### วาดรูทโลคัสของ $KG(s) = \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ ระบุทุกจุดสำคัญ และหา $K$ ที่ให้ $\zeta = 0.5$

- กฎ 1 L4: ขั้ว $0, -1, -2$ ($n = 3$) ไม่มีศูนย์ ($m = 0$) มี 3 กิ่ง ทั้ง 3 กิ่งไปอนันต์

- กฎ 2 L5: ช่วง $[-1, 0]$ มีขั้วทางขวา 1 ตัว (คี่) ✓ · ช่วง $(-2, -1)$ มี 2 ตัว (คู่) ✗ · ช่วง $(-\infty, -2]$ มี 3 ตัว (คี่) ✓

- กฎ 3 L6: $n - m = 3$ ได้ $\theta_a = 60^\circ, 180^\circ, 300^\circ$ และ

$$\sigma_a = \frac{0 + (-1) + (-2) - 0}{3} = {-1}$$

- กฎ 4 L7: ช่วง $[-1, 0]$ มีขั้วสองข้าง ต้องมีจุดแยก $K = -(s^3 + 3s^2 + 2s)$

$$\frac{dK}{ds} = -(3s^2 + 6s + 2) = 0 \ \Rightarrow\ s = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = -1 \pm 0.577$$

$s = -0.423$ อยู่ในช่วง $[-1, 0]$ ✓ ใช้ได้ ($K = 0.385$) · $s = -1.577$ อยู่ในช่วงที่ไม่ใช่โลคัส ✗ ทิ้ง (ให้ $K = -0.385$)

- กฎ 5 L8: แทน $s = j\omega$ ใน $s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0$

$$-j\omega^3 - 3\omega^2 + 2j\omega + K = 0 \ \Rightarrow\ \begin{cases} \operatorname{Im}:\ \omega(2 - \omega^2) = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt2 \\ \operatorname{Re}:\ K = 3\omega^2 = 6 \end{cases}$$

ตรงกับตัวอย่าง R-5 ✓ ได้จุดตัด $\pm j1.414$ ที่ $K = 6$

- กฎ 6 L9: ไม่มีขั้วหรือศูนย์เชิงซ้อน ไม่ต้องหามุมออก

- หา $K$ ที่ $\zeta = 0.5$: เส้น $\zeta = 0.5$ ทำมุม $\cos^{-1}0.5 = 60^\circ$ กับแกนจริงลบ จากตัวอย่าง L-0 จุดตัดคือ $s = -0.333 \pm j0.577$ ที่ $K = 1.037$ ขั้วที่สามจาก L10: $r_3 = -3 - 2(-0.333) = -2.333$

โลคัสเริ่มที่ 0, −1, −2 · สองกิ่งชนกันที่ −0.423 แล้วแยกขึ้นลง โค้งไปตามเส้นกำกับ ±60° จาก σ = −1 ตัดแกน $j\omega$ ที่ ±j1.414 เมื่อ K = 6 · อีกกิ่งวิ่งไปทางซ้ายจาก −2 · $\zeta = 0.5$ ที่ $K = 1.037$ (ขั้วที่สามอยู่ไกลกว่า 7 เท่า คู่เด่นจึงทำนายผลตอบสนองได้ดี)

รูปด้านบนและแล็บท้ายหน้าคำนวณจากเครื่อง ตรงกับทุกค่า · ระบบอยู่ในช่วงเสถียร $0 \lt K \lt 6$ ตามเราท์ ✓

ตัวอย่าง L-2 · มุมออกจากขั้วเชิงซ้อน

### หามุมออกจากขั้ว $-1 + j$ ของ $KG(s) = \dfrac{K}{s(s^2 + 2s + 2)}$

- ขั้ว: $0,\ -1 \pm j$ · มุมจากขั้วอื่นไปหา $p_k = -1 + j$: จาก $0$ คือ $\angle(-1 + j) = 135^\circ$ · จาก $-1 - j$ คือ $\angle(2j) = 90^\circ$

- ไม่มีศูนย์ แทน L9

$$\theta_d = 180^\circ - (135^\circ + 90^\circ) = {-45^\circ}$$

กิ่งออกจาก $-1 + j$ ทำมุม $-45^\circ$ (ชี้ลงขวา) แล้วโค้งขึ้นตามเส้นกำกับ 60° · กิ่งจาก $-1 - j$ ออกที่ $+45^\circ$ (สมมาตร)

วาดครบทุกกฎในหน้าฝึกวาด (ตัวอย่าง W-3) จุดตัดแกนคือ $\pm j\sqrt2$ ที่ $K = 4$

ตัวอย่าง L-3 · ศูนย์ทำให้โลคัสเป็นวงกลม

### แสดงว่าส่วนที่ไม่อยู่บนแกนจริงของรูทโลคัส $\dfrac{K(s+3)}{s(s+1)}$ เป็นวงกลม

- แทน $s = \sigma + j\omega$ ในเงื่อนไขมุม L2: $\angle(s + 3) - \angle s - \angle(s + 1) = 180^\circ$

- ใช้ $\tan(A - B)$ แล้วจัดรูป (ส่วน $\omega \ne 0$) จะได้

$$(\sigma + 3)^2 + \omega^2 = 6$$

- จุดแยกจาก L7: $\dfrac{1}{\sigma} + \dfrac{1}{\sigma + 1} = \dfrac{1}{\sigma + 3} \Rightarrow \sigma^2 + 6\sigma + 3 = 0 \Rightarrow \sigma = -3 \pm \sqrt6$

วงกลมศูนย์กลางที่ศูนย์ $s = -3$ รัศมี $\sqrt6 = 2.449$ แยกออกที่ $-0.551$ เข้าที่ $-5.449$ · กฎทั่วไป: ขั้วจริงสองตัว + ศูนย์จริงหนึ่งตัว ได้วงกลมรอบศูนย์ รัศมี $\sqrt{d_1d_2}$ (ระยะจากศูนย์ถึงขั้วทั้งสองคูณกัน)

$d_1 = 3,\ d_2 = 2 \Rightarrow \sqrt6$ ✓ · รูปอยู่ในหน้าฝึกวาด ตัวอย่าง W-2

## อ่านรูทโลคัสให้เป็น: จากรูปสู่สเปก กลาง

เมื่อวาดแล้ว คำถามออกแบบตอบได้จากรูปทันที เพราะตำแหน่งขั้วบอกสเปกเวลาโดยตรง

| ต้องการ | มองหาอะไรบนระนาบ s | สูตร |

| overshoot ไม่เกินค่าที่กำหนด | ขั้วเด่นอยู่ในกรวยระหว่างเส้น $\pm\cos^{-1}\zeta$ | $M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ |

| เวลาเข้าที่ (2%) ไม่เกิน $t_s$ | ขั้วเด่นอยู่ซ้ายเส้นดิ่ง $\sigma = -4/t_s$ | $t_s \approx 4/(\zeta\omega_n)$ |

| เวลายอดไม่เกิน $t_p$ | ขั้วเด่นอยู่เหนือเส้น $\omega_d = \pi/t_p$ | $t_p = \pi/\omega_d$ |

| ตอบสนองเร็ว ($\omega_n$ สูง) | ขั้วอยู่ไกลจากจุดกำเนิด | $\omega_n = |s|$ |

| เสถียร | ทุกกิ่งอยู่ซ้ายแกน $j\omega$ ที่ $K$ นั้น | $K \lt K_{cr}$ |

ถ้าโลคัสไม่ผ่านบริเวณที่ต้องการเลย การปรับ $K$ อย่างเดียวไม่มีทางได้สเปก ต้องเปลี่ยนรูปร่างโลคัสด้วยการเพิ่มขั้วหรือศูนย์ ซึ่งคือการออกแบบด้วยรูทโลคัส (เพิ่มศูนย์ ดึงโลคัสไปทางซ้าย · เพิ่มขั้ว ผลักโลคัสไปทางขวา)

## แล็บรูทโลคัส: ลากขั้วและศูนย์ ดูกฎทำงาน

แผงด้านล่างคำนวณผลของกฎทุกข้อจาก L(s) ที่พิมพ์ ใช้ตรวจการบ้านได้ ลองลากขั้วที่ −2 ไปทางซ้ายช้า ๆ ดูเส้นกำกับเลื่อนตาม $\sigma_a$ หรือกด “+ ศูนย์จริง” ดูโลคัสถูกดึงไปทางซ้าย คลิกบนเส้นโลคัสเพื่อเลือก $K$ ที่จุดนั้น

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

- ไม่จัดรูป monic ก่อน → $\dfrac{K}{2s(s+1)}$ ต้องคิดเป็น $K' = K/2$ ไม่อย่างนั้นค่า $K$ จากเงื่อนไขขนาดจะผิด L1

- นับขั้วและศูนย์ทางซ้าย → กฎแกนจริงนับทางขวาเท่านั้น L5

- ลืมคู่สังยุคในผลรวม σa → $-1 \pm j$ รวมกันได้ $-2$

- ใช้รากของ dK/ds ทุกตัวเป็นจุดแยก → ต้องอยู่บนโลคัสจริงและ $K \gt 0$ L7

- มุมออกเครื่องหมายผิด → มุมจากศูนย์บวก มุมจากขั้วลบ วัดทวนเข็มจากแกนจริงบวกเสมอ

- คิดว่ากิ่งเดินตามเส้นกำกับเป๊ะ → เส้นกำกับคือทิศเมื่อ $K$ โตมาก ใกล้ ๆ ขั้วกิ่งอาจโค้งต่างไปมาก ต้องใช้จุดตัด $j\omega$ และมุมออกช่วย

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

รู้กฎแล้วต้องฝึกให้มือจำ หน้าฝึกวาดรูทโลคัสด้วยมือมีตัวอย่างทีละขั้นอีก 7 แบบ ตั้งแต่ง่ายจนถึงจุดแยกเชิงซ้อน และแกลเลอรีรูปแบบมาตรฐานที่ควรจำหน้าตาได้ทันที

## คำถามที่พบบ่อย

รูทโลคัสคืออะไรในประโยคเดียว?
คือกราฟบนระนาบ s ที่แสดงตำแหน่งของขั้ววงปิด (รากของ 1 + KG(s)H(s) = 0) ทุกตำแหน่งเมื่อเกน K เปลี่ยนจาก 0 ถึงอนันต์ วาดได้จากขั้วและศูนย์ของฟังก์ชันวงเปิดโดยไม่ต้องแก้สมการ

ทำไมกิ่งของรูทโลคัสเริ่มที่ขั้วและจบที่ศูนย์?
จากเงื่อนไขขนาด K = Π|s − p| / Π|s − z| เมื่อ K → 0 ต้องมี |s − p| → 0 คือ s อยู่ที่ขั้ว เมื่อ K → ∞ ต้องมี |s − z| → 0 คือ s อยู่ที่ศูนย์ ถ้าศูนย์มีน้อยกว่าขั้ว กิ่งที่เหลือวิ่งไปหาศูนย์ที่อนันต์ตามเส้นกำกับ

จุดแยก (breakaway) ต้องคำนวณทุกรากของ dK/ds = 0 ไหม?
คำนวณทุกราก แต่ใช้เฉพาะรากที่อยู่บนรูทโลคัสจริง (เช่นอยู่ในช่วงแกนจริงที่เป็นโลคัส และให้ K เป็นบวก) รากที่ให้ K ติดลบเป็นของรูทโลคัสส่วนเติมเต็ม (K
ระหว่าง Routh กับแทน s = jω หาจุดตัดแกน jω วิธีไหนดีกว่า?
ได้ผลเหมือนกัน Routh ให้ K ก่อนแล้วได้ ω จากแถว s² ส่วนการแทน s = jω แยกส่วนจริงและจินตภาพให้ได้สองสมการแก้หา ω และ K พร้อมกัน สำหรับระบบอันดับสามถึงสี่การแทน jω มักเร็วกว่า ระบบอันดับสูงขึ้นใช้ Routh เป็นระบบกว่า

รูทโลคัสใช้กับระบบที่มีหน่วงเวลาได้ไหม?
ได้ แต่กฎบางข้อเปลี่ยน เพราะ e^{-sT} เพิ่มมุม −ωT ทำให้มีกิ่งจำนวนอนันต์ ในทางปฏิบัติมักประมาณหน่วงเวลาด้วยพาเดก่อนแล้ววาดตามปกติ หรือหันไปใช้โบดซึ่งจัดการหน่วงเวลาได้ตรงกว่า

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**รูทโลคัสคืออะไรในประโยคเดียว?**
คือกราฟบนระนาบ s ที่แสดงตำแหน่งของขั้ววงปิด (รากของ 1 + KG(s)H(s) = 0) ทุกตำแหน่งเมื่อเกน K เปลี่ยนจาก 0 ถึงอนันต์ วาดได้จากขั้วและศูนย์ของฟังก์ชันวงเปิดโดยไม่ต้องแก้สมการ

**ทำไมกิ่งของรูทโลคัสเริ่มที่ขั้วและจบที่ศูนย์?**
จากเงื่อนไขขนาด K = Π|s − p| / Π|s − z| เมื่อ K → 0 ต้องมี |s − p| → 0 คือ s อยู่ที่ขั้ว เมื่อ K → ∞ ต้องมี |s − z| → 0 คือ s อยู่ที่ศูนย์ ถ้าศูนย์มีน้อยกว่าขั้ว กิ่งที่เหลือวิ่งไปหาศูนย์ที่อนันต์ตามเส้นกำกับ

**จุดแยก (breakaway) ต้องคำนวณทุกรากของ dK/ds = 0 ไหม?**
คำนวณทุกราก แต่ใช้เฉพาะรากที่อยู่บนรูทโลคัสจริง (เช่นอยู่ในช่วงแกนจริงที่เป็นโลคัส และให้ K เป็นบวก) รากที่ให้ K ติดลบเป็นของรูทโลคัสส่วนเติมเต็ม (K < 0)

**ระหว่าง Routh กับแทน s = jω หาจุดตัดแกน jω วิธีไหนดีกว่า?**
ได้ผลเหมือนกัน Routh ให้ K ก่อนแล้วได้ ω จากแถว s² ส่วนการแทน s = jω แยกส่วนจริงและจินตภาพให้ได้สองสมการแก้หา ω และ K พร้อมกัน สำหรับระบบอันดับสามถึงสี่การแทน jω มักเร็วกว่า ระบบอันดับสูงขึ้นใช้ Routh เป็นระบบกว่า

**รูทโลคัสใช้กับระบบที่มีหน่วงเวลาได้ไหม?**
ได้ แต่กฎบางข้อเปลี่ยน เพราะ e^{-sT} เพิ่มมุม −ωT ทำให้มีกิ่งจำนวนอนันต์ ในทางปฏิบัติมักประมาณหน่วงเวลาด้วยพาเดก่อนแล้ววาดตามปกติ หรือหันไปใช้โบดซึ่งจัดการหน่วงเวลาได้ตรงกว่า

---

# เกณฑ์เสถียรภาพของเราท์–เฮอร์วิตซ์ (Routh–Hurwitz Criterion)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/routh-hurwitz/
Updated: 2026-10-12
Summary: วิธีใช้เกณฑ์เสถียรภาพของเราท์–เฮอร์วิตซ์ (Routh–Hurwitz) ทีละขั้น สร้างตารางเราท์ นับจำนวนรากฝั่งขวา สูตรลัดอันดับสาม กรณีพิเศษศูนย์ในหลักแรก (วิธี ε) แถวเป็นศูนย์ทั้งแถว (พหุนามช่วย) หาช่วงเกน K ที่เสถียร เกนวิกฤตและความถี่การแกว่ง ช่วงเสถียรของ PI เสถียรภาพสัมพัทธ์ ดีเทอร์มิแนนต์เฮอร์วิตซ์ พร้อมเครื่องคิดเลขตารางเราท์แสดงวิธีทำที่ใส่ K ได้

// บทที่ 13.7 · ระบบควบคุม · Routh–Hurwitz Criterion

# เกณฑ์เสถียรภาพของเราท์–เฮอร์วิตซ์ (Routh–Hurwitz Criterion)

ระบบวงปิดเสถียรเมื่อรากของสมการลักษณะเฉพาะอยู่ฝั่งซ้ายของระนาบ $s$ ทุกตัว แต่พหุนามดีกรีสามขึ้นไปที่มี $K$ อยู่ข้างใน หารากด้วยมือแทบไม่ได้ เกณฑ์ของเราท์ (Edward Routh, 1877) และเฮอร์วิตซ์ (Adolf Hurwitz, 1895) ตอบได้ว่ามีรากฝั่งขวากี่ตัว โดยไม่ต้องหารากเลย และบอกช่วงเกน $K$ ที่ทำให้ระบบเสถียรด้วยการคูณ ลบ หาร ธรรมดา สูตรในหน้านี้ใช้รหัส R

สรุปใน 30 วินาที

- เงื่อนไขจำเป็น: สัมประสิทธิ์ทุกตัวต้องมีเครื่องหมายเดียวกันและไม่มีพจน์หาย ถ้าไม่ผ่าน ไม่เสถียรแน่นอน

- เรียงสัมประสิทธิ์สลับลงสองแถวแรก แถวถัดไป $= \dfrac{-1}{\text{ตัวหลักแรกแถวบน}}\begin{vmatrix} \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot \end{vmatrix}$

- จำนวนครั้งที่หลักแรกเปลี่ยนเครื่องหมาย = จำนวนรากฝั่งขวา

- มี $K$: ให้หลักแรกเป็นบวกทุกตัว ได้ช่วง $K$ · ขอบช่วงคือเกนวิกฤต แถว $s^2$ ให้ความถี่การแกว่ง

ระดับพื้นฐาน เริ่มเรียนควบคุมกลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## ทำไมต้องมีเกณฑ์นี้ พื้นฐาน

ระบบวงปิด $T(s) = \dfrac{KG(s)}{1 + KG(s)}$ มีขั้วเป็นรากของสมการลักษณะเฉพาะ $1 + KG(s) = 0$ เมื่อคูณกระจายจะได้พหุนาม

$$a_0s^n + a_1s^{n-1} + a_2s^{n-2} + \cdots + a_{n-1}s + a_n = 0$$

ระบบเสถียรก็ต่อเมื่อรากทุกตัวมีส่วนจริงเป็นลบ (อยู่ฝั่งซ้ายของแกน $j\omega$) พหุนามแบบนี้เรียกว่าพหุนามเฮอร์วิตซ์ ถ้ามีรากแม้ตัวเดียวทางขวา ผลตอบสนองจะมีพจน์ $e^{\sigma t}$ ที่ $\sigma \gt 0$ โตไม่หยุด คำถามคือ ถ้า $n = 4$ หรือมี $K$ ปนอยู่ จะรู้ได้อย่างไรโดยไม่หาราก คำตอบคือตารางเราท์

R1 Necessary condition เงื่อนไขจำเป็น (ตรวจก่อนสร้างตาราง)

$$\text{เสถียร} \ \Rightarrow\ a_0, a_1, \dots, a_n \ \text{มีเครื่องหมายเดียวกัน และไม่มีตัวใดเป็นศูนย์}$$

ที่มา: ถ้ารากทุกตัวอยู่ทางซ้าย ตัวประกอบคือ $(s + a)$ และ $(s^2 + bs + c)$ ที่ $a, b, c \gt 0$ คูณกันแล้วสัมประสิทธิ์ต้องเป็นบวกหมด · เป็นเงื่อนไขจำเป็นแต่ไม่พอ: $s^3 + s^2 + 2s + 3$ บวกหมดแต่ไม่เสถียร · สำหรับดีกรี 1 และ 2 เงื่อนไขนี้พอดี

## สร้างตารางเราท์ทีละขั้น พื้นฐาน

ตารางมี $n + 1$ แถว ตั้งชื่อแถวตามกำลังของ $s$ จาก $s^n$ ลงไป $s^0$ สองแถวแรกได้จากการเขียนสัมประสิทธิ์สลับกัน ตัวคี่ลำดับไว้แถวบน ตัวคู่ไว้แถวล่าง แถวที่เหลือคำนวณจากสองแถวเหนือมันเสมอ

R2 Routh array โครงตารางเราท์

$$\begin{array}{c|cccc} s^n & a_0 & a_2 & a_4 & \cdots \\ s^{n-1} & a_1 & a_3 & a_5 & \cdots \\ s^{n-2} & b_1 & b_2 & b_3 & \cdots \\ s^{n-3} & c_1 & c_2 & \cdots & \\ \vdots & \vdots & & & \\ s^0 & \ast & & & \end{array}$$

ช่องที่ไม่มีสัมประสิทธิ์ให้ใส่ 0 · แถวจะสั้นลงเรื่อย ๆ จนแถว $s^1$ และ $s^0$ เหลือตัวเดียว · แถว $s^0$ จะเท่ากับ $a_n$ เสมอ (ใช้ตรวจการคำนวณ)

R3 Element formula สูตรคำนวณแต่ละช่อง

$$b_1 = \frac{a_1a_2 - a_0a_3}{a_1} = \frac{-1}{a_1}\begin{vmatrix} a_0 & a_2 \\ a_1 & a_3 \end{vmatrix}, \qquad b_2 = \frac{a_1a_4 - a_0a_5}{a_1}, \qquad c_1 = \frac{b_1a_3 - a_1b_2}{b_1}$$

จำง่าย: หลักแรกของสองแถวบนเป็นหลักตายตัวเสมอ คู่ที่สองเลื่อนไปทางขวาทีละหลัก แล้ว “คูณไขว้ ล่างซ้าย × บนขวา ลบ บนซ้าย × ล่างขวา หารด้วยล่างซ้าย”

R4 Routh–Hurwitz criterion เกณฑ์ของเราท์–เฮอร์วิตซ์

$$\#\{\text{รากที่ } \operatorname{Re}s \gt 0\} = \#\{\text{ครั้งที่เครื่องหมายในหลักแรกเปลี่ยน}\}$$

ระบบเสถียร $\iff$ ทุกตัวในหลักแรกมีเครื่องหมายเดียวกัน (ปกติคือบวก) และไม่มีศูนย์ · เกณฑ์บอกจำนวนรากฝั่งขวา ไม่ได้บอกว่ารากอยู่ตรงไหน

R5 Row scaling คูณหรือหารทั้งแถวด้วยจำนวนบวก

$$[\,b_1\ \ b_2\ \ b_3\,] \ \to\ [\,kb_1\ \ kb_2\ \ kb_3\,], \quad k \gt 0$$

เครื่องหมายหลักแรกไม่เปลี่ยน คำตอบไม่เปลี่ยน ช่วยกำจัดเศษส่วน · ห้ามใช้ $k \lt 0$

a3 a0 สูตรลัดอันดับสาม กำลังสาม">
R6 Third-order shortcut สูตรลัดอันดับสาม

$$a_3s^3 + a_2s^2 + a_1s + a_0:\quad \text{เสถียร} \iff a_i \gt 0 \ \text{และ} \ a_2a_1 \gt a_3a_0$$

“ผลคูณตัวกลางมากกว่าผลคูณตัวริม” ได้จากหลักแรกแถว $s^1$ ของตาราง · ใช้บ่อยที่สุดในข้อสอบ

ตัวอย่าง R-1 · อันดับสี่ ครบทุกขั้น

### ระบบที่มีสมการลักษณะเฉพาะ $s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5 = 0$ เสถียรหรือไม่ มีรากฝั่งขวากี่ตัว

- เงื่อนไขจำเป็น R1: สัมประสิทธิ์ 1, 2, 3, 4, 5 บวกหมด ไม่มีพจน์หาย ผ่าน แต่ยังสรุปไม่ได้ ต้องสร้างตาราง

- เขียนสองแถวแรกแบบสลับ R2: แถว $s^4$ ได้ 1, 3, 5 และแถว $s^3$ ได้ 2, 4, 0

- แถว $s^2$ R3

$$b_1 = \frac{2\cdot3 - 1\cdot4}{2} = {1}, \qquad b_2 = \frac{2\cdot5 - 1\cdot0}{2} = 5$$

- แถว $s^1$ ใช้แถว $s^3$ และ $s^2$

$$c_1 = \frac{1\cdot4 - 2\cdot5}{1} = {-6}$$

- แถว $s^0$: $d_1 = \dfrac{(-6)(5) - 1\cdot0}{-6} = {5}$ (เท่ากับ $a_n = 5$ ตามที่ควรเป็น ✓)

| s⁴ | 1 | 3 | 5 |

| s³ | 2 | 4 | 0 |

| s² | 1 | 5 | |

| s¹ | −6 | | |

| s⁰ | 5 | | |
หลักแรก: + + + − + เปลี่ยนเครื่องหมายสองครั้ง (1 → −6 และ −6 → 5)

หลักแรกเปลี่ยนเครื่องหมาย 2 ครั้ง R4 จึงมีรากฝั่งขวา 2 ตัว ระบบไม่เสถียร แม้สัมประสิทธิ์จะเป็นบวกทั้งหมด

ตรวจด้วยรากจริง: $s = 0.288 \pm j1.416$ (ฝั่งขวา 2 ตัว ✓) และ $s = -1.288 \pm j0.858$

ตัวอย่าง R-2 · สูตรลัดอันดับสาม

### ตรวจเสถียรภาพของ (ก) $2s^3 + 4s^2 + 3s + 5$ และ (ข) $s^3 + s^2 + 2s + 3$

- (ก) สัมประสิทธิ์บวกหมด ตรวจ $a_2a_1 \gt a_3a_0$ R6: $4 \times 3 = 12 \gt 2 \times 5 = 10$ ✓

- (ข) สัมประสิทธิ์บวกหมด แต่ $1 \times 2 = 2 \lt 1 \times 3 = 3$ ✗ สร้างตารางยืนยัน

| s³ | 1 | 2 |

| s² | 1 | 3 |

| s¹ | (1·2 − 1·3)/1 = −1 | |

| s⁰ | 3 | |

(ก) เสถียร · (ข) ไม่เสถียร มีรากฝั่งขวา 2 ตัว

รากจริง (ก): $-1.902$ และ $-0.049 \pm j1.145$ เสถียรแต่ใกล้แกน $j\omega$ มาก (12 กับ 10 ห่างกันนิดเดียว) · (ข): $0.138 \pm j1.527$ และ $-1.276$ ✓

## กรณีพิเศษ 1: หลักแรกเป็นศูนย์ (วิธี ε) กลาง

ถ้าตัวแรกของแถวเป็นศูนย์แต่ตัวอื่นในแถวไม่เป็นศูนย์ แถวถัดไปจะหารด้วยศูนย์ ทางแก้คือแทนศูนย์ด้วย $\varepsilon$ จำนวนบวกที่เล็กมาก คำนวณต่อตามปกติ แล้วดูเครื่องหมายเมื่อ $\varepsilon \to 0^+$ แนวคิดคือขยับพหุนามเล็กน้อยให้รากที่อยู่ใกล้แกนขยับออกจากแกน จำนวนรากในแต่ละฝั่งไม่เปลี่ยน

R7 Zero in the first column (ε method) หลักแรกเป็นศูนย์

$$[\,0\ \ a\ \ b\,] \ \to\ [\,\varepsilon\ \ a\ \ b\,], \qquad \text{นับเครื่องหมายของหลักแรกเมื่อ } \varepsilon \to 0^+$$

พจน์ที่มี $\varepsilon$ ให้ดูพจน์ที่โดดเด่นเมื่อ $\varepsilon$ เล็ก เช่น $\dfrac{4\varepsilon - 12}{\varepsilon} \approx -\dfrac{12}{\varepsilon} \to -\infty$ (ลบ) · ใช้ $\varepsilon \lt 0$ ได้ผลเท่ากัน

R8 Reversed-coefficient method ทางเลือก: กลับลำดับสัมประสิทธิ์

$$a_0s^n + \cdots + a_n \ \to\ a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_0$$

แทน $s \to 1/s$ รากกลายเป็นส่วนกลับ ซึ่งอยู่ฝั่งเดียวกันเสมอ จำนวนรากฝั่งขวาจึงเท่าเดิม บางครั้งตารางใหม่ไม่มีศูนย์ในหลักแรก

ตัวอย่าง R-3 · วิธี ε

### หาจำนวนรากฝั่งขวาของ $s^5 + 2s^4 + 2s^3 + 4s^2 + 11s + 10 = 0$

- สองแถวแรก $s^5$: 1, 2, 11 และ $s^4$: 2, 4, 10

- แถว $s^3$: $\dfrac{2\cdot2 - 1\cdot4}{2} = {0}$, $\dfrac{2\cdot11 - 1\cdot10}{2} = 6$ หลักแรกเป็นศูนย์แต่แถวไม่เป็นศูนย์ แทนด้วย $\varepsilon$ R7

- แถว $s^2$

$$\frac{\varepsilon\cdot4 - 2\cdot6}{\varepsilon} = \frac{4\varepsilon - 12}{\varepsilon} \xrightarrow{\ \varepsilon \to 0^+\ } -\infty \ (\text{ลบ}), \qquad \frac{\varepsilon\cdot10 - 2\cdot0}{\varepsilon} = 10$$

- แถว $s^1$: ให้ $c_1 = \frac{4\varepsilon - 12}{\varepsilon}$ ได้ $\dfrac{c_1\cdot6 - \varepsilon\cdot10}{c_1} = 6 - \dfrac{10\varepsilon^2}{4\varepsilon - 12} \to 6$ (บวก) และแถว $s^0$ = 10

| s⁵ | 1 | 2 | 11 |

| s⁴ | 2 | 4 | 10 |

| s³ | ε (+) | 6 | |

| s² | (4ε − 12)/ε → − | 10 | |

| s¹ | → 6 | | |

| s⁰ | 10 | | |
หลักแรกเมื่อ ε → 0⁺: + + + − + +

เปลี่ยนเครื่องหมาย 2 ครั้ง (ε → ลบ → 6) จึงมีรากฝั่งขวา 2 ตัว ไม่เสถียร

รากจริง: $0.895 \pm j1.456$ (ฝั่งขวา 2 ตัว ✓), $-1.241 \pm j1.038$, $-1.309$ · ถ้าใช้ $\varepsilon \lt 0$ หลักแรกจะเป็น + + − + + + ก็เปลี่ยน 2 ครั้งเท่ากัน

## กรณีพิเศษ 2: แถวเป็นศูนย์ทั้งแถว (พหุนามช่วย) กลาง

ถ้าทั้งแถวเป็นศูนย์ แปลว่าแถวก่อนหน้าเป็นตัวประกอบของพหุนามเดิม และตัวประกอบนั้นมีแต่กำลังคู่ของ $s$ รากของมันจึงสมมาตรรอบจุดกำเนิด คือเป็นคู่ $\pm j\omega$ บนแกนจินตภาพ คู่ $\pm\sigma$ บนแกนจริง หรือสี่ตัว $\pm\sigma \pm j\omega$ ในกรณีนี้ใช้ ε ไม่ได้ ต้องใช้พหุนามช่วย

R9 Row of zeros: auxiliary polynomial แถวศูนย์ทั้งแถว

$$A(s) = \alpha_1s^{k} + \alpha_2s^{k-2} + \alpha_3s^{k-4} + \cdots \ (\text{จากแถว } s^k), \qquad \text{แถวศูนย์} \ \leftarrow\ \frac{dA}{ds} = k\alpha_1s^{k-1} + (k-2)\alpha_2s^{k-3} + \cdots$$

รากของ $A(s) = 0$ เป็นรากของพหุนามเดิมด้วย · หลังแทนแถวแล้วทำต่อตามปกติ การเปลี่ยนเครื่องหมายตั้งแต่แถว $A(s)$ ลงไปบอกรากของ $A$ ที่อยู่ฝั่งขวา · ถ้าไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมายเลย รากของ $A$ อยู่บนแกน $j\omega$ ทั้งหมด: เสถียรวิกฤต (ถ้าไม่ซ้ำ)

ตัวอย่าง R-4 · แถวศูนย์

### วิเคราะห์ $s^5 + 7s^4 + 6s^3 + 42s^2 + 8s + 56 = 0$

- สองแถวแรก $s^5$: 1, 6, 8 และ $s^4$: 7, 42, 56 หารแถว $s^4$ ด้วย 7 ได้ 1, 6, 8 R5

- แถว $s^3$: $\dfrac{1\cdot6 - 1\cdot6}{1} = 0$, $\dfrac{1\cdot8 - 1\cdot8}{1} = 0$ ศูนย์ทั้งแถว

- สร้างพหุนามช่วยจากแถว $s^4$ (1, 6, 8) แล้วหาอนุพันธ์ R9

$$A(s) = s^4 + 6s^2 + 8, \qquad \frac{dA}{ds} = {4}s^3 + 12s \ \Rightarrow\ \text{แถว } s^3 = 4,\ 12 \ (\text{หารด้วย 4 ได้ } 1,\ 3)$$

- ทำต่อ แถว $s^2$: $\dfrac{1\cdot6 - 1\cdot3}{1} = 3$, $8$ · แถว $s^1$: $\dfrac{3\cdot3 - 1\cdot8}{3} = \tfrac13$ · แถว $s^0$: 8

| s⁵ | 1 | 6 | 8 |

| s⁴ | 1 | 6 | 8 |

| s³ | 1 | 3 | |

| s² | 3 | 8 | |

| s¹ | 1/3 | | |

| s⁰ | 8 | | |
แถว s⁴ ถูกหารด้วย 7 · แถว s³ มาจาก dA/ds (หารด้วย 4)

- ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย รากทั้ง 4 ของ $A(s)$ จึงอยู่บนแกน $j\omega$ แยกตัวประกอบได้

$$A(s) = (s^2 + 2)(s^2 + 4) \ \Rightarrow\ s = \pm j\sqrt2,\ \pm j2$$

ไม่มีรากฝั่งขวา มีรากบนแกน $j\omega$ 4 ตัว (ไม่ซ้ำ) และอีก 1 ตัวฝั่งซ้าย ระบบเสถียรวิกฤต (marginally stable) จะแกว่งค้างที่ $\omega = \sqrt2$ และ $2$ rad/s

ตรวจ: หารยาว $s^5 + 7s^4 + 6s^3 + 42s^2 + 8s + 56 = (s + 7)(s^4 + 6s^2 + 8)$ รากที่เหลือคือ $-7$ ✓

## หาช่วงเกน K ที่ทำให้ระบบเสถียร กลาง

นี่คือการใช้งานหลักของเกณฑ์เราท์ในงานออกแบบ สร้างตารางโดยปล่อย $K$ เป็นตัวแปร แล้วบังคับให้หลักแรกเป็นบวกทุกตัว ได้อสมการของ $K$ มาแก้พร้อมกัน ค่า $K$ ที่ขอบช่วงคือเกนวิกฤต $K_{cr}$ (ultimate gain) ที่ระบบอยู่ขอบเสถียรและแกว่งค้าง

R10 Critical gain and oscillation frequency เกนวิกฤตและความถี่การแกว่ง

$$\text{แถว } s^1 = 0 \ \Rightarrow\ K = K_{cr}, \qquad \text{แถว } s^2:\ \alpha s^2 + \beta\big|_{K_{cr}} = 0 \ \Rightarrow\ \omega_{cr} = \sqrt{\beta/\alpha}$$

$K_{cr}$ และ $\omega_{cr}$ คือจุดที่รูทโลคัสตัดแกน $j\omega$ · ใช้ตั้งค่า PID แบบ Ziegler–Nichols ($T_{cr} = 2\pi/\omega_{cr}$) · เกนมาร์จินที่เกน $K$ ใด ๆ คือ $20\log(K_{cr}/K)$

ตัวอย่าง R-5 · โจทย์คลาสสิก

### ระบบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมี $G(s) = \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ หาช่วง $K$ ที่เสถียร เกนวิกฤต และความถี่การแกว่ง

- สมการลักษณะเฉพาะ: $1 + \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)} = 0 \Rightarrow s(s^2 + 3s + 2) + K = 0$

$$s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0$$

- สร้างตาราง

| s³ | 1 | 2 |

| s² | 3 | K |

| s¹ | (6 − K)/3 | |

| s⁰ | K | |

- ให้หลักแรกเป็นบวกทุกตัว: $\dfrac{6 - K}{3} \gt 0 \Rightarrow K \lt 6$ และ $K \gt 0$ ได้ ${0 \lt K \lt 6}$ (ตรงกับสูตรลัด R6: $3 \cdot 2 \gt 1 \cdot K$)

- ที่ $K_{cr} = 6$ แถว $s^1$ เป็นศูนย์ ใช้แถว $s^2$ เป็นพหุนามช่วย R10

$$3s^2 + 6 = 0 \ \Rightarrow\ s = \pm j\sqrt2 \ \Rightarrow\ {\omega_{cr} = \sqrt2 = 1.414\ \text{rad/s}}$$

เสถียรเมื่อ $0 \lt K \lt 6$ · ที่ $K = 6$ ระบบแกว่งค้างที่ $\omega = \sqrt2$ rad/s (คาบ $T_{cr} = 2\pi/\sqrt2 = 4.44$ s)

ตรวจ: $s^3 + 3s^2 + 2s + 6 = (s + 3)(s^2 + 2)$ รากคือ $-3,\ \pm j\sqrt2$ ✓ · ลากแถบ $K$ ในแล็บท้ายหน้าไปที่ 6 จุดส้มจะอยู่บนแกน $j\omega$ พอดี

ตัวอย่าง R-6 · พลานต์ไม่เสถียรวงเปิด

### หาช่วง $K$ ที่ทำให้ $G(s) = \dfrac{K(s+1)}{s(s-1)(s+6)}$ เสถียรเมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย

- $s(s - 1)(s + 6) + K(s + 1) = s^3 + 5s^2 - 6s + Ks + K$

$$s^3 + 5s^2 + (K - 6)s + K = 0$$

- ตาราง: $s^3$: 1, $K - 6$ · $s^2$: 5, $K$ · $s^1$: $\dfrac{5(K - 6) - K}{5} = \dfrac{4K - 30}{5}$ · $s^0$: $K$

- เงื่อนไข: $4K - 30 \gt 0 \Rightarrow K \gt 7.5$ และ $K \gt 0$

- ที่ $K = 7.5$: แถว $s^2$ ให้ $5s^2 + 7.5 = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt{1.5} = 1.225$ rad/s

เสถียรเมื่อ ${K \gt 7.5}$ ต่างจาก R-5 ตรงที่ต้องใช้เกนสูงพอจึงเสถียร เพราะพลานต์มีขั้วที่ $s = +1$ ต้องอาศัยการป้อนกลับที่แรงพอดึงขั้วนั้นกลับมาฝั่งซ้าย

ตรวจ $K = 7.5$: $s^3 + 5s^2 + 1.5s + 7.5 = (s + 5)(s^2 + 1.5)$ ✓ · พลานต์แบบนี้พบในลูกตุ้มกลับหัว ลอยแม่เหล็ก และหุ่นยนต์ทรงตัว

ตัวอย่าง R-7 · อันดับสี่

### หาช่วง $K$ ของ $s^4 + 3s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0$ และความถี่การแกว่งที่ขอบ

- $s^4$: 1, 3, $K$ · $s^3$: 3, 2 · $s^2$: $\dfrac{3\cdot3 - 1\cdot2}{3} = \dfrac73$, $\dfrac{3K - 0}{3} = K$

- $s^1$: $\dfrac{\frac73\cdot2 - 3K}{\frac73} = 2 - \dfrac{9K}{7}$ · $s^0$: $K$

- $2 - \dfrac{9K}{7} \gt 0 \Rightarrow K \lt \dfrac{14}{9}$ และ $K \gt 0$

- ที่ $K = \tfrac{14}{9}$: $\tfrac73s^2 + \tfrac{14}{9} = 0 \Rightarrow s^2 = -\tfrac23 \Rightarrow \omega = \sqrt{2/3} = 0.816$ rad/s

${0 \lt K \lt 14/9 \approx 1.556}$ · แกว่งที่ $\omega = 0.816$ rad/s

รากที่ $K = 14/9$: $\pm j0.8165$ และ $-1.5 \pm j0.289$ ✓

ตัวอย่าง R-8 · สองพารามิเตอร์: ตัวควบคุม PI

### พลานต์ $G(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)}$ ใช้ PI $C(s) = K_P + \dfrac{K_I}{s}$ หาบริเวณ $(K_P, K_I)$ ที่เสถียร

- $1 + \dfrac{K_Ps + K_I}{s(s+1)(s+2)} = 0 \Rightarrow s^3 + 3s^2 + (2 + K_P)s + K_I = 0$

- สูตรลัดอันดับสาม R6: ทุกสัมประสิทธิ์บวก และ $3(2 + K_P) \gt K_I$

${K_P \gt -2,\quad 0 \lt K_I \lt 3(2 + K_P)}$ เป็นบริเวณสามเหลี่ยมเปิดในระนาบ $K_P$–$K_I$ ยิ่งเพิ่ม $K_P$ ยิ่งใส่ $K_I$ ได้มาก แต่ $K_I$ มากเกินไปจะไม่เสถียรเสมอ (เทอม I เพิ่มความล่าช้าเฟส)

ตรวจขอบ $K_P = 3,\ K_I = 15$: $s^3 + 3s^2 + 5s + 15 = (s + 3)(s^2 + 5)$ รากบนแกนที่ $\pm j\sqrt5$ ✓ · ดูต่อที่หน้า PID

## เสถียรภาพสัมพัทธ์: ไม่ใช่แค่เสถียร แต่ต้องเร็วพอ ขั้นสูง

ระบบที่ขั้วอยู่ที่ $-0.01$ เสถียร แต่ใช้เวลาเข้าที่ $4/0.01 = 400$ วินาที ในงานจริงเราต้องการให้ขั้วทุกตัวอยู่ซ้ายของเส้น $s = -\sigma$ (เวลาเข้าที่ 2% ไม่เกิน $4/\sigma$) เทคนิคคือเลื่อนแกน แทน $s = z - \sigma$ แล้วใช้เราท์กับพหุนามของ $z$

R11 Relative stability (axis shift) เสถียรภาพสัมพัทธ์

$$\operatorname{Re}(s_i) \lt -\sigma \ \ \forall i \iff p(z - \sigma) \ \text{เป็นพหุนามเฮอร์วิตซ์ในตัวแปร } z$$

จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในตารางของ $z$ = จำนวนขั้วที่อยู่ขวาของเส้น $s = -\sigma$ · $t_s \approx 4/\sigma$

ตัวอย่าง R-9 · ต้องการ ts ไม่เกิน 16 s

### สำหรับ $s^3 + 3s^2 + 2s + K$ หาช่วง $K$ ที่ทำให้ขั้วทุกตัวอยู่ซ้ายของ $s = -0.25$ และลองถามว่าได้ถึง $-0.5$ ไหม

- แทน $s = z - \tfrac14$ แล้วกระจาย R11

$$z^3 + \tfrac94z^2 + \tfrac{11}{16}z + \left(K - \tfrac{21}{64}\right) = 0$$

- สูตรลัดอันดับสาม: $K - \tfrac{21}{64} \gt 0$ และ $\tfrac94 \cdot \tfrac{11}{16} \gt K - \tfrac{21}{64} \Rightarrow K \lt \tfrac{15}{8}$

- ลอง $\sigma = 0.5$: แทน $s = z - \tfrac12$ ได้ $z^3 + \tfrac32z^2 - \tfrac14z + \left(K - \tfrac38\right)$ สัมประสิทธิ์ของ $z$ เป็นลบไม่ว่า $K$ เท่าไร R1

${21/64 \lt K \lt 15/8}$ ขั้วทุกตัวอยู่ซ้ายของ $-0.25$ · แต่ไม่มี $K$ ใดที่ดันขั้วทุกตัวไปซ้ายของ $-0.5$ ได้ ตัวควบคุมแบบ P อย่างเดียวทำไม่ได้ ต้องเพิ่มศูนย์ด้วย lead หรือ PD ซึ่งรูทโลคัสจะอธิบายว่าทำไม

ตรวจ $K = 15/8$: รากคือ $-2.5,\ -0.25 \pm j0.829$ ✓ · $K = 21/64$: $-2.135,\ -0.615,\ -0.25$ ✓

## ดีเทอร์มิแนนต์เฮอร์วิตซ์: ที่มาของตาราง ขั้นสูง

เฮอร์วิตซ์เขียนเกณฑ์เดียวกันในรูปดีเทอร์มิแนนต์ สะดวกสำหรับพิสูจน์และสำหรับเขียนโปรแกรมเชิงสัญลักษณ์ หลักแรกของตารางเราท์คืออัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์ที่อยู่ติดกัน (อ่านพื้นฐานดีเทอร์มิแนนต์)

R12 Hurwitz determinants ดีเทอร์มิแนนต์เฮอร์วิตซ์

$$H = \begin{pmatrix} a_1 & a_3 & a_5 & \cdots \\ a_0 & a_2 & a_4 & \cdots \\ 0 & a_1 & a_3 & \cdots \\ 0 & a_0 & a_2 & \cdots \\ \vdots & & & \ddots \end{pmatrix}_{n\times n}, \qquad \text{เสถียร} \iff \Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_n \gt 0 \ (a_0 \gt 0)$$

$\Delta_k$ คือไมเนอร์หลักนำ $k \times k$ · หลักแรกของเราท์: $a_0,\ \Delta_1,\ \tfrac{\Delta_2}{\Delta_1},\ \tfrac{\Delta_3}{\Delta_2},\ \dots$ · ลีนาร์–ชีพาร์ต (Liénard–Chipart) แสดงว่าเมื่อสัมประสิทธิ์บวกหมด ตรวจแค่ $\Delta$ ลำดับคี่ (หรือคู่) ก็พอ

ตัวอย่าง R-10 · เทียบกับ R-1

### หาดีเทอร์มิแนนต์เฮอร์วิตซ์ของ $s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5$

- $a_0 = 1,\ a_1 = 2,\ a_2 = 3,\ a_3 = 4,\ a_4 = 5$ R12

$$H = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \Rightarrow \Delta_1 = 2,\ \Delta_2 = 2,\ \Delta_3 = -12,\ \Delta_4 = -60$$

- อัตราส่วน: $1,\ 2,\ \tfrac22 = 1,\ \tfrac{-12}{2} = -6,\ \tfrac{-60}{-12} = 5$

ได้ 1, 2, 1, −6, 5 ตรงกับหลักแรกของตารางเราท์ในตัวอย่าง R-1 ทุกตัว ✓

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

- เขียนสองแถวแรกผิด → แถวบนคือ $a_0, a_2, a_4$ (ข้ามทีละตัว) แถวล่างคือ $a_1, a_3, a_5$ ไม่ใช่เขียนเรียงกัน

- ลืมพจน์ที่หายไป → เช่น $s^3 + 2s + 5$ ต้องเขียน $a_1 = 0$ ไม่ใช่ข้าม (และแค่นี้ก็สรุปได้แล้วว่าไม่เสถียร)

- เครื่องหมายในสูตรสลับ → ตัวตั้งคือ “ล่างซ้าย × บนขวา − บนซ้าย × ล่างขวา” ตรวจด้วยแถว $s^0 = a_n$ เสมอ

- หลักแรกเป็นศูนย์ แต่ใช้พหุนามช่วย → พหุนามช่วยใช้เฉพาะเมื่อศูนย์ทั้งแถว นอกนั้นใช้ ε R7

- ช่วง K ลืมเงื่อนไข K > 0 จากแถว s⁰ → ต้องรวมทุกแถวที่มี $K$ แล้วหาส่วนร่วม

- คิดว่า “เสถียร” = ดีพอ → เสถียรแต่ขั้วชิดแกนจะแกว่งนาน ใช้เสถียรภาพสัมพัทธ์ R11 หรือดูมาร์จิน

- ใช้กับหน่วงเวลาตรง ๆ → $e^{-sT}$ ไม่ใช่พหุนาม ต้องประมาณพาเดก่อน หรือใช้ไนควิสต์

## เครื่องคิดเลขตารางเราท์แสดงวิธีทำ

ใส่พหุนามหรือสมการ $1 + KG(s)$ ได้เลย ระบบจะคูณกระจาย สร้างตาราง (มี $K$ ก็ได้ จะแสดงหลักแรกเป็นฟังก์ชันของ $K$) จัดการวิธี ε และพหุนามช่วยให้อัตโนมัติ หาช่วง $K$ ที่เสถียร เกนวิกฤต ความถี่การแกว่ง และตรวจกับรากจริงทุกครั้ง

## เห็นภาพ: ช่วง K เดียวกันบนรูทโลคัส

เลื่อน $K$ จาก 0 ถึง 6 ดูขั้ววงปิด (จุดส้ม) สองตัวเดินเข้าหาแกน $j\omega$ และตัดแกนที่ $\pm j1.414$ พอดีเมื่อ $K = 6$ ตรงกับตัวอย่าง R-5 ผลตอบสนองขั้นบันไดจะแกว่งนานขึ้นเรื่อย ๆ จนแกว่งค้าง หน้าถัดไปจะสอนวาดรูปนี้ด้วยมือ

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

เราท์ตอบว่า “เสถียรถึง $K$ เท่าไร” แต่ไม่บอกว่าขั้วอยู่ตรงไหนและเดินไปทางไหน คำถามนั้นตอบด้วยรูทโลคัส ซึ่งใช้ผลจากหน้านี้ ($K_{cr}$, $\omega_{cr}$) เป็นจุดตัดแกน $j\omega$ โดยตรง ส่วนมุมมองความถี่ของคำถามเดียวกันอยู่ที่เกนมาร์จิน

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมเกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์จึงดูแค่หลักแรก?
เพราะหลักแรกของแต่ละแถวคืออัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์เฮอร์วิตซ์ที่อยู่ติดกัน $\Delta_k/\Delta_{k-1}$ จำนวนครั้งที่เครื่องหมายในหลักแรกเปลี่ยนจึงเท่ากับจำนวนรากที่ส่วนจริงเป็นบวก หลักอื่นเป็นเพียงตัวกลางในการคำนวณแถวถัดไป

คูณหรือหารทั้งแถวด้วยตัวเลขได้ไหม?
ได้ ถ้าเป็นจำนวนบวก เพราะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายของหลักแรก ช่วยให้ตัวเลขเล็กลงและลดเศษส่วน แต่ห้ามคูณด้วยจำนวนลบ และถ้าตัวคูณมี K อยู่ด้วย ต้องแน่ใจว่าเป็นบวกในช่วงที่สนใจ

หลักแรกเป็นศูนย์กับแถวเป็นศูนย์ทั้งแถว ต่างกันอย่างไร?
หลักแรกเป็นศูนย์แต่ตัวอื่นในแถวไม่เป็นศูนย์ ให้แทนด้วย ε เล็กบวกแล้วทำต่อ ส่วนแถวเป็นศูนย์ทั้งแถวแปลว่ามีรากสมมาตรรอบจุดกำเนิด (เช่น คู่บนแกน jω) ให้สร้างพหุนามช่วยจากแถวก่อนหน้า หาอนุพันธ์ แล้วนำสัมประสิทธิ์มาแทนแถวนั้น รากของพหุนามช่วยเป็นรากของพหุนามเดิมด้วย

เกนวิกฤตและความถี่การแกว่งหาจากตารางเราท์อย่างไร?
เกนวิกฤตคือค่า K ที่ทำให้แถว s¹ เป็นศูนย์ (ระบบอยู่ขอบเสถียร) จากนั้นแทนค่า K นั้นลงในแถว s² ได้พหุนามช่วย $as^2 + b = 0$ ความถี่การแกว่งคือ $\omega = \sqrt{b/a}$ ค่าคู่นี้ตรงกับจุดที่รูทโลคัสตัดแกน jω และใช้ในการจูน PID แบบ Ziegler–Nichols

เราท์–เฮอร์วิตซ์ใช้กับระบบที่มีหน่วงเวลาได้ไหม?
ใช้ตรง ๆ ไม่ได้ เพราะ $e^{-sT}$ ไม่ใช่พหุนาม ต้องประมาณด้วยพาเด (Padé) ก่อน ซึ่งได้คำตอบโดยประมาณ หรือใช้เกณฑ์ไนควิสต์และเฟสมาร์จินซึ่งจัดการหน่วงเวลาได้ตรง ส่วนระบบไม่ต่อเนื่องใช้เกณฑ์ของจูรี (Jury) หรือแปลงด้วย bilinear transform ก่อน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมเกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์จึงดูแค่หลักแรก?**
เพราะหลักแรกของแต่ละแถวคืออัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์เฮอร์วิตซ์ที่อยู่ติดกัน $\Delta_k/\Delta_{k-1}$ จำนวนครั้งที่เครื่องหมายในหลักแรกเปลี่ยนจึงเท่ากับจำนวนรากที่ส่วนจริงเป็นบวก หลักอื่นเป็นเพียงตัวกลางในการคำนวณแถวถัดไป

**คูณหรือหารทั้งแถวด้วยตัวเลขได้ไหม?**
ได้ ถ้าเป็นจำนวนบวก เพราะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายของหลักแรก ช่วยให้ตัวเลขเล็กลงและลดเศษส่วน แต่ห้ามคูณด้วยจำนวนลบ และถ้าตัวคูณมี K อยู่ด้วย ต้องแน่ใจว่าเป็นบวกในช่วงที่สนใจ

**หลักแรกเป็นศูนย์กับแถวเป็นศูนย์ทั้งแถว ต่างกันอย่างไร?**
หลักแรกเป็นศูนย์แต่ตัวอื่นในแถวไม่เป็นศูนย์ ให้แทนด้วย ε เล็กบวกแล้วทำต่อ ส่วนแถวเป็นศูนย์ทั้งแถวแปลว่ามีรากสมมาตรรอบจุดกำเนิด (เช่น คู่บนแกน jω) ให้สร้างพหุนามช่วยจากแถวก่อนหน้า หาอนุพันธ์ แล้วนำสัมประสิทธิ์มาแทนแถวนั้น รากของพหุนามช่วยเป็นรากของพหุนามเดิมด้วย

**เกนวิกฤตและความถี่การแกว่งหาจากตารางเราท์อย่างไร?**
เกนวิกฤตคือค่า K ที่ทำให้แถว s¹ เป็นศูนย์ (ระบบอยู่ขอบเสถียร) จากนั้นแทนค่า K นั้นลงในแถว s² ได้พหุนามช่วย $as^2 + b = 0$ ความถี่การแกว่งคือ $\omega = \sqrt{b/a}$ ค่าคู่นี้ตรงกับจุดที่รูทโลคัสตัดแกน jω และใช้ในการจูน PID แบบ Ziegler–Nichols

**เราท์–เฮอร์วิตซ์ใช้กับระบบที่มีหน่วงเวลาได้ไหม?**
ใช้ตรง ๆ ไม่ได้ เพราะ $e^{-sT}$ ไม่ใช่พหุนาม ต้องประมาณด้วยพาเด (Padé) ก่อน ซึ่งได้คำตอบโดยประมาณ หรือใช้เกณฑ์ไนควิสต์และเฟสมาร์จินซึ่งจัดการหน่วงเวลาได้ตรง ส่วนระบบไม่ต่อเนื่องใช้เกณฑ์ของจูรี (Jury) หรือแปลงด้วย bilinear transform ก่อน

---

# เสถียรภาพของระบบควบคุม: ขั้วบนระนาบ s

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/stability/
Updated: 2026-10-12
Summary: นิยามเสถียรภาพแบบ BIBO และเสถียรภาพเชิงอาการ เกณฑ์ตำแหน่งขั้วบนระนาบ s เสถียรวิกฤตและขั้วซ้ำบนแกน jω เงื่อนไขจำเป็นของสัมประสิทธิ์ การป้อนกลับทำให้ระบบเสถียรหรือไม่เสถียร เสถียรภาพภายในและอันตรายของการหักล้างขั้วฝั่งขวา และภาพรวมเครื่องมือตรวจเสถียรภาพทั้งหมด Routh รูทโลคัส โบด ไนควิสต์ ลียาปูนอฟ

// บทที่ 13.6 · ระบบควบคุม · Stability

# เสถียรภาพของระบบควบคุม: ขั้วบนระนาบ s

ระบบควบคุมที่ไม่เสถียรไม่ใช่แค่ทำงานไม่ดี แต่อันตราย: มอเตอร์หมุนเร่งจนพัง แขนกลสะบัด พาวเวอร์ซัพพลายแกว่งจนไหม้ เสถียรภาพจึงเป็นเงื่อนไขแรกที่ต้องผ่านก่อนสเปกอื่นทั้งหมด หน้านี้วางนิยามให้ชัด ผูกเข้ากับตำแหน่งขั้ว แล้วชี้ทางไปเครื่องมือแต่ละตัวที่จะใช้ตลอดส่วนที่ 3 ถึง 5 สูตรใช้รหัส S

สรุปใน 30 วินาที

- ระบบเชิงเส้นเสถียร $\iff$ ขั้วทุกตัวมี $\operatorname{Re} \lt 0$

- ขั้วเดี่ยวบนแกน $j\omega$: เสถียรวิกฤต (แกว่งค้าง) · ซ้ำบนแกน หรือ $\operatorname{Re} \gt 0$: ไม่เสถียร

- ขั้ววงปิดคือรากของ $1 + L(s) = 0$ การป้อนกลับย้ายขั้วได้ทั้งไปทางดีและทางร้าย

- ห้ามหักล้างขั้วฝั่งขวาด้วยศูนย์ของตัวควบคุม

## นิยามเสถียรภาพ พื้นฐาน

S1 BIBO stability อินพุตมีขอบเขต เอาต์พุตมีขอบเขต

$$|u(t)| \le M \Rightarrow |y(t)| \le N \ \ \forall t \quad \iff \quad \int_0^\infty |g(t)|\,dt \lt \infty$$

$g(t)$ คือผลตอบสนองอิมพัลส์ · มุมมองจากภายนอก (อินพุต-เอาต์พุต)

S2 Pole-location criterion เกณฑ์ตำแหน่งขั้ว

$$\begin{cases} \operatorname{Re}(p_i) \lt 0\ \ \forall i & \text{เสถียร (เชิงอาการและ BIBO)} \\ \text{ขั้วเดี่ยวบนแกน } j\omega,\ \text{ที่เหลือฝั่งซ้าย} & \text{เสถียรวิกฤต} \\ \operatorname{Re}(p_i) \gt 0 \ \text{หรือขั้วซ้ำบนแกน } j\omega & \text{ไม่เสถียร} \end{cases}$$

เหตุผล: ขั้ว $p$ ให้พจน์ $e^{pt}$ · ขั้วซ้ำบนแกนให้ $t\cos\omega t$ ซึ่งโตตามเวลา · เสถียรภาพขึ้นกับขั้วเท่านั้น ไม่ขึ้นกับศูนย์

ตัวอย่าง S-1 · จำแนกเสถียรภาพ

### จำแนก (ก) $\frac{1}{(s+1)(s+2)}$ (ข) $\frac{s - 3}{s^2 + 2s + 5}$ (ค) $\frac{1}{s(s+1)}$ (ง) $\frac{1}{(s^2 + 4)^2}$ (จ) $\frac{1}{s^2 - s + 1}$

- (ก) ขั้ว −1, −2 → เสถียร · (ข) ขั้ว $-1 \pm j2$ → เสถียร (ศูนย์ฝั่งขวาไม่มีผลต่อเสถียรภาพ) S2

- (ค) ขั้ว 0 (เดี่ยว), −1 → เสถียรวิกฤต (อินพุตขั้นบันได เอาต์พุตเป็นแรมป์ ไม่ BIBO)

- (ง) ขั้ว $\pm j2$ ซ้ำสองครั้ง → ไม่เสถียร · (จ) ขั้ว $0.5 \pm j0.866$ → ไม่เสถียร

เสถียร: (ก) (ข) · เสถียรวิกฤต: (ค) · ไม่เสถียร: (ง) (จ)

## การป้อนกลับ: ทำให้เสถียรก็ได้ ไม่เสถียรก็ได้ พื้นฐาน

S3 Closed-loop characteristic equation สมการลักษณะเฉพาะวงปิด

$$1 + K\frac{N(s)}{D(s)} = 0 \iff D(s) + KN(s) = 0$$

ขั้ววงปิดต่างจากขั้ววงเปิด และเปลี่ยนตาม $K$ · วงเปิดไม่เสถียรอาจเสถียรเมื่อปิดวง และกลับกัน

ตัวอย่าง S-2 · ป้อนกลับช่วยและป้อนกลับทำร้าย

### (ก) พลานต์ไม่เสถียร $\frac{1}{s - 1}$ กับตัวควบคุม $K$ · (ข) พลานต์เสถียร $\frac{1}{(s+1)^3}$ กับ $K$

- (ก) $s - 1 + K = 0 \Rightarrow s = 1 - K$ เสถียรเมื่อ $K \gt 1$ การป้อนกลับทำให้เสถียร

- (ข) $(s + 1)^3 + K = 0$ เสถียรเมื่อ $K \lt 8$ (เราท์) การป้อนกลับที่แรงเกินทำให้ไม่เสถียร แม้พลานต์จะเสถียร

ไม่มีการป้อนกลับที่ “ปลอดภัยเสมอ” ต้องตรวจทุกครั้ง · ทุกพลานต์ที่มี $n - m \ge 3$ จะไม่เสถียรเมื่อเกนสูงพอ (เส้นกำกับ ±60° ข้ามไปฝั่งขวา)

## เสถียรภาพภายในและกับดักการหักล้างขั้ว กลาง

S4 Internal stability เสถียรภาพภายใน

$$\text{ต้องเสถียรทั้ง 4 ฟังก์ชัน:}\quad \frac{1}{1 + CG},\quad \frac{G}{1 + CG},\quad \frac{C}{1 + CG},\quad \frac{CG}{1 + CG}$$

ถ้า $C$ มีศูนย์หักล้างขั้วฝั่งขวาของ $G$ (หรือกลับกัน) $T = \frac{CG}{1 + CG}$ อาจดูเสถียร แต่ $\frac{G}{1 + CG}$ (ผลของการรบกวน) ไม่เสถียร

ตัวอย่าง S-3 · หักล้างแล้วพัง

### พลานต์ $G = \frac{1}{s - 1}$ ตัวควบคุม $C = \frac{s - 1}{s(s + 2)}$ ดูเหมือน $L = \frac{1}{s(s+2)}$ ระบบเสถียรจริงไหม

- $T = \dfrac{L}{1 + L} = \dfrac{1}{s^2 + 2s + 1}$ ขั้ว −1, −1 ดูเสถียร

- จากการรบกวนที่อินพุตพลานต์ไปเอาต์พุต: $\dfrac{G}{1 + CG} = \dfrac{s(s + 2)}{(s - 1)(s^2 + 2s + 1)}$ มีขั้วที่ $+1$ S4

ไม่มีเสถียรภาพภายใน การรบกวนเพียงเล็กน้อยทำให้เอาต์พุตโตแบบ $e^t$ แม้ค่าอ้างอิงจะตอบสนองดี บทเรียน: ขั้วฝั่งขวาต้องถูกย้ายด้วยการป้อนกลับ ไม่ใช่ซ่อนด้วยศูนย์

## กล่องเครื่องมือตรวจเสถียรภาพ

| เครื่องมือ | ใช้อะไร | ให้อะไร | เหมาะกับ |

| เราท์–เฮอร์วิตซ์ | สัมประสิทธิ์พหุนาม | จำนวนรากฝั่งขวา ช่วง K | ตรวจเร็ว หาเกนวิกฤต |

| รูทโลคัส | ขั้ว ศูนย์วงเปิด | ทางเดินขั้วทุก K | ออกแบบในโดเมนเวลา |

| โบด + มาร์จิน | $L(j\omega)$ (วัดได้) | GM, PM | ออกแบบในโดเมนความถี่ มีหน่วงเวลา |

| ไนควิสต์ | $L(j\omega)$ + จำนวนขั้วฝั่งขวาวงเปิด | จำนวนขั้ววงปิดฝั่งขวา | ทุกกรณี รวมวงเปิดไม่เสถียร |

| ค่าเฉพาะของ A | แบบจำลองปริภูมิสถานะ | ขั้ว (ค่าเฉพาะ) | ระบบหลายตัวแปร |

| ลียาปูนอฟ | ฟังก์ชันพลังงาน | เสถียรภาพไม่เชิงเส้น | หุ่นยนต์ ระบบไม่เชิงเส้น |

| จูรี / วงกลมหนึ่งหน่วย | พหุนามใน z | ขั้วใน $|z| \lt 1$ | ตัวควบคุมดิจิทัล |

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

เครื่องมือแรกและเร็วที่สุดคือเกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์ ซึ่งตอบได้ว่ามีรากฝั่งขวากี่ตัวและเกนเท่าไรจึงเสถียร โดยไม่ต้องหารากเลย

## คำถามที่พบบ่อย

เสถียรวิกฤต (marginally stable) ถือว่าเสถียรไหม?
ในทางวิศวกรรมถือว่าไม่ยอมรับ เพราะไม่ใช่ BIBO stable ถ้าอินพุตมีความถี่ตรงกับขั้วบนแกน jω เอาต์พุตจะโตไม่จำกัด (เรโซแนนซ์) และการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของพารามิเตอร์อาจผลักขั้วไปฝั่งขวาได้

ทำไมห้ามหักล้างขั้วฝั่งขวาด้วยศูนย์?
การหักล้างเกิดแค่บนกระดาษ ค่าจริงไม่มีทางตรงพอดี และแม้ตรงพอดี ขั้วฝั่งขวานั้นยังอยู่ในสัญญาณภายในระบบ (เช่น สัญญาณควบคุม) เงื่อนไขเริ่มต้นหรือสัญญาณรบกวนเพียงเล็กน้อยจะทำให้สัญญาณภายในโตไม่จำกัด เรียกว่าไม่มีเสถียรภาพภายใน (internally unstable)

ควรใช้เครื่องมือไหนตรวจเสถียรภาพ?
มีพหุนามลักษณะเฉพาะใช้เราท์ (เร็ว บอกช่วงเกน) อยากเห็นว่าขั้วเดินอย่างไรใช้รูทโลคัส มีแค่ข้อมูลความถี่หรือมีหน่วงเวลาใช้โบดและไนควิสต์ ระบบไม่เชิงเส้นใช้ลียาปูนอฟ ทุกเครื่องมือให้คำตอบสอดคล้องกัน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เสถียรวิกฤต (marginally stable) ถือว่าเสถียรไหม?**
ในทางวิศวกรรมถือว่าไม่ยอมรับ เพราะไม่ใช่ BIBO stable ถ้าอินพุตมีความถี่ตรงกับขั้วบนแกน jω เอาต์พุตจะโตไม่จำกัด (เรโซแนนซ์) และการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของพารามิเตอร์อาจผลักขั้วไปฝั่งขวาได้

**ทำไมห้ามหักล้างขั้วฝั่งขวาด้วยศูนย์?**
การหักล้างเกิดแค่บนกระดาษ ค่าจริงไม่มีทางตรงพอดี และแม้ตรงพอดี ขั้วฝั่งขวานั้นยังอยู่ในสัญญาณภายในระบบ (เช่น สัญญาณควบคุม) เงื่อนไขเริ่มต้นหรือสัญญาณรบกวนเพียงเล็กน้อยจะทำให้สัญญาณภายในโตไม่จำกัด เรียกว่าไม่มีเสถียรภาพภายใน (internally unstable)

**ควรใช้เครื่องมือไหนตรวจเสถียรภาพ?**
มีพหุนามลักษณะเฉพาะใช้เราท์ (เร็ว บอกช่วงเกน) อยากเห็นว่าขั้วเดินอย่างไรใช้รูทโลคัส มีแค่ข้อมูลความถี่หรือมีหน่วงเวลาใช้โบดและไนควิสต์ ระบบไม่เชิงเส้นใช้ลียาปูนอฟ ทุกเครื่องมือให้คำตอบสอดคล้องกัน

---

# ป้อนกลับสถานะ: วางขั้ว ตัวสังเกต และ LQR

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/state-feedback/
Updated: 2026-10-12
Summary: ออกแบบตัวควบคุมป้อนกลับสถานะ u = −Kx + N̄r วางขั้ววงปิดด้วยการเทียบสัมประสิทธิ์และสูตร Ackermann เกนอ้างอิง N̄ เพิ่มอินทิเกรเตอร์เพื่อกำจัดความผิดพลาดค้าง ตัวสังเกตสถานะแบบ Luenberger หลักการแยกส่วน ตัวควบคุมที่เหมาะสมที่สุดแบบ LQR สมการริคคาติ และแนวคิดตัวกรองคาลมาน พร้อมตัวอย่างเซอร์โวมอเตอร์ที่ตรวจด้วย python-control

// บทที่ 13.20 · ระบบควบคุม · State Feedback, Observers & LQR

# ป้อนกลับสถานะ: วางขั้ว ตัวสังเกต และ LQR

ในรูทโลคัส ขั้วเดินได้แค่ตามเส้นทางที่กำหนดด้วยเกนตัวเดียว แต่ถ้าวัดและป้อนกลับทุกสถานะ เรามีเกน $n$ ตัว จึงวางขั้ววงปิดได้ทุกตำแหน่ง (ถ้าระบบควบคุมได้) สถานะที่วัดไม่ได้ก็ประมาณด้วยตัวสังเกต และถ้าไม่อยากเลือกขั้วเอง LQR จะหาเกนที่ “ดีที่สุด” ตามที่เรานิยาม หน้านี้คือเครื่องมือหลักของหุ่นยนต์ทรงตัว โดรน และยานอวกาศ สูตรใช้รหัส V

สรุปใน 30 วินาที

- $u = -K\mathbf x + \bar Nr$ → วงปิด $\dot{\mathbf x} = (A - BK)\mathbf x + B\bar Nr$ เลือก $K$ ให้ $\det(sI - A + BK)$ ตรงกับพหุนามที่ต้องการ

- ตัวสังเกต: $\dot{\hat{\mathbf x}} = A\hat{\mathbf x} + Bu + L(y - C\hat{\mathbf x})$ ขั้ว $A - LC$ เร็วกว่าตัวควบคุม 2–6 เท่า

- หลักการแยกส่วน: ขั้วรวม = ขั้วของ $A - BK$ ∪ ขั้วของ $A - LC$

- LQR: ลด $\int(\mathbf x^TQ\mathbf x + u^TRu)dt$ ได้ $K = R^{-1}B^TP$

## วางขั้วด้วยป้อนกลับสถานะ กลาง

V1 State feedback ป้อนกลับสถานะและการวางขั้ว

$$u = -K\mathbf x + \bar Nr, \qquad \dot{\mathbf x} = (A - BK)\mathbf x + B\bar Nr, \qquad \det(sI - A + BK) = \prod(s - p_i^{\text{ต้องการ}})$$

ระบบอันดับต่ำ: กระจายดีเทอร์มิแนนต์แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ · ทำได้ทุกตำแหน่งขั้วก็ต่อเมื่อ $(A, B)$ ควบคุมได้

V2 Ackermann's formula สูตรแอคเคอร์มันน์ (อินพุตเดียว)

$$K = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix}\mathcal C^{-1}\,\alpha_c(A), \qquad \alpha_c(s) = s^n + \alpha_{n-1}s^{n-1} + \cdots + \alpha_0$$

$\alpha_c(A)$ คือแทน $A$ ลงในพหุนามที่ต้องการ (เคย์ลีย์-แฮมิลตัน) · $\mathcal C$ จาก O1

V3 Reference gain เกนอ้างอิง

$$\bar N = \frac{-1}{C(A - BK)^{-1}B}$$

ทำให้ $y \to r$ ในสถานะอยู่ตัว · ไม่ทนต่อพลานต์ที่เปลี่ยน ถ้าต้องการทนทานใช้อินทิเกรเตอร์ V4

V4 Integral action เพิ่มอินทิเกรเตอร์

$$\dot x_I = r - y, \qquad u = -K\mathbf x - k_Ix_I$$

ขยายสถานะเป็น $n + 1$ ตัวแล้ววางขั้วทั้งหมด · กำจัดความผิดพลาดค้างแม้พลานต์เปลี่ยนหรือมีการรบกวน

ตัวอย่าง V-1 · เซอร์โวมอเตอร์

### มอเตอร์ตำแหน่ง $\frac{10}{s(s+2)}$: $x_1 = \theta,\ x_2 = \omega$, $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \end{pmatrix}$ วางขั้วที่ $-4 \pm j4$

- พหุนามที่ต้องการ: $(s + 4)^2 + 16 = s^2 + 8s + 32$ ($\zeta = 0.707,\ \omega_n = 5.66$)

- $A - BK = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -10k_1 & -2 - 10k_2 \end{pmatrix}$ ได้ $s^2 + (2 + 10k_2)s + 10k_1$ V1

- เทียบ: $10k_1 = 32 \Rightarrow k_1 = 3.2$ · $2 + 10k_2 = 8 \Rightarrow k_2 = 0.6$

- $\bar N$: DC gain จาก $r$ ไป $\theta$ คือ $10\bar N/32 = 1 \Rightarrow \bar N = 3.2$ V3

$K = (3.2\ \ 0.6)$, $\bar N = 3.2$: $u = 3.2(r - \theta) - 0.6\,\omega$ ซึ่งคือ PD ที่ใช้ความเร็ววัดจริง (ไม่มีศูนย์ในวงปิด) · overshoot 4.3% ตาม $\zeta = 0.707$

python-control place: $K = [3.2,\ 0.6]$ ✓

## ตัวสังเกตสถานะ (Observer) กลาง

V5 Luenberger observer ตัวสังเกตของลูเอนเบอร์เกอร์

$$\dot{\hat{\mathbf x}} = A\hat{\mathbf x} + Bu + L(y - C\hat{\mathbf x}), \qquad \mathbf e = \mathbf x - \hat{\mathbf x}:\ \ \dot{\mathbf e} = (A - LC)\mathbf e$$

เลือก $L$ ให้ขั้วของ $A - LC$ เร็วกว่าขั้วตัวควบคุม 2–6 เท่า (เร็วเกินไปจะขยายสัญญาณรบกวนเซนเซอร์) · ต้องสังเกตได้ · ออกแบบได้ด้วยสูตรเดียวกับ V1–V2 กับ $(A^T, C^T)$

V6 Separation principle หลักการแยกส่วน

$$\text{ขั้ววงปิดรวม} = \operatorname{eig}(A - BK)\ \cup\ \operatorname{eig}(A - LC)$$

ออกแบบ $K$ และ $L$ แยกกันได้ · ตัวควบคุมรวม ($K$ + ตัวสังเกต) เทียบเท่ากับตัวชดเชยแบบไดนามิกอันดับ $n$

ตัวอย่าง V-2 · วัดแค่ตำแหน่ง

### ระบบ V-1 มีแต่เอนโค้ดเดอร์ ($C = (1\ \ 0)$) ออกแบบตัวสังเกตที่ขั้ว $-20, -20$

- $A - LC = \begin{pmatrix} -l_1 & 1 \\ -l_2 & -2 \end{pmatrix}$ ได้ $s^2 + (2 + l_1)s + (2l_1 + l_2)$ V5

- ต้องการ $(s + 20)^2 = s^2 + 40s + 400$: $l_1 = 38$, $l_2 = 400 - 76 = 324$

$L = (38\ \ 324)^T$ ตัวสังเกตเร็วกว่าตัวควบคุม ($-4 \pm j4$) 5 เท่า ได้ความเร็วประมาณ $\hat\omega$ ที่สะอาดกว่าการหาอนุพันธ์ของตำแหน่งตรง ๆ

python-control place กับ $(A^T, C^T)$: $L = [38,\ 324]$ ✓

## LQR: ตัวควบคุมที่เหมาะสมที่สุด ขั้นสูง

V7 Linear–quadratic regulator LQR

$$J = \int_0^\infty(\mathbf x^TQ\mathbf x + u^TRu)\,dt, \qquad A^TP + PA - PBR^{-1}B^TP + Q = 0, \qquad K = R^{-1}B^TP$$

$Q \succeq 0$ ลงโทษสถานะ $R \succ 0$ ลงโทษพลังงานอินพุต · รับประกัน GM ∞ (เพิ่มได้) / −6 dB (ลดได้ครึ่งหนึ่ง) และ PM ≥ 60° สำหรับอินพุตเดียว · คู่ของมันคือตัวกรองคาลมาน (ตัวสังเกตที่เหมาะสมที่สุดเมื่อมีสัญญาณรบกวน) รวมกันเรียก LQG

ตัวอย่าง V-3 · LQR สเกลาร์

### พลานต์ไม่เสถียร $\dot x = x + u$ ใช้ $Q = 3,\ R = 1$

- ริคคาติ V7: $2p - p^2 + 3 = 0 \Rightarrow p = 3$ (เลือกรากบวก)

- $K = p = 3$ · วงปิด $\dot x = (1 - 3)x = -2x$

$K = 3$ ขั้ววงปิดที่ −2 · ทั่วไป $K = 1 + \sqrt{1 + Q}$ ขั้วที่ $-\sqrt{1 + Q}$: ยิ่งให้น้ำหนักสถานะมาก ยิ่งเร็ว

python-control lqr: K = 3, ขั้ว −2 ✓ · หุ่นยนต์ทรงตัวสองล้อในโรโบติกส์นิยมใช้ LQR

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ตัวควบคุมสมัยใหม่ทั้งหมดรันในไมโครคอนโทรลเลอร์ ไปที่ระบบควบคุมดิจิทัล เพื่อแปลงทุกอย่างเป็นสมการผลต่างและเลือกคาบสุ่มให้ถูก

## คำถามที่พบบ่อย

ป้อนกลับสถานะต่างจาก PID อย่างไร?
PID ใช้ความผิดพลาดของเอาต์พุตเดียว ส่วนป้อนกลับสถานะใช้ทุกสถานะ (ตำแหน่ง ความเร็ว กระแส ฯลฯ) จึงวางขั้ววงปิดได้ทุกตัวตามต้องการ ระบบอันดับสองที่ป้อนกลับตำแหน่งและความเร็วคือ PD ในอีกรูปหนึ่ง แต่สำหรับระบบอันดับสูงและหลายอินพุต ป้อนกลับสถานะทรงพลังกว่ามาก

ไม่ได้วัดทุกสถานะ จะใช้ป้อนกลับสถานะได้อย่างไร?
ใช้ตัวสังเกต (observer) ซึ่งเป็นแบบจำลองที่วิ่งขนานกับระบบจริงในไมโครคอนโทรลเลอร์ แก้ด้วยความต่างระหว่างเอาต์พุตที่วัดกับที่ประมาณ แล้วป้อนกลับสถานะที่ประมาณได้ หลักการแยกส่วนรับประกันว่าออกแบบตัวควบคุมและตัวสังเกตแยกกันได้

LQR เลือก Q และ R อย่างไร?
เริ่มจากกฎของไบรสัน (Bryson): Q เป็นทแยงมุม 1/(ค่าสูงสุดที่ยอมรับได้ของสถานะ)² และ R = 1/(ค่าสูงสุดของอินพุต)² แล้วปรับ เพิ่ม Q ทำให้สถานะเข้าเร็วขึ้นแต่ใช้อินพุตมาก เพิ่ม R ประหยัดอินพุตแต่ช้าลง

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ป้อนกลับสถานะต่างจาก PID อย่างไร?**
PID ใช้ความผิดพลาดของเอาต์พุตเดียว ส่วนป้อนกลับสถานะใช้ทุกสถานะ (ตำแหน่ง ความเร็ว กระแส ฯลฯ) จึงวางขั้ววงปิดได้ทุกตัวตามต้องการ ระบบอันดับสองที่ป้อนกลับตำแหน่งและความเร็วคือ PD ในอีกรูปหนึ่ง แต่สำหรับระบบอันดับสูงและหลายอินพุต ป้อนกลับสถานะทรงพลังกว่ามาก

**ไม่ได้วัดทุกสถานะ จะใช้ป้อนกลับสถานะได้อย่างไร?**
ใช้ตัวสังเกต (observer) ซึ่งเป็นแบบจำลองที่วิ่งขนานกับระบบจริงในไมโครคอนโทรลเลอร์ แก้ด้วยความต่างระหว่างเอาต์พุตที่วัดกับที่ประมาณ แล้วป้อนกลับสถานะที่ประมาณได้ หลักการแยกส่วนรับประกันว่าออกแบบตัวควบคุมและตัวสังเกตแยกกันได้

**LQR เลือก Q และ R อย่างไร?**
เริ่มจากกฎของไบรสัน (Bryson): Q เป็นทแยงมุม 1/(ค่าสูงสุดที่ยอมรับได้ของสถานะ)² และ R = 1/(ค่าสูงสุดของอินพุต)² แล้วปรับ เพิ่ม Q ทำให้สถานะเข้าเร็วขึ้นแต่ใช้อินพุตมาก เพิ่ม R ประหยัดอินพุตแต่ช้าลง

---

# ปริภูมิสถานะ (State-Space): สมการสถานะ รูปแบบมาตรฐาน และ e^{At}

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/state-space/
Updated: 2026-10-12
Summary: แบบจำลองปริภูมิสถานะสำหรับระบบควบคุมสมัยใหม่ ตัวแปรสถานะ สมการสถานะและสมการเอาต์พุต ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du สร้างจากสมการเชิงอนุพันธ์ วงจร RLC และมอเตอร์ DC แปลงเป็นฟังก์ชันถ่ายโอน G = C(sI − A)⁻¹B + D ขั้วคือค่าเฉพาะของ A รูปแบบมาตรฐานควบคุมได้ สังเกตได้ และโมดัล การแปลงความคล้าย และคำตอบด้วยเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล e^{At}

// บทที่ 13.18 · ระบบควบคุม · State-Space Representation

# ปริภูมิสถานะ (State-Space): สมการสถานะ รูปแบบมาตรฐาน และ e^{At}

ปี 1960 รูดอล์ฟ คาลมาน (Rudolf Kalman) เปลี่ยนมุมมองระบบควบคุมจาก “อินพุต-เอาต์พุต” เป็น “สถานะภายใน” เขียนระบบอันดับ $n$ ใด ๆ เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง $n$ สมการในรูปเมทริกซ์ ทำให้พีชคณิตเชิงเส้นทั้งหมดใช้ได้ทันที: ค่าเฉพาะคือขั้ว $e^{At}$ คือคำตอบ และระบบหลายอินพุตหลายเอาต์พุตไม่ยากกว่าระบบเดียว นี่คือประตูสู่ modern control ที่ใช้ในหุ่นยนต์ โดรน และยานอวกาศ สูตรใช้รหัส X

สรุปใน 30 วินาที

- $\dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B\mathbf u,\ \ \mathbf y = C\mathbf x + D\mathbf u$ · สถานะ = ตัวเก็บพลังงาน ($i_L,\ v_C$, ตำแหน่ง, ความเร็ว)

- $G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D$ · ขั้ว = ค่าเฉพาะของ $A$

- $\mathbf x(t) = e^{At}\mathbf x(0) + \int_0^te^{A(t-\tau)}B\mathbf u(\tau)\,d\tau$ · $e^{At} = \mathcal L^{-1}\{(sI - A)^{-1}\}$

- ฟังก์ชันเดียวมีได้หลายแบบจำลอง (รูปแบบควบคุมได้ สังเกตได้ โมดัล) เชื่อมกันด้วย $T$

## แบบจำลองปริภูมิสถานะ กลาง

X1 State-space model แบบจำลองปริภูมิสถานะ

$$\dot{\mathbf x}(t) = A\mathbf x(t) + B\mathbf u(t), \qquad \mathbf y(t) = C\mathbf x(t) + D\mathbf u(t)$$

$\mathbf x \in \mathbb R^n$ สถานะ · $\mathbf u \in \mathbb R^m$ อินพุต · $\mathbf y \in \mathbb R^p$ เอาต์พุต · $A_{n\times n}$ (พลวัต) $B_{n\times m}$ $C_{p\times n}$ $D_{p\times m}$ (มักเป็นศูนย์)

X2 Controllable canonical form รูปแบบมาตรฐานควบคุมได้

$$G(s) = \frac{b_{n-1}s^{n-1} + \cdots + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_0}:\quad A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \cdots & -a_{n-1} \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ C = (b_0\ \ b_1\ \cdots\ b_{n-1})$$

เขียนได้ทันทีจากสัมประสิทธิ์ · ใช้ในการวางขั้ว (ป้อนกลับสถานะ) · รูปแบบสังเกตได้ (observable) คือทรานสโพส: $A^T, C^T, B^T$

ตัวอย่าง X-1 · วงจร RLC

### เขียนแบบจำลองปริภูมิสถานะของวงจร RLC อนุกรม $R = 10\ \Omega,\ L = 10$ mH, $C = 100\ \mu$F เอาต์พุตคือ $v_C$

- สถานะ $x_1 = i_L,\ x_2 = v_C$ · KVL: $L\dot i = v_{in} - Ri - v_C$ · ตัวเก็บประจุ: $C\dot v_C = i$

- เขียนเป็นเมทริกซ์ X1

$$\begin{pmatrix} \dot i \\ \dot v_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -R/L & -1/L \\ 1/C & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i \\ v_C \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1/L \\ 0 \end{pmatrix}v_{in} = \begin{pmatrix} -1000 & -100 \\ 10^4 & 0 \end{pmatrix}\mathbf x + \begin{pmatrix} 100 \\ 0 \end{pmatrix}v_{in}$$

$y = v_C = (0\ \ 1)\,\mathbf x$

ค่าเฉพาะของ $A$: $\lambda^2 + 1000\lambda + 10^6 = 0$ ตรงกับตัวส่วนของตัวอย่าง M-1 ✓ ($\omega_n = 1000,\ \zeta = 0.5$)

python-control ss2tf: $\dfrac{10^6}{s^2 + 1000s + 10^6}$ ✓ · ดูวงจรอื่นในประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้น

## จากปริภูมิสถานะสู่ฟังก์ชันถ่ายโอน กลาง

X3 Transfer function ฟังก์ชันถ่ายโอน

$$G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D = \frac{C\,\operatorname{adj}(sI - A)\,B}{\det(sI - A)} + D$$

ใช้อินเวอร์สแบบแอดจอยต์ (อินเวอร์ส) · ตัวส่วน $\det(sI - A)$ = พหุนามลักษณะเฉพาะ

X4 Poles = eigenvalues ขั้ว = ค่าเฉพาะของ A

$$\det(sI - A) = 0$$

เสถียร $\iff$ $\operatorname{Re}\lambda_i(A) \lt 0$ ทุกตัว (ค่าเฉพาะ)

X5 Similarity transformation เปลี่ยนตัวแปรสถานะ

$$\mathbf x = T\mathbf z:\ \ \hat A = T^{-1}AT,\ \hat B = T^{-1}B,\ \hat C = CT$$

ค่าเฉพาะและฟังก์ชันถ่ายโอนไม่เปลี่ยน · $T$ = เวกเตอร์เฉพาะ ได้รูปแบบโมดัล (ทแยงมุม)

ตัวอย่าง X-2 · ไปและกลับ

### เขียน $G(s) = \dfrac{s + 3}{s^2 + 3s + 2}$ ในรูปแบบควบคุมได้ แล้วตรวจกลับด้วย X3

- X2: $a_0 = 2,\ a_1 = 3,\ b_0 = 3,\ b_1 = 1$

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad C = (3\ \ 1)$$

- X3: $(sI - A)^{-1} = \dfrac{1}{s^2 + 3s + 2}\begin{pmatrix} s + 3 & 1 \\ -2 & s \end{pmatrix}$ ได้ $(sI - A)^{-1}B = \dfrac{1}{s^2 + 3s + 2}\begin{pmatrix} 1 \\ s \end{pmatrix}$

$$C(sI - A)^{-1}B = \frac{3 + s}{s^2 + 3s + 2} \ \checkmark$$

## คำตอบของสมการสถานะ: e^{At} ขั้นสูง

X6 State solution คำตอบของสมการสถานะ

$$\mathbf x(t) = \underbrace{e^{At}\mathbf x(0)}_{\text{ผลตอบสนองอิสระ}} + \underbrace{\int_0^te^{A(t - \tau)}B\mathbf u(\tau)\,d\tau}_{\text{ผลตอบสนองบังคับ}}, \qquad e^{At} = \mathcal L^{-1}\big\{(sI - A)^{-1}\big\} = Pe^{\Lambda t}P^{-1}$$

$e^{At}$ เรียกว่าเมทริกซ์ทรานซิชันสถานะ $\Phi(t)$ · คำนวณได้ทั้งด้วยลาปลาซและด้วยการทำเป็นทแยงมุม (ค่าเฉพาะ) · คือแกนของการแปลงเป็นดิจิทัลแบบ ZOH $A_d = e^{AT}$

ตัวอย่าง X-3 · หา e^{At}

### หา $e^{At}$ ของ $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$

- $(sI - A)^{-1} = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{pmatrix} s + 3 & 1 \\ -2 & s \end{pmatrix}$

- เศษส่วนย่อยทีละช่อง เช่น $\dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \dfrac{2}{s+1} - \dfrac{1}{s+2}$

$e^{At} = \begin{pmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{pmatrix}$

ตรวจ $t = 0$: ได้ $I$ ✓ · เทียบ scipy expm ที่ $t = 0.5$: ทุกช่องตรง ✓

## รูปแบบมาตรฐานต่าง ๆ ใช้ทำอะไร ขั้นสูง

| รูปแบบ | ลักษณะ | ใช้เมื่อ |

| ฟิสิกส์ (physical) | สถานะมีความหมายจริง ($i_L$, $v_C$, ตำแหน่ง) | วัดได้ ออกแบบตัวสังเกต จำกัดสถานะ |

| ควบคุมได้ (controllable) | แถวล่างคือสัมประสิทธิ์ตัวส่วน | วางขั้ว (เทียบสัมประสิทธิ์ตรง ๆ) |

| สังเกตได้ (observable) | ทรานสโพสของแบบควบคุมได้ | ออกแบบตัวสังเกต |

| โมดัล / จอร์แดน | $A$ ทแยงมุม (หรือบล็อก) | แยกโหมดอิสระ วิเคราะห์การสั่นของโครงสร้าง |

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

มีแบบจำลองแล้ว คำถามคือ “ขับสถานะไปที่ไหนก็ได้หรือไม่” และ “ดูสถานะทั้งหมดจากเอาต์พุตได้หรือไม่” ไปที่ความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมต้องใช้ปริภูมิสถานะในเมื่อมีฟังก์ชันถ่ายโอนแล้ว?
ปริภูมิสถานะจัดการระบบหลายอินพุตหลายเอาต์พุตได้เป็นธรรมชาติ รวมเงื่อนไขเริ่มต้นได้ เห็นสัญญาณภายในทั้งหมด (ไม่ใช่แค่อินพุต-เอาต์พุต) ใช้กับระบบแปรตามเวลาและไม่เชิงเส้นได้ และเป็นฐานของการวางขั้ว ตัวสังเกต LQR และตัวกรองคาลมาน ซึ่งใช้ในหุ่นยนต์ โดรน และยานยนต์สมัยใหม่

เลือกตัวแปรสถานะอย่างไร?
ในวงจรไฟฟ้าเลือกกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุ (ตัวเก็บพลังงาน) ในกลไกเลือกตำแหน่งและความเร็ว จำนวนสถานะเท่ากับอันดับของระบบ การเลือกไม่ซ้ำกัน ชุดต่างกันสัมพันธ์กันด้วยการแปลงความคล้าย และให้ค่าเฉพาะ (ขั้ว) เท่ากันเสมอ

ขั้วของระบบในปริภูมิสถานะหาอย่างไร?
คือค่าเฉพาะของเมทริกซ์ A หรือรากของ det(sI − A) = 0 ซึ่งตรงกับตัวส่วนของฟังก์ชันถ่ายโอน (ถ้าไม่มีการหักล้างขั้ว-ศูนย์) ระบบเสถียรเมื่อค่าเฉพาะทุกตัวมีส่วนจริงเป็นลบ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมต้องใช้ปริภูมิสถานะในเมื่อมีฟังก์ชันถ่ายโอนแล้ว?**
ปริภูมิสถานะจัดการระบบหลายอินพุตหลายเอาต์พุตได้เป็นธรรมชาติ รวมเงื่อนไขเริ่มต้นได้ เห็นสัญญาณภายในทั้งหมด (ไม่ใช่แค่อินพุต-เอาต์พุต) ใช้กับระบบแปรตามเวลาและไม่เชิงเส้นได้ และเป็นฐานของการวางขั้ว ตัวสังเกต LQR และตัวกรองคาลมาน ซึ่งใช้ในหุ่นยนต์ โดรน และยานยนต์สมัยใหม่

**เลือกตัวแปรสถานะอย่างไร?**
ในวงจรไฟฟ้าเลือกกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุ (ตัวเก็บพลังงาน) ในกลไกเลือกตำแหน่งและความเร็ว จำนวนสถานะเท่ากับอันดับของระบบ การเลือกไม่ซ้ำกัน ชุดต่างกันสัมพันธ์กันด้วยการแปลงความคล้าย และให้ค่าเฉพาะ (ขั้ว) เท่ากันเสมอ

**ขั้วของระบบในปริภูมิสถานะหาอย่างไร?**
คือค่าเฉพาะของเมทริกซ์ A หรือรากของ det(sI − A) = 0 ซึ่งตรงกับตัวส่วนของฟังก์ชันถ่ายโอน (ถ้าไม่มีการหักล้างขั้ว-ศูนย์) ระบบเสถียรเมื่อค่าเฉพาะทุกตัวมีส่วนจริงเป็นลบ

---

# ความผิดพลาดสถานะอยู่ตัว ชนิดของระบบ และการรบกวน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/steady-state-error/
Updated: 2026-10-12
Summary: หาความผิดพลาดสถานะอยู่ตัวด้วยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย ชนิดของระบบ (type 0 1 2) ค่าคงตัวความผิดพลาดตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง Kp Kv Ka ตารางความผิดพลาดต่ออินพุตขั้นบันได แรมป์ พาราโบลา ระบบป้อนกลับไม่เป็นหนึ่งหน่วย ความผิดพลาดจากการรบกวน การยกชนิดด้วยอินทิเกรเตอร์ และความขัดแย้งระหว่างความแม่นยำกับเสถียรภาพ

// บทที่ 13.5 · ระบบควบคุม · Steady-State Error

# ความผิดพลาดสถานะอยู่ตัว ชนิดของระบบ และการรบกวน

เมื่อผลตอบสนองชั่วครู่หายไปแล้ว เอาต์พุตตรงกับค่าอ้างอิงหรือไม่ เครื่อง CNC ต้องตามเส้นทางได้แม่นถึงไมครอน พาวเวอร์ซัพพลายต้องได้ 5.000 V ไม่ใช่ 4.95 V หน้านี้บอกว่าความแม่นยำขึ้นกับจำนวนอินทิเกรเตอร์ในลูปและเกนที่ความถี่ต่ำ และคำนวณได้ในบรรทัดเดียวด้วยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย สูตรใช้รหัส E

สรุปใน 30 วินาที

- $e_{ss} = \lim_{s\to0}sE(s)$ ใช้ได้เมื่อวงปิดเสถียร

- ชนิด = จำนวนขั้วที่ $s = 0$ ของ $G(s)$ (ป้อนกลับหนึ่งหน่วย)

- ขั้นบันได: $\frac{1}{1 + K_p}$ · แรมป์: $\frac{1}{K_v}$ · พาราโบลา: $\frac{1}{K_a}$

- ชนิด N ติดตามอินพุต $t^{N-1}$ ได้ไม่มีผิด และ $t^N$ ผิดคงที่

## ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายและชนิดของระบบ พื้นฐาน

E1 Steady-state error (unity feedback) ความผิดพลาดอยู่ตัว

$$E(s) = \frac{R(s)}{1 + G(s)}, \qquad e_{ss} = \lim_{t\to\infty}e(t) = \lim_{s\to0}\frac{sR(s)}{1 + G(s)}$$

ตรวจเสถียรภาพวงปิดก่อนทุกครั้ง · $G$ คือ $C \cdot$ พลานต์ ทั้งหมดในเส้นทางไปข้างหน้า

E2 System type ชนิดของระบบ

$$G(s) = \frac{K\prod(s + z_i)}{s^N\prod(s + p_j)} \quad\Rightarrow\quad \text{ชนิด } N$$

มอเตอร์ควบคุมตำแหน่งเป็นชนิด 1 อยู่แล้ว (ตำแหน่ง = อินทิกรัลของความเร็ว) · PI เพิ่มชนิดหนึ่งระดับ

E3 Static error constants ค่าคงตัวความผิดพลาดและตาราง

$$K_p = \lim_{s\to0}G(s), \quad K_v = \lim_{s\to0}sG(s), \quad K_a = \lim_{s\to0}s^2G(s)$$

$$\begin{array}{c|ccc} \text{อินพุต} & \text{ชนิด 0} & \text{ชนิด 1} & \text{ชนิด 2} \\ \hline u(t) & \frac{1}{1 + K_p} & 0 & 0 \\ t\,u(t) & \infty & \frac{1}{K_v} & 0 \\ \tfrac12t^2u(t) & \infty & \infty & \frac{1}{K_a} \end{array}$$

อินพุตขนาด $A$ คูณ $A$ เข้าไป · $K_v$ มีหน่วย s⁻¹ เช่น $K_v = 20$ แปลว่าตามแรมป์ 1 หน่วย/วินาที ช้ากว่า 0.05 หน่วย

ตัวอย่าง E-1 · ครบทุกอินพุต

### $G(s) = \dfrac{100(s+2)}{s(s+5)(s+10)}$ ป้อนกลับหนึ่งหน่วย หาความผิดพลาดต่อขั้นบันได แรมป์ และพาราโบลา

- ตรวจเสถียรภาพ: $s^3 + 15s^2 + 150s + 200$ สูตรลัด $15 \times 150 \gt 200$ ✓ เสถียร

- ชนิด 1 E2 · $K_v = \lim sG = \dfrac{100 \times 2}{5 \times 10} = 4$ E3

ขั้นบันได: 0 · แรมป์: $1/4 = 0.25$ · พาราโบลา: ∞

ตัวอย่าง E-2 · แม่นกับเสถียร ขัดกัน

### $G(s) = \dfrac{K}{s(s+2)(s+4)}$ ต้องการความผิดพลาดต่อแรมป์ ≤ 0.05 ทำได้ด้วยการปรับ $K$ หรือไม่

- $K_v = K/8 \ge 1/0.05 = 20 \Rightarrow K \ge 160$

- เสถียรภาพ: $s^3 + 6s^2 + 8s + K$ ต้อง $48 \gt K$ (R6)

ต้องการ $K \ge 160$ แต่เสถียรเมื่อ $K \lt 48$ เท่านั้น เป็นไปไม่ได้ด้วยเกนอย่างเดียว ต้องใช้ตัวชดเชย lag (เพิ่ม $K_v$ ที่ความถี่ต่ำ $\beta \ge 160/K$ เท่า) หรือ PI

## ความผิดพลาดจากการรบกวนและป้อนกลับไม่เป็นหนึ่งหน่วย กลาง

E4 Disturbance at the plant input การรบกวนที่อินพุตพลานต์

$$E_D(s) = -\frac{G_p(s)}{1 + C(s)G_p(s)}D(s), \qquad e_{ss,D} = -\lim_{s\to0}\frac{sG_pD}{1 + CG_p}$$

กำจัดการรบกวนขั้นบันไดได้เมื่อตัวควบคุมมีอินทิเกรเตอร์ (อินทิเกรเตอร์ในพลานต์ช่วยค่าอ้างอิง แต่ไม่ช่วยการรบกวนที่เข้าก่อนมัน)

E5 Non-unity feedback ป้อนกลับไม่เป็นหนึ่งหน่วย

$$e = r - y, \quad G_e = \frac{G}{1 + GH - G}$$

แปลงเป็นป้อนกลับหนึ่งหน่วยก่อน (B5) แล้วใช้ตาราง E3 กับ $G_e$

ตัวอย่าง E-3 · แรงบิดโหลดกับมอเตอร์

### พลานต์ความเร็ว $G_p = \dfrac{1}{s + 1}$ มีแรงบิดโหลดขั้นบันไดขนาด 1 ที่อินพุตพลานต์ เทียบ P ($K = 9$) กับ PI ($9 + 9/s$)

- P: $e_{ss,D} = -\dfrac{G_p(0)}{1 + 9G_p(0)} = -\dfrac{1}{10} = -0.1$ E4

- PI: $C(s) \to \infty$ ที่ $s \to 0$ ได้ $e_{ss,D} = 0$

P ปล่อยให้ความเร็วตก 10% ของผลกระทบ · PI กำจัดได้หมด นี่คือเหตุที่ไดรฟ์มอเตอร์ทุกตัวใช้ PI ในลูปความเร็ว (ลองในแล็บPID ที่มีการรบกวนครึ่งทาง)

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

- ใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายกับระบบไม่เสถียร → ได้ตัวเลขที่ไม่มีความหมาย

- นับชนิดจากอันดับ → ชนิดคือจำนวนขั้วที่ศูนย์เท่านั้น

- ใช้ตาราง E3 กับ H ≠ 1 → ต้องแปลงก่อน E5

- คิดว่าพลานต์ชนิด 1 ต้านการรบกวนได้ → ต้องมีอินทิเกรเตอร์ก่อนจุดที่การรบกวนเข้า E4

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ทุกอย่างในหน้านี้ใช้ได้เมื่อระบบเสถียร คำถามแรกของวิศวกรควบคุมจึงอยู่ที่เสถียรภาพ และเครื่องมือที่เร็วที่สุดคือเราท์–เฮอร์วิตซ์

## คำถามที่พบบ่อย

ใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายได้ทุกครั้งไหม?
ไม่ได้ ใช้ได้เฉพาะเมื่อ sE(s) มีขั้วอยู่ฝั่งซ้ายทั้งหมด คือระบบวงปิดต้องเสถียรก่อน ถ้าวงปิดไม่เสถียร ความผิดพลาดไม่มีค่าสุดท้าย แต่สูตรจะยังให้ตัวเลขออกมาซึ่งไม่มีความหมาย จึงต้องตรวจเสถียรภาพด้วยเราท์ก่อนเสมอ

ชนิดของระบบ (type) นับอย่างไร?
นับจำนวนขั้วที่ s = 0 (อินทิเกรเตอร์บริสุทธิ์) ของฟังก์ชันวงเปิด G(s)H(s) ในระบบป้อนกลับหนึ่งหน่วย ไม่ใช่อันดับของระบบ เช่น K/(s(s+1)(s+2)) เป็นอันดับสาม แต่ชนิด 1

ทำไมเพิ่มเกนเพื่อลดความผิดพลาดแล้วระบบแกว่ง?
เพราะเกนที่สูงขึ้นทั้งลดความผิดพลาดอยู่ตัวและผลักขั้ววงปิดเข้าหาแกน jω (ดูรูทโลคัส) ถึงจุดหนึ่งก็ไม่เสถียร ทางออกคือตัวชดเชย lag หรือ PI ที่เพิ่มเกนเฉพาะความถี่ต่ำ โดยไม่แตะช่วงความถี่ที่กำหนดเสถียรภาพ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายได้ทุกครั้งไหม?**
ไม่ได้ ใช้ได้เฉพาะเมื่อ sE(s) มีขั้วอยู่ฝั่งซ้ายทั้งหมด คือระบบวงปิดต้องเสถียรก่อน ถ้าวงปิดไม่เสถียร ความผิดพลาดไม่มีค่าสุดท้าย แต่สูตรจะยังให้ตัวเลขออกมาซึ่งไม่มีความหมาย จึงต้องตรวจเสถียรภาพด้วยเราท์ก่อนเสมอ

**ชนิดของระบบ (type) นับอย่างไร?**
นับจำนวนขั้วที่ s = 0 (อินทิเกรเตอร์บริสุทธิ์) ของฟังก์ชันวงเปิด G(s)H(s) ในระบบป้อนกลับหนึ่งหน่วย ไม่ใช่อันดับของระบบ เช่น K/(s(s+1)(s+2)) เป็นอันดับสาม แต่ชนิด 1

**ทำไมเพิ่มเกนเพื่อลดความผิดพลาดแล้วระบบแกว่ง?**
เพราะเกนที่สูงขึ้นทั้งลดความผิดพลาดอยู่ตัวและผลักขั้ววงปิดเข้าหาแกน jω (ดูรูทโลคัส) ถึงจุดหนึ่งก็ไม่เสถียร ทางออกคือตัวชดเชย lag หรือ PI ที่เพิ่มเกนเฉพาะความถี่ต่ำ โดยไม่แตะช่วงความถี่ที่กำหนดเสถียรภาพ

---

# ผลตอบสนองเวลา: ขั้ว ศูนย์ และสเปกการออกแบบ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/time-response/
Updated: 2026-10-12
Summary: ผลตอบสนองขั้นบันไดของระบบอันดับหนึ่ง อันดับสอง และอันดับสูง สูตรเปอร์เซ็นต์พุ่งเกิน เวลาขึ้น เวลายอด เวลาเข้าที่ ความสัมพันธ์กับตำแหน่งขั้วบนระนาบ s การแปลงสเปกเป็นบริเวณที่ยอมรับได้ ขั้วเด่น ผลของการเพิ่มขั้วและศูนย์ ศูนย์ฝั่งขวาที่ทำให้ตอบสนองกลับทิศ พร้อมตัวอย่างที่ตรวจด้วยการจำลอง

// บทที่ 13.4 · ระบบควบคุม · Time Response & Specifications

# ผลตอบสนองเวลา: ขั้ว ศูนย์ และสเปกการออกแบบ

ลูกค้าไม่ได้สั่ง “ขั้วที่ −2 ± j3.46” เขาสั่งว่า “พุ่งเกินไม่เกิน 10% และเข้าที่ภายใน 2 วินาที” หน้านี้คือพจนานุกรมแปลระหว่างสองภาษา: จากตำแหน่งขั้วบนระนาบ $s$ ไปเป็นรูปร่างกราฟผลตอบสนอง และกลับทาง ต่อยอดจากระบบอันดับหนึ่งและอันดับสอง ไปสู่ระบบอันดับสูงที่มีขั้วเด่น สูตรใช้รหัส T

สรุปใน 30 วินาที

- ส่วนจริงของขั้ว $\sigma = \zeta\omega_n$ → ความเร็วในการเข้าที่ $t_s \approx 4/\sigma$

- ส่วนจินตภาพ $\omega_d$ → ความถี่การแกว่ง $t_p = \pi/\omega_d$

- มุมจากแกนจริงลบ $\cos^{-1}\zeta$ → overshoot $M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$

- ขั้วอื่นห่างไป 5 เท่าขึ้นไป ใช้คู่เด่นประมาณได้ · ศูนย์ใกล้ ๆ เพิ่ม overshoot · ศูนย์ฝั่งขวาทำให้กลับทิศก่อน

## ขั้วบนระนาบ s บอกรูปร่างของผลตอบสนอง พื้นฐาน

ขั้วแต่ละตัว $p$ ให้พจน์ $e^{pt}$ ในผลตอบสนอง (จากเศษส่วนย่อยของลาปลาซ) ขั้วจริงลบให้เอกซ์โพเนนเชียลลดลง คู่เชิงซ้อนให้ไซน์ที่ซองลดลง ยิ่งไกลแกน $j\omega$ ยิ่งหายเร็ว

ตำแหน่งขั้วและรูปร่างผลตอบสนองที่ตรงกัน

T1 First-order step response ระบบอันดับหนึ่ง

$$G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}:\quad y(t) = K\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad t_r = 2.2\tau,\ \ t_s = 4\tau$$

ที่ $t = \tau$ ได้ 63.2% · $t_r$ แบบ 10–90% · ไม่มี overshoot เลย

T2 Second-order standard form ระบบอันดับสองมาตรฐาน

$$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2}, \quad s = -\zeta\omega_n \pm j\omega_d,\ \ \omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}$$

$$y(t) = 1 - \frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\sin(\omega_dt + \beta), \qquad \beta = \cos^{-1}\zeta \quad (0 \lt \zeta \lt 1)$$

$\zeta = 0$: แกว่งไม่หยุด · $0 \lt \zeta \lt 1$: หน่วงน้อย · $\zeta = 1$: หน่วงวิกฤต · $\zeta \gt 1$: หน่วงเกิน (ขั้วจริงสองตัว)

ผลของ ζ เมื่อ $\omega_n = 1$: ζ น้อยเร็วแต่แกว่ง ζ = 0.7 ใกล้เคียงอุดมคติ ζ = 1 ไม่พุ่งเกินแต่ช้ากว่า

## สูตรสเปกของระบบอันดับสอง พื้นฐาน

T3 Percent overshoot เปอร์เซ็นต์พุ่งเกิน

$$\%M_p = 100\,e^{-\pi\zeta/\sqrt{1 - \zeta^2}} \iff \zeta = \frac{-\ln(\%M_p/100)}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2(\%M_p/100)}}$$

ขึ้นกับ $\zeta$ อย่างเดียว · ζ = 0.5 → 16.3% · 0.6 → 9.5% · 0.7 → 4.6% · 0.8 → 1.5% · $M_p$ ≤ 10% ต้อง $\zeta \ge 0.591$

T4 Peak time เวลายอด

$$t_p = \frac{\pi}{\omega_d} = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}}$$

ครึ่งคาบของการแกว่งหน่วง

T5 Settling time เวลาเข้าที่

$$t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}\ (2\%), \qquad \frac{3}{\zeta\omega_n}\ (5\%)$$

ขึ้นกับส่วนจริงของขั้วอย่างเดียว

T6 Rise time เวลาขึ้น

$$t_r^{0\text{–}100\%} = \frac{\pi - \beta}{\omega_d},\ \ \beta = \cos^{-1}\zeta, \qquad t_r^{10\text{–}90\%} \approx \frac{1 - 0.4167\zeta + 2.917\zeta^2}{\omega_n}$$

ระบบหน่วงน้อยใช้นิยาม 0–100% · หน่วงเกินใช้ 10–90% · ประมาณคร่าว ๆ $t_r \approx 1.8/\omega_n$

ตัวอย่าง T-1 · อ่านสเปกจากฟังก์ชัน

### หาสเปกผลตอบสนองขั้นบันไดของ $G(s) = \dfrac{25}{s^2 + 6s + 25}$

- $\omega_n = 5$, $2\zeta\omega_n = 6 \Rightarrow \zeta = 0.6$, $\omega_d = 5(0.8) = 4$, ขั้ว $-3 \pm j4$

- $M_p = e^{-0.6\pi/0.8} = 9.48\%$ T3 · $t_p = \pi/4 = 0.785$ s T4

- $t_s \approx 4/3 = 1.33$ s T5 · $t_r^{0-100} = \dfrac{\pi - 0.927}{4} = 0.554$ s T6

$M_p = 9.5\%,\ t_p = 0.785$ s, $t_r = 0.554$ s, $t_s \approx 1.33$ s

python-control: overshoot 9.47%, peak 0.791 s, rise (0–100%) 0.558 s, $t_s$ จริง 1.21 s (สูตร $4/\sigma$ ให้ค่าเผื่อไว้เล็กน้อย) ✓

## กลับทาง: จากสเปกเป็นบริเวณบนระนาบ s กลาง

T7 Admissible region บริเวณที่ขั้วเด่นต้องอยู่

$$M_p \le M \Rightarrow \theta \le \cos^{-1}\zeta_{min}, \qquad t_s \le T_s \Rightarrow \sigma \ge \frac{4}{T_s}, \qquad t_p \le T_p \Rightarrow \omega_d \ge \frac{\pi}{T_p}$$

ได้บริเวณรูปกรวยที่ถูกตัดด้วยเส้นดิ่งและเส้นนอน · ใช้คู่กับรูทโลคัสเพื่อดูว่าเกน $K$ ทำได้ไหม

ตัวอย่าง T-2 · สเปกเป็นตำแหน่งขั้ว

### ต้องการ overshoot ≤ 10% และ $t_s$ ≤ 2 s ขั้วเด่นต้องอยู่ที่ไหน

- $\zeta \ge 0.591$ T3 → มุมจากแกนจริงลบไม่เกิน $\cos^{-1}0.591 = 53.8^\circ$

- $\sigma \ge 4/2 = 2$ T7 → อยู่ซ้ายของเส้น $\operatorname{Re}s = -2$

ขั้วเด่นต้องอยู่ในกรวย ±53.8° และซ้ายของ −2 เช่น $-2.5 \pm j2.5$ ($\zeta = 0.707$) หรือ $-3 \pm j4$ จากตัวอย่าง T-1

## ขั้วเด่น และผลของขั้ว-ศูนย์ที่เพิ่มเข้ามา กลาง

T8 Dominant-pole approximation การประมาณด้วยขั้วเด่น

$$|\operatorname{Re}\,p_{\text{อื่น}}| \ge 5\,|\operatorname{Re}\,p_{\text{เด่น}}| \ \Rightarrow\ G(s) \approx \frac{G(0)\,\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2}$$

ต้องรักษาเกน DC $G(0)$ ให้เท่าเดิมเสมอ · ศูนย์ที่อยู่ใกล้ขั้วเด่นทำลายการประมาณนี้ · ขั้วกับศูนย์ที่อยู่ใกล้กันมาก (dipole) หักล้างกันเกือบหมด

T9 Effect of a zero ผลของศูนย์

$$G_z(s) = \left(1 + \frac{s}{a}\right)G(s) \ \Rightarrow\ y_z(t) = y(t) + \frac1a\dot y(t)$$

ศูนย์บวกอนุพันธ์ของผลตอบสนองเข้าไป ยิ่ง $a$ เล็ก (ศูนย์ใกล้จุดกำเนิด) ยิ่งพุ่งเกินมาก · $a \lt 0$ (ศูนย์ฝั่งขวา) ลบอนุพันธ์ออก จึงเริ่มไปผิดทิศ (undershoot)

ตัวอย่าง T-3 · ขั้วที่สาม

### เทียบ $\dfrac{50}{(s+10)(s^2 + 2s + 5)}$ กับระบบอันดับสองที่ใช้ขั้วเด่น

- ขั้วเด่น $-1 \pm j2$ ขั้วที่สาม $-10$ ห่าง 10 เท่า T8 · เกน DC $= 50/50 = 1$

- ประมาณเป็น $\dfrac{5}{s^2 + 2s + 5}$ ($\zeta = 0.447$)

ระบบจริง: overshoot 20.2%, $t_s$ = 3.85 s · แบบประมาณ: 20.7%, 3.77 s ใกล้กันมาก

ตัวอย่าง T-4 · ศูนย์ยิ่งใกล้ยิ่งพุ่ง

### ระบบ $\dfrac{4}{s^2 + 2s + 4}$ ($\zeta = 0.5$, overshoot 16.3%) เพิ่มศูนย์ที่ $-a$ โดยคงเกน DC = 1 overshoot เป็นเท่าไร

| ศูนย์ที่ | ไม่มี | −5 | −2 | −1 | −0.5 |

| Overshoot | 16.3% | 18.0% | 29.8% | 69.9% | 171% |

จำลองด้วย python-control · นี่คือเหตุผลที่ PD และ PID ให้ overshoot มากกว่าสูตร และเหตุผลของ setpoint weighting

## แล็บ: ลากขั้วแล้วดูผลตอบสนอง

แล็บนี้ปิดวงด้วย $K$ ลองพิมพ์ฟังก์ชันวงเปิดต่าง ๆ แล้วดูขั้ววงปิด (จุดส้ม) คู่กับผลตอบสนองขั้นบันได ค่า $\zeta,\ \omega_n$ ของแต่ละขั้วแสดงอยู่ด้านล่าง เส้นสีม่วงคือ $\zeta = 0.5$ และ 0.7

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

หน้านี้ดูช่วงชั่วครู่ ส่วนความแม่นยำเมื่อเวลาผ่านไปนาน ๆ อยู่ที่ความผิดพลาดสถานะอยู่ตัว ซึ่งบอกว่าทำไมต้องมีเทอม I

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมเวลาเข้าที่ประมาณด้วย 4/(ζωn)?
เพราะซองของการแกว่งลดลงตาม e^{-ζωn t} จะเหลือ 2% เมื่อ ζωn t = ln 50 ≈ 3.9 จึงปัดเป็น 4 (ถ้าใช้เกณฑ์ 5% ใช้ 3) เป็นค่าประมาณที่ปลอดภัย ค่าจริงมักน้อยกว่าเล็กน้อยและกระโดดเป็นช่วงเพราะการแกว่ง

ขั้วเด่น (dominant poles) คืออะไร?
คือขั้วที่อยู่ใกล้แกน jω มากที่สุด ผลของมันลดลงช้าที่สุดจึงครอบงำผลตอบสนอง ถ้าขั้วอื่นอยู่ห่างไปทางซ้ายอย่างน้อย 5 เท่า (ส่วนจริง) และไม่มีศูนย์อยู่ใกล้ขั้วเด่น ประมาณระบบเป็นอันดับสองจากขั้วเด่นได้ดี

ศูนย์ฝั่งขวาทำให้เกิดอะไร?
ผลตอบสนองขั้นบันไดจะเริ่มไปผิดทิศก่อน (undershoot) แล้วค่อยกลับมา เช่น การบังคับเครื่องบินด้วยแพนหางระดับ ระดับน้ำในหม้อไอน้ำ และบูสต์คอนเวอร์เตอร์ในโหมดแรงดัน ระบบแบบนี้เร่งให้เร็วมากไม่ได้ เพราะแบนด์วิดท์ถูกจำกัดโดยตำแหน่งศูนย์นั้น

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมเวลาเข้าที่ประมาณด้วย 4/(ζωn)?**
เพราะซองของการแกว่งลดลงตาม e^{-ζωn t} จะเหลือ 2% เมื่อ ζωn t = ln 50 ≈ 3.9 จึงปัดเป็น 4 (ถ้าใช้เกณฑ์ 5% ใช้ 3) เป็นค่าประมาณที่ปลอดภัย ค่าจริงมักน้อยกว่าเล็กน้อยและกระโดดเป็นช่วงเพราะการแกว่ง

**ขั้วเด่น (dominant poles) คืออะไร?**
คือขั้วที่อยู่ใกล้แกน jω มากที่สุด ผลของมันลดลงช้าที่สุดจึงครอบงำผลตอบสนอง ถ้าขั้วอื่นอยู่ห่างไปทางซ้ายอย่างน้อย 5 เท่า (ส่วนจริง) และไม่มีศูนย์อยู่ใกล้ขั้วเด่น ประมาณระบบเป็นอันดับสองจากขั้วเด่นได้ดี

**ศูนย์ฝั่งขวาทำให้เกิดอะไร?**
ผลตอบสนองขั้นบันไดจะเริ่มไปผิดทิศก่อน (undershoot) แล้วค่อยกลับมา เช่น การบังคับเครื่องบินด้วยแพนหางระดับ ระดับน้ำในหม้อไอน้ำ และบูสต์คอนเวอร์เตอร์ในโหมดแรงดัน ระบบแบบนี้เร่งให้เร็วมากไม่ได้ เพราะแบนด์วิดท์ถูกจำกัดโดยตำแหน่งศูนย์นั้น

---

# วงจรไฟฟ้ากระแสตรง (DC Circuit Analysis): จากกฎของโอห์มถึงวิธีโหนด เมช MNA ทฤษฎีบทวงจร และทรานเซียนต์ RLC

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/dc-circuits/
Updated: 2026-10-26
Summary: สรุปสูตรวงจรไฟฟ้ากระแสตรงในตารางเดียว: กฎของโอห์ม อนุกรม-ขนาน แบ่งแรงดัน-กระแส KCL KVL เทวินิน กำลังสูงสุด RC RL RLC พร้อมบทเรียนวิธีโหนด เมช แล็บจำลองวงจร และโจทย์ 26 ข้อ

// บทที่ 25 · วงจรไฟฟ้า · DC Circuit Analysis

# วงจรไฟฟ้ากระแสตรง (DC Circuit Analysis): จากกฎของโอห์มถึงวิธีโหนด เมช MNA ทฤษฎีบทวงจร และทรานเซียนต์ RLC

เริ่มจากประจุ กระแส และแรงดัน ไล่ไปถึงการวิเคราะห์แบบเป็นระบบที่โปรแกรม SPICE ใช้ ทฤษฎีบทวงจร และพฤติกรรมชั่วขณะของ RLC แล้วลงมือต่อวงจรเองในแล็บจำลอง ซึ่งแก้สมการ MNA จริงทุกครั้งที่แก้วงจร ก่อนวัดฝีมือกับโจทย์ 4 ระดับ ตั้งแต่พื้นฐานจนถึงระดับโอลิมปิก

สรุปใน 30 วินาที

- ทุกวงจรวิเคราะห์ได้จากสามอย่าง: ความสัมพันธ์ v–i ขององค์ประกอบ, KCL $\sum i = 0$ และ KVL $\sum v = 0$

- ในสภาวะคงตัว DC ตัวเก็บประจุเปิดวงจร ตัวเหนี่ยวนำลัดวงจร

- วิธีโหนดใช้ $n-1$ สมการ วิธีเมชใช้ $b-n+1$ สมการ ส่วน MNA คือวิธีที่ SPICE ใช้แก้วงจรทุกแบบ

- เครือข่ายเชิงเส้นสองขั้วใดก็ได้ = $V_{th}$ อนุกรม $R_{th}$ และโหลดได้กำลังสูงสุดเมื่อ $R_L = R_{th}$ (ประสิทธิภาพ 50%)

- วงจรอันดับหนึ่ง $x(t) = x(\infty) + [x(0^+) - x(\infty)]e^{-t/\tau}$ ส่วน RLC มีรูปร่างผลตอบสนองขึ้นกับ $\zeta$ ตัวเดียว

- ต้องการแค่สูตร ดูตารางสรุปสูตรวงจรไฟฟ้ากระแสตรง ด้านล่าง

- ส่งกำลังเท่ากันที่แรงดันสูงขึ้น $k$ เท่า กำลังสูญเสียในสายลดลง $k^2$ เท่า เป็นเหตุผลของ HVDC และระบบ 800 VDC

- 1ปริมาณพื้นฐาน

- 2R L C และแหล่งจ่าย

- 3กฎของเคอร์ชอฟฟ์

- 4อนุกรม ขนาน Δ–Y

- 5โหนด เมช MNA

- 6ทฤษฎีบทวงจร

- 7ทรานเซียนต์

- 8เทคโนโลยี DC

- 9แล็บจำลอง

- 10คลังโจทย์

8 บทเรียน6 เครื่องมือในบทเรียนแล็บวงจร R L C + แหล่งจ่ายไม่อิสระทำได้ 0 / 26 ข้อ

## สรุปสูตรวงจรไฟฟ้ากระแสตรง (DC Circuit Formulas)

ตารางนี้รวมสูตรที่ใช้บ่อยที่สุดในหน้าเดียว รหัสใต้ชื่อเรื่อง (เช่น E1) ลิงก์ไปการ์ดสูตรในบทเรียน ซึ่งมีที่มาของสูตร เงื่อนไขการใช้ และตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

| เรื่อง · การ์ดสูตร | สูตร |

| กฎของโอห์มและกำลัง
E1 B1 | $V = IR \qquad P = VI = I^2R = \dfrac{V^2}{R}$ |

| ความต้านทานจากวัสดุและอุณหภูมิ
E1 | $R = \dfrac{\rho\,\ell}{A} \qquad R(T) = R_0\left[1 + \alpha(T - T_0)\right]$ |

| ตัวต้านทานอนุกรม
หัวข้อ 4 | $R_{eq} = R_1 + R_2 + \cdots + R_N$ |

| ตัวต้านทานขนาน
S2 | $\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \cdots \qquad R_1\parallel R_2 = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$ |

| วงจรแบ่งแรงดัน
S1 | $V_k = \dfrac{R_k}{R_1 + R_2 + \cdots + R_N}\,V$ |

| วงจรแบ่งกระแส (สองกิ่ง)
S2 | $I_1 = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\,I$ |

| กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ (KCL)
K1 | $\sum I_{\text{เข้า}} = \sum I_{\text{ออก}}$ |

| กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ (KVL)
K2 | $\sum_{\text{รอบลูป}} V = 0$ |

| แปลงสามเหลี่ยมเป็นดาว (Δ → Y)
S3 S4 | $R_1 = \dfrac{R_bR_c}{R_a + R_b + R_c}$ (สลับตัวห้อยวนสำหรับ $R_2, R_3$) |

| บริดจ์วีตสโตนสมดุล
S5 | $R_x = \dfrac{R_2R_3}{R_1}$ |

| วงจรสมมูลเทวินิน / นอร์ตัน
T2 | $V_{th} = V_{oc} \qquad I_N = I_{sc} \qquad R_{th} = \dfrac{V_{oc}}{I_{sc}}$ |

| การถ่ายโอนกำลังสูงสุด
T3 | $R_L = R_{th} \;\Rightarrow\; P_{max} = \dfrac{V_{th}^2}{4R_{th}}$ |

| C และ L ในสภาวะคงตัว DC
E2 E3 | $i_C = C\dfrac{dv}{dt} = 0$ (เปิดวงจร) $\qquad v_L = L\dfrac{di}{dt} = 0$ (ลัดวงจร) |

| วงจร RC / RL อันดับหนึ่ง
R1 | $x(t) = x(\infty) + \left[x(0^+) - x(\infty)\right]e^{-t/\tau} \qquad \tau = RC \ \text{หรือ}\ \dfrac{L}{R}$ |

| วงจร RLC อนุกรม
R2 | $\alpha = \dfrac{R}{2L} \qquad \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \qquad \zeta = \dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L}}$ |

ต้องการค้นสูตรเฉพาะเรื่อง พิมพ์คำในช่อง “ค้นหาสูตรในหน้านี้” ด้านบน เช่น divider, thevenin หรือ tau

## 1. ปริมาณพื้นฐานทางไฟฟ้า พื้นฐาน

วงจรกระแสตรง (DC) คือวงจรที่แหล่งจ่ายมีค่าคงที่ไม่เปลี่ยนตามเวลา ก่อนจะวิเคราะห์วงจรได้ ต้องนิยามปริมาณให้ชัด และตกลงเรื่องทิศกับขั้วให้ตรงกันก่อน

| ปริมาณ | นิยาม | หน่วย SI | หมายเหตุ |

| ประจุ $q$ | สมบัติพื้นฐานของอนุภาค | คูลอมบ์ (C) | $e = 1.602\,176\,634\times10^{-19}$ C เป็นค่าแน่นอนตาม SI ปี 2019 |

| กระแส $i$ | $i = \dfrac{dq}{dt}$ | แอมแปร์ (A = C/s) | ทิศกระแสสมมติตรงข้ามกับทิศการไหลของอิเล็กตรอน |

| แรงดัน $v$ | $v = \dfrac{dw}{dq}$ | โวลต์ (V = J/C) | วัดระหว่างสองจุดเสมอ แรงดันโหนดคือแรงดันเทียบกับกราวด์ |

| กำลัง $p$ | $p = \dfrac{dw}{dt}$ | วัตต์ (W = J/s) | อัตราการถ่ายโอนพลังงาน |

| พลังงาน $w$ | $w = \int p\,dt$ | จูล (J) | 1 kWh = 3.6 MJ (หน่วยบนบิลค่าไฟ) |

| ความต้านทาน $R$ | $R = v/i$ | โอห์ม (Ω) | ความนำ $G = 1/R$ มีหน่วยซีเมนส์ (S) |

### ข้อตกลงเครื่องหมายแบบพาสซีฟ

ถ้ากระแส $i$ ไหลเข้าทางขั้ว + ของแรงดัน $v$ ขององค์ประกอบ กำลัง $p = vi$ คือกำลังที่องค์ประกอบนั้นดูดกลืน ถ้าได้ $p < 0$ แปลว่าองค์ประกอบนั้นจ่ายกำลังออกไป เช่น แบตเตอรี่ที่กำลังจ่ายไฟ

B1 Power and energy กำลังและพลังงาน (ข้อตกลงพาสซีฟ)

$$p = v\,i \qquad w = \int_{t_0}^{t} p\,dt$$

B2 Power balance ผลรวมกำลังของทุกองค์ประกอบเป็นศูนย์

$$\sum_{k=1}^{b} p_k = \sum_{k=1}^{b} v_k\, i_k = 0$$

หลักคิด: กำหนดทิศกระแสและขั้วแรงดันก่อนเขียนสมการทุกครั้ง ทิศที่สมมติผิดไม่ได้ทำให้คำตอบผิด แค่ทำให้ได้ตัวเลขติดลบ ซึ่งบอกว่าทิศจริงตรงข้ามกับที่สมมติ แล็บในหน้านี้ตรวจสมดุลกำลัง B2 ให้ทุกครั้งที่แก้วงจร

### คำนำหน้าหน่วย

p10⁻¹²n10⁻⁹µ10⁻⁶m10⁻³k10³M10⁶G10⁹

ในแล็บพิมพ์ค่าได้ทั้ง 4.7k, 4k7, 10u (= 10 µ), 2m และ 1e-3 ระวังว่า m (มิลลิ) ต่างจาก M (เมกะ)

เครื่องมือ · ถอดรหัสแถบสีตัวต้านทานตัวต้านทาน 4 แถบ

แถบ 1 (หลักแรก)
แถบ 2 (หลักที่สอง)
แถบ 3 (ตัวคูณ)
แถบ 4 (ความคลาดเคลื่อน)

ค่าความต้านทาน—
ช่วงที่ยอมรับได้—
อนุกรม E—

## 2. องค์ประกอบวงจร: R, L, C และแหล่งจ่าย พื้นฐาน

ทุกองค์ประกอบนิยามด้วยความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันกับกระแส เมื่อรู้ความสัมพันธ์นี้ครบ บวกกับกฎของเคอร์ชอฟฟ์ ก็วิเคราะห์วงจรได้ทุกวงจร

E1 Ohm's law · resistivity · temperature กฎของโอห์ม ความต้านทานจำเพาะ และผลของอุณหภูมิ

$$v = Ri \qquad p = i^2R = \frac{v^2}{R} \qquad R = \frac{\rho\,\ell}{A} \qquad R(T) = R_0\left[1 + \alpha\,(T - T_0)\right]$$

E2 Capacitor ตัวเก็บประจุ: แรงดันเปลี่ยนทันทีไม่ได้

$$i = C\,\frac{dv}{dt} \qquad w_C = \tfrac12 Cv^2 \qquad \text{DC: } i = 0 \ (\text{เปิดวงจร})$$

E3 Inductor ตัวเหนี่ยวนำ: กระแสเปลี่ยนทันทีไม่ได้

$$v = L\,\frac{di}{dt} \qquad w_L = \tfrac12 Li^2 \qquad \text{DC: } v = 0 \ (\text{ลัดวงจร})$$

ทองแดงมี $\rho \approx 1.7\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$ และ $\alpha \approx 0.00393\ /^\circ\text{C}$ ที่ 20 °C ตัวต้านทานสลายพลังงานเป็นความร้อนเสมอ ส่วน C และ L เก็บพลังงานไว้แล้วคืนกลับได้

### การรวมค่า

| | ต่ออนุกรม | ต่อขนาน |

| R | $R_{eq} = \sum R_k$ | $\dfrac{1}{R_{eq}} = \sum \dfrac{1}{R_k}$ |

| L | $L_{eq} = \sum L_k$ | $\dfrac{1}{L_{eq}} = \sum \dfrac{1}{L_k}$ |

| C | $\dfrac{1}{C_{eq}} = \sum \dfrac{1}{C_k}$ | $C_{eq} = \sum C_k$ |

### แหล่งจ่าย

- แหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติ รักษาแรงดันคงที่ไม่ว่าจะจ่ายกระแสเท่าใด ห้ามนำสองตัวที่ค่าต่างกันมาขนานกัน

- แหล่งจ่ายกระแสอุดมคติ รักษากระแสคงที่ไม่ว่าแรงดันคร่อมจะเป็นเท่าใด ห้ามนำมาอนุกรมกับวงจรเปิด

- แหล่งจ่ายจริง มีความต้านทานภายใน $r$ จึงได้ $v = V_s - r\,i$ แรงดันขั้วตกลงเมื่อจ่ายกระแสมากขึ้น

แหล่งจ่ายไม่อิสระ (dependent หรือ controlled source) มีค่าขึ้นกับแรงดันหรือกระแสที่อื่นในวงจร เป็นแบบจำลองของทรานซิสเตอร์ ออปแอมป์ และวงจรขยาย ตัวอักษรในวงเล็บคือชื่อที่ SPICE ใช้

| ชนิด | ความสัมพันธ์ | หน่วยของอัตราขยาย |

| VCVS (E) แรงดันควบคุมด้วยแรงดัน | $v = \mu\, v_x$ | V/V |

| VCCS (G) กระแสควบคุมด้วยแรงดัน | $i = g\, v_x$ | A/V = S |

| CCVS (H) แรงดันควบคุมด้วยกระแส | $v = r\, i_x$ | V/A = Ω |

| CCCS (F) กระแสควบคุมด้วยกระแส | $i = \beta\, i_x$ | A/A |

ข้อควรระวัง: เวลาใช้การซ้อนทับหรือหาความต้านทานเทวินิน ให้ดับเฉพาะแหล่งจ่ายอิสระ แหล่งจ่ายไม่อิสระต้องคงไว้เสมอ เพราะมันเป็นส่วนหนึ่งของโครงสร้างวงจร

## 3. กฎของเคอร์ชอฟฟ์และโครงสร้างของวงจร พื้นฐาน

กฎสองข้อนี้ไม่ขึ้นกับว่าองค์ประกอบเป็นอะไร ขึ้นกับรูปแบบการต่อเท่านั้น จึงใช้ได้กับทุกวงจรแบบก้อน (lumped circuit)

- โหนด คือจุดที่องค์ประกอบตั้งแต่สองตัวขึ้นไปต่อกัน สายไฟอุดมคติที่ต่อถึงกันทั้งหมดนับเป็นโหนดเดียว

- กิ่ง คือองค์ประกอบหนึ่งตัว ลูป คือเส้นทางปิด และ เมช คือลูปที่ไม่มีลูปอื่นอยู่ข้างใน (ใช้กับวงจรที่วาดบนระนาบได้)

K1 Kirchhoff's Current Law (KCL) กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ (การอนุรักษ์ประจุ)

$$\sum_{k} i_k^{\text{ออก}} = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \sum i_{\text{เข้า}} = \sum i_{\text{ออก}}$$

K2 Kirchhoff's Voltage Law (KVL) กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ (แรงดันไม่ขึ้นกับเส้นทาง)

$$\sum_{\text{รอบลูป}} v_k = 0$$

K3 Circuit topology จำนวนลูปอิสระและจำนวนสมการ

$$l = b - n + 1 \qquad \text{KCL อิสระ } n-1 \text{ สมการ} \qquad \text{KVL อิสระ } b-n+1 \text{ สมการ}$$

KCL ใช้ได้กับผิวปิดใด ๆ ที่ครอบหลายโหนดไว้ด้วยกัน ซึ่งเป็นที่มาของซูเปอร์โหนด ส่วน K3 บอกว่า KCL $n-1$ สมการ รวมกับ KVL $b-n+1$ สมการ และสมการขององค์ประกอบอีก $b$ สมการ ได้ $2b$ สมการพอดีกับตัวไม่ทราบค่า $2b$ ตัว (แรงดันและกระแสของทุกกิ่ง)

ตัวอย่าง 3.1

### แบ่งกระแสสามทาง: หากระแสในทุกกิ่งแล้วตรวจ KCL

- R2, R3, R4 ขนานกัน: $\tfrac{1}{R_p} = \tfrac{1}{2k}+\tfrac{1}{3k}+\tfrac{1}{6k} = \tfrac{1}{1k}$ ได้ $R_p = 1\ \text{k}\Omega$

- กระแสรวม $I = \dfrac{9}{1k + 1k} = 4.5\ \text{mA}$ แรงดันคร่อมกลุ่มขนาน $V_p = 4.5\ \text{V}$

- $I_2 = 2.25\ \text{mA},\ I_3 = 1.5\ \text{mA},\ I_4 = 0.75\ \text{mA}$ รวมกันได้ 4.5 mA ตรงตาม K1 ในแล็บอ่านค่าได้จากแอมมิเตอร์ AM1–AM3

## 4. อนุกรม ขนาน และการแปลงรูปเครือข่าย พื้นฐาน

ลดรูปวงจรให้เล็กลงก่อนแก้ ทำให้มองเห็นคำตอบได้เร็ว และเป็นพื้นฐานของการใช้สมมาตรในโจทย์ระดับแข่งขัน

S1 Voltage divider วงจรแบ่งแรงดัน

$$v_k = \frac{R_k}{R_1 + R_2 + \cdots + R_N}\,v$$

S2 Current divider วงจรแบ่งกระแส

$$i_k = \frac{G_k}{G_1 + G_2 + \cdots + G_N}\,i \qquad R_1\parallel R_2 = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} \qquad i_1 = \frac{R_2}{R_1+R_2}\,i$$

เครื่องมือ · ผลของโหลดต่อวงจรแบ่งแรงดันVs = 10 V

R1

R2

โหลด RL

ไม่มีโหลด—
มีโหลด—
แรงดันตกลง—
RL ÷ (R1∥R2)—

เมื่อมองจากขั้วออก วงจรแบ่งแรงดันคือแหล่งเทวินินที่มี $R_{th} = R_1\parallel R_2$ ถ้า RL ใหญ่กว่า $R_{th}$ ราว 10 เท่า แรงดันจะตกจากค่าไม่มีโหลดไม่เกินประมาณ 9%

### การแปลงเดลต้า–สตาร์ (Δ–Y)

เมื่อวงจรไม่ใช่อนุกรมหรือขนานล้วน เช่น บริดจ์ ให้แปลงสามเหลี่ยม $R_a, R_b, R_c$ (โดย $R_a$ อยู่ตรงข้ามขั้ว 1) เป็นดาว $R_1, R_2, R_3$ หรือกลับกัน

S3 Δ → Y แปลงสามเหลี่ยมเป็นดาว

$$R_1 = \frac{R_bR_c}{R_a+R_b+R_c},\quad R_2 = \frac{R_cR_a}{R_a+R_b+R_c},\quad R_3 = \frac{R_aR_b}{R_a+R_b+R_c}$$

S4 Y → Δ แปลงดาวเป็นสามเหลี่ยม

$$R_a = \frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1},\quad R_b = \frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_2},\quad R_c = \frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_3}$$

จำง่าย ๆ: แขนดาวแต่ละแขน = ผลคูณของสองด้านสามเหลี่ยมที่ประกบแขนนั้น ÷ ผลรวมทั้งสามด้าน ถ้าทุกตัวเท่ากัน $R_Y = R_\Delta/3$

### บริดจ์วีตสโตนและการใช้สมมาตร

S5 Wheatstone bridge balance เงื่อนไขบริดจ์สมดุล (ไม่มีกระแสในกิ่งกลาง)

$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x} \qquad\Rightarrow\qquad R_x = \frac{R_2R_3}{R_1}$$

หลักการเดียวกันนี้ให้เครื่องมือทรงพลังสองอย่างสำหรับโจทย์ยาก

- จุดที่มีศักย์เท่ากัน (หาได้จากสมมาตร) นำมาเชื่อมกันได้โดยไม่เปลี่ยนกระแสใด ๆ

- กิ่งที่ไม่มีกระแส ตัดออกได้โดยไม่เปลี่ยนแรงดันใด ๆ

บริดจ์วีตสโตนในแล็บ: โวลต์มิเตอร์ VM1 อ่านค่า Va − Vb

## 5. การวิเคราะห์แบบเป็นระบบ: โหนด เมช และ MNA กลาง

เมื่อวงจรลดรูปไม่ได้ ให้ใช้ขั้นตอนที่รับประกันว่าได้คำตอบเสมอ สองวิธีหลักนี้คือหัวใจของวิชาวงจรไฟฟ้าทุกหลักสูตร

### วิธีแรงดันโหนด (Nodal Analysis)

- เลือกโหนดอ้างอิง (กราวด์) มักเลือกโหนดที่มีองค์ประกอบมาต่อมากที่สุด

- ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่เหลือ $v_1, v_2, \dots, v_{n-1}$

- เขียน KCL ที่แต่ละโหนด แทนกระแสในตัวต้านทานด้วย $(v_a - v_b)/R$

- ถ้ามีแหล่งจ่ายแรงดันระหว่างสองโหนดที่ไม่ใช่กราวด์ ให้รวมเป็นซูเปอร์โหนด: เขียน KCL รอบทั้งสองโหนดรวมกัน แล้วเพิ่มสมการ $v_a - v_b = V_s$

- แก้ระบบสมการเชิงเส้น (ดูกฎของคราเมอร์และการกำจัดเกาส์ในบทพีชคณิตเชิงเส้น)

N1 Nodal equations by inspection เมทริกซ์ความนำ (ตัวต้านทาน + แหล่งจ่ายกระแสอิสระ)

$$\mathbf{G}\mathbf{v} = \mathbf{i}, \qquad G_{kk} = \sum (\text{ความนำที่ต่อกับโหนด } k), \qquad G_{kj} = -(\text{ความนำระหว่าง } k \text{ กับ } j)$$

$i_k$ คือผลรวมกระแสจากแหล่งจ่ายที่ไหลเข้าโหนด $k$ ถ้าวงจรไม่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ เมทริกซ์ $\mathbf{G}$ สมมาตรเสมอ

ตัวอย่าง 5.1

### วงจรสองโหนด: หา v₁ และ v₂ ด้วยเมทริกซ์ความนำ

- แปลง Vs = 12 V ที่อนุกรมกับ R1 = 2 Ω เป็นแหล่งจ่ายกระแส 6 A ขนานกับ 2 Ω แล้วเขียนเมทริกซ์โดยการสังเกต

$$\begin{bmatrix} \tfrac12+\tfrac18+\tfrac14 & -\tfrac14 \\[2pt] -\tfrac14 & \tfrac14+\tfrac12 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \end{bmatrix} \ \Rightarrow\ \begin{bmatrix} 0.875 & -0.25 \\ -0.25 & 0.75 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \end{bmatrix}$$

- ดีเทอร์มิแนนต์ $\Delta = 0.875(0.75) - (0.25)^2 = 0.59375$

- กฎของคราเมอร์

$$v_1 = \frac{6(0.75) + 0.25(1)}{0.59375} = 8\ \text{V}, \qquad v_2 = \frac{0.875(1) + 0.25(6)}{0.59375} = 4\ \text{V}$$

### วิธีกระแสเมช (Mesh Analysis)

- ตรวจว่าวงจรวาดบนระนาบได้โดยไม่มีสายไขว้ (ถ้าไม่ได้ ใช้วิธีโหนด)

- กำหนดกระแสเมช $I_1, I_2, \dots$ วนตามเข็มนาฬิกาทุกเมช

- เขียน KVL ทุกเมช กระแสในองค์ประกอบที่ใช้ร่วมกันคือผลต่างของกระแสเมช

- แหล่งจ่ายกระแสที่อยู่ขอบนอกเมชเดียวบอกค่ากระแสเมชนั้นทันที ถ้าอยู่ระหว่างสองเมชให้ใช้ซูเปอร์เมช

N2 Mesh equations by inspection เมทริกซ์ความต้านทาน (ตัวต้านทาน + แหล่งจ่ายแรงดันอิสระ)

$$\mathbf{R}\mathbf{I} = \mathbf{v}, \qquad R_{kk} = \sum (\text{R ในเมช } k), \qquad R_{kj} = -(\text{R ที่ใช้ร่วมระหว่างเมช } k \text{ กับ } j)$$

ตัวอย่าง 5.2

### วงจรสองเมช: หากระแสที่ไหลลงผ่าน R3

- เมชซ้าย: $(1+2)I_1 - 2I_2 = 7$

- เมชขวา: เดินตามเข็มผ่าน V2 จากขั้ว + ไป − จึงเป็นแรงดันตก $-2I_1 + (3+2)I_2 = -1$

- แก้ระบบ

$$\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_1\\ I_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -1\end{bmatrix} \ \Rightarrow\ I_1 = \frac{35-2}{11} = 3\ \text{A},\quad I_2 = \frac{-3+14}{11} = 1\ \text{A}$$

- กระแสลงผ่าน R3 คือ $I_1 - I_2 = 2\ \text{A}$

### เลือกวิธีไหนดี

| ลักษณะวงจร | วิธีที่มักสั้นกว่า |

| จำนวนโหนดลบหนึ่ง $(n-1)$ น้อยกว่าจำนวนเมช | โหนด |

| มีแหล่งจ่ายกระแสหลายตัว หรือมีองค์ประกอบขนานกันมาก | โหนด |

| มีแหล่งจ่ายแรงดันอนุกรมกับตัวต้านทานเป็นสาย ๆ และมีเมชน้อย | เมช |

| วาดบนระนาบไม่ได้ | โหนดเท่านั้น |

| ให้คอมพิวเตอร์แก้วงจรใดก็ได้ | MNA |

### MNA: วิธีที่โปรแกรมจำลองวงจรใช้

วิธีโหนดแบบเดิมจัดการแหล่งจ่ายแรงดันได้ไม่สะดวก Modified Nodal Analysis (Ho, Ruehli และ Brennan, 1975) แก้ปัญหานี้โดยเพิ่มกระแสที่ไหลผ่านแหล่งจ่ายแรงดันเป็นตัวไม่ทราบค่าด้วย

N3 Modified Nodal Analysis ระบบสมการแบบบล็อกที่ SPICE ใช้

$$\begin{bmatrix}\mathbf{G} & \mathbf{B}\\ \mathbf{C} & \mathbf{D}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{v}\\ \mathbf{j}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{i}\\ \mathbf{e}\end{bmatrix}$$

$\mathbf{G}$ มาจากตัวต้านทาน $\mathbf{B}$ และ $\mathbf{C}$ บอกว่าแหล่งจ่ายแรงดันต่อกับโหนดใด $\mathbf{D}$ มาจากแหล่งจ่ายไม่อิสระบางชนิด $\mathbf{j}$ คือกระแสในกิ่งแหล่งจ่ายแรงดัน และ $\mathbf{e}$ คือค่าแรงดันของแหล่งจ่าย การ "วาง" องค์ประกอบแต่ละตัวลงในเมทริกซ์ (stamping) ทำทีละตัวโดยไม่ต้องคิดรูปวงจรรวม จึงเหมาะกับคอมพิวเตอร์

ในแล็บ: แล็บในหน้านี้สร้างเมทริกซ์ MNA ใหม่ทุกครั้งที่คุณแก้วงจร เปิดแท็บ "สมการ MNA" ใต้กระดานเพื่อดูว่าแต่ละองค์ประกอบไปอยู่ตรงไหนของเมทริกซ์

## 6. ทฤษฎีบทวงจร กลาง

ทฤษฎีบทเหล่านี้ไม่ได้ให้ข้อมูลใหม่ที่วิธีโหนดหาไม่ได้ แต่ทำให้คิดได้สั้นลงมาก และเปลี่ยนวิธีมองวงจรจากระบบสมการชุดใหญ่เป็นกล่องที่มีสองขั้ว

### การซ้อนทับ (Superposition)

ในวงจรเชิงเส้น ผลตอบสนองรวมเท่ากับผลรวมของผลตอบสนองจากแหล่งจ่ายอิสระทีละตัว โดยดับตัวอื่น: แหล่งจ่ายแรงดันแทนด้วยลัดวงจร แหล่งจ่ายกระแสแทนด้วยเปิดวงจร ใช้กับแรงดันและกระแสได้ แต่ใช้กับกำลังไม่ได้ เพราะ $p = i^2R$ ไม่เป็นเชิงเส้น

T1 Source transformation การแปลงแหล่งจ่าย

$$v_s \ \text{อนุกรมกับ}\ R \quad\Longleftrightarrow\quad i_s = \frac{v_s}{R}\ \text{ขนานกับ}\ R$$

### ทฤษฎีบทเทวินินและนอร์ตัน

เครือข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ แทนได้ด้วยแหล่งจ่ายแรงดัน $V_{th}$ อนุกรมกับ $R_{th}$ หรือแหล่งจ่ายกระแส $I_N$ ขนานกับ $R_N = R_{th}$

T2 Thévenin / Norton equivalent วงจรสมมูลเทวินินและนอร์ตัน

$$V_{th} = v_{oc}, \qquad I_N = i_{sc}, \qquad R_{th} = R_N = \frac{v_{oc}}{i_{sc}}$$

หา $R_{th}$ ได้สามวิธี (1) ถ้าไม่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ ดับแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานรวมที่มองเข้าไป (2) วัด $v_{oc}$ และ $i_{sc}$ (3) วิธีแหล่งทดสอบ ป้อน $v_t$ แล้วหา $i_t$ ได้ $R_{th} = v_t/i_t$ วิธีนี้จำเป็นเมื่อมีแหล่งจ่ายไม่อิสระ ซึ่งอาจทำให้ $R_{th}$ เป็นศูนย์หรือติดลบได้

ตัวอย่าง 6.1

### หาวงจรสมมูลเทวินินที่ขั้ว a–b แล้วหากำลังสูงสุด

- $V_{th}$: ขั้ว a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสใน R3 จึงได้ $V_{th} = 24\cdot\dfrac{12}{4+12} = 18\ \text{V}$

- $R_{th}$: ลัดวงจร Vs แล้วมองเข้าที่ a–b $R_{th} = (4\parallel 12) + 1 = 3 + 1 = 4\ \Omega$

- ต่อโหลด $R_L = R_{th} = 4\ \Omega$ จะได้กำลังสูงสุด $P_{max} = \dfrac{18^2}{4(4)} = 20.25\ \text{W}$

### การถ่ายโอนกำลังสูงสุด

T3 Maximum power transfer การถ่ายโอนกำลังสูงสุด

$$P_L = \frac{V_{th}^2\,R_L}{(R_{th}+R_L)^2}, \qquad \frac{dP_L}{dR_L} = 0 \ \Rightarrow\ R_L = R_{th}, \qquad P_{max} = \frac{V_{th}^2}{4R_{th}}, \qquad \eta = \frac{R_L}{R_{th}+R_L}$$

เครื่องมือ · กำลังที่โหลดกับประสิทธิภาพแกนนอนเป็นสเกลลอการิทึม

Vth

Rth

โหลด RL

กำลังที่โหลด PL—
Pmax ที่ RL = Rth—
ประสิทธิภาพ η—

PL / Pmaxประสิทธิภาพ η

ที่จุดกำลังสูงสุด ประสิทธิภาพเป็นเพียง 50% ระบบส่งจ่ายกำลังจึงออกแบบให้ $R_L \gg R_{th}$ เพื่อประสิทธิภาพสูง ส่วนงานสัญญาณ เสาอากาศ และการดึงกำลังจากแผงเซลล์แสงอาทิตย์ด้วย MPPT (ดูบทโซลาร์เซลล์) ต้องการดึงกำลังให้ได้มากที่สุด

### ทฤษฎีบทอื่นที่ควรรู้

T4 Millman's theorem กิ่งขนานหลายกิ่ง แต่ละกิ่งมี Vk อนุกรม Rk

$$v = \frac{\sum_k V_k/R_k}{\sum_k 1/R_k}$$

T5 Tellegen's theorem ใช้ได้กับแรงดันใดที่สอดคล้อง KVL และกระแสใดที่สอดคล้อง KCL บนกราฟเดียวกัน

$$\sum_k v_k\, i_k = 0$$

ทฤษฎีบทส่วนกลับ (Reciprocity): ในเครือข่ายตัวต้านทานล้วน สลับตำแหน่งแหล่งจ่ายแรงดันกับแอมมิเตอร์แล้วค่าที่อ่านได้เท่าเดิม แต่ไม่จริงเมื่อมีแหล่งจ่ายไม่อิสระ

## 7. ทรานเซียนต์: เมื่อวงจร DC เปลี่ยนสถานะ กลาง

เมื่อสับสวิตช์ ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำเปลี่ยนพลังงานที่สะสมไว้ทันทีไม่ได้ วงจรจึงค่อย ๆ เคลื่อนเข้าสู่สภาวะคงตัวใหม่ตามฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เนื้อหาเชิงลึกพร้อมแล็บอยู่ที่ระบบอันดับหนึ่งและระบบอันดับสอง

### วงจรอันดับหนึ่ง (RC และ RL)

R1 First-order response ผลตอบสนองของวงจรอันดับหนึ่ง (ทุกตัวแปรใช้สูตรเดียว)

$$x(t) = x(\infty) + \left[x(0^+) - x(\infty)\right]e^{-t/\tau}, \qquad \tau = R_{th}C \ \text{หรือ}\ \tau = \frac{L}{R_{th}}$$

$R_{th}$ คือความต้านทานเทวินินที่ C หรือ L มองเห็น ค่าเริ่มต้นหาจากความต่อเนื่อง $v_C(0^+) = v_C(0^-)$ และ $i_L(0^+) = i_L(0^-)$ ค่าสุดท้ายหาจากวงจร DC (C เปิด L ลัด)

| เวลา | τ | 2τ | 3τ | 4τ | 5τ |

| เข้าใกล้ค่าสุดท้ายแล้ว $1 - e^{-t/\tau}$ | 63.2% | 86.5% | 95.0% | 98.2% | 99.3% |

เครื่องมือ · ผลตอบสนองขั้นของวงจรอันดับหนึ่ง

R

C

ค่าคงตัวเวลา τ—
ถึง 99% ที่ (≈ 4.6τ)—
ค่าสุดท้าย (Vs = 10 V)—

### วงจรอันดับสอง: RLC อนุกรม ขั้นสูง

$$LC\,\frac{d^2v_C}{dt^2} + RC\,\frac{dv_C}{dt} + v_C = V_s$$

R2 Series RLC parameters พารามิเตอร์ของ RLC อนุกรม

$$\alpha = \frac{R}{2L}, \qquad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad \zeta = \frac{\alpha}{\omega_0} = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$$

$\zeta > 1$ หน่วงเกิน (overdamped) · $\zeta = 1$ หน่วงวิกฤต · $\zeta < 1$ หน่วงต่ำ (underdamped) ซึ่งให้ผลตอบสนอง

R3 Underdamped step response ผลตอบสนองขั้นแบบหน่วงต่ำ

$$v_C(t) = V_s\left[1 - e^{-\alpha t}\left(\cos\omega_d t + \frac{\alpha}{\omega_d}\sin\omega_d t\right)\right], \qquad \omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$$

$$\%OS = 100\,e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}, \qquad t_p = \frac{\pi}{\omega_d}$$

ถ้าวัดเวลาเป็น เวลานอร์มัลไลซ์ $\tau_n = \omega_0 t$ สมการจะเหลือ $\ddot{x} + 2\zeta\dot{x} + x = 1$ แปลว่า $\omega_0$ แค่ยืดหรือหดแกนเวลา ส่วนรูปร่างของผลตอบสนองขึ้นกับ $\zeta$ เพียงตัวเดียว

เครื่องมือ · รูปร่างผลตอบสนองตามอัตราส่วนการหน่วงแกนนอน ω₀t

ζ

ลักษณะการหน่วง—
%OS—
ω₀·tp—

vC/Vs ที่ ζ ที่เลือกζ = 1 (หน่วงวิกฤต) สำหรับเทียบ

### คอมพิวเตอร์จำลองเวลาอย่างไร

แบ่งเวลาเป็นก้าวเล็ก ๆ ขนาด $h$ แล้วประมาณอนุพันธ์ด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมู ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำจะกลายเป็นแบบจำลองคู่ขนาน (companion model) คือความนำขนานกับแหล่งจ่ายกระแสที่รู้ค่าจากก้าวก่อนหน้า

R4 Trapezoidal companion models แบบจำลองคู่ขนานของ C และ L

$$i_C^{(n)} = \frac{2C}{h}\,v_C^{(n)} - \left(\frac{2C}{h}v_C^{(n-1)} + i_C^{(n-1)}\right), \qquad i_L^{(n)} = \frac{h}{2L}\,v_L^{(n)} + \left(i_L^{(n-1)} + \frac{h}{2L}v_L^{(n-1)}\right)$$

ข้อสังเกต: ทุกก้าวเวลาจึงเป็นการแก้วงจรตัวต้านทาน DC หนึ่งวงจร ทุกอย่างในหัวข้อ 1–6 จึงเป็นฐานของการจำลองเชิงเวลาด้วย แล็บในหน้านี้ทำแบบนี้ 2,000 ก้าวต่อการจำลองหนึ่งครั้ง

## 8. เทคโนโลยีไฟฟ้ากระแสตรงยุคใหม่ พื้นฐาน

อิเล็กทรอนิกส์กำลังสมัยใหม่แปลงแรงดัน DC ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ไฟฟ้ากระแสตรงจึงกลับมาอยู่ในระบบใหญ่ที่สุดของโลก ตั้งแต่สายส่งข้ามประเทศไปจนถึงศูนย์ข้อมูล AI (ข้อมูล ณ ตุลาคม 2026) หลักการที่อยู่เบื้องหลังเกือบทุกเรื่องคือสมการเดียวจากหัวข้อ 1–2

H1 Conductor loss versus voltage ส่งกำลัง P ที่แรงดัน V ผ่านตัวนำความต้านทาน R

$$P_{loss} = I^2R = \left(\frac{P}{V}\right)^2 R \;\propto\; \frac{1}{V^2}$$

เครื่องมือ · ทำไมต้องแรงดันสูงตัวนำเดียวกัน ส่งกำลังเท่ากัน

กำลังที่ส่ง

R ตัวนำไป–กลับ

ตัวเลขเป็นตัวอย่างประกอบการคิด ไม่ใช่ข้อกำหนดของระบบจริงระบบใดระบบหนึ่ง ระบบจริงต้องคิดฉนวน ความปลอดภัย และประสิทธิภาพของตัวแปลงด้วย

สายส่ง UHVDC±1,100 kV

### สายส่งชางจี๋–กู่เฉวียน ประเทศจีน
ส่งกำลัง 12 GW ระยะทางราว 3,300 km เริ่มใช้งานปี 2019 เป็นสายส่งแรงดันสูงที่สุดในโลก
เชื่อมกับบทเรียน: DC ไม่มีกำลังรีแอกทีฟและไม่มีผลผิว (skin effect) จึงคุ้มกว่า AC เมื่อส่งไกลมากหรือส่งผ่านสายเคเบิลใต้น้ำ อ่านต่อที่ระบบไฟฟ้ากำลัง

ศูนย์ข้อมูล AI800 VDC

### จ่ายไฟ DC ตรงถึงตู้เซิร์ฟเวอร์
NVIDIA พัฒนาร่วมกับ Google และ Microsoft ผ่าน Open Compute Project ตู้จ่ายไฟ 800 VDC สำหรับอาคารเดิมมีกำหนดครึ่งหลังของปี 2026 และศูนย์จ่ายไฟระดับแถวพร้อมบัสเวย์ 800 VDC รองรับได้ถึง 2 MW ต่อแถวในปี 2027
เชื่อมกับบทเรียน: ที่กำลังเท่ากัน 800 V ใช้กระแสราว 1/15 ของระบบ 54 V และลดจำนวนขั้นการแปลงไฟ

รถยนต์ไฟฟ้า800 V · 48 V

### แบตเตอรี่แรงดันสูงขึ้น ระบบไฟรองก็สูงขึ้น
แพลตฟอร์ม 800 V (เช่น Porsche Taycan และ Hyundai E-GMP) ชาร์จด้วยกำลังเท่าเดิมโดยใช้กระแสครึ่งหนึ่งของ 400 V ส่วนระบบไฟรอง 48 V (เช่น Tesla Cybertruck) เริ่มแทน 12 V
เชื่อมกับบทเรียน: 48 V แทน 12 V กระแสเหลือ 1/4 และความสูญเสียในสายไฟเส้นเดิมเหลือ 1/16 อ่านต่อที่ชาร์จรถ EV ที่บ้าน

USB Power Delivery 3.1240 W

### EPR: 48 V × 5 A ผ่านสาย USB-C
Extended Power Range เพิ่มแรงดันคงที่ 28, 36 และ 48 V ที่ 5 A สาย EPR ต้องมีเครื่องหมายระบุชัดเจน
เชื่อมกับบทเรียน: สายจำกัดกระแสไว้ที่ 5 A วิธีเดียวที่จะเพิ่มกำลัง $P = VI$ คือเพิ่มแรงดัน

Power over Ethernet90 W

### IEEE 802.3bt จ่ายไฟผ่านสาย LAN
จ่ายได้ถึง 90 W ที่พอร์ตสวิตช์ (อุปกรณ์ปลายทางได้รับราว 71 W) ที่แรงดันประมาณ 50–57 V DC
เชื่อมกับบทเรียน: ส่วนต่างราว 19 W คือ $I^2R$ ในสายทองแดงยาวสูงสุด 100 m เป็นโจทย์แบ่งแรงดันในชีวิตจริง

ไมโครกริด DCPV + แบตเตอรี่

### แหล่งพลังงานใหม่เป็น DC อยู่แล้ว
แผงโซลาร์เซลล์และแบตเตอรี่ทำงานด้วย DC ระบบต่อร่วมทาง DC (DC-coupled) ลดการแปลง DC→AC→DC ส่วนสวิตช์ SiC และ GaN ทำให้ตัวแปลงทำงานที่ความถี่สูงขึ้น
เชื่อมกับบทเรียน: ความถี่สวิตชิงสูงขึ้น ทำให้ L และ C ที่ต้องใช้มีค่าน้อยลงตาม E2 และ E3 อ่านต่อที่อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

มาตรวิทยาเชิงควอนตัมh/e² · 2e/h

### โวลต์และโอห์มจากค่าคงตัวธรรมชาติ
ตั้งแต่ 20 พฤษภาคม 2019 ค่า $e$ และ $h$ ถูกกำหนดแน่นอน โวลต์สร้างจากปรากฏการณ์โจเซฟสัน $K_J = 2e/h \approx 483\,597.848\ \text{GHz/V}$ โอห์มสร้างจากปรากฏการณ์ฮอลล์เชิงควอนตัม $R_K = h/e^2 \approx 25\,812.807\ \Omega$
เชื่อมกับบทเรียน: มัลติมิเตอร์ที่สอบเทียบแล้วสืบย้อนค่าได้ถึงค่าคงตัวพื้นฐานเหล่านี้ อ่านต่อที่เซ็นเซอร์และมาตรวิทยา

ซอฟต์แวร์จำลองวงจรSPICE + MNA

### จากเบิร์กลีย์ต้นทศวรรษ 1970 ถึงทุกวันนี้
SPICE พัฒนาที่ UC Berkeley และใช้ MNA เป็นแกน โปรแกรมปัจจุบันอย่าง LTspice และ ngspice ยังทำงานบนหลักการเดียวกัน
เชื่อมกับบทเรียน: แล็บด้านล่างคือ SPICE ขนาดเล็กที่เปิดเมทริกซ์ N3 ให้ดูได้

### แหล่งข้อมูล

- NVIDIA: Why Scaling AI Compute Performance Requires a New Power Architecture

- eeNews Europe: Record 1100 kV UHVDC power link rolls out in China

- Plugable: What is 240W USB Extended Power Range (EPR)

// แล็บจำลองวงจร · MNA solver

## 9. แล็บวงจรจำลอง
ต่อวงจรบนกระดานกริด แล้วแล็บจะสร้างและแก้สมการ MNA ทันที สีของสายไฟบอกแรงดันโหนด (ส้ม = บวก ม่วง = ลบ เทา = 0 V) จุดสีน้ำเงินที่เคลื่อนที่แสดงทิศกระแสในแต่ละองค์ประกอบ

ล้างแล้ว กด เลิกทำ เพื่อเรียกคืน

แสดงค่า
ชื่อและแรงดันโหนด
กระแสเคลื่อนที่
สัญลักษณ์ IEC

เวลาจำลอง
เลือกเวลาอัตโนมัติ

ระบบสมการ $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{z}$ ของวงจรบนกระดานในสภาวะคงตัว DC

วงจรบนกระดานถูกจำไว้ในเบราว์เซอร์นี้โดยอัตโนมัติ ถ้าต้องการส่งให้เพื่อนหรือเปิดบนเครื่องอื่น ให้คัดลอกเป็นข้อความ

### การทดลองนำทาง

การทดลอง 1พิสูจน์ KCL

- โหลดวงจร แล้วอ่าน AM1, AM2, AM3
- รวมค่าทั้งสาม เทียบกับกระแสใน R1 จากตารางผล
- เปลี่ยน R4 เป็น 1k แล้วดูว่าผลรวมยังเท่ากับกระแสใน R1 หรือไม่

การทดลอง 2โหลดทำให้แรงดันตก

- อ่าน VM1 เมื่อ RL = 10k
- เปลี่ยน RL เป็น 1k, 100k และ 1M บันทึกค่า
- อธิบายผลด้วย Rth = R1∥R2 = 5 kΩ

การทดลอง 3วัดเทวินินด้วยมือ

- ลบ RL แล้ววางโวลต์มิเตอร์ที่ขั้ว a–b ได้ voc
- เปลี่ยนเป็นแอมมิเตอร์ ได้ isc
- คำนวณ Rth = voc/isc แล้วปรับ RL หาจุดที่ RL ได้กำลังมากที่สุด

การทดลอง 4หาค่า τ จากกราฟ

- โหลดวงจร RC (โหมดทรานเซียนต์)
- เลื่อนเวลาจน v(C1) = 6.32 V อ่านเวลา ควรได้ τ = RC = 1 s
- เพิ่ม C1 เป็นสองเท่า แล้วดูว่า τ เปลี่ยนอย่างไร

การทดลอง 5สามโหมดการหน่วงของ RLC

- R1 = 10 Ω: ดูการแกว่งเกิน (ζ ≈ 0.16)
- R1 = 63.2 Ω: หน่วงวิกฤต เพราะ $R = 2\sqrt{L/C}$
- R1 = 300 Ω: หน่วงเกิน ขึ้นช้าไม่มีแกว่ง

การทดลอง 6บันไดสู่อัตราส่วนทองคำ

- แหล่งจ่ายกระแส 1 A ทำให้ VM1 อ่านค่า Rin ได้ตรง ๆ
- ลบสองชั้นท้ายสุดออกแล้วดูการเปลี่ยนแปลง
- สังเกตว่า Rin ลู่เข้าหา $(1+\sqrt5)/2 \approx 1.618\ \Omega$ เร็วมาก

## 10. คลังโจทย์ 4 ระดับ ขั้นสูง

ไล่จากพื้นฐานถึงระดับโอลิมปิก แต่ละข้อมีคำใบ้และเฉลยละเอียด และหลายข้อเปิดในแล็บเพื่อตรวจคำตอบด้วยการจำลองได้ แถบสีบนป้ายระดับใช้รหัสสีตัวต้านทาน: น้ำตาล 1 แดง 2 ส้ม 3 เหลือง 4

ตอบเป็นตัวเลขในหน่วยที่กำหนด หรือเศษส่วนเช่น 7/12 คลาดเคลื่อนได้ไม่เกิน 1% · ความคืบหน้าจำไว้ในเบราว์เซอร์นี้

### สนามฝึกไม่จำกัด

โจทย์ชุดนี้สุ่มค่าใหม่ทุกครั้ง แล้วให้ตัวแก้ MNA ตัวเดียวกับในแล็บคำนวณคำตอบ ฝึกจนทำถูกติดกันสิบข้อในทุกหมวด ก่อนขึ้นไปทำโจทย์ระดับ 3–4

สนามฝึก · โจทย์สุ่มถูกติดกัน 0 · สูงสุด 0

## 11. เส้นทางสู่ระดับประเทศและระดับโลก

ความเก่งในวิชานี้มาจากการทำซ้ำอย่างมีโครงสร้าง ไม่ใช่การจำสูตร ใช้ลำดับนี้เป็นแผนฝึก แต่ละขั้นมีเกณฑ์ผ่านที่วัดได้

1

### รากฐาน: นิยามและกฎสองข้อ
เขียนทิศกระแสและขั้วแรงดันได้ถูกทุกครั้ง ใช้ KCL KVL และกฎของโอห์มคล่อง ลดรูปอนุกรม–ขนานได้
เกณฑ์ผ่าน: โจทย์ระดับ 1 ครบทุกข้อ และหมวดอนุกรม–ขนานในสนามฝึกถูกติดกัน 10 ข้อ

2

### ระบบ: โหนด เมช และทฤษฎีบท
ตั้งสมการโหนดและเมชเป็นเมทริกซ์ได้โดยไม่ต้องวาดใหม่ เลือกวิธีที่สั้นที่สุดได้ หาเทวินินได้ทั้งสามวิธี วิเคราะห์ RC RL ด้วยสูตรเดียว
เกณฑ์ผ่าน: โจทย์ระดับ 2 ครบ และตรวจคำตอบของตัวเองในแล็บได้ทุกข้อที่มีวงจร

3

### ระดับประเทศ: แหล่งจ่ายไม่อิสระ สมมาตร และอันดับสอง
ใช้วิธีแหล่งทดสอบกับวงจรที่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ มองหาจุดศักย์เท่ากันในบริดจ์ วิเคราะห์ RLC ด้วย ζ และ ω₀ เทียบได้กับโจทย์คัดเลือกโอลิมปิกฟิสิกส์ระดับประเทศและข้อสอบวงจรระดับมหาวิทยาลัย
เกณฑ์ผ่าน: โจทย์ระดับ 3 ถูกอย่างน้อย 5 ใน 6 ข้อโดยไม่เปิดเฉลย

4

### ระดับโลก: โครงสร้างแทนการคำนวณ
มองเครือข่ายเป็นกราฟ ใช้ทฤษฎีบทของฟอสเตอร์ การซ้อนทับกับเครือข่ายอนันต์ และหลักพลังงาน เพื่อได้คำตอบโดยแทบไม่ต้องแก้สมการ แนวคิดแบบนี้พบในโจทย์ IPhO และ APhO
เกณฑ์ผ่าน: อธิบายเฉลยระดับ 4 ทุกข้อให้คนอื่นฟังได้ด้วยคำพูดของตัวเอง

### ตำราและแหล่งฝึกเพิ่มเติม

- C. K. Alexander และ M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits ตำราหลักที่ใช้ในหลักสูตรวิศวกรรมไฟฟ้าทั่วโลก

- W. H. Hayt, J. E. Kemmerly และ S. M. Durbin, Engineering Circuit Analysis

- I. E. Irodov, Problems in General Physics ภาคไฟฟ้ากระแสตรง โจทย์สั้นแต่ลึก เหมาะกับการเตรียมแข่งขัน

- ข้อสอบย้อนหลังของการแข่งขันฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างประเทศ (IPhO) และเอเชีย (APhO)

- บทต่อยอดในเว็บนี้: การแปลงลาปลาซ (วิเคราะห์ทรานเซียนต์ทุกอันดับ), แล็บเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคป และอิเล็กทรอนิกส์กำลัง

## คำถามที่พบบ่อย

สูตรวงจรไฟฟ้ากระแสตรงที่ต้องจำมีอะไรบ้าง?
หลัก ๆ คือกฎของโอห์ม $V = IR$ และกำลัง $P = VI = I^2R = V^2/R$, ความต้านทานรวมแบบอนุกรม $R_1 + R_2 + \cdots$ และแบบขนาน $1/R_{eq} = \sum 1/R_k$, วงจรแบ่งแรงดันและแบ่งกระแส, KCL และ KVL, วงจรสมมูลเทวินิน และค่าคงตัวเวลา $\tau = RC$ หรือ $L/R$ ตารางสรุปสูตรอยู่ต้นหน้านี้ แต่ละสูตรลิงก์ไปการ์ดที่มีที่มาและตัวอย่าง

วงจรไฟฟ้ากระแสตรงวิเคราะห์ด้วยหลักอะไรบ้าง?
ใช้สามอย่างเสมอ คือความสัมพันธ์แรงดัน-กระแสขององค์ประกอบ (เช่น $v = Ri$) กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ (ผลรวมกระแสที่โหนดเป็นศูนย์) และกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ (ผลรวมแรงดันรอบลูปเป็นศูนย์) วิธีโหนด วิธีเมช และทฤษฎีบททั้งหมดเป็นการจัดสามข้อนี้ให้เป็นระบบ

ควรเลือกวิธีโหนดหรือวิธีเมช?
นับจำนวนสมการก่อน วิธีโหนดใช้ $n-1$ สมการ วิธีเมชใช้ $b-n+1$ สมการ เลือกวิธีที่สมการน้อยกว่า วงจรที่มีแหล่งจ่ายกระแสมากมักง่ายด้วยวิธีโหนด วงจรที่วาดบนระนาบไม่ได้ต้องใช้วิธีโหนดเท่านั้น

ในสภาวะคงตัวกระแสตรง ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำทำตัวอย่างไร?
ตัวเก็บประจุเปิดวงจร (กระแสเป็นศูนย์) เพราะ $i = C\,dv/dt = 0$ ส่วนตัวเหนี่ยวนำลัดวงจร (แรงดันเป็นศูนย์) เพราะ $v = L\,di/dt = 0$ แต่ทั้งสองยังสะสมพลังงาน $\tfrac12 Cv^2$ และ $\tfrac12 Li^2$ อยู่

กำลังสูงสุดที่ส่งให้โหลดได้คือเท่าใด?
เมื่อความต้านทานโหลดเท่ากับความต้านทานเทวินิน $R_L = R_{th}$ โหลดได้กำลัง $P_{max} = V_{th}^2/(4R_{th})$ และประสิทธิภาพที่จุดนี้เป็นเพียง 50%

แล็บในหน้านี้คำนวณวงจรอย่างไร?
ใช้ Modified Nodal Analysis (MNA) แบบเดียวกับ SPICE สร้างเมทริกซ์จากองค์ประกอบทุกตัวแล้วแก้ระบบสมการเชิงเส้น โหมดทรานเซียนต์ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งเปลี่ยน C และ L ให้เป็นความนำขนานกับแหล่งจ่ายกระแสในทุกก้าวเวลา

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**สูตรวงจรไฟฟ้ากระแสตรงที่ต้องจำมีอะไรบ้าง?**
หลัก ๆ คือกฎของโอห์ม $V = IR$ และกำลัง $P = VI = I^2R = V^2/R$, ความต้านทานรวมแบบอนุกรม $R_1 + R_2 + \cdots$ และแบบขนาน $1/R_{eq} = \sum 1/R_k$, วงจรแบ่งแรงดันและแบ่งกระแส, KCL และ KVL, วงจรสมมูลเทวินิน และค่าคงตัวเวลา $\tau = RC$ หรือ $L/R$ ตารางสรุปสูตรอยู่ต้นหน้านี้ แต่ละสูตรลิงก์ไปการ์ดที่มีที่มาและตัวอย่าง

**วงจรไฟฟ้ากระแสตรงวิเคราะห์ด้วยหลักอะไรบ้าง?**
ใช้สามอย่างเสมอ คือความสัมพันธ์แรงดัน-กระแสขององค์ประกอบ (เช่น $v = Ri$) กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ (ผลรวมกระแสที่โหนดเป็นศูนย์) และกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ (ผลรวมแรงดันรอบลูปเป็นศูนย์) วิธีโหนด วิธีเมช และทฤษฎีบททั้งหมดเป็นการจัดสามข้อนี้ให้เป็นระบบ

**ควรเลือกวิธีโหนดหรือวิธีเมช?**
นับจำนวนสมการก่อน วิธีโหนดใช้ $n-1$ สมการ วิธีเมชใช้ $b-n+1$ สมการ เลือกวิธีที่สมการน้อยกว่า วงจรที่มีแหล่งจ่ายกระแสมากมักง่ายด้วยวิธีโหนด วงจรที่วาดบนระนาบไม่ได้ต้องใช้วิธีโหนดเท่านั้น

**ในสภาวะคงตัวกระแสตรง ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำทำตัวอย่างไร?**
ตัวเก็บประจุเปิดวงจร (กระแสเป็นศูนย์) เพราะ $i = C\,dv/dt = 0$ ส่วนตัวเหนี่ยวนำลัดวงจร (แรงดันเป็นศูนย์) เพราะ $v = L\,di/dt = 0$ แต่ทั้งสองยังสะสมพลังงาน $\tfrac12 Cv^2$ และ $\tfrac12 Li^2$ อยู่

**กำลังสูงสุดที่ส่งให้โหลดได้คือเท่าใด?**
เมื่อความต้านทานโหลดเท่ากับความต้านทานเทวินิน $R_L = R_{th}$ โหลดได้กำลัง $P_{max} = V_{th}^2/(4R_{th})$ และประสิทธิภาพที่จุดนี้เป็นเพียง 50%

**แล็บในหน้านี้คำนวณวงจรอย่างไร?**
ใช้ Modified Nodal Analysis (MNA) แบบเดียวกับ SPICE สร้างเมทริกซ์จากองค์ประกอบทุกตัวแล้วแก้ระบบสมการเชิงเส้น โหมดทรานเซียนต์ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งเปลี่ยน C และ L ให้เป็นความนำขนานกับแหล่งจ่ายกระแสในทุกก้าวเวลา

---

# อนุพันธ์ (Differential Calculus): นิยาม สูตร และวิธีทำทีละขั้น

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/differential-calculus/
Updated: 2026-10-14
Summary: อนุพันธ์ภาษาไทยครบในหน้าเดียว นิยามจากเส้นตัดสู่เส้นสัมผัสแบบลากได้ สูตรอนุพันธ์พร้อมชื่อสากลทุกกลุ่ม ผลคูณ ผลหาร กฎลูกโซ่ อนุพันธ์โดยปริยาย ลอการิทึม ตรีโกณผกผัน อันดับสูง อิงพารามิเตอร์ อัตราสัมพัทธ์ ค่าสูงสุด-ต่ำสุด เว้า จุดเปลี่ยนเว้า ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย การประมาณเชิงเส้น และวิธีนิวตัน-ราฟสัน พร้อมหน้าการประยุกต์ในงานไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา

// บทที่ 4 · คณิตศาสตร์วิศวกรรม · Differential Calculus

# อนุพันธ์ (Differential Calculus): นิยาม สูตร และวิธีทำทีละขั้น

อนุพันธ์วัดว่าสิ่งหนึ่งเปลี่ยนเร็วแค่ไหนเทียบกับอีกสิ่ง เป็นภาษาของความเร็ว กระแส กำลัง ความชันของคาน และการหาจุดที่ดีที่สุด หน้านี้รวมทุกอย่างที่ต้องใช้ตั้งแต่นิยามที่ลากดูได้ สูตรครบทุกกลุ่มพร้อมรหัส D ไปจนถึงการหาค่าสุดขีดและนิวตัน-ราฟสัน ส่วนตัวอย่างงานจริงในวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา แยกไว้ในหน้าการประยุกต์

สรุปใน 30 วินาที

- $f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ = ความชันของเส้นสัมผัส = อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง

- $(x^n)' = nx^{n-1}$ · $(uv)' = u'v + uv'$ · $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ · $f(g(x))' = f'(g)g'$

- จุดวิกฤต f′ = 0 → f″ < 0 สูงสุด · f″ > 0 ต่ำสุด

- ใกล้จุด a: $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ และหารากด้วย $x_{n+1} = x_n - f/f'$

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง เชิงตัวเลข

## นิยาม: จากเส้นตัดสู่เส้นสัมผัส พื้นฐาน

ความชันของเส้นตัดผ่านสองจุดบนกราฟคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย เมื่อเลื่อนจุดที่สองเข้าหาจุดแรก (h → 0) เส้นตัดจะหมุนเข้าหาเส้นสัมผัส ความชันที่ได้คืออนุพันธ์

D1 Derivative นิยามอนุพันธ์

$$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

สัญลักษณ์: $f'(x)$ (ลากรองจ์) · $\frac{dy}{dx}$ (ไลบ์นิซ) · $\dot x$ (นิวตัน ใช้กับเวลา) · $Df$

D2 Tangent line สมการเส้นสัมผัส

$$y = f(a) + f'(a)(x - a)$$

D3 Differentiability หาอนุพันธ์ได้ ⇒ ต่อเนื่อง

$$f'(a) \text{ มีค่า} \Rightarrow f \text{ ต่อเนื่องที่ } a\quad(\text{กลับกันไม่จริง: } |x| \text{ ที่ } 0)$$

ตัวอย่าง D-1 · จากนิยาม

### หาอนุพันธ์ของ $f(x) = x^2$ และ $g(x) = \sqrt x$ จากนิยาม

-
$$\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \xrightarrow{h\to0} 2x$$

- คูณคอนจูเกต (เหมือนตัวอย่าง L-5)

$$\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt x}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt x}{\sqrt{x+h} + \sqrt x} = \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt x} \xrightarrow{h\to0} \frac{1}{2\sqrt x}$$

$(x^2)' = 2x$, $(\sqrt x)' = \dfrac{1}{2\sqrt x}$ ตรงกับกฎยกกำลัง $nx^{n-1}$ ที่ $n = 2$ และ $n = \tfrac12$

## แล็บเส้นตัด → เส้นสัมผัส และกราฟของอนุพันธ์

ลากจุดสีส้มไปตามกราฟ และเลื่อน h ลงไปที่ศูนย์ กราฟล่างคือ $f'(x)$ (เขียว) และ $f''(x)$ (ม่วง เส้นประ) จุดเขียวบนแกน x คือจุดวิกฤตที่ f′ = 0 สังเกตว่าตรงที่ f′ เป็นบวก กราฟบนกำลังขึ้นเสมอ พิมพ์ฟังก์ชันของคุณเองได้

## สูตรอนุพันธ์ครบทุกกลุ่ม พื้นฐาน

### กฎพื้นฐาน

D4 Constant rule ค่าคงที่

$$\frac{d}{dx}c = 0$$

D5 Power rule กฎยกกำลัง

$$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1},\quad n \in \mathbb{R}$$
กรณี n เป็นจำนวนนับ พิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

D6 Linearity ผลบวกและตัวคูณ

$$(af + bg)' = af' + bg'$$

D7 Product rule ผลคูณ

$$(uv)' = u'v + uv'$$

D8 Quotient rule ผลหาร

$$\left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

D9 Chain rule กฎลูกโซ่

$$\frac{d}{dx}f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\,g'(x),\qquad \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$

### เอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

D10 Natural exponential

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x,\qquad \frac{d}{dx}e^{ax} = ae^{ax}$$

D11 General exponential

$$\frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$$

D12 Natural logarithm

$$\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac1x$$

D13 Logarithm base a

$$\frac{d}{dx}\log_ax = \frac{1}{x\ln a}$$

### ตรีโกณมิติ

D14 sin, cos

$$(\sin x)' = \cos x,\qquad (\cos x)' = -\sin x$$

D15 tan, cot

$$(\tan x)' = \sec^2x,\qquad (\cot x)' = -\csc^2x$$

D16 sec, csc

$$(\sec x)' = \sec x\tan x,\qquad (\csc x)' = -\csc x\cot x$$

### ตรีโกณผกผันและไฮเพอร์โบลิก

D17 arcsin, arccos

$$(\sin^{-1}x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad (\cos^{-1}x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

D18 arctan, arccot

$$(\tan^{-1}x)' = \frac{1}{1+x^2},\qquad (\cot^{-1}x)' = -\frac{1}{1+x^2}$$

D19 Hyperbolic

$$(\sinh x)' = \cosh x,\qquad (\cosh x)' = \sinh x$$

ตัวอย่าง D-2 · ผลคูณและผลหาร

### (ก) $\dfrac{d}{dx}\left(x^2\sin x\right)$ (ข) $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^2+1}{x-1}$

- (ก) $u = x^2,\ v = \sin x$ D7

$$2x\sin x + x^2\cos x$$

- (ข) $u = x^2 + 1,\ v = x - 1$ D8

$$\frac{2x(x-1) - (x^2+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$$

(ก) $2x\sin x + x^2\cos x$ · (ข) $\dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$

## กฎลูกโซ่ อนุพันธ์โดยปริยาย และลอการิทึม กลาง

ตัวอย่าง D-3 · กฎลูกโซ่

### (ก) $\dfrac{d}{dx}(3x^2+1)^5$ (ข) $\dfrac{d}{dt}V_m\sin(\omega t + \phi)$ (ค) $\dfrac{d}{dt}e^{-t/\tau}$

- (ก) ชั้นนอก $(\ )^5$ ชั้นใน $3x^2 + 1$ D9

$$5(3x^2+1)^4\cdot 6x = 30x(3x^2+1)^4$$

- (ข) $V_m\cos(\omega t + \phi)\cdot\omega = \omega V_m\cos(\omega t + \phi)$ — ความถี่ยิ่งสูง อนุพันธ์ยิ่งใหญ่

- (ค) $e^{-t/\tau}\cdot\left(-\dfrac1\tau\right) = -\dfrac{1}{\tau}e^{-t/\tau}$ — ความชันเริ่มต้นเป็น $-1/\tau$

กฎลูกโซ่คือเหตุที่ $i = C\,dv/dt$ ของแรงดันไซน์ได้ $\omega CV_m$ และเป็นที่มาของ $X_C = 1/(\omega C)$

D20 Implicit differentiation อนุพันธ์โดยปริยาย

$$F(x, y) = 0 \Rightarrow \text{หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบ } x \text{ โดยถือ } y = y(x)$$

D21 Logarithmic differentiation ใส่ ln ก่อนหาอนุพันธ์

$$y = f(x)^{g(x)} \Rightarrow \frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\big[g\ln f\big]$$

ตัวอย่าง D-4 · โดยปริยายและลอการิทึม

### (ก) ความชันของวงกลม $x^2 + y^2 = 25$ ที่ $(3, 4)$ (ข) $\dfrac{d}{dx}x^x$

- (ก) $2x + 2y\,y' = 0 \Rightarrow y' = -x/y$ ที่ $(3, 4)$: $y' = -\tfrac34$

- (ข) $\ln y = x\ln x \Rightarrow \dfrac{y'}{y} = \ln x + 1 \Rightarrow y' = x^x(\ln x + 1)$

(ก) $-\tfrac34$ (ตั้งฉากกับรัศมีที่มีความชัน $\tfrac43$) · (ข) $x^x(1 + \ln x)$

## อนุพันธ์อันดับสูง และฟังก์ชันอิงพารามิเตอร์ กลาง

D22 Higher derivatives อนุพันธ์อันดับสูง

$$f''(x) = \frac{d^2y}{dx^2},\quad f^{(n)}(x) = \frac{d^ny}{dx^n}$$

ตำแหน่ง → ความเร็ว → ความเร่ง → jerk · $f''$ บอกความเว้า

D23 Parametric curves อิงพารามิเตอร์

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt},\qquad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$$

ตัวอย่าง D-5 · การสั่นแบบฮาร์มอนิก

### แสดงว่า $y = A\cos\omega t + B\sin\omega t$ สอดคล้อง $y'' + \omega^2 y = 0$

-
$$y' = -A\omega\sin\omega t + B\omega\cos\omega t,\qquad y'' = -A\omega^2\cos\omega t - B\omega^2\sin\omega t = -\omega^2y$$

$y'' + \omega^2y = 0$ ✓ คือสมการของวงจร LC ไม่มีความต้านทานและมวล-สปริงไม่มีแรงหน่วง ความถี่ $\omega = 1/\sqrt{LC}$ หรือ $\sqrt{k/m}$

## อัตราสัมพัทธ์ (Related Rates) กลาง

เมื่อหลายปริมาณเปลี่ยนตามเวลาและผูกกันด้วยสมการ ให้หาอนุพันธ์ทั้งสมการเทียบ t (ใช้กฎลูกโซ่ทุกตัวแปร) แล้วแทนค่า ณ ขณะที่ถาม

ตัวอย่าง D-6 · บันไดลื่น

### บันไดยาว 5 m พิงผนัง ปลายล่างเลื่อนออกด้วยอัตรา 0.5 m/s ขณะปลายล่างห่างผนัง 3 m ปลายบนเลื่อนลงเร็วเท่าใด

- $x^2 + y^2 = 25$ หาอนุพันธ์เทียบ t: $2x\dot x + 2y\dot y = 0$

- ขณะ $x = 3$: $y = 4$

$$\dot y = -\frac{x\dot x}{y} = -\frac{3(0.5)}{4} = -0.375\ \text{m/s}$$

ปลายบนเลื่อนลง 0.375 m/s (เครื่องหมายลบ = ลดลง)

## ค่าสูงสุด ต่ำสุด ความเว้า และการวาดกราฟ พื้นฐาน

D24 Critical points จุดวิกฤต

$$f'(c) = 0 \text{ หรือ } f'(c) \text{ ไม่นิยาม}$$

D25 First derivative test

$$f': +\to- \Rightarrow \text{สูงสุด},\qquad -\to+ \Rightarrow \text{ต่ำสุด}$$

D26 Second derivative test

$$f'(c) = 0:\ f''(c) < 0 \Rightarrow \text{สูงสุด},\ f''(c) > 0 \Rightarrow \text{ต่ำสุด}$$

D27 Concavity & inflection ความเว้า

$$f'' > 0 \text{ เว้าขึ้น},\ f'' < 0 \text{ เว้าลง},\ f'' \text{ เปลี่ยนเครื่องหมาย} \Rightarrow \text{จุดเปลี่ยนเว้า}$$

D28 Closed-interval method ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บน [a, b]

$$\max_{[a,b]}f = \max\{f(a),\ f(b),\ f(c_1),\ \dots\},\quad c_i = \text{จุดวิกฤตใน } (a, b)$$

ตัวอย่าง D-7 · ค่าสุดขีดบนช่วงปิด

### หาค่าสูงสุดและต่ำสุดสัมบูรณ์ของ $f(x) = x^3 - 3x$ บน $[-2, 3]$

- $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm1$ (อยู่ในช่วงทั้งคู่)

- เทียบค่า: $f(-2) = -2$, $f(-1) = 2$, $f(1) = -2$, $f(3) = 18$

สูงสุดสัมบูรณ์ 18 ที่ $x = 3$ (ปลายช่วง ไม่ใช่จุดวิกฤต) · ต่ำสุดสัมบูรณ์ −2 ที่ $x = -2$ และ $x = 1$ · ค่า 2 ที่ $x = -1$ เป็นเพียงสูงสุดสัมพัทธ์

ปัญหาหาค่าเหมาะสมในงานจริง (กล่อง กระป๋อง ถ่ายโอนกำลังสูงสุด คานจากซุง) พร้อมแล็บ อยู่ในหน้าการประยุกต์

## ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยและการประมาณเชิงเส้น กลาง

D29 Mean value theorem ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย

$$\exists c \in (a, b):\ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

f ต่อเนื่องบน [a, b] หาอนุพันธ์ได้บน (a, b) · กรณี $f(a) = f(b)$ คือทฤษฎีบทของโรล · ตัวอย่าง: ขับรถเฉลี่ย 90 km/h แปลว่ามีขณะหนึ่งที่มาตรวัดชี้ 90 พอดี

D30 Linearization การประมาณเชิงเส้น

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$$

พื้นฐานของแบบจำลองสัญญาณเล็ก (small-signal) ของทรานซิสเตอร์และการทำให้ระบบไม่เชิงเส้นเป็นเชิงเส้นในวิชาควบคุม

D31 Differentials & error propagation การแพร่ของความคลาดเคลื่อน

$$dy = f'(x)\,dx,\qquad y = kx^n \Rightarrow \frac{dy}{y} = n\frac{dx}{x}$$

ตัวอย่าง D-8 · ประมาณและความคลาดเคลื่อน

### (ก) ประมาณ $\sqrt{4.1}$ (ข) วัด $V = 230$ V คลาด ±1% กำลังในตัวต้านทาน $P = V^2/R$ คลาดกี่ %

- (ก) $f = \sqrt x,\ a = 4$: $f(4) = 2,\ f'(4) = \tfrac{1}{4}$

$$\sqrt{4.1} \approx 2 + \tfrac14(0.1) = 2.025$$

- (ข) $P \propto V^2$ ใช้ D31 ด้วย $n = 2$: $\dfrac{dP}{P} = 2\dfrac{dV}{V} = 2(\pm1\%)$

(ก) 2.025 (ค่าจริง 2.02485 คลาด 0.007%) · (ข) ±2% ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์คูณด้วยเลขชี้กำลังเสมอ

## วิธีนิวตัน-ราฟสัน (Newton–Raphson) ขั้นสูง

หารากของ $f(x) = 0$ โดยลากเส้นสัมผัสที่จุดปัจจุบันลงไปตัดแกน x แล้วใช้จุดตัดเป็นค่าประมาณถัดไป ใกล้รากจำนวนหลักทศนิยมที่ถูกเพิ่มเป็นสองเท่าทุกรอบ (ลู่เข้าแบบกำลังสอง) โปรแกรมจำลองวงจรอย่าง SPICE ใช้วิธีนี้หาจุดทำงานของไดโอดและทรานซิสเตอร์

D32 Newton–Raphson iteration

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

ล้มเหลวได้ถ้า $f'(x_n) \approx 0$ หรือเริ่มไกลรากเกินไป · $\sqrt{a}$: $x_{n+1} = \tfrac12\left(x_n + \tfrac{a}{x_n}\right)$ (วิธีของชาวบาบิโลน)

ตัวอย่าง D-9 · ตัวอย่างดั้งเดิมของนิวตัน

### หารากของ $x^3 - 2x - 5 = 0$ เริ่มที่ $x_0 = 2$

- $f'(x) = 3x^2 - 2$ · $x_1 = 2 - \dfrac{8 - 4 - 5}{12 - 2} = 2 + 0.1 = 2.1$

- $x_2 = 2.1 - \dfrac{9.261 - 4.2 - 5}{13.23 - 2} = 2.1 - \dfrac{0.061}{11.23} = 2.0945681$

- $x_3 = 2.0945515$ · $x_4 = 2.0945514815$

ราก $\approx 2.0945514815$ ใช้เพียง 4 รอบได้ 10 หลัก

## หน้าในชุดอนุพันธ์และค้นหาสูตร

d/dt4.1
การประยุกต์อนุพันธ์ทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา
Applications of Derivatives in Electrical, Mechanical & Civil Engineering
i = C dv/dt, v = L di/dt ถ่ายโอนกำลังสูงสุด ความไว ความเร็ว-ความเร่ง กลไกข้อเหวี่ยง ออกแบบภาชนะต้นทุนต่ำสุด ความชันและความโค้งของคาน แรงเฉือน dM/dx และการหาค่าเหมาะสมที่สุด
เปิดหน้า →สูตร A1, A2, …

## คำถามที่พบบ่อย

อนุพันธ์คืออะไรในภาษาง่าย ๆ?
อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง หรือความชันของเส้นสัมผัสกราฟ เช่น ความเร็วคืออนุพันธ์ของตำแหน่ง กระแสคืออนุพันธ์ของประจุ และกระแสในตัวเก็บประจุเป็นสัดส่วนกับอนุพันธ์ของแรงดัน $i = C\,dv/dt$

กฎลูกโซ่ใช้เมื่อไร?
เมื่อมีฟังก์ชันซ้อนฟังก์ชัน เช่น $\sin(\omega t)$, $e^{-t/\tau}$, $(3x^2+1)^5$ ให้หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันชั้นนอกโดยคงข้างในไว้ แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของข้างใน $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

หาค่าสูงสุด-ต่ำสุดอย่างไร?
หาจุดวิกฤตที่ f′ = 0 หรือไม่นิยาม แล้วทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง (f″ 0 ต่ำสุด) หรือดูการเปลี่ยนเครื่องหมายของ f′ ถ้าเป็นช่วงปิดต้องเทียบกับค่าที่ปลายช่วงด้วย

ฟังก์ชันต่อเนื่องหาอนุพันธ์ได้เสมอไหม?
ไม่ หาอนุพันธ์ได้ทำให้ต่อเนื่อง แต่กลับกันไม่จริง เช่น $|x|$ ต่อเนื่องที่ x = 0 แต่มีมุมแหลม ความชันซ้ายเป็น −1 ขวาเป็น 1 จึงไม่มีอนุพันธ์ที่จุดนั้น

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**อนุพันธ์คืออะไรในภาษาง่าย ๆ?**
อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง หรือความชันของเส้นสัมผัสกราฟ เช่น ความเร็วคืออนุพันธ์ของตำแหน่ง กระแสคืออนุพันธ์ของประจุ และกระแสในตัวเก็บประจุเป็นสัดส่วนกับอนุพันธ์ของแรงดัน $i = C\,dv/dt$

**กฎลูกโซ่ใช้เมื่อไร?**
เมื่อมีฟังก์ชันซ้อนฟังก์ชัน เช่น $\sin(\omega t)$, $e^{-t/\tau}$, $(3x^2+1)^5$ ให้หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันชั้นนอกโดยคงข้างในไว้ แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของข้างใน $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

**หาค่าสูงสุด-ต่ำสุดอย่างไร?**
หาจุดวิกฤตที่ f′ = 0 หรือไม่นิยาม แล้วทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง (f″  0 ต่ำสุด) หรือดูการเปลี่ยนเครื่องหมายของ f′ ถ้าเป็นช่วงปิดต้องเทียบกับค่าที่ปลายช่วงด้วย

**ฟังก์ชันต่อเนื่องหาอนุพันธ์ได้เสมอไหม?**
ไม่ หาอนุพันธ์ได้ทำให้ต่อเนื่อง แต่กลับกันไม่จริง เช่น $|x|$ ต่อเนื่องที่ x = 0 แต่มีมุมแหลม ความชันซ้ายเป็น −1 ขวาเป็น 1 จึงไม่มีอนุพันธ์ที่จุดนั้น

---

# การประยุกต์อนุพันธ์ทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/differential-calculus/engineering-applications/
Updated: 2026-10-14
Summary: อนุพันธ์ในงานวิศวกรรมจริงพร้อมตัวอย่างตัวเลข ไฟฟ้า: กระแสตัวเก็บประจุ แรงดันตัวเหนี่ยวนำ กฎของฟาราเดย์ ถ่ายโอนกำลังสูงสุด ความต้านทานสัญญาณเล็กของไดโอด ความไว · เครื่องกล: ความเร็ว ความเร่ง กลไกข้อเหวี่ยง-ก้านสูบ การนำความร้อน กำลังสูงสุดของมอเตอร์ · โยธา: ความชันและโมเมนต์ของคาน การโก่ง โค้งทางดิ่งของถนน หน้าตัดรางน้ำที่ดีที่สุด และความคลาดเคลื่อนงานสำรวจ พร้อมแล็บโต้ตอบ

// บทที่ 4.1 · อนุพันธ์ · Engineering Applications

# การประยุกต์อนุพันธ์ทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา

อนุพันธ์ไม่ใช่แค่แบบฝึกหัดในห้อง ทุกสาขาวิศวกรรมใช้มันทุกวัน: วิศวกรไฟฟ้าใช้หากระแสในตัวเก็บประจุและแรงดันกระชากของขดลวด วิศวกรเครื่องกลใช้หาความเร็วและความเร่งของกลไก วิศวกรโยธาใช้อ่านความชันและโมเมนต์ของคาน และทุกสาขาใช้หาจุดที่ดีที่สุด หน้านี้แยกตามสาขา ทุกตัวอย่างมีตัวเลขจริงและแล็บให้ลอง สูตรใช้รหัส A

สรุปใน 30 วินาที

- ไฟฟ้า: $i = C\frac{dv}{dt}$, $v = L\frac{di}{dt}$, $e = -N\frac{d\Phi}{dt}$, กำลังสูงสุดเมื่อ $R_L = R_s$

- เครื่องกล: $v = \dot x,\ a = \dot v$, $q = -k\frac{dT}{dx}$, $P = T\omega$ สูงสุดที่ครึ่งความเร็วไร้โหลด

- โยธา: $V = \frac{dM}{dx}$, $\theta = \frac{dy}{dx}$, $M = EI\frac{d^2y}{dx^2}$ โมเมนต์สูงสุดที่ V = 0

- ทุกสาขา: ค่าเหมาะสมอยู่ที่อนุพันธ์ = 0 และความคลาดเคลื่อน $dy = f'(x)dx$

## วิศวกรรมไฟฟ้า: C, L, ฟาราเดย์ และกำลัง พื้นฐาน

A1 Capacitor ตัวเก็บประจุ

$$i_C = C\frac{dv_C}{dt}$$

แรงดันคงที่ → ไม่มีกระแส (DC เปิดวงจร) · แรงดันกระโดด → กระแสอนันต์ จึงเป็นไปไม่ได้

A2 Inductor ตัวเหนี่ยวนำ

$$v_L = L\frac{di_L}{dt}$$

กระแสคงที่ → ไม่มีแรงดัน (DC ลัดวงจร) · ตัดกระแสเร็ว → แรงดันกระชากสูงมาก

A3 Faraday's law กฎของฟาราเดย์

$$e = -N\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d\lambda}{dt}$$

A4 Maximum power transfer ถ่ายโอนกำลังสูงสุด

$$P = \frac{V_s^2R_L}{(R_s + R_L)^2},\quad \frac{dP}{dR_L} = 0 \Rightarrow R_L = R_s,\ P_{\max} = \frac{V_s^2}{4R_s}$$

A5 Small-signal resistance ความต้านทานพลวัต

$$r_d = \frac{dV_D}{dI_D} = \frac{nV_T}{I_D}$$

ความชันของกราฟ I-V ที่จุดทำงาน = การประมาณเชิงเส้น D30

A6 Sensitivity ความไว

$$S_x^y = \frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{x}{y} \approx \frac{\Delta y/y}{\Delta x/x}$$

ตัวอย่าง A-1 · กระแสตัวเก็บประจุ

### $v(t) = 10\sin(100\pi t)$ V คร่อม $C = 10\ \mu\text{F}$ หา $i(t)$

-
$$i = C\frac{dv}{dt} = 10\times10^{-6}\cdot 10\cdot100\pi\cos(100\pi t) = 0.0314\cos(100\pi t)\ \text{A}$$

ยอด 31.4 mA และกระแสนำหน้าแรงดัน 90° (cos นำ sin) ตรงกับ $X_C = 1/(\omega C) = 318\ \Omega$: $10/318 = 31.4$ mA ✓

ตัวอย่าง A-2 · แรงดันกระชากของรีเลย์

### ขดลวด $L = 50$ mH มีกระแส 2 A (ก) เพิ่มกระแสจาก 0 ถึง 2 A ใน 1 ms (ข) ตัดกระแสเหลือ 0 ใน 10 µs

- (ก) $v = 0.05\times\dfrac{2}{10^{-3}} = 100$ V

- (ข) $v = 0.05\times\dfrac{2}{10^{-5}} = 10{,}000$ V

ตัดเร็วขึ้น 100 เท่า แรงดันสูงขึ้น 100 เท่าเป็น 10 kV จึงต้องมีไดโอดฟรีวีลคร่อมขดลวดเสมอ

ตัวอย่าง A-3 · กฎของฟาราเดย์ในหม้อแปลง

### ฟลักซ์ $\Phi = 0.02\sin(100\pi t)$ Wb ผ่านขดลวด 100 รอบ หาแรงเคลื่อนเหนี่ยวนำ

-
$$e = -N\frac{d\Phi}{dt} = -100\cdot0.02\cdot100\pi\cos(100\pi t) = -628.3\cos(100\pi t)\ \text{V}$$

ยอด 628 V (RMS ≈ 444 V) ตรงกับสมการหม้อแปลง $E_{\text{rms}} = 4.44fN\Phi_m = 4.44(50)(100)(0.02) = 444$ V ✓ — 4.44 มาจาก $2\pi/\sqrt2$ ซึ่งได้จากการหาอนุพันธ์

ตัวอย่าง A-4 · ถ่ายโอนกำลังสูงสุด

### แหล่งจ่าย 12 V ความต้านทานภายใน 4 Ω ต่อโหลด $R_L$ หาค่าที่ได้กำลังสูงสุด

-
$$P = \frac{144R_L}{(4 + R_L)^2},\quad \frac{dP}{dR_L} = 144\frac{(4 + R_L) - 2R_L}{(4 + R_L)^3} = \frac{144(4 - R_L)}{(4 + R_L)^3}$$

- $dP/dR_L = 0 \Rightarrow R_L = 4\ \Omega$ (ก่อนหน้าเป็นบวก หลังเป็นลบ → สูงสุด)

$$P_{\max} = \frac{144\cdot4}{64} = 9\ \text{W}$$

$R_L = 4\ \Omega$, $P_{\max} = 9$ W ประสิทธิภาพตอนนั้นแค่ 50% ระบบไฟฟ้ากำลังจึงไม่ทำงานที่จุดนี้ แต่วงจรสื่อสารและสายอากาศจับคู่ให้ได้กำลังสูงสุด

ตัวอย่าง A-5 · ความต้านทานสัญญาณเล็กและความไว

### (ก) ไดโอดทำงานที่ $I_D = 1$ mA, $nV_T = 26$ mV หา $r_d$ (ข) วงจรแบ่งแรงดัน $R_1 = R_2$ ถ้า $R_2$ คลาด 1% $V_o$ คลาดเท่าไร

- (ก) $r_d = 26\text{ mV}/1\text{ mA} = 26\ \Omega$

- (ข) $V_o = V_i\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}$: $S = \dfrac{\partial V_o}{\partial R_2}\dfrac{R_2}{V_o} = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2} = 0.5$

(ก) 26 Ω · (ข) 0.5% — ความไวบอกว่าควรใช้ตัวต้านทานเกรดไหน

## วิศวกรรมเครื่องกล: การเคลื่อนที่ กลไก ความร้อน และกำลัง กลาง

A7 Kinematics จลนศาสตร์

$$v = \frac{dx}{dt},\quad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2},\quad a = v\frac{dv}{dx}$$

A8 Slider–crank ข้อเหวี่ยง-ก้านสูบ

$$x(\theta) = r\cos\theta + \sqrt{l^2 - r^2\sin^2\theta},\quad v = \omega\frac{dx}{d\theta},\quad a \approx -r\omega^2\left(\cos\theta + \frac rl\cos2\theta\right)$$

A9 Newton's second law

$$F = \frac{dp}{dt} = m\frac{dv}{dt}\ (m \text{ คงที่})$$

A10 Fourier's law การนำความร้อน

$$q = -k\frac{dT}{dx}\ \ (\text{W/m}^2)$$

A11 Motor power กำลังของมอเตอร์ DC

$$T = T_0\left(1 - \frac{\omega}{\omega_0}\right),\ P = T\omega \Rightarrow P_{\max} = \frac{T_0\omega_0}{4}\ \text{ที่ } \omega = \frac{\omega_0}{2}$$

ตัวอย่าง A-6 · ตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง

### $x(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t$ m หาเวลาที่หยุดนิ่งและเวลาที่ความเร่งเป็นศูนย์

-
$$v = 6t^2 - 18t + 12 = 6(t - 1)(t - 2) = 0 \Rightarrow t = 1,\ 2\ \text{s}$$

-
$$a = 12t - 18 = 0 \Rightarrow t = 1.5\ \text{s}$$

หยุดที่ t = 1 s (x = 5 m) และ t = 2 s (x = 4 m) ถอยหลังในช่วง 1–2 s · ความเร่งเปลี่ยนเครื่องหมายที่ 1.5 s (จุดเปลี่ยนเว้าของ x(t))

ตัวอย่าง A-7 · ลูกสูบ

### $r = 5$ cm, $l = 15$ cm หมุน 600 rpm หาความเร็วลูกสูบที่ $\theta = 90^\circ$ และความเร่งที่ $\theta = 0^\circ$

- $\omega = 600\cdot2\pi/60 = 62.83$ rad/s · $\dfrac{dx}{d\theta} = -r\sin\theta - \dfrac{r^2\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{l^2 - r^2\sin^2\theta}}$ ที่ 90°: $= -5$ cm/rad

$$v = -5\times62.83 = -314\ \text{cm/s} = -3.14\ \text{m/s}$$

- ที่ 0°: $a = -r\omega^2(1 + r/l) = -5(3948)(1.333) = -26{,}319$ cm/s²

$|v| = 3.14$ m/s ที่ 90° · $|a| \approx 263$ m/s² ≈ 27 g ที่ศูนย์ตายบน ความเร่งนี้คูณมวลลูกสูบคือแรงที่ก้านสูบต้องรับ

ตัวอย่าง A-8 · ความร้อนผ่านผนัง และกำลังมอเตอร์

### (ก) ผนัง $k = 0.8$ W/m·K หนา 0.2 m ด้านใน 30 °C ด้านนอก 20 °C (ข) มอเตอร์ $T_0 = 2$ N·m, $\omega_0 = 300$ rad/s

- (ก) อุณหภูมิลดลงเชิงเส้น $dT/dx = -10/0.2 = -50$ K/m → $q = -0.8(-50) = 40$ W/m²

- (ข) $P = 2\omega - \tfrac{2}{300}\omega^2$, $dP/d\omega = 2 - \tfrac{4}{300}\omega = 0 \Rightarrow \omega = 150$ rad/s, $P = 150$ W

(ก) 40 W/m² · (ข) กำลังสูงสุด 150 W ที่ 150 rad/s (≈ 1432 rpm) ครึ่งหนึ่งของความเร็วไร้โหลด

## วิศวกรรมโยธา: คาน ถนน รางน้ำ และงานสำรวจ กลาง

A12 Beam relations ความสัมพันธ์ของคาน

$$\frac{dV}{dx} = -w(x),\qquad \frac{dM}{dx} = V(x),\qquad \theta = \frac{dy}{dx},\qquad EI\frac{d^2y}{dx^2} = M(x)$$

อนุพันธ์ไล่จากการโก่งขึ้นไปหาน้ำหนัก ส่วนการอินทิเกรตไล่ลงมา ดูแล็บคานในหน้าอินทิกรัล

A13 Vertical curve โค้งทางดิ่งแบบพาราโบลา

$$y = g_1x + \frac{g_2 - g_1}{2L}x^2,\quad y' = 0 \Rightarrow x = \frac{g_1L}{g_1 - g_2}$$

A14 Best rectangular channel หน้าตัดรางน้ำดีที่สุด

$$P = \frac{A}{y} + 2y,\quad \frac{dP}{dy} = 0 \Rightarrow b = 2y$$

ตัวอย่าง A-9 · โมเมนต์สูงสุดของคาน

### คานช่วงเดียว $L = 6$ m รับน้ำหนักแผ่ $w = 10$ kN/m หาโมเมนต์ดัดสูงสุด

- แรงปฏิกิริยา $wL/2 = 30$ kN · $M(x) = 30x - 5x^2$

- $\dfrac{dM}{dx} = 30 - 10x = V(x) = 0 \Rightarrow x = 3$ m (กลางคาน) A12

$$M_{\max} = 30(3) - 5(9) = 45\ \text{kN}\cdot\text{m} = \frac{wL^2}{8}$$

45 kN·m ที่กลางคาน ตรงจุดที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

ตัวอย่าง A-10 · ความชันที่ฐานและการโก่งสูงสุด

### คานเดิม $EI = 20{,}000$ kN·m² เส้นโก่ง $y = -\dfrac{wx}{24EI}\left(L^3 - 2Lx^2 + x^3\right)$

- $\theta = y' = -\dfrac{w}{24EI}\left(L^3 - 6Lx^2 + 4x^3\right)$ ที่ฐาน $x = 0$:

$$\theta_0 = -\frac{wL^3}{24EI} = -\frac{10(216)}{480{,}000} = -0.0045\ \text{rad}$$

- โก่งสูงสุดที่ $\theta = 0$ คือ $x = L/2$ (สมมาตร)

$$y_{\max} = -\frac{5wL^4}{384EI} = -\frac{5(10)(1296)}{7{,}680{,}000} = -8.44\ \text{mm}$$

θ ที่ฐาน 0.0045 rad (0.26°) · โก่ง 8.44 mm ≈ L/711 ผ่านเกณฑ์ทั่วไป L/360

ตัวอย่าง A-11 · จุดสูงสุดของโค้งทางดิ่ง

### ทางขึ้นลาด +3% เปลี่ยนเป็นลง −2% ด้วยโค้งยาว 200 m จุดสูงสุดอยู่ที่ใด

-
$$y' = 0.03 + \frac{-0.02 - 0.03}{200}x = 0 \Rightarrow x = \frac{0.03(200)}{0.05} = 120\ \text{m}$$

-
$$y(120) = 0.03(120) - \frac{0.05}{400}(120)^2 = 3.6 - 1.8 = 1.8\ \text{m}$$

ที่ 120 m จากจุดเริ่มโค้ง สูงกว่าจุดเริ่ม 1.8 m (ตำแหน่งท่อระบายน้ำและระยะมองเห็น)

ตัวอย่าง A-12 · รางน้ำและงานสำรวจ

### (ก) รางสี่เหลี่ยมพื้นที่หน้าตัด 8 m² ขนาดใดใช้วัสดุบุน้อยสุด (ข) วัดรัศมีลานวงกลม 50 m คลาด ±0.05 m พื้นที่คลาดเท่าไร

- (ก) $\dfrac{dP}{dy} = -\dfrac{8}{y^2} + 2 = 0 \Rightarrow y = 2$ m, $b = 4$ m, $P = 8$ m A14

- (ข) $dA = 2\pi r\,dr = 2\pi(50)(0.05) = 15.7$ m² (สัมพัทธ์ $2\,dr/r = 0.2\%$)

(ก) กว้าง 4 m ลึก 2 m · (ข) ±15.7 m² จากพื้นที่ 7,854 m²

## แล็บออกแบบให้เหมาะสมที่สุด (ทุกสาขา)

ห้าโจทย์คลาสสิกจากสามสาขา ลากจุดบนกราฟบนเพื่อเปลี่ยนค่า x กราฟล่างคืออนุพันธ์ จุดที่ดีที่สุดอยู่ตรงที่อนุพันธ์ข้ามแกนศูนย์ทุกโจทย์ วิธีคิดเหมือนกันหมด: เขียนปริมาณที่ต้องการให้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว หาอนุพันธ์ ตั้งเท่ากับศูนย์ แล้วตรวจว่าเป็นสูงสุดหรือต่ำสุด

ตัวอย่าง A-13 · กระป๋องใช้วัสดุน้อยสุด

### กระป๋องทรงกระบอกปิดหัวท้าย ปริมาตร 1 ลิตร (1000 cm³) ใช้แผ่นโลหะน้อยที่สุดเมื่อมีขนาดเท่าใด

- $\pi r^2h = 1000 \Rightarrow h = \dfrac{1000}{\pi r^2}$ · พื้นที่ผิว $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + \dfrac{2000}{r}$

-
$$A'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \Rightarrow r^3 = \frac{500}{\pi} \Rightarrow r = 5.42\ \text{cm}$$

- $A''(r) = 4\pi + 4000/r^3 > 0$ → ต่ำสุด · $h = 1000/(\pi\cdot5.42^2) = 10.84$ cm

$r = 5.42$ cm, $h = 10.84$ cm คือ $h = 2r$: สูงเท่าเส้นผ่านศูนย์กลาง

## อ่านต่อ

- สูตรและวิธีหาอนุพันธ์ทั้งหมด: หน้าหลักอนุพันธ์

- ด้านกลับ (สะสม): การประยุกต์อินทิกรัลในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา พร้อมแล็บคาน

- สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรและกลไก: แก้ด้วยการแปลงลาปลาซ

- R. C. Hibbeler, Mechanics of Materials (คาน) · Alexander & Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits (C, L) · Stewart, Calculus (applications of differentiation)

## คำถามที่พบบ่อย

วิศวกรไฟฟ้าใช้อนุพันธ์ทำอะไรบ่อยที่สุด?
ความสัมพันธ์ของตัวเก็บประจุ $i = C\,dv/dt$ และตัวเหนี่ยวนำ $v = L\,di/dt$ ซึ่งทำให้วงจร RC RL RLC เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ กฎของฟาราเดย์ในหม้อแปลงและมอเตอร์ และการหาค่าเหมาะสม เช่นการถ่ายโอนกำลังสูงสุด

ทำไมรีเลย์ต้องมีไดโอดคร่อม?
เพราะเมื่อตัดกระแสในขดลวดทันที $di/dt$ มีค่ามาก แรงดัน $v = L\,di/dt$ จึงพุ่งเป็นพันโวลต์และทำลายทรานซิสเตอร์ที่ขับ ไดโอดฟรีวีลให้ทางกระแสไหลต่อจนค่อย ๆ ลดลง

ทำไมโมเมนต์ดัดสูงสุดของคานอยู่ตรงที่แรงเฉือนเป็นศูนย์?
เพราะ $dM/dx = V$ โมเมนต์มีค่าสุดขีดตรงที่อนุพันธ์เป็นศูนย์ คือที่แรงเฉือนเปลี่ยนเครื่องหมาย หลักเดียวกับการหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันใด ๆ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**วิศวกรไฟฟ้าใช้อนุพันธ์ทำอะไรบ่อยที่สุด?**
ความสัมพันธ์ของตัวเก็บประจุ $i = C\,dv/dt$ และตัวเหนี่ยวนำ $v = L\,di/dt$ ซึ่งทำให้วงจร RC RL RLC เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ กฎของฟาราเดย์ในหม้อแปลงและมอเตอร์ และการหาค่าเหมาะสม เช่นการถ่ายโอนกำลังสูงสุด

**ทำไมรีเลย์ต้องมีไดโอดคร่อม?**
เพราะเมื่อตัดกระแสในขดลวดทันที $di/dt$ มีค่ามาก แรงดัน $v = L\,di/dt$ จึงพุ่งเป็นพันโวลต์และทำลายทรานซิสเตอร์ที่ขับ ไดโอดฟรีวีลให้ทางกระแสไหลต่อจนค่อย ๆ ลดลง

**ทำไมโมเมนต์ดัดสูงสุดของคานอยู่ตรงที่แรงเฉือนเป็นศูนย์?**
เพราะ $dM/dx = V$ โมเมนต์มีค่าสุดขีดตรงที่อนุพันธ์เป็นศูนย์ คือที่แรงเฉือนเปลี่ยนเครื่องหมาย หลักเดียวกับการหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันใด ๆ

---

# English lessons

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/
Updated: 2026-10-14
Summary: English editions of Ajarn Mod's industrial electrical courses: AC motor control with magnetic contactors, star–delta starters, soft starters and VFDs, and PLC automation with ladder logic, timers, sequential control, analog PID and VFD control — written for the 230/400 V 50 Hz systems of Thailand, Laos, Cambodia, Vietnam, Myanmar, Malaysia and Singapore.

THภาษาไทยENEnglish
// English editions · industrial electrical engineering

# English lessons

Two complete courses translated from the Thai originals, with the same diagrams, formula IDs, calculators and simulators. Every example uses the 230/400 V 50 Hz low-voltage supply shared by Thailand, Laos, Cambodia, Vietnam, Myanmar, Malaysia and Singapore, so the device ratings and settings apply directly in all of these countries. Use the ไทย / EN switch at the top of any page to jump to the same page in the other language.

Chapter 21 · 15 pages

### AC Motor Control with Magnetic Contactors and VFDs
Induction motor principles and nameplates, the 400 V 50 Hz supply and earthing, star and delta connections, contactors and overload relays, IEC symbols, DOL and reversing starters, a detailed star–delta starter, soft starters, applied circuits, VFD principles and set-up, design, installation and troubleshooting, plus a starting simulator.
Open the course Star–delta VFD Simulator

Chapter 22 · 11 pages

### Industrial Automation with PLCs
PLC hardware and the scan cycle, sink/source I/O wiring, ladder logic, timers and counters, the IEC 61131-3 languages, PLC motor control including star–delta, sequential control and SFC, analog signals, PID and VFD control, commissioning and machine safety, plus a ladder simulator.
Open the course Ladder basics Ladder simulator

Short English articles with worked examples (Laplace transform, vectors, power factor, matrices, PID) are in the English articles.

The Thai library with all other subjects (calculus, linear algebra, Laplace, control systems, power electronics, solar PV, power systems, sensors) is at คลังความรู้ (Thai).

---

# AC Motor Control with Magnetic Contactors and VFDs

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/
Updated: 2026-10-14
Summary: A complete course on industrial three-phase motor control for 230/400 V 50 Hz systems in Thailand, Laos, Cambodia, Vietnam, Myanmar, Malaysia and Singapore: induction motor principles, nameplates, star and delta connections, magnetic contactors and overload relays, IEC symbols and drawings, DOL, reversing, a detailed star–delta starter, soft starters, VFDs, design, installation and troubleshooting, with diagrams, calculators and a simulator.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21 · AC Motor Control · electrician → student → engineer

# AC Motor Control with Magnetic Contactors and VFDs

Three-phase induction motors use more than half of industrial electricity. This course goes from how the motor turns, through reading the nameplate, connecting star or delta, choosing contactors and overloads and reading drawings, to designing a star–delta starter and setting up a VFD. Every example uses the real 230/400 V 50 Hz supply of Thailand, Laos, Cambodia, Vietnam, Myanmar, Malaysia and Singapore. There are formulas with citable IDs and worked examples.

In 30 seconds

- An induction motor turns slightly slower than its field: $n_s = 120f/p$ = 1500 rpm (4-pole, 50 Hz), actual ≈ 1470 rpm

- Direct-on-line starting draws 6–8 × rated current, so voltage dip and the starting method matter

- On 400 V: a 400/690 V motor runs in Δ and can be star–delta started · a 230/400 V motor runs in Y only

- Star–delta cuts current and torque to 1/3 · overload at 0.58 In · needs interlocks and a dead time

- A VFD varies f and V together (V/f): soft start, full torque and pump/fan energy savings

## Learning path by level

Level 1 · electrician · vocational

### Wire it right and safely
Nameplates, Y/Δ terminals, panel devices, self-holding circuits, reversing, star–delta
Connections → Devices → DOL → Star–delta

Level 2 · technician · supervisor

### Select devices and troubleshoot
AC-3 contactor size, overload setting, cable size, voltage drop, VFDs and fault tables
Drawings → VFD setup → Design · faults

Level 3 · engineering student · engineer

### Understand it with mathematics
Equivalent circuit, slip, torque $T \propto V^2$, run-up dynamics $J\,d\omega/dt = T_m - T_L$, V/f and the affinity laws
Induction motor → Starting methods compared → VFD principles

## Try it: start a 7.5 kW motor four ways

Pick a tab, press START and watch the plot: blue is line current, green is speed and orange is torque. Start direct-on-line first, then switch to star–delta and notice the starting current falling to about 1/3 and the current peak at the change to delta. Then raise the load until star can no longer accelerate it, and open the full simulator with worksheets.

JavaScript is needed for the simulator

## Key equations used throughout

H1 Synchronous speed & slip

$$n_s = \frac{120 f}{p} \qquad s = \frac{n_s - n}{n_s}$$

H2 Motor rated current

$$I_n = \frac{P_{out}}{\sqrt{3}\, V_L\, \eta\, \cos\varphi}$$

H3 Star–delta reduction

$$I_{L,Y} = \tfrac{1}{3} I_{L,\Delta} \qquad T_Y = \tfrac{1}{3} T_\Delta \qquad I_{r,OL} = \frac{I_n}{\sqrt{3}} \approx 0.58\, I_n$$

H4 V/f and affinity laws

$$\frac{V}{f} = \frac{400}{50} = 8\ \text{V/Hz} \qquad \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^3$$

## The supply used in this course: 230/400 V 50 Hz

All seven countries use 50 Hz three-phase four-wire systems with line voltages of 380–415 V, following IEC 60038 (230/400 V). Motor-control gear rated 380–415 V 50 Hz is therefore usable across the region. What differs is the declared site voltage, the earthing system and the utility's connection rules — details in 230/400 V 50 Hz supply.

| Country | Phase / line voltage found on site | Frequency | Notes for motor work |

| Thailand | 230 / 400 V (formerly 220/380 V) | 50 Hz | MEA/PEA · TN-C-S · EIT wiring code |

| Laos | 230 / 400 V (220/380 V also found) | 50 Hz | Grid interconnected with Thailand, IEC equipment |

| Cambodia | 230 / 400 V (220/380 V also found) | 50 Hz | Measure the real voltage before setting a VFD |

| Vietnam | 220 / 380 V | 50 Hz | 400 V motors work; 5 % undervoltage raises current slightly |

| Myanmar | 230 / 400 V | 50 Hz | Voltage varies widely: use voltage and phase relays |

| Malaysia | 230 / 400 V (formerly 240/415 V) | 50 Hz | Much older 415 V-rated equipment still in service |

| Singapore | 230 / 400 V | 50 Hz | Installation to SS 638 (based on IEC 60364) |

“The same standard” means the same voltage level and frequency so equipment is interchangeable — not that every site has the same voltage. Measure the line voltage before setting overloads and drives.

## How to choose a starting method

| Method | Starting current | Starting torque | Speed control | Good for |

| Direct-on-line | 6–8 In | Highest (1.5–2.5 Tn) | No | Small motors, stiff supply, heavy starts |

| Star–delta | ≈ 2–2.7 In | 1/3 of DOL | No | Pumps, fans, compressors starting unloaded |

| Soft starter | 2–4 In (set) | Falls as (I/Is)² | No | Pumps needing a soft stop (water hammer), conveyors |

| VFD | ≤ 1–1.5 In | Up to 1.5 Tn | Yes | Energy-saving pumps and fans, conveyors, process machines |

## Every page in this course

Part 1

### Motors & Low-Voltage Supply
Three-phase induction motor principles, nameplates, the 230/400 V 50 Hz systems of the region, and star/delta terminal connections

n_s21.1
Three-phase induction motors for industry: rotating field, slip, torque–speed curve, starting current and the nameplate
Three-phase induction motors for industry
Rotating field n_s = 120f/p, slip, equivalent circuit, torque–speed curve, 6–8× starting current, IE2–IE4 efficiency (IEC 60034-30-1), reading the nameplate and rated current from kW
Open →Formulas M1, M2, …

400 V21.2
Low-voltage 230/400 V 50 Hz supply in Thailand, Laos, Cambodia, Vietnam, Myanmar, Malaysia and Singapore: line and phase voltage, earthing systems and their effect on motors
Low-voltage 230/400 V 50 Hz supply in Thailand, Laos, Cambodia, Vietnam, Myanmar, Malaysia and Singapore
IEC 60038, declared voltages per country from 220/380 to 230/400 V, ±10 % tolerance, TN-C-S and TT earthing, phase sequence, voltage unbalance and 60 Hz motors on 50 Hz
Open →Formulas S1, S2, …

Y/Δ21.3
Star and delta motor connections: the U1 V1 W1 / W2 U2 V2 terminal box, 230/400 V vs 400/690 V motors, and reversing
Star and delta motor connections
Voltage per winding, line vs phase current, terminal-box links, choosing the connection from the nameplate, which motors can be star-delta started, checking rotation and the mistakes that burn motors
Open →Formulas C1, C2, …

Part 2

### Control Devices & Diagrams
AC-3 contactors, overload relays, MPCBs, breakers, timers, push-buttons, IEC 60617 symbols and IEC 81346 device codes

K21.4
Magnetic contactors, overload relays, motor-protection breakers and control devices: AC-3, trip class, timers, push-buttons and pilot lights
Magnetic contactors, overload relays, motor-protection breakers and control devices
Contactor construction, coil, main and auxiliary contacts, utilization categories AC-1 AC-3 AC-4 (IEC 60947-4-1), class 10/20 overloads, MPCBs, aM fuses, Type 1/2 coordination, timers and IEC 60204-1 colours
Open →Formulas D1, D2, …

⊣⊢21.5
Reading motor-control drawings: IEC 60617 vs NEMA symbols, IEC 81346 device codes, terminal markings, wire numbers and cross-references
Reading motor-control drawings
Power vs control circuits, contact, coil and timer symbols, terminal markings 1/L1–2/T1, A1–A2, 13–14, 21–22, device letters -Q -K -F -S -H -M, cross-referencing and European, American and Japanese drawing styles
Open →Formulas G1, G2, …

Part 3

### Starter & Control Circuits
DOL, reversing, a detailed star-delta starter, soft starters and field-proven applied circuits

DOL21.6
Direct-on-line starter: power circuit, self-holding control circuit, two-location control, jogging and step-by-step device selection
Direct-on-line starter
Self-holding (latching) contact, why STOP is a normally-closed button in series, multi-location control, jog, pilot lights, and selecting the MPCB, contactor and cable for a 7.5 kW 400 V motor
Open →Formulas L1, L2, …

⇄21.7
Three-phase motor reversing circuits: swapping two phases, electrical, mechanical and push-button interlocks, and automatic reversing with limit switches
Three-phase motor reversing circuits
Why swapping L1 and L3 reverses rotation, three layers of interlock against a phase-to-phase short, reversing via STOP vs direct, roller doors, hoists, conveyors and limit switches
Open →Formulas R1, R2, …

Y→Δ21.8
The star–delta starter in detail: power and control circuits, 0.58·In contactor sizing, overload setting, timer and changeover time
The star–delta starter in detail
Current and torque reduced to 1/3, contactors KM1 KM2 KM3, overload at 0.58·In, timer setting, Y–Δ dead time, transition current peaks, phase order on the delta side, closed-transition starters and six-wire cabling
Open →Formulas Y1, Y2, …

τm21.9
Star–Delta Analysis: Timer Setting, Star or Delta Operation, Currents, Energy and Numerical Research
Star–Delta Analysis
Timer from the mechanical time constant τm = J·ωs/Tn, dead time and residual voltage, the lagging KM3 order, closed transition, I²t, rotor heat, voltage dip, running in star at light load, case studies, past, present and future, and a dynamic simulation lab
Open →Formulas E1, E2, …

∠α21.10
Soft starters, autotransformer starters and a comparison of motor starting methods: current, torque, voltage dip and cost
Soft starters, autotransformer starters and a comparison of motor starting methods
Thyristor phase-angle control, voltage ramp, current limit, torque control, bypass contactor, soft stop against water hammer, autotransformer starting and a starting-method selection table
Open →Formulas T1, T2, …

⚙21.11
Applied motor-control circuits from real plants: sequence starting, float-switch pumps, duty/standby alternation, pressure-switch compressors, two-speed motors and phase-failure relays
Applied motor-control circuits from real plants
Timed sequence starting, conveyor chains, float or electrode pump control, duty/standby alternation, Hand-Off-Auto, compressors, Dahlander two-speed motors and phase-loss/phase-reversal relays
Open →Formulas A1, A2, …

Part 4

### Variable Frequency Drives
V/f and PWM principles, wiring, parameters, pump and fan energy savings, and applications

V/f21.12
Variable frequency drives for motors: rectifier, DC bus, IGBT PWM, V/f and vector control, and correct wiring
Variable frequency drives for motors
540–565 V DC bus from 400 V, PWM, constant V/f and field weakening, sensorless vector, no contactor or capacitor on the output, shielded cable and EMC, cable length and dv/dt, RCD Type B, braking resistor, and single-phase-in three-phase-out drives
Open →Formulas V1, V2, …

n³21.13
Setting up and applying VFDs: basic parameters, multi-speed, 0–10 V / 4–20 mA, constant-pressure PID pumping and energy savings from the affinity laws
Setting up and applying VFDs
A 12-step commissioning procedure, accel/decel times, command source, preset speeds, analog inputs, constant-pressure pumps, conveyors, fans, P ∝ n³, energy-saving and payback calculation, temperature derating and bypass
Open →Formulas P1, P2, …

Part 5

### Design, Installation & Lab
Device selection, cable sizing, protection coordination, panels, testing, troubleshooting and the starter simulator

✓21.14
Designing and installing motor circuits: breaker selection, cable size, starting voltage dip, control panels, megger testing and a troubleshooting table
Designing and installing motor circuits
A 10-step design procedure, cable sizing for current and voltage drop, Thai EIT wiring code and IEC 60364, IEC 61439 panels, IP rating, panel heat, insulation-resistance testing, loop checks and common faults with causes
Open →Formulas K1, K2, …

▶21.15
Motor starter simulator: DOL, reversing, star–delta, soft starter and VFD with live current, torque, speed and contacts
Motor starter simulator
Press START and STOP and watch power flow through the control circuit, contactors pull in, the timer run and current, torque and speed plotted in real time; inject faults such as overload and phase loss and compare starting methods
Open →Simulator + worksheets

## Search every formula in one place

Prefixes: H overview · M motor · S supply · C connections · D devices · G drawings · L DOL · R reversing · Y star–delta · T soft starters · A applied circuits · V VFD · P VFD applications · K design

## Related on this site

- PLC Automation — every contactor circuit in this course rewritten as ladder logic

- Power factor (Thai) · Power systems & protection (Thai) · VFD harmonics (Thai)

## Standards and references

- IEC 60034-1 (motor ratings) · IEC 60034-8 (terminal markings and rotation) · IEC 60034-30-1 (IE efficiency classes)

- IEC 60947-4-1 (contactors and starters, AC-3, Type 1/2 coordination) · IEC 60947-4-2 (soft starters) · IEC 60947-2 (circuit-breakers)

- IEC 60204-1 (electrical equipment of machines) · IEC 60617 (symbols) · IEC 81346 (reference designations)

- IEC 61800 (adjustable-speed drives) · IEC 60364 / Thai EIT wiring code · IEC 61439 (low-voltage assemblies)

- S. J. Chapman, Electric Machinery Fundamentals · B. K. Bose, Modern Power Electronics and AC Drives · manufacturers' starter selection guides

## Frequently asked questions

Which motors can be star–delta started?
Only motors whose delta voltage on the nameplate equals the supply line voltage. On a 400 V system that is a motor marked 400/690 V Δ/Y (usually 4 kW and above). A 230/400 V Δ/Y motor must run in star on 400 V and cannot be star–delta started.

Can the same equipment be used in Thailand and its neighbours?
In practice yes. Every country covered here uses 50 Hz three-phase four-wire systems with line voltages of 380–415 V (IEC 60038 nominal 230/400 V), so equipment rated 380–415 V 50 Hz fits all of them. Always measure the actual site voltage and check the local utility's rules.

What is the overload setting for a star–delta starter?
When the overload relay sits after the main contactor in the phase-current path (the most common arrangement) set it to 0.58 × the motor In, e.g. 8.5 A for a 14.6 A motor. If it sits in the line-current path before the split, set it to In.

When should I use a VFD instead of star–delta?
When you need variable speed, a soft start with high torque, energy savings on pumps and fans that often run below full flow (P ∝ n³), or when the starting voltage dip is a problem. If you only need to reduce the starting current of a light load at fixed speed, star–delta or a soft starter is cheaper.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Which motors can be star–delta started?**
Only motors whose delta voltage on the nameplate equals the supply line voltage. On a 400 V system that is a motor marked 400/690 V Δ/Y (usually 4 kW and above). A 230/400 V Δ/Y motor must run in star on 400 V and cannot be star–delta started.

**Can the same equipment be used in Thailand and its neighbours?**
In practice yes. Every country covered here uses 50 Hz three-phase four-wire systems with line voltages of 380–415 V (IEC 60038 nominal 230/400 V), so equipment rated 380–415 V 50 Hz fits all of them. Always measure the actual site voltage and check the local utility's rules.

**What is the overload setting for a star–delta starter?**
When the overload relay sits after the main contactor in the phase-current path (the most common arrangement) set it to 0.58 × the motor In, e.g. 8.5 A for a 14.6 A motor. If it sits in the line-current path before the split, set it to In.

**When should I use a VFD instead of star–delta?**
When you need variable speed, a soft start with high torque, energy savings on pumps and fans that often run below full flow (P ∝ n³), or when the starting voltage dip is a problem. If you only need to reduce the starting current of a light load at fixed speed, star–delta or a soft starter is cheaper.

---

# Applied Motor Control Circuits in Practice: Sequence Starting, Float-Switch Pumps, Pump Alternation, Pressure-Switch Compressors, Two-Speed Motors and Phase Protection Relays

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/applied-circuits/
Updated: 2026-10-14
Summary: Contactor circuits used in real buildings and factories: timed sequence starting of conveyors, automatic water pumps with float switches or electrodes, Hand-Off-Auto selector switches, duty/standby pump alternation, air compressors with pressure switches, Dahlander two-speed motors, phase-failure, phase-reversal and voltage relays, and the formula for a pump's starts per hour.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.11 · AC Motor Control · Applied Circuits

# Applied Motor Control Circuits in Practice: Sequence Starting, Float-Switch Pumps, Pump Alternation, Pressure-Switch Compressors, Two-Speed Motors and Phase Protection Relays

Once you understand self-holding, interlocking and timers, almost every circuit in buildings and factories is just these three ideas combined with sensors. This page collects the circuits electricians meet most often, with the reason behind each point in the circuit.

In 30 seconds

- Sequence starting: a contact of the previous motor is placed in series in the circuit of the next one

- Float-switch pump: the differential between the on and off levels sets the number of starts, $N_{max} = Q_p/(4V)$

- Every position of Hand-Off-Auto must pass through the protective devices

- A phase protection relay pays off most on unstable supplies: it guards against phase loss, phase reversal and under/overvoltage

## Sequence starting (cascaded conveyors) Basic

Conveyors that feed one another must start from the discharge end back towards the feed end, and stop from the feed end towards the discharge end; otherwise material piles up on a stopped conveyor. The circuit uses an NO contact of the previous contactor (K1) in series in the circuit of the next (K2), plus a timer so that the next one starts by itself once the previous one has run for the set time — which also spreads out the starting currents so they do not occur together.

Figure 1 · K2 can pull in only while K1 is energised and timer K3T has timed out. If K1 stops or trips, K2 stops immediately (F2 and F4 are in series in the common path)

A1 Sequence interlock

$$K2 = K1 \cdot T_{K3T} \cdot \overline{S0} \qquad K1 = \overline{S0}\,(S1 + K1)$$

## Automatic water pump with a float switch and Hand-Off-Auto Basic

Figure 2 · The three-position selector switch has two contact sets: H feeds the coil directly, A feeds it through the float switch; both still pass through the overload

A tethered (cable) float switch changes state when it tilts up or down, so the differential between the on and off levels is set by the length of free cable. Systems that need a wide differential use two floats (upper and lower level) with a self-holding circuit, or an electrode-type level relay (e.g. probes E1 E2 E3) with built-in latching.

A2 Maximum starts per hour

$$t_{cycle} = \frac{V}{Q_p - q} + \frac{V}{q} \;\ge\; \frac{4V}{Q_p}\ \ (q = Q_p/2) \qquad N_{max} = \frac{Q_p}{4V}$$

Example A-1

### 18 m³/h pump, 5.5 kW motor, at most 10 starts per hour allowed

- A2: $V \ge Q_p/(4N) = 18/(4 \times 10) = 0.45$ m³ between the on and off levels

- Tank cross-section 1.5 m² → level differential $0.45/1.5 = 0.30$ m

- If a single float gives a differential of only 0.1 m, the pump could start up to 30 times per hour when demand is half the pump rate — a two-level float arrangement is needed

## Duty/standby pump alternation Intermediate

Building water supplies and pumping stations often have two pumps (duty/standby) that alternate each time a run command is given, so that running hours stay equal and the standby pump is always ready. The simplest way is an alternating relay, which swaps its output contact each time the run signal disappears. Worthwhile additions:

- High-high water level: call the second pump to assist (duty-assist)

- If the duty pump trips (F2 97-98 closes), the standby pump takes over automatically and an alarm is raised

- A separate hour meter for each pump, for maintenance planning

A3 Equal running hours

$$h_1 \approx h_2 \approx \frac{h_{total}}{2} \qquad \text{the standby pump must run at least every 1–2 weeks}$$

## Air compressor with a pressure switch Intermediate

A pressure switch has an NC contact that opens when the pressure reaches the cut-out value and closes when the pressure falls to the cut-in value; it is wired in series with the coil in the Auto position. A reciprocating compressor must start unloaded, so it has an unloader valve that vents the cylinder head when stopping. With star–delta starting it is even more important to check that the unloader works, because torque in star is low.

A4 Receiver size for compressor cycling

$$t_{off} = \frac{V_{tank}\,\Delta p}{p_0\,q_{use}} \qquad t_{on} = \frac{V_{tank}\,\Delta p}{p_0\,(Q_c - q_{use})}$$

$p_0$ = atmospheric pressure (absolute), Δp = pressure-switch differential · Fit an anti-short-cycle timer of 1–3 minutes after stopping to prevent the motor from starting more often than allowed.

## Dahlander two-speed motors Advanced

A Dahlander motor has a single winding that can be connected two ways, giving pole numbers in a 2:1 ratio, e.g. 4/2 poles (1500/3000 rpm). Low speed is connected in Δ and high speed in YY (two halves in parallel, connected in star). Three contactors are used: K1 (low) and K2+K3 (high: K2 supplies power, K3 shorts the star point). Low and high are interlocked in the same way as a reversing circuit, and it is common practice always to start at low speed first.

A5 Pole-changing speeds

$$n_{s,low} = \frac{120f}{2p} \qquad n_{s,high} = \frac{120f}{p} = 2\,n_{s,low}$$

Fans and pumps use the “variable torque” type (Y/YY); machinery uses the “constant torque” (Δ/YY) or “constant power” type. The nameplate states the type and the terminals (1U 1V 1W for low speed, 2U 2V 2W for high speed). A separate overload is needed for each speed because the rated currents differ.

## Phase and voltage protection relays Basic

A phase monitoring relay measures all three phases and has an output contact wired in series in the control circuit, dropping out the contactor on:

| Fault | Result without a relay | Typical setting |

| Phase loss | Motor runs on two phases at ~1.7 × current, overheats and burns out; cannot restart | Instant detection |

| Phase reversal | Pump or compressor runs backwards and is damaged; lifts/hoists become dangerous | Checked at power-up |

| Under/overvoltage | Insufficient torque, high current, or stressed insulation | ±10–15 %, delay 2–10 s |

| Unbalance | Rotor overheating (see S4–S5) | 5–10 % |

Automatic restart after a power failure: a circuit using a float switch or pressure switch in Auto mode will start by itself when power returns. That is acceptable for a water pump but not for a machine with people working near it. Assess the risk according to IEC 60204-1 and fit a warning sign “May start automatically without warning” on the machine. Where a building has several motors, give them different restart delays so their starting currents do not add up when power returns.

## Frequently asked questions

Why does a float-switch pump keep switching on and off rapidly?
The distance between the float's on and off levels (the differential) is too small for the flow rate. Use formula A2 to find the volume needed between the two levels, or use a two-level float or two-level electrodes. A pump that starts more often than allowed overheats and wears out its contactor quickly.

How does Hand-Off-Auto differ from Local-Remote?
Hand-Off-Auto selects whether the motor runs by hand (bypassing the automatic system), stops, or is commanded by an automatic device (a float switch or PLC). Local-Remote selects where commands come from, such as the push-buttons at the machine or the control room. Neither may bypass the protective devices or the emergency stop.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Why does a float-switch pump keep switching on and off rapidly?**
The distance between the float's on and off levels (the differential) is too small for the flow rate. Use formula A2 to find the volume needed between the two levels, or use a two-level float or two-level electrodes. A pump that starts more often than allowed overheats and wears out its contactor quickly.

**How does Hand-Off-Auto differ from Local-Remote?**
Hand-Off-Auto selects whether the motor runs by hand (bypassing the automatic system), stops, or is commanded by an automatic device (a float switch or PLC). Local-Remote selects where commands come from, such as the push-buttons at the machine or the control room. Neither may bypass the protective devices or the emergency stop.

---

# Magnetic Contactors, Overload Relays, Motor Protection Breakers and Control Devices: AC-3, Trip Classes, Timers, Push-Buttons and Pilot Lights

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/control-devices/
Updated: 2026-10-14
Summary: Every device in a motor control panel: how a magnetic contactor is built (coil, main and auxiliary contacts), utilization categories AC-1, AC-3, AC-3e and AC-4 to IEC 60947-4-1, a kW-at-400 V sizing table, overload relays and trip classes 10, 20 and 30, motor protection circuit breakers (MPCB), aM fuses, Type 1 and Type 2 coordination, timers, push-button and pilot-light colours to IEC 60204-1, and control transformers.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.4 · AC Motor Control · Contactors & Overloads

# Magnetic Contactors, Overload Relays, Motor Protection Breakers and Control Devices: AC-3, Trip Classes, Timers, Push-Buttons and Pilot Lights

Every motor circuit is built from the same set of devices: a short-circuit protective device, a switching device, an overload protective device and the command devices. This page explains how each one works, what the ratings printed on it mean, and how to choose it so that it lasts on a 400 V 50 Hz system.

In 30 seconds

- Order of duties: short circuit (MPCB/MCCB/fuse) → switching (contactor) → overload (overload relay)

- Choose a contactor by its AC-3 rating at 400 V ≥ motor current, not by its AC-1 current

- Set the overload to the motor In (star–delta: 0.58 In) · class 10 in general · 20/30 for high-inertia loads

- Type 2: after a short circuit the contactor can still be used (light, easily separated contact welding is allowed)

## The magnetic contactor Basic

A contactor is an electromagnetically operated switch. When the coil (A1–A2) is energised, the iron core pulls in the armature, which is fixed to the contact bridge. The main contacts (NO) close the power circuit, while the auxiliary NO contacts close and the NC contacts open. When the coil is de-energised, a spring pushes everything back. The advantages: the 400 V power circuit is separated from the control circuit, it can switch millions of times, and it can be commanded remotely or from a PLC.

Figure 1 · The coil is wound on the centre leg of the E-shaped core; the shading rings sit on the outer legs because AC flux passes through zero 100 times a second — if a ring cracks the contactor buzzes and chatters.

Figure 2 · Standard IEC 60947 terminal numbers: main contacts odd on the line side, even on the load side, coil A1 (top) A2 (bottom); auxiliary contacts use two digits — the tens digit is the position, the units digit the function (1-2 NC · 3-4 NO · 5-6 / 7-8 special function, e.g. timed) — NEMA uses L1 L2 L3 → T1 T2 T3 instead.

### The coil: AC or DC

- AC coil (e.g. 230 VAC 50 Hz): at pick-up it draws an inrush current 6–10 times its holding current, because the air gap is large and the impedance is low

- DC coil (e.g. 24 VDC): silent, constant current, suits transistor PLC outputs; it needs a diode or varistor across it to limit the voltage spike at switch-off

- Coil voltage range to IEC 60947-4-1: picks up reliably at 85–110 % Uc and drops out at 20–75 % Uc (AC) — a deep momentary voltage dip can stop a whole production line

D1 Coil operating range

$$0.85\,U_c \le U_{pick\text{-}up} \le 1.1\,U_c \qquad U_{drop\text{-}out} \approx (0.2\text{–}0.75)\,U_c$$

## Utilization categories AC-1, AC-3, AC-4 Intermediate

How hard it is to break a circuit depends on the current that has to be interrupted, so IEC 60947-4-1 rates contactors by utilization category. One and the same contactor has a different rating in each category.

| Category | Application | What the contacts must do |

| AC-1 | Resistive loads, heaters (cos φ ≥ 0.95) | Make and break rated current — the easiest duty, the highest current rating |

| AC-2 | Wound-rotor (slip-ring) motors | Make 2.5 Ie, break 2.5 Ie |

| AC-3 | Squirrel-cage motors: starting, and switching off while running | Make the starting current ~8 Ie but break only the running current ~1 Ie |

| AC-3e | High-efficiency IE3/IE4 motors | As AC-3 but withstands a higher inrush current |

| AC-4 | Inching (jogging) and plugging (reversing while running) | Frequently break the starting current ~6–8 Ie — the heaviest duty |

| AC-15 / DC-13 | Auxiliary contacts switching AC / DC coils | Break small electromagnetic loads |

D2 Contactor selection

$$I_e(\text{AC-3},\,400\ \text{V}) \ge I_n \qquad \text{for AC-4 duty derate to about } 0.3\text{–}0.5\,I_e(\text{AC-3})$$

AC-3 contactor sizes at 400 V and approximate motor power (typical catalogue values)

| Ie AC-3 (A) | 9 | 12 | 18 | 25 | 32 | 38–40 | 50 | 65 | 80 | 95 | 115 | 150 |

| kW at 400 V | 4 | 5.5 | 7.5 | 11 | 15 | 18.5 | 22 | 30 | 37 | 45 | 55 | 75 |

## Overload relays and trip classes Intermediate

An overload relay models the heating of the motor winding. A thermal (bimetal) relay uses strips of two different metals that bend as current flows through a heater; an electronic relay measures current with CTs and calculates. When the threshold is reached, contact 95–96 (NC) opens to de-energise the contactor coil and 97–98 (NO) closes to signal an alarm. The overload relay does not break the power circuit itself — it tells the contactor to break it.

Figure 3 · Trip time falls as current rises. The class gives the maximum trip time at 7.2 times the setting (roughly the starting current) — loads with a long run-up need a higher class.

D3 Overload setting

$$I_r = I_n \;(\text{DOL, reversing, soft starter}) \qquad I_r = \frac{I_n}{\sqrt3} \approx 0.58\,I_n \;(\text{star–delta, in the phase-current path})$$

D4 Trip class check

$$t_{trip}(7.2\,I_r) \le \text{class [s]} \qquad t_{start}

| Class | Trip time at 7.2 Ir | Suitable for |

| 10A | 2–10 s | Submersible pump motors, hermetic compressors with poor cooling |

| 10 | 4–10 s | General duty: pumps, small fans, conveyors (run-up < 5 s) |

| 20 | 6–20 s | Large fans, mixers, crushers (run-up 5–10 s) |

| 30 | 9–30 s | Very high-inertia loads: grinding mills, centrifuges |

Features worth having: ambient temperature compensation (−20…+60 °C), phase-loss sensitivity (differential), manual/automatic reset (use manual for general duty so that the machine does not restart by itself after a trip), and a test button.

## Short-circuit protection: MPCB, MCCB, fuses Intermediate

A short-circuit current of several thousand amperes must be cleared within a few milliseconds. The device doing this must have a breaking capacity no lower than the prospective short-circuit current at the point of installation, and it must not trip falsely during starting.

D5 Breaking capacity

$$I_{cu} \ge I_{k,max}\ \text{at the point of installation} \qquad I_{k} \approx \frac{S_{tr}}{\sqrt3\,V_L\,u_k} \;(\text{at the transformer terminals})$$

D6 No nuisance trip at start

$$I_{m} > (1.5\text{–}2)\,I_{st} \approx (10\text{–}13)\,I_n \qquad (\text{allowing for the asymmetric first half-cycle inrush})$$

| Device | Advantages | Things to know |

| MPCB (e.g. 13–18 A range) | Short-circuit + overload + isolation in one device, adjustable, auxiliary contact signals a trip | Magnetic trip fixed at ~13 × the top of the range · Icu varies by model |

| Motor-type MCCB (magnetic only) | High breaking capacity, used for large motors | Needs a separate overload relay |

| aM fuse | Very good current limiting, withstands starting current | Short-circuit protection only, needs an overload relay · replace all three phases |

| gG fuse | General purpose | Must be a larger size to withstand the starting current |

### Type 1 and Type 2 coordination (IEC 60947-4-1)

Type 1: under a short circuit there is no danger to people or the enclosure, but the contactor and overload relay may be damaged and need replacing · Type 2: after a short circuit the devices remain usable; light contact welding that is easily separated is allowed. Where the line must be back in production quickly, use Type 2, which manufacturers test as a set and publish as coordination tables — use one manufacturer's table for the whole combination.

## Timers and auxiliary relays Basic

- On-delay: coil energised → time runs → contacts change state · coil de-energised → reset immediately — used in star–delta starters and sequential starting

- Off-delay: coil energised → contacts change immediately · coil de-energised → they hold for a set time — used for cooling fans that run on after the machine stops

- Dedicated star–delta timer: separate Y and Δ contacts with a fixed built-in dead time of ~50–100 ms — recommended over a general-purpose timer

- Common terminal numbers: common 15 · delayed NC 16 · delayed NO 18 (or 55-56 / 67-68 on add-on blocks)

## Push-buttons and pilot lights (IEC 60204-1) Basic

| Device | Colour to IEC 60204-1 | Notes |

| START / ON | White (preferred), grey, black, green | Never red |

| STOP / OFF | Black (preferred), grey, white · red allowed | Never green · avoid red if near an E-stop |

| Emergency stop | Red on a yellow background, mushroom head, latching | Contacts with positive opening operation |

| Red light | Emergency, hazardous condition | Immediate action required |

| Yellow light | Abnormal, approaching a critical condition (e.g. tripped) | Investigate |

| Blue light | Action required (e.g. waiting for reset) | — |

| Green light | Normal condition | — |

| White light | Neutral status (e.g. supply on) | — |

Many factories in the region still follow the old convention of green = “motor running” and red = “power available/stopped”. Follow the plant's own standard consistently, and state the meaning on a label on the panel door.

## Control circuit supply Intermediate

Small panels often use 230 VAC taken from L–N through a fuse. IEC 60204-1 requires machine control circuits to be fed through a transformer with separate windings (except for a machine with a single motor starter and no more than two control devices), to lower the voltage and limit the effect of an earth fault. Systems with a PLC usually use 24 VDC from a power supply.

D7 Control transformer sizing

$$S_{tr} \ge \sum S_{hold} + S_{inrush,\,max} \qquad \text{check voltage dip at pick-up} \le 5\text{–}10\,\%$$

Example D-1

### Select the devices for a 7.5 kW 400 V 14.6 A motor, direct-on-line

- D2: AC-3 contactor ≥ 14.6 A → 18 A (rated 7.5 kW at 400 V)

- MPCB 13–18 A range, set Ir = 14.6 A (D3), class 10 · magnetic trip about 13 × 18 = 234 A > peak inrush ~ 2 × 95 = 190 A (D6)

- D5: if a 1000 kVA, uk 6 % transformer is close by, $I_k \approx 1000/(\sqrt3 \times 0.4 \times 0.06) = 24$ kA → use an MPCB model with Icu ≥ 25 kA, or an upstream limiter/fuse according to the manufacturer's table

- D7: three contactors, each holding 8 VA and pulling in at 70 VA → $S \ge 3(8) + 70 = 94$ VA → a 100 VA transformer

## Symbols for all these devices

Figure 4 · The IEC 60617 symbols used in every diagram in this series. How to read drawings in detail is covered in Symbols · Reading diagrams. · NEMA symbols are on the symbols and diagram-reading page

## Frequently asked questions

What is the difference between a contactor and a relay?
The principle is the same: a coil pulls in the contacts. A contactor, however, has main contacts designed to break motor current, arc chutes, and ratings by utilization category such as AC-3. A control relay switches small currents in the control circuit (AC-15/DC-13) and is not used to switch a motor directly.

Can an MPCB replace an overload relay?
Yes. An MPCB (motor protection circuit breaker) combines an adjustable thermal overload element and a magnetic short-circuit trip in one device, so it is used with a contactor without a separate overload relay. The exception is a star–delta starter, where the protective device must sit in the phase-current path.

Does the START button have to be green?
IEC 60204-1 allows START/ON buttons in white, grey, black or green, recommends white, and forbids red. STOP/OFF buttons are black, grey or white (black preferred); red is allowed but should not be placed near an emergency-stop button. The emergency stop itself must be red on a yellow background. In practice, panels in Thailand and the region often use a green START and a red STOP, which is still within the accepted range.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**What is the difference between a contactor and a relay?**
The principle is the same: a coil pulls in the contacts. A contactor, however, has main contacts designed to break motor current, arc chutes, and ratings by utilization category such as AC-3. A control relay switches small currents in the control circuit (AC-15/DC-13) and is not used to switch a motor directly.

**Can an MPCB replace an overload relay?**
Yes. An MPCB (motor protection circuit breaker) combines an adjustable thermal overload element and a magnetic short-circuit trip in one device, so it is used with a contactor without a separate overload relay. The exception is a star–delta starter, where the protective device must sit in the phase-current path.

**Does the START button have to be green?**
IEC 60204-1 allows START/ON buttons in white, grey, black or green, recommends white, and forbids red. STOP/OFF buttons are black, grey or white (black preferred); red is allowed but should not be placed near an emergency-stop button. The emergency stop itself must be red on a yellow background. In practice, panels in Thailand and the region often use a green START and a red STOP, which is still within the accepted range.

---

# Motor Circuit Design and Installation: Device Selection, Cable Size, Starting Voltage Drop, Control Panels, Testing and a Troubleshooting Table

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/design-installation/
Updated: 2026-10-14
Summary: A 10-step motor circuit design procedure for 400 V 50 Hz systems: deriving power from the load, choosing the motor and starting method, contactor, overload relay, circuit-breaker and breaking capacity, cable size by current and voltage drop (EIT wiring code of Thailand and IEC 60364), earth-fault current at the cable end, IEC 61439 control panels, IP ratings, panel heat and fans, insulation resistance testing, commissioning, maintenance, and a table of fault symptoms with causes.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.14 · AC Motor Control · Design, Installation & Troubleshooting

# Motor Circuit Design and Installation: Device Selection, Cable Size, Starting Voltage Drop, Control Panels, Testing and a Troubleshooting Table

This page brings every previous chapter together into one design job, from the load to commissioning, with what to check on site and a troubleshooting table compiled from the most common symptoms. Every number in the examples can be calculated from the formulas on the page.

In 30 seconds

- Design in order: load → motor → starting method → devices → cable → panel → test

- The cable must pass three checks: current rating, voltage drop (running ≤ 3–5 %, starting ≤ 10–15 %) and earth-fault current at the cable end

- Panel heat: $\Delta T = P/(kA)$ — a drive almost always means a fan is needed

- Before energising: megger ≥ 1 MΩ, check tightness, check phase sequence, test the control circuit on its own

## The 10-step design procedure Basic

Figure 1 · The sequence can loop back — for example, a high starting voltage drop (step 7) may force a change of starting method (step 3)

K1 Shaft power of a pump or a drive

$$P_{pump} = \frac{\rho g Q H}{\eta_p} \qquad P = T\,\omega = \frac{T\,n}{9550}\ \text{(kW)}$$

K2 Motor size margin

$$P_{motor} \ge (1.10\text{–}1.15)\,P_{load,max} \;\rightarrow\; \text{next standard size}$$

## Cable size, voltage drop and fault current at the cable end Intermediate

K3 Cable ampacity after derating

$$I_z\,k_{temp}\,k_{group} \ge I_n \qquad I_z \ge I_r\ (\text{overload protection setting})$$

K4 Running voltage drop

$$\Delta V\% = \frac{\sqrt3\,I_n\,L\,(R\cos\varphi + X\sin\varphi)}{V_L}\times100 \le 3\text{–}5\,\% \qquad R = \frac{\rho}{A},\ \rho_{Cu,70^\circ C} \approx 0.0225\ \Omega\,\text{mm}^2/\text{m}$$

K5 Starting voltage drop

$$\Delta V_{st}\% \approx \Delta V_{tr}\% + \frac{\sqrt3\,I_{st}\,L\,(R\cdot0.3 + X\cdot0.95)}{V_L}\times100 \le 10\text{–}15\,\%$$

K6 Earth fault at the cable end (TN system)

$$I_{f} = \frac{U_0}{Z_s} \ge I_a \qquad Z_s \approx Z_{src} + (1 + m)\,\frac{\rho L}{A_{ph}}\ \ (m = A_{ph}/A_{PE})$$

$U_0$ = 230 V · $I_a$ = the current that makes the protective device disconnect within the time required by the standard (for fixed motor circuits in a TN system usually 5 s; use the magnetic trip value of the MPCB/breaker for instantaneous disconnection). Take Ik and disconnection times from the installation standard that applies in the country concerned.

Example K-1

### A 15 kW 4-pole 400 V pump 50 m from the panel, 315 kVA transformer with uk 4 %, direct-on-line start

- M6: $I_n = 15{,}000/(\sqrt3 \times 400 \times 0.921 \times 0.84) = 28.0$ A · $I_{st} = 7 \times 28 = 196$ A

- L2 (at the transformer): $S_{sc} = 315/0.04 = 7.9$ MVA · $S_{st} = \sqrt3(400)(196) = 136$ kVA → $\Delta U \approx 1.7\,\%$

- K3: 6 mm² cable $I_z \approx 36$ A × 0.87 = 31.3 A ≥ 28 A ✓

- K4: $R = 0.0225/6 = 3.75$ mΩ/m → $\Delta V = \sqrt3(28)(50)(0.00375 \times 0.84 + 0.00008 \times 0.54) = 7.7$ V = 1.9 % ✓

- K5: $\sqrt3(196)(50)(0.00375 \times 0.3 + 0.00008 \times 0.95) = 20.4$ V = 5.1 % + 1.7 % = 6.8 % ✓ → direct-on-line starting is acceptable

- Devices: 32 A AC-3 contactor · 24–32 A MPCB set to 28 A · 6 mm² PE

## Control panels: layout, IP rating and heat Intermediate

Figure 2 · Arrange devices along the energy flow from top to bottom, with wiring ducts between rows and the terminal rail at the bottom near the cable entry

- Low-voltage assemblies are designed and verified to IEC 61439 (the panel builder must verify temperature-rise limits, clearances and the busbar short-circuit rating)

- IP54 for general factory areas, IP55/65 for wash-down or outdoor areas (IEC 60529) — a cut-out for a fan must use a fan-and-filter unit with the same IP rating as the enclosure

- Leave 20–30 % spare space · keep the clearances in the drive manual (100–200 mm above and below for airflow)

K7 Enclosure temperature rise and fan airflow

$$\Delta T = \frac{P_{loss}}{k\,A_e}\ \ (k \approx 5.5\ \text{W/m}^2\text{K painted steel}) \qquad \dot V\,[\text{m}^3/\text{h}] \approx \frac{3.1\,P_{loss}\,[\text{W}]}{\Delta T_{allow}}$$

Example K-2

### A wall-mounted 600 × 800 × 300 mm enclosure containing a 15 kW drive (losses ~2.5 %)

- $P_{loss} \approx 0.025 \times 15{,}000 + 40 = 415$ W (including contactors and the power supply)

- Effective cooling surface (not counting the back against the wall) $A_e \approx 0.6(0.8) + 0.6(0.3) + 2(0.8)(0.3) = 1.14$ m²

- K7: sealed $\Delta T = 415/(5.5 \times 1.14) = 66$ K — in a 35 °C plant room the inside would exceed 100 °C ✗

- Use a fan: allow 10 K above ambient → $\dot V = 3.1(415)/10 = 129$ m³/h → choose a fan-filter unit ≥ 160 m³/h (allowing for a clogged filter)

## Pre-commissioning tests Basic

K8 Insulation resistance acceptance

$$R_{iso} \ge 1\ \text{M}\Omega\ @\ 500\ \text{V DC (IEC 60204-1)} \qquad R_{40^\circ C} \ge 5\ \text{M}\Omega\ \text{windings}

- Visual inspection: devices match the drawings, cable sizes, wire numbers, all covers fitted, no wire offcuts left in the panel

- Tightness: every power terminal torqued to the specified value (paint-mark after tightening)

- Earth continuity: measure the PE resistance from the motor frame to the panel earth bar

- Insulation resistance: disconnect drives, soft starters and electronics first, then test the cable and motor at 500 V DC (K8)

- Control circuit: isolate the power circuit (switch the MPCBs off), supply control power only, and test the sequence, interlocks, timers and emergency stop

- Direction of rotation: uncouple if possible, bump-start briefly and check the direction (a pump run backwards for long can be damaged)

- Live run: measure three-phase currents, voltage, temperature and vibration, compare with the nameplate and record them as the baseline

## Troubleshooting table

| Symptom | Possible causes | What to check |

| Press START and the contactor does not pull in | Blown control fuse · overload still tripped · STOP/E-stop latched · loose wire | Measure voltage point by point from the L rail along the drawing |

| Pulls in while pressed but drops out on release | Self-holding contact (13-14) not wired or faulty | Measure across 13-14 while energised, check the wire in parallel with the START button |

| Contactor hums loudly | Low coil voltage · dirty pole faces · broken shading ring | Measure coil voltage while energised, clean the pole faces |

| Motor hums but does not turn | Lost phase · jammed load · wrongly connected in Y for a heavily loaded 400/690 V motor | Measure three-phase voltage at the motor terminals, turn the shaft by hand (isolate first) |

| Overload trips after a few minutes' running | Genuine overload · wrong setting · low or unbalanced voltage · failed bearing | Measure current against the nameplate, measure voltage, listen to the bearings |

| MPCB trips instantly at start | Short circuit · failed insulation · magnetic setting too low · star–delta changeover timing wrong | Megger, measure winding resistance, note when in the sequence it trips |

| Motor abnormally hot but does not trip | Blocked fan/fins · low-speed running on a VFD · harmonics · high ambient temperature | Measure frame temperature, clean, check the operating frequency |

| Contactor contacts burn out quickly | Undersized · frequent inching (AC-4) · coil not pulling in firmly | Compare the rating with the duty, check operations per hour |

## Preventive maintenance

- Monthly: listen, check temperatures, clean panel fan filters, check pilot lamps

- Every 6 months: infrared thermal scan under load (to find loose connections), measure three-phase currents

- Yearly: re-torque power terminals, inspect contactor contacts, measure insulation resistance and record the trend, test emergency stops

- By running hours: grease bearings as stated on the motor plate, replace the drive cooling fan (often every 3–5 years) and the DC-bus capacitors per the manual

## Frequently asked questions

What is the minimum acceptable insulation resistance for a motor?
For the electrical equipment of machines, IEC 60204-1 requires at least 1 MΩ at 500 V DC between conductors and earth. For low-voltage motor windings, IEEE 43 recommends a minimum of 5 MΩ (corrected to 40 °C), and you should watch the trend against previous readings — a steadily falling value matters more than a single reading.

Can I size a motor cable from current alone?
No. Three things must be checked: the current rating after derating for installation method and temperature, the voltage drop both while running and while starting, and that the earth-fault current at the cable end is high enough for the protective device to disconnect within the required time. Long cables are usually sized by voltage drop, not by current.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**What is the minimum acceptable insulation resistance for a motor?**
For the electrical equipment of machines, IEC 60204-1 requires at least 1 MΩ at 500 V DC between conductors and earth. For low-voltage motor windings, IEEE 43 recommends a minimum of 5 MΩ (corrected to 40 °C), and you should watch the trend against previous readings — a steadily falling value matters more than a single reading.

**Can I size a motor cable from current alone?**
No. Three things must be checked: the current rating after derating for installation method and temperature, the voltage drop both while running and while starting, and that the earth-fault current at the cable end is high enough for the protective device to disconnect within the required time. Long cables are usually sized by voltage drop, not by current.

---

# Reading Motor Control Diagrams: IEC 60617 Symbols vs NEMA, IEC 81346 Reference Designations, Terminal Numbers, Wire Numbers and Cross-References

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/diagrams-symbols/
Updated: 2026-10-15
Summary: How to read motor control circuit diagrams in the European (IEC), American (NEMA) and Japanese styles: power circuit versus control circuit, symbols for contacts, coils, timers and overload relays, the device letter codes -Q -K -F -S -P -M of IEC 81346, terminal numbers 1/L1 2/T1 A1 A2 13 14 21 22 95 96, wire numbers, terminal strips, cross-page references, and turning relay circuits into Boolean algebra. Adds IEC and ANSI/NEMA single-line diagrams, NEMA/JIC ladder diagrams, the NEMA starter size table and an IEC-to-NEMA device-code comparison.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.5 · AC Motor Control · Symbols & Reading Diagrams

# Reading Motor Control Diagrams: IEC 60617 Symbols vs NEMA, IEC 81346 Reference Designations, Terminal Numbers, Wire Numbers and Cross-References

A circuit diagram is the common language of the designer, the panel builder and the maintenance technician. If you read it fluently you will wire it right the first time and find faults from the drawing without tearing the panel apart. This page teaches you to read drawings in the IEC convention used throughout this series, and compares them with the American style found on imported machines.

In 30 seconds

- A drawing has two parts: the power circuit (400 V to the motor) and the control circuit (230 VAC/24 VDC to the coils)

- Contacts are always drawn in the normal state (de-energised, not actuated)

- Series = AND · parallel = OR · NC = NOT — you can read a control circuit as logic straight away

- Device designation + terminal number, e.g. “-K1:13”, identifies a connection point uniquely in the whole panel

- A single-line diagram shows the whole system · NEMA drawings are read as left-to-right ladders with rung numbers under the coil

## Power circuit and control circuit Basic

The power circuit (main circuit) is drawn as three lines L1 L2 L3 running down from the top through the breaker, contactor and overload relay to the motor; you read it top to bottom, following the flow of energy. The control circuit is drawn between an upper rail (L or +24 V) and a lower rail (N or 0 V). Each vertical branch is called a “path” or “current path” and has a column number at the top. Symbols belonging to the same device (e.g. coil -K1 and contact -K1 13-14) may sit in different columns or on different pages; they are tied together by the device designation.

Power circuit: read top → bottom

Control circuit: L rail → devices → coil → N rail

### What an IEC 60204-1 control schematic contains

- Column numbers 1 2 3 … above the L1 rail locate every device, with a function text (e.g. “hold-in”) under the N rail

- The box under a coil is the contact cross-reference (contact mirror): its NO / NC rows give the column of each contact of that coil; “PWR” = the power poles sit in the power circuit

- Coils on the N rail with all contacts on the L side: an earth fault between a contact and the coil cannot pick the coil up (IEC 60204-1 clause 9.4.3)

- Fuse -F3 protects the control circuit · overload contact -F2 95-96 (NC) is in series with the coil · 97-98 (NO) signals the trip

- IEC 60204-1 lamp codes GN green = normal/running · YE yellow = abnormal (trip) · RD red = danger/emergency · BU blue = action required · WH white = general status

- Power circuit: green-yellow dash-dot = PE conductor bonded to the motor frame · short dashes between poles = mechanical coupling · the overload is a bimetal element per phase linked to contact 95-96

## The single-line (one-line) diagram Intermediate

A single-line diagram is the “map” of an electrical system: one line stands for all three phases (three oblique strokes show three conductors) and the sheet shows sources, transformers, busbars, feeders, protective devices, starters and motors with their ratings — but no control circuits, terminal numbers or internal wiring. It is used to check protection coordination, calculate fault levels and plan extensions.

Figure 2 · Single-line diagram with IEC 60617 symbols: 22/0.4 kV Dyn11 transformer → ACB → MDB busbar → DOL feeder (MPCB + contactor + overload), soft-starter and VFD feeders (figures are illustrative)

### Read it top to bottom

- Source and transformer — voltage, frequency, rating (kVA), uk %, vector group (Dyn11) and neutral earthing (TN-S)

- Main breaker (ACB) — rated current and breaking capacity Icu, which must exceed the prospective fault current at the bus

- CT and meters — the circle around the line is the current transformer feeding an ammeter or power meter

- Busbar — the thick line: 3N~ 400/230 V · every feeder branches from it

- Motor feeders — breaker/MPCB → starter (contactor + overload, soft starter or VFD) → cable (size, cores, shield) → motor (kW, current)

Figure 3 · American one-line diagram (ANSI/IEEE 315): breakers are boxes on the line, ANSI/IEEE C37.2 device numbers (52 = AC circuit breaker, 49 = thermal overload), NEMA size 1 starter and FLA taken from NEC Table 430.250

| Drawing | Shows | Used for |

| Single-line | The whole system, one line per three phases, with ratings | Protection coordination, fault levels, expansion |

| Power circuit (multi-line) | Every conductor of one feeder: L1 L2 L3 PE, terminal numbers, motor leads | Panel wiring, phase rotation |

| Control schematic | Coils, contacts, buttons, sensors between rails L–N (IEC) or X1–X2 (NEMA) | Control logic, fault finding |

### What a good single-line diagram must show

- Voltage, frequency, system earthing (TN-S, TN-C-S, TT, IT) and the fault level at the bus (kA)

- Type, rating and Icu of every breaker · fuses · protection-relay settings

- Cable size, cores, material and length (for voltage drop and fault checks)

- Motors: kW or hp, rated current, starting method and device codes that match the control schematic (-Q1 -K1 -F2 -M1 or DISC M OL MTR)

- The symbol standard used (IEC 60617/81346 or ANSI/IEEE 315/NEMA), stated in the drawing legend

## IEC 60617 symbols Basic

Figure 1 · A dashed line from a contact shows a mechanical link, e.g. a push-button (the square-bracket shape), a float, a pressure switch, or the thermal element of an overload relay.

### Drawing rules you must know

- Contacts are drawn in the “de-energised, not actuated” state — a limit switch that is normally held operated carries a note

- An NO contact is drawn with its blade tilted to the left; an NC contact has a short bar across at the contact point

- The half-circle on a timer contact shows the direction of the delay (like a parachute)

- A solid dot (●) is a junction; lines that cross without a dot are not connected

- A fuse is a rectangle with the conductor running through it · a contactor pole has a small bow at the contact · a circuit-breaker has a cross at the blade tip · an isolator has a bar across the blade tip

- Dashed lines are mechanical links between poles or devices — the three poles of a contactor, a breaker’s trip unit, or the mechanical interlock between coils -K1 and -K2

## Device designations and terminal numbers Intermediate

| Traditional code (used in this series) | New IEC 81346-2 (examples) | Device |

| -Q | -QA | MPCB, isolating switch (and power contactors in the new edition) |

| -K | -QA (contactor) · -KF (relay, timer, PLC) | Contactors, relays, timers |

| -F | -FC | Fuses, overload relays, protective devices |

| -S | -SF | Push-buttons, selector switches (operated by a person) |

| -B | -BG -BP -BL | Sensors, limit switches, pressure switches, floats |

| -P / -H | -PF -PG | Pilot lights, meters |

| -M | -MA | Motors |

| -X | -XD | Terminal strips |

| -T | -TA | Transformers, power supplies (the new edition uses T for energy conversion) |

A terminal number is always read together with the designation: “-K1:A1” is the coil terminal of contactor K1, “-X1:5” is terminal 5 of terminal strip X1. Wire numbers on drawings are often based on page and column number (e.g. wire 2.4 is a wire on page 2, column 4), which makes it practical to trace wires inside the panel.

### Cross-reference tables

Under each coil on an IEC drawing there is usually a small table showing where its contacts are, for example

-K1
1-2 │ 3.2 ← main contact, page 3 column 2
13-14 │ 4.3 ← NO used for self-holding, page 4 column 3
21-22 │ 4.6 ← NC used for interlocking, page 4 column 6
43-44 │ 4.8 ← NO for the run lamp

## Reading a control circuit as logic Intermediate

Current reaches a coil when there is at least one path on which every contact is closed, so the circuit can be written as Boolean algebra. This is the foundation of ladder programming in a PLC.

G1 Series = AND

$$K = A \cdot B$$

G2 Parallel = OR

$$K = A + B$$

G3 NC contact = NOT

$$K = \overline{A}$$

G4 Self-holding (seal-in)

$$K1 = \overline{S0}\cdot\overline{F2}\cdot(S1 + K1)$$

Example G-1

### Read the DOL circuit as an equation

- A single path from the L rail: F2 (95-96, NC) → S0 (NC) → [S1 (NO) in parallel with K1 13-14] → coil K1

- Replace each NC with NOT of “actuated”: $K1 = \overline{F2}\cdot\overline{S0}\cdot(S1 + K1)$ — identical to G4

- Check: press S1 → K1 = 1 · release S1 → the K1 term holds it · press S0 or F2 trips → K1 = 0, and it does not come back by itself when released

## American (NEMA/JIC) and Japanese drawings Intermediate

In North America motor drawings follow NEMA ICS 19 (designations and symbols), NEMA ICS 2 (contactors, starters and NEMA sizes), NFPA 79 / JIC (electrical equipment of industrial machinery) and the NEC (installation); symbols come from ANSI Y32.2 / IEEE 315. The sheet below is the symbol set used in this series’ ladder diagrams.

Figure 4 · NEMA/JIC symbols: contacts are parallel bars, NO ┤ ├ and NC ┤/├ · coils and lamps are circles with letters · overload heaters are zig-zags · power poles are two short bars across the line

| Item | IEC (Europe · Thailand · ASEAN) | NEMA / JIC (North America) |

| Drawing direction | Rails top and bottom, vertical circuits · columns 1 2 3 | Rails left and right (X1 · X2), horizontal rungs like a ladder · rung numbers 1 2 3 |

| NO / NC contact | Tilted blade / blade with a bar | Two parallel bars ─┤ ├─ / with a diagonal ─┤/├─ |

| Coil | Rectangle A1–A2 | Circle with letters M, CR, TR (no terminal numbers) |

| Device codes | -K1 -S1 -F2 -P1 -M1 | M · CR · TR · OL · PB · FU · PL · MTR |

| Power-pole terminals | 1/L1 2/T1 3/L2 4/T2 5/L3 6/T3 | L1 L2 L3 → T1 T2 T3 |

| Six-lead motor terminals | U1 V1 W1 U2 V2 W2 | T1 T2 T3 T4 T5 T6 (U1=T1 V1=T2 W1=T3 U2=T4 V2=T5 W2=T6) |

| Overload | Relay -F2 95-96 at the head of the coil circuit | OL heaters in the power circuit · OL contact (NC) next to the coil, near rail X2 |

| Control voltage | 230 VAC / 24 VDC | 120 VAC from a control transformer (X2 grounded) / 24 VDC |

| Cross-reference | Box under the coil gives the NO/NC columns | Rung numbers under the coil · underlined = NC |

| Wire numbers / colours | By sheet and column · green-yellow = PE | One number per node · NFPA 79: black = power, red = AC control, white = grounded (X2), green = ground |

| Starter sizing | Rating by utilisation category AC-3 (kW, A) | NEMA size 00–9 by hp at that voltage (table below) |

### Reading a NEMA ladder

- Read left to right: buttons and contacts on the left, loads on the right — coil M sits at the far right with OL, next to the grounded rail X2 (the same idea as IEC’s “coil on N”)

- Rung numbers outside rail X1 · wire numbers on the lines: one number per electrical node

- Numbers under a coil list the rungs that carry its contacts — underlined = NC, e.g. “1 2 3” = NO on rungs 1 and 2, NC on rung 3

- Contacts carry no terminal numbers such as 13-14: they are identified by device name (M, CR1, TR) · timer contacts state their type NOTC / NCTO (on-delay) or NOTO / NCTC (off-delay)

- Full examples with the power circuit: direct on line · reversing · wye–delta

### IEC ↔ NEMA device codes

| Device | IEC | NEMA / JIC |

| Breaker / MPCB | -Q1 | CB · MCP · DISC |

| Contactor / starter | -K1 (-QA1) | M · F · R · 1M 2M 1S |

| Control relay · timer | -K2 · -K4T | CR · TR |

| Overload | -F2 (95-96) | OL |

| Fuse | -F1 -F3 | FU |

| START / STOP buttons | -S1 / -S0 | START / STOP (PB) |

| Limit · pressure · float | -B1 -B2 -B3 | LS · PS · FS |

| Pilot light | -P1 (GN, RD) | PL (G, R, A, W) |

| Control transformer | -T1 | CT / CPT (H1–H4, X1–X2) |

| Motor | -M1 (U1 V1 W1) | MTR (T1 T2 T3) |

### NEMA starter sizes (ICS 2)

| NEMA size | Continuous (A) | Max hp at 230 V | Max hp at 460 V |

| 00 | 9 | 1.5 | 2 |

| 0 | 18 | 3 | 5 |

| 1 | 27 | 7.5 | 10 |

| 2 | 45 | 15 | 25 |

| 3 | 90 | 30 | 50 |

| 4 | 135 | 50 | 100 |

| 5 | 270 | 100 | 200 |

The hp figures are maxima for full-voltage, non-plugging duty — check the manufacturer’s catalogue and NEMA ICS 2 before selecting. A NEMA size is chosen from the hp, not the measured current, whereas an IEC contactor is chosen from current and utilisation category AC-3.

Current Japanese drawings use JIS C 0617, which matches IEC 60617, but older machines still carry the former symbols. Ladder diagrams in every brand of PLC are drawn horizontally, much like NEMA.

## Reading a drawing to find a fault

- Start at the motor/load with the problem and find its device designation in the power circuit (e.g. -K3)

- Find coil -K3 in the control circuit, then work down from the L rail one device at a time

- Measure the voltage to the N rail point by point; the first point with “no voltage” lies after the device that is open

- Use the cross-reference table to see which device the open contact (e.g. -K2 21-22) belongs to, and follow it from there

## Frequently asked questions

In which state are contacts shown on a diagram?
In the normal state: no coil energised, no button pressed and no force on any sensor (de-energised, unactuated). NO contacts are therefore drawn open and NC contacts closed, even though in real operation a contactor may be pulled in almost all the time.

Why do some drawings use K for contactors and others Q?
The traditional IEC/DIN convention uses K for contactors and relays. The newer IEC 81346-2 places power contactors in class Q (switching of energy flow), e.g. -QA1, and control relays in class K, e.g. -KF1. Both styles appear on real drawings, so check the designation key page of the drawing set.

How is a single-line diagram different from a power circuit?
A single-line diagram draws one line for all three phases and covers the whole system (source, transformer, busbar, feeders, protection, motors) with ratings. A power circuit shows every conductor and terminal number of one feeder and is used for panel wiring.

Why do NEMA drawings have no terminal numbers like 13-14 or 95-96?
NEMA/JIC identifies contacts by device name (M, CR, TR, OL) and by wire numbers on the lines instead of IEC 60947 auxiliary-contact numbers. Power poles are L1 L2 L3 → T1 T2 T3, and contact locations are read from the rung numbers under the coil (underlined = NC).

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**In which state are contacts shown on a diagram?**
In the normal state: no coil energised, no button pressed and no force on any sensor (de-energised, unactuated). NO contacts are therefore drawn open and NC contacts closed, even though in real operation a contactor may be pulled in almost all the time.

**Why do some drawings use K for contactors and others Q?**
The traditional IEC/DIN convention uses K for contactors and relays. The newer IEC 81346-2 places power contactors in class Q (switching of energy flow), e.g. -QA1, and control relays in class K, e.g. -KF1. Both styles appear on real drawings, so check the designation key page of the drawing set.

**How is a single-line diagram different from a power circuit?**
A single-line diagram draws one line for all three phases and covers the whole system (source, transformer, busbar, feeders, protection, motors) with ratings. A power circuit shows every conductor and terminal number of one feeder and is used for panel wiring.

**Why do NEMA drawings have no terminal numbers like 13-14 or 95-96?**
NEMA/JIC identifies contacts by device name (M, CR, TR, OL) and by wire numbers on the lines instead of IEC 60947 auxiliary-contact numbers. Power poles are L1 L2 L3 → T1 T2 T3, and contact locations are read from the rung numbers under the coil (underlined = NC).

---

# Direct-On-Line (DOL) Motor Starter: Power Circuit, Self-Holding Control Circuit, Two-Location Control, Jogging and Step-by-Step Device Selection

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/dol-starter/
Updated: 2026-10-14
Summary: The direct-on-line circuit for 400 V three-phase motors: power circuit with MPCB, contactor and overload relay; the self-holding (seal-in) control circuit; why the STOP button must be NC and wired in series; multi-location control; jog buttons; pilot lights; the sequence of operation; panel wiring; and a complete device-selection example for a 7.5 kW motor.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.6 · AC Motor Control · Direct-On-Line Starter

# Direct-On-Line (DOL) Motor Starter: Power Circuit, Self-Holding Control Circuit, Two-Location Control, Jogging and Step-by-Step Device Selection

DOL is the simplest and most common motor circuit, and the template for all the others: a reversing starter is two interlocked DOL starters, and a star–delta starter is a DOL starter with extra contactors and a timer. Understand this page in depth and the following pages become much easier.

In 30 seconds

- Power circuit: Q1 (short circuit) → K1 (switching) → F2 (overload) → motor

- Control circuit: F2 95-96 → STOP (NC) → [START (NO) ∥ K1 13-14] → coil K1

- All STOP buttons in series, all START buttons in parallel

- Self-holding gives no-volt release safety: after a power failure the motor does not restart by itself

- 7.5 kW motor: MPCB 13–18 A · 18 A AC-3 contactor · 2.5 mm² cable (≤ 60 m)

## Power circuit Basic

Figure 1 · DOL power circuit: three devices perform three different duties, and none may stand in for another (e.g. using the breaker to switch the motor on and off every day).

L1 DOL starting current

$$I_{st} = k_{st}\,I_n \qquad k_{st} = I_a/I_n \approx 6\text{–}8$$

L2 Voltage dip at the transformer

$$\Delta U\% \approx \frac{S_{st}}{S_{sc} + S_{st}}\times 100 \qquad S_{st} = \sqrt3\,V_L\,I_{st} \qquad S_{sc} = \frac{S_{tr}}{u_k}$$

L3 Cable voltage drop

$$\Delta V = \sqrt3\, I\, L\,(R\cos\varphi + X\sin\varphi) \qquad \cos\varphi_{start} \approx 0.3$$

## The self-holding control circuit Basic

Figure 2 · Column 1 drives the coil (STOP · START · K1) · column 2 is the hold-in contact · column 3 the run lamp (K1 43-44) · column 4 the trip lamp (F2 97-98) · the box under coil K1 gives the columns of its contacts

### Sequence of operation

- Normal state: F2 95-96 closed · S0 closed · S1 open · K1 13-14 open → coil not energised

- Press S1: current flows through S1 to coil K1 → K1 pulls in → main contacts connect the motor · 13-14 closes · 43-44 lights the run lamp

- Release S1: current still reaches the coil through 13-14, which is in parallel with S1 → self-holding

- Press S0: every path is broken → K1 drops out → 13-14 opens → releasing S0 does not bring it back

- Overload: F2 95-96 opens just like pressing STOP · 97-98 closes and the trip lamp lights · remove the cause, then reset

- Power failure: the coil loses supply, K1 drops out and the latch is lost → when power returns the motor does not start by itself

L4 Seal-in logic

$$K1_{\text{new}} = \overline{F2}\cdot\overline{S0}\cdot(S1 + K1_{\text{old}})$$

Why STOP must be NC: if you used an NO button wired as “press to break”, a loose wire or a dirty contact would mean pressing STOP does nothing. With an NC button wired in series, a broken wire stops the machine by itself — it fails safe. The same reasoning applies to overload contact 95-96 and to the emergency stop.

JavaScript is needed for the simulator

## NEMA/JIC version: the same circuit drawn the American way Intermediate

Machines from North America and plants designed to NFPA 79 / the NEC draw a DOL starter as a power circuit plus a control ladder on one sheet. This is the same circuit as figures 1–2 at 480 V 3Φ 60 Hz with 120 V control from a control transformer.

Figure 2a · NEMA/JIC direct-on-line starter: disconnect + fuses → starter M (L1 L2 L3 → T1 T2 T3) → OL heaters → motor · 480/120 V control transformer (X2 grounded) → ladder STOP – START ∥ M – coil M – OL

### Compared with the IEC figures 1–2

- Three-wire ladder: STOP (NC) – START (NO) in parallel with auxiliary contact M (NO) – coil M – OL (NC) — the same logic as IEC, read left to right

- OL sits next to the coil near grounded rail X2 (IEC puts the overload contact at the head of the circuit); the OL heaters are in the power circuit

- Numbers under the coil “1 2 3”: M has NO contacts on rung 1 (hold-in) and rung 2 (RUN lamp) and an NC contact on rung 3 (OFF lamp)

- Control transformer: primary fuses FU1 FU2 on H1 H4, secondary fuse FU3 on X1 and X2 grounded — the same reason as IEC’s “coil on N”: an earth fault in the control wiring must not pick up the coil

- No terminal numbers 1-2, 13-14 or 95-96 — device names (M, OL) and wire numbers 1–6 take their place · NEMA starters are chosen by hp: a 10 hp 460 V motor (FLA 14 A) takes size 1 — see the table on the symbols page

## Multi-location control and jogging Intermediate

Machines often need to be controlled both at the panel and out on the floor. The rule is all STOP buttons in series (any one stops it) and all START buttons in parallel (any one starts it). A jog (inching) button runs the motor only while it is held, for positioning a conveyor or a tool. It is made with a combined NO+NC button: the NC part breaks the self-holding path and the NO part feeds the coil directly.

Figure 3 · Combined jog button: the NC contact must open before the NO contact closes (break-before-make), otherwise the motor stays latched after the button is released.

Frequent jogging is AC-4 duty: the contactor breaks the starting current every time, so derate the contactor or choose a larger size, and watch for motor overheating from frequent starts.

## Selecting the complete set of devices step by step Intermediate

Example L-1

### A 7.5 kW 400 V 14.6 A water pump, 60 m from the panel, fed by a 500 kVA uk 4 % transformer

- L1: $I_{st} = 6.5 \times 14.6 = 95$ A

- L2: $S_{st} = \sqrt3(400)(95) = 65.8$ kVA · $S_{sc} = 500/0.04 = 12.5$ MVA → $\Delta U = 65.8/(12{,}500 + 65.8) = 0.5\,\%$ at the transformer — direct-on-line starting is easily acceptable

- 18 A AC-3 contactor · MPCB 13–18 A range set to 14.6 A, class 10 (the pump runs up in < 2 s)

- L3 with 2.5 mm² cable (R = 0.0225/2.5 = 9 mΩ/m): while running $\Delta V = \sqrt3(14.6)(60)(0.009 \times 0.82 + 0.00008 \times 0.57) = 11.3$ V = 2.8 % ✓

- During starting $\Delta V = \sqrt3(95)(60)(0.009 \times 0.3 + 0.00008 \times 0.95) = 27.4$ V = 6.9 % — together with the transformer dip still below 10 % ✓

- Control circuit 230 VAC through a 2 A fuse · START/STOP buttons · run/trip lamps

## Wiring inside the panel: good practice

- Power-circuit wire colours to the applicable standard (in Thailand, per the EIT (Engineering Institute of Thailand) wiring code: L1 brown, L2 black, L3 grey, N blue, PE green-yellow); use a distinct colour for control wiring, e.g. red (AC) and dark blue (DC)

- Fit wire-number markers on both ends as per the drawing, and crimp a lug or ferrule on every stranded conductor

- Connect door-mounted push-buttons through terminal strip -X1, not directly from devices inside the panel, so the door can be removed for service

- Test the control circuit before connecting the motor: isolate the power circuit, press START/STOP and check that the contactors and lamps operate in the right sequence

- Test the overload relay with its TEST button while running: the motor must stop and the trip lamp must light

## Frequently asked questions

Why use a self-holding auxiliary contact instead of a maintained switch?
For safety: when the power fails and returns, a self-holding circuit does not restart the motor by itself (no-volt release), because the contactor drops out when the supply is lost and someone has to press START again. With a maintained switch the motor would start the moment power returns, which is dangerous for anyone working on the machine (IEC 60204-1 requires protection against unexpected restarting).

How large a motor can be started direct-on-line?
There is no single number. It depends on the strength of the supply (transformer size, cable length) and the utility's requirements. The general rule is that the voltage dip at the main switchboard during starting should not exceed 10–15 % and must not disturb other equipment. Check it with the voltage-drop calculator on this page, and check the local utility's connection requirements.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Why use a self-holding auxiliary contact instead of a maintained switch?**
For safety: when the power fails and returns, a self-holding circuit does not restart the motor by itself (no-volt release), because the contactor drops out when the supply is lost and someone has to press START again. With a maintained switch the motor would start the moment power returns, which is dangerous for anyone working on the machine (IEC 60204-1 requires protection against unexpected restarting).

**How large a motor can be started direct-on-line?**
There is no single number. It depends on the strength of the supply (transformer size, cable length) and the utility's requirements. The general rule is that the voltage dip at the main switchboard during starting should not exceed 10–15 % and must not disturb other equipment. Check it with the voltage-drop calculator on this page, and check the local utility's connection requirements.

---

# Three-Phase Motor Reversing Circuit: Swapping Two Phases, Electrical, Mechanical and Push-Button Interlocks, and Automatic Reversing with Limit Switches

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/forward-reverse/
Updated: 2026-10-14
Summary: The forward–reverse circuit for a 400 V three-phase motor: why swapping L1 and L3 reverses the motor, the two-contactor power circuit, three layers of interlocking (NC contacts, double push-buttons and a mechanical interlock), reversing through STOP versus instant reversal, plugging and AC-4 duty, roller shutters, electric hoists, conveyors and limit switches.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.7 · AC Motor Control · Forward–Reverse

# Three-Phase Motor Reversing Circuit: Swapping Two Phases, Electrical, Mechanical and Push-Button Interlocks, and Automatic Reversing with Limit Switches

Roller shutters, electric hoists, two-way conveyors and lathes all need to reverse. This circuit is two DOL starters connected to one motor. The hard part is not making the motor turn the other way — it is guaranteeing that the two contactors can never close at the same time, because that is a phase-to-phase short circuit.

In 30 seconds

- K1 connects L1-L2-L3 straight through · K2 swaps L1 and L3 → the phase sequence reverses and so does the rotating field

- K1 + K2 closed together = a short circuit between L1 and L3

- Three layers of interlocking: NC auxiliary of the opposite contactor · NO+NC double push-buttons · mechanical interlock

- Instant reversal while running (plugging) draws more than the starting current and needs AC-4 contactors — stop first

## Power circuit: swapping two phases Basic

Figure 1 · The supply sides of K1 and K2 are connected in parallel. On the output side of K2, lines L1 and L3 are swapped before joining the output of K1 · ▽ is the symbol for a mechanical interlock

R1 Phase swap

$$\text{K1: } (L1, L2, L3)\to(U1, V1, W1) \qquad \text{K2: } (L3, L2, L1)\to(U1, V1, W1)$$

R2 Fault if both close

$$I_{k2} = \frac{V_{L1L3}}{2 Z_{src}} = \frac{\sqrt3}{2} I_{k3} \approx 0.87\,I_{k3}$$

## Control circuit with three layers of interlocking Intermediate

Figure 2 · Each side is a DOL self-holding circuit, but with two NC contacts from the opposite side in its path: the other direction's push-button and the other contactor's auxiliary contact

| Layer | Made with | Prevents | Weak spot if it is the only layer |

| 1 Electrical (auxiliary) | K2 21-22 in series with the K1 coil and K1 21-22 in series with the K2 coil | Commanding the second contactor while the first is closed | Main contacts weld but the NC auxiliary can still reclose |

| 2 Push-button | Double buttons: pressing S1 first opens the NC in the K2 side | Pressing both buttons at once · forces reversal through a release first | No help if a contactor sticks |

| 3 Mechanical | A mechanical lever between the paired contactors | Both closing physically, even with a wrong control circuit | The contactor pair must be mounted as the manufacturer specifies |

R3 Interlocked logic

$$K1 = \overline{S0}\,\overline{F2}\,(S1 + K1)\,\overline{S2}\,\overline{K2} \qquad K2 = \overline{S0}\,\overline{F2}\,(S2 + K2)\,\overline{S1}\,\overline{K1}$$

JavaScript is needed for the simulator

In the simulator, press forward and then immediately press reverse: the interlock will refuse. Then tick “No stop-before-reverse” and reverse while the motor is running. Watch the current shoot above the starting current and the speed pass through zero.

## NEMA/JIC version: the reversing starter Intermediate

A NEMA reversing starter is two contactors, F (forward) and R (reverse), on one base with a factory-fitted mechanical interlock (M.I.). R swaps L1 and L3 just like K2 in the IEC drawing.

Figure 1a · NEMA/JIC reversing starter: power circuit (F straight · R swapping L1↔L3 · OL · motor T1 T2 T3) and the STOP / FWD / REV ladder with its interlocks

- Three interlock layers, as in IEC: NC contacts of F and R in the opposite rung · FWD/REV buttons whose NC half is in series with the other side · M.I. on the starter

- Numbers under the coils: F shows “1 2” — NO on rung 1 (hold-in) and NC on rung 2 (the interlock of R) · R shows “1 2” the other way round

- One STOP serves both rungs · a single OL sits next to rail X2 · reversing from running (plugging) needs a zero-speed relay or an off-delay timer

## Reversing while running (plugging) Advanced

If the motor is running forward at nearly full speed and the phases are swapped instantly, the rotating field reverses but the rotor is still turning the original way. The slip relative to the new field is therefore close to 2.

R4 Slip during plugging

$$s = \frac{-n_s - n}{-n_s} = 1 + \frac{n}{n_s} \approx 2 \quad (n \approx n_s)$$

At s ≈ 2 the current is slightly higher than at starting and the torque acts as a brake. All the kinetic energy of the load turns into heat in the rotor (about 3 times that of a single start). The contactors must be rated AC-4, and there must be a way to cut the supply when the speed reaches zero (a zero-speed switch); otherwise the motor will accelerate in the reverse direction.

R5 Rotor heat per operation (load with no torque)

$$E_{start} = \tfrac12 J\omega_s^2 \qquad E_{plug\,(\omega_s \to 0)} = \tfrac32 J\omega_s^2 \qquad E_{reverse\,(\omega_s \to -\omega_s)} = 4\cdot\tfrac12 J\omega_s^2$$

Example R-1

### A conveyor reversed while running, total J = 0.4 kg·m², 4-pole motor

- $\omega_s = 2\pi(1500)/60 = 157$ rad/s · kinetic energy $\tfrac12(0.4)(157^2) = 4.93$ kJ

- R5: a full reversal (forward → full speed in reverse) puts ≈ 4 × 4.93 = 19.7 kJ of heat into the rotor, compared with 4.9 kJ for a normal start

- If it reverses every 30 s, the motor heats up four times faster than with normal starts → stop before reversing, or use an inverter that decelerates under control

## Automatic reversing with limit switches Intermediate

Roller shutters and sliding tables must stop at the end of travel. Put an NC end-of-travel limit switch in series with the coil for that direction (-B1 in the forward circuit, -B2 in the reverse circuit). When the limit is hit, that direction's circuit opens while the opposite direction can still be commanded. For automatic back-and-forth travel, wire an NO contact of the same limit switch in parallel with the opposite direction's push-button.

- Use limit switches with positive-opening contacts (IEC 60947-5-1) for any safety-related position

- Add an over-travel limit beyond the normal limit and wire it into the main stop circuit, in case the first limit fails

- Electric hoists: never rely on auxiliary contacts alone — fit upper and lower limits and a mechanical brake

## Frequently asked questions

Is an electrical interlock on its own enough?
No. If the main contacts of one contactor weld, or the contactor sticks mechanically, its NC auxiliary contact may still be closed even though the main contacts are still made, so the other contactor can pull in and short two phases. A mechanical interlock between the two contactors physically stops them closing together. Manufacturers sell reversing contactor sets that include both.

Can I reverse the motor while it is running?
Technically yes (plugging), but the current is higher than the starting current, the torque shocks the shaft and gearbox, and the contactors must be rated AC-4. In most applications you should force the operator to press STOP and wait for the motor to stop first, or use a timer to delay the reversal.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Is an electrical interlock on its own enough?**
No. If the main contacts of one contactor weld, or the contactor sticks mechanically, its NC auxiliary contact may still be closed even though the main contacts are still made, so the other contactor can pull in and short two phases. A mechanical interlock between the two contactors physically stops them closing together. Manufacturers sell reversing contactor sets that include both.

**Can I reverse the motor while it is running?**
Technically yes (plugging), but the current is higher than the starting current, the torque shocks the shaft and gearbox, and the contactors must be rated AC-4. In most applications you should force the operator to press STOP and wait for the motor to stop first, or use a timer to delay the reversal.

---

# Three-Phase Induction Motor Principles for Industry: Rotating Field, Slip, Torque–Speed Curve, Starting Current and the Nameplate

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/induction-motor/
Updated: 2026-10-14
Summary: How a three-phase induction motor works: the rotating magnetic field n_s = 120f/p, slip, the equivalent circuit, the torque–speed curve, starting current of 6–8 times rated, torque proportional to V², IE2 IE3 IE4 efficiency classes to IEC 60034-30-1, reading the nameplate (IP, IC, insulation class, S1 duty) and calculating rated current from kW for a 400 V 50 Hz system.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.1 · AC Motor Control · Induction Motor

# Three-Phase Induction Motor Principles for Industry: Rotating Field, Slip, Torque–Speed Curve, Starting Current and the Nameplate

Before choosing a contactor or designing a starter you need to know what the motor “wants” from the circuit: how much current it draws when starting, how much torque it gives, and what a voltage dip does to it. This page goes from the physics to the numbers on the nameplate, using the same 7.5 kW 4-pole 400 V 50 Hz motor throughout the course.

In 30 seconds

- Three-phase currents 120° apart create a magnetic field rotating at $n_s = 120f/p$

- The rotor turns slightly slower: slip $s$ is 1–5 % at rated load · rated torque $T = 9550P/n$

- At start ($s = 1$) current is 6–8 In but torque only 1.5–2.5 Tn

- Torque varies with the square of voltage: a 10 % voltage dip loses 19 % of torque

- kW on the nameplate = mechanical shaft power · rated current $I_n = P/(\sqrt3 V \eta \cos\varphi)$ ≈ 2 A/kW at 400 V

## Construction Basic

The squirrel-cage induction motor, the most common motor in factories, has two parts: the stator, a laminated iron core carrying three windings placed 120 electrical degrees apart, and the rotor, made of aluminium or copper bars cast into short-circuiting end rings at both ends. There are no brushes and no commutator, so it is rugged and needs little maintenance. The usual type is TEFC (Totally Enclosed Fan Cooled, code IC411), with a fan on the shaft blowing air over the cooling fins.

Figure 1 · Parts of a TEFC motor: all six stator winding leads come out to the terminal box, which is where we choose star or delta

## The rotating field and synchronous speed Basic

When three-phase currents displaced 120° in time are fed into windings displaced 120° in space, the vector sum of the three fields has a constant magnitude of 1.5 times the peak field of one phase and rotates around the stator at constant speed. This is the heart of the three-phase AC motor: rotation without any moving parts.

Figure 2 · At times t1, t2, t3 each phase current is different, but the resultant vector keeps the same length and turns 60° each time ωt advances 60°

M1 Synchronous speed

$$n_s = \frac{120\, f}{p}\ \ \text{rpm} \qquad (p = \text{number of poles})$$

| Number of poles p | 2 | 4 | 6 | 8 |

| n_s at 50 Hz | 3000 | 1500 | 1000 | 750 |

| Approx. rated n | 2900–2970 | 1440–1480 | 950–985 | 700–740 |

| Typical use | High-head pumps, small fans | General purpose (most common) | Large fans, crushers | Conveyors, hoists |

## Slip and torque Intermediate

The rotating field sweeps across the rotor bars and induces voltage and current in the rotor (Faraday's law). Because this current sits in a magnetic field it feels a force $F = BIL$ that drags the rotor round after the field. But if the rotor caught up with the field exactly, the flux cutting would vanish and the torque would be zero, so the rotor always turns slower — hence the name “asynchronous motor”.

M2 Slip

$$s = \frac{n_s - n}{n_s} \qquad n = n_s(1 - s)$$

M3 Rotor frequency

$$f_r = s\, f$$

M4 Torque from power and speed

$$T = \frac{P}{\omega} = \frac{60\,P}{2\pi n} \;\;\Rightarrow\;\; T\,[\text{N}{\cdot}\text{m}] = \frac{9550\, P\,[\text{kW}]}{n\,[\text{rpm}]}$$

Example M-1

### A 7.5 kW 4-pole 50 Hz motor, nameplate 1470 rpm

- M1: $n_s = 120(50)/4 = 1500$ rpm

- M2: $s = (1500 - 1470)/1500 = 0.02 = 2\,\%$ · M3: $f_r = 0.02 \times 50 = 1$ Hz (the rotor current reverses very slowly)

- M4: $T_n = 9550(7.5)/1470 = 48.7$ N·m — the value to compare with the load torque and the starting torque

## Equivalent circuit and power flow Advanced

An induction motor is a transformer whose secondary (the rotor) can rotate. Referring the rotor quantities to the stator side gives the per-phase circuit of Figure 3. The rotor resistance appears as $R_2'/s$, which splits into the rotor copper loss $R_2'$ and a “load resistor” $R_2'(1-s)/s$ representing the mechanical power.

Figure 3 · Per-phase equivalent circuit (Y basis): at start s = 1 and the circuit impedance is only R₁ + R₂′ + jX — which is why the current is several times rated

M5 Power split in the rotor

$$P_{ag} = 3 I_2'^2 \frac{R_2'}{s} \qquad P_{cu2} = s\,P_{ag} \qquad P_{mech} = (1 - s)\,P_{ag} \qquad T = \frac{P_{ag}}{\omega_s}$$

The key practical result: rotor loss = slip × air-gap power. A motor running at high slip (low voltage, overload, wrongly connected in star) heats up immediately, and reducing speed by increasing slip is wasteful — unlike lowering the frequency with a VFD, where the slip stays small.

Example M-2

### Power flowing through the rotor of a 7.5 kW motor at s = 2 %

- Mechanical power including friction and fan ≈ 7.5 + 0.1 = 7.6 kW

- M5: $P_{ag} = P_{mech}/(1-s) = 7.6/0.98 = 7.76$ kW · $P_{cu2} = 0.02(7.76) = 0.155$ kW

- If the motor is forced to run at s = 10 % with the same torque, $P_{cu2}$ rises to about 0.78 kW — five times the rotor heating.

## The torque–speed curve and starting current Intermediate

The curves in Figure 4 are computed from the equivalent circuit of the example motor (double-cage rotor, tuned to typical catalogue data). The points to know:

- Locked-rotor torque Ts ≈ 2.2 Tn at n = 0 — must comfortably exceed the load's breakaway torque

- Breakdown (pull-out) torque Tk ≈ 3 Tn at about 85–90 % speed — if the load exceeds this the motor stalls

- Operating region to the right of the breakdown point, where the curve is almost a straight line and torque is proportional to slip

- Starting current ≈ 6.5 In, hardly falling until the speed reaches 80 % — so the whole run-up is a high-current period

Figure 4 · Orange = motor torque, blue = current (right axis), green = pump load, dashed = constant-torque load. Where the motor curve crosses the load curve is the operating point.

M6 Rated current

$$I_n = \frac{P_{out}}{\sqrt{3}\,V_L\,\eta\,\cos\varphi} \qquad P_{in} = \frac{P_{out}}{\eta}$$

M7 Starting current

$$I_{st} = \left(\frac{I_a}{I_n}\right) I_n \qquad \frac{I_a}{I_n} \approx 6\text{–}8$$

M8 Torque versus voltage

$$T(s) \propto V^2 \qquad \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2 \qquad I(s) \propto V$$

Example M-3

### Rated current, starting current and the effect of a voltage dip

- M6: $I_n = 7500/(\sqrt3 \times 400 \times 0.904 \times 0.82) = 7500/513.6 = 14.6$ A — matches the nameplate

- $P_{in} = 7.5/0.904 = 8.30$ kW · $S = \sqrt3(400)(14.6) = 10.1$ kVA · $Q = \sqrt{10.1^2 - 8.30^2} = 5.8$ kvar

- M7: $I_{st} = 6.5 \times 14.6 = 95$ A when started direct-on-line

- M8: if the voltage dips to 90 % during starting, the starting torque is $2.2 \times 0.9^2 = 1.78$ Tn and the current $95 \times 0.9 = 86$ A

## Reading the motor nameplate Basic

Figure 5 · Example nameplate: the two voltage lines “400 V Δ / 690 V Y” say that on a 400 V system it must be connected in delta, and that it can be star–delta started

| Field | Meaning | Used for |

| 400 V Δ 14.6 A / 690 V Y 8.4 A | Rated voltage and current for each connection | Choosing the terminal connection, setting the overload |

| 7.5 kW · 1470 r/min · 50 Hz | Mechanical shaft power, speed at rated load | Finding rated torque and slip |

| cos φ 0.82 · IE3 90.4 % | Power factor and efficiency at rated load | Calculating current, kVA, energy cost, PF correction |

| IP55 | Dust (5) and water-jet (5) protection to IEC 60034-5 | Matching the location (IP55 general use, IP56/66 wash-down) |

| IC411 | Cooled by a shaft-mounted fan (TEFC) | Take care at low speed on a VFD |

| Ins.cl. F · ΔT B | Insulation rated 155 °C, but actual temperature rise within class B (130 °C) | A margin for insulation life |

| S1 · Ta 40 °C | Continuous duty, ambient up to 40 °C · altitude up to 1000 m | Plant rooms hotter than 40 °C require derating |

| Ia/In 6.5 · Ta/Tn 2.2 · Tk/Tn 3.0 | Ratios of starting current, starting torque and breakdown torque | Calculating starting current, voltage dip and ability to accelerate |

## Efficiency classes IE1–IE4 and why to choose IE3 or better Intermediate

IEC 60034-30-1 defines efficiency classes IE1 (standard), IE2 (high), IE3 (premium) and IE4 (super premium). Many countries set minimum energy performance standards (MEPS) at IE2 or IE3. The electricity cost over a motor's life is usually tens of times its purchase price, so a difference of only a few percent in efficiency pays off.

| 4-pole 50 Hz | IE1 | IE2 | IE3 | IE4 |

| 7.5 kW | 86.0 % | 88.7 % | 90.4 % | 92.6 % |

| 11 kW | 87.6 % | 89.8 % | 91.4 % | 93.3 % |

Example M-4

### Replacing IE1 with IE3 on a 7.5 kW pump running 6,000 h/year at 4.5 THB/kWh

- $P_{in,IE1} = 7.5/0.860 = 8.72$ kW · $P_{in,IE3} = 7.5/0.904 = 8.30$ kW

- Saving 0.42 kW × 6000 h = 2,520 kWh/year ≈ 11,300 THB/year

- Caution: IE3/IE4 motors have a higher inrush current at start, which is why IEC 60947-4-1 introduced the AC-3e utilisation category for contactors.

## What an electrician must remember on site

- Check the nameplate before every connection: the voltage and connection (Δ/Y) must match the 400 V system

- The no-load current of a 4-pole motor is about 30–50 % of In — that does not mean the motor is faulty

- Measure the current in all three phases; if they differ by more than ~10 %, check for voltage unbalance, contactor contacts and loose terminals

- A normally running motor too hot to touch (60–80 °C on the frame) is normal for class F; measure with a thermometer instead of by hand

## Frequently asked questions

Why does an induction motor turn slower than synchronous speed?
Torque comes from currents induced in the rotor, which requires the rotating field to cut the rotor conductors. If the rotor turned exactly as fast as the field there would be no flux cutting, no current and no torque, so it must always be slower. The difference is the slip, about 1–5 % at rated load.

Why doesn't the high starting current burn out the motor?
The current is high only for the few seconds of acceleration, and the heat accumulated (I²t) is still less than the insulation can take. If the rotor is locked or accelerates too slowly (very high inertia, low voltage), the heating becomes so high that an overload relay of a suitable class must trip first.

Is the power on the nameplate electrical or mechanical?
It is the mechanical power at the shaft (output), per IEC 60034-1. The electrical power drawn from the supply is larger, P/η; for example a 7.5 kW motor with 90.4 % efficiency draws 8.3 kW.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Why does an induction motor turn slower than synchronous speed?**
Torque comes from currents induced in the rotor, which requires the rotating field to cut the rotor conductors. If the rotor turned exactly as fast as the field there would be no flux cutting, no current and no torque, so it must always be slower. The difference is the slip, about 1–5 % at rated load.

**Why doesn't the high starting current burn out the motor?**
The current is high only for the few seconds of acceleration, and the heat accumulated (I²t) is still less than the insulation can take. If the rotor is locked or accelerates too slowly (very high inertia, low voltage), the heating becomes so high that an overload relay of a suitable class must trip first.

**Is the power on the nameplate electrical or mechanical?**
It is the mechanical power at the shaft (output), per IEC 60034-1. The electrical power drawn from the supply is larger, P/η; for example a 7.5 kW motor with 90.4 % efficiency draws 8.3 kW.

---

# Star and Delta Motor Connections: the U1 V1 W1 / W2 U2 V2 Terminal Box, 230/400 V vs 400/690 V Motors and Reversing

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/motor-connections/
Updated: 2026-10-14
Summary: Connect a three-phase motor in star (Y) or delta (Δ) correctly: winding voltage, line versus phase current, placing the copper links in the U1 V1 W1 W2 U2 V2 terminal box to IEC 60034-8, choosing the connection from a 230/400 V or 400/690 V nameplate, which motors can be star–delta started, reversing rotation, and the mistakes that burn motors out.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.3 · AC Motor Control · Star & Delta Connections

# Star and Delta Motor Connections: the U1 V1 W1 / W2 U2 V2 Terminal Box, 230/400 V vs 400/690 V Motors and Reversing

The mistake that most often burns out a new motor is not in the control circuit — it is connecting the terminals the wrong way. This page explains that star and delta differ in the voltage across each winding, and how to read the nameplate so you choose the right connection for a 400 V system every time.

In 30 seconds

- Y: each winding gets $V_L/\sqrt3$ = 230 V · Δ: each winding gets $V_L$ = 400 V

- A winding is designed for one voltage only — the connection must give it that voltage

- Nameplate 230/400 V Δ/Y → on 400 V connect Y · nameplate 400/690 V Δ/Y → on 400 V connect Δ

- Star–delta starting is only possible for motors that run in Δ at 400 V (400/690 V nameplate)

- To reverse rotation: swap any two phases

## The six-terminal box Basic

A three-phase motor has three windings, each with a start and an end. Under IEC 60034-8 the starts are called U1 V1 W1 and the ends U2 V2 W2 (older motors use U-X, V-Y, W-Z). In the terminal box the top row is U1 V1 W1 and the bottom row is ordered W2 U2 V2. You select Y or Δ by placing copper links.

Figure 1 · Star: one horizontal link joins W2-U2-V2 to form the star point · Delta: three vertical links U1–W2, V1–U2, W1–V2

## How star and delta differ Intermediate

C1 Star (Y)

$$V_{ph} = \frac{V_L}{\sqrt{3}} \qquad I_L = I_{ph}$$

C2 Delta (Δ)

$$V_{ph} = V_L \qquad I_L = \sqrt{3}\, I_{ph}$$

C3 Power in either connection

$$P = 3\,V_{ph}\,I_{ph}\cos\varphi = \sqrt{3}\,V_L\,I_L\cos\varphi$$

C4 Same windings, same supply: Y vs Δ

$$\frac{V_{ph,Y}}{V_{ph,\Delta}} = \frac{1}{\sqrt3} \;\Rightarrow\; \frac{I_{L,Y}}{I_{L,\Delta}} = \frac{1}{3} \qquad \frac{T_Y}{T_\Delta} = \frac{1}{3}$$

Where the 1/3 in C4 comes from: the winding voltage falls by √3, so the winding current falls by √3; in Y the line current equals the winding current, while in Δ the line current is √3 times the winding current. Together that gives $1/(\sqrt3\cdot\sqrt3) = 1/3$. Torque varies with the square of the winding voltage, $(1/\sqrt3)^2 = 1/3$ — this is the basis of the star–delta starter.

Example C-1

### A 7.5 kW motor, nameplate 400 V Δ 14.6 A, connected in delta at 400 V

- C2: the winding current is $I_{ph} = 14.6/\sqrt3 = 8.43$ A at a winding voltage of 400 V.

- If it is connected in Y for starting, each winding gets 230 V: the starting line current is $95/3 = 32$ A (instead of 95 A) and the starting torque is $2.2/3 = 0.73$ Tn.

- The nameplate line 690 V Y 8.4 A confirms this: on a 690 V system in Y, line current = winding current = 8.4 A and each winding still gets 400 V.

## Choosing the connection from the nameplate Basic

The nameplate gives two voltages. The lower one is the line voltage when connected in Δ, the higher one the line voltage when connected in Y; both give the windings the same voltage. The working rule: find the line whose voltage matches the supply, and connect as the symbol on that line says.

Figure 2 · Decision chart for a 400 V 50 Hz system

| Nameplate | Winding voltage | Connection on 400 V | Star–delta possible? | Found on |

| 230/400 V Δ/Y | 230 V | Y | No | Small motors, about ≤ 3 kW (can run from a single-phase 230 V-input VFD when connected in Δ) |

| 400/690 V Δ/Y | 400 V | Δ | Yes | About ≥ 4 kW |

| 400 V Y (3 terminals) | 230 V | Connected at the factory | No | Submersible pumps, hermetic compressors |

| 380 V Δ (old nameplate) | 380 V | Δ | Yes | Older or imported motors |

Danger: some electricians remember “big motors are connected in delta” and connect a large 230/400 V motor in delta. The windings then get 73 % too much voltage and burn out within minutes. Size is not the criterion — only the nameplate is.

Example C-2

### A 2.2 kW pump, nameplate 230/400 V Δ/Y 8.0/4.6 A — where can it be used?

- Three-phase 400 V system: connect Y, line current 4.6 A, set the overload to 4.6 A, and start it direct-on-line or with a soft starter.

- A house with single-phase 230 V: use a VFD with single-phase input and 3-phase 230 V output, and connect the motor in Δ. The drive output current is 8.0 A.

- Never use star–delta on a 400 V system, because in the Δ stage the windings would get 400 V.

## What happens with a wrong connection Intermediate

| Case | Winding voltage | Symptoms | Result |

| 230/400 V connected Δ at 400 V | 173 % | Loud hum, no-load current above In, heats quickly | Insulation breakdown, burn-out |

| 400/690 V connected Y at 400 V | 58 % | Runs normally at no load; under load the speed drops and current is high | Overload trips, or overheating if set wrong |

| One winding reversed (U1–U2 swapped) | Unbalanced | Vibration, noise, very unequal currents | Overheating, no useful torque |

| Star–delta starter but the links were left in | — | Short circuit when the Y or Δ contactor closes | Breaker trips, arcing in the terminal box |

## Direction of rotation and reversing Basic

IEC 60034-8: with L1 L2 L3 connected to U1 V1 W1 in that order, the motor turns clockwise when viewed from the shaft end. Swap any two phases and the phase sequence seen by the motor reverses, the rotating field reverses and the motor turns the other way — the principle of the reversing circuit.

C5 Direction of rotation

$$L1\!\to\!U1,\ L2\!\to\!V1,\ L3\!\to\!W1 \;\Rightarrow\; \text{CW (viewed from shaft end)} \qquad \text{swap 2 lines} \Rightarrow \text{CCW}$$

With star–delta, both the winding starts (U1 V1 W1) and the winding ends (W2 U2 V2) must be swapped consistently. If only one set is swapped, the Y stage turns backwards but the Δ stage is wired wrongly (some windings get the wrong voltage or none at all) and a high current flows at changeover. The correct method is to swap two phases upstream, before they enter the starter.

## Checks before energising

- Read both nameplate lines and note the voltage and connection that match the supply

- Measure the resistance of all three windings with a milliohmmeter (they should differ by no more than about 2 %)

- Measure winding-to-frame insulation resistance with a 500 V DC megger (details in Design · testing)

- Tighten terminal nuts to the specified torque, use correctly sized lugs, and seal the terminal box to maintain its IP rating

- Connect the motor frame earth to the PE terminal in the terminal box

## Frequently asked questions

What happens if a 230/400 V motor is connected in delta on a 400 V supply?
Each winding gets 400 V although it was designed for 230 V (√3 = 1.73 times too much). The iron saturates and the magnetising current is several times normal even at no load. The overload may trip, or, if it is set wrong, the motor burns out within a short time.

Can a 400/690 V motor be connected in star on a 400 V supply?
It will run, but each winding gets only 230 V and the torque at every speed falls to 1/3. With more than about 1/3 of rated load the slip becomes high, the winding current exceeds its rating and the motor overheats. Star is only acceptable as the starting stage of a star–delta starter.

Why are the bottom terminals ordered W2 U2 V2 rather than U2 V2 W2?
Shifting the bottom row by one position (W2 under U1, U2 under V1, V2 under W1) lets the delta links sit straight up and down: U1–W2, V1–U2, W1–V2. Each link joins the end of one winding to the start of the next, which is exactly the delta connection.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**What happens if a 230/400 V motor is connected in delta on a 400 V supply?**
Each winding gets 400 V although it was designed for 230 V (√3 = 1.73 times too much). The iron saturates and the magnetising current is several times normal even at no load. The overload may trip, or, if it is set wrong, the motor burns out within a short time.

**Can a 400/690 V motor be connected in star on a 400 V supply?**
It will run, but each winding gets only 230 V and the torque at every speed falls to 1/3. With more than about 1/3 of rated load the slip becomes high, the winding current exceeds its rating and the motor overheats. Star is only acceptable as the starting stage of a star–delta starter.

**Why are the bottom terminals ordered W2 U2 V2 rather than U2 V2 W2?**
Shifting the bottom row by one position (W2 under U1, U2 under V1, V2 under W1) lets the delta links sit straight up and down: U1–W2, V1–U2, W1–V2. Each link joins the end of one winding to the start of the next, which is exactly the delta connection.

---

# Motor Starter Simulator: DOL, Reversing, Star–Delta, Soft Starter and VFD

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/motor-lab/
Updated: 2026-10-14
Summary: A free in-browser starting simulator for a 7.5 kW 400 V 50 Hz induction motor: press START and STOP and watch contactors pull in, timers count down, the control-circuit state and real-time plots of current, speed and torque, all from a double-cage equivalent-circuit model and the equation of motion. Change between pump, conveyor and fan loads, set timers and dead time, inject phase-loss and overload faults, and work through 6 worksheets.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.15 · AC Motor Control · Starter Simulator

# Motor Starter Simulator: DOL, Reversing, Star–Delta, Soft Starter and VFD

A virtual lab for trying things you cannot or should not do on a real machine: starting a heavy load in star–delta, setting the timer too short, letting a phase drop out, or reversing while the motor is still turning. Every number comes from the same motor model used throughout the course.

How to use it

- Pick a starting method from the tabs · press START/STOP like real push-buttons (you can hold them)

- Left: the power circuit — energised contactors turn green, live conductors turn red — plus the control-circuit state step by step

- Right: meters and a plot of the last 20 seconds · below: load, settings and faults

## Simulator

JavaScript is needed for the simulator

## The model behind it

Every 1 ms the program computes the slip from the present speed, solves the per-phase equivalent circuit (R₁, X₁, Xm and a double-cage rotor) at the voltage and frequency the motor is receiving at that instant to get current and torque, and then integrates $J\,d\omega/dt = T_m - T_L$. The overload uses a first-order thermal model $d\theta/dt = ((I/I_r)^2 - \theta)/\tau$ and trips when $\theta \ge 1.2^2$, which gives a class 10 curve. During star–delta, current and torque in the Y stage are 1/3 of their delta values, as in formulas Y1–Y2.

## Six worksheets

### 1 · Direct-on-line starting current
DOL with a pump load of 0.7 Tn: record the peak current, the time for the speed to reach 1400 rpm and the running current, and compare with Ia/In on the nameplate.
Expect: ~90 A (6.5 In), run-up in under 1 s

### 2 · Normal star–delta start
Load 0.7 Tn, timer 6 s: record the current in the Y stage and the surge at changeover, as multiples of In, and the ratio to DOL.
Expect: Y stage ≈ 1/3 of DOL

### 3 · Timer too short
Set the timer to 0.5 s and repeat worksheet 2. How much does the changeover surge change? Explain it with the plot on the star–delta page.

### 4 · Heavy load with star–delta
Change to a conveyor at 1.0 Tn. What speed does the motor reach in the Y stage, and why? Try a soft starter limited to 3 In and a VFD on the same load. Which method suits it?

### 5 · Phase loss
Run DOL at 0.7 Tn, then tick “phase loss”. Watch the current, the speed and the time until the overload trips. Then stop and try to restart with the phase still missing.
Expect: no start, current stays high

### 6 · Reversing while turning
On the reversing tab, tick “no interlock via STOP”. Run forward to full speed, then press reverse. Record the peak current and the time to pass through zero speed, and calculate the energy with R5.

## Frequently asked questions

How accurate is this simulator?
The model is the per-phase equivalent circuit of a 7.5 kW 4-pole double-cage motor, tuned to typical catalogue data (In ≈ 14 A, Ia/In ≈ 6.5, Ta/Tn ≈ 2.2, Tk/Tn ≈ 3.0). It computes the steady state at each speed and combines it with the equation of motion, so it is good for learning trends and comparing methods. It does not model detailed electrical transients (except the current surge at the changeover, which is approximated).

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**How accurate is this simulator?**
The model is the per-phase equivalent circuit of a 7.5 kW 4-pole double-cage motor, tuned to typical catalogue data (In ≈ 14 A, Ia/In ≈ 6.5, Ta/Tn ≈ 2.2, Tk/Tn ≈ 3.0). It computes the steady state at each speed and combines it with the equation of motion, so it is good for learning trends and comparing methods. It does not model detailed electrical transients (except the current surge at the changeover, which is approximated).

---

# Soft Starters, Autotransformers and Motor Starting Methods Compared: Current, Torque, Voltage Dip and Cost

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/soft-starters/
Updated: 2026-10-14
Summary: How a soft starter works: anti-parallel thyristors, firing-angle control, voltage ramp, current limit, torque control, bypass contactor and soft stop against water hammer in pumps. Autotransformer starting, the current and torque formula for each method, and a comparison of DOL, star–delta, soft starter and VFD with a voltage-dip calculator.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.10 · AC Motor Control · Soft Starters & Autotransformers

# Soft Starters, Autotransformers and Motor Starting Methods Compared: Current, Torque, Voltage Dip and Cost

Every method that lowers the voltage at start-up obeys the same rule: current falls in proportion to voltage, but torque falls with the square of voltage. This page uses that rule to compare starting methods with numbers, and explains the soft starter, now a favourite choice for modern pump installations.

In 30 seconds

- Reduce the voltage by a factor $k$ → current × $k$, torque × $k^2$

- Soft starter: thyristors chop the waveform, ramp the voltage, limit current to 2–4 In, then bypass

- Autotransformer at tap $a$: motor current × $a$, line current × $a^2$, torque × $a^2$

- Soft stop reduces water hammer in pump pipework — something star–delta cannot do

## The rule of reduced-voltage starting Intermediate

T1 Reduced-voltage starting

$$\frac{V}{V_n} = k \;\Rightarrow\; I_{st} = k\,I_{st,DOL} \qquad T_{st} = k^2\,T_{st,DOL}$$

T2 Torque at a current limit

$$T_{st} = T_{st,DOL}\left(\frac{I_{lim}}{I_{st,DOL}}\right)^2$$

Example T-1

### Motor with Ia/In = 6.5, Ta/Tn = 2.2, current limit set to 3 In

- $k = 3/6.5 = 0.46$ → initial voltage about 46 %

- T2: $T_{st} = 2.2(0.46)^2 = 0.47$ Tn — enough for a centrifugal pump (~0.15 Tn) but not for a loaded conveyor (~1.0–1.5 Tn)

- Compare star–delta: current $6.5/3 = 2.2$ In but torque $2.2/3 = 0.73$ Tn — lower current yet higher torque, because the winding voltage falls only by $1/\sqrt3$ while the line current falls to 1/3 (it behaves like an autotransformer with $a = 0.58$, see Example T-2)

## How a soft starter works Intermediate

Each phase has two thyristors (SCRs) connected in anti-parallel. The controller fires the thyristors at an angle α after the voltage zero crossing, so the motor receives only the tail end of each half-cycle. As α is steadily reduced, the rms voltage at the motor steadily rises. When full voltage is reached an internal bypass contactor closes and the thyristors stop conducting, so there is no heat loss in them during normal running.

Figure 1 · Motor voltage waveform during the ramp: from narrow slices of the wave (large α) to the full wave, then bypass

T3 RMS voltage vs firing angle (resistive approximation)

$$\frac{V_{rms}}{V} = \sqrt{1 - \frac{\alpha}{\pi} + \frac{\sin 2\alpha}{2\pi}}$$

Formula T3 applies to a resistive load and is meant to show the trend. A motor is an inductive load whose current lags, so the conduction interval is longer than this. A real soft starter measures the current and adjusts α by feedback.

### Common starting modes

- Voltage ramp: starts at an initial voltage (30–60 %) and rises linearly over a set time (5–30 s)

- Current limit: adjusts the voltage so the current never exceeds k·In (2–4 In) throughout acceleration

- Torque control: makes the torque rise smoothly so speed rises almost linearly; well suited to pumps and conveyors

- Kick start: applies a short burst of high voltage at the start to overcome static friction

- Soft stop / pump stop: lowers the voltage slowly when stopping so the water in the pipe decelerates without slamming the check valve (water hammer)

JavaScript is needed for the simulator

### Connection and precautions

- Upstream short-circuit protection is required: a circuit-breaker for Type 1 or semiconductor fuses for Type 2 coordination, per the manufacturer's tables

- Never connect power-factor correction capacitors between the soft starter and the motor — connect them on the supply side and switch them out during the ramp

- Set the motor rated current, overload class and number of starts per hour as specified by the manufacturer (the thyristors heat up during starting)

- A line-side contactor or disconnect switch is needed for isolation during maintenance (blocked thyristors do not count as isolation)

## Autotransformer starting Advanced

A three-phase autotransformer has taps such as 50 %, 65 % and 80 %. The motor receives $aV$ and the motor current falls by a factor $a$, but because the transformer also transforms current, the current in the supply lines falls by $a^2$ — a better reduction in line current than a resistor starter or a soft starter at the same torque. It is used for large motors such as raw-water pumps and large compressors (often built as a Korndorfer starter with closed-transition changeover).

T4 Autotransformer starter at tap $a$

$$I_{motor} = a\,I_{st,DOL} \qquad I_{line} = a^2\,I_{st,DOL} \qquad T_{st} = a^2\,T_{st,DOL}$$

Example T-2

### 65 % tap with a motor of Ia/In = 7, Ta/Tn = 2.3

- $a^2 = 0.4225$ → line current $0.4225 \times 7 = 2.96$ In · torque $0.4225 \times 2.3 = 0.97$ Tn

- Compare a soft starter at the same line current of 2.96 In: T2 → only $2.3(2.96/7)^2 = 0.41$ Tn

- The autotransformer gives almost twice the torque at the same line current, at the price of size, weight and cost

## Comparing every method Intermediate

Figure 2 · Starting current and torque of an example motor (Ia/In 6.5 · Ta/Tn 2.15)

T5 Supply dip for any method

$$\Delta U\% \approx \frac{\sqrt3\,V_L\,I_{line,st}}{S_{tr}/u_k + \sqrt3\,V_L\,I_{line,st}}\times 100$$

| Criterion | DOL | Star–delta | Autotransformer | Soft starter | VFD |

| Line current | 6–8 In | 2–2.7 In | 2–4 In | 2–4 In | ≤ 1.5 In |

| Starting torque | Highest | 1/3 | a² | (I/Is)² | High, controllable |

| Smoothness | Jerk | Two jerks | Moderate | Smooth | Smoothest |

| Soft stop | ✗ | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ (controlled) |

| Cables to motor | 3 | 6 | 3 | 3 (inside delta: 6) | 3, shielded |

| Harmonics | — | — | — | During ramp only | Continuous |

| Relative cost | 1 | 1.5–2 | 3–5 | 2–3 | 3–6 |

## Frequently asked questions

Can a soft starter control speed?
No. A soft starter reduces the voltage but the frequency stays at 50 Hz, so under normal load the motor always runs close to rated speed. Reducing the voltage under load only raises the slip and heats the motor. If you need speed control you must use a variable-frequency drive (VFD).

What is an inside-delta soft starter connection?
Some models place the thyristors in series with each winding inside the delta, so they carry only 0.58 In and a smaller soft starter can be used. However, six cables must be run to the motor, as with star–delta, and the connection must follow the manufacturer's diagram exactly.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Can a soft starter control speed?**
No. A soft starter reduces the voltage but the frequency stays at 50 Hz, so under normal load the motor always runs close to rated speed. Reducing the voltage under load only raises the slip and heats the motor. If you need speed control you must use a variable-frequency drive (VFD).

**What is an inside-delta soft starter connection?**
Some models place the thyristors in series with each winding inside the delta, so they carry only 0.58 In and a smaller soft starter can be used. However, six cables must be run to the motor, as with star–delta, and the connection must follow the manufacturer's diagram exactly.

---

# Star–Delta Analysis: How Many Seconds to Set the Timer, Star or Delta Operation, Currents, Energy and Numerical Research on Squirrel-Cage Motors

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/star-delta-analysis/
Updated: 2026-10-19
Summary: How many seconds to set a star–delta timer, from τm = J·ωs/Tn, with dynamic simulations of a squirrel-cage induction motor: dead time, residual voltage, KM3 phase order, closed transition, I²t, rotor heat, voltage dip, running in star at light load, case studies, past, present and future, and a lab.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.9 · AC Motor Control · Star–Delta Analysis & Research

# Star–Delta Analysis: How Many Seconds to Set the Timer, Star or Delta Operation, Currents, Energy and Numerical Research on Squirrel-Cage Motors

The page Star–delta starter in detail teaches how to wire the circuit correctly. This page answers the questions electricians and engineers ask most but rarely find numbers for: how many seconds to set the timer, what the dead time should be, why the breaker trips at the change to delta, which KM3 phase order to use, and whether to run a motor in star (wye) or in delta. Every answer comes from mathematical experiments on a verified dynamic model of a squirrel-cage induction motor, and you can repeat them in the lab at the end of the page.

In 30 seconds

- Timer = the time the motor needs to reach ~98 % of its “star equilibrium speed” × 1.2, and not shorter than the time to 95 % at 90 % voltage → $t_{set} = c\,\tau_m$, $\tau_m = J\omega_s/T_n$, $c \approx 2\text{–}4$

- Pumps and fans: the 1–3-cycle open-transition peak is ≈ 0.85–1.2 × the DOL peak for any timer setting — the timer only controls how long the high current lasts (fan: 0.96 s at 8 s versus 0.05 s at 20 s)

- Wire KM3 in the lagging order (L1→V2 L2→W2 L3→U2) and use the shortest safe dead time · closed transition with Rt ≈ 0.1–0.3·Zb cuts the peak to 2.9–6.7·In

- Star–delta cuts the supply I²t by 25–50 % but heats the rotor 30–55 % more · on a generator set the changeover peak can dip the voltage by 41 %

- Running permanently in star saves energy only below 35–40 % load (7.5 kW at 25 %: 188 W saved, cos φ 0.46 → 0.79)

## How to read this page: research questions, model and main results Basic

Star, wye (Y) and delta (Δ) are the ways of connecting the three windings of a three-phase induction motor. Star and wye are the same connection (Europe and Asia say star, North America says wye), so the starter is called either a star–delta starter or a wye–delta starter. This page asks six research questions and answers them with 14 sets of numerical experiments (E1–E14).

- How many seconds should the star timer be set to, and how can it be found from catalogue data?

- What sets the current and torque surge at the change from star to delta, and how much do the dead time and the phase order matter?

- What does star–delta really reduce: current, energy, heating or voltage dip?

- Which loads can be started in star–delta, and what does a low supply voltage do?

- Does running a motor permanently in star at light load really save energy, and below which load?

- How were past problems solved, and what is the future of motor starting?

Model: a 7.5 kW 4-pole 400 V Δ 50 Hz motor with a double-cage rotor, the same motor used throughout the series and in the AC induction motor guide (in Thai) at /learn/ac-induction-motor/ (In 14.0 A, Tn 49.3 N·m, 1471 rpm, Is/In 6.53, Ts/Tn 2.15, Tk/Tn 3.0). It is simulated with a space-vector (αβ) dynamic model with five electrical states plus speed, solved with fourth-order Runge–Kutta every 0.1 ms. During the dead time the stator current is zero and only the fluxes of the two rotor cages are integrated. The steady state agrees with the equivalent circuit to 10⁻¹⁶ and the changeover transient agrees with scipy's LSODA solver within 0.3 %. Three example loads: a centrifugal pump at 80 % (total J 0.105 kg·m²), a large fan (total J 2.245 kg·m²) and a constant-torque conveyor at 50 % (total J 0.395 kg·m²).

Timerc·τmc ≈ 2.1–3.4 for pumps/fans · 3.7 for a conveyor at 50 % (table E13)

Changeover peak (open)5.6–10.5·InDOL 8.9·In · 1–3 cycles · depends on the residual-voltage angle (pumps/fans 7.6–10.5)

Closed transition2.9–6.7·InRt = 0.1–0.3·Zb · < 1 kJ in the resistors

Supply I²t (fan)51 %of DOL · but rotor heat 130 %

Voltage dip on a 100 kVA genset41 %changeover peak of a 37 kW pump (DOL 32 %, star stage 13.5 %)

Running in star at 25 %−188 Wper 7.5 kW · cos φ 0.46 → 0.79 · break-even ≈ 53 %

Every number on this page was computed with the same code as the lab on the page. Reproduce them with node scripts/yd_research.mjs and check the model with python3 scripts/yd_check.py (see research summary). For a continuous write-up in research-article form, read the article How many seconds to set a star–delta timer — results of numerical experiments.

## Choosing star, delta or star–delta from the nameplate and the supply Basic

Before thinking about the timer, make sure the motor runs in delta at the supply voltage, because star–delta means “start in star, run in delta”. If delta is not the normal running connection, the method cannot be used (terminal-box details in Star and delta connections).

E1 Winding voltage in Y and Δ

$$V_{w,Y} = \frac{V_L}{\sqrt3} \qquad V_{w,\Delta} = V_L \qquad I_{L,\Delta} = \sqrt3\,I_{w,\Delta}$$

E2 Line-current ratio at the same speed

$$\frac{I_{L,Y}}{I_{L,\Delta}} = \frac{V_L/(\sqrt3\,Z_w)}{\sqrt3\,V_L/Z_w} = \frac13 \qquad Z_w = \text{winding impedance at that slip}$$

E3 Torque ratio (torque ∝ V²)

$$\frac{T_Y(s)}{T_\Delta(s)} = \left(\frac{V_{w,Y}}{V_{w,\Delta}}\right)^{2} = \frac13 \qquad \frac{T_{k,Y}}{T_k} = \frac13,\ \ s_k \text{ unchanged}$$

E4 Input power and starting kVA

$$P_{in} = \sqrt3\,V_L I_L\cos\varphi \qquad S_{st} = \sqrt3\,V_L\,I_{st} \qquad S_{st,Y} = \tfrac13\,S_{st,\Delta}$$

| Nameplate (Δ/Y) | Supply | Running connection | Star–delta? | Notes |

| 230/400 V | 400 V | Star (Y) | No | In delta at 400 V the winding gets 173 % of its rating, saturates and burns · use DOL, a soft starter or a VFD |

| 400/690 V | 400 V | Delta (Δ) | Yes | The type used for star–delta in the region · six leads |

| 380/660 V | 400 V | Delta | Yes | 5.3 % above the nameplate, inside zone B of IEC 60034-1 (±10 %) · usable, slightly warmer |

| 400/690 V | 690 V (mining, heavy industry) | Star | No | At 690 V the motor already runs in star |

| 400 V Δ only (6 terminals) | 400 V | Delta | Yes | Some larger motors are built for Y-Δ (IEC 60034-12 designs NY/HY) |

| 230/460 V 9-lead wye (NEMA, 60 Hz) | 460 V | Series wye (high wye) | No (needs 12 leads) | Low voltage = parallel wye (low wye) · wye–delta needs a 12-lead motor |

Figure 1 · Choosing the connection from the nameplate and the supply: the Δ figure must equal the supply line voltage for star–delta to be possible

Example E-1

### Three motors in a 400 V plant: which can use star–delta, and what device sizes?

- 3 kW, nameplate 230/400 V Δ/Y: E1 at 400 V needs Y so the winding gets 231 V · Δ would give the winding 400 V = $\sqrt3$ times → no star–delta, use DOL

- 37 kW, nameplate 400/690 V Δ/Y, In ≈ 66 A: delta at 400 V → usable · KM1 = KM3 ≥ $66/\sqrt3 = 38.1$ A → 40 A AC-3 · KM2 ≥ 66/3 = 22 A → 25 A · overload set to 38.1 A in the winding-current path

- E2: DOL starting current $6.5 \times 66 = 429$ A → star stage $429/3 = 143$ A · E4: $S_{st,Y} = \sqrt3(400)(143) = 99$ kVA instead of 297 kVA

- 22 kW, nameplate 380/660 V: delta at 400 V is 5.3 % above the nameplate, still in zone B of IEC 60034-1 → usable, but check the temperature and current after installation

## The mathematics of the star stage: torque, slip and equilibrium speed Intermediate

When the winding voltage falls to $1/\sqrt3$, every point of the torque–speed curve falls to 1/3 (E3), including the breakdown torque $T_k$, but the speed at which the breakdown torque occurs does not change. For the example motor $T_{k,Y} = 3.0/3 = 1.0\,T_n$, which means that in star the motor cannot carry full rated load, and the speed at which it carries a load is lower than in delta.

E5 Kloss approximation

$$\frac{T}{T_k} = \frac{2}{s/s_k + s_k/s} \qquad T_{k,Y} = \frac{T_k}{3}$$

E6 Slip in star near rated speed

$$T \approx \frac{3V_w^2}{\omega_s R_2'}\,s \;\Rightarrow\; s_Y \approx 3\,s_\Delta \ \text{(same load torque)}$$

E7 Star equilibrium and feasibility

$$T_Y(n_Y) = T_L(n_Y),\ \ \frac{d(T_Y - T_L)}{dn}\Big|_{n_Y} T_L(0),\ \ n_Y \ge 0.9\,n_N$$

The star equilibrium speed $n_Y$ is where the star torque curve crosses the load curve. The motor accelerates to this point and then “hangs” there until it is switched to delta. Results of experiment E1 for the three loads:

| Load | nY (% nN) | Slip Y · Δ | Y line current at nY | Δ current at nY (jump) | t98 in Y | DOL t98 |

| Pump 80 % | 96.5 % | 5.41 % · 1.54 % | 0.76·In | 2.27·In | 0.63 s | 0.15 s |

| Fan J 2.245 | 94.2 % | 7.61 % · 1.94 % | 0.97·In | 2.90·In | 15.0 s | 3.27 s |

| Conveyor 50 % | 98.8 % | 3.09 % · 0.93 % | 0.48·In | 1.45·In | 3.89 s | 0.63 s |

Look at the current column: at the equilibrium speed the fan draws a line current of 0.97·In in star, which is also the winding current, but the rated winding current is $I_n/\sqrt3 = 0.58\,I_n$. The winding therefore carries 1.68 times its rated current for as long as the motor stays in star — this is why a timer that is too long is also bad.

Figure 2 · The star-stage run-up with time measured in units of τm: the pump and the fan almost coincide (98 % of nY at ≈ 2 τm), the constant-torque conveyor is slower (≈ 3 τm)

### Which loads star–delta can start (experiment E7)

| Load type | Max k for nY ≥ 85 % | ≥ 90 % | ≥ 95 % | Limited by |

| Pumps, fans (T ∝ n²) | 1.31·Tn | 1.19·Tn | 0.93·Tn | torque at high speed |

| Mixers, viscous (T ∝ n) | 1.15·Tn | 1.10·Tn | 0.90·Tn | torque at high speed |

| Constant torque (conveyors, hoists, loaded piston compressors) | 0.60·Tn for every target | breakaway 1.2·k·Tn must be below TY(0) = 0.72·Tn |

k is the load torque at rated speed relative to Tn. Correctly sized pumps and fans (k ≈ 0.7–1.0) suit star–delta very well, whereas conveyors or compressors that start loaded above ~60 % should not use it, and with a 10 % voltage dip the limit falls to $0.6 \times 0.81 \approx 0.48$ Tn (torque ∝ V²).

## How many seconds: equations, table and on-site measurement Intermediate

The run-up time in star follows from Newton's second law for rotation. Measured in units of the mechanical time constant τm (the time rated torque would need to accelerate the rotating mass from rest to synchronous speed), the result hardly depends on the motor size, so a general table can be made.

E8 Run-up time in star

$$J\frac{d\omega}{dt} = T_Y(\omega) - T_L(\omega) \;\Rightarrow\; t(\omega_1) = J\int_0^{\omega_1}\frac{d\omega}{T_Y(\omega) - T_L(\omega)}$$

E9 Mechanical time constant

$$\tau_m = \frac{J\,\omega_s}{T_n} \qquad \omega_s = \frac{2\pi n_s}{60} \qquad T_n = \frac{9550\,P_n}{n_N}$$

E10 Timer setting rule

$$t_{set} = \max\!\big(1.2\,t_{98}(V_n),\ t_{95}(0.9V_n)\big) = c\,\tau_m$$

E11 Average-torque estimate

$$t \approx \frac{J\,\Delta\omega}{\overline{T_Y - T_L}}$$

E12 No-load run-up with Kloss (closed form)

$$t = \frac{J\omega_s}{T_k}\left[\frac{1-s_e^2}{4s_k} + \frac{s_k}{2}\ln\frac1{s_e}\right] \qquad t_Y = 3\,t_\Delta$$

Formula E12 is elegant but overestimates the time of double-cage and deep-bar motors by about 74 % (experiment E8: for J = 1 kg·m² it gives 6.74 s against 3.88 s from the integral), because Kloss gives a starting torque of only 0.79·Tn while the real motor has 2.15·Tn. The average-torque method E11 is within 2 %, so use E11 or E8 with the manufacturer's torque curve.

### Timer coefficient c (experiment E13)

| Load · k | nY/nN | DOL t98/τm | Y t95/τm | Y t98/τm | Y t95/τm at 90 % V | c = tset/τm |

| Pump/fan T ∝ n² · 0.6 | 98.2 % | 0.44 | 1.53 | 1.63 | 2.08 | 2.1 |

| Pump T ∝ n² · 0.8 | 96.5 % | 0.45 | 1.76 | 1.89 | 2.56 | 2.6 |

| Pump T ∝ n² · 1.0 | 94.1 % | 0.47 | 2.10 | 2.31 | 3.44 | 3.4 |

| Fan (5 % base) · 1.0 | 94.2 % | 0.46 | 1.91 | 2.10 | 2.94 | 2.9 |

| T ∝ n · 0.6 | 98.1 % | 0.45 | 1.76 | 1.86 | 2.54 | 2.5 |

| T ∝ n · 0.8 | 96.2 % | 0.47 | 2.23 | 2.37 | 3.96 | 4.0 |

| Constant torque · 0.3 | 100 % | 0.46 | 1.81 | 1.88 | 2.59 | 2.6 |

| Constant torque · 0.5 | 98.8 % | 0.50 | 3.01 | 3.10 | no breakaway | 3.7 (not if the voltage can dip) |

Generality check: with J four times larger, t98/τm is the same in every row to the third decimal place, so the table applies to other motor sizes as long as the torque curve has a similar shape (Ts/Tn ≈ 2–2.5, Tk/Tn ≈ 2.7–3.2).

Example E-2

### 7.5 kW exhaust fan, total J 2.245 kg·m² — what timer, and what happens with 8 s “like the pumps”?

- E9: $\tau_m = 2.245 \times 157.08 / 49.35 = 7.15$ s

- Table E13, fan row: $t_{98} = 2.10\tau_m = 15.0$ s · at 90 % voltage: $t_{95} = 2.94\tau_m = 21.0$ s

- E10: $t_{set} = \max(1.2 \times 15.0,\ 21.0) = 21$ s

- Simulated at 8 s: changeover at 971 rpm (66 %), peak 7.6·In, but the current stays above 3·In for 0.96 s (almost a third of DOL's 3.1 s) · at 20 s: changeover at 1385 rpm, peak 8.5·In, above 3·In for only 0.05 s

- A class 10 overload uses 28 % of its thermal budget per start (nominal voltage) and 37 % (90 % voltage, 25 s) — for hot restarts or frequent starts use class 20

Example E-3

### 37 kW water pump, 1480 rpm, motor J 0.37 + pump J 0.50 kg·m² — the right timer

- $T_n = 9550(37)/1480 = 238.8$ N·m · $J = 0.87$ kg·m² · $\tau_m = 0.87(157.08)/238.8 = 0.572$ s

- Table E13, pump 0.8: $t_{98} = 1.89(0.572) = 1.08$ s · at 90 % voltage: $t_{95} = 2.56(0.572) = 1.46$ s

- E10: $t_{set} = \max(1.30,\ 1.46) \approx 1.5$ s — set 2–3 s to allow for valve and pipework conditions; 10 s is not needed

- 5 s is not dangerous but wasteful: the I²t of the start rises from 810 to 1,202 A²s (+48 % in the 7.5 kW model) and the winding carries 1.31 times its rated current while the motor hangs in star

Figure 3 · Experiment E2, timer sweep for the fan: the peak swings between about 7.6 and 10.4·In for every setting, but the time above 3·In after the changeover falls from 2.8 s to 0.05 s once the timer reaches the equilibrium speed, while the rotor heat grows with the time spent in star

Figure 4 · Current and speed through the fan start: an 8 s timer (early changeover, lasting high current) versus 20 s (changeover at the equilibrium speed) and DOL

### Timer, current relay or speed switch (experiment E5)

A fixed timer does not know how far the motor has accelerated. If the voltage dips or the load gets heavier, it always switches too early. Experiment E5 compares three methods (50 ms dead time throughout):

| Situation | Fixed timer (10 s) | Current relay < 1.25·In | Speed switch ≥ 90 % |

| Fan, nominal voltage | changeover at 76 % · above 3·In 0.65 s | 13.8 s · 90 % · 0.22 s | 13.9 s · 90 % · 0.22 s |

| Fan, 90 % voltage | changeover at 62 % · 1.33 s | 23.4 s · 87 % · 0.34 s | never reaches 90 % → 40 s time-out · 0.23 s |

| Fan, damper fully open (k 1.15) | changeover at 72 % · 0.81 s | 18.2 s · 90 % · 0.24 s | 18.4 s · 90 % · 0.23 s |

| Pump, nominal voltage (timer 1.5 s) | 96.5 % · 0.06 s | 0.63 s · 91 % · 0.08 s | 0.61 s · 90 % · 0.08 s |

Conclusion: methods that “know the motor's state” (current or speed) adapt to voltage and load by themselves and cut the high-current time after the changeover by 3–4 times when conditions differ from the day the timer was set. They need a back-up maximum time (e.g. 1.5–2 times the normal time) in case the motor hangs in star, and a current relay should be set just above the star equilibrium current (table E1: 0.48–0.97·In).

Figure 5 · A low supply voltage slows the star stage a lot: the fan needs 25 s instead of 15 s at 90 % voltage and settles at a lower speed

### Measuring the real timer value on site

- Set the timer long first (e.g. twice the calculated value) and start. Record the line current with a clamp meter that has an inrush/trend mode, or a power-quality meter.

- Read the time at which the star current “falls and settles” — that is roughly t98. With a tachometer, read the time when the speed stops rising.

- Set the timer to 1.2 × that time, and not below the value calculated for a 10 % voltage dip.

- Test again and record the peak and the time above 3·In after the changeover. It should be a few tenths of a second; longer means the changeover is still too early.

## The changeover: residual voltage, dead time and KM3 phase order Advanced

An open-transition star–delta starter has a dead time in which KM2 has opened but KM3 has not yet closed. The motor has no supply, but currents keep circulating in the rotor cages and hold the flux. This flux turns with the rotor and induces a residual voltage at the motor terminals, which decays with the open-circuit rotor time constant and turns slower than the supply because the rotor is below synchronous speed and decelerating.

E13 Residual voltage after opening

$$\underline e(t) \approx \underline e_0\,e^{-t/T_0'}\,e^{\,j\int_0^t (p\,\omega_r - \omega_s)\,d\tau} \qquad T_0' = \frac{L_r}{R_r}$$

E14 Phase drift during the dead time

$$\delta(t_d) \approx s_{ch}\,\omega_s\,t_d + \frac{p\,T_L}{2J}\,t_d^{2} \quad \text{(electrical rad)}$$

E15 Transient driving voltage

$$|\Delta\underline V| = |\underline V_\Delta - \underline e| = \sqrt{V_\Delta^2 + e^2 - 2V_\Delta e\cos\theta} \qquad \theta = \pm30^\circ - \varphi_0 - \delta$$

E16 Changeover peak estimate

$$I_{pk} \approx k_a\,\frac{|\Delta\underline V|}{V_\Delta}\,I_{LR} \qquad k_a \approx 1.35\text{–}1.45$$

In E15, +30° applies to the lagging KM3 order (the new voltage lags the star voltage by 30°) and −30° to the standard order. φ0 is the angle by which the residual voltage lags the star voltage just after opening (≈ 15–20° in the model), and ka is the first-cycle asymmetry factor (DOL for this motor: 8.9/6.53 = 1.36).

Example E-4

### Predict the changeover peak of the 7.5 kW pump (50 ms dead time) by hand and compare with the simulation

- Before opening n = 1419 rpm → $s_{ch} = 0.054$ · $T_L = 0.8(49.35)(0.12 + 0.88(1419/1471)^2) = 37.1$ N·m · J = 0.105 · p = 2

- E14: $\delta = 0.054(314.16)(0.05) + \frac{2(37.1)}{2(0.105)}(0.05)^2 = 0.848 + 0.883 = 1.73$ rad = 99° — half of it from deceleration, because the low-inertia pump loses 153 rpm in 50 ms

- Lagging order: θ = 30 − 18 − 99 = −87° · residual voltage from the model e = 134 V

- E15:
$$|\Delta V| = \sqrt{400^2 + 134^2 - 2(400)(134)\cos 87^\circ} = 415\ \text{V}$$
= 1.04 times DOL → E16: $I_{pk} \approx 1.36(1.04)(6.53) = 9.2\,I_n$ (simulated 9.7·In)

- Standard order: θ = −30 − 18 − 99 = −147° → $|\Delta V| = 518$ V = 1.29 times → $I_{pk} \approx 11.5\,I_n$ (simulated 11.5·In)

- With a 20 ms dead time: δ = 27.5°, θ = −15.5°, e = 156 V → $|\Delta V| = 253$ V → $I_{pk} \approx 5.6\,I_n$ (simulated 5.7·In)

Figure 6 · Phasors of the transient driving voltage: the lagging order gives |VΔ − e| = 1.04 times DOL, the standard order 1.29 times

### How long a dead time (experiment E3)

The angle θ keeps rotating with time, so the peak rises and falls in waves as the dead time changes (a “phase lottery”). No longer dead time is good for every load, but two trends are clear: shorter is better between 5 and 40 ms, and the lagging order beats the standard order over the practical 0–60 ms range.

| Dead time | Pump lagging | Pump standard | Fan lagging | Fan standard | Conveyor lagging | Conveyor standard |

| 10 ms | 5.0 | 8.1 | 6.1 | 9.1 | 4.7 | 6.9 |

| 20 ms | 5.7 | 9.2 | 6.9 | 9.9 | 4.7 | 7.5 |

| 30 ms | 6.8 | 10.2 | 7.8 | 10.6 | 4.9 | 8.0 |

| 50 ms | 9.7 | 11.5 | 9.5 | 11.3 | 5.6 | 9.1 |

| 80 ms | 10.9 | 9.1 | 11.0 | 10.7 | 7.3 | 10.6 |

| 150 ms | 10.4 | 9.5 | 8.0 | 6.7 | 11.1 | 10.9 |

| 300 ms | 9.4 | 9.2 | 8.8 | 7.6 | 9.6 | 10.2 |

Units: peak rms line current relative to In · DOL = 8.9·In. Very short dead times are not possible in practice, because KM2's contacts must open and the arc must go out first; otherwise KM3 connects to a star point that is still arcing = a phase-to-phase short circuit. Ready-made star–delta timers therefore fix the dead time at about 30–80 ms. Use the shortest value the contactor maker approves, and do not lengthen the dead time in the belief that it reduces the surge: at 100–300 ms the residual voltage has not gone (T0′ is several hundred ms) and the pump has lost 280–630 rpm.

Figure 7 · Peak after the changeover and residual-voltage angle versus dead time (pump and conveyor): rising between 5 and 60 ms and the waves of the “phase lottery” after that

### KM3 phase order: standard versus lagging

KM1 always connects L1→U1 L2→V1 L3→W1. KM3 can connect the winding ends to the lines in two ways that rotate the same way: the standard order L1→W2 L2→U2 L3→V2 (the same as the terminal-box links; winding U across L1–L2, voltage leading by 30°) and the lagging order L1→V2 L2→W2 L3→U2 (winding U across L1–L3, voltage lagging by 30°). Because the residual voltage always lags, the lagging order closes nearer in phase. Simulated pump (50 ms dead time): peak 9.7 against 11.5·In and minimum torque −0.55 against −4.4·Tn. A negative torque of that size hammers the coupling, the gearbox and the motor base at every start.

Figure 8 · Instantaneous L1 current and torque of the pump at the changeover: open transition with the lagging order, with the standard order, and closed transition

### Closed-transition star–delta — experiment E4

E17 Transition resistor

$$R_t = r\,Z_b \qquad Z_b = \frac{V_L}{I_n/\sqrt3} \qquad r \approx 0.1\text{–}0.3$$

Before KM2 opens, a fourth contactor (KM4) connects the winding ends U2 V2 W2 to the lines in the delta order through resistors Rt. While the star point is still closed, the three resistors are just a balanced star load. When KM2 opens, each winding is immediately in delta through Rt, with no moment without supply. KM3 then shorts the resistors. For the 7.5 kW motor Zb = 49.5 Ω. Results:

| Rt/Zb | Rt (Ω) | Pump: peak · torque | Fan: peak · torque | Energy in the resistors (fan) |

| open, 50 ms | — | 9.7·In · −0.5…3.0·Tn | 10.4·In · −4.8…3.8·Tn | — |

| 0.1 | 5.0 | 2.9·In · 0.2…1.6·Tn | 5.6·In · 1.0…3.2·Tn | 0.60 kJ |

| 0.2 | 9.9 | 2.9·In · −0.1…1.8·Tn | 6.2·In · 0.6…3.4·Tn | 0.76 kJ |

| 0.3 | 14.9 | 3.8·In · −0.4…2.1·Tn | 6.7·In · −0.2…3.5·Tn | 0.78 kJ |

| 0.5 | 24.8 | 5.8·In | 7.4·In | 0.70 kJ |

| 1.0 | 49.5 | 8.2·In | 8.4·In | 0.49 kJ |

Closed transition is the only “contactor-only” method that really cuts the changeover peak (by 35–70 %) and removes the negative torque. The price is a fourth contactor, three resistors and a more complex control circuit, so it pays for large motors, generator sets and microgrids. The resistors absorb less than 1 kJ per start in this example, but rate them for the number of starts per hour.

Figure 9 · Peak after a closed-transition changeover versus Rt/Zb: small values (0.1–0.3) reduce the peak the most

## Current, energy and heat: what star–delta really reduces Advanced

A common misconception is that “star–delta saves energy”. In fact one start uses tens of kilojoules (40 kJ = 0.011 kWh), which does not show on the bill, and a few seconds of starting current hardly affects the maximum demand averaged over 15 minutes. What really matters is heat (in the cable, the transformer, the windings and the rotor) and voltage dip.

E18 Rotor heat, no load

$$E_r = \tfrac12 J\omega_s^2\,(s_1^2 - s_2^2) \quad \Rightarrow \quad E_r(1\to0) = \tfrac12 J\omega_s^2 \ \text{independent of voltage}$$

E19 Rotor heat with load

$$E_r = J\omega_s^2\int_{s_2}^{s_1}\frac{s\,T_m(s)}{T_m(s) - T_L(s)}\,ds$$

E20 I²t and overload thermal budget

$$Q = \int i_{rms}^2\,dt \qquad B = \frac{\int (I/I_r)^2\,dt}{7.2^2\,t_{class}}$$

E21 Voltage dip at the PCC

$$\Delta V\% \approx \frac{S_m}{S_{sc} + S_m}\times100 \qquad S_{sc} = \frac{S_T}{u_k}\ \ \text{or}\ \ \frac{S_G}{x_d''} \qquad S_m = \sqrt3\,V_L I$$

E18 says that without load the rotor heat over the whole start always equals the final kinetic energy, whatever the starting voltage. With load, E19 has $T_m - T_L$ in the denominator: the lower the voltage, the smaller the accelerating torque and the larger this factor — a reduced-voltage start always heats the rotor more when there is load. Results of experiment E10:

| Method (fan, J 2.245) | Peak current | Start time | Supply I²t | Rotor heat | Class 10 overload budget |

| Direct on line (DOL) | 8.9·In | 3.3 s | 19,299 A²s (100 %) | 30.8 kJ (100 %) | 19 % |

| Star–delta 12 s | 3.0 → 10.4·In | 12.7 s | 9,804 A²s (51 %) | 40.2 kJ (130 %) | 28 % (15 s) |

| Soft starter, 3·In limit | 3.0·In | 16.3 s | 26,943 A²s (140 %) | 41.6 kJ (135 %) | — |

| VFD (30 s ramp) | 1.2·In | 29.2 s | 3,327 A²s (17 %) | 1.8 kJ (6 %) | — |

For the 7.5 kW pump (low J) star–delta cuts the I²t to 75 % of DOL but the rotor heat is 155 %. The fan's kinetic energy ½Jω² is 26.6 kJ, so the DOL start's 30.8 kJ of rotor heat is close to theory E18, the excess coming from the load torque.

Figure 10 · Supply I²t and rotor heat of each starting method (fan) as a percentage of DOL

### Voltage dip: transformer versus generator set (experiment E12)

Example E-5

### 37 kW pump, In ≈ 69 A, on a 100 kVA generator set (x″d = 0.15) versus a 250 kVA transformer (uk 4 %)

- Genset: $S_{sc} = 100/0.15 = 667$ kVA · transformer: $S_{sc} = 250/0.04 = 6{,}250$ kVA

- DOL: $I = 6.53(69) = 451$ A → $S_m = \sqrt3(400)(451) = 312$ kVA → E21 genset $312/(667+312) = 31.9$ % · transformer 4.8 %

- Star stage: 1/3 → genset 13.5 % · transformer 1.6 %

- Changeover peak 9.7·In (1–2 cycles): $S_m = 464$ kVA → genset 41 % · transformer 6.9 % — the genset's AVR cannot respond within one cycle, and other contactors and relays may drop out

- Fixes on a genset: closed transition (2.9·In → ≈ 17 %), soft starter 3·In (≈ 18 %) or VFD 1.3·In (≈ 9 %)

Figure 11 · Voltage dip at the point of common coupling: DOL, star stage and changeover peak, on transformers and generator sets

Engineering conclusion: on a stiff transformer, star–delta hardly has a voltage-dip problem, but on a generator set, a battery inverter or at the end of a long feeder, the short changeover peak is the main problem — the opposite of the belief that “star–delta suits weak supplies” (cable and breaker design in Design, installation & troubleshooting).

## Running permanently in star at light load: does it really save energy? Advanced

Many plant motors are oversized so that they actually run at only 20–40 % of rating. At light load most of the loss is core loss and copper loss from the magnetising current, both of which depend on voltage. Connecting the windings in star (1/√3 winding voltage) reduces this loss, at the cost of more slip and more copper loss from the load current.

E22 Losses in Y versus Δ

$$P_{loss} = P_{Cu1} + P_{Cu2} + P_{Fe} + P_{fw} \qquad P_{Fe,Y} \approx \tfrac13 P_{Fe,\Delta} \qquad s_Y \approx 3\,s_\Delta$$

E23 Saving and break-even

$$\Delta P = P_{in,\Delta} - P_{in,Y} \qquad \Delta P(x_{be}) = 0 \qquad E_{year} = \Delta P\cdot h \qquad \text{cost} = E_{year}\times\text{tariff}$$

E24 Torque margin in star

$$\frac{T_{k,Y}}{T_L} = \frac{T_k}{3\,T_L} \ge 2.5 \;\Rightarrow\; T_L \le \frac{T_k}{7.5} \approx 0.4\,T_n \ (T_k = 3T_n)$$

| Shaft load | Δ: I · cos φ · η · loss | Y: I · cos φ · η · loss | Saving | Tk,Y/TL | kvar saved |

| 10 % (0.75 kW) | 6.65 A · 0.26 · 62.2 % · 455 W | 2.59 A · 0.55 · 76.6 % · 229 W | 226 W | 9.1 | 2.94 |

| 25 % (1.9 kW) | 7.30 A · 0.46 · 79.9 % · 472 W | 3.95 A · 0.79 · 86.8 % · 284 W | 188 W | 3.9 | 2.81 |

| 40 % (3 kW) | 8.31 A · 0.61 · 85.6 % · 504 W | 5.71 A · 0.86 · 88.4 % · 394 W | 110 W | 2.4 | 2.53 |

| 50 % (3.75 kW) | 9.13 A · 0.68 · 87.6 % · 533 W | 7.06 A · 0.87 · 88.1 % · 506 W | 27 W | 2.0 | 2.24 |

| 60 % (4.5 kW) | 10.05 A · 0.73 · 88.8 % · 570 W | 8.57 A · 0.87 · 87.2 % · 660 W | −90 W | 1.6 | 1.84 |

The model breaks even at 52.7 % of rating (47 % at 95 % voltage, 58 % at 105 %), but the torque margin E24 limits real use to about 35–40 %. This is a linear magnetic model; a real motor whose core saturates at full voltage usually has a higher magnetising current, so running in star usually saves slightly more, while IE3/IE4 motors with low core loss save less.

Example E-6

### Ten 7.5 kW ventilation fans running at 25 % for 6,000 hours a year, tariff 4.5 THB/kWh

- Table: 188 W saved per fan · E23: $0.188 \times 6000 = 1{,}127$ kWh/year/fan → $1{,}127 \times 4.5 = 5{,}072$ THB/year/fan

- Ten fans: 11,270 kWh/year ≈ 50,720 THB/year, and 28 kvar less reactive power (which helps with power-factor charges)

- E24: $T_{k,Y}/T_L = 3.9 \ge 2.5$ ✓ · the speed falls from 1493 to 1478 rpm (the fan delivers about 1 % less air and draws slightly less power)

- Automatic switching is needed: measure real power (kW), not current, because in delta the light-load current hardly changes (6.53 → 7.6 A from 5 to 30 %). Switch to Δ when P > 40 % and back to Y when P < 30 %, with a delay against hunting.

- Compare alternatives: with a strongly varying load a VFD saves much more (affinity law P ∝ n³ in VFD setup & applications); with a constant light load, a smaller motor or an IE4 motor may pay best in the long run.

Figure 12 · Efficiency, power factor and power saved running in star versus delta, with the break-even point and the no-star zone

## Mathematics lab: dynamic simulation of a star–delta start Lab

This lab solves the space-vector equations of the double-cage motor every 0.2 ms through the whole start (not a quasi-static approximation). You can change the motor rating, the number of poles, the load, the inertia, the voltage, the changeover trigger, the dead time, the KM3 phase order and closed transition. The upper chart shows the rms line current and the speed through the start compared with DOL; the lower chart zooms in on the changeover to show the instantaneous currents of all three phases and the torque.

### Run your own parameter sweep (make your own research data)

Choose the swept variable (timer, dead time or closed-transition resistor) and press run. The lab simulates every point in full and plots the results; download them as CSV for a report or a project.

### Worksheet (for students)

- Use “Fan · 8 s timer” and raise the timer 2 s at a time until the time above 3·In falls below 0.1 s. Record the changeover speed and compare with table E13.

- Pump: sweep the dead time from 5 to 300 ms for both phase orders. Explain the wave shape with E14–E15 and find the dead times at which the peak is below DOL.

- Make the pump's J three times larger and repeat task 2. Explain why δ gets smaller (the $T_L t_d^2/2J$ term in E14).

- Conveyor at 50 %: lower the voltage from 100 % in 2 % steps, find where the star stage can no longer break away, and check it against condition E7.

- “Running in star” calculator: find the load with the largest yearly saving subject to Tk,Y/TL ≥ 2.5 for a 15 kW motor running 7,000 hours a year.

The control-circuit simulator (START/STOP buttons, contactors, timer) is in Starter simulator, the torque–speed lab with loads is in the AC motor guide (in Thai) at /learn/ac-induction-motor/#lab, and programming star–delta on a PLC is in PLC motor control.

## Case studies: common field problems analysed with the model Intermediate

The cases below are simulated cases built from symptoms that electricians and engineers meet often. All numbers come from the model on this page (scaled from the 7.5 kW motor); they are not data from any particular plant. Use them as a guide to analysis, and always measure on site before changing anything.

| # | Symptom | Analysis (numbers from the model) | Fix |

| 1 | Large exhaust fan: the plant lights flicker for almost a second at every start; the timer is set to 8 s “like the other pumps” | τm = 7.15 s; changeover at 66 % speed; current above 3·In for 0.96 s | Set per E10 = 21 s or use a current relay → 0.05–0.22 s |

| 2 | Water pump: the breaker trips now and then at the change to delta although the timer is “long enough” | 1–3-cycle rms peak 9.7·In (lagging) to 11.5·In (standard), instantaneous peak about 13·In — inside the instantaneous band of a type C MCB (5–10·In) | Use an MPCB/MCCB with instantaneous trip ≥ 12–13·In · lagging KM3 order · shortest safe dead time · or closed transition |

| 3 | After maintenance the pump's rubber coupling wears out fast and there is a knock at the changeover | KM3 was rewired in the standard order: minimum torque −4.4·Tn (lagging order −0.55·Tn) | Wire L1→V2 L2→W2 L3→U2 and check rotation in both Y and Δ |

| 4 | 37 kW pump on a 100 kVA generator set: other contactors drop out every time the pump changes over | Voltage dip DOL 32 %, star stage 13.5 %, but changeover peak 41 % | Closed transition (≈ 17 %), soft starter 3·In (≈ 18 %) or VFD (≈ 9 %) |

| 5 | Conveyor at the end of a long feeder (88–90 % voltage): in star the motor hums without turning, then jerks hard at the changeover | TY(0) = 0.72 × 0.81 = 0.58·Tn < breakaway 0.6·Tn → the changeover is a DOL start from standstill | Soft starter with torque control, VFD, or DOL if the supply allows · fix the feeder voltage drop |

| 6 | Ten fans run at 25 % all year; high bill and low power factor | Delta cos φ 0.46; in star −188 W per fan, cos φ 0.79, torque margin 3.9 | Automatic Y/Δ switching on real power ≈ 50,720 THB/year (Example E-6), or VFDs |

| 7 | A fan that starts often trips its overload now and then, although the running current is below the setting | 30 s timer; hangs in star at 0.97·In = 1.68 times the rated winding current; uses 36 % of the class 10 budget per start | Set the timer per E10, use a class 20 relay, limit starts per hour |

| 8 | A new 15 kW motor wired star–delta runs hot with high current in delta | Nameplate 230/400 V: in delta at 400 V the winding gets 173 % of its rating | This motor runs in star only: use DOL/soft starter, or change to a 400/690 V motor |

Note on case 2: a breaker's instantaneous band is usually stated as an rms symmetrical current, but the first-cycle peak has a DC component, so the instantaneous value exceeds $\sqrt2\,I_{rms}$. Motor-protection circuit breakers (MPCBs) are designed to ride through this peak; general-purpose MCBs are not (see Contactors & overloads).

## Past, present and future of motor starting Basic

- 1885–1888Galileo Ferraris demonstrates the rotating magnetic field and Nikola Tesla patents the polyphase induction motor (US 381,968, 1888).

- 1889–1891Mikhail Dolivo-Dobrovolsky (AEG) builds a three-phase squirrel-cage induction motor and a three-phase system using star and delta connections; 175 km three-phase transmission from Lauffen to Frankfurt is demonstrated in 1891.

- late 1890sThe double-cage rotor (Boucherot) raises starting torque without slip rings — the torque curve that still lets star–delta start a load with 1/3 of the torque.

- early 20th centuryHand-operated star–delta switches: the operator had to judge the moment to switch. Switching too early and surges were problems from the start.

- mid 20th centuryAutomatic contactor starters with pneumatic or mechanical timers. Utilities in many countries limit motor starting currents on low-voltage networks; star–delta becomes standard in Europe and Asia, while North America prefers autotransformer and part-winding starters.

- 1970–1990Electronic timers and dedicated star–delta relays with a fixed dead time · thyristor soft starters · IGBT PWM inverters spread from the late 1980s to the 1990s.

- 2008–2023IEC 60034-30 (2008) and 60034-30-1 (2014) define classes IE1–IE4 · the EU requires IE3 for 0.75–1000 kW from 2021 and IE4 for 75–200 kW from 2023 (Regulation 2019/1781) · IEC 60947-4-1 (2018) adds utilisation category AC-3e for high-efficiency motors with higher starting currents.

- TodayIE3/IE4 motors have higher Is/In (often 7–8 or more), so the changeover peaks are higher too · star–delta relays with a fixed dead time, current-monitoring relays, smart starters with IO-Link/Modbus · soft starters and VFDs are cheap enough to be the first choice for many new installations · simulation labs like the one on this page can be used to design before installing.

- Future (projections)IE4/IE5 synchronous reluctance and permanent-magnet motors (most need a VFD or DOL as the maker specifies) · microgrids and battery inverters with current limits make the changeover peak more important · star–delta that changes over from the motor's state and measures the residual voltage to choose the closing moment (synchronous) · digital twins for on-site setting · star–delta is expected to stay in fixed-speed pumps, fans and retrofits for a long time, but with a falling share of new installations.

| Past problem | Cause | Solved today with | Future direction |

| Changeover too early, lasting high current | Timer set by habit, no knowledge of the motor state | Calculate c·τm · current/speed relays | Automatic changeover from speed and flux estimation |

| Changeover surge, breaker trips, coupling damage | Residual voltage out of phase, long dead time, standard KM3 order | Lagging KM3 order · fixed-dead-time timers · closed transition | Synchronous closing from residual-voltage measurement · hybrid solid-state starters |

| KM2/KM3 overlap, short circuit | Faulty interlocks, timers without a dead time | Mechanical + electrical interlocks · ready-made Y-Δ contactor assemblies | Self-diagnosis and network alarms |

| Voltage dip on generator sets | 1–3-cycle changeover peak | Soft starters, VFDs, closed transition | Energy-management systems that sequence starts in microgrids |

| Oversized motors, high losses, low cos φ | Sizing with large margins | VFDs · IE3/IE4 motors · capacitors | Motor selection from measured load data · smart Y/Δ switching for constant light loads |

## Research summary: findings, limitations and further research Advanced

Abstract — This work studies star–delta starting of a 7.5 kW 400 V 50 Hz double-cage induction motor with a space-vector dynamic model verified against the equivalent circuit and a reference solver. Fourteen sets of numerical experiments with pump, fan and conveyor loads show that the right timer setting can be written as $c\,\tau_m$ with c ≈ 2–4, almost independent of motor size. The open-transition changeover peak is about 0.6–1.2 times the direct-on-line peak (0.85–1.2 for pumps and fans whatever the timer setting) and is explained by the vector difference between the delta voltage and the residual voltage, which a closed-form formula predicts within about 5 %. The lagging KM3 order and a short dead time reduce the peak, and closed transition reduces it by 35–70 %. Star–delta cuts the supply I²t by 25–50 % but increases rotor heating by 30–55 %, and running permanently in star saves energy below ~50 % load, with practical use limited to 35–40 %.

Keywords: star–delta, wye–delta, timer, mechanical time constant, residual voltage, dead time, closed transition, I²t, voltage dip, star operation at light load

### Main findings

- Timer = c·τm, c ≈ 2.1–3.4 for pumps/fans (including a 10 % voltage-dip margin) and ≈ 3.7 for a constant-torque load at 50 % (E13).

- For pumps and fans the 1–3-cycle changeover peak does not fall with the timer (7.6–10.5·In at every setting); the timer only shortens the high-current time. A load with low star slip (conveyor at 50 %) changing over at its equilibrium speed peaks at only 5.6·In (E2).

- The peak is set by |VΔ − e| and predicted by E14–E16 (within about 1–5 % in Example E-4).

- The dead time acts as a “phase lottery”; shorter is better within the practical range, and lengthening the dead time is not a way to reduce the surge (E3).

- The lagging KM3 order reduces the peak by 10–40 % for dead times of 0–60 ms and the negative torque from −4.4 to −0.55·Tn for the pump (E3).

- Closed transition with Rt ≈ 0.1–0.2·Zb cuts the peak to 2.9–6.2·In without negative torque (E4).

- State-aware methods (current/speed) cut the high-current time 3–4 times when the voltage or load changes (E5).

- Star–delta reduces the supply I²t to 51 % (fan) and 75 % (pump) of DOL, but the rotor heat is 130 % and 155 % (E10).

- On a generator set the changeover peak dips the voltage more than DOL does (41 % against 32 %) (E12).

- Running permanently in star saves 188 W per 7.5 kW at 25 % load; break-even ≈ 53 %; the torque margin limits it to ≈ 40 % (E9).

- The Kloss formula overestimates the run-up time of a double-cage motor by about 74 %; the average-torque method is within 2 % (E8).

### Limitations of the model

- Linear magnetics; saturation and core loss are not in the dynamics (they are in the steady state of E9).

- Ideal contactors opening all three phases at once; real ones break at each phase's current zero, several milliseconds apart, and their contacts bounce on closing.

- Ideal (zero-impedance) supply in the dynamic simulation; the voltage dip is computed separately with E21 at a common angle.

- Other motor sizes are covered per unit through τm and In ∝ kW; real motors of other sizes and makers have different torque curves and time constants.

- The overload thermal budget (E14) is an adiabatic estimate, not the curve of a particular relay.

### Further research (for projects and theses)

- Synchronous changeover: measure the residual voltage and close KM3 when |VΔ − e| is smallest (the same idea as motor bus transfer in power stations, which limits the resultant to about 1.33 pu V/Hz).

- Changeover from sensorless speed estimation using the star-stage current and voltage.

- Laboratory tests on a 2–15 kW test bench compared with this model, including current-zero breaking and contact bounce.

- Smart Y/Δ switching for light loads: decision rules, hysteresis and contactor life.

- Star–delta on solar-battery microgrids: inverter current limits and start sequencing.

### Reproducing the experiments

All code is in the site repository: assets/yd-core.js (the model, used by both the lab and the research), scripts/yd_research.mjs (experiments E1–E14; prints the tables and writes scripts/yd_results.json), scripts/yd_check.py (checks against the equivalent circuit and scipy LSODA) and scripts/yd_figs.py (draws every figure from the results). The motor parameters are in scripts/acm_model.py.

## Site checklist

- Nameplate: the Δ figure = the supply line voltage (400/690 V on 400 V) · remove the links, run six leads.

- Load: pumps/fans k ≤ 1.2 · constant torque ≤ 0.6·Tn (≤ 0.5 if the voltage may dip 10 %).

- Calculate τm = J·ωs/Tn from the catalogue, set the timer = c·τm (table E13) and confirm with a clamp meter.

- KM3 in the lagging order L1→V2 L2→W2 L3→U2 · use a star–delta relay with a fixed dead time; do not lengthen the dead time yourself.

- Breaker/MPCB instantaneous ≥ 12–13·In · overload in the winding-current path set to 0.58·In · starts > 10 s use class 20.

- On a generator set or weak supply: consider closed transition, a soft starter or a VFD.

- Motors running a constant light load < 35–40 %: evaluate permanent star operation with the calculator on this page.

Review the power circuit, control circuit and device sizes in Star–delta starter in detail, and compare other starting methods in Soft starters & autotransformers and VFD principles.

### Standards and references

- IEC 60034-1 Rotating electrical machines — Rating and performance (voltage zones A/B)

- IEC 60034-12 Starting performance of single-speed three-phase cage induction motors (designs N, H, NY, HY)

- IEC 60034-30-1 Efficiency classes of line-operated AC motors (IE code)

- IEC 60947-4-1 Contactors and motor-starters (AC-3, AC-3e, star–delta starters)

- IEC 60204-1 Safety of machinery — Electrical equipment of machines

- IEC 61000-3-3 / 61000-3-11 Voltage changes, voltage fluctuations and flicker

- IEEE Std 3002.7 Recommended Practice for Conducting Motor-Starting Studies in Industrial and Commercial Power Systems

- NEMA MG 1 Motors and Generators

- Regulation (EU) 2019/1781 ecodesign requirements for electric motors and variable speed drives

- Electrical Installation Standard for Thailand (Engineering Institute of Thailand) and the connection requirements of the local utility

- S. D. Umans, Fitzgerald & Kingsley's Electric Machinery, 7th ed., McGraw-Hill, 2014

- S. J. Chapman, Electric Machinery Fundamentals, 5th ed., McGraw-Hill, 2012

- P. C. Krause, O. Wasynczuk, S. D. Sudhoff, S. Pekarek, Analysis of Electric Machinery and Drive Systems, 3rd ed., Wiley-IEEE Press, 2013

- I. Boldea, S. A. Nasar, The Induction Machine Handbook, CRC Press, 2002

## Frequently asked questions

How many seconds should a star–delta timer be set to?
Set it so that the motor changes to delta after it has reached about 98 % of its equilibrium speed in star. You can calculate it from the mechanical time constant τm = J·ωs/Tn multiplied by a coefficient c ≈ 2–4 (centrifugal pump at 80 % ≈ 2.6, fan ≈ 2.9, including a 10 % voltage-dip margin). For example a 37 kW pump with a total J of 0.87 kg·m² needs about 1.5–3 s, while a 7.5 kW fan with a total J of 2.245 kg·m² needs about 21 s. Confirm on site with a clamp meter that the star current has settled before the changeover.

Why is the current surge at the change from star to delta almost as high as, or higher than, a direct-on-line start?
During the dead time the motor is disconnected, but the flux trapped in the rotor produces a residual voltage at the terminals that turns slower than the supply and keeps slipping in phase. When KM3 closes, the transient is driven by the vector difference |V_Δ − e|, which can be 1.0–1.3 times the voltage that drives a DOL start. Simulations of a 7.5 kW motor driving a pump or a fan therefore give a 1–3-cycle peak of about 0.85–1.2 times the DOL peak, but very short. It is reduced by the shortest dead time the contactors allow, the lagging KM3 order or a closed-transition starter.

What should the dead time between KM2 opening and KM3 closing be?
It must be longer than the opening time plus the arcing time of KM2, otherwise the phases are short-circuited. Ready-made star–delta timers typically use about 30–80 ms. Lengthening the dead time does not always reduce the peak, because the angle of the residual voltage keeps rotating. The simulations show that the shortest safe dead time is better, especially for low-inertia pumps that slow down quickly.

Should the delta contactor KM3 be wired L1→W2 or L1→V2?
Both rotate the same way and both are correct. The standard order L1→W2 L2→U2 L3→V2 makes the winding voltage after the changeover lead by 30°; the lagging order L1→V2 L2→W2 L3→U2 makes it lag by 30°, closer to the residual voltage, which already lags. The simulated pump gives a peak of 9.7·In instead of 11.5·In and a negative torque of −0.5·Tn instead of −4.4·Tn, so the lagging order is recommended.

Can a motor run permanently in star to save energy?
Only at light load. In star the winding voltage falls to 1/√3, so core loss and magnetising current fall, but the breakdown torque falls to 1/3 and the slip roughly triples. The 7.5 kW model saves 188 W at 25 % load (cos φ 0.46 → 0.79) and breaks even at about 50 %, but in practice keep it below 35–40 % of rating for a torque margin of at least 2.5, with a power relay that switches back to delta automatically.

Is star the same as wye?
Yes. It is the same connection: the three winding ends are joined into a neutral point. Europe and Asia call it star (Y), North America calls it wye, so the starter is called either a star–delta starter or a wye–delta starter. Delta (Δ) is sometimes called mesh.

Does a star–delta starter save energy compared with DOL?
No. The energy used by one start is tiny (tens of kJ, i.e. hundredths of a kWh). What star–delta reduces is the current and the voltage dip during the run-up, and for high-inertia loads about half of the supply I²t. The rotor, however, gets 30–55 % hotter than with DOL because it accelerates at high slip for longer.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**How many seconds should a star–delta timer be set to?**
Set it so that the motor changes to delta after it has reached about 98 % of its equilibrium speed in star. You can calculate it from the mechanical time constant τm = J·ωs/Tn multiplied by a coefficient c ≈ 2–4 (centrifugal pump at 80 % ≈ 2.6, fan ≈ 2.9, including a 10 % voltage-dip margin). For example a 37 kW pump with a total J of 0.87 kg·m² needs about 1.5–3 s, while a 7.5 kW fan with a total J of 2.245 kg·m² needs about 21 s. Confirm on site with a clamp meter that the star current has settled before the changeover.

**Why is the current surge at the change from star to delta almost as high as, or higher than, a direct-on-line start?**
During the dead time the motor is disconnected, but the flux trapped in the rotor produces a residual voltage at the terminals that turns slower than the supply and keeps slipping in phase. When KM3 closes, the transient is driven by the vector difference |V_Δ − e|, which can be 1.0–1.3 times the voltage that drives a DOL start. Simulations of a 7.5 kW motor driving a pump or a fan therefore give a 1–3-cycle peak of about 0.85–1.2 times the DOL peak, but very short. It is reduced by the shortest dead time the contactors allow, the lagging KM3 order or a closed-transition starter.

**What should the dead time between KM2 opening and KM3 closing be?**
It must be longer than the opening time plus the arcing time of KM2, otherwise the phases are short-circuited. Ready-made star–delta timers typically use about 30–80 ms. Lengthening the dead time does not always reduce the peak, because the angle of the residual voltage keeps rotating. The simulations show that the shortest safe dead time is better, especially for low-inertia pumps that slow down quickly.

**Should the delta contactor KM3 be wired L1→W2 or L1→V2?**
Both rotate the same way and both are correct. The standard order L1→W2 L2→U2 L3→V2 makes the winding voltage after the changeover lead by 30°; the lagging order L1→V2 L2→W2 L3→U2 makes it lag by 30°, closer to the residual voltage, which already lags. The simulated pump gives a peak of 9.7·In instead of 11.5·In and a negative torque of −0.5·Tn instead of −4.4·Tn, so the lagging order is recommended.

**Can a motor run permanently in star to save energy?**
Only at light load. In star the winding voltage falls to 1/√3, so core loss and magnetising current fall, but the breakdown torque falls to 1/3 and the slip roughly triples. The 7.5 kW model saves 188 W at 25 % load (cos φ 0.46 → 0.79) and breaks even at about 50 %, but in practice keep it below 35–40 % of rating for a torque margin of at least 2.5, with a power relay that switches back to delta automatically.

**Is star the same as wye?**
Yes. It is the same connection: the three winding ends are joined into a neutral point. Europe and Asia call it star (Y), North America calls it wye, so the starter is called either a star–delta starter or a wye–delta starter. Delta (Δ) is sometimes called mesh.

**Does a star–delta starter save energy compared with DOL?**
No. The energy used by one start is tiny (tens of kJ, i.e. hundredths of a kWh). What star–delta reduces is the current and the voltage dip during the run-up, and for high-inertia loads about half of the supply I²t. The rotor, however, gets 30–55 % hotter than with DOL because it accelerates at high slip for longer.

---

# Star–Delta Starter in Detail: Power Circuit, Control Circuit, 0.58 In Contactor Sizing, Overload Setting, Timer and Changeover Timing

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/star-delta/
Updated: 2026-10-14
Summary: Design and wire a star–delta (Y-Δ) starter for 400/690 V motors on a 400 V 50 Hz supply, step by step: why current and torque fall to 1/3, the KM1 KM2 KM3 power circuit, overload position and the 0.58 In setting, contactor sizing, the control circuit with interlocks, timer and dead time, the current surge at changeover, the delta-side phase sequence, six-lead cabling, closed-transition star–delta and a troubleshooting table.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.8 · AC Motor Control · Star–Delta Starter

# Star–Delta Starter in Detail: Power Circuit, Control Circuit, 0.58 In Contactor Sizing, Overload Setting, Timer and Changeover Timing

Star–delta is the most popular way to reduce starting current in the region, because it uses ordinary devices and no electronics. It is also the circuit that is wired wrongly most often. This page goes through everything that has to be right: which motors can use it, where the overload goes, contactor sizes, the wiring sequence, the timer, and what really happens during the changeover.

In 30 seconds

- Only for motors with a 400/690 V Δ/Y nameplate · remove the links in the terminal box and run 6 leads

- Star stage: KM1 + KM2 · run stage: KM1 + KM3 · KM2 and KM3 must never close together

- Current and torque in star = 1/3 of a direct-on-line start

- KM1 = KM3 ≥ 0.58 In · KM2 ≥ 0.33 In · overload in the phase-current path set to 0.58 In

- Change to delta at 85–90 % speed · with a 50–100 ms dead time · calculate the timer from τm in Star–delta analysis

## Principle: start with 1/√3 of the winding voltage Basic

Take a motor that normally runs in delta on 400 V. If its windings are connected in star for starting, each winding receives only 230 V, so the line current drops to 1/3 and the torque drops to 1/3 (derived in C4). When the motor has accelerated close to full speed, it is switched to delta to get full torque.

Y1 Starting current in star

$$I_{L,Y} = \frac{I_{L,\Delta}}{3} = \frac{k_{st}\,I_n}{3}$$

Y2 Starting torque in star

$$T_Y(n) = \frac{T_\Delta(n)}{3} \qquad T_{st,Y} = \frac{T_a/T_n}{3}\,T_n \approx 0.7\text{–}0.8\,T_n$$

Figure 1 · Computed curves for the example motor: in star (solid lines) the current starts at 2.2 In and the torque at 0.72 Tn. On changing to delta at ~1330 rpm the current jumps up along the yellow line

Important limitation: the torque in star is only ~0.7 Tn, so star–delta suits loads that start light (centrifugal pumps, fans, compressors with an unloading system). If the load needs high starting torque — a fully loaded conveyor, a crusher with material left inside — the motor cannot accelerate in star and then surges almost as much as a direct-on-line start at changeover. You lose time and gain no current reduction.

## Power circuit and overload position Intermediate

Figure 2 · (The drawing uses the codes -K1 -K2 -K3, corresponding to KM1 KM2 KM3 in the text.) KM1 (main) feeds U1 V1 W1 through F2 · KM3 (delta) connects W2 U2 V2 back to L1 L2 L3 · KM2 (star) shorts W2 U2 V2 together

| Contactor | Function | Closed during | Current carried |

| KM1 main | Feeds the winding starts U1 V1 W1 | Star + run | Phase current $I_n/\sqrt3$ (when running) |

| KM2 star | Shorts the winding ends W2 U2 V2 to form the star point | Star only | $k_{st}I_n/3$ for a short time; breaks only the current after acceleration |

| KM3 delta | Connects each winding end to the next phase | Run only | Phase current $I_n/\sqrt3$ |

Y3 Main and delta contactors

$$I_e(\text{KM1}) = I_e(\text{KM3}) \ge \frac{I_n}{\sqrt3} \approx 0.58\,I_n \quad (\text{AC-3})$$

Y4 Star contactor

$$I_e(\text{KM2}) \ge \frac{I_n}{3} \approx 0.33\,I_n \quad (\text{AC-3})$$

Y5 Overload setting (in the phase-current path)

$$I_r = \frac{I_n}{\sqrt3} \approx 0.58\,I_n$$

Why F2 goes after KM1: this position carries the winding current in both the star and run stages, so the relay protects the windings most directly. If the overload is placed before the split to KM1 and KM3 (in the line-current path), it must be set to In and the relay has to be larger. Some manufacturers place F2 after KM3 instead — always check the position on the drawing before setting it. If an MPCB is used ahead of the starter (line current), set the MPCB to In and use a separate overload in the phase-current path, or let the MPCB provide all the overload protection according to the manufacturer's tables.

### Delta-side wiring sequence

The standard arrangement wires KM3 to give the same result as the links in the terminal box: L1→W2, L2→U2, L3→V2 (winding U1–U2 receives the L1–L2 voltage). The direction of rotation in Y and in Δ then matches automatically. Some manufacturers recommend the “lagging” connection L1→V2, L2→W2, L3→U2, which brings the new winding voltage closer in phase to the residual voltage in the motor and so reduces the surge at changeover. Both turn the same way and both are correct. The key point is never to swap leads at will — swapping the wrong pair short-circuits some windings or gives them the wrong voltage.

## Control circuit: sequence and interlocks Intermediate

Figure 3 · KM2 closes before KM1 (through KM2 13-14), so no power reaches the motor until the star point is made. KM1 holds itself in through 43-44 · KM2 and KM3 are interlocked with each other through 21-22, and should also have a mechanical interlock

- Press S1 → K4T starts timing, and KM2 (star) closes through K4T 15-16 (delayed NC) and KM3 21-22

- KM2 13-14 closes → KM1 closes → the motor is energised in star · KM1 13-14 holds in the START button · 43-44 holds in its own coil

- When time t has elapsed: K4T 15-16 opens → KM2 drops out → KM2 21-22 recloses

- K4T 17-18 closes (a dedicated Y-Δ timer adds a further 50–100 ms delay) → KM3 closes → delta

- Press S0 or an overload trip → everything drops out and the timer resets

Figure 4 · The dead time between KM2 opening and KM3 closing is needed so that the arc in KM2's arc chute is fully extinguished first

Y6 Changeover dead time

$$t_{dead} \approx 40\text{–}100\ \text{ms} \;>\; t_{arc,KM2} + t_{close,KM3}\ \text{margin}$$

## NEMA/JIC version: the wye–delta starter and motor leads T1–T6 Intermediate

North America calls star–delta “wye–delta” (open transition = the motor is briefly disconnected at the change-over). The same three contactors are used, but motor leads are T1–T6 and the control is a ladder.

Figure 3a · NEMA wye–delta: 1M (line) feeds T1 T2 T3 through the OL heaters · 2M (delta) connects L1→T6, L2→T4, L3→T5 · 1S (wye) shorts T4 T5 T6 · timer TR changes over

| IEC | NEMA | Role |

| -K1 | 1M | Line (main) contactor |

| -K2 | 1S | Star (wye), shorts T4 T5 T6 |

| -K3 | 2M | Delta (run) |

| -K4T | TR | Timer: contacts NCTO (15-16) and NOTC (17-18) |

| U1 V1 W1 / U2 V2 W2 | T1 T2 T3 / T4 T5 T6 | Delta: T1–T6 · T2–T4 · T3–T5 (IEC: U1–W2 · V1–U2 · W1–V2) |

The names 1M / 2M / 1S vary by manufacturer (some swap the roles of 1M and 2M) — follow the machine’s own drawing · get the delta-side phasing right: wrong T4/T5/T6 order gives a change-over surge worse than a direct start · closed-transition starters add resistors so the supply is never interrupted.

## Setting the timer and the current at changeover Advanced

The run-up time depends on the inertia and the accelerating torque (motor torque minus load torque), from Newton's second law for rotation.

Y7 Acceleration time

$$J\frac{d\omega}{dt} = T_m - T_L \;\Rightarrow\; t_{acc} \approx \frac{J\,\Delta\omega}{\overline{T_m - T_L}}$$

Y8 Condition before changing to delta

$$T_Y(n) > T_L(n)\ \ \forall\, n During the dead time the motor has no supply, but flux remains in the rotor, producing a residual voltage at the terminals whose frequency falls with the speed. When KM3 connects, if the phase of this residual voltage does not match the supply, a momentary surge is added on top of the normal current at that speed. The lower the changeover speed, the higher the normal delta current at that speed (see Figure 1).

Example Y-1

### 37 kW pump, 400 V Δ, In = 66 A, Ia/In = 7, Ta/Tn = 2.3 — design the star–delta starter

- Y1: direct-on-line $7 \times 66 = 462$ A → in star $462/3 = 154$ A

- Y3: KM1 = KM3 ≥ $0.58 \times 66 = 38.3$ A → 40 A AC-3 · Y4: KM2 ≥ $0.33 \times 66 = 21.8$ A → 25 A AC-3

- Y5: overload (after KM1) set to 38.3 A → a 30–40 A class 10 relay

- Y2: starting torque in star $2.3/3 = 0.77$ Tn > pump breakaway torque ~0.15 Tn ✓

- Six leads from the panel to the motor, each carrying the phase current of 38.3 A → size the cable for 38.3 A, not 66 A (see Y9)

Example Y-2

### Estimate the timer setting for the 37 kW pump

- $T_n = 9550(37)/1480 = 239$ N·m · motor + pump inertia $J \approx 0.3 + 0.6 = 0.9$ kg·m²

- Average torque in star ~0.8 Tn · average pump torque over 0–90 % speed ~0.35 Tn → accelerating torque ~0.45 Tn = 108 N·m

- Y7: $\Delta\omega = 0.9 \times 155 = 140$ rad/s → $t \approx 0.9(140)/108 = 1.2$ s

- Set the timer to 3 s (allowing for voltage dip and wear), then confirm with a clamp meter that the current in star has settled before the changeover

📊 In depth: the right timer can be written as $t_{set} = c\,\tau_m$ with $\tau_m = J\omega_s/T_n$ and c ≈ 2–4. Dynamic simulations show that the 1–3-cycle changeover peak of pumps and fans is close to DOL for any timer setting — see the c table, dead time, KM3 phase order and the simulation lab in Star–delta analysis: timer, currents, energy and research.

## Try it in the simulator

Try three scenarios: (1) load 0.7 Tn, timer 6 s — a smooth changeover · (2) cut the timer to 0.5 s — the current at changeover rises sharply · (3) a conveyor load of 1.0 Tn — the motor cannot accelerate in star, then surges almost as much as DOL

JavaScript is needed for the simulator

## Six leads to the motor Intermediate

Y9 Cable sizing for six leads

$$I_z \ge \frac{I_n}{\sqrt3} \ \text{per conductor} \qquad \Delta V \text{ from the phase current and the actual length}$$

- Two sets of conductors must be run (U1 V1 W1 and W2 U2 V2), which raises cable cost over long distances — one reason new installations are moving to soft starters or VFDs

- Both sets must run in the same conduit or tray to avoid induced heating in metal conduit

- Mark the cable ends to match the motor terminals at both ends — a mistake here connects the delta in the wrong pattern

## Closed-transition star–delta Advanced

The closed-transition version adds a fourth contactor and three resistors. Before KM2 opens, the fourth contactor connects the windings to the supply through the resistors, so the motor is never disconnected during the changeover and the surge is much smaller. It suits large motors and high-inertia loads, but it is more complex and more expensive. Today this kind of duty is usually handled by a soft starter instead.

## Star–delta troubleshooting table

| Symptom | Possible causes | Check / fix |

| Breaker trips the moment it changes to delta | KM2/KM3 overlap · links not removed · wrong delta wiring sequence | Check the dead time, interlocks, terminal box and the W2 U2 V2 lead numbers |

| Motor turns slowly in star and does not come up to speed | Starting load too heavy · voltage dip · a 230/400 V motor connected | Measure the current in star, check the nameplate, reduce the load at starting or change the starting method |

| Very high surge at changeover | Timer too short · dead time too long (motor slows down a lot) | Set the timer from the actual speed; use a dedicated Y-Δ timer |

| Overload trips during normal running | Set to 0.58 In but the relay is in the line-current path (or the other way round) | Check the F2 position on the drawing and set it to match |

| Motor reverses direction when it changes to delta | Phases swapped on only the winding-start set or only the winding-end set | Wire the W2 U2 V2 set as drawn; swap phases only at the supply |

| KM2 chatters or hums during starting | Coil voltage dips under the high starting current · cracked shading ring | Measure the coil voltage during starting; check the control transformer size |

## Frequently asked questions

Why are the contactors in a star–delta starter smaller than the motor rating?
Because the main contactor (KM1) and the delta contactor (KM3) each carry the winding phase current, which is In/√3 = 0.58 In. The star contactor (KM2) carries current only during starting, 1/3 of the direct-on-line starting current, and breaks a low current, so ≥ 0.33 In is enough. Example: a 66 A motor uses 40 A + 40 A + 25 A.

How many seconds should the star–delta timer be set to?
Set it to change to delta when the motor reaches about 85–90 % of speed, which you can see as the current falling and settling during the star stage. Small pumps and fans often use 3–8 s; high-inertia loads may need 10–20 s. The best method is to clamp a meter on the line and watch the current in star, then set the timer slightly longer than the point where the current settles. Too short and the surge is almost as large as a direct-on-line start; too long and the motor runs in star for no reason.

The motor runs in star, then the breaker trips when it changes to delta. Why?
Common causes: no dead time or too short a dead time, so KM2 and KM3 overlap through the arc; a wrong delta-side wiring sequence that connects the windings in the wrong pattern; a timer so short that the motor has not accelerated; or the copper links in the terminal box were not removed.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Why are the contactors in a star–delta starter smaller than the motor rating?**
Because the main contactor (KM1) and the delta contactor (KM3) each carry the winding phase current, which is In/√3 = 0.58 In. The star contactor (KM2) carries current only during starting, 1/3 of the direct-on-line starting current, and breaks a low current, so ≥ 0.33 In is enough. Example: a 66 A motor uses 40 A + 40 A + 25 A.

**How many seconds should the star–delta timer be set to?**
Set it to change to delta when the motor reaches about 85–90 % of speed, which you can see as the current falling and settling during the star stage. Small pumps and fans often use 3–8 s; high-inertia loads may need 10–20 s. The best method is to clamp a meter on the line and watch the current in star, then set the timer slightly longer than the point where the current settles. Too short and the surge is almost as large as a direct-on-line start; too long and the motor runs in star for no reason.

**The motor runs in star, then the breaker trips when it changes to delta. Why?**
Common causes: no dead time or too short a dead time, so KM2 and KM3 overlap through the arc; a wrong delta-side wiring sequence that connects the windings in the wrong pattern; a timer so short that the motor has not accelerated; or the copper links in the terminal box were not removed.

---

# The 230/400 V 50 Hz Low-Voltage Supply in Thailand, Laos, Cambodia, Vietnam, Myanmar, Malaysia and Singapore for Motor Control

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/supply-systems/
Updated: 2026-10-14
Summary: The three-phase four-wire 230/400 V 50 Hz supply under IEC 60038 and the voltages actually found in Thailand, Laos, Cambodia, Vietnam, Myanmar, Malaysia and Singapore: phase versus line voltage, ±10 % tolerance, TN-C-S and TT earthing, phase sequence, voltage unbalance and motor derating, and running 60 Hz motors on a 50 Hz supply.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.2 · AC Motor Control · 230/400 V 50 Hz Supply

# The 230/400 V 50 Hz Low-Voltage Supply in Thailand, Laos, Cambodia, Vietnam, Myanmar, Malaysia and Singapore for Motor Control

Motors and control gear are designed for one particular voltage and frequency. If you understand the supply on site — its real voltage, its earthing system and its power quality — you can choose the terminal connection and set the devices correctly from the start. This page collects what you need to know for seven countries that share the same kind of supply.

In 30 seconds

- Three-phase four-wire: phase voltage 230 V (L–N), line voltage 400 V (L–L) = √3 × 230

- Every country here uses 50 Hz · real voltages lie between 220/380 and 240/415 V

- Three-phase motors connect to L1 L2 L3 + PE, no N · 230 V control circuits use L–N

- 1 % voltage unbalance causes 6–10 % current unbalance → the motor must be derated

## The three-phase four-wire system Basic

The utility's distribution transformer (e.g. 22 kV/400 V or 33 kV/400 V) has its low-voltage side connected in Y with the neutral point earthed, giving conductors L1, L2, L3 and N. Between a phase conductor and neutral is the phase voltage, 230 V; between two phase conductors is the line voltage, 400 V.

Figure 1 · Three phase voltages 120° apart (325 V peak) and the line voltage v₁₂ = v₁ − v₂ (565 V peak), leading by 30°

S1 Line and phase voltage

$$V_L = \sqrt{3}\,V_{ph} \qquad 230 \times \sqrt3 = 398 \approx 400\ \text{V} \qquad V_{peak} = \sqrt2\, V_{rms}$$

S2 Three-phase power

$$P = \sqrt{3}\,V_L I_L \cos\varphi \qquad S = \sqrt{3}\,V_L I_L$$

## Voltage and frequency by country Basic

IEC 60038 sets the nominal value 230/400 V for 50 Hz systems, and countries in the region have been moving to it from 220/380 V or 240/415 V. Equipment rated “380–415 V 50 Hz” (the normal rating for IEC contactors, drives and motors) can be used in all of them.

| Country | Nominal value | Still found on site | Frequency | Things to know |

| Thailand | 230/400 V | 220/380 V in older systems | 50 Hz | Metropolitan Electricity Authority (MEA) and Provincial Electricity Authority (PEA) · installations to the Engineering Institute of Thailand (EIT) wiring code |

| Laos | 230/400 V | 220/380 V | 50 Hz | Grid interconnected with Thailand at many points; Thai equipment can be used |

| Cambodia | 230/400 V | 220/380 V | 50 Hz | Voltage varies a lot by area; measure before installing |

| Vietnam | 220/380 V | — | 50 Hz | A 400 V motor gets 5 % below its nameplate: starting torque ~10 % lower, full-load current slightly higher |

| Myanmar | 230/400 V | Large voltage swings | 50 Hz | Under/overvoltage and phase-loss protection relays recommended |

| Malaysia | 230/400 V | 240/415 V (before 2008) | 50 Hz | Older 415 V-rated motors and transformers are still compatible |

| Singapore | 230/400 V | — | 50 Hz | Installation to SS 638 (based on IEC 60364) |

This table is an overview for learning. The guaranteed voltage and its tolerance (e.g. +10 %/−6 % or ±10 %) are set by each country's utility and may be revised. Always check the local supplier's documents.

Example S-1

### A 400 V motor on 380 V and 415 V supplies

- 380 V is 95 % of the nameplate → torque at every point on the curve falls to $0.95^2 = 0.90$ (M8).

- At constant load the slip rises by about $1/0.90$ and full-load current increases by roughly 3–5 % → keep the overload set to the nameplate current; do not raise it.

- 415 V is 104 %: flux is higher and no-load current increases, but it is still within zone A of IEC 60034-1 (±5 %), so the motor runs normally.

## Earthing systems: TN-C-S and TT Intermediate

The earthing system tells you by which path the motor's metal frame is “earthed”, and that decides whether a fault current to the frame is large enough to trip the breaker. In Thailand the utility earths the neutral at the transformer and the customer joins N and PE at a single point in the main switchboard (TN-C-S). Other countries use both TN and TT, depending on the supplier and the type of installation.

Figure 2 · TN-C-S: a single PEN conductor runs from the transformer to the main switchboard; after the switchboard N and PE are separated and must never be joined again. The motor frame is always connected to PE.

| System | Path of an earth-fault current | Disconnecting device | Watch out for |

| TN-C-S / TN-S | Through PE back to the transformer; low impedance, high current | Breaker/fuse/MPCB disconnects quickly | Cable length must not be so long that the fault current is too small · never re-join N and PE after the split point |

| TT | Through the customer's earth electrode and the soil; low current | RCD (residual-current device) | A breaker alone often cannot disconnect in time · drives need a suitable RCD type |

## Phase sequence and direction of rotation Basic

The phase sequence L1→L2→L3 (some sites use R-S-T or A-B-C) sets the direction of the rotating field. With L1-L2-L3 connected to U1-V1-W1 in that order, an IEC motor turns clockwise viewed from the shaft end (IEC 60034-8). Before coupling to a pump or compressor that must not run backwards, check the phase sequence with a phase-rotation meter or bump the motor briefly uncoupled.

S3 Reversing rotation

$$(L1, L2, L3) \to (L3, L2, L1) \;\Rightarrow\; n_s \to -n_s$$

## Voltage unbalance and motor derating Advanced

When the three phase voltages are unequal, a negative-sequence voltage appears, which produces a field rotating “backwards”. The motor's negative-sequence impedance is very low (close to its starting impedance), so even a small voltage unbalance causes a large current unbalance and rotor heating.

S4 Voltage unbalance (NEMA working definition)

$$\%VU = \frac{\max |V_{L} - \bar V_L|}{\bar V_L} \times 100 \qquad \bar V_L = \frac{V_{12} + V_{23} + V_{31}}{3}$$

S5 Current unbalance estimate

$$\%I_{unb} \approx \frac{I_{st}}{I_n}\,\%VU \approx (6\text{–}10)\,\%VU$$

| %VU | 1 % | 2 % | 3 % | 4 % | 5 % |

| Derating factor (approx., per NEMA MG 1) | 0.98 | 0.95 | 0.88 | 0.82 | 0.75 |

Example S-2

### Measured 402 V · 396 V · 389 V

- Average $(402 + 396 + 389)/3 = 395.7$ V · largest deviation $|389 - 395.7| = 6.7$ V

- S4: $\%VU = 6.7/395.7 = 1.7\,\%$ → S5: current unbalance of about 10–17 %

- Derating factor ≈ 0.96 · find the cause first — poorly distributed single-phase loads, loose connections or a transformer problem — before upsizing the motor.

## 60 Hz motors on a 50 Hz supply Intermediate

Machines imported from North America, and some from Japan or Korea, may have 60 Hz motors. Core flux varies as $V/f$, so that ratio must be kept close to its original value.

S6 60 Hz motor on 50 Hz

$$\Phi \propto \frac{V}{f} \qquad V_{50} = V_{60}\cdot\frac{50}{60} \qquad n_{50} = \frac{5}{6} n_{60} \qquad P_{50} \approx \frac{5}{6} P_{60}$$

| 60 Hz nameplate | Suitable voltage at 50 Hz | Usable on a 400 V system? |

| 460 V 60 Hz | 383 V | Yes (380–400 V), speed −17 %, power −17 % |

| 380 V 60 Hz (some Japanese/Korean models) | 317 V | Not advisable: 400 V is 26 % too high, flux saturates, overheating |

| 230 V 60 Hz | 192 V | No — needs a transformer or a VFD |

The most flexible solution is a VFD: you can set the base frequency and base voltage directly to the 60 Hz nameplate (see VFD principles).

## Power-quality problems that affect motors

- Phase loss (single phasing): one fuse blows or a contact burns. A running motor keeps running with ~1.7 times the current in the two remaining phases and cannot restart → use an overload with phase-loss detection or a phase-protection relay.

- Voltage sags: AC contactors may drop out when the coil voltage falls below ~60 %, stopping a whole line — think about safe automatic restart.

- Harmonics: from drives and electronic loads; they add heating in direct-on-line motors and put PF-correction capacitors at risk of resonance (see True PF and harmonics (Thai)).

## Frequently asked questions

Is there a difference between 220 V and 230 V mains?
It is the same system with its nominal value changed under IEC 60038 from 220/380 V to 230/400 V. Equipment designed to IEC works on both because they fall within the ±10 % tolerance. The real voltage on site is usually between 215 and 240 V.

Can a 60 Hz motor from the USA run on 50 Hz?
Yes, if the voltage is reduced in proportion to frequency (keeping V/f the same). A 460 V 60 Hz motor, for example, can run at 380–400 V 50 Hz, with speed and power reduced to 5/6. A 230 V 60 Hz motor would need 190 V at 50 Hz, which our systems do not provide; fed with 230 V 50 Hz its flux is 20 % too high and it overheats.

Does a three-phase motor need the N conductor?
No. A three-phase motor is connected to L1, L2, L3 and the PE earth only. The N conductor is used for 230 V control circuits or single-phase loads.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Is there a difference between 220 V and 230 V mains?**
It is the same system with its nominal value changed under IEC 60038 from 220/380 V to 230/400 V. Equipment designed to IEC works on both because they fall within the ±10 % tolerance. The real voltage on site is usually between 215 and 240 V.

**Can a 60 Hz motor from the USA run on 50 Hz?**
Yes, if the voltage is reduced in proportion to frequency (keeping V/f the same). A 460 V 60 Hz motor, for example, can run at 380–400 V 50 Hz, with speed and power reduced to 5/6. A 230 V 60 Hz motor would need 190 V at 50 Hz, which our systems do not provide; fed with 230 V 50 Hz its flux is 20 % too high and it overheats.

**Does a three-phase motor need the N conductor?**
No. A three-phase motor is connected to L1, L2, L3 and the PE earth only. The N conductor is used for 230 V control circuits or single-phase loads.

---

# VFD Setup and Applications: Basic Parameters, Multi-Step Speeds, 0–10 V / 4–20 mA, Constant-Pressure PID Pumps and Energy Savings from the Affinity Laws

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/vfd-applications/
Updated: 2026-10-14
Summary: A 12-step VFD commissioning procedure that works for any brand: nameplate data, auto-tune, acceleration and deceleration times, command sources, preset speeds from digital inputs, 0–10 V and 4–20 mA analog inputs, constant-pressure water pumps with the drive's built-in PID, conveyors, fans, the affinity laws Q ∝ n, H ∝ n², P ∝ n³, calculating energy savings and payback, temperature derating in hot and humid climates, bypass, and common fault codes.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.13 · AC Motor Control · VFD Setup & Applications

# VFD Setup and Applications: Basic Parameters, Multi-Step Speeds, 0–10 V / 4–20 mA, Constant-Pressure PID Pumps and Energy Savings from the Affinity Laws

Every drive manufacturer names its parameters differently, but what has to be set is the same on every brand. This page gives a commissioning sequence that works in general, the most common applications, and how to prove with numbers whether a VFD is worth the money.

In 30 seconds

- Enter the full nameplate data, then auto-tune before doing anything else

- Ramp times too short → OC/OV trips · too long → sluggish response

- Analog: $f = f_{min} + (f_{max} - f_{min})\cdot\frac{x - x_0}{x_1 - x_0}$

- Pumps and fans: $P \propto n^3$ — cut speed by 20 % and power falls to ~51 % (with no static head)

- Hot, humid climate: check the temperature inside the panel and derate per the manual

## The 12-step setup Basic

- Reset to factory defaults (when reusing a drive that has been used before)

- Motor data: voltage, current, power, frequency, speed and cos φ from the nameplate (for the Y/Δ connection actually used)

- Auto-tune: static (stationary) if the load cannot be uncoupled, rotating if it can

- Control mode: V/f for pumps and fans or several motors · vector for high torque at low speed

- Minimum and maximum frequency: e.g. 20–50 Hz for a pump (below that the water will not rise)

- Acceleration and deceleration times: start at 5–10 s and adjust (see P1)

- Stop method: ramp (decelerate over time) or coast (free-wheel) — large fans usually coast

- Command source: keypad / terminals (DI) / communication (Modbus) · speed source: keypad / AI / preset / bus

- Digital inputs: RUN FWD, RUN REV, reset, preset speed, external fault

- Analog input: type (0–10 V or 4–20 mA) and scaling (see P2)

- Outputs: fault/run relays to pilot lamps or the PLC · AO showing frequency or current

- Test: run uncoupled, check the direction of rotation (it can be reversed by a parameter), apply load, measure current, record every setting

Parameter names with the same function (examples of terms manufacturers use)

| Function | Terms found in manuals |

| Motor rated current | Motor rated current · Rated motor current · Nominal current |

| Acceleration / deceleration time | Acceleration time · Ramp-up time · Accel 1 / Decel 1 |

| Run command source | Run command source · Control place · Operation mode |

| Frequency source | Frequency reference · Speed setpoint source |

| Switching frequency | Carrier frequency · PWM frequency · Switching frequency |

P1 Minimum ramp time without tripping

$$t_{acc,min} \approx \frac{J\,\omega_n}{T_{lim} - \overline{T_L}} \qquad T_{lim} \approx 1.5\,T_n\ \ (\text{set by the drive current limit})$$

P2 Analog reference scaling

$$f = f_{min} + (f_{max} - f_{min})\,\frac{x - x_0}{x_1 - x_0} \qquad x: 0\text{–}10\ \text{V or } 4\text{–}20\ \text{mA}$$

Example P-1

### A PLC sends 12 mA to a pump set for a 20–50 Hz range

- P2: $f = 20 + 30\,(12 - 4)/(20 - 4) = 20 + 15 = 35$ Hz

- If the 4–20 mA wire breaks, the signal becomes 0 mA — set the drive to detect “signal loss” (< 2–3 mA) and then stop or run at a fallback speed, instead of interpreting it as 20 Hz

## Multi-step speeds from digital inputs Basic

Two or three digital inputs select preset speeds in binary. This suits conveyors or mixers that need only a few speeds, and they can be commanded from a selector switch or a PLC without any analog signal.

| DI3 | DI4 | Resulting speed | Example value |

| 0 | 0 | Main reference (keypad/AI) | 50 Hz |

| 1 | 0 | Preset 1 | 15 Hz (jog/positioning) |

| 0 | 1 | Preset 2 | 30 Hz |

| 1 | 1 | Preset 3 | 45 Hz |

## Constant-pressure water pumping with the drive's PID Intermediate

A building booster water system uses a 4–20 mA pressure transmitter wired to the drive's AI. You set the target (e.g. 3.5 bar) and the drive computes PID and adjusts the frequency to hold the pressure constant even as water demand changes. Functions you should set:

- Sleep / wake-up: when there is no demand, the frequency falls to a low value; after it stays there longer than a set time the drive stops the pump, and it restarts when the pressure drops a set amount below the target

- Dry-run protection: abnormally low current or power at high frequency = the pump is running dry; stop and raise an alarm

- Pipe fill: fill the pipework slowly at start-up to prevent water hammer

- Multi-pump: many drives can start a second pump (DOL or another drive) when demand exceeds one pump

PID theory and tuning are in Control systems: PID (Thai), and an example of a PLC commanding a VFD is in PLC analog, PID and VFD.

## The affinity laws and energy savings Intermediate

Figure 1 · Left: the affinity laws · Right: at 80 % flow, throttling with a valve still uses about 90 % power, while a VFD uses about 55 %

P3 Affinity law — flow

$$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{n_2}{n_1}$$

P4 Affinity law — head

$$\frac{H_2}{H_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2$$

P5 Affinity law — power

$$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^3$$

P6 System with static head

$$H_{sys} = H_{st} + kQ^2 \qquad \frac{n}{n_1} \approx \sqrt{h_0 + (1 - h_0)q^2} \quad (h_0 = H_{st}/H_1,\ q = Q/Q_1)$$

P7 Energy saved per year

$$\Delta E = (P_{throttle} - P_{VFD})\,h \qquad \text{money} = \Delta E \times \text{tariff per kWh}$$

P8 Simple payback

$$t_{payback} = \frac{\text{installed VFD cost}}{\text{savings per year}}$$

Example P-2

### A 30 kW ventilation fan runs 6,000 h/year at an average 75 % flow; electricity costs 4.5 baht/kWh

- Damper throttling: $P \approx 30(0.55 + 0.45 \times 0.75) = 26.6$ kW

- VFD (P5, no static head): $30 \times 0.75^3 / 0.97 + 0.6 = 13.6$ kW (including drive losses)

- P7: $\Delta E = (26.6 - 13.6)(6000) = 78{,}000$ kWh/year ≈ 351,000 baht/year

- P8: installed drive 180,000 baht → payback ~0.5 year

## Installing in a hot, humid climate Intermediate

- Most drives are rated at 40 °C ambient (some at 50 °C); above that, derate by about 1–2.5 %/°C per the manual — the inside of a panel standing in the tropical sun can exceed 50 °C

- Above 1000 m altitude, derate ~1 % per 100 m

- High humidity and condensation: fit anti-condensation heaters in panels that stand idle for long periods, and choose conformally coated boards (3C2/3C3)

- Cooling: drive losses are ~2–3 % of rated power and must be included when sizing the panel fan (see K7)

## Bypass and multiple motors Advanced

Critical duties (a fire pump must never rely on a VFD as its only path; main wastewater pumps) may need a bypass: contactor KM-VFD (on the drive output) and KM-BYP (from the mains straight to the motor), interlocked both electrically and mechanically, switching over only when the drive has stopped and the motor is de-energised, and with an overload relay for the bypass path. One drive can run several motors at once in V/f mode, provided the drive is sized ≥ 1.1 × the sum of the motor currents and each motor has its own overload relay.

## Common fault codes

| Code (typical) | Meaning | Cause / remedy |

| OC / Overcurrent | Instantaneous overcurrent | Accelerating too fast, shorted motor cable, no auto-tune, boost too high |

| OV / DC overvoltage | DC bus too high | Decelerating too fast, overhauling load, high supply voltage → increase decel time or fit a braking resistor |

| UV / Undervoltage | DC bus too low | Supply dip, lost input phase, blown input fuse |

| OH / Overtemperature | Heatsink too hot | Failed drive fan, hot panel, clogged with dust, high switching frequency |

| OL / Motor overload | Motor thermal model full | Overload, long running at low speed and high torque, wrong motor current setting |

| GF / Earth fault | Earth leakage on the output | Deteriorated cable or motor insulation, moisture in the terminal box |

| PHL / Input phase loss | Input phase missing or unbalanced | Check fuses, terminals and the three-phase voltages |

## Frequently asked questions

How much energy do I save by running a pump at half speed?
By the affinity laws, in a system with no static head the power falls to (0.5)³ = 12.5 %, a saving of almost 88 %. A real system that must lift water to a height has to keep a certain minimum speed to overcome the static head, so it saves much less. Use the system curve, or the calculator on this page, which accepts a static-head fraction.

My VFD trips on OC (overcurrent) during acceleration. How do I fix it?
Increase the acceleration time, check that the motor current and power are entered correctly and that auto-tune has been done, check the motor cable for short circuits or earth leakage, and see whether the load is mechanically jammed. If the load genuinely has high inertia, you may need a drive with a heavy-duty rating.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**How much energy do I save by running a pump at half speed?**
By the affinity laws, in a system with no static head the power falls to (0.5)³ = 12.5 %, a saving of almost 88 %. A real system that must lift water to a height has to keep a certain minimum speed to overcome the static head, so it saves much less. Use the system curve, or the calculator on this page, which accepts a static-head fraction.

**My VFD trips on OC (overcurrent) during acceleration. How do I fix it?**
Increase the acceleration time, check that the motor current and power are entered correctly and that auto-tune has been done, check the motor cable for short circuits or earth leakage, and see whether the load is mechanically jammed. If the load genuinely has high inertia, you may need a drive with a heavy-duty rating.

---

# Variable-Frequency Drives (VFDs) for Motors: Rectifier, DC Bus, IGBT PWM, V/f and Vector Control, and Correct Wiring

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/motor-control/vfd/
Updated: 2026-10-14
Summary: How a variable-frequency drive works for 400 V 50 Hz motors: six-diode rectifier, 540–565 V DC bus, IGBT PWM inverter, constant V/f control, voltage boost, field weakening, sensorless vector control, input and output wiring, shielded cable and EMC, cable length and dv/dt, Type B RCDs, braking resistors, single-phase-in three-phase-out drives, and what must never be connected on the output.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 21.12 · AC Motor Control · VFD Principles

# Variable-Frequency Drives (VFDs) for Motors: Rectifier, DC Bus, IGBT PWM, V/f and Vector Control, and Correct Wiring

A contactor can only switch a motor on or off. A VFD creates a new three-phase supply whose frequency and voltage are both adjustable, so the motor can run at any speed with controlled current. This page explains what is inside the box, why V/f must be held constant, and the wiring rules that let a drive run for years without disturbing other systems.

In 30 seconds

- AC 400 V → rectifier → DC bus ≈ 540–565 V → IGBT PWM → AC 0–400 V, 0–50 Hz (or higher)

- Hold V/f = 8 V/Hz to keep the flux constant → full torque at every speed below 50 Hz

- Above 50 Hz the voltage stays constant, the flux falls and torque falls as 1/f

- Output side: no capacitors, never switch a contactor while running, shielded cable earthed 360°

- A single-phase 230 V supply can drive a 230/400 V motor connected in Δ

## Inside a VFD Basic

Figure 1 · Three parts: the rectifier (AC → DC), the DC bus with its capacitors (energy storage) and the IGBT inverter (DC → AC at adjustable frequency)

V1 DC bus voltage

$$V_{dc} \approx 1.35\,V_L = 540\ \text{V (loaded)} \qquad V_{dc,0} = \sqrt2\,V_L = 566\ \text{V (no load)}$$

Six IGBTs switch at 2–16 kHz to produce voltage pulses whose width varies sinusoidally (PWM). The motor, being an inductance, filters out the pulses, so the current is nearly sinusoidal. A higher switching frequency makes the motor quieter but heats the IGBTs more (derating is required).

V2 Maximum output voltage

$$V_{LL,rms} = 0.612\,m\,V_{dc}\ (\text{SPWM}, m \le 1) \qquad V_{LL,max} \approx 0.707\,V_{dc}\ (\text{SVPWM})$$

With $V_{dc}$ = 540 V the maximum SVPWM output voltage is ≈ 382 V, slightly below 400 V, so drives use over-modulation near base frequency. If the supply is low (e.g. 380 V), the motor at 50 Hz receives less than its nameplate voltage and the current at full load is slightly higher.

## V/f control Intermediate

The flux in the iron core is proportional to $V/f$. If the frequency is reduced without reducing the voltage, the core saturates and the current soars; if the voltage is reduced too much, the flux weakens and torque is lost. The drive therefore holds the ratio constant up to the base frequency (from the motor nameplate). At low frequency the voltage drop across R₁ becomes a large fraction, so the voltage is raised slightly (boost).

Figure 2 · Below 50 Hz: constant torque, power rises with speed · Above 50 Hz: constant voltage, constant power, torque falls as 1/f

V3 Constant V/f

$$V(f) = V_n\frac{f}{f_n} + V_{boost}\left(1 - \frac{f}{f_n}\right) \qquad \frac{V_n}{f_n} = \frac{400}{50} = 8\ \text{V/Hz}$$

V4 Speed with a VFD

$$n = \frac{120 f}{p} - \Delta n \qquad \Delta n \approx s_n\,n_{s,n}\ \ (\text{constant at rated torque})$$

V5 Field weakening (f > f_n)

$$T_{cont} \approx T_n\,\frac{f_n}{f} \qquad T_{max} \approx T_{max,n}\left(\frac{f_n}{f}\right)^2 \qquad P \approx P_n$$

Example V-1

### A 7.5 kW, 4-pole, 1470 rpm motor at 30 Hz and 60 Hz

- V3 (ignoring boost): 30 Hz → $V = 8 \times 30 = 240$ V · 60 Hz → voltage held at 400 V

- V4: rated speed drop $\Delta n = 1500 - 1470 = 30$ rpm → 30 Hz: $n = 900 - 30 = 870$ rpm · 60 Hz: $n \approx 1800 - 35 \approx 1765$ rpm (in field weakening the slip at rated power rises slightly)

- V5: at 60 Hz the continuous torque ≈ $48.7 \times 50/60 = 40.6$ N·m; power is still ~7.5 kW, but the maximum torque falls to $(5/6)^2 = 69\,\%$

- At 30 Hz the full 48.7 N·m is available electrically, but the shaft-mounted fan turns at 60 % speed and cools less; with a constant-torque load the motor must be derated

### V/f versus sensorless vector control

V/f simply commands a voltage and frequency without knowing what the motor is doing. It suits pumps and fans and can drive several motors in parallel. Vector control (FOC) estimates flux and torque from the measured currents and controls the flux-producing and torque-producing currents separately, giving high torque at low speed (150 % at 1 Hz) and fast response — suited to conveyors, mixers and hoists. It requires auto-tuning so the drive can measure the motor parameters before use, and works with one motor per drive.

JavaScript is needed for the simulator

## Wiring Basic

Figure 3 · Terminal names differ between brands but the functions are the same: R S T (L1 L2 L3) input, U V W output, digital inputs, analog inputs, fault relay and braking-resistor terminals

### Power-side rules

- Feed the input through the MCCB or fuses specified in the manual (gG/gR fuses protect IGBTs/diodes better). An input contactor (if fitted) is for isolation, not for run/stop (use the digital inputs), because the DC bus capacitors charge every time power is applied

- No separate overload is needed: the drive protects the motor with a thermal model once the nameplate current is entered correctly (except where several motors share one drive — then each motor needs its own overload)

- Use symmetrical shielded motor cable with the shield bonded to earth 360° at the clamps at both ends; the motor PE conductor returns to the drive's PE terminal

- Keep motor cables at least 20–30 cm from signal cables; where they must cross, cross at right angles

- For cables longer than the manual allows (often about 50–100 m for shielded cable), use an output reactor, dv/dt filter or sine filter

Never on the U V W output: no power-factor correction capacitors or snubbers · never open or close a contactor while the drive is delivering output · never apply mains to U V W (e.g. a bypass without an interlock) · never insulation-test with a megger while the cable is still connected to the drive

### The DC bus is dangerous even after switch-off

The DC bus capacitors hold a charge of 540–565 V for several minutes after power is removed. The manual specifies a waiting time (often 5–15 minutes), and you must confirm by measuring at the DC+ and DC− terminals before touching anything.

## EMC, leakage current and RCDs Intermediate

The steep voltage edges of PWM (thousands of volts per microsecond) drive high-frequency current through the capacitance of the cable and motor to earth and radiate interference. An input EMC filter prevents interference from flowing back into the supply, but increases the earth leakage current.

- Three-phase drives can produce smooth DC leakage current, so a Type B RCD is required · single-phase drives use Type F or Type B

- On an IT system (unearthed), the Y capacitors of the internal filter must be disconnected as described in the manual

- Bearing currents from common-mode voltage cause fluting of the bearings in large motors; use insulated bearings or a shaft earthing brush

## Braking and braking resistors Advanced

When the drive is told to decelerate faster than the load would coast to a stop, the motor becomes a generator and energy flows back into the DC bus. A diode rectifier cannot return it to the mains, so the bus voltage rises until the drive trips on “DC overvoltage”. Remedies: lengthen the deceleration time, use a braking resistor via a brake chopper, or use a regenerative (AFE) drive.

V6 Braking resistor

$$E = \tfrac12 J(\omega_1^2 - \omega_2^2) \qquad P_{peak} \approx \frac{J\,\omega_1\,\Delta\omega}{t_{dec}} \qquad R \le \frac{V_{br}^2}{P_{peak}},\ R \ge R_{min}$$

Example V-2

### A fan with J = 2.2 kg·m² decelerated from 1470 rpm to 0 in 10 s

- $\omega_1 = 2\pi(1470)/60 = 154$ rad/s · $E = \tfrac12(2.2)(154^2) = 26.1$ kJ (some is lost to air drag, so this is the worst case)

- V6: $P_{peak} \approx 2.2(154)(154)/10 = 5.2$ kW

- The chopper operates at $V_{br} \approx 760$ V (typical for a 400 V drive) → $R \le 760^2/5{,}200 = 111\ \Omega$, and it must not be less than the $R_{min}$ in the manual · The average power depends on how often braking occurs; it is not 5.2 kW continuously

## Single-phase-in, three-phase-out drives Basic

Homes, farms and shops that have only a single-phase 230 V supply can use a drive with a single-phase input (L N terminals) and a three-phase 230 V output to run three-phase motors up to about 2.2–3 kW. The motor must be a 230/400 V type connected in Δ so that each winding receives 230 V. The advantages are higher starting torque than a single-phase capacitor motor, adjustable speed and low starting current. The limitation is that the input current is peaky (low true power factor), so the input breaker must be chosen according to the manual.

## Frequently asked questions

Can I put a contactor between the VFD and the motor?
Only for isolation or bypass, and it may be opened or closed only when the drive is not delivering output (command a stop and wait for the output to switch off first). Opening the output while current flows causes voltage spikes that destroy the IGBTs and the contacts, and closing it while the drive is running causes a current surge that trips the drive.

Why does the residual-current device trip when a VFD is installed?
The EMC filter and the capacitance of the shielded cable cause high-frequency leakage current to earth, and DC leakage is also possible. Use an RCD designed for drives (Type B for three-phase drives, Type F for single-phase drives), rated 30 mA only where needed for personal protection, or 100–300 mA for fire protection, following the manufacturer's recommendations.

Can a VFD be used with an old motor?
Usually yes, but fast IGBT switching produces high peak voltages at the motor terminals when the cable is long, and the insulation of an old motor may not withstand them. Keep the cable short, use a dv/dt filter or sine filter for long runs, and check cooling when running at low speed.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Can I put a contactor between the VFD and the motor?**
Only for isolation or bypass, and it may be opened or closed only when the drive is not delivering output (command a stop and wait for the output to switch off first). Opening the output while current flows causes voltage spikes that destroy the IGBTs and the contacts, and closing it while the drive is running causes a current surge that trips the drive.

**Why does the residual-current device trip when a VFD is installed?**
The EMC filter and the capacitance of the shielded cable cause high-frequency leakage current to earth, and DC leakage is also possible. Use an RCD designed for drives (Type B for three-phase drives, Type F for single-phase drives), rated 30 mA only where needed for personal protection, or 100–300 mA for fire protection, following the manufacturer's recommendations.

**Can a VFD be used with an old motor?**
Usually yes, but fast IGBT switching produces high peak voltages at the motor terminals when the cable is long, and the insulation of an old motor may not withstand them. Keep the cable short, use a dv/dt filter or sine filter for long runs, and check cooling when running at low speed.

---

# PLC Automation

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/
Updated: 2026-10-14
Summary: A complete PLC course: what a PLC is, the scan cycle, input and output wiring with PNP, NPN, sinking and sourcing, ladder diagrams, timers, counters, the IEC 61131-3 languages (LD, FBD, ST, SFC), DOL, reversing and star–delta motor control, sequential control, 4–20 mA analog and PID, commanding VFDs over Modbus, commissioning and machine safety, with an in-browser ladder simulator.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 22 · PLC Automation · electrician → student → engineer

# PLC Automation

A PLC (Programmable Logic Controller) replaces panels of hundreds of relays with a program you can edit. This course runs from how a PLC scans, through wiring PNP/NPN sensors correctly, writing ladder logic, timers and counters, to motor control, star–delta, sequential systems, analog and PID, and commanding VFDs. Every example can be tried straight away in the simulator on the page. There are formulas with citable IDs and worked examples.

In 30 seconds

- A PLC repeats three things every few milliseconds: read inputs → run the program → write outputs

- Ladder: series = AND · parallel = OR · NC = NOT · a self-holding rung works like a contactor

- A PNP sensor pairs with a sinking input (COM to 0 V) · NPN pairs with sourcing

- STOP and emergency-stop buttons are wired NC, and critical interlocks must stay in hardware

- IEC 61131-3 timers TON, TOF, TP and counters CTU, CTD work on every brand

## Learning path by level

Level 1 · electrician · vocational

### Wire it and write ladder logic
What a PLC is, I/O wiring, ladder, self-holding, timers, counters
Fundamentals → I/O wiring → Ladder → Timers

Level 2 · technician · programmer

### Real factory work
Motor control, sequential control, analog, commanding VFDs, commissioning
Motor control → Sequential control → Analog · PID

Level 3 · engineering student · engineer

### System-level design
Boolean algebra, state machines, SFC, ST, response time, discrete PID, functional safety
IEC 61131-3 → SFC → Safety

## Try it: a star–delta PLC in your browser

Press START (I0.1) and watch the green power flow through the ladder. Timer T1 counts 6 seconds, K2 (star) drops out, there is an 80 ms dead time, then K3 (delta) pulls in. Choose another example from the menu, or open “Edit the program” to write your own. The full simulator with worksheets is at Ladder simulator.

JavaScript is needed for the simulator

## Key equations used throughout

H1 Worst-case response

$$t_{resp,max} \approx t_{in} + 2\,t_{scan} + t_{out}$$

H2 Latch rung

$$Q = \overline{\text{STOP}}\cdot(\text{START} + Q) \;\;\equiv\;\; \text{STOP wired NC → NO contact in the program}$$

H3 On-delay timer

$$Q_{TON} = IN \wedge (ET \ge PT) \qquad ET \le PT$$

H4 Analog scaling

$$y = y_{min} + (x - x_{min})\,\frac{y_{max} - y_{min}}{x_{max} - x_{min}}$$

## PLCs found in the region and their address notation

| Brand (example models) | Input | Output | Memory | Software |

| IEC 61131-3 (standard) | %IX0.0 | %QX0.0 | %MX0.0 | CODESYS and others |

| Siemens (S7-1200/1500) | I0.0 | Q0.0 | M0.0 | TIA Portal |

| Mitsubishi (FX5U, iQ-R) | X0 | Y0 | M0 | GX Works3 |

| Omron (CP1, NX/NJ) | 0.00 | 100.00 | W0.00 | CX-Programmer / Sysmac Studio |

| Delta (DVP, AS) | X0 | Y0 | M0 | ISPSoft |

| Rockwell (Micro800, CompactLogix) | _IO_EM_DI_00 / tag | _IO_EM_DO_00 / tag | tag | CCW / Studio 5000 |

This course uses Siemens-style I0.0 / Q0.0 / M0.0 addresses because they are easy to read and translate directly to other brands.

## Every page in this course

Part 1

### PLC Basics & Hardware
What a PLC is, its architecture, the scan cycle, IEC 61131 and PNP/NPN input-output wiring

CPU22.1
What a PLC is: CPU, memory and I/O architecture, the scan cycle, scan time, IEC 61131 and choosing a PLC
What a PLC is
From relays to PLCs, architecture, the input–program–output scan, scan and response time, compact, modular and safety PLCs, PLC vs relays vs microcontrollers, and brands used in the region
Open →Formulas F1, F2, …

24V22.2
Wiring PLC inputs and outputs: sinking and sourcing, PNP/NPN sensors, relay vs transistor outputs, inductive loads and the 24 VDC supply
Wiring PLC inputs and outputs
24 VDC inputs per IEC 61131-2, sink vs source, 3-wire PNP/NPN and 2-wire sensors, relay, transistor and triac outputs, diodes and RC snubbers, interposing relays, 4–20 mA analog and power-supply sizing
Open →Formulas W1, W2, …

Part 2

### Programming
Ladder logic, timers, counters and the five IEC 61131-3 languages, with the same program in several languages

┤├22.3
Ladder diagram basics: NO and NC contacts, coils, AND, OR, self-holding, SET/RESET, edges and Boolean algebra
Ladder diagram basics
Reading ladder like a relay circuit, truth tables, why a STOP button wired NC is programmed with an NO contact, double coils, rising and falling edges, and Mitsubishi, Omron, Siemens and IEC addressing
Open →Formulas B1, B2, …

TON22.4
IEC 61131-3 timers and counters: TON, TOF, TP, CTU, CTD and CTUD with timing diagrams and real examples
IEC 61131-3 timers and counters
On-delay, off-delay, pulse, flasher circuits, part counting, reset, high-speed counters and scan-time pitfalls
Open →Formulas T1, T2, …

ST22.5
PLC programming languages in IEC 61131-3: LD, FBD, ST, SFC and IL — one program in several languages, data types and when to use which
PLC programming languages in IEC 61131-3
Ladder, function block diagram, Structured Text and Sequential Function Chart, data types BOOL INT REAL TIME, user function blocks, and choosing a language
Open →Formulas L1, L2, …

Part 3

### Industrial Applications
Motor control with a PLC, sequential control, analog and PID, and commanding a VFD

M22.6
Motor control with a PLC: DOL, reversing, star–delta, I/O lists, wiring, hard-wired interlocks and contactor feedback monitoring
Motor control with a PLC
Translating contactor circuits into ladder and ST, what must stay in hardware, overload inputs, detecting welded contactors, and a complete PLC star–delta drawing
Open →Formulas M1, M2, …

SFC22.7
Sequential control: state machines, SFC/GRAFCET, traffic lights, sorting conveyors and batch mixing tanks
Sequential control
Designing with state diagrams, steps and transitions, implementing in ladder with SET/RESET and in ST with CASE, auto/manual modes, emergency stop and homing
Open →Formulas S1, S2, …

PID22.8
Analog, PID and commanding VFDs from a PLC: 4–20 mA scaling, the PID block, constant-pressure pumping and Modbus RTU
Analog, PID and commanding VFDs from a PLC
Scaling raw counts to engineering units, wire-break detection, positional PID and tuning, commanding a VFD by digital, analog and Modbus RTU, with a sample register map
Open →Formulas P1, P2, …

Part 4

### Commissioning, Safety & Lab
Commissioning procedure, machine safety, troubleshooting and an in-browser ladder simulator

⚠22.9
PLC commissioning, machine safety and troubleshooting: loop checks, forcing, emergency stop, IEC 60204-1, ISO 13849 and documentation
PLC commissioning, machine safety and troubleshooting
Pre-power checks, point-by-point I/O tests, the dangers of forcing, stop categories 0/1/2, safety relays, PL and SIL, program backups and a troubleshooting flow
Open →Formulas K1, K2, …

▶22.10
In-browser PLC ladder simulator: write a program, watch power flow, timers and counters, with ready-made examples
In-browser PLC ladder simulator
Edit the program as text, see it drawn as ladder automatically, toggle inputs and watch the scan, TON TOF CTU SET RESET and edges, with DOL, reversing, star–delta, traffic light and tank examples and worksheets
Open →Simulator + worksheets

## Search every formula in one place

Prefixes: H overview · F fundamentals · W I/O wiring · B ladder · T timers/counters · L languages · M motors · S sequential · P analog/PID · K commissioning/safety

## Related on this site

- AC Motor Control — every contactor circuit that this course rewrites as ladder logic

- 4–20 mA signals and HART (Thai) · Modbus RTU/TCP (Thai) · Virtual instrumentation lab with a PLC (Thai)

- Control systems: PID (Thai) — the theory behind the PLC's PID block

## Standards and references

- IEC 61131-1 (overview) · IEC 61131-2 (hardware, 24 VDC input types) · IEC 61131-3 (programming languages)

- IEC 60204-1 (electrical equipment of machines, stop categories) · ISO 13849-1 / IEC 62061 (functional safety of machinery)

- IEC 60848 (GRAFCET) · Modbus Application Protocol Specification (Modbus Organization)

- F. D. Petruzella, Programmable Logic Controllers · W. Bolton, Programmable Logic Controllers · PLC manufacturers' manuals

## Frequently asked questions

What should I know before learning PLCs?
You should understand contactor control circuits (self-holding, interlocks, timers), because ladder logic is designed to read like a relay circuit, and basic 24 VDC and 230 VAC electrics so you can wire I/O correctly. All of this is covered in the motor-control course on this site.

Which PLC brand should I start with?
The principles are the same for every brand because they follow IEC 61131. Choose a brand used in the factories or schools near you, and one with free software and a simulator. In this region Mitsubishi, Omron, Siemens, Delta, Schneider, Rockwell and Keyence are common.

How is a PLC different from an Arduino or a microcontroller?
A PLC is designed for the factory environment: noise-immune, isolated 24 VDC I/O, a predictable scan, self-diagnostics, standardised languages, modules that can be serviced and replaced in use, and certification to industrial standards. A microcontroller is more flexible and cheaper, but the user has to build all that robustness themselves.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**What should I know before learning PLCs?**
You should understand contactor control circuits (self-holding, interlocks, timers), because ladder logic is designed to read like a relay circuit, and basic 24 VDC and 230 VAC electrics so you can wire I/O correctly. All of this is covered in the motor-control course on this site.

**Which PLC brand should I start with?**
The principles are the same for every brand because they follow IEC 61131. Choose a brand used in the factories or schools near you, and one with free software and a simulator. In this region Mitsubishi, Omron, Siemens, Delta, Schneider, Rockwell and Keyence are common.

**How is a PLC different from an Arduino or a microcontroller?**
A PLC is designed for the factory environment: noise-immune, isolated 24 VDC I/O, a predictable scan, self-diagnostics, standardised languages, modules that can be serviced and replaced in use, and certification to industrial standards. A microcontroller is more flexible and cheaper, but the user has to build all that robustness themselves.

---

# Analog, PID and Drive Control with a PLC: 4–20 mA Scaling, the PID Block, a Constant-Pressure Pump and Modbus RTU

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/analog-pid-vfd/
Updated: 2026-10-14
Summary: Analog work in a PLC from start to finish: ADC resolution, scaling raw counts to engineering units (Siemens 0–27648, Mitsubishi, Omron), wire-break detection per NAMUR NE 43, the positional and discrete PID block, Kp Ti Td settings, basic tuning, a constant-pressure pump example, and commanding a VFD by digital, analog and Modbus RTU signals with an example register map, control and status words, and frequency in 0.01 Hz units.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 22.8 · PLC · Analog, PID & VFD

# Analog, PID and Drive Control with a PLC: 4–20 mA Scaling, the PID Block, a Constant-Pressure Pump and Modbus RTU

The real world is not just 0 and 1: pressure, level, temperature and motor speed are continuous quantities. This page goes from the raw number in an analog module to a pressure-control loop that commands a drive — the most common job in buildings and factories.

In 30 seconds

- Scaling: $y = y_{min} + (x - x_{min})(y_{max} - y_{min})/(x_{max} - x_{min})$, computed in REAL

- Below 3.6 mA or above 21 mA is a fault, not a measurement

- PID: $u = K_p\left(e + \frac{1}{T_i}\int e\,dt + T_d\frac{de}{dt}\right)$ · start tuning with PI

- Commanding a VFD: DI + AI is simplest · Modbus returns data (current, faults) over a single pair

## From raw counts to engineering units Basic

Figure 1 · A 0–10 bar, 4–20 mA pressure transmitter into an analog module that returns raw counts of 0–27648

P1 Linear scaling

$$y = y_{min} + (x - x_{min})\,\frac{y_{max} - y_{min}}{x_{max} - x_{min}}$$

P2 Resolution per raw count

$$\Delta y = \frac{y_{max} - y_{min}}{x_{max} - x_{min}} \qquad \text{e.g. } \frac{10\ \text{bar}}{27648} = 0.36\ \text{mbar}$$

P3 Signal validity (NAMUR NE 43)

$$3.8 \le I \le 20.5\ \text{mA: valid measurement} \qquad I \le 3.6 \text{ or } I \ge 21\ \text{mA → fault}$$

Example P-1

### Scaling a raw value of 13824 with INT gives zero

- Wrong: Bar := Raw / 27648 * 10; in INT → 13824/27648 = 0 (truncated) → 0 bar

- Also wrong: Raw * 10 / 27648 in INT → 27648 × 10 = 276480 overflows INT

- Right: Bar := INT_TO_REAL(Raw) * 10.0 / 27648.0; → 5.0 bar

- Check P3: Siemens modules return negative raw values when the current is below 4 mA (down to −4864 ≈ 1.185 mA), and with wire-break diagnostics enabled they report a special value (32767) — check both the raw range per P3 and the module's status bits.

## The PID block in a PLC Intermediate

Figure 2 · Constant-pressure loop: SP − PV = e → PID → frequency → VFD → pump → pressure → transmitter

P4 PID (standard form)

$$u(t) = K_p\left(e + \frac{1}{T_i}\int_0^t e\,d\tau + T_d\,\frac{de}{dt}\right) \qquad e = SP - PV$$

P5 Discrete PID (sample time $T_s$)

$$u_k = K_p\left(e_k + \frac{T_s}{T_i}\sum_{j=0}^{k} e_j - \frac{T_d}{T_s}(PV_k - PV_{k-1})\right)$$

The derivative term uses PV instead of e (derivative on measurement) so the output does not kick when SP changes, and anti-windup is needed: when the output hits its limit (e.g. 50 Hz), stop accumulating the integral. Most pump and fan loops use PI only (Td = 0) because pressure signals are noisy.

### Initial tuning for a constant-pressure pump

- Start with a small Kp (e.g. 0.5 of full scale), a long Ti (e.g. 5 s) and Td = 0

- Increase Kp until it starts to oscillate, then halve it

- Reduce Ti gradually until the value returns to setpoint quickly enough without oscillating (typically 1–5 s for water pressure)

- Test by actually opening and closing taps, watching both the dip and the overshoot

Try the effect of Kp, Ti and Td in the PID lab (Thai), and a pressure loop with a VFD pump in the virtual instrumentation lab (Thai).

## Commanding a drive from the PLC Intermediate

| Method | Wiring | Advantages | Limitations |

| Digital + preset speeds | Several DO → DI wires | Simple, noise-immune | Only a few speeds |

| Digital + analog | DO → RUN · AO → AI (4–20 mA) | Continuous adjustment, easy to understand | Feedback limited to what is wired (AO, relays) |

| Modbus RTU (RS-485) | One twisted pair, several drives | Read current, frequency and faults; set parameters | Communication settings needed; slower response with many stations |

| Industrial Ethernet | PROFINET, EtherNet/IP, Modbus TCP, EtherCAT | Fast, lots of data, full diagnostics | Needs a module and network configuration |

P6 Frequency setpoint over Modbus

$$\text{Reg} = \frac{f}{0.01\ \text{Hz}} \quad (35.5\ \text{Hz} \to 3550) \qquad \text{or} \quad \text{Reg} = \frac{f}{f_{max}}\times \text{Scale}_{100\%}$$

Example register map (hypothetical, for learning — every brand differs; use the real manual)

| Register | Name | Read/write | Value |

| 40001 | Control word | W | Bit 0 = RUN · bit 1 = REV · bit 2 = RESET |

| 40002 | Frequency reference | W | 0.01 Hz |

| 40011 | Status word | R | Bit 0 = Ready · bit 1 = Running · bit 3 = Fault |

| 40012 | Output frequency | R | 0.01 Hz |

| 40013 | Output current | R | 0.1 A |

| 40014 | Fault code | R | Code per the manual |

RS-485 wiring, CRC-16 calculation and a frame builder are in Modbus RTU · TCP (Thai). Remember: set the “communication timeout” in the drive so it stops if the PLC is silent for longer than the set time — otherwise, if the communication cable breaks, the drive keeps running at the last frequency.

Example P-2

### The PLC sends 4–20 mA to a VFD ranged 20–50 Hz; 42 Hz is wanted

- Invert P1: $I = 4 + 16\,(42 - 20)/(50 - 20) = 4 + 11.73 = 15.73$ mA

- If the analog output is 0–27648 = 4–20 mA: raw value $= 27648 \times 11.73/16 = 20275$

- Set the drive to treat AI below 2 mA as a broken wire and choose the response (stop / fallback speed)

## Frequently asked questions

Is it better to run PID in the PLC or in the VFD?
For a single loop where the transmitter can be wired straight into the VFD, the drive's own PID is simple, responds quickly and keeps working even if the PLC fails. If several pumps must be coordinated, there are many conditions, or the loop must be logged and adjusted from SCADA, PID in the PLC is more flexible.

What value do I send over Modbus to command 35.5 Hz?
It depends on the register units in the drive manual. Many drives use 0.01 Hz units, so you send 3550. Some use a fraction of maximum frequency, e.g. 0–16384 or 0–10000 = 0–100 %. Always read the manual and test with a low value first.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Is it better to run PID in the PLC or in the VFD?**
For a single loop where the transmitter can be wired straight into the VFD, the drive's own PID is simple, responds quickly and keeps working even if the PLC fails. If several pumps must be coordinated, there are many conditions, or the loop must be logged and adjusted from SCADA, PID in the PLC is more flexible.

**What value do I send over Modbus to command 35.5 Hz?**
It depends on the register units in the drive manual. Many drives use 0.01 Hz units, so you send 3550. Some use a fraction of maximum frequency, e.g. 0–16384 or 0–10000 = 0–100 %. Always read the manual and test with a low value first.

---

# PLC Commissioning, Machine Safety and Troubleshooting: Loop Checks, Forcing, Emergency Stop, IEC 60204-1, ISO 13849 and Documentation

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/commissioning-safety/
Updated: 2026-10-14
Summary: The steps for testing and commissioning a PLC system: pre-energisation checks, point-by-point I/O testing, analog loop checks, the dangers of forcing bits, program backup and version control, stop categories 0, 1 and 2 per IEC 60204-1, emergency stop with a dual-channel safety relay, Performance Level (PL) per ISO 13849-1 and SIL per IEC 62061, light-curtain safety distances per ISO 13855, and a troubleshooting flow for when a machine will not run.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 22.9 · PLC · Commissioning & Safety

# PLC Commissioning, Machine Safety and Troubleshooting: Loop Checks, Forcing, Emergency Stop, IEC 60204-1, ISO 13849 and Documentation

A program that passes in the simulator is not yet a machine ready for use. Commissioning is when accidents happen most often, because the wiring is incomplete, people are not yet familiar with the machine and the program is being edited live. This page gives a systematic procedure, the safety principles the standards require, and a disciplined way to find faults.

In 30 seconds

- Test in layers: wiring → supplies → I/O point by point → logic without power → live run

- Emergency stop = stop category 0 or 1 through safety devices, not through a standard PLC program

- The required level (PLr) comes from the risk assessment · light-curtain distance $S = K\,T + C$

- Every force needs a procedure, and none may remain at handover

## Testing and commissioning procedure Basic

- Before power-up: check the wiring against the drawings, PE continuity, power-cable insulation resistance (with electronics disconnected) and that terminals are tight

- Energise section by section: 24 VDC control power first, measure the voltage at every I/O group · power circuit still isolated

- Test inputs one at a time: press the real button / trigger the real sensor in the field, watch the bit change in the software, record it on the I/O check sheet

- Test outputs one at a time: with the power circuit still isolated, command each output (using test mode or a force under procedure) and check the right contactor, valve or lamp operates

- Analog loop check: inject 4 · 12 · 20 mA with a calibrator and read the engineering value in the PLC and on the HMI

- Safety tests: every emergency stop, safety gate and light curtain — check that power is really removed and that reset must be done manually

- Dry logic test: run the whole sequence with the power circuit isolated, simulating sensors

- Live run: one motor at a time, checking direction and current, then the whole sequence, both normal and abnormal cases (pull a sensor, trip an overload)

- Handover: no forces left, program backed up with comments, documentation: I/O list, as-built drawings, drive parameters

Forcing: before forcing an output that makes the machine move, warn everyone in the area, have someone standing at the emergency stop, and log it. Most software shows a warning symbol while a force is active — check it every time before leaving site.

## Stop categories and emergency stop (IEC 60204-1) Intermediate

K1 Stop categories

$$\text{Cat 0: remove power immediately} \qquad \text{Cat 1: controlled stop, then remove power} \qquad \text{Cat 2: controlled stop, power kept on}$$

An emergency stop must be category 0 or 1 only. Category 1 is used when cutting power immediately is more dangerous, e.g. a large centrifuge that must be braked by the drive before power is removed (using a time-delayed safety relay). The emergency-stop button is a red mushroom head on a yellow background, latches when pressed, has positively driven (direct-opening) contacts, and releasing it must not restart the machine by itself.

Figure 1 · The safety relay monitors both channels and cross-channel shorts; its safety contacts are in series with the PLC output, so it can always cut the coil — the PLC only reads the status

## Safety levels: PL and SIL Advanced

ISO 13849-1 assesses risk from three factors: severity of injury (S1 slight / S2 serious), frequency of exposure to the hazard (F1 seldom / F2 frequent) and possibility of avoiding it (P1 possible / P2 scarcely possible). This gives the required level PLr from a to e. The safety function is then designed (category structure B, 1, 2, 3, 4; component lifetime MTTFd; diagnostic coverage DC) so that PL ≥ PLr.

K2 PL / SIL by dangerous failure rate

$$\text{PL d} \approx \text{SIL 2}: 10^{-7} \le PFH_D

| Example function | Typical PLr | Common implementation |

| Emergency stop on a general machine | c–d | Dual-channel button + safety relay + two contactors in series with feedback |

| Safety gate on a cutting machine / press | d–e | Two gate switches or a coded switch + safety PLC |

| Light curtain in front of a press | d–e | Type 4 light curtain + mounting distance per K3 |

K3 Minimum safety distance (ISO 13855)

$$S = K\,T + C \qquad K = 2000\ \text{mm/s (if } S \le 500\ \text{mm)},\ 1600\ \text{mm/s (otherwise)} \qquad C = 8(d - 14)\ \text{mm},\ d \le 40\ \text{mm}$$

Example K-1

### A 14 mm resolution light curtain with a total stopping time of 120 ms

- Total time T = light-curtain response + safety relay + machine stopping time (measured) = 0.12 s

- $C = 8(14 - 14) = 0$ · $S = 2000(0.12) + 0 = 240$ mm ≤ 500 ✓ so K = 2000 applies

- Mount the light curtain at least 240 mm from the hazard point (the standard's minimum is 100 mm) and prevent reaching over the top or around the sides

## Troubleshooting when the machine will not run Intermediate

- Check the PLC status: RUN/STOP, ERR lamp, battery lamp, event log (diagnostic buffer)

- Check the HMI: alarm messages, the step it is stuck in (if written as a state machine)

- Work back from the output: an output that should be on but is not → open that rung online → find the contact that is “not green” → is it an input or an internal bit?

- If it is an input: look at the module LED → if off, measure the voltage at the terminal → check the sensor / wiring / sensor supply

- If the output bit is 1 but the device does not operate: output LED → output fuse → interposing relay → coil → hard-wired interlocks (auxiliary NC, 95-96, safety relay)

Golden rule: “change one thing at a time and record every change”, especially when editing the program online. Keep a copy before every edit and name the file with the date and the reason.

## Documentation to hand over

- As-built electrical drawings with the bill of materials

- I/O list (address, tag name, description, signal type, scaling range)

- Commented PLC and HMI programs as source files (not just an upload from the PLC), with passwords handed to the owner

- Parameter settings of every drive and smart device

- Signed I/O check sheets, loop checks and safety-function test results

- Operating manual and recovery procedure after an emergency stop

## Frequently asked questions

Why is forcing bits in a PLC dangerous?
A force sets a bit regardless of the program conditions or the real state of the input. The machine may move when nobody expects it, software interlocks are bypassed, and if the force is forgotten it stays in place until an accident happens. There should be a procedure: get permission, warn everyone in the area, log it, and check that no forces remain before handing over the machine.

Can I wire the emergency-stop button into the PLC and let the program cut the outputs?
Not with a standard PLC. An emergency stop needs a reliability level assessed to ISO 13849-1 or IEC 62061, which general-purpose PLCs are not certified for. Use a safety relay or a safety PLC that removes power from the actuators directly, and bring its status into the PLC for display and for sequencing the restart.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Why is forcing bits in a PLC dangerous?**
A force sets a bit regardless of the program conditions or the real state of the input. The machine may move when nobody expects it, software interlocks are bypassed, and if the force is forgotten it stays in place until an accident happens. There should be a procedure: get permission, warn everyone in the area, log it, and check that no forces remain before handing over the machine.

**Can I wire the emergency-stop button into the PLC and let the program cut the outputs?**
Not with a standard PLC. An emergency stop needs a reliability level assessed to ISO 13849-1 or IEC 62061, which general-purpose PLCs are not certified for. Use a safety relay or a safety PLC that removes power from the actuators directly, and bring its status into the PLC for display and for sequencing the restart.

---

# PLC Programming Languages to IEC 61131-3: LD, FBD, ST, SFC and IL — One Program in Several Languages, Data Types and Choosing a Language

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/iec-languages/
Updated: 2026-10-14
Summary: The standard languages of every PLC brand under IEC 61131-3: Ladder Diagram (LD), Function Block Diagram (FBD), Structured Text (ST), Sequential Function Chart (SFC) and the withdrawn Instruction List (IL). The same motor-control program written in every language, the BOOL, INT, DINT, REAL and TIME data types, literals such as T#5s, functions versus function blocks, building a reusable motor FB, and when to use which language.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 22.5 · PLC · IEC 61131-3 Languages

# PLC Programming Languages to IEC 61131-3: LD, FBD, ST, SFC and IL — One Program in Several Languages, Data Types and Choosing a Language

IEC 61131-3 defines five languages for every PLC brand, so that someone who learned on one brand can read another. This page writes the same task — a self-holding motor with a 5-second warning horn — in every language, so you can see what each one is good at.

In 30 seconds

- LD: bit logic that reads like a relay circuit · FBD: wired blocks, suits process control

- ST: a Pascal-like text language, suits calculations, loops, data and state machines

- SFC: steps and transitions, suits sequences · IL: withdrawn in the 2013 edition

- FUNCTION has no memory · FUNCTION_BLOCK has memory (timers, PID)

## One task, five languages Basic

Inputs: STOP (NC), START · outputs: Horn, Conveyor · press START and the horn sounds for 5 s, then the conveyor runs; press STOP and everything stops.

### Ladder Diagram (LD)

I0.0(STOP) I0.1(START) M0.0
──┤ ├────────┬──┤ ├──────┬───────────────────────( )── run command (seal-in)
│ M0.0 │
└──┤ ├──────┘
M0.0 ┌─TON T1──┐
──┤ ├────────────────────────┤IN Q├─────────── time 5 s
T#5s ──┤PT ET├
M0.0 T1 Q0.1
──┤ ├────────┤/├────────────────────────────────( )── horn
T1 Q0.0
──┤ ├───────────────────────────────────────────( )── conveyor

### Function Block Diagram (FBD)

┌──────┐
START ───┤ ≥1 │ ┌──────┐
Run ─────┤ ├──────┤ & ├──── Run
└──────┘ STOP─┤ │
└──────┘
┌─TON───┐ ┌──────┐
Run ─────┤IN Q├──── T1.Q ───────┤ & │
T#5s ───┤PT ET├ Run ─────────┤ ├──── Horn
└───────┘ T1.Q ──o─────┤ │ (o = inverted)
└──────┘
T1.Q ───────────────────────────────────────── Conveyor

### Structured Text (ST)

VAR
Run : BOOL;
T1 : TON;
END_VAR

Run := (PB_Start OR Run) AND PB_Stop_NC; // seal-in
T1(IN := Run, PT := T#5S); // call the timer instance every scan
Horn := Run AND NOT T1.Q;
Conveyor := T1.Q;

### Sequential Function Chart (SFC)

╔════════╗
║ 0 Wait ║
╚═══╤════╝
──┼── START
┌───┴────┐ ┌────────────┐
│ 1 Warn ├───┤ N Horn │
└───┬────┘ └────────────┘
──┼── Step1.T >= T#5s
┌───┴────┐ ┌────────────┐
│ 2 Run ├───┤ N Conveyor │
└───┬────┘ └────────────┘
──┼── NOT PB_Stop_NC
└──────► back to step 0

### Instruction List (IL) — a withdrawn language

LD PB_Start
OR Run
AND PB_Stop_NC
ST Run
IL resembles assembly language. It was removed from the third edition of IEC 61131-3 (2013) but is still found in older programs (Siemens STL, Mitsubishi List).

## Data types and literals Intermediate

| Type | Size | Range | Used for |

| BOOL | 1 bit | FALSE / TRUE | Digital I/O, status |

| INT | 16 bits | −32 768 … 32 767 | Raw analog values, counters |

| DINT | 32 bits | −2 147 483 648 … 2 147 483 647 | Large counters, encoder positions |

| REAL | 32-bit IEEE 754 | ~7 significant digits | Engineering values, PID |

| TIME | 32 bits (ms) | T#0ms … T#24d20h… | Timer presets |

| WORD / DWORD | 16 / 32 bits | Bit patterns | Multi-bit status, Modbus registers |

L1 Signed integer range

$$-2^{n-1} \le x \le 2^{n-1} - 1 \qquad n = 16 \Rightarrow -32768 \ldots 32767$$

L2 Integer pitfalls in scaling

$$\frac{27648 \times 10}{27648} \;\text{(INT overflows at the multiplication)} \qquad \frac{13824}{27648}\times 10 = 0 \;\text{(division truncates before the multiplication)}$$

How to avoid them: convert to REAL before calculating (INT_TO_REAL), or use DINT and multiply before dividing — a scaling example is in Analog · PID.

## Building a reusable motor function block Advanced

A plant with 50 motors should not write the seal-in circuit, feedback check and hour counter 50 times. Build one FB and call 50 instances of it.

FUNCTION_BLOCK FB_Motor
VAR_INPUT Start, Stop_NC, OL_NC, Feedback : BOOL; FbTime : TIME := T#2S; END_VAR
VAR_OUTPUT Run, Fault : BOOL; Hours : REAL; END_VAR
VAR Cmd : BOOL; TFb : TON; THr : TON; END_VAR

Cmd := (Start OR Cmd) AND Stop_NC AND OL_NC AND NOT Fault;
TFb(IN := Cmd XOR Feedback, PT := FbTime); // commanded but no feedback, or feedback without a command
IF TFb.Q THEN Fault := TRUE; END_IF // Fault is reset from the HMI
Run := Cmd;
THr(IN := Feedback AND NOT THr.Q, PT := T#36S); // pulse every 0.01 h
IF THr.Q THEN Hours := Hours + 0.01; END_IF
END_FUNCTION_BLOCK

## Choosing the right language for the job

| Task | Best language | Reason |

| Interlocks, seal-in circuits, safety-related logic | LD | Site technicians can monitor it online and diagnose it at once |

| Process control loops, PID blocks | FBD | Shows the signal flow |

| Calculations, recipes, arrays, strings, communications | ST | Concise, with loops and conditions |

| Machines that work in steps, batch processes | SFC (or ST with CASE) | Shows the active step, so you can see at once which step it is stuck in |

## Frequently asked questions

Should I program a PLC in ladder or Structured Text?
Choose by the job: for on/off logic and interlocks that technicians must read and diagnose on site, ladder is best. For calculations, data handling, recipes, loops and complex state machines, ST is shorter and clearer. Sequences suit SFC. Real projects usually mix languages, wrapping the complex parts in function blocks that are called from ladder.

What is the difference between a function (FUNCTION) and a function block (FUNCTION_BLOCK)?
A function has no memory and always gives the same result for the same inputs, e.g. scaling a value. A function block has internal variables that keep their values from scan to scan and must be instantiated, e.g. timers, counters, PID or a motor-control block.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Should I program a PLC in ladder or Structured Text?**
Choose by the job: for on/off logic and interlocks that technicians must read and diagnose on site, ladder is best. For calculations, data handling, recipes, loops and complex state machines, ST is shorter and clearer. Sequences suit SFC. Real projects usually mix languages, wrapping the complex parts in function blocks that are called from ladder.

**What is the difference between a function (FUNCTION) and a function block (FUNCTION_BLOCK)?**
A function has no memory and always gives the same result for the same inputs, e.g. scaling a value. A function block has internal variables that keep their values from scan to scan and must be instantiated, e.g. timers, counters, PID or a motor-control block.

---

# PLC Input/Output Wiring: Sinking and Sourcing, PNP/NPN Sensors, Relay and Transistor Outputs, Inductive Loads and the 24 VDC Supply

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/io-wiring/
Updated: 2026-10-14
Summary: Wire PLC I/O correctly every time: 24 VDC Type 1, 2 and 3 inputs to IEC 61131-2, sinking and sourcing inputs, 3-wire PNP and NPN sensors with brown, black and blue wire colours, 2-wire sensors and leakage current, relay, transistor and triac outputs, flyback diodes, RC snubbers, interposing relays, 4–20 mA analog signals, shielding, earthing the 0 V, and sizing the power supply.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 22.2 · PLC · I/O Wiring

# PLC Input/Output Wiring: Sinking and Sourcing, PNP/NPN Sensors, Relay and Transistor Outputs, Inductive Loads and the 24 VDC Supply

A correct program is worthless if the inputs read wrong or the outputs burn out. This page explains wiring by the direction of current, not by memorising rules. Once you understand “who supplies and who receives”, sinking versus sourcing and PNP versus NPN will never confuse you again.

In 30 seconds

- PNP supplies +24 V → use a sinking input (COM → 0 V) · NPN pulls down to 0 V → use a sourcing input (COM → +24 V)

- 3-wire sensor: brown +24 V · blue 0 V · black signal

- Relay output: AC or DC, slow, wears out · transistor: DC only, fast, no wear

- DC coils get a diode · AC coils get an RC snubber or varistor · large loads go through an interposing relay

## 24 VDC inputs: sinking and sourcing Basic

Inside a digital input is an optocoupler in series with a resistor; current can flow through its LED in one direction only. The names sinking and sourcing describe the direction of current at the input terminal: a sinking input “receives” current (an external device must supply +24 V to it), while a sourcing input “supplies” current out (the external device must pull it down to 0 V). Many modern PLCs can be wired either way, depending on which supply terminal the group's COM is connected to.

Figure 1 · The arrows show the current direction: a PNP sensor “pushes” current from +24 V into the input · an NPN sensor “pulls” current from the input down to 0 V

W1 Input current

$$I_{in} \approx \frac{V - V_{LED}}{R_{in}} \approx \frac{24 - 1.2}{4.7\ \text{k}\Omega} \approx 5\ \text{mA}$$

24 VDC input types to IEC 61131-2 (approximate values — check the PLC manual)

| Type | ON | OFF | Used for |

| Type 1 | ≥ 15 V and ≥ 2 mA | ≤ 5 V or ≤ 0.5 mA | Contacts, switches, 3-wire sensors |

| Type 2 | ≥ 11 V and ≥ 6 mA | ≤ 5 V or ≤ 2 mA | High-current devices (rare) |

| Type 3 | ≥ 11 V and ≥ 2 mA | ≤ 5 V or ≤ 1.5 mA | 2-wire sensors (high leakage) and general use |

W2 Two-wire sensor compatibility

$$I_{leak,sensor} \le I_{OFF,max} \qquad V_{drop,sensor} \le 24 - V_{ON,min}$$

## 3-wire sensors and wire colours Basic

| Wire (IEC 60947-5-2) | Function | PNP | NPN |

| Brown (BN) | +24 V | +24 V | +24 V |

| Blue (BU) | 0 V | 0 V | 0 V |

| Black (BK) | NO signal | Active = +24 V | Active = 0 V |

| White (WH) | NC signal (4-wire models) | Inverted | Inverted |

In Asia you will meet both PNP (common on European machines) and NPN (common on older Japanese machines). Spare parts must match the type. Connecting the wrong sensor type does not cause immediate damage, but the input will not work or will read inverted.

Example W-1

### Replacing an NPN sensor with a PNP one on a machine whose input COM is wired to +24 V

- The input group is currently sourcing (COM → +24 V), so it works only with NPN sensors.

- If the whole group is changed to PNP: move the group COM to 0 V and check that no NPN devices remain in that group.

- If only one sensor is changed and the COM cannot be moved: buy an NPN sensor as before, or use a relay or signal-converter module.

## Outputs: relay, transistor, triac Intermediate

Figure 2 · A 230 VAC contactor coil driven from a relay output with an RC snubber · a 24 VDC relay driven from a PNP transistor output with a diode

| Type | Load | Speed | Life | Cautions |

| Relay | AC/DC ≤ 2 A per point | ~10 ms | 10⁵–10⁶ operations (less with inductive loads) | Unsuitable for frequent switching (PWM, fast-flashing lamps) |

| Transistor (PNP/NPN) | DC 0.3–0.5 A per point | < 1 ms (µs on fast models) | No wear | DC only; can fail on a short circuit (some models are self-protected) |

| Triac (SSR) | AC 0.5–1 A | Half a cycle | No wear | Off-state leakage may stop a small coil from dropping out |

W3 Inductive kick

$$v_L = L\frac{di}{dt} \qquad \text{no suppressor: several hundred volts} \qquad \text{with a diode: } V_{clamp} \approx V_{supply} + 0.7\ \text{V}$$

A diode clamps the voltage best but makes the coil drop out more slowly (the current circulates for longer). If a fast release is needed, use a Zener diode or a varistor. AC coils use an RC snubber or a varistor; modern contactors accept plug-in surge-suppressor modules on A1–A2.

### Interposing relays

When a load exceeds the output rating, needs a different voltage, or the PLC circuit must be isolated from the field, use a small 24 VDC DIN-rail relay as an intermediary. If it fails you replace a relay costing a few dollars instead of an output module.

## Analog signal wiring Intermediate

- Use shielded twisted-pair cable and earth the shield at the panel end only (unless the manual specifies both ends with an equipotential bonding conductor).

- 4–20 mA tolerates noise and long cable runs better than 0–10 V and can detect a broken wire (below 3.6 mA) — details in 4–20 mA · NE 43 (Thai).

- A 2-wire transmitter is wired as a loop: +24 V → transmitter → current input → 0 V. Check the loop voltage budget as well.

## The 24 VDC power supply and earthing Intermediate

W4 24 VDC supply sizing

$$I_{PSU} \ge 1.25\left(I_{CPU} + \sum I_{in} + \sum I_{sensor} + \sum I_{out\,(\text{simultaneous})}\right)$$

Example W-2

### CPU 0.4 A · 24 inputs × 5 mA · 10 sensors × 20 mA · 8 interposing relays × 25 mA · 4 solenoids × 0.3 A

- Total $0.4 + 0.12 + 0.2 + 0.2 + 1.2 = 2.12$ A

- W4: $1.25 \times 2.12 = 2.65$ A → a 24 V 5 A power supply (or put the solenoids on a separate supply so their inrush current does not disturb the CPU)

IEC 60204-1 recommends that the 24 VDC circuit be a PELV system with the 0 V terminal earthed at a single point in the panel, so that an earth fault on a control wire blows a fuse instead of making a device operate unintentionally. Fit separate 24 V fuses or circuit-breakers for the input group, the output group and the CPU.

Emergency stop: never rely on an ordinary PLC input alone for an emergency stop. It must be wired through a safety relay or a safety PLC that removes power directly, with the PLC only reading its status (see Safety).

## Frequently asked questions

Which type of input does a PNP sensor connect to?
A PNP sensor puts +24 V out on its signal wire (it is a source, i.e. sourcing), so it must connect to an input that takes current in and returns it to 0 V (a sinking input). In practice, on a PLC with a common COM terminal, connect the COM of that input group to 0 V. An NPN sensor pulls the signal down to 0 V, so its group COM must go to +24 V.

Why does a 2-wire sensor make an input stay on?
A 2-wire sensor needs current to power itself even in the OFF state (a leakage current of 0.5–1.5 mA). If this current exceeds the maximum OFF current the input accepts, the PLC reads the input as permanently ON. Use a Type 3 input, or fit a bleeder resistor in parallel with the input as the manual specifies.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Which type of input does a PNP sensor connect to?**
A PNP sensor puts +24 V out on its signal wire (it is a source, i.e. sourcing), so it must connect to an input that takes current in and returns it to 0 V (a sinking input). In practice, on a PLC with a common COM terminal, connect the COM of that input group to 0 V. An NPN sensor pulls the signal down to 0 V, so its group COM must go to +24 V.

**Why does a 2-wire sensor make an input stay on?**
A 2-wire sensor needs current to power itself even in the OFF state (a leakage current of 0.5–1.5 mA). If this current exceeds the maximum OFF current the input accepts, the PLC reads the input as permanently ON. Use a Type 3 input, or fit a bleeder resistor in parallel with the input as the manual specifies.

---

# Ladder Logic Basics: NO and NC Contacts, Coils, AND, OR, Latching, SET/RESET, Edge Detection and Boolean Algebra

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/ladder-basics/
Updated: 2026-10-14
Summary: Learn to write ladder diagrams (Ladder Diagram) for PLCs from scratch: read ladder like a relay circuit, NO and NC contacts, coils, AND, OR and NOT circuits, truth tables, seal-in (latching) circuits, why a STOP button wired NC needs an NO contact in the program, SET and RESET, rising and falling edges, double coils, De Morgan's theorem and the address formats of Siemens, Mitsubishi, Omron and IEC, with a simulator.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 22.3 · PLC · Ladder Basics

# Ladder Logic Basics: NO and NC Contacts, Coils, AND, OR, Latching, SET/RESET, Edge Detection and Boolean Algebra

Ladder logic was designed so that an electrician who can read relay circuits can read a program straight away. The left rail is the “positive supply”, the right rail is “zero”, and each rung is a path along which power can reach the coil if all its contacts are closed. The one thing you must rethink is that a contact in the program tests a bit value, not a button.

In 30 seconds

- ─┤ ├─ NO: conducts when bit = 1 · ─┤/├─ NC: conducts when bit = 0 · ─( )─ coil: writes the result to a bit

- Series = AND · parallel = OR · NC = NOT · every rung is one Boolean equation

- STOP button wired NC → use NO in the program (broken wire = stop)

- Each coil is written in one place only · P/N edge contacts conduct for one scan

## The elements of ladder logic Basic

Figure 1 · Four basic rungs: AND, OR, NOT and a motor seal-in circuit (compare with the contactor circuit in DOL)

B1 AND (series)

$$Y = A \cdot B \qquad \text{ST: } Y := A \text{ AND } B;$$

B2 OR (parallel)

$$Y = A + B \qquad \text{ST: } Y := A \text{ OR } B;$$

B3 NOT (NC contact)

$$Y = \overline{A} \qquad \text{ST: } Y := \text{NOT } A;$$

| A | B | A·B | A+B | Ā | A⊕B |

| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |

B4 De Morgan

$$\overline{A\cdot B} = \overline{A} + \overline{B} \qquad \overline{A + B} = \overline{A}\cdot\overline{B}$$

B4 is needed whenever you want “not both” in ladder, because basic ladder has no NOT in front of a bracket. The simulator on this page uses this rule to convert equations into NO/NC contacts automatically.

B5 XOR (exclusive OR, two-way switch)

$$Y = A\overline{B} + \overline{A}B$$

## A STOP button wired NC and the contact in the program Basic

Figure 2 · The most common beginner's mistake: “the STOP button is NC, so I'll program an NC contact” — the result is that the motor never runs, because bit I0.0 = 1 keeps the NC contact in the program open all the time

B6 Motor latch in a PLC

$$Q0.0 = I0.0_{(\text{STOP, NC})}\cdot(I0.1_{(\text{START})} + Q0.0)\cdot I0.2_{(\text{OL 95-96, NC})}$$

JavaScript is needed for the simulator

In the simulator, inputs with a dashed border are NC buttons: the green light on I0.0 is already lit without pressing anything. Try pressing START, then STOP, and press the overload button to simulate a trip.

## SET, RESET and edge detection Intermediate

A SET coil (─(S)─) makes its bit 1 when the rung is true and holds that value even after the rung goes false. A RESET coil (─(R)─) makes it 0. Used as a pair, they replace a seal-in circuit. A rising-edge contact P conducts for just one scan when its bit changes 0→1; a falling-edge contact N conducts for one scan on 1→0. Use them for counting, toggling a state or issuing a command once per press.

B7 Set/Reset with reset priority (R rung below)

$$Q_{k+1} = (S + Q_k)\cdot\overline{R}$$

B8 Rising edge (one-shot)

$$P(A)_k = A_k\cdot\overline{A_{k-1}} \qquad N(A)_k = \overline{A_k}\cdot A_{k-1}$$

Example B-1

### One button: press for on, press again for off (toggle / flip-flop)

- Create a one-scan pulse: $M0.1 = P(I0.0)$

- If it is off, turn it on: $S\ M0.2 = M0.1\cdot\overline{Q0.1}$ · if it is on, turn it off: $R\ M0.2 = M0.1\cdot Q0.1$

- $Q0.1 = M0.2$ — note that both conditions read the old value of Q0.1 from the previous scan, so it does not switch on and off in the same scan. Try it with the “SET/RESET and edges” example in the simulator.

## Programming rules that prevent bugs Intermediate

- Write each coil in one place only — if it is written on two rungs, the lower rung overwrites the upper one (double coil)

- Use internal memory (M) as an intermediary and write the real outputs (Q) at the end of the program; this makes maintenance easier

- Give every bit a symbolic name (tag), e.g. M1_Run PB_Stop_NC, instead of a bare address

- Comment every rung with “why”, not “what” (the ladder already shows what it does)

- Put safety conditions (STOP, OL, E-stop status) at the far left of the rung, where they are read first

## Frequently asked questions

Is an NC contact in the program the same as an NC button wired in the field?
No. A contact in the program tests a “bit value”, not the state of the button. An NO contact in the program conducts when the bit is 1; an NC contact conducts when the bit is 0. A STOP button wired NC makes its bit 1 in the normal state, so the program must use an NO contact for the rung to work normally and stop when the button is pressed.

Should I use SET/RESET instead of a seal-in circuit?
You can, and it reads well in sequential logic, but watch two things: if SET and RESET are both true at once, whichever is on the lower rung wins; and a SET bit may keep its value through a power failure if it is retentive memory, so the machine restarts by itself when power returns. For ordinary motor control the classic seal-in circuit is safer because it drops out by itself on STOP.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Is an NC contact in the program the same as an NC button wired in the field?**
No. A contact in the program tests a “bit value”, not the state of the button. An NO contact in the program conducts when the bit is 1; an NC contact conducts when the bit is 0. A STOP button wired NC makes its bit 1 in the normal state, so the program must use an NO contact for the rung to work normally and stop when the button is pressed.

**Should I use SET/RESET instead of a seal-in circuit?**
You can, and it reads well in sequential logic, but watch two things: if SET and RESET are both true at once, whichever is on the lower rung wins; and a SET bit may keep its value through a power failure if it is retentive memory, so the machine restarts by itself when power returns. For ordinary motor control the classic seal-in circuit is safer because it drops out by itself on STOP.

---

# What Is a PLC: CPU, Memory, I/O, the Scan Cycle, Scan Time, the IEC 61131 Standard and Choosing a PLC

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/plc-fundamentals/
Updated: 2026-10-14
Summary: PLC (Programmable Logic Controller) fundamentals for industry: the history from relay panels to PLCs, the architecture — power supply, CPU, memory, input and output modules — the read-inputs, run-program, write-outputs scan cycle, the I/O image, scan time and response time, the shortest pulse a PLC can catch, compact, modular and safety PLCs, comparison with relays and microcontrollers, and how to choose a PLC.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 22.1 · PLC · What Is a PLC

# What Is a PLC: CPU, Memory, I/O, the Scan Cycle, Scan Time, the IEC 61131 Standard and Choosing a PLC

In 1968 General Motors' Hydra-Matic transmission plant wanted to stop rewiring relay panels every time the car models changed. That brief produced the first PLC (the Modicon 084). The core idea is unchanged today: a computer built to survive the factory floor, which reads inputs from switches and sensors, decides with a program an electrician can read, and drives outputs — repeating predictably, without end.

In 30 seconds

- PLC = power supply + CPU + memory + I/O modules + communication ports

- One scan: read inputs into the image → run the program top to bottom → write outputs → system tasks

- Typical scan time 1–20 ms · worst-case response ≈ input delay + 2 scans + output delay

- Its strength is robustness and deterministic behaviour, not speed

## PLC architecture Basic

Figure 1 · The PLC sits between two groups of field devices: those that “tell” (buttons, sensors) and those that “do” (contactors, valves, lamps)

| Part | Function | What to know |

| Power supply | Converts 230 VAC to 24 VDC for the CPU and I/O | Use a separate supply for high-current field loads (solenoids) |

| CPU | Runs the program, manages I/O and communication | Look at speed per instruction, memory size and special functions (PID, fast counters) |

| Memory | Stores the program, data and settings | Retentive data keeps its value through a power failure (battery/flash) |

| Digital I/O | 0/1 signals from switches and to coils | 24 VDC sinking/sourcing, relay/transistor outputs |

| Analog I/O | Continuous 4–20 mA, 0–10 V signals | 12–16-bit resolution, must be scaled to engineering units |

| Communication | Talks to HMIs, SCADA, drives and other PLCs | Ethernet (PROFINET, EtherNet/IP, Modbus TCP), RS-485 (Modbus RTU) |

## The scan cycle Intermediate

A PLC does not “watch” its inputs continuously. At the start of each scan it takes a snapshot of every input terminal into the input image table, then runs the program rung by rung from top to bottom, reading from that snapshot. Coil results are written to the output image, which is sent to the output terminals all at once at the end of the scan. Working this way means input values cannot change part-way through a scan, so the result is predictable.

Figure 2 · Right: button I0.0 changes in the middle of scan 0, is read into the image at the start of scan 1, and output Q0.0 changes at the end of scan 1 (seen at the terminal in scan 2)

F1 Scan time

$$t_{scan} = t_{read\,I} + t_{program} + t_{write\,Q} + t_{comm/diag}$$

F2 Program execution estimate

$$t_{program} \approx N_{bit}\,t_{bit} + N_{word}\,t_{word} + N_{real}\,t_{real}$$

F3 System response time

$$t_{in} + t_{scan} + t_{out} \;\le\; t_{resp} \;\le\; t_{in} + 2\,t_{scan} + t_{out}$$

F4 Shortest pulse surely seen

$$t_{pulse} > t_{scan} + t_{in}$$

Example F-1

### A conveyor runs at 1.2 m/s; 30 mm parts pass a photoelectric sensor; PLC scan 10 ms, input filter 3 ms

- Time the part blocks the sensor: $t = 0.030/1.2 = 25$ ms

- F4: must exceed $10 + 3 = 13$ ms → 25 ms is caught ✓ (almost a 2× margin)

- If the conveyor speeds up to 3 m/s: $t = 10$ ms < 13 ms → parts may be missed; use a high-speed input or a hardware counter

- F3: the time from a part reaching the sensor to the air-jet reject (transistor output 0.1 ms + solenoid 15 ms) is at worst ≈ 3 + 20 + 0.1 + 15 = 38 ms → the part travels 46 mm in that time, so mount the air nozzle this far beyond the sensor

## Types of PLC Basic

| Type | Characteristics | Good for |

| Nano/Compact (all-in-one) | CPU and I/O in one housing, 10–60 points, limited expansion | Single machines, pumps, building services |

| Modular (rack) | Choose the CPU, I/O and communication modules as needed, hundreds to thousands of points | Production lines, process plants |

| Safety PLC | Dual CPUs, self-checking, SIL/PL certified | Emergency stops, light curtains, safety gates, burner management |

| PAC / IPC (soft PLC) | An industrial computer running an IEC 61131-3 runtime | Heavy computation, multi-axis motion, large data volumes |

| Smart relay | Programmable relay with a small display and function blocks | Very small jobs, replacing a few relays |

### PLC compared with relays and microcontrollers

| Criterion | Relay panel | PLC | Microcontroller |

| Changing the logic | Rewire | Edit the program | Edit the program (written in C) |

| Industrial robustness | High | High (IEC 61131-2 tests for EMC, temperature, vibration) | User must design it in |

| Diagnostics | Measure point by point | Online status view, event logs | Depends on the programmer |

| Predictability | High | High (fixed scan, watchdog) | Depends on the design |

| Cost per point | Low for very small jobs | Moderate | Very low |

## The IEC 61131 standard Intermediate

IEC 61131 makes PLC knowledge transferable across brands. The parts electricians and engineers use most:

- Part 2 (equipment): 24 VDC input Types 1/2/3, ON/OFF voltage ranges, EMC tests — details in I/O wiring

- Part 3 (languages): LD, FBD, ST, SFC (and IL, deprecated in the 2013 edition), data types, standard timers and counters — see IEC 61131-3 languages

## How to choose a PLC Intermediate

F5 I/O count with spare

$$N_{I/O} = \left\lceil 1.2\,N_{required} \right\rceil \quad (\text{15–25 \% spare})$$

- Make an I/O list: count digital and analog inputs and outputs and high-speed inputs, with their types (PNP/NPN, 4–20 mA)

- The required response time (F3) and special functions (PID, counters, motion)

- Communication with the HMIs, drives and SCADA systems already in the plant

- Safety: is a safety PLC or safety relay needed?

- Environment: panel temperature, humidity, vibration

- Plant standards and spares on hand — a brand the maintenance staff already know is often better value than a cheaper one

## Frequently asked questions

If a button is pressed for less than the scan time, will the PLC see it?
Possibly not. Inputs are read once at the start of each scan, so a pulse shorter than the scan time plus the input filter time can appear and disappear between two reads. Fast signals (encoders, high-speed part-counting sensors) need high-speed inputs, hardware counters or interrupts.

Why does writing the same coil in two places make the program misbehave?
Because the PLC executes from top to bottom, the value written by the lower coil overwrites the value from the upper one before the outputs are sent at the end of the scan. The upper coil appears not to work (double-coil syndrome). Combine the conditions into a single rung, or use SET/RESET deliberately.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**If a button is pressed for less than the scan time, will the PLC see it?**
Possibly not. Inputs are read once at the start of each scan, so a pulse shorter than the scan time plus the input filter time can appear and disappear between two reads. Fast signals (encoders, high-speed part-counting sensors) need high-speed inputs, hardware counters or interrupts.

**Why does writing the same coil in two places make the program misbehave?**
Because the PLC executes from top to bottom, the value written by the lower coil overwrites the value from the upper one before the outputs are sent at the end of the scan. The upper coil appears not to work (double-coil syndrome). Combine the conditions into a single rung, or use SET/RESET deliberately.

---

# PLC Ladder Simulator in the Browser: Write Programs, See Power Flow, Timers, Counters and Ready-Made Examples

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/plc-lab/
Updated: 2026-10-14
Summary: A free PLC simulator with nothing to install: write programs as text (Boolean/ST) and see them drawn as ladder automatically, operate NO and NC push-button and switch inputs, watch power flow through each rung, TON TOF TP timers, CTU counters, SET/RESET, edge detection, adjustable scan time, examples for DOL, reversing, star–delta, a flasher, traffic lights, tank filling with a simulated plant, a parts-counting conveyor, and 8 worksheets.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 22.10 · PLC · Ladder Simulator

# PLC Ladder Simulator in the Browser: Write Programs, See Power Flow, Timers, Counters and Ready-Made Examples

Open this page and start programming a PLC straight away. Pick an example from the menu, press the inputs on the left, watch the green lines showing how far power flows, then open “Edit the program” to write your own rungs. The program is drawn as ladder for you automatically.

## Simulator

JavaScript is required to use the simulator

## Program syntax

One line is one rung, written as a Boolean equation similar to Structured Text. Text after # or // is a comment (shown beside the rung).

| Write | Meaning | In ladder |

| Q0.0 = I0.1 & I0.2 | AND | Contacts in series → coil |

| Q0.0 = I0.1 | Q0.0 | OR | Contacts in parallel |

| !I0.2 | NOT | NC contact |

| S Q0.0 = … / R Q0.0 = … | SET / RESET | Coil (S) / (R) |

| P(I0.1) / N(I0.1) | Rising / falling edge | Contact marked P / N |

| T1 = TON(I0.0, 5s) | TON, TOF, TP timers; time in s or ms | TON block T1 · use T1 as its Q contact |

| C1 = CTU(I0.2, I0.3, 6) | Up-counter (count, reset, PV) | CTU block C1 · use C1 as its Q contact |

Variables: I0.0–I1.7 inputs (read-only) · Q0.0–Q1.7 outputs · M0.0–M9.7 memory · T1… C1… · TRUE FALSE · AND OR NOT may be used instead of & | ! · a NOT in front of brackets is distributed with De Morgan's theorem before drawing.

Buttons with a dashed border are NC-wired devices: the input is 1 when not pressed · inputs from the “simulated plant” (water level, part-counting sensor) cannot be pressed; they change with the simulated process.

## 8 worksheets

### 1 · Self-holding
DOL example: delete | Q0.0 and load. Explain the result. Then change I0.0 to !I0.0 and explain why the motor will not run at all.

### 2 · Two-location control
Add STOP2 (I0.3) and START2 (I0.4) buttons to the DOL circuit following the rule STOPs in series, STARTs in parallel (new inputs in the simulator are NO buttons, so write STOP2 as !I0.3).

### 3 · Interlock
Reversing example: press FWD and REV at the same time (two fingers). Which Q turns on? Delete & !Q0.1 and try again. Explain the risk.

### 4 · Dead time
Star–delta example: change T2 to 0ms and watch the simulated plant at the changeover. Then delete & !Q0.1 in the Q0.2 rung.

### 5 · Scan time
Parts-counter example: increase the scan time to 200 ms. Does the counter still count every part? Compare with formula F4.

### 6 · Flasher
Change it to on 0.2 s, off 0.8 s, then make two lamps flash alternately (Q0.0 and Q0.1).

### 7 · Night-mode traffic light
Add a switch I0.1 “night mode” that makes the amber lamps in both directions flash and turns all other lamps off.

### 8 · Tank filling with an alarm
Add a watchdog timer: if the pump runs for more than 20 s without reaching LH, stop the pump and light alarm lamp Q0.3 until RESET (I0.5) is pressed.

## Frequently asked questions

Can this simulator replace a real PLC?
It is good for practising logic, scan order, timers and counters, but it does not simulate hardware, communications or brand-specific instructions. Once you understand the basics, continue with the manufacturer's software, which has its own simulator, or with a real PLC in the lab.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Can this simulator replace a real PLC?**
It is good for practising logic, scan order, timers and counters, but it does not simulate hardware, communications or brand-specific instructions. Once you understand the basics, continue with the manufacturer's software, which has its own simulator, or with a real PLC in the lab.

---

# Motor Control with a PLC: DOL, Reversing, Star–Delta, I/O Lists, Wiring, Hard-Wired Interlocks and Contactor Feedback Monitoring

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/plc-motor-control/
Updated: 2026-10-14
Summary: Convert contactor circuits into PLC programs correctly and safely: what must stay in hardware (emergency stop, overload, K2/K3 interlocks), I/O lists, wiring the PLC to contactor coils, ladder and Structured Text for DOL, reversing and star–delta with a dead time, detecting welded contactors with feedback contacts, and a simulator to try it.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 22.6 · PLC · Motor Control with a PLC

# Motor Control with a PLC: DOL, Reversing, Star–Delta, I/O Lists, Wiring, Hard-Wired Interlocks and Contactor Feedback Monitoring

Moving the logic from a relay panel into a PLC gains flexibility, status display and fault detection — but the safety of the original circuit must not be lost. This page draws a clear line between what lives in software and what must stay in hardware, and gives working programs for all three motor circuits.

In 30 seconds

- Keep in hardware: emergency stop via a safety relay · overload 95-96 · NC + mechanical interlocks

- The PLC does: self-holding, sequencing, timers, feedback checks, alarms, run-hour counting

- Feedback: $\text{Fault} = \text{TON}(\text{Cmd} \oplus \text{FB},\ 0.5\text{–}2\ \text{s})$

- Star–delta: Y first → K1 → time elapsed → Y drops out → dead time → Δ

## Dividing the jobs: hardware vs software Basic

| Function | Where | Why |

| Emergency stop | Safety relay / safety PLC cuts coil power + PLC reads the status | Must work even if the standard PLC fails or its program is edited |

| Overload | 95-96 in series with the coil + 97-98 into the PLC | Trips even if the PLC hangs, and the cause can be displayed |

| Short-circuit interlock | Auxiliary NC + mechanical + in the program | A shorted transistor output or a forced bit must not cause a short circuit |

| Self-holding, sequencing, timers | Program | Easy to change, settable from the HMI |

| Detecting a welded / non-pulling contactor | Program + feedback contacts | Only possible when there is a controller with logic |

## DOL with a PLC and feedback checking Basic

| Address | Device | Type |

| I0.0 | -S0 STOP | NC (1 = healthy) |

| I0.1 | -S1 START | NO |

| I0.2 | -F2 97-98 or auxiliary 95-96 | NC (1 = healthy) |

| I0.3 | -K1 13-14 feedback | NO |

| Q0.0 | -K1 coil (via 95-96) | Relay or interposing relay |

| Q0.1 / Q0.2 | Run lamp / fault lamp | — |

M1 Run command

$$\text{Cmd} = I0.0\cdot I0.2\cdot\overline{\text{Fault}}\cdot(I0.1 + \text{Cmd})$$

M2 Feedback discrepancy

$$\text{Fault} \leftarrow \text{TON}(\text{Cmd} \oplus \text{FB},\ t_{fb}) \qquad t_{fb} \approx 0.5\text{–}2\ \text{s}$$

What M2 catches: commanded but not pulled in (blown coil fuse, open coil, 95-96 open) and not commanded but still pulled in (welded contacts, stuck output). The second case is dangerous: raise an alarm and disconnect with the upstream device.

JavaScript is required

## Reversing with a PLC Intermediate

M3 Software interlock

$$Q_F = \overline{S0}\,\overline{OL}\,(S_F + Q_F)\,\overline{S_R}\,\overline{Q_R}\,\overline{FB_R} \qquad Q_R = \overline{S0}\,\overline{OL}\,(S_R + Q_R)\,\overline{S_F}\,\overline{Q_F}\,\overline{FB_F}$$

Adding $\overline{FB}$ of the other direction (feedback from the real contactor) stops the program commanding the new direction until the old contactor has actually dropped out. A reversal delay timer of 0.5–2 s is also commonly added to let the motor slow down.

JavaScript is required

## Star–delta with a PLC Intermediate

Figure 1 · Outputs drive the coils through NC contacts of the opposing contactor (hard-wired) · inputs read the buttons, the overload and all three feedback contacts

M4 Star–delta sequence

$$K_Y = \text{Run}\,\overline{T_Y}\,\overline{K_\Delta} \quad K_1 = \text{Run}\,(K_Y + K_1) \quad K_\Delta = \text{Run}\,\text{TON}(T_Y,\ t_{dead})\,\overline{K_Y}\,\overline{FB_Y}$$

(* Structured Text: star–delta with feedback check *)
Run := (PB_Start OR Run) AND PB_Stop_NC AND OL_NC AND NOT Fault;
TY(IN := Run, PT := T#6S); // star period
KY := Run AND NOT TY.Q AND NOT KD; // K2 star
K1 := Run AND (FB_Y OR K1); // K1 after star has really pulled in
TDead(IN := TY.Q AND NOT FB_Y, PT := T#80MS); // wait for K2 to really drop out, then time the dead band
KD := Run AND TDead.Q; // K3 delta
TChk(IN := (K1 XOR FB_1) OR (KY XOR FB_Y) OR (KD XOR FB_D), PT := T#1S);
IF TChk.Q OR (FB_Y AND FB_D) THEN Fault := TRUE; END_IF
Note: the dead time starts when the feedback from K2 confirms it has dropped out, not when it is commanded off — this protects against a welded K2 contact. A plain relay circuit cannot do this. The simulator below is a simplified version without feedback.

JavaScript is required

Example M-1

### Test the sequence in the simulator and answer the questions

- Press START: record the order in which Q0.1 (Y) and Q0.0 (K1) turn on — why must Q0.1 come on first? (So the star point is made before the windings are energised.)

- Watch the ET bars of T1 and T2: how long is Q0.1 off while Q0.2 is not yet on? (80 ms = the PT of T2.)

- Edit the Q0.1 rung to remove the !Q0.2 condition and reload. Does the system still work, and why should this interlock stay anyway?

## Frequently asked questions

With a PLC, do I still need auxiliary-contact interlocks in the coil circuit?
Yes. The interlocks that prevent short circuits (K1/K2 for reversing, K2/K3 for star–delta) must work even if the PLC fails, a transistor output shorts on, or someone forces a bit. An NC contact of the opposing contactor in series with each coil, plus a mechanical interlock, is still required. The program is an additional layer, not the only one.

Can I wire the overload relay only to the PLC?
Technically yes, but good practice is to put 95-96 in series with the contactor coil directly (so it trips even if the PLC hangs) and bring 97-98 or an auxiliary contact into the PLC for status display and event logging.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**With a PLC, do I still need auxiliary-contact interlocks in the coil circuit?**
Yes. The interlocks that prevent short circuits (K1/K2 for reversing, K2/K3 for star–delta) must work even if the PLC fails, a transistor output shorts on, or someone forces a bit. An NC contact of the opposing contactor in series with each coil, plus a mechanical interlock, is still required. The program is an additional layer, not the only one.

**Can I wire the overload relay only to the PLC?**
Technically yes, but good practice is to put 95-96 in series with the contactor coil directly (so it trips even if the PLC hangs) and bring 97-98 or an auxiliary contact into the PLC for status display and event logging.

---

# Sequential Control: State Machines, SFC/GRAFCET, Traffic Lights, Sorting Conveyors and a Batch Mixing Tank

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/sequential-control/
Updated: 2026-10-14
Summary: Design sequential PLC programs systematically: state diagrams, steps and transitions per SFC/GRAFCET (IEC 60848), writing them as ladder with SET/RESET and as Structured Text with CASE, worked examples of a two-direction traffic light, a batch mixing tank and automatic tank filling, auto/manual modes, emergency stop, homing, and diagnosing which step a machine is stuck in, with a simulator.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 22.7 · PLC · Sequential Control

# Sequential Control: State Machines, SFC/GRAFCET, Traffic Lights, Sorting Conveyors and a Batch Mixing Tank

Most machines run as a sequence: wait → fill → mix → drain → wait. Writing a sequence with nested self-holding circuits works for small jobs but becomes a tangle as the machine grows. The engineer's method is to think of it as a state machine first, then translate it into any language.

In 30 seconds

- Design steps: list the steps (states) → the transition conditions → the outputs of each step

- Exactly one step is active at a time (except parallel branches in SFC)

- Ladder: SET the next step + RESET the current step in the same rung · ST: CASE State OF

- Outputs are written at the end of the program as an OR of steps

## State machines: steps, transitions, outputs Intermediate

Figure 1 · Two-direction traffic light: six steps in a loop, each with its own timer; the transition condition is that timer elapsing

S1 Transition rule

$$X_{n+1} \leftarrow 1,\ X_n \leftarrow 0 \quad \text{when}\quad X_n \wedge t_{n\to n+1}$$

S2 One active step

$$\sum_i X_i = 1$$

S3 Outputs from steps

$$Q_j = \bigvee_{i \in A_j} X_i \cdot \text{(enable condition)}$$

JavaScript is required

The traffic-light example in the simulator uses a chain of timers (T1→T6) as a simple state machine: the current step is identified by which timers have already elapsed. This suits sequences that depend purely on time. Jobs with sensor conditions use the SFC method below.

## SFC / GRAFCET: a batch mixing tank Intermediate

Figure 2 · Boxes are steps, horizontal bars are transition conditions, and the boxes on the right are the actions performed while that step is active

### Converting to ladder with SET/RESET

// initial step at power-up (first scan)
S X0 = FirstScan
// each rung: current step AND condition → SET next step, RESET current step
S X1 = X0 & START & !LL R X0 = X0 & START & !LL
S X2 = X1 & LM R X1 = X1 & LM
S X3 = X2 & LH R X2 = X2 & LH
S X4 = X3 & T3.Q R X3 = X3 & T3.Q
S X0 = X4 & !LL R X4 = X4 & !LL
T3 = TON(X3, 60s)
// output section (S3)
V1 = X1 · V2 = X2 · M1 = X3 · V3 = X4

### Converting to Structured Text with CASE

CASE Step OF
0: IF Start AND NOT LL THEN Step := 10; END_IF
10: IF LM THEN Step := 20; END_IF // fill A
20: IF LH THEN Step := 30; END_IF // fill B
30: IF TMix.Q THEN Step := 40; END_IF // mix
40: IF NOT LL THEN Step := 0; END_IF // drain
END_CASE
TMix(IN := Step = 30, PT := T#60S);
V1 := Step = 10; V2 := Step = 20; M1 := Step = 30; V3 := Step = 40;
Step numbers go up in tens so new steps can be inserted later without renumbering the whole program. Show Step on the HMI and the technician knows at once what the machine is waiting for.

## Example: automatic tank filling (with a simulated plant)

Press START: the system fills until LH, stops, and refills when the level falls below LL. Open the tap (I0.4) to draw water. Watch pump Q0.0 being SET/RESET by the level switches — this is the same two-level circuit as the float-switch pump, but written in the program.

JavaScript is required

## Auto/manual modes, stopping and homing Advanced

- Auto / Manual: manual mode lets the operator drive outputs one at a time from the HMI, but still through the interlocks (e.g. the drain valve may not open while filling). The step sequence is frozen while in manual mode.

- Cycle stop: pressing stop lets the current cycle finish before stopping at step 0 — suited to processes where stopping mid-cycle wastes material.

- Immediate stop / E-stop: cut all outputs at once, remember the step where it stopped, and require a homing sequence or manual recovery before restarting.

- Per-step timeout: every step that waits on a sensor should have a watchdog timer, e.g. filling for more than 5 minutes means a stuck valve or a failed sensor → raise an alarm that names the step.

## Frequently asked questions

Why do sequential programs built from many layers of self-holding circuits tend to be buggy?
Because the machine's state is spread over many bits with no rule forcing exactly one of them to be active, so two steps can run at once or none at all. The state-machine approach keeps the state in a single variable (or in step bits that are SET/RESET in disciplined pairs), so exactly one step is always active and you know immediately where the machine is stuck.

Should outputs be written inside each step or at the end of the program?
It is better for the sequence section to compute only the “current step”, with a separate output section at the end of the program that writes each output once as an OR of the steps that need it, e.g. Pump = Step1 OR Step4. This prevents duplicate coils and lets you add manual-mode or emergency-stop conditions in one place.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**Why do sequential programs built from many layers of self-holding circuits tend to be buggy?**
Because the machine's state is spread over many bits with no rule forcing exactly one of them to be active, so two steps can run at once or none at all. The state-machine approach keeps the state in a single variable (or in step bits that are SET/RESET in disciplined pairs), so exactly one step is always active and you know immediately where the machine is stuck.

**Should outputs be written inside each step or at the end of the program?**
It is better for the sequence section to compute only the “current step”, with a separate output section at the end of the program that writes each output once as an OR of the steps that need it, e.g. Pump = Step1 OR Step4. This prevents duplicate coils and lets you add manual-mode or emergency-stop conditions in one place.

---

# Timers and Counters to IEC 61131-3: TON, TOF, TP, CTU, CTD and CTUD with Timing Diagrams and Real-World Examples

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/en/plc/timers-counters/
Updated: 2026-10-14
Summary: The standard timers and counters found in every PLC brand: TON on-delay, TOF off-delay and TP pulse timers, timing diagrams, ET and PT, flasher circuits, a pre-start warning, a fan that runs on after stop, CTU, CTD and CTUD counters for counting parts, resetting, times longer than the maximum preset, accuracy that depends on scan time, high-speed counters, and the equivalent names in Siemens, Mitsubishi and Omron.

THภาษาไทยENEnglish

// Chapter 22.4 · PLC · Timers & Counters

# Timers and Counters to IEC 61131-3: TON, TOF, TP, CTU, CTD and CTUD with Timing Diagrams and Real-World Examples

Timers and counters are the main reason a PLC pays for itself against a relay panel. One timer in the program replaces a physical timer relay costing tens of dollars, and its time can be set precisely from the HMI. This page uses the names from IEC 61131-3, which is the template for the instructions of every brand.

In 30 seconds

- TON: IN must stay on for the full PT before Q = 1 · TOF: Q stays on for PT after IN goes off · TP: one pulse of length PT per rising edge

- CTU counts rising edges of CU · Q = 1 when CV ≥ PV · R clears it

- Accuracy ≈ ± one scan time

- Very long times: use a minute timer feeding a counter

## The three timer types Basic

Figure 1 · The same input (top row) driving the three timer types with PT = 3 s

T1 TON — on-delay

$$ET = \begin{cases} \min(ET + \Delta t,\ PT) & IN = 1 \\ 0 & IN = 0 \end{cases} \qquad Q = IN \wedge (ET \ge PT)$$

T2 TOF — off-delay

$$Q = IN \vee (ET T3 TP — fixed-length pulse

$$Q = 1 \ \text{during } [t_0,\ t_0 + PT) \text{ after a rising edge of } IN \text{ at } t_0 \ (\text{not retriggered during the pulse})$$

T4 Software timer accuracy

$$PT \le t_{actual} \le PT + t_{scan} + t_{base}$$

Example T-1

### A conveyor that sounds a horn for 5 s before starting, with a cooling fan that runs on for 2 minutes after it stops

- Run command M0.0 (seal-in from START/STOP) · T1 = TON(M0.0, 5s)

- Horn: Q0.1 = M0.0 & !T1 · conveyor: Q0.0 = T1 (runs once the 5 s are up)

- Fan: T2 = TOF(Q0.0, 120s) · Q0.2 = T2 — runs together with the conveyor and stays on for another 2 minutes after the conveyor stops

T5 Flasher from two timers

$$T1 = \text{TON}(EN \wedge \overline{T2},\ t_{on}) \quad T2 = \text{TON}(T1,\ t_{off}) \quad Q = EN \wedge \overline{T1} \quad (T_{period} = t_{on} + t_{off})$$

JavaScript is needed for the simulator

## Counters Basic

Figure 2 · CTU counts only rising edges of CU, so a part that stops in front of the sensor is counted only once

T6 CTU — up counter

$$CV_{k+1} = \begin{cases} 0 & R = 1 \\ CV_k + 1 & P(CU) \\ CV_k & \text{otherwise} \end{cases} \qquad Q = (CV \ge PV)$$

T7 CTD — down counter

$$CV = PV \text{ on LD} \qquad CV_{k+1} = CV_k - 1 \text{ at } P(CD) \qquad Q = (CV \le 0)$$

CTUD combines both in one block (QU and QD). Use it to count how many items are inside an area, such as cars entering and leaving a car park, or parts in a buffer between two machines.

JavaScript is needed for the simulator

Example T-2

### A filter change every 500 running hours, but the maximum timer PT is 24 h

- Create a pulse every hour while the pump runs: T1 = TON(Q0.0 & !T1, 3600s) (resets itself when done)

- Count the pulses: C1 = CTU(T1, I0.5, 500) · I0.5 = reset button pressed after changing the filter

- Warning: Q0.3 = C1 · make C1 retentive so its value is not lost in a power failure

## Names in each brand

| IEC 61131-3 | Siemens S7-1200/1500 | Mitsubishi FX5/iQ | Omron CP/NX |

| TON | TON (IEC_TIMER) | OUT T0 K50 (100 ms) / TON FB | TIM / TON |

| TOF | TOF | TOF FB (or a circuit) | TOF |

| TP | TP | TP FB | TP |

| CTU | CTU | OUT C0 K10 / CTU FB | CNT / CTU |

Older timers in some brands are set as a number of “time-base” units, e.g. K50 on a 100 ms base = 5 s. Always check the time base when moving a program between models.

## High-speed counters Intermediate

A CTU in the program can count at no more than about half the scan rate (it must see 0 for one scan and 1 for one scan). For example, a 10 ms scan counts no faster than ~50 Hz, and the input filter time must be subtracted too. Encoders and high-speed sensors must be wired to the CPU's high-speed counter (HSC) inputs, which count in hardware at tens or hundreds of kHz and support two-phase A/B signals.

T8 Software counter limit

$$f_{max} \approx \frac{1}{2\,(t_{scan} + t_{in})}$$

## Frequently asked questions

How accurate is a PLC timer?
A timer is updated when it is executed in each scan, so its error is about one scan time (plus the resolution of its time base, e.g. 1 ms, 10 ms or 100 ms). That is fine for general work, but if you need millisecond accuracy use a hardware timer, a cyclic-interrupt task or the CPU's pulse outputs.

A timer stops timing when it is in a part of the program that is not called. What is happening?
A software timer only times while its instruction is being executed. If it sits inside a function or a jumped-over section that is not running, it stops timing or freezes its value. Call the timer every scan and control it through its IN input instead.

Mod

Ajarn Mod · Teerawut Savangboon
Lecturer in Electrical Engineering, Dhonburi Rajabhat University, Samut Prakan · Profile

## FAQ

**How accurate is a PLC timer?**
A timer is updated when it is executed in each scan, so its error is about one scan time (plus the resolution of its time base, e.g. 1 ms, 10 ms or 100 ms). That is fine for general work, but if you need millisecond accuracy use a hardware timer, a cyclic-interrupt task or the CPU's pulse outputs.

**A timer stops timing when it is in a part of the program that is not called. What is happening?**
A software timer only times while its instruction is being executed. If it sits inside a function or a jumped-over section that is not running, it stops timing or freezes its value. Call the timer every scan and control it through its IN input instead.

---

# ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน (Home EV Charging)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/
Updated: 2026-10-13
Summary: คู่มือชาร์จรถ EV ที่บ้านภาษาไทยฉบับละเอียด 9 หน้า: ชาร์จช้าด้วยสายชาร์จพกพาเสียบเต้ารับบ้าน (Mode 2) ชาร์จเร็วที่บ้านด้วยวอลล์บ็อกซ์ 7.4–22 kW (Mode 3) สัญญาณ Control Pilot แบตเตอรี่ CC-CV เวลาชาร์จ ขนาดมิเตอร์ 15(45) 30(100) สายไฟ เบรกเกอร์ RCD Type B กราวด์ ค่าไฟ TOU และการใช้โซลาร์เซลล์ แอร์ และรถ EV ร่วมกัน พร้อมเครื่องคำนวณและซิมูเลเตอร์พลังงานบ้าน

// บทที่ 17 · Home EV Charging · เจ้าของบ้าน → ช่าง → ป.ตรี

# ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน (Home EV Charging)

รถยนต์ไฟฟ้าหนึ่งคันอาจใช้ไฟมากเท่ากับทั้งบ้านรวมกัน และดึงกระแสต่อเนื่องนานหลายชั่วโมง การชาร์จที่บ้านจึงไม่ใช่แค่ “เสียบปลั๊ก” แต่เกี่ยวกับกำลังและพลังงาน แบตเตอรี่ สัญญาณควบคุมระหว่างเครื่องชาร์จกับรถ มิเตอร์ สายไฟ เบรกเกอร์ RCD กราวด์ ค่าไฟ และวิธีใช้ร่วมกับโซลาร์เซลล์และแอร์ ชุดนี้จัดความรู้เป็นระบบ 9 หน้า มี 54 สูตรที่มีรหัสอ้างอิงถาวร 24 ตัวอย่างคำนวณ และเครื่องมือที่ใช้งานได้จริง

สรุปใน 30 วินาที

- kW คือความเร็วในการเติม kWh คือปริมาณ — เวลาชาร์จ ≈ kWh ที่ต้องเติม ÷ (kW × ประสิทธิภาพ)

- ชาร์จช้าด้วยไฟบ้าน = สายชาร์จพกพา Mode 2 เสียบเต้ารับ 8–16 A (≈ 2–3.7 kW, 12–20 km ต่อชั่วโมง)

- ชาร์จเร็วที่บ้าน = วอลล์บ็อกซ์ Mode 3 วงจรเฉพาะ 32 A 1 เฟส (7.4 kW) หรือ 3 เฟส (11–22 kW) แต่ถูกจำกัดด้วย OBC ของรถ

- เครื่องชาร์จทำงานต่อเนื่อง → ออกแบบสายและเบรกเกอร์ที่ 1.25 เท่าของกระแส ใช้ RCD Type B (หรือ Type A + ตรวจจับ DC 6 mA) และมีสายดินเสมอ

- โซลาร์ผลิตกลางวัน แอร์ใช้มากกลางวัน รถมักชาร์จกลางคืน — เวลา คือหัวใจของการเชื่อมสามระบบเข้าด้วยกัน

ระดับพื้นฐาน เจ้าของบ้าน · ผู้ใช้รถกลาง ช่างไฟฟ้า · ปวส. · ป.ตรีขั้นสูง ผู้ออกแบบระบบ · วิศวกร

## “ชาร์จช้า” กับ “ชาร์จเร็วที่บ้าน” เรียกว่าอะไร พื้นฐาน

คนทั่วไปเรียกตามความรู้สึก แต่ในมาตรฐานและในร้านค้ามีชื่อเรียกชัดเจน ชุดนี้ใช้คำต่อไปนี้ตลอดทุกหน้า เพื่อให้ค้นข้อมูลต่อและคุยกับช่างหรือการไฟฟ้าได้ตรงกัน

| ที่คนทั่วไปเรียก | คำที่ใช้ในชุดนี้ | ชื่อสากล | กำลังโดยทั่วไป | ต่อกับไฟบ้านอย่างไร |

| ชาร์จช้า · ชาร์จด้วยปลั๊กบ้าน · สายชาร์จฉุกเฉิน | ชาร์จช้าด้วยไฟบ้าน (สายชาร์จพกพา) | Mode 2 · Portable EVSE · ICCB (In-Cable Control Box) · SAE Level 1/2 | 1.8–3.7 kW (8–16 A) | เสียบเต้ารับที่มีสายดิน ควรเป็นวงจรเฉพาะ |

| ชาร์จเร็วที่บ้าน · ตู้ชาร์จติดผนัง | ชาร์จเร็วที่บ้าน (วอลล์บ็อกซ์) | Mode 3 · AC Wallbox · AC Normal Charging · SAE Level 2 | 7.4 kW (1 เฟส 32 A) · 11/22 kW (3 เฟส) | ต่อสายตรงจากตู้ไฟ วงจรเฉพาะ เบรกเกอร์ + RCD |

| ชาร์จด่วน · ชาร์จที่ปั๊ม | ชาร์จด่วน DC | Mode 4 · DC Fast Charging · CCS2 / CHAdeMO | 30–350 kW | ไม่ติดที่บ้านทั่วไป ต้องใช้ระบบไฟ 3 เฟสขนาดใหญ่ |

จุดที่คนเข้าใจผิดบ่อย “เครื่องชาร์จ” ที่ติดผนังบ้านไม่ได้แปลงไฟเป็น DC — มันคือสวิตช์อัจฉริยะที่ตรวจความปลอดภัยแล้วบอกรถว่าดึงกระแสได้เท่าไร ตัวแปลงไฟจริงคือ On-board Charger (OBC) ในรถ วอลล์บ็อกซ์ 22 kW จึงไม่ช่วยถ้ารถมี OBC แค่ 7.4 kW (ดู พื้นฐาน และ วอลล์บ็อกซ์)

## แผนภาพบ้านหนึ่งหลัง: ไฟไหลจากไหนไปไหน

ทุกขณะ กำลังที่เข้าตู้ไฟต้องเท่ากับกำลังที่ออก: โซลาร์ + กริด (+ แบต) = แอร์ + โหลดบ้าน + รถ (สูตร S1) — ส่วนที่โซลาร์ไม่พอ ซื้อจากกริด ส่วนที่เกิน ขายคืนหรือเก็บลงแบต

## ขั้นตอนเตรียมบ้านให้พร้อมชาร์จรถ 8 ขั้น พื้นฐาน

| ขั้น | ทำอะไร | ผลลัพธ์ | อ่านต่อ |

| 1 | รู้ความจุแบต OBC ของรถ และระยะทางต่อวัน | kWh ต่อวันที่ต้องเติม | พื้นฐาน · แบตเตอรี่ |

| 2 | เลือกว่าชาร์จช้า (Mode 2) พอไหม หรือต้องวอลล์บ็อกซ์ | กำลังชาร์จที่ต้องการ | ชาร์จช้า · วอลล์บ็อกซ์ |

| 3 | สำรวจระบบไฟบ้าน: มิเตอร์ เมน ตู้ไฟ สายดิน | รายการที่ต้องปรับปรุง | ระบบไฟบ้าน |

| 4 | คำนวณโหลดรวมเมื่อเพิ่มรถ → ขนาดมิเตอร์ 1 เฟส/3 เฟส | ขนาดมิเตอร์และเมนเบรกเกอร์ | โหลดรวม |

| 5 | ออกแบบวงจรเฉพาะ: เบรกเกอร์ สาย แรงดันตก RCD | Single-line diagram | สายไฟ · RCD · กราวด์ |

| 6 | เลือกอัตราค่าไฟ ปกติหรือ TOU และตั้งเวลาชาร์จ | ค่าไฟต่อเดือน ฿/km | ค่าไฟ · TOU |

| 7 | ถ้ามี/จะติดโซลาร์ วางแผนโหลดกลางวันกับรถ | self-consumption สูงขึ้น | โซลาร์ + แอร์ + รถ |

| 8 | ยื่นการไฟฟ้า ติดตั้งโดยช่างที่มีใบอนุญาต ทดสอบ RCD และกราวด์ | ระบบปลอดภัยพร้อมใช้ | เช็กลิสต์ |

## สมการหลักที่ใช้ทั้งชุด พื้นฐาน

| เรื่อง | สมการ | ความหมาย | รหัส |

| พลังงาน | $E\,[\text{kWh}] = P\,[\text{kW}]\times t\,[\text{h}]$ | kW คือความเร็ว kWh คือปริมาณ | C1 |

| กำลังชาร์จจริง | $P = \min(P_{EVSE},\ P_{OBC},\ P_{cable})$ | ตัวที่เล็กที่สุดเป็นตัวกำหนด | C4 |

| เวลาชาร์จ | $t \approx \dfrac{E_{bat}\,(SOC_2-SOC_1)}{P\,\eta}$ | บวกเวลาช่วงลดกำลังหลัง 80 % | B3 |

| กระแสออกแบบ | $I_{design} = 1.25\,I_{EV}$ | โหลดต่อเนื่อง ≥ 3 ชั่วโมง | H5 |

| Control Pilot | $I_{max} = 0.6\,D\ \ (10\% \le D \le 85\%)$ | duty cycle บอกกระแสที่รถดึงได้ | W2 |

| สมดุลกำลังในบ้าน | $P_{PV}+P_{grid}+P_{bat} = P_{base}+P_{AC}+P_{EV}$ | ทุกขณะต้องเท่ากัน | S1 |

## หลักการที่เชื่อมโซลาร์เซลล์ แอร์บ้าน และการชาร์จรถเข้าด้วยกัน กลาง

สิ่งที่หลายคนเรียกไม่ถูกคือ การจัดการพลังงานในบ้าน (Home Energy Management, HEM) — มองบ้านเป็นระบบเดียวที่มีแหล่งผลิต (โซลาร์) แหล่งเก็บ (แบตบ้าน แบตรถ) และโหลด (แอร์ รถ เครื่องใช้ไฟฟ้า) แล้วจัด เวลา และ กำลัง ให้ประหยัดและปลอดภัย หลักการมี 4 ข้อ:

หลักที่ 1 · สมดุลกำลัง

### เข้าเท่ากับออกทุกวินาที
ไฟฟ้าเก็บในสายไม่ได้ ถ้าโซลาร์ผลิตเกินโหลด ส่วนเกินไหลออกกริด ถ้าไม่พอ กริดจ่ายส่วนที่ขาดทันที มิเตอร์นับทั้งสองทาง

หลักที่ 2 · เวลาตรงกัน

### ใช้ไฟตอนที่ไฟถูกที่สุด
ไฟโซลาร์ถูกที่สุดตอนกลางวัน ไฟกริด Off-Peak ถูกตอนกลางคืน แอร์ใช้มากตอนกลางวัน → จับคู่แอร์กับโซลาร์ รถกับ Off-Peak หรือโซลาร์ถ้าจอดบ้าน

หลักที่ 3 · ขีดจำกัดกระแส

### มิเตอร์และเมนมีเพดาน
แอร์ + น้ำอุ่น + รถ เปิดพร้อมกันอาจเกินเมนเบรกเกอร์ ใช้ dynamic load balancing ลดกระแสรถอัตโนมัติเมื่อบ้านใช้ไฟมาก

หลักที่ 4 · ความยืดหยุ่น

### รถคือแบตที่เลื่อนเวลาได้
รถจอดบ้าน 12–14 ชม./วัน แต่ใช้ชาร์จจริง 1–3 ชม. จึงเลื่อนเวลาได้มาก บางรุ่นจ่ายไฟกลับบ้านได้ (V2L/V2H)

ลองด้วยตัวเอง: กดสถานการณ์ต่าง ๆ ในซิมูเลเตอร์ด้านล่าง แล้วดูว่ากราฟโซลาร์ (เส้นเหลือง) ซ้อนกับโหลดแอร์และรถอย่างไร ค่าไฟและกระแสสูงสุดเปลี่ยนไปเท่าไร อ่านคำอธิบายละเอียดใน โซลาร์ + แอร์ + รถ EV ในบ้านเดียว

## ทุกบทในชุดนี้

ส่วนที่ 1

### พื้นฐานการชาร์จ Charging Fundamentals
กำลังกับพลังงาน โหมดและระดับการชาร์จ AC กับ DC เครื่องชาร์จในรถ หัวชาร์จ แบตเตอรี่ลิเทียม CC-CV และการคำนวณเวลาชาร์จ

kW17.1
พื้นฐานการชาร์จรถยนต์ไฟฟ้า: kW กับ kWh, Mode 1–4, AC กับ DC, On-board Charger และหัวชาร์จ
EV Charging Basics: Modes, AC vs DC, Connectors
กำลังกับพลังงาน ชาร์จช้า ชาร์จเร็วที่บ้าน และชาร์จด่วน DC ต่างกันอย่างไร Mode 1–4 ตาม IEC 61851 เครื่องชาร์จในรถ (OBC) หัว Type 2 CCS2 CHAdeMO GB/T และตารางเลือกวิธีชาร์จ
เปิดหน้า →สูตร C1, C2, …

SOC17.2
แบตเตอรี่รถ EV กับเวลาชาร์จ: SOC, CC-CV, ประสิทธิภาพ, กำลังที่ลดลงหลัง 80 % และอายุแบตเตอรี่
EV Battery & Charging Time
ความจุ kWh กับ Ah แรงดันแพ็ก SOC กราฟ CC-CV ทำไมชาร์จช้าลงหลัง 80 % การสูญเสียในเครื่องชาร์จ คำนวณเวลาชาร์จจริง อุณหภูมิ และวิธีชาร์จให้แบตอายุยาว
เปิดหน้า →สูตร B1, B2, …

ส่วนที่ 2

### ชาร์จที่บ้าน: ชาร์จช้าและชาร์จเร็ว Home Charging Equipment & Wiring
สายชาร์จพกพาเสียบเต้ารับบ้าน วอลล์บ็อกซ์ 7.4–22 kW สัญญาณ Control Pilot ระบบไฟบ้าน มิเตอร์ สายไฟ เบรกเกอร์ RCD กราวด์ และมาตรฐานความปลอดภัย

16A17.3
ชาร์จช้าด้วยไฟบ้าน (Mode 2): สายชาร์จพกพา เต้ารับ 16 A กระแสที่ปลอดภัย และความร้อนที่ปลั๊ก
Portable Charger from a House Socket (Mode 2)
สายชาร์จพกพา (ICCB) ทำงานอย่างไร เลือกกระแส 8–16 A ให้เหมาะกับเต้ารับและสาย ความร้อนที่หน้าสัมผัส I²R แรงดันตก เต้ารับ IEC 60309 กับเต้ารับบ้าน ข้อห้ามสายพ่วง และเวลาชาร์จ
เปิดหน้า →สูตร M1, M2, …

PWM17.4
ชาร์จเร็วที่บ้านด้วยวอลล์บ็อกซ์ (Mode 3): 7.4 kW 11 kW 22 kW, Control Pilot PWM, Proximity และการเลือกเครื่อง
Home Wallbox Charger (Mode 3) & Control Pilot
วอลล์บ็อกซ์ไม่ใช่ตัวชาร์จแต่เป็นสวิตช์อัจฉริยะ สัญญาณ Control Pilot ±12 V PWM duty → กระแส สถานะ A–F ตัวต้านทาน Proximity 1 เฟสกับ 3 เฟส ขีดจำกัด OBC load balancing และเกณฑ์เลือกซื้อ
เปิดหน้า →สูตร W1, W2, …

A17.5
เตรียมระบบไฟบ้านสำหรับชาร์จรถ EV: ขนาดมิเตอร์ โหลดรวม สายเมน เบรกเกอร์ ขนาดสาย และแรงดันตก
Home Electrical System for EV Charging
คำนวณโหลดรวมของบ้านเมื่อเพิ่มรถ EV ดีมานด์แฟกเตอร์ มิเตอร์ 15(45) A กับ 30(100) A เมนเบรกเกอร์ วงจรย่อยเฉพาะ ขนาดสายตามกระแสต่อเนื่อง 125 % แรงดันตก และขั้นตอนขอ กฟภ. กฟน.
เปิดหน้า →สูตร H1, H2, …

⏚17.6
ความปลอดภัยการชาร์จรถ EV: RCD Type A กับ Type B, กระแสรั่ว DC 6 mA, การต่อลงดิน, มาตรฐาน และอาการเสีย
EV Charging Safety, RCD & Earthing
ไฟดูดเกิดอย่างไร RCD ทำงานด้วยหลักอะไร ทำไมต้อง Type B หรือ RDC-DD 6 mA ระบบ TN-C-S กับ TT หลักดิน แรงดันสัมผัส IP มาตรฐาน IEC 61851 IEC 62196 IEC 60364-7-722 วสท. และตารางอาการเสีย
เปิดหน้า →สูตร P1, P2, …

ส่วนที่ 3

### ค่าไฟและพลังงานในบ้าน Cost & Home Energy
ค่าไฟปกติกับ TOU ค่าใช้จ่ายต่อกิโลเมตร และการจัดการพลังงานที่เชื่อมโซลาร์เซลล์ แอร์ และการชาร์จรถเข้าด้วยกัน

฿17.7
ค่าชาร์จรถ EV ที่บ้าน: ค่าไฟอัตราก้าวหน้ากับ TOU, ค่าใช้จ่ายต่อกิโลเมตร และความคุ้มค่าของการเปลี่ยนมิเตอร์
Home Charging Cost: Tariffs, TOU & Cost per km
อ่านโครงสร้างค่าไฟบ้าน อัตราก้าวหน้า ค่า Ft VAT อัตรา TOU On-Peak Off-Peak พลังงานต่อ 100 km ค่าใช้จ่ายต่อกิโลเมตรเทียบน้ำมัน และคำนวณว่าเปลี่ยนเป็นมิเตอร์ TOU คุ้มหรือไม่
เปิดหน้า →สูตร T1, T2, …

☀17.8
โซลาร์เซลล์ แอร์ และรถ EV ในบ้านเดียว: สมดุลพลังงาน การชาร์จจากโซลาร์ส่วนเกิน การจัดการโหลด และ V2H
Solar PV, Air Conditioning & EV in One Home
หลักการที่เชื่อมสามระบบ: กำลังทุกขณะต้องสมดุล ไฟไหลไปทางไหน โปรไฟล์โหลด 24 ชั่วโมง self-consumption การชาร์จจากโซลาร์ส่วนเกิน dynamic load balancing แบตเตอรี่บ้าน V2L V2H และขนาดระบบที่เหมาะ
เปิดหน้า →สูตร S1, S2, …

ส่วนที่ 4

### เครื่องมือคำนวณและซิมูเลเตอร์ Calculators & Simulator
เครื่องคำนวณทุกตัวในหน้าเดียว และซิมูเลเตอร์พลังงานบ้าน 24 ชั่วโมงพร้อมใบงาน

▶17.9
เครื่องมือคำนวณการชาร์จรถ EV ที่บ้าน และซิมูเลเตอร์พลังงานบ้าน 24 ชั่วโมง (โซลาร์ + แอร์ + รถ)
Home EV Charging Calculators & Energy Simulator
เวลาชาร์จ สายชาร์จพกพา Control Pilot ระบบไฟบ้าน ขนาดสายและแรงดันตก ค่าไฟและ TOU และซิมูเลเตอร์ที่จำลองโซลาร์ แอร์ และรถ EV ทุก 15 นาทีตลอดวัน พร้อมใบงาน
เปิดหน้า →เครื่องคำนวณ 7 ตัว + ซิมูเลเตอร์

## เริ่มตามระดับของคุณ

พื้นฐาน
เจ้าของบ้าน ผู้กำลังจะซื้อรถ EV
พื้นฐาน → ชาร์จช้า → ค่าไฟ → เครื่องมือ

กลาง
ช่างไฟฟ้า ผู้ติดตั้ง นักศึกษา ปวส./ป.ตรี
ระบบไฟบ้าน → RCD · กราวด์ → Control Pilot

ขั้นสูง
ผู้ออกแบบระบบพลังงานบ้าน วิศวกร
CC-CV → HEM · load balancing → ฮาร์มอนิกของเครื่องชาร์จ

## ค้นหาสูตรทั้งหมดในที่เดียว

ทุกสูตรมีรหัสถาวร (C พื้นฐาน · B แบตเตอรี่ · M ชาร์จช้า · W วอลล์บ็อกซ์ · H ระบบไฟบ้าน · P ความปลอดภัย · T ค่าไฟ · S โซลาร์ + แอร์ + รถ)

## ความรู้ที่เกี่ยวข้องบนเว็บนี้

| ความรู้ | ใช้ทำอะไรในชุดนี้ | บทเรียน |

| เพาเวอร์แฟกเตอร์ | ทำไมเครื่องชาร์จต้องมี PFC และกระแสจริงต่างจาก kW/V อย่างไร | เพาเวอร์แฟกเตอร์ |

| ระบบป้องกันและการต่อลงดิน | RCD TN-C-S TT อิมพีแดนซ์วงรอบ | การต่อลงดิน |

| โซลาร์เซลล์ | ขนาดแผง พลังงานต่อวัน แบตเตอรี่ | ออกแบบระบบโซลาร์ · โซลาร์จ่ายแอร์ |

| อิเล็กทรอนิกส์กำลัง | OBC คือ PFC + DC-DC แยกฉนวน | อิเล็กทรอนิกส์กำลัง |

| ฮาร์มอนิก | เครื่องชาร์จหลายคันในอาคารกับ THD | THD · IEEE 519 |

## มาตรฐานและแหล่งข้อมูลอ้างอิง

- ระบบชาร์จ: IEC 61851-1 (ระบบชาร์จตัวนำ: Mode 1–4 สัญญาณ Control Pilot), IEC 61851-21-2 (EMC), IEC 62196-1/-2/-3 (เต้ารับ หัวชาร์จ Type 2 CCS2), ISO 15118 (สื่อสารรถกับเครื่องชาร์จ Plug & Charge V2G), SAE J1772

- การติดตั้ง: IEC 60364-7-722 (การติดตั้งไฟฟ้าสำหรับจุดชาร์จ), มาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้าสำหรับประเทศไทย (วสท.) หมวดระบบอัดประจุยานยนต์ไฟฟ้า, ข้อกำหนดการไฟฟ้านครหลวง/ส่วนภูมิภาคสำหรับการติดตั้งเครื่องอัดประจุไฟฟ้าในที่อยู่อาศัย

- อุปกรณ์ป้องกัน: IEC 61008/61009 (RCD), IEC 62423 (RCD Type F/B), IEC 62955 (RDC-DD ตรวจจับ DC 6 mA), IEC 60898-1 (MCB)

- ค่าไฟ: อัตราค่าไฟฟ้าของ กฟภ./กฟน. (ประเภท 1 บ้านอยู่อาศัย อัตราปกติและ TOU) ค่า Ft ประกาศโดย กกพ. ทุก 4 เดือน

หมายเหตุ ข้อกำหนดของการไฟฟ้า อัตราค่าไฟ และค่า Ft เปลี่ยนได้ ตรวจประกาศฉบับล่าสุดก่อนลงมือ งานติดตั้งไฟฟ้าต้องทำโดยช่างที่มีหนังสือรับรอง เนื้อหาในชุดนี้มีไว้เพื่อให้เข้าใจหลักการ คำนวณเบื้องต้น และคุยกับช่างได้อย่างมีข้อมูล

## คำถามที่พบบ่อย

ชาร์จรถ EV ด้วยปลั๊กบ้านธรรมดาได้ไหม?
ได้ด้วยสายชาร์จพกพา (Mode 2) ที่มีกล่องควบคุมและ RCD ในสาย แต่ควรเสียบกับเต้ารับที่มีสายดิน วงจรแยกเฉพาะ และตั้งกระแสไม่เกิน 10–13 A สำหรับเต้ารับ 16 A ห้ามใช้สายพ่วงหรือปลั๊กแปลง เพราะชาร์จต่อเนื่องหลายชั่วโมง หน้าสัมผัสที่หลวมจะร้อนจนไหม้ได้ กำลังชาร์จประมาณ 2.3 kW ได้ระยะทางราว 12–15 km ต่อชั่วโมง

วอลล์บ็อกซ์ 7 kW ต้องเปลี่ยนมิเตอร์ไหม?
ส่วนใหญ่ต้องเปลี่ยน เพราะเครื่องชาร์จ 7.4 kW ดึงกระแส 32 A ต่อเนื่อง บ้านที่ใช้มิเตอร์ 5(15) A ไม่พอแน่นอน มิเตอร์ 15(45) A มักไม่พอเมื่อเปิดแอร์และเครื่องทำน้ำอุ่นพร้อมกัน การไฟฟ้าแนะนำมิเตอร์ 30(100) A แบบ 1 เฟส หรือ 15(45) A แบบ 3 เฟส พร้อมวงจรเฉพาะ RCD และสายดิน ให้คำนวณโหลดรวมก่อนยื่นขอ

ชาร์จช้ากับชาร์จเร็วที่บ้านต่างกันอย่างไร?
ทั้งสองแบบส่งไฟ AC ให้เครื่องชาร์จในรถ (On-board charger) แปลงเป็น DC เหมือนกัน ต่างกันที่กระแส: สายชาร์จพกพาใช้ 8–16 A จากเต้ารับ (1.8–3.7 kW) ส่วนวอลล์บ็อกซ์ใช้วงจรเฉพาะ 32 A 1 เฟส (7.4 kW) หรือ 16–32 A 3 เฟส (11–22 kW) แต่รถจะรับได้ไม่เกินพิกัด OBC ของตัวเอง การชาร์จด่วน DC ที่ปั๊มจ่าย DC เข้าแบตโดยตรง

ชาร์จรถที่บ้านเดือนละเท่าไร?
ใช้ไฟประมาณ 15–17 kWh ต่อ 100 km เมื่อรวมการสูญเสียในการชาร์จ ถ้าวิ่ง 1,500 km ต่อเดือนใช้ไฟราว 250 kWh ค่าไฟเพิ่มประมาณ 1,000–1,300 บาท (0.65–0.85 บาท/km) ขึ้นกับอัตราค่าไฟปกติหรือ TOU เทียบกับรถน้ำมันประมาณ 2.5 บาท/km

มีโซลาร์เซลล์แล้วชาร์จรถจากโซลาร์ได้ไหม?
ได้เฉพาะช่วงที่รถจอดอยู่บ้านตอนกลางวัน ถ้ารถไปทำงานกลางวัน ไฟโซลาร์ควรใช้กับแอร์และโหลดกลางวัน แล้วชาร์จรถช่วง Off-Peak กลางคืนแทน หรือเพิ่มแบตเตอรี่บ้าน ลองเปรียบเทียบทุกแบบด้วยซิมูเลเตอร์พลังงานบ้าน 24 ชั่วโมงในหน้านี้

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ชาร์จรถ EV ด้วยปลั๊กบ้านธรรมดาได้ไหม?**
ได้ด้วยสายชาร์จพกพา (Mode 2) ที่มีกล่องควบคุมและ RCD ในสาย แต่ควรเสียบกับเต้ารับที่มีสายดิน วงจรแยกเฉพาะ และตั้งกระแสไม่เกิน 10–13 A สำหรับเต้ารับ 16 A ห้ามใช้สายพ่วงหรือปลั๊กแปลง เพราะชาร์จต่อเนื่องหลายชั่วโมง หน้าสัมผัสที่หลวมจะร้อนจนไหม้ได้ กำลังชาร์จประมาณ 2.3 kW ได้ระยะทางราว 12–15 km ต่อชั่วโมง

**วอลล์บ็อกซ์ 7 kW ต้องเปลี่ยนมิเตอร์ไหม?**
ส่วนใหญ่ต้องเปลี่ยน เพราะเครื่องชาร์จ 7.4 kW ดึงกระแส 32 A ต่อเนื่อง บ้านที่ใช้มิเตอร์ 5(15) A ไม่พอแน่นอน มิเตอร์ 15(45) A มักไม่พอเมื่อเปิดแอร์และเครื่องทำน้ำอุ่นพร้อมกัน การไฟฟ้าแนะนำมิเตอร์ 30(100) A แบบ 1 เฟส หรือ 15(45) A แบบ 3 เฟส พร้อมวงจรเฉพาะ RCD และสายดิน ให้คำนวณโหลดรวมก่อนยื่นขอ

**ชาร์จช้ากับชาร์จเร็วที่บ้านต่างกันอย่างไร?**
ทั้งสองแบบส่งไฟ AC ให้เครื่องชาร์จในรถ (On-board charger) แปลงเป็น DC เหมือนกัน ต่างกันที่กระแส: สายชาร์จพกพาใช้ 8–16 A จากเต้ารับ (1.8–3.7 kW) ส่วนวอลล์บ็อกซ์ใช้วงจรเฉพาะ 32 A 1 เฟส (7.4 kW) หรือ 16–32 A 3 เฟส (11–22 kW) แต่รถจะรับได้ไม่เกินพิกัด OBC ของตัวเอง การชาร์จด่วน DC ที่ปั๊มจ่าย DC เข้าแบตโดยตรง

**ชาร์จรถที่บ้านเดือนละเท่าไร?**
ใช้ไฟประมาณ 15–17 kWh ต่อ 100 km เมื่อรวมการสูญเสียในการชาร์จ ถ้าวิ่ง 1,500 km ต่อเดือนใช้ไฟราว 250 kWh ค่าไฟเพิ่มประมาณ 1,000–1,300 บาท (0.65–0.85 บาท/km) ขึ้นกับอัตราค่าไฟปกติหรือ TOU เทียบกับรถน้ำมันประมาณ 2.5 บาท/km

**มีโซลาร์เซลล์แล้วชาร์จรถจากโซลาร์ได้ไหม?**
ได้เฉพาะช่วงที่รถจอดอยู่บ้านตอนกลางวัน ถ้ารถไปทำงานกลางวัน ไฟโซลาร์ควรใช้กับแอร์และโหลดกลางวัน แล้วชาร์จรถช่วง Off-Peak กลางคืนแทน หรือเพิ่มแบตเตอรี่บ้าน ลองเปรียบเทียบทุกแบบด้วยซิมูเลเตอร์พลังงานบ้าน 24 ชั่วโมงในหน้านี้

---

# แบตเตอรี่รถ EV กับเวลาชาร์จ: SOC, CC-CV, ประสิทธิภาพ, กำลังที่ลดลงหลัง 80 % และอายุแบตเตอรี่

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/battery-charging/
Updated: 2026-10-13
Summary: คำนวณเวลาชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าให้ใกล้ความจริง: ความจุ kWh กับ Ah แรงดันแพ็ก สถานะการประจุ SOC การชาร์จ CC-CV ทำไมกำลังชาร์จลดลงหลัง 80 % การสูญเสียในเครื่องชาร์จ C-rate อุณหภูมิ ตัวอย่างชาร์จ 20–80 % และ 20–100 % ด้วยสายชาร์จพกพาและวอลล์บ็อกซ์ และวิธีชาร์จให้แบตอายุยาว

// บทที่ 17.2 · ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน · EV Battery & Charging Time

# แบตเตอรี่รถ EV กับเวลาชาร์จ: SOC, CC-CV, ประสิทธิภาพ, กำลังที่ลดลงหลัง 80 % และอายุแบตเตอรี่

สูตร “เวลา = พลังงาน ÷ กำลัง” ใช้ได้ดีในช่วงกลางของแบต แต่ช่วงท้ายการชาร์จกำลังจะลดลงเอง และไฟที่จ่ายจากมิเตอร์ไม่ได้เข้าแบตทั้งหมด หน้านี้ทำให้การประมาณเวลาและค่าไฟแม่นขึ้น และอธิบายว่าควรชาร์จอย่างไรให้แบตอยู่ได้นาน

สรุปใน 30 วินาที

- ความจุ kWh = แรงดันแพ็ก × Ah ÷ 1000 · ใช้ “ความจุที่ใช้ได้ (usable)” ในการคำนวณ

- เวลา ≈ ความจุ × ΔSOC ÷ (P × η) แล้วบวกเวลาช่วง CV หลัง ~80 %

- ไฟจากมิเตอร์ ≈ ไฟเข้าแบต ÷ 0.85–0.92 (ชาร์จกระแสต่ำประสิทธิภาพต่ำกว่า)

- ชาร์จ AC ที่บ้าน C-rate ≈ 0.04–0.2C ถนอมแบตที่สุด ศัตรูคือความร้อนและการจอดที่ 100 % นาน ๆ

## ความจุ kWh, Ah และสถานะการประจุ SOC พื้นฐาน

B1 Battery energy capacity ความจุพลังงานของแบตเตอรี่

$$E_{bat}\,[\text{kWh}] = \frac{V_{pack}\,[\text{V}]\times C\,[\text{Ah}]}{1000}$$

B2 State of charge สถานะการประจุ

$$SOC = \frac{E_{stored}}{E_{usable}}\times 100\,\% \qquad E_{to\,add} = E_{usable}\,\frac{SOC_2 - SOC_1}{100}$$

ผู้ผลิตบอกได้สองค่า: ความจุรวม (gross) และ ความจุใช้ได้ (usable/net) ซึ่งน้อยกว่า 3–10 % เพราะ BMS เก็บส่วนบนและล่างไว้เป็นกันชน ให้ใช้ค่า usable ในการคำนวณเสมอ แบตเตอรี่รถมีสองเคมีหลัก: LFP (ลิเทียมไอรอนฟอสเฟต ทนรอบ ปลอดภัย แรงดันเซลล์ 3.2 V) และ NMC (ความหนาแน่นสูง แรงดันเซลล์ 3.6–3.7 V)

ตัวอย่าง B-1

### แพ็ก 400 V 150 Ah มีกี่ kWh

- B1: $E = 400 \times 150 / 1000 = 60\ \text{kWh}$

- LFP 3.2 V ต่อเซลล์ → ต่ออนุกรม $400/3.2 = 125$ เซลล์ (เขียนว่า 125S)

- B2: จาก 20 % ถึง 80 % ต้องเติม $60 \times 0.6 = 36\ \text{kWh}$ เข้าแบต

## เวลาชาร์จแบบง่าย และพลังงานจากมิเตอร์ พื้นฐาน

B3 Charging time (constant-power part) เวลาชาร์จในช่วงกำลังคงที่

$$t \approx \frac{E_{usable}\,(SOC_2 - SOC_1)/100}{P_{charge}\,\eta}$$

B4 Energy drawn from the meter พลังงานที่มิเตอร์นับ

$$E_{grid} = \frac{E_{to\,add}}{\eta} \qquad E_{loss} = E_{grid} - E_{to\,add}$$

ตัวอย่าง B-2

### ชาร์จ 20 → 80 % แบต 60 kWh ด้วยวอลล์บ็อกซ์ 7.36 kW

- B2: เติม 36 kWh · ประสิทธิภาพ $\eta = 0.90$

- B3: $t = 36/(7.36 \times 0.90) = 36/6.624 = 5.43\ \text{h} \approx 5$ ชม. 26 นาที

- B4: มิเตอร์นับ $36/0.9 = 40\ \text{kWh}$ สูญเสีย 4 kWh เป็นความร้อนใน OBC สายไฟ และแบต

- ช่วงนี้อยู่ต่ำกว่า 80 % กำลังคงที่ตลอด สูตรง่ายจึงตรงกับเครื่องคำนวณด้านล่าง

## CC-CV: ทำไมช่วงท้ายชาร์จช้าลง กลาง

เซลล์ลิเทียมมีแรงดันสูงสุดที่ห้ามเกิน (LFP ≈ 3.65 V, NMC ≈ 4.2 V ต่อเซลล์) ช่วงแรกระบบชาร์จด้วย กระแสคงที่ (Constant Current, CC) แรงดันค่อย ๆ ขึ้น เมื่อแรงดันถึงขีด ระบบเปลี่ยนเป็น แรงดันคงที่ (Constant Voltage, CV) กระแสลดลงเองแบบเอกซ์โพเนนเชียลตามที่เซลล์รับได้ ช่วงท้าย BMS ยังต้อง ปรับสมดุลเซลล์ (balancing) ให้ทุกก้อนเต็มเท่ากัน

B5 CV-phase current taper กระแสในช่วงแรงดันคงที่

$$i(t) \approx I_{CC}\,e^{-t/\tau} \qquad \tau \approx R_{int}C_{eq}$$

เมื่อมองจากผนังบ้าน การชาร์จ AC ที่กำลังต่ำ (2–11 kW) ส่วนใหญ่อยู่ในโหมด “กำลังคงที่” ได้ถึง 90 % กว่า เพราะ OBC จ่ายน้อยกว่าที่แบตรับได้มาก ส่วนตู้ DC 150 kW จะลดกำลังเร็วตั้งแต่ 50–60 % เครื่องคำนวณในหน้านี้ใช้แบบจำลองแบบง่าย: กำลังคงที่ถึง 80 % แล้วลดเป็นเส้นตรงเหลือ 30 % ที่ 100 %

B6 Teaching taper model แบบจำลองกำลังลดลงที่ใช้ในเครื่องคำนวณ

$$P(SOC) = \begin{cases} P_{0} & SOC \le 80\,\% \\[2pt] P_{0}\left[1 - 0.7\,\dfrac{SOC-80}{20}\right] & SOC > 80\,\% \end{cases} \qquad t = \int \frac{E_{usable}\,dSOC/100}{P(SOC)\,\eta}$$

ตัวอย่าง B-3

### ชาร์จ 20 → 100 % ด้วยวอลล์บ็อกซ์ 7.36 kW

- 20 → 80 %: 5.43 ชม. (ตัวอย่าง B-2)

- 80 → 100 %: เติม 12 kWh แต่กำลังเฉลี่ยลดลง อินทิเกรต B6: $\int_{80}^{100}\dfrac{0.6\,dS}{7.36(0.9)[1-0.035(S-80)]} = \dfrac{0.6}{6.624}\cdot\dfrac{\ln(1/0.3)}{0.035} = 3.11\ \text{h}$

- รวม ≈ 8.5 ชม. (เครื่องคำนวณ: 8 ชม. 32 นาที) ขณะที่สูตรง่ายให้ 7.25 ชม. — 20 % สุดท้ายใช้เวลาเกินครึ่งหนึ่งของ 60 % แรก

- ข้อคิด: ชาร์จประจำวันถึง 80–90 % แล้วชาร์จเต็มเฉพาะวันเดินทาง ประหยัดเวลาและถนอมแบต (สำหรับ NMC)

## C-rate: ชาร์จที่บ้านเบาแค่ไหน กลาง

B7 C-rate อัตราการชาร์จเทียบความจุ

$$C\text{-rate} = \frac{P_{charge}\,[\text{kW}]}{E_{bat}\,[\text{kWh}]} = \frac{I}{C_{Ah}} \qquad 1C = \text{เต็มใน } \approx 1\ \text{ชั่วโมง}$$

| วิธีชาร์จ (แบต 60 kWh) | กำลัง | C-rate | ผลต่อแบต |

| สายชาร์จพกพา 10 A | 2.3 kW | 0.04C | เบามาก แต่ OBC ทำงานนาน ประสิทธิภาพต่ำลงเล็กน้อย |

| วอลล์บ็อกซ์ 7.4 kW | 7.4 kW | 0.12C | เหมาะที่สุดสำหรับใช้ประจำ |

| วอลล์บ็อกซ์ 3 เฟส 22 kW | 22 kW | 0.37C | ยังเบา |

| ตู้ DC 150 kW | 150 kW | 2.5C (ช่วงสั้น) | ร้อน ใช้ได้เมื่อจำเป็น ไม่ควรใช้ทุกวัน |

## การสูญเสียระหว่างมิเตอร์กับแบตเตอรี่ กลาง

- สายไฟในบ้านและสายชาร์จ: 0.5–2 % (ขึ้นกับขนาดสายและความยาว — คำนวณใน ระบบไฟบ้าน)

- OBC (PFC + DC-DC): 4–8 % ที่กำลังพิกัด แต่ที่กำลังต่ำมาก ๆ ค่าคงที่ของวงจรควบคุม พัดลม ปั๊มน้ำหล่อเย็นกินสัดส่วนมากขึ้น

- แบตเตอรี่: ความต้านทานภายในและการปรับสมดุลเซลล์ 1–3 %

- ระบบในรถที่ทำงานระหว่างชาร์จ: คอมพิวเตอร์ ระบบทำความเย็นแบต (ในวันร้อนอาจหลายร้อยวัตต์)

ผลรวม: ชาร์จ AC ที่บ้านมีประสิทธิภาพราว 85–92 % ชาร์จด้วยกระแส 6–8 A ต่ำสุดอาจเหลือ 80–85 % ในวันร้อน ใช้ค่า 90 % สำหรับวอลล์บ็อกซ์และ 85–88 % สำหรับสายชาร์จพกพา

## เครื่องคำนวณเวลาชาร์จ

## ชาร์จอย่างไรให้แบตอายุยาว พื้นฐาน

| ปัจจัย | ผล | แนวปฏิบัติ |

| อุณหภูมิสูง | เร่งปฏิกิริยาข้างเคียง ความจุลดเร็ว | จอดในร่ม หลีกเลี่ยงชาร์จ DC ต่อเนื่องหลายรอบในวันร้อน |

| SOC สูงนาน ๆ | NMC เสื่อมเร็วที่แรงดันสูง | ตั้งขีด 80–90 % ใช้ตั้งเวลาให้ชาร์จเสร็จใกล้เวลาออกจากบ้าน |

| SOC ต่ำมาก | เสี่ยงเซลล์บางก้อนต่ำเกิน | อย่าปล่อยต่ำกว่า 10 % นาน ๆ |

| C-rate สูง | ความร้อน lithium plating เมื่อแบตเย็น | ชาร์จ AC ที่บ้านเป็นหลัก DC เมื่อเดินทาง |

| LFP กับการปรับเทียบ | เส้น OCV แบน BMS ประมาณ SOC ยาก | ชาร์จเต็ม 100 % เป็นครั้งคราวตามคู่มือ |

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมชาร์จรถ EV ช้าลงหลัง 80 %?
เมื่อแรงดันเซลล์เข้าใกล้ขีดสูงสุด ระบบจัดการแบตเตอรี่ (BMS) ต้องเปลี่ยนจากชาร์จกระแสคงที่ (CC) เป็นแรงดันคงที่ (CV) กระแสจึงค่อย ๆ ลดลงเพื่อไม่ให้เซลล์ใดเกินแรงดันและเพื่อให้เซลล์ทุกก้อนเต็มเท่ากัน การชาร์จ 80–100 % อาจใช้เวลาใกล้เคียงกับ 20–80 % โดยเฉพาะที่ตู้ DC

ควรชาร์จรถ EV ถึง 100 % ทุกวันไหม?
สำหรับแบต NMC ผู้ผลิตส่วนใหญ่แนะนำตั้งขีดไว้ 80–90 % สำหรับการใช้ประจำวัน และชาร์จ 100 % เฉพาะก่อนเดินทางไกล ส่วนแบต LFP หลายยี่ห้อแนะนำให้ชาร์จเต็ม 100 % เป็นครั้งคราว (อย่างน้อยสัปดาห์ละครั้ง) เพื่อให้ BMS ปรับเทียบค่า SOC ให้ถูก ให้ทำตามคู่มือรถ

ชาร์จที่บ้านด้วยไฟ AC ทำให้แบตเสื่อมเร็วไหม?
ไม่ การชาร์จ AC ที่บ้าน 2–11 kW มี C-rate ต่ำมาก (ประมาณ 0.05–0.2C) เป็นการชาร์จที่ถนอมแบตที่สุด สิ่งที่ทำให้แบตเสื่อมเร็วคือความร้อนสูง การชาร์จ DC กำลังสูงบ่อย ๆ และการจอดทิ้งที่ SOC 100 % นาน ๆ ในที่ร้อน

## FAQ

**ทำไมชาร์จรถ EV ช้าลงหลัง 80 %?**
เมื่อแรงดันเซลล์เข้าใกล้ขีดสูงสุด ระบบจัดการแบตเตอรี่ (BMS) ต้องเปลี่ยนจากชาร์จกระแสคงที่ (CC) เป็นแรงดันคงที่ (CV) กระแสจึงค่อย ๆ ลดลงเพื่อไม่ให้เซลล์ใดเกินแรงดันและเพื่อให้เซลล์ทุกก้อนเต็มเท่ากัน การชาร์จ 80–100 % อาจใช้เวลาใกล้เคียงกับ 20–80 % โดยเฉพาะที่ตู้ DC

**ควรชาร์จรถ EV ถึง 100 % ทุกวันไหม?**
สำหรับแบต NMC ผู้ผลิตส่วนใหญ่แนะนำตั้งขีดไว้ 80–90 % สำหรับการใช้ประจำวัน และชาร์จ 100 % เฉพาะก่อนเดินทางไกล ส่วนแบต LFP หลายยี่ห้อแนะนำให้ชาร์จเต็ม 100 % เป็นครั้งคราว (อย่างน้อยสัปดาห์ละครั้ง) เพื่อให้ BMS ปรับเทียบค่า SOC ให้ถูก ให้ทำตามคู่มือรถ

**ชาร์จที่บ้านด้วยไฟ AC ทำให้แบตเสื่อมเร็วไหม?**
ไม่ การชาร์จ AC ที่บ้าน 2–11 kW มี C-rate ต่ำมาก (ประมาณ 0.05–0.2C) เป็นการชาร์จที่ถนอมแบตที่สุด สิ่งที่ทำให้แบตเสื่อมเร็วคือความร้อนสูง การชาร์จ DC กำลังสูงบ่อย ๆ และการจอดทิ้งที่ SOC 100 % นาน ๆ ในที่ร้อน

---

# พื้นฐานการชาร์จรถยนต์ไฟฟ้า: kW กับ kWh, Mode 1–4, AC กับ DC, On-board Charger และหัวชาร์จ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/charging-basics/
Updated: 2026-10-13
Summary: เข้าใจการชาร์จรถ EV ตั้งแต่ศูนย์: กำลัง kW กับพลังงาน kWh ชาร์จช้าด้วยไฟบ้าน ชาร์จเร็วที่บ้านด้วยวอลล์บ็อกซ์ และชาร์จด่วน DC ต่างกันอย่างไร โหมดการชาร์จ Mode 1–4 ตาม IEC 61851 เครื่องชาร์จในรถ (OBC) กำลังชาร์จจริงถูกจำกัดด้วยอะไร หัวชาร์จ Type 2 CCS2 CHAdeMO GB/T พร้อมตัวอย่างคำนวณ

// บทที่ 17.1 · ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน · EV Charging Basics

# พื้นฐานการชาร์จรถยนต์ไฟฟ้า: kW กับ kWh, Mode 1–4, AC กับ DC, On-board Charger และหัวชาร์จ

ก่อนคุยเรื่องมิเตอร์ สายไฟ หรือโซลาร์ ต้องแยกสองคำนี้ให้ขาด: กำลัง (kW) กับ พลังงาน (kWh) และต้องรู้ว่าไฟจากผนังบ้านเดินทางเข้าแบตเตอรี่ผ่านอะไรบ้าง หน้านี้ตอบว่า “ชาร์จช้า” “ชาร์จเร็วที่บ้าน” และ “ชาร์จด่วน” ต่างกันตรงไหนจริง ๆ

สรุปใน 30 วินาที

- kWh = ขนาดถัง · kW = อัตราการเติม · kWh = kW × ชั่วโมง

- ไฟ AC (บ้าน วอลล์บ็อกซ์) ต้องผ่าน OBC ในรถ · ไฟ DC (ตู้ชาร์จด่วน) เข้าแบตตรง

- กำลังชาร์จจริง = ค่าน้อยที่สุดของ เครื่องชาร์จ · สาย · OBC · สถานะแบต

- ไทยใช้ Type 2 สำหรับ AC และ CCS2 สำหรับ DC เป็นหลัก

## กำลัง (kW) กับ พลังงาน (kWh) พื้นฐาน

นึกถึงการเติมน้ำใส่ถัง: ขนาดถัง คือลิตร ความแรงของก๊อก คือลิตรต่อนาที แบตเตอรี่รถก็เช่นกัน ขนาดถังวัดเป็น kWh (กิโลวัตต์-ชั่วโมง) และความแรงของการเติมวัดเป็น kW (กิโลวัตต์) ใบแจ้งหนี้ค่าไฟคิดเป็น “หน่วย” ซึ่งก็คือ kWh

C1 Energy = power × time พลังงานเท่ากับกำลังคูณเวลา

$$E\,[\text{kWh}] = P\,[\text{kW}] \times t\,[\text{h}] \qquad 1\ \text{kWh} = 1\ \text{หน่วยค่าไฟ} = 3.6\ \text{MJ}$$

C2 Single-phase AC power กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ 1 เฟส

$$P = V\,I\,\cos\varphi \;\approx\; V\,I \quad (\text{เครื่องชาร์จที่มี PFC: } \cos\varphi \approx 0.99)$$

C3 Three-phase AC power กำลังไฟฟ้า 3 เฟส

$$P = \sqrt{3}\,V_L\,I_L\,\cos\varphi = 3\,V_{ph}\,I\,\cos\varphi \qquad (V_L = 400\ \text{V},\ V_{ph} = 230\ \text{V})$$

เครื่องชาร์จรถทุกรุ่นที่ได้มาตรฐานมีวงจรแก้เพาเวอร์แฟกเตอร์ (PFC) ในตัว จึงใช้ $P \approx VI$ ได้ เรื่องนี้อธิบายละเอียดในชุด เพาเวอร์แฟกเตอร์

ตัวอย่าง C-1

### วอลล์บ็อกซ์ 32 A 1 เฟส ชาร์จ 5 ชั่วโมง ได้กี่หน่วย

- C2: $P = 230 \times 32 = 7{,}360\ \text{W} = 7.36\ \text{kW}$

- C1: $E = 7.36 \times 5 = 36.8\ \text{kWh}$ — มิเตอร์บ้านหมุนไป 36.8 หน่วย

- พลังงานที่เข้าแบตจริงน้อยกว่านี้ราว 10 % (ประสิทธิภาพ ≈ 90 %) เหลือประมาณ 33 kWh ดู แบตเตอรี่ · เวลาชาร์จ

ตัวอย่าง C-2

### วอลล์บ็อกซ์ 3 เฟส 16 A ให้กำลังเท่าไร

- C3: $P = \sqrt{3}\times 400 \times 16 = 11{,}085\ \text{W} \approx 11\ \text{kW}$

- หรือคิดทีละเฟส: $3 \times 230 \times 16 = 11{,}040\ \text{W}$ (ต่างกันเล็กน้อยเพราะ 400/√3 = 230.9 V)

- สังเกต: กระแสต่อเฟสแค่ 16 A เท่าเต้ารับบ้าน แต่กำลังมากกว่าสายชาร์จพกพา 16 A ถึงสามเท่า — ระบบ 3 เฟสส่งกำลังมากได้โดยกระแสต่อสายไม่สูง

## ไฟเดินทางจากผนังเข้าแบตเตอรี่อย่างไร พื้นฐาน

ทุกการชาร์จแบบ AC ใช้ตัวแปลง (OBC) ในรถ จึงถูกจำกัดด้วยขนาด OBC ส่วนการชาร์จ DC ใช้ตัวแปลงใหญ่ในตู้ชาร์จ

EVSE (Electric Vehicle Supply Equipment) คือชื่อทางการของ “เครื่องชาร์จ” ที่บ้าน ไม่ว่าจะเป็นกล่องควบคุมบนสายชาร์จพกพาหรือวอลล์บ็อกซ์ หน้าที่คือ (1) ตรวจว่าเสียบรถแล้วและมีสายดิน (2) บอกรถว่าดึงกระแสได้สูงสุดเท่าไรผ่านสัญญาณ Control Pilot (3) ต่อและตัดไฟด้วยคอนแทกเตอร์ (4) ตัดเมื่อมีไฟรั่ว อ่านรายละเอียดที่ วอลล์บ็อกซ์และ Control Pilot

## โหมดการชาร์จ Mode 1–4 ตาม IEC 61851 พื้นฐาน

| โหมด | ต่ออย่างไร | การป้องกันและสื่อสาร | กำลัง | ใช้ที่บ้านได้ไหม |

| Mode 1 | เสียบเต้ารับตรง ไม่มีกล่องควบคุม | ไม่มี Control Pilot พึ่ง RCD ของบ้าน | ≤ 3.7 kW | ไม่อนุญาตสำหรับรถยนต์ (ใช้กับสกู๊ตเตอร์/จักรยาน) |

| Mode 2 — ชาร์จช้า | สายชาร์จพกพาเสียบเต้ารับ มีกล่อง ICCB กลางสาย | Control Pilot + RCD (มักตรวจ DC 6 mA) ในกล่อง | 1.8–3.7 kW (1φ) / ถึง 22 kW (หัว 3 เฟสอุตสาหกรรม) | ได้ — เต้ารับมีสายดิน วงจรเฉพาะ |

| Mode 3 — ชาร์จเร็วที่บ้าน | วอลล์บ็อกซ์ต่อตายตัวกับตู้ไฟ | Control Pilot + Proximity + RCD/RDC-DD | 3.7–22 kW AC | ได้ — วิธีที่แนะนำสำหรับชาร์จประจำ |

| Mode 4 — ชาร์จด่วน DC | ตู้ DC ตัวแปลงอยู่ในตู้ | สื่อสารดิจิทัล (CCS: PLC/ISO 15118, CHAdeMO: CAN) | 30–350 kW DC | โดยทั่วไปไม่ (มี DC wallbox 10–30 kW แต่ราคาสูง) |

SAE (อเมริกา) ใช้คำว่า Level 1 (120 V), Level 2 (208–240 V) และ DC Fast ในไทยไฟบ้าน 230 V ทั้ง Mode 2 และ Mode 3 จึงจัดเป็น “Level 2” ตามความหมายของอเมริกา คำว่า Level จึงทำให้สับสน ชุดนี้ใช้ Mode ตาม IEC

## On-board Charger: เพดานของการชาร์จ AC กลาง

C4 Actual AC charging power กำลังชาร์จจริงคือค่าที่น้อยที่สุด

$$P_{charge} = \min\!\left(P_{EVSE},\ P_{cable},\ P_{OBC},\ P_{BMS}(SOC,T)\right)$$

$P_{EVSE}$ มาจากกระแสที่เครื่องชาร์จประกาศผ่าน Control Pilot $P_{cable}$ มาจากตัวต้านทาน Proximity ในหัวสาย $P_{OBC}$ คือพิกัดเครื่องชาร์จในรถ และ $P_{BMS}$ คือที่ระบบจัดการแบตยอมรับ ซึ่งลดลงเมื่อแบตใกล้เต็มหรืออุณหภูมิไม่เหมาะ

| OBC ของรถ | ต่อกับ | ได้จริง | เหตุผล |

| 1 เฟส 7.4 kW (32 A) | วอลล์บ็อกซ์ 3 เฟส 22 kW | 7.4 kW | OBC ใช้เฟสเดียว กระแส 32 A |

| 1 เฟส 7.4 kW | วอลล์บ็อกซ์ 3 เฟส 11 kW (16 A) | 3.7 kW | ใช้ได้แค่เฟสเดียว × 16 A |

| 3 เฟส 11 kW (16 A) | วอลล์บ็อกซ์ 1 เฟส 32 A | 3.7 kW | OBC 3 เฟสหลายรุ่นรับเฟสเดียวได้แค่ 16 A — ตรวจสเปกรถ |

| 3 เฟส 11 kW | วอลล์บ็อกซ์ 3 เฟส 22 kW | 11 kW | OBC เป็นเพดาน |

| 3 เฟส 22 kW | วอลล์บ็อกซ์ 3 เฟส 22 kW | 22 kW | ต้องใช้สาย 32 A ด้วย |

บทเรียนก่อนซื้อ ดูสเปก “AC charging max” และจำนวนเฟสของรถก่อนเลือกวอลล์บ็อกซ์และมิเตอร์ การซื้อเครื่อง 22 kW ให้รถที่รับได้ 7.4 kW เสียเงินเปล่าและอาจต้องขอมิเตอร์ 3 เฟสโดยไม่จำเป็น

C5 Range added per hour ระยะทางที่ได้ต่อชั่วโมงที่ชาร์จ

$$\frac{\Delta d}{\Delta t}\,[\text{km/h}] = \frac{P_{charge}\,\eta}{c}\times 100 \qquad c = \text{อัตราสิ้นเปลือง (kWh/100 km)}$$

ตัวอย่าง C-3

### ชาร์จหนึ่งชั่วโมงได้ระยะทางเท่าไร

- รถกินไฟ $c = 15$ kWh/100 km ประสิทธิภาพการชาร์จ 90 %

- สายชาร์จพกพา 10 A: $P = 2.3$ kW → $2.3(0.9)/15 \times 100 = 13.8$ km/h

- วอลล์บ็อกซ์ 7.36 kW → $7.36(0.9)/15\times 100 = 44$ km/h

- ตู้ DC 100 kW (ช่วง SOC ต่ำ ประสิทธิภาพ ≈ 95 %) → ≈ 630 km/h — แต่ลดลงมากเมื่อ SOC เกิน 80 %

- คนที่ขับวันละ 40 km ต้องการเติมแค่ 6–7 kWh ต่อวัน: สายพกพา 10 A ชาร์จกลางคืน 3 ชั่วโมงก็พอ

## หัวชาร์จและเต้ารับ พื้นฐาน

| หัวชาร์จ | ใช้กับ | ขา | พบในไทย |

| Type 2 (Mennekes, IEC 62196-2) | AC 1 เฟสและ 3 เฟส ถึง 63 A | L1 L2 L3 N PE + CP + PP (7 ขา) | มาตรฐานหลักของรถส่วนใหญ่ |

| CCS2 (Combo 2) | DC ถึง 350–500 kW | Type 2 ด้านบน (ใช้ CP PP PE) + DC+ DC− ด้านล่าง | ตู้ชาร์จด่วนส่วนใหญ่ |

| Type 1 (J1772) | AC 1 เฟส | L N PE CP PP (5 ขา) | รถนำเข้าจากอเมริกา/ญี่ปุ่นรุ่นเก่า |

| CHAdeMO | DC สื่อสารผ่าน CAN | 10 ขา | รถญี่ปุ่นบางรุ่น |

| GB/T | AC และ DC ของจีน | แยกหัว AC/DC | รถจีนบางรุ่น (ส่วนใหญ่ที่ขายในไทยเปลี่ยนเป็น Type 2/CCS2) |

ขา CP (Control Pilot) ใช้สื่อสารกระแสสูงสุดและสถานะ ขา PP (Proximity Pilot) มีตัวต้านทานบอกพิกัดของสาย และ PE คือสายดินที่ต้องต่อถึงหลักดินของบ้านเสมอ — ไม่มีสายดิน เครื่องชาร์จจะไม่ยอมจ่ายไฟ

## เลือกวิธีชาร์จให้เหมาะกับการใช้งาน พื้นฐาน

| การใช้รถ | พลังงานต่อวัน | ชาร์จช้า 10 A (คืนละ 8 ชม.) | แนะนำ |

| ไปทำงาน 30–50 km/วัน | 5–8 kWh | ≈ 16 kWh ✓ พอ | Mode 2 ในวงจรเฉพาะ หรือวอลล์บ็อกซ์ 3.7–7.4 kW ถ้าอยากเร็ว |

| เดินทาง 80–150 km/วัน | 14–25 kWh | ≈ 16 kWh ✗ ไม่พอบางวัน | วอลล์บ็อกซ์ 7.4 kW |

| สองคันในบ้าน / แท็กซี่ / ส่งของ | > 30 kWh | ✗ | วอลล์บ็อกซ์ 3 เฟส 11 kW หรือสองเครื่องพร้อม load balancing |

| คอนโด หอพัก (ไม่มีวงจรเฉพาะ) | — | ห้ามเสียบเต้ารับทั่วไปข้ามคืน | ชาร์จที่จุดชาร์จส่วนกลาง/สาธารณะ |

อ่านต่อ: ทำไมชาร์จช้าลงหลัง 80 % · ชาร์จช้าด้วยไฟบ้านอย่างปลอดภัย · วอลล์บ็อกซ์

## คำถามที่พบบ่อย

kW กับ kWh ต่างกันอย่างไรในรถยนต์ไฟฟ้า?
kWh คือขนาดถังพลังงาน เช่น แบตเตอรี่ 60 kWh ส่วน kW คือความเร็วในการเติม เช่น เครื่องชาร์จ 7.4 kW เติมได้ 7.4 kWh ในหนึ่งชั่วโมง (ก่อนหักการสูญเสีย) เหมือนลิตรกับลิตรต่อนาทีของหัวจ่ายน้ำมัน

On-board charger (OBC) คืออะไร?
คือวงจรอิเล็กทรอนิกส์กำลังในรถที่แปลงไฟ AC จากบ้านหรือวอลล์บ็อกซ์เป็นไฟ DC แรงดันสูงเข้าแบตเตอรี่ พิกัดของ OBC เช่น 7.4 kW หรือ 11 kW เป็นเพดานของการชาร์จ AC ทุกแบบ การชาร์จด่วน DC ข้าม OBC ไปเข้าแบตโดยตรง

หัวชาร์จที่ใช้ในประเทศไทยเป็นแบบไหน?
รถส่วนใหญ่ในไทยใช้หัว AC แบบ Type 2 (IEC 62196-2) และหัว DC แบบ CCS2 ซึ่งรวม Type 2 ไว้ด้านบนกับขา DC สองขาด้านล่าง รถบางรุ่นใช้ CHAdeMO หรือ GB/T ตามประเทศผู้ผลิต

## FAQ

**kW กับ kWh ต่างกันอย่างไรในรถยนต์ไฟฟ้า?**
kWh คือขนาดถังพลังงาน เช่น แบตเตอรี่ 60 kWh ส่วน kW คือความเร็วในการเติม เช่น เครื่องชาร์จ 7.4 kW เติมได้ 7.4 kWh ในหนึ่งชั่วโมง (ก่อนหักการสูญเสีย) เหมือนลิตรกับลิตรต่อนาทีของหัวจ่ายน้ำมัน

**On-board charger (OBC) คืออะไร?**
คือวงจรอิเล็กทรอนิกส์กำลังในรถที่แปลงไฟ AC จากบ้านหรือวอลล์บ็อกซ์เป็นไฟ DC แรงดันสูงเข้าแบตเตอรี่ พิกัดของ OBC เช่น 7.4 kW หรือ 11 kW เป็นเพดานของการชาร์จ AC ทุกแบบ การชาร์จด่วน DC ข้าม OBC ไปเข้าแบตโดยตรง

**หัวชาร์จที่ใช้ในประเทศไทยเป็นแบบไหน?**
รถส่วนใหญ่ในไทยใช้หัว AC แบบ Type 2 (IEC 62196-2) และหัว DC แบบ CCS2 ซึ่งรวม Type 2 ไว้ด้านบนกับขา DC สองขาด้านล่าง รถบางรุ่นใช้ CHAdeMO หรือ GB/T ตามประเทศผู้ผลิต

---

# ค่าชาร์จรถ EV ที่บ้าน: ค่าไฟอัตราก้าวหน้ากับ TOU, ค่าใช้จ่ายต่อกิโลเมตร และความคุ้มค่าของมิเตอร์ TOU

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/charging-cost/
Updated: 2026-10-13
Summary: คำนวณค่าชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้านในประเทศไทย: โครงสร้างค่าไฟบ้านประเภท 1.2 อัตราก้าวหน้า ค่า Ft VAT ค่าบริการ อัตรา TOU On-Peak 5.7982 Off-Peak 2.6369 บาท ช่วงเวลา On-Peak พลังงานต่อ 100 km ค่าใช้จ่ายต่อกิโลเมตรเทียบรถน้ำมัน ตัวอย่างบ้านใช้ไฟ 400 หน่วยวิ่ง 1,500 km และเครื่องคำนวณว่ามิเตอร์ TOU คุ้มหรือไม่

// บทที่ 17.7 · ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน · Home Charging Cost

# ค่าชาร์จรถ EV ที่บ้าน: ค่าไฟอัตราก้าวหน้ากับ TOU, ค่าใช้จ่ายต่อกิโลเมตร และความคุ้มค่าของมิเตอร์ TOU

“ชาร์จเต็มหนึ่งครั้งกี่บาท” ตอบไม่ได้ด้วยการคูณราคาต่อหน่วยตัวเดียว เพราะค่าไฟบ้านแบบปกติเป็นอัตราก้าวหน้า ไฟหน่วยที่เพิ่มเพราะรถถูกคิดในขั้นที่แพงที่สุด ส่วนแบบ TOU ราคาขึ้นกับเวลา หน้านี้แยกโครงสร้างบิลออกเป็นส่วน ๆ แล้วคำนวณ “ค่าไฟส่วนเพิ่ม” ที่แท้จริงของรถ

สรุปใน 30 วินาที

- ไฟที่ซื้อเพื่อรถ = km × kWh/100 km ÷ ประสิทธิภาพการชาร์จ

- อัตราปกติ: ไฟส่วนเพิ่มคิดที่ขั้นบน ≈ 4.42 ฿ + Ft แล้ว × 1.07 ≈ 4.9 ฿/หน่วย

- TOU Off-Peak ≈ 2.64 ฿ + Ft แล้ว × 1.07 ≈ 3.0 ฿/หน่วย แต่ On-Peak แพงขึ้นเป็น ≈ 6.4 ฿

- ค่าชาร์จ ≈ 0.65–0.85 ฿/km เทียบรถน้ำมัน ≈ 2.5 ฿/km

## รถใช้ไฟเดือนละกี่หน่วย พื้นฐาน

T1 Monthly charging energy ไฟที่มิเตอร์นับต่อเดือนเพราะรถ

$$E_{EV} = \frac{d \times c/100}{\eta} \qquad d = \text{km/เดือน},\ c = \text{kWh/100 km},\ \eta \approx 0.85\text{–}0.92$$

อัตราสิ้นเปลืองจริงของรถเก๋งไฟฟ้าในเมืองไทยประมาณ 13–17 kWh/100 km (รถ SUV และขับเร็วบนทางด่วนสูงกว่า) ตัวเลขบนหน้าจอรถมักเป็นค่า “จากแบต” ยังไม่รวมการสูญเสียในการชาร์จ

ตัวอย่าง T-1

### วิ่ง 1,500 km/เดือน รถ 15 kWh/100 km

- T1: $E_{EV} = 1500 \times 0.15 / 0.9 = 250\ \text{kWh}$ ต่อเดือน

- ถ้าบ้านเดิมใช้ 400 หน่วย บิลจะกลายเป็น 650 หน่วย — เพิ่มขึ้น 62 %

## โครงสร้างค่าไฟบ้าน (อัตราปกติ ประเภท 1.2) พื้นฐาน

| ส่วนของบิล | ค่า (ปี 2568) | หมายเหตุ |

| ค่าพลังงาน 150 หน่วยแรก | 3.2484 ฿/หน่วย | ใช้มากขึ้น ราคาต่อหน่วยขั้นถัดไปแพงขึ้น |

| หน่วยที่ 151–400 | 4.2218 ฿/หน่วย |

| หน่วยที่ 401 ขึ้นไป | 4.4217 ฿/หน่วย |

| ค่าบริการรายเดือน | 24.62 ฿ | |

| ค่าไฟฟ้าผันแปร (Ft) | ประกาศทุก 4 เดือน เช่น 0.1972 ฿/หน่วย | ตรวจค่างวดปัจจุบันจาก กกพ. |

| ภาษีมูลค่าเพิ่ม | 7 % ของทั้งหมด | |

T2 Progressive (block) tariff bill ค่าไฟอัตราก้าวหน้า

$$B = \Big[\sum_k r_k\,E_k + S + E\,F_t\Big](1 + 0.07) \qquad E_k = \text{หน่วยที่ตกอยู่ในขั้นที่ } k$$

T3 Incremental cost of the EV ค่าไฟส่วนเพิ่มเพราะรถ

$$\Delta B = B(E_{home} + E_{EV}) - B(E_{home}) \qquad \text{฿/km} = \frac{\Delta B}{d}$$

ตัวอย่าง T-2

### บ้าน 400 หน่วย + รถ 250 หน่วย (อัตราปกติ Ft 0.1972)

- บิลเดิม T2: $150(3.2484) + 250(4.2218) = 487.26 + 1055.45 = 1542.71$ + 24.62 + $400(0.1972) = 78.88$ → 1646.21 × 1.07 = 1,761 ฿

- บิลใหม่ 650 หน่วย: $1542.71 + 250(4.4217) = 2648.14$ + 24.62 + $650(0.1972) = 128.18$ → 2800.94 × 1.07 = 2,997 ฿

- T3: $\Delta B = 1{,}236$ ฿ → $1236/1500 = 0.82$ ฿/km · ต่อหน่วยของรถ $1236/250 = 4.94$ ฿

## อัตรา TOU (ประเภท 1.3.2) กลาง

| ช่วงเวลา | เมื่อไร | ค่าพลังงาน (ไม่รวม Ft, VAT) |

| On-Peak | จันทร์–ศุกร์ 09:00–22:00 น. | 5.7982 ฿/หน่วย |

| Off-Peak | จันทร์–ศุกร์ 22:00–09:00 น. · เสาร์ อาทิตย์ วันหยุดราชการตามปกติทั้งวัน | 2.6369 ฿/หน่วย |

| ค่าบริการ | รายเดือน | 24.62 ฿ |

T4 TOU bill ค่าไฟอัตรา TOU

$$B_{TOU} = \Big[5.7982\,E_{on} + 2.6369\,E_{off} + S + (E_{on}+E_{off})F_t\Big](1.07)$$

กุญแจคือ ไฟที่เคยใช้ช่วงกลางวันวันธรรมดาของบ้านเดิม จะแพงขึ้นจาก ~4.2–4.4 เป็น 5.8 ฿ ส่วนไฟของรถที่ชาร์จ Off-Peak ถูกลงจาก 4.42 เป็น 2.64 ฿ TOU คุ้มเมื่อส่วนลดของรถมากกว่าส่วนเพิ่มของบ้าน

T5 TOU break-even (rough) เงื่อนไขคุ้มโดยประมาณ

$$E_{EV,off}\,(r_{top} - 2.64) \;>\; E_{home,on}\,(5.80 - \bar r_{home}) + E_{home,off}\,(2.64 - \bar r_{home})$$

ตัวอย่าง T-3

### บ้านเดิมกับ TOU (บ้านใช้ On-Peak 55 % รถชาร์จ Off-Peak ทั้งหมด)

- ยังไม่มีรถ: On 220 · Off 180 หน่วย → T4: $220(5.7982) + 180(2.6369) = 1750.24$ + 24.62 + 78.88 → × 1.07 = 1,984 ฿ (แพงกว่าอัตราปกติ 223 ฿ — บ้านนี้ยังไม่ควรใช้ TOU)

- มีรถ: Off +250 → $+250(2.6369) + 250(0.1972) = 708.53$ → (1853.74 + 708.53) × 1.07 = 2,742 ฿

- เทียบอัตราปกติเมื่อมีรถ 2,997 ฿ → TOU ถูกกว่า 255 ฿/เดือน ค่ารถจริงเมื่อเทียบบิลเดิม 2,742 − 1,761 = 980 ฿ = 0.65 ฿/km

- ถ้าวิ่งแค่ 1,000 km/เดือน (167 หน่วย) TOU ถูกกว่าเพียง 96 ฿/เดือน — ไม่คุ้มค่าเปลี่ยนมิเตอร์เร็วนักถ้าบ้านใช้ไฟกลางวันมาก ถ้ามีโซลาร์ที่ลดไฟกลางวัน TOU คุ้มขึ้นมาก (ดูหน้าถัดไป)

## ค่าใช้จ่ายต่อกิโลเมตรเทียบรถน้ำมัน พื้นฐาน

T6 Cost per kilometre ค่าใช้จ่ายต่อกิโลเมตร

$$\text{฿/km}_{EV} = \frac{c}{100\,\eta}\,r_{marginal} \qquad \text{฿/km}_{ICE} = \frac{\text{ราคาน้ำมัน}}{\text{km/ลิตร}}$$

| กรณี (15 kWh/100 km, η 0.9) | ราคาส่วนเพิ่มรวม Ft VAT | ฿/km | 1,500 km/เดือน |

| อัตราปกติ ขั้นบน | ≈ 4.94 ฿ | 0.82 | ≈ 1,240 ฿ |

| TOU ชาร์จ Off-Peak | ≈ 3.03 ฿ | 0.51 (เฉพาะรถ) | ≈ 760 ฿ (+ ส่วนต่างบ้าน) |

| ชาร์จจากโซลาร์ส่วนเกิน (เสียโอกาสขายไฟ 2.2 ฿) | ≈ 2.2 ฿ | 0.37 | ≈ 550 ฿ |

| ตู้ชาร์จด่วนสาธารณะ | ≈ 6.5–8 ฿ | 1.1–1.3 | ≈ 1,600–2,000 ฿ |

| รถน้ำมัน 14 km/ลิตร 35 ฿/ลิตร | — | 2.50 | 3,750 ฿ |

## เครื่องคำนวณ: อัตราปกติหรือ TOU คุ้มกว่าสำหรับบ้านคุณ

หมายเหตุ อัตราค่าไฟในหน้านี้เป็นอัตราของ กฟภ./กฟน. ที่ใช้ในปี 2568 สำหรับผู้ใช้ไฟแรงดันต่ำกว่า 22 kV ค่า Ft ใส่เป็นตัวแปรเพราะเปลี่ยนทุก 4 เดือน ไม่รวมค่าใช้จ่ายเปลี่ยนมิเตอร์และอัตราพิเศษสำหรับ EV ที่อาจประกาศเพิ่ม ตรวจประกาศล่าสุดก่อนตัดสินใจ

## คำถามที่พบบ่อย

ชาร์จรถ EV ที่บ้านกิโลเมตรละกี่บาท?
ประมาณ 0.65–0.85 บาทต่อกิโลเมตร สำหรับรถที่ใช้ไฟ 15 kWh ต่อ 100 km และประสิทธิภาพการชาร์จ 90 % ขึ้นกับว่าใช้อัตราปกติ (ไฟส่วนเพิ่มอยู่ขั้นบนสุดราว 4.4 บาทก่อน Ft และ VAT) หรือ TOU ชาร์จช่วง Off-Peak (ราว 2.6 บาทก่อน Ft และ VAT) เทียบกับรถน้ำมัน 14 km/ลิตร ที่ราคา 35 บาท/ลิตร ประมาณ 2.5 บาท/km

มิเตอร์ TOU คุ้มไหมเมื่อมีรถ EV?
คุ้มเมื่อพลังงานที่ย้ายไปช่วง Off-Peak ได้มากพอ อัตรา Off-Peak ถูกกว่าอัตราปกติขั้นบนเกือบครึ่ง แต่ On-Peak แพงกว่า (5.7982 บาท) บ้านที่ใช้ไฟกลางวันวันธรรมดามาก เช่น เปิดแอร์ทั้งวันโดยไม่มีโซลาร์ อาจไม่คุ้ม ให้ใส่ตัวเลขบิลของคุณในเครื่องคำนวณ ระยะทางยิ่งมาก TOU ยิ่งคุ้ม

ช่วงเวลา On-Peak และ Off-Peak ของ TOU คือเมื่อไร?
On-Peak คือวันจันทร์–ศุกร์ เวลา 09:00–22:00 น. Off-Peak คือวันจันทร์–ศุกร์ 22:00–09:00 น. และวันเสาร์ อาทิตย์ วันหยุดราชการตามปกติทั้งวัน ตรวจรายละเอียดวันหยุดที่ใช้กับ TOU จากการไฟฟ้า

## FAQ

**ชาร์จรถ EV ที่บ้านกิโลเมตรละกี่บาท?**
ประมาณ 0.65–0.85 บาทต่อกิโลเมตร สำหรับรถที่ใช้ไฟ 15 kWh ต่อ 100 km และประสิทธิภาพการชาร์จ 90 % ขึ้นกับว่าใช้อัตราปกติ (ไฟส่วนเพิ่มอยู่ขั้นบนสุดราว 4.4 บาทก่อน Ft และ VAT) หรือ TOU ชาร์จช่วง Off-Peak (ราว 2.6 บาทก่อน Ft และ VAT) เทียบกับรถน้ำมัน 14 km/ลิตร ที่ราคา 35 บาท/ลิตร ประมาณ 2.5 บาท/km

**มิเตอร์ TOU คุ้มไหมเมื่อมีรถ EV?**
คุ้มเมื่อพลังงานที่ย้ายไปช่วง Off-Peak ได้มากพอ อัตรา Off-Peak ถูกกว่าอัตราปกติขั้นบนเกือบครึ่ง แต่ On-Peak แพงกว่า (5.7982 บาท) บ้านที่ใช้ไฟกลางวันวันธรรมดามาก เช่น เปิดแอร์ทั้งวันโดยไม่มีโซลาร์ อาจไม่คุ้ม ให้ใส่ตัวเลขบิลของคุณในเครื่องคำนวณ ระยะทางยิ่งมาก TOU ยิ่งคุ้ม

**ช่วงเวลา On-Peak และ Off-Peak ของ TOU คือเมื่อไร?**
On-Peak คือวันจันทร์–ศุกร์ เวลา 09:00–22:00 น. Off-Peak คือวันจันทร์–ศุกร์ 22:00–09:00 น. และวันเสาร์ อาทิตย์ วันหยุดราชการตามปกติทั้งวัน ตรวจรายละเอียดวันหยุดที่ใช้กับ TOU จากการไฟฟ้า

---

# เครื่องมือคำนวณการชาร์จรถ EV ที่บ้าน และซิมูเลเตอร์พลังงานบ้าน 24 ชั่วโมง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/ev-lab/
Updated: 2026-10-13
Summary: รวมเครื่องมือฟรีสำหรับวางแผนชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน: เวลาชาร์จพร้อมช่วง CC-CV สายชาร์จพกพา Mode 2 ความร้อนที่ปลั๊ก แล็บ Control Pilot ระบบไฟบ้านและขนาดมิเตอร์ ขนาดเบรกเกอร์ สายไฟ แรงดันตก ค่าไฟอัตราปกติกับ TOU โซลาร์ช่วยชาร์จ และซิมูเลเตอร์พลังงานบ้านที่มีโซลาร์ แอร์ รถ และแบตเตอรี่ทุก 15 นาที พร้อมใบงาน 8 ชุด

// บทที่ 17.9 · ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน · Calculators & Energy Simulator

# เครื่องมือคำนวณการชาร์จรถ EV ที่บ้าน และซิมูเลเตอร์พลังงานบ้าน 24 ชั่วโมง

ทุกเครื่องมือของชุดนี้ในหน้าเดียว เรียงตามลำดับการตัดสินใจจริง: รถต้องการพลังงานเท่าไร → ชาร์จแบบไหน → บ้านรับไหวไหม → เดินสายอย่างไร → เสียเงินเท่าไร → ใช้ร่วมกับโซลาร์และแอร์อย่างไร ตัวเลขทุกช่องแก้ได้ ใช้หน่วย SI และพิมพ์ 7.4k แทน 7400 ได้

## ซิมูเลเตอร์พลังงานบ้าน: โซลาร์ + แอร์ + รถ EV + แบตเตอรี่

เลือกสถานการณ์ด้านบนของเครื่อง หรือเปิดหมวดด้านล่างกราฟเพื่อปรับทุกค่า กราฟแสดงโหลดซ้อนกัน (พื้นฐาน แอร์ รถ ชาร์จแบตบ้าน) เส้นเหลืองคือโซลาร์ เส้นประแดงคือไฟที่ซื้อจากกริด เส้นแดงแนวนอนคือขีดจำกัดเมนเบรกเกอร์ ทฤษฎีอยู่ที่ โซลาร์ + แอร์ + รถ

## 1 · เวลาชาร์จและพลังงาน

## 2 · สายชาร์จพกพา (Mode 2) กับเต้ารับบ้าน

## 3 · Control Pilot ของวอลล์บ็อกซ์

## 4 · ระบบไฟบ้าน: โหลดรวม มิเตอร์ เมนเบรกเกอร์

### 5 · เบรกเกอร์ ขนาดสาย และแรงดันตก

## 6 · ค่าไฟ: อัตราปกติ vs TOU และค่าต่อกิโลเมตร

### 7 · โซลาร์ช่วยชาร์จรถได้เท่าไร

## ใบงาน 8 ชุด (คลิกเพื่อดูแนวคำตอบ)

ใบงาน 1 รถแบต 60 kWh ชาร์จ 20 → 80 % ด้วยสายพกพา 10 A และวอลล์บ็อกซ์ 7.4 kW ใช้เวลาต่างกันเท่าไร
เครื่องคำนวณ 1 (η 86 % กับ 90 %): สายพกพา ≈ 36/(2.3 × 0.86) = 18.2 ชม. · วอลล์บ็อกซ์ ≈ 5.4 ชม. ถ้าขับวันละ 40 km (6 kWh) สายพกพาใช้แค่ 3 ชม./คืน — ข้อสรุป: ความต้องการรายวันสำคัญกว่าความเร็วสูงสุด

ใบงาน 2 สายพกพา 16 A เสียบเต้ารับเก่า (Rc 30 mΩ) ความร้อนที่ปลั๊กเท่าไร ถ้าลดเป็น 10 A เหลือเท่าไร
M3: 16² × 0.03 = 7.7 W (อันตราย) · 10² × 0.03 = 3.0 W (39 %) แต่เต้ารับเก่ายังควรเปลี่ยน

ใบงาน 3 ตั้งวอลล์บ็อกซ์ให้รถดึง 20 A ต้องส่ง duty เท่าไร และสถานะ C วัดแรงดันได้เท่าไร
W3: 20/0.6 = 33.3 % (333 µs) · W4: 0.7 + 11.3 × 882/1882 = 6.0 V

ใบงาน 4 บ้านมิเตอร์ 15(45) A แอร์รวม 3 kW น้ำอุ่น 4.5 kW ครัว 2 kW อื่น ๆ 1.5 kW DF 50 % เพิ่มรถ 7.4 kW ได้ไหม
เครื่องคำนวณ 4: 62.6 A เกิน 45 A → 30(100) A, 3 เฟส หรือ load balancing (ตัวอย่าง H-1)

ใบงาน 5 วอลล์บ็อกซ์ 32 A ห่างตู้ 40 m เลือกเบรกเกอร์และสาย (แรงดันตก ≤ 2 % หลังเผื่อต้นทาง 1 %)
เครื่องคำนวณ 5: เบรกเกอร์ 40 A · ตามกระแส 10 mm² · ตามแรงดันตก ≥ 2(0.0206)(40)(32)/(0.02 × 230) = 11.5 mm² → ใช้ 16 mm² แรงดันตก ≈ 1.43 %

ใบงาน 6 บ้านใช้ 300 หน่วย On-Peak 35 % วิ่งเดือนละ 3,000 km TOU คุ้มไหม
เครื่องคำนวณ 6: รถใช้ 500 หน่วย/เดือน TOU ถูกกว่าอัตราปกติหลายร้อยบาทต่อเดือน (ยิ่งวิ่งมากและบ้านใช้กลางวันน้อย ยิ่งคุ้ม)

ใบงาน 7 ในซิมูเลเตอร์ เลือก “โซลาร์ แต่รถไม่อยู่บ้าน” แล้วแก้ให้รถได้ไฟครบโดยค่าไฟต่ำที่สุด
เปลี่ยนวิธีชาร์จเป็น “โซลาร์ก่อน เติม Off-Peak ส่วนที่ขาด” หรือ “ตั้งเวลา Off-Peak” ค่าไฟ ≈ 74 ฿/วัน รถได้ครบ — หรือติ๊ก “รถจอดบ้านทั้งวัน” เพื่อดูวันหยุด

ใบงาน 8 สถานการณ์ “มิเตอร์เล็ก แอร์เยอะ” เมนทริปตอนกี่โมง แก้อย่างไรโดยไม่ขยายมิเตอร์
กระแสสูงสุด ≈ 45 A ช่วง 18:00 (แอร์ + ครัว + รถ) เกินเมน 40 A — ลดกำลังเครื่องชาร์จเป็น 3.7 kW หรือเปลี่ยนเป็นตั้งเวลา Off-Peak 22:00 แล้วดูว่ากระแสสูงสุดลดลงเท่าไร

## คำถามที่พบบ่อย

เครื่องมือเหล่านี้แม่นยำแค่ไหน?
ใช้สูตรมาตรฐานและค่าตั้งต้นที่สมเหตุสมผลสำหรับประเทศไทย เหมาะสำหรับวางแผน เปรียบเทียบทางเลือก และเรียนรู้ ผลจริงขึ้นกับรถ อุปกรณ์ วิธีเดินสาย สภาพอากาศ และอัตราค่าไฟปัจจุบัน งานติดตั้งจริงต้องออกแบบและตรวจโดยช่างหรือวิศวกรตามมาตรฐาน

ข้อมูลที่กรอกถูกส่งไปที่ไหนไหม?
ไม่ เครื่องคำนวณทั้งหมดทำงานในเบราว์เซอร์ของคุณ ไม่มีการส่งข้อมูลออกไป

## FAQ

**เครื่องมือเหล่านี้แม่นยำแค่ไหน?**
ใช้สูตรมาตรฐานและค่าตั้งต้นที่สมเหตุสมผลสำหรับประเทศไทย เหมาะสำหรับวางแผน เปรียบเทียบทางเลือก และเรียนรู้ ผลจริงขึ้นกับรถ อุปกรณ์ วิธีเดินสาย สภาพอากาศ และอัตราค่าไฟปัจจุบัน งานติดตั้งจริงต้องออกแบบและตรวจโดยช่างหรือวิศวกรตามมาตรฐาน

**ข้อมูลที่กรอกถูกส่งไปที่ไหนไหม?**
ไม่ เครื่องคำนวณทั้งหมดทำงานในเบราว์เซอร์ของคุณ ไม่มีการส่งข้อมูลออกไป

---

# เตรียมระบบไฟบ้านสำหรับชาร์จรถ EV: ขนาดมิเตอร์ โหลดรวม สายเมน เบรกเกอร์ ขนาดสาย และแรงดันตก

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/home-electrical/
Updated: 2026-10-13
Summary: คำนวณระบบไฟบ้านก่อนติดตั้งเครื่องชาร์จรถยนต์ไฟฟ้า: โหลดรวมและดีมานด์แฟกเตอร์ มิเตอร์ 5(15) 15(45) 30(100) A 1 เฟสกับ 3 เฟส เมนเบรกเกอร์และสายเมน วงจรย่อยเฉพาะ กระแสออกแบบ 125 % ของโหลดต่อเนื่อง ขนาดเบรกเกอร์ ขนาดสายตามความสามารถกระแสและแรงดันตก ตัวอย่างวอลล์บ็อกซ์ 7.4 kW และ 11 kW ขั้นตอนยื่นการไฟฟ้า พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 17.5 · ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน · Home Electrical System for EV Charging

# เตรียมระบบไฟบ้านสำหรับชาร์จรถ EV: ขนาดมิเตอร์ โหลดรวม สายเมน เบรกเกอร์ ขนาดสาย และแรงดันตก

วอลล์บ็อกซ์ 7.4 kW ดึงกระแส 32 A เท่ากับแอร์ 12,000 BTU ประมาณ 6–8 เครื่องเปิดพร้อมกัน และดึงต่อเนื่องหลายชั่วโมง ก่อนติดตั้งต้องตอบให้ได้สามข้อ: (1) มิเตอร์และเมนรับโหลดรวมได้ไหม (2) วงจรใหม่ใช้เบรกเกอร์และสายขนาดเท่าไร (3) แรงดันตกถึงปลายสายเท่าไร หน้านี้ทำทีละขั้นพร้อมตัวเลขจริง

สรุปใน 30 วินาที

- กระแสบ้านสูงสุด = (แอร์ + รถ + โหลดอื่น × ดีมานด์แฟกเตอร์) ÷ 230 V ต้องไม่เกินพิกัดสูงสุดของมิเตอร์และเมน

- วอลล์บ็อกซ์ 7.4 kW: มักต้องมิเตอร์ 30(100) A 1 เฟส หรือ 15(45) A 3 เฟส

- วงจรรถ: กระแสออกแบบ 1.25 I → 32 A ใช้เบรกเกอร์ 40 A สายที่รับ ≥ 40 A

- แรงดันตกวงจรย่อย ≤ 2–3 % รวมทั้งระบบ ≤ 5 %

## อ่านพิกัดมิเตอร์ 15(45) A ให้ถูก พื้นฐาน

ตัวเลขบนมิเตอร์ เช่น 15(45) A หมายถึง กระแสพื้นฐาน 15 A (ใช้สอบเทียบความแม่นยำ) และ กระแสสูงสุด 45 A ที่มิเตอร์ทนได้ต่อเนื่องโดยยังแม่นยำ เวลาคำนวณโหลดให้เทียบกับตัวเลขในวงเล็บ ขนาดสายเมนและเมนเบรกเกอร์ของบ้านถูกออกแบบมาคู่กับขนาดมิเตอร์

| มิเตอร์ | กระแสสูงสุด | กำลังสูงสุดโดยประมาณ | ใช้กับเครื่องชาร์จ |

| 5(15) A 1 เฟส | 15 A | 3.4 kW | ไม่เหมาะ แม้สายชาร์จพกพา 10 A ก็เกือบเต็ม |

| 15(45) A 1 เฟส | 45 A | 10 kW | สายพกพา 10 A ได้ · วอลล์บ็อกซ์ 7.4 kW เฉพาะบ้านโหลดน้อยหรือมี load balancing |

| 30(100) A 1 เฟส | 100 A | 23 kW | วอลล์บ็อกซ์ 7.4 kW สบาย |

| 15(45) A 3 เฟส | 45 A/เฟส | 31 kW | วอลล์บ็อกซ์ 7.4 kW (เฟสเดียว) หรือ 11 kW |

| 30(100) A 3 เฟส | 100 A/เฟส | 69 kW | 22 kW หรือหลายเครื่อง |

ขนาดสายเมนจากมิเตอร์และเมนเบรกเกอร์ต้องสอดคล้องกับมิเตอร์ตามข้อกำหนดของการไฟฟ้า (เช่น มิเตอร์ใหญ่ขึ้นต้องเปลี่ยนสายเมนให้ใหญ่ขึ้นด้วย) ตรวจตารางล่าสุดของ กฟภ./กฟน. ในพื้นที่

## คำนวณโหลดรวมเมื่อเพิ่มรถ กลาง

H1 Maximum demand ความต้องการกำลังสูงสุด

$$P_{max} = P_{AC} + P_{EV} + DF \times \left(P_{water} + P_{kitchen} + P_{other}\right)$$

แอร์และรถคิดเต็มพิกัด (DF = 1) เพราะทำงานต่อเนื่องและพร้อมกันได้จริงในช่วงหัวค่ำ โหลดอื่น ๆ ไม่ได้เปิดพร้อมกันทั้งหมด จึงคูณด้วยดีมานด์แฟกเตอร์ (DF) ราว 0.4–0.6 สำหรับบ้านพักอาศัย

H2 Single-phase current กระแสต่อเฟส ระบบ 1 เฟส

$$I = \frac{P_{max}}{V\,\cos\varphi} \approx \frac{P_{max}}{230}$$

H3 Three-phase current (balanced) กระแสต่อเฟส ระบบ 3 เฟสที่แบ่งโหลดสมดุล

$$I_L = \frac{P_{max}}{\sqrt{3}\,V_L\cos\varphi} \approx \frac{P_{max}}{3 \times 230}$$

H4 Meter and main breaker check เงื่อนไขมิเตอร์และเมน

$$I_{max,phase} \le I_{main} \le I_{meter,max}$$

ตัวอย่าง H-1

### บ้านมิเตอร์ 15(45) A อยากติดวอลล์บ็อกซ์ 7.4 kW

- โหลด: แอร์รวม 3 kW · น้ำอุ่น 4.5 kW · ครัว 2 kW · อื่น ๆ 1.5 kW · DF = 0.5

- H1 ไม่มีรถ: $3 + 0.5(4.5 + 2 + 1.5) = 7.0$ kW → H2 $7000/230 = 30.4$ A ✓ ไม่เกิน 45 A

- H1 มีรถ: $7.0 + 7.4 = 14.4$ kW → $14{,}400/230 = 62.6$ A ✗ เกิน 45 A

- ทางเลือก (ก) ขอ 30(100) A: 62.6/100 = 63 % ✓ ต้องเปลี่ยนสายเมนและเมนเบรกเกอร์ตามที่การไฟฟ้ากำหนด (ข) ขอ 3 เฟส 15(45) A แยกรถไว้เฟสหนึ่ง (ค) คงมิเตอร์เดิม ใช้ load balancing (W6) ตั้งเมน 40 A เผื่อ 3 A: ตอนหัวค่ำรถได้ $40 - 30.4 - 3 = 6.6$ A ≈ 1.5 kW ดึกแล้วได้เต็ม 32 A

## วงจรเฉพาะของเครื่องชาร์จ: เบรกเกอร์ สาย และแรงดันตก กลาง

H5 Design current for a continuous load กระแสออกแบบของโหลดต่อเนื่อง

$$I_B = 1.25\,I_{EV}$$

H6 Breaker–cable coordination เงื่อนไขเบรกเกอร์กับสาย

$$I_B \le I_n \le I_Z \qquad I_Z = I_{table}\times k_{temp}\times k_{group}$$

$I_n$ = พิกัดเบรกเกอร์ (ขนาดมาตรฐานถัดไปที่ไม่ต่ำกว่า $I_B$) $I_Z$ = กระแสที่สายรับได้ตามตารางของวิธีเดินสายนั้น คูณตัวปรับลดเมื่ออุณหภูมิสูงหรือหลายวงจรอยู่ในท่อเดียว

ตัวอย่างกระแสที่สายรับได้: สาย THW แกนเดียว ทองแดง 70 °C ร้อยท่อ 2 เส้นมีกระแส อุณหภูมิแวดล้อม 40 °C (ค่าปัดเพื่อการสอน — ใช้ตารางในมาตรฐาน วสท. ฉบับล่าสุดตามวิธีเดินสายจริง)

| mm² | 1.5 | 2.5 | 4 | 6 | 10 | 16 | 25 | 35 |

| A | 13 | 18 | 24 | 31 | 42 | 56 | 73 | 89 |

H7 Voltage drop, single phase แรงดันตก 1 เฟส

$$\Delta V = \frac{2\,\rho\,L\,I}{A}\ \ (\cos\varphi \approx 1) \qquad \Delta V\% = \frac{\Delta V}{230}\times 100$$

H8 Voltage drop, three phase แรงดันตก 3 เฟส (เทียบแรงดันสาย)

$$\Delta V = \frac{\sqrt{3}\,\rho\,L\,I}{A} \qquad \Delta V\% = \frac{\Delta V}{400}\times 100$$

H9 Minimum size from voltage drop ขนาดสายต่ำสุดตามแรงดันตก

$$A_{min} = \frac{k\,\rho\,L\,I}{(\Delta V\%_{allowed}/100)\,V} \qquad k = 2\ (1\varphi),\ \sqrt{3}\ (3\varphi)$$

ตัวอย่าง H-2

### วอลล์บ็อกซ์ 7.4 kW (32 A) สายยาว 25 m ร้อยท่อ

- H5: $I_B = 1.25 \times 32 = 40$ A → เบรกเกอร์ 40 A (ใช้แบบ 2 ขั้ว ตัด L และ N)

- H6: ต้องการ $I_Z \ge 40$ A → จากตาราง 10 mm² (42 A) ✓ (6 mm² รับได้ 31 A ✗ ในวิธีร้อยท่อ)

- H7: $\Delta V = 2(0.0206)(25)(32)/10 = 3.30$ V = 1.44 % ✓ (เผื่อต้นทาง 1 % รวม 2.4 %)

- ความร้อนในสาย: $32 \times 3.30 = 106$ W ขณะชาร์จ ≈ 0.63 kWh ต่อการชาร์จ 6 ชั่วโมง

- สายดิน: เดินสายดินขนาดตามมาตรฐานไปกับวงจร (ไม่เล็กกว่าที่กำหนดสำหรับเบรกเกอร์ 40 A) ต่อถึงบัสกราวด์ของตู้

ตัวอย่าง H-3

### วอลล์บ็อกซ์ 3 เฟส 11 kW (16 A) สาย 25 m

- H5: $I_B = 20$ A → เบรกเกอร์ 20 A 4 ขั้ว (หรือ 3P+N)

- H6: 4 mm² (24 A) ≥ 20 A ✓ · H9 ตามแรงดันตก 2 % ต้องการแค่ 2.5 mm² → เลือก 4 mm²

- H8: $\Delta V = \sqrt{3}(0.0206)(25)(16)/4 = 3.57$ V = 0.89 % ของ 400 V ✓

- สังเกต: 11 kW 3 เฟสใช้สายเล็กกว่า 7.4 kW 1 เฟส เพราะกระแสต่อเส้นน้อยกว่าครึ่ง

## ผังวงจรเส้นเดียว (Single-line diagram) ที่ควรได้ กลาง

* ใช้ RCD Type B หรือใช้ RCD Type A ร่วมกับเครื่องชาร์จที่มี RDC-DD ตรวจ DC 6 mA ในตัว — อ่านเหตุผล

## ขั้นตอนยื่นการไฟฟ้าและติดตั้ง พื้นฐาน

- คำนวณโหลดรวม (เครื่องมือด้านบน) ตัดสินใจขนาดมิเตอร์และ 1 เฟส/3 เฟส

- ยื่นคำร้องขอเปลี่ยนขนาดมิเตอร์หรือขอใช้ไฟเพิ่มที่ กฟน. (กรุงเทพฯ นนทบุรี สมุทรปราการ) หรือ กฟภ. (จังหวัดอื่น) — หลายแห่งมีบริการ “ตรวจและขอใช้ไฟสำหรับ EV charger” โดยเฉพาะ ขอมิเตอร์ TOU ได้ในคราวเดียวกัน

- ช่างไฟฟ้าที่มีหนังสือรับรองเดินสายเมน ตู้ไฟ วงจรเฉพาะ RCD และสายดินตามแบบ

- การไฟฟ้าตรวจระบบ (สายดิน ความต้านทานหลักดิน ขนาดสาย อุปกรณ์) แล้วเปลี่ยนมิเตอร์

- ทดสอบ: ปุ่ม Test ของ RCD วัดความต้านทานฉนวน วัดค่าดิน ทดลองชาร์จเต็มกำลัง 1 ชั่วโมงแล้ววัดอุณหภูมิขั้วต่อ

หมายเหตุ เงื่อนไขและเอกสาร (เช่น แบบฟอร์ม รายการอุปกรณ์ที่การไฟฟ้ายอมรับ) เปลี่ยนแปลงได้ ตรวจกับการไฟฟ้าในพื้นที่ก่อนเริ่มงาน

## คำถามที่พบบ่อย

ติดวอลล์บ็อกซ์ 7.4 kW ต้องใช้สายขนาดเท่าไร?
กระแส 32 A เป็นโหลดต่อเนื่อง ต้องออกแบบที่ 1.25 × 32 = 40 A ใช้เบรกเกอร์ 40 A และสายทองแดงที่รับกระแสได้ไม่น้อยกว่า 40 A ตามวิธีเดินสาย ถ้าร้อยท่อเดินเกาะผนังมักต้องใช้ 10 mm² ถ้าเดินในอากาศหรือรางเคเบิลอาจใช้ 6 mm² ได้ ตรวจตารางกระแสของมาตรฐาน วสท. และตรวจแรงดันตกเมื่อสายยาว

มิเตอร์ 15(45) A ติดเครื่องชาร์จรถได้ไหม?
ติดได้ถ้าโหลดรวมสูงสุดของบ้านเมื่อรวมรถยังไม่เกิน 45 A ซึ่งบ้านที่มีแอร์หลายเครื่องหรือเครื่องทำน้ำอุ่นมักเกิน ทางเลือกคือขอเปลี่ยนเป็น 30(100) A ลดกระแสชาร์จเหลือ 16 A หรือใช้วอลล์บ็อกซ์ที่มีระบบจัดการโหลดอัตโนมัติ ให้คำนวณด้วยเครื่องมือในหน้านี้ก่อนยื่นการไฟฟ้า

ทำไมต้องคูณ 1.25 กับกระแสของเครื่องชาร์จ?
เพราะเครื่องชาร์จเป็นโหลดต่อเนื่องที่ทำงานเต็มกระแสนานเกิน 3 ชั่วโมง ความร้อนในเบรกเกอร์ สาย และขั้วต่อสะสมจนถึงจุดคงตัว มาตรฐานจึงกำหนดให้อุปกรณ์ในวงจรรับได้ 125 % ของกระแสใช้งาน หรือมองกลับว่าโหลดต่อเนื่องใช้ได้แค่ 80 % ของพิกัดอุปกรณ์

## FAQ

**ติดวอลล์บ็อกซ์ 7.4 kW ต้องใช้สายขนาดเท่าไร?**
กระแส 32 A เป็นโหลดต่อเนื่อง ต้องออกแบบที่ 1.25 × 32 = 40 A ใช้เบรกเกอร์ 40 A และสายทองแดงที่รับกระแสได้ไม่น้อยกว่า 40 A ตามวิธีเดินสาย ถ้าร้อยท่อเดินเกาะผนังมักต้องใช้ 10 mm² ถ้าเดินในอากาศหรือรางเคเบิลอาจใช้ 6 mm² ได้ ตรวจตารางกระแสของมาตรฐาน วสท. และตรวจแรงดันตกเมื่อสายยาว

**มิเตอร์ 15(45) A ติดเครื่องชาร์จรถได้ไหม?**
ติดได้ถ้าโหลดรวมสูงสุดของบ้านเมื่อรวมรถยังไม่เกิน 45 A ซึ่งบ้านที่มีแอร์หลายเครื่องหรือเครื่องทำน้ำอุ่นมักเกิน ทางเลือกคือขอเปลี่ยนเป็น 30(100) A ลดกระแสชาร์จเหลือ 16 A หรือใช้วอลล์บ็อกซ์ที่มีระบบจัดการโหลดอัตโนมัติ ให้คำนวณด้วยเครื่องมือในหน้านี้ก่อนยื่นการไฟฟ้า

**ทำไมต้องคูณ 1.25 กับกระแสของเครื่องชาร์จ?**
เพราะเครื่องชาร์จเป็นโหลดต่อเนื่องที่ทำงานเต็มกระแสนานเกิน 3 ชั่วโมง ความร้อนในเบรกเกอร์ สาย และขั้วต่อสะสมจนถึงจุดคงตัว มาตรฐานจึงกำหนดให้อุปกรณ์ในวงจรรับได้ 125 % ของกระแสใช้งาน หรือมองกลับว่าโหลดต่อเนื่องใช้ได้แค่ 80 % ของพิกัดอุปกรณ์

---

# ชาร์จช้าด้วยไฟบ้าน (Mode 2): สายชาร์จพกพา เต้ารับ 16 A กระแสที่ปลอดภัย และความร้อนที่ปลั๊ก

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/portable-charger/
Updated: 2026-10-13
Summary: ใช้สายชาร์จพกพา (Portable EV charger, Mode 2, ICCB) เสียบเต้ารับบ้านอย่างปลอดภัย: กล่องควบคุมทำอะไร เลือกกระแส 8 10 13 16 A ให้เหมาะกับเต้ารับและสาย กฎ 80 % ของโหลดต่อเนื่อง ความร้อนที่หน้าสัมผัส I²R ทำไมปลั๊กไหม้ แรงดันตก เต้ารับ IEC 60309 ข้อห้ามสายพ่วง และเวลาชาร์จ พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 17.3 · ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน · Portable Charger (Mode 2)

# ชาร์จช้าด้วยไฟบ้าน (Mode 2): สายชาร์จพกพา เต้ารับ 16 A กระแสที่ปลอดภัย และความร้อนที่ปลั๊ก

สายชาร์จที่มากับรถ (บางคนเรียกสายชาร์จฉุกเฉิน) เสียบเต้ารับบ้านได้ทันที ไม่ต้องติดตั้งอะไร เหมาะกับคนขับวันละไม่มาก แต่เต้ารับบ้านออกแบบมาสำหรับเครื่องใช้ไฟฟ้าที่เปิด-ปิดเป็นพัก ๆ ไม่ใช่โหลด 10–16 A ต่อเนื่อง 8–15 ชั่วโมง หน้านี้อธิบายฟิสิกส์ของความร้อน และวิธีเลือกกระแสให้ปลอดภัย

สรุปใน 30 วินาที

- กำลัง ≈ 230 × I: 8 A = 1.8 kW · 10 A = 2.3 kW · 13 A = 3.0 kW · 16 A = 3.7 kW

- โหลดต่อเนื่องไม่ควรเกิน 80 % ของพิกัดเต้ารับ → เต้ารับ 16 A ใช้ ≤ 12.8 A (แนะนำ 10 A)

- ความร้อนที่หน้าสัมผัส = I²R: ลด 16 → 10 A ความร้อนเหลือ 39 %

- วงจรเฉพาะ สาย ≥ 2.5 mm² มีสายดิน ห้ามสายพ่วง ห้ามปลั๊กแปลง

## ข้างในกล่องควบคุมของสายชาร์จพกพา (ICCB) พื้นฐาน

กล่องกลางสายเรียกว่า IC-CPD หรือ ICCB (In-Cable Control and Protection Device ตาม IEC 62752) มันคือวอลล์บ็อกซ์ขนาดเล็กที่พกได้ ทำงานเหมือน Mode 3 ทุกอย่าง ยกเว้นต้นทางเป็นเต้ารับ

- RCD ในตัว ตัดเมื่อกระแสรั่ว AC 30 mA และส่วนใหญ่ตรวจ DC 6 mA ด้วย

- ตรวจสายดิน และบางรุ่นตรวจว่าขั้วสาย L-N สลับ

- ส่งสัญญาณ Control Pilot บอกรถว่าดึงได้กี่แอมป์ (ปุ่มเลือก 8/10/13/16 A คือการเปลี่ยน duty cycle — W2)

- รีเลย์ ต่อไฟเข้ารถเมื่อทุกอย่างพร้อม

- เซนเซอร์อุณหภูมิในปลั๊ก (รุ่นดี) ลดกระแสหรือหยุดเมื่อปลั๊กร้อน — คุณสมบัติที่ควรเลือก

## ตั้งกระแสเท่าไร: กฎ 80 % ของโหลดต่อเนื่อง พื้นฐาน

M1 Mode 2 charging power กำลังของสายชาร์จพกพา

$$P = V\,I \qquad 230 \times \{8,10,13,16\} = \{1.84,\ 2.30,\ 2.99,\ 3.68\}\ \text{kW}$$

M2 Continuous-load rule โหลดต่อเนื่องไม่เกิน 80 % ของพิกัด

$$I_{EV} \le 0.8\,I_{socket} \quad\Longleftrightarrow\quad 1.25\,I_{EV} \le I_{socket},\ I_{breaker},\ I_{cable}$$

โหลดที่ทำงานต่อเนื่องตั้งแต่ 3 ชั่วโมงขึ้นไปถือเป็น โหลดต่อเนื่อง อุปกรณ์ทุกตัวในเส้นทางต้องรับ 125 % ของกระแส เพราะพิกัดของเต้ารับและเบรกเกอร์ทดสอบในสภาพที่อุณหภูมิไม่สะสมนานขนาดนั้น

ตัวอย่าง M-1

### เต้ารับ 16 A ตั้งได้สูงสุดเท่าไร

- M2: $I_{EV} \le 0.8 \times 16 = 12.8\ \text{A}$ → ปุ่ม 16 A ไม่ผ่าน ใช้ 10 หรือ 13 A ได้

- ถ้าวงจรเดินสาย 2.5 mm² (รับได้ 18 A เมื่อร้อยท่อ) และเบรกเกอร์ 16 A: $1.25 \times 10 = 12.5 \le 16 \le 18$ ✓

- ที่ 13 A: $1.25 \times 13 = 16.3$ A — ชนพิกัดพอดี ใช้ได้ถ้าเต้ารับและปลั๊กสภาพดีมาก จึงแนะนำ 10 A สำหรับการใช้ทุกคืน

## ทำไมปลั๊กไหม้: ฟิสิกส์ของความร้อนที่หน้าสัมผัส กลาง

ไฟไหม้จากการชาร์จด้วยเต้ารับบ้านเกือบทั้งหมดไม่ได้เริ่มจากสายในผนัง แต่เริ่มที่ จุดสัมผัส ระหว่างขาปลั๊กกับสปริงในเต้ารับ พื้นที่สัมผัสจริงเล็กมาก ถ้ามีสนิม ฝุ่น หรือสปริงล้า ความต้านทานเพิ่มจากไม่กี่ mΩ เป็นหลายสิบ mΩ

M3 Contact heating ความร้อนที่หน้าสัมผัส

$$P_{c} = I^2 R_c \qquad \frac{P_c(I_2)}{P_c(I_1)} = \left(\frac{I_2}{I_1}\right)^2$$

M4 Temperature rise อุณหภูมิที่เพิ่มขึ้นในสภาวะคงตัว

$$\Delta T = P_c\,R_{th} \qquad R_{th}\ \text{ของปลั๊กพลาสติก} \approx 5\text{–}15\ ^\circ\text{C/W}$$

ปัญหาคือ วงจรป้อนกลับเชิงบวก: หน้าสัมผัสร้อน → โลหะออกซิไดซ์และสปริงอ่อนตัว → $R_c$ เพิ่ม → ร้อนขึ้นอีก จนพลาสติกละลายและเกิดอาร์ก ทั้งหมดนี้เกิดขึ้นโดยกระแสไม่เกินพิกัดเบรกเกอร์ เบรกเกอร์จึงไม่ตัด และ RCD ก็ไม่ตัดเพราะไม่มีไฟรั่ว

ตัวอย่าง M-2

### เต้ารับใหม่กับเต้ารับเก่าหลวม

- เต้ารับใหม่ $R_c \approx 5\ \text{m}\Omega$ ที่ 10 A: M3 $P_c = 10^2(0.005) = 0.5\ \text{W}$ → M4 $\Delta T \approx 0.5 \times 10 = 5$ °C สบาย

- เต้ารับเก่า $R_c \approx 30\ \text{m}\Omega$ ที่ 16 A: $P_c = 16^2(0.030) = 7.7\ \text{W}$ → $\Delta T \approx 77$ °C บวกอุณหภูมิห้อง 35 °C = 112 °C พลาสติก PC/PA เริ่มเสียรูป

- เต้ารับเก่าเดิมแต่ลดเป็น 10 A: $P_c = 3.0$ W ($=(10/16)^2 = 39\,\%$) → $\Delta T \approx 30$ °C — ยังอุ่น แต่ควรเปลี่ยนเต้ารับ

## แรงดันตกและความร้อนในสาย กลาง

M5 Single-phase voltage drop แรงดันตกในสาย 1 เฟส (ไป-กลับ)

$$\Delta V = I\,\frac{2\,\rho\,L}{A} \qquad \rho_{Cu,70^\circ\text{C}} \approx 0.0206\ \Omega\,\text{mm}^2/\text{m}$$

M6 Cable loss การสูญเสียในสาย

$$P_{loss} = I^2\,\frac{2\,\rho\,L}{A} = I\,\Delta V$$

ตัวอย่าง M-3

### วงจรเต้ารับ 20 m สาย 2.5 mm² ชาร์จ 10 A

- $R_{loop} = 2(0.0206)(20)/2.5 = 0.330\ \Omega$

- M5: $\Delta V = 10 \times 0.330 = 3.3\ \text{V} = 1.44\,\%$ ของ 230 V ✓ (เกณฑ์ทั่วไป ≤ 3–5 % รวมทั้งระบบ)

- M6: $P_{loss} = 10 \times 3.3 = 33\ \text{W}$ กระจายตลอดสาย 40 m ไม่เป็นอันตราย แต่คิดเป็น 1.4 % ของพลังงานที่ซื้อ

- เวลาชาร์จ 30 kWh: $30/(2.3 \times 0.86) = 15.2$ ชม. — ขับวันละ 40 km (6 kWh) ใช้แค่ 3 ชม.

## เครื่องคำนวณ: ตรวจวงจรสายชาร์จพกพาของคุณ

## เต้ารับแบบไหนเหมาะกับการชาร์จทุกวัน พื้นฐาน

| เต้ารับ | ข้อดี | ข้อควรระวัง |

| เต้ารับบ้าน 3 ขา (มอก. 166) ติดตั้งใหม่ วงจรเฉพาะ | ใช้หัวปลั๊กที่มากับรถได้ทันที ค่าติดตั้งต่ำ | เลือกยี่ห้อที่ได้มาตรฐาน ใช้ 10 A เปลี่ยนทุกไม่กี่ปีถ้าใช้หนัก |

| เต้ารับอุตสาหกรรม IEC 60309 (CEE) 16 A สีน้ำเงิน | หน้าสัมผัสใหญ่ ล็อกแน่น ทนโหลดต่อเนื่อง กันน้ำ IP44/IP67 | ต้องใช้หัวปลั๊กแบบเดียวกันจากผู้ผลิตสายชาร์จ |

| เต้ารับในตู้ภายนอก IP44 ขึ้นไป | ชาร์จกลางแจ้งได้ | อย่าวางกล่อง ICCB จุ่มน้ำขัง แขวนให้สูง |

| เต้ารับเก่าในโรงรถที่ใช้ร่วมกับปั๊มน้ำ/เครื่องมือ | — | ไม่เหมาะ: วงจรร่วมเกินพิกัดได้ ตรวจไม่ได้ว่าสายดินดี |

## กฎ 10 ข้อสำหรับชาร์จด้วยไฟบ้าน

- ใช้สายชาร์จที่มากับรถหรือที่ได้มาตรฐาน IEC 62752 เท่านั้น

- วงจรเฉพาะจากตู้ไฟ เบรกเกอร์ 16 A สาย 2.5 mm² ขึ้นไป (ระยะไกลใช้ 4 mm²)

- มีสายดินต่อถึงหลักดิน และวงจรมี RCD 30 mA

- ตั้งกระแส 10 A สำหรับการใช้ประจำ (13 A ได้เมื่อเต้ารับและปลั๊กสภาพดีมาก)

- ห้ามสายพ่วง ปลั๊กแปลง ปลั๊กสามทาง และม้วนสายไว้

- เสียบให้สุด ปลั๊กไม่โยกคลอน กล่อง ICCB ไม่แขวนถ่วงปลั๊ก

- 30 นาทีแรกของการใช้งานครั้งแรก คลำปลั๊ก: อุ่นได้ ร้อนจนจับนานไม่ได้ = หยุดใช้

- เห็นรอยไหม้ คราบดำ กลิ่นพลาสติก เปลี่ยนเต้ารับทันที

- ไม่ชาร์จพร้อมกับเครื่องทำน้ำอุ่นหรือแอร์ที่อยู่วงจรเดียวกัน

- ถ้าชาร์จทุกวันและขับเกิน 60–80 km/วัน พิจารณา วอลล์บ็อกซ์

## คำถามที่พบบ่อย

สายชาร์จพกพาควรตั้งกี่แอมป์?
สำหรับเต้ารับ 16 A ที่ใช้ชาร์จต่อเนื่องข้ามคืน ควรตั้งไม่เกิน 10–13 A (ไม่เกิน 80 % ของพิกัดเต้ารับ) และวงจรนั้นควรเป็นวงจรเฉพาะ สาย 2.5 mm² ขึ้นไป มีสายดิน ถ้าเต้ารับเก่า หลวม หรือไม่แน่ใจ ให้ตั้ง 8–10 A และคลำดูความร้อนที่ปลั๊กหลังชาร์จ 30 นาทีแรก

ทำไมปลั๊กชาร์จรถไหม้ทั้งที่เบรกเกอร์ไม่ตัด?
เบรกเกอร์ตัดเมื่อกระแสเกิน แต่ปลั๊กไหม้เพราะความร้อนเฉพาะจุดที่หน้าสัมผัสซึ่งมีความต้านทานสูงจากขาหลวม สนิม หรือสปริงล้า ความร้อนเท่ากับ I²R เช่น 16 A กับหน้าสัมผัส 30 mΩ ร้อน 7.7 W ในพื้นที่เล็ก ๆ ต่อเนื่องหลายชั่วโมงจนพลาสติกละลาย เบรกเกอร์มองไม่เห็นความร้อนนี้

ใช้สายพ่วงหรือปลั๊กสามตาชาร์จรถได้ไหม?
ไม่ควรเด็ดขาด สายพ่วงและปลั๊กแปลงเพิ่มจุดสัมผัสที่ร้อนได้ มักใช้สายเล็ก ไม่ได้ออกแบบให้รับกระแสสูงต่อเนื่องหลายชั่วโมง และบางชนิดไม่มีสายดินต่อถึง ทำให้ระบบป้องกันไฟรั่วของสายชาร์จทำงานผิดพลาด คู่มือรถทุกยี่ห้อห้ามไว้

## FAQ

**สายชาร์จพกพาควรตั้งกี่แอมป์?**
สำหรับเต้ารับ 16 A ที่ใช้ชาร์จต่อเนื่องข้ามคืน ควรตั้งไม่เกิน 10–13 A (ไม่เกิน 80 % ของพิกัดเต้ารับ) และวงจรนั้นควรเป็นวงจรเฉพาะ สาย 2.5 mm² ขึ้นไป มีสายดิน ถ้าเต้ารับเก่า หลวม หรือไม่แน่ใจ ให้ตั้ง 8–10 A และคลำดูความร้อนที่ปลั๊กหลังชาร์จ 30 นาทีแรก

**ทำไมปลั๊กชาร์จรถไหม้ทั้งที่เบรกเกอร์ไม่ตัด?**
เบรกเกอร์ตัดเมื่อกระแสเกิน แต่ปลั๊กไหม้เพราะความร้อนเฉพาะจุดที่หน้าสัมผัสซึ่งมีความต้านทานสูงจากขาหลวม สนิม หรือสปริงล้า ความร้อนเท่ากับ I²R เช่น 16 A กับหน้าสัมผัส 30 mΩ ร้อน 7.7 W ในพื้นที่เล็ก ๆ ต่อเนื่องหลายชั่วโมงจนพลาสติกละลาย เบรกเกอร์มองไม่เห็นความร้อนนี้

**ใช้สายพ่วงหรือปลั๊กสามตาชาร์จรถได้ไหม?**
ไม่ควรเด็ดขาด สายพ่วงและปลั๊กแปลงเพิ่มจุดสัมผัสที่ร้อนได้ มักใช้สายเล็ก ไม่ได้ออกแบบให้รับกระแสสูงต่อเนื่องหลายชั่วโมง และบางชนิดไม่มีสายดินต่อถึง ทำให้ระบบป้องกันไฟรั่วของสายชาร์จทำงานผิดพลาด คู่มือรถทุกยี่ห้อห้ามไว้

---

# ความปลอดภัยการชาร์จรถ EV: RCD Type A กับ Type B, กระแสรั่ว DC 6 mA, การต่อลงดิน มาตรฐาน และอาการเสีย

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/safety-standards/
Updated: 2026-10-13
Summary: ไฟดูดเกิดอย่างไรและป้องกันอย่างไรเมื่อชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน: หลักการ RCD (เครื่องตัดไฟรั่ว) ชนิด AC A F B ทำไมกระแสรั่ว DC เกิน 6 mA ทำให้ RCD Type A ตาบอด RDC-DD ตาม IEC 62955 ระบบการต่อลงดิน TN-C-S กับ TT ปัญหา PEN ขาด ความต้านทานหลักดิน แรงดันสัมผัส IP มาตรฐาน IEC 61851 IEC 62196 IEC 60364-7-722 วสท. เช็กลิสต์ส่งมอบ และตารางอาการเสีย

// บทที่ 17.6 · ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน · EV Charging Safety, RCD & Earthing

# ความปลอดภัยการชาร์จรถ EV: RCD Type A กับ Type B, กระแสรั่ว DC 6 mA, การต่อลงดิน มาตรฐาน และอาการเสีย

รถยนต์ไฟฟ้าเป็นกล่องโลหะขนาดใหญ่ที่จอดบนพื้นเปียกได้ ต่อกับไฟบ้านนานหลายชั่วโมง และข้างในมีไฟ DC แรงดันหลายร้อยโวลต์ การป้องกันไฟดูดของบ้านทั่วไปจึงไม่พอเสมอไป หน้านี้อธิบายตั้งแต่ร่างกายรับกระแสได้เท่าไร RCD ทำงานอย่างไร ทำไมต้องสนใจไฟรั่ว DC จนถึงการต่อลงดินและเช็กลิสต์ก่อนใช้งาน

สรุปใน 30 วินาที

- กระแสผ่านร่างกาย 30 mA เป็นเวลานานอาจทำให้หัวใจเต้นผิดจังหวะ → ใช้ RCD 30 mA ตัดภายใน 0.3 s

- RCD วัดผลต่างระหว่างกระแสที่ไปกับที่กลับ ไม่ใช่กระแสรวม

- เครื่องชาร์จอาจรั่วเป็น DC → ต้องใช้ RCD Type B หรือ Type A + ตรวจจับ DC 6 mA (RDC-DD)

- สายดินคุณภาพดีคือเงื่อนไขของทุกอย่าง: เครื่องชาร์จจะไม่จ่ายไฟถ้าไม่มี PE

## ไฟดูดเกิดอย่างไร: ร่างกายกับกระแส พื้นฐาน

P1 Body current กระแสที่ไหลผ่านร่างกาย

$$I_{body} = \frac{U_{touch}}{Z_{body} + R_{shoe} + R_{floor}} \qquad Z_{body} \approx 1\text{–}2\ \text{k}\Omega\ (\text{มือถึงเท้า ผิวเปียก})$$

| กระแส AC 50 Hz (ผ่านลำตัว) | ผลโดยประมาณ (IEC 60479-1) |

| 0.5 mA | เริ่มรู้สึก |

| 5–10 mA | เจ็บ กล้ามเนื้อกระตุก ยังปล่อยมือได้ |

| 10–30 mA | ปล่อยมือไม่ได้ (let-go) หายใจลำบากถ้านาน |

| > 30–50 mA นานพอ | เสี่ยงหัวใจเต้นแผ่นระรัว (ventricular fibrillation) |

ตัวอย่าง P-1

### จับตัวถังที่มีไฟรั่ว 230 V ขณะยืนเท้าเปล่าบนพื้นเปียก

- P1: $I \approx 230/1000 = 0.23\ \text{A} = 230\ \text{mA}$

- สูงกว่าเกณฑ์อันตราย 30 mA เกือบ 8 เท่า — ต้องตัดไฟให้เร็วมาก หรือไม่ให้ตัวถังมีแรงดันตั้งแต่แรก

- สองชั้นของการป้องกัน: (1) สายดินทำให้ไฟรั่วไหลลงดินและแรงดันสัมผัสต่ำ (2) RCD ตรวจไฟรั่วแล้วตัดภายในเสี้ยววินาที

## RCD (เครื่องตัดไฟรั่ว) ทำงานอย่างไร พื้นฐาน

สายไฟเฟส (L) และนิวทรัล (N) ลอดผ่านแกนเหล็กรูปวงแหวนเดียวกัน ปกติกระแสไปเท่ากับกระแสกลับ สนามแม่เหล็กหักล้างกันเป็นศูนย์ ถ้ามีกระแสส่วนหนึ่งรั่วลงดิน (ผ่านคนหรือสายดิน) กระแสสองเส้นไม่เท่ากัน แกนเหล็กเกิดฟลักซ์ ขดลวดตรวจจับเหนี่ยวนำแรงดันไปปลดกลไกตัดไฟ

P2 Residual current กระแสผลต่างที่ RCD วัด

$$i_{\Delta}(t) = i_L(t) + i_N(t)\ \ (1\varphi) \qquad i_{\Delta} = i_{L1}+i_{L2}+i_{L3}+i_N\ \ (3\varphi) \qquad \text{ตัดเมื่อ } I_{\Delta} \ge (0.5\text{–}1)\,I_{\Delta n}$$

กระแส $i_L$ และ $i_N$ นิยามทิศเข้าหาโหลดทั้งคู่ ผลรวมจึงเป็นศูนย์เมื่อไม่มีไฟรั่ว RCD 30 mA ต้องตัดภายใน 0.3 s ที่ $I_{\Delta n}$ และภายใน 0.04 s ที่ $5I_{\Delta n}$ สังเกตว่า RCD ไม่ป้องกันการแตะ L กับ N พร้อมกัน (กระแสไปกลับเท่ากัน) และไม่ป้องกันกระแสเกิน — ต้องมีเบรกเกอร์ด้วย

## RCD Type AC, A, F, B และ RDC-DD 6 mA กลาง

| ชนิด | ตรวจจับไฟรั่วรูปแบบ | ใช้กับเครื่องชาร์จรถ |

| Type AC | ไซน์ AC เท่านั้น | ✗ ห้ามใช้ |

| Type A | AC + DC เป็นลูก ๆ (pulsating) + DC เรียบไม่เกิน 6 mA | ได้ เมื่อร่วมกับ RDC-DD 6 mA |

| Type F | เหมือน A + ความถี่ผสม (อินเวอร์เตอร์ 1 เฟส) | ได้ เมื่อร่วมกับ RDC-DD 6 mA |

| Type B | ทุกแบบ รวม DC เรียบ และความถี่สูงถึง ~1 kHz | ✓ ใช้เดี่ยวได้ |

| RDC-DD (IEC 62955) | ตรวจเฉพาะ DC เรียบ ตัดที่ 6 mA | มักอยู่ในวอลล์บ็อกซ์/สายพกพา ใช้คู่กับ Type A |

P3 DC blinding limit ขีดกระแสรั่ว DC ที่ RCD Type A ยังทำงานได้

$$I_{\Delta,DC} \le 6\ \text{mA} \;\Rightarrow\; \text{Type A ยังตัด AC ได้} \qquad I_{\Delta,DC} > 6\ \text{mA} \;\Rightarrow\; \text{ต้องตัดด้วย RDC-DD หรือใช้ Type B}$$

ทำไม DC ทำให้ RCD ตาบอด แกนเหล็กของ RCD ถูกออกแบบให้ไวต่อการเปลี่ยนฟลักซ์ กระแส DC สร้างฟลักซ์คงที่ดันแกนให้ใกล้อิ่มตัว ความชัน $dB/dH$ ลดลง เมื่อมีไฟรั่ว AC ซ้อนขึ้นมา ฟลักซ์เปลี่ยนน้อยจนขดตรวจจับเหนี่ยวนำแรงดันไม่พอตัดไฟ เครื่องชาร์จในรถมีวงจรเรียงกระแสและ PFC ถ้าฉนวนเสียฝั่ง DC กระแสรั่วจะเป็น DC เรียบ — นี่คือเหตุที่มาตรฐาน EV ต้องการการตรวจจับ DC เสมอ

อย่าวาง RCD Type A ต้นทางของ RCD Type B ถ้าตู้ไฟบ้านมี RCD Type A คุมทั้งตู้ (กันดูดเมน) แล้ววงจรรถใช้ Type B อยู่ปลายทาง กระแสรั่ว DC ยังไหลผ่าน Type A ต้นทางและทำให้มันตาบอดได้ ให้แยกวงจรรถออกจาก RCD ต้นทางชนิด A หรือใช้ Type B ที่ต้นทาง

## การต่อลงดิน: TN-C-S, TT และปัญหา PEN ขาด กลาง

บ้านในไทยส่วนใหญ่ต่อลงดินแบบ TN-C-S: ระบบจำหน่ายใช้สายนิวทรัลร่วมเป็นสายดิน (PEN) และที่ตู้เมนของบ้านแยกออกเป็น N กับ PE โดยต่อถึงหลักดินที่ตู้เมน ข้อดีคือกระแสลัดลงดินสูง เบรกเกอร์ตัดเร็ว ข้อเสียที่สำคัญกับรถ EV คือ ถ้าสาย PEN ในระบบจำหน่ายขาด PE ในบ้าน (และตัวถังรถที่ต่อกับ PE) อาจลอยขึ้นมามีแรงดันหลายสิบถึงเกือบ 230 V เทียบกับพื้นดินที่ยืน

P4 TT-system touch-voltage condition เงื่อนไขระบบ TT

$$R_A \times I_{\Delta n} \le 50\ \text{V} \qquad (R_A = \text{ความต้านทานหลักดิน + สาย PE ของผู้ใช้ไฟ})$$

มาตรฐาน IEC 60364-7-722 จึงกำหนดมาตรการสำหรับจุดชาร์จกลางแจ้งในระบบ TN เช่น ทำจุดชาร์จเป็นระบบ TT แยกหลักดิน หรือใช้เครื่องชาร์จที่ตรวจจับ PEN ขาด (open-PEN detection) แล้วตัดทุกขั้วรวม PE วอลล์บ็อกซ์หลายรุ่นมีฟังก์ชันนี้ในตัว — เป็นข้อที่ควรถามก่อนซื้อ

P5 Earth-rod resistance (Dwight) ความต้านทานหลักดินแท่งเดียว

$$R_{rod} = \frac{\rho}{2\pi L}\left[\ln\frac{8L}{d} - 1\right] \qquad \rho = \text{สภาพต้านทานดิน } (\Omega\,\text{m})$$

ตัวอย่าง P-2

### หลักดิน 2.4 m เส้นผ่านศูนย์กลาง 16 mm ในดิน 100 Ω·m

- P5: $\dfrac{100}{2\pi(2.4)} = 6.63$ · $\ln\dfrac{8(2.4)}{0.016} - 1 = \ln 1200 - 1 = 6.09$

- $R = 6.63 \times 6.09 = 40\ \Omega$ — สูงกว่าเกณฑ์ 5 Ω ของ วสท. มาก

- วิธีลด: ตอกหลักดินเพิ่มขนานกัน ห่างกันอย่างน้อยความยาวหลัก ตอกลึกขึ้น (R ลดเกือบตาม 1/L) หรือใช้สารปรับปรุงดิน ดินเหนียวชื้น (ρ ≈ 10–30 Ω·m) ทำได้ง่ายกว่าดินทราย (ρ ≈ 200–1000 Ω·m)

ตัวอย่าง P-3

### จุดชาร์จแบบ TT ใช้หลักดิน 40 Ω กับ RCD 30 mA ได้ไหม

- P4: $40 \times 0.03 = 1.2\ \text{V} \le 50\ \text{V}$ ✓ ผ่านเงื่อนไขระบบ TT อย่างสบาย

- แต่ระบบ TT กระแสลัดลงดินมีแค่ราว $230/(40+2) \approx 5.5$ A เบรกเกอร์ 40 A ไม่ตัด — การป้องกันขึ้นกับ RCD ทั้งหมด ต้องทดสอบ RCD เป็นประจำ

- ลองเปรียบเทียบ TN-C-S กับ TT ในเครื่องคำนวณด้านล่าง

อ่านทฤษฎีการต่อลงดินเต็มรูปแบบที่ ระบบการต่อลงดินและการป้องกันไฟดูด

## การป้องกันอื่น: ฟ้าผ่า IP และความร้อน พื้นฐาน

- อุปกรณ์ป้องกันแรงดันเกิน (SPD) Type 2 ที่ตู้ไฟ ปกป้องวอลล์บ็อกซ์และ OBC จากฟ้าผ่าใกล้ ๆ และการสวิตชิ่งในระบบ

- IP อย่างน้อย IP44 สำหรับติดในที่มีหลังคา IP54–IP65 สำหรับกลางแจ้ง หัวชาร์จที่ไม่ได้ใช้ให้เก็บในที่เก็บหัว

- ขั้วต่อ ขันแน่นด้วยแรงบิดตามคู่มือ (torque) ตรวจซ้ำหลังใช้งาน 1 เดือน ขั้วหลวมคือสาเหตุอันดับหนึ่งของความร้อนในตู้

- พื้นที่ติดตั้ง ไม่ติดใกล้วัสดุไวไฟ ระยะสายชาร์จไม่พาดผ่านทางเดินที่รถทับ

## มาตรฐานที่เกี่ยวข้อง

| มาตรฐาน | เรื่อง |

| IEC 61851-1 | ระบบชาร์จตัวนำ: Mode 1–4 Control Pilot การป้องกัน |

| IEC 62752 | สายชาร์จพกพา Mode 2 (IC-CPD) |

| IEC 62196-1/-2/-3 | ปลั๊ก เต้ารับ หัวชาร์จ Type 2 CCS |

| IEC 60364-7-722 | การติดตั้งไฟฟ้าสำหรับจุดชาร์จ: วงจรเฉพาะ RCD ชนิด การป้องกัน PEN ขาด |

| IEC 62955 · IEC 62423 | RDC-DD 6 mA · RCD Type F/B |

| มาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้าสำหรับประเทศไทย (วสท.) | หมวดการติดตั้งระบบอัดประจุยานยนต์ไฟฟ้า สายดิน หลักดิน ขนาดสาย |

| ข้อกำหนด กฟน. / กฟภ. | เงื่อนไขขอใช้ไฟ ขนาดมิเตอร์ อุปกรณ์ที่ยอมรับ |

## เช็กลิสต์ก่อนใช้งานจริง

- วงจรเฉพาะ ขนาดเบรกเกอร์และสายตามการคำนวณ (H5–H9)

- RCD 30 mA ที่ถูกชนิด (Type B หรือ Type A + RDC-DD) กดปุ่ม Test แล้วตัดจริง

- วัดค่าความต้านทานหลักดิน และวัดความต่อเนื่องของ PE ถึงตัวเครื่องชาร์จ

- วัดความต้านทานฉนวนของสายใหม่ (ปลดเครื่องชาร์จก่อน)

- ตรวจขั้ว L–N–PE ถูกต้อง ไม่สลับ

- ทดลองชาร์จเต็มกระแส 1 ชั่วโมง วัดอุณหภูมิขั้วต่อในตู้และในวอลล์บ็อกซ์ (ไม่ควรเกิน ~ 30 °C เหนืออุณหภูมิห้อง)

- ตั้งค่ากระแสสูงสุดของวอลล์บ็อกซ์ให้ตรงกับเบรกเกอร์ (เช่น 32 A กับเบรกเกอร์ 40 A)

- เก็บเอกสาร: ผังวงจร ผลทดสอบ ใบรับรองช่าง

## ตารางอาการเสียที่พบบ่อย

| อาการ | สาเหตุที่น่าจะเป็น | วิธีตรวจ |

| เสียบแล้วเครื่องชาร์จขึ้น “Earth fault / No ground” | เต้ารับไม่มีสายดิน สาย PE หลุด หลักดินสูงมาก | วัดความต่อเนื่อง PE วัดแรงดัน N–PE (ปกติ < 5 V) |

| RCD ตัดทันทีที่เริ่มชาร์จ | ฉนวนสายชื้น โหลดอื่นรั่วสะสมบนวงจรเดียวกัน RCD ไวเกิน | แยกวงจร วัดฉนวน เปลี่ยน RCD ให้ถูกชนิด |

| RCD ตัดเป็นพัก ๆ ตอนฝนตก | น้ำเข้าเต้ารับ/กล่องต่อ IP ไม่พอ | ตรวจซีลและท่อ ร้อยสายเข้ากล่องจากด้านล่าง |

| เมนเบรกเกอร์ทริปหัวค่ำ | รถ + แอร์ + น้ำอุ่น เกินพิกัด | ลดกระแสชาร์จ ตั้งเวลา load balancing (W6) |

| ชาร์จได้กระแสน้อยกว่าที่ตั้ง | OBC ของรถจำกัด สายชาร์จพิกัดต่ำ แรงดันตก อุณหภูมิสูงจนเครื่องลดกำลัง | ดูค่าบนแอปรถ ตรวจ PP วัดแรงดันขณะชาร์จ |

| ปลั๊ก/ขั้วต่อร้อน มีกลิ่น | หน้าสัมผัสหลวม เต้ารับเสื่อม | หยุดใช้ทันที เปลี่ยนเต้ารับ ขันขั้วใหม่ (M3) |

| ไฟบ้านกะพริบขณะชาร์จ | แรงดันตกในสายเมนหรือขั้วต่อหลวม | วัดแรงดันที่มิเตอร์และที่ตู้ขณะชาร์จ เทียบกัน |

## คำถามที่พบบ่อย

ชาร์จรถ EV ต้องใช้ RCD Type B เสมอไหม?
ต้องมีการป้องกันกระแสรั่วแบบ DC แต่ไม่จำเป็นต้องเป็น RCD Type B ที่ตู้เสมอไป ทางเลือกที่มาตรฐาน IEC 60364-7-722 ยอมรับคือ RCD Type B หรือ RCD Type A (หรือ F) ร่วมกับอุปกรณ์ตรวจจับกระแสรั่ว DC 6 mA (RDC-DD ตาม IEC 62955) ซึ่งวอลล์บ็อกซ์รุ่นใหม่ส่วนใหญ่มีในตัว ให้ดูดาต้าชีตของเครื่องชาร์จและข้อกำหนดของการไฟฟ้าในพื้นที่

ทำไม RCD Type AC ใช้กับเครื่องชาร์จรถไม่ได้?
เครื่องชาร์จในรถมีวงจรเรียงกระแส ถ้าฉนวนเสียฝั่ง DC กระแสรั่วจะเป็นไฟ DC เรียบหรือ DC เป็นลูก ๆ RCD Type AC ตรวจได้เฉพาะไฟรั่วรูปไซน์ และกระแส DC ยังทำให้แกนเหล็กของ RCD อิ่มตัวจนตัดไฟรั่ว AC ไม่ได้ด้วย จึงอันตรายแม้มีไฟรั่วจริง

ค่าความต้านทานหลักดินที่บ้านควรเป็นเท่าไร?
มาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้าของไทย (วสท.) กำหนดความต้านทานระหว่างหลักดินกับดินไว้ไม่เกิน 5 โอห์มสำหรับระบบทั่วไป (มีเงื่อนไขผ่อนผันในพื้นที่ที่ทำได้ยาก) หลักดินแท่งเดียวยาว 2.4 เมตรในดินทั่วไปมักได้ 10–50 โอห์ม จึงมักต้องเพิ่มหลักดินหรือตอกลึกขึ้น วัดด้วยเครื่องวัดความต้านทานดินหลังติดตั้ง

## FAQ

**ชาร์จรถ EV ต้องใช้ RCD Type B เสมอไหม?**
ต้องมีการป้องกันกระแสรั่วแบบ DC แต่ไม่จำเป็นต้องเป็น RCD Type B ที่ตู้เสมอไป ทางเลือกที่มาตรฐาน IEC 60364-7-722 ยอมรับคือ RCD Type B หรือ RCD Type A (หรือ F) ร่วมกับอุปกรณ์ตรวจจับกระแสรั่ว DC 6 mA (RDC-DD ตาม IEC 62955) ซึ่งวอลล์บ็อกซ์รุ่นใหม่ส่วนใหญ่มีในตัว ให้ดูดาต้าชีตของเครื่องชาร์จและข้อกำหนดของการไฟฟ้าในพื้นที่

**ทำไม RCD Type AC ใช้กับเครื่องชาร์จรถไม่ได้?**
เครื่องชาร์จในรถมีวงจรเรียงกระแส ถ้าฉนวนเสียฝั่ง DC กระแสรั่วจะเป็นไฟ DC เรียบหรือ DC เป็นลูก ๆ RCD Type AC ตรวจได้เฉพาะไฟรั่วรูปไซน์ และกระแส DC ยังทำให้แกนเหล็กของ RCD อิ่มตัวจนตัดไฟรั่ว AC ไม่ได้ด้วย จึงอันตรายแม้มีไฟรั่วจริง

**ค่าความต้านทานหลักดินที่บ้านควรเป็นเท่าไร?**
มาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้าของไทย (วสท.) กำหนดความต้านทานระหว่างหลักดินกับดินไว้ไม่เกิน 5 โอห์มสำหรับระบบทั่วไป (มีเงื่อนไขผ่อนผันในพื้นที่ที่ทำได้ยาก) หลักดินแท่งเดียวยาว 2.4 เมตรในดินทั่วไปมักได้ 10–50 โอห์ม จึงมักต้องเพิ่มหลักดินหรือตอกลึกขึ้น วัดด้วยเครื่องวัดความต้านทานดินหลังติดตั้ง

---

# โซลาร์เซลล์ แอร์ และรถ EV ในบ้านเดียว: สมดุลพลังงาน การชาร์จจากโซลาร์ส่วนเกิน การจัดการโหลด และ V2H

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/solar-ac-ev/
Updated: 2026-10-13
Summary: หลักการที่เชื่อมโซลาร์เซลล์ แอร์บ้าน และการชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าเข้าด้วยกัน (Home Energy Management): สมการสมดุลกำลังทุกขณะ ไฟไหลไปทางไหน โปรไฟล์โหลด 24 ชั่วโมง self-consumption self-sufficiency การชาร์จรถจากโซลาร์ส่วนเกิน dynamic load balancing ลำดับความสำคัญของโหลด แบตเตอรี่บ้าน V2L V2H pre-cooling แอร์ และเลือกขนาดแผงสำหรับแอร์ + รถ พร้อมซิมูเลเตอร์ 24 ชั่วโมง

// บทที่ 17.8 · ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน · Solar PV, Air Conditioning & EV in One Home

# โซลาร์เซลล์ แอร์ และรถ EV ในบ้านเดียว: สมดุลพลังงาน การชาร์จจากโซลาร์ส่วนเกิน การจัดการโหลด และ V2H

โซลาร์เซลล์ แอร์ และรถยนต์ไฟฟ้า ดูเหมือนสามเรื่องแยกกัน แต่ในบ้านหนึ่งหลังทั้งสามต่ออยู่บนบัสเดียวกันที่ตู้ไฟ และถูกผูกด้วยกฎทางฟิสิกส์ข้อเดียว: กำลังที่เข้าต้องเท่ากับกำลังที่ออกทุกขณะ ที่เหลือคือเรื่องของ เวลา และ ขีดจำกัดกระแส หน้านี้เรียกหลักการทั้งหมดว่า การจัดการพลังงานในบ้าน (Home Energy Management, HEM) และให้เครื่องมือทดลองคิดก่อนลงทุนจริง

สรุปใน 30 วินาที

- ทุกขณะ: โซลาร์ + กริด + แบต = โหลดพื้นฐาน + แอร์ + รถ (ค่าบวก/ลบบอกทิศ)

- แอร์กับโซลาร์ “ตรงเวลา” กันโดยธรรมชาติ รถ “เลื่อนเวลาได้” — นี่คือสองเครื่องมือหลัก

- รถไม่อยู่บ้านกลางวัน → ใช้ไฟโซลาร์กับแอร์ ชาร์จรถ Off-Peak กลางคืน

- รถอยู่บ้านกลางวัน → ชาร์จจากโซลาร์ส่วนเกิน (≥ 1.4 kW) ลดไฟที่ขายคืนราคาถูก

- Load balancing ป้องกันเมนทริปเมื่อแอร์ น้ำอุ่น และรถ ทำงานพร้อมกัน

## หลักที่ 1: สมดุลกำลังที่ตู้ไฟ พื้นฐาน

ตู้ไฟเป็นเหมือนสี่แยกของกระแส ตามกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ ผลรวมกระแสที่เข้าเท่ากับที่ออก คูณด้วยแรงดันเดียวกันได้สมดุลกำลัง ไฟฟ้าในสายเก็บไว้ไม่ได้ ถ้าโซลาร์ผลิตเกิน ส่วนเกินต้องไปที่ไหนสักแห่งทันที (กริด แบต หรือรถ)

S1 Instantaneous power balance สมดุลกำลังทุกขณะ

$$P_{PV}(t) + P_{grid}(t) + P_{bat}(t) = P_{base}(t) + P_{AC}(t) + P_{EV}(t)$$

$P_{grid} > 0$ คือซื้อไฟ $P_{grid} < 0$ คือขายคืน $P_{bat} > 0$ คือแบตจ่าย $P_{bat} < 0$ คือแบตชาร์จ มิเตอร์ดิจิทัลแบบสองทิศทางนับสองค่าแยกกัน: หน่วยที่ซื้อและหน่วยที่ขาย

S2 Daily energy balance สมดุลพลังงานรายวัน (อินทิเกรต S1)

$$E_{PV} + E_{import} - E_{export} + E_{bat,out} - E_{bat,in} = E_{base} + E_{AC} + E_{EV}$$

## หลักที่ 2: แต่ละอย่างใช้หรือผลิตไฟ “เมื่อไร” พื้นฐาน

| ระบบ | ช่วงเวลา | กำลังทั่วไป | เลื่อนเวลาได้ไหม |

| ☀ โซลาร์เซลล์ | 07:00–17:00 สูงสุดเที่ยง | 0.6–0.8 kW ต่อ kWp ตอนเที่ยงแดดดี | ไม่ได้ (ขึ้นกับแดด) |

| ❄ แอร์ห้องนั่งเล่น/ทำงาน | บ่ายที่ร้อนที่สุด | 0.5–1.5 kW/เครื่อง | บ้าง: pre-cooling ล่วงหน้าตอนบ่าย |

| ❄ แอร์ห้องนอน | 21:00–06:00 | 0.3–0.6 kW/เครื่อง | น้อย |

| 🏠 โหลดพื้นฐาน | ตลอดวัน + เช้าเย็น | 0.2–0.5 kW + ช่วงพีก 1–3 kW | ซักผ้า ล้างจาน ปั๊มน้ำ: ได้ |

| 🔌 รถ EV | เมื่อจอดบ้าน | 1.4–7.4 kW | ได้มาก — จอด 12–14 ชม. ชาร์จจริง 1–3 ชม. |

แอร์สัมพันธ์กับแดดเพราะความร้อนที่เข้าบ้านมาจากแสงอาทิตย์ (หลังคา ผนัง หน้าต่าง) เหตุเดียวกันที่ทำให้แผงผลิตไฟคือเหตุที่ทำให้แอร์ทำงานหนัก นี่คือเหตุผลที่ โซลาร์กับแอร์เข้ากันดี

S3 Air-conditioner average power กำลังไฟฟ้าเฉลี่ยของแอร์

$$\bar P_{AC}\,[\text{W}] \approx \frac{\text{BTU/h}\times LF}{SEER} \qquad \text{เช่น } \frac{12{,}000(0.8)}{20} = 480\ \text{W}$$

## ตัวชี้วัด: ใช้ไฟโซลาร์เองได้เท่าไร กลาง

S4 Self-consumption สัดส่วนไฟโซลาร์ที่ใช้เองในบ้าน

$$SC = \frac{E_{PV} - E_{export}}{E_{PV}}$$

S5 Self-sufficiency สัดส่วนที่บ้านพึ่งตนเองได้

$$SS = 1 - \frac{E_{import}}{E_{load}} \qquad E_{load} = E_{base}+E_{AC}+E_{EV}$$

ทำไมต้องสนใจ SC: ในไทย ไฟที่ขายคืนได้ราคาต่ำ (เช่น 2.2 ฿/หน่วยในโครงการโซลาร์ภาคประชาชน) แต่ไฟที่ซื้อแพง 3–6 ฿ ไฟโซลาร์ทุกหน่วยที่ใช้เองจึงมีค่ามากกว่าขาย 1.5–2.5 เท่า

S6 Daily value of solar (net billing) มูลค่าของไฟโซลาร์ต่อวัน

$$V = (E_{PV}-E_{export})\,r_{buy}(t) + E_{export}\,r_{sell}$$

## หลักที่ 3: ชาร์จรถจากโซลาร์ส่วนเกิน กลาง

S7 Surplus charging current กระแสชาร์จจากโซลาร์ส่วนเกิน

$$I_{EV} = \left\lfloor \frac{P_{PV} - P_{base} - P_{AC}}{n_{ph}\times 230} \right\rfloor_{A} \quad \text{ใช้เมื่อ } I_{EV} \ge 6\ \text{A}\ (\ge 1.38\ \text{kW ที่ 1 เฟส},\ 4.14\ \text{kW ที่ 3 เฟส})$$

ระบบวัดกำลังที่ไหลออกกริดทุก 1–10 วินาที ปรับ duty cycle ของ Control Pilot (W2) ให้รถดึงพอดีกับส่วนเกิน ข้อจำกัดสำคัญคือ กระแสต่ำสุด 6 A: เมื่อส่วนเกินต่ำกว่า 1.4 kW ต้องเลือกว่าจะหยุด หรือยอมดึงกริดเสริม และรถบางรุ่นไม่ชอบการเปลี่ยนกระแสถี่ ๆ ระบบดีจะกรองสัญญาณและหน่วงเวลาสั้น ๆ

ตัวอย่าง S-1

### เที่ยงวัน แผง 5 kWp จ่าย 3.4 kW บ้านใช้ 1.6 kW

- ส่วนเกิน $3.4 - 1.6 = 1.8$ kW → S7 (1 เฟส): $\lfloor 1800/230 \rfloor = 7$ A ≥ 6 A ✓ รถชาร์จ 1.61 kW

- ถ้าเปิดแอร์อีกเครื่อง 0.8 kW: ส่วนเกิน 1.0 kW → 4 A < 6 A → หยุดชาร์จ (หรือดึงกริด 0.38 kW เพื่อรักษา 6 A)

- วอลล์บ็อกซ์ 3 เฟสต้องการขั้นต่ำ 4.14 kW จึงใช้กับโซลาร์ส่วนเกินในบ้านทั่วไปได้ยาก — รุ่นที่สลับ 1↔3 เฟสอัตโนมัติจึงมีประโยชน์

## หลักที่ 4: ขีดจำกัดกระแสและลำดับความสำคัญ กลาง

S8 Supply limit ขีดจำกัดที่ตู้เมน

$$P_{base} + P_{AC} + P_{EV} - P_{PV} - P_{bat} \le V\,I_{main}\,(1 - m) \qquad m \approx 0.05\text{–}0.1\ \text{(เผื่อ)}$$

เมื่อเกินขีด ตัวจัดการพลังงานลดโหลดตามลำดับที่ผู้ใช้ตั้ง โดยทั่วไป: (1) ลดกระแสชาร์จรถ (เลื่อนได้มากที่สุด) (2) หยุดเครื่องทำน้ำอุ่น/ปั๊มสระชั่วคราว (3) เพิ่มอุณหภูมิแอร์ 1–2 °C ผ่านรีโมตอัจฉริยะ — ไม่ควรตัดแอร์ห้องผู้ป่วยหรือตู้เย็น

S9 Energy available from the car (V2L/V2H) พลังงานที่รถจ่ายให้บ้านได้

$$E_{V2H} = E_{usable}\,\frac{SOC - SOC_{reserve}}{100}\,\eta_{V2H} \qquad \eta_{V2H}\approx 0.85\text{–}0.9$$

ตัวอย่าง S-2

### ไฟดับ ใช้รถ 60 kWh SOC 70 % จ่ายบ้าน (เก็บไว้ 30 % สำหรับขับ)

- S9: $60 \times (70-30)/100 \times 0.88 = 21$ kWh

- บ้านใช้ตู้เย็น ไฟ พัดลม ปั๊มน้ำ และแอร์ห้องนอนหนึ่งเครื่อง ≈ 0.9 kW → อยู่ได้ ≈ 23 ชั่วโมง

- V2L (เต้ารับจากรถ ≈ 2–3.6 kW) ใช้ได้ทันทีกับรถที่รองรับ ส่วน V2H จ่ายเข้าตู้ไฟทั้งบ้านต้องมีเครื่องชาร์จสองทิศทางและอุปกรณ์ตัดแยกจากกริด (anti-islanding) ตามข้อกำหนดของการไฟฟ้า

## ซิมูเลเตอร์พลังงานบ้าน 24 ชั่วโมง

ซิมูเลเตอร์คำนวณ S1 ทุก 15 นาที: แผงโซลาร์รูปทรงวันแดดดี แอร์กลางวันที่ทำงานหนักขึ้นตามแดด แอร์ห้องนอน โหลดเช้าเย็น รถที่ออกเช้ากลับเย็น และแบตบ้าน (ถ้ามี) ลองเปลี่ยนวิธีชาร์จและดูว่าพื้นที่สีเขียว (รถ) ย้ายไปอยู่ใต้เส้นเหลือง (โซลาร์) ได้หรือไม่

## เปรียบเทียบ 6 รูปแบบ (บ้านเดียวกัน อัตรา TOU วันธรรมดา) กลาง

บ้าน: โหลดพื้นฐาน 14.8 kWh แอร์ 9.9 kWh ต่อวัน รถวิ่ง 50 km (เติม 7.5 kWh เข้าแบต) ขายไฟคืน 2.2 ฿ ค่าไฟรวม Ft และ VAT ไม่รวมค่าบริการ — ตัวเลขจากซิมูเลเตอร์ด้านบน

| รูปแบบ | ซื้อ On-Peak | ซื้อ Off-Peak | ขายคืน | ใช้โซลาร์เอง | ค่าไฟ/วัน | กระแสสูงสุด |

| ไม่มีโซลาร์ · เสียบทันที 18:00 | 22.8 | 10.3 | — | — | 177 ฿ | 38 A |

| ไม่มีโซลาร์ · ตั้งเวลา Off-Peak | 14.4 | 18.6 | — | — | 149 ฿ | 36 A |

| โซลาร์ 5 kWp · Off-Peak (รถไม่อยู่กลางวัน) | 6.7 | 17.4 | 9.8 | 47 % | 74 ฿ | 36 A |

| โซลาร์ 5 kWp · “ชาร์จจากโซลาร์เท่านั้น” แต่รถไม่อยู่ | 6.7 | 9.1 | 9.8 | 47 % | 49 ฿ แต่รถไม่ได้ชาร์จ | 8 A |

| โซลาร์ 5 kWp · WFH โซลาร์ก่อน เติม Off-Peak (40 km) | 6.7 | 9.6 | 3.7 | 80 % | 64 ฿ | 12 A |

| โซลาร์ 6 kWp + แบตบ้าน 10 kWh · รถ Off-Peak | 0 | 17.3 | 6.0 | 73 % | 39 ฿ | 36 A |

สิ่งที่ตารางสอน

- แค่ ตั้งเวลาชาร์จ ก็ลดได้ 28 ฿/วัน (≈ 840 ฿/เดือน) โดยไม่ลงทุนอะไรเลย ถ้าใช้ TOU

- โซลาร์ 5 kWp ลดค่าไฟครึ่งหนึ่งแม้รถไม่ได้ใช้ไฟโซลาร์เลย เพราะไฟโซลาร์ไปแทนไฟ On-Peak ราคาแพงของแอร์และโหลดกลางวัน

- การชาร์จจากโซลาร์ส่วนเกินช่วยเพิ่ม self-consumption จาก 47 % เป็น 80 % แต่เงินที่ประหยัดเพิ่มไม่มาก (≈ 5 ฿/วัน) เพราะไฟ Off-Peak ราคา ≈ 3.0 ฿ ใกล้ราคาขายคืน 2.2 ฿ — มันคุ้มขึ้นมากถ้าใช้อัตราปกติหรือราคาขายคืนต่ำ และช่วยลดกระแสสูงสุดจาก 36 A เหลือ 12 A

- เลือก “โซลาร์เท่านั้น” ทั้งที่รถไม่อยู่บ้าน = รถไม่ได้ไฟ — ต้องเลือกกลยุทธ์ให้ตรงกับชีวิตจริง

- แบตบ้านทำให้ไม่ซื้อไฟ On-Peak เลย แต่ต้องคุ้มกับราคาแบต (ลองคำนวณด้วย เครื่องมือความคุ้มค่า)

## เลือกขนาดแผงสำหรับแอร์ + รถ กลาง

S10 PV size for daytime use ขนาดแผงตามโหลดกลางวัน

$$P_{PV} \approx \frac{E_{day,load} + f_{home}\,E_{EV}}{PSH \times PR} \qquad f_{home} = \text{สัดส่วนวันที่รถจอดบ้านกลางวัน}$$

ตัวอย่าง S-3

### บ้านใช้ไฟกลางวัน 9 kWh รถต้องการ 6.7 kWh/วัน จอดบ้าน 2 วันต่อสัปดาห์

- $f_{home} = 2/7 = 0.29$ → พลังงานกลางวันเฉลี่ย $9 + 0.29(6.7) = 10.9$ kWh

- S10: $10.9/(4.8 \times 0.78) = 2.9$ kWp — ขนาดที่ “ใช้เองได้เกือบหมด”

- ถ้าติด 5 kWp ส่วนเกินวันธรรมดาจะขายคืน คุ้มน้อยกว่าแต่ยังคุ้มถ้าราคาติดตั้งต่ำ ตรวจด้วยเครื่องคำนวณด้านล่างและ เลือกขนาดจากบิล

## ตรรกะของตัวจัดการพลังงานบ้าน (HEMS) อย่างง่าย ขั้นสูง

อุปกรณ์จริงอาจเป็นวอลล์บ็อกซ์ที่มี CT อินเวอร์เตอร์ไฮบริด หรือระบบอย่าง Home Assistant ที่อ่านมิเตอร์และสั่งวอลล์บ็อกซ์ผ่าน OCPP/Modbus ตรรกะพื้นฐานทำงานเป็นรอบทุกไม่กี่วินาที:

ทุก 5 วินาที:
P_net = วัดกำลังที่จุดต่อกริด (+ ซื้อ, − ขาย)
headroom = V × I_main × 0.9 − P_house_without_EV
ถ้าโหมด = โซลาร์:
I_target = (−P_net + P_EV_now) / 230 # ส่วนเกินที่มี
ถ้าโหมด = Off-Peak และ เวลาอยู่ในช่วง 22:00–07:30:
I_target = I_max
I_target = min(I_target, headroom / 230, I_cable, I_set)
ถ้า I_target < 6 A: หยุดชั่วคราว (หน่วง 2–5 นาทีก่อนเริ่มใหม่)
มิฉะนั้น: ส่ง duty = I_target / 0.6 % ทาง Control Pilot
ถ้าเวลาใกล้ออกจากบ้าน และ SOC ยังไม่ถึงเป้า: บังคับชาร์จเต็มกำลัง
สิ่งที่ทำให้ระบบจริงซับซ้อนกว่านี้: การกรองเมฆที่ผ่านเร็ว การสลับ 1/3 เฟส การพยากรณ์แดดวันพรุ่งนี้ (พยากรณ์โซลาร์) และราคาค่าไฟที่เปลี่ยนตามเวลา — เป็นปัญหา ระบบควบคุม และการหาค่าเหมาะสมที่น่าสนใจ

## แนวทางปฏิบัติ 8 ข้อสำหรับบ้านที่มีโซลาร์ แอร์ และรถ

- ลดภาระแอร์ก่อน (ฉนวนหลังคา บังแดดฝั่งตะวันตก ตั้ง 25–26 °C) — ทุกหน่วยที่ไม่ต้องใช้คือหน่วยที่ถูกที่สุด

- ย้ายงานที่เลื่อนได้มาไว้กลางวัน: ซักผ้า อบผ้า ล้างจาน ปั๊มน้ำ ชาร์จรถเมื่ออยู่บ้าน

- pre-cooling: เปิดแอร์ห้องนอนช่วง 15:00–18:00 ด้วยไฟโซลาร์ แล้วตั้งอุณหภูมิสูงขึ้นเล็กน้อยตอนกลางคืน

- รถไม่อยู่บ้านกลางวัน → TOU + ตั้งเวลาชาร์จ 22:00 หรือให้ชาร์จเสร็จก่อนออกจากบ้าน

- ตั้งเพดาน SOC 80–90 % (NMC) เหลือที่ไว้รับไฟโซลาร์ในวันหยุด

- ใช้ load balancing แทนการขยายมิเตอร์เมื่อทำได้

- เลือกวอลล์บ็อกซ์ที่รองรับโหมดโซลาร์และ OCPP เผื่ออนาคต

- ตรวจสอบค่าจริงจากแอปมิเตอร์/อินเวอร์เตอร์เดือนละครั้ง แล้วปรับเวลาชาร์จ

## คำถามที่พบบ่อย

ติดโซลาร์ 5 kW พอชาร์จรถ EV และเปิดแอร์ไหม?
แผง 5 kWp ในไทยผลิตได้ประมาณ 18–20 kWh ต่อวันในวันแดดดี พอสำหรับแอร์กลางวันหนึ่งถึงสองเครื่องและโหลดกลางวันของบ้าน และเหลือส่วนเกินราว 8–10 kWh ซึ่งชาร์จรถได้ราว 50 km ถ้ารถจอดบ้านตอนกลางวัน ถ้ารถไม่อยู่บ้าน ส่วนเกินจะถูกขายคืนกริด แล้วรถชาร์จด้วยไฟ Off-Peak ตอนกลางคืนแทน ซึ่งก็ยังลดค่าไฟได้มาก

ชาร์จรถจากโซลาร์ส่วนเกิน (solar surplus charging) ทำงานอย่างไร?
วอลล์บ็อกซ์หรือระบบจัดการพลังงานวัดกำลังที่กำลังไหลออกกริดด้วย CT หรือมิเตอร์อัจฉริยะ แล้วตั้งกระแสชาร์จรถให้เท่ากับส่วนเกินนั้นผ่านสัญญาณ Control Pilot เมื่อเมฆบังหรือเปิดแอร์เพิ่ม ส่วนเกินลดลง กระแสชาร์จก็ลดตาม ถ้าส่วนเกินน้อยกว่าประมาณ 1.4 kW (6 A ต่ำสุดตามมาตรฐาน) จะหยุดชาร์จชั่วคราวหรือดึงจากกริดบางส่วนตามที่ตั้งไว้

ควรลงทุนแบตเตอรี่บ้านหรือใช้แบตรถแทน?
แบตรถมีความจุใหญ่กว่าแบตบ้านหลายเท่า แต่จอดที่บ้านไม่ตรงเวลากับแสงแดดเสมอไป และการจ่ายไฟกลับบ้าน (V2H) ต้องใช้รถ เครื่องชาร์จสองทิศทาง และอุปกรณ์ตัดแยกจากกริดที่รองรับ แบตบ้านเหมาะเมื่อมีโหลดกลางคืนมากหรือไฟดับบ่อย สำหรับบ้านที่ใช้ TOU การชาร์จรถช่วง Off-Peak และใช้ไฟโซลาร์กับแอร์กลางวันมักคุ้มที่สุดโดยไม่ต้องมีแบตบ้าน

## FAQ

**ติดโซลาร์ 5 kW พอชาร์จรถ EV และเปิดแอร์ไหม?**
แผง 5 kWp ในไทยผลิตได้ประมาณ 18–20 kWh ต่อวันในวันแดดดี พอสำหรับแอร์กลางวันหนึ่งถึงสองเครื่องและโหลดกลางวันของบ้าน และเหลือส่วนเกินราว 8–10 kWh ซึ่งชาร์จรถได้ราว 50 km ถ้ารถจอดบ้านตอนกลางวัน ถ้ารถไม่อยู่บ้าน ส่วนเกินจะถูกขายคืนกริด แล้วรถชาร์จด้วยไฟ Off-Peak ตอนกลางคืนแทน ซึ่งก็ยังลดค่าไฟได้มาก

**ชาร์จรถจากโซลาร์ส่วนเกิน (solar surplus charging) ทำงานอย่างไร?**
วอลล์บ็อกซ์หรือระบบจัดการพลังงานวัดกำลังที่กำลังไหลออกกริดด้วย CT หรือมิเตอร์อัจฉริยะ แล้วตั้งกระแสชาร์จรถให้เท่ากับส่วนเกินนั้นผ่านสัญญาณ Control Pilot เมื่อเมฆบังหรือเปิดแอร์เพิ่ม ส่วนเกินลดลง กระแสชาร์จก็ลดตาม ถ้าส่วนเกินน้อยกว่าประมาณ 1.4 kW (6 A ต่ำสุดตามมาตรฐาน) จะหยุดชาร์จชั่วคราวหรือดึงจากกริดบางส่วนตามที่ตั้งไว้

**ควรลงทุนแบตเตอรี่บ้านหรือใช้แบตรถแทน?**
แบตรถมีความจุใหญ่กว่าแบตบ้านหลายเท่า แต่จอดที่บ้านไม่ตรงเวลากับแสงแดดเสมอไป และการจ่ายไฟกลับบ้าน (V2H) ต้องใช้รถ เครื่องชาร์จสองทิศทาง และอุปกรณ์ตัดแยกจากกริดที่รองรับ แบตบ้านเหมาะเมื่อมีโหลดกลางคืนมากหรือไฟดับบ่อย สำหรับบ้านที่ใช้ TOU การชาร์จรถช่วง Off-Peak และใช้ไฟโซลาร์กับแอร์กลางวันมักคุ้มที่สุดโดยไม่ต้องมีแบตบ้าน

---

# ชาร์จเร็วที่บ้านด้วยวอลล์บ็อกซ์ (Mode 3): 7.4 / 11 / 22 kW, Control Pilot PWM, Proximity และการเลือกเครื่อง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/ev-charging/wallbox/
Updated: 2026-10-13
Summary: วอลล์บ็อกซ์ทำงานอย่างไร: ไม่ได้แปลงไฟแต่เป็นสวิตช์อัจฉริยะ สัญญาณ Control Pilot ±12 V PWM 1 kHz duty cycle บอกกระแส I = 0.6 × D สถานะ A B C D E F วงจรตัวต้านทานฝั่งรถ 2.74 kΩ 1.3 kΩ ตัวต้านทาน Proximity บอกพิกัดสาย 1 เฟส 32 A กับ 3 เฟส ขีดจำกัด OBC dynamic load balancing OCPP และเกณฑ์เลือกซื้อ พร้อมแล็บสัญญาณ CP

// บทที่ 17.4 · ระบบชาร์จรถยนต์ไฟฟ้าที่บ้าน · Home Wallbox (Mode 3)

# ชาร์จเร็วที่บ้านด้วยวอลล์บ็อกซ์ (Mode 3): 7.4 / 11 / 22 kW, Control Pilot PWM, Proximity และการเลือกเครื่อง

วอลล์บ็อกซ์คือวิธีชาร์จที่บ้านซึ่งเร็วและปลอดภัยที่สุด เพราะต่อตายตัวกับวงจรเฉพาะ ไม่มีปลั๊กที่หลวมได้ และสื่อสารกับรถตลอดเวลา สิ่งที่น่าทึ่งคือ “ภาษา” ระหว่างเครื่องชาร์จกับรถใช้แค่ไฟสัญญาณเส้นเดียว ตัวต้านทานสองสามตัว และไดโอดหนึ่งตัว — หน้านี้แกะวงจรนั้นทีละขั้น พร้อมแล็บให้ลองเปลี่ยนสถานะเอง

สรุปใน 30 วินาที

- บ้าน 1 เฟส: สูงสุด 32 A = 7.4 kW · บ้าน 3 เฟส: 16 A = 11 kW, 32 A = 22 kW

- Duty cycle ของ PWM 1 kHz บอกกระแส: $I = 0.6\,D$ (D เป็น %) เช่น 53.3 % → 32 A

- รถตอบด้วยแรงดัน: 12 V ยังไม่เสียบ · 9 V เสียบแล้ว · 6 V ขอชาร์จ

- รถดึงกระแส = ค่าน้อยที่สุดของ PWM · สาย (PP) · OBC

- Load balancing ลดกระแสรถอัตโนมัติไม่ให้เมนเบรกเกอร์ทริป

## วอลล์บ็อกซ์ 7.4 / 11 / 22 kW ต่างกันอย่างไร พื้นฐาน

W1 Wallbox power กำลังของวอลล์บ็อกซ์

$$P_{1\varphi} = 230\,I \qquad P_{3\varphi} = 3 \times 230\,I = \sqrt{3}\times 400\,I$$

| รุ่น | ระบบไฟ | กระแส/เฟส | กำลัง | เบรกเกอร์ (C, ×1.25) | km ต่อชั่วโมง* |

| 3.7 kW | 1 เฟส | 16 A | 3.68 kW | 20 A | 22 |

| 7.4 kW | 1 เฟส | 32 A | 7.36 kW | 40 A | 44 |

| 11 kW | 3 เฟส | 16 A | 11.0 kW | 20 A (3P) | 66 |

| 22 kW | 3 เฟส | 32 A | 22.1 kW | 40 A (3P) | 132 |

* ที่ 15 kWh/100 km ประสิทธิภาพ 90 % และเมื่อ OBC ของรถรับได้เต็มกำลัง

## ข้างในวอลล์บ็อกซ์ พื้นฐาน

- คอนแทกเตอร์ สวิตช์กำลังที่ต่อ L (และ N) เข้าหัวชาร์จเมื่อได้สถานะ C เท่านั้น — ไม่มีไฟที่ขาหัวชาร์จขณะถือหัวไว้ในมือ

- ตรวจจับไฟรั่ว AC 30 mA และ DC 6 mA (RDC-DD) หรือใช้ RCD Type B ที่ตู้ไฟ — ความปลอดภัย

- ไมโครคอนโทรลเลอร์ + วงจร CP สร้าง PWM ±12 V และวัดแรงดันตอบกลับ

- มิเตอร์ในตัว นับ kWh (รุ่นที่ใช้คิดเงินต้องมี MID/มาตรวิทยา)

- ตรวจหน้าสัมผัสคอนแทกเตอร์ติด (welding detection) และตรวจอุณหภูมิขั้วต่อ

- การสื่อสาร Wi-Fi/Ethernet/4G โปรโตคอล OCPP สำหรับแอปตั้งเวลาและจัดการโหลด

## สัญญาณ Control Pilot: ภาษาของเครื่องชาร์จกับรถ กลาง

เครื่องชาร์จส่ง ±12 V ผ่าน R1 1 kΩ รถต่อไดโอดและ R2 (เสียบแล้ว) แล้วปิดสวิตช์ S2 ต่อ R3 ขนาน (พร้อมชาร์จ) แรงดันที่จุดวัดจึงลดเป็นขั้น ๆ

W2 Duty cycle → maximum current duty cycle บอกกระแสสูงสุด (IEC 61851-1 / SAE J1772)

$$I_{max} = 0.6\,D \quad (10\,\% \le D \le 85\,\%) \qquad I_{max} = 2.5\,(D-64) \quad (85\,\% W3 Current → duty cycle ต้องการกระแสนี้ ตั้ง duty เท่าไร

$$D = \frac{I}{0.6}\ \ (6 \le I \le 51\ \text{A}) \qquad D = \frac{I}{2.5}+64\ \ (51 duty 5 % มีความหมายพิเศษ: “คุยกันแบบดิจิทัล” ตาม ISO 15118 (สัญญาณสื่อสารซ้อนบนสาย CP) ใช้กับตู้ DC และระบบ Plug & Charge ส่วน duty ต่ำกว่า 8 % (ยกเว้น 5 %) หรือสูงกว่า 97 % หมายถึงห้ามชาร์จ

W4 Pilot voltage seen by the EVSE แรงดันที่เครื่องชาร์จวัดได้ (ครึ่งบวกของ PWM)

$$V_{CP} = V_D + (12 - V_D)\,\frac{R_{car}}{R_{car} + 1\ \text{k}\Omega} \qquad V_D \approx 0.7\ \text{V}$$

| สถานะ | $V_{CP}$ ครึ่งบวก | ฝั่งรถ | ความหมาย |

| A | +12 V (ไม่มี PWM) | ไม่ได้ต่อ | ยังไม่เสียบ |

| B | +9 V | R2 2.74 kΩ | เสียบแล้ว รถยังไม่ขอไฟ (เครื่องชาร์จเริ่ม PWM) |

| C | +6 V | R2 ∥ R3 = 882 Ω | รถขอชาร์จ → คอนแทกเตอร์ต่อ |

| D | +3 V | R2 ∥ 270 Ω | ชาร์จและต้องการระบายอากาศ |

| E | 0 V | — | ไฟเครื่องชาร์จดับหรือ CP ลัดลงดิน |

| F | −12 V | — | เครื่องชาร์จขัดข้อง |

ครึ่งลบของ PWM ต้องอยู่ที่ −12 V เสมอ ไดโอดในรถทำให้ฝั่งรถไม่ดึงกระแสในครึ่งลบ เครื่องชาร์จจึงใช้ครึ่งลบตรวจว่ามีรถจริง (ไม่ใช่ตัวต้านทานลัดลงดิน)

ตัวอย่าง W-1

### ตรวจแรงดัน CP สถานะ B และ C

- สถานะ B: W4 $V = 0.7 + 11.3 \times \dfrac{2740}{3740} = 0.7 + 8.28 = 8.98\ \text{V} \approx 9\ \text{V}$ ✓

- สถานะ C: $R_{car} = \dfrac{2740 \times 1300}{2740 + 1300} = 882\ \Omega$ → $V = 0.7 + 11.3 \times \dfrac{882}{1882} = 6.0\ \text{V}$ ✓

- นี่คือเหตุผลที่ค่าตัวต้านทานในมาตรฐานเป็นเลขแปลก ๆ อย่าง 2.74 kΩ — ออกแบบให้แรงดันออกมาเป็น 9 V และ 6 V พอดีเมื่อรวมไดโอด

ตัวอย่าง W-2

### ตั้งวอลล์บ็อกซ์ที่ 32 A 16 A และ 65 A

- W3: 32 A → $D = 32/0.6 = 53.3\,\%$ ความกว้างพัลส์ 533 µs ในคาบ 1 ms

- 16 A → $D = 26.7\,\%$ · 6 A (ต่ำสุด) → $D = 10\,\%$

- 65 A เกิน 51 A ใช้ช่วงที่สอง: $D = 65/2.5 + 64 = 90\,\%$ ตรวจกลับด้วย W2: $2.5(90-64) = 65\ \text{A}$ ✓

## Proximity Pilot: สายบอกพิกัดของตัวเอง กลาง

W5 Current actually drawn กระแสที่รถดึงจริง

$$I_{EV} = \min\!\left(I_{PWM},\ I_{PP},\ I_{OBC}\right) \qquad R_{PP}:\ 1.5\,\text{k}\Omega{=}13\,\text{A},\ 680\,\Omega{=}20\,\text{A},\ 220\,\Omega{=}32\,\text{A},\ 100\,\Omega{=}63\,\text{A}$$

ในหัว Type 2 มีตัวต้านทานระหว่างขา PP กับ PE ค่าของมันบอกพิกัดกระแสของสายเส้นนั้น เครื่องชาร์จแบบมีเต้ารับ (untethered) อ่านค่านี้แล้วจำกัดกระแส ป้องกันการใช้สาย 13 A กับเครื่อง 32 A ลองเปลี่ยนสายในแล็บด้านล่าง

## แล็บ Control Pilot: ลองเปลี่ยนสถานะ กระแส และสาย

## Dynamic load balancing: ไม่ให้เมนทริปเมื่อเปิดแอร์ กลาง

ระบบจัดการโหลดใช้ CT คล้องสายเมนหลังมิเตอร์ วัดกระแสที่บ้านใช้ทุกวินาที แล้วสั่งวอลล์บ็อกซ์เปลี่ยน duty cycle ทันที รถจะลดกระแสตามภายในไม่กี่วินาที (มาตรฐานกำหนดให้รถตอบสนองภายใน 5 วินาที)

W6 Dynamic load balancing กระแสที่อนุญาตให้รถ

$$I_{EV}(t) = \min\!\Big(I_{set},\ \max\!\big(0,\ I_{main} - I_{house}(t) - I_{margin}\big)\Big) \qquad I_{EV} ตัวอย่าง W-3

### เมน 63 A บ้านใช้ 40 A ตอนหัวค่ำ

- ตั้งเผื่อ $I_{margin} = 5$ A → W6: $I_{EV} = \min(32,\ 63 - 40 - 5) = 18\ \text{A}$

- W3: วอลล์บ็อกซ์ส่ง duty $18/0.6 = 30\,\%$ → รถชาร์จ $230 \times 18 = 4.1$ kW

- สี่ทุ่ม แอร์ห้องนั่งเล่นปิดและครัวเลิกใช้ บ้านเหลือ 6 A → $I_{EV} = \min(32, 52) = 32$ A ชาร์จเต็ม 7.4 kW

- ผล: ไม่ต้องขยายมิเตอร์จาก 30(100) A หรือเปลี่ยนเป็น 3 เฟส และยังชาร์จเต็มในคืนเดียว

ระบบเดียวกันใช้กับ การชาร์จจากโซลาร์ส่วนเกิน: CT วัดกระแสที่กำลังไหลออกกริด แล้วตั้ง $I_{EV}$ ให้เท่ากับส่วนเกินนั้น อ่านที่ โซลาร์ + แอร์ + รถ

## ไฟ 3 เฟสกับรถ OBC เฟสเดียว: ปัญหาเฟสไม่สมดุล ขั้นสูง

บ้าน 3 เฟสที่ใช้รถ OBC เฟสเดียว 32 A จะดึงกระแส 32 A ที่เฟสเดียว เพิ่มความไม่สมดุลระหว่างเฟสและกระแสในสายนิวทรัล การไฟฟ้าบางแห่งจำกัดกระแสไม่สมดุลต่อจุดต่อไฟ ควรเลือกเฟสที่มีโหลดน้อยให้วอลล์บ็อกซ์ หรือใช้วอลล์บ็อกซ์ที่สลับเฟสอัตโนมัติ (phase switching) ซึ่งมีประโยชน์กับการชาร์จจากโซลาร์ด้วย: เมื่อโซลาร์เกินน้อยใช้ 1 เฟส 6 A (1.4 kW) ต่ำสุด เมื่อเกินมากสลับเป็น 3 เฟส (ต่ำสุด 4.1 kW) — ความเข้าใจเรื่ององค์ประกอบสมมาตรช่วยอธิบายผลของความไม่สมดุลนี้ (องค์ประกอบสมมาตร)

## เกณฑ์เลือกซื้อวอลล์บ็อกซ์ พื้นฐาน

| หัวข้อ | ควรมี | เหตุผล |

| มาตรฐาน | IEC 61851-1, IEC 62196 (หัว), มอก./การรับรองที่การไฟฟ้ายอมรับ | การไฟฟ้าใช้ตรวจตอนขออนุญาต |

| การตรวจไฟรั่ว DC | RDC-DD 6 mA ในตัว (IEC 62955) หรือใช้ RCD Type B ที่ตู้ | ไม่ให้ RCD Type A ตาบอด |

| กำลัง | เท่ากับ OBC ของรถและระบบไฟบ้าน ปรับกระแสได้ 6–32 A | ไม่เสียเงินกับกำลังที่ใช้ไม่ได้ |

| สายติดเครื่อง (tethered) หรือเต้ารับ | บ้าน: สายติดเครื่อง 5–7.5 m สะดวกกว่า | ลดการเสียบสายผิด |

| ตั้งเวลาและ load balancing | ตั้งเวลา Off-Peak, CT จัดการโหลด, โหมดโซลาร์ | ประหยัดค่าไฟ ไม่ต้องขยายมิเตอร์ |

| OCPP 1.6J / 2.0.1 | เปลี่ยนแอปหรือผู้ให้บริการได้ | ไม่ผูกกับระบบปิดที่อาจเลิกให้บริการ |

| IP / IK | IP54–IP65, IK08 ขึ้นไป สำหรับติดนอกบ้าน | ฝน ฝุ่น แรงกระแทก |

## คำถามที่พบบ่อย

วอลล์บ็อกซ์ 7 kW กับ 22 kW ควรเลือกอะไร?
ดูที่รถและระบบไฟบ้าน รถส่วนใหญ่มี OBC 7–11 kW บ้านส่วนใหญ่เป็นไฟ 1 เฟส จึงใช้ได้สูงสุด 7.4 kW (32 A) วอลล์บ็อกซ์ 22 kW ต้องการไฟ 3 เฟส 32 A และรถที่มี OBC 22 kW ซึ่งมีน้อย สำหรับบ้านทั่วไป 7.4 kW ชาร์จได้ราว 44 km ต่อชั่วโมง เพียงพอสำหรับการชาร์จข้ามคืน

Control Pilot คืออะไร?
เป็นสายสัญญาณเส้นเดียวในหัวชาร์จที่เครื่องชาร์จส่งคลื่นสี่เหลี่ยม ±12 V ความถี่ 1 kHz ความกว้างพัลส์ (duty cycle) บอกกระแสสูงสุดที่รถดึงได้ เช่น duty 53.3 % = 32 A ส่วนรถตอบกลับด้วยการต่อตัวต้านทานลงดินทำให้แรงดันลดเหลือ 9 V (เสียบแล้ว) หรือ 6 V (พร้อมชาร์จ) เป็นภาษาง่าย ๆ ที่ปลอดภัยแม้ไม่มีคอมพิวเตอร์

Dynamic load balancing จำเป็นไหม?
จำเป็นถ้ากระแสรวมของบ้านเมื่อรวมรถแล้วอาจเกินเมนเบรกเกอร์หรือมิเตอร์ ระบบนี้ใช้ CT วัดกระแสเข้าบ้าน แล้วลดกระแสชาร์จอัตโนมัติเมื่อบ้านใช้ไฟมาก (เช่น เปิดแอร์หลายเครื่องพร้อมเครื่องทำน้ำอุ่น) ช่วยให้ไม่ต้องขยายมิเตอร์ใหญ่เกินจำเป็น

## FAQ

**วอลล์บ็อกซ์ 7 kW กับ 22 kW ควรเลือกอะไร?**
ดูที่รถและระบบไฟบ้าน รถส่วนใหญ่มี OBC 7–11 kW บ้านส่วนใหญ่เป็นไฟ 1 เฟส จึงใช้ได้สูงสุด 7.4 kW (32 A) วอลล์บ็อกซ์ 22 kW ต้องการไฟ 3 เฟส 32 A และรถที่มี OBC 22 kW ซึ่งมีน้อย สำหรับบ้านทั่วไป 7.4 kW ชาร์จได้ราว 44 km ต่อชั่วโมง เพียงพอสำหรับการชาร์จข้ามคืน

**Control Pilot คืออะไร?**
เป็นสายสัญญาณเส้นเดียวในหัวชาร์จที่เครื่องชาร์จส่งคลื่นสี่เหลี่ยม ±12 V ความถี่ 1 kHz ความกว้างพัลส์ (duty cycle) บอกกระแสสูงสุดที่รถดึงได้ เช่น duty 53.3 % = 32 A ส่วนรถตอบกลับด้วยการต่อตัวต้านทานลงดินทำให้แรงดันลดเหลือ 9 V (เสียบแล้ว) หรือ 6 V (พร้อมชาร์จ) เป็นภาษาง่าย ๆ ที่ปลอดภัยแม้ไม่มีคอมพิวเตอร์

**Dynamic load balancing จำเป็นไหม?**
จำเป็นถ้ากระแสรวมของบ้านเมื่อรวมรถแล้วอาจเกินเมนเบรกเกอร์หรือมิเตอร์ ระบบนี้ใช้ CT วัดกระแสเข้าบ้าน แล้วลดกระแสชาร์จอัตโนมัติเมื่อบ้านใช้ไฟมาก (เช่น เปิดแอร์หลายเครื่องพร้อมเครื่องทำน้ำอุ่น) ช่วยให้ไม่ต้องขยายมิเตอร์ใหญ่เกินจำเป็น

---

# ระบบอันดับหนึ่งและค่าคงตัวเวลา τ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/first-order-system/
Updated: 2026-10-12
Summary: แล็บโต้ตอบระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs+1) ปรับค่าคงตัวเวลา τ หรือค่า R, C, L แล้วดูผลตอบสนองขั้นบันได อิมพัลส์ แรมป์ และไซน์ พร้อมเส้นแบ่งทุกช่วง τ เส้นสัมผัส สเกลลอการิทึม ระนาบ s และ Bode plot

// ทฤษฎีประกอบแล็บ

## ระบบอันดับหนึ่งทำงานอย่างไร

สรุปใน 30 วินาที

- ระบบอันดับหนึ่ง: $\tau\,\dfrac{dy}{dt} + y = K\,u(t)$ หรือ $G(s) = \dfrac{K}{\tau s + 1}$

- ทุก ๆ τ ส่วนที่ยังไม่เปลี่ยนจะเหลือ $1/e \approx 36.8\%$ จึงได้ 63.2%, 86.5%, 95.0%, 98.2%, 99.3%

- เส้นสัมผัสจากจุดใดก็ตาม ไปถึงค่าสุดท้ายหลังจากนั้น τ เสมอ

- วงจร RC: $\tau = RC$ · วงจร RL: $\tau = L/R$ · ความถี่มุม $\omega_c = 1/\tau$

## สมการและฟังก์ชันถ่ายโอน

ระบบที่มีตัวเก็บพลังงานเพียงตัวเดียว เช่น ตัวเก็บประจุหนึ่งตัวในวงจร RC หรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัวในวงจร RL อธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

$$\tau\,\frac{dy}{dt} + y = K\,u(t) \quad\xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\quad G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{K}{\tau s + 1}$$

$K$ คืออัตราขยายสถานะคงตัว และ $\tau$ คือค่าคงตัวเวลา มีหน่วยเป็นวินาที

เมื่อป้อนอินพุตขั้นบันไดขนาด $A$ และ $y(0) = 0$ จะได้ $Y(s) = \dfrac{KA}{s(\tau s + 1)}$ แยกเศษส่วนย่อยแล้วแปลงกลับ (ดูวิธีใน บทการแปลงลาปลาซ)

$$y(t) = KA\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad\text{และในกรณีทั่วไป}\qquad y(t) = y_\infty + \big(y(0) - y_\infty\big)\,e^{-t/\tau}$$

ทุกผลตอบสนองของระบบอันดับหนึ่ง = ส่วนคงตัว + ส่วนชั่วครู่ที่ลดลงแบบ $e^{-t/\tau}$

## ความหมายของค่าคงตัวเวลา τ

แทน $t = k\tau$ ลงในส่วนชั่วครู่ $e^{-t/\tau}$ จะได้ $e^{-k}$ ซึ่งไม่ขึ้นกับ K, A หรือหน่วยใด ๆ ตัวเลขชุดนี้จึงใช้ได้กับระบบอันดับหนึ่งทุกระบบ

| เวลา | ส่วนที่เหลือ $e^{-k}$ | เปลี่ยนไปแล้ว | ความหมายในทางปฏิบัติ |

| 1τ | 36.8% | 63.2% | นิยามของ τ |

| 2τ | 13.5% | 86.5% | |

| 3τ | 5.0% | 95.0% | เข้าที่ตามเกณฑ์ 5% |

| 4τ | 1.8% | 98.2% | เข้าที่ตามเกณฑ์ 2% |

| 5τ | 0.7% | 99.3% | ถือว่าเข้าที่สมบูรณ์ |

ในแล็บด้านบน การ์ด 1τ ถึง 5τ ใต้กราฟแสดงค่าชุดนี้พร้อมเวลาจริงตามค่า τ ที่ตั้ง ลองกด "เล่น" แล้วดูการ์ดสว่างขึ้นทีละใบ

## เส้นช่วยวิเคราะห์โครงสร้างเอกซ์โพเนนเชียล

### 1. เส้นสัมผัส: ถึงค่าสุดท้ายหลังจากนั้น τ เสมอ

จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปอัตราการเปลี่ยนแปลง (กรณีอินพุตคงที่ ค่าสุดท้ายคือ $y_\infty = KA$)

$$\frac{dy}{dt} = \frac{y_\infty - y}{\tau}$$

ถ้าลากเส้นสัมผัสจากจุด $(t_0, y(t_0))$ ด้วยความชันนี้ เส้นจะไปถึงระดับ $y_\infty$ เมื่อ $\Delta t \cdot \dfrac{y_\infty - y}{\tau} = y_\infty - y$ นั่นคือ $\Delta t = \tau$ พอดี ไม่ว่าเริ่มจากจุดไหนของกราฟ เปิดตัวเลือก "เส้นสัมผัสที่ตำแหน่งชี้" แล้วเลื่อนเมาส์ไปตามกราฟเพื่อดูสมบัตินี้

### 2. สเกลลอการิทึม: เอกซ์โพเนนเชียลกลายเป็นเส้นตรง

$$\ln\lvert y_\infty - y(t)\rvert = \ln\lvert y_\infty - y(0)\rvert - \frac{t}{\tau}$$

พล็อตส่วนที่เหลือบนแกนลอการิทึมจะได้เส้นตรงที่มีความชัน $-1/\tau$ ถ้าข้อมูลจากการวัดจริงไม่เป็นเส้นตรงบนกราฟนี้ แปลว่าระบบไม่ใช่อันดับหนึ่งล้วน เช่น มีตัวเก็บพลังงานมากกว่าหนึ่งตัว

### 3. เวลาที่ใช้บ่อย

- ครึ่งทาง 50%: $t_{50} = \tau\ln 2 \approx 0.693\tau$

- เวลาขึ้น 10% → 90%: $t_r = \tau\ln 9 \approx 2.20\tau$

- เวลาเข้าที่ 2%: $t_s = \tau\ln 50 \approx 3.91\tau$ (นิยมปัดเป็น 4τ) และ 5%: $\tau\ln 20 \approx 3.00\tau$

## หาค่า τ จากข้อมูลที่วัดได้

ตัวอย่างที่ 1 · วัดจากออสซิลโลสโคป

### ป้อนแรงดันขั้นบันได 5 V ให้วงจร RC ที่ไม่มีประจุ วัดได้ว่าที่ $t = 10$ ms แรงดันตัวเก็บประจุเท่ากับ 2 V จงหา τ

ดูวิธีทำ

ส่วนที่เหลือคือ $\dfrac{5 - 2}{5} = 0.6$ และต้องเท่ากับ $e^{-t/\tau}$

$$e^{-10\,\text{ms}/\tau} = 0.6 \quad\Rightarrow\quad \tau = \frac{10\ \text{ms}}{\ln(1/0.6)} = \frac{10\ \text{ms}}{0.511} \approx 19.6\ \text{ms}$$

$\tau \approx 19.6$ ms วิธีนี้ใช้จุดวัดเพียงจุดเดียว ถ้ามีหลายจุด ให้ใช้ความชันบนกราฟลอการิทึมจะลดผลของสัญญาณรบกวน

## วงจร RC และ RL

| วงจร | ค่าคงตัวเวลา | ตัวแปรที่ต่อเนื่อง |

| RC อนุกรม | $\tau = RC$ | แรงดันตัวเก็บประจุ $v_C(t)$ |

| RL อนุกรม | $\tau = L/R$ | กระแสตัวเหนี่ยวนำ $i_L(t)$ |

ตัวอย่างที่ 2 · วงจร RL

### ตัวเหนี่ยวนำ 50 mH ต่ออนุกรมกับตัวต้านทาน 10 Ω ป้อนแรงดัน 12 V จงหา τ และกระแสที่ $t = \tau$

ดูวิธีทำ

$$\tau = \frac{L}{R} = \frac{50\times10^{-3}}{10} = 5\ \text{ms} \qquad I_\infty = \frac{V}{R} = \frac{12}{10} = 1.2\ \text{A}$$

$$i(\tau) = 1.2\left(1 - e^{-1}\right) \approx 0.759\ \text{A}$$

$\tau = 5$ ms กระแสถึง 0.759 A (63.2% ของ 1.2 A) ใน 5 ms และเข้าที่ 2% ภายในประมาณ 20 ms ลองตั้งค่า "วงจร RL" ในแล็บด้วย R = 10 Ω และ L = 50 mH

## มุมมองเชิงความถี่

แทน $s = j\omega$ ลงในฟังก์ชันถ่ายโอน จะได้ขนาดและเฟส

$$\lvert G(j\omega)\rvert = \frac{K}{\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}} \qquad \angle G(j\omega) = -\tan^{-1}(\omega\tau)$$

ที่ความถี่มุม $\omega_c = 1/\tau$ ขนาดเหลือ $K/\sqrt2$ (ลดลง 3 dB) และเฟสล้าหลัง 45° เหนือความถี่นี้ขนาดลดลง 20 dB ต่อทศวรรษ ระบบอันดับหนึ่งจึงเป็นวงจรกรองความถี่ต่ำผ่าน (low-pass filter) โดยธรรมชาติ

เวลาและความถี่ผูกกันด้วย τ ตัวเดียว: เวลาขึ้น $t_r = 2.2\tau$ และแบนด์วิดท์ $f_c = \dfrac{1}{2\pi\tau}$ คูณกันได้ $t_r f_c \approx 0.35$ เสมอ ระบบที่ตอบสนองเร็วจึงต้องมีแบนด์วิดท์กว้าง ลองเลือกอินพุตแบบไซน์ในแล็บ แล้วดูจุด "ω อินพุต" บน Bode plot เทียบกับแอมพลิจูดที่ได้ในกราฟเวลา

ระบบที่มีตัวเก็บพลังงานสองตัว เช่น วงจร RLC จะแกว่งได้และมีพารามิเตอร์สองตัวคือ ζ และ ωn ศึกษาต่อได้ใน แล็บระบบอันดับสอง

## ต่อยอด: ระบบอันดับหนึ่งในลูปป้อนกลับ

เมื่อนำระบบอันดับหนึ่งไปปิดวงด้วยตัวควบคุม ค่าคงตัวเวลาจะเปลี่ยนตามเกน ดูตัวอย่างมอเตอร์ในหน้าภาพรวมระบบควบคุม การกำจัดความผิดพลาดค้างด้วย PI และการจูน PID ให้ระบบอันดับหนึ่งที่มีหน่วงเวลา (เช่น เตาอบ)

## คำถามที่พบบ่อย

ค่าคงตัวเวลา τ คืออะไร?
เป็นเวลาที่ระบบอันดับหนึ่งใช้ในการเปลี่ยนแปลงไปได้ 63.2% ของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด หรือเวลาที่ส่วนชั่วครู่ลดลงเหลือ $1/e$ ของค่าเริ่มต้น สำหรับวงจร RC มีค่าเท่ากับ $RC$ และวงจร RL มีค่าเท่ากับ $L/R$

ทำไมต้องเป็น 63.2%?
เพราะผลตอบสนองเป็นเอกซ์โพเนนเชียล ที่ $t = \tau$ ส่วนที่เหลือคือ $e^{-1} \approx 0.368$ ส่วนที่เปลี่ยนไปแล้วจึงเป็น $1 - 0.368 = 0.632$ หรือ 63.2% ตัวเลขนี้ไม่ขึ้นกับค่า K หรือขนาดของอินพุต

ระบบอันดับหนึ่งเข้าที่ภายในกี่ τ?
นิยมใช้ 4τ สำหรับเกณฑ์ 2% (ค่าแม่นยำคือ $\tau\ln 50 \approx 3.91\tau$) และ 3τ สำหรับเกณฑ์ 5% หลังจาก 5τ ระบบเปลี่ยนไปแล้ว 99.3% ในทางปฏิบัติถือว่าเข้าที่สมบูรณ์

หาค่า τ จากกราฟที่วัดได้จริงอย่างไร?
วิธีที่ง่ายที่สุดคืออ่านเวลาที่สัญญาณไปถึง 63.2% ของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด หรือลากเส้นสัมผัสที่จุดเริ่มต้นไปตัดเส้นค่าสุดท้าย เวลาที่ตัดคือ τ วิธีที่แม่นที่สุดคือพล็อตลอการิทึมของส่วนที่เหลือเทียบกับเวลา จะได้เส้นตรงที่มีความชัน $-1/\tau$

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ค่าคงตัวเวลา τ คืออะไร?**
เป็นเวลาที่ระบบอันดับหนึ่งใช้ในการเปลี่ยนแปลงไปได้ 63.2% ของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด หรือเวลาที่ส่วนชั่วครู่ลดลงเหลือ $1/e$ ของค่าเริ่มต้น สำหรับวงจร RC มีค่าเท่ากับ $RC$ และวงจร RL มีค่าเท่ากับ $L/R$

**ทำไมต้องเป็น 63.2%?**
เพราะผลตอบสนองเป็นเอกซ์โพเนนเชียล ที่ $t = \tau$ ส่วนที่เหลือคือ $e^{-1} \approx 0.368$ ส่วนที่เปลี่ยนไปแล้วจึงเป็น $1 - 0.368 = 0.632$ หรือ 63.2% ตัวเลขนี้ไม่ขึ้นกับค่า K หรือขนาดของอินพุต

**ระบบอันดับหนึ่งเข้าที่ภายในกี่ τ?**
นิยมใช้ 4τ สำหรับเกณฑ์ 2% (ค่าแม่นยำคือ $\tau\ln 50 \approx 3.91\tau$) และ 3τ สำหรับเกณฑ์ 5% หลังจาก 5τ ระบบเปลี่ยนไปแล้ว 99.3% ในทางปฏิบัติถือว่าเข้าที่สมบูรณ์

**หาค่า τ จากกราฟที่วัดได้จริงอย่างไร?**
วิธีที่ง่ายที่สุดคืออ่านเวลาที่สัญญาณไปถึง 63.2% ของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด หรือลากเส้นสัมผัสที่จุดเริ่มต้นไปตัดเส้นค่าสุดท้าย เวลาที่ตัดคือ τ วิธีที่แม่นที่สุดคือพล็อตลอการิทึมของส่วนที่เหลือเทียบกับเวลา จะได้เส้นตรงที่มีความชัน $-1/\tau$

---

# อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก (Fourier Series & Harmonic Analysis)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/
Updated: 2026-10-12
Summary: เรียนอนุกรมฟูเรียร์ (ฟูริเยร์) ภาษาไทยทีละขั้นจนใช้งานจริงในวิศวกรรมไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์กำลัง 15 หน้า: หา a₀ aₙ bₙ สมมาตร รูปเชิงซ้อน สเปกตรัม กิบส์ พาร์เซวาล ตารางอนุกรมของ 18 รูปคลื่น วิเคราะห์วงจรทีละฮาร์มอนิก True RMS THD TDD PF DPF K-factor นิวทรัล IEEE 519-2022 เรกติไฟเออร์ 6 พัลส์ 12 พัลส์ อินเวอร์เตอร์ SPWM บั๊กคอนเวอร์เตอร์ EMI ฟิลเตอร์ฮาร์มอนิก DFT FFT พร้อมแล็บออสซิลโลสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้าเสมือนฟรี ใบงาน 16 ชุด

// บทที่ 14 · คณิตศาสตร์สู่วิศวกรรมไฟฟ้ากำลัง · Fourier Series & Harmonic Analysis

# อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก

อนุกรมฟูเรียร์ (หรือ ฟูริเยร์) เปลี่ยนรูปคลื่นที่ไม่ใช่ไซน์ให้เป็นผลรวมของไซน์ แล้ววิศวกรไฟฟ้าก็ใช้เครื่องมือวงจร AC เดิมแก้ได้ทีละความถี่ ชุดนี้พาไปทีละขั้นตั้งแต่อินทิกรัลหาสัมประสิทธิ์ จนถึงอ่านค่า THD PF บนเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้า ออกแบบฟิลเตอร์ และเข้าใจสเปกตรัมของเรกติไฟเออร์ อินเวอร์เตอร์ และคอนเวอร์เตอร์ มี 15 หน้า 146 สูตรที่มีรหัสอ้างอิงถาวร 53 ตัวอย่างวิธีทำ และแล็บเสมือนที่วัดและแก้ปัญหาได้ด้วยตัวเอง

ทั้งชุดในหนึ่งนาที

- ทุกคลื่นคาบ $x(t)$ = DC + $\sum A_n\cos(n\omega_0 t+\varphi_n)$ หาค่าด้วยอินทิกรัล $a_n = \tfrac{2}{T}\int x\cos n\omega_0 t\,dt$ และใช้สมมาตรตัดพจน์ที่เป็นศูนย์ทิ้งก่อน T6 S

- กำลังรวม = ผลรวมกำลังของแต่ละฮาร์มอนิก (พาร์เซวาล) จึงได้ $I_{rms} = I_1\sqrt{1+\mathrm{THD}^2}$ P5 H1

- วงจรเชิงเส้น: แยก → คูณ $H(jn\omega_0)$ ทีละฮาร์มอนิก → รวม A1–A3

- กระแสเพี้ยนทำให้ $\mathrm{PF} = \mathrm{DPF}/\sqrt{1+\mathrm{THD}_I^2}$ คาปาซิเตอร์แก้ได้แค่ DPF และอาจเรโซแนนซ์ที่ $h_r=\sqrt{S_{sc}/Q_c}$ H7 M2

- ตัวแปลง p พัลส์สร้างฮาร์มอนิก $h = kp\pm1$ ขนาดราว $1/h$ ส่วน PWM ย้ายฮาร์มอนิกไปรอบ $m_f$ R6 V6

### แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก: สโคป + เครื่องวิเคราะห์กำลัง

สามเครื่องมือในหน้าเดียว: ① สังเคราะห์และแยกรูปคลื่น 13 แบบพร้อมวิธีคิดทีละขั้น ② ป้อนคลื่นเข้าวงจร RC RL LC RLC ดูทีละฮาร์มอนิก ③ วัดโหลดจริง 10 แบบ อ่าน P Q S D PF THD TDD K-factor เทียบ IEEE 519 แล้วลองแก้ด้วยรีแอกเตอร์ คาปาซิเตอร์ดีจูน ฟิลเตอร์ พร้อมแปลผลอัตโนมัติ ใบงาน 16 ชุด และกรณีศึกษาหน้างาน 6 เรื่อง

เปิดแล็บ →
ดูใบงาน

## เรียนทีละขั้น: จากอินทิกรัลถึงเครื่องวิเคราะห์กำลัง

ชุดนี้ออกแบบให้แต่ละขั้นใช้ของที่เรียนในขั้นก่อนหน้า ทุกขั้นมีตัวอย่างวิธีทำ แบบฝึกที่ซ่อนเฉลยได้ และแล็บที่ตั้งค่าไว้ให้แล้ว ทำขั้นละหนึ่งถึงสองชั่วโมงก็ครบในสองสัปดาห์

1 · 12.1–12.3หา aₙ bₙ · สมมาตร
→
2 · 12.4–12.5สเปกตรัม · พาร์เซวาล
→
3 · 12.6–12.7ตาราง · วงจร

4 · 12.8THD · PF · IEEE 519
→
5 · 12.9–12.12ตัวแปลงกำลัง · แก้ปัญหา
→
6 · 12.13–12.14วัดจริง · แล็บ

| ขั้น | อ่าน | ทำได้หลังจบขั้นนี้ | ลองในแล็บ |

| 1 ภาพรวมและวิธีหา | 12.1 · 12.2 · 12.3 | บอกความถี่ฮาร์มอนิกได้ หา $a_0, a_n, b_n$ ของสี่เหลี่ยม พัลส์ ฟันเลื่อย สามเหลี่ยม และไซน์เรียงกระแสด้วยมือ ดูรูปแล้วรู้ว่าพจน์ไหนเป็นศูนย์ | |

| 2 สเปกตรัมและพลังงาน | 12.4 · 12.5 | เขียนรูปเชิงซ้อน $c_n$ อ่านสเปกตรัมขนาด–เฟส อธิบายเอนเวโลป sinc หูกิบส์ 9 % และหา RMS กับ THD จากพาร์เซวาล | |

| 3 ใช้กับวงจร | 12.6 · 12.7 | เปิดตารางแทนการอินทิเกรต แก้วงจร RC RL LC RLC ที่ป้อนด้วยคลื่นไม่ใช่ไซน์ทีละฮาร์มอนิก หากำลังเฉลี่ยจากฮาร์มอนิก | |

| 4 กำลังไฟฟ้าและมาตรฐาน | 12.8 | คำนวณ True RMS THD TDD PF DPF D K-factor กระแสนิวทรัล แรงดันเพี้ยนที่ PCC และเทียบขีดจำกัด IEEE 519-2022 กฟภ. กฟน. IEC 61000-3-2 | |

| 5 อิเล็กทรอนิกส์กำลัง | 12.9 · 12.10 · 12.11 · 12.12 | ทำนายฮาร์มอนิกของเรกติไฟเออร์ อินเวอร์เตอร์ PWM บั๊ก ประมาณริปเปิลและ EMI เลือกและออกแบบรีแอกเตอร์ คาปาซิเตอร์ดีจูน ฟิลเตอร์จูน | |

| 6 วัดและแก้ปัญหาเอง | 12.13 · 12.14 | ตั้ง FFT บนสโคปและเครื่องวัดให้ถูก รู้ที่มาของอเลียสซิงและการรั่ว ทำใบงาน 16 ชุด และไล่กรณีศึกษาหน้างานจากอาการไปหาสาเหตุ | ใบงาน กรณีศึกษา |

พื้นฐานที่ควรมีก่อนเริ่ม: สูตรลดกำลังและผลคูณเป็นผลบวก · อินทิกรัลจำกัดเขตและการอินทิเกรตทีละส่วน · จำนวนเชิงซ้อนและเฟสเซอร์ ถ้ายังไม่แน่น ทบทวนก่อนจะเรียนเร็วขึ้นมาก

## เริ่มตามระดับของคุณ

ทุกหัวข้อในชุดนี้ติดป้ายระดับไว้ เลือกเส้นทางที่ตรงกับตัวเอง แล้วกดไปที่หัวข้อได้ทันที

พื้นฐาน

### ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1–2

- แนวคิด · รวมไซน์เป็นสี่เหลี่ยม · ฮาร์มอนิกที่ 3 5 7

- อ่านสัมประสิทธิ์จาก sin³ cos² · ทำไมวิศวกรไฟฟ้าต้องรู้

- ความตั้งฉาก · สูตรออยเลอร์ · ขั้นตอน 6 ขั้น

- คู่ คี่ · ครึ่งคลื่น · ตารางตัดสินใจ

- ตารางอนุกรมของรูปคลื่น · True RMS

- ใบงาน 1–5

กลาง

### ป.ตรี ไฟฟ้า · อิเล็กทรอนิกส์ · เมคคาทรอนิกส์

- รูปเชิงซ้อน cₙ · เอนเวโลป sinc · สมบัติ

- กิบส์ · พาร์เซวาล · อัตราลด 1/n 1/n²

- แยก คูณ รวม · ฟิลเตอร์ LC · กำลังเฉลี่ย

- THD TDD · PF ≠ cos φ · นิวทรัล · IEEE 519

- บริดจ์ + C · 6 พัลส์ · SPWM

- ริปเปิลบั๊ก · FFT บนสโคป

ขั้นสูง

### ป.โท · งานออกแบบ · คุณภาพไฟฟ้า

- IEEE 1459 · K-factor · แรงดันเพี้ยนที่ PCC

- ช่วงทับซ้อน μ · มุม α · 12/18 พัลส์

- SHE · WTHD · ผลต่อมอเตอร์

- เอนเวโลป EMI · ตัวเก็บประจุอินพุต

- เรโซแนนซ์ขนาน · ออกแบบฟิลเตอร์จูน · ฟิลเตอร์แอกทีฟ

- IEC 61000-4-7 · Goertzel · กรณีศึกษา

## ทั้ง 14 บทในชุดนี้

แบ่งเป็น 4 ส่วน อ่านตามลำดับ 12.1 ถึง 12.14 หรือกระโดดไปหน้าที่ต้องการ ตัวอักษรท้ายการ์ดคือรหัสสูตรของหน้านั้น

ส่วนที่ 1

### คณิตศาสตร์ของอนุกรมฟูเรียร์ The Mathematics
จากคลื่นคาบสู่ผลรวมของไซน์: หาสัมประสิทธิ์ ใช้สมมาตรลดงาน อ่านสเปกตรัม และรู้ว่าอนุกรมลู่เข้าอย่างไร

∿14.1
อนุกรมฟูเรียร์คืออะไร: ทุกคลื่นคาบคือผลรวมของไซน์
What Is a Fourier Series?
สัญญาณคาบ ฮาร์มอนิก สเปกตรัม การสังเคราะห์และการวิเคราะห์ ทำไมวิศวกรไฟฟ้าต้องรู้ และแผนที่การเรียนทั้งชุด
เปิดหน้า →สูตร F1, F2, …

aₙ14.2
หาสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ทีละขั้น: ความตั้งฉากและสูตรออยเลอร์
Finding the Fourier Coefficients
ความตั้งฉากของไซน์ สูตรออยเลอร์ a₀ aₙ bₙ อินทิกรัลที่ใช้บ่อย ขั้นตอน 6 ขั้น ตัวอย่างสี่เหลี่ยม พัลส์ ฟันเลื่อย สามเหลี่ยม เรียงกระแส และข้อผิดพลาดที่เจอบ่อย
เปิดหน้า →สูตร T1, T2, …

±14.3
ทางลัดด้วยสมมาตร: ฟังก์ชันคู่ คี่ ครึ่งคลื่น เสี้ยวคลื่น และการเลื่อน
Symmetry Shortcuts
รู้ก่อนอินทิเกรตว่าพจน์ไหนเป็นศูนย์ สมมาตรครึ่งคลื่นกับฮาร์มอนิกคู่ เสี้ยวคลื่นของอินเวอร์เตอร์ การเลื่อนเวลา การตัดยอด และอนุกรมครึ่งช่วง
เปิดหน้า →สูตร S1, S2, …

cₙ14.4
รูปเชิงซ้อน สเปกตรัมขนาด–เฟส และสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์
Complex Form & Spectrum
cₙ จากสูตรออยเลอร์ รูปแอมพลิจูด–เฟส สเปกตรัมด้านเดียวและสองด้าน พัลส์กับเอนเวโลป sinc สมบัติการเลื่อน อนุพันธ์ ปริพันธ์ และเฟเซอร์ของแต่ละฮาร์มอนิก
เปิดหน้า →สูตร C1, C2, …

Σ²14.5
การลู่เข้า ปรากฏการณ์กิบส์ ทฤษฎีบทพาร์เซวาล และอัตราลดของฮาร์มอนิก
Convergence, Gibbs & Parseval
เงื่อนไขดีริชเลต์ ค่าที่จุดกระโดด หูกิบส์ 9 % พาร์เซวาลกับค่า RMS และ THD ความเรียบกับอัตราลด 1/n 1/n² และควรรวมกี่ฮาร์มอนิกในงานจริง
เปิดหน้า →สูตร P1, P2, …

ส่วนที่ 2

### ฮาร์มอนิกในวงจรไฟฟ้า Harmonics in Circuits & Power
ใช้ฟูเรียร์แก้วงจร คำนวณ RMS กำลัง THD และเพาเวอร์แฟกเตอร์เมื่อกระแสไม่ใช่ไซน์

⊓14.6
ตารางอนุกรมฟูเรียร์ของรูปคลื่นในงานไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์กำลัง
Fourier Series Table of Common Waveforms
18 รูปคลื่นพร้อมอนุกรม RMS และ THD: สี่เหลี่ยม พัลส์ สามเหลี่ยม ฟันเลื่อย เรียงกระแส quasi-square six-step กระแส 6 พัลส์ SPWM คางหมู ไตรแอก ตัดยอด และริปเปิลตัวเหนี่ยวนำ
เปิดหน้า →สูตร W1, W2, …

H(jnω)14.7
วิเคราะห์วงจรด้วยอนุกรมฟูเรียร์: ซูเปอร์โพซิชันทีละฮาร์มอนิก
Circuit Analysis with Fourier Series
แยก คูณ H(jnω₀) แล้วรวม: สี่เหลี่ยมเข้า RC อินเวอร์เตอร์ป้อนโหลด RL ฟิลเตอร์ LC ของเรียงกระแส RLC คัดฮาร์มอนิก กำลังเฉลี่ยจากฮาร์มอนิก และข้อจำกัดของวิธี
เปิดหน้า →สูตร A1, A2, …

THD14.8
กำลังไฟฟ้าเมื่อมีฮาร์มอนิก: RMS THD PF DPF P Q S D และมาตรฐาน IEEE 519
Power, THD & Power Factor with Harmonics
True RMS THD TDD crest factor กำลังจริง Q₁ และกำลังความเพี้ยน D เพาเวอร์แฟกเตอร์ที่แก้ด้วยคาปาซิเตอร์ไม่ได้ K-factor ลำดับเฟสกับนิวทรัลร้อน แรงดันเพี้ยนที่ PCC และขีดจำกัด IEEE 519-2022
เปิดหน้า →สูตร H1, H2, …

ส่วนที่ 3

### อิเล็กทรอนิกส์กำลัง Power Electronics
ตัวแปลงกำลังทุกชนิดคือเครื่องสร้างฮาร์มอนิก: เรกติไฟเออร์ อินเวอร์เตอร์ PWM บั๊กคอนเวอร์เตอร์ และวิธีแก้

6k±114.9
ฮาร์มอนิกของวงจรเรียงกระแส: 1 เฟส 3 เฟส 6 พัลส์ 12 พัลส์ และตัวเก็บประจุ
Rectifier Harmonics
ฝั่ง DC และฝั่ง AC ของบริดจ์ 1 เฟส บริดจ์ + ตัวเก็บประจุของ SMPS และ VFD กฎ h = kp ± 1 ช่วงทับซ้อน μ ไทริสเตอร์กับ cos α และการหักล้างฮาร์มอนิกด้วย 12 และ 18 พัลส์
เปิดหน้า →สูตร R1, R2, …

m_f14.10
สเปกตรัมของอินเวอร์เตอร์: สี่เหลี่ยม quasi-square six-step SHE และ SPWM
Inverter & PWM Spectra
อินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยม กำจัดฮาร์มอนิกด้วยมุม α six-step 3 เฟส SHE SPWM ไบโพลาร์และยูนิโพลาร์ mₐ m_f ตำแหน่งไซด์แบนด์ WTHD และผลต่อมอเตอร์
เปิดหน้า →สูตร V1, V2, …

D14.11
ฟูเรียร์ในคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: บั๊ก ริปเปิล ฟิลเตอร์ LC และ EMI
DC-DC Converters: Ripple & EMI
โหนดสวิตช์คือพัลส์ DC = DV_in ประมาณริปเปิลด้วยฮาร์มอนิกแรกเทียบสูตรจริง กระแสตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุอินพุต เอนเวโลปคางหมูกับ EMI และการเลือกความถี่สวิตช์
เปิดหน้า →สูตร B1, B2, …

LC14.12
แก้ปัญหาฮาร์มอนิก: รีแอกเตอร์ เรโซแนนซ์ คาปาซิเตอร์ดีจูน ฟิลเตอร์จูน ฟิลเตอร์แอกทีฟ และ PFC
Harmonic Mitigation
รีแอกเตอร์ไลน์และโช้ก DC เรโซแนนซ์ขนาน h_r = √(S_sc/Q_c) คาปาซิเตอร์ดีจูน 7 % 14 % ออกแบบฟิลเตอร์จูนทีละขั้น 12 พัลส์ ฟิลเตอร์แอกทีฟ PFC และเช็กลิสต์แก้ปัญหาหน้างาน
เปิดหน้า →สูตร M1, M2, …

ส่วนที่ 4

### การวัดและแล็บ Measurement & Lab
เครื่องมือวัดคำนวณฮาร์มอนิกอย่างไร และแล็บเสมือนสำหรับทดลอง วิเคราะห์ และแก้ปัญหาด้วยตัวเอง

X[k]14.13
จากอนุกรมฟูเรียร์สู่ DFT และ FFT: เครื่องวัดคำนวณฮาร์มอนิกอย่างไร
From Fourier Series to DFT & FFT
สุ่มสัญญาณแล้วได้ cₙ ความละเอียดความถี่ อเลียสซิง การรั่วของสเปกตรัมและหน้าต่าง มาตรฐาน IEC 61000-4-7 การใช้ FFT บนสโคป และ Goertzel บนไมโครคอนโทรลเลอร์
เปิดหน้า →สูตร D1, D2, …

▶14.14
แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก: ออสซิลโลสโคปเสมือน + เครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้า
Harmonic Analyzer Lab (Virtual Oscilloscope & Power Analyzer)
สังเคราะห์และวิเคราะห์ฟูเรียร์ ป้อนคลื่นเข้าวงจรทีละฮาร์มอนิก และวัดโหลดจริง 10 แบบด้วยสโคปกับเครื่องวิเคราะห์กำลัง พร้อมแปลผลอัตโนมัติ วิธีคำนวณทีละขั้น ใบงาน และกรณีศึกษาหน้างาน
เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ + ใบงาน 16 ชุด

## ลองเลย: แล็บขนาดเล็ก

เลือกรูปคลื่น เลื่อนจำนวนฮาร์มอนิก N แล้วดูผลรวมเข้าหารูปจริง สลับไปแท็บวงจรหรือเครื่องวิเคราะห์กำลังได้ หรือกดปุ่มในตาราง เรียนทีละขั้น เพื่อโหลดการทดลองของขั้นนั้น

## ค้นหาสูตรทั้งหมดในที่เดียว

รวมทุกสูตรจากทั้ง 14 บท พิมพ์ได้ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ หรือพิมพ์รหัสสูตรตรง ๆ เช่น H7 กดที่ชื่อสูตรเพื่อไปยังคำอธิบายและตัวอย่างวิธีทำของสูตรนั้น

## งงตรงไหน คลิกตรงนั้น

จุดที่นักศึกษาติดบ่อยที่สุดเวลาทำโจทย์อนุกรมฟูเรียร์ กดแล้วไปที่คำอธิบายนั้นทันที

a₀ ต้องหารสองหรือไม่ขึ้นกับรูปแบบที่ตำราใช้ ชุดนี้ a₀ = ค่าเฉลี่ย → T8
cos nπ กับ sin nπ แทนค่าอย่างไรsin nπ = 0, cos nπ = (−1)ⁿ → T11
อินทิเกรตแล้วได้ n = 1 หารศูนย์ต้องแยกกรณี n = 1 ของไซน์เรียงกระแส → ข้อผิดพลาดที่เจอบ่อย
ไม่รู้จะหาพจน์ไหนก่อนดูสมมาตรก่อนอินทิเกรต → ตารางตัดสินใจ
เลื่อนรูปคลื่นแล้วสัมประสิทธิ์เปลี่ยนขนาดเท่าเดิม เฟสเลื่อน nω₀t₀ → S6
ค่าที่จุดกระโดดคือเท่าไรค่าเฉลี่ยของสองฝั่ง → T13, P2
cₙ กับ aₙ bₙ เกี่ยวกันอย่างไรcₙ = (aₙ − jbₙ)/2 และ Aₙ = 2|cₙ| → C4
เฟสใช้ atan(b/a) แล้วผิดควอดแรนต์ใช้ atan2(−bₙ, aₙ) สำหรับรูปโคไซน์ → C3
เพิ่ม N แล้วยอดเกินไม่หายหูกิบส์ราว 9 % ของการกระโดด → P3, σ-factor P4
หา RMS จากอนุกรมอย่างไรรากของผลรวมกำลังสองของ RMS แต่ละตัว → P5, P6
ลืมพจน์ DC เวลาแก้วงจรDC ผ่าน L ได้ ไม่ผ่าน C → A5
ใช้ซูเปอร์โพซิชันกับไดโอดได้ไหมไม่ได้โดยตรง วงจรต้องเป็นเชิงเส้น → ข้อจำกัด

## ปัญหาหน้างาน: อาการ → สาเหตุ → แก้

อาการที่เจอจริงในอาคารและโรงงาน แต่ละข้อพาไปหาสูตร วิธีวัด และการทดลองในแล็บที่จำลองอาการนั้น รายการเต็มอยู่ที่ เช็กลิสต์แก้ปัญหาหน้างาน

สายนิวทรัลร้อน กระแสนิวทรัลเกินสายเฟสฮาร์มอนิกที่ 3 ลำดับศูนย์รวมกัน → H10 · กรณีศึกษา 1
คาปาซิเตอร์แก้ PF ฟิวส์ขาด บวมเรโซแนนซ์ขนานใกล้ h = 5, 7 → M2, M3 · กรณีศึกษา 2
cos φ ดีแต่ยังโดนค่าปรับ PFPF จริงรวมความเพี้ยน → H7 · กรณีศึกษา 3
หม้อแปลงร้อนทั้งที่ยังไม่เต็มพิกัดฮาร์มอนิกเพิ่มการสูญเสีย → K-factor H9 · กรณีศึกษา 4
ไดรฟ์ใหม่ไม่ผ่านเกณฑ์การไฟฟ้าTDD เทียบ Isc/IL → H13, H14, รีแอกเตอร์ M1 · กรณีศึกษา 5
เครื่องกำเนิดไฟฟ้าแกว่งเมื่อจ่าย UPSอิมพีแดนซ์สูงทำให้แรงดันเพี้ยนมาก → H11 · กรณีศึกษา 6
มิเตอร์ราคาถูกอ่านกระแสต่ำกว่าจริงอ่านแบบเฉลี่ยเทียบไซน์ ใช้ True RMS → H3
FFT บนสโคปได้ค่าฮาร์มอนิกไม่ตรงเครื่องวัดจำนวนคาบไม่เต็ม หน้าต่าง และสเกล dB → D6, D9
มอเตอร์ที่ใช้ไดรฟ์ร้อนและมีเสียงหวีดไซด์แบนด์รอบความถี่สวิตชิ่ง → V6, V10
บอร์ดสวิตชิ่งไม่ผ่าน EMIขอบสัญญาณชันเกิน มุมเอนเวโลปที่ 1/πt_r → B9
ริปเปิลขาออกบั๊กสูงกว่าที่คำนวณESR ของตัวเก็บประจุ → B4, B5
อาคารสำนักงานมี THD กระแสเกิน 80 %บริดจ์ + C ของ SMPS และ LED → R4, R5, W17

## แผนที่: คณิตศาสตร์แต่ละตัวไปโผล่ที่ไหนในงานไฟฟ้า

ทุกแนวคิดคณิตศาสตร์ในชุดนี้มีความหมายทางกายภาพที่วัดได้ ตารางนี้ช่วยให้รู้ว่าเรียนเรื่องนี้ไปเพื่อใช้ทำอะไร

| คณิตศาสตร์ | ความหมายในงานไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์กำลัง | อ่านที่ |

| พจน์ DC $a_0$ | แรงดันเฉลี่ยขาออกของเรกติไฟเออร์และคอนเวอร์เตอร์ $V_o = DV_{in}$, DC ที่ทำให้หม้อแปลงอิ่มตัว | R1 · B1 |

| ความตั้งฉาก | กระแสฮาร์มอนิกกับแรงดันหลักไม่ทำกำลังเฉลี่ย ทำให้มีกำลังความเพี้ยน D | T1–T3 · H6 |

| สมมาตรครึ่งคลื่น | ระบบไฟปกติมีแต่ฮาร์มอนิกคี่ ถ้ามีฮาร์มอนิกคู่แปลว่ามี DC หรืออุปกรณ์เสีย | S4 |

| สมมาตรเสี้ยวคลื่น การเลื่อน | เลือกมุม α ของ quasi-square และ SHE เพื่อกำจัดฮาร์มอนิกที่ 3 5 7 | S5 · V4 |

| รูปเชิงซ้อน เฟสของแต่ละฮาร์มอนิก | เฟสเซอร์ของฮาร์มอนิก ลำดับเฟส + − 0 กระแสนิวทรัล การหักล้างใน 12 พัลส์ | C13 · H10 · R11 |

| เอนเวโลป sinc | สเปกตรัมของ PWM โหนดสวิตช์ และขีดจำกัด EMI | C7 · B9 |

| ทฤษฎีบทพาร์เซวาล | True RMS, THD, ความร้อน I²R, การสูญเสียในหม้อแปลง | P5–P7 · H1 |

| อัตราลด 1/n 1/n² | ทำไมกระแสโหลด L ใหญ่สะอาดกว่า และทำไมขอบช้าลดสัญญาณรบกวน | P8 · P10 |

| $H(jn\omega_0)$ ทีละฮาร์มอนิก | ริปเปิลหลังฟิลเตอร์ LC กระแสมอเตอร์จากอินเวอร์เตอร์ ออกแบบฟิลเตอร์จูน | A2 · B3 · M5 |

| เรโซแนนซ์ | คาปาซิเตอร์ APFC ขยายฮาร์มอนิก คาปาซิเตอร์ดีจูน 7 % 14 % | M2 · M4 |

| อนุกรมแบบสุ่มค่า (DFT) | เครื่องวิเคราะห์คุณภาพไฟฟ้า FFT บนสโคป Goertzel ในมิเตอร์และไดรฟ์ | D1–D2 · D10 |

## เชื่อมกับวิชาอื่นบนเว็บนี้

| ถ้าสนใจ | ไปต่อที่ |

| ทบทวนพื้นฐานที่ใช้หาสัมประสิทธิ์ | ตรีโกณมิติ · อินทิกรัล · แคลคูลัสเบื้องต้น |

| สัญญาณไม่เป็นคาบ การแปลงฟูเรียร์ คอนโวลูชัน | แล็บสัญญาณและระบบ · การแปลงลาปลาซ |

| เห็นฮาร์มอนิกบนเครื่องจริง ตั้งสโคปและ FFT | ออสซิลโลสโคป FFT · สเปกตรัมของรูปคลื่น · แล็บ FG + สโคป |

| ผลตอบสนองความถี่ $H(j\omega)$ ที่ใช้ในขั้นแยก คูณ รวม | RC RLC · ผลตอบสนองความถี่ · ระบบอันดับหนึ่ง · ระบบอันดับสอง |

| ควบคุมคอนเวอร์เตอร์ อินเวอร์เตอร์ และ PFC | ระบบควบคุมในอิเล็กทรอนิกส์กำลัง · ฟังก์ชันอธิบาย (describing function) |

| การลู่เข้าของอนุกรม อนุกรมกำลังและเทย์เลอร์ (พื้นฐานคณิตศาสตร์ของบทนี้) | ลำดับและอนุกรมครบชุด · การทดสอบการลู่เข้า · อนุกรมสลับและการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข |

| เฟสเซอร์ สามเฟส และระบบสมการเชิงซ้อน | พีชคณิตเชิงเส้นในงานไฟฟ้า · เวกเตอร์ |

ฉบับ Markdown สำหรับผู้ช่วย AI และนักพัฒนา: คู่มือฉบับสมบูรณ์ของชุดนี้ (guide.md) · หน้านี้ (index.html.md) · ทุกบทมีไฟล์ index.html.md ท้าย URL · llms.txt

## คำถามที่พบบ่อย

เริ่มเรียนอนุกรมฟูเรียร์จากหน้าไหน?
ถ้าเพิ่งเริ่ม อ่าน 12.1 ฟูเรียร์คืออะไร แล้ว 12.2 หาสัมประสิทธิ์ และ 12.3 สมมาตร จากนั้นเปิดตาราง 12.6 ไว้ใช้แทนการอินทิเกรต ถ้าทำงานด้านไฟฟ้ากำลังอยู่แล้ว ข้ามไป 12.8 กำลังไฟฟ้าเมื่อมีฮาร์มอนิกและ 12.12 การแก้ฮาร์มอนิกได้เลย แต่ละหัวข้อมีป้ายระดับ พื้นฐาน กลาง ขั้นสูง

ฟูเรียร์ ฟูริเยร์ หรือฟูรีเย สะกดแบบไหนถูก?
ชื่อ Joseph Fourier ออกเสียงแบบฝรั่งเศสใกล้ ฟูรีเย ส่วนตำราไทยใช้ทั้ง ฟูเรียร์ และ ฟูริเยร์ หมายถึงสิ่งเดียวกัน ชุดนี้ใช้ ฟูเรียร์ เป็นหลัก ค้นด้วยคำไหนก็เจอ

อนุกรมฟูเรียร์เกี่ยวกับวิศวกรรมไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์กำลังอย่างไร?
ตัวแปลงกำลังทุกชนิดสวิตช์แรงดันหรือกระแสเป็นช่วง ๆ รูปคลื่นจึงไม่ใช่ไซน์ อนุกรมฟูเรียร์แยกรูปคลื่นเหล่านั้นเป็นฮาร์มอนิก ทำให้คำนวณ RMS THD เพาเวอร์แฟกเตอร์ ความร้อนในหม้อแปลง กระแสนิวทรัล ริปเปิล EMI และออกแบบฟิลเตอร์ได้ทีละความถี่ด้วยเครื่องมือวงจร AC ที่รู้จักอยู่แล้ว

ไม่มีเครื่องวิเคราะห์คุณภาพไฟฟ้าจะฝึกได้อย่างไร?
ใช้แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิกในหน้า 14.14 ซึ่งมีออสซิลโลสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้าเสมือน วัดโหลด 10 แบบ ปรับความแข็งของระบบ ลองรีแอกเตอร์ คาปาซิเตอร์ดีจูน ฟิลเตอร์จูน ฟิลเตอร์แอกทีฟ และอ่านแผงแปลผลอัตโนมัติ พร้อมใบงาน 16 ชุดและเฉลย ทุกบทเรียนยังมีแล็บขนาดเล็กฝังไว้ข้างทฤษฎี

อ้างอิงสูตรจากชุดนี้ในรายงานได้อย่างไร?
ทุกสูตรมีรหัสถาวร F (พื้นฐาน) T (สัมประสิทธิ์) S (สมมาตร) C (เชิงซ้อน) P (การลู่เข้า พาร์เซวาล) W (ตารางรูปคลื่น) A (วงจร) H (กำลังและ THD) R (เรกติไฟเออร์) V (อินเวอร์เตอร์) B (DC-DC) M (การแก้ฮาร์มอนิก) D (DFT FFT) อ้างอิงในรูป Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด), สูตร H7, พร้อมลิงก์ เช่น modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/power-harmonics/#H7

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เริ่มเรียนอนุกรมฟูเรียร์จากหน้าไหน?**
ถ้าเพิ่งเริ่ม อ่าน 12.1 ฟูเรียร์คืออะไร แล้ว 12.2 หาสัมประสิทธิ์ และ 12.3 สมมาตร จากนั้นเปิดตาราง 12.6 ไว้ใช้แทนการอินทิเกรต ถ้าทำงานด้านไฟฟ้ากำลังอยู่แล้ว ข้ามไป 12.8 กำลังไฟฟ้าเมื่อมีฮาร์มอนิกและ 12.12 การแก้ฮาร์มอนิกได้เลย แต่ละหัวข้อมีป้ายระดับ พื้นฐาน กลาง ขั้นสูง

**ฟูเรียร์ ฟูริเยร์ หรือฟูรีเย สะกดแบบไหนถูก?**
ชื่อ Joseph Fourier ออกเสียงแบบฝรั่งเศสใกล้ ฟูรีเย ส่วนตำราไทยใช้ทั้ง ฟูเรียร์ และ ฟูริเยร์ หมายถึงสิ่งเดียวกัน ชุดนี้ใช้ ฟูเรียร์ เป็นหลัก ค้นด้วยคำไหนก็เจอ

**อนุกรมฟูเรียร์เกี่ยวกับวิศวกรรมไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์กำลังอย่างไร?**
ตัวแปลงกำลังทุกชนิดสวิตช์แรงดันหรือกระแสเป็นช่วง ๆ รูปคลื่นจึงไม่ใช่ไซน์ อนุกรมฟูเรียร์แยกรูปคลื่นเหล่านั้นเป็นฮาร์มอนิก ทำให้คำนวณ RMS THD เพาเวอร์แฟกเตอร์ ความร้อนในหม้อแปลง กระแสนิวทรัล ริปเปิล EMI และออกแบบฟิลเตอร์ได้ทีละความถี่ด้วยเครื่องมือวงจร AC ที่รู้จักอยู่แล้ว

**ไม่มีเครื่องวิเคราะห์คุณภาพไฟฟ้าจะฝึกได้อย่างไร?**
ใช้แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิกในหน้า 14.14 ซึ่งมีออสซิลโลสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้าเสมือน วัดโหลด 10 แบบ ปรับความแข็งของระบบ ลองรีแอกเตอร์ คาปาซิเตอร์ดีจูน ฟิลเตอร์จูน ฟิลเตอร์แอกทีฟ และอ่านแผงแปลผลอัตโนมัติ พร้อมใบงาน 16 ชุดและเฉลย ทุกบทเรียนยังมีแล็บขนาดเล็กฝังไว้ข้างทฤษฎี

**อ้างอิงสูตรจากชุดนี้ในรายงานได้อย่างไร?**
ทุกสูตรมีรหัสถาวร F (พื้นฐาน) T (สัมประสิทธิ์) S (สมมาตร) C (เชิงซ้อน) P (การลู่เข้า พาร์เซวาล) W (ตารางรูปคลื่น) A (วงจร) H (กำลังและ THD) R (เรกติไฟเออร์) V (อินเวอร์เตอร์) B (DC-DC) M (การแก้ฮาร์มอนิก) D (DFT FFT) อ้างอิงในรูป Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด), สูตร H7, พร้อมลิงก์ เช่น modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/power-harmonics/#H7

---

# แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก: ออสซิลโลสโคปเสมือน + เครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้า

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/analyzer-lab/
Updated: 2026-10-12
Summary: แล็บจำลองฟรีบนเบราว์เซอร์สำหรับเรียนอนุกรมฟูเรียร์และฮาร์มอนิก: สังเคราะห์และวิเคราะห์ 13 รูปคลื่นพร้อมวิธีคิดทีละขั้น ป้อนคลื่นเข้าวงจร RC RL LC RLC แล้วดูทีละฮาร์มอนิกเทียบคำตอบจริง ออสซิลโลสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้าที่วัดโหลด 10 แบบ (ฮีตเตอร์ มอเตอร์ SMPS LED ไตรแอก บริดจ์ 6 พัลส์ 12 พัลส์ ไดรฟ์ VFD PFC) อ่าน P Q S D PF DPF THD TDD K-factor กระแสนิวทรัล เทียบ IEEE 519-2022 กฟภ. และ IEC 61000-3-2 ทดลองแก้ด้วยรีแอกเตอร์ คาปาซิเตอร์ดีจูน ฟิลเตอร์จูน และฟิลเตอร์แอกทีฟ พร้อมแปลผลอัตโนมัติ ใบงาน 16 ชุดและกรณีศึกษาหน้างาน

// คู่มือ ใบงาน และกรณีศึกษา

## ใช้แล็บให้เข้าใจปัญหาและแก้ได้เอง

เริ่มใน 30 วินาที

- ① ฟูเรียร์: เลือกรูปคลื่น เลื่อน N ดูผลรวมเข้าหารูปจริง เปิด “วิธีคิดทีละขั้น” ดูสมมาตรและตารางสัมประสิทธิ์

- ② วงจร: เลือกวงจรและค่า R L C (พิมพ์ 10k, 4.7u ได้) ตารางคือขั้น แยก → คูณ H(jnω₀) → รวม

- ③ สโคป + เครื่องวิเคราะห์: เลือกโหลด อ่านตัวเลข ดูแท่งฮาร์มอนิกเทียบเส้นขีดจำกัด อ่าน “แปลผลอัตโนมัติ”

- เปิดเมนู “ระบบไฟต้นทาง · แก้ปัญหาฮาร์มอนิก · เกณฑ์มาตรฐาน” เพื่อเปลี่ยนความแข็งของระบบและลองวิธีแก้

## ส่วนประกอบของแล็บและตัวเลขที่อ่านได้

| แท็บ / แผง | ทำอะไรได้ | ทฤษฎี |

| ① ฟูเรียร์ โดเมนเวลา | รูปจริง (ประ) ผลรวม N ฮาร์มอนิก (ส้ม) แยกห้าฮาร์มอนิกแรก ความคลาดเคลื่อน · ลดหูกิบส์ σ · ▶ เพิ่มทีละตัว | F P3 P4 |

| ① ฟูเรียร์ สเปกตรัม | แอมพลิจูด / % ของหลัก / dB / เฟส · ซ่อนสเปกตรัมเพื่อทายก่อน | C6 |

| ① ฟูเรียร์ วิธีคิดทีละขั้น | สมมาตรที่ตรวจพบ สูตรออยเลอร์ ผลอินทิกรัลของรูปนั้น ตาราง aₙ bₙ Aₙ φₙ อนุกรมที่แทนค่าแล้ว ตรวจด้วยพาร์เซวาล | T6 ตารางสมมาตร |

| ② วงจร | สัญญาณ 11 แบบเข้า RC กรองผ่านต่ำ/สูง, RL, LC มีโหลด, RLC (V ที่ R หรือ C) · เทียบคำตอบจริงจาก ODE · ดูขาออกแบบ AC และสเปกตรัม dB | A1–A3 |

| ③ OSCILLOSCOPE | CH1 แรงดันเฟสที่ PCC · CH2 กระแสต้นทาง/โหลด/ฟิลเตอร์ · ฮาร์มอนิกหลักของ CH2 (ประ) · MATH p(t) | การใช้สโคป |

| ③ POWER ANALYZER | U, I, I₁, CF, P, Q₁, S, D, PF, DPF, THD U, THD I, TDD, K-factor, กระแสนิวทรัลของโหลด 1 เฟส 3 ชุด | H1–H11 |

| ③ ฮาร์มอนิก | แท่ง h = 1–50 สีตามลำดับเฟส (+ ฟ้า, − ส้ม, 0 ม่วง) แท่งแดง = เกินเกณฑ์ เส้นแดง = ขีดจำกัด · ตารางเต็มด้านล่าง | H12–H14 |

| ③ ระบบไฟต้นทาง | Isc/IL, X/R, ฮาร์มอนิกที่ 5 ในแรงดันต้นทาง, โหลดตอนวัด (สำหรับ TDD), โหลดเชิงเส้นอื่นบนหม้อแปลง | H11 |

| ③ แก้ปัญหาฮาร์มอนิก | รีแอกเตอร์ 2–8 %, คาปาซิเตอร์เปล่า/ดีจูน 7 % 14 %/ฟิลเตอร์จูน 4.7 (kvar ปรับได้), ฟิลเตอร์แอกทีฟ | M1–M8 |

## ใบงาน 16 การทดลอง

กด “โหลดการตั้งค่า” แล้วแล็บด้านบนตั้งค่าให้และเลื่อนขึ้นไปให้ ทำตามขั้น ตอบคำถามก่อนเปิดเฉลย ใบงาน 1–9 ใช้แท็บ ① ② ใบงาน 10–16 ใช้แท็บ ③

### สร้างคลื่นสี่เหลี่ยมจากไซน์ พื้นฐาน

เป้าหมาย: เห็นว่าคลื่นสี่เหลี่ยมคือผลรวมของไซน์ความถี่คี่

- กด ▶ เพิ่มทีละตัว ดูว่าตัวเลข n ที่เพิ่มเข้ามามีค่าอะไรบ้าง
- อ่าน A₃/A₁ และ A₅/A₁ จากตาราง
- ตั้ง N = 5 อ่าน “กำลังที่รวมแล้ว” และ THD

สูตร W1 T-1 P7

เฉลย
มีแต่ n คี่ (1, 3, 5, …) เพราะสมมาตรครึ่งคลื่น · A₃/A₁ = 1/3 = 33.3 % · A₅/A₁ = 20 % · N = 5 ได้กำลัง 93.31 % · THD 48.3 %

### ปรากฏการณ์กิบส์และตัวคูณซิกมา กลาง

เป้าหมาย: พิสูจน์ว่าหูกิบส์ไม่หายแม้เพิ่ม N

- N = 99 อ่าน “หูกิบส์” และสังเกตยอดใกล้รอยกระโดด
- ลด N เป็น 19 และ 9 อ่านอีกครั้ง
- ติ๊ก “ลดหูกิบส์ (σ)” ที่ N = 99

สูตร P3 P4

เฉลย
หูกิบส์ 8.95 % (N = 99), 8.99 % (N = 19), 9.12 % (N = 9) ของยอดถึงยอด เกือบคงที่ แค่แคบลง · เปิด σ เหลือ 1.2 % แต่ขอบมนลง

### ดิวตี้กับเอนเวโลป sinc กลาง

เป้าหมาย: หาว่าฮาร์มอนิกตัวไหนหายเมื่อเปลี่ยนดิวตี้

- พัลส์ D = 25 % ดูสเปกตรัมแบบ dB หาลำดับที่หายไป
- โหลด “พัลส์แคบ 10 %” หาลำดับที่หายไป และอ่าน A₁
- เลื่อนดิวตี้เอง ทายลำดับที่หายก่อนดู

สูตร C7 W3

เฉลย
D = 25 %: ไม่มี 4, 8, 12 · D = 10 %: ไม่มี 10, 20, 30 และ A₁ = 2(0.1)sinc(0.1) = 0.197 สเปกตรัมแบนกว้างขึ้นเมื่อพัลส์แคบลง

### สมมาตรกับฮาร์มอนิกคู่ พื้นฐาน

เป้าหมาย: ทำนายฮาร์มอนิกคู่จากรูปร่าง

- ติ๊ก “ซ่อนสเปกตรัม” แล้วโหลด “ตัดยอดสมมาตร” ทายว่ามีฮาร์มอนิกคู่ไหม
- โหลด “ตัดยอดไม่สมมาตร” ทายอีกครั้ง
- โหลด “เรียงกระแสเต็มคลื่น” ทายว่ามี n คี่ไหม

สูตร S4 S7 S8

เฉลย
ตัดสมมาตร: เฉพาะคี่ (ที่ 3 = 13.3 %) · ตัดบนอย่างเดียว: มี DC −0.078 และที่ 2 = 12.7 % · เต็มคลื่น: เฉพาะคู่ (DC 0.637, ที่ 2 = 0.424, ที่ 4 = 0.085)

### กำจัดฮาร์มอนิกด้วยมุม α กลาง

เป้าหมาย: ใช้ $\cos n\alpha = 0$ เลือกมุม

- quasi-square α = 30° อ่าน b₃
- คำนวณมุมที่กำจัดที่ 5 แล้วตั้ง ตรวจด้วย b₅
- ที่มุมนั้น b₃ กลับมาเท่าไร

สูตร V2 W9

เฉลย
α = 30° → b₃ = 0 · กำจัดที่ 5 ใช้ α = 90°/5 = 18° → b₅ = 0 แต่ b₃ = 0.250 (เทียบสี่เหลี่ยม 0.424) และ b₁ = 1.211

### SPWM ไบโพลาร์และยูนิโพลาร์ กลาง

เป้าหมาย: หาตำแหน่งไซด์แบนด์ของ PWM

- SPWM ไบโพลาร์ mₐ = 0.8, m_f = 15 (V_dc = 1) อ่านแอมพลิจูดที่ n = 1, 13, 15, 17, 29, 31
- ติ๊กยูนิโพลาร์ อ่านซ้ำ
- ตั้ง mₐ = 1.3 ดูฮาร์มอนิกต่ำ

สูตร V5 V6 V8

เฉลย
ไบโพลาร์: 0.400, 0.110, 0.409, 0.110, 0.157, 0.157 (= ตาราง × V_dc/2) · ยูนิโพลาร์: หลัก 0.800 กลุ่มที่ 13–17 หายหมด 29, 31 = 0.314 · mₐ = 1.3 มีที่ 3, 5, 7 โผล่

### คลื่นสี่เหลี่ยมผ่าน RC พื้นฐาน

เป้าหมาย: แยก คูณ รวม และตรวจกับคำตอบจริง

- อ่าน |H| ของ n = 1, 3, 5 ในตาราง
- ตั้ง N = 7 อ่าน “ต่างจากคำตอบจริง” แล้วเพิ่มเป็น 49
- คำนวณยอดถึงยอดด้วย $10\tanh(T/4\tau)$ แล้วเทียบ

สูตร A2 A6

เฉลย
|H| = 0.847, 0.469, 0.303 · ความคลาดเคลื่อนลดลงเมื่อเพิ่ม N · ยอดถึงยอดจริง 10 tanh 2.5 = 9.87 V

### ริปเปิลของบั๊กคอนเวอร์เตอร์ กลาง

เป้าหมาย: ประมาณริปเปิลด้วยฮาร์มอนิกแรก

- อ่านฮาร์มอนิกหลักขาออก (mV) และยอดถึงยอดจริง
- เปลี่ยน C เป็น 220u ทำนายก่อนว่าริปเปิลเหลือเท่าไร
- คืน C = 100u แล้วเปลี่ยน f₀ เป็น 100k

สูตร B3 B4

เฉลย
7.48 mV ยอด, ยอดถึงยอด 14.6 mV · C = 220 µF: ราว 6.6 mV (∝ 1/C) · 100 kHz: ราว 3.6 mV (∝ 1/f_s²)

### RLC คัดฮาร์มอนิกที่ 3 กลาง

เป้าหมาย: ใช้เรโซแนนซ์เลือกฮาร์มอนิก

- อ่าน f₀ และ Q
- อ่านแอมพลิจูดขาออกที่ n = 1 และ 3
- เปลี่ยน C เป็น 101.3n แล้วดูว่าฮาร์มอนิกไหนเด่น

สูตร A8

เฉลย
f₀ = 3.00 kHz, Q = 18.9 · n = 3: 2.12 V, n = 1: 0.127 V · C = 101.3 nF จูนที่ 5 kHz ได้ฮาร์มอนิกที่ 5 (1.27 V)

### SMPS ไม่มี PFC กับมี PFC พื้นฐาน

เป้าหมาย: แยก PF ออกเป็น DPF กับ distortion factor

- อ่าน PF, DPF, THD I, crest factor
- คำนวณ DPF × $1/\sqrt{1 + \mathrm{THD}^2}$ เทียบ PF
- โหลด “SMPS มี Active PFC” อ่านซ้ำ

สูตร H7 M8

เฉลย
ไม่มี PFC: THD ≈ 134 %, DPF ≈ 0.99, PF ≈ 0.59 = 0.99/√(1 + 1.34²) · CF ≈ 3 · มี PFC: THD ≈ 3.6 %, PF ≈ 1.00

### นิวทรัลร้อนในอาคาร กลาง

เป้าหมาย: คำนวณกระแสนิวทรัลจากฮาร์มอนิกลำดับศูนย์

- อ่าน I rms และ “I นิวทรัล (3 ชุด สมดุล)”
- เปิดตารางฮาร์มอนิก หา I₃, I₉ แล้วคำนวณ $3\sqrt{I_3^2 + I_9^2 + \cdots}$
- ดูสีแท่ง h = 3, 9, 15

สูตร H10

เฉลย
นิวทรัลราว 1.7 เท่าของกระแสเฟส แท่งลำดับศูนย์เป็นสีม่วง ทางแก้: นิวทรัล 200 % หม้อแปลงซิกแซก หรือ PFC

### ไดรฟ์ VFD กับ IEEE 519 กลาง

เป้าหมาย: ไล่วิธีแก้จนผ่าน TDD

- VFD 11 kW (Isc/IL = 100) อ่าน THD I, TDD, ขีดจำกัด TDD จากแผงแปลผล
- ใส่รีแอกเตอร์ 3 % แล้ว 5 % · ลองโช้ก DC
- เปิดฟิลเตอร์แอกทีฟ

สูตร H13 M1 M7

เฉลย
ขีดจำกัด TDD 15 % (Isc/IL 100–1000) · ไม่มี: THD 83.5 % · 3 %: 34.5 % · 5 %: 32.0 % · โช้ก 2 mH: 37.2 % (ยังไม่ผ่าน) · ฟิลเตอร์แอกทีฟ 90 %: 8.3 % ผ่าน

### คาปาซิเตอร์เรโซแนนซ์และดีจูน ขั้นสูง

เป้าหมาย: หาลำดับเรโซแนนซ์และเปรียบเทียบสามวิธี

- คาปาซิเตอร์เปล่า 100 kvar: อ่าน h_r ในแผงวิธีคำนวณ และอัตราขยายที่ h = 5 (ตาราง: I ต้นทาง/I โหลด)
- เปลี่ยนเป็นดีจูน 7 %
- เปลี่ยนเป็นฟิลเตอร์จูน 4.7 และดู CH2 = “กระแสในคาปาซิเตอร์/ฟิลเตอร์”

สูตร M2 M3 M4 M5

เฉลย
เปล่า: h_r ≈ 6.0 กระแสที่ 5 ขยาย ~2.9 เท่า THD I ~94 % · ดีจูน: เรโซแนนซ์ย้ายไป ~3.2 THD I ~26 % PF ~0.96 · ฟิลเตอร์จูน: กระแสที่ 5 ไปหาการไฟฟ้าเหลือ ~17 % THD I ~18 % PF ~0.98

### ไตรแอกกับ DPF ต่ำทั้งที่โหลดเป็นตัวต้านทาน กลาง

เป้าหมาย: เห็นว่าการตัดเฟสทำให้ฮาร์มอนิกหลักล้าหลัง

- α = 90° อ่าน DPF PF THD และ I₃
- เปิดฮาร์มอนิกหลักของ CH2 ดูว่ามันล้าหลังแรงดัน
- เลื่อน α เป็น 30° และ 150°

สูตร W15 H7

เฉลย
α = 90°: DPF 0.844, PF 0.708, THD 64 %, I₃ ≈ 54 % ของหลัก · โหลดเป็นตัวต้านทานแต่ $a_1 \ne 0$ ทำให้ฮาร์มอนิกหลักล้าหลัง

### 6 พัลส์เทียบ 12 พัลส์ กลาง

เป้าหมาย: ยืนยันกฎ h = kp ± 1

- 6 พัลส์: ลำดับใดมี ลำดับใดไม่มี
- 12 พัลส์: ดู 5, 7 และ 11, 13
- เพิ่ม α ของ 6 พัลส์เป็น 45° ดู DPF

สูตร R6 R10 R11

เฉลย
6 พัลส์: 5, 7, 11, 13 (ไม่มี 3 และคู่) THD ~27 % · 12 พัลส์: 5, 7 หายไป เหลือ 11, 13 THD ~12 % · α = 45°: DPF ~0.71 ≈ cos 45°

### แรงดันยอดแบนกับโหลดเชิงเส้น พื้นฐาน

เป้าหมาย: แยกว่าฮาร์มอนิกมาจากโหลดหรือจากแหล่งจ่าย

- ฮีตเตอร์บนแรงดันที่มีฮาร์มอนิกที่ 5 = 4 % อ่าน THD U และ THD I
- ตั้งฮาร์มอนิกที่ 5 เป็น 0
- เปลี่ยนเป็นมอเตอร์ RL แล้วเทียบ THD I

สูตร A4 H11

เฉลย
ตัวต้านทาน: THD I = THD U ≈ 4 % (กระแสตามแรงดัน) · ไม่มีฮาร์มอนิกในแรงดัน กระแสเป็นไซน์ · มอเตอร์ RL: THD I ต่ำกว่า THD U เพราะ $Z = R + jhX$ โตตาม h

## กรณีศึกษาหน้างาน: คิดเหมือนวิศวกร

แต่ละกรณีมีอาการ คำถามที่ควรถาม การทดลองในแล็บที่จำลองสถานการณ์ และแนวคิดในการแก้ ลองตอบเองก่อนเปิดแนวคิด

### อาคารสำนักงาน: เบรกเกอร์นิวทรัลร้อน

อาคาร 6 ชั้น คอมพิวเตอร์ 400 เครื่อง แคลมป์มิเตอร์อ่านกระแสเฟสละ 120 A แต่นิวทรัลอ่านได้ 180 A ช่างคิดว่าโหลดไม่สมดุล

แนวคิด
โหลดไม่สมดุลทำให้นิวทรัลไม่เกินกระแสเฟส แต่ที่นี่เกิน → ฮาร์มอนิกลำดับศูนย์ (H10) วัดสเปกตรัมนิวทรัลจะเห็น 150 Hz เด่น แก้: นิวทรัลขนาดสองเท่า หม้อแปลงซิกแซกหรือ K-rated ระยะยาวเลือกอุปกรณ์ที่มี PFC

### โรงงาน: คาปาซิเตอร์ APFC ฟิวส์ขาดทุกสัปดาห์

ติดตั้งไดรฟ์ใหม่หลายตัว หลังจากนั้นตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติฟิวส์ขาด คาปาซิเตอร์บวม และไฟหน้าจอเครื่องจักรกะพริบเมื่อสเต็ปคาปาซิเตอร์เพิ่ม

แนวคิด
คำนวณ $h_r = \sqrt{S_{sc}/Q_c}$ ของแต่ละสเต็ป (M2) ถ้าเข้าใกล้ 5 หรือ 7 คือเรโซแนนซ์ วัด THD แรงดันขณะเปิดสเต็ปจะเห็นเพิ่มขึ้น แก้: เปลี่ยนเป็นคาปาซิเตอร์ดีจูน 7 % พิกัดแรงดัน 440–480 V (M4)

### บิลค่าไฟมีค่าปรับ PF ทั้งที่ cos φ บนมิเตอร์ = 0.98

ร้านอินเทอร์เน็ตคาเฟ่ติดคาปาซิเตอร์แล้ว cos φ ขึ้นเป็น 0.98 แต่การไฟฟ้ายังวัด PF ได้ต่ำ

แนวคิด
cos φ คือ DPF ส่วน PF จริงรวมความเพี้ยน (H7) โหลด SMPS มี THD > 100 % PF จึง ≈ 0.6 แม้ DPF ≈ 1 คาปาซิเตอร์ช่วยไม่ได้ ต้องลดฮาร์มอนิก (PFC, ฟิลเตอร์แอกทีฟ) · หมายเหตุ: การคิดค่า PF ขึ้นกับระเบียบของการไฟฟ้า ตรวจกับการไฟฟ้าที่รับไฟ

### หม้อแปลงร้อนผิดปกติที่โหลด 70 %

หม้อแปลง 500 kVA จ่ายศูนย์ข้อมูลขนาดเล็ก วัด kVA ได้ 70 % ของพิกัด แต่อุณหภูมิขดลวดเกินเกณฑ์

แนวคิด
ดู K-factor (H9) โหลดอิเล็กทรอนิกส์ให้ K ได้ 10–20 ความสูญเสียกระแสวนเพิ่มหลายเท่า ต้องลดพิกัดหรือใช้ K-rated และลดฮาร์มอนิกที่ต้นทาง

### ไดรฟ์ใหม่ไม่ผ่านการตรวจรับของการไฟฟ้า

โรงงานขอเพิ่มไดรฟ์ปั๊ม 6 พัลส์รวม 300 kW บนหม้อแปลง 1000 kVA การไฟฟ้าขอผลการศึกษาฮาร์มอนิก

แนวคิด
หา Isc/IL ที่ PCC → เลือกแถวขีดจำกัด (H13) ประเมิน TDD และ THD แรงดัน (H11, ตัวอย่าง H-4) เริ่มจากรีแอกเตอร์ 3–5 % ถ้ายังไม่พอใช้ฟิลเตอร์แอกทีฟหรือไดรฟ์ 18 พัลส์/AFE ตรวจข้อกำหนดของ กฟภ./กฟน. ประกอบ

### เครื่องกำเนิดไฟฟ้าสำรองแกว่ง เมื่อจ่าย UPS

ขณะไฟดับ เครื่องกำเนิดไฟฟ้าจ่าย UPS ขนาดใหญ่ แรงดันเพี้ยนมาก UPS สลับไปใช้แบตเตอรี่ซ้ำ ๆ

แนวคิด
เครื่องกำเนิดมีอิมพีแดนซ์สูง (ระบบอ่อน Isc/IL ต่ำ) แรงดันเพี้ยนตาม H11 มาก ลดค่า Isc/IL ในแล็บจะเห็น THD U พุ่ง แก้: เครื่องกำเนิดใหญ่ขึ้น (หรือ subtransient reactance ต่ำ) UPS แบบ 12 พัลส์/IGBT rectifier หรือฟิลเตอร์

## สมมติฐานของแบบจำลอง (อ่านก่อนนำตัวเลขไปใช้)

- รูปคลื่นในแท็บ ①: สัมประสิทธิ์อินทิเกรตแบบปิดทีละช่วง (ค่าคงตัว เส้นตรง ไซน์) จึงตรงกับสูตรทุกหลัก รูปที่พิมพ์เองใช้อินทิกรัลเชิงตัวเลข 8,192 จุดต่อคาบ

- วงจรในแท็บ ②: เชิงเส้นอุดมคติ (LC มีความต้านทานอนุกรม 0.02 Ω) คำตอบอ้างอิงคือสถานะคงตัวแบบคาบจาก RK4 ที่ตัดขั้นตอนตรงจุดกระโดดของสัญญาณ

- แหล่งจ่าย: ไซน์ 230 V (เฟส) อิมพีแดนซ์จาก Isc/IL และ X/R ความต้านทานเพิ่มตาม $\sqrt h$ (skin effect) โหลดเชิงเส้นอื่นบนหม้อแปลงเป็นตัวหน่วงขนานที่ PCC

- โหลดไม่เชิงเส้น: แทนด้วยแหล่งจ่ายกระแสฮาร์มอนิก (Norton) · 6/12 พัลส์ใช้บล็อก 120° กับช่วงทับซ้อนรูปไซน์ตามจริง 12 พัลส์หักล้างสมบูรณ์ · SMPS และ VFD จำลองในโดเมนเวลา (VFD ถือว่าการสลับเฟสเกิดทันที) · PFC ใช้สเปกตรัมตัวอย่างคงที่

- ตัวเลขที่ได้ อยู่ในช่วงที่พบจริง แต่ไม่ใช่ข้อมูลของอุปกรณ์ยี่ห้อใด งานออกแบบจริงต้องวัดและทำการศึกษาฮาร์มอนิกตามมาตรฐาน

## คำถามที่พบบ่อย

แล็บนี้ใช้ฟรีไหม ต้องติดตั้งอะไรไหม?
ใช้ฟรีทั้งหมด เปิดในเบราว์เซอร์ทั้งคอมพิวเตอร์และมือถือ ไม่ต้องสมัครหรือติดตั้งโปรแกรม การตั้งค่าทุกอย่างเก็บในลิงก์ กดคัดลอกลิงก์แล้วส่งให้เพื่อนหรืออาจารย์เปิดได้ภาพเดียวกัน

ตัวเลขในแล็บแม่นแค่ไหน?
สัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ของรูปคลื่นในรายการคำนวณด้วยการอินทิเกรตแบบปิดทีละช่วง ไม่ใช่ FFT จึงตรงกับสูตรทุกหลัก วงจรเชิงเส้นเทียบกับคำตอบจากสมการอนุพันธ์ โหลดไม่เชิงเส้นเป็นแบบจำลองเพื่อการเรียน (ดูหัวข้อสมมติฐานของแบบจำลอง) ค่า THD และ PF อยู่ในช่วงที่วัดได้จริงแต่ขึ้นกับอุปกรณ์แต่ละรุ่น

ใช้แล็บนี้ฝึกแก้ปัญหาฮาร์มอนิกในโรงงานได้ไหม?
ได้ในระดับความเข้าใจ เลือกโหลด ปรับความแข็งของระบบ (Isc/IL) ใส่รีแอกเตอร์ คาปาซิเตอร์ดีจูน ฟิลเตอร์จูน หรือฟิลเตอร์แอกทีฟ แล้วดู THD TDD PF และการเทียบ IEEE 519 พร้อมแผงแปลผลอัตโนมัติ งานจริงต้องวัดด้วยเครื่องวิเคราะห์คุณภาพไฟฟ้าตามมาตรฐานและทำการศึกษาฮาร์มอนิกโดยวิศวกร

ส่งงานหรือแชร์ผลการทดลองอย่างไร?
กดปุ่ม คัดลอกลิงก์ ลิงก์ที่ได้มีค่าทุกปุ่ม ส่งทาง LINE หรืออีเมลแล้วเปิดได้ผลเดิม หรือแคปหน้าจอแผงวิธีคำนวณทีละขั้นแนบในรายงาน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**แล็บนี้ใช้ฟรีไหม ต้องติดตั้งอะไรไหม?**
ใช้ฟรีทั้งหมด เปิดในเบราว์เซอร์ทั้งคอมพิวเตอร์และมือถือ ไม่ต้องสมัครหรือติดตั้งโปรแกรม การตั้งค่าทุกอย่างเก็บในลิงก์ กดคัดลอกลิงก์แล้วส่งให้เพื่อนหรืออาจารย์เปิดได้ภาพเดียวกัน

**ตัวเลขในแล็บแม่นแค่ไหน?**
สัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ของรูปคลื่นในรายการคำนวณด้วยการอินทิเกรตแบบปิดทีละช่วง ไม่ใช่ FFT จึงตรงกับสูตรทุกหลัก วงจรเชิงเส้นเทียบกับคำตอบจากสมการอนุพันธ์ โหลดไม่เชิงเส้นเป็นแบบจำลองเพื่อการเรียน (ดูหัวข้อสมมติฐานของแบบจำลอง) ค่า THD และ PF อยู่ในช่วงที่วัดได้จริงแต่ขึ้นกับอุปกรณ์แต่ละรุ่น

**ใช้แล็บนี้ฝึกแก้ปัญหาฮาร์มอนิกในโรงงานได้ไหม?**
ได้ในระดับความเข้าใจ เลือกโหลด ปรับความแข็งของระบบ (Isc/IL) ใส่รีแอกเตอร์ คาปาซิเตอร์ดีจูน ฟิลเตอร์จูน หรือฟิลเตอร์แอกทีฟ แล้วดู THD TDD PF และการเทียบ IEEE 519 พร้อมแผงแปลผลอัตโนมัติ งานจริงต้องวัดด้วยเครื่องวิเคราะห์คุณภาพไฟฟ้าตามมาตรฐานและทำการศึกษาฮาร์มอนิกโดยวิศวกร

**ส่งงานหรือแชร์ผลการทดลองอย่างไร?**
กดปุ่ม คัดลอกลิงก์ ลิงก์ที่ได้มีค่าทุกปุ่ม ส่งทาง LINE หรืออีเมลแล้วเปิดได้ผลเดิม หรือแคปหน้าจอแผงวิธีคำนวณทีละขั้นแนบในรายงาน

---

# วิเคราะห์วงจรด้วยอนุกรมฟูเรียร์: ซูเปอร์โพซิชันทีละฮาร์มอนิก

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/circuit-analysis/
Updated: 2026-10-12
Summary: วิธีวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าที่ถูกป้อนด้วยสัญญาณไม่ใช่ไซน์: แยกเป็นอนุกรมฟูเรียร์ คูณผลตอบสนองความถี่ H(jnω0) ทีละฮาร์มอนิก แล้วรวมกลับ ตัวอย่างวิธีทำ คลื่นสี่เหลี่ยมเข้าวงจร RC อินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยมป้อนโหลด RL ฟิลเตอร์ LC ของวงจรเรียงกระแสเต็มคลื่น 230 V วงจร RLC คัดฮาร์มอนิกที่ 3 กำลังเฉลี่ยจากฮาร์มอนิก และข้อจำกัดของวิธี

// บทที่ 14.7 · อนุกรมฟูเรียร์ · Circuit Analysis

# วิเคราะห์วงจรด้วยอนุกรมฟูเรียร์: ซูเปอร์โพซิชันทีละฮาร์มอนิก

วิชาวงจรไฟฟ้าสอนเฟเซอร์ที่ใช้ได้กับไซน์ความถี่เดียว แต่วงจรจริงถูกป้อนด้วยคลื่นสี่เหลี่ยม แรงดันเรียงกระแส และ PWM อนุกรมฟูเรียร์ทำให้ปัญหาเหล่านี้กลายเป็นปัญหาเฟเซอร์ธรรมดาหลายปัญหา ความถี่ละหนึ่งข้อ หน้านี้ใช้วิธีเดียวแก้ห้าวงจรที่เจอบ่อยที่สุด และตรวจทุกคำตอบด้วยการจำลองในโดเมนเวลา

สรุปใน 30 วินาที

- แยก: $x(t) \to \mathbf X_n = a_n - jb_n$ · คูณ: $\mathbf Y_n = H(jn\omega_0)\,\mathbf X_n$ · รวม: $y = Y_0 + \sum |\mathbf Y_n|\cos(n\omega_0 t + \angle\mathbf Y_n)$

- ที่ฮาร์มอนิก n: $Z_L = jn\omega_0 L$ โตขึ้น $Z_C = 1/(jn\omega_0 C)$ เล็กลง

- ตัวเหนี่ยวนำกรองกระแส ตัวเก็บประจุกรองแรงดัน ฮาร์มอนิกที่ |H| ≈ 0 หายไป

- $P = V_0I_0 + \sum V_nI_n\cos\theta_n$ (RMS) ต่างความถี่ไม่ให้กำลัง

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## หลักการ: แยก คูณ รวม พื้นฐาน

วงจรที่มีแต่ R, L, C และแหล่งจ่ายควบคุมเชิงเส้นเป็นระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา ไซน์เข้าแล้วได้ไซน์ความถี่เดิมออก ขนาดและเฟสเปลี่ยนตาม $H(j\omega)$ และผลรวมของอินพุตให้ผลรวมของเอาต์พุต (ซูเปอร์โพซิชัน) สองข้อนี้รวมกับอนุกรมฟูเรียร์ได้วิธีที่ใช้ได้กับทุกอินพุตที่เป็นคาบ

A1 Step 1 · Decompose แยกอินพุตเป็นเฟเซอร์ของแต่ละฮาร์มอนิก

$$x(t) = a_0 + \sum_n \mathrm{Re}\{\mathbf X_n e^{jn\omega_0 t}\},\qquad \mathbf X_n = a_n - jb_n$$

ใช้ตาราง W แทนการอินทิเกรตใหม่ เฟเซอร์นิยามตาม C13

A2 Step 2 · Multiply by H(jnω₀) คูณผลตอบสนองความถี่ที่ความถี่ของแต่ละตัว

$$\mathbf Y_n = H(jn\omega_0)\,\mathbf X_n, \qquad Y_0 = H(0)\,a_0$$

$H$ หาจากวงจรแบบเดียวกับที่ทำในวิชาวงจร AC แค่แทน $\omega$ ด้วย $n\omega_0$ ทุกครั้ง ทบทวน $H(s)$ ที่ลาปลาซ

A3 Step 3 · Reconstruct รวมกลับในโดเมนเวลา

$$y(t) = Y_0 + \sum_{n=1}^{\infty} |\mathbf Y_n|\cos\big(n\omega_0 t + \angle\mathbf Y_n\big)$$

ห้ามบวกเฟเซอร์ของต่างความถี่เข้าด้วยกัน เฟเซอร์ใช้ได้ที่ความถี่ของตัวเองเท่านั้น รวมกันได้เฉพาะในโดเมนเวลา หรือใช้พาร์เซวาลหาค่า RMS

A4 Impedance at the n-th harmonic อิมพีแดนซ์ที่ฮาร์มอนิกที่ n

$$Z_R = R,\qquad Z_L(n) = jn\omega_0 L = jnX_{L1},\qquad Z_C(n) = \frac{1}{jn\omega_0 C} = \frac{X_{C1}}{jn}$$

รู้รีแอกแตนซ์ที่ฮาร์มอนิกหลักแล้ว คูณหรือหารด้วย n ได้ทันที เป็นหัวใจของการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกในระบบไฟฟ้ากำลัง

A5 The DC term พจน์ DC

$$n = 0:\quad L \to \text{ลัดวงจร},\quad C \to \text{เปิดวงจร},\quad Y_0 = H(0)\,a_0$$

ฟิลเตอร์ LC ของแหล่งจ่ายไฟให้ DC ผ่านเต็มที่ $H(0) = 1$ ตัวเก็บประจุคัปปลิงตัด DC ทิ้ง $H(0) = 0$

แผนภาพของวิธี: อินพุตที่ไม่ใช่ไซน์ถูกแยกเป็นไซน์หลายความถี่ แต่ละตัวผ่าน $H(jn\omega_0)$ ของตัวเอง แล้วรวมกันที่ขาออก

## คลื่นสี่เหลี่ยมเข้าวงจร RC กรองผ่านต่ำ พื้นฐาน

นี่คือการทดลองแรกของทุกแล็บวงจร (ดูแล็บ RC) ในโดเมนเวลาเห็นขอบที่โค้งเป็นเอกซ์โพเนนเชียล ในโดเมนความถี่คือฮาร์มอนิกสูงถูกลดทอนมากกว่าฮาร์มอนิกต่ำ

A6 Square wave through RC: exact peak ค่ายอดในสถานะคงตัว (ใช้ตรวจคำตอบ)

$$v_{C,peak} = A\tanh\frac{T}{4\tau},\qquad \tau = RC$$

ได้จากการแก้ในโดเมนเวลาแบบคาบ ใช้เทียบกับผลรวมฮาร์มอนิกว่ารวมกี่ตัวจึงพอ

ตัวอย่าง A-1 · สี่เหลี่ยม 1 kHz เข้า RC

### สี่เหลี่ยม ±5 V 1 kHz ป้อน R = 1 kΩ, C = 100 nF หาแรงดันตัวเก็บประจุของฮาร์มอนิกที่ 1, 3, 5, 7 แล้วเทียบค่ายอดถึงยอดกับคำตอบจริง

- $f_c = \frac{1}{2\pi RC} = 1592$ Hz · $H(jn\omega_0) = \frac{1}{1 + j(nf_0/f_c)}$ · อินพุต $A_n = \frac{20}{n\pi}$ W1

- A2 ทีละตัว

| n | $A_n$ เข้า (V) | $|H|$ | $\angle H$ | $A_n$ ออก (V) |

| 1 | 6.366 | 0.8467 | −32.1° | 5.390 |

| 3 | 2.122 | 0.4686 | −62.1° | 0.994 |

| 5 | 1.273 | 0.3033 | −72.3° | 0.386 |

| 7 | 0.909 | 0.2217 | −77.2° | 0.202 |

- รวมสี่ตัวในโดเมนเวลา A3 ได้ยอดถึงยอด 10.21 V

- คำตอบจริง A6: $2 \times 5\tanh\frac{1\ \text{ms}}{4(0.1\ \text{ms})} = 10\tanh 2.5 = 9.866$ V

ฮาร์มอนิกที่ 3 ลดเหลือ 18 % ของหลัก (อินพุต 33 %) ขาออกจึงใกล้ไซน์ขึ้น สี่ตัวแรกให้ยอดถึงยอดเกินจริง 3.5 % เพราะยังมีมุมหักที่ต้องใช้ฮาร์มอนิกสูง รวม 1,000 ตัวได้ 9.868 V ตรงกับ 9.866 V

ในแล็บด้านล่าง เลือก “สี่เหลี่ยม 1 kHz → RC” แล้วเลื่อน N ดูเส้นส้มเข้าหาเส้นประ (คำตอบจริงจาก ODE) ✓

## อินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยมป้อนโหลด RL กลาง

อินเวอร์เตอร์ราคาประหยัดหรือ UPS แบบ square wave จ่ายแรงดันสี่เหลี่ยม ถ้าโหลดเป็นมอเตอร์หรือหม้อแปลง (มีความเหนี่ยวนำ) กระแสจะดูดีกว่าแรงดันมาก เพราะตัวเหนี่ยวนำ “กรองกระแส”

ตัวอย่าง A-2 · สี่เหลี่ยม ±311 V 50 Hz เข้า R = 10 Ω, L = 100 mH

### หากระแสฮาร์มอนิก 1, 3, 5, 7 THD ของกระแส ค่ายอด และกำลังที่ตัวต้านทาน

- แรงดัน $A_n = \frac{4(311)}{n\pi}$: 396.0, 132.0, 79.2, 56.6 V · $X_{L1} = 2\pi(50)(0.1) = 31.42\ \Omega$

- A4: $|Z_n| = \sqrt{10^2 + (31.42n)^2}$ = 32.97, 94.78, 157.4, 220.1 Ω

- กระแสค่ายอด $A_n/|Z_n|$: 12.01, 1.393, 0.503, 0.257 A ลดลงตาม $1/n^2$ โดยประมาณ

- THD กระแส (แรงดัน 48.3 %)

$$\mathrm{THD}_i = \frac{\sqrt{1.393^2 + 0.503^2 + 0.257^2 + \cdots}}{12.01} = 12.6\ \%$$

- กำลัง: $I_{rms}^2 R$ รวมทุกฮาร์มอนิก $I_{rms} = 8.56$ A → $P = 733$ W (ฮาร์มอนิกหลักอย่างเดียว 721 W)

กระแสเกือบเป็นไซน์ (THD 12.6 %) ค่ายอดจริงจากการจำลอง 14.37 A (ไม่ใช่ 12.01 A เพราะฮาร์มอนิกเสริมกันที่ยอด) ฮาร์มอนิกที่เหลือยังสร้างความร้อนในมอเตอร์ 12 W และแรงบิดกระเพื่อม ผลต่อมอเตอร์

## ฟิลเตอร์ LC หลังวงจรเรียงกระแสเต็มคลื่น กลาง

แหล่งจ่ายไฟเชิงเส้นแบบ choke-input ใช้ L อนุกรมกับ C ขนานโหลด ถ้ากระแสในตัวเหนี่ยวนำไม่เคยลดถึงศูนย์ แรงดันหลังบริดจ์จะเป็นไซน์เรียงกระแสเต็มคลื่นพอดี (W8) วงจรที่เหลือเป็นเชิงเส้น วิเคราะห์ด้วยฟูเรียร์ได้

= R/(3w) ตัวเหนี่ยวนำวิกฤต กระแสต่อเนื่อง">A7 Continuous-conduction condition เงื่อนไขกระแสต่อเนื่องของ choke-input

$$L \ge L_{crit} = \frac{R}{3\omega}$$

มาจากให้กระแส DC $\frac{2V_m}{\pi R}$ มากกว่าค่ายอดของกระแสฮาร์มอนิกที่ 2 $\frac{4V_m}{3\pi(2\omega L)}$ ถ้าไม่ผ่าน ไดโอดหยุดนำบางช่วง วิธีนี้ใช้ไม่ได้

ตัวอย่าง A-3 · ริปเปิล 100 Hz

### ไฟ 230 V เรียงกระแสเต็มคลื่น ฟิลเตอร์ L = 100 mH, C = 1000 µF โหลด R = 50 Ω หาแรงดัน DC และริปเปิล

- ตรวจ A7: $L_{crit} = 50/(3 \times 314.2) = 53$ mH < 100 mH ✓

- อินพุต W8 ($V_m = 325.3$ V): DC 207.1 V · ที่ 2 (100 Hz) 138.0 V · ที่ 4 (200 Hz) 27.6 V

- $H = \frac{Z_p}{j\omega L + Z_p}$, $Z_p = R \parallel \frac{1}{j\omega C}$ · ที่ 100 Hz $|H| = 0.0260$ · ที่ 200 Hz $|H| = 0.00637$ (ลดลงราว 4 เท่าต่อการเพิ่มความถี่ 2 เท่า คือ −40 dB/dec)

- ขาออก: DC 207.0 V · ริปเปิลที่ 100 Hz $138.0 \times 0.0260 = 3.59$ V ยอด · ที่ 200 Hz 0.18 V

DC ≈ 207 V ริปเปิล ≈ 7.2 V ยอดถึงยอด (การจำลองจริง 7.25 V) เกือบทั้งหมดมาจาก 100 Hz ฮาร์มอนิกเดียว นี่คือเหตุผลที่สูตรออกแบบฟิลเตอร์แหล่งจ่ายไฟคิดแค่ฮาร์มอนิกที่ 2

## เรโซแนนซ์คัดฮาร์มอนิก: วงจรจูน และเรโซแนนซ์ที่ไม่ต้องการ กลาง

ถ้า $H$ มียอดแหลมที่ความถี่หนึ่ง ฮาร์มอนิกที่ตกตรงยอดจะถูกขยายเทียบกับตัวอื่น ใช้ประโยชน์ได้ (คูณความถี่ ฟิลเตอร์ดักฮาร์มอนิก) และเป็นอันตรายได้ (คาปาซิเตอร์แก้ PF เรโซแนนซ์กับหม้อแปลง M2)

A8 Series RLC band-pass คัดเลือกฮาร์มอนิกด้วยเรโซแนนซ์

$$H(j\omega) = \frac{R}{R + j\big(\omega L - \frac{1}{\omega C}\big)},\quad f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},\quad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$

จูน $f_r = kf_0$ ได้ฮาร์มอนิกที่ k ออกมาเกือบเต็ม ตัวอื่นถูกลดทอนตาม Q

ตัวอย่าง A-4 · ตัวคูณความถี่ 3 เท่า

### สี่เหลี่ยม ±5 V 1 kHz ป้อน RLC อนุกรม R = 10 Ω, L = 10 mH, C = 281.4 nF วัดแรงดันที่ R ได้อะไร

- $f_r = 3000$ Hz, $Q = 18.9$ A8

- n = 3: $|H| = 1.00$ → 2.122 V · n = 1: $\omega L - \frac{1}{\omega C} = -502.7\ \Omega$ → $|H| = 0.0199$ → 0.127 V · n = 5: $|H| = 0.0497$ → 0.063 V

ขาออกเป็นไซน์ 3 kHz ยอด 2.12 V มีฮาร์มอนิกหลักปนเพียง 6 % ได้ “ตัวคูณความถี่” จากคลื่นสี่เหลี่ยม · ลองเปลี่ยน C ให้ $f_r$ = 5 kHz (C = 101.3 nF) จะได้ฮาร์มอนิกที่ 5 แทน

## กำลังเฉลี่ยและค่า RMS จากฮาร์มอนิก พื้นฐาน

A9 Average power with harmonics กำลังเฉลี่ยเมื่อมีหลายฮาร์มอนิก

$$P = \frac{1}{T}\int_T v\,i\,dt = V_0I_0 + \sum_{n=1}^{\infty} V_nI_n\cos(\theta_{v,n} - \theta_{i,n}) \quad (V_n, I_n \text{ เป็นค่า RMS})$$

ผลคูณของแรงดันกับกระแสต่างความถี่เฉลี่ยเป็นศูนย์ (ความตั้งฉาก T1) ใช้ต่อในงานไฟฟ้ากำลังที่ H4

ตัวอย่าง A-5 · โจทย์มาตรฐานในข้อสอบ

### $v = 10 + 20\sin\omega t + 8\sin(3\omega t + 30^\circ)$ V, $i = 2 + 3\sin(\omega t - 40^\circ) + \sin(3\omega t - 20^\circ)$ A หา P, $V_{rms}$, $I_{rms}$, S และ PF

- A9 (แปลงค่ายอดเป็น RMS: $V_nI_n = \frac{V_{mn}I_{mn}}{2}$)

$$P = 10(2) + \frac{20(3)}{2}\cos 40^\circ + \frac{8(1)}{2}\cos 50^\circ = 20 + 22.98 + 2.57 = 45.55\ \text{W}$$

- P6: $V_{rms} = \sqrt{10^2 + \frac{20^2}{2} + \frac{8^2}{2}} = 18.22$ V · $I_{rms} = \sqrt{2^2 + \frac{3^2}{2} + \frac{1^2}{2}} = 3.00$ A

- $S = 18.22 \times 3.00 = 54.66$ VA · PF = 45.55/54.66 = 0.833

P = 45.6 W, $V_{rms}$ = 18.2 V, $I_{rms}$ = 3.00 A, S = 54.7 VA, PF = 0.833 · สังเกตว่า PF ไม่เท่ากับ cos ของมุมใดมุมหนึ่ง เมื่อมีฮาร์มอนิก PF ต้องนิยามจาก P/S

## ใช้ได้เมื่อไร และใช้ไม่ได้เมื่อไร กลาง

- ต้องเป็นเชิงเส้น ไดโอด ทรานซิสเตอร์อิ่มตัว แกนเหล็กอิ่มตัว ใช้ตรง ๆ ไม่ได้ แต่ถ้ารู้รูปคลื่นที่ขาเข้าของส่วนเชิงเส้นแล้ว (เช่น A-3) ใช้กับส่วนนั้นได้

- ได้เฉพาะสถานะคงตัว ช่วงเปิดเครื่องใช้ลาปลาซหรือจำลอง ODE (แล็บด้านล่างใช้ ODE เป็นคำตอบอ้างอิง)

- โหลดไม่เชิงเส้นในระบบไฟฟ้า นิยมแทนด้วย “แหล่งจ่ายกระแสฮาร์มอนิก” แล้วใช้ A2 กับโครงข่ายที่เหลือ เรียก harmonic load flow ซึ่งเป็นวิธีของแล็บในหน้า 12.14

- อยากได้ฮาร์มอนิกหลักอย่างเดียว ในระบบไม่เชิงเส้นที่ส่วนเชิงเส้นกรองฮาร์มอนิกสูงทิ้ง ใช้ฟังก์ชันพรรณนา (describing function) U1

## แล็บ: แยก คูณ รวม ทีละขั้น พื้นฐาน

เลือกการทดลองสำเร็จรูป (สี่เหลี่ยม → RC, อินเวอร์เตอร์ → RL, เรียงกระแส → LC, RLC คัดฮาร์มอนิก, บั๊ก 12 → 5 V) ตารางในแผงวิธีคิดคือขั้น A1–A3 ของทุกฮาร์มอนิก เส้นประคือคำตอบจริงจากการแก้สมการอนุพันธ์ ใช้ตรวจว่ารวมฮาร์มอนิกพอหรือยัง

## คำถามที่พบบ่อย

วิเคราะห์วงจรที่ป้อนด้วยคลื่นสี่เหลี่ยมอย่างไร?
เขียนคลื่นสี่เหลี่ยมเป็นอนุกรมฟูเรียร์ แต่ละฮาร์มอนิกคือแหล่งจ่าย AC ความถี่ $nf_0$ หาเฟเซอร์ขาออกด้วยอิมพีแดนซ์ที่ความถี่นั้น $Y_n = H(jn\omega_0)X_n$ แล้วรวมผลในโดเมนเวลา ใช้ได้เพราะวงจร RLC เป็นเชิงเส้น ซูเปอร์โพซิชันจึงใช้ได้

ทำไมกระแสในมอเตอร์ที่ป้อนด้วยอินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยมเกือบเป็นไซน์?
รีแอกแตนซ์ของขดลวด $n\omega L$ โตตาม n ฮาร์มอนิกที่ 3 จึงเจออิมพีแดนซ์ราว 3 เท่า แรงดันฮาร์มอนิกที่ 3 มีขนาด 1/3 กระแสจึงเหลือราว 1/9 ของฮาร์มอนิกหลัก ตัวอย่างในหน้านี้แรงดัน THD 48 % แต่กระแส THD เหลือราว 13 %

วิธีอนุกรมฟูเรียร์ใช้กับวงจรไดโอดได้ไหม?
ใช้กับวงจรทั้งก้อนไม่ได้ เพราะไดโอดไม่เป็นเชิงเส้น ซูเปอร์โพซิชันไม่จริง แต่ถ้ารู้รูปคลื่นที่จุดใดจุดหนึ่งแล้ว (เช่นแรงดันหลังบริดจ์ที่นำกระแสต่อเนื่อง) ส่วนที่ตามหลังซึ่งเป็นเชิงเส้นใช้วิธีนี้ได้ ส่วนวงจรไม่เชิงเส้นต้องจำลองในโดเมนเวลาหรือใช้ harmonic balance

กำลังเฉลี่ยเมื่อแรงดันและกระแสมีหลายฮาร์มอนิกคำนวณอย่างไร?
$P = V_0I_0 + \sum V_nI_n\cos\theta_n$ โดย $V_n, I_n$ เป็นค่า RMS และ $\theta_n$ คือมุมระหว่างแรงดันกับกระแสของฮาร์มอนิกเดียวกัน แรงดันกับกระแสต่างความถี่ไม่ให้กำลังเฉลี่ย

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**วิเคราะห์วงจรที่ป้อนด้วยคลื่นสี่เหลี่ยมอย่างไร?**
เขียนคลื่นสี่เหลี่ยมเป็นอนุกรมฟูเรียร์ แต่ละฮาร์มอนิกคือแหล่งจ่าย AC ความถี่ $nf_0$ หาเฟเซอร์ขาออกด้วยอิมพีแดนซ์ที่ความถี่นั้น $Y_n = H(jn\omega_0)X_n$ แล้วรวมผลในโดเมนเวลา ใช้ได้เพราะวงจร RLC เป็นเชิงเส้น ซูเปอร์โพซิชันจึงใช้ได้

**ทำไมกระแสในมอเตอร์ที่ป้อนด้วยอินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยมเกือบเป็นไซน์?**
รีแอกแตนซ์ของขดลวด $n\omega L$ โตตาม n ฮาร์มอนิกที่ 3 จึงเจออิมพีแดนซ์ราว 3 เท่า แรงดันฮาร์มอนิกที่ 3 มีขนาด 1/3 กระแสจึงเหลือราว 1/9 ของฮาร์มอนิกหลัก ตัวอย่างในหน้านี้แรงดัน THD 48 % แต่กระแส THD เหลือราว 13 %

**วิธีอนุกรมฟูเรียร์ใช้กับวงจรไดโอดได้ไหม?**
ใช้กับวงจรทั้งก้อนไม่ได้ เพราะไดโอดไม่เป็นเชิงเส้น ซูเปอร์โพซิชันไม่จริง แต่ถ้ารู้รูปคลื่นที่จุดใดจุดหนึ่งแล้ว (เช่นแรงดันหลังบริดจ์ที่นำกระแสต่อเนื่อง) ส่วนที่ตามหลังซึ่งเป็นเชิงเส้นใช้วิธีนี้ได้ ส่วนวงจรไม่เชิงเส้นต้องจำลองในโดเมนเวลาหรือใช้ harmonic balance

**กำลังเฉลี่ยเมื่อแรงดันและกระแสมีหลายฮาร์มอนิกคำนวณอย่างไร?**
$P = V_0I_0 + \sum V_nI_n\cos\theta_n$ โดย $V_n, I_n$ เป็นค่า RMS และ $\theta_n$ คือมุมระหว่างแรงดันกับกระแสของฮาร์มอนิกเดียวกัน แรงดันกับกระแสต่างความถี่ไม่ให้กำลังเฉลี่ย

---

# หาสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ทีละขั้น: ความตั้งฉากและสูตรออยเลอร์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/coefficients/
Updated: 2026-10-12
Summary: วิธีหาสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูเรียร์ a0 an bn แบบละเอียด: ที่มาจากความตั้งฉากของไซน์และโคไซน์ สูตรออยเลอร์–ฟูเรียร์ อินทิกรัลทีละส่วนที่ใช้บ่อย ค่า sin nπ cos nπ ขั้นตอน 6 ขั้น ตัวอย่างวิธีทำคลื่นสี่เหลี่ยม พัลส์ดิวตี้ ฟันเลื่อย ไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่น 230 V และข้อผิดพลาดที่นักศึกษาทำบ่อย

// บทที่ 14.2 · อนุกรมฟูเรียร์ · Finding the Coefficients

# หาสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ทีละขั้น: ความตั้งฉากและสูตรออยเลอร์

ทุกโจทย์อนุกรมฟูเรียร์จบที่อินทิกรัลสามตัว แต่ถ้าเข้าใจว่าทำไมอินทิกรัลนั้นดึงสัมประสิทธิ์ออกมาได้ จะไม่ต้องจำสูตรและไม่สับสน 1/T กับ 2/T อีก หน้านี้เริ่มจากความตั้งฉากของไซน์ ซึ่งเป็นแนวคิดเดียวกับผลคูณจุดของเวกเตอร์ แล้วทำตัวอย่างที่เจอในงานไฟฟ้าทีละขั้น

สรุปใน 30 วินาที

- $a_0 = \frac{1}{T}\int_T x\,dt$ · $a_n = \frac{2}{T}\int_T x\cos n\omega_0 t\,dt$ · $b_n = \frac{2}{T}\int_T x\sin n\omega_0 t\,dt$

- มาจากความตั้งฉาก: $\int_T \cos m\omega_0 t\cos n\omega_0 t\,dt = 0$ เมื่อ $m \ne n$ คูณแล้วอินทิเกรตจึงเหลือพจน์เดียว

- ค่าที่ใช้ตลอด: $\sin n\pi = 0$, $\cos n\pi = (-1)^n$, $\int t\sin at\,dt = -\tfrac{t\cos at}{a} + \tfrac{\sin at}{a^2}$

- ดูสมมาตรก่อนอินทิเกรตทุกครั้ง ลดงานได้ครึ่งหนึ่ง 12.3

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## ความตั้งฉากของไซน์และโคไซน์ พื้นฐาน

เวกเตอร์สองตัวตั้งฉากกันเมื่อผลคูณจุดเป็นศูนย์ ผลคูณจุด คือผลคูณของส่วนประกอบแต่ละตัวแล้วรวมกัน สำหรับฟังก์ชัน “ส่วนประกอบ” มีต่อเนื่องทุกค่าของ $t$ การรวมจึงกลายเป็นอินทิกรัล ฟังก์ชัน $\cos n\omega_0 t$ และ $\sin n\omega_0 t$ ทุกตัวตั้งฉากกันหมดเมื่ออินทิเกรตตลอดหนึ่งคาบ

T1 Orthogonality of sines ไซน์ตั้งฉากกัน

$$\int_{0}^{T} \sin m\omega_0 t\,\sin n\omega_0 t\,dt = \begin{cases} 0 & m \ne n \\ T/2 & m = n \ne 0 \end{cases}$$

T2 Orthogonality of cosines โคไซน์ตั้งฉากกัน

$$\int_{0}^{T} \cos m\omega_0 t\,\cos n\omega_0 t\,dt = \begin{cases} 0 & m \ne n \\ T/2 & m = n \ne 0 \\ T & m = n = 0 \end{cases}$$

T3 Sine ⟂ cosine ไซน์ตั้งฉากกับโคไซน์ทุกคู่

$$\int_{0}^{T} \sin m\omega_0 t\,\cos n\omega_0 t\,dt = 0 \quad \text{ทุก } m, n$$

T4 A whole number of cycles averages to zero ไซน์ครบรอบเฉลี่ยเป็นศูนย์

$$\int_{0}^{T} \cos n\omega_0 t\,dt = \int_{0}^{T} \sin n\omega_0 t\,dt = 0,\quad n \ge 1$$

T1–T3 พิสูจน์ได้ด้วยสูตรผลคูณเป็นผลบวก (product-to-sum) แล้วใช้ T4 กับแต่ละพจน์ · ดูตารางเต็มที่ตรีโกณมิติ

ซ้าย: $\sin t \cdot \sin 3t$ พื้นที่บวกกับลบหักกันพอดี อินทิกรัลเป็นศูนย์ · ขวา: $\sin t \cdot \sin t = \sin^2 t$ ไม่เคยติดลบ พื้นที่ตลอดคาบเท่ากับครึ่งหนึ่งของคาบ (T/2)

## สูตรออยเลอร์–ฟูเรียร์: หา a₀ aₙ bₙ พื้นฐาน

สมมติว่า $x(t) = a_0 + \sum_n [a_n \cos n\omega_0 t + b_n \sin n\omega_0 t]$ จริง ถ้าอยากได้ $a_m$ ตัวเดียว ให้คูณทั้งสองข้างด้วย $\cos m\omega_0 t$ แล้วอินทิเกรตตลอดคาบ ทุกพจน์ทางขวาหายหมดตาม T1–T4 ยกเว้นพจน์ $a_m\cos^2 m\omega_0 t$ ซึ่งให้ $a_m T/2$ นี่คือที่มาของ 2/T

T5 Multiply and integrate (projection) คูณด้วยฟังก์ชันฐานแล้วอินทิเกรต

$$\int_{0}^{T} x(t)\cos m\omega_0 t\,dt = a_m \int_0^T \cos^2 m\omega_0 t\,dt = a_m\,\frac{T}{2}$$

เหมือนหาส่วนประกอบของเวกเตอร์: $a_m = \dfrac{\langle x, \cos\rangle}{\langle \cos, \cos\rangle}$ ตัวส่วนคือ “ความยาวกำลังสอง” ของฟังก์ชันฐาน

T6 Euler–Fourier formulas สูตรหาสัมประสิทธิ์

$$a_0 = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)\,dt, \qquad a_n = \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)\cos n\omega_0 t\,dt, \qquad b_n = \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)\sin n\omega_0 t\,dt$$

เลือก $t_0$ อะไรก็ได้ ขอให้ครบหนึ่งคาบ เลือกช่วงที่ทำให้ฟังก์ชันเขียนง่ายที่สุด เช่น $-T/2$ ถึง $T/2$ เมื่อมีสมมาตรรอบ $t = 0$

T7 In terms of angle θ = ω₀t เขียนด้วยมุม (นิยมในอิเล็กทรอนิกส์กำลัง)

$$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} x(\theta)\,d\theta, \qquad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} x(\theta)\cos n\theta\,d\theta, \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} x(\theta)\sin n\theta\,d\theta$$

แทน $\theta = \omega_0 t$, $d\theta = \omega_0\,dt$ ได้ $2/T \cdot dt = d\theta/\pi$ · มุมจุดชนวน α และช่วงนำกระแสของไดโอดอ่านเป็นองศาได้ตรง ๆ

T8 The a₀/2 convention ตำราที่เขียน a₀/2

$$x(t) = \frac{a_0'}{2} + \sum_{n}\big[\cdots\big], \qquad a_0' = \frac{2}{T}\int_T x\,dt = 2a_0$$

ทั้งสองแบบให้อนุกรมเดียวกัน ต่างกันแค่ชื่อ ก่อนใช้สูตรจากตำราใด ตรวจก่อนว่าพจน์ DC เขียนแบบไหน ชุดนี้ใช้ $a_0$ = ค่าเฉลี่ย

## อินทิกรัลและค่าที่ใช้บ่อย พื้นฐาน

รูปคลื่นในงานไฟฟ้าส่วนใหญ่ประกอบด้วยช่วงที่เป็นค่าคงตัว เส้นตรง หรือไซน์ อินทิกรัลจึงวนอยู่แค่ไม่กี่แบบ อินทิกรัลทีละส่วน (by parts) ทบทวนได้ที่หน้าอินทิกรัล

T9 ∫ t cos at dt อินทิกรัลทีละส่วน

$$\int t\cos at\,dt = \frac{t\sin at}{a} + \frac{\cos at}{a^2} + C$$

T10 ∫ t sin at dt อินทิกรัลทีละส่วน

$$\int t\sin at\,dt = -\frac{t\cos at}{a} + \frac{\sin at}{a^2} + C$$

T11 Values at multiples of π (n integer) ค่าที่ใช้แทนตอนท้ายทุกโจทย์

$$\sin n\pi = 0,\qquad \cos n\pi = (-1)^n,\qquad \sin\tfrac{n\pi}{2} = \begin{cases} 0 & n \text{ คู่} \\ (-1)^{(n-1)/2} & n \text{ คี่}\end{cases},\qquad \cos\tfrac{n\pi}{2} = \begin{cases} (-1)^{n/2} & n \text{ คู่} \\ 0 & n \text{ คี่}\end{cases}$$

$1 - \cos n\pi = 1 - (-1)^n$ = 2 เมื่อ n คี่ และ 0 เมื่อ n คู่ ตัวนี้คือที่มาของ “มีแต่ฮาร์มอนิกคี่” ในหลายโจทย์

T12 Product-to-sum for sinusoidal segments ใช้กับช่วงที่เป็นไซน์ (เรียงกระแส ไตรแอก)

$$\sin\theta\cos n\theta = \tfrac12\big[\sin(1+n)\theta + \sin(1-n)\theta\big],\qquad \sin\theta\sin n\theta = \tfrac12\big[\cos(1-n)\theta - \cos(1+n)\theta\big]$$

เมื่อ $n = 1$ พจน์ $(1 - n)\theta$ กลายเป็นค่าคงตัว อินทิเกรตแล้วไม่หารด้วย $1 - n$ ต้องคิดกรณี n = 1 แยกเสมอ

## ขั้นตอน 6 ขั้นที่ใช้ได้ทุกโจทย์ พื้นฐาน

- หาคาบและ $\omega_0$ จากรูป อ่านช่วงที่ซ้ำ ไม่ใช่ช่วงที่เป็นบวก

- เขียน $x(t)$ เป็นช่วง ๆ ในหนึ่งคาบ เลือกช่วงอินทิเกรตที่สะดวก

- ดูสมมาตร (คู่ คี่ ครึ่งคลื่น) แล้วตัดพจน์ที่เป็นศูนย์ทิ้งก่อน ตารางตัดสินใจ

- หา $a_0$ จากพื้นที่ใต้กราฟหารคาบ (มักไม่ต้องอินทิเกรตจริง)

- หา $a_n$, $b_n$ ด้วย T6 หรือ T7 แล้วแทน T11 ให้เหลือรูปที่ขึ้นกับ n ชัดเจน ระวังกรณี n พิเศษ

- ตรวจ: แทนค่า t หนึ่งจุด ใช้พาร์เซวาล และเปิดแล็บสังเคราะห์ ดูวิธีตรวจ

## ตัวอย่างวิธีทำ กลาง

ห้าตัวอย่างนี้ครอบคลุมรูปแบบที่เจอในข้อสอบและงานจริงเกือบทั้งหมด กด “▶ ดูทีละขั้น” เพื่อเปิดทีละบรรทัด หรือเปิดโหมดฝึกทำเพื่อลองทำเองก่อน

ตัวอย่าง T-1 · คลื่นสี่เหลี่ยม

### $x(t) = A$ เมื่อ $0 \lt t \lt T/2$ และ $-A$ เมื่อ $T/2 \lt t \lt T$ หาอนุกรมฟูเรียร์

- $a_0$: พื้นที่บวก $AT/2$ หักพื้นที่ลบ $AT/2$ เป็นศูนย์ → $a_0 = 0$

- $a_n$ T6

$$a_n = \frac{2}{T}\Big[\int_0^{T/2} A\cos n\omega_0 t\,dt - \int_{T/2}^{T} A\cos n\omega_0 t\,dt\Big] = \frac{2A}{T}\Big[\frac{\sin n\omega_0 t}{n\omega_0}\Big|_0^{T/2} - \frac{\sin n\omega_0 t}{n\omega_0}\Big|_{T/2}^{T}\Big] = 0$$
เพราะ $\sin(n\omega_0 T/2) = \sin n\pi = 0$ และ $\sin(n\omega_0 T) = \sin 2n\pi = 0$

- $b_n$: $-\cos$ ที่ปลายแต่ละช่วง แทน $\omega_0 T/2 = \pi$

$$b_n = \frac{2A}{T}\cdot\frac{1}{n\omega_0}\Big[(1 - \cos n\pi) + (\cos 2n\pi - \cos n\pi)\Big] = \frac{2A}{n\pi}\big(1 - \cos n\pi\big)$$

- ใช้ T11: $1 - \cos n\pi = 2$ เมื่อ n คี่ และ 0 เมื่อ n คู่

$$b_n = \begin{cases} \dfrac{4A}{n\pi} & n = 1, 3, 5, \dots \\ 0 & n \text{ คู่} \end{cases}$$

$$x(t) = \frac{4A}{\pi}\Big[\sin\omega_0 t + \tfrac13\sin 3\omega_0 t + \tfrac15\sin 5\omega_0 t + \cdots\Big]$$
ฮาร์มอนิกหลักสูงกว่าตัวคลื่นเอง ($4/\pi = 1.273$ เท่า) ที่เหลือลดลงตาม $1/n$

ตัวอย่าง T-2 · พัลส์ลอจิก 0–5 V ดิวตี้ 25 %

### พัลส์สูง $A = 5$ V ช่วง $0 \lt t \lt DT$ (D = 0.25) และ 0 ในส่วนที่เหลือ หา $a_0$, $a_n$, $b_n$ และแอมพลิจูด $A_1$ ถึง $A_4$

- $a_0 = \dfrac{1}{T}\cdot A \cdot DT = AD = 1.25$ V (ค่าเฉลี่ยที่มัลติมิเตอร์ย่าน DC อ่านได้)

- อินทิเกรตเฉพาะช่วงที่ไม่เป็นศูนย์ ใช้ $\omega_0 DT = 2\pi nD/n$

$$a_n = \frac{2A}{T}\int_0^{DT}\!\cos n\omega_0 t\,dt = \frac{A}{n\pi}\sin 2\pi nD, \qquad b_n = \frac{2A}{T}\int_0^{DT}\!\sin n\omega_0 t\,dt = \frac{A}{n\pi}\big(1 - \cos 2\pi nD\big)$$

- แทน D = 0.25: $2\pi nD = n\pi/2$

| n | $a_n$ | $b_n$ | $A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ |

| 1 | 1.5915 | 1.5915 | 2.2508 |

| 2 | 0 | 1.5915 | 1.5915 |

| 3 | −0.5305 | 0.5305 | 0.7503 |

| 4 | 0 | 0 | 0 |

- รูปลัดจากรูปเชิงซ้อน C7: $A_n = 2AD\,|\mathrm{sinc}(nD)|$ ตรวจ n = 1: $2.5 \times \dfrac{\sin(\pi/4)}{\pi/4} = 2.5 \times 0.9003 = 2.2508$ ✓

$a_0 = 1.25$ V, $A_1 = 2.25$ V, $A_2 = 1.59$ V, $A_3 = 0.75$ V, $A_4 = 0$ · ฮาร์มอนิกที่ 4, 8, 12 หายไปเพราะ $nD$ เป็นจำนวนเต็ม (ศูนย์ของ sinc)

ลองในแล็บท้ายหน้า: ตั้งพัลส์ D = 25 % แอมพลิจูด 5 อ่านตารางในแผงวิธีคิด ✓

ตัวอย่าง T-3 · ฟันเลื่อย (by parts)

### $x(t) = \dfrac{2A}{T}\,t$ เมื่อ $-T/2 \lt t \lt T/2$ ซ้ำทุกคาบ หาอนุกรมฟูเรียร์

- อินทิเกรตช่วงสมมาตร $-T/2$ ถึง $T/2$: $x$ เป็นฟังก์ชันคี่ → $a_0 = a_n = 0$ (ผลคูณกับโคไซน์เป็นฟังก์ชันคี่ พื้นที่หักกันหมด) S2

- $t\sin n\omega_0 t$ เป็นฟังก์ชันคู่ จึงอินทิเกรตครึ่งช่วงแล้วคูณสอง ใช้ T10 กับ $a = n\omega_0$

$$\int_{-T/2}^{T/2} t\sin n\omega_0 t\,dt = 2\Big[-\frac{t\cos n\omega_0 t}{n\omega_0} + \frac{\sin n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2}\Big]_0^{T/2} = -\frac{T\cos n\pi}{n\omega_0} = -\frac{T^2(-1)^n}{2\pi n}$$

- คูณด้วย $\dfrac{2}{T}\cdot\dfrac{2A}{T}$

$$b_n = \frac{4A}{T^2}\cdot\Big(-\frac{T^2(-1)^n}{2\pi n}\Big) = \frac{2A}{n\pi}(-1)^{n+1}$$

$$x(t) = \frac{2A}{\pi}\Big[\sin\omega_0 t - \tfrac12\sin 2\omega_0 t + \tfrac13\sin 3\omega_0 t - \cdots\Big]$$
มีครบทั้งฮาร์มอนิกคู่และคี่ เพราะฟันเลื่อยไม่มีสมมาตรครึ่งคลื่น

ตัวอย่าง T-4 · เรียงกระแสครึ่งคลื่นจากไฟ 230 V

### ไดโอดตัวเดียวต่อกับโหลดตัวต้านทาน แรงดันโหลด $v(\theta) = V_m\sin\theta$ เมื่อ $0 \lt \theta \lt \pi$ และ 0 ในครึ่งหลัง $V_m = 230\sqrt2 = 325.3$ V หา DC ฮาร์มอนิกหลัก และฮาร์มอนิกที่ 2, 4, 6

- ใช้รูปมุม T7 $a_0 = \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} V_m\sin\theta\,d\theta = \dfrac{V_m}{2\pi}\big[-\cos\theta\big]_0^{\pi} = \dfrac{V_m}{\pi} = 103.5$ V

- $a_n$ ใช้ T12 (n ≠ 1)

$$a_n = \frac{V_m}{2\pi}\int_0^{\pi}\big[\sin(1+n)\theta + \sin(1-n)\theta\big]d\theta = \frac{V_m}{2\pi}\Big[\frac{1 - \cos(1+n)\pi}{1+n} + \frac{1 - \cos(1-n)\pi}{1-n}\Big]$$

- n คู่: $\cos(1\pm n)\pi = -1$ → $a_n = \dfrac{V_m}{2\pi}\Big[\dfrac{2}{1+n} + \dfrac{2}{1-n}\Big] = -\dfrac{2V_m}{\pi(n^2 - 1)}$ · n คี่ (n ≥ 3): $\cos(1\pm n)\pi = 1$ → $a_n = 0$

- $b_n$ (n ≠ 1) มีแต่ $\sin(1\pm n)\pi = 0$ จึงเป็นศูนย์หมด

- กรณี n = 1 คิดแยก: $a_1 = \dfrac{V_m}{\pi}\int_0^{\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = 0$ และ $b_1 = \dfrac{V_m}{\pi}\int_0^{\pi}\sin^2\theta\,d\theta = \dfrac{V_m}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{V_m}{2} = 162.6$ V

- แทนค่า: $a_2 = -\dfrac{2(325.3)}{3\pi} = -69.0$ V · $a_4 = -\dfrac{2(325.3)}{15\pi} = -13.8$ V · $a_6 = -\dfrac{2(325.3)}{35\pi} = -5.92$ V

$v = 103.5 + 162.6\sin\theta - 69.0\cos 2\theta - 13.8\cos 4\theta - 5.92\cos 6\theta - \cdots$ V · มี DC ฮาร์มอนิกหลัก และฮาร์มอนิกคู่ ไม่มีคี่ตั้งแต่ 3 ขึ้นไป · ถ้าเป็นกระแสในสายไฟ ส่วน DC จะไหลเข้าหม้อแปลงและทำให้แกนอิ่มตัว

ตรวจด้วยพาร์เซวาล: $103.5^2 + \tfrac12(162.6^2 + 69.0^2 + 13.8^2 + 5.92^2) = 26{,}440$ เทียบ $V_{rms}^2 = (V_m/2)^2 = 26{,}450$ ต่างกันเพียง 0.04 % ซึ่งอยู่ในฮาร์มอนิกที่ 8 ขึ้นไป ✓

ตัวอย่าง T-5 · ไม่มีสมมาตร

### แรมป์ 0 ถึง $A = 10$ V: $x(t) = At/T$ เมื่อ $0 \lt t \lt T$ แล้วกลับเป็น 0 (เช่นแรงดันกวาดของสโคปแอนะล็อก) หาอนุกรม

- $a_0 = \dfrac{1}{T}\cdot\dfrac{AT}{2} = \dfrac{A}{2} = 5$ V (พื้นที่สามเหลี่ยม)

- $a_n$ ใช้ T9

$$a_n = \frac{2A}{T^2}\Big[\frac{t\sin n\omega_0 t}{n\omega_0} + \frac{\cos n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2}\Big]_0^{T} = \frac{2A}{T^2}\Big[0 + \frac{1 - 1}{(n\omega_0)^2}\Big] = 0$$

- $b_n$ ใช้ T10

$$b_n = \frac{2A}{T^2}\Big[-\frac{t\cos n\omega_0 t}{n\omega_0} + \frac{\sin n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2}\Big]_0^{T} = \frac{2A}{T^2}\cdot\Big(-\frac{T}{n\omega_0}\Big) = -\frac{A}{n\pi}$$

$x(t) = 5 - \dfrac{10}{\pi}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n\omega_0 t}{n}$ V · $b_1 = -3.18$ V · ถ้าย้ายแกนลง 5 V จะเหลือฟันเลื่อยคี่ของ T-3 ที่เลื่อนครึ่งคาบ อนุกรมจึงต่างแค่เครื่องหมาย

## ตรวจคำตอบด้วยตัวเอง กลาง

T13 Value at a jump ที่รอยกระโดด อนุกรมให้ค่ากึ่งกลาง

$$\lim_{N\to\infty} x_N(t_0) = \frac{x(t_0^-) + x(t_0^+)}{2}$$

T-5 ที่ $t = 0$: ทุก $\sin$ เป็นศูนย์ เหลือ $a_0 = A/2$ ซึ่งคือกึ่งกลางของ 0 กับ A พอดี ✓

T14 Check by evaluating a point แทนค่าจุดที่รู้คำตอบ

$$x\!\left(\tfrac{T}{4}\right) = A = \frac{4A}{\pi}\Big(1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots\Big) \;\Rightarrow\; \frac{\pi}{4} = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots$$

ได้อนุกรมไลบ์นิซของ π เป็นผลพลอยได้ ใช้ยืนยันว่า $4A/\pi$ ถูกต้อง

- DC ด้วยตา: $a_0$ ต้องเท่ากับเส้นที่แบ่งพื้นที่บนล่างเท่ากัน

- เครื่องหมาย: ถ้ารูปคลื่นเริ่มขึ้นจากศูนย์ ตัวไซน์ของฮาร์มอนิกหลักควรเป็นบวก

- พาร์เซวาล: $a_0^2 + \tfrac12\sum A_n^2$ ต้องเข้าใกล้ RMS² P5

- แล็บ: ใส่สูตรของคุณเองในโหมด “พิมพ์สมการเอง” แล้วเทียบตาราง

## ข้อผิดพลาดที่เจอบ่อยที่สุด พื้นฐาน

| ผิดอย่างไร | อาการ | แก้ |

| ใช้ 2/T กับ $a_0$ | DC ออกมาสองเท่า | $a_0$ ใช้ 1/T เสมอในชุดนี้ T8 |

| อินทิเกรตไม่ครบคาบ | ได้พจน์ที่ควรเป็นศูนย์ | ขีดเส้นคาบบนกราฟก่อน |

| ลืมกรณี n พิเศษ | หารด้วยศูนย์ ($1 - n^2$) | คิด n = 1 แยก T12 |

| แทน $\omega_0 T = \pi$ | ค่าผิดไปเท่าตัว | $\omega_0 T = 2\pi$, $\omega_0 T/2 = \pi$ |

| ใช้องศาในสูตรที่หาร $n\omega_0$ | ตัวเลขไม่เข้าท่า | อินทิกรัลต้องเป็นเรเดียน |

| เขียน $\cos n\pi = 1$ ตลอด | ได้ศูนย์ทุกตัว | $\cos n\pi = (-1)^n$ T11 |

| สับสน $A_n$ (ค่ายอด) กับค่า RMS | กำลังผิดไป 2 เท่า | RMS ของฮาร์มอนิก = $A_n/\sqrt2$ |

## แล็บ: ดูวิธีคิดทีละขั้นของทุกรูปคลื่น พื้นฐาน

เลือกรูปคลื่นแล้วเปิดแผง “วิธีคิดทีละขั้น” เครื่องจะบอกสมมาตรที่เห็น สูตรที่ได้หลังอินทิเกรต และตาราง $a_n$ $b_n$ $A_n$ ที่แทนค่าแล้ว ลองทำด้วยมือก่อนแล้วค่อยเทียบ หรือพิมพ์สมการของคุณเองในตัวเลือกสุดท้าย

## คำถามที่พบบ่อย

สูตรหา a0 an bn ของอนุกรมฟูเรียร์คืออะไร?
$a_0 = \frac1T\int_0^T x\,dt$ (ค่าเฉลี่ย), $a_n = \frac2T\int_0^T x\cos(n\omega_0 t)\,dt$ และ $b_n = \frac2T\int_0^T x\sin(n\omega_0 t)\,dt$ อินทิเกรตตลอดหนึ่งคาบใดก็ได้ เช่น $-T/2$ ถึง $T/2$

ทำไม a0 ใช้ 1/T แต่ an ใช้ 2/T?
เพราะ $\int_0^T 1\,dt = T$ แต่ $\int_0^T \cos^2(n\omega_0 t)\,dt = T/2$ เมื่อหารด้วยกำลังของฟังก์ชันฐานแต่ละตัวจึงได้ 1/T กับ 2/T ถ้าตำราเขียนอนุกรมเป็น $a_0/2 + \sum$ ก็จะใช้ 2/T กับ $a_0$ ได้ แต่ $a_0$ นั้นจะเป็นสองเท่าของค่าเฉลี่ย

ทำไมไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่นต้องคิด n = 1 แยก?
สูตรทั่วไปของ $a_n$ มีตัวหาร $1 - n^2$ ซึ่งเป็นศูนย์เมื่อ n = 1 เพราะการใช้สูตรผลคูณเป็นผลบวกให้พจน์ $\sin((1-n)\theta)$ ที่กลายเป็น $\sin 0$ ต้องอินทิเกรตกรณี n = 1 ใหม่ ได้ $a_1 = 0$ และ $b_1 = V_m/2$

ตรวจคำตอบอนุกรมฟูเรียร์อย่างไร?
ตรวจ 4 อย่าง: a0 ตรงกับค่าเฉลี่ยที่ดูด้วยตา ค่าของอนุกรมที่จุดใดจุดหนึ่ง (ที่รอยกระโดดได้ค่ากึ่งกลาง) ทฤษฎีบทพาร์เซวาลว่าผลรวมกำลังเท่ากับ RMS² และเปิดแล็บสังเคราะห์ดูว่ารูปออกมาตรง

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**สูตรหา a0 an bn ของอนุกรมฟูเรียร์คืออะไร?**
$a_0 = \frac1T\int_0^T x\,dt$ (ค่าเฉลี่ย), $a_n = \frac2T\int_0^T x\cos(n\omega_0 t)\,dt$ และ $b_n = \frac2T\int_0^T x\sin(n\omega_0 t)\,dt$ อินทิเกรตตลอดหนึ่งคาบใดก็ได้ เช่น $-T/2$ ถึง $T/2$

**ทำไม a0 ใช้ 1/T แต่ an ใช้ 2/T?**
เพราะ $\int_0^T 1\,dt = T$ แต่ $\int_0^T \cos^2(n\omega_0 t)\,dt = T/2$ เมื่อหารด้วยกำลังของฟังก์ชันฐานแต่ละตัวจึงได้ 1/T กับ 2/T ถ้าตำราเขียนอนุกรมเป็น $a_0/2 + \sum$ ก็จะใช้ 2/T กับ $a_0$ ได้ แต่ $a_0$ นั้นจะเป็นสองเท่าของค่าเฉลี่ย

**ทำไมไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่นต้องคิด n = 1 แยก?**
สูตรทั่วไปของ $a_n$ มีตัวหาร $1 - n^2$ ซึ่งเป็นศูนย์เมื่อ n = 1 เพราะการใช้สูตรผลคูณเป็นผลบวกให้พจน์ $\sin((1-n)\theta)$ ที่กลายเป็น $\sin 0$ ต้องอินทิเกรตกรณี n = 1 ใหม่ ได้ $a_1 = 0$ และ $b_1 = V_m/2$

**ตรวจคำตอบอนุกรมฟูเรียร์อย่างไร?**
ตรวจ 4 อย่าง: a0 ตรงกับค่าเฉลี่ยที่ดูด้วยตา ค่าของอนุกรมที่จุดใดจุดหนึ่ง (ที่รอยกระโดดได้ค่ากึ่งกลาง) ทฤษฎีบทพาร์เซวาลว่าผลรวมกำลังเท่ากับ RMS² และเปิดแล็บสังเคราะห์ดูว่ารูปออกมาตรง

---

# รูปเชิงซ้อน สเปกตรัมขนาด–เฟส และสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/complex-spectrum/
Updated: 2026-10-12
Summary: อนุกรมฟูเรียร์รูปเชิงซ้อน (exponential Fourier series) จากสูตรออยเลอร์: cn = (an − jbn)/2 รูปแอมพลิจูด–เฟส สเปกตรัมด้านเดียวและสองด้าน ค่า RMS ของแต่ละฮาร์มอนิก พัลส์ดิวตี้ D กับเอนเวโลป sinc ศูนย์ของสเปกตรัม สมบัติการเลื่อนเวลา อนุพันธ์ ปริพันธ์ ออปแอมป์อินทิเกรเตอร์ และเฟเซอร์ของแต่ละฮาร์มอนิกสำหรับวิเคราะห์วงจร

// บทที่ 14.4 · อนุกรมฟูเรียร์ · Complex Form & Spectrum

# รูปเชิงซ้อน สเปกตรัมขนาด–เฟส และสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์

สามสูตรของ $a_0$, $a_n$, $b_n$ รวมเป็นสูตรเดียวได้ด้วยเลขชี้กำลังเชิงซ้อน รูปนี้คือภาษาของ FFT การแปลงฟูเรียร์ และการวิเคราะห์วงจรด้วยเฟเซอร์ เมื่อเข้าใจแล้วจะอ่านสเปกตรัมบนจอเครื่องวัดได้ถูก และใช้สมบัติไม่กี่ข้อหาอนุกรมของรูปใหม่ได้โดยไม่ต้องอินทิเกรต

สรุปใน 30 วินาที

- $x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega_0 t}$, $c_n = \frac{1}{T}\int_T x(t)e^{-jn\omega_0 t}dt$

- $c_n = \tfrac12(a_n - jb_n)$, $c_{-n} = c_n^*$, $A_n = 2|c_n|$, $\varphi_n = \angle c_n$

- พัลส์ดิวตี้ D: $|c_n| = AD|\mathrm{sinc}(nD)|$ ศูนย์ที่ $n = k/D$

- เลื่อน $t_0$: คูณ $e^{-jn\omega_0t_0}$ · อนุพันธ์: คูณ $jn\omega_0$ · ปริพันธ์: หาร $jn\omega_0$

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## จากสูตรออยเลอร์สู่อนุกรมเชิงซ้อน กลาง

โคไซน์หนึ่งตัวคือเฟเซอร์สองตัวหมุนสวนกัน ตัวหนึ่งที่ความถี่ $+\omega$ อีกตัวที่ $-\omega$ ส่วนจินตภาพหักกันพอดีเหลือค่าจริง เมื่อเขียนทุกฮาร์มอนิกแบบนี้ อนุกรมทั้งก้อนกลายเป็นผลรวมของเลขชี้กำลังเพียงชนิดเดียว ทบทวนสูตรออยเลอร์ที่หน้าตรีโกณมิติ

C1 Euler's formula สูตรออยเลอร์

$$e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta, \quad \cos\theta = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}$$

C2 Complex (exponential) Fourier series อนุกรมฟูเรียร์รูปเชิงซ้อน

$$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\, e^{jn\omega_0 t}, \qquad c_n = \frac{1}{T}\int_{T} x(t)\, e^{-jn\omega_0 t}\, dt$$

สูตรเดียวใช้ได้ทุก n รวมทั้ง n = 0 ($c_0$ คือค่าเฉลี่ย) และ n ติดลบ ไม่ต้องแยก 1/T กับ 2/T

## ความสัมพันธ์ระหว่าง cₙ, aₙ, bₙ, Aₙ และ φₙ กลาง

C3 Amplitude–phase (cosine) form รูปแอมพลิจูด–เฟส

$$a_n\cos n\omega_0 t + b_n\sin n\omega_0 t = A_n\cos(n\omega_0 t + \varphi_n), \qquad A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}, \quad \varphi_n = \operatorname{atan2}(-b_n,\, a_n)$$

ใช้ atan2 (ดูเครื่องหมายทั้งสองตัว) ไม่ใช่ $\tan^{-1}(b/a)$ ธรรมดา ซึ่งผิดในจตุภาคที่ 2 และ 3 · ตัวอย่าง $b_n$ บวก $a_n = 0$ → $\varphi_n = -90^\circ$ คือ $\cos(\cdot - 90^\circ) = \sin(\cdot)$

C4 cₙ from aₙ, bₙ แปลงไปมา

$$c_0 = a_0,\quad c_n = \frac{a_n - jb_n}{2},\quad c_{-n} = c_n^*,\quad |c_n| = \frac{A_n}{2},\quad \angle c_n = \varphi_n$$

ย้อนกลับ: $a_n = 2\,\mathrm{Re}\,c_n$, $b_n = -2\,\mathrm{Im}\,c_n$

C5 Sine-referenced form รูปอ้างอิงไซน์ (นิยมในไฟฟ้ากำลัง)

$$A_n\sin(n\omega_0 t + \psi_n), \qquad \psi_n = \operatorname{atan2}(a_n,\, b_n) = \varphi_n + 90^\circ$$

เมื่อแรงดันเขียนเป็น $V_m\sin\omega t$ มุม $\psi_1$ ของกระแสคือมุมเฟสที่ใช้คำนวณ DPF โดยตรง

## สเปกตรัมขนาดและเฟส: ด้านเดียวกับสองด้าน กลาง

ตำราคณิตศาสตร์และการแปลงฟูเรียร์วาด $|c_n|$ ทั้งความถี่บวกและลบ (สมมาตรกัน) เครื่องวัดจริงแสดงด้านเดียว และส่วนใหญ่แสดงเป็นค่า RMS หรือ dB ต้องรู้ว่าจอแสดงแบบไหนก่อนอ่านตัวเลข

C6 Reading a spectrum อ่านสเปกตรัมให้ถูกชนิด

$$\text{สองด้าน: } |c_n| \qquad \text{ด้านเดียว (ค่ายอด): } A_n = 2|c_n| \qquad \text{ด้านเดียว (RMS): } \frac{A_n}{\sqrt2} = \sqrt2\,|c_n| \qquad L_n = 20\log_{10}\frac{A_n/\sqrt2}{1\ \text{V}}\ \text{dBV}$$

FFT บนออสซิลโลสโคปแสดงด้านเดียว หน่วย dBV (RMS) เครื่องวิเคราะห์กำลังแสดงด้านเดียวเป็น A หรือ V RMS หรือ % ของฮาร์มอนิกหลัก วิธีอ่าน FFT บนสโคป

คลื่นสี่เหลี่ยม ±1: สเปกตรัมสองด้าน $|c_n|$ (บน) แบ่งพลังงานครึ่งหนึ่งไปไว้ที่ความถี่ลบ สเปกตรัมด้านเดียว $A_n$ (ล่าง) คือสิ่งที่เครื่องวัดแสดง สูงเป็นสองเท่า

## พัลส์และเอนเวโลป sinc: ดิวตี้กำหนดรูปสเปกตรัม กลาง

พัลส์สี่เหลี่ยมเป็นรูปคลื่นที่สำคัญที่สุดในอิเล็กทรอนิกส์กำลังและดิจิทัล ทั้ง PWM นาฬิกาลอจิก และแรงดันโหนดสวิตช์ของบั๊กคอนเวอร์เตอร์ รูปเชิงซ้อนให้คำตอบในบรรทัดเดียว

C7 Pulse train: sinc envelope พัลส์สูง A ดิวตี้ D เริ่มที่ t = 0

$$c_n = \frac{1}{T}\int_0^{DT} A e^{-jn\omega_0 t}dt = AD\,\mathrm{sinc}(nD)\,e^{-j\pi nD}, \qquad \mathrm{sinc}(u) = \frac{\sin \pi u}{\pi u}, \qquad A_n = 2AD\,|\mathrm{sinc}(nD)|$$

เส้นสเปกตรัมห่างกัน $f_0 = 1/T$ แต่รูปเอนเวโลปขึ้นกับความกว้างพัลส์ $\tau = DT$ เท่านั้น ศูนย์แรกที่ $f = 1/\tau$ พัลส์ยิ่งแคบ สเปกตรัมยิ่งกว้างและแบน

แอมพลิจูดของพัลส์ D = 0.25 (บน) และ D = 0.1 (ล่าง) เส้นประคือเอนเวโลป $2AD|\mathrm{sinc}(f\tau)|$ แท่งที่ n = 4, 8 (บน) และ n = 10, 20 (ล่าง) หายไปเพราะตกที่ศูนย์ของ sinc

ตัวอย่าง C-1 · สเปกตรัมของ PWM

### สัญญาณ PWM 0–5 V ความถี่ 20 kHz ดิวตี้ 20 % หา DC แอมพลิจูดและมุมเฟสของฮาร์มอนิก 1–4 และบอกว่าความถี่ใดไม่มีพลังงาน

- $c_0 = AD = 1.00$ V (ถ้าต่อ RC กรองจะได้ DC 1 V)

- C7: $A_n = 2(5)(0.2)\,|\mathrm{sinc}(0.2n)|$, มุม $\varphi_n = -\pi nD = -36^\circ n$ (ตราบที่ sinc ยังเป็นบวก)

| n | ความถี่ | sinc(0.2n) | $A_n$ (V ยอด) | $\varphi_n$ |

| 1 | 20 kHz | 0.9355 | 1.871 | −36° |

| 2 | 40 kHz | 0.7568 | 1.514 | −72° |

| 3 | 60 kHz | 0.5046 | 1.009 | −108° |

| 4 | 80 kHz | 0.2339 | 0.468 | −144° |

- ศูนย์ของ sinc ที่ $nD = 1, 2, \dots$ → n = 5, 10, 15 คือ 100, 200, 300 kHz

DC 1 V · ฮาร์มอนิก 1.87, 1.51, 1.01, 0.47 V ที่ 20–80 kHz · ไม่มีพลังงานที่ 100, 200, 300 kHz · ถ้าใช้ PWM ขับมอเตอร์หรือ LED ฮาร์มอนิกพวกนี้คือเสียงหวีดและสัญญาณรบกวน

ตรวจในแล็บ: “พัลส์ 0 ถึง A” A = 5, D = 20 % ✓

## สมบัติที่ใช้แก้โจทย์โดยไม่ต้องอินทิเกรต ขั้นสูง

ถ้า $x(t)$ มีสัมประสิทธิ์ $c_n$ แล้ว รูปที่ได้จากการบวก เลื่อน ดิฟ หรืออินทิเกรต $x(t)$ ก็มีสัมประสิทธิ์ที่หาได้ทันที

C8 Linearity ความเป็นเชิงเส้น

$$\alpha x(t) + \beta y(t) \;\leftrightarrow\; \alpha c_n + \beta d_n$$

รูปซับซ้อน = ผลรวมของรูปในตาราง สัมประสิทธิ์ก็บวกกันได้ตรง ๆ

C9 Time shift เลื่อนเวลา

$$x(t - t_0) \;\leftrightarrow\; c_n\,e^{-jn\omega_0 t_0}$$

ขนาดคงเดิม เฟสลดลง $n\omega_0 t_0$ (ใน S6 คือข้อนี้)

C10 Differentiation อนุพันธ์

$$\frac{dx}{dt} \;\leftrightarrow\; jn\omega_0\, c_n$$

ฮาร์มอนิกสูงถูกขยาย n เท่า ดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์จึงขยายนอยส์ และขอบคมของสัญญาณให้สเปกตรัมกว้าง

C11 Integration (zero-mean x) ปริพันธ์

$$\int x\,dt \;\leftrightarrow\; \frac{c_n}{jn\omega_0},\quad n \ne 0$$

ต้องให้ $c_0 = 0$ ก่อน ไม่อย่างนั้นอินทิกรัลโตไม่จำกัด (ไม่เป็นคาบ) ค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์กำหนดจากเงื่อนไขเริ่มต้นแยกต่างหาก

C12 Multiplication & modulation การคูณสัญญาณ

$$x(t)\,e^{jm\omega_0 t} \;\leftrightarrow\; c_{n-m}, \qquad x(t)\,y(t) \;\leftrightarrow\; \sum_{k} c_k\, d_{n-k}$$

คูณกับไซน์ = เลื่อนสเปกตรัมไปทั้งสองข้าง (เกิดไซด์แบนด์) อธิบายฮาร์มอนิกรอบความถี่สวิตชิ่งของ PWM และวงจรชอปเปอร์ V6

ตัวอย่าง C-2 · ออปแอมป์อินทิเกรเตอร์ทำสี่เหลี่ยมให้เป็นสามเหลี่ยม

### ป้อนสี่เหลี่ยม ±5 V 1 kHz เข้าอินทิเกรเตอร์ $v_o = -\frac{1}{RC}\int v_{in}dt$ ที่ $RC = 1$ ms หาแอมพลิจูดฮาร์มอนิกหลักของขาออก และเทียบกับค่ายอดของสามเหลี่ยม

- สี่เหลี่ยม: $A_1 = \frac{4(5)}{\pi} = 6.366$ V W1

- C11: แต่ละฮาร์มอนิกหารด้วย $n\omega_0 RC$ และเลื่อนเฟส (เครื่องหมายลบกับ $1/j$)

$$A_{1,out} = \frac{6.366}{(2\pi \cdot 1000)(0.001)} = \frac{6.366}{6.283} = 1.013\ \text{V}$$

- ในโดเมนเวลา: ครึ่งคาบ 0.5 ms ขาออกเปลี่ยน $\frac{1}{RC}(5)(0.5\text{ ms}) = 2.5$ V ยอดถึงยอด → สามเหลี่ยมยอด 1.25 V ซึ่งมีฮาร์มอนิกหลัก $\frac{8(1.25)}{\pi^2} = 1.013$ V ✓

ฮาร์มอนิกที่ n ของขาออกลดลงตาม $1/n^2$ (สี่เหลี่ยม 1/n หารด้วย n อีกครั้ง) ได้สามเหลี่ยมยอด 1.25 V ทดลองจริงได้ที่ แล็บออปแอมป์อินทิเกรเตอร์

ตัวอย่าง C-3 · ขบวนอิมพัลส์

### หาอนุกรมฟูเรียร์ของ $\delta_T(t) = \sum_k \delta(t - kT)$

- C2 อินทิเกรตช่วง $-T/2$ ถึง $T/2$ มีอิมพัลส์ตัวเดียวที่ t = 0: $c_n = \frac1T\int \delta(t)e^{-jn\omega_0 t}dt = \frac1T$

$\delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_n e^{jn\omega_0 t}$ ทุกฮาร์มอนิกเท่ากันหมด สเปกตรัมแบนราบ ข้อนี้คือหัวใจของการสุ่มสัญญาณ (sampling) และที่มาของอเลียสซิง 12.13

## เฟเซอร์ของแต่ละฮาร์มอนิก: สะพานสู่การวิเคราะห์วงจร กลาง

วงจร AC ที่เรียนมาใช้เฟเซอร์ที่ความถี่เดียว อนุกรมฟูเรียร์ทำให้สัญญาณที่ไม่ใช่ไซน์กลายเป็นปัญหาเฟเซอร์หลายปัญหา ความถี่ละหนึ่งปัญหา แต่ละปัญหาแก้ด้วยอิมพีแดนซ์ที่ความถี่นั้นแล้วนำมารวมกัน

C13 Harmonic phasor เฟเซอร์ของฮาร์มอนิกที่ n

$$x_n(t) = \mathrm{Re}\{\mathbf{X}_n e^{jn\omega_0 t}\},\qquad \mathbf{X}_n = a_n - jb_n = 2c_n = A_n\angle\varphi_n \;(\text{ยอด}),\qquad \mathbf{X}_{n,rms} = \mathbf{X}_n/\sqrt2$$

แล็บในชุดนี้ใช้นิยามนี้ทุกที่ ตัวอย่างการใช้ A2: $\mathbf{Y}_n = H(jn\omega_0)\mathbf{X}_n$

## แล็บ: ดูสเปกตรัมขนาดและเฟส พื้นฐาน

สลับปุ่มเหนือกราฟสเปกตรัมระหว่าง “แอมพลิจูด” “dB” และ “เฟส” เลื่อนดิวตี้ของพัลส์แล้วดูศูนย์ของ sinc ขยับ ลองพัลส์ 10 % ในโหมด dB จะเห็นเอนเวโลปชัดเจน

## คำถามที่พบบ่อย

cn กับ an bn สัมพันธ์กันอย่างไร?
$c_0 = a_0$, $c_n = (a_n - jb_n)/2$ และ $c_{-n} = c_n^*$ สำหรับสัญญาณจริง ขนาด $|c_n| = A_n/2$ แอมพลิจูดของไซน์ที่ความถี่ $nf_0$ จึงเท่ากับ $2|c_n|$ เพราะมาจากสองเส้นคือ $+nf_0$ และ $-nf_0$

สเปกตรัมสองด้านมีความถี่ติดลบได้อย่างไร?
ความถี่ติดลบเป็นเรื่องทางคณิตศาสตร์ ไซน์จริงหนึ่งตัวเขียนเป็นผลรวมของเฟเซอร์หมุนทวนเข็ม $e^{j\omega t}$ กับตามเข็ม $e^{-j\omega t}$ อย่างละครึ่ง เครื่องวัดและสโคปแสดงสเปกตรัมด้านเดียว (เฉพาะความถี่บวก) ซึ่งเท่ากับสองเท่าของสองด้าน

ทำไมพัลส์ดิวตี้ 20 % ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 5?
สเปกตรัมของพัลส์มีเอนเวโลป $\mathrm{sinc}(nD)$ ซึ่งเป็นศูนย์เมื่อ $nD$ เป็นจำนวนเต็ม D = 0.2 จึงไม่มีฮาร์มอนิกที่ 5, 10, 15 ทั่วไปฮาร์มอนิกที่ $k/D$ หายไป

สมบัติอนุพันธ์ของอนุกรมฟูเรียร์ใช้ทำอะไร?
อนุพันธ์คูณสัมประสิทธิ์ด้วย $jn\omega_0$ ปริพันธ์หารด้วย $jn\omega_0$ จึงหาอนุกรมของสามเหลี่ยมจากสี่เหลี่ยมได้ทันที และอธิบายว่าทำไมอินทิเกรเตอร์ทำให้ฮาร์มอนิกสูงลดลง (ขอบมน) ส่วนดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์ขยายฮาร์มอนิกสูง (ขยายนอยส์)

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**cn กับ an bn สัมพันธ์กันอย่างไร?**
$c_0 = a_0$, $c_n = (a_n - jb_n)/2$ และ $c_{-n} = c_n^*$ สำหรับสัญญาณจริง ขนาด $|c_n| = A_n/2$ แอมพลิจูดของไซน์ที่ความถี่ $nf_0$ จึงเท่ากับ $2|c_n|$ เพราะมาจากสองเส้นคือ $+nf_0$ และ $-nf_0$

**สเปกตรัมสองด้านมีความถี่ติดลบได้อย่างไร?**
ความถี่ติดลบเป็นเรื่องทางคณิตศาสตร์ ไซน์จริงหนึ่งตัวเขียนเป็นผลรวมของเฟเซอร์หมุนทวนเข็ม $e^{j\omega t}$ กับตามเข็ม $e^{-j\omega t}$ อย่างละครึ่ง เครื่องวัดและสโคปแสดงสเปกตรัมด้านเดียว (เฉพาะความถี่บวก) ซึ่งเท่ากับสองเท่าของสองด้าน

**ทำไมพัลส์ดิวตี้ 20 % ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 5?**
สเปกตรัมของพัลส์มีเอนเวโลป $\mathrm{sinc}(nD)$ ซึ่งเป็นศูนย์เมื่อ $nD$ เป็นจำนวนเต็ม D = 0.2 จึงไม่มีฮาร์มอนิกที่ 5, 10, 15 ทั่วไปฮาร์มอนิกที่ $k/D$ หายไป

**สมบัติอนุพันธ์ของอนุกรมฟูเรียร์ใช้ทำอะไร?**
อนุพันธ์คูณสัมประสิทธิ์ด้วย $jn\omega_0$ ปริพันธ์หารด้วย $jn\omega_0$ จึงหาอนุกรมของสามเหลี่ยมจากสี่เหลี่ยมได้ทันที และอธิบายว่าทำไมอินทิเกรเตอร์ทำให้ฮาร์มอนิกสูงลดลง (ขอบมน) ส่วนดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์ขยายฮาร์มอนิกสูง (ขยายนอยส์)

---

# การลู่เข้า ปรากฏการณ์กิบส์ ทฤษฎีบทพาร์เซวาล และอัตราลดของฮาร์มอนิก

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/convergence-parseval/
Updated: 2026-10-12
Summary: อนุกรมฟูเรียร์ลู่เข้าเมื่อใด: เงื่อนไขดีริชเลต์ ค่าที่จุดกระโดด ปรากฏการณ์กิบส์ (Gibbs) ที่พุ่งเกิน 8.95 % เสมอ ตัวคูณซิกมาของแลนโซส ทฤษฎีบทพาร์เซวาล (Parseval) ใช้หาค่า RMS และ THD จากฮาร์มอนิก กำลังที่อยู่ในฮาร์มอนิกหลัก ความเรียบกับอัตราลด 1/n 1/n² 1/n³ การอินทิเกรตทีละพจน์ และควรรวมกี่ฮาร์มอนิกในงานจริง

// บทที่ 14.5 · อนุกรมฟูเรียร์ · Convergence, Gibbs & Parseval

# การลู่เข้า ปรากฏการณ์กิบส์ ทฤษฎีบทพาร์เซวาล และอัตราลดของฮาร์มอนิก

อนุกรมฟูเรียร์เป็นผลรวมไม่รู้จบ แต่งานจริงรวมได้แค่จำนวนจำกัด หน้านี้ตอบว่ารวมแค่ N ตัวแล้วผิดไปเท่าไร ตรงไหนผิดมากที่สุด และพลังงานกระจายอยู่ในฮาร์มอนิกอย่างไร คำตอบสุดท้ายคือทฤษฎีบทพาร์เซวาล ซึ่งเป็นฐานของนิยาม RMS และ THD ที่เครื่องวัดทุกเครื่องใช้

สรุปใน 30 วินาที

- ที่รอยกระโดด อนุกรมให้ค่ากึ่งกลาง ใกล้ ๆ รอยกระโดดพุ่งเกิน 8.95 % ของขนาดกระโดดเสมอ (กิบส์)

- พาร์เซวาล: $X_{rms}^2 = a_0^2 + \sum A_n^2/2$ → $X_{rms} = \sqrt{X_0^2 + X_1^2 + X_2^2 + \cdots}$ (ใช้ RMS ของแต่ละตัว)

- THD = $\sqrt{X_{rms}^2 - X_0^2 - X_1^2}\,/\,X_1$ · สี่เหลี่ยม 48.3 % สามเหลี่ยม 12.1 %

- มีรอยกระโดด → ลดตาม 1/n · มุมหัก → 1/n² · อนุพันธ์ต่อเนื่อง → 1/n³

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## อนุกรมลู่เข้าเมื่อไร: เงื่อนไขของดีริชเลต์ กลาง

P1 Dirichlet conditions เงื่อนไขของดีริชเลต์

$$\int_T |x(t)|\,dt \lt \infty,\quad \text{ในหนึ่งคาบมีจุดสูงสุด/ต่ำสุดจำกัด และรอยกระโดดจำกัด (แต่ละรอยมีขนาดจำกัด)}$$

สัญญาณไฟฟ้าจริงทุกตัวผ่านเงื่อนไขนี้ เป็นเงื่อนไขพอเพียง (ไม่จำเป็น) ฟังก์ชันประหลาดทางคณิตศาสตร์บางตัวเท่านั้นที่ไม่ผ่าน

P2 What the series converges to ผลรวมลู่เข้าสู่อะไร

$$\lim_{N\to\infty}\Big[a_0 + \sum_{n=1}^{N}(a_n\cos n\omega_0 t + b_n\sin n\omega_0 t)\Big] = \begin{cases} x(t) & \text{จุดที่ต่อเนื่อง} \\[2pt] \tfrac12\big[x(t^-) + x(t^+)\big] & \text{จุดกระโดด} \end{cases}$$

ถ้า x ต่อเนื่องทุกจุดและเป็นคาบ อนุกรมลู่เข้าแบบเอกรูป (ผิดไม่เกินค่าหนึ่งทุกจุดพร้อมกัน) ถ้ามีรอยกระโดด ลู่เข้ารายจุดเท่านั้น ใกล้รอยกระโดดยังผิดมากเสมอ (ดูกิบส์)

## ปรากฏการณ์กิบส์: ยอดเกิน 9 % ที่ไม่ยอมหาย กลาง

ลองรวมอนุกรมของสี่เหลี่ยมให้มากขึ้นเรื่อย ๆ ส่วนกลางเรียบขึ้น มุมคมขึ้น แต่ข้างรอยกระโดดมี “หู” แหลมขึ้นไปเกินค่าจริงเสมอ หูนี้แคบลงและเข้าใกล้รอยกระโดดตามจำนวนพจน์ แต่ความสูงไม่ลดลงเลย ค้นพบโดย Wilbraham (1848) และอธิบายโดย Gibbs (1899)

P3 Gibbs overshoot ขนาดและตำแหน่งของหูกิบส์

$$\text{overshoot} \to \Big(\frac{1}{\pi}\mathrm{Si}(\pi) - \frac12\Big)\Delta = 0.0895\,\Delta, \qquad t_{peak} \approx \frac{T}{2(N+1)} \text{ จากรอยกระโดด}$$

$\Delta$ คือขนาดรอยกระโดด $\mathrm{Si}(\pi) = \int_0^\pi \frac{\sin u}{u}du = 1.8519$ · สี่เหลี่ยม ±1 (Δ = 2) จึงพุ่งถึง 1.179 ไม่ว่า N จะมากเท่าไร

P4 Lanczos σ-factors ลดหูกิบส์ด้วยการถ่วงน้ำหนัก

$$x_N^{\sigma}(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{N} \mathrm{sinc}\!\Big(\frac{n}{N+1}\Big)\big[a_n\cos n\omega_0 t + b_n\sin n\omega_0 t\big]$$

ค่อย ๆ ลดน้ำหนักฮาร์มอนิกสูงแทนการตัดทิ้งทันที หูเหลือราว 1 % แลกกับขอบที่มนลง หลักการเดียวกับ “หน้าต่าง” ใน FFT และการออกแบบตัวกรอง FIR ลองติ๊ก “ลดหูกิบส์ (σ)” ในแล็บ

ผลรวมอนุกรมของสี่เหลี่ยม ±1 ถึงฮาร์มอนิกที่ 9 (สีฟ้า) และ 49 (สีส้ม) หูยังสูงราว 1.18 เท่ากัน แค่แคบลง เส้นประบน 1.179 คือขีดจำกัดของกิบส์

ตัวอย่าง P-1 · หูกิบส์ของสี่เหลี่ยม

### สี่เหลี่ยม ±1 V รวมถึงฮาร์มอนิกที่ 9 และที่ 99 ค่าสูงสุดของผลรวมเท่าไร และอยู่ห่างจากรอยกระโดดเท่าไร

- P3 ทำนาย: $1 + 0.0895 \times 2 = 1.179$ V ตำแหน่ง $T/(2 \times 10) = 0.05T$ และ $T/200 = 0.005T$

- คำนวณจริงด้วยตัวเลข: N = 9 ได้ยอด 1.1823 V ที่ $0.050T$ · N = 99 ได้ 1.1790 V ที่ $0.005T$

ยอดเกินเกือบ 18 % ของแอมพลิจูด (9 % ของ Δ) ทั้งสองกรณี ต่างกันแค่ความกว้าง นี่คือเหตุผลที่ตัวกรองผ่านต่ำแบบ “brick-wall” ทำให้ขอบสี่เหลี่ยมมีการแกว่งราว 9 % เสมอ

## ทฤษฎีบทพาร์เซวาล: กำลังรวม = ผลรวมกำลังของแต่ละฮาร์มอนิก พื้นฐาน

ยกกำลังสองอนุกรมแล้วเฉลี่ยตลอดคาบ ผลคูณไขว้ของฮาร์มอนิกต่างความถี่หายหมดตามความตั้งฉาก (T1–T3) เหลือแค่กำลังสองของแต่ละตัว นี่แปลว่าฮาร์มอนิกแต่ละตัวส่งกำลังเข้าตัวต้านทานแยกกันโดยไม่รบกวนกัน

P5 Parseval's theorem ทฤษฎีบทพาร์เซวาล

$$\frac{1}{T}\int_T x^2(t)\,dt = a_0^2 + \frac12\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n^2 + b_n^2\big) = a_0^2 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{A_n^2}{2} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2$$

P6 RMS from harmonic RMS values RMS จากค่า RMS ของแต่ละตัว

$$X_{rms} = \sqrt{X_0^2 + X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + \cdots}, \qquad X_n = \frac{A_n}{\sqrt2}$$

DC ใช้ค่าเต็ม ฮาร์มอนิกใช้ค่า RMS ของตัวเอง ไม่ใช่ผลรวมตรง ๆ แบบเลขคณิต

P7 THD and power in the fundamental THD จากพาร์เซวาล

$$\mathrm{THD} = \frac{\sqrt{X_{rms}^2 - X_0^2 - X_1^2}}{X_1}, \qquad \frac{X_1^2}{X_{rms}^2} = \frac{1}{1 + \mathrm{THD}^2} \;(X_0 = 0)$$

ใช้ RMS ทั้งก้อนแทนการบวกฮาร์มอนิกทีละตัว จึงหา THD แบบแม่นยำของรูปคลื่นในตารางได้ด้วยอินทิกรัลตัวเดียว

ตัวอย่าง P-2 · THD ของสี่เหลี่ยมแบบแม่นยำ

### สี่เหลี่ยม ±A มีกำลังในฮาร์มอนิกหลักกี่ % และ THD เท่าไร ถ้ารวมถึงฮาร์มอนิกที่ 5, 9, 49 ได้กำลังกี่ %

- $X_{rms} = A$ (สี่เหลี่ยมยกกำลังสองได้ $A^2$ ตลอด) · $X_1 = \frac{4A}{\pi\sqrt2} = 0.9003A$

- สัดส่วนกำลัง $X_1^2/X_{rms}^2 = 8/\pi^2 = 81.06$ %

- P7: $\mathrm{THD} = \sqrt{1/0.8106 - 1} = \sqrt{\pi^2/8 - 1} = 48.34$ %

- สะสม $\frac{8}{\pi^2}\sum_{n\,\text{คี่} \le N}\frac{1}{n^2}$: ถึง 5 → 93.31 % · ถึง 9 → 95.96 % · ถึง 49 → 99.19 %

ฮาร์มอนิกหลัก 81.1 % ของกำลัง THD 48.3 % · ต้องรวมถึงฮาร์มอนิกที่ 49 จึงได้ 99 % นี่คือเหตุผลที่เครื่องวิเคราะห์อ่าน THD ได้ราว 47–48 % จากสี่เหลี่ยม (นับถึงลำดับ 40 หรือ 50) ไม่ถึง 48.3 % พอดี

ตัวอย่าง P-3 · แรงดันไฟเพี้ยนเล็กน้อย

### แรงดันในอาคาร: ฮาร์มอนิกหลัก 230 V, ที่ 5 = 11.5 V, ที่ 7 = 6.9 V, ที่ 11 = 4.6 V (RMS) หา $V_{rms}$ และ THD

- P6: $V_{rms} = \sqrt{230^2 + 11.5^2 + 6.9^2 + 4.6^2} = 230.44$ V

- THD $= \sqrt{11.5^2 + 6.9^2 + 4.6^2}/230 = \sqrt{5^2 + 3^2 + 2^2}\,\% = 6.16$ %

THD 6.2 % (เกินเกณฑ์ กฟภ. 5 % ที่ 0.4 kV) แต่ RMS เพิ่มขึ้นแค่ 0.19 % มิเตอร์จึงแทบไม่เห็นความเปลี่ยนแปลง ต้องดูที่สเปกตรัม ดูขีดจำกัด

ตัวอย่าง P-4 · ผลพลอยได้ทางคณิตศาสตร์

### ใช้พาร์เซวาลกับฟันเลื่อย $x = t$ บน $-\pi \lt t \lt \pi$ หาค่า $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2$

- จาก S-5: $b_n = 2(-1)^{n+1}/n$

- ซ้าย: $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2dt = \frac{\pi^2}{3}$ · ขวา: $\frac12\sum\frac{4}{n^2} = 2\sum\frac{1}{n^2}$

$\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ (ปัญหาบาเซิล) ทำแบบเดียวกันกับสามเหลี่ยมได้ $\sum_{n\,\text{คี่}} 1/n^4 = \pi^4/96$

## ความเรียบกำหนดอัตราลดของฮาร์มอนิก กลาง

ดูรูปคลื่นแล้วบอกความชันของสเปกตรัมบนกราฟ log–log ได้ทันที ยิ่งรูปเรียบ ฮาร์มอนิกสูงยิ่งน้อย ข้อนี้ใช้ออกแบบ EMI (ทำขอบให้ช้าลง) และอธิบายว่าทำไมแรงดันอินเวอร์เตอร์ที่มีขอบคมต้องใช้ฟิลเตอร์

P8 Smoothness ↔ decay ความเรียบกับอัตราลด

$$\text{มีรอยกระโดด: } A_n \sim \frac{1}{n}\;(-20\ \text{dB/dec}) \quad \text{มุมหัก: } \frac{1}{n^2}\;(-40) \quad \text{อนุพันธ์แรกต่อเนื่อง: } \frac{1}{n^3}\;(-60)$$

เหตุผล: ดิฟหนึ่งครั้งคูณสัมประสิทธิ์ด้วย n (C10) รูปที่ต้องดิฟ k ครั้งจึงจะเกิดรอยกระโดด มีสัมประสิทธิ์ลดตาม $1/n^{k+1}$

แอมพลิจูดเป็น dB เทียบลำดับ n แบบลอการิทึม: สี่เหลี่ยม (1/n) สามเหลี่ยม (1/n²) และพาราโบลาต่อกัน $t(\pi - t)$ ขยายแบบคี่ (1/n³) ความชัน −20, −40, −60 dB ต่อดีเคด

| รูปคลื่น | ลักษณะที่ “ไม่เรียบ” | อัตราลด | ผลในงานจริง |

| สี่เหลี่ยม พัลส์ PWM ฟันเลื่อย | รอยกระโดด | 1/n | EMI สูง ต้องฟิลเตอร์ |

| สามเหลี่ยม ไซน์เรียงกระแส กระแสตัวเหนี่ยวนำ | มุมหัก | 1/n² | ฮาร์มอนิกสูงน้อย ริปเปิลเกือบเป็นไซน์ |

| พัลส์คางหมู (มีเวลาขาขึ้น) | รอยกระโดดถูกทำให้เป็นมุม | 1/n แล้ว 1/n² | หักมุมที่ $f = 1/(\pi t_r)$ B9 |

| ไซน์บริสุทธิ์ | เรียบทุกอันดับ | ไม่มีฮาร์มอนิก | อุดมคติ |

## อินทิเกรตและดิฟอนุกรมทีละพจน์ ขั้นสูง

P9 Term-by-term operations เมื่อไรทำได้

$$\int x\,dt:\ \text{ทำได้เสมอ (ถ้า } a_0 = 0\text{) ลู่เข้าดีขึ้น} \qquad \frac{dx}{dt}:\ \text{ทำได้เมื่อ } x \text{ ต่อเนื่องและ } x' \text{ ผ่านดีริชเลต์}$$

ดิฟอนุกรมของสี่เหลี่ยมทีละพจน์ได้ $\frac{4A\omega_0}{\pi}\sum\cos n\omega_0 t$ ซึ่งไม่ลู่เข้าแบบปกติ เพราะอนุพันธ์จริงคือขบวนอิมพัลส์ (C-3)

## ในงานจริงต้องรวมกี่ฮาร์มอนิก กลาง

P10 Bandwidth from rise time แบนด์วิดท์ที่ต้องใช้

$$f_{BW} \approx \frac{0.35}{t_r}$$

สัญญาณที่มีเวลาขาขึ้น $t_r$ มีพลังงานสำคัญถึงราว $0.35/t_r$ ใช้เลือกแบนด์วิดท์สโคป (O8) และจำนวนฮาร์มอนิกที่ต้องจำลอง

| งาน | ดูถึง | ที่มา |

| คุณภาพไฟฟ้า (THD, IEEE 519) | ลำดับที่ 50 (2.5 kHz ที่ 50 Hz) | IEEE 519-2022, IEC 61000-4-7 · เครื่อง Class S ใช้ถึง 40 |

| เครื่องใช้ไฟฟ้า ≤ 16 A | ลำดับที่ 40 | IEC 61000-3-2 |

| อินเวอร์เตอร์ PWM | อย่างน้อย 2–3 เท่าของ $m_f$ | ไซด์แบนด์อยู่รอบ $m_f$, $2m_f$, $3m_f$ V6 |

| เสียง (THD+N) | 20 kHz | ขอบการได้ยิน |

| EMI นำทาง (conducted) | 150 kHz – 30 MHz | มาตรฐานตระกูล CISPR |

## แล็บ: กิบส์และพาร์เซวาล พื้นฐาน

เปิดค่าเริ่มต้น N = 99 แล้วดูหูกิบส์ อ่าน “หูกิบส์” ในแผงข้างล่าง (≈ 9 % ของ p-p) ติ๊ก “ลดหูกิบส์ (σ)” เพื่อดูผล P4 และเลื่อน N ลงแล้วดู “กำลังที่รวมแล้ว” เทียบกับตัวอย่าง P-2

## คำถามที่พบบ่อย

ปรากฏการณ์กิบส์คืออะไร?
เมื่อรวมอนุกรมฟูเรียร์ถึงจำนวนพจน์จำกัด ใกล้รอยกระโดดจะมียอดพุ่งเกินประมาณ 8.95 % ของขนาดรอยกระโดด เพิ่มพจน์เท่าไรยอดก็ไม่เตี้ยลง แค่แคบลงและเข้าใกล้รอยกระโดดมากขึ้น เป็นเหตุให้ตัวกรองที่ตัดความถี่คมเกิดการแกว่ง (ringing)

ทฤษฎีบทพาร์เซวาลใช้ทำอะไรในงานไฟฟ้า?
ใช้หาค่า RMS จากค่า RMS ของแต่ละฮาร์มอนิก $V_{rms} = \sqrt{V_0^2 + V_1^2 + V_2^2 + \cdots}$ ซึ่งเป็นวิธีที่เครื่องวิเคราะห์กำลังใช้ และใช้นิยาม THD ว่าเป็นสัดส่วน RMS ของฮาร์มอนิกทั้งหมดเทียบกับฮาร์มอนิกหลัก

ทำไมสามเหลี่ยมลู่เข้าเร็วกว่าสี่เหลี่ยม?
ความเรียบกำหนดอัตราลด รูปที่มีรอยกระโดด (สี่เหลี่ยม) ลดตาม 1/n หรือ −20 dB/decade รูปที่ต่อเนื่องแต่มุมหัก (สามเหลี่ยม) ลดตาม 1/n² หรือ −40 dB/decade รูปที่อนุพันธ์แรกต่อเนื่องลดตาม 1/n³

วัดฮาร์มอนิกถึงลำดับที่เท่าไรจึงพอ?
งานคุณภาพไฟฟ้าตามมาตรฐาน IEEE 519 และ IEC 61000-4-7 ใช้ถึงลำดับที่ 50 (2.5 kHz ที่ 50 Hz) งานอินเวอร์เตอร์ PWM ต้องดูถึงอย่างน้อยสองถึงสามเท่าของความถี่สวิตชิ่ง งาน EMI ดูถึงหลายสิบ MHz ตามเวลาขาขึ้นของสัญญาณ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ปรากฏการณ์กิบส์คืออะไร?**
เมื่อรวมอนุกรมฟูเรียร์ถึงจำนวนพจน์จำกัด ใกล้รอยกระโดดจะมียอดพุ่งเกินประมาณ 8.95 % ของขนาดรอยกระโดด เพิ่มพจน์เท่าไรยอดก็ไม่เตี้ยลง แค่แคบลงและเข้าใกล้รอยกระโดดมากขึ้น เป็นเหตุให้ตัวกรองที่ตัดความถี่คมเกิดการแกว่ง (ringing)

**ทฤษฎีบทพาร์เซวาลใช้ทำอะไรในงานไฟฟ้า?**
ใช้หาค่า RMS จากค่า RMS ของแต่ละฮาร์มอนิก $V_{rms} = \sqrt{V_0^2 + V_1^2 + V_2^2 + \cdots}$ ซึ่งเป็นวิธีที่เครื่องวิเคราะห์กำลังใช้ และใช้นิยาม THD ว่าเป็นสัดส่วน RMS ของฮาร์มอนิกทั้งหมดเทียบกับฮาร์มอนิกหลัก

**ทำไมสามเหลี่ยมลู่เข้าเร็วกว่าสี่เหลี่ยม?**
ความเรียบกำหนดอัตราลด รูปที่มีรอยกระโดด (สี่เหลี่ยม) ลดตาม 1/n หรือ −20 dB/decade รูปที่ต่อเนื่องแต่มุมหัก (สามเหลี่ยม) ลดตาม 1/n² หรือ −40 dB/decade รูปที่อนุพันธ์แรกต่อเนื่องลดตาม 1/n³

**วัดฮาร์มอนิกถึงลำดับที่เท่าไรจึงพอ?**
งานคุณภาพไฟฟ้าตามมาตรฐาน IEEE 519 และ IEC 61000-4-7 ใช้ถึงลำดับที่ 50 (2.5 kHz ที่ 50 Hz) งานอินเวอร์เตอร์ PWM ต้องดูถึงอย่างน้อยสองถึงสามเท่าของความถี่สวิตชิ่ง งาน EMI ดูถึงหลายสิบ MHz ตามเวลาขาขึ้นของสัญญาณ

---

# ฟูเรียร์ในคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: บั๊ก ริปเปิล ฟิลเตอร์ LC และ EMI

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/dc-dc-converters/
Updated: 2026-10-12
Summary: ใช้อนุกรมฟูเรียร์ออกแบบคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: แรงดันโหนดสวิตช์ของบั๊กคอนเวอร์เตอร์คือพัลส์ที่มี DC = D·Vin ประมาณแรงดันริปเปิลด้วยฮาร์มอนิกแรกผ่านฟิลเตอร์ LC เทียบสูตรจริง ΔV = (1−D)Vo/(8LCfs²) ผลของ ESR ฮาร์มอนิกของกระแสตัวเหนี่ยวนำแบบสามเหลี่ยมไม่สมมาตร กระแส RMS ของตัวเก็บประจุอินพุต Io√(D(1−D)) เอนเวโลปคางหมูกับ EMI และเวลาขาขึ้น ตัวอย่างบั๊ก 12 V → 5 V 2 A 50 kHz

// บทที่ 14.11 · อนุกรมฟูเรียร์ · DC-DC Converters

# ฟูเรียร์ในคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: บั๊ก ริปเปิล ฟิลเตอร์ LC และ EMI

บั๊กคอนเวอร์เตอร์ทำงานได้เพราะอนุกรมฟูเรียร์: โหนดสวิตช์เป็นพัลส์ที่มีส่วน DC เท่ากับ $DV_{in}$ และฟิลเตอร์ LC ปล่อยให้ผ่านเฉพาะส่วนนั้น มุมมองนี้ทำให้ประมาณริปเปิลได้ในบรรทัดเดียว เข้าใจว่าทำไม ESR สำคัญ และรู้ว่าสัญญาณรบกวนความถี่สูงมาจากไหน ตัวอย่างทั้งหน้าใช้บั๊ก 12 V → 5 V 2 A 50 kHz ตัวเดียวกับที่ใช้สอนในวิชาอิเล็กทรอนิกส์กำลัง

สรุปใน 30 วินาที

- $v_{sw} = DV_{in} + \sum_n \frac{2V_{in}}{n\pi}\sin(n\pi D)\cos(n\omega_s t - n\pi D)$

- LC ที่ $f \gg f_0$: $|H| \approx (f_0/f)^2$ → ริปเปิล ≈ $2\cdot\frac{2V_{in}}{\pi}\sin(\pi D)\cdot(f_0/f_s)^2$ (ยอดถึงยอด)

- สูตรจริง $\Delta V = \frac{(1 - D)V_o}{8LCf_s^2}$ ต่างจากค่าประมาณ ~3 % · ESR เพิ่ม $\approx\Delta I_L\cdot\mathrm{ESR}$

- EMI: เอนเวโลปหักที่ $1/(\pi\tau)$ และ $1/(\pi t_r)$ · ขอบช้าลง = EMI ต่ำลง

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## แรงดันโหนดสวิตช์คืออนุกรมของพัลส์ พื้นฐาน

ในโหมดกระแสต่อเนื่อง (CCM) โหนดระหว่างสวิตช์กับไดโอด (หรือสวิตช์ล่าง) สลับระหว่าง $V_{in}$ กับ 0 เป็นพัลส์ดิวตี้ D ที่ความถี่ $f_s$ ตรงกับ W3 ทุกประการ

B1 Switch-node voltage of a buck converter แรงดันโหนดสวิตช์

$$v_{sw}(t) = DV_{in} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2V_{in}}{n\pi}\sin(n\pi D)\cos\big(n\omega_s t - n\pi D\big)$$

พจน์ DC คือ $DV_{in}$ = แรงดันขาออกของบั๊กในอุดมคติ ทุกอย่างที่เหลือคือ “ขยะ” ที่ฟิลเตอร์ต้องกำจัด และ $n f_s$ คือความถี่ที่จะเห็นบนสเปกตรัม EMI

บั๊ก 12 V → 5 V: โหนดสวิตช์ (สีฟ้า) แรงดันขาออก (สีส้ม ขยาย 200 เท่ารอบ 5 V) และสเปกตรัมของโหนดสวิตช์ (ล่าง) DC 5 V ฮาร์มอนิกที่ 50 kHz 7.38 V ที่ 100 kHz 1.91 V ที่ 150 kHz 1.80 V

## ฟิลเตอร์ LC: ประมาณริปเปิลด้วยฮาร์มอนิกแรก กลาง

B2 LC attenuation far above f₀ การลดทอนของ LC

$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},\qquad |H(jn\omega_s)| \approx \Big(\frac{f_0}{nf_s}\Big)^2 \;\;(nf_s \gg f_0)$$

−40 dB/decade ฮาร์มอนิกที่ 2 ถูกลดทอนมากกว่าที่ 1 สี่เท่า และขนาดเริ่มต้นก็เล็กกว่า ฮาร์มอนิกแรกจึงกำหนดริปเปิลเกือบทั้งหมด

B3 Fundamental-harmonic ripple estimate ริปเปิลจากฮาร์มอนิกแรก

$$\Delta V_{pp} \approx 2\cdot\frac{2V_{in}}{\pi}\sin(\pi D)\cdot\Big(\frac{f_0}{f_s}\Big)^2$$

B4 Exact ripple (ideal C) สูตรจริงจากโดเมนเวลา

$$\Delta V_{pp} = \frac{(1 - D)V_o}{8LCf_s^2} = \frac{\Delta I_L}{8f_sC}$$

ได้จากพื้นที่สามเหลี่ยมของกระแสริปเปิลที่ไหลเข้า C · อัตราส่วน B3/B4 = $\frac{8\sin\pi D}{\pi^3D(1-D)}$ อยู่ระหว่าง 1.025–1.03 ในช่วงใช้งานปกติ

B5 ESR contribution ส่วนของ ESR

$$\Delta V_{ESR} \approx \Delta I_L \cdot \mathrm{ESR}$$

เป็นสามเหลี่ยม (ตามรูปกระแส) ต่างเฟสกับส่วนของ C 90° ที่ฮาร์มอนิกแรก ผลรวมจึงน้อยกว่าบวกตรง ๆ ใช้แล็บหรือรวมฮาร์มอนิกด้วย $Z_C = \mathrm{ESR} + 1/(j\omega C)$

ตัวอย่าง B-1 · บั๊ก 12 V → 5 V 2 A 50 kHz

### L = 100 µH, C = 100 µF ประมาณริปเปิลด้วยฮาร์มอนิกแรก เทียบสูตรจริง แล้วดูผลเมื่อ C มี ESR 20 mΩ

- $D = 5/12 = 0.4167$ · B1: ฮาร์มอนิกแรกของโหนดสวิตช์ $\frac{2(12)}{\pi}\sin(0.4167\pi) = 7.379$ V

- B2: $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-8}}} = 1.592$ kHz · $(f_0/f_s)^2 = 1.013\times10^{-3}$

- B3: ริปเปิลยอด $7.379 \times 1.013\times10^{-3} = 7.48$ mV → ยอดถึงยอด 14.96 mV

- B4: $\Delta I_L = \frac{(12 - 5)(0.4167)}{100\mu \cdot 50\text{k}} = 0.583$ A · $\Delta V = \frac{0.583}{8(50\text{k})(100\mu)} = 14.58$ mV → ค่าประมาณสูงไป 2.6 %

- มี ESR 20 mΩ: $\Delta I_L\cdot\mathrm{ESR}$ = 11.7 mV แต่รวมฮาร์มอนิกทั้งหมดด้วย $Z_C$ ที่มี ESR ได้ 16.9 mV (ไม่ใช่ 14.6 + 11.7)

ริปเปิล 14.6 mV (C อุดมคติ) และ 16.9 mV เมื่อ ESR 20 mΩ ฮาร์มอนิกแรกตัวเดียวทำนายได้ภายใน 3 % · เปิดแล็บด้านล่างแล้วเปลี่ยน C, L หรือความถี่ดูได้ทันที

แล็บ “บั๊ก 12 V → 5 V 50 kHz” (ไม่มี ESR): ฮาร์มอนิกหลักขาออก 7.48 mV ยอด ยอดถึงยอดจริง 14.6 mV ✓

## กระแสในตัวเหนี่ยวนำ: สามเหลี่ยมไม่สมมาตร กลาง

B6 Inductor ripple current กระแสริปเปิลของตัวเหนี่ยวนำ

$$\Delta I_L = \frac{(V_{in} - V_o)D}{Lf_s} = \frac{V_o(1 - D)}{Lf_s}$$

B7 Harmonics & RMS of the inductor current ฮาร์มอนิกและ RMS

$$I_{L,n} = \frac{\Delta I_L\,|\sin n\pi D|}{\pi^2n^2D(1 - D)},\qquad I_{L,rms} = \sqrt{I_o^2 + \frac{\Delta I_L^2}{12}}$$

จาก W18 และพาร์เซวาล · ความสูญเสียทองแดงที่ความถี่สูง $\sum I_{L,n}^2R_{ac}(nf_s)$ ซึ่ง $R_{ac}$ โตขึ้นตาม skin/proximity effect

ตัวอย่าง B-2 · กระแสตัวเหนี่ยวนำของ B-1

### หาฮาร์มอนิก 1–3 ของกระแสริปเปิล และกระแส RMS ของตัวเหนี่ยวนำ

- B7: $\pi^2D(1 - D) = 2.399$ · $I_{L,1} = \frac{0.583(0.966)}{2.399} = 0.235$ A · $I_{L,2} = 0.030$ A · $I_{L,3} = 0.019$ A (ยอด)

- RMS: $\sqrt{2^2 + 0.583^2/12} = 2.0071$ A

ริปเปิล 29 % ของกระแสโหลดเพิ่ม RMS เพียง 0.35 % แต่ฮาร์มอนิกที่ 50 kHz ยอด 0.235 A คือสิ่งที่สร้างความสูญเสียในแกนและเสียงรบกวน

## กระแสด้านเข้าและตัวเก็บประจุอินพุต กลาง

ด้านเข้าของบั๊กดึงกระแสเป็นพัลส์ (≈ $I_o$ ช่วง DT และ 0 ช่วงที่เหลือ) แหล่งจ่ายควรเห็นแค่ค่าเฉลี่ย $DI_o$ ส่วนที่เหลือต้องมาจากตัวเก็บประจุอินพุตที่อยู่ใกล้สวิตช์ที่สุด

B8 Input-capacitor RMS current กระแส RMS ในตัวเก็บประจุอินพุต

$$I_{C_{in},rms} = I_o\sqrt{D(1 - D)},\qquad I_{in,n} = \frac{2I_o}{n\pi}|\sin n\pi D|$$

มาจากพาร์เซวาลของพัลส์ W3 หักส่วน DC สูงสุดที่ D = 0.5 ($I_o/2$) ใช้เลือกตัวเก็บประจุตามพิกัด ripple current

ตัวอย่าง B-3 · ตัวเก็บประจุอินพุตของ B-1

### หากระแส RMS ในตัวเก็บประจุอินพุตและฮาร์มอนิกที่ 50 kHz ของกระแสด้านเข้า

- B8: $2\sqrt{0.4167 \times 0.5833} = 0.986$ A RMS

- $I_{in,1} = \frac{2(2)}{\pi}\sin(0.4167\pi) = 1.23$ A ยอด

ต้องใช้ตัวเก็บประจุที่ทนกระแสริปเปิลอย่างน้อย 1 A RMS ที่ 50 kHz (เกือบเท่าครึ่งหนึ่งของกระแสโหลด) ถ้าตัวเก็บประจุอินพุตเล็กไป กระแส 1.23 A ที่ 50 kHz จะไหลย้อนไปในสายแหล่งจ่ายกลายเป็น EMI

## ขอบสัญญาณกับ EMI: เอนเวโลปของพัลส์คางหมู ขั้นสูง

สวิตช์จริงใช้เวลาขาขึ้น $t_r$ โหนดสวิตช์จึงเป็นคางหมู (W14) ใช้ $|\mathrm{sinc}\,x| \le \min(1, 1/(\pi x))$ ได้เอนเวโลปแบบ Bode ที่วาดด้วยมือได้

B9 Trapezoid spectrum envelope เอนเวโลปสเปกตรัมของคางหมู

$$|V_n| \le 2AD\cdot\min\Big(1, \frac{1}{\pi f\tau}\Big)\cdot\min\Big(1, \frac{1}{\pi f t_r}\Big),\qquad f_1 = \frac{1}{\pi\tau},\quad f_2 = \frac{1}{\pi t_r}$$

แบนถึง $f_1$ ($\tau = DT$ ความกว้างพัลส์) ลด −20 dB/decade ถึง $f_2$ แล้ว −40 dB/decade · เวลาขาขึ้นเป็นตัวเดียวที่ย้าย $f_2$ จึงคุม EMI ย่าน MHz ได้โดยตรง

เอนเวโลปของโหนดสวิตช์ 12 V 500 kHz D = 0.42 เป็น dBµV: $t_r$ = 10 ns (สีส้ม) เทียบ 50 ns (สีฟ้า) ที่ 30 MHz ต่างกันราว 13 dB

ตัวอย่าง B-4 · ขอบเร็วกับขอบช้า

### บั๊ก 12 V 500 kHz D = 0.42 เปรียบเทียบเอนเวโลปที่ 30 MHz เมื่อ $t_r$ = 10 ns และ 50 ns (เป็น dBµV)

- $\tau = 0.42 \times 2\ \mu\text{s} = 0.84\ \mu\text{s}$ → $f_1 = 379$ kHz · $2AD = 10.08$ V = 140.1 dBµV

- B9 $t_r$ = 10 ns: $f_2 = 31.8$ MHz (30 MHz ยังไม่ถึง) → $10.08/(\pi \cdot 30\text{M}\cdot 0.84\mu) = 0.127$ V = 102.1 dBµV

- $t_r$ = 50 ns: $f_2 = 6.37$ MHz → คูณเพิ่ม $1/(\pi\cdot 30\text{M}\cdot 50\text{n}) = 0.212$ → 0.027 V = 88.6 dBµV

ขอบช้าลง 5 เท่าลดเอนเวโลปที่ 30 MHz ได้ 13.5 dB แต่ความสูญเสียสวิตชิ่ง $\propto t_r f_s$ เพิ่ม 5 เท่า วิศวกรเลือกจุดสมดุล หรือเพิ่ม snubber/ฟิลเตอร์ EMI แทน

## บูสต์และการเลือกความถี่สวิตชิ่ง กลาง

B10 Boost output ripple ริปเปิลของบูสต์

$$\Delta V_o = \frac{DI_o}{Cf_s}$$

ขาออกของบูสต์รับกระแสจากไดโอดเป็นพัลส์ (เหมือนด้านเข้าของบั๊ก) ไม่มี L กั้น ริปเปิลจึงมากกว่าบั๊กที่ L, C เท่ากันมาก และตัวเก็บประจุขาออกรับ $I_o\sqrt{D/(1-D)}$ RMS

| เพิ่ม $f_s$ | ผลจากมุมมองฟูเรียร์ |

| ริปเปิล | ลดตาม $1/f_s^2$ (B2, B4) ใช้ L C เล็กลงได้ |

| ความสูญเสียสวิตชิ่ง | เพิ่มตาม $f_s$ |

| ความสูญเสียแกนและ $R_{ac}$ | ฮาร์มอนิกของกระแส L อยู่ที่ความถี่สูงขึ้น |

| EMI | เส้นสเปกตรัมห่างขึ้น ฮาร์มอนิกแรกอาจเลื่อนเข้าแถบ 150 kHz ของมาตรฐาน EMI |

| ระบบควบคุม | ครอสโอเวอร์ได้สูงขึ้น (ราว $f_s/10$) ดู ตัวชดเชย Type III |

## แล็บ: บั๊ก 12 V → 5 V ทีละฮาร์มอนิก พื้นฐาน

ค่าเริ่มต้นคือบั๊กของตัวอย่าง B-1 ดูขาออกแบบ AC (ขยายริปเปิล) และสเปกตรัมเป็น dB เปลี่ยน L หรือ C แล้วดูแท่งที่ 50 kHz ลดตาม $(f_0/f_s)^2$ หรือเปลี่ยน f₀ เป็น 100k ดูริปเปิลลด 4 เท่า

โครงการต่อยอด: ควบคุมบั๊กคอนเวอร์เตอร์ด้วยตัวชดเชย Type II/III · เรียนต่อทั้งวิชา: อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · แล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์ระดับการสวิตช์

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมบั๊กคอนเวอร์เตอร์ให้แรงดันขาออก D·Vin?
แรงดันที่โหนดสวิตช์เป็นพัลส์สูง Vin ดิวตี้ D อนุกรมฟูเรียร์ของมันมี DC เท่ากับ D·Vin บวกฮาร์มอนิกที่ความถี่สวิตชิ่ง ฟิลเตอร์ LC ให้ DC ผ่านเต็มที่ ($H(0) = 1$) และลดทอนฮาร์มอนิกตาม $(f_0/nf_s)^2$ ขาออกจึงเหลือ D·Vin กับริปเปิลเล็ก ๆ

ประมาณแรงดันริปเปิลของบั๊กอย่างไร?
ใช้ฮาร์มอนิกแรกของโหนดสวิตช์ $\frac{2V_{in}}{\pi}\sin\pi D$ คูณการลดทอนของ LC $(f_0/f_s)^2$ ได้ค่ายอดของริปเปิล คูณสองเป็นค่ายอดถึงยอด ผลต่างจากสูตรจริง $(1-D)V_o/(8LCf_s^2)$ เพียงราว 2–3 % เพราะฮาร์มอนิกสูงกว่าถูกลดทอนมากจนแทบไม่มีผล

ESR ของตัวเก็บประจุมีผลต่อริปเปิลอย่างไร?
กระแสริปเปิลสามเหลี่ยมไหลผ่าน ESR สร้างแรงดันสามเหลี่ยม $\Delta I_L \cdot \mathrm{ESR}$ ซึ่งต่างเฟสกับส่วนของ C ในตัวอย่างบั๊ก 12 V → 5 V ESR 20 mΩ ทำให้ริปเปิลจาก 14.6 mV เป็น 16.9 mV ตัวเก็บประจุอิเล็กโทรไลต์ที่ ESR สูงกว่านี้ ESR มักเป็นตัวกำหนดริปเปิล

เวลาขาขึ้นของสวิตช์มีผลต่อ EMI อย่างไร?
สเปกตรัมของพัลส์คางหมูมีเอนเวโลปแบนถึง $1/(\pi\tau)$ ลด −20 dB/decade ถึง $1/(\pi t_r)$ แล้วลด −40 dB/decade ขอบที่ช้าลง 5 เท่า (10 → 50 ns) ลดเอนเวโลปที่ 30 MHz ได้ราว 13 dB แลกกับความสูญเสียสวิตชิ่งที่เพิ่มขึ้น

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมบั๊กคอนเวอร์เตอร์ให้แรงดันขาออก D·Vin?**
แรงดันที่โหนดสวิตช์เป็นพัลส์สูง Vin ดิวตี้ D อนุกรมฟูเรียร์ของมันมี DC เท่ากับ D·Vin บวกฮาร์มอนิกที่ความถี่สวิตชิ่ง ฟิลเตอร์ LC ให้ DC ผ่านเต็มที่ ($H(0) = 1$) และลดทอนฮาร์มอนิกตาม $(f_0/nf_s)^2$ ขาออกจึงเหลือ D·Vin กับริปเปิลเล็ก ๆ

**ประมาณแรงดันริปเปิลของบั๊กอย่างไร?**
ใช้ฮาร์มอนิกแรกของโหนดสวิตช์ $\frac{2V_{in}}{\pi}\sin\pi D$ คูณการลดทอนของ LC $(f_0/f_s)^2$ ได้ค่ายอดของริปเปิล คูณสองเป็นค่ายอดถึงยอด ผลต่างจากสูตรจริง $(1-D)V_o/(8LCf_s^2)$ เพียงราว 2–3 % เพราะฮาร์มอนิกสูงกว่าถูกลดทอนมากจนแทบไม่มีผล

**ESR ของตัวเก็บประจุมีผลต่อริปเปิลอย่างไร?**
กระแสริปเปิลสามเหลี่ยมไหลผ่าน ESR สร้างแรงดันสามเหลี่ยม $\Delta I_L \cdot \mathrm{ESR}$ ซึ่งต่างเฟสกับส่วนของ C ในตัวอย่างบั๊ก 12 V → 5 V ESR 20 mΩ ทำให้ริปเปิลจาก 14.6 mV เป็น 16.9 mV ตัวเก็บประจุอิเล็กโทรไลต์ที่ ESR สูงกว่านี้ ESR มักเป็นตัวกำหนดริปเปิล

**เวลาขาขึ้นของสวิตช์มีผลต่อ EMI อย่างไร?**
สเปกตรัมของพัลส์คางหมูมีเอนเวโลปแบนถึง $1/(\pi\tau)$ ลด −20 dB/decade ถึง $1/(\pi t_r)$ แล้วลด −40 dB/decade ขอบที่ช้าลง 5 เท่า (10 → 50 ns) ลดเอนเวโลปที่ 30 MHz ได้ราว 13 dB แลกกับความสูญเสียสวิตชิ่งที่เพิ่มขึ้น

---

# จากอนุกรมฟูเรียร์สู่ DFT และ FFT: เครื่องวัดคำนวณฮาร์มอนิกอย่างไร

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/dft-fft/
Updated: 2026-10-12
Summary: เชื่อมอนุกรมฟูเรียร์กับ DFT/FFT ที่เครื่องวัดใช้จริง: สุ่มสัญญาณ N จุดต่อคาบได้สัมประสิทธิ์ cn = X[k]/N ความละเอียดความถี่ fs/N อเลียสซิงของฮาร์มอนิกสูง การรั่วของสเปกตรัม (leakage) เมื่อความถี่ไม่ตรง หน้าต่าง Hann และ flat-top มาตรฐาน IEC 61000-4-7 หน้าต่าง 10 คาบ 200 ms ช่องละ 5 Hz การรวมกลุ่มฮาร์มอนิก การอ่าน dBV จาก FFT บนออสซิลโลสโคป และอัลกอริทึม Goertzel พร้อมโค้ดสำหรับไมโครคอนโทรลเลอร์ ESP32

// บทที่ 14.13 · อนุกรมฟูเรียร์ · From Fourier Series to DFT & FFT

# จากอนุกรมฟูเรียร์สู่ DFT และ FFT: เครื่องวัดคำนวณฮาร์มอนิกอย่างไร

เครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้า ฟังก์ชัน FFT บนสโคป และเครื่องวัดพลังงานที่ทำเองด้วยไมโครคอนโทรลเลอร์ ไม่ได้อินทิเกรตแบบในตำรา มันสุ่มตัวอย่างแล้วรวมผลคูณ ซึ่งก็คืออินทิกรัลของสูตรออยเลอร์ในรูปผลบวก หน้านี้บอกว่าผลบวกนั้นตรงกับอนุกรมฟูเรียร์เมื่อไร และผิดได้อย่างไรบ้าง เพื่อให้อ่านตัวเลขบนเครื่องวัดได้อย่างเข้าใจ

สรุปใน 30 วินาที

- สุ่ม N จุดพอดีจำนวนเต็มคาบ: $c_k = X[k]/N$ · $A_k = 2|X[k]|/N$ · RMS $= \sqrt2|X[k]|/N$

- ความละเอียด $\Delta f = f_s/N = 1/T_w$ · ฮาร์มอนิกที่เกิน $f_s/2$ พับลงมาทับฮาร์มอนิกต่ำ (อเลียสซิง)

- หน้าต่างไม่ครบคาบ → leakage แก้ด้วยซิงก์ (PLL) หน้าต่าง Hann/flat-top หรือรวมกลุ่มช่อง

- IEC 61000-4-7: 10 คาบ (200 ms) ช่องละ 5 Hz ฮาร์มอนิก h อยู่ช่อง 10h

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## จากอินทิกรัลสู่ผลบวก: DFT คืออนุกรมฟูเรียร์ของข้อมูลที่สุ่มมา กลาง

แทนอินทิกรัลใน C2 ด้วยผลรวมสี่เหลี่ยมผืนผ้าของ N ตัวอย่างที่ห่างกัน $T/N$ ได้สูตร DFT ทันที และถ้าสัญญาณมีฮาร์มอนิกไม่เกิน N/2 ผลรวมนี้ไม่ใช่ค่าประมาณ มันตรงทุกหลัก เพราะไซน์ที่สุ่มครบคาบยังตั้งฉากกันแบบไม่ต่อเนื่อง

D1 Discrete Fourier transform นิยาม DFT

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,e^{-j2\pi kn/N},\qquad k = 0, 1, \dots, N-1$$

เทียบกับ $c_k = \frac1T\int_T x(t)e^{-jk\omega_0 t}dt$: แทน $t = nT/N$, $dt \to T/N$ ได้ $c_k \approx X[k]/N$

D2 From DFT bins to harmonic values แปลงผล DFT เป็นค่าฮาร์มอนิก (หน้าต่างครบ m คาบพอดี)

$$\text{DC} = \frac{X[0]}{N},\qquad A_h = \frac{2|X[mh]|}{N},\qquad V_{h,rms} = \frac{\sqrt2\,|X[mh]|}{N},\qquad \varphi_h = \angle X[mh]$$

m = จำนวนคาบในหน้าต่าง ฮาร์มอนิกที่ h อยู่ช่อง $k = mh$ · ตรงทุกหลักถ้าไม่มีความถี่เกิน $f_s/2$

D3 Frequency resolution ความละเอียดความถี่

$$\Delta f = \frac{f_s}{N} = \frac{1}{T_w}$$

ขึ้นกับความยาวหน้าต่าง $T_w$ เท่านั้น ไม่ขึ้นกับอัตราสุ่ม อยากแยกความถี่ใกล้กันต้องเก็บข้อมูลนานขึ้น

D4 FFT คำนวณ DFT เร็ว

$$N^2 \;\to\; \tfrac{N}{2}\log_2 N \;\text{ การคูณเชิงซ้อน}$$

N = 2048: จาก 4.2 ล้านเหลือ 11,264 ครั้ง (Cooley–Tukey, N เป็นกำลังของ 2) ผลลัพธ์เหมือน DFT ทุกประการ

ตัวอย่าง D-1 · DFT ด้วยมือ

### สุ่มไซน์ $\sin\omega_0 t$ 4 จุดต่อคาบได้ $x = [0, 1, 0, -1]$ หา $X[1]$ แอมพลิจูดและมุม

- D1: $e^{-j2\pi n/4} = 1, -j, -1, j$ → $X[1] = 0(1) + 1(-j) + 0(-1) + (-1)(j) = -2j$

- D2: $A_1 = 2|{-2j}|/4 = 1$ · มุม −90° (คือ $\cos(\omega t - 90^\circ) = \sin\omega t$)

แอมพลิจูด 1 มุม −90° ตรงกับไซน์ที่สุ่มมาพอดี แม้มีแค่ 4 จุด เพราะสัญญาณมีความถี่เดียวซึ่งต่ำกว่า $f_s/2$

## อเลียสซิง: ฮาร์มอนิกสูงพับลงมาทับฮาร์มอนิกต่ำ กลาง

D5 Harmonic aliasing ฮาร์มอนิกที่เกิน Nyquist

$$f_s \gt 2f_{max},\qquad h \gt \frac{N}{2} \;\Rightarrow\; \text{ไปปรากฏที่ช่อง } |h - \ell N| \text{ ที่ใกล้ที่สุด}$$

คลื่นที่มีรอยกระโดด (สี่เหลี่ยม PWM) มีฮาร์มอนิกไม่สิ้นสุด จึงต้องมีตัวกรองกันอเลียสซิงก่อน ADC หรือสุ่มเร็วมาก · เชื่อมกับการสุ่มในสโคป O12 และขบวนอิมพัลส์ C-3

ตัวอย่าง D-2 · สี่เหลี่ยมสุ่มน้อยเกินไป

### สุ่มสี่เหลี่ยม ±1 จำนวน 8 จุดและ 64 จุดต่อคาบ DFT ให้ $A_1$, $A_3$ เท่าไร เทียบค่าจริง $4/\pi = 1.2732$ และ $4/(3\pi) = 0.4244$

- 8 จุด: $A_1 = 1.3066$ (+2.6 %) · $A_3 = 0.5412$ (+27.5 %) เพราะฮาร์มอนิกที่ 5 พับลงมาที่ 3 ($8 - 5 = 3$), 7 พับลงที่ 1, 9 พับที่ 1, …

- 64 จุด: $A_1 = 1.2738$ · $A_3 = 0.4260$ ดีขึ้นมาก แต่ $A_{31}$ (ใกล้ Nyquist) ได้ 0.0626 ทั้งที่จริง 0.0411

ฮาร์มอนิกต่ำแม่นเมื่อสุ่มหนาแน่น แต่ช่องที่ใกล้ $f_s/2$ ผิดเสมอ เครื่องวิเคราะห์จึงสุ่ม 256 จุดต่อคาบขึ้นไปและรายงานแค่ถึงลำดับ 50

## การรั่วของสเปกตรัม (spectral leakage) และหน้าต่าง กลาง

DFT สมมติว่าข้อมูลในหน้าต่างซ้ำไปเรื่อย ๆ ถ้าหน้าต่างไม่ครบจำนวนเต็มคาบ ต่อปลายกับต้นแล้วเกิดรอยกระโดดที่ไม่มีอยู่จริง (P8) พลังงานจึงกระจายไปทุกช่อง

D6 Leakage and windows การรั่วและหน้าต่าง

$$\text{สี่เหลี่ยม: } |X[k]| \propto |\mathrm{sinc}(k - k_0)| \qquad \text{Hann: } w[n] = \tfrac12\Big(1 - \cos\frac{2\pi n}{N}\Big),\; \text{ขยายแอมพลิจูด} \times 2$$

$k_0$ = ตำแหน่งจริงของความถี่ (ไม่เป็นจำนวนเต็ม) · หน้าต่าง Hann ลดการรั่วไปช่องไกล แต่กว้างขึ้น · flat-top อ่านแอมพลิจูดแม่นที่สุดแม้ความถี่อยู่ระหว่างช่อง · ทางที่ดีที่สุดในงานไฟฟ้าคือซิงก์อัตราสุ่มกับความถี่ไฟ (PLL) ให้หน้าต่างครบคาบพอดี

ไซน์ 50.0 Hz (บน) กับ 50.5 Hz (ล่าง) ในหน้าต่าง 200 ms หน้าต่างสี่เหลี่ยม: 50.0 Hz มีช่องเดียว (10) ส่วน 50.5 Hz รั่วไปช่อง 9 และ 11 และไกลออกไป

ตัวอย่าง D-3 · ความถี่ไฟเพี้ยนไป 0.5 Hz

### เครื่องวัดสุ่ม 10.24 kHz จำนวน 2048 จุด (200 ms) แต่ไฟจริง 50.5 Hz 230 V หน้าต่างสี่เหลี่ยม อ่านค่าที่ช่อง 9, 10, 11 ได้เท่าไร

- หน้าต่างครอบ 10.1 คาบ ไม่ครบจำนวนเต็ม D6

- คำนวณ DFT: ช่อง 10 (50 Hz) 225.3 V (−2.0 %) · ช่อง 9 (45 Hz) 19.6 V · ช่อง 11 (55 Hz) 26.0 V ซึ่งไม่มีอยู่จริง

- รวมกลุ่มช่อง 9–11 แบบพาร์เซวาล $\sqrt{19.6^2 + 225.3^2 + 26.0^2} = 227.6$ V (−1.0 %)

ความถี่คลาดเพียง 1 % ทำให้ค่าหลักผิด 2 % และเกิดอินเตอร์ฮาร์มอนิกปลอม 8–11 % มาตรฐานจึงบังคับให้ซิงก์กับความถี่ไฟ และใช้การรวมกลุ่ม (grouping) เพื่อลดผลที่เหลือ

## มาตรฐานการวัด: IEC 61000-4-7 และ 61000-4-30 กลาง

D7 A typical analyzer setting ตัวอย่างการตั้งค่าเครื่องวิเคราะห์

$$f_s = 10.24\ \text{kHz},\quad N = 2048 \;\Rightarrow\; T_w = 200\ \text{ms} = 10 \text{ คาบ},\quad \Delta f = 5\ \text{Hz},\quad h \to k = 10h$$

Nyquist 5.12 kHz สูงกว่าฮาร์มอนิกที่ 50 (2.5 kHz) สองเท่า เผื่อให้ตัวกรองกันอเลียสซิง

D8 IEC 61000-4-7 / 61000-4-30 essentials หลักของมาตรฐานการวัด

$$T_w = 10 \text{ คาบ (50 Hz) หรือ } 12 \text{ คาบ (60 Hz)} \approx 200\ \text{ms},\qquad G_h = \sqrt{\sum_{k=10h-1}^{10h+1} V_k^2}\;(\text{harmonic subgroup})$$

อัตราสุ่มซิงก์กับความถี่ไฟ · ค่าราย 200 ms รวมเป็นค่าราย 150 คาบ (≈ 3 s) และ 10 นาที (Class A ของ 61000-4-30) แล้วจึงนำไปเทียบขีดจำกัด เช่น IEEE 519 ใช้เปอร์เซ็นไทล์ของค่าราย 3 s และ 10 นาที (H13) · ช่องระหว่างฮาร์มอนิกคืออินเตอร์ฮาร์มอนิก

## ใช้ FFT บนออสซิลโลสโคปวัดฮาร์มอนิกให้ถูก พื้นฐาน

- เลือก time/div ให้จอมีหลายคาบ (ความละเอียด $\Delta f = 1/T_{จอ}$) แต่ไม่ช้าจนอัตราสุ่มตก (O13)

- หน้าต่าง: Hanning สำหรับดูทั่วไป Flat-top เมื่อต้องการแอมพลิจูดแม่น Rectangular เฉพาะเมื่อซิงก์ครบคาบ

- หน่วย: ส่วนใหญ่แสดง dBV (RMS) แปลงด้วย D9 แล้วคำนวณ THD เอง หรือใช้ X10

- กระแส: ใช้โพรบกระแสหรือ shunt + โพรบดิฟเฟอเรนเชียล ห้ามหนีบกราวด์โพรบที่ไฟบ้าน (ความปลอดภัย)

D9 dBV ↔ Vrms แปลงหน่วยบนจอ FFT

$$V_{rms} = 10^{L/20}\ \text{V},\qquad L = 20\log_{10}V_{rms}\ \text{dBV}$$

ตัวอย่าง D-4 · THD จากจอ FFT

### FFT ของขาออกเครื่องขยายอ่านได้: หลัก 14 dBV ที่ 3 −2 dBV ที่ 5 −8 dBV หา THD

- D9: $V_1 = 10^{0.7} = 5.01$ V · $V_3 = 10^{-0.1} = 0.794$ V · $V_5 = 10^{-0.4} = 0.398$ V

- H2: THD $= \sqrt{0.794^2 + 0.398^2}/5.01 = 17.7$ %

THD 17.7 % มีแต่ฮาร์มอนิกคี่ → ขาออกถูกตัดยอดแบบสมมาตร (S7) ลดแอมพลิจูดขาเข้าหรือเพิ่มแรงดันไฟเลี้ยง

## คำนวณฮาร์มอนิกบนไมโครคอนโทรลเลอร์: อัลกอริทึม Goertzel ขั้นสูง

เครื่องวัดพลังงานที่ทำเองด้วย ESP32 ไม่จำเป็นต้องใช้ FFT ทั้งก้อน ถ้าต้องการแค่ฮาร์มอนิกที่ 1–15 Goertzel คำนวณทีละช่องด้วยตัวกรอง IIR อันดับสองหนึ่งตัว ทำงานไปพร้อมกับการสุ่มได้ ใช้หน่วยความจำแค่สองตัวแปรต่อช่อง

D10 Goertzel recursion อัลกอริทึม Goertzel

$$s[n] = x[n] + 2\cos\omega_k\,s[n-1] - s[n-2],\qquad X[k] = s[N-1] - e^{-j\omega_k}s[N-2],\qquad \omega_k = \frac{2\pi k}{N}$$

เท่ากับ DFT ช่องที่ k ทุกประการ (ต่างกันแค่มุมเฟสคงที่) คูณจริงหนึ่งครั้งต่อตัวอย่าง · หน้าต่างต้องครบคาบ ใช้การวัดความถี่ไฟแล้วปรับอัตราสุ่ม หรือปรับ N ให้ครบ 10 คาบ

// Goertzel: แอมพลิจูด (ค่ายอด) ของช่อง k จาก N ตัวอย่าง — ตรงกับ D2 และ D10
#include <math.h>
float goertzel_amp(const float *x, int N, int k) {
float w = 2.0f * (float)M_PI * k / N, c = 2.0f * cosf(w);
float s1 = 0.0f, s2 = 0.0f;
for (int n = 0; n < N; n++) {
float s0 = x[n] + c * s1 - s2;
s2 = s1; s1 = s0;
}
float re = s1 - s2 * cosf(w), im = s2 * sinf(w);
return 2.0f * sqrtf(re * re + im * im) / N;
}

// สุ่ม 128 จุดต่อคาบของ 50 Hz (fs = 6.4 kHz) นาน 10 คาบ → N = 1280, ฮาร์มอนิก h อยู่ช่อง k = 10h
float thd_percent(const float *x) {
const int N = 1280, M = 10;
float a1 = goertzel_amp(x, N, M * 1), sum = 0.0f;
for (int h = 2; h <= 15; h++) { float a = goertzel_amp(x, N, M * h); sum += a * a; }
return 100.0f * sqrtf(sum) / a1; // THD จนถึงฮาร์มอนิกที่ 15 (Nyquist = ฮาร์มอนิกที่ 64)
}
ลบค่าเฉลี่ย (DC offset ของ ADC) ออกจาก x ก่อน และกรองกันอเลียสซิงด้วย RC ก่อนเข้า ADC ชิปวัดพลังงานบางรุ่นมีวงจร DFT ในตัว ให้ค่าฮาร์มอนิกโดยตรง

## แล็บ: สเปกตรัมแบบเครื่องวัด พื้นฐาน

แล็บในชุดนี้คำนวณสเปกตรัมแบบปิด (อินทิเกรตแต่ละช่วงตรง ๆ) จึงไม่มีอเลียสซิงหรือ leakage ใช้เป็น “คำตอบอ้างอิง” เทียบกับ FFT บนสโคปจริงของคุณ ส่วนแล็บเครื่องกำเนิดสัญญาณมี FFT แบบสโคปจริงที่เกิดอเลียสซิงได้ ลองอเลียสซิง

## คำถามที่พบบ่อย

DFT กับอนุกรมฟูเรียร์เกี่ยวกันอย่างไร?
ถ้าสุ่มสัญญาณคาบจำนวน N จุดเท่ากันพอดีในหนึ่งคาบ (หรือจำนวนเต็มคาบ) DFT ของข้อมูลนั้นหารด้วย N คือสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ $c_k$ ตรงตัว ตราบที่สัญญาณไม่มีฮาร์มอนิกเกินครึ่งหนึ่งของความถี่สุ่ม FFT เป็นแค่วิธีคำนวณ DFT ที่เร็ว

ทำไมเครื่องวิเคราะห์กำลังใช้หน้าต่าง 10 คาบ?
IEC 61000-4-7 กำหนดหน้าต่าง 10 คาบที่ 50 Hz (12 คาบที่ 60 Hz) ประมาณ 200 ms ได้ความละเอียด 5 Hz ฮาร์มอนิกที่ h อยู่ช่องที่ 10h และช่องระหว่างนั้นใช้วัดอินเตอร์ฮาร์มอนิก การสุ่มต้องซิงก์กับความถี่ไฟจริงเพื่อไม่ให้เกิด leakage

spectral leakage คืออะไร?
ถ้าหน้าต่างไม่ครอบจำนวนเต็มคาบพอดี DFT มองว่าสัญญาณมีรอยต่อที่ขอบหน้าต่าง พลังงานของฮาร์มอนิกจึงรั่วไปช่องข้างเคียง ค่าแอมพลิจูดผิดและเกิดเส้นปลอม แก้ด้วยการซิงก์อัตราสุ่มกับความถี่ (PLL) ใช้หน้าต่าง Hann หรือ flat-top และการรวมกลุ่มช่อง

Goertzel ดีกว่า FFT เมื่อไร?
เมื่อต้องการแค่ไม่กี่ความถี่ เช่นฮาร์มอนิก 1 ถึง 15 ของไฟ 50 Hz บนไมโครคอนโทรลเลอร์ Goertzel คำนวณแต่ละช่องด้วยลูปเดียว ใช้หน่วยความจำน้อย ทำได้ทีละตัวอย่างระหว่างสุ่ม ส่วน FFT คุ้มกว่าเมื่อต้องการทุกช่อง

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**DFT กับอนุกรมฟูเรียร์เกี่ยวกันอย่างไร?**
ถ้าสุ่มสัญญาณคาบจำนวน N จุดเท่ากันพอดีในหนึ่งคาบ (หรือจำนวนเต็มคาบ) DFT ของข้อมูลนั้นหารด้วย N คือสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ $c_k$ ตรงตัว ตราบที่สัญญาณไม่มีฮาร์มอนิกเกินครึ่งหนึ่งของความถี่สุ่ม FFT เป็นแค่วิธีคำนวณ DFT ที่เร็ว

**ทำไมเครื่องวิเคราะห์กำลังใช้หน้าต่าง 10 คาบ?**
IEC 61000-4-7 กำหนดหน้าต่าง 10 คาบที่ 50 Hz (12 คาบที่ 60 Hz) ประมาณ 200 ms ได้ความละเอียด 5 Hz ฮาร์มอนิกที่ h อยู่ช่องที่ 10h และช่องระหว่างนั้นใช้วัดอินเตอร์ฮาร์มอนิก การสุ่มต้องซิงก์กับความถี่ไฟจริงเพื่อไม่ให้เกิด leakage

**spectral leakage คืออะไร?**
ถ้าหน้าต่างไม่ครอบจำนวนเต็มคาบพอดี DFT มองว่าสัญญาณมีรอยต่อที่ขอบหน้าต่าง พลังงานของฮาร์มอนิกจึงรั่วไปช่องข้างเคียง ค่าแอมพลิจูดผิดและเกิดเส้นปลอม แก้ด้วยการซิงก์อัตราสุ่มกับความถี่ (PLL) ใช้หน้าต่าง Hann หรือ flat-top และการรวมกลุ่มช่อง

**Goertzel ดีกว่า FFT เมื่อไร?**
เมื่อต้องการแค่ไม่กี่ความถี่ เช่นฮาร์มอนิก 1 ถึง 15 ของไฟ 50 Hz บนไมโครคอนโทรลเลอร์ Goertzel คำนวณแต่ละช่องด้วยลูปเดียว ใช้หน่วยความจำน้อย ทำได้ทีละตัวอย่างระหว่างสุ่ม ส่วน FFT คุ้มกว่าเมื่อต้องการทุกช่อง

---

# อนุกรมฟูเรียร์คืออะไร: ทุกคลื่นคาบคือผลรวมของไซน์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/introduction/
Updated: 2026-10-12
Summary: อนุกรมฟูเรียร์ (ฟูริเยร์, Fourier series) อธิบายจากศูนย์: สัญญาณคาบ ความถี่มูลฐาน ฮาร์มอนิกที่ 3 5 7 สเปกตรัมขนาด การสังเคราะห์คลื่นสี่เหลี่ยมจากไซน์ อ่านสัมประสิทธิ์จากสมการ sin³ และ cos² ทำไมไฟบ้าน 50 Hz มี 150 Hz 250 Hz และใช้ฟูเรียร์ในอิเล็กทรอนิกส์กำลัง พร้อมแล็บสังเคราะห์ฟรี

// บทที่ 14.1 · อนุกรมฟูเรียร์ · What Is a Fourier Series?

# อนุกรมฟูเรียร์คืออะไร: ทุกคลื่นคาบคือผลรวมของไซน์

คลื่นสี่เหลี่ยมจากเครื่องกำเนิดสัญญาณ แรงดันที่ขาออกของอินเวอร์เตอร์ กระแสที่คอมพิวเตอร์ดึงจากปลั๊ก ทั้งหมดไม่ใช่ไซน์ แต่ทุกรูปที่ซ้ำเดิมเป็นคาบเขียนเป็นผลรวมของไซน์ได้เสมอ นี่คือความคิดของโจเซฟ ฟูเรียร์ และเป็นภาษาที่วิศวกรไฟฟ้าใช้พูดถึงฮาร์มอนิก ตัวกรอง และคุณภาพไฟฟ้า หน้านี้ปูพื้นให้เห็นภาพก่อนลงมือคำนวณในหน้าถัดไป

สรุปใน 30 วินาที

- สัญญาณคาบ $x(t + T) = x(t)$ มีความถี่มูลฐาน $f_0 = 1/T$

- $x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\big[a_n\cos n\omega_0 t + b_n \sin n\omega_0 t\big]$ โดย $\omega_0 = 2\pi f_0$

- ตัวที่ $n$ เรียกว่าฮาร์มอนิกที่ $n$ มีความถี่ $nf_0$ ไฟ 50 Hz จึงมีฮาร์มอนิกที่ 150, 250, 350 Hz …

- กราฟของ $A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ เทียบ $n$ คือสเปกตรัม สิ่งที่ FFT บนสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังแสดง

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## แนวคิด: ไซน์คืออิฐก้อนพื้นฐานของทุกคลื่นคาบ พื้นฐาน

ลองนึกถึงคอร์ดดนตรี เสียงที่ได้ยินคือโน้ตหลายตัวที่ดังพร้อมกัน หูของเราแยกได้ว่ามีโน้ตอะไรบ้าง อนุกรมฟูเรียร์ทำแบบเดียวกันกับสัญญาณไฟฟ้า มันบอกว่าคลื่นรูปไหนก็ตามที่ซ้ำเป็นคาบ ประกอบด้วยไซน์ความถี่อะไร ขนาดเท่าไร และเลื่อนเฟสไปเท่าไร

เงื่อนไขเดียวที่ต้องมีคือความเป็นคาบ รูปคลื่นต้องซ้ำเดิมทุกช่วงเวลา $T$ เท่ากัน ไซน์ที่ใช้ประกอบจึงมีได้เฉพาะความถี่ที่ซ้ำพอดีกับคาบนั้น คือ $f_0, 2f_0, 3f_0, \dots$ ไม่มีความถี่อื่นปน

F1 Periodic signal & fundamental frequency สัญญาณคาบและความถี่มูลฐาน

$$x(t + T) = x(t), \qquad f_0 = \frac{1}{T}, \qquad \omega_0 = 2\pi f_0 = \frac{2\pi}{T}$$

$T$ คือคาบที่สั้นที่สุดที่รูปซ้ำ ไฟบ้านไทย $f_0 = 50$ Hz, $T = 20$ ms, $\omega_0 = 314.16$ rad/s

F2 Harmonic frequencies ความถี่ของฮาร์มอนิก

$$f_n = n f_0, \qquad \omega_n = n\omega_0, \qquad n = 1, 2, 3, \dots$$

$n = 1$ คือฮาร์มอนิกหลัก (fundamental) $n = 2$ คือฮาร์มอนิกที่ 2 ไปเรื่อย ๆ ความถี่ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเท่าเรียกว่าอินเตอร์ฮาร์มอนิก ไม่อยู่ในอนุกรมฟูเรียร์

F3 Fourier series (trigonometric form) อนุกรมฟูเรียร์รูปตรีโกณมิติ

$$x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \Big[\, a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t) \,\Big]$$

$a_0$ คือค่าเฉลี่ย (DC) ส่วน $a_n$ กับ $b_n$ บอกว่ามีโคไซน์และไซน์ของความถี่ $nf_0$ อยู่เท่าไร วิธีหาอยู่ที่ T6 · บางตำราเขียน $a_0/2$ แทน $a_0$ ชุดนี้ใช้ $a_0$ = ค่าเฉลี่ยตลอด เพราะอ่านเป็นแรงดัน DC ได้ทันที

F4 Amplitude–phase form รูปแอมพลิจูด–เฟส (ฮาร์มอนิกละหนึ่งไซน์)

$$x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n\omega_0 t + \varphi_n), \qquad A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$$

รวมโคไซน์กับไซน์ความถี่เดียวกันเป็นไซน์ตัวเดียว (harmonic addition จากตรีโกณมิติ) $A_n$ คือแอมพลิจูด (ค่ายอด) ของฮาร์มอนิกที่ $n$ รายละเอียดมุม $\varphi_n$ ที่ C3

คลื่นสี่เหลี่ยม (เส้นประ) กับไซน์ความถี่ $f_0$, $3f_0$, $5f_0$ ที่ขนาด $1, \tfrac13, \tfrac15$ ของตัวแรก ผลรวมสามตัว (สีส้ม) เริ่มเหลี่ยมแล้ว

## สังเคราะห์: รวมไซน์ให้ได้คลื่นสี่เหลี่ยม พื้นฐาน

คลื่นสี่เหลี่ยมสูง $\pm A$ เขียนเป็นอนุกรมได้ว่า $x(t) = \tfrac{4A}{\pi}\big[\sin\omega_0 t + \tfrac13 \sin 3\omega_0 t + \tfrac15 \sin 5\omega_0 t + \cdots\big]$ มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ และขนาดลดลงตาม $1/n$ ที่มาของสูตรนี้อยู่ในตัวอย่าง T-1 ตอนนี้ลองเชื่อไปก่อนแล้วดูด้วยตาว่ามันรวมกันเป็นสี่เหลี่ยมจริง กด “▶ เพิ่มทีละตัว” หรือเลื่อน N

ตัวอย่าง F-1 · ผลรวมสามพจน์

### ใช้ฮาร์มอนิกที่ 1, 3, 5 ของคลื่นสี่เหลี่ยม $\pm1$ V หาค่าที่ $t = T/4$ และ $t = T/8$ แล้วบอกว่ารวมสามตัวได้กำลังกี่เปอร์เซ็นต์

- ที่ $t = T/4$ มุม $\omega_0 t = \pi/2$: $\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$, $\sin\tfrac{3\pi}{2} = -1$, $\sin\tfrac{5\pi}{2} = 1$

$$x_5\!\left(\tfrac{T}{4}\right) = \frac{4}{\pi}\Big(1 - \tfrac13 + \tfrac15\Big) = 1.2732 \times 0.8667 = 1.1035\ \text{V}$$

- ที่ $t = T/8$ มุม $\pi/4$: $\sin 45^\circ = 0.7071$, $\sin 135^\circ = 0.7071$, $\sin 225^\circ = -0.7071$

$$x_5\!\left(\tfrac{T}{8}\right) = \frac{4}{\pi}\Big(0.7071 + \tfrac{0.7071}{3} - \tfrac{0.7071}{5}\Big) = 1.0204\ \text{V}$$

- กำลัง (ค่า RMS²) ของสี่เหลี่ยมคือ $A^2 = 1$ ส่วนฮาร์มอนิกที่ $n$ มีกำลัง $A_n^2/2$ P5

$$\frac{1}{2}\Big(\frac{4}{\pi}\Big)^2\Big(1 + \tfrac19 + \tfrac1{25}\Big) = 0.8106 \times 1.1511 = 0.9331$$

ค่าที่ T/4 เกินไป 10 % ที่ T/8 เกินไป 2 % แต่สามตัวแรกให้กำลังแล้ว 93.3 % ของทั้งหมด ฮาร์มอนิกหลักตัวเดียวมีกำลัง 81.1 % ส่วนที่เหลือคือสิ่งที่ทำให้มุมคม

ตรวจในแล็บด้านบน: ตั้ง N = 5 อ่าน “กำลังที่รวมแล้ว” ได้ 93.31 % ✓

สังเกต: เพิ่มฮาร์มอนิกเท่าไรมุมก็คมขึ้น แต่ยอดแหลมข้างรอยกระโดดไม่หาย มันสูงราว 9 % ของขนาดรอยกระโดดเสมอ เรียกว่าปรากฏการณ์กิบส์ อธิบายที่ 12.5

## ภาษาของฮาร์มอนิก: ชื่อที่ต้องรู้ พื้นฐาน

งานไฟฟ้าใช้คำเหล่านี้ทุกวัน ในรายงานคุณภาพไฟฟ้า สเปกของไดรฟ์ หรือหน้าจอเครื่องวัด

F5 DC component องค์ประกอบ DC = ค่าเฉลี่ย

$$a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)\,dt$$

ไซน์บริสุทธิ์มี $a_0 = 0$ คลื่นที่เรียงกระแสแล้ว หรือพัลส์ 0 ถึง 5 V มี $a_0 \neq 0$ ฮาร์มอนิกที่ “ลำดับศูนย์” คือ DC

F6 Odd, even and triplen harmonics ฮาร์มอนิกคี่ คู่ และทริปเพลน

$$\text{odd: } n = 1, 3, 5, \dots \quad \text{even: } n = 2, 4, \dots \quad \text{triplen: } n = 3, 9, 15, \dots$$

ครึ่งบวกกับครึ่งลบหน้าตาเหมือนกัน (กลับหัว) → มีแต่ฮาร์มอนิกคี่ S4 · ทริปเพลน (คี่ที่หารด้วย 3 ลงตัว) บวกกันในสายนิวทรัล H10

F7 Line spectrum สเปกตรัมเส้น: มองสัญญาณในโดเมนความถี่

$$x(t) \;\longleftrightarrow\; \{\, a_0;\ (A_1, \varphi_1);\ (A_2, \varphi_2);\ \dots \,\} \quad \text{at} \quad 0,\ f_0,\ 2f_0,\ \dots$$

สัญญาณคาบมีพลังงานเฉพาะที่ความถี่ $nf_0$ กราฟสเปกตรัมจึงเป็นแท่ง ๆ ไม่ต่อเนื่อง ระยะห่างของแท่งคือ $f_0 = 1/T$ เครื่องวัดมักแสดงเป็นค่า RMS $A_n/\sqrt2$ หรือเป็น % ของฮาร์มอนิกหลัก

สัญญาณเดียวกันสองมุมมอง: ซ้ายคือโดเมนเวลา (สิ่งที่สโคปแสดง) ขวาคือโดเมนความถี่ (สิ่งที่ FFT หรือเครื่องวิเคราะห์กำลังแสดง) ไฟ 50 Hz ที่มีฮาร์มอนิกที่ 3 และ 5

| ลำดับ n | ที่ 50 Hz | ที่ 60 Hz | แหล่งกำเนิดที่พบบ่อยในงานไฟฟ้า |

| 0 (DC) | 0 Hz | 0 Hz | เรียงกระแสครึ่งคลื่น อุปกรณ์เสียข้างเดียว |

| 1 (หลัก) | 50 Hz | 60 Hz | ไฟจากการไฟฟ้า กำลังจริงส่วนใหญ่อยู่ที่นี่ |

| 2 | 100 Hz | 120 Hz | กระแสพุ่งเข้าหม้อแปลง (inrush) โหลดไม่สมมาตร |

| 3 | 150 Hz | 180 Hz | SMPS คอมพิวเตอร์ หลอด LED หม้อแปลงอิ่มตัว → นิวทรัลร้อน |

| 5, 7 | 250, 350 Hz | 300, 420 Hz | เรกติไฟเออร์ 3 เฟส 6 พัลส์ ไดรฟ์ VFD UPS 12.9 |

| 11, 13 | 550, 650 Hz | 660, 780 Hz | 6 พัลส์ (รองลงมา) และ 12 พัลส์ |

| รอบ $m_f$ | kHz | kHz | สวิตชิ่งของอินเวอร์เตอร์ PWM 12.10 |

## อ่านสัมประสิทธิ์โดยไม่ต้องอินทิเกรต พื้นฐาน

ถ้าสัญญาณเขียนเป็นผลรวมของไซน์อยู่แล้ว อนุกรมฟูเรียร์ก็คือตัวมันเอง แค่จัดรูปให้ตรงกับ F3 และถ้าเป็นกำลังของไซน์ ใช้สูตรลดกำลังจากตรีโกณมิติเปลี่ยนเป็นผลบวกได้ทันที

ตัวอย่าง F-2 · อ่านค่าตรง

### $v(t) = 12 + 5\cos(100\pi t) - 2\sin(300\pi t)$ V หาคาบ $f_0$, $a_0$, $a_n$, $b_n$ และค่า RMS

- ความถี่เชิงมุมที่มีคือ $100\pi$ และ $300\pi$ rad/s ตัวที่ต่ำที่สุดที่ทุกตัวเป็นจำนวนเต็มเท่าคือ $\omega_0 = 100\pi$ → $f_0 = 50$ Hz, $T = 20$ ms

- เทียบกับ F3: $a_0 = 12$, $a_1 = 5$, $b_3 = -2$ ค่าอื่นเป็นศูนย์ทั้งหมด (ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 2)

- RMS จากพาร์เซวาล P6: DC ใช้ค่าเต็ม ไซน์ใช้ $A/\sqrt2$

$$V_{rms} = \sqrt{12^2 + \tfrac{5^2}{2} + \tfrac{2^2}{2}} = \sqrt{144 + 12.5 + 2} = 12.59\ \text{V}$$

$f_0 = 50$ Hz · $a_0 = 12$ V · $a_1 = 5$ V · $b_3 = -2$ V · $V_{rms} = 12.59$ V

ตัวอย่าง F-3 · ความไม่เป็นเชิงเส้นสร้างฮาร์มอนิก

### ป้อน $x = \sin\omega t$ เข้าอุปกรณ์ที่ได้ขาออก $y = x^2$ และ $y = x^3$ ขาออกมีฮาร์มอนิกอะไรบ้าง

- สูตรลดกำลัง (power-reduction) จากตรีโกณมิติ

$$\sin^2\omega t = \tfrac12 - \tfrac12\cos 2\omega t$$

-
$$\sin^3\omega t = \tfrac34\sin\omega t - \tfrac14\sin 3\omega t$$

- อ่านค่า: $x^2$ มี $a_0 = \tfrac12$, $a_2 = -\tfrac12$ · $x^3$ มี $b_1 = \tfrac34$, $b_3 = -\tfrac14$

กำลังสอง (ไม่สมมาตร) สร้าง DC กับฮาร์มอนิกคู่ กำลังสาม (สมมาตรแบบคี่) สร้างเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ นี่คือเหตุผลที่แกนเหล็กหม้อแปลงที่อิ่มตัว (คี่) สร้างฮาร์มอนิกที่ 3 และไดโอด (ไม่สมมาตร) สร้างฮาร์มอนิกคู่ ดู S7

## ทำไมวิศวกรไฟฟ้าต้องรู้อนุกรมฟูเรียร์ พื้นฐาน

หลักการเดียวกันใช้ได้ตั้งแต่ห้องแล็บวงจรจนถึงสถานีไฟฟ้า ทุกงานในตารางนี้มีหน้าอธิบายในชุดนี้

| งาน | คำถามที่ฟูเรียร์ตอบ | อ่านต่อ |

| คุณภาพไฟฟ้า | THD เท่าไร ผ่าน IEEE 519 ไหม ทำไม PF ต่ำทั้งที่ cos φ ดี | 12.8 |

| อาคารสำนักงาน | ทำไมสายนิวทรัลร้อน หม้อแปลงร้อน ทั้งที่โหลดไม่เต็ม | H10 |

| โรงงาน | ทำไมคาปาซิเตอร์แก้ PF ระเบิด ต้องใช้รีแอกเตอร์ดีจูนกี่ % | 12.12 |

| อิเล็กทรอนิกส์กำลัง | อินเวอร์เตอร์ PWM มีฮาร์มอนิกที่ไหน ต้องกรองที่ความถี่เท่าไร | 12.10 |

| แหล่งจ่ายไฟ | ริปเปิลของบั๊กคอนเวอร์เตอร์เท่าไร EMI ไปถึงกี่ MHz | 12.11 |

| วงจรกรองสัญญาณ | คลื่นสี่เหลี่ยมผ่าน RC แล้วได้อะไร ทำไมมุมมน | 12.7 |

| เครื่องมือวัด | FFT บนสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังคำนวณอย่างไร ทำไมค่าคลาดเคลื่อน | 12.13 |

| ระบบควบคุม | ทำนายลิมิตไซเคิลด้วยฮาร์มอนิกหลัก (describing function) | U1 |

มุมมองของอาจารย์: ช่างเทคนิควัด THD ได้จากเครื่องวัด แต่วิศวกรต้องตอบได้ว่าตัวเลขนั้นมาจากไหน จะเปลี่ยนอะไรในวงจรให้มันลดลง และจะลดลงเท่าไร คำตอบทั้งหมดมาจากสูตรสามบรรทัดของฟูเรียร์

## อนุกรมฟูเรียร์ใช้กับอะไรได้ และอะไรไม่ได้ กลาง

- ใช้ได้: สัญญาณคาบในสถานะคงตัว (steady state) ที่ปฏิบัติตามเงื่อนไขของดีริชเลต์ ซึ่งสัญญาณไฟฟ้าจริงทุกตัวผ่าน แม้จะมีรอยกระโดดหรือมุมแหลม P1

- ไม่เป็นคาบ เช่นพัลส์เดียว ใช้การแปลงฟูเรียร์ (Fourier transform) ได้สเปกตรัมต่อเนื่อง ดูแล็บสัญญาณ

- ช่วงชั่วครู่ เช่นสวิตช์เพิ่งเปิด ใช้การแปลงลาปลาซ แล้วค่อยใช้ฟูเรียร์กับส่วนสถานะคงตัว

- ความถี่ไม่สัมพันธ์กัน เช่น 50 Hz กับ 173 Hz ผลรวมไม่เป็นคาบที่สั้น เรียก 173 Hz ว่าอินเตอร์ฮาร์มอนิก เครื่องวัดตามมาตรฐานจัดกลุ่มแยกไว้ D8

ประวัติสั้น ๆ: Joseph Fourier เสนอแนวคิดนี้ในงานเรื่องการนำความร้อน (ค.ศ. 1807) และตีพิมพ์หนังสือ Théorie analytique de la chaleur ใน ค.ศ. 1822 คำถามว่าอนุกรมลู่เข้าเมื่อใดถูกตอบภายหลังโดย Dirichlet

## เรียนต่ออะไร: เส้นทางในชุดนี้ พื้นฐาน

- 12.2 หาสัมประสิทธิ์ทีละขั้น ต้องใช้อินทิกรัล (ทีละส่วน) และตรีโกณมิติ

- 12.3 สมมาตร ลดงานคำนวณได้ครึ่งหนึ่งหรือมากกว่า

- 12.4 รูปเชิงซ้อนและสเปกตรัม และ 12.5 พาร์เซวาล สะพานสู่ RMS และ THD

- 12.6 ตารางรูปคลื่น ใช้เป็นสูตรสำเร็จในงานจริง

- นำไปใช้: วงจร → กำลังไฟฟ้า → เรกติไฟเออร์ → อินเวอร์เตอร์ → บั๊ก → วิธีแก้

- วัดจริง: FFT และแล็บเสมือน

## คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมฟูเรียร์คืออะไรในหนึ่งประโยค?
คือการเขียนสัญญาณที่ซ้ำรูปเดิมทุกคาบ $T$ ให้เป็นผลรวมของค่าคงตัว (DC) กับไซน์และโคไซน์ที่ความถี่เป็นจำนวนเต็มเท่าของ $f_0 = 1/T$ เรียกแต่ละตัวว่าฮาร์มอนิก

ฮาร์มอนิกที่ 3 ของไฟ 50 Hz คือความถี่อะไร?
ฮาร์มอนิกที่ n มีความถี่ $n f_0$ ไฟ 50 Hz จึงมีฮาร์มอนิกที่ 3 ที่ 150 Hz ที่ 5 ที่ 250 Hz และที่ 7 ที่ 350 Hz ถ้าเป็นระบบ 60 Hz ฮาร์มอนิกที่ 3 อยู่ที่ 180 Hz

อนุกรมฟูเรียร์ต่างจากการแปลงฟูเรียร์และการแปลงลาปลาซอย่างไร?
อนุกรมฟูเรียร์ใช้กับสัญญาณคาบ ได้สเปกตรัมเป็นเส้นที่ความถี่ $nf_0$ การแปลงฟูเรียร์ใช้กับสัญญาณไม่เป็นคาบ ได้สเปกตรัมต่อเนื่อง ส่วนการแปลงลาปลาซใช้ $s = \sigma + j\omega$ เหมาะกับผลตอบสนองชั่วครู่ที่เริ่มจากเวลา 0 งานฮาร์มอนิกในระบบไฟฟ้าซึ่งอยู่ในสถานะคงตัวจึงใช้อนุกรมฟูเรียร์

ทำไมไฟในอาคารที่ใช้คอมพิวเตอร์มากจึงมีฮาร์มอนิกสูง?
แหล่งจ่ายไฟสวิตชิ่งที่ไม่มี PFC ดึงกระแสเป็นพัลส์แหลมเฉพาะช่วงยอดแรงดัน กระแสรูปนี้เมื่อแยกด้วยอนุกรมฟูเรียร์มีฮาร์มอนิกคี่จำนวนมาก โดยเฉพาะที่ 3 ซึ่งบวกกันในสายนิวทรัล ดูหน้าเรื่องกำลังไฟฟ้าเมื่อมีฮาร์มอนิก

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**อนุกรมฟูเรียร์คืออะไรในหนึ่งประโยค?**
คือการเขียนสัญญาณที่ซ้ำรูปเดิมทุกคาบ $T$ ให้เป็นผลรวมของค่าคงตัว (DC) กับไซน์และโคไซน์ที่ความถี่เป็นจำนวนเต็มเท่าของ $f_0 = 1/T$ เรียกแต่ละตัวว่าฮาร์มอนิก

**ฮาร์มอนิกที่ 3 ของไฟ 50 Hz คือความถี่อะไร?**
ฮาร์มอนิกที่ n มีความถี่ $n f_0$ ไฟ 50 Hz จึงมีฮาร์มอนิกที่ 3 ที่ 150 Hz ที่ 5 ที่ 250 Hz และที่ 7 ที่ 350 Hz ถ้าเป็นระบบ 60 Hz ฮาร์มอนิกที่ 3 อยู่ที่ 180 Hz

**อนุกรมฟูเรียร์ต่างจากการแปลงฟูเรียร์และการแปลงลาปลาซอย่างไร?**
อนุกรมฟูเรียร์ใช้กับสัญญาณคาบ ได้สเปกตรัมเป็นเส้นที่ความถี่ $nf_0$ การแปลงฟูเรียร์ใช้กับสัญญาณไม่เป็นคาบ ได้สเปกตรัมต่อเนื่อง ส่วนการแปลงลาปลาซใช้ $s = \sigma + j\omega$ เหมาะกับผลตอบสนองชั่วครู่ที่เริ่มจากเวลา 0 งานฮาร์มอนิกในระบบไฟฟ้าซึ่งอยู่ในสถานะคงตัวจึงใช้อนุกรมฟูเรียร์

**ทำไมไฟในอาคารที่ใช้คอมพิวเตอร์มากจึงมีฮาร์มอนิกสูง?**
แหล่งจ่ายไฟสวิตชิ่งที่ไม่มี PFC ดึงกระแสเป็นพัลส์แหลมเฉพาะช่วงยอดแรงดัน กระแสรูปนี้เมื่อแยกด้วยอนุกรมฟูเรียร์มีฮาร์มอนิกคี่จำนวนมาก โดยเฉพาะที่ 3 ซึ่งบวกกันในสายนิวทรัล ดูหน้าเรื่องกำลังไฟฟ้าเมื่อมีฮาร์มอนิก

---

# สเปกตรัมของอินเวอร์เตอร์: สี่เหลี่ยม quasi-square six-step SHE และ SPWM

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/inverters-pwm/
Updated: 2026-10-13
Summary: วิเคราะห์แรงดันขาออกของอินเวอร์เตอร์ด้วยอนุกรมฟูเรียร์: อินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยม 4Vdc/π กำจัดฮาร์มอนิกด้วยมุม α ของ quasi-square อินเวอร์เตอร์ 3 เฟส six-step ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 3 selective harmonic elimination (SHE) พร้อมมุมที่แก้แล้ว Sinusoidal PWM ดัชนีมอดูเลชัน ma อัตราส่วนความถี่ mf ตารางไซด์แบนด์แบบไบโพลาร์และยูนิโพลาร์ โอเวอร์มอดูเลชัน WTHD ฟิลเตอร์ LC และผลต่อมอเตอร์

// บทที่ 14.10 · อนุกรมฟูเรียร์ · Inverter & PWM Spectra

# สเปกตรัมของอินเวอร์เตอร์: สี่เหลี่ยม quasi-square six-step SHE และ SPWM

อินเวอร์เตอร์สร้างไซน์จากสวิตช์ที่เปิดปิดได้แค่สองหรือสามระดับ ทุกเทคนิคตั้งแต่คลื่นสี่เหลี่ยมถึง PWM คือการเลือกจังหวะสวิตช์ให้ฮาร์มอนิกหลักได้ขนาดที่ต้องการ แล้วย้ายฮาร์มอนิกที่เหลือไปอยู่ที่ที่กรองง่ายที่สุด อนุกรมฟูเรียร์บอกได้แม่นยำว่าแต่ละวิธีย้ายไปไว้ที่ไหน

สรุปใน 30 วินาที

- สี่เหลี่ยมเต็มบริดจ์: $V_1 = \frac{4V_{dc}}{\pi}$ ฮาร์มอนิก $1/n$ · quasi-square: $\frac{4V_{dc}}{n\pi}\cos n\alpha$ เลือก α ฆ่าฮาร์มอนิกได้

- six-step 3 เฟส: เหลือ 6k ± 1 · $V_{LL1} = 0.780V_{dc}$ (RMS)

- SPWM: $V_1 = m_a\frac{V_{dc}}{2}$ (ครึ่งบริดจ์) ฮาร์มอนิกย้ายไปรอบ $m_f$, $2m_f$ · ยูนิโพลาร์ย้ายไปรอบ $2m_f$

- 3 เฟส: $V_{LL1,rms} = 0.612\,m_aV_{dc}$ · $m_f$ คี่ หารด้วย 3 ลงตัว

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## อินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยม พื้นฐาน

V1 Square-wave inverter อินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยม

$$\text{เต็มบริดจ์ } (\pm V_{dc}):\; V_n = \frac{4V_{dc}}{n\pi},\; V_{1,rms} = 0.900V_{dc} \qquad \text{ครึ่งบริดจ์ } (\pm V_{dc}/2):\; V_n = \frac{2V_{dc}}{n\pi}$$

ใช้ W1 ตรง ๆ · ปรับขนาดฮาร์มอนิกหลักไม่ได้นอกจากเปลี่ยน $V_{dc}$ THD 48 % · โหลดเหนี่ยวนำช่วยกรองกระแส (A-2)

## quasi-square: ปรับแรงดันและกำจัดฮาร์มอนิกด้วยมุมเดียว กลาง

เต็มบริดจ์สร้างระดับศูนย์ได้ด้วย (สวิตช์บนทั้งสองหรือล่างทั้งสองนำพร้อมกัน) ใส่ช่วงศูนย์กว้าง α ที่ขอบทั้งสองของแต่ละครึ่งคาบ ได้รูปเสี้ยวคลื่นสมมาตรที่วิเคราะห์ไว้แล้วใน S-2

V2 Quasi-square inverter ปรับด้วยมุม α

$$V_n = \frac{4V_{dc}}{n\pi}\cos n\alpha,\qquad \alpha = \frac{90^\circ}{n} \;\Rightarrow\; V_n = 0 \;\;(\alpha = 30^\circ:\ n = 3 \quad \alpha = 18^\circ:\ n = 5 \quad \alpha = 12.86^\circ:\ n = 7)$$

มุมเดียวทำได้สองงานไม่พร้อมกัน: ปรับขนาด $V_1$ หรือกำจัดฮาร์มอนิกหนึ่งตัว ต้องการมากกว่านั้นใช้ SHE หรือ PWM

quasi-square α = 30° (สีส้ม) และฮาร์มอนิกหลักของมัน (สีฟ้า) ช่วงศูนย์กว้าง 30° ที่ขอบแต่ละด้าน ทำให้ฮาร์มอนิกที่ 3 หายไปพอดี

ตัวอย่าง V-1 · อินเวอร์เตอร์สำรองไฟแบบ modified sine

### เต็มบริดจ์ $V_{dc}$ = 311 V ใช้ quasi-square α = 30° หาแรงดันฮาร์มอนิกหลัก (ยอดและ RMS) ฮาร์มอนิกที่ 5, 7 และค่า RMS รวม

- V2: $V_1 = \frac{4(311)}{\pi}\cos 30^\circ = 342.9$ V ยอด = 242.5 V RMS

- $V_5 = \frac{4(311)}{5\pi}|\cos 150^\circ| = 68.6$ V · $V_7 = 49.0$ V (ยอด) · $V_3 = 0$

- RMS รวม W9: $311\sqrt{1 - 1/3} = 253.9$ V

ได้ราว 242 V RMS ที่ 50 Hz (ใกล้ไฟบ้าน) ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 3 THD 31 % · ขาย UPS แบบนี้ในชื่อ “modified sine wave” อุปกรณ์ที่มีตัวเก็บประจุด้านเข้าหรือมอเตอร์บางชนิดทำงานได้แต่ร้อนกว่า

## อินเวอร์เตอร์ 3 เฟส six-step กลาง

สามขา (leg) แต่ละขาเป็นสี่เหลี่ยม ±Vdc/2 เลื่อนกัน 120° แรงดันไลน์คือผลต่างของสองขา ได้ quasi-square α = 30° โดยอัตโนมัติ ฮาร์มอนิกที่ 3 ของแต่ละขาอยู่ในเฟสเดียวกัน (ลำดับศูนย์ H10) จึงหักล้างกันในแรงดันไลน์

V3 Six-step inverter อินเวอร์เตอร์ six-step

$$V_{LL1,rms} = \frac{\sqrt6}{\pi}V_{dc} = 0.780V_{dc},\qquad V_{ph1,rms} = \frac{\sqrt2}{\pi}V_{dc} = 0.450V_{dc},\qquad V_h = \frac{V_1}{h},\; h = 6k \pm 1$$

รูปคลื่นแรงดันเฟส W10 แรงดันไลน์ W11 · ให้แรงดันสูงสุดที่ $V_{dc}$ ทำได้ (สูงกว่า SPWM เชิงเส้น 27 %) ไดรฟ์ใช้ในย่านความเร็วสูงสุด

## Selective Harmonic Elimination (SHE) ขั้นสูง

ขยายแนวคิดของ quasi-square: ใส่ช่วงศูนย์หลายช่วงในหนึ่งในสี่คาบ ได้มุมสวิตช์ k มุม จึงตั้งสมการได้ k สมการ ใช้หนึ่งสมการกำหนดขนาด $V_1$ ที่เหลือบังคับให้ฮาร์มอนิกที่ไม่ต้องการเป็นศูนย์

V4 SHE equations (3-level, quarter-wave) สมการ SHE

$$V_n = \frac{4V_{dc}}{n\pi}\sum_{k=1}^{K}(-1)^{k+1}\cos n\alpha_k,\qquad 0 \lt \alpha_1 \lt \alpha_2 \lt \cdots \lt \alpha_K \lt 90^\circ$$

ไม่เชิงเส้น ต้องแก้เชิงตัวเลข (นิวตัน) แล้วเก็บเป็นตารางมุมในไมโครคอนโทรลเลอร์ ใช้ในอินเวอร์เตอร์กำลังสูงที่ความถี่สวิตช์ต่ำ

ตัวอย่าง V-2 · กำจัด 5 และ 7 พร้อมกัน

### ใช้สามมุม ต้องการ $V_1 = 0.8 \times \frac{4V_{dc}}{\pi}$ และ $V_5 = V_7 = 0$ หามุมและฮาร์มอนิกที่เหลือ

- สมการ: $\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2 + \cos\alpha_3 = 0.8$ · $\cos 5\alpha_1 - \cos 5\alpha_2 + \cos 5\alpha_3 = 0$ · $\cos 7\alpha_1 - \cos 7\alpha_2 + \cos 7\alpha_3 = 0$

- แก้ด้วยวิธีนิวตัน: $\alpha_1 = 23.63^\circ$, $\alpha_2 = 38.06^\circ$, $\alpha_3 = 47.84^\circ$

- แทนกลับ (% ของ $V_1$): $V_3$ 2.8 % · $V_5 = V_7 = 0$ · $V_9$ 20.3 % · $V_{11}$ 18.9 % · $V_{13}$ 11.2 %

สามมุมฆ่า 5 และ 7 ได้จริง ในระบบ 3 เฟสแรงดันไลน์ตัด 3 และ 9 ทิ้งเอง ฮาร์มอนิกแรกที่เหลือคือ 11 และ 13 ซึ่งกรองง่ายกว่ามาก ตรวจด้วยแล็บโหมด “พิมพ์สมการเอง” ได้

## Sinusoidal PWM: ย้ายฮาร์มอนิกไปความถี่สวิตชิ่ง กลาง

เทียบสัญญาณอ้างอิงไซน์ (ความถี่ขาออก $f_1$) กับคลื่นพาหะสามเหลี่ยม (ความถี่ $f_s$) สวิตช์บนเปิดเมื่ออ้างอิงสูงกว่าพาหะ ค่าเฉลี่ยเฉพาะที่ของพัลส์ (local average) ติดตามไซน์ ฮาร์มอนิกหลักจึงแปรตรงกับขนาดของอ้างอิง ส่วนฮาร์มอนิกที่เหลือเป็นไซด์แบนด์รอบความถี่พาหะ (การคูณสัญญาณ C12)

V5 SPWM fundamentals นิยามและฮาร์มอนิกหลัก

$$m_a = \frac{\hat v_{ref}}{\hat v_{tri}},\qquad m_f = \frac{f_s}{f_1},\qquad \hat V_1 = m_a\frac{V_{dc}}{2}\;(\text{ครึ่งบริดจ์}),\qquad \hat V_1 = m_aV_{dc}\;(\text{เต็มบริดจ์}),\qquad m_a \le 1$$

V6 Where the PWM harmonics are ตำแหน่งไซด์แบนด์

$$h = j\,m_f \pm k:\quad \text{ไบโพลาร์: } j \text{ คี่} \to k \text{ คู่ (0, 2, 4)},\; j \text{ คู่} \to k \text{ คี่ (1, 3)} \qquad \text{ยูนิโพลาร์: กลุ่ม } j \text{ คี่หายหมด เหลือ } 2m_f \pm 1, 2m_f \pm 3, \dots$$

ฮาร์มอนิกต่ำกว่า $m_f - 4$ แทบไม่มีเมื่อ $m_a \le 1$ ตัวกรองจึงออกแบบที่ $f_s$ (หรือ $2f_s$ สำหรับยูนิโพลาร์) ไม่ใช่ที่ 150 Hz

บน: สัญญาณอ้างอิงไซน์ (สีส้ม) เทียบพาหะสามเหลี่ยม $m_f$ = 15 ได้พัลส์ไบโพลาร์ (สีฟ้า) · ล่าง: สเปกตรัม ฮาร์มอนิกหลัก $m_a$ = 0.8 แล้วว่างไปจนถึงกลุ่มรอบ $m_f$ และ $2m_f$

ขนาดฮาร์มอนิกของ SPWM ไบโพลาร์ (ค่ายอดหารด้วย $V_{dc}/2$) คำนวณแบบปิดในแล็บที่ $m_f$ = 51 · ยูนิโพลาร์ใช้คอลัมน์ $2m_f \pm 1$, $2m_f \pm 3$ เดียวกันแต่หารด้วย $V_{dc}$ และไม่มีกลุ่ม $m_f$, $3m_f$

| $m_a$ | 1 | $m_f$ | $m_f \pm 2$ | $m_f \pm 4$ | $2m_f \pm 1$ | $2m_f \pm 3$ | $3m_f$ | $3m_f \pm 2$ | $3m_f \pm 4$ |

| 0.2 | 0.200 | 1.242 | 0.016 | 0.000 | 0.190 | 0.003 | 0.335 | 0.044 | 0.001 |

| 0.4 | 0.400 | 1.151 | 0.061 | 0.001 | 0.326 | 0.024 | 0.123 | 0.139 | 0.012 |

| 0.6 | 0.600 | 1.006 | 0.131 | 0.003 | 0.370 | 0.071 | 0.083 | 0.203 | 0.047 |

| 0.8 | 0.800 | 0.818 | 0.220 | 0.008 | 0.314 | 0.139 | 0.171 | 0.176 | 0.104 |

| 1.0 | 1.000 | 0.601 | 0.318 | 0.018 | 0.181 | 0.212 | 0.113 | 0.062 | 0.157 |

V7 Choosing mf เลือก mf

$$m_f \in \mathbb Z,\quad m_f \text{ คี่},\quad m_f = 3k \;(\text{3 เฟส})$$

จำนวนเต็ม: เป็นคาบพอดี ไม่มีอินเตอร์ฮาร์มอนิก · คี่: สมมาตรครึ่งคลื่น ไม่มีคู่ · 3k: กลุ่มที่ $m_f$ ของสามเฟสเป็นลำดับศูนย์ หายจากแรงดันไลน์ (เหลือ $m_f \pm 2$) · เมื่อ $m_f$ > 21 ข้อเหล่านี้สำคัญน้อยลง

1 low order harmonics 3 5 7 square wave limit 4/pi โอเวอร์มอดูเลชัน">V8 Overmodulation โอเวอร์มอดูเลชัน $m_a \gt 1$

$$m_a\frac{V_{dc}}{2} \lt \hat V_1 \le \frac{4}{\pi}\cdot\frac{V_{dc}}{2}$$

พัลส์บางช่วงหายไป $V_1$ เพิ่มไม่เป็นเชิงเส้นจนเข้าใกล้คลื่นสี่เหลี่ยม ฮาร์มอนิกต่ำ 3, 5, 7 กลับมา ลองตั้ง $m_a$ = 1.3 ในแล็บ

V9 Three-phase SPWM แรงดันไลน์

$$V_{LL1,rms} = \frac{\sqrt3}{2\sqrt2}\,m_aV_{dc} = 0.612\,m_aV_{dc}$$

ฉีดฮาร์มอนิกที่ 3 ในอ้างอิง (หรือใช้ SVPWM) เพิ่มได้อีก 15.5 % เพราะฮาร์มอนิกที่ 3 หายในแรงดันไลน์ (ลำดับศูนย์)

ตัวอย่าง V-3 · อินเวอร์เตอร์ 1 เฟส 220 V พร้อมฟิลเตอร์

### เต็มบริดจ์ยูนิโพลาร์ $V_{dc}$ = 400 V, $m_a$ = 0.8, $f_1$ = 50 Hz, $m_f$ = 21 (สวิตช์ 1.05 kHz) ฟิลเตอร์ L = 3 mH, C = 20 µF โหลด 20 Ω หาแรงดันขาออกและ THD

- V5: $\hat V_1 = 0.8 \times 400 = 320$ V (226 V RMS) · THD ก่อนกรอง 72 %

- V6 ยูนิโพลาร์: ไม่มีกลุ่มที่ 21 · กลุ่มใหญ่ที่ 41, 43 (2050, 2150 Hz) ยอด 125.7 V และ 39, 45 ยอด 55.8 V

- ฟิลเตอร์ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = 650$ Hz · A2 ที่ 2050 Hz $|H| = 0.109$ → ฮาร์มอนิกที่ 41 เหลือ 13.7 V

- รวมทุกฮาร์มอนิกที่ขาออก: $V_1$ = 227 V RMS (ฟิลเตอร์ยกขึ้นเล็กน้อย) THD = 6.4 %

ได้ 227 V RMS THD 6.4 % ยังเกิน 5 % ทางเลือก: เพิ่ม $m_f$ (สวิตช์เร็วขึ้น ฮาร์มอนิกย้ายไกลขึ้น ลดลงตาม $f^2$) หรือเพิ่ม LC · เปิดแล็บวงจร “SPWM → ฟิลเตอร์ LC ได้ไซน์” เพื่อลองปรับ

V10 Weighted THD WTHD: ความเพี้ยนของกระแสในโหลดเหนี่ยวนำ

$$\mathrm{WTHD} = \frac{\sqrt{\sum_{h\ge2}(V_h/h)^2}}{V_1}$$

กระแสในโหลด L ∝ $V_h/(hX_1)$ WTHD จึงทำนาย THD ของกระแสมอเตอร์ได้ดีกว่า THD ของแรงดัน ใช้เปรียบเทียบวิธี PWM ต่าง ๆ

## ฮาร์มอนิกของอินเวอร์เตอร์กับมอเตอร์ กลาง

| ฮาร์มอนิก | ลำดับเฟส | ผลต่อมอเตอร์เหนี่ยวนำ |

| 5 | ลบ | สนามหมุนกลับทาง แรงบิดต้าน ความร้อนในโรเตอร์ |

| 7 | บวก | สนามหมุนทางเดียวกันที่ 7 เท่า |

| 5 กับ 7 รวมกัน | — | แรงบิดกระเพื่อมที่ 6f (300 Hz ที่ 50 Hz) เสียงและการสั่น |

| รอบ $m_f$ | ผสม | ความสูญเสียในแกนเหล็ก เสียงหวีดที่ความถี่สวิตชิ่ง |

| ขอบ dv/dt สูง | — | แรงดันสะท้อนในสายยาว กระแสแบริ่ง (ดูเอนเวโลปขอบ B9) |

## แล็บ: ดูสเปกตรัมของ PWM พื้นฐาน

เลือก SPWM แล้วเปลี่ยน $m_a$ เทียบกับตารางด้านบน สลับยูนิโพลาร์แล้วดูกลุ่มที่ $m_f$ หายไป ลอง $m_a$ = 1.3 ดูฮาร์มอนิกต่ำโผล่ หรือเลือก quasi-square แล้วหามุม α ที่ฆ่าฮาร์มอนิกที่ 5

นำไปใช้จริง: ฟิลเตอร์ LCL PLL และการควบคุมกระแสของอินเวอร์เตอร์โซลาร์เชื่อมกริด อยู่ที่ อินเวอร์เตอร์โซลาร์

## คำถามที่พบบ่อย

SPWM มีฮาร์มอนิกที่ความถี่อะไร?
แบบไบโพลาร์ฮาร์มอนิกอยู่เป็นกลุ่ม (ไซด์แบนด์) รอบ $m_f$, $2m_f$, $3m_f$ เท่าของความถี่ขาออก เช่น $m_f$ และ $m_f \pm 2$, $2m_f \pm 1$ แบบยูนิโพลาร์ (เต็มบริดจ์) กลุ่มแรกที่ $m_f$ หายไป เหลือรอบ $2m_f$ เหมือนความถี่สวิตชิ่งเพิ่มเป็นสองเท่า ฮาร์มอนิกต่ำ (3, 5, 7) ไม่มีถ้า $m_a \le 1$

ทำไมเลือก mf เป็นเลขคี่และหารด้วย 3 ลงตัว?
$m_f$ จำนวนเต็ม (synchronous PWM) ทำให้รูปคลื่นเป็นคาบพอดี ไม่มีอินเตอร์ฮาร์มอนิก $m_f$ คี่ทำให้ได้สมมาตรครึ่งคลื่น ไม่มีฮาร์มอนิกคู่ และในอินเวอร์เตอร์ 3 เฟส $m_f$ ที่หารด้วย 3 ลงตัวทำให้ฮาร์มอนิกที่ $m_f$ ของสามเฟสอยู่ในเฟสเดียวกันจึงหายไปในแรงดันไลน์

แรงดันขาออกของอินเวอร์เตอร์ SPWM คำนวณอย่างไร?
ในช่วงเชิงเส้น $m_a \le 1$ ฮาร์มอนิกหลักครึ่งบริดจ์มียอด $m_aV_{dc}/2$ เต็มบริดจ์ $m_aV_{dc}$ และแรงดันไลน์ 3 เฟส RMS $0.612\,m_aV_{dc}$ เช่น $V_{dc}$ = 540 V, $m_a$ = 0.9 ได้ราว 298 V ไลน์

quasi-square กำจัดฮาร์มอนิกที่ 3 ได้อย่างไร?
ฮาร์มอนิกที่ n ของ quasi-square มีขนาด $\frac{4V_{dc}}{n\pi}\cos n\alpha$ เลือก α = 30° ทำให้ cos 90° = 0 ฮาร์มอนิกที่ 3, 9, 15 หายทั้งหมด α = 18° กำจัดที่ 5 ส่วนวิธี SHE ใช้หลายมุมพร้อมกันกำจัดได้หลายฮาร์มอนิก

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**SPWM มีฮาร์มอนิกที่ความถี่อะไร?**
แบบไบโพลาร์ฮาร์มอนิกอยู่เป็นกลุ่ม (ไซด์แบนด์) รอบ $m_f$, $2m_f$, $3m_f$ เท่าของความถี่ขาออก เช่น $m_f$ และ $m_f \pm 2$, $2m_f \pm 1$ แบบยูนิโพลาร์ (เต็มบริดจ์) กลุ่มแรกที่ $m_f$ หายไป เหลือรอบ $2m_f$ เหมือนความถี่สวิตชิ่งเพิ่มเป็นสองเท่า ฮาร์มอนิกต่ำ (3, 5, 7) ไม่มีถ้า $m_a \le 1$

**ทำไมเลือก mf เป็นเลขคี่และหารด้วย 3 ลงตัว?**
$m_f$ จำนวนเต็ม (synchronous PWM) ทำให้รูปคลื่นเป็นคาบพอดี ไม่มีอินเตอร์ฮาร์มอนิก $m_f$ คี่ทำให้ได้สมมาตรครึ่งคลื่น ไม่มีฮาร์มอนิกคู่ และในอินเวอร์เตอร์ 3 เฟส $m_f$ ที่หารด้วย 3 ลงตัวทำให้ฮาร์มอนิกที่ $m_f$ ของสามเฟสอยู่ในเฟสเดียวกันจึงหายไปในแรงดันไลน์

**แรงดันขาออกของอินเวอร์เตอร์ SPWM คำนวณอย่างไร?**
ในช่วงเชิงเส้น $m_a \le 1$ ฮาร์มอนิกหลักครึ่งบริดจ์มียอด $m_aV_{dc}/2$ เต็มบริดจ์ $m_aV_{dc}$ และแรงดันไลน์ 3 เฟส RMS $0.612\,m_aV_{dc}$ เช่น $V_{dc}$ = 540 V, $m_a$ = 0.9 ได้ราว 298 V ไลน์

**quasi-square กำจัดฮาร์มอนิกที่ 3 ได้อย่างไร?**
ฮาร์มอนิกที่ n ของ quasi-square มีขนาด $\frac{4V_{dc}}{n\pi}\cos n\alpha$ เลือก α = 30° ทำให้ cos 90° = 0 ฮาร์มอนิกที่ 3, 9, 15 หายทั้งหมด α = 18° กำจัดที่ 5 ส่วนวิธี SHE ใช้หลายมุมพร้อมกันกำจัดได้หลายฮาร์มอนิก

---

# แก้ปัญหาฮาร์มอนิก: รีแอกเตอร์ เรโซแนนซ์ คาปาซิเตอร์ดีจูน ฟิลเตอร์จูน ฟิลเตอร์แอกทีฟ และ PFC

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/mitigation/
Updated: 2026-10-12
Summary: วิธีลดฮาร์มอนิกในระบบไฟฟ้าด้วยอนุกรมฟูเรียร์: รีแอกเตอร์ไลน์ 3 % 5 % และโช้ก DC ของไดรฟ์ เรโซแนนซ์ขนานระหว่างคาปาซิเตอร์แก้ PF กับหม้อแปลง hr = √(Ssc/Qc) คาปาซิเตอร์ดีจูน 7 % และ 14 % ความถี่จูน 189 Hz แรงดันตกคร่อมคาปาซิเตอร์ ออกแบบฟิลเตอร์จูนที่ 4.7 ทีละขั้น 12 พัลส์ ฟิลเตอร์แอกทีฟ Active PFC หม้อแปลง K-rated และเช็กลิสต์แก้ปัญหาหน้างานพร้อมแล็บเครื่องวิเคราะห์กำลัง

// บทที่ 14.12 · อนุกรมฟูเรียร์ · Harmonic Mitigation

# แก้ปัญหาฮาร์มอนิก: รีแอกเตอร์ เรโซแนนซ์ คาปาซิเตอร์ดีจูน ฟิลเตอร์จูน ฟิลเตอร์แอกทีฟ และ PFC

ทุกวิธีแก้ฮาร์มอนิกคือการจัดการกับอิมพีแดนซ์ที่แต่ละความถี่ เพิ่มอิมพีแดนซ์ในทางที่ฮาร์มอนิกจะไหลไปหาการไฟฟ้า หรือสร้างทางอิมพีแดนซ์ต่ำให้มันไหลวนอยู่ใกล้โหลด หรือหักล้างมันด้วยกระแสตรงข้าม หน้านี้เริ่มจากความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในโรงงานไทย คือการใส่คาปาซิเตอร์แก้ PF ในระบบที่มีไดรฟ์ แล้วไล่ไปทุกวิธีพร้อมตัวเลขจากแล็บ

สรุปใน 30 วินาที

- รีแอกเตอร์ 3–5 % ลด THD ของไดรฟ์จาก ~80 % เหลือ ~35 % ราคาถูกที่สุด ทำก่อน

- คาปาซิเตอร์เปล่า + หม้อแปลง → เรโซแนนซ์ที่ $h_r = \sqrt{S_{sc}/Q_c}$ อันตรายถ้าใกล้ 5, 7, 11

- ดีจูน: $p = X_L/X_C$, จูนที่ $h_t = 1/\sqrt p$ (7 % → 3.78) ฟิลเตอร์จูน: $X_L = X_C/h_t^2$ จูนที่ 4.7

- ต้องการ THD < 5–8 %: 12/18 พัลส์ ฟิลเตอร์แอกทีฟ หรือ Active Front End / PFC

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## ภาพรวม: ลดที่ต้นเหตุ ปิดทาง หรือดักไว้ พื้นฐาน

| วิธี | หลักการ (มุมมองฟูเรียร์) | THD กระแสที่ได้ (โดยประมาณ) | ข้อควรระวัง |

| รีแอกเตอร์ไลน์ / โช้ก DC | เพิ่ม $jhX$ ทำให้พัลส์กว้างขึ้น ฮาร์มอนิกลด | 30–40 % | แรงดันตก 3–5 % |

| 12 / 18 พัลส์ | หักล้างด้วยการเลื่อนเฟส 30° / 20° | 8–15 % | ต้องโหลดสมดุล หม้อแปลงพิเศษ |

| ฟิลเตอร์จูน (passive) | ทางอิมพีแดนซ์ต่ำที่ $h_t$ ใกล้โหลด | 10–20 % | ให้ kvar ด้วย อาจ PF นำหน้าตอนโหลดเบา |

| คาปาซิเตอร์ดีจูน | ย้ายเรโซแนนซ์ไปต่ำกว่า 5th | ไม่ลดมาก แต่ไม่ขยาย | ใช้แทนคาปาซิเตอร์เปล่าเสมอเมื่อมีไดรฟ์ |

| ฟิลเตอร์แอกทีฟ | ฉีดกระแส $-i_h$ หักล้างทุกฮาร์มอนิก | < 5–8 % | ราคาสูง ต้องเลือกพิกัดกระแสพอ |

| Active PFC / Active Front End | บังคับให้กระแสเป็นไซน์ตามแรงดัน | < 5 % | ต้องเปลี่ยนตัวอุปกรณ์ |

## รีแอกเตอร์ไลน์และโช้ก DC กลาง

ไดรฟ์ที่มีตัวเก็บประจุ DC ชาร์จเป็นพัลส์แคบเพราะมีแค่อิมพีแดนซ์สายกั้น เพิ่มความเหนี่ยวนำทำให้กระแสเพิ่มช้าลง พัลส์กว้างและเตี้ยลง ตามหลักความเรียบ (P8) ฮาร์มอนิกจึงลดลงมาก

M1 Line reactor sizing ขนาดรีแอกเตอร์จาก %Z

$$X_r = \frac{\%Z}{100}\cdot\frac{V_{ph}}{I_{rated}},\qquad L_r = \frac{X_r}{2\pi f}$$

%Z คือแรงดันตกคร่อมรีแอกเตอร์ที่กระแสพิกัดเทียบแรงดันเฟส · โช้ก DC ให้ผลใกล้เคียงรีแอกเตอร์ 3–5 % ไม่มีแรงดันตกด้าน AC และตัวเล็กกว่า

ตัวอย่าง M-1 · ไดรฟ์ 11 kW 400 V

### ไดรฟ์ 11 kW กระแสฮาร์มอนิกหลักพิกัด 15.9 A ต้องการรีแอกเตอร์ 3 % หาค่า L และผลต่อ THD (Isc/IL = 100)

- M1: $X_r = 0.03 \times \frac{230}{15.9} = 0.433\ \Omega$ → $L_r = \frac{0.433}{314.2} = 1.38$ mH ต่อเฟส

- จำลองในแล็บ (VFD, C = 1000 µF): ไม่มีรีแอกเตอร์ THD 83.5 % PF 0.75 · รีแอกเตอร์ 3 % THD 34.5 % PF 0.94 · 5 % THD 32.0 % · โช้ก DC 2 mH THD 37.2 %

1.38 mH ลด THD จาก 84 % เหลือ 35 % และ PF จาก 0.75 เป็น 0.94 จาก 3 % ไป 5 % ได้เพิ่มน้อย (กฎผลตอบแทนลดลง) ยังไม่ผ่าน IEEE 519 ถ้าไดรฟ์เป็นโหลดหลักของหม้อแปลง

## เรโซแนนซ์ขนาน: เมื่อคาปาซิเตอร์แก้ PF กลายเป็นตัวขยายฮาร์มอนิก กลาง

มองจากโหลดที่ปล่อยกระแสฮาร์มอนิก มีสองทางให้ไหล: ไปทางหม้อแปลง ($jhX_s$ โตตาม h) หรือเข้าคาปาซิเตอร์ ($-jX_C/h$ เล็กลงตาม h) สองทางนี้ขนานกัน ที่ความถี่ที่รีแอกแตนซ์เท่ากันพอดี อิมพีแดนซ์ขนานพุ่งสูงมาก กระแสฮาร์มอนิกเพียงเล็กน้อยสร้างแรงดันฮาร์มอนิกมหาศาล และกระแสไหลวนระหว่างคาปาซิเตอร์กับหม้อแปลงมากกว่ากระแสที่โหลดปล่อยออกมาหลายเท่า

M2 Parallel resonance order ลำดับฮาร์มอนิกที่เกิดเรโซแนนซ์

$$h_r = \sqrt{\frac{X_C}{X_s}} = \sqrt{\frac{S_{sc}}{Q_c}} \approx \sqrt{\frac{S_{tr}}{Q_c\,z_{tr}}}$$

$S_{sc}$ กำลังลัดวงจรที่จุดต่อ $Q_c$ ขนาดคาปาซิเตอร์ $z_{tr}$ อิมพีแดนซ์หม้อแปลง (ต่อหน่วย) · คาปาซิเตอร์แบบสเต็ป (APFC) ทำให้ $h_r$ เปลี่ยนตามจำนวนสเต็ปที่เปิด ต้องตรวจทุกสเต็ป

M3 Amplification near resonance ตัวคูณการขยาย

$$\frac{I_{src,h}}{I_{load,h}} = \Big|\frac{Z_C}{Z_s + Z_C}\Big| \approx \frac{1}{|1 - (h/h_r)^2|}$$

ไม่คิดการหน่วง ที่ $h = h_r$ เป็นอนันต์ จริง ๆ ถูกจำกัดด้วยความต้านทานและโหลดเชิงเส้นอื่น มักได้ 3–10 เท่า

อิมพีแดนซ์ที่กระแสฮาร์มอนิกของโหลดเห็น เทียบลำดับ h: หม้อแปลงอย่างเดียว (เส้นประ) เพิ่มคาปาซิเตอร์เปล่า (สีแดง: ยอดเรโซแนนซ์ใกล้ 5) และคาปาซิเตอร์ดีจูน 7 % (สีฟ้า: ยอดถูกย้ายไปต่ำกว่า 3.78 ที่ไม่มีฮาร์มอนิก)

ตัวอย่าง M-2 · หม้อแปลง 1000 kVA กับคาปาซิเตอร์ 400 และ 600 kvar

### หม้อแปลง 1000 kVA อิมพีแดนซ์ 6 % (ไม่คิดต้นทาง) ต่อคาปาซิเตอร์ (ก) 400 kvar (ข) 600 kvar เรโซแนนซ์ที่ฮาร์มอนิกไหน

- $S_{sc} = 1000/0.06 = 16.7$ MVA

- M2: (ก) $\sqrt{16.7/0.4} = 6.45$ → ระหว่าง 5 กับ 7 · (ข) $\sqrt{16.7/0.6} = 5.27$ → ชิดฮาร์มอนิกที่ 5

- M3 ที่ h = 5 กรณี (ข): $1/|1 - (5/5.27)^2| = 10$ เท่า (ก่อนการหน่วง)

ยิ่งเพิ่มสเต็ปคาปาซิเตอร์ (kvar มากขึ้น) เรโซแนนซ์ยิ่งเลื่อนลงมาหา 5 ซึ่งเป็นฮาร์มอนิกที่ไดรฟ์ปล่อยมากที่สุด อาการหน้างาน: คาปาซิเตอร์ร้อน บวม ฟิวส์ขาดเป็นประจำ แรงดันเพี้ยนเมื่อสเต็ปเพิ่ม แก้โดยเปลี่ยนเป็นดีจูน

ตัวอย่าง M-3 · ทดลองในแล็บ

### ไดรฟ์ไทริสเตอร์ 100 kW α = 45° (Isc/IL = 25) ใส่คาปาซิเตอร์ 100 kvar แบบเปล่า เทียบกับดีจูน 7 % และฟิลเตอร์จูน 4.7

- ไม่มีคาปาซิเตอร์: PF 0.67, THD กระแส 29 %, THD แรงดัน 13.2 %

- คาปาซิเตอร์เปล่า: เรโซแนนซ์ที่ h = 5.99 · กระแสที่ 5 และ 7 ที่ฝั่งการไฟฟ้าขยาย 2.9 และ 2.4 เท่า · THD กระแส 94 % THD แรงดัน 15.4 % · PF ขึ้นแค่ 0.70

- ดีจูน 7 %: THD กระแส 26 % THD แรงดัน 9.5 % PF 0.96

- ฟิลเตอร์จูน 4.7: กระแสที่ 5 เหลือ 17 % ของที่โหลดปล่อย THD กระแส 18 % THD แรงดัน 8.0 % PF 0.98

kvar เท่ากัน แต่ผลต่างกันสุดขั้ว คาปาซิเตอร์เปล่าแทบไม่ช่วย PF (เพราะความเพี้ยนเพิ่ม D) และทำให้ทุกอย่างแย่ลง ดีจูนและฟิลเตอร์จูนให้ทั้ง kvar และลดฮาร์มอนิก กดปุ่มด้านล่างเพื่อลองเอง

## คาปาซิเตอร์ดีจูน 7 % และ 14 % กลาง

M4 Detuned capacitor bank ชุดคาปาซิเตอร์ดีจูน

$$p = \frac{X_L}{X_C},\qquad h_t = \frac{1}{\sqrt p},\qquad Q_{net} = \frac{V^2}{X_C - X_L} = \frac{V^2}{X_C(1 - p)},\qquad V_C = \frac{V}{1 - p}$$

p = 7 % → $h_t$ = 3.78 (189 Hz) · p = 14 % → 2.67 (134 Hz, ใช้เมื่อมีฮาร์มอนิกที่ 3 เยอะ) · แรงดันคร่อมคาปาซิเตอร์สูงกว่าไฟ 7.5 % (p = 7 %) จึงต้องใช้คาปาซิเตอร์พิกัด 440–480 V ในระบบ 400 V และ kvar บนป้ายจะไม่ใช่ kvar ที่ได้จริง

ตัวอย่าง M-4 · ออกแบบสเต็ปดีจูน 50 kvar

### ระบบ 400 V ต้องการ 50 kvar สุทธิต่อสเต็ป ใช้ดีจูน 7 % หา $X_C$, $X_L$, L, C (ต่อเฟสแบบ Y) แรงดันคร่อม C และ kvar บนป้ายถ้าใช้คาปาซิเตอร์พิกัด 480 V

- M4: $X_C - X_L = \frac{400^2}{50\,000} = 3.20\ \Omega$ → $X_C = \frac{3.20}{0.93} = 3.441\ \Omega$, $X_L = 0.241\ \Omega$

- $L = \frac{0.241}{314.2} = 0.767$ mH · $C = \frac{1}{314.2 \times 3.441} = 925\ \mu$F (Y เทียบเท่า)

- $V_C = 400/0.93 = 430$ V · kvar บนป้ายที่ 480 V: $\frac{480^2}{3.441} = 67.0$ kvar

- จูนที่ $50/\sqrt{0.07} = 189$ Hz ต่ำกว่า 250 Hz ของฮาร์มอนิกที่ 5

L = 0.77 mH, C = 925 µF/เฟส (Y), สั่งคาปาซิเตอร์ 67 kvar 480 V + รีแอกเตอร์ 7 % ได้ 50 kvar จริงที่ 400 V · ผู้ผลิตขายเป็นชุดสำเร็จ แต่ต้องรู้ที่มาเพื่อตรวจสเปกได้

## ฟิลเตอร์จูนเดี่ยว (single-tuned): ออกแบบทีละขั้น กลาง

M5 Single-tuned filter ฟิลเตอร์จูนเดี่ยว

$$X_C = \frac{V^2}{Q_c}\Big(1 - \frac{1}{h_t^2}\Big)^{-1},\qquad X_L = \frac{X_C}{h_t^2},\qquad R = \frac{h_tX_L}{Q_f},\qquad Z_f(h) = R + j\Big(hX_L - \frac{X_C}{h}\Big)$$

เลือก $Q_c$ จาก kvar ที่ต้องการแก้ PF ก่อน แล้วจูนที่ $h_t$ ≈ 0.94–0.96 ของฮาร์มอนิกเป้าหมาย (4.7 สำหรับ 5th) · $Q_f$ 30–100

M6 How much the filter absorbs สัดส่วนกระแสที่ฟิลเตอร์ดักได้

$$I_{f,h} = I_h\frac{Z_s(h)}{Z_s(h) + Z_f(h)},\qquad I_{src,h} = I_h\frac{Z_f(h)}{Z_s(h) + Z_f(h)}$$

ฟิลเตอร์ต้องทนกระแสหลัก $Q_c/(\sqrt3V)$ บวกฮาร์มอนิกที่ดักไว้ (รวมแบบ RMS) และฮาร์มอนิกที่ “ไหลมาจากโหลดอื่น” ในระบบด้วย

ตัวอย่าง M-5 · ฟิลเตอร์ 5th 100 kvar

### ไดรฟ์ไทริสเตอร์ 100 kW (Q₁ ≈ 100 kvar) ระบบ 400 V ออกแบบฟิลเตอร์จูนที่ 4.7 ขนาด 100 kvar $Q_f$ = 40

- $1/h_t^2 = 0.04527$ · M5: $X_C = \frac{400^2}{100\,000}\cdot\frac{1}{0.9547} = 1.676\ \Omega$ · $X_L = 1.676/22.09 = 0.0759\ \Omega$

- $L = 0.2415$ mH · $C = 1899\ \mu$F (Y เทียบเท่า) · $R = 4.7(0.0759)/40 = 8.9$ mΩ

- แรงดันคร่อม C: $400/0.9547 = 419$ V → ใช้คาปาซิเตอร์พิกัด 440 V ขึ้นไป · กระแสหลัก $100\,000/(\sqrt3 \cdot 400) = 144$ A

- แล็บ (Isc/IL = 25): ฟิลเตอร์ดักกระแสที่ 5 ได้ 35 A กระแสที่ 5 ที่เหลือไปหาการไฟฟ้า 17 % THD กระแส 18 % PF 0.98

L = 0.24 mH, C = 1.9 mF/เฟส, R ≈ 9 mΩ, กระแสพิกัด ≈ √(144² + 35²) ≈ 148 A · ฮาร์มอนิกที่ 7 ยังเหลือ ถ้าต้องการต่ำกว่านี้เพิ่มฟิลเตอร์ 7th หรือ high-pass

## ฟิลเตอร์แอกทีฟ Active PFC และ Active Front End กลาง

M7 Shunt active filter ฟิลเตอร์แอกทีฟขนาน

$$i_{AF}(t) = -\sum_{h=2}^{h_{max}} i_h(t),\qquad I_{AF,rated} \gtrsim I_1\cdot\mathrm{THD}_i$$

อินเวอร์เตอร์ที่วัดกระแสโหลด แยกฟูเรียร์ (หรือวิธีเทียบเท่าในเวลาจริง) แล้วจ่ายกระแสตรงข้าม เหลือแค่ฮาร์มอนิกหลักไหลไปหาการไฟฟ้า แล็บ: VFD 11 kW THD 84 % → 8 % ที่ประสิทธิผล 90 %

M8 Active PFC / Active Front End บังคับให้กระแสเป็นไซน์

$$i_{in}(t) = \frac{P}{V_{rms}^2}\,v(t) \;\Rightarrow\; \mathrm{THD}_i \to 0,\;\; \mathrm{PF} \to 1$$

บูสต์คอนเวอร์เตอร์ด้านเข้าควบคุมกระแสตามรูปแรงดัน จำเป็นสำหรับเครื่องใช้ไฟฟ้ากำลังสูงที่ต้องผ่าน IEC 61000-3-2 · แล็บ: SMPS มี PFC THD 3.6 % PF 0.999

M9 Living with harmonics รองรับฮาร์มอนิกแทนการลด

$$K_{tr} \ge K_{load}\;(\text{H9}),\qquad A_{neutral} \ge 2A_{phase}\;(\text{นิวทรัล 200 \%}),\qquad \text{zig-zag: } Z_0 \text{ ต่ำ ดักลำดับศูนย์}$$

อาคารสำนักงานที่โหลดเป็นอิเล็กทรอนิกส์ทั้งหมด มักเลือกหม้อแปลง K-13 และเดินนิวทรัลขนาดสองเท่า หม้อแปลงซิกแซกดักฮาร์มอนิกที่ 3, 9 ไม่ให้ไหลกลับไปที่หม้อแปลงหลัก H9 H10

## เช็กลิสต์แก้ปัญหาหน้างาน: อาการ → วัดอะไร → สาเหตุ → แก้ พื้นฐาน

ใช้เครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้า (หรือแล็บด้านล่างเพื่อฝึก) วัดทีละจุด อ่านสเปกตรัม แล้วไล่ตามตารางนี้

| อาการ | วัดอะไร | ถ้าเห็นแบบนี้ → สาเหตุ | แก้ | ลองในแล็บ |

| สายนิวทรัลร้อน | $I_N$, $I_3$ ทุกเฟส | $I_N$ > กระแสเฟส, h = 3 เด่น → โหลดอิเล็กทรอนิกส์ 1 เฟส | นิวทรัล 200 %, ซิกแซก, PFC | |

| หม้อแปลงร้อน แต่ kW ไม่เต็ม | THDI, K-factor, S | K > 4, S ≫ P → กระแสวนจากฮาร์มอนิก | K-rated, ลดพิกัด, ลด THD | |

| คาปาซิเตอร์บวม ฟิวส์ขาด | THDV เมื่อเปิดแต่ละสเต็ป, $I_C$ | THDV เพิ่มเมื่อเพิ่มสเต็ป → เรโซแนนซ์ M2 | ดีจูน 7 %/14 % | |

| PF ต่ำ ทั้งที่ติดคาปาซิเตอร์แล้ว | PF เทียบ DPF | DPF ≈ 1 แต่ PF ต่ำ → ความเพี้ยน (D) | ลดฮาร์มอนิก ไม่ใช่เพิ่ม kvar | |

| ไม่ผ่าน IEEE 519 ที่ PCC | TDD, $I_h$ % ของ $I_L$ | 5, 7 เด่น → ไดรฟ์ 6 พัลส์ | รีแอกเตอร์ → ฟิลเตอร์ → AF/AFE | |

| มิเตอร์สองเครื่องอ่านไม่ตรงกัน | crest factor | CF > 2 → เครื่องหนึ่งไม่ใช่ True RMS | ใช้ True RMS | |

| มอเตอร์ร้อน สั่น ทั้งที่โหลดปกติ | THDV, $V_5$ | $V_5$ ลำดับลบ → แรงบิดต้าน | ลดแหล่งฮาร์มอนิก ฟิลเตอร์ | |

| มีฮาร์มอนิกคู่หรือ DC | $I_2$, $I_0$ | ไม่สมมาตรครึ่งคลื่น → ไดโอดเสีย/เรียงกระแสครึ่งคลื่น | ตรวจอุปกรณ์ S4 | — |

## แล็บ: ลองแก้เองทีละวิธี พื้นฐาน

เริ่มจาก “⚠ คาปาซิเตอร์แก้ PF เรโซแนนซ์” อ่านแผงแปลผลอัตโนมัติ แล้วเปิดเมนู “แก้ปัญหาฮาร์มอนิก” เปลี่ยนเป็นดีจูน 7 % หรือฟิลเตอร์จูน ดูสเปกตรัมและ THD เปลี่ยน ลองไดรฟ์ VFD แล้วเพิ่มรีแอกเตอร์ โช้ก DC และฟิลเตอร์แอกทีฟ เปรียบเทียบกับขีดจำกัด IEEE 519 บนกราฟ

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมคาปาซิเตอร์แก้ PF ระเบิดหรือฟิวส์ขาดบ่อยในโรงงานที่มีไดรฟ์?
คาปาซิเตอร์กับรีแอกแตนซ์ของหม้อแปลงเกิดเรโซแนนซ์ขนานที่ $h_r = \sqrt{S_{sc}/Q_c}$ ถ้า h_r ใกล้ฮาร์มอนิกที่ 5 หรือ 7 ที่ไดรฟ์ปล่อยออกมา กระแสฮาร์มอนิกจะถูกขยายหลายเท่าไหลวนระหว่างคาปาซิเตอร์กับหม้อแปลง คาปาซิเตอร์ร้อนเกินและแรงดันเพี้ยนสูง แก้ด้วยคาปาซิเตอร์ดีจูน

คาปาซิเตอร์ดีจูน 7 % คืออะไร?
คือคาปาซิเตอร์ที่ต่อรีแอกเตอร์อนุกรมให้ $X_L = 7\%$ ของ $X_C$ ทำให้ชุดนี้เรโซแนนซ์อนุกรมที่ $1/\sqrt{0.07} = 3.78$ เท่าของความถี่หลัก (189 Hz ที่ 50 Hz) ต่ำกว่าฮาร์มอนิกที่ 5 ชุดคาปาซิเตอร์จึงเป็นอินดักทีฟที่ 250 Hz ขึ้นไป ไม่เกิดเรโซแนนซ์กับฮาร์มอนิกของไดรฟ์ ใช้ 14 % เมื่อมีฮาร์มอนิกที่ 3 มาก

รีแอกเตอร์ไลน์ 3 % ลด THD ของไดรฟ์ได้เท่าไร?
ไดรฟ์ 6 พัลส์ที่มีตัวเก็บประจุ DC และไม่มีรีแอกเตอร์มี THD กระแสราว 80–100 % ขึ้นกับความแข็งของระบบ รีแอกเตอร์ 3 % ลดเหลือราว 35–40 % และ 5 % ราว 30–35 % ในแล็บของชุดนี้ไดรฟ์ 11 kW ที่ Isc/IL = 100 ได้ 83.5 %, 34.5 % และ 32.0 %

ฟิลเตอร์จูนทำไมจูนที่ 4.7 ไม่ใช่ 5 พอดี?
เผื่อความคลาดเคลื่อนของค่า C ที่ลดลงตามอายุ (ทำให้ความถี่จูนเลื่อนขึ้น) และเพื่อไม่ให้เรโซแนนซ์ขนานที่อยู่ต่ำกว่าความถี่จูนเลื่อนมาชนฮาร์มอนิกที่ 5 พอดี จูนต่ำกว่าเล็กน้อยยังดักกระแสที่ 5 ได้ดีและปลอดภัยกว่า

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมคาปาซิเตอร์แก้ PF ระเบิดหรือฟิวส์ขาดบ่อยในโรงงานที่มีไดรฟ์?**
คาปาซิเตอร์กับรีแอกแตนซ์ของหม้อแปลงเกิดเรโซแนนซ์ขนานที่ $h_r = \sqrt{S_{sc}/Q_c}$ ถ้า h_r ใกล้ฮาร์มอนิกที่ 5 หรือ 7 ที่ไดรฟ์ปล่อยออกมา กระแสฮาร์มอนิกจะถูกขยายหลายเท่าไหลวนระหว่างคาปาซิเตอร์กับหม้อแปลง คาปาซิเตอร์ร้อนเกินและแรงดันเพี้ยนสูง แก้ด้วยคาปาซิเตอร์ดีจูน

**คาปาซิเตอร์ดีจูน 7 % คืออะไร?**
คือคาปาซิเตอร์ที่ต่อรีแอกเตอร์อนุกรมให้ $X_L = 7\%$ ของ $X_C$ ทำให้ชุดนี้เรโซแนนซ์อนุกรมที่ $1/\sqrt{0.07} = 3.78$ เท่าของความถี่หลัก (189 Hz ที่ 50 Hz) ต่ำกว่าฮาร์มอนิกที่ 5 ชุดคาปาซิเตอร์จึงเป็นอินดักทีฟที่ 250 Hz ขึ้นไป ไม่เกิดเรโซแนนซ์กับฮาร์มอนิกของไดรฟ์ ใช้ 14 % เมื่อมีฮาร์มอนิกที่ 3 มาก

**รีแอกเตอร์ไลน์ 3 % ลด THD ของไดรฟ์ได้เท่าไร?**
ไดรฟ์ 6 พัลส์ที่มีตัวเก็บประจุ DC และไม่มีรีแอกเตอร์มี THD กระแสราว 80–100 % ขึ้นกับความแข็งของระบบ รีแอกเตอร์ 3 % ลดเหลือราว 35–40 % และ 5 % ราว 30–35 % ในแล็บของชุดนี้ไดรฟ์ 11 kW ที่ Isc/IL = 100 ได้ 83.5 %, 34.5 % และ 32.0 %

**ฟิลเตอร์จูนทำไมจูนที่ 4.7 ไม่ใช่ 5 พอดี?**
เผื่อความคลาดเคลื่อนของค่า C ที่ลดลงตามอายุ (ทำให้ความถี่จูนเลื่อนขึ้น) และเพื่อไม่ให้เรโซแนนซ์ขนานที่อยู่ต่ำกว่าความถี่จูนเลื่อนมาชนฮาร์มอนิกที่ 5 พอดี จูนต่ำกว่าเล็กน้อยยังดักกระแสที่ 5 ได้ดีและปลอดภัยกว่า

---

# กำลังไฟฟ้าเมื่อมีฮาร์มอนิก: RMS THD PF DPF P Q S D และมาตรฐาน IEEE 519

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/power-harmonics/
Updated: 2026-10-12
Summary: คุณภาพไฟฟ้าด้วยอนุกรมฟูเรียร์: ค่า True RMS THD THD-R TDD crest factor กำลังจริงที่มาจากฮาร์มอนิกความถี่เดียวกัน กำลังรีแอกทีฟ Q1 กำลังความเพี้ยน D และ S² = P² + Q² + D² เพาเวอร์แฟกเตอร์ = DPF × distortion factor ทำไมคาปาซิเตอร์แก้ PF ช่วยไม่ได้ K-factor หม้อแปลง ลำดับเฟสของฮาร์มอนิกและกระแสนิวทรัลสามเท่า แรงดันเพี้ยนที่ PCC ขีดจำกัด IEEE 519-2022 ข้อกำหนด กฟภ. กฟน. และ IEC 61000-3-2 พร้อมตัวอย่างวิธีทำและแล็บเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้า

// บทที่ 14.8 · อนุกรมฟูเรียร์ · Power, THD & Power Factor

# กำลังไฟฟ้าเมื่อมีฮาร์มอนิก: RMS THD PF DPF P Q S D และมาตรฐาน IEEE 519

นิยาม P, Q, S และ PF ที่เรียนในวิชาวงจรใช้ได้เฉพาะไซน์ เมื่อกระแสเป็นพัลส์ของคอมพิวเตอร์หรือไดรฟ์ ต้องนิยามใหม่ด้วยอนุกรมฟูเรียร์ หน้านี้ตอบคำถามที่เจอทุกวันในอาคารและโรงงาน: ทำไม PF ต่ำทั้งที่ cos φ ดี ทำไมนิวทรัลร้อน ทำไมหม้อแปลงร้อนก่อนเต็มพิกัด และโรงงานต้องลดฮาร์มอนิกเท่าไรจึงผ่านมาตรฐาน

สรุปใน 30 วินาที

- $I_{rms} = \sqrt{I_1^2 + I_2^2 + \cdots}$ · THD $= \sqrt{\sum_{h\ge2}I_h^2}/I_1$ · TDD ใช้ $I_L$ แทน $I_1$

- $P = \sum V_hI_h\cos\theta_h$ · แรงดันเป็นไซน์ → $P = V_1I_1\cos\varphi_1$ ฮาร์มอนิกไม่ให้กำลังแต่เพิ่ม S

- $S^2 = P^2 + Q_1^2 + D^2$ · $\mathrm{PF} = \cos\varphi_1 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 + \mathrm{THD}_i^2}}$

- h = 3k ลำดับศูนย์ → $I_N = 3\sqrt{I_3^2 + I_9^2 + \cdots}$ · IEEE 519: THD แรงดัน ≤ 8 % ที่ ≤ 1 kV

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## ค่า RMS ที่แท้จริง (True RMS) พื้นฐาน

H1 RMS with harmonics RMS เมื่อมีฮาร์มอนิก

$$I_{rms} = \sqrt{I_0^2 + I_1^2 + I_2^2 + I_3^2 + \cdots} = I_1\sqrt{1 + \mathrm{THD}_i^2}\;\;(I_0 = 0)$$

ค่า RMS ของแต่ละฮาร์มอนิก (P6) ใช้เลือกขนาดสาย ฟิวส์ และหม้อแปลง เพราะความร้อนขึ้นกับ RMS ทั้งก้อน

H3 Crest factor & average-responding meters crest factor และมิเตอร์ที่ไม่ใช่ True RMS

$$\mathrm{CF} = \frac{I_{peak}}{I_{rms}}, \qquad \text{มิเตอร์เฉลี่ย: } I_{read} = 1.111\times\overline{|i|}$$

1.111 คือ form factor ของไซน์ ($\pi/(2\sqrt2)$) ถูกเฉพาะไซน์ กระแส SMPS (CF ≈ 3) ทำให้มิเตอร์เฉลี่ยอ่านได้เพียงราวครึ่งหนึ่งของค่าจริง (จำลองในแล็บได้ 47–54 %) ใช้มิเตอร์ True RMS เสมอ

## THD, THDR และ TDD พื้นฐาน

H2 THD (F and R) and TDD สามนิยามที่เครื่องวัดใช้

$$\mathrm{THD}_F = \frac{\sqrt{\sum_{h=2}^{50}I_h^2}}{I_1}, \qquad \mathrm{THD}_R = \frac{\sqrt{\sum_{h=2}^{50}I_h^2}}{I_{rms}} = \frac{\mathrm{THD}_F}{\sqrt{1 + \mathrm{THD}_F^2}}, \qquad \mathrm{TDD} = \frac{\sqrt{\sum_{h=2}^{50}I_h^2}}{I_L}$$

THDF (เทียบหลัก) ใช้ทั่วไปและเกิน 100 % ได้ · THDR (เทียบ RMS) ไม่เกิน 100 % เครื่องบางยี่ห้อตั้งเป็นค่าเริ่มต้น ต้องตรวจเมนู · TDD (IEEE 519) เทียบกับกระแสความต้องการสูงสุด $I_L$ ทำให้โหลดเบาที่มี THD สูงไม่ถูกตัดสินว่าเกิน

## กำลัง P, S, Q₁ และกำลังความเพี้ยน D กลาง

เพราะความตั้งฉาก (T1–T3) แรงดันฮาร์มอนิกที่ h กับกระแสฮาร์มอนิกที่ k ≠ h ให้กำลังเฉลี่ยเป็นศูนย์ แรงดันจากการไฟฟ้าเกือบเป็นไซน์ กำลังจริงจึงมาจากฮาร์มอนิกหลักเกือบทั้งหมด แต่ RMS ของกระแสฮาร์มอนิกยังเพิ่ม S

H4 Active power กำลังจริง

$$P = \frac1T\int_T v\,i\,dt = \sum_{h} V_hI_h\cos\theta_h \;\approx\; V_1I_1\cos\varphi_1 \;\;(\text{แรงดันเป็นไซน์})$$

H5 Apparent power กำลังปรากฏ

$$S = V_{rms}\,I_{rms}$$

หม้อแปลง สายไฟ และเครื่องกำเนิดถูกจำกัดด้วย S (ความร้อนจาก RMS) ไม่ใช่ P

H6 Q₁ and distortion power D กำลังรีแอกทีฟของหลัก และกำลังความเพี้ยน

$$Q_1 = V_1I_1\sin\varphi_1,\qquad D = \sqrt{S^2 - P^2 - Q_1^2} \;\overset{v\ \text{ไซน์}}{=}\; V_1\sqrt{\textstyle\sum_{h\ge2}I_h^2},\qquad S^2 = P^2 + Q_1^2 + D^2$$

ภาพเรขาคณิตเป็นทรงสี่หน้า (power tetrahedron) แทนสามเหลี่ยมกำลัง · นิยามของ Budeanu ใช้ $Q_B = \sum V_hI_h\sin\theta_h$ แทน Q₁ มาตรฐาน IEEE 1459 แนะนำให้ใช้ Q₁ เพราะมีความหมายทางกายภาพชัดเจน (สิ่งที่คาปาซิเตอร์ชดเชยได้)

กำลังเมื่อมีฮาร์มอนิก: P กับ Q₁ เป็นสามเหลี่ยมกำลังของฮาร์มอนิกหลัก (DPF = cos φ₁) กำลังความเพี้ยน D ตั้งฉากกับระนาบนั้น S คือเส้นทแยงของกล่อง PF = P/S

## เพาเวอร์แฟกเตอร์ไม่เท่ากับ cos φ พื้นฐาน

H7 True PF = displacement × distortion PF จริง

$$\mathrm{PF} = \frac{P}{S} = \underbrace{\cos\varphi_1}_{\text{DPF}} \times \underbrace{\frac{I_1}{I_{rms}}}_{\text{distortion factor}} = \frac{\cos\varphi_1}{\sqrt{1 + \mathrm{THD}_i^2}} \quad (\text{แรงดันเป็นไซน์})$$

DPF แก้ได้ด้วยคาปาซิเตอร์ distortion factor แก้ได้ด้วยการลดฮาร์มอนิกเท่านั้น มิเตอร์ที่แสดง “cos φ” อาจหมายถึง DPF ต้องตรวจคู่มือ

ตัวอย่าง H-1 · คอมพิวเตอร์ไม่มี PFC

### วัดที่ 230 V (ไซน์): $I_1 = 1.30$, $I_3 = 1.15$, $I_5 = 0.95$, $I_7 = 0.70$, $I_9 = 0.45$, $I_{11} = 0.25$, $I_{13} = 0.15$ A (RMS), cos φ₁ = 0.99 หา $I_{rms}$, THD, P, S, Q₁, D, PF และ K-factor

- H1:

$$I_{rms} = \sqrt{1.30^2 + 1.15^2 + 0.95^2 + 0.70^2 + 0.45^2 + 0.25^2 + 0.15^2} = 2.166\ \text{A}$$

- H2: $\sqrt{\sum_{h\ge2}I_h^2} = 1.733$ A → THDF = 1.733/1.30 = 133 % · THDR = 1.733/2.166 = 80.0 %

- H4: $P = 230(1.30)(0.99) = 296.0$ W · H5: $S = 230(2.166) = 498.2$ VA

- H6: $Q_1 = 230(1.30)\sin(\cos^{-1}0.99) = 42.2$ var · $D = 230 \times 1.733 = 398.5$ VA

- H7: PF = 296.0/498.2 = 0.594 = 0.99 × (1.30/2.166) = 0.99 × 0.600 ✓

- H9: K = $\sum (I_h/I_{rms})^2h^2$ = 18.7

$I_{rms}$ = 2.17 A, THD 133 %, P = 296 W, S = 498 VA, Q₁ = 42 var, D = 399 VA, PF = 0.59 แม้ cos φ = 0.99 · กำลังความเพี้ยนใหญ่กว่ากำลังรีแอกทีฟเกือบ 10 เท่า

ลองในแล็บ: “SMPS 300 W ไม่มี PFC” ได้ตัวเลขใกล้เคียง (THD ~130 %, PF ~0.6) และกด “เครื่องคำนวณอย่างไร” ดูทุกขั้น ✓

ตัวอย่าง H-2 · ใส่คาปาซิเตอร์แก้ PF ได้ไหม

### จาก H-1 ถ้าชดเชย Q₁ = 42 var ด้วยคาปาซิเตอร์จนหมด PF จะเป็นเท่าไร

- Q₁ → 0 แต่ D ไม่เปลี่ยน: $S' = \sqrt{296^2 + 0^2 + 398.5^2} = 496.4$ VA

- PF' = 296/496.4 = 0.596 (จาก 0.594)

แทบไม่เปลี่ยน PF ต่ำเพราะความเพี้ยน ไม่ใช่เพราะเฟส คาปาซิเตอร์ยังอาจเรโซแนนซ์กับระบบที่ฮาร์มอนิกต่ำ ๆ ทางแก้คือ Active PFC (M8) ซึ่งทำให้ PF > 0.98

## การแยกกำลังตาม IEEE 1459 ขั้นสูง

H8 IEEE 1459 decomposition แยกกำลังปรากฏ

$$S^2 = \underbrace{(V_1I_1)^2}_{S_1^2} + \underbrace{(V_1I_H)^2}_{D_I^2} + \underbrace{(V_HI_1)^2}_{D_V^2} + \underbrace{(V_HI_H)^2}_{S_H^2},\qquad V_H = \sqrt{\textstyle\sum_{h\ne1}V_h^2},\;\; I_H = \sqrt{\textstyle\sum_{h\ne1}I_h^2}$$

$S_N = \sqrt{S^2 - S_1^2}$ คือกำลังปรากฏส่วนที่ไม่ใช่ฮาร์มอนิกหลัก $D_I$ มาจากกระแสเพี้ยน (ปกติใหญ่สุด) $D_V$ มาจากแรงดันเพี้ยน ใช้แยกว่าใครทำให้ไฟเพี้ยน เครื่องวัดคุณภาพไฟฟ้าชั้นสูงแสดงค่าเหล่านี้

## K-factor และหม้อแปลงที่ร้อนเกินพิกัด กลาง

ความสูญเสียกระแสวนในขดลวดหม้อแปลงเพิ่มตามกำลังสองของความถี่ ฮาร์มอนิกที่ 13 ขนาดเล็ก ๆ จึงสร้างความร้อนเท่ากับกระแสหลักก้อนใหญ่ได้

H9 K-factor ตัวคูณความสูญเสียกระแสวน

$$K = \frac{\sum_h I_h^2\,h^2}{\sum_h I_h^2} = \sum_h \Big(\frac{I_h}{I_{rms}}\Big)^2h^2$$

ไซน์ K = 1 · โหลดสำนักงานทั่วไป K ≈ 4–13 · เลือกหม้อแปลง K-rated (K-4, K-13, K-20) ที่สูงกว่าค่าที่วัด หรือลดพิกัดหม้อแปลงธรรมดาตามวิธีของ IEEE C57.110

## ลำดับเฟสของฮาร์มอนิกและกระแสนิวทรัล กลาง

เฟส b ล่าช้ากว่าเฟส a 120° ฮาร์มอนิกที่ h ของเฟส b จึงล่าช้า $h \times 120^\circ$ (S6) สำหรับ h = 3 คือ 360° เท่ากับไม่ล่าช้าเลย ฮาร์มอนิกที่ 3 ของสามเฟสจึงอยู่ในเฟสเดียวกันทุกประการ

H10 Harmonic sequence & neutral current ลำดับเฟสและกระแสนิวทรัล

$$h = 3k+1:\ \text{บวก (1, 4, 7, 13)} \quad h = 3k+2:\ \text{ลบ (2, 5, 11, 14)} \quad h = 3k:\ \text{ศูนย์ (3, 9, 15)} \qquad I_N = 3\sqrt{I_3^2 + I_9^2 + I_{15}^2 + \cdots}$$

ลำดับบวกกับลบของสามเฟสหักกันในนิวทรัล ลำดับศูนย์บวกกันสามเท่า (สำหรับโหลดสมดุล) · ฮาร์มอนิกลำดับลบ (5, 11) สร้างสนามหมุนกลับทางในมอเตอร์ เกิดแรงบิดเบรกและความร้อน

กระแสฮาร์มอนิกหลักของสามเฟส (บน) รวมกันเป็นศูนย์ในนิวทรัล ฮาร์มอนิกที่ 3 ของทั้งสามเฟส (ล่าง) ซ้อนกันพอดีและบวกเป็นสามเท่า

ตัวอย่าง H-3 · ชั้นสำนักงานในระบบ 3 เฟส 4 สาย

### แต่ละเฟสมีกระแส $I_1 = 20$, $I_3 = 16$, $I_5 = 12$, $I_7 = 7$, $I_9 = 4$ A (สมดุลทุกเฟส) หากระแสเฟสและกระแสนิวทรัล

- กระแสเฟส H1: $\sqrt{20^2 + 16^2 + 12^2 + 7^2 + 4^2} = 29.4$ A

- นิวทรัล H10: ฮาร์มอนิกหลักและที่ 5, 7 หักกันหมด เหลือ 3 และ 9 $I_N = 3\sqrt{16^2 + 4^2} = 49.5$ A

นิวทรัล 49.5 A = 168 % ของกระแสเฟส ถ้าเดินสายนิวทรัลขนาดเท่าเฟส (หรือเล็กกว่า) จะร้อนเกิน แก้โดยเพิ่มขนาดนิวทรัลเป็น 200 % หม้อแปลงซิกแซก หรือลดฮาร์มอนิกที่ 3 ที่ต้นทาง ลองในแล็บ: “SMPS 3 kW ต่อเฟส: นิวทรัลร้อน”

## กระแสเพี้ยนทำให้แรงดันเพี้ยน: แรงดันที่จุดต่อร่วม (PCC) กลาง

ระบบไฟมีอิมพีแดนซ์ (ส่วนใหญ่คือรีแอกแตนซ์ของหม้อแปลง) กระแสฮาร์มอนิกที่ไหลผ่านสร้างแรงดันตกที่ความถี่ฮาร์มอนิก โหลดอื่นที่ต่ออยู่จุดเดียวกันจึงได้แรงดันเพี้ยนไปด้วย เป็นเหตุผลที่มาตรฐานกำหนดขีดจำกัดของกระแสที่แต่ละผู้ใช้ไฟปล่อยออกมา

H11 Harmonic voltage at the PCC แรงดันฮาร์มอนิกที่จุดต่อร่วม

$$V_h \approx I_h\,|R_s + jhX_s| \approx I_h\,hX_s, \qquad X_s \approx \frac{V_{ph}}{I_{sc}}, \qquad \frac{V_h}{V_1} \approx \frac{I_h}{I_L}\cdot\frac{h}{I_{sc}/I_L}$$

ระบบแข็ง (Isc/IL สูง) แรงดันเพี้ยนน้อย ระบบอ่อน (หม้อแปลงเล็ก สายยาว เครื่องกำเนิดไฟฟ้าสำรอง) เพี้ยนมาก ฮาร์มอนิกลำดับสูงแม้กระแสน้อยก็สร้างแรงดันได้มากเพราะคูณ h

ตัวอย่าง H-4 · ไดรฟ์ 500 kW บนหม้อแปลง 1000 kVA

### หม้อแปลง 1000 kVA 400 V อิมพีแดนซ์ 6 % จ่ายไดรฟ์ 6 พัลส์ 500 kW (PF 0.95) กระแสฮาร์มอนิกเป็น % ของหลัก: 5 → 30, 7 → 20, 11 → 8, 13 → 6, 17 → 4, 19 → 3 หา THD แรงดันด้าน 400 V (ไม่คิดอิมพีแดนซ์ต้นทาง)

- $Z_{base} = 400^2/10^6 = 0.16\ \Omega$ · $X_s = 0.06 \times 0.16 = 0.0096\ \Omega$ (Isc ≈ 24.1 kA) · $I_1 = \frac{500\,000}{\sqrt3(400)(0.95)} = 760$ A

- H11: $V_5 = 0.30(760)(5)(0.0096) = 10.9$ V (4.7 % ของ 231 V) · $V_7$ = 10.2 V (4.4 %) · $V_{11}$ = 6.4 V (2.8 %) · $V_{13}$ = 5.7 V (2.5 %) · $V_{17}$ = 5.0 V (2.1 %) · $V_{19}$ = 4.2 V (1.8 %)

- THDV:

$$\mathrm{THD}_V = \sqrt{4.74^2 + 4.42^2 + 2.78^2 + 2.46^2 + 2.15^2 + 1.80^2}\ \% = 8.0\ \%$$

THD แรงดันประมาณ 8 % ชนขีดจำกัด IEEE 519 (8 %) และเกินเกณฑ์ กฟภ./กฟน. ที่ 0.4 kV (5 %) ไดรฟ์ขนาดนี้ต้องมีรีแอกเตอร์ โช้ก DC หรือ 12 พัลส์ ดูวิธีแก้

## ขีดจำกัดตามมาตรฐาน: IEEE 519-2022, กฟภ./กฟน. และ IEC 61000-3-2 กลาง

IEEE 519 ใช้ประเมินที่จุดต่อร่วมระหว่างผู้ใช้ไฟกับการไฟฟ้า (PCC) ไม่ใช่ที่เครื่องแต่ละตัว ฉบับ 2022 เปลี่ยนชื่อเป็น “Standard” และผ่อนขีดจำกัดของฮาร์มอนิกคู่ (เดิมทุกตัว 25 % ของค่าในตาราง)

H12 IEEE 519-2022 voltage limits at the PCC ขีดจำกัดแรงดัน

| แรงดันที่ PCC | ฮาร์มอนิกแต่ละตัว | THD |

| V ≤ 1.0 kV | 5.0 % | 8.0 % |

| 1 kV < V ≤ 69 kV | 3.0 % | 5.0 % |

| 69 kV < V ≤ 161 kV | 1.5 % | 2.5 % |

| V > 161 kV | 1.0 % | 1.5 % |

H13 IEEE 519-2022 current limits (120 V – 69 kV, % of IL) ขีดจำกัดกระแส

| Isc/IL | 2 ≤ h < 11 | 11 ≤ h < 17 | 17 ≤ h < 23 | 23 ≤ h < 35 | 35 ≤ h ≤ 50 | TDD |

| < 20 | 4.0 | 2.0 | 1.5 | 0.6 | 0.3 | 5.0 |

| 20 – 50 | 7.0 | 3.5 | 2.5 | 1.0 | 0.5 | 8.0 |

| 50 – 100 | 10.0 | 4.5 | 4.0 | 1.5 | 0.7 | 12.0 |

| 100 – 1000 | 12.0 | 5.5 | 5.0 | 2.0 | 1.0 | 15.0 |

| > 1000 | 15.0 | 7.0 | 6.0 | 2.5 | 1.4 | 20.0 |

ฮาร์มอนิกคู่ (ฉบับ 2022): h ≤ 6 ใช้ 50 % ของค่าในตาราง h > 6 ใช้ 100 % · $I_L$ คือกระแสความต้องการสูงสุดเฉลี่ย 15 หรือ 30 นาที · ประเมินจากค่าเปอร์เซ็นไทล์ของการวัดระยะยาว (เช่นค่าราย 10 นาทีตลอด 7 วัน) ค่าราย 3 วินาทีเกินได้ชั่วครู่ อ่านรายละเอียดในตัวมาตรฐาน

H14 Thailand (PEA/MEA) and IEC 61000-3-2 ข้อกำหนดในไทยและเครื่องใช้ไฟฟ้า

| ระดับแรงดันที่ PCC (ไทย) | THD แรงดันสูงสุด |

| 0.4 kV | 5 % (คี่ 4 %, คู่ 2 %) |

| 11, 12, 22, 24 kV | 4 % |

| 33 kV | 3 % |

| 69 kV | 2.45 % |

| 115 kV ขึ้นไป | 1.5 % |

มาจาก “ข้อกำหนดกฎเกณฑ์ฮาร์มอนิกเกี่ยวกับไฟฟ้าประเภทธุรกิจและอุตสาหกรรม” ของ กฟผ. กฟน. และ กฟภ. ซึ่งอ้างอิงแนวทาง Engineering Recommendation G5/3 ของสหราชอาณาจักร และกำหนดขีดจำกัดกระแสฮาร์มอนิกแต่ละลำดับตามระดับแรงดันด้วย ตรวจฉบับล่าสุดกับการไฟฟ้าที่รับไฟก่อนออกแบบ · IEC 61000-3-2 Class A กำหนดเป็นแอมแปร์ต่อเครื่อง (≤ 16 A ต่อเฟส) เช่น h = 3: 2.30 A, h = 5: 1.14 A, h = 7: 0.77 A

ตัวอย่าง H-5 · ตรวจ IEEE 519 ของโรงงาน

### PCC 400 V, Isc = 20 kA, $I_L$ = 500 A (Isc/IL = 40) วัดได้ $I_5$ = 18 %, $I_7$ = 12 %, $I_{11}$ = 7 %, $I_{13}$ = 5 % ของ $I_L$ ผ่านไหม

- H13 แถว 20–50: h < 11 ≤ 7.0 % · 11 ≤ h < 17 ≤ 3.5 % · TDD ≤ 8.0 %

- รายตัว: $I_5$ 18 % > 7 % ✗ · $I_7$ 12 % > 7 % ✗ · $I_{11}$ 7 % > 3.5 % ✗ · $I_{13}$ 5 % > 3.5 % ✗

- TDD ≥ $\sqrt{18^2 + 12^2 + 7^2 + 5^2} = 23.3$ % > 8 % ✗

ไม่ผ่านทุกข้อ ต้องลด TDD ลงราว 3 เท่า ทางเลือก: รีแอกเตอร์ 5 % (ได้ราว 30–35 %, ยังไม่พอ) + ฟิลเตอร์จูน 5th/7th หรือฟิลเตอร์แอกทีฟ หรือไดรฟ์ 18 พัลส์/Active Front End เช็กลิสต์

## ฮาร์มอนิกทำอะไรกับอุปกรณ์ พื้นฐาน

| อุปกรณ์ | ผล | สาเหตุทางฟูเรียร์ |

| หม้อแปลง | ร้อนเกิน ต้องลดพิกัด | กระแสวน ∝ $I_h^2h^2$ (K-factor) |

| สายนิวทรัล | ร้อน ไหม้ | ลำดับศูนย์ 3, 9, 15 บวกกัน 3 เท่า |

| มอเตอร์เหนี่ยวนำ | ร้อน แรงบิดกระเพื่อม เสียงดัง | 5th ลำดับลบหมุนกลับ, คู่ 5/7 สร้างแรงบิดที่ 6f |

| คาปาซิเตอร์แก้ PF | ร้อน ฟิวส์ขาด บวม | $X_C/h$ เล็กลง กระแสฮาร์มอนิกไหลเข้า และเรโซแนนซ์ |

| สาย/บัสบาร์ | ความต้านทานเพิ่ม | skin effect ที่ความถี่สูง |

| มิเตอร์ เบรกเกอร์อิเล็กทรอนิกส์ | อ่านผิด ทริปผิด | crest factor สูง ไม่ใช่ True RMS |

| อุปกรณ์ที่ซิงก์กับไฟ | จับจุดตัดศูนย์ผิด | แรงดันเพี้ยน (notching) มีจุดตัดศูนย์หลายจุด |

## แล็บ: เครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้าเสมือน พื้นฐาน

เลือกโหลด (ฮีตเตอร์ มอเตอร์ SMPS LED ไตรแอก ไดรฟ์) ดูกระแสบนสโคป อ่าน P, Q₁, S, D, PF, DPF, THD, TDD, K-factor และกระแสนิวทรัลบนเครื่องวิเคราะห์ เปิดเมนู “ระบบไฟต้นทาง” เพื่อเปลี่ยน Isc/IL แล้วดู THD แรงดันเปลี่ยนตาม H11 และสลับเกณฑ์ IEEE 519, กฟภ./กฟน. หรือ IEC 61000-3-2

## คำถามที่พบบ่อย

THD คืออะไร คำนวณอย่างไร?
THD (total harmonic distortion) คือสัดส่วนค่า RMS ของฮาร์มอนิกทั้งหมดตั้งแต่ลำดับที่ 2 เทียบกับฮาร์มอนิกหลัก $\mathrm{THD} = \sqrt{I_2^2 + I_3^2 + \cdots}/I_1$ มาตรฐานไฟฟ้ากำลังนับถึงลำดับที่ 50 กระแสของคอมพิวเตอร์ที่ไม่มี PFC มี THD ได้ถึง 100–150 %

PF กับ cos φ ต่างกันอย่างไร?
cos φ (DPF) คือ cos ของมุมระหว่างแรงดันกับกระแสเฉพาะฮาร์มอนิกหลัก PF จริงคือ P/S ซึ่งรวมผลของฮาร์มอนิกด้วย เมื่อแรงดันเป็นไซน์ $\mathrm{PF} = \cos\varphi_1 \times 1/\sqrt{1 + \mathrm{THD}_i^2}$ โหลดที่ cos φ = 0.99 แต่ THD 133 % มี PF เพียง 0.59

ทำไมคาปาซิเตอร์แก้ PF ไม่ช่วยโหลดอิเล็กทรอนิกส์?
คาปาซิเตอร์ชดเชยได้เฉพาะ Q₁ ของฮาร์มอนิกหลัก ถ้า PF ต่ำเพราะความเพี้ยน (D สูง) แต่ cos φ₁ ใกล้ 1 อยู่แล้ว คาปาซิเตอร์จะทำให้กระแสนำหน้าและอาจเกิดเรโซแนนซ์ขยายฮาร์มอนิก ต้องลดฮาร์มอนิกด้วยรีแอกเตอร์ ฟิลเตอร์ หรือ PFC แทน

ทำไมสายนิวทรัลร้อนกว่าสายเฟส?
ฮาร์มอนิกที่ 3, 9, 15 เป็นลำดับศูนย์ ในระบบสามเฟสสี่สายที่มีโหลดแบบ SMPS ทุกเฟส ฮาร์มอนิกพวกนี้ของสามเฟสอยู่ในเฟสเดียวกันจึงบวกกันในนิวทรัล $I_N = 3\sqrt{I_3^2 + I_9^2 + \cdots}$ ได้ถึง 1.5–1.7 เท่าของกระแสเฟส

IEEE 519-2022 กำหนด THD แรงดันเท่าไร?
ที่จุดต่อร่วม (PCC) แรงดันไม่เกิน 1 kV: ฮาร์มอนิกแต่ละตัวไม่เกิน 5 % และ THD ไม่เกิน 8 % · 1–69 kV: 3 % และ 5 % · 69–161 kV: 1.5 % และ 2.5 % · เกิน 161 kV: 1 % และ 1.5 % ส่วนกระแสกำหนดเป็น TDD ตามอัตราส่วน Isc/IL ตั้งแต่ 5 % ถึง 20 %

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**THD คืออะไร คำนวณอย่างไร?**
THD (total harmonic distortion) คือสัดส่วนค่า RMS ของฮาร์มอนิกทั้งหมดตั้งแต่ลำดับที่ 2 เทียบกับฮาร์มอนิกหลัก $\mathrm{THD} = \sqrt{I_2^2 + I_3^2 + \cdots}/I_1$ มาตรฐานไฟฟ้ากำลังนับถึงลำดับที่ 50 กระแสของคอมพิวเตอร์ที่ไม่มี PFC มี THD ได้ถึง 100–150 %

**PF กับ cos φ ต่างกันอย่างไร?**
cos φ (DPF) คือ cos ของมุมระหว่างแรงดันกับกระแสเฉพาะฮาร์มอนิกหลัก PF จริงคือ P/S ซึ่งรวมผลของฮาร์มอนิกด้วย เมื่อแรงดันเป็นไซน์ $\mathrm{PF} = \cos\varphi_1 \times 1/\sqrt{1 + \mathrm{THD}_i^2}$ โหลดที่ cos φ = 0.99 แต่ THD 133 % มี PF เพียง 0.59

**ทำไมคาปาซิเตอร์แก้ PF ไม่ช่วยโหลดอิเล็กทรอนิกส์?**
คาปาซิเตอร์ชดเชยได้เฉพาะ Q₁ ของฮาร์มอนิกหลัก ถ้า PF ต่ำเพราะความเพี้ยน (D สูง) แต่ cos φ₁ ใกล้ 1 อยู่แล้ว คาปาซิเตอร์จะทำให้กระแสนำหน้าและอาจเกิดเรโซแนนซ์ขยายฮาร์มอนิก ต้องลดฮาร์มอนิกด้วยรีแอกเตอร์ ฟิลเตอร์ หรือ PFC แทน

**ทำไมสายนิวทรัลร้อนกว่าสายเฟส?**
ฮาร์มอนิกที่ 3, 9, 15 เป็นลำดับศูนย์ ในระบบสามเฟสสี่สายที่มีโหลดแบบ SMPS ทุกเฟส ฮาร์มอนิกพวกนี้ของสามเฟสอยู่ในเฟสเดียวกันจึงบวกกันในนิวทรัล $I_N = 3\sqrt{I_3^2 + I_9^2 + \cdots}$ ได้ถึง 1.5–1.7 เท่าของกระแสเฟส

**IEEE 519-2022 กำหนด THD แรงดันเท่าไร?**
ที่จุดต่อร่วม (PCC) แรงดันไม่เกิน 1 kV: ฮาร์มอนิกแต่ละตัวไม่เกิน 5 % และ THD ไม่เกิน 8 % · 1–69 kV: 3 % และ 5 % · 69–161 kV: 1.5 % และ 2.5 % · เกิน 161 kV: 1 % และ 1.5 % ส่วนกระแสกำหนดเป็น TDD ตามอัตราส่วน Isc/IL ตั้งแต่ 5 % ถึง 20 %

---

# ฮาร์มอนิกของวงจรเรียงกระแส: 1 เฟส 3 เฟส 6 พัลส์ 12 พัลส์ และตัวเก็บประจุ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/rectifiers/
Updated: 2026-10-12
Summary: วิเคราะห์ฮาร์มอนิกของเรกติไฟเออร์ด้วยอนุกรมฟูเรียร์: บริดจ์ 1 เฟสฝั่ง DC และฝั่ง AC บริดจ์ + ตัวเก็บประจุของ SMPS และ VFD มุมนำกระแสและกระแสยอด บริดจ์ 3 เฟส 6 พัลส์ กระแส I1 = 0.78 Id ฮาร์มอนิกลักษณะเฉพาะ h = kp ± 1 แรงดัน DC 1.35 VLL ริปเปิลที่ 6f ช่วงทับซ้อน μ ไทริสเตอร์ DPF = cos α และการหักล้างฮาร์มอนิกด้วย 12 พัลส์ 18 พัลส์ พร้อมตัวอย่างวิธีทำและแล็บ

// บทที่ 14.9 · อนุกรมฟูเรียร์ · Rectifier Harmonics

# ฮาร์มอนิกของวงจรเรียงกระแส: 1 เฟส 3 เฟส 6 พัลส์ 12 พัลส์ และตัวเก็บประจุ

วงจรเรียงกระแสเป็นแหล่งกำเนิดฮาร์มอนิกอันดับหนึ่งของระบบไฟฟ้า อยู่หน้าไดรฟ์ทุกตัว UPS เครื่องชาร์จ และแหล่งจ่ายไฟทุกชนิด วงจรเดียวมีสองด้านให้วิเคราะห์ ด้าน DC ที่อยากได้ DC เรียบ และด้าน AC ที่การไฟฟ้าเห็นกระแสเพี้ยน อนุกรมฟูเรียร์ตอบได้ทั้งสองด้านและบอกวิธีลดฮาร์มอนิกด้วยการเพิ่มจำนวนพัลส์

สรุปใน 30 วินาที

- p พัลส์: ด้าน AC มี $h = kp \pm 1$ ด้าน DC มี $h = kp$ · ขนาดอุดมคติ $I_h = I_1/h$

- 6 พัลส์: $V_{d0} = 1.35V_{LL}$, $I_1 = 0.780I_d$, $I_{rms} = 0.816I_d$, THD 31 %

- ไทริสเตอร์: $V_d \propto \cos\alpha$, DPF ≈ $\cos(\alpha + \mu/2)$ · ช่วงทับซ้อน μ ลดฮาร์มอนิกสูง

- มีตัวเก็บประจุ DC (SMPS, VFD): พัลส์แคบ THD 80–150 % แก้ด้วยรีแอกเตอร์/โช้ก

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## บริดจ์ 1 เฟส: ด้าน DC และด้าน AC พื้นฐาน

ถ้าด้าน DC มีตัวเหนี่ยวนำใหญ่จนกระแส $I_d$ แทบเรียบ ไดโอดสองคู่สลับกันนำทุกครึ่งคาบ กระแสด้าน AC จึงเป็นสี่เหลี่ยม $\pm I_d$ ในเฟสเดียวกับแรงดัน ส่วนแรงดันด้าน DC คือไซน์เรียงกระแสเต็มคลื่น

R1 Single-phase bridge, DC side ด้าน DC

$$V_{d0} = \frac{2\sqrt2}{\pi}V = 0.900\,V,\qquad v_d \text{ มีฮาร์มอนิกที่ } 2f, 4f, \dots$$

อนุกรมเต็มคือ W8 ฮาร์มอนิกที่ 2 (100 Hz) ใหญ่ที่สุด ขนาด $0.424V_m$ ใช้ออกแบบฟิลเตอร์ A-3

R2 Single-phase bridge, AC current ด้าน AC (Id เรียบ)

$$I_1 = \frac{2\sqrt2}{\pi}I_d = 0.900\,I_d,\qquad I_h = \frac{I_1}{h}\;(h\ \text{คี่}),\qquad I_{rms} = I_d$$

สี่เหลี่ยม (W1) THD 48.3 % · DPF = 1 · PF = 0.900 · มีฮาร์มอนิกที่ 3 ซึ่งไปบวกในนิวทรัล

R3 Commutation overlap (single phase) ช่วงทับซ้อนเพราะอิมพีแดนซ์สาย

$$\cos\alpha - \cos(\alpha + \mu) = \frac{2X_sI_d}{V_m},\qquad \Delta V_d = \frac{2}{\pi}X_sI_d$$

กระแสสายเปลี่ยนจาก $-I_d$ เป็น $+I_d$ ไม่ได้ทันที เพราะ $L_s$ ขอบสี่เหลี่ยมกลายเป็นช่วงโค้งกว้าง μ ฮาร์มอนิกสูงจึงลดลง (ความเรียบ P8)

ตัวอย่าง R-1 · เครื่องชาร์จแบตเตอรี่ 1 เฟส

### บริดจ์ 1 เฟส 230 V มีโช้ก DC ใหญ่ $I_d$ = 10 A หากระแสสาย RMS ฮาร์มอนิก 1, 3, 5, 7 และ PF

- R2: $I_{rms} = I_d = 10.0$ A · $I_1 = 0.900(10) = 9.00$ A

- $I_3 = 3.00$ A, $I_5 = 1.80$ A, $I_7 = 1.29$ A

- PF = DPF × $I_1/I_{rms}$ = 1 × 0.900 H7 · กำลัง $P = 230 \times 9.00 = 2.07$ kW

10 A RMS, หลัก 9.0 A, ฮาร์มอนิก 3.0 / 1.8 / 1.3 A, PF 0.90 · ฮาร์มอนิกที่ 3 ขนาด 1/3 ของหลัก ถ้ามีหลายเครื่องในสามเฟสจะบวกกันในนิวทรัล

## บริดจ์ + ตัวเก็บประจุ: SMPS, LED และไดรฟ์ VFD กลาง

อุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์เกือบทั้งหมดไม่มีโช้ก ใช้ตัวเก็บประจุใหญ่หลังบริดจ์ ตัวเก็บประจุชาร์จเฉพาะตอนแรงดันไฟสูงกว่าแรงดันของมัน ซึ่งเกิดช่วงสั้น ๆ ก่อนยอดแรงดัน กระแสจึงเป็นพัลส์แคบสูง (รูปใน W17)

R4 Ripple of a capacitor-input bridge แรงดันริปเปิล (ประมาณ)

$$\Delta V \approx \frac{I_{dc}}{2fC}$$

ตัวเก็บประจุจ่ายโหลดเกือบทั้งครึ่งคาบ (1/2f) แล้วถูกชาร์จคืนในพัลส์สั้น ๆ ดูสูตรเดียวกันที่แล็บ FG X2

R5 Conduction angle & peak current มุมนำกระแสและกระแสยอด (อิมพีแดนซ์สายเป็นศูนย์)

$$\theta_c \approx \cos^{-1}\Big(1 - \frac{\Delta V}{V_m}\Big),\qquad \hat I \approx \frac{2\,I_{dc}\,(T/2)}{\theta_c/\omega}$$

ประจุที่ใช้ไปครึ่งคาบต้องเติมคืนในเวลา $\theta_c/\omega$ (พัลส์สามเหลี่ยม) เป็นค่าบนสุด อิมพีแดนซ์สาย NTC และไดโอดทำให้พัลส์กว้างและเตี้ยลงจริง

ตัวอย่าง R-2 · SMPS 300 W

### SMPS 300 W จากไฟ 230 V แรงดัน DC ราว 300 V ($I_{dc}$ = 1.0 A) ตัวเก็บประจุ 220 µF ประมาณริปเปิล มุมนำกระแส และกระแสยอด

- R4: $\Delta V = \frac{1.0}{2(50)(220\times10^{-6})} = 45.5$ V

- R5: $\theta_c = \cos^{-1}(1 - 45.5/325.3) = 30.7^\circ$ → นำกระแส 1.70 ms จากครึ่งคาบ 10 ms

- $\hat I \approx \frac{2(1.0)(0.010)}{0.00170} = 11.7$ A (กรณีสายแข็งมาก)

กระแสเป็นพัลส์กว้างราว 17 % ของครึ่งคาบ ยอดหลายแอมแปร์ทั้งที่กระแสเฉลี่ยแค่ 1 A แล็บที่คิดอิมพีแดนซ์ปลั๊ก 0.35 Ω และความต้านทานภายในได้ยอดราว 7 A, THD 134 %, PF 0.59, crest factor 3.0 · เลือก “SMPS 300 W” ในแล็บด้านล่าง

ไดรฟ์ VFD 3 เฟส ก็เป็นบริดจ์ + ตัวเก็บประจุเช่นกัน กระแสแต่ละเฟสเป็นพัลส์คู่ (สองหนอก) ต่อครึ่งคาบ เพราะเฟสนั้นจับคู่กับอีกสองเฟสสลับกัน ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 3 (สามสายไม่มีนิวทรัล) แต่ 5 และ 7 สูงมาก ถ้าไม่มีรีแอกเตอร์อาจเกิน 80 % ของหลัก จำลองในแล็บ: “ไดรฟ์ VFD 11 kW” แล้วเพิ่มรีแอกเตอร์ 3 % ดู THD ลดลงเหลือราว 35 %

## บริดจ์ 3 เฟส 6 พัลส์ และกฎ h = kp ± 1 กลาง

แรงดันด้าน DC ของบริดจ์ 3 เฟสคือยอดของแรงดันไลน์ทั้งหกคู่ที่สลับกันนำ เกิดหกลูกต่อหนึ่งคาบ (p = 6) กระแสแต่ละเฟสนำ 120° บวก แล้วพัก 60° แล้วนำ 120° ลบ ได้รูปที่มีสมมาตรเสี้ยวคลื่นและไม่มีฮาร์มอนิกที่หารด้วย 3 ลงตัว

R6 Characteristic harmonics of a p-pulse converter ฮาร์มอนิกลักษณะเฉพาะ

$$\text{ด้าน AC: } h = kp \pm 1,\qquad \text{ด้าน DC: } h = kp,\qquad k = 1, 2, 3, \dots$$

p = 6: AC 5, 7, 11, 13, 17, 19 · DC 6, 12, 18 (300, 600, 900 Hz) · p = 12: AC 11, 13, 23, 25 · ฮาร์มอนิกอื่นที่วัดได้ (เช่น 3 หรือคู่) เรียก non-characteristic มาจากแรงดันไม่สมดุลหรือการจุดชนวนไม่เท่ากัน

R7 Ideal 6-pulse line current กระแสไลน์อุดมคติ

$$I_1 = \frac{\sqrt6}{\pi}I_d = 0.780\,I_d,\quad I_h = \frac{I_1}{h},\quad I_{rms} = \sqrt{\tfrac23}\,I_d = 0.816\,I_d$$

อนุกรมเต็ม W12 · THD 31.1 % (30.0 % ถ้านับถึง h = 50) · distortion factor 0.955

R8 6-pulse DC voltage & ripple แรงดัน DC และริปเปิล (ไดโอด)

$$V_{d0} = \frac{3\sqrt2}{\pi}V_{LL} = 1.35\,V_{LL},\qquad \hat V_{6k} = \frac{2V_{d0}}{(6k)^2 - 1}$$

400 V: $V_{d0} = 540$ V ริปเปิลที่ 300 Hz ยอด 30.9 V ที่ 600 Hz 7.6 V เล็กกว่าเรียงกระแส 1 เฟสมาก ไดรฟ์จึงใช้ตัวเก็บประจุ DC ขนาดเล็กกว่าได้

R9 Commutation overlap (3-phase bridge) ช่วงทับซ้อนและแรงดันตก

$$\cos\alpha - \cos(\alpha + \mu) = \frac{2X_sI_d}{\sqrt2\,V_{LL}},\qquad V_d = V_{d0}\cos\alpha - \frac{3}{\pi}X_sI_d$$

ขอบของบล็อก 120° กลายเป็นช่วงโค้งกว้าง μ ทำให้ $I_{11}, I_{13}, \dots$ ลดลงชัดเจน แต่ $I_5, I_7$ ลดเล็กน้อย เป็นเหตุให้ค่าวัดจริงต่ำกว่า $1/h$ โดยเฉพาะฮาร์มอนิกสูง

กระแสเฟส a ของบริดจ์ 6 พัลส์: บล็อก 120° อุดมคติ (เส้นประ) และเมื่อมีช่วงทับซ้อน μ = 20° (สีส้ม) ขวาคือสเปกตรัม เทียบ 1/h (แท่งจาง) กับเมื่อมีช่วงทับซ้อน (แท่งเข้ม) ฮาร์มอนิกสูงลดลงมากกว่า

ตัวอย่าง R-3 · ไดรฟ์ DC 30 kW จากไฟ 400 V

### บริดจ์ไดโอด 6 พัลส์ 400 V โหลด DC 30 kW (มีโช้ก $I_d$ เรียบ) หา $V_{d0}$, $I_d$, $I_1$, $I_5$ ถึง $I_{13}$, $I_{rms}$ แล้วดูผลเมื่อ $L_s$ = 0.3 mH

- R8: $V_{d0} = 1.3505 \times 400 = 540.2$ V → $I_d = 30\,000/540.2 = 55.5$ A

- R7: $I_1 = 0.780 \times 55.5 = 43.3$ A · $I_5 = 8.66$, $I_7 = 6.19$, $I_{11} = 3.94$, $I_{13} = 3.33$ A · $I_{rms} = 45.3$ A

- มี $L_s$ = 0.3 mH ($X_s$ = 0.094 Ω) R9: $1 - \cos\mu = \frac{2(0.094)(56.3)}{\sqrt2(400)}$ → μ ≈ 11° และ $V_d$ ลดราว 5 V

- เมื่อคิดช่วงทับซ้อน (แล็บ): $I_5/I_1$ = 19.5 %, $I_7/I_1$ = 13.6 %, $I_{11}/I_1$ = 8.0 %, $I_{13}/I_1$ = 6.4 % (อุดมคติ 20, 14.3, 9.1, 7.7 %) THD 26.8 %

43.3 A ฮาร์มอนิกหลัก, 45.3 A RMS · ช่วงทับซ้อนเพียง 11° ลด THD จาก 30 % เป็น 27 % และกดฮาร์มอนิกที่ 13 ลง 17 % · ลองใน “6 พัลส์ 30 kW” ปรับ Isc/IL ในเมนูต้นทาง (ระบบอ่อนลง = Ls มากขึ้น)

## ไทริสเตอร์ควบคุมมุม α: แรงดันลดลง DPF ลดตาม กลาง

R10 Phase-controlled bridge บริดจ์ไทริสเตอร์

$$V_d = 1.35V_{LL}\cos\alpha - \frac{3}{\pi}X_sI_d,\qquad \mathrm{DPF} \approx \cos\!\Big(\alpha + \frac{\mu}{2}\Big),\qquad Q_1 \approx P\tan\!\Big(\alpha + \frac{\mu}{2}\Big)$$

บล็อกกระแสเลื่อนไปทั้งก้อน α องศา (สเปกตรัมขนาดเท่าเดิม S6) ฮาร์มอนิกหลักจึงล้าหลังแรงดัน α องศา ไดรฟ์ DC และเครื่องชาร์จแบบไทริสเตอร์ที่ทำงานแรงดันต่ำกินกำลังรีแอกทีฟมาก

ตัวอย่าง R-4 · ไดรฟ์ DC ที่ α = 45°

### บริดจ์ไทริสเตอร์ 400 V $I_d$ = 100 A α = 45° (ไม่คิด $X_s$) หา $V_d$, P, $I_1$, $S_1$, $Q_1$ และ PF

- R10: $V_d = 540.2\cos 45^\circ = 382$ V → P = 382 × 100 = 38.2 kW

- $I_1 = 0.780 \times 100 = 78.0$ A → $S_1 = \sqrt3(400)(78.0) = 54.0$ kVA · $Q_1 = S_1\sin 45^\circ = 38.2$ kvar

- PF = DPF × $I_1/I_{rms}$ = 0.707 × (0.780/0.816) = 0.675

P = 38.2 kW, Q₁ = 38.2 kvar (เท่ากับ P), PF 0.675 · ต้องชดเชย Q ด้วยคาปาซิเตอร์ดีจูนหรือฟิลเตอร์จูนที่ให้ kvar ด้วยในตัว ห้ามใช้คาปาซิเตอร์เปล่า (เรโซแนนซ์) ลองในแล็บ “6 พัลส์ไทริสเตอร์ α = 45°”

## 12 พัลส์ 18 พัลส์: หักล้างฮาร์มอนิกด้วยการเลื่อนเฟส กลาง

ป้อนบริดจ์ 6 พัลส์สองชุดจากหม้อแปลงสองขดที่แรงดันต่างเฟส 30° (Y-Y กับ Y-Δ) เมื่ออ้างกระแสกลับไปด้านปฐมภูมิ ฮาร์มอนิกลำดับบวกหมุน −30° ลำดับลบหมุน +30° ผลลัพธ์ทำให้บางฮาร์มอนิกของสองชุดตรงข้ามกันพอดี

R11 Phase-shift cancellation ทำไม 5 และ 7 หายไป

$$h = 6k \pm 1:\quad \text{ชุดที่สองเลื่อน } h\cdot 30^\circ \mp 30^\circ = k\cdot 180^\circ \;\Rightarrow\; I_h^{(12)} = I_h^{(Y)}\big(1 + (-1)^k\big)$$

k คี่ (h = 5, 7, 17, 19) หักล้างกัน k คู่ (11, 13, 23, 25) บวกกัน เหลือ 12k ± 1 · 18 พัลส์ใช้สามชุดเลื่อน 20° เหลือ 18k ± 1 · หักล้างได้ดีเมื่อโหลดสองชุดเท่ากันและอิมพีแดนซ์หม้อแปลงเท่ากัน

R12 Ideal THD vs pulse number THD อุดมคติตามจำนวนพัลส์

$$\mathrm{THD}_p = \sqrt{\sum_{k\ge1}\Big[\frac{1}{(kp - 1)^2} + \frac{1}{(kp + 1)^2}\Big]}$$

p = 6: 31.1 % · 12: 15.2 % · 18: 10.1 % · 24: 7.6 % (นับไม่จำกัด) ค่าจริงต่ำกว่าเพราะช่วงทับซ้อน

กระแสด้านปฐมภูมิของ 12 พัลส์ (สีส้ม) คือผลรวมของบริดจ์ Y-Y (สีฟ้า) กับบริดจ์ Y-Δ (สีเขียว) รูปขั้นบันไดใกล้ไซน์มากขึ้น

## เปรียบเทียบเรกติไฟเออร์แต่ละแบบ พื้นฐาน

| ชนิด | ฮาร์มอนิกเด่น | THD กระแส (โดยประมาณ) | PF | ใช้ที่ไหน |

| 1 เฟส + ตัวเก็บประจุ | 3, 5, 7, 9 | 100–150 % | 0.55–0.65 | คอมพิวเตอร์ LED อุปกรณ์เล็ก |

| 1 เฟส + โช้ก | 3, 5, 7 | 48 % (อุดมคติ) | 0.90 | เครื่องชาร์จ ไดรฟ์ DC เล็ก |

| 3 เฟส + ตัวเก็บประจุ (ไม่มีรีแอกเตอร์) | 5, 7 | 80–150 % | 0.55–0.75 | VFD ขนาดเล็ก–กลาง |

| 3 เฟส + ตัวเก็บประจุ + รีแอกเตอร์ 3–5 % | 5, 7 | 30–45 % | 0.90–0.95 | VFD ทั่วไป |

| 6 พัลส์ + โช้ก DC ใหญ่ | 5, 7, 11, 13 | 25–31 % | 0.95 × cos α | ไดรฟ์ DC อิเล็กโทรไลซิส |

| 12 พัลส์ | 11, 13 | 10–15 % | 0.99 × cos α | ไดรฟ์ใหญ่ UPS ใหญ่ |

| 18 พัลส์ | 17, 19 | 5–10 % | ~0.99 | ไดรฟ์ใหญ่ที่ต้องผ่าน IEEE 519 |

| Active Front End / PFC | รอบความถี่สวิตชิ่ง | < 5 % | ~1.0 | ไดรฟ์รุ่นใหม่ เครื่องชาร์จ EV |

## แล็บ: วัดกระแสเรกติไฟเออร์ทุกแบบ พื้นฐาน

สลับการทดลองด้วยปุ่มด้านล่าง ดูรูปกระแสบนสโคป สเปกตรัม และตัวเลข THD, PF, DPF บนเครื่องวิเคราะห์ ลองเพิ่มมุม α ของ 6 พัลส์แล้วดู DPF ลดตาม cos α หรือใส่รีแอกเตอร์ให้ VFD แล้วดูพัลส์กว้างขึ้น

## คำถามที่พบบ่อย

ฮาร์มอนิกลักษณะเฉพาะของเรกติไฟเออร์คืออะไร?
เรกติไฟเออร์ p พัลส์ในอุดมคติสร้างฮาร์มอนิกด้าน AC เฉพาะลำดับ $h = kp \pm 1$ และด้าน DC เฉพาะ $h = kp$ บริดจ์ 3 เฟส (p = 6) จึงมี 5, 7, 11, 13 ด้าน AC และ 6, 12 (300, 600 Hz) ด้าน DC ขนาดประมาณ $I_h = I_1/h$

ทำไม 12 พัลส์ลดฮาร์มอนิกที่ 5 และ 7 ได้?
ใช้หม้อแปลงสองชุดที่แรงดันต่างเฟสกัน 30° (Y-Y กับ Y-Δ) ฮาร์มอนิกลำดับ 6k ± 1 ที่ k คี่ (5, 7, 17, 19) ของสองบริดจ์จะมีเฟสตรงข้ามกันพอดีเมื่ออ้างกลับไปด้านปฐมภูมิ จึงหักล้างกัน เหลือ 12k ± 1 THD ลดจากราว 31 % เหลือราว 15 %

ไทริสเตอร์ที่มุมจุดชนวน α ทำให้ PF เป็นอย่างไร?
ฮาร์มอนิกหลักของกระแสล้าหลังแรงดันประมาณ α ทำให้ DPF ≈ cos α (ถ้าคิดช่วงทับซ้อน ≈ cos(α + μ/2)) PF จริงยังคูณด้วย distortion factor 0.955 ของกระแส 6 พัลส์ ที่ α = 45° PF ≈ 0.675 และกินกำลังรีแอกทีฟเท่ากับกำลังจริง

ทำไมกระแสของ SMPS และไดรฟ์ที่มีตัวเก็บประจุ DC มี THD สูงกว่า 6 พัลส์แบบมีโช้ก?
ตัวเก็บประจุชาร์จได้เฉพาะช่วงที่แรงดันไฟสูงกว่าแรงดันตัวเก็บประจุ ซึ่งสั้นมากใกล้ยอดแรงดัน กระแสจึงเป็นพัลส์แคบสูง มีฮาร์มอนิกมาก ใส่รีแอกเตอร์ด้าน AC หรือโช้กด้าน DC ทำให้พัลส์กว้างขึ้น THD ลดลงอย่างมาก

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ฮาร์มอนิกลักษณะเฉพาะของเรกติไฟเออร์คืออะไร?**
เรกติไฟเออร์ p พัลส์ในอุดมคติสร้างฮาร์มอนิกด้าน AC เฉพาะลำดับ $h = kp \pm 1$ และด้าน DC เฉพาะ $h = kp$ บริดจ์ 3 เฟส (p = 6) จึงมี 5, 7, 11, 13 ด้าน AC และ 6, 12 (300, 600 Hz) ด้าน DC ขนาดประมาณ $I_h = I_1/h$

**ทำไม 12 พัลส์ลดฮาร์มอนิกที่ 5 และ 7 ได้?**
ใช้หม้อแปลงสองชุดที่แรงดันต่างเฟสกัน 30° (Y-Y กับ Y-Δ) ฮาร์มอนิกลำดับ 6k ± 1 ที่ k คี่ (5, 7, 17, 19) ของสองบริดจ์จะมีเฟสตรงข้ามกันพอดีเมื่ออ้างกลับไปด้านปฐมภูมิ จึงหักล้างกัน เหลือ 12k ± 1 THD ลดจากราว 31 % เหลือราว 15 %

**ไทริสเตอร์ที่มุมจุดชนวน α ทำให้ PF เป็นอย่างไร?**
ฮาร์มอนิกหลักของกระแสล้าหลังแรงดันประมาณ α ทำให้ DPF ≈ cos α (ถ้าคิดช่วงทับซ้อน ≈ cos(α + μ/2)) PF จริงยังคูณด้วย distortion factor 0.955 ของกระแส 6 พัลส์ ที่ α = 45° PF ≈ 0.675 และกินกำลังรีแอกทีฟเท่ากับกำลังจริง

**ทำไมกระแสของ SMPS และไดรฟ์ที่มีตัวเก็บประจุ DC มี THD สูงกว่า 6 พัลส์แบบมีโช้ก?**
ตัวเก็บประจุชาร์จได้เฉพาะช่วงที่แรงดันไฟสูงกว่าแรงดันตัวเก็บประจุ ซึ่งสั้นมากใกล้ยอดแรงดัน กระแสจึงเป็นพัลส์แคบสูง มีฮาร์มอนิกมาก ใส่รีแอกเตอร์ด้าน AC หรือโช้กด้าน DC ทำให้พัลส์กว้างขึ้น THD ลดลงอย่างมาก

---

# ทางลัดด้วยสมมาตร: ฟังก์ชันคู่ คี่ ครึ่งคลื่น เสี้ยวคลื่น และการเลื่อน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/symmetry/
Updated: 2026-10-12
Summary: ใช้สมมาตรลดงานหาอนุกรมฟูเรียร์: ฟังก์ชันคู่ได้แต่โคไซน์ ฟังก์ชันคี่ได้แต่ไซน์ สมมาตรครึ่งคลื่นไม่มีฮาร์มอนิกคู่ สมมาตรเสี้ยวคลื่นของอินเวอร์เตอร์ quasi-square การเลื่อนเวลาเปลี่ยนแค่เฟส การตัดยอดสมมาตรและไม่สมมาตรกับฮาร์มอนิกคู่ อนุกรมครึ่งช่วง พร้อมตารางตัดสินใจและตัวอย่างวิธีทำ

// บทที่ 14.3 · อนุกรมฟูเรียร์ · Symmetry Shortcuts

# ทางลัดด้วยสมมาตร: ฟังก์ชันคู่ คี่ ครึ่งคลื่น เสี้ยวคลื่น และการเลื่อน

ก่อนอินทิเกรตสักตัว ดูรูปคลื่นสักห้าวินาทีก็บอกได้แล้วว่าพจน์ไหนเป็นศูนย์ และที่สำคัญกว่านั้นในงานไฟฟ้า สมมาตรบอกว่าทำไมระบบไฟปกติมีแต่ฮาร์มอนิกคี่ และเมื่อไรฮาร์มอนิกคู่โผล่มา ซึ่งมักเป็นสัญญาณว่ามีอะไรผิดปกติ

สรุปใน 30 วินาที

- คู่ $x(-t) = x(t)$ → $b_n = 0$ · คี่ $x(-t) = -x(t)$ → $a_0 = a_n = 0$

- ครึ่งคลื่น $x(t + T/2) = -x(t)$ → ไม่มี DC ไม่มีฮาร์มอนิกคู่ (ระบบไฟปกติ)

- ครึ่งคลื่น + คี่ (เสี้ยวคลื่น) → $b_n = \frac{8}{T}\int_0^{T/4} x\sin n\omega_0 t\,dt$ เฉพาะ n คี่

- เลื่อนเวลาเปลี่ยนแค่เฟส ไม่เปลี่ยน $A_n$ · ซ้ำทุก T/2 → มีแต่ n คู่

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ พื้นฐาน

ฟังก์ชันคู่สะท้อนกระจกรอบแกนตั้ง เหมือน $\cos t$ ฟังก์ชันคี่หมุนครึ่งรอบรอบจุดกำเนิดแล้วทับตัวเอง เหมือน $\sin t$ อินทิกรัลของฟังก์ชันคี่บนช่วงสมมาตร $-T/2$ ถึง $T/2$ เป็นศูนย์เสมอ เพราะพื้นที่ซ้ายกับขวาหักกันพอดี

S1 Even function ฟังก์ชันคู่ → อนุกรมโคไซน์

$$x(-t) = x(t) \;\Rightarrow\; b_n = 0,\quad a_0 = \frac{2}{T}\int_0^{T/2} x\,dt,\quad a_n = \frac{4}{T}\int_0^{T/2} x\cos n\omega_0 t\,dt$$

S2 Odd function ฟังก์ชันคี่ → อนุกรมไซน์

$$x(-t) = -x(t) \;\Rightarrow\; a_0 = a_n = 0,\quad b_n = \frac{4}{T}\int_0^{T/2} x\sin n\omega_0 t\,dt$$

S3 Products and integrals คู่ × คู่ = คู่ · คี่ × คี่ = คู่ · คู่ × คี่ = คี่

$$\int_{-T/2}^{T/2} (\text{คี่})\,dt = 0, \qquad \int_{-T/2}^{T/2} (\text{คู่})\,dt = 2\int_0^{T/2} (\text{คู่})\,dt$$

ถ้า $x$ คู่ $x\sin n\omega_0 t$ เป็นคี่ → $b_n = 0$ และ $x\cos n\omega_0 t$ เป็นคู่ → อินทิเกรตครึ่งช่วงคูณสอง (นี่คือที่มาของ 4/T)

สี่แบบของสมมาตร: คู่ (สะท้อนรอบแกนตั้ง) คี่ (หมุน 180° รอบจุดกำเนิด) ครึ่งคลื่น (ครึ่งหลัง = ครึ่งแรกกลับหัว) และเสี้ยวคลื่น (ครึ่งคลื่น + สมมาตรภายในครึ่งคาบ)

ความเป็นคู่หรือคี่ขึ้นกับการเลือก t = 0: คลื่นสี่เหลี่ยมเดียวกัน ถ้าวางขอบขาขึ้นที่ t = 0 เป็นฟังก์ชันคี่ ถ้าวางกึ่งกลางช่วงบวกที่ t = 0 เป็นฟังก์ชันคู่ เลือกจุดเริ่มที่ทำให้ได้สมมาตรมากที่สุดก่อนเริ่มคำนวณ

## สมมาตรครึ่งคลื่น: ทำไมระบบไฟมีแต่ฮาร์มอนิกคี่ พื้นฐาน

อุปกรณ์ไฟฟ้าส่วนใหญ่ทำงานเหมือนกันทั้งครึ่งบวกและครึ่งลบ กระแสครึ่งลบจึงเป็นครึ่งบวกกลับหัว นี่คือสมมาตรครึ่งคลื่น และไม่ขึ้นกับว่าเลือก t = 0 ตรงไหน ฮาร์มอนิกคู่เมื่อเลื่อนครึ่งคาบจะได้รูปเดิม (ไม่กลับหัว) จึงอยู่ในสัญญาณแบบนี้ไม่ได้

S4 Half-wave symmetry สมมาตรครึ่งคลื่น → เฉพาะฮาร์มอนิกคี่

$$x\!\left(t + \tfrac{T}{2}\right) = -x(t) \;\Rightarrow\; a_0 = 0,\;\; a_n = b_n = 0 \;(n \text{ คู่}),\;\; \begin{Bmatrix} a_n \\ b_n \end{Bmatrix} = \frac{4}{T}\int_0^{T/2} x(t)\begin{Bmatrix} \cos \\ \sin \end{Bmatrix} n\omega_0 t\,dt \;(n \text{ คี่})$$

ตัวอย่าง: สี่เหลี่ยม 50 % สามเหลี่ยม กระแส SMPS กระแสเรกติไฟเออร์ 6 พัลส์ แรงดันอินเวอร์เตอร์ ทุกตัวไม่มีฮาร์มอนิกคู่

S8 Repeats every half period ซ้ำทุก T/2 → เฉพาะฮาร์มอนิกคู่ (และ DC)

$$x\!\left(t + \tfrac{T}{2}\right) = x(t) \;\Rightarrow\; a_n = b_n = 0 \;\;(n \text{ คี่})$$

คาบจริงคือ T/2 แต่เรายังวัดเทียบความถี่แหล่งจ่าย เช่นแรงดันเรียงกระแสเต็มคลื่นจากไฟ 50 Hz มีแค่ DC, 100, 200, 300 Hz W8

| ถ้าเครื่องวัดเห็นฮาร์มอนิกคู่ หรือ DC ในกระแส | สาเหตุที่เป็นไปได้ |

| ฮาร์มอนิกที่ 2 ช่วงสั้น ๆ ตอนจ่ายไฟ | กระแสพุ่งเข้า (inrush) ของหม้อแปลง แกนอิ่มตัวข้างเดียว |

| DC และฮาร์มอนิกคู่ต่อเนื่อง | เรียงกระแสครึ่งคลื่น เครื่องเป่าผม/ฮีตเตอร์ที่ใช้ไดโอดลดกำลัง |

| ฮาร์มอนิกคู่ในไดรฟ์ 6 พัลส์ | ไดโอดหรือไทริสเตอร์ตัวหนึ่งเสีย หรือมุมจุดชนวนไม่เท่ากัน |

| ฮาร์มอนิกคู่ในอินเวอร์เตอร์ | เวลาตาย (dead time) ไม่เท่ากัน ออฟเซตในวงจรวัดกระแส |

## สมมาตรเสี้ยวคลื่น: อินทิเกรตแค่หนึ่งในสี่คาบ กลาง

ถ้ารูปมีทั้งสมมาตรครึ่งคลื่นและเป็นฟังก์ชันคี่ (หรือคู่) ในเวลาเดียวกัน หนึ่งในสี่คาบแรกก็บอกทุกอย่างแล้ว รูปคลื่นของอินเวอร์เตอร์เกือบทุกชนิดออกแบบให้มีสมมาตรนี้ การคำนวณจึงสั้นมาก

S5 Quarter-wave symmetry สมมาตรเสี้ยวคลื่น

$$\text{ครึ่งคลื่น + คี่:}\;\; b_n = \frac{8}{T}\int_0^{T/4} x\sin n\omega_0 t\,dt = \frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/2} x(\theta)\sin n\theta\,d\theta \;\;(n \text{ คี่}),\quad a_n = 0$$

ครึ่งคลื่น + คู่: สลับบทบาท ได้ $a_n = \frac{8}{T}\int_0^{T/4} x\cos n\omega_0 t\,dt$ เฉพาะ n คี่ และ $b_n = 0$

ตัวอย่าง S-1 · สามเหลี่ยมด้วยเสี้ยวคลื่น

### คลื่นสามเหลี่ยมสูง $\pm A$ เริ่มจาก 0 ขาขึ้นที่ t = 0 หาอนุกรมโดยอินทิเกรตเพียง T/4

- คี่และครึ่งคลื่น → เสี้ยวคลื่น ใช้ S5 ช่วง $0 \lt t \lt T/4$ เส้นตรง $x = 4At/T$

- อินทิกรัลทีละส่วน T10

$$b_n = \frac{8}{T}\cdot\frac{4A}{T}\Big[-\frac{t\cos n\omega_0 t}{n\omega_0} + \frac{\sin n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2}\Big]_0^{T/4}$$

- n คี่: $\cos(n\pi/2) = 0$ พจน์แรกหาย เหลือ $\sin(n\pi/2)/(n\omega_0)^2$ และ $(n\omega_0)^2 = 4\pi^2n^2/T^2$

$$b_n = \frac{32A}{T^2}\cdot\frac{T^2\sin(n\pi/2)}{4\pi^2 n^2} = \frac{8A}{\pi^2 n^2}\sin\frac{n\pi}{2}$$

$x(t) = \dfrac{8A}{\pi^2}\Big[\sin\omega_0 t - \tfrac19\sin 3\omega_0 t + \tfrac1{25}\sin 5\omega_0 t - \cdots\Big]$ · ลดลงตาม $1/n^2$ เร็วกว่าสี่เหลี่ยมมาก ฮาร์มอนิกที่ 3 เหลือ 11.1 % ของหลัก

ตัวอย่าง S-2 · quasi-square ของอินเวอร์เตอร์

### แรงดัน +A ช่วง $\alpha \lt \theta \lt \pi - \alpha$, −A ช่วง $\pi + \alpha \lt \theta \lt 2\pi - \alpha$ นอกนั้นเป็น 0 หา $b_n$ และค่าเมื่อ $\alpha = 30^\circ$

- เสี้ยวคลื่น (คี่ + ครึ่งคลื่น) ใช้รูปมุมของ S5 ในช่วง $0$ ถึง $\pi/2$ มีค่า A เฉพาะ $\alpha$ ถึง $\pi/2$

$$b_n = \frac{4}{\pi}\int_{\alpha}^{\pi/2} A\sin n\theta\,d\theta = \frac{4A}{n\pi}\Big[\cos n\alpha - \cos\frac{n\pi}{2}\Big] = \frac{4A}{n\pi}\cos n\alpha \quad (n \text{ คี่})$$

- $\alpha = 30^\circ$: $b_1 = \frac{4A}{\pi}(0.866) = 1.1027A$ · $b_3 = \frac{4A}{3\pi}\cos 90^\circ = 0$ · $b_5 = \frac{4A}{5\pi}\cos 150^\circ = -0.2205A$ · $b_7 = -0.1575A$ · $b_{11} = 0.1002A$

มุม α = 30° ทำให้ $\cos 3\alpha = 0$ ฮาร์มอนิกที่ 3, 9, 15 หายหมด ที่เหลือคือ $1/n$ ของหลักพอดี (THD 31.1 %) นี่คือแรงดันไลน์ของอินเวอร์เตอร์ six-step และหน้าตาเดียวกับกระแสเรกติไฟเออร์ 6 พัลส์ V2

ลองเปลี่ยน α ในแล็บด้านล่าง: α = 18° ฮาร์มอนิกที่ 5 หาย ($\cos 90^\circ$) แต่ที่ 3 กลับมา

## เลื่อนเวลา เลื่อนระดับ และย่อขยาย กลาง

S6 Time shift เลื่อนเวลาเปลี่ยนแค่เฟส

$$x(t - t_0):\quad A_n \text{ เท่าเดิม},\quad \varphi_n \to \varphi_n - n\omega_0 t_0$$

ฮาร์มอนิกที่ n เลื่อนเฟสไป n เท่าของฮาร์มอนิกหลัก นี่คือเหตุที่การเลื่อน 120° ระหว่างเฟสทำให้ฮาร์มอนิกที่ 3 ของทั้งสามเฟสอยู่ในเฟสเดียวกัน H10

S9 Level shift & scaling เลื่อนระดับและย่อขยาย

$$x + c \Rightarrow a_0 + c, \qquad kx \Rightarrow k\,a_n,\;k\,b_n, \qquad x(\lambda t) \Rightarrow \omega_0 \to \lambda\omega_0$$

พัลส์ 0 ถึง A ดิวตี้ 50 % = สี่เหลี่ยม $\pm A/2$ บวก DC $A/2$ ใช้อนุกรมเดิมได้ทันที

ตัวอย่าง S-3 · ทำให้เป็นฟังก์ชันคู่ด้วยการเลื่อน

### จากสี่เหลี่ยมคี่ของ T-1 เลื่อนให้กึ่งกลางช่วงบวกอยู่ที่ t = 0 แล้วเขียนเป็นอนุกรมโคไซน์

- ฟังก์ชันใหม่ $x_e(t) = x(t + T/4)$ แทนในแต่ละพจน์ $\sin n\omega_0(t + T/4) = \sin n\omega_0 t\cos\tfrac{n\pi}{2} + \cos n\omega_0 t\sin\tfrac{n\pi}{2}$

- n คี่: $\cos\frac{n\pi}{2} = 0$ และ $\sin\frac{n\pi}{2} = (-1)^{(n-1)/2}$ T11 → $a_n = \frac{4A}{n\pi}(-1)^{(n-1)/2}$

$x_e(t) = \dfrac{4A}{\pi}\Big[\cos\omega_0 t - \tfrac13\cos 3\omega_0 t + \tfrac15\cos 5\omega_0 t - \cdots\Big]$ ขนาดทุกตัวเท่าเดิม เปลี่ยนแค่เครื่องหมายสลับ ซึ่งคือเฟส

## สมมาตรของความไม่เป็นเชิงเส้น: ตัดยอด แกนเหล็ก ไดโอด กลาง

อุปกรณ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นรับไซน์เข้าแล้วให้รูปอื่นออก รูปที่ออกมีสมมาตรแบบไหนขึ้นกับว่าความไม่เป็นเชิงเส้นนั้นสมมาตรหรือไม่ จึงทำนายชนิดของฮาร์มอนิกได้ก่อนคำนวณ

S7 Symmetric vs asymmetric nonlinearity ไม่เป็นเชิงเส้นแบบสมมาตรและไม่สมมาตร

$$y = f(x),\;\; x = \sin\omega t: \qquad f(-x) = -f(x) \Rightarrow \text{เฉพาะฮาร์มอนิกคี่} \qquad f(-x) \neq -f(x) \Rightarrow \text{มี DC และฮาร์มอนิกคู่}$$

สมมาตร: ตัดยอดทั้งบนล่างเท่ากัน แกนเหล็กอิ่มตัว (B–H สมมาตร) → ฮาร์มอนิกที่ 3 เด่น · ไม่สมมาตร: ไดโอด ทรานซิสเตอร์ไบแอสไม่ตรงกลาง → ฮาร์มอนิกที่ 2 เด่น

ตัวอย่าง S-4 · ตัดยอดสมมาตรกับไม่สมมาตร

### ไซน์แอมพลิจูด 1 ถูกตัด (ก) ทั้งบนและล่างที่ ±0.7 (ข) เฉพาะบนที่ 0.6 เปรียบเทียบสเปกตรัม

- (ก) $f(-x) = -f(x)$ → ไม่มี DC ไม่มี n คู่ อินทิเกรตเป็นช่วงไซน์กับช่วงค่าคงตัว ได้ $b_1 = 0.812$, $b_3 = 0.108$ (13.3 %), $b_5 = -0.020$ (2.5 %), $b_7 = -0.016$ (2.0 %) THD = 13.8 %

- (ข) ตัดข้างเดียว สมมาตรครึ่งคลื่นหาย: $a_0 = -0.078$ (ค่าเฉลี่ยติดลบ เพราะส่วนบนหายไป) $b_1 = 0.858$, $a_2 = 0.109$ (12.7 %), $b_3 = 0.065$ (7.6 %), $a_4 = -0.025$ (2.9 %) THD = 15.2 %

ตัดสมมาตรได้เฉพาะคี่ ตัดข้างเดียวได้ DC และฮาร์มอนิกที่ 2 เด่น วิศวกรเสียงใช้ข้อนี้บอกได้ว่าเครื่องขยายตัดยอดข้างไหน ทั้งหมดคำนวณแบบปิด (ไม่ประมาณ) ในแล็บ เลือก “ไซน์ถูกตัดยอด”

## อนุกรมครึ่งช่วง: ขยายฟังก์ชันที่รู้แค่ครึ่งเดียว ขั้นสูง

ปัญหาค่าขอบเขต เช่นการนำความร้อนในแท่งโลหะ (ปัญหาดั้งเดิมของฟูเรียร์) หรือแรงดันบนสายส่งที่ปลายสองข้างกำหนดไว้ ฟังก์ชันถูกกำหนดแค่ช่วง $0 \lt x \lt L$ เราจะ “สร้าง” ครึ่งที่เหลือให้เป็นคู่หรือคี่ตามเงื่อนไขขอบ แล้วได้อนุกรมโคไซน์หรือไซน์ล้วน

S10 Half-range expansions on 0 < x < L อนุกรมครึ่งช่วง

$$\text{ไซน์ (ขยายแบบคี่):}\; b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx \qquad \text{โคไซน์ (ขยายแบบคู่):}\; a_0 = \frac{1}{L}\int_0^L f\,dx,\;\; a_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx$$

ปลายทั้งสองถูกตรึงเป็นศูนย์ (เช่นอุณหภูมิที่ปลายแท่งคงที่) ใช้อนุกรมไซน์ ปลายหุ้มฉนวนไม่มีความร้อนไหล (อนุพันธ์เป็นศูนย์) ใช้อนุกรมโคไซน์

ตัวอย่าง S-5 · อนุกรมไซน์ครึ่งช่วง

### เขียน $f(x) = x$ บน $0 \lt x \lt \pi$ เป็นอนุกรมไซน์

- $L = \pi$ ใช้ S10 และ T10

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin nx\,dx = \frac{2}{\pi}\Big[-\frac{x\cos nx}{n} + \frac{\sin nx}{n^2}\Big]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi}\cdot\Big(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\Big) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

$x = 2\big(\sin x - \tfrac12\sin 2x + \tfrac13\sin 3x - \cdots\big)$ บน $0 \lt x \lt \pi$ ซึ่งก็คือฟันเลื่อยของ T-3 นั่นเอง (ขยายแบบคี่ของเส้นตรงคือฟันเลื่อย)

## ตารางตัดสินใจ: ดูรูปแล้วรู้ว่าต้องหาอะไร พื้นฐาน

| สมมาตรที่เห็น | $a_0$ | $a_n$ | $b_n$ | n ที่มี | อินทิเกรตช่วง |

| ไม่มี | หา | หา | หา | ทุก n | T |

| คู่ | หา | หา | 0 | ทุก n | T/2 (×2) |

| คี่ | 0 | 0 | หา | ทุก n | T/2 (×2) |

| ครึ่งคลื่น | 0 | หา (n คี่) | หา (n คี่) | คี่ | T/2 (×2) |

| ครึ่งคลื่น + คู่ | 0 | หา (n คี่) | 0 | คี่ | T/4 (×4) |

| ครึ่งคลื่น + คี่ | 0 | 0 | หา (n คี่) | คี่ | T/4 (×4) |

| ซ้ำทุก T/2 | หา | หา (n คู่) | หา (n คู่) | คู่ | T/2 |

ตัวอย่าง S-6 · ฝึกดูสมมาตร

### บอกสมมาตรและฮาร์มอนิกที่มีของ: (ก) กระแส SMPS (ข) พัลส์ 0–5 V ดิวตี้ 25 % (ค) แรงดันเรียงกระแสเต็มคลื่น (ง) กระแสเรกติไฟเออร์ 6 พัลส์ (จ) ฟันเลื่อย

- (ก) พัลส์บวกกับลบหน้าตาเหมือนกัน → ครึ่งคลื่น → เฉพาะคี่ (3, 5, 7, …) ไม่มี DC

- (ข) ไม่มีสมมาตรครึ่งคลื่น มี DC = 1.25 V · ถ้าวางกึ่งกลางพัลส์ที่ t = 0 เป็นฟังก์ชันคู่ → มีแต่โคไซน์ ทั้ง n คู่และคี่ (ยกเว้น n = 4, 8, …)

- (ค) ซ้ำทุกครึ่งคาบของไฟ → เฉพาะ n คู่ และเป็นฟังก์ชันคู่ (วาง t = 0 ที่ยอด) → โคไซน์ล้วน

- (ง) ครึ่งคลื่น + คู่ (วางกึ่งกลางบล็อกที่ t = 0) → เสี้ยวคลื่น เฉพาะคี่ และความเป็น 3 เฟสตัด 3, 9, 15 ออกอีก เหลือ 6k ± 1

- (จ) คี่แต่ไม่มีครึ่งคลื่น → ไซน์ล้วน มีทุก n

ลองยืนยันทุกข้อในแล็บด้านล่าง แผงด้านล่างกราฟบอกสมมาตรที่ตรวจพบจากสัมประสิทธิ์ให้อัตโนมัติ

## แล็บ: ทายสมมาตรก่อนดูสเปกตรัม พื้นฐาน

ติ๊ก “ซ่อนสเปกตรัม (ทายก่อน)” เลือกรูปคลื่น ทายว่ามีฮาร์มอนิกคู่ไหม มี DC ไหม แล้วค่อยกดดู ลองเลื่อน α ของ quasi-square และดิวตี้ของพัลส์แล้วสังเกตว่าศูนย์ของสเปกตรัมย้ายไปที่ไหน

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมคลื่นสี่เหลี่ยมมีแต่ฮาร์มอนิกคี่?
เพราะคลื่นสี่เหลี่ยม 50 % มีสมมาตรครึ่งคลื่น $x(t + T/2) = -x(t)$ ครึ่งหลังคือครึ่งแรกกลับหัว ฮาร์มอนิกคู่ไม่มีสมบัตินี้ (เลื่อนครึ่งคาบแล้วหน้าตาเหมือนเดิม ไม่กลับหัว) จึงต้องเป็นศูนย์ทั้งหมด ถ้าดิวตี้ไม่ใช่ 50 % สมมาตรหายไป ฮาร์มอนิกคู่จะโผล่

ฟังก์ชันคู่และคี่ช่วยอะไรในการหาอนุกรมฟูเรียร์?
ฟังก์ชันคู่ $x(-t) = x(t)$ มี $b_n = 0$ ทุกตัว หาแค่ $a_0$ กับ $a_n$ ฟังก์ชันคี่ $x(-t) = -x(t)$ มี $a_0 = a_n = 0$ หาแค่ $b_n$ และอินทิเกรตแค่ครึ่งคาบแล้วคูณสองได้

การเลื่อนแกนเวลาทำให้สเปกตรัมเปลี่ยนไหม?
ไม่เปลี่ยนขนาด $A_n$ เปลี่ยนเฉพาะมุมเฟส $\varphi_n$ ไป $-n\omega_0 t_0$ แต่การเลื่อนอาจทำให้รูปมีหรือไม่มีสมมาตรคู่/คี่ เราจึงเลือกจุด t = 0 ให้ได้สมมาตรมากที่สุดเพื่อให้คำนวณง่าย

ทำไมเครื่องขยายเสียงที่ตัดยอดไม่สมมาตรจึงมีฮาร์มอนิกที่ 2?
การตัดยอดเฉพาะด้านบนทำลายสมมาตรครึ่งคลื่น ขาออกจึงมีทั้ง DC และฮาร์มอนิกคู่ ตัวอย่างในหน้านี้ตัดบนที่ 60 % ได้ฮาร์มอนิกที่ 2 ประมาณ 12.7 % ของหลัก ส่วนการตัดสมมาตรทั้งบนล่างให้แต่ฮาร์มอนิกคี่

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมคลื่นสี่เหลี่ยมมีแต่ฮาร์มอนิกคี่?**
เพราะคลื่นสี่เหลี่ยม 50 % มีสมมาตรครึ่งคลื่น $x(t + T/2) = -x(t)$ ครึ่งหลังคือครึ่งแรกกลับหัว ฮาร์มอนิกคู่ไม่มีสมบัตินี้ (เลื่อนครึ่งคาบแล้วหน้าตาเหมือนเดิม ไม่กลับหัว) จึงต้องเป็นศูนย์ทั้งหมด ถ้าดิวตี้ไม่ใช่ 50 % สมมาตรหายไป ฮาร์มอนิกคู่จะโผล่

**ฟังก์ชันคู่และคี่ช่วยอะไรในการหาอนุกรมฟูเรียร์?**
ฟังก์ชันคู่ $x(-t) = x(t)$ มี $b_n = 0$ ทุกตัว หาแค่ $a_0$ กับ $a_n$ ฟังก์ชันคี่ $x(-t) = -x(t)$ มี $a_0 = a_n = 0$ หาแค่ $b_n$ และอินทิเกรตแค่ครึ่งคาบแล้วคูณสองได้

**การเลื่อนแกนเวลาทำให้สเปกตรัมเปลี่ยนไหม?**
ไม่เปลี่ยนขนาด $A_n$ เปลี่ยนเฉพาะมุมเฟส $\varphi_n$ ไป $-n\omega_0 t_0$ แต่การเลื่อนอาจทำให้รูปมีหรือไม่มีสมมาตรคู่/คี่ เราจึงเลือกจุด t = 0 ให้ได้สมมาตรมากที่สุดเพื่อให้คำนวณง่าย

**ทำไมเครื่องขยายเสียงที่ตัดยอดไม่สมมาตรจึงมีฮาร์มอนิกที่ 2?**
การตัดยอดเฉพาะด้านบนทำลายสมมาตรครึ่งคลื่น ขาออกจึงมีทั้ง DC และฮาร์มอนิกคู่ ตัวอย่างในหน้านี้ตัดบนที่ 60 % ได้ฮาร์มอนิกที่ 2 ประมาณ 12.7 % ของหลัก ส่วนการตัดสมมาตรทั้งบนล่างให้แต่ฮาร์มอนิกคี่

---

# ตารางอนุกรมฟูเรียร์ของรูปคลื่นในงานไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์กำลัง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/waveform-table/
Updated: 2026-10-12
Summary: ตารางสูตรอนุกรมฟูเรียร์สำเร็จรูป 18 รูปคลื่นพร้อมค่า RMS THD และ crest factor: คลื่นสี่เหลี่ยม พัลส์ดิวตี้ D สามเหลี่ยม ฟันเลื่อย ไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่นและเต็มคลื่น quasi-square อินเวอร์เตอร์ six-step กระแสเรกติไฟเออร์ 6 พัลส์ SPWM พัลส์คางหมู ไตรแอกตัดเฟส ไซน์ตัดยอด กระแส SMPS และริปเปิลตัวเหนี่ยวนำ ทุกสูตรตรวจด้วยการคำนวณแบบปิด ใช้อ้างอิงได้ด้วยรหัส W1–W18

// บทที่ 14.6 · อนุกรมฟูเรียร์ · Fourier Series Table

# ตารางอนุกรมฟูเรียร์ของรูปคลื่นในงานไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์กำลัง

งานจริงไม่มีเวลาอินทิเกรตใหม่ทุกครั้ง ตารางนี้รวบรวมรูปคลื่นที่วิศวกรไฟฟ้าเจอซ้ำ ๆ พร้อมอนุกรม ค่า RMS THD และ crest factor ทุกสูตรตรวจกับการอินทิเกรตแบบปิดของแล็บในชุดนี้แล้ว เลือกจุด t = 0 ตามที่ระบุในแต่ละการ์ด ถ้าวางต่างไป ใช้สมบัติการเลื่อน (S6) ขนาดเท่าเดิม เปลี่ยนแค่เฟส

วิธีใช้

- หาสูตรจากรหัส W ในกล่องค้นหา หรือพิมพ์ชื่อ เช่น six-step, triac, ripple

- $A_n$ คือค่ายอดของฮาร์มอนิก ค่า RMS ของฮาร์มอนิก = $A_n/\sqrt2$

- รูปซับซ้อน = ผลรวมของรูปในตาราง (เชิงเส้น C8)

- ทุกรูปเปิดดูในแล็บได้ทันที เลือกจากรายการรูปคลื่นท้ายหน้า

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## ตารางสรุปในหน้าเดียว พื้นฐาน

| รหัส | รูปคลื่น | ฮาร์มอนิกที่มี | ขนาด $A_n$ | RMS | THD | CF |

| W1 | สี่เหลี่ยม ±A | คี่ | $4A/(n\pi)$ | $A$ | 48.3 % | 1.00 |

| W2 | สี่เหลี่ยม 0–A | DC + คี่ | $2A/(n\pi)$ | $A/\sqrt2$ | 48.3 %* | 1.41 |

| W3 | พัลส์ดิวตี้ D | DC + ทุก n ยกเว้น $k/D$ | $2AD|\mathrm{sinc}\,nD|$ | $A\sqrt D$ | ขึ้นกับ D | $1/\sqrt D$ |

| W5 | สามเหลี่ยม ±A | คี่ | $8A/(\pi^2n^2)$ | $A/\sqrt3$ | 12.1 % | 1.73 |

| W6 | ฟันเลื่อย ±A | ทุก n | $2A/(n\pi)$ | $A/\sqrt3$ | 80.3 % | 1.73 |

| W7 | เรียงกระแสครึ่งคลื่น | DC, 1, คู่ | $2V_m/(\pi(n^2 - 1))$ | $V_m/2$ | 43.5 %* | 2.00 |

| W8 | เรียงกระแสเต็มคลื่น | DC + คู่ | $4V_m/(\pi(n^2 - 1))$ | $V_m/\sqrt2$ | ริปเปิล 48.3 % | 1.41 |

| W9 | quasi-square มุม α | คี่ | $4A|\cos n\alpha|/(n\pi)$ | $A\sqrt{1 - 2\alpha/\pi}$ | ขึ้นกับ α | — |

| W10 | six-step แรงดันเฟส | $6k\pm1$ | $2V_{dc}/(n\pi)$ | $0.471V_{dc}$ | 31.1 % | 1.41 |

| W11 | six-step แรงดันไลน์ | $6k\pm1$ | $2\sqrt3V_{dc}/(n\pi)$ | $0.816V_{dc}$ | 31.1 % | 1.22 |

| W12 | กระแส 6 พัลส์ (อุดมคติ) | $6k\pm1$ | $2\sqrt3I_d/(n\pi)$ | $0.816I_d$ | 31.1 % | 1.22 |

| W13 | SPWM ไบโพลาร์ | 1 + ไซด์แบนด์รอบ $jm_f$ | $m_aV_{dc}/2$ (หลัก) | $V_{dc}/2$ | สูง (ก่อนกรอง) | 1.00 |

| W14 | พัลส์คางหมู | เหมือน W3 | $\times|\mathrm{sinc}(nt_r/T)|$ | — | — | — |

| W15 | ไตรแอกตัดเฟส α | คี่ | ดูการ์ด | ดูการ์ด | 64 % (α = 90°) | — |

| W16 | ไซน์ตัดยอดสมมาตร | คี่ | ดูการ์ด | — | 13.8 % (ตัดที่ 70 %) | — |

| W17 | กระแส SMPS ไม่มี PFC | คี่ | ไม่มีรูปปิด | — | 100–150 % | 2.5–3.5 |

| W18 | สามเหลี่ยมไม่สมมาตร (ริปเปิล L) | ทุก n | $\Delta I|\sin n\pi D|/(\pi^2n^2D(1-D))$ | $\Delta I/\sqrt{12}$ (AC) | — | — |

* ไม่นับ DC · CF = crest factor = ค่ายอด/RMS · ไซน์บริสุทธิ์ CF = 1.414 THD = 0

## รูปคลื่นพื้นฐาน: สี่เหลี่ยม พัลส์ สามเหลี่ยม ฟันเลื่อย พื้นฐาน

W1 Square wave ±A สี่เหลี่ยม (ขาขึ้นที่ t = 0)

$$x(t) = \frac{4A}{\pi}\sum_{n=1,3,5}^{\infty}\frac{\sin n\omega_0 t}{n}$$

RMS = A · $X_1 = 0.900A$ · THD 48.3 % · ที่มา T-1

W2 Square wave 0 to A (50 %) สี่เหลี่ยมลอจิก

$$x(t) = \frac{A}{2} + \frac{2A}{\pi}\sum_{n=1,3,5}^{\infty}\frac{\sin n\omega_0 t}{n}$$

= W1 ที่ A/2 บวก DC A/2 (S9) · RMS $A/\sqrt2$ · นาฬิกา 3.3 V 10 MHz มีฮาร์มอนิกที่ 30, 50 MHz ขนาด 0.70, 0.42 V

W3 Pulse train, duty D พัลส์สูง A กว้าง DT เริ่มที่ t = 0

$$a_0 = AD,\quad a_n = \frac{A}{n\pi}\sin 2\pi nD,\quad b_n = \frac{A}{n\pi}(1 - \cos 2\pi nD),\quad A_n = \frac{2A}{n\pi}|\sin n\pi D|$$

RMS $A\sqrt D$ · ไม่มีฮาร์มอนิกที่ $n = k/D$ · ที่มา T-2 C7

W4 Pulse train, centred at t = 0 พัลส์วางกึ่งกลาง (ฟังก์ชันคู่)

$$x(t) = AD + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2A}{n\pi}\sin(n\pi D)\cos n\omega_0 t$$

ขนาดเท่า W3 ทุกตัว แต่เป็นโคไซน์ล้วน สะดวกเมื่อคูณกับฟังก์ชันคู่อื่น

W5 Triangle wave ±A สามเหลี่ยม (ขาขึ้นผ่าน 0 ที่ t = 0)

$$x(t) = \frac{8A}{\pi^2}\sum_{n=1,3,5}^{\infty}\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2}\sin n\omega_0 t$$

RMS $A/\sqrt3$ · THD 12.1 % · CF 1.73 · ที่มา S-1

W6 Sawtooth ±A ฟันเลื่อย (ผ่าน 0 ขาขึ้นที่ t = 0)

$$x(t) = \frac{2A}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin n\omega_0 t$$

RMS $A/\sqrt3$ · THD 80.3 % · มีทั้งคู่และคี่ · ที่มา T-3

## วงจรเรียงกระแสและโหลดไม่เชิงเส้น กลาง

W7 Half-wave rectified sine ไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่น

$$v = \frac{V_m}{\pi} + \frac{V_m}{2}\sin\omega_0 t - \frac{2V_m}{\pi}\sum_{n=2,4,6}^{\infty}\frac{\cos n\omega_0 t}{n^2 - 1}$$

RMS $V_m/2$ · DC $0.318V_m$ · THD (ไม่นับ DC) 43.5 % · ที่มา T-4

W8 Full-wave rectified sine ไซน์เรียงกระแสเต็มคลื่น (ω₀ = ความถี่แหล่งจ่าย)

$$v = \frac{2V_m}{\pi} - \frac{4V_m}{\pi}\sum_{n=2,4,6}^{\infty}\frac{\cos n\omega_0 t}{n^2 - 1}$$

DC $0.637V_m$ · ฮาร์มอนิกที่ 2 (100 Hz) $0.424V_m$ · RMS ริปเปิล/DC = 48.3 % (ripple factor)

W12 6-pulse rectifier line current (ideal) กระแสไลน์ของบริดจ์ 3 เฟส (I_d เรียบ, วางกึ่งกลางบล็อกที่ t = 0)

$$i_a = \frac{2\sqrt3 I_d}{\pi}\Big[\cos\omega t - \tfrac15\cos5\omega t + \tfrac17\cos7\omega t - \tfrac1{11}\cos11\omega t + \tfrac1{13}\cos13\omega t - \cdots\Big]$$

$I_1 = \frac{\sqrt6}{\pi}I_d = 0.780I_d$ (RMS) · $I_h = I_1/h$ · RMS $\sqrt{2/3}\,I_d = 0.816I_d$ · THD 31.1 % · รายละเอียดและผลของช่วงทับซ้อนที่ R7

W15 Phase-controlled (TRIAC) current, R load ไตรแอกตัดเฟส $i = I_m\sin\theta$ เมื่อ $\alpha \lt \theta \lt \pi$ (และครึ่งลบ)

$$a_1 = \frac{I_m}{2\pi}(\cos 2\alpha - 1),\quad b_1 = \frac{I_m}{2\pi}\big(2(\pi - \alpha) + \sin 2\alpha\big)$$

$$a_n = \frac{I_m}{\pi}\Big[\frac{\cos(n+1)\alpha - 1}{n+1} - \frac{\cos(n-1)\alpha - 1}{n-1}\Big],\quad b_n = \frac{I_m}{\pi}\Big[\frac{\sin(n+1)\alpha}{n+1} - \frac{\sin(n-1)\alpha}{n-1}\Big]\;\;(n\text{ คี่} \ge 3)$$

$I_{rms} = I_m\sqrt{\frac{\pi - \alpha}{2\pi} + \frac{\sin 2\alpha}{4\pi}}$ · $a_1 \ne 0$ → ฮาร์มอนิกหลักล้าหลัง DPF < 1 แม้โหลดเป็นตัวต้านทาน · α = 90°: THD 64 % PF 0.707

W16 Symmetrically clipped sine ไซน์ตัดยอดที่ระดับ $cA$, $\theta_c = \sin^{-1}c$

$$b_1 = \frac{2A}{\pi}\big(\theta_c + \sin\theta_c\cos\theta_c\big),\quad b_n = \frac{2A}{\pi}\Big[\frac{\sin(n-1)\theta_c}{n-1} - \frac{\sin(n+1)\theta_c}{n+1}\Big] + \frac{4cA}{n\pi}\cos n\theta_c$$

n คี่ (n ≥ 3) · c = 0.7: $b_1 = 0.812A$, $b_3 = 0.108A$ THD 13.8 % · ตัดไม่สมมาตรดู S-4

W17 Capacitor-input rectifier current (SMPS without PFC) กระแสของบริดจ์ + ตัวเก็บประจุ

$$I_3 \approx 0.8\text{–}0.95\,I_1,\quad I_5 \approx 0.6\text{–}0.85\,I_1,\quad I_7 \approx 0.4\text{–}0.7\,I_1,\quad \text{THD} \approx 100\text{–}150\,\%$$

ไม่มีรูปปิด ขึ้นกับ C อิมพีแดนซ์สายและ NTC จำลองในแล็บ (300 W, 220 µF, อิมพีแดนซ์ปลั๊ก 0.35 Ω): 90.8 / 74.3 / 53.7 / 33.0 % ของ $I_1$ ที่ h = 3, 5, 7, 9 THD 134 % PF 0.59 CF 3.0 R4

## อินเวอร์เตอร์ กลาง

W9 Quasi-square (3-level) wave สี่เหลี่ยมสามระดับ มุมศูนย์ α ที่ขอบแต่ละด้าน

$$x(t) = \frac{4A}{\pi}\sum_{n=1,3,5}^{\infty}\frac{\cos n\alpha}{n}\sin n\omega_0 t$$

RMS $A\sqrt{1 - 2\alpha/\pi}$ · α = 30° ไม่มี 3, 9, 15 · α = 18° ไม่มี 5 · ที่มา S-2

W10 Six-step inverter, phase voltage แรงดันเฟส (ขั้น $V_{dc}/3$, $2V_{dc}/3$)

$$v_{aN} = \frac{2V_{dc}}{\pi}\Big[\sin\omega t + \tfrac15\sin5\omega t + \tfrac17\sin7\omega t + \tfrac1{11}\sin11\omega t + \cdots\Big]$$

RMS $\frac{\sqrt2}{3}V_{dc} = 0.471V_{dc}$ · ฮาร์มอนิกหลัก (RMS) $0.450V_{dc}$ · THD 31.1 %

W11 Six-step inverter, line voltage แรงดันไลน์ = quasi-square α = 30° สูง $V_{dc}$

$$|V_{ab,n}| = \frac{2\sqrt3\,V_{dc}}{n\pi}\;\;(n = 6k\pm1),\qquad V_{ab,1,rms} = \frac{\sqrt6}{\pi}V_{dc} = 0.780V_{dc}$$

RMS $0.816V_{dc}$ · หน้าตาเดียวกับกระแส 6 พัลส์ (W12) จึงมีสเปกตรัมเดียวกัน

W13 Sinusoidal PWM (bipolar, ±Vdc/2) SPWM แบบไบโพลาร์

$$V_1 = m_a\frac{V_{dc}}{2}\;(m_a \le 1),\qquad h = j\,m_f \pm k\;\;(j \text{ คี่ → } k \text{ คู่},\; j \text{ คู่ → } k \text{ คี่})$$

ตารางขนาดไซด์แบนด์และแบบยูนิโพลาร์ที่ V6 · เปิดในแล็บ: “SPWM”

## คอนเวอร์เตอร์สวิตชิ่งและ EMI กลาง

W14 Trapezoidal pulse พัลส์คางหมู: ดิวตี้ D (วัดที่ 50 %) เวลาขึ้น = ลง = $t_r$

$$A_n = 2AD\,\big|\mathrm{sinc}(nD)\big|\,\Big|\mathrm{sinc}\Big(\frac{n t_r}{T}\Big)\Big|$$

เอนเวโลปหักมุมที่ $1/(\pi\tau)$ และ $1/(\pi t_r)$ · ใช้ประเมิน EMI B9

W18 Asymmetric triangle (inductor ripple) ขึ้นช่วง DT ลงช่วง (1−D)T ยอดถึงยอด ΔI

$$A_n = \frac{\Delta I\,|\sin n\pi D|}{\pi^2 n^2 D(1 - D)},\qquad I_{ac,rms} = \frac{\Delta I}{\sqrt{12}}$$

D = 0.5 ได้สามเหลี่ยมสมมาตร (W5 ที่ $A = \Delta I/2$) · ใช้หาความสูญเสียแกนและทองแดงที่ความถี่สวิตชิ่ง B7

## ใช้ตารางแก้โจทย์จริง กลาง

ตัวอย่าง W-1 · กระแสไดรฟ์ 6 พัลส์

### เรกติไฟเออร์ 6 พัลส์กระแส DC 100 A (เรียบ) หากระแสไลน์ RMS ฮาร์มอนิกหลัก ที่ 5, 7, 11, 13 และ THD

- W12: $I_{rms} = 0.816 \times 100 = 81.6$ A · $I_1 = 0.780 \times 100 = 78.0$ A

- $I_5 = 78.0/5 = 15.6$ A · $I_7 = 11.1$ A · $I_{11} = 7.09$ A · $I_{13} = 6.00$ A

- THD จากพาร์เซวาล P7: $\sqrt{81.65^2 - 77.97^2}/77.97 = 31.1$ %

81.6 A RMS, หลัก 78.0 A, ฮาร์มอนิก 15.6 / 11.1 / 7.1 / 6.0 A, THD 31.1 % (ค่าจริงต่ำกว่านี้เล็กน้อยเพราะช่วงทับซ้อน R9)

ตัวอย่าง W-2 · รวมรูปจากตาราง

### แรงดันมีสี่เหลี่ยม ±10 V ซ้อนกับ DC 4 V หา DC, $A_1$, $A_3$ และ RMS

- เชิงเส้น: DC = 4 V · W1: $A_1 = 40/\pi = 12.73$ V · $A_3 = 4.24$ V

- RMS: DC กับ AC ตั้งฉากกัน $\sqrt{4^2 + 10^2} = 10.77$ V

DC 4 V, $A_1$ 12.73 V, $A_3$ 4.24 V, RMS 10.77 V

## แล็บ: เปิดทุกรูปในตาราง พื้นฐาน

เลือกรูปคลื่นจากรายการ ตัวเลขในแผงวิธีคิดคำนวณด้วยการอินทิเกรตแบบปิดของแต่ละช่วง ไม่ใช่ FFT จึงตรงกับสูตรในตารางทุกหลัก

## คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมฟูเรียร์ของคลื่นสี่เหลี่ยมคืออะไร?
คลื่นสี่เหลี่ยมสูง ±A เริ่มขาขึ้นที่ t = 0 คือ $\frac{4A}{\pi}\big[\sin\omega_0t + \frac13\sin3\omega_0t + \frac15\sin5\omega_0t + \cdots\big]$ มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ ลดลงตาม 1/n ค่า RMS เท่ากับ A และ THD 48.3 %

กระแสของเรกติไฟเออร์ 3 เฟส 6 พัลส์มีฮาร์มอนิกอะไร?
ถ้ากระแส DC เรียบ กระแสไลน์เป็นบล็อกกว้าง 120° มีเฉพาะ $h = 6k \pm 1$ คือ 5, 7, 11, 13, … ขนาด $I_h = I_1/h$ โดย $I_1 = (\sqrt6/\pi)I_d = 0.780I_d$ ค่า RMS $0.816I_d$ THD 31.1 % ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 3

THD ของรูปคลื่นมาตรฐานเท่าไร?
สี่เหลี่ยม 48.3 % ฟันเลื่อย 80.3 % สามเหลี่ยม 12.1 % six-step และกระแส 6 พัลส์ 31.1 % ไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่น (ไม่นับ DC) 43.5 % กระแส SMPS ไม่มี PFC ทั่วไป 100–150 %

ใช้ตารางนี้อ้างอิงในรายงานได้อย่างไร?
ทุกสูตรมีรหัสถาวร W1 ถึง W18 อ้างเป็น Mod's Engineering Mathematics, ตารางอนุกรมฟูเรียร์ W12 พร้อมลิงก์ /learn/fourier-series/waveform-table/#W12 ทุกสูตรตรวจกับการอินทิเกรตแบบปิดในแล็บแล้ว

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**อนุกรมฟูเรียร์ของคลื่นสี่เหลี่ยมคืออะไร?**
คลื่นสี่เหลี่ยมสูง ±A เริ่มขาขึ้นที่ t = 0 คือ $\frac{4A}{\pi}\big[\sin\omega_0t + \frac13\sin3\omega_0t + \frac15\sin5\omega_0t + \cdots\big]$ มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ ลดลงตาม 1/n ค่า RMS เท่ากับ A และ THD 48.3 %

**กระแสของเรกติไฟเออร์ 3 เฟส 6 พัลส์มีฮาร์มอนิกอะไร?**
ถ้ากระแส DC เรียบ กระแสไลน์เป็นบล็อกกว้าง 120° มีเฉพาะ $h = 6k \pm 1$ คือ 5, 7, 11, 13, … ขนาด $I_h = I_1/h$ โดย $I_1 = (\sqrt6/\pi)I_d = 0.780I_d$ ค่า RMS $0.816I_d$ THD 31.1 % ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 3

**THD ของรูปคลื่นมาตรฐานเท่าไร?**
สี่เหลี่ยม 48.3 % ฟันเลื่อย 80.3 % สามเหลี่ยม 12.1 % six-step และกระแส 6 พัลส์ 31.1 % ไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่น (ไม่นับ DC) 43.5 % กระแส SMPS ไม่มี PFC ทั่วไป 100–150 %

**ใช้ตารางนี้อ้างอิงในรายงานได้อย่างไร?**
ทุกสูตรมีรหัสถาวร W1 ถึง W18 อ้างเป็น Mod's Engineering Mathematics, ตารางอนุกรมฟูเรียร์ W12 พร้อมลิงก์ /learn/fourier-series/waveform-table/#W12 ทุกสูตรตรวจกับการอินทิเกรตแบบปิดในแล็บแล้ว

---

# แล็บเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคป (Function Generator & Oscilloscope Lab)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/
Updated: 2026-10-12
Summary: ศูนย์รวมเรื่องเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคปภาษาไทยครบที่สุด ตั้งแต่ ม.ปลาย ป.ตรี ถึง ป.โท: อ่านค่า Vpp Vrms ทุกปุ่มของเครื่อง 50 Ω ทริกเกอร์ โพรบ แบนด์วิดท์ อเลียสซิง วัดเฟส ลิสซาจู Bode วงจร RC RLC ออปแอมป์ เรกติไฟเออร์ PWM สร้างเครื่องเองด้วย 555 และ AD9833 พร้อมแล็บจำลองเสมือนจริงฟรี ใบงาน 16 การทดลอง เครื่องคิดเลข 12 ตัว และสูตรค้นหาได้ทุกสูตร

// บทที่ 12 · เครื่องมือวัดไฟฟ้า · Function Generator & Oscilloscope

# แล็บเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคป

เครื่องกำเนิดสัญญาณกับออสซิลโลสโคปคือคู่เครื่องมือที่วิศวกรไฟฟ้าใช้มากที่สุดรองจากมัลติมิเตอร์ และเป็นห้องทดลองของวิชาวงจรไฟฟ้า อิเล็กทรอนิกส์ สัญญาณและระบบ และระบบควบคุม ชุดนี้มี 9 หน้า ไล่จากอ่านค่าบนจอให้ถูก ไปจนถึงวัดผลตอบสนองความถี่ ออปแอมป์ และสร้างเครื่องเอง มี 132 สูตรที่มีรหัสอ้างอิงถาวร 57 ตัวอย่างวิธีทำ และแล็บจำลองที่หมุนได้ทุกปุ่ม

ทั้งชุดในหนึ่งนาที

- เครื่องกำเนิดสัญญาณคือแหล่งแรงดันอนุกรม 50 Ω: ค่าที่ตั้งตรงกับที่วัดได้เมื่อ Load ตั้งตรงกับโหลดจริง V

- สโคปวาดแรงดันเทียบเวลา: นับช่อง × ค่าต่อช่อง ภาพนิ่งด้วยทริกเกอร์ ค่าแม่นเมื่อโพรบ แบนด์วิดท์ และอัตราสุ่มพอ O

- ป้อนสี่เหลี่ยมดูโดเมนเวลา (τ, การแกว่ง) ป้อนไซน์ดูโดเมนความถี่ ($f_c$, Q, Bode) เป็นระบบเดียวกันมองสองมุม R B

- ออปแอมป์ทำคณิตศาสตร์กับสัญญาณได้ แต่มีขีดจำกัด อิ่มตัว GBW สลูว์เรต U

### โต๊ะแล็บเสมือนจริง ทดลองได้ทันที

เครื่องกำเนิดสัญญาณ 25 MHz บอร์ดวงจร 15 แบบ และสโคป 2 ช่องที่มีทริกเกอร์ โพรบ 10× คัปปลิง AC/DC อเลียสซิง เคอร์เซอร์ XY และ FFT เหมือนเครื่องจริง พร้อม 46 การทดลองสำเร็จรูปและใบงาน 16 ชุดพร้อมเฉลย แชร์การตั้งค่าเป็นลิงก์ได้

เปิดแล็บจำลอง →
ดูใบงาน

## เริ่มตามระดับของคุณ

ทุกหัวข้อในชุดนี้ติดป้ายระดับไว้ เลือกเส้นทางที่ตรงกับตัวเอง แล้วกดไปที่หัวข้อได้ทันที

พื้นฐาน

### ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1

- Vp, Vpp, ออฟเซต · Vrms · ดิวตี้

- ปุ่มบนเครื่องกำเนิดสัญญาณ · 50 Ω และ Load

- อ่านค่าจากจอ · ทริกเกอร์ · โพรบ 10×

- ตั้งสโคปจากศูนย์ 7 ขั้น · กราวด์ปลอดภัย

- ใบงาน 1–6 ในแล็บจำลอง

- หา τ ของ RC · เกนออปแอมป์

- เรกติไฟเออร์ · คลิปเปอร์ · 555

กลาง

### ป.ตรี วิศวกรรม

- เฟส · dB dBm · ฟูริเยร์

- AM FM PWM · Sweep Burst

- แบนด์วิดท์ · อเลียสซิง · FFT

- วัดเฟส · ลิสซาจู · กราฟโบด · อิมพีแดนซ์

- $f_c$ และ −45° · เรโซแนนซ์ Q

- GBW สลูว์เรต · อินทิเกรเตอร์ · ชมิตต์

- PWM · ทดสอบเครื่องขยาย · AD9833

ขั้นสูง

### ป.โท · งานวิจัย · งานจริง

- หลักการ DDS · ภาพสะท้อนและ sinc

- เวลาขาขึ้นแบบ RSS · ความละเอียด FFT

- กวาดความถี่และอัตรากวาด · เฉลี่ยลดนอยส์

- ผลตอบสนองอิมพัลส์ · ลอการิทึมดีครีเมนต์

- Sallen–Key · ออฟเซต

- Barkhausen และ Wien · สโคปทำเอง

- กระแสยอดไดโอด · กำลัง AC · แล็บสัญญาณและระบบ

## ทั้ง 9 หน้าในชุดนี้

อ่านตามลำดับ 10.1 ถึง 10.9 หรือกระโดดไปหน้าที่ต้องการ ตัวอักษรท้ายการ์ดคือรหัสสูตรของหน้านั้น

Vpp12.1
สัญญาณพื้นฐานและการอ่านค่า: Vp Vpp Vrms ความถี่ ดิวตี้ และเฟส
Waveforms & Their Values
ไซน์ สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม พัลส์ ค่ายอด ยอดถึงยอด RMS ค่าเฉลี่ย ออฟเซต DC คาบ ความถี่ ดิวตี้ เฟส และเดซิเบล พร้อมตารางสูตร RMS ทุกรูปคลื่น
เปิดหน้า →สูตร W1, W2, …

∿12.2
เครื่องกำเนิดสัญญาณ (Function Generator): ปุ่ม เอาต์พุต 50 Ω มอดูเลชัน และ DDS
The Function Generator
ทุกปุ่มบนแผงหน้า ความต้านทานขาออก 50 Ω โหลด High-Z กับ 50 Ω ขีดจำกัดแอมพลิจูด AM FM PWM Sweep Burst Sync และหลักการ DDS
เปิดหน้า →สูตร V1, V2, …

V/t12.3
ออสซิลโลสโคป: V/div Time/div ทริกเกอร์ โพรบ และแบนด์วิดท์
The Oscilloscope
อ่านกราติคูล ตั้งทริกเกอร์ให้ภาพนิ่ง โพรบ 1× 10× การชดเชยโพรบ คัปปลิง AC DC แบนด์วิดท์ เวลาขาขึ้น อัตราสุ่ม อเลียสซิง FFT และความปลอดภัยเรื่องกราวด์
เปิดหน้า →สูตร O1, O2, …

▶12.4
แล็บจำลองเครื่องกำเนิดสัญญาณ + ออสซิลโลสโคป เสมือนจริง
FG + Oscilloscope Simulator
โต๊ะแล็บเสมือนจริง: เครื่องกำเนิดสัญญาณ บอร์ดวงจร 15 แบบ และสโคป 2 ช่อง ปุ่มหมุนครบ วัดอัตโนมัติ เคอร์เซอร์ XY FFT พร้อมใบงาน 16 การทดลอง
เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ

φ12.5
เทคนิคการวัด: แอมพลิจูด ความถี่ เฟส ลิสซาจู และผลตอบสนองความถี่ (Bode)
Measurement Techniques
วัดจากกราติคูลและเคอร์เซอร์ ความคลาดเคลื่อน วัดเฟสจาก Δt และวงรีลิสซาจู วัด Bode ทีละความถี่ กวาดความถี่ และวัดอิมพีแดนซ์
เปิดหน้า →สูตร B1, B2, …

τ12.6
วงจร RC RL RLC กับคลื่นสี่เหลี่ยมและไซน์
RC, RL & RLC on the Bench
หา τ จากกราฟ ความถี่ตัด −3 dB เฟส −45° อินทิเกรเตอร์และดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์แบบพาสซีฟ เรโซแนนซ์ Q แบนด์วิดท์ และการแกว่งเมื่อป้อนคลื่นสี่เหลี่ยม
เปิดหน้า →สูตร R1, R2, …

▷12.7
ออปแอมป์บนโต๊ะแล็บ: ขยาย อินทิเกรต ดิฟเฟอเรนชิเอต คอมพาเรเตอร์ และชมิตต์ทริกเกอร์
Op-Amp Lab
เกนกลับเฟสและไม่กลับเฟส GBW สลูว์เรต แบนด์วิดท์กำลังเต็ม การอิ่มตัว อินทิเกรเตอร์ ดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์ คอมพาเรเตอร์ และฮิสเทอรีซิสของชมิตต์ทริกเกอร์
เปิดหน้า →สูตร U1, U2, …

55512.8
สร้างเครื่องกำเนิดสัญญาณเอง: 555 ออสซิลเลเตอร์ Wien และ DDS AD9833
Build Your Own Signal Generator
ออสซิลเลเตอร์ผ่อนคลายด้วยออปแอมป์ ไอซี 555 วงจร Wien bridge XR2206 DAC R-2R และ DDS AD9833 กับ Arduino/ESP32 พร้อมภาคขาออกและสโคปทำเอง
เปิดหน้า →สูตร K1, K2, …

Σ12.9
งานประยุกต์และโจทย์ที่เจอเสมอ: เรกติไฟเออร์ PWM คลิปเปอร์ และการวัด L C
Engineering Applications
รูปแบบงานจริงที่เจอบ่อย: แรงดันริปเปิล PWM กับค่าเฉลี่ย คลิปเปอร์ แคลมเปอร์ หา C และ L จากการวัด ความต้านทานขาออก ทดสอบเครื่องขยายเสียง และสัญญาณเซนเซอร์
เปิดหน้า →สูตร X1, X2, …

## ลองเลย: สโคปจำลองขนาดเล็ก

เปลี่ยนรูปคลื่น ความถี่ แอมพลิจูด ออฟเซต และดิวตี้ แล้วดูเส้นบอก Vmax, Vmin, Vavg และ Vrms บนจอ ค่าที่วัดอยู่ในตารางข้าง ๆ ทุกบทเรียนในชุดนี้มีสโคปแบบนี้ฝังอยู่ข้างทฤษฎี

## ค้นหาสูตรทั้งหมดในที่เดียว

รวมทุกสูตรจากทั้ง 9 หน้า พิมพ์ได้ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ หรือพิมพ์รหัสสูตรตรง ๆ เช่น R5 กดที่ชื่อสูตรเพื่อไปยังคำอธิบายและตัวอย่างวิธีทำของสูตรนั้น

## งงตรงไหน คลิกตรงนั้น

อาการที่เจอบ่อยที่สุดในห้องแล็บ พร้อมทางแก้ กดแล้วไปที่คำอธิบายนั้นทันที รายการเต็มอยู่ที่ ตารางอาการบนจอ

ภาพบนสโคปวิ่ง ไม่นิ่งระดับหรือแหล่งทริกเกอร์ผิด → ปุ่ม 50% หรือ EXT
สโคปวัดได้สองเท่า (หรือครึ่งหนึ่ง) ของที่ตั้งบนเครื่องLoad ไม่ตรงกับโหลดจริง → V4
ค่าผิดไป 10 เท่าพอดีสวิตช์โพรบกับเมนูช่องไม่ตรงกัน → O16
คลื่นสี่เหลี่ยมมุมมนหรือมุมพุ่งโพรบยังไม่ได้ชดเชย → O7
ยอดคลื่นสี่เหลี่ยมความถี่ต่ำเอียงคัปปลิง AC → ใช้ DC → O6
ความถี่บนจอต่ำผิดปกติอเลียสซิง ลด Time/div → O12
Vpp กับ Vrms ต่างกันอย่างไรไซน์: Vrms = Vpp/(2√2) → W7
มัลติมิเตอร์วัดสี่เหลี่ยมได้ไม่ตรงต้องใช้ True RMS หรือคำนวณ → W12
หา τ จากกราฟอย่างไร63.2 % หรือเวลาขาขึ้น / 2.2 → R3
วัดมุมเฟสสองสัญญาณ−360° Δt/T หรือวงรีลิสซาจู → B4, B5
เก็บข้อมูลเขียนกราฟโบด3 จุดต่อดีเคด หาร CH1 ทุกจุด → B7
ขาออกออปแอมป์เป็นสามเหลี่ยมสลูว์เรตไม่พอ → U6
เกนออปแอมป์ตกที่ความถี่สูงGBW / noise gain → U5
คำนวณแรงดันริปเปิลI/(f_r C) → X2
ตั้งความถี่ AD9833M = f·2²⁸/25 MHz → K12
หนีบกราวด์โพรบที่ไหนได้บ้างกราวด์ของวงจรเท่านั้น → ความปลอดภัย

## เครื่องคิดเลขสำหรับห้องแล็บ

พิมพ์ค่าพร้อมหน่วยย่อได้ เช่น 10k, 4.7n, 2.5M ผลคำนวณทันที และบอกรหัสสูตรที่ใช้

## ไปต่อ: แล็บสัญญาณและระบบ และระบบควบคุม

เครื่องมือในชุดนี้คือประตูสู่วิชาที่ใช้คณิตศาสตร์หนักขึ้น ทุกการทดลองมีคู่ทฤษฎีที่อธิบายว่าทำไมภาพบนจอจึงออกมาแบบนั้น

| สิ่งที่เห็นบนโต๊ะแล็บ | ทฤษฎีเบื้องหลัง | เรียนต่อ |

| FFT ของสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม | อนุกรมและการแปลงฟูริเยร์ สเปกตรัม | อนุกรมฟูเรียร์ · แล็บสัญญาณ · W17–W19 |

| กระแสพัลส์ของ SMPS, THD, PF ต่ำ | ฮาร์มอนิกในระบบไฟฟ้า อิเล็กทรอนิกส์กำลัง | THD · PF · IEEE 519 · แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก |

| สี่เหลี่ยมเข้า RC, พัลส์แคบ | ผลตอบสนองขั้นและอิมพัลส์ คอนโวลูชัน | แล็บสัญญาณ · ระบบอันดับหนึ่ง |

| RLC แกว่ง, Q, %OS | ระบบอันดับสอง ζ ωn ขั้วบนระนาบ s | ระบบอันดับสอง |

| กราฟโบดจากการวัด | ฟังก์ชันถ่ายโอน $H(s)$ ที่ $s = j\omega$ | การแปลงลาปลาซ |

| เมช โนด อิมพีแดนซ์เฟสเซอร์ | ระบบสมการเชิงเส้นจำนวนเชิงซ้อน | พีชคณิตเชิงเส้นในงานไฟฟ้า |

| Vrms ค่าเฉลี่ย พื้นที่ใต้กราฟ | ปริพันธ์ | อินทิกรัล · แคลคูลัสเบื้องต้น |

| เฟส ไซน์ ลิสซาจู | ตรีโกณมิติ | ตรีโกณมิติ |

## คำถามที่พบบ่อย

เริ่มเรียนเรื่องเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคปจากหน้าไหน?
ถ้าเพิ่งเริ่ม อ่าน 10.1 สัญญาณพื้นฐาน 10.2 เครื่องกำเนิดสัญญาณ และ 10.3 ออสซิลโลสโคป แล้วลองใบงานใน 10.4 แล็บจำลอง ถ้ากำลังทำแล็บแล้วติด ใช้หัวข้อ “งงตรงไหน” หรือช่องค้นหาสูตรในหน้านี้ แต่ละหัวข้อมีป้ายระดับ พื้นฐาน กลาง หรือขั้นสูง

ไม่มีเครื่องจริงจะฝึกได้อย่างไร?
ใช้แล็บจำลองในหน้า 12.4 ซึ่งมีเครื่องกำเนิดสัญญาณ บอร์ดวงจร 15 แบบ และสโคปสองช่องที่หมุนได้ทุกปุ่ม พร้อมใบงาน 16 การทดลองและเฉลย ทุกบทเรียนยังมีสโคปจำลองขนาดเล็กฝังไว้ข้างทฤษฎี ให้ลองเปลี่ยนค่าแล้วเห็นผลทันที

อ้างอิงสูตรจากชุดนี้ในรายงานได้อย่างไร?
ทุกสูตรมีรหัสถาวร W (สัญญาณ) V (เครื่องกำเนิดสัญญาณ) O (สโคป) B (เทคนิคการวัด) R (RC RLC) U (ออปแอมป์) K (สร้างเครื่องเอง) X (งานประยุกต์) อ้างอิงในรูป Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด), สูตร R5, พร้อมลิงก์ เช่น modsengineeringmath.com/learn/function-generator/rc-rlc/#R5

ชุดนี้เกี่ยวกับวิชาสัญญาณและระบบอย่างไร?
เครื่องกำเนิดสัญญาณกับสโคปคือเครื่องมือทดลองของวิชาสัญญาณและระบบ ผลตอบสนองขั้นและอิมพัลส์ของ RC RLC ผลตอบสนองความถี่และกราฟโบด อนุกรมฟูริเยร์จาก FFT การสุ่มและอเลียสซิง และมอดูเลชัน ทั้งหมดทดลองได้ในชุดนี้ และต่อยอดทฤษฎีได้ที่แล็บสัญญาณ ระบบอันดับหนึ่ง อันดับสอง และการแปลงลาปลาซ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เริ่มเรียนเรื่องเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคปจากหน้าไหน?**
ถ้าเพิ่งเริ่ม อ่าน 10.1 สัญญาณพื้นฐาน 10.2 เครื่องกำเนิดสัญญาณ และ 10.3 ออสซิลโลสโคป แล้วลองใบงานใน 10.4 แล็บจำลอง ถ้ากำลังทำแล็บแล้วติด ใช้หัวข้อ “งงตรงไหน” หรือช่องค้นหาสูตรในหน้านี้ แต่ละหัวข้อมีป้ายระดับ พื้นฐาน กลาง หรือขั้นสูง

**ไม่มีเครื่องจริงจะฝึกได้อย่างไร?**
ใช้แล็บจำลองในหน้า 12.4 ซึ่งมีเครื่องกำเนิดสัญญาณ บอร์ดวงจร 15 แบบ และสโคปสองช่องที่หมุนได้ทุกปุ่ม พร้อมใบงาน 16 การทดลองและเฉลย ทุกบทเรียนยังมีสโคปจำลองขนาดเล็กฝังไว้ข้างทฤษฎี ให้ลองเปลี่ยนค่าแล้วเห็นผลทันที

**อ้างอิงสูตรจากชุดนี้ในรายงานได้อย่างไร?**
ทุกสูตรมีรหัสถาวร W (สัญญาณ) V (เครื่องกำเนิดสัญญาณ) O (สโคป) B (เทคนิคการวัด) R (RC RLC) U (ออปแอมป์) K (สร้างเครื่องเอง) X (งานประยุกต์) อ้างอิงในรูป Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด), สูตร R5, พร้อมลิงก์ เช่น modsengineeringmath.com/learn/function-generator/rc-rlc/#R5

**ชุดนี้เกี่ยวกับวิชาสัญญาณและระบบอย่างไร?**
เครื่องกำเนิดสัญญาณกับสโคปคือเครื่องมือทดลองของวิชาสัญญาณและระบบ ผลตอบสนองขั้นและอิมพัลส์ของ RC RLC ผลตอบสนองความถี่และกราฟโบด อนุกรมฟูริเยร์จาก FFT การสุ่มและอเลียสซิง และมอดูเลชัน ทั้งหมดทดลองได้ในชุดนี้ และต่อยอดทฤษฎีได้ที่แล็บสัญญาณ ระบบอันดับหนึ่ง อันดับสอง และการแปลงลาปลาซ

---

# งานประยุกต์และโจทย์ที่เจอเสมอ: เรกติไฟเออร์ PWM คลิปเปอร์ และการวัด L C

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/applications/
Updated: 2026-10-12
Summary: รวมรูปแบบงานวิศวกรรมไฟฟ้าที่ใช้เครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคปซ้ำทุกปี: เรกติไฟเออร์ครึ่งคลื่นเต็มคลื่นและแรงดันริปเปิล PWM กับแรงดันเฉลี่ย คลิปเปอร์ แคลมเปอร์ หาค่า C และ L จากการวัด ทดสอบเครื่องขยายด้วยคลื่นสี่เหลี่ยม THD จาก FFT สัญญาณ UART อัลตราโซนิก วัดกระแสด้วยชันต์ และกำลังไฟฟ้า AC พร้อมแล็บสัญญาณและระบบ ตารางอาการบนจอ สูตรรหัส X และสโคปจำลอง

// บทที่ 12.9 · แล็บ FG + สโคป · Engineering Applications

# งานประยุกต์และโจทย์ที่เจอเสมอ: เรกติไฟเออร์ PWM คลิปเปอร์ และการวัด L C

โจทย์แล็บและงานจริงในวิศวกรรมไฟฟ้ามีรูปแบบซ้ำเดิมทุกปี: เรียงกระแสแล้วดูริปเปิล คุมความสว่างด้วย PWM ตัดยอดสัญญาณ หาค่าชิ้นส่วนที่ไม่รู้ ทดสอบเครื่องขยาย ถอดรหัสสัญญาณสื่อสาร และวัดกำลังไฟฟ้า หน้านี้รวมไว้ครบพร้อมตารางอาการบนจอ และชุดการทดลองสำหรับวิชาสัญญาณและระบบ สูตรใช้รหัส X

สรุปใน 30 วินาที

- ริปเปิล $V_r \approx I_L/(f_r C)$, $f_r$ = f (ครึ่งคลื่น) หรือ 2f (เต็มคลื่น)

- PWM: เฉลี่ย $D V_H$ · RMS $V_H\sqrt D$

- หา C จาก τ, หา L จากเรโซแนนซ์ $L = 1/((2\pi f_0)^2C)$

- ทดสอบเครื่องขยายด้วยสี่เหลี่ยม: ยอดเอียง → ความถี่ต่ำ · ขอบมน → ความถี่สูง · แกว่ง → ใกล้ไม่เสถียร

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## เห็นแบบนี้บนจอ คืออะไร พื้นฐาน

ตารางนี้คือทางลัดเวลาเจอภาพบนสโคปแล้วงง ดูรูปทรงก่อน แล้วกดไปที่สูตรหรือคำอธิบาย

| สิ่งที่เห็น | สาเหตุ / วงจรที่เป็นไปได้ | ไปที่ |

| ภาพวิ่ง ไม่นิ่ง | ทริกเกอร์ | ทริกเกอร์ |

| ค่าเป็นครึ่งหนึ่งหรือสองเท่าของที่ตั้ง | ตั้ง Load ของ FG ไม่ตรงโหลดจริง | V4 |

| ค่าผิดไป 10 เท่าพอดี | สวิตช์โพรบไม่ตรงเมนู | O16 |

| ความถี่ต่ำผิดปกติทั้งที่ควรสูง | อเลียสซิง | O12 |

| ยอดบนและล่างแบนราบ | ออปแอมป์อิ่มตัว · คลิปเปอร์ · สโคปล้นจอ | U4 · X6 |

| ไซน์กลายเป็นสามเหลี่ยม | สลูว์เรตไม่พอ | U6 |

| สี่เหลี่ยมกลายเป็นสามเหลี่ยม | อินทิเกรเตอร์ · RC ที่ความถี่สูงกว่า $f_c$ มาก | R7 · U8 |

| ขอบขาขึ้นโค้งแบบชาร์จ | RC ต่ำผ่าน · โพรบชดเชยขาด · แบนด์วิดท์ไม่พอ | R2 · O7 |

| สไปก์แหลมที่ขอบ ยอดแบน 0 | RC สูงผ่าน / ดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์ | R8 |

| ยอดเอียง (tilt) | คัปปลิง AC · ความถี่ต่ำถูกตัด | O6 · X11 |

| แกว่งหลังขอบแล้วยุบ | RLC · สายกราวด์โพรบยาว · ระบบใกล้ไม่เสถียร | R13 |

| เหลือแต่ครึ่งบน | เรกติไฟเออร์ครึ่งคลื่น | X1 |

| DC มีฟันเลื่อยเล็ก ๆ ขี่อยู่ | เรกติไฟเออร์ + C · PWM + RC | X2 · X5 |

| ไซน์ทั้งรูปเลื่อนขึ้นหรือลง | แคลมเปอร์ · ออฟเซต DC | X7 · W4 |

| ขาออกคอมพาเรเตอร์สั่นที่จุดตัด | นอยส์ ไม่มีฮิสเทอรีซิส | U11 |

| ฮัม 50 Hz ปนทุกช่อง | ลูปกราวด์ ขาเข้าลอย | ลดนอยส์ |

## เรกติไฟเออร์และแรงดันริปเปิล พื้นฐาน กลาง

แหล่งจ่ายไฟ DC ทุกตัวที่ต่อจากไฟบ้านเริ่มจากการเรียงกระแส ไดโอดปล่อยเฉพาะครึ่งบวก (ครึ่งคลื่น) หรือพลิกครึ่งลบขึ้นมา (บริดจ์ เต็มคลื่น) ตัวเก็บประจุชาร์จที่ยอดแล้วจ่ายกระแสให้โหลดระหว่างยอด แรงดันจึงลดลงเป็นฟันเลื่อยเล็ก ๆ เรียกว่าริปเปิล ในแล็บใช้เครื่องกำเนิดสัญญาณแทนหม้อแปลงได้ที่แรงดันต่ำ แต่กระแสจะถูกจำกัดด้วย 50 Ω ของเครื่อง

ตัวเก็บประจุชาร์จเฉพาะช่วงสั้น ๆ ใกล้ยอด (ไดโอดนำกระแส) แล้วคายให้โหลดตลอดช่วงที่เหลือ

X1 Peak output after the diodes แรงดันยอดหลังไดโอด

$$V_{peak} \approx V_p - V_f\ \ (\text{ครึ่งคลื่น}),\qquad V_{peak} \approx V_p - 2V_f\ \ (\text{บริดจ์})$$

$V_f$ ≈ 0.7 V (ซิลิคอน) 0.3 V (Schottky) · กระแสยอดสูงทำให้ตกเพิ่มอีกบนความต้านทานแหล่ง

X2 Ripple voltage แรงดันริปเปิล

$$V_{r(pp)} \approx \frac{I_L}{f_r C} = \frac{V_{peak}}{f_r R_L C},\qquad f_r = \begin{cases} f & \text{ครึ่งคลื่น} \\ 2f & \text{เต็มคลื่น} \end{cases}$$

สมมติ C คายตลอดคาบ จึงได้ค่าสูงกว่าจริงเล็กน้อย ใช้ออกแบบได้ปลอดภัย · ใช้ได้ดีเมื่อ $V_r \ll V_{peak}$

X3 DC level and ripple RMS ระดับ DC และ RMS ของริปเปิล

$$V_{DC} \approx V_{peak} - \frac{V_r}{2},\qquad V_{r(rms)} \approx \frac{V_r}{2\sqrt3}$$

ริปเปิลรูปฟันเลื่อย RMS = ค่ายอดถึงยอด / $2\sqrt3$ (W12)

X4 Diode conduction and peak current (half-wave) มุมนำกระแสและกระแสยอดของไดโอด

$$\omega\Delta t \approx \sqrt{\frac{2V_r}{V_{peak}}},\qquad i_{D,max} \approx I_L\left(1 + 2\pi\sqrt{\frac{2V_{peak}}{V_r}}\right)$$

ยิ่ง C ใหญ่ ริปเปิลเล็ก ไดโอดยิ่งนำกระแสช่วงสั้นและกระแสยอดยิ่งสูง ต้องเลือกไดโอดและหม้อแปลงรองรับ (เต็มคลื่น: แทน $2V_{peak}/V_r$ ด้วย $V_{peak}/(2V_r)$)

ตัวอย่าง X-1 · แหล่งจ่าย 12 V จากหม้อแปลง

### หม้อแปลง 12 Vrms 50 Hz บริดจ์ซิลิคอน C = 2200 µF กระแสโหลด 0.5 A หา $V_{peak}$, ริปเปิล และ $V_{DC}$

- ยอดของไซน์และหลังบริดจ์ X1

$$V_p = 12\sqrt2 = 16.97\ \text{V},\quad V_{peak} = 16.97 - 1.4 = 15.57\ \text{V}$$

- ริปเปิลที่ 100 Hz X2

$$V_r = \frac{0.5}{100 \times 2200\times10^{-6}} = 2.27\ \text{Vpp}$$

- ระดับ DC และ RMS ของริปเปิล X3

$$V_{DC} = 15.57 - 1.14 = 14.4\ \text{V},\quad V_{r(rms)} = \frac{2.27}{3.46} = 0.66\ \text{V}$$

DC ราว 14.4 V ริปเปิล 2.3 Vpp ถ้าต่อเรกกูเลเตอร์ 12 V (เช่น 7812 ต้องการส่วนต่างราว 2 V) ต้องดูว่าจุดต่ำสุด 15.57 − 2.27 = 13.3 V ยังเกิน 14 V ไหม ไม่เกิน จึงต้องเพิ่ม C เป็นราว 4700 µF ภาพที่วัดด้วยสโคป ใช้คัปปลิง AC ที่ 0.5 V/div จะเห็นฟันเลื่อยชัด

ตัวอย่าง X-2 · ในแล็บด้วยเครื่องกำเนิดสัญญาณ

### ไซน์ 10 Vpp 1 kHz เข้าเรกติไฟเออร์ครึ่งคลื่น $R_L$ = 10 kΩ, C = 1 µF ประมาณ $V_{peak}$ และริปเปิล แล้วเทียบกับสโคปจำลอง

- X1

$$V_{peak} \approx 5 - 0.7 = 4.3\ \text{V}$$

- X2

$$V_r \approx \frac{4.3}{(1000)(10^4)(10^{-6})} = 0.43\ \text{Vpp}$$

สโคปจำลองวัดได้ยอดราว 4.17 V และริปเปิลราว 0.36–0.38 Vpp ต่ำกว่าสูตรทั้งคู่: ยอดต่ำกว่าเพราะกระแสยอดของไดโอดไหลผ่าน 50 Ω ของเครื่อง ริปเปิลต่ำกว่าเพราะ C ไม่ได้คายตลอดคาบ (ช่วงชาร์จกินเวลาส่วนหนึ่ง) และการคายเป็นเอกซ์โพเนนเชียล ลองเพิ่ม C ดูว่าริปเปิลลดตามสูตร

บริดจ์ในแล็บ: ขาออกของบริดจ์กับขาเข้าไม่มีกราวด์ร่วมกัน ถ้าเครื่องกำเนิดสัญญาณและสโคปต่อดินทั้งคู่ การหนีบกราวด์โพรบที่ขาออกบริดจ์จะลัดไดโอดตัวหนึ่ง ในงานจริงใช้หม้อแปลงแยก และวัดขาเข้า-ขาออกพร้อมกันด้วยวิธีผลต่าง O15 สโคปจำลองแสดงแรงดันแต่ละจุดแบบลอย เพื่อให้เห็นหลักการ

## PWM กับแรงดันเฉลี่ย พื้นฐาน กลาง

ไมโครคอนโทรลเลอร์ให้ได้แค่ 0 กับ 5 V (หรือ 3.3 V) แต่ถ้าสลับเร็วพอ โหลดที่ช้ากว่า เช่น หลอด LED ในสายตาคน มอเตอร์ ตัวกรอง RC หรือตัวเหนี่ยวนำในบักคอนเวอร์เตอร์ จะตอบสนองต่อค่าเฉลี่ย การปรับดิวตี้จึงเท่ากับปรับแรงดัน นี่คือหลักของการคุมมอเตอร์ หรี่ไฟ DAC ราคาถูก และอิเล็กทรอนิกส์กำลังเกือบทั้งหมด

PWM 30 % ผ่าน RC ได้แรงดันเฉลี่ย 30 % ของระดับสูง พร้อมริปเปิลรูปฟันเลื่อย

X5 PWM average and RC-filter ripple PWM: ค่าเฉลี่ยและริปเปิลหลังกรอง RC

$$V_{avg} = D\,V_H,\qquad \Delta V_{pp} \approx \frac{V_H\,D(1 - D)}{f\,RC}\ \ (f \gg f_c)$$

ริปเปิลสูงสุดที่ D = 50 % · เพิ่มความถี่ PWM หรือ RC ลดริปเปิล แต่ RC ใหญ่ทำให้ตอบสนองช้า (≈ 5RC) · RMS ของ PWM เองคือ $V_H\sqrt D$ W11

ตัวอย่าง X-3 · DAC จาก PWM

### PWM 0–5 V 1 kHz ดิวตี้ 30 % กรองด้วย R = 10 kΩ, C = 1 µF หาแรงดันเฉลี่ยและริปเปิล

- ค่าเฉลี่ย X5

$$V_{avg} = 0.3 \times 5 = 1.5\ \text{V}$$

- ริปเปิล ($RC$ = 10 ms ≫ 1 ms)

$$\Delta V \approx \frac{5(0.3)(0.7)}{1000 \times 0.01} = 0.105\ \text{Vpp}$$

1.5 V ริปเปิลราว 0.1 Vpp ตรงกับสโคปจำลอง (1.50 V, 0.104 Vpp) ใช้เป็น DAC หยาบ ๆ ได้ ถ้าต้องการริปเปิลน้อยกว่านี้ใช้ RC สองชั้นหรือเพิ่มความถี่ PWM เป็นหลายสิบ kHz

ในบักคอนเวอร์เตอร์ ตัวเหนี่ยวนำกับตัวเก็บประจุทำหน้าที่เดียวกับ RC นี้แต่ไม่สูญเสียพลังงาน แรงดันขาออกในโหมดกระแสต่อเนื่องจึงเท่ากับ $D\,V_{in}$ เหมือนสูตร X5 ตรงตัว

## คลิปเปอร์และแคลมเปอร์ พื้นฐาน

ไดโอดกับตัวต้านทานตัดยอดสัญญาณไม่ให้เกินระดับหนึ่ง (คลิปเปอร์) ใช้ป้องกันขาเข้าของวงจร เช่น ขา ADC ส่วนไดโอดกับตัวเก็บประจุยกระดับทั้งรูปคลื่น (แคลมเปอร์) โดยไม่เปลี่ยนรูปทรง ใช้ฟื้นระดับ DC ของสัญญาณวิดีโอ และเป็นภาคแรกของวงจรทวีแรงดัน

ซ้าย: ไดโอดสองตัวขนานกลับทิศตัดที่ ±0.7 V · ขวา: แคลมเปอร์ยกไซน์ ±3 V ขึ้นมาเป็น −0.7 ถึง 5.3 V

X6 Diode clipper วงจรตัดยอด

$$v_o = \begin{cases} v_i & |v_i| < V_f \\ \pm V_f & \text{อื่น ๆ} \end{cases},\qquad \text{มีไบแอส:}\ \ V_{clip} = V_B + V_f$$

ต้องมีตัวต้านทานอนุกรมจำกัดกระแสไดโอดเสมอ ใช้ซีเนอร์ได้ระดับ $V_Z + V_f$

X7 Diode clamper วงจรยกระดับ

$$v_o(t) \approx v_i(t) + (V_p - V_f),\qquad -V_f \le v_o \le 2V_p - V_f$$

ต้องให้ $R_LC \gg T$ ไม่เช่นนั้นตัวเก็บประจุคายจนรูปเพี้ยน · กลับทิศไดโอดได้การยกลง

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

## หาค่า C และ L ที่ไม่รู้จากการวัด พื้นฐาน กลาง

ตัวเก็บประจุที่ลบตัวเลขไม่ได้ ขดลวดที่พันเอง หรือหม้อแปลงที่ไม่รู้สเปก หาค่าได้ด้วยเครื่องกำเนิดสัญญาณกับสโคปสามวิธี: ค่าคงตัวเวลา เรโซแนนซ์ และอิมพีแดนซ์ (B12)

X8 Capacitance from τ หา C จากค่าคงตัวเวลา

$$C = \frac{\tau}{R + 50\ \Omega} = \frac{t_r}{2.2\,(R + 50\ \Omega)}$$

X9 Inductance from resonance หา L จากเรโซแนนซ์

$$L = \frac{1}{(2\pi f_0)^2\,C}$$

ต่อ L อนุกรม C ที่รู้ค่า หาความถี่ที่ $V_R$ สูงสุดและเฟสเป็น 0° หรือวัด $f_d$ จากการแกว่ง (R12)

ตัวอย่าง X-4 · ตัวเก็บประจุลบตัวเลข

### ต่อกับ R = 1 kΩ ป้อนสี่เหลี่ยม วัดเวลาขาขึ้นคร่อม C ได้ 108.7 µs หา C

- X8

$$C = \frac{108.7\times10^{-6}}{2.2 \times 1050} = 47.1\ \text{nF}$$

ราว 47 nF (ค่ามาตรฐาน) ถ้าต้องการแม่นกว่านี้ ใช้ R ใหญ่ขึ้นให้ 50 Ω และความจุของโพรบมีผลน้อยลง

ตัวอย่าง X-5 · ขดลวดพันเอง

### ต่ออนุกรม C = 100 nF หาเรโซแนนซ์ได้ที่ 5.03 kHz หา L

- X9

$$L = \frac{1}{(2\pi \times 5030)^2 (10^{-7})} = 10.0\ \text{mH}$$

10.0 mH ความคลาดเคลื่อนของ C ส่งผลเต็ม ๆ (C ±5 % → L ±5 %) จึงควรวัด C ด้วยวิธี X8 ก่อน ความต้านทานของขดลวดหาได้จาก Q (ตัวอย่าง R-7)

## ทดสอบเครื่องขยายเสียงด้วยคลื่นสี่เหลี่ยมและ FFT กลาง

คลื่นสี่เหลี่ยมมีทุกความถี่คี่อยู่ในตัว (W17) ป้อนเข้าเครื่องขยายครั้งเดียวก็เห็นทั้งผลตอบสนองความถี่ต่ำและสูงจากรูปทรง เป็นวิธีที่ช่างเครื่องเสียงใช้มานาน ส่วนความเพี้ยนดูด้วย FFT ของไซน์บริสุทธิ์

สี่เหลี่ยม 1 kHz ผ่านเครื่องขยาย: รูปทรงบอกปัญหาได้ทันที

X10 THD from FFT THD จาก FFT

$$\text{THD} = \frac{\sqrt{V_2^2 + V_3^2 + \cdots}}{V_1} = \sqrt{\sum_{n\ge2}10^{(L_n - L_1)/10}}$$

$L_n$ คือระดับ dBV ของฮาร์มอนิกที่ n · ดู W19 · THD ของกระแสในระบบไฟฟ้า TDD และ PF ที่ H2

X11 Low cutoff from tilt ความถี่ตัดต่ำจากยอดเอียง

$$f_L \approx \frac{\text{tilt}\times f}{\pi}$$

tilt เป็นสัดส่วน (เช่น 0.05) ของคลื่นสี่เหลี่ยมความถี่ f · มาจาก O6

X12 High cutoff from rise time ความถี่ตัดสูงจากเวลาขาขึ้น

$$f_H \approx \frac{0.35}{t_r}$$

ถ้าขอบเป็นเส้นตรงเอียง (ไม่ใช่โค้ง) แปลว่าเป็นสลูว์เรต ไม่ใช่แบนด์วิดท์ ลดแอมพลิจูดแล้วดูใหม่ U6

ตัวอย่าง X-6 · อ่านสเปกเครื่องขยายจากภาพเดียว

### สี่เหลี่ยม 100 Hz ยอดเอียง 5 % เวลาขาขึ้น 3.5 µs หาแบนด์วิดท์

- X11

$$f_L \approx \frac{0.05 \times 100}{\pi} = 1.6\ \text{Hz}$$

- X12

$$f_H \approx \frac{0.35}{3.5\ \mu\text{s}} = 100\ \text{kHz}$$

แบนด์วิดท์ราว 1.6 Hz – 100 kHz ครอบย่านเสียง (20 Hz – 20 kHz) สบาย ๆ ลองในสโคปจำลอง: คัปปลิงคาปาซิเตอร์ 1 µF กับขาเข้า 100 kΩ ($f_L$ = 1.6 Hz) เปลี่ยนความถี่แล้วดูยอดเอียง

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

ตัวอย่าง X-7 · THD จาก FFT

### FFT ของขาออกอ่านได้: พื้นฐาน −3.0 dBV ฮาร์มอนิกที่ 2 −49.0 dBV ที่ 3 −43.0 dBV หา THD

- ระดับเทียบพื้นฐาน: −46 dB และ −40 dB X10

$$\text{THD} = \sqrt{10^{-4.6} + 10^{-4.0}} = \sqrt{2.51\times10^{-5} + 10^{-4}} = 0.0112$$

THD ≈ 1.1 % (−39 dB) ฮาร์มอนิกที่ 3 เด่นกว่า แปลว่าการตัดยอดสมมาตร (เช่น ภาคขาออกเริ่มอิ่มตัวทั้งบนล่าง) ถ้าที่ 2 เด่นแปลว่าไม่สมมาตร (เช่น ไบแอสไม่อยู่กลาง)

## สัญญาณดิจิทัลและเซนเซอร์: UART และอัลตราโซนิก พื้นฐาน กลาง

สโคปคือเครื่องมือแรกเมื่อไมโครคอนโทรลเลอร์ “คุยกันไม่รู้เรื่อง” ทริกเกอร์ที่ขอบลงของบิตเริ่ม (โหมด Normal หรือ Single) แล้วอ่านบิตทีละช่วง ตรวจได้ทั้งอัตราบอด ระดับแรงดัน และข้อมูลที่ส่ง สโคปรุ่นใหม่ถอดรหัส UART, I²C, SPI ให้อัตโนมัติ แต่ควรอ่านเองเป็นก่อน

เฟรม UART 8N1: บิตเริ่ม (0) ข้อมูล 8 บิตส่งบิตต่ำก่อน บิตหยุด (1) ตัว “U” (0x55) ให้ลายสลับสวยที่สุด จึงใช้ทดสอบอัตราบอด

X13 UART timing เวลาของ UART

$$t_{bit} = \frac{1}{\text{baud}},\qquad T_{frame} = \frac{1 + 8 + 1}{\text{baud}}\ \ (8\text{N}1)$$

9600 บอด: 104.17 µs ต่อบิต 1.04 ms ต่อไบต์ · 115200 บอด: 8.68 µs ต่อบิต · อัตราบอดสองฝั่งต่างกันเกินราว 2–3 % จะอ่านผิด

X16 Ultrasonic ranging วัดระยะด้วยอัลตราโซนิก

$$d = \frac{v\,\Delta t}{2},\qquad v \approx 331 + 0.6\,T_{°C}\ \text{m/s}$$

ส่งเบิสต์ 40 kHz ราว 8 รอบ วัดเวลาถึงเสียงสะท้อน ที่ 20 °C $v \approx 343$ m/s

ตัวอย่าง X-8 · ระยะจากเสียงสะท้อน

### CH1 ต่อขาส่ง CH2 ต่อขารับ เห็นเบิสต์สะท้อนกลับหลังเบิสต์ส่ง 5.83 ms ที่ 20 °C วัตถุอยู่ห่างเท่าไร

- X16

$$d = \frac{343 \times 5.83\times10^{-3}}{2} = 1.00\ \text{m}$$

1.00 m ใช้เคอร์เซอร์เวลาวัด Δt ระหว่างจุดเริ่มของสองเบิสต์ ทริกเกอร์จากเบิสต์ส่ง ลองดูเบิสต์ 40 kHz จากเครื่องกำเนิดสัญญาณด้านล่าง

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

## วัดกระแสด้วยชันต์และกำลังไฟฟ้า AC กลาง ขั้นสูง

สโคปวัดได้แต่แรงดัน การดูกระแสจึงต้องแปลงเป็นแรงดันด้วยตัวต้านทานค่าน้อย (ชันต์) หรือใช้โพรบกระแส เมื่อมีทั้งแรงดันและกระแส ใช้ Math คูณสองช่องได้กำลังขณะหนึ่ง และวัดเฟสได้ตัวประกอบกำลัง ทั้งหมดนี้กับไฟบ้านต้องทำผ่านหม้อแปลงแยกหรือโพรบดิฟเฟอเรนเชียลเท่านั้น (ความปลอดภัย)

โหลดเหนี่ยวนำ: กระแสตามหลังแรงดัน φ = 36.9° (PF = 0.8) กำลังขณะหนึ่งมีช่วงติดลบ ค่าเฉลี่ยคือกำลังจริง

X14 Current through a shunt วัดกระแสด้วยชันต์

$$i(t) = \frac{v_{sh}(t)}{R_{sh}},\qquad P_{sh} = I_{rms}^2 R_{sh}$$

เลือก $R_{sh}$ ให้แรงดันตกไม่กี่สิบถึงร้อย mV · วางชันต์ฝั่งกราวด์ (low-side) จะวัดเทียบกราวด์ได้ตรง ๆ

X15 AC power from two channels กำลังไฟฟ้า AC

$$P = V_{rms}I_{rms}\cos\varphi = \overline{v(t)\,i(t)},\qquad S = V_{rms}I_{rms},\qquad PF = \frac{P}{S}$$

ค่าเฉลี่ยของ Math CH1×CH2 คือ P โดยตรง ใช้ได้แม้รูปคลื่นไม่ใช่ไซน์ (ตอนนั้น $PF \ne \cos\varphi$)

ตัวอย่าง X-9 · มอเตอร์เล็ก

### ผ่านโพรบดิฟเฟอเรนเชียล วัด $V_{rms}$ = 230 V ชันต์ 0.1 Ω ให้ 0.12 Vrms กระแสตามหลังแรงดัน 36.9° หากำลังจริง กำลังปรากฏ และ PF

- กระแส X14

$$I_{rms} = \frac{0.12}{0.1} = 1.2\ \text{A}$$

- กำลัง X15

$$S = 230 \times 1.2 = 276\ \text{VA},\quad P = 276\cos 36.9^\circ = 220.8\ \text{W},\quad PF = 0.80$$

P ≈ 221 W, S = 276 VA, PF = 0.8 (ล้าหลัง) ชันต์ร้อนเพียง $1.2^2 \times 0.1 = 0.14$ W

## ชุดแล็บสัญญาณและระบบด้วย FG + สโคป กลาง ขั้นสูง

ทุกหัวข้อหลักของวิชาสัญญาณและระบบทดลองได้ด้วยเครื่องกำเนิดสัญญาณ สโคป และวงจร RC RLC ออปแอมป์ ชุดนี้เรียงจากง่ายไปยาก แต่ละข้อเปิดได้ทันทีในแล็บจำลอง

| หัวข้อในวิชา | การทดลอง | เปิดในแล็บ / อ่าน |

| สัญญาณพื้นฐาน คาบ พลังงาน RMS | อ่าน Vp Vrms Vavg ของทุกรูปคลื่น | เปิด · W |

| ความเป็นเชิงเส้น | เพิ่มขาเข้าสองเท่า ขาออก RC เพิ่มสองเท่าไหม เทียบกับวงจรตัดยอดที่ไม่เชิงเส้น | RC · คลิปเปอร์ |

| ผลตอบสนองขั้น | สี่เหลี่ยมช้าเข้า RC และ RLC หา τ, ζ, ωn | RC · RLC |

| ผลตอบสนองอิมพัลส์ | พัลส์แคบ พื้นที่คงที่ เข้า RC | เปิด · R17 |

| คอนโวลูชัน | สี่เหลี่ยมเข้า RC = คอนโวลูชันของพัลส์กับ $h(t)$ ดูรูปทรงที่ความถี่ต่าง ๆ | เปิด · แล็บสัญญาณ |

| ผลตอบสนองความถี่ / Bode | ไซน์ทีละความถี่ วัดอัตราส่วนและเฟส | เปิด · B7–B9 |

| อนุกรมฟูริเยร์ | FFT ของสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม เทียบสูตร | เปิด · W17 |

| ตัวกรองและเรโซแนนซ์ | กวาดความถี่ผ่าน RLC เห็นเปลือก $|H(f)|$ | เปิด · B10 |

| การสุ่มและอเลียสซิง | ลด Time/div จนความถี่ผิด | เปิด · O12 |

| มอดูเลชัน AM FM | หาดัชนีมอดูเลชันจากเปลือก ดูแถบข้างใน FFT | AM · FM · V8–V11 |

| ระบบป้อนกลับ | ออปแอมป์: เกนกับแบนด์วิดท์แลกกัน, ชมิตต์ (ป้อนกลับบวก) | GBW · ชมิตต์ |

| การเฉลี่ยและนอยส์ | เฉลี่ย N ครั้ง SNR ดีขึ้น √N | เปิด · B13 |

ทฤษฎีที่อยู่เบื้องหลังทั้งหมด (คอนโวลูชัน การแปลงฟูริเยร์และลาปลาซ ฟังก์ชันถ่ายโอน) อ่านต่อได้ที่ แล็บสัญญาณเบื้องต้น การแปลงลาปลาซ ระบบอันดับหนึ่ง และ ระบบอันดับสอง

## ต่อยอด: ระบบควบคุมในงานจริง

งานประยุกต์จำนวนมากเป็นระบบควบคุมป้อนกลับ ดูไอเดียกว่า 70 ระบบในคลังไอเดียระบบควบคุม และงานมอเตอร์ หุ่นยนต์ พาวเวอร์ซัพพลายในเมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ และตัวแปลงกำลัง

## คำถามที่พบบ่อย

แรงดันริปเปิลของวงจรเรียงกระแสคำนวณอย่างไร?
ประมาณได้จาก V_r(pp) ≈ I_L/(f_r C) = V_peak/(f_r R_L C) โดย f_r คือความถี่ริปเปิล เท่ากับความถี่ไฟเข้าสำหรับครึ่งคลื่น และสองเท่าสำหรับเต็มคลื่น เช่น ไฟ 50 Hz เต็มคลื่น กระแส 0.5 A ตัวเก็บประจุ 2200 µF ได้ริปเปิลราว 2.3 Vpp สูตรนี้ให้ค่าสูงกว่าจริงเล็กน้อยจึงใช้ออกแบบได้ปลอดภัย

PWM ดิวตี้ 30 % ของ 5 V ได้แรงดันเท่าไร?
แรงดันเฉลี่ยคือ D × V_H = 0.3 × 5 = 1.5 V ถ้ากรองด้วย RC ที่ τ ยาวกว่าคาบมาก จะได้ DC ราว 1.5 V มีริปเปิลประมาณ V_H D(1 − D)/(f R C) แต่ค่า RMS ของ PWM เองคือ V_H√D = 2.74 V ใช้ค่า RMS เมื่อคิดความร้อนในตัวต้านทาน

วัดความเพี้ยนฮาร์มอนิก (THD) ด้วยออสซิลโลสโคปได้ไหม?
ได้คร่าว ๆ ด้วย FFT อ่านระดับ dBV ของความถี่พื้นฐานและฮาร์มอนิก แล้วคำนวณ THD = √(V₂² + V₃² + …)/V₁ สโคป 8 บิตวัดได้ดีถึงราว −50 ถึง −60 dB (0.1–0.3 %) ถ้าต้องการต่ำกว่านั้นต้องใช้เครื่องวิเคราะห์เสียงหรือการ์ดเสียงคุณภาพสูง

ต่อสโคปวัดวงจรไฟบ้านหรือวงจรเรียงกระแสบริดจ์ได้อย่างไรให้ปลอดภัย?
ห้ามหนีบกราวด์โพรบกับจุดที่ต่อไฟบ้าน ใช้หม้อแปลงแยก (isolation transformer) ที่ฝั่งวงจร หรือใช้โพรบดิฟเฟอเรนเชียลแรงดันสูง และสำหรับบริดจ์ ขาออกกับขาเข้าไม่มีกราวด์ร่วมกัน วัดทั้งสองฝั่งพร้อมกันด้วยโพรบธรรมดาไม่ได้ ให้ใช้วิธีผลต่างสองช่องหรือโพรบดิฟเฟอเรนเชียล

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**แรงดันริปเปิลของวงจรเรียงกระแสคำนวณอย่างไร?**
ประมาณได้จาก V_r(pp) ≈ I_L/(f_r C) = V_peak/(f_r R_L C) โดย f_r คือความถี่ริปเปิล เท่ากับความถี่ไฟเข้าสำหรับครึ่งคลื่น และสองเท่าสำหรับเต็มคลื่น เช่น ไฟ 50 Hz เต็มคลื่น กระแส 0.5 A ตัวเก็บประจุ 2200 µF ได้ริปเปิลราว 2.3 Vpp สูตรนี้ให้ค่าสูงกว่าจริงเล็กน้อยจึงใช้ออกแบบได้ปลอดภัย

**PWM ดิวตี้ 30 % ของ 5 V ได้แรงดันเท่าไร?**
แรงดันเฉลี่ยคือ D × V_H = 0.3 × 5 = 1.5 V ถ้ากรองด้วย RC ที่ τ ยาวกว่าคาบมาก จะได้ DC ราว 1.5 V มีริปเปิลประมาณ V_H D(1 − D)/(f R C) แต่ค่า RMS ของ PWM เองคือ V_H√D = 2.74 V ใช้ค่า RMS เมื่อคิดความร้อนในตัวต้านทาน

**วัดความเพี้ยนฮาร์มอนิก (THD) ด้วยออสซิลโลสโคปได้ไหม?**
ได้คร่าว ๆ ด้วย FFT อ่านระดับ dBV ของความถี่พื้นฐานและฮาร์มอนิก แล้วคำนวณ THD = √(V₂² + V₃² + …)/V₁ สโคป 8 บิตวัดได้ดีถึงราว −50 ถึง −60 dB (0.1–0.3 %) ถ้าต้องการต่ำกว่านั้นต้องใช้เครื่องวิเคราะห์เสียงหรือการ์ดเสียงคุณภาพสูง

**ต่อสโคปวัดวงจรไฟบ้านหรือวงจรเรียงกระแสบริดจ์ได้อย่างไรให้ปลอดภัย?**
ห้ามหนีบกราวด์โพรบกับจุดที่ต่อไฟบ้าน ใช้หม้อแปลงแยก (isolation transformer) ที่ฝั่งวงจร หรือใช้โพรบดิฟเฟอเรนเชียลแรงดันสูง และสำหรับบริดจ์ ขาออกกับขาเข้าไม่มีกราวด์ร่วมกัน วัดทั้งสองฝั่งพร้อมกันด้วยโพรบธรรมดาไม่ได้ ให้ใช้วิธีผลต่างสองช่องหรือโพรบดิฟเฟอเรนเชียล

---

# สร้างเครื่องกำเนิดสัญญาณเอง: 555 ออสซิลเลเตอร์ Wien และ DDS AD9833

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/build/
Updated: 2026-10-12
Summary: สร้างเครื่องกำเนิดสัญญาณและสโคปทำเองตั้งแต่ระดับ ม.ปลาย ถึง ป.โท: ออสซิลเลเตอร์ผ่อนคลายด้วยออปแอมป์ เครื่องกำเนิดสี่เหลี่ยม-สามเหลี่ยม ไอซี 555 แบบ astable Wien bridge และ RC phase-shift XR2206 DAC R-2R กับตารางค่าไซน์ DDS AD9833 พร้อมโค้ด Arduino และ ESP32 ภาคขาออกปรับแอมพลิจูดและออฟเซต วงจรขาเข้าสโคปทำเอง พร้อมตัวจำลองตัวสะสมเฟส DDS เครื่องคิดเลข และสูตรรหัส K

// บทที่ 12.8 · แล็บ FG + สโคป · Build Your Own

# สร้างเครื่องกำเนิดสัญญาณเอง: 555 ออสซิลเลเตอร์ Wien และ DDS AD9833

เข้าใจเครื่องมือดีที่สุดคือสร้างมันเอง หน้านี้ไล่จากวงจรที่ใช้ชิ้นส่วนไม่กี่ตัว ไปจนถึงเครื่องกำเนิดสัญญาณแบบดิจิทัลที่หลักการเหมือนเครื่องในห้องแล็บ พร้อมโค้ด Arduino และ ESP32 และปิดท้ายด้วยวงจรขาเข้าของสโคปทำเอง ทุกวงจรใช้ความรู้จากหน้าก่อน ๆ: RC τ, ออปแอมป์ ชมิตต์ทริกเกอร์ และ DDS สูตรใช้รหัส K

สรุปใน 30 วินาที

- สี่เหลี่ยมง่ายสุด: 555 $f = 1.44/((R_A + 2R_B)C)$ หรือออปแอมป์ผ่อนคลาย $T = 2RC\ln 3$ ($R_1 = R_2$)

- ไซน์แอนะล็อก: Wien bridge $f_0 = 1/(2\pi RC)$ เกนต้องเท่ากับ 3 พอดีและต้องมีวงจรคุมแอมพลิจูด

- ดิจิทัล: ตารางค่าไซน์ + DAC หรือ DDS: $f_{out} = M f_{clk}/2^N$ · AD9833: $M = f\cdot 2^{28}/25\ \text{MHz}$

- ภาคขาออก: ออปแอมป์ที่สลูว์เรตพอ + 50 Ω อนุกรม เหมือนเครื่องจริง

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## เลือกแบบไหนดี พื้นฐาน

| แบบ | รูปคลื่น | ช่วงความถี่โดยประมาณ | ความยาก | เหมาะกับ |

| ออปแอมป์ผ่อนคลาย | สี่เหลี่ยม (+ เอกซ์โพเนนเชียลบน C) | Hz – หลายสิบ kHz | ง่าย | เรียนป้อนกลับบวก ชมิตต์ RC |

| ชมิตต์ + อินทิเกรเตอร์ | สี่เหลี่ยม + สามเหลี่ยม | Hz – หลายสิบ kHz | ง่าย–กลาง | “ฟังก์ชันเจเนอเรเตอร์” แบบแอนะล็อกแท้ |

| ไอซี 555 | สี่เหลี่ยม | < 1 Hz – ราว 100 kHz | ง่ายมาก | ไฟกะพริบ เสียง สัญญาณนาฬิกา |

| Wien bridge | ไซน์เพี้ยนต่ำ | 10 Hz – 100 kHz | กลาง | ไซน์เสียงคุณภาพดี เรียน Barkhausen |

| XR2206 | ไซน์ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม | Hz – ราว 1 MHz | ง่าย (มีชุดคิท) | เครื่องตั้งโต๊ะราคาประหยัด |

| MCU + DAC/R-2R | อะไรก็ได้ (ตาราง) | ถึงราว 10–50 kHz | กลาง | รูปคลื่นพิเศษ เรียนการสุ่มและ DAC |

| DDS AD9833 | ไซน์ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม | 0.1 Hz – ราว 10 MHz | กลาง | เครื่องกำเนิดสัญญาณใช้งานจริง ตั้งค่าแม่น |

## ออสซิลเลเตอร์ผ่อนคลายด้วยออปแอมป์ พื้นฐาน กลาง

วงจรนี้คือ ชมิตต์ทริกเกอร์ ที่เอาขาออกของตัวเองมาชาร์จตัวเก็บประจุผ่าน R เมื่อแรงดันบน C ขึ้นถึง $+\beta V_{sat}$ ขาออกพลิกเป็นลบ C เริ่มคายลงจนถึง $-\beta V_{sat}$ แล้วพลิกกลับ วนไปเรื่อย ๆ เป็นการประยุกต์ ผลตอบสนองอันดับหนึ่ง R2 โดยตรง

ออสซิลเลเตอร์ผ่อนคลาย: ขาออกเป็นสี่เหลี่ยม แรงดันบน C เป็นเส้นโค้งเอกซ์โพเนนเชียลระหว่างสองระดับของชมิตต์ทริกเกอร์

K1 Feedback fraction อัตราส่วนป้อนกลับบวก

$$\beta = \frac{R_2}{R_1 + R_2},\qquad V_{TH,TL} = \pm\beta V_{sat}$$

K2 Relaxation-oscillator period คาบของออสซิลเลเตอร์ผ่อนคลาย

$$T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta},\qquad R_1 = R_2:\ T = 2RC\ln 3 = 2.197\,RC$$

มาจากเวลาที่ C ชาร์จจาก $-\beta V_{sat}$ เข้าหา $+V_{sat}$ จนถึง $+\beta V_{sat}$ ใช้ R3

ตัวอย่าง K-1 · ออสซิลเลเตอร์ราว 1 kHz

### R = 10 kΩ, C = 47 nF, $R_1 = R_2$ = 10 kΩ ได้ความถี่เท่าไร

- $\beta = 0.5$ K1 แล้วใช้ K2

$$T = 2(10^4)(47\times10^{-9})\ln 3 = 1.033\ \text{ms}$$

- ความถี่

$$f = \frac{1}{1.033\ \text{ms}} = 968\ \text{Hz}$$

ราว 968 Hz สมมาตร 50 % อยากปรับความถี่ให้ใช้โพเทนชิออมิเตอร์แทน R อยากได้ดิวตี้ไม่เท่ากันให้ใช้ไดโอดสองตัวแยกทางชาร์จกับทางคาย ผ่าน R คนละค่า

## เครื่องกำเนิดสี่เหลี่ยม-สามเหลี่ยม: ชมิตต์ + อินทิเกรเตอร์ กลาง

แทน RC ด้วย อินทิเกรเตอร์ ประจุจะเพิ่มด้วยกระแสคงที่ $V_{sat}/R$ แรงดันจึงเป็นเส้นตรง ได้สามเหลี่ยมแท้ ต่อขาออกอินทิเกรเตอร์เข้า ชมิตต์แบบไม่กลับเฟส และขาออกชมิตต์ (สี่เหลี่ยม) เข้าอินทิเกรเตอร์ วนเป็นวง นี่คือแกนของเครื่องกำเนิดสัญญาณแอนะล็อกรุ่นเก่าและไอซีอย่าง XR2206 ถ้าต้องการไซน์ ให้ป้อนสามเหลี่ยมเข้าวงจรปั้นรูป (diode shaper) ที่ตัดยอดให้โค้ง

K3 Square–triangle generator เครื่องกำเนิดสี่เหลี่ยม-สามเหลี่ยม

$$f = \frac{R_2}{4R_1RC},\qquad V_{\triangle,peak} = \pm\frac{R_1}{R_2}V_{sat}$$

$R_1$ ขาเข้าชมิตต์ $R_2$ ป้อนกลับชมิตต์ · R, C ของอินทิเกรเตอร์ · ปรับความถี่ด้วย R โดยแอมพลิจูดสามเหลี่ยมไม่เปลี่ยน

ตัวอย่าง K-2 · ออกแบบ 5 kHz

### $R_1$ = 10 kΩ, $R_2$ = 20 kΩ, R = 10 kΩ, C = 10 nF ไฟ ±15 V ($V_{sat}$ ≈ 13.5 V) หาความถี่และแอมพลิจูดสามเหลี่ยม

- ความถี่ K3

$$f = \frac{20\,000}{4(10\,000)(10\,000)(10\times10^{-9})} = \frac{2}{4\times10^{-4}} = 5\ \text{kHz}$$

- แอมพลิจูด

$$\pm\frac{10}{20}(13.5) = \pm 6.75\ \text{V}\ (13.5\ \text{Vpp})$$

สามเหลี่ยม 13.5 Vpp ที่ 5 kHz และสี่เหลี่ยม ±13.5 V ต้องตรวจสลูว์เรตด้วย ขอบสี่เหลี่ยม 27 V ด้วย LM741 ใช้เวลาราว 54 µs เทียบกับคาบ 200 µs ขอบจะเอียงชัดเจน ใช้ TL081 หรือคอมพาเรเตอร์ LM393 แทน

## ไอซี 555 แบบ astable พื้นฐาน

555 มีคอมพาเรเตอร์สองตัวเทียบแรงดันบน C กับ ⅓ และ ⅔ ของไฟเลี้ยง ฟลิปฟล็อปภายในสั่งทรานซิสเตอร์ขา 7 ให้คายประจุ C ชาร์จผ่าน $R_A + R_B$ และคายผ่าน $R_B$ จึงได้สี่เหลี่ยมที่ช่วงสูงยาวกว่าช่วงต่ำเสมอ ใช้ไฟ 4.5–15 V (NE555) หรือ 2–15 V (รุ่น CMOS เช่น 7555 กินกระแสน้อยกว่าและขอบสะอาดกว่า)

555 แบบ astable: ช่วง $t_H$ C ชาร์จจาก ⅓ ถึง ⅔ $V_{CC}$ ผ่าน $R_A + R_B$ ช่วง $t_L$ คายจาก ⅔ ถึง ⅓ ผ่าน $R_B$

K4 555 high and low times เวลาสูงและต่ำของ 555

$$t_H = \ln 2\,(R_A + R_B)C,\qquad t_L = \ln 2\,R_B C$$

$\ln 2 = 0.693$ มาจากการชาร์จจาก ⅓ ถึง ⅔ ซึ่งคือครึ่งหนึ่งของระยะที่เหลือถึง $V_{CC}$

K5 555 frequency and duty cycle ความถี่และดิวตี้ของ 555

$$f = \frac{1.44}{(R_A + 2R_B)C},\qquad D = \frac{R_A + R_B}{R_A + 2R_B}$$

$D > 50\ \%$ เสมอ ถ้าต้องการต่ำกว่า 50 % ต่อไดโอดขนาน $R_B$ ให้กระแสชาร์จข้าม $R_B$ แล้ว $t_H \approx 0.693R_AC$

ตัวอย่าง K-3 · 555 ราว 7 kHz

### $R_A$ = 1 kΩ, $R_B$ = 10 kΩ, C = 10 nF หาเวลาสูง เวลาต่ำ ความถี่ และดิวตี้

- เวลา K4

$$t_H = 0.693(11\ \text{k})(10\ \text{n}) = 76.2\ \mu\text{s},\quad t_L = 0.693(10\ \text{k})(10\ \text{n}) = 69.3\ \mu\text{s}$$

- ความถี่และดิวตี้ K5

$$f = \frac{1.44}{(21\ \text{k})(10\ \text{n})} = 6.86\ \text{kHz},\quad D = \frac{11}{21} = 52.4\ \%$$

6.86 kHz ดิวตี้ 52.4 % วัดด้วยสโคป: CH1 ที่ขา 6 (เห็นเลื่อยระหว่าง ⅓ ถึง ⅔ $V_{CC}$) CH2 ที่ขา 3 ใช้การวัดอัตโนมัติ Freq และ Duty เทียบ ค่าจริงมักต่างได้ราว 5–10 % ตามค่าคลาดเคลื่อนของ C

## ไซน์แอนะล็อก: Wien bridge และ RC phase-shift กลาง ขั้นสูง

ออสซิลเลเตอร์ไซน์คือวงจรขยายที่ป้อนกลับตัวเองผ่านตัวกรองที่ให้เฟสพอดีเพียงความถี่เดียว เครือข่าย Wien (RC อนุกรมต่อกับ RC ขนาน) ให้เฟส 0° และอัตราส่วน 1/3 ที่ $f_0$ เครื่องขยายไม่กลับเฟสเกน 3 จึงทำให้เกนวงรอบเท่ากับ 1 พอดี ตามเงื่อนไขของ Barkhausen นี่คือวงจรที่ Hewlett-Packard ใช้ในเครื่องกำเนิดสัญญาณเครื่องแรก (HP200A ปี 1939) ซึ่งใช้หลอดไฟเป็นตัวคุมแอมพลิจูด

Wien bridge: ป้อนกลับบวกผ่าน RC (ขวาบนและซ้ายล่าง) กำหนดความถี่ ป้อนกลับลบผ่าน $R_f$, $R_g$ กำหนดเกน 3

K6 Wien-bridge frequency ความถี่ของ Wien bridge

$$f_0 = \frac{1}{2\pi RC},\qquad \beta(f_0) = \frac{V_+}{V_o} = \frac13$$

กรณี R และ C สองชุดไม่เท่ากัน: $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{R_1R_2C_1C_2})$

K7 Required gain เกนที่ต้องการ

$$A = 1 + \frac{R_f}{R_g} = 3\quad\Rightarrow\quad R_f = 2R_g$$

เริ่มต้นตั้งเกนสูงกว่า 3 เล็กน้อยให้แกว่งได้เอง แล้วให้ไดโอด หลอดไฟ หรือ JFET ลดเกนลงเมื่อแอมพลิจูดโต

K8 Barkhausen criterion เงื่อนไขการแกว่งของ Barkhausen

$$A\,\beta(j\omega_0) = 1\angle 0^\circ$$

เป็นเงื่อนไขจำเป็นสำหรับการแกว่งต่อเนื่อง ขนาดเกนวงรอบ = 1 และเฟสรอบวง = 0° (หรือ 360°)

K9 RC phase-shift oscillator ออสซิลเลเตอร์เลื่อนเฟส RC

$$f_0 = \frac{1}{2\pi RC\sqrt6},\qquad |A| \ge 29$$

RC สูงผ่านสามภาคเลื่อนเฟสรวม 180° ต่อกับวงจรขยายกลับเฟส (อีก 180°) ที่เกนอย่างน้อย 29

ตัวอย่าง K-4 · ไซน์ 1 kHz สองแบบ

### (ก) Wien bridge R = 10 kΩ, C = 16 nF (ข) phase-shift R = 10 kΩ, C = 10 nF ได้ความถี่เท่าไร

- (ก) K6

$$f_0 = \frac{1}{2\pi(10^4)(16\times10^{-9})} = 995\ \text{Hz}$$

- (ข) K9

$$f_0 = \frac{1}{2\pi(10^4)(10^{-8})\sqrt6} = 650\ \text{Hz}$$

Wien ได้ราว 1 kHz และปรับความถี่ง่ายด้วยโพเทนชิออมิเตอร์คู่ (สเตอริโอ) แทน R ทั้งสองตัว ส่วน phase-shift ต้องปรับ R สามตัวพร้อมกัน จึงนิยมใช้แบบความถี่คงที่ ตรวจความเพี้ยนของไซน์ด้วย FFT บนสโคป X10

## ไอซีฟังก์ชันเจเนอเรเตอร์ XR2206 พื้นฐาน

XR2206 รวมออสซิลเลเตอร์ควบคุมด้วยแรงดัน วงจรปั้นไซน์ และภาคขาออกไว้ในชิปเดียว ชุดคิทราคาประหยัดให้ไซน์ สามเหลี่ยม และสี่เหลี่ยม ตั้งย่านความถี่ด้วยสวิตช์เลือกตัวเก็บประจุและปรับละเอียดด้วยโพเทนชิออมิเตอร์ เป็นเครื่องแรกที่ดีสำหรับโต๊ะทำงานที่บ้าน แต่ความถี่ลอยตามอุณหภูมิและไซน์เพี้ยนราว 0.5–2 % มากกว่า DDS

K10 XR2206 frequency ความถี่ของ XR2206

$$f_0 = \frac{1}{RC}$$

R คือตัวต้านทานตั้งเวลา (เอกสารข้อมูลแนะนำราว 4 kΩ–200 kΩ เพื่อความเสถียร) C คือตัวเก็บประจุตั้งเวลา เช่น R = 10 kΩ, C = 100 nF ได้ 1 kHz

## ไมโครคอนโทรลเลอร์ + DAC: ตารางค่าไซน์ กลาง

เก็บค่าไซน์หนึ่งคาบไว้ในตาราง (look-up table) แล้วส่งออก DAC ทีละค่าด้วยอัตราคงที่ ความถี่ขาออกเท่ากับอัตราส่งหารด้วยจำนวนจุดในตาราง DAC ที่ทำเองง่ายที่สุดคือบันไดตัวต้านทาน R-2R ต่อกับขาดิจิทัลหลายขา ใช้ตัวต้านทานแค่สองค่า

DAC แบบ R-2R สี่บิต: แต่ละบิตมีน้ำหนักเป็นครึ่งหนึ่งของบิตถัดไป ขยายเป็น 8 บิตได้โดยเพิ่มขั้นบันได ต่อบัฟเฟอร์ออปแอมป์เพื่อไม่ให้โหลดดึงแรงดัน

K11 DAC output and LUT frequency แรงดัน DAC และความถี่จากตาราง

$$V_{out} = V_{ref}\frac{D}{2^n},\qquad \Delta V = \frac{V_{ref}}{2^n},\qquad f_{out} = \frac{f_{update}}{N_{LUT}}$$

8 บิต 5 V: ขั้นละ 19.5 mV · ตาราง 64 จุดที่ 100 kSa/s ได้ 1.56 kHz · ต้องมีตัวกรองต่ำผ่านลบขั้นบันได (ภาพสะท้อนที่ $f_{update} \pm f_{out}$)

โค้ด Arduino Uno: R-2R 8 บิตบนพอร์ต D (D0–D7) ส่งไซน์ 64 จุดต่อคาบ ค่า 0–255 ได้แรงดัน 0–5 V

// Arduino Uno: 8-bit R-2R DAC on PORTD (D0–D7), 64-point sine table
// Disconnect D0/D1 (USB serial) from the ladder while uploading.
const uint8_t N = 64;
uint8_t lut[N];

void setup() {
DDRD = 0xFF; // D0–D7 as outputs
for (uint8_t i = 0; i < N; i++)
lut[i] = 128 + 127 * sin(2 * PI * i / N); // 1 … 255
}

void loop() {
for (uint8_t i = 0; i < N; i++) {
PORTD = lut[i]; // write all 8 bits at once
delayMicroseconds(10); // ≈ 11 µs per point → ≈ 1.4 kHz
}
}
ความถี่จริงขึ้นกับเวลาของลูป ให้วัดด้วยสโคป ถ้าต้องการความถี่แม่นให้ใช้ timer interrupt ส่งค่าทุก ๆ ช่วงเวลาคงที่

ESP32 รุ่นดั้งเดิม (ESP32-WROOM/WROVER) มี DAC 8 บิตในตัวสองช่องที่ GPIO25 และ GPIO26 ไม่ต้องต่อ R-2R ส่วน ESP32-S2 มี DAC ที่ GPIO17/18 แต่ ESP32-S3 และ ESP32-C3 ไม่มี DAC ต้องใช้ PWM + ตัวกรอง (ดู PWM กับแรงดันเฉลี่ย) หรือ DAC ภายนอก

// ESP32 (classic): built-in 8-bit DAC on GPIO25, 64-point sine
const int N = 64;
uint8_t lut[N];
void setup() {
for (int i = 0; i < N; i++) lut[i] = 128 + 127 * sin(2 * PI * i / N);
}
void loop() {
for (int i = 0; i < N; i++) {
dacWrite(25, lut[i]); // 0 … 255 → about 0 … 3.3 V
delayMicroseconds(20);
}
}

## DDS ด้วย AD9833: เครื่องกำเนิดสัญญาณที่ใช้งานได้จริง กลาง ขั้นสูง

DDS คือการทำตารางค่าไซน์ให้ความถี่ละเอียดมาก แทนที่จะเดินทีละจุดในตาราง ตัวสะสมเฟส $N$ บิตจะบวกเลข $M$ ทุกสัญญาณนาฬิกา แล้วใช้บิตบน ๆ ของเฟสเปิดตาราง ความถี่ขาออกจึงปรับได้ทีละ $f_{clk}/2^N$ หลักการอยู่ที่ หน้าเครื่องกำเนิดสัญญาณ (V15–V18) ลองเล่นตัวสะสมเฟสด้านล่าง: เพิ่ม M แล้ววงล้อหมุนเร็วขึ้น จุดต่อคาบน้อยลง ขั้นบันไดหยาบขึ้น และเมื่อ M เกินครึ่งวง ความถี่ที่เห็นจะกลับลดลง (อเลียส)

AD9833 เป็น DDS ขนาดเล็กราคาประหยัด ตัวสะสมเฟส 28 บิต DAC 10 บิต โมดูลทั่วไปมีคริสตัล 25 MHz ให้ไซน์และสามเหลี่ยมราว 0.6 Vpp (มีระดับ DC ราว 0.3 V) และสี่เหลี่ยมระดับลอจิก ความละเอียดความถี่ $25\ \text{MHz}/2^{28} = 0.093$ Hz คุมด้วย SPI สามสาย

เครื่องกำเนิดสัญญาณ DDS ทำเอง: โครงสร้างเดียวกับเครื่องในห้องแล็บ (ดู บล็อกไดอะแกรมเครื่องจริง)

K12 AD9833 frequency register ค่าที่เขียนลงรีจิสเตอร์ AD9833

$$M = \text{round}\!\left(\frac{f_{out}\,2^{28}}{f_{MCLK}}\right),\quad \text{LSB} = \texttt{0x4000}\,|\,(M \,\&\, \texttt{0x3FFF}),\quad \text{MSB} = \texttt{0x4000}\,|\,(M \gg 14)$$

ลำดับ: 0x2100 (B28 = 1, RESET) → LSB → MSB → 0xC000 (PHASE0 = 0) → 0x2000 ไซน์ / 0x2002 สามเหลี่ยม / 0x2028 สี่เหลี่ยม

ตัวอย่าง K-5 · ตั้ง AD9833 ที่ 12,345.6 Hz

### นาฬิกา 25 MHz หาเลข M คำที่ต้องเขียนลง FREQ0 และความถี่ที่ได้จริง

- เลขปรับความถี่ K12

$$M = \text{round}\!\left(\frac{12\,345.6 \times 268\,435\,456}{25\,000\,000}\right) = 132\,560$$

- แยกเป็นสองคำ 14 บิต

$$132\,560 = 8\times16\,384 + 1488 \Rightarrow \text{LSB} = \texttt{0x45D0},\ \text{MSB} = \texttt{0x4008}$$

- ความถี่จริง V15

$$f = \frac{132\,560 \times 25\times10^6}{2^{28}} = 12\,345.61\ \text{Hz}$$

เขียน 0x2100, 0x45D0, 0x4008, 0xC000, 0x2000 ได้ 12,345.61 Hz คลาดเคลื่อน 0.01 Hz ความแม่นยำจริงขึ้นกับคริสตัล (ราว ±50 ppm หรือ ±0.6 Hz ที่ความถี่นี้)

// AD9833 DDS with Arduino Uno (SCLK D13, SDATA D11, FSYNC D10) or ESP32 (18, 23, 5)
#include <SPI.h>
const int FSYNC = 10; // ESP32: 5
const float MCLK = 25e6; // crystal on the module

void ad9833Write(uint16_t w) {
SPI.beginTransaction(SPISettings(2000000, MSBFIRST, SPI_MODE2));
digitalWrite(FSYNC, LOW);
SPI.transfer16(w);
digitalWrite(FSYNC, HIGH);
SPI.endTransaction();
}

// mode: 0x2000 sine, 0x2002 triangle, 0x2028 square
void ad9833Set(float f, uint16_t mode) {
uint32_t M = (uint32_t)(f * 268435456.0 / MCLK + 0.5); // K12
ad9833Write(0x2100); // B28 = 1, reset
ad9833Write(0x4000 | (M & 0x3FFF)); // FREQ0 LSB
ad9833Write(0x4000 | ((M >> 14) & 0x3FFF)); // FREQ0 MSB
ad9833Write(0xC000); // PHASE0 = 0
ad9833Write(mode); // leave reset, choose waveform
}

void setup() {
pinMode(FSYNC, OUTPUT);
digitalWrite(FSYNC, HIGH);
SPI.begin();
ad9833Set(1000.0, 0x2000); // 1 kHz sine
}

void loop() {}
ขยายต่อ: อ่านเอนโค้ดเดอร์แบบหมุนเพื่อปรับความถี่ แสดงผลบนจอ OLED หรือรับคำสั่งความถี่ทาง Serial ก็ได้ สำหรับการกวาดความถี่ ให้เรียก ad9833Set() ในลูปด้วยความถี่ที่เพิ่มทีละขั้น (เขียนเฉพาะ LSB/MSB ก็พอ ไม่ต้องรีเซ็ตทุกครั้งเพื่อให้เฟสต่อเนื่อง)

## ภาคขาออก: แอมพลิจูด ออฟเซต และ 50 Ω กลาง

ขาออก DDS เล็กและมี DC ปนอยู่ ต้องตัด DC ด้วยตัวเก็บประจุ ปรับขนาดด้วยโพเทนชิออมิเตอร์ แล้วใช้ วงจรรวมสัญญาณ บวกออฟเซต DC ที่ปรับได้ ก่อนออกขั้วผ่านตัวต้านทาน 50 Ω เหมือนเครื่องจริง V1 ข้อที่มักลืมคือสลูว์เรตของออปแอมป์ภาคนี้ต้องพอสำหรับความถี่และแอมพลิจูดสูงสุดที่ต้องการ

K13 Output stage ภาคขาออก

$$v_{out} = G\,(v_{dds} - \bar v_{dds}) + V_{off},\qquad SR \ge 2\pi f_{max}V_{p,max}$$

$G$ จากโพเทนชิออมิเตอร์และเกนออปแอมป์ · $V_{off}$ จากโพเทนชิออมิเตอร์ต่อ ±V ผ่านวงจรรวม · ตรวจขีดจำกัด $|V_{off}| + V_p \le V_{sat}$

ตัวอย่าง K-6 · เลือกออปแอมป์ภาคขาออก

### ต้องการ 10 Vpp (High-Z) ถึง 1 MHz ออปแอมป์ต้องมีสลูว์เรตเท่าไร TL081 ใช้ได้ไหม

- $V_p = 5$ V K13 U6

$$SR \ge 2\pi(10^6)(5) = 31.4\ \text{V/}\mu\text{s}$$

- TL081 มี 13 V/µs ได้แค่

$$f_{FPBW} = \frac{13\times10^6}{2\pi\times5} = 414\ \text{kHz}$$

TL081 ไม่พอ ต้องใช้ออปแอมป์ความเร็วสูงที่มี SR หลักร้อย V/µs และ GBW หลายสิบ MHz ขึ้นไป เช่น LM7171 หรือออปแอมป์แบบป้อนกลับกระแส (current-feedback) และต้องวางลายวงจรสั้น มีกราวด์เพลน ถ้าใช้แค่ย่านเสียง (≤ 20 kHz) TL072 เหลือเฟือ

## ออสซิลโลสโคปทำเอง: ขาเข้า การสุ่ม และขีดจำกัด กลาง

หลักการสโคปดิจิทัลคือ ภาคขาเข้า (ลดทอน ยกระดับ ป้องกัน) → ADC → หน่วยความจำ → ทริกเกอร์ → วาดจอ ทำเองด้วยไมโครคอนโทรลเลอร์ได้ แต่ต้องเข้าใจขีดจำกัดของ ADC และต้องแปลงสัญญาณ ±V ให้อยู่ในช่วงที่ ADC รับได้ (0–3.3 V หรือ 0–5 V) ก่อนเสมอ ไม่เช่นนั้นขา ADC เสีย

ภาคขาเข้า: ตัวแบ่งแรงดันสามตัวลดทอนและยกระดับในคราวเดียว ไดโอดหนีบไว้กันแรงดันเกิน (ใช้ไดโอด Schottky)

K14 ADC front-end (divider + bias) วงจรแบ่งแรงดันและยกระดับ

$$V_{adc} = k\,V_{in} + V_{th}(1 - k),\quad k = \frac{R_b}{R_1 + R_b},\quad R_b = R_2\parallel R_3,\quad V_{th} = V_{ref}\frac{R_2}{R_2 + R_3}$$

ออกแบบ: เลือก $k = (V_{ref}/2)/V_{in,max}$ และให้ $V_{adc} = V_{ref}/2$ เมื่อ $V_{in} = 0$

K15 ADC sample rate อัตราสุ่มของ ADC

$$f_s = \frac{f_{ADC}}{13},\qquad f_{max} < \frac{f_s}{2}\ \ \text{(ใช้จริง} \approx f_s/5 \text{ ถึง } f_s/10)$$

Arduino Uno: $f_{ADC} = 16\ \text{MHz}/128 = 125$ kHz → 9.6 kSa/s · การ์ดเสียง 48–192 kSa/s แต่คัปปลิง AC ที่ขาเข้า · ESP32 เร็วกว่าแต่ ADC ไม่เป็นเชิงเส้นช่วงปลาย ต้องสอบเทียบ

ตัวอย่าง K-7 · ±10 V เข้า ADC 3.3 V

### ใช้ $R_1$ = 100 kΩ ออกแบบ $R_2$, $R_3$ ให้ ±10 V เป็น 0–3.3 V

- อัตราส่วนที่ต้องการ K14

$$k = \frac{1.65}{10} = 0.165\ \Rightarrow\ R_b = \frac{k R_1}{1 - k} = 19.8\ \text{k}\Omega$$

- $V_{adc}(0) = 1.65$ V

$$V_{th} = \frac{1.65}{1 - k} = 1.98\ \text{V} \Rightarrow \frac{R_2}{R_2 + R_3} = 0.599$$

- แก้สองสมการ

$$R_3 = \frac{R_b}{0.599} = 33.0\ \text{k}\Omega,\quad R_2 = \frac{R_b}{1 - 0.599} = 49.3\ \text{k}\Omega$$

- ใช้ค่ามาตรฐาน $R_2$ = 47 kΩ, $R_3$ = 33 kΩ ตรวจ

$$R_b = 19.4\ \text{k}\Omega,\ k = 0.162,\ V_{th} = 1.94\ \text{V} \Rightarrow V_{adc} = 1.62 \pm 1.62\ \text{V}$$

±10 V กลายเป็น 0.00–3.25 V อยู่ในช่วง ADC ในโปรแกรมแปลงกลับด้วย $V_{in} = (V_{adc} - 1.62)/0.162$ แล้วสอบเทียบกับแหล่งจ่าย DC ที่รู้ค่าอีกครั้ง

// Arduino Uno: minimal "scope" — 400 samples as fast as analogRead allows, then send to Serial Plotter
const int NS = 400;
int buf[NS];
void setup() { Serial.begin(115200); }
void loop() {
unsigned long t0 = micros();
for (int i = 0; i < NS; i++) buf[i] = analogRead(A0); // ≈ 104 µs each
float dt = (micros() - t0) / (float)NS; // µs per sample
for (int i = 0; i < NS; i++) {
float vadc = buf[i] * 5.0 / 1023.0;
Serial.println(vadc); // convert with K14 for a divider
}
delay(200);
}
เพิ่มทริกเกอร์ได้โดยวนอ่านจนค่าข้ามระดับที่กำหนดขาขึ้นก่อนเริ่มเก็บ 400 จุด เป็นหลักการเดียวกับทริกเกอร์ของสโคปจริง ทริกเกอร์

## เช็กลิสต์ก่อนเปิดไฟและวิธีทดสอบเครื่องที่สร้างเอง พื้นฐาน

- ตรวจขั้วไฟเลี้ยงและกราวด์ร่วมของทุกบอร์ดก่อนเสียบ ใส่ 100 nF คร่อมไฟเลี้ยงทุกไอซี

- เปิดไฟผ่านแหล่งจ่ายที่จำกัดกระแส (เริ่ม 50–100 mA) ดูว่ากินกระแสผิดปกติหรือไม่

- วัดความถี่ด้วยสโคปจริงหรือฟังก์ชัน counter เทียบกับสูตร ความต่างเกิน 10 % ให้ตรวจค่าชิ้นส่วน

- ดูรูปคลื่นที่ขาออกเมื่อเปิดวงจร (High-Z) และเมื่อต่อโหลด 50 Ω ควรลดลงครึ่งหนึ่งพอดี V3

- ดู FFT ของไซน์: ฮาร์มอนิกที่สองและสามควรต่ำกว่าพื้นฐานอย่างน้อย 40 dB สำหรับงานเสียง X10

- กวาดความถี่ทั้งย่าน ตรวจว่าแอมพลิจูดไม่ตก (สลูว์เรต แบนด์วิดท์) และไม่มีการแกว่งแปลกปลอม

ถ้ายังไม่มีชิ้นส่วน ลองทุกการวัดบน แล็บจำลอง ก่อน แล้วไปดู งานประยุกต์ ที่ใช้เครื่องเหล่านี้

## คำถามที่พบบ่อย

สร้างเครื่องกำเนิดสัญญาณเองแบบไหนง่ายและคุ้มที่สุด?
ถ้าต้องการแค่คลื่นสี่เหลี่ยม ใช้ไอซี 555 หรือขา PWM ของไมโครคอนโทรลเลอร์ ถ้าต้องการไซน์ สามเหลี่ยม และสี่เหลี่ยมที่ตั้งความถี่ได้แม่นจาก 0.1 Hz ถึงหลาย MHz ใช้โมดูล DDS AD9833 คุมด้วย Arduino หรือ ESP32 ผ่าน SPI สามสาย แล้วเพิ่มภาคขยายด้วยออปแอมป์สำหรับปรับแอมพลิจูดและออฟเซต

AD9833 ตั้งค่าความถี่อย่างไร?
คำนวณเลข 28 บิต M = round(f_out × 2²⁸ / f_MCLK) เช่น 1 kHz กับนาฬิกา 25 MHz ได้ M = 10737 แล้วเขียนเป็นสองคำ 14 บิตลงรีจิสเตอร์ FREQ0 โดยตั้งบิตบนเป็น 01 (0x4000 | ค่า) ลำดับคือ 0x2100 (รีเซ็ต) คำล่าง คำบน 0xC000 (เฟส) แล้ว 0x2000 สำหรับไซน์ 0x2002 สามเหลี่ยม หรือ 0x2028 สี่เหลี่ยม

Arduino ใช้เป็นออสซิลโลสโคปได้ไหม?
ได้สำหรับสัญญาณช้า Arduino Uno อ่าน ADC ได้ราว 9.6 kSa/s ด้วย analogRead จึงดูได้แค่ไม่กี่ร้อย Hz ถึงราว 1 kHz และรับได้เฉพาะ 0–5 V ต้องมีวงจรแบ่งแรงดันและยกระดับก่อนวัดสัญญาณที่มีค่าลบ ESP32 และการ์ดเสียงคอมพิวเตอร์เร็วกว่า แต่ยังห่างจากสโคปจริงมาก เหมาะกับการเรียนรู้หลักการสุ่มสัญญาณ

ทำไมออสซิลเลเตอร์ Wien bridge ต้องมีวงจรคุมแอมพลิจูด?
เงื่อนไข Barkhausen ต้องการเกนวงรอบเท่ากับ 1 พอดี ถ้าเกนน้อยกว่า 3 นิดเดียวการแกว่งจะหยุด ถ้ามากกว่านิดเดียวแอมพลิจูดจะโตจนออปแอมป์อิ่มตัวและไซน์ถูกตัดยอด จึงต้องมีชิ้นส่วนที่ลดเกนเมื่อแอมพลิจูดสูง เช่น ไดโอดคู่ขนานกับตัวต้านทานป้อนกลับบางส่วน หลอดไฟ หรือ JFET

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**สร้างเครื่องกำเนิดสัญญาณเองแบบไหนง่ายและคุ้มที่สุด?**
ถ้าต้องการแค่คลื่นสี่เหลี่ยม ใช้ไอซี 555 หรือขา PWM ของไมโครคอนโทรลเลอร์ ถ้าต้องการไซน์ สามเหลี่ยม และสี่เหลี่ยมที่ตั้งความถี่ได้แม่นจาก 0.1 Hz ถึงหลาย MHz ใช้โมดูล DDS AD9833 คุมด้วย Arduino หรือ ESP32 ผ่าน SPI สามสาย แล้วเพิ่มภาคขยายด้วยออปแอมป์สำหรับปรับแอมพลิจูดและออฟเซต

**AD9833 ตั้งค่าความถี่อย่างไร?**
คำนวณเลข 28 บิต M = round(f_out × 2²⁸ / f_MCLK) เช่น 1 kHz กับนาฬิกา 25 MHz ได้ M = 10737 แล้วเขียนเป็นสองคำ 14 บิตลงรีจิสเตอร์ FREQ0 โดยตั้งบิตบนเป็น 01 (0x4000 | ค่า) ลำดับคือ 0x2100 (รีเซ็ต) คำล่าง คำบน 0xC000 (เฟส) แล้ว 0x2000 สำหรับไซน์ 0x2002 สามเหลี่ยม หรือ 0x2028 สี่เหลี่ยม

**Arduino ใช้เป็นออสซิลโลสโคปได้ไหม?**
ได้สำหรับสัญญาณช้า Arduino Uno อ่าน ADC ได้ราว 9.6 kSa/s ด้วย analogRead จึงดูได้แค่ไม่กี่ร้อย Hz ถึงราว 1 kHz และรับได้เฉพาะ 0–5 V ต้องมีวงจรแบ่งแรงดันและยกระดับก่อนวัดสัญญาณที่มีค่าลบ ESP32 และการ์ดเสียงคอมพิวเตอร์เร็วกว่า แต่ยังห่างจากสโคปจริงมาก เหมาะกับการเรียนรู้หลักการสุ่มสัญญาณ

**ทำไมออสซิลเลเตอร์ Wien bridge ต้องมีวงจรคุมแอมพลิจูด?**
เงื่อนไข Barkhausen ต้องการเกนวงรอบเท่ากับ 1 พอดี ถ้าเกนน้อยกว่า 3 นิดเดียวการแกว่งจะหยุด ถ้ามากกว่านิดเดียวแอมพลิจูดจะโตจนออปแอมป์อิ่มตัวและไซน์ถูกตัดยอด จึงต้องมีชิ้นส่วนที่ลดเกนเมื่อแอมพลิจูดสูง เช่น ไดโอดคู่ขนานกับตัวต้านทานป้อนกลับบางส่วน หลอดไฟ หรือ JFET

---

# เครื่องกำเนิดสัญญาณ (Function Generator): ปุ่ม เอาต์พุต 50 Ω มอดูเลชัน และ DDS

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/generator/
Updated: 2026-10-12
Summary: คู่มือเครื่องกำเนิดสัญญาณภาษาไทยครบทุกปุ่ม: ตั้งความถี่ แอมพลิจูด ออฟเซต ดิวตี้ สมมาตร ความต้านทานขาออก 50 Ω ทำไมสโคปแสดงค่าเป็นสองเท่า การตั้ง Load High-Z กับ 50 Ω AM FM PWM Sweep Burst ขั้ว Sync และหลักการ DDS พร้อมสูตร ตัวอย่าง และเครื่องจำลองให้ลองหมุนเอง

// บทที่ 12.2 · แล็บ FG + สโคป · Function Generator

# เครื่องกำเนิดสัญญาณ (Function Generator): ปุ่ม เอาต์พุต 50 Ω มอดูเลชัน และ DDS

เครื่องกำเนิดสัญญาณคือแหล่งจ่ายแรงดันที่เราสั่งรูปร่างได้ ใช้ป้อนสัญญาณทดสอบเข้าวงจรเพื่อดูว่าวงจรตอบสนองอย่างไร หน้านี้อธิบายทุกปุ่มตั้งแต่ตั้งความถี่ไปจนถึงเรื่องที่คนงงมากที่สุด คือทำไมค่าบนจอสโคปไม่ตรงกับค่าที่ตั้ง แล้วต่อด้วยมอดูเลชัน กวาดความถี่ เบิสต์ และหลักการ DDS ที่อยู่ข้างในเครื่อง สูตรใช้รหัส V

สรุปใน 30 วินาที

- ขาออกคือแหล่ง $e$ อนุกรมกับ 50 Ω แรงดันที่โหลดเห็น $= e\,R_L/(R_L + 50)$

- Load = High-Z: ค่าที่ตั้งตรงกับที่สโคป 1 MΩ วัดได้ · Load = 50 Ω: ต้องมีโหลด 50 Ω จริง ไม่อย่างนั้นได้สองเท่า

- |Offset| + Vpp/2 ต้องไม่เกิน 10 V (High-Z) หรือ 5 V (50 Ω)

- ภาพไม่นิ่งเพราะสัญญาณซับซ้อน ให้ต่อ SYNC เข้า EXT TRIG ของสโคป

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## ปุ่มบนแผงหน้าเครื่อง พื้นฐาน

เครื่องทุกยี่ห้อ ทั้ง Rigol, Siglent, Keysight, GW Instek หรือ Tektronix ใช้ลำดับการตั้งค่าแบบเดียวกัน: เลือกรูปคลื่น เลือกพารามิเตอร์ที่จะแก้ ใส่ค่า แล้วกด OUTPUT ให้ขั้วจ่ายสัญญาณจริง หลายคนลืมขั้นสุดท้าย ไฟ OUTPUT ไม่ติดก็ไม่มีสัญญาณออก

แผงหน้าแบบทั่วไป: เลือกรูปคลื่น → เลือกพารามิเตอร์ → ใส่ค่าด้วยแป้นหรือปุ่มหมุน → กด OUTPUT ON

| ปุ่ม / เมนู | หน้าที่ | ข้อควรรู้ |

| Sine, Square, Ramp, Pulse | เลือกรูปคลื่นหลัก | ความถี่สูงสุดของแต่ละรูปไม่เท่ากัน Ramp มักได้แค่ราว 1 MHz |

| Noise | สัญญาณสุ่มแบบเกาส์ | ใช้ทดสอบความทนนอยส์ของวงจร หรือหาผลตอบสนองแบบสุ่ม |

| Arb | รูปคลื่นที่ผู้ใช้วาดหรือเลือกจากคลัง | ความถี่สูงสุดขึ้นกับจำนวนจุดและอัตรา DAC |

| Freq / Period | ความถี่หรือคาบ | ใส่อย่างใดอย่างหนึ่ง เครื่องคำนวณอีกค่าให้ W1 |

| Ampl / High Level | แอมพลิจูดเป็น Vpp, Vrms หรือ dBm | หรือกำหนดเป็นระดับสูงต่ำโดยตรง เหมาะกับลอจิก |

| Offset / Low Level | ระดับ DC ที่บวกเข้าไป | มีขีดจำกัดร่วมกับแอมพลิจูด V5 |

| Phase | เลื่อนเฟสเริ่มต้น | มีผลเมื่อเทียบกับ SYNC หรือกับอีกช่องของเครื่องสองช่อง |

| Duty / Symmetry / Width | ดิวตี้ของสี่เหลี่ยม สมมาตรของแรมป์ ความกว้างพัลส์ | แรมป์สมมาตร 50 % คือสามเหลี่ยม 100 % คือฟันเลื่อยขาขึ้น |

| Lead / Trail Edge | เวลาขอบขึ้นลงของพัลส์ | ทดสอบวงจรที่ไวต่อขอบช้า เช่น ลอจิก CMOS |

| Mod / Sweep / Burst | มอดูเลต กวาดความถี่ ปล่อยเป็นชุด | ดูหัวข้อด้านล่าง |

| Utility → Load | บอกเครื่องว่าโหลดเป็น 50 Ω หรือ High-Z | ต้นเหตุของค่าที่ไม่ตรงอันดับหนึ่ง V2 |

| OUTPUT ON/OFF | ต่อหรือตัดรีเลย์ขาออก | ปิดก่อนต่อหรือถอดวงจรเสมอ |

| SYNC | พัลส์ลอจิกตรงกับคาบหรือจุดเริ่มกวาด | ต่อเข้า EXT TRIG ของสโคปเพื่อภาพนิ่ง |

V6 Pulse width and ramp symmetry ความกว้างพัลส์และสมมาตรของแรมป์

$$W = D\,T, \qquad S = \frac{t_{rise}}{T}\times 100\%$$

$S = 50\%$ ได้สามเหลี่ยม $S = 100\%$ ได้ฟันเลื่อยขาขึ้น $S = 0\%$ ได้ฟันเลื่อยขาลง

V7 Edge time and bandwidth เวลาขอบกับแบนด์วิดท์

$$t_{r} \approx \frac{0.35}{f_{BW}}$$

ขอบ 8 ns ต้องใช้แบนด์วิดท์ราว 44 MHz เครื่อง 25 MHz จึงทำคลื่นสี่เหลี่ยมได้คมที่สุดราว 8–10 ns

## ความต้านทานขาออก 50 Ω และการตั้ง Load พื้นฐาน

ภายในเครื่องมีตัวต้านทาน 50 Ω อนุกรมอยู่ที่ขั้วขาออกเสมอ เพื่อให้แมตช์กับสายโคแอกซ์ 50 Ω และกันขาออกเสียเมื่อลัดวงจร ผลคือแรงดันที่ขั้วขึ้นกับโหลด ถ้าโหลดเป็น 50 Ω พอดี แรงดันจะเหลือครึ่งหนึ่งของแรงดันภายใน เครื่องจึงต้องถามว่าเราจะต่อโหลดอะไร (Utility → Load) แล้วชดเชยให้ค่าบนจอตรงกับโหลดที่บอกไว้

ขาออกของเครื่องกำเนิดสัญญาณคือแหล่งแรงดัน $e$ อนุกรมกับ 50 Ω แรงดันที่โหลดเห็นจึงขึ้นกับ $R_L$

V1 Output model (Thévenin) แบบจำลองขาออก

$$v_{out} = e - R_s\,i, \qquad R_s = 50\ \Omega$$

V2 Internal emf from the setting แรงดันภายในจากค่าที่ตั้ง

$$e = k\,V_{set},\quad k = \begin{cases} 1 & \text{High-Z} \\ 2 & 50\ \Omega \end{cases}$$

V4 Voltage across any load แรงดันจริงบนโหลด

$$V_L = k\,V_{set}\,\frac{R_L}{R_L + 50}$$

ตั้ง 50 Ω + โหลด 50 Ω → ตรง · ตั้ง High-Z + โหลด 1 MΩ → ตรง · ตั้ง 50 Ω + โหลด 1 MΩ → เกือบ 2 เท่า · ตั้ง High-Z + โหลด 50 Ω → ครึ่งเดียว

V3 Measuring output resistance วัดความต้านทานขาออก

$$R_s = R_L\left(\frac{V_{open}}{V_L} - 1\right)$$

วัดแรงดันตอนเปิดวงจรและตอนต่อ $R_L$ ที่รู้ค่า ใช้ได้กับแหล่งจ่ายทุกชนิด ไม่เฉพาะเครื่องกำเนิดสัญญาณ

V5 Amplitude + offset limit ขีดจำกัดแอมพลิจูดรวมออฟเซต

$$|V_{DC}| + \tfrac12 V_{pp} \le V_{max}$$

เครื่องทั่วไป $V_{max} = 10$ V ในโหมด High-Z และ 5 V ในโหมด 50 Ω ถ้าเกิน เครื่องจะไม่ยอมรับค่าหรือลดค่าให้

ลองด้วยตัวเอง: สโคปจำลองนี้ต่อเครื่องกำเนิดสัญญาณ 2 Vpp เข้า CH1 เปลี่ยน Load ที่ตั้งในเครื่อง และเปลี่ยนโหลดจริงที่ต่อ แล้วดู Vpp ที่วัดได้

ตัวอย่าง V-1 · ลืมตั้ง Load

### ตั้ง 1 Vpp โหมด High-Z แล้วต่อเข้าเครื่องขยาย RF ที่อินพุต 50 Ω แรงดันจริงเท่าไร

- โหมด High-Z: $e = V_{set}$ V2

$$e = 1\ \text{Vpp}$$

- แบ่งแรงดันกับ 50 Ω ภายใน V4

$$V_L = 1 \times \frac{50}{50 + 50} = 0.5\ \text{Vpp}$$

ได้แค่ 0.5 Vpp (ต่ำกว่าที่ตั้ง 6 dB) แก้โดยตั้ง Load = 50 Ω

ตัวอย่าง V-2 · โหลดค่ากลาง ๆ

### ตั้ง 2 Vpp โหมด 50 Ω ขับวงจรที่มีอินพุต 1 kΩ ได้แรงดันจริงเท่าไร

- $e = 2 \times 2 = 4$ Vpp V2

- แบ่งแรงดัน V4

$$V_L = 4 \times \frac{1000}{1050} = 3.81\ \text{Vpp}$$

3.81 Vpp ไม่ใช่ 2 Vpp วงจรอินพุตความต้านทานต่ำ ควรวัดแรงดันที่ขาเข้าวงจรจริงด้วยสโคปเสมอ

ตัวอย่าง V-3 · วัดความต้านทานขาออก

### เปิดวงจรวัดได้ 4.00 Vpp ต่อตัวต้านทาน 47 Ω แล้วเหลือ 1.94 Vpp หา $R_s$

- แทนสูตร V3

$$R_s = 47\left(\frac{4.00}{1.94} - 1\right) = 47 \times 1.062 = 49.9\ \Omega$$

$R_s \approx 50\ \Omega$ ตรงตามสเปก ถ้าได้ค่าเพี้ยนมาก อาจเป็นเพราะเปิดโหมดเอาต์พุตอิมพีแดนซ์ต่ำ หรือขาออกเสีย

## ขั้ว SYNC และการทริกเกอร์สโคป พื้นฐาน

ขั้ว SYNC (บางรุ่นเรียก TTL Out หรือ Trig Out) ให้พัลส์ลอจิก 0/3.3 V หรือ 0/5 V ที่ขอบขึ้นตรงกับจุดเริ่มต้นของแต่ละคาบ ในโหมดมอดูเลชันจะตรงกับคลื่นมอดูเลต ในโหมดกวาดตรงกับจุดเริ่มกวาด และในโหมดเบิสต์ตรงกับจุดเริ่มแต่ละชุด เมื่อนำไปต่อเข้า EXT TRIG ของสโคป ภาพจะล็อกนิ่งเสมอ เพราะสโคปไม่ต้องเดาจากรูปสัญญาณเองอีกต่อไป วิธีนี้สำคัญมากเมื่อสัญญาณที่ปลายวงจรมีนอยส์หรือรูปร่างเปลี่ยนไปมา

ลองในแล็บจำลอง: AM ที่ทริกเกอร์จาก EXT ภาพนิ่ง ลองเปลี่ยนแหล่งทริกเกอร์เป็น CH1 แล้วดูว่าเปลือกเลื่อนไปมาอย่างไร

## AM, FM และ PWM กลาง

มอดูเลชันคือการให้คลื่นช้า (คลื่นมอดูเลต ความถี่ $f_m$) ไปควบคุมพารามิเตอร์ตัวหนึ่งของคลื่นเร็ว (คลื่นพาหะ ความถี่ $f_c$) AM คุมแอมพลิจูด FM คุมความถี่ PWM คุมดิวตี้ เครื่องกำเนิดสัญญาณใช้จำลองสัญญาณวิทยุ ทดสอบวงจรดีมอดูเลเตอร์ หรือทดสอบตัวควบคุมมอเตอร์

V8 Amplitude modulation การมอดูเลตแอมพลิจูด

$$v(t) = A_c\left[1 + m\sin(2\pi f_m t)\right]\sin(2\pi f_c t)$$

V9 Modulation index from the scope ดัชนีมอดูเลชันจากจอ

$$m = \frac{V_{max} - V_{min}}{V_{max} + V_{min}}$$

$V_{max}, V_{min}$ คือยอดถึงยอดของเปลือกช่วงกว้างสุดและแคบสุด $m > 1$ คือมอดูเลตเกิน เปลือกพับ

V10 AM spectrum สเปกตรัมของ AM

$$f_c,\ f_c \pm f_m,\quad A_{SB} = \tfrac{m}{2}A_c,\quad B = 2f_m$$

V11 Frequency modulation, Carson's rule FM และกฎของคาร์สัน

$$f(t) = f_c + \Delta f\sin(2\pi f_m t),\quad \beta = \frac{\Delta f}{f_m}$$

$$B \approx 2(\Delta f + f_m)$$

V12 Pulse-width modulation การมอดูเลตความกว้างพัลส์

$$D(t) = D_0 + \Delta D\sin(2\pi f_m t)$$

ผ่านตัวกรองต่ำผ่านแล้วได้ $V_{avg}(t) = D(t)\,V_H$ กลับมาเป็นคลื่นมอดูเลต ดูงานประยุกต์

AM ที่ $m = 0.5$: วัดยอดถึงยอดของเปลือกช่วงกว้างสุด $V_{max}$ และช่วงแคบสุด $V_{min}$ แล้วแทนสูตร V9

FM: แอมพลิจูดคงที่ แต่ระยะห่างของลูกคลื่นเปลี่ยนตามคลื่นมอดูเลต (เส้นสีฟ้าด้านล่าง)

ตัวอย่าง V-4 · วัด m จากจอ

### เปลือก AM กว้างสุด 3.0 Vpp แคบสุด 1.0 Vpp หาดัชนีมอดูเลชันและขนาดแถบข้าง

- V9

$$m = \frac{3.0 - 1.0}{3.0 + 1.0} = 0.5$$

- พาหะมีค่ายอด $A_c = (3.0 + 1.0)/4 = 1.0$ V แถบข้างแต่ละข้าง V10

$$A_{SB} = \frac{0.5}{2}\times 1.0 = 0.25\ \text{V} \Rightarrow 20\log_{10}0.25 = -12\ \text{dB ต่ำกว่าพาหะ}$$

$m = 0.5$ (50 %) แถบข้างสูง 0.25 V ต่ำกว่าพาหะ 12 dB เปิด พรีเซต AM แล้วลอง FFT

## กวาดความถี่ (Sweep) และเบิสต์ (Burst) กลาง

โหมด Sweep เปลี่ยนความถี่จาก $f_1$ ไป $f_2$ ในเวลา $T_s$ แล้ววนใหม่ ถ้าป้อนเข้าวงจรกรองและให้สโคปทริกเกอร์จาก SYNC จอจะวาดเปลือกที่มีรูปร่างเหมือนกราฟขนาดของผลตอบสนองความถี่ทันที เป็นวิธีหาเรโซแนนซ์ที่เร็วที่สุด โหมด Burst ปล่อยคลื่น $N$ ลูกแล้วหยุด ใช้ทดสอบเซนเซอร์อัลตราโซนิก ลำโพง หรือวงจรที่ต้องดูการตั้งต้นและการหยุด

V13 Linear and logarithmic sweep การกวาดเชิงเส้นและลอการิทึม

$$f_{lin}(t) = f_1 + (f_2 - f_1)\frac{t}{T_s}$$

$$f_{log}(t) = f_1\left(\frac{f_2}{f_1}\right)^{t/T_s}$$

แบบลอการิทึมใช้เวลาเท่ากันต่อหนึ่งดีเคด เหมาะกับการดู Bode

V14 Burst timing เวลาของเบิสต์

$$t_{on} = \frac{N}{f}, \qquad D_{burst} = \frac{N}{f\,T_{burst}}$$

Sweep เปลี่ยนความถี่ตามเวลา Burst ปล่อยคลื่น $N$ ลูกแล้วหยุด ทั้งสองแบบมีพัลส์ SYNC ไว้ทริกเกอร์สโคป

ลองในแล็บจำลอง: กวาด 1–10 kHz เข้าวงจร RLC จะเห็นเปลือกพองตรงความถี่เรโซแนนซ์ 5 kHz · เบิสต์ 3 ลูก

## ข้างในเครื่อง: หลักการ DDS ขั้นสูง

เครื่องรุ่นใหม่ใช้ Direct Digital Synthesis (DDS) แทนออสซิลเลเตอร์แอนะล็อก ตัวสะสมเฟสขนาด $N$ บิตบวกเลข $M$ เข้าไปทุกสัญญาณนาฬิกา บิตบนของเฟสใช้เปิดตารางค่าไซน์ (LUT) ส่งเข้า DAC แล้วผ่านตัวกรองต่ำผ่านเพื่อลบขั้นบันได ความถี่จึงปรับได้ละเอียดมาก และเปลี่ยนความถี่ได้ทันทีโดยเฟสต่อเนื่อง

เครื่องรุ่นใหม่เกือบทุกรุ่นเป็นแบบ DDS: ดิจิทัลสร้างรูปคลื่น แล้วภาคแอนะล็อกขยาย ปรับออฟเซต และลดทอน ก่อนผ่าน 50 Ω ออกขั้ว

DDS: ตัวสะสมเฟสเดินทีละ $M$ ช่องทุกสัญญาณนาฬิกา ยิ่ง $M$ มาก วงล้อยิ่งหมุนเร็ว ความถี่ขาออกจึงเป็นสัดส่วนกับ $M$

V15 DDS output frequency ความถี่ขาออกของ DDS

$$f_{out} = \frac{M\,f_{clk}}{2^N}$$

V16 Frequency resolution ความละเอียดความถี่

$$\Delta f = \frac{f_{clk}}{2^N}$$

AD9833: $25\ \text{MHz}/2^{28} = 0.093$ Hz

V17 Images and sinc roll-off ภาพสะท้อนและการลดทอนแบบ sinc

$$f_{img} = k f_{clk} \pm f_{out}, \quad |H| = \left|\frac{\sin(\pi f/f_{clk})}{\pi f/f_{clk}}\right|$$

ใช้งานจริงไม่เกินราว $0.4\,f_{clk}$ ให้ตัวกรองแยกภาพสะท้อนออกได้

V18 Ideal DAC SNR SNR ของ DAC อุดมคติ

$$\text{SNR} = 6.02\,n + 1.76\ \text{dB}$$

DAC 14 บิต: ประมาณ 86 dB · 10 บิต (AD9833): ประมาณ 62 dB

ตัวอย่าง V-5 · คำนวณเลขปรับความถี่

### DDS นาฬิกา 25 MHz ตัวสะสม 28 บิต ต้องการ 1 kHz ต้องตั้ง M เท่าไร ได้ความถี่จริงเท่าไร

- จัดรูป V15

$$M = \frac{f_{out}\,2^N}{f_{clk}} = \frac{1000 \times 268\,435\,456}{25\,000\,000} = 10\,737.4$$

- ปัดเป็นจำนวนเต็ม $M = 10\,737$

$$f_{out} = \frac{10\,737 \times 25 \times 10^6}{2^{28}} = 999.96\ \text{Hz}$$

$M = 10\,737$ ได้ 999.96 Hz คลาดเคลื่อนไม่เกินครึ่งหนึ่งของ $\Delta f$ V16 ดูวิธีเขียนค่านี้ลง AD9833 ที่หน้า สร้างเครื่องเอง

## อ่านสเปกเครื่องให้เป็น กลาง

| สเปก | ค่าทั่วไป (เครื่อง 25 MHz) | มีผลกับอะไร |

| ช่วงความถี่ไซน์ / สี่เหลี่ยม | 1 µHz – 25 MHz | ความถี่สูงสุดที่ทดสอบได้ |

| อัตรา DAC / ความละเอียด | 125 MSa/s, 14 บิต | ความเรียบของรูปคลื่น Arb และนอยส์ |

| เวลาขาขึ้นคลื่นสี่เหลี่ยม | < 10 ns | ใช้ทดสอบเวลาขาขึ้นของวงจรได้แค่ช้ากว่านี้มาก |

| ความเพี้ยนฮาร์มอนิก (ไซน์) | < −50 dBc | ทดสอบเครื่องขยายเสียงที่ THD ต่ำมากไม่ได้ |

| ความราบเรียบแอมพลิจูด | ±0.2 dB ถึง 10 MHz | แอมพลิจูดคงที่เมื่อกวาดความถี่ |

| ความแม่นยำความถี่ | ±1–2 ppm | ใช้เป็นแหล่งอ้างอิงตั้งเวลาได้ดีกว่าสโคปส่วนใหญ่ |

| แอมพลิจูด (High-Z) | 2 mVpp – 20 Vpp | ขีดจำกัด V5 |

| ความต้านทานขาออก | 50 Ω | V4 |

ความปลอดภัยของเครื่อง: อย่าต่อขาออกเข้าจุดที่มีแหล่งจ่ายภายนอกอยู่แล้ว เช่น ขาออกของแหล่งจ่ายไฟหรือขั้วแบตเตอรี่ กราวด์ของขั้ว BNC ต่อกับกราวด์สายไฟบ้าน ห้ามคลิปกราวด์ไปแตะจุดที่ไม่ใช่กราวด์ของวงจร และควรใส่ตัวเก็บประจุกั้น DC เมื่อป้อนเข้าลำโพงที่ตั้งออฟเซตไว้

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมตั้งเครื่องกำเนิดสัญญาณ 1 Vpp แต่สโคปวัดได้ 2 Vpp?
เพราะตั้ง Load ในเครื่องไว้ที่ 50 Ω แต่ต่อเข้าสโคปที่มีอินพุต 1 MΩ เครื่องคิดว่าจะมีโหลด 50 Ω มาแบ่งแรงดันครึ่งหนึ่ง จึงสร้าง emf ภายในเป็นสองเท่า เมื่อไม่มีโหลดมาแบ่ง สโคปจึงเห็นสองเท่า แก้โดยตั้ง Load เป็น High-Z หรือต่อเทอร์มิเนเตอร์ 50 Ω ที่ปลายสาย

High-Z หมายถึงอะไร?
High-Z (high impedance) คือการบอกเครื่องว่าโหลดมีความต้านทานสูงมากเมื่อเทียบกับ 50 Ω เช่น อินพุตสโคป 1 MΩ หรืออินพุตออปแอมป์ เครื่องจะแสดงค่าเท่ากับแรงดันขณะเปิดวงจร ค่าที่ตั้งจึงตรงกับที่สโคปวัดได้

ขั้ว SYNC ใช้ทำอะไร?
ขั้ว SYNC ให้พัลส์ลอจิกที่ตรงกับจุดเริ่มคาบ จุดเริ่มกวาด หรือจุดเริ่มเบิสต์ นำไปต่อเข้าขั้ว EXT TRIG ของสโคปเพื่อให้ภาพนิ่งแม้สัญญาณจะซับซ้อน เช่น AM หรือสัญญาณที่ผ่านวงจรที่มีนอยส์

เครื่องกำเนิดสัญญาณจ่ายกระแสได้เท่าไร?
ไม่มาก เพราะมีความต้านทานขาออก 50 Ω ภายใน ที่ 20 Vpp ลัดวงจรได้กระแสยอดประมาณ 10/50 = 0.2 A และกำลังบนโหลด 50 Ω สูงสุดราว 0.25 W ถ้าต้องขับลำโพงหรือขดลวด ให้ต่อผ่านภาคขยายกำลัง

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมตั้งเครื่องกำเนิดสัญญาณ 1 Vpp แต่สโคปวัดได้ 2 Vpp?**
เพราะตั้ง Load ในเครื่องไว้ที่ 50 Ω แต่ต่อเข้าสโคปที่มีอินพุต 1 MΩ เครื่องคิดว่าจะมีโหลด 50 Ω มาแบ่งแรงดันครึ่งหนึ่ง จึงสร้าง emf ภายในเป็นสองเท่า เมื่อไม่มีโหลดมาแบ่ง สโคปจึงเห็นสองเท่า แก้โดยตั้ง Load เป็น High-Z หรือต่อเทอร์มิเนเตอร์ 50 Ω ที่ปลายสาย

**High-Z หมายถึงอะไร?**
High-Z (high impedance) คือการบอกเครื่องว่าโหลดมีความต้านทานสูงมากเมื่อเทียบกับ 50 Ω เช่น อินพุตสโคป 1 MΩ หรืออินพุตออปแอมป์ เครื่องจะแสดงค่าเท่ากับแรงดันขณะเปิดวงจร ค่าที่ตั้งจึงตรงกับที่สโคปวัดได้

**ขั้ว SYNC ใช้ทำอะไร?**
ขั้ว SYNC ให้พัลส์ลอจิกที่ตรงกับจุดเริ่มคาบ จุดเริ่มกวาด หรือจุดเริ่มเบิสต์ นำไปต่อเข้าขั้ว EXT TRIG ของสโคปเพื่อให้ภาพนิ่งแม้สัญญาณจะซับซ้อน เช่น AM หรือสัญญาณที่ผ่านวงจรที่มีนอยส์

**เครื่องกำเนิดสัญญาณจ่ายกระแสได้เท่าไร?**
ไม่มาก เพราะมีความต้านทานขาออก 50 Ω ภายใน ที่ 20 Vpp ลัดวงจรได้กระแสยอดประมาณ 10/50 = 0.2 A และกำลังบนโหลด 50 Ω สูงสุดราว 0.25 W ถ้าต้องขับลำโพงหรือขดลวด ให้ต่อผ่านภาคขยายกำลัง

---

# เทคนิคการวัด: แอมพลิจูด ความถี่ เฟส ลิสซาจู และผลตอบสนองความถี่ (Bode)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/measurements/
Updated: 2026-10-12
Summary: เทคนิควัดด้วยออสซิลโลสโคปและเครื่องกำเนิดสัญญาณ: ความคลาดเคลื่อนในการอ่านกราติคูล วัดความถี่แบบนับหลายคาบ วัดเฟสจาก Δt และวงรีลิสซาจู วัดผลตอบสนองความถี่ทีละจุดและแบบกวาด เขียนกราฟโบด วัดอิมพีแดนซ์ด้วยตัวต้านทานอนุกรม วัดความต้านทานขาเข้า การเฉลี่ยลดนอยส์ และวิธีเขียนรายงานแล็บ พร้อมสูตรรหัส B และสโคปจำลอง

// บทที่ 12.5 · แล็บ FG + สโคป · Measurement Techniques

# เทคนิคการวัด: แอมพลิจูด ความถี่ เฟส ลิสซาจู และผลตอบสนองความถี่ (Bode)

รู้จักปุ่มแล้ว ขั้นต่อไปคือวัดให้ได้ตัวเลขที่เชื่อถือได้และเขียนลงรายงานได้ หน้านี้รวมวิธีที่ใช้ในแล็บวงจรไฟฟ้า สัญญาณและระบบ และอิเล็กทรอนิกส์ทุกวิชา: ความคลาดเคลื่อน การวัดความถี่และเฟส วงรีลิสซาจู การเก็บข้อมูลเพื่อเขียนกราฟโบด การกวาดความถี่ และการวัดอิมพีแดนซ์ด้วยของที่มีบนโต๊ะ สูตรใช้รหัส B

สรุปใน 30 วินาที

- ทำภาพให้สูง 5–7 ช่อง และวัดหลายคาบ ความคลาดเคลื่อนลดลงตามจำนวนช่องที่ใช้

- เฟส: $\varphi = -360^\circ\,\Delta t/T$ ช่องที่ตามหลังได้ค่าลบ · ลิสซาจู: $\sin|\varphi| = y_0/y_{max}$

- ผลตอบสนองความถี่ = อัตราส่วน CH2/CH1 ที่ขาเข้าวงจรจริง ไม่ใช่ค่าที่ตั้งบนเครื่อง

- อิมพีแดนซ์: อนุกรมตัวต้านทานที่รู้ค่า $Z = R_s V_Z/V_R$

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## ความคลาดเคลื่อนในการอ่านค่า พื้นฐาน กลาง

ทุกตัวเลขในรายงานแล็บควรมาพร้อมความคลาดเคลื่อน สำหรับสโคปมีสองแหล่งหลัก คือความแม่นยำของเครื่องเอง (สเปก DC gain accuracy ราว ±3 % ของ 8 บิตทั่วไป) และความคลาดเคลื่อนจากการอ่าน ซึ่งเราควบคุมได้ด้วยการทำภาพให้ใหญ่

B1 Reading uncertainty ความคลาดเคลื่อนจากการอ่านกราติคูล

$$\frac{\delta V}{V} \approx \frac{\delta N}{N_{div}},\qquad \delta N \approx 0.1\ \text{div}$$

ภาพสูง 2 ช่อง → 5 % · สูง 6 ช่อง → 1.7 % ใช้เคอร์เซอร์หรือการวัดอัตโนมัติจะลด $\delta N$ ได้อีก

B2 Combined uncertainty รวมความคลาดเคลื่อนอิสระ

$$\frac{\delta y}{y} = \sqrt{\left(\frac{\delta a}{a}\right)^2 + \left(\frac{\delta b}{b}\right)^2 + \cdots}$$

ใช้กับผลคูณหรือผลหาร เช่น $y = a/b$ ถ้าวัด $a$, $b$ ด้วยช่องเดียวกันที่ V/div เดียวกัน ความคลาดเคลื่อนของ gain ส่วนใหญ่หักล้างกัน

ตัวอย่าง B-1 · เลือก V/div ให้แม่นที่สุด

### สัญญาณ 3 Vpp สโคปมี gain accuracy ±3 % อ่านที่ 1 V/div และ 0.5 V/div ต่างกันอย่างไร

- ที่ 1 V/div ภาพสูง 3 ช่อง B1 B2

$$\frac{0.1}{3} = 3.3\ \%,\quad \sqrt{3.3^2 + 3^2} = 4.5\ \%$$

- ที่ 0.5 V/div ภาพสูง 6 ช่อง

$$\frac{0.1}{6} = 1.7\ \%,\quad \sqrt{1.7^2 + 3^2} = 3.4\ \%$$

รายงานเป็น $3.00 \pm 0.10$ V (0.5 V/div) ดีกว่า $3.0 \pm 0.14$ V (1 V/div) หลักการคือใช้ V/div เล็กที่สุดที่ยังเห็นยอดครบ

## วัดความถี่และคาบให้แม่น พื้นฐาน

อ่านคาบเดียวบนจอใช้ได้คร่าว ๆ ถ้าต้องการแม่น ให้หมุน Time/div จนเห็นหลายคาบ แล้ววัดเวลาของ $N$ คาบรวมกัน ความคลาดเคลื่อนจากการอ่านจะกระจายไปทั้ง $N$ คาบ ฐานเวลาของสโคปเองแม่นราว 25–50 ppm ซึ่งดีกว่าการอ่านมาก ถ้าต้องการแม่นกว่านั้นให้ใช้ตัวนับความถี่ (counter) ในสโคปหรือในเครื่องกำเนิดสัญญาณ

B3 Frequency from N cycles ความถี่จากการนับหลายคาบ

$$f = \frac{N}{\Delta t_N}, \qquad \frac{\delta f}{f} = \frac{\delta t}{\Delta t_N}$$

ตัวอย่าง B-2 · นับ 10 คาบ

### ที่ 1 ms/div สัญญาณ 10 คาบกินระยะ 8.2 ช่อง หาความถี่และความคลาดเคลื่อน เทียบกับอ่านคาบเดียว (0.82 ช่อง)

- เวลา 10 คาบ B3

$$\Delta t_{10} = 8.2\ \text{ms},\quad f = \frac{10}{8.2\ \text{ms}} = 1219.5\ \text{Hz}$$

- ความคลาดเคลื่อน ±0.1 ช่อง

$$\frac{0.1}{8.2} = 1.2\ \% \quad \text{เทียบกับ} \quad \frac{0.1}{0.82} = 12\ \%$$

$f = 1220 \pm 15$ Hz การนับหลายคาบลดความคลาดเคลื่อน 10 เท่า

## วัดเฟสจากเวลาห่าง Δt พื้นฐาน กลาง

ต่อ CH1 ที่ขาเข้าวงจร (อ้างอิง) และ CH2 ที่ขาออก ทริกเกอร์จาก CH1 จัดเส้น 0 V ของทั้งสองช่องให้ทับกันกลางจอ ตั้ง V/div ให้ภาพสูงใกล้เคียงกัน แล้ววัดเวลาจากจุดตัดศูนย์ขาขึ้นของ CH1 ไปยังจุดตัดศูนย์ขาขึ้นที่ใกล้ที่สุดของ CH2 ใช้คัปปลิง DC และตรวจว่าทั้งสองสัญญาณไม่มีออฟเซต DC เพราะออฟเซตทำให้จุดตัดศูนย์เลื่อน

วัดเวลาระหว่างจุดตัดศูนย์ขาขึ้นของสองช่อง CH2 ตามหลัง CH1 เป็นเวลา 1/8 คาบ จึงล้าหลัง 45°

B4 Phase with sign convention มุมเฟสพร้อมเครื่องหมาย

$$\varphi_{21} = -360^\circ\cdot\frac{\Delta t}{T},\qquad -180^\circ < \varphi \le 180^\circ$$

$\Delta t > 0$ เมื่อ CH2 ตัดศูนย์ทีหลัง (ตามหลัง) → φ ติดลบ ถ้าได้เกิน ±180° ให้บวกหรือลบ 360° นิยามเดียวกับ W14

ตัวอย่าง B-3 · อ่านเฟสจากจอ

### ที่ 0.2 ms/div หนึ่งคาบยาว 4 ช่อง CH2 ตัดศูนย์ขาขึ้นหลัง CH1 อยู่ 0.25 ช่อง หาความถี่และเฟส

- คาบและเวลาห่าง

$$T = 4 \times 0.2 = 0.8\ \text{ms}\ (1.25\ \text{kHz}),\quad \Delta t = 0.25\times0.2 = 0.05\ \text{ms}$$

- เฟส B4

$$\varphi = -360^\circ \times \frac{0.05}{0.8} = -22.5^\circ$$

CH2 ล้าหลัง 22.5° ความคลาดเคลื่อน ±0.05 ช่องของ Δt คือ ±4.5° ถ้าอยากแม่นขึ้นให้ลด Time/div ลงแล้วเลื่อน Horizontal Position ไปซูมที่จุดตัดศูนย์ หรือใช้การวัด Phase อัตโนมัติ

ลองเอง: วงจร RC ต่ำผ่าน CH1 ที่ขาเข้า CH2 คร่อม C ปรับความถี่แล้วดูเฟสในตารางวัด ที่ความถี่ตัดเฟสต้องเป็น −45° และอัตราส่วนเป็น −3 dB

## วงรีลิสซาจู: วัดเฟสและอัตราส่วนความถี่ด้วยโหมด XY กลาง

ในโหมด XY สโคปใช้ CH1 เป็นแกนนอนและ CH2 เป็นแกนตั้ง ถ้าทั้งสองเป็นไซน์ความถี่เดียวกัน ภาพจะเป็นวงรีที่เอียงตามความต่างเฟส เฟส 0° เป็นเส้นตรงเอียงขึ้น 90° เป็นวงกลม (ถ้าแอมพลิจูดเท่ากัน) 180° เป็นเส้นตรงเอียงลง ถ้าความถี่ต่างกันเป็นอัตราส่วนจำนวนเต็มจะได้รูปเป็นวงซ้อน ใช้เทียบความถี่ได้แม่นมาก ก่อนวัดให้ตั้งทั้งสองช่องเป็น GND ปรับจุดให้อยู่กลางจอ แล้วค่อยเปลี่ยนเป็น DC

ระยะจากศูนย์กลางถึงจุดที่วงรีตัดแกนตั้ง ($y_0$) เทียบกับยอดสูงสุด ($y_{max}$) ให้ค่า $\sin|\varphi|$ แถวล่างเป็นรูปเมื่อความถี่สองช่องต่างกัน

B5 Phase from a Lissajous ellipse เฟสจากวงรีลิสซาจู

$$\sin|\varphi| = \frac{y_0}{y_{max}} = \frac{x_0}{x_{max}}$$

วงรีเอียงขึ้นขวา (ควอดรันต์ 1–3): $|\varphi| < 90^\circ$ · เอียงลง: $|\varphi| > 90^\circ$ ใช้ $180^\circ - \arcsin(y_0/y_{max})$ · วิธีนี้ไม่บอกว่านำหรือตาม ต้องดูจากโหมด Y–T

B6 Frequency ratio from a Lissajous figure อัตราส่วนความถี่จากรูปลิสซาจู

$$\frac{f_y}{f_x} = \frac{n_{top}}{n_{side}}$$

$n_{top}$ จำนวนจุดที่รูปแตะขอบบน $n_{side}$ จำนวนจุดที่แตะขอบข้าง รูปที่นิ่งแปลว่าอัตราส่วนเป็นจำนวนเต็มพอดี ถ้าค่อย ๆ หมุน ความถี่ต่างจากอัตราส่วนเล็กน้อย

ตัวอย่าง B-4 · อ่านวงรี

### วงรีเอียงขึ้นขวา ยอดสูง 4.0 ช่องจากศูนย์กลาง ตัดแกนตั้งที่ 2.8 ช่อง ขาออกวงจร RC ต่ำผ่านเฟสเท่าไร

- ใช้สูตร B5

$$\sin|\varphi| = \frac{2.8}{4.0} = 0.70\ \Rightarrow\ |\varphi| = 44.4^\circ$$

- วงจร RC ต่ำผ่านทำให้ขาออกตามหลัง

$$\varphi = -44.4^\circ$$

−44.4° ใกล้ความถี่ตัด (−45°) วิธีลิสซาจูไวมากที่มุมเล็ก แต่ใกล้ 90° ค่า arcsin เปลี่ยนช้า ความคลาดเคลื่อนจะสูงขึ้น ช่วงนั้นใช้วิธี Δt ดีกว่า

ลองเอง: กด X–Y ดูวงรี แล้วเปลี่ยนความถี่ วงรีจะเปลี่ยนจากเส้นตรง (ความถี่ต่ำ เฟสเกือบ 0°) ไปเป็นวงรีตั้งที่ความถี่สูง (เฟสเข้าใกล้ −90° แต่ CH2 เล็กลงมาก)

## เก็บข้อมูลผลตอบสนองความถี่และเขียนกราฟโบด กลาง

ผลตอบสนองความถี่ $H(j\omega)$ คือสิ่งที่วงจรทำกับไซน์แต่ละความถี่: ขยายหรือลดทอนเท่าไร และเลื่อนเฟสเท่าไร นี่คือแก่นของวิชาวงจรไฟฟ้า สัญญาณและระบบ และระบบควบคุม ในแล็บเราวัดทีละความถี่ด้วยเครื่องกำเนิดสัญญาณกับสโคปสองช่อง

- ต่อ CH1 ที่ ขาเข้าวงจรจริง และ CH2 ที่ขาออก กราวด์จุดเดียวกัน ทริกเกอร์จาก CH1 หรือ EXT

- เลือกความถี่แบบล็อก อย่างน้อย 3 จุดต่อดีเคด (1, 2, 5 × 10ⁿ) และถี่ขึ้นรอบจุดที่สนใจ B8

- ทุกความถี่: ปรับ Time/div ให้เห็น 2–3 คาบ ปรับ V/div ของแต่ละช่องให้ภาพใหญ่ วัด Vpp ทั้งสองช่องและ Δt (หรือเฟส)

- คำนวณ $|H| = V_2/V_1$, $20\log_{10}|H|$ และ φ ลงตาราง แล้วพล็อตบนแกนความถี่ล็อก

- เทียบกับทฤษฎี หาความถี่ตัด ความชัน และอันดับของวงจร B9

B7 One point of the frequency response ผลตอบสนองความถี่หนึ่งจุด

$$H(j\omega) = \frac{V_2}{V_1}\,\angle\varphi,\qquad |H|_{dB} = 20\log_{10}\frac{V_2}{V_1}$$

ใช้ Vpp หรือ Vrms ทั้งสองช่องเหมือนกันก็ได้ ห้ามผสม · dB ดู W15

B8 Log-spaced test frequencies เลือกความถี่แบบล็อก

$$f_k = f_{start}\cdot 10^{k/n},\quad k = 0, 1, 2, \ldots$$

$n$ = จำนวนจุดต่อดีเคด $n = 3$ ใกล้เคียงลำดับ 1–2–5 · $n = 10$ ละเอียดพอสำหรับงานวิจัย

B9 Reading a Bode plot อ่านกราฟโบด

$$\text{ความชัน} = -20\,n\ \text{dB/ดีเคด},\qquad f_c \approx f\,|H(f)|\ \ (f \gg f_c,\ n = 1)$$

$n$ คือจำนวนขั้ว (อันดับ) · −20 dB/ดีเคด = −6 dB/ออกเทฟ · หา $f_c$ ได้จากจุด −3 dB จุด −45° หรือย้อนจากเส้นกำกับ

กราฟโบดของ RC ต่ำผ่าน R = 10 kΩ, C = 10 nF จากการวัด 9 จุด เทียบกับทฤษฎี

ตัวอย่าง B-5 · ตารางข้อมูลกราฟโบด

### RC ต่ำผ่าน R = 10 kΩ, C = 10 nF ขาเข้า 2.00 Vpp ค่าที่ควรวัดได้ในแต่ละความถี่เป็นเท่าไร

- ความถี่ตัด (วัดเทียบขาเข้าวงจร จึงไม่รวม 50 Ω) R5

$$f_c = \frac{1}{2\pi(10^4)(10^{-8})} = 1591.5\ \text{Hz}$$

- คำนวณ $|H| = 1/\sqrt{1+(f/f_c)^2}$ และ $\varphi = -\arctan(f/f_c)$ R6

| f (Hz) | V₂ (Vpp) | |H| (dB) | φ |

| 100 | 1.996 | −0.02 | −3.6° |

| 200 | 1.984 | −0.07 | −7.2° |

| 500 | 1.908 | −0.41 | −17.4° |

| 1 k | 1.693 | −1.45 | −32.1° |

| 1.59 k | 1.414 | −3.01 | −45.0° |

| 2 k | 1.245 | −4.11 | −51.5° |

| 5 k | 0.607 | −10.36 | −72.3° |

| 10 k | 0.314 | −16.07 | −81.0° |

| 20 k | 0.159 | −22.01 | −85.5° |

| 50 k | 0.064 | −29.95 | −88.2° |

- ตรวจความชันจาก 10 k ถึง 50 k B9

$$\frac{-29.95 - (-16.07)}{\log_{10}(50/10)} = \frac{-13.88}{0.699} = -19.9\ \text{dB/ดีเคด}$$

ความชันราว −20 dB/ดีเคด ยืนยันว่าเป็นวงจรอันดับหนึ่ง ที่ 50 kHz ขาออกเหลือแค่ 64 mVpp ต้องลด V/div ของ CH2 ลงจนภาพใหญ่ ไม่อย่างนั้นความคลาดเคลื่อนการอ่านจะสูงมาก B1

ลองเอง: วงจรเดียวกันในสโคปจำลอง เลื่อนความถี่ไปที่ค่าในตาราง แล้วอ่าน “อัตราส่วน Vpp₂/Vpp₁” และเฟสในตารางวัด กด AUTO ทุกครั้งที่เปลี่ยนความถี่มาก ๆ

ทำไมต้องวัด CH1 ทุกจุด: เครื่องกำเนิดสัญญาณมี 50 Ω ภายใน V4 วงจรที่อิมพีแดนซ์ขาเข้าเปลี่ยนตามความถี่ (เช่น RLC อนุกรมที่เรโซแนนซ์มีอิมพีแดนซ์ต่ำมาก) จะดึงแรงดันที่ขั้วลง การหารด้วย V₁ ที่วัดจริงจะได้ $H$ ของวงจรล้วน ๆ ไม่ปนกับเครื่อง

## กวาดความถี่: เห็นผลตอบสนองทั้งย่านในภาพเดียว กลาง ขั้นสูง

แทนการวัดทีละจุด ให้เครื่องกำเนิดสัญญาณกวาดความถี่จาก $f_1$ ถึง $f_2$ ในเวลา $T_s$ แล้วทริกเกอร์สโคปจาก SYNC (EXT) ตั้ง Time/div ให้ทั้งจอเท่ากับ $T_s$ เปลือกของสัญญาณขาออกคือ $|H(f)|$ โดยแกนเวลากลายเป็นแกนความถี่ วิธีนี้เร็วมากสำหรับหาเรโซแนนซ์หรือแบนด์วิดท์ แต่ต้องกวาดช้าพอให้วงจรตอบสนองทัน

B10 Frequency at a screen position ความถี่ที่ตำแหน่งบนจอ

$$f(t) = f_1 + (f_2 - f_1)\frac{t}{T_s}\ \ (\text{lin}),\qquad f(t) = f_1\left(\frac{f_2}{f_1}\right)^{t/T_s}\ \ (\text{log})$$

$t$ วัดจากจุดทริกเกอร์ (เริ่มกวาด) · กวาดแบบ log ทำให้ภาพบนจอเป็นกราฟโบดแกนล็อกโดยตรง ดู V13

B11 Sweep slow enough เงื่อนไขกวาดช้าพอ

$$\left|\frac{df}{dt}\right| \ll B^2$$

$B$ คือแบนด์วิดท์ของวงจร (เช่น $f_0/Q$) วงจรต้องใช้เวลาราว $1/B$ จึงตอบสนองเต็มที่ ถ้ากวาดเร็วเกิน ยอดจะเตี้ยลง เลื่อนไปทางที่กวาด และมีการแกว่งตามหลัง

ตัวอย่าง B-6 · กวาดเร็วเกินไปหรือยัง

### RLC อนุกรม L = 10 mH, C = 100 nF, R รวม 150 Ω กวาด 1–10 kHz ใน 0.1 s ช้าพอไหม ถ้า R รวมเหลือ 50 Ω ล่ะ

- อัตรากวาด

$$\frac{df}{dt} = \frac{9000}{0.1} = 9\times10^4\ \text{Hz/s}$$

- แบนด์วิดท์ R11 ที่ R = 150 Ω: $Q = 2.11$, $B = 2387$ Hz

$$\frac{df/dt}{B^2} = \frac{9\times10^4}{5.70\times10^6} = 0.016 \ll 1$$

- R = 50 Ω: $Q = 6.32$, $B = 796$ Hz B11

$$\frac{9\times10^4}{6.33\times10^5} = 0.14$$

กรณีแรกช้าพอ กรณีที่สองเริ่มเร็วเกิน (0.14 ไม่ ≪ 1) ยอดจะเตี้ยลงเล็กน้อยและเลื่อน ควรเพิ่มเวลากวาดเป็น 0.5–1 s

ลองเอง: กวาด 1–10 kHz เข้าวงจร RLC แบนด์พาส ทริกเกอร์จาก EXT จอเริ่มที่จุดเริ่มกวาดพอดี (ซ้ายสุด 1 kHz ขวาสุด 10 kHz) เปลือกของ CH2 คือกราฟเรโซแนนซ์ ยอดอยู่ราว 4.5 ช่องจากซ้าย ตรงกับ $f = 1000 + 9000\times0.448 = 5.03$ kHz B10 สังเกต CH1 ด้วย: แรงดันที่ขั้วเครื่องยุบลงตรงเรโซแนนซ์ เพราะวงจรมีอิมพีแดนซ์ต่ำสุดและดึงแรงดันผ่าน 50 Ω ภายในเครื่อง ลองลด R ให้ยอดแหลมขึ้น

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

## วัดอิมพีแดนซ์ L C และ Z ใด ๆ ด้วยตัวต้านทานอนุกรม กลาง

ไม่มี LCR meter ก็วัดอิมพีแดนซ์ได้ ต่อตัวต้านทานที่รู้ค่า $R_s$ อนุกรมกับอุปกรณ์ที่ต้องการวัด ขาล่างของอุปกรณ์ลงกราวด์ กระแสที่ไหลผ่านทั้งสองเท่ากัน จึงหาได้จากแรงดันคร่อม $R_s$ ซึ่งได้จาก CH1 − CH2

วงจรวัดอิมพีแดนซ์: กระแสเท่ากันทั้งสาย $I = V_R/R_s$ จึงได้ $Z = V_Z/I$

B12 Impedance with a series resistor อิมพีแดนซ์ด้วยตัวต้านทานอนุกรม

$$Z = R_s\frac{V_Z}{V_R},\qquad \angle Z = \angle V_Z - \angle V_R$$

$$C = \frac{1}{2\pi f |Z|}\ \ (\angle Z \approx -90^\circ),\qquad L = \frac{|Z|}{2\pi f}\ \ (\angle Z \approx +90^\circ)$$

เลือก $R_s$ ใกล้ $|Z|$ ที่คาดไว้ ให้แรงดันทั้งสองส่วนใกล้กัน ความคลาดเคลื่อนต่ำสุด · ถ้ามุมไม่ถึง ±90° แปลว่ามีความต้านทานแฝง (ESR) $R = |Z|\cos\angle Z$

ตัวอย่าง B-7 · หาค่าตัวเก็บประจุ

### $R_s$ = 1 kΩ ที่ 1 kHz วัด CH1 = 2.00 Vpp, CH2 = 1.693 Vpp ตามหลัง CH1 32.1° และ Math CH1 − CH2 = 1.064 Vpp นำ CH1 57.9° หาค่า C

- ขนาดและมุมของ Z B12

$$|Z| = 1000\times\frac{1.693}{1.064} = 1591\ \Omega,\quad \angle Z = -32.1^\circ - 57.9^\circ = -90.0^\circ$$

- มุม −90° คือตัวเก็บประจุอุดมคติ

$$C = \frac{1}{2\pi(1000)(1591)} = 100\ \text{nF}$$

C = 100 nF ตรวจ: $V_Z$ กับ $V_R$ ตั้งฉากกันเสมอ (เฟสต่างกัน 90°) เพราะกระแสผ่าน R มีเฟสเดียวกับ $V_R$ และนำแรงดันคร่อม C อยู่ 90°

## วัดความต้านทานขาเข้าและขาออก กลาง

อยากรู้ว่าเครื่องขยายเสียง เซนเซอร์ หรือวงจรใด ๆ มีความต้านทานขาเข้าเท่าไร ให้อนุกรมตัวต้านทาน $R_x$ เข้าไป แล้ววัดแรงดันก่อนและหลังตัวต้านทาน ถ้าปรับ $R_x$ (ใช้โพเทนชิออมิเตอร์) จนแรงดันหลังตัวต้านทานเหลือครึ่งหนึ่ง ค่า $R_x$ ตอนนั้นคือ $R_{in}$ พอดี เรียกว่าวิธีครึ่งแรงดัน (half-voltage method) ความต้านทานขาออกวัดกลับกัน คือวัดแรงดันเปิดวงจรแล้วต่อโหลดที่รู้ค่า ใช้สูตร V3

วัดความต้านทานขาเข้าด้วยตัวต้านทานอนุกรม

B14 Input resistance by series resistor ความต้านทานขาเข้า

$$R_{in} = R_x\,\frac{V_2}{V_1 - V_2}$$

ทำที่ความถี่กลางย่าน ถ้าขาเข้ามีความจุมาก ใช้ $V_1$, $V_2$ แบบเฟสเซอร์และสูตร B12 แทน

ตัวอย่าง B-8 · ขาเข้าเครื่องขยาย

### ใส่ $R_x$ = 10 kΩ วัด $V_1$ = 1.00 Vpp และ $V_2$ = 0.68 Vpp หา $R_{in}$

- แทนสูตร B14

$$R_{in} = 10\ \text{k}\Omega\times\frac{0.68}{1.00 - 0.68} = 21.3\ \text{k}\Omega$$

ราว 21 kΩ ความคลาดเคลื่อนจะต่ำที่สุดเมื่อ $V_2 \approx V_1/2$ เพราะผลต่าง $V_1 - V_2$ ไม่เล็กเกินไป

## สัญญาณเล็กจมนอยส์: เฉลี่ยและกรอง กลาง

เมื่อสัญญาณเล็กมาก เช่น ขาออกของเซนเซอร์ไม่กี่ mV เส้นบนจอจะหนาด้วยนอยส์ โหมด Average เก็บภาพหลายครั้งแล้วเฉลี่ยทีละจุด นอยส์แบบสุ่มจะหักล้างกันส่วนสัญญาณที่ซ้ำเดิมทุกครั้งคงอยู่ เงื่อนไขสำคัญคือทริกเกอร์ต้องนิ่งสนิท ทางที่ดีที่สุดคือทริกเกอร์จาก SYNC ของเครื่องกำเนิดสัญญาณ ถ้าทริกเกอร์จากสัญญาณที่มีนอยส์เอง จุดเริ่มจะสั่น ภาพเฉลี่ยจะเบลอ

B13 Averaging gain การเฉลี่ยลดนอยส์

$$\sigma_N = \frac{\sigma_1}{\sqrt N},\qquad \Delta\text{SNR} = 10\log_{10}N\ \text{dB}$$

เฉลี่ย 16 ครั้ง นอยส์ลดลง 4 เท่า (SNR ดีขึ้น 12 dB) · ใช้ได้กับสัญญาณที่ซ้ำเดิมเท่านั้น เหตุการณ์ครั้งเดียวใช้ไม่ได้

ลองเอง: ไซน์ 50 mVpp จมอยู่ในนอยส์ สลับโหมดเก็บข้อมูลเป็น Average 16 แล้วดูเส้นบางลง

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

ทางเลือกอื่น: เปิด BW Limit 20 MHz ตัดนอยส์ความถี่สูง ใช้โพรบ 1× กับสัญญาณที่เล็กมากและช้า ใช้สปริงกราวด์แทนสายยาว และระวังฮัม 50 Hz จากลูปกราวด์ (ทริกเกอร์แบบ AC Line จะเห็นว่าฮัมนิ่งหรือไม่)

## บันทึกผลและเขียนรายงานแล็บ พื้นฐาน

รายงานที่ดีทำให้คนอื่นทำซ้ำการวัดได้ ทุกภาพจากสโคปและทุกตารางควรมีข้อมูลต่อไปนี้

| ส่วน | สิ่งที่ต้องเขียน | ตัวอย่าง |

| เครื่องมือ | รุ่น แบนด์วิดท์ โพรบ | สโคป 100 MHz 1 GSa/s, โพรบ 10× ชดเชยแล้ว |

| การตั้งเครื่องกำเนิดสัญญาณ | รูปคลื่น ความถี่ แอมพลิจูด ออฟเซต Load | ไซน์ 1 kHz 2 Vpp 0 V, Load High-Z |

| การตั้งสโคป | V/div แต่ละช่อง Time/div คัปปลิง ทริกเกอร์ | CH1 0.5 V/div DC, CH2 0.2 V/div DC, 200 µs/div, Trig CH1 ↑ 0 V |

| ค่าที่วัด | ค่า ± ความคลาดเคลื่อน พร้อมหน่วย | V₂ = 1.40 ± 0.05 Vpp |

| ค่าทฤษฎี | สูตรที่ใช้และค่าที่คำนวณ | |H| = 0.707 (สูตร R5) |

| เปอร์เซ็นต์ความต่าง | $(x_{วัด} - x_{ทฤษฎี})/x_{ทฤษฎี}$ | −1.0 % |

| อภิปราย | ความต่างอยู่ในความคลาดเคลื่อนหรือไม่ ถ้าไม่ เพราะอะไร | ค่าความคลาดเคลื่อนของ C ±10 %, 50 Ω ของเครื่อง, โพรบ |

ภาพจากสโคปจริงบันทึกลง USB เป็น PNG หรือ CSV ได้ ข้อมูล CSV นำไปพล็อตใน Excel, Python หรือ MATLAB ได้แม่นกว่าการถ่ายรูปจอ ส่วนแล็บจำลองในเว็บนี้กดปุ่ม “คัดลอกลิงก์การตั้งค่านี้” เพื่อแนบลิงก์ที่เปิดแล้วได้การตั้งค่าเดิมทุกปุ่มไว้ในรายงาน

ไปต่อ: ใช้เทคนิคทั้งหมดนี้กับ วงจร RC RL RLC และ ออปแอมป์

## คำถามที่พบบ่อย

วัดมุมเฟสด้วยออสซิลโลสโคปทำอย่างไร?
มีสองวิธี วิธีแรกวัดเวลาห่าง Δt ระหว่างจุดตัดศูนย์ขาขึ้นของสองช่อง แล้วใช้ φ = −360°·Δt/T ถ้าช่องที่สองตามหลังจะได้เฟสติดลบ วิธีที่สองใช้โหมด XY ได้วงรีลิสซาจู แล้วใช้ sin|φ| = y₀/y_max วิธีแรกบอกเครื่องหมายได้ วิธีที่สองแม่นที่มุมเล็กแต่ไม่บอกว่านำหรือตาม

เขียนกราฟโบดจากการทดลองต้องวัดกี่ความถี่?
อย่างน้อย 3 จุดต่อดีเคด เช่น 1, 2, 5 × 10ⁿ และเพิ่มจุดถี่ขึ้นรอบความถี่ตัดหรือเรโซแนนซ์ วัดอัตราส่วน V_out/V_in เทียบกับแรงดันขาเข้าวงจรที่วัดจริงทุกจุด ไม่ใช้ค่าที่ตั้งบนเครื่องกำเนิดสัญญาณ แล้วพล็อต 20 log₁₀(V_out/V_in) และมุมเฟสบนแกนความถี่แบบล็อก

ทำไมต้องวัดแรงดันขาเข้าทุกครั้ง ทั้งที่ตั้งค่าบนเครื่องกำเนิดสัญญาณไว้แล้ว?
เพราะเครื่องกำเนิดสัญญาณมีความต้านทานขาออก 50 Ω แรงดันที่ขั้วจึงเปลี่ยนตามอิมพีแดนซ์ขาเข้าของวงจร ซึ่งเปลี่ยนตามความถี่ เช่น วงจร RLC ที่เรโซแนนซ์ การวัดอัตราส่วน CH2/CH1 ที่ขาเข้าวงจรจริงจะตัดผลของ 50 Ω และความคลาดเคลื่อนแอมพลิจูดของเครื่องออกไปหมด

ค่าที่อ่านจากออสซิลโลสโคปแม่นยำแค่ไหน?
สโคป 8 บิตทั่วไปมีความแม่นยำอัตราขยาย DC ราว ±3 % บวกความคลาดเคลื่อนการอ่านกราติคูลราว ±0.1 ช่อง ถ้าภาพสูง 6 ช่อง ความคลาดเคลื่อนรวมราว ±3.5 % ส่วนเวลาแม่นกว่ามาก ราว 25–50 ppm บวกความคลาดเคลื่อนการอ่าน จึงควรให้ภาพใหญ่เต็มจอและวัดหลายคาบ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**วัดมุมเฟสด้วยออสซิลโลสโคปทำอย่างไร?**
มีสองวิธี วิธีแรกวัดเวลาห่าง Δt ระหว่างจุดตัดศูนย์ขาขึ้นของสองช่อง แล้วใช้ φ = −360°·Δt/T ถ้าช่องที่สองตามหลังจะได้เฟสติดลบ วิธีที่สองใช้โหมด XY ได้วงรีลิสซาจู แล้วใช้ sin|φ| = y₀/y_max วิธีแรกบอกเครื่องหมายได้ วิธีที่สองแม่นที่มุมเล็กแต่ไม่บอกว่านำหรือตาม

**เขียนกราฟโบดจากการทดลองต้องวัดกี่ความถี่?**
อย่างน้อย 3 จุดต่อดีเคด เช่น 1, 2, 5 × 10ⁿ และเพิ่มจุดถี่ขึ้นรอบความถี่ตัดหรือเรโซแนนซ์ วัดอัตราส่วน V_out/V_in เทียบกับแรงดันขาเข้าวงจรที่วัดจริงทุกจุด ไม่ใช้ค่าที่ตั้งบนเครื่องกำเนิดสัญญาณ แล้วพล็อต 20 log₁₀(V_out/V_in) และมุมเฟสบนแกนความถี่แบบล็อก

**ทำไมต้องวัดแรงดันขาเข้าทุกครั้ง ทั้งที่ตั้งค่าบนเครื่องกำเนิดสัญญาณไว้แล้ว?**
เพราะเครื่องกำเนิดสัญญาณมีความต้านทานขาออก 50 Ω แรงดันที่ขั้วจึงเปลี่ยนตามอิมพีแดนซ์ขาเข้าของวงจร ซึ่งเปลี่ยนตามความถี่ เช่น วงจร RLC ที่เรโซแนนซ์ การวัดอัตราส่วน CH2/CH1 ที่ขาเข้าวงจรจริงจะตัดผลของ 50 Ω และความคลาดเคลื่อนแอมพลิจูดของเครื่องออกไปหมด

**ค่าที่อ่านจากออสซิลโลสโคปแม่นยำแค่ไหน?**
สโคป 8 บิตทั่วไปมีความแม่นยำอัตราขยาย DC ราว ±3 % บวกความคลาดเคลื่อนการอ่านกราติคูลราว ±0.1 ช่อง ถ้าภาพสูง 6 ช่อง ความคลาดเคลื่อนรวมราว ±3.5 % ส่วนเวลาแม่นกว่ามาก ราว 25–50 ppm บวกความคลาดเคลื่อนการอ่าน จึงควรให้ภาพใหญ่เต็มจอและวัดหลายคาบ

---

# ออปแอมป์บนโต๊ะแล็บ: ขยาย อินทิเกรต ดิฟเฟอเรนชิเอต คอมพาเรเตอร์ และชมิตต์ทริกเกอร์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/op-amp/
Updated: 2026-10-12
Summary: แล็บออปแอมป์ด้วยเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคป: วงจรขยายกลับเฟสและไม่กลับเฟส การอิ่มตัว ผลคูณเกนแบนด์วิดท์ GBW สลูว์เรตและแบนด์วิดท์กำลังเต็ม อินทิเกรเตอร์ ดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์ คอมพาเรเตอร์ ชมิตต์ทริกเกอร์ วงจรรวม ผลต่าง ตัวกรองแอกทีฟ Sallen-Key และออฟเซต เทียบ LM741 TL081 LM358 พร้อมสูตรรหัส U และสโคปจำลอง

// บทที่ 12.7 · แล็บ FG + สโคป · Op-Amp Lab

# ออปแอมป์บนโต๊ะแล็บ: ขยาย อินทิเกรต ดิฟเฟอเรนชิเอต คอมพาเรเตอร์ และชมิตต์ทริกเกอร์

ออปแอมป์ทำให้วงจร RC ที่เรียนมามีเกน ไม่ถูกโหลด และทำคณิตศาสตร์ได้จริง: บวก ลบ ขยาย อินทิเกรต และดิฟเฟอเรนชิเอต หน้านี้ไล่ตั้งแต่สูตรเกนพื้นฐานไปจนถึงขีดจำกัดที่เจอบนโต๊ะแล็บทุกครั้ง คืออิ่มตัว แบนด์วิดท์ และสลูว์เรต ซึ่งตำราหลายเล่มข้ามไป แต่เป็นเหตุผลที่ภาพบนสโคปไม่ตรงกับการบ้าน สูตรใช้รหัส U

สรุปใน 30 วินาที

- มีป้อนกลับลบ: $v_+ = v_-$, กระแสเข้าขาเป็นศูนย์ · กลับเฟส $-R_f/R_i$ · ไม่กลับเฟส $1 + R_f/R_i$

- ขาออกไม่เกิน $\pm V_{sat}$ ≈ แหล่งจ่าย − 1.5 ถึง 2 V (ยกเว้นรุ่น rail-to-rail)

- แบนด์วิดท์ = GBW / noise gain · สัญญาณใหญ่ต้อง $2\pi f V_p \le SR$

- มีป้อนกลับบวก = ชมิตต์ทริกเกอร์ ไม่มีป้อนกลับ = คอมพาเรเตอร์ กฎ $v_+ = v_-$ ใช้ไม่ได้

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## วงจรขยายกลับเฟสและไม่กลับเฟส พื้นฐาน

ออปแอมป์ขยายผลต่างระหว่างขาบวกกับขาลบด้วยเกนมหาศาล (10⁵–10⁶ เท่า) เมื่อต่อป้อนกลับจากขาออกมาขาลบ วงจรจะปรับขาออกเองจนขาทั้งสองแทบเท่ากัน เกนของวงจรจึงถูกกำหนดด้วยตัวต้านทานภายนอกเท่านั้น ไม่ขึ้นกับตัวออปแอมป์ ใช้ไฟเลี้ยงคู่ ±12 V หรือ ±15 V และต่อตัวเก็บประจุ 100 nF คร่อมขาไฟเลี้ยงใกล้ตัวไอซีเสมอ

สองวงจรพื้นฐาน: CH1 วัดขาเข้า CH2 วัดขาออก กราวด์ของเครื่องกำเนิดสัญญาณ สโคป และแหล่งจ่ายต่อร่วมกัน

U3 Ideal op-amp rules (negative feedback) กฎของออปแอมป์อุดมคติ

$$v_+ = v_-,\qquad i_+ = i_- = 0$$

ใช้ได้เฉพาะเมื่อมีป้อนกลับลบและขาออกยังไม่อิ่มตัว · วงจรกลับเฟส ขาลบเป็น “กราวด์เสมือน” (0 V)

U1 Inverting amplifier วงจรขยายกลับเฟส

$$A_v = -\frac{R_f}{R_i},\qquad R_{in} = R_i$$

ขับจากเครื่องกำเนิดสัญญาณโดยตรง 50 Ω ของเครื่องอนุกรมกับ $R_i$: $A_v = -R_f/(R_i + 50)$ เมื่อคิดจาก emf

U2 Non-inverting amplifier and follower วงจรขยายไม่กลับเฟสและบัฟเฟอร์

$$A_v = 1 + \frac{R_f}{R_i},\qquad R_{in} \to \infty;\quad R_f = 0:\ A_v = 1$$

บัฟเฟอร์เกน 1 ใช้กั้นวงจรที่ความต้านทานสูงไม่ให้ถูกโหลด เช่น ขาออกวงจร RC ก่อนต่อเข้าวงจรถัดไป

U4 Output swing and clipping ขีดจำกัดแรงดันขาออก

$$|v_o| \le V_{sat} \approx V_{CC} - V_{drop},\qquad V_{in,max} = \frac{V_{sat}}{|A_v|}$$

$V_{drop}$ ราว 1.5–2 V สำหรับ LM741/TL081 รุ่น rail-to-rail เหลือเพียงไม่กี่สิบ mV

ตัวอย่าง U-1 · เกนจริงและจุดอิ่มตัว

### วงจรกลับเฟส $R_i$ = 10 kΩ, $R_f$ = 47 kΩ, TL081 ไฟ ±15 V ป้อนจากเครื่องกำเนิดสัญญาณ 1 Vpp หาขาออก และขาเข้าสูงสุดก่อนตัดยอด

- เกนรวม 50 Ω U1

$$A_v = -\frac{47\,000}{10\,050} = -4.68\quad\Rightarrow\quad v_o = 4.68\ \text{Vpp (กลับเฟส 180°)}$$

- $V_{sat} \approx 15 - 1.5 = 13.5$ V U4

$$V_{in,max} = \frac{2\times13.5}{4.68} = 5.77\ \text{Vpp}$$

ขาออก 4.68 Vpp ถ้าเพิ่มขาเข้าเกิน 5.8 Vpp ยอดจะถูกตัดแบนที่ ±13.5 V ลองในสโคปจำลอง: เพิ่มแอมพลิจูดแล้วดูยอดแบน

วงจรไม่กลับเฟสเกน 2: ขาออกมีเฟสเดียวกับขาเข้า ลองเปลี่ยน $R_f$ แล้วดูเกน

## ทำไมไม่ตรงทฤษฎี: อิ่มตัว แบนด์วิดท์ และสลูว์เรต กลาง

ภาพบนสโคปที่ “ผิด” จากสูตรเกน มักมีสาเหตุหนึ่งในสามข้อนี้ ดูรูปทรงก็แยกได้ทันที: ยอดแบน = อิ่มตัว · ไซน์กลายเป็นสามเหลี่ยม = สลูว์เรต · ยังเป็นไซน์แต่เล็กลงและเฟสล้าหลัง = แบนด์วิดท์

สีเหลืองคือขาออกที่ควรจะเป็น สีฟ้าคือขาออกจริงภายใต้ขีดจำกัดแต่ละแบบ

U5 Closed-loop bandwidth (GBW) แบนด์วิดท์วงปิด

$$f_{-3dB} = \frac{GBW}{NG},\qquad NG = 1 + \frac{R_f}{R_i}$$

$$|A(f)| \approx \frac{|A_v|}{\sqrt{1 + (f/f_{-3dB})^2}}$$

ใช้ noise gain ทั้งวงจรกลับเฟสและไม่กลับเฟส: วงจรกลับเฟสเกน −1 มี NG = 2 แบนด์วิดท์จึงแค่ GBW/2

U6 Slew rate and full-power bandwidth สลูว์เรตและแบนด์วิดท์กำลังเต็ม

$$\left|\frac{dv_o}{dt}\right|_{max} = 2\pi f V_p \le SR,\qquad f_{FPBW} = \frac{SR}{2\pi V_p}$$

วัด SR ได้จากความชันของขอบเมื่อป้อนคลื่นสี่เหลี่ยมใหญ่ $SR = \Delta V/\Delta t$

เกนวงปิดแบนราบจนชนเส้นเกนวงเปิด จุดชนคือ $f_{-3dB}$ ยิ่งเกนสูง แบนด์วิดท์ยิ่งแคบ ผลคูณคงที่ = GBW

| ออปแอมป์ | GBW | สลูว์เรต | ขาออกห่างไฟเลี้ยง | เหมาะกับ |

| LM741 | ≈ 1 MHz | 0.5 V/µs | ≈ 2 V | สาธิตขีดจำกัด สอนพื้นฐาน |

| LM358 | ≈ 1 MHz | 0.3 V/µs | ลงถึง 0 V ได้ ขึ้นไม่ถึง | ไฟเลี้ยงเดี่ยว 5–30 V งาน DC และเซนเซอร์ |

| TL081 / TL072 | ≈ 3 MHz | 13 V/µs | ≈ 1.5 V | เสียง ตัวกรอง อินทิเกรเตอร์ (ขาเข้า JFET กระแสไบแอสต่ำ) |

| NE5532 | ≈ 10 MHz | 9 V/µs | ≈ 1.5–2 V | เสียงคุณภาพสูง นอยส์ต่ำ |

| MCP6002 | ≈ 1 MHz | 0.6 V/µs | rail-to-rail | ไมโครคอนโทรลเลอร์ 3.3/5 V |

ค่าเป็นค่าโดยทั่วไปจากเอกสารข้อมูลของผู้ผลิต ต่างกันตามผู้ผลิตและเงื่อนไขทดสอบ ตรวจสอบเอกสารข้อมูลของชิ้นที่ใช้จริงเสมอ ในสโคปจำลองใช้ค่าตามตารางนี้

ตัวอย่าง U-2 · เกน 100 ที่ 50 kHz

### LM741 ไม่กลับเฟส $R_f$ = 99 kΩ, $R_i$ = 1 kΩ ป้อนไซน์ 50 mVpp 50 kHz ขาออกเท่าไร

- เกนและแบนด์วิดท์ U2 U5

$$A_v = 100,\quad f_{-3dB} = \frac{1\ \text{MHz}}{100} = 10\ \text{kHz}$$

- เกนที่ 50 kHz

$$|A| = \frac{100}{\sqrt{1 + 5^2}} = 19.6,\quad \varphi = -\arctan 5 = -78.7^\circ$$

- ขาออก

$$v_o = 0.05 \times 19.6 = 0.98\ \text{Vpp}$$

ได้แค่ 0.98 Vpp แทน 5 Vpp และล้าหลังเกือบ 80° ยังเป็นไซน์สวย จึงเป็นขีดจำกัดแบนด์วิดท์ ไม่ใช่สลูว์เรต (ต้องการแค่ $2\pi \times 50\text{k} \times 0.49 = 0.15$ V/µs) แก้โดยใช้ออปแอมป์ GBW สูงขึ้น หรือแบ่งเป็นสองภาคเกน 10

ตัวอย่าง U-3 · สลูว์เรตไม่พอ

### LM741 (SR = 0.5 V/µs) ไม่กลับเฟสเกน 10 ป้อน 2 Vpp ต้องการขาออก 20 Vpp ใช้ได้ถึงความถี่เท่าไร ที่ 20 kHz เกิดอะไรขึ้น

- แบนด์วิดท์กำลังเต็ม $V_p$ = 10 V U6

$$f_{FPBW} = \frac{0.5\times10^6}{2\pi\times10} = 7.96\ \text{kHz}$$

- ที่ 20 kHz ต้องการความชัน

$$2\pi(20\,000)(10) = 1.26\ \text{V/}\mu\text{s} > 0.5\ \text{V/}\mu\text{s}$$

- ขาออกกลายเป็นสามเหลี่ยม ความชัน 0.5 V/µs ในครึ่งคาบ 25 µs

$$V_{pp} \le 0.5 \times 25 = 12.5\ \text{Vpp}$$

ใช้ได้ถึงราว 8 kHz ที่ 20 kHz ขาออกเป็นสามเหลี่ยมราว 12.5 Vpp ทั้งที่แบนด์วิดท์จาก GBW (100 kHz) ยังเหลือเฟือ เปลี่ยนเป็น TL081 (13 V/µs) ปัญหาหายทันที ลองเลือกออปแอมป์ในสโคปจำลอง

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

อิ่มตัว: ขาเข้า 8 Vpp ขยาย −4.7 เท่าควรได้ 37.6 Vpp แต่ไฟเลี้ยง ±15 V ยอดจึงแบนที่ราว ±13.5 V ลดแอมพลิจูดจนยอดกลับมาโค้ง

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

## อินทิเกรเตอร์และดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์ กลาง

แทนตัวต้านทานป้อนกลับด้วยตัวเก็บประจุ กระแส $v_i/R$ ไหลเข้า C ทั้งหมด (เพราะขาลบเป็นกราวด์เสมือน) แรงดันคร่อม C จึงเป็นปริพันธ์ของขาเข้า สลับตำแหน่ง R กับ C ได้อนุพันธ์ ต่างจากวงจร RC พาสซีฟตรงที่ขาออกไม่ถูกลดทอนและไม่มีเงื่อนไขว่าความถี่ต้องสูงกว่าหรือต่ำกว่า $f_c$ มาก

อินทิเกรเตอร์ (ซ้าย) มี $R_p$ ขนาน C กันขาออกลอย ดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์ (ขวา) มี $R_1$ อนุกรม C จำกัดเกนความถี่สูงไม่ให้นอยส์ระเบิดและไม่ให้แกว่ง

U7 Op-amp integrator อินทิเกรเตอร์

$$v_o(t) = -\frac{1}{RC}\int v_i\,dt,\qquad H(j\omega) = -\frac{1}{j\omega RC}$$

มี $R_p$ ขนาน C: เกน DC $= -R_p/R$ และอินทิเกรตได้เมื่อ $f \gg 1/(2\pi R_p C)$

U8 Square → triangle amplitude แอมพลิจูดสามเหลี่ยมจากอินทิเกรเตอร์

$$V_{pp,\triangle} = \frac{V_p\,T}{2RC} = \frac{V_p}{2fRC}$$

ขาเข้าสี่เหลี่ยม ±$V_p$ ใช้ $R + 50\ \Omega$ ถ้าป้อนจากเครื่องโดยตรง

U9 Op-amp differentiator ดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์

$$v_o(t) = -R_f C\,\frac{dv_i}{dt},\qquad \text{สามเหลี่ยม } \pm V_p\ \to\ \pm 4R_fC\,V_p f$$

$R_1$ อนุกรม C ทำให้เกนคงที่ที่ $R_f/R_1$ เหนือ $f = 1/(2\pi R_1 C)$

ตัวอย่าง U-4 · สี่เหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยม

### อินทิเกรเตอร์ R = 10 kΩ, C = 10 nF, $R_p$ = 1 MΩ ป้อนสี่เหลี่ยม 2 Vpp 1 kHz ตรงจากเครื่อง ขาออกเป็นอย่างไร

- ตรวจว่าอยู่ในย่านอินทิเกรต U7

$$\frac{1}{2\pi(10^6)(10^{-8})} = 15.9\ \text{Hz} \ll 1\ \text{kHz}$$

- แอมพลิจูด $V_p$ = 1 V รวม 50 Ω U8

$$V_{pp} = \frac{1 \times 10^{-3}}{2(10\,050)(10^{-8})} = 4.98\ \text{Vpp}$$

สามเหลี่ยม 4.98 Vpp กลับขั้ว (ขาเข้าสูง ขาออกลาดลง) ใหญ่กว่าขาเข้า ต่างจาก RC พาสซีฟที่ได้แค่ไม่กี่ร้อย mV ลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง แอมพลิจูดจะเพิ่มเป็นสองเท่า

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

ตัวอย่าง U-5 · สามเหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยม

### ดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์ $R_f$ = 10 kΩ, C = 10 nF, $R_1$ = 100 Ω ป้อนสามเหลี่ยม 2 Vpp 1 kHz ขาออกเท่าไร

- ความชันของสามเหลี่ยม ±1 V ที่ 1 kHz

$$\left|\frac{dv_i}{dt}\right| = 4V_p f = 4(1)(1000) = 4000\ \text{V/s}$$

- ขาออก U9

$$|v_o| = R_fC \times 4000 = (10^{-4})(4000) = 0.4\ \text{V}$$

สี่เหลี่ยม ±0.4 V (0.8 Vpp) กลับขั้ว ขอบของสี่เหลี่ยมมนเล็กน้อยเพราะ $R_1$ และ 50 Ω จำกัดแบนด์วิดท์ไว้ที่ $1/(2\pi\cdot150\cdot10\text{n}) \approx 106$ kHz

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

## คอมพาเรเตอร์ พื้นฐาน

ไม่มีป้อนกลับ ออปแอมป์จะขยายผลต่างด้วยเกนวงเปิดทั้งหมด ขาออกจึงอยู่ที่ $+V_{sat}$ หรือ $-V_{sat}$ เท่านั้น ใช้แปลงสัญญาณแอนะล็อกเป็นลอจิก เช่น ตรวจอุณหภูมิเกิน ตรวจจุดตัดศูนย์ของไฟบ้าน ปัญหาคือเมื่อสัญญาณข้ามระดับอ้างอิงช้า ๆ และมีนอยส์ ขาออกจะสลับไปมาหลายครั้ง (chatter) ในงานจริงควรใช้ไอซีคอมพาเรเตอร์ เช่น LM393 ซึ่งเร็วกว่าและขาออกเป็นแบบ open-collector ต่อกับลอจิกได้ง่าย

U10 Comparator คอมพาเรเตอร์

$$v_o = \begin{cases} +V_{sat} & v_+ > v_- \\ -V_{sat} & v_+ < v_- \end{cases}$$

เวลาสลับจำกัดด้วยสลูว์เรต: LM741 ที่ไฟ ±15 V แกว่งราว 26 V ใช้เวลาราว $26\ \text{V} / 0.5\ \text{V/}\mu\text{s} = 52\ \mu\text{s}$ ต่อการสลับหนึ่งครั้ง

ลองเอง: ไซน์ 100 Hz มีนอยส์ เข้าคอมพาเรเตอร์ที่ระดับ 0 V เพิ่มหรือลดนอยส์แล้วดูขาออกสั่นที่จุดตัดศูนย์

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

## ชมิตต์ทริกเกอร์: คอมพาเรเตอร์ที่มีฮิสเทอรีซิส กลาง

ป้อนกลับบวกบางส่วนจากขาออกมาขาบวก ระดับตัดสินจึงขึ้นกับสถานะของขาออก ตอนขาออกเป็นบวก ระดับอยู่สูง ($V_{TH}$) ตอนเป็นลบ ระดับอยู่ต่ำ ($V_{TL}$) เมื่อสลับแล้ว นอยส์ต้องใหญ่กว่าช่องว่างนี้จึงจะดึงให้สลับกลับได้ ทริกเกอร์ของสโคปก็ใช้หลักการเดียวกัน

สัญญาณมีนอยส์เดียวกัน: คอมพาเรเตอร์ระดับเดียวสลับหลายครั้ง ชมิตต์ทริกเกอร์สลับครั้งเดียวต่อครึ่งคาบ ขวาคือกราฟถ่ายโอนแบบวงฮิสเทอรีซิส (กลับเฟส)

U11 Inverting Schmitt trigger ชมิตต์ทริกเกอร์แบบกลับเฟส

$$V_{TH,TL} = \pm\beta V_{sat},\quad \beta = \frac{R_2}{R_1 + R_2},\quad V_H = 2\beta V_{sat}$$

$R_1$ จากขาออกถึงขาบวก $R_2$ จากขาบวกลงกราวด์ สัญญาณเข้าขาลบ · ต่อ $R_2$ กับแรงดันอ้างอิงแทนกราวด์ เพื่อเลื่อนศูนย์กลางของสองระดับ

U12 Non-inverting Schmitt trigger ชมิตต์ทริกเกอร์แบบไม่กลับเฟส

$$V_{TH,TL} = \pm\frac{R_{in}}{R_f}V_{sat}$$

สัญญาณเข้าทาง $R_{in}$ สู่ขาบวก $R_f$ ป้อนกลับจากขาออกถึงขาบวก ขาลบลงกราวด์ ใช้เป็นภาคแรกของ เครื่องกำเนิดสี่เหลี่ยม-สามเหลี่ยม

ตัวอย่าง U-6 · ออกแบบฮิสเทอรีซิสให้กว้างกว่านอยส์

### TL081 ไฟ ±15 V ($V_{sat}$ ≈ 13.5 V) $R_1$ = 10 kΩ, $R_2$ = 1 kΩ หาระดับทั้งสอง ถ้าสัญญาณมีนอยส์ราว 0.7 Vpp ใช้ได้ไหม

- อัตราส่วนป้อนกลับ U11

$$\beta = \frac{1}{11} = 0.0909$$

- ระดับและฮิสเทอรีซิส

$$V_{TH} = +1.23\ \text{V},\quad V_{TL} = -1.23\ \text{V},\quad V_H = 2.45\ \text{V}$$

ฮิสเทอรีซิส 2.45 V กว้างกว่านอยส์ 0.7 Vpp มาก จึงสลับสะอาด ข้อแลกเปลี่ยนคือขาออกสลับช้ากว่าจุดตัดศูนย์ (ต้องรอให้ขาเข้าถึง ±1.23 V) ถ้าต้องการเวลาแม่นให้ลดฮิสเทอรีซิสลงแต่ยังกว้างกว่านอยส์

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

## วงจรรวมสัญญาณและวงจรผลต่าง กลาง

วงจรกลับเฟสที่มีหลายขาเข้าคือวงจรบวก (มิกเซอร์เสียง DAC แบบถ่วงน้ำหนัก) ส่วนวงจรผลต่างขยายเฉพาะความต่างของสองสัญญาณ ตัดส่วนที่เหมือนกัน (common mode) ทิ้ง เป็นพื้นฐานของการวัดกระแสด้วยชันต์และเครื่องขยายเครื่องมือวัด (instrumentation amplifier)

U13 Summing amplifier วงจรรวมสัญญาณ

$$v_o = -R_f\left(\frac{v_1}{R_1} + \frac{v_2}{R_2} + \cdots\right)$$

ใช้รวมสัญญาณจากเครื่องกำเนิดสัญญาณกับออฟเซต DC หรือรวมสองความถี่เพื่อดูบีตบนสโคป

U14 Difference amplifier วงจรผลต่าง

$$v_o = \frac{R_f}{R_i}\,(v_2 - v_1)\quad \text{เมื่ออัตราส่วนตัวต้านทานสองฝั่งเท่ากัน}$$

ตัวต้านทานไม่ตรงกัน 1 % ทำให้ CMRR เหลือราว 40 dB จึงควรใช้ตัวต้านทาน 0.1 % หรือไอซีวงจรผลต่างสำเร็จรูป

## ตัวกรองแอกทีฟ กลาง ขั้นสูง

ตัวกรอง RC พาสซีฟถูกโหลดได้และต่อหลายภาคไม่ได้ตรง ๆ ออปแอมป์แก้ทั้งสองปัญหา วัดผลตอบสนองความถี่ของตัวกรองแอกทีฟด้วยวิธีเดียวกับ การเก็บกราฟโบด และจำไว้ว่าเกนจะลดลงเพิ่มที่ความถี่สูงเพราะ GBW U5

U15 First-order active low-pass ต่ำผ่านแอกทีฟอันดับหนึ่ง

$$H(j\omega) = -\frac{R_f/R_i}{1 + j\omega R_f C_f},\qquad f_c = \frac{1}{2\pi R_f C_f}$$

วงจรกลับเฟสที่มี $C_f$ ขนาน $R_f$ = อินทิเกรเตอร์ที่มี $R_p$ นั่นเอง

U16 Sallen–Key low-pass (unity gain) ตัวกรองต่ำผ่าน Sallen–Key อันดับสอง

$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{R_1R_2C_1C_2}},\qquad Q = \frac{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}{C_2(R_1 + R_2)}$$

$C_1$ ต่อจากจุดกลาง $R_1$–$R_2$ ไปขาออก $C_2$ จากขาบวกลงกราวด์ · $R_1 = R_2$: $Q = \tfrac12\sqrt{C_1/C_2}$ · Butterworth $Q = 0.707$ ใช้ $C_1 = 2C_2$

ตัวอย่าง U-7 · ออกแบบ Butterworth 1 kHz

### ตัวกรองต่ำผ่าน Sallen–Key เกน 1 ความถี่ตัด 1 kHz แบบ Butterworth ใช้ $R_1 = R_2$ = 10 kΩ หาค่าตัวเก็บประจุ

- Butterworth: $Q = 0.707$ U16

$$\frac{C_1}{C_2} = 4Q^2 = 2$$

- จากความถี่

$$\sqrt{C_1C_2} = \frac{1}{2\pi(1000)(10^4)} = 15.9\ \text{nF}$$

- แยกค่า

$$C_1 = 15.9\sqrt2 = 22.5\ \text{nF},\quad C_2 = \frac{15.9}{\sqrt2} = 11.3\ \text{nF}$$

ใช้ค่ามาตรฐาน $C_1$ = 22 nF, $C_2$ = 11 nF (หรือ 10 nF + 1 nF ขนาน) ความชันเหนือ 1 kHz เป็น −40 dB/ดีเคด ตรวจด้วยการวัดว่าที่ 1 kHz ได้ −3 dB และเฟส −90° (อันดับสองที่ $f_0$)

## ออฟเซตและการแก้ปัญหาบนโต๊ะแล็บ ขั้นสูง พื้นฐาน

U17 Output offset ออฟเซตที่ขาออก

$$V_{o,os} \approx V_{os}\cdot NG + I_B R_f$$

เกน 101 กับ $V_{os}$ = 2 mV ได้ออฟเซต 0.2 V ที่ขาออก · ใส่ตัวต้านทาน $R_i \parallel R_f$ ที่ขาบวกเพื่อหักล้างผลของกระแสไบแอส

| อาการ | สาเหตุที่พบบ่อย | ตรวจ / แก้ |

| ขาออกค้างที่ +V หรือ −V | ต่อป้อนกลับเข้าขาบวกผิด · ขาดป้อนกลับ · อินทิเกรเตอร์ไม่มี $R_p$ | ตรวจขา 2 (−) 3 (+) 6 (out) ของไอซี 8 ขา |

| ขาออกแกว่งความถี่สูงเองทั้งที่ไม่มีขาเข้า | ไม่มีตัวเก็บประจุคร่อมไฟเลี้ยง · สายยาว · โหลดเป็นความจุ | 100 nF ที่ขาไฟเลี้ยง · ตัวต้านทาน 50–100 Ω อนุกรมขาออก |

| ยอดล่างแบนที่ 0 V (ไฟเดี่ยว) | LM358 ไฟเลี้ยงเดี่ยวแต่สัญญาณมีลบ | ยกขาเข้าด้วยไบแอส $V_{CC}/2$ และคัปปลิงด้วย C |

| ไซน์เป็นสามเหลี่ยม | สลูว์เรต | U6 |

| เกนต่ำลงที่ความถี่สูง | GBW | U5 |

| ค่าเกนเพี้ยนเล็กน้อยเมื่อ $R_i$ ค่าน้อย | 50 Ω ของเครื่องกำเนิดสัญญาณ | U1 หรือบัฟเฟอร์ก่อน |

| เห็นฮัม 50 Hz ที่ขาออก | ขาเข้าลอย ลูปกราวด์ | ต่อตัวต้านทานลงกราวด์ที่ขาเข้า ใช้กราวด์จุดเดียว |

ไปต่อ: ใช้ออปแอมป์ สร้างเครื่องกำเนิดสัญญาณเอง หรือดู งานประยุกต์ที่เจอบ่อย ส่วนการวิเคราะห์ด้วยฟังก์ชันถ่ายโอนต่อได้ที่ การแปลงลาปลาซ และ ระบบอันดับสอง

## ต่อยอด: ออปแอมป์เป็นตัวควบคุม

วงจรอินเวอร์ติงที่มี R และ C ในหน้านี้คือตัวควบคุมแบบแอนะล็อก: PID ด้วยออปแอมป์ตัวเดียว ตัวชดเชย lead และ lag และตัวชดเชย Type II/III ของพาวเวอร์ซัพพลาย ส่วนแอมป์ป้อนกลับเองก็คือระบบควบคุมป้อนกลับ

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมวงจรขยายออปแอมป์ให้เกนต่ำกว่าที่คำนวณเมื่อความถี่สูงขึ้น?
ออปแอมป์มีผลคูณเกนแบนด์วิดท์ (GBW) คงที่ เช่น LM741 ราว 1 MHz วงจรเกน 100 จึงมีแบนด์วิดท์แค่ 1 MHz/100 = 10 kHz เหนือความถี่นี้เกนลดลง 20 dB ต่อดีเคด และถ้าสัญญาณขาออกใหญ่ ขีดจำกัดสลูว์เรตจะมาถึงก่อน ทำให้ไซน์กลายเป็นสามเหลี่ยม

สลูว์เรตกับแบนด์วิดท์ต่างกันอย่างไร?
แบนด์วิดท์ (จาก GBW) เป็นพฤติกรรมเชิงเส้น ขาออกยังเป็นไซน์แต่เล็กลงและเฟสล้าหลัง ไม่ขึ้นกับขนาดสัญญาณ ส่วนสลูว์เรตเป็นขีดจำกัดความเร็วสูงสุดที่ขาออกเปลี่ยนได้ (V/µs) ขึ้นกับขนาดสัญญาณ ไซน์ใหญ่จะเพี้ยนเป็นสามเหลี่ยม เงื่อนไขคือ 2πfV_p ≤ SR

ชมิตต์ทริกเกอร์ต่างจากคอมพาเรเตอร์ธรรมดาอย่างไร?
คอมพาเรเตอร์มีระดับตัดสินเดียว ถ้าสัญญาณมีนอยส์และข้ามระดับช้า ๆ ขาออกจะสลับไปมาหลายครั้ง ชมิตต์ทริกเกอร์ใช้การป้อนกลับบวกสร้างสองระดับ V_TH และ V_TL เมื่อสลับแล้วต้องข้ามอีกระดับหนึ่งจึงจะสลับกลับ ช่องว่างระหว่างสองระดับ (ฮิสเทอรีซิส) ต้องกว้างกว่านอยส์ยอดถึงยอด

ทำไมอินทิเกรเตอร์ออปแอมป์ต้องมีตัวต้านทานขนานกับตัวเก็บประจุ?
ออปแอมป์จริงมีแรงดันออฟเซตและกระแสไบแอส ซึ่งเป็น DC เล็ก ๆ ที่อินทิเกรเตอร์อุดมคติจะสะสมไปเรื่อย ๆ จนขาออกอิ่มตัว ตัวต้านทาน R_p ขนาน C จำกัดเกน DC ไว้ที่ R_p/R วงจรจึงอินทิเกรตเฉพาะความถี่สูงกว่า 1/(2πR_pC) และไม่ลอยไปอิ่มตัว

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมวงจรขยายออปแอมป์ให้เกนต่ำกว่าที่คำนวณเมื่อความถี่สูงขึ้น?**
ออปแอมป์มีผลคูณเกนแบนด์วิดท์ (GBW) คงที่ เช่น LM741 ราว 1 MHz วงจรเกน 100 จึงมีแบนด์วิดท์แค่ 1 MHz/100 = 10 kHz เหนือความถี่นี้เกนลดลง 20 dB ต่อดีเคด และถ้าสัญญาณขาออกใหญ่ ขีดจำกัดสลูว์เรตจะมาถึงก่อน ทำให้ไซน์กลายเป็นสามเหลี่ยม

**สลูว์เรตกับแบนด์วิดท์ต่างกันอย่างไร?**
แบนด์วิดท์ (จาก GBW) เป็นพฤติกรรมเชิงเส้น ขาออกยังเป็นไซน์แต่เล็กลงและเฟสล้าหลัง ไม่ขึ้นกับขนาดสัญญาณ ส่วนสลูว์เรตเป็นขีดจำกัดความเร็วสูงสุดที่ขาออกเปลี่ยนได้ (V/µs) ขึ้นกับขนาดสัญญาณ ไซน์ใหญ่จะเพี้ยนเป็นสามเหลี่ยม เงื่อนไขคือ 2πfV_p ≤ SR

**ชมิตต์ทริกเกอร์ต่างจากคอมพาเรเตอร์ธรรมดาอย่างไร?**
คอมพาเรเตอร์มีระดับตัดสินเดียว ถ้าสัญญาณมีนอยส์และข้ามระดับช้า ๆ ขาออกจะสลับไปมาหลายครั้ง ชมิตต์ทริกเกอร์ใช้การป้อนกลับบวกสร้างสองระดับ V_TH และ V_TL เมื่อสลับแล้วต้องข้ามอีกระดับหนึ่งจึงจะสลับกลับ ช่องว่างระหว่างสองระดับ (ฮิสเทอรีซิส) ต้องกว้างกว่านอยส์ยอดถึงยอด

**ทำไมอินทิเกรเตอร์ออปแอมป์ต้องมีตัวต้านทานขนานกับตัวเก็บประจุ?**
ออปแอมป์จริงมีแรงดันออฟเซตและกระแสไบแอส ซึ่งเป็น DC เล็ก ๆ ที่อินทิเกรเตอร์อุดมคติจะสะสมไปเรื่อย ๆ จนขาออกอิ่มตัว ตัวต้านทาน R_p ขนาน C จำกัดเกน DC ไว้ที่ R_p/R วงจรจึงอินทิเกรตเฉพาะความถี่สูงกว่า 1/(2πR_pC) และไม่ลอยไปอิ่มตัว

---

# ออสซิลโลสโคป: V/div Time/div ทริกเกอร์ โพรบ และแบนด์วิดท์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/oscilloscope/
Updated: 2026-10-12
Summary: วิธีใช้ออสซิลโลสโคปตั้งแต่อ่านกราติคูล ตั้ง V/div และ Time/div ทริกเกอร์ให้ภาพนิ่ง โพรบ 1× 10× และการชดเชยโพรบ คัปปลิง AC DC แบนด์วิดท์กับเวลาขาขึ้น อัตราสุ่มและอเลียสซิง FFT การวัดอัตโนมัติ และความปลอดภัยเรื่องกราวด์ พร้อมสูตรรหัส O ตัวอย่างวิธีทำ และสโคปจำลองให้ลองหมุนเอง

// บทที่ 12.3 · แล็บ FG + สโคป · Oscilloscope

# ออสซิลโลสโคป: V/div Time/div ทริกเกอร์ โพรบ และแบนด์วิดท์

ออสซิลโลสโคปคือเครื่องวาดกราฟแรงดันเทียบเวลา แกนตั้งคือโวลต์ แกนนอนคือเวลา ปุ่มบนเครื่องดูมากแต่แบ่งได้แค่สี่กลุ่ม: แนวตั้ง แนวนอน ทริกเกอร์ และการวัด หน้านี้อธิบายทีละกลุ่ม พร้อมเรื่องที่ทำให้ค่าผิดโดยไม่รู้ตัว คือโพรบ แบนด์วิดท์ และอัตราสุ่ม ปิดท้ายด้วยความปลอดภัยเรื่องกราวด์ที่ทุกคนต้องรู้ สูตรใช้รหัส O

สรุปใน 30 วินาที

- ค่าบนจอ = จำนวนช่อง × ค่าต่อช่อง: $V = N_{div}\cdot V/div$, $t = N_{div}\cdot t/div$

- ภาพไม่นิ่ง → แก้ที่ทริกเกอร์: เลือกช่องที่ถูก ตั้งระดับไว้กลางสัญญาณ (ปุ่ม 50%)

- ใช้โพรบ 10× เป็นค่าเริ่มต้น ตั้งเมนูโพรบให้ตรง และชดเชยโพรบกับขั้ว Probe Comp ก่อนใช้

- แบนด์วิดท์ ≥ 5 เท่าของความถี่ที่วัด · อัตราสุ่มจริง $= N/(10\,t_{div})$ ต้องมากกว่า 2 เท่าของความถี่สูงสุด

- คลิปกราวด์โพรบคือสายดิน หนีบที่กราวด์ของวงจรเท่านั้น

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## อ่านค่าจากจอ: กราติคูล V/div และ Time/div พื้นฐาน

จอสโคปแบ่งเป็นตาราง 10 ช่องแนวนอนและ 8 ช่องแนวตั้ง แต่ละช่องเรียกว่า division (div) แบ่งย่อยอีก 5 ขีดบนเส้นกลาง ตัวเลขที่มุมจอบอกว่าหนึ่งช่องมีค่าเท่าไร เช่น CH1 500 mV คือแนวตั้ง 1 ช่อง = 0.5 V และ H 200 µs คือแนวนอน 1 ช่อง = 200 µs การอ่านค่าจึงมีแค่ “นับช่องแล้วคูณ”

ไซน์สูงยอดถึงยอด 4 ช่องที่ 500 mV/div คือ 2 Vpp คาบ 5 ช่องที่ 200 µs/div คือ 1 ms หรือ 1 kHz

O1 Voltage from divisions แรงดันจากจำนวนช่อง

$$V = N_{div}\times (V/div)$$

ค่า V/div ที่จอแสดงรวมอัตราส่วนโพรบไว้แล้ว ถ้าตั้งเมนูโพรบถูกต้อง O16

O2 Time and frequency from divisions เวลาและความถี่จากจำนวนช่อง

$$t = N_{div}\times (t/div), \qquad f = \frac{1}{T}$$

O3 Screen window and choosing time/div เวลาทั้งจอและการเลือก Time/div

$$T_{win} = 10\,(t/div), \qquad t/div \approx \frac{n\,T}{10}$$

ให้เห็น $n = 2$ ถึง 3 คาบ ถ้า 1 kHz (T = 1 ms) ใช้ราว 200–500 µs/div

O4 Vertical resolution (8-bit) ความละเอียดแนวตั้ง

$$\Delta V_{LSB} \approx \frac{V/div}{25}$$

ADC 8 บิตมี 256 ระดับ กระจายราว 25 ระดับต่อช่อง ภาพที่สูงแค่ 1 ช่องจึงมีเพียง 25 ระดับ ควรปรับ V/div ให้สัญญาณสูง 5–7 ช่อง

ตัวอย่าง O-1 · อ่านค่าจากจอ

### ตั้ง 1 V/div และ 0.5 ms/div ภาพไซน์สูงยอดถึงยอด 5.6 ช่อง หนึ่งคาบยาว 3.6 ช่อง หา Vpp, Vrms และความถี่

- แรงดัน O1

$$V_{pp} = 5.6 \times 1 = 5.6\ \text{V}$$

- RMS ของไซน์ W7

$$V_{rms} = \frac{V_{pp}}{2\sqrt2} = \frac{5.6}{2.828} = 1.98\ \text{V}$$

- คาบและความถี่ O2

$$T = 3.6 \times 0.5 = 1.8\ \text{ms}, \qquad f = \frac{1}{1.8\times10^{-3}} = 555.6\ \text{Hz}$$

5.6 Vpp, 1.98 Vrms, 555.6 Hz · การอ่านจากกราติคูลคลาดเคลื่อนได้ราว ±0.1 ช่อง ถ้าต้องการละเอียดกว่านี้ใช้เคอร์เซอร์หรือการวัดอัตโนมัติ ดู ความคลาดเคลื่อนในการอ่าน

ลองเอง: หมุน Time/div และ V/div แล้วดูว่าภาพเปลี่ยน แต่ค่าที่วัดได้ไม่เปลี่ยน เพราะสัญญาณจริงยังเหมือนเดิม

## ภาคแนวตั้ง: V/div ตำแหน่ง และคัปปลิง AC DC GND พื้นฐาน

แต่ละช่อง (CH1, CH2) มีปุ่มชุดเดียวกัน V/div ขยายหรือย่อภาพในแนวตั้งตามลำดับ 1–2–5 ส่วน Position เลื่อนภาพขึ้นลงโดยไม่เปลี่ยนค่าจริง เมนูของช่องมีสามตัวเลือกสำคัญ

| คัปปลิง | สิ่งที่เข้าเครื่องวัด | ใช้เมื่อ |

| DC | สัญญาณทั้งหมด รวมระดับ DC | ค่าเริ่มต้นสำหรับทุกงาน อยากรู้ระดับจริง ลอจิก PWM แหล่งจ่าย |

| AC | ผ่านตัวเก็บประจุ ตัดค่าเฉลี่ยออก | ดูริปเปิลเล็ก ๆ ที่ขี่อยู่บน DC ใหญ่ เช่น ริปเปิล 50 mV บนไฟ 12 V |

| GND | ตัดสัญญาณ ต่ออินพุตลงกราวด์ภายใน | หาตำแหน่งเส้น 0 V บนจอก่อนวัด |

คัปปลิง AC มีตัวเก็บประจุอนุกรมกับความต้านทานอินพุต 1 MΩ จึงเป็นวงจรกรองสูงผ่าน ความถี่ต่ำมากถูกลดทอน คลื่นสี่เหลี่ยมความถี่ต่ำจะเห็นยอดเอียง (tilt) ทั้งที่สัญญาณจริงแบนราบ นักศึกษาหลายคนสรุปผิดว่าวงจรเสีย จริง ๆ แล้วเกิดจากสโคปเอง

สัญญาณเดียวกัน วัดด้วยคัปปลิง DC และ AC ที่ความถี่ต่ำ ยอดที่เอียงในภาพขวาเกิดจากตัวเก็บประจุคัปปลิงของสโคป

O5 AC-coupling low cutoff ความถี่ตัดต่ำของคัปปลิง AC

$$f_L = \frac{1}{2\pi R_{in} C_c}$$

ทั่วไปราว 5–10 Hz เมื่อใช้โพรบ 1× และต่ำลงราว 10 เท่าเมื่อใช้โพรบ 10× เพราะความต้านทานรวมเป็น 10 MΩ

O6 Square-wave tilt ยอดเอียงของคลื่นสี่เหลี่ยม

$$\text{tilt} = 1 - e^{-T/(2\tau)} \approx \frac{\pi f_L}{f},\quad \tau = \frac{1}{2\pi f_L}$$

ค่าประมาณใช้ได้เมื่อ tilt น้อยกว่าราว 10 % ใช้สูตรเดียวกันหาความถี่ตัดต่ำของเครื่องขยายได้ X11

ตัวอย่าง O-2 · ยอดเอียงจากคัปปลิง AC

### วัดคลื่นสี่เหลี่ยม 50 Hz ด้วยคัปปลิง AC โพรบ 10× ที่มี $f_L = 0.7$ Hz ยอดจะเอียงกี่เปอร์เซ็นต์

- สูตรประมาณ O6

$$\text{tilt} \approx \frac{\pi \times 0.7}{50} = 0.044 = 4.4\ \%$$

- ตรวจด้วยสูตรเต็ม

$$\tau = \frac{1}{2\pi(0.7)} = 0.227\ \text{s},\quad 1 - e^{-0.01/0.227} = 4.3\ \%$$

ราว 4.3 % ถ้าใช้โพรบ 1× ($f_L \approx 7$ Hz) จะเอียงถึงราว 36 % เห็นได้ชัด วิธีแก้คือกลับไปใช้คัปปลิง DC แล้วเลื่อน Position แทน

ลองเอง: CH1 ใช้คัปปลิง DC ส่วน CH2 ใช้ AC ทั้งคู่ใช้โพรบ 1× ลดความถี่ลงแล้วดูยอดของ CH2 เอียงมากขึ้น

BW Limit 20 MHz ในเมนูช่องคือตัวกรองต่ำผ่านภายใน ใช้ตัดนอยส์ความถี่สูงเมื่อดูสัญญาณช้า เช่น ริปเปิลแหล่งจ่าย แต่ห้ามเปิดเมื่อวัดขอบสัญญาณเร็ว Invert กลับขั้วภาพ ใช้คู่กับ Math เมื่อวัดผลต่างสองจุด

## ภาคแนวนอน: Time/div ตำแหน่ง และความยาวบันทึก พื้นฐาน

Time/div กำหนดว่าจอกว้างกี่วินาที ($10 \times t/div$) ส่วน Horizontal Position เลื่อนดูก่อนหรือหลังจุดทริกเกอร์ จุดทริกเกอร์คือสามเหลี่ยมเล็ก ๆ ด้านบนจอ ปกติอยู่กลางจอ เราจึงเห็นทั้งสิ่งที่เกิดก่อนและหลังเหตุการณ์ ซึ่งเป็นความสามารถเฉพาะของสโคปแบบดิจิทัล

| ความถี่สัญญาณ | คาบ | Time/div ที่เห็นราว 2–5 คาบ |

| 50 Hz (ไฟบ้าน) | 20 ms | 5–10 ms |

| 1 kHz (เสียง) | 1 ms | 200–500 µs |

| 40 kHz (อัลตราโซนิก) | 25 µs | 5–10 µs |

| 100 kHz (สวิตชิงซัพพลาย) | 10 µs | 2–5 µs |

| 1 MHz | 1 µs | 200–500 ns |

| 16 MHz (คริสตัลไมโครคอนโทรลเลอร์) | 62.5 ns | 10–20 ns |

สโคปดิจิทัลเก็บข้อมูลเป็นจำนวนจุดจำกัด (record length) เช่น 10,000 จุด เมื่อเปลี่ยน Time/div เครื่องจะเปลี่ยนอัตราสุ่มตาม เพื่อให้จุดทั้งหมดพอดีจอ นี่คือที่มาของปัญหาอเลียสซิงในหัวข้อ อัตราสุ่ม

O11 Actual sample rate อัตราสุ่มจริงตามความยาวบันทึก

$$f_s = \min\!\left(f_{s,max},\ \frac{N}{10\,(t/div)}\right)$$

ตัวอย่าง 10 kpts ที่ 200 µs/div: $10^4/(2\times10^{-3}) = 5$ MSa/s แม้สเปกจะเขียน 1 GSa/s

เมื่อ Time/div ช้ากว่าราว 50–100 ms/div สโคปส่วนใหญ่เข้าโหมด Roll วาดภาพเลื่อนจากขวาไปซ้ายแบบเครื่องบันทึกกราฟ ไม่ต้องรอทริกเกอร์ เหมาะกับสัญญาณช้า เช่น การชาร์จตัวเก็บประจุค่าใหญ่ หรืออุณหภูมิจากเซนเซอร์

## ทริกเกอร์: ทำให้ภาพนิ่ง พื้นฐาน

สโคปวาดภาพซ้ำหลายสิบครั้งต่อวินาที ถ้าแต่ละครั้งเริ่มที่เวลาสุ่ม ภาพจะซ้อนกันจนอ่านไม่ได้ ทริกเกอร์คือกฎว่า “เริ่มวาดเมื่อสัญญาณช่องนี้ข้ามระดับนี้ในทิศนี้” ทุกภาพจึงเริ่มที่จุดเดียวกันบนรูปคลื่น ภาพจึงนิ่ง

ทริกเกอร์ขอบขึ้นที่ระดับ 0 V: สโคปเริ่มภาพทุกครั้งที่สัญญาณตัดเส้นสีส้มขาขึ้น จุดนั้นวางไว้กลางจอ

| การตั้งค่า | ตัวเลือก | คำแนะนำ |

| Source (แหล่ง) | CH1, CH2, EXT, AC Line | เลือกช่องที่มีสัญญาณชัดที่สุด หรือ EXT ต่อจาก SYNC ของเครื่องกำเนิดสัญญาณ AC Line ใช้ดูสัญญาณที่สัมพันธ์กับไฟบ้าน |

| Slope (ขอบ) | ขึ้น ↑ / ลง ↓ | ใช้ขอบลงเมื่ออยากดูเหตุการณ์หลังสัญญาณตก เช่น ลอจิก active-low |

| Level (ระดับ) | แรงดันที่ใช้ตัดสิน | ต้องอยู่ภายในช่วงสัญญาณ ปุ่ม 50% ตั้งให้อัตโนมัติ |

| Mode: Auto | ไม่มีทริกเกอร์ก็วาดเอง | เริ่มต้นใช้โหมดนี้ เห็นเส้นเสมอ แต่ภาพจะวิ่งถ้าทริกเกอร์ไม่ได้ |

| Mode: Normal | วาดเฉพาะเมื่อทริกเกอร์ | ใช้กับสัญญาณที่เกิดไม่สม่ำเสมอ ภาพค้างที่ครั้งล่าสุด ถ้าไม่มีสัญญาณจอจะว่าง |

| Mode: Single | จับครั้งเดียวแล้วหยุด | จับเหตุการณ์ครั้งเดียว เช่น กดปุ่มแล้วดูการเด้งของหน้าสัมผัส (bounce) |

| Holdoff | เวลาห้ามทริกเกอร์ซ้ำ | ใช้กับสัญญาณที่มีหลายขอบในหนึ่งชุด เช่น ข้อมูลอนุกรม ให้ภาพเริ่มที่ขอบแรกของชุดทุกครั้ง |

| Coupling ของทริกเกอร์ | DC, AC, HF Reject, LF Reject, Noise Reject | มีนอยส์มาก → Noise Reject หรือ HF Reject (ทริกเกอร์มีฮิสเทอรีซิสเหมือนชมิตต์ทริกเกอร์) |

ลองเอง: ระดับทริกเกอร์ตั้งไว้ 2.5 V แต่สัญญาณสูงสุดแค่ 1 V ภาพจึงวิ่ง หมุน Trigger level ลงมาให้อยู่ในช่วงสัญญาณ แล้วลองเปลี่ยนเป็นขอบลงและโหมด Normal

เคล็ดลับจากโต๊ะแล็บ: สัญญาณจากวงจรที่มีนอยส์หรือรูปร่างเปลี่ยน เช่น ขาออกวงจรกรอง ให้ทริกเกอร์จากสัญญาณขาเข้า (CH1) หรือจาก SYNC ของเครื่องกำเนิดสัญญาณผ่าน EXT แทน ภาพทุกช่องจะนิ่งพร้อมกันและเทียบเฟสกันได้ถูกต้อง ดู ขั้ว SYNC

## โพรบ 1× และ 10× และการชดเชยโพรบ พื้นฐาน กลาง

โพรบไม่ใช่สายไฟธรรมดา โพรบ 10× มีตัวต้านทาน 9 MΩ ที่ปลาย เมื่ออนุกรมกับ 1 MΩ ของสโคปจึงเป็นตัวแบ่งแรงดัน 10:1 ข้อดีคือวงจรเห็นโหลด 10 MΩ แทน 1 MΩ และเห็นความจุน้อยลงมาก แต่ตัวแบ่งแรงดันที่มีความจุของสายและอินพุตปนอยู่จะแบ่งเท่ากันทุกความถี่ก็ต่อเมื่อค่าคงตัวเวลาสองฝั่งเท่ากัน จึงต้องมีตัวเก็บประจุปรับค่าได้ (ทริมเมอร์) ไว้ปรับให้พอดี เรียกว่าการชดเชยโพรบ

วงจรของโพรบ 10× และภาพคลื่นสี่เหลี่ยมจากขั้ว Probe Comp เมื่อชดเชยขาด พอดี และเกิน ไขทริมเมอร์จนมุมคมและยอดแบน

| คุณสมบัติ | โพรบ 1× | โพรบ 10× |

| ลดทอน | ไม่ลด | ลด 10 เท่า (ต้องตั้งเมนูเป็น 10×) |

| ความต้านทานที่วงจรเห็น | 1 MΩ | 10 MΩ |

| ความจุที่วงจรเห็น | ราว 80–120 pF (สาย + อินพุต) | ราว 10–15 pF |

| แบนด์วิดท์ | ราว 6–10 MHz | 100–500 MHz ตามรุ่น |

| สัญญาณเล็กสุดที่ดีได้ | ดีกว่า (ไม่โดนลดทอน) | นอยส์ของสโคปขยาย 10 เท่า |

| แรงดันสูงสุด | ตามสเปกสโคป | สูงกว่า (ดูพิกัดบนตัวโพรบ) |

| ใช้เมื่อ | สัญญาณ mV ความถี่ต่ำ เช่น ริปเปิลเล็กมาก | งานทั่วไปเกือบทั้งหมด |

O7 Probe compensation เงื่อนไขชดเชยโพรบ

$$R_1C_1 = R_2C_2, \qquad \frac{v_{scope}}{v_{tip}} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1}{10}$$

ถ้า $R_1C_1 > R_2C_2$ ชดเชยเกิน มุมพุ่ง · ถ้าน้อยกว่า ชดเชยขาด มุมมน แอมพลิจูดที่ความถี่สูงผิด

O16 Probe-ratio setting ค่าบนจอเมื่อตั้งอัตราส่วนโพรบ

$$V_{display} = V_{true}\cdot\frac{k_{menu}}{k_{probe}}$$

สวิตช์โพรบ 10× แต่เมนูตั้ง 1× ค่าบนจอจะเล็กไป 10 เท่า สลับกันก็ใหญ่ไป 10 เท่า

O14 Probe loading โหลดที่โพรบใส่ให้วงจร

$$Z_{in} = R_{in}\,\Big\|\,\frac{1}{j\omega C_{in}}, \qquad |X_C| = \frac{1}{2\pi f C_{in}}$$

ความจุสำคัญกว่าความต้านทานเมื่อความถี่สูง ที่ 10 MHz โพรบ 1× (100 pF) มี $|X_C| \approx 159\ \Omega$

ตัวอย่าง O-3 · ค่าทริมเมอร์ที่ต้องปรับ

### อินพุตสโคป 1 MΩ ∥ 15 pF สายโพรบมีความจุ 85 pF ต้องปรับ $C_1$ ที่ปลายโพรบ 9 MΩ เป็นเท่าไร

- ความจุฝั่งสโคปรวม

$$C_2 = 15 + 85 = 100\ \text{pF}$$

- เงื่อนไขชดเชย O7

$$C_1 = \frac{R_2 C_2}{R_1} = \frac{1\ \text{M}\Omega \times 100\ \text{pF}}{9\ \text{M}\Omega} = 11.1\ \text{pF}$$

ราว 11 pF วงจรจึงเห็นความจุอนุกรม $C_1$ กับ $C_2$ ≈ 10 pF ซึ่งน้อยกว่าโพรบ 1× เกือบ 10 เท่า ย้ายโพรบไปสโคปเครื่องอื่นหรือช่องอื่นต้องชดเชยใหม่ทุกครั้ง เพราะ $C_{in}$ ไม่เท่ากัน

ตัวอย่าง O-4 · โพรบเป็นโหลดของวงจร

### จุดที่วัดมีความต้านทานแหล่ง 1 kΩ สัญญาณ 10 MHz ใช้โพรบ 1× (100 pF) เทียบกับ 10× (12 pF) ต่างกันอย่างไร

- โพรบ 1× O14

$$|X_C| = \frac{1}{2\pi(10^7)(100\times10^{-12})} = 159\ \Omega$$

- แรงดันที่เหลือ (ตัวแบ่ง RC)

$$\frac{159}{\sqrt{1000^2 + 159^2}} = 0.157$$

- โพรบ 10×

$$|X_C| = 1.33\ \text{k}\Omega, \qquad \frac{1330}{\sqrt{1000^2 + 1330^2}} = 0.80$$

โพรบ 1× เห็นสัญญาณเหลือเพียง 16 % ของจริงและยังทำให้วงจรทำงานผิดไปด้วย ส่วนโพรบ 10× เหลือ 80 % จุดที่มีความต้านทานสูงและความถี่สูงต้องใช้โพรบแอกทีฟ (ความจุไม่กี่ pF)

ลองเอง: CH1 และ CH2 ต่อขั้ว Probe Comp ของสโคป โพรบ 1 ชดเชยเกิน โพรบ 2 ชดเชยขาด หมุนทริมเมอร์ของโพรบ 1 จนยอดแบนราบ

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

สายกราวด์ยาว = ภาพสั่นเกิน: สายกราวด์ปากจระเข้ยาว 15 cm มีความเหนี่ยวนำราว 150 nH รวมกับความจุของโพรบเกิดเรโซแนนซ์หลายสิบ MHz เห็นเป็นการแกว่งหลังขอบสัญญาณทั้งที่วงจรไม่ได้แกว่ง เมื่อวัดขอบเร็วให้ถอดปลอกโพรบแล้วใช้สปริงกราวด์สั้นแตะกราวด์ใกล้จุดวัดที่สุด

## แบนด์วิดท์และเวลาขาขึ้น กลาง

แบนด์วิดท์ของสโคปคือความถี่ที่ไซน์ถูกลดทอนลง 3 dB (เหลือ 70.7 %) ไม่ใช่ความถี่สูงสุดที่วัดได้แม่น ภาคขยายของสโคปทำตัวเหมือนวงจรกรองต่ำผ่าน สัญญาณขอบเร็วจึงถูกทำให้ช้าลง ค่าเวลาขาขึ้นที่อ่านได้คือผลรวมของทุกส่วนในทางเดินสัญญาณ

เวลาขาขึ้นวัดจาก 10 % ถึง 90 % ของความสูงขั้น ใช้ระดับ 0 % และ 100 % ที่ “ฐาน” และ “ยอด” ของสัญญาณ ไม่ใช่ค่าสูงสุดต่ำสุดที่อาจมีการพุ่งเกิน

O8 Rise time ↔ bandwidth เวลาขาขึ้นกับแบนด์วิดท์

$$t_r \approx \frac{0.35}{BW}$$

มาจากวงจรอันดับหนึ่ง $t_r = 2.2\tau = 2.2/(2\pi f_c) = 0.35/f_c$ สโคปรุ่นใหม่บางรุ่นใช้ 0.4–0.45

O9 Measured rise time เวลาขาขึ้นที่สโคปแสดง

$$t_{r,meas} = \sqrt{t_{r,sig}^2 + t_{r,scope}^2 + t_{r,probe}^2}$$

หาค่าจริงกลับได้: $t_{r,sig} \approx \sqrt{t_{r,meas}^2 - t_{r,scope}^2 - t_{r,probe}^2}$ ใช้ได้ดีเมื่อสโคปเร็วกว่าสัญญาณพอสมควร

O10 Amplitude error near the bandwidth ความคลาดเคลื่อนแอมพลิจูด

$$\frac{V_{meas}}{V_{true}} \approx \frac{1}{\sqrt{1 + (f/BW)^2}}$$

ที่ $f = BW$ ค่าต่ำไป 29 % · $f = BW/3$ ต่ำไป 5 % · $f = BW/5$ ต่ำไป 2 % (แบบจำลองอันดับหนึ่ง)

ตัวอย่าง O-5 · สโคปทำให้ขอบช้าลงเท่าไร

### สัญญาณจริงมีเวลาขาขึ้น 5 ns วัดด้วยสโคป 100 MHz และโพรบ 500 MHz จะอ่านได้เท่าไร

- เวลาขาขึ้นของสโคปและโพรบ O8

$$t_{scope} = \frac{0.35}{100\ \text{MHz}} = 3.5\ \text{ns},\quad t_{probe} = \frac{0.35}{500\ \text{MHz}} = 0.7\ \text{ns}$$

- รวมแบบรากกำลังสอง O9

$$t_{meas} = \sqrt{5^2 + 3.5^2 + 0.7^2} = \sqrt{37.74} = 6.14\ \text{ns}$$

อ่านได้ 6.1 ns สูงกว่าจริง 23 % ต้องใช้สโคปราว 350 MHz ขึ้นไปจึงจะคลาดเคลื่อนไม่เกินราว 3 %

ตัวอย่าง O-6 · ลืมสับสวิตช์โพรบ

### วัดขอบ 10 ns แต่สวิตช์บนโพรบอยู่ที่ 1× (แบนด์วิดท์ 6 MHz) จะเห็นเท่าไร

- เวลาขาขึ้นของโพรบ 1× O8

$$t_{probe} = \frac{0.35}{6\ \text{MHz}} = 58\ \text{ns}$$

- รวม (ตัดค่าของสโคป 3.5 ns ซึ่งน้อยมาก) O9

$$t_{meas} = \sqrt{10^2 + 58^2 + 3.5^2} = 59\ \text{ns}$$

อ่านได้ราว 59 ns สิ่งที่เห็นคือความช้าของโพรบ ไม่ใช่ของวงจร ลองดูในสโคปจำลองด้านล่าง CH1 ใช้โพรบ 10× ส่วน CH2 ใช้ 1× สัญญาณ 1 MHz เดียวกัน

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

## อัตราสุ่ม อเลียสซิง และความละเอียด กลาง ขั้นสูง

สโคปดิจิทัลไม่ได้เห็นสัญญาณต่อเนื่อง มันวัดเป็นจุด ๆ ตามอัตราสุ่ม ถ้าสุ่มช้ากว่าสองเท่าของความถี่สัญญาณ จุดที่ได้จะเรียงตัวเป็นรูปคลื่นที่ช้ากว่าความจริง เรียกว่าอเลียสซิง (aliasing) อันตรายตรงที่ภาพดูนิ่งและสวย แต่ความถี่ผิดทั้งหมด

สุ่มช้าเกินไป: สัญญาณ 9 รอบถูกสุ่ม 10 จุด สโคปจึงวาดไซน์ 1 รอบ ซึ่งไม่มีอยู่จริง

O12 Nyquist criterion and alias frequency เงื่อนไขไนควิสต์และความถี่อเลียส

$$f_s > 2 f_{max}, \qquad f_{alias} = \left| f - k f_s \right|,\ k = \text{round}\!\left(\tfrac{f}{f_s}\right)$$

ในทางปฏิบัติสโคปต้องการ $f_s \ge 2.5$–5 เท่าของแบนด์วิดท์ จึงจะวาดรูปคลื่นได้เนียน

ตัวอย่าง O-7 · ภาพนิ่งแต่ความถี่ผิด

### สัญญาณ 1.00002 MHz ดูที่ 5 ms/div สโคปมีหน่วยความจำ 10,000 จุด จะเห็นความถี่เท่าไร

- อัตราสุ่มจริง O11

$$f_s = \frac{10\,000}{10 \times 5\ \text{ms}} = 200\ \text{kSa/s}$$

- หาความถี่อเลียส O12

$$k = \text{round}\!\left(\frac{1\,000\,020}{200\,000}\right) = 5,\quad f_{alias} = |1\,000\,020 - 1\,000\,000| = 20\ \text{Hz}$$

สโคปแสดงไซน์ 20 Hz หนึ่งรอบเต็มจอ ทั้งที่สัญญาณจริง 1 MHz วิธีป้องกัน: เริ่มที่ Time/div เร็ว ๆ เสมอ หรือกด AUTO ก่อน แล้วค่อยหมุนออก ลองในสโคปจำลอง หมุน Time/div ลงจน 1 µs/div จะเห็นความถี่จริง

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

ความละเอียดแนวตั้ง สโคปทั่วไปใช้ ADC 8 บิต O4 เมื่อดูสัญญาณเล็กบนระดับ DC ใหญ่ เช่น ริปเปิล 20 mV บนไฟ 12 V ด้วยคัปปลิง DC ที่ 2 V/div หนึ่งระดับ ADC มีค่า 80 mV จึงมองไม่เห็นริปเปิลเลย ให้ใช้คัปปลิง AC แล้วตั้ง 10 mV/div หรือใช้ออฟเซตของช่องดึงภาพลงแทน สโคปรุ่นใหม่บางรุ่นใช้ 12 บิตหรือโหมด High-Res ที่เฉลี่ยจุดใกล้กันเพื่อเพิ่มความละเอียด

## การวัดอัตโนมัติและเคอร์เซอร์ พื้นฐาน

ปุ่ม Measure คำนวณค่าจากจุดข้อมูลบนจอ ละเอียดกว่าการนับช่องมาก แต่ต้องรู้ว่าแต่ละค่านิยามอย่างไร และเมื่อไรที่เชื่อไม่ได้

| ค่า | นิยาม | ข้อควรระวัง |

| Vpp, Vmax, Vmin | สูงสุด − ต่ำสุดของจุดทั้งหมด | รวมนอยส์และสไปก์ จึงสูงกว่าค่าจริงเล็กน้อย |

| Vtop, Vbase, Vamp | ระดับที่พบบ่อยที่สุดด้านบนและด้านล่าง (ฮิสโทแกรม) | ใช้กับคลื่นสี่เหลี่ยมและพัลส์ ไม่สนใจการพุ่งเกิน |

| Vavg (Mean) | ค่าเฉลี่ย = ระดับ DC W6 | ควรเฉลี่ยเต็มจำนวนคาบ (เมนู Cycle Mean) |

| Vrms | RMS รวม DC W8 | ค่า AC RMS ตัด DC ออก ตรงกับมิเตอร์ True RMS ย่าน AC |

| Freq, Period | จากเวลาระหว่างขอบที่ตัดระดับกลาง | ต้องมีอย่างน้อย 1–2 คาบบนจอ นอยส์มากทำให้นับผิด |

| +Width, Duty | ความกว้างช่วงบวกที่ 50 % และสัดส่วนต่อคาบ | ดู W9 |

| Rise, Fall | 10 %–90 % ของ Vbase ถึง Vtop | ต้องขยาย Time/div ให้ขอบกินหลายช่อง และคำนึงถึง O9 |

| Phase, Delay | เวลาห่างของขอบสองช่อง | ดู การวัดเฟส |

ทุกค่าจะผิดถ้า สัญญาณล้นจอ (clip) เพราะ ADC ตัดยอดที่ขอบจอ สโคปจริงมักขึ้นเครื่องหมาย ? หรือ > ที่ค่า สโคปจำลองในเว็บนี้แสดงเป็นสีแดงพร้อมเครื่องหมาย ? ให้เพิ่ม V/div จนเห็นยอดครบ เคอร์เซอร์ คือเส้นที่เราลากเอง ใช้เมื่อการวัดอัตโนมัติไม่รู้ว่าเราสนใจส่วนไหน เช่น ความสูงของการแกว่งลูกแรก หรือเวลาจากขอบหนึ่งไปยังเหตุการณ์ที่สนใจ

## FFT: ดูสัญญาณในโดเมนความถี่ กลาง ขั้นสูง

ฟังก์ชัน Math → FFT แปลงข้อมูลบนจอเป็นสเปกตรัม แกนนอนเป็นความถี่ แกนตั้งเป็น dBV ใช้ดูฮาร์มอนิกของคลื่นสี่เหลี่ยม ความเพี้ยนของเครื่องขยาย หรือหาแหล่งนอยส์ เช่น ฮัม 50 Hz และสวิตชิง 100 kHz ที่ซ่อนอยู่

ที่มาของ FFT จากอนุกรมฟูเรียร์ อเลียสซิง การรั่วของสเปกตรัม หน้าต่าง และการตั้ง FFT ให้วัดฮาร์มอนิกได้ตรงเครื่องวิเคราะห์คุณภาพไฟฟ้า อ่านต่อที่ DFT และ FFT · ฝึกอ่านฮาร์มอนิกของกระแสจริงใน แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก

O13 FFT resolution and span ความละเอียดและช่วงของ FFT

$$\Delta f = \frac{f_s}{N} = \frac{1}{T_{rec}}, \qquad f_{span} = \frac{f_s}{2}$$

อยากแยกความถี่ใกล้กันให้ได้ → เพิ่มเวลาบันทึก (Time/div ช้าลง) · อยากเห็นความถี่สูง → เพิ่มอัตราสุ่ม

ตัวอย่าง O-8 · ฮาร์มอนิกของคลื่นสี่เหลี่ยม

### คลื่นสี่เหลี่ยม 1 kHz 2 Vpp ดูที่ 1 ms/div จะเห็นยอด FFT ที่ไหนบ้าง สูงเท่าไร และละเอียดแค่ไหน

- ความละเอียด O13

$$T_{rec} = 10\ \text{ms}\ \Rightarrow\ \Delta f = 100\ \text{Hz}$$

- อนุกรมฟูริเยร์ของสี่เหลี่ยม ±1 V มีแต่ฮาร์มอนิกคี่ W17

$$V_{n,rms} = \frac{4}{n\pi\sqrt2}\ \text{V}$$

- เป็น dBV W16

$$n=1: 0.900\ \text{V} = -0.9\ \text{dBV},\quad n=3: -10.5\ \text{dBV},\quad n=5: -14.9\ \text{dBV}$$

ยอดที่ 1, 3, 5, 7 … kHz ลดลงตาม $1/n$ (−20 dB ต่อดีเคด) ไม่มีฮาร์มอนิกคู่ ถ้าดิวตี้ไม่ใช่ 50 % จะมีฮาร์มอนิกคู่โผล่ขึ้นมา ลองเปลี่ยนรูปคลื่นเป็นไซน์หรือสามเหลี่ยมแล้วดูว่าฮาร์มอนิกหายไปแค่ไหน

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

FFT ในสโคปมีหน้าต่าง (window) ให้เลือก Rectangular แยกความถี่ได้คมที่สุดแต่ยอดรั่วมาก Hanning เป็นค่าเริ่มต้นที่ดี Flat-top อ่านแอมพลิจูดแม่นที่สุดแต่ยอดกว้าง ถ้าจำนวนคาบบนจอไม่เป็นจำนวนเต็ม พลังงานจะรั่วไปถังข้าง ๆ (spectral leakage) ซึ่งหน้าต่างช่วยลดได้ การวิเคราะห์สเปกตรัมเชิงลึกต่อได้ที่ แล็บสัญญาณ

## Math, XY และการวัดแบบผลต่าง กลาง

Math สร้างช่องใหม่จาก CH1 กับ CH2: บวก ลบ คูณ หรือ FFT การลบ CH1 − CH2 คือวิธีวัดแรงดันคร่อมอุปกรณ์ที่ไม่ได้ต่อกราวด์ เช่น ตัวต้านทานด้านบนของวงจรแบ่งแรงดัน หรือแรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำในบักคอนเวอร์เตอร์ การคูณแรงดันกับแรงดันคร่อมตัวต้านทานตรวจกระแสได้กำลังขณะหนึ่ง (instantaneous power) XY นำ CH1 เป็นแกนนอนและ CH2 เป็นแกนตั้ง ได้รูปลิสซาจู ใช้เทียบเฟสและอัตราส่วนความถี่ ดู วงรีลิสซาจู

O15 Differential measurement with Math วัดแรงดันระหว่างสองจุด

$$v_{AB} = v_A - v_B \quad (\text{CH1} - \text{CH2})$$

ตั้ง V/div สองช่องให้เท่ากัน ความแม่นยำลดลงเมื่อ $v_A$, $v_B$ ใหญ่มากแต่ผลต่างเล็ก (common mode สูง) งานไฟฟ้ากำลังควรใช้โพรบดิฟเฟอเรนเชียล

## ความปลอดภัย: กราวด์ของโพรบคือสายดิน พื้นฐาน

สโคปตั้งโต๊ะเกือบทุกเครื่องต่อขั้วกราวด์ของ BNC ทุกช่อง และคลิปกราวด์ของโพรบทุกเส้น เข้ากับสายดินของปลั๊กไฟโดยตรง ดังนั้นคลิปกราวด์ไม่ใช่ “ขั้วลบ” ที่หนีบที่ไหนก็ได้ มันคือดิน ถ้าหนีบกับจุดที่มีแรงดันเทียบกับดิน กระแสจะลัดวงจรผ่านโพรบทันที

ความผิดพลาดที่อันตรายที่สุดในแล็บ: หนีบกราวด์โพรบกับจุดในวงจรที่ต่อไฟบ้านโดยตรง

- หนีบคลิปกราวด์ที่กราวด์ของวงจรเท่านั้น และกราวด์ของทุกโพรบต้องเป็นจุดเดียวกัน

- วงจรที่ต่อไฟบ้านโดยไม่มีหม้อแปลงแยก (บอร์ดสวิตชิงฝั่งไฟสูง ไดรฟ์มอเตอร์ วงจรไทรแอก) ห้ามวัดด้วยโพรบธรรมดาเทียบกราวด์ ใช้โพรบดิฟเฟอเรนเชียลแรงดันสูง

- ห้ามตัดหรือดัดแปลงสายดินของปลั๊กสโคปเพื่อให้ “ลอย” ตัวถังและขั้ว BNC ทั้งหมดจะมีไฟ

- ดูพิกัดแรงดันและ CAT บนตัวโพรบและอินพุตสโคป เช่น 300 V CAT II อินพุต 1 MΩ หลายรุ่นทนได้ไม่เกินราว 300 Vrms ลดลงที่ความถี่สูง

- ลำดับที่ปลอดภัย: ปิดเครื่องกำเนิดสัญญาณหรือแหล่งจ่าย → ต่อโพรบ → เปิด → วัด → ปิด → ถอด

ในบอร์ดแล็บที่ใช้แหล่งจ่ายตั้งโต๊ะหรือเครื่องกำเนิดสัญญาณ กราวด์ของเครื่องกำเนิดสัญญาณก็ต่อดินเช่นกัน กราวด์ของเครื่องกำเนิดสัญญาณ สโคป และวงจร จึงต้องเป็นจุดเดียวกันเสมอ ถ้าหนีบกราวด์โพรบที่ขาด้านบนของตัวต้านทาน จะลัดวงจรตัวต้านทานทิ้งผ่านสายดิน ค่าที่วัดได้จะผิดทั้งวงจร

## ตั้งสโคปจากศูนย์ใน 7 ขั้น และแก้อาการที่เจอบ่อย พื้นฐาน

- ค่าเริ่มต้น: กด Default Setup (ถ้าเครื่องเป็นของส่วนรวม คนก่อนอาจตั้งค่าแปลก ๆ ไว้)

- โพรบ: สับสวิตช์ 10× ตั้งเมนูช่องเป็น 10× ต่อเข้าขั้ว Probe Comp แล้วชดเชยให้ยอดแบน O7

- กราวด์: หนีบคลิปกราวด์ที่กราวด์ของวงจร แตะปลายโพรบที่จุดวัด

- คัปปลิง DC: ใช้ DC ไว้ก่อนเสมอ ตั้งเส้น 0 V ด้วยคัปปลิง GND หรือ Position

- AUTO หรือประมาณเอง: V/div ≈ Vpp ที่คาด / 6 และ Time/div ≈ 2–3 คาบ / 10 O3

- ทริกเกอร์: แหล่งเป็นช่องที่มีสัญญาณ ขอบขึ้น กด 50% โหมด Auto

- วัด: เปิด Measure Vpp, Freq ฯลฯ ตรวจว่าภาพไม่ล้นจอ แล้วจดค่าพร้อม V/div, Time/div และความคลาดเคลื่อน

| อาการ | สาเหตุที่พบบ่อย | แก้ |

| จอว่าง ไม่มีเส้น | โหมดทริกเกอร์ Normal แต่ไม่มีทริกเกอร์ · ช่องปิด · Position เลื่อนออกนอกจอ | เปลี่ยนเป็น Auto · เปิดช่อง · กด AUTO |

| เห็นเส้นตรง | คัปปลิง GND · FG ไม่ได้กด OUTPUT · โพรบไม่แตะจุด · V/div ใหญ่เกิน | ตรวจตามลำดับ · ลด V/div |

| ภาพวิ่ง | ระดับทริกเกอร์นอกสัญญาณ · แหล่งทริกเกอร์ผิดช่อง | ปุ่ม 50% · เลือกแหล่งใหม่ · ใช้ EXT จาก SYNC |

| ค่าผิดไป 10 เท่า | สวิตช์โพรบกับเมนูไม่ตรงกัน | O16 |

| ค่าเป็นสองเท่าหรือครึ่งหนึ่งของที่ตั้ง FG | ตั้ง Load ของ FG ไม่ตรงกับโหลดจริง | V4 |

| คลื่นสี่เหลี่ยมมุมมนหรือพุ่ง | โพรบไม่ได้ชดเชย · ใช้โพรบ 1× | O7 |

| ยอดสี่เหลี่ยมความถี่ต่ำเอียง | คัปปลิง AC | O6 |

| เห็นความถี่ต่ำแปลก ๆ ทั้งที่ควรสูง | อเลียสซิงที่ Time/div ช้า | O12 |

| เส้นหนามีนอยส์มาก | สายกราวด์ยาว · สัญญาณเล็กกับโพรบ 10× · ฮัม 50 Hz | สปริงกราวด์ · BW Limit · Average B13 |

| แกว่งหลังขอบสัญญาณเร็ว | สายกราวด์ยาว (L ของสาย + C ของโพรบ) | สปริงกราวด์สั้น |

พร้อมแล้วลองทุกอย่างพร้อมกันบน โต๊ะแล็บจำลองเต็มรูปแบบ แล้วไปต่อที่ เทคนิคการวัด

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมภาพบนออสซิลโลสโคปวิ่งไม่นิ่ง?
เกือบทุกครั้งเป็นเพราะทริกเกอร์ ระดับทริกเกอร์อยู่นอกช่วงของสัญญาณ เลือกแหล่งทริกเกอร์ผิดช่อง หรือสัญญาณมีหลายความถี่ปนกัน ให้กดปุ่ม 50% เพื่อตั้งระดับไว้กลางสัญญาณ เลือกแหล่งเป็นช่องที่มีสัญญาณ และถ้ามาจากเครื่องกำเนิดสัญญาณ ให้ต่อขั้ว SYNC เข้า EXT TRIG

โพรบ 1× กับ 10× ต่างกันอย่างไร ควรใช้แบบไหน?
โพรบ 10× ลดทอนสัญญาณ 10 เท่า แต่มีความต้านทานอินพุต 10 MΩ และความจุเพียงราว 10–15 pF แบนด์วิดท์หลายร้อย MHz จึงรบกวนวงจรน้อยกว่ามาก โพรบ 1× มีแบนด์วิดท์เพียงราว 6 MHz และความจุราว 100 pF เหมาะเฉพาะสัญญาณเล็กมากความถี่ต่ำ งานทั่วไปให้ใช้ 10× และตั้งเมนูโพรบของสโคปเป็น 10× ให้ตรงกัน

สโคป 100 MHz วัดสัญญาณ 100 MHz ได้ไหม?
ได้แต่ค่าจะต่ำไปราว 30 % เพราะแบนด์วิดท์คือความถี่ที่แอมพลิจูดลดลง 3 dB ถ้าต้องการความคลาดเคลื่อนไม่เกินราว 2–3 % ควรเลือกสโคปที่แบนด์วิดท์อย่างน้อย 5 เท่าของความถี่ที่วัด สำหรับคลื่นสี่เหลี่ยมให้คิดจากเวลาขาขึ้นด้วยสูตร BW ≈ 0.35/t_r

หนีบกราวด์โพรบที่จุดไหนก็ได้ไหม?
ไม่ได้ คลิปกราวด์ของโพรบต่อกับสายดินของปลั๊กสโคปโดยตรง ต้องหนีบที่กราวด์ของวงจรเท่านั้น ถ้าวงจรต่อไฟบ้านโดยไม่มีหม้อแปลงแยก หรือจุดที่วัดไม่ใช่กราวด์ จะเกิดลัดวงจรผ่านโพรบ ให้วัดแบบผลต่างสองช่อง (CH1 − CH2) ใช้โพรบดิฟเฟอเรนเชียล หรือหม้อแปลงแยกที่ฝั่งวงจร

อัตราสุ่ม 1 GSa/s แต่ทำไมที่ Time/div ช้า ๆ สโคปบอกแค่ไม่กี่ kSa/s?
หน่วยความจำมีจำนวนจุดจำกัด อัตราสุ่มจริงเท่ากับจำนวนจุดหารด้วยเวลาทั้งจอ $f_s = N/(10\,t_{div})$ เช่น 10,000 จุดที่ 5 ms/div ได้เพียง 200 kSa/s ถ้าสัญญาณมีความถี่สูงกว่าครึ่งหนึ่งของค่านี้ จะเกิดอเลียสซิง เห็นความถี่ผิด ให้ลด Time/div ลงก่อนเสมอแล้วค่อยขยายออก

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมภาพบนออสซิลโลสโคปวิ่งไม่นิ่ง?**
เกือบทุกครั้งเป็นเพราะทริกเกอร์ ระดับทริกเกอร์อยู่นอกช่วงของสัญญาณ เลือกแหล่งทริกเกอร์ผิดช่อง หรือสัญญาณมีหลายความถี่ปนกัน ให้กดปุ่ม 50% เพื่อตั้งระดับไว้กลางสัญญาณ เลือกแหล่งเป็นช่องที่มีสัญญาณ และถ้ามาจากเครื่องกำเนิดสัญญาณ ให้ต่อขั้ว SYNC เข้า EXT TRIG

**โพรบ 1× กับ 10× ต่างกันอย่างไร ควรใช้แบบไหน?**
โพรบ 10× ลดทอนสัญญาณ 10 เท่า แต่มีความต้านทานอินพุต 10 MΩ และความจุเพียงราว 10–15 pF แบนด์วิดท์หลายร้อย MHz จึงรบกวนวงจรน้อยกว่ามาก โพรบ 1× มีแบนด์วิดท์เพียงราว 6 MHz และความจุราว 100 pF เหมาะเฉพาะสัญญาณเล็กมากความถี่ต่ำ งานทั่วไปให้ใช้ 10× และตั้งเมนูโพรบของสโคปเป็น 10× ให้ตรงกัน

**สโคป 100 MHz วัดสัญญาณ 100 MHz ได้ไหม?**
ได้แต่ค่าจะต่ำไปราว 30 % เพราะแบนด์วิดท์คือความถี่ที่แอมพลิจูดลดลง 3 dB ถ้าต้องการความคลาดเคลื่อนไม่เกินราว 2–3 % ควรเลือกสโคปที่แบนด์วิดท์อย่างน้อย 5 เท่าของความถี่ที่วัด สำหรับคลื่นสี่เหลี่ยมให้คิดจากเวลาขาขึ้นด้วยสูตร BW ≈ 0.35/t_r

**หนีบกราวด์โพรบที่จุดไหนก็ได้ไหม?**
ไม่ได้ คลิปกราวด์ของโพรบต่อกับสายดินของปลั๊กสโคปโดยตรง ต้องหนีบที่กราวด์ของวงจรเท่านั้น ถ้าวงจรต่อไฟบ้านโดยไม่มีหม้อแปลงแยก หรือจุดที่วัดไม่ใช่กราวด์ จะเกิดลัดวงจรผ่านโพรบ ให้วัดแบบผลต่างสองช่อง (CH1 − CH2) ใช้โพรบดิฟเฟอเรนเชียล หรือหม้อแปลงแยกที่ฝั่งวงจร

**อัตราสุ่ม 1 GSa/s แต่ทำไมที่ Time/div ช้า ๆ สโคปบอกแค่ไม่กี่ kSa/s?**
หน่วยความจำมีจำนวนจุดจำกัด อัตราสุ่มจริงเท่ากับจำนวนจุดหารด้วยเวลาทั้งจอ $f_s = N/(10\,t_{div})$ เช่น 10,000 จุดที่ 5 ms/div ได้เพียง 200 kSa/s ถ้าสัญญาณมีความถี่สูงกว่าครึ่งหนึ่งของค่านี้ จะเกิดอเลียสซิง เห็นความถี่ผิด ให้ลด Time/div ลงก่อนเสมอแล้วค่อยขยายออก

---

# วงจร RC RL RLC กับคลื่นสี่เหลี่ยมและไซน์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/rc-rlc/
Updated: 2026-10-12
Summary: ทดลองวงจร RC RL และ RLC ด้วยเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคป: หาค่าคงตัวเวลา τ จากกราฟ 63.2 % และเวลาขาขึ้น ผลของความต้านทาน 50 Ω ของเครื่อง ความถี่ตัด −3 dB เฟส −45° อินทิเกรเตอร์และดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์แบบพาสซีฟ ผลตอบสนองอิมพัลส์ เรโซแนนซ์ Q แบนด์วิดท์ การแกว่งและลอการิทึมดีครีเมนต์ พร้อมสูตรรหัส R ตัวอย่างวิธีทำ และสโคปจำลอง

// บทที่ 12.6 · แล็บ FG + สโคป · RC, RL & RLC

# วงจร RC RL RLC กับคลื่นสี่เหลี่ยมและไซน์

นี่คือการทดลองแรกที่ทุกคนได้ทำกับเครื่องกำเนิดสัญญาณและสโคปจริงจัง และเป็นสะพานจากวงจรไฟฟ้าไปสู่สัญญาณและระบบ ป้อนคลื่นสี่เหลี่ยมเพื่อดูผลตอบสนองในโดเมนเวลา (τ, การแกว่ง) ป้อนไซน์เพื่อดูผลตอบสนองความถี่ (f_c, Q, แบนด์วิดท์) ทั้งสองแบบบอกเรื่องเดียวกันจากคนละมุม สูตรใช้รหัส R

สรุปใน 30 วินาที

- $\tau = RC$ หรือ $L/R$ โดย R รวม 50 Ω ของเครื่อง · ถึง 63.2 % ที่ $t = \tau$ · เวลาขาขึ้น $2.2\tau$

- $f_c = 1/(2\pi\tau)$ ที่นั่น $|H| = 0.707$ (−3 dB) และเฟส −45°

- ความถี่สูงกว่า $f_c$ มาก: RC ต่ำผ่านเป็นอินทิเกรเตอร์ · ต่ำกว่ามาก: RC สูงผ่านเป็นดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์

- RLC: $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$, $Q = \sqrt{L/C}/R$, แบนด์วิดท์ $= f_0/Q$ · ยิ่ง Q สูงยิ่งแกว่งนาน

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## ต่อวงจรและโพรบ พื้นฐาน

CH1 วัดที่ขาเข้าวงจร (ขั้วเครื่องกำเนิดสัญญาณ) CH2 วัดที่ขาออก กราวด์ของทุกเครื่องอยู่จุดเดียวกัน ชิ้นที่ต้องการวัดแรงดันต้องอยู่ฝั่งที่ติดกราวด์ ถ้าอยากดูแรงดันคร่อม R ในวงจรต่ำผ่าน ให้สลับตำแหน่ง R กับ C (ได้วงจรสูงผ่าน) แทนการหนีบกราวด์โพรบกลางวงจร

RC ต่ำผ่านและสูงผ่านต่างกันแค่ว่าวัดคร่อมชิ้นไหน กระแสเดียวกันไหลผ่านทั้ง R และ C

อย่าลืม 50 Ω: เครื่องกำเนิดสัญญาณคือแหล่งแรงดันอนุกรมกับ 50 Ω V1 ถ้าคิดผลตอบสนองเทียบกับ emf ของเครื่อง ความต้านทานรวมคือ $R + 50\ \Omega$ แต่ถ้าคิดเทียบกับแรงดันที่ขั้วซึ่ง CH1 วัดได้ ใช้ $R$ อย่างเดียว ผลต่างสำคัญเมื่อ $R$ ไม่ถึงราว 5 kΩ

## ค่าคงตัวเวลา τ และผลตอบสนองขั้น พื้นฐาน

ขอบขาขึ้นของคลื่นสี่เหลี่ยมคือ “ขั้นแรงดัน” ตัวเก็บประจุชาร์จผ่าน R แบบเอกซ์โพเนนเชียล ถ้าครึ่งคาบยาวพอ (≥ 5τ) แรงดันจะขึ้นจนเกือบเต็มก่อนขอบถัดไป เราจึงอ่าน τ จากภาพได้โดยตรง

ที่เวลา τ แรงดันขึ้นได้ 63.2 % ของขั้น เส้นสัมผัสที่จุดเริ่มต้นตัดค่าสุดท้ายที่ τ เช่นกัน

R1 Time constant ค่าคงตัวเวลา

$$\tau_{RC} = R_T\,C,\qquad \tau_{RL} = \frac{L}{R_T},\qquad R_T = R + R_s$$

$R_s = 50\ \Omega$ เมื่อคิดเทียบกับ emf ของเครื่อง ตัวเหนี่ยวนำจริงให้บวกความต้านทานขดลวด $r_L$ เข้าไปใน $R_T$ ด้วย

R2 First-order response ผลตอบสนองอันดับหนึ่งทุกกรณี

$$v(t) = v(\infty) + \big[v(0^+) - v(\infty)\big]\,e^{-t/\tau}$$

ใช้ได้กับทุกแรงดันและกระแสในวงจร RC หรือ RL ที่มีตัวเก็บพลังงานตัวเดียว รู้แค่ค่าเริ่ม ค่าสุดท้าย และ τ

R3 Reading τ from the graph อ่าน τ จากกราฟ

$$v(\tau) = 63.2\,\%,\quad v(5\tau) = 99.3\,\%,\quad t_r = \tau\ln 9 = 2.2\,\tau$$

$$t = \tau\,\ln\frac{v(0^+) - v(\infty)}{v(t) - v(\infty)}$$

ตัวอย่าง R-1 · หา τ และค่า C จากภาพ

### R = 10 kΩ, C ไม่ทราบค่า ป้อนสี่เหลี่ยม 0–4 V 500 Hz ที่ 50 µs/div แรงดันคร่อม C ขึ้นถึง 2.53 V (63.2 %) ที่ 2.01 ช่องหลังขอบขาขึ้น หา τ และ C

- อ่าน τ R3

$$\tau = 2.01 \times 50\ \mu\text{s} = 100.5\ \mu\text{s}$$

- ความต้านทานรวม (ขั้นแรงดันมาจาก emf ของเครื่อง) R1

$$C = \frac{\tau}{R + 50} = \frac{100.5\times10^{-6}}{10\,050} = 10.0\ \text{nF}$$

- ตรวจด้วยเวลาขาขึ้น

$$t_r = 2.2\tau = 221\ \mu\text{s}\ (4.4\ \text{ช่อง})$$

τ = 100.5 µs, C = 10 nF ถ้าลืม 50 Ω จะได้ C = 10.05 nF ต่างกันแค่ 0.5 % เพราะ R ใหญ่ แต่ถ้า R = 100 Ω จะต่างกันถึง 50 %

ลองเอง: ครึ่งคาบ 1 ms ≫ τ ปรับ R และ C แล้วเทียบเวลาขาขึ้นในตารางวัดกับ 2.2τ (กล่องทฤษฎีคำนวณ τ ให้) สังเกตว่าที่ 50 µs/div จอเห็นช่วงชาร์จแค่ราว 4.5τ สโคปหาระดับ “ยอด” จากฮิสโทแกรมของจุดบนจอจึงได้ต่ำไปเล็กน้อย และรายงานเวลาขาขึ้นราว 199 µs หมุน Time/div เป็น 100 µs/div ให้เห็นยอดแบนนานขึ้น จะอ่านได้ราว 223 µs ≈ 2.2τ สโคปจริงก็เป็นแบบนี้ ให้ขอบที่วัดเห็นทั้งฐานและยอดที่นิ่งแล้วเสมอ

## เมื่อชาร์จไม่ทัน: คลื่นสี่เหลี่ยมความถี่สูงขึ้น กลาง

เพิ่มความถี่จนครึ่งคาบสั้นกว่าราว 5τ ตัวเก็บประจุจะชาร์จไม่เต็มก่อนสัญญาณกลับทิศ หลังผ่านไปไม่กี่คาบ วงจรจะเข้าสู่สภาวะคงตัวแบบคาบ (periodic steady state) ที่แรงดันแกว่งสมมาตรรอบค่าเฉลี่ย ยิ่งความถี่สูง ภาพยิ่งเหมือนสามเหลี่ยมและยิ่งเล็ก

สีเหลืองคือขาเข้า สีฟ้าคือแรงดันคร่อม C ที่สามความถี่ ภาพขวาสุดคือวงจรอินทิเกรตแบบพาสซีฟ

R4 Periodic steady state (square wave) ยอดของ $v_C$ เมื่อป้อนสี่เหลี่ยม ±V

$$V_{C,peak} = V\,\tanh\!\left(\frac{T}{4\tau}\right)$$

$T/2 \gg \tau$: $\tanh \to 1$ ชาร์จเต็ม · $T/2 \ll \tau$: $\approx V T/(4\tau)$ เป็นสามเหลี่ยม R7 · ถ้ามีออฟเซต ให้บวกค่าเฉลี่ยเข้าไป

ตัวอย่าง R-2 · RC ที่ 10 kHz

### วงจรเดิม (τ = 100.5 µs) ป้อนสี่เหลี่ยม ±1 V ความถี่ 10 kHz แรงดันคร่อม C สูงยอดถึงยอดเท่าไร

- สูตรเต็ม R4

$$\frac{T}{4\tau} = \frac{100\ \mu\text{s}}{402\ \mu\text{s}} = 0.2488,\quad V_{pp} = 2\tanh(0.2488) = 0.487\ \text{V}$$

- เทียบสูตรอินทิเกรเตอร์ R7

$$V_{pp} \approx \frac{V_p T}{2\tau} = \frac{1 \times 100\ \mu\text{s}}{201\ \mu\text{s}} = 0.498\ \text{V}$$

ราว 0.49 Vpp รูปเกือบเป็นสามเหลี่ยม สูตรประมาณคลาดเพียง 2 % เพราะ T/2 = 0.5τ ยังไม่ ≪ τ มากนัก

ลองเอง: เลื่อนความถี่จาก 100 Hz ถึง 50 kHz แล้วดูรูปคลื่นเปลี่ยนจากชาร์จเต็มเป็นสามเหลี่ยม

## RC กับไซน์: ความถี่ตัด −3 dB และเฟส −45° พื้นฐาน กลาง

ป้อนไซน์ ขาออกจะเป็นไซน์ความถี่เดิมเสมอ (วงจรเชิงเส้น) เปลี่ยนแค่แอมพลิจูดและเฟส สองค่านี้คือผลตอบสนองความถี่ $H(j\omega)$ ที่หาได้จากอิมพีแดนซ์ $Z_C = 1/(j\omega C)$ และตัวแบ่งแรงดัน

R5 Cutoff frequency and low-pass gain ความถี่ตัดและขนาดของวงจรต่ำผ่าน

$$f_c = \frac{1}{2\pi\tau},\qquad |H_{LP}| = \frac{1}{\sqrt{1 + (f/f_c)^2}}$$

ที่ $f = f_c$: $|H| = 0.707$ (−3 dB) · ที่ $10f_c$: 0.0995 (−20 dB)

R6 Phase, and the high-pass version เฟสของต่ำผ่านและวงจรสูงผ่าน

$$\varphi_{LP} = -\arctan\frac{f}{f_c},\qquad |H_{HP}| = \frac{f/f_c}{\sqrt{1 + (f/f_c)^2}},\quad \varphi_{HP} = 90^\circ - \arctan\frac{f}{f_c}$$

สูงผ่านนำเฟส +45° ที่ $f_c$ · ทั้งสองวงจรมีความถี่ตัดเดียวกัน และ $|H_{LP}|^2 + |H_{HP}|^2 = 1$

ตัวอย่าง R-3 · ตรวจความถี่ตัดสองวิธี

### R = 10 kΩ, C = 10 nF วัดเทียบแรงดันที่ขั้ว (CH1) ที่ความถี่ไหนได้ −3 dB และ −45° ที่ 5 kHz ได้เท่าไร

- เทียบ CH1 ที่ขั้วจึงไม่รวม 50 Ω R5

$$f_c = \frac{1}{2\pi(10^4)(10^{-8})} = 1591.5\ \text{Hz}$$

- ที่ 5 kHz R6

$$\frac{f}{f_c} = 3.142,\quad |H| = \frac{1}{\sqrt{1 + 9.87}} = 0.303\ (-10.4\ \text{dB}),\quad \varphi = -72.3^\circ$$

ที่ 1.59 kHz ได้ทั้ง 0.707 และ −45° พร้อมกัน ใช้เป็นการตรวจไขว้ ถ้าสองวิธีให้ความถี่ไม่ตรงกัน แปลว่ามีอะไรผิด เช่น โพรบไม่ได้ชดเชย หรือ C ไม่ใช่ค่าที่คิด ดูวิธีเก็บกราฟโบดเต็มที่ เทคนิคการวัด

ลองเอง: เลื่อนความถี่ให้เฟสเป็น −45° แล้วดูอัตราส่วน dB สลับขาออกคร่อม C (ต่ำผ่าน) กับคร่อม R (สูงผ่าน)

## อินทิเกรเตอร์และดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์แบบพาสซีฟ กลาง

วงจร RC ทำแคลคูลัสได้ด้วยตัวเองเมื่อความถี่เหมาะสม ถ้าครึ่งคาบสั้นกว่า τ มาก แรงดันคร่อม C แทบไม่เปลี่ยน กระแสจึงถูกกำหนดโดย $v_{in}/R$ และ C สะสมประจุเป็นปริพันธ์ของกระแส ถ้าครึ่งคาบยาวกว่า τ มาก C ตามขาเข้าทัน แรงดันคร่อม R จึงเหลือเฉพาะช่วงที่ขาเข้าเปลี่ยน ซึ่งเป็นสัดส่วนกับอนุพันธ์

RC สูงผ่านกับคลื่นสี่เหลี่ยม: ซ้ายคือดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์ (สไปก์สูงถึง 2 เท่าของแอมพลิจูดที่ขอบ) ขวาคือคัปปลิงที่ผ่านคลื่นเกือบครบ

R7 Passive integrator อินทิเกรเตอร์แบบพาสซีฟ $(f \gg f_c)$

$$v_C(t) \approx \frac{1}{\tau}\int v_{in}\,dt,\qquad V_{pp,\triangle} \approx \frac{V_p\,T}{2\tau}$$

ได้สามเหลี่ยมจากสี่เหลี่ยม ±$V_p$ แต่เล็กลงมาก ออปแอมป์อินทิเกรเตอร์ทำได้โดยไม่ลดทอน U7

R8 Passive differentiator ดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์แบบพาสซีฟ $(f \ll f_c)$

$$v_R(t) \approx \tau\,\frac{dv_{in}}{dt},\qquad v_R(0^+) = \Delta v_{in}$$

ขอบสี่เหลี่ยมสูง $\Delta v = 2V_p$ จึงได้สไปก์สูง $2V_p$ แล้วลดลงด้วย τ · ใช้ทำวงจรตรวจขอบ (edge detector)

ลองเอง: RC สูงผ่าน (ขาออกคร่อม R) ลดความถี่ลงเพื่อดูสไปก์ เพิ่มความถี่เพื่อดูว่าคลื่นผ่านไปเกือบครบ

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

## ผลตอบสนองอิมพัลส์: สะพานไปสู่สัญญาณและระบบ กลาง ขั้นสูง

ในวิชาสัญญาณและระบบ ระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา (LTI) ถูกบรรยายครบด้วยผลตอบสนองอิมพัลส์ $h(t)$ เพราะขาออกต่อสัญญาณใด ๆ คือคอนโวลูชัน $y = x * h$ ในแล็บเราสร้างอิมพัลส์ไม่ได้จริง แต่พัลส์ที่แคบกว่า τ มากทำตัวเหมือนอิมพัลส์ที่มีพื้นที่เท่ากับ ความสูง × ความกว้าง

R17 Impulse response of RC low-pass ผลตอบสนองอิมพัลส์ของ RC ต่ำผ่าน

$$h(t) = \frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}u(t),\qquad y(t) \approx (V_H\,W)\,h(t)\ \ (W \ll \tau)$$

ยอดของขาออก $\approx V_H W/\tau$ แล้วลดลงด้วย τ · พิสูจน์ได้จาก ลาปลาซ: $H(s) = 1/(1 + s\tau)$

ตัวอย่าง R-4 · ประมาณอิมพัลส์ด้วยพัลส์แคบ

### พัลส์ 0–5 V กว้าง 50 µs ซ้ำทุก 10 ms ป้อน RC ที่ R = 10 kΩ, C = 100 nF ขาออกสูงสุดเท่าไร

- τ รวม 50 Ω R1

$$\tau = 10\,050 \times 100\ \text{nF} = 1.005\ \text{ms} \gg 50\ \mu\text{s}$$

- พื้นที่พัลส์และยอด R17

$$V_H W = 5 \times 50\ \mu\text{s} = 250\ \mu\text{V}\cdot\text{s},\quad y_{max} \approx \frac{250\times10^{-6}}{1.005\times10^{-3}} = 0.249\ \text{V}$$

ยอดราว 0.25 V แล้วลดลงครึ่งหนึ่งทุก $0.693\tau = 0.70$ ms รูปทรงของขาออกคือ $h(t)$ ของวงจร ลองเพิ่มความกว้างพัลส์ (ดิวตี้) ในแล็บเต็ม จะเห็นยอดเพิ่มตามพื้นที่จนพัลส์กว้างเทียบกับ τ แล้วรูปเริ่มเพี้ยนจาก $h(t)$

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

ต่อยอดเรื่อง $h(t)$ คอนโวลูชัน และการแปลงฟูริเยร์ได้ที่ แล็บสัญญาณ และ แล็บระบบอันดับหนึ่ง ซึ่งใช้วงจรเดียวกันนี้ในรูปฟังก์ชันถ่ายโอน

## วงจร RL พื้นฐาน กลาง

RL ทำงานกลับกับ RC: ตัวเหนี่ยวนำต้านการเปลี่ยนกระแส ขาออกคร่อม R เป็นวงจรต่ำผ่าน คร่อม L เป็นสูงผ่าน τ = L/R สั้นมากเมื่อ L เป็น mH และ R เป็น kΩ จึงต้องใช้ความถี่สูงกว่า RC ทั่วไป ตัวเหนี่ยวนำจริงมีความต้านทานขดลวด $r_L$ อยู่ในตัว ทำให้แรงดันคร่อม L ไม่ลดลงถึงศูนย์ แต่ค้างที่ $V\,r_L/(R_T)$

ตัวอย่าง R-5 · หาค่า L จาก τ

### R = 1 kΩ ต่อกับขดลวดไม่ทราบค่า ป้อนสี่เหลี่ยม 10 kHz วัด τ ของแรงดันคร่อม R ได้ 9.5 µs หา L

- จัดรูป R1

$$L = \tau\,(R + 50 + r_L) \approx 9.5\ \mu\text{s} \times 1050\ \Omega = 9.98\ \text{mH}$$

ราว 10 mH ถ้าวัด $r_L$ ด้วยมัลติมิเตอร์ได้ เช่น 20 Ω ให้บวกเข้าไป จะได้ 10.2 mH

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

## RLC อนุกรม: เรโซแนนซ์ Q และแบนด์วิดท์ กลาง

ที่ความถี่หนึ่ง รีแอกแตนซ์ของ L กับ C หักล้างกันพอดี เหลือแค่ความต้านทาน กระแสสูงสุดและเฟสเป็นศูนย์ นี่คือเรโซแนนซ์ ความคมของยอดบอกด้วย Q ซึ่งเป็นตัวเลขเดียวที่บอกทั้งพฤติกรรมในโดเมนความถี่ (แบนด์วิดท์) และโดเมนเวลา (แกว่งกี่รอบ)

RLC อนุกรม: 50 Ω ภายในเครื่องอนุกรมอยู่ในวงจรเสมอ จึงต้องรวมใน R ของสูตร

R9 Resonant frequency ความถี่เรโซแนนซ์

$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},\qquad \omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}$$

R10 Quality factor (series RLC) ตัวประกอบคุณภาพ

$$Q = \frac{1}{R_T}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{\omega_0 L}{R_T},\qquad \zeta = \frac{1}{2Q}$$

$R_T = R + 50\ \Omega + r_L$ · $Q > 0.5$ แกว่ง ($\zeta < 1$) · $Q = 0.707$ ตอบสนองแบนราบที่สุด (Butterworth)

R11 Bandwidth and half-power frequencies แบนด์วิดท์และความถี่ครึ่งกำลัง

$$B = f_2 - f_1 = \frac{f_0}{Q} = \frac{R_T}{2\pi L},\qquad f_{1,2} = f_0\left(\sqrt{1 + \tfrac{1}{4Q^2}} \mp \tfrac{1}{2Q}\right)$$

$f_0 = \sqrt{f_1 f_2}$ (ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ไม่ใช่เลขคณิต)

R15 Voltage magnification at resonance แรงดันคร่อม L และ C ที่เรโซแนนซ์

$$|V_L| = |V_C| = Q\,|V_{emf}|$$

Q = 10 กับไฟ 2 Vpp ได้ 20 Vpp คร่อม C ระวังพิกัดแรงดันของตัวเก็บประจุ

R16 Parallel RLC (tank) RLC ขนาน

$$Q_p = R_p\sqrt{\frac{C}{L}},\qquad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

ขนาน: R ยิ่งมาก Q ยิ่งสูง (กลับกับอนุกรม) ใช้ในวงจรจูนวิทยุและออสซิลเลเตอร์

ขาออกคร่อม R ของ RLC เดียวกัน L = 10 mH, C = 100 nF ที่ R รวมสองค่า Q สูงยอดแคบ แบนด์วิดท์แคบ

ตัวอย่าง R-6 · RLC ครบทุกค่า

### L = 10 mH, C = 100 nF, R = 100 Ω ต่อกับเครื่องกำเนิดสัญญาณ 2 Vpp (emf) หา $f_0$, Q, แบนด์วิดท์, $f_1$, $f_2$ และแรงดันคร่อม C ที่เรโซแนนซ์

- ความถี่เรโซแนนซ์ R9

$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(10^{-2})(10^{-7})}} = 5033\ \text{Hz}$$

- Q รวม 50 Ω R10

$$Q = \frac{1}{150}\sqrt{\frac{10^{-2}}{10^{-7}}} = \frac{316.2}{150} = 2.11$$

- แบนด์วิดท์และขอบ R11

$$B = \frac{5033}{2.11} = 2387\ \text{Hz},\quad f_1 = 3979\ \text{Hz},\quad f_2 = 6366\ \text{Hz}$$

- แรงดันคร่อม C R15

$$V_C = 2.11 \times 2 = 4.22\ \text{Vpp}$$

$f_0$ = 5.03 kHz, Q = 2.11, B = 2.39 kHz (3.98–6.37 kHz) และ $V_C$ = 4.2 Vpp มากกว่าแหล่งจ่าย ถ้าลืม 50 Ω จะคำนวณ Q = 3.16 ผิดไป 50 %

ลองเอง: ขาออกคร่อม R ปรับความถี่หายอด (เฟสเป็น 0°) แล้วหาความถี่ที่อัตราส่วนลดเหลือ 0.707 ทั้งสองข้าง ลองสลับขาออกเป็นคร่อม C แล้วดูแรงดันที่ $f_0$

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

## RLC กับคลื่นสี่เหลี่ยม: การแกว่งและลอการิทึมดีครีเมนต์ กลาง ขั้นสูง

ป้อนคลื่นสี่เหลี่ยมความถี่ต่ำ (ครึ่งคาบยาวกว่าเวลาที่การแกว่งยุบหมด) แต่ละขอบคือขั้นแรงดันที่ทำให้วงจรแกว่งที่ความถี่ธรรมชาติ แล้วค่อย ๆ ยุบตามเปลือกเอกซ์โพเนนเชียล ภาพเดียวนี้ให้ทั้ง $f_d$, ζ, Q และ R รวมของวงจร เป็นวิธีที่ใช้หาความหน่วงของระบบจริง ตั้งแต่วงจรกรองไปจนถึงโครงสร้างเครื่องกล

แรงดันคร่อม C หลังขอบขาขึ้น: วัดความสูงของยอดเหนือค่าสุดท้ายสองยอดถัดกันที่ห่างกันหนึ่งคาบ

R12 Damped ringing การแกว่งแบบหน่วง

$$f_d = f_0\sqrt{1 - \zeta^2},\qquad \text{เปลือก} \propto e^{-\alpha t},\ \ \alpha = \frac{R_T}{2L} = \zeta\omega_0$$

R13 Logarithmic decrement ลอการิทึมดีครีเมนต์

$$\delta = \ln\frac{V_n}{V_{n+1}} = \frac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}},\qquad \zeta = \frac{\delta}{\sqrt{4\pi^2 + \delta^2}},\qquad Q \approx \frac{\pi}{\delta}$$

$V_n$ วัดจากค่าสุดท้ายถึงยอด ยอดที่ห่างกันหนึ่งคาบ · จำง่าย: Q ≈ จำนวนรอบที่แกว่งจนเหลือราว 4 % ($e^{-\pi}$)

R14 Percent overshoot เปอร์เซ็นต์โอเวอร์ชูต (คร่อม C)

$$\%OS = 100\,e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}$$

เหมือนระบบอันดับสองในวิชาควบคุมทุกประการ ดู แล็บระบบอันดับสอง

ตัวอย่าง R-7 · หา Q และ R จากการแกว่ง

### RLC (L = 10 mH, C = 100 nF) ป้อนสี่เหลี่ยม ±1 V 300 Hz คร่อม C ยอดแรกเกินค่าสุดท้าย 1.48 V ยอดถัดไป (หนึ่งคาบต่อมา) เกิน 0.814 V หา δ, ζ, Q และ R รวม

- ลอการิทึมดีครีเมนต์ R13

$$\delta = \ln\frac{1.48}{0.814} = 0.598$$

- ζ และ Q

$$\zeta = \frac{0.598}{\sqrt{39.48 + 0.358}} = 0.0947,\quad Q = \frac{1}{2\zeta} = 5.28$$

- R รวม จาก R10

$$R_T = \frac{1}{Q}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{316.2}{5.28} = 59.9\ \Omega$$

- ตรวจโอเวอร์ชูตของขั้น 2 V R14

$$\%OS = 100\,e^{-0.0947\pi/0.9955} = 74.1\ \%\ \Rightarrow\ 0.741\times 2 = 1.48\ \text{V}$$

Q ≈ 5.3, R รวม ≈ 60 Ω = R ที่ใส่ 10 Ω + 50 Ω ของเครื่อง วิธีนี้วัดความต้านทานที่ “ซ่อนอยู่” ได้ ถ้าได้มากกว่าที่คิด ส่วนเกินมักเป็นความต้านทานของขดลวด

ลองเอง: ลด R ให้แกว่งนานขึ้น (Q สูง) เพิ่ม R จนไม่แกว่ง ($R_T \ge 2\sqrt{L/C} = 632\ \Omega$ คือหน่วงวิกฤต)

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้สโคปจำลอง

## สรุป: เวลา ↔ ความถี่ ของวงจรเดียวกัน กลาง

| สิ่งที่เห็นในโดเมนเวลา (สี่เหลี่ยม) | สิ่งที่เห็นในโดเมนความถี่ (ไซน์) | ความสัมพันธ์ |

| τ ของ RC | $f_c$ | $f_c = 1/(2\pi\tau)$ |

| เวลาขาขึ้น $t_r$ | แบนด์วิดท์ | $t_r \approx 0.35/f_c$ O8 |

| ยอดเอียง (tilt) ของสูงผ่าน | ความถี่ตัดต่ำ | $\text{tilt} \approx \pi f_c/f$ O6 |

| ความถี่แกว่ง $f_d$ | ความถี่ยอดเรโซแนนซ์ | $f_d = f_0\sqrt{1-\zeta^2}$ |

| จำนวนรอบที่แกว่ง | ความคมของยอด Q | $Q \approx \pi/\delta$ |

| โอเวอร์ชูต | ยอดเกินใน $|H|$ ของต่ำผ่านอันดับสอง | ทั้งคู่ขึ้นกับ ζ |

ข้อสรุปนี้คือหัวใจของวิชาสัญญาณและระบบ: ระบบเชิงเส้นเดียวกันมองได้สองแบบ ผลตอบสนองอิมพัลส์ $h(t)$ กับผลตอบสนองความถี่ $H(j\omega)$ เป็นคู่การแปลงฟูริเยร์กัน ถ้าอินพุตเป็นคลื่นคาบที่ไม่ใช่ไซน์ ใช้ $H(jn\omega_0)$ ทีละฮาร์มอนิกตาม วิเคราะห์วงจรด้วยอนุกรมฟูเรียร์ ไปต่อที่ ออปแอมป์ เพื่อทำวงจรเหล่านี้ให้มีเกนและไม่ถูกโหลด

## ต่อยอด: วัดผลตอบสนองความถี่เพื่อออกแบบระบบควบคุม

การกวาดความถี่วัดเกนและเฟสของ RC และ RLC คือการวัดผลตอบสนองความถี่ นำไปวาดโบด หาฟังก์ชันถ่ายโอนจากกราฟ และวัดลูปเกนของพาวเวอร์ซัพพลาย

## คำถามที่พบบ่อย

หาค่าคงตัวเวลา τ จากออสซิลโลสโคปอย่างไร?
ป้อนคลื่นสี่เหลี่ยมที่ครึ่งคาบยาวอย่างน้อย 5τ แล้วดูแรงดันคร่อม C วัดเวลาตั้งแต่ขอบขาขึ้นจนแรงดันขึ้นถึง 63.2 % ของความสูงขั้น เวลานั้นคือ τ หรือวัดเวลาขาขึ้น 10–90 % แล้วหารด้วย 2.2 อย่าลืมว่าความต้านทาน 50 Ω ของเครื่องกำเนิดสัญญาณรวมอยู่ใน τ ด้วย ถ้าวัดเทียบกับ emf ของเครื่อง

ทำไมค่า τ หรือ Q ที่วัดได้ไม่ตรงกับที่คำนวณจากค่าบนตัวอุปกรณ์?
สาเหตุหลักคือความต้านทานขาออก 50 Ω ของเครื่องกำเนิดสัญญาณที่อนุกรมอยู่ในวงจร ความต้านทานของขดลวดตัวเหนี่ยวนำ ความคลาดเคลื่อนของตัวเก็บประจุ (±5–20 %) และความจุของโพรบ วงจร RLC ที่ใช้ R ค่าน้อยจะได้รับผลมากที่สุด เพราะ 50 Ω อาจมากกว่า R ที่ใส่เสียอีก

ความถี่ตัด −3 dB หมายถึงอะไร?
คือความถี่ที่แรงดันขาออกเหลือ 1/√2 = 0.707 ของขาเข้า หรือกำลังเหลือครึ่งหนึ่ง สำหรับวงจร RC อันดับหนึ่ง f_c = 1/(2πRC) และที่ความถี่นี้เฟสเลื่อนไป 45° พอดี จึงหาได้สองทาง คือหาความถี่ที่อัตราส่วนเป็น 0.707 หรือหาความถี่ที่เฟสเป็น −45°

วงจร RC เป็นอินทิเกรเตอร์ได้เมื่อไร?
เมื่อความถี่ของสัญญาณสูงกว่าความถี่ตัดมาก (ครึ่งคาบสั้นกว่า τ มาก) แรงดันคร่อม C จะเปลี่ยนน้อยมากเมื่อเทียบกับขาเข้า กระแสจึงเกือบเท่ากับ v_in/R และ v_C ≈ (1/RC)∫v_in dt คลื่นสี่เหลี่ยมจึงกลายเป็นสามเหลี่ยม แต่แอมพลิจูดเล็กลง ถ้าต้องการอินทิเกรตโดยไม่ลดทอน ให้ใช้ออปแอมป์อินทิเกรเตอร์

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**หาค่าคงตัวเวลา τ จากออสซิลโลสโคปอย่างไร?**
ป้อนคลื่นสี่เหลี่ยมที่ครึ่งคาบยาวอย่างน้อย 5τ แล้วดูแรงดันคร่อม C วัดเวลาตั้งแต่ขอบขาขึ้นจนแรงดันขึ้นถึง 63.2 % ของความสูงขั้น เวลานั้นคือ τ หรือวัดเวลาขาขึ้น 10–90 % แล้วหารด้วย 2.2 อย่าลืมว่าความต้านทาน 50 Ω ของเครื่องกำเนิดสัญญาณรวมอยู่ใน τ ด้วย ถ้าวัดเทียบกับ emf ของเครื่อง

**ทำไมค่า τ หรือ Q ที่วัดได้ไม่ตรงกับที่คำนวณจากค่าบนตัวอุปกรณ์?**
สาเหตุหลักคือความต้านทานขาออก 50 Ω ของเครื่องกำเนิดสัญญาณที่อนุกรมอยู่ในวงจร ความต้านทานของขดลวดตัวเหนี่ยวนำ ความคลาดเคลื่อนของตัวเก็บประจุ (±5–20 %) และความจุของโพรบ วงจร RLC ที่ใช้ R ค่าน้อยจะได้รับผลมากที่สุด เพราะ 50 Ω อาจมากกว่า R ที่ใส่เสียอีก

**ความถี่ตัด −3 dB หมายถึงอะไร?**
คือความถี่ที่แรงดันขาออกเหลือ 1/√2 = 0.707 ของขาเข้า หรือกำลังเหลือครึ่งหนึ่ง สำหรับวงจร RC อันดับหนึ่ง f_c = 1/(2πRC) และที่ความถี่นี้เฟสเลื่อนไป 45° พอดี จึงหาได้สองทาง คือหาความถี่ที่อัตราส่วนเป็น 0.707 หรือหาความถี่ที่เฟสเป็น −45°

**วงจร RC เป็นอินทิเกรเตอร์ได้เมื่อไร?**
เมื่อความถี่ของสัญญาณสูงกว่าความถี่ตัดมาก (ครึ่งคาบสั้นกว่า τ มาก) แรงดันคร่อม C จะเปลี่ยนน้อยมากเมื่อเทียบกับขาเข้า กระแสจึงเกือบเท่ากับ v_in/R และ v_C ≈ (1/RC)∫v_in dt คลื่นสี่เหลี่ยมจึงกลายเป็นสามเหลี่ยม แต่แอมพลิจูดเล็กลง ถ้าต้องการอินทิเกรตโดยไม่ลดทอน ให้ใช้ออปแอมป์อินทิเกรเตอร์

---

# แล็บจำลองเครื่องกำเนิดสัญญาณ + ออสซิลโลสโคป เสมือนจริง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/simulator/
Updated: 2026-10-12
Summary: โต๊ะแล็บเสมือนจริงฟรีบนเบราว์เซอร์: เครื่องกำเนิดสัญญาณ 25 MHz (ไซน์ สี่เหลี่ยม แรมป์ พัลส์ นอยส์ AM FM PWM Sweep Burst ขาออก 50 Ω) บอร์ดวงจร 15 แบบ (RC RL RLC เรกติไฟเออร์ คลิปเปอร์ แคลมเปอร์ ออปแอมป์ อินทิเกรเตอร์ คอมพาเรเตอร์ ชมิตต์) และออสซิลโลสโคป 2 ช่อง 100 MHz ที่มีทริกเกอร์ โพรบ 1× 10× ชดเชยโพรบ คัปปลิง AC DC อเลียสซิง การวัดอัตโนมัติ เคอร์เซอร์ XY และ FFT พร้อมใบงาน 16 การทดลองและเฉลย แชร์การตั้งค่าเป็นลิงก์ได้

// คู่มือและใบงานประกอบแล็บ

## ใช้โต๊ะแล็บจำลองให้คุ้ม

เริ่มใน 30 วินาที

- เลือก “โหลดการทดลอง” ด้านบนโต๊ะ หรือกดปุ่มในใบงาน ทุกอย่างตั้งให้อัตโนมัติ

- เครื่องกำเนิดสัญญาณ: เลือกรูปคลื่น → เลือกพารามิเตอร์ (Freq, Ampl, Offset …) → พิมพ์ค่าพร้อมหน่วยย่อ เช่น 2.5k หรือหมุนปุ่ม → อย่าลืม OUTPUT ON

- สโคป: AUTO ช่วยเริ่ม · ภาพไม่นิ่งให้ดู TRIGGER · ค่าที่วัดอยู่ในตารางใต้ปุ่ม

- “คัดลอกลิงก์การตั้งค่านี้” เก็บทุกปุ่มไว้ในลิงก์ ส่งให้คนอื่นเปิดได้ภาพเดิม

## ส่วนประกอบของโต๊ะแล็บ

| ส่วน | ทำอะไรได้ | อ่านทฤษฎี |

| เครื่องกำเนิดสัญญาณ (FG-25) | ไซน์ สี่เหลี่ยม แรมป์ พัลส์ นอยส์ รูปคลื่น Arb · ความถี่ แอมพลิจูด ออฟเซต เฟส ดิวตี้ · AM FM PWM Sweep Burst · Load High-Z/50 Ω · เพิ่มนอยส์ · OUTPUT | เครื่องกำเนิดสัญญาณ |

| บอร์ดทดลอง | 15 วงจร พร้อมผังวงจรและตำแหน่งโพรบ ใส่ค่าชิ้นส่วนเองได้ · กล่องทฤษฎีคำนวณค่าที่ควรได้พร้อมรหัสสูตร | RC RLC · ออปแอมป์ · งานประยุกต์ |

| สโคปแนวตั้ง CH1 CH2 | V/div · Position · DC/AC/GND · เมนูโพรบ 1×/10× · BW 20 MHz · Invert | แนวตั้ง |

| สโคปแนวนอน | Time/div · Position · Y–T / X–Y | แนวนอน |

| ทริกเกอร์ | Level · 50% · CH1/CH2/EXT (SYNC ของ FG) · ขอบขึ้น/ลง · Auto/Normal/Single · RUN/STOP · SINGLE | ทริกเกอร์ |

| Math · Cursor | 1+2, 1−2, 1×2, FFT · เคอร์เซอร์เวลาและแรงดัน (ลากบนจอ) | Math · FFT |

| ตัวโพรบ | สวิตช์ 1×/10× บนตัวโพรบ · ทริมเมอร์ชดเชย (มีผลเมื่ออยู่ที่ 10×) | โพรบ |

| ACQ · DISPLAY | Average 16 ครั้ง · ค้างภาพ (persistence) | เฉลี่ยลดนอยส์ |

ทุกการทดลองเปิดตรงได้จากลิงก์ เช่น /learn/function-generator/simulator/#preset=rc-square ดูรายการทั้งหมดใน ดัชนีการทดลอง

## ใบงาน 16 การทดลอง

เรียงจากพื้นฐานไปขั้นสูง กดปุ่ม “โหลดการตั้งค่า” แล้วโต๊ะแล็บด้านบนจะตั้งค่าให้และเลื่อนขึ้นไปให้ ทำตามขั้นตอน ตอบคำถาม แล้วค่อยเปิดเฉลย ค่าที่วัดในสโคปจำลองอาจต่างจากตัวเลขในเฉลยเล็กน้อยจากความละเอียด 8 บิตและนอยส์ เหมือนเครื่องจริง

### อ่านค่าไซน์: Vpp ความถี่ และ Vrms พื้นฐาน

เป้าหมาย: อ่านค่าจากกราติคูลและเทียบกับการวัดอัตโนมัติ

- นับช่องแนวตั้งจากยอดถึงยอด คูณ V/div
- นับช่องของหนึ่งคาบ คูณ Time/div
- คำนวณ Vrms จาก Vpp แล้วเทียบกับตารางวัด

สูตร O1 O2 W7

เฉลย
4 ช่อง × 0.5 V = 2 Vpp · 5 ช่อง × 200 µs = 1 ms → 1 kHz · $V_{rms} = 2/(2\sqrt2) = 0.707$ V ตรงกับตาราง (Vpp บนจออาจแสดง 2.04 V เพราะ ADC 8 บิตปัดค่ายอด)

### ดิวตี้ ค่าเฉลี่ย และ RMS ของพัลส์ พื้นฐาน

เป้าหมาย: แยกค่าเฉลี่ย ค่า RMS และค่า RMS เฉพาะส่วน AC

- สี่เหลี่ยม 0–4 V ดิวตี้ 25 % อ่าน Vavg, Vrms, Vrms (AC)
- คำนวณด้วยสูตรแล้วเทียบ
- เปลี่ยนดิวตี้เป็น 50 % และ 75 % ดูการเปลี่ยน

สูตร W10 W11 W8

เฉลย
$V_{avg} = DV_H = 1$ V · $V_{rms} = V_H\sqrt D = 2$ V · $V_{rms(AC)} = \sqrt{2^2 - 1^2} = 1.73$ V

### ออฟเซต DC กับคัปปลิง AC/DC พื้นฐาน

เป้าหมาย: เห็นว่าคัปปลิง AC ตัดอะไรออก

- ไซน์ 2 Vpp ออฟเซต 1 V ดู Vmax Vmin Vavg Vrms ที่คัปปลิง DC
- เปลี่ยน CH1 เป็น AC แล้วดูใหม่

สูตร W4 W8 O5

เฉลย
DC: 2 V, 0 V, 1 V และ $V_{rms} = \sqrt{1^2 + 0.707^2} = 1.225$ V · AC: ภาพเลื่อนลงมากลางจอ Vavg ≈ 0 และ Vrms ≈ 0.707 V

### ทำไมค่าไม่ตรงกับที่ตั้ง: Load 50 Ω พื้นฐาน

เป้าหมาย: เข้าใจความต้านทานขาออก 50 Ω และการตั้ง Load

- โหลดชุดแรก: เครื่องตั้ง Load 50 Ω แต่ต่อเข้าสโคป 1 MΩ ตรง ๆ อ่าน Vpp
- โหลดชุดที่สอง: เครื่องตั้ง High-Z แต่ต่อตัวต้านทาน 50 Ω (terminator) อ่าน Vpp
- แก้ทั้งสองกรณีให้ได้ 2 Vpp

สูตร V2 V4

เฉลย
ชุดแรกได้ราว 4 Vpp (สองเท่า) ชุดที่สองได้ราว 1 Vpp (ครึ่งเดียว) แก้โดยตั้ง Load ให้ตรงกับโหลดจริง: สโคป 1 MΩ → High-Z · โหลด 50 Ω → 50 Ω

### ภาพวิ่ง: แก้ทริกเกอร์ พื้นฐาน

เป้าหมาย: เข้าใจระดับ ขอบ และโหมดทริกเกอร์

- ภาพวิ่งเพราะระดับทริกเกอร์ 2.5 V แต่สัญญาณสูงสุด 1 V กด 50% แล้วดูสถานะมุมซ้ายบนจาก AUTO เป็น T'D
- ชุดที่สอง: เปลี่ยนขอบเป็นขึ้น/ลง ดูจุดที่ภาพเริ่มกลางจอ ลองหมุนระดับให้เกินสัญญาณในโหมด Normal

ทริกเกอร์

เฉลย
ระดับต้องอยู่ในช่วงสัญญาณ · โหมด Normal ที่ระดับเกินสัญญาณจะค้างภาพสุดท้ายไว้ (สถานะ WAIT) ไม่วาดใหม่ ต่างจาก Auto ที่วาดเองแต่ภาพวิ่ง

### ชดเชยโพรบ 10× พื้นฐาน

เป้าหมาย: ปรับทริมเมอร์ให้คลื่นสี่เหลี่ยมจากขั้ว Probe Comp แบน

- CH1 ชดเชยเกิน CH2 ชดเชยขาด ระบุว่าช่องไหนเป็นแบบไหน
- หมุนทริมเมอร์ในกล่อง PROBE จนยอดแบนทั้งสองช่อง
- ลองสับสวิตช์โพรบเป็น 1× แต่ไม่เปลี่ยนเมนูช่อง ค่าเปลี่ยนไปเท่าไร

สูตร O7 O16

เฉลย
เกิน = มุมพุ่ง · ขาด = มุมมน · สวิตช์ 1× แต่เมนู 10× ค่าบนจอจะใหญ่ไป 10 เท่า และมีคำเตือนในกล่องโพรบ

### แบนด์วิดท์ เวลาขาขึ้น และโพรบ 1× กลาง

เป้าหมาย: แยกเวลาขาขึ้นของสัญญาณ สโคป และโพรบ

- ชุดแรก: สี่เหลี่ยม 1 MHz ที่ 5 ns/div วัดเวลาขาขึ้น เครื่องกำเนิดสัญญาณมีขอบ 8 ns สโคป 100 MHz
- เปิด BW 20M แล้ววัดใหม่
- ชุดที่สอง: CH1 โพรบ 10× CH2 โพรบ 1× วัดเวลาขาขึ้นทั้งสองช่อง

สูตร O8 O9

เฉลย
$\sqrt{8^2 + 3.5^2} \approx 8.7$ ns · BW 20 MHz: $t_{scope} = 17.5$ ns → $\sqrt{8^2 + 17.5^2} \approx 19$ ns · โพรบ 1× (≈ 6 MHz): ราว 60 ns ขอบโค้งชัดเจน

### อเลียสซิง: ภาพนิ่งแต่ความถี่ผิด กลาง

เป้าหมาย: เห็นผลของอัตราสุ่มที่ไม่พอ

- อ่านความถี่ที่จอแสดงที่ 5 ms/div
- คำนวณอัตราสุ่มจริงจาก 10,000 จุด แล้วหาความถี่อเลียส
- หมุน Time/div ลงทีละขั้นจนเห็นความถี่จริง (ดู Sa/s ที่หัวจอ)

สูตร O11 O12

เฉลย
$f_s = 10^4/(50\ \text{ms}) = 200$ kSa/s · $f_{alias} = |1\,000\,020 - 5 \times 200\,000| = 20$ Hz · ที่ 200 ns–1 µs/div จะเห็น 1 MHz

### หาค่าคงตัวเวลา τ ของ RC พื้นฐาน

เป้าหมาย: อ่าน τ สามวิธีแล้วเทียบกับ $(R + 50)C$

- วิธี 63.2 %: ใช้เคอร์เซอร์แรงดันวางที่ 0 V และ 2.53 V แล้วเคอร์เซอร์เวลาวัดจากขอบถึงจุด 63.2 %
- วิธีเวลาขาขึ้น: อ่าน Rise ในตาราง แล้วหาร 2.2 (หมุน Time/div เป็น 100 µs/div ก่อน)
- เปลี่ยน C ในบอร์ดเป็น 22n ทำซ้ำ

สูตร R1 R3

เฉลย
$\tau = 10\,050 \times 10\ \text{nF} = 100.5\ \mu\text{s}$ (ราว 2 ช่องที่ 50 µs/div) · Rise ≈ 221 µs · C = 22 nF: τ = 221 µs

### ความถี่ตัด −3 dB และเฟส −45° กลาง

เป้าหมาย: หาความถี่ตัดสองวิธีและวัดเฟสด้วยลิสซาจู

- ชุดแรก: อ่านอัตราส่วน Vpp₂/Vpp₁ และเฟสที่ 1.583 kHz
- เปลี่ยนความถี่เป็น 500 Hz และ 5 kHz บันทึกค่า
- ชุดที่สอง (XY): อ่าน $y_0$ และ $y_{max}$ จากวงรีแล้วคำนวณเฟส

สูตร R5 R6 B5

เฉลย
ราว 0.707 (−3 dB) และ −45° · 500 Hz: −0.4 dB, −17° · 5 kHz: −10.4 dB, −72° (เทียบ CH1 ที่ขั้วจึงใช้ $f_c = 1/(2\pi RC) = 1.59$ kHz) · วงรี: $y_0/y_{max} \approx 0.71$ → 45°

### RLC: เรโซแนนซ์และการแกว่ง กลาง

เป้าหมาย: หา $f_0$, Q, แบนด์วิดท์ จากโดเมนความถี่และโดเมนเวลา

- ชุดแรก (ไซน์ ขาออกคร่อม R): หาความถี่ที่เฟสเป็น 0° แล้วหา $f_1$, $f_2$ ที่อัตราส่วนเหลือ 0.707
- ชุดที่สอง (สี่เหลี่ยม ขาออกคร่อม C): วัดยอดเกินสองยอดที่ห่างกันหนึ่งคาบ หา δ และ Q

สูตร R9–R13

เฉลย
ชุดแรก: $f_0$ = 5.03 kHz, R รวม 150 Ω → Q = 2.11, $f_1$ ≈ 3.98 kHz, $f_2$ ≈ 6.37 kHz · ชุดที่สอง: R รวม 60 Ω → Q ≈ 5.3, δ ≈ 0.60, ยอดถัดกันลดลงราว 1.8 เท่า

### เรกติไฟเออร์และริปเปิล พื้นฐาน

เป้าหมาย: วัดยอด ริปเปิล และ DC เทียบสูตร

- ครึ่งคลื่น: อ่าน Vmax, Vpp ของ CH2 (ริปเปิล) และ Vavg
- เปลี่ยน C เป็น 4.7 µF ริปเปิลลดลงกี่เท่า
- บริดจ์: ริปเปิลต่างจากครึ่งคลื่นอย่างไร (ดูความถี่ริปเปิล)

สูตร X1 X2 X3

เฉลย
ครึ่งคลื่น: ยอดราว 4.2 V ริปเปิลราว 0.36 Vpp (สูตรให้ 0.42) DC ราว 4.0 V · C 4.7 µF ริปเปิลลดราว 4.7 เท่า · บริดจ์: ริปเปิลที่ 2 kHz ยอดลดลงจาก 2V_f

### คลิปเปอร์และแคลมเปอร์ พื้นฐาน

เป้าหมาย: เห็นการทำงานของไดโอดในวงจรรูปคลื่น

- คลิปเปอร์: อ่านระดับที่ตัด เพิ่มแอมพลิจูด ระดับตัดเปลี่ยนไหม
- แคลมเปอร์: อ่าน Vmax Vmin ของขาออก เทียบ $-V_f$ และ $2V_p - V_f$

สูตร X6 X7

เฉลย
คลิปเปอร์ ±0.70 V แทบไม่เปลี่ยนตามแอมพลิจูด (เพิ่มเล็กน้อยจากความต้านทานไดโอด) · แคลมเปอร์ −0.70 ถึง 5.26 V ($2 \times 3 - 0.7 = 5.3$)

### ออปแอมป์: เกนและการอิ่มตัว พื้นฐาน

เป้าหมาย: วัดเกนและเฟสของวงจรกลับเฟส หาขาเข้าสูงสุดก่อนตัดยอด

- วัดอัตราส่วนและเฟส เทียบ $-R_f/(R_i + 50)$
- ชุดที่สอง: ขาเข้า 8 Vpp อ่าน Vmax Vmin ของขาออก
- ลดแอมพลิจูดจนยอดกลับมาโค้ง จดค่า

สูตร U1 U4

เฉลย
อัตราส่วน 4.68 เฟส 180° · อิ่มตัวที่ราว ±13.5 V · ขาเข้าสูงสุดราว 5.8 Vpp

### ออปแอมป์: GBW และสลูว์เรต กลาง

เป้าหมาย: แยกขีดจำกัดเชิงเส้น (GBW) กับไม่เชิงเส้น (สลูว์เรต)

- ชุดแรก: เกน 100 ที่ 50 kHz อ่านขาออกและเฟส ลดความถี่ลงเป็น 5 kHz
- ชุดที่สอง: LM741 เกน 10 ที่ 20 kHz ดูรูปทรงขาออก เปลี่ยนเป็น TL081
- ในชุดที่สอง ลดแอมพลิจูดลงครึ่งหนึ่ง รูปทรงเปลี่ยนไหม

สูตร U5 U6

เฉลย
50 kHz: ราว 1 Vpp เฟส −78° (ไซน์สวยแต่เล็ก) · 5 kHz: ราว 4.5 Vpp · LM741: สามเหลี่ยมราว 12.4 Vpp · TL081: ไซน์ 20 Vpp · ลดแอมพลิจูดครึ่งหนึ่ง ต้องการความชันครึ่งหนึ่ง (0.63 V/µs) ยังเกิน 0.5 V/µs เล็กน้อย จึงยังเพี้ยนบ้าง

### คอมพาเรเตอร์กับชมิตต์ทริกเกอร์ กลาง

เป้าหมาย: เห็นว่าฮิสเทอรีซิสแก้การสั่นจากนอยส์

- คอมพาเรเตอร์: อ่านความถี่ที่สโคปวัดได้ของ CH2 เทียบกับ 100 Hz ของขาเข้า
- ชมิตต์: อ่านความถี่ CH2 คำนวณ $V_{TH}$, $V_{TL}$
- ในชมิตต์ ลองเพิ่มนอยส์เป็น 20 % และลดแอมพลิจูดลงจนขาออกหยุดสลับ

สูตร U10 U11

เฉลย
คอมพาเรเตอร์: สโคปนับได้หลาย kHz เพราะนับการสั่นที่จุดตัดเป็นขอบด้วย · ชมิตต์: 100 Hz สะอาด $V_{TH,TL} = \pm 13.5/11 = \pm 1.23$ V · ขาเข้าต้องมียอดเกิน 1.23 V จึงจะสลับ

## แล็บนี้คำนวณอะไร และแม่นแค่ไหน

ภาพบนจอไม่ใช่ภาพวาดสำเร็จรูป ทุกจุดมาจากการคำนวณวงจรจริงตามเวลา แล้วผ่านแบบจำลองของโพรบและสโคปก่อนวาด จึงเห็นทั้งพฤติกรรมของวงจรและข้อจำกัดของเครื่องมือในภาพเดียวกัน

| ส่วน | สิ่งที่จำลอง | ค่าที่ใช้ |

| เครื่องกำเนิดสัญญาณ | แหล่ง emf อนุกรม 50 Ω · Load High-Z/50 Ω (คูณ emf สองเท่า) · ขีดจำกัด Vpp/2 + |Offset| ≤ 10 V (5 V ที่ 50 Ω) · ขอบสี่เหลี่ยม 8 ns · ความถี่สูงสุดตามรูปคลื่น · มอดูเลชันทุกแบบ · SYNC | 25 MHz (ไซน์ สี่เหลี่ยม) 1 MHz (แรมป์) |

| วงจรเชิงเส้น RC RL RLC | แก้แบบแม่นตรงด้วยปริภูมิสถานะและเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล หาสภาวะคงตัวแบบคาบโดยตรง (ไม่ต้องรอ transient) | รวม 50 Ω ของเครื่องเสมอ |

| ไดโอด | แบบจำลองแรงดันตกคงที่ + ความต้านทานอนุกรม อินทิเกรตทีละขั้นเวลา | $V_f$ = 0.7 V, $r_d$ = 1 Ω |

| ออปแอมป์ | ขั้วเดียว (GBW) · สลูว์เรต · อิ่มตัวที่ไฟเลี้ยงลบแรงดันตก · ป้อนกลับตามวงจรจริง | LM741 1 MHz 0.5 V/µs · TL081 3 MHz 13 V/µs · LM358 1 MHz 0.3 V/µs · ±15 V |

| โพรบ | 10×: ตัวแบ่ง 10:1 + ทริมเมอร์ชดเชย · 1×: แบนด์วิดท์ราว 6 MHz · สวิตช์บนโพรบแยกจากเมนูช่อง | — |

| สโคป | แบนด์วิดท์ 100 MHz (หรือ 20 MHz) · คัปปลิง AC (≈ 7 Hz ที่ 1×, 0.7 Hz ที่ 10×) · ADC 8 บิต 25 ระดับต่อช่อง · หน่วยความจำ 10 kpts สูงสุด 1 GSa/s · ทริกเกอร์มีฮิสเทอรีซิส · การวัดจากฮิสโทแกรม | เกิดอเลียสซิงและล้นจอได้จริง |

สิ่งที่ยังไม่ได้จำลอง: ความเหนี่ยวนำของสายกราวด์โพรบและเบรดบอร์ด ความจุแฝงระหว่างแถวเบรดบอร์ด ลูปกราวด์และฮัม 50 Hz ผลของอุณหภูมิ ความคลาดเคลื่อนของชิ้นส่วน (ใส่ค่าเองได้) และออปแอมป์หลายขั้ว ดังนั้นวงจรความถี่สูงมากหรือวงจรที่ใกล้ไม่เสถียรบนเบรดบอร์ดจริงอาจแกว่งมากกว่าในแล็บนี้ ใช้แล็บนี้เข้าใจหลักการและเตรียมตัว แล้วยืนยันกับเครื่องจริงเสมอ

## ดัชนีการทดลองทั้งหมด (46 ชุด)

กดชื่อเพื่อเปิดการตั้งค่านั้นบนโต๊ะแล็บ หรือคัดลอกลิงก์ไปใช้ในรายงาน

| หมวด | การทดลอง |

| สัญญาณพื้นฐาน | ไซน์ 1 kHz 2 Vpp · สี่เหลี่ยม ดิวตี้ 25 % · ไซน์มีออฟเซต DC · แรมป์และสามเหลี่ยม · FFT ของสี่เหลี่ยม |

| เครื่องกำเนิดสัญญาณ | Load 50 Ω แต่ต่อสโคปตรง · High-Z แต่ต่อโหลด 50 Ω · AM · FM · Sweep · Burst · เบิสต์ 40 kHz อัลตราโซนิก |

| ออสซิลโลสโคป | ภาพวิ่ง · ทริกเกอร์ Normal + ขอบลง · ชดเชยโพรบ · โพรบ 1× · เวลาขาขึ้น · อเลียสซิง · คัปปลิง AC ยอดเอียง · เฉลี่ยลดนอยส์ |

| RC RL RLC | RC + สี่เหลี่ยม · หา τ · RC สูงผ่าน · RC ที่ความถี่ตัด · ลิสซาจู · ผลตอบสนองอิมพัลส์ · RL + สี่เหลี่ยม · RLC แกว่ง · RLC เรโซแนนซ์ · กวาดหาเรโซแนนซ์ · ทดสอบเครื่องขยาย: ยอดเอียง |

| ไดโอด | ครึ่งคลื่น + C · ครึ่งคลื่นไม่มี C · บริดจ์ · คลิปเปอร์ · แคลมเปอร์ · PWM + RC |

| ออปแอมป์ | กลับเฟส −4.7 · ไม่กลับเฟส 2 · อิ่มตัว · GBW · สลูว์เรต · อินทิเกรเตอร์ · ดิฟเฟอเรนชิเอเตอร์ · คอมพาเรเตอร์ · ชมิตต์ทริกเกอร์ |

ต่อยอด: ทฤษฎีของแต่ละการทดลองอยู่ในหน้า เทคนิคการวัด RC RLC ออปแอมป์ และ งานประยุกต์ ส่วนสูตรทั้งหมดค้นได้ที่ ดัชนีสูตร

## คำถามที่พบบ่อย

แล็บจำลองนี้ใช้ฟรีไหม ต้องติดตั้งอะไรไหม?
ใช้ฟรีทั้งหมด เปิดในเบราว์เซอร์ได้ทันทีทั้งคอมพิวเตอร์ แท็บเล็ต และมือถือ ไม่ต้องสมัครสมาชิกหรือติดตั้งโปรแกรม การคำนวณทั้งหมดทำในเครื่องของผู้ใช้ จึงใช้งานต่อได้แม้อินเทอร์เน็ตช้า

ผลจากแล็บจำลองแม่นยำแค่ไหน เทียบกับเครื่องจริง?
วงจรเชิงเส้น (RC, RL, RLC) คำนวณแบบแม่นตรงด้วยปริภูมิสถานะและเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล วงจรไดโอดและออปแอมป์ใช้แบบจำลองที่มี V_f ความต้านทานไดโอด GBW สลูว์เรต และการอิ่มตัว สโคปจำลองแบนด์วิดท์ โพรบ ADC 8 บิต และอัตราสุ่มจริง จึงเห็นข้อผิดพลาดแบบเดียวกับเครื่องจริง ทั้งอเลียสซิง โพรบไม่ชดเชย หรือ Load ผิด สิ่งที่ไม่ได้จำลองคือความเหนี่ยวนำและความจุแฝงของสายและเบรดบอร์ด อุณหภูมิ และลูปกราวด์

ส่งผลการทดลองให้อาจารย์หรือเพื่อนอย่างไร?
กดปุ่ม “คัดลอกลิงก์การตั้งค่านี้” ลิงก์ที่ได้เก็บทุกปุ่มของเครื่องกำเนิดสัญญาณ วงจร และสโคป เมื่อเปิดลิงก์จะได้ภาพเดิมทันที ใช้แนบในรายงานแล็บ หรือส่งคำถามว่า “ตั้งแบบนี้แล้วทำไมได้ภาพนี้” ได้

ใช้แล็บจำลองแทนการทดลองจริงได้ไหม?
ใช้เตรียมตัวก่อนเข้าแล็บ ทบทวน และทดลองสิ่งที่อันตรายหรือทำให้เครื่องเสียได้ เช่น ตั้งค่าผิด ๆ เพื่อดูผล แต่ไม่ควรแทนการจับเครื่องจริงทั้งหมด เพราะทักษะการต่อสาย การหนีบกราวด์ และการแก้ปัญหาเบรดบอร์ดต้องฝึกกับของจริง

## FAQ

**แล็บจำลองนี้ใช้ฟรีไหม ต้องติดตั้งอะไรไหม?**
ใช้ฟรีทั้งหมด เปิดในเบราว์เซอร์ได้ทันทีทั้งคอมพิวเตอร์ แท็บเล็ต และมือถือ ไม่ต้องสมัครสมาชิกหรือติดตั้งโปรแกรม การคำนวณทั้งหมดทำในเครื่องของผู้ใช้ จึงใช้งานต่อได้แม้อินเทอร์เน็ตช้า

**ผลจากแล็บจำลองแม่นยำแค่ไหน เทียบกับเครื่องจริง?**
วงจรเชิงเส้น (RC, RL, RLC) คำนวณแบบแม่นตรงด้วยปริภูมิสถานะและเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล วงจรไดโอดและออปแอมป์ใช้แบบจำลองที่มี V_f ความต้านทานไดโอด GBW สลูว์เรต และการอิ่มตัว สโคปจำลองแบนด์วิดท์ โพรบ ADC 8 บิต และอัตราสุ่มจริง จึงเห็นข้อผิดพลาดแบบเดียวกับเครื่องจริง ทั้งอเลียสซิง โพรบไม่ชดเชย หรือ Load ผิด สิ่งที่ไม่ได้จำลองคือความเหนี่ยวนำและความจุแฝงของสายและเบรดบอร์ด อุณหภูมิ และลูปกราวด์

**ส่งผลการทดลองให้อาจารย์หรือเพื่อนอย่างไร?**
กดปุ่ม “คัดลอกลิงก์การตั้งค่านี้” ลิงก์ที่ได้เก็บทุกปุ่มของเครื่องกำเนิดสัญญาณ วงจร และสโคป เมื่อเปิดลิงก์จะได้ภาพเดิมทันที ใช้แนบในรายงานแล็บ หรือส่งคำถามว่า “ตั้งแบบนี้แล้วทำไมได้ภาพนี้” ได้

**ใช้แล็บจำลองแทนการทดลองจริงได้ไหม?**
ใช้เตรียมตัวก่อนเข้าแล็บ ทบทวน และทดลองสิ่งที่อันตรายหรือทำให้เครื่องเสียได้ เช่น ตั้งค่าผิด ๆ เพื่อดูผล แต่ไม่ควรแทนการจับเครื่องจริงทั้งหมด เพราะทักษะการต่อสาย การหนีบกราวด์ และการแก้ปัญหาเบรดบอร์ดต้องฝึกกับของจริง

---

# สัญญาณพื้นฐานและการอ่านค่า: Vp Vpp Vrms ความถี่ ดิวตี้ และเฟส

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/waveforms/
Updated: 2026-10-12
Summary: อธิบายค่าที่อ่านจากออสซิลโลสโคปและตั้งบนเครื่องกำเนิดสัญญาณ: ค่ายอด Vp ค่ายอดถึงยอด Vpp ค่า RMS ค่าเฉลี่ย ออฟเซต DC คาบ ความถี่ ดิวตี้ไซเคิล เฟส crest factor เดซิเบล dBV dBm และอนุกรมฟูริเยร์ พร้อมตารางสูตร RMS ทุกรูปคลื่น ตัวอย่างวิธีทำ และสโคปจำลองให้ลองเอง

// บทที่ 12.1 · แล็บ FG + สโคป · Waveforms

# สัญญาณพื้นฐานและการอ่านค่า: Vp Vpp Vrms ความถี่ ดิวตี้ และเฟส

ก่อนจะหมุนปุ่มเครื่องกำเนิดสัญญาณหรือออสซิลโลสโคป ต้องรู้ก่อนว่าตัวเลขแต่ละตัวหมายถึงอะไร เครื่องกำเนิดตั้งค่าเป็น Vpp มิเตอร์อ่านเป็น Vrms จอสโคปให้ทั้งสองอย่าง ถ้าแปลงผิดครั้งเดียว ทั้งการทดลองก็ผิดตาม หน้านี้รวมทุกค่าที่ต้องใช้ พร้อมสูตรรหัส W

สรุปใน 30 วินาที

- $f = 1/T$ · ไซน์: $V_{pp} = 2V_p$, $V_{rms} = V_p/\sqrt2 \approx 0.707V_p$

- พัลส์ 0 ถึง $V_H$ ดิวตี้ $D$: $V_{avg} = DV_H$, $V_{rms} = V_H\sqrt D$

- มี DC ปนอยู่: $V_{rms} = \sqrt{V_{DC}^2 + V_{ac,rms}^2}$

- เฟสจากจอ: $\varphi = 360^\circ \cdot \Delta t / T$ · ขยาย 10 เท่า = 20 dB

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## คาบ ความถี่ และความถี่เชิงมุม พื้นฐาน

สัญญาณที่ซ้ำรูปเดิมทุกช่วงเวลา $T$ เรียกว่าสัญญาณคาบ (periodic signal) ช่วงเวลา $T$ คือคาบ หน่วยวินาที จำนวนรอบต่อวินาทีคือความถี่ หน่วยเฮิรตซ์ (Hz) บนจอสโคป คาบอ่านจากระยะระหว่างจุดเดียวกันของสองลูกที่ติดกัน เช่น จุดตัดศูนย์ขาขึ้นถึงจุดตัดศูนย์ขาขึ้นถัดไป

W1 Period, frequency, angular frequency คาบ ความถี่ ความถี่เชิงมุม

$$f = \frac{1}{T}, \qquad \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

$\omega$ หน่วย rad/s ใช้ในสมการวงจร เช่น $X_C = 1/(\omega C)$ ระวังสับสน 1 kHz ไม่ใช่ 1000 rad/s แต่เป็น 6283 rad/s

W2 General sinusoid สมการไซน์ทั่วไป

$$v(t) = V_{DC} + V_p \sin(2\pi f t + \varphi)$$

สี่ตัวแปรนี้ตรงกับปุ่ม Offset, Ampl (ครึ่งหนึ่งของ Vpp), Freq และ Phase บนเครื่องกำเนิดสัญญาณพอดี

คลื่นไซน์สองลูก: ค่ายอด $V_p$ ค่ายอดถึงยอด $V_{pp}$ ค่า RMS (เส้นประยาว) และคาบ $T$

## ค่ายอด ค่ายอดถึงยอด และออฟเซต DC พื้นฐาน

ค่ายอด $V_p$ (peak, amplitude) วัดจากเส้นกึ่งกลางถึงยอด ค่ายอดถึงยอด $V_{pp}$ (peak-to-peak) วัดจากยอดล่างสุดถึงยอดบนสุด ค่านี้อ่านจากจอสโคปง่ายที่สุดเพราะไม่ต้องรู้ว่าเส้นศูนย์อยู่ตรงไหน เครื่องกำเนิดสัญญาณเกือบทุกยี่ห้อจึงตั้งแอมพลิจูดเป็น Vpp เป็นค่าเริ่มต้น

W3 Peak and peak-to-peak ค่ายอดและค่ายอดถึงยอด

$$V_{pp} = V_{max} - V_{min}$$

$$V_p = \tfrac12 V_{pp}$$

สูตรบรรทัดที่สองใช้ได้เมื่อรูปคลื่นสมมาตรรอบเส้นกึ่งกลาง

W4 DC offset ออฟเซต DC

$$V_{max} = V_{DC} + V_p$$

$$V_{min} = V_{DC} - V_p$$

สำหรับรูปสมมาตร ออฟเซตคือค่าเฉลี่ย: $V_{DC} = (V_{max} + V_{min})/2$

ออฟเซต DC ยกสัญญาณทั้งรูป: $V_{max} = V_{DC}+V_p$ และ $V_{min} = V_{DC}-V_p$

กับดักที่เจอบ่อย: ตั้งคลื่นสี่เหลี่ยม 5 Vpp แล้วต่อเข้าไมโครคอนโทรลเลอร์ทันที ได้สัญญาณ −2.5 V ถึง +2.5 V ซึ่งติดลบ อาจทำขาอินพุตเสีย ถ้าต้องการลอจิก 0–5 V ให้ตั้ง Ampl 5 Vpp และ Offset +2.5 V หรือใช้ปุ่ม High/Low level ของเครื่อง

## ค่า RMS และค่าเฉลี่ย พื้นฐาน

ค่า RMS (root mean square, ค่าประสิทธิผล) คือแรงดัน DC ที่ทำให้ตัวต้านทานร้อนเท่ากัน มาจากกำลัง $P = v^2/R$ ที่ต้องเฉลี่ย $v^2$ ไม่ใช่เฉลี่ย $v$ อ่านชื่อย้อนหลังได้เป็นขั้นตอน: ยกกำลังสอง (square) เฉลี่ย (mean) แล้วถอดราก (root) ไฟบ้าน 220 V ก็เป็นค่า RMS ค่ายอดจริงคือ $220\sqrt2 \approx 311$ V

W5 RMS value (definition) นิยามค่า RMS

$$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^2(t)\,dt}$$

W6 Average (DC) value ค่าเฉลี่ย

$$V_{avg} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t)\,dt$$

คือส่วน DC ของสัญญาณ ไซน์ที่ไม่มีออฟเซตมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์

W7 RMS of a sine RMS ของไซน์

$$V_{rms} = \frac{V_p}{\sqrt2} = \frac{V_{pp}}{2\sqrt2} \approx 0.707\,V_p$$

พิสูจน์: $\overline{\sin^2} = \tfrac12$ ดู แคลคูลัสเบื้องต้น

W8 RMS with a DC component RMS เมื่อมี DC ปน

$$V_{rms} = \sqrt{V_{DC}^2 + V_{ac,rms}^2}$$

มิเตอร์ที่ตั้งย่าน AC ส่วนใหญ่แสดงเฉพาะ $V_{ac,rms}$ สโคปแสดงทั้ง Vrms และ Vrms (AC)

ค่ายอดเท่ากันทั้งสี่รูป แต่ RMS ต่างกัน เพราะเวลาที่สัญญาณอยู่ใกล้ยอดไม่เท่ากัน

ตัวอย่าง W-1 · อ่านจากจอสโคป

### ไซน์สูง 3.4 ช่องที่ 2 V/div คาบ 4 ช่องที่ 0.5 ms/div หา Vpp, Vp, Vrms และ f

- คูณจำนวนช่องกับสเกลแนวตั้ง W3

$$V_{pp} = 3.4\ \text{div} \times 2\ \text{V/div} = 6.8\ \text{V}, \quad V_p = 3.4\ \text{V}$$

- RMS ของไซน์ W7

$$V_{rms} = \frac{3.4}{\sqrt2} = 2.404\ \text{V}$$

- คาบจากแกนเวลา แล้วกลับเป็นความถี่ W1

$$T = 4 \times 0.5\ \text{ms} = 2\ \text{ms}, \quad f = \frac{1}{2\ \text{ms}} = 500\ \text{Hz}$$

$V_{pp} = 6.8$ V, $V_p = 3.4$ V, $V_{rms} \approx 2.40$ V, $f = 500$ Hz

ตัวอย่าง W-2 · ไซน์มีออฟเซต

### ตั้งไซน์ 4 Vpp ออฟเซต +1 V หา Vmax, Vmin และ Vrms รวม

- ค่ายอด $V_p = 2$ V W4

$$V_{max} = 1 + 2 = 3\ \text{V}, \quad V_{min} = 1 - 2 = -1\ \text{V}$$

- ส่วน AC: $V_{ac,rms} = 2/\sqrt2 = \sqrt2$ V แล้วรวมกับ DC W8

$$V_{rms} = \sqrt{1^2 + (\sqrt2)^2} = \sqrt3 \approx 1.732\ \text{V}$$

$V_{max} = 3$ V, $V_{min} = -1$ V, $V_{rms} \approx 1.73$ V (มิเตอร์ย่าน AC จะอ่านได้ 1.41 V)

## คลื่นสี่เหลี่ยม พัลส์ และดิวตี้ไซเคิล พื้นฐาน

ดิวตี้ไซเคิล (duty cycle) คือสัดส่วนเวลาที่สัญญาณอยู่ระดับสูงต่อหนึ่งคาบ เป็นหัวใจของ PWM ที่ใช้คุมความเร็วมอเตอร์ หรี่ไฟ LED และวงจรบั๊กคอนเวอร์เตอร์ ค่าเฉลี่ยของพัลส์จึงปรับได้ด้วยดิวตี้โดยไม่ต้องเปลี่ยนแรงดัน

W9 Duty cycle ดิวตี้ไซเคิล

$$D = \frac{t_H}{T} \times 100\%$$

W10 Average of a pulse train ค่าเฉลี่ยของพัลส์

$$V_{avg} = V_L + D\,(V_H - V_L)$$

$$V_L = 0:\quad V_{avg} = D\,V_H$$

W11 RMS of a pulse train RMS ของพัลส์

$$V_{rms} = \sqrt{D\,V_H^2 + (1 - D)\,V_L^2}$$

$$V_L = 0:\quad V_{rms} = V_H\sqrt D$$

สี่เหลี่ยมสมมาตร $\pm V_p$: $V_{rms} = V_p$ และ $V_{avg} = 0$

พัลส์ดิวตี้ 30 %: ช่วงสูง $t_H$ ต่อคาบ $T$ และค่าเฉลี่ยที่เท่ากับ $D\cdot V_H$

ตัวอย่าง W-3 · PWM ขับมอเตอร์

### พัลส์ 0–5 V ดิวตี้ 30 % ป้อนตัวต้านทาน 10 Ω หาแรงดันเฉลี่ย Vrms และกำลังเฉลี่ย

- ค่าเฉลี่ย W10

$$V_{avg} = 0.3 \times 5 = 1.5\ \text{V}$$

- RMS W11

$$V_{rms} = 5\sqrt{0.3} = 2.739\ \text{V}$$

- กำลังเฉลี่ยใช้ RMS ไม่ใช่ค่าเฉลี่ย

$$P = \frac{V_{rms}^2}{R} = \frac{2.739^2}{10} = 0.75\ \text{W}$$

$V_{avg} = 1.5$ V, $V_{rms} \approx 2.74$ V, $P = 0.75$ W (ถ้าใช้ $V_{avg}^2/R$ จะได้ 0.225 W ซึ่งผิด)

## ลองเอง: เส้นบอกค่าบนจอสโคป พื้นฐาน

สโคปจำลองนี้ต่อเครื่องกำเนิดสัญญาณตรงเข้า CH1 เส้นประสีแดงคือ Vmax และ Vmin สีเขียวคือค่าเฉลี่ย สีฟ้าคือ Vrms ลองเปลี่ยนรูปคลื่นที่แอมพลิจูดเท่ากัน แล้วดูว่าเส้น RMS ขยับไปไหน หรือเลื่อนดิวตี้ของคลื่นสี่เหลี่ยมแล้วดูค่าเฉลี่ย ตารางด้านขวาคือค่าที่สโคปวัดได้จริง มีทั้งนอยส์และความละเอียด 8 บิตเหมือนเครื่องจริง

## ตารางค่าเฉลี่ยและ RMS ของทุกรูปคลื่น กลาง

W12 RMS and average of common waveforms ตาราง RMS และค่าเฉลี่ย (ค่ายอด $V_p$)

| รูปคลื่น | $V_{avg}$ | $V_{rms}$ | Crest factor |

| ไซน์ $\pm V_p$ | 0 | $V_p/\sqrt2$ | 1.414 |

| สี่เหลี่ยม $\pm V_p$ | 0 | $V_p$ | 1 |

| สามเหลี่ยม $\pm V_p$ | 0 | $V_p/\sqrt3$ | 1.732 |

| ฟันเลื่อย $\pm V_p$ | 0 | $V_p/\sqrt3$ | 1.732 |

| พัลส์ 0 ถึง $V_p$ ดิวตี้ $D$ | $DV_p$ | $V_p\sqrt D$ | $1/\sqrt D$ |

| ไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่น | $V_p/\pi$ | $V_p/2$ | 2 |

| ไซน์เรียงกระแสเต็มคลื่น | $2V_p/\pi$ | $V_p/\sqrt2$ | 1.414 |

| สามเหลี่ยม 0 ถึง $V_p$ | $V_p/2$ | $V_p/\sqrt3$ | 1.732 |

W13 Crest factor and form factor แฟกเตอร์ยอดและแฟกเตอร์รูปร่าง

$$\text{CF} = \frac{V_p}{V_{rms}}, \qquad \text{FF} = \frac{V_{rms}}{\overline{|v|}}$$

ไซน์: $\overline{|v|} = 2V_p/\pi$, FF $= 1.111$ มิเตอร์แบบไม่ใช่ True RMS คูณค่าเฉลี่ยที่เรียงกระแสด้วย 1.111 จึงถูกเฉพาะไซน์

## เฟสและความต่างเฟส กลาง

เมื่อป้อนไซน์เข้าวงจรที่มีตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำ เอาต์พุตยังเป็นไซน์ความถี่เดิม แต่ขนาดและเฟสเปลี่ยน เฟสอ่านจากจอสโคปได้โดยวัดระยะ $\Delta t$ ระหว่างจุดเดียวกันของสองช่อง แล้วเทียบกับคาบ ถ้า CH2 เกิดทีหลังเรียกว่าตามหลัง (lag) เฟสเป็นลบ ถ้าเกิดก่อนเรียกว่านำหน้า (lead) เฟสเป็นบวก

W14 Phase difference from a time delay ความต่างเฟสจากเวลาหน่วง

$$\varphi = -360^\circ \cdot \frac{\Delta t}{T} = -360^\circ f\,\Delta t \qquad (\Delta t > 0 \text{ เมื่อ CH2 เกิดทีหลัง})$$

สโคปบางยี่ห้อแสดงเครื่องหมายกลับกัน ให้ดูจากภาพเสมอว่าสัญญาณไหนเกิดก่อน วิธีวัดละเอียดอยู่ในหน้า เทคนิคการวัด

วัดเฟสจากระยะห่างของจุดตัดศูนย์ขาขึ้น: $\varphi = -360^\circ\,\Delta t/T$

ตัวอย่าง W-4 · วัดเฟส

### ไซน์ 1 kHz ที่ CH2 ตัดศูนย์ขาขึ้นช้ากว่า CH1 อยู่ 0.25 ms หาเฟส

- $T = 1/1000 = 1$ ms แล้วแทนสูตร W14

$$\varphi = -360^\circ \times \frac{0.25}{1} = -90^\circ$$

CH2 ตามหลัง CH1 อยู่ 90° (ถ้าวงจรเป็น RC ต่ำผ่าน แปลว่าความถี่สูงกว่าความถี่ตัดมาก)

## เดซิเบล dB, dBV และ dBm กลาง

เดซิเบลใช้บอกอัตราส่วนแบบลอการิทึม ทำให้คูณกลายเป็นบวก เกนของระบบหลายภาคต่อกันจึงบวกกันได้ทันที เครื่องกำเนิดสัญญาณ RF และหน้าจอ FFT ของสโคปแสดงระดับเป็น dBm หรือ dBV

W15 Decibel (voltage ratio) อัตราส่วนแรงดันเป็นเดซิเบล

$$A_{dB} = 20\log_{10}\frac{V_2}{V_1} = 10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$$

$\times 2 \approx +6$ dB · $\times 10 = +20$ dB · $1/\sqrt2 \approx -3$ dB

W16 Absolute levels dBV and dBm (50 Ω) ระดับสัมบูรณ์

$$\text{dBV} = 20\log_{10}\frac{V_{rms}}{1\ \text{V}}$$

$$\text{dBm} = 10\log_{10}\frac{V_{rms}^2/(50\ \Omega)}{1\ \text{mW}}$$

0 dBm บนโหลด 50 Ω $= 0.2236$ Vrms $= 0.632$ Vpp (ไซน์) · 0 dBV = 1 Vrms · dBu อ้างอิง 0.775 Vrms

ตัวอย่าง W-5 · dBm กับ Vpp

### ตั้งเครื่องกำเนิดสัญญาณ +10 dBm โหลด 50 Ω ได้แรงดันกี่ Vpp

- แปลง dBm เป็นกำลัง W16

$$P = 1\ \text{mW} \times 10^{10/10} = 10\ \text{mW}$$

-
$$V_{rms} = \sqrt{PR} = \sqrt{0.01 \times 50} = 0.7071\ \text{V}$$

- ไซน์ W7

$$V_{pp} = 2\sqrt2 \times 0.7071 = 2.0\ \text{V}$$

+10 dBm บน 50 Ω = 2 Vpp ถ้าเปิดวงจร (High-Z) จะวัดได้ 4 Vpp ดูเหตุผลที่ V4

## ทำไมคลื่นสี่เหลี่ยมมีหลายความถี่: อนุกรมฟูริเยร์ ขั้นสูง

สัญญาณคาบทุกรูปเขียนเป็นผลรวมของไซน์ที่ความถี่เป็นจำนวนเต็มเท่าของความถี่หลักได้ คลื่นสี่เหลี่ยมสมมาตรมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ที่ลดลงแบบ $1/n$ ส่วนสามเหลี่ยมลดลงเร็วกว่าแบบ $1/n^2$ จึงดูนุ่มกว่า ผลนี้อธิบายว่าทำไมคลื่นสี่เหลี่ยมผ่านวงจรต่ำผ่านแล้วขอบมน และทำไมหน้าจอ FFT ของสโคปเห็นยอดที่ 3, 5, 7 เท่าของความถี่หลัก ดูต่อที่ แล็บสัญญาณ

เรียนเรื่องนี้เต็มรูปแบบทีละขั้น ตั้งแต่หาสัมประสิทธิ์ สมมาตร พาร์เซวาล จนถึง THD PF และฮาร์มอนิกในอิเล็กทรอนิกส์กำลัง ที่ชุด อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก · ตารางอนุกรมของ 18 รูปคลื่นที่ ตารางรูปคลื่น · ลองสังเคราะห์เองใน แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก

W17 Fourier series of a square wave อนุกรมฟูริเยร์ของคลื่นสี่เหลี่ยม

$$v(t) = \frac{4V_p}{\pi}\sum_{n = 1,3,5,\dots}\frac{\sin(n\omega t)}{n}$$

ฮาร์มอนิกที่ 3 ต่ำกว่าตัวหลัก $20\log(1/3) = -9.54$ dB ฮาร์มอนิกที่ 5 ต่ำกว่า −13.98 dB

W18 Fourier series of a triangle wave อนุกรมฟูริเยร์ของคลื่นสามเหลี่ยม

$$v(t) = \frac{8V_p}{\pi^2}\sum_{n = 1,3,5,\dots}\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2}\sin(n\omega t)$$

W19 Parseval: RMS from harmonics, THD RMS จากฮาร์มอนิก และความเพี้ยนรวม

$$V_{rms}^2 = V_0^2 + \sum_{n\ge1}\frac{V_n^2}{2}, \qquad \text{THD} = \frac{\sqrt{\sum_{n\ge2} V_n^2}}{V_1}$$

$V_n$ คือค่ายอดของฮาร์มอนิกที่ $n$ คลื่นสี่เหลี่ยมอุดมคติมี THD $\approx 48.3\%$

อนุกรมฟูริเยร์ของคลื่นสี่เหลี่ยม: รวมเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ ยิ่งรวมมากยิ่งเหลี่ยม แต่หูที่ขอบ (Gibbs) สูงราว 9 % ไม่หายไป

ตัวอย่าง W-6 · ฮาร์มอนิกบน FFT

### คลื่นสี่เหลี่ยม ±1 V 1 kHz บนหน้าจอ FFT ยอดที่ 1 kHz และ 3 kHz ควรสูงกี่ dBV

- ค่ายอดฮาร์มอนิกที่ 1 W17

$$V_1 = \frac{4}{\pi} = 1.273\ \text{V} \Rightarrow V_{1,rms} = 0.900\ \text{V} = -0.91\ \text{dBV}$$

- ฮาร์มอนิกที่ 3 เล็กกว่า 3 เท่า

$$-0.91 + 20\log_{10}\tfrac13 = -0.91 - 9.54 = -10.45\ \text{dBV}$$

1 kHz ≈ −0.9 dBV, 3 kHz ≈ −10.5 dBV, 5 kHz ≈ −14.9 dBV ลองเปิด พรีเซต FFT ในแล็บจำลอง แล้วเทียบค่า

## คำถามที่พบบ่อย

Vpp กับ Vrms ต่างกันอย่างไร?
Vpp คือระยะจากยอดล่างถึงยอดบน อ่านได้ตรง ๆ จากจอสโคป ส่วน Vrms คือค่าที่ให้กำลังเท่ากับไฟ DC ขนาดเดียวกัน มิเตอร์ส่วนใหญ่แสดง Vrms สำหรับไซน์ $V_{rms} = V_{pp}/(2\sqrt2) \approx 0.354\,V_{pp}$ เช่น 2 Vpp เท่ากับ 0.707 Vrms

ทำไมมัลติมิเตอร์วัดคลื่นสี่เหลี่ยมหรือพัลส์ได้ค่าไม่ตรง?
มิเตอร์ราคาประหยัดแบบ average-responding วัดค่าเฉลี่ยของสัญญาณที่เรียงกระแสแล้วคูณด้วย 1.111 ซึ่งถูกเฉพาะไซน์ ถ้าเป็นรูปคลื่นอื่นต้องใช้มิเตอร์ True RMS หรือคำนวณจากสูตรในหน้านี้ และควรเช็กว่ามิเตอร์วัดเฉพาะส่วน AC หรือรวม DC ด้วย

ตั้งเครื่องกำเนิดสัญญาณเป็น Vrms ได้ไหม?
ได้ เครื่องส่วนใหญ่มีหน่วย Vpp, Vrms และ dBm ให้เลือก ค่า Vrms ที่เครื่องคำนวณให้ถูกต้องสำหรับไซน์ ถ้าเป็นรูปคลื่นอื่นให้ใช้ Vpp แล้วคำนวณ RMS เองตามตาราง W12

ดิวตี้ไซเคิล 25 % ของคลื่น 0–5 V ให้แรงดันเฉลี่ยเท่าไร?
$V_{avg} = D\,V_H = 0.25 \times 5 = 1.25$ V ส่วน $V_{rms} = V_H\sqrt D = 2.5$ V ค่าเฉลี่ยใช้กับงานแบบ PWM ที่มีการกรอง ส่วน RMS ใช้คำนวณความร้อนในตัวต้านทาน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**Vpp กับ Vrms ต่างกันอย่างไร?**
Vpp คือระยะจากยอดล่างถึงยอดบน อ่านได้ตรง ๆ จากจอสโคป ส่วน Vrms คือค่าที่ให้กำลังเท่ากับไฟ DC ขนาดเดียวกัน มิเตอร์ส่วนใหญ่แสดง Vrms สำหรับไซน์ $V_{rms} = V_{pp}/(2\sqrt2) \approx 0.354\,V_{pp}$ เช่น 2 Vpp เท่ากับ 0.707 Vrms

**ทำไมมัลติมิเตอร์วัดคลื่นสี่เหลี่ยมหรือพัลส์ได้ค่าไม่ตรง?**
มิเตอร์ราคาประหยัดแบบ average-responding วัดค่าเฉลี่ยของสัญญาณที่เรียงกระแสแล้วคูณด้วย 1.111 ซึ่งถูกเฉพาะไซน์ ถ้าเป็นรูปคลื่นอื่นต้องใช้มิเตอร์ True RMS หรือคำนวณจากสูตรในหน้านี้ และควรเช็กว่ามิเตอร์วัดเฉพาะส่วน AC หรือรวม DC ด้วย

**ตั้งเครื่องกำเนิดสัญญาณเป็น Vrms ได้ไหม?**
ได้ เครื่องส่วนใหญ่มีหน่วย Vpp, Vrms และ dBm ให้เลือก ค่า Vrms ที่เครื่องคำนวณให้ถูกต้องสำหรับไซน์ ถ้าเป็นรูปคลื่นอื่นให้ใช้ Vpp แล้วคำนวณ RMS เองตามตาราง W12

**ดิวตี้ไซเคิล 25 % ของคลื่น 0–5 V ให้แรงดันเฉลี่ยเท่าไร?**
$V_{avg} = D\,V_H = 0.25 \times 5 = 1.25$ V ส่วน $V_{rms} = V_H\sqrt D = 2.5$ V ค่าเฉลี่ยใช้กับงานแบบ PWM ที่มีการกรอง ส่วน RMS ใช้คำนวณความร้อนในตัวต้านทาน

---

# ฟังก์ชัน (Functions): โดเมน เรนจ์ กราฟ และการแปลง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/functions/
Updated: 2026-10-14
Summary: ฟังก์ชันภาษาไทยครบในหน้าเดียว นิยาม การทดสอบเส้นแนวตั้ง โดเมนและเรนจ์ กราฟฟังก์ชันพื้นฐาน 12 แบบ การเลื่อน ยืด หด สะท้อนกราฟ ฟังก์ชันคู่ คี่ คาบ ฟังก์ชันประกอบ ฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชันเป็นช่วง ขั้นบันได แรมป์ เอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมฟังก์ชันในงานวิศวกรรมไฟฟ้า และแล็บกราฟโต้ตอบ

// บทที่ 1 · คณิตศาสตร์วิศวกรรม · Functions

# ฟังก์ชัน (Functions): โดเมน เรนจ์ กราฟ และการแปลง

แคลคูลัสทั้งหมดคือการถามคำถามเกี่ยวกับฟังก์ชัน: เข้าใกล้ค่าอะไร (ลิมิต) เปลี่ยนเร็วแค่ไหน (อนุพันธ์) สะสมได้เท่าไร (อินทิกรัล) ถ้าอ่านฟังก์ชันและกราฟได้คล่อง ทุกบทหลังจากนี้จะง่ายขึ้นมาก หน้านี้ปูพื้นตั้งแต่นิยาม โดเมน เรนจ์ กราฟพื้นฐาน การแปลงกราฟ ฟังก์ชันประกอบ ฟังก์ชันผกผัน ไปจนถึงฟังก์ชันที่วิศวกรไฟฟ้าใช้จริง พร้อมแล็บให้ลากเลื่อนกราฟเอง

สรุปใน 30 วินาที

- ฟังก์ชัน = กฎที่ให้ y หนึ่งค่าต่อ x หนึ่งค่า (ทดสอบเส้นแนวตั้ง)

- โดเมน: ตัดค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ รากที่สองติดลบ ลอการิทึมไม่เป็นบวก

- $af(b(x - h)) + k$: h เลื่อนขวา k เลื่อนขึ้น a ยืดแนวตั้ง b บีบแนวนอน เครื่องหมายลบ = สะท้อน

- $f^{-1}$ มีได้เมื่อ f เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง (ทดสอบเส้นแนวนอน) กราฟคือภาพสะท้อนข้าม y = x

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรม

## ฟังก์ชันคืออะไร พื้นฐาน

ฟังก์ชันคือ “เครื่องจักร” ที่รับค่าเข้า $x$ แล้วให้ค่าออก $y = f(x)$ เพียงค่าเดียวเสมอ ในวงจรไฟฟ้า แรงดันขาออกของวงจรแบ่งแรงดันเป็นฟังก์ชันของแรงดันขาเข้า กระแสในตัวเก็บประจุเป็นฟังก์ชันของเวลา และอัตราขยายของแอมป์เป็นฟังก์ชันของความถี่

F1 Function ฟังก์ชัน

$$f: A \to B,\qquad x \mapsto y = f(x) \text{ ค่าเดียว}$$

$A$ = โดเมน (ค่าที่ใส่ได้) · เซตของ $f(x)$ ทั้งหมด = เรนจ์ (ค่าที่ออกมาได้)

F2 Vertical line test ทดสอบเส้นแนวตั้ง

$$\text{ทุกเส้น } x = c \text{ ตัดกราฟไม่เกิน 1 จุด} \iff \text{กราฟเป็นฟังก์ชัน}$$

ตัวอย่าง F-1 · แทนค่าฟังก์ชัน

### ให้ $f(x) = x^2 - 3x$ หา $f(2)$, $f(-1)$ และ $f(a + h)$

-
$$f(2) = 4 - 6 = -2,\qquad f(-1) = 1 + 3 = 4$$

- แทน $x$ ด้วย $(a + h)$ ทั้งก้อน

$$f(a + h) = (a+h)^2 - 3(a+h) = a^2 + 2ah + h^2 - 3a - 3h$$

$f(a+h) - f(a) = 2ah + h^2 - 3h$ และ $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = 2a + h - 3$ ซึ่งคือ “ผลหารผลต่าง” ที่จะกลายเป็นอนุพันธ์ $2a - 3$ เมื่อ $h \to 0$ ในบทอนุพันธ์

## โดเมนและเรนจ์ พื้นฐาน

F3 Natural domain สามกฎหาโดเมน

$$\frac{p(x)}{q(x)}:\ q(x) \ne 0 \qquad \sqrt{g(x)}:\ g(x) \ge 0 \qquad \ln g(x):\ g(x) > 0$$

โดเมนตามธรรมชาติคือจำนวนจริงทุกตัวที่ไม่ละเมิดสามข้อนี้ · ในงานวิศวกรรมยังมีโดเมนทางกายภาพ เช่น $t \ge 0$, $R > 0$

ตัวอย่าง F-2 · หาโดเมนและเรนจ์

### (ก) $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ (ข) $g(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}$ (ค) $h(x) = \ln(x - 2)$

- (ก) $4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow -2 \le x \le 2$ · ค่าในรากอยู่ระหว่าง 0 ถึง 4 จึงได้เรนจ์ $[0, 2]$ (กราฟคือครึ่งวงกลมบน)

- (ข) $x^2 - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 1$ · เรนจ์ $(-\infty, -1] \cup (0, \infty)$ (ค่าสูงสุดของช่วงกลางคือ $-1$ ที่ $x = 0$)

- (ค) $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$ · ลอการิทึมให้ค่าได้ทุกจำนวนจริง เรนจ์ $\mathbb{R}$

(ก) $D = [-2, 2],\ R = [0, 2]$ · (ข) $D = \mathbb R \setminus \{\pm1\}$ · (ค) $D = (2, \infty),\ R = \mathbb R$

## กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานที่ต้องจำหน้าตาได้ พื้นฐาน

ฟังก์ชันที่ซับซ้อนเกือบทุกตัวสร้างจาก 12 แบบนี้ด้วยการบวก คูณ ประกอบ และแปลงกราฟ จำรูปร่าง จุดตัดแกน โดเมน และพฤติกรรมเมื่อ x ใหญ่มากของแต่ละตัวให้ได้

ฟังก์ชันพื้นฐาน: เชิงเส้น กำลังสอง กำลังสาม รากที่สอง ค่าสัมบูรณ์ ส่วนกลับ เอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และขั้นบันได

F4 Even & odd ฟังก์ชันคู่ คี่

$$\text{คู่: } f(-x) = f(x),\qquad \text{คี่: } f(-x) = -f(x)$$

คู่สมมาตรกับแกน y ($x^2,\ \cos x,\ |x|$) · คี่สมมาตรกับจุดกำเนิด ($x^3,\ \sin x,\ 1/x$) · ใช้ลดงานในอนุกรมฟูเรียร์ สมมาตรของคลื่น

F5 Periodic ฟังก์ชันคาบ

$$f(x + T) = f(x)\ \ \forall x,\qquad \sin(\omega x)\ \text{มีคาบ } T = \frac{2\pi}{\omega}$$

## การแปลงกราฟ: เลื่อน ยืด หด สะท้อน พื้นฐาน

F6 General transformation การแปลงทั่วไป

$$g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$$

นอกวงเล็บ (แนวตั้ง ทำตามที่เห็น): $k$ เลื่อนขึ้น · $|a| > 1$ ยืด · $a < 0$ สะท้อนแกน x ในวงเล็บ (แนวนอน ทำกลับกัน): $h$ เลื่อนขวา · $|b| > 1$ บีบ · $b < 0$ สะท้อนแกน y

ตัวอย่าง F-3 · อ่านการแปลง

### อธิบายกราฟ $g(x) = -2(x - 3)^2 + 5$ เทียบกับ $f(x) = x^2$

- ในวงเล็บ: $x - 3$ → เลื่อนขวา 3

- นอกวงเล็บ: คูณ −2 → ยืดแนวตั้ง 2 เท่าและคว่ำลง · บวก 5 → เลื่อนขึ้น 5

พาราโบลาคว่ำ จุดยอดที่ $(3, 5)$ แคบกว่าเดิม 2 เท่า ค่าสูงสุดคือ 5

ตัวอย่าง F-4 · ไฟฟ้า

### แรงดันไซน์ $v(t) = 10\sin(100\pi t - \pi/3) + 2$ เป็นการแปลงของ $\sin t$ อย่างไร

- เขียนเป็น $10\sin\big(100\pi(t - \tfrac{1}{300})\big) + 2$

- $b = 100\pi$: บีบให้คาบเป็น $2\pi/100\pi = 0.02$ s (50 Hz) · $h = 1/300$ s: เลื่อนขวา = ตามหลัง 60° · $a = 10$: แอมพลิจูด 10 V · $k = 2$: มีไฟตรง (offset) 2 V

ไซน์ 50 Hz แอมพลิจูด 10 V ตามหลัง 60° และยกขึ้น 2 V DC ดูต่อในsin · cos ในไฟฟ้ากระแสสลับ

## แล็บกราฟ: เลื่อน ยืด สะท้อน ประกอบ และผกผัน

เลือกฟังก์ชันพื้นฐานหรือพิมพ์เอง (เช่น x^3 - x, exp(-x), sin(x)/x) เส้นประคือกราฟเดิม เส้นส้มคือกราฟที่แปลงแล้ว ด้านบนบอกลำดับการแปลงเป็นภาษาไทย สลับแท็บเพื่อดูฟังก์ชันประกอบและฟังก์ชันผกผัน

## ฟังก์ชันประกอบ (Composition) พื้นฐาน

F7 Composite function ฟังก์ชันประกอบ

$$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big),\qquad D_{f\circ g} = \{x \in D_g : g(x) \in D_f\}$$

ทำ g ก่อน แล้วส่งผลให้ f · โดยทั่วไป $f\circ g \ne g\circ f$ · เป็นโครงสร้างที่กฎลูกโซ่ของอนุพันธ์จัดการ

ตัวอย่าง F-5

### ให้ $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = x - 4$ หา $f\circ g$, $g \circ f$ และโดเมน

-
$$(f\circ g)(x) = \sqrt{x - 4},\quad x \ge 4$$

-
$$(g\circ f)(x) = \sqrt{x} - 4,\quad x \ge 0$$

ได้ฟังก์ชันต่างกันและโดเมนต่างกัน ลำดับของการประกอบสำคัญ

## ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function) กลาง

F8 One-to-one หนึ่งต่อหนึ่ง

$$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$$

ตรวจด้วยเส้นแนวนอน: ทุกเส้นตัดกราฟไม่เกินหนึ่งจุด ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงตลอดผ่านเสมอ

F9 Inverse ฟังก์ชันผกผัน

$$f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(y)) = y,\quad D_{f^{-1}} = R_f$$

หาโดยสลับ x กับ y แล้วแก้หา y · กราฟคือภาพสะท้อนข้ามเส้น $y = x$ · $f^{-1}(x) \ne 1/f(x)$

ตัวอย่าง F-6 · หาฟังก์ชันผกผัน

### $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$

- เขียน $y = \dfrac{2x+1}{x-3}$ แล้วสลับ: $x = \dfrac{2y+1}{y-3}$

-
$$x(y - 3) = 2y + 1 \Rightarrow xy - 2y = 3x + 1 \Rightarrow y(x - 2) = 3x + 1$$

-
$$f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$$

$f^{-1}(x) = \dfrac{3x+1}{x-2}$ โดเมน $x \ne 2$ (= เรนจ์ของ f เพราะ f มีเส้นกำกับแนวนอน y = 2)

ตรวจ: $f(0) = -\tfrac13$ และ $f^{-1}(-\tfrac13) = \dfrac{-1 + 1}{-\tfrac13 - 2} = 0$ ✓

ตัวอย่างคู่ผกผันที่ใช้ตลอดวิชา: $e^x \leftrightarrow \ln x$ · $x^2\ (x \ge 0) \leftrightarrow \sqrt x$ · $\sin x\ (-\tfrac\pi2 \le x \le \tfrac\pi2) \leftrightarrow \sin^{-1}x$ ดูฟังก์ชันตรีโกณผกผันในหน้าตรีโกณมิติ

## ฟังก์ชันเป็นช่วง ขั้นบันได และแรมป์ กลาง

วิศวกรไฟฟ้าเขียนสัญญาณที่ “เปิด-ปิด” ด้วยฟังก์ชันขั้นบันไดหนึ่งหน่วย ทำให้ฟังก์ชันเป็นช่วงที่ยาวหลายบรรทัดกลายเป็นสูตรเดียว ซึ่งพร้อมใช้กับการเลื่อนเวลาของลาปลาซ

F10 Unit step ขั้นบันไดหนึ่งหน่วย

$$u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t \ge 0 \end{cases}$$

F11 Ramp แรมป์

$$r(t) = t\,u(t),\qquad \frac{dr}{dt} = u(t)$$

F12 Window / pulse พัลส์สี่เหลี่ยม

$$u(t - a) - u(t - b) = \begin{cases} 1, & a \le t < b \\ 0, & \text{อื่น ๆ} \end{cases}$$

คูณฟังก์ชันใดก็ได้ด้วยหน้าต่างนี้ = “เปิดใช้” เฉพาะช่วง $[a, b)$

ตัวอย่าง F-7 · เขียนฟังก์ชันเป็นช่วงด้วย u(t)

### $f(t) = 0$ เมื่อ $t < 0$, $= 2t$ เมื่อ $0 \le t < 1$, $= 2$ เมื่อ $t \ge 1$

- เปิดแรมป์ $2t$ ที่ t = 0 แล้ว “หักล้าง” ด้วยแรมป์ลบที่ t = 1

$$f(t) = 2t\,u(t) - 2(t - 1)\,u(t - 1) = 2r(t) - 2r(t - 1)$$

$f(t) = 2r(t) - 2r(t-1)$ ตรวจ: เมื่อ $t \ge 1$ ได้ $2t - 2t + 2 = 2$ ✓ (เป็นรูปคลื่นแรงดันชาร์จแบบ soft-start)

## ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พื้นฐาน

F13 Exponential laws กฎเลขชี้กำลัง

$$e^ae^b = e^{a+b},\quad \frac{e^a}{e^b} = e^{a-b},\quad (e^a)^b = e^{ab},\quad e^0 = 1$$

F14 Logarithm laws กฎลอการิทึม

$$\ln(ab) = \ln a + \ln b,\quad \ln\frac ab = \ln a - \ln b,\quad \ln a^n = n\ln a,\quad \log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$$

F15 Time constant & decibels ค่าคงตัวเวลาและเดซิเบล

$$e^{-t/\tau}:\ \text{ที่ } t = \tau \text{ เหลือ } 36.8\%,\ t = 5\tau \text{ เหลือ } 0.7\% \qquad G_{\text{dB}} = 20\log_{10}\left|\frac{V_o}{V_i}\right|$$

ลอการิทึมเปลี่ยนการคูณเป็นการบวก จึงใช้ในแผนภาพโบดที่คูณฟังก์ชันถ่ายโอนกันหลายตัว โบดไดอะแกรม

ตัวอย่าง F-8 · แก้สมการด้วยลอการิทึม

### ตัวเก็บประจุชาร์จตาม $v(t) = 12(1 - e^{-t/0.5})$ V ต้องใช้เวลาเท่าไรถึง 10 V

-
$$10 = 12(1 - e^{-2t}) \Rightarrow e^{-2t} = \frac{1}{6}$$

- ใส่ ln ทั้งสองข้าง

$$-2t = \ln\frac16 = -\ln 6 \Rightarrow t = \frac{\ln 6}{2} \approx 0.896\ \text{s}$$

ประมาณ 0.896 s หรือราว 1.79τ

## ฟังก์ชันในงานวิศวกรรมไฟฟ้า กลาง

| ฟังก์ชัน | ความหมาย | ใช้ที่ไหน |

| $v(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right)u(t)$ | ชาร์จตัวเก็บประจุ | ระบบอันดับหนึ่ง |

| $v(t) = V_m\sin(\omega t + \phi)$ | ไฟฟ้ากระแสสลับ | ไซน์และเฟสเซอร์ |

| $I_D = I_S\left(e^{V_D/(nV_T)} - 1\right)$ | สมการไดโอดของช็อคลีย์ | วงจรเรียงกระแส · แหล่งจ่าย |

| $R(T) = R_0e^{B(1/T - 1/T_0)}$ | เทอร์มิสเตอร์ NTC | วัดอุณหภูมิ · ต้องหาฟังก์ชันผกผัน $T(R)$ |

| $V_o = \begin{cases} A V_i, & |AV_i| < V_{\text{sat}} \\ \pm V_{\text{sat}}, & \text{อื่น ๆ} \end{cases}$ | แอมป์อิ่มตัว (ฟังก์ชันเป็นช่วง) | แล็บออปแอมป์ |

| $|H(j\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}$ | ผลตอบสนองเชิงความถี่ของ RC | ผลตอบสนองเชิงความถี่ |

ตัวอย่าง F-9 · ฟังก์ชันผกผันของเซนเซอร์

### เทอร์มิสเตอร์ $R(T) = 10{,}000\,e^{3950(1/T - 1/298.15)}$ Ω วัดได้ 5 kΩ อุณหภูมิเท่าไร

- หาฟังก์ชันผกผัน: $\ln\dfrac{R}{10000} = 3950\left(\dfrac1T - \dfrac{1}{298.15}\right)$

$$T(R) = \left(\frac{1}{298.15} + \frac{1}{3950}\ln\frac{R}{10000}\right)^{-1}$$

-
$$T(5000) = \left(0.0033540 + \frac{-0.69315}{3950}\right)^{-1} = (0.0031785)^{-1} \approx 314.6\ \text{K}$$

$T \approx 314.6\ \text{K} \approx 41.5^\circ\text{C}$ ไมโครคอนโทรลเลอร์ทำแบบนี้ทุกครั้งที่อ่านค่าเทอร์มิสเตอร์

บทต่อไป: ลิมิตและความต่อเนื่อง ถามว่าฟังก์ชัน “เข้าใกล้” ค่าอะไร ซึ่งเป็นรากฐานของอนุพันธ์

## คำถามที่พบบ่อย

ฟังก์ชันต่างจากความสัมพันธ์อย่างไร?
ความสัมพันธ์ใด ๆ จับคู่ x กับ y ได้หลายค่า แต่ฟังก์ชันต้องให้ y เพียงค่าเดียวต่อ x หนึ่งค่า ตรวจจากกราฟด้วยการทดสอบเส้นแนวตั้ง ถ้าเส้นแนวตั้งใดตัดกราฟเกินหนึ่งจุด กราฟนั้นไม่ใช่ฟังก์ชัน เช่น วงกลม $x^2 + y^2 = 1$

หาโดเมนของฟังก์ชันอย่างไร?
เริ่มจากจำนวนจริงทั้งหมด แล้วตัดค่าที่ทำให้ (1) ตัวส่วนเป็นศูนย์ (2) ในรากที่สองติดลบ (3) ในลอการิทึมไม่เป็นบวก และ (4) เงื่อนไขทางกายภาพ เช่น เวลาหรือความยาวต้องไม่ติดลบ

f(x − h) ทำไมเลื่อนไปทางขวา ทั้งที่มีเครื่องหมายลบ?
เพราะกราฟใหม่ต้องใช้ x ที่มากกว่าเดิม h หน่วยเพื่อให้ได้ค่าเดิม เช่น จุดยอดของ $x^2$ อยู่ที่ x = 0 แต่ของ $(x-3)^2$ อยู่ที่ x = 3 การเปลี่ยนแปลงในวงเล็บจะทำตรงข้ามกับสิ่งที่ตาเห็นเสมอ

ฟังก์ชันขั้นบันได u(t) ใช้ทำอะไรในงานไฟฟ้า?
แทนการเปิดสวิตช์ที่เวลาหนึ่ง เช่น แหล่งจ่าย 12 V ที่ต่อเข้าวงจรเมื่อ t = 0 เขียนเป็น $12u(t)$ และสัญญาณที่เปิดแล้วปิด เขียนเป็นผลต่างของขั้นบันได $u(t) - u(t - T)$ ซึ่งใช้ต่อในการแปลงลาปลาซ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ฟังก์ชันต่างจากความสัมพันธ์อย่างไร?**
ความสัมพันธ์ใด ๆ จับคู่ x กับ y ได้หลายค่า แต่ฟังก์ชันต้องให้ y เพียงค่าเดียวต่อ x หนึ่งค่า ตรวจจากกราฟด้วยการทดสอบเส้นแนวตั้ง ถ้าเส้นแนวตั้งใดตัดกราฟเกินหนึ่งจุด กราฟนั้นไม่ใช่ฟังก์ชัน เช่น วงกลม $x^2 + y^2 = 1$

**หาโดเมนของฟังก์ชันอย่างไร?**
เริ่มจากจำนวนจริงทั้งหมด แล้วตัดค่าที่ทำให้ (1) ตัวส่วนเป็นศูนย์ (2) ในรากที่สองติดลบ (3) ในลอการิทึมไม่เป็นบวก และ (4) เงื่อนไขทางกายภาพ เช่น เวลาหรือความยาวต้องไม่ติดลบ

**f(x − h) ทำไมเลื่อนไปทางขวา ทั้งที่มีเครื่องหมายลบ?**
เพราะกราฟใหม่ต้องใช้ x ที่มากกว่าเดิม h หน่วยเพื่อให้ได้ค่าเดิม เช่น จุดยอดของ $x^2$ อยู่ที่ x = 0 แต่ของ $(x-3)^2$ อยู่ที่ x = 3 การเปลี่ยนแปลงในวงเล็บจะทำตรงข้ามกับสิ่งที่ตาเห็นเสมอ

**ฟังก์ชันขั้นบันได u(t) ใช้ทำอะไรในงานไฟฟ้า?**
แทนการเปิดสวิตช์ที่เวลาหนึ่ง เช่น แหล่งจ่าย 12 V ที่ต่อเข้าวงจรเมื่อ t = 0 เขียนเป็น $12u(t)$ และสัญญาณที่เปิดแล้วปิด เขียนเป็นผลต่างของขั้นบันได $u(t) - u(t - T)$ ซึ่งใช้ต่อในการแปลงลาปลาซ

---

# อินทิกรัล (Integral Calculus): สูตร คุณสมบัติ และวิธีทำทีละขั้น

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/integral-calculus/
Updated: 2026-10-12
Summary: รวมสูตรอินทิเกรตพร้อมชื่อสากล คุณสมบัติของอินทิกรัล สูตรสำเร็จ และตัวอย่างวิธีทำทีละขั้นแบบจดเลกเชอร์ การเปลี่ยนตัวแปร u การหารยาวพหุนาม เศษส่วนย่อย การอินทิเกรตทีละส่วน และอินทิกรัลจำกัดเขตจากนิยามผลบวกรีมันน์

// บทที่ 5 · แคลคูลัส · สูตรและวิธีทำ

# อินทิกรัล (Integral Calculus): สูตร คุณสมบัติ และวิธีทำทีละขั้น

รวมสูตรอินทิเกรตตั้งแต่พื้นฐานไปจนถึงระดับกลาง ทุกสูตรและทุกคุณสมบัติมีรหัสและชื่อสากลกำกับไว้ให้อ้างอิงได้ ตัวอย่างเขียนแบบจดเลกเชอร์ บอกทุกขั้นว่าใช้สูตรไหน ใช้คุณสมบัติข้อใด ส่วนไหนตัดกันได้ก็ขีดเส้นสีแดงให้เห็น ปิดท้ายด้วยอินทิกรัลจำกัดเขตตั้งแต่นิยามผลบวกรีมันน์ไปจนถึงการแทนค่าขอบบนขอบล่าง

สรุปใน 30 วินาที

- อินทิเกรตคือการย้อนอนุพันธ์: ถ้า $F'(x) = f(x)$ แล้ว $\int f(x)\,dx = F(x) + C$

- สูตรที่ใช้บ่อยที่สุดคือกฎยกกำลัง $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ใช้ได้ทุก n ยกเว้น $-1$ ซึ่งให้ $\ln|x|$

- ถ้าเห็นก้อนข้างในพร้อมอนุพันธ์ของมัน ให้เปลี่ยนตัวแปร u ถ้าเป็นเศษส่วนที่ตัวเศษดีกรีสูงกว่า ให้หารยาวก่อน

- อินทิกรัลจำกัดเขต $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ ค่า C ตัดกันหายไป

## อินทิกรัลคืออะไร (Antiderivative)

อนุพันธ์ตอบคำถามว่า “เปลี่ยนเร็วแค่ไหน” ส่วนอินทิกรัลถามกลับว่า “รู้อัตราการเปลี่ยนแล้ว ของจริงเป็นอย่างไร” เช่น รู้กระแส $i(t)$ ที่ไหลเข้าตัวเก็บประจุ แล้วอยากรู้ประจุสะสม $q(t)$ งานนี้คือการหาปฏิยานุพันธ์ (antiderivative)

ฟังก์ชัน$F(x) = x^3 + C$

→ d/dx →
← ∫ dx ←
อนุพันธ์$f(x) = 3x^2$

⇄
เขียนเป็นอินทิกรัล$\int 3x^2\,dx = x^3 + C$

D1 Indefinite integral (antiderivative) นิยามอินทิกรัลไม่จำกัดเขต

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C \quad\Longleftrightarrow\quad F'(x) = f(x)$$

อ่านว่า “อินทิกรัลของ f(x) เทียบกับ x” · $\int$ เครื่องหมายอินทิกรัล (integral sign) · $f(x)$ ตัวถูกอินทิเกรต (integrand) · $dx$ บอกตัวแปร (differential) · $C$ ค่าคงที่ของการอินทิเกรต (constant of integration)

ตรวจคำตอบทุกครั้งได้ฟรี: หาอนุพันธ์ของคำตอบ ถ้าได้ตัวถูกอินทิเกรตกลับมาแสดงว่าถูก ตัวอย่างทุกข้อในหน้านี้มีบรรทัด “ตรวจคำตอบ” ปิดท้าย

## คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัดเขต (Properties)

คุณสมบัติทั้งหมดนี้ได้มาจากกฎของอนุพันธ์ ใช้รหัส P กำกับไว้ เวลาเห็น P2 ในวิธีทำ คลิกกลับมาดูได้ทันที

P1 Constant multiple rule กฎตัวคูณค่าคงที่

$$\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$$

ดึงค่าคงที่ออกมานอกเครื่องหมายอินทิกรัลได้ (k ต้องไม่ใช่ฟังก์ชันของ x)

P2 Sum and difference rule กฎผลบวกและผลต่าง

$$\begin{aligned} &\int [f(x) \pm g(x)]\,dx \\ &= \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx \end{aligned}$$

อินทิเกรตแยกทีละพจน์ (term by term) ได้

P3 Linearity ความเป็นเชิงเส้น (P1 + P2 รวมกัน)

$$\begin{aligned} &\int [a\,f(x) + b\,g(x)]\,dx \\ &= a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx \end{aligned}$$

P4 Derivative of an integral อนุพันธ์หักล้างอินทิกรัล

$$\frac{d}{dx}\int f(x)\,dx = f(x)$$

P5 Integral of a derivative อินทิกรัลหักล้างอนุพันธ์

$$\int F'(x)\,dx = F(x) + C$$

P6 No product or quotient rule ข้อควรระวัง: ไม่มีกฎผลคูณและผลหาร

$$\begin{gathered} \int f(x)\,g(x)\,dx \ne \int f(x)\,dx \cdot \int g(x)\,dx \\ \int \frac{f(x)}{g(x)}\,dx \ne \frac{\int f(x)\,dx}{\int g(x)\,dx} \end{gathered}$$

ผลคูณต้องกระจายก่อน เปลี่ยนตัวแปร u หรืออินทิเกรตทีละส่วน (by parts) ส่วนเศษส่วนต้องจัดรูป หารยาว หรือแยกเศษส่วนย่อย

### ค่าคงที่ C₁ + C₂ + C₃ รวมเป็น C ตัวเดียวได้อย่างไร

เวลาใช้ P2 อินทิเกรตแยกทีละพจน์ แต่ละพจน์จะได้ค่าคงที่ของตัวเอง ผลบวกของค่าคงที่หลายตัวก็ยังเป็นค่าคงที่ตัวเดียว จึงตั้งชื่อใหม่ว่า C แล้วเขียนครั้งเดียวท้ายคำตอบ

ตัวอย่าง 1 · อินทิเกรตทีละพจน์

### หา $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$

- แยกเป็นสามพจน์ด้วยกฎผลบวกผลต่าง แล้วดึงค่าคงที่ออก P2 Sum rule P1 Constant multiple

$$\begin{aligned} &\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx \\ &= {3\int x^2\,dx} - {4\int x\,dx} + {5\int 1\,dx} \end{aligned}$$

- อินทิเกรตแต่ละพจน์ด้วยกฎยกกำลัง แต่ละพจน์มีค่าคงที่ของตัวเอง F2 Power rule F1 Constant rule

$$\begin{aligned} 3\int x^2\,dx &= 3\cdot{\frac{x^3}{3}} + {C_1} = x^3 + {C_1} \\ 4\int x\,dx &= 4\cdot{\frac{x^2}{2}} + {C_2} = 2x^2 + {C_2} \\ 5\int 1\,dx &= 5{x} + {C_3} \end{aligned}$$

- นำมารวมกันตามเครื่องหมายเดิม แล้วจับค่าคงที่ไว้ด้วยกัน

$$\begin{aligned} &(x^3 + {C_1}) - (2x^2 + {C_2}) + (5x + {C_3}) \\ &= x^3 - 2x^2 + 5x + {(C_1 - C_2 + C_3)} \end{aligned}$$

- $C_1 - C_2 + C_3$ เป็นตัวเลขคงที่ตัวหนึ่ง ตั้งชื่อใหม่ว่า $C$

$${C_1 - C_2 + C_3 = C}$$

$\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C$

ตรวจคำตอบ: $\dfrac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + 5x + C) = 3x^2 - 4x + 5$ ✓ ในทางปฏิบัติจึงไม่ต้องเขียน $C_1, C_2, C_3$ แยก เขียน + C ครั้งเดียวตอนจบได้เลย

## สูตรอินทิเกรตพื้นฐาน (Basic Integration Formulas)

ทุกสูตรได้จากการอ่านตารางอนุพันธ์ย้อนกลับ ละ + C ไว้ทุกบรรทัดเพื่อให้อ่านง่าย มุมในฟังก์ชันตรีโกณต้องเป็นเรเดียน

F1 Constant rule อินทิกรัลของค่าคงที่

$$\int k\,dx = kx + C$$

F2 Power rule กฎยกกำลัง

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1$$

“บวกเลขชี้กำลังหนึ่ง แล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่” ใช้ได้กับ n ที่เป็นเศษส่วนและติดลบด้วย

F3 Reciprocal rule กรณี n = −1 ได้ลอการิทึม

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

ใส่ค่าสัมบูรณ์เพราะ ln ของจำนวนลบไม่นิยาม

F4 Exponential rule เอกซ์โพเนนเชียลฐาน e

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$

F5 General exponential เอกซ์โพเนนเชียลฐาน a

$$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \quad a \gt 0,\ a \ne 1$$

F6 Sine and cosine sin และ cos

$$\begin{gathered} \int \sin x\,dx = -\cos x + C \\ \int \cos x\,dx = \sin x + C \end{gathered}$$

จำเครื่องหมาย: อนุพันธ์ของ cos มีลบ อินทิกรัลของ sin จึงมีลบ

F7 sec² and csc²

$$\begin{gathered} \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C \\ \int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C \end{gathered}$$

F8 sec·tan and csc·cot

$$\begin{gathered} \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C \\ \int \csc x\cot x\,dx = -\csc x + C \end{gathered}$$

F9 tan and cot

$$\begin{gathered} \int \tan x\,dx = \ln|\sec x| + C \\ \int \cot x\,dx = \ln|\sin x| + C \end{gathered}$$

$\ln|\sec x| = -\ln|\cos x|$ เขียนแบบไหนก็ได้

F10 sec and csc

$$\begin{gathered} \int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C \\ \int \csc x\,dx = \ln|\csc x - \cot x| + C \end{gathered}$$

F11 Inverse tangent form ได้ arctan

$$\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$$

F12 Inverse sine form ได้ arcsin

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$$

F13 Hyperbolic functions ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

$$\begin{gathered} \int \sinh x\,dx = \cosh x + C \\ \int \cosh x\,dx = \sinh x + C \end{gathered}$$

### ก่อนใช้กฎยกกำลัง: เปลี่ยนรากและเศษส่วนเป็นเลขชี้กำลัง

| เห็นแบบนี้ | เขียนใหม่เป็น | แล้วอินทิเกรตได้ |

| $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\dfrac{x^{3/2}}{3/2} = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ |

| $\sqrt[3]{x^2}$ | $x^{2/3}$ | $\dfrac{3}{5}x^{5/3}$ |

| $\dfrac{1}{x^2}$ | $x^{-2}$ | $\dfrac{x^{-1}}{-1} = -\dfrac{1}{x}$ |

| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $x^{-1/2}$ | $\dfrac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$ |

| $\dfrac{5}{x^3}$ | $5x^{-3}$ | $5\cdot\dfrac{x^{-2}}{-2} = -\dfrac{5}{2x^2}$ |

| $x\sqrt{x}$ | $x^{1}\cdot x^{1/2} = x^{3/2}$ | $\dfrac{2}{5}x^{5/2}$ |

## สูตรเมื่อข้างในเป็น ax + b (Linear Substitution Forms)

ถ้าข้างในเป็นเชิงเส้น $ax + b$ ให้ใช้สูตรพื้นฐานได้เลย แล้วหารด้วย a ซึ่งคืออนุพันธ์ของข้างใน กลุ่มนี้คือการเปลี่ยนตัวแปร u ที่ทำไว้ให้แล้ว

G1 Power of a linear term พจน์เชิงเส้นยกกำลัง

$$\int (ax+b)^n\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a\,(n+1)} + C, \quad n \ne -1$$

G2 Reciprocal of a linear term

$$\int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C$$

G3 Exponential of a linear term

$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C$$

G4 Sine and cosine of a linear term

$$\begin{gathered} \int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C \\ \int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C \end{gathered}$$

งานไฟฟ้าใช้บ่อยมาก: $\int \sin\omega t\,dt = -\dfrac{1}{\omega}\cos\omega t + C$

G5 sec² of a linear term

$$\begin{aligned} &\int \sec^2(ax+b)\,dx \\ &= \frac{1}{a}\tan(ax+b) + C \end{aligned}$$

ใช้ได้เฉพาะข้างในเป็นเชิงเส้นเท่านั้น: $\int (x^2+1)^3\,dx \ne \dfrac{(x^2+1)^4}{4\cdot 2x}$ เพราะ $2x$ ไม่ใช่ค่าคงที่ หารออกไม่ได้ ข้อนี้ต้องกระจายกำลังสามแล้วอินทิเกรตทีละพจน์

## รูปแบบที่โจทย์มักซ่อนไว้: f(x) คู่กับ f′(x)

หลังคุ้นกับสูตรพื้นฐานแล้ว ให้ฝึกมองโจทย์เป็น “ก้อน” ถ้าก้อนหนึ่งคือ $f(x)$ และมีอนุพันธ์ $f'(x)$ คูณอยู่ด้วย จะอินทิเกรตได้ทันทีตามตารางนี้ (ทุกสูตรคือการเปลี่ยนตัวแปร $u = f(x)$ ที่ทำเสร็จแล้ว)

H1 Generalized power rule ก้อนยกกำลัง

$$\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$$

H2 Logarithmic form ตัวเศษคืออนุพันธ์ของตัวส่วน

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$$

H3 Exponential form

$$\int e^{f(x)} f'(x)\,dx = e^{f(x)} + C$$

H4 Square-root form

$$\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\,dx = 2\sqrt{f(x)} + C$$

H5 Trigonometric forms

$$\begin{gathered} \int \cos(f)\,f'\,dx = \sin f + C \\ \int \sin(f)\,f'\,dx = -\cos f + C \end{gathered}$$

H6 Inverse-trig forms

$$\begin{gathered} \int \frac{f'}{1+f^2}\,dx = \arctan f + C \\ \int \frac{f'}{\sqrt{1-f^2}}\,dx = \arcsin f + C \end{gathered}$$

### ตารางมองโจทย์: เห็นแบบนี้ ให้ u เป็นอะไร

| โจทย์หน้าตาแบบนี้ | ให้ u = | เพราะเจอ du นี้ข้างนอก | รูปที่ได้ |

| $\int x(x^2+1)^4\,dx$ | $x^2+1$ | $du = 2x\,dx$ | H1 |

| $\int \dfrac{2x+3}{x^2+3x-1}\,dx$ | $x^2+3x-1$ | $du = (2x+3)\,dx$ | H2 |

| $\int x^2 e^{x^3}\,dx$ | $x^3$ | $du = 3x^2\,dx$ | H3 |

| $\int \sin^4 x\cos x\,dx$ | $\sin x$ | $du = \cos x\,dx$ | H1 |

| $\int \dfrac{(\ln x)^2}{x}\,dx$ | $\ln x$ | $du = \dfrac{1}{x}\,dx$ | H1 |

| $\int \dfrac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx$ | $e^x$ | $du = e^x\,dx$ | H6 |

| $\int \tan x\,dx = \int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx$ | $\cos x$ | $du = -\sin x\,dx$ | H2 |

## สูตรสำเร็จ (Standard Integrals)

สูตรที่พิสูจน์ครั้งเดียวแล้วใช้ซ้ำได้ตลอด ตรวจทุกสูตรด้วยการหาอนุพันธ์กลับแล้ว ให้ $a \gt 0$

S1 Sum of squares ผลบวกกำลังสอง

$$\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$$

S2 Difference of squares ผลต่างกำลังสอง

$$\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$$

S3 a² − x² in the denominator

$$\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C$$

S4 Inverse sine, scaled

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$$

S5 Inverse hyperbolic forms

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C$$

S6 Square root of a² − x² (พื้นที่ส่วนของวงกลม)

$$\begin{aligned} &\int \sqrt{a^2-x^2}\,dx \\ &= \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C \end{aligned}$$

S7 Square root of x² + a²

$$\begin{aligned} &\int \sqrt{x^2+a^2}\,dx \\ &= \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2+a^2}\right| + C \end{aligned}$$

S8 x·e^(ax)

$$\int x e^{ax}\,dx = \frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1) + C$$

S9 Natural logarithm

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$$

S10 xⁿ·ln x

$$\begin{gathered} \int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\left(\ln x - \frac{1}{n+1}\right) + C \\ n \ne -1 \end{gathered}$$

S11 Exponential times sine / cosine (คลื่นหน่วง damped oscillation)

$$\begin{gathered} \int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx - b\cos bx) + C \\ \int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx + b\sin bx) + C \end{gathered}$$

S12 sin² and cos² (จากสูตรลดกำลัง)

$$\begin{gathered} \int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C \\ \int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C \end{gathered}$$

S13 tan² (ใช้ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$)

$$\int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C$$

S14 Reduction formulas สูตรลดทอนกำลัง

$$\begin{gathered} \int \sin^n x\,dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\,dx \\ \int \cos^n x\,dx = \frac{\cos^{n-1}x\sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x\,dx \\ \int x^n e^{ax}\,dx = \frac{x^n e^{ax}}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1}e^{ax}\,dx \end{gathered}$$

## เลือกวิธีอินทิเกรตอย่างไร (Strategy)

- จัดรูปก่อน กระจายวงเล็บ แยกเศษส่วนทีละพจน์ ตัดตัวร่วม เปลี่ยนรากเป็นเลขชี้กำลัง ดูตัวอย่าง

- ตรงสูตรหรือไม่ เทียบกับ F, G, S สูตรพื้นฐาน

- มีก้อน f(x) กับ f′(x) ไหม ถ้ามี เปลี่ยนตัวแปร u ดูวิธี

- เป็นเศษส่วนพหุนาม ดีกรีบน ≥ ดีกรีล่าง → หารยาว · ดีกรีบน < ดีกรีล่าง → แยกเศษส่วนย่อย

- เป็นผลคูณของฟังก์ชันต่างชนิด เช่น $x e^x$, $x\cos x$, $\ln x$ → อินทิเกรตทีละส่วน

## การเปลี่ยนตัวแปร u (Integration by Substitution)

การเปลี่ยนตัวแปรคือกฎลูกโซ่ (chain rule) ที่ทำย้อนกลับ เวลาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันซ้อน เราได้ “อนุพันธ์ข้างนอก × อนุพันธ์ข้างใน” ดังนั้นถ้าเห็นตัวถูกอินทิเกรตที่มี “ฟังก์ชันของก้อนข้างใน × อนุพันธ์ของก้อนข้างใน” ก็ย้อนกลับได้

T1 Substitution rule สูตรการเปลี่ยนตัวแปร

$$\begin{gathered} \int f\big({g(x)}\big)\,{g'(x)\,dx} = \int f({u})\,{du} \\ {u = g(x)} \\ {du = g'(x)\,dx} \end{gathered}$$

ก้อนข้างใน$\displaystyle\int x\,(\underbrace{{x^2+1}}_{u})^4\,dx$เลือกก้อนที่ “ถ้าหาอนุพันธ์แล้ว ได้ของที่เหลืออยู่ข้างนอก”

อนุพันธ์ของก้อน${du} = \dfrac{d}{dx}(x^2+1)\,dx = {2x\,dx}$ข้างนอกมี $x\,dx$ อยู่แล้ว ขาดแค่ 2 ซึ่งเป็นค่าคงที่ ปรับได้

หลังแทน$\displaystyle\frac{1}{2}\int {u}^4\,{du}$x หายหมด เหลือแต่ u แปลว่าเลือกถูก

### ห้าขั้นตอนที่ใช้ทุกข้อ

- เลือก u เป็นก้อนข้างใน (ในวงเล็บที่ยกกำลัง ใต้ราก ในเลขชี้กำลัง หรือตัวส่วน)

- หา du = (อนุพันธ์ของ u) × dx แล้วจัดให้ตรงกับของที่อยู่ข้างนอก

- แทนให้หมด ทุก x และ dx ต้องหายไป ถ้ายังเหลือ x ให้แสดง x เป็นฟังก์ชันของ u หรือเลือก u ใหม่

- อินทิเกรตในตัวแปร u ด้วยสูตรพื้นฐาน

- แทนกลับ u = ก้อนเดิม แล้วบวก C

ปรับได้เฉพาะค่าคงที่: ถ้า du ขาดตัวคูณที่เป็นตัวเลข (เช่น ต้องการ $2x\,dx$ แต่มีแค่ $x\,dx$) ให้คูณและหารด้วยตัวเลขนั้น แต่ถ้าขาด x หรือฟังก์ชันอื่น ห้ามเติมเอง

ตัวอย่าง U1 · พจน์เชิงเส้นยกกำลัง

### หา $\displaystyle\int (3x+2)^5\,dx$

- ก้อนข้างในคือ $3x+2$ ให้เป็น u แล้วหา du

$${u = 3x+2} \;\Rightarrow\; {du = 3\,dx} \;\Rightarrow\; {dx = \tfrac{1}{3}\,du}$$

- แทนค่าทั้ง u และ dx แล้วดึง $\tfrac13$ ออก P1 Constant multiple

$$\begin{aligned} \int ({3x+2})^5\,{dx} &= \int {u}^5\cdot{\tfrac{1}{3}\,du} \\ &= {\frac{1}{3}}\int u^5\,du \end{aligned}$$

- อินทิเกรตด้วยกฎยกกำลัง F2 Power rule

$$\frac{1}{3}\cdot{\frac{u^6}{6}} + C = \frac{u^6}{18} + C$$

- แทนกลับ $u = 3x+2$

$$\frac{(3x+2)^6}{18} + C$$

$\displaystyle\int (3x+2)^5\,dx = \frac{(3x+2)^6}{18} + C$ ตรงกับสูตร G1 ที่ a = 3, n = 5

ตรวจคำตอบ: $\dfrac{d}{dx}\dfrac{(3x+2)^6}{18} = \dfrac{6(3x+2)^5\cdot 3}{18} = (3x+2)^5$ ✓

ตัวอย่าง U2 · พหุนามยกกำลัง

### หา $\displaystyle\int x(x^2+1)^4\,dx$

- ถ้ากระจาย $(x^2+1)^4$ จะยาวมาก ให้มองก้อน $x^2+1$ ซึ่งอนุพันธ์คือ $2x$ และมี x อยู่ข้างนอกพอดี

$$\begin{gathered} {u = x^2+1} \\ \Rightarrow {du = 2x\,dx} \\ \Rightarrow {x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du} \end{gathered}$$

- แทนค่า สังเกตว่า x กับ dx หายไปพร้อมกัน P1

$$\begin{aligned} \int ({x^2+1})^4\,{x\,dx} &= \int {u}^4\cdot{\tfrac{1}{2}\,du} \\ &= \frac{1}{2}\int u^4\,du \end{aligned}$$

- กฎยกกำลัง F2 แล้วแทนกลับ

$$\frac{1}{2}\cdot{\frac{u^5}{5}} + C = \frac{(x^2+1)^5}{10} + C$$

$\displaystyle\int x(x^2+1)^4\,dx = \frac{(x^2+1)^5}{10} + C$

ตรวจคำตอบ: $\dfrac{d}{dx}\dfrac{(x^2+1)^5}{10} = \dfrac{5(x^2+1)^4\cdot 2x}{10} = x(x^2+1)^4$ ✓

ตัวอย่าง U3 · du ตรงพอดี

### หา $\displaystyle\int (2x+3)(x^2+3x-1)^3\,dx$

- อนุพันธ์ของ $x^2+3x-1$ คือ $2x+3$ ซึ่งอยู่ข้างนอกครบ ไม่ต้องปรับค่าคงที่

$${u = x^2+3x-1} \;\Rightarrow\; {du = (2x+3)\,dx}$$

- แทนค่าแล้วใช้กฎยกกำลัง F2 (หรือมองเป็นสูตร H1 ได้เลย)

$$\int {u}^3\,{du} = {\frac{u^4}{4}} + C = \frac{(x^2+3x-1)^4}{4} + C$$

$\displaystyle\int (2x+3)(x^2+3x-1)^3\,dx = \frac{(x^2+3x-1)^4}{4} + C$

ตัวอย่าง U4 · ก้อนใต้รากที่สอง

### หา $\displaystyle\int x^2\sqrt{x^3+5}\,dx$

- เขียนรากเป็นเลขชี้กำลัง $\sqrt{\ } = (\ )^{1/2}$ แล้วเลือกก้อนใต้ราก

$$\begin{gathered} {u = x^3+5} \\ \Rightarrow {du = 3x^2\,dx} \\ \Rightarrow {x^2\,dx = \tfrac{1}{3}\,du} \end{gathered}$$

- แทนค่า P1

$$\int ({x^3+5})^{1/2}\,{x^2\,dx} = \frac{1}{3}\int u^{1/2}\,du$$

- กฎยกกำลังกับเลขชี้กำลังเศษส่วน: $\tfrac12 + 1 = \tfrac32$ แล้วหารด้วย $\tfrac32$ คือคูณ $\tfrac23$ F2

$$\begin{aligned} \frac{1}{3}\cdot{\frac{u^{3/2}}{3/2}} + C &= \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C \\ &= \frac{2}{9}(x^3+5)^{3/2} + C \end{aligned}$$

$\displaystyle\int x^2\sqrt{x^3+5}\,dx = \frac{2}{9}(x^3+5)^{3/2} + C$

ตัวอย่าง U5 · ก้อนอยู่ที่ตัวส่วน (เลขชี้กำลังติดลบ)

### หา $\displaystyle\int \frac{6x}{(x^2+4)^3}\,dx$

- ย้ายตัวส่วนขึ้นมาเป็นเลขชี้กำลังลบ แล้วเลือก u

$$\begin{gathered} \int 6x\,(x^2+4)^{-3}\,dx \\ {u = x^2+4},\ {du = 2x\,dx} \;\Rightarrow\; {6x\,dx = 3\,du} \end{gathered}$$

- แทนค่า แล้วใช้กฎยกกำลังที่ n = −3: บวกหนึ่งได้ −2 F2

$$3\int u^{-3}\,du = 3\cdot{\frac{u^{-2}}{-2}} + C = -\frac{3}{2u^2} + C$$

- แทนกลับ

$$-\frac{3}{2(x^2+4)^2} + C$$

$\displaystyle\int \frac{6x}{(x^2+4)^3}\,dx = -\frac{3}{2(x^2+4)^2} + C$

ตัวอย่าง U6 · ก้อนอยู่ในเลขชี้กำลัง

### หา $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx$

- ก้อนในเลขชี้กำลังคือ $x^2$ อนุพันธ์ $2x$ อยู่ข้างนอกแล้ว

$${u = x^2},\quad {du = 2x\,dx}$$

- แทนค่า F4 Exponential (หรือสูตร H3)

$$\int e^{{u}}\,{du} = {e^u} + C = e^{x^2} + C$$

$\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C$

ตัวอย่าง U7 · ตัวเศษคืออนุพันธ์ของตัวส่วน

### หา $\displaystyle\int \frac{3x^2+2}{x^3+2x}\,dx$

- อนุพันธ์ของตัวส่วน $x^3+2x$ คือ $3x^2+2$ ซึ่งเป็นตัวเศษพอดี

$${u = x^3+2x},\quad {du = (3x^2+2)\,dx}$$

- แทนค่า F3 Reciprocal (สูตร H2)

$$\int \frac{{du}}{{u}} = {\ln|u|} + C = \ln|x^3+2x| + C$$

$\displaystyle\int \frac{3x^2+2}{x^3+2x}\,dx = \ln|x^3+2x| + C$

ตัวอย่าง U8 · ฟังก์ชันตรีโกณยกกำลัง

### หา $\displaystyle\int \sin^4 x\cos x\,dx$

- $\sin^4 x$ คือ $(\sin x)^4$ ก้อนข้างในคือ $\sin x$ และอนุพันธ์ $\cos x$ อยู่ข้างนอก

$${u = \sin x},\quad {du = \cos x\,dx}$$

- แทนค่าแล้วใช้กฎยกกำลัง F2

$$\int {u}^4\,{du} = {\frac{u^5}{5}} + C = \frac{\sin^5 x}{5} + C$$

$\displaystyle\int \sin^4 x\cos x\,dx = \frac{\sin^5 x}{5} + C$

ตัวอย่าง U9 · แทนแล้วยังเหลือ x (ระดับกลาง)

### หา $\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx$

- เลือกก้อนใต้ราก $u = x+1$ จะได้ $du = dx$ แต่ยังเหลือ x ข้างหน้า ให้แสดง x ในรูป u จาก $u = x+1$

$${u = x+1} \;\Rightarrow\; {x = u-1},\quad {dx = du}$$

- แทนให้หมด แล้วกระจาย P2 Sum rule

$$\int ({u-1})\,{u}^{1/2}\,{du} = \int \left(u^{3/2} - u^{1/2}\right)du$$

- กฎยกกำลังทีละพจน์ F2

$${\frac{u^{5/2}}{5/2}} - {\frac{u^{3/2}}{3/2}} + C = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2} + C$$

- แทนกลับ $u = x+1$

$$\frac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$$

$\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx = \frac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$

ตัวอย่าง U10 · ก้อนเป็นลอการิทึม

### หา $\displaystyle\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx$

- มองให้เห็นว่า $\dfrac{1}{x}\,dx$ คืออนุพันธ์ของ $\ln x$

$${u = \ln x},\quad {du = \tfrac{1}{x}\,dx}$$

- แทนค่าแล้วใช้กฎยกกำลัง F2

$$\int {u}^2\,{du} = {\frac{u^3}{3}} + C = \frac{(\ln x)^3}{3} + C$$

$\displaystyle\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^3}{3} + C$

## จัดรูปและตัดเศษส่วนก่อนอินทิเกรต

หลายข้อดูยาก แต่พอตัดตัวร่วมหรือแยกทีละพจน์แล้วเหลือแค่กฎยกกำลัง เส้นสีแดงคือส่วนที่ตัดกัน ตัวเลขสีแดงเหนือเส้นคือค่าที่เหลือหลังตัด (ทดไว้)

ตัวอย่าง A1 · หารทีละพจน์แล้วตัด

### หา $\displaystyle\int \frac{6x^5 - 9x^3 + 3x}{3x}\,dx$

- ตัวส่วนเป็นพจน์เดียว ให้แยกหารทีละพจน์

$$\frac{6x^5 - 9x^3 + 3x}{3x} = \frac{6x^5}{3x} - \frac{9x^3}{3x} + \frac{3x}{3x}$$

- ตัดตัวเลขและ x ทีละพจน์: 6 ÷ 3 เหลือ 2 (ทดไว้), $x^5 = x^4\cdot x$ ตัด x ได้หนึ่งตัว

$$\frac{\cancel{6}\,x^4\,\cancel{x}}{\cancel{3}\,\cancel{x}} - \frac{\cancel{9}\,x^2\,\cancel{x}}{\cancel{3}\,\cancel{x}} + \frac{\cancel{3}\,\cancel{x}}{\cancel{3}\,\cancel{x}} = 2x^4 - 3x^2 + 1$$

- อินทิเกรตทีละพจน์ P2 F2 F1

$$\begin{aligned} &\int (2x^4 - 3x^2 + 1)\,dx \\ &= 2\cdot{\frac{x^5}{5}} - 3\cdot{\frac{x^3}{3}} + {x} + C \\ &= \frac{2}{5}x^5 - x^3 + x + C\end{aligned}$$

$\displaystyle\int \frac{6x^5 - 9x^3 + 3x}{3x}\,dx = \frac{2}{5}x^5 - x^3 + x + C$

ตัวอย่าง A2 · แยกตัวประกอบแล้วตัด

### หา $\displaystyle\int \frac{x^3 - 1}{x - 1}\,dx$

- แยกตัวประกอบผลต่างกำลังสาม $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$$

- ตัด $(x-1)$ บนและล่าง (ใช้ได้เมื่อ $x \ne 1$)

$$\frac{\cancel{(x-1)}\,(x^2+x+1)}{\cancel{(x-1)}} = x^2 + x + 1$$

- อินทิเกรตทีละพจน์ P2 F2

$$\int (x^2 + x + 1)\,dx = {\frac{x^3}{3}} + {\frac{x^2}{2}} + {x} + C$$

$\displaystyle\int \frac{x^3 - 1}{x - 1}\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C$

ตัวอย่าง A3 · กระจายแล้วเปลี่ยนเป็นเลขชี้กำลัง

### หา $\displaystyle\int \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x}\,dx$

- กระจายกำลังสองด้วย $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$$(\sqrt{x}+1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1$$

- หารทีละพจน์ แล้วตัด: $\dfrac{x}{x} = 1$ และ $\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{x^{1/2}}{x^1} = x^{-1/2}$

$$\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}} + \frac{2x^{1/2}}{x} + \frac{1}{x} = 1 + 2x^{-1/2} + \frac{1}{x}$$

- อินทิเกรตทีละพจน์ F1 F2 F3

$$\begin{aligned} &{x} + 2\cdot{\frac{x^{1/2}}{1/2}} + {\ln|x|} + C \\ &= x + 4\sqrt{x} + \ln|x| + C \end{aligned}$$

$\displaystyle\int \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x}\,dx = x + 4\sqrt{x} + \ln|x| + C$

## เศษส่วนพหุนามที่ต้องหารยาว (Polynomial Long Division)

เมื่อดีกรีของตัวเศษ ≥ ดีกรีของตัวส่วน (improper rational function) ให้หารยาวก่อน จะได้ผลหารซึ่งเป็นพหุนาม บวกกับเศษส่วนที่ตัวเศษดีกรีต่ำกว่า

T2 Division algorithm ผลการหารยาว

$$\frac{N(x)}{D(x)} = \underbrace{Q(x)}_{\text{ผลหาร}} + \frac{\overbrace{R(x)}^{\text{เศษ}}}{D(x)}, \qquad \deg R \lt \deg D$$

วิธีหารยาวเหมือนหารเลขยาวในชั้นประถม: (1) เอาพจน์หน้าสุดของตัวตั้งหารด้วยพจน์หน้าสุดของตัวหาร (2) คูณกลับ (3) ลบ พจน์หน้าจะตัดกันเป็นศูนย์ (เส้นแดง) (4) ทดพจน์ถัดไปลงมา แล้ววนจนดีกรีของเศษต่ำกว่าตัวหาร

ตัวอย่าง D1 · หารด้วยพจน์เชิงเส้น

### หา $\displaystyle\int \frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1}\,dx$

- ดีกรีบน 2 ≥ ดีกรีล่าง 1 จึงหารยาว

ผลหาร →$x$$+\,2$
$x+1$$x^2$$+\,3x$$+\,5$
$x(x+1)$$-(x^2$$+\,x)$
$2x$$+\,5$↓ ทด
$2(x+1)$$-(2x$$+\,2)$
$3$เศษ

- $x^2 \div x = \color{#2a78d6}{x}$ คูณกลับ $x(x+1) = x^2 + x$ ลบออก $x^2$ ตัดกัน เหลือ $3x - x = 2x$ แล้วทด $+5$ ลงมา

- $2x \div x = \color{#2a78d6}{2}$ คูณกลับ $2(x+1) = 2x + 2$ ลบออก $2x$ ตัดกัน เหลือ $5 - 2 = 3$

- เศษ 3 มีดีกรี 0 ต่ำกว่าตัวหาร จึงหยุด

- เขียนผลตามรูป ผลหาร + เศษ/ตัวหาร T2

$$\frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1} = x + 2 + \frac{3}{x+1}$$

- อินทิเกรตทีละพจน์ P2 F2 F1 G2

$$\begin{aligned} &\int \left(x + 2 + \frac{3}{x+1}\right)dx \\ &= {\frac{x^2}{2}} + {2x} + 3{\ln|x+1|} + C \end{aligned}$$

$\displaystyle\int \frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1}\,dx = \frac{x^2}{2} + 2x + 3\ln|x+1| + C$

ตรวจการหาร: $(x+1)(x+2) + 3 = x^2 + 3x + 2 + 3 = x^2 + 3x + 5$ ✓

ตัวอย่าง D2 · ตัวหารกำลังสอง (เติม 0x ให้ครบ)

### หา $\displaystyle\int \frac{2x^3 + 3x^2 - x + 1}{x^2 + 1}\,dx$

- ตัวหาร $x^2 + 1$ ไม่มีพจน์ x ให้เขียนเป็น $x^2 + 0x + 1$ เพื่อให้คอลัมน์ตรงกัน แล้วหารยาว

ผลหาร →$2x$$+\,3$
$x^2+0x+1$$2x^3$$+\,3x^2$$-\,x$$+\,1$
$2x(\cdots)$$-(2x^3$$+\,0x^2$$+\,2x)$
$3x^2$$-\,3x$$+\,1$↓ ทด
$3(\cdots)$$-(3x^2$$+\,0x$$+\,3)$
$-\,3x$$-\,2$เศษ

- $2x^3 \div x^2 = \color{#2a78d6}{2x}$ คูณกลับได้ $2x^3 + 0x^2 + 2x$ ลบออก: $2x^3$ ตัดกัน, $3x^2 - 0 = 3x^2$, $-x - 2x = -3x$ แล้วทด $+1$

- $3x^2 \div x^2 = \color{#2a78d6}{3}$ คูณกลับได้ $3x^2 + 0x + 3$ ลบออก: $3x^2$ ตัดกัน, $-3x - 0 = -3x$, $1 - 3 = -2$

- เศษ $-3x - 2$ ดีกรี 1 ต่ำกว่าตัวหารดีกรี 2 จึงหยุด

- เขียนผล แล้วแยกเศษส่วนที่เหลือเป็นสองพจน์ T2

$$\begin{aligned} &\frac{2x^3 + 3x^2 - x + 1}{x^2 + 1} \\ &= 2x + 3 - \frac{3x}{x^2+1} - \frac{2}{x^2+1} \end{aligned}$$

- พจน์ $\dfrac{3x}{x^2+1}$ ใช้ u = $x^2+1$ ($du = 2x\,dx$) ได้รูป ln H2 ส่วน $\dfrac{2}{x^2+1}$ ได้ arctan F11

$$\begin{gathered} \begin{aligned} \int \frac{3x}{x^2+1}\,dx &= \frac{3}{2}\int\frac{{du}}{{u}} \\ &= \frac{3}{2}{\ln(x^2+1)} \end{aligned} \\ \int \frac{2}{x^2+1}\,dx = 2{\arctan x} \end{gathered}$$

- รวมทุกพจน์ P2

$$\begin{aligned} &\int \left(2x + 3 - \frac{3x}{x^2+1} - \frac{2}{x^2+1}\right)dx \\ &= x^2 + 3x - \frac{3}{2}\ln(x^2+1) - 2\arctan x + C \end{aligned}$$

$\displaystyle\int \frac{2x^3 + 3x^2 - x + 1}{x^2 + 1}\,dx = x^2 + 3x - \frac{3}{2}\ln(x^2+1) - 2\arctan x + C$

ไม่ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ใน $\ln(x^2+1)$ เพราะ $x^2 + 1 \gt 0$ เสมอ

## แยกเศษส่วนย่อย (Partial Fraction Decomposition)

ใช้เมื่อดีกรีตัวเศษต่ำกว่าตัวส่วน และตัวส่วนแยกตัวประกอบได้ แยกเป็นเศษส่วนเล็ก ๆ ที่อินทิเกรตได้ด้วย ln หรือ arctan วิธีเดียวกันนี้ใช้หาอินเวอร์สลาปลาซในบทการแปลงลาปลาซ

| ตัวประกอบในตัวส่วน | ชื่อ | เขียนแยกเป็น |

| $(x-a)(x-b)$ | Distinct linear factors | $\dfrac{A}{x-a} + \dfrac{B}{x-b}$ |

| $(x-a)^2$ | Repeated linear factor | $\dfrac{A}{x-a} + \dfrac{B}{(x-a)^2}$ |

| $x^2 + px + q$ (แยกไม่ได้) | Irreducible quadratic | $\dfrac{Ax + B}{x^2 + px + q}$ |

ตัวอย่าง P1 · ตัวประกอบเชิงเส้นต่างกัน

### หา $\displaystyle\int \frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx$

- ตั้งรูปแยก แล้วคูณตลอดด้วยตัวส่วน $(x-1)(x+2)$

$$\begin{aligned} &\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)} \\ &= \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \;\Rightarrow\; 5x + 1 \\ &= A(x+2) + B(x-1)\end{aligned}$$

- แทนค่า x ที่ทำให้วงเล็บหนึ่งเป็นศูนย์ (วิธีปิดตัวประกอบ cover-up method)

$$\begin{aligned} x = 1 &: \quad 6 = A(3) + B\cdot\cancel{0} \;\Rightarrow\; A = 2 \\ x = -2 &: \quad -9 = A\cdot\cancel{0} + B(-3) \;\Rightarrow\; B = 3 \end{aligned}$$

- อินทิเกรตทีละพจน์ P2 G2

$$\begin{aligned} &\int \left(\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2}\right)dx \\ &= 2{\ln|x-1|} + 3{\ln|x+2|} + C \end{aligned}$$

$\displaystyle\int \frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx = 2\ln|x-1| + 3\ln|x+2| + C$

ตัวอย่าง P2 · ตัวประกอบซ้ำ

### หา $\displaystyle\int \frac{x+3}{(x+1)^2}\,dx$

- ตั้งรูปแยกสำหรับตัวประกอบซ้ำ แล้วคูณตลอดด้วย $(x+1)^2$

$$\begin{aligned} \frac{x+3}{(x+1)^2} &= \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} \;\Rightarrow\; x + 3 \\ &= A(x+1) + B \end{aligned}$$

- เทียบสัมประสิทธิ์: พจน์ x ได้ $A = 1$ พจน์คงที่ได้ $A + B = 3$ จึง $B = 2$

$$\frac{x+3}{(x+1)^2} = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2}$$

- พจน์แรกได้ ln G2 พจน์ที่สองเป็นกำลัง −2 G1

$$\begin{aligned} &{\ln|x+1|} + 2\cdot{\frac{(x+1)^{-1}}{-1}} + C \\ &= \ln|x+1| - \frac{2}{x+1} + C \end{aligned}$$

$\displaystyle\int \frac{x+3}{(x+1)^2}\,dx = \ln|x+1| - \frac{2}{x+1} + C$

## อินทิเกรตทีละส่วน (Integration by Parts)

มาจากกฎผลคูณของอนุพันธ์ $(uv)' = u'v + uv'$ อินทิเกรตทั้งสองข้างแล้วจัดใหม่ ใช้กับผลคูณของฟังก์ชันต่างชนิด เช่น พหุนามคูณเอกซ์โพเนนเชียล

T3 Integration by parts อินทิเกรตทีละส่วน

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

T4 LIATE rule ลำดับเลือก u (ตัวที่มาก่อนเป็น u)

LLogarithmic
ln xIInverse trig
arctan xAAlgebraic
x², xTTrigonometric
sin xEExponential
eˣ

u ควรเป็นตัวที่หาอนุพันธ์แล้วง่ายขึ้น dv ควรเป็นตัวที่อินทิเกรตได้

ตัวอย่าง B1 · พหุนามคูณเอกซ์โพเนนเชียล

### หา $\displaystyle\int x e^x\,dx$

- ตาม LIATE: x (Algebraic) มาก่อน eˣ (Exponential) T4

$$\begin{gathered} u = x \\ \Rightarrow du = dx \\ dv = e^x\,dx \\ \Rightarrow v = e^x \end{gathered}$$

- แทนในสูตร T3

$$\int x e^x\,dx = {x e^x - \int e^x\,dx} = x e^x - e^x + C$$

$\displaystyle\int x e^x\,dx = e^x(x - 1) + C$ ตรงกับ S8 ที่ a = 1

ตัวอย่าง B2 · พหุนามคูณตรีโกณ

### หา $\displaystyle\int x\cos x\,dx$

- $u = x$ (A มาก่อน T)

$$\begin{gathered} u = x \\ \Rightarrow du = dx \\ dv = \cos x\,dx \\ \Rightarrow v = \sin x \end{gathered}$$

- แทนในสูตร T3 แล้วใช้ F6

$$\begin{aligned} &x\sin x - \int \sin x\,dx \\ &= x\sin x - ({-\cos x}) + C \\ &= x\sin x + \cos x + C\end{aligned}$$

$\displaystyle\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$

ตัวอย่าง B3 · ln x ตัวเดียว

### หา $\displaystyle\int \ln x\,dx$

- มองเป็น $\ln x \cdot 1$ ให้ u = ln x (L มาก่อนทุกตัว)

$$\begin{gathered} u = \ln x \\ \Rightarrow du = \frac{1}{x}\,dx \\ dv = dx \\ \Rightarrow v = x \end{gathered}$$

- แทนในสูตร T3 สังเกตการตัด x

$$\begin{aligned} x\ln x - \int \cancel{x}\cdot\frac{1}{\cancel{x}}\,dx &= x\ln x - \int 1\,dx \\ &= x\ln x - x + C \end{aligned}$$

$\displaystyle\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$

ตัวอย่าง B4 · ทำสองรอบด้วยวิธีตาราง (tabular / DI method)

### หา $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$

- คอลัมน์ D หาอนุพันธ์ของ $x^2$ จนเป็นศูนย์ คอลัมน์ I อินทิเกรต $e^x$ ไปพร้อมกัน เครื่องหมายสลับ + − +

| เครื่องหมาย | D (อนุพันธ์) | I (อินทิกรัล) |

| + | $x^2$ | $e^x$ |
| − | $2x$ | $e^x$ |
| + | $2$ | $e^x$ |
| | $0$ | $e^x$ |

- คูณทแยงลงตามเครื่องหมาย

$$+x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$$

$\displaystyle\int x^2 e^x\,dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

## อินทิกรัลตรีโกณมิติ (Trigonometric Integrals)

กำลังคู่ใช้สูตรลดกำลัง กำลังคี่แยกออกหนึ่งตัวแล้วเปลี่ยนตัวแปร สูตรตรีโกณทั้งหมดดูได้ที่หน้าสูตรตรีโกณมิติ · อินทิกรัลแบบ $\int t\cos at\,dt$ และผลคูณไซน์ตลอดคาบเป็นเครื่องมือหลักของการหาสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์

ตัวอย่าง T1 · กำลังคี่

### หา $\displaystyle\int \sin^3 x\,dx$

- แยก $\sin x$ ออกหนึ่งตัว แล้วใช้ $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ เอกลักษณ์พีทาโกรัส

$$\int \sin^2 x\,\sin x\,dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\,dx$$

- ให้ $u = \cos x$ จะได้ $du = -\sin x\,dx$ หรือ $\sin x\,dx = -du$

$$\begin{aligned} \int (1 - {u}^2)({-du}) &= -\int (1 - u^2)\,du \\ &= -u + \frac{u^3}{3} + C \end{aligned}$$

$\displaystyle\int \sin^3 x\,dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$

### การแทนค่าด้วยตรีโกณ (Trigonometric Substitution)

| ถ้าเจอ | ให้ | เพราะ |

| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $x = a\sin\theta$ | $a^2 - a^2\sin^2\theta = a^2\cos^2\theta$ |

| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a\tan\theta$ | $a^2 + a^2\tan^2\theta = a^2\sec^2\theta$ |

| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a\sec\theta$ | $a^2\sec^2\theta - a^2 = a^2\tan^2\theta$ |

## อินทิกรัลจำกัดเขต (Definite Integral)

อินทิกรัลจำกัดเขตให้ตัวเลข ไม่ใช่ฟังก์ชัน มีความหมายเป็นพื้นที่ใต้กราฟแบบคิดเครื่องหมาย (ส่วนที่อยู่ใต้แกน x นับเป็นลบ) ในงานไฟฟ้าคือ ประจุสะสม $q = \int i\,dt$ พลังงาน $W = \int p\,dt$ และค่าเฉลี่ย

ผลบวกรีมันน์ใช้สูตร $\sum k,\ \sum k^2$ ดูตัวอย่างหา $\int_0^1 x^2dx$ จากลิมิตของอนุกรมใน ลำดับและอนุกรม และการพิสูจน์สูตรผลบวกด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

Q0 Riemann-sum definition นิยามด้วยผลบวกรีมันน์

$$\begin{gathered} \begin{aligned} &\int_a^b f(x)\,dx \\ &= \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k^*)\,\Delta x \end{aligned} \\ \Delta x = \frac{b-a}{n} \\ x_k = a + k\,\Delta x \end{gathered}$$

แบ่งช่วง [a, b] เป็น n ช่วงย่อย (partition) กว้างช่วงละ Δx สร้างสี่เหลี่ยมสูง $f(x_k^*)$ แล้วรวมพื้นที่ เมื่อ n → ∞ ผลรวมจะเข้าใกล้พื้นที่จริง

### ลองเอง: ผลบวกรีมันน์เข้าใกล้ค่าจริง
เพิ่มจำนวนสี่เหลี่ยม n แล้วดูว่าผลรวมเข้าใกล้ค่าอินทิกรัลจริงเท่าไร

ฟังก์ชัน
a
b

จำนวนช่วง n8

ตัวอย่าง R1 · หาจากนิยามโดยตรง

### หา $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ ด้วยผลบวกรีมันน์ (จุดขวา)

- แบ่ง [0, 1] เป็น n ช่วง หาความกว้างและจุดขวาของช่วงที่ k

$$\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}, \qquad x_k = 0 + k\cdot\frac{1}{n} = \frac{k}{n}$$

- เขียนผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยม แล้วกระจายตัวที่ไม่ขึ้นกับ k ออกมานอกซิกมา

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x &= \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{n} \\ &= \sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{n^3} \\ &= \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2 \end{aligned}$$

- ใช้สูตรผลบวกกำลังสอง $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$$\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3}$$

- หารทุกพจน์ด้วย $n^3$ แล้วตัด

$$\frac{2\cancel{n^3}}{6\cancel{n^3}} + \frac{3\cancel{n^2}}{6\,n\cancel{n^2}} + \frac{\cancel{n}}{6\,n^2\cancel{n}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}$$

- ให้ n → ∞ พจน์ที่มี n ในตัวส่วนเข้าใกล้ 0

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}\right) = \frac{1}{3} + 0 + 0 = \frac{1}{3}$$

$\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$ ลองตั้ง n ในกล่องด้านบนเป็น 8, 50, 200 จะเห็นผลรวม $\tfrac13 + \tfrac{1}{2n} + \tfrac{1}{6n^2}$ ลดลงเข้าหา 0.3333

ตัวอย่าง R2 · นิยามกับฟังก์ชันเชิงเส้น

### หา $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$ ด้วยผลบวกรีมันน์

- หา Δx และจุดขวา แล้วแทนลงใน f

$$\begin{gathered} \Delta x = \frac{3-1}{n} = \frac{2}{n} \\ x_k = 1 + \frac{2k}{n} \\ \begin{aligned} f(x_k) &= 2\left(1 + \frac{2k}{n}\right) + 1 \\ &= 3 + \frac{4k}{n} \end{aligned} \end{gathered}$$

- กระจายผลรวมเป็นสองก้อน

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\left(3 + \frac{4k}{n}\right)\frac{2}{n} &= \frac{6}{n}\sum_{k=1}^{n}1 + \frac{8}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k \\ &= \frac{6}{n}\cdot n + \frac{8}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} \end{aligned}$$

- ตัดและจัดรูป

$$\begin{aligned} \frac{6}{\cancel{n}}\cdot\cancel{n} + \frac{\cancel{8}\,\cancel{n}(n+1)}{\cancel{2}\,n\,\cancel{n}} &= 6 + \frac{4(n+1)}{n} \\ &= 10 + \frac{4}{n} \end{aligned}$$

- ให้ n → ∞

$$\lim_{n\to\infty}\left(10 + \frac{4}{n}\right) = 10$$

$\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx = 10$ ตรงกับวิธีลัด $[x^2 + x]_1^3 = 12 - 2 = 10$ ในหัวข้อถัดไป

### ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (Fundamental Theorem of Calculus)

การหาลิมิตของผลรวมทุกข้อเหนื่อยมาก ทฤษฎีบทนี้บอกว่าไม่ต้องทำ ใช้ปฏิยานุพันธ์แทนค่าขอบบนลบขอบล่างได้เลย

Q1 FTC, part 2 (evaluation theorem) การหาค่าอินทิกรัลจำกัดเขต

$$\begin{gathered} \begin{aligned} \int_a^b f(x)\,dx &= \Big[F(x)\Big]_a^b \\ &= F(b) - F(a) \end{aligned} \\ F'(x) = f(x) \end{gathered}$$

Q2 FTC, part 1 อนุพันธ์ของอินทิกรัลที่ขอบบนเป็นตัวแปร

$$\begin{gathered} \frac{d}{dx}\int_a^{x} f(t)\,dt = f(x) \\ \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f\big(g(x)\big)\,g'(x) \end{gathered}$$

รูปที่สองเรียกว่ากฎของไลบ์นิซ (Leibniz integral rule) แบบพื้นฐาน

Q3 The constant cancels ทำไมไม่มี C

$$\begin{aligned} \Big[F(x) + {C}\Big]_a^b &= \big(F(b) + \cancel{C}\big) - \big(F(a) + \cancel{C}\big) \\ &= F(b) - F(a) \end{aligned}$$

### คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต (Properties of Definite Integrals)

Q4 Zero-width interval ขอบบนเท่าขอบล่าง

$$\int_a^a f(x)\,dx = 0$$

Q5 Reversal of limits สลับขอบเขตเปลี่ยนเครื่องหมาย

$$\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$$

Q6 Linearity ความเป็นเชิงเส้น

$$\int_a^b [k f + g]\,dx = k\int_a^b f\,dx + \int_a^b g\,dx$$

Q7 Additivity over intervals การแบ่งช่วง

$$\int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx$$

Q8 Comparison property การเปรียบเทียบ

$$\begin{gathered} f(x) \le g(x) \text{ บน } [a,b] \\ \Rightarrow \int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx \end{gathered}$$

Q9 Symmetry (even / odd) ฟังก์ชันคู่และคี่

$$\int_{-a}^{a} f\,dx = \begin{cases} 2\int_0^a f\,dx & f \text{ คู่ (even)} \\ 0 & f \text{ คี่ (odd)} \end{cases}$$

Q10 Average value / Mean value theorem for integrals ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน

$$\begin{gathered} f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \\ \exists\,c \in [a,b]:\ f(c) = f_{\text{avg}} \end{gathered}$$

Q11 Substitution in a definite integral เปลี่ยนตัวแปรพร้อมเปลี่ยนขอบเขต

$$\int_a^b f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int_{{g(a)}}^{{g(b)}} f(u)\,du$$

Q12 Integration by parts, definite

$$\int_a^b u\,dv = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b v\,du$$

ตัวอย่าง E1 · แทนค่าขอบบนขอบล่างอย่างละเอียด

### หา $\displaystyle\int_1^3 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$

- หาปฏิยานุพันธ์ทีละพจน์ (ไม่ต้องเขียน C) Q6 F2

$$\int_1^3 (3x^2 - 2x + 1)\,dx = \Big[{x^3} - {x^2} + {x}\Big]_1^3$$

- แทนขอบบน x = 3 ทุกตัว ลบด้วยการแทนขอบล่าง x = 1 ทุกตัว ใส่วงเล็บเสมอ Q1 FTC

$$= \big({3}^3 - {3}^2 + {3}\big) - \big({1}^3 - {1}^2 + {1}\big)$$

- คำนวณในแต่ละวงเล็บ

$$= (27 - 9 + 3) - (1 - 1 + 1) = 21 - 1 = 20$$

- อีกวิธี: กระจายเครื่องหมาย [ ] ไปทีละพจน์ได้ผลเท่ากัน Q6 Linearity

$$\begin{aligned} &\Big[x^3\Big]_1^3 - \Big[x^2\Big]_1^3 + \Big[x\Big]_1^3 \\ &= (27 - 1) - (9 - 1) + (3 - 1) \\ &= 26 - 8 + 2 \\ &= 20\end{aligned}$$

$\displaystyle\int_1^3 (3x^2 - 2x + 1)\,dx = 20$

จุดที่พลาดบ่อย: ลืมวงเล็บก้อนขอบล่าง แล้วลบแค่พจน์แรก ทำให้ได้ $21 - 1 - 1 + 1$ ซึ่งผิด

ตัวอย่าง E2 · ตรีโกณ

### หา $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx$

- ปฏิยานุพันธ์ของ sin คือ −cos F6

$$\int_0^{\pi}\sin x\,dx = \Big[{-\cos x}\Big]_0^{\pi}$$

- แทนขอบบน ลบขอบล่าง ระวังเครื่องหมายลบซ้อน: $\cos\pi = -1$, $\cos 0 = 1$

$$\begin{aligned} &= \big(-\cos\pi\big) - \big(-\cos 0\big) \\ &= \big(-(-1)\big) - \big(-1\big) \\ &= 1 + 1 \\ &= 2 \end{aligned}$$

$\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx = 2$ คือพื้นที่ใต้โค้งไซน์ครึ่งลูก

ตัวอย่าง E3 · เปลี่ยนตัวแปร u พร้อมเปลี่ยนขอบเขต

### หา $\displaystyle\int_0^2 x(x^2+1)^3\,dx$

- เลือก u และ du เหมือนอินทิกรัลไม่จำกัดเขต

$${u = x^2+1},\quad {du = 2x\,dx} \Rightarrow {x\,dx = \tfrac12\,du}$$

- แปลงขอบเขตจากค่า x เป็นค่า u ด้วย $u = x^2 + 1$ Q11

$$\begin{gathered} x = 0 \\ \Rightarrow u = 0^2 + 1 = {1} \\ x = 2 \\ \Rightarrow u = 2^2 + 1 = {5} \end{gathered}$$

- อินทิเกรตในตัวแปร u ด้วยขอบเขตใหม่ ไม่ต้องแทนกลับ F2

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\int_{{1}}^{{5}} u^3\,du &= \frac{1}{2}\Big[{\frac{u^4}{4}}\Big]_1^5 \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{5^4 - 1^4}{4} \\ &= \frac{625 - 1}{8} \\ &= \frac{624}{8} \\ &= 78 \end{aligned}$$

- ตรวจด้วยวิธีแทนกลับเป็น x แล้วใช้ขอบเขตเดิม

$$\Big[\frac{(x^2+1)^4}{8}\Big]_0^2 = \frac{5^4}{8} - \frac{1^4}{8} = \frac{624}{8} = 78$$

$\displaystyle\int_0^2 x(x^2+1)^3\,dx = 78$

ตัวอย่าง E4 · ใช้สมมาตรประหยัดแรง

### หา $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 + 4x)\,dx$ และ $\displaystyle\int_{-1}^{1} (3x^2 + 1)\,dx$

- $x^3 + 4x$ เป็นฟังก์ชันคี่ เพราะ $f(-x) = -f(x)$ บนช่วงสมมาตร [−2, 2] ได้ศูนย์ทันที Q9

$$\int_{-2}^{2} (x^3 + 4x)\,dx = 0$$

- $3x^2 + 1$ เป็นฟังก์ชันคู่ คิดครึ่งเดียวแล้วคูณสอง Q9

$$\begin{aligned} \int_{-1}^{1} (3x^2+1)\,dx &= 2\int_0^1 (3x^2+1)\,dx \\ &= 2\Big[x^3 + x\Big]_0^1 \\ &= 2(2 - 0) \\ &= 4 \end{aligned}$$

ได้ 0 และ 4 ตามลำดับ

ตัวอย่าง E5 · งานไฟฟ้า: ค่า RMS

### หาค่า RMS ของ $v(t) = V_m\sin\omega t$

- นิยาม RMS คือรากที่สองของค่าเฉลี่ยของกำลังสองในหนึ่งคาบ $T = 2\pi/\omega$ Q10 Average value

$$V_{\text{rms}}^2 = \frac{1}{T}\int_0^T V_m^2\sin^2\omega t\,dt$$

- ใช้สูตรลดกำลัง $\sin^2\theta = \tfrac{1 - \cos 2\theta}{2}$ S12 แล้วอินทิเกรต G4

$$\frac{V_m^2}{T}\int_0^T \frac{1 - \cos 2\omega t}{2}\,dt = \frac{V_m^2}{2T}\Big[t - \frac{\sin 2\omega t}{2\omega}\Big]_0^T$$

- แทนขอบเขต: $\sin 2\omega T = \sin 4\pi = 0$ และ $\sin 0 = 0$

$$\frac{V_m^2}{2T}\Big[(T - 0) - (0 - 0)\Big] = \frac{V_m^2}{2\cancel{T}}\cdot\cancel{T} = \frac{V_m^2}{2}$$

$V_{\text{rms}} = \dfrac{V_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707\,V_m$ ไฟบ้าน 230 V rms จึงมีค่ายอดราว 325 V

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย (Common Mistakes)

| เขียนผิด | ที่ถูก | เหตุผล |

| $\int 2x\,dx = x^2$ | $x^2 + C$ | ลืมค่าคงที่ |

| $\int x^{-1}\,dx = \dfrac{x^0}{0}$ | $\ln|x| + C$ | กฎยกกำลังใช้ไม่ได้ที่ n = −1 |

| $\int (x^2+1)^3\,dx = \dfrac{(x^2+1)^4}{4}$ | กระจายก่อน | ไม่มี $2x$ ข้างนอก จึงใช้ H1 ไม่ได้ |

| $\int x e^x\,dx = \dfrac{x^2}{2}e^x$ | $e^x(x-1) + C$ | ไม่มีกฎผลคูณ (P6) ต้องทำทีละส่วน |

| $\int \dfrac{dx}{x^2+1} = \ln(x^2+1)$ | $\arctan x + C$ | ตัวเศษไม่ใช่ $2x$ จึงไม่ใช่รูป ln |

| แทน u แล้วใช้ขอบเขต x เดิม | เปลี่ยนขอบเขตเป็นค่า u | ดู Q11 และตัวอย่าง E3 |

| $\int \sin 3x\,dx = -\cos 3x$ | $-\tfrac13\cos 3x + C$ | ลืมหารด้วยอนุพันธ์ข้างใน (G4) |

## หน้าในชุดอินทิกรัล: ทบทวนพื้นฐานและการประยุกต์

อินทิเกรตเป็นแล้ว ไปดูว่าวิศวกรใช้มันทำอะไร: ประจุ พลังงาน และ RMS ในงานไฟฟ้า งาน จุดศูนย์ถ่วง และความเฉื่อยในงานเครื่องกล แรงดันน้ำบนเขื่อน หน้าตัด และการโก่งของคานในงานโยธา พร้อมแล็บคานที่เห็นสายอินทิกรัลจากน้ำหนักถึงการโก่ง ถ้ายังไม่แน่นเรื่องลิมิตและอนุพันธ์ เริ่มที่หน้าแคลคูลัสเบื้องต้น

f′5.1
แคลคูลัสเบื้องต้นสำหรับวิศวกรรมไฟฟ้า
Basic Calculus
ลิมิต อนุพันธ์ และปริพันธ์ในหน้าเดียว พร้อมตัวอย่างกระแสในตัวเก็บประจุ พลังงานที่สะสม และค่า RMS ของไฟบ้าน 220 V
เปิดหน้า →ทบทวนก่อนอินทิกรัล

∫dx5.2
การประยุกต์อินทิกรัลทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา
Applications of Integrals in Electrical, Mechanical & Civil Engineering
ประจุ พลังงาน ค่าเฉลี่ยและ RMS งานของแรง จุดศูนย์ถ่วง โมเมนต์ความเฉื่อย แรงดันน้ำบนเขื่อน ปริมาตรดินขุด-ถม และแล็บคาน น้ำหนัก → แรงเฉือน → โมเมนต์ → ความชัน → การโก่ง
เปิดหน้า →สูตร A1, A2, …

เส้นทางเต็มของแคลคูลัส: ฟังก์ชัน → ลิมิต → อนุพันธ์ → อินทิกรัล (หน้านี้) → การแปลงลาปลาซ

## วิดีโอจากช่อง Mod's Engineering Mathematics

คลิปล่าสุดทั้งหมดของช่อง และเพลย์ลิสต์การแปลงลาปลาซ ซึ่งนิยามด้วยอินทิกรัลและใช้เทคนิคในหน้านี้เกือบทุกข้อ

∫

### คลิปล่าสุดจากช่อง
Mod's Engineering Mathematics · ภาษาไทย

ℒ

### Laplace Transforms
อินทิกรัลในงานจริง · เพลย์ลิสต์

สอนโดยอาจารย์มด · ภาษาไทยค้นหาคลิปอินทิเกรตในช่อง ↗

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมอินทิกรัลไม่จำกัดเขตต้องบวก C?
เพราะอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ ฟังก์ชัน $x^2$, $x^2+5$ และ $x^2-3$ จึงมีอนุพันธ์เท่ากันคือ $2x$ เมื่อย้อนกลับจาก $2x$ จึงบอกได้แค่ว่าคำตอบคือ $x^2 + C$ โดย C เป็นค่าคงที่ใดก็ได้

อินทิเกรตทีละพจน์แล้วได้ C1, C2, C3 ทำไมเขียน C ตัวเดียว?
ผลบวกของค่าคงที่ก็ยังเป็นค่าคงที่ จึงรวม $C_1 + C_2 + C_3$ เป็นค่าคงที่ตัวใหม่ชื่อ C แล้วเขียนครั้งเดียวท้ายคำตอบ

การเปลี่ยนตัวแปร u ควรเลือก u อย่างไร?
มองหาก้อนข้างใน (ในวงเล็บ ใต้รากที่สอง ในเลขชี้กำลัง หรือในตัวส่วน) ที่อนุพันธ์ของมันอยู่นอกก้อนนั้น เช่น $\int x(x^2+1)^4\,dx$ ให้ $u = x^2+1$ เพราะ $du = 2x\,dx$ และมี x อยู่ข้างนอกแล้ว ถ้าแทนแล้วยังเหลือ x แปลว่าต้องเลือก u ใหม่

เมื่อไหร่ต้องหารยาวพหุนามก่อนอินทิเกรต?
เมื่อเป็นเศษส่วนพหุนามที่ดีกรีของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับดีกรีของตัวส่วน ให้หารยาวก่อนจะได้ผลหาร + เศษ/ตัวส่วน แล้วอินทิเกรตทีละส่วน

อินทิกรัลจำกัดเขตทำไมไม่มี C?
เพราะ $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$ ค่า C ถูกลบหายไปเสมอ จึงไม่ต้องเขียน

เปลี่ยนตัวแปร u ในอินทิกรัลจำกัดเขต ต้องเปลี่ยนขอบเขตไหม?
ต้องเปลี่ยน ถ้าอินทิเกรตในตัวแปร u ให้แทนขอบเขตเป็น $u(a)$ และ $u(b)$ หรือจะแทนกลับเป็น x ก่อนแล้วใช้ขอบเขตเดิมก็ได้ ห้ามผสมสองแบบ

## FAQ

**ทำไมอินทิกรัลไม่จำกัดเขตต้องบวก C?**
เพราะอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ ฟังก์ชัน $x^2$, $x^2+5$ และ $x^2-3$ จึงมีอนุพันธ์เท่ากันคือ $2x$ เมื่อย้อนกลับจาก $2x$ จึงบอกได้แค่ว่าคำตอบคือ $x^2 + C$ โดย C เป็นค่าคงที่ใดก็ได้

**อินทิเกรตทีละพจน์แล้วได้ C1, C2, C3 ทำไมเขียน C ตัวเดียว?**
ผลบวกของค่าคงที่ก็ยังเป็นค่าคงที่ จึงรวม $C_1 + C_2 + C_3$ เป็นค่าคงที่ตัวใหม่ชื่อ C แล้วเขียนครั้งเดียวท้ายคำตอบ

**การเปลี่ยนตัวแปร u ควรเลือก u อย่างไร?**
มองหาก้อนข้างใน (ในวงเล็บ ใต้รากที่สอง ในเลขชี้กำลัง หรือในตัวส่วน) ที่อนุพันธ์ของมันอยู่นอกก้อนนั้น เช่น $\int x(x^2+1)^4\,dx$ ให้ $u = x^2+1$ เพราะ $du = 2x\,dx$ และมี x อยู่ข้างนอกแล้ว ถ้าแทนแล้วยังเหลือ x แปลว่าต้องเลือก u ใหม่

**เมื่อไหร่ต้องหารยาวพหุนามก่อนอินทิเกรต?**
เมื่อเป็นเศษส่วนพหุนามที่ดีกรีของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับดีกรีของตัวส่วน ให้หารยาวก่อนจะได้ผลหาร + เศษ/ตัวส่วน แล้วอินทิเกรตทีละส่วน

**อินทิกรัลจำกัดเขตทำไมไม่มี C?**
เพราะ $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$ ค่า C ถูกลบหายไปเสมอ จึงไม่ต้องเขียน

**เปลี่ยนตัวแปร u ในอินทิกรัลจำกัดเขต ต้องเปลี่ยนขอบเขตไหม?**
ต้องเปลี่ยน ถ้าอินทิเกรตในตัวแปร u ให้แทนขอบเขตเป็น $u(a)$ และ $u(b)$ หรือจะแทนกลับเป็น x ก่อนแล้วใช้ขอบเขตเดิมก็ได้ ห้ามผสมสองแบบ

---

# แคลคูลัสเบื้องต้นสำหรับวิศวกรรมไฟฟ้า

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/integral-calculus/calculus-basics/
Updated: 2026-10-14
Summary: สรุปแคลคูลัสเบื้องต้นภาษาไทย ลิมิต อนุพันธ์ และปริพันธ์ พร้อมตัวอย่างกระแสในตัวเก็บประจุ พลังงานที่สะสม และค่า RMS ของไฟบ้าน 220 V อธิบายที่มาของสูตรทีละขั้น

// บทที่ 5.1 · อินทิกรัล · Basic Calculus

# แคลคูลัสเบื้องต้นสำหรับวิศวกรรมไฟฟ้า

แคลคูลัสคือภาษาของสิ่งที่เปลี่ยนแปลง แรงดันที่ขึ้นลง กระแสที่ไหลเข้าตัวเก็บประจุ พลังงานที่สะสมทีละน้อย ทั้งหมดอธิบายได้ด้วยเครื่องมือสามอย่าง คือ ลิมิต อนุพันธ์ และปริพันธ์

สรุปใน 30 วินาที

- ลิมิต คือค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้ เมื่อตัวแปรเข้าใกล้ค่าหนึ่ง

- อนุพันธ์ คืออัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง เช่น $i = C\,\dfrac{dv}{dt}$

- ปริพันธ์ คือการสะสม เช่น พลังงาน $W = \int p\,dt$

- ไฟบ้าน 220 V คือค่า RMS ค่ายอดจริงคือ $220\sqrt2 \approx 311$ V

## แคลคูลัสใช้ทำอะไรในงานไฟฟ้า

ลองดูความสัมพันธ์ของอุปกรณ์พื้นฐานสามตัวในวงจร

$$v = R\,i \qquad i = C\,\frac{dv}{dt} \qquad v = L\,\frac{di}{dt}$$

ตัวต้านทานใช้แค่พีชคณิต แต่ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำต้องใช้อนุพันธ์

ตัวต้านทานตอบสนองต่อค่าของแรงดัน ณ ขณะนั้น แต่ตัวเก็บประจุตอบสนองต่อ การเปลี่ยนแปลง ของแรงดัน ถ้าแรงดันคงที่ กระแสในตัวเก็บประจุจะเป็นศูนย์ นี่คือเหตุผลที่ตัวเก็บประจุ "กั้นไฟตรง" และเป็นเหตุผลที่วิศวกรไฟฟ้าต้องเข้าใจแคลคูลัส

หน้านี้คือบทสรุปสั้นสำหรับทบทวนก่อนเริ่มอินทิกรัล แต่ละหัวข้อมีหน้าเต็มของตัวเองแล้ว: ฟังก์ชัน · ลิมิตและความต่อเนื่อง (นิยาม ε–δ แบบลากได้) · อนุพันธ์ (สูตรครบ กฎลูกโซ่ ค่าสุดขีด นิวตัน-ราฟสัน) · อินทิกรัล และการประยุกต์อินทิกรัลในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา

## ลิมิต: ค่าที่เข้าใกล้

ลิมิตตอบคำถามว่า เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a$ มาก ๆ ค่าของ $f(x)$ เข้าใกล้อะไร เขียนว่า

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

สิ่งสำคัญคือ ลิมิตไม่สนใจว่า $f(a)$ มีค่าหรือไม่ สนใจเพียงพฤติกรรมของฟังก์ชันรอบ ๆ จุดนั้น

ตัวอย่างที่ 1

### หาค่า $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$

แทน $x = 2$ ตรง ๆ จะได้ $\tfrac{0}{0}$ ซึ่งไม่มีความหมาย แต่ไม่ได้แปลว่าลิมิตไม่มีค่า

ดูวิธีทำ

แยกตัวประกอบตัวเศษ แล้วตัดกัน (ทำได้เพราะ $x \ne 2$ ขณะเข้าใกล้)

$$\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$$

ลิมิตมีค่าเท่ากับ 4 แม้ฟังก์ชันเดิมจะไม่นิยามที่ $x = 2$

## อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลง

อนุพันธ์คือความชันของเส้นสัมผัสกราฟ หรืออัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง นิยามด้วยลิมิตดังนี้

$$f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยในช่วงสั้น ๆ $h$ เมื่อทำให้ช่วงนั้นเล็กลงจนเข้าใกล้ศูนย์

ตัวอย่างที่ 2

### หาอนุพันธ์ของ $f(x) = x^3$ จากนิยาม

ดูวิธีทำ

$$\frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2$$

เมื่อ $h \to 0$ สองพจน์หลังหายไป

$\dfrac{d}{dx}x^3 = 3x^2$ ซึ่งตรงกับกฎยกกำลัง $\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$

### กฎที่ใช้บ่อย

| กฎ | สูตร |

| ยกกำลัง | $\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ |

| ผลคูณ | $(uv)' = u'v + uv'$ |

| ผลหาร | $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ |

| ลูกโซ่ | $\dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ |

| ฟังก์ชันพื้นฐาน | $(\sin x)' = \cos x,\ (\cos x)' = -\sin x,\ (e^x)' = e^x,\ (\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ |

ตัวอย่างที่ 3 · วงจร

### กระแสในตัวเก็บประจุ

ป้อนแรงดัน $v(t) = 10\sin(100t)$ V ให้ตัวเก็บประจุ $C = 1\ \mu\text{F}$ กระแสที่ไหลเป็นเท่าใด

ดูวิธีทำ

ใช้ $i = C\,dv/dt$ และกฎลูกโซ่ $\dfrac{d}{dt}\sin(100t) = 100\cos(100t)$

$$\begin{aligned} i(t) &= (1\times10^{-6})(10)(100)\cos(100t) \\ &= 1\times10^{-3}\cos(100t)\ \text{A} \end{aligned}$$

$i(t) = 1\cos(100t)$ mA สังเกตว่ากระแสเป็นโคไซน์ แรงดันเป็นไซน์ กระแสจึง นำหน้า แรงดันอยู่ 90° ซึ่งเป็นคุณสมบัติของตัวเก็บประจุในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ

## ปริพันธ์: การสะสม

ปริพันธ์ทำงานกลับกับอนุพันธ์ ถ้ารู้อัตราการเปลี่ยนแปลง ปริพันธ์จะบอกว่าสะสมได้เท่าไร ในเชิงเรขาคณิตคือพื้นที่ใต้กราฟ เครื่องมือหลักคือทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \qquad \text{เมื่อ } F'(x) = f(x)$$

หาพื้นที่ได้ด้วยการหาฟังก์ชันที่อนุพันธ์ของมันคือ $f(x)$

ตัวอย่างที่ 4 · วงจร

### พลังงานที่สะสมในตัวเก็บประจุ

ประจุตัวเก็บประจุ $C = 100\ \mu\text{F}$ จาก 0 ถึง 12 V สะสมพลังงานได้เท่าใด

ดูวิธีทำ

กำลังไฟฟ้า $p = vi = v\,C\,\dfrac{dv}{dt}$ ดังนั้น $dW = p\,dt = Cv\,dv$ อินทิเกรตตั้งแต่ 0 ถึง $V$

$$\begin{aligned} W &= \int_0^{V} Cv\,dv = \frac{1}{2}CV^2 \\ &= \frac{1}{2}(100\times10^{-6})(12)^2 = 7.2\times10^{-3}\ \text{J} \end{aligned}$$

พลังงาน 7.2 mJ และได้สูตร $\tfrac12 CV^2$ มาจากการอินทิเกรต ไม่ต้องท่องจำ

ตัวอย่างที่ 5 · ไฟฟ้ากระแสสลับ

### ทำไมไฟบ้าน 220 V จึงมีค่ายอด 311 V

ค่า RMS (root mean square) คือรากที่สองของค่าเฉลี่ยของกำลังสอง เป็นค่าที่ให้ความร้อนในตัวต้านทานเท่ากับไฟตรงขนาดเดียวกัน

ดูวิธีทำ

$$V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2(t)\,dt}$$

แทน $v = V_m\sin\omega t$ และใช้เอกลักษณ์ $\sin^2\theta = \tfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta)$ ส่วนที่เป็นโคไซน์อินทิเกรตครบคาบได้ศูนย์

$$\frac{1}{T}\int_0^T V_m^2\sin^2\omega t\,dt = \frac{V_m^2}{2} \quad\Rightarrow\quad V_{\text{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt2}$$

ไฟบ้าน $V_{\text{rms}} = 220$ V จึงมีค่ายอด $V_m = 220\sqrt2 \approx 311$ V

อยากฝึกอินทิเกรตให้คล่อง: สูตรครบทุกกลุ่มพร้อมชื่อสากล การเปลี่ยนตัวแปร u การหารยาว เศษส่วนย่อย และอินทิกรัลจำกัดเขตแบบแทนค่าทีละขั้น อยู่ในบทอินทิกรัล: สูตรและวิธีทำ

## ต่อยอดไปบทถัดไป

อนุพันธ์และปริพันธ์เป็นเครื่องมือที่ใช้ตลอดทั้งคลังความรู้นี้ ฝึกต่อที่สูตรอินทิเกรตและวิธีทำทีละขั้น แล้วดูว่าวิศวกรใช้อินทิกรัลทำอะไรในหน้าการประยุกต์ ซึ่งมีแล็บคานให้ดูน้ำหนัก แรงเฉือน โมเมนต์ และการโก่งต่อกันเป็นสายอินทิกรัล หลังจากนั้นคือ พีชคณิตของเวกเตอร์ และเมื่อถึง การแปลงลาปลาซ สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรจะกลายเป็นพีชคณิตที่แก้ได้ง่ายขึ้นมาก

## คำถามที่พบบ่อย

แคลคูลัสเบื้องต้นต้องมีพื้นฐานอะไรบ้าง?
พีชคณิต ฟังก์ชัน และตรีโกณมิติระดับมัธยมปลาย โดยเฉพาะการแยกตัวประกอบ เลขยกกำลัง และฟังก์ชัน sin, cos

อนุพันธ์กับปริพันธ์ต่างกันอย่างไร?
อนุพันธ์บอกอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง ส่วนปริพันธ์บอกปริมาณที่สะสมรวมกัน ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสบอกว่าสองอย่างนี้เป็นกระบวนการย้อนกลับของกันและกัน

ทำไมนักศึกษาวิศวกรรมไฟฟ้าต้องเรียนแคลคูลัส?
เพราะความสัมพันธ์พื้นฐานของวงจรเขียนด้วยแคลคูลัส เช่น กระแสในตัวเก็บประจุ $i = C\,dv/dt$ แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ $v = L\,di/dt$ พลังงานที่สะสม และค่า RMS ของไฟฟ้ากระแสสลับ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**แคลคูลัสเบื้องต้นต้องมีพื้นฐานอะไรบ้าง?**
พีชคณิต ฟังก์ชัน และตรีโกณมิติระดับมัธยมปลาย โดยเฉพาะการแยกตัวประกอบ เลขยกกำลัง และฟังก์ชัน sin, cos

**อนุพันธ์กับปริพันธ์ต่างกันอย่างไร?**
อนุพันธ์บอกอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง ส่วนปริพันธ์บอกปริมาณที่สะสมรวมกัน ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสบอกว่าสองอย่างนี้เป็นกระบวนการย้อนกลับของกันและกัน

**ทำไมนักศึกษาวิศวกรรมไฟฟ้าต้องเรียนแคลคูลัส?**
เพราะความสัมพันธ์พื้นฐานของวงจรเขียนด้วยแคลคูลัส เช่น กระแสในตัวเก็บประจุ $i = C\,dv/dt$ แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ $v = L\,di/dt$ พลังงานที่สะสม และค่า RMS ของไฟฟ้ากระแสสลับ

---

# การประยุกต์อินทิกรัลทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/integral-calculus/engineering-applications/
Updated: 2026-10-14
Summary: อินทิกรัลในงานวิศวกรรมจริงพร้อมตัวอย่างตัวเลข ไฟฟ้า: ประจุ แรงดันตัวเก็บประจุ พลังงานใน C และ L ค่าเฉลี่ยและ RMS · เครื่องกล: งานของแรง สปริง จุดศูนย์ถ่วง โมเมนต์ความเฉื่อย อิมพัลส์ งานสูบน้ำ · โยธา: แรงดันน้ำบนเขื่อน โมเมนต์ความเฉื่อยของหน้าตัด แรงลัพธ์น้ำหนักแผ่ ปริมาตรงานดินด้วยสี่เหลี่ยมคางหมูและซิมป์สัน และแล็บคานตั้งแต่น้ำหนักถึงการโก่ง

// บทที่ 5.2 · อินทิกรัล · Engineering Applications

# การประยุกต์อินทิกรัลทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา

ถ้าอนุพันธ์ถามว่า “เปลี่ยนเร็วแค่ไหน” อินทิกรัลถามว่า “สะสมได้เท่าไร” วิศวกรไฟฟ้าใช้นับประจุ พลังงาน และค่า RMS วิศวกรเครื่องกลใช้หางาน จุดศูนย์ถ่วง และโมเมนต์ความเฉื่อย วิศวกรโยธาใช้หาแรงดันน้ำบนเขื่อน คุณสมบัติหน้าตัด การโก่งของคาน และปริมาตรดินขุด-ถม ทุกตัวอย่างมีตัวเลขจริง และมีแล็บคานให้เห็นสายอินทิกรัลจากน้ำหนักถึงการโก่ง สูตรใช้รหัส A

สรุปใน 30 วินาที

- ทุกปัญหาใช้ความคิดเดียว: แบ่งเป็นชิ้นเล็ก $dQ = (\text{ความหนาแน่น})\,dx$ แล้วรวมด้วย $\int$

- ไฟฟ้า: $q = \int i\,dt$, $W = \int p\,dt$, $V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac1T\int v^2dt}$

- เครื่องกล: $W = \int F\,dx$, $\bar x = \frac{\int x\,dA}{\int dA}$, $I = \int r^2dm$

- โยธา: $F = \int\rho gh\,dA$, $I = \int y^2dA$, $EIy'' = M$ อินทิเกรตสองครั้งได้การโก่ง

## ความคิดเดียวที่ใช้ทุกสาขา: แบ่งแล้วรวม พื้นฐาน

A1 Element method แบ่งเป็นชิ้นเล็กแล้วรวม

$$Q = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\rho(x_k)\,\Delta x = \int_a^b\rho(x)\,dx$$

ขั้นตอน: (1) เลือกตัวแปรที่ปริมาณเปลี่ยนตาม (2) เขียนชิ้นเล็ก $dQ$ ในรูปที่ “คงที่ภายในชิ้น” (3) อินทิเกรตตลอดช่วง · ทบทวนอินทิกรัลจำกัดเขตและผลบวกรีมันน์

## วิศวกรรมไฟฟ้า: ประจุ พลังงาน ค่าเฉลี่ย และ RMS พื้นฐาน

A2 Charge ประจุ

$$q = \int_{t_1}^{t_2}i(t)\,dt$$

A3 Capacitor voltage แรงดันตัวเก็บประจุ

$$v_C(t) = v_C(0) + \frac1C\int_0^t i(\tau)\,d\tau$$

A4 Energy พลังงาน

$$W = \int p\,dt,\qquad W_C = \int_0^V Cv\,dv = \tfrac12CV^2,\qquad W_L = \tfrac12LI^2$$

A5 Average & RMS ค่าเฉลี่ยและค่าประสิทธิผล

$$V_{\text{avg}} = \frac1T\int_0^Tv\,dt,\qquad V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac1T\int_0^Tv^2\,dt}$$

ตัวอย่าง A-1 · ประจุจากกระแสลดลง

### กระแส $i(t) = 2e^{-3t}$ A ไหลเข้าตัวเก็บประจุ หาประจุที่สะสมใน 1 s แรก และทั้งหมด

-
$$q(1) = \int_0^1 2e^{-3t}dt = \left[-\tfrac23e^{-3t}\right]_0^1 = \tfrac23\left(1 - e^{-3}\right) = 0.6335\ \text{C}$$

-
$$q(\infty) = \int_0^\infty 2e^{-3t}dt = \tfrac23\ \text{C}$$

0.634 C ใน 1 วินาที (95% ของทั้งหมด เพราะ 1 s = 3τ) ทั้งหมด 0.667 C

ตัวอย่าง A-2 · ชาร์จด้วยกระแสคงที่ และพลังงานในขดลวด

### (ก) $C = 100\ \mu$F เริ่ม 0 V ป้อนกระแสคงที่ 5 mA นาน 2 s (ข) $L = 0.2$ H มีกระแส 3 A

- (ก) $v = \dfrac{1}{C}\int_0^2 0.005\,dt = \dfrac{0.01}{10^{-4}} = 100$ V แรงดันขึ้นเป็นเส้นตรง (หลักของวงจรสร้างคลื่นฟันเลื่อย)

- (ข) $W = \int_0^{3} L\,i\,di = \tfrac12(0.2)(9) = 0.9$ J

(ก) 100 V · (ข) 0.9 J ตัวเลขนี้คือพลังงานที่ไดโอดฟรีวีลต้องรับเมื่อตัดกระแส

ตัวอย่าง A-3 · เรียงกระแสครึ่งคลื่น

### หาค่าเฉลี่ยและ RMS ของ $v = V_m\sin\omega t$ ช่วงครึ่งบวก และ 0 ช่วงครึ่งลบ เมื่อ $V_m = 311$ V

- ใช้ $\theta = \omega t$ คาบ $2\pi$

$$V_{\text{avg}} = \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi V_m\sin\theta\,d\theta = \frac{V_m}{2\pi}\left[-\cos\theta\right]_0^\pi = \frac{V_m}{\pi}$$

-
$$V_{\text{rms}}^2 = \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi V_m^2\sin^2\theta\,d\theta = \frac{V_m^2}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{V_m^2}{4} \Rightarrow V_{\text{rms}} = \frac{V_m}{2}$$

$V_{\text{avg}} = 311/\pi = 99.0$ V, $V_{\text{rms}} = 155.5$ V เลือกรูปคลื่นในแล็บด้านล่างแล้วเทียบได้ทันที

## วิศวกรรมเครื่องกล: งาน จุดศูนย์ถ่วง ความเฉื่อย และอิมพัลส์ กลาง

A6 Work งานของแรงที่เปลี่ยนค่า

$$W = \int_a^bF(x)\,dx,\qquad W_{\text{spring}} = \int_{x_1}^{x_2}kx\,dx = \tfrac12k\left(x_2^2 - x_1^2\right)$$

A7 Centroid of an area เซนทรอยด์

$$\bar x = \frac{\int x\,dA}{\int dA},\qquad \bar y = \frac{\int \tfrac{y}{2}\,y\,dx}{\int y\,dx}\ (\text{แถบแนวตั้งใต้ } y = f(x))$$

A8 Mass moment of inertia โมเมนต์ความเฉื่อยของมวล

$$I = \int r^2\,dm,\quad I_{\text{rod, end}} = \tfrac13mL^2,\quad I_{\text{disk}} = \tfrac12mR^2$$

A9 Impulse อิมพัลส์

$$J = \int F\,dt = \Delta p$$

ตัวอย่าง A-4 · งานยืดสปริง

### สปริง $k = 2000$ N/m ยืดจาก 5 cm เป็น 15 cm ต้องใช้งานเท่าใด

-
$$W = \int_{0.05}^{0.15}2000x\,dx = 1000\left(0.15^2 - 0.05^2\right) = 1000(0.02) = 20\ \text{J}$$

20 J (ไม่ใช่ $kx\cdot\Delta x = 2000(0.1)(0.1)$ เพราะแรงไม่คงที่)

ตัวอย่าง A-5 · เซนทรอยด์ของพื้นที่ใต้พาราโบลา

### พื้นที่ใต้ $y = x^2$ จาก $x = 0$ ถึง 2

-
$$A = \int_0^2x^2dx = \tfrac83$$

-
$$\bar x = \frac{\int_0^2 x\cdot x^2dx}{A} = \frac{4}{8/3} = 1.5,\qquad \bar y = \frac{\int_0^2\tfrac12(x^2)^2dx}{A} = \frac{32/10}{8/3} = 1.2$$

$(\bar x, \bar y) = (1.5, 1.2)$ เอียงไปทางขวาเพราะพื้นที่ส่วนใหญ่อยู่ที่ x มาก

ตัวอย่าง A-6 · ความเฉื่อยของแกนหมุน และอิมพัลส์

### (ก) แท่งยาว L มวล m หมุนรอบปลาย (ข) แรงกระแทก $F = 500\sin(\pi t/0.01)$ N นาน 0.01 s

- (ก) $dm = \tfrac mL dx$: $I = \int_0^L x^2\tfrac mL dx = \tfrac13mL^2$

- (ข) $J = \int_0^{0.01}500\sin\dfrac{\pi t}{0.01}dt = 500\cdot\dfrac{0.01}{\pi}\left[-\cos\dfrac{\pi t}{0.01}\right]_0^{0.01} = \dfrac{10}{\pi} = 3.18$ N·s

(ก) $\tfrac13mL^2$ (มากกว่ารอบจุดกึ่งกลาง $\tfrac1{12}mL^2$ ถึง 4 เท่า) · (ข) 3.18 N·s

ตัวอย่าง A-7 · งานสูบน้ำออกจากถัง

### ถังทรงกระบอกรัศมี 1 m สูง 3 m เต็มน้ำ สูบออกทางขอบบนทั้งหมด ($\rho = 1000$ kg/m³)

- ชิ้นน้ำบางที่ความสูง y หนา dy: น้ำหนัก $\rho g\pi(1)^2dy$ ต้องยกขึ้น $3 - y$

-
$$W = \int_0^3 1000(9.81)\pi(3 - y)\,dy = 9810\pi\left[3y - \tfrac{y^2}{2}\right]_0^3 = 9810\pi(4.5) = 138.7\ \text{kJ}$$

138.7 kJ ปั๊ม 1 kW ที่ประสิทธิภาพ 60% ใช้เวลาราว 231 s

## วิศวกรรมโยธา: เขื่อน หน้าตัด น้ำหนักแผ่ และคาน กลาง

A10 Hydrostatic force แรงดันน้ำ

$$F = \int_0^H\rho g h\,w(h)\,dh,\qquad h_{cp} = \frac{\int h\,dF}{\int dF}$$

A11 Second moment of area โมเมนต์ความเฉื่อยของหน้าตัด

$$I_x = \int y^2\,dA,\qquad I_{\text{rect}} = \int_{-h/2}^{h/2}y^2b\,dy = \frac{bh^3}{12}$$

A12 Distributed load resultant แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่

$$R = \int_0^Lw(x)\,dx,\qquad \bar x = \frac{\int_0^Lx\,w(x)\,dx}{R}$$

A13 Double integration การโก่งด้วยการอินทิเกรตสองครั้ง

$$EI\,y' = \int M\,dx + C_1,\qquad EI\,y = \iint M\,dx\,dx + C_1x + C_2$$

ตัวอย่าง A-8 · แรงดันน้ำบนเขื่อน

### หน้าเขื่อนแนวตั้งกว้าง 20 m น้ำลึก 10 m หาแรงลัพธ์และตำแหน่ง

-
$$F = \int_0^{10}1000(9.81)h(20)\,dh = 196{,}200\left[\tfrac{h^2}{2}\right]_0^{10} = 9.81\times10^6\ \text{N}$$

-
$$h_{cp} = \frac{\int_0^{10}h\cdot h\,dh}{\int_0^{10}h\,dh} = \frac{1000/3}{50} = 6.67\ \text{m}$$

9.81 MN กระทำที่ลึก 6.67 m (2/3 ของความลึก) เป็นจุดที่ใช้คำนวณโมเมนต์พลิกคว่ำของเขื่อน

ตัวอย่าง A-9 · หน้าตัดคานและน้ำหนักแผ่สามเหลี่ยม

### (ก) $I$ ของหน้าตัด 20 × 40 cm (ข) น้ำหนักแผ่ $w = 12x/6$ kN/m บนคานยาว 6 m

- (ก) $I = \dfrac{bh^3}{12} = \dfrac{0.2(0.4)^3}{12} = 1.067\times10^{-3}$ m⁴ (วางด้านยาวตั้งแข็งกว่าวางนอน 4 เท่า เพราะ h ยกกำลัง 3)

- (ข) $R = \int_0^6 2x\,dx = 36$ kN · $\bar x = \dfrac{\int_0^6 2x^2dx}{36} = \dfrac{144}{36} = 4$ m (2/3 ของความยาวจากปลายที่ศูนย์)

(ก) $1.067\times10^{-3}$ m⁴ · (ข) 36 kN ที่ x = 4 m

ตัวอย่าง A-10 · การโก่งของคานยื่น

### คานยื่นยาว L ยึดแน่นที่ x = 0 รับแรง P ที่ปลาย หาการโก่งที่ปลาย

- $M(x) = -P(L - x)$ A13

$$EIy' = -P\left(Lx - \tfrac{x^2}{2}\right) + C_1,\quad y'(0) = 0 \Rightarrow C_1 = 0$$

-
$$EIy = -P\left(\tfrac{Lx^2}{2} - \tfrac{x^3}{6}\right) + C_2,\quad y(0) = 0 \Rightarrow C_2 = 0$$

-
$$y(L) = -\frac{P}{EI}\left(\frac{L^3}{2} - \frac{L^3}{6}\right) = -\frac{PL^3}{3EI}$$

$\delta = PL^3/(3EI)$ เช่น P = 10 kN, L = 3 m, EI = 20,000 kN·m² ได้ 4.5 mm · ตรวจด้วยแล็บด้านล่าง (เลือกคานยื่น ตั้ง w = 0)

## แล็บคาน: น้ำหนัก → แรงเฉือน → โมเมนต์ → ความชัน → การโก่ง

ห้ากราฟนี้คือสายอินทิกรัลที่สวยที่สุดในวิศวกรรม: อินทิเกรตน้ำหนักได้แรงเฉือน อินทิเกรตแรงเฉือนได้โมเมนต์ อินทิเกรตโมเมนต์ (หาร EI) ได้ความชัน อินทิเกรตอีกครั้งได้การโก่ง ย้อนกลับขึ้นไปคือการหาอนุพันธ์ ลองเลื่อนตำแหน่งแรงแล้วดูว่าโมเมนต์สูงสุดตามแรงเฉือนที่เปลี่ยนเครื่องหมายเสมอ และการโก่งสูงสุดอยู่ตรงที่ความชันเป็นศูนย์

## อินทิเกรตเชิงตัวเลข: งานดินและข้อมูลสนาม กลาง

ในงานสนามเรามีแต่ตัวเลขที่วัดได้เป็นช่วง ๆ ไม่มีสูตร เช่น พื้นที่หน้าตัดดินทุก 20 m หรือกระแสที่บันทึกทุก 1 ms จึงอินทิเกรตด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมูหรือซิมป์สัน

A14 Trapezoidal rule สี่เหลี่ยมคางหมู

$$\int_a^bf\,dx \approx h\left[\tfrac{f_0}{2} + f_1 + \cdots + f_{n-1} + \tfrac{f_n}{2}\right]$$

ในงานทางเรียกว่าวิธีพื้นที่ปลายเฉลี่ย (average end area)

A15 Simpson's rule ซิมป์สัน (n คู่)

$$\int_a^bf\,dx \approx \frac h3\left[f_0 + 4f_1 + 2f_2 + 4f_3 + \cdots + 4f_{n-1} + f_n\right]$$

แม่นตรงกับพหุนามถึงดีกรีสาม ใกล้สูตรปริซมอยด์ (prismoidal formula) ของงานดิน

ตัวอย่าง A-11 · ปริมาตรงานดินขุด

### พื้นที่หน้าตัดดินขุดทุก 20 m: 12, 18, 25, 21, 15 m² หาปริมาตรรวม 80 m

- สี่เหลี่ยมคางหมู

$$V \approx 20\left[\tfrac{12}{2} + 18 + 25 + 21 + \tfrac{15}{2}\right] = 20(77.5) = 1550\ \text{m}^3$$

- ซิมป์สัน (4 ช่วง)

$$V \approx \frac{20}{3}\left[12 + 4(18) + 2(25) + 4(21) + 15\right] = \frac{20}{3}(233) = 1553.3\ \text{m}^3$$

ประมาณ 1,550 m³ สองวิธีต่างกันเพียง 0.2% ใช้คำนวณค่าขนส่งดินและค่าจ้างเหมา

## อ่านต่อ

- เทคนิคอินทิเกรตทั้งหมด: สูตรอินทิเกรตและวิธีทำ · ทบทวนพื้นฐาน: แคลคูลัสเบื้องต้น

- ด้านกลับ (อัตราการเปลี่ยนแปลง): การประยุกต์อนุพันธ์

- อินทิกรัลในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก: สัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ · พลังงานและเพาเวอร์แฟกเตอร์: รูปคลื่น v i p

- R. C. Hibbeler, Mechanics of Materials และ Statics · F. M. White, Fluid Mechanics (hydrostatic force)

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไม RMS ของไฟบ้านจึงเป็นค่ายอดหาร √2?
เพราะ RMS คือรากที่สองของค่าเฉลี่ยของกำลังสอง $\sqrt{\frac1T\int v^2dt}$ และค่าเฉลี่ยของ $\sin^2$ ในหนึ่งคาบเท่ากับ 1/2 จึงได้ $V_m/\sqrt2$ ใช้ได้เฉพาะคลื่นไซน์ คลื่นรูปอื่นต้องอินทิเกรตใหม่

แรงดันน้ำบนเขื่อนกระทำที่จุดใด?
แรงดันเพิ่มขึ้นเชิงเส้นตามความลึก แรงลัพธ์บนผนังแนวตั้งสี่เหลี่ยมจึงกระทำที่ 2/3 ของความลึกจากผิวน้ำ (จุดศูนย์กลางของแรงดัน) ไม่ใช่ที่ครึ่งความลึก หาได้จาก $\int h\,dF / \int dF$

การโก่งของคานหาด้วยอินทิกรัลอย่างไร?
เริ่มจาก $EI\,y'' = M(x)$ อินทิเกรตครั้งแรกได้ความชัน อินทิเกรตครั้งที่สองได้การโก่ง แล้วหาค่าคงที่สองตัวจากเงื่อนไขที่ฐานรองรับ เช่น คานช่วงเดียว y(0) = y(L) = 0 คานยื่น y(0) = y′(0) = 0 เรียกว่าวิธีอินทิเกรตสองครั้ง

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไม RMS ของไฟบ้านจึงเป็นค่ายอดหาร √2?**
เพราะ RMS คือรากที่สองของค่าเฉลี่ยของกำลังสอง $\sqrt{\frac1T\int v^2dt}$ และค่าเฉลี่ยของ $\sin^2$ ในหนึ่งคาบเท่ากับ 1/2 จึงได้ $V_m/\sqrt2$ ใช้ได้เฉพาะคลื่นไซน์ คลื่นรูปอื่นต้องอินทิเกรตใหม่

**แรงดันน้ำบนเขื่อนกระทำที่จุดใด?**
แรงดันเพิ่มขึ้นเชิงเส้นตามความลึก แรงลัพธ์บนผนังแนวตั้งสี่เหลี่ยมจึงกระทำที่ 2/3 ของความลึกจากผิวน้ำ (จุดศูนย์กลางของแรงดัน) ไม่ใช่ที่ครึ่งความลึก หาได้จาก $\int h\,dF / \int dF$

**การโก่งของคานหาด้วยอินทิกรัลอย่างไร?**
เริ่มจาก $EI\,y'' = M(x)$ อินทิเกรตครั้งแรกได้ความชัน อินทิเกรตครั้งที่สองได้การโก่ง แล้วหาค่าคงที่สองตัวจากเงื่อนไขที่ฐานรองรับ เช่น คานช่วงเดียว y(0) = y(L) = 0 คานยื่น y(0) = y′(0) = 0 เรียกว่าวิธีอินทิเกรตสองครั้ง

---

# การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform): นิยาม ตาราง และเส้นทางเรียนครบชุด

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/
Updated: 2026-10-14
Summary: การแปลงลาปลาซภาษาไทยครบชุด นิยาม เงื่อนไขการมีอยู่ ตารางคู่การแปลงพร้อม ROC จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ เรซิดิว แผนภาพโพล-ซีโร่ คุณสมบัติครบทุกข้อ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ และการแปลงลาปลาซผกผันระดับตำรา Ogata พร้อมเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำและแล็บโต้ตอบ โดยอาจารย์มด

// บทที่ 8 · คณิตศาสตร์วิศวกรรม · Laplace Transform

# การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform): นิยาม ตาราง และเส้นทางเรียนครบชุด

วงจรที่มีตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำให้สมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งแก้ตรง ๆ ได้ยาก การแปลงลาปลาซเปลี่ยนปัญหานี้ให้เป็นพีชคณิต แก้เสร็จแล้วค่อยแปลงกลับ และยังเป็นรากฐานของฟังก์ชันถ่ายโอนในวิชาระบบควบคุม หน้านี้คือภาพรวม นิยาม และตาราง ส่วนรายละเอียดเชิงลึกแยกเป็น 5 หน้า ตั้งแต่จำนวนเชิงซ้อนและเรซิดิว ไปจนถึงการแปลงกลับทุกกรณีแบบตำรา Ogata

สรุปใน 30 วินาที

- นิยาม $F(s) = \int_{0^-}^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt$ โดย $s = \sigma + j\omega$ และอินทิกรัลลู่เข้าเฉพาะใน ROC

- หาอนุพันธ์ในโดเมนเวลา = คูณด้วย $s$: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0^-)$ คุณสมบัติครบ

- คำตอบใน s มักเป็นเศษส่วนพหุนาม แปลงกลับด้วยเศษส่วนย่อยหรือเรซิดิว Inverse Laplace

- ตำแหน่งโพลบนระนาบ s บอกรูปร่างคำตอบทั้งหมด: ซ้าย = ลดลง ขวา = โตขึ้น ห่างแกนจริง = แกว่ง โพล-ซีโร่และ ROC

ระดับพื้นฐาน ปี 1–2กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## แนวคิด: เปลี่ยนแคลคูลัสเป็นพีชคณิต พื้นฐาน

โดเมนเวลาสมการเชิงอนุพันธ์ของวงจร

→ ℒ →
โดเมน sแก้สมการพีชคณิตหา $Y(s)$

→ ℒ⁻¹ →
โดเมนเวลาได้คำตอบ $y(t)$

เทียบได้กับการใช้ลอการิทึมเปลี่ยนการคูณเป็นการบวก การแปลงลาปลาซเปลี่ยนการหาอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย $s$ และเปลี่ยนคอนโวลูชันเป็นการคูณธรรมดา งานยากจึงกลายเป็นงานง่าย สิ่งที่ต้องจ่ายคือเราต้องทำงานกับตัวแปรเชิงซ้อน $s$ ซึ่งเป็นเหตุผลที่ชุดนี้เริ่มจากจำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์

เหตุที่ใช้ $e^{-st}$ เป็นตัวคูณ: ฟังก์ชัน $e^{st}$ เป็นฟังก์ชันเฉพาะ (eigenfunction) ของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลาทุกระบบ ป้อน $e^{st}$ เข้าไปจะได้ $H(s)\,e^{st}$ ออกมา การแปลงลาปลาซคือการแยกสัญญาณใด ๆ ออกเป็นผลรวมของ $e^{st}$ แล้วถามว่าแต่ละตัวมีน้ำหนักเท่าไร

## นิยามการแปลงลาปลาซ พื้นฐาน

L1 Unilateral Laplace transform การแปลงลาปลาซด้านเดียว

$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0^-}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt, \qquad s = \sigma + j\omega$$

ขีดล่าง $0^-$ ทำให้อิมพัลส์ $\delta(t)$ ที่ $t = 0$ ถูกนับรวม และเงื่อนไขเริ่มต้นใช้ค่าก่อนสวิตช์ทำงาน $f(0^-)$ ซึ่งเป็นค่าที่วัดได้จริงในวงจร

L2 Bilateral Laplace transform การแปลงสองด้าน

$$X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-st}\,dt$$

ใช้ในวิชาสัญญาณและระบบ ต้องระบุ ROC คู่กับ $X(s)$ เสมอ ดูหน้า ROC

L3 Inverse (Bromwich) integral การแปลงกลับ

$$f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{c - j\infty}^{c + j\infty} F(s)\,e^{st}\,ds$$

เส้น $\operatorname{Re}s = c$ ต้องอยู่ใน ROC ในทางปฏิบัติคำนวณด้วยเรซิดิวหรือเศษส่วนย่อย ดูหน้า 8.5

L4 Existence เงื่อนไขการมีอยู่ (เงื่อนไขพอเพียง)

$$f \text{ ต่อเนื่องเป็นช่วงบน } [0, \infty) \ \text{และ}\ |f(t)| \le Me^{\alpha t} \ \Rightarrow\ F(s) \text{ มีค่าสำหรับ } \operatorname{Re}s > \alpha$$

เรียกว่า $f$ มี อันดับเอกซ์โพเนนเชียล (exponential order) $\alpha$ ฟังก์ชันที่วิศวกรใช้เกือบทั้งหมดผ่านเงื่อนไขนี้ ตัวอย่างที่ไม่ผ่านคือ $e^{t^2}$ ซึ่งโตเร็วกว่าเอกซ์โพเนนเชียลทุกตัว จึงไม่มีการแปลงลาปลาซ

ตัวอย่าง L-1 · จากนิยาม

### หา $\mathcal{L}\{e^{-at}\}$ และ ROC

-
$$\mathcal{L}\{e^{-at}\} = \int_0^{\infty} e^{-at}e^{-st}\,dt = \int_0^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt$$

- อินทิเกรตได้ แต่ขอบบนต้องเป็นศูนย์ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $\operatorname{Re}(s+a) > 0$ เท่านั้น เพราะ $|e^{-(s+a)t}| = e^{-(\sigma+a)t}$

$$= \left[\frac{-e^{-(s+a)t}}{s+a}\right]_0^{\infty} = 0 - \left(\frac{-1}{s+a}\right) = \frac{1}{s+a}$$

$\mathcal{L}\{e^{-at}\} = \dfrac{1}{s+a}$ ROC: $\operatorname{Re}s > -a$ · ให้ $a = 0$ ได้ $\mathcal{L}\{1\} = \dfrac{1}{s}$, ROC: $\operatorname{Re}s > 0$

ตัวอย่าง L-2 · ใช้ออยเลอร์แทนการอินทิเกรตทีละส่วน

### หา $\mathcal{L}\{\cos\omega t\}$ และ $\mathcal{L}\{\sin\omega t\}$

- ใช้ $e^{j\omega t} = \cos\omega t + j\sin\omega t$ และผลจากตัวอย่าง L-1 ด้วย $a = -j\omega$

$$\mathcal{L}\{e^{j\omega t}\} = \frac{1}{s - j\omega} = \frac{s + j\omega}{s^2 + \omega^2} = \frac{s}{s^2+\omega^2} + j\,\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$$

- เทียบส่วนจริงกับส่วนจินตภาพ (ลาปลาซเป็นเชิงเส้น และสำหรับ $s$ จริงผลของ cos, sin เป็นจริง)

$\mathcal{L}\{\cos\omega t\} = \dfrac{s}{s^2+\omega^2}$, $\ \mathcal{L}\{\sin\omega t\} = \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$, ROC: $\operatorname{Re}s > 0$ · โพลอยู่ที่ $\pm j\omega$ บนแกนจินตภาพพอดี จึงแกว่งค้างไม่ลดลง

## ทั้ง 5 หน้าในชุดการแปลงลาปลาซ

เรียงจากพื้นฐานคณิตศาสตร์ไปสู่การใช้งาน อ่านตามลำดับ 8.1 ถึง 8.5 หรือกระโดดไปหน้าที่ต้องการ ตัวอักษรท้ายการ์ดคือรหัสสูตรของหน้านั้น

z8.1
จำนวนเชิงซ้อน ตัวแปรเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ และเรซิดิว สำหรับการแปลงลาปลาซ
Complex Variables, Analytic Functions & Residues
รูปคาร์ทีเซียน เชิงขั้ว ออยเลอร์ ราก n ตัว ระนาบ s ฟังก์ชันเชิงซ้อนและการส่ง (mapping) ลิมิต อนุพันธ์ สมการโคชี-รีมันน์ ฟังก์ชันวิเคราะห์ ภาวะเอกฐาน อนุกรมโลรองต์ เรซิดิว และทฤษฎีบทเรซิดิว
เปิดหน้า →สูตร Z1, Z2, …

×○8.2
แผนภาพโพล-ซีโร่และบริเวณลู่เข้า (ROC) ของการแปลงลาปลาซ
Pole–Zero Diagrams & Region of Convergence
โพล ซีโร่ อันดับ แผนภาพบนระนาบ s ROC ของสัญญาณด้านขวา ด้านซ้าย สองด้าน และช่วงจำกัด สมบัติ ROC ทั้ง 8 ข้อ ตารางคู่การแปลงพร้อม ROC ตำแหน่งโพลกับรูปคลื่น เสถียรภาพ และความเป็นเหตุเป็นผล
เปิดหน้า →สูตร R1, R2, …

ℒ{·}8.3
คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซครบทุกข้อ พร้อมพิสูจน์และตัวอย่าง
Properties of the Laplace Transform
เชิงเส้น เลื่อนเวลา เลื่อนความถี่ สเกลเวลา อนุพันธ์ ปริพันธ์ คูณด้วย t หารด้วย t คอนโวลูชัน ฟังก์ชันคาบ ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น-ค่าสุดท้าย พร้อมผลต่อ ROC
เปิดหน้า →สูตร P1, P2, …

y″8.4
แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองด้วยการแปลงลาปลาซ
Solving ODEs with the Laplace Transform
ขั้นตอนมาตรฐาน อันดับหนึ่ง RC RL อันดับสอง RLC มวล-สปริง-ตัวหน่วง ผลตอบสนองอิสระกับบังคับ สัมประสิทธิ์ตัวแปร ระบบสมการ และอินพุตไม่ต่อเนื่อง พร้อมตัวแก้สมการโต้ตอบ
เปิดหน้า →สูตร Q1, Q2, …

ℒ⁻¹8.5
การแปลงลาปลาซผกผัน (Inverse Laplace Transform) ครบทุกกรณี
Inverse Laplace Transform
เศษส่วนย่อยโพลเดี่ยว โพลซ้ำ โพลเชิงซ้อน เศษส่วนไม่แท้ วิธีปิดตัวประกอบของเฮวิไซด์ สูตรอนุพันธ์สำหรับโพลซ้ำ เติมกำลังสอง ตัวหน่วงเวลา คอนโวลูชัน อินทิกรัลบรอมวิชกับเรซิดิว และเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ
เปิดหน้า →สูตร V1, V2, …

## ตารางคู่การแปลงที่ใช้บ่อย พร้อม ROC พื้นฐาน

ทุกคู่ในตารางเป็นการแปลงด้านเดียว ($f(t) = 0$ เมื่อ $t < 0$ หรือคูณด้วย $u(t)$ อยู่แล้ว) ROC ทุกบรรทัดคือครึ่งระนาบทางขวาของโพลขวาสุด ตารางสองด้านพร้อมสัญญาณด้านซ้ายอยู่ในหน้า ROC

| # | $f(t),\ t \ge 0$ | $F(s)$ | ROC | โพล |

| 1 | $\delta(t)$ | $1$ | ทั้งระนาบ | ไม่มี |

| 2 | $\delta(t-T)$ | $e^{-sT}$ | ทั้งระนาบ | ไม่มี |

| 3 | $u(t)$ หรือ $1$ | $\dfrac{1}{s}$ | $\sigma > 0$ | $0$ |

| 4 | $u(t - T)$ | $\dfrac{e^{-sT}}{s}$ | $\sigma > 0$ | $0$ |

| 5 | $t$ | $\dfrac{1}{s^2}$ | $\sigma > 0$ | $0$ (ซ้ำ 2) |

| 6 | $t^n,\ n = 1, 2, \dots$ (พิสูจน์) | $\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ | $\sigma > 0$ | $0$ (ซ้ำ $n+1$) |

| 7 | $e^{-at}$ | $\dfrac{1}{s+a}$ | $\sigma > -a$ | $-a$ |

| 8 | $t\,e^{-at}$ | $\dfrac{1}{(s+a)^2}$ | $\sigma > -a$ | $-a$ (ซ้ำ 2) |

| 9 | $\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}$ | $\dfrac{1}{(s+a)^n}$ | $\sigma > -a$ | $-a$ (ซ้ำ $n$) |

| 10 | $\sin\omega t$ | $\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$ | $\sigma > 0$ | $\pm j\omega$ |

| 11 | $\cos\omega t$ | $\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$ | $\sigma > 0$ | $\pm j\omega$ |

| 12 | $e^{-at}\sin\omega t$ | $\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$ | $\sigma > -a$ | $-a \pm j\omega$ |

| 13 | $e^{-at}\cos\omega t$ | $\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$ | $\sigma > -a$ | $-a \pm j\omega$ |

| 14 | $\sinh at$ | $\dfrac{a}{s^2-a^2}$ | $\sigma > |a|$ | $\pm a$ |

| 15 | $\cosh at$ | $\dfrac{s}{s^2-a^2}$ | $\sigma > |a|$ | $\pm a$ |

| 16 | $\dfrac{1}{b-a}\left(e^{-at} - e^{-bt}\right)$ | $\dfrac{1}{(s+a)(s+b)}$ | $\sigma > -\min(a,b)$ | $-a,\ -b$ |

| 17 | $\dfrac{1}{a}\left(1 - e^{-at}\right)$ | $\dfrac{1}{s(s+a)}$ | $\sigma > \max(0,-a)$ | $0,\ -a$ |

| 18 | $t\sin\omega t$ | $\dfrac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}$ | $\sigma > 0$ | $\pm j\omega$ (ซ้ำ 2) |

| 19 | $t\cos\omega t$ | $\dfrac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}$ | $\sigma > 0$ | $\pm j\omega$ (ซ้ำ 2) |

| 20 | $\dfrac{1}{2\omega^3}(\sin\omega t - \omega t\cos\omega t)$ | $\dfrac{1}{(s^2+\omega^2)^2}$ | $\sigma > 0$ | $\pm j\omega$ (ซ้ำ 2) |

| 21 | $\dfrac{\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_n t}\sin\omega_d t$ | $\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$ | $\sigma > -\zeta\omega_n$ | $-\zeta\omega_n \pm j\omega_d$ |

| 22 | $1 - \dfrac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_d t + \phi),\ \phi = \cos^{-1}\zeta$ | $\dfrac{\omega_n^2}{s(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)}$ | $\sigma > 0$ | $0,\ -\zeta\omega_n \pm j\omega_d$ |

$\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ ใช้ได้เมื่อ $0 < \zeta < 1$ · แถว 21–22 คือผลตอบสนองอิมพัลส์และขั้นบันไดของระบบอันดับสองมาตรฐาน ดูแบบโต้ตอบได้ในแล็บระบบอันดับสอง

## สมบัติสำคัญโดยย่อ พื้นฐาน

| สมบัติ | โดเมนเวลา | โดเมน s |

| เชิงเส้น | $af(t) + bg(t)$ | $aF(s) + bG(s)$ |

| เลื่อนทางเวลา | $f(t-T)\,u(t-T)$ | $e^{-sT}F(s)$ |

| เลื่อนทางความถี่ | $e^{-at}f(t)$ | $F(s+a)$ |

| สเกลเวลา | $f(at),\ a > 0$ | $\tfrac{1}{a}F(s/a)$ |

| อนุพันธ์ | $f'(t)$ | $sF(s) - f(0^-)$ |

| อนุพันธ์อันดับสอง | $f''(t)$ | $s^2F(s) - sf(0^-) - f'(0^-)$ |

| ปริพันธ์ | $\int_0^t f(\tau)\,d\tau$ | $\dfrac{F(s)}{s}$ |

| คูณด้วย $t$ | $t\,f(t)$ | $-\dfrac{dF}{ds}$ |

| คอนโวลูชัน | $(f*g)(t)$ | $F(s)G(s)$ |

| ค่าเริ่มต้น · ค่าสุดท้าย | $f(0^+),\ f(\infty)$ | $\lim_{s\to\infty}sF(s),\ \lim_{s\to 0}sF(s)$ |

สมบัติอนุพันธ์คือหัวใจของทั้งบท เงื่อนไขเริ่มต้นเข้ามาอยู่ในสมการเองโดยอัตโนมัติ ที่มา ข้อควรระวัง ผลต่อ ROC และแล็บพิสูจน์ด้วยตัวเลขของทุกข้ออยู่ในหน้า 8.3 คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซ

## การแปลงกลับด้วยเศษส่วนย่อย กลาง

คำตอบในโดเมน s มักเป็นเศษส่วนของพหุนาม วิธีมาตรฐานคือแยกเป็นเศษส่วนย่อยที่มีอยู่ในตาราง แล้วแปลงกลับทีละพจน์ มีสี่กรณีหลัก: โพลเดี่ยวจริง โพลเชิงซ้อน โพลซ้ำ และเศษส่วนไม่แท้ ซึ่งอธิบายครบพร้อมตัวอย่างแบบ Ogata ในหน้า 8.5 ลองเครื่องคิดเลขด้านล่างได้เลย

ตัวอย่าง L-3 · ปิดตัวประกอบ (cover-up)

### หา $f(t)$ เมื่อ $F(s) = \dfrac{s+5}{(s+1)(s+2)}$

-
$$\frac{s+5}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}$$

- ปิด $(s+1)$ แล้วแทน $s = -1$ · ปิด $(s+2)$ แล้วแทน $s = -2$

$$A = \frac{-1+5}{-1+2} = 4 \qquad B = \frac{-2+5}{-2+1} = -3$$

$f(t) = 4e^{-t} - 3e^{-2t}$ สำหรับ $t \ge 0$

ตรวจด้วยทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: $f(0^+) = \lim_{s\to\infty}sF(s) = 1$ และ $4 - 3 = 1$ ✓

## แก้วงจร RC ด้วยลาปลาซ พื้นฐาน

วงจร RC อนุกรม ตัวเก็บประจุไม่มีประจุเริ่มต้น $v(0^-) = 0$ ป้อนแรงดันขั้นบันได $V\,u(t)$ จาก KVL จะได้

$$RC\,\frac{dv}{dt} + v = V\,u(t)$$

ตัวอย่าง L-4 · วงจร

### หาแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ $v(t)$

- แปลงลาปลาซทั้งสองข้าง ใช้ $\mathcal{L}\{v'\} = sV_C(s) - v(0^-) = sV_C(s)$

$$RC\,sV_C(s) + V_C(s) = \frac{V}{s} \ \Rightarrow\ V_C(s) = \frac{V}{s\,(RCs + 1)} = V\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s + 1/RC}\right)$$

- เปิดตารางแถว 3 และ 7 แปลงกลับทีละพจน์

$$v(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right)$$

- ตัวเลข $R = 10\ \text{k}\Omega$, $C = 100\ \mu\text{F}$, $V = 5$ V: $\tau = RC = 1$ s

$$v(1) = 5\left(1 - e^{-1}\right) \approx 3.16\ \text{V}$$

ตัวเก็บประจุชาร์จได้ประมาณ 63% ของแรงดันเต็มภายในหนึ่งค่าคงตัวเวลา โดยไม่ต้องแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยตรงเลย ลองปรับ R และ C ในแล็บระบบอันดับหนึ่ง หรือแก้สมการแบบอื่นในหน้า 8.4

## ฟังก์ชันถ่ายโอน กลาง

เมื่อเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ อัตราส่วนของเอาต์พุตต่ออินพุตในโดเมน s ไม่ขึ้นกับสัญญาณที่ป้อน แต่ขึ้นกับตัวระบบเท่านั้น เรียกว่าฟังก์ชันถ่ายโอน และ $h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}$ คือผลตอบสนองอิมพัลส์ เพราะ $\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$

L5 Transfer function ฟังก์ชันถ่ายโอน

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}\bigg|_{\text{IC} = 0}, \qquad y(t) = (h * x)(t)$$

L6 Standard second-order system ระบบอันดับสองมาตรฐาน

$$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

วงจร RC เป็นตัวอย่างของระบบอันดับหนึ่ง $G(s) = \dfrac{K}{\tau s + 1}$ ซึ่งมีบทเรียนและแล็บแยกไว้ที่ระบบอันดับหนึ่ง ระบบอันดับสองพบในวงจร RLC และระบบควบคุม $\omega_n$ ยืดหรือหดแกนเวลา ส่วน $\zeta$ กำหนดรูปร่าง เมื่อ $\zeta < 1$ จะพุ่งเกินแล้วแกว่งก่อนเข้าที่ เปิดแล็บระบบอันดับสอง

## ใช้ลาปลาซต่อในระบบควบคุมและงานไฟฟ้า

ฟังก์ชันถ่ายโอนคือภาษาหลักของวิศวกรรมระบบควบคุม ต่อยอดได้ทันทีที่แบบจำลองวงจร RLC และมอเตอร์ บล็อกไดอะแกรม ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายกับความผิดพลาดอยู่ตัว และเกณฑ์เสถียรภาพเราท์–เฮอร์วิตซ์ ส่วนการแก้ระบบสมการวงจรหลายลูปในโดเมน s ใช้กฎของคราเมอร์กับตัวแปร s

ถ้าสนใจสถานะคงตัวของวงจรที่ป้อนด้วยคลื่นคาบที่ไม่ใช่ไซน์ (อินเวอร์เตอร์ เรกติไฟเออร์ PWM) ใช้ $H(s)$ ที่ $s = jn\omega_0$ ทีละฮาร์มอนิกตามวิเคราะห์วงจรด้วยอนุกรมฟูเรียร์

## ค้นหาสูตรทั้งหมดในชุดลาปลาซ

รวมทุกสูตรจากหน้า 8.1–8.5 พร้อมรหัสถาวร (Z จำนวนเชิงซ้อน · R โพล-ซีโร่และ ROC · P คุณสมบัติ · Q สมการเชิงอนุพันธ์ · V การแปลงกลับ) พิมพ์ไทยหรืออังกฤษก็ได้ เช่น residue ROC final value หรือรหัสตรง ๆ เช่น V8

## ดูวิดีโอประกอบ

ℒ

### Laplace Transform
การแปลงลาปลาซ · เพลย์ลิสต์บน YouTube

สอนโดยอาจารย์มด · ภาษาไทยเปิดใน YouTube ↗

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมต้องใช้การแปลงลาปลาซ แทนการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยตรง?
เพราะลาปลาซเปลี่ยนการหาอนุพันธ์ให้เป็นการคูณด้วย $s$ สมการเชิงอนุพันธ์จึงกลายเป็นพีชคณิต และยังรวมเงื่อนไขเริ่มต้นเข้าไปในสมการได้ในขั้นตอนเดียว จากนั้นแปลงกลับด้วยเศษส่วนย่อย

ตัวแปร s ในการแปลงลาปลาซคืออะไร?
$s = \sigma + j\omega$ เป็นความถี่เชิงซ้อน ส่วนจริง $\sigma$ บอกการลดลงหรือเพิ่มขึ้นแบบเอกซ์โพเนนเชียล ส่วนจินตภาพ $\omega$ บอกการแกว่ง เพราะ $e^{st} = e^{\sigma t}(\cos\omega t + j\sin\omega t)$

ROC (บริเวณลู่เข้า) คืออะไร สำคัญอย่างไร?
ROC คือเซตของค่า $s$ ที่ทำให้อินทิกรัลลาปลาซลู่เข้า สำหรับการแปลงด้านเดียวคือครึ่งระนาบทางขวาของโพลขวาสุด ในการแปลงสองด้าน ฟังก์ชัน $X(s)$ เดียวกันแต่ ROC ต่างกันจะเป็นสัญญาณคนละตัว และ ROC ยังบอกความเป็นเหตุเป็นผลและเสถียรภาพของระบบด้วย

การแปลงลาปลาซต่างจากการแปลงฟูริเยร์อย่างไร?
การแปลงฟูริเยร์มองสัญญาณบนแกน $j\omega$ เท่านั้น ส่วนลาปลาซขยายไปทั้งระนาบ $s = \sigma + j\omega$ จึงจัดการกับสัญญาณที่โตขึ้น ผลตอบสนองชั่วครู่ และเงื่อนไขเริ่มต้นได้ ถ้า ROC ครอบแกน $j\omega$ จะได้การแปลงฟูริเยร์จากการแทน $s = j\omega$

ควรเรียนหน้าไหนก่อน?
ถ้าพื้นจำนวนเชิงซ้อนยังไม่แน่น เริ่มที่หน้า 8.1 จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ ต่อด้วย 8.2 โพล-ซีโร่และ ROC แล้ว 8.3 คุณสมบัติ 8.4 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ และ 8.5 การแปลงลาปลาซผกผัน ถ้ากำลังทำการบ้าน ไปที่เครื่องคิดเลขในหน้า 8.5 ได้เลย

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมต้องใช้การแปลงลาปลาซ แทนการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยตรง?**
เพราะลาปลาซเปลี่ยนการหาอนุพันธ์ให้เป็นการคูณด้วย $s$ สมการเชิงอนุพันธ์จึงกลายเป็นพีชคณิต และยังรวมเงื่อนไขเริ่มต้นเข้าไปในสมการได้ในขั้นตอนเดียว จากนั้นแปลงกลับด้วยเศษส่วนย่อย

**ตัวแปร s ในการแปลงลาปลาซคืออะไร?**
$s = \sigma + j\omega$ เป็นความถี่เชิงซ้อน ส่วนจริง $\sigma$ บอกการลดลงหรือเพิ่มขึ้นแบบเอกซ์โพเนนเชียล ส่วนจินตภาพ $\omega$ บอกการแกว่ง เพราะ $e^{st} = e^{\sigma t}(\cos\omega t + j\sin\omega t)$

**ROC (บริเวณลู่เข้า) คืออะไร สำคัญอย่างไร?**
ROC คือเซตของค่า $s$ ที่ทำให้อินทิกรัลลาปลาซลู่เข้า สำหรับการแปลงด้านเดียวคือครึ่งระนาบทางขวาของโพลขวาสุด ในการแปลงสองด้าน ฟังก์ชัน $X(s)$ เดียวกันแต่ ROC ต่างกันจะเป็นสัญญาณคนละตัว และ ROC ยังบอกความเป็นเหตุเป็นผลและเสถียรภาพของระบบด้วย

**การแปลงลาปลาซต่างจากการแปลงฟูริเยร์อย่างไร?**
การแปลงฟูริเยร์มองสัญญาณบนแกน $j\omega$ เท่านั้น ส่วนลาปลาซขยายไปทั้งระนาบ $s = \sigma + j\omega$ จึงจัดการกับสัญญาณที่โตขึ้น ผลตอบสนองชั่วครู่ และเงื่อนไขเริ่มต้นได้ ถ้า ROC ครอบแกน $j\omega$ จะได้การแปลงฟูริเยร์จากการแทน $s = j\omega$

**ควรเรียนหน้าไหนก่อน?**
ถ้าพื้นจำนวนเชิงซ้อนยังไม่แน่น เริ่มที่หน้า 8.1 จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ ต่อด้วย 8.2 โพล-ซีโร่และ ROC แล้ว 8.3 คุณสมบัติ 8.4 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ และ 8.5 การแปลงลาปลาซผกผัน ถ้ากำลังทำการบ้าน ไปที่เครื่องคิดเลขในหน้า 8.5 ได้เลย

---

# จำนวนเชิงซ้อน ตัวแปรเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ และเรซิดิว สำหรับการแปลงลาปลาซ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/complex-analysis/
Updated: 2026-10-14
Summary: ปูพื้นตัวแปรเชิงซ้อนสำหรับลาปลาซครบในหน้าเดียว รูปคาร์ทีเซียน เชิงขั้ว ออยเลอร์ เดอมัวฟวร์ ราก n ตัว ระนาบ s และความหมายของ e^{st} ฟังก์ชันเชิงซ้อนและการส่ง ลิมิต อนุพันธ์ สมการโคชี-รีมันน์ ฟังก์ชันวิเคราะห์ ภาวะเอกฐาน อนุกรมโลรองต์ เรซิดิว ทฤษฎีบทเรซิดิว และอินทิกรัลบรอมวิช พร้อมแล็บระนาบเชิงซ้อน แล็บการส่ง และแล็บเส้นโค้งปิดแบบลากได้

// บทที่ 8.1 · การแปลงลาปลาซ · Complex Variables

# จำนวนเชิงซ้อน ตัวแปรเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ และเรซิดิว สำหรับการแปลงลาปลาซ

ทุกอย่างในลาปลาซเกิดบนระนาบเชิงซ้อน: ตัวแปร $s = \sigma + j\omega$ โพลที่บอกเสถียรภาพ และสูตรแปลงกลับที่จริง ๆ แล้วคืออินทิกรัลเส้นของฟังก์ชันวิเคราะห์ หน้านี้ปูพื้นตั้งแต่บวกลบจำนวนเชิงซ้อน ไปจนถึงทฤษฎีบทเรซิดิว โดยเลือกเฉพาะส่วนที่ลาปลาซต้องใช้จริง และมีแล็บให้ลากดูทุกแนวคิด สูตรใช้รหัส Z

สรุปใน 30 วินาที

- $z = x + jy = re^{j\theta}$ คูณ = ขนาดคูณกัน มุมบวกกัน เป็นเหตุผลที่เฟสเซอร์และฟังก์ชันถ่ายโอนใช้รูปเชิงขั้ว

- $e^{st} = e^{\sigma t}(\cos\omega t + j\sin\omega t)$: σ คุมการโต-หด ω คุมการแกว่ง จึงเรียก $s$ ว่าความถี่เชิงซ้อน

- ฟังก์ชันวิเคราะห์ ⇔ สมการโคชี-รีมันน์ $u_x = v_y,\ u_y = -v_x$ ฟังก์ชันตรรกยะในลาปลาซวิเคราะห์ทุกจุดยกเว้นโพล

- เรซิดิวคือสัมประสิทธิ์ของ $1/(s-p)$ ในอนุกรมโลรองต์ และ $f(t) = \sum\operatorname{Res}\,[F(s)e^{st}]$

ระดับพื้นฐาน ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท

## จำนวนเชิงซ้อนและการดำเนินการ พื้นฐาน

จำนวนเชิงซ้อนเกิดจากความต้องการให้ $x^2 + 1 = 0$ มีคำตอบ เรานิยามหน่วยจินตภาพ $j$ ที่ $j^2 = -1$ แล้วจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวเขียนเป็นคู่ของจำนวนจริงสองตัว ภาพที่ช่วยมากที่สุดคือมองเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระนาบ

Z1 Rectangular form รูปคาร์ทีเซียน

$$z = x + jy,\quad x = \operatorname{Re}z,\ y = \operatorname{Im}z,\quad j^2 = -1$$

Z2 Arithmetic บวก ลบ คูณ

$$(a+jb)(c+jd) = (ac - bd) + j(ad + bc)$$

บวก ลบ ทีละส่วนเหมือนเวกเตอร์ คูณกระจายแล้วแทน $j^2 = -1$

Z3 Conjugate & modulus สังยุคและขนาด

$$\bar z = x - jy,\qquad |z| = \sqrt{x^2+y^2},\qquad z\bar z = |z|^2$$

Z4 Division หารด้วยการคูณสังยุค

$$\frac{a+jb}{c+jd} = \frac{(a+jb)(c-jd)}{c^2+d^2}$$

ตัวอย่าง Z-1 · คูณและหาร

### ให้ $z_1 = 3 + 4j,\ z_2 = 1 - 2j$ หา $z_1z_2$ และ $z_1/z_2$

-
$$z_1z_2 = 3 - 6j + 4j - 8j^2 = 3 + 8 - 2j = 11 - 2j$$

- หาร: คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\bar z_2 = 1 + 2j$ Z4

$$\frac{3+4j}{1-2j} = \frac{(3+4j)(1+2j)}{1^2 + 2^2} = \frac{3 + 6j + 4j + 8j^2}{5} = \frac{-5 + 10j}{5} = -1 + 2j$$

$z_1z_2 = 11 - 2j$, $\ z_1/z_2 = -1 + 2j$

ตรวจ: $(-1+2j)(1-2j) = -1 + 2j + 2j - 4j^2 = 3 + 4j$ ✓

ลองในแล็บ: ลากจุด z₁ และ z₂ แล้วเปลี่ยนการดำเนินการ สังเกตว่าการคูณ “หมุนและยืด” เสมอ ส่วนรากที่ n กระจายเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า

## รูปเชิงขั้ว สูตรออยเลอร์ และเดอมัวฟวร์ พื้นฐาน

Z5 Polar form รูปเชิงขั้ว

$$z = r(\cos\theta + j\sin\theta) = r\angle\theta,\quad r = |z|,\ \theta = \arg z$$

หามุมด้วย $\operatorname{atan2}(y, x)$ เสมอ ห้ามใช้ $\tan^{-1}(y/x)$ ตรง ๆ เพราะจะผิดจตุภาคเมื่อ $x < 0$

Z6 Euler's formula สูตรของออยเลอร์

$$e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta \ \Rightarrow\ z = re^{j\theta}$$

ได้ $\cos\theta = \tfrac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2},\ \sin\theta = \tfrac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}$ ใช้หาลาปลาซของ sin, cos ในตัวอย่าง L-2

Z7 Products & De Moivre คูณ หาร ยกกำลัง

$$z_1z_2 = r_1r_2\angle(\theta_1+\theta_2),\quad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\angle(\theta_1-\theta_2),\quad z^n = r^n\angle n\theta$$

Z8 n-th roots รากที่ n มี n ค่า

$$z^{1/n} = r^{1/n}\angle\frac{\theta + 2\pi k}{n},\quad k = 0, 1, \dots, n-1$$

ตัวอย่าง Z-2 · ยกกำลังด้วยเดอมัวฟวร์

### หา $(1 + j)^8$

-
$$1 + j = \sqrt{2}\angle 45^\circ$$

- ยกกำลัง 8: ขนาดยกกำลัง 8 มุมคูณ 8 Z7

$$(1+j)^8 = (\sqrt2)^8\angle 360^\circ = 16\angle 0^\circ$$

$(1+j)^8 = 16$ ถ้ากระจายทวินามต้องคำนวณ 9 พจน์ ส่วนรูปเชิงขั้วใช้สองบรรทัด

ตัวอย่าง Z-3 · รากที่สาม = โพลของระบบ

### หารากของ $s^3 + 8 = 0$ แล้วบอกว่า $H(s) = \dfrac{1}{s^3 + 8}$ เสถียรไหม

-
$$s^3 = -8 = 8\angle 180^\circ$$

- รากที่สามสามค่า Z8

$$s_k = 2\angle\frac{180^\circ + 360^\circ k}{3} = 2\angle 60^\circ,\ 2\angle 180^\circ,\ 2\angle 300^\circ$$

-
$$s = 1 + j\sqrt3,\quad -2,\quad 1 - j\sqrt3$$

มีโพลคู่หนึ่งที่ส่วนจริงเป็นบวก ($1 \pm j\sqrt3$) ผลตอบสนองจึงมีพจน์ $e^{t}\cos\sqrt3 t$ โตไม่หยุด ระบบนี้ไม่เสถียร

ตรวจ: $(1+j\sqrt3)^3 = 2^3\angle 180^\circ = -8$ ✓ · ผลรวมรากต้องเท่ากับ $-(\text{สัมประสิทธิ์ } s^2) = 0$: $1 + 1 - 2 = 0$ ✓

## ตัวแปรเชิงซ้อน s = σ + jω และระนาบ s พื้นฐาน

ในลาปลาซเราใช้ตัวอักษร $s$ แทน $z$ และเรียกระนาบเชิงซ้อนว่าระนาบ s แกนนอนคือ $\sigma$ แกนตั้งคือ $j\omega$ ทำไมต้องเป็นสองมิติ คำตอบอยู่ในสัญญาณ $e^{st}$ ซึ่งเป็น “อิฐ” ที่ลาปลาซใช้สร้างทุกสัญญาณ

Z9 Complex frequency ความถี่เชิงซ้อน

$$e^{st} = e^{(\sigma + j\omega)t} = \underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{โต/หด}}\ \underbrace{(\cos\omega t + j\sin\omega t)}_{\text{หมุน/แกว่ง}},\qquad \operatorname{Re}\{e^{st}\} = e^{\sigma t}\cos\omega t$$

$\sigma < 0$ ลดลง · $\sigma = 0$ แกว่งค้าง · $\sigma > 0$ โตขึ้น · $\omega = 0$ ไม่แกว่ง ยิ่ง $|\omega|$ มากยิ่งแกว่งเร็ว

ตำแหน่งของ $s$ บนระนาบ กับรูปร่างของ $\operatorname{Re}\{e^{st}\}$ ด้านขวา: ครึ่งซ้ายลดลง แกน jω แกว่งค้าง ครึ่งขวาโตขึ้น นี่คือแผนที่ที่ใช้อ่านโพลตลอดทั้งวิชา

ข้อสังเกตที่สำคัญมาก: สัญญาณจริงอย่าง $e^{-t}\cos 3t$ ต้องใช้ $e^{st}$ สองตัว ที่ $s = -1 \pm 3j$ เพราะ $\cos 3t = \tfrac12(e^{j3t} + e^{-j3t})$ นี่คือเหตุผลที่โพลเชิงซ้อนของระบบจริงมาเป็นคู่สังยุคเสมอ

## ฟังก์ชันเชิงซ้อนและการส่ง (mapping) กลาง

ฟังก์ชันเชิงซ้อน $w = f(z)$ รับจำนวนเชิงซ้อนแล้วคืนจำนวนเชิงซ้อน เราวาดกราฟแบบปกติไม่ได้เพราะต้องใช้ 4 มิติ จึงดูเป็น “การส่ง” จากระนาบ z ไประนาบ w แทน ฟังก์ชันถ่ายโอน $H(s)$ ก็คือฟังก์ชันเชิงซ้อนชนิดหนึ่ง

Z10 Complex function แยกส่วนจริง-จินตภาพ

$$w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y)$$

เช่น $z^2 = (x^2 - y^2) + j(2xy)$ ได้ $u = x^2 - y^2,\ v = 2xy$

Z11 Complex limit ลิมิตต้องเท่ากันทุกทิศ

$$\lim_{z\to z_0}f(z) = L \iff |f(z) - L| \to 0 \text{ ไม่ว่า } z \text{ จะเข้าหา } z_0 \text{ จากทางใด}$$

เข้มกว่าลิมิตจริงมาก เพราะมีทิศเข้าได้ไม่จำกัด (ทบทวนลิมิตของฟังก์ชันจริง)

ตัวอย่าง Z-4 · ลิมิตที่ไม่มีค่า

### พิจารณา $\displaystyle\lim_{z\to 0}\frac{\bar z}{z}$

- เข้าหา 0 ตามแกนจริง $z = x$: $\bar z/z = x/x = 1$

- เข้าหา 0 ตามแกนจินตภาพ $z = jy$: $\bar z/z = -jy/(jy) = -1$

สองทิศได้ค่าต่างกัน ลิมิตจึงไม่มีค่า ทั้งที่ทั้งเศษและส่วนต่อเนื่องดี

แล็บการส่ง: เส้นกริดสีส้มคือเส้นแนวตั้ง (x คงที่) สีน้ำเงินคือเส้นแนวนอน (y คงที่) ในระนาบ z ดูว่าแต่ละฟังก์ชันบิดมันเป็นอะไรในระนาบ w สี่เหลี่ยมเล็กสีเขียวคือย่านรอบจุด $z_0$ ที่ลากได้ ใต้ภาพคำนวณอนุพันธ์ย่อยให้ตรวจสมการโคชี-รีมันน์ในหัวข้อถัดไป

## อนุพันธ์เชิงซ้อน สมการโคชี-รีมันน์ และฟังก์ชันวิเคราะห์ กลาง

นิยามอนุพันธ์เหมือนฟังก์ชันจริงทุกตัวอักษร แต่เพราะลิมิตต้องเท่ากันทุกทิศ เงื่อนไขจึงเข้มมาก บังคับให้ $u$ และ $v$ ผูกกันด้วยสมการสองข้อ

Z12 Complex derivative อนุพันธ์เชิงซ้อน

$$f'(z_0) = \lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$$

Z13 Cauchy–Riemann equations สมการโคชี-รีมันน์

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

ถ้าเป็นจริงและอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่อง แล้ว $f'(z) = u_x + jv_x = v_y - ju_y$

Z14 Cauchy–Riemann (polar) รูปเชิงขั้ว

$$u_r = \frac{1}{r}v_\theta,\qquad v_r = -\frac{1}{r}u_\theta$$

Z15 Analytic function ฟังก์ชันวิเคราะห์

$$f \text{ วิเคราะห์ที่ } z_0 \iff f' \text{ มีค่าทุกจุดในย่านรอบ } z_0$$

วิเคราะห์ทั้งระนาบเรียกว่า entire เช่น พหุนาม $e^z,\ \sin z$ · ฟังก์ชันตรรกยะ $N(s)/D(s)$ วิเคราะห์ทุกจุดยกเว้นรากของ $D$

Z16 Harmonic parts u และ v เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิก

$$\nabla^2 u = u_{xx} + u_{yy} = 0,\qquad \nabla^2 v = 0$$

ตามมาจาก Z13 ทันที ใช้กับสนามไฟฟ้าสถิตและการไหลของความร้อนสองมิติ: $u$ เป็นศักย์ เส้น $v$ คงที่เป็นเส้นแรง

ตัวอย่าง Z-5 · ตรวจด้วยโคชี-รีมันน์

### $f(z) = z^2$, $g(z) = e^z$ และ $h(z) = \bar z$ ฟังก์ชันใดวิเคราะห์

- $z^2$: $u = x^2 - y^2,\ v = 2xy$ · $u_x = 2x = v_y$ ✓ · $u_y = -2y = -v_x$ ✓ วิเคราะห์ทุกจุด $f'(z) = u_x + jv_x = 2x + j2y = 2z$

- $e^z = e^x\cos y + je^x\sin y$: $u_x = e^x\cos y = v_y$ ✓ · $u_y = -e^x\sin y = -v_x$ ✓ วิเคราะห์ทุกจุด $g'(z) = e^z$

- $\bar z = x - jy$: $u_x = 1$ แต่ $v_y = -1$ ✗ ไม่วิเคราะห์ที่ใดเลย

$z^2$ และ $e^z$ วิเคราะห์ทั้งระนาบ ส่วน $\bar z$ ไม่วิเคราะห์ ลองเปลี่ยนฟังก์ชันในแล็บการส่งด้านบนแล้วดูตารางตรวจ ✓/✗ เปลี่ยนตาม

ตัวอย่าง Z-6 · หาฮาร์มอนิกสังยุค

### ให้ $u = x^3 - 3xy^2$ หา $v$ ที่ทำให้ $f = u + jv$ วิเคราะห์

- ตรวจก่อนว่า $u$ เป็นฮาร์มอนิก: $u_{xx} + u_{yy} = 6x - 6x = 0$ ✓ Z16

- จาก $v_y = u_x = 3x^2 - 3y^2$ อินทิเกรตเทียบ $y$: $v = 3x^2y - y^3 + g(x)$

- จาก $v_x = -u_y$: $6xy + g'(x) = -(-6xy) = 6xy$ ได้ $g'(x) = 0$ ดังนั้น $g = C$

$v = 3x^2y - y^3 + C$ และ $f(z) = z^3 + jC$

## ซีโร่ ภาวะเอกฐาน และอันดับของโพล กลาง

จุดที่ฟังก์ชันเลิกเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เรียกว่าภาวะเอกฐาน (singularity) ในลาปลาซเราเจอเกือบทั้งหมดเป็น โพล แต่ควรรู้จักอีกสองชนิดเพื่อไม่สับสน

Z17 Zero of order m ซีโร่อันดับ m

$$f(z) = (z - z_0)^m g(z),\quad g(z_0) \ne 0$$

Z18 Pole of order m โพลอันดับ m

$$f(z) = \frac{g(z)}{(z - z_0)^m},\quad g \text{ วิเคราะห์},\ g(z_0) \ne 0$$

ทดสอบ: $\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^m f(z)$ มีค่าจำกัดและไม่เป็นศูนย์ · $m = 1$ เรียกโพลเดี่ยว (simple pole)

Z19 Types of isolated singularities ชนิดของภาวะเอกฐานเฉพาะจุด

$$\underbrace{\frac{\sin z}{z}}_{\text{ถอดได้ที่ }0},\qquad \underbrace{\frac{1}{z^2(z+1)}}_{\text{โพลอันดับ 2 ที่ }0,\ \text{อันดับ 1 ที่ }-1},\qquad \underbrace{e^{1/z}}_{\text{สาระสำคัญที่ }0}$$

ถอดได้ (removable): ลิมิตมีค่า แค่ไม่นิยาม เช่น $\frac{1 - e^{-s}}{s}$ ที่ $s = 0$ ซึ่งเป็นลาปลาซของพัลส์สี่เหลี่ยม ไม่ใช่โพล · โพล: $|f| \to \infty$ · สาระสำคัญ (essential): ทำตัวแปลกไม่มีลิมิตเลย ไม่เจอในฟังก์ชันตรรกยะ

ตัวอย่าง Z-7 · จำแนกโพลและซีโร่

### $F(s) = \dfrac{(s+3)(s-1)}{s^2(s+2)(s^2+2s+5)}$

- ซีโร่ (รากของเศษ): $s = -3,\ s = 1$ อันดับ 1 ทั้งคู่ · ซีโร่ที่ $s = 1$ อยู่ครึ่งขวา (non-minimum phase)

- โพล: $s = 0$ อันดับ 2 · $s = -2$ อันดับ 1 · $s^2 + 2s + 5 = 0 \Rightarrow s = -1 \pm 2j$ อันดับ 1

- ดีกรีส่วน 5 ดีกรีเศษ 2: เมื่อ $s \to \infty$ $F \sim 1/s^3$ จึงมี “ซีโร่ที่อนันต์” อันดับ 3

5 โพล (นับซ้ำ) 2 ซีโร่จำกัด + 3 ซีโร่ที่อนันต์ จำนวนโพลเท่ากับจำนวนซีโร่เมื่อนับที่อนันต์ด้วยเสมอ

## อนุกรมเทย์เลอร์และอนุกรมโลรองต์ ขั้นสูง

เรียนละเอียด: หัวข้อนี้มีบทเต็มพร้อมแล็บลากจุด z ข้ามวงแหวน ที่ อนุกรมโลรองต์ (บทที่ 26.7) ทบทวนรัศมีการลู่เข้าที่ อนุกรมกำลัง และตารางอนุกรมที่ต้องจำที่ อนุกรมเทย์เลอร์

Z20 Taylor series อนุกรมเทย์เลอร์

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n,\quad |z - z_0| < R$$

ฟังก์ชันวิเคราะห์เขียนเป็นอนุกรมกำลังได้เสมอ รัศมีลู่เข้า $R$ = ระยะถึงภาวะเอกฐานที่ใกล้ที่สุด

Z21 Laurent series อนุกรมโลรองต์

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = \underbrace{\cdots + \frac{a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0}}_{\text{ส่วนหลัก (principal part)}} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots$$

ใช้ได้ในวงแหวน $0 < |z - z_0| < R$ · โพลอันดับ m ⇔ ส่วนหลักมี m พจน์ · สาระสำคัญ ⇔ ส่วนหลักไม่สิ้นสุด

ตัวอย่าง Z-8 · โลรองต์รอบโพล

### หาอนุกรมโลรองต์ของ $F(s) = \dfrac{1}{s(s+1)}$ รอบ $s = 0$ ในวงแหวน $0 < |s| < 1$

- ใช้อนุกรมเรขาคณิต $\dfrac{1}{1+s} = 1 - s + s^2 - s^3 + \cdots$ ซึ่งลู่เข้าเมื่อ $|s| < 1$

-
$$F(s) = \frac{1}{s}\left(1 - s + s^2 - \cdots\right) = \frac{1}{s} - 1 + s - s^2 + \cdots$$

ส่วนหลักคือ $\tfrac{1}{s}$ พจน์เดียว → โพลอันดับ 1 และ $a_{-1} = 1$ คือเรซิดิวที่ $s = 0$ ซึ่งเท่ากับ A ในเศษส่วนย่อย $\tfrac{1}{s(s+1)} = \tfrac{1}{s} - \tfrac{1}{s+1}$ พอดี

## เรซิดิว (Residue) และวิธีคำนวณ กลาง

เรซิดิวคือสัมประสิทธิ์ $a_{-1}$ ของ $1/(z - z_0)$ ในอนุกรมโลรองต์ ชื่อมาจากคำว่า “ส่วนที่เหลือ” เพราะเมื่ออินทิเกรตรอบโพล ทุกพจน์หายไปหมดเหลือเพียงพจน์นี้ ไม่ต้องหาอนุกรมทั้งเส้นก็ได้ มีสูตรลัดสามตัว

Z22 Residue นิยาม

$$\operatorname{Res}_{z=z_0}f(z) = a_{-1} = \frac{1}{2\pi j}\oint_C f(z)\,dz$$

Z23 Simple pole โพลเดี่ยว

$$\operatorname{Res}_{z=p}f = \lim_{z\to p}(z - p)f(z)$$

คือ “วิธีปิดตัวประกอบ” ของเฮวิไซด์ในเศษส่วนย่อยนั่นเอง

Z24 Simple pole of N/D ใช้อนุพันธ์ตัวส่วน

$$\operatorname{Res}_{z=p}\frac{N(z)}{D(z)} = \frac{N(p)}{D'(p)},\quad D(p) = 0,\ D'(p) \ne 0$$

Z25 Pole of order m โพลซ้ำ

$$\operatorname{Res}_{z=p}f = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to p}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{m-1}}\left[(z-p)^m f(z)\right]$$

ตัวอย่าง Z-9 · เรซิดิวที่โพลจริงและโพลเชิงซ้อน

### หาเรซิดิวทุกตัวของ $F(s) = \dfrac{s+2}{(s+1)(s^2+4)}$

- โพล: $s = -1$ และ $s = \pm 2j$ อันดับ 1 ทั้งหมด

- ที่ $s = -1$ ปิด $(s+1)$ Z23

$$\operatorname{Res}_{-1} = \frac{-1+2}{(-1)^2 + 4} = \frac{1}{5}$$

- ที่ $s = 2j$ ใช้ $s^2 + 4 = (s - 2j)(s + 2j)$ แล้วปิด $(s - 2j)$

$$\operatorname{Res}_{2j} = \frac{2j + 2}{(2j + 1)(4j)} = \frac{2 + 2j}{-8 + 4j} = \frac{(2+2j)(-8-4j)}{80} = -\frac{1}{10} - \frac{3}{10}j$$

- ที่ $s = -2j$ เป็นสังยุคของค่าก่อนหน้า (เพราะสัมประสิทธิ์ของ $F$ เป็นจำนวนจริง)

$$\operatorname{Res}_{-2j} = -\frac{1}{10} + \frac{3}{10}j$$

เรซิดิว: $\tfrac15,\ -\tfrac{1}{10} \mp \tfrac{3}{10}j$ · ผลรวมทั้งหมด $= \tfrac15 - \tfrac{2}{10} = 0$

ผลรวมเป็นศูนย์ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ: เมื่อดีกรีส่วนมากกว่าเศษอย่างน้อย 2 ผลรวมเรซิดิวทุกตัวเป็นศูนย์เสมอ (เพราะ $\oint$ รอบวงกลมใหญ่มาก → 0)

ตัวอย่าง Z-10 · โพลอันดับสอง

### หา $\operatorname{Res}_{s=-1}\dfrac{e^{st}}{(s+1)^2}$

- $m = 2$ ใช้สูตรอนุพันธ์ Z25: คูณ $(s+1)^2$ ออกแล้วหาอนุพันธ์หนึ่งครั้ง

$$\operatorname{Res} = \frac{1}{1!}\frac{d}{ds}\left[e^{st}\right]_{s=-1} = \left[t e^{st}\right]_{s=-1} = te^{-t}$$

$te^{-t}$ ตรงกับตารางลาปลาซ $\mathcal L^{-1}\{1/(s+1)^2\} = te^{-t}$ ซึ่งอธิบายว่าทำไมโพลซ้ำจึงให้พจน์ $t^k e^{pt}$

## ทฤษฎีบทโคชีและทฤษฎีบทเรซิดิว ขั้นสูง

Z26 Cauchy–Goursat theorem ทฤษฎีบทของโคชี

$$f \text{ วิเคราะห์บนและภายในเส้นปิด } C \ \Rightarrow\ \oint_C f(z)\,dz = 0$$

Z27 Residue theorem ทฤษฎีบทเรซิดิว

$$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi j\sum_{k}\operatorname{Res}_{z=z_k}f(z)$$

ผลรวมเฉพาะภาวะเอกฐาน $z_k$ ที่อยู่ภายใน $C$ และ $C$ วิ่งทวนเข็มนาฬิกา ห้ามมีภาวะเอกฐานอยู่บนเส้น

ตัวอย่าง Z-11 · อินทิกรัลรอบวงกลมสองขนาด

### หา $\oint_C \dfrac{s+2}{(s+1)(s^2+4)}\,ds$ เมื่อ $C: |s| = 1.5$ และ $C: |s| = 3$

- $|s| = 1.5$: ล้อมเฉพาะโพล $s = -1$ (ส่วน $\pm 2j$ อยู่นอกเพราะ $|2j| = 2 > 1.5$)

$$\oint = 2\pi j\cdot\frac{1}{5} = \frac{2\pi j}{5} \approx 1.2566j$$

- $|s| = 3$: ล้อมทั้งสามโพล ผลรวมเรซิดิวเป็นศูนย์จากตัวอย่าง Z-9

$$\oint = 2\pi j\cdot 0 = 0$$

$2\pi j/5$ และ $0$ ลองลากวงกลมในแล็บด้านล่างแล้วเทียบค่าอินทิกรัลเชิงตัวเลขกับ $2\pi j\sum\operatorname{Res}$

## เชื่อมสู่การแปลงลาปลาซผกผัน: อินทิกรัลบรอมวิช ขั้นสูง

สูตรแปลงกลับที่แท้จริงคืออินทิกรัลบนเส้นตรงแนวตั้ง $\operatorname{Re}s = c$ ซึ่งอยู่ใน ROC (ทางขวาของทุกโพล) เมื่อ $t > 0$ ปิดเส้นนี้ด้วยครึ่งวงกลมใหญ่ทางซ้าย อินทิกรัลบนครึ่งวงกลมหายไป (บทตั้งของจอร์แดน เมื่อ $F(s) \to 0$) จึงเหลือเพียงผลรวมเรซิดิว

Z28 Inversion by residues การแปลงกลับด้วยเรซิดิว

$$f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}F(s)e^{st}\,ds = \sum_{\text{ทุกโพล } p_k}\operatorname{Res}_{s=p_k}\left[F(s)e^{st}\right],\quad t > 0$$

ใช้ได้เมื่อ $F(s)$ เป็นฟังก์ชันตรรกยะแท้ (ดีกรีเศษ < ดีกรีส่วน) รายละเอียด เงื่อนไข และตัวอย่างโพลซ้ำอยู่ในหน้า 8.5

เส้นบรอมวิช $\operatorname{Re}s = c$ อยู่ทางขวาของทุกโพล (ใน ROC) ปิดด้วยครึ่งวงกลมทางซ้ายจนล้อมทุกโพล อินทิกรัลจึงเท่ากับ $2\pi j$ คูณผลรวมเรซิดิวของ $F(s)e^{st}$

ตัวอย่าง Z-12 · แปลงกลับด้วยเรซิดิวล้วน

### หา $\mathcal L^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}\right\}$ ด้วยสูตร Z28

-
$$\operatorname{Res}_{s=-1}\frac{e^{st}}{(s+1)(s+2)} = \frac{e^{-t}}{-1+2} = e^{-t}$$

-
$$\operatorname{Res}_{s=-2}\frac{e^{st}}{(s+1)(s+2)} = \frac{e^{-2t}}{-2+1} = -e^{-2t}$$

$f(t) = e^{-t} - e^{-2t},\ t \ge 0$ เหมือนกับที่ได้จากเศษส่วนย่อยทุกประการ เพราะเศษส่วนย่อยคือเรซิดิวที่เขียนอีกแบบ

### มองฟังก์ชันตรรกยะเป็นภูมิประเทศ

$|F(s)|$ เป็นพื้นผิวเหนือระนาบ s ที่พุ่งขึ้นเป็นยอดเขาไม่สิ้นสุดที่โพล และจมลงเป็นหลุมที่ซีโร่ เส้นตัดตามแกน jω คือผลตอบสนองเชิงความถี่ $|F(j\omega)|$ ลองพิมพ์ฟังก์ชันของคุณเองแล้วเลื่อนเส้นตัด

## อ่านต่อและแหล่งอ้างอิง

- บทเรียนต่อยอดบนเว็บนี้: ลำดับและอนุกรมครบชุด · อนุกรมโลรองต์กับการแปลง Z และ ROC · บทความ: โลรองต์ต่างจากเทย์เลอร์อย่างไร

- E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, ภาค D: Complex Analysis (บทจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ อนุกรมโลรองต์ และเรซิดิว)

- R. V. Churchill & J. W. Brown, Complex Variables and Applications — ตำราคลาสสิกของสมการโคชี-รีมันน์และทฤษฎีบทเรซิดิว

- K. Ogata, Modern Control Engineering, ภาคผนวกการแปลงลาปลาซ (ตัวแปรเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ โพลและซีโร่)

- ทบทวนออยเลอร์และตรีโกณมิติ: สูตรของออยเลอร์ · เฟสเซอร์ในวงจร: พื้นฐานเฟสเซอร์

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมวิศวกรไฟฟ้าใช้ j แทน i?
เพราะ $i$ ใช้แทนกระแสไฟฟ้าอยู่แล้ว หน่วยจินตภาพจึงเขียนเป็น $j$ โดย $j^2 = -1$ ความหมายเหมือนกันทุกประการ

ฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) คืออะไร?
ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ทุกจุดในย่านใกล้เคียงของจุดนั้น ซึ่งเทียบเท่ากับส่วนจริง u และส่วนจินตภาพ v มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องและเป็นไปตามสมการโคชี-รีมันน์ $u_x = v_y,\ u_y = -v_x$ ฟังก์ชันตรรกยะ $F(s)$ ในลาปลาซเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ทุกจุดยกเว้นที่โพล

เรซิดิวเกี่ยวกับการแปลงลาปลาซผกผันอย่างไร?
อินทิกรัลบรอมวิชสำหรับการแปลงกลับเท่ากับผลรวมเรซิดิวของ $F(s)e^{st}$ ที่ทุกโพล $f(t) = \sum \operatorname{Res}[F(s)e^{st}]$ และเรซิดิวของ $F(s)$ ที่โพลเดี่ยวคือสัมประสิทธิ์ของเศษส่วนย่อยตัวนั้นพอดี วิธีปิดตัวประกอบจึงเป็นการหาเรซิดิวนั่นเอง

จะรู้ได้อย่างไรว่าโพลมีอันดับเท่าไร?
ถ้า $F(s) = N(s)/D(s)$ และ $D(s)$ มีตัวประกอบ $(s-p)^m$ โดย $N(p) \ne 0$ แล้ว $p$ เป็นโพลอันดับ $m$ หรือดูว่า $\lim_{s\to p}(s-p)^m F(s)$ มีค่าจำกัดไม่เป็นศูนย์ที่ $m$ ใด

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมวิศวกรไฟฟ้าใช้ j แทน i?**
เพราะ $i$ ใช้แทนกระแสไฟฟ้าอยู่แล้ว หน่วยจินตภาพจึงเขียนเป็น $j$ โดย $j^2 = -1$ ความหมายเหมือนกันทุกประการ

**ฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) คืออะไร?**
ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ทุกจุดในย่านใกล้เคียงของจุดนั้น ซึ่งเทียบเท่ากับส่วนจริง u และส่วนจินตภาพ v มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องและเป็นไปตามสมการโคชี-รีมันน์ $u_x = v_y,\ u_y = -v_x$ ฟังก์ชันตรรกยะ $F(s)$ ในลาปลาซเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ทุกจุดยกเว้นที่โพล

**เรซิดิวเกี่ยวกับการแปลงลาปลาซผกผันอย่างไร?**
อินทิกรัลบรอมวิชสำหรับการแปลงกลับเท่ากับผลรวมเรซิดิวของ $F(s)e^{st}$ ที่ทุกโพล $f(t) = \sum \operatorname{Res}[F(s)e^{st}]$ และเรซิดิวของ $F(s)$ ที่โพลเดี่ยวคือสัมประสิทธิ์ของเศษส่วนย่อยตัวนั้นพอดี วิธีปิดตัวประกอบจึงเป็นการหาเรซิดิวนั่นเอง

**จะรู้ได้อย่างไรว่าโพลมีอันดับเท่าไร?**
ถ้า $F(s) = N(s)/D(s)$ และ $D(s)$ มีตัวประกอบ $(s-p)^m$ โดย $N(p) \ne 0$ แล้ว $p$ เป็นโพลอันดับ $m$ หรือดูว่า $\lim_{s\to p}(s-p)^m F(s)$ มีค่าจำกัดไม่เป็นศูนย์ที่ $m$ ใด

---

# แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองด้วยการแปลงลาปลาซ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/differential-equations/
Updated: 2026-10-14
Summary: ขั้นตอนมาตรฐาน 5 ขั้นในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยลาปลาซ สมการอันดับหนึ่ง วงจร RC RL สมการอันดับสองทั้งหน่วงเกิน หน่วงวิกฤต หน่วงน้อย และเรโซแนนซ์ วงจร RLC และมวล-สปริง-ตัวหน่วง ผลตอบสนองอิสระกับบังคับ อินพุตเป็นช่วง ระบบสมการ และสมการสัมประสิทธิ์ตัวแปร พร้อมตัวแก้สมการโต้ตอบที่แสดงวิธีทำทุกขั้น

// บทที่ 8.4 · การแปลงลาปลาซ · Solving ODEs

# แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองด้วยการแปลงลาปลาซ

นี่คือเหตุผลที่วิศวกรเรียนลาปลาซ: สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรและระบบกลไกกลายเป็นพีชคณิต ค่าเริ่มต้นเข้ามาในสมการเอง และอินพุตที่กระโดดหรือหน่วงเวลาไม่ใช่ปัญหาอีกต่อไป หน้านี้มีขั้นตอนมาตรฐาน ตัวอย่างครบทุกกรณีที่เจอในการสอบและงานจริง และตัวแก้สมการโต้ตอบที่แสดงวิธีทำเหมือนเขียนบนกระดาน สูตรใช้รหัส Q

สรุปใน 30 วินาที

- แปลงทั้งสองข้าง → แทนค่าเริ่มต้น → แก้หา $Y(s)$ → เศษส่วนย่อย → แปลงกลับ

- รากของ $as^2 + bs + c$ บอกรูปคำตอบ: จริงต่างกัน หน่วงเกิน · ซ้ำ หน่วงวิกฤต · เชิงซ้อน แกว่ง

- $Y(s) = \underbrace{\text{(ค่าเริ่มต้น)}/D(s)}_{\text{zero-input}} + \underbrace{H(s)X(s)}_{\text{zero-state}}$

- อินพุตตรงกับความถี่ธรรมชาติ → โพลซ้ำบนแกน jω → แอมพลิจูดโตตามเวลา (เรโซแนนซ์)

ระดับพื้นฐาน ปี 2กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท

## ขั้นตอนมาตรฐาน 5 ขั้น พื้นฐาน

Q1 Laplace method for IVPs ขั้นตอนแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น

$$\text{ODE} \xrightarrow{\ \mathcal L\ } \text{สมการพีชคณิตใน } Y(s) \xrightarrow{\text{แก้}} Y(s) = \frac{N(s)}{D(s)} \xrightarrow{\text{เศษส่วนย่อย}} \sum\frac{c_k}{(s-p_k)^m} \xrightarrow{\ \mathcal L^{-1}\ } y(t)$$

(1) แปลงทั้งสองข้างด้วย P6–P7 (2) แทนค่าเริ่มต้น (3) จัด $Y(s)$ ไว้ข้างเดียว (4) แยกเศษส่วนย่อย หน้า 8.5 (5) แปลงกลับจากตาราง และตรวจด้วยค่าเริ่มต้น

Q2 Derivatives สูตรที่ใช้ทุกข้อ

$$\mathcal L\{y'\} = sY - y(0),\quad \mathcal L\{y''\} = s^2Y - sy(0) - y'(0)$$

Q3 Zero-input + zero-state แยกคำตอบสองส่วน

$$Y(s) = \underbrace{\frac{I(s)}{D(s)}}_{\text{จากค่าเริ่มต้น}} + \underbrace{\frac{N(s)}{D(s)}X(s)}_{H(s)X(s)}$$

$D(s)$ = พหุนามลักษณะเฉพาะ, $I(s)$ = พหุนามที่มาจากค่าเริ่มต้น

## สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง พื้นฐาน

Q4 First-order linear ODE สมการอันดับหนึ่ง $y' + ay = r(t)$

$$Y(s) = \frac{y(0)}{s + a} + \frac{R(s)}{s + a}\ \Rightarrow\ y(t) = y(0)e^{-at} + \int_0^t e^{-a(t-\tau)}r(\tau)\,d\tau$$

โพลเดียวที่ $s = -a$ ค่าคงตัวเวลา $\tau = 1/a$ · ส่วนที่สองคือคอนโวลูชันของอินพุตกับ $e^{-at}$ (P12)

ตัวอย่าง Q-1 · ไม่มีอินพุต

### $y' + 2y = 0,\ y(0) = 3$

-
$$sY - 3 + 2Y = 0 \ \Rightarrow\ Y(s) = \frac{3}{s+2}$$

-
$$y(t) = 3e^{-2t}$$

$y(t) = 3e^{-2t}$ · ค่าคงตัวเวลา 0.5 หน่วย

ตัวอย่าง Q-2 · อินพุตขั้นบันได + ค่าเริ่มต้น

### $y' + 2y = 4u(t),\ y(0) = 1$

-
$$sY - 1 + 2Y = \frac{4}{s} \ \Rightarrow\ (s+2)Y = 1 + \frac{4}{s} = \frac{s + 4}{s}$$

-
$$Y(s) = \frac{s + 4}{s(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2},\quad A = \frac{4}{2} = 2,\quad B = \frac{-2+4}{-2} = -1$$

-
$$y(t) = 2 - e^{-2t}$$

$y(t) = 2 - e^{-2t},\ t \ge 0$

ตรวจ: $y(0) = 1$ ✓ · $y' + 2y = 2e^{-2t} + 4 - 2e^{-2t} = 4$ ✓

ตัวอย่าง Q-3 · อินพุตไซน์

### $y' + y = \sin t,\ y(0) = 0$

-
$$(s+1)Y = \frac{1}{s^2+1} \ \Rightarrow\ Y = \frac{1}{(s+1)(s^2+1)} = \frac{1/2}{s+1} + \frac{-\tfrac12 s + \tfrac12}{s^2+1}$$

- ค่า $\tfrac12$ ได้จากปิด $(s+1)$ ที่ $s = -1$ ส่วนตัวเศษของพจน์ที่สองได้จากเทียบสัมประสิทธิ์ $1 = \tfrac12(s^2+1) + (Bs + C)(s+1)$

-
$$y(t) = \underbrace{\tfrac12e^{-t}}_{\text{ชั่วครู่}} + \underbrace{\tfrac12(\sin t - \cos t)}_{\text{สถานะคงตัว}}$$

หลังพจน์ชั่วครู่หายไป เหลือ $\tfrac{1}{\sqrt2}\sin(t - 45^\circ)$ ตรงกับการวิเคราะห์เฟสเซอร์ $H(j1) = \tfrac{1}{1+j} = \tfrac{1}{\sqrt2}\angle -45^\circ$

ตัวอย่าง Q-4 · วงจร RL

### วงจร RL อนุกรม $V = 12$ V, $R = 4\ \Omega$, $L = 2$ H ปิดสวิตช์ที่ $t = 0$ โดย $i(0^-) = 0$ หา $i(t)$

- KVL: $L\dfrac{di}{dt} + Ri = 12u(t)$ → $2(sI) + 4I = \dfrac{12}{s}$

-
$$I(s) = \frac{6}{s(s+2)} = \frac{3}{s} - \frac{3}{s+2}$$

-
$$i(t) = 3\left(1 - e^{-2t}\right)\ \text{A}$$

กระแสโตจาก 0 ไปที่ $V/R = 3$ A ค่าคงตัวเวลา $L/R = 0.5$ s

## สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง: สี่กรณีของราก กลาง

Q5 Second-order ODE สมการอันดับสอง $ay'' + by' + cy = r(t)$

$$(as^2 + bs + c)Y(s) = a\left[sy(0) + y'(0)\right] + b\,y(0) + R(s)$$

$D(s) = as^2 + bs + c$ คือพหุนามลักษณะเฉพาะ รากของมันคือโพลของระบบ

Q6 Damping cases กรณีของความหน่วง $\zeta = \dfrac{b}{2\sqrt{ac}}$

$$\begin{array}{lll} b^2 - 4ac > 0\ (\zeta > 1) & s_{1,2} \text{ จริงต่างกัน} & y_h = c_1e^{s_1t} + c_2e^{s_2t} \\ b^2 - 4ac = 0\ (\zeta = 1) & s \text{ ซ้ำ} & y_h = (c_1 + c_2t)e^{st} \\ b^2 - 4ac < 0\ (0 < \zeta < 1) & -\sigma \pm j\omega_d & y_h = e^{-\sigma t}(c_1\cos\omega_dt + c_2\sin\omega_dt) \\ b = 0\ (\zeta = 0) & \pm j\omega_n & y_h = c_1\cos\omega_nt + c_2\sin\omega_nt \end{array}$$

ผลตอบสนองอิสระ $y(0) = 1,\ y'(0) = 0$ ของ $y'' + 2\zeta y' + y = 0$ สำหรับ ζ = 0, 0.2, 0.5, 1 และ 2 ยิ่ง ζ น้อยยิ่งแกว่งมาก ζ = 1 เข้าสู่ศูนย์เร็วที่สุดโดยไม่ข้าม

ตัวอย่าง Q-5 · หน่วงเกิน + ขั้นบันได

### $y'' + 3y' + 2y = u(t),\ y(0) = y'(0) = 0$

-
$$(s^2 + 3s + 2)Y = \frac{1}{s} \ \Rightarrow\ Y = \frac{1}{s(s+1)(s+2)}$$

- ปิดตัวประกอบสามครั้ง

$$A = \frac{1}{(1)(2)} = \frac12,\quad B = \frac{1}{(-1)(1)} = -1,\quad C = \frac{1}{(-2)(-1)} = \frac12$$

-
$$y(t) = \frac12 - e^{-t} + \frac12e^{-2t}$$

$y(t) = \tfrac12 - e^{-t} + \tfrac12e^{-2t}$ เข้าสู่ $\tfrac12$ โดยไม่พุ่งเกิน (ราก −1, −2 จริงทั้งคู่)

ตรวจ: $y(0) = \tfrac12 - 1 + \tfrac12 = 0$ ✓ · ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย $\lim_{s\to0}sY = \tfrac12$ ✓

ตัวอย่าง Q-6 · หน่วงวิกฤต

### $y'' + 2y' + y = 0,\ y(0) = 1,\ y'(0) = 0$

-
$$s^2Y - s + 2(sY - 1) + Y = 0 \ \Rightarrow\ Y = \frac{s + 2}{(s+1)^2}$$

- เขียน $s + 2 = (s + 1) + 1$

$$Y = \frac{1}{s+1} + \frac{1}{(s+1)^2}$$

-
$$y(t) = e^{-t} + te^{-t} = (1 + t)e^{-t}$$

$(1+t)e^{-t}$ โพลซ้ำให้พจน์ $te^{-t}$

ตัวอย่าง Q-7 · หน่วงน้อย (แกว่ง)

### $y'' + 2y' + 5y = 0,\ y(0) = 1,\ y'(0) = 1$

-
$$s^2Y - s - 1 + 2(sY - 1) + 5Y = 0 \ \Rightarrow\ Y = \frac{s + 3}{s^2 + 2s + 5}$$

- เติมกำลังสอง $s^2 + 2s + 5 = (s+1)^2 + 2^2$ แล้วแยกเศษ $s + 3 = (s + 1) + 2$

$$Y = \frac{s + 1}{(s+1)^2 + 4} + \frac{2}{(s+1)^2 + 4}$$

-
$$y(t) = e^{-t}\left(\cos 2t + \sin 2t\right) = \sqrt2\,e^{-t}\cos(2t - 45^\circ)$$

แกว่งที่ $\omega_d = 2$ rad/s ด้วยเปลือก $\sqrt2e^{-t}$ · $\zeta = 2/(2\sqrt5) \approx 0.447$

ตัวอย่าง Q-8 · เรโซแนนซ์

### $y'' + 4y = \sin 2t,\ y(0) = y'(0) = 0$

- ความถี่ของอินพุต (2 rad/s) ตรงกับความถี่ธรรมชาติ $\omega_n = 2$

$$(s^2 + 4)Y = \frac{2}{s^2+4} \ \Rightarrow\ Y = \frac{2}{(s^2+4)^2}$$

- ใช้ตารางแถว 20 ที่ $\omega = 2$: $\mathcal L^{-1}\{1/(s^2+\omega^2)^2\} = \tfrac{1}{2\omega^3}(\sin\omega t - \omega t\cos\omega t)$

$$y(t) = 2\cdot\frac{1}{16}\left(\sin 2t - 2t\cos 2t\right) = \frac{\sin 2t}{8} - \frac{t\cos 2t}{4}$$

พจน์ $t\cos 2t$ โตเชิงเส้นไม่หยุด นี่คือเหตุที่สะพานพังเมื่อถูกกระตุ้นตรงความถี่ธรรมชาติ และวงจร LC ไม่มีความต้านทานจะมีแรงดันสูงขึ้นเรื่อย ๆ

## วงจร RLC และระบบมวล-สปริง-ตัวหน่วง กลาง

Q7 s-domain element models อุปกรณ์ในโดเมน s พร้อมค่าเริ่มต้น

$$R:\ V = RI \qquad L:\ V = sLI - Li(0^-) \qquad C:\ V = \frac{I}{sC} + \frac{v(0^-)}{s}$$

Q8 Series RLC (capacitor voltage) RLC อนุกรม

$$LC\,v_C'' + RC\,v_C' + v_C = v_s(t),\quad \omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}},\ \zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$$

Q9 Mass–spring–damper มวล-สปริง-ตัวหน่วง

$$m\ddot x + c\dot x + kx = F(t),\quad \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}},\ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}}$$

เทียบกับวงจร: $m \leftrightarrow L,\ c \leftrightarrow R,\ k \leftrightarrow 1/C$ สมการรูปเดียวกันทุกประการ

ตัวอย่าง Q-9 · วงจร RLC อนุกรม

### $L = 1$ H, $R = 4\ \Omega$, $C = \tfrac13$ F ป้อน 6 V ขั้นบันได ตัวเก็บประจุว่างและไม่มีกระแสเริ่มต้น หา $v_C(t)$

- Q8: $\tfrac13 v'' + \tfrac43 v' + v = 6$ คูณ 3: $v'' + 4v' + 3v = 18u(t)$

-
$$V_C(s) = \frac{18}{s(s+1)(s+3)} = \frac{6}{s} - \frac{9}{s+1} + \frac{3}{s+3}$$

-
$$v_C(t) = 6 - 9e^{-t} + 3e^{-3t}\ \text{V}$$

ราก −1, −3 จริงต่างกัน หน่วงเกิน $\zeta = \tfrac42\sqrt{\tfrac{1/3}{1}} \approx 1.155$ แรงดันขึ้นสู่ 6 V โดยไม่พุ่งเกิน

ตรวจ: $v(0) = 6 - 9 + 3 = 0$ ✓ · $v'(0) = 9 - 9 = 0$ ✓ (กระแสเริ่มต้น $i = Cv' = 0$)

ตัวอย่าง Q-10 · ระบบกลไก

### $m = 1$ kg, $c = 2$ N·s/m, $k = 10$ N/m ดึงมวลออก 0.1 m แล้วปล่อยจากหยุดนิ่ง

-
$$s^2X - 0.1s + 2(sX - 0.1) + 10X = 0 \ \Rightarrow\ X = \frac{0.1(s + 2)}{(s+1)^2 + 9}$$

-
$$X = 0.1\left[\frac{s+1}{(s+1)^2 + 3^2} + \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{(s+1)^2 + 3^2}\right]$$

-
$$x(t) = 0.1e^{-t}\left(\cos 3t + \tfrac13\sin 3t\right)\ \text{m}$$

แกว่ง 3 rad/s (≈ 0.48 Hz) ลดลงด้วย $e^{-t}$ · $\zeta = 2/(2\sqrt{10}) \approx 0.316$

## อินพุตเป็นช่วงและหน่วงเวลา กลาง

นี่คือจุดที่ลาปลาซเหนือกว่าวิธีปกติชัดเจน: อินพุตที่เปิดแล้วปิด ไม่ต้องแบ่งช่วงแก้แล้วต่อค่าที่รอยต่อ แค่เขียนด้วย $u(t - T)$ แล้วใช้การเลื่อนเวลา

ตัวอย่าง Q-11 · พัลส์ 1 วินาที

### $y' + y = u(t) - u(t - 1),\ y(0) = 0$

-
$$(s+1)Y = \frac{1 - e^{-s}}{s} \ \Rightarrow\ Y = \left(1 - e^{-s}\right)\frac{1}{s(s+1)}$$

- $\mathcal L^{-1}\{1/(s(s+1))\} = 1 - e^{-t}$ แล้วใช้การเลื่อนเวลากับพจน์ที่มี $e^{-s}$

$$y(t) = \left(1 - e^{-t}\right)u(t) - \left(1 - e^{-(t-1)}\right)u(t-1)$$

ช่วง $0 \le t < 1$: ชาร์จขึ้น $1 - e^{-t}$ · ช่วง $t \ge 1$: $y = (e - 1)e^{-t}$ ลดลง (รวมสองพจน์แล้วจัดรูป) ต่อเนื่องที่ $t = 1$ โดยอัตโนมัติ

## ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ ขั้นสูง

Q10 Systems / state space ระบบสมการ

$$\dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B\mathbf u \ \Rightarrow\ \mathbf X(s) = (sI - A)^{-1}\left[\mathbf x(0) + B\mathbf U(s)\right]$$

$(sI - A)^{-1}$ เรียกว่า resolvent และ $\mathcal L^{-1}\{(sI - A)^{-1}\} = e^{At}$ โพลคือค่าเฉพาะของ $A$ ดูค่าเฉพาะ และปริภูมิสถานะ

ตัวอย่าง Q-12 · สองสมการคู่กัน

### $x' = -2x + y,\ y' = x - 2y,\ x(0) = 1,\ y(0) = 0$

-
$$sX - 1 = -2X + Y,\qquad sY = X - 2Y$$

- จากสมการที่สอง $Y = X/(s+2)$ แทนในสมการแรก

$$(s+2)X - \frac{X}{s+2} = 1 \ \Rightarrow\ X = \frac{s+2}{(s+2)^2 - 1} = \frac{s+2}{(s+1)(s+3)}$$

-
$$X = \frac{1/2}{s+1} + \frac{1/2}{s+3},\qquad Y = \frac{1}{(s+1)(s+3)} = \frac{1/2}{s+1} - \frac{1/2}{s+3}$$

$x(t) = \tfrac12(e^{-t} + e^{-3t}),\ y(t) = \tfrac12(e^{-t} - e^{-3t})$ โพล −1, −3 คือค่าเฉพาะของ $\begin{bmatrix}-2 & 1\\ 1 & -2\end{bmatrix}$

Q11 Variable coefficients สมการสัมประสิทธิ์เป็นพหุนามใน t

$$\mathcal L\{ty'\} = -\frac{d}{ds}\left[sY - y(0)\right],\qquad \mathcal L\{ty''\} = -\frac{d}{ds}\left[s^2Y - sy(0) - y'(0)\right]$$

ใช้ P9 แล้วได้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งใน $Y(s)$ ซึ่งมักแก้ง่ายกว่าเดิม

ตัวอย่าง Q-13 · สัมประสิทธิ์ตัวแปร

### $ty'' - ty' + y = 2,\ y(0) = 2,\ y'(0) = -1$

-
$$-\frac{d}{ds}\left[s^2Y - 2s + 1\right] + \frac{d}{ds}\left[sY - 2\right] + Y = \frac{2}{s}$$

-
$$-(2sY + s^2Y' - 2) + (Y + sY') + Y = \frac{2}{s} \ \Rightarrow\ s(1 - s)Y' + 2(1 - s)Y = \frac{2(1 - s)}{s}$$

- หารด้วย $(1 - s)$: $sY' + 2Y = \dfrac{2}{s}$ คูณ $s$ ได้ $\dfrac{d}{ds}\left(s^2Y\right) = 2$

$$s^2Y = 2s + C \ \Rightarrow\ Y = \frac{2}{s} + \frac{C}{s^2} \ \Rightarrow\ y = 2 + Ct$$

- $y'(0) = C = -1$

$y(t) = 2 - t$

ตรวจ: $t\cdot 0 - t(-1) + (2 - t) = 2$ ✓

## ตัวแก้สมการโต้ตอบ: แสดงวิธีทำทุกขั้น

เลือกอันดับ ใส่สัมประสิทธิ์ $a, b, c$ ขนาดอินพุต $K$ และค่าเริ่มต้น แล้วเลือกชนิดอินพุต ตัวแก้จะแสดงการแปลงทั้งสองข้าง การจัดรูป สมการลักษณะเฉพาะพร้อมชนิดของความหน่วง เศษส่วนย่อย และคำตอบ กราฟแยกส่วนที่มาจากค่าเริ่มต้นกับส่วนที่มาจากอินพุตให้เห็นด้วย ปุ่ม “เปิดในตัวแก้สมการ” ในแต่ละตัวอย่างจะใส่ค่าให้อัตโนมัติ

## อ่านต่อและแหล่งอ้างอิง

- E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, บท Laplace Transforms (ODEs, systems, variable coefficients)

- K. Ogata, Modern Control Engineering, การแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นไม่แปรตามเวลาด้วยลาปลาซ

- C. K. Alexander & M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits, บท Applications of the Laplace Transform (แบบจำลองโดเมน s)

- ใช้ต่อ: แล็บระบบอันดับหนึ่ง · แล็บระบบอันดับสอง · แบบจำลองระบบ

## คำถามที่พบบ่อย

แก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยลาปลาซดีกว่าวิธีปกติอย่างไร?
รวมค่าเริ่มต้นเข้าไปในขั้นตอนเดียว ไม่ต้องหาคำตอบทั่วไปแล้วแก้หาค่าคงที่ทีหลัง ใช้กับอินพุตที่ไม่ต่อเนื่อง (ขั้นบันได พัลส์ อิมพัลส์ หน่วงเวลา) ได้ตรง ๆ และได้ฟังก์ชันถ่ายโอนมาพร้อมกัน ซึ่งใช้ต่อในวิชาระบบควบคุม

ผลตอบสนองอิสระ (zero-input) กับผลตอบสนองบังคับ (zero-state) ต่างกันอย่างไร?
ผลตอบสนองอิสระมาจากค่าเริ่มต้นอย่างเดียว (อินพุตเป็นศูนย์) ผลตอบสนองบังคับมาจากอินพุตอย่างเดียว (ค่าเริ่มต้นเป็นศูนย์) คำตอบรวมคือผลบวกของทั้งสอง ในโดเมน s เห็นแยกกันชัดเจนในสมการ Y(s) เดียว

จะรู้ได้อย่างไรว่าระบบอันดับสองหน่วงเกิน วิกฤต หรือหน่วงน้อย?
ดูดิสคริมิแนนต์ของสมการลักษณะเฉพาะ $as^2 + bs + c = 0$ ถ้า $b^2 - 4ac > 0$ รากจริงต่างกัน หน่วงเกิน ถ้า $= 0$ รากซ้ำ หน่วงวิกฤต ถ้า $
มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**แก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยลาปลาซดีกว่าวิธีปกติอย่างไร?**
รวมค่าเริ่มต้นเข้าไปในขั้นตอนเดียว ไม่ต้องหาคำตอบทั่วไปแล้วแก้หาค่าคงที่ทีหลัง ใช้กับอินพุตที่ไม่ต่อเนื่อง (ขั้นบันได พัลส์ อิมพัลส์ หน่วงเวลา) ได้ตรง ๆ และได้ฟังก์ชันถ่ายโอนมาพร้อมกัน ซึ่งใช้ต่อในวิชาระบบควบคุม

**ผลตอบสนองอิสระ (zero-input) กับผลตอบสนองบังคับ (zero-state) ต่างกันอย่างไร?**
ผลตอบสนองอิสระมาจากค่าเริ่มต้นอย่างเดียว (อินพุตเป็นศูนย์) ผลตอบสนองบังคับมาจากอินพุตอย่างเดียว (ค่าเริ่มต้นเป็นศูนย์) คำตอบรวมคือผลบวกของทั้งสอง ในโดเมน s เห็นแยกกันชัดเจนในสมการ Y(s) เดียว

**จะรู้ได้อย่างไรว่าระบบอันดับสองหน่วงเกิน วิกฤต หรือหน่วงน้อย?**
ดูดิสคริมิแนนต์ของสมการลักษณะเฉพาะ $as^2 + bs + c = 0$ ถ้า $b^2 - 4ac > 0$ รากจริงต่างกัน หน่วงเกิน ถ้า $= 0$ รากซ้ำ หน่วงวิกฤต ถ้า $< 0$ รากเชิงซ้อน หน่วงน้อยและแกว่ง ค่าความหน่วง $\zeta = b/(2\sqrt{ac})$

---

# การแปลงลาปลาซผกผัน (Inverse Laplace Transform) ครบทุกกรณี

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/inverse-laplace-transform/
Updated: 2026-10-14
Summary: การแปลงลาปลาซผกผันภาษาไทยละเอียดระดับตำรา Ogata: นิยามและอินทิกรัลบรอมวิช ความเป็นหนึ่งเดียว เศษส่วนย่อยกรณีโพลเดี่ยว โพลเชิงซ้อน โพลซ้ำ เศษส่วนไม่แท้ วิธีปิดตัวประกอบของเฮวิไซด์ สูตรอนุพันธ์ เติมกำลังสองสมบูรณ์ เทียบสัมประสิทธิ์ ตัวหน่วงเวลา คอนโวลูชัน เรซิดิว ทฤษฎีบทการกระจายของเฮวิไซด์ MATLAB residue และ Python พร้อมโจทย์ฝึก 12 ข้อและเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำทีละขั้น

// บทที่ 8.5 · การแปลงลาปลาซ · Inverse Laplace Transform

# การแปลงลาปลาซผกผัน (Inverse Laplace Transform) ครบทุกกรณี

การแปลงไปข้างหน้าใช้ตารางและคุณสมบัติก็พอ แต่การแปลงกลับคือที่ที่คะแนนหายในห้องสอบ หน้านี้เรียงเนื้อหาแบบตำรา Ogata: เริ่มจากนิยามและอินทิกรัลบรอมวิช แล้วไล่ทุกกรณีของเศษส่วนย่อย โพลเดี่ยว โพลเชิงซ้อน โพลซ้ำ เศษส่วนไม่แท้ ตัวหน่วงเวลา จากนั้นวิธีทางเลือก (เทียบสัมประสิทธิ์ คอนโวลูชัน เรซิดิว) ทฤษฎีบทการกระจายของเฮวิไซด์ การใช้ MATLAB/Python และโจทย์ฝึก 12 ข้อ ทุกตัวอย่างลองในเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำได้ สูตรใช้รหัส V

สรุปใน 30 วินาที

- ทำให้เป็นเศษส่วนแท้ (หารยาว) → แยกตัวประกอบตัวส่วน → เลือกรูปเศษส่วนย่อยตามชนิดโพล → หาสัมประสิทธิ์ → เปิดตาราง

- โพลเดี่ยว $-p_k$: $a_k = [(s+p_k)F(s)]_{s=-p_k}$ → $a_ke^{-p_kt}$

- โพลซ้ำอันดับ r: $b_{r-k} = \tfrac{1}{k!}\tfrac{d^k}{ds^k}[(s+p)^rF]_{s=-p}$ → $\tfrac{t^{j-1}}{(j-1)!}e^{-pt}$

- โพลเชิงซ้อน: เติมกำลังสอง $(s+a)^2 + \omega^2$ → $e^{-at}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$

ระดับพื้นฐาน ปี 2กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท

## นิยาม ความเป็นหนึ่งเดียว และภาพรวมวิธีหา พื้นฐาน

V1 Inverse Laplace transform การแปลงผกผัน

$$f(t) = \mathcal L^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}F(s)\,e^{st}\,ds,\quad t > 0,\ c > \operatorname{Re}(\text{ทุกโพล})$$

ความเป็นหนึ่งเดียว (ทฤษฎีบทของ Lerch): ฟังก์ชันต่อเนื่องสองตัวที่มีการแปลงลาปลาซเท่ากันเป็นฟังก์ชันเดียวกันสำหรับ $t \ge 0$ เราจึงแปลงกลับด้วยการ “เปิดตาราง” ได้อย่างมั่นใจ

| วิธี | ใช้เมื่อ | หัวข้อ |

| เปิดตารางตรง ๆ | F(s) อยู่ในรูปมาตรฐานอยู่แล้ว | ตารางท้ายหน้า |

| เศษส่วนย่อย + ปิดตัวประกอบ (Heaviside) | ฟังก์ชันตรรกยะ โพลเดี่ยว · วิธีหลัก | กรณีที่ 1 |

| เติมกำลังสองสมบูรณ์ | โพลเชิงซ้อน | กรณีที่ 2 |

| สูตรอนุพันธ์ | โพลซ้ำ | กรณีที่ 3 |

| หารยาว | ดีกรีเศษ ≥ ดีกรีส่วน | กรณีที่ 4 |

| เลื่อนเวลา | มี $e^{-sT}$ | กรณีที่ 5 |

| เทียบสัมประสิทธิ์ / แทนค่า s | ตรวจคำตอบ หรือคิดมือแบบไม่ใช้จำนวนเชิงซ้อน | วิธีทางเลือก |

| คอนโวลูชัน | ผลคูณของสองฟังก์ชันที่รู้ตัวผกผัน | วิธีทางเลือก |

| เรซิดิว (บรอมวิช) | ทฤษฎี ทุกกรณีในสูตรเดียว | ขั้นสูง |

## รูปทั่วไปของ F(s) และหลักของเศษส่วนย่อย พื้นฐาน

ในงานวิศวกรรม $F(s)$ เกือบทั้งหมดเป็นอัตราส่วนของพหุนามสองตัว (Ogata ใช้สัญลักษณ์ $B(s)/A(s)$)

V2 Rational F(s) รูปทั่วไป

$$F(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = K\,\frac{(s+z_1)(s+z_2)\cdots(s+z_m)}{(s+p_1)(s+p_2)\cdots(s+p_n)},\quad m < n$$

$-p_k$ คือโพล $-z_i$ คือซีโร่ (เครื่องหมายแบบ Ogata) · ถ้า $m \ge n$ ต้องหารยาวก่อน (กรณีที่ 4)

V3 Partial-fraction rules กฎการตั้งรูปเศษส่วนย่อย

$$\begin{array}{ll} (s + p) & \to\ \dfrac{a}{s+p} \\[6pt] (s + p)^r & \to\ \dfrac{b_1}{s+p} + \dfrac{b_2}{(s+p)^2} + \cdots + \dfrac{b_r}{(s+p)^r} \\[6pt] (s+\alpha)^2 + \omega^2 & \to\ \dfrac{A(s+\alpha) + B\omega}{(s+\alpha)^2 + \omega^2}\ \text{ หรือ }\ \dfrac{K}{s + \alpha - j\omega} + \dfrac{\bar K}{s + \alpha + j\omega} \end{array}$$

จำนวนค่าคงที่ที่ต้องหา = ดีกรีของตัวส่วนเสมอ ใช้นับตรวจว่าตั้งรูปครบ

## กรณีที่ 1: โพลเดี่ยวจริงทั้งหมด (Distinct Real Poles) พื้นฐาน

V4 Heaviside cover-up วิธีปิดตัวประกอบ

$$F(s) = \sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{s + p_k},\qquad a_k = \Big[(s + p_k)F(s)\Big]_{s = -p_k},\qquad f(t) = \sum_{k=1}^{n}a_ke^{-p_kt}$$

ที่มา: คูณทั้งสองข้างด้วย $(s+p_k)$ แล้วแทน $s = -p_k$ ทุกพจน์อื่นมี $(s + p_k)$ จึงเป็นศูนย์ เหลือ $a_k$ ตัวเดียว · $a_k$ คือเรซิดิวของ $F$ ที่ $-p_k$

V5 Using A′(s) สูตรอนุพันธ์ตัวส่วน

$$a_k = \frac{B(-p_k)}{A'(-p_k)}$$

สะดวกเมื่อตัวส่วนยังไม่แยกตัวประกอบหรือมีดีกรีสูง

V6 Quick checks ตรวจคำตอบเร็ว

$$f(0^+) = \sum a_k = \lim_{s\to\infty}sF(s)$$

ถ้า $n - m \ge 2$ ผลรวมของ $a_k$ ต้องเป็นศูนย์

ตัวอย่าง V-1 · Ogata ตัวอย่างพื้นฐาน

### $F(s) = \dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)}$

-
$$F(s) = \frac{a_1}{s+1} + \frac{a_2}{s+2}$$

- ปิด $(s+1)$ แล้วแทน $s = -1$ V4

$$a_1 = \left[\frac{s+3}{{\cancel{(s+1)}}(s+2)}\right]_{s=-1} = \frac{2}{1} = 2$$

- ปิด $(s+2)$ แล้วแทน $s = -2$

$$a_2 = \left[\frac{s+3}{(s+1)}\right]_{s=-2} = \frac{1}{-1} = -1$$

-
$$f(t) = 2e^{-t} - e^{-2t},\quad t \ge 0$$

$f(t) = 2e^{-t} - e^{-2t}$

ตรวจ V6: $f(0^+) = 2 - 1 = 1 = \lim_{s\to\infty}\tfrac{s(s+3)}{(s+1)(s+2)}$ ✓

ตัวอย่าง V-2 · สามโพล ด้วยสูตร A′(s)

### $F(s) = \dfrac{5s+3}{s^3 + 6s^2 + 11s + 6}$

- แยกตัวประกอบ: ลอง $s = -1$: $-1 + 6 - 11 + 6 = 0$ ✓ หารได้ $s^2 + 5s + 6 = (s+2)(s+3)$

$$A(s) = (s+1)(s+2)(s+3),\qquad A'(s) = 3s^2 + 12s + 11$$

- ใช้ $a_k = B(-p_k)/A'(-p_k)$ V5

$$a_1 = \frac{-5+3}{3-12+11} = \frac{-2}{2} = -1,\quad a_2 = \frac{-10+3}{12-24+11} = \frac{-7}{-1} = 7,\quad a_3 = \frac{-15+3}{27-36+11} = \frac{-12}{2} = -6$$

-
$$f(t) = -e^{-t} + 7e^{-2t} - 6e^{-3t}$$

$f(t) = -e^{-t} + 7e^{-2t} - 6e^{-3t}$

ตรวจ V6: $n - m = 2$ ผลรวมต้องเป็นศูนย์: $-1 + 7 - 6 = 0$ ✓

## กรณีที่ 2: โพลเชิงซ้อนสังยุค (Complex-Conjugate Poles) กลาง

มีสองวิธีที่ให้คำตอบเดียวกัน วิธีเติมกำลังสองไม่ต้องใช้จำนวนเชิงซ้อนเลย เหมาะกับการคิดมือ ส่วนวิธีเรซิดิวเชิงซ้อนให้รูปแอมพลิจูด-มุมเฟสโดยตรง และเป็นสิ่งที่เครื่องคิดเลขกับ MATLAB ทำ

V7 Completing the square เติมกำลังสองสมบูรณ์

$$\frac{A(s+\alpha) + B\omega}{(s+\alpha)^2 + \omega^2}\ \longrightarrow\ e^{-\alpha t}\left(A\cos\omega t + B\sin\omega t\right)$$

ขั้นตอน: $s^2 + bs + c = (s + \tfrac b2)^2 + (c - \tfrac{b^2}{4})$ ได้ $\alpha = b/2,\ \omega = \sqrt{c - b^2/4}$ แล้วเขียนตัวเศษใหม่ในรูป $A(s + \alpha) + B\omega$

V8 Complex residue form รูปแอมพลิจูด-มุมเฟส

$$\frac{K}{s + \alpha - j\omega} + \frac{\bar K}{s + \alpha + j\omega}\ \longrightarrow\ 2|K|\,e^{-\alpha t}\cos\left(\omega t + \angle K\right),\quad K = \Big[(s + \alpha - j\omega)F(s)\Big]_{s = -\alpha + j\omega}$$

หา K ตัวเดียวพอ อีกตัวเป็นสังยุค · เทียบกับ V7: $A = 2\operatorname{Re}K,\ B = -2\operatorname{Im}K$

ตัวอย่าง V-3 · Ogata: เติมกำลังสอง

### $F(s) = \dfrac{2s + 12}{s^2 + 2s + 5}$

- ดิสคริมิแนนต์ $4 - 20 < 0$ → โพลเชิงซ้อน $-1 \pm 2j$ เติมกำลังสอง

$$s^2 + 2s + 5 = (s+1)^2 + 2^2$$

- จัดตัวเศษเป็น $A(s+1) + B\cdot 2$ V7

$$2s + 12 = 2(s + 1) + 10 = 2(s+1) + 5\cdot 2$$

-
$$F(s) = 2\,\frac{s+1}{(s+1)^2 + 2^2} + 5\,\frac{2}{(s+1)^2 + 2^2}$$

-
$$f(t) = e^{-t}\left(2\cos 2t + 5\sin 2t\right)$$

$f(t) = 2e^{-t}\cos 2t + 5e^{-t}\sin 2t,\ t \ge 0$

ตัวอย่าง V-4 · ข้อเดิมด้วยเรซิดิวเชิงซ้อน

### $F(s) = \dfrac{2s + 12}{s^2 + 2s + 5}$ ในรูปแอมพลิจูด-มุมเฟส

- ปิด $(s + 1 - 2j)$ แล้วแทน $s = -1 + 2j$ V8

$$K = \left[\frac{2s+12}{s + 1 + 2j}\right]_{s=-1+2j} = \frac{10 + 4j}{4j} = \frac{(10 + 4j)(-j)}{4} = 1 - 2.5j$$

-
$$|K| = \sqrt{1 + 6.25} = \frac{\sqrt{29}}{2},\qquad \angle K = \tan^{-1}\frac{-2.5}{1} = -68.20^\circ$$

-
$$f(t) = 2|K|e^{-t}\cos(2t + \angle K) = \sqrt{29}\,e^{-t}\cos\left(2t - 68.20^\circ\right)$$

$\sqrt{29}e^{-t}\cos(2t - 68.2^\circ)$ เท่ากับคำตอบ V-3 ทุกประการ ($A = 2\operatorname{Re}K = 2,\ B = -2\operatorname{Im}K = 5$)

ตัวอย่าง V-5 · โพลจริง + คู่เชิงซ้อน (ผลตอบสนองขั้นบันไดของระบบอันดับสอง)

### $F(s) = \dfrac{10}{s(s^2 + 4s + 13)}$

-
$$\frac{10}{s(s^2+4s+13)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + 4s + 13},\qquad A = \left[\frac{10}{s^2+4s+13}\right]_{s=0} = \frac{10}{13}$$

- เทียบสัมประสิทธิ์ $10 = A(s^2 + 4s + 13) + (Bs + C)s$: ที่ $s^2$: $A + B = 0$ → $B = -\tfrac{10}{13}$ · ที่ $s$: $4A + C = 0$ → $C = -\tfrac{40}{13}$

- เติมกำลังสอง $(s+2)^2 + 3^2$ และ $Bs + C = -\tfrac{10}{13}(s + 4) = -\tfrac{10}{13}\left[(s+2) + \tfrac23\cdot 3\right]$

-
$$f(t) = \frac{10}{13} - \frac{10}{13}e^{-2t}\cos 3t - \frac{20}{39}e^{-2t}\sin 3t$$

$f(t) = \tfrac{10}{13}\left[1 - e^{-2t}\left(\cos 3t + \tfrac23\sin 3t\right)\right]$ เข้าสู่ $\tfrac{10}{13}$ แบบแกว่งหน่วง

ตรวจ: $f(0) = \tfrac{10}{13}(1 - 1) = 0$ ✓ · ค่าสุดท้าย $\lim_{s\to0}sF = \tfrac{10}{13}$ ✓

## กรณีที่ 3: โพลซ้ำ (Multiple Poles) กลาง

V9 Multiple-pole coefficients สัมประสิทธิ์ของโพลซ้ำอันดับ r

$$\frac{B(s)}{A(s)} = \frac{b_r}{(s+p)^r} + \frac{b_{r-1}}{(s+p)^{r-1}} + \cdots + \frac{b_1}{s+p} + (\text{พจน์ของโพลอื่น})$$

$$b_r = \Big[(s+p)^rF(s)\Big]_{s=-p},\qquad b_{r-k} = \frac{1}{k!}\left\{\frac{d^k}{ds^k}\Big[(s+p)^rF(s)\Big]\right\}_{s=-p},\quad k = 1, \dots, r-1$$

ที่มา: $(s+p)^rF(s) = b_r + b_{r-1}(s+p) + \cdots + b_1(s+p)^{r-1} + \cdots$ คืออนุกรมเทย์เลอร์รอบ $-p$ สัมประสิทธิ์จึงได้จากอนุพันธ์ (เหมือนสูตรเรซิดิวอันดับ m)

V10 Time terms แปลงกลับพจน์โพลซ้ำ

$$\frac{1}{(s+p)^j}\ \longrightarrow\ \frac{t^{j-1}}{(j-1)!}e^{-pt}$$

V11 Repeated complex poles โพลเชิงซ้อนซ้ำ

$$\frac{1}{(s^2+\omega^2)^2}\ \longrightarrow\ \frac{\sin\omega t - \omega t\cos\omega t}{2\omega^3}$$

หรือใช้ V9 กับเรซิดิวเชิงซ้อน หรือคอนโวลูชัน P-11

ตัวอย่าง V-6 · Ogata: โพลอันดับสาม

### $F(s) = \dfrac{s^2 + 2s + 3}{(s+1)^3}$

-
$$F(s) = \frac{b_3}{(s+1)^3} + \frac{b_2}{(s+1)^2} + \frac{b_1}{s+1},\qquad (s+1)^3F(s) = s^2 + 2s + 3$$

- $k = 0$: แทน $s = -1$ V9

$$b_3 = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 2$$

- $k = 1$: อนุพันธ์ครั้งเดียว

$$b_2 = \left[\frac{d}{ds}(s^2 + 2s + 3)\right]_{s=-1} = \left[2s + 2\right]_{s=-1} = 0$$

- $k = 2$: อนุพันธ์สองครั้งหาร $2!$

$$b_1 = \frac{1}{2!}\left[\frac{d^2}{ds^2}(s^2 + 2s + 3)\right]_{s=-1} = \frac{2}{2} = 1$$

- ใช้ V10: $\tfrac{2}{(s+1)^3} \to t^2e^{-t}$ และ $\tfrac{1}{s+1} \to e^{-t}$

$$f(t) = t^2e^{-t} + 0 + e^{-t} = \left(t^2 + 1\right)e^{-t}$$

$f(t) = (1 + t^2)e^{-t},\ t \ge 0$

ทางลัด: แทน $u = s + 1$ ได้ $s^2 + 2s + 3 = u^2 + 2$ ดังนั้น $F = \tfrac{1}{u} + \tfrac{2}{u^3}$ ตรงกัน ✓

ตัวอย่าง V-7 · โพลเดี่ยว + โพลซ้ำ

### $F(s) = \dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)^2}$

-
$$F = \frac{a}{s+1} + \frac{b_1}{s+2} + \frac{b_2}{(s+2)^2}$$

- โพลเดี่ยว: $a = \left[\dfrac{s+3}{(s+2)^2}\right]_{s=-1} = \dfrac{2}{1} = 2$

- โพลซ้ำ: $(s+2)^2F = \dfrac{s+3}{s+1}$

$$b_2 = \left[\frac{s+3}{s+1}\right]_{s=-2} = \frac{1}{-1} = -1,\qquad b_1 = \left[\frac{d}{ds}\frac{s+3}{s+1}\right]_{s=-2} = \left[\frac{-2}{(s+1)^2}\right]_{s=-2} = -2$$

-
$$f(t) = 2e^{-t} - 2e^{-2t} - te^{-2t}$$

$f(t) = 2e^{-t} - (2 + t)e^{-2t}$

ตรวจ: $n - m = 2$ → สัมประสิทธิ์ของพจน์ $1/(s+p)$ รวมกันเป็นศูนย์: $2 + (-2) = 0$ ✓ · $f(0) = 2 - 2 = 0$ ✓

ตัวอย่าง V-8 · โพลซ้ำที่จุดกำเนิด

### $F(s) = \dfrac{1}{s^2(s+1)}$

- $s^2F = \dfrac{1}{s+1}$: $b_2 = 1,\ b_1 = \left[\dfrac{-1}{(s+1)^2}\right]_{s=0} = -1$ · โพล −1: $a = \left[\dfrac{1}{s^2}\right]_{s=-1} = 1$

-
$$F = \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s} + \frac{1}{s+1} \ \Rightarrow\ f(t) = t - 1 + e^{-t}$$

$f(t) = t - 1 + e^{-t}$ คือผลตอบสนองแรมป์ของระบบอันดับหนึ่ง ตามหลังแรมป์อยู่ 1 หน่วยในสถานะคงตัว

## กรณีที่ 4: เศษส่วนไม่แท้ (deg B ≥ deg A) กลาง

V12 Improper F(s) หารยาวก่อน

$$\frac{B(s)}{A(s)} = Q(s) + \frac{R(s)}{A(s)},\quad \mathcal L^{-1}\{c_0 + c_1s + c_2s^2 + \cdots\} = c_0\,\delta(t) + c_1\,\delta'(t) + c_2\,\delta''(t) + \cdots$$

ผลหาร $Q(s)$ ให้อิมพัลส์และอนุพันธ์ของอิมพัลส์ ส่วนเศษ $R/A$ เป็นเศษส่วนแท้ แยกตามกรณีที่ 1–3 · ทบทวนการหารยาวพหุนามได้ที่บทอินทิกรัล

ตัวอย่าง V-9 · Ogata: ดีกรีเศษมากกว่าส่วน

### $G(s) = \dfrac{s^3 + 5s^2 + 9s + 7}{(s+1)(s+2)}$

- ตัวส่วน $s^2 + 3s + 2$ หารยาว: $s^3 + 5s^2 + 9s + 7 = (s + 2)(s^2 + 3s + 2) + (s + 3)$

$$G(s) = s + 2 + \frac{s + 3}{(s+1)(s+2)}$$

- เศษที่เหลือคือ V-1: $\dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \dfrac{2}{s+1} - \dfrac{1}{s+2}$

- ใช้ V12: $s \to \delta'(t)$, $2 \to 2\delta(t)$

$$g(t) = \frac{d}{dt}\delta(t) + 2\delta(t) + 2e^{-t} - e^{-2t},\quad t \ge 0^-$$

$g(t) = \delta'(t) + 2\delta(t) + 2e^{-t} - e^{-2t}$

## กรณีที่ 5: มีตัวหน่วงเวลา e^(−sT) กลาง

V13 Delayed terms พจน์ที่มีตัวหน่วง

$$\mathcal L^{-1}\{e^{-sT}G(s)\} = g(t - T)\,u(t - T),\qquad g = \mathcal L^{-1}\{G\}$$

อย่ารวม $e^{-sT}$ เข้าไปในเศษส่วนย่อย ให้แยกพจน์ตามตัวหน่วง แปลงกลับส่วนตรรกยะแต่ละก้อน แล้วเลื่อนทีละก้อน

ตัวอย่าง V-10 · หน่วงหนึ่งก้อน

### $F(s) = \dfrac{e^{-2s}}{s(s+1)}$

-
$$G(s) = \frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1} \ \Rightarrow\ g(t) = 1 - e^{-t}$$

- เลื่อนไป 2 หน่วย V13

$$f(t) = \left[1 - e^{-(t-2)}\right]u(t - 2)$$

เป็นศูนย์จนถึง $t = 2$ แล้วชาร์จขึ้นแบบเอกซ์โพเนนเชียล

ตัวอย่าง V-11 · ผลต่างของสองก้อน

### $F(s) = \dfrac{1 - e^{-s}}{s^2}$

-
$$F = \frac{1}{s^2} - e^{-s}\frac{1}{s^2} \ \Rightarrow\ f(t) = t\,u(t) - (t - 1)\,u(t - 1)$$

แรมป์ที่หยุดโตที่ $t = 1$: $f = t$ เมื่อ $0 \le t < 1$ และ $f = 1$ เมื่อ $t \ge 1$

## วิธีทางเลือก: เทียบสัมประสิทธิ์และแทนค่า s พื้นฐาน

V14 Equating coefficients เทียบสัมประสิทธิ์

$$B(s) = \sum_k a_k\frac{A(s)}{s + p_k} + \cdots \quad\Rightarrow\quad \text{เทียบสัมประสิทธิ์ของ } s^0, s^1, \dots \text{ หรือแทน } s \text{ หลายค่า}$$

ใช้ร่วมกับการปิดตัวประกอบเพื่อหาตัวที่เหลือ โดยเฉพาะตัวเศษ $Bs + C$ ของตัวประกอบกำลังสอง

ตัวอย่าง V-12 · ไม่แตะจำนวนเชิงซ้อนเลย

### $F(s) = \dfrac{s+1}{s(s^2 + 2s + 2)}$

-
$$\frac{s+1}{s(s^2+2s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + 2s + 2},\qquad A = \left[\frac{s+1}{s^2+2s+2}\right]_{s=0} = \frac12$$

- เทียบ: $s + 1 = \tfrac12(s^2 + 2s + 2) + Bs^2 + Cs$ · $s^2$: $\tfrac12 + B = 0$ → $B = -\tfrac12$ · $s$: $1 + C = 1$ → $C = 0$

- เติมกำลังสอง $(s+1)^2 + 1$ และ $-\tfrac12 s = -\tfrac12(s+1) + \tfrac12$

$$F = \frac{1/2}{s} - \frac12\cdot\frac{s+1}{(s+1)^2 + 1} + \frac12\cdot\frac{1}{(s+1)^2+1}$$

-
$$f(t) = \frac12 - \frac12e^{-t}\cos t + \frac12e^{-t}\sin t$$

$f(t) = \tfrac12\left[1 - e^{-t}(\cos t - \sin t)\right]$

## วิธีทางเลือก: คอนโวลูชัน กลาง

V15 Inverse of a product แปลงกลับผลคูณ

$$\mathcal L^{-1}\{F(s)G(s)\} = \int_0^t f(\tau)\,g(t - \tau)\,d\tau$$

ตัวอย่าง V-13

### $\mathcal L^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s+a)}\right\}$

- $F = 1/s \to 1,\ G = 1/(s+a) \to e^{-at}$

$$\int_0^t 1\cdot e^{-a(t-\tau)}\,d\tau = e^{-at}\left[\frac{e^{a\tau}}{a}\right]_0^t = \frac{1 - e^{-at}}{a}$$

$\dfrac{1}{a}\left(1 - e^{-at}\right)$ ตรงกับตารางแถว 17

## เรซิดิว อินทิกรัลบรอมวิช และทฤษฎีบทการกระจายของเฮวิไซด์ ขั้นสูง

ทุกวิธีข้างต้นเป็นกรณีพิเศษของสูตรเดียว: ปิดเส้นบรอมวิชด้วยครึ่งวงกลมทางซ้าย (บทตั้งของจอร์แดนทำให้ส่วนโค้งหายเมื่อ $F(s) \to 0$) อินทิกรัลจึงเท่ากับผลรวมเรซิดิวของ $F(s)e^{st}$ ดูภาพและที่มาที่หน้า 8.1

V16 Residue inversion แปลงกลับด้วยเรซิดิว

$$f(t) = \sum_{k}\operatorname{Res}_{s = s_k}\left[F(s)e^{st}\right],\qquad \operatorname{Res}_{s_k} = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{s\to s_k}\frac{d^{\,m-1}}{ds^{m-1}}\left[(s - s_k)^mF(s)e^{st}\right]$$

V17 Heaviside expansion theorem ทฤษฎีบทการกระจายของเฮวิไซด์

$$\mathcal L^{-1}\left\{\frac{B(s)}{A(s)}\right\} = \sum_{k=1}^{n}\frac{B(s_k)}{A'(s_k)}e^{s_kt}\quad(\text{โพลเดี่ยวทั้งหมด } s_k)$$

ตัวอย่าง V-14 · เรซิดิวกับโพลซ้ำ

### $F(s) = \dfrac{1}{s(s+1)^2}$ ด้วย V16

- โพลเดี่ยวที่ 0

$$\operatorname{Res}_{0} = \left[\frac{e^{st}}{(s+1)^2}\right]_{s=0} = 1$$

- โพลอันดับ 2 ที่ −1: อนุพันธ์หนึ่งครั้งของ $e^{st}/s$ (กฎผลหาร)

$$\operatorname{Res}_{-1} = \left[\frac{d}{ds}\frac{e^{st}}{s}\right]_{s=-1} = \left[\frac{te^{st}}{s} - \frac{e^{st}}{s^2}\right]_{s=-1} = -te^{-t} - e^{-t}$$

$f(t) = 1 - e^{-t} - te^{-t}$ ไม่ต้องตั้งรูปเศษส่วนย่อยเลย แต่ต้องหาอนุพันธ์ที่มี $t$ อยู่ข้างใน

## ตรวจด้วย MATLAB และ Python กลาง

ตำรา Ogata ใช้คำสั่ง residue ของ MATLAB ตลอดเล่ม ผลลัพธ์คือ r (สัมประสิทธิ์) p (โพล) และ k (ผลหารจากการหารยาว) ตัวอย่างนี้คือ V-4 และ V-6

% MATLAB / Octave
num = [2 12]; den = [1 2 5];
[r, p, k] = residue(num, den)
% r = 1.0000 - 2.5000i ; 1.0000 + 2.5000i (K ของโพล -1+2i และสังยุค)
% p = -1.0000 + 2.0000i ; -1.0000 - 2.0000i
% k = []

[r, p, k] = residue([1 2 3], conv([1 1], conv([1 1], [1 1])))
% r = 1 ; 0 ; 2 → 1/(s+1) + 0/(s+1)^2 + 2/(s+1)^3 (กำลังเรียงจากต่ำไปสูง)

syms s t
ilaplace((2*s + 12)/(s^2 + 2*s + 5)) % exp(-t)*(2*cos(2*t) + 5*sin(2*t))
# Python
from scipy.signal import residue
r, p, k = residue([2, 12], [1, 2, 5])

import sympy as sp
s, t = sp.symbols('s t', positive=True)
F = (s**2 + 2*s + 3)/(s + 1)**3
sp.apart(F, s) # 1/(s + 1) + 2/(s + 1)**3
sp.inverse_laplace_transform(F, s, t) # (t**2 + 1)*exp(-t)
ข้อควรระวัง: residue คำนวณเชิงตัวเลข โพลซ้ำอาจคลาดเล็กน้อยจนถูกมองเป็นโพลเดี่ยวสองตัวที่ใกล้กันมาก ถ้าเห็นค่า r ใหญ่ผิดปกติและมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ให้สงสัยว่าเป็นโพลซ้ำ

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

| อาการ | สาเหตุ | แก้ |

| คำตอบไม่มี δ(t) ทั้งที่ควรมี หรือสัมประสิทธิ์ผิดหมด | ลืมตรวจว่าเป็นเศษส่วนไม่แท้ | เทียบดีกรีก่อนทุกครั้ง V12 |

| ตั้งโพลซ้ำแค่พจน์เดียว $\tfrac{b}{(s+p)^2}$ | ลืมพจน์กำลังต่ำ | โพลอันดับ r ต้องมี r พจน์ V3 |

| ใช้ปิดตัวประกอบกับ $b_1$ ของโพลซ้ำ | ปิดตัวประกอบได้เฉพาะ $b_r$ | ใช้สูตรอนุพันธ์ V9 |

| ลืม $1/(j-1)!$ | $1/(s+p)^3 \to \tfrac{t^2}{2}e^{-pt}$ ไม่ใช่ $t^2e^{-pt}$ | V10 |

| พจน์เชิงซ้อนได้ sin/cos สลับกันหรือขาดค่าคงที่ | ตัวเศษไม่ได้จัดเป็น $A(s+\alpha) + B\omega$ | ต้องมี ω ในพจน์ sin V7 |

| ได้ $2|K|$ ผิดไปครึ่งหนึ่ง | ลืมคูณ 2 จากคู่สังยุค | V8 |

| มี $e^{-sT}$ แล้วคำตอบเพี้ยน | เอาตัวหน่วงไปแยกเศษส่วนย่อยด้วย | แยกก้อนก่อน แล้วเลื่อน V13 |

| แปลงกลับเสร็จแต่ไม่ตรวจ | — | ตรวจ $f(0^+)$ และ $f(\infty)$ ด้วยทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น-สุดท้าย V6 |

## ตารางแปลงกลับรูปที่เจอบ่อย

| $F(s)$ | $f(t),\ t \ge 0$ |

| $\dfrac{1}{(s+a)(s+b)}$ | $\dfrac{e^{-at} - e^{-bt}}{b - a}$ |

| $\dfrac{s}{(s+a)(s+b)}$ | $\dfrac{be^{-bt} - ae^{-at}}{b - a}$ |

| $\dfrac{1}{s(s+a)(s+b)}$ | $\dfrac{1}{ab}\left[1 + \dfrac{be^{-at} - ae^{-bt}}{a - b}\right]$ |

| $\dfrac{1}{s^2(s+a)}$ | $\dfrac{1}{a^2}\left(at - 1 + e^{-at}\right)$ |

| $\dfrac{1}{s(s+a)^2}$ | $\dfrac{1}{a^2}\left(1 - e^{-at} - ate^{-at}\right)$ |

| $\dfrac{s}{(s+a)^2}$ | $(1 - at)e^{-at}$ |

| $\dfrac{1}{s(s^2+\omega^2)}$ | $\dfrac{1}{\omega^2}(1 - \cos\omega t)$ |

| $\dfrac{1}{s^2(s^2+\omega^2)}$ | $\dfrac{1}{\omega^3}(\omega t - \sin\omega t)$ |

| $\dfrac{s}{(s^2+\omega^2)^2}$ | $\dfrac{t}{2\omega}\sin\omega t$ |

| $\dfrac{s^2}{(s^2+\omega^2)^2}$ | $\dfrac{1}{2\omega}(\sin\omega t + \omega t\cos\omega t)$ |

| $\dfrac{s\sin\phi + \omega\cos\phi}{s^2+\omega^2}$ | $\sin(\omega t + \phi)$ |

| $\dfrac{s\cos\phi - \omega\sin\phi}{s^2+\omega^2}$ | $\cos(\omega t + \phi)$ |

| $\dfrac{s + \alpha}{(s+a)^2 + \omega^2}$ | $e^{-at}\left[\cos\omega t + \dfrac{\alpha - a}{\omega}\sin\omega t\right]$ |

| $\dfrac{1}{s[(s+a)^2 + \omega^2]}$ | $\dfrac{1}{a^2+\omega^2}\left[1 - e^{-at}\left(\cos\omega t + \dfrac{a}{\omega}\sin\omega t\right)\right]$ |

ทุกแถวพิสูจน์ได้ด้วยกรณีที่ 1–3 และตรวจด้วยเครื่องคิดเลขด้านล่างได้โดยใส่ตัวเลขแทน a, b, ω

## เครื่องคิดเลขการแปลงลาปลาซผกผันแสดงวิธีทำ

พิมพ์ $F(s)$ ในรูปใดก็ได้ ทั้งแบบแยกตัวประกอบแล้ว แบบพหุนามกระจาย หรือมีตัวหน่วง $e^{-Ts}$ เครื่องคิดเลขจะทำตามขั้นตอนเดียวกับในหน้านี้: ตรวจแท้-ไม่แท้ (หารยาว) แยกตัวประกอบหาโพลและอันดับ ตั้งรูปเศษส่วนย่อย หาสัมประสิทธิ์ด้วยสูตรปิดตัวประกอบหรือสูตรอนุพันธ์ แปลงกลับ แล้ววาดกราฟ $f(t)$ ตัวเลขแสดงเป็นเศษส่วนหรือรากที่สองเมื่อเป็นค่าแม่นตรง

## โจทย์ฝึก 12 ข้อ (มีเฉลย)

ลองทำในกระดาษก่อน แล้วกดดูเฉลย หรือกดปุ่มเพื่อให้เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำทุกขั้น

- $\dfrac{1}{s(s+2)}$
เฉลย
$\tfrac12\left(1 - e^{-2t}\right)$

- $\dfrac{s+1}{s^2+4}$
เฉลย
$\cos 2t + \tfrac12\sin 2t$

- $\dfrac{6}{(s+1)(s+2)(s+3)}$
เฉลย
$3e^{-t} - 6e^{-2t} + 3e^{-3t}$

- $\dfrac{s+5}{s^2+6s+13}$
เฉลย
$e^{-3t}(\cos 2t + \sin 2t)$

- $\dfrac{1}{(s+2)^3}$
เฉลย
$\tfrac12t^2e^{-2t}$

- $\dfrac{s^2+3}{s(s^2+1)}$
เฉลย
$3 - 2\cos t$

- $\dfrac{e^{-3s}}{s^2+1}$
เฉลย
$\sin(t - 3)\,u(t - 3)$

- $\dfrac{s^2+2}{s+1}$
เฉลย
$\delta'(t) - \delta(t) + 3e^{-t}$

- $\dfrac{1}{s^2(s^2+4)}$
เฉลย
$\tfrac14t - \tfrac18\sin 2t$

- $\dfrac{2}{s(s+1)^2}$
เฉลย
$2 - 2e^{-t} - 2te^{-t}$

- $\dfrac{4}{(s^2+4)^2}$
เฉลย
$\tfrac14\left(\sin 2t - 2t\cos 2t\right)$

- $\dfrac{1 - e^{-2s}}{s(s+1)}$
เฉลย
$\left(1 - e^{-t}\right)u(t) - \left(1 - e^{-(t-2)}\right)u(t-2)$

## อ่านต่อและแหล่งอ้างอิง

- K. Ogata, Modern Control Engineering (5th ed.), บทที่ 2 และภาคผนวก B: Partial-Fraction Expansion — ลำดับหัวข้อและตัวอย่าง V-1, V-3, V-6, V-9 ในหน้านี้อิงตามแนวของตำราเล่มนี้

- K. Ogata, System Dynamics, บท The Laplace Transform (การแปลงกลับด้วย MATLAB)

- E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, บท Laplace Transforms และ Residue Integration

- Churchill & Brown, Complex Variables and Applications, หัวข้อ Inverse Laplace Transforms ด้วยเรซิดิว

- ใช้ต่อ: แก้สมการเชิงอนุพันธ์ · ผลตอบสนองทางเวลาของระบบควบคุม · เศษส่วนย่อยในบทอินทิกรัล

## คำถามที่พบบ่อย

การแปลงลาปลาซผกผันทำอย่างไรในทางปฏิบัติ?
เกือบทุกโจทย์ใช้เศษส่วนย่อย: (1) ถ้าดีกรีเศษ ≥ ดีกรีส่วนให้หารยาวก่อน (2) แยกตัวประกอบตัวส่วนหาโพล (3) เขียนรูปเศษส่วนย่อยตามชนิดโพล (4) หาสัมประสิทธิ์ด้วยการปิดตัวประกอบหรือสูตรอนุพันธ์ (5) แปลงกลับทีละพจน์จากตาราง

โพลซ้ำต้องเขียนเศษส่วนย่อยอย่างไร?
โพลอันดับ r ที่ s = −p ต้องมี r พจน์ $\frac{b_1}{s+p} + \frac{b_2}{(s+p)^2} + \cdots + \frac{b_r}{(s+p)^r}$ หา $b_r$ ด้วยการปิดตัวประกอบ ส่วนตัวอื่นใช้สูตรอนุพันธ์ $b_{r-k} = \frac{1}{k!}\frac{d^k}{ds^k}[(s+p)^rF(s)]_{s=-p}$ แต่ละพจน์แปลงกลับได้ $\frac{t^{j-1}}{(j-1)!}e^{-pt}$

โพลเชิงซ้อนมีวิธีไหนเร็วที่สุด?
เติมกำลังสองสมบูรณ์ให้ตัวส่วนเป็น $(s+a)^2 + \omega^2$ แล้วจัดตัวเศษเป็น $A(s+a) + B\omega$ จะได้ $e^{-at}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$ ทันที หรือหาเรซิดิวเชิงซ้อน K ที่โพลหนึ่งตัวแล้วใช้ $2|K|e^{-at}\cos(\omega t + \angle K)$

ใช้ MATLAB หรือ Python หาเศษส่วนย่อยได้ไหม?
ได้ MATLAB ใช้ [r,p,k] = residue(num,den) ส่วน Python ใช้ scipy.signal.residue(b, a) หรือ sympy.apart และ sympy.inverse_laplace_transform ผลจาก residue เรียงพจน์ของโพลซ้ำจากกำลังต่ำไปสูง ต้องอ่านลำดับให้ถูก

ทำไมคำตอบมีเดลต้า δ(t)?
เพราะ F(s) เป็นเศษส่วนไม่แท้ (ดีกรีเศษ ≥ ดีกรีส่วน) ผลหารที่เป็นค่าคงที่ c ให้ $c\,\delta(t)$ และพจน์ $cs$ ให้ $c\,\delta'(t)$ ในระบบจริงแปลว่าเอาต์พุตตอบสนองต่ออินพุตทันทีโดยไม่มีการกรอง

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**การแปลงลาปลาซผกผันทำอย่างไรในทางปฏิบัติ?**
เกือบทุกโจทย์ใช้เศษส่วนย่อย: (1) ถ้าดีกรีเศษ ≥ ดีกรีส่วนให้หารยาวก่อน (2) แยกตัวประกอบตัวส่วนหาโพล (3) เขียนรูปเศษส่วนย่อยตามชนิดโพล (4) หาสัมประสิทธิ์ด้วยการปิดตัวประกอบหรือสูตรอนุพันธ์ (5) แปลงกลับทีละพจน์จากตาราง

**โพลซ้ำต้องเขียนเศษส่วนย่อยอย่างไร?**
โพลอันดับ r ที่ s = −p ต้องมี r พจน์ $\frac{b_1}{s+p} + \frac{b_2}{(s+p)^2} + \cdots + \frac{b_r}{(s+p)^r}$ หา $b_r$ ด้วยการปิดตัวประกอบ ส่วนตัวอื่นใช้สูตรอนุพันธ์ $b_{r-k} = \frac{1}{k!}\frac{d^k}{ds^k}[(s+p)^rF(s)]_{s=-p}$ แต่ละพจน์แปลงกลับได้ $\frac{t^{j-1}}{(j-1)!}e^{-pt}$

**โพลเชิงซ้อนมีวิธีไหนเร็วที่สุด?**
เติมกำลังสองสมบูรณ์ให้ตัวส่วนเป็น $(s+a)^2 + \omega^2$ แล้วจัดตัวเศษเป็น $A(s+a) + B\omega$ จะได้ $e^{-at}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$ ทันที หรือหาเรซิดิวเชิงซ้อน K ที่โพลหนึ่งตัวแล้วใช้ $2|K|e^{-at}\cos(\omega t + \angle K)$

**ใช้ MATLAB หรือ Python หาเศษส่วนย่อยได้ไหม?**
ได้ MATLAB ใช้ [r,p,k] = residue(num,den) ส่วน Python ใช้ scipy.signal.residue(b, a) หรือ sympy.apart และ sympy.inverse_laplace_transform ผลจาก residue เรียงพจน์ของโพลซ้ำจากกำลังต่ำไปสูง ต้องอ่านลำดับให้ถูก

**ทำไมคำตอบมีเดลต้า δ(t)?**
เพราะ F(s) เป็นเศษส่วนไม่แท้ (ดีกรีเศษ ≥ ดีกรีส่วน) ผลหารที่เป็นค่าคงที่ c ให้ $c\,\delta(t)$ และพจน์ $cs$ ให้ $c\,\delta'(t)$ ในระบบจริงแปลว่าเอาต์พุตตอบสนองต่ออินพุตทันทีโดยไม่มีการกรอง

---

# แผนภาพโพล-ซีโร่และบริเวณลู่เข้า (ROC) ของการแปลงลาปลาซ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/pole-zero-roc/
Updated: 2026-10-14
Summary: โพลและซีโร่คืออะไร วาดแผนภาพโพล-ซีโร่บนระนาบ s หา ROC จากนิยามทีละขั้น สัญญาณด้านขวา ด้านซ้าย สองด้าน และช่วงจำกัด สมบัติของ ROC ทั้ง 8 ข้อ X(s) เดียวกันแต่ ROC ต่างกันได้สัญญาณต่างกัน ตารางคู่การแปลงสองด้านพร้อม ROC ตำแหน่งโพลกับรูปคลื่น เสถียรภาพ และความเป็นเหตุเป็นผล พร้อมแล็บลากโพล-ซีโร่และเลือก ROC เอง

// บทที่ 8.2 · การแปลงลาปลาซ · Poles, Zeros & ROC

# แผนภาพโพล-ซีโร่และบริเวณลู่เข้า (ROC) ของการแปลงลาปลาซ

$X(s)$ บอกว่าน้ำหนักของ $e^{st}$ แต่ละตัวเป็นเท่าไร แต่บอกไม่ครบ ต้องมี ROC บอกว่าอินทิกรัลลู่เข้าที่ไหน หน้านี้พาหาโพล ซีโร่ และ ROC ทีละขั้นจากนิยาม สรุปสมบัติ 8 ข้อที่ใช้หา ROC โดยไม่ต้องอินทิเกรต และอ่านเสถียรภาพกับรูปคลื่นจากตำแหน่งโพลได้ในพริบตา สูตรใช้รหัส R

สรุปใน 30 วินาที

- โพล = รากของตัวส่วน (× บนระนาบ) ซีโร่ = รากของตัวเศษ (○) อันดับ = จำนวนซ้ำ

- ROC เป็นแถบแนวตั้งเสมอ ไม่มีโพลข้างใน ขอบเขตผ่านโพล

- ด้านขวา → ขวาของโพลขวาสุด · ด้านซ้าย → ซ้ายของโพลซ้ายสุด · สองด้าน → แถบระหว่างโพล

- ROC ครอบแกน jω ⇔ เสถียร · เหตุผล + เสถียร ⇔ โพลทุกตัวอยู่ครึ่งซ้าย

ระดับพื้นฐาน ปี 2กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง สัญญาณและระบบ · ป.โท

## โพลและซีโร่คืออะไร พื้นฐาน

ฟังก์ชันตรรกยะใด ๆ แยกตัวประกอบได้เป็นผลคูณของ $(s - z_i)$ บนเศษและ $(s - p_k)$ บนส่วน รู้ตำแหน่งราก + ค่าคงที่หนึ่งตัวก็รู้ฟังก์ชันทั้งหมด แผนภาพโพล-ซีโร่จึงเป็น “ลายมือชื่อ” ของระบบ

R1 Pole–zero–gain form รูปโพล-ซีโร่-เกน

$$X(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = K\,\frac{(s - z_1)(s - z_2)\cdots(s - z_m)}{(s - p_1)(s - p_2)\cdots(s - p_n)}$$

ซีโร่ $z_i$: $X(z_i) = 0$ · โพล $p_k$: $|X(s)| \to \infty$ · $K$ = อัตราส่วนสัมประสิทธิ์นำหน้า · ซีโร่ที่ $s = 0$ หรือโพลที่ $s = 0$ มักพิมพ์ว่า $s$ เฉย ๆ

R2 Proper / improper เศษส่วนแท้และไม่แท้

$$m < n:\ \text{แท้อย่างเข้ม},\quad m = n:\ \text{แท้},\quad m > n:\ \text{ไม่แท้}$$

ระบบกายภาพเกือบทั้งหมดเป็นแท้ $m \le n$ ส่วนไม่แท้มีอิมพัลส์และอนุพันธ์ของอิมพัลส์ในคำตอบ

R3 Conjugate symmetry สมมาตรสังยุค

$$\text{สัมประสิทธิ์จริง} \Rightarrow p \text{ เป็นโพล} \iff \bar p \text{ เป็นโพล}$$

แผนภาพโพล-ซีโร่ของระบบจริงจึงสมมาตรกับแกนจริงเสมอ

ตัวอย่าง R-1 · วาดแผนภาพโพล-ซีโร่

### $H(s) = \dfrac{2s + 6}{s^3 + 5s^2 + 12s + 8}$

- เศษ: $2s + 6 = 2(s + 3)$ ซีโร่ $s = -3$ และ $K = 2$

- ส่วน: ลองรากตรรกยะ $s = -1$: $-1 + 5 - 12 + 8 = 0$ ✓ หารสังเคราะห์ได้ $s^2 + 4s + 8$

$$s^2 + 4s + 8 = 0 \Rightarrow s = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2} = -2 \pm 2j$$

-
$$H(s) = \frac{2(s+3)}{(s+1)(s+2-2j)(s+2+2j)}$$

ซีโร่ ○ ที่ $-3$ · โพล × ที่ $-1$ และ $-2 \pm 2j$ ทุกโพลอยู่ครึ่งซ้าย ระบบเหตุผลนี้เสถียร

## ROC คืออะไร: หาจากนิยามทีละขั้น พื้นฐาน

อินทิกรัล $\int x(t)e^{-st}dt$ ลู่เข้าหรือไม่ขึ้นกับ $|x(t)e^{-st}| = |x(t)|e^{-\sigma t}$ เท่านั้น ส่วน $\omega$ ไม่มีผลเลย ROC จึงขึ้นกับ $\sigma = \operatorname{Re}s$ อย่างเดียว และเป็นแถบแนวตั้งเสมอ

R4 Region of convergence บริเวณลู่เข้า

$$\text{ROC} = \left\{ s : \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|\,e^{-\sigma t}\,dt < \infty \right\},\quad \sigma = \operatorname{Re}s$$

R5 Right-sided exponential เอกซ์โพเนนเชียลด้านขวา

$$e^{-at}u(t)\ \longleftrightarrow\ \frac{1}{s+a},\quad \operatorname{Re}s > -a$$

R6 Left-sided exponential เอกซ์โพเนนเชียลด้านซ้าย

$$-e^{-at}u(-t)\ \longleftrightarrow\ \frac{1}{s+a},\quad \operatorname{Re}s < -a$$

ตัวอย่าง R-2 · สัญญาณด้านซ้าย

### หาการแปลงสองด้านและ ROC ของ $x(t) = -e^{-at}u(-t)$

- สัญญาณมีค่าเฉพาะ $t < 0$

$$X(s) = \int_{-\infty}^{0}-e^{-at}e^{-st}\,dt = -\int_{-\infty}^{0}e^{-(s+a)t}\,dt$$

- เมื่อ $t \to -\infty$ พจน์ $e^{-(s+a)t} = e^{-(\sigma + a)t}e^{-j\omega t}$ ต้องหายไป ซึ่งเกิดเมื่อ $\sigma + a < 0$

$$X(s) = -\left[\frac{-e^{-(s+a)t}}{s+a}\right]_{-\infty}^{0} = -\left(\frac{-1}{s+a} - 0\right) = \frac{1}{s+a}$$

$X(s) = \dfrac{1}{s+a}$ เหมือนของ $e^{-at}u(t)$ ทุกตัวอักษร แต่ ROC เป็น $\operatorname{Re}s < -a$ (ครึ่งซ้าย) แทน $\operatorname{Re}s > -a$

โพลเดียวกันที่ $s = -a$ ROC ทางขวาให้สัญญาณด้านขวา $e^{-at}u(t)$ ROC ทางซ้ายให้สัญญาณด้านซ้าย $-e^{-at}u(-t)$ — X(s) ตัวเดียวไม่พอ ต้องบอก ROC เสมอ

## สมบัติของ ROC ทั้ง 8 ข้อ กลาง

แปดข้อนี้ทำให้หา ROC ได้โดยไม่ต้องอินทิเกรตเลย แค่รู้ตำแหน่งโพลและรู้ว่าสัญญาณอยู่ด้านไหนของเวลา (เรียงตาม Oppenheim & Willsky)

R7 Property 1 เป็นแถบขนานกับแกน jω

$$\text{ROC} = \{ s : \sigma_1 < \operatorname{Re}s < \sigma_2 \}$$

ขอบอาจเป็น $-\infty$ หรือ $+\infty$ ก็ได้ เพราะการลู่เข้าขึ้นกับ σ เท่านั้น

R8 Property 2 ไม่มีโพลอยู่ใน ROC

$$p \text{ เป็นโพล} \Rightarrow p \notin \text{ROC}$$

ที่โพล $X(s)$ เป็นอนันต์ อินทิกรัลจึงลู่เข้าไม่ได้

R9 Property 3 สัญญาณช่วงจำกัด → ทั้งระนาบ

$$x(t) = 0 \text{ นอก } [T_1, T_2] \text{ และอินทิเกรตได้สัมบูรณ์} \Rightarrow \text{ROC} = \mathbb{C}$$

R10 Property 4 ด้านขวา → ครึ่งระนาบขวา

$$x(t) = 0,\ t < T_1:\ \sigma_0 \in \text{ROC} \Rightarrow \{\operatorname{Re}s > \sigma_0\} \subset \text{ROC}$$

R11 Property 5 ด้านซ้าย → ครึ่งระนาบซ้าย

$$x(t) = 0,\ t > T_2:\ \sigma_0 \in \text{ROC} \Rightarrow \{\operatorname{Re}s < \sigma_0\} \subset \text{ROC}$$

R12 Property 6 สองด้าน → แถบ (หรือว่างเปล่า)

$$\text{ROC} = \text{ROC}_{\text{ขวา}} \cap \text{ROC}_{\text{ซ้าย}}$$

ถ้าส่วนขวาต้องการ $\sigma > \sigma_a$ แต่ส่วนซ้ายต้องการ $\sigma < \sigma_b$ ที่ $\sigma_b \le \sigma_a$ ROC ว่าง: ไม่มีการแปลงลาปลาซ

R13 Property 7 ตรรกยะ + ด้านขวา

$$\text{ROC} = \{\operatorname{Re}s > \operatorname{Re}p_{\text{ขวาสุด}}\}$$

การแปลงด้านเดียวทั้งหมดอยู่ในกรณีนี้

R14 Property 8 ตรรกยะ + ด้านซ้าย

$$\text{ROC} = \{\operatorname{Re}s < \operatorname{Re}p_{\text{ซ้ายสุด}}\}$$

$X(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)}$ มี ROC ได้สามแบบ: ขวาของ −1 (ด้านขวา) แถบระหว่าง −2 กับ −1 (สองด้าน) และซ้ายของ −2 (ด้านซ้าย) ไม่มีแบบอื่นเพราะ ROC ห้ามมีโพลข้างใน

ตัวอย่าง R-3 · X(s) เดียว ROC สามแบบ สัญญาณสามตัว

### หา $x(t)$ ของ $X(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)}$ สำหรับทั้งสาม ROC

- เศษส่วนย่อย (ไม่ขึ้นกับ ROC): $X(s) = \dfrac{1}{s+1} - \dfrac{1}{s+2}$

- กฎ: โพลที่อยู่ซ้ายของ ROC ให้พจน์ด้านขวา $e^{pt}u(t)$ R5 · โพลที่อยู่ขวาของ ROC ให้พจน์ด้านซ้าย $-e^{pt}u(-t)$ R6

- (ก) $\operatorname{Re}s > -1$: ทั้งสองโพลอยู่ซ้าย

$$x(t) = \left(e^{-t} - e^{-2t}\right)u(t)$$

- (ข) $-2 < \operatorname{Re}s < -1$: โพล −1 อยู่ขวา โพล −2 อยู่ซ้าย

$$x(t) = -e^{-t}u(-t) - e^{-2t}u(t)$$

- (ค) $\operatorname{Re}s < -2$: ทั้งสองโพลอยู่ขวา

$$x(t) = \left(-e^{-t} + e^{-2t}\right)u(-t)$$

สามสัญญาณต่างกันโดยสิ้นเชิง มีเพียง (ก) ที่เป็นเหตุผล และมีเพียง (ก) ที่เสถียร (ROC ครอบ $\sigma = 0$) · ลองเลือก ROC ทั้งสามแบบในแล็บด้านล่างด้วยปุ่ม “สัญญาณสองด้าน”

## สัญญาณสองด้านและสัญญาณช่วงจำกัด กลาง

ตัวอย่าง R-4 · ผลรวมด้านขวา + ด้านซ้าย

### $x(t) = e^{-2t}u(t) + e^{3t}u(-t)$

- ส่วนขวา: $e^{-2t}u(t) \to \dfrac{1}{s+2}$, $\operatorname{Re}s > -2$

- ส่วนซ้าย: $e^{3t}u(-t) = -\left(-e^{3t}u(-t)\right) \to -\dfrac{1}{s-3}$, $\operatorname{Re}s < 3$ R6 ด้วย $a = -3$

- รวมและหาส่วนร่วมของ ROC R12

$$X(s) = \frac{1}{s+2} - \frac{1}{s-3} = \frac{-5}{(s+2)(s-3)},\quad -2 < \operatorname{Re}s < 3$$

ROC เป็นแถบ $-2 < \sigma < 3$ ซึ่งครอบแกน jω จึงมีการแปลงฟูเรียร์ $X(j\omega) = \dfrac{-5}{(j\omega+2)(j\omega-3)}$ แม้จะมีโพลครึ่งขวา (เพราะส่วนที่โตขึ้นอยู่ฝั่ง $t < 0$ ซึ่งลดลงเมื่อย้อนเวลา)

ตัวอย่าง R-5 · เอกซ์โพเนนเชียลสองด้านสมมาตร

### $x(t) = e^{-b|t|},\ b > 0$

-
$$x(t) = e^{-bt}u(t) + e^{bt}u(-t) \ \to\ \frac{1}{s+b} - \frac{1}{s-b}$$

-
$$X(s) = \frac{(s - b) - (s + b)}{s^2 - b^2} = \frac{-2b}{s^2 - b^2},\quad -b < \operatorname{Re}s < b$$

โพลที่ $\pm b$ ROC เป็นแถบระหว่างโพลทั้งสอง ถ้า $b \le 0$ ส่วนขวาต้องการ $\sigma > b$ ส่วนซ้ายต้องการ $\sigma < -b$ ไม่มีส่วนร่วม จึงไม่มีการแปลงลาปลาซ

ตัวอย่าง R-6 · ช่วงจำกัด: ภาวะเอกฐานที่ถอดได้

### พัลส์สี่เหลี่ยม $x(t) = u(t) - u(t - T)$

-
$$X(s) = \int_0^T e^{-st}dt = \frac{1 - e^{-sT}}{s}$$

- ดูเหมือนมีโพลที่ $s = 0$ แต่ $\lim_{s\to 0}\dfrac{1 - e^{-sT}}{s} = T$ (โลปิตาล) จึงเป็นภาวะเอกฐานที่ถอดได้ ไม่ใช่โพล Z19

ROC คือทั้งระนาบ s ตามสมบัติ 3 R9 ซีโร่อยู่ที่ $s = j2\pi k/T,\ k \ne 0$ บนแกน jω ซึ่งคือศูนย์ของฟังก์ชัน sinc ในสเปกตรัมนั่นเอง

## ตารางคู่การแปลงสองด้านพร้อม ROC กลาง

| สัญญาณ $x(t)$ | $X(s)$ | ROC |

| $\delta(t)$ | $1$ | ทุก $s$ |

| $\delta(t - T)$ | $e^{-sT}$ | ทุก $s$ |

| $u(t)$ | $\dfrac{1}{s}$ | $\operatorname{Re}s > 0$ |

| $-u(-t)$ | $\dfrac{1}{s}$ | $\operatorname{Re}s < 0$ |

| $\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(t)$ | $\dfrac{1}{s^n}$ | $\operatorname{Re}s > 0$ |

| $-\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(-t)$ | $\dfrac{1}{s^n}$ | $\operatorname{Re}s < 0$ |

| $e^{-at}u(t)$ | $\dfrac{1}{s+a}$ | $\operatorname{Re}s > -a$ |

| $-e^{-at}u(-t)$ | $\dfrac{1}{s+a}$ | $\operatorname{Re}s < -a$ |

| $\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}u(t)$ | $\dfrac{1}{(s+a)^n}$ | $\operatorname{Re}s > -a$ |

| $-\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}u(-t)$ | $\dfrac{1}{(s+a)^n}$ | $\operatorname{Re}s < -a$ |

| $\cos(\omega_0t)\,u(t)$ | $\dfrac{s}{s^2+\omega_0^2}$ | $\operatorname{Re}s > 0$ |

| $\sin(\omega_0t)\,u(t)$ | $\dfrac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}$ | $\operatorname{Re}s > 0$ |

| $e^{-at}\cos(\omega_0t)\,u(t)$ | $\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega_0^2}$ | $\operatorname{Re}s > -a$ |

| $e^{-at}\sin(\omega_0t)\,u(t)$ | $\dfrac{\omega_0}{(s+a)^2+\omega_0^2}$ | $\operatorname{Re}s > -a$ |

| $e^{-a|t|},\ a > 0$ | $\dfrac{-2a}{s^2 - a^2}$ | $-a < \operatorname{Re}s < a$ |

| $u(t) - u(t - T)$ | $\dfrac{1 - e^{-sT}}{s}$ | ทุก $s$ |

ทุกคู่ที่มี $-(\dots)u(-t)$ คือฝาแฝดด้านซ้ายของคู่ด้านขวาบรรทัดบน: X(s) เหมือนกัน ROC อยู่คนละฝั่งของโพล

## ตำแหน่งโพลบอกรูปคลื่น พื้นฐาน

แต่ละโพล $p$ ของระบบเหตุผลให้พจน์ $e^{pt}$ ในผลตอบสนองอิมพัลส์ (คู่เชิงซ้อนรวมกันเป็น $e^{\sigma t}\cos(\omega t + \phi)$) การอ่านแผนภาพโพลจึงคือการอ่านรูปคลื่นโดยไม่ต้องแปลงกลับ

ตำแหน่งโพล (ซ้าย) กับผลตอบสนองอิมพัลส์ (ขวา) ระยะจากแกน jω (|σ|) บอกความเร็วในการลดลง ระยะจากแกนจริง (ω) บอกความถี่ของการแกว่ง โพลที่อยู่ใกล้แกน jω ที่สุดเรียกว่าโพลเด่น (dominant pole) เพราะลดลงช้าที่สุดจึงกำหนดรูปร่างหลัก

R15 Reading a pole pair อ่านคู่โพล $-\sigma \pm j\omega_d$

$$\tau = \frac{1}{\sigma},\quad \omega_n = |p| = \sqrt{\sigma^2 + \omega_d^2},\quad \zeta = \cos\theta = \frac{\sigma}{\omega_n}$$

$\theta$ คือมุมระหว่างเส้นจากจุดกำเนิดไปยังโพลกับแกนจริงลบ เส้นมุมคงที่ = ζ คงที่ (%OS คงที่) วงกลมรัศมีคงที่ = ωn คงที่

R16 What zeros do ซีโร่ทำอะไร

$$\text{เรซิดิวที่โพล } p_k = K\frac{\prod_i (p_k - z_i)}{\prod_{j\ne k}(p_k - p_j)}$$

ซีโร่ไม่สร้างพจน์ใหม่ แต่เปลี่ยน “น้ำหนัก” ของแต่ละโพล ซีโร่ใกล้โพลไหนจะลดพจน์นั้นลง ซีโร่ครึ่งขวาทำให้ผลตอบสนองขั้นบันไดวิ่งสวนทางก่อน (undershoot)

ตัวอย่าง R-7 · อ่านแผนภาพโพล

### ระบบมีโพลที่ $-2 \pm 4j$ และ $-10$ ประมาณรูปผลตอบสนองโดยไม่แปลงกลับ

- โพลเด่นคือ $-2 \pm 4j$ (ใกล้แกน jω กว่า) โพล $-10$ ลดลงเร็วกว่า 5 เท่า ($\tau = 0.1$ s เทียบกับ 0.5 s) แทบไม่มีผลหลังผ่านไปไม่กี่ร้อยมิลลิวินาที

- จาก R15: $\omega_n = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4.47$ rad/s, $\zeta = 2/4.47 \approx 0.447$

- แกว่งที่ $\omega_d = 4$ rad/s (คาบ $\approx 1.57$ s) พุ่งเกิน $\%OS = 100e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}} \approx 100e^{-\pi/2} \approx 20.8\%$ เข้าที่ใน $t_s \approx 4/\sigma = 2$ s

ประมาณได้เป็นระบบอันดับสองที่ $\zeta \approx 0.45$, $\omega_n \approx 4.5$ rad/s พุ่งเกินราว 21% เข้าที่ราว 2 วินาที ดูวิธีเลือกตำแหน่งโพลให้ได้สเปกที่ต้องการในผลตอบสนองทางเวลา

## ROC กับเสถียรภาพ ความเป็นเหตุเป็นผล และการแปลงฟูเรียร์ ขั้นสูง

R17 Causality ความเป็นเหตุเป็นผล

$$h(t) = 0,\ t < 0 \iff \text{ROC ของ } H(s) \text{ เป็นครึ่งระนาบขวา}$$

สำหรับ H(s) ตรรกยะ: ROC อยู่ขวาของโพลขวาสุด

R18 BIBO stability เสถียรภาพ

$$\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|\,dt < \infty \iff j\omega\text{-axis} \subset \text{ROC}$$

R19 Causal and stable ทั้งเหตุผลและเสถียร

$$\operatorname{Re}p_k < 0 \ \text{ทุกโพล}$$

กฎ “โพลครึ่งซ้าย = เสถียร” ในวิชาควบคุมเป็นจริงเพราะระบบจริงเป็นเหตุผลเสมอ

R20 Fourier transform การแปลงฟูเรียร์จากลาปลาซ

$$X(j\omega) = X(s)\big|_{s = j\omega}\quad \text{เมื่อ ROC ครอบแกน } j\omega$$

ตัวอย่าง R-8 · ระบบเดียว สามสมมติฐาน

### $H(s) = \dfrac{s - 1}{(s+1)(s-2)}$ จงหา ROC ถ้า (ก) ระบบเหตุผล (ข) ระบบเสถียร (ค) ทั้งสองอย่างได้ไหม

- โพล $-1$ และ $2$ ROC ที่เป็นไปได้: $\sigma < -1$, $-1 < \sigma < 2$, $\sigma > 2$

- (ก) เหตุผล → ขวาของโพลขวาสุด: $\operatorname{Re}s > 2$ (ไม่ครอบแกน jω → ไม่เสถียร)

- (ข) เสถียร → ต้องครอบ $\sigma = 0$: $-1 < \operatorname{Re}s < 2$ (สองด้าน → ไม่เหตุผล)

- (ค) ต้องเป็นครึ่งระนาบขวาและครอบแกน jω พร้อมกัน แต่โพล $s = 2$ ขวางอยู่

เป็นไปไม่ได้ที่จะทั้งเหตุผลและเสถียร เพราะมีโพลครึ่งขวา ส่วนซีโร่ที่ $s = 1$ (ครึ่งขวา) ไม่มีผลต่อเสถียรภาพ แต่ทำให้เป็นระบบ non-minimum phase

## ROC เปลี่ยนอย่างไรเมื่อใช้คุณสมบัติ ขั้นสูง

| การดำเนินการ | X(s) ใหม่ | ROC ใหม่ (R = ROC เดิม) |

| $ax_1 + bx_2$ | $aX_1 + bX_2$ | อย่างน้อย $R_1 \cap R_2$ (กว้างขึ้นได้ถ้าโพลตัดกับซีโร่) |

| $x(t - T)$ | $e^{-sT}X(s)$ | $R$ เท่าเดิม |

| $e^{s_0t}x(t)$ | $X(s - s_0)$ | $R + \operatorname{Re}s_0$ (เลื่อนทั้งแถบ) |

| $x(at)$ | $\tfrac{1}{|a|}X(s/a)$ | $aR$ (ถ้า $a < 0$ แถบกลับข้าง) |

| $x(-t)$ | $X(-s)$ | $-R$ (สะท้อนข้ามแกน jω) |

| $dx/dt$ | $sX(s)$ | อย่างน้อย $R$ |

| $\int_{-\infty}^t x\,d\tau$ | $X(s)/s$ | อย่างน้อย $R \cap \{\operatorname{Re}s > 0\}$ |

| $x_1 * x_2$ | $X_1X_2$ | อย่างน้อย $R_1 \cap R_2$ |

รายละเอียดและพิสูจน์ของทุกคุณสมบัติอยู่ในหน้า 8.3

## แล็บโพล-ซีโร่-ROC: ลากแล้วดูสัญญาณเปลี่ยน

แล็บนี้ใช้การแปลงสองด้าน เลือก ROC ได้ทุกแถบที่เป็นไปได้ แล้วดูว่าสัญญาณ $x(t)$ เปลี่ยนเป็นด้านขวา ด้านซ้าย หรือสองด้าน พร้อมป้ายบอกความเป็นเหตุเป็นผลและเสถียรภาพ ถ้า ROC ครอบแกน jω จะแสดง $|X(j\omega)|$ ให้ด้วย

ลองสิ่งเหล่านี้: (1) ลากโพลจริงข้ามแกน jω แล้วดูป้ายเสถียรภาพ (2) กด “สัญญาณสองด้าน” แล้วเลือก ROC แต่ละแถบ (3) เพิ่มคู่โพลเชิงซ้อนแล้วลากเข้าใกล้แกน jω ดูยอดของ |X(jω)| สูงขึ้นและการแกว่งช้าลงที่จะหาย (4) วางซีโร่ทับบนโพลเกือบพอดี ดูพจน์นั้นหายไปจากสัญญาณ

### ดูภูมิประเทศ |X(s)| พร้อมกัน

## อ่านต่อและแหล่งอ้างอิง

- A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems (2nd ed.), บทที่ 9 The Laplace Transform — ที่มาของสมบัติ ROC ทั้ง 8 ข้อ

- B. P. Lathi, Linear Systems and Signals, บท Continuous-Time System Analysis Using the Laplace Transform

- K. Ogata, Modern Control Engineering — การอ่านตำแหน่งโพลกับผลตอบสนองชั่วครู่

- ต่อยอด: เสถียรภาพในระบบควบคุม · รูทโลคัส: โพลวงปิดเคลื่อนที่อย่างไรเมื่อเพิ่มเกน · แล็บระบบอันดับสอง

## คำถามที่พบบ่อย

ROC ของการแปลงลาปลาซหาอย่างไรเร็วที่สุด?
ถ้า X(s) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ ให้หาโพลก่อน ROC ไม่มีโพลอยู่ข้างในและขอบเขตเป็นเส้นแนวตั้งที่ผ่านโพล สัญญาณด้านขวา (เช่นคูณ u(t)) ROC อยู่ขวาของโพลขวาสุด สัญญาณด้านซ้าย ROC อยู่ซ้ายของโพลซ้ายสุด สัญญาณสองด้าน ROC เป็นแถบระหว่างโพลสองตัว

ทำไมต้องบอก ROC ด้วย ในเมื่อ X(s) ก็รู้แล้ว?
เพราะในการแปลงสองด้าน X(s) เดียวกันมาจากสัญญาณได้หลายตัว เช่น $e^{-at}u(t)$ และ $-e^{-at}u(-t)$ มีการแปลงเท่ากันคือ $1/(s+a)$ ต่างกันเพียง ROC ซึ่งเป็น $\operatorname{Re}s > -a$ กับ $\operatorname{Re}s
ROC บอกเสถียรภาพได้อย่างไร?
ระบบเสถียรแบบ BIBO ก็ต่อเมื่อ ROC ของ H(s) ครอบแกน jω ถ้าระบบเป็นเหตุเป็นผลด้วย ROC เป็นครึ่งระนาบทางขวาของโพลขวาสุด เงื่อนไขทั้งสองรวมกันจึงเป็นกฎที่คุ้นเคย: ระบบเหตุผลเสถียรเมื่อโพลทุกตัวอยู่ครึ่งซ้ายของระนาบ s

ในวิชาวงจรใช้การแปลงด้านเดียว ต้องสนใจ ROC ไหม?
ไม่ค่อยต้อง เพราะการแปลงด้านเดียวมี ROC เป็นครึ่งระนาบขวาของโพลขวาสุดเสมอ จึงไม่กำกวม แต่ยังต้องใช้แนวคิดนี้ในการตรวจว่าใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายได้ไหม และในวิชาสัญญาณและระบบซึ่งใช้การแปลงสองด้าน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ROC ของการแปลงลาปลาซหาอย่างไรเร็วที่สุด?**
ถ้า X(s) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ ให้หาโพลก่อน ROC ไม่มีโพลอยู่ข้างในและขอบเขตเป็นเส้นแนวตั้งที่ผ่านโพล สัญญาณด้านขวา (เช่นคูณ u(t)) ROC อยู่ขวาของโพลขวาสุด สัญญาณด้านซ้าย ROC อยู่ซ้ายของโพลซ้ายสุด สัญญาณสองด้าน ROC เป็นแถบระหว่างโพลสองตัว

**ทำไมต้องบอก ROC ด้วย ในเมื่อ X(s) ก็รู้แล้ว?**
เพราะในการแปลงสองด้าน X(s) เดียวกันมาจากสัญญาณได้หลายตัว เช่น $e^{-at}u(t)$ และ $-e^{-at}u(-t)$ มีการแปลงเท่ากันคือ $1/(s+a)$ ต่างกันเพียง ROC ซึ่งเป็น $\operatorname{Re}s > -a$ กับ $\operatorname{Re}s < -a$ ถ้าไม่บอก ROC การแปลงกลับจะกำกวม

**ROC บอกเสถียรภาพได้อย่างไร?**
ระบบเสถียรแบบ BIBO ก็ต่อเมื่อ ROC ของ H(s) ครอบแกน jω ถ้าระบบเป็นเหตุเป็นผลด้วย ROC เป็นครึ่งระนาบทางขวาของโพลขวาสุด เงื่อนไขทั้งสองรวมกันจึงเป็นกฎที่คุ้นเคย: ระบบเหตุผลเสถียรเมื่อโพลทุกตัวอยู่ครึ่งซ้ายของระนาบ s

**ในวิชาวงจรใช้การแปลงด้านเดียว ต้องสนใจ ROC ไหม?**
ไม่ค่อยต้อง เพราะการแปลงด้านเดียวมี ROC เป็นครึ่งระนาบขวาของโพลขวาสุดเสมอ จึงไม่กำกวม แต่ยังต้องใช้แนวคิดนี้ในการตรวจว่าใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายได้ไหม และในวิชาสัญญาณและระบบซึ่งใช้การแปลงสองด้าน

---

# คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซครบทุกข้อ พร้อมพิสูจน์และตัวอย่าง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/properties/
Updated: 2026-10-14
Summary: รวมคุณสมบัติของการแปลงลาปลาซพร้อมชื่อภาษาอังกฤษ พิสูจน์สั้น ผลต่อ ROC และตัวอย่าง เชิงเส้น การเลื่อนทางเวลา การเลื่อนทางความถี่ การสเกลเวลา การกลับเวลา อนุพันธ์อันดับหนึ่งถึง n ปริพันธ์ คูณด้วย t หารด้วย t คอนโวลูชัน การคูณ ฟังก์ชันคาบ ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้ายพร้อมเงื่อนไข และแล็บที่พิสูจน์ทุกคุณสมบัติด้วยตัวเลข

// บทที่ 8.3 · การแปลงลาปลาซ · Properties

# คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซครบทุกข้อ พร้อมพิสูจน์และตัวอย่าง

ตารางคู่การแปลงมีไม่กี่สิบบรรทัด แต่ด้วยคุณสมบัติในหน้านี้ เราสร้างการแปลงของฟังก์ชันได้แทบไม่จำกัดโดยไม่ต้องอินทิเกรตจากนิยามอีกเลย ทุกข้อมีชื่อภาษาอังกฤษ พิสูจน์สั้น ข้อควรระวัง และตัวอย่าง ท้ายหน้ามีแล็บที่คำนวณ $g(t)$ จากนิยามในโดเมนเวลาเทียบกับ $\mathcal L^{-1}\{G(s)\}$ ให้เห็นว่าสูตรถูกจริง สูตรใช้รหัส P

สรุปใน 30 วินาที

- เวลา “เลื่อน” → คูณ $e^{-sT}$ · คูณ $e^{-at}$ → เลื่อน $s$ ไปเป็น $s + a$

- อนุพันธ์ → คูณ $s$ ลบค่าเริ่มต้น · ปริพันธ์ → หาร $s$

- คูณ $t$ → $-d/ds$ · คอนโวลูชัน → คูณกัน

- $f(0^+) = \lim_{s\to\infty}sF(s)$ · $f(\infty) = \lim_{s\to 0}sF(s)$ ใช้ได้เมื่อโพลของ $sF(s)$ อยู่ครึ่งซ้ายทั้งหมด

ระดับพื้นฐาน ปี 2กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท

## ตารางสรุปคุณสมบัติทั้งหมด

| รหัส | ชื่อ (English) | $f(t)$ | $F(s)$ |

| P1 | เชิงเส้น (Linearity) | $af(t) + bg(t)$ | $aF(s) + bG(s)$ |

| P2 | เลื่อนทางเวลา (Time shifting) | $f(t-T)u(t-T)$ | $e^{-sT}F(s)$ |

| P3 | เลื่อนทางความถี่ (Frequency / s-shifting) | $e^{-at}f(t)$ | $F(s+a)$ |

| P4 | สเกลเวลา (Time scaling) | $f(at),\ a>0$ | $\tfrac{1}{a}F(\tfrac{s}{a})$ |

| P5 | กลับเวลา (Time reversal, สองด้าน) | $f(-t)$ | $F(-s)$ |

| P6 | อนุพันธ์ (Differentiation in t) | $f'(t)$ | $sF(s) - f(0^-)$ |

| P7 | อนุพันธ์อันดับ n | $f^{(n)}(t)$ | $s^nF - s^{n-1}f(0^-) - \cdots - f^{(n-1)}(0^-)$ |

| P8 | ปริพันธ์ (Integration in t) | $\int_{0^-}^t f(\tau)d\tau$ | $\dfrac{F(s)}{s}$ |

| P9 | คูณด้วย t (Differentiation in s) | $t\,f(t)$ | $-F'(s)$ |

| P10 | คูณด้วย $t^n$ | $t^nf(t)$ | $(-1)^nF^{(n)}(s)$ |

| P11 | หารด้วย t (Integration in s) | $f(t)/t$ | $\int_s^\infty F(u)\,du$ |

| P12 | คอนโวลูชัน (Convolution) | $(f*g)(t)$ | $F(s)G(s)$ |

| P13 | การคูณ (Complex convolution) | $f(t)g(t)$ | $\tfrac{1}{2\pi j}\int F(p)G(s-p)dp$ |

| P14 | ฟังก์ชันคาบ (Periodic function) | $f(t + T) = f(t)$ | $\dfrac{\int_0^T f e^{-st}dt}{1 - e^{-sT}}$ |

| P15 | ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น (Initial value) | $f(0^+)$ | $\lim_{s\to\infty}sF(s)$ |

| P16 | ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย (Final value) | $f(\infty)$ | $\lim_{s\to 0}sF(s)$ |

| P17 | สังยุค (Conjugation) | $\overline{f(t)}$ | $\overline{F(\bar s)}$ |

## เชิงเส้น (Linearity) พื้นฐาน

P1 Linearity เชิงเส้น

$$\mathcal L\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s),\qquad \text{ROC} \supseteq R_f \cap R_g$$

พิสูจน์: อินทิกรัลเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น · ทำให้ใช้ตารางกับผลรวมทีละพจน์ได้ และเป็นฐานของการแยกเศษส่วนย่อย

ตัวอย่าง P-1

### $\mathcal L\{3 - 2e^{-4t} + 5\cos 2t\}$

-
$$= \frac{3}{s} - \frac{2}{s+4} + \frac{5s}{s^2+4},\quad \operatorname{Re}s > 0$$

ROC คือส่วนร่วม $\sigma > 0$ ∩ $\sigma > -4$ ∩ $\sigma > 0$ = $\sigma > 0$

## การเลื่อนทางเวลา (Time Shifting / Second Shifting Theorem) พื้นฐาน

P2 Time shifting เลื่อนทางเวลา (หน่วงเวลา)

$$\mathcal L\{f(t - T)\,u(t - T)\} = e^{-sT}F(s),\quad T \ge 0$$

พิสูจน์: แทน $\tau = t - T$ ใน $\int_T^\infty f(t-T)e^{-st}dt = e^{-sT}\int_0^\infty f(\tau)e^{-s\tau}d\tau$ · ROC เท่าเดิม · ต้องอยู่ในรูป “ฟังก์ชันของ $(t - T)$ คูณ $u(t - T)$” เท่านั้น

ตัวอย่าง P-2 · กับดักที่เจอบ่อยที่สุด

### $\mathcal L\{t\,u(t-2)\}$

- $t$ ยังไม่อยู่ในรูปของ $(t-2)$ จัดรูปก่อน: $t = (t - 2) + 2$

$$t\,u(t-2) = (t-2)u(t-2) + 2u(t-2)$$

- ใช้ P2 กับ $f(t) = t$ และ $f(t) = 2$

$$\mathcal L = e^{-2s}\left(\frac{1}{s^2} + \frac{2}{s}\right) = \frac{e^{-2s}(1 + 2s)}{s^2}$$

$\dfrac{(1+2s)e^{-2s}}{s^2}$ · ถ้าตอบ $e^{-2s}/s^2$ แปลว่าแปลง $(t-2)u(t-2)$ ไม่ใช่ $t\,u(t-2)$

ตัวอย่าง P-3 · พัลส์และสัญญาณเป็นช่วง

### $f(t) = 5$ เมื่อ $1 \le t < 3$ และเป็น 0 นอกช่วงนี้

-
$$f(t) = 5\left[u(t-1) - u(t-3)\right]$$

-
$$F(s) = \frac{5\left(e^{-s} - e^{-3s}\right)}{s}$$

$F(s) = \dfrac{5(e^{-s} - e^{-3s})}{s}$ แปลงกลับในเครื่องคิดเลขได้

## การเลื่อนทางความถี่ (Frequency Shifting / First Shifting Theorem) พื้นฐาน

P3 s-shifting เลื่อนทางความถี่

$$\mathcal L\{e^{-at}f(t)\} = F(s + a),\qquad \text{ROC เลื่อนไป } -\operatorname{Re}a$$

พิสูจน์: $\int e^{-at}f(t)e^{-st}dt = \int f(t)e^{-(s+a)t}dt$ · ในระนาบ s ทุกโพลและซีโร่เลื่อนไปทางซ้าย $a$ หน่วย: คูณการหน่วงในเวลา = ย้ายโพลไปซ้าย

ตัวอย่าง P-4

### $\mathcal L\{t^2e^{-3t}\}$ และ $\mathcal L\{e^{-2t}\sin 5t\}$

- $\mathcal L\{t^2\} = 2/s^3$ แล้วแทน $s \to s + 3$

$$\mathcal L\{t^2e^{-3t}\} = \frac{2}{(s+3)^3}$$

- $\mathcal L\{\sin 5t\} = 5/(s^2+25)$ แล้วแทน $s \to s + 2$

$$\mathcal L\{e^{-2t}\sin 5t\} = \frac{5}{(s+2)^2 + 25} = \frac{5}{s^2 + 4s + 29}$$

ในทางกลับกัน เมื่อเห็นตัวส่วน $s^2 + 4s + 29$ ให้ เติมกำลังสองสมบูรณ์ เป็น $(s+2)^2 + 5^2$ แล้วอ่านกลับได้ทันที ซึ่งเป็นเทคนิคหลักของโพลเชิงซ้อนในหน้า 8.5

## สเกลเวลาและการกลับเวลา กลาง

P4 Time scaling สเกลเวลา

$$\mathcal L\{f(at)\} = \frac{1}{a}F\!\left(\frac{s}{a}\right),\quad a > 0$$

บีบเวลาให้เร็วขึ้น $a$ เท่า = โพลทุกตัวคูณ $a$ (ไกลจุดกำเนิดขึ้น)

P5 Time reversal กลับเวลา (การแปลงสองด้าน)

$$\mathcal L\{f(-t)\} = F(-s),\quad \text{ROC} \to -\text{ROC}$$

ใช้ไม่ได้กับการแปลงด้านเดียว เพราะ $f(-t)$ อยู่ในเวลาติดลบ

ตัวอย่าง P-5

### จาก $\mathcal L\{\sin t\} = \dfrac{1}{s^2+1}$ หา $\mathcal L\{\sin 3t\}$ ด้วย P4

-
$$\mathcal L\{\sin 3t\} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(s/3)^2 + 1} = \frac{1}{3}\cdot\frac{9}{s^2 + 9} = \frac{3}{s^2+9}$$

ตรงกับตาราง $\omega/(s^2+\omega^2)$ ที่ $\omega = 3$ ✓

## การหาอนุพันธ์ในโดเมนเวลา (Differentiation) พื้นฐาน

นี่คือคุณสมบัติที่ทำให้ลาปลาซมีค่าที่สุด: แคลคูลัสกลายเป็นพีชคณิต และเงื่อนไขเริ่มต้นเข้ามาเองในสมการ

P6 Differentiation in t อนุพันธ์อันดับหนึ่ง

$$\mathcal L\{f'(t)\} = sF(s) - f(0^-)$$

พิสูจน์ด้วยอินทิเกรตทีละส่วน ($u = e^{-st},\ dv = f'dt$): $\int_{0^-}^\infty f'e^{-st}dt = \left[fe^{-st}\right]_{0^-}^\infty + s\int_{0^-}^\infty fe^{-st}dt = -f(0^-) + sF(s)$ (ขอบบนเป็นศูนย์ใน ROC) ทบทวนการอินทิเกรตทีละส่วน

P7 Higher derivatives อนุพันธ์อันดับสองและอันดับ n

$$\mathcal L\{f''\} = s^2F(s) - sf(0^-) - f'(0^-),\qquad \mathcal L\{f^{(n)}\} = s^nF(s) - \sum_{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^-)$$

ตัวอย่าง P-6 · ได้ cos มาฟรีจาก sin

### ใช้ P6 หา $\mathcal L\{\cos\omega t\}$ จาก $\mathcal L\{\sin\omega t\} = \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$

- $f = \sin\omega t,\ f' = \omega\cos\omega t,\ f(0) = 0$

$$\mathcal L\{\omega\cos\omega t\} = s\cdot\frac{\omega}{s^2+\omega^2} - 0$$

$\mathcal L\{\cos\omega t\} = \dfrac{s}{s^2+\omega^2}$

ตัวอย่าง P-7 · แบบจำลองวงจรในโดเมน s

### เขียนความสัมพันธ์ของตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุในโดเมน s รวมค่าเริ่มต้น

- ตัวเหนี่ยวนำ $v = L\,di/dt$:

$$V(s) = sL\,I(s) - L\,i(0^-)$$
อิมพีแดนซ์ $sL$ อนุกรมกับแหล่งแรงดัน $L\,i(0^-)$ (ขั้วต้านกระแสเดิม)

- ตัวเก็บประจุ $i = C\,dv/dt$:

$$I(s) = sC\,V(s) - C\,v(0^-)\ \Rightarrow\ V(s) = \frac{1}{sC}I(s) + \frac{v(0^-)}{s}$$
อิมพีแดนซ์ $1/(sC)$ อนุกรมกับแหล่งแรงดัน $v(0^-)/s$

วงจรที่มีค่าเริ่มต้นจึงวิเคราะห์ด้วย KVL/KCL แบบพีชคณิตได้ทันทีในโดเมน s ใช้ต่อในหน้าแก้สมการเชิงอนุพันธ์

## การหาปริพันธ์ในโดเมนเวลา (Integration) พื้นฐาน

P8 Integration in t ปริพันธ์

$$\mathcal L\left\{\int_{0^-}^{t}f(\tau)\,d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s}$$

พิสูจน์: ให้ $g = \int_0^t f$ แล้ว $g' = f,\ g(0) = 0$ ใช้ P6: $F = sG - 0$ · ตรงข้ามกับอนุพันธ์: หารด้วย $s$ = เพิ่มโพลที่จุดกำเนิด

ตัวอย่าง P-8

### $\mathcal L^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s^2+1)}\right\}$ โดยไม่ใช้เศษส่วนย่อย

- มองเป็น $\dfrac{1}{s}\cdot\dfrac{1}{s^2+1}$ โดย $\mathcal L^{-1}\{1/(s^2+1)\} = \sin t$ ใช้ P8

$$\mathcal L^{-1} = \int_0^t \sin\tau\,d\tau = 1 - \cos t$$

$1 - \cos t,\ t \ge 0$

## คูณด้วย t และหารด้วย t (อนุพันธ์และปริพันธ์ในโดเมน s) กลาง

P9 Multiplication by t คูณด้วย t

$$\mathcal L\{t\,f(t)\} = -\frac{dF(s)}{ds}$$

พิสูจน์: $\frac{d}{ds}\int fe^{-st}dt = \int f\,(-t)e^{-st}dt$ · เป็นที่มาของพจน์ $t\,e^{pt}$ จากโพลซ้ำ

P10 Multiplication by tⁿ คูณด้วย tⁿ

$$\mathcal L\{t^nf(t)\} = (-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$$

P11 Division by t หารด้วย t

$$\mathcal L\left\{\frac{f(t)}{t}\right\} = \int_s^\infty F(u)\,du,\quad \text{ถ้า } \lim_{t\to 0^+}f(t)/t \text{ มีค่า}$$

ตัวอย่าง P-9 · เรโซแนนซ์

### $\mathcal L\{t\sin\omega t\}$

-
$$-\frac{d}{ds}\frac{\omega}{s^2+\omega^2} = -\omega\cdot\frac{-2s}{(s^2+\omega^2)^2} = \frac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}$$

$\dfrac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}$ โพลซ้ำบนแกน jω ให้แอมพลิจูดโตเชิงเส้นตามเวลา คือเรโซแนนซ์เมื่อป้อนความถี่ตรงกับความถี่ธรรมชาติ

ตัวอย่าง P-10 · อินทิกรัลดิริชเลต์ด้วยลาปลาซ

### หา $\mathcal L\left\{\dfrac{\sin t}{t}\right\}$ แล้วสรุปค่า $\int_0^\infty\dfrac{\sin t}{t}dt$

-
$$\mathcal L\left\{\frac{\sin t}{t}\right\} = \int_s^\infty\frac{du}{u^2+1} = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}s = \tan^{-1}\frac{1}{s}$$

- อินทิกรัลที่ต้องการคือค่าของการแปลงที่ $s \to 0^+$

$$\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}dt = \lim_{s\to0^+}\tan^{-1}\frac1s = \frac{\pi}{2}$$

$\pi/2$ — อินทิกรัลที่หาด้วยวิธีปกติไม่ได้ แต่ลาปลาซหาได้ในสองบรรทัด

## คอนโวลูชันและการคูณ (Convolution Theorem) กลาง

P12 Convolution คอนโวลูชัน → คูณ

$$\mathcal L\{(f*g)(t)\} = F(s)\,G(s),\qquad (f*g)(t) = \int_0^t f(\tau)\,g(t - \tau)\,d\tau$$

เอาต์พุตของระบบ LTI $y = h * x$ จึงหาได้จาก $Y(s) = H(s)X(s)$ เป็นเหตุผลที่ฟังก์ชันถ่ายโอนนิยามเป็นอัตราส่วน

P13 Multiplication การคูณในเวลา (คอนโวลูชันเชิงซ้อน)

$$\mathcal L\{f(t)g(t)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}F(p)\,G(s - p)\,dp$$

ใช้น้อยในงานวงจร พบในการมอดูเลชันและการวิเคราะห์สัญญาณสุ่ม

ตัวอย่าง P-11 · แปลงกลับด้วยคอนโวลูชัน

### $\mathcal L^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s^2+1)^2}\right\}$

- เป็นผลคูณ $\dfrac{1}{s^2+1}\cdot\dfrac{1}{s^2+1}$ ซึ่งแต่ละตัวคือ $\sin t$

$$f(t) = \int_0^t\sin\tau\,\sin(t - \tau)\,d\tau$$

- ใช้ผลคูณเป็นผลบวก $\sin A\sin B = \tfrac12[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$

$$= \frac12\int_0^t\left[\cos(2\tau - t) - \cos t\right]d\tau = \frac12\left[\frac{\sin(2\tau - t)}{2}\right]_0^t - \frac{t\cos t}{2} = \frac{\sin t}{2} - \frac{t\cos t}{2}$$

$f(t) = \tfrac12(\sin t - t\cos t)$ ตรงกับตารางแถว 20 บนหน้าภาพรวม

## ฟังก์ชันคาบ (Periodic Functions) กลาง

P14 Periodic function ฟังก์ชันคาบ $T$

$$\mathcal L\{f(t)\} = \frac{F_1(s)}{1 - e^{-sT}},\qquad F_1(s) = \int_0^T f(t)\,e^{-st}\,dt$$

พิสูจน์: $f = f_1(t) + f_1(t-T)u(t-T) + f_1(t-2T)u(t-2T) + \cdots$ ใช้ P2 ได้อนุกรมเรขาคณิต $F_1(1 + e^{-sT} + e^{-2sT} + \cdots)$ · ตัวส่วนมีรากที่ $s = j2\pi k/T$ คือฮาร์มอนิกของอนุกรมฟูเรียร์

ตัวอย่าง P-12 · คลื่นสี่เหลี่ยม PWM 50%

### $f = 1$ เมื่อ $0 < t < a$, $f = 0$ เมื่อ $a < t < 2a$ และซ้ำทุก $T = 2a$

-
$$F_1(s) = \int_0^a e^{-st}dt = \frac{1 - e^{-as}}{s}$$

-
$$F(s) = \frac{1 - e^{-as}}{s\left(1 - e^{-2as}\right)} = \frac{1 - e^{-as}}{s(1 - e^{-as})(1 + e^{-as})} = \frac{1}{s\left(1 + e^{-as}\right)}$$

$F(s) = \dfrac{1}{s(1 + e^{-as})}$ ใช้กับวงจรที่ป้อนด้วย PWM เช่นบั๊กคอนเวอร์เตอร์

ตัวอย่าง P-13 · เรกติไฟเออร์เต็มคลื่น

### $f(t) = |\sin t|$ คาบ $T = \pi$

- $F_1(s) = \int_0^\pi\sin t\,e^{-st}dt = \dfrac{1 + e^{-\pi s}}{s^2 + 1}$ (อินทิเกรตทีละส่วนสองครั้ง)

-
$$F(s) = \frac{1 + e^{-\pi s}}{(s^2+1)(1 - e^{-\pi s})} = \frac{1}{s^2+1}\coth\frac{\pi s}{2}$$

$\dfrac{\coth(\pi s/2)}{s^2+1}$ ฮาร์มอนิกของแรงดันเรกติไฟเออร์ดูต่อได้ในอนุกรมฟูเรียร์ของเรกติไฟเออร์

## ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้าย กลาง

สองทฤษฎีบทนี้หาค่า $f(0^+)$ และ $f(\infty)$ โดยไม่ต้องแปลงกลับ ใช้ตรวจคำตอบและหาความผิดพลาดอยู่ตัวในระบบควบคุม แต่ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายมีเงื่อนไขที่ต้องตรวจทุกครั้ง

P15 Initial value theorem ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น

$$f(0^+) = \lim_{s\to\infty}sF(s)$$

ใช้ได้เมื่อ $F(s)$ เป็นตรรกยะแท้อย่างเข้ม (ไม่มีอิมพัลส์ที่ t = 0) · หา $f'(0^+)$ ได้จาก $\lim_{s\to\infty}s[sF(s) - f(0^+)]$

P16 Final value theorem ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย

$$f(\infty) = \lim_{s\to 0}sF(s)$$

ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทุกตัวของ $sF(s)$ อยู่ครึ่งซ้าย (F มีโพลเดี่ยวที่ 0 ได้) ถ้ามีโพลบนแกน jω (นอกจาก 0) หรือครึ่งขวา $f(\infty)$ ไม่มี

P17 Conjugation สังยุค

$$\mathcal L\{\overline{f(t)}\} = \overline{F(\bar s)}$$

ผลที่ตามมา: $f$ จริง ⇒ $F(\bar s) = \overline{F(s)}$ โพลและเรซิดิวจึงมาเป็นคู่สังยุค

ตัวอย่าง P-14 · ใช้ได้

### $F(s) = \dfrac{s+2}{s(s+1)(s+4)}$ หา $f(0^+)$ และ $f(\infty)$

-
$$f(0^+) = \lim_{s\to\infty}\frac{s+2}{(s+1)(s+4)} = 0$$

- โพลของ $sF(s) = \dfrac{s+2}{(s+1)(s+4)}$ คือ −1, −4 อยู่ครึ่งซ้ายทั้งหมด ✓ ใช้ทฤษฎีบทได้

$$f(\infty) = \lim_{s\to 0}\frac{s+2}{(s+1)(s+4)} = \frac{2}{4} = \frac12$$

$f(0^+) = 0,\ f(\infty) = \tfrac12$ ตรงกับ $f(t) = \tfrac12 - \tfrac13e^{-t} - \tfrac16e^{-4t}$ ซึ่งที่ $t = 0$ ได้ $\tfrac12 - \tfrac13 - \tfrac16 = 0$ ✓

ตัวอย่าง P-15 · ใช้ไม่ได้ (กับดัก)

### ลองใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายกับ $F_1 = \dfrac{1}{s^2+4}$ และ $F_2 = \dfrac{1}{s-1}$

- $\lim_{s\to 0}sF_1 = 0$ แต่ $f_1 = \tfrac12\sin 2t$ แกว่งตลอด ไม่มีค่าสุดท้าย (โพล $\pm 2j$ บนแกน jω ✗)

- $\lim_{s\to 0}sF_2 = 0$ แต่ $f_2 = e^{t} \to \infty$ (โพล +1 ครึ่งขวา ✗)

สูตรให้ “0” ทั้งสองกรณีโดยไม่เตือนเลย ตรวจตำแหน่งโพลก่อนใช้ทุกครั้ง

## แล็บพิสูจน์คุณสมบัติด้วยตัวเลข

เลือกสัญญาณตั้งต้นและคุณสมบัติ แล็บจะคำนวณ $g(t)$ สองทาง: เส้นสีส้มคำนวณจากนิยามในโดเมนเวลา (เลื่อน คูณ อินทิเกรตเชิงตัวเลข หรือคอนโวลูชันเชิงตัวเลข) ส่วนจุดสีน้ำเงินมาจากการแปลงกลับ $G(s)$ ที่ได้จากสูตรคุณสมบัติด้วยเศษส่วนย่อย ถ้าสูตรถูก จุดต้องอยู่บนเส้นทุกจุด สังเกต G(s) ที่เปลี่ยนไปด้วย

## อ่านต่อและแหล่งอ้างอิง

- K. Ogata, Modern Control Engineering, บท Laplace transform: ทฤษฎีบทการเลื่อน อนุพันธ์ ปริพันธ์ ค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้าย

- E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, บท Laplace Transforms (first/second shifting theorems, periodic functions, convolution)

- Oppenheim & Willsky, Signals and Systems, ตาราง 9.1 คุณสมบัติพร้อม ROC

- ใช้คุณสมบัติจริง: แก้สมการเชิงอนุพันธ์ · แปลงกลับ · ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายกับความผิดพลาดอยู่ตัว

## คำถามที่พบบ่อย

ℒ{t·u(t−2)} ใช้การเลื่อนเวลาได้เลยไหม?
ไม่ได้ทันที เพราะสมบัติการเลื่อนเวลาต้องการรูป $f(t-T)u(t-T)$ ต้องเขียน $t = (t-2) + 2$ ก่อน ได้ $\mathcal L\{t\,u(t-2)\} = e^{-2s}\left(\frac{1}{s^2} + \frac{2}{s}\right)$

ใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายได้เมื่อไร?
เมื่อ $sF(s)$ มีโพลทุกตัวอยู่ครึ่งซ้ายของระนาบ s เท่านั้น (อนุญาตให้ $F(s)$ มีโพลเดี่ยวที่ $s = 0$ ได้) ถ้ามีโพลบนแกน jω อื่นหรือครึ่งขวา $f(t)$ ไม่มีค่าสุดท้าย และสูตรจะให้คำตอบที่ผิดโดยไม่เตือน

ทำไมสมบัติอนุพันธ์ใช้ f(0⁻) ไม่ใช่ f(0⁺)?
เพราะนิยามด้วยขอบล่าง $0^-$ รวมอิมพัลส์ที่ $t = 0$ ไว้ด้วย และ $f(0^-)$ คือสภาวะก่อนสวิตช์ทำงาน ซึ่งเป็นค่าที่วิศวกรรู้จริง (เช่นแรงดันตัวเก็บประจุก่อนปิดสวิตช์) ถ้าสัญญาณต่อเนื่องที่ t = 0 สองค่านี้เท่ากัน

คอนโวลูชันในโดเมนเวลาเป็นการคูณในโดเมน s ใช้ทำอะไร?
ใช้หาเอาต์พุตของระบบ $Y(s) = H(s)X(s)$ โดยไม่ต้องอินทิเกรตคอนโวลูชัน และใช้แปลงกลับผลคูณของสองฟังก์ชันที่รู้ตัวผกผันแต่ละตัว เช่น $\mathcal L^{-1}\{1/(s^2+1)^2\} = \sin t * \sin t$

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ℒ{t·u(t−2)} ใช้การเลื่อนเวลาได้เลยไหม?**
ไม่ได้ทันที เพราะสมบัติการเลื่อนเวลาต้องการรูป $f(t-T)u(t-T)$ ต้องเขียน $t = (t-2) + 2$ ก่อน ได้ $\mathcal L\{t\,u(t-2)\} = e^{-2s}\left(\frac{1}{s^2} + \frac{2}{s}\right)$

**ใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายได้เมื่อไร?**
เมื่อ $sF(s)$ มีโพลทุกตัวอยู่ครึ่งซ้ายของระนาบ s เท่านั้น (อนุญาตให้ $F(s)$ มีโพลเดี่ยวที่ $s = 0$ ได้) ถ้ามีโพลบนแกน jω อื่นหรือครึ่งขวา $f(t)$ ไม่มีค่าสุดท้าย และสูตรจะให้คำตอบที่ผิดโดยไม่เตือน

**ทำไมสมบัติอนุพันธ์ใช้ f(0⁻) ไม่ใช่ f(0⁺)?**
เพราะนิยามด้วยขอบล่าง $0^-$ รวมอิมพัลส์ที่ $t = 0$ ไว้ด้วย และ $f(0^-)$ คือสภาวะก่อนสวิตช์ทำงาน ซึ่งเป็นค่าที่วิศวกรรู้จริง (เช่นแรงดันตัวเก็บประจุก่อนปิดสวิตช์) ถ้าสัญญาณต่อเนื่องที่ t = 0 สองค่านี้เท่ากัน

**คอนโวลูชันในโดเมนเวลาเป็นการคูณในโดเมน s ใช้ทำอะไร?**
ใช้หาเอาต์พุตของระบบ $Y(s) = H(s)X(s)$ โดยไม่ต้องอินทิเกรตคอนโวลูชัน และใช้แปลงกลับผลคูณของสองฟังก์ชันที่รู้ตัวผกผันแต่ละตัว เช่น $\mathcal L^{-1}\{1/(s^2+1)^2\} = \sin t * \sin t$

---

# ลิมิตและความต่อเนื่อง (Limits &amp; Continuity)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/limits/
Updated: 2026-10-17
Summary: ลิมิตภาษาไทยครบในหน้าเดียว ความหมายจากกราฟและตาราง นิยาม ε–δ แบบลากได้ ลิมิตซ้าย-ขวา สมบัติของลิมิต เทคนิครูปแบบ 0/0 แยกตัวประกอบ คอนจูเกต ลิมิตตรีโกณ sin x/x ทฤษฎีบทแซนด์วิช ลิมิตที่อนันต์และเส้นกำกับ ค่า e ความต่อเนื่อง ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง และกฎของโลปิตาลทุกรูปแบบ พร้อมตัวอย่างงานไฟฟ้า

// บทที่ 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรม · Limits & Continuity

# ลิมิตและความต่อเนื่อง (Limits & Continuity)

ลิมิตคือเครื่องมือที่ให้เราพูดถึง “ค่าที่เข้าใกล้” ได้อย่างแม่นยำ แม้ฟังก์ชันจะไม่นิยามที่จุดนั้น อนุพันธ์ อินทิกรัล อนุกรม และทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น-ค่าสุดท้ายของลาปลาซ ล้วนนิยามด้วยลิมิต หน้านี้เริ่มจากสัญชาตญาณ ไปสู่นิยาม ε–δ ที่ลากดูได้ เทคนิคหาลิมิตทุกแบบที่ออกสอบ และจบที่กฎของโลปิตาล

สรุปใน 30 วินาที

- $\lim_{x\to a}f(x) = L$: ทำให้ $f(x)$ ใกล้ $L$ เท่าไรก็ได้ ด้วยการเอา $x$ ไปใกล้ $a$ มากพอ

- ลิมิตมี ⇔ ลิมิตซ้าย = ลิมิตขวา · แทนค่าได้เลยถ้าฟังก์ชันต่อเนื่อง

- 0/0: แยกตัวประกอบ · คอนจูเกต · $\sin x/x \to 1$ · โลปิตาล

- ต่อเนื่อง ⇔ $f(a)$ มีค่า + ลิมิตมี + สองค่าเท่ากัน

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์

## ลิมิตคืออะไร: ดูจากตารางและกราฟ พื้นฐาน

ลองถามว่า $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ มีค่าเท่าไรที่ $x = 2$ แทนตรง ๆ ได้ $0/0$ ซึ่งไม่มีความหมาย แต่ถ้าแทน $x = 1.9,\ 1.99,\ 1.999$ จะได้ $3.9,\ 3.99,\ 3.999$ และจากอีกด้าน $2.1,\ 2.01$ ได้ $4.1,\ 4.01$ ค่าเข้าใกล้ 4 อย่างชัดเจน กราฟเป็นเส้นตรง $y = x + 2$ ที่มี “รูโหว่” ที่ $(2, 4)$

ซ้าย: $f(x) = (x^2-4)/(x-2)$ มีรูที่ x = 2 แต่ลิมิตเท่ากับ 4 · กลาง: ลิมิตซ้าย ≠ ลิมิตขวา (กระโดด) · ขวา: ลิมิตเป็นอนันต์ (เส้นกำกับแนวตั้ง)

L1 Limit (informal) ลิมิต

$$\lim_{x\to a}f(x) = L$$

อ่านว่า “ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a เท่ากับ L” · ไม่สนค่า $f(a)$ สนเฉพาะค่ารอบ ๆ a

## นิยาม ε–δ (แบบลากดูได้) กลาง

คำว่า “ใกล้” ต้องวัดเป็นตัวเลขได้ นิยามของโคชีบอกว่า: ใครก็ตามท้าเรามาด้วยความคลาดเคลื่อน $\varepsilon$ ของเอาต์พุต เราต้องหาความคลาดเคลื่อน $\delta$ ของอินพุตที่รับประกันได้เสมอ

L2 ε–δ definition นิยามเชิงรูปนัย

$$\lim_{x\to a}f(x) = L \iff \forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0:\ 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$$

ในแล็บ แถบสีน้ำเงินคือ $L \pm \varepsilon$ แถบสีเขียวคือ $\delta$ ที่ใหญ่ที่สุดที่ยังทำให้กราฟอยู่ในแถบน้ำเงินทั้งหมด ลองลด ε แล้วดู δ เล็กลงตาม ซูมเข้าเพื่อดูว่ารูโหว่ไม่เคยหายไป และลองตัวอย่าง “ซ้าย ≠ ขวา” กับ “แกว่ง” เพื่อดูกรณีที่หา δ ไม่ได้

ตัวอย่าง L-1 · พิสูจน์ด้วย ε–δ

### พิสูจน์ว่า $\lim_{x\to 3}(2x - 1) = 5$

- ร่าง: ต้องการ $|(2x - 1) - 5| = 2|x - 3| < \varepsilon$ ซึ่งเป็นจริงเมื่อ $|x - 3| < \varepsilon/2$

- พิสูจน์: ให้ $\varepsilon > 0$ ใด ๆ เลือก $\delta = \varepsilon/2$ ถ้า $0 < |x - 3| < \delta$ แล้ว $|f(x) - 5| = 2|x - 3| < 2\delta = \varepsilon$ ∎

$\delta = \varepsilon/2$: ฟังก์ชันชันเท่ากับ 2 จึงต้องคุมอินพุตแคบกว่าเอาต์พุตครึ่งหนึ่ง ความชันคือสิ่งที่อนุพันธ์จะวัด

## ลิมิตทางเดียว: ซ้ายและขวา พื้นฐาน

L3 One-sided limits ลิมิตซ้าย ขวา

$$\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x)$$

L4 Existence ลิมิตสองด้านมีค่า

$$\lim_{x\to a}f(x) = L \iff \lim_{x\to a^-}f = \lim_{x\to a^+}f = L$$

ตัวอย่าง L-2

### (ก) $\lim_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}$ (ข) $f(x) = x + 1$ เมื่อ $x < 3$ และ $7 - x$ เมื่อ $x \ge 3$ หา $\lim_{x\to3}f(x)$

- (ก) $x < 0$: $|x|/x = -1$ · $x > 0$: $= 1$ ลิมิตซ้าย −1 ≠ ลิมิตขวา 1

- (ข) ซ้าย: $3 + 1 = 4$ · ขวา: $7 - 3 = 4$ เท่ากัน

(ก) ไม่มีลิมิต (กระโดด) · (ข) $\lim = 4$ และ $f(3) = 4$ จึงต่อเนื่องที่ x = 3 ด้วย

## สมบัติของลิมิต พื้นฐาน

L5 Limit laws ถ้า $\lim f = A,\ \lim g = B$

$$\lim(f \pm g) = A \pm B,\quad \lim(fg) = AB,\quad \lim\frac fg = \frac AB\ (B \ne 0),\quad \lim f^n = A^n,\quad \lim\sqrt[n]{f} = \sqrt[n]{A}$$

L6 Direct substitution แทนค่าได้ทันที

$$\lim_{x\to a}f(x) = f(a) \quad\text{ถ้า } f \text{ ต่อเนื่องที่ } a$$

พหุนาม ตรรกยะ (ส่วนไม่เป็นศูนย์) ราก ตรีโกณ เอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม ต่อเนื่องบนโดเมนทั้งหมด

L7 Squeeze theorem ทฤษฎีบทแซนด์วิช

$$g \le f \le h,\ \lim g = \lim h = L \Rightarrow \lim f = L$$

ตัวอย่าง L-3 · แซนด์วิช

### $\lim_{x\to 0}x^2\sin\dfrac{1}{x}$

- $\sin(1/x)$ แกว่งไม่มีลิมิต ใช้กฎผลคูณไม่ได้ แต่ $-1 \le \sin(1/x) \le 1$

$$-x^2 \le x^2\sin\frac1x \le x^2$$

- ทั้ง $-x^2$ และ $x^2$ เข้าหา 0 L7

$\lim = 0$

## รูปแบบ 0/0: แยกตัวประกอบ คอนจูเกต และจัดรูป พื้นฐาน

ถ้าแทนค่าแล้วได้ $0/0$ แปลว่าเศษกับส่วนมีตัวประกอบ $(x - a)$ ร่วมกันซ่อนอยู่ งานของเราคือดึงมันออกมาตัดทิ้ง

ตัวอย่าง L-4 · แยกตัวประกอบ

### $\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ และ $\lim_{x\to 1}\dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$

-
$$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \to 4$$

-
$$\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} \to \frac{3}{2}$$

$4$ และ $\tfrac32$ · ตัดได้เพราะขณะ “เข้าใกล้” $x \ne a$

ตัวอย่าง L-5 · คูณคอนจูเกต

### $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$

-
$$\frac{\sqrt{x+4} - 2}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+4} + 2}{\sqrt{x+4} + 2} = \frac{(x + 4) - 4}{x(\sqrt{x+4} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x+4} + 2}$$

-
$$\to \frac{1}{2 + 2} = \frac14$$

$\tfrac14$ ซึ่งคือความชันของ $\sqrt{x}$ ที่ $x = 4$ (ผลหารผลต่างของอนุพันธ์)

## ลิมิตตรีโกณมิติและค่า e กลาง

L8 Fundamental trig limit ลิมิตพื้นฐาน

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x} = 0,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac12$$

พิสูจน์ด้วยแซนด์วิช: $\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1$ จากพื้นที่สามเหลี่ยมกับเซกเตอร์ในวงกลมหนึ่งหน่วย · x ต้องเป็นเรเดียน · ฟังก์ชัน $\operatorname{sinc}$ ในสัญญาณมาจากลิมิตนี้

L9 The number e ค่า e

$$e = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac1n\right)^n = \lim_{x\to 0}(1 + x)^{1/x} \approx 2.71828$$

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x - 1}{x} = 1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$$

ตัวอย่าง L-6

### (ก) $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 3x}{x}$ (ข) $\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}$ (ค) $\lim_{x\to\infty}\left(1 + \dfrac2x\right)^x$

- (ก) คูณและหารด้วย 3: $3\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3\cdot 1 = 3$

- (ข) $\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x} \to 1\cdot 1 = 1$

- (ค) ให้ $n = x/2$: $\left(1 + \dfrac1n\right)^{2n} = \left[\left(1 + \dfrac1n\right)^n\right]^2 \to e^2$

$3,\ 1,\ e^2$

## ลิมิตที่อนันต์ ลิมิตอนันต์ และเส้นกำกับ พื้นฐาน

L10 Rational functions at ∞ ฟังก์ชันตรรกยะเมื่อ x → ∞

$$\lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n + \cdots}{b_mx^m + \cdots} = \begin{cases} 0, & n < m \\ a_n/b_m, & n = m \\ \pm\infty, & n > m \end{cases}$$

วิธีทำ: หารทั้งเศษและส่วนด้วยกำลังสูงสุดของตัวส่วน ค่าที่ได้คือเส้นกำกับแนวนอน

L11 Vertical asymptote เส้นกำกับแนวตั้ง

$$\lim_{x\to a^\pm}f(x) = \pm\infty \Rightarrow x = a \text{ เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง}$$

L12 Oblique asymptote เส้นกำกับเฉียง

$$f(x) = mx + b + r(x),\ r(x)\to 0 \Rightarrow y = mx + b$$

เกิดเมื่อดีกรีเศษมากกว่าส่วนหนึ่งพอดี หาด้วยการหารยาว

ตัวอย่าง L-7 · เส้นกำกับทั้งสามแบบ

### (ก) $\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 1}$ (ข) เส้นกำกับของ $\dfrac{x+1}{x-2}$ (ค) เส้นกำกับของ $\dfrac{x^2+1}{x-1}$

- (ก) หารด้วย $x^2$: $\dfrac{3 + 2/x}{5 - 1/x^2} \to \dfrac35$

- (ข) แนวตั้ง $x = 2$ (ส่วนเป็นศูนย์ เศษไม่เป็นศูนย์) · แนวนอน $y = 1$ (ดีกรีเท่ากัน 1/1)

- (ค) หารยาว $\dfrac{x^2+1}{x-1} = x + 1 + \dfrac{2}{x-1}$ → แนวเฉียง $y = x + 1$ และแนวตั้ง $x = 1$

$\tfrac35$ · $x = 2,\ y = 1$ · $y = x + 1,\ x = 1$

## ความต่อเนื่องและทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง กลาง

L13 Continuity at a point ต่อเนื่องที่ x = a

$$\text{(1) } f(a) \text{ มีค่า}\quad \text{(2) } \lim_{x\to a}f(x) \text{ มีค่า}\quad \text{(3) } \lim_{x\to a}f(x) = f(a)$$

ผิดข้อใดข้อหนึ่ง = ไม่ต่อเนื่อง: ถอดได้ (รู · แก้ได้ด้วยการนิยามค่าใหม่) · กระโดด (ซ้าย ≠ ขวา) · อนันต์ (เส้นกำกับแนวตั้ง) · แกว่ง ($\sin(1/x)$)

L14 Intermediate value theorem ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

$$f \text{ ต่อเนื่องบน } [a, b],\ f(a) < N < f(b) \Rightarrow \exists c \in (a, b):\ f(c) = N$$

ถ้า $f(a)$ กับ $f(b)$ ต่างเครื่องหมาย ต้องมีรากระหว่างนั้น เป็นหลักของวิธีแบ่งครึ่งช่วง (bisection) ที่ใช้หาจุดทำงานของวงจรไม่เชิงเส้น

ตัวอย่าง L-8 · ทำให้ต่อเนื่อง

### หา $k$ ที่ทำให้ $f(x) = kx + 1$ เมื่อ $x \le 2$ และ $x^2 - k$ เมื่อ $x > 2$ ต่อเนื่องทุกจุด

- แต่ละช่วงเป็นพหุนาม ต่อเนื่องอยู่แล้ว ต้องตรวจที่รอยต่อ x = 2 เท่านั้น

$$\lim_{x\to2^-}f = 2k + 1,\qquad \lim_{x\to2^+}f = 4 - k$$

-
$$2k + 1 = 4 - k \Rightarrow k = 1$$

$k = 1$ (ทั้งสองข้างเท่ากับ 3 และ $f(2) = 3$)

ตัวอย่าง L-9 · แบ่งครึ่งช่วงหาราก

### แสดงว่า $x^3 - x - 1 = 0$ มีรากใน $[1, 2]$ แล้วประมาณค่า

- $f(1) = -1 < 0$, $f(2) = 5 > 0$ และ f ต่อเนื่อง → มีรากใน $(1, 2)$ L14

- $f(1.5) = 0.875 > 0$ → ราก ∈ $(1, 1.5)$ · $f(1.25) = -0.297 < 0$ → ∈ $(1.25, 1.5)$ · $f(1.375) = 0.225$ → ∈ $(1.25, 1.375)$ …

ลู่เข้าสู่ $x \approx 1.3247$ (ทุกรอบช่วงแคบลงครึ่งหนึ่ง) วิธีนิวตัน-ราฟสันเร็วกว่ามากแต่ต้องใช้อนุพันธ์

## กฎของโลปิตาล (L'Hôpital's Rule) กลาง

L15 L'Hôpital's rule กฎของโลปิตาล

$$\frac{f(x)}{g(x)} \to \frac00 \text{ หรือ } \frac{\infty}{\infty} \ \Rightarrow\ \lim\frac{f(x)}{g(x)} = \lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

หาอนุพันธ์เศษและส่วนแยกกัน ไม่ใช่กฎผลหาร · ใช้ซ้ำได้ถ้ายังเป็น 0/0 · ต้องการสูตรอนุพันธ์

L16 Other indeterminate forms แปลงรูปก่อนใช้

$$0\cdot\infty \to \frac{f}{1/g} \qquad \infty - \infty \to \text{รวมเศษส่วน} \qquad 1^\infty,\ 0^0,\ \infty^0 \to e^{\lim g\ln f}$$

ตัวอย่าง L-10 · โลปิตาลทุกรูปแบบ

### (ก) $\lim_{x\to0}\dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$ (ข) $\lim_{x\to\infty}xe^{-x}$ (ค) $\lim_{x\to0^+}x\ln x$ (ง) $\lim_{x\to0^+}x^x$

- (ก) 0/0 สองครั้ง: $\dfrac{e^x - 1}{2x} \to \dfrac{e^x}{2} \to \dfrac12$

- (ข) $\infty\cdot0$ → $\dfrac{x}{e^x}$ (∞/∞) → $\dfrac{1}{e^x} \to 0$ · เอกซ์โพเนนเชียลชนะพหุนามเสมอ

- (ค) $0\cdot(-\infty)$ → $\dfrac{\ln x}{1/x}$ → $\dfrac{1/x}{-1/x^2} = -x \to 0$

- (ง) $0^0$ → $x^x = e^{x\ln x} \to e^0 = 1$ (ใช้ผล (ค))

$\tfrac12,\ 0,\ 0,\ 1$

## ลิมิตในงานวิศวกรรมไฟฟ้า กลาง

| ลิมิต | ความหมายทางวิศวกรรม |

| $\lim_{t\to\infty}V\left(1 - e^{-t/\tau}\right) = V$ | ค่าสุดท้ายของการชาร์จ (สถานะคงตัว) ใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายของลาปลาซหาได้โดยไม่แปลงกลับ P16 |

| $\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta q}{\Delta t} = \dfrac{dq}{dt} = i$ | นิยามกระแสไฟฟ้าคืออนุพันธ์ของประจุ |

| $v_C(0^-) = v_C(0^+)$ | แรงดันตัวเก็บประจุต่อเนื่องเสมอ (ไม่กระโดด) เพราะต้องใช้กระแสอนันต์ |

| $\lim_{\omega\to\infty}\left|\dfrac{1}{1 + j\omega RC}\right| = 0$ | วงจร RC ตัดความถี่สูง (low-pass) |

| $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin\pi x}{\pi x} = 1$ | ฟังก์ชัน sinc มีค่า 1 ที่ศูนย์ เป็นสเปกตรัมของพัลส์สี่เหลี่ยม |

| $\lim_{n\to\infty}\left(1 + \dfrac{r}{n}\right)^{n} = e^{r}$ | การเติบโตต่อเนื่อง ที่มาของ $e$ ในสมการประจุ-คายประจุ |

ต่อยอดจากลิมิต: ลิมิตของลำดับและผลบวกย่อยคือหัวใจของ ลำดับและอนุกรมครบชุด 10 หน้า ตั้งแต่ ลิมิตของลำดับ ε–N ไปจนถึง อนุกรมเทย์เลอร์ และ อนุกรมโลรองต์

บทต่อไป: อนุพันธ์ คือลิมิตของผลหารผลต่าง $\lim_{h\to0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

## ต่อยอด: ลำดับ อนุกรม และอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

ลิมิตเมื่อ $x \to \infty$ มีคู่แฝดในโลกไม่ต่อเนื่อง คือ ลิมิตของลำดับ $\lim_{n\to\infty} a_n$ และ อนุกรมอนันต์ ซึ่งก็คือลิมิตของผลบวกย่อย $\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N} a_n$ ส่วน อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ คือเครื่องมือพิสูจน์สูตรที่ใช้ได้กับ “ทุก n” เช่นสูตรผลบวก $\sum k^2$ ที่ใช้หาอินทิกรัลด้วยผลบวกรีมันน์ ทั้งสองหน้าใช้เทคนิคลิมิตจากหน้านี้ (0/0, ∞/∞, โลปิตาล, ค่า e) โดยตรง

Σ3.1
ลำดับและอนุกรม (Sequences and Series): สูตร ตัวอย่าง การลู่เข้า และอนุกรมเทย์เลอร์
Sequences and Series
ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ ε–N ซิกมาและสูตรผลบวก อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ การทดสอบการลู่เข้าครบทุกแบบ อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์-แมคลอริน พร้อมแล็บและงานวิศวกรรม
เปิดหน้า →สูตร S1, S2, …

P(k)⇒3.2
อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction): หลักการ วิธีพิสูจน์ และตัวอย่าง
Mathematical Induction
หลักโดมิโน กรณีฐาน ขั้นอุปนัย แม่แบบเขียนพิสูจน์ สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ อุปนัยแบบเข้ม อุปนัยในแคลคูลัสและลาปลาซ บทพิสูจน์ผิดที่พบบ่อย พร้อมตัวตรวจแบบโต้ตอบ
เปิดหน้า →สูตร I1, I2, …

## คำถามที่พบบ่อย

ลิมิตกับค่าของฟังก์ชันต่างกันอย่างไร?
ลิมิตบอกว่าฟังก์ชันเข้าใกล้ค่าอะไรเมื่อ x เข้าใกล้ a โดยไม่สนว่า f(a) เป็นเท่าไรหรือนิยามหรือไม่ เช่น $(x^2-4)/(x-2)$ ไม่นิยามที่ x = 2 แต่ลิมิตเท่ากับ 4 ถ้าลิมิตเท่ากับค่าฟังก์ชันพอดี เราเรียกว่าฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดนั้น

0/0 แปลว่าลิมิตเป็นศูนย์หรือไม่มีค่าใช่ไหม?
ไม่ใช่ 0/0 เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด (indeterminate) แปลว่ายังตอบไม่ได้ ต้องจัดรูปก่อน เช่น แยกตัวประกอบแล้วตัดกัน คูณคอนจูเกต หรือใช้กฎของโลปิตาล คำตอบอาจเป็นจำนวนใดก็ได้

ใช้กฎของโลปิตาลได้เมื่อไร?
เฉพาะรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞ เท่านั้น และต้องหาอนุพันธ์ของเศษและส่วนแยกกัน (ไม่ใช่กฎผลหาร) รูปแบบอื่น เช่น 0·∞, ∞ − ∞, 1^∞ ต้องแปลงให้เป็น 0/0 หรือ ∞/∞ ก่อน

ทำไมวิศวกรต้องเรียนนิยาม ε–δ?
เพราะเป็นภาษาเดียวกับข้อกำหนดทางวิศวกรรม: ‘ถ้าต้องการให้เอาต์พุตคลาดไม่เกิน ε ต้องคุมอินพุตให้คลาดไม่เกิน δ’ เช่นการกำหนดค่าความคลาดเคลื่อนของอุปกรณ์ และเป็นพื้นฐานของนิยามอนุพันธ์ ความต่อเนื่อง และเสถียรภาพ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ลิมิตกับค่าของฟังก์ชันต่างกันอย่างไร?**
ลิมิตบอกว่าฟังก์ชันเข้าใกล้ค่าอะไรเมื่อ x เข้าใกล้ a โดยไม่สนว่า f(a) เป็นเท่าไรหรือนิยามหรือไม่ เช่น $(x^2-4)/(x-2)$ ไม่นิยามที่ x = 2 แต่ลิมิตเท่ากับ 4 ถ้าลิมิตเท่ากับค่าฟังก์ชันพอดี เราเรียกว่าฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดนั้น

**0/0 แปลว่าลิมิตเป็นศูนย์หรือไม่มีค่าใช่ไหม?**
ไม่ใช่ 0/0 เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด (indeterminate) แปลว่ายังตอบไม่ได้ ต้องจัดรูปก่อน เช่น แยกตัวประกอบแล้วตัดกัน คูณคอนจูเกต หรือใช้กฎของโลปิตาล คำตอบอาจเป็นจำนวนใดก็ได้

**ใช้กฎของโลปิตาลได้เมื่อไร?**
เฉพาะรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞ เท่านั้น และต้องหาอนุพันธ์ของเศษและส่วนแยกกัน (ไม่ใช่กฎผลหาร) รูปแบบอื่น เช่น 0·∞, ∞ − ∞, 1^∞ ต้องแปลงให้เป็น 0/0 หรือ ∞/∞ ก่อน

**ทำไมวิศวกรต้องเรียนนิยาม ε–δ?**
เพราะเป็นภาษาเดียวกับข้อกำหนดทางวิศวกรรม: ‘ถ้าต้องการให้เอาต์พุตคลาดไม่เกิน ε ต้องคุมอินพุตให้คลาดไม่เกิน δ’ เช่นการกำหนดค่าความคลาดเคลื่อนของอุปกรณ์ และเป็นพื้นฐานของนิยามอนุพันธ์ ความต่อเนื่อง และเสถียรภาพ

---

# อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction): หลักการ วิธีพิสูจน์ และตัวอย่าง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/limits/mathematical-induction/
Updated: 2026-10-26
Summary: อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์คืออะไร หลักการโดมิโน กรณีฐาน (base case) ขั้นอุปนัย (inductive step) แม่แบบเขียนพิสูจน์ทีละขั้น ตัวอย่างพิสูจน์สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ อุปนัยแบบเข้ม (strong induction) การประยุกต์ในแคลคูลัส ลาปลาซ และวิศวกรรม พร้อมตัวตรวจแบบโต้ตอบและบทพิสูจน์ผิดที่พบบ่อย

// บทที่ 3.2 · ลิมิต · Mathematical Induction

# อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction): หลักการ วิธีพิสูจน์ และตัวอย่าง

ตรวจสูตรด้วยตัวเลขร้อยค่าก็ยังไม่ใช่บทพิสูจน์ เพราะจำนวนนับมีไม่สิ้นสุด อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แก้ปัญหานี้ด้วยสองขั้น: พิสูจน์ว่าตัวแรกจริง และพิสูจน์ว่า “ถ้าตัวหนึ่งจริง ตัวถัดไปก็จริง” เหมือนผลักโดมิโนตัวแรกในแถวที่ไม่มีที่สิ้นสุด หน้านี้สอนตั้งแต่หลักการ แม่แบบการเขียน ไปจนถึงการใช้จริงในแคลคูลัส ลาปลาซ และระบบดิจิทัล พร้อมเครื่องมือตรวจบทพิสูจน์และเกมหาจุดผิด

สรุปใน 30 วินาที

- ต้องการพิสูจน์ $P(n)$ ทุก $n \ge n_0$: กรณีฐาน $P(n_0)$ จริง + ขั้นอุปนัย $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ ทุก $k \ge n_0$

- ในขั้นอุปนัย “สมมติ” $P(k)$ ได้เลย (สมมติฐานการอุปนัย) แล้วต้องใช้มันให้เห็นชัดตอนแสดง $P(k+1)$

- สูตรผลบวก: ขั้นอุปนัยคือแสดงว่า $g(k+1) - g(k) = f(k+1)$ · การหารลงตัว: แยก $f(k+1)$ ให้เห็นก้อน $f(k)$ · อสมการ: ใช้สมมติฐานแล้วต่อด้วยโซ่อสมการ

- ต้องย้อนหลายขั้น (ฟีโบนัชชี) ใช้อุปนัยแบบเข้มพร้อมกรณีฐานหลายค่า

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง แคลคูลัส · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์คืออะไร: หลักโดมิโน พื้นฐาน

ลองดูสูตร $n^2 + n + 41$ ที่ $n = 0, 1, 2, \dots$ ได้ 41, 43, 47, 53, 61, … เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ตรวจต่อไปจนถึง $n = 39$ ก็ยังเป็นจำนวนเฉพาะครบ 40 ค่า แต่ที่ $n = 40$ ได้ $1681 = 41^2$ การ “เห็นรูปแบบ” จากตัวอย่างจึงไม่ใช่บทพิสูจน์ ในภาษาทั่วไปเรียกการสรุปจากตัวอย่างว่าการให้เหตุผลแบบอุปนัย (inductive reasoning) แต่อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical induction) เป็นการให้เหตุผลแบบนิรนัยที่รัดกุม 100% ชื่อคล้ายกันแต่คนละเรื่อง

นึกถึงโดมิโนเรียงเป็นแถวยาวไม่สิ้นสุด จะมั่นใจว่าล้มหมดทุกตัวได้ด้วยสองเงื่อนไข: ตัวแรกล้ม และทุกตัวที่ล้มจะชนตัวถัดไปให้ล้มด้วย ขาดข้อใดข้อหนึ่งไม่ได้ ลองปิดกรณีฐานหรือทำให้ขั้นอุปนัยพังที่ k = 4 ในแล็บด้านล่าง

โครงสร้างของอุปนัย: กรณีฐานจุดชนวน ขั้นอุปนัยส่งต่อความจริงจากตัวหนึ่งไปตัวถัดไปซ้ำได้ไม่สิ้นสุด

I1 Principle of mathematical induction หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

$$\Big[\,P(n_0)\ \wedge\ \forall k \ge n_0:\ \big(P(k) \Rightarrow P(k+1)\big)\Big] \ \Longrightarrow\ \forall n \ge n_0:\ P(n)$$

$P(n_0)$ = กรณีฐาน (base case) · $P(k)$ ที่สมมติ = สมมติฐานการอุปนัย (inductive hypothesis) · $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ = ขั้นอุปนัย (inductive step)

I2 Well-ordering principle หลักการจัดอันดับดี

$$\varnothing \ne S \subseteq \mathbb{N} \ \Rightarrow\ S\ \text{มีสมาชิกน้อยที่สุด}$$

สมมูลกับอุปนัย: ถ้ามี n ที่ P(n) เท็จ จะมี “ตัวผิดตัวแรก” m แต่ P(m − 1) จริง ขั้นอุปนัยจึงบังคับให้ P(m) จริง ขัดแย้ง

I3 Strong induction อุปนัยแบบเข้ม

$$\big[P(n_0) \wedge \cdots \wedge P(k)\big] \Rightarrow P(k+1)$$

สมมติทุกค่าก่อนหน้า · ถ้าขั้นอุปนัยย้อนไป m ขั้น ต้องมีกรณีฐาน m ค่า

## แม่แบบเขียนพิสูจน์ 4 ขั้น (ใช้ได้ทุกข้อ) พื้นฐาน

นักศึกษาส่วนใหญ่ไม่ได้เสียคะแนนเพราะพีชคณิตผิด แต่เพราะเขียนโครงสร้างไม่ครบ เช่นไม่บอกว่า P(n) คืออะไร หรือเขียน P(k+1) แล้ว “ทำสองข้างให้เท่ากัน” ซึ่งเป็นการสมมติสิ่งที่จะพิสูจน์ ใช้แม่แบบนี้ทุกครั้ง:

แม่แบบ: พิสูจน์ว่า P(n) จริงทุก $n \ge n_0$

- นิยาม ให้ $P(n)$ แทนข้อความ “…” (เขียนให้ชัดว่าแทนค่า n แล้วได้ประโยคอะไร)

- กรณีฐาน เมื่อ $n = n_0$: คำนวณทั้งสองข้างแยกกัน แล้วแสดงว่าเท่ากัน (หรือเป็นจริงตามความสัมพันธ์) ดังนั้น $P(n_0)$ จริง

- สมมติฐานการอุปนัย สมมติว่า $P(k)$ จริงสำหรับจำนวนเต็ม $k \ge n_0$ บางค่า นั่นคือ … (เขียน P(k) ออกมาเต็ม ๆ)

- ขั้นอุปนัย จะแสดงว่า $P(k+1)$ จริง คือ … (เขียนเป้าหมาย) เริ่มจากด้านซ้ายของ P(k+1) จัดรูปให้เห็นก้อนที่อยู่ใน P(k) ใช้สมมติฐาน (เขียนกำกับว่า “โดยสมมติฐานการอุปนัย”) แล้วจัดรูปจนได้ด้านขวาของ P(k+1)

สรุป: โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ $P(n)$ จริงสำหรับทุกจำนวนเต็ม $n \ge n_0$ ∎

ภาพช่วยให้ “เห็น” สูตร $1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n+1)}{2}$ แต่อุปนัยคือสิ่งที่พิสูจน์ได้ทุก n โดยไม่ต้องวาดรูป และใช้ได้กับสูตรที่วาดรูปไม่ได้

ตัวอย่าง I-1 · ใช้แม่แบบเต็มรูป

### พิสูจน์ว่า $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n$

- นิยาม ให้ $P(n)$ แทน $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

- กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1$ ขวา $= \dfrac{1\cdot 2}{2} = 1$ เท่ากัน $P(1)$ จริง

- สมมติฐาน สมมติว่า $P(k)$ จริงสำหรับ $k \ge 1$ บางค่า: $1 + 2 + \cdots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$

- เป้าหมาย ต้องแสดงว่า $1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$

- ขั้นอุปนัย $\underbrace{1 + 2 + \cdots + k}_{\text{ก้อนของ } P(k)} + (k+1) = {\dfrac{k(k+1)}{2}} + (k+1)$ (โดยสมมติฐานการอุปนัย)

- $= \dfrac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ ตรงกับเป้าหมาย $P(k+1)$ จริง

- สรุป โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ $P(n)$ จริงทุก $n \ge 1$ ∎

สังเกตเทคนิคหลัก: “ดึงพจน์สุดท้ายออก” แล้วส่วนที่เหลือคือด้านซ้ายของ P(k) พอดี สีน้ำเงิน = บรรทัดที่ใช้สมมติฐาน ต้องมีอย่างน้อยหนึ่งจุดเสมอ

## ตัวตรวจอุปนัย: ทดลองกรณีฐานและขั้นอุปนัยด้วยตัวเลข พื้นฐาน

เลือกข้อความ ตารางจะตรวจ P(n) ทีละค่า (ซึ่งยังไม่ใช่บทพิสูจน์) ส่วนล่างแสดงขั้นอุปนัยแบบตัวแปร k ที่เป็นบทพิสูจน์จริง เลื่อนแถบเพื่อแทน k เป็นตัวเลขแล้วดูว่าแต่ละบรรทัดทำอะไร ในโหมด “สูตรผลบวกของฉัน” พิมพ์พจน์ f(k) และสูตรที่อ้าง g(n) ระบบจะตรวจกรณีฐานและขั้นอุปนัย $g(k+1) - g(k) = f(k+1)$ ถ้าเป็นพหุนามจะออกใบรับรองว่าพิสูจน์แล้วจริง

## พิสูจน์สูตรผลบวก (Summation Formulas) พื้นฐาน

I4 Inductive step for sums ขั้นอุปนัยของสูตรผลบวก

$$\sum_{i=n_0}^{k+1} f(i) = \sum_{i=n_0}^{k} f(i) + f(k+1) \quad\Rightarrow\quad P(k) \Rightarrow P(k+1) \iff g(k+1) = g(k) + f(k+1)$$

ใช้ได้กับ $\sum k,\ \sum k^2,\ \sum k^3$ (S9) อนุกรมเรขาคณิต และผลบวกแบบหักล้าง

ตัวอย่าง I-2

### พิสูจน์ $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

- กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1$ ขวา $= \dfrac{1\cdot2\cdot3}{6} = 1$ จริง

- สมมติ $\sum_{i=1}^{k} i^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ ต้องแสดง $\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

- $\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = {\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}} + (k+1)^2 = \dfrac{(k+1)\left[k(2k+1) + 6(k+1)\right]}{6}$ (ดึง $k + 1$ เป็นตัวร่วม อย่ากระจายทั้งหมด)

- $= \dfrac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ ✓ ตรงกับเป้าหมาย

จริงทุก $n \ge 1$ · เคล็ดลับ: เขียนเป้าหมายไว้ก่อน แล้วรู้ว่าต้องแยกตัวประกอบให้ได้ $(k+2)(2k+3)$

ตัวอย่าง I-3 · อนุกรมเรขาคณิต

### พิสูจน์ว่า $1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} = \dfrac{r^n - 1}{r - 1}$ เมื่อ $r \ne 1$ แล้วตีความเมื่อ $r = 2$

- กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1$ ขวา $= \dfrac{r - 1}{r - 1} = 1$ จริง

- สมมติจริงที่ $n = k$: $1 + r + \cdots + r^{k} = {\dfrac{r^k - 1}{r - 1}} + r^k = \dfrac{r^k - 1 + r^{k+1} - r^k}{r - 1} = \dfrac{r^{k+1} - 1}{r - 1}$ ✓

- เมื่อ $r = 2$: $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1$ คือค่าสูงสุดของเลขฐานสอง n บิต เช่น ADC 12 บิตมีรหัส 0 ถึง $2^{12} - 1 = 4095$

จริงทุก $n \ge 1$ (เทียบกับที่มาด้วยการคูณ r แล้วลบในหน้าลำดับและอนุกรม)

## พิสูจน์การหารลงตัว (Divisibility) พื้นฐาน

เป้าหมายคือเขียน $f(k+1)$ ให้อยู่ในรูป “ค่าคงที่ × $f(k)$ + ส่วนที่หารลงตัวชัดเจน” แล้วใช้สมมติฐานว่า $f(k)$ หารลงตัว อย่าลืมว่า “a หาร b ลงตัว” เขียนเป็นสมการได้ว่า $b = am$ สำหรับจำนวนเต็ม m บางตัว ซึ่งจัดการด้วยพีชคณิตได้ง่ายกว่า

I5 Divisibility step แม่แบบขั้นอุปนัยของการหารลงตัว

$$m \mid f(k)\ \ (f(k) = mq) \quad\text{และ}\quad f(k+1) = c\,f(k) + m\,t \ \Rightarrow\ m \mid f(k+1)$$

ตัวอย่าง I-4

### พิสูจน์ว่า (ก) $3 \mid 4^n - 1$ (ข) $6 \mid n^3 - n$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n$

- (ก) กรณีฐาน: $4^1 - 1 = 3$ หารด้วย 3 ลงตัว · สมมติ $4^k - 1 = 3m$

- $4^{k+1} - 1 = 4\cdot 4^k - 1 = 4(4^k - 1) + 3 = 4{(3m)} + 3 = 3(4m + 1)$ หารด้วย 3 ลงตัว ✓

- (ข) กรณีฐาน: $1^3 - 1 = 0 = 6\cdot 0$ ✓ · สมมติ $k^3 - k = 6m$

- $(k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = {(k^3 - k)} + 3k(k+1)$

- $k(k+1)$ เป็นผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวติดกัน จึงเป็นจำนวนคู่ $= 2t$ ดังนั้น $3k(k+1) = 6t$ และ $(k+1)^3 - (k+1) = 6m + 6t = 6(m + t)$ ✓

ทั้งสองจริงทุก $n \ge 1$ · (ข) ใช้ข้อเท็จจริงเสริมว่าจำนวนเต็มติดกันสองตัวมีตัวหนึ่งเป็นคู่ บทพิสูจน์อุปนัยหลายข้อต้องใช้ความรู้อื่นประกอบแบบนี้

## พิสูจน์อสมการ (Inequalities) กลาง

อสมการต่างจากสมการตรงที่ปลายทางไม่ต้องได้ด้านขวาของ P(k+1) พอดี แค่ต้อง “มากกว่าหรือเท่ากับ” ก็พอ โครงสร้างจึงเป็นโซ่: ซ้ายของ P(k+1) → แยกก้อน P(k) → ใช้สมมติฐาน (เกิด > ตรงนี้) → อสมการช่วยที่ใช้เงื่อนไขของ k → ขวาของ P(k+1) เงื่อนไขของ k ในขั้นสุดท้ายคือสิ่งที่บอกว่ากรณีฐานต้องเริ่มที่เท่าไร

I6 Inequality chain โซ่อสมการ

$$L(k+1) = \cdots\, L(k) \cdots\ \overset{\text{IH}}{>}\ \cdots\, R(k) \cdots\ \ge\ R(k+1)$$

IH = inductive hypothesis · ขั้น ≥ สุดท้ายมักต้องใช้ $k \ge$ ค่าหนึ่ง

= 1+nx linear lower bound อสมการเบอร์นูลลี">
I7 Bernoulli's inequality อสมการเบอร์นูลลี

$$(1 + x)^n \ge 1 + nx\qquad (x \ge -1,\ n \in \mathbb{N})$$

ขอบเขตล่างเชิงเส้นของการเติบโตแบบทบต้น = เทย์เลอร์อันดับหนึ่ง

ตัวอย่าง I-5 · กรณีฐานไม่ได้เริ่มที่ 1

### พิสูจน์ว่า $2^n > n^2$ สำหรับทุก $n \ge 5$

- ทำไมเริ่มที่ 5: $n = 2, 3, 4$ ได้ $4 = 4,\ 8 < 9,\ 16 = 16$ ไม่จริง ($n = 1$ จริงแต่ห่วงโซ่ขาดตอน)

- กรณีฐาน $n = 5$: $2^5 = 32 > 25 = 5^2$ จริง

- สมมติ $2^k > k^2$ สำหรับ $k \ge 5$ จะแสดง $2^{k+1} > (k+1)^2$

- $2^{k+1} = 2\cdot 2^k > 2{k^2}$ (สมมติฐาน)

- เหลือแสดง $2k^2 \ge (k+1)^2 \iff k^2 - 2k - 1 \ge 0 \iff (k-1)^2 \ge 2$ จริงเมื่อ $k \ge 3$ (โดยเฉพาะ $k \ge 5$) จึงได้ $2^{k+1} > 2k^2 \ge (k+1)^2$ ✓

จริงทุก $n \ge 5$ · ขั้นอุปนัยใช้ได้ตั้งแต่ k = 3 แต่ P(3) และ P(4) เป็นเท็จ กรณีฐานจึงต้องเป็นตัวแรกที่จริงแล้วโซ่ไม่ขาด คือ 5

ตัวอย่าง I-6 · อสมการเบอร์นูลลีกับการเติบโตทบต้น

### พิสูจน์ $(1 + x)^n \ge 1 + nx$ เมื่อ $x \ge -1$ แล้วใช้แสดงว่าระบบที่โต 5% ต่อรอบ หลัง 10 รอบโตอย่างน้อย 50%

- กรณีฐาน $n = 1$: $1 + x \ge 1 + x$ จริง (เท่ากัน)

- สมมติ $(1 + x)^k \ge 1 + kx$ เนื่องจาก $1 + x \ge 0$ คูณทั้งสองข้างแล้วเครื่องหมายไม่กลับ: $(1 + x)^{k+1} \ge {(1 + kx)}(1 + x)$

- $= 1 + (k+1)x + kx^2 \ge 1 + (k+1)x$ เพราะ $kx^2 \ge 0$ ✓

- ที่ $x = 0.05,\ n = 10$: $1.05^{10} \ge 1 + 10(0.05) = 1.5$ (ค่าจริง $1.629$) จุดที่ต้องระวังคือเงื่อนไข $x \ge -1$ ใช้ตอนคูณอสมการ

$(1 + x)^n \ge 1 + nx$ · ด้านขวาคือเทย์เลอร์อันดับหนึ่งของด้านซ้าย อสมการบอกว่าการประมาณเชิงเส้นไม่เคยเกินค่าจริงเมื่อ $x \ge -1$

## อุปนัยแบบเข้มและลำดับเวียนเกิด (Strong Induction) กลาง

เจาะลึกอุปนัยแบบเข้มหน้าใหม่ อุปนัยแบบเข้ม (Strong Induction) 26.12 มีตัวอย่าง 17 ข้อ (แสตมป์ จำนวนเฉพาะ ฟีโบนัชชี เกม merge sort ระบบควบคุม) กฎจำนวนกรณีฐาน และแล็บ 11 ชุด เช่น ทดลองลดกรณีฐานแล้วดูบทพิสูจน์พัง และเกมเรียงบรรทัดบทพิสูจน์

ลำดับเวียนเกิดเป็นคู่หูโดยธรรมชาติของอุปนัย: นิยามพจน์ถัดไปจากพจน์ก่อนหน้า ก็พิสูจน์สมบัติของพจน์ถัดไปจากพจน์ก่อนหน้า ถ้าความสัมพันธ์ย้อนไปมากกว่าหนึ่งขั้น เช่น $F_{k+1} = F_k + F_{k-1}$ ต้องใช้อุปนัยแบบเข้ม (I3) และตรวจกรณีฐานให้ครบจำนวนขั้นที่ย้อน

ตัวอย่าง I-7 · แบบเข้ม

### (ก) แสตมป์ราคา 4 และ 5 บาท แสดงว่ารวมได้ทุกราคา $n \ge 12$ บาท (ข) ฟีโบนัชชี $F_1 = F_2 = 1,\ F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$ แสดงว่า $F_n < 2^n$

- (ก) กรณีฐานสี่ค่า: $12 = 4 + 4 + 4,\ 13 = 4 + 4 + 5,\ 14 = 4 + 5 + 5,\ 15 = 5 + 5 + 5$

- ขั้นอุปนัย: ให้ $k \ge 15$ และสมมติว่าทุกราคา 12 ถึง k รวมได้ ราคา $k + 1 = (k - 3) + 4$ และ $12 \le k - 3 \le k$ จึงรวมได้ตามสมมติฐาน เติมแสตมป์ 4 บาทอีกดวง ✓ (ต้องย้อน 4 ขั้น จึงต้องมีกรณีฐาน 4 ค่า)

- (ข) กรณีฐานสองค่า: $F_1 = 1 < 2$ และ $F_2 = 1 < 4$

- สมมติ $F_j < 2^j$ ทุก $j \le k$ ($k \ge 2$): $F_{k+1} = {F_k} + {F_{k-1}} < 2^k + 2^{k-1} < 2^k + 2^k = 2^{k+1}$ ✓

(ก) ทุกราคา ≥ 12 บาท (11 บาทรวมไม่ได้) (ข) $F_n < 2^n$ ทุก n

ตัวอย่าง I-8 · ขอบเขตของลำดับเวียนเกิด (ใช้คู่กับทฤษฎีบทลำดับทางเดียว)

### $a_1 = \sqrt2,\ a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ พิสูจน์ว่า $0 < a_n < 2$ และ $a_{n+1} > a_n$ ทุก n
ดูตัวอย่างคู่กันในหน้าลำดับ

- กรณีฐาน: $0 < a_1 = \sqrt2 \approx 1.414 < 2$

- สมมติ $0 < a_k < 2$: $a_{k+1} = \sqrt{2 + {a_k}} < \sqrt{2 + 2} = 2$ และ $a_{k+1} > \sqrt2 > 0$ ✓ จึงได้ $0 < a_n < 2$ ทุก n

- เพิ่มขึ้น: $a_{n+1} > a_n \iff 2 + a_n > a_n^2 \iff (a_n - 2)(a_n + 1) < 0$ ซึ่งจริงเพราะ $0 < a_n < 2$ จากข้อก่อน (ไม่ต้องอุปนัยซ้ำ)

เพิ่มขึ้นและมีขอบเขต จึงลู่เข้า และลิมิตคือ 2 (ดูทฤษฎีบทลำดับทางเดียว S13)

## อุปนัยในแคลคูลัส: อนุพันธ์ ลาปลาซ และอินทิกรัล กลาง

สูตรแคลคูลัสหลายสูตรที่เขียนด้วย “n” ถูกพิสูจน์ด้วยอุปนัยทั้งสิ้น รูปแบบที่พบบ่อยคือขั้นอุปนัยใช้กฎผลคูณ (product rule) หรือการอินทิเกรตทีละส่วน (integration by parts) เพื่อลดกรณี $k + 1$ ลงเหลือกรณี $k$

I8 Power rule (n ∈ ℕ) อนุพันธ์ของ xⁿ

$$\frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1}$$

ขั้นอุปนัย: $x^{k+1} = x\cdot x^k$ แล้วใช้กฎผลคูณ

I9 nth derivative of 1/x อนุพันธ์อันดับ n ของ 1/x

$$\frac{d^n}{dx^n}\,\frac1x = \frac{(-1)^n\, n!}{x^{n+1}}$$

I10 Laplace of tⁿ การแปลงลาปลาซของ tⁿ

$$\mathcal{L}\{t^n\} = \int_0^{\infty} t^n e^{-st}\,dt = \frac{n!}{s^{n+1}}$$

ขั้นอุปนัย: อินทิเกรตทีละส่วนได้ $\mathcal{L}\{t^{k+1}\} = \tfrac{k+1}{s}\mathcal{L}\{t^k\}$

I11 Leibniz rule อนุพันธ์อันดับ n ของผลคูณ

$$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$$

โครงสร้างเดียวกับทฤษฎีบททวินาม พิสูจน์ด้วยอุปนัยและ $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$

ตัวอย่าง I-9 · กฎยกกำลังของอนุพันธ์

### ใช้กฎผลคูณพิสูจน์ $\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ ทุก $n \ge 1$

- กรณีฐาน $n = 1$: $\dfrac{d}{dx}x = 1 = 1\cdot x^0$ จริง (ได้จากนิยามอนุพันธ์โดยตรง)

- สมมติ $\dfrac{d}{dx}x^k = kx^{k-1}$ แล้ว $\dfrac{d}{dx}x^{k+1} = \dfrac{d}{dx}\left(x\cdot x^k\right) = 1\cdot x^k + x\cdot{kx^{k-1}}$ (กฎผลคูณ + สมมติฐาน)

- $= x^k + kx^k = (k+1)x^k$ ✓

จริงทุก n ∈ ℕ · กฎนี้คือฐานของสูตรอนุพันธ์ทั้งหมดของพหุนาม และของการหาอนุพันธ์อนุกรมกำลังทีละพจน์

ตัวอย่าง I-10 · อนุพันธ์อันดับ n

### พิสูจน์ $\dfrac{d^n}{dx^n}\dfrac1x = \dfrac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$ แล้วหาสัมประสิทธิ์เทย์เลอร์ของ $1/x$ รอบ $x = 1$
ไปที่แล็บเทย์เลอร์

- กรณีฐาน $n = 1$: $\dfrac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2} = \dfrac{(-1)^1 1!}{x^2}$ จริง

- สมมติจริงที่ k: $\dfrac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}\dfrac1x = \dfrac{d}{dx}{\left[(-1)^k k!\,x^{-(k+1)}\right]} = (-1)^k k!\cdot(-(k+1))x^{-(k+2)} = \dfrac{(-1)^{k+1}(k+1)!}{x^{k+2}}$ ✓

- สัมประสิทธิ์เทย์เลอร์ที่ $a = 1$: $c_n = \dfrac{f^{(n)}(1)}{n!} = (-1)^n$ จึงได้ $\dfrac1x = 1 - (x - 1) + (x - 1)^2 - \cdots$ (อนุกรมเรขาคณิตที่ $r = -(x - 1)$, $R = 1$)

$f^{(n)}(x) = (-1)^n n!\,x^{-(n+1)}$ · อุปนัยทำให้เราได้ “สูตรของอนุพันธ์ทุกอันดับ” ซึ่งเป็นสิ่งที่อนุกรมเทย์เลอร์ต้องการ

ตัวอย่าง I-11 · ตารางลาปลาซมาจากไหน

### พิสูจน์ $\mathcal{L}\{t^n\} = \dfrac{n!}{s^{n+1}}$ สำหรับ $n \ge 0$ และ $s > 0$

- กรณีฐาน $n = 0$: $\mathcal{L}\{1\} = \int_0^{\infty} e^{-st}dt = \dfrac1s = \dfrac{0!}{s^1}$ จริง

- สมมติ $\mathcal{L}\{t^k\} = \dfrac{k!}{s^{k+1}}$ อินทิเกรตทีละส่วนด้วย $u = t^{k+1},\ dv = e^{-st}dt$:

- $\mathcal{L}\{t^{k+1}\} = \Big[-\dfrac{t^{k+1}e^{-st}}{s}\Big]_0^{\infty} + \dfrac{k+1}{s}\int_0^{\infty}t^k e^{-st}dt = 0 + \dfrac{k+1}{s}\cdot{\dfrac{k!}{s^{k+1}}}$ (พจน์ขอบเป็นศูนย์เพราะ $e^{-st}$ ชนะพหุนาม)

- $= \dfrac{(k+1)!}{s^{k+2}}$ ✓

จริงทุก $n \ge 0$ ดูตารางการแปลงลาปลาซ · ที่ $s = 1$ ได้ $\int_0^\infty t^n e^{-t}dt = n!$ (ฟังก์ชันแกมมา)

## อุปนัยในคณิตศาสตร์วิศวกรรมและงานวิศวกรรม กลาง

ทุกครั้งที่ระบบ “ทำซ้ำ” ไม่ว่าจะเป็นตัวอย่างสัญญาณในระบบดิจิทัล รอบของลูปโปรแกรม ขั้นของวงจรบันได หรือการคูณเฟสเซอร์ซ้ำ อุปนัยคือเครื่องมือที่บอกว่าสูตรสำหรับรอบที่ n ถูกต้องเสมอ

I12 De Moivre's theorem ทฤษฎีบทเดอมัวฟร์

$$(\cos\theta + j\sin\theta)^n = \cos n\theta + j\sin n\theta$$

ขั้นอุปนัยใช้สูตรผลบวกมุม · กำลังของเฟสเซอร์หมุนมุมทีละ θ

I13 Discrete-time state สถานะของระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง

$$\mathbf{x}[n+1] = A\,\mathbf{x}[n] \ \Rightarrow\ \mathbf{x}[n] = A^n\,\mathbf{x}[0]$$

พื้นฐานของการควบคุมดิจิทัลและปริภูมิสถานะ

I14 Loop invariant ข้อความคงที่ของลูป

$$\text{Inv}(0)\ \wedge\ \big(\text{Inv}(k) \Rightarrow \text{Inv}(k+1)\big) \Rightarrow \text{Inv}(n)\ \text{เมื่อจบลูป}$$

อุปนัยในรูปของโปรแกรม: พิสูจน์ว่าโค้ด PLC หรือเฟิร์มแวร์ให้ผลถูกทุกจำนวนรอบ

ตัวอย่าง I-12 · วงจรบันไดกับเลขฟีโบนัชชี

### บันไดตัวต้านทาน (R = 1 Ω) มี $R_1 = 2,\ R_{n+1} = 1 + \dfrac{R_n}{1 + R_n}$ พิสูจน์ว่า $R_n = \dfrac{F_{2n+1}}{F_{2n}}$

- กรณีฐาน: $\dfrac{F_3}{F_2} = \dfrac21 = 2 = R_1$ จริง

- สมมติ $R_k = \dfrac{F_{2k+1}}{F_{2k}}$ แทนลงในความสัมพันธ์แล้วคูณเศษและส่วนด้วย $F_{2k}$: $R_{k+1} = \dfrac{1 + 2R_k}{1 + R_k} = \dfrac{F_{2k} + 2{F_{2k+1}}}{F_{2k} + {F_{2k+1}}}$

- ใช้ $F_{m+1} = F_m + F_{m-1}$: ส่วน $= F_{2k+2}$ และเศษ $= F_{2k+2} + F_{2k+1} = F_{2k+3}$ จึงได้ $R_{k+1} = \dfrac{F_{2k+3}}{F_{2k+2}}$ ✓

$R_n = F_{2n+1}/F_{2n}$ ทุก n · อัตราส่วนเลขฟีโบนัชชีลู่เข้าสู่ $\varphi = \tfrac{1 + \sqrt5}{2}$ จึงได้ $R_\infty = \varphi R$ ตรงกับตัวอย่าง S-12

ตัวอย่าง I-13 · เฟสเซอร์และระบบดิจิทัล

### (ก) พิสูจน์ทฤษฎีบทเดอมัวฟร์ (ข) ระบบเคลื่อนที่ความเร็วคงที่สุ่มตัวอย่างทุก T วินาที $\begin{bmatrix}p\\v\end{bmatrix}_{n+1} = \begin{bmatrix}1 & T\\0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p\\v\end{bmatrix}_n$ หาสถานะหลัง n ตัวอย่าง

- (ก) กรณีฐาน $n = 1$ ชัดเจน · สมมติจริงที่ k: $(\cos\theta + j\sin\theta)^{k+1} = {(\cos k\theta + j\sin k\theta)}(\cos\theta + j\sin\theta)$

- $= (\cos k\theta\cos\theta - \sin k\theta\sin\theta) + j(\sin k\theta\cos\theta + \cos k\theta\sin\theta) = \cos(k+1)\theta + j\sin(k+1)\theta$ ✓

- (ข) เดาจาก $A^2 = \begin{bmatrix}1 & 2T\\0 & 1\end{bmatrix}$: ข้อความ $A^n = \begin{bmatrix}1 & nT\\0 & 1\end{bmatrix}$ กรณีฐาน n = 1 จริง

- $A^{k+1} = {A^k}A = \begin{bmatrix}1 & kT\\0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & T\\0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & (k+1)T\\0 & 1\end{bmatrix}$ ✓ ดังนั้น $p_n = p_0 + nT\,v_0,\ v_n = v_0$

(ก) $(\cos\theta + j\sin\theta)^n = \cos n\theta + j\sin n\theta$ (ข) $p_n = p_0 + nTv_0$: เดาสูตรจากกรณีเล็ก แล้วยืนยันด้วยอุปนัย เป็นวิธีทำงานจริงของวิศวกร (ดูเมทริกซ์ยกกำลัง)

ตัวอย่าง I-14 · ความถูกต้องของโปรแกรม (loop invariant)

### โค้ดสะสมผลรวม s := 0; FOR k := 1 TO n DO s := s + k; END_FOR (Structured Text บน PLC) พิสูจน์ว่าจบลูปแล้ว $s = n(n+1)/2$ และนับจำนวนสายเชื่อมแบบจุดต่อจุดระหว่าง n สถานี

- ข้อความคงที่ของลูป: “หลังจบรอบที่ k ค่า $s = k(k+1)/2$” · ก่อนเข้าลูป (k = 0): $s = 0 = 0\cdot1/2$ จริง

- สมมติจริงหลังรอบที่ k รอบถัดไปทำ $s := s + (k+1)$ จึงได้ ${\tfrac{k(k+1)}{2}} + (k+1) = \tfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ จริงหลังรอบที่ k + 1 · ลูปจบที่ k = n จึงได้ $s = n(n+1)/2$

- สายเชื่อม: เครือข่าย k สถานีที่ต่อถึงกันทุกคู่มี $L_k$ เส้น เพิ่มสถานีใหม่ต้องลากสายไปหาทุกสถานีเดิมอีก k เส้น: $L_{k+1} = L_k + k$ และ $L_1 = 0$ อุปนัยให้ $L_n = \tfrac{n(n-1)}{2}$ เช่น 10 สถานีต้องใช้ 45 เส้น เหตุผลที่ระบบใหญ่เปลี่ยนไปใช้บัสหรือฟิลด์บัส

$s = n(n+1)/2$ · $L_n = n(n-1)/2$ · การพิสูจน์ loop invariant คืออุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่ใช้ตรวจโค้ดPLCและเฟิร์มแวร์ที่ต้องปลอดภัย

## บทพิสูจน์ผิดที่พบบ่อย: เกมหาจุดผิด ขั้นสูง

วิธีฝึกที่ได้ผลที่สุดคือหาจุดผิดในบทพิสูจน์ที่ดูถูกต้อง แต่ละข้อด้านล่างมีบรรทัดที่ผิดหนึ่งบรรทัด คลิกบรรทัดที่คิดว่าผิดแล้วอ่านเหตุผล ทั้งห้าข้อครอบคลุมความผิดพลาดหลักทั้งหมด: ขั้นอุปนัยไม่ครอบคลุม k เล็ก ลืมกรณีฐาน กรณีฐานไม่พอสำหรับอุปนัยแบบเข้ม สรุปจากตัวอย่าง และอสมการช่วยที่ใช้ไม่ได้ทุก k

| ข้อผิดพลาด | ตัวอย่างที่เห็นบ่อย | วิธีแก้ |

| ไม่นิยาม P(n) | เขียน “สมมติจริงที่ k” โดยไม่บอกว่าอะไรจริง | เขียน P(k) ออกมาเต็ม ๆ ทุกครั้ง |

| สมมติสิ่งที่จะพิสูจน์ | เขียนสมการ P(k+1) แล้วจัดรูปสองข้างจนได้ 0 = 0 | เริ่มจากด้านซ้ายเพียงด้านเดียว แล้วไปให้ถึงด้านขวา |

| ไม่ได้ใช้สมมติฐาน | พิสูจน์ P(k+1) ได้โดยไม่แตะ P(k) เลย | ถ้าไม่ได้ใช้ แปลว่าพิสูจน์ตรงได้หรือมีอะไรผิด ทำเครื่องหมายบรรทัดที่ใช้ |

| ตรวจกรณีฐานแบบแทนค่าทั้งสมการ | “แทน n = 1: 1 = 1 จริง” โดยไม่แสดงสองข้าง | คำนวณซ้ายและขวาแยกกัน แล้วเปรียบเทียบ |

| กรณีฐานผิดค่า | เริ่มที่ n = 1 ทั้งที่ข้อความจริงตั้งแต่ n = 5 | ดูว่าขั้นอุปนัยต้องการ k ≥ เท่าไร แล้วหาค่าแรกที่จริงและต่อเนื่อง |

| ย้อนสองขั้นแต่มีกรณีฐานค่าเดียว | ฟีโบนัชชี การแยกตัวประกอบ | อุปนัยแบบเข้ม: กรณีฐานเท่าจำนวนขั้นที่ย้อน |

## ฝึกเขียนพิสูจน์ให้ได้คะแนนเต็ม (สำหรับนักศึกษาและครู) พื้นฐาน

การพิสูจน์เป็นทักษะ ไม่ใช่พรสวรรค์ ฝึกตามลำดับนี้แล้วจะเห็นว่าโจทย์ส่วนใหญ่ใช้แม่แบบเดียวกัน ต่างกันแค่ “ลูกเล่นพีชคณิต” ในขั้นอุปนัย

- เริ่มจากสูตรผลบวก (I-1 ถึง I-3) เพราะขั้นอุปนัยตายตัว: ดึงพจน์สุดท้ายออก ใช้สมมติฐาน แยกตัวประกอบ

- ต่อด้วยการหารลงตัว (I-4) ฝึกเขียน “หารลงตัว” เป็นสมการ $b = am$ และแยก $f(k+1)$ ให้เห็น $f(k)$

- อสมการ (I-5, I-6) ฝึกเขียนโซ่อสมการ และตอบให้ได้ว่าทำไมกรณีฐานต้องเริ่มที่ค่านั้น

- แบบเข้มและลำดับเวียนเกิด (I-7, I-8) ฝึกนับว่าต้องย้อนกี่ขั้นและต้องมีกรณีฐานกี่ค่า

- ประยุกต์ (I-9 ถึง I-14) ฝึก “เดาสูตรจากกรณีเล็ก แล้วพิสูจน์” ซึ่งเป็นวิธีที่วิศวกรใช้จริง

| เกณฑ์ให้คะแนน (ตัวอย่าง 4 คะแนน) | ได้คะแนนเมื่อ |

| 1 · นิยามและกรณีฐาน | เขียน P(n) ชัดเจน คำนวณสองข้างของ $P(n_0)$ แยกกันถูกต้อง |

| 1 · สมมติฐานการอุปนัย | เขียน “สมมติ P(k) จริงสำหรับ $k \ge n_0$ บางค่า” พร้อมข้อความเต็ม และเขียนเป้าหมาย P(k+1) |

| 1 · ใช้สมมติฐาน | มีบรรทัดที่แทนก้อนของ P(k) ด้วยสมมติฐานอย่างชัดเจน |

| 1 · พีชคณิตและข้อสรุป | จัดรูปถูกจนได้ด้านขวาของ P(k+1) และสรุปด้วยหลักอุปนัย |

สำนวนภาษาไทยที่ใช้ในข้อสอบได้เลย: “ให้ $P(n)$ แทนข้อความ …” · “เมื่อ $n = 1$ จะได้ว่า … ดังนั้น $P(1)$ เป็นจริง” · “สมมติว่า $P(k)$ เป็นจริง สำหรับจำนวนนับ $k$ บางจำนวน นั่นคือ …” · “จะแสดงว่า $P(k+1)$ เป็นจริง” · “โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ $P(n)$ เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ $n$”

กลับไปที่ ลำดับและอนุกรม (ฉบับสรุป) หรือ ลำดับและอนุกรมครบชุด เพื่อใช้สูตรที่พิสูจน์แล้วกับการทดสอบการลู่เข้าและอนุกรมเทย์เลอร์ หรือไปต่อที่อนุพันธ์ ซึ่งใช้กฎยกกำลัง I8 ที่พิสูจน์ในหน้านี้

## คำถามที่พบบ่อย

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มีกี่ขั้นตอน?
สองขั้นหลัก: (1) กรณีฐาน (base case) แสดงว่าข้อความ $P(n_0)$ จริง (2) ขั้นอุปนัย (inductive step) สมมติว่า $P(k)$ จริงสำหรับ $k \ge n_0$ ใด ๆ แล้วแสดงว่า $P(k+1)$ จริง เมื่อทำครบสองขั้นจึงสรุปว่า $P(n)$ จริงทุก $n \ge n_0$ เวลาเขียนตอบในข้อสอบนิยมแบ่งเป็น 4 ส่วน: นิยาม P(n), กรณีฐาน, สมมติฐานการอุปนัย และขั้นอุปนัยพร้อมข้อสรุป

ทำไมต้องตรวจกรณีฐาน ถ้าขั้นอุปนัยพิสูจน์ได้แล้ว?
เพราะขั้นอุปนัยบอกแค่ว่า “ถ้า P(k) จริง แล้ว P(k+1) จริง” ไม่ได้บอกว่ามีตัวไหนจริงตั้งแต่แรก ตัวอย่าง: สูตรผิด $1 + \cdots + n = (n^2 + n + 2)/2$ ผ่านขั้นอุปนัยได้ แต่ที่ n = 1 ได้ 2 ≠ 1 เหมือนแถวโดมิโนที่ตั้งชิดกันดีแต่ไม่มีใครผลักตัวแรก

อุปนัยแบบเข้ม (strong induction) ต่างจากแบบธรรมดาอย่างไร?
แบบธรรมดาสมมติแค่ P(k) แบบเข้มสมมติว่า P(n₀), P(n₀+1), …, P(k) จริงทั้งหมด แล้วพิสูจน์ P(k+1) ใช้เมื่อขั้นถัดไปต้องอาศัยค่าก่อนหน้าหลายค่า เช่นลำดับฟีโบนัชชี $F_{k+1} = F_k + F_{k-1}$ หรือการแยกตัวประกอบเฉพาะ ถ้าย้อนไปสองขั้นต้องตรวจกรณีฐานสองค่า

พิสูจน์อสมการด้วยอุปนัยทำอย่างไร?
เริ่มจากด้านซ้ายของ P(k+1) แยกส่วนที่เป็นด้านซ้ายของ P(k) ออกมา ใช้สมมติฐานแทนด้วยด้านขวา (เครื่องหมาย > หรือ ≥ ปรากฏตรงนี้) แล้วแสดงต่อว่าค่าที่ได้มากกว่าหรือเท่ากับด้านขวาของ P(k+1) ขั้นสุดท้ายมักต้องใช้เงื่อนไขของ k เช่น $k \ge 3$ ซึ่งเป็นตัวกำหนดว่ากรณีฐานต้องเริ่มที่ค่าใด

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ใช้ทำอะไรในแคลคูลัสและวิศวกรรม?
ใช้พิสูจน์สูตรที่ต้องจริงทุก n เช่น สูตรผลบวก Σk² ที่ใช้หาอินทิกรัลด้วยผลบวกรีมันน์ กฎอนุพันธ์ $d(x^n)/dx = nx^{n-1}$ การแปลงลาปลาซ $\mathcal{L}\{t^n\} = n!/s^{n+1}$ ทฤษฎีบทเดอมัวฟร์ของเฟสเซอร์ กำลังของเมทริกซ์ในระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ขอบเขตของลำดับเวียนเกิด และความถูกต้องของโปรแกรมที่มีลูป (loop invariant)

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มีกี่ขั้นตอน?**
สองขั้นหลัก: (1) กรณีฐาน (base case) แสดงว่าข้อความ $P(n_0)$ จริง (2) ขั้นอุปนัย (inductive step) สมมติว่า $P(k)$ จริงสำหรับ $k \ge n_0$ ใด ๆ แล้วแสดงว่า $P(k+1)$ จริง เมื่อทำครบสองขั้นจึงสรุปว่า $P(n)$ จริงทุก $n \ge n_0$ เวลาเขียนตอบในข้อสอบนิยมแบ่งเป็น 4 ส่วน: นิยาม P(n), กรณีฐาน, สมมติฐานการอุปนัย และขั้นอุปนัยพร้อมข้อสรุป

**ทำไมต้องตรวจกรณีฐาน ถ้าขั้นอุปนัยพิสูจน์ได้แล้ว?**
เพราะขั้นอุปนัยบอกแค่ว่า “ถ้า P(k) จริง แล้ว P(k+1) จริง” ไม่ได้บอกว่ามีตัวไหนจริงตั้งแต่แรก ตัวอย่าง: สูตรผิด $1 + \cdots + n = (n^2 + n + 2)/2$ ผ่านขั้นอุปนัยได้ แต่ที่ n = 1 ได้ 2 ≠ 1 เหมือนแถวโดมิโนที่ตั้งชิดกันดีแต่ไม่มีใครผลักตัวแรก

**อุปนัยแบบเข้ม (strong induction) ต่างจากแบบธรรมดาอย่างไร?**
แบบธรรมดาสมมติแค่ P(k) แบบเข้มสมมติว่า P(n₀), P(n₀+1), …, P(k) จริงทั้งหมด แล้วพิสูจน์ P(k+1) ใช้เมื่อขั้นถัดไปต้องอาศัยค่าก่อนหน้าหลายค่า เช่นลำดับฟีโบนัชชี $F_{k+1} = F_k + F_{k-1}$ หรือการแยกตัวประกอบเฉพาะ ถ้าย้อนไปสองขั้นต้องตรวจกรณีฐานสองค่า

**พิสูจน์อสมการด้วยอุปนัยทำอย่างไร?**
เริ่มจากด้านซ้ายของ P(k+1) แยกส่วนที่เป็นด้านซ้ายของ P(k) ออกมา ใช้สมมติฐานแทนด้วยด้านขวา (เครื่องหมาย > หรือ ≥ ปรากฏตรงนี้) แล้วแสดงต่อว่าค่าที่ได้มากกว่าหรือเท่ากับด้านขวาของ P(k+1) ขั้นสุดท้ายมักต้องใช้เงื่อนไขของ k เช่น $k \ge 3$ ซึ่งเป็นตัวกำหนดว่ากรณีฐานต้องเริ่มที่ค่าใด

**อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ใช้ทำอะไรในแคลคูลัสและวิศวกรรม?**
ใช้พิสูจน์สูตรที่ต้องจริงทุก n เช่น สูตรผลบวก Σk² ที่ใช้หาอินทิกรัลด้วยผลบวกรีมันน์ กฎอนุพันธ์ $d(x^n)/dx = nx^{n-1}$ การแปลงลาปลาซ $\mathcal{L}\{t^n\} = n!/s^{n+1}$ ทฤษฎีบทเดอมัวฟร์ของเฟสเซอร์ กำลังของเมทริกซ์ในระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ขอบเขตของลำดับเวียนเกิด และความถูกต้องของโปรแกรมที่มีลูป (loop invariant)

---

# ลำดับและอนุกรม (Sequences and Series): สูตร ตัวอย่าง และการลู่เข้า

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/limits/sequences-series/
Updated: 2026-10-17
Summary: ลำดับและอนุกรมคืออะไร สรุปสูตรครบ: ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence) ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence) ซิกมา ลิมิตของลำดับ ε–N อนุกรมอนันต์ (infinite series) การทดสอบการลู่เข้า ratio test, comparison test, integral test อนุกรมกำลัง (power series) และอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series) พร้อมตัวอย่างและแล็บโต้ตอบ

// บทที่ 3.1 · ลิมิต · Sequences & Series

# ลำดับและอนุกรม (Sequences and Series): สูตร ตัวอย่าง และการลู่เข้า

ลำดับคือตัวเลขที่เรียงกันเป็นแถว อนุกรมคือการบวกตัวเลขเหล่านั้นต่อกันไปเรื่อย ๆ คำถามใหญ่ของบทนี้มีข้อเดียว: บวกไปไม่สิ้นสุดแล้วได้ค่าจำกัดหรือไม่ คำตอบอยู่บนลิมิตจากหน้าก่อน และนำไปสู่อนุกรมเทย์เลอร์ เครื่องมือที่วิศวกรใช้ประมาณ sin, eˣ และทำวงจรไม่เชิงเส้นให้เป็นเชิงเส้น หน้านี้มีแล็บให้ลองทุกหัวข้อ

สรุปใน 30 วินาที

- เลขคณิต: $a_n = a_1 + (n-1)d,\ S_n = \tfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$ · เรขาคณิต: $a_n = a_1 r^{n-1},\ S_n = a_1\tfrac{1 - r^n}{1 - r}$

- อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ลู่เข้า ⇔ $|r| < 1$ และ $S = \tfrac{a_1}{1 - r}$

- $\sum a_n$ ลู่เข้า ⇔ ลำดับผลบวกย่อย $S_n$ ลู่เข้า · $a_n \not\to 0$ ⇒ ลู่ออก แต่ $a_n \to 0$ ยังไม่พอ ($\sum 1/n$ ลู่ออก)

- $f(x) = \sum \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$ ภายในรัศมีการลู่เข้า: ฐานของการประมาณเชิงวิศวกรรมทั้งหมด

มีฉบับเต็มแล้ว: หน้านี้เป็นฉบับสรุปหน้าเดียว ถ้าต้องการเรียนลึกถึงระดับมหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม ไปที่ ลำดับและอนุกรมครบชุด 10 หน้า ซึ่งแยกบท การทดสอบการลู่เข้า อนุกรมสลับ อนุกรมกำลัง อนุกรมเทย์เลอร์ และ อนุกรมโลรองต์ พร้อมแล็บ 12 ชุดและแนวข้อสอบ 60 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง แคลคูลัส · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## ลำดับและอนุกรมคืออะไร พื้นฐาน

ลำดับ (sequence) คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนนับ ใส่ $n = 1, 2, 3, \dots$ แล้วได้ค่า $a_1, a_2, a_3, \dots$ เขียนย่อว่า $\{a_n\}$ ส่วน อนุกรม (series) คือผลบวกของพจน์ในลำดับ ถ้าบวกจำกัดจำนวนเรียกว่าอนุกรมจำกัด ถ้าบวกไม่สิ้นสุดเรียกว่าอนุกรมอนันต์ (infinite series) ซึ่งต้องนิยามผ่านลิมิต เพราะเราบวกจำนวนอนันต์ตัวจริง ๆ ไม่ได้

ลำดับกำหนดได้สองแบบ: สูตรพจน์ทั่วไป (explicit formula) เช่น $a_n = 3n - 1$ คำนวณพจน์ไหนก็ได้ทันที และความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) เช่น $a_1 = 2,\ a_{n+1} = a_n + 3$ ต้องรู้พจน์ก่อนหน้าจึงหาพจน์ถัดไปได้ แบบหลังพบบ่อยในงานวิศวกรรม เช่นตัวกรองดิจิทัล วิธีนิวตัน และวงจรบันได

สามพฤติกรรมพื้นฐาน: ลำดับเลขคณิตโตเป็นเส้นตรง (ลู่ออก) ลำดับเรขาคณิตที่ $|r| < 1$ ลดลงสู่ 0 และลำดับสลับเครื่องหมาย $(-1)^n/n$ แกว่งเข้าหา 0 จนอยู่ในแถบ ε ตลอดไป

S1 Sequence ลำดับ

$$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}:\ a_1, a_2, a_3, \dots \qquad a_{n+1} = g(a_n)$$

ฟังก์ชัน $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ · กำหนดด้วยสูตรพจน์ทั่วไปหรือความสัมพันธ์เวียนเกิด

S2 Series & partial sums อนุกรมและผลบวกย่อย

$$S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n,\qquad \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} S_N$$

อนุกรมลู่เข้า (convergent) ถ้าลิมิตนี้มีค่าจำกัด มิฉะนั้นลู่ออก (divergent)

ตัวอย่าง S-1 · สองวิธีเขียนลำดับเดียวกัน

### เขียน $2, 5, 8, 11, \dots$ เป็นสูตรพจน์ทั่วไปและแบบเวียนเกิด แล้วหา $a_{50}$ และ $S_4$

- ผลต่างระหว่างพจน์คงที่เท่ากับ 3: เวียนเกิด $a_1 = 2,\ a_{n+1} = a_n + 3$

- พจน์ทั่วไป: $a_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1$ ตรวจ: $a_1 = 2,\ a_4 = 11$ ✓

- $a_{50} = 3(50) - 1 = 149$ (แบบเวียนเกิดต้องคำนวณ 49 ครั้ง สูตรพจน์ทั่วไปทำครั้งเดียว)

- $S_4 = 2 + 5 + 8 + 11 = 26$ คืออนุกรมของลำดับนี้ถึงพจน์ที่ 4

$a_n = 3n - 1,\ a_{50} = 149,\ S_4 = 26$

## แล็บลำดับ: พจน์ ลิมิต ผลบวกย่อย และใยแมงมุม พื้นฐาน

พิมพ์สูตรเองหรือกดตัวอย่าง แล็บจะบอกว่าเป็นเลขคณิตหรือเรขาคณิต เพิ่มหรือลด มีขอบเขตหรือไม่ และลู่เข้าสู่อะไร ลองเลื่อน ε แล้วดูว่า N ที่ทำให้ “ทุกพจน์หลังจากนี้อยู่ในแถบ” เปลี่ยนไปอย่างไร ในโหมดเวียนเกิด กด “ใยแมงมุม” เพื่อดูว่าทำไมบางลำดับวิ่งเข้าจุดตรึงและบางลำดับแกว่งเป็นวัฏจักร

## ลำดับเลขคณิตและอนุกรมเลขคณิต (Arithmetic) พื้นฐาน

ลำดับเลขคณิตเพิ่มขึ้นทีละเท่ากันเสมอ ค่าคงที่นี้เรียกว่าผลต่างร่วม (common difference) $d$ กราฟของพจน์จึงเรียงเป็นเส้นตรง สูตรผลบวกมาจากเทคนิคของเกาส์: เขียนผลบวกไปข้างหน้าและย้อนกลับ บวกกันได้ $n$ คู่ที่แต่ละคู่เท่ากับ $a_1 + a_n$

S3 Arithmetic sequence ลำดับเลขคณิต

$$a_n = a_1 + (n - 1)d,\qquad d = a_{n+1} - a_n$$

S4 Arithmetic series อนุกรมเลขคณิต

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n - 1)d\right]$$

อนุกรมเลขคณิตอนันต์ลู่ออกเสมอ (ยกเว้นทุกพจน์เป็น 0)

ตัวอย่าง S-2

### (ก) ลำดับเลขคณิตมี $a_5 = 17,\ a_{12} = 45$ หา $S_{20}$ (ข) กองท่อร้อยสายไฟเรียงเป็นชั้น ชั้นล่าง 20 ท่อ ชั้นถัดขึ้นไปน้อยลงชั้นละ 1 จนชั้นบนสุดมี 1 ท่อ มีท่อกี่ท่อ

- (ก) $a_{12} - a_5 = 7d = 28 \Rightarrow d = 4$ และ $a_1 = a_5 - 4d = 17 - 16 = 1$

- $S_{20} = \tfrac{20}{2}\left[2(1) + 19(4)\right] = 10(78) = 780$

- (ข) จำนวนท่อคือ $1 + 2 + \cdots + 20 = \tfrac{20}{2}(1 + 20) = 210$ ท่อ

(ก) $780$ (ข) $210$ ท่อ · สูตร $1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n+1)}{2}$ พิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้

## ลำดับเรขาคณิตและอนุกรมเรขาคณิต (Geometric) พื้นฐาน

ลำดับเรขาคณิตคูณด้วยค่าคงที่เท่ากันทุกครั้ง เรียกว่าอัตราส่วนร่วม (common ratio) $r$ นี่คือลำดับที่สำคัญที่สุดในวิศวกรรม เพราะการเติบโตหรือการลดลงแบบ “เป็นสัดส่วนกับค่าปัจจุบัน” มีอยู่ทุกที่ ตั้งแต่ดอกเบี้ยทบต้น การคายประจุของตัวเก็บประจุที่สุ่มวัดเป็นช่วง ๆ ไปจนถึงผลตอบสนองของระบบดิจิทัล

ที่มาของสูตรผลบวก: ให้ $S_n = a + ar + \cdots + ar^{n-1}$ คูณด้วย $r$ ได้ $rS_n = ar + \cdots + ar^{n}$ ลบกันพจน์กลางหายหมด เหลือ $S_n - rS_n = a - ar^n$ จึงได้ $S_n = a\frac{1 - r^n}{1 - r}$ เมื่อ $n \to \infty$ และ $|r| < 1$ พจน์ $r^n \to 0$

S5 Geometric sequence ลำดับเรขาคณิต

$$a_n = a_1 r^{\,n-1},\qquad r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

$|r| < 1$ ลู่เข้าสู่ 0 · $r = 1$ คงที่ · $r = -1$ แกว่ง · $|r| > 1$ ลู่ออก

S6 Finite geometric series อนุกรมเรขาคณิต n พจน์

$$S_n = a_1\,\frac{1 - r^n}{1 - r}\quad (r \ne 1)$$

S7 Infinite geometric series อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{\,n-1} = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots = \frac{a_1}{1 - r}\quad \text{เมื่อ } |r| < 1$$

$|r| \ge 1$ ลู่ออก · สูตรเดียวกันนี้คือ $\frac{1}{1 - x} = \sum x^n$ ที่เป็นแม่ของอนุกรมกำลังทั้งหมด

บทพิสูจน์ด้วยภาพ: แบ่งครึ่งพื้นที่ไปเรื่อย ๆ ชิ้นทั้งหมดเติมเต็มสี่เหลี่ยมหนึ่งหน่วยพอดี ผลบวกย่อย $S_n = 1 - (\tfrac12)^n$ เข้าใกล้ 1 แต่ไม่เคยเกิน

ตัวอย่าง S-3

### ลำดับเรขาคณิตมี $a_2 = 6$ และ $a_5 = 162$ หา $r,\ a_1$ และ $S_6$

- $\dfrac{a_5}{a_2} = r^3 = \dfrac{162}{6} = 27 \Rightarrow r = 3$

- $a_1 = a_2/r = 2$

- $S_6 = 2\cdot\dfrac{1 - 3^6}{1 - 3} = 2\cdot\dfrac{-728}{-2} = 728$

$r = 3,\ a_1 = 2,\ S_6 = 728$

ตัวอย่าง S-4 · อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

### (ก) แสดงว่า $0.999\ldots = 1$ (ข) เขียน $0.\overline{36}$ เป็นเศษส่วน (ค) ปล่อยลูกบอลจากความสูง 10 m ทุกครั้งที่กระทบพื้นจะเด้งขึ้น 60% ของความสูงเดิม ลูกบอลเคลื่อนที่ได้ระยะทางรวมเท่าไร

- (ก) $0.999\ldots = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \cdots$ มี $a_1 = 0.9,\ r = 0.1$ จึงได้ $\dfrac{0.9}{1 - 0.1} = 1$ ทั้งสองเป็นจำนวนเดียวกัน ไม่ใช่ “เกือบ 1”

- (ข) $0.3636\ldots = 0.36 + 0.0036 + \cdots = \dfrac{0.36}{1 - 0.01} = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}$

- (ค) ขาลงครั้งแรก 10 m จากนั้นแต่ละการเด้งมีขาขึ้นและขาลงเท่ากัน: $6 + 3.6 + 2.16 + \cdots$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต $a_1 = 6,\ r = 0.6$

- ระยะรวม $= 10 + 2\cdot\dfrac{6}{1 - 0.6} = 10 + 2(15) = 40\ \text{m}$

(ก) $1$ (ข) $\tfrac{4}{11}$ (ค) $40\ \text{m}$: เด้งนับครั้งไม่ถ้วนแต่ระยะทางมีขอบเขต

## สัญลักษณ์ซิกมาและสูตรผลบวก (Sigma Notation) พื้นฐาน

สัญลักษณ์ $\sum$ (ซิกมา) ย่อการบวกยาว ๆ ให้สั้น ตัวแปร $k$ ใต้ซิกมาเป็นแค่ตัวนับ เปลี่ยนชื่อเป็น $i$ หรือ $j$ ก็ได้ค่าเดิม สูตรผลบวกกำลังของจำนวนนับด้านล่างใช้บ่อยมากในการหาอินทิกรัลจำกัดเขตด้วยผลบวกรีมันน์ และทุกสูตรพิสูจน์ได้ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

S8 Sigma properties สมบัติของซิกมา

$$\sum_{k=1}^{n}(c\,a_k \pm b_k) = c\sum_{k=1}^{n}a_k \pm \sum_{k=1}^{n}b_k,\qquad \sum_{k=1}^{n} c = nc$$

ระวัง: $\sum a_k b_k \ne \left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)$

S9 Power sums สูตรผลบวกกำลังของจำนวนนับ

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$$

S10 Telescoping sum ผลบวกแบบหักล้าง

$$\sum_{k=1}^{n}\left(b_k - b_{k+1}\right) = b_1 - b_{n+1}$$

เทคนิค: แยกเศษส่วนย่อยก่อน พจน์กลางจะหักล้างกันหมด

ตัวอย่าง S-5 · กล้องส่องทางไกล

### หา $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$ และ $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}$

- แยกเศษส่วนย่อย: $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$

- $S_n = \left(1 - \tfrac12\right) + \left(\tfrac12 - \tfrac13\right) + \cdots + \left(\tfrac1n - \tfrac{1}{n+1}\right) = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$

- $\lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{n+1} = 1$

$S_n = \dfrac{n}{n+1}$ และอนุกรมอนันต์ $= 1$

## ลิมิตของลำดับ: ลู่เข้าและลู่ออก (Convergence) กลาง

ลำดับลู่เข้า (converges) สู่ $L$ ถ้าพจน์เข้าใกล้ $L$ และอยู่ใกล้ตลอดไป นิยามแบบเป๊ะเหมือน ε–δ ในหน้าลิมิต แต่ใช้ N แทน δ เพราะ n เป็นจำนวนนับที่วิ่งไปอนันต์: ไม่ว่าจะให้แถบ ε แคบแค่ไหน ต้องหา N ที่ทำให้ทุกพจน์หลังจาก N อยู่ในแถบนั้นได้ ลองทำในแล็บด้านบนได้เลย

ข่าวดีคือ ถ้า $a_n = f(n)$ และ $\lim_{x\to\infty} f(x) = L$ แล้ว $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ ด้วย เทคนิคทั้งหมดจากหน้าลิมิต (หารด้วยกำลังสูงสุด โลปิตาล ค่า e) จึงใช้กับลำดับได้ทันที (บทกลับไม่จริง เช่น $\sin(\pi n) = 0$ ทุก n แต่ $\sin(\pi x)$ ไม่มีลิมิต)

S11 ε–N definition นิยามลิมิตของลำดับ

$$\lim_{n\to\infty} a_n = L \iff \forall\varepsilon > 0\ \exists N:\ n \ge N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$$

ลำดับที่ไม่ลู่เข้าเรียกว่าลู่ออก: โตไม่มีขอบเขต ($\to \pm\infty$) หรือแกว่งไม่นิ่ง เช่น $(-1)^n$

S12 Standard sequence limits ลิมิตมาตรฐานที่ต้องจำ

$$r^n \to 0\ (|r| < 1),\quad \sqrt[n]{n} \to 1,\quad \left(1 + \tfrac{x}{n}\right)^n \to e^x,\quad \frac{\ln n}{n} \to 0,\quad \frac{n^p}{b^n} \to 0\ (b > 1),\quad \frac{b^n}{n!} \to 0$$

ลำดับความเร็วการโต: $\ln n \ll n^p \ll b^n \ll n! \ll n^n$

S13 Monotone convergence ทฤษฎีบทลำดับทางเดียว

$$a_n \nearrow\ \text{และ}\ a_n \le M\ \ \Rightarrow\ \ \{a_n\}\ \text{ลู่เข้า}$$

เพิ่มขึ้นและมีขอบเขตบน (หรือลดลงและมีขอบเขตล่าง) ต้องลู่เข้า ใช้กับลำดับเวียนเกิดเสมอ

S14 Squeeze for sequences แซนด์วิช

$$b_n \le a_n \le c_n,\ b_n, c_n \to L \Rightarrow a_n \to L$$

เช่น $\left|\frac{\sin n}{n}\right| \le \frac1n \to 0$

ตัวอย่าง S-6 · ลิมิตของลำดับ

### (ก) $\lim \dfrac{3n^2 + 1}{2n^2 - n}$ (ข) $\lim \dfrac{n}{2^n}$ (ค) $\lim\left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^n$

- (ก) หารด้วย $n^2$: $\dfrac{3 + 1/n^2}{2 - 1/n} \to \dfrac{3}{2}$

- (ข) รูป ∞/∞ ใช้โลปิตาลกับ $f(x) = x/2^x$: $\lim \dfrac{1}{2^x\ln 2} = 0$ จึงได้ $\lim n/2^n = 0$ (เลขชี้กำลังโตเร็วกว่าพหุนามเสมอ)

- (ค) จาก S12 ที่ $x = 2$: $\left(1 + \tfrac{2}{n}\right)^n \to e^2 \approx 7.389$

(ก) $\tfrac32$ (ข) $0$ (ค) $e^2$

ตัวอย่าง S-7 · ลำดับเวียนเกิดกับทฤษฎีบทลำดับทางเดียว

### $a_1 = \sqrt2,\ a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ ลู่เข้าหรือไม่ ถ้าลู่เข้า ลิมิตเท่าไร

- พจน์แรก ๆ: 1.4142, 1.8478, 1.9616, 1.9904, 1.9976, … ดูเหมือนเพิ่มขึ้นเข้าหา 2

- มีขอบเขต $a_n < 2$ ทุก n และเพิ่มขึ้น $a_{n+1} > a_n$ ทุก n: ทั้งสองข้อพิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (ถ้า $a_k < 2$ แล้ว $a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} < \sqrt4 = 2$)

- เพิ่มขึ้นและมีขอบเขต จึงลู่เข้าตาม S13 ให้ลิมิตเป็น $L$

- ใส่ลิมิตทั้งสองข้างของความสัมพันธ์: $L = \sqrt{2 + L} \Rightarrow L^2 - L - 2 = 0 \Rightarrow (L - 2)(L + 1) = 0$ ตัด $L = -1$ เพราะทุกพจน์เป็นบวก

ลู่เข้าสู่ $L = 2$ · ข้อควรระวัง: ต้องพิสูจน์ว่าลู่เข้าก่อน แล้วค่อยแก้ $L = g(L)$ (ถ้าข้ามขั้นแรก อาจได้ “ลิมิต” ของลำดับที่ลู่ออก)

## อนุกรมอนันต์ลู่เข้าเมื่อไร: การทดสอบการลู่เข้า (Convergence Tests) กลาง

อนุกรมส่วนใหญ่หาผลบวกจริงไม่ได้ แต่บอกได้ว่าลู่เข้าหรือลู่ออก ซึ่งในงานวิศวกรรมสำคัญกว่า เพราะถ้าลู่เข้า เราตัดอนุกรมที่จำนวนพจน์จำกัดแล้วประมาณค่าได้ ถ้าลู่ออก การคำนวณจะพังไม่ว่าจะบวกกี่พจน์ ด่านแรกของทุกอนุกรมคือ nth-term test

S15 nth-term (divergence) test ทดสอบพจน์ที่ n

$$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0\ \text{(หรือไม่มีค่า)} \ \Rightarrow\ \sum a_n\ \text{ลู่ออก}$$

ถ้า $a_n \to 0$ สรุปไม่ได้ ต้องใช้การทดสอบอื่นต่อ

1 อนุกรม p ฮาร์มอนิก">
S16 p-series อนุกรม p

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\ \text{ลู่เข้า} \iff p > 1$$

$p = 1$ คือฮาร์มอนิก ลู่ออก · $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$

S17 Integral test ทดสอบด้วยปริพันธ์

$$a_n = f(n),\ f \searrow,\ f > 0:\ \sum a_n \sim \int_1^{\infty} f(x)\,dx$$

อนุกรมกับอินทิกรัลไม่ตรงกัน ลู่เข้าหรือลู่ออกเหมือนกันเท่านั้น

S18 Comparison tests การเปรียบเทียบ

$$0 \le a_n \le b_n:\ \textstyle\sum b_n\ \text{ลู่เข้า} \Rightarrow \sum a_n\ \text{ลู่เข้า};\qquad \lim\frac{a_n}{b_n} = c > 0 \Rightarrow \text{เหมือนกัน}$$

เปรียบเทียบกับอนุกรม p หรือเรขาคณิตที่รู้คำตอบแล้ว

S19 Ratio test ทดสอบอัตราส่วน

$$\rho = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|:\ \rho < 1\ \text{ลู่เข้า},\ \rho > 1\ \text{ลู่ออก},\ \rho = 1\ \text{สรุปไม่ได้}$$

เหมาะกับ $n!$ และ $c^n$

S20 Root test ทดสอบราก

$$\rho = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}:\ \text{เกณฑ์เดียวกับ ratio test}$$

เหมาะกับพจน์รูป $(\cdots)^n$

S21 Alternating series test อนุกรมสลับ (ไลบ์นิซ)

$$\sum (-1)^{n+1} b_n,\ b_n \searrow 0 \Rightarrow \text{ลู่เข้า},\quad |S - S_N| \le b_{N+1}$$

ความคลาดเคลื่อนไม่เกินพจน์แรกที่ตัดทิ้ง

S22 Absolute vs conditional สัมบูรณ์กับมีเงื่อนไข

$$\textstyle\sum |a_n|\ \text{ลู่เข้า} \Rightarrow \sum a_n\ \text{ลู่เข้า (absolutely)}$$

ลู่เข้าแต่ $\sum|a_n|$ ลู่ออก = มีเงื่อนไข (สลับลำดับพจน์แล้วผลบวกเปลี่ยนได้)

ทำไมการทดสอบด้วยปริพันธ์ใช้ได้: ผลบวกคือพื้นที่แท่งกว้าง 1 หน่วย ซ้าย: แท่งของ $\sum 1/n$ อยู่เหนือ $y = 1/x$ และพื้นที่ใต้กราฟโตแบบ ln ไม่มีขอบเขต ขวา: แท่งของ $\sum 1/n^2$ (ตั้งแต่ n = 2) อยู่ใต้ $y = 1/x^2$ ซึ่งมีพื้นที่จำกัด

### ผังเลือกการทดสอบ (เรียงตามลำดับที่ควรลอง)

① พจน์เข้าใกล้ 0 ไหมไม่ → ลู่ออกทันที (S15) · ใช่ → ไปต่อ

② รูปที่รู้คำตอบเรขาคณิต $ar^n$ (S7) · อนุกรม p $1/n^p$ (S16) · กล้องส่องทางไกล (S10)

③ มี $n!$ หรือ $c^n$ใช้ ratio test (S19) · ทั้งก้อนยกกำลัง n ใช้ root test (S20)

④ เศษส่วนพหุนาม รากที่สองlimit comparison กับ $1/n^p$ โดย p = ดีกรีส่วน − ดีกรีเศษ (S18)

⑤ เครื่องหมายสลับทดสอบ $\sum|a_n|$ ก่อน ถ้าลู่ออกใช้อนุกรมสลับ (S21, S22)

⑥ f(n) อินทิเกรตได้ทดสอบด้วยปริพันธ์ (S17) เช่น $1/(n\ln n)$

ตัวทดสอบด้านล่างมีตัวอย่าง 14 อนุกรมพร้อมเหตุผลแบบเต็ม และพิมพ์อนุกรมของตัวเองได้ เส้นสีฟ้าคือผลบวกย่อย $S_n$ จุดสีส้มคือพจน์ $a_n$ สังเกตว่าอนุกรมที่ลู่ออกช้า ๆ อย่างฮาร์มอนิกและ $\sum 1/(n\ln n)$ ดูเหมือนนิ่งบนหน้าจอ นี่คือเหตุผลที่ต้องมีการทดสอบทางคณิตศาสตร์ ไม่ใช่แค่บวกด้วยคอมพิวเตอร์

ตัวอย่าง S-8 · เลือกการทดสอบให้ถูก

### ทดสอบการลู่เข้า: (ก) $\sum \dfrac{n}{2^n}$ (ข) $\sum \dfrac{1}{n^2 + 1}$ (ค) $\sum \dfrac{n}{n + 1}$ (ง) $\sum \dfrac{n!}{n^n}$ (จ) $\sum \dfrac{3n + 5}{n^3 - 2}\ (n \ge 2)$

- (ก) มี $2^n$ ใช้ ratio test: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n + 1}{2n} \to \tfrac12 < 1$ ลู่เข้า (ผลบวก = 2)

- (ข) $\dfrac{1}{n^2 + 1} < \dfrac{1}{n^2}$ และ $\sum 1/n^2$ ลู่เข้า จึงลู่เข้าโดยการเปรียบเทียบ

- (ค) $\dfrac{n}{n + 1} \to 1 \ne 0$ ลู่ออกด้วย nth-term test ไม่ต้องทำอย่างอื่น

- (ง) ratio test: $\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\dfrac{n^n}{n!} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n = \dfrac{1}{(1 + 1/n)^n} \to \dfrac1e < 1$ ลู่เข้า

- (จ) ดีกรีส่วน − ดีกรีเศษ = 3 − 1 = 2 เทียบกับ $1/n^2$: $\lim \dfrac{(3n + 5)/(n^3 - 2)}{1/n^2} = \lim\dfrac{3n^3 + 5n^2}{n^3 - 2} = 3 > 0$ และ $\sum 1/n^2$ ลู่เข้า จึงลู่เข้า

(ก) ลู่เข้า (ข) ลู่เข้า (ค) ลู่ออก (ง) ลู่เข้า (จ) ลู่เข้า

ตัวอย่าง S-9 · อนุกรมสลับและขอบเขตความคลาดเคลื่อน

### อนุกรม $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots$ ลู่เข้าแบบใด ถ้าบวก 10 พจน์ ความคลาดเคลื่อนไม่เกินเท่าไร

- $b_n = 1/n$ ลดลงและเข้าใกล้ 0 จึงลู่เข้า (S21)

- $\sum |a_n| = \sum 1/n$ ลู่ออก จึงลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข (S22)

- ผลบวกจริงคือ $\ln 2 \approx 0.693147$ (จากอนุกรมของ $\ln(1 + x)$ ที่ $x = 1$) และ $S_{10} \approx 0.645635$

- ขอบเขต: $|S - S_{10}| \le b_{11} = \tfrac{1}{11} \approx 0.0909$ ค่าจริงคลาด $0.0475$ อยู่ในขอบเขต ✓

ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ความคลาดเคลื่อนหลัง 10 พจน์ไม่เกิน $1/11$ (ลู่เข้าช้ามาก: ต้องใช้ราวครึ่งล้านพจน์จึงได้ทศนิยม 6 ตำแหน่ง)

## อนุกรมกำลังและรัศมีการลู่เข้า (Power Series) กลาง

อนุกรมกำลังคือ “พหุนามที่ยาวไม่สิ้นสุด” $\sum c_n (x - a)^n$ มันลู่เข้าเสมอในช่วงที่สมมาตรรอบ $a$ ความกว้างครึ่งหนึ่งของช่วงนี้คือรัศมีการลู่เข้า (radius of convergence) $R$ หาได้ด้วย ratio test ส่วนที่ปลายช่วง $x = a \pm R$ ต้องทดสอบแยกเสมอ ภายในช่วงเราหาอนุพันธ์และอินทิเกรตทีละพจน์ได้ จึงสร้างอนุกรมใหม่จากอนุกรมเรขาคณิตได้มากมาย

S23 Power series อนุกรมกำลัง

$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$$

S24 Radius of convergence รัศมีการลู่เข้า

$$R = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|,\qquad |x - a| < R\ \text{ลู่เข้า},\ |x - a| > R\ \text{ลู่ออก}$$

$R = \infty$: ลู่เข้าทุก x · ปลายช่วงทดสอบแยก

S25 Term-by-term calculus หาอนุพันธ์และอินทิเกรตทีละพจน์

$$\frac{d}{dx}\sum c_n x^n = \sum n c_n x^{n-1},\qquad \int \sum c_n x^n\,dx = C + \sum \frac{c_n}{n+1}x^{n+1}\quad (R\ \text{เท่าเดิม})$$

ตัวอย่าง S-10 · ช่วงลู่เข้าและอนุกรมใหม่จากเรขาคณิต

### (ก) หาช่วงลู่เข้าของ $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{n}$ (ข) หาอนุกรมของ $\ln(1 + x)$ และ $\arctan x$

- (ก) $R = \lim \dfrac{1/n}{1/(n+1)} = 1$ ลู่เข้าเมื่อ $|x| < 1$

- ปลายช่วง: $x = 1$ ได้ $\sum 1/n$ ลู่ออก · $x = -1$ ได้ $\sum (-1)^n/n$ ลู่เข้า (อนุกรมสลับ) ช่วงลู่เข้าคือ $[-1, 1)$

- (ข) เริ่มจาก $\dfrac{1}{1 + t} = 1 - t + t^2 - \cdots$ (เรขาคณิต $r = -t$) อินทิเกรตจาก 0 ถึง x: $\ln(1 + x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$

- แทน $t$ ด้วย $t^2$: $\dfrac{1}{1 + t^2} = 1 - t^2 + t^4 - \cdots$ อินทิเกรต: $\arctan x = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \cdots$ ที่ $x = 1$ ได้สูตรของไลบ์นิซ $\tfrac{\pi}{4} = 1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots$

(ก) $[-1, 1)$ และอนุกรมนี้คือ $-\ln(1 - x)$ (ข) ทั้งสองมี $R = 1$

## อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน (Taylor & Maclaurin Series) กลาง

ถ้าอยากได้พหุนามที่ “เหมือน” $f(x)$ ที่สุดรอบจุด $a$ ให้บังคับค่าฟังก์ชันและอนุพันธ์ทุกอันดับที่ $a$ ให้ตรงกัน ผลคือสัมประสิทธิ์ $c_k = f^{(k)}(a)/k!$ อนุกรมที่ได้เรียกว่าอนุกรมเทย์เลอร์ และเมื่อ $a = 0$ เรียกว่าอนุกรมแมคลอริน พหุนามที่ตัดไว้ $n$ พจน์ $P_n(x)$ คือสิ่งที่วิศวกรใช้จริง พร้อมเศษเหลือ (remainder) ที่บอกว่าคลาดเคลื่อนไม่เกินเท่าไร ต้องใช้อนุพันธ์จากบทที่ 4 (ย้อนมาอ่านส่วนนี้หลังเรียนอนุพันธ์ได้)

S26 Taylor series อนุกรมเทย์เลอร์

$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots$$

$a = 0$: อนุกรมแมคลอริน · $P_1(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$ คือเส้นสัมผัส (linearization)

S27 Maclaurin series table ตารางอนุกรมแมคลอรินที่ใช้บ่อย

$$\begin{aligned} e^x &= 1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^3}{3!} + \cdots & (R = \infty) \\ \sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \cdots & (R = \infty) \\ \cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \cdots & (R = \infty) \\ \ln(1 + x) &= x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3} - \cdots & (-1 < x \le 1) \\ (1 + x)^{\alpha} &= 1 + \alpha x + \tfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots & (|x| < 1) \\ \tfrac{1}{1 - x} &= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots & (|x| < 1) \end{aligned}$$

S28 Lagrange remainder เศษเหลือแบบลากรองจ์

$$R_n(x) = f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1},\quad |R_n(x)| \le \frac{M\,|x - a|^{n+1}}{(n+1)!}$$

$c$ อยู่ระหว่าง $a$ กับ $x$ · $M = \max|f^{(n+1)}|$ บนช่วงนั้น

พหุนามแมคลอรินของ $\sin x$: $P_1 = x$ ใช้ได้เฉพาะใกล้ 0 ยิ่งเพิ่มดีกรี ช่วงที่แนบสนิทยิ่งกว้าง เพราะ $R = \infty$

แล็บด้านล่างคำนวณสัมประสิทธิ์เทย์เลอร์แบบแม่นตรงด้วยการหาอนุพันธ์อัตโนมัติ พิมพ์ฟังก์ชันอะไรก็ได้ เลือกจุดกระจาย a และดีกรี n แล้วดูทั้งความคลาดเคลื่อนจริงและขอบเขตลากรองจ์ ลอง $\ln(1 + x)$ ที่ $x = 1.5$: อยู่นอกรัศมี R = 1 เพิ่มดีกรีเท่าไรก็ไม่เข้าใกล้ ส่วน $1/(1 + x^2)$ ซึ่งเรียบทุกจุดบนเส้นจำนวนจริงก็มี R = 1 เพราะมีโพลที่ $x = \pm j$ บนระนาบเชิงซ้อน (ดูจำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์)

ตัวอย่าง S-11 · ประมาณค่าพร้อมขอบเขตความคลาดเคลื่อน

### (ก) ประมาณ $e^{0.1}$ ด้วย $P_3$ และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อน (ข) ประมาณ $\sqrt{1.02}$ และ $\ln 1.05$

- (ก) $P_3(0.1) = 1 + 0.1 + \dfrac{0.01}{2} + \dfrac{0.001}{6} = 1.1051667$

- ขอบเขต: $f^{(4)}(c) = e^c \le e^{0.1} < 1.11$ จึงได้ $|R_3| \le \dfrac{1.11\,(0.1)^4}{4!} \approx 4.6\times10^{-6}$

- ค่าจริง $e^{0.1} = 1.1051709$ คลาด $4.25\times10^{-6}$ อยู่ในขอบเขต ✓ (ทศนิยมถูก 5 ตำแหน่งด้วยการบวก 4 พจน์)

- (ข) $\sqrt{1 + x} \approx 1 + \tfrac{x}{2} - \tfrac{x^2}{8}$: $\sqrt{1.02} \approx 1 + 0.01 - 0.00005 = 1.00995$ (จริง 1.0099505)

- $\ln(1 + x) \approx x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3}$: $\ln 1.05 \approx 0.05 - 0.00125 + 0.0000417 = 0.0487917$ (จริง 0.0487902)

$e^{0.1} \approx 1.1051667$ คลาดไม่เกิน $4.6\times10^{-6}$ · $\sqrt{1.02} \approx 1.00995$ · $\ln 1.05 \approx 0.04879$

## การประยุกต์: แคลคูลัสและคณิตศาสตร์วิศวกรรม กลาง

ลำดับและอนุกรมไม่ได้อยู่แค่ในข้อสอบ วงจร สัญญาณ ระบบควบคุม และเศรษฐศาสตร์วิศวกรรมใช้สามแนวคิดนี้ตลอด: ลำดับเวียนเกิดที่ลู่เข้าสู่จุดตรึง อนุกรมเรขาคณิต และการประมาณด้วยเทย์เลอร์

| งานวิศวกรรม | ลำดับ / อนุกรมที่อยู่เบื้องหลัง |

| วงจรบันไดตัวต้านทาน สายส่ง | ลำดับเวียนเกิด $R_{n+1} = R + (R \parallel R_n)$ ลู่เข้าสู่จุดตรึง |

| ตัวกรองดิจิทัล EMA ใน PLC และไมโครคอนโทรลเลอร์ | $y[n] = \alpha y[n-1] + (1 - \alpha)x[n]$ ผลตอบสนองคืออนุกรมเรขาคณิต เสถียร ⇔ $|\alpha| < 1$ |

| มูลค่าปัจจุบันของโครงการ เช่นโซลาร์รูฟท็อป | อนุกรมเรขาคณิตของเงินที่ประหยัดได้แต่ละปีหักลดด้วยอัตราคิดลด |

| มุมเล็ก ลูกตุ้ม แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด | เทย์เลอร์อันดับหนึ่ง $\sin\theta \approx \theta$, $e^{x} \approx 1 + x$ (linearization) |

| ความไวของกำลังไฟฟ้าต่อแรงดัน | $(1 + x)^n \approx 1 + nx$: แรงดันเพิ่ม 3% กำลัง $V^2/R$ เพิ่มราว 6% |

| รูปคลื่นสี่เหลี่ยม ฮาร์มอนิก THD | อนุกรมฟูริเยร์: อนุกรมของฟังก์ชัน sin และ cos |

| หารากของสมการในวงจรไม่เชิงเส้น | วิธีนิวตัน-ราฟสัน $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ คือลำดับเวียนเกิด |

| อินทิกรัลจำกัดเขต การหาพื้นที่ด้วยคอมพิวเตอร์ | ผลบวกรีมันน์ $\sum f(x_k)\Delta x$ และสูตร $\sum k^2$ |

วงจรบันไดตัวต้านทาน: ความต้านทานรวมของบันได n ขั้นเป็นลำดับเวียนเกิดที่ลู่เข้าสู่อัตราส่วนทองคำ $\varphi R$ ใช้เป็นแบบจำลองสายส่งและสายเคเบิลยาว

ตัวอย่าง S-12 · วงจรบันไดตัวต้านทาน

### บันไดแต่ละขั้นมีตัวต้านทานอนุกรม $R = 10\ \Omega$ และตัวต้านทานขนานลงกราวด์ $R = 10\ \Omega$ หาความต้านทานรวมของบันไดอนันต์ และบันได 5 ขั้นคลาดจากค่าอนันต์กี่เปอร์เซ็นต์

- ขั้นสุดท้ายขั้นเดียว: $R_1 = R + R = 2R$ · เพิ่มอีกขั้นด้านหน้า: $R_{n+1} = R + \dfrac{R\,R_n}{R + R_n}$ (ตัวต้านทานอนุกรมบวกกับตัวขนานที่ขนานกับบันไดที่เหลือ)

- ในหน่วย R: $2 \to \tfrac53 \to \tfrac{13}{8} \to \tfrac{34}{21} \to \tfrac{89}{55} \to \cdots$ ลดลงและมีขอบเขตล่าง จึงลู่เข้า (เศษและส่วนคือเลขฟีโบนัชชี ดูบทพิสูจน์ด้วยอุปนัย)

- จุดตรึง: $x = R + \dfrac{Rx}{R + x} \Rightarrow x^2 - Rx - R^2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1 + \sqrt5}{2}R \approx 1.618R$

- $R_\infty = 16.180\ \Omega$ และ $R_5 = \tfrac{89}{55}(10) = 16.182\ \Omega$ คลาด $\dfrac{16.1818 - 16.1803}{16.1803} \approx 0.009\%$

$R_{eq} = \tfrac{1 + \sqrt5}{2}(10) \approx 16.18\ \Omega$ · บันไดแค่ 5 ขั้นก็คลาดไม่ถึง 0.01% (ลู่เข้าแบบเรขาคณิต)

ตัวอย่าง S-13 · ตัวกรองดิจิทัล (EMA) ของสัญญาณเซนเซอร์

### ตัวกรอง $y[n] = 0.8\,y[n-1] + 0.2\,x[n]$ เริ่มจาก $y[-1] = 0$ ป้อนขั้นบันได $x[n] = 1$ หา $y[n]$ ค่าสุดท้าย และต้องใช้กี่ตัวอย่างจึงถึง 95%

- คลี่ความสัมพันธ์: $y[n] = 0.2\left(1 + 0.8 + 0.8^2 + \cdots + 0.8^n\right)$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต $n + 1$ พจน์

- $y[n] = 0.2\cdot\dfrac{1 - 0.8^{n+1}}{1 - 0.8} = 1 - 0.8^{n+1}$ ค่าสุดท้าย $y[\infty] = 1$ (อัตราขยาย DC = 1)

- ถึง 95%: $0.8^{n+1} \le 0.05 \Rightarrow n + 1 \ge \dfrac{\ln 0.05}{\ln 0.8} = 13.4$ จึงต้อง $n + 1 = 14$ ตัวอย่าง ($y[13] = 0.956$)

- เสถียรภาพ: ถ้าสัมประสิทธิ์ $|\alpha| \ge 1$ อนุกรมลู่ออก ตัวกรองจะแกว่งหรือโตไม่หยุด เป็นเงื่อนไขเดียวกับโพลอยู่ในวงกลมหนึ่งหน่วยของการแปลง z

$y[n] = 1 - 0.8^{n+1} \to 1$ · ถึง 95% ที่ตัวอย่างที่ 14 · ใช้ในการปรับสภาพสัญญาณและ ADC

ตัวอย่าง S-14 · เศรษฐศาสตร์วิศวกรรมและการประมาณเชิงเส้น

### (ก) โซลาร์รูฟท็อปประหยัดค่าไฟปีละ 12,000 บาท นาน 20 ปี อัตราคิดลด 5% ต่อปี มูลค่าปัจจุบันรวมเท่าไร (ข) แรงดันจ่ายตัวต้านทานเพิ่มขึ้น 3% กำลังเพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์

- (ก) เงินปีที่ k มีมูลค่าปัจจุบัน $\dfrac{12000}{1.05^k}$ รวม $k = 1$ ถึง 20 เป็นอนุกรมเรขาคณิต $a_1 = \tfrac{12000}{1.05},\ r = \tfrac{1}{1.05}$

- $PV = 12000\cdot\dfrac{1 - 1.05^{-20}}{0.05} = 12000 \times 12.4622 \approx 149{,}547$ บาท (เทียบกับเงินสด 240,000 บาทที่ไม่คิดลด)

- (ข) $P = V^2/R$ เมื่อ $V \to 1.03V$: $P \to (1.03)^2 P$ ใช้ $(1 + x)^2 \approx 1 + 2x$ ได้ $+6\%$ (ค่าจริง $1.0609$ คือ $+6.09\%$)

(ก) ≈ 149,547 บาท (ดูการคิดคุ้มทุนในเศรษฐศาสตร์ระบบโซลาร์) (ข) ≈ 6% · กฎหัวแม่มือ: ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์คูณด้วยเลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง S-15 · จากผลบวกสู่อินทิกรัล

### ใช้ผลบวกรีมันน์ด้านขวา $n$ ช่วงประมาณ $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ หาค่าเมื่อ $n = 10$ และลิมิตเมื่อ $n \to \infty$

- $\Delta x = \tfrac1n,\ x_k = \tfrac{k}{n}$: $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2\frac1n = \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2$

- ใช้ S9: $S_n = \dfrac{1}{n^3}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$

- $n = 10$: $S_{10} = \dfrac{11\cdot 21}{600} = 0.385$ · $\lim_{n\to\infty} S_n = \dfrac{2}{6} = \dfrac13$

$S_{10} = 0.385$ และอินทิกรัล $= \tfrac13$: นิยามของอินทิกรัลจำกัดเขตคือลิมิตของอนุกรม

หน้าถัดไป: อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ พิสูจน์สูตร S9 ขอบเขตของลำดับใน S-7 และสูตรฟีโบนัชชีของวงจรบันไดใน S-12 อย่างเป็นระบบ · เรียนลึกต่อ: ลำดับและอนุกรมครบชุด (บทที่ 26)

## คำถามที่พบบ่อย

ลำดับกับอนุกรมต่างกันอย่างไร?
ลำดับ (sequence) คือรายการตัวเลขเรียงกัน $a_1, a_2, a_3, \dots$ ส่วนอนุกรม (series) คือผลบวกของพจน์ในลำดับ $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ เช่น ลำดับ 1, 1/2, 1/4, … ลู่เข้าสู่ 0 แต่อนุกรม 1 + 1/2 + 1/4 + ⋯ ลู่เข้าสู่ 2 อนุกรมอนันต์คือลิมิตของลำดับผลบวกย่อย $S_n$

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ลู่เข้าเมื่อไร และผลบวกเท่าไร?
อนุกรม $a + ar + ar^2 + \cdots$ ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ $|r|
ถ้า lim aₙ = 0 แล้วอนุกรม Σaₙ ลู่เข้าเสมอไหม?
ไม่เสมอ เงื่อนไข $a_n \to 0$ จำเป็นแต่ไม่พอ ตัวอย่างคืออนุกรมฮาร์มอนิก $\sum 1/n$ ซึ่งพจน์เข้าใกล้ 0 แต่ผลบวกโตแบบ $\ln n$ ไม่มีขอบเขต ในทางกลับกัน ถ้า $a_n$ ไม่เข้าใกล้ 0 อนุกรมลู่ออกแน่นอน (nth-term test)

ควรเลือกใช้ ratio test หรือการทดสอบแบบไหนก่อน?
เริ่มจาก nth-term test (พจน์ไม่เข้าใกล้ 0 = ลู่ออก) แล้วดูรูป: อนุกรมเรขาคณิตหรืออนุกรม p ตอบได้ทันที มีแฟกทอเรียลหรือ $c^n$ ใช้ ratio test ยกกำลัง n ทั้งก้อนใช้ root test เป็นเศษส่วนของพหุนามใช้ limit comparison กับ $1/n^p$ เครื่องหมายสลับใช้ alternating series test ถ้า ratio test ได้ 1 แปลว่าสรุปไม่ได้ต้องใช้วิธีอื่น

วิศวกรใช้อนุกรมเทย์เลอร์ทำอะไร?
ใช้ประมาณฟังก์ชันซับซ้อนด้วยพหุนาม เช่น $\sin\theta \approx \theta$ เมื่อมุมเล็ก $e^x \approx 1 + x$ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ การทำให้เป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงาน (linearization) ในแบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดและทรานซิสเตอร์ การควบคุมระบบไม่เชิงเส้น และการคำนวณ sin, eˣ ในไมโครคอนโทรลเลอร์

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ลำดับกับอนุกรมต่างกันอย่างไร?**
ลำดับ (sequence) คือรายการตัวเลขเรียงกัน $a_1, a_2, a_3, \dots$ ส่วนอนุกรม (series) คือผลบวกของพจน์ในลำดับ $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ เช่น ลำดับ 1, 1/2, 1/4, … ลู่เข้าสู่ 0 แต่อนุกรม 1 + 1/2 + 1/4 + ⋯ ลู่เข้าสู่ 2 อนุกรมอนันต์คือลิมิตของลำดับผลบวกย่อย $S_n$

**อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ลู่เข้าเมื่อไร และผลบวกเท่าไร?**
อนุกรม $a + ar + ar^2 + \cdots$ ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ $|r| < 1$ และผลบวกคือ $\dfrac{a}{1 - r}$ ถ้า $|r| \ge 1$ จะลู่ออก เช่น 0.999… = 0.9/(1 − 0.1) = 1

**ถ้า lim aₙ = 0 แล้วอนุกรม Σaₙ ลู่เข้าเสมอไหม?**
ไม่เสมอ เงื่อนไข $a_n \to 0$ จำเป็นแต่ไม่พอ ตัวอย่างคืออนุกรมฮาร์มอนิก $\sum 1/n$ ซึ่งพจน์เข้าใกล้ 0 แต่ผลบวกโตแบบ $\ln n$ ไม่มีขอบเขต ในทางกลับกัน ถ้า $a_n$ ไม่เข้าใกล้ 0 อนุกรมลู่ออกแน่นอน (nth-term test)

**ควรเลือกใช้ ratio test หรือการทดสอบแบบไหนก่อน?**
เริ่มจาก nth-term test (พจน์ไม่เข้าใกล้ 0 = ลู่ออก) แล้วดูรูป: อนุกรมเรขาคณิตหรืออนุกรม p ตอบได้ทันที มีแฟกทอเรียลหรือ $c^n$ ใช้ ratio test ยกกำลัง n ทั้งก้อนใช้ root test เป็นเศษส่วนของพหุนามใช้ limit comparison กับ $1/n^p$ เครื่องหมายสลับใช้ alternating series test ถ้า ratio test ได้ 1 แปลว่าสรุปไม่ได้ต้องใช้วิธีอื่น

**วิศวกรใช้อนุกรมเทย์เลอร์ทำอะไร?**
ใช้ประมาณฟังก์ชันซับซ้อนด้วยพหุนาม เช่น $\sin\theta \approx \theta$ เมื่อมุมเล็ก $e^x \approx 1 + x$ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ การทำให้เป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงาน (linearization) ในแบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดและทรานซิสเตอร์ การควบคุมระบบไม่เชิงเส้น และการคำนวณ sin, eˣ ในไมโครคอนโทรลเลอร์

---

# พีชคณิตเชิงเส้น (Linear Algebra): เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ อินเวอร์ส คราเมอร์ วิธีเชิงตัวเลข และค่าเฉพาะ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/
Updated: 2026-10-25
Summary: คลังพีชคณิตเชิงเส้นภาษาไทยครบที่สุด ตั้งแต่ ม.ปลาย ป.ตรี ถึง ป.โท เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ ระบบสมการเชิงเส้น แรงก์ (ค่าลำดับขั้น) อินเวอร์ส กฎของคราเมอร์ ผลเฉลยเชิงตัวเลข (LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล) ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ แนวข้อสอบ 45 ข้อ พร้อมโจทย์วงจรไฟฟ้า โครงถัก โหมดการสั่น และแล็บเมทริกซ์ ค้นหาสูตรทั้งหมดได้ในที่เดียว ทุกสูตรมีรหัสอ้างอิง และเครื่องคิดเลขเมทริกซ์แสดงวิธีทำแบบเศษส่วน

// บทที่ 7 · คณิตศาสตร์วิศวกรรม · Linear Algebra

# พีชคณิตเชิงเส้น (Linear Algebra): เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส คราเมอร์ และค่าเฉพาะ

พื้นฐานที่วิศวกรไฟฟ้าใช้ทุกวันโดยไม่รู้ตัว ตั้งแต่แก้กระแสในวงจรหลายลูป ไปจนถึงหาขั้วของระบบควบคุมและวิเคราะห์ฟอลต์ในระบบสามเฟส ชุดบทเรียนนี้มี 12 หน้า ไล่จากระดับ ม.ปลาย ถึงระดับบัณฑิตศึกษา รวมหน้าแรงก์ ผลเฉลยเชิงตัวเลข แนวข้อสอบ 45 ข้อ การประยุกต์ในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา และแล็บเมทริกซ์ ทุกสูตรมีรหัสอ้างอิงถาวร ค้นได้ทั้งหมดจากหน้านี้ และมีเครื่องคิดเลขที่แสดงวิธีทำทีละขั้นให้ตรวจการบ้านของตัวเอง

ทั้งบทในหนึ่งนาที

- ระบบสมการหลายตัวแปรเขียนสั้น ๆ ได้เป็น $A\mathbf x = \mathbf b$ เมทริกซ์

- $\det A \ne 0$ บอกว่ามีคำตอบเดียว ดีเทอร์มิแนนต์ หาคำตอบด้วย การลดแถว อินเวอร์ส หรือ คราเมอร์

- แรงก์บอกว่าระบบมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี แรงก์ · ระบบใหญ่แก้ด้วย LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล · ฝึกที่ แนวข้อสอบ 45 ข้อ

- $A\mathbf v = \lambda\mathbf v$ หาทิศพิเศษที่ไม่ถูกหมุน ซึ่งคือขั้วและโหมดของวงจร ค่าเฉพาะ

- ทุกเครื่องมือมาบรรจบที่การวิเคราะห์วงจรและระบบ ประยุกต์ในงานไฟฟ้า และงานเครื่องกล-โยธา โครงถัก โหมดการสั่น

## เริ่มตามระดับของคุณ

ทุกหัวข้อในชุดนี้ติดป้ายระดับไว้ เลือกเส้นทางที่ตรงกับตัวเอง แล้วกดไปที่หัวข้อได้ทันที

พื้นฐาน

### ม.ปลาย · เตรียมสอบ · ปี 1

- ขนาดและสมาชิกของเมทริกซ์

- การคูณเมทริกซ์ทีละช่อง

- ทรานสโพส

- ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 ซาร์รัส

- สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

- อินเวอร์ส 2×2

- คราเมอร์ 2 ตัวแปร

- พื้นที่สามเหลี่ยมจากพิกัด

- สูตรลัด det(adj A), det(kA) · คราเมอร์มีพารามิเตอร์

- แนวข้อสอบชุด A (18 ข้อ)

กลาง

### ป.ตรี วิศวกรรม

- กระจายโคแฟกเตอร์ 4×4 · ลดแถว

- เกาส์ เกาส์-จอร์แดน · แรงก์

- คำตอบไม่จำกัดแบบพารามิเตอร์

- แรงก์มีพารามิเตอร์ k · รูเช-กาเปลลี · ปริภูมิศูนย์

- จาโคบี · เกาส์-ไซเดล · LU

- อินเวอร์ส 3×3 แอดจอยต์ · [A | I]

- คราเมอร์กับวงจรสามลูป · วงจร AC

- หาค่าเฉพาะ 2×2, 3×3 · Aⁿ

- เมช · โนด · แหล่งไม่อิสระ

ขั้นสูง

### ป.โท · งานวิจัย · งานจริง

- การสลับแถวกับการปัดเศษ · เลขเงื่อนไข · SOR และ ω ที่ดีที่สุด

- แรงก์ในวงจรและระบบควบคุม · แรงก์เชิงตัวเลข (SVD)

- กำลังสองน้อยสุด · อินเวอร์สเทียม

- Sherman–Morrison · Schur complement

- ทฤษฎีบทสเปกตรัม · เคย์ลีย์-แฮมิลตัน

- $e^{At}$ เสถียรภาพ จอร์แดน

- ปริภูมิสถานะ RLC · สองพอร์ต

- โหมดการสั่นหลายองศาอิสระ · โครงถักแบบเมทริกซ์

- องค์ประกอบสมมาตร · คลาร์ก-พาร์ก · Y-bus

## เส้นทางเรื่องเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ และระบบสมการ: จากสอบเข้าถึงงานวิศวกรรม

ถ้าเป้าหมายคือ “แก้ระบบสมการเชิงเส้นให้เป็นจริง” ทั้งสอบเข้ามหาวิทยาลัยและเรียนคณิตศาสตร์วิศวกรรม ให้อ่านตามลำดับนี้ (เลขบทคงที่เพื่อให้อ้างอิงได้ ลำดับการอ่านจึงไม่เรียงตามเลข)

- 7.1 เมทริกซ์ขนาด บวก คูณ ทรานสโพส

- 7.2 ดีเทอร์มิแนนต์2×2 ซาร์รัส โคแฟกเตอร์ สูตรลัดออกสอบ

- 7.3 ระบบสมการ · เกาส์ลดแถว เกาส์-จอร์แดน

- 7.10 แรงก์ (ค่าลำดับขั้น) ใหม่มีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี

- 7.4 อินเวอร์ส2×2 แอดจอยต์ [A | I]

- 7.5 กฎของคราเมอร์หาตัวแปรเดียว พารามิเตอร์ k

- 7.11 ผลเฉลยเชิงตัวเลข ใหม่LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR

- 7.12 แนวข้อสอบ 45 ข้อ ใหม่3 ระดับ + โจทย์สุ่มไม่จำกัด

| เป้าหมาย | อ่าน | ฝึก |

| สอบเข้ามหาวิทยาลัย (A-Level · TCAS) | 7.1 · 7.2 (ถึงสูตรลัด) · 7.4 ส่วน 2×2 · 7.5 ส่วน 2×2, 3×3 | ชุด A + โจทย์สุ่มระดับพื้นฐาน |

| พีชคณิตเชิงเส้น / คณิตศาสตร์วิศวกรรม ป.ตรี | ทั้ง 7.1–7.5 · 7.10 · 7.6 ค่าเฉพาะ | ชุด B + แล็บแรงก์ |

| วิธีเชิงตัวเลข · จำลองวงจร · FEM | 7.3 · 7.11 · 7.8 การประยุกต์ | ชุด C + ซิมูเลเตอร์วิธีทำซ้ำ |

อยากเห็นภาพรวมก่อนลงรายละเอียด อ่านบทความ แผนที่การเรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ (English)

## ทั้ง 12 หน้าในชุดนี้

อ่านตามเส้นทางด้านบน แต่ละหน้าต่อยอดจากหน้าก่อน ตัวอักษรท้ายการ์ดคือรหัสสูตรของหน้านั้น

[ ]7.1
เมทริกซ์และการดำเนินการ
Matrices & Matrix Operations
ชนิดของเมทริกซ์ บวก ลบ คูณ ทรานสโพส เทรซ กำลัง และเมทริกซ์บล็อก พร้อมตัวช่วยดูการคูณทีละช่อง
เปิดหน้า →สูตร M1, M2, …

|A|7.2
ดีเทอร์มิแนนต์
Determinants
2×2 ซาร์รัส ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ กระจายลาปลาซ สมบัติตามการดำเนินการแถว ความหมายเชิงพื้นที่ และวิธีลดแถว
เปิดหน้า →สูตร D1, D2, …

Ax=b7.3
ระบบสมการเชิงเส้นและการกำจัดแบบเกาส์
Systems of Linear Equations
เมทริกซ์แต่งเติม การดำเนินการแถว เกาส์ เกาส์-จอร์แดน ลำดับชั้น (rank) คำตอบเดียว ไม่มีคำตอบ อนันต์ LU และกำลังสองน้อยสุด
เปิดหน้า →สูตร L1, L2, …

A⁻¹7.4
อินเวอร์สของเมทริกซ์
Matrix Inverse
สูตร 2×2 วิธีแอดจอยต์ วิธีเกาส์-จอร์แดน [A | I] สมบัติ ทฤษฎีบทเมทริกซ์หาอินเวอร์สได้ และการแก้ x = A⁻¹b
เปิดหน้า →สูตร I1, I2, …

Δᵢ/Δ7.5
กฎของคราเมอร์
Cramer's Rule
แก้ระบบสมการทีละตัวแปรด้วยดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 กรณี Δ = 0 จำนวนเชิงซ้อน และตัวแปร s
เปิดหน้า →สูตร C1, C2, …

λ7.6
ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ
Eigenvalues & Eigenvectors
สมการลักษณะเฉพาะ ค่าซ้ำ ค่าเชิงซ้อน การทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม เมทริกซ์สมมาตร เคย์ลีย์-แฮมิลตัน และเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล
เปิดหน้า →สูตร E1, E2, …

Ω7.7
ประยุกต์ในวิศวกรรมไฟฟ้า
Applications in Electrical Engineering
เมช โนด แหล่งจ่ายไม่อิสระ เฟเซอร์ AC ฟังก์ชันถ่ายโอน ปริภูมิสถานะ RLC สองพอร์ต องค์ประกอบสมมาตร และ Y-bus
เปิดหน้า →สูตร A1, A2, …

K u = f7.8
การประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้นทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา
Linear Algebra in Electrical, Mechanical & Civil Engineering
เมทริกซ์อุบัติการณ์กับ KCL/KVL การไหลของกำลังเชิงเส้น ระบบมวล-สปริงหลายองศาอิสระและโหมดการสั่น วิธีสติฟเนส โครงข้อหมุน (truss) การปรับแก้งานรังวัดด้วยกำลังสองน้อยสุด และสมดุลโครงข่ายจราจร พร้อมแล็บ
เปิดหน้า →สูตร G1, G2, …

⊞7.9
แล็บเมทริกซ์: เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ ดูการคูณทีละช่อง และการแปลง 2×2
Matrix Lab
ดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส แก้ Ax = b และค่าเฉพาะด้วยเศษส่วนแม่นตรงทีละขั้น ดูการคูณเมทริกซ์ทีละช่อง และลากหลักของเมทริกซ์ 2×2 ดูพื้นที่กับทิศเวกเตอร์เฉพาะ
เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ + เครื่องคิดเลข

r(A)7.10
ค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ (Rank): ลดแถว ไมเนอร์ พารามิเตอร์ k และการมีคำตอบของระบบสมการ
Rank of a Matrix
แรงก์คือจำนวนแถวอิสระ หาด้วยการลดแถวเป็นขั้นบันไดและด้วยไมเนอร์ โจทย์แรงก์มีพารามิเตอร์ k ทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี (มีคำตอบเดียว ไม่จำกัด ไม่มี) ปริภูมิหลัก ปริภูมิศูนย์ แรงก์-ภาวะศูนย์ และแรงก์ในวงจรกับระบบควบคุม พร้อมแล็บสามระนาบ
เปิดหน้า →สูตร R1, R2, …

x⁽ᵏ⁾7.11
การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของระบบสมการเชิงเส้น: เกาส์ การสลับแถว LU โชเลสกี โทมัส จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR และเลขเงื่อนไข
Numerical Solution of Linear Systems
ทำไมคอมพิวเตอร์ไม่ใช้คราเมอร์ จำนวนการคำนวณ การกำจัดแบบเกาส์กับการสลับแถว (partial pivoting) LU และ PA = LU โชเลสกี อัลกอริทึมโทมัส วิธีทำซ้ำจาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR เงื่อนไขการลู่เข้า รัศมีสเปกตรัม เลขเงื่อนไข และซิมูเลเตอร์แผ่นความร้อน
เปิดหน้า →สูตร N1, N2, …

✎7.12
แนวข้อสอบเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ และกฎของคราเมอร์ 45 ข้อ พร้อมเฉลย: เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
Matrices, Determinants, Rank & Cramer's Rule: Exam Practice
45 ข้อพร้อมเฉลยทีละขั้น 3 ระดับ: เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย (A-Level) ป.ตรีพีชคณิตเชิงเส้น และวิธีเชิงตัวเลขกับงานวิศวกรรม พร้อมเครื่องสุ่มโจทย์ 10 แบบที่ตรวจคำตอบและแสดงเฉลยได้ไม่จำกัด
เปิดหน้า →สูตร X1, X2, …

## ค้นหาสูตรทั้งหมดในที่เดียว

รวมทุกสูตรจากทุกหน้า พิมพ์ได้ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ หรือพิมพ์รหัสสูตรตรง ๆ เช่น D4 กดที่ชื่อสูตรเพื่อไปยังคำอธิบายและตัวอย่างวิธีทำของสูตรนั้น

## แล็บเมทริกซ์: เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ

เครื่องคิดเลขเมทริกซ์ 2×2 ถึง 4×4 ที่แสดงวิธีทำแบบเศษส่วนแม่นตรง ตัวช่วยดูการคูณทีละช่อง และแล็บลากเมทริกซ์ 2×2 ย้ายไปอยู่รวมกันในหน้าแล็บเมทริกซ์ แล้ว พร้อมโจทย์ตัวอย่างจากงานวงจร ระบบไฟฟ้ากำลัง การสั่น และโครงสร้าง กดครั้งเดียวใส่ให้ทันที

เปิดแล็บเมทริกซ์ →ดูงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา

## งงตรงไหน คลิกตรงนั้น

อาการที่นักศึกษาเจอบ่อยที่สุด พร้อมทางแก้ กดแล้วไปที่คำอธิบายนั้นทันที

คูณเมทริกซ์ไม่ได้ หรือได้ขนาดแปลก ๆเช็กขนาด ตัวเลขด้านในต้องเท่ากัน → M10
ทำไม AB ≠ BA ทำไมตัดเมทริกซ์ไม่ได้สิ่งที่ใช้กับตัวเลขได้ แต่เมทริกซ์ไม่ได้ → M12
det(2A) ทำไมไม่ใช่ 2 det Aดึงตัวคูณได้ทีละแถว จึงได้ kⁿ → D7
กระจายโคแฟกเตอร์แล้วเครื่องหมายเพี้ยนเครื่องหมายแบบกระดานหมากรุก → D3
ลดแถวแล้วเจอ [0 0 0 | 5]ระบบไม่มีคำตอบ → L6
ลดแถวแล้วได้แถวศูนย์ทั้งแถว ตอบอย่างไรคำตอบไม่จำกัด เขียนแบบพารามิเตอร์ → L12
อินเวอร์สแบบแอดจอยต์ไม่ตรงเฉลยลืมทรานสโพสเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ → I3
(AB)⁻¹ ต้องสลับลำดับไหมสลับเสมอ: B⁻¹A⁻¹ → I5
โจทย์ “หาแรงก์สำหรับทุกค่า k”หา det แยกตัวประกอบ แล้วลดแถวที่ค่าวิกฤต → R6
จาโคบีกับเกาส์-ไซเดลต่างกันตรงไหนใช้ค่าเก่าทั้งหมด หรือใช้ค่าใหม่ทันที → N13 N14
det(adj A) เท่ากับเท่าไร(det A)ⁿ⁻¹ ขึ้นกับขนาด n → D22
Δ = 0 แล้วคราเมอร์ใช้ไม่ได้ต้องลดแถวตรวจ ห้ามสรุปจาก 0/0 → C5
ลดแถว A − λI แล้วไม่มีแถวศูนย์ค่า λ ผิด กลับไปตรวจสมการลักษณะเฉพาะ → E2
เวกเตอร์เฉพาะไม่ตรงเฉลยคูณค่าคงที่ได้ ตรวจ Av = λv → E1
เขียนเมทริกซ์จากวงจรไม่ถูกกฎการมอง: ทแยง = ผลรวม นอกทแยง = ลบตัวร่วม → A1

## สัญลักษณ์ที่ใช้ในชุดนี้

| สัญลักษณ์ | อ่านว่า / ความหมาย | English |

| $A,\ a_{ij}$ | เมทริกซ์ และสมาชิกแถว $i$ หลัก $j$ | matrix, entry |

| $\mathbf x,\ \mathbf b$ | เวกเตอร์หลัก (ตัวหนา) | column vector |

| $I_n,\ O$ | เมทริกซ์เอกลักษณ์ เมทริกซ์ศูนย์ | identity, zero matrix |

| $A^T,\ A^H$ | ทรานสโพส ทรานสโพสสังยุค | transpose, conjugate transpose |

| $\det A = |A|$ | ดีเทอร์มิแนนต์ (ไม่ใช่ค่าสัมบูรณ์) | determinant |

| $M_{ij},\ C_{ij}$ | ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ | minor, cofactor |

| $\operatorname{adj}A$ | เมทริกซ์ผูกพัน | adjugate (classical adjoint) |

| $A^{-1}$ | อินเวอร์ส เมทริกซ์ผกผัน | inverse |

| $\operatorname{tr}A,\ \operatorname{rank}A$ | เทรซ แรงก์ | trace, rank |

| $[A\mid\mathbf b]$ | เมทริกซ์แต่งเติม | augmented matrix |

| $N(A),\ C(A)$ | ปริภูมิศูนย์ ปริภูมิหลัก · $\operatorname{nullity}A = \dim N(A)$ | null space, column space |

| $L,\ U,\ P$ | สามเหลี่ยมล่าง สามเหลี่ยมบน เมทริกซ์สลับแถว ใน $PA = LU$ | LU factorisation |

| $\mathbf x^{(k)},\ \omega$ | ค่าประมาณรอบที่ $k$ · ตัวประกอบผ่อนปรนของ SOR | iterate, relaxation factor |

| $\rho(T),\ \kappa(A)$ | รัศมีสเปกตรัม · เลขเงื่อนไข | spectral radius, condition number |

| $R_i \leftrightarrow R_j,\ R_i \leftarrow R_i + kR_j$ | สลับแถว · แทนแถว $i$ ด้วยแถว $i$ บวก $k$ เท่าของแถว $j$ | row operations |

| $\Delta,\ \Delta_i$ | ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ และของเมทริกซ์ที่แทนหลัก $i$ ด้วย $\mathbf b$ | Cramer determinants |

| $\lambda,\ \mathbf v$ | ค่าเฉพาะ เวกเตอร์เฉพาะ | eigenvalue, eigenvector |

| $j$ | หน่วยจินตภาพ $j^2 = -1$ (วิศวกรรมไฟฟ้าใช้ $j$ แทน $i$) | imaginary unit |

## ดูวิดีโอประกอบ

⊞

### Linear Algebra
พีชคณิตเชิงเส้น · เพลย์ลิสต์บน YouTube

สอนโดยอาจารย์มด · ภาษาไทยเปิดใน YouTube ↗

## คำถามที่พบบ่อย

พีชคณิตเชิงเส้นเรียนอะไรบ้าง?
แกนหลักคือเมทริกซ์และเวกเตอร์ การดำเนินการของเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ การแก้ระบบสมการเชิงเส้น (ลดแถว อินเวอร์ส คราเมอร์) แรงก์ ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ และการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ในวิศวกรรมไฟฟ้าใช้กับการวิเคราะห์วงจร ระบบควบคุม สัญญาณ และระบบไฟฟ้ากำลัง

ควรเริ่มเรียนจากหน้าไหน?
ถ้าเพิ่งเริ่ม ให้อ่านตามเส้นทาง 7.1 → 7.2 → 7.3 → 7.10 (แรงก์) → 7.4 → 7.5 → 7.11 (วิธีเชิงตัวเลข) แล้วฝึกด้วยแนวข้อสอบ 7.12 ดูงานจริงใน 7.7–7.8 และใช้แล็บเมทริกซ์ 7.9 ตรวจการบ้าน ถ้ากำลังติดโจทย์อยู่ ใช้ช่องค้นหาสูตรหรือหัวข้อ “งงตรงไหน” ในหน้านี้ แล้วกระโดดไปที่สูตรนั้นได้เลย แต่ละหัวข้อมีป้ายบอกระดับ พื้นฐาน กลาง หรือขั้นสูง

เครื่องคิดเลขเมทริกซ์ในหน้านี้แม่นยำแค่ไหน?
ดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส การแก้ระบบ และพหุนามลักษณะเฉพาะคำนวณด้วยเศษส่วนแม่นตรงทุกขั้น ไม่มีการปัดเศษ ค่าเฉพาะที่เป็นจำนวนตรรกยะได้แบบแม่นตรง ค่าที่เป็นรากที่สองแสดงในรูปราก ส่วนกรณีอื่นแสดงเป็นทศนิยม 6 ตำแหน่ง รวมค่าเชิงซ้อน

อ้างอิงสูตรจากเว็บนี้ในรายงานได้อย่างไร?
ทุกสูตรมีรหัสถาวร เช่น D4 คือการกระจายโคแฟกเตอร์ E2 คือสมการลักษณะเฉพาะ อ้างอิงได้ในรูป Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด), สูตร D4, พร้อมลิงก์ เช่น modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/determinants/#D4

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**พีชคณิตเชิงเส้นเรียนอะไรบ้าง?**
แกนหลักคือเมทริกซ์และเวกเตอร์ การดำเนินการของเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ การแก้ระบบสมการเชิงเส้น (ลดแถว อินเวอร์ส คราเมอร์) แรงก์ ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ และการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ในวิศวกรรมไฟฟ้าใช้กับการวิเคราะห์วงจร ระบบควบคุม สัญญาณ และระบบไฟฟ้ากำลัง

**ควรเริ่มเรียนจากหน้าไหน?**
ถ้าเพิ่งเริ่ม ให้อ่านตามเส้นทาง 7.1 → 7.2 → 7.3 → 7.10 (แรงก์) → 7.4 → 7.5 → 7.11 (วิธีเชิงตัวเลข) แล้วฝึกด้วยแนวข้อสอบ 7.12 ดูงานจริงใน 7.7–7.8 และใช้แล็บเมทริกซ์ 7.9 ตรวจการบ้าน ถ้ากำลังติดโจทย์อยู่ ใช้ช่องค้นหาสูตรหรือหัวข้อ “งงตรงไหน” ในหน้านี้ แล้วกระโดดไปที่สูตรนั้นได้เลย แต่ละหัวข้อมีป้ายบอกระดับ พื้นฐาน กลาง หรือขั้นสูง

**เครื่องคิดเลขเมทริกซ์ในหน้านี้แม่นยำแค่ไหน?**
ดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส การแก้ระบบ และพหุนามลักษณะเฉพาะคำนวณด้วยเศษส่วนแม่นตรงทุกขั้น ไม่มีการปัดเศษ ค่าเฉพาะที่เป็นจำนวนตรรกยะได้แบบแม่นตรง ค่าที่เป็นรากที่สองแสดงในรูปราก ส่วนกรณีอื่นแสดงเป็นทศนิยม 6 ตำแหน่ง รวมค่าเชิงซ้อน

**อ้างอิงสูตรจากเว็บนี้ในรายงานได้อย่างไร?**
ทุกสูตรมีรหัสถาวร เช่น D4 คือการกระจายโคแฟกเตอร์ E2 คือสมการลักษณะเฉพาะ อ้างอิงได้ในรูป Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด), สูตร D4, พร้อมลิงก์ เช่น modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/determinants/#D4

---

# กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) แก้ระบบสมการด้วยดีเทอร์มิแนนต์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/cramers-rule/
Updated: 2026-10-25
Summary: กฎของคราเมอร์ครบ สูตร x = Δx/Δ สำหรับ 2×2 และ 3×3 วิธีแทนหลักด้วยค่าคงที่ ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 ใช้กับจำนวนเชิงซ้อนและตัวแปร s ได้ พร้อมโจทย์วงจรที่เจอบ่อย หากระแสเมชเดียวในวงจรสามลูป วงจร AC เฟเซอร์ และฟังก์ชันถ่ายโอน

// บทที่ 7.5 · พีชคณิตเชิงเส้น · Cramer's Rule

# กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) แก้ระบบสมการด้วยดีเทอร์มิแนนต์

กฎของคราเมอร์ให้สูตรตรงของตัวแปรแต่ละตัว ไม่ต้องลดแถว ไม่ต้องหาอินเวอร์ส เหมาะที่สุดกับโจทย์วงจร 2–3 ลูปที่ถามกระแสเพียงตัวเดียว และใช้ได้ทั้งกับตัวเลขจริง อิมพีแดนซ์เชิงซ้อน และตัวแปร $s$ ของลาปลาซ สูตรใช้รหัส C

สรุปใน 30 วินาที

- $x_i = \Delta_i/\Delta$ โดย $\Delta = \det A$ และ $\Delta_i$ คือ $\det$ ของ $A$ ที่แทนหลักที่ $i$ ด้วย $\mathbf b$

- ใช้ได้เมื่อ $A$ จัตุรัสและ $\Delta \ne 0$ เท่านั้น

- หาตัวแปรเดียวใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว จึงเร็วมากสำหรับโจทย์วงจรที่ถามกระแสลูปเดียว

- ใช้กับอิมพีแดนซ์เชิงซ้อนและตัวแปร $s$ ได้ และ $\Delta(s) = 0$ คือสมการลักษณะเฉพาะของวงจร

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## สูตรกฎของคราเมอร์ พื้นฐาน

ขั้นตอนมีแค่สามอย่าง: หา $\Delta$ ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ แทนหลักของตัวแปรที่ต้องการด้วยค่าคงที่ทางขวาแล้วหาดีเทอร์มิแนนต์ใหม่ แล้วหารกัน

C1 Cramer's rule กฎของคราเมอร์

$$x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta} = \frac{\det A_i}{\det A}, \qquad \Delta = \det A \ne 0$$

$A_i$ คือ $A$ ที่แทนหลักที่ $i$ ด้วย $\mathbf b$ ทั้งหลัก หลักอื่นคงเดิม · ตัวอย่างสำหรับ 3×3:

$$A_2 = \begin{pmatrix} a_{11} & {b_1} & a_{13} \\ a_{21} & {b_2} & a_{23} \\ a_{31} & {b_3} & a_{33} \end{pmatrix}$$

C2 Cramer's rule for 2×2 สูตรสำเร็จสองตัวแปร

$$\begin{aligned} a_1x + b_1y &= c_1 \\ a_2x + b_2y &= c_2 \end{aligned} \ \Rightarrow\ x = \frac{\begin{vmatrix} {c_1} & b_1 \\ {c_2} & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = \frac{c_1b_2 - b_1c_2}{a_1b_2 - b_1a_2}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & {c_1} \\ a_2 & {c_2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = \frac{a_1c_2 - c_1a_2}{a_1b_2 - b_1a_2}$$

ตัวอย่าง C-1 · 2×2

### แก้ $\begin{aligned} 3x + 2y &= 7 \\ x - y &= -1 \end{aligned}$

-
$$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 - 2 = -5$$

- แทนหลัก $x$ และหลัก $y$ ด้วย $(7, -1)$ C2

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} {7} & 2 \\ {-1} & -1 \end{vmatrix} = -7 + 2 = -5, \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & {7} \\ 1 & {-1} \end{vmatrix} = -3 - 7 = -10$$

-
$$x = \frac{-5}{-5} = 1, \qquad y = \frac{-10}{-5} = 2$$

$(x, y) = (1, 2)$

ตรวจ: $3 + 4 = 7$ ✓ · $1 - 2 = -1$ ✓

## กฎของคราเมอร์ 3×3 พื้นฐาน

C3 Cramer's rule for 3×3 สามตัวแปร

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta}, \qquad \Delta_x = \begin{vmatrix} {b_1} & a_{12} & a_{13} \\ {b_2} & a_{22} & a_{23} \\ {b_3} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix},\ \dots$$

ใช้ดีเทอร์มิแนนต์ 3×3 สี่ตัว หาด้วยซาร์รัส D2 หรือกระจายตามหลักที่มีศูนย์ D4 · ตรวจคำตอบด้วยการแทนกลับทุกครั้ง

ตัวอย่าง C-2 · 3×3 ครบทุกตัวแปร

### แก้ $\begin{aligned} 2x + y - z &= 1 \\ x - y + 2z &= 5 \\ 3x + 2y + z &= 10 \end{aligned}$

- $\Delta$ ด้วยซาร์รัส: ลงขวา $(2)(-1)(1) + (1)(2)(3) + (-1)(1)(2) = 2$ · ขึ้นขวา $(-1)(-1)(3) + (2)(2)(2) + (1)(1)(1) = 12$

$$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 12 = -10$$

- แทนหลักที่ 1 ด้วย $(1, 5, 10)$: ลงขวา $-1 + 20 - 10 = 9$ · ขึ้นขวา $10 + 4 + 5 = 19$

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} {1} & 1 & -1 \\ {5} & -1 & 2 \\ {10} & 2 & 1 \end{vmatrix} = 9 - 19 = -10$$

- แทนหลักที่ 2: ลงขวา $10 + 6 - 10 = 6$ · ขึ้นขวา $-15 + 40 + 1 = 26$

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & {1} & -1 \\ 1 & {5} & 2 \\ 3 & {10} & 1 \end{vmatrix} = 6 - 26 = -20$$

- แทนหลักที่ 3: ลงขวา $-20 + 15 + 2 = -3$ · ขึ้นขวา $-3 + 20 + 10 = 27$

$$\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & {1} \\ 1 & -1 & {5} \\ 3 & 2 & {10} \end{vmatrix} = -3 - 27 = -30$$

-
$$x = \frac{-10}{-10} = 1, \qquad y = \frac{-20}{-10} = 2, \qquad z = \frac{-30}{-10} = 3$$

$(x, y, z) = (1, 2, 3)$

ตรวจ: $2 + 2 - 3 = 1$ ✓ · $1 - 2 + 6 = 5$ ✓ · $3 + 4 + 3 = 10$ ✓

## ทำไมสูตรนี้ถูก กลาง

พิสูจน์ได้ในสองบรรทัดด้วยสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ ให้ $X_i$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่แทนหลักที่ $i$ ด้วย $\mathbf x$ แล้ว $AX_i$ จะมีหลักที่ $i$ เป็น $A\mathbf x = \mathbf b$ และหลักอื่นเป็นหลักของ $A$ ตามเดิม นั่นคือ $AX_i = A_i$

C4 Proof sketch ที่มาของสูตร

$$AX_i = A_i \ \Rightarrow\ \det A\cdot\det X_i = \det A_i, \qquad \det X_i = x_i \ (\text{กระจายตามแถว } i) \ \Rightarrow\ x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$$

C6 Relation to the adjugate คราเมอร์คือแอดจอยต์คูณ b

$$\mathbf x = A^{-1}\mathbf b = \frac{\operatorname{adj}A\,\mathbf b}{\det A}, \qquad x_i = \frac{\sum_j C_{ji}b_j}{\det A} = \frac{\det A_i}{\det A}$$

$\sum_j C_{ji}b_j$ คือการกระจายโคแฟกเตอร์ของ $A_i$ ตามหลักที่ $i$ พอดี คราเมอร์กับอินเวอร์สจึงให้คำตอบเท่ากันเสมอ

## เมื่อ Δ = 0 กลาง

C5 When Δ = 0 กรณีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์

$$\Delta = 0 \ \Rightarrow\ \text{คราเมอร์ใช้ไม่ได้: ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบไม่จำกัด}$$

ถ้า $\Delta = 0$ แต่มี $\Delta_i \ne 0$ สักตัว แน่ใจได้ว่าไม่มีคำตอบ · ถ้าทุก $\Delta_i = 0$ ยังสรุปไม่ได้ (ตั้งแต่ 3×3 ขึ้นไป) ต้องลดแถว L6

ตัวอย่าง C-3 · ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ทุกตัว แต่ไม่มีคำตอบ

### พิจารณา $\begin{aligned} x + y + z &= 1 \\ x + y + z &= 2 \\ x + y + z &= 3 \end{aligned}$

- $\Delta = 0$ เพราะสามแถวเท่ากัน และ $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ มีสองหลักที่เป็น $(1,1,1)$ เหมือนกัน จึงเป็นศูนย์ทั้งหมด D9

- แต่สมการพูดว่า $x + y + z$ เท่ากับ 1, 2 และ 3 พร้อมกัน ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ระบบไม่มีคำตอบ ทั้งที่ “$0/0$” ทุกตัว บทเรียนคือ $\Delta = 0$ ให้หันไปลดแถวทันที

## คราเมอร์กับพารามิเตอร์: โจทย์สอบเข้ามหาวิทยาลัย พื้นฐาน → กลาง

เมื่อสัมประสิทธิ์มีตัวแปร $k$ คราเมอร์ให้คำตอบเป็นสูตรของ $k$ ทันที ค่า $k$ ที่ทำให้ $\Delta = 0$ คือจุดที่ต้องแยกพิจารณา ห้ามตัดตัวประกอบร่วมทิ้งก่อนตรวจกรณีนั้น

C10 Cramer with a parameter คราเมอร์เมื่อมีพารามิเตอร์

$$\Delta(k) \ne 0 \Rightarrow x_i = \frac{\Delta_i(k)}{\Delta(k)};\qquad \Delta(k_0) = 0 \Rightarrow \text{แทน } k_0 \text{ แล้วลดแถว (ไม่มีคำตอบหรือไม่จำกัด)}$$

สำหรับ 2×2: $\Delta = 0$ และ $\Delta_x \ne 0$ หรือ $\Delta_y \ne 0$ ⇒ ไม่มีคำตอบ · $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$ ⇒ ไม่จำกัด (ถ้าไม่ใช่เมทริกซ์ศูนย์) · 3×3 ต้องลดแถวตรวจเสมอ ดู C5 และ ทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี R7

ตัวอย่าง C-7 · พารามิเตอร์ k

### ระบบ $\begin{aligned} kx + y &= 1 \\ x + ky &= 1 \end{aligned}$ แยกกรณีตามค่า $k$ และหาคำตอบเมื่อมีคำตอบเดียว

-
$$\Delta = \begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k^2 - 1,\qquad \Delta_x = \begin{vmatrix} {1} & 1 \\ {1} & k \end{vmatrix} = k - 1,\qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} k & {1} \\ 1 & {1} \end{vmatrix} = k - 1$$

- $k \ne \pm1$: C10

$$x = y = \frac{k - 1}{(k - 1)(k + 1)} = \frac{1}{k + 1}$$

- $k = 1$: $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$ สองสมการเป็น $x + y = 1$ เส้นเดียวกัน → คำตอบไม่จำกัด $(t, 1 - t)$

- $k = -1$: $\Delta = 0$ แต่ $\Delta_x = -2 \ne 0$ → $-x + y = 1$ กับ $x - y = 1$ ขนานกัน → ไม่มีคำตอบ

$k \ne \pm1$: $x = y = \tfrac{1}{k + 1}$ · $k = 1$: ไม่จำกัด · $k = -1$: ไม่มีคำตอบ

กับดัก: ถ้าตัด $(k - 1)$ ทิ้งตั้งแต่แรกจะได้สูตร $\tfrac{1}{k + 1}$ ที่ดูเหมือนใช้ได้ที่ $k = 1$ (ได้ $\tfrac12$) แต่จริง ๆ ที่ $k = 1$ มีคำตอบไม่จำกัด $(\tfrac12, \tfrac12)$ เป็นเพียงหนึ่งในนั้น · ฝึกเพิ่มที่ ชุด A ข้อ A9–A10

## โจทย์วงจรที่เจอบ่อย: หากระแสลูปเดียวในวงจรสามลูป พื้นฐาน

รูปแบบนี้ออกสอบแทบทุกเทอม เขียนสมการเมชด้วยการมอง (by inspection): สมาชิกทแยง = ผลรวมความต้านทานรอบลูปนั้น สมาชิกนอกทแยง = ลบความต้านทานที่ใช้ร่วมกัน ด้านขวา = ผลรวมแหล่งจ่ายที่ดันกระแสไปทางเดียวกับลูป (ดูที่มาเต็มใน A1)

กระแสเมชทั้งสามวนตามเข็มนาฬิกา $R_2$ อยู่ร่วมเมช 1–2 และ $R_4$ อยู่ร่วมเมช 2–3

ตัวอย่าง C-4 · หาเฉพาะ I₂

### จากวงจรข้างบน หากระแส $I_2$ ที่ไหลผ่าน $R_3$

- เขียนเมทริกซ์ด้วยการมอง: ทแยง $2 + 4 = 6$, $4 + 2 + 6 = 12$, $6 + 3 = 9$ · นอกทแยง $-4$ (R₂), $-6$ (R₄)

$$\begin{pmatrix} 6 & -4 & 0 \\ -4 & 12 & -6 \\ 0 & -6 & 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

- $\Delta$ กระจายตามแถว 1 (มีศูนย์หนึ่งตัว) D4

$$\Delta = 6\begin{vmatrix} 12 & -6 \\ -6 & 9 \end{vmatrix} - (-4)\begin{vmatrix} -4 & -6 \\ 0 & 9 \end{vmatrix} + 0 = 6(108 - 36) + 4(-36) = 432 - 144 = 288$$

- แทนหลักที่ 2 ด้วย $(24, 0, 0)$ แถว 3 เหลือ 9 ตัวเดียวที่ตำแหน่ง (3,3) กระจายตามแถว 3 ได้เลย C1

$$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 6 & {24} & 0 \\ -4 & {0} & -6 \\ 0 & {0} & 9 \end{vmatrix} = +9\begin{vmatrix} 6 & 24 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} = 9(0 + 96) = 864$$

-
$$I_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{864}{288} = 3\ \text{A}$$

$I_2 = 3$ A ใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว (ถ้าหาครบจะได้ $I_1 = 6$ A, $I_3 = 2$ A)

ตรวจกำลัง: แหล่งจ่าย $24 \times 6 = 144$ W · ตัวต้านทาน $2(6)^2 + 4(3)^2 + 2(3)^2 + 6(1)^2 + 3(2)^2 = 72 + 36 + 18 + 6 + 12 = 144$ W ✓

## คราเมอร์กับจำนวนเชิงซ้อน: วงจร AC กลาง

ในสถานะคงตัวไซน์ (sinusoidal steady state) ตัวเหนี่ยวนำมีอิมพีแดนซ์ $jX_L$ และตัวเก็บประจุ $-jX_C$ สมการเมชหน้าตาเหมือน DC ทุกอย่าง แค่ตัวเลขเป็นเชิงซ้อน กฎของคราเมอร์ใช้ได้ตรง ๆ

C7 Works over complex numbers and in s ใช้กับเชิงซ้อนและตัวแปร s ได้

$$\mathbf Z\,\mathbf I = \mathbf V \ \Rightarrow\ I_k = \frac{\Delta_k}{\Delta}, \qquad \Delta,\ \Delta_k \in \mathbb C \ \text{หรือเป็นพหุนามของ } s$$

คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ด้วยกฎของจำนวนเชิงซ้อน $j^2 = -1$ แล้วหาร (คูณด้วยสังยุคของตัวส่วน) ตอบในรูปเชิงขั้ว $|I|\angle\theta$

วงจร AC สองเมช ค่าอิมพีแดนซ์ที่ความถี่ใช้งาน ตัวเก็บประจุอยู่ร่วมทั้งสองเมช

ตัวอย่าง C-5 · กระแสเมชในวงจร AC

### หา $\mathbf I_1$ และ $\mathbf I_2$ ของวงจรข้างบน

- ทแยง: $4 - j4$ และ $-j4 + j8 + 4 = 4 + j4$ · นอกทแยง: $-(-j4) = +j4$

$$\begin{pmatrix} 4 - j4 & j4 \\ j4 & 4 + j4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf I_1 \\ \mathbf I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix}$$

- ดีเทอร์มิแนนต์เชิงซ้อน ใช้ $(4 - j4)(4 + j4) = 16 + 16$ และ $(j4)^2 = -16$

$$\Delta = (4 - j4)(4 + j4) - (j4)(j4) = 32 - (-16) = 48$$

- แทนหลักแล้วหาร C7

$$\mathbf I_1 = \frac{\begin{vmatrix} {10} & j4 \\ {0} & 4 + j4 \end{vmatrix}}{48} = \frac{40 + j40}{48}, \qquad \mathbf I_2 = \frac{\begin{vmatrix} 4 - j4 & {10} \\ j4 & {0} \end{vmatrix}}{48} = \frac{-j40}{48}$$

- แปลงเป็นเชิงขั้ว

$$\mathbf I_1 = 0.833 + j0.833 = 1.18\angle 45^\circ\ \text{A}, \qquad \mathbf I_2 = -j0.833 = 0.833\angle{-90^\circ}\ \text{A}$$

$\mathbf I_1 = 1.18\angle45^\circ$ A · $\mathbf I_2 = 0.833\angle{-90^\circ}$ A

ตรวจ KVL เมช 2: แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ $(-j4)(\mathbf I_1 - \mathbf I_2) = (-j4)(0.833 + j1.667) = 6.67 - j3.33$ V เท่ากับ $(4 + j8)\mathbf I_2 = 6.67 - j3.33$ V ✓

## คราเมอร์ในโดเมน s: ฟังก์ชันถ่ายโอนและสมการลักษณะเฉพาะ ขั้นสูง

หลังแปลงลาปลาซ (ทบทวนที่ การแปลงลาปลาซ) ตัวเก็บประจุกลายเป็น $1/sC$ สมการโนดหรือเมชกลายเป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกเป็นพหุนามของ $s$ คราเมอร์ให้ฟังก์ชันถ่ายโอนเป็นอัตราส่วนดีเทอร์มิแนนต์ และรากของ $\Delta(s)$ คือขั้วของวงจร

C8 Transfer function and natural frequencies ฟังก์ชันถ่ายโอนและความถี่ธรรมชาติ

$$H(s) = \frac{X_k(s)}{U(s)} = \frac{\Delta_k(s)/U(s)}{\Delta(s)}, \qquad \Delta(s) = 0 \ \text{คือสมการลักษณะเฉพาะ ให้ขั้วของวงจร}$$

วงจรกรองผ่านต่ำ RC สองชั้น ให้ $\tau = RC$

ตัวอย่าง C-6 · หาฟังก์ชันถ่ายโอนด้วยคราเมอร์

### หา $H(s) = V_2(s)/U(s)$ ของวงจร RC สองชั้น

- KCL ที่โนด 1 และ 2 ในโดเมน s แล้วคูณทุกพจน์ด้วย $R$ (ใช้ $sRC = \tau s$)

$$\begin{aligned} \tfrac{V_1 - U}{R} + sCV_1 + \tfrac{V_1 - V_2}{R} &= 0 \\ \tfrac{V_2 - V_1}{R} + sCV_2 &= 0 \end{aligned} \ \Rightarrow\ \begin{pmatrix} 2 + \tau s & -1 \\ -1 & 1 + \tau s \end{pmatrix}\begin{pmatrix} V_1 \\ V_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} U \\ 0 \end{pmatrix}$$

-
$$\Delta(s) = (2 + \tau s)(1 + \tau s) - 1 = \tau^2s^2 + 3\tau s + 1$$

- หา $V_2$ โดยแทนหลักที่ 2 C8

$$V_2 = \frac{\begin{vmatrix} 2 + \tau s & {U} \\ -1 & {0} \end{vmatrix}}{\Delta(s)} = \frac{U}{\tau^2s^2 + 3\tau s + 1}$$

- ขั้วคือรากของ $\Delta(s) = 0$

$$\tau s = \frac{-3 \pm \sqrt5}{2} \ \Rightarrow\ s_1 = -\frac{0.382}{\tau},\quad s_2 = -\frac{2.618}{\tau}$$

$H(s) = \dfrac{1}{\tau^2s^2 + 3\tau s + 1}$ ขั้วจริงลบสองตัว ระบบหน่วงเกิน (overdamped) ค่าคงตัวเวลา $2.618\tau$ และ $0.382\tau$ (สังเกตอัตราส่วนทองคำ $\varphi^2 = 2.618$)

ขั้วสองตัวนี้คือค่าเฉพาะของเมทริกซ์สถานะของวงจรเดียวกันพอดี ดูการคำนวณอีกมุมใน การประยุกต์: RC สองชั้น

## ข้อดี ข้อจำกัด และต้นทุนการคำนวณ กลาง

C9 Computational cost ต้นทุนการคำนวณ

$$\text{คราเมอร์ครบทุกตัวแปร} = (n + 1) \text{ ดีเทอร์มิแนนต์ } n\times n \qquad \text{เทียบ} \qquad \text{เกาส์} \approx \tfrac{n^3}{3} \text{ การคูณ}$$

ทำมือ 2×2 และ 3×3 คราเมอร์สะดวกที่สุด · หาตัวแปรเดียวใช้แค่ 2 ดีเทอร์มิแนนต์ · ตั้งแต่ 4×4 ขึ้นไปให้ลดแถว · คอมพิวเตอร์ไม่ใช้คราเมอร์แก้ระบบใหญ่

| ใช้คราเมอร์เมื่อ | เลี่ยงคราเมอร์เมื่อ |

| 2–3 ตัวแปร ทำมือ | 4 ตัวแปรขึ้นไป |

| ต้องการตัวแปรเดียว เช่น กระแสลูปเดียว | $\Delta = 0$ หรือใกล้ศูนย์มาก |

| สัมประสิทธิ์เป็นตัวอักษร เช่น $R$, $s$, $k$ ต้องการสูตรทั่วไป | สมการไม่เท่าตัวแปร |

| อิมพีแดนซ์เชิงซ้อน 2×2 | ต้องการความแม่นยำเชิงตัวเลขในโปรแกรม |

## เครื่องคิดเลขคราเมอร์แสดงวิธีทำ

เลือกโหมด “แก้ระบบ” ใส่ $A$ และ $\mathbf b$ ถ้า $\det A \ne 0$ เครื่องจะแสดง $\Delta$, $\Delta_1, \Delta_2, \dots$ และคำตอบเป็นเศษส่วน พร้อมวิธีลดแถวให้เทียบ

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ตัวอย่าง C-6 แสดงว่า $\Delta(s) = 0$ ให้ขั้วของวงจร คำถามเดียวกันในภาษาเมทริกซ์คือ “ค่า $\lambda$ ใดทำให้ $\det(A - \lambda I) = 0$” นั่นคือ ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ ซึ่งบอกว่าวงจรตอบสนองเร็ว ช้า หรือแกว่งแค่ไหน

ระบบที่ใหญ่กว่า 3×3 หรือต้องแก้ในโปรแกรม ให้ใช้ วิธีเชิงตัวเลข: LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล แทนคราเมอร์ ส่วนการตัดสินว่ามีคำตอบหรือไม่เมื่อ $\Delta = 0$ ใช้ แรงก์ · ฝึกโจทย์ที่ แนวข้อสอบ 45 ข้อ และอ่านบทความ กฎของคราเมอร์ใช้อย่างไร และเมื่อไรไม่ควรใช้ (English)

## คำถามที่พบบ่อย

กฎของคราเมอร์ใช้ไม่ได้เมื่อไร?
เมื่อ $\Delta = \det A = 0$ หรือเมื่อเมทริกซ์ไม่จัตุรัส (จำนวนสมการไม่เท่าจำนวนตัวแปร) ระบบที่ $\Delta = 0$ อาจไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบไม่จำกัด ต้องตรวจด้วยการลดแถว

ถ้า Δ = 0 และ Δx = Δy = Δz = 0 แปลว่ามีคำตอบไม่จำกัดใช่ไหม?
ไม่เสมอไป สำหรับ 2×2 ที่ไม่ใช่เมทริกซ์ศูนย์ใช่ แต่ตั้งแต่ 3×3 ขึ้นไปไม่จริง เช่น $x + y + z = 1,\ x + y + z = 2,\ x + y + z = 3$ มีดีเทอร์มิแนนต์ทุกตัวเป็นศูนย์ แต่ระบบไม่มีคำตอบ ต้องลดแถวตรวจเสมอ

คราเมอร์กับอินเวอร์สต่างกันอย่างไร?
ให้คำตอบเท่ากันเสมอ คราเมอร์คือการเขียนสูตรอินเวอร์สแบบแอดจอยต์คูณกับ b ทีละตัวแปร ข้อดีคือหาตัวแปรเดียวได้โดยไม่ต้องหาอินเวอร์สทั้งเมทริกซ์ เหมาะกับโจทย์ที่ถามกระแสเพียงลูปเดียว

ใช้คราเมอร์กับวงจร AC ได้ไหม?
ได้ ทุกขั้นตอนใช้แค่บวก ลบ คูณ หาร จึงใช้กับอิมพีแดนซ์จำนวนเชิงซ้อนได้ตรง ๆ คำนวณดีเทอร์มิแนนต์แบบเชิงซ้อนแล้วหาร ตอบในรูปเชิงขั้ว (ขนาดและมุม)

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**กฎของคราเมอร์ใช้ไม่ได้เมื่อไร?**
เมื่อ $\Delta = \det A = 0$ หรือเมื่อเมทริกซ์ไม่จัตุรัส (จำนวนสมการไม่เท่าจำนวนตัวแปร) ระบบที่ $\Delta = 0$ อาจไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบไม่จำกัด ต้องตรวจด้วยการลดแถว

**ถ้า Δ = 0 และ Δx = Δy = Δz = 0 แปลว่ามีคำตอบไม่จำกัดใช่ไหม?**
ไม่เสมอไป สำหรับ 2×2 ที่ไม่ใช่เมทริกซ์ศูนย์ใช่ แต่ตั้งแต่ 3×3 ขึ้นไปไม่จริง เช่น $x + y + z = 1,\ x + y + z = 2,\ x + y + z = 3$ มีดีเทอร์มิแนนต์ทุกตัวเป็นศูนย์ แต่ระบบไม่มีคำตอบ ต้องลดแถวตรวจเสมอ

**คราเมอร์กับอินเวอร์สต่างกันอย่างไร?**
ให้คำตอบเท่ากันเสมอ คราเมอร์คือการเขียนสูตรอินเวอร์สแบบแอดจอยต์คูณกับ b ทีละตัวแปร ข้อดีคือหาตัวแปรเดียวได้โดยไม่ต้องหาอินเวอร์สทั้งเมทริกซ์ เหมาะกับโจทย์ที่ถามกระแสเพียงลูปเดียว

**ใช้คราเมอร์กับวงจร AC ได้ไหม?**
ได้ ทุกขั้นตอนใช้แค่บวก ลบ คูณ หาร จึงใช้กับอิมพีแดนซ์จำนวนเชิงซ้อนได้ตรง ๆ คำนวณดีเทอร์มิแนนต์แบบเชิงซ้อนแล้วหาร ตอบในรูปเชิงขั้ว (ขนาดและมุม)

---

# ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinants): วิธีหา สมบัติ และความหมาย

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/determinants/
Updated: 2026-10-25
Summary: วิธีหาดีเทอร์มิแนนต์ครบทุกแบบ 2×2 กฎของซาร์รัส 3×3 ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ การกระจายลาปลาซ 4×4 วิธีลดแถว สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ตามการดำเนินการแถว ความหมายเชิงพื้นที่ พื้นที่สามเหลี่ยมจากพิกัด และแวนเดอร์มอนด์ พร้อมแล็บลากเวกเตอร์

// บทที่ 7.2 · พีชคณิตเชิงเส้น · Determinants

# ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinants): วิธีหา สมบัติ และความหมาย

ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวเลขหนึ่งตัวที่สรุปเมทริกซ์จัตุรัสทั้งก้อน บอกได้ทันทีว่ามีอินเวอร์สไหม ระบบสมการมีคำตอบเดียวไหม และการแปลงขยายพื้นที่กี่เท่า หน้านี้รวมทุกวิธีคำนวณตั้งแต่ 2×2 ถึง n×n พร้อมสมบัติที่ทำให้คำนวณเร็วขึ้นหลายเท่า สูตรใช้รหัส D

สรุปใน 30 วินาที

- 2×2: $\det A = ad - bc$ · 3×3: ซาร์รัสหรือกระจายโคแฟกเตอร์ · ใหญ่กว่านั้น: ลดแถวเป็นสามเหลี่ยมแล้วคูณเส้นทแยง

- สลับแถว เปลี่ยนเครื่องหมาย · คูณแถวด้วย k ค่าคูณ k · บวกพหุคูณของแถวอื่น ค่าไม่เปลี่ยน

- $\det A \ne 0 \iff A$ มีอินเวอร์ส $\iff$ ระบบ $A\mathbf x = \mathbf b$ มีคำตอบเดียว

- $|\det A|$ คืออัตราขยายพื้นที่ (2D) หรือปริมาตร (3D) ของการแปลง $A$

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## ดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร: มองเป็นพื้นที่ พื้นฐาน

เมทริกซ์ 2×2 เปลี่ยนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วยให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านทั้งสองคือหลักของเมทริกซ์ ค่าดีเทอร์มิแนนต์คือพื้นที่มีเครื่องหมายของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้น ถ้าบวกแปลว่าการวางทิศเดิม ถ้าลบแปลว่ารูปถูกพลิก ถ้าเป็นศูนย์แปลว่ารูปถูกบีบจนแบน

D13 Geometric meaning ความหมายเชิงเรขาคณิต

$$\text{พื้นที่ (หรือปริมาตร) หลังแปลง} = |\det A| \times \text{พื้นที่ (หรือปริมาตร) เดิม}$$

$\det A \gt 0$ รักษาการวางทิศ · $\det A \lt 0$ พลิกกลับด้าน (เหมือนส่องกระจก) · $\det A = 0$ บีบมิติหายไปหนึ่งมิติขึ้นไป จึงย้อนกลับไม่ได้ (ไม่มีอินเวอร์ส)

## ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 พื้นฐาน

D1 2×2 determinant ดีเทอร์มิแนนต์ขนาด 2×2

$$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = {ad} - {bc}$$

เส้นทแยงลงขวา (หลัก) ลบ เส้นทแยงขึ้นขวา (รอง) · สัญลักษณ์ $|A|$ คือดีเทอร์มิแนนต์ ไม่ใช่ค่าสัมบูรณ์ ผลอาจติดลบได้

ตัวอย่าง D-1 · 2×2

### หา $\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$ และ $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$

- ทแยงหลักลบทแยงรอง D1

$$\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (3)(4) - (5)(2) = 12 - 10 = 2$$

-
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(2) = 0$$

แถวที่ 2 เป็นสองเท่าของแถวที่ 1 พอดี ดีเทอร์มิแนนต์จึงเป็นศูนย์ D9

ค่าแรก $= 2$ (มีอินเวอร์ส) · ค่าที่สอง $= 0$ (เมทริกซ์เอกฐาน ไม่มีอินเวอร์ส)

ตัวอย่าง D-2 · หาค่าตัวแปรที่ทำให้ det = 0

### หาค่า $x$ ที่ทำให้ $\begin{vmatrix} x & 2 \\ 3 & x - 1 \end{vmatrix} = 0$

-
$$x(x - 1) - (2)(3) = x^2 - x - 6 = 0$$

-
$$(x - 3)(x + 2) = 0$$

$x = 3$ หรือ $x = -2$

โจทย์แบบนี้คือแก่นของการหาค่าเฉพาะ: หาค่า $\lambda$ ที่ทำให้ $\det(A - \lambda I) = 0$ E2

## ดีเทอร์มิแนนต์ 3×3 ด้วยกฎของซาร์รัส พื้นฐาน

คัดลอกสองหลักแรกไปต่อท้ายทางขวา แล้วคูณตามเส้นทแยง สามเส้นลงขวาเป็นบวก สามเส้นขึ้นขวาเป็นลบ วิธีนี้เร็วที่สุดสำหรับ 3×3 แต่ใช้ได้กับ 3×3 เท่านั้น

เส้นทึบสีฟ้าบวก เส้นประสีส้มลบ ใช้ได้กับ 3×3 เท่านั้น

D2 Rule of Sarrus (3×3 only) กฎของซาร์รัส

$$\det A = {a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}} - {a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}}$$

ตัวอย่าง D-3 · 3×3 ด้วยซาร์รัส

### หา $\det A$ เมื่อ $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

- เส้นลงขวาสามเส้น (บวก) D2

$${(2)(-1)(0) + (1)(4)(1) + (3)(0)(2)} = 0 + 4 + 0 = 4$$

- เส้นขึ้นขวาสามเส้น (นำไปลบ)

$${(3)(-1)(1) + (2)(4)(2) + (1)(0)(0)} = -3 + 16 + 0 = 13$$

-
$$\det A = 4 - 13 = -9$$

$\det A = -9$

## ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ และการกระจายลาปลาซ พื้นฐาน → กลาง

วิธีนี้ใช้ได้กับทุกขนาด แนวคิดคือย่อยดีเทอร์มิแนนต์ $n\times n$ ให้เป็นผลรวมของดีเทอร์มิแนนต์ $(n-1)\times(n-1)$ หลายตัว ทำซ้ำจนเหลือ 2×2

D3 Minor and cofactor ไมเนอร์และโคแฟกเตอร์

$$M_{ij} = \det(A \text{ ที่ตัดแถว } i \text{ และหลัก } j \text{ ออก}), \qquad C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}, \qquad \text{เครื่องหมาย: } \begin{pmatrix} + & - & + & \cdots \\ - & + & - & \\ + & - & + & \\ \vdots & & & \ddots \end{pmatrix}$$

เครื่องหมายสลับแบบกระดานหมากรุก ช่องมุมซ้ายบนเป็น + เสมอ ภาษาไทยเรียกโคแฟกเตอร์ว่าตัวประกอบร่วมเกี่ยว

D4 Laplace (cofactor) expansion การกระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวหรือหลักใดก็ได้

$$\det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}C_{ij} \ \ (\text{ตามแถว } i) \qquad = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}C_{ij} \ \ (\text{ตามหลัก } j)$$

ทุกแถวทุกหลักให้คำตอบเท่ากัน จึงเลือกแถวที่มีศูนย์มากที่สุด เพราะพจน์ที่ $a_{ij} = 0$ หายไปเลย

ตัวอย่าง D-4 · 3×3 ด้วยโคแฟกเตอร์ (เลือกหลักที่มีศูนย์)

### หา $\det A$ ของเมทริกซ์ในตัวอย่าง D-3 โดยกระจายตามหลักที่ 1

- หลักที่ 1 คือ $(2, 0, 1)$ มีศูนย์หนึ่งตัว เครื่องหมายของหลัก 1 คือ $+, -, +$ D4

$$\det A = {+2}\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} {- 0}\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} {+ 1}\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 4 \end{vmatrix}$$

- พจน์กลางคูณศูนย์ หายไปเลย ไม่ต้องคำนวณ D1

$$= 2\,(0 - 8) - \cancel{0\cdot(\cdots)} + 1\,(4 + 3) = -16 + 7$$

$\det A = -9$ ตรงกับวิธีซาร์รัส

ตัวอย่าง D-5 · 4×4 ที่มีศูนย์เยอะ

### หา $\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

- แถวที่ 3 คือ $(0, 0, 4, 0)$ มีตัวไม่ใช่ศูนย์ตัวเดียวที่ตำแหน่ง $(3,3)$ เครื่องหมาย $(-1)^{3+3} = +$ D3

$$\det A = +{4}\cdot M_{33} = 4\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$

- ไมเนอร์ 3×3 มีแถวแรกเป็น $(1, 0, 0)$ กระจายตามแถวแรกต่อได้เลย

$$M_{33} = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 1\cdot(3 - 0) = 3$$

$\det A = 4 \times 3 = 12$ ถ้ากระจายตามแถวแรกตรง ๆ จะต้องคำนวณ 3×3 สองตัว เสียเวลากว่าสองเท่า

## สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ พื้นฐาน → กลาง

สมบัติเหล่านี้ทำให้หาค่าได้โดยแทบไม่ต้องคำนวณ และเป็นพื้นฐานของวิธีลดแถว ทุกข้อที่พูดถึง “แถว” ใช้กับ “หลัก” ได้ด้วยเพราะ D5

| การดำเนินการแถว | ผลต่อดีเทอร์มิแนนต์ | สูตร |

| สลับสองแถว $R_i \leftrightarrow R_j$ | เปลี่ยนเครื่องหมาย | D6 |

| คูณแถวด้วย $k$: $R_i \leftarrow kR_i$ | คูณด้วย $k$ | D7 |

| บวกพหุคูณของแถวอื่น $R_i \leftarrow R_i + kR_j$ | ไม่เปลี่ยน | D8 |

D5 Transpose ทรานสโพสไม่เปลี่ยนค่า

$$\det(A^T) = \det A$$

D6 Row swap สลับสองแถว

$$R_i \leftrightarrow R_j \ \Rightarrow\ \det \to -\det$$

D7 Row scaling คูณแถวเดียวด้วย k

$$R_i \leftarrow kR_i \Rightarrow \det \to k\det, \qquad {\det(kA) = k^n\det A}$$

ดึงตัวร่วมออกจากแถวเดียวได้ทีละแถว $kA$ คูณ $k$ ทุกแถว จึงได้ $k^n$

D8 Row replacement บวกพหุคูณของแถวอื่น

$$R_i \leftarrow R_i + kR_j \ (i \ne j) \Rightarrow \det \text{ เท่าเดิม}$$

เครื่องมือหลักของการสร้างศูนย์โดยไม่ทำให้ค่าเปลี่ยน

D9 Zero determinant tests กรณีที่ได้ศูนย์ทันที

$$\det A = 0 \ \text{ถ้ามีแถว (หลัก) ศูนย์ทั้งแถว หรือสองแถวเท่ากัน หรือเป็นสัดส่วนกัน}$$

กรณีทั่วไปคือแถวหนึ่งเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่น (ขึ้นต่อกันเชิงเส้น)

D10 Triangular matrix เมทริกซ์สามเหลี่ยมและทแยงมุม

$$\det\begin{pmatrix} a_{11} & * & * \\ 0 & a_{22} & * \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$

ทั้งสามเหลี่ยมบน ล่าง และทแยงมุม ใช้ผลคูณเส้นทแยงหลักได้เลย ดังนั้น $\det I = 1$

D11 Product, inverse and power ผลคูณ อินเวอร์ส และกำลัง

$$\det(AB) = \det A\,\det B, \qquad \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}, \qquad \det(A^k) = (\det A)^k$$

แม้ $AB \ne BA$ แต่ $\det(AB) = \det(BA)$ เสมอ

D12 Linear in one row, NOT additive เชิงเส้นทีละแถว แต่บวกทั้งเมทริกซ์ไม่ได้

$$\begin{vmatrix} a + a' & b + b' \\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a' & b' \\ c & d \end{vmatrix}, \qquad \text{แต่ } \det(A + B) \ne \det A + \det B$$

ตัวอย่าง D-6 · ใช้สมบัติล้วน ไม่ต้องรู้สมาชิก

### ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ 3×3 ที่ $\det A = 5$ จงหา $\det(2A)$, $\det(A^{-1})$, $\det(A^TA)$, $\det(-A)$ และดีเทอร์มิแนนต์ของ $B$ ที่ได้จากการสลับแถว 1 กับ 3 ของ $A$ แล้วคูณแถว 2 ด้วย 3

- $\det(2A) = 2^3\det A = 8\times5 = 40$ D7

- $\det(A^{-1}) = 1/5$ และ $\det(A^TA) = \det A^T\det A = 5\times5 = 25$ D11 D5

- $\det(-A) = (-1)^3\det A = -5$ (สำหรับ 2×2 จะได้ $+5$)

- สลับแถวเปลี่ยนเครื่องหมาย แล้วคูณแถวด้วย 3: $\det B = 3\times(-5) = -15$ D6

$40,\ \tfrac15,\ 25,\ -5,\ -15$

## สูตรลัดที่ออกสอบบ่อย: แอดจอยต์ ค่าคงที่ และเมทริกซ์รูปแบบพิเศษ พื้นฐาน → กลาง

ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยชอบให้ $\det A$ มาเพียงตัวเลขเดียว แล้วถามดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่สร้างจาก $A$ ทุกข้อแก้ได้ด้วยสูตรในหัวข้อนี้โดยไม่ต้องรู้สมาชิกของ $A$ เลย จุดเริ่มคือ $A\operatorname{adj}A = (\det A)I$ จาก สูตรอินเวอร์สแบบแอดจอยต์ I3

D22 Determinant of the adjugate $\det$ ของ $\operatorname{adj}A$

$$\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1}$$

ที่มา: $\det(A\operatorname{adj}A) = \det\bigl((\det A)I\bigr) = (\det A)^n$ แล้วหารด้วย $\det A$ (สูตรยังจริงเมื่อ $\det A = 0$)

D23 Adjugate of kA and adj(adj A) แอดจอยต์ซ้อนและคูณค่าคงที่

$$\operatorname{adj}(kA) = k^{n-1}\operatorname{adj}A,\qquad \operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-2}A,\qquad \det\bigl(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A)\bigr) = (\det A)^{(n-1)^2}$$

D24 Adjugate of products แอดจอยต์ของผลคูณ

$$\operatorname{adj}(AB) = \operatorname{adj}B\,\operatorname{adj}A,\qquad \operatorname{adj}(A^T) = (\operatorname{adj}A)^T,\qquad \operatorname{adj}(A^{-1}) = \frac{A}{\det A}$$

ลำดับสลับเหมือน $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

D25 Constant-diagonal pattern แนวทแยงเป็น $a$ ตัวอื่นเป็น $b$

$$\det\begin{pmatrix} a & b & \cdots & b \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{pmatrix}_{n\times n} = (a - b)^{n-1}\bigl(a + (n - 1)b\bigr)$$

เทคนิค: บวกทุกหลักเข้าหลักแรก ทุกแถวได้ $a + (n-1)b$ ดึงออกมา แล้วลบแถวแรกออกจากแถวอื่น

ตัวอย่าง D-9 · แนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย

### $A$ เป็นเมทริกซ์ $3\times3$ ที่ $\det A = 3$ จงหา $\det(2\operatorname{adj}A)$, $\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A))$ และ $\det(A^{-1}\operatorname{adj}A)$

- $\det(2\operatorname{adj}A) = 2^3\det(\operatorname{adj}A) = 8\times3^{2} = 72$ D7 D22

- $\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A)) = 3^{(3-1)^2} = 3^4 = 81$ D23

- $\det(A^{-1}\operatorname{adj}A) = \dfrac{1}{\det A}\cdot(\det A)^2 = \det A = 3$ D11

$72,\ 81,\ 3$

ตรวจข้อสามอีกทาง: $A^{-1}\operatorname{adj}A = A^{-1}(\det A)A^{-1} = 3A^{-2}$ ได้ $\det = 27\cdot\tfrac19 = 3$ ✓ · ฝึกต่อที่ แนวข้อสอบชุด A

กับดักที่เจอบ่อย $\det(\operatorname{adj}A) \ne \det A$ และ $\det(kA) \ne k\det A$ — เลขชี้กำลังขึ้นกับขนาด $n$ ทุกครั้ง ส่วน $\det(A + B)$ ไม่มีสูตรลัด ต้องบวกเมทริกซ์ก่อน (D12)

## หาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยการลดแถว กลาง

สำหรับ 4×4 ขึ้นไป ให้ใช้ D8 สร้างศูนย์ใต้เส้นทแยงจนเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม แล้วคูณเส้นทแยงตาม D10 ถ้าระหว่างทางสลับแถวให้กลับเครื่องหมาย ถ้าคูณแถวให้หารกลับ วิธีนี้ใช้การคูณประมาณ $n^3/3$ ครั้ง ขณะที่กระจายโคแฟกเตอร์ตรง ๆ ใช้ราว $n!$ ครั้ง ที่ $n = 10$ คือ 333 ครั้งเทียบกับ 3.6 ล้านครั้ง

ตัวอย่าง D-7 · 4×4 ด้วยการลดแถว

### หา $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

- ใช้ ${1}$ ที่มุมซ้ายบนเป็นตัวหลัก (pivot) สร้างศูนย์ในหลักที่ 1 ด้วยการบวกพหุคูณ ค่าไม่เปลี่ยน D8

$$\xrightarrow[R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\ R_3 \leftarrow R_3 + R_1} \begin{pmatrix} {1} & 2 & 1 & 0 \\ 0 & {1} & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

- ใช้ ${1}$ ในแถว 2 สร้างศูนย์ใต้มัน

$$\xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & {1} & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

-
$$\xrightarrow{R_4 \leftarrow R_4 - R_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & {1} \end{pmatrix}$$

- ได้เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ไม่มีการสลับหรือคูณแถว จึงไม่ต้องปรับค่า D10

$$\det A = (1)(1)(1)(1) = 1$$

$\det A = 1$

## ดีเทอร์มิแนนต์กับการมีคำตอบ พื้นฐาน

D20 Determinant test เกณฑ์ดีเทอร์มิแนนต์

$$\det A \ne 0 \iff A^{-1} \text{ มีจริง} \iff A\mathbf x = \mathbf b \text{ มีคำตอบเดียวทุก } \mathbf b \iff \operatorname{rank}A = n$$

ถ้า $\det A = 0$ ระบบอาจไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบไม่จำกัด ต้องตรวจด้วยการลดแถว L6 ดูรายการเงื่อนไขที่สมมูลกันทั้งหมดใน I10

## งานเรขาคณิตด้วยดีเทอร์มิแนนต์ พื้นฐาน

D17 Area of a triangle พื้นที่สามเหลี่ยมจากพิกัดจุดยอด

$$\text{พื้นที่} = \frac12\left|\det\begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix}\right|$$

D18 Collinearity and line equation สามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

$$\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$

แทนจุดที่สามแล้วได้ 0 แปลว่าร่วมเส้น ปล่อย $(x, y)$ เป็นตัวแปรจะได้สมการเส้นตรงผ่านสองจุด

D19 Cross product as a determinant ผลคูณไขว้

$$\vec A \times \vec B = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}, \qquad \vec A\cdot(\vec B\times\vec C) = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{vmatrix}$$

ผลคูณสเกลาร์สามชั้นคือปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน (D13 ใน 3 มิติ) ดูการใช้งานกับแรงบนตัวนำที่ พีชคณิตของเวกเตอร์

ตัวอย่าง D-8 · พื้นที่สามเหลี่ยม (โจทย์ ม.ปลาย)

### หาพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(1, 2), (4, 6), (6, 1)$

- เรียงพิกัดพร้อมหลักของเลข 1 D17

$$\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 1 \\ 6 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

- ซาร์รัส: ลงขวา $(1)(6)(1) + (2)(1)(6) + (1)(4)(1) = 6 + 12 + 4 = 22$ ขึ้นขวา $(1)(6)(6) + (1)(1)(1) + (2)(4)(1) = 36 + 1 + 8 = 45$ D2

$$\det = 22 - 45 = -23$$

พื้นที่ $= \tfrac12|-23| = 11.5$ ตารางหน่วย (เครื่องหมายลบแค่บอกว่าเรียงจุดตามเข็มนาฬิกา)

## ดีเทอร์มิแนนต์พิเศษ ขั้นสูง

D14 Block triangular and Schur complement เมทริกซ์บล็อก

$$\det\begin{pmatrix} A & B \\ O & D \end{pmatrix} = \det A\,\det D, \qquad \det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det A\cdot\det(D - CA^{-1}B) \ \ (A^{-1} \text{ มีจริง})$$

$D - CA^{-1}B$ เรียก Schur complement ของ $A$ ใช้ลดรูปวงจรด้วยการกำจัดโนด (Kron reduction) ในระบบไฟฟ้ากำลัง

D15 Vandermonde determinant ดีเทอร์มิแนนต์แวนเดอร์มอนด์

$$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)$$

ทั่วไป $\prod_{i\lt j}(x_j - x_i)$ ไม่เป็นศูนย์เมื่อ $x_i$ ต่างกันทั้งหมด จึงลากพหุนามผ่านจุดที่ $x$ ต่างกันได้แบบเดียวเสมอ ตัวอย่าง $x = 1, 2, 3$ ได้ $(1)(2)(1) = 2$

D16 Determinant and eigenvalues ผลคูณค่าเฉพาะ

$$\det A = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$$

นับค่าซ้ำตามจำนวนครั้ง จึง $\det A = 0$ ก็ต่อเมื่อมีค่าเฉพาะเป็น 0 E6

D21 Leibniz formula (definition) นิยามแบบการเรียงสับเปลี่ยน

$$\det A = \sum_{\sigma \in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}$$

ผลรวม $n!$ พจน์ แต่ละพจน์เลือกสมาชิกแถวละหนึ่งตัวและหลักละหนึ่งตัว 2×2 มี 2 พจน์ 3×3 มี 6 พจน์ (ซาร์รัสคือการเขียน 6 พจน์นี้) 4×4 มี 24 พจน์

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ระวังจุดเหล่านี้

- ใช้ซาร์รัสกับ 4×4 → ผิด ใช้ได้เฉพาะ 3×3

- ลืมเครื่องหมายกระดานหมากรุกตอนกระจายโคแฟกเตอร์ โดยเฉพาะเมื่อกระจายตามแถว 2 ซึ่งเริ่มด้วยลบ D3

- คิดว่า $\det(kA) = k\det A$ → ต้องเป็น $k^n\det A$ D7

- ลดแถวแล้วลืมกลับเครื่องหมายเมื่อสลับแถว หรือลืมหารคืนเมื่อคูณแถว D6

- ใช้ $R_i \leftarrow kR_i + R_j$ (คูณแถวที่ถูกแทนที่) โดยไม่รู้ว่าค่าเปลี่ยนไป $k$ เท่า แบบที่ปลอดภัยคือ $R_i \leftarrow R_i + kR_j$

- อ่าน $|A|$ เป็นค่าสัมบูรณ์ → ดีเทอร์มิแนนต์ติดลบได้

## เครื่องคิดเลขดีเทอร์มิแนนต์แสดงวิธีทำ

ใส่เมทริกซ์ขนาด 2×2 ถึง 4×4 รับเลขเศษส่วนเช่น 3/4 และทศนิยม คำนวณแบบเศษส่วนแม่นยำ 2×2 และ 3×3 แสดงการกระจายโคแฟกเตอร์ 4×4 แสดงการลดแถวทีละขั้น

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ดีเทอร์มิแนนต์บอกว่า “มีคำตอบเดียวไหม” แต่ยังไม่ได้ให้คำตอบ หน้าถัดไป ระบบสมการเชิงเส้น สอนวิธีลดแถวที่ทั้งหาคำตอบและบอกได้ด้วยว่าเมื่อ $\det A = 0$ ระบบไม่มีคำตอบหรือมีไม่จำกัด ส่วนการใช้ดีเทอร์มิแนนต์แก้ระบบโดยตรงอยู่ที่ กฎของคราเมอร์ · ถ้า $\det A = 0$ แล้วอยากรู้ว่าแรงก์เหลือเท่าไร ดู แรงก์ด้วยไมเนอร์ · ฝึกโจทย์ดีเทอร์มิแนนต์ที่ แนวข้อสอบ 45 ข้อ และอ่านสรุปที่บทความ สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ที่ออกสอบบ่อย

## คำถามที่พบบ่อย

กฎของซาร์รัสใช้กับ 4×4 ได้ไหม?
ไม่ได้ กฎของซาร์รัส (คัดลอกสองหลักแรกแล้วคูณเส้นทแยง) ใช้ได้กับ 3×3 เท่านั้น ถ้าใช้กับ 4×4 จะได้แค่ 8 พจน์จากทั้งหมด 24 พจน์ ขนาดตั้งแต่ 4×4 ขึ้นไปให้กระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวที่มีศูนย์มาก หรือลดแถวให้เป็นสามเหลี่ยม

ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์หมายความว่าอะไร?
เมทริกซ์นั้นไม่มีอินเวอร์ส แถวหรือหลักขึ้นต่อกันเชิงเส้น เชิงเรขาคณิตคือการแปลงบีบพื้นที่หรือปริมาตรให้แบนเหลือศูนย์ และระบบ $A\mathbf x = \mathbf b$ ไม่มีคำตอบเดียว (อาจไม่มีคำตอบหรือมีไม่จำกัด)

det(2A) เท่ากับ 2 det A ใช่ไหม?
ไม่ใช่ เพราะ $2A$ คูณ 2 เข้าไปทุกแถว แต่ละแถวดึง 2 ออกมาได้หนึ่งครั้ง ถ้า $A$ ขนาด $n\times n$ จะได้ $\det(2A) = 2^n\det A$ เช่น 3×3 ได้ $8\det A$

ควรกระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวไหน?
เลือกแถวหรือหลักที่มีศูนย์มากที่สุด เพราะพจน์ที่คูณศูนย์หายไปทันที ถ้าไม่มีศูนย์เลย ให้ใช้การดำเนินการแถวแบบบวกพหุคูณ (ไม่เปลี่ยนค่าดีเทอร์มิแนนต์) สร้างศูนย์ก่อน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**กฎของซาร์รัสใช้กับ 4×4 ได้ไหม?**
ไม่ได้ กฎของซาร์รัส (คัดลอกสองหลักแรกแล้วคูณเส้นทแยง) ใช้ได้กับ 3×3 เท่านั้น ถ้าใช้กับ 4×4 จะได้แค่ 8 พจน์จากทั้งหมด 24 พจน์ ขนาดตั้งแต่ 4×4 ขึ้นไปให้กระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวที่มีศูนย์มาก หรือลดแถวให้เป็นสามเหลี่ยม

**ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์หมายความว่าอะไร?**
เมทริกซ์นั้นไม่มีอินเวอร์ส แถวหรือหลักขึ้นต่อกันเชิงเส้น เชิงเรขาคณิตคือการแปลงบีบพื้นที่หรือปริมาตรให้แบนเหลือศูนย์ และระบบ $A\mathbf x = \mathbf b$ ไม่มีคำตอบเดียว (อาจไม่มีคำตอบหรือมีไม่จำกัด)

**det(2A) เท่ากับ 2 det A ใช่ไหม?**
ไม่ใช่ เพราะ $2A$ คูณ 2 เข้าไปทุกแถว แต่ละแถวดึง 2 ออกมาได้หนึ่งครั้ง ถ้า $A$ ขนาด $n\times n$ จะได้ $\det(2A) = 2^n\det A$ เช่น 3×3 ได้ $8\det A$

**ควรกระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวไหน?**
เลือกแถวหรือหลักที่มีศูนย์มากที่สุด เพราะพจน์ที่คูณศูนย์หายไปทันที ถ้าไม่มีศูนย์เลย ให้ใช้การดำเนินการแถวแบบบวกพหุคูณ (ไม่เปลี่ยนค่าดีเทอร์มิแนนต์) สร้างศูนย์ก่อน

---

# ประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้นในวิศวกรรมไฟฟ้า: รูปแบบโจทย์ที่เจอเสมอ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/ee-applications/
Updated: 2026-10-12
Summary: รวมรูปแบบโจทย์วิศวกรรมไฟฟ้าที่ใช้เมทริกซ์ เขียนสมการเมชและโนดด้วยการมอง แหล่งจ่ายไม่อิสระ วงจร AC เฟเซอร์ ปริภูมิสถานะวงจร RLC กับค่าเฉพาะ วงจร RC สองชั้น เมทริกซ์ ABCD สองพอร์ต องค์ประกอบสมมาตร การแปลงคลาร์กและพาร์ก และ Y-bus พร้อมวิธีทำทีละขั้นและวงจรประกอบ

// บทที่ 7.7 · พีชคณิตเชิงเส้น · Applications in Electrical Engineering

# ประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้นในวิศวกรรมไฟฟ้า: รูปแบบโจทย์ที่เจอเสมอ

โจทย์วงจรและระบบไฟฟ้ามีรูปแบบตายตัวไม่กี่แบบ เมื่อเห็นวงจรแล้วรู้ว่าจะได้เมทริกซ์หน้าตาแบบไหน และควรใช้เครื่องมือใด (คราเมอร์ อินเวอร์ส ลดแถว หรือค่าเฉพาะ) โจทย์ก็เหลือแค่การคำนวณ หน้านี้รวบรวมรูปแบบเหล่านั้นตั้งแต่วงจร DC ปี 1 จนถึงระบบไฟฟ้ากำลังและอิเล็กทรอนิกส์กำลัง สูตรใช้รหัส A

สรุปใน 30 วินาที

- วงจรตัวต้านทาน + แหล่งจ่ายอิสระ: $R\mathbf I = \mathbf V$ หรือ $G\mathbf V = \mathbf I$ เขียนได้ด้วยการมอง เมทริกซ์สมมาตร

- มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ: เมทริกซ์ไม่สมมาตร · วงจร AC: สมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน · หลังลาปลาซ: สมาชิกเป็นพหุนามของ $s$

- วงจรมี L และ C: $\dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B\mathbf u$ ค่าเฉพาะของ $A$ คือขั้ว บอกการหน่วงและการแกว่ง

- สองพอร์ตต่อเรียง = คูณเมทริกซ์ ABCD · สามเฟสไม่สมดุล = แปลงด้วยเมทริกซ์ Fortescue

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## ตารางรูปแบบโจทย์: เห็นวงจรแล้วรู้ว่าจะใช้อะไร

| สถานการณ์ | รูปเมทริกซ์ | เครื่องมือที่เหมาะ | ดู |

| วงจร DC หลายลูป ถามกระแสลูปเดียว | $R\mathbf I = \mathbf V$ สมมาตร | คราเมอร์ (2 ดีเทอร์มิแนนต์) | A1 |

| วงจร DC หลายโนด แหล่งจ่ายกระแส | $G\mathbf V = \mathbf I$ สมมาตร | ลดแถว / อินเวอร์ส | A2 |

| วงจรเดิม เปลี่ยนแหล่งจ่ายหลายแบบ | $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b$ | อินเวอร์สครั้งเดียว / LU | I-6 |

| มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ | ไม่สมมาตร | คราเมอร์ / ลดแถว | A3 |

| วงจร AC สถานะคงตัว | $\mathbf Z\mathbf I = \mathbf V$ เชิงซ้อน | คราเมอร์เชิงซ้อน | A4 |

| หาฟังก์ชันถ่ายโอน | สมาชิกเป็นพหุนาม $s$ | คราเมอร์ $H = \Delta_k/\Delta$ | C8 |

| ผลตอบสนองชั่วครู่ RLC | $\dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B\mathbf u$ | ค่าเฉพาะ เวกเตอร์เฉพาะ | A5 |

| วงจรต่อเรียงหลายชั้น สายส่ง | ABCD | คูณเมทริกซ์ | A7 |

| ฟอลต์ ระบบสามเฟสไม่สมดุล | Fortescue | แปลงฐาน (ค่าเฉพาะของเมทริกซ์วนรอบ) | A8 |

| ควบคุมมอเตอร์ อินเวอร์เตอร์ | คลาร์ก พาร์ก | เมทริกซ์หมุน (เชิงตั้งฉาก) | A9 |

| การไหลของกำลัง ฟอลต์ในระบบใหญ่ | Y-bus, Z-bus | เมทริกซ์ห่าง LU | A10 |

## การวิเคราะห์เมชด้วยการมอง พื้นฐาน

เขียน KVL รอบทุกเมชโดยให้กระแสเมชวนทิศเดียวกัน (ตามเข็มนาฬิกา) จะได้รูปแบบที่ตายตัว จนเขียนเมทริกซ์ได้โดยไม่ต้องเขียน KVL ทีละสมการ

A1 Mesh equations by inspection สมการเมชด้วยการมอง (วงจรตัวต้านทาน + แหล่งแรงดันอิสระ)

$$R\,\mathbf I = \mathbf V, \qquad r_{kk} = \sum R \text{ รอบเมช } k, \quad r_{kj} = -\sum R \text{ ที่ใช้ร่วมระหว่าง } k, j, \quad V_k = \sum \text{แหล่งจ่ายที่ดันตามทิศ } I_k$$

ทุกเมชวนทิศเดียวกัน · $R$ สมมาตรและบวกแน่นอน E12 · แหล่งจ่ายที่ขั้วบวกอยู่ด้านที่กระแสเมชไหลออก นับเป็นบวก · มีแหล่งกระแสให้ใช้ซูเปอร์เมช (supermesh) หรือเพิ่มสมการเงื่อนไข

ตัวอย่าง A-1 · วงจรสามเมชจากหน้าคราเมอร์ ด้วยการมองและอินเวอร์ส

### วงจร: 24 V, $R_1 = 2$, $R_2 = 4$ (ร่วม 1–2), $R_3 = 2$, $R_4 = 6$ (ร่วม 2–3), $R_5 = 3\ \Omega$ (ดูรูปวงจร) หากระแสเมชทั้งหมดและกระแสผ่าน $R_2$, $R_4$

- มองวงจรแล้วเขียนได้ทันที A1

$$\begin{pmatrix} 2+4 & -4 & 0 \\ -4 & 4+2+6 & -6 \\ 0 & -6 & 6+3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

- อินเวอร์ส ($\det R = 288$) คำนวณด้วยแอดจอยต์ I3

$$R^{-1} = \frac{1}{288}\begin{pmatrix} 72 & 36 & 24 \\ 36 & 54 & 36 \\ 24 & 36 & 56 \end{pmatrix}$$

- $\mathbf b$ มีค่าแค่ตัวแรก จึงได้ 24 เท่าของหลักแรก

$$\mathbf I = \frac{24}{288}\begin{pmatrix} 72 \\ 36 \\ 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\text{ A}$$

$I_1 = 6,\ I_2 = 3,\ I_3 = 2$ A · กระแสผ่าน $R_2 = I_1 - I_2 = 3$ A และผ่าน $R_4 = I_2 - I_3 = 1$ A

$R^{-1}$ สมมาตรด้วย (อินเวอร์สของเมทริกซ์สมมาตรสมมาตรเสมอ) · ความต้านทานที่แหล่งจ่ายมองเห็น $= 1/(R^{-1})_{11} = 288/72 = 4\ \Omega$ ตรวจ: $24/4 = 6$ A ✓

## การวิเคราะห์โนดด้วยการมอง พื้นฐาน

A2 Nodal equations by inspection สมการโนดด้วยการมอง (ตัวต้านทาน + แหล่งกระแสอิสระ)

$$G\,\mathbf V = \mathbf I, \qquad g_{kk} = \sum G \text{ ที่ต่อกับโนด } k, \quad g_{kj} = -\sum G \text{ ระหว่างโนด } k, j, \quad I_k = \sum \text{กระแสที่ฉีดเข้าโนด } k$$

$G = 1/R$ หน่วยซีเมนส์ · ถ้าเศษส่วนเยอะ ให้คูณทั้งระบบด้วย ค.ร.น. ของตัวส่วนก่อน คำตอบไม่เปลี่ยน · วงจรบันได (ladder) ได้เมทริกซ์สามแนวทแยง (tridiagonal) แก้ได้เร็วด้วยการแทนค่าต่อเนื่อง

วงจรบันไดสามโนด กราวด์อยู่ด้านล่าง

ตัวอย่าง A-2 · วงจรบันไดสามโนด

### หาแรงดันโนด $v_1, v_2, v_3$

- ความนำ: $G_a = 1,\ G_b = 0.5,\ G_c = 0.25,\ G_d = 0.5,\ G_e = 0.5$ S เขียนด้วยการมอง A2

$$\begin{pmatrix} 1 + 0.5 & -0.5 & 0 \\ -0.5 & 0.5 + 0.25 + 0.5 & -0.5 \\ 0 & -0.5 & 0.5 + 0.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

- คูณทั้งระบบด้วย 4 กำจัดทศนิยม

$$\begin{pmatrix} 6 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

- สามแนวทแยง จึงแทนค่าต่อเนื่องจากแถวล่าง: แถว 3 ได้ $v_2 = 2v_3$ · แถว 2: $-2v_1 + 10v_3 - 2v_3 = 0$ ได้ $v_1 = 4v_3$

- แถว 1: $6(4v_3) - 2(2v_3) = 20v_3 = 40$

$$v_3 = 2,\quad v_2 = 4,\quad v_1 = 8\ \text{V}$$

$\mathbf v = (8,\ 4,\ 2)$ V

KCL โนด 1: กระแสลง $R_a$ $= 8$ A ผ่าน $R_b$ $= (8 - 4)/2 = 2$ A รวม 10 A ✓ · การใช้ $G^{-1}$ กับแหล่งจ่ายหลายแบบดูที่ ตัวอย่าง I-6

A11 Modified nodal analysis (MNA) การวิเคราะห์โนดดัดแปลง (สิ่งที่ SPICE ทำ)

$$\begin{pmatrix} G & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf v \\ \mathbf i_V \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf i_s \\ \mathbf e \end{pmatrix}$$

เพิ่มกระแสของแหล่งแรงดันเป็นตัวแปรใหม่ $\mathbf i_V$ ทำให้รองรับแหล่งแรงดันและแหล่งไม่อิสระทุกแบบ เมทริกซ์ใหญ่แต่ห่าง (sparse) แก้ด้วย LU L9

## วงจรที่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ กลาง

A3 Dependent sources แหล่งจ่ายไม่อิสระทำให้เมทริกซ์ไม่สมมาตร

$$\text{เขียน KVL/KCL ตามปกติ} \to \text{ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรควบคุมไปซ้าย} \to R\mathbf I = \mathbf V \text{ แต่ } R \ne R^T$$

ห้ามใช้ “การมอง” ตรง ๆ กับตัวควบคุม ต้องเขียน KVL ก่อนแล้วจัดรูป · วงจรแบบนี้ไม่เป็นส่วนกลับ (non-reciprocal) เช่นวงจรจำลองทรานซิสเตอร์และออปแอมป์

แหล่งแรงดันควบคุมด้วยกระแส (CCVS) ค่า $2I_1$ โวลต์ ขั้วบวกด้านล่าง จึงดันกระแสตามทิศ $I_2$

ตัวอย่าง A-3 · CCVS ในเมชที่สอง

### หา $I_1$ และ $I_2$

- KVL เมช 1 (ปกติ): $2I_1 + 4(I_1 - I_2) = 12$ → $6I_1 - 4I_2 = 12$

- KVL เมช 2: แรงดันตกบนตัวต้านทาน = แรงดันที่แหล่งไม่อิสระดันขึ้น

$$4(I_2 - I_1) + 4I_2 = 2I_1 \ \Rightarrow\ {-6}I_1 + 8I_2 = 0$$

- เมทริกซ์ไม่สมมาตร ($-4 \ne -6$) A3 แก้ด้วยคราเมอร์ C2

$$\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -6 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \Delta = 48 - 24 = 24$$

$$I_1 = \frac{(12)(8) - (-4)(0)}{24} = 4, \qquad I_2 = \frac{(6)(0) - (12)(-6)}{24} = 3$$

$I_1 = 4$ A · $I_2 = 3$ A · แหล่งไม่อิสระมีแรงดัน $2I_1 = 8$ V

ตรวจเมช 2: $4(3 - 4) + 4(3) = 8 = 2I_1$ ✓

## วงจร AC แบบเฟเซอร์ กลาง

A4 Phasor mesh/nodal equations สมการเมช/โนดแบบเฟเซอร์

$$\mathbf Z\,\mathbf I = \mathbf V, \qquad Z_R = R,\quad Z_L = j\omega L,\quad Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -\frac{j}{\omega C}$$

กฎการมองใช้ได้เหมือน A1 แต่ใช้อิมพีแดนซ์ · $\mathbf Z$ สมมาตรแต่เป็นเชิงซ้อน (ไม่ใช่เฮอร์มิเชียน) · กำลังเชิงซ้อนที่แหล่งจ่ายส่งให้วงจร $S = \tfrac12\mathbf V^T\overline{\mathbf I}$ เมื่อใช้ค่ายอด (ถ้าใช้ค่า RMS ไม่ต้องมี $\tfrac12$) · ตัวอย่างเต็มอยู่ที่ C-5

## วงจร RLC ในปริภูมิสถานะและค่าเฉพาะ กลาง → ขั้นสูง

เลือกตัวแปรที่ “มีความจำ” เป็นสถานะ คือกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุ แล้วเขียนอนุพันธ์ของแต่ละตัว จะได้ระบบอันดับหนึ่งในรูปเมทริกซ์ ค่าเฉพาะของ $A$ คือขั้วตัวเดียวกับที่ได้จาก $\Delta(s) = 0$

RLC อนุกรม สถานะ $\mathbf x = (i_L,\ v_C)$

A5 Series RLC in state space RLC อนุกรมในปริภูมิสถานะ

$$\frac{d}{dt}\begin{pmatrix} i_L \\ v_C \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} -R/L & -1/L \\ 1/C & 0 \end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix} i_L \\ v_C \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1/L \\ 0 \end{pmatrix}u, \qquad \lambda^2 + \frac{R}{L}\lambda + \frac{1}{LC} = 0$$

$$\omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}},\quad \zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}},\quad \lambda_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1}$$

$\operatorname{tr}A = -R/L = -2\zeta\omega_n$ (การหน่วง) · $\det A = 1/LC = \omega_n^2$ E6 · $\zeta \gt 1$ จริงต่างกัน (หน่วงเกิน) · $\zeta = 1$ ซ้ำ (วิกฤต, defective) · $\zeta \lt 1$ เชิงซ้อน (หน่วงน้อย แกว่ง) ดูแล็บ ระบบอันดับสอง

ตัวอย่าง A-4 · ผลตอบสนองธรรมชาติของ RLC ด้วยเวกเตอร์เฉพาะ

### $R = 6\ \Omega,\ L = 1$ H, $C = 0.2$ F, $u = 0$ เริ่มต้น $i_L(0) = 0,\ v_C(0) = 4$ V หา $i_L(t)$ และ $v_C(t)$

- แทนค่าใน A5: $A = \begin{pmatrix} -6 & -1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$, $\operatorname{tr} = -6$, $\det = 5$ A5

$$\lambda^2 + 6\lambda + 5 = (\lambda + 1)(\lambda + 5) = 0 \ \Rightarrow\ \lambda = -1,\ -5$$

- เวกเตอร์เฉพาะด้วยสูตรลัด $(b,\ \lambda - a)$ โดย $a = -6,\ b = -1$ E4

$$\lambda = -1:\ \mathbf v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 + 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}, \qquad \lambda = -5:\ \mathbf v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -5 + 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

- กระจายค่าเริ่มต้น $c_1(1, -5) + c_2(1, -1) = (0, 4)$ ได้ $c_1 = -1,\ c_2 = 1$ E15

$$\begin{pmatrix} i_L \\ v_C \end{pmatrix} = -e^{-t}\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix} + e^{-5t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

$i_L(t) = -e^{-t} + e^{-5t}$ A · $v_C(t) = 5e^{-t} - e^{-5t}$ V (หน่วงเกิน $\zeta = 3\sqrt{0.2} \approx 1.34$)

ตรวจ $i_L = C\,dv_C/dt = 0.2(-5e^{-t} + 5e^{-5t}) = -e^{-t} + e^{-5t}$ ✓ · ถ้าเปลี่ยนเป็น $R = 2\ \Omega$ จะได้ $\lambda^2 + 2\lambda + 5 = 0$, $\lambda = -1 \pm j2$: แกว่งที่ 2 rad/s ใต้เปลือก $e^{-t}$ ($\zeta \approx 0.447$)

## วงจร RC สองชั้น: ค่าเฉพาะคือค่าคงตัวเวลา ขั้นสูง

วงจรเดียวกับ ตัวอย่าง C-6 คราวนี้มองผ่านปริภูมิสถานะ จะเห็นว่าค่าเฉพาะกับขั้วจากฟังก์ชันถ่ายโอนเป็นตัวเดียวกัน และเวกเตอร์เฉพาะบอก “รูปร่าง” ของแต่ละโหมดด้วย

A6 Two-stage RC ladder RC สองชั้น ($R_1 = R_2 = R,\ C_1 = C_2 = C,\ \tau = RC$)

$$\dot{\mathbf v} = \frac{1}{\tau}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\mathbf v + \frac{1}{\tau}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}u, \qquad \lambda\tau = \frac{-3 \pm \sqrt5}{2} = -0.382,\ -2.618$$

ค่าคงตัวเวลาของโหมด $\tau_i = -1/\lambda_i = 2.618\tau$ และ $0.382\tau$ · ผลคูณ $= \tau^2$ ($= 1/\det A$) ผลบวก $= 3\tau$

ตัวอย่าง A-5 · อ่านความหมายของเวกเตอร์เฉพาะ

### หาเวกเตอร์เฉพาะของ $\tau A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ แล้วตีความ

- $\operatorname{tr} = -3,\ \det = 1$: $\mu^2 + 3\mu + 1 = 0$ ได้ $\mu = -0.382,\ -2.618$ (โดย $\mu = \lambda\tau$)

- สูตรลัด $(b, \mu - a) = (1,\ \mu + 2)$ E4

$$\mu = -0.382:\ \mathbf v_{\text{ช้า}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1.618 \end{pmatrix}, \qquad \mu = -2.618:\ \mathbf v_{\text{เร็ว}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -0.618 \end{pmatrix}$$

โหมดช้า: ตัวเก็บประจุทั้งสองตัวเปลี่ยนแรงดันไปทางเดียวกัน (ชาร์จทั้งวงจร) · โหมดเร็ว: แรงดันสวนทางกัน (ประจุไหลถ่ายเทระหว่างสองตัวเก็บประจุผ่าน $R_2$) จึงหายไปเร็วกว่าเกือบ 7 เท่า

$A$ สมมาตร เวกเตอร์เฉพาะจึงตั้งฉากกัน: $(1)(1) + (1.618)(-0.618) = 1 - 1 = 0$ ✓ E11

## วงจรสองพอร์ตและเมทริกซ์ ABCD กลาง

วงจรที่มีขาเข้าและขาออกอย่างละคู่ (ตัวกรอง สายส่ง หม้อแปลง แอมป์) อธิบายด้วยเมทริกซ์ 2×2 ได้ ข้อดีของเมทริกซ์ ABCD (transmission parameters) คือต่อเรียงกัน = คูณเมทริกซ์ตามลำดับ

A7 ABCD (transmission) matrix เมทริกซ์ ABCD

$$\begin{pmatrix} V_1 \\ I_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} V_2 \\ I_2 \end{pmatrix}, \quad \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & Z \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\text{อนุกรม } Z}, \quad \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ Y & 1 \end{pmatrix}}_{\text{ขนาน } Y}, \quad T_{\text{รวม}} = T_1T_2\cdots T_k$$

$I_2$ นิยามไหลออกจากพอร์ต 2 · วงจรส่วนกลับ (R, L, C, หม้อแปลง) มี $AD - BC = 1$ · อัตราขยายแรงดันเปิดวงจร $V_2/V_1 = 1/A$ · พารามิเตอร์ Z และ Y สัมพันธ์กันด้วย $\mathbf Y = \mathbf Z^{-1}$

ตัวอย่าง A-6 · ต่อเรียงตัวแบ่งแรงดันสองชั้น

### แต่ละชั้นคือ $Z = 10\ \Omega$ อนุกรม ตามด้วย $Y = 0.05$ S (20 Ω) ขนาน หา ABCD ของหนึ่งชั้นและสองชั้น แล้วหาอัตราขยายแรงดันเมื่อปลายเปิด

- หนึ่งชั้น = อนุกรมคูณขนาน (ตามลำดับที่สัญญาณผ่าน) A7

$$T = \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0.05 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.5 & 10 \\ 0.05 & 1 \end{pmatrix}$$

- สองชั้นต่อเรียง = $T^2$

$$T^2 = \begin{pmatrix} 1.5(1.5) + 10(0.05) & 1.5(10) + 10(1) \\ 0.05(1.5) + 1(0.05) & 0.05(10) + 1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.75 & 25 \\ 0.125 & 1.5 \end{pmatrix}$$

หนึ่งชั้น $V_2/V_1 = 1/1.5 = 0.667$ (ตรงกับตัวแบ่ง $20/30$) · สองชั้น $1/2.75 = 0.364$ ไม่ใช่ $0.667^2 = 0.444$ เพราะชั้นที่สองโหลดชั้นแรก เมทริกซ์จัดการผลโหลดให้อัตโนมัติ

$\det T = 1.5 - 0.5 = 1$ และ $\det T^2 = 4.125 - 3.125 = 1$ ✓ (วงจรส่วนกลับ และสอดคล้องกับ $\det(AB) = \det A\det B$)

## องค์ประกอบสมมาตรในระบบสามเฟส ขั้นสูง

ระบบสามเฟสที่ไม่สมดุล (เช่นเกิดฟอลต์เฟสเดียวลงดิน) แยกเป็นสามระบบสมดุลได้ด้วยการแปลง Fortescue ให้ $a = 1\angle120^\circ = -\tfrac12 + j\tfrac{\sqrt3}{2}$ ซึ่งมีสมบัติ $a^3 = 1$ และ $1 + a + a^2 = 0$

A8 Symmetrical components (Fortescue) การแปลงองค์ประกอบสมมาตร

$$\begin{pmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{pmatrix}$$

ใช้ได้ทั้งแรงดันและกระแส · 0 = ลำดับศูนย์ 1 = ลำดับบวก 2 = ลำดับลบ · อินเวอร์สคือสังยุคทรานสโพสหารสาม ($\tfrac{1}{\sqrt3}\mathbf A$ เป็นยูนิแทรี)

A12 Why it works: eigenvectors of the phase-impedance matrix เหตุผลเบื้องหลัง: เวกเตอร์เฉพาะ

$$\mathbf Z_{abc} = \begin{pmatrix} Z_s & Z_m & Z_m \\ Z_m & Z_s & Z_m \\ Z_m & Z_m & Z_s \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ \mathbf A^{-1}\mathbf Z_{abc}\mathbf A = \begin{pmatrix} Z_s + 2Z_m & & \\ & Z_s - Z_m & \\ & & Z_s - Z_m \end{pmatrix}$$

หลักของ $\mathbf A$ คือ $(1,1,1)$, $(1, a^2, a)$, $(1, a, a^2)$ เป็นเวกเตอร์เฉพาะของ $\mathbf Z_{abc}$ พอดี จึงทำเป็นทแยงมุมได้ E9 ได้อิมพีแดนซ์ลำดับศูนย์ $Z_0 = Z_s + 2Z_m$ และลำดับบวก/ลบ $Z_1 = Z_2 = Z_s - Z_m$ วงจรสามเฟสที่ผูกกันจึงแยกเป็นสามวงจรอิสระ

ตัวอย่าง A-7 · ฟอลต์เฟสเดียวลงดิน

### กระแสฟอลต์ $I_a = 30\angle0^\circ$ A, $I_b = I_c = 0$ หาองค์ประกอบสมมาตรของกระแส

- คูณด้วยเมทริกซ์ผกผัน A8

$$\begin{pmatrix} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 30 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix} 30 \\ 30 \\ 30 \end{pmatrix}$$

$I_0 = I_1 = I_2 = 10\angle0^\circ$ A นี่คือเหตุผลที่ฟอลต์เฟสเดียวลงดินต่อวงจรลำดับศูนย์ บวก และลบอนุกรมกัน และ $I_f = 3I_0$

ระบบสมดุลลำดับบวก $V_a = 100,\ V_b = 100a^2,\ V_c = 100a$ จะได้ $V_1 = \tfrac13(100 + a\cdot100a^2 + a^2\cdot100a) = 100$ และ $V_0 = V_2 = 0$ เพราะ $1 + a + a^2 = 0$ ✓

## การแปลงคลาร์กและพาร์ก (ควบคุมมอเตอร์) ขั้นสูง

อินเวอร์เตอร์ขับมอเตอร์ทุกตัวที่ใช้การควบคุมแบบ field-oriented (FOC) ทำการแปลงสองขั้นนี้หลายหมื่นครั้งต่อวินาที เพื่อเปลี่ยนสัญญาณไซน์สามเฟสให้กลายเป็นค่าคงที่สองค่าที่ควบคุมด้วย PI ได้ง่าย

A9 Clarke and Park transforms การแปลงคลาร์ก (abc → αβ) และพาร์ก (αβ → dq)

$$\begin{pmatrix} v_\alpha \\ v_\beta \end{pmatrix} = \frac23\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac12 & -\tfrac12 \\ 0 & \tfrac{\sqrt3}{2} & -\tfrac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_a \\ v_b \\ v_c \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} v_d \\ v_q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_\alpha \\ v_\beta \end{pmatrix}$$

รูปแบบคงขนาด (amplitude-invariant) · ระบบสมดุล $v_a = V_m\cos\theta$ จะได้ $v_\alpha = V_m\cos\theta,\ v_\beta = V_m\sin\theta$ แล้ว $v_d = V_m,\ v_q = 0$ เป็นค่าคงที่ · เมทริกซ์พาร์กเป็นเชิงตั้งฉาก อินเวอร์สจึงเป็นแค่ทรานสโพส M5 · รูปแบบคงกำลัง (power-invariant) ใช้ $\sqrt{2/3}$ แทน $2/3$ ทำให้เมทริกซ์ 3×3 ทั้งก้อนเป็นเชิงตั้งฉาก

## Y-bus และ Z-bus ในระบบไฟฟ้ากำลัง ขั้นสูง

A10 Bus admittance matrix เมทริกซ์แอดมิตแตนซ์บัส

$$\mathbf I_{\text{bus}} = \mathbf Y_{\text{bus}}\mathbf V_{\text{bus}}, \qquad Y_{kk} = \sum_{\text{ต่อกับบัส } k} y, \quad Y_{kj} = -y_{kj}, \qquad \mathbf Z_{\text{bus}} = \mathbf Y_{\text{bus}}^{-1}$$

คือการวิเคราะห์โนด A2 ด้วยแอดมิตแตนซ์เชิงซ้อน · ระบบจริงมีหลายพันบัสแต่แต่ละบัสต่อกับไม่กี่บัส $\mathbf Y_{\text{bus}}$ จึงห่างมาก (sparse) · ถ้าไม่มีกิ่งใดลงกราวด์ ผลรวมแต่ละแถวเป็น 0 $\mathbf Y_{\text{bus}}$ เอกฐาน หา $\mathbf Z_{\text{bus}}$ ไม่ได้ · การกำจัดบัสที่ไม่มีโหลด (Kron reduction) คือ Schur complement D14

ตัวอย่าง A-8 · สร้าง Y-bus สามบัส

### สายส่ง $y_{12} = -j10$, $y_{13} = -j4$, $y_{23} = -j5$ pu และเครื่องกำเนิดที่บัส 1 มีแอดมิตแตนซ์ลงกราวด์ $y_{10} = -j5$ pu เขียน $\mathbf Y_{\text{bus}}$

- ทแยง = ผลรวมแอดมิตแตนซ์ทุกตัวที่ต่อกับบัส (รวมกิ่งลงกราวด์) A10

$$Y_{11} = -j(10 + 4 + 5) = -j19, \quad Y_{22} = -j(10 + 5) = -j15, \quad Y_{33} = -j(4 + 5) = -j9$$

- นอกทแยง = ลบแอดมิตแตนซ์ระหว่างบัส

$$\mathbf Y_{\text{bus}} = \begin{pmatrix} -j19 & j10 & j4 \\ j10 & -j15 & j5 \\ j4 & j5 & -j9 \end{pmatrix}$$

ได้ $\mathbf Y_{\text{bus}}$ สมมาตร ถ้าตัด $y_{10}$ ออก แถวที่ 1 จะรวมเป็น $-j14 + j10 + j4 = 0$ ทุกแถวรวมเป็นศูนย์ เมทริกซ์จะเอกฐานทันที

## สรุป: ภาษาเมทริกซ์ ↔ ภาษาวงจร

| ภาษาเมทริกซ์ | ความหมายในวงจร |

| $\det A = 0$ | เขียนสมการซ้ำ / ขาดกิ่งลงกราวด์ / วงจรลอย ไม่มีคำตอบเดียว |

| $A$ สมมาตร | วงจรส่วนกลับ (reciprocal) ไม่มีแหล่งไม่อิสระ |

| $A$ บวกแน่นอน | วงจรดูดกลืนพลังงาน (passive) มีคำตอบเดียวเสมอ |

| หลักที่ $j$ ของ $A^{-1}$ | ผลตอบสนองทุกจุดเมื่อมีแหล่งจ่ายหนึ่งหน่วยที่ตำแหน่ง $j$ |

| $\Delta(s) = \det(sI - A) = 0$ | สมการลักษณะเฉพาะ ขั้วของวงจร |

| ค่าเฉพาะจริงลบ / เชิงซ้อน / ส่วนจริงบวก | หน่วงเกิน / แกว่ง / ไม่เสถียร |

| เวกเตอร์เฉพาะ | รูปร่างของโหมด (สัดส่วนกระแสและแรงดันในโหมดนั้น) |

| คูณเมทริกซ์ ABCD | ต่อวงจรเรียงกัน รวมผลโหลดอัตโนมัติ |

| เปลี่ยนฐานให้เป็นทแยงมุม | แยกระบบที่ผูกกันให้เป็นระบบย่อยอิสระ (องค์ประกอบสมมาตร โหมด) |

## ลองกับวงจรของคุณ

เขียนเมทริกซ์จากวงจรด้วยการมอง แล้วใส่ในเครื่องคิดเลขด้านล่าง เลือก “แก้ระบบ” เพื่อหากระแสหรือแรงดัน หรือ “ค่าเฉพาะ” เพื่อดูขั้วของวงจรจากเมทริกซ์สถานะ

## ต่อยอด: แบบจำลองปริภูมิสถานะของวงจร

วงจร RLC ในรูปเมทริกซ์คือแบบจำลองปริภูมิสถานะของระบบควบคุม ส่วนการแปลงคลาร์ก-พาร์กใช้ในการควบคุมมอเตอร์ BLDC แบบ FOC ในเมคาทรอนิกส์ และอินเวอร์เตอร์ต่อกริดในการควบคุมตัวแปลงกำลัง

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมเมทริกซ์เมชของวงจรตัวต้านทานล้วนสมมาตร?
เพราะตัวต้านทานที่อยู่ร่วมระหว่างเมช i กับ j ปรากฏในสมการของทั้งสองเมชด้วยค่าเดียวกัน $r_{ij} = r_{ji} = -R_{\text{ร่วม}}$ วงจรแบบนี้เป็นวงจรส่วนกลับ (reciprocal) ถ้ามีแหล่งจ่ายไม่อิสระ ความสมมาตรจะหายไป

ค่าเฉพาะของวงจร RLC บอกอะไร?
ค่าเฉพาะของเมทริกซ์สถานะคือขั้วของวงจร ถ้าเป็นจริงลบต่างกันคือหน่วงเกิน จริงลบซ้ำกันคือหน่วงวิกฤต เชิงซ้อนคู่ส่วนจริงลบคือหน่วงน้อยแบบแกว่ง ส่วนจริงบอกอัตราการลดลง ส่วนจินตภาพบอกความถี่แกว่ง

Y-bus หาอินเวอร์สไม่ได้เมื่อไร?
เมื่อไม่มีกิ่งใดต่อลงกราวด์เลย ผลรวมสมาชิกในแต่ละแถวเป็นศูนย์ เวกเตอร์ (1, 1, …, 1) จึงทำให้ Y-bus คูณแล้วเป็นศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ ต้องมีกิ่งลงกราวด์อย่างน้อยหนึ่งกิ่ง เช่นอิมพีแดนซ์ของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า จึงจะได้ Z-bus

องค์ประกอบสมมาตรเกี่ยวกับค่าเฉพาะอย่างไร?
เมทริกซ์อิมพีแดนซ์ของสายส่งสามเฟสที่สมมาตร (ค่าตัวเองเท่ากัน ค่าร่วมเท่ากัน) มีเวกเตอร์เฉพาะคือหลักของเมทริกซ์ Fortescue พอดี การแปลงเป็นองค์ประกอบสมมาตรจึงทำให้เมทริกซ์เป็นทแยงมุม แยกวงจรลำดับศูนย์ บวก และลบออกจากกันได้

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมเมทริกซ์เมชของวงจรตัวต้านทานล้วนสมมาตร?**
เพราะตัวต้านทานที่อยู่ร่วมระหว่างเมช i กับ j ปรากฏในสมการของทั้งสองเมชด้วยค่าเดียวกัน $r_{ij} = r_{ji} = -R_{\text{ร่วม}}$ วงจรแบบนี้เป็นวงจรส่วนกลับ (reciprocal) ถ้ามีแหล่งจ่ายไม่อิสระ ความสมมาตรจะหายไป

**ค่าเฉพาะของวงจร RLC บอกอะไร?**
ค่าเฉพาะของเมทริกซ์สถานะคือขั้วของวงจร ถ้าเป็นจริงลบต่างกันคือหน่วงเกิน จริงลบซ้ำกันคือหน่วงวิกฤต เชิงซ้อนคู่ส่วนจริงลบคือหน่วงน้อยแบบแกว่ง ส่วนจริงบอกอัตราการลดลง ส่วนจินตภาพบอกความถี่แกว่ง

**Y-bus หาอินเวอร์สไม่ได้เมื่อไร?**
เมื่อไม่มีกิ่งใดต่อลงกราวด์เลย ผลรวมสมาชิกในแต่ละแถวเป็นศูนย์ เวกเตอร์ (1, 1, …, 1) จึงทำให้ Y-bus คูณแล้วเป็นศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ ต้องมีกิ่งลงกราวด์อย่างน้อยหนึ่งกิ่ง เช่นอิมพีแดนซ์ของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า จึงจะได้ Z-bus

**องค์ประกอบสมมาตรเกี่ยวกับค่าเฉพาะอย่างไร?**
เมทริกซ์อิมพีแดนซ์ของสายส่งสามเฟสที่สมมาตร (ค่าตัวเองเท่ากัน ค่าร่วมเท่ากัน) มีเวกเตอร์เฉพาะคือหลักของเมทริกซ์ Fortescue พอดี การแปลงเป็นองค์ประกอบสมมาตรจึงทำให้เมทริกซ์เป็นทแยงมุม แยกวงจรลำดับศูนย์ บวก และลบออกจากกันได้

---

# ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ (Eigenvalues & Eigenvectors)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/eigenvalues/
Updated: 2026-10-12
Summary: วิธีหาค่าเฉพาะ (eigenvalue) และเวกเตอร์เฉพาะ (eigenvector) ทีละขั้น สมการลักษณะเฉพาะ det(A − λI) = 0 สูตรลัด 2×2 ตัวอย่าง 3×3 ค่าซ้ำ ภาวะไม่ครบ (defective) ค่าเชิงซ้อน การทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม Aⁿ เมทริกซ์สมมาตร เคย์ลีย์-แฮมิลตัน e^{At} และเสถียรภาพของวงจร พร้อมแล็บ 2×2 แบบลากได้

// บทที่ 7.6 · พีชคณิตเชิงเส้น · Eigenvalues & Eigenvectors

# ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ (Eigenvalues & Eigenvectors)

เมทริกซ์ส่วนใหญ่หมุนและบิดเวกเตอร์ แต่จะมีบางทิศที่ถูกยืดหรือหดอย่างเดียวโดยไม่เปลี่ยนแนว ทิศนั้นคือเวกเตอร์เฉพาะ อัตราการยืดคือค่าเฉพาะ ในวงจรไฟฟ้าค่าเฉพาะคือขั้วที่กำหนดว่าระบบตอบสนองเร็วแค่ไหน แกว่งหรือไม่ และเสถียรไหม หน้านี้พาไปตั้งแต่วิธีหาแบบโจทย์สอบจนถึง $e^{At}$ สูตรใช้รหัส E

สรุปใน 30 วินาที

- $A\mathbf v = \lambda\mathbf v,\ \mathbf v \ne \mathbf 0$: $\mathbf v$ ไม่เปลี่ยนแนว ถูกคูณด้วย $\lambda$ อย่างเดียว

- หา $\lambda$ จาก $\det(A - \lambda I) = 0$ แล้วหา $\mathbf v$ จาก $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$

- 2×2: $\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A = 0$ · ตรวจ: $\sum\lambda = \operatorname{tr}A$, $\prod\lambda = \det A$

- มีเวกเตอร์เฉพาะอิสระครบ $n$ ตัว ทำ $A = PDP^{-1}$ ได้ แล้ว $A^k = PD^kP^{-1}$

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## ความหมาย: ทิศที่ไม่ถูกหมุน พื้นฐาน

ลองลากเวกเตอร์ $\mathbf v$ (ดำ) ไปรอบวงกลม แล้วดูผล $A\mathbf v$ (ส้ม) ส่วนใหญ่ $A\mathbf v$ ชี้ไปคนละทิศกับ $\mathbf v$ แต่จะมีบางทิศที่ $A\mathbf v$ อยู่บนเส้นเดียวกับ $\mathbf v$ พอดี เส้นประสีเขียวคือทิศเหล่านั้น

E1 Eigenvalue and eigenvector นิยามค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ

$$A\mathbf v = {\lambda}\mathbf v, \qquad \mathbf v \ne \mathbf 0$$

$\lambda$ (แลมบ์ดา) คือค่าเฉพาะ หรือค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) · $\mathbf v$ คือเวกเตอร์เฉพาะ (eigenvector) · $\lambda \gt 1$ ยืด · $0 \lt \lambda \lt 1$ หด · $\lambda \lt 0$ กลับทิศ · $\lambda = 0$ บีบเป็นศูนย์ · เวกเตอร์เฉพาะคูณค่าคงที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ ยังเป็นเวกเตอร์เฉพาะ

## สมการลักษณะเฉพาะ พื้นฐาน

ย้ายข้างได้ $A\mathbf v - \lambda\mathbf v = (A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ นี่คือระบบเอกพันธ์ ต้องการคำตอบที่ $\mathbf v \ne \mathbf 0$ ซึ่งมีได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ $A - \lambda I$ ไม่มีอินเวอร์ส (L7) นั่นคือดีเทอร์มิแนนต์ต้องเป็นศูนย์

E2 Characteristic equation สมการลักษณะเฉพาะ

$$\det(A - \lambda I) = 0, \qquad p(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \lambda^n - (\operatorname{tr}A)\lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n\det A$$

$A - \lambda I$ คือลบ $\lambda$ ออกจากเส้นทแยงหลักเท่านั้น · พหุนามดีกรี $n$ จึงมีราก $n$ ตัว (นับซ้ำ รวมจำนวนเชิงซ้อน)

E3 2×2 shortcut สูตรลัด 2×2

$$\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0 \ \Rightarrow\ \lambda = \frac{\operatorname{tr}A \pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A}}{2}$$

สำหรับ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$: $\operatorname{tr}A = a + d,\ \det A = ad - bc$ · ตัวในรากเป็นบวก: ค่าจริงต่างกัน · เป็นศูนย์: ค่าซ้ำ · เป็นลบ: ค่าเชิงซ้อนคู่สังยุค

E4 2×2 eigenvector shortcut เวกเตอร์เฉพาะ 2×2 แบบเร็ว

$$\mathbf v = \begin{pmatrix} b \\ \lambda - a \end{pmatrix} \ (b \ne 0) \qquad \text{หรือ} \qquad \mathbf v = \begin{pmatrix} \lambda - d \\ c \end{pmatrix} \ (c \ne 0)$$

ได้จากแถวแรกของ $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$: $(a - \lambda)v_1 + bv_2 = 0$ · ถ้า $b = c = 0$ เมทริกซ์เป็นทแยงมุม เวกเตอร์เฉพาะคือ $(1,0)$ และ $(0,1)$

## วิธีหาทีละขั้น พื้นฐาน

ขั้น 1เขียน $A - \lambda I$
→
ขั้น 2$\det = 0$ แก้หา $\lambda$
→
ขั้น 3แต่ละ $\lambda$ ลดแถว $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$

ขั้นที่ 4 ที่ห้ามข้าม: ตรวจ $A\mathbf v = \lambda\mathbf v$ และ $\sum\lambda = \operatorname{tr}A$ ใช้เวลาไม่ถึงนาทีแต่จับข้อผิดพลาดได้เกือบทุกจุด

ตัวอย่าง E-1 · 2×2 ครบทุกขั้น

### หาค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของ $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

- $\operatorname{tr}A = 4 + 3 = 7,\ \det A = 12 - 2 = 10$ แทนสูตรลัด E3

$$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \ \Rightarrow\ (\lambda - 5)(\lambda - 2) = 0 \ \Rightarrow\ {\lambda_1 = 5},\ {\lambda_2 = 2}$$

- $\lambda_1 = 5$: ลบ 5 ออกจากทแยงแล้วลดแถว ต้องได้แถวศูนย์

$$A - 5I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1} \begin{pmatrix} {-1} & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ -v_1 + v_2 = 0 \ \Rightarrow\ {\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}}$$

- $\lambda_2 = 2$

$$A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - R_1} \begin{pmatrix} {2} & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ 2v_1 + v_2 = 0 \ \Rightarrow\ {\mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}}$$

- ตรวจด้วยการคูณจริง

$$A\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = 5\mathbf v_1 ✓, \qquad A\mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = 2\mathbf v_2 ✓$$

$\lambda = 5$ คู่กับ $(1, 1)$ และ $\lambda = 2$ คู่กับ $(1, -2)$ (หรือพหุคูณใดก็ได้ เช่น $(-1, 2)$)

ตรวจเร็ว: $5 + 2 = 7 = \operatorname{tr}A$ ✓ · $5 \times 2 = 10 = \det A$ ✓ · ใช้สูตรลัด E4: $\lambda = 5$ ได้ $(b, \lambda - a) = (1, 1)$ ✓

## ตัวอย่าง 3×3 ค่าเฉพาะต่างกันทั้งหมด กลาง

3×3 ได้พหุนามดีกรีสาม เทคนิคสำคัญคืออย่ากระจายทุกอย่างทันที ให้หาตัวร่วมระหว่างทาง และถ้าแยกตัวประกอบไม่ออก ให้ลองแทนตัวหารของพจน์คงที่ (ทฤษฎีบทรากตรรกยะ)

ตัวอย่าง E-2 · 3×3

### หาค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 6 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

- กระจาย $\det(A - \lambda I)$ ตามแถว 1 E2

$$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 & 1 \\ 6 & -1 - \lambda & 0 \\ -1 & -2 & -1 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(\lambda + 1)^2 - 2\,[-6(1 + \lambda)] + 1\,[-12 - (1 + \lambda)]$$

- กระจายแล้วรวมพจน์

$$= (-\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda + 1) + (12\lambda + 12) + (-\lambda - 13) = -\lambda^3 - \lambda^2 + 12\lambda$$

- ดึง $-\lambda$ ออกแล้วแยกตัวประกอบ

$$-\lambda(\lambda^2 + \lambda - 12) = -\lambda(\lambda + 4)(\lambda - 3) = 0 \ \Rightarrow\ {\lambda = 0,\ 3,\ -4}$$

- $\lambda = 3$: ลดแถว $A - 3I$ L4

$$\begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 6 & -4 & 0 \\ -1 & -2 & -4 \end{pmatrix} \to \cdots \to \begin{pmatrix} {1} & 0 & 1 \\ 0 & {1} & \tfrac32 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{aligned} v_1 &= -v_3 \\ v_2 &= -\tfrac32v_3 \end{aligned}$$

เลือก $v_3 = -2$ ให้เป็นจำนวนเต็ม: ${\mathbf v = (2, 3, -2)}$

- ทำแบบเดียวกันกับ $\lambda = 0$ และ $\lambda = -4$

$$\lambda = 0:\ {\mathbf v = (1, 6, -13)}, \qquad \lambda = -4:\ {\mathbf v = (-1, 2, 1)}$$

$\lambda = 3,\ 0,\ -4$ คู่กับ $(2, 3, -2),\ (1, 6, -13),\ (-1, 2, 1)$

ตรวจ: $3 + 0 - 4 = -1 = \operatorname{tr}A = 1 - 1 - 1$ ✓ · $3\cdot0\cdot(-4) = 0 = \det A$ ✓ (มีค่าเฉพาะศูนย์ จึงไม่มีอินเวอร์ส) · $A(-1, 2, 1)^T = (4, -8, -4)^T = -4(-1, 2, 1)^T$ ✓

## สมบัติที่ใช้ตรวจและลัดคำตอบ กลาง

E6 Trace and determinant ผลบวกและผลคูณของค่าเฉพาะ

$$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr}A, \qquad \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = \det A$$

E7 Eigenvalues of related matrices ค่าเฉพาะของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง ($\mathbf v$ เดิม ยกเว้น $A^T$)

$$\begin{array}{c|ccccccc} \text{เมทริกซ์} & A & A^k & A^{-1} & A + cI & kA & p(A) & A^T \\ \hline \text{ค่าเฉพาะ} & \lambda & \lambda^k & 1/\lambda & \lambda + c & k\lambda & p(\lambda) & \lambda \end{array}$$

เมทริกซ์สามเหลี่ยมหรือทแยงมุม: ค่าเฉพาะคือสมาชิกบนเส้นทแยงหลักเลย · $A^T$ มีค่าเฉพาะเท่าเดิมแต่เวกเตอร์เฉพาะต่างกัน

E13 Similarity invariance เมทริกซ์คล้ายมีค่าเฉพาะเท่ากัน

$$B = P^{-1}AP \ \Rightarrow\ \det(B - \lambda I) = \det(A - \lambda I)$$

เปลี่ยนตัวแปรสถานะ (เช่น เลือก $i_L, v_C$ หรือ $q, i$) ค่าเฉพาะ ซึ่งก็คือขั้วของวงจร ไม่เปลี่ยน

E5 Algebraic vs geometric multiplicity ภาวะรากซ้ำเชิงพีชคณิตและเชิงเรขาคณิต

$$1 \le \underbrace{\dim N(A - \lambda I)}_{\text{เชิงเรขาคณิต}} \le \underbrace{\text{จำนวนครั้งที่ราก } \lambda \text{ ซ้ำ}}_{\text{เชิงพีชคณิต}}$$

เชิงเรขาคณิต $= n - \operatorname{rank}(A - \lambda I)$ = จำนวนเวกเตอร์เฉพาะอิสระของค่านั้น

## ค่าเฉพาะซ้ำ: ครบหรือไม่ครบ กลาง

เมื่อรากซ้ำ จำนวนเวกเตอร์เฉพาะอาจเท่ากับจำนวนที่ซ้ำ (ครบ ทำเป็นทแยงมุมได้) หรือน้อยกว่า (ไม่ครบ เรียก defective) ตัดสินด้วยแรงก์ของ $A - \lambda I$

ตัวอย่าง E-3 · รากซ้ำที่มีเวกเตอร์ครบ

### หาค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของ $A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -6 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$

- สมการลักษณะเฉพาะ (กระจายแล้ว)

$$-\lambda^3 - \lambda^2 + 21\lambda + 45 = 0$$

- ลองแทนตัวหารของ 45: $\lambda = 5$ ได้ $-125 - 25 + 105 + 45 = 0$ ✓ หารสังเคราะห์ออก

$$-(\lambda - 5)(\lambda^2 + 6\lambda + 9) = -(\lambda - 5)(\lambda + 3)^2 \ \Rightarrow\ {\lambda = 5},\ {\lambda = -3\ (\text{ซ้ำสองครั้ง})}$$

- $\lambda = -3$: ทุกแถวของ $A + 3I$ เป็นพหุคูณของแถวแรก แรงก์ 1 จึงมีตัวแปรอิสระ $3 - 1 = 2$ ตัว E5

$$A + 3I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -6 \\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} {1} & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow v_1 = -2v_2 + 3v_3$$

$${\mathbf v = v_2\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + v_3\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}$$

- $\lambda = 5$: ลดแถว $A - 5I$ ได้ ${\mathbf v = (1, 2, -1)}$

$\lambda = -3$ ซ้ำสองครั้งและมีเวกเตอร์เฉพาะอิสระสองตัว $(-2,1,0), (3,0,1)$ ส่วน $\lambda = 5$ คู่กับ $(1, 2, -1)$ ครบ 3 ตัว ทำเป็นทแยงมุมได้

ตรวจ: $5 - 3 - 3 = -1 = \operatorname{tr}A$ ✓ · $5(-3)(-3) = 45 = \det A$ ✓

ตัวอย่าง E-4 · รากซ้ำที่เวกเตอร์ไม่ครบ (defective)

### เทียบ $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ กับ $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

- ทั้งคู่เป็นสามเหลี่ยม ค่าเฉพาะคือเส้นทแยง: $\lambda = 2$ ซ้ำสองครั้ง E7

- $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ แรงก์ 1 ได้ $v_2 = 0$ เวกเตอร์เฉพาะมีแค่ $(1, 0)$ แนวเดียว

- $B - 2I = O$ แรงก์ 0 ทุกเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์เฉพาะ ได้สองตัวอิสระ

$A$ ไม่ครบ (defective) ทำเป็นทแยงมุมไม่ได้ ต้องใช้รูปแบบจอร์แดน (E18) ส่วน $B$ ครบ ในวงจร RLC กรณีนี้คือหน่วงวิกฤต (critically damped) ที่ผลตอบสนองมีพจน์ $te^{\lambda t}$

## ค่าเฉพาะเชิงซ้อน: การหมุนและการแกว่ง กลาง

ถ้าตัวในรากของ E3 เป็นลบ ค่าเฉพาะเป็นเชิงซ้อน ไม่มีทิศจริงทิศไหนที่ไม่ถูกหมุน (ลองกด “หมุน” ในแล็บด้านบน) ในวงจรคือระบบที่แกว่ง

E8 Complex eigenvalues of a real matrix ค่าเฉพาะเชิงซ้อนของเมทริกซ์จริง

$$\lambda = \sigma \pm j\omega, \qquad \mathbf v_{\bar\lambda} = \overline{\mathbf v_\lambda}, \qquad \begin{pmatrix} \sigma & -\omega \\ \omega & \sigma \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

มาเป็นคู่สังยุคเสมอ (เวกเตอร์ก็สังยุคกัน) · $|\lambda| = r$ คืออัตราขยาย $\theta = \arg\lambda$ คือมุมหมุน · ในระบบพลวัต $\sigma$ คืออัตราลด $\omega$ คือความถี่แกว่ง (rad/s)

ตัวอย่าง E-5 · ค่าเฉพาะเชิงซ้อน

### หาค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของ $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

- $\operatorname{tr}A = 4,\ \det A = 3 + 2 = 5$ E3

$$\lambda^2 - 4\lambda + 5 = 0 \ \Rightarrow\ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = {2 \pm j}$$

- $\lambda = 2 + j$ ใช้สูตรลัด $(b, \lambda - a)$ E4

$${\mathbf v = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 + j \end{pmatrix}}$$

- ตรวจแถวที่ 2 ของ $(A - \lambda I)\mathbf v$: $1\cdot(-2) + (3 - 2 - j)(1 + j) = -2 + (1 - j)(1 + j) = -2 + 2 = 0$ ✓

$\lambda = 2 \pm j$ · $\mathbf v = (-2,\ 1 \pm j)$ (เครื่องหมายตรงกัน)

โปรแกรมบางตัวตอบ $(-1 + j,\ 1)$ ซึ่งเท่ากับ $\tfrac{1 - j}{2}$ คูณคำตอบของเรา จึงถูกทั้งคู่ · $|\lambda| = \sqrt5$ การแปลงนี้หมุน $\arctan(1/2) \approx 26.6^\circ$ และขยาย $\sqrt5$ เท่าในพิกัดที่เหมาะสม

## การทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม และ Aⁿ กลาง

ถ้ามีเวกเตอร์เฉพาะอิสระครบ $n$ ตัว ให้ใช้เป็นแกนพิกัดใหม่ ในพิกัดนั้นการแปลง $A$ เหลือแค่ยืดหดตามแกน คือเมทริกซ์ทแยงมุม $D$ งานยาก ๆ อย่างยกกำลังร้อยครั้งจึงเหลือแค่ยกกำลังตัวเลขบนเส้นทแยง

E9 Diagonalization การทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม

$$A = PDP^{-1}, \qquad P = \begin{pmatrix} | & & | \\ \mathbf v_1 & \cdots & \mathbf v_n \\ | & & | \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}$$

เรียงหลักของ $P$ ให้ตรงลำดับกับ $\lambda$ ใน $D$ · ทำได้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เฉพาะอิสระครบ $n$ ตัว · ค่าเฉพาะต่างกันทั้งหมดรับประกันว่าทำได้

E10 Powers via diagonalization ยกกำลังผ่านทแยงมุม

$$A^k = PD^kP^{-1} = P\begin{pmatrix} \lambda_1^k & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n^k \end{pmatrix}P^{-1}$$

ใช้กับ $f(A)$ ใด ๆ ได้ เช่น $e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}$ · เมื่อ $k$ ใหญ่ ค่าเฉพาะที่ $|\lambda|$ ใหญ่สุดครอบงำ (dominant)

ตัวอย่าง E-6 · สูตรทั่วไปของ Aⁿ

### หา $A^n$ ของ $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ (ตัวอย่าง E-1)

- จาก E-1 วางเวกเตอร์เฉพาะเป็นหลัก E9

$$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

- ยกกำลังเฉพาะเส้นทแยง E10

$$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}\frac13\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix} 5^n & 2^n \\ 5^n & -2\cdot2^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

$A^n = \dfrac13\begin{pmatrix} 2\cdot5^n + 2^n & 5^n - 2^n \\ 2\cdot5^n - 2\cdot2^n & 5^n + 2\cdot2^n \end{pmatrix}$

ตรวจ $n = 1$: $\tfrac13\begin{pmatrix} 12 & 3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} = A$ ✓ · $n = 3$: $\begin{pmatrix} 86 & 39 \\ 78 & 47 \end{pmatrix}$ ตรงกับการคูณตรงสามครั้ง ✓

## เมทริกซ์สมมาตรและทฤษฎีบทสเปกตรัม ขั้นสูง

เมทริกซ์สมมาตรพบบ่อยในวิศวกรรม (เมทริกซ์เมชและโนดของวงจรที่ไม่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ เมทริกซ์ความแข็งแกร่ง เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม) และมีสมบัติที่ดีที่สุด

E11 Spectral theorem ทฤษฎีบทสเปกตรัม ($A = A^T$)

$$A = Q\Lambda Q^T = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i\,\mathbf q_i\mathbf q_i^T, \qquad Q^TQ = I$$

ค่าเฉพาะเป็นจำนวนจริงทุกตัว · เวกเตอร์เฉพาะของค่าต่างกันตั้งฉากกัน · ทำเป็นทแยงมุมได้เสมอด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (ไม่ต้องหาอินเวอร์ส ใช้ทรานสโพส)

E12 Definiteness test ความเป็นบวกแน่นอน

$$\mathbf x^TA\mathbf x \gt 0 \ \ \forall\mathbf x \ne \mathbf 0 \iff \text{ค่าเฉพาะทุกตัวของ } A = A^T \text{ เป็นบวก}$$

กำลังที่ตัวต้านทานในวงจรดูดกลืน $P = \mathbf i^TR\,\mathbf i \gt 0$ เมทริกซ์ความต้านทานเมชของวงจรตัวต้านทานล้วนจึงบวกแน่นอนเสมอ ใช้พิสูจน์ว่าวงจรแบบนี้มีคำตอบเดียวเสมอ

ตัวอย่าง E-7 · แยกสเปกตรัม

### เขียน $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ ในรูป $Q\Lambda Q^T$

- $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$ ได้ $\lambda = 3, 1$ คู่กับ $(1, 1)$ และ $(1, -1)$ ซึ่งตั้งฉากกันจริง: $1 - 1 = 0$

- ทำให้ยาว 1 (หารด้วย $\sqrt2$) แล้ววางเป็นหลักของ $Q$ E11

$$Q = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \Lambda = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$A = Q\Lambda Q^T$ และเพราะค่าเฉพาะ $3, 1$ เป็นบวกทั้งคู่ $A$ จึงบวกแน่นอน E12

## ทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตัน ขั้นสูง

E14 Cayley–Hamilton theorem เมทริกซ์ทุกตัวเป็นรากของพหุนามลักษณะเฉพาะของตัวเอง

$$p(\lambda) = \det(\lambda I - A) \ \Rightarrow\ p(A) = O, \qquad \text{2×2: } A^2 - (\operatorname{tr}A)A + (\det A)I = O$$

ใช้ลดกำลังสูงให้เหลือดีกรี $n - 1$ และหาอินเวอร์สโดยไม่ลดแถว I14

ตัวอย่าง E-8 · หา A⁻¹ ด้วยเคย์ลีย์-แฮมิลตัน

### ใช้ $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

- จาก E-1: $p(\lambda) = \lambda^2 - 7\lambda + 10$ จึง $A^2 - 7A + 10I = O$ E14

- คูณ $A^{-1}$ ทั้งสองข้าง: $A - 7I + 10A^{-1} = O$

$$A^{-1} = \frac{7I - A}{10} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$

$A^{-1} = \tfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ ตรงกับสูตร 2×2 และยังได้ $A^2 = 7A - 10I = \begin{pmatrix} 18 & 7 \\ 14 & 11 \end{pmatrix}$ โดยไม่ต้องคูณเมทริกซ์

## ค่าเฉพาะกับระบบพลวัต: $e^{At}$ และเสถียรภาพ ขั้นสูง

นี่คือเหตุผลหลักที่วิศวกรไฟฟ้าต้องรู้จักค่าเฉพาะ วงจร RLC มอเตอร์ และระบบควบคุมเขียนเป็นสมการสถานะ $\dot{\mathbf x} = A\mathbf x$ ได้ คำตอบประกอบจาก “โหมด” ซึ่งแต่ละโหมดคือเวกเตอร์เฉพาะที่โตหรือหดตาม $e^{\lambda t}$

E15 Solution of ẋ = Ax by modes คำตอบในรูปโหมด

$$\mathbf x(t) = e^{At}\mathbf x(0) = \sum_{i=1}^{n}c_i\,e^{\lambda_it}\,\mathbf v_i, \qquad \mathbf x(0) = \sum c_i\mathbf v_i \ \ (\mathbf c = P^{-1}\mathbf x(0))$$

$e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}$ เมื่อทำเป็นทแยงมุมได้ · ค่าคงตัวเวลาของโหมดจริงคือ $\tau_i = -1/\lambda_i$

E16 Stability criterion เกณฑ์เสถียรภาพ

$$\dot{\mathbf x} = A\mathbf x \text{ เสถียรเชิงเส้นกำกับ} \iff \operatorname{Re}\lambda_i \lt 0 \ \text{ทุก } i$$

ค่าเฉพาะของ $A$ คือขั้วของฟังก์ชันถ่ายโอน ต้องอยู่ครึ่งระนาบซ้ายของระนาบ s (ระบบไม่ต่อเนื่อง $\mathbf x_{k+1} = A\mathbf x_k$ ต้องการ $|\lambda_i| \lt 1$) ดูภาพขั้วบนระนาบ s ได้ที่ แล็บระบบอันดับสอง

ตัวอย่าง E-9 · แก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์คู่

### แก้ $\dot{\mathbf x} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}\mathbf x$ เมื่อ $\mathbf x(0) = (2, 0)$

- $\operatorname{tr} = -6,\ \det = 8$: $\lambda^2 + 6\lambda + 8 = 0$ ได้ $\lambda = -2, -4$ คู่กับ $(1, 1)$ และ $(1, -1)$

- กระจายค่าเริ่มต้นบนเวกเตอร์เฉพาะ: $c_1(1,1) + c_2(1,-1) = (2, 0)$ ได้ $c_1 = c_2 = 1$ E15

-
$$\mathbf x(t) = e^{-2t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + e^{-4t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

$x_1 = e^{-2t} + e^{-4t},\ x_2 = e^{-2t} - e^{-4t}$ ทั้งสองโหมดลดลง ระบบเสถียร ($\lambda \lt 0$) โหมด $(1,1)$ ช้ากว่า ($\tau = 0.5$) จึงเหลืออยู่นานกว่า

E18 Jordan form (defective case) รูปแบบจอร์แดน

$$A = PJP^{-1}, \quad J = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ e^{Jt} = e^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

เมื่อเวกเตอร์เฉพาะไม่ครบ ใช้เวกเตอร์เฉพาะวางนัยทั่วไป $(A - \lambda I)\mathbf w = \mathbf v$ เป็นที่มาของพจน์ $te^{\lambda t}$ ในวงจรหน่วงวิกฤต

E17 Power iteration วิธีกำลัง (หาค่าเฉพาะเด่นเชิงตัวเลข)

$$\mathbf x_{k+1} = \frac{A\mathbf x_k}{\lVert A\mathbf x_k\rVert} \ \longrightarrow\ \mathbf v_{\max}, \qquad \lambda_{\max} \approx \frac{\mathbf x_k^TA\mathbf x_k}{\mathbf x_k^T\mathbf x_k}$$

ตัวอย่าง $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ เริ่ม $(1, 0)$ อัตราส่วนที่ได้ $4,\ 4.5,\ 4.78,\ 4.91,\ 4.96 \to 5$ ลู่เข้าเร็วตาม $|\lambda_2/\lambda_1| = 0.4$ ต่อรอบ หลักการเดียวกับ PageRank ของ Google

## ติดตรงไหน ดูตรงนี้

อาการที่พบบ่อยและวิธีแก้

- ลดแถว $A - \lambda I$ แล้วไม่มีแถวศูนย์ → $\lambda$ ผิด กลับไปตรวจสมการลักษณะเฉพาะ

- ได้เวกเตอร์เฉพาะ $\mathbf 0$ → ผิดตามนิยาม เลือกตัวแปรอิสระเป็นค่าไม่ศูนย์

- คำตอบไม่ตรงเฉลย → อาจต่างกันแค่ตัวคูณ ตรวจด้วย $A\mathbf v = \lambda\mathbf v$

- ลบ $\lambda$ ทุกช่อง → ผิด ลบเฉพาะเส้นทแยงหลัก ($A - \lambda I$)

- ผลบวกค่าเฉพาะไม่เท่าเทรซ → มีจุดผิดแน่นอน E6

- 3×3 แยกตัวประกอบไม่ออก → แทนตัวหารของพจน์คงที่ $(\pm1, \pm2, \dots)$ หาราก แล้วหารสังเคราะห์

- ค่าเชิงซ้อนแล้วงง → หาเวกเตอร์ของค่าเดียว อีกค่าเป็นสังยุคของมัน E8

## เครื่องคิดเลขค่าเฉพาะแสดงวิธีทำ

ใส่เมทริกซ์ 2×2 ถึง 4×4 เครื่องจะหาพหุนามลักษณะเฉพาะแบบแม่นตรง หารากตรรกยะแบบแม่นตรง (รากอื่นแสดงเป็นรูปรากที่สองหรือทศนิยม รวมค่าเชิงซ้อน) และหาเวกเตอร์เฉพาะด้วยการลดแถว $A - \lambda I$ พร้อมบอกภาวะรากซ้ำทั้งสองแบบ

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ตัวอย่างวงจรจริงที่ใช้ค่าเฉพาะ ตั้งแต่วงจร RLC ที่ค่าเฉพาะบอกว่าหน่วงเกิน หน่วงวิกฤต หรือแกว่ง ไปจนถึงองค์ประกอบสมมาตรในระบบสามเฟส ซึ่งแท้จริงคือเวกเตอร์เฉพาะของเมทริกซ์อิมพีแดนซ์ อยู่ในหน้า ประยุกต์ในวิศวกรรมไฟฟ้า

## ต่อยอด: ค่าเฉพาะในระบบควบคุมสมัยใหม่

ค่าเฉพาะของเมทริกซ์ A คือขั้วของระบบ ดูต่อที่ปริภูมิสถานะและ e^(At) ความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้ (แรงก์) และการวางขั้วด้วยป้อนกลับสถานะ ซึ่งใช้เคย์ลีย์-แฮมิลตันในสูตรแอคเคอร์มันน์

## คำถามที่พบบ่อย

หาเวกเตอร์เฉพาะแล้วลดแถวได้ทุกแถวไม่เป็นศูนย์ ทำอย่างไร?
แปลว่าค่า $\lambda$ ที่ใช้ผิด เพราะเมื่อ $\lambda$ เป็นค่าเฉพาะจริง $\det(A - \lambda I) = 0$ ลดแถวแล้วต้องมีแถวศูนย์อย่างน้อยหนึ่งแถวเสมอ ให้กลับไปตรวจสมการลักษณะเฉพาะและการแยกตัวประกอบ

เวกเตอร์เฉพาะที่ได้ไม่ตรงกับเฉลย ผิดไหม?
ไม่จำเป็นต้องผิด เวกเตอร์เฉพาะคูณด้วยค่าคงที่ใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ก็ยังเป็นเวกเตอร์เฉพาะ เช่น $(1, 2)$, $(2, 4)$ และ $(-1, -2)$ ใช้แทนกันได้ ตรวจด้วย $A\mathbf v = \lambda\mathbf v$ จะรู้ทันที

ค่าเฉพาะเป็นศูนย์ได้ไหม แล้วเวกเตอร์เฉพาะเป็นศูนย์ได้ไหม?
ค่าเฉพาะเป็นศูนย์ได้ (แปลว่าเมทริกซ์ไม่มีอินเวอร์ส) แต่เวกเตอร์เฉพาะเป็นเวกเตอร์ศูนย์ไม่ได้ตามนิยาม เพราะ $A\mathbf 0 = \lambda\mathbf 0$ จริงกับทุก $\lambda$ จึงไม่ให้ข้อมูลอะไร

ค่าเฉพาะเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้าอย่างไร?
ค่าเฉพาะของเมทริกซ์สถานะ $A$ คือขั้ว (poles) ของวงจร ส่วนจริงบอกอัตราการลดลง ส่วนจินตภาพบอกความถี่การแกว่ง ถ้าทุกค่ามีส่วนจริงเป็นลบ วงจรเสถียร ค่าเฉพาะจริงสองตัวคือหน่วงเกิน ค่าเชิงซ้อนคู่คือหน่วงน้อยแบบแกว่ง

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**หาเวกเตอร์เฉพาะแล้วลดแถวได้ทุกแถวไม่เป็นศูนย์ ทำอย่างไร?**
แปลว่าค่า $\lambda$ ที่ใช้ผิด เพราะเมื่อ $\lambda$ เป็นค่าเฉพาะจริง $\det(A - \lambda I) = 0$ ลดแถวแล้วต้องมีแถวศูนย์อย่างน้อยหนึ่งแถวเสมอ ให้กลับไปตรวจสมการลักษณะเฉพาะและการแยกตัวประกอบ

**เวกเตอร์เฉพาะที่ได้ไม่ตรงกับเฉลย ผิดไหม?**
ไม่จำเป็นต้องผิด เวกเตอร์เฉพาะคูณด้วยค่าคงที่ใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ก็ยังเป็นเวกเตอร์เฉพาะ เช่น $(1, 2)$, $(2, 4)$ และ $(-1, -2)$ ใช้แทนกันได้ ตรวจด้วย $A\mathbf v = \lambda\mathbf v$ จะรู้ทันที

**ค่าเฉพาะเป็นศูนย์ได้ไหม แล้วเวกเตอร์เฉพาะเป็นศูนย์ได้ไหม?**
ค่าเฉพาะเป็นศูนย์ได้ (แปลว่าเมทริกซ์ไม่มีอินเวอร์ส) แต่เวกเตอร์เฉพาะเป็นเวกเตอร์ศูนย์ไม่ได้ตามนิยาม เพราะ $A\mathbf 0 = \lambda\mathbf 0$ จริงกับทุก $\lambda$ จึงไม่ให้ข้อมูลอะไร

**ค่าเฉพาะเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้าอย่างไร?**
ค่าเฉพาะของเมทริกซ์สถานะ $A$ คือขั้ว (poles) ของวงจร ส่วนจริงบอกอัตราการลดลง ส่วนจินตภาพบอกความถี่การแกว่ง ถ้าทุกค่ามีส่วนจริงเป็นลบ วงจรเสถียร ค่าเฉพาะจริงสองตัวคือหน่วงเกิน ค่าเชิงซ้อนคู่คือหน่วงน้อยแบบแกว่ง

---

# การประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้นทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/engineering-applications/
Updated: 2026-10-14
Summary: พีชคณิตเชิงเส้นในงานวิศวกรรมจริงพร้อมตัวเลข ไฟฟ้า: เมทริกซ์อุบัติการณ์ KCL KVL และ G = AYAᵀ การไหลของกำลังแบบ DC การสอบเทียบเซนเซอร์ด้วยกำลังสองน้อยสุด · เครื่องกล: ระบบมวล-สปริงหลายองศาอิสระ ค่าเฉพาะคือความถี่ธรรมชาติ วิธีสติฟเนส · โยธา: โครงถักด้วยวิธีจุดต่อแบบเมทริกซ์ ชิ้นส่วนแกน การปรับแก้งานระดับ และสมดุลการจราจร พร้อมแล็บโครงถักและแล็บโหมดการสั่น

// บทที่ 7.8 · พีชคณิตเชิงเส้น · Engineering Applications

# การประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้นทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา

ทุกครั้งที่วิศวกรมีหลายสิ่งที่ผูกกันเป็นเครือข่าย ไม่ว่าจะเป็นโนดในวงจร บัสในระบบไฟฟ้า มวลในเครื่องจักร จุดต่อในโครงถัก หรือหมุดในงานสำรวจ ผลลัพธ์คือระบบสมการเชิงเส้น หน้านี้รวบรวมงานจริงจากสามสาขาที่ใช้เครื่องมือในชุดนี้ทั้งหมด: การลดแถว อินเวอร์ส ค่าเฉพาะ และกำลังสองน้อยสุด พร้อมแล็บโครงถักและแล็บโหมดการสั่นให้ลองเปลี่ยนค่าเอง สูตรใช้รหัส G

สรุปใน 30 วินาที

- เครือข่าย + สมดุลทุกจุด = $A\mathbf x = \mathbf b$ (KCL, ΣF = 0, การอนุรักษ์ปริมาณรถ)

- เมทริกซ์ความนำ $G = AYA^T$ กับเมทริกซ์สติฟเนส $K = A^TkA$ มีโครงสร้างเดียวกัน

- การสั่น: $(K - \omega^2M)\boldsymbol\phi = 0$ ค่าเฉพาะคือความถี่ธรรมชาติ

- ข้อมูลเกิน: $A^TA\hat{\mathbf x} = A^T\mathbf b$ (กำลังสองน้อยสุด)

## วิศวกรรมไฟฟ้า: เมทริกซ์อุบัติการณ์ การไหลของกำลัง และการสอบเทียบ กลาง

หน้าประยุกต์ในวิศวกรรมไฟฟ้ามีเมช โนด เฟสเซอร์ สองพอร์ต และ Y-bus ครบแล้ว หัวข้อนี้เพิ่มมุมมองที่เป็นระบบที่สุด คือเขียนวงจรทั้งวงด้วยเมทริกซ์อุบัติการณ์ ซึ่งเป็นวิธีที่โปรแกรมจำลองวงจรอย่าง SPICE ใช้จริง

G1 Incidence matrix formulation เมทริกซ์อุบัติการณ์

$$\text{KCL: } A\mathbf i = \mathbf 0,\quad \text{KVL: } \mathbf v = A^T\mathbf e,\quad \mathbf i = Y\mathbf v + \mathbf j_s \ \Rightarrow\ \underbrace{AYA^T}_{G}\,\mathbf e = -A\mathbf j_s$$

$A$ (โนด × กิ่ง) มี +1 ที่โนดที่กระแสออก −1 ที่โนดที่กระแสเข้า · $Y$ = เมทริกซ์ทแยงของความนำกิ่ง · $\mathbf e$ = แรงดันโนด

G2 DC power flow การไหลของกำลังแบบ DC

$$\mathbf P = B'\boldsymbol\theta,\qquad P_{ij} = \frac{\theta_i - \theta_j}{X_{ij}}$$

ประมาณจากสมการโหลดโฟลว์จริง (แรงดัน 1 pu, ไม่คิด R, มุมเล็ก) ใช้วางแผนระบบส่งและวิเคราะห์ความมั่นคง N−1

G3 Least squares กำลังสองน้อยสุด

$$\min\|A\mathbf x - \mathbf b\|^2 \Rightarrow A^TA\,\hat{\mathbf x} = A^T\mathbf b$$

ตัวอย่าง G-1 · สร้าง G = AYAᵀ

### แหล่งกระแส 2 A ป้อนโนด 1 · กิ่ง: $G_a = 1$ S (โนด 1–กราวด์), $G_b = 0.5$ S (โนด 1–โนด 2), $G_c = 0.25$ S (โนด 2–กราวด์)

- เมทริกซ์อุบัติการณ์ (แถว = โนด 1, 2 · หลัก = กิ่ง a, b, c โดยกำหนดทิศกระแสจากโนดเลขน้อยไปมาก/กราวด์)

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix},\quad Y = \operatorname{diag}(1,\ 0.5,\ 0.25)$$

-
$$G = AYA^T = \begin{bmatrix} 1 + 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 + 0.25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.75 \end{bmatrix}$$

- แก้ $G\mathbf e = \mathbf i_s = (2, 0)$: $\det G = 0.875$

$$e_1 = \frac{2(0.75)}{0.875} = 1.714\ \text{V},\qquad e_2 = \frac{0.5(2)}{0.875} = 1.143\ \text{V}$$

$e_1 = 1.714$ V, $e_2 = 1.143$ V · G ที่ได้ตรงกับ “กฎการมอง” ทแยง = ผลรวมความนำที่ต่อโนด นอกทแยง = ลบความนำร่วม A1

ตรวจ KCL โนด 2: $0.5(1.714 - 1.143) = 0.286 = 0.25(1.143)$ ✓

ตัวอย่าง G-2 · การไหลของกำลังแบบ DC ระบบ 3 บัส

### บัส 1 เป็นสแล็ก (θ₁ = 0) · $X_{12} = 0.1,\ X_{13} = 0.2,\ X_{23} = 0.25$ pu · โหลดบัส 2 = 0.8 pu บัส 3 = 0.6 pu

- ตัดแถว-หลักของสแล็กออก $B'_{22} = \tfrac1{0.1} + \tfrac1{0.25} = 14$, $B'_{33} = \tfrac1{0.2} + \tfrac1{0.25} = 9$, $B'_{23} = -4$

$$\begin{bmatrix} 14 & -4 \\ -4 & 9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\theta_2\\\theta_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-0.8\\-0.6\end{bmatrix}$$

-
$$\theta_2 = \frac{-0.8(9) - (-4)(-0.6)}{110} = -0.0873,\qquad \theta_3 = \frac{14(-0.6) - (-4)(-0.8)}{110} = -0.1055\ \text{rad}$$

-
$$P_{12} = \frac{0 + 0.0873}{0.1} = 0.873,\quad P_{13} = \frac{0.1055}{0.2} = 0.527,\quad P_{23} = \frac{-0.0873 + 0.1055}{0.25} = 0.073\ \text{pu}$$

สแล็กจ่าย 1.4 pu แยกไปสายต่าง ๆ ตามความต้านทานไฟฟ้าจินตภาพ ไม่ใช่เส้นทางที่สั้นที่สุด

ตรวจบัส 2: เข้า 0.873 − ออก 0.073 = 0.8 ✓ · บัส 3: 0.527 + 0.073 = 0.6 ✓

ตัวอย่าง G-3 · สอบเทียบเทอร์โมคัปเปิลด้วยกำลังสองน้อยสุด

### อุณหภูมิ 0, 25, 50, 75, 100 °C อ่านได้ 0.02, 1.02, 2.05, 3.03, 4.10 mV หาเส้นตรง $y = ax + b$

- 5 สมการ 2 ตัวไม่รู้ $A = \begin{bmatrix} x_i & 1\end{bmatrix}$ ใช้ G3

$$A^TA = \begin{bmatrix} \sum x^2 & \sum x \\ \sum x & n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18750 & 250 \\ 250 & 5\end{bmatrix},\quad A^T\mathbf y = \begin{bmatrix} 765.25 \\ 10.22\end{bmatrix}$$

-
$$a = \frac{5(765.25) - 250(10.22)}{5(18750) - 250^2} = \frac{1271.25}{31250} = 0.04068,\qquad b = \frac{10.22 - 250a}{5} = 0.010$$

$y = 0.04068x + 0.010$ mV ความไว 40.7 µV/°C ใกล้ค่ามาตรฐานของเทอร์โมคัปเปิลชนิด K (≈ 41 µV/°C)

## วิศวกรรมเครื่องกล: การสั่นหลายองศาอิสระและวิธีสติฟเนส ขั้นสูง

G4 Free vibration of MDOF systems การสั่นอิสระหลายองศาอิสระ

$$M\ddot{\mathbf x} + K\mathbf x = \mathbf 0,\quad \mathbf x = \boldsymbol\phi\sin\omega t \ \Rightarrow\ (K - \omega^2M)\boldsymbol\phi = \mathbf 0,\quad \det(K - \omega^2M) = 0$$

ค่าเฉพาะ $\omega^2$ → ความถี่ธรรมชาติ $f = \omega/2\pi$ · เวกเตอร์เฉพาะ $\boldsymbol\phi$ → รูปโหมด · ทบทวนค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ

G5 Spring / bar element ชิ้นส่วนสปริงหรือแท่งรับแรงตามแกน

$$k_e = \frac{EA}{L}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix},\qquad K = \sum_e (\text{วาง } k_e \text{ ลงตำแหน่งของโนดตัวเอง})$$

G6 Stiffness equation สมการสติฟเนส

$$K\mathbf u = \mathbf F$$

ตัดแถว-หลักของจุดยึดออกก่อนแก้ (K เต็มเป็นเอกฐานเพราะโครงสร้างลอยตัวได้) · เป็นหัวใจของวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์

ตัวอย่าง G-4 · มวล-สปริง 2 องศาอิสระ

### $m_1 = m_2 = 1$ kg, $k_1 = k_2 = 100$ N/m (ผนัง–$k_1$–$m_1$–$k_2$–$m_2$) หาความถี่ธรรมชาติและรูปโหมด

-
$$K = \begin{bmatrix} k_1 + k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 200 & -100 \\ -100 & 100\end{bmatrix},\quad M = I$$

-
$$\det(K - \lambda I) = \lambda^2 - 300\lambda + 10000 = 0 \Rightarrow \lambda = 150 \mp 50\sqrt5 = 38.20,\ 261.80$$

- $\omega = \sqrt\lambda$: $\omega_1 = 6.18$ rad/s (0.98 Hz), $\omega_2 = 16.18$ rad/s (2.58 Hz)

- รูปโหมดจากแถวแรก $(200 - \lambda)\phi_1 = 100\phi_2$: $\boldsymbol\phi_1 = [1,\ 1.618]$, $\boldsymbol\phi_2 = [1,\ -0.618]$

โหมด 1: เคลื่อนทิศเดียวกัน มวลบนแกว่งมากกว่า 1.618 เท่า · โหมด 2: สวนทางกัน (อัตราส่วนทองคำปรากฏเพราะค่าเฉพาะมี √5)

ตัวอย่าง G-5 · ประกอบเมทริกซ์สติฟเนส

### แท่งสองท่อนต่ออนุกรม ยึดที่โนด 1 · $k_1 = EA/L = 2000$ kN/m, $k_2 = 1000$ kN/m · แรง 30 kN ดึงที่โนด 3

- ประกอบ (G5)

$$K = \begin{bmatrix} 2000 & -2000 & 0 \\ -2000 & 3000 & -1000 \\ 0 & -1000 & 1000\end{bmatrix}$$

- ตัดแถว-หลักที่ 1 ($u_1 = 0$)

$$\begin{bmatrix} 3000 & -1000 \\ -1000 & 1000\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_2\\u_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\30\end{bmatrix} \Rightarrow u_2 = 0.015,\ u_3 = 0.045\ \text{m}$$

ยืด 15 mm และ 45 mm · แรงในแท่ง: $2000(0.015) = 30$ kN และ $1000(0.03) = 30$ kN เท่ากันตามที่ควร (อนุกรม) · ความแข็งรวม $30/0.045 = 667$ kN/m = $(1/k_1 + 1/k_2)^{-1}$ ✓

## แล็บโหมดการสั่น: มวล-สปริง และอาคาร 3 ชั้นแบบง่าย

ปรับมวลและความแข็งของสปริง แล็บจะแก้ $\det(K - \omega^2M) = 0$ ด้วยวิธีจาโคบีบนเมทริกซ์สมมาตร $M^{-1/2}KM^{-1/2}$ แสดงความถี่ธรรมชาติและรูปโหมดพร้อมภาพเคลื่อนไหว แบบ 3 มวลเทียบได้กับอาคาร 3 ชั้นที่พื้นเป็นมวลและเสาเป็นสปริงแรงเฉือน

## วิศวกรรมโยธา: โครงถัก งานระดับ และเครือข่ายจราจร กลาง

G7 Truss by the method of joints โครงถักด้วยวิธีจุดต่อ

$$\sum F_x = 0,\ \sum F_y = 0 \text{ ทุกจุดต่อ} \Rightarrow A\mathbf f = \mathbf b,\qquad m + r = 2j \ (\text{ดีเทอร์มิเนตสถิต})$$

หลักของชิ้นส่วนมีโคไซน์แสดงทิศ $(\cos\theta, \sin\theta)$ ที่จุดต้น และค่าตรงข้ามที่จุดปลาย · $m + r > 2j$ อินดีเทอร์มิเนต ต้องใช้วิธีสติฟเนส (G5–G6)

G8 Leveling adjustment ปรับแก้งานระดับ

$$H_j - H_i = \Delta h_{ij} + v_{ij},\quad \min\sum v^2 \Rightarrow A^TA\hat{\mathbf H} = A^T\mathbf b$$

G9 Network flow balance สมดุลเครือข่ายจราจร/ท่อ

$$\text{เข้า} = \text{ออก ทุกทางแยก} \Rightarrow A\mathbf x = \mathbf b,\ \operatorname{rank}A < n \Rightarrow \text{มีตัวแปรอิสระ}$$

ตัวอย่าง G-6 · โครงถักสามเหลี่ยม

### A(0,0) หมุด · C(6,0) ลูกกลิ้ง · B(3,4) รับแรง 10 kN ลง หาแรงในชิ้นส่วน

- ทิศของ AB: $(3, 4)/5$ · BC: $(3, -4)/5$ · AC: $(1, 0)$ · ตัวไม่รู้ $F_{AB}, F_{BC}, F_{AC}, A_x, A_y, C_y$ (6 ตัว = 2 × 3 จุด)

- จุด A: $0.6F_{AB} + F_{AC} + A_x = 0$, $0.8F_{AB} + A_y = 0$ · จุด B: $-0.6F_{AB} + 0.6F_{BC} = 0$, $-0.8F_{AB} - 0.8F_{BC} = 10$ · จุด C: $-0.6F_{BC} - F_{AC} = 0$, $0.8F_{BC} + C_y = 0$

- จากจุด B: $F_{AB} = F_{BC} = -6.25$ kN · แทนกลับ: $F_{AC} = 3.75$ kN, $A_y = C_y = 5$ kN, $A_x = 0$

AB และ BC อัด 6.25 kN · AC ดึง 3.75 kN · ลองในแล็บด้านล่าง (เลือกสามเหลี่ยม ตั้ง P = 10)

## แล็บโครงถัก: วิธีจุดต่อในรูปเมทริกซ์

แล็บสร้างเมทริกซ์ $[A\,|\,\mathbf b]$ จากรูปทรงจริงทุกครั้งที่เปลี่ยนแรง แล้วแก้ด้วยการกำจัดแบบเกาส์ เส้นสีน้ำเงินคือแรงดึง ส้มคือแรงอัด ลองย้ายจุดที่แรงกระทำแล้วดูว่าชิ้นส่วนไหนเปลี่ยนจากดึงเป็นอัด และชิ้นส่วนไหนกลายเป็นชิ้นที่ไม่รับแรง (zero-force member)

ตัวอย่าง G-7 · ปรับแก้งานระดับ

### หมุด A สูง 100.000 m วัดได้ A→B +2.003, B→C +1.498, A→C +3.506 m หาระดับ B และ C

- 3 สมการ 2 ตัวไม่รู้ (ปิดวงคลาด $2.003 + 1.498 - 3.506 = -0.005$ m)

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\ \mathbf b = \begin{bmatrix} 102.003 \\ 1.498 \\ 103.506\end{bmatrix}$$

-
$$A^TA = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2\end{bmatrix},\quad A^T\mathbf b = \begin{bmatrix} 100.505 \\ 105.004\end{bmatrix}$$

-
$$H_B = \frac{2(100.505) + 105.004}{3} = 102.0047,\qquad H_C = \frac{100.505 + 2(105.004)}{3} = 103.5043\ \text{m}$$

$H_B = 102.0047$ m, $H_C = 103.5043$ m ความคลาด 5 mm ถูกกระจายเท่า ๆ กันให้ทุกการวัด (1.67 mm ต่อเส้น)

ตัวอย่าง G-8 · เครือข่ายจราจรมีคำตอบไม่จำกัด

### วงเดินรถทางเดียว A→B→C→D→A รถเข้า-ออกที่ทางแยก (คัน/ชม.): A เข้า 300 ออก 100 · B เข้า 200 ออก 400 · C เข้า 350 ออก 150 · D เข้า 100 ออก 300

- ให้ $x_1 = AB,\ x_2 = BC,\ x_3 = CD,\ x_4 = DA$ เขียนเข้า = ออก

$$x_1 - x_4 = 200,\quad x_1 - x_2 = 200,\quad x_2 - x_3 = -200,\quad x_3 - x_4 = 200$$

- ลดแถวแล้วพบแถวศูนย์ (แรงก์ 3) → ตัวแปรอิสระหนึ่งตัว ให้ $x_4 = t$

$$x_1 = t + 200,\quad x_2 = t,\quad x_3 = t + 200$$

ปริมาณรถในวงหมุนเวียนได้อิสระ (t ≥ 0) ข้อมูลแค่นี้หาไม่ได้ว่าถนน DA มีรถกี่คัน ต้องติดตั้งเครื่องนับเพิ่มหนึ่งจุด · ถ้าปิดถนน DA (t = 0) BC ก็ว่างด้วย ขณะที่ AB และ CD ต้องรับ 200 คัน/ชม.

## อ่านต่อ

- เครื่องมือที่ใช้ในหน้านี้: ลดแถวและแรงก์ · กำลังสองน้อยสุด · ค่าเฉพาะ · แล็บเมทริกซ์

- วงจรและระบบไฟฟ้ากำลังเชิงลึก: ประยุกต์ในวิศวกรรมไฟฟ้า · ระบบไฟฟ้ากำลัง

- แรงและโครงสร้างด้วยเวกเตอร์: ระบบแรงและสมดุล

- G. Strang, Introduction to Linear Algebra (บท Applications: graphs, networks, least squares) · Hibbeler, Structural Analysis (truss, stiffness method) · Chopra, Dynamics of Structures (MDOF modes)

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมงานโครงสร้างและงานวงจรใช้เมทริกซ์เหมือนกัน?
เพราะทั้งคู่คือเครือข่ายที่ต้องสมดุลทุกจุดต่อ วงจรใช้ KCL (ผลรวมกระแสเป็นศูนย์) โครงสร้างใช้ผลรวมแรงเป็นศูนย์ เมื่อเขียนครบทุกจุดได้ระบบสมการ Ax = b และเมทริกซ์ความนำของวงจรกับเมทริกซ์สติฟเนสของโครงสร้างมีรูปแบบเดียวกัน คือสมมาตร ทแยงเด่น และสร้างจาก AᵀKA

ค่าเฉพาะเกี่ยวกับการสั่นอย่างไร?
ระบบมวล-สปริงหลายองศาอิสระมีสมการ Mẍ + Kx = 0 ลองคำตอบ x = φ sin ωt ได้ (K − ω²M)φ = 0 ซึ่งคือปัญหาค่าเฉพาะ ค่าเฉพาะ ω² ให้ความถี่ธรรมชาติ และเวกเตอร์เฉพาะ φ คือรูปโหมดการสั่น อาคารหลายชั้นและเพลาเครื่องจักรวิเคราะห์ด้วยวิธีนี้

ระบบสมการที่มีสมการมากกว่าตัวไม่รู้ใช้ทำอะไร?
ใช้กับข้อมูลที่วัดซ้ำและมีความคลาดเคลื่อน เช่น งานระดับที่วัดเกินจำนวนหมุด หรือสอบเทียบเซนเซอร์หลายจุด ไม่มีคำตอบที่ตรงทุกสมการ จึงหาคำตอบที่ผลรวมกำลังสองของความคลาดเคลื่อนน้อยสุดด้วยสมการปกติ AᵀAx = Aᵀb

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมงานโครงสร้างและงานวงจรใช้เมทริกซ์เหมือนกัน?**
เพราะทั้งคู่คือเครือข่ายที่ต้องสมดุลทุกจุดต่อ วงจรใช้ KCL (ผลรวมกระแสเป็นศูนย์) โครงสร้างใช้ผลรวมแรงเป็นศูนย์ เมื่อเขียนครบทุกจุดได้ระบบสมการ Ax = b และเมทริกซ์ความนำของวงจรกับเมทริกซ์สติฟเนสของโครงสร้างมีรูปแบบเดียวกัน คือสมมาตร ทแยงเด่น และสร้างจาก AᵀKA

**ค่าเฉพาะเกี่ยวกับการสั่นอย่างไร?**
ระบบมวล-สปริงหลายองศาอิสระมีสมการ Mẍ + Kx = 0 ลองคำตอบ x = φ sin ωt ได้ (K − ω²M)φ = 0 ซึ่งคือปัญหาค่าเฉพาะ ค่าเฉพาะ ω² ให้ความถี่ธรรมชาติ และเวกเตอร์เฉพาะ φ คือรูปโหมดการสั่น อาคารหลายชั้นและเพลาเครื่องจักรวิเคราะห์ด้วยวิธีนี้

**ระบบสมการที่มีสมการมากกว่าตัวไม่รู้ใช้ทำอะไร?**
ใช้กับข้อมูลที่วัดซ้ำและมีความคลาดเคลื่อน เช่น งานระดับที่วัดเกินจำนวนหมุด หรือสอบเทียบเซนเซอร์หลายจุด ไม่มีคำตอบที่ตรงทุกสมการ จึงหาคำตอบที่ผลรวมกำลังสองของความคลาดเคลื่อนน้อยสุดด้วยสมการปกติ AᵀAx = Aᵀb

---

# แนวข้อสอบเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ และกฎของคราเมอร์ (Exam Practice): 45 ข้อพร้อมเฉลย และโจทย์สุ่มไม่จำกัด

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/exam-practice/
Updated: 2026-10-25
Summary: แนวข้อสอบเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ 45 ข้อพร้อมเฉลยทีละขั้น 3 ชุด: เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย (A-Level สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส คราเมอร์ ระบบมีพารามิเตอร์) ป.ตรีพีชคณิตเชิงเส้น (แรงก์ ปริภูมิศูนย์ LU วงจร AC) และวิธีเชิงตัวเลข (จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR เลขเงื่อนไข) พร้อมสูตรต้องจำและเครื่องสุ่มโจทย์ที่ตรวจคำตอบได้

// บทที่ 7.12 · พีชคณิตเชิงเส้น · Exam Practice

# แนวข้อสอบเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ และกฎของคราเมอร์ (Exam Practice): 45 ข้อพร้อมเฉลย และโจทย์สุ่มไม่จำกัด

45 ข้อเรียงจากระดับมัธยมปลายถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม ทุกข้อซ่อนเฉลยไว้ให้ลองทำเองก่อน เฉลยแต่ละข้อบอกสูตรที่ใช้พร้อมลิงก์กลับไปยังหน้าเนื้อหา และมีเครื่องสุ่มโจทย์ 10 แบบที่ตรวจคำตอบให้ทันที ใช้ได้ทั้งเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย สอบกลางภาค และสอบปลายภาค

ใช้หน้านี้อย่างไร

- ทวนสูตรต้องจำ 5 นาที แล้วเลือกชุดตามเป้าหมาย: A สอบเข้ามหาวิทยาลัย (A-Level / TCAS) · B พีชคณิตเชิงเส้น ป.ตรี · C วิธีเชิงตัวเลขและงานวิศวกรรม

- กดที่โจทย์เพื่อเปิดเฉลยหลังทำเสร็จ ข้อที่ผิดให้กดรหัสสูตรในเฉลยกลับไปอ่านเนื้อหา

- ฝึกซ้ำด้วยเครื่องสุ่มโจทย์ จนถูกติดกันอย่างน้อย 5 ข้อในแต่ละระดับ

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · เตรียมสอบกลาง ป.ตรี วิศวกรรมเข้มข้น วิธีเชิงตัวเลข · งานจริง

## สูตรต้องจำก่อนเข้าห้องสอบ

สรุปสูตรที่ใช้ในทั้ง 45 ข้อ ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ $n\times n$ และ $k$ เป็นค่าคงที่ กดรหัสสูตรเพื่อดูที่มาและตัวอย่าง

X1 Determinant rules สมบัติดีเทอร์มิแนนต์

$$\det(kA) = k^n\det A,\quad \det A^T = \det A,\quad \det(AB) = \det A\det B,\quad \det A^{-1} = \tfrac{1}{\det A}$$

สลับสองแถว: เปลี่ยนเครื่องหมาย · คูณแถวด้วย $k$: คูณ $k$ · บวกพหุคูณของแถวอื่น: ไม่เปลี่ยน — D5–D12

X2 Adjugate shortcuts สูตรลัด $\operatorname{adj}$

$$A\operatorname{adj}A = (\det A)I,\quad \det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1},\quad \operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-2}A$$

D22–D24

X3 2×2 inverse อินเวอร์ส 2×2

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

$AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B$ · $XA = B \Rightarrow X = BA^{-1}$ — I9

X4 Cramer's rule กฎของคราเมอร์

$$x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta},\quad \Delta = \det A \ne 0$$

ถามตัวแปรเดียว ใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว — C1

X5 Solutions by rank จำนวนคำตอบจากแรงก์

$$r(A) \lt r([A\mid\mathbf b]): \text{ไม่มี} \quad r(A) = r([A\mid\mathbf b]) = n: \text{เดียว} \quad = r \lt n: \text{ไม่จำกัด}$$

ระบบจัตุรัส: $\Delta \ne 0$ ⇒ คำตอบเดียว · $\Delta = 0$ ⇒ ลดแถวดูว่าไม่มีหรือไม่จำกัด — R7

X6 Cayley–Hamilton for 2×2 ลัดยกกำลัง 2×2

$$A^2 - (\operatorname{tr}A)A + (\det A)I = O$$

ใช้ลดกำลังสูงหรือหา $A^{-1} = \frac{(\operatorname{tr}A)I - A}{\det A}$ — E-ชุดเคย์ลีย์-แฮมิลตัน

X7 Iterative methods จาโคบีและเกาส์-ไซเดล

$$x_i^{\text{ใหม่}} = \frac{b_i - \sum_{j\ne i}a_{ij}x_j}{a_{ii}}$$

จาโคบีใช้ $x_j$ รอบเก่าทั้งหมด · เกาส์-ไซเดลใช้ค่าใหม่ทันที · ทแยงเด่นแท้ ⇒ ลู่เข้า — N13–N18

X8 Condition number เลขเงื่อนไข

$$\kappa_\infty = \lVert A\rVert_\infty\lVert A^{-1}\rVert_\infty,\quad \frac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \kappa\frac{\lVert\delta\mathbf b\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert}$$

$\lVert A\rVert_\infty$ = ผลรวมค่าสัมบูรณ์ในแถวที่มากที่สุด — N22–N24

## โจทย์สุ่มไม่จำกัด: ตรวจคำตอบและดูเฉลยทันที

เลือกระดับ แล้วกด “ข้อใหม่” ได้เรื่อย ๆ มี 10 แบบ: ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 อินเวอร์ส 2×2 สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ คราเมอร์หาตัวแปรเดียว หาแรงก์ พารามิเตอร์ k ระบบไม่มีคำตอบ จาโคบี/เกาส์-ไซเดลหนึ่งรอบ และเลขเงื่อนไข ตอบเป็นจำนวนเต็ม เศษส่วน หรือทศนิยมก็ได้

## ชุด A · เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย (18 ข้อ) พื้นฐาน

แนว A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 และข้อสอบเข้าคณะวิศวกรรมศาสตร์ เน้นสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส และระบบสมการ ควรทำได้ข้อละไม่เกิน 3 นาที

A1ให้ $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$ จงหา $\det(2A - B)$
$2A - B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$ · $\det = 9 - (-16)$
25 · ระวัง: $\det(2A - B) \ne 2\det A - \det B$ D12

A2$A$ เป็นเมทริกซ์ $3\times3$ ที่ $\det A = 4$ จงหา $\det(2A^{-1}A^T)$
$\det(2A^{-1}A^T) = 2^3\cdot\det A^{-1}\cdot\det A^T = 8\cdot\tfrac14\cdot4$
8 · X1

A3$A$ เป็นเมทริกซ์ $3\times3$ ที่ $\det A = -2$ จงหา $\det(3A^{-1})$ และ $\det(\operatorname{adj}A)$
$\det(3A^{-1}) = 27\cdot\left(-\tfrac12\right)$ · $\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{3-1} = (-2)^2$
$-\tfrac{27}{2}$ และ $4$ · X2

A4ผลบวกของค่า $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\begin{vmatrix} x + 2 & 4 \\ 1 & x - 1 \end{vmatrix} = 0$
$(x + 2)(x - 1) - 4 = x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0$ ได้ $x = -3, 2$
$-1$

A5จงหา $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$
กระจายตามแถว 1: $1(0 - 2) - 2(12 + 4) + (-1)(3 - 0) = -2 - 32 - 3$
$-37$ · D4

A6ถ้า $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 5$ จงหา $\begin{vmatrix} 2a & 2b & 2c \\ g & h & i \\ d + 3a & e + 3b & f + 3c \end{vmatrix}$
ดึง 2 ออกจากแถว 1 · แถว 3 ลบ $\tfrac32$ ของแถว 1 เดิม (ไม่เปลี่ยนค่า) เหลือ $(d, e, f)$ · สลับแถว 2 กับ 3 ได้เครื่องหมายลบ
$2\times(-5) = -10$ · D6 D7 D8

A7ให้ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ผลบวกของสมาชิกทุกตัวของ $A^{-1}$ เท่ากับเท่าใด
$A^{-1} = \dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac32 & -\tfrac12 \end{pmatrix}$
$-2 + 1 + \tfrac32 - \tfrac12 = 0$ · X3

A8หาเมทริกซ์ $X$ ที่ทำให้ $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
$\det = 1$ จึง $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$ · คูณทางซ้าย: $X = A^{-1}B$
$X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ · I9

A9ใช้กฎของคราเมอร์หาเฉพาะ $y$ จาก $\begin{aligned} 2x + y - z &= 3 \\ x + 3y + 2z &= 14 \\ 3x - y + z &= 2 \end{aligned}$
$\Delta = 2(3 + 2) - 1(1 - 6) + (-1)(-1 - 9) = 25$ · $\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 14 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(10) - 3(-5) + (-1)(-40) = 75$
$y = 75/25 = 3$ (คำตอบเต็มคือ $(1, 3, 2)$) · X4

A10หาค่า $k$ ที่ทำให้ระบบ $kx + 2y = 3,\ 8x + ky = 6$ ไม่มีคำตอบ
$\Delta = k^2 - 16 = 0 \Rightarrow k = \pm4$ · $k = 4$: สมการที่ 2 คือสมการที่ 1 คูณ 2 พอดี → ไม่จำกัด · $k = -4$: $-4x + 2y = 3$ กับ $8x - 4y = 6$ (คูณ $-2$ ได้ $-6 \ne 6$) → ขนาน
$k = -4$ · X5

A11ให้ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ จงหา $A^2 - 5A + 2I$
$\operatorname{tr}A = 5,\ \det A = -2$ โดยเคย์ลีย์-แฮมิลตัน $A^2 - 5A - 2I = O$ จึง $A^2 - 5A + 2I = 4I$
$\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ · X6

A12ให้ $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ จงหา $A^5$
$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix},\ A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$ เห็นรูปแบบ $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ (พิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์)
$\begin{pmatrix} 1 & 31 \\ 0 & 32 \end{pmatrix}$

A13ให้ $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ และ $B$ เป็นเมทริกซ์ $2\times2$ ที่ $\det B = -3$ จงหา $\det(A^3B^{-1})$
$\det A = 5$ · $\det(A^3B^{-1}) = 5^3\cdot\tfrac{1}{-3}$
$-\tfrac{125}{3}$ · X1

A14หาพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(1, 1),\ (4, 2),\ (2, 5)$
เวกเตอร์จากจุดแรก $(3, 1)$ และ $(1, 4)$ · พื้นที่ $= \tfrac12\left|\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\right| = \tfrac12|12 - 1|$
$\tfrac{11}{2}$ ตารางหน่วย · D17

A15หาแรงก์ของ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 10 \end{pmatrix}$
$R_2 - 2R_1 = (0, 0, 0)$ · $R_3 - 3R_1 = (0, 0, 1)$ เหลือแถวไม่เป็นศูนย์ 2 แถว
2 · การลดแถว

A16ผลบวกของค่า $k$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{pmatrix}$ ไม่มีอินเวอร์ส
เทคนิค: บวกทุกหลักเข้าหลักแรก ทุกแถวได้ $k + 2$ ดึงออกมา จึงมีตัวประกอบ $(k + 2)$ · คำนวณเต็ม $\det = -(k - 1)^2(k + 2)$
$k = 1, -2$ ผลบวก $-1$ · ตัวอย่าง R-5

A17$A$ เป็นเมทริกซ์จำนวนจริง $3\times3$ ที่ $A^3 = 2I$ จงหา $\det A$ และ $\det(\operatorname{adj}A)$
$(\det A)^3 = \det(2I) = 2^3 = 8$ และ $\det A$ เป็นจำนวนจริง จึง $\det A = 2$ · $\det(\operatorname{adj}A) = 2^2$
$\det A = 2,\ \det(\operatorname{adj}A) = 4$

A18ระบบ $\begin{aligned} x + y + z &= 6 \\ x + 2y + 3z &= 14 \\ x + 4y + kz &= m \end{aligned}$ มีคำตอบไม่จำกัด จงหา $k + m$
ลดแถว: $R_2 - R_1 = (0, 1, 2 \mid 8)$, $R_3 - R_1 = (0, 3, k - 1 \mid m - 6)$, แล้ว $R_3 - 3R_2 = (0, 0, k - 7 \mid m - 30)$ · ไม่จำกัดเมื่อแถวนี้เป็นศูนย์ทั้งแถว
$k = 7,\ m = 30$ ได้ $k + m = 37$ · ตัวอย่าง R-6

## ชุด B · พีชคณิตเชิงเส้น ป.ตรี (15 ข้อ) กลาง

แนวข้อสอบกลางภาคและปลายภาคคณิตศาสตร์วิศวกรรม: แรงก์ ปริภูมิศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์ 4×4 อินเวอร์ส 3×3 LU ระบบมีพารามิเตอร์ และโจทย์วงจร

B1หาแรงก์ ภาวะศูนย์ และฐานของปริภูมิศูนย์ของ $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 5 & 1 \\ 3 & -3 & 7 & 1 \end{pmatrix}$
RREF: $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ · $x_2 = s,\ x_4 = t$: $x_1 = s + 2t,\ x_3 = -t$
แรงก์ 2 · ภาวะศูนย์ 2 · ฐาน $(1, 1, 0, 0),\ (2, 0, -1, 1)$ · R10 R11

B2หาค่า $\lambda$ ที่ทำให้ $(1 - \lambda)x + 2y = 0,\ 3x + (2 - \lambda)y = 0$ มีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์
ต้องการ $\det = (1 - \lambda)(2 - \lambda) - 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda + 1) = 0$
$\lambda = 4$ หรือ $-1$ (คือค่าเฉพาะของ $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$) · R9

B3หา $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 5 & 0 & 7 \\ -1 & 1 & 4 & 2 \\ 3 & 7 & 1 & 8 \end{pmatrix}$ ด้วยการลดแถว
$R_2 - 2R_1,\ R_3 + R_1,\ R_4 - 3R_1$ ได้ $(0, 1, 2, 1), (0, 3, 3, 5), (0, 1, 4, -1)$ · $R_3 - 3R_2,\ R_4 - R_2$ ได้ $(0, 0, -3, 2), (0, 0, 2, -2)$ · $R_4 + \tfrac23R_3$ ได้ $(0, 0, 0, -\tfrac23)$
$\det = 1\cdot1\cdot(-3)\cdot\left(-\tfrac23\right) = 2$ · ลดแถว

B4หา $A^{-1}$ เมื่อ $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 8 \end{pmatrix}$
$\det A = 1(-8 - 3) - 0 + 2(2 + 4) = 1$ · เมทริกซ์โคแฟกเตอร์ทรานสโพส (แอดจอยต์) หารด้วย 1
$A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 1 \\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ · ตรวจแถว 1 × หลัก 1: $-11 + 0 + 12 = 1$ ✓ · I3

B5วงจรสองเมชมีสมการ $(R_1 + R_2)I_1 - R_2I_2 = V$ และ $-R_2I_1 + (R_2 + R_3)I_2 = 0$ หา $I_2$ ในรูปทั่วไป
$\Delta = (R_1 + R_2)(R_2 + R_3) - R_2^2 = R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3$ · $\Delta_2 = (R_1 + R_2)\cdot0 - (-R_2)V = R_2V$
$I_2 = \dfrac{R_2V}{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}$ · คราเมอร์กับวงจร

B6แยก $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 4 & 9 & -3 \\ -2 & -3 & 7 \end{pmatrix}$ เป็น $LU$ แล้วแก้ $A\mathbf x = (2, 8, 10)^T$
$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\ U = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ · $L\mathbf y = \mathbf b$: $\mathbf y = (2, 4, 8)$ · $U\mathbf x = \mathbf y$: $x_3 = 2,\ x_2 = 2,\ x_1 = (2 - 8 + 4)/2$
$\mathbf x = (-1, 2, 2)$ · N8 ·

B7ระบบ $\begin{aligned} x + 2y - z &= 1 \\ 2x + 5y + z &= 4 \\ x + 3y + az &= b \end{aligned}$ หาเงื่อนไขของ $a, b$ สำหรับคำตอบเดียว ไม่จำกัด ไม่มี และเขียนคำตอบกรณีไม่จำกัด
ลดแถวได้แถวสุดท้าย $(0, 0, a - 2 \mid b - 3)$ · กรณีไม่จำกัด $z = t$: $y = 2 - 3t,\ x = 1 - 2y + z = -3 + 7t$
$a \ne 2$: เดียว · $a = 2, b = 3$: $(x, y, z) = (-3, 2, 0) + t(7, -3, 1)$ · $a = 2, b \ne 3$: ไม่มี · R7

B8หาแรงก์ของ $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & k \\ 1 & 4 & k^2 \end{pmatrix}$ สำหรับทุกค่า $k$
เป็นทรานสโพสของเมทริกซ์แวนเดอร์มอนด์ที่จุด $1, 2, k$: $\det = (2 - 1)(k - 1)(k - 2)$ · $k = 1$ หรือ $2$ มีสองหลักซ้ำกัน แต่สองแถวแรกยังอิสระ
แรงก์ 3 เมื่อ $k \ne 1, 2$ · แรงก์ 2 เมื่อ $k = 1$ หรือ $2$ · D15 ·

B9หาเส้นตรง $y = c_0 + c_1x$ ที่ฟิตข้อมูล $(1, 1), (2, 2), (3, 2)$ ดีที่สุดแบบกำลังสองน้อยสุด
สมการปกติ $A^TA\mathbf c = A^T\mathbf y$: $\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 14 \end{pmatrix}\mathbf c = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$ · คราเมอร์ $\Delta = 6$: $c_0 = (70 - 66)/6,\ c_1 = (33 - 30)/6$
$y = \tfrac23 + \tfrac12x$ · กำลังสองน้อยสุด

B10หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $4\times4$ ที่แนวทแยงเป็น 3 และสมาชิกอื่นเป็น 1 ทั้งหมด
สูตร $\det = (a - b)^{n-1}(a + (n - 1)b)$ กับ $a = 3,\ b = 1,\ n = 4$ (หรือบวกทุกหลักเข้าหลักแรกแล้วลดแถว)
$2^3\times6 = 48$ · D25

B11$A$ เป็นเมทริกซ์ $3\times3$ ที่ $\det A = 3$ จงหา $\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A)$ ในรูปของ $A$ และหา $\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A))$
$\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-2}A = 3A$ · $\det(3A) = 27\times3$
$3A$ และ $81$ (= $3^{(n-1)^2}$) · D23

B12วงจร AC มีสมการเมช $(2 + j)\mathbf I_1 - j\mathbf I_2 = 10$ และ $-j\mathbf I_1 + (1 + 2j)\mathbf I_2 = 0$ หา $\mathbf I_1,\ \mathbf I_2$
$\Delta = (2 + j)(1 + 2j) - (-j)^2 = 5j + 1$ · $\Delta_1 = 10(1 + 2j)$ · $\Delta_2 = 10j$ · หารเชิงซ้อนคูณด้วยสังยุค $1 - 5j$
$\mathbf I_1 = \tfrac{55 - 15j}{13} \approx 4.385\angle{-15.3^\circ}$ A · $\mathbf I_2 = \tfrac{25 + 5j}{13} \approx 1.961\angle 11.3^\circ$ A · คราเมอร์กับ AC

B13หา $\det(sI - A)$ และขั้วของระบบเมื่อ $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{pmatrix}$
$\det\begin{pmatrix} s & -1 \\ 6 & s + 5 \end{pmatrix} = s(s + 5) + 6 = s^2 + 5s + 6 = (s + 2)(s + 3)$
$s^2 + 5s + 6$ ขั้ว $s = -2, -3$ (เสถียร) · ค่าเฉพาะ

B14หาค่า $k$ ที่ทำให้เวกเตอร์ $(1, 2, 3),\ (2, k, 4),\ (3, 5, 7)$ ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น
$\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & k & 4 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix} = (7k - 20) - 2(14 - 12) + 3(10 - 3k) = 6 - 2k = 0$
$k = 3$ (แรงก์ลดเหลือ 2) · R5

B15$A$ ขนาด $4\times5$ แรงก์ 3 และ $B$ ขนาด $5\times3$ แรงก์ 3 แรงก์ของ $AB$ อยู่ในช่วงใด
อสมการซิลเวสเตอร์: $3 + 3 - 5 \le \operatorname{rank}(AB) \le \min(3, 3)$
$1 \le \operatorname{rank}(AB) \le 3$ · R12

## ชุด C · วิธีเชิงตัวเลขและงานวิศวกรรม (12 ข้อ) เข้มข้น

แนววิชา Numerical Methods และคณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง: จาโคบี เกาส์-ไซเดล การลู่เข้า SOR การสลับแถว โทมัส โชเลสกี และเลขเงื่อนไข

C1ระบบ $\begin{aligned} 5x - y + z &= 10 \\ 2x + 8y - z &= 11 \\ -x + y + 4z &= 3 \end{aligned}$ เริ่มที่ $\mathbf x^{(0)} = \mathbf 0$ หา $\mathbf x^{(1)}$ ด้วยจาโคบี และด้วยเกาส์-ไซเดล
จาโคบี: $x = 10/5,\ y = 11/8,\ z = 3/4$ · เกาส์-ไซเดล: $x = 2$, $y = (11 - 2\cdot2)/8 = \tfrac78$, $z = (3 + 2 - \tfrac78)/4 = \tfrac{33}{32}$
จาโคบี $(2, 1.375, 0.75)$ · เกาส์-ไซเดล $(2, 0.875, 1.03125)$ · คำตอบจริง $(2, 1, 1)$ · X7

C2ทำเกาส์-ไซเดลต่อจากข้อ C1 อีกหนึ่งรอบ หา $\mathbf x^{(2)}$
$x = (10 + 0.875 - 1.03125)/5 = 1.96875$ · $y = (11 - 2(1.96875) + 1.03125)/8 = 1.01172$ · $z = (3 + 1.96875 - 1.01172)/4 = 0.98926$
$(1.96875,\ 1.01172,\ 0.98926)$ — คลาดเคลื่อนไม่เกิน 0.032 หลังสองรอบ ·

C3ระบบในข้อ C1 รับประกันได้หรือไม่ว่าจาโคบีและเกาส์-ไซเดลจะลู่เข้าจากทุกค่าเริ่มต้น
ตรวจทแยงเด่นแท้: $5 \gt 1 + 1,\ 8 \gt 2 + 1,\ 4 \gt 1 + 1$ ครบทุกแถว
รับประกันได้ · N18

C4จัดลำดับสมการ $x + 6y - 2z = 3,\ 7x - y + z = 8,\ x + y + 5z = 12$ ใหม่ให้ทแยงเด่นก่อนใช้เกาส์-ไซเดล
สมการที่มีสัมประสิทธิ์ $x$ ใหญ่สุด (7) ไว้แถวแรก สัมประสิทธิ์ $y$ ใหญ่สุด (6) แถวสอง $z$ (5) แถวสาม: $7 \gt 2,\ 6 \gt 3,\ 5 \gt 2$
ลำดับ $7x - y + z = 8$ → $x + 6y - 2z = 3$ → $x + y + 5z = 12$ · คำตอบ $(1, 1, 2)$

C5หา $\rho(T_J)$ และ $\rho(T_{GS})$ ของ $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ และประมาณจำนวนรอบที่ต้องใช้เพื่อลดความคลาดเคลื่อน $10^6$ เท่า
$T_J = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & 0 \end{pmatrix}$ ค่าเฉพาะ $\pm\tfrac12$ · $T_{GS} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 \\ 0 & \tfrac14 \end{pmatrix}$ ค่าเฉพาะ $0, \tfrac14$ · $k \approx 6/(-\log_{10}\rho)$
$\rho_J = \tfrac12$ (≈ 20 รอบ) · $\rho_{GS} = \tfrac14 = \rho_J^2$ (≈ 10 รอบ) · N20

C6ระบบ $\operatorname{tridiag}(-1, 2, -1)$ ขนาด $10\times10$ หา $\omega$ ที่ดีที่สุดของ SOR และรัศมีสเปกตรัมที่ได้
$\rho_J = \cos\tfrac{\pi}{11} = 0.9595$ · $\omega^* = \dfrac{2}{1 + \sqrt{1 - \rho_J^2}} = \dfrac{2}{1 + \sin(\pi/11)}$
$\omega^* \approx 1.560$ และ $\rho = \omega^* - 1 \approx 0.560$ · N21

C7หา $\kappa_\infty(A)$ ของ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
$\lVert A\rVert_\infty = \max(3, 7) = 7$ · $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$ ได้ $\lVert A^{-1}\rVert_\infty = \max(3, 2) = 3$
$\kappa_\infty = 21$ · X8

C8แก้ $10^{-5}x + y = 1,\ x + y = 2$ บนเครื่องที่เก็บ 4 หลักนัยสำคัญ แบบไม่สลับแถวและแบบสลับแถว
ไม่สลับ: $m = 10^5$, $a_{22} = 1 - 10^5 \to -1.000\times10^5$, $b_2 = 2 - 10^5 \to -1.000\times10^5$ ได้ $y = 1.000,\ x = (1 - 1)/10^{-5} = 0$ · สลับ: $m = 10^{-5}$ ได้ $y = 1.000,\ x = 2 - 1 = 1.000$
ไม่สลับ $x = 0$ (ผิด 100%) · สลับ $x = 1.000$ (ค่าจริง 1.00001) ·

C9ใช้อัลกอริทึมโทมัสแก้ $\begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}\mathbf x = \begin{pmatrix} 15 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}$
$c_1' = -\tfrac14,\ d_1' = \tfrac{15}{4}$ · $m_2 = 4 - \tfrac14 = \tfrac{15}{4}$: $c_2' = -\tfrac{4}{15},\ d_2' = \tfrac{7/4}{15/4} = \tfrac{7}{15}$ · $m_3 = 4 - \tfrac{4}{15} = \tfrac{56}{15}$: $d_3' = \tfrac{7 + 7/15}{56/15} = 2$ · ย้อนกลับ $x_3 = 2,\ x_2 = \tfrac{7}{15} + \tfrac{4}{15}(2) = 1,\ x_1 = \tfrac{15}{4} + \tfrac14(1) = 4$
$\mathbf x = (4, 1, 2)$ · N12

C10หาการแยกโชเลสกี $A = LL^T$ ของ $A = \begin{pmatrix} 9 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 5 \\ 3 & 5 & 14 \end{pmatrix}$
$\ell_{11} = 3,\ \ell_{21} = \ell_{31} = 1$ · $\ell_{22} = \sqrt{5 - 1} = 2,\ \ell_{32} = (5 - 1)/2 = 2$ · $\ell_{33} = \sqrt{14 - 1 - 4} = 3$
$L = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ · N11

C11ระบบหนึ่งมี $\kappa(A) = 10^3$ ค่าคงที่ทางขวาวัดมาคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ $10^{-6}$ คำตอบคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ได้มากสุดเท่าใด และเสียความแม่นราวกี่หลัก
$\dfrac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le 10^3\times10^{-6}$ · หลักที่เสีย $\approx \log_{10}10^3$
ไม่เกิน $10^{-3}$ (0.1%) · เสียราว 3 หลัก · N24

C12แผ่นโลหะมีโหนดภายใน 2×2 ($T_1$ ซ้ายบน $T_2$ ขวาบน $T_3$ ซ้ายล่าง $T_4$ ขวาล่าง) ขอบบน 100 °C ขอบซ้าย 50 °C ขอบขวาและล่าง 0 °C หาอุณหภูมิทุกโหนด
$4T_1 - T_2 - T_3 = 150,\ 4T_2 - T_1 - T_4 = 100,\ 4T_3 - T_1 - T_4 = 50,\ 4T_4 - T_2 - T_3 = 0$ · บวกทั้งสี่: $2\sum T = 300$ · สมการ 1 + 4 ได้ $T_1 + T_4 = 75$, สมการ 1 − 4 ได้ $T_1 - T_4 = 37.5$ · ทำนองเดียวกัน $T_2 + T_3 = 75,\ T_2 - T_3 = 12.5$
$(T_1, T_2, T_3, T_4) = (56.25,\ 43.75,\ 31.25,\ 18.75)$ °C · แล็บแผ่นความร้อน

## แล็บประกอบเฉลย

ปุ่ม “ดูในแล็บ” ในเฉลยจะโหลดโจทย์ลงแล็บด้านล่างนี้ แล็บฉบับเต็มอยู่ในหน้า แรงก์ และ ผลเฉลยเชิงตัวเลข

แล็บ LU / PA = LU / โชเลสกี

แล็บแรงก์กับพารามิเตอร์ k

ซิมูเลเตอร์จาโคบี · เกาส์-ไซเดล · SOR

แล็บการสลับแถวและการปัดเศษ

## เทคนิคประหยัดเวลาในห้องสอบ

ใช้ได้จริงในข้อสอบปรนัย

- ถามแค่ $\det$ ของเมทริกซ์ที่แปลงมา — อย่าคำนวณเมทริกซ์ใหม่ ใช้สมบัติ X1 X2 ทีละขั้น (A2 A3 A6)

- ทุกแถวผลบวกเท่ากัน — บวกทุกหลักเข้าหลักแรกแล้วดึงตัวร่วมออก ได้ตัวประกอบทันที (A16 B10)

- 2×2 ยกกำลังสูง — ใช้เคย์ลีย์-แฮมิลตันลดกำลัง หรือหาแบบรูปจาก $A^2, A^3$ (A11 A12)

- ถามตัวแปรเดียวในระบบ 3×3 — คราเมอร์ ใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่ $\Delta$ กับ $\Delta_i$ (A9)

- ระบบมีพารามิเตอร์ — ลดแถวให้แถวสุดท้ายเป็น $(0, 0, f(k) \mid g(k))$ แล้วอ่านสามกรณี (A18 B7)

- เมทริกซ์สามเหลี่ยม — $\det$ = ผลคูณแนวทแยง และค่าเฉพาะ = สมาชิกแนวทแยง

กับดักที่เจอบ่อย

- $\det(kA) = k\det A$ ✗ ต้องเป็น $k^n\det A$

- $\det(A + B) = \det A + \det B$ ✗ ไม่มีสูตรนี้

- $AX = B \Rightarrow X = BA^{-1}$ ✗ ต้องคูณทางซ้าย $X = A^{-1}B$

- $\Delta = 0$ แล้วตอบ “ไม่มีคำตอบ” ทันที ✗ อาจไม่จำกัดก็ได้ (A10 ที่ $k = 4$)

- จาโคบีรอบเดียวกันใช้ค่าใหม่ ✗ นั่นคือเกาส์-ไซเดล (C1)

อ่านทวนเนื้อหาแบบบทความสั้น: สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ที่ออกสอบบ่อย · กฎของคราเมอร์ใช้อย่างไร · แรงก์ของเมทริกซ์ · แผนที่การเรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์

## คำถามที่พบบ่อย

ข้อสอบเมทริกซ์เข้ามหาวิทยาลัยออกเรื่องอะไรบ้าง?
ส่วนใหญ่เป็นการบวก คูณ ทรานสโพส ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ (det(kA) = kⁿ det A, det(A⁻¹), det(adj A)) อินเวอร์ส 2×2 การแก้สมการเมทริกซ์ AX = B กฎของคราเมอร์ และระบบสมการที่มีพารามิเตอร์ ซึ่งรวมไว้ในชุด A ของหน้านี้

ควรฝึกโจทย์เมทริกซ์อย่างไรให้ได้ผล?
ทวนสูตรต้องจำในหน้านี้ก่อน แล้วทำชุด A โดยไม่เปิดเฉลย จับเวลาข้อละ 2–3 นาที ข้อที่ผิดให้กดลิงก์ในเฉลยไปอ่านสูตรต้นทาง จากนั้นใช้เครื่องสุ่มโจทย์ฝึกรูปแบบเดิมซ้ำจนถูกติดกันหลายข้อ

โจทย์ในหน้านี้เป็นข้อสอบจริงหรือไม่?
เป็นโจทย์ที่แต่งขึ้นตามแนวและระดับความยากของข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ข้อสอบกลางภาคและปลายภาคพีชคณิตเชิงเส้นและคณิตศาสตร์วิศวกรรม ทุกคำตอบตรวจด้วยโปรแกรมคำนวณสัญลักษณ์ (SymPy) แล้ว

เครื่องสุ่มโจทย์ตรวจคำตอบแบบไหนได้?
พิมพ์จำนวนเต็ม เศษส่วน เช่น -3/4 หรือทศนิยม ระบบเทียบกับคำตอบแม่นตรงแบบเศษส่วน ทศนิยมยอมให้คลาดเคลื่อนเล็กน้อย จากนั้นแสดงเฉลยทีละขั้น และเก็บคะแนนไว้ในเบราว์เซอร์ของคุณ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ข้อสอบเมทริกซ์เข้ามหาวิทยาลัยออกเรื่องอะไรบ้าง?**
ส่วนใหญ่เป็นการบวก คูณ ทรานสโพส ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ (det(kA) = kⁿ det A, det(A⁻¹), det(adj A)) อินเวอร์ส 2×2 การแก้สมการเมทริกซ์ AX = B กฎของคราเมอร์ และระบบสมการที่มีพารามิเตอร์ ซึ่งรวมไว้ในชุด A ของหน้านี้

**ควรฝึกโจทย์เมทริกซ์อย่างไรให้ได้ผล?**
ทวนสูตรต้องจำในหน้านี้ก่อน แล้วทำชุด A โดยไม่เปิดเฉลย จับเวลาข้อละ 2–3 นาที ข้อที่ผิดให้กดลิงก์ในเฉลยไปอ่านสูตรต้นทาง จากนั้นใช้เครื่องสุ่มโจทย์ฝึกรูปแบบเดิมซ้ำจนถูกติดกันหลายข้อ

**โจทย์ในหน้านี้เป็นข้อสอบจริงหรือไม่?**
เป็นโจทย์ที่แต่งขึ้นตามแนวและระดับความยากของข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ข้อสอบกลางภาคและปลายภาคพีชคณิตเชิงเส้นและคณิตศาสตร์วิศวกรรม ทุกคำตอบตรวจด้วยโปรแกรมคำนวณสัญลักษณ์ (SymPy) แล้ว

**เครื่องสุ่มโจทย์ตรวจคำตอบแบบไหนได้?**
พิมพ์จำนวนเต็ม เศษส่วน เช่น -3/4 หรือทศนิยม ระบบเทียบกับคำตอบแม่นตรงแบบเศษส่วน ทศนิยมยอมให้คลาดเคลื่อนเล็กน้อย จากนั้นแสดงเฉลยทีละขั้น และเก็บคะแนนไว้ในเบราว์เซอร์ของคุณ

---

# อินเวอร์สของเมทริกซ์ (Matrix Inverse): วิธีหาและสมบัติ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/inverse/
Updated: 2026-10-12
Summary: วิธีหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ครบทุกวิธี สูตรลัด 2×2 วิธีเมทริกซ์ผูกพัน (adjoint/adjugate) จากโคแฟกเตอร์ วิธีเกาส์-จอร์แดน [A | I] สมบัติของอินเวอร์ส ทฤษฎีบทเมทริกซ์หาอินเวอร์สได้ การแก้ x = A⁻¹b สมการเมทริกซ์ AX = B และสูตรขั้นสูง Sherman–Morrison อินเวอร์สเทียม พร้อมตัวอย่างวงจร

// บทที่ 7.4 · พีชคณิตเชิงเส้น · Matrix Inverse

# อินเวอร์สของเมทริกซ์ (Matrix Inverse): วิธีหาและสมบัติ

เมทริกซ์ไม่มีการหาร แต่มีอินเวอร์สทำหน้าที่แทน ถ้า $A\mathbf x = \mathbf b$ และ $A$ มีอินเวอร์ส คำตอบคือ $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b$ หน้านี้รวมสามวิธีหาอินเวอร์ส สมบัติที่ต้องจำ และสูตรขั้นสูงที่วิศวกรใช้เมื่อวงจรเปลี่ยนไปเพียงเล็กน้อย สูตรใช้รหัส I

สรุปใน 30 วินาที

- $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ มีได้เฉพาะเมทริกซ์จัตุรัสที่ $\det A \ne 0$

- 2×2: สลับทแยงหลัก เปลี่ยนเครื่องหมายทแยงรอง หารด้วย $\det$

- n×n: $A^{-1} = \dfrac{\operatorname{adj}A}{\det A}$ หรือลดแถว $[A\mid I] \to [I\mid A^{-1}]$

- $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ และ $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b$ (คูณทางซ้ายเสมอ)

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## อินเวอร์สคืออะไร พื้นฐาน

สำหรับตัวเลข $a \ne 0$ มี $a^{-1} = 1/a$ ที่ทำให้ $a\cdot a^{-1} = 1$ เมทริกซ์ก็เช่นกัน อินเวอร์ส (inverse, เมทริกซ์ผกผัน) คือเมทริกซ์ที่คูณแล้วได้ $I$ เชิงเรขาคณิตคือการแปลงที่ “ย้อนกลับ” การแปลงของ $A$ ซึ่งทำได้ก็ต่อเมื่อ $A$ ไม่ได้บีบพื้นที่จนแบน ($\det A \ne 0$)

I1 Definition of the inverse นิยามอินเวอร์ส

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I, \qquad A^{-1} \text{ มีจริง} \iff \det A \ne 0$$

ใช้ได้เฉพาะเมทริกซ์จัตุรัส · ถ้ามีอินเวอร์ส มีได้ตัวเดียว (unique) · เรียก $A$ ว่า invertible หรือ nonsingular ส่วน $\det A = 0$ เรียก singular (เอกฐาน) · $A^{-1}$ ไม่ได้แปลว่า $1/a_{ij}$ ทีละช่อง

## สูตรลัด 2×2 พื้นฐาน

I2 2×2 inverse อินเวอร์ส 2×2

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} {d} & {-b} \\ {-c} & {a} \end{pmatrix}, \qquad ad - bc \ne 0$$

จำสามคำ: สลับ $a$ กับ $d$ · เปลี่ยนเครื่องหมาย $b$ กับ $c$ · หารด้วยดีเทอร์มิแนนต์

ตัวอย่าง I-1 · อินเวอร์ส 2×2

### หา $A^{-1}$ เมื่อ $A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$

- หาดีเทอร์มิแนนต์ก่อนเสมอ ถ้าเป็นศูนย์หยุดได้เลย D1

$$\det A = (4)(6) - (7)(2) = 24 - 14 = 10 \ne 0$$

- สลับ เปลี่ยนเครื่องหมาย หาร I2

$$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} {6} & {-7} \\ {-2} & {4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}$$

$A^{-1} = \dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$

ตรวจ: $\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.4 - 1.4 & -2.8 + 2.8 \\ 1.2 - 1.2 & -1.4 + 2.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓

## วิธีเมทริกซ์ผูกพัน (Adjugate / Adjoint) พื้นฐาน → กลาง

หาโคแฟกเตอร์ทุกตัว (ทบทวน D3) เรียงเป็นเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ แล้วทรานสโพส ได้เมทริกซ์ผูกพัน $\operatorname{adj}A$ (ตำราเก่าเรียก adjoint) จากนั้นหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ สูตร 2×2 ข้างบนก็คือกรณีพิเศษของวิธีนี้

I3 Adjugate formula สูตรเมทริกซ์ผูกพัน

$$\operatorname{adj}A = C^T = [C_{ji}], \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A, \qquad A\operatorname{adj}A = (\det A)\,I$$

$C = [C_{ij}]$ คือเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ · อย่าลืมทรานสโพส ซึ่งเป็นจุดที่ผิดบ่อยที่สุด · ตรวจ $\det A$ ได้ฟรีจากแถวแรก: $\det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}$

ตัวอย่าง I-2 · อินเวอร์ส 3×3 ด้วยแอดจอยต์

### หา $A^{-1}$ เมื่อ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$

- โคแฟกเตอร์แถว 1 (เครื่องหมาย $+,-,+$) D3

$$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = -24, \quad C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = 20, \quad C_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = -5$$

- ได้ $\det A$ ทันทีจากแถว 1

$$\det A = (1)(-24) + (2)(20) + (3)(-5) = -24 + 40 - 15 = 1$$

- โคแฟกเตอร์แถว 2 (เครื่องหมาย $-,+,-$) และแถว 3 ($+,-,+$)

$$\begin{aligned} C_{21} &= -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 18, & C_{22} &= +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -15, & C_{23} &= -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 4 \\ C_{31} &= +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 5, & C_{32} &= -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -4, & C_{33} &= +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \end{aligned}$$

- เรียงเป็นเมทริกซ์โคแฟกเตอร์แล้วทรานสโพส I3

$$C = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \ \xrightarrow{\ T\ }\ \operatorname{adj}A = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

-
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A = \frac{1}{1}\operatorname{adj}A$$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

ตรวจแถว 1 ของ $A$ คูณหลัก 1 ของ $A^{-1}$: $(1)(-24) + (2)(20) + (3)(-5) = 1$ ✓ และแถว 1 คูณหลัก 2: $18 - 30 + 12 = 0$ ✓

## วิธีเกาส์-จอร์แดน [A | I] พื้นฐาน → กลาง

วาง $I$ ไว้ข้าง $A$ แล้วลดแถวทั้งก้อนจนด้านซ้ายกลายเป็น $I$ ด้านขวาจะเป็น $A^{-1}$ เอง ถ้าระหว่างทางด้านซ้ายมีแถวศูนย์ แปลว่า $\det A = 0$ ไม่มีอินเวอร์ส

I4 Gauss–Jordan inversion หาอินเวอร์สด้วยการลดแถว

$$[\,A \mid I\,] \ \xrightarrow{\text{การดำเนินการตามแถว}}\ [\,I \mid A^{-1}\,]$$

I7 Why it works: elementary matrices ทำไมวิธีนี้ได้ผล

$$E_k\cdots E_2E_1A = I \ \Rightarrow\ A^{-1} = E_k\cdots E_2E_1 = E_k\cdots E_2E_1\,I$$

การดำเนินการแถวแต่ละครั้งเท่ากับคูณทางซ้ายด้วยเมทริกซ์มูลฐาน $E$ (ได้จากทำการดำเนินการนั้นกับ $I$) ทำกับ $A$ และ $I$ พร้อมกัน ด้านขวาจึงสะสมผลคูณ $E_k\cdots E_1$ ซึ่งก็คือ $A^{-1}$

ตัวอย่าง I-3 · เมทริกซ์เดิม ด้วยเกาส์-จอร์แดน

### หา $A^{-1}$ ของ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ โดยลดแถว $[A\mid I]$

-
$$\left[\begin{array}{ccc|ccc} {1} & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & {1} & 4 & 0 & 1 & 0 \\ {0} & {-4} & {-15} & {-5} & {0} & {1} \end{array}\right]$$

-
$$\xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & {1} & {-5} & {4} & {1} \end{array}\right]$$

ตัวหลักแถว 3 เป็น 1 พอดี (เพราะ $\det A = 1$) ไม่ต้องหาร

- ล้างเหนือตัวหลักของหลักที่ 3

$$\xrightarrow[R_1 \leftarrow R_1 - 3R_3]{R_2 \leftarrow R_2 - 4R_3} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 16 & -12 & -3 \\ 0 & {1} & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right]$$

-
$$\xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & {-24} & {18} & {5} \\ 0 & 1 & 0 & {20} & {-15} & {-4} \\ 0 & 0 & 1 & {-5} & {4} & {1} \end{array}\right]$$

ด้านขวาคือ $A^{-1}$ ตรงกับวิธีแอดจอยต์ทุกตัว ใช้ห้าการดำเนินการแถว เทียบกับดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 เก้าตัว

## สมบัติของอินเวอร์ส กลาง

I5 Properties of the inverse สมบัติของอินเวอร์ส

$$\begin{gathered} (A^{-1})^{-1} = A \qquad {(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}} \qquad (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \\ (kA)^{-1} = \tfrac1k A^{-1}\ (k \ne 0) \qquad (A^k)^{-1} = (A^{-1})^k \qquad \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A} \end{gathered}$$

กฎถุงเท้า-รองเท้า: ใส่ถุงเท้า (B) แล้วใส่รองเท้า (A) ตอนถอดต้องถอดรองเท้าก่อน · ไม่มีสูตร $(A + B)^{-1}$ แบบง่าย

I6 Inverses you can write immediately อินเวอร์สที่เขียนได้ทันที

$$\begin{gathered} \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)^{-1} = \operatorname{diag}\!\left(\tfrac{1}{d_1}, \dots, \tfrac{1}{d_n}\right) \qquad Q^{-1} = Q^T \ (\text{เชิงตั้งฉาก}) \\ \begin{pmatrix} A & O \\ O & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & D^{-1} \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{gathered}$$

อินเวอร์สของสามเหลี่ยมบน (ล่าง) ยังเป็นสามเหลี่ยมบน (ล่าง) · เมทริกซ์หมุน $R(\theta)^{-1} = R(-\theta) = R(\theta)^T$

I10 Invertible matrix theorem ทฤษฎีบทเมทริกซ์หาอินเวอร์สได้ (สำหรับ $A$ ขนาด $n\times n$ ข้อความต่อไปนี้สมมูลกัน)

$$\begin{gathered} A^{-1} \text{ มีจริง} \iff \det A \ne 0 \iff \operatorname{rank}A = n \iff \operatorname{RREF}(A) = I \\ \iff A\mathbf x = \mathbf 0 \text{ มีแต่คำตอบ } \mathbf 0 \iff A\mathbf x = \mathbf b \text{ มีคำตอบเดียวทุก } \mathbf b \\ \iff \text{หลัก (แถว) ของ } A \text{ อิสระเชิงเส้น} \iff 0 \text{ ไม่เป็นค่าเฉพาะของ } A \end{gathered}$$

รู้ข้อเดียวรู้ทั้งหมด เช่น ถ้าเห็นค่าเฉพาะเป็นศูนย์ ก็รู้ทันทีว่าไม่มีอินเวอร์สและระบบไม่มีคำตอบเดียว

## แก้ระบบและสมการเมทริกซ์ด้วยอินเวอร์ส พื้นฐาน → กลาง

I8 Solving with the inverse แก้ระบบด้วยอินเวอร์ส

$$A\mathbf x = \mathbf b \ \Rightarrow\ \mathbf x = A^{-1}\mathbf b$$

คูณ $A^{-1}$ ทางซ้ายทั้งสองข้าง ไม่ใช่ $\mathbf bA^{-1}$ (ขนาดไม่เข้ากัน)

I9 Matrix equations สมการเมทริกซ์

$$AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B, \qquad XA = B \Rightarrow X = BA^{-1}$$

$A^{-1}$ ต้องอยู่ฝั่งเดียวกับที่ $A$ อยู่ · สองคำตอบนี้ต่างกันโดยทั่วไป

ตัวอย่าง I-4 · แก้ระบบด้วย A⁻¹

### แก้ $\begin{aligned} x + 2y + 3z &= 1 \\ y + 4z &= 2 \\ 5x + 6y &= 3 \end{aligned}$ โดยใช้ $A^{-1}$ จากตัวอย่าง I-2

-
$$\mathbf x = A^{-1}\mathbf b = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 + 36 + 15 \\ 20 - 30 - 12 \\ -5 + 8 + 3 \end{pmatrix}$$

$(x, y, z) = (27, -22, 6)$

ตรวจ: $27 - 44 + 18 = 1$ ✓ · $-22 + 24 = 2$ ✓ · $135 - 132 = 3$ ✓

ตัวอย่าง I-5 · AX = B กับ XA = B ไม่เหมือนกัน

### ให้ $A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ หา $X$ ที่ทำให้ $AX = B$ และ $Y$ ที่ทำให้ $YA = B$

- $A^{-1} = \tfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ จากตัวอย่าง I-1 · $AX = B$ คูณ $A^{-1}$ ทางซ้าย I9

$$X = A^{-1}B = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 12 & -15 \\ -4 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.2 & -1.5 \\ -0.4 & 1 \end{pmatrix}$$

- $YA = B$ คูณ $A^{-1}$ ทางขวา

$$Y = BA^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 10 & -10 \\ -6 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -0.6 & 1.2 \end{pmatrix}$$

$X \ne Y$ ทั้งที่ “หน้าตาโจทย์” คล้ายกัน ลำดับการคูณจึงต้องเขียนให้ชัดทุกครั้ง

ตัวอย่าง I-6 · งานวงจร: หาอินเวอร์สครั้งเดียว ใช้ได้กับทุกแหล่งจ่าย

### วงจรสามโนดมีสมการโนด $G\mathbf v = \mathbf i$ โดย $G = \begin{pmatrix} 1.5 & -0.5 & 0 \\ -0.5 & 1.25 & -0.5 \\ 0 & -0.5 & 1 \end{pmatrix}$ S และ $G^{-1} = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.4 & 0.2 \\ 0.4 & 1.2 & 0.6 \\ 0.2 & 0.6 & 1.3 \end{pmatrix}\ \Omega$ หาแรงดันโนดเมื่อ (ก) ฉีดกระแส 10 A เข้าโนด 1 (ข) ฉีด 2 A เข้าโนด 3 (ค) ทั้งสองพร้อมกัน

- (ก) $\mathbf i = (10, 0, 0)^T$ ได้ 10 เท่าของหลักที่ 1 ของ $G^{-1}$ I8

$$\mathbf v = 10\begin{pmatrix} 0.8 \\ 0.4 \\ 0.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\text{ V}$$

- (ข) $\mathbf i = (0, 0, 2)^T$ ได้ 2 เท่าของหลักที่ 3

$$\mathbf v = 2\begin{pmatrix} 0.2 \\ 0.6 \\ 1.3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.4 \\ 1.2 \\ 2.6 \end{pmatrix}\text{ V}$$

- (ค) เชิงเส้นจึงบวกกันได้เลย (หลักการซ้อนทับ superposition)

$$\mathbf v = \begin{pmatrix} 8.4 \\ 5.2 \\ 4.6 \end{pmatrix}\text{ V}$$

หลักที่ $j$ ของ $G^{-1}$ คือแรงดันทุกโนดเมื่อฉีดกระแส 1 A เข้าโนด $j$ ค่าบนเส้นทแยง $0.8,\ 1.2,\ 1.3\ \Omega$ จึงเป็นความต้านทานขาเข้า (driving-point resistance) ของแต่ละโนดเทียบกราวด์

ที่มาของวงจรนี้อยู่ใน การวิเคราะห์โนด

## สูตรอินเวอร์สขั้นสูง ขั้นสูง

I11 Sherman–Morrison formula อัปเดตอินเวอร์สเมื่อเมทริกซ์เปลี่ยนแรงก์หนึ่ง

$$(A + \mathbf u\mathbf v^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1}\mathbf u\,\mathbf v^TA^{-1}}{1 + \mathbf v^TA^{-1}\mathbf u}, \qquad 1 + \mathbf v^TA^{-1}\mathbf u \ne 0$$

เปลี่ยนตัวต้านทานตัวเดียวในวงจร $G$ เปลี่ยนแบบแรงก์หนึ่งพอดี จึงได้แรงดันใหม่โดยไม่ต้องหาอินเวอร์สใหม่ (ใช้ในการวิเคราะห์ความไว และ contingency analysis ในระบบไฟฟ้ากำลัง)

I12 Block inverse (Schur complement) อินเวอร์สแบบบล็อก

$$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} + A^{-1}BS^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}BS^{-1} \\ -S^{-1}CA^{-1} & S^{-1} \end{pmatrix}, \qquad S = D - CA^{-1}B$$

I13 Neumann series อนุกรมนอยมันน์

$$(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + A^3 + \cdots$$

ลู่เข้าเมื่อค่าเฉพาะทุกตัวมี $|\lambda| \lt 1$ เป็นที่มาของวิธีวนซ้ำแบบจาโคบีและเกาส์-ไซเดล และของสูตรป้อนกลับ $T = G/(1 + GH)$

I14 Inverse from Cayley–Hamilton (2×2) อินเวอร์สจากพหุนามลักษณะเฉพาะ

$$A^2 - (\operatorname{tr}A)A + (\det A)I = O \ \Rightarrow\ A^{-1} = \frac{(\operatorname{tr}A)I - A}{\det A}$$

ขยายได้ทุกขนาด ดู E14

I15 Moore–Penrose pseudo-inverse อินเวอร์สเทียม (เมทริกซ์ไม่จัตุรัส)

$$A^{+} = (A^TA)^{-1}A^T \ \ (\text{หลักอิสระ}), \qquad A^{+} = A^T(AA^T)^{-1} \ \ (\text{แถวอิสระ}), \qquad A^{+} = V\Sigma^{+}U^T \ \ (\text{ทั่วไป ผ่าน SVD})$$

$\hat{\mathbf x} = A^{+}\mathbf b$ ให้คำตอบกำลังสองน้อยสุด (สมการเกิน) หรือคำตอบที่บรรทัดฐานน้อยสุด (สมการขาด) L10

ตัวอย่าง I-7 · เปลี่ยนตัวต้านทานหนึ่งตัว ไม่ต้องหาอินเวอร์สใหม่

### ในวงจรของตัวอย่าง I-6 เปลี่ยนตัวต้านทานจากโนด 3 ลงกราวด์จาก 2 Ω เป็น 1 Ω (ความนำเพิ่ม 0.5 S) ขณะฉีด 10 A เข้าโนด 1 หาแรงดันใหม่

- $G$ ใหม่ $= G + 0.5\,\mathbf e_3\mathbf e_3^T$ ในสูตรจึงให้ $A = G,\ \mathbf u = 0.5\mathbf e_3,\ \mathbf v = \mathbf e_3$ โดย $\mathbf e_3 = (0, 0, 1)^T$ I11

$$A^{-1}\mathbf u = 0.5\begin{pmatrix} 0.2 \\ 0.6 \\ 1.3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.1 \\ 0.3 \\ 0.65 \end{pmatrix}, \qquad 1 + \mathbf v^TA^{-1}\mathbf u = 1 + 0.65 = 1.65$$

- คูณสูตรเข้ากับ $\mathbf i$ โดยตรง: $\mathbf v^TA^{-1}\mathbf i = v_3^{\text{เดิม}} = 2$

$$\mathbf v_{\text{ใหม่}} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{2}{1.65}\begin{pmatrix} 0.1 \\ 0.3 \\ 0.65 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 0.121 \\ 4 - 0.364 \\ 2 - 0.788 \end{pmatrix}$$

$\mathbf v \approx (7.879,\ 3.636,\ 1.212)$ V (ค่าแม่นตรง $\tfrac{260}{33}, \tfrac{40}{11}, \tfrac{40}{33}$) ใช้แค่การคูณเวกเตอร์ ไม่ต้องลดแถวใหม่

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ระวังจุดเหล่านี้

- ลืมทรานสโพสเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ในวิธีแอดจอยต์ I3

- ไม่เช็ก $\det A$ ก่อน แล้วพยายามหาอินเวอร์สของเมทริกซ์เอกฐาน

- เขียน $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ → ต้องกลับลำดับ I5

- เขียน $(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$ → ผิด ไม่มีสูตรนี้

- เขียน $\mathbf x = \mathbf bA^{-1}$ หรือ “หาร” ด้วยเมทริกซ์ $\mathbf b/A$ → ไม่มีนิยาม ต้องเป็น $A^{-1}\mathbf b$

- ในเกาส์-จอร์แดนทำการดำเนินการแถวกับครึ่งซ้ายแต่ลืมทำกับครึ่งขวา

- ไม่ตรวจคำตอบ: คูณ $AA^{-1}$ แค่แถวแรกกับหลักแรกก็จับข้อผิดพลาดได้เกือบทุกครั้ง

## เครื่องคิดเลขอินเวอร์สแสดงวิธีทำ

ใส่เมทริกซ์ 2×2 ถึง 4×4 เครื่องจะเช็กดีเทอร์มิแนนต์ แล้วลดแถว $[A\mid I]$ ทีละขั้นด้วยเศษส่วนแม่นยำ พร้อมตรวจ $AA^{-1} = I$

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ถ้าต้องการแค่ตัวแปรเดียว เช่น กระแสในลูปเดียว ไม่จำเป็นต้องหาอินเวอร์สทั้งก้อน กฎของคราเมอร์ ให้สูตรตรงของตัวแปรแต่ละตัวด้วยดีเทอร์มิแนนต์สองตัว ซึ่งจริง ๆ แล้วก็คือสูตรแอดจอยต์ I3 ที่คูณกับ $\mathbf b$ แล้วนั่นเอง

## คำถามที่พบบ่อย

เมทริกซ์แบบไหนไม่มีอินเวอร์ส?
เมทริกซ์ที่ไม่จัตุรัส และเมทริกซ์จัตุรัสที่ $\det A = 0$ (เมทริกซ์เอกฐาน) เช่นมีแถวหนึ่งเป็นพหุคูณหรือผลรวมของแถวอื่น ในวิธีเกาส์-จอร์แดนจะเห็นแถวศูนย์โผล่ในครึ่งซ้าย ทำให้เป็น $I$ ไม่ได้

ทำไม (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ไม่ใช่ A⁻¹B⁻¹?
เพราะต้องย้อนลำดับการกระทำ ตรวจได้จาก $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = I$ ถ้าสลับเป็น $A^{-1}B^{-1}$ จะได้ $ABA^{-1}B^{-1}$ ซึ่งไม่เท่ากับ $I$ โดยทั่วไป

วิธีแอดจอยต์กับเกาส์-จอร์แดนใช้วิธีไหนดี?
2×2 ใช้สูตรลัด 3×3 ใช้ได้ทั้งสองวิธี แอดจอยต์เป็นระบบตายตัวต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ย่อย 9 ตัว เกาส์-จอร์แดนเร็วกว่าเมื่อเมทริกซ์มีศูนย์หรือมีเลข 1 ให้ใช้เป็นตัวหลัก ตั้งแต่ 4×4 ขึ้นไปใช้เกาส์-จอร์แดนเสมอ

แก้ระบบสมการควรหาอินเวอร์สก่อนไหม?
ถ้าแก้ครั้งเดียว ลดแถวตรง ๆ เร็วกว่า แต่ถ้าเมทริกซ์ A เดิมแต่ค่าทางขวาเปลี่ยนหลายครั้ง เช่นวงจรเดิมที่เปลี่ยนแหล่งจ่าย หาอินเวอร์ส (หรือแยก LU) ครั้งเดียวแล้วคูณซ้ำจะคุ้มกว่า และหลักของ A⁻¹ ยังมีความหมายทางวงจรด้วย

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เมทริกซ์แบบไหนไม่มีอินเวอร์ส?**
เมทริกซ์ที่ไม่จัตุรัส และเมทริกซ์จัตุรัสที่ $\det A = 0$ (เมทริกซ์เอกฐาน) เช่นมีแถวหนึ่งเป็นพหุคูณหรือผลรวมของแถวอื่น ในวิธีเกาส์-จอร์แดนจะเห็นแถวศูนย์โผล่ในครึ่งซ้าย ทำให้เป็น $I$ ไม่ได้

**ทำไม (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ไม่ใช่ A⁻¹B⁻¹?**
เพราะต้องย้อนลำดับการกระทำ ตรวจได้จาก $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = I$ ถ้าสลับเป็น $A^{-1}B^{-1}$ จะได้ $ABA^{-1}B^{-1}$ ซึ่งไม่เท่ากับ $I$ โดยทั่วไป

**วิธีแอดจอยต์กับเกาส์-จอร์แดนใช้วิธีไหนดี?**
2×2 ใช้สูตรลัด 3×3 ใช้ได้ทั้งสองวิธี แอดจอยต์เป็นระบบตายตัวต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ย่อย 9 ตัว เกาส์-จอร์แดนเร็วกว่าเมื่อเมทริกซ์มีศูนย์หรือมีเลข 1 ให้ใช้เป็นตัวหลัก ตั้งแต่ 4×4 ขึ้นไปใช้เกาส์-จอร์แดนเสมอ

**แก้ระบบสมการควรหาอินเวอร์สก่อนไหม?**
ถ้าแก้ครั้งเดียว ลดแถวตรง ๆ เร็วกว่า แต่ถ้าเมทริกซ์ A เดิมแต่ค่าทางขวาเปลี่ยนหลายครั้ง เช่นวงจรเดิมที่เปลี่ยนแหล่งจ่าย หาอินเวอร์ส (หรือแยก LU) ครั้งเดียวแล้วคูณซ้ำจะคุ้มกว่า และหลักของ A⁻¹ ยังมีความหมายทางวงจรด้วย

---

# ระบบสมการเชิงเส้นและการกำจัดแบบเกาส์ (Systems of Linear Equations)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/linear-systems/
Updated: 2026-10-25
Summary: แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์แต่งเติม การดำเนินการตามแถว การกำจัดแบบเกาส์ เกาส์-จอร์แดน รูปแบบขั้นบันได REF และ RREF แรงก์ เงื่อนไขมีคำตอบเดียว ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบไม่จำกัด ระบบเอกพันธ์ การแยก LU ระบบป่วย และวิธีกำลังสองน้อยสุด พร้อมวิธีทำทีละขั้น

// บทที่ 7.3 · พีชคณิตเชิงเส้น · Systems of Linear Equations

# ระบบสมการเชิงเส้นและการกำจัดแบบเกาส์ (Systems of Linear Equations)

การลดแถว (row reduction) คือวิธีที่ทรงพลังที่สุดของพีชคณิตเชิงเส้น ใช้ได้กับทุกระบบ ทุกขนาด ทั้งที่มีคำตอบเดียว ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบไม่จำกัด และเป็นวิธีที่โปรแกรมจำลองวงจรอย่าง SPICE ใช้จริง หน้านี้เริ่มจากภาพของเส้นตรงตัดกันแบบ ม.ปลาย ไปจนถึงแรงก์ การแยก LU และกำลังสองน้อยสุด สูตรใช้รหัส L

สรุปใน 30 วินาที

- เขียนระบบเป็นเมทริกซ์แต่งเติม $[A\mid\mathbf b]$ แล้วลดแถวด้วยการดำเนินการสามแบบ: สลับแถว คูณแถว บวกพหุคูณ

- ลดจนเป็นขั้นบันได (REF) แล้วแทนค่าย้อนกลับ หรือลดต่อเป็น RREF แล้วอ่านคำตอบ

- แถว $[0\ \cdots\ 0\mid c\ne0]$ = ไม่มีคำตอบ · ตัวหลักครบทุกหลัก = คำตอบเดียว · มีหลักไม่มีตัวหลัก = คำตอบไม่จำกัด

- แรงก์ = จำนวนตัวหลัก และจำนวนพารามิเตอร์อิสระ = จำนวนตัวแปร − แรงก์

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## ภาพของระบบสมการ: สามกรณีที่เป็นไปได้ พื้นฐาน

ระบบสองสมการสองตัวแปรคือเส้นตรงสองเส้น คำตอบคือจุดที่เส้นทั้งสองตัดกัน ซึ่งมีได้แค่สามแบบ และสามแบบนี้เป็นจริงกับระบบทุกขนาด ไม่มีระบบเชิงเส้นไหนมีคำตอบสองหรือสามคำตอบพอดี

สามมิติก็เหมือนกัน แต่เป็นระนาบตัดกัน: ตัดกันที่จุดเดียว ไม่มีจุดร่วม หรือตัดกันเป็นเส้น/ระนาบ (ไม่จำกัด)

L1 Matrix form and augmented matrix รูปเมทริกซ์และเมทริกซ์แต่งเติม

$$\begin{aligned} a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ &\ \,\vdots \\ a_{m1}x_1 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{aligned} \iff A\mathbf x = \mathbf b \iff \left[\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right]$$

$A$ เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ (coefficient matrix) $m\times n$ · $\mathbf x$ เวกเตอร์ตัวแปร · $\mathbf b$ ค่าคงที่ทางขวา · เส้นตั้งแยก A กับ b ไว้เพื่อเตือนว่าหลักขวาสุดคือค่าคงที่

## การดำเนินการตามแถวเบื้องต้น พื้นฐาน

สามการดำเนินการนี้คือสิ่งที่ทำกับสมการได้อยู่แล้วตั้งแต่ ม.ต้น: สลับลำดับสมการ คูณสมการด้วยค่าไม่เป็นศูนย์ และเอาสมการหนึ่งบวกด้วยพหุคูณของอีกสมการ ทำแล้วคำตอบไม่เปลี่ยน ระบบใหม่จึง “สมมูล” กับระบบเดิม

L2 Elementary row operations การดำเนินการตามแถวเบื้องต้น

$$\text{(1) } R_i \leftrightarrow R_j \qquad \text{(2) } R_i \leftarrow kR_i \ (k \ne 0) \qquad \text{(3) } R_i \leftarrow R_i + kR_j \ (i \ne j)$$

เขียนกำกับไว้บนลูกศรทุกครั้ง เช่น $\xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1}$ ช่วยให้ตรวจย้อนได้ และเป็นวิธีที่อาจารย์ให้คะแนนวิธีทำ

L3 Row echelon form (REF) รูปแบบขั้นบันไดแถว

$$\begin{pmatrix} {\blacksquare} & * & * & * \\ 0 & {\blacksquare} & * & * \\ 0 & 0 & 0 & {\blacksquare} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

ตัวหลัก (pivot, ■ ไม่เป็นศูนย์) แต่ละแถวอยู่ขวาของแถวบน · ใต้ตัวหลักเป็นศูนย์ · แถวศูนย์อยู่ล่างสุด

L4 Reduced row echelon form (RREF) รูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูป

$$\begin{pmatrix} {1} & 0 & * & 0 \\ 0 & {1} & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

เพิ่มจาก REF: ตัวหลักเป็น 1 และเหนือตัวหลักเป็นศูนย์ด้วย RREF ของเมทริกซ์หนึ่งมีแบบเดียว (unique)

## การกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian Elimination) พื้นฐาน

L8 Gaussian elimination + back substitution ขั้นตอนการกำจัดแบบเกาส์

$$[A\mid\mathbf b] \ \xrightarrow{\text{สร้างศูนย์ใต้ตัวหลักทีละหลัก}} \ [U\mid\mathbf c] \ \xrightarrow{\text{แทนค่าย้อนกลับ ล่าง → บน}} \ \mathbf x$$

ทีละหลักจากซ้ายไปขวา: (1) เลือกตัวหลักที่ไม่เป็นศูนย์ ถ้าเป็น 0 ให้สลับแถว (2) ใช้ $R_i \leftarrow R_i - \tfrac{a_{ik}}{a_{kk}}R_k$ ล้างทุกตัวใต้ตัวหลัก (3) ขยับไปหลักถัดไป · เคล็ดลับทำมือ: ถ้ามีแถวที่ขึ้นต้นด้วย 1 ให้สลับขึ้นมาเป็นตัวหลัก เลี่ยงเศษส่วน

ตัวอย่าง L-1 · เกาส์ 3×3

### แก้ระบบ $\begin{aligned} x + y + z &= 6 \\ 2x - y + z &= 3 \\ x + 2y - z &= 2 \end{aligned}$

- เขียนเมทริกซ์แต่งเติม L1

$$\left[\begin{array}{ccc|c} {1} & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \end{array}\right]$$

- ใช้ ${1}$ มุมซ้ายบนล้างหลักที่ 1 L2

$$\xrightarrow[R_3 \leftarrow R_3 - R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & {-3} & {-1} & {-9} \\ 0 & {1} & {-2} & {-4} \end{array}\right]$$

- แถว 3 ขึ้นต้นด้วย 1 สลับขึ้นมาเป็นตัวหลักจะไม่มีเศษส่วน

$$\xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & {1} & -2 & -4 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \end{array}\right]$$

-
$$\xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & {-7} & {-21} \end{array}\right]$$

ได้รูปขั้นบันได L3

- แทนค่าย้อนกลับจากแถวล่าง

$$\begin{aligned} -7z &= -21 &&\Rightarrow\ {z = 3} \\ y - 2(3) &= -4 &&\Rightarrow\ {y = 2} \\ x + 2 + 3 &= 6 &&\Rightarrow\ {x = 1} \end{aligned}$$

$(x, y, z) = (1, 2, 3)$

ตรวจ: $1 + 2 + 3 = 6$ ✓ · $2 - 2 + 3 = 3$ ✓ · $1 + 4 - 3 = 2$ ✓

ตัวอย่าง L-2 · ลดต่อเป็น RREF (เกาส์-จอร์แดน)

### ทำต่อจากขั้นบันไดของตัวอย่าง L-1 จนอ่านคำตอบได้ทันที

-
$$\xrightarrow{R_3 \leftarrow -\frac17R_3} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & {1} & 3 \end{array}\right]$$

- ล้างเหนือตัวหลักของหลักที่ 3

$$\xrightarrow[R_1 \leftarrow R_1 - R_3]{R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & {1} & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

-
$$\xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & {1} \\ 0 & 1 & 0 & {2} \\ 0 & 0 & 1 & {3} \end{array}\right]$$

ด้านซ้ายกลายเป็น $I$ ด้านขวาคือคำตอบ L4

อ่านได้เลย $x = 1,\ y = 2,\ z = 3$ ถ้าวางหลัก $I$ ทางขวาแทน $\mathbf b$ จะได้อินเวอร์สด้วยวิธีเดียวกัน ดูหน้าอินเวอร์ส

## แรงก์และเงื่อนไขการมีคำตอบ กลาง

เจาะลึกแยกหน้า: วิธีหาแรงก์ด้วยไมเนอร์ โจทย์พารามิเตอร์ $k$ ปริภูมิศูนย์ แรงก์-ภาวะศูนย์ และแล็บสามระนาบ 3 มิติ อยู่ใน ค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ (แรงก์) บทที่ 7.10

หลังลดแถวแล้วไม่ต้องเดาอีก ทุกอย่างอ่านจากตำแหน่งของตัวหลัก จำนวนตัวหลักมีชื่อเรียกว่าแรงก์ (rank, ลำดับชั้น)

L5 Rank แรงก์

$$\operatorname{rank}A = \text{จำนวนตัวหลักใน REF ของ } A$$

เท่ากับจำนวนแถวที่อิสระเชิงเส้น = จำนวนหลักที่อิสระเชิงเส้น · $\operatorname{rank}A \le \min(m, n)$ · $\operatorname{rank}A^T = \operatorname{rank}A$

L7 Homogeneous system and rank–nullity ระบบเอกพันธ์

$$A\mathbf x = \mathbf 0 \text{ มีคำตอบไม่ชัด} \iff \operatorname{rank}A \lt n, \qquad \dim N(A) = n - \operatorname{rank}A$$

ระบบเอกพันธ์มีคำตอบ $\mathbf x = \mathbf 0$ เสมอ (trivial) ถ้า $A$ จัตุรัส มีคำตอบอื่นด้วยก็ต่อเมื่อ $\det A = 0$ ซึ่งเป็นหัวใจของการหาเวกเตอร์เฉพาะ

L6 Rouché–Capelli theorem เงื่อนไขการมีคำตอบ (ตัวแปร $n$ ตัว)

$$\begin{cases} \operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] & \text{ไม่มีคำตอบ (inconsistent)} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = n & \text{มีคำตอบเดียว} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = r \lt n & \text{มีคำตอบไม่จำกัด มีพารามิเตอร์อิสระ } n - r \text{ ตัว} \end{cases}$$

อ่านง่าย ๆ จาก REF: เจอแถว $[0\ \cdots\ 0\mid c\ne0]$ = ไม่มีคำตอบ · ไม่เจอ และทุกหลักของ A มีตัวหลัก = คำตอบเดียว · ไม่เจอ แต่บางหลักไม่มีตัวหลัก = ไม่จำกัด

L12 Structure of the general solution โครงสร้างของคำตอบทั่วไป

$$\mathbf x = \mathbf x_p + \mathbf x_h, \qquad A\mathbf x_p = \mathbf b, \quad A\mathbf x_h = \mathbf 0$$

คำตอบเฉพาะหนึ่งตัวบวกคำตอบทุกตัวของระบบเอกพันธ์ โครงสร้างเดียวกับคำตอบสมการเชิงอนุพันธ์ในวงจร (ผลตอบสนองบังคับ + ผลตอบสนองธรรมชาติ)

ตัวอย่าง L-3 · ระบบที่ไม่มีคำตอบ

### แก้ระบบ $\begin{aligned} x + y + z &= 3 \\ x + 2y + 3z &= 5 \\ 2x + 3y + 4z &= 9 \end{aligned}$

-
$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 9 \end{array}\right] \xrightarrow[R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - R_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right]$$

-
$$\xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ {0} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right]$$

- แถวสุดท้ายอ่านว่า $0x + 0y + 0z = 1$ คือ $0 = 1$ เป็นไปไม่ได้ · $\operatorname{rank}A = 2 \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = 3$ L6

ระบบไม่มีคำตอบ (สมการที่ 3 ขัดกับผลบวกของสมการ 1 และ 2 ซึ่งให้ $2x + 3y + 4z = 8$)

ตัวอย่าง L-4 · ระบบที่มีคำตอบไม่จำกัด

### เปลี่ยนค่าคงที่สมการที่ 3 เป็น 8: $\ 2x + 3y + 4z = 8$

- ลดแถวเหมือนเดิม แถวสุดท้ายกลายเป็นศูนย์ทั้งแถว แล้วลดต่อเป็น RREF

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} {1} & 0 & -1 & 1 \\ 0 & {1} & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

- หลักที่ 3 (ของ $z$) ไม่มีตัวหลัก → $z$ เป็นตัวแปรอิสระ ตั้ง $z = t$ · จำนวนพารามิเตอร์ $= 3 - 2 = 1$ L6

$$x - z = 1 \Rightarrow x = 1 + t, \qquad y + 2z = 2 \Rightarrow y = 2 - 2t$$

- เขียนในรูปเวกเตอร์ แยกส่วนคงที่กับส่วนที่คูณ $t$ L12

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\mathbf x_p} + t\underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\mathbf x_h}, \quad t \in \mathbb R$$

คำตอบไม่จำกัด เป็นเส้นตรงในปริภูมิสามมิติ เช่น $t = 0$ ได้ $(1, 2, 0)$ และ $t = 1$ ได้ $(2, 0, 1)$

ตรวจ $\mathbf x_h$: $A\mathbf x_h = (1 - 2 + 1,\ 1 - 4 + 3,\ 2 - 6 + 4) = (0, 0, 0)$ ✓ คำตอบที่เขียนต่างกัน (เช่นเลือก $x = s$ เป็นพารามิเตอร์) ก็ถูกได้ ถ้าแทนกลับแล้วสอดคล้องทุกสมการ

## เลือกวิธีไหนดี พื้นฐาน → กลาง

| วิธี | เหมาะกับ | ข้อจำกัด | จำนวนการคูณโดยประมาณ |

| แทนค่า/กำจัดตัวแปร (ม.ต้น) | 2 ตัวแปร | เกิน 3 ตัวแปรสับสนง่าย | — |

| คราเมอร์ | 2–3 ตัวแปร ต้องการตัวแปรเดียว มีพารามิเตอร์ตัวอักษร | ต้อง $\det A \ne 0$ ช้ามากเมื่อ n ใหญ่ | $(n+1)$ ดีเทอร์มิแนนต์ |

| อินเวอร์ส $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b$ | $A$ เดิม แต่ $\mathbf b$ เปลี่ยนหลายรอบ | ต้อง $\det A \ne 0$ หาอินเวอร์สแพงกว่าแก้ตรง | $\approx n^3$ |

| เกาส์ / เกาส์-จอร์แดน | ทุกกรณี บอกได้ว่าไม่มีหรือไม่จำกัด | ทำมือนานเมื่อ n ใหญ่ | $\approx n^3/3$ |

| LU (คอมพิวเตอร์) | ระบบใหญ่ $\mathbf b$ หลายชุด | ต้องสลับแถวเพื่อความเสถียร | $\approx n^3/3$ ครั้งเดียว แล้ว $n^2$ ต่อ $\mathbf b$ |

## การแยก LU (LU Decomposition) ขั้นสูง

เจาะลึกแยกหน้า: PA = LU แบบสลับแถว โชเลสกี อัลกอริทึมโทมัส และแล็บแยก LU ทีละขั้น อยู่ใน ผลเฉลยเชิงตัวเลข บทที่ 7.11

การกำจัดแบบเกาส์คือการแยก $A$ เป็นผลคูณของสามเหลี่ยมล่าง $L$ (เก็บตัวคูณที่ใช้ล้างแถว) กับสามเหลี่ยมบน $U$ (ผลลัพธ์ขั้นบันได) แยกครั้งเดียวแล้วแก้ $\mathbf b$ ใหม่ได้เร็วมาก วงจรเดิมที่เปลี่ยนแหล่งจ่ายหลายรอบจึงใช้ LU

L9 LU decomposition การแยก LU (แบบ Doolittle)

$$A = LU \quad\Rightarrow\quad A\mathbf x = \mathbf b \iff \begin{cases} L\mathbf y = \mathbf b & \text{(แทนค่าไปข้างหน้า บน → ล่าง)} \\ U\mathbf x = \mathbf y & \text{(แทนค่าย้อนกลับ ล่าง → บน)} \end{cases}$$

$L$ มี 1 บนเส้นทแยง และ $l_{ik}$ = ตัวคูณที่ใช้ใน $R_i \leftarrow R_i - l_{ik}R_k$ · ถ้าต้องสลับแถวจะได้ $PA = LU$ โดย $P$ คือเมทริกซ์สลับแถว · $\det A = \pm\prod u_{ii}$

ตัวอย่าง L-5 · แยก LU แล้วแก้ระบบ

### แยก $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 3 \\ 8 & 7 & 9 \end{pmatrix}$ แล้วแก้ $A\mathbf x = (4, 10, 24)^T$

- ล้างหลัก 1 ด้วยตัวคูณ $l_{21} = 4/2 = {2}$ และ $l_{31} = 8/2 = {4}$

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 5 \end{pmatrix}$$

- ล้างหลัก 2 ด้วย $l_{32} = 3/1 = {3}$ ได้ $U$ แล้วเก็บตัวคูณลง $L$ L9

$$U = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ {2} & 1 & 0 \\ {4} & {3} & 1 \end{pmatrix}$$

- แทนค่าไปข้างหน้า $L\mathbf y = \mathbf b$

$$y_1 = 4, \quad 2(4) + y_2 = 10 \Rightarrow y_2 = 2, \quad 4(4) + 3(2) + y_3 = 24 \Rightarrow y_3 = 2$$

- แทนค่าย้อนกลับ $U\mathbf x = \mathbf y$

$$2x_3 = 2 \Rightarrow x_3 = 1, \quad x_2 + 1 = 2 \Rightarrow x_2 = 1, \quad 2x_1 + 1 + 1 = 4 \Rightarrow x_1 = 1$$

$\mathbf x = (1, 1, 1)^T$ และได้ $\det A = 2\cdot1\cdot2 = 4$ มาฟรี

## ระบบป่วยและการสลับแถวเชิงตัวเลข ขั้นสูง

เจาะลึกแยกหน้า: นอร์ม เลขเงื่อนไข ขอบเขตความคลาดเคลื่อน การทดลองปัดเศษ และวิธีทำซ้ำจาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR อยู่ใน ผลเฉลยเชิงตัวเลข บทที่ 7.11

บนกระดาษ $\det A \ne 0$ ก็พอ แต่ในงานจริงค่าที่วัดมีความคลาดเคลื่อน ถ้าเส้นตรงสองเส้นเกือบขนานกัน ขยับข้อมูลนิดเดียวจุดตัดเลื่อนไปไกล ระบบแบบนี้เรียกระบบป่วย (ill-conditioned)

L11 Condition number เลขเงื่อนไข

$$\kappa(A) = \lVert A\rVert\,\lVert A^{-1}\rVert, \qquad \frac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \kappa(A)\,\frac{\lVert\delta\mathbf b\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert}$$

ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของ $\mathbf b$ ถูกขยายได้ถึง $\kappa$ เท่า · $\kappa \approx 10^k$ แปลว่าเสียความแม่นยำราว $k$ หลัก · การลดแถวด้วยคอมพิวเตอร์ต้องเลือกตัวหลักที่มีขนาดใหญ่สุดในหลัก (partial pivoting) เพื่อไม่ขยายความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษ

ตัวอย่าง L-6 · เห็นระบบป่วยด้วยตา

### เปรียบเทียบ $\begin{aligned} x + y &= 2 \\ x + 1.0001y &= 2.0001 \end{aligned}$ กับระบบที่เปลี่ยนค่าขวาของสมการที่ 2 เป็น $2.0002$

- ระบบแรก: ลบสมการได้ $0.0001y = 0.0001$ จึง $y = 1,\ x = 1$

- ระบบที่สอง: $0.0001y = 0.0002$ จึง $y = 2,\ x = 0$

- ค่าขวาเปลี่ยนแค่ 0.005% แต่คำตอบเปลี่ยนจาก $(1,1)$ เป็น $(0,2)$ · เลขเงื่อนไขของระบบนี้ $\kappa \approx 4\times10^4$ L11

สองเส้นเกือบทับกัน จุดตัดจึงไวมาก ในการวัดจริงต้องออกแบบการทดลองให้สมการ “ตัดกันชัด ๆ” หรือใช้ข้อมูลหลายจุดด้วยวิธีกำลังสองน้อยสุด

## สมการมากกว่าตัวแปร: กำลังสองน้อยสุด ขั้นสูง

ในห้องแล็บเราวัดข้อมูลมากกว่าจำนวนตัวแปรที่ต้องการเสมอ ระบบจึงมีสมการเกินและไม่มีคำตอบที่ตรงทุกสมการ (ข้อมูลมีสัญญาณรบกวน) วิธีกำลังสองน้อยสุดหา $\mathbf x$ ที่ทำให้ผลรวมกำลังสองของความคลาดเคลื่อนน้อยที่สุด

L10 Least squares (normal equations) สมการปกติ

$$\min_{\mathbf x}\lVert A\mathbf x - \mathbf b\rVert^2 \iff A^TA\,\hat{\mathbf x} = A^T\mathbf b \iff \hat{\mathbf x} = (A^TA)^{-1}A^T\mathbf b$$

$A^TA$ จัตุรัสและสมมาตรเสมอ หาอินเวอร์สได้เมื่อหลักของ $A$ อิสระเชิงเส้น · $(A^TA)^{-1}A^T$ คืออินเวอร์สเทียม (pseudo-inverse) I15

ตัวอย่าง L-7 · หาค่าความต้านทานจากข้อมูลวัด

### วัดกระแสและแรงดันตกคร่อมตัวต้านทานได้ $(I, V)$ = (1 mA, 2.1 V), (2 mA, 3.9 V), (3 mA, 6.2 V), (4 mA, 7.8 V) ฟิต $V = RI + V_0$

- ตั้งสมการ 4 สมการ 2 ตัวแปร $(R, V_0)$ โดย $I$ หน่วย mA จึงได้ $R$ หน่วย kΩ

$$\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix} R \\ V_0 \end{pmatrix} \approx \underbrace{\begin{pmatrix} 2.1 \\ 3.9 \\ 6.2 \\ 7.8 \end{pmatrix}}_{\mathbf b}$$

- คำนวณ $A^TA$ และ $A^T\mathbf b$ L10

$$A^TA = \begin{pmatrix} \sum I^2 & \sum I \\ \sum I & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 & 10 \\ 10 & 4 \end{pmatrix}, \qquad A^T\mathbf b = \begin{pmatrix} \sum IV \\ \sum V \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 59.7 \\ 20 \end{pmatrix}$$

- แก้ระบบ 2×2 ด้วยคราเมอร์ $\det = 120 - 100 = 20$

$$R = \frac{(59.7)(4) - (10)(20)}{20} = \frac{38.8}{20} = 1.94, \qquad V_0 = \frac{(30)(20) - (10)(59.7)}{20} = 0.15$$

$R \approx 1.94\ \text{k}\Omega$ และ $V_0 \approx 0.15$ V (ค่าชดเชยของเครื่องวัด)

## เครื่องคิดเลขแก้ระบบสมการแสดงวิธีทำ

ใส่ $A$ และ $\mathbf b$ เครื่องจะลดแถวแบบเกาส์-จอร์แดนเป็นเศษส่วนทีละขั้น บอกว่ามีคำตอบเดียว ไม่มีคำตอบ หรือไม่จำกัด (พร้อมคำตอบในรูปพารามิเตอร์) และถ้ามีคำตอบเดียวจะแสดงวิธีคราเมอร์ให้เทียบด้วย

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ถ้าวาง $I$ ไว้ทางขวาแทน $\mathbf b$ แล้วลดแถวแบบเกาส์-จอร์แดน ด้านขวาจะกลายเป็น $A^{-1}$ นั่นคือหัวข้อของ อินเวอร์สของเมทริกซ์ ส่วนระบบเอกพันธ์ $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ คือประตูสู่ ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ

เส้นทางต่อสำหรับเรื่องระบบสมการโดยตรง: แรงก์และทฤษฎีบทการมีคำตอบ → กฎของคราเมอร์ → วิธีเชิงตัวเลข (LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล) → แนวข้อสอบ 45 ข้อ

## คำถามที่พบบ่อย

รู้ได้อย่างไรว่าระบบสมการไม่มีคำตอบ?
ลดแถวเมทริกซ์แต่งเติม $[A\mid\mathbf b]$ ถ้าเจอแถว $[0\ 0\ \cdots\ 0\mid c]$ ที่ $c \ne 0$ แปลว่า $0 = c$ เป็นไปไม่ได้ ระบบจึงไม่มีคำตอบ ในภาษาแรงก์คือ $\operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b]$

คำตอบไม่จำกัดเขียนอย่างไร?
ลดแถวเป็น RREF หลักที่ไม่มีตัวหลัก (pivot) คือตัวแปรอิสระ ตั้งให้เป็นพารามิเตอร์ เช่น $z = t$ แล้วเขียนตัวแปรอื่นในรูป $t$ จำนวนพารามิเตอร์เท่ากับจำนวนตัวแปรลบแรงก์

เกาส์กับเกาส์-จอร์แดนต่างกันอย่างไร?
เกาส์ลดแถวจนเป็นขั้นบันได (สามเหลี่ยมบน) แล้วแทนค่าย้อนกลับจากล่างขึ้นบน เกาส์-จอร์แดนลดต่อจนตัวหลักเป็น 1 และเหนือ-ใต้ตัวหลักเป็นศูนย์หมด อ่านคำตอบได้ทันที เกาส์ใช้การคำนวณน้อยกว่าเล็กน้อย เกาส์-จอร์แดนเหมาะกับการหาอินเวอร์ส

ทำไมโปรแกรมคอมพิวเตอร์ไม่ใช้กฎของคราเมอร์?
เพราะต้องหาดีเทอร์มิแนนต์ $n+1$ ตัว ซึ่งช้ากว่าการลดแถวมากเมื่อ $n$ ใหญ่ โปรแกรมอย่าง MATLAB, NumPy และ SPICE ใช้การแยก LU พร้อมการสลับแถว (partial pivoting) ซึ่งทั้งเร็วและเสถียรเชิงตัวเลข

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**รู้ได้อย่างไรว่าระบบสมการไม่มีคำตอบ?**
ลดแถวเมทริกซ์แต่งเติม $[A\mid\mathbf b]$ ถ้าเจอแถว $[0\ 0\ \cdots\ 0\mid c]$ ที่ $c \ne 0$ แปลว่า $0 = c$ เป็นไปไม่ได้ ระบบจึงไม่มีคำตอบ ในภาษาแรงก์คือ $\operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b]$

**คำตอบไม่จำกัดเขียนอย่างไร?**
ลดแถวเป็น RREF หลักที่ไม่มีตัวหลัก (pivot) คือตัวแปรอิสระ ตั้งให้เป็นพารามิเตอร์ เช่น $z = t$ แล้วเขียนตัวแปรอื่นในรูป $t$ จำนวนพารามิเตอร์เท่ากับจำนวนตัวแปรลบแรงก์

**เกาส์กับเกาส์-จอร์แดนต่างกันอย่างไร?**
เกาส์ลดแถวจนเป็นขั้นบันได (สามเหลี่ยมบน) แล้วแทนค่าย้อนกลับจากล่างขึ้นบน เกาส์-จอร์แดนลดต่อจนตัวหลักเป็น 1 และเหนือ-ใต้ตัวหลักเป็นศูนย์หมด อ่านคำตอบได้ทันที เกาส์ใช้การคำนวณน้อยกว่าเล็กน้อย เกาส์-จอร์แดนเหมาะกับการหาอินเวอร์ส

**ทำไมโปรแกรมคอมพิวเตอร์ไม่ใช้กฎของคราเมอร์?**
เพราะต้องหาดีเทอร์มิแนนต์ $n+1$ ตัว ซึ่งช้ากว่าการลดแถวมากเมื่อ $n$ ใหญ่ โปรแกรมอย่าง MATLAB, NumPy และ SPICE ใช้การแยก LU พร้อมการสลับแถว (partial pivoting) ซึ่งทั้งเร็วและเสถียรเชิงตัวเลข

---

# เมทริกซ์และการดำเนินการ (Matrices & Matrix Operations)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/matrices/
Updated: 2026-10-12
Summary: สรุปเมทริกซ์ครบตั้งแต่ ม.ปลายถึงมหาวิทยาลัย นิยาม ขนาด ชนิดของเมทริกซ์ การบวก ลบ คูณด้วยสเกลาร์ การคูณเมทริกซ์ทีละช่อง ทรานสโพส เทรซ กำลังของเมทริกซ์ และเมทริกซ์บล็อก ทุกสูตรมีรหัสอ้างอิงและชื่อภาษาอังกฤษ

// บทที่ 7.1 · พีชคณิตเชิงเส้น · Matrices

# เมทริกซ์และการดำเนินการ (Matrices & Matrix Operations)

เมทริกซ์คือภาษากลางของวิศวกรรม ระบบสมการจากวงจรสิบลูป สมการสถานะของมอเตอร์ หรือการแปลงสามเฟส ล้วนเขียนเป็นเมทริกซ์ได้ หน้านี้รวบรวมนิยาม ชนิด และการดำเนินการทุกแบบที่ต้องใช้ ทุกสูตรมีรหัส M กำกับไว้ให้อ้างอิง ตัวอย่างทำให้ดูทีละขั้น

สรุปใน 30 วินาที

- เมทริกซ์ $m\times n$ มี $m$ แถว $n$ หลัก สมาชิกแถว $i$ หลัก $j$ เขียนว่า $a_{ij}$

- บวก ลบ ทำทีละช่อง ขนาดต้องเท่ากัน ส่วนการคูณ $AB$ ต้องให้ “หลักของ A = แถวของ B” แล้วเอาแถวคูณจุดกับหลัก

- โดยทั่วไป $AB \ne BA$ และ $(AB)^T = B^TA^T$ ลำดับสำคัญเสมอ

- $I$ ทำหน้าที่เหมือนเลข 1: $AI = IA = A$

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## เมทริกซ์คืออะไร พื้นฐาน

เมทริกซ์ (matrix) คือตัวเลขที่จัดเรียงเป็นตารางสี่เหลี่ยม มีแถว (row) เรียงตามแนวนอน และหลัก (column) เรียงตามแนวตั้ง เราบอกขนาดเป็น “จำนวนแถว × จำนวนหลัก” เสมอ ตัวอักษรใหญ่ใช้แทนทั้งเมทริกซ์ ตัวอักษรเล็กที่มีดัชนีสองตัวใช้แทนสมาชิกหนึ่งตัว

ดัชนีตัวแรกคือแถว ตัวที่สองคือหลัก เสมอ จำว่า “แถวก่อน หลักทีหลัง” (row then column)

M1 Matrix and its entries นิยามและสัญลักษณ์ของเมทริกซ์

$$A = [a_{ij}]_{m\times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$

ขนาด (size, order) $m\times n$ อ่านว่า “m คูณ n” · เมทริกซ์ $1\times n$ เรียกเวกเตอร์แถว (row vector) · $m\times 1$ เรียกเวกเตอร์หลัก (column vector) · ถ้า $m = n$ เรียกเมทริกซ์จัตุรัส (square matrix) และสมาชิก $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ คือเส้นทแยงมุมหลัก (main diagonal)

M2 Equality of matrices การเท่ากันของเมทริกซ์

$$A = B \iff \text{ขนาดเท่ากัน และ } a_{ij} = b_{ij} \ \text{ทุก } i, j$$

ใช้ตั้งสมการหาตัวแปร เช่น $\begin{pmatrix} x+y & 2 \\ 3 & x-y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1\end{pmatrix}$ ให้ $x + y = 5,\ x - y = 1$ จึงได้ $x = 3,\ y = 2$

ตัวอย่าง M-0 · อ่านขนาดและสมาชิก

### ให้ $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 2 \\ 5 & 4 & 7 & -6 \end{pmatrix}$ จงบอกขนาด $a_{13}$, $a_{24}$ และ $a_{31}$

- นับแถวได้ 2 นับหลักได้ 4 ขนาดจึงเป็น $2\times 4$ M1

- $a_{13}$ คือแถวที่ 1 หลักที่ 3 ได้ $0$ และ $a_{24}$ คือแถวที่ 2 หลักที่ 4 ได้ $-6$

- $a_{31}$ ต้องอยู่แถวที่ 3 แต่เมทริกซ์มีแค่ 2 แถว จึงไม่มีสมาชิกนี้

ขนาด $2\times4$ · $a_{13} = 0$ · $a_{24} = -6$ · $a_{31}$ ไม่นิยาม

## ชนิดของเมทริกซ์ (Types of Matrices) พื้นฐาน → ขั้นสูง

ชื่อเฉพาะเหล่านี้โผล่ในโจทย์และตำราตลอด รู้ชื่อแล้วรู้สมบัติทันที เช่น เห็นคำว่า “สามเหลี่ยม” ก็รู้ว่าดีเทอร์มิแนนต์คือผลคูณเส้นทแยง เห็นคำว่า “เชิงตั้งฉาก” ก็รู้ว่าอินเวอร์สคือทรานสโพส

| ชื่อ | เงื่อนไข | ตัวอย่าง | ระดับ |

| จัตุรัส
square | $m = n$ | $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ | พื้นฐาน |

| ศูนย์
zero, $O$ | ทุกสมาชิกเป็น 0 | $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ | พื้นฐาน |

| เอกลักษณ์
identity, $I_n$ | $a_{ii} = 1$, นอกเส้นทแยงเป็น 0 | $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ | พื้นฐาน |

| ทแยงมุม
diagonal | $a_{ij} = 0$ เมื่อ $i \ne j$ | $\begin{pmatrix}2&0\\0&-5\end{pmatrix}$ | พื้นฐาน |

| สเกลาร์
scalar | ทแยงมุมที่ทุกตัวเท่ากัน $= kI$ | $\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}$ | พื้นฐาน |

| สามเหลี่ยมบน
upper triangular | $a_{ij} = 0$ เมื่อ $i \gt j$ | $\begin{pmatrix}1&4&2\\0&3&5\\0&0&6\end{pmatrix}$ | พื้นฐาน |

| สามเหลี่ยมล่าง
lower triangular | $a_{ij} = 0$ เมื่อ $i \lt j$ | $\begin{pmatrix}1&0\\7&2\end{pmatrix}$ | พื้นฐาน |

| สมมาตร
symmetric | $A^T = A$ คือ $a_{ij} = a_{ji}$ | $\begin{pmatrix}6&-4\\-4&10\end{pmatrix}$ | กลาง |

| สมมาตรเสมือน
skew-symmetric | $A^T = -A$ (ทแยงเป็น 0) | $\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}$ | กลาง |

| เชิงตั้งฉาก
orthogonal | $Q^TQ = I$ ดังนั้น $Q^{-1} = Q^T$ | $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ | กลาง |

| เอกฐาน
singular | $\det A = 0$ ไม่มีอินเวอร์ส | $\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ | พื้นฐาน |

| ฉายซ้ำคงเดิม
idempotent | $A^2 = A$ | $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ | ขั้นสูง |

| นิลโพเทนต์
nilpotent | $A^k = O$ สำหรับบาง $k$ | $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ | ขั้นสูง |

| เฮอร์มิเชียน
Hermitian | $A^H = A$ (สมมาตรแบบเชิงซ้อน) | $\begin{pmatrix}2&1-j\\1+j&3\end{pmatrix}$ | ขั้นสูง |

| ยูนิแทรี
unitary | $U^HU = I$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&j\\j&1\end{pmatrix}$ | ขั้นสูง |

M3 Identity matrix เมทริกซ์เอกลักษณ์

$$I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}, \quad AI = IA = A$$

ทำหน้าที่เหมือนเลข 1 ของการคูณ ถ้า $A$ ไม่จัตุรัส ขนาด $I$ ทางซ้ายและขวาจะต่างกัน: $I_mA = AI_n = A$

M4 Symmetric + skew-symmetric split แยกเป็นส่วนสมมาตรและสมมาตรเสมือน

$$A = \underbrace{\tfrac12(A + A^T)}_{\text{สมมาตร}} + \underbrace{\tfrac12(A - A^T)}_{\text{สมมาตรเสมือน}}$$

เมทริกซ์จัตุรัสทุกตัวแยกแบบนี้ได้แบบเดียว ในรูปกำลังสอง $\mathbf x^TA\mathbf x$ มีแต่ส่วนสมมาตรที่มีผล

M5 Orthogonal matrix เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก

$$Q^TQ = QQ^T = I \iff Q^{-1} = Q^T$$

หลักทุกหลักยาว 1 และตั้งฉากกัน รักษาความยาวและมุม $\det Q = \pm 1$ ตัวอย่างสำคัญคือเมทริกซ์หมุน $R(\theta)$ ที่ใช้ในการแปลงพาร์ก (Park transform)

M6 Conjugate transpose ทรานสโพสสังยุค (สำหรับเมทริกซ์เชิงซ้อน)

$$A^H = \overline{A}^{\,T}, \qquad (A^H)_{ij} = \overline{a_{ji}}$$

ใช้กับวงจร AC ที่สมาชิกเป็นอิมพีแดนซ์เชิงซ้อน กำลังเชิงซ้อน $S = \mathbf V^T\overline{\mathbf I}$ เขียนในรูปนี้ บางตำราเขียน $A^*$ หรือ $A^\dagger$

## บวก ลบ และคูณด้วยสเกลาร์ พื้นฐาน

สองการดำเนินการนี้ทำทีละช่อง (element-wise) ช่องตรงกันจับคู่กัน จึงต้องมีขนาดเท่ากันทุกประการ

M7 Matrix addition การบวกและลบ

$$(A \pm B)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$$

ใช้ได้เมื่อ $A$ และ $B$ ขนาดเท่ากันเท่านั้น

M8 Scalar multiplication การคูณด้วยสเกลาร์

$$(kA)_{ij} = k\,a_{ij}$$

คูณ $k$ เข้าไปทุกช่อง (ต่างจากดีเทอร์มิแนนต์ที่คูณแค่แถวเดียว ดู D7)

M9 Properties of addition and scalar multiplication สมบัติการบวกและการคูณสเกลาร์

$$\begin{gathered} A + B = B + A \qquad (A + B) + C = A + (B + C) \qquad A + O = A \\ k(A + B) = kA + kB \qquad (k + l)A = kA + lA \qquad k(lA) = (kl)A \end{gathered}$$

ตัวอย่าง M-1 · บวกลบและคูณสเกลาร์

### ให้ $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ จงหา $2A - 3B$

- คูณสเกลาร์เข้าทุกช่อง M8

$$2A = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}, \qquad 3B = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ -3 & 12 \end{pmatrix}$$

- ลบช่องต่อช่อง M7

$$2A - 3B = \begin{pmatrix} 2-6 & -4-3 \\ 6-(-3) & 0-12 \end{pmatrix}$$

$2A - 3B = \begin{pmatrix} -4 & -7 \\ 9 & -12 \end{pmatrix}$

## การคูณเมทริกซ์ (Matrix Multiplication) พื้นฐาน

การคูณเมทริกซ์ไม่ได้คูณทีละช่อง สมาชิกแต่ละตัวของผลคูณได้จากแถวของตัวหน้า “คูณจุด” กับหลักของตัวหลัง คือคูณตัวที่ตรงกันแล้วบวกรวม ก่อนคูณต้องเช็กขนาดก่อนเสมอ

เขียนขนาดเรียงกันแล้วดูตัวเลขด้านใน ถ้าไม่เท่ากันให้หยุด คูณไม่ได้

M10 Matrix product นิยามการคูณเมทริกซ์

$$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}$$

$A$ ขนาด $m\times n$, $B$ ขนาด $n\times p$ ได้ $AB$ ขนาด $m\times p$ · ช่อง $(i,j)$ = แถวที่ $i$ ของ $A$ คูณจุดกับหลักที่ $j$ ของ $B$

ตัวอย่าง M-2 · คูณเมทริกซ์ 2×3 กับ 3×2

### ให้ $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$ จงหา $AB$ และ $BA$

- เช็กขนาด $(2\times{3})({3}\times 2)$ ด้านในเท่ากัน คูณได้ ผลลัพธ์ขนาด $2\times 2$

- ช่อง $(1,1)$: แถว 1 ของ A คูณจุดหลัก 1 ของ B M10

$$c_{11} = (2)(1) + (-1)(3) + (3)(-2) = 2 - 3 - 6 = -7$$

- ช่อง $(1,2)$: แถว 1 คูณจุดหลัก 2

$$c_{12} = (2)(2) + (-1)(0) + (3)(5) = 4 + 0 + 15 = 19$$

- ช่อง $(2,1)$ และ $(2,2)$: แถว 2 คูณจุดหลัก 1 และหลัก 2

$$\begin{aligned} c_{21} &= (0)(1) + (4)(3) + (1)(-2) = 10 \\ c_{22} &= (0)(2) + (4)(0) + (1)(5) = 5 \end{aligned}$$

- ส่วน $BA$ มีขนาด $(3\times{2})({2}\times3) = 3\times 3$ คำนวณแบบเดียวกันได้

$$BA = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 5 \\ 6 & -3 & 9 \\ -4 & 22 & -1 \end{pmatrix}$$

$AB = \begin{pmatrix} -7 & 19 \\ 10 & 5 \end{pmatrix}$ ขนาด 2×2 แต่ $BA$ ขนาด 3×3 สองตัวนี้ไม่มีทางเท่ากัน

### สมบัติของการคูณเมทริกซ์

M11 Properties of matrix multiplication สมบัติที่ใช้ได้

$$\begin{gathered} (AB)C = A(BC) \qquad A(B + C) = AB + AC \qquad (A + B)C = AC + BC \\ k(AB) = (kA)B = A(kB) \qquad I_mA = AI_n = A \end{gathered}$$

M12 What does NOT hold สิ่งที่ใช้กับเมทริกซ์ไม่ได้ (ต่างจากตัวเลข)

$$\begin{gathered} AB \ne BA \ \text{(โดยทั่วไป)} \qquad AB = O \not\Rightarrow A = O \text{ หรือ } B = O \\ AB = AC \not\Rightarrow B = C \qquad (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \ne A^2 + 2AB + B^2 \end{gathered}$$

ตัดเมทริกซ์ทั้งสองข้างได้ก็ต่อเมื่อ $A$ มีอินเวอร์ส ($\det A \ne 0$) แล้วคูณ $A^{-1}$ ทางซ้ายทั้งสองข้าง

ตัวอย่าง M-3 · ลำดับการคูณสำคัญ

### ให้ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ แสดงว่า $AB \ne BA$

-
$$AB = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot3 & 1\cdot0 + 2\cdot1 \\ 0\cdot1 + 1\cdot3 & 0\cdot0 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$$

-
$$BA = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 0\cdot0 & 1\cdot2 + 0\cdot1 \\ 3\cdot1 + 1\cdot0 & 3\cdot2 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$$

ขนาดเท่ากันแต่ค่าต่างกัน จึง $AB \ne BA$ M12

ตัวอย่างที่น่าตกใจกว่า: $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ ทั้งที่ไม่มีตัวไหนเป็นเมทริกซ์ศูนย์

### มองการคูณสามแบบ กลาง

สูตร M10 เป็นวิธีคำนวณ แต่การ “มองออก” ว่าการคูณหมายถึงอะไรช่วยมากในบทหลัง โดยเฉพาะมุมมองแบบหลัก ซึ่งเป็นหัวใจของระบบสมการและค่าเฉพาะ

M13 Column view: Ax is a combination of columns $A\mathbf x$ คือผลรวมเชิงเส้นของหลัก

$$A\mathbf x = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \mathbf a_1 & \mathbf a_2 & \cdots & \mathbf a_n \\ | & | & & | \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = x_1\mathbf a_1 + x_2\mathbf a_2 + \cdots + x_n\mathbf a_n$$

การแก้ $A\mathbf x = \mathbf b$ จึงคือการถามว่า “ผสมหลักของ A ด้วยปริมาณเท่าไรจึงได้ $\mathbf b$” ถ้าหลักขึ้นต่อกันเชิงเส้น ($\det A = 0$) อาจผสมไม่ได้หรือผสมได้หลายแบบ

M14 Row view มุมมองแถว

$$(A\mathbf x)_i = \mathbf r_i \cdot \mathbf x$$

แต่ละแถวคือสมการหนึ่งสมการ เช่น KVL หนึ่งลูป

M15 Outer-product view ผลรวมผลคูณภายนอก

$$AB = \sum_{k=1}^{n} (\text{หลัก } k \text{ ของ } A)(\text{แถว } k \text{ ของ } B)$$

แต่ละพจน์เป็นเมทริกซ์แรงก์หนึ่ง เป็นพื้นฐานของ SVD และการบีบอัดข้อมูล

ระบบสมการคือการคูณเมทริกซ์: $\begin{aligned}2x + 3y &= 8\\ x - y &= -1\end{aligned}$ เขียนเป็น $\begin{pmatrix}2&3\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\-1\end{pmatrix}$ หรือ $A\mathbf x = \mathbf b$ ทุกวิธีในหน้าถัด ๆ ไปคือวิธีหา $\mathbf x$ ตัวนี้ ไปหน้าระบบสมการ →

## ทรานสโพส (Transpose) พื้นฐาน

ทรานสโพสคือการพลิกเมทริกซ์ตามเส้นทแยงมุมหลัก แถวกลายเป็นหลัก หลักกลายเป็นแถว เมทริกซ์ $m\times n$ จึงกลายเป็น $n\times m$ ภาษาไทยเรียกเมทริกซ์สลับเปลี่ยน

M16 Transpose นิยามทรานสโพส

$$(A^T)_{ij} = a_{ji}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^{\!T} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$$

M17 Properties of transpose สมบัติของทรานสโพส

$$\begin{gathered} (A^T)^T = A \qquad (A + B)^T = A^T + B^T \\ (kA)^T = kA^T \qquad {(AB)^T = B^TA^T} \end{gathered}$$

ทรานสโพสของผลคูณกลับลำดับ ขยายได้: $(ABC)^T = C^TB^TA^T$

ตัวอย่าง M-4 · ตรวจ (AB)ᵀ = BᵀAᵀ

### ใช้ $A, B$ จากตัวอย่าง M-2 ตรวจว่า $(AB)^T = B^TA^T$

- จากตัวอย่าง M-2 ได้ $AB = \begin{pmatrix} -7 & 19 \\ 10 & 5 \end{pmatrix}$ จึง $(AB)^T = \begin{pmatrix} -7 & 10 \\ 19 & 5 \end{pmatrix}$

- คำนวณ $B^TA^T$ โดยขนาด $(2\times3)(3\times2) = 2\times2$

$$B^TA^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 3 - 6 & 0 + 12 - 2 \\ 4 + 0 + 15 & 0 + 0 + 5 \end{pmatrix}$$

$B^TA^T = \begin{pmatrix} -7 & 10 \\ 19 & 5 \end{pmatrix} = (AB)^T$ ✓ ส่วน $A^TB^T$ มีขนาด 3×3 จึงผิดตั้งแต่ขนาด

เกร็ดที่ใช้บ่อย: $A^TA$ และ $AA^T$ สมมาตรเสมอ เพราะ $(A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA$ เมทริกซ์นี้ปรากฏในวิธีกำลังสองน้อยสุด L10

## เทรซ (Trace) กลาง

เทรซคือผลบวกสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์จัตุรัส ดูเหมือนเล็กน้อย แต่เท่ากับผลบวกค่าเฉพาะทุกตัว จึงเป็นเครื่องมือตรวจคำตอบที่เร็วที่สุด

M18 Trace นิยามเทรซ

$$\operatorname{tr}A = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$$

M19 Properties of trace สมบัติของเทรซ

$$\begin{gathered} \operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B \qquad \operatorname{tr}(kA) = k\operatorname{tr}A \\ \operatorname{tr}(A^T) = \operatorname{tr}A \qquad {\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)} \end{gathered}$$

ข้อสุดท้ายจริงแม้ $AB$ กับ $BA$ ขนาดต่างกัน และ $\operatorname{tr}A = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n$ E6

ตรวจด้วยตัวอย่าง M-2: $\operatorname{tr}(AB) = -7 + 5 = -2$ และ $\operatorname{tr}(BA) = 2 + (-3) + (-1) = -2$ เท่ากันจริง แม้ตัวหนึ่ง 2×2 อีกตัว 3×3

## กำลังของเมทริกซ์ (Matrix Powers) กลาง

M20 Matrix power กำลังของเมทริกซ์จัตุรัส

$$A^0 = I, \quad A^k = \underbrace{AA\cdots A}_{k \text{ ตัว}}, \quad A^mA^n = A^{m+n}, \quad (A^m)^n = A^{mn}$$

นิยามได้เฉพาะเมทริกซ์จัตุรัส และโดยทั่วไป $(AB)^k \ne A^kB^k$

M21 Power of a diagonal matrix กำลังของเมทริกซ์ทแยงมุม

$$\begin{pmatrix} d_1 & & \\ & \ddots & \\ & & d_n \end{pmatrix}^{\!k} = \begin{pmatrix} d_1^k & & \\ & \ddots & \\ & & d_n^k \end{pmatrix}$$

นี่คือเหตุผลที่อยากทำเมทริกซ์ให้เป็นทแยงมุม: $A^k = PD^kP^{-1}$ E10

ตัวอย่าง M-5 · หารูปแบบของ Aⁿ

### ให้ $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ จงหา $A^n$

- ลองคำนวณกำลังน้อย ๆ ก่อน

$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & {2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^3 = A^2A = \begin{pmatrix} 1 & {3} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

- เดาว่า $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ แล้วพิสูจน์ด้วยอุปนัย: ถ้าจริงที่ $n$ จะได้

$$A^{n+1} = A^nA = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (เมทริกซ์เฉือน shear ที่เฉือนสะสมทีละหนึ่งหน่วย)

## เมทริกซ์บล็อก (Block Matrices) ขั้นสูง

เมทริกซ์ใหญ่แบ่งเป็นบล็อกย่อยได้ แล้วคูณบล็อกเหมือนคูณตัวเลข (แต่ต้องรักษาลำดับ) ใช้มากในระบบที่ประกอบจากระบบย่อย เช่น การวิเคราะห์โนดดัดแปลง (MNA) ใน SPICE ที่มีรูป $\begin{pmatrix} G & B \\ C & D\end{pmatrix}$ และแบบจำลองปริภูมิสถานะของระบบหลายส่วน

M22 Block multiplication การคูณแบบบล็อก

$$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E & F \\ G & H \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AE + BG & AF + BH \\ CE + DG & CF + DH \end{pmatrix}$$

ขนาดของบล็อกต้องคูณกันได้ทุกคู่ · บล็อกทแยงมุม $\operatorname{diag}(A_1, A_2)$ ยกกำลัง หาอินเวอร์ส และหาดีเทอร์มิแนนต์แยกบล็อกได้เลย

## เวกเตอร์ในรูปเมทริกซ์ กลาง

เวกเตอร์หลัก $\mathbf x$ คือเมทริกซ์ $n\times 1$ การคูณจุดและความยาวเขียนเป็นการคูณเมทริกซ์ได้ ทำให้สูตรของเวกเตอร์กับเมทริกซ์ใช้ภาษาเดียวกัน (ทบทวนเวกเตอร์ที่ พีชคณิตของเวกเตอร์)

M23 Inner product, norm and outer product ผลคูณภายใน ความยาว และผลคูณภายนอก

$$\mathbf x^T\mathbf y = \sum_{i} x_iy_i, \qquad \lVert\mathbf x\rVert = \sqrt{\mathbf x^T\mathbf x}, \qquad \mathbf x \perp \mathbf y \iff \mathbf x^T\mathbf y = 0, \qquad \mathbf x\mathbf y^T = [x_iy_j]$$

$\mathbf x^T\mathbf y$ เป็นตัวเลข (1×1) ส่วน $\mathbf x\mathbf y^T$ เป็นเมทริกซ์ $n\times n$ ลำดับต่างกันผลต่างกันมาก กำลังไฟฟ้ารวมในวงจร $P = \mathbf v^T\mathbf i$

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

เช็กลิสต์ก่อนส่งคำตอบ

- คูณเมทริกซ์ทีละช่องเหมือนการบวก → ผิด ต้องแถวคูณจุดหลัก M10

- ลืมเช็กขนาดก่อนคูณ → เขียนขนาดเรียงกันทุกครั้ง ด้านในต้องเท่ากัน

- สลับลำดับ $AB$ เป็น $BA$ โดยไม่รู้ตัว → ผิด เว้นแต่โจทย์บอกว่าสลับที่ได้ M12

- เขียน $(AB)^T = A^TB^T$ → ผิด ต้องกลับลำดับเป็น $B^TA^T$ M17

- กระจาย $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ → ผิด ต้องเป็น $A^2 + AB + BA + B^2$

- สับสน $a_{ij}$ ว่าตัวไหนแถว → ตัวแรกแถว ตัวหลังหลัก เสมอ M1

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

เมื่อเขียนระบบเป็น $A\mathbf x = \mathbf b$ ได้แล้ว คำถามแรกคือ “ระบบนี้มีคำตอบเดียวไหม” ตัวเลขที่ตอบคำถามนี้ได้ทันทีคือ ดีเทอร์มิแนนต์ ส่วนตัวอย่างการเขียนเมทริกซ์จากวงจรจริงอยู่ในหน้า ประยุกต์ในวิศวกรรมไฟฟ้า

## คำถามที่พบบ่อย

คูณเมทริกซ์ได้เมื่อไร?
คูณ $AB$ ได้เมื่อจำนวนหลักของ $A$ เท่ากับจำนวนแถวของ $B$ ถ้า $A$ ขนาด $m\times n$ และ $B$ ขนาด $n\times p$ ผลคูณมีขนาด $m\times p$ จำง่าย ๆ ว่าตัวเลขด้านในต้องเท่ากัน ตัวเลขด้านนอกคือขนาดคำตอบ

ทำไม AB ไม่เท่ากับ BA?
เพราะสมาชิกของ $AB$ มาจากแถวของ $A$ คูณหลักของ $B$ ส่วน $BA$ มาจากแถวของ $B$ คูณหลักของ $A$ เป็นการจับคู่ตัวเลขคนละชุด บางครั้งขนาดยังไม่เท่ากันด้วยซ้ำ ในความหมายเชิงเรขาคณิต $AB$ คือทำการแปลง $B$ ก่อนแล้วตามด้วย $A$ ลำดับจึงสำคัญ

ทรานสโพสของผลคูณคืออะไร?
$(AB)^T = B^T A^T$ ลำดับกลับด้านเสมอ เหมือนใส่ถุงเท้าแล้วใส่รองเท้า ตอนถอดต้องถอดรองเท้าก่อน

เทรซ (trace) ใช้ทำอะไร?
เทรซคือผลบวกสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลัก เท่ากับผลบวกของค่าเฉพาะทุกตัว ใช้ตรวจคำตอบค่าเฉพาะได้ทันที และในระบบอันดับสองเทรซของเมทริกซ์สถานะบอกค่าการหน่วง

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**คูณเมทริกซ์ได้เมื่อไร?**
คูณ $AB$ ได้เมื่อจำนวนหลักของ $A$ เท่ากับจำนวนแถวของ $B$ ถ้า $A$ ขนาด $m\times n$ และ $B$ ขนาด $n\times p$ ผลคูณมีขนาด $m\times p$ จำง่าย ๆ ว่าตัวเลขด้านในต้องเท่ากัน ตัวเลขด้านนอกคือขนาดคำตอบ

**ทำไม AB ไม่เท่ากับ BA?**
เพราะสมาชิกของ $AB$ มาจากแถวของ $A$ คูณหลักของ $B$ ส่วน $BA$ มาจากแถวของ $B$ คูณหลักของ $A$ เป็นการจับคู่ตัวเลขคนละชุด บางครั้งขนาดยังไม่เท่ากันด้วยซ้ำ ในความหมายเชิงเรขาคณิต $AB$ คือทำการแปลง $B$ ก่อนแล้วตามด้วย $A$ ลำดับจึงสำคัญ

**ทรานสโพสของผลคูณคืออะไร?**
$(AB)^T = B^T A^T$ ลำดับกลับด้านเสมอ เหมือนใส่ถุงเท้าแล้วใส่รองเท้า ตอนถอดต้องถอดรองเท้าก่อน

**เทรซ (trace) ใช้ทำอะไร?**
เทรซคือผลบวกสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลัก เท่ากับผลบวกของค่าเฉพาะทุกตัว ใช้ตรวจคำตอบค่าเฉพาะได้ทันที และในระบบอันดับสองเทรซของเมทริกซ์สถานะบอกค่าการหน่วง

---

# แล็บเมทริกซ์: เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ ดูการคูณทีละช่อง และการแปลง 2×2

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/matrix-lab/
Updated: 2026-10-14
Summary: แล็บเมทริกซ์ออนไลน์ภาษาไทย เครื่องคิดเลขเมทริกซ์ 2×2 ถึง 4×4 แสดงวิธีทำทีละขั้นด้วยเศษส่วนแม่นตรง หาดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์สด้วยเกาส์-จอร์แดน แก้ Ax = b พร้อมกฎของคราเมอร์ ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ ตัวช่วยดูการคูณเมทริกซ์ทีละช่อง และแล็บลากหลักของเมทริกซ์ 2×2 ดูพื้นที่ (det) กับทิศเวกเตอร์เฉพาะ ใช้ตรวจการบ้านได้ทันที

// บทที่ 7.9 · พีชคณิตเชิงเส้น · Matrix Lab

# แล็บเมทริกซ์: เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ ดูการคูณทีละช่อง และการแปลง 2×2

รวมเครื่องมือเมทริกซ์ทั้งหมดของชุดพีชคณิตเชิงเส้นไว้ในหน้าเดียว ใส่โจทย์ของคุณเองแล้วดูวิธีทำทุกขั้นด้วยเศษส่วนแม่นตรง เหมือนเขียนบนกระดาน ใช้ตรวจการบ้าน เตรียมสอบ หรือเช็กตัวเลขในงานวงจรและโครงสร้าง ปุ่ม “ลองในเครื่องคิดเลข” จากทุกหน้าในชุดจะพาโจทย์มาที่นี่

## เครื่องคิดเลขเมทริกซ์แสดงวิธีทำ

เลือกโหมด (แก้ระบบสมการ · ดีเทอร์มิแนนต์ · อินเวอร์ส · ค่าเฉพาะ) และขนาด 2×2 ถึง 4×4 รับจำนวนเต็ม ทศนิยม และเศษส่วน เช่น -3/4 ทุกขั้นคำนวณแบบเศษส่วน ไม่มีการปัดเศษ

## โจทย์ตัวอย่างพร้อมใส่ในเครื่องคิดเลข

กดแล้วเครื่องคิดเลขด้านบนจะรับโจทย์ให้อัตโนมัติ ที่มาของแต่ละโจทย์อยู่ในงานวงจรไฟฟ้า และงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา

## ดูการคูณเมทริกซ์ทีละช่อง

ชี้หรือแตะที่ช่องของผลคูณ แล้วดูว่าแถวไหนของ A คูณกับหลักไหนของ B สิ่งที่ต้องจำ: ขนาดด้านในต้องเท่ากัน (m×n คูณ n×p ได้ m×p) อ่านทฤษฎีในหน้าเมทริกซ์

## แล็บการแปลง 2×2: ดีเทอร์มิแนนต์คือพื้นที่ ค่าเฉพาะคือทิศที่ไม่ถูกหมุน

ลากหลักทั้งสองของเมทริกซ์ ตารางกริดและวงกลมหนึ่งหน่วยจะถูกแปลงตาม ในโหมดดีเทอร์มิแนนต์ พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานคือ $|\det A|$ (กลับด้านเมื่อ det < 0) ในโหมดค่าเฉพาะ เส้นเขียวคือทิศที่ $A\mathbf v$ ขนานกับ $\mathbf v$

## คำถามที่พบบ่อย

เครื่องคิดเลขนี้คำนวณแบบปัดเศษไหม?
ไม่ปัด ดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส การแก้ระบบ และพหุนามลักษณะเฉพาะคำนวณด้วยเศษส่วนแม่นตรงทุกขั้น ค่าเฉพาะที่เป็นจำนวนตรรกยะได้แบบแม่นตรง ค่าที่เป็นรากที่สองแสดงในรูปราก ส่วนกรณีอื่นแสดงทศนิยม 6 ตำแหน่ง รวมค่าเชิงซ้อน

ใส่เศษส่วนหรือทศนิยมได้ไหม?
ได้ทั้งจำนวนเต็ม ทศนิยม และเศษส่วน เช่น -3/4 หรือ 0.25 รองรับเมทริกซ์ 2×2 ถึง 4×4

ส่งโจทย์ให้เพื่อนเปิดดูได้อย่างไร?
ปุ่ม “ลองในเครื่องคิดเลข” ในทุกหน้าของชุดพีชคณิตเชิงเส้นจะเปิดหน้านี้พร้อมโจทย์ ลิงก์มีรูปแบบ /learn/linear-algebra/matrix-lab/#calc=mode=inv&A=1,2;3,4 คัดลอกส่งต่อได้เลย

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เครื่องคิดเลขนี้คำนวณแบบปัดเศษไหม?**
ไม่ปัด ดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส การแก้ระบบ และพหุนามลักษณะเฉพาะคำนวณด้วยเศษส่วนแม่นตรงทุกขั้น ค่าเฉพาะที่เป็นจำนวนตรรกยะได้แบบแม่นตรง ค่าที่เป็นรากที่สองแสดงในรูปราก ส่วนกรณีอื่นแสดงทศนิยม 6 ตำแหน่ง รวมค่าเชิงซ้อน

**ใส่เศษส่วนหรือทศนิยมได้ไหม?**
ได้ทั้งจำนวนเต็ม ทศนิยม และเศษส่วน เช่น -3/4 หรือ 0.25 รองรับเมทริกซ์ 2×2 ถึง 4×4

**ส่งโจทย์ให้เพื่อนเปิดดูได้อย่างไร?**
ปุ่ม “ลองในเครื่องคิดเลข” ในทุกหน้าของชุดพีชคณิตเชิงเส้นจะเปิดหน้านี้พร้อมโจทย์ ลิงก์มีรูปแบบ /learn/linear-algebra/matrix-lab/#calc=mode=inv&A=1,2;3,4 คัดลอกส่งต่อได้เลย

---

# การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์: เกาส์ การสลับแถว LU โชเลสกี โทมัส จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR และเลขเงื่อนไข

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/numerical-methods/
Updated: 2026-10-25
Summary: วิธีเชิงตัวเลขแก้ระบบสมการเชิงเส้น Ax = b ครบทั้งวิธีตรงและวิธีทำซ้ำ จำนวนการคำนวณ การกำจัดแบบเกาส์กับการสลับแถว (partial pivoting) การแยก LU และ PA = LU โชเลสกี อัลกอริทึมโทมัส จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR เงื่อนไขการลู่เข้า รัศมีสเปกตรัม เลขเงื่อนไข พร้อมตัวอย่างที่ตรวจตัวเลขแล้วและซิมูเลเตอร์ 5 ชุดที่ใช้บนมือถือได้

// บทที่ 7.11 · พีชคณิตเชิงเส้น · Numerical Solution of Linear Systems

# การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์: เกาส์ การสลับแถว LU โชเลสกี โทมัส จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR และเลขเงื่อนไข

โปรแกรมจำลองวงจร ซอฟต์แวร์วิเคราะห์โครงสร้าง และเกมฟิสิกส์ล้วนแก้ $A\mathbf x = \mathbf b$ ที่มีตัวแปรหลักพันถึงหลักล้านตัว วิธีที่ใช้ในห้องเรียนอย่างคราเมอร์จึงใช้ไม่ได้ หน้านี้อธิบายว่าคอมพิวเตอร์แก้ระบบสมการอย่างไรให้เร็วและไม่เพี้ยน ทั้งวิธีตรง (เกาส์ LU โชเลสกี โทมัส) และวิธีทำซ้ำ (จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR) พร้อมเครื่องมือวัดว่าคำตอบเชื่อได้แค่ไหน สูตรใช้รหัส N

สรุปใน 30 วินาที

- วิธีตรง ทำจำนวนขั้นแน่นอน: เกาส์ $\approx \tfrac23 n^3$ flops ต้องสลับแถวให้ตัวหลักใหญ่สุดเสมอ · LU แยกครั้งเดียวใช้ได้กับ $\mathbf b$ หลายตัว · โชเลสกีสำหรับเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอน · โทมัสสำหรับสามแนวทแยง $O(n)$

- วิธีทำซ้ำ เริ่มจากค่าเดา แล้วปรับทีละรอบ: จาโคบีใช้ค่าเก่าทั้งหมด เกาส์-ไซเดลใช้ค่าใหม่ทันที SOR เร่งด้วย $\omega$ เหมาะกับระบบใหญ่และเบาบาง

- ลู่เข้าแน่นอนถ้าทแยงเด่น เงื่อนไขแท้คือ $\rho(T) \lt 1$ และยิ่ง $\rho$ เล็กยิ่งเร็ว

- เลขเงื่อนไข $\kappa(A) = \lVert A\rVert\lVert A^{-1}\rVert$ บอกว่าความคลาดเคลื่อนถูกขยายกี่เท่า เสียความแม่นยำราว $\log_{10}\kappa$ หลัก

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · เริ่มเรียนวิธีเชิงตัวเลขกลาง ป.ตรี วิศวกรรม (Numerical Methods)ขั้นสูง ป.โท · งานจำลองจริง

## ทำไมต้องวิธีเชิงตัวเลข: ขนาดของปัญหาจริง พื้นฐาน

ในห้องเรียนเราแก้ระบบ 2–3 ตัวแปรด้วย คราเมอร์ หรือ อินเวอร์ส ได้สบาย แต่วงจรรวมหนึ่งชิปมีโนดนับหมื่น แบบจำลองไฟไนต์เอลิเมนต์ของสะพานมีตัวแปรนับล้าน คำถามจึงเปลี่ยนจาก “หาได้ไหม” เป็น “หาได้เร็วแค่ไหน และคำตอบเพี้ยนเพราะการปัดเศษหรือเปล่า”

แผนที่วิธีแก้ $A\mathbf x = \mathbf b$: วิธีตรงให้คำตอบในจำนวนขั้นที่แน่นอน วิธีทำซ้ำค่อย ๆ เข้าใกล้คำตอบ เลือกตามขนาด ความเบาบาง และโครงสร้างของเมทริกซ์

N1 Operation counts จำนวนการคำนวณ (ระบบ $n\times n$ หนาแน่น)

$$\text{เกาส์ / LU} \approx \tfrac23 n^3 \text{ flops},\quad \text{แทนค่าย้อนกลับ} \approx n^2,\quad \text{เกาส์-จอร์แดน} \approx n^3,\quad \text{คราเมอร์ (โคแฟกเตอร์)} \approx (n + 1)!$$

1 flop = การบวก/ลบ/คูณ/หารหนึ่งครั้งของเลขทศนิยม · การหาอินเวอร์สแล้วคูณ $A^{-1}\mathbf b$ ใช้ราว $2n^3$ จึงช้ากว่าและคลาดเคลื่อนมากกว่าการแก้ตรง

| จำนวนตัวแปร $n$ | เกาส์ $\approx n^3/3$ การคูณ | คราเมอร์ด้วยโคแฟกเตอร์ $\approx (n+1)!$ | เวลาที่ $10^9$ ครั้ง/วินาที (คราเมอร์) |

| 3 | 9 | 24 | ไม่ถึงไมโครวินาที |

| 10 | 333 | $4.0\times10^{7}$ | 0.04 วินาที |

| 20 | 2,667 | $5.1\times10^{19}$ | ราว 1,600 ปี |

| 100 | $3.3\times10^{5}$ | $9.4\times10^{159}$ | นานกว่าอายุเอกภพมาก |

| 1,000 | $3.3\times10^{8}$ (≈ 0.3 วินาที) | $\approx 10^{2570}$ | — |

N2 Machine epsilon ความละเอียดของเลขทศนิยม

$$\epsilon_{\text{mach}} = 2^{-52} \approx 2.22\times10^{-16} \ (\text{double, IEEE 754})$$

เลข double เก็บได้ราว 15–16 หลักนัยสำคัญ ทุกการคำนวณถูกปัดเศษ ความคลาดเคลื่อนสะสมได้ถ้าอัลกอริทึมไม่ดี

N3 Direct vs iterative วิธีตรงกับวิธีทำซ้ำ

$$\text{ตรง: } A = LU \to \mathbf x \ (\text{จำนวนขั้นแน่นอน}),\qquad \text{ทำซ้ำ: } \mathbf x^{(k+1)} = T\mathbf x^{(k)} + \mathbf c$$

วิธีตรงแม่นถึงระดับการปัดเศษ วิธีทำซ้ำหยุดเมื่อแม่นพอ ไม่ต้องเก็บเมทริกซ์เต็มและไม่เติมศูนย์ให้กลายเป็นตัวเลข (fill-in)

## การกำจัดแบบเกาส์ในมุมของอัลกอริทึม กลาง

หลักการเหมือน การกำจัดแบบเกาส์ที่ทำมือ ทุกประการ แต่เขียนเป็นสูตรที่โปรแกรมทำซ้ำได้ แบ่งเป็นสองช่วง: กำจัดไปข้างหน้า (forward elimination) ให้ได้เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน แล้วแทนค่าย้อนกลับ (back substitution) จากล่างขึ้นบน

N4 Forward elimination & back substitution กำจัดไปข้างหน้าและแทนค่าย้อนกลับ

$$m_{ik} = \frac{a_{ik}}{{a_{kk}}},\quad a_{ij} \leftarrow a_{ij} - m_{ik}a_{kj},\quad b_i \leftarrow b_i - m_{ik}b_k \qquad (i \gt k)$$

$$x_n = \frac{b_n}{a_{nn}},\qquad x_i = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_j\Bigr),\ i = n - 1, \dots, 1$$

for k = 1 … n−1 # หลักของตัวหลัก
(สลับแถว: หา p ที่ |a_pk| มากสุด แล้วสลับแถว p กับ k)
for i = k+1 … n
m = a[i][k] / a[k][k]
for j = k … n: a[i][j] -= m * a[k][j]
b[i] -= m * b[k]
for i = n … 1 # แทนค่าย้อนกลับ
x[i] = (b[i] − Σ_{j>i} a[i][j]·x[j]) / a[i][i]

## การเลือกตัวหลัก (Pivoting): ทำไมต้องสลับแถวแม้ตัวหลักไม่เป็นศูนย์ กลาง

ถ้าตัวหลักเป็นศูนย์ การกำจัดหยุดทันที เรื่องนี้ทุกคนรู้ แต่อันตรายกว่าคือตัวหลักเล็กมาก ตัวคูณ $m = a_{ik}/a_{kk}$ จะใหญ่มาก แล้วกลืนตัวเลขอื่นจนหายไปตอนปัดเศษ

N5 Partial pivoting การสลับแถวบางส่วน

$$p = \arg\max_{i \ge k}|a_{ik}|,\quad R_k \leftrightarrow R_p \ \Rightarrow\ |m_{ik}| \le 1$$

เป็นค่าเริ่มต้นของ LAPACK (numpy.linalg.solve, MATLAB A\b) ราคาถูกเพราะแค่เทียบค่าในหลักเดียว

N6 Scaled & complete pivoting ปรับสเกลและสลับเต็ม

$$s_i = \max_j |a_{ij}|,\quad p = \arg\max_{i \ge k}\frac{|a_{ik}|}{s_i}$$

ใช้เมื่อแต่ละแถวมีหน่วยหรือขนาดต่างกันมาก · complete pivoting เลือกจากทั้งเมทริกซ์ย่อย (สลับหลักด้วย) เสถียรที่สุดแต่แพง จึงไม่ค่อยใช้

ตัวอย่าง N-1 · เครื่องคิดเลข 3 หลัก

### แก้ $\begin{aligned} 0.0001x + y &= 1 \\ x + y &= 2 \end{aligned}$ โดยปัดทุกผลลัพธ์เหลือ 3 หลักนัยสำคัญ ทั้งแบบไม่สลับและสลับแถว (ค่าจริง $x = 1.0001\dots,\ y = 0.9998\dots$)

- ไม่สลับ: $m = 1/0.0001 = 10^4$ แล้ว

$$a_{22} = 1 - 10^4 = -9999 \to {-1.00\times10^4},\qquad b_2 = 2 - 10^4 = -9998 \to {-1.00\times10^4}$$

- $y = 1.00$ แทนกลับ: $x = \dfrac{1 - 1.00}{0.0001} = 0$ — ผิดทั้งหมด (คลาดเคลื่อน 100%)

- สลับแถว ให้ $1$ เป็นตัวหลัก N5: $m = 0.0001$

$$a_{22} = 1 - 0.0001 = 0.9999 \to 1.00,\qquad b_2 = 1 - 0.0002 = 0.9998 \to 1.00$$

- $y = 1.00,\ x = 2 - 1.00 = 1.00$ — ถูกต้องตามจำนวนหลักที่มี

ไม่สลับ: $(x, y) = (0, 1.00)$ ✗ · สลับแถว: $(1.00, 1.00)$ ✓

ต้นเหตุ: ตัวคูณ $10^4$ ทำให้เลข 1 ใน $1 - 10^4$ หายไปตอนปัด ข้อมูลของสมการแรกจึงหายไปทั้งหมด · เครื่องจริงเก็บ 16 หลักก็เกิดเรื่องเดียวกันเมื่อ $\varepsilon \approx 10^{-17}$

ในแล็บด้านล่าง เลื่อนขนาดตัวหลัก $\varepsilon$ และจำนวนหลักที่เครื่องเก็บได้ แล้วดูว่าเมื่อไรวิธีไม่สลับแถวพัง กดดูตารางเทียบทุกจำนวนหลักด้านล่างแล็บ มีชุดตัวหลักเป็นศูนย์ 3×3 ให้ลองด้วย

## การแยก LU: แยกครั้งเดียว ใช้ได้ทุก $\mathbf b$ กลาง

การกำจัดแบบเกาส์คือการเขียน $A = LU$ โดยไม่รู้ตัว: $U$ คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนที่ได้ และ $L$ คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่เก็บตัวคูณ $m_{ik}$ ไว้ใต้แนวทแยง (แนวทแยงเป็น 1) งานจริงที่ต้องแก้ระบบเดิมกับ $\mathbf b$ หลายชุด เช่น วงจรเดียวกันที่แหล่งจ่ายเปลี่ยนตามเวลา จึงแยก LU ครั้งเดียว ($\approx \tfrac23n^3$) แล้วแก้แต่ละ $\mathbf b$ ด้วยการแทนค่าสองรอบ ($\approx 2n^2$)

N7 Doolittle factorisation การแยกแบบดูลิตเติล ($\ell_{ii} = 1$)

$$u_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1}\ell_{ik}u_{kj}\ (j \ge i),\qquad \ell_{ij} = \frac{1}{u_{jj}}\Bigl(a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1}\ell_{ik}u_{kj}\Bigr)\ (i \gt j)$$

แบบโครต์ (Crout) ให้ $u_{ii} = 1$ แทน ผลลัพธ์ต่างกันแค่การกระจายแนวทแยง

N8 Solving with LU แก้ระบบด้วย LU

$$A\mathbf x = \mathbf b \iff L\mathbf y = \mathbf b \ (\text{ไปข้างหน้า}),\quad U\mathbf x = \mathbf y \ (\text{ย้อนกลับ})$$

N9 LU with pivoting $PA = LU$

$$PA = LU,\qquad L\mathbf y = P\mathbf b,\quad U\mathbf x = \mathbf y$$

$P$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่สลับแถวตามที่ทำจริง ทุกเมทริกซ์จัตุรัสแยกได้ในรูปนี้

N10 Determinant from LU ดีเทอร์มิแนนต์ฟรีจาก LU

$$\det A = (-1)^{\text{จำนวนการสลับแถว}}\prod_{i=1}^{n}u_{ii}$$

นี่คือวิธีที่โปรแกรมหาดีเทอร์มิแนนต์จริง ไม่ใช่การกระจายโคแฟกเตอร์

ตัวอย่าง N-2 · LU แล้วแก้สอง b

### แยก $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 8 & 14 \\ 2 & 6 & 13 \end{pmatrix}$ เป็น LU แล้วแก้ $A\mathbf x = (3, 13, 4)^T$ และ $A\mathbf x = (1, 1, 1)^T$

- หลักที่ 1: $\ell_{21} = 3,\ \ell_{31} = 2$ ได้แถวใหม่ $(0, 2, 2)$ และ $(0, 2, 5)$ · หลักที่ 2: $\ell_{32} = 2/2 = 1$ ได้ $(0, 0, 3)$

$$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ {3} & 1 & 0 \\ {2} & {1} & 1 \end{pmatrix},\qquad U = \begin{pmatrix} {1} & 2 & 4 \\ 0 & {2} & 2 \\ 0 & 0 & {3} \end{pmatrix},\qquad \det A = 1\cdot2\cdot3 = 6$$

- $\mathbf b = (3, 13, 4)$: ไปข้างหน้า $y_1 = 3,\ y_2 = 13 - 3(3) = 4,\ y_3 = 4 - 2(3) - 1(4) = -6$ N8

- ย้อนกลับ $x_3 = -6/3 = -2,\ x_2 = (4 - 2(-2))/2 = 4,\ x_1 = 3 - 2(4) - 4(-2) = 3$

- $\mathbf b = (1, 1, 1)$ ใช้ $L, U$ เดิม: $\mathbf y = (1, -2, 1)$ แล้ว $x_3 = \tfrac13,\ x_2 = \tfrac{-2 - 2/3}{2} = -\tfrac43,\ x_1 = 1 - 2(-\tfrac43) - 4(\tfrac13) = \tfrac73$

$\mathbf x = (3, 4, -2)$ และ $\mathbf x = (\tfrac73, -\tfrac43, \tfrac13)$

ตรวจแถว 2 ของคำตอบแรก: $3(3) + 8(4) + 14(-2) = 9 + 32 - 28 = 13$ ✓ · คำตอบที่สองไม่ต้องแยก LU ใหม่ ใช้แค่แทนค่าสองรอบ

ตัวอย่าง N-3 · PA = LU

### แยก $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & -6 & 0 \\ -2 & 7 & 2 \end{pmatrix}$ แบบสลับแถว (partial pivoting) และหา $\det A$

- หลัก 1 ตัวใหญ่สุดคือ 4 (แถว 2) สลับ $R_1 \leftrightarrow R_2$ แล้ว $\ell_{21} = 2/4 = \tfrac12,\ \ell_{31} = -2/4 = -\tfrac12$

$$\begin{pmatrix} 4 & -6 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$

- หลัก 2 มี 4 สองตัวเท่ากัน คงแถว 2 ไว้ $\ell_{32} = 1$ ได้ $u_{33} = 2 - 1 = 1$

$P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\ L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \tfrac12 & 1 & 0 \\ -\tfrac12 & 1 & 1 \end{pmatrix},\ U = \begin{pmatrix} 4 & -6 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\ \det A = -(4\cdot4\cdot1) = -16$

สลับแถวหนึ่งครั้ง เครื่องหมายจึงเป็นลบ N10 · ตรวจด้วยซาร์รัส: $2(-12) - 1(8) + 1(28 - 12) = -16$ ✓

## การแยกโชเลสกี (Cholesky) สำหรับเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอน กลาง

เมทริกซ์ความนำ $G$ ของวงจรตัวต้านทาน เมทริกซ์สติฟเนสของโครงสร้าง และ $A^TA$ ของกำลังสองน้อยสุด ล้วนสมมาตรและบวกแน่นอน (symmetric positive definite, SPD) เขียนได้เป็น $A = LL^T$ ใช้งานครึ่งหนึ่งของ LU และไม่ต้องสลับแถวเลย

N11 Cholesky factorisation $A = LL^T$

$$\ell_{jj} = \sqrt{a_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1}\ell_{jk}^2},\qquad \ell_{ij} = \frac{1}{\ell_{jj}}\Bigl(a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1}\ell_{ik}\ell_{jk}\Bigr)\ (i \gt j)$$

ถ้าค่าใต้รากติดลบหรือเป็นศูนย์ แปลว่าเมทริกซ์ไม่บวกแน่นอน (ใช้เป็นวิธีทดสอบ SPD ได้) · ต้นทุน $\approx \tfrac13n^3$ flops

ตัวอย่าง N-4 · วงจรสามโนด

### สมการโนด $G\mathbf v = \mathbf i$ มี $G = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \\ 2 & 3 & 6 \end{pmatrix}$ (S) และ $\mathbf i = (10, 13, 17)$ (A) แก้ด้วยโชเลสกี

- หลัก 1: $\ell_{11} = \sqrt4 = 2,\ \ell_{21} = 2/2 = 1,\ \ell_{31} = 2/2 = 1$ N11

- หลัก 2: $\ell_{22} = \sqrt{5 - 1^2} = 2,\ \ell_{32} = (3 - 1\cdot1)/2 = 1$ · หลัก 3: $\ell_{33} = \sqrt{6 - 1 - 1} = 2$

$$L = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

- $L\mathbf y = \mathbf i$: $y_1 = 5,\ y_2 = (13 - 5)/2 = 4,\ y_3 = (17 - 5 - 4)/2 = 4$ · $L^T\mathbf v = \mathbf y$: $v_3 = 2,\ v_2 = (4 - 2)/2 = 1,\ v_1 = (5 - 1 - 2)/2 = 1$

$\mathbf v = (1, 1, 2)$ V

ตรวจ: $4 + 2 + 4 = 10$ ✓ · $2 + 5 + 6 = 13$ ✓ · $2 + 3 + 12 = 17$ ✓

## อัลกอริทึมโทมัส: ระบบสามแนวทแยงในเวลา $O(n)$ กลาง

ปัญหาหนึ่งมิติ เช่น การนำความร้อนตามแท่งโลหะ แรงดันตามสายส่งแบบขั้นบันได (ladder network) และการทำเส้นโค้ง spline ให้เมทริกซ์ที่มีตัวเลขแค่บนแนวทแยงและข้าง ๆ การกำจัดแบบเกาส์จึงลดเหลือการวนลูปเดียว

N12 Thomas algorithm (TDMA) สำหรับ $a_ix_{i-1} + b_ix_i + c_ix_{i+1} = d_i$

$$c_1' = \frac{c_1}{b_1},\ d_1' = \frac{d_1}{b_1};\quad c_i' = \frac{c_i}{b_i - a_ic_{i-1}'},\ d_i' = \frac{d_i - a_id_{i-1}'}{b_i - a_ic_{i-1}'};\quad x_n = d_n',\ x_i = d_i' - c_i'x_{i+1}$$

ราว $8n$ flops แทน $\tfrac23n^3$ · ปลอดภัยเมื่อเมทริกซ์ทแยงเด่น (ไม่ต้องสลับแถว)

ตัวอย่าง N-5 · แท่งความร้อน 4 โหนด

### แท่งโลหะปลายซ้าย 100 °C ปลายขวา 0 °C แบ่ง 4 โหนดภายใน สมการสภาวะคงตัว $-T_{i-1} + 2T_i - T_{i+1} = 0$ หา $T_1, \dots, T_4$

- ย้ายอุณหภูมิขอบไปทางขวา: $a_i = -1,\ b_i = 2,\ c_i = -1,\ \mathbf d = (100, 0, 0, 0)$

- กวาดไปข้างหน้า N12: $c' = (-\tfrac12, -\tfrac23, -\tfrac34),\quad d' = (50, \tfrac{100}{3}, 25, 20)$

- ย้อนกลับ: $T_4 = 20,\ T_3 = 25 + \tfrac34(20) = 40,\ T_2 = \tfrac{100}{3} + \tfrac23(40) = 60,\ T_1 = 50 + \tfrac12(60) = 80$

$(T_1, T_2, T_3, T_4) = (80, 60, 40, 20)$ °C

ได้เส้นตรงพอดี ตรงกับฟิสิกส์ของการนำความร้อนสภาวะคงตัวที่ไม่มีแหล่งความร้อนภายใน

## วิธีทำซ้ำ: จาโคบี เกาส์-ไซเดล และ SOR กลาง

แนวคิดง่ายมาก: แก้สมการที่ $i$ หา $x_i$ โดยใช้ค่าประมาณของตัวแปรอื่น แล้ววนทำซ้ำจนค่าไม่เปลี่ยน ไม่ต้องลดแถว ไม่ต้องเก็บเมทริกซ์เต็ม จึงเหมาะกับระบบใหญ่ที่ส่วนใหญ่เป็นศูนย์

N13 Jacobi method วิธีจาโคบี

$$x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j \ne i} a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr)$$

ทุกตัวแปรในรอบใหม่คำนวณจากค่ารอบก่อนทั้งหมด ต้องเก็บเวกเตอร์สองชุด คำนวณขนานได้

N14 Gauss–Seidel method วิธีเกาส์-ไซเดล

$$x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j \lt i} a_{ij}\,{x_j^{(k+1)}} - \sum_{j \gt i} a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr)$$

ใช้ค่าที่เพิ่งได้ทันที มักลู่เข้าเร็วกว่าจาโคบีราวสองเท่า เก็บเวกเตอร์ชุดเดียว

N15 Successive over-relaxation (SOR) ผ่อนปรนเกินต่อเนื่อง

$$x_i^{(k+1)} = (1 - \omega)\,x_i^{(k)} + \omega\,\tilde x_i^{\text{GS}},\qquad 0 \lt \omega \lt 2$$

$\omega = 1$ คือเกาส์-ไซเดล · $\omega \gt 1$ ก้าวเลยไปทางเดิม (เร่ง) · $\omega \lt 1$ หน่วง (ใช้เมื่อแกว่ง)

N16 Matrix form รูปเมทริกซ์ $A = D + L + U$ (ทแยง · ใต้ทแยง · เหนือทแยง)

$$T_J = -D^{-1}(L + U),\qquad T_{GS} = -(D + L)^{-1}U,\qquad T_\omega = (D + \omega L)^{-1}\bigl[(1 - \omega)D - \omega U\bigr]$$

ทุกวิธีเขียนได้เป็น $\mathbf x^{(k+1)} = T\mathbf x^{(k)} + \mathbf c$ ความคลาดเคลื่อนจึงเป็น $\mathbf e^{(k)} = T^k\mathbf e^{(0)}$

N17 Stopping criteria เกณฑ์หยุด

$$\frac{\lVert\mathbf x^{(k+1)} - \mathbf x^{(k)}\rVert_\infty}{\lVert\mathbf x^{(k+1)}\rVert_\infty} \lt \varepsilon \quad\text{หรือ}\quad \lvert\varepsilon_{a,i}\rvert = \Bigl|\frac{x_i^{(k+1)} - x_i^{(k)}}{x_i^{(k+1)}}\Bigr|\times100\% \lt \varepsilon_s = (0.5\times10^{2-n})\%$$

เกณฑ์ของสการ์โบโรห์รับประกันความถูกต้องอย่างน้อย $n$ หลักนัยสำคัญ · ควรตรวจส่วนเหลือ $\lVert\mathbf b - A\mathbf x^{(k)}\rVert$ ด้วย และกำหนดจำนวนรอบสูงสุดกันวนไม่จบ

ตัวอย่าง N-6 · จาโคบีเทียบเกาส์-ไซเดล

### แก้ $\begin{aligned} 4x - y + z &= 7 \\ 4x - 8y + z &= -21 \\ -2x + y + 5z &= 15 \end{aligned}$ เริ่มที่ $\mathbf x^{(0)} = (1, 2, 2)$ (คำตอบจริง $(2, 4, 3)$)

- เมทริกซ์ทแยงเด่นแท้: $4 \gt 1 + 1,\ 8 \gt 4 + 1,\ 5 \gt 2 + 1$ จึงลู่เข้าแน่นอน N18 · จัดรูปสูตรทำซ้ำ

$$x = \frac{7 + y - z}{4},\qquad y = \frac{21 + 4x + z}{8},\qquad z = \frac{15 + 2x - y}{5}$$

- จาโคบีรอบที่ 1 (ใช้ $(1, 2, 2)$ ทั้งหมด) N13

$$x = \tfrac{7 + 2 - 2}{4} = 1.75,\quad y = \tfrac{21 + 4 + 2}{8} = 3.375,\quad z = \tfrac{15 + 2 - 2}{5} = 3.000$$

- เกาส์-ไซเดลรอบที่ 1 (ใช้ $x$ ใหม่ทันที) N14

$$x = 1.75,\quad y = \tfrac{21 + 4({1.75}) + 2}{8} = 3.75,\quad z = \tfrac{15 + 2({1.75}) - {3.75}}{5} = 2.95$$

| k | จาโคบี $(x, y, z)$ | เกาส์-ไซเดล $(x, y, z)$ |

| 0 | 1, 2, 2 | 1, 2, 2 |

| 1 | 1.750, 3.375, 3.000 | 1.750, 3.750, 2.950 |

| 2 | 1.844, 3.875, 3.025 | 1.950, 3.969, 2.986 |

| 3 | 1.963, 3.925, 2.963 | 1.996, 3.996, 2.999 |

| 4 | 1.991, 3.977, 3.000 | 1.9993, 3.9995, 2.9998 |

| 5 | 1.994, 3.995, 3.001 | 1.99993, 3.99994, 2.99998 |

ทั้งสองวิธีเข้าใกล้ $(2, 4, 3)$ · เกาส์-ไซเดลคลาดเคลื่อนไม่ถึง 0.001 ตั้งแต่รอบที่ 4 ส่วนจาโคบีต้องใช้ 7 รอบ

รัศมีสเปกตรัม $\rho(T_J) \approx 0.335$ และ $\rho(T_{GS}) \approx 0.125$ ความคลาดเคลื่อนจึงลดลงราว 3 เท่าต่อรอบสำหรับจาโคบี และ 8 เท่าต่อรอบสำหรับเกาส์-ไซเดล N20

## ลู่เข้าเมื่อไร และเร็วแค่ไหน กลาง → ขั้นสูง

N18 Diagonal dominance ทแยงเด่นแท้ (เงื่อนไขพอเพียง)

$$|a_{ii}| \gt \sum_{j \ne i}|a_{ij}|\ \ \text{ทุกแถว} \ \Rightarrow\ \text{จาโคบีและเกาส์-ไซเดลลู่เข้าทุกค่าเริ่มต้น}$$

ถ้าไม่ทแยงเด่น ลองสลับลำดับสมการก่อน (แล็บด้านล่าง ชุด “สลับสมการ” ลู่ออก) · สมมาตรบวกแน่นอนก็ทำให้เกาส์-ไซเดลลู่เข้าเช่นกัน

N19 Spectral radius test เงื่อนไขจำเป็นและพอเพียง

$$\mathbf x^{(k)} \to \mathbf x \ \text{ทุก } \mathbf x^{(0)} \iff \rho(T) = \max_i|\lambda_i(T)| \lt 1$$

$\lambda_i$ คือ ค่าเฉพาะ ของเมทริกซ์การทำซ้ำ · SOR ลู่ออกเสมอถ้า $\omega \notin (0, 2)$ (คาฮาน)

N20 Rate of convergence จำนวนรอบที่ต้องใช้

$$\lVert\mathbf e^{(k)}\rVert \approx \rho^k\lVert\mathbf e^{(0)}\rVert \ \Rightarrow\ k \approx \frac{d}{-\log_{10}\rho} \ \text{รอบ เพื่อเพิ่มความแม่น } d \text{ หลัก}$$

N21 Optimal ω (Young) $\omega$ ที่ดีที่สุด

$$\rho_{GS} = \rho_J^2,\qquad \omega^* = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - \rho_J^2}},\qquad \rho(T_{\omega^*}) = \omega^* - 1$$

ใช้ได้กับเมทริกซ์ “เรียงลำดับสอดคล้อง” เช่น สามแนวทแยง · สำหรับ $\operatorname{tridiag}(-1, 2, -1)$ ขนาด $n$: $\rho_J = \cos\frac{\pi}{n + 1}$

ตัวอย่าง N-7 · ทำไมต้อง SOR

### ระบบแท่งความร้อน $\operatorname{tridiag}(-1, 2, -1)$ ขนาด 10×10 ต้องใช้กี่รอบเพื่อลดความคลาดเคลื่อน $10^6$ เท่า สำหรับจาโคบี เกาส์-ไซเดล และ SOR ที่ $\omega^*$

- $\rho_J = \cos\frac{\pi}{11} \approx 0.9595$ และ $\rho_{GS} = \rho_J^2 \approx 0.9206$ N21

- $\omega^* = \dfrac{2}{1 + \sin(\pi/11)} \approx 1.560$ ได้ $\rho_{SOR} = \omega^* - 1 \approx 0.560$

- $k \approx 6/(-\log_{10}\rho)$ N20: จาโคบี $6/0.018 \approx 334$ · เกาส์-ไซเดล $\approx 167$ · SOR $6/0.252 \approx 24$

ราว 334, 167 และ 24 รอบ — SOR เร็วกว่าเกาส์-ไซเดลเกือบ 7 เท่าโดยแทบไม่เพิ่มงานต่อรอบ

ในแล็บ กดดู “สแกนหา ω ที่ดีที่สุด” จะเห็นจำนวนรอบต่ำสุดใกล้ $\omega \approx 1.55$–$1.6$ (จำนวนรอบในแล็บต่างเล็กน้อยเพราะใช้เกณฑ์หยุด N17)

### ซิมูเลเตอร์วิธีทำซ้ำ: จาโคบี · เกาส์-ไซเดล · SOR

เลือกชุดระบบ วิธี และ $\omega$ กราฟแสดงความคลาดเคลื่อนของทั้งสามวิธีเทียบกัน (แตะกราฟเพื่อดูค่าแต่ละรอบ) ชุด 2×2 แสดงเส้นทางของค่าประมาณบนภาพเส้นตรงสองเส้น ลองชุด “สลับสมการ” เพื่อดูการลู่ออก

## เลขเงื่อนไข: คำตอบเชื่อได้แค่ไหน กลาง → ขั้นสูง

อัลกอริทึมดีแค่ไหนก็แก้ปัญหาที่ “ป่วยโดยกำเนิด” ไม่ได้ ระบบที่สมการเกือบขนานกัน ข้อมูลผิดนิดเดียวคำตอบเปลี่ยนมาก เราวัดความป่วยนี้ด้วยเลขเงื่อนไข (condition number) ต่อยอดจาก ระบบป่วยในหน้าระบบสมการ

N22 Vector & matrix norms นอร์ม

$$\lVert\mathbf x\rVert_\infty = \max_i|x_i|,\quad \lVert\mathbf x\rVert_1 = \sum|x_i|,\quad \lVert\mathbf x\rVert_2 = \sqrt{\textstyle\sum x_i^2};\qquad \lVert A\rVert_\infty = \max_i\sum_j|a_{ij}|,\quad \lVert A\rVert_1 = \max_j\sum_i|a_{ij}|,\quad \lVert A\rVert_2 = \sigma_{\max}$$

N23 Condition number เลขเงื่อนไข

$$\kappa(A) = \lVert A\rVert\,\lVert A^{-1}\rVert \ge 1,\qquad \kappa_2(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}$$

$\kappa \approx 1$ ดีมาก · $\kappa \to \infty$ เมื่อ $A$ ใกล้เอกฐาน · $\det$ เล็กไม่ได้แปลว่าป่วย ($0.1I_{10}$ มี $\det = 10^{-10}$ แต่ $\kappa = 1$)

N24 Error amplification ขยายความคลาดเคลื่อน

$$\frac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \kappa(A)\frac{\lVert\delta\mathbf b\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert},\qquad \text{หลักที่เสีย} \approx \log_{10}\kappa(A)$$

ถ้า $A$ คลาดเคลื่อนด้วย: $\dfrac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \dfrac{\kappa}{1 - \kappa\frac{\lVert\delta A\rVert}{\lVert A\rVert}}\Bigl(\dfrac{\lVert\delta A\rVert}{\lVert A\rVert} + \dfrac{\lVert\delta\mathbf b\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert}\Bigr)$

N25 Residual vs error ส่วนเหลือไม่ใช่ความคลาดเคลื่อน

$$\mathbf r = \mathbf b - A\tilde{\mathbf x},\qquad \frac{\lVert\mathbf x - \tilde{\mathbf x}\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \kappa(A)\frac{\lVert\mathbf r\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert}$$

ส่วนเหลือเล็กรับประกันคำตอบแม่นก็ต่อเมื่อ $\kappa$ ไม่ใหญ่

N26 Iterative refinement ปรับปรุงผลเฉลยซ้ำ

$$\mathbf r = \mathbf b - A\tilde{\mathbf x}\ (\text{ความละเอียดสูงขึ้น}),\quad LU\,\boldsymbol\delta = \mathbf r,\quad \tilde{\mathbf x} \leftarrow \tilde{\mathbf x} + \boldsymbol\delta$$

ใช้ LU เดิม ต้นทุนรอบละ $\approx n^2$ ได้หลักคืนมาเมื่อ $\kappa\,\epsilon_{\text{mach}} \lt 1$

ตัวอย่าง N-8 · ระบบป่วย

### $\begin{aligned} x + y &= 2 \\ x + 1.0001y &= 2.0001 \end{aligned}$ มีคำตอบ $(1, 1)$ ถ้าค่าทางขวาของสมการที่ 2 คลาดเป็น $2.0002$ คำตอบเปลี่ยนเท่าไร เทียบกับ $\kappa_\infty(A)$

- แก้ใหม่: ลบสมการ $0.0001y = 0.0002 \Rightarrow y = 2,\ x = 0$ — เปลี่ยนจาก $(1, 1)$ เป็น $(0, 2)$

- $A^{-1} = \dfrac{1}{0.0001}\begin{pmatrix} 1.0001 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ ได้ $\lVert A\rVert_\infty = 2.0001,\ \lVert A^{-1}\rVert_\infty = 20001$ N22

$$\kappa_\infty(A) = 2.0001 \times 20001 \approx 4.0\times10^{4}$$

- ข้อมูลเปลี่ยน $\dfrac{0.0001}{2.0001} \approx 5\times10^{-5}$ แต่คำตอบเปลี่ยน $\dfrac{\lVert(-1, 1)\rVert_\infty}{\lVert(1, 1)\rVert_\infty} = 1$ (100%) ขยาย $2\times10^4$ เท่า ไม่เกิน $\kappa$ ตาม N24

คำตอบเปลี่ยน 100% จากข้อมูลที่เปลี่ยน 0.005% · $\kappa_\infty \approx 4\times10^4$ เสียความแม่นราว 4–5 หลัก

ส่วนเหลือของ $(0, 2)$ ในระบบเดิมคือ $\mathbf r = (0, -0.0001)$ เล็กมาก แต่คำตอบผิดทั้งหมด ยืนยัน N25

## งานจริง: แผ่นความร้อนและสนามศักย์ด้วยวิธีผ่อนคลาย (relaxation) กลาง

อุณหภูมิในแผ่นโลหะสภาวะคงตัว และศักย์ไฟฟ้าในบริเวณที่ไม่มีประจุ เป็นไปตามสมการลาปลาซ $\nabla^2T = 0$ เมื่อแบ่งเป็นตาราง สมการของแต่ละโหนดคือ “ค่าที่โหนด = ค่าเฉลี่ยของสี่โหนดรอบตัว” ได้ระบบสมการเชิงเส้นหนึ่งสมการต่อโหนด แผ่น 100×100 โหนดมีหนึ่งหมื่นตัวแปร แต่แต่ละสมการมีตัวแปรแค่ 5 ตัว เป็นงานของวิธีทำซ้ำโดยแท้

ตัวอย่าง N-9 · แผ่น 2×2 โหนด

### แผ่นสี่เหลี่ยมขอบบน 100 °C ขอบอื่น 0 °C มีโหนดภายใน $T_1, T_2$ (แถวบน) และ $T_3, T_4$ (แถวล่าง) หาอุณหภูมิทุกโหนด

- สมการค่าเฉลี่ย เช่นที่ $T_1$: $4T_1 = 100 + 0 + T_2 + T_3$ เขียนครบสี่โหนด

$$\begin{pmatrix} 4 & -1 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} T_1 \\ T_2 \\ T_3 \\ T_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

- สมมาตรซ้าย-ขวา $T_1 = T_2,\ T_3 = T_4$ เหลือ $3T_1 - T_3 = 100$ และ $3T_3 - T_1 = 0$ ได้ $T_1 = 3T_3$

$T_1 = T_2 = 37.5$ °C, $T_3 = T_4 = 12.5$ °C

เมทริกซ์ทแยงเด่น ($4 \ge 1 + 1$ และสมมาตรบวกแน่นอน) เกาส์-ไซเดลจึงลู่เข้าแน่นอน ลองตารางที่ละเอียดขึ้นในแล็บด้านล่าง

ตั้งอุณหภูมิขอบ กด ▶ เริ่ม แล้วดูความร้อนค่อย ๆ แผ่เข้าไปทีละรอบ เปลี่ยนวิธีและ $\omega$ เพื่อเทียบความเร็ว ตารางด้านข้างบอกจำนวนรอบที่แต่ละวิธีต้องใช้ วางนิ้วหรือเมาส์บนช่องเพื่ออ่านอุณหภูมิ

## เลือกวิธีอย่างไร และใช้ในโปรแกรมจริง กลาง

| ลักษณะของระบบ | วิธีที่เหมาะ | เหตุผล |

| 2–3 ตัวแปร ทำมือ ถามตัวแปรเดียว | คราเมอร์ | ดีเทอร์มิแนนต์สองตัวก็ได้คำตอบ |

| หนาแน่น $n$ ถึงราวหมื่น | LU + partial pivoting | เสถียร ใช้ซ้ำกับหลาย $\mathbf b$ ได้ |

| สมมาตรบวกแน่นอน (วงจร R, โครงสร้าง) | โชเลสกี | เร็วกว่า LU สองเท่า ไม่ต้องสลับแถว |

| สามแนวทแยง (แท่ง สายส่ง spline) | โทมัส | $O(n)$ |

| ใหญ่และเบาบาง ทแยงเด่น | เกาส์-ไซเดล / SOR | ไม่ต้องเก็บเมทริกซ์เต็ม |

| ใหญ่มากและ SPD (FEM, วงจรชิป) | Conjugate Gradient + preconditioner | มาตรฐานของงานจำลองสมัยใหม่ |

| $\kappa$ ใหญ่ หรือเกือบเอกฐาน | ปรับสเกล + refinement หรือ SVD / QR | ลดผลการปัดเศษ แยกส่วนที่เป็นสัญญาณรบกวน |

# Python (NumPy / SciPy)
import numpy as np
from scipy.linalg import lu_factor, lu_solve, cho_factor, cho_solve, solve_banded
A = np.array([[1, 2, 4], [3, 8, 14], [2, 6, 13]], float)
x = np.linalg.solve(A, [3, 13, 4]) # LAPACK: PA = LU + partial pivoting → [ 3. 4. -2.]
lu, piv = lu_factor(A) # แยกครั้งเดียว
x2 = lu_solve((lu, piv), [1, 1, 1]) # แก้ b ใหม่: [ 2.333 -1.333 0.333]
G = np.array([[4, 2, 2], [2, 5, 3], [2, 3, 6]], float)
v = cho_solve(cho_factor(G), [10, 13, 17]) # โชเลสกี → [1. 1. 2.]
print(np.linalg.cond(A, np.inf), np.linalg.matrix_rank(A))

% MATLAB / Octave
x = A \ [3; 13; 4]; [L, U, P] = lu(A); R = chol(G); cond(A, inf)
v = pcg(G, [10; 13; 17], 1e-10, 100); % conjugate gradient สำหรับระบบใหญ่

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

กับดักในข้อสอบและในงานจริง

- จาโคบีรอบเดียวกันเผลอใช้ค่าใหม่ — กลายเป็นเกาส์-ไซเดลโดยไม่ตั้งใจ ข้อสอบมักถามค่ารอบที่ 2 ซึ่งต่างกันชัด

- สรุปว่า “ไม่ทแยงเด่น = ลู่ออก” — ทแยงเด่นเป็นเงื่อนไขพอเพียงเท่านั้น ต้องดู $\rho(T)$ N19

- หยุดเมื่อค่าเปลี่ยนน้อย แต่ไม่ตรวจส่วนเหลือ — ระบบที่ลู่เข้าช้ามากอาจเปลี่ยนน้อยทั้งที่ยังห่างคำตอบ

- หา $A^{-1}$ แล้วคูณ $\mathbf b$ ในโปรแกรม — ช้ากว่าและคลาดเคลื่อนมากกว่าใช้ solve

- เชื่อว่า $\det$ ใกล้ศูนย์แปลว่าระบบป่วย — ให้ดู $\kappa$ ไม่ใช่ $\det$ N23

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

รัศมีสเปกตรัมและ $\omega^*$ มาจาก ค่าเฉพาะ ของเมทริกซ์การทำซ้ำ ส่วนการเลือกว่าระบบมีคำตอบหรือไม่มาจาก แรงก์ ทดสอบตัวเองด้วย แนวข้อสอบชุด C: วิธีเชิงตัวเลข และอ่านสรุปเปรียบเทียบที่บทความ เกาส์ LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหน (English)

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมคอมพิวเตอร์ไม่ใช้กฎของคราเมอร์แก้ระบบสมการใหญ่?
เพราะต้นทุนโตแบบแฟกทอเรียล ถ้าหาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยการกระจายโคแฟกเตอร์ ระบบ 20 ตัวแปรต้องคูณราว 21! ≈ 5 × 10¹⁹ ครั้ง เครื่องที่คูณได้พันล้านครั้งต่อวินาทีต้องใช้ราว 1,600 ปี ขณะที่การกำจัดแบบเกาส์ใช้ราว n³/3 ≈ 2,700 ครั้ง และยังแม่นยำเชิงตัวเลขกว่า

Partial pivoting คืออะไร และทำไมต้องทำ?
คือการสลับแถวในแต่ละหลักให้ตัวหลักเป็นตัวที่มีค่าสัมบูรณ์มากที่สุดในหลักนั้น ทำให้ตัวคูณ |m| ≤ 1 ความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษจึงไม่ถูกขยาย ถ้าไม่สลับและตัวหลักเล็กมาก เช่น 0.0001x + y = 1, x + y = 2 กับเครื่องที่เก็บ 3 หลัก จะได้ x = 0 แทนที่จะเป็น 1

จาโคบีกับเกาส์-ไซเดลต่างกันอย่างไร?
จาโคบีใช้ค่ารอบก่อนทั้งหมดในการคำนวณรอบใหม่ ส่วนเกาส์-ไซเดลนำค่าที่เพิ่งคำนวณได้ในรอบเดียวกันมาใช้ทันที เกาส์-ไซเดลจึงมักลู่เข้าเร็วกว่าราวสองเท่าและใช้หน่วยความจำน้อยกว่า แต่จาโคบีคำนวณแบบขนานได้ง่ายกว่า

จะรู้ได้อย่างไรว่าวิธีทำซ้ำจะลู่เข้า?
เงื่อนไขพอเพียงที่ตรวจง่ายคือเมทริกซ์ทแยงเด่นแท้ (ค่าสัมบูรณ์บนแนวทแยงมากกว่าผลรวมค่าสัมบูรณ์ของตัวอื่นในแถวเดียวกันทุกแถว) เงื่อนไขจำเป็นและพอเพียงคือรัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์การทำซ้ำ ρ(T)
เลขเงื่อนไข (condition number) บอกอะไร?
บอกว่าความคลาดเคลื่อนในข้อมูลถูกขยายในคำตอบได้มากสุดกี่เท่า ‖δx‖/‖x‖ ≤ κ(A)‖δb‖/‖b‖ โดยประมาณจะเสียความแม่นยำราว log₁₀ κ หลัก ถ้า κ ≈ 10¹² บนคอมพิวเตอร์ double ที่เก็บราว 16 หลัก จะเหลือหลักที่เชื่อได้เพียงราว 4 หลัก

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมคอมพิวเตอร์ไม่ใช้กฎของคราเมอร์แก้ระบบสมการใหญ่?**
เพราะต้นทุนโตแบบแฟกทอเรียล ถ้าหาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยการกระจายโคแฟกเตอร์ ระบบ 20 ตัวแปรต้องคูณราว 21! ≈ 5 × 10¹⁹ ครั้ง เครื่องที่คูณได้พันล้านครั้งต่อวินาทีต้องใช้ราว 1,600 ปี ขณะที่การกำจัดแบบเกาส์ใช้ราว n³/3 ≈ 2,700 ครั้ง และยังแม่นยำเชิงตัวเลขกว่า

**Partial pivoting คืออะไร และทำไมต้องทำ?**
คือการสลับแถวในแต่ละหลักให้ตัวหลักเป็นตัวที่มีค่าสัมบูรณ์มากที่สุดในหลักนั้น ทำให้ตัวคูณ |m| ≤ 1 ความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษจึงไม่ถูกขยาย ถ้าไม่สลับและตัวหลักเล็กมาก เช่น 0.0001x + y = 1, x + y = 2 กับเครื่องที่เก็บ 3 หลัก จะได้ x = 0 แทนที่จะเป็น 1

**จาโคบีกับเกาส์-ไซเดลต่างกันอย่างไร?**
จาโคบีใช้ค่ารอบก่อนทั้งหมดในการคำนวณรอบใหม่ ส่วนเกาส์-ไซเดลนำค่าที่เพิ่งคำนวณได้ในรอบเดียวกันมาใช้ทันที เกาส์-ไซเดลจึงมักลู่เข้าเร็วกว่าราวสองเท่าและใช้หน่วยความจำน้อยกว่า แต่จาโคบีคำนวณแบบขนานได้ง่ายกว่า

**จะรู้ได้อย่างไรว่าวิธีทำซ้ำจะลู่เข้า?**
เงื่อนไขพอเพียงที่ตรวจง่ายคือเมทริกซ์ทแยงเด่นแท้ (ค่าสัมบูรณ์บนแนวทแยงมากกว่าผลรวมค่าสัมบูรณ์ของตัวอื่นในแถวเดียวกันทุกแถว) เงื่อนไขจำเป็นและพอเพียงคือรัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์การทำซ้ำ ρ(T) < 1 ยิ่ง ρ เล็กยิ่งลู่เข้าเร็ว

**เลขเงื่อนไข (condition number) บอกอะไร?**
บอกว่าความคลาดเคลื่อนในข้อมูลถูกขยายในคำตอบได้มากสุดกี่เท่า ‖δx‖/‖x‖ ≤ κ(A)‖δb‖/‖b‖ โดยประมาณจะเสียความแม่นยำราว log₁₀ κ หลัก ถ้า κ ≈ 10¹² บนคอมพิวเตอร์ double ที่เก็บราว 16 หลัก จะเหลือหลักที่เชื่อได้เพียงราว 4 หลัก

---

# ค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ (แรงก์, Rank of a Matrix): หาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ โจทย์พารามิเตอร์ k และทฤษฎีบทการมีคำตอบ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/rank/
Updated: 2026-10-25
Summary: แรงก์หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ครบจบ ตั้งแต่ความหมาย การหาด้วยการลดแถวเป็นขั้นบันไดและด้วยไมเนอร์ โจทย์แรงก์มีพารามิเตอร์ k ที่ออกสอบบ่อย ทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี (คำตอบเดียว ไม่จำกัด ไม่มี) ปริภูมิศูนย์ แรงก์-ภาวะศูนย์ และแรงก์ในวงจรไฟฟ้ากับระบบควบคุม พร้อมแล็บคำนวณทีละขั้นและแล็บสามระนาบ 3 มิติ

// บทที่ 7.10 · พีชคณิตเชิงเส้น · Rank of a Matrix

# ค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ (แรงก์, Rank of a Matrix): หาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ โจทย์พารามิเตอร์ k และทฤษฎีบทการมีคำตอบ

แรงก์คือตัวเลขตัวเดียวที่ตอบได้ว่าในเมทริกซ์มี “ข้อมูลไม่ซ้ำกัน” อยู่กี่แถว ระบบสมการจึงรู้ได้ทันทีว่ามีคำตอบเดียว มีไม่จำกัด หรือไม่มีเลย หน้านี้ไล่จากวิธีนับแบบ ม.ปลาย ผ่านโจทย์พารามิเตอร์ $k$ ที่ออกสอบบ่อย ไปจนถึงปริภูมิศูนย์ แรงก์-ภาวะศูนย์ และการใช้แรงก์ในวงจรไฟฟ้ากับระบบควบคุม สูตรใช้รหัส R

สรุปใน 30 วินาที

- $\operatorname{rank}A$ = จำนวนแถวไม่เป็นศูนย์หลังลดแถวเป็นขั้นบันได = จำนวนตัวหลัก (pivot)

- จำนวนแถวอิสระ = จำนวนหลักอิสระเสมอ จึงได้ $\operatorname{rank}A^T = \operatorname{rank}A \le \min(m, n)$

- เมทริกซ์ $n\times n$: $\det A \ne 0 \iff \operatorname{rank}A = n$ ถ้า $\det A = 0$ ต้องลดแถวจึงรู้ว่าแรงก์เหลือเท่าไร

- ระบบ $A\mathbf x = \mathbf b$: $\operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b]$ ไม่มีคำตอบ · เท่ากัน $= n$ คำตอบเดียว · เท่ากัน $= r \lt n$ ไม่จำกัด มีตัวแปรอิสระ $n - r$ ตัว

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · เตรียมสอบ · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## แรงก์คืออะไร: นับข้อมูลที่ไม่ซ้ำกัน พื้นฐาน

สมมุติมีสามสมการ แต่สมการที่สามได้จากการบวกสองสมการแรก สมการที่สามจึงไม่ได้ให้ข้อมูลใหม่ ระบบนี้ “ดูเหมือน” มีสามสมการ แต่มีข้อมูลจริงแค่สอง ตัวเลข 2 นี้คือแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

แรงก์คือจำนวนทิศทางที่หลักทั้งหมดของเมทริกซ์ “ครอบคลุม” ได้ เวกเตอร์ทุกตัวอยู่บนเส้นเดียว = แรงก์ 1 · อยู่บนระนาบเดียว = แรงก์ 2 · กางเต็มสามมิติ = แรงก์ 3

R1 Definition of rank นิยามแรงก์

$$\operatorname{rank}A = \text{จำนวนแถวอิสระเชิงเส้น} = \text{จำนวนหลักอิสระเชิงเส้น} = \text{จำนวนตัวหลักในรูปขั้นบันได}$$

ทั้งสามนิยามให้ค่าเดียวกันเสมอ ตำราไทยบางเล่มเรียก “ค่าลำดับขั้น” หรือ “ลำดับชั้น” เขียนได้ทั้ง $\operatorname{rank}A$, $r(A)$, $\rho(A)$

R2 Basic bounds ขอบเขตของแรงก์

$$0 \le \operatorname{rank}A \le \min(m, n), \qquad \operatorname{rank}A^T = \operatorname{rank}A$$

$\operatorname{rank}A = 0$ เฉพาะเมทริกซ์ศูนย์ · เมทริกซ์ $3\times5$ มีแรงก์ได้มากสุด 3

R3 Row operations keep the rank ลดแถวแล้วแรงก์ไม่เปลี่ยน

$$A \sim B \ (\text{ด้วย } R_i \leftrightarrow R_j,\ kR_i,\ R_i + kR_j) \Rightarrow \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}B$$

ต่างจากดีเทอร์มิแนนต์ที่เปลี่ยนเครื่องหมายหรือถูกคูณ แรงก์ไม่สนใจเลย จึงลดแถวได้อิสระ (และลดหลักได้ด้วย)

## หาแรงก์ด้วยการลดแถวเป็นขั้นบันได พื้นฐาน

วิธีที่ใช้ได้กับเมทริกซ์ทุกขนาด: ใช้การดำเนินการตามแถว (ดู ระบบสมการ: การดำเนินการแถว) ทำให้ใต้ตัวหลักเป็นศูนย์ทีละหลัก จนได้รูปขั้นบันได (row echelon form, REF) แล้วนับแถวที่ไม่เป็นศูนย์

- เลือกตัวหลักในหลักซ้ายสุดที่ยังไม่เป็นศูนย์ (สลับแถวถ้าจำเป็น เลือก ±1 จะคำนวณง่าย)

- กำจัดตัวเลขใต้ตัวหลักให้เป็นศูนย์ด้วย $R_i \leftarrow R_i - kR_{\text{หลัก}}$

- ขยับลงหนึ่งแถว ขวาหนึ่งหลัก ทำซ้ำ (หลักไหนไม่มีตัวหลักให้ข้ามไป)

- นับแถวที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งแถว = แรงก์

ตัวอย่าง R-1 · 3×3

### หาแรงก์ของ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

- ใช้ ${1}$ ที่มุมบนซ้ายเป็นตัวหลัก กำจัดหลักที่ 1: $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\ R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$

$$\begin{pmatrix} {1} & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

- ตัวหลักถัดไปคือ $-1$ กำจัดใต้มัน: $R_3 \leftarrow R_3 - R_2$

$$\begin{pmatrix} {1} & 2 & -1 \\ 0 & {-1} & 3 \\ {0} & {0} & {0} \end{pmatrix}$$

$\operatorname{rank}A = 2$ (แถวไม่เป็นศูนย์ 2 แถว)

เหตุผล: แถว 3 = แถว 1 + แถว 2 พอดี $(1+2,\ 2+3,\ -1+1) = (3, 5, 0)$ · ตรวจซ้ำ $\det A = 0$ สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง R-2 · 3×4 ไม่จัตุรัส

### หาแรงก์ของ $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 7 \\ -1 & -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

- $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\ R_3 \leftarrow R_3 + R_1$

$$\begin{pmatrix} {1} & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

- หลักที่ 2 ใต้แถว 1 เป็นศูนย์หมด จึงข้ามไปหลักที่ 3 ใช้ $1$ เป็นตัวหลัก: $R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$

$$\begin{pmatrix} {1} & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & {1} & 1 \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{pmatrix}$$

$\operatorname{rank}B = 2$ ตัวหลักอยู่หลักที่ 1 และ 3

หลักที่ 2 ไม่มีตัวหลักเพราะหลัก 2 = 2 × หลัก 1 และหลัก 4 = 3 × หลัก 1 + หลัก 3 ตรวจ: $3\cdot(1, 2, -1) + (0, 1, 2) = (3, 7, -1)$ ✓

ตัวอย่าง R-3 · 4×4

### หาแรงก์ของ $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

- $R_2 - R_1,\ R_3 - R_1,\ R_4 - 2R_1$

$$\begin{pmatrix} {1} & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

- $R_3 - 2R_2,\ R_4 - R_2$

$$\begin{pmatrix} {1} & 1 & 1 & 1 \\ 0 & {1} & 2 & 3 \\ 0 & 0 & {1} & 3 \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{pmatrix}$$

$\operatorname{rank}C = 3$

สังเกตตั้งแต่แรก: แถว 4 = แถว 1 + แถว 2 จึงคาดว่าแรงก์ไม่เกิน 3 ส่วนสามแถวแรก (สามเหลี่ยมปาสคาล) อิสระกัน

## หาแรงก์ด้วยไมเนอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ย่อย) กลาง

ไมเนอร์อันดับ $k$ คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อย $k\times k$ ที่ได้จากการเลือก $k$ แถวและ $k$ หลัก วิธีนี้สะดวกกับเมทริกซ์ 3×3 หรือ 3×4 ที่มีตัวแปร และใช้คู่กับ สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

R4 Determinantal rank แรงก์จากไมเนอร์

$$\operatorname{rank}A = r \iff \text{มีไมเนอร์อันดับ } r \text{ ที่ไม่เป็นศูนย์ และไมเนอร์อันดับ } r + 1 \text{ ทุกตัวเป็นศูนย์}$$

R5 Square matrices เมทริกซ์จัตุรัส

$$A_{n\times n}:\quad \operatorname{rank}A = n \iff \det A \ne 0 \iff A^{-1} \text{ มีอยู่}$$

เป็นส่วนหนึ่งของ ทฤษฎีบทเมทริกซ์หาอินเวอร์สได้ I10

ตัวอย่าง R-4 · ไมเนอร์

### หาแรงก์ของ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ ด้วยไมเนอร์

- ไมเนอร์อันดับ 3 มีตัวเดียวคือ $\det A$ D2

$$\det A = (45 + 84 + 96) - (105 + 48 + 72) = 225 - 225 = 0 \ \Rightarrow\ \operatorname{rank}A \lt 3$$

- ลองไมเนอร์อันดับ 2 มุมบนซ้าย R4

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 8 = -3 \ne 0$$

$\operatorname{rank}A = 2$

ไม่ต้องตรวจไมเนอร์ 2×2 ครบทั้ง 9 ตัว เจอตัวที่ไม่เป็นศูนย์เพียงตัวเดียวก็พอ · ข้อควรระวัง: ถ้าเมทริกซ์ $4\times4$ ต้องไล่ไมเนอร์จำนวนมาก การลดแถวจะเร็วกว่า

## แล็บหาแรงก์ทีละขั้น (เศษส่วนแม่นตรง)

พิมพ์เมทริกซ์ได้ถึง 6 แถว 7 หลัก หนึ่งบรรทัดต่อหนึ่งแถว ใช้เศษส่วนอย่าง 3/4 ได้ แล็บจะลดแถวทีละขั้นพร้อมแรเงาตัวหลัก บอกแรงก์ ภาวะศูนย์ ฐานของปริภูมิหลักและปริภูมิศูนย์ ถ้าติ๊ก “หลักสุดท้ายคือ b” จะเทียบ $\operatorname{rank}A$ กับ $\operatorname{rank}[A\mid\mathbf b]$ และเขียนคำตอบทั่วไปให้

## แรงก์ที่มีพารามิเตอร์ $k$: โจทย์ที่ออกสอบบ่อย กลาง

รูปแบบคำถาม “จงหาค่า $k$ ที่ทำให้แรงก์เท่ากับ 2” หรือ “แรงก์ของ $A$ เป็นเท่าใดสำหรับทุกค่า $k$” มีขั้นตอนตายตัวสามขั้น

R6 Procedure for a parameter ขั้นตอนโจทย์พารามิเตอร์

$$\text{① หา } \det A(k) \text{ แยกตัวประกอบ} \ \rightarrow\ \text{② } k \text{ ที่ } \det \ne 0 \Rightarrow \operatorname{rank} = n \ \rightarrow\ \text{③ แทน } k \text{ ที่ทำให้ } \det = 0 \text{ ทีละค่า แล้วลดแถว}$$

ข้อ ③ ห้ามข้าม: $\det = 0$ บอกแค่ว่าแรงก์ไม่เต็ม อาจเหลือ $n - 1$ หรือน้อยกว่านั้น · ถ้าเมทริกซ์ไม่จัตุรัส ให้ลดแถวโดยเก็บ $k$ ไว้ แล้วแยกกรณีตามตัวที่อาจเป็นศูนย์

ตัวอย่าง R-5 · พารามิเตอร์ k

### หาแรงก์ของ $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{pmatrix}$ สำหรับทุกค่า $k$

- กระจายตามแถวแรก D4

$$\det A = 1(k - 1) - 1(1 - k) + k(1 - k^2) = -k^3 + 3k - 2 = {-(k - 1)^2(k + 2)}$$

- $k \ne 1$ และ $k \ne -2$: $\det A \ne 0$ จึงได้ $\operatorname{rank}A = 3$ R5

- $k = 1$: ทุกแถวเป็น $(1, 1, 1)$ ลดแถวเหลือแถวเดียว

$$\begin{pmatrix} {1} & 1 & 1 \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ \operatorname{rank}A = 1$$

- $k = -2$: $R_2 - R_1,\ R_3 + 2R_1$ แล้ว $R_3 + R_2$

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} {1} & 1 & -2 \\ 0 & {-3} & 3 \\ {0} & {0} & {0} \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ \operatorname{rank}A = 2$$

$\operatorname{rank}A = 3$ เมื่อ $k \ne 1, -2$ · $\operatorname{rank}A = 1$ เมื่อ $k = 1$ · $\operatorname{rank}A = 2$ เมื่อ $k = -2$

ราก $k = 1$ เป็นรากซ้ำสองชั้น แรงก์ก็ลดลงสองขั้นพอดี (จาก 3 เหลือ 1) เป็นเรื่องบังเอิญที่ดีของเมทริกซ์สมมาตรนี้ ไม่ใช่กฎทั่วไป

เลื่อนค่า $k$ ในแล็บด้านล่างแล้วดูว่ากราฟของ $\det A(k)$ แตะศูนย์ตรงไหน และแรงก์ลดลงเท่าไรที่จุดนั้น มีชุดตัวอย่างระบบเอกพันธ์และระบบ $[A\mid\mathbf b]$ ให้ลองด้วย

## แรงก์กับการมีคำตอบของระบบสมการ พื้นฐาน → กลาง

นี่คือเหตุผลหลักที่ต้องรู้จักแรงก์ เทียบแรงก์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ $A$ กับเมทริกซ์แต่งเติม $[A\mid\mathbf b]$ ก็รู้ทันทีว่าระบบเป็นแบบไหน โดยไม่ต้องแก้จนจบ

R7 Rouché–Capelli theorem ทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี (โครเนกเกอร์-กาเปลลี)

$$A\mathbf x = \mathbf b,\ A_{m\times n}: \quad \begin{cases} \operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] & \text{ไม่มีคำตอบ (inconsistent)} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = n & \text{คำตอบเดียว} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = r \lt n & \text{คำตอบไม่จำกัด} \end{cases}$$

R8 Free variables จำนวนตัวแปรอิสระ

$$\text{จำนวนตัวแปรอิสระ} = n - \operatorname{rank}A$$

คำตอบไม่จำกัดเขียนเป็น $\mathbf x = \mathbf x_p + t_1\mathbf v_1 + \cdots + t_{n-r}\mathbf v_{n-r}$

R9 Homogeneous systems ระบบเอกพันธ์ $A\mathbf x = \mathbf 0$

$$\text{มีคำตอบไม่ชัด } (\mathbf x \ne \mathbf 0) \iff \operatorname{rank}A \lt n \ \overset{n\times n}{\iff}\ \det A = 0$$

ระบบเอกพันธ์มี $\mathbf x = \mathbf 0$ เสมอ จึงไม่มีกรณี “ไม่มีคำตอบ”

สามกรณีของระบบสามสมการสามตัวแปร มองเป็นสามระนาบ: ตัดกันที่จุดเดียว (rank 3, 3) · ผ่านเส้นเดียวกันเหมือนหน้าหนังสือ (rank 2, 2) · ตัดกันเป็นคู่ ๆ แต่ไม่มีจุดร่วม (rank 2, 3)

ตัวอย่าง R-6 · พารามิเตอร์ a, b

### พิจารณา $\begin{aligned} x + y + z &= 1 \\ x + 2y + 3z &= 2 \\ x + 3y + az &= b \end{aligned}$ หาเงื่อนไขของ $a, b$ ที่ทำให้ระบบมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด และไม่มีคำตอบ

- ลดแถวเมทริกซ์แต่งเติม: $R_2 - R_1,\ R_3 - R_1$

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & a - 1 & b - 1 \end{array}\right)$$

- $R_3 - 2R_2$

$$\left(\begin{array}{ccc|c} {1} & 1 & 1 & 1 \\ 0 & {1} & 2 & 1 \\ 0 & 0 & {a - 5} & {b - 3} \end{array}\right)$$

- อ่านแถวสุดท้ายด้วย R7

$$\begin{aligned} a \ne 5 &: \ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = 3 \Rightarrow \text{คำตอบเดียว} \\ a = 5,\ b = 3 &: \ \text{แถว } [0\ 0\ 0 \mid 0] \Rightarrow \operatorname{rank} = 2 = 2 \lt 3 \Rightarrow \text{ไม่จำกัด} \\ a = 5,\ b \ne 3 &: \ [0\ 0\ 0 \mid b - 3] \Rightarrow 2 \lt 3 \Rightarrow \text{ไม่มีคำตอบ} \end{aligned}$$

- กรณีไม่จำกัด ให้ $z = t$: จากแถว 2 $y = 1 - 2t$ จากแถว 1 $x = 1 - y - z = t$ R8

$$(x, y, z) = (0, 1, 0) + t(1, -2, 1)$$

$a \ne 5$: คำตอบเดียว (เช่น $a = 6, b = 4$ ได้ $(1, -1, 1)$) · $a = 5, b = 3$: ไม่จำกัด $(t, 1 - 2t, t)$ · $a = 5, b \ne 3$: ไม่มีคำตอบ

ตรวจกรณีไม่จำกัดในสมการที่ 3: $t + 3(1 - 2t) + 5t = 3$ ✓ ทุกค่า $t$

ตัวอย่าง R-7 · ระบบเอกพันธ์

### หา $k$ ที่ทำให้ $\begin{aligned} x + 2y + z &= 0 \\ 2x + y + z &= 0 \\ x - y + kz &= 0 \end{aligned}$ มีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้วหาคำตอบนั้น

-
$$\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & k \end{pmatrix} = 1(k + 1) - 2(2k - 1) + 1(-2 - 1) = -3k$$

- ต้องการ $\det = 0$ R9 จึงได้ $k = 0$

- แทน $k = 0$: สมการ 1 ลบสมการ 2 ได้ $-x + y = 0 \Rightarrow y = x$ แทนในสมการ 1: $3x + z = 0 \Rightarrow z = -3x$

$k = 0$ และ $(x, y, z) = t(1, 1, -3)$

ตรวจสมการ 3: $1 - 1 + 0\cdot(-3) = 0$ ✓ · แรงก์ = 2 จึงมีตัวแปรอิสระ $3 - 2 = 1$ ตัว

### แล็บสามระนาบ 3 มิติ: เห็นแรงก์เป็นภาพ

แต่ละสมการ $ax + by + cz = d$ คือระนาบหนึ่งระนาบ ลากที่ภาพเพื่อหมุน เลือกกรณีต่าง ๆ แล้วสังเกตว่าแรงก์สองตัวสัมพันธ์กับรูปการตัดกันอย่างไร ชุด “เลื่อน a, b” คือระบบในตัวอย่าง R-6

## ปริภูมิหลัก ปริภูมิศูนย์ และทฤษฎีบทแรงก์-ภาวะศูนย์ กลาง → ขั้นสูง

แรงก์คือ “มิติ” ของปริภูมิหลัก (column space) $C(A)$ ซึ่งคือเซตของ $A\mathbf x$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ ส่วนปริภูมิศูนย์ (null space) $N(A)$ คือเซตของ $\mathbf x$ ที่ทำให้ $A\mathbf x = \mathbf 0$ สองปริภูมินี้แบ่งจำนวนตัวแปร $n$ กันพอดี

R10 Rank–nullity theorem ทฤษฎีบทแรงก์-ภาวะศูนย์

$$\operatorname{rank}A + \operatorname{nullity}A = n, \qquad \operatorname{nullity}A = \dim N(A)$$

$n$ คือจำนวนหลัก (จำนวนตัวแปร) ไม่ใช่จำนวนแถว

R11 Bases from row reduction หาฐานจากการลดแถว

$$C(A):\ \text{หลักของ } {A \text{ เดิม}} \text{ ที่ตำแหน่งตัวหลัก} \qquad R(A):\ \text{แถวไม่เป็นศูนย์ของ REF} \qquad N(A):\ \text{แก้ } \operatorname{RREF}(A)\,\mathbf x = \mathbf 0$$

ข้อผิดพลาดยอดนิยม: เอาหลักของ REF มาเป็นฐานของ $C(A)$ — ผิด เพราะการลดแถวเปลี่ยนปริภูมิหลัก (แต่ไม่เปลี่ยนปริภูมิแถว)

ตัวอย่าง R-8 · ฐานของปริภูมิ

### จาก $B$ ในตัวอย่าง R-2 หาฐานของ $C(B)$ และ $N(B)$ แล้วตรวจทฤษฎีบทแรงก์-ภาวะศูนย์

- ตัวหลักอยู่หลักที่ 1 และ 3 จึงใช้หลัก 1 และ 3 ของ $B$ เดิม R11

$$C(B) = \operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$$

- RREF ของ $B$ คือ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ตัวแปรอิสระ $x_2 = s,\ x_4 = t$ ได้ $x_1 = -2s - 3t,\ x_3 = -t$

$$\mathbf x = s\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

- ตรวจ R10: $\operatorname{rank} + \operatorname{nullity} = 2 + 2 = 4 = n$ ✓

ฐานของ $C(B)$: $(1, 2, -1),\ (0, 1, 2)$ · ฐานของ $N(B)$: $(-2, 1, 0, 0),\ (-3, 0, -1, 1)$

ตรวจ $B(-3, 0, -1, 1)^T = (-3 + 0 + 0 + 3,\ -6 - 1 + 7,\ 3 - 2 - 1) = (0, 0, 0)$ ✓

## สมบัติของแรงก์ที่ใช้พิสูจน์และแก้โจทย์ ขั้นสูง

R12 Products · Sylvester's inequality ผลคูณ

$$\operatorname{rank}A + \operatorname{rank}B - n \le \operatorname{rank}(AB) \le \min(\operatorname{rank}A, \operatorname{rank}B)$$

$A$ ขนาด $m\times n$, $B$ ขนาด $n\times p$ · คูณด้วยเมทริกซ์หาอินเวอร์สได้ แรงก์ไม่เปลี่ยน: $\operatorname{rank}(PAQ) = \operatorname{rank}A$

R13 Sums and Gram matrices ผลบวกและ $A^TA$

$$\operatorname{rank}(A + B) \le \operatorname{rank}A + \operatorname{rank}B, \qquad \operatorname{rank}(A^TA) = \operatorname{rank}(AA^T) = \operatorname{rank}A$$

ข้อหลังคือเหตุผลที่ กำลังสองน้อยสุด $A^TA\mathbf x = A^T\mathbf b$ มีคำตอบเดียวเมื่อหลักของ $A$ อิสระกัน

R14 Rank-one matrices เมทริกซ์แรงก์ 1

$$\operatorname{rank}A = 1 \iff A = \mathbf u\mathbf v^T,\ \mathbf u \ne \mathbf 0,\ \mathbf v \ne \mathbf 0$$

ทุกแถวเป็นพหุคูณของแถวเดียวกัน · เป็นฐานของ Sherman–Morrison และการบีบอัดข้อมูลด้วย SVD

R15 Rank of the adjugate แรงก์ของ $\operatorname{adj}A$

$$\operatorname{rank}(\operatorname{adj}A) = \begin{cases} n & \operatorname{rank}A = n \\ 1 & \operatorname{rank}A = n - 1 \\ 0 & \operatorname{rank}A \le n - 2 \end{cases}$$

เช่น $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ แรงก์ 2 จึงได้ $\operatorname{adj}A$ แรงก์ 1

## แรงก์ในงานวิศวกรรม: วงจรไฟฟ้า ระบบควบคุม และข้อมูลจริง กลาง → ขั้นสูง

R16 Incidence matrix of a circuit เมทริกซ์อุบัติการณ์ของวงจร

$$\operatorname{rank}A_{\text{inc}} = n_{\text{node}} - 1 \ \Rightarrow\ \text{KCL อิสระ } n - 1 \text{ สมการ},\quad \text{KVL อิสระ } b - n + 1 \text{ สมการ (= จำนวนเมช)}$$

ผลรวมของทุกแถวเป็นศูนย์ (กระแสออกจากโนดหนึ่งเข้าอีกโนด) แรงก์จึงขาดไปหนึ่งเสมอ ต่อยอดใน การประยุกต์: เมทริกซ์อุบัติการณ์

R17 Kalman controllability test ทดสอบการควบคุมได้

$$\dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B u \ \text{ควบคุมได้} \iff \operatorname{rank}\begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix} = n$$

การสังเกตได้ใช้ $\operatorname{rank}\begin{bmatrix} C^T & A^TC^T & \cdots \end{bmatrix} = n$ แบบเดียวกัน

R18 Numerical rank แรงก์เชิงตัวเลข (ข้อมูลจริงมีความคลาดเคลื่อน)

$$\operatorname{rank}_\varepsilon A = \#\{\sigma_i \gt \varepsilon\},\qquad \varepsilon = \max(m, n)\,\sigma_1\,\epsilon_{\text{mach}} \ (\text{ค่าเริ่มต้นของ NumPy/MATLAB})$$

$\sigma_i$ คือค่าเอกฐาน (singular values) จาก SVD · ข้อมูลวัดจริงแทบไม่มีเมทริกซ์ที่ $\det = 0$ พอดี จึงนับเฉพาะ $\sigma_i$ ที่ใหญ่กว่าระดับสัญญาณรบกวน

ตัวอย่าง R-9 · วงจร 4 โนด 5 กิ่ง

### วงจรมีโนด 1–4 กิ่ง $1\to2,\ 2\to3,\ 3\to4,\ 4\to1,\ 1\to3$ เขียนเมทริกซ์อุบัติการณ์ หาแรงก์ และจำนวนสมการ KCL/KVL อิสระ

- แถว = โนด หลัก = กิ่ง ใส่ $+1$ ที่โนดต้นทาง $-1$ ที่โนดปลายทาง

$$A_{\text{inc}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

- ทุกหลักมี $+1$ กับ $-1$ อย่างละตัว ผลรวมสี่แถว = $\mathbf 0$ แรงก์จึงไม่เกิน 3 และลดแถวได้ตัวหลักสามตัวพอดี R16

$\operatorname{rank} = 3$: KCL อิสระ $4 - 1 = 3$ สมการ · KVL อิสระ $5 - 4 + 1 = 2$ สมการ (สองเมช)

นี่คือเหตุผลที่การวิเคราะห์โนดเลือกโนดอ้างอิง (กราวด์) หนึ่งโนดแล้วเขียนสมการเฉพาะอีก $n - 1$ โนด ดู วิเคราะห์โนดด้วยเมทริกซ์

ตัวอย่าง R-10 · ระบบควบคุม

### ระบบ $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$ ตรวจการควบคุมได้เมื่อ (ก) $B = (0, 1)^T$ (ข) $B = (1, -1)^T$

- (ก) $AB = (1, -3)^T$ R17

$$\operatorname{rank}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} = 2 \ (\det = -1 \ne 0)$$

- (ข) $AB = (-1, 1)^T = -B$

$$\operatorname{rank}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = 1 \lt 2$$

(ก) ควบคุมได้ · (ข) ควบคุมไม่ได้

ใน (ข) $B$ เป็นเวกเตอร์เฉพาะของ $A$ ($\lambda = -1$) อินพุตจึงกระตุ้นได้แค่โหมดเดียว อีกโหมด ($\lambda = -2$) ไม่มีทางควบคุม

เรื่องแรงก์เชิงตัวเลข: เมทริกซ์ $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1.0001 \end{pmatrix}$ มีแรงก์ 2 ตามทฤษฎี แต่ค่าเอกฐานคือ $\sigma_1 \approx 2.00005$ และ $\sigma_2 \approx 5\times10^{-5}$ ถ้าข้อมูลมีความคลาดเคลื่อนระดับ $10^{-3}$ ในทางปฏิบัติจึงมองเป็นแรงก์ 1 ผลกระทบของเมทริกซ์แบบนี้ต่อการแก้ระบบอยู่ในหน้า ผลเฉลยเชิงตัวเลข: เลขเงื่อนไข

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

กับดักในข้อสอบ

- เห็น $\det A = 0$ แล้วตอบ “แรงก์ = $n - 1$” ทันที — ต้องลดแถวตรวจ (ตัวอย่าง R-5 ที่ $k = 1$ ได้แรงก์ 1)

- นับแถวของ REF ที่มีศูนย์บางตัวว่าเป็นแถวศูนย์ — แถวศูนย์ต้องเป็นศูนย์ทั้งแถว

- ใช้หลักของ REF เป็นฐานของปริภูมิหลัก — ต้องใช้หลักของ $A$ เดิม R11

- ลืมว่า $n$ ในแรงก์-ภาวะศูนย์คือจำนวนหลัก (ตัวแปร) ไม่ใช่จำนวนแถว

- เทียบแค่ $\operatorname{rank}A$ กับ $n$ โดยไม่ดู $\operatorname{rank}[A\mid\mathbf b]$ — ระบบอาจไม่มีคำตอบ

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

เมื่อรู้ว่าระบบมีคำตอบเดียวแล้ว คำถามต่อไปคือจะหาคำตอบอย่างไรให้เร็วและแม่น สำหรับ 2–3 ตัวแปรใช้ กฎของคราเมอร์ หรือ อินเวอร์ส ส่วนระบบใหญ่ที่คอมพิวเตอร์แก้ใช้ วิธีเชิงตัวเลข: LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล ฝึกโจทย์แรงก์เพิ่มได้ที่ แนวข้อสอบชุด B และอ่านสรุปแบบบทความที่ แรงก์ของเมทริกซ์คืออะไร (English)

## คำถามที่พบบ่อย

แรงก์ของเมทริกซ์คืออะไร?
แรงก์ (ค่าลำดับขั้น) คือจำนวนแถวที่เป็นอิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์ ซึ่งเท่ากับจำนวนหลักที่อิสระเสมอ หาได้ง่ายที่สุดโดยลดแถวให้เป็นรูปขั้นบันไดแล้วนับแถวที่ไม่เป็นศูนย์ (จำนวนตัวหลัก) ในภาษาระบบสมการคือจำนวนสมการที่ไม่ซ้ำซ้อนกัน

หาแรงก์ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ได้ไหม?
ได้ แรงก์คืออันดับของไมเนอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยจัตุรัส) ที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่เป็นศูนย์ สำหรับเมทริกซ์ n×n ถ้า det ≠ 0 แรงก์คือ n แต่ถ้า det = 0 ต้องหาไมเนอร์ขนาดเล็กลงหรือลดแถวต่อ เพราะ det = 0 บอกแค่ว่าแรงก์ไม่เต็ม ไม่ได้บอกว่าเหลือเท่าไร

แรงก์บอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ Ax = b?
ตามทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี ถ้า rank A
โจทย์หาแรงก์ที่มีพารามิเตอร์ k ทำอย่างไร?
ถ้าเป็นเมทริกซ์จัตุรัส ให้หา det ในรูปของ k ก่อน ค่า k ที่ไม่ทำให้ det เป็นศูนย์ได้แรงก์เต็ม ส่วนค่า k ที่ทำให้ det = 0 ต้องแทนค่าทีละตัวแล้วลดแถวเพื่อนับแรงก์จริง เช่น [[1,1,k],[1,k,1],[k,1,1]] มี det = −(k−1)²(k+2) ได้แรงก์ 1 เมื่อ k = 1 แรงก์ 2 เมื่อ k = −2 และแรงก์ 3 เมื่อ k อื่น

ทฤษฎีบทแรงก์-ภาวะศูนย์ (rank–nullity) ใช้ทำอะไร?
สำหรับเมทริกซ์ m×n จะได้ rank A + nullity A = n ใช้นับจำนวนตัวแปรอิสระของระบบเอกพันธ์ Ax = 0 (เท่ากับ nullity) และจำนวนเวกเตอร์ในฐานของปริภูมิศูนย์ ในวงจรไฟฟ้าใช้นับจำนวนสมการ KCL และ KVL ที่เป็นอิสระ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**แรงก์ของเมทริกซ์คืออะไร?**
แรงก์ (ค่าลำดับขั้น) คือจำนวนแถวที่เป็นอิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์ ซึ่งเท่ากับจำนวนหลักที่อิสระเสมอ หาได้ง่ายที่สุดโดยลดแถวให้เป็นรูปขั้นบันไดแล้วนับแถวที่ไม่เป็นศูนย์ (จำนวนตัวหลัก) ในภาษาระบบสมการคือจำนวนสมการที่ไม่ซ้ำซ้อนกัน

**หาแรงก์ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ได้ไหม?**
ได้ แรงก์คืออันดับของไมเนอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยจัตุรัส) ที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่เป็นศูนย์ สำหรับเมทริกซ์ n×n ถ้า det ≠ 0 แรงก์คือ n แต่ถ้า det = 0 ต้องหาไมเนอร์ขนาดเล็กลงหรือลดแถวต่อ เพราะ det = 0 บอกแค่ว่าแรงก์ไม่เต็ม ไม่ได้บอกว่าเหลือเท่าไร

**แรงก์บอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ Ax = b?**
ตามทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี ถ้า rank A < rank [A|b] ระบบไม่มีคำตอบ ถ้า rank A = rank [A|b] = n (จำนวนตัวแปร) มีคำตอบเดียว และถ้า rank A = rank [A|b] = r < n มีคำตอบไม่จำกัดโดยมีตัวแปรอิสระ n − r ตัว

**โจทย์หาแรงก์ที่มีพารามิเตอร์ k ทำอย่างไร?**
ถ้าเป็นเมทริกซ์จัตุรัส ให้หา det ในรูปของ k ก่อน ค่า k ที่ไม่ทำให้ det เป็นศูนย์ได้แรงก์เต็ม ส่วนค่า k ที่ทำให้ det = 0 ต้องแทนค่าทีละตัวแล้วลดแถวเพื่อนับแรงก์จริง เช่น [[1,1,k],[1,k,1],[k,1,1]] มี det = −(k−1)²(k+2) ได้แรงก์ 1 เมื่อ k = 1 แรงก์ 2 เมื่อ k = −2 และแรงก์ 3 เมื่อ k อื่น

**ทฤษฎีบทแรงก์-ภาวะศูนย์ (rank–nullity) ใช้ทำอะไร?**
สำหรับเมทริกซ์ m×n จะได้ rank A + nullity A = n ใช้นับจำนวนตัวแปรอิสระของระบบเอกพันธ์ Ax = 0 (เท่ากับ nullity) และจำนวนเวกเตอร์ในฐานของปริภูมิศูนย์ ในวงจรไฟฟ้าใช้นับจำนวนสมการ KCL และ KVL ที่เป็นอิสระ

---

# การควบคุมมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับด้วยแมกเนติกคอนแทกเตอร์และอินเวอร์เตอร์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/
Updated: 2026-10-14
Summary: ชุดบทเรียนควบคุมมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับสามเฟสสำหรับอุตสาหกรรม ระบบ 230/400 V 50 Hz ของไทย ลาว กัมพูชา เวียดนาม เมียนมา มาเลเซีย สิงคโปร์: หลักการมอเตอร์เหนี่ยวนำ แผ่นป้าย การต่อสตาร์-เดลต้า แมกเนติกคอนแทกเตอร์ (แมกเนติก คอนแทคเตอร์) โอเวอร์โหลด สัญลักษณ์ IEC วงจร DOL กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้าแบบละเอียด ซอฟต์สตาร์ท อินเวอร์เตอร์ VFD ออกแบบ ติดตั้ง แก้ปัญหา พร้อมไดอะแกรม เครื่องคำนวณ และซิมูเลเตอร์

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21 · AC Motor Control · ช่างไฟฟ้า → นักศึกษา → วิศวกร

# การควบคุมมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับด้วยแมกเนติกคอนแทกเตอร์และอินเวอร์เตอร์

มอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสใช้พลังงานไฟฟ้ามากกว่าครึ่งหนึ่งของภาคอุตสาหกรรม ชุดนี้สอนตั้งแต่มอเตอร์หมุนได้อย่างไร อ่านแผ่นป้าย ต่อสตาร์หรือเดลต้า เลือกคอนแทกเตอร์และโอเวอร์โหลด อ่านแบบวงจร ไปจนถึงออกแบบสตาร์-เดลต้าและตั้งค่าอินเวอร์เตอร์ ทุกตัวอย่างใช้ระบบไฟจริง 230/400 V 50 Hz ของไทย ลาว กัมพูชา เวียดนาม เมียนมา มาเลเซีย และสิงคโปร์ มี 104 สูตรที่มีรหัสอ้างอิง และ 29 ตัวอย่างคำนวณ

สรุปใน 30 วินาที

- มอเตอร์เหนี่ยวนำหมุนช้ากว่าสนามแม่เหล็กเล็กน้อย: $n_s = 120f/p$ = 1500 rpm (4 ขั้ว 50 Hz) และหมุนจริง ≈ 1470 rpm

- สตาร์ทตรงดึงกระแส 6–8 เท่าของพิกัด จึงต้องคิดเรื่องแรงดันตกและวิธีสตาร์ท

- ระบบ 400 V: มอเตอร์ป้าย 400/690 V ต่อ Δ และสตาร์-เดลต้าได้ · ป้าย 230/400 V ต่อ Y เท่านั้น

- สตาร์-เดลต้าลดกระแสและแรงบิดเหลือ 1/3 · ตั้งโอเวอร์โหลด 0.58 In · ต้องมีอินเตอร์ล็อกและช่วงตาย

- อินเวอร์เตอร์ปรับ f และ V ไปด้วยกัน (V/f) ได้ทั้งสตาร์ทนุ่ม แรงบิดเต็ม และประหยัดพลังงานปั๊ม-พัดลม

## เส้นทางเรียนตามระดับ

ระดับ 1 · ช่างไฟฟ้า · ปวช.–ปวส.

### ต่อวงจรให้ถูกและปลอดภัย
อ่านแผ่นป้าย ต่อขั้ว Y/Δ อุปกรณ์ในตู้ วงจรล็อกตัวเอง กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้า
การต่อขั้ว → อุปกรณ์ → DOL → สตาร์-เดลต้า

ระดับ 2 · ช่างเทคนิค · หัวหน้างาน

### เลือกอุปกรณ์และแก้ปัญหา
ขนาดคอนแทกเตอร์ AC-3 ค่าตั้งโอเวอร์โหลด ขนาดสาย แรงดันตก อินเวอร์เตอร์ และตารางแก้ปัญหา
อ่านแบบ → ตั้งค่า VFD → ออกแบบ · แก้ปัญหา

ระดับ 3 · นักศึกษาวิศวกรรม · วิศวกร

### เข้าใจด้วยคณิตศาสตร์
วงจรสมมูล สลิป แรงบิด $T \propto V^2$ ไดนามิกการเร่ง $J\,d\omega/dt = T_m - T_L$ V/f และกฎแอฟฟินิตี
มอเตอร์เหนี่ยวนำ → เปรียบเทียบวิธีสตาร์ท → หลักการ VFD

## ลองเลย: สตาร์ทมอเตอร์ 7.5 kW สามวิธี

เลือกแท็บ กด START แล้วดูกราฟ: เส้นสีน้ำเงินคือกระแสสาย สีเขียวคือความเร็ว สีส้มคือแรงบิด ลองสตาร์ทตรงก่อน แล้วสลับเป็นสตาร์-เดลต้า สังเกตกระแสตอนสตาร์ทที่ลดลงเหลือราว 1/3 และกระแสกระชากตอนเปลี่ยนเป็นเดลต้า จากนั้นลองเพิ่มขนาดโหลดจน Y เร่งไม่ขึ้น แล้วเปิด ซิมูเลเตอร์เต็มพร้อมใบงาน

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้ซิมูเลเตอร์

## สมการหลักที่ใช้ทั้งชุด

H1 Synchronous speed & slip ความเร็วซิงโครนัสและสลิป

$$n_s = \frac{120 f}{p} \qquad s = \frac{n_s - n}{n_s}$$

H2 Motor rated current กระแสพิกัดมอเตอร์สามเฟส

$$I_n = \frac{P_{out}}{\sqrt{3}\, V_L\, \eta\, \cos\varphi}$$

H3 Star–delta reduction สตาร์-เดลต้าลดกระแสและแรงบิด

$$I_{L,Y} = \tfrac{1}{3} I_{L,\Delta} \qquad T_Y = \tfrac{1}{3} T_\Delta \qquad I_{r,OL} = \frac{I_n}{\sqrt{3}} \approx 0.58\, I_n$$

H4 V/f and affinity laws V/f คงที่และกฎแอฟฟินิตี

$$\frac{V}{f} = \frac{400}{50} = 8\ \text{V/Hz} \qquad \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^3$$

## ระบบไฟที่บทเรียนนี้ใช้: 230/400 V 50 Hz

ทั้งเจ็ดประเทศใช้ระบบสามเฟสสี่สาย 50 Hz ระดับแรงดันสาย 380–415 V ตามแนวทาง IEC 60038 (230/400 V) อุปกรณ์ควบคุมมอเตอร์ที่พิกัด 380–415 V 50 Hz จึงใช้ร่วมกันได้ทั้งภูมิภาค สิ่งที่ต่างคือแรงดันใช้งานจริงที่การไฟฟ้าแต่ละแห่งกำหนด ระบบสายดิน และกฎการขอใช้ไฟ — รายละเอียดอยู่ใน ระบบไฟ 230/400 V 50 Hz

| ประเทศ | แรงดันเฟส / สาย ที่พบหน้างาน | ความถี่ | หมายเหตุสำหรับงานมอเตอร์ |

| ไทย | 230 / 400 V (เดิม 220/380 V) | 50 Hz | กฟน./กฟภ. · ระบบ TN-C-S · มาตรฐานการติดตั้ง วสท. |

| ลาว | 230 / 400 V (พบ 220/380 V) | 50 Hz | เชื่อมโยงสายส่งกับไทย อุปกรณ์มาตรฐาน IEC |

| กัมพูชา | 230 / 400 V (พบ 220/380 V) | 50 Hz | วัดแรงดันจริงก่อนตั้งค่าอินเวอร์เตอร์ |

| เวียดนาม | 220 / 380 V | 50 Hz | มอเตอร์ 400 V ใช้ได้ แรงดันต่ำกว่าป้าย 5 % กระแสสูงขึ้นเล็กน้อย |

| เมียนมา | 230 / 400 V | 50 Hz | แรงดันแกว่งมาก ควรมีรีเลย์ป้องกันแรงดันและเฟส |

| มาเลเซีย | 230 / 400 V (เดิม 240/415 V) | 50 Hz | อุปกรณ์เก่าพิกัด 415 V ยังพบมาก |

| สิงคโปร์ | 230 / 400 V | 50 Hz | ข้อกำหนดตาม SS 638 (อิง IEC 60364) |

ข้อสังเกต: “มาตรฐานเดียวกัน” หมายถึงระดับและความถี่ที่ใช้อุปกรณ์ร่วมกันได้ ไม่ได้หมายความว่าแรงดันหน้างานเท่ากันทุกจุด ก่อนตั้งค่าโอเวอร์โหลดและอินเวอร์เตอร์ให้วัดแรงดันสายจริงเสมอ

## เลือกวิธีสตาร์ทอย่างไร

| วิธี | กระแสสตาร์ท | แรงบิดสตาร์ท | ปรับความเร็ว | เหมาะกับ |

| DOL สตาร์ทตรง | 6–8 In | สูงสุด (1.5–2.5 Tn) | ไม่ได้ | มอเตอร์เล็ก แหล่งจ่ายแข็งแรง โหลดสตาร์ทหนัก |

| สตาร์-เดลต้า | ≈ 2–2.7 In | 1/3 ของ DOL | ไม่ได้ | ปั๊ม พัดลม คอมเพรสเซอร์ที่สตาร์ทตัวเปล่า |

| ซอฟต์สตาร์ท | 2–4 In (ตั้งได้) | ลดตาม (I/Is)² | ไม่ได้ | ปั๊มที่ต้องการหยุดนุ่ม (กันค้อนน้ำ) สายพาน |

| อินเวอร์เตอร์ VFD | ≤ 1–1.5 In | สูงถึง 1.5 Tn | ได้ | ปั๊ม-พัดลมประหยัดพลังงาน สายพาน เครื่องจักรกระบวนการ |

## ทุกบทในชุดนี้

ส่วนที่ 1

### มอเตอร์และระบบไฟฟ้าแรงต่ำ Motors & Low-Voltage Supply
หลักการมอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟส แผ่นป้าย ระบบไฟ 230/400 V 50 Hz ของประเทศในภูมิภาค และการต่อขั้วสตาร์-เดลต้า

n_s21.1
หลักการมอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสสำหรับอุตสาหกรรม: สนามแม่เหล็กหมุน สลิป แรงบิด-ความเร็ว กระแสสตาร์ท และแผ่นป้าย
Three-phase induction motors for industry
สนามหมุน n_s = 120f/p สลิป วงจรสมมูล กราฟแรงบิด-ความเร็ว กระแสสตาร์ท 6–8 เท่า ประสิทธิภาพ IE2–IE4 ตาม IEC 60034-30-1 อ่านแผ่นป้าย และคำนวณกระแสพิกัดจาก kW
เปิดหน้า →สูตร M1, M2, …

400 V21.2
ระบบไฟฟ้าแรงต่ำ 230/400 V 50 Hz ในไทย ลาว กัมพูชา เวียดนาม เมียนมา มาเลเซีย สิงคโปร์: แรงดันสาย แรงดันเฟส ระบบสายดิน และผลต่อมอเตอร์
Low-voltage 230/400 V 50 Hz supply in Thailand, Laos, Cambodia, Vietnam, Myanmar, Malaysia and Singapore
IEC 60038 แรงดันใช้งานจริงแต่ละประเทศ 220/380 ถึง 230/400 V ค่าเผื่อ ±10 % ระบบ TN-C-S และ TT ลำดับเฟส แรงดันไม่สมดุล และมอเตอร์ 60 Hz บนไฟ 50 Hz
เปิดหน้า →สูตร S1, S2, …

Y/Δ21.3
การต่อขั้วมอเตอร์สตาร์และเดลต้า: กล่องขั้ว U1 V1 W1 / W2 U2 V2 มอเตอร์ 230/400 V กับ 400/690 V และการกลับทางหมุน
Star and delta motor connections
แรงดันต่อขดลวด กระแสสายกับกระแสเฟส แผ่นทองแดงเชื่อมในกล่องขั้ว เลือกการต่อจากแผ่นป้าย มอเตอร์ที่สตาร์-เดลต้าได้ การตรวจทางหมุน และข้อผิดพลาดที่ทำให้มอเตอร์ไหม้
เปิดหน้า →สูตร C1, C2, …

ส่วนที่ 2

### อุปกรณ์ควบคุมและการอ่านแบบวงจร Control Devices & Diagrams
คอนแทกเตอร์ AC-3 โอเวอร์โหลดรีเลย์ MPCB เบรกเกอร์ ไทเมอร์ ปุ่มกด สัญลักษณ์ IEC 60617 และรหัสอุปกรณ์ IEC 81346

K21.4
แมกเนติกคอนแทกเตอร์ โอเวอร์โหลดรีเลย์ เบรกเกอร์ป้องกันมอเตอร์ และอุปกรณ์ควบคุม: AC-3 คลาสทริป ไทเมอร์ ปุ่มกด และไฟแสดงสถานะ
Magnetic contactors, overload relays, motor-protection breakers and control devices
โครงสร้างคอนแทกเตอร์ คอยล์ หน้าสัมผัสหลักและช่วย ประเภทการใช้งาน AC-1 AC-3 AC-4 ตาม IEC 60947-4-1 โอเวอร์โหลดคลาส 10/20 MPCB ฟิวส์ aM การประสาน Type 1/2 ไทเมอร์ และสีปุ่มกดตาม IEC 60204-1
เปิดหน้า →สูตร D1, D2, …

⊣⊢21.5
อ่านแบบวงจรควบคุมมอเตอร์: สัญลักษณ์ IEC 60617 เทียบ NEMA รหัสอุปกรณ์ IEC 81346 เลขขั้ว เลขสาย และการอ้างอิงข้าม
Reading motor-control drawings
วงจรกำลังกับวงจรควบคุม สัญลักษณ์หน้าสัมผัส คอยล์ ไทเมอร์ เลขขั้ว 1/L1–2/T1, A1–A2, 13–14, 21–22 รหัส -Q -K -F -S -H -M การอ้างอิงข้ามหน้า และแบบวงจรระบบยุโรป อเมริกา ญี่ปุ่น
เปิดหน้า →สูตร G1, G2, …

ส่วนที่ 3

### วงจรสตาร์ทและควบคุมมอเตอร์ Starter & Control Circuits
DOL วงจรกลับทางหมุน สตาร์-เดลต้าแบบละเอียด ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ และวงจรประยุกต์ในโรงงานจริง

DOL21.6
วงจรสตาร์ทมอเตอร์โดยตรง (DOL): วงจรกำลัง วงจรควบคุมแบบล็อกตัวเอง ควบคุมสองจุด จ็อก และการเลือกอุปกรณ์ทีละขั้น
Direct-on-line starter
หลักการล็อกตัวเอง (self-holding) ปุ่ม STOP แบบ NC ทำไมต้องต่อสายอนุกรม ควบคุมหลายจุด จ็อก ไฟแสดงสถานะ ตัวอย่างเลือก MPCB คอนแทกเตอร์ สาย สำหรับมอเตอร์ 7.5 kW 400 V
เปิดหน้า →สูตร L1, L2, …

⇄21.7
วงจรกลับทางหมุนมอเตอร์สามเฟส: สลับสองเฟส อินเตอร์ล็อกทางไฟฟ้า ทางกล และปุ่มกด และการกลับทางอัตโนมัติด้วยลิมิตสวิตช์
Three-phase motor reversing circuits
ทำไมสลับ L1 กับ L3 แล้วกลับทาง ป้องกันลัดวงจรด้วยอินเตอร์ล็อกสามชั้น กลับทางผ่าน STOP กับกลับทันที ประตูม้วน รอกไฟฟ้า สายพานลำเลียง และลิมิตสวิตช์
เปิดหน้า →สูตร R1, R2, …

Y→Δ21.8
วงจรสตาร์ทสตาร์-เดลต้าแบบละเอียด: วงจรกำลัง วงจรควบคุม ขนาดคอนแทกเตอร์ 0.58 In การตั้งโอเวอร์โหลด ไทเมอร์ และเวลาเปลี่ยนจังหวะ
The star–delta starter in detail
กระแสและแรงบิดเหลือ 1/3 คอนแทกเตอร์สามตัว KM1 KM2 KM3 ตั้งโอเวอร์โหลด 0.58 In เวลาตั้งไทเมอร์ ช่วงตายระหว่าง Y กับ Δ กระแสกระชากตอนเปลี่ยนจังหวะ ลำดับเฟสด้านเดลต้า สตาร์-เดลต้าแบบปิดวงจร และการเดินสายหกเส้น
เปิดหน้า →สูตร Y1, Y2, …

τm21.9
สตาร์-เดลต้าเชิงลึก: ตั้งไทเมอร์กี่วินาที เลือกเดินสตาร์หรือเดลต้า กระแส พลังงาน และงานวิจัยเชิงตัวเลข
Star–Delta Analysis
ตั้งไทเมอร์จากค่าคงตัวเวลาทางกล τm = J·ωs/Tn ช่วงตายกับแรงดันค้าง ลำดับเฟส KM3 แบบตามหลัง สตาร์-เดลต้าแบบปิดวงจร I²t ความร้อนโรเตอร์ แรงดันตก เดินสตาร์ถาวรที่โหลดเบา กรณีศึกษา อดีต ปัจจุบัน อนาคต และแล็บจำลองพลวัต
เปิดหน้า →สูตร E1, E2, …

∠α21.10
ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ ออโต้ทรานส์ฟอร์เมอร์ และการเปรียบเทียบวิธีสตาร์ทมอเตอร์: กระแส แรงบิด แรงดันตก และราคา
Soft starters, autotransformer starters and a comparison of motor starting methods
ไทริสเตอร์ควบคุมมุมจุดชนวน ลดแรงดันแบบ ramp จำกัดกระแส ควบคุมแรงบิด บายพาสคอนแทกเตอร์ หยุดนุ่มสำหรับปั๊ม (water hammer) สตาร์ทด้วยออโต้ทรานส์ และตารางเลือกวิธีสตาร์ท
เปิดหน้า →สูตร T1, T2, …

⚙21.11
วงจรควบคุมมอเตอร์ประยุกต์ในงานจริง: สตาร์ทเรียงลำดับ ปั๊มน้ำลูกลอย สลับปั๊ม ปั๊มลมสวิตช์ความดัน มอเตอร์สองความเร็ว และรีเลย์ป้องกันเฟส
Applied motor-control circuits from real plants
สตาร์ทเรียงลำดับด้วยไทเมอร์ สายพานหลายตัว ปั๊มน้ำควบคุมด้วยลูกลอยหรืออิเล็กโทรด สลับปั๊มหลัก-สำรอง Hand-Off-Auto ปั๊มลม มอเตอร์ดาห์ลันเดอร์ และรีเลย์ป้องกันเฟสขาด-กลับเฟส
เปิดหน้า →สูตร A1, A2, …

ส่วนที่ 4

### อินเวอร์เตอร์ปรับความเร็วรอบ (VFD) Variable Frequency Drives
หลักการ V/f PWM การต่อสาย พารามิเตอร์ การประหยัดพลังงานปั๊ม-พัดลม และงานประยุกต์

V/f21.12
อินเวอร์เตอร์ (VFD) สำหรับมอเตอร์: วงจรเรียงกระแส บัส DC IGBT PWM การควบคุม V/f เวกเตอร์ และการต่อสายที่ถูกต้อง
Variable frequency drives for motors
บัส DC 540–565 V จากไฟ 400 V PWM V/f คงที่และย่าน field weakening sensorless vector ห้ามมีคอนแทกเตอร์หรือคาปาซิเตอร์ด้านออก สายชีลด์ EMC ความยาวสาย dv/dt RCD Type B ตัวต้านทานเบรก และอินเวอร์เตอร์ 1 เฟสเข้า 3 เฟสออก
เปิดหน้า →สูตร V1, V2, …

n³21.13
ตั้งค่าและใช้งานอินเวอร์เตอร์: พารามิเตอร์พื้นฐาน ความเร็วหลายสเต็ป 0–10 V / 4–20 mA ปั๊มแรงดันคงที่ PID และการประหยัดพลังงานตามกฎแอฟฟินิตี
Setting up and applying VFDs
ขั้นตอนตั้งค่า 12 ข้อ เวลาเร่ง-ลด แหล่งคำสั่ง ความเร็วสเต็ป อินพุตแอนะล็อก ปั๊มน้ำแรงดันคงที่ สายพาน พัดลม กฎกำลัง ∝ n³ คำนวณการประหยัดพลังงานและระยะคืนทุน ลดพิกัดตามอุณหภูมิ และบายพาส
เปิดหน้า →สูตร P1, P2, …

ส่วนที่ 5

### ออกแบบ ติดตั้ง และแล็บจำลอง Design, Installation & Lab
เลือกอุปกรณ์ ขนาดสาย การประสานการป้องกัน ตู้ควบคุม ทดสอบ แก้ปัญหา และซิมูเลเตอร์วงจรสตาร์ท

✓21.14
ออกแบบและติดตั้งวงจรมอเตอร์: เลือกเบรกเกอร์ ขนาดสาย แรงดันตกขณะสตาร์ท ตู้ควบคุม ทดสอบ Megger และตารางแก้ปัญหา
Designing and installing motor circuits
ขั้นตอนออกแบบ 10 ข้อ ขนาดสายตามกระแสและแรงดันตก มาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้า วสท. และ IEC 60364 ตู้ IEC 61439 IP ความร้อนในตู้ ทดสอบความเป็นฉนวน ลูปเช็ก และอาการเสียที่พบบ่อยพร้อมสาเหตุ
เปิดหน้า →สูตร K1, K2, …

▶21.15
ซิมูเลเตอร์วงจรสตาร์ทมอเตอร์: DOL กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้า ซอฟต์สตาร์ท และอินเวอร์เตอร์ เห็นกระแส แรงบิด ความเร็ว และหน้าสัมผัสทำงานจริง
Motor starter simulator
กดปุ่ม START STOP เห็นเส้นทางไฟในวงจรควบคุม คอนแทกเตอร์ดูด ไทเมอร์นับ กราฟกระแส แรงบิด ความเร็วรอบแบบเรียลไทม์ ใส่ความผิดพลาด เช่น โอเวอร์โหลด เฟสขาด และเปรียบเทียบวิธีสตาร์ท
เปิดหน้า →ซิมูเลเตอร์ + ใบงาน

## ค้นหาสูตรทั้งหมดในที่เดียว

รหัส: H ภาพรวม · M มอเตอร์ · S ระบบไฟ · C การต่อขั้ว · D อุปกรณ์ · G แบบวงจร · L DOL · R กลับทาง · Y สตาร์-เดลต้า · T ซอฟต์สตาร์ท · A วงจรประยุกต์ · V อินเวอร์เตอร์ · P งาน VFD · K ออกแบบ

## ต่อยอดบนเว็บนี้

- การควบคุมอัตโนมัติด้วย PLC — นำวงจรคอนแทกเตอร์ทุกแบบในชุดนี้ไปเขียนเป็นแลดเดอร์

- เพาเวอร์แฟกเตอร์ — มอเตอร์คือโหลดตัวหลักที่ทำให้ PF ต่ำ และการชดเชยรายตัว

- ระบบไฟฟ้ากำลังและการป้องกัน — กระแสลัดวงจร การประสานรีเลย์ และระบบสายดิน

- ฮาร์มอนิกจาก VFD และ แล็บวัดคุมที่มีปั๊ม VFD

## มาตรฐานและแหล่งอ้างอิง

- IEC 60034-1 (พิกัดมอเตอร์) · IEC 60034-8 (เครื่องหมายขั้วและทิศหมุน) · IEC 60034-30-1 (คลาสประสิทธิภาพ IE)

- IEC 60947-4-1 (คอนแทกเตอร์และสตาร์ทเตอร์ AC-3 การประสาน Type 1/2) · IEC 60947-4-2 (ซอฟต์สตาร์ทเตอร์) · IEC 60947-2 (เบรกเกอร์)

- IEC 60204-1 (อุปกรณ์ไฟฟ้าของเครื่องจักร สีปุ่มกด หยุดฉุกเฉิน) · IEC 60617 (สัญลักษณ์) · IEC 81346 (รหัสอุปกรณ์)

- IEC 61800 (ไดรฟ์ปรับความเร็ว) · IEC 60364 / มาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้าสำหรับประเทศไทย (วสท.) · IEC 61439 (ตู้แรงต่ำ)

- S. J. Chapman, Electric Machinery Fundamentals · B. K. Bose, Modern Power Electronics and AC Drives · คู่มือการเลือกสตาร์ทเตอร์ของผู้ผลิตอุปกรณ์

## คำถามที่พบบ่อย

มอเตอร์ตัวไหนสตาร์-เดลต้าได้?
มอเตอร์ที่แรงดันเดลต้าบนแผ่นป้ายเท่ากับแรงดันสายของระบบ ในระบบ 400 V คือมอเตอร์ที่ป้ายเขียน 400/690 V Δ/Y (ส่วนใหญ่ขนาด 4 kW ขึ้นไป) มอเตอร์ป้าย 230/400 V Δ/Y ใช้กับ 400 V ได้แบบสตาร์อย่างเดียว ห้ามสตาร์-เดลต้า

ระบบไฟไทยกับประเทศเพื่อนบ้านใช้อุปกรณ์ชุดเดียวกันได้ไหม?
ได้ในทางปฏิบัติ ทุกประเทศในชุดนี้ใช้ 50 Hz ระบบสามเฟสสี่สาย แรงดันสาย 380–415 V (มาตรฐาน IEC 60038 คือ 230/400 V) อุปกรณ์พิกัด 380–415 V 50 Hz ใช้ได้ทั้งหมด แต่ต้องตรวจแรงดันจริงหน้างานและข้อกำหนดของการไฟฟ้าแต่ละประเทศ

ตั้งโอเวอร์โหลดของสตาร์-เดลต้าเท่าไร?
ถ้าโอเวอร์โหลดอยู่หลังคอนแทกเตอร์หลักในทางกระแสเฟส (แบบที่พบบ่อยที่สุด) ตั้งที่ 0.58 × In ของมอเตอร์ เช่น มอเตอร์ 14.6 A ตั้ง 8.5 A ถ้าโอเวอร์โหลดอยู่ในทางกระแสสายก่อนแยกไปคอนแทกเตอร์ ตั้งที่ In

เมื่อไรควรใช้อินเวอร์เตอร์แทนสตาร์-เดลต้า?
เมื่อต้องการปรับความเร็ว ต้องการสตาร์ทนุ่มด้วยแรงบิดสูง โหลดเป็นปั๊มหรือพัดลมที่ทำงานต่ำกว่าพิกัดบ่อย (ประหยัดพลังงานตาม P ∝ n³) หรือแรงดันตกขณะสตาร์ทเป็นปัญหา ถ้าเพียงต้องการลดกระแสสตาร์ทของโหลดเบาและเดินความเร็วคงที่ สตาร์-เดลต้าหรือซอฟต์สตาร์ทถูกกว่า

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**มอเตอร์ตัวไหนสตาร์-เดลต้าได้?**
มอเตอร์ที่แรงดันเดลต้าบนแผ่นป้ายเท่ากับแรงดันสายของระบบ ในระบบ 400 V คือมอเตอร์ที่ป้ายเขียน 400/690 V Δ/Y (ส่วนใหญ่ขนาด 4 kW ขึ้นไป) มอเตอร์ป้าย 230/400 V Δ/Y ใช้กับ 400 V ได้แบบสตาร์อย่างเดียว ห้ามสตาร์-เดลต้า

**ระบบไฟไทยกับประเทศเพื่อนบ้านใช้อุปกรณ์ชุดเดียวกันได้ไหม?**
ได้ในทางปฏิบัติ ทุกประเทศในชุดนี้ใช้ 50 Hz ระบบสามเฟสสี่สาย แรงดันสาย 380–415 V (มาตรฐาน IEC 60038 คือ 230/400 V) อุปกรณ์พิกัด 380–415 V 50 Hz ใช้ได้ทั้งหมด แต่ต้องตรวจแรงดันจริงหน้างานและข้อกำหนดของการไฟฟ้าแต่ละประเทศ

**ตั้งโอเวอร์โหลดของสตาร์-เดลต้าเท่าไร?**
ถ้าโอเวอร์โหลดอยู่หลังคอนแทกเตอร์หลักในทางกระแสเฟส (แบบที่พบบ่อยที่สุด) ตั้งที่ 0.58 × In ของมอเตอร์ เช่น มอเตอร์ 14.6 A ตั้ง 8.5 A ถ้าโอเวอร์โหลดอยู่ในทางกระแสสายก่อนแยกไปคอนแทกเตอร์ ตั้งที่ In

**เมื่อไรควรใช้อินเวอร์เตอร์แทนสตาร์-เดลต้า?**
เมื่อต้องการปรับความเร็ว ต้องการสตาร์ทนุ่มด้วยแรงบิดสูง โหลดเป็นปั๊มหรือพัดลมที่ทำงานต่ำกว่าพิกัดบ่อย (ประหยัดพลังงานตาม P ∝ n³) หรือแรงดันตกขณะสตาร์ทเป็นปัญหา ถ้าเพียงต้องการลดกระแสสตาร์ทของโหลดเบาและเดินความเร็วคงที่ สตาร์-เดลต้าหรือซอฟต์สตาร์ทถูกกว่า

---

# วงจรควบคุมมอเตอร์ประยุกต์ในงานจริง: สตาร์ทเรียงลำดับ ปั๊มน้ำลูกลอย สลับปั๊ม ปั๊มลมสวิตช์ความดัน มอเตอร์สองความเร็ว และรีเลย์ป้องกันเฟส

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/applied-circuits/
Updated: 2026-10-14
Summary: วงจรคอนแทกเตอร์ที่ใช้จริงในอาคารและโรงงาน: สตาร์ทเรียงลำดับสายพานด้วยไทเมอร์ ปั๊มน้ำอัตโนมัติด้วยลูกลอยหรืออิเล็กโทรด สวิตช์เลือก Hand-Off-Auto สลับปั๊มหลัก-สำรอง ปั๊มลมด้วยสวิตช์ความดัน มอเตอร์ดาห์ลันเดอร์สองความเร็ว รีเลย์ป้องกันเฟสขาด-กลับเฟส-แรงดัน และสูตรจำนวนครั้งสตาร์ทต่อชั่วโมงของปั๊ม

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.11 · ควบคุมมอเตอร์ AC · Applied Circuits

# วงจรควบคุมมอเตอร์ประยุกต์ในงานจริง: สตาร์ทเรียงลำดับ ปั๊มน้ำลูกลอย สลับปั๊ม ปั๊มลมสวิตช์ความดัน มอเตอร์สองความเร็ว และรีเลย์ป้องกันเฟส

เมื่อเข้าใจวงจรล็อกตัวเอง อินเตอร์ล็อก และไทเมอร์แล้ว วงจรในอาคารและโรงงานเกือบทั้งหมดคือการประกอบสามสิ่งนี้เข้ากับเซนเซอร์ หน้านี้รวมวงจรที่ช่างไฟพบบ่อยที่สุด พร้อมเหตุผลของแต่ละจุดในวงจร

สรุปใน 30 วินาที

- สตาร์ทเรียงลำดับ: หน้าสัมผัสของมอเตอร์ตัวก่อนอนุกรมในวงจรของตัวถัดไป

- ปั๊มลูกลอย: ช่วงต่างระหว่างระดับเปิด-ปิดกำหนดจำนวนครั้งสตาร์ท $N_{max} = Q_p/(4V)$

- Hand-Off-Auto ต้องผ่านอุปกรณ์ป้องกันทุกตำแหน่ง

- รีเลย์ป้องกันเฟสคุ้มที่สุดในระบบที่ไฟไม่นิ่ง: กันเฟสขาด กลับเฟส แรงดันตก-เกิน

## สตาร์ทเรียงลำดับ (สายพานต่อกัน) พื้นฐาน

สายพานหลายตัวที่ส่งของต่อกันต้องสตาร์ทจากปลายทางไปต้นทาง และหยุดจากต้นทางไปปลายทาง มิฉะนั้นวัสดุจะกองบนสายพานที่หยุดอยู่ วงจรทำได้ด้วยหน้าสัมผัส NO ของคอนแทกเตอร์ตัวก่อน (K1) อนุกรมในวงจรของตัวถัดไป (K2) และใช้ไทเมอร์ให้ตัวถัดไปสตาร์ทเองหลังตัวก่อนเดินครบเวลา — ยังช่วยกระจายกระแสสตาร์ทไม่ให้เกิดพร้อมกัน

รูป 1 · K2 จะดูดได้ก็ต่อเมื่อ K1 ดูดอยู่และไทเมอร์ K3T ครบเวลา ถ้า K1 หยุดหรือทริป K2 หยุดตามทันที (F2 และ F4 อนุกรมอยู่ในเส้นทางร่วม)

A1 Sequence interlock เงื่อนไขสตาร์ทเรียงลำดับ

$$K2 = K1 \cdot T_{K3T} \cdot \overline{S0} \qquad K1 = \overline{S0}\,(S1 + K1)$$

## ปั๊มน้ำอัตโนมัติด้วยลูกลอยและ Hand-Off-Auto พื้นฐาน

รูป 2 · สวิตช์เลือกสามตำแหน่งมีหน้าสัมผัสสองชุด: ชุด H จ่ายคอยล์ตรง ชุด A จ่ายผ่านลูกลอย ทั้งสองชุดยังผ่านโอเวอร์โหลด

ลูกลอยแบบสายเคเบิล (tethered float) เปลี่ยนสถานะเมื่อเอียงขึ้นหรือลง ช่วงต่างระหว่างระดับเปิดกับปิดจึงกำหนดด้วยความยาวสายห้อย ระบบที่ต้องการช่วงต่างกว้างใช้ลูกลอยสองตัว (ระดับบน/ล่าง) กับวงจรล็อกตัวเอง หรือใช้รีเลย์ระดับน้ำแบบอิเล็กโทรด (เช่น แท่ง E1 E2 E3) ที่มีวงจรล็อกในตัว

A2 Maximum starts per hour จำนวนครั้งสตาร์ทสูงสุดของปั๊มกับถัง

$$t_{cycle} = \frac{V}{Q_p - q} + \frac{V}{q} \;\ge\; \frac{4V}{Q_p}\ \ (q = Q_p/2) \qquad N_{max} = \frac{Q_p}{4V}$$

ตัวอย่าง A-1

### ปั๊ม 18 m³/h มอเตอร์ 5.5 kW ยอมให้สตาร์ทไม่เกิน 10 ครั้ง/ชม.

- A2: $V \ge Q_p/(4N) = 18/(4 \times 10) = 0.45$ m³ ระหว่างระดับเปิดกับปิด

- ถังพื้นที่หน้าตัด 1.5 m² → ช่วงต่างระดับ $0.45/1.5 = 0.30$ m

- ถ้าลูกลอยตัวเดียวให้ช่วงต่างเพียง 0.1 m ปั๊มจะสตาร์ทได้ถึง 30 ครั้ง/ชม. ในช่วงที่ใช้น้ำครึ่งหนึ่งของอัตราปั๊ม — ต้องใช้ลูกลอยสองระดับ

## สลับปั๊มหลัก-สำรอง กลาง

ระบบประปาอาคารและบ่อสูบมักมีปั๊มสองตัว (duty/standby) ให้สลับทำงานทุกครั้งที่สั่งเดิน เพื่อให้ชั่วโมงใช้งานเท่ากัน และตัวสำรองพร้อมเสมอ วิธีที่ง่ายที่สุดคือรีเลย์สลับ (alternating relay) ซึ่งเปลี่ยนหน้าสัมผัสออกทุกครั้งที่สัญญาณสั่งเดินหายไป เพิ่มเติมที่ควรมี:

- ระดับน้ำสูงพิเศษ (high-high): สั่งปั๊มตัวที่สองช่วย (duty-assist)

- ถ้าตัวหลักทริป (F2 97-98 ปิด) ให้ตัวสำรองเดินแทนอัตโนมัติ และแจ้งเตือน

- นาฬิกานับชั่วโมงทำงานแยกแต่ละตัว ใช้วางแผนบำรุงรักษา

A3 Equal running hours ชั่วโมงทำงานเมื่อสลับทุกรอบ

$$h_1 \approx h_2 \approx \frac{h_{total}}{2} \qquad \text{ตัวสำรองต้องเดินอย่างน้อยทุก 1–2 สัปดาห์}$$

## ปั๊มลมด้วยสวิตช์ความดัน กลาง

สวิตช์ความดันมีหน้าสัมผัส NC ที่เปิดเมื่อความดันถึงค่าตัด (cut-out) และปิดเมื่อความดันลดถึงค่าต่อ (cut-in) ต่ออนุกรมกับคอยล์ในตำแหน่ง Auto ปั๊มลมลูกสูบต้องสตาร์ทตัวเปล่า จึงมีวาล์วระบาย (unloader) ที่ปล่อยลมหัวสูบตอนหยุด หากสตาร์ทสตาร์-เดลต้า ยิ่งต้องตรวจว่า unloader ทำงาน เพราะแรงบิดช่วงสตาร์มีน้อย

A4 Receiver size for compressor cycling ขนาดถังลมกับรอบการทำงาน

$$t_{off} = \frac{V_{tank}\,\Delta p}{p_0\,q_{use}} \qquad t_{on} = \frac{V_{tank}\,\Delta p}{p_0\,(Q_c - q_{use})}$$

$p_0$ = ความดันบรรยากาศ (สมบูรณ์) Δp = ช่วงต่างของสวิตช์ความดัน · ใส่ไทเมอร์หน่วงการสตาร์ทซ้ำ (anti-short-cycle) 1–3 นาทีหลังหยุด เพื่อกันมอเตอร์สตาร์ทถี่เกินกำหนด

## มอเตอร์สองความเร็วแบบดาห์ลันเดอร์ ขั้นสูง

มอเตอร์ดาห์ลันเดอร์มีขดลวดชุดเดียวที่ต่อได้สองแบบให้จำนวนขั้วต่างกันสองเท่า เช่น 4/2 ขั้ว (1500/3000 rpm) ความเร็วต่ำต่อแบบ Δ ความเร็วสูงต่อแบบ YY (ขนานสองชุดเป็นสตาร์) ใช้คอนแทกเตอร์สามตัว: K1 (ต่ำ) และ K2+K3 (สูง: K2 จ่ายไฟ K3 ลัดจุดสตาร์) อินเตอร์ล็อกระหว่างต่ำกับสูงแบบเดียวกับวงจรกลับทาง และนิยมให้สตาร์ทที่ความเร็วต่ำก่อนเสมอ

A5 Pole-changing speeds ความเร็วของมอเตอร์เปลี่ยนขั้ว

$$n_{s,low} = \frac{120f}{2p} \qquad n_{s,high} = \frac{120f}{p} = 2\,n_{s,low}$$

พัดลมและปั๊มใช้แบบ “แรงบิดแปรผัน” (Y/YY) งานเครื่องจักรใช้แบบ “แรงบิดคงที่” (Δ/YY) หรือ “กำลังคงที่” ป้ายมอเตอร์จะระบุแบบและขั้วต่อ (1U 1V 1W สำหรับความเร็วต่ำ 2U 2V 2W สำหรับความเร็วสูง) ต้องใช้โอเวอร์โหลดแยกสำหรับแต่ละความเร็ว เพราะกระแสพิกัดต่างกัน

## รีเลย์ป้องกันเฟสและแรงดัน พื้นฐาน

รีเลย์ตรวจเฟส (phase monitoring relay) ต่อวัดสามเฟส มีหน้าสัมผัสออกต่ออนุกรมในวงจรควบคุม ตัดคอนแทกเตอร์เมื่อเกิด:

| ความผิดปกติ | ผลถ้าไม่มีรีเลย์ | ค่าตั้งทั่วไป |

| เฟสขาด | มอเตอร์เดินสองเฟส กระแส ~1.7 เท่า ร้อนไหม้ สตาร์ทใหม่ไม่ได้ | ตรวจทันที |

| เฟสกลับ | ปั๊มหรือคอมเพรสเซอร์หมุนกลับ เสียหาย ลิฟต์/รอกอันตราย | ตรวจตอนจ่ายไฟ |

| แรงดันตก/เกิน | แรงบิดไม่พอ กระแสสูง หรือฉนวนเครียด | ±10–15 % หน่วง 2–10 s |

| ไม่สมดุล | โรเตอร์ร้อน (ดู S4–S5) | 5–10 % |

การสตาร์ทกลับอัตโนมัติหลังไฟดับ: วงจรที่ใช้ลูกลอยหรือสวิตช์ความดันในโหมด Auto จะเดินเองเมื่อไฟกลับ ซึ่งยอมรับได้สำหรับปั๊มน้ำแต่ไม่ใช่เครื่องจักรที่มีคนทำงานใกล้ ต้องประเมินความเสี่ยงตาม IEC 60204-1 และติดป้ายเตือน “อาจเดินเองโดยไม่แจ้งล่วงหน้า” ที่เครื่อง ถ้ามอเตอร์หลายตัวในอาคาร ให้หน่วงเวลาสตาร์ทกลับต่างกันเพื่อไม่ให้กระแสสตาร์ทรวมกันตอนไฟกลับ

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมปั๊มที่ใช้ลูกลอยติด-ดับถี่?
ระยะระหว่างระดับเปิดกับปิดของลูกลอย (ช่วงต่าง) น้อยเกินไปเมื่อเทียบกับอัตราการไหล ใช้สูตร A1 หาปริมาตรที่ต้องมีระหว่างสองระดับ หรือใช้ลูกลอยสองระดับ/อิเล็กโทรดสองระดับ ปั๊มที่สตาร์ทถี่เกินกำหนดจะร้อนและคอนแทกเตอร์สึกเร็ว

Hand-Off-Auto ต่างจาก Local-Remote อย่างไร?
Hand-Off-Auto เลือกว่ามอเตอร์จะเดินด้วยมือ (ข้ามระบบอัตโนมัติ) หยุด หรือให้อุปกรณ์อัตโนมัติ (ลูกลอย PLC) สั่ง ส่วน Local-Remote เลือกจุดที่ส่งคำสั่ง เช่น ปุ่มหน้าเครื่องหรือห้องควบคุม ทั้งสองแบบต้องไม่ข้ามอุปกรณ์ป้องกันและหยุดฉุกเฉิน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมปั๊มที่ใช้ลูกลอยติด-ดับถี่?**
ระยะระหว่างระดับเปิดกับปิดของลูกลอย (ช่วงต่าง) น้อยเกินไปเมื่อเทียบกับอัตราการไหล ใช้สูตร A1 หาปริมาตรที่ต้องมีระหว่างสองระดับ หรือใช้ลูกลอยสองระดับ/อิเล็กโทรดสองระดับ ปั๊มที่สตาร์ทถี่เกินกำหนดจะร้อนและคอนแทกเตอร์สึกเร็ว

**Hand-Off-Auto ต่างจาก Local-Remote อย่างไร?**
Hand-Off-Auto เลือกว่ามอเตอร์จะเดินด้วยมือ (ข้ามระบบอัตโนมัติ) หยุด หรือให้อุปกรณ์อัตโนมัติ (ลูกลอย PLC) สั่ง ส่วน Local-Remote เลือกจุดที่ส่งคำสั่ง เช่น ปุ่มหน้าเครื่องหรือห้องควบคุม ทั้งสองแบบต้องไม่ข้ามอุปกรณ์ป้องกันและหยุดฉุกเฉิน

---

# แมกเนติกคอนแทกเตอร์ โอเวอร์โหลดรีเลย์ เบรกเกอร์ป้องกันมอเตอร์ และอุปกรณ์ควบคุม: AC-3 คลาสทริป ไทเมอร์ ปุ่มกด และไฟแสดงสถานะ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/control-devices/
Updated: 2026-10-14
Summary: อุปกรณ์ในตู้ควบคุมมอเตอร์ครบชุด: โครงสร้างแมกเนติกคอนแทกเตอร์ (แมกเนติก คอนแทคเตอร์) คอยล์ หน้าสัมผัสหลักและช่วย ประเภทการใช้งาน AC-1 AC-3 AC-3e AC-4 ตาม IEC 60947-4-1 ตารางขนาด kW ที่ 400 V โอเวอร์โหลดรีเลย์ คลาสทริป 10 20 30 เบรกเกอร์ป้องกันมอเตอร์ MPCB ฟิวส์ aM การประสาน Type 1 Type 2 ไทเมอร์ สีปุ่มกดและไฟตาม IEC 60204-1 และหม้อแปลงวงจรควบคุม

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.4 · ควบคุมมอเตอร์ AC · Contactors & Overloads

# แมกเนติกคอนแทกเตอร์ โอเวอร์โหลดรีเลย์ เบรกเกอร์ป้องกันมอเตอร์ และอุปกรณ์ควบคุม: AC-3 คลาสทริป ไทเมอร์ ปุ่มกด และไฟแสดงสถานะ

วงจรมอเตอร์ทุกแบบสร้างจากอุปกรณ์ชุดเดียวกัน: ตัวป้องกันลัดวงจร ตัวตัด-ต่อ ตัวป้องกันโหลดเกิน และอุปกรณ์สั่งการ หน้านี้อธิบายแต่ละตัวว่าทำงานอย่างไร พิกัดบนตัวหมายถึงอะไร และเลือกอย่างไรให้ใช้งานได้นานในระบบ 400 V 50 Hz

สรุปใน 30 วินาที

- ลำดับหน้าที่: ลัดวงจร (MPCB/MCCB/ฟิวส์) → ตัด-ต่อ (คอนแทกเตอร์) → โหลดเกิน (โอเวอร์โหลด)

- เลือกคอนแทกเตอร์จากพิกัด AC-3 ที่ 400 V ≥ กระแสมอเตอร์ ไม่ใช่จากกระแส AC-1

- ตั้งโอเวอร์โหลด = In ของมอเตอร์ (สตาร์-เดลต้า 0.58 In) · คลาส 10 ทั่วไป · 20/30 โหลดเฉื่อยสูง

- Type 2: หลังลัดวงจร คอนแทกเตอร์ยังใช้งานต่อได้ (ยอมให้หน้าสัมผัสติดเล็กน้อยที่แยกได้ง่าย)

## แมกเนติกคอนแทกเตอร์ พื้นฐาน

คอนแทกเตอร์คือสวิตช์ที่สั่งด้วยแม่เหล็กไฟฟ้า เมื่อจ่ายไฟเข้าคอยล์ (A1–A2) แกนเหล็กดูดอาร์เมเจอร์ซึ่งยึดกับสะพานหน้าสัมผัส หน้าสัมผัสหลัก (NO) ปิดวงจรกำลัง พร้อมกับหน้าสัมผัสช่วย NO ปิดและ NC เปิด เมื่อตัดไฟคอยล์ สปริงดันกลับ ข้อดีคือแยกวงจรกำลัง 400 V ออกจากวงจรควบคุม ตัด-ต่อได้หลายล้านครั้ง และสั่งจากระยะไกลหรือจาก PLC ได้

รูป 1 · คอยล์พันรอบขาตรงกลางของแกนเหล็กรูปตัว E ส่วนวงแหวนบังเงา (shading ring) อยู่ที่ขาด้านนอก เพราะฟลักซ์ AC ผ่านศูนย์ 100 ครั้งต่อวินาที ถ้าวงแหวนแตก คอนแทกเตอร์จะสั่นและครางเสียงดัง

รูป 2 · เลขขั้วมาตรฐาน IEC 60947: หน้าสัมผัสหลักเลขคี่ด้านไฟเข้า เลขคู่ด้านโหลด คอยล์ A1 (บน) A2 (ล่าง) หน้าสัมผัสช่วยใช้เลขสองหลัก หลักสิบคือลำดับตำแหน่ง หลักหน่วยบอกชนิด (1-2 NC · 3-4 NO · 5-6 / 7-8 หน้าสัมผัสพิเศษ เช่น หน่วงเวลา) — แบบ NEMA ใช้ L1 L2 L3 → T1 T2 T3 แทน

### คอยล์: AC หรือ DC

- คอยล์ AC (เช่น 230 VAC 50 Hz): ตอนดูดกินกระแสพุ่ง (inrush) 6–10 เท่าของตอนค้าง เพราะช่องอากาศใหญ่ อิมพีแดนซ์ต่ำ

- คอยล์ DC (เช่น 24 VDC): ทำงานเงียบ กระแสคงที่ เหมาะกับเอาต์พุต PLC แบบทรานซิสเตอร์ ต้องมีไดโอดหรือวาริสเตอร์คร่อมเพื่อจำกัดแรงดันตอนตัด

- ช่วงแรงดันคอยล์ตาม IEC 60947-4-1: ดูดติดได้ที่ 85–110 % Uc และปล่อยที่ 20–75 % Uc (AC) — แรงดันตกลึกชั่วขณะอาจทำให้เครื่องหยุดทั้งไลน์

D1 Coil operating range ช่วงแรงดันทำงานของคอยล์

$$0.85\,U_c \le U_{pick\text{-}up} \le 1.1\,U_c \qquad U_{drop\text{-}out} \approx (0.2\text{–}0.75)\,U_c$$

## ประเภทการใช้งาน AC-1 AC-3 AC-4 กลาง

ความยากของการตัดวงจรขึ้นกับว่ากระแสที่ต้องตัดเป็นอย่างไร IEC 60947-4-1 จึงกำหนดพิกัดตามประเภทการใช้งาน (utilization category) คอนแทกเตอร์ตัวเดียวมีพิกัดต่างกันในแต่ละประเภท

| ประเภท | งาน | สิ่งที่หน้าสัมผัสต้องทำ |

| AC-1 | โหลดความต้านทาน ฮีตเตอร์ (cos φ ≥ 0.95) | ต่อ-ตัดกระแสพิกัด — ง่ายที่สุด พิกัดกระแสสูงสุด |

| AC-2 | มอเตอร์โรเตอร์พันขด (slip-ring) | ต่อ 2.5 Ie ตัด 2.5 Ie |

| AC-3 | มอเตอร์กรงกระรอก สตาร์ท แล้วหยุดขณะเดิน | ต่อกระแสสตาร์ท ~8 Ie แต่ตัดเพียงกระแสเดิน ~1 Ie |

| AC-3e | มอเตอร์ประสิทธิภาพสูง IE3/IE4 | เหมือน AC-3 แต่รองรับกระแสพุ่งสูงกว่า |

| AC-4 | จ็อก (inching) และ plugging (กลับทางขณะหมุน) | ตัดกระแสสตาร์ท ~6–8 Ie บ่อยครั้ง — หนักที่สุด |

| AC-15 / DC-13 | หน้าสัมผัสช่วยสั่งคอยล์ AC / DC | ตัดโหลดแม่เหล็กไฟฟ้าขนาดเล็ก |

D2 Contactor selection เลือกคอนแทกเตอร์สำหรับมอเตอร์

$$I_e(\text{AC-3},\,400\ \text{V}) \ge I_n \qquad \text{งาน AC-4 ลดพิกัดเหลือราว } 0.3\text{–}0.5\,I_e(\text{AC-3})$$

ขนาดคอนแทกเตอร์ AC-3 ที่ 400 V และกำลังมอเตอร์โดยประมาณ (ค่าทั่วไปจากแคตตาล็อก)

| Ie AC-3 (A) | 9 | 12 | 18 | 25 | 32 | 38–40 | 50 | 65 | 80 | 95 | 115 | 150 |

| kW ที่ 400 V | 4 | 5.5 | 7.5 | 11 | 15 | 18.5 | 22 | 30 | 37 | 45 | 55 | 75 |

## โอเวอร์โหลดรีเลย์และคลาสทริป กลาง

โอเวอร์โหลดรีเลย์จำลองความร้อนของขดลวดมอเตอร์ แบบไบเมทัล (thermal) ใช้แผ่นโลหะสองชนิดที่โก่งเมื่อกระแสไหลผ่านฮีตเตอร์ แบบอิเล็กทรอนิกส์วัดกระแสด้วย CT แล้วคำนวณ เมื่อถึงเกณฑ์ หน้าสัมผัส 95–96 (NC) เปิดเพื่อตัดคอยล์คอนแทกเตอร์ และ 97–98 (NO) ปิดเพื่อแจ้งเตือน โอเวอร์โหลด ไม่ได้ตัดวงจรกำลังเอง — มันสั่งให้คอนแทกเตอร์ตัด

รูป 3 · เวลาตัดลดลงเมื่อกระแสเพิ่ม คลาสบอกเวลาตัดสูงสุดที่ 7.2 เท่าของค่าตั้ง (ประมาณกระแสสตาร์ท) — โหลดที่เร่งนานต้องใช้คลาสสูง

D3 Overload setting ค่าตั้งโอเวอร์โหลด

$$I_r = I_n \;(\text{DOL, reversing, soft starter}) \qquad I_r = \frac{I_n}{\sqrt3} \approx 0.58\,I_n \;(\text{สตาร์-เดลต้า ในทางกระแสเฟส})$$

D4 Trip class check ตรวจคลาสทริปกับเวลาเร่ง

$$t_{trip}(7.2\,I_r) \le \text{class [s]} \qquad t_{start}

| คลาส | เวลาตัดที่ 7.2 Ir | เหมาะกับ |

| 10A | 2–10 s | มอเตอร์ปั๊มจุ่ม คอมเพรสเซอร์ปิดที่ระบายความร้อนยาก |

| 10 | 4–10 s | งานทั่วไป ปั๊ม พัดลมเล็ก สายพาน (เร่ง < 5 s) |

| 20 | 6–20 s | พัดลมใหญ่ เครื่องผสม เครื่องบด (เร่ง 5–10 s) |

| 30 | 9–30 s | โหลดเฉื่อยสูงมาก หินโม่ เครื่องเหวี่ยง |

คุณสมบัติที่ควรมี: ชดเชยอุณหภูมิแวดล้อม (−20…+60 °C) ตรวจเฟสขาด (differential) รีเซ็ตด้วยมือ/อัตโนมัติ (งานทั่วไปใช้มือเพื่อไม่ให้เครื่องสตาร์ทเองหลังทริป) และปุ่มทดสอบ

## ป้องกันลัดวงจร: MPCB MCCB ฟิวส์ กลาง

กระแสลัดวงจรหลายพันแอมป์ต้องถูกตัดภายในไม่กี่มิลลิวินาที อุปกรณ์ที่ทำหน้าที่นี้ต้องมีพิกัดตัดกระแส (breaking capacity) ไม่น้อยกว่ากระแสลัดวงจรที่จุดติดตั้ง และต้องไม่ตัดผิดตอนสตาร์ท

D5 Breaking capacity พิกัดตัดกระแสลัดวงจร

$$I_{cu} \ge I_{k,max}\ \text{ณ จุดติดตั้ง} \qquad I_{k} \approx \frac{S_{tr}}{\sqrt3\,V_L\,u_k} \;(\text{ที่ขั้วหม้อแปลง})$$

D6 No nuisance trip at start ไม่ทริปผิดขณะสตาร์ท

$$I_{m} > (1.5\text{–}2)\,I_{st} \approx (10\text{–}13)\,I_n \qquad (\text{เผื่อกระแสพุ่งครึ่งรอบแรกที่ไม่สมมาตร})$$

| อุปกรณ์ | ข้อดี | ข้อควรรู้ |

| MPCB (เช่น ช่วง 13–18 A) | ลัดวงจร + โหลดเกิน + ตัดตอนในตัวเดียว ปรับค่าได้ มีหน้าสัมผัสช่วยบอกทริป | แม่เหล็กตั้งคงที่ ~13 × ค่าสูงสุดของช่วง · Icu แตกต่างตามรุ่น |

| MCCB แบบมอเตอร์ (magnetic only) | พิกัดตัดสูง ใช้กับมอเตอร์ใหญ่ | ต้องมีโอเวอร์โหลดแยก |

| ฟิวส์ aM | จำกัดกระแสดีมาก ทนกระแสสตาร์ทได้ | ป้องกันเฉพาะลัดวงจร ต้องมีโอเวอร์โหลด · เปลี่ยนครบสามเฟส |

| ฟิวส์ gG | ใช้งานทั่วไป | ต้องใช้ขนาดใหญ่ขึ้นเพื่อทนกระแสสตาร์ท |

### การประสาน Type 1 และ Type 2 (IEC 60947-4-1)

Type 1: เมื่อลัดวงจร ไม่มีอันตรายต่อคนและตู้ แต่คอนแทกเตอร์และโอเวอร์โหลดอาจเสียหาย ต้องเปลี่ยน · Type 2: หลังลัดวงจรอุปกรณ์ยังใช้งานต่อได้ ยอมให้หน้าสัมผัสติดกันเล็กน้อยที่แยกออกได้ง่าย งานที่ต้องการให้ไลน์กลับมาเดินเร็วควรใช้ Type 2 ซึ่งผู้ผลิตทดสอบเป็นชุดและออกตารางจับคู่ (coordination table) — ใช้ตารางของผู้ผลิตเดียวกันทั้งชุด

## ไทเมอร์และรีเลย์ช่วย พื้นฐาน

- On-delay (หน่วงเวลาเปิด): จ่ายไฟคอยล์ → นับเวลา → หน้าสัมผัสเปลี่ยนสถานะ · ตัดไฟ → กลับทันที — ใช้ในสตาร์-เดลต้า สตาร์ทเรียงลำดับ

- Off-delay (หน่วงเวลาปิด): จ่ายไฟ → เปลี่ยนทันที · ตัดไฟ → ค้างอีกช่วงเวลา — ใช้กับพัดลมระบายความร้อนหลังเครื่องหยุด

- ไทเมอร์สตาร์-เดลต้าเฉพาะ: มีหน้าสัมผัส Y และ Δ แยกกัน พร้อมช่วงตายคงที่ ~50–100 ms ในตัว — แนะนำกว่าใช้ไทเมอร์ทั่วไป

- เลขขั้วที่พบ: คอมมอน 15 · NC หน่วงเวลา 16 · NO หน่วงเวลา 18 (หรือ 55-56 / 67-68 ในบล็อกเสริม)

## ปุ่มกดและไฟแสดงสถานะ (IEC 60204-1) พื้นฐาน

| อุปกรณ์ | สีตาม IEC 60204-1 | หมายเหตุ |

| START / ON | ขาว (แนะนำ) เทา ดำ เขียว | ห้ามแดง |

| STOP / OFF | ดำ (แนะนำ) เทา ขาว · แดงได้ | ห้ามเขียว · ไม่ควรเป็นแดงถ้าอยู่ใกล้ E-stop |

| หยุดฉุกเฉิน | แดง บนพื้นเหลือง หัวเห็ด ล็อกค้าง | หน้าสัมผัสเปิดด้วยกลไกบังคับ (positive opening) |

| ไฟแดง | ฉุกเฉิน อันตราย | ต้องตอบสนองทันที |

| ไฟเหลือง | ผิดปกติ ใกล้วิกฤต (เช่น ทริป) | ตรวจสอบ |

| ไฟน้ำเงิน | ต้องดำเนินการ (เช่น รอรีเซ็ต) | — |

| ไฟเขียว | สภาวะปกติ | — |

| ไฟขาว | สถานะกลาง ๆ (เช่น มีไฟเข้า) | — |

หลายโรงงานในภูมิภาคใช้ไฟเขียว = “มอเตอร์เดิน” ไฟแดง = “มีไฟพร้อม/หยุด” ตามธรรมเนียมเก่า ให้ยึดมาตรฐานของโรงงานนั้นอย่างสม่ำเสมอ และระบุความหมายบนแผ่นป้ายหน้าตู้

## ไฟเลี้ยงวงจรควบคุม กลาง

ตู้ขนาดเล็กมักใช้ 230 VAC จาก L–N ผ่านฟิวส์ IEC 60204-1 กำหนดให้วงจรควบคุมของเครื่องจักรรับไฟผ่านหม้อแปลงแยกขดลวด (ยกเว้นเครื่องจักรที่มีสตาร์ทเตอร์ตัวเดียวและอุปกรณ์ควบคุมไม่เกินสองตัว) เพื่อให้แรงดันต่ำลงและจำกัดผลของการลัดลงดิน ระบบที่มี PLC นิยมใช้ 24 VDC จากพาวเวอร์ซัพพลาย

D7 Control transformer sizing ขนาดหม้อแปลงวงจรควบคุม (ประมาณ)

$$S_{tr} \ge \sum S_{hold} + S_{inrush,\,max} \qquad \text{ตรวจแรงดันตกขณะดูด} \le 5\text{–}10\,\%$$

ตัวอย่าง D-1

### เลือกอุปกรณ์ให้มอเตอร์ 7.5 kW 400 V 14.6 A สตาร์ทตรง

- D2: คอนแทกเตอร์ AC-3 ≥ 14.6 A → 18 A (พิกัด 7.5 kW ที่ 400 V)

- MPCB ช่วง 13–18 A ตั้ง Ir = 14.6 A (D3) คลาส 10 · แม่เหล็กตัดราว 13 × 18 = 234 A > กระแสพุ่งสูงสุด ~ 2 × 95 = 190 A (D6)

- D5: ถ้าหม้อแปลง 1000 kVA uk 6 % ติดอยู่ใกล้ $I_k \approx 1000/(\sqrt3 \times 0.4 \times 0.06) = 24$ kA → ต้องใช้ MPCB รุ่นที่ Icu ≥ 25 kA หรือมีลิมิตเตอร์/ฟิวส์ต้นทางตามตารางผู้ผลิต

- D7: คอนแทกเตอร์ 3 ตัว คอยล์ค้าง 8 VA ตัวละ ดูด 70 VA → $S \ge 3(8) + 70 = 94$ VA → หม้อแปลง 100 VA

## สัญลักษณ์ของอุปกรณ์ทั้งหมด

รูป 4 · สัญลักษณ์ IEC 60617 ที่ใช้ในแบบวงจรทุกหน้าของชุดนี้ วิธีอ่านแบบละเอียดอยู่ที่ สัญลักษณ์ · อ่านแบบวงจร · สัญลักษณ์แบบ NEMA ดู หน้าสัญลักษณ์และการอ่านแบบ

## คำถามที่พบบ่อย

คอนแทกเตอร์กับรีเลย์ต่างกันอย่างไร?
หลักการเหมือนกันคือคอยล์ดูดหน้าสัมผัส แต่คอนแทกเตอร์ออกแบบหน้าสัมผัสหลักให้ตัดกระแสมอเตอร์ได้ มีห้องดับอาร์ก และพิกัดตามประเภทการใช้งาน AC-3 ส่วนรีเลย์ควบคุมตัดกระแสเล็กในวงจรควบคุม (AC-15/DC-13) ไม่ใช้ตัดมอเตอร์โดยตรง

MPCB แทนโอเวอร์โหลดรีเลย์ได้ไหม?
ได้ MPCB (motor protection circuit breaker) มีทั้งส่วนป้องกันโหลดเกินแบบความร้อนที่ปรับค่าได้และส่วนตัดกระแสลัดวงจรแบบแม่เหล็กในตัวเดียว ใช้คู่กับคอนแทกเตอร์โดยไม่ต้องมีโอเวอร์โหลดแยก ยกเว้นงานสตาร์-เดลต้าที่ต้องการให้ตัวป้องกันอยู่ในทางกระแสเฟส

ปุ่ม START ต้องเป็นสีเขียวไหม?
IEC 60204-1 ให้ปุ่ม START/ON เป็นสีขาว เทา ดำ หรือเขียว โดยแนะนำสีขาว และห้ามใช้สีแดง ปุ่ม STOP/OFF ใช้ดำ เทา ขาว (แนะนำดำ) ใช้แดงได้แต่ไม่ควรวางใกล้ปุ่มหยุดฉุกเฉิน ส่วนปุ่มหยุดฉุกเฉินต้องเป็นสีแดงบนพื้นเหลือง ในทางปฏิบัติไทยมักใช้ START เขียว STOP แดง ซึ่งยังอยู่ในกรอบที่ยอมรับ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**คอนแทกเตอร์กับรีเลย์ต่างกันอย่างไร?**
หลักการเหมือนกันคือคอยล์ดูดหน้าสัมผัส แต่คอนแทกเตอร์ออกแบบหน้าสัมผัสหลักให้ตัดกระแสมอเตอร์ได้ มีห้องดับอาร์ก และพิกัดตามประเภทการใช้งาน AC-3 ส่วนรีเลย์ควบคุมตัดกระแสเล็กในวงจรควบคุม (AC-15/DC-13) ไม่ใช้ตัดมอเตอร์โดยตรง

**MPCB แทนโอเวอร์โหลดรีเลย์ได้ไหม?**
ได้ MPCB (motor protection circuit breaker) มีทั้งส่วนป้องกันโหลดเกินแบบความร้อนที่ปรับค่าได้และส่วนตัดกระแสลัดวงจรแบบแม่เหล็กในตัวเดียว ใช้คู่กับคอนแทกเตอร์โดยไม่ต้องมีโอเวอร์โหลดแยก ยกเว้นงานสตาร์-เดลต้าที่ต้องการให้ตัวป้องกันอยู่ในทางกระแสเฟส

**ปุ่ม START ต้องเป็นสีเขียวไหม?**
IEC 60204-1 ให้ปุ่ม START/ON เป็นสีขาว เทา ดำ หรือเขียว โดยแนะนำสีขาว และห้ามใช้สีแดง ปุ่ม STOP/OFF ใช้ดำ เทา ขาว (แนะนำดำ) ใช้แดงได้แต่ไม่ควรวางใกล้ปุ่มหยุดฉุกเฉิน ส่วนปุ่มหยุดฉุกเฉินต้องเป็นสีแดงบนพื้นเหลือง ในทางปฏิบัติไทยมักใช้ START เขียว STOP แดง ซึ่งยังอยู่ในกรอบที่ยอมรับ

---

# ออกแบบและติดตั้งวงจรมอเตอร์: เลือกอุปกรณ์ ขนาดสาย แรงดันตกขณะสตาร์ท ตู้ควบคุม การทดสอบ และตารางแก้ปัญหา

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/design-installation/
Updated: 2026-10-14
Summary: ขั้นตอนออกแบบวงจรมอเตอร์ 10 ข้อสำหรับระบบ 400 V 50 Hz: หากำลังจากโหลด เลือกมอเตอร์ วิธีสตาร์ท คอนแทกเตอร์ โอเวอร์โหลด เบรกเกอร์ พิกัดตัด ขนาดสายตามกระแสและแรงดันตก (มาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้า วสท. และ IEC 60364) กระแสลัดวงจรปลายสาย ตู้ควบคุม IEC 61439 IP ความร้อนในตู้และพัดลม การวัดความเป็นฉนวน เดินเครื่องทดสอบ บำรุงรักษา และตารางอาการเสียพร้อมสาเหตุ

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.14 · ควบคุมมอเตอร์ AC · Design, Installation & Troubleshooting

# ออกแบบและติดตั้งวงจรมอเตอร์: เลือกอุปกรณ์ ขนาดสาย แรงดันตกขณะสตาร์ท ตู้ควบคุม การทดสอบ และตารางแก้ปัญหา

หน้านี้รวมทุกบทก่อนหน้าเป็นงานออกแบบหนึ่งชิ้นตั้งแต่โหลดจนถึงการเดินเครื่อง พร้อมสิ่งที่ต้องตรวจหน้างานและตารางแก้ปัญหาที่รวบรวมจากอาการที่พบบ่อยที่สุด ตัวเลขทุกตัวในตัวอย่างคำนวณได้จากสูตรในหน้า

สรุปใน 30 วินาที

- ออกแบบตามลำดับ: โหลด → มอเตอร์ → วิธีสตาร์ท → อุปกรณ์ → สาย → ตู้ → ทดสอบ

- สายต้องผ่านสามเงื่อนไข: พิกัดกระแส แรงดันตก (เดิน ≤ 3–5 % สตาร์ท ≤ 10–15 %) และกระแสลัดวงจรปลายสาย

- ความร้อนในตู้: $\Delta T = P/(kA)$ — ไดรฟ์ทำให้ต้องมีพัดลมเกือบทุกครั้ง

- ก่อนจ่ายไฟ: เมกเกอร์ ≥ 1 MΩ ตรวจขันน็อต ตรวจลำดับเฟส ทดสอบวงจรควบคุมแยก

## ขั้นตอนออกแบบ 10 ข้อ พื้นฐาน

รูป 1 · ลำดับนี้ย้อนกลับได้ เช่น แรงดันตกขณะสตาร์ทสูง (ขั้น 7) อาจทำให้ต้องเปลี่ยนวิธีสตาร์ท (ขั้น 3)

K1 Shaft power of a pump or a drive กำลังที่เพลาจากโหลด

$$P_{pump} = \frac{\rho g Q H}{\eta_p} \qquad P = T\,\omega = \frac{T\,n}{9550}\ \text{(kW)}$$

K2 Motor size margin เผื่อขนาดมอเตอร์

$$P_{motor} \ge (1.10\text{–}1.15)\,P_{load,max} \;\rightarrow\; \text{ขนาดมาตรฐานถัดไป}$$

## ขนาดสาย แรงดันตก และกระแสลัดวงจรปลายสาย กลาง

K3 Cable ampacity พิกัดกระแสสายหลังลดพิกัด

$$I_z\,k_{temp}\,k_{group} \ge I_n \qquad I_z \ge I_r\ (\text{ค่าตั้งอุปกรณ์ป้องกันโหลดเกิน})$$

K4 Running voltage drop แรงดันตกขณะเดิน

$$\Delta V\% = \frac{\sqrt3\,I_n\,L\,(R\cos\varphi + X\sin\varphi)}{V_L}\times100 \le 3\text{–}5\,\% \qquad R = \frac{\rho}{A},\ \rho_{Cu,70^\circ C} \approx 0.0225\ \Omega\,\text{mm}^2/\text{m}$$

K5 Starting voltage drop แรงดันตกขณะสตาร์ท

$$\Delta V_{st}\% \approx \Delta V_{tr}\% + \frac{\sqrt3\,I_{st}\,L\,(R\cdot0.3 + X\cdot0.95)}{V_L}\times100 \le 10\text{–}15\,\%$$

K6 Fault at the cable end (TN system) กระแสลัดลงดินปลายสายในระบบ TN

$$I_{f} = \frac{U_0}{Z_s} \ge I_a \qquad Z_s \approx Z_{src} + (1 + m)\,\frac{\rho L}{A_{ph}}\ \ (m = A_{ph}/A_{PE})$$

$U_0$ = 230 V · $I_a$ = กระแสที่ทำให้อุปกรณ์ป้องกันตัดภายในเวลาที่มาตรฐานกำหนด (สำหรับวงจรมอเตอร์แบบติดตั้งถาวรในระบบ TN มัก 5 s; ใช้ค่าแม่เหล็กของ MPCB/เบรกเกอร์เพื่อให้ตัดทันที) ค่า Ik และเวลาตัดให้ยึดตามมาตรฐานการติดตั้งที่ใช้บังคับในประเทศนั้น

ตัวอย่าง K-1

### ปั๊ม 15 kW 4 ขั้ว 400 V ห่างตู้ 50 m หม้อแปลง 315 kVA uk 4 % สตาร์ทตรง

- M6: $I_n = 15{,}000/(\sqrt3 \times 400 \times 0.921 \times 0.84) = 28.0$ A · $I_{st} = 7 \times 28 = 196$ A

- L2 (ที่หม้อแปลง): $S_{sc} = 315/0.04 = 7.9$ MVA · $S_{st} = \sqrt3(400)(196) = 136$ kVA → $\Delta U \approx 1.7\,\%$

- K3: สาย 6 mm² $I_z \approx 36$ A × 0.87 = 31.3 A ≥ 28 A ✓

- K4: $R = 0.0225/6 = 3.75$ mΩ/m → $\Delta V = \sqrt3(28)(50)(0.00375 \times 0.84 + 0.00008 \times 0.54) = 7.7$ V = 1.9 % ✓

- K5: $\sqrt3(196)(50)(0.00375 \times 0.3 + 0.00008 \times 0.95) = 20.4$ V = 5.1 % + 1.7 % = 6.8 % ✓ → สตาร์ทตรงได้

- อุปกรณ์: คอนแทกเตอร์ 32 A AC-3 · MPCB 24–32 A ตั้ง 28 A · PE 6 mm²

## ตู้ควบคุม: ผัง IP และความร้อน กลาง

รูป 2 · วางอุปกรณ์ตามทางไหลของพลังงานจากบนลงล่าง รางเดินสายคั่นระหว่างแถว รางเทอร์มินัลอยู่ล่างสุดใกล้ทางเข้าสาย

- ตู้แรงต่ำออกแบบและทดสอบตาม IEC 61439 (ผู้ผลิตตู้ต้องตรวจขีดอุณหภูมิ ระยะห่าง พิกัดลัดวงจรของบัสบาร์)

- IP54 สำหรับในโรงงานทั่วไป IP55/65 สำหรับพื้นที่ล้างน้ำหรือกลางแจ้ง (IEC 60529) — การเจาะช่องพัดลมต้องใช้ชุดพัดลม-ฟิลเตอร์ที่ได้ IP เท่าตู้

- เว้นพื้นที่สำรอง 20–30 % · ระยะห่างตามคู่มือของไดรฟ์ (ด้านบน-ล่าง 100–200 mm สำหรับลม)

K7 Enclosure temperature rise and fan airflow อุณหภูมิในตู้และปริมาณลมพัดลม

$$\Delta T = \frac{P_{loss}}{k\,A_e}\ \ (k \approx 5.5\ \text{W/m}^2\text{K เหล็กพ่นสี}) \qquad \dot V\,[\text{m}^3/\text{h}] \approx \frac{3.1\,P_{loss}\,[\text{W}]}{\Delta T_{allow}}$$

ตัวอย่าง K-2

### ตู้ 600 × 800 × 300 mm ติดผนัง มีไดรฟ์ 15 kW (สูญเสีย ~2.5 %)

- $P_{loss} \approx 0.025 \times 15{,}000 + 40 = 415$ W (รวมคอนแทกเตอร์ พาวเวอร์ซัพพลาย)

- พื้นที่ระบายความร้อนที่มีผล (ไม่นับด้านหลังติดผนัง) $A_e \approx 0.6(0.8) + 0.6(0.3) + 2(0.8)(0.3) = 1.14$ m²

- K7: ปิดทึบ $\Delta T = 415/(5.5 \times 1.14) = 66$ K — ห้องเครื่อง 35 °C ในตู้จะเกิน 100 °C ✗

- ใช้พัดลม: ยอมให้สูงกว่าภายนอก 10 K → $\dot V = 3.1(415)/10 = 129$ m³/h → เลือกพัดลม-ฟิลเตอร์ ≥ 160 m³/h (เผื่อฟิลเตอร์ตัน)

## ทดสอบก่อนเดินเครื่อง พื้นฐาน

K8 Insulation resistance acceptance เกณฑ์ความเป็นฉนวน

$$R_{iso} \ge 1\ \text{M}\Omega\ @\ 500\ \text{V DC (IEC 60204-1)} \qquad R_{40^\circ C} \ge 5\ \text{M}\Omega\ \text{ขดลวด}

- ตรวจด้วยตา: อุปกรณ์ตรงแบบ ขนาดสาย เลขสาย ฝาครอบครบ ไม่มีเศษสายในตู้

- ขันแน่น: ขั้วกำลังทุกจุดตามแรงบิดที่ระบุ (ทำเครื่องหมายสีหลังขัน)

- ต่อเนื่องของสายดิน: วัดความต้านทาน PE จากโครงมอเตอร์ถึงบาร์ดินตู้

- ความเป็นฉนวน: ปลดอินเวอร์เตอร์/ซอฟต์สตาร์ท/อุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ออกก่อน วัดสายกับมอเตอร์ 500 V DC (K8)

- วงจรควบคุม: ปลดวงจรกำลัง (ดึง MPCB ลง) จ่ายเฉพาะไฟควบคุม ทดสอบลำดับการทำงาน อินเตอร์ล็อก ไทเมอร์ หยุดฉุกเฉิน

- ทิศหมุน: ปลดคัปปลิงถ้าทำได้ กระตุกสั้น ๆ ตรวจทิศ (ปั๊มหมุนกลับนานเสียหายได้)

- เดินจริง: วัดกระแสสามเฟส แรงดัน อุณหภูมิ การสั่น เทียบกับแผ่นป้าย บันทึกเป็นค่าตั้งต้น

## ตารางแก้ปัญหา

| อาการ | สาเหตุที่เป็นไปได้ | ตรวจอะไร |

| กด START แล้วคอนแทกเตอร์ไม่ดูด | ฟิวส์ควบคุมขาด · โอเวอร์โหลดทริปค้าง · ปุ่ม STOP/E-stop ค้าง · สายหลุด | วัดแรงดันไล่จากราง L ทีละจุดตามแบบ |

| ดูดตอนกดแต่ปล่อยแล้วดับ | หน้าสัมผัสล็อกตัวเอง (13-14) ไม่ได้ต่อหรือเสีย | วัดคร่อม 13-14 ขณะดูด ตรวจสายขนานกับปุ่ม START |

| คอนแทกเตอร์ครางเสียงดัง | แรงดันคอยล์ต่ำ · หน้าแกนเหล็กสกปรก · วงแหวนบังเงาแตก | วัดแรงดันคอยล์ขณะดูด ทำความสะอาดหน้าแกน |

| มอเตอร์ฮัมแต่ไม่หมุน | เฟสขาด · โหลดติด · ต่อ Y ผิดกับมอเตอร์ 400/690 V ที่โหลดหนัก | วัดแรงดันสามเฟสที่ขั้วมอเตอร์ หมุนเพลาด้วยมือ (ตัดไฟก่อน) |

| โอเวอร์โหลดทริปหลังเดินไม่กี่นาที | โหลดเกินจริง · ค่าตั้งผิด · แรงดันต่ำหรือไม่สมดุล · ลูกปืนเสีย | วัดกระแสเทียบป้าย วัดแรงดัน ฟังเสียงลูกปืน |

| MPCB ทริปทันทีตอนสตาร์ท | ลัดวงจร · ฉนวนเสีย · แม่เหล็กตั้งต่ำ · สตาร์-เดลต้าเปลี่ยนจังหวะผิด | เมกเกอร์ วัดความต้านทานขด ดูช่วงที่ทริป |

| มอเตอร์ร้อนผิดปกติ ไม่ทริป | พัดลม/ครีบอุดตัน · เดินรอบต่ำด้วย VFD · ฮาร์มอนิก · อุณหภูมิห้องสูง | วัดอุณหภูมิโครง ทำความสะอาด ตรวจความถี่ใช้งาน |

| หน้าสัมผัสคอนแทกเตอร์ไหม้เร็ว | ขนาดเล็กไป · จ็อกบ่อย (AC-4) · คอยล์ดูดไม่แน่น | เทียบพิกัดกับลักษณะงาน ตรวจจำนวนครั้งต่อชั่วโมง |

## บำรุงรักษาเชิงป้องกัน

- ทุกเดือน: ฟังเสียง ดูอุณหภูมิ ทำความสะอาดฟิลเตอร์พัดลมตู้ ตรวจไฟแสดงสถานะ

- ทุก 6 เดือน: สแกนความร้อนด้วยกล้องอินฟราเรดขณะมีโหลด (หาจุดต่อหลวม) วัดกระแสสามเฟส

- ทุกปี: ขันขั้วกำลังซ้ำ ตรวจหน้าสัมผัสคอนแทกเตอร์ วัดความเป็นฉนวน บันทึกแนวโน้ม ทดสอบหยุดฉุกเฉิน

- ตามชั่วโมงใช้งาน: อัดจาระบีลูกปืนตามป้ายมอเตอร์ เปลี่ยนพัดลมระบายความร้อนของไดรฟ์ (มักทุก 3–5 ปี) และคาปาซิเตอร์บัส DC ตามคู่มือ

## คำถามที่พบบ่อย

ค่าความเป็นฉนวนของมอเตอร์ต่ำสุดเท่าไรจึงยอมรับได้?
อุปกรณ์ไฟฟ้าของเครื่องจักรตาม IEC 60204-1 ต้องไม่น้อยกว่า 1 MΩ ที่ 500 V DC ระหว่างตัวนำกับดิน สำหรับขดลวดมอเตอร์แรงต่ำ แนวทาง IEEE 43 แนะนำค่าต่ำสุด 5 MΩ (ปรับอุณหภูมิเป็น 40 °C) และดูแนวโน้มเทียบกับค่าที่เคยวัดได้ ค่าที่ลดลงต่อเนื่องสำคัญกว่าค่าเดี่ยว

ขนาดสายมอเตอร์เลือกจากกระแสอย่างเดียวได้ไหม?
ไม่พอ ต้องตรวจสามเรื่อง: พิกัดกระแสหลังลดพิกัดตามวิธีเดินสายและอุณหภูมิ แรงดันตกทั้งขณะเดินและขณะสตาร์ท และกระแสลัดวงจรปลายสายต้องมากพอให้อุปกรณ์ป้องกันตัดภายในเวลาที่กำหนด สายยาวมักถูกกำหนดขนาดด้วยแรงดันตก ไม่ใช่กระแส

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ค่าความเป็นฉนวนของมอเตอร์ต่ำสุดเท่าไรจึงยอมรับได้?**
อุปกรณ์ไฟฟ้าของเครื่องจักรตาม IEC 60204-1 ต้องไม่น้อยกว่า 1 MΩ ที่ 500 V DC ระหว่างตัวนำกับดิน สำหรับขดลวดมอเตอร์แรงต่ำ แนวทาง IEEE 43 แนะนำค่าต่ำสุด 5 MΩ (ปรับอุณหภูมิเป็น 40 °C) และดูแนวโน้มเทียบกับค่าที่เคยวัดได้ ค่าที่ลดลงต่อเนื่องสำคัญกว่าค่าเดี่ยว

**ขนาดสายมอเตอร์เลือกจากกระแสอย่างเดียวได้ไหม?**
ไม่พอ ต้องตรวจสามเรื่อง: พิกัดกระแสหลังลดพิกัดตามวิธีเดินสายและอุณหภูมิ แรงดันตกทั้งขณะเดินและขณะสตาร์ท และกระแสลัดวงจรปลายสายต้องมากพอให้อุปกรณ์ป้องกันตัดภายในเวลาที่กำหนด สายยาวมักถูกกำหนดขนาดด้วยแรงดันตก ไม่ใช่กระแส

---

# อ่านแบบวงจรควบคุมมอเตอร์: สัญลักษณ์ IEC 60617 เทียบ NEMA รหัสอุปกรณ์ IEC 81346 เลขขั้ว เลขสาย และการอ้างอิงข้าม

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/diagrams-symbols/
Updated: 2026-10-15
Summary: วิธีอ่านแบบวงจรไฟฟ้าควบคุมมอเตอร์ทั้งแบบยุโรป (IEC) อเมริกา (NEMA) และญี่ปุ่น: วงจรกำลังกับวงจรควบคุม สัญลักษณ์หน้าสัมผัส คอยล์ ไทเมอร์ โอเวอร์โหลด รหัสอุปกรณ์ -Q -K -F -S -P -M ตาม IEC 81346 เลขขั้ว 1/L1 2/T1 A1 A2 13 14 21 22 95 96 เลขสาย รางเทอร์มินัล การอ้างอิงข้ามหน้า และการแปลงวงจรรีเลย์เป็นพีชคณิตบูลีน เพิ่มไดอะแกรมเส้นเดียว (single-line) แบบ IEC และ ANSI/NEMA แลดเดอร์ NEMA/JIC ตารางขนาดสตาร์ทเตอร์ NEMA และเทียบรหัสอุปกรณ์ IEC กับ NEMA

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.5 · ควบคุมมอเตอร์ AC · Symbols & Reading Diagrams

# อ่านแบบวงจรควบคุมมอเตอร์: สัญลักษณ์ IEC 60617 เทียบ NEMA รหัสอุปกรณ์ IEC 81346 เลขขั้ว เลขสาย และการอ้างอิงข้าม

แบบวงจรคือภาษากลางระหว่างผู้ออกแบบ ช่างประกอบตู้ และช่างซ่อม ถ้าอ่านคล่อง จะเดินสายถูกตั้งแต่ครั้งแรก และหาจุดเสียได้จากแบบโดยไม่ต้องรื้อตู้ หน้านี้สอนอ่านแบบตามธรรมเนียม IEC ที่ใช้ในชุดนี้ และเทียบกับแบบอเมริกาที่พบในเครื่องจักรนำเข้า

สรุปใน 30 วินาที

- แบบมีสองส่วน: วงจรกำลัง (400 V ไปมอเตอร์) และ วงจรควบคุม (230 VAC/24 VDC ไปคอยล์)

- หน้าสัมผัสวาดในสถานะปกติเสมอ (ไม่มีไฟเลี้ยง ไม่ถูกกด)

- อนุกรม = AND · ขนาน = OR · NC = NOT — อ่านวงจรควบคุมเป็นตรรกะได้ทันที

- รหัสอุปกรณ์ + เลขขั้ว เช่น “-K1:13” ระบุจุดต่อได้ไม่ซ้ำในทั้งตู้

- ไดอะแกรมเส้นเดียวแสดงทั้งระบบ · แบบ NEMA อ่านเป็นแลดเดอร์ซ้าย-ขวา มีเลขแลดเดอร์ใต้คอยล์

## วงจรกำลังและวงจรควบคุม พื้นฐาน

วงจรกำลัง (main circuit) วาดสามเส้น L1 L2 L3 ลงจากด้านบนผ่านเบรกเกอร์ คอนแทกเตอร์ โอเวอร์โหลด ไปมอเตอร์ อ่านจากบนลงล่างตามทางไหลของพลังงาน วงจรควบคุม (control circuit) วาดระหว่างรางบน (L หรือ +24 V) กับรางล่าง (N หรือ 0 V) แต่ละเส้นทางแนวตั้งเรียกว่า “path” หรือ “current path” มีหมายเลขคอลัมน์กำกับด้านบน สัญลักษณ์ของอุปกรณ์ชิ้นเดียวกัน (เช่น คอยล์ -K1 และหน้าสัมผัส -K1 13-14) อาจอยู่คนละคอลัมน์หรือคนละหน้า เชื่อมกันด้วยรหัสอุปกรณ์

วงจรกำลัง (IEC): อ่านบน → ล่างตามทางไหลของพลังงาน พร้อมเลขขั้ว 1–6 และสาย PE

วงจรควบคุม (IEC 60204-1): ราง L1 → อุปกรณ์ → คอยล์ → ราง N พร้อมเลขคอลัมน์และตารางอ้างอิงข้าม

### สิ่งที่ปรากฏในแบบวงจรควบคุม IEC 60204-1

- เลขคอลัมน์ 1 2 3 … เหนือราง L1 ใช้ระบุตำแหน่งของทุกอุปกรณ์ และข้อความหน้าที่ (เช่น “ล็อกตัวเอง”) ใต้ราง N

- กล่องใต้คอยล์ คือตารางอ้างอิงข้าม (contact mirror): แถว NO / NC บอกว่าหน้าสัมผัสของคอยล์นั้นอยู่ที่คอลัมน์ใด “PWR” = ขั้วกำลังอยู่ในวงจรกำลัง

- คอยล์ต่อกับราง N และหน้าสัมผัสทั้งหมดต่อด้านราง L: ถ้าสายควบคุมเสียดินระหว่างหน้าสัมผัสกับคอยล์ คอยล์จะไม่ดูดเอง (IEC 60204-1 หัวข้อ 9.4.3)

- ฟิวส์ -F3 ป้องกันวงจรควบคุม · หน้าสัมผัสโอเวอร์โหลด -F2 95-96 (NC) อยู่หัวสายอนุกรมกับคอยล์ · 97-98 (NO) ส่งสัญญาณทริป

- รหัสสีไฟตาม IEC 60204-1 GN เขียว = ปกติ/เดิน · YE เหลือง = ผิดปกติ (ทริป) · RD แดง = อันตราย/ฉุกเฉิน · BU น้ำเงิน = ต้องดำเนินการ · WH ขาว = สถานะทั่วไป

- วงจรกำลัง: เส้นประเขียว-เหลือง = ตัวนำ PE ต่อเข้าโครงมอเตอร์ · เส้นประสั้นระหว่างขั้ว = การเชื่อมทางกล · โอเวอร์โหลดเป็นขดไบเมทัลต่อกลไกถึงหน้าสัมผัส 95-96

## ไดอะแกรมเส้นเดียว (single-line / one-line diagram) กลาง

ไดอะแกรมเส้นเดียวคือ “แผนที่ภาพรวม” ของระบบไฟฟ้า: ใช้เส้นเดียวแทนสามเฟส (ขีดเฉียงสามขีดบนเส้นแสดงว่ามีตัวนำสามเส้น) แสดงแหล่งจ่าย หม้อแปลง บัสบาร์ ฟีดเดอร์ อุปกรณ์ป้องกัน สตาร์ทเตอร์ และมอเตอร์ พร้อมพิกัด แต่ไม่แสดงวงจรควบคุม เลขขั้ว หรือการต่อสายภายในอุปกรณ์ ใช้ตรวจการประสานอุปกรณ์ป้องกัน คำนวณกระแสลัดวงจร และวางแผนการขยายระบบ

รูป 2 · ไดอะแกรมเส้นเดียวตามสัญลักษณ์ IEC 60617: หม้อแปลง 22/0.4 kV Dyn11 → ACB → บัส MDB → ฟีดเดอร์ DOL (MPCB + คอนแทกเตอร์ + โอเวอร์โหลด) ซอฟต์สตาร์ตเตอร์ และอินเวอร์เตอร์ (ตัวเลขเป็นตัวอย่างเพื่อการเรียนรู้)

### อ่านจากบนลงล่าง

- แหล่งจ่ายและหม้อแปลง — ระดับแรงดัน ความถี่ กำลัง (kVA) ค่า uk % กลุ่มเวกเตอร์ (Dyn11) และการต่อดินของนิวทรัล (TN-S)

- เมนเบรกเกอร์ (ACB) — กระแสพิกัด และความสามารถตัดกระแสลัดวงจร Icu ต้องมากกว่ากระแสลัดวงจรที่บัส

- CT และมิเตอร์ — วงกลมคล้องสายคือหม้อแปลงกระแส ต่อกับแอมมิเตอร์หรือเครื่องวัดกำลัง

- บัสบาร์ — เส้นหนา: ระบบ 3N~ 400/230 V · ทุกฟีดเดอร์แยกออกจากบัสนี้

- ฟีดเดอร์มอเตอร์ — เบรกเกอร์/MPCB → ตัวสตาร์ท (คอนแทกเตอร์ + โอเวอร์โหลด, ซอฟต์สตาร์ตเตอร์ หรืออินเวอร์เตอร์) → สาย (ขนาด/จำนวนแกน/ชีลด์) → มอเตอร์ (kW, กระแส)

รูป 3 · ไดอะแกรมเส้นเดียวแบบอเมริกา (ANSI/IEEE 315): เบรกเกอร์เป็นกล่องสี่เหลี่ยมบนเส้น รหัสอุปกรณ์ ANSI/IEEE C37.2 (52 = เบรกเกอร์ AC, 49 = โอเวอร์โหลดความร้อน) สตาร์ตเตอร์ NEMA ขนาด 1 และกระแส FLA จากตาราง NEC 430.250

| ประเภทแบบ | แสดงอะไร | ใช้ทำอะไร |

| ไดอะแกรมเส้นเดียว | ระบบทั้งหมดด้วยเส้นเดียวต่อสามเฟส พร้อมพิกัด | ประสานอุปกรณ์ป้องกัน กระแสลัดวงจร ขยายระบบ |

| วงจรกำลัง (power / multi-line) | ทุกตัวนำของฟีดเดอร์เดียว: L1 L2 L3 PE เลขขั้ว ขั้วมอเตอร์ | เดินสายตู้ ตรวจทิศหมุน |

| วงจรควบคุม | คอยล์ หน้าสัมผัส ปุ่ม เซนเซอร์ ระหว่างราง L–N (IEC) หรือ X1–X2 (NEMA) | ตรรกะการทำงาน แก้ปัญหา |

### รายการที่ไดอะแกรมเส้นเดียวที่ดีต้องมี

- แรงดัน ความถี่ ระบบต่อดิน (TN-S, TN-C-S, TT, IT) และกระแสลัดวงจรที่บัส (kA)

- ชนิด พิกัด และ Icu ของเบรกเกอร์ทุกตัว · ฟิวส์ · ค่าตั้งรีเลย์ป้องกัน

- ขนาดสาย จำนวนแกน วัสดุ ความยาว (เพื่อตรวจแรงดันตกและกระแสลัดวงจร)

- มอเตอร์: kW หรือ hp กระแสพิกัด วิธีสตาร์ท และรหัสอุปกรณ์ที่ตรงกับแบบวงจรควบคุม (-Q1 -K1 -F2 -M1 หรือ DISC M OL MTR)

- ชื่อมาตรฐานที่ใช้ (IEC 60617/81346 หรือ ANSI/IEEE 315/NEMA) ระบุไว้ในตารางสัญลักษณ์ของแบบ

## สัญลักษณ์ IEC 60617 พื้นฐาน

รูป 1 · เส้นประจากหน้าสัมผัสคือการเชื่อมทางกล เช่น ปุ่มกด (รูปวงเล็บเหลี่ยม) ลูกลอย สวิตช์ความดัน หรืออุปกรณ์ทางความร้อนของโอเวอร์โหลด

### กฎการวาดที่ต้องรู้

- หน้าสัมผัสวาดในสถานะ “ไม่มีไฟ ไม่ถูกกระทำ” — ลิมิตสวิตช์ที่ปกติถูกกดค้างจะมีหมายเหตุกำกับ

- หน้าสัมผัส NO วาดใบมีดเอียงไปทางซ้าย NC มีขีดขวางที่จุดสัมผัส

- สัญลักษณ์ครึ่งวงกลมบนหน้าสัมผัสไทเมอร์บอกทิศของการหน่วงเวลา (เหมือนร่มชูชีพ)

- จุดทึบ (●) คือจุดต่อสาย เส้นที่ตัดกันโดยไม่มีจุด ไม่ได้ต่อกัน

- ฟิวส์ = สี่เหลี่ยมที่มีเส้นตัวนำพาดผ่านตลอด · ขั้วคอนแทกเตอร์มีเสี้ยววงกลมที่จุดสัมผัส · เบรกเกอร์มีกากบาทที่ปลายใบมีด · สวิตช์ตัดต่อ (isolator) มีขีดขวางที่ปลายใบมีด

- เส้นประคือการเชื่อมทางกลระหว่างขั้วหรือระหว่างอุปกรณ์ เช่น ขั้วทั้งสามของคอนแทกเตอร์ ตัวปลดทริปของเบรกเกอร์ หรืออินเตอร์ล็อกทางกลระหว่างคอยล์ -K1 กับ -K2

## รหัสอุปกรณ์และเลขขั้ว กลาง

| รหัสแบบเดิม (ใช้ในชุดนี้) | IEC 81346-2 ฉบับใหม่ (ตัวอย่าง) | อุปกรณ์ |

| -Q | -QA | เบรกเกอร์ MPCB สวิตช์ตัดตอน (และคอนแทกเตอร์กำลังในฉบับใหม่) |

| -K | -QA (คอนแทกเตอร์) · -KF (รีเลย์ ไทเมอร์ PLC) | คอนแทกเตอร์ รีเลย์ ไทเมอร์ |

| -F | -FC | ฟิวส์ โอเวอร์โหลด อุปกรณ์ป้องกัน |

| -S | -SF | ปุ่มกด สวิตช์เลือก (คนสั่ง) |

| -B | -BG -BP -BL | เซนเซอร์ ลิมิตสวิตช์ สวิตช์ความดัน ลูกลอย |

| -P / -H | -PF -PG | หลอดไฟแสดงสถานะ มิเตอร์ |

| -M | -MA | มอเตอร์ |

| -X | -XD | รางเทอร์มินัล |

| -T | -TA | หม้อแปลง พาวเวอร์ซัพพลาย (ฉบับใหม่ใช้ T กับการแปลงพลังงาน) |

เลขขั้วอ่านคู่กับรหัสเสมอ เช่น “-K1:A1” คือขั้วคอยล์ของคอนแทกเตอร์ K1 “-X1:5” คือขั้วที่ 5 ของรางเทอร์มินัล X1 เลขสายในแบบมักตั้งตามหมายเลขหน้าและคอลัมน์ (เช่น สาย 2.4 คือสายในหน้า 2 คอลัมน์ 4) ทำให้ตามสายในตู้ได้จริง

### ตารางอ้างอิงข้าม (cross reference)

ใต้คอยล์แต่ละตัวในแบบ IEC มักมีตารางเล็ก ๆ บอกว่าหน้าสัมผัสของมันอยู่ที่ไหน เช่น

-K1
1-2 │ 3.2 ← หน้าสัมผัสหลัก อยู่หน้า 3 คอลัมน์ 2
13-14 │ 4.3 ← NO ใช้ล็อกตัวเอง หน้า 4 คอลัมน์ 3
21-22 │ 4.6 ← NC ใช้อินเตอร์ล็อก หน้า 4 คอลัมน์ 6
43-44 │ 4.8 ← NO ไฟเดิน

## อ่านวงจรควบคุมเป็นตรรกะ กลาง

ทางเดินไฟไปถึงคอยล์เมื่อมีอย่างน้อยหนึ่งเส้นทางที่หน้าสัมผัสปิดทั้งหมด จึงเขียนเป็นพีชคณิตบูลีนได้ ซึ่งเป็นพื้นฐานของการเขียนแลดเดอร์ใน PLC

G1 Series = AND หน้าสัมผัสอนุกรม

$$K = A \cdot B$$

G2 Parallel = OR หน้าสัมผัสขนาน

$$K = A + B$$

G3 NC contact = NOT หน้าสัมผัสปกติปิด

$$K = \overline{A}$$

G4 Self-holding (seal-in) สมการล็อกตัวเอง

$$K1 = \overline{S0}\cdot\overline{F2}\cdot(S1 + K1)$$

ตัวอย่าง G-1

### อ่านวงจร DOL เป็นสมการ

- เส้นทางเดียวจากราง L: F2 (95-96, NC) → S0 (NC) → [S1 (NO) ขนาน K1 13-14] → คอยล์ K1

- แทน NC ด้วย NOT ของ “ถูกกระทำ”: $K1 = \overline{F2}\cdot\overline{S0}\cdot(S1 + K1)$ — ตรงกับ G4

- ตรวจ: กด S1 → K1 = 1 · ปล่อย S1 → เทอม K1 ค้างไว้ · กด S0 หรือ F2 ทริป → K1 = 0 และไม่กลับมาเองเมื่อปล่อย

## แบบอเมริกา (NEMA/JIC) และญี่ปุ่น กลาง

ในอเมริกาเหนือ แบบวงจรมอเตอร์ยึด NEMA ICS 19 (รหัสและสัญลักษณ์), NEMA ICS 2 (คอนแทกเตอร์ สตาร์ทเตอร์ และขนาด NEMA), NFPA 79 / JIC (ไฟฟ้าในเครื่องจักรอุตสาหกรรม) และ NEC (การติดตั้ง) สัญลักษณ์อ้างอิง ANSI Y32.2 / IEEE 315 ภาพนี้เป็นชุดสัญลักษณ์ที่ใช้ในแลดเดอร์ของชุดบทเรียนนี้

รูป 4 · สัญลักษณ์ NEMA/JIC: หน้าสัมผัสเป็นเส้นคู่ขนาน NO ┤ ├ และ NC ┤/├ · คอยล์และไฟแสดงเป็นวงกลมมีตัวอักษร · ฮีตเตอร์โอเวอร์โหลดเป็นเส้นซิกแซก · ขั้วกำลังเป็นขีดคู่ขวางเส้น

| เรื่อง | IEC (ยุโรป · ไทย · อาเซียน) | NEMA / JIC (อเมริกาเหนือ) |

| ทิศการวาด | รางบน-ล่าง วงจรแนวตั้ง · คอลัมน์ 1 2 3 | รางซ้าย-ขวา (X1 · X2) แถวนอนเป็นขั้นบันได (ladder) · เลขแลดเดอร์ 1 2 3 |

| หน้าสัมผัส NO / NC | ใบมีดเอียง / ใบมีดพาดขีด | เส้นขนานสองเส้น ─┤ ├─ / มีเส้นทแยง ─┤/├─ |

| คอยล์ | สี่เหลี่ยม A1–A2 | วงกลมมีตัวอักษร M, CR, TR (ไม่มีเลขขั้ว) |

| รหัสอุปกรณ์ | -K1 -S1 -F2 -P1 -M1 | M · CR · TR · OL · PB · FU · PL · MTR |

| ขั้วหน้าสัมผัสหลัก | 1/L1 2/T1 3/L2 4/T2 5/L3 6/T3 | L1 L2 L3 → T1 T2 T3 |

| ขั้วมอเตอร์ 6 ขั้ว | U1 V1 W1 U2 V2 W2 | T1 T2 T3 T4 T5 T6 (ตรงกัน: U1=T1 V1=T2 W1=T3 U2=T4 V2=T5 W2=T6) |

| โอเวอร์โหลด | รีเลย์ -F2 95-96 อยู่หัวสายอนุกรมกับคอยล์ | ฮีตเตอร์ OL ในวงจรกำลัง · หน้าสัมผัส OL (NC) อยู่ติดคอยล์ ใกล้ราง X2 |

| แรงดันควบคุม | 230 VAC / 24 VDC | 120 VAC จากหม้อแปลงควบคุม (X2 ต่อดิน) / 24 VDC |

| การอ้างอิงข้าม | กล่องใต้คอยล์ บอกคอลัมน์ของ NO/NC | เลขแลดเดอร์ใต้คอยล์ · ขีดเส้นใต้ = NC |

| เลขสาย / สีสาย | ตามหน้า-คอลัมน์ · เขียว-เหลือง = PE | เลขสายต่อจุดต่อ · NFPA 79: ดำ = กำลัง แดง = ควบคุม AC ขาว = กราวด์ (X2) เขียว = ดิน |

| ขนาดอุปกรณ์สตาร์ท | พิกัดตามประเภทการใช้งาน AC-3 (kW, A) | ขนาด NEMA 00–9 ตาม hp ที่แรงดันนั้น (ตารางด้านล่าง) |

### อ่านแลดเดอร์ NEMA

- อ่านซ้ายไปขวา: ปุ่ม/หน้าสัมผัสทางซ้าย โหลดทางขวา — คอยล์ M อยู่ขวาสุดต่อกับ OL และราง X2 ที่ต่อดิน (แนวคิดเดียวกับ “คอยล์ติด N” ของ IEC)

- เลขแลดเดอร์ นอกราง X1 · เลขสาย บนเส้น: จุดต่อทางไฟฟ้าเดียวกันใช้เลขเดียวกัน

- ตัวเลขใต้คอยล์บอกว่าหน้าสัมผัสของคอยล์นั้นอยู่แลดเดอร์ใด — ขีดเส้นใต้ = NC เช่น “1 2 3” = NO ที่แลดเดอร์ 1 และ 2, NC ที่แลดเดอร์ 3

- หน้าสัมผัสไม่มีเลขขั้ว 13-14: ระบุด้วยชื่ออุปกรณ์ (M, CR1, TR) · หน้าสัมผัสหน่วงเวลาระบุชนิด NOTC / NCTO (on-delay) หรือ NOTO / NCTC (off-delay)

- ตัวอย่างเต็มพร้อมวงจรกำลัง: สตาร์ทตรง · กลับทางหมุน · สตาร์-เดลต้า (wye-delta)

### เทียบรหัสอุปกรณ์ IEC ↔ NEMA

| อุปกรณ์ | IEC | NEMA / JIC |

| เบรกเกอร์ / MPCB | -Q1 | CB · MCP · DISC |

| คอนแทกเตอร์ / สตาร์ทเตอร์ | -K1 (-QA1) | M · F · R · 1M 2M 1S |

| รีเลย์ควบคุม · ไทเมอร์ | -K2 · -K4T | CR · TR |

| โอเวอร์โหลด | -F2 (95-96) | OL |

| ฟิวส์ | -F1 -F3 | FU |

| ปุ่ม START / STOP | -S1 / -S0 | START / STOP (PB) |

| ลิมิต · ความดัน · ลูกลอย | -B1 -B2 -B3 | LS · PS · FS |

| ไฟแสดงสถานะ | -P1 (GN, RD) | PL (G, R, A, W) |

| หม้อแปลงควบคุม | -T1 | CT / CPT (H1–H4, X1–X2) |

| มอเตอร์ | -M1 (U1 V1 W1) | MTR (T1 T2 T3) |

### ขนาดสตาร์ทเตอร์ NEMA (ICS 2)

| ขนาด NEMA | กระแสต่อเนื่อง (A) | สูงสุด hp ที่ 230 V | สูงสุด hp ที่ 460 V |

| 00 | 9 | 1.5 | 2 |

| 0 | 18 | 3 | 5 |

| 1 | 27 | 7.5 | 10 |

| 2 | 45 | 15 | 25 |

| 3 | 90 | 30 | 50 |

| 4 | 135 | 50 | 100 |

| 5 | 270 | 100 | 200 |

ค่า hp เป็นพิกัดสูงสุดสำหรับสตาร์ทตรงแบบไม่กลับทางหมุน ตรวจกับแค็ตตาล็อกผู้ผลิตและ NEMA ICS 2 ก่อนเลือกใช้ ขนาด NEMA เลือกจาก hp ไม่ใช่จากกระแสจริง ส่วนขนาด IEC เลือกจากกระแสและประเภทการใช้งาน AC-3

แบบญี่ปุ่นปัจจุบันใช้ JIS C 0617 ซึ่งตรงกับ IEC 60617 แต่เครื่องจักรรุ่นเก่ายังพบสัญลักษณ์แบบเดิม แลดเดอร์ใน PLC ทุกยี่ห้อวาดแบบแนวนอนคล้าย NEMA

## ขั้นตอนอ่านแบบเพื่อหาจุดเสีย

- เริ่มที่มอเตอร์/โหลดที่มีปัญหา ดูรหัสอุปกรณ์ในวงจรกำลัง (เช่น -K3)

- หาคอยล์ -K3 ในวงจรควบคุม แล้วไล่จากราง L ลงมาทีละอุปกรณ์

- วัดแรงดันเทียบราง N ทีละจุด จุดแรกที่ “ไม่มีไฟ” อยู่หลังอุปกรณ์ที่เปิดวงจร

- ดูตารางอ้างอิงข้ามว่าหน้าสัมผัสที่เปิดอยู่ (เช่น -K2 21-22) ขึ้นกับอุปกรณ์ตัวใด แล้วตามต่อ

## คำถามที่พบบ่อย

แบบวงจรแสดงหน้าสัมผัสในสถานะใด?
สถานะปกติ คือไม่มีไฟเลี้ยงคอยล์ ไม่มีใครกดปุ่ม และไม่มีแรงกระทำกับเซนเซอร์ (de-energised, unactuated) NO จึงวาดเป็นเปิด NC วาดเป็นปิด แม้ในการใช้งานจริงคอนแทกเตอร์จะดูดอยู่เกือบตลอดก็ตาม

ทำไมบางแบบใช้ K สำหรับคอนแทกเตอร์ บางแบบใช้ Q?
ธรรมเนียมเดิมของ IEC/DIN ใช้ K กับคอนแทกเตอร์และรีเลย์ ส่วน IEC 81346-2 ฉบับใหม่จัดคอนแทกเตอร์กำลังไว้กลุ่ม Q (สวิตช์ตัด-ต่อพลังงาน) เช่น -QA1 และรีเลย์ควบคุมไว้กลุ่ม K เช่น -KF1 ทั้งสองแบบพบได้ในแบบจริง ให้ดูหน้าคำอธิบายรหัสของแบบชุดนั้น

ไดอะแกรมเส้นเดียว (single-line) ต่างจากวงจรกำลังอย่างไร?
ไดอะแกรมเส้นเดียวใช้เส้นเดียวแทนสามเฟสและแสดงทั้งระบบ (แหล่งจ่าย หม้อแปลง บัส ฟีดเดอร์ อุปกรณ์ป้องกัน มอเตอร์) พร้อมพิกัด ส่วนวงจรกำลังแสดงตัวนำทุกเส้นและเลขขั้วของฟีดเดอร์เดียว ใช้เดินสายในตู้

ทำไมแบบ NEMA ไม่มีเลขขั้ว 13-14 หรือ 95-96?
NEMA/JIC ระบุหน้าสัมผัสด้วยชื่ออุปกรณ์ (M, CR, TR, OL) และเลขสายบนเส้น ไม่ใช้เลขหน้าสัมผัสช่วยแบบ IEC 60947 ขั้วกำลังใช้ L1 L2 L3 → T1 T2 T3 และอ่านตำแหน่งหน้าสัมผัสจากเลขแลดเดอร์ใต้คอยล์ (ขีดเส้นใต้ = NC)

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**แบบวงจรแสดงหน้าสัมผัสในสถานะใด?**
สถานะปกติ คือไม่มีไฟเลี้ยงคอยล์ ไม่มีใครกดปุ่ม และไม่มีแรงกระทำกับเซนเซอร์ (de-energised, unactuated) NO จึงวาดเป็นเปิด NC วาดเป็นปิด แม้ในการใช้งานจริงคอนแทกเตอร์จะดูดอยู่เกือบตลอดก็ตาม

**ทำไมบางแบบใช้ K สำหรับคอนแทกเตอร์ บางแบบใช้ Q?**
ธรรมเนียมเดิมของ IEC/DIN ใช้ K กับคอนแทกเตอร์และรีเลย์ ส่วน IEC 81346-2 ฉบับใหม่จัดคอนแทกเตอร์กำลังไว้กลุ่ม Q (สวิตช์ตัด-ต่อพลังงาน) เช่น -QA1 และรีเลย์ควบคุมไว้กลุ่ม K เช่น -KF1 ทั้งสองแบบพบได้ในแบบจริง ให้ดูหน้าคำอธิบายรหัสของแบบชุดนั้น

**ไดอะแกรมเส้นเดียว (single-line) ต่างจากวงจรกำลังอย่างไร?**
ไดอะแกรมเส้นเดียวใช้เส้นเดียวแทนสามเฟสและแสดงทั้งระบบ (แหล่งจ่าย หม้อแปลง บัส ฟีดเดอร์ อุปกรณ์ป้องกัน มอเตอร์) พร้อมพิกัด ส่วนวงจรกำลังแสดงตัวนำทุกเส้นและเลขขั้วของฟีดเดอร์เดียว ใช้เดินสายในตู้

**ทำไมแบบ NEMA ไม่มีเลขขั้ว 13-14 หรือ 95-96?**
NEMA/JIC ระบุหน้าสัมผัสด้วยชื่ออุปกรณ์ (M, CR, TR, OL) และเลขสายบนเส้น ไม่ใช้เลขหน้าสัมผัสช่วยแบบ IEC 60947 ขั้วกำลังใช้ L1 L2 L3 → T1 T2 T3 และอ่านตำแหน่งหน้าสัมผัสจากเลขแลดเดอร์ใต้คอยล์ (ขีดเส้นใต้ = NC)

---

# วงจรสตาร์ทมอเตอร์โดยตรง (DOL): วงจรกำลัง วงจรควบคุมแบบล็อกตัวเอง ควบคุมสองจุด จ็อก และการเลือกอุปกรณ์ทีละขั้น

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/dol-starter/
Updated: 2026-10-14
Summary: วงจร Direct-On-Line สำหรับมอเตอร์สามเฟส 400 V: วงจรกำลัง MPCB คอนแทกเตอร์ โอเวอร์โหลด วงจรควบคุมล็อกตัวเอง (self-holding) ทำไมปุ่ม STOP ต้องเป็น NC ต่ออนุกรม ควบคุมหลายจุด ปุ่มจ็อก ไฟแสดงสถานะ ลำดับการทำงาน การเดินสาย และตัวอย่างเลือกอุปกรณ์ครบชุดสำหรับมอเตอร์ 7.5 kW

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.6 · ควบคุมมอเตอร์ AC · Direct-On-Line Starter

# วงจรสตาร์ทมอเตอร์โดยตรง (DOL): วงจรกำลัง วงจรควบคุมแบบล็อกตัวเอง ควบคุมสองจุด จ็อก และการเลือกอุปกรณ์ทีละขั้น

DOL คือวงจรมอเตอร์ที่ง่ายและพบมากที่สุด และเป็นแม่แบบของวงจรอื่นทั้งหมด: กลับทางหมุนคือ DOL สองชุดที่อินเตอร์ล็อกกัน สตาร์ท-เดลต้าคือ DOL ที่เพิ่มคอนแทกเตอร์และไทเมอร์ ถ้าเข้าใจหน้านี้ลึก หน้าต่อไปจะง่ายมาก

สรุปใน 30 วินาที

- วงจรกำลัง: Q1 (ลัดวงจร) → K1 (ตัด-ต่อ) → F2 (โหลดเกิน) → มอเตอร์

- วงจรควบคุม: F2 95-96 → STOP (NC) → [START (NO) ∥ K1 13-14] → คอยล์ K1

- STOP ทุกจุดต่ออนุกรม START ทุกจุดต่อขนาน

- ล็อกตัวเองให้ความปลอดภัยแบบ no-volt release: ไฟดับแล้วไม่สตาร์ทเอง

- มอเตอร์ 7.5 kW: MPCB 13–18 A · คอนแทกเตอร์ 18 A AC-3 · สาย 2.5 mm² (≤ 60 m)

## วงจรกำลัง พื้นฐาน

รูป 1 · วงจรกำลัง DOL: อุปกรณ์สามตัวทำสามหน้าที่ต่างกัน ห้ามใช้ตัวหนึ่งแทนอีกตัว (เช่น ใช้เบรกเกอร์ตัด-ต่อมอเตอร์ทุกวัน)

L1 DOL starting current กระแสสตาร์ทตรง

$$I_{st} = k_{st}\,I_n \qquad k_{st} = I_a/I_n \approx 6\text{–}8$$

L2 Voltage dip at the transformer แรงดันตกขณะสตาร์ทที่หม้อแปลง (ประมาณ)

$$\Delta U\% \approx \frac{S_{st}}{S_{sc} + S_{st}}\times 100 \qquad S_{st} = \sqrt3\,V_L\,I_{st} \qquad S_{sc} = \frac{S_{tr}}{u_k}$$

L3 Cable voltage drop แรงดันตกในสายมอเตอร์

$$\Delta V = \sqrt3\, I\, L\,(R\cos\varphi + X\sin\varphi) \qquad \cos\varphi_{start} \approx 0.3$$

## วงจรควบคุมแบบล็อกตัวเอง พื้นฐาน

รูป 2 · คอลัมน์ 1 สั่งคอยล์ (STOP · START · K1) · คอลัมน์ 2 หน้าสัมผัสล็อกตัวเอง · คอลัมน์ 3 ไฟเดิน (K1 43-44) · คอลัมน์ 4 ไฟทริป (F2 97-98) · กล่องใต้คอยล์ K1 = ตำแหน่งหน้าสัมผัสของ K1

### ลำดับการทำงาน

- สภาวะปกติ: F2 95-96 ปิด · S0 ปิด · S1 เปิด · K1 13-14 เปิด → คอยล์ไม่มีไฟ

- กด S1: ไฟผ่าน S1 ถึงคอยล์ K1 → K1 ดูด → หน้าสัมผัสหลักต่อมอเตอร์ · 13-14 ปิด · 43-44 ไฟเดินติด

- ปล่อย S1: ไฟยังไปถึงคอยล์ผ่าน 13-14 ซึ่งขนานกับ S1 → ล็อกตัวเอง

- กด S0: ตัดเส้นทางทั้งหมด → K1 ปล่อย → 13-14 เปิด → ปล่อย S0 แล้วก็ไม่กลับมา

- โหลดเกิน: F2 95-96 เปิดเหมือนกด STOP · 97-98 ปิด ไฟทริปติด · ต้องแก้สาเหตุแล้วรีเซ็ต

- ไฟดับ: คอยล์หมดไฟ K1 ปล่อย ล็อกหาย → ไฟกลับมามอเตอร์ไม่เดินเอง

L4 Seal-in logic ตรรกะวงจรล็อกตัวเอง

$$K1_{\text{ใหม่}} = \overline{F2}\cdot\overline{S0}\cdot(S1 + K1_{\text{เดิม}})$$

ทำไม STOP ต้องเป็น NC: ถ้าใช้ปุ่ม NO แล้วออกแบบให้ “กดเพื่อตัด” สายหลุดหรือหน้าสัมผัสสกปรกจะทำให้กด STOP แล้วไม่มีผล ปุ่ม NC ที่ต่ออนุกรม ถ้าสายขาดเครื่องจะหยุดเอง — ล้มเหลวแบบปลอดภัย (fail-safe) เหตุผลเดียวกันใช้กับโอเวอร์โหลด 95-96 และหยุดฉุกเฉิน

ต้องเปิด JavaScript

## แบบ NEMA/JIC: วงจรเดียวกัน วาดแบบอเมริกา กลาง

เครื่องจักรจากอเมริกาเหนือและโรงงานที่ออกแบบตาม NFPA 79 / NEC วาดวงจรสตาร์ทตรงเป็น “วงจรกำลัง + แลดเดอร์ควบคุม” บนหน้าเดียวกัน รูปนี้คือวงจรเดียวกับรูป 1–2 ที่ 480 V 3Φ 60 Hz ควบคุม 120 V จากหม้อแปลงควบคุม

รูป 2ก · สตาร์ทตรงแบบ NEMA/JIC: ดิสคอนเนกต์+ฟิวส์ → สตาร์ตเตอร์ M (L1 L2 L3 → T1 T2 T3) → ฮีตเตอร์ OL → มอเตอร์ · หม้อแปลงควบคุม 480/120 V (X2 ต่อดิน) → แลดเดอร์ STOP – START ∥ M – คอยล์ M – OL

### เทียบกับแบบ IEC ในรูป 1–2

- แลดเดอร์ 3 สาย (three-wire): STOP (NC) – START (NO) ขนานกับหน้าสัมผัสช่วย M (NO) – คอยล์ M – OL (NC) — ตรรกะเดียวกับ IEC แต่อ่านซ้ายไปขวา

- OL อยู่ติดคอยล์ ใกล้ราง X2 ที่ต่อดิน (IEC วางหน้าสัมผัสโอเวอร์โหลดไว้หัวสาย) ส่วนฮีตเตอร์ OL อยู่ในวงจรกำลัง

- เลขใต้คอยล์ “1 2 3”: M มีหน้าสัมผัส NO ที่แลดเดอร์ 1 (ล็อกตัวเอง) และ 2 (ไฟ RUN) และ NC ที่แลดเดอร์ 3 (ไฟ OFF)

- หม้อแปลงควบคุม: ฟิวส์ปฐมภูมิ FU1 FU2 ที่ H1 H4, ฟิวส์ทุติยภูมิ FU3 ที่ X1 และ X2 ต่อดิน — เหตุผลเดียวกับ “คอยล์ติด N” ของ IEC: เสียดินที่สายควบคุมต้องไม่ทำให้คอยล์ดูดเอง

- ไม่มีเลขขั้ว 1-2 หรือ 13-14 และ 95-96 — ใช้ชื่ออุปกรณ์ (M, OL) กับเลขสาย 1–6 แทน · สตาร์ตเตอร์ NEMA เลือกจาก hp: มอเตอร์ 10 hp 460 V (FLA 14 A) ใช้ขนาด 1 — ดูตารางที่ หน้าสัญลักษณ์

## ควบคุมหลายจุดและจ็อก กลาง

เครื่องจักรมักต้องสั่งได้ทั้งที่ตู้และที่หน้างาน กฎคือ STOP ทุกตัวต่ออนุกรม (กดตัวไหนก็หยุด) และ START ทุกตัวต่อขนาน (กดตัวไหนก็เดิน) ปุ่มจ็อก (inching) ให้มอเตอร์เดินเฉพาะขณะกด ใช้ตั้งตำแหน่งสายพานหรือเครื่องมือ ทำได้ด้วยปุ่มคู่ NO+NC: ส่วน NC ตัดเส้นทางล็อกตัวเอง ส่วน NO จ่ายคอยล์โดยตรง

รูป 3 · ปุ่มจ็อกแบบคู่: หน้าสัมผัส NC ต้องเปิดก่อนที่ NO จะปิด (break-before-make) มิฉะนั้นมอเตอร์จะล็อกค้างหลังปล่อยปุ่ม

งานจ็อกบ่อย ๆ คือ AC-4 หน้าสัมผัสคอนแทกเตอร์ตัดกระแสสตาร์ททุกครั้ง ต้องลดพิกัดคอนแทกเตอร์หรือเลือกขนาดใหญ่ขึ้น และระวังมอเตอร์ร้อนจากการสตาร์ทถี่

## เลือกอุปกรณ์ครบชุดทีละขั้น กลาง

ตัวอย่าง L-1

### ปั๊มน้ำ 7.5 kW 400 V 14.6 A ห่างตู้ 60 m หม้อแปลง 500 kVA uk 4 %

- L1: $I_{st} = 6.5 \times 14.6 = 95$ A

- L2: $S_{st} = \sqrt3(400)(95) = 65.8$ kVA · $S_{sc} = 500/0.04 = 12.5$ MVA → $\Delta U = 65.8/(12{,}500 + 65.8) = 0.5\,\%$ ที่หม้อแปลง — สตาร์ทตรงได้สบาย

- คอนแทกเตอร์ 18 A AC-3 · MPCB ช่วง 13–18 A ตั้ง 14.6 A คลาส 10 (ปั๊มเร่ง < 2 s)

- L3 สาย 2.5 mm² (R = 0.0225/2.5 = 9 mΩ/m): ขณะเดิน $\Delta V = \sqrt3(14.6)(60)(0.009 \times 0.82 + 0.00008 \times 0.57) = 11.3$ V = 2.8 % ✓

- ขณะสตาร์ท $\Delta V = \sqrt3(95)(60)(0.009 \times 0.3 + 0.00008 \times 0.95) = 27.4$ V = 6.9 % — รวมกับหม้อแปลงยังต่ำกว่า 10 % ✓

- วงจรควบคุม 230 VAC ผ่านฟิวส์ 2 A · ปุ่ม START/STOP · ไฟเดิน/ทริป

## เดินสายในตู้: แนวปฏิบัติ

- สีสายวงจรกำลังตามมาตรฐานที่ใช้ (ไทยตาม วสท.: L1 น้ำตาล L2 ดำ L3 เทา N ฟ้า PE เขียวคาดเหลือง) วงจรควบคุมใช้สีแยก เช่น แดง (AC) น้ำเงินเข้ม (DC)

- สวมปลอกเลขสายทั้งสองปลายตามแบบ ย้ำหางปลา/ปลอกย้ำสาย (ferrule) ทุกเส้นที่เป็นสายฝอย

- ปุ่มกดหน้าตู้ต่อผ่านรางเทอร์มินัล -X1 ไม่ต่อตรงจากอุปกรณ์ในตู้ เพื่อถอดประตูซ่อมได้

- ทดสอบวงจรควบคุมก่อนต่อมอเตอร์: ปลดวงจรกำลัง กด START/STOP ดูคอนแทกเตอร์และไฟแสดงทำงานถูกลำดับ

- ทดสอบโอเวอร์โหลดด้วยปุ่ม TEST ระหว่างเดิน ต้องหยุดและไฟทริปติด

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมต้องใช้หน้าสัมผัสช่วยล็อกตัวเอง ไม่ใช้สวิตช์ค้าง?
เพื่อความปลอดภัย: เมื่อไฟดับแล้วกลับมา วงจรล็อกตัวเองจะไม่สตาร์ทมอเตอร์เอง (no-volt release) เพราะคอนแทกเตอร์ปล่อยตอนไฟดับและต้องมีคนกด START ใหม่ ถ้าใช้สวิตช์ค้าง มอเตอร์จะเดินทันทีที่ไฟกลับ ซึ่งอันตรายกับคนที่กำลังซ่อมเครื่อง (IEC 60204-1 กำหนดเรื่องการป้องกันการสตาร์ทเองโดยไม่ตั้งใจ)

มอเตอร์ขนาดเท่าไรสตาร์ทตรงได้?
ไม่มีตัวเลขเดียว ขึ้นกับความแข็งแรงของแหล่งจ่าย (ขนาดหม้อแปลง ความยาวสาย) และข้อกำหนดของการไฟฟ้า หลักทั่วไปคือแรงดันตกขณะสตาร์ทที่ตู้เมนไม่ควรเกิน 10–15 % และไม่กระทบอุปกรณ์อื่น ใช้เครื่องคำนวณแรงดันตกในหน้านี้ตรวจ และตรวจข้อกำหนดการขอใช้ไฟในพื้นที่

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมต้องใช้หน้าสัมผัสช่วยล็อกตัวเอง ไม่ใช้สวิตช์ค้าง?**
เพื่อความปลอดภัย: เมื่อไฟดับแล้วกลับมา วงจรล็อกตัวเองจะไม่สตาร์ทมอเตอร์เอง (no-volt release) เพราะคอนแทกเตอร์ปล่อยตอนไฟดับและต้องมีคนกด START ใหม่ ถ้าใช้สวิตช์ค้าง มอเตอร์จะเดินทันทีที่ไฟกลับ ซึ่งอันตรายกับคนที่กำลังซ่อมเครื่อง (IEC 60204-1 กำหนดเรื่องการป้องกันการสตาร์ทเองโดยไม่ตั้งใจ)

**มอเตอร์ขนาดเท่าไรสตาร์ทตรงได้?**
ไม่มีตัวเลขเดียว ขึ้นกับความแข็งแรงของแหล่งจ่าย (ขนาดหม้อแปลง ความยาวสาย) และข้อกำหนดของการไฟฟ้า หลักทั่วไปคือแรงดันตกขณะสตาร์ทที่ตู้เมนไม่ควรเกิน 10–15 % และไม่กระทบอุปกรณ์อื่น ใช้เครื่องคำนวณแรงดันตกในหน้านี้ตรวจ และตรวจข้อกำหนดการขอใช้ไฟในพื้นที่

---

# วงจรกลับทางหมุนมอเตอร์สามเฟส: สลับสองเฟส อินเตอร์ล็อกทางไฟฟ้า ทางกล และปุ่มกด และการกลับทางอัตโนมัติด้วยลิมิตสวิตช์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/forward-reverse/
Updated: 2026-10-14
Summary: วงจร forward-reverse สำหรับมอเตอร์สามเฟส 400 V: ทำไมสลับ L1 กับ L3 แล้วมอเตอร์หมุนกลับ วงจรกำลังคอนแทกเตอร์สองตัว อินเตอร์ล็อกสามชั้น (หน้าสัมผัส NC ปุ่มกดคู่ และอินเตอร์ล็อกทางกล) กลับทางผ่าน STOP กับกลับทันที plugging AC-4 งานประตูม้วน รอกไฟฟ้า สายพาน และลิมิตสวิตช์

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.7 · ควบคุมมอเตอร์ AC · Forward–Reverse

# วงจรกลับทางหมุนมอเตอร์สามเฟส: สลับสองเฟส อินเตอร์ล็อกทางไฟฟ้า ทางกล และปุ่มกด และการกลับทางอัตโนมัติด้วยลิมิตสวิตช์

ประตูม้วน รอกไฟฟ้า สายพานสองทิศ เครื่องกลึง ล้วนต้องกลับทางหมุน วงจรนี้คือ DOL สองชุดที่ต่อเข้ามอเตอร์ตัวเดียว ความยากไม่ได้อยู่ที่การทำให้หมุนกลับ แต่อยู่ที่การรับประกันว่าคอนแทกเตอร์สองตัว ไม่มีวันดูดพร้อมกัน เพราะนั่นคือลัดวงจรเฟสต่อเฟส

สรุปใน 30 วินาที

- K1 ต่อ L1-L2-L3 ตรง · K2 สลับ L1 กับ L3 → ลำดับเฟสกลับ สนามหมุนกลับ

- K1 + K2 พร้อมกัน = ลัดวงจรระหว่าง L1 กับ L3

- อินเตอร์ล็อกสามชั้น: NC ช่วยของตัวตรงข้าม · ปุ่มคู่ NO+NC · อินเตอร์ล็อกทางกล

- กลับทันทีขณะหมุน (plugging) กระแสสูงกว่าสตาร์ท ต้อง AC-4 — ควรหยุดก่อน

## วงจรกำลัง: สลับสองเฟส พื้นฐาน

รูป 1 · ด้านไฟเข้าของ K1 และ K2 ต่อขนานกัน ด้านออกของ K2 สลับเส้น L1 กับ L3 ก่อนรวมเข้ากับด้านออกของ K1 · ▽ คือสัญลักษณ์อินเตอร์ล็อกทางกล

R1 Phase swap การสลับเฟส

$$\text{K1: } (L1, L2, L3)\to(U1, V1, W1) \qquad \text{K2: } (L3, L2, L1)\to(U1, V1, W1)$$

R2 Fault if both close ถ้าดูดพร้อมกัน

$$I_{k2} = \frac{V_{L1L3}}{2 Z_{src}} = \frac{\sqrt3}{2} I_{k3} \approx 0.87\,I_{k3}$$

## วงจรควบคุมพร้อมอินเตอร์ล็อกสามชั้น กลาง

รูป 2 · แต่ละฝั่งคือวงจรล็อกตัวเองแบบ DOL แต่มีหน้าสัมผัส NC ของฝั่งตรงข้ามสองตัวขวางอยู่: ปุ่มของอีกฝั่ง และหน้าสัมผัสช่วยของคอนแทกเตอร์อีกตัว

| ชั้น | ทำด้วย | กันอะไร | ช่องโหว่ถ้ามีชั้นนี้ชั้นเดียว |

| 1 ไฟฟ้า (auxiliary) | K2 21-22 อนุกรมคอยล์ K1 และ K1 21-22 อนุกรมคอยล์ K2 | สั่งตัวที่สองขณะตัวแรกดูดอยู่ | หน้าสัมผัสหลักเชื่อมติด แต่ NC ช่วยกลับมาปิดได้ |

| 2 ปุ่มกด | ปุ่มคู่: กด S1 ตัด NC ของฝั่ง K2 ก่อน | กดสองปุ่มพร้อมกัน · ทำให้กลับทางผ่านการปล่อยก่อน | ไม่ช่วยถ้าคอนแทกเตอร์ค้าง |

| 3 ทางกล | คานกลระหว่างคอนแทกเตอร์คู่ | ดูดพร้อมกันทางกายภาพ แม้วงจรควบคุมผิด | ต้องติดตั้งคอนแทกเตอร์คู่ตามที่ผู้ผลิตกำหนด |

R3 Interlocked logic ตรรกะของวงจรกลับทาง

$$K1 = \overline{S0}\,\overline{F2}\,(S1 + K1)\,\overline{S2}\,\overline{K2} \qquad K2 = \overline{S0}\,\overline{F2}\,(S2 + K2)\,\overline{S1}\,\overline{K1}$$

ต้องเปิด JavaScript

ในซิมูเลเตอร์ลองกดเดินหน้าแล้วกดถอยหลังทันที อินเตอร์ล็อกจะไม่ยอม จากนั้นติ๊ก “ไม่มีอินเตอร์ล็อกผ่าน STOP” แล้วกลับทางขณะหมุน ดูกระแสที่พุ่งสูงกว่าตอนสตาร์ทและความเร็วที่ผ่านศูนย์

## แบบ NEMA/JIC: สตาร์ตเตอร์กลับทางหมุน กลาง

สตาร์ตเตอร์กลับทางหมุนของ NEMA คือคอนแทกเตอร์สองตัว F (forward) และ R (reverse) บนแผ่นฐานเดียวกัน มีอินเตอร์ล็อกทางกล (M.I.) ติดมาจากโรงงาน R สลับ L1 กับ L3 เหมือน K2 ของแบบ IEC

รูป 1ก · กลับทางหมุนแบบ NEMA/JIC: วงจรกำลัง (F ตรง · R สลับ L1↔L3 · OL · มอเตอร์ T1 T2 T3) และแลดเดอร์ STOP / FWD / REV พร้อมอินเตอร์ล็อก

- อินเตอร์ล็อกสามชั้นเหมือน IEC: หน้าสัมผัส NC ของ F และ R ในแลดเดอร์ตรงข้าม · ปุ่ม FWD/REV ที่มีครึ่ง NC ต่ออนุกรมอีกฝั่ง · M.I. ทางกลที่ตัวสตาร์ตเตอร์

- เลขใต้คอยล์: F แสดง “1 2” คือ NO อยู่แลดเดอร์ 1 (ล็อกตัวเอง) และ NC อยู่แลดเดอร์ 2 (อินเตอร์ล็อกของ R) · R แสดง “1 2” ในทางกลับกัน

- ปุ่ม STOP ใช้ร่วมกันทั้งสองแลดเดอร์ · OL เดียวอยู่ติดราง X2 · ระยะหยุดสนิทก่อนกลับทาง (plugging) ต้องมีรีเลย์ความเร็วศูนย์ หรือไทเมอร์หน่วง

## กลับทางขณะหมุน (plugging) ขั้นสูง

ถ้ามอเตอร์หมุนเดินหน้าเกือบเต็มรอบแล้วสลับเฟสทันที สนามหมุนกลับทิศแต่โรเตอร์ยังหมุนไปทางเดิม สลิปเทียบกับสนามใหม่จึงเกือบเท่า 2

R4 Slip during plugging สลิปขณะกลับทาง

$$s = \frac{-n_s - n}{-n_s} = 1 + \frac{n}{n_s} \approx 2 \quad (n \approx n_s)$$

ที่ s ≈ 2 กระแสสูงกว่าตอนสตาร์ทเล็กน้อย และแรงบิดทำหน้าที่เบรก พลังงานจลน์ทั้งหมดของโหลดกลายเป็นความร้อนในโรเตอร์ (ประมาณ 3 เท่าของการสตาร์ทครั้งเดียว) คอนแทกเตอร์ต้องพิกัด AC-4 และต้องมีวิธีตัดไฟเมื่อความเร็วถึงศูนย์ (สวิตช์ความเร็วศูนย์) มิฉะนั้นมอเตอร์จะเร่งไปทางกลับ

R5 Rotor heat per operation ความร้อนในโรเตอร์ต่อครั้ง (โหลดไม่มีแรงบิด)

$$E_{start} = \tfrac12 J\omega_s^2 \qquad E_{plug\,(\omega_s \to 0)} = \tfrac32 J\omega_s^2 \qquad E_{reverse\,(\omega_s \to -\omega_s)} = 4\cdot\tfrac12 J\omega_s^2$$

ตัวอย่าง R-1

### สายพานกลับทางขณะหมุน J รวม 0.4 kg·m² มอเตอร์ 4 ขั้ว

- $\omega_s = 2\pi(1500)/60 = 157$ rad/s · พลังงานจลน์ $\tfrac12(0.4)(157^2) = 4.93$ kJ

- R5: กลับทางเต็ม (เดินหน้า → ถอยหลังเต็มรอบ) ความร้อนในโรเตอร์ ≈ 4 × 4.93 = 19.7 kJ เทียบกับสตาร์ทธรรมดา 4.9 kJ

- ถ้ากลับทางทุก 30 s มอเตอร์จะร้อนเร็วกว่าสตาร์ทธรรมดาสี่เท่า → ใช้หยุดก่อนกลับ หรือใช้อินเวอร์เตอร์ที่ลดความเร็วแบบควบคุมได้

## กลับทางอัตโนมัติด้วยลิมิตสวิตช์ กลาง

ประตูม้วนและโต๊ะเลื่อนต้องหยุดที่ปลายทาง ใส่ลิมิตสวิตช์ปลายทางแบบ NC อนุกรมกับคอยล์ของทิศนั้น (-B1 ในวงจรเดินหน้า -B2 ในวงจรถอยหลัง) เมื่อชนลิมิต วงจรทิศนั้นตัด ส่วนทิศตรงข้ามยังสั่งได้ ถ้าต้องการให้เดินกลับไปมาอัตโนมัติ ใช้หน้าสัมผัส NO ของลิมิตเดียวกันขนานกับปุ่มของทิศตรงข้าม

- ใช้ลิมิตสวิตช์ที่มีหน้าสัมผัสเปิดด้วยกลไกบังคับ (positive opening ตาม IEC 60947-5-1) สำหรับตำแหน่งที่เกี่ยวกับความปลอดภัย

- เพิ่ม “ลิมิตสุดทาง” (over-travel limit) อีกตัวหลังลิมิตปกติ ต่อเข้าวงจรหยุดหลัก กันกรณีลิมิตแรกเสีย

- รอกไฟฟ้า: ห้ามพึ่งเพียงหน้าสัมผัสช่วย ต้องมีลิมิตบน-ล่างและเบรกทางกล

## คำถามที่พบบ่อย

อินเตอร์ล็อกทางไฟฟ้าอย่างเดียวพอไหม?
ไม่ควร ถ้าหน้าสัมผัสหลักของคอนแทกเตอร์ตัวหนึ่งเชื่อมติด (weld) หรือคอนแทกเตอร์ค้างทางกล หน้าสัมผัสช่วย NC อาจยังปิดอยู่ทั้งที่หน้าสัมผัสหลักยังต่อ ทำให้อีกตัวดูดได้และลัดวงจรเฟส อินเตอร์ล็อกทางกลระหว่างคอนแทกเตอร์ทั้งสองกันไม่ให้ดูดพร้อมกันทางกายภาพ ผู้ผลิตขายเป็นชุดคอนแทกเตอร์กลับทาง (reversing contactor) ที่มีทั้งสองแบบ

กลับทางขณะมอเตอร์หมุนอยู่ได้ไหม?
ทำได้ทางเทคนิค (plugging) แต่กระแสสูงกว่ากระแสสตาร์ท แรงบิดกระชากเพลาและเกียร์ และคอนแทกเตอร์ต้องพิกัด AC-4 งานส่วนใหญ่ควรบังคับให้กด STOP และรอให้หยุดก่อน หรือใช้ไทเมอร์หน่วงก่อนกลับทาง

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**อินเตอร์ล็อกทางไฟฟ้าอย่างเดียวพอไหม?**
ไม่ควร ถ้าหน้าสัมผัสหลักของคอนแทกเตอร์ตัวหนึ่งเชื่อมติด (weld) หรือคอนแทกเตอร์ค้างทางกล หน้าสัมผัสช่วย NC อาจยังปิดอยู่ทั้งที่หน้าสัมผัสหลักยังต่อ ทำให้อีกตัวดูดได้และลัดวงจรเฟส อินเตอร์ล็อกทางกลระหว่างคอนแทกเตอร์ทั้งสองกันไม่ให้ดูดพร้อมกันทางกายภาพ ผู้ผลิตขายเป็นชุดคอนแทกเตอร์กลับทาง (reversing contactor) ที่มีทั้งสองแบบ

**กลับทางขณะมอเตอร์หมุนอยู่ได้ไหม?**
ทำได้ทางเทคนิค (plugging) แต่กระแสสูงกว่ากระแสสตาร์ท แรงบิดกระชากเพลาและเกียร์ และคอนแทกเตอร์ต้องพิกัด AC-4 งานส่วนใหญ่ควรบังคับให้กด STOP และรอให้หยุดก่อน หรือใช้ไทเมอร์หน่วงก่อนกลับทาง

---

# หลักการมอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสสำหรับอุตสาหกรรม: สนามแม่เหล็กหมุน สลิป แรงบิด-ความเร็ว กระแสสตาร์ท และแผ่นป้าย

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/induction-motor/
Updated: 2026-10-14
Summary: มอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสทำงานอย่างไร: สนามแม่เหล็กหมุน n_s = 120f/p สลิป วงจรสมมูล กราฟแรงบิด-ความเร็ว กระแสสตาร์ท 6–8 เท่า แรงบิดแปรตาม V² ประสิทธิภาพ IE2 IE3 IE4 ตาม IEC 60034-30-1 อ่านแผ่นป้าย IP IC คลาสฉนวน S1 และคำนวณกระแสพิกัดจาก kW สำหรับระบบ 400 V 50 Hz

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.1 · ควบคุมมอเตอร์ AC · Induction Motor

# หลักการมอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสสำหรับอุตสาหกรรม: สนามแม่เหล็กหมุน สลิป แรงบิด-ความเร็ว กระแสสตาร์ท และแผ่นป้าย

ก่อนจะเลือกคอนแทกเตอร์หรือออกแบบวงจรสตาร์ท ต้องรู้ว่ามอเตอร์ “ต้องการ” อะไรจากวงจร: ตอนสตาร์ทมันดึงกระแสเท่าไร ให้แรงบิดเท่าไร และแรงดันที่ตกลงมีผลอย่างไร หน้านี้อธิบายจากฟิสิกส์ถึงตัวเลขบนแผ่นป้าย โดยใช้มอเตอร์ 7.5 kW 4 ขั้ว 400 V 50 Hz ตัวเดียวกันทั้งชุด

สรุปใน 30 วินาที

- กระแสสามเฟสห่างกัน 120° สร้างสนามแม่เหล็กหมุนด้วย $n_s = 120f/p$

- โรเตอร์หมุนช้ากว่าเล็กน้อย สลิป $s$ 1–5 % ที่พิกัด · แรงบิดพิกัด $T = 9550P/n$

- ตอนสตาร์ท ($s = 1$) กระแส 6–8 In แต่แรงบิดเพียง 1.5–2.5 Tn

- แรงบิดแปรตามกำลังสองของแรงดัน: แรงดันตก 10 % แรงบิดหาย 19 %

- kW บนป้าย = กำลังกลที่เพลา · กระแสพิกัด $I_n = P/(\sqrt3 V \eta \cos\varphi)$ ≈ 2 A/kW ที่ 400 V

## ส่วนประกอบ พื้นฐาน

มอเตอร์เหนี่ยวนำกรงกระรอก (squirrel-cage) ที่ใช้มากที่สุดในโรงงานมีสองส่วน: สเตเตอร์ แกนเหล็กแผ่นบางที่มีขดลวดสามชุดวางห่างกัน 120° ทางไฟฟ้า และ โรเตอร์ ที่เป็นแท่งอะลูมิเนียมหรือทองแดงหล่อเข้ากับแหวนลัดวงจรทั้งสองปลาย ไม่มีแปรงถ่าน ไม่มีคอมมิวเตเตอร์ จึงทนทานและบำรุงรักษาน้อย แบบที่พบบ่อยคือ TEFC (Totally Enclosed Fan Cooled, รหัส IC411) มีพัดลมบนเพลาเป่าลมผ่านครีบ

รูป 1 · ส่วนประกอบมอเตอร์ TEFC: ปลายขดลวดสเตเตอร์ทั้ง 6 เส้นออกมาที่กล่องขั้ว ซึ่งเป็นจุดที่เราเลือกต่อสตาร์หรือเดลต้า

## สนามแม่เหล็กหมุนและความเร็วซิงโครนัส พื้นฐาน

เมื่อป้อนกระแสสามเฟสที่ห่างกัน 120° ทางเวลา เข้าขดลวดที่วางห่างกัน 120° ทางพื้นที่ ผลรวมเวกเตอร์ของสนามทั้งสามมีขนาดคงที่เท่ากับ 1.5 เท่าของสนามสูงสุดของเฟสเดียว และ หมุน ไปรอบสเตเตอร์ด้วยความเร็วคงที่ นี่คือหัวใจของมอเตอร์ AC สามเฟส: สร้างการหมุนได้โดยไม่มีชิ้นส่วนเคลื่อนที่

รูป 2 · ที่เวลา t1 t2 t3 กระแสแต่ละเฟสต่างกัน แต่เวกเตอร์ลัพธ์ยาวเท่าเดิมและหมุนไป 60° ทุกครั้งที่ ωt เพิ่ม 60°

M1 Synchronous speed ความเร็วซิงโครนัส

$$n_s = \frac{120\, f}{p}\ \ \text{rpm} \qquad (p = \text{จำนวนขั้ว})$$

| จำนวนขั้ว p | 2 | 4 | 6 | 8 |

| n_s ที่ 50 Hz | 3000 | 1500 | 1000 | 750 |

| n พิกัดโดยประมาณ | 2900–2970 | 1440–1480 | 950–985 | 700–740 |

| งานที่พบ | ปั๊มแรงดันสูง พัดลมเล็ก | งานทั่วไป (มากที่สุด) | พัดลมใหญ่ เครื่องบด | สายพาน รอก |

## สลิปและแรงบิด กลาง

สนามหมุนตัดผ่านแท่งโรเตอร์ เหนี่ยวนำแรงดันและกระแสในโรเตอร์ (กฎของฟาราเดย์) กระแสนี้อยู่ในสนามแม่เหล็กจึงเกิดแรง $F = BIL$ ผลักโรเตอร์ให้หมุนตามสนาม แต่ถ้าโรเตอร์ทันสนามพอดี การตัดเส้นแรงจะหายไป แรงบิดเป็นศูนย์ โรเตอร์จึงหมุนช้ากว่าเสมอ — ชื่อ “มอเตอร์อะซิงโครนัส”

M2 Slip สลิป

$$s = \frac{n_s - n}{n_s} \qquad n = n_s(1 - s)$$

M3 Rotor frequency ความถี่กระแสในโรเตอร์

$$f_r = s\, f$$

M4 Torque from power and speed แรงบิดจากกำลังและความเร็ว

$$T = \frac{P}{\omega} = \frac{60\,P}{2\pi n} \;\;\Rightarrow\;\; T\,[\text{N}{\cdot}\text{m}] = \frac{9550\, P\,[\text{kW}]}{n\,[\text{rpm}]}$$

ตัวอย่าง M-1

### มอเตอร์ 7.5 kW 4 ขั้ว 50 Hz แผ่นป้าย 1470 rpm

- M1: $n_s = 120(50)/4 = 1500$ rpm

- M2: $s = (1500 - 1470)/1500 = 0.02 = 2\,\%$ · M3: $f_r = 0.02 \times 50 = 1$ Hz (กระแสโรเตอร์เปลี่ยนทิศช้ามาก)

- M4: $T_n = 9550(7.5)/1470 = 48.7$ N·m — ค่านี้ใช้เทียบกับแรงบิดโหลดและแรงบิดสตาร์ท

## วงจรสมมูลและการไหลของกำลัง ขั้นสูง

มอเตอร์เหนี่ยวนำคือหม้อแปลงที่ขดทุติยภูมิ (โรเตอร์) หมุนได้ เมื่ออ้างอิงค่าโรเตอร์มาด้านสเตเตอร์ จะได้วงจรต่อเฟสในรูป 3 ความต้านทานโรเตอร์ปรากฏเป็น $R_2'/s$ ซึ่งแยกเป็นการสูญเสียทองแดงโรเตอร์ $R_2'$ กับ “ตัวต้านทานโหลด” $R_2'(1-s)/s$ ที่แทนกำลังกล

รูป 3 · วงจรสมมูลต่อเฟส (แบบ Y): ตอนสตาร์ท s = 1 อิมพีแดนซ์ทั้งวงจรเหลือเพียง R₁ + R₂′ + jX — กระแสจึงสูงหลายเท่า

M5 Power split in the rotor การแบ่งกำลังในโรเตอร์

$$P_{ag} = 3 I_2'^2 \frac{R_2'}{s} \qquad P_{cu2} = s\,P_{ag} \qquad P_{mech} = (1 - s)\,P_{ag} \qquad T = \frac{P_{ag}}{\omega_s}$$

ผลสำคัญเชิงปฏิบัติ: การสูญเสียในโรเตอร์ = สลิป × กำลังช่องอากาศ มอเตอร์ที่เดินด้วยสลิปสูง (แรงดันต่ำ โหลดเกิน ต่อสตาร์ผิด) จึงร้อนทันที และการลดความเร็วด้วยการเพิ่มสลิปเป็นวิธีที่สิ้นเปลือง — ต่างจากการลดความถี่ด้วยอินเวอร์เตอร์ที่สลิปยังเล็ก

ตัวอย่าง M-2

### กำลังที่ไหลผ่านโรเตอร์ของมอเตอร์ 7.5 kW s = 2 %

- กำลังกลรวมแรงเสียดทานและพัดลม ≈ 7.5 + 0.1 = 7.6 kW

- M5: $P_{ag} = P_{mech}/(1-s) = 7.6/0.98 = 7.76$ kW · $P_{cu2} = 0.02(7.76) = 0.155$ kW

- ถ้ามอเตอร์ถูกบังคับให้เดินที่ s = 10 % ด้วยแรงบิดเท่าเดิม $P_{cu2}$ จะเพิ่มเป็นราว 0.78 kW — ความร้อนในโรเตอร์เพิ่มห้าเท่า

## กราฟแรงบิด-ความเร็ว และกระแสสตาร์ท กลาง

กราฟในรูป 4 คำนวณจากวงจรสมมูลของมอเตอร์ตัวอย่าง (โรเตอร์กรงคู่ ปรับค่าให้ตรงข้อมูลแคตตาล็อกทั่วไป) จุดที่ต้องรู้จัก:

- แรงบิดเริ่ม (locked-rotor torque) Ts ≈ 2.2 Tn ที่ n = 0 — ต้องมากกว่าแรงบิดเริ่มของโหลดพอสมควร

- แรงบิดสูงสุด (breakdown) Tk ≈ 3 Tn ใกล้ 85–90 % ความเร็ว — ถ้าโหลดเกินจุดนี้มอเตอร์จะหยุด (stall)

- ย่านทำงาน ด้านขวาของจุดแรงบิดสูงสุด กราฟเกือบเป็นเส้นตรง แรงบิดแปรตามสลิป

- กระแสสตาร์ท ≈ 6.5 In แทบไม่ลดลงจนความเร็วถึง 80 % — ช่วงเร่งทั้งหมดจึงเป็นช่วงกระแสสูง

รูป 4 · เส้นสีส้ม = แรงบิดมอเตอร์ สีน้ำเงิน = กระแส (แกนขวา) สีเขียว = โหลดปั๊ม เส้นประ = โหลดแรงบิดคงที่ จุดตัดของเส้นมอเตอร์กับเส้นโหลดคือจุดทำงาน

M6 Rated current กระแสพิกัดมอเตอร์สามเฟส

$$I_n = \frac{P_{out}}{\sqrt{3}\,V_L\,\eta\,\cos\varphi} \qquad P_{in} = \frac{P_{out}}{\eta}$$

M7 Starting current กระแสสตาร์ทจากอัตราส่วนบนแผ่นป้าย

$$I_{st} = \left(\frac{I_a}{I_n}\right) I_n \qquad \frac{I_a}{I_n} \approx 6\text{–}8$$

M8 Torque versus voltage แรงบิดแปรตามกำลังสองของแรงดัน

$$T(s) \propto V^2 \qquad \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2 \qquad I(s) \propto V$$

ตัวอย่าง M-3

### กระแสพิกัด กระแสสตาร์ท และผลของแรงดันตก

- M6: $I_n = 7500/(\sqrt3 \times 400 \times 0.904 \times 0.82) = 7500/513.6 = 14.6$ A — ตรงกับแผ่นป้าย

- $P_{in} = 7.5/0.904 = 8.30$ kW · $S = \sqrt3(400)(14.6) = 10.1$ kVA · $Q = \sqrt{10.1^2 - 8.30^2} = 5.8$ kvar

- M7: $I_{st} = 6.5 \times 14.6 = 95$ A ถ้าสตาร์ทตรง

- M8: ถ้าแรงดันขณะสตาร์ทตกเหลือ 90 % แรงบิดเริ่ม $2.2 \times 0.9^2 = 1.78$ Tn และกระแส $95 \times 0.9 = 86$ A

## อ่านแผ่นป้ายมอเตอร์ พื้นฐาน

รูป 5 · แผ่นป้ายตัวอย่าง: สองบรรทัดแรงดัน “400 V Δ / 690 V Y” บอกว่าในระบบ 400 V ต้องต่อเดลต้า และสตาร์-เดลต้าสตาร์ทได้

| ช่อง | ความหมาย | ใช้ทำอะไร |

| 400 V Δ 14.6 A / 690 V Y 8.4 A | แรงดันและกระแสพิกัดของแต่ละการต่อ | เลือกการต่อขั้ว ตั้งโอเวอร์โหลด |

| 7.5 kW · 1470 r/min · 50 Hz | กำลังกลที่เพลา ความเร็วที่โหลดพิกัด | หาแรงบิดพิกัด สลิป |

| cos φ 0.82 · IE3 90.4 % | ตัวประกอบกำลัง ประสิทธิภาพที่พิกัด | คำนวณกระแส kVA ค่าไฟ การชดเชย PF |

| IP55 | กันฝุ่น (5) และน้ำฉีด (5) ตาม IEC 60034-5 | เลือกให้เหมาะกับสถานที่ (IP55 งานทั่วไป, IP56/66 ล้างน้ำ) |

| IC411 | ระบายความร้อนด้วยพัดลมบนเพลา (TEFC) | ระวังเมื่อใช้อินเวอร์เตอร์ความเร็วต่ำ |

| Ins.cl. F · ΔT B | ฉนวนทนได้ 155 °C แต่ใช้งานจริงร้อนไม่เกินคลาส B (130 °C) | มีส่วนเผื่ออายุฉนวน |

| S1 · Ta 40 °C | ใช้งานต่อเนื่อง อุณหภูมิแวดล้อมไม่เกิน 40 °C · สูงไม่เกิน 1000 m | ห้องเครื่องที่ร้อนกว่า 40 °C ต้องลดพิกัด |

| Ia/In 6.5 · Ta/Tn 2.2 · Tk/Tn 3.0 | อัตราส่วนกระแสสตาร์ท แรงบิดสตาร์ท แรงบิดสูงสุด | คำนวณกระแสสตาร์ท แรงดันตก ความสามารถในการเร่ง |

## ประสิทธิภาพ IE1–IE4 และเหตุที่ควรเลือก IE3 ขึ้นไป กลาง

IEC 60034-30-1 แบ่งคลาสประสิทธิภาพ IE1 (มาตรฐาน) IE2 (สูง) IE3 (พรีเมียม) IE4 (ซูเปอร์พรีเมียม) หลายประเทศกำหนดค่าขั้นต่ำ (MEPS) ที่ IE2 หรือ IE3 ค่าไฟตลอดอายุมอเตอร์มักมากกว่าราคามอเตอร์หลายสิบเท่า ส่วนต่างประสิทธิภาพเพียงไม่กี่เปอร์เซ็นต์จึงคุ้มค่า

| 4 ขั้ว 50 Hz | IE1 | IE2 | IE3 | IE4 |

| 7.5 kW | 86.0 % | 88.7 % | 90.4 % | 92.6 % |

| 11 kW | 87.6 % | 89.8 % | 91.4 % | 93.3 % |

ตัวอย่าง M-4

### เปลี่ยน IE1 เป็น IE3 สำหรับปั๊ม 7.5 kW เดิน 6,000 ชม./ปี ค่าไฟ 4.5 บาท/kWh

- $P_{in,IE1} = 7.5/0.860 = 8.72$ kW · $P_{in,IE3} = 7.5/0.904 = 8.30$ kW

- ลดลง 0.42 kW × 6000 h = 2,520 kWh/ปี ≈ 11,300 บาท/ปี

- ข้อควรระวัง: มอเตอร์ IE3/IE4 มีกระแสพุ่งขณะสตาร์ทสูงกว่าเดิม จึงมีประเภทการใช้งาน AC-3e ใน IEC 60947-4-1 สำหรับคอนแทกเตอร์

## สิ่งที่ช่างต้องจำหน้างาน

- ดูแผ่นป้ายก่อนต่อทุกครั้ง: แรงดันกับการต่อ (Δ/Y) ต้องตรงกับระบบ 400 V

- กระแสขณะเดินตัวเปล่า (no-load) ของมอเตอร์ 4 ขั้วประมาณ 30–50 % ของ In — ไม่ได้แปลว่ามอเตอร์ผิดปกติ

- วัดกระแสทั้งสามเฟส ความต่างเกิน ~10 % ให้ตรวจแรงดันไม่สมดุล หน้าสัมผัสคอนแทกเตอร์ และขั้วต่อหลวม

- มอเตอร์ทำงานปกติร้อนจนจับไม่ได้ (60–80 °C ที่โครง) เป็นเรื่องปกติของคลาส F วัดด้วยเทอร์โมมิเตอร์แทนการจับ

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมมอเตอร์เหนี่ยวนำหมุนช้ากว่าความเร็วซิงโครนัส?
แรงบิดเกิดจากกระแสที่ถูกเหนี่ยวนำในโรเตอร์ ซึ่งต้องมีการตัดกันระหว่างสนามหมุนกับตัวนำโรเตอร์ ถ้าโรเตอร์หมุนเท่าสนามพอดี จะไม่มีการตัดเส้นแรง ไม่มีกระแส ไม่มีแรงบิด จึงต้องช้ากว่าเสมอ ส่วนต่างนี้คือสลิป ประมาณ 1–5 % ที่โหลดพิกัด

กระแสสตาร์ทสูงทำไมแต่มอเตอร์ไม่ไหม้?
กระแสสูงอยู่เพียงช่วงเร่งความเร็วไม่กี่วินาที ความร้อนสะสมตาม I²t ยังน้อยกว่าที่ฉนวนรับได้ แต่ถ้าโรเตอร์ถูกล็อกหรือเร่งช้าเกิน (โหลดเฉื่อยมาก แรงดันตก) ความร้อนจะสูงจนต้องอาศัยโอเวอร์โหลดคลาสที่เหมาะสมตัดก่อน

กำลังบนแผ่นป้ายเป็นกำลังไฟฟ้าหรือกำลังกล?
เป็นกำลังกลที่เพลา (output) ตาม IEC 60034-1 กำลังไฟฟ้าที่ดึงจากระบบมากกว่านี้เท่ากับ P/η เช่น 7.5 kW ประสิทธิภาพ 90.4 % ดึงไฟ 8.3 kW

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมมอเตอร์เหนี่ยวนำหมุนช้ากว่าความเร็วซิงโครนัส?**
แรงบิดเกิดจากกระแสที่ถูกเหนี่ยวนำในโรเตอร์ ซึ่งต้องมีการตัดกันระหว่างสนามหมุนกับตัวนำโรเตอร์ ถ้าโรเตอร์หมุนเท่าสนามพอดี จะไม่มีการตัดเส้นแรง ไม่มีกระแส ไม่มีแรงบิด จึงต้องช้ากว่าเสมอ ส่วนต่างนี้คือสลิป ประมาณ 1–5 % ที่โหลดพิกัด

**กระแสสตาร์ทสูงทำไมแต่มอเตอร์ไม่ไหม้?**
กระแสสูงอยู่เพียงช่วงเร่งความเร็วไม่กี่วินาที ความร้อนสะสมตาม I²t ยังน้อยกว่าที่ฉนวนรับได้ แต่ถ้าโรเตอร์ถูกล็อกหรือเร่งช้าเกิน (โหลดเฉื่อยมาก แรงดันตก) ความร้อนจะสูงจนต้องอาศัยโอเวอร์โหลดคลาสที่เหมาะสมตัดก่อน

**กำลังบนแผ่นป้ายเป็นกำลังไฟฟ้าหรือกำลังกล?**
เป็นกำลังกลที่เพลา (output) ตาม IEC 60034-1 กำลังไฟฟ้าที่ดึงจากระบบมากกว่านี้เท่ากับ P/η เช่น 7.5 kW ประสิทธิภาพ 90.4 % ดึงไฟ 8.3 kW

---

# การต่อขั้วมอเตอร์สตาร์และเดลต้า: กล่องขั้ว U1 V1 W1 / W2 U2 V2 มอเตอร์ 230/400 V กับ 400/690 V และการกลับทางหมุน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/motor-connections/
Updated: 2026-10-14
Summary: ต่อมอเตอร์สามเฟสแบบสตาร์ (Y) และเดลต้า (Δ) ให้ถูก: แรงดันต่อขดลวด กระแสสายกับกระแสเฟส การวางแผ่นทองแดงในกล่องขั้ว U1 V1 W1 W2 U2 V2 ตาม IEC 60034-8 เลือกการต่อจากแผ่นป้าย 230/400 V และ 400/690 V มอเตอร์ไหนสตาร์-เดลต้าได้ การกลับทางหมุน และข้อผิดพลาดที่ทำให้มอเตอร์ไหม้

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.3 · ควบคุมมอเตอร์ AC · Star & Delta Connections

# การต่อขั้วมอเตอร์สตาร์และเดลต้า: กล่องขั้ว U1 V1 W1 / W2 U2 V2 มอเตอร์ 230/400 V กับ 400/690 V และการกลับทางหมุน

ความผิดพลาดที่ทำให้มอเตอร์ใหม่ไหม้บ่อยที่สุดไม่ใช่วงจรควบคุม แต่คือการต่อขั้วผิดแบบ หน้านี้อธิบายว่าการต่อสตาร์กับเดลต้าต่างกันที่ “แรงดันต่อขดลวด” และวิธีอ่านแผ่นป้ายเพื่อเลือกการต่อให้ตรงกับระบบ 400 V ทุกครั้ง

สรุปใน 30 วินาที

- Y: ขดลวดได้ $V_L/\sqrt3$ = 230 V · Δ: ขดลวดได้ $V_L$ = 400 V

- ขดลวดออกแบบมาให้ได้แรงดันค่าเดียว — การต่อต้องทำให้ขดลวดได้แรงดันนั้น

- ป้าย 230/400 V Δ/Y → ระบบ 400 V ต่อ Y · ป้าย 400/690 V Δ/Y → ระบบ 400 V ต่อ Δ

- สตาร์-เดลต้าทำได้เฉพาะมอเตอร์ที่เดินปกติแบบ Δ ที่ 400 V (ป้าย 400/690 V)

- กลับทางหมุน: สลับเฟสใดก็ได้สองเส้น

## กล่องขั้วหกขั้ว พื้นฐาน

มอเตอร์สามเฟสมีขดลวดสามชุด แต่ละชุดมีต้นและปลาย ตาม IEC 60034-8 ต้นขดเรียก U1 V1 W1 ปลายขดเรียก U2 V2 W2 (มอเตอร์เก่าใช้ U-X, V-Y, W-Z) ในกล่องขั้วแถวบนคือ U1 V1 W1 แถวล่างเรียง W2 U2 V2 การเลือก Y หรือ Δ ทำด้วยการวางแผ่นทองแดงเชื่อม (link)

รูป 1 · สตาร์: แผ่นเชื่อมแนวนอนต่อ W2-U2-V2 เข้าด้วยกันเป็นจุดสตาร์ · เดลต้า: แผ่นเชื่อมแนวตั้งสามแผ่น U1–W2, V1–U2, W1–V2

## สตาร์กับเดลต้าต่างกันอย่างไร กลาง

C1 Star (Y) การต่อแบบสตาร์

$$V_{ph} = \frac{V_L}{\sqrt{3}} \qquad I_L = I_{ph}$$

C2 Delta (Δ) การต่อแบบเดลต้า

$$V_{ph} = V_L \qquad I_L = \sqrt{3}\, I_{ph}$$

C3 Power in either connection กำลังของการต่อทั้งสองแบบ

$$P = 3\,V_{ph}\,I_{ph}\cos\varphi = \sqrt{3}\,V_L\,I_L\cos\varphi$$

C4 Same windings, same supply: Y vs Δ ขดลวดชุดเดิมบนไฟเดิม

$$\frac{V_{ph,Y}}{V_{ph,\Delta}} = \frac{1}{\sqrt3} \;\Rightarrow\; \frac{I_{L,Y}}{I_{L,\Delta}} = \frac{1}{3} \qquad \frac{T_Y}{T_\Delta} = \frac{1}{3}$$

ที่มาของ 1/3 ใน C4: แรงดันขดลวดลด √3 เท่า กระแสขดลวดจึงลด √3 เท่า และในแบบ Y กระแสสายเท่ากับกระแสขด ขณะที่แบบ Δ กระแสสายมากกว่ากระแสขด √3 เท่า รวมเป็น $1/(\sqrt3\cdot\sqrt3) = 1/3$ ส่วนแรงบิดแปรตามกำลังสองของแรงดันขดลวด $(1/\sqrt3)^2 = 1/3$ — นี่คือพื้นฐานของสตาร์-เดลต้าสตาร์ทเตอร์

ตัวอย่าง C-1

### มอเตอร์ 7.5 kW ป้าย 400 V Δ 14.6 A ต่อเดลต้าที่ 400 V

- C2: กระแสในขดลวด $I_{ph} = 14.6/\sqrt3 = 8.43$ A ที่แรงดันขด 400 V

- ถ้าต่อ Y เพื่อสตาร์ท ขดได้ 230 V: กระแสสายตอนสตาร์ท $95/3 = 32$ A (แทน 95 A) และแรงบิดเริ่ม $2.2/3 = 0.73$ Tn

- ป้ายบรรทัด 690 V Y 8.4 A ยืนยัน: ถ้าระบบเป็น 690 V ต่อ Y แล้วกระแสสาย = กระแสขด = 8.4 A ขดลวดได้ 400 V เท่าเดิม

## เลือกการต่อจากแผ่นป้าย พื้นฐาน

แผ่นป้ายบอกแรงดันสองค่า ค่าน้อยคือแรงดันสายเมื่อต่อ Δ ค่ามากคือแรงดันสายเมื่อต่อ Y ทั้งสองค่าทำให้ขดลวดได้แรงดันเท่ากัน กฎใช้งาน: หาบรรทัดที่แรงดันตรงกับระบบ แล้วต่อตามสัญลักษณ์ในบรรทัดนั้น

รูป 2 · ผังตัดสินใจสำหรับระบบ 400 V 50 Hz

| แผ่นป้าย | แรงดันต่อขดลวด | ระบบ 400 V ต่อ | สตาร์-เดลต้าได้ไหม | พบในมอเตอร์ |

| 230/400 V Δ/Y | 230 V | Y | ไม่ได้ | เล็ก ราว ≤ 3 kW (ใช้กับอินเวอร์เตอร์ 1 เฟส 230 V ได้โดยต่อ Δ) |

| 400/690 V Δ/Y | 400 V | Δ | ได้ | ราว ≥ 4 kW |

| 400 V Y (3 ขั้ว) | 230 V | ต่อสำเร็จจากโรงงาน | ไม่ได้ | ปั๊มจุ่ม คอมเพรสเซอร์ปิด |

| 380 V Δ (ป้ายเก่า) | 380 V | Δ | ได้ | มอเตอร์รุ่นเก่า/นำเข้า |

อันตราย: ช่างบางคนจำว่า “มอเตอร์ใหญ่ต่อเดลต้า” แล้วต่อมอเตอร์ 230/400 V ขนาดใหญ่เป็นเดลต้า ผลคือขดลวดได้แรงดันเกิน 73 % ไหม้ภายในไม่กี่นาที ขนาดไม่ใช่เกณฑ์ — แผ่นป้ายเท่านั้นคือเกณฑ์

ตัวอย่าง C-2

### ปั๊ม 2.2 kW ป้าย 230/400 V Δ/Y 8.0/4.6 A ใช้ที่ไหนได้บ้าง

- ระบบสามเฟส 400 V: ต่อ Y กระแสสาย 4.6 A ตั้งโอเวอร์โหลด 4.6 A สตาร์ทตรงหรือซอฟต์สตาร์ท

- บ้านมีไฟ 1 เฟส 230 V: ใช้อินเวอร์เตอร์ 1 เฟสเข้า 3 เฟส 230 V ออก แล้วต่อมอเตอร์เป็น Δ กระแสออกอินเวอร์เตอร์ 8.0 A

- ห้ามสตาร์-เดลต้าในระบบ 400 V เพราะช่วง Δ ขดลวดจะได้ 400 V

## ต่อผิดแล้วเกิดอะไร กลาง

| กรณี | แรงดันขด | อาการ | ผล |

| 230/400 V ต่อ Δ ที่ 400 V | 173 % | เสียงฮัมดัง กระแสตัวเปล่าเกิน In ร้อนเร็ว | ฉนวนเสื่อม ไหม้ |

| 400/690 V ต่อ Y ที่ 400 V | 58 % | เดินตัวเปล่าปกติ ใส่โหลดแล้วรอบตก กระแสสูง | โอเวอร์โหลดตัด หรือร้อนถ้าตั้งผิด |

| ต่อขดกลับหัวหนึ่งชุด (U1–U2 สลับ) | ไม่สมดุล | สั่น เสียงดัง กระแสไม่เท่ากันมาก | ร้อน ไม่ได้แรงบิด |

| สตาร์-เดลต้าแต่ลืมถอดแผ่นเชื่อม | — | ลัดวงจรเมื่อคอนแทกเตอร์ Y หรือ Δ ดูด | เบรกเกอร์ทริป อาร์กในกล่องขั้ว |

## ทิศการหมุนและการกลับทาง พื้นฐาน

IEC 60034-8: ต่อ L1 L2 L3 เข้า U1 V1 W1 ตามลำดับ มอเตอร์หมุนตามเข็มนาฬิกาเมื่อมองที่ปลายเพลา สลับสองเฟสใดก็ได้ ลำดับเฟสที่มอเตอร์เห็นจะกลับ สนามหมุนกลับทิศ มอเตอร์หมุนกลับ — หลักการของ วงจรกลับทางหมุน

C5 Direction of rotation ทิศการหมุน

$$L1\!\to\!U1,\ L2\!\to\!V1,\ L3\!\to\!W1 \;\Rightarrow\; \text{CW (มองปลายเพลา)} \qquad \text{สลับ 2 เส้น} \Rightarrow \text{CCW}$$

ในสตาร์-เดลต้า ต้องสลับทั้งชุดต้นขด (U1 V1 W1) และชุดปลายขด (W2 U2 V2) ให้สอดคล้องกัน ถ้าสลับเฉพาะชุดเดียว ช่วง Y จะหมุนกลับแต่ช่วง Δ ต่อผิดรูป (ขดลวดบางชุดได้แรงดันผิดหรือเป็นศูนย์) เกิดกระแสสูงตอนเปลี่ยนจังหวะ — วิธีที่ถูกคือสลับสองเฟสที่ต้นทางก่อนเข้าชุดสตาร์ทเตอร์

## ตรวจก่อนจ่ายไฟ

- อ่านแผ่นป้ายทั้งสองบรรทัด จดแรงดันและการต่อที่ตรงกับระบบ

- วัดความต้านทานขดลวดสามชุดด้วยมิลลิโอห์มมิเตอร์ (ควรต่างกันไม่เกินราว 2 %)

- วัดความเป็นฉนวนขดลวดลงโครงด้วยเมกเกอร์ 500 V DC (รายละเอียดใน ออกแบบ · ทดสอบ)

- ขันน็อตขั้วตามแรงบิดที่กำหนด ใช้หางปลาขนาดถูกต้อง ปิดซีลกล่องขั้วให้ได้ระดับ IP

- ต่อสายดินโครงมอเตอร์เข้าขั้ว PE ในกล่องขั้ว

## คำถามที่พบบ่อย

ต่อมอเตอร์ 230/400 V แบบเดลต้าเข้าไฟ 400 V จะเกิดอะไร?
ขดลวดแต่ละชุดได้ 400 V ทั้งที่ออกแบบไว้ 230 V (เกิน √3 = 1.73 เท่า) แกนเหล็กอิ่มตัว กระแสแม่เหล็กสูงหลายเท่าตั้งแต่ตัวเปล่า โอเวอร์โหลดอาจตัด หรือถ้าตั้งผิด มอเตอร์ไหม้ในเวลาไม่นาน

ต่อมอเตอร์ 400/690 V แบบสตาร์เข้าไฟ 400 V ได้ไหม?
หมุนได้แต่ขดลวดได้เพียง 230 V แรงบิดทุกจุดเหลือ 1/3 ถ้าใส่โหลดเกินราว 1/3 ของพิกัด สลิปจะสูง กระแสเกินพิกัดของขดลวด และร้อน ใช้ได้เฉพาะช่วงสตาร์ทของสตาร์-เดลต้า

W2 U2 V2 ทำไมไม่เรียงเป็น U2 V2 W2?
การวางขั้วล่างเลื่อนหนึ่งตำแหน่ง (W2 ใต้ U1, U2 ใต้ V1, V2 ใต้ W1) ทำให้แผ่นทองแดงเดลต้าวางในแนวตั้งตรง ๆ ได้ U1–W2, V1–U2, W1–V2 ซึ่งคือการต่อปลายขดหนึ่งเข้ากับต้นขดถัดไปพอดี

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ต่อมอเตอร์ 230/400 V แบบเดลต้าเข้าไฟ 400 V จะเกิดอะไร?**
ขดลวดแต่ละชุดได้ 400 V ทั้งที่ออกแบบไว้ 230 V (เกิน √3 = 1.73 เท่า) แกนเหล็กอิ่มตัว กระแสแม่เหล็กสูงหลายเท่าตั้งแต่ตัวเปล่า โอเวอร์โหลดอาจตัด หรือถ้าตั้งผิด มอเตอร์ไหม้ในเวลาไม่นาน

**ต่อมอเตอร์ 400/690 V แบบสตาร์เข้าไฟ 400 V ได้ไหม?**
หมุนได้แต่ขดลวดได้เพียง 230 V แรงบิดทุกจุดเหลือ 1/3 ถ้าใส่โหลดเกินราว 1/3 ของพิกัด สลิปจะสูง กระแสเกินพิกัดของขดลวด และร้อน ใช้ได้เฉพาะช่วงสตาร์ทของสตาร์-เดลต้า

**W2 U2 V2 ทำไมไม่เรียงเป็น U2 V2 W2?**
การวางขั้วล่างเลื่อนหนึ่งตำแหน่ง (W2 ใต้ U1, U2 ใต้ V1, V2 ใต้ W1) ทำให้แผ่นทองแดงเดลต้าวางในแนวตั้งตรง ๆ ได้ U1–W2, V1–U2, W1–V2 ซึ่งคือการต่อปลายขดหนึ่งเข้ากับต้นขดถัดไปพอดี

---

# ซิมูเลเตอร์วงจรสตาร์ทมอเตอร์: DOL กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้า ซอฟต์สตาร์ท และอินเวอร์เตอร์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/motor-lab/
Updated: 2026-10-14
Summary: ซิมูเลเตอร์สตาร์ทมอเตอร์เหนี่ยวนำ 7.5 kW 400 V 50 Hz ฟรีบนเบราว์เซอร์: กด START STOP เห็นคอนแทกเตอร์ดูด ไทเมอร์นับ สถานะวงจรควบคุม กราฟกระแส ความเร็ว แรงบิดแบบเรียลไทม์ จากแบบจำลองวงจรสมมูลโรเตอร์กรงคู่และสมการการเคลื่อนที่ เปลี่ยนโหลดปั๊ม สายพาน พัดลม ตั้งไทเมอร์และช่วงตาย ใส่ความผิดพลาดเฟสขาดและโอเวอร์โหลด พร้อมใบงาน 6 ชุด

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.15 · ควบคุมมอเตอร์ AC · Starter Simulator

# ซิมูเลเตอร์วงจรสตาร์ทมอเตอร์: DOL กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้า ซอฟต์สตาร์ท และอินเวอร์เตอร์

ห้องแล็บเสมือนสำหรับลองสิ่งที่ทำจริงไม่ได้หรือไม่ควรทำ: สตาร์ทโหลดหนักด้วยสตาร์-เดลต้า ตั้งไทเมอร์สั้นเกิน ปล่อยให้เฟสขาด หรือกลับทางขณะหมุน ทุกตัวเลขมาจากแบบจำลองมอเตอร์ตัวเดียวกับในบทเรียน

วิธีใช้

- เลือกวิธีสตาร์ทจากแท็บ · กด START/STOP เหมือนปุ่มจริง (กดค้างได้)

- ซ้าย: วงจรกำลัง คอนแทกเตอร์ที่ดูดเป็นสีเขียว สายที่มีไฟเป็นสีแดง และสถานะวงจรควบคุมทีละขั้น

- ขวา: มิเตอร์และกราฟ 20 วินาทีล่าสุด · ด้านล่างปรับโหลด ค่าตั้ง และความผิดพลาด

## ซิมูเลเตอร์

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้ซิมูเลเตอร์

## แบบจำลองเบื้องหลัง

ทุก 1 ms โปรแกรมคำนวณสลิปจากความเร็วปัจจุบัน แก้วงจรสมมูลต่อเฟส (R₁ X₁ Xm และโรเตอร์กรงคู่) ที่แรงดันและความถี่ที่มอเตอร์ได้รับในขณะนั้น ได้กระแสและแรงบิด แล้วอินทิเกรตสมการ $J\,d\omega/dt = T_m - T_L$ โอเวอร์โหลดใช้แบบจำลองความร้อนอันดับหนึ่ง $d\theta/dt = ((I/I_r)^2 - \theta)/\tau$ ตัดเมื่อ $\theta \ge 1.2^2$ ซึ่งให้เส้นโค้งแบบคลาส 10 ในช่วงสตาร์-เดลต้า กระแสและแรงบิดในช่วง Y เป็น 1/3 ของเดลต้าตามสูตร Y1–Y2

## ใบงาน 6 ชุด

### 1 · กระแสสตาร์ทตรง
DOL โหลดปั๊ม 0.7 Tn: บันทึกกระแสสูงสุด เวลาที่ความเร็วถึง 1400 rpm และกระแสขณะเดิน เทียบกับ Ia/In บนแผ่นป้าย
คาดว่า: ~90 A (6.5 In) เร่งไม่ถึง 1 s

### 2 · สตาร์-เดลต้าปกติ
โหลด 0.7 Tn ไทเมอร์ 6 s: บันทึกกระแสช่วง Y กระแสกระชากตอนเปลี่ยน คิดเป็นเท่าของ In และอัตราส่วนกับ DOL
คาดว่า: ช่วง Y ≈ 1/3 ของ DOL

### 3 · ไทเมอร์สั้นเกิน
ตั้งไทเมอร์ 0.5 s ทำซ้ำใบงาน 2 กระแสกระชากเปลี่ยนไปเท่าไร อธิบายด้วยกราฟใน หน้าสตาร์-เดลต้า

### 4 · โหลดหนักกับสตาร์-เดลต้า
เปลี่ยนเป็นสายพาน 1.0 Tn ช่วง Y มอเตอร์ถึงความเร็วเท่าไร ทำไม ลองซอฟต์สตาร์ทจำกัด 3 In และ VFD กับโหลดเดียวกัน วิธีไหนเหมาะ

### 5 · เฟสขาด
เดิน DOL โหลด 0.7 Tn แล้วติ๊กเฟสขาด สังเกตกระแส ความเร็ว และเวลาที่โอเวอร์โหลดตัด จากนั้นหยุดแล้วสตาร์ทใหม่ขณะเฟสยังขาด
คาดว่า: สตาร์ทไม่ได้ กระแสสูงค้าง

### 6 · กลับทางขณะหมุน
แท็บกลับทาง ติ๊ก “ไม่มีอินเตอร์ล็อกผ่าน STOP” เดินหน้าจนเต็มรอบแล้วกดถอยหลัง บันทึกกระแสสูงสุดและเวลาที่ผ่านศูนย์ คำนวณพลังงานด้วย R5

## คำถามที่พบบ่อย

ซิมูเลเตอร์นี้แม่นยำแค่ไหน?
แบบจำลองเป็นวงจรสมมูลต่อเฟสของมอเตอร์ 7.5 kW 4 ขั้วแบบโรเตอร์กรงคู่ ปรับให้ตรงข้อมูลแคตตาล็อกทั่วไป (In ≈ 14 A, Ia/In ≈ 6.5, Ta/Tn ≈ 2.2, Tk/Tn ≈ 3.0) คำนวณสภาวะคงตัวที่แต่ละความเร็วแล้วรวมกับสมการการเคลื่อนที่ จึงเหมาะกับการเรียนรู้แนวโน้มและการเปรียบเทียบ ไม่จำลองทรานเซียนต์ทางไฟฟ้าละเอียด (ยกเว้นกระแสกระชากตอนเปลี่ยนจังหวะที่ใส่แบบประมาณ)

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ซิมูเลเตอร์นี้แม่นยำแค่ไหน?**
แบบจำลองเป็นวงจรสมมูลต่อเฟสของมอเตอร์ 7.5 kW 4 ขั้วแบบโรเตอร์กรงคู่ ปรับให้ตรงข้อมูลแคตตาล็อกทั่วไป (In ≈ 14 A, Ia/In ≈ 6.5, Ta/Tn ≈ 2.2, Tk/Tn ≈ 3.0) คำนวณสภาวะคงตัวที่แต่ละความเร็วแล้วรวมกับสมการการเคลื่อนที่ จึงเหมาะกับการเรียนรู้แนวโน้มและการเปรียบเทียบ ไม่จำลองทรานเซียนต์ทางไฟฟ้าละเอียด (ยกเว้นกระแสกระชากตอนเปลี่ยนจังหวะที่ใส่แบบประมาณ)

---

# ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ ออโต้ทรานส์ฟอร์เมอร์ และการเปรียบเทียบวิธีสตาร์ทมอเตอร์: กระแส แรงบิด แรงดันตก และราคา

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/soft-starters/
Updated: 2026-10-14
Summary: ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ทำงานอย่างไร: ไทริสเตอร์แบบกลับหลังขนาน ควบคุมมุมจุดชนวน ลดแรงดันแบบ ramp จำกัดกระแส ควบคุมแรงบิด บายพาสคอนแทกเตอร์ หยุดนุ่มกันค้อนน้ำในปั๊ม การสตาร์ทด้วยออโต้ทรานส์ฟอร์เมอร์ สูตรกระแสและแรงบิดของแต่ละวิธี เปรียบเทียบ DOL สตาร์-เดลต้า ซอฟต์สตาร์ท และ VFD พร้อมเครื่องคำนวณแรงดันตก

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.10 · ควบคุมมอเตอร์ AC · Soft Starters & Autotransformers

# ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ ออโต้ทรานส์ฟอร์เมอร์ และการเปรียบเทียบวิธีสตาร์ทมอเตอร์: กระแส แรงบิด แรงดันตก และราคา

ทุกวิธีที่ลดแรงดันตอนสตาร์ทมีกฎเดียวกันอยู่เบื้องหลัง: กระแสลดตามแรงดัน แต่แรงบิดลดตามกำลังสองของแรงดัน หน้านี้ใช้กฎนั้นเปรียบเทียบวิธีสตาร์ทแบบตัวเลข และอธิบายซอฟต์สตาร์ทเตอร์ซึ่งเป็นตัวเลือกยอดนิยมของงานปั๊มยุคใหม่

สรุปใน 30 วินาที

- ลดแรงดันเป็น $k$ เท่า → กระแส $k$ เท่า แรงบิด $k^2$ เท่า

- ซอฟต์สตาร์ท: ไทริสเตอร์ตัดคลื่น ramp แรงดัน จำกัดกระแส 2–4 In แล้วบายพาส

- ออโต้ทรานส์ tap $a$: กระแสมอเตอร์ $a$ เท่า กระแสสาย $a^2$ เท่า แรงบิด $a^2$ เท่า

- หยุดนุ่ม (soft stop) ลดค้อนน้ำในท่อปั๊ม — จุดเด่นที่สตาร์-เดลต้าทำไม่ได้

## กฎของการสตาร์ทด้วยแรงดันลด กลาง

T1 Reduced-voltage starting การสตาร์ทด้วยแรงดันลด

$$\frac{V}{V_n} = k \;\Rightarrow\; I_{st} = k\,I_{st,DOL} \qquad T_{st} = k^2\,T_{st,DOL}$$

T2 Torque at a current limit แรงบิดเมื่อจำกัดกระแส

$$T_{st} = T_{st,DOL}\left(\frac{I_{lim}}{I_{st,DOL}}\right)^2$$

ตัวอย่าง T-1

### มอเตอร์ Ia/In = 6.5 Ta/Tn = 2.2 จำกัดกระแสที่ 3 In

- $k = 3/6.5 = 0.46$ → แรงดันเริ่มต้นราว 46 %

- T2: $T_{st} = 2.2(0.46)^2 = 0.47$ Tn — พอสำหรับปั๊มหอยโข่ง (~0.15 Tn) แต่ไม่พอสำหรับสายพานที่มีของ (~1.0–1.5 Tn)

- เทียบสตาร์-เดลต้า: กระแส $6.5/3 = 2.2$ In แต่แรงบิด $2.2/3 = 0.73$ Tn — กระแสต่ำกว่าแต่แรงบิดสูงกว่า เพราะแรงดันขดลวดลดเพียง $1/\sqrt3$ ขณะที่กระแสสายลดถึง 1/3 (ทำงานเหมือนออโต้ทรานส์ $a = 0.58$ ในตัวอย่าง T-2)

## ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ทำงานอย่างไร กลาง

ในแต่ละเฟสมีไทริสเตอร์ (SCR) สองตัวต่อแบบกลับหลังขนาน ตัวควบคุมจุดชนวนไทริสเตอร์ช้ากว่าจุดตัดศูนย์ของแรงดันไปเป็นมุม α ทำให้มอเตอร์ได้รับเพียงส่วนท้ายของแต่ละครึ่งคลื่น ลด α ลงเรื่อย ๆ แรงดัน rms ที่มอเตอร์ก็เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อถึงแรงดันเต็ม คอนแทกเตอร์บายพาสภายในปิด ไทริสเตอร์หยุดนำ จึงไม่มีความร้อนสูญเสียขณะเดินปกติ

รูป 1 · คลื่นแรงดันที่มอเตอร์ขณะ ramp: เริ่มจากชิ้นคลื่นแคบ (α ใหญ่) จนเต็มคลื่น จากนั้นบายพาส

T3 RMS voltage vs firing angle (resistive approximation) แรงดัน rms กับมุมจุดชนวน

$$\frac{V_{rms}}{V} = \sqrt{1 - \frac{\alpha}{\pi} + \frac{\sin 2\alpha}{2\pi}}$$

สูตร T3 ใช้กับโหลดความต้านทานเพื่อให้เห็นแนวโน้ม มอเตอร์เป็นโหลดเหนี่ยวนำที่กระแสตามหลัง ช่วงนำกระแสจึงยาวกว่านี้ ซอฟต์สตาร์ทเตอร์จริงวัดกระแสแล้วปรับ α แบบป้อนกลับ

### โหมดสตาร์ทที่พบ

- Voltage ramp: เริ่มที่แรงดันตั้งต้น (30–60 %) แล้วเพิ่มเป็นเส้นตรงในเวลาที่ตั้ง (5–30 s)

- Current limit: ปรับแรงดันให้กระแสไม่เกิน k·In (2–4 In) ตลอดการเร่ง

- Torque control: คุมแรงบิดให้เพิ่มเรียบ ความเร็วเพิ่มแทบเป็นเส้นตรง เหมาะกับปั๊มและสายพาน

- Kick start: จ่ายแรงดันสูงสั้น ๆ ตอนเริ่ม เพื่อเอาชนะแรงเสียดทานสถิต

- Soft stop / pump stop: ลดแรงดันช้า ๆ ตอนหยุด ให้น้ำในท่อชะลอตัวไม่กระแทกวาล์วกันกลับ (ค้อนน้ำ)

ต้องเปิด JavaScript

### การต่อและข้อควรระวัง

- ต้องมีอุปกรณ์ป้องกันลัดวงจรต้นทาง: เบรกเกอร์สำหรับ Type 1 หรือฟิวส์เซมิคอนดักเตอร์สำหรับ Type 2 ตามตารางผู้ผลิต

- ห้ามต่อคาปาซิเตอร์ปรับ PF ระหว่างซอฟต์สตาร์ทเตอร์กับมอเตอร์ — ต่อด้านไฟเข้า และตัดออกขณะ ramp

- ตั้งกระแสพิกัดมอเตอร์ คลาสโอเวอร์โหลด จำนวนสตาร์ทต่อชั่วโมงตามที่ผู้ผลิตกำหนด (ไทริสเตอร์ร้อนขณะสตาร์ท)

- ต้องมีคอนแทกเตอร์หรือสวิตช์ตัดตอนด้านไฟเข้าสำหรับการแยกไฟเพื่อซ่อม (ไทริสเตอร์ปิดไม่ถือเป็นการแยกไฟ)

## สตาร์ทด้วยออโต้ทรานส์ฟอร์เมอร์ ขั้นสูง

ออโต้ทรานส์ฟอร์เมอร์สามเฟสมีแท็ป เช่น 50 % 65 % 80 % มอเตอร์ได้แรงดัน $aV$ กระแสมอเตอร์ลดเป็น $a$ เท่า แต่เพราะหม้อแปลงแปลงกระแส กระแสในสายเมนลดเป็น $a^2$ เท่า — ลดกระแสสายได้ดีกว่าวิธีความต้านทานหรือซอฟต์สตาร์ทที่แรงบิดเท่ากัน ใช้กับมอเตอร์ใหญ่ เช่น ปั๊มสูบน้ำดิบ คอมเพรสเซอร์ใหญ่ (มักทำเป็นแบบ Korndorfer ที่เปลี่ยนจังหวะแบบปิดวงจร)

T4 Autotransformer starter สตาร์ทด้วยออโต้ทรานส์ฟอร์เมอร์ แท็ป $a$

$$I_{motor} = a\,I_{st,DOL} \qquad I_{line} = a^2\,I_{st,DOL} \qquad T_{st} = a^2\,T_{st,DOL}$$

ตัวอย่าง T-2

### แท็ป 65 % กับมอเตอร์ Ia/In = 7 Ta/Tn = 2.3

- $a^2 = 0.4225$ → กระแสสาย $0.4225 \times 7 = 2.96$ In · แรงบิด $0.4225 \times 2.3 = 0.97$ Tn

- เทียบซอฟต์สตาร์ทที่กระแสสายเท่ากัน 2.96 In: T2 → $2.3(2.96/7)^2 = 0.41$ Tn เท่านั้น

- ออโต้ทรานส์ให้แรงบิดมากกว่าเกือบสองเท่าที่กระแสสายเท่ากัน แลกกับขนาด น้ำหนัก และราคา

## เปรียบเทียบทุกวิธี กลาง

รูป 2 · กระแสและแรงบิดตอนเริ่มของมอเตอร์ตัวอย่าง (Ia/In 6.5 · Ta/Tn 2.15)

T5 Supply dip for any method แรงดันตกที่หม้อแปลงสำหรับทุกวิธี

$$\Delta U\% \approx \frac{\sqrt3\,V_L\,I_{line,st}}{S_{tr}/u_k + \sqrt3\,V_L\,I_{line,st}}\times 100$$

| เกณฑ์ | DOL | สตาร์-เดลต้า | ออโต้ทรานส์ | ซอฟต์สตาร์ท | VFD |

| กระแสสาย | 6–8 In | 2–2.7 In | 2–4 In | 2–4 In | ≤ 1.5 In |

| แรงบิดเริ่ม | สูงสุด | 1/3 | a² | (I/Is)² | สูง ควบคุมได้ |

| ความนุ่ม | กระชาก | กระชากสองครั้ง | ปานกลาง | นุ่ม | นุ่มที่สุด |

| หยุดนุ่ม | ✗ | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ (ควบคุมได้) |

| สายไปมอเตอร์ | 3 | 6 | 3 | 3 (inside delta 6) | 3 สายชีลด์ |

| ฮาร์มอนิก | — | — | — | ขณะ ramp เท่านั้น | ต่อเนื่อง |

| ราคาเทียบ | 1 | 1.5–2 | 3–5 | 2–3 | 3–6 |

## คำถามที่พบบ่อย

ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ปรับความเร็วได้ไหม?
ไม่ได้ ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ลดแรงดันแต่ความถี่ยังคงเป็น 50 Hz มอเตอร์จึงเดินที่ความเร็วใกล้พิกัดเสมอเมื่อโหลดปกติ การลดแรงดันขณะมีโหลดทำให้สลิปสูงและร้อน ถ้าต้องการปรับความเร็วต้องใช้อินเวอร์เตอร์

ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ต่อเข้าวงจรเดลต้าภายใน (inside delta) คืออะไร?
บางรุ่นต่อไทริสเตอร์อนุกรมกับขดลวดแต่ละชุดภายในเดลต้า ทำให้นำกระแสเพียง 0.58 In จึงใช้ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ขนาดเล็กลงได้ แต่ต้องดึงสาย 6 เส้นเหมือนสตาร์-เดลต้า และต้องต่อตามแบบของผู้ผลิตอย่างเคร่งครัด

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ปรับความเร็วได้ไหม?**
ไม่ได้ ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ลดแรงดันแต่ความถี่ยังคงเป็น 50 Hz มอเตอร์จึงเดินที่ความเร็วใกล้พิกัดเสมอเมื่อโหลดปกติ การลดแรงดันขณะมีโหลดทำให้สลิปสูงและร้อน ถ้าต้องการปรับความเร็วต้องใช้อินเวอร์เตอร์

**ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ต่อเข้าวงจรเดลต้าภายใน (inside delta) คืออะไร?**
บางรุ่นต่อไทริสเตอร์อนุกรมกับขดลวดแต่ละชุดภายในเดลต้า ทำให้นำกระแสเพียง 0.58 In จึงใช้ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ขนาดเล็กลงได้ แต่ต้องดึงสาย 6 เส้นเหมือนสตาร์-เดลต้า และต้องต่อตามแบบของผู้ผลิตอย่างเคร่งครัด

---

# สตาร์-เดลต้าเชิงลึก (Star–Delta Analysis): ตั้งไทเมอร์กี่วินาที เลือกเดินสตาร์หรือเดลต้า กระแส พลังงาน และงานวิจัยเชิงตัวเลขของมอเตอร์กรงกระรอก

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/star-delta-analysis/
Updated: 2026-10-19
Summary: ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาทีให้ถูก คำนวณจาก τm = J·ωs/Tn พร้อมผลจำลองพลวัตมอเตอร์เหนี่ยวนำกรงกระรอก: ช่วงตาย แรงดันค้าง ลำดับเฟส KM3 แบบปิดวงจร I²t ความร้อนโรเตอร์ แรงดันตก เดินสตาร์ที่โหลดเบาประหยัดไฟ กรณีศึกษา อดีต-ปัจจุบัน-อนาคต และแล็บทดลอง

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.9 · ควบคุมมอเตอร์ AC · Star–Delta Analysis & Research

# สตาร์-เดลต้าเชิงลึก (Star–Delta Analysis): ตั้งไทเมอร์กี่วินาที เลือกเดินสตาร์หรือเดลต้า กระแส พลังงาน และงานวิจัยเชิงตัวเลขของมอเตอร์กรงกระรอก

หน้า สตาร์-เดลต้าแบบละเอียด สอนวิธีต่อวงจรให้ถูก หน้านี้ตอบคำถามที่ช่างและวิศวกรถามกันมากที่สุดแต่หาคำตอบเชิงตัวเลขได้ยาก: ตั้งไทเมอร์กี่วินาที ช่วงตายเท่าไร ทำไมเบรกเกอร์ทริปตอนเปลี่ยนเป็นเดลต้า ต่อ KM3 ลำดับไหน และควรเดินมอเตอร์แบบสตาร์ (วาย) หรือเดลต้า ทุกคำตอบมาจากการทดลองทางคณิตศาสตร์ด้วยแบบจำลองพลวัตของมอเตอร์เหนี่ยวนำกรงกระรอกที่ตรวจสอบแล้ว และเปิดให้ทดลองซ้ำได้ในแล็บท้ายหน้า

สรุปใน 30 วินาที

- ไทเมอร์ = เวลาที่มอเตอร์ถึง ~98 % ของ “ความเร็วสมดุลในสตาร์” × 1.2 และไม่สั้นกว่าเวลาถึง 95 % เมื่อไฟตก 10 % → $t_{set} = c\,\tau_m$, $\tau_m = J\omega_s/T_n$, $c \approx 2\text{–}4$

- ปั๊มและพัดลม: ยอดกระแส 1–3 ไซเคิลตอนเปลี่ยนแบบเปิดวงจร ≈ 0.85–1.2 เท่าของยอดสตาร์ทตรง ทุกค่าไทเมอร์ — ไทเมอร์ควบคุมได้แค่ “กระแสสูงค้างนานเท่าไร” (พัดลม: 0.96 s ที่ 8 s เทียบ 0.05 s ที่ 20 s)

- ต่อ KM3 แบบตามหลัง (L1→V2 L2→W2 L3→U2) และใช้ช่วงตายสั้นที่สุดที่ปลอดภัย · แบบปิดวงจร Rt ≈ 0.1–0.3·Zb ลดยอดเหลือ 2.9–6.7·In

- สตาร์-เดลต้าลด I²t ของสายจ่าย 25–50 % แต่โรเตอร์ร้อนขึ้น 30–55 % · บนเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ยอดตอนเปลี่ยนทำแรงดันตกได้ถึง 41 %

- เดินสตาร์ถาวรประหยัดไฟเฉพาะโหลด < 35–40 % (7.5 kW ที่ 25 %: ประหยัด 188 W, cos φ 0.46 → 0.79)

## อ่านหน้านี้อย่างไร: คำถามวิจัย แบบจำลอง และผลลัพธ์หลัก พื้นฐาน

สตาร์ (Star), วาย (Wye, Y) และ เดลต้า (Delta, Δ) คือการต่อขดลวดสามชุดของมอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟส สตาร์กับวายเป็นการต่อแบบเดียวกัน (ยุโรปและเอเชียเรียก star อเมริกาเรียก wye) ชุดสตาร์ทจึงเรียกได้ทั้ง star–delta starter และ wye–delta starter หน้านี้ตั้งคำถามวิจัยหกข้อ แล้วตอบด้วยการทดลองเชิงตัวเลข 14 ชุด (E1–E14)

- ควรตั้งไทเมอร์สตาร์กี่วินาที และหาค่านี้จากข้อมูลแคตตาล็อกได้อย่างไร

- อะไรกำหนดยอดกระแสและแรงบิดกระชากตอนเปลี่ยนจากสตาร์เป็นเดลต้า ช่วงตายและลำดับเฟสมีผลเท่าไร

- สตาร์-เดลต้าลดอะไรได้จริง: กระแส พลังงาน ความร้อน หรือแรงดันตก

- โหลดแบบใดใช้สตาร์-เดลต้าได้ และแรงดันไฟตกส่งผลอย่างไร

- เดินมอเตอร์แบบสตาร์ถาวรที่โหลดเบาประหยัดไฟได้จริงหรือไม่ คุ้มที่โหลดเท่าไร

- ปัญหาในอดีตแก้อย่างไรในปัจจุบัน และอนาคตของการสตาร์ทมอเตอร์จะเป็นอย่างไร

แบบจำลอง: มอเตอร์ 7.5 kW 4 ขั้ว 400 V Δ 50 Hz โรเตอร์กรงคู่ ตัวเดียวกับทั้งชุดบทเรียนและ คู่มือมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับ (In 14.0 A, Tn 49.3 N·m, 1471 rpm, Is/In 6.53, Ts/Tn 2.15, Tk/Tn 3.0) จำลองด้วยแบบจำลองพลวัตเวกเตอร์อวกาศ (αβ) ห้าสถานะทางไฟฟ้า + ความเร็ว แก้ด้วย Runge–Kutta อันดับ 4 ทุก 0.1 ms ระหว่างช่วงตายกระแสสเตเตอร์เป็นศูนย์และคำนวณเฉพาะฟลักซ์ในกรงโรเตอร์ทั้งสอง ผลสถานะคงตัวตรงกับวงจรสมมูลถึง 10⁻¹⁶ และทรานเซียนต์ตอนเปลี่ยนจังหวะตรงกับตัวแก้สมการ LSODA ของ scipy ภายใน 0.3 % โหลดตัวอย่างมีสามแบบ: ปั๊มหอยโข่ง 80 % (J รวม 0.105 kg·m²) พัดลมใหญ่ (J รวม 2.245 kg·m²) และสายพานแรงบิดคงที่ 50 % (J รวม 0.395 kg·m²)

ไทเมอร์c·τmc ≈ 2.1–3.4 สำหรับปั๊ม/พัดลม · 3.7 สำหรับสายพาน 50 % (ตาราง E13)

ยอดตอนเปลี่ยน (เปิดวงจร)5.6–10.5·InDOL 8.9·In · สั้น 1–3 ไซเคิล · ขึ้นกับมุมแรงดันค้าง (ปั๊ม/พัดลม 7.6–10.5)

แบบปิดวงจร2.9–6.7·InRt = 0.1–0.3·Zb · พลังงานในตัวต้านทาน < 1 kJ

I²t สายจ่าย (พัดลม)51 %ของ DOL · แต่ความร้อนโรเตอร์ 130 %

แรงดันตก บนเจน 100 kVA41 %ยอดตอนเปลี่ยนของปั๊ม 37 kW (DOL 32 %, ช่วงสตาร์ 13.5 %)

เดินสตาร์ที่โหลด 25 %−188 Wต่อ 7.5 kW · cos φ 0.46 → 0.79 · จุดคุ้มทุน ≈ 53 %

ตัวเลขทุกตัวในหน้านี้คำนวณด้วยโค้ดชุดเดียวกับแล็บในหน้า ทำซ้ำได้ด้วย node scripts/yd_research.mjs และตรวจแบบจำลองด้วย python3 scripts/yd_check.py (ดูหัวข้อ สรุปเชิงวิจัย) ถ้าต้องการฉบับเขียนแบบบทความวิจัยอ่านต่อเนื่อง ดู บทความ: ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที — ผลการทดลองเชิงตัวเลข

## เลือกต่อสตาร์ เดลต้า หรือสตาร์-เดลต้า จากแผ่นป้ายและระบบไฟ พื้นฐาน

ก่อนคิดเรื่องไทเมอร์ ต้องแน่ใจก่อนว่ามอเตอร์ตัวนั้น เดินเดลต้าที่แรงดันระบบ เพราะสตาร์-เดลต้าคือการ “สตาร์ทด้วยสตาร์ แล้วเดินด้วยเดลต้า” ถ้าเดลต้าไม่ใช่การต่อใช้งานปกติ วิธีนี้ใช้ไม่ได้ (รายละเอียดกล่องขั้วใน การต่อขั้วสตาร์ · เดลต้า)

E1 Winding voltage in Y and Δ แรงดันขดลวดเมื่อต่อสตาร์และเดลต้า

$$V_{w,Y} = \frac{V_L}{\sqrt3} \qquad V_{w,\Delta} = V_L \qquad I_{L,\Delta} = \sqrt3\,I_{w,\Delta}$$

E2 Line-current ratio at the same speed อัตราส่วนกระแสสายที่ความเร็วเดียวกัน

$$\frac{I_{L,Y}}{I_{L,\Delta}} = \frac{V_L/(\sqrt3\,Z_w)}{\sqrt3\,V_L/Z_w} = \frac13 \qquad Z_w = \text{อิมพีแดนซ์ขดลวดที่สลิปนั้น}$$

E3 Torque ratio อัตราส่วนแรงบิด (แรงบิด ∝ V²)

$$\frac{T_Y(s)}{T_\Delta(s)} = \left(\frac{V_{w,Y}}{V_{w,\Delta}}\right)^{2} = \frac13 \qquad \frac{T_{k,Y}}{T_k} = \frac13,\ \ s_k \text{ ไม่เปลี่ยน}$$

E4 Input and starting kVA กำลังไฟฟ้าเข้าและ kVA ขณะสตาร์ท

$$P_{in} = \sqrt3\,V_L I_L\cos\varphi \qquad S_{st} = \sqrt3\,V_L\,I_{st} \qquad S_{st,Y} = \tfrac13\,S_{st,\Delta}$$

| แผ่นป้าย (Δ/Y) | ไฟ 400 V 50 Hz | ต่อเดินปกติ | สตาร์-เดลต้า? | หมายเหตุ |

| 230/400 V | 400 V | สตาร์ (Y) | ไม่ได้ | ต่อเดลต้าที่ 400 V ขดลวดรับ 173 % ของพิกัด ฟลักซ์อิ่มตัว กระแสพุ่ง ไหม้ · ใช้ DOL ซอฟต์สตาร์ท หรือ VFD |

| 400/690 V | 400 V | เดลต้า (Δ) | ได้ | ชนิดที่ใช้สตาร์-เดลต้าในภูมิภาค · ดึงสาย 6 เส้น |

| 380/660 V | 400 V | เดลต้า | ได้ | แรงดันสูงกว่าป้าย 5.3 % อยู่ในโซน B ของ IEC 60034-1 (±10 %) ใช้ได้แต่ร้อนขึ้นเล็กน้อย |

| 400/690 V | 690 V (เหมือง อุตสาหกรรมหนัก) | สตาร์ | ไม่ได้ | ที่ 690 V มอเตอร์เดินสตาร์อยู่แล้ว |

| 400 V Δ (6 ขั้ว ไม่มีตัวเลขที่สอง) | 400 V | เดลต้า | ได้ | มอเตอร์ใหญ่บางรุ่นทำมาเพื่อ Y-Δ โดยเฉพาะ (IEC 60034-12 แบบ NY/HY) |

| 230/460 V 9 สาย (NEMA, 60 Hz) | 460 V | วายอนุกรม (high-wye) | ไม่ได้ (ต้อง 12 สาย) | แรงดันต่ำต่อวายขนาน (low-wye) · wye-delta ต้องใช้มอเตอร์ 12 สาย |

รูป 1 · เลือกการต่อจากแผ่นป้ายกับแรงดันระบบ: ตัวเลขฝั่ง Δ ต้องเท่ากับแรงดันสายของระบบจึงจะใช้สตาร์-เดลต้าได้

ตัวอย่าง E-1

### มอเตอร์สามตัวในโรงงาน 400 V: ตัวไหนใช้สตาร์-เดลต้าได้ และต้องใช้อุปกรณ์ขนาดเท่าไร

- 3 kW ป้าย 230/400 V Δ/Y: E1 ที่ 400 V ต้องต่อ Y ให้ขดลวดได้ 231 V · ต่อ Δ ขดลวดจะได้ 400 V = $\sqrt3$ เท่า → ห้ามสตาร์-เดลต้า ใช้ DOL

- 37 kW ป้าย 400/690 V Δ/Y In ≈ 66 A: เดลต้าที่ 400 V → ใช้ได้ · KM1 = KM3 ≥ $66/\sqrt3 = 38.1$ A → 40 A AC-3 · KM2 ≥ 66/3 = 22 A → 25 A · โอเวอร์โหลดตั้ง 38.1 A ในทางกระแสขดลวด

- E2: กระแสสตาร์ทตรง $6.5 \times 66 = 429$ A → ช่วงสตาร์ $429/3 = 143$ A · E4: $S_{st,Y} = \sqrt3(400)(143) = 99$ kVA แทน 297 kVA

- 22 kW ป้าย 380/660 V: เดลต้าที่ 400 V สูงกว่าป้าย 5.3 % ยังอยู่ในโซน B ของ IEC 60034-1 → ใช้ได้ แต่ควรตรวจอุณหภูมิและกระแสจริงหลังติดตั้ง

## คณิตศาสตร์ของช่วงสตาร์: แรงบิด สลิป และความเร็วสมดุล กลาง

เมื่อแรงดันขดลวดลดเหลือ $1/\sqrt3$ ทุกจุดบนกราฟแรงบิด-ความเร็วลดเหลือ 1/3 (E3) รวมถึงแรงบิดสูงสุด $T_k$ แต่ความเร็วที่เกิดแรงบิดสูงสุดไม่เปลี่ยน ของมอเตอร์ตัวอย่าง $T_{k,Y} = 3.0/3 = 1.0\,T_n$ แปลว่า ในสตาร์มอเตอร์ลากโหลดเต็มพิกัดไม่ได้ และความเร็วที่ลากโหลดได้จะต่ำกว่าเดลต้า

E5 Kloss approximation สูตรประมาณของคลอสส์

$$\frac{T}{T_k} = \frac{2}{s/s_k + s_k/s} \qquad T_{k,Y} = \frac{T_k}{3}$$

E6 Slip in star near rated speed สลิปในสตาร์ช่วงใกล้ความเร็วพิกัด

$$T \approx \frac{3V_w^2}{\omega_s R_2'}\,s \;\Rightarrow\; s_Y \approx 3\,s_\Delta \ \text{(แรงบิดโหลดเท่ากัน)}$$

E7 Star equilibrium and feasibility ความเร็วสมดุลในสตาร์และเงื่อนไขใช้ได้

$$T_Y(n_Y) = T_L(n_Y),\ \ \frac{d(T_Y - T_L)}{dn}\Big|_{n_Y} T_L(0),\ \ n_Y \ge 0.9\,n_N$$

ความเร็วสมดุลในสตาร์ $n_Y$ คือจุดที่เส้นแรงบิดสตาร์ตัดเส้นโหลด มอเตอร์จะเร่งไปถึงจุดนี้แล้ว “ค้าง” อยู่ตรงนั้นจนกว่าจะเปลี่ยนเป็นเดลต้า ผลการทดลอง E1 ของสามโหลด:

| โหลด | nY (% nN) | สลิป Y · Δ | กระแสสาย Y ที่ nY | กระแส Δ ที่ nY (กระโดด) | t98 ช่วง Y | DOL t98 |

| ปั๊ม 80 % | 96.5 % | 5.41 % · 1.54 % | 0.76·In | 2.27·In | 0.63 s | 0.15 s |

| พัดลม J 2.245 | 94.2 % | 7.61 % · 1.94 % | 0.97·In | 2.90·In | 15.0 s | 3.27 s |

| สายพาน 50 % | 98.8 % | 3.09 % · 0.93 % | 0.48·In | 1.45·In | 3.89 s | 0.63 s |

สังเกตคอลัมน์กระแส: ที่ความเร็วสมดุล พัดลมดึงกระแสสาย 0.97·In ในสตาร์ ซึ่งเท่ากับกระแสในขดลวด แต่กระแสพิกัดของขดลวดคือ $I_n/\sqrt3 = 0.58\,I_n$ ขดลวดจึงรับกระแส 1.68 เท่าของพิกัดตลอดเวลาที่ค้างในสตาร์ — นี่คือเหตุผลที่ ไทเมอร์ยาวเกินไปก็ไม่ดี

รูป 2 · การเร่งในช่วงสตาร์เมื่อวัดเวลาเป็นหน่วย τm: ปั๊มและพัดลมแทบซ้อนกัน (ถึง 98 % ของ nY ที่ ≈ 2 τm) สายพานแรงบิดคงที่ช้ากว่า (≈ 3 τm)

### โหลดแบบใดใช้สตาร์-เดลต้าได้ (ผลการทดลอง E7)

| ชนิดโหลด | k สูงสุดให้ nY ≥ 85 % | ≥ 90 % | ≥ 95 % | สิ่งที่จำกัด |

| ปั๊ม พัดลม (T ∝ n²) | 1.31·Tn | 1.19·Tn | 0.93·Tn | แรงบิดช่วงความเร็วสูง |

| เครื่องผสม แรงหนืด (T ∝ n) | 1.15·Tn | 1.10·Tn | 0.90·Tn | แรงบิดช่วงความเร็วสูง |

| แรงบิดคงที่ (สายพาน รอก คอมเพรสเซอร์ลูกสูบมีโหลด) | 0.60·Tn ทุกเป้าหมาย | แรงบิดออกตัว 1.2·k·Tn ต้องน้อยกว่า TY(0) = 0.72·Tn |

k คือแรงบิดโหลดที่ความเร็วพิกัดเทียบ Tn ปั๊มและพัดลมที่ขนาดมอเตอร์เหมาะสม (k ≈ 0.7–1.0) จึงเหมาะกับสตาร์-เดลต้ามาก ส่วนสายพานหรือคอมเพรสเซอร์ที่สตาร์ทแบบมีโหลดเกิน ~60 % ไม่ควรใช้ และถ้าไฟตก 10 % ขีดจำกัดลดลงเหลือ $0.6 \times 0.81 \approx 0.48$ Tn (แรงบิด ∝ V²)

## ตั้งไทเมอร์กี่วินาที: สมการ ตาราง และวิธีวัดหน้างาน กลาง

เวลาเร่งในสตาร์หาได้จากกฎข้อสองของนิวตันสำหรับการหมุน ถ้าวัดเวลาเป็นหน่วย ค่าคงตัวเวลาทางกล τm (เวลาที่แรงบิดพิกัดใช้เร่งมวลหมุนจากนิ่งถึงความเร็วซิงโครนัส) ผลจะแทบไม่ขึ้นกับขนาดมอเตอร์ จึงทำตารางใช้ได้ทั่วไป

E8 Run-up time in star เวลาเร่งในช่วงสตาร์

$$J\frac{d\omega}{dt} = T_Y(\omega) - T_L(\omega) \;\Rightarrow\; t(\omega_1) = J\int_0^{\omega_1}\frac{d\omega}{T_Y(\omega) - T_L(\omega)}$$

E9 Mechanical time constant ค่าคงตัวเวลาทางกล

$$\tau_m = \frac{J\,\omega_s}{T_n} \qquad \omega_s = \frac{2\pi n_s}{60} \qquad T_n = \frac{9550\,P_n}{n_N}$$

E10 Timer setting rule กฎตั้งไทเมอร์

$$t_{set} = \max\!\big(1.2\,t_{98}(V_n),\ t_{95}(0.9V_n)\big) = c\,\tau_m$$

E11 Average-torque estimate ประมาณด้วยแรงบิดเร่งเฉลี่ย

$$t \approx \frac{J\,\Delta\omega}{\overline{T_Y - T_L}}$$

E12 No-load run-up with Kloss (closed form) เวลาเร่งตัวเปล่าด้วยสูตรคลอสส์

$$t = \frac{J\omega_s}{T_k}\left[\frac{1-s_e^2}{4s_k} + \frac{s_k}{2}\ln\frac1{s_e}\right] \qquad t_Y = 3\,t_\Delta$$

สูตร E12 สวยแต่ ประเมินเวลาของมอเตอร์กรงคู่และแท่งลึกสูงเกินจริงราว 74 % (การทดลอง E8: J = 1 kg·m² ได้ 6.74 s เทียบค่าจริงจากการอินทิเกรต 3.88 s) เพราะคลอสส์ให้แรงบิดเริ่มเพียง 0.79·Tn ขณะที่มอเตอร์จริงมี 2.15·Tn ส่วนวิธีแรงบิดเฉลี่ย E11 คลาดเพียง 2 % จึงควรใช้ E11 หรือ E8 กับกราฟแรงบิดจากผู้ผลิต

### ตารางสัมประสิทธิ์ไทเมอร์ c (ผลการทดลอง E13)

| โหลด · k | nY/nN | DOL t98/τm | Y t95/τm | Y t98/τm | Y t95/τm ที่ 90 % V | c = tset/τm |

| ปั๊ม/พัดลม T ∝ n² · 0.6 | 98.2 % | 0.44 | 1.53 | 1.63 | 2.08 | 2.1 |

| ปั๊ม T ∝ n² · 0.8 | 96.5 % | 0.45 | 1.76 | 1.89 | 2.56 | 2.6 |

| ปั๊ม T ∝ n² · 1.0 | 94.1 % | 0.47 | 2.10 | 2.31 | 3.44 | 3.4 |

| พัดลม (ฐาน 5 %) · 1.0 | 94.2 % | 0.46 | 1.91 | 2.10 | 2.94 | 2.9 |

| T ∝ n · 0.6 | 98.1 % | 0.45 | 1.76 | 1.86 | 2.54 | 2.5 |

| T ∝ n · 0.8 | 96.2 % | 0.47 | 2.23 | 2.37 | 3.96 | 4.0 |

| แรงบิดคงที่ · 0.3 | 100 % | 0.46 | 1.81 | 1.88 | 2.59 | 2.6 |

| แรงบิดคงที่ · 0.5 | 98.8 % | 0.50 | 3.01 | 3.10 | ออกตัวไม่ได้ | 3.7 (ห้ามถ้าไฟตก) |

ตรวจความทั่วไปของตาราง: เพิ่ม J เป็น 4 เท่า ค่า t98/τm เท่าเดิมทุกแถวถึงทศนิยมตำแหน่งที่สาม จึงใช้กับมอเตอร์ขนาดอื่นได้ตราบที่รูปร่างกราฟแรงบิดใกล้เคียงกัน (Ts/Tn ≈ 2–2.5, Tk/Tn ≈ 2.7–3.2)

ตัวอย่าง E-2

### พัดลมดูดอากาศ 7.5 kW J รวม 2.245 kg·m² — ตั้งไทเมอร์เท่าไร และถ้าตั้ง 8 s เหมือนปั๊มจะเกิดอะไร

- E9: $\tau_m = 2.245 \times 157.08 / 49.35 = 7.15$ s

- ตาราง E13 แถวพัดลม: $t_{98} = 2.10\tau_m = 15.0$ s · ที่ไฟ 90 %: $t_{95} = 2.94\tau_m = 21.0$ s

- E10: $t_{set} = \max(1.2 \times 15.0,\ 21.0) = 21$ s

- ผลจำลองที่ 8 s: เปลี่ยนที่ 971 rpm (66 %) ยอด 7.6·In แต่กระแสเกิน 3·In ค้าง 0.96 s (เกือบ 1/3 ของ DOL 3.1 s) · ที่ 20 s: เปลี่ยนที่ 1385 rpm ยอด 8.5·In เกิน 3·In เพียง 0.05 s

- โอเวอร์โหลดคลาส 10 ใช้งบความร้อน 28 % ต่อการสตาร์ท (ไฟปกติ) และ 37 % (ไฟ 90 %, 25 s) — ถ้าสตาร์ทซ้ำขณะร้อนหรือสตาร์ทบ่อย ใช้คลาส 20

ตัวอย่าง E-3

### ปั๊มน้ำ 37 kW 1480 rpm J มอเตอร์ 0.37 + J ปั๊ม 0.50 kg·m² — ไทเมอร์ที่เหมาะสม

- $T_n = 9550(37)/1480 = 238.8$ N·m · $J = 0.87$ kg·m² · $\tau_m = 0.87(157.08)/238.8 = 0.572$ s

- ตาราง E13 ปั๊ม 0.8: $t_{98} = 1.89(0.572) = 1.08$ s · ไฟ 90 %: $t_{95} = 2.56(0.572) = 1.46$ s

- E10: $t_{set} = \max(1.30,\ 1.46) \approx 1.5$ s — ตั้ง 2–3 s เผื่อสภาพวาล์วและท่อ ไม่จำเป็นต้อง 10 s

- ตั้ง 5 s ไม่อันตรายแต่สิ้นเปลือง: I²t ของการสตาร์ทเพิ่มจาก 810 เป็น 1,202 A²s (+48 % ในแบบจำลอง 7.5 kW) และขดลวดรับ 1.31 เท่าของกระแสพิกัดขดลวดตลอดช่วงที่ค้างในสตาร์

รูป 3 · การทดลอง E2 กวาดเวลาไทเมอร์ของพัดลม: ยอดกระแสแกว่งอยู่ราว 7.6–10.4·In ทุกค่า แต่เวลาที่กระแสเกิน 3·In หลังเปลี่ยนลดจาก 2.8 s เหลือ 0.05 s เมื่อไทเมอร์ถึงความเร็วสมดุล ส่วนความร้อนโรเตอร์เพิ่มขึ้นตามเวลาที่ค้างในสตาร์

รูป 4 · กระแสและความเร็วตลอดการสตาร์ทพัดลม: ไทเมอร์ 8 s (เปลี่ยนเร็ว กระแสสูงค้าง) เทียบ 20 s (เปลี่ยนที่ความเร็วสมดุล) และ DOL

### ไทเมอร์ รีเลย์กระแส หรือสวิตช์ความเร็ว (ผลการทดลอง E5)

ไทเมอร์คงที่ไม่รู้ว่ามอเตอร์เร่งถึงไหนแล้ว ถ้าไฟตกหรือโหลดหนักขึ้น มันจะสั่งเปลี่ยนเร็วเกินไปเสมอ การทดลอง E5 เทียบสามวิธี (ช่วงตาย 50 ms ทั้งหมด):

| สถานการณ์ | ไทเมอร์คงที่ (10 s) | รีเลย์กระแส < 1.25·In | สวิตช์ความเร็ว ≥ 90 % |

| พัดลม ไฟปกติ | เปลี่ยนที่ 76 % · เกิน 3·In 0.65 s | 13.8 s · 90 % · 0.22 s | 13.9 s · 90 % · 0.22 s |

| พัดลม ไฟ 90 % | เปลี่ยนที่ 62 % · 1.33 s | 23.4 s · 87 % · 0.34 s | ไม่ถึง 90 % → หมดเวลา 40 s · 0.23 s |

| พัดลม แดมเปอร์เปิดเต็ม (k 1.15) | เปลี่ยนที่ 72 % · 0.81 s | 18.2 s · 90 % · 0.24 s | 18.4 s · 90 % · 0.23 s |

| ปั๊ม ไฟปกติ (ไทเมอร์ 1.5 s) | 96.5 % · 0.06 s | 0.63 s · 91 % · 0.08 s | 0.61 s · 90 % · 0.08 s |

ข้อสรุป: วิธีที่ “รู้สถานะมอเตอร์” (กระแสหรือความเร็ว) ปรับตัวตามแรงดันและโหลดได้เอง ลดเวลากระแสสูงหลังเปลี่ยนได้ 3–4 เท่าเมื่อสภาพไม่เหมือนวันที่ตั้งไทเมอร์ แต่ต้องมีเวลาสูงสุดสำรอง (เช่น 1.5–2 เท่าของเวลาปกติ) เผื่อมอเตอร์ค้างในสตาร์ และรีเลย์กระแสควรตั้งเหนือกระแสสมดุลในสตาร์เล็กน้อย (ตาราง E1: 0.48–0.97·In)

รูป 5 · ไฟตกทำให้ช่วงสตาร์ช้าลงมาก: พัดลมต้องการ 25 s แทน 15 s ที่ไฟ 90 % และสมดุลที่ความเร็วต่ำลง

### วิธีวัดหน้างานให้ได้ค่าไทเมอร์จริง

- ตั้งไทเมอร์ยาวไว้ก่อน (เช่น 2 เท่าของค่าคำนวณ) แล้วสตาร์ท บันทึกกระแสสายด้วยแคลมป์มิเตอร์ที่มีโหมดบันทึก (inrush/trend) หรือมิเตอร์คุณภาพไฟฟ้า

- อ่านเวลาที่กระแสในช่วงสตาร์ “ลดลงจนนิ่ง” — นั่นคือ t98 โดยประมาณ ถ้ามีเครื่องวัดรอบ ให้อ่านเวลาที่ความเร็วไม่เพิ่มอีก

- ตั้งไทเมอร์ = 1.2 × เวลานั้น และไม่ต่ำกว่าค่าที่คำนวณได้สำหรับไฟตก 10 %

- ทดสอบซ้ำ บันทึกยอดและเวลาที่กระแสเกิน 3·In หลังเปลี่ยน ควรอยู่ในระดับหนึ่งในสิบวินาที ถ้ายาวเกินแปลว่ายังเปลี่ยนเร็วไป

## ช่วงเปลี่ยนจังหวะ: แรงดันค้าง ช่วงตาย และลำดับเฟส KM3 ขั้นสูง

ในสตาร์-เดลต้าแบบเปิดวงจร (open transition) จะมีช่วงตาย (dead time) ที่ KM2 ปล่อยแล้วแต่ KM3 ยังไม่ต่อ มอเตอร์ไม่มีไฟเลี้ยง แต่กระแสในกรงโรเตอร์ยังไหลวนและคงฟลักซ์ไว้ ฟลักซ์นี้หมุนตามโรเตอร์จึงเหนี่ยวนำ แรงดันค้าง (residual voltage) ที่ขั้วมอเตอร์ ซึ่งลดขนาดลงตามค่าคงตัวเวลาวงจรเปิดของโรเตอร์ และหมุนช้ากว่าไฟเพราะโรเตอร์ช้ากว่าซิงโครนัสและกำลังชะลอ

E13 Residual voltage after opening แรงดันค้างหลังตัดไฟ

$$\underline e(t) \approx \underline e_0\,e^{-t/T_0'}\,e^{\,j\int_0^t (p\,\omega_r - \omega_s)\,d\tau} \qquad T_0' = \frac{L_r}{R_r}$$

E14 Phase drift during the dead time มุมที่แรงดันค้างเลื่อนไประหว่างช่วงตาย

$$\delta(t_d) \approx s_{ch}\,\omega_s\,t_d + \frac{p\,T_L}{2J}\,t_d^{2} \quad \text{(rad ไฟฟ้า)}$$

E15 Transient driving voltage แรงดันที่ขับทรานเซียนต์ตอน KM3 ต่อ

$$|\Delta\underline V| = |\underline V_\Delta - \underline e| = \sqrt{V_\Delta^2 + e^2 - 2V_\Delta e\cos\theta} \qquad \theta = \pm30^\circ - \varphi_0 - \delta$$

E16 Changeover peak estimate ประมาณยอดกระแสตอนเปลี่ยน

$$I_{pk} \approx k_a\,\frac{|\Delta\underline V|}{V_\Delta}\,I_{LR} \qquad k_a \approx 1.35\text{–}1.45$$

ใน E15 มุม +30° ใช้กับ KM3 แบบตามหลัง (แรงดันใหม่ล้าหลังแรงดันสตาร์ 30°) และ −30° กับแบบมาตรฐาน φ0 คือมุมที่แรงดันค้างล้าหลังแรงดันสตาร์ทันทีหลังเปิด (≈ 15–20° ในแบบจำลอง) ส่วน ka คือตัวคูณความไม่สมมาตรของไซเคิลแรก (DOL ของมอเตอร์นี้ = 8.9/6.53 = 1.36)

ตัวอย่าง E-4

### ทำนายยอดกระแสตอนเปลี่ยนของปั๊ม 7.5 kW (ช่วงตาย 50 ms) ด้วยมือ แล้วเทียบผลจำลอง

- ก่อนเปิด n = 1419 rpm → $s_{ch} = 0.054$ · $T_L = 0.8(49.35)(0.12 + 0.88(1419/1471)^2) = 37.1$ N·m · J = 0.105 · p = 2

- E14: $\delta = 0.054(314.16)(0.05) + \frac{2(37.1)}{2(0.105)}(0.05)^2 = 0.848 + 0.883 = 1.73$ rad = 99° — ครึ่งหนึ่งมาจากการชะลอ เพราะปั๊มความเฉื่อยต่ำเสียความเร็ว 153 rpm ใน 50 ms

- แบบตามหลัง: θ = 30 − 18 − 99 = −87° · แรงดันค้างจากแบบจำลอง e = 134 V

- E15:
$$|\Delta V| = \sqrt{400^2 + 134^2 - 2(400)(134)\cos 87^\circ} = 415\ \text{V}$$
= 1.04 เท่าของ DOL → E16: $I_{pk} \approx 1.36(1.04)(6.53) = 9.2\,I_n$ (จำลอง 9.7·In)

- แบบมาตรฐาน: θ = −30 − 18 − 99 = −147° → $|\Delta V| = 518$ V = 1.29 เท่า → $I_{pk} \approx 11.5\,I_n$ (จำลอง 11.5·In)

- ถ้าช่วงตาย 20 ms: δ = 27.5° θ = −15.5° e = 156 V → $|\Delta V| = 253$ V → $I_{pk} \approx 5.6\,I_n$ (จำลอง 5.7·In)

รูป 6 · เฟสเซอร์ของแรงดันขับทรานเซียนต์: แบบตามหลังให้ |VΔ − e| = 1.04 เท่าของ DOL แบบมาตรฐาน 1.29 เท่า

### ช่วงตายเท่าไรดี (ผลการทดลอง E3)

มุม θ หมุนไปเรื่อยๆ ตามเวลา ยอดกระแสจึงขึ้นลงเป็นคลื่นตามช่วงตาย (“ลอตเตอรีเฟส”) ไม่มีช่วงตายยาวค่าไหนที่ดีกับทุกโหลด แต่มีแนวโน้มชัดเจนสองข้อ: ยิ่งสั้นยิ่งดี ในช่วง 5–40 ms และ แบบตามหลังดีกว่าแบบมาตรฐาน ในช่วง 0–60 ms ที่ใช้งานจริง

| ช่วงตาย | ปั๊ม ตามหลัง | ปั๊ม มาตรฐาน | พัดลม ตามหลัง | พัดลม มาตรฐาน | สายพาน ตามหลัง | สายพาน มาตรฐาน |

| 10 ms | 5.0 | 8.1 | 6.1 | 9.1 | 4.7 | 6.9 |

| 20 ms | 5.7 | 9.2 | 6.9 | 9.9 | 4.7 | 7.5 |

| 30 ms | 6.8 | 10.2 | 7.8 | 10.6 | 4.9 | 8.0 |

| 50 ms | 9.7 | 11.5 | 9.5 | 11.3 | 5.6 | 9.1 |

| 80 ms | 10.9 | 9.1 | 11.0 | 10.7 | 7.3 | 10.6 |

| 150 ms | 10.4 | 9.5 | 8.0 | 6.7 | 11.1 | 10.9 |

| 300 ms | 9.4 | 9.2 | 8.8 | 7.6 | 9.6 | 10.2 |

หน่วย: ยอดกระแสสาย rms เทียบ In · DOL = 8.9·In · ช่วงตายสั้นมากทำไม่ได้ในทางปฏิบัติ เพราะต้องรอให้หน้าสัมผัส KM2 เปิดและอาร์กดับก่อน มิฉะนั้น KM3 จะต่อเข้ากับจุดสตาร์ที่ยังอาร์กอยู่ = ลัดวงจรระหว่างเฟส ไทเมอร์สตาร์-เดลต้าสำเร็จรูปจึงล็อกช่วงตายไว้ราว 30–80 ms ข้อแนะนำคือใช้ค่าสั้นที่สุดที่ผู้ผลิตคอนแทกเตอร์รับรอง และ อย่ายืดช่วงตายด้วยความเชื่อว่าจะลดกระชาก ที่ 100–300 ms แรงดันค้างยังไม่หมด (T0′ หลายร้อย ms) และปั๊มเสียความเร็วไป 280–630 rpm

รูป 7 · ยอดกระแสหลังเปลี่ยนและมุมแรงดันค้างเทียบช่วงตาย (ปั๊มและสายพาน): แนวโน้มขาขึ้นในช่วง 5–60 ms และคลื่นของ “ลอตเตอรีเฟส” หลังจากนั้น

### ลำดับเฟสของ KM3: แบบมาตรฐานกับแบบตามหลัง

KM1 ต่อ L1→U1 L2→V1 L3→W1 เสมอ ส่วน KM3 ต่อปลายขดเข้าสายได้สองแบบที่หมุนทางเดียวกัน: แบบมาตรฐาน L1→W2 L2→U2 L3→V2 (เหมือนแผ่นเชื่อมในกล่องขั้ว ขดลวด U คร่อม L1–L2 แรงดันนำหน้า 30°) และ แบบตามหลัง L1→V2 L2→W2 L3→U2 (ขดลวด U คร่อม L1–L3 แรงดันล้าหลัง 30°) เนื่องจากแรงดันค้างล้าหลังเสมอ แบบตามหลังจึงต่อเข้าใกล้เฟสมากกว่า ผลจำลองปั๊ม (ช่วงตาย 50 ms): ยอด 9.7 เทียบ 11.5·In และแรงบิดต่ำสุด −0.55 เทียบ −4.4·Tn แรงบิดติดลบขนาดนี้กระแทกคัปปลิ้ง เกียร์ และฐานมอเตอร์ทุกครั้งที่สตาร์ท

รูป 8 · กระแสสาย L1 ค่าขณะหนึ่งและแรงบิดช่วงเปลี่ยนจังหวะของปั๊ม: เปิดวงจรแบบตามหลัง แบบมาตรฐาน และแบบปิดวงจร

### สตาร์-เดลต้าแบบปิดวงจร (closed transition) — การทดลอง E4

E17 Transition resistor ขนาดตัวต้านทานเปลี่ยนจังหวะ

$$R_t = r\,Z_b \qquad Z_b = \frac{V_L}{I_n/\sqrt3} \qquad r \approx 0.1\text{–}0.3$$

ก่อน KM2 ปล่อย คอนแทกเตอร์ตัวที่สี่ (KM4) ต่อปลายขด U2 V2 W2 เข้าสายตามลำดับเดลต้าผ่านตัวต้านทาน Rt ขณะที่จุดสตาร์ยังต่ออยู่ ตัวต้านทานสามตัวจึงเป็นเพียงโหลดสตาร์ที่สมดุล เมื่อ KM2 ปล่อย ขดลวดแต่ละชุดจะต่อเป็นเดลต้าผ่าน Rt ทันทีโดยไม่มีช่วงที่หลุดจากไฟ จากนั้น KM3 ต่อลัดตัวต้านทาน มอเตอร์ 7.5 kW มี Zb = 49.5 Ω ผลการทดลอง:

| Rt/Zb | Rt (Ω) | ปั๊ม: ยอด · แรงบิด | พัดลม: ยอด · แรงบิด | พลังงานในตัวต้านทาน (พัดลม) |

| เปิดวงจร 50 ms | — | 9.7·In · −0.5…3.0·Tn | 10.4·In · −4.8…3.8·Tn | — |

| 0.1 | 5.0 | 2.9·In · 0.2…1.6·Tn | 5.6·In · 1.0…3.2·Tn | 0.60 kJ |

| 0.2 | 9.9 | 2.9·In · −0.1…1.8·Tn | 6.2·In · 0.6…3.4·Tn | 0.76 kJ |

| 0.3 | 14.9 | 3.8·In · −0.4…2.1·Tn | 6.7·In · −0.2…3.5·Tn | 0.78 kJ |

| 0.5 | 24.8 | 5.8·In | 7.4·In | 0.70 kJ |

| 1.0 | 49.5 | 8.2·In | 8.4·In | 0.49 kJ |

แบบปิดวงจรเป็นวิธีเดียวในกลุ่ม “คอนแทกเตอร์ล้วน” ที่ตัดยอดตอนเปลี่ยนได้จริง (ลดลง 35–70 %) และกำจัดแรงบิดติดลบ ข้อเสียคือคอนแทกเตอร์ตัวที่สี่ ตัวต้านทานสามตัว และวงจรควบคุมซับซ้อนขึ้น จึงคุ้มกับมอเตอร์ใหญ่ เครื่องกำเนิดไฟฟ้า หรือระบบไมโครกริด ตัวต้านทานรับพลังงานไม่ถึง 1 kJ ต่อครั้งในตัวอย่างนี้ แต่ต้องเลือกพิกัดตามจำนวนครั้งสตาร์ทต่อชั่วโมง

รูป 9 · ยอดกระแสหลังเปลี่ยนแบบปิดวงจรเทียบค่า Rt/Zb: ค่าเล็ก (0.1–0.3) ลดยอดได้มากที่สุด

## กระแส พลังงาน และความร้อน: สตาร์-เดลต้าลดอะไรได้จริง ขั้นสูง

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อยคือ “สตาร์-เดลต้าประหยัดไฟ” ความจริงคือพลังงานที่ใช้สตาร์ทหนึ่งครั้งเป็นหลักสิบกิโลจูล (40 kJ = 0.011 kWh) ไม่มีผลต่อบิลค่าไฟ และกระแสสตาร์ทไม่กี่วินาทีแทบไม่กระทบค่าความต้องการพลังไฟฟ้าสูงสุด (demand) ที่วัดเฉลี่ย 15 นาที สิ่งที่สำคัญจริงคือ ความร้อน (ในสาย หม้อแปลง ขดลวด และโรเตอร์) และ แรงดันตก

E18 Rotor heat, no load ความร้อนในโรเตอร์เมื่อสตาร์ทตัวเปล่า

$$E_r = \tfrac12 J\omega_s^2\,(s_1^2 - s_2^2) \quad \Rightarrow \quad E_r(1\to0) = \tfrac12 J\omega_s^2 \ \text{ไม่ขึ้นกับแรงดัน}$$

E19 Rotor heat with load ความร้อนในโรเตอร์เมื่อมีโหลด

$$E_r = J\omega_s^2\int_{s_2}^{s_1}\frac{s\,T_m(s)}{T_m(s) - T_L(s)}\,ds$$

E20 I²t and overload thermal budget I²t และงบความร้อนของโอเวอร์โหลด

$$Q = \int i_{rms}^2\,dt \qquad B = \frac{\int (I/I_r)^2\,dt}{7.2^2\,t_{class}}$$

E21 Voltage dip at the PCC แรงดันตกที่จุดต่อร่วม

$$\Delta V\% \approx \frac{S_m}{S_{sc} + S_m}\times100 \qquad S_{sc} = \frac{S_T}{u_k}\ \ \text{หรือ}\ \ \frac{S_G}{x_d''} \qquad S_m = \sqrt3\,V_L I$$

E18 บอกว่าถ้าไม่มีโหลด ความร้อนในโรเตอร์ตลอดการสตาร์ทเท่ากับพลังงานจลน์สุดท้ายเสมอ ไม่ว่าจะสตาร์ทด้วยแรงดันเท่าไร แต่เมื่อมีโหลด E19 มีตัวส่วน $T_m - T_L$ แรงดันยิ่งต่ำ แรงบิดเร่งยิ่งน้อย ตัวประกอบนี้ยิ่งโต — การสตาร์ทด้วยแรงดันลดทำให้โรเตอร์ร้อนขึ้นเสมอเมื่อมีโหลด ผลการทดลอง E10:

| วิธี (พัดลม J 2.245) | ยอดกระแส | เวลาสตาร์ท | I²t สายจ่าย | ความร้อนโรเตอร์ | งบโอเวอร์โหลดคลาส 10 |

| สตาร์ทตรง (DOL) | 8.9·In | 3.3 s | 19,299 A²s (100 %) | 30.8 kJ (100 %) | 19 % |

| สตาร์-เดลต้า 12 s | 3.0 → 10.4·In | 12.7 s | 9,804 A²s (51 %) | 40.2 kJ (130 %) | 28 % (15 s) |

| ซอฟต์สตาร์ทจำกัด 3·In | 3.0·In | 16.3 s | 26,943 A²s (140 %) | 41.6 kJ (135 %) | — |

| VFD (ทางลาด 30 s) | 1.2·In | 29.2 s | 3,327 A²s (17 %) | 1.8 kJ (6 %) | — |

สำหรับปั๊ม 7.5 kW (J ต่ำ) สตาร์-เดลต้าลด I²t เหลือ 75 % ของ DOL แต่ความร้อนโรเตอร์เป็น 155 % ส่วนพลังจลน์ ½Jω² ของพัดลมคือ 26.6 kJ การสตาร์ทตรงจึงทำโรเตอร์ร้อน 30.8 kJ ใกล้กับทฤษฎี E18 และส่วนเกินเกิดจากแรงบิดโหลด

รูป 10 · I²t ของสายจ่ายและความร้อนโรเตอร์ของแต่ละวิธีสตาร์ท (พัดลม) เทียบเป็นเปอร์เซ็นต์ของ DOL

### แรงดันตก: หม้อแปลงกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า (การทดลอง E12)

ตัวอย่าง E-5

### ปั๊ม 37 kW In ≈ 69 A บนเครื่องกำเนิดไฟฟ้า 100 kVA (x″d = 0.15) เทียบหม้อแปลง 250 kVA (uk 4 %)

- เจน: $S_{sc} = 100/0.15 = 667$ kVA · หม้อแปลง: $S_{sc} = 250/0.04 = 6{,}250$ kVA

- DOL: $I = 6.53(69) = 451$ A → $S_m = \sqrt3(400)(451) = 312$ kVA → E21 เจน $312/(667+312) = 31.9$ % · หม้อแปลง 4.8 %

- ช่วงสตาร์: 1/3 → เจน 13.5 % · หม้อแปลง 1.6 %

- ยอดตอนเปลี่ยน 9.7·In (1–2 ไซเคิล): $S_m = 464$ kVA → เจน 41 % · หม้อแปลง 6.9 % — AVR ของเจนตอบสนองไม่ทันในเวลาหนึ่งไซเคิล คอนแทกเตอร์ตัวอื่นและรีเลย์อาจหลุด

- ทางแก้บนเจน: ปิดวงจร (2.9·In → ≈ 17 %) ซอฟต์สตาร์ท 3·In (≈ 18 %) หรือ VFD 1.3·In (≈ 9 %)

รูป 11 · แรงดันตกที่จุดต่อร่วม: DOL ช่วงสตาร์ และยอดตอนเปลี่ยน สำหรับหม้อแปลงและเครื่องกำเนิดไฟฟ้า

สรุปเชิงวิศวกรรม: บนระบบที่หม้อแปลงแข็งแรง ปัญหาของสตาร์-เดลต้าแทบไม่ใช่แรงดันตก แต่บนเครื่องกำเนิดไฟฟ้า อินเวอร์เตอร์แบตเตอรี่ หรือปลายสายป้อนยาว ยอดสั้นๆ ตอนเปลี่ยนคือปัญหาหลัก — ตรงข้ามกับความเชื่อว่า “สตาร์-เดลต้าเหมาะกับไฟอ่อน” (ดูการออกแบบสายและเบรกเกอร์ใน ออกแบบ ติดตั้ง และแก้ปัญหา)

## เดินสตาร์ถาวรที่โหลดเบา: ประหยัดไฟได้จริงหรือไม่ ขั้นสูง

มอเตอร์ในโรงงานจำนวนมากถูกเลือกขนาดเผื่อจนเดินจริงเพียง 20–40 % ของพิกัด ที่โหลดเบา การสูญเสียส่วนใหญ่คือแกนเหล็กและทองแดงจากกระแสแม่เหล็ก ซึ่งขึ้นกับแรงดัน การต่อขดลวดเป็นสตาร์ (แรงดันขดลวด 1/√3) จึงลดการสูญเสียนี้ได้ แลกกับสลิปและทองแดงจากกระแสโหลดที่เพิ่มขึ้น

E22 Losses in Y versus Δ การสูญเสียเมื่อเดินสตาร์เทียบเดลต้า

$$P_{loss} = P_{Cu1} + P_{Cu2} + P_{Fe} + P_{fw} \qquad P_{Fe,Y} \approx \tfrac13 P_{Fe,\Delta} \qquad s_Y \approx 3\,s_\Delta$$

E23 Saving and break-even พลังงานที่ประหยัดและจุดคุ้มทุน

$$\Delta P = P_{in,\Delta} - P_{in,Y} \qquad \Delta P(x_{be}) = 0 \qquad E_{year} = \Delta P\cdot h \qquad \text{บาท} = E_{year}\times\text{ค่าไฟ}$$

E24 Torque margin in star ขอบเผื่อแรงบิดเมื่อเดินสตาร์

$$\frac{T_{k,Y}}{T_L} = \frac{T_k}{3\,T_L} \ge 2.5 \;\Rightarrow\; T_L \le \frac{T_k}{7.5} \approx 0.4\,T_n \ (T_k = 3T_n)$$

| โหลดที่เพลา | Δ: I · cos φ · η · สูญเสีย | Y: I · cos φ · η · สูญเสีย | ประหยัด | Tk,Y/TL | kvar ลดลง |

| 10 % (0.75 kW) | 6.65 A · 0.26 · 62.2 % · 455 W | 2.59 A · 0.55 · 76.6 % · 229 W | 226 W | 9.1 | 2.94 |

| 25 % (1.9 kW) | 7.30 A · 0.46 · 79.9 % · 472 W | 3.95 A · 0.79 · 86.8 % · 284 W | 188 W | 3.9 | 2.81 |

| 40 % (3 kW) | 8.31 A · 0.61 · 85.6 % · 504 W | 5.71 A · 0.86 · 88.4 % · 394 W | 110 W | 2.4 | 2.53 |

| 50 % (3.75 kW) | 9.13 A · 0.68 · 87.6 % · 533 W | 7.06 A · 0.87 · 88.1 % · 506 W | 27 W | 2.0 | 2.24 |

| 60 % (4.5 kW) | 10.05 A · 0.73 · 88.8 % · 570 W | 8.57 A · 0.87 · 87.2 % · 660 W | −90 W | 1.6 | 1.84 |

จุดคุ้มทุนของแบบจำลองอยู่ที่ 52.7 % ของพิกัด (47 % ที่ไฟ 95 %, 58 % ที่ไฟ 105 %) แต่ขอบเผื่อแรงบิด E24 จำกัดการใช้งานจริงไว้ที่ราว 35–40 % แบบจำลองนี้เป็นแม่เหล็กเชิงเส้น มอเตอร์จริงที่แกนเหล็กอิ่มตัวที่แรงดันเต็มมักมีกระแสแม่เหล็กสูงกว่า การเดินสตาร์จึงมักประหยัดได้มากกว่าเล็กน้อย ส่วนมอเตอร์ IE3/IE4 ที่การสูญเสียแกนเหล็กต่ำจะประหยัดได้น้อยลง

ตัวอย่าง E-6

### พัดลมระบายอากาศ 10 ตัว ตัวละ 7.5 kW เดินจริง 25 % ปีละ 6,000 ชั่วโมง ค่าไฟ 4.5 บาท/หน่วย

- ตาราง: ประหยัด 188 W ต่อตัว · E23: $0.188 \times 6000 = 1{,}127$ kWh/ปี/ตัว → $1{,}127 \times 4.5 = 5{,}072$ บาท/ปี/ตัว

- สิบตัว: 11,270 kWh/ปี ≈ 50,720 บาท/ปี และรีแอกทีฟลด 28 kvar (ช่วยค่าปรับตัวประกอบกำลัง ดู ตัวประกอบกำลัง)

- E24: $T_{k,Y}/T_L = 3.9 \ge 2.5$ ✓ · ความเร็วลดจาก 1493 เป็น 1478 rpm (พัดลมจะส่งลมน้อยลงราว 1 % และกินกำลังน้อยลงอีกเล็กน้อย)

- ต้องมีระบบสลับอัตโนมัติ: วัด กำลังจริง (kW) ไม่ใช่กระแส เพราะในเดลต้ากระแสที่โหลดเบาแทบไม่เปลี่ยน (6.53 → 7.6 A จาก 5 → 30 %) ตั้งสลับเป็น Δ เมื่อ P > 40 % และกลับเป็น Y เมื่อ P < 30 % พร้อมหน่วงเวลากันกระพือ

- เปรียบเทียบทางเลือก: ถ้าโหลดแปรผันมาก VFD ประหยัดกว่ามาก (กฎแอฟฟินิตี P ∝ n³ ใน ตั้งค่า · งานประยุกต์ VFD) ถ้าโหลดเบาคงที่ตลอด การเปลี่ยนเป็นมอเตอร์ขนาดเล็กลงหรือ IE4 อาจคุ้มที่สุดในระยะยาว

รูป 12 · ประสิทธิภาพ ตัวประกอบกำลัง และกำลังที่ประหยัดเมื่อเดินสตาร์เทียบเดลต้า พร้อมจุดคุ้มทุนและเขตห้ามเดินสตาร์

## ห้องทดลองคณิตศาสตร์: จำลองการสตาร์ทสตาร์-เดลต้าแบบพลวัต แล็บ

แล็บนี้แก้สมการเวกเตอร์อวกาศของมอเตอร์กรงคู่ทุก 0.2 ms ตลอดการสตาร์ท (ไม่ใช่การประมาณแบบ quasi-static) ปรับขนาดมอเตอร์ จำนวนขั้ว โหลด ความเฉื่อย แรงดัน วิธีสั่งเปลี่ยน ช่วงตาย ลำดับเฟส KM3 และแบบปิดวงจรได้ กราฟบนแสดงกระแสสาย rms และความเร็วตลอดการสตาร์ทเทียบ DOL กราฟล่างขยายช่วงเปลี่ยนจังหวะให้เห็นกระแสค่าขณะหนึ่งทั้งสามเฟสและแรงบิด

### ทดลองกวาดพารามิเตอร์เอง (สร้างข้อมูลวิจัยของคุณ)

เลือกตัวแปรต้น (เวลาไทเมอร์ ช่วงตาย หรือค่าตัวต้านทานปิดวงจร) แล้วกดเริ่ม แล็บจะจำลองเต็มรูปทีละจุดและวาดผล ดาวน์โหลดเป็น CSV ไปทำรายงานหรือโครงงานต่อได้

### ใบงาน (สำหรับนักศึกษา)

- ใช้ปุ่ม “พัดลม · ไทเมอร์ 8 s” แล้วเพิ่มไทเมอร์ทีละ 2 s จนกว่าเวลาที่กระแสเกิน 3·In จะต่ำกว่า 0.1 s บันทึกความเร็วตอนเปลี่ยน เทียบกับตาราง E13

- ปั๊ม: กวาดช่วงตาย 5–300 ms ทั้งสองลำดับเฟส อธิบายรูปคลื่นของกราฟด้วยสูตร E14–E15 และระบุช่วงตายที่ยอดกระแสต่ำกว่า DOL

- เพิ่ม J ของปั๊มเป็น 3 เท่า แล้วซ้ำข้อ 2 อธิบายว่าทำไมมุม δ ลดลง (พจน์ $T_L t_d^2/2J$ ใน E14)

- สายพาน 50 %: ลดแรงดันจาก 100 % ลงทีละ 2 % หาค่าที่สตาร์เริ่มออกตัวไม่ได้ แล้วตรวจกับเงื่อนไข E7

- เครื่องคิด “เดินสตาร์ถาวร”: หาโหลดที่ประหยัดสูงสุดต่อปี โดยมีเงื่อนไข Tk,Y/TL ≥ 2.5 สำหรับมอเตอร์ 15 kW ที่ทำงาน 7,000 ชั่วโมงต่อปี

ซิมูเลเตอร์วงจรควบคุม (ปุ่ม START/STOP คอนแทกเตอร์ ไทเมอร์) อยู่ใน ซิมูเลเตอร์วงจรสตาร์ท และกราฟแรงบิด-ความเร็วกับโหลดอยู่ใน แล็บกราฟแรงบิด-ความเร็ว ส่วนการเขียนโปรแกรม PLC คุมสตาร์-เดลต้าอยู่ใน PLC ควบคุมมอเตอร์

## กรณีศึกษา: ปัญหาที่พบบ่อยหน้างาน วิเคราะห์ด้วยแบบจำลอง กลาง

กรณีด้านล่างเป็น กรณีจำลอง ที่สร้างจากอาการซึ่งช่างและวิศวกรพบบ่อย ตัวเลขทั้งหมดมาจากแบบจำลองในหน้านี้ (ปรับสเกลจากมอเตอร์ 7.5 kW) ไม่ใช่ข้อมูลจากโรงงานใดโรงงานหนึ่ง ใช้เป็นแนวทางวิเคราะห์ ก่อนแก้ไขจริงให้วัดค่าหน้างานเสมอ

| # | อาการ | วิเคราะห์ (ตัวเลขจากแบบจำลอง) | แก้ไข |

| 1 | พัดลมดูดอากาศใหญ่ ไฟในโรงงานกระพริบนานเกือบวินาทีตอนสตาร์ท ไทเมอร์ตั้ง 8 s “เหมือนปั๊มตัวอื่น” | τm = 7.15 s เปลี่ยนที่ 66 % ความเร็ว กระแสเกิน 3·In ค้าง 0.96 s | ตั้งตาม E10 = 21 s หรือใช้รีเลย์กระแส → 0.05–0.22 s |

| 2 | ปั๊มน้ำ เบรกเกอร์ทริปเป็นครั้งคราวตอนเปลี่ยนเป็นเดลต้า ทั้งที่ไทเมอร์ “นานพอ” | ยอด rms 1–3 ไซเคิล 9.7·In (ตามหลัง) ถึง 11.5·In (มาตรฐาน) ค่ายอดขณะหนึ่งราว 13·In — อยู่ในช่วงปลดทันทีของ MCB แบบ C (5–10·In) | ใช้ MPCB/MCCB ที่ตั้งปลดทันที ≥ 12–13·In · KM3 แบบตามหลัง · ช่วงตายสั้นสุดที่ปลอดภัย · หรือปิดวงจร |

| 3 | หลังซ่อมบำรุง คัปปลิ้งยางของปั๊มขาดเร็วผิดปกติ มีเสียงกระแทกตอนเปลี่ยนจังหวะ | ช่างต่อ KM3 กลับเป็นแบบมาตรฐาน แรงบิดต่ำสุด −4.4·Tn (แบบตามหลัง −0.55·Tn) | ต่อ L1→V2 L2→W2 L3→U2 แล้วทดสอบทิศหมุนทั้งช่วง Y และ Δ |

| 4 | ปั๊ม 37 kW บนเครื่องกำเนิดไฟฟ้า 100 kVA คอนแทกเตอร์ตัวอื่นหลุดทุกครั้งที่ปั๊มเปลี่ยนจังหวะ | แรงดันตก DOL 32 % ช่วงสตาร์ 13.5 % แต่ยอดตอนเปลี่ยน 41 % | ปิดวงจร (≈ 17 %) ซอฟต์สตาร์ท 3·In (≈ 18 %) หรือ VFD (≈ 9 %) |

| 5 | สายพานลำเลียงที่ปลายสายป้อนยาว (ไฟเหลือ 88–90 %) ในช่วงสตาร์มอเตอร์ “ฮัม” ไม่หมุน แล้วกระชากแรงตอนเปลี่ยน | TY(0) = 0.72 × 0.81 = 0.58·Tn < แรงบิดออกตัว 0.6·Tn → การเปลี่ยนเป็นเดลต้าเท่ากับ DOL ที่ความเร็วศูนย์ | ซอฟต์สตาร์ทแบบควบคุมแรงบิด VFD หรือ DOL ถ้าระบบรับได้ · แก้แรงดันตกของสายป้อน |

| 6 | พัดลม 10 ตัวเดินจริง 25 % ทั้งปี ค่าไฟสูงและตัวประกอบกำลังต่ำ | เดลต้า cos φ 0.46 ถ้าเดินสตาร์: −188 W/ตัว cos φ 0.79 ขอบแรงบิด 3.9 | ระบบสลับ Y/Δ อัตโนมัติตามกำลังจริง ≈ 50,720 บาท/ปี (ตัวอย่าง E-6) หรือ VFD |

| 7 | พัดลมสตาร์ทซ้ำบ่อย โอเวอร์โหลดตัดเป็นครั้งคราว ทั้งที่กระแสเดินปกติต่ำกว่าค่าตั้ง | ไทเมอร์ 30 s ค้างในสตาร์ที่ 0.97·In = 1.68 เท่าของกระแสขดลวดพิกัด ใช้งบคลาส 10 ไป 36 % ต่อครั้ง | ตั้งไทเมอร์ตาม E10 ใช้รีเลย์คลาส 20 จำกัดจำนวนครั้งสตาร์ทต่อชั่วโมง |

| 8 | มอเตอร์ใหม่ 15 kW ต่อสตาร์-เดลต้าแล้วร้อนจัดและกระแสสูงเมื่อเดินเดลต้า | ป้าย 230/400 V: เดลต้าที่ 400 V ขดลวดรับ 173 % ของพิกัด | มอเตอร์ตัวนี้เดินสตาร์อย่างเดียว ใช้ DOL/ซอฟต์สตาร์ท หรือเปลี่ยนเป็นมอเตอร์ 400/690 V |

หมายเหตุกรณีที่ 2: ช่วงปลดทันทีของเบรกเกอร์มักกำหนดเป็นค่า rms ของกระแสสมมาตร แต่ยอดไซเคิลแรกมีส่วน DC ทำให้ค่าขณะหนึ่งสูงกว่า $\sqrt2\,I_{rms}$ อุปกรณ์ป้องกันมอเตอร์ (MPCB) ถูกออกแบบให้ทนยอดนี้ ส่วน MCB สำหรับวงจรทั่วไปไม่ใช่ (ดู คอนแทกเตอร์ · โอเวอร์โหลด · MPCB)

## อดีต ปัจจุบัน และอนาคตของการสตาร์ทมอเตอร์ พื้นฐาน

- 1885–1888กาลิเลโอ แฟร์รารีส (Galileo Ferraris) สาธิตสนามแม่เหล็กหมุน และนิโคลา เทสลา (Nikola Tesla) ได้สิทธิบัตรมอเตอร์เหนี่ยวนำหลายเฟส (US 381,968, 1888)

- 1889–1891มิคาอิล โดลิโว-โดโบรโวลสกี (Mikhail Dolivo-Dobrovolsky, AEG) สร้างมอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสโรเตอร์กรงกระรอก และระบบสามเฟสที่ใช้การต่อสตาร์และเดลต้า สาธิตส่งไฟสามเฟสระยะ 175 km จาก Lauffen ถึง Frankfurt ในปี 1891

- ปลายทศวรรษ 1890โรเตอร์กรงคู่ (Boucherot) เพิ่มแรงบิดเริ่มโดยไม่ต้องใช้แหวนลื่น — กราฟแรงบิดแบบที่ทำให้สตาร์-เดลต้ายังสตาร์ทโหลดได้ แม้แรงบิดเหลือ 1/3

- ต้นศตวรรษที่ 20สวิตช์สตาร์-เดลต้าแบบมือโยก ผู้ควบคุมต้อง “กะเวลา” เปลี่ยนเอง ปัญหาที่พบตั้งแต่ยุคนั้นคือเปลี่ยนเร็วเกินไปและกระแสกระชาก

- กลางศตวรรษที่ 20ชุดสตาร์ทอัตโนมัติด้วยคอนแทกเตอร์และไทเมอร์แบบลม/กลไก การไฟฟ้าหลายประเทศจำกัดกระแสสตาร์ทของมอเตอร์บนระบบแรงต่ำ สตาร์-เดลต้ากลายเป็นมาตรฐานในยุโรปและเอเชีย ส่วนอเมริกาเหนือนิยมออโต้ทรานส์และ part-winding

- 1970–1990ไทเมอร์อิเล็กทรอนิกส์และรีเลย์สตาร์-เดลต้าเฉพาะที่ล็อกช่วงตาย · ไทริสเตอร์ซอฟต์สตาร์ทเตอร์ · อินเวอร์เตอร์ PWM ด้วย IGBT เริ่มแพร่หลายปลายทศวรรษ 1980–1990

- 2008–2023IEC 60034-30 (2008) และ 60034-30-1 (2014) กำหนดคลาส IE1–IE4 · EU บังคับ IE3 สำหรับ 0.75–1000 kW ตั้งแต่ 2021 และ IE4 สำหรับ 75–200 kW ตั้งแต่ 2023 (Regulation 2019/1781) · IEC 60947-4-1 (2018) เพิ่มประเภท AC-3e สำหรับมอเตอร์ประสิทธิภาพสูงที่กระแสสตาร์ทสูงขึ้น

- ปัจจุบันมอเตอร์ IE3/IE4 มี Is/In สูงขึ้น (มัก 7–8 เท่าหรือมากกว่า) ยอดตอนเปลี่ยนจึงสูงตาม · รีเลย์สตาร์-เดลต้าที่ล็อกช่วงตาย รีเลย์วัดกระแส สตาร์ทเตอร์อัจฉริยะสื่อสาร IO-Link/Modbus · ซอฟต์สตาร์ทและ VFD ราคาถูกลงจนเป็นตัวเลือกแรกของงานใหม่หลายประเภท · แล็บจำลองแบบในหน้านี้ใช้ออกแบบก่อนติดตั้งได้

- อนาคต (คาดการณ์)มอเตอร์ IE4/IE5 แบบซิงโครนัสรีลักแตนซ์และแม่เหล็กถาวร (ส่วนใหญ่ต้องใช้ VFD หรือสตาร์ทตรงตามคำแนะนำผู้ผลิต) · ไมโครกริดและอินเวอร์เตอร์แบตเตอรี่ที่จำกัดกระแส ทำให้ยอดตอนเปลี่ยนสำคัญขึ้น · สตาร์-เดลต้าที่เปลี่ยนจังหวะตามสถานะมอเตอร์และวัดแรงดันค้างเพื่อเลือกจังหวะต่อ (ซิงโครนัส) · ดิจิทัลทวินในการตั้งค่าหน้างาน · คาดว่าสตาร์-เดลต้ายังอยู่ในงานปั๊ม-พัดลมความเร็วคงที่และงานปรับปรุงอีกนาน แต่สัดส่วนงานใหม่ลดลง

| ปัญหาในอดีต | สาเหตุ | แก้ไขด้วยปัจจุบัน | แนวโน้มอนาคต |

| เปลี่ยนจังหวะเร็วเกิน กระแสสูงค้าง | ไทเมอร์ตั้งตามความเคยชิน ไม่รู้สถานะมอเตอร์ | คำนวณ c·τm · รีเลย์กระแส/ความเร็ว | เปลี่ยนจังหวะอัตโนมัติจากการประมาณความเร็วและฟลักซ์ |

| กระชากตอนเปลี่ยน เบรกเกอร์ทริป คัปปลิ้งเสียหาย | แรงดันค้างกลับเฟส ช่วงตายยาว ลำดับ KM3 มาตรฐาน | KM3 แบบตามหลัง · ไทเมอร์ล็อกช่วงตาย · แบบปิดวงจร | ต่อแบบซิงโครนัสโดยวัดแรงดันค้าง · โซลิดสเตตไฮบริด |

| KM2/KM3 ซ้อนกัน ลัดวงจร | อินเตอร์ล็อกบกพร่อง ไทเมอร์ไม่มีช่วงตาย | อินเตอร์ล็อกทางกลและไฟฟ้า · บล็อกคอนแทกเตอร์ Y-Δ สำเร็จรูป | ตรวจตัวเองและแจ้งเตือนผ่านเครือข่าย |

| แรงดันตกบนเจนเนอเรเตอร์ | ยอดตอนเปลี่ยน 1–3 ไซเคิล | ซอฟต์สตาร์ท VFD แบบปิดวงจร | ระบบจัดการพลังงานจัดลำดับสตาร์ทในไมโครกริด |

| มอเตอร์ใหญ่เกินงาน สูญเสียสูง cos φ ต่ำ | เลือกขนาดเผื่อ | VFD · มอเตอร์ IE3/IE4 · ตัวเก็บประจุ | เลือกมอเตอร์จากข้อมูลโหลดจริง · สลับ Y/Δ อัจฉริยะสำหรับโหลดเบาคงที่ |

## สรุปเชิงวิจัย: ข้อค้นพบ ข้อจำกัด และหัวข้อวิจัยต่อยอด ขั้นสูง

บทคัดย่อ — งานนี้ศึกษาการสตาร์ทแบบสตาร์-เดลต้าของมอเตอร์เหนี่ยวนำกรงคู่ 7.5 kW 400 V 50 Hz ด้วยแบบจำลองพลวัตเวกเตอร์อวกาศที่ตรวจสอบกับวงจรสมมูลและตัวแก้สมการอ้างอิง ทำการทดลองเชิงตัวเลข 14 ชุดกับโหลดปั๊ม พัดลม และสายพาน พบว่าเวลาไทเมอร์ที่เหมาะสมเขียนได้เป็น $c\,\tau_m$ โดย c ≈ 2–4 แทบไม่ขึ้นกับขนาดมอเตอร์ ยอดกระแสตอนเปลี่ยนแบบเปิดวงจรอยู่ราว 0.6–1.2 เท่าของสตาร์ทตรง (ปั๊มและพัดลม 0.85–1.2 เท่าไม่ว่าตั้งไทเมอร์เท่าไร) และอธิบายได้ด้วยผลต่างเวกเตอร์ระหว่างแรงดันเดลต้ากับแรงดันค้าง ซึ่งทำนายด้วยสูตรปิดได้ภายในราว 5 % การต่อ KM3 แบบตามหลังและช่วงตายสั้นลดยอดได้ แบบปิดวงจรลดได้ 35–70 % สตาร์-เดลต้าลด I²t ของสายจ่าย 25–50 % แต่เพิ่มความร้อนโรเตอร์ 30–55 % และการเดินสตาร์ถาวรประหยัดพลังงานเมื่อโหลดต่ำกว่า ~50 % โดยควรใช้จริงไม่เกิน 35–40 %

คำสำคัญ: star–delta, wye–delta, ไทเมอร์, ค่าคงตัวเวลาทางกล, แรงดันค้าง, ช่วงตาย, closed transition, I²t, แรงดันตก, การเดินสตาร์ที่โหลดเบา

### ข้อค้นพบหลัก

- ไทเมอร์ = c·τm c ≈ 2.1–3.4 สำหรับปั๊ม/พัดลม (รวมเผื่อไฟตก 10 %) และ ≈ 3.7 สำหรับแรงบิดคงที่ 50 % (E13)

- สำหรับปั๊มและพัดลม ยอดกระแส 1–3 ไซเคิลตอนเปลี่ยน ไม่ลดลงตามไทเมอร์ (7.6–10.5·In ทุกค่า) ไทเมอร์ลดเพียงเวลาที่กระแสสูงค้าง ส่วนโหลดที่สลิปสตาร์ต่ำ (สายพาน 50 %) เปลี่ยนที่ความเร็วสมดุลได้ยอดเพียง 5.6·In (E2)

- ยอดถูกกำหนดโดย |VΔ − e| และทำนายได้ด้วย E14–E16 (คลาดราว 1–5 % ในตัวอย่าง E-4)

- ช่วงตายมีผลแบบ “ลอตเตอรีเฟส” สั้นกว่าดีกว่าในช่วงที่ทำได้จริง การยืดช่วงตายไม่ใช่วิธีลดกระชาก (E3)

- KM3 แบบตามหลังลดยอด 10–40 % ในช่วงตาย 0–60 ms และลดแรงบิดติดลบจาก −4.4 เหลือ −0.55·Tn ในกรณีปั๊ม (E3)

- แบบปิดวงจรที่ Rt ≈ 0.1–0.2·Zb ลดยอดเหลือ 2.9–6.2·In และไม่มีแรงบิดติดลบ (E4)

- วิธีที่รู้สถานะมอเตอร์ (กระแส/ความเร็ว) ลดเวลากระแสสูงได้ 3–4 เท่าเมื่อไฟตกหรือโหลดเปลี่ยน (E5)

- สตาร์-เดลต้าลด I²t ของสายจ่ายเหลือ 51 % (พัดลม) และ 75 % (ปั๊ม) แต่ความร้อนโรเตอร์ 130 % และ 155 % ของ DOL (E10)

- บนเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ยอดตอนเปลี่ยนทำแรงดันตกได้มากกว่า DOL (41 % เทียบ 32 %) (E12)

- เดินสตาร์ถาวรประหยัด 188 W ต่อ 7.5 kW ที่โหลด 25 % จุดคุ้มทุน ≈ 53 % ขอบเผื่อแรงบิดจำกัดที่ ≈ 40 % (E9)

- สูตรคลอสส์ประเมินเวลาเร่งของมอเตอร์กรงคู่สูงเกินราว 74 % วิธีแรงบิดเฉลี่ยคลาดเพียง 2 % (E8)

### ข้อจำกัดของแบบจำลอง

- แม่เหล็กเชิงเส้น ไม่รวมความอิ่มตัวและการสูญเสียแกนเหล็กในพลวัต (มีในสถานะคงตัวของ E9)

- คอนแทกเตอร์เปิดสามเฟสพร้อมกันในอุดมคติ ของจริงตัดที่จุดกระแสผ่านศูนย์ของแต่ละเฟส ห่างกันได้หลายมิลลิวินาที และมีการเด้งของหน้าสัมผัสตอนต่อ

- แหล่งจ่ายอุดมคติ (ไม่มีอิมพีแดนซ์) ในการจำลองพลวัต แรงดันตกคิดแยกด้วย E21 แบบมุมเดียวกัน

- ขยายผลไปมอเตอร์ขนาดอื่นแบบต่อหน่วย (per-unit) ผ่าน τm และ In ∝ kW มอเตอร์จริงต่างขนาดและต่างผู้ผลิตมีกราฟแรงบิดและค่าคงตัวเวลาต่างกัน

- งบความร้อนโอเวอร์โหลด (E14) เป็นการประมาณแบบอะเดียแบติก ไม่ใช่กราฟของรีเลย์รุ่นใดรุ่นหนึ่ง

### หัวข้อวิจัยต่อยอด (สำหรับโครงงานและวิทยานิพนธ์)

- เปลี่ยนจังหวะแบบซิงโครนัส: วัดแรงดันค้างแล้วสั่ง KM3 เมื่อ |VΔ − e| ต่ำสุด (แนวคิดเดียวกับการโอนบัสมอเตอร์ในโรงไฟฟ้าที่จำกัดแรงดันผลลัพธ์ไว้ราว 1.33 pu V/Hz)

- เปลี่ยนจังหวะจากการประมาณความเร็วไร้เซนเซอร์ด้วยกระแสและแรงดันช่วงสตาร์

- ทดลองจริงบนแท่นทดสอบ 2–15 kW เทียบผลกับแบบจำลองนี้ รวมการตัดที่จุดผ่านศูนย์และการเด้งของหน้าสัมผัส

- ระบบสลับ Y/Δ อัจฉริยะสำหรับโหลดเบา: กฎตัดสินใจ ฮิสเทอรีซิส และอายุคอนแทกเตอร์

- สตาร์-เดลต้าบนไมโครกริดโซลาร์-แบตเตอรี่: ขีดจำกัดกระแสของอินเวอร์เตอร์และการจัดลำดับสตาร์ท

### ทำซ้ำผลการทดลอง

โค้ดทั้งหมดอยู่ในคลังของเว็บไซต์: assets/yd-core.js (แบบจำลอง ใช้ทั้งในแล็บและงานวิจัย) scripts/yd_research.mjs (การทดลอง E1–E14 พิมพ์ตารางและเขียน scripts/yd_results.json) scripts/yd_check.py (ตรวจกับวงจรสมมูลและ scipy LSODA) และ scripts/yd_figs.py (วาดรูปทุกภาพจากผลลัพธ์) ค่าพารามิเตอร์มอเตอร์อยู่ใน scripts/acm_model.py

## เช็กลิสต์หน้างาน

- แผ่นป้าย: ตัวเลขฝั่ง Δ = แรงดันสายของระบบ (400/690 V บนไฟ 400 V) · ถอดแผ่นเชื่อม ดึงสาย 6 เส้น

- โหลด: ปั๊ม/พัดลม k ≤ 1.2 · แรงบิดคงที่ ≤ 0.6·Tn (≤ 0.5 ถ้าไฟอาจตก 10 %)

- คำนวณ τm = J·ωs/Tn จากแคตตาล็อก แล้วตั้งไทเมอร์ = c·τm (ตาราง E13) และยืนยันด้วยแคลมป์มิเตอร์

- KM3 แบบตามหลัง L1→V2 L2→W2 L3→U2 · ใช้รีเลย์สตาร์-เดลต้าที่ล็อกช่วงตาย ไม่ยืดช่วงตายเอง

- เบรกเกอร์/MPCB ปลดทันที ≥ 12–13·In · โอเวอร์โหลดในทางกระแสขดลวดตั้ง 0.58·In · สตาร์ท > 10 s ใช้คลาส 20

- บนเจนเนอเรเตอร์หรือไฟอ่อน: พิจารณาแบบปิดวงจร ซอฟต์สตาร์ท หรือ VFD

- มอเตอร์เดินโหลดเบาคงที่ < 35–40 %: ประเมินการเดินสตาร์ถาวรด้วยเครื่องคิดในหน้านี้

ทบทวนวงจรกำลัง วงจรควบคุม และขนาดอุปกรณ์ใน สตาร์-เดลต้าแบบละเอียด และเปรียบเทียบวิธีสตาร์ทอื่นใน ซอฟต์สตาร์ท · ออโต้ทรานส์ กับ หลักการอินเวอร์เตอร์

### มาตรฐานและแหล่งอ้างอิง

- IEC 60034-1 Rotating electrical machines — Rating and performance (โซนแรงดัน A/B)

- IEC 60034-12 Starting performance of single-speed three-phase cage induction motors (แบบ N, H, NY, HY)

- IEC 60034-30-1 Efficiency classes of line-operated AC motors (IE code)

- IEC 60947-4-1 Contactors and motor-starters (AC-3, AC-3e, สตาร์ทเตอร์สตาร์-เดลต้า)

- IEC 60204-1 Safety of machinery — Electrical equipment of machines

- IEC 61000-3-3 / 61000-3-11 Voltage changes, voltage fluctuations and flicker

- IEEE Std 3002.7 Recommended Practice for Conducting Motor-Starting Studies in Industrial and Commercial Power Systems

- NEMA MG 1 Motors and Generators

- Regulation (EU) 2019/1781 ecodesign requirements for electric motors and variable speed drives

- มาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้าสำหรับประเทศไทย (วิศวกรรมสถานแห่งประเทศไทย ในพระบรมราชูปถัมภ์) และข้อกำหนดการต่อเชื่อมของการไฟฟ้าในพื้นที่

- S. D. Umans, Fitzgerald & Kingsley's Electric Machinery, 7th ed., McGraw-Hill, 2014

- S. J. Chapman, Electric Machinery Fundamentals, 5th ed., McGraw-Hill, 2012

- P. C. Krause, O. Wasynczuk, S. D. Sudhoff, S. Pekarek, Analysis of Electric Machinery and Drive Systems, 3rd ed., Wiley-IEEE Press, 2013

- I. Boldea, S. A. Nasar, The Induction Machine Handbook, CRC Press, 2002

## คำถามที่พบบ่อย

ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาทีจึงเหมาะสม?
ตั้งให้มอเตอร์เปลี่ยนเป็นเดลต้าหลังจากถึงราว 98 % ของความเร็วสมดุลในสตาร์แล้ว คำนวณได้จากค่าคงตัวเวลาทางกล τm = J·ωs/Tn คูณสัมประสิทธิ์ c ≈ 2–4 (ปั๊มหอยโข่ง 80 % ≈ 2.6 พัดลม ≈ 2.9 รวมเผื่อไฟตก 10 %) เช่น ปั๊ม 37 kW ที่ J รวม 0.87 kg·m² ใช้ราว 1.5–3 s ส่วนพัดลม 7.5 kW ที่ J รวม 2.245 kg·m² ใช้ราว 21 s แล้วยืนยันหน้างานด้วยแคลมป์มิเตอร์ว่ากระแสช่วงสตาร์นิ่งก่อนเปลี่ยน

ทำไมตอนเปลี่ยนจากสตาร์เป็นเดลต้ากระแสกระชากสูงเกือบเท่าหรือมากกว่าสตาร์ทตรง?
ในช่วงตายที่มอเตอร์หลุดจากไฟ ฟลักซ์ที่ค้างในโรเตอร์สร้างแรงดันค้างที่ขั้วซึ่งหมุนช้ากว่าไฟและเลื่อนเฟสไปเรื่อยๆ เมื่อ KM3 ต่อ ทรานเซียนต์ถูกขับด้วยผลต่างเวกเตอร์ |V_Δ − e| ซึ่งอาจถึง 1.0–1.3 เท่าของแรงดันที่ขับตอนสตาร์ทตรง ผลจำลองมอเตอร์ 7.5 kW ที่ขับปั๊มและพัดลมจึงได้ยอด 1–3 ไซเคิลราว 0.85–1.2 เท่าของยอด DOL แต่สั้นมาก ลดได้ด้วยช่วงตายสั้นที่สุดที่คอนแทกเตอร์ยอมได้ ต่อ KM3 แบบตามหลัง หรือใช้สตาร์-เดลต้าแบบปิดวงจร

ช่วงตาย (dead time) ระหว่าง KM2 หลุดกับ KM3 ต่อควรเป็นเท่าไร?
ต้องนานกว่าเวลาเปิดหน้าสัมผัสบวกเวลาดับอาร์กของ KM2 เพื่อไม่ให้เกิดลัดวงจรระหว่างเฟส ไทเมอร์สตาร์-เดลต้าสำเร็จรูปมักใช้ราว 30–80 ms การยืดช่วงตายให้นานขึ้นไม่ได้ลดยอดกระแสเสมอไป เพราะมุมของแรงดันค้างหมุนไปเรื่อยๆ ผลจำลองชี้ว่าช่วงตายสั้นที่สุดที่ปลอดภัยให้ผลดีกว่า โดยเฉพาะปั๊มที่ความเฉื่อยต่ำและชะลอเร็ว

ต่อคอนแทกเตอร์เดลต้า KM3 แบบ L1→W2 หรือ L1→V2 ดีกว่า?
ทั้งสองแบบหมุนทางเดียวกันและถูกต้อง แบบมาตรฐาน L1→W2 L2→U2 L3→V2 ทำให้แรงดันขดลวดหลังเปลี่ยนนำหน้า 30° ส่วนแบบตามหลัง L1→V2 L2→W2 L3→U2 ทำให้ล้าหลัง 30° ซึ่งใกล้มุมของแรงดันค้างที่ล้าหลังอยู่แล้ว ผลจำลองปั๊มได้ยอด 9.7·In เทียบ 11.5·In และแรงบิดติดลบ −0.5·Tn เทียบ −4.4·Tn จึงแนะนำแบบตามหลัง

เดินมอเตอร์แบบสตาร์ตลอดเวลาเพื่อประหยัดไฟได้ไหม?
ได้เฉพาะเมื่อโหลดเบามาก ในสตาร์แรงดันขดลวดเหลือ 1/√3 แกนเหล็กและกระแสแม่เหล็กลดลง แต่แรงบิดสูงสุดเหลือ 1/3 และสลิปเพิ่มราว 3 เท่า แบบจำลองมอเตอร์ 7.5 kW ประหยัด 188 W ที่โหลด 25 % (cos φ 0.46 → 0.79) จุดคุ้มทุนราว 50 % แต่ควรใช้จริงไม่เกิน 35–40 % ของพิกัดเพื่อเผื่อแรงบิด ≥ 2.5 เท่า และต้องมีรีเลย์วัดกำลังสลับกลับเป็นเดลต้าอัตโนมัติ

สตาร์ (Star) กับวาย (Wye) ต่างกันไหม?
ไม่ต่างกัน เป็นการต่อแบบเดียวกัน คือนำปลายขดทั้งสามมาต่อรวมเป็นจุดนิวทรัล ยุโรปและเอเชียเรียก star (Y) อเมริกาเรียก wye ชุดสตาร์ทจึงเรียกได้ทั้ง star-delta starter และ wye-delta starter ส่วนเดลต้า (Δ) บางตำราเรียก mesh

สตาร์-เดลต้าประหยัดพลังงานกว่าสตาร์ทตรงไหม?
ไม่ประหยัดพลังงาน พลังงานที่ใช้สตาร์ทหนึ่งครั้งน้อยมาก (หลักสิบ kJ คือหลักหนึ่งในร้อยหน่วย) สิ่งที่สตาร์-เดลต้าลดได้คือกระแสและแรงดันตกช่วงเร่ง และ I²t ของสายจ่ายราวครึ่งหนึ่งสำหรับโหลดความเฉื่อยสูง แต่โรเตอร์จะร้อนมากกว่า DOL ราว 30–55 % เพราะเร่งด้วยสลิปสูงนานกว่า

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาทีจึงเหมาะสม?**
ตั้งให้มอเตอร์เปลี่ยนเป็นเดลต้าหลังจากถึงราว 98 % ของความเร็วสมดุลในสตาร์แล้ว คำนวณได้จากค่าคงตัวเวลาทางกล τm = J·ωs/Tn คูณสัมประสิทธิ์ c ≈ 2–4 (ปั๊มหอยโข่ง 80 % ≈ 2.6 พัดลม ≈ 2.9 รวมเผื่อไฟตก 10 %) เช่น ปั๊ม 37 kW ที่ J รวม 0.87 kg·m² ใช้ราว 1.5–3 s ส่วนพัดลม 7.5 kW ที่ J รวม 2.245 kg·m² ใช้ราว 21 s แล้วยืนยันหน้างานด้วยแคลมป์มิเตอร์ว่ากระแสช่วงสตาร์นิ่งก่อนเปลี่ยน

**ทำไมตอนเปลี่ยนจากสตาร์เป็นเดลต้ากระแสกระชากสูงเกือบเท่าหรือมากกว่าสตาร์ทตรง?**
ในช่วงตายที่มอเตอร์หลุดจากไฟ ฟลักซ์ที่ค้างในโรเตอร์สร้างแรงดันค้างที่ขั้วซึ่งหมุนช้ากว่าไฟและเลื่อนเฟสไปเรื่อยๆ เมื่อ KM3 ต่อ ทรานเซียนต์ถูกขับด้วยผลต่างเวกเตอร์ |V_Δ − e| ซึ่งอาจถึง 1.0–1.3 เท่าของแรงดันที่ขับตอนสตาร์ทตรง ผลจำลองมอเตอร์ 7.5 kW ที่ขับปั๊มและพัดลมจึงได้ยอด 1–3 ไซเคิลราว 0.85–1.2 เท่าของยอด DOL แต่สั้นมาก ลดได้ด้วยช่วงตายสั้นที่สุดที่คอนแทกเตอร์ยอมได้ ต่อ KM3 แบบตามหลัง หรือใช้สตาร์-เดลต้าแบบปิดวงจร

**ช่วงตาย (dead time) ระหว่าง KM2 หลุดกับ KM3 ต่อควรเป็นเท่าไร?**
ต้องนานกว่าเวลาเปิดหน้าสัมผัสบวกเวลาดับอาร์กของ KM2 เพื่อไม่ให้เกิดลัดวงจรระหว่างเฟส ไทเมอร์สตาร์-เดลต้าสำเร็จรูปมักใช้ราว 30–80 ms การยืดช่วงตายให้นานขึ้นไม่ได้ลดยอดกระแสเสมอไป เพราะมุมของแรงดันค้างหมุนไปเรื่อยๆ ผลจำลองชี้ว่าช่วงตายสั้นที่สุดที่ปลอดภัยให้ผลดีกว่า โดยเฉพาะปั๊มที่ความเฉื่อยต่ำและชะลอเร็ว

**ต่อคอนแทกเตอร์เดลต้า KM3 แบบ L1→W2 หรือ L1→V2 ดีกว่า?**
ทั้งสองแบบหมุนทางเดียวกันและถูกต้อง แบบมาตรฐาน L1→W2 L2→U2 L3→V2 ทำให้แรงดันขดลวดหลังเปลี่ยนนำหน้า 30° ส่วนแบบตามหลัง L1→V2 L2→W2 L3→U2 ทำให้ล้าหลัง 30° ซึ่งใกล้มุมของแรงดันค้างที่ล้าหลังอยู่แล้ว ผลจำลองปั๊มได้ยอด 9.7·In เทียบ 11.5·In และแรงบิดติดลบ −0.5·Tn เทียบ −4.4·Tn จึงแนะนำแบบตามหลัง

**เดินมอเตอร์แบบสตาร์ตลอดเวลาเพื่อประหยัดไฟได้ไหม?**
ได้เฉพาะเมื่อโหลดเบามาก ในสตาร์แรงดันขดลวดเหลือ 1/√3 แกนเหล็กและกระแสแม่เหล็กลดลง แต่แรงบิดสูงสุดเหลือ 1/3 และสลิปเพิ่มราว 3 เท่า แบบจำลองมอเตอร์ 7.5 kW ประหยัด 188 W ที่โหลด 25 % (cos φ 0.46 → 0.79) จุดคุ้มทุนราว 50 % แต่ควรใช้จริงไม่เกิน 35–40 % ของพิกัดเพื่อเผื่อแรงบิด ≥ 2.5 เท่า และต้องมีรีเลย์วัดกำลังสลับกลับเป็นเดลต้าอัตโนมัติ

**สตาร์ (Star) กับวาย (Wye) ต่างกันไหม?**
ไม่ต่างกัน เป็นการต่อแบบเดียวกัน คือนำปลายขดทั้งสามมาต่อรวมเป็นจุดนิวทรัล ยุโรปและเอเชียเรียก star (Y) อเมริกาเรียก wye ชุดสตาร์ทจึงเรียกได้ทั้ง star-delta starter และ wye-delta starter ส่วนเดลต้า (Δ) บางตำราเรียก mesh

**สตาร์-เดลต้าประหยัดพลังงานกว่าสตาร์ทตรงไหม?**
ไม่ประหยัดพลังงาน พลังงานที่ใช้สตาร์ทหนึ่งครั้งน้อยมาก (หลักสิบ kJ คือหลักหนึ่งในร้อยหน่วย) สิ่งที่สตาร์-เดลต้าลดได้คือกระแสและแรงดันตกช่วงเร่ง และ I²t ของสายจ่ายราวครึ่งหนึ่งสำหรับโหลดความเฉื่อยสูง แต่โรเตอร์จะร้อนมากกว่า DOL ราว 30–55 % เพราะเร่งด้วยสลิปสูงนานกว่า

---

# วงจรสตาร์ทสตาร์-เดลต้าแบบละเอียด: วงจรกำลัง วงจรควบคุม ขนาดคอนแทกเตอร์ 0.58 In การตั้งโอเวอร์โหลด ไทเมอร์ และเวลาเปลี่ยนจังหวะ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/star-delta/
Updated: 2026-10-14
Summary: ออกแบบและต่อวงจรสตาร์-เดลต้า (Star-Delta, Y-Δ) สำหรับมอเตอร์ 400/690 V ในระบบ 400 V 50 Hz ครบทุกขั้น: ทำไมกระแสและแรงบิดเหลือ 1/3 วงจรกำลัง KM1 KM2 KM3 ตำแหน่งโอเวอร์โหลดและค่าตั้ง 0.58 In ขนาดคอนแทกเตอร์ วงจรควบคุมพร้อมอินเตอร์ล็อก ไทเมอร์และช่วงตาย กระแสกระชากตอนเปลี่ยนจังหวะ ลำดับเฟสด้านเดลต้า สายหกเส้น สตาร์-เดลต้าแบบปิดวงจร และตารางแก้ปัญหา

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.8 · ควบคุมมอเตอร์ AC · Star–Delta Starter

# วงจรสตาร์ทสตาร์-เดลต้าแบบละเอียด: วงจรกำลัง วงจรควบคุม ขนาดคอนแทกเตอร์ 0.58 In การตั้งโอเวอร์โหลด ไทเมอร์ และเวลาเปลี่ยนจังหวะ

สตาร์-เดลต้าเป็นวิธีลดกระแสสตาร์ทที่นิยมที่สุดในภูมิภาค เพราะใช้อุปกรณ์ธรรมดาและไม่มีอิเล็กทรอนิกส์ แต่ก็เป็นวงจรที่ต่อผิดบ่อยที่สุดเช่นกัน หน้านี้ไล่ทุกเรื่องที่ต้องถูก: มอเตอร์ที่ใช้ได้ ตำแหน่งโอเวอร์โหลด ขนาดคอนแทกเตอร์ ลำดับสาย ไทเมอร์ และสิ่งที่เกิดขึ้นจริงในช่วงเปลี่ยนจังหวะ

สรุปใน 30 วินาที

- ใช้กับมอเตอร์ป้าย 400/690 V Δ/Y เท่านั้น · ถอดแผ่นเชื่อมในกล่องขั้ว ดึงสาย 6 เส้น

- ช่วงสตาร์: KM1 + KM2 · ช่วงเดิน: KM1 + KM3 · KM2 กับ KM3 ห้ามดูดพร้อมกัน

- กระแสและแรงบิดช่วงสตาร์ = 1/3 ของสตาร์ทตรง

- KM1 = KM3 ≥ 0.58 In · KM2 ≥ 0.33 In · โอเวอร์โหลดในทางกระแสเฟส ตั้ง 0.58 In

- เปลี่ยนเป็นเดลต้าที่ 85–90 % ความเร็ว · มีช่วงตาย 50–100 ms · คำนวณไทเมอร์จาก τm ใน สตาร์-เดลต้าเชิงลึก

## หลักการ: สตาร์ทด้วยแรงดันขดลวด 1/√3 พื้นฐาน

มอเตอร์ที่เดินปกติแบบเดลต้าที่ 400 V ถ้าตอนสตาร์ทต่อขดลวดเป็นสตาร์ แต่ละขดได้เพียง 230 V กระแสสายจึงลดเหลือ 1/3 และแรงบิดเหลือ 1/3 (ที่มาอยู่ใน C4) เมื่อมอเตอร์เร่งใกล้ความเร็วเต็ม จึงสลับเป็นเดลต้าให้ได้แรงบิดเต็ม

Y1 Starting current in star กระแสสายช่วงสตาร์

$$I_{L,Y} = \frac{I_{L,\Delta}}{3} = \frac{k_{st}\,I_n}{3}$$

Y2 Starting torque in star แรงบิดช่วงสตาร์

$$T_Y(n) = \frac{T_\Delta(n)}{3} \qquad T_{st,Y} = \frac{T_a/T_n}{3}\,T_n \approx 0.7\text{–}0.8\,T_n$$

รูป 1 · กราฟจริงของมอเตอร์ตัวอย่าง: ช่วงสตาร์ (เส้นทึบ) กระแสเริ่ม 2.2 In แรงบิดเริ่ม 0.72 Tn เมื่อเปลี่ยนเป็นเดลต้าที่ ~1330 rpm กระแสกระโดดขึ้นตามเส้นสีเหลือง

ข้อจำกัดสำคัญ: แรงบิดช่วงสตาร์มีเพียง ~0.7 Tn สตาร์-เดลต้าจึงเหมาะกับโหลดที่สตาร์ทเบา (ปั๊มหอยโข่ง พัดลม คอมเพรสเซอร์ที่มีระบบ unload) ถ้าโหลดต้องการแรงบิดเริ่มสูง เช่น สายพานที่มีของเต็ม เครื่องบดที่มีวัสดุค้าง มอเตอร์จะเร่งไม่ขึ้นในช่วงสตาร์ แล้วกระชากเกือบเท่าสตาร์ทตรงตอนเปลี่ยน — เสียทั้งเวลาและไม่ได้ลดกระแส

## วงจรกำลังและตำแหน่งโอเวอร์โหลด กลาง

รูป 2 · (ในแบบใช้รหัส -K1 -K2 -K3 ตรงกับ KM1 KM2 KM3 ในข้อความ) KM1 (หลัก) จ่าย U1 V1 W1 ผ่าน F2 · KM3 (เดลต้า) ต่อ W2 U2 V2 กลับไปที่ L1 L2 L3 · KM2 (สตาร์) ลัด W2 U2 V2 เข้าด้วยกัน

| คอนแทกเตอร์ | หน้าที่ | ดูดช่วง | กระแสที่นำ |

| KM1 หลัก (main) | จ่ายไฟเข้าต้นขด U1 V1 W1 | สตาร์ + เดิน | กระแสเฟส $I_n/\sqrt3$ (ช่วงเดิน) |

| KM2 สตาร์ (star) | ลัดปลายขด W2 U2 V2 เป็นจุดสตาร์ | สตาร์เท่านั้น | $k_{st}I_n/3$ ช่วงสั้น ตัดเพียงกระแสหลังเร่ง |

| KM3 เดลต้า (delta) | ต่อปลายขดเข้าเฟสถัดไป | เดินเท่านั้น | กระแสเฟส $I_n/\sqrt3$ |

Y3 Main and delta contactors ขนาด KM1 และ KM3

$$I_e(\text{KM1}) = I_e(\text{KM3}) \ge \frac{I_n}{\sqrt3} \approx 0.58\,I_n \quad (\text{AC-3})$$

Y4 Star contactor ขนาด KM2

$$I_e(\text{KM2}) \ge \frac{I_n}{3} \approx 0.33\,I_n \quad (\text{AC-3})$$

Y5 Overload setting ค่าตั้งโอเวอร์โหลด (อยู่ในทางกระแสเฟส)

$$I_r = \frac{I_n}{\sqrt3} \approx 0.58\,I_n$$

ทำไมวาง F2 หลัง KM1: ตำแหน่งนี้นำกระแสของขดลวดทั้งช่วงสตาร์และช่วงเดิน รีเลย์จึงป้องกันขดลวดได้ตรงที่สุด ถ้าวางโอเวอร์โหลดก่อนแยกไป KM1 และ KM3 (ในทางกระแสสาย) ต้องตั้งที่ In และรีเลย์ต้องใหญ่ขึ้น บางผู้ผลิตยังวาง F2 หลัง KM3 แทน — ดูตำแหน่งในแบบก่อนตั้งค่าเสมอ ถ้าใช้ MPCB หน้าชุดสตาร์ทเตอร์ (กระแสสาย) ให้ตั้ง MPCB = In แล้วใช้โอเวอร์โหลดแยกในทางกระแสเฟส หรือปล่อยให้ MPCB เป็นตัวป้องกันโหลดเกินทั้งหมดตามตารางผู้ผลิต

### ลำดับสายด้านเดลต้า

แบบมาตรฐานต่อ KM3 ให้ได้ผลเหมือนแผ่นเชื่อมในกล่องขั้ว: L1→W2, L2→U2, L3→V2 (ขดลวด U1–U2 ได้แรงดัน L1–L2) ทิศหมุนช่วง Y และช่วง Δ ตรงกันโดยอัตโนมัติ ผู้ผลิตบางรายแนะนำการต่อแบบ “ตามหลัง” L1→V2, L2→W2, L3→U2 ซึ่งทำให้แรงดันใหม่ของขดลวดใกล้เฟสของแรงดันตกค้างในมอเตอร์มากกว่า จึงลดกระแสกระชากตอนเปลี่ยนจังหวะ ทั้งสองแบบหมุนทางเดียวกันและถูกต้อง ข้อสำคัญคือห้ามสลับเส้นตามใจ — การสลับผิดคู่ทำให้ขดลวดบางชุดต่อลัดหรือได้แรงดันผิด

## วงจรควบคุม: ลำดับและอินเตอร์ล็อก กลาง

รูป 3 · KM2 ดูดก่อน KM1 (ผ่าน KM2 13-14) จึงไม่มีไฟเข้ามอเตอร์ก่อนจุดสตาร์จะต่อเสร็จ KM1 ล็อกตัวเองด้วย 43-44 · KM2 กับ KM3 อินเตอร์ล็อกกันด้วย 21-22 และควรมีอินเตอร์ล็อกทางกลด้วย

- กด S1 → K4T เริ่มนับ และ KM2 (สตาร์) ดูดผ่าน K4T 15-16 (NC หน่วงเวลา) และ KM3 21-22

- KM2 13-14 ปิด → KM1 ดูด → มอเตอร์ได้ไฟแบบสตาร์ · KM1 13-14 ล็อกปุ่ม START · 43-44 ล็อกคอยล์ตัวเอง

- ครบเวลา t: K4T 15-16 เปิด → KM2 ปล่อย → KM2 21-22 กลับมาปิด

- K4T 17-18 ปิด (ไทเมอร์ Y-Δ เฉพาะจะหน่วงอีก 50–100 ms) → KM3 ดูด → เดลต้า

- กด S0 หรือโอเวอร์โหลด → ทุกตัวปล่อย ไทเมอร์รีเซ็ต

รูป 4 · ช่วงตายระหว่าง KM2 ปล่อยกับ KM3 ดูด จำเป็นเพื่อให้อาร์กในห้องดับอาร์กของ KM2 ดับสนิทก่อน

Y6 Changeover dead time ช่วงตายระหว่าง Y กับ Δ

$$t_{dead} \approx 40\text{–}100\ \text{ms} \;>\; t_{arc,KM2} + t_{close,KM3}\ \text{margin}$$

## แบบ NEMA/JIC: สตาร์ตเตอร์ wye-delta และขั้วมอเตอร์ T1–T6 กลาง

ในอเมริกาเหนือเรียกสตาร์-เดลต้าว่า wye-delta (open transition = เปิดวงจรขณะเปลี่ยน) ใช้คอนแทกเตอร์ 3 ตัวเหมือนกัน แต่ขั้วมอเตอร์ใช้ T1–T6 และหน้าสัมผัสเป็นแบบแลดเดอร์

รูป 3ก · wye-delta แบบ NEMA: 1M (ไลน์) จ่าย T1 T2 T3 ผ่านฮีตเตอร์ OL · 2M (เดลต้า) ต่อ L1→T6 L2→T4 L3→T5 · 1S (wye) ลัด T4 T5 T6 · ไทเมอร์ TR เปลี่ยนจังหวะ

| IEC | NEMA | หน้าที่ |

| -K1 | 1M | คอนแทกเตอร์ไลน์ (หลัก) |

| -K2 | 1S | สตาร์ (wye) ลัด T4 T5 T6 |

| -K3 | 2M | เดลต้า (run) |

| -K4T | TR | ไทเมอร์หน่วงเวลา: หน้าสัมผัส NCTO (15-16) และ NOTC (17-18) |

| U1 V1 W1 / U2 V2 W2 | T1 T2 T3 / T4 T5 T6 | เดลต้า: T1–T6 · T2–T4 · T3–T5 (IEC: U1–W2 · V1–U2 · W1–V2) |

ชื่อ 1M / 2M / 1S ต่างกันตามผู้ผลิต (บางรายสลับบทบาทของ 1M กับ 2M) ให้ยึดแบบประจำเครื่อง · ตรวจลำดับเฟสด้านเดลต้าให้ถูก ถ้าสลับ T4/T5/T6 จะเกิดกระแสกระชากตอนเปลี่ยนจังหวะสูงกว่าสตาร์ทตรง · แบบ closed transition ใช้ตัวต้านทานคร่อมเพื่อไม่ให้ไฟขาด

## ตั้งไทเมอร์และกระแสตอนเปลี่ยนจังหวะ ขั้นสูง

เวลาเร่งขึ้นกับความเฉื่อยและแรงบิดเร่ง (แรงบิดมอเตอร์ลบแรงบิดโหลด) จากกฎข้อสองของนิวตันสำหรับการหมุน

Y7 Acceleration time เวลาเร่งความเร็ว

$$J\frac{d\omega}{dt} = T_m - T_L \;\Rightarrow\; t_{acc} \approx \frac{J\,\Delta\omega}{\overline{T_m - T_L}}$$

Y8 Changeover condition เงื่อนไขก่อนเปลี่ยนเป็นเดลต้า

$$T_Y(n) > T_L(n)\ \ \forall\, n ระหว่างช่วงตาย มอเตอร์ไม่มีไฟเลี้ยงแต่ฟลักซ์ในโรเตอร์ยังค้าง ทำให้มีแรงดันตกค้างที่ขั้วซึ่งความถี่ลดลงตามความเร็ว เมื่อ KM3 ต่อเข้าไป ถ้าเฟสของแรงดันตกค้างไม่ตรงกับไฟเข้า จะเกิดกระแสกระชากชั่วขณะเพิ่มบนกระแสปกติที่ความเร็วนั้น ยิ่งเปลี่ยนที่ความเร็วต่ำ กระแสปกติของเดลต้าที่ความเร็วนั้นยิ่งสูง (ดูรูป 1)

ตัวอย่าง Y-1

### ปั๊ม 37 kW 400 V Δ In = 66 A Ia/In = 7 Ta/Tn = 2.3 — ออกแบบชุดสตาร์-เดลต้า

- Y1: สตาร์ทตรง $7 \times 66 = 462$ A → สตาร์ $462/3 = 154$ A

- Y3: KM1 = KM3 ≥ $0.58 \times 66 = 38.3$ A → 40 A AC-3 · Y4: KM2 ≥ $0.33 \times 66 = 21.8$ A → 25 A AC-3

- Y5: โอเวอร์โหลด (หลัง KM1) ตั้ง 38.3 A → รีเลย์ช่วง 30–40 A คลาส 10

- Y2: แรงบิดเริ่มช่วงสตาร์ $2.3/3 = 0.77$ Tn > แรงบิดเริ่มปั๊ม ~0.15 Tn ✓

- สายจากตู้ถึงมอเตอร์ 6 เส้น แต่ละเส้นนำกระแสเฟส 38.3 A → เลือกขนาดสายจาก 38.3 A ไม่ใช่ 66 A (ดู Y9)

ตัวอย่าง Y-2

### ประมาณเวลาตั้งไทเมอร์ของปั๊ม 37 kW

- $T_n = 9550(37)/1480 = 239$ N·m · ความเฉื่อยมอเตอร์ + ปั๊ม $J \approx 0.3 + 0.6 = 0.9$ kg·m²

- แรงบิดช่วงสตาร์เฉลี่ย ~0.8 Tn · แรงบิดปั๊มเฉลี่ยช่วง 0–90 % ความเร็ว ~0.35 Tn → แรงบิดเร่ง ~0.45 Tn = 108 N·m

- Y7: $\Delta\omega = 0.9 \times 155 = 140$ rad/s → $t \approx 0.9(140)/108 = 1.2$ s

- ตั้งไทเมอร์ 3 s (เผื่อแรงดันตกและการสึกหรอ) แล้วยืนยันด้วยแคลมป์มิเตอร์ว่ากระแสช่วงสตาร์นิ่งก่อนเปลี่ยน

📊 เชิงลึก: ไทเมอร์ที่เหมาะสมเขียนได้เป็น $t_{set} = c\,\tau_m$ โดย $\tau_m = J\omega_s/T_n$ และ c ≈ 2–4 ผลจำลองพลวัตชี้ว่ายอดกระแส 1–3 ไซเคิลตอนเปลี่ยนของปั๊มและพัดลมเกือบเท่า DOL ทุกค่าไทเมอร์ — ดูตาราง c ช่วงตาย ลำดับเฟส KM3 และแล็บจำลองใน สตาร์-เดลต้าเชิงลึก: ตั้งไทเมอร์ กระแส พลังงาน และงานวิจัย

## ทดลองในซิมูเลเตอร์

ลองสามสถานการณ์: (1) โหลด 0.7 Tn ไทเมอร์ 6 s — การเปลี่ยนจังหวะนุ่ม · (2) ลดไทเมอร์เหลือ 0.5 s — กระแสตอนเปลี่ยนสูงขึ้นมาก · (3) โหลดสายพาน 1.0 Tn — ช่วงสตาร์เร่งไม่ขึ้น แล้วกระชากเกือบเท่า DOL

ต้องเปิด JavaScript

## สายหกเส้นไปมอเตอร์ กลาง

Y9 Cable sizing for six leads ขนาดสายหกเส้น

$$I_z \ge \frac{I_n}{\sqrt3} \ \text{ต่อเส้น} \qquad \Delta V \text{ คิดจากกระแสเฟสและความยาวจริง}$$

- ต้องเดินสายสองชุด (U1 V1 W1 และ W2 U2 V2) ทำให้ต้นทุนสายสูงขึ้นเมื่อระยะไกล — เป็นเหตุผลหนึ่งที่งานใหม่หันไปใช้ซอฟต์สตาร์ทหรือ VFD

- สายสองชุดต้องเดินในท่อหรือรางเดียวกัน เพื่อไม่ให้เกิดความร้อนเหนี่ยวนำในท่อโลหะ

- ติดเลขปลายสายให้ตรงกับขั้วมอเตอร์ทั้งสองปลาย ความผิดพลาดจุดนี้ทำให้เดลต้าต่อผิดรูป

## สตาร์-เดลต้าแบบปิดวงจร (closed transition) ขั้นสูง

แบบปิดวงจรเพิ่มคอนแทกเตอร์ตัวที่สี่และตัวต้านทานสามตัว ก่อน KM2 ปล่อย คอนแทกเตอร์ตัวที่สี่จะต่อขดลวดเข้ากับไฟผ่านตัวต้านทาน มอเตอร์จึงไม่ขาดไฟเลยระหว่างเปลี่ยนจังหวะ กระแสกระชากลดลงมาก เหมาะกับมอเตอร์ใหญ่และโหลดเฉื่อยสูง แต่ซับซ้อนและแพงกว่า ปัจจุบันงานแบบนี้มักใช้ซอฟต์สตาร์ทแทน

## ตารางแก้ปัญหาสตาร์-เดลต้า

| อาการ | สาเหตุที่เป็นไปได้ | ตรวจ/แก้ |

| เบรกเกอร์ทริปทันทีที่เปลี่ยนเป็นเดลต้า | KM2/KM3 ซ้อนกัน · ลืมถอดแผ่นเชื่อม · ลำดับสายเดลต้าผิด | ตรวจช่วงตาย อินเตอร์ล็อก กล่องขั้ว และเลขสาย W2 U2 V2 |

| ช่วงสตาร์มอเตอร์หมุนช้า ไม่ขึ้นรอบ | โหลดสตาร์ทหนักเกิน · แรงดันตก · ต่อมอเตอร์ 230/400 V | วัดกระแสช่วงสตาร์ ตรวจป้าย ลดโหลดตอนสตาร์ท หรือเปลี่ยนวิธีสตาร์ท |

| กระแสกระชากตอนเปลี่ยนสูงมาก | ไทเมอร์สั้นเกิน · ช่วงตายยาวเกิน (มอเตอร์ชะลอมาก) | ตั้งไทเมอร์ตามความเร็วจริง ใช้ไทเมอร์ Y-Δ เฉพาะ |

| โอเวอร์โหลดทริปขณะเดินปกติ | ตั้งค่า 0.58 In แต่รีเลย์อยู่ในทางกระแสสาย (หรือกลับกัน) | ตรวจตำแหน่ง F2 ในแบบ แล้วตั้งให้สอดคล้อง |

| มอเตอร์หมุนกลับทางตอนเปลี่ยนเป็นเดลต้า | สลับเฟสเฉพาะชุดต้นขดหรือปลายขด | ต่อชุด W2 U2 V2 ตามแบบ สลับเฟสที่ต้นทางเท่านั้น |

| KM2 สั่นหรือครางตอนสตาร์ท | แรงดันคอยล์ตกขณะกระแสสตาร์ทสูง · วงแหวนบังเงาแตก | วัดแรงดันคอยล์ขณะสตาร์ท ตรวจขนาดหม้อแปลงควบคุม |

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมคอนแทกเตอร์ในชุดสตาร์-เดลต้าเล็กกว่ามอเตอร์?
เพราะคอนแทกเตอร์หลัก (KM1) และเดลต้า (KM3) แต่ละตัวนำกระแสเฟสของขดลวด ซึ่งเท่ากับ In/√3 = 0.58 In ส่วนคอนแทกเตอร์สตาร์ (KM2) นำกระแสเฉพาะช่วงสตาร์ท 1/3 ของกระแสสตาร์ทตรง และตัดกระแสที่ต่ำ จึงเลือก ≥ 0.33 In ได้ ตัวอย่าง มอเตอร์ 66 A ใช้ 40 A + 40 A + 25 A

ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที?
ตั้งให้เปลี่ยนเป็นเดลต้าเมื่อมอเตอร์ถึงราว 85–90 % ของความเร็ว ซึ่งเห็นได้จากกระแสที่ลดลงจนนิ่งในช่วงสตาร์ ปั๊มและพัดลมเล็กมักใช้ 3–8 s โหลดเฉื่อยสูงอาจ 10–20 s วิธีที่ดีที่สุดคือคล้องแคลมป์มิเตอร์ดูกระแสช่วง Y แล้วตั้งให้นานกว่าจุดที่กระแสนิ่งเล็กน้อย ตั้งสั้นเกินไปกระแสกระชากเกือบเท่าสตาร์ทตรง ตั้งนานเกินไปมอเตอร์เดิน Y นานโดยไม่จำเป็น

มอเตอร์เดินสตาร์แล้วเปลี่ยนเป็นเดลต้าแล้วเบรกเกอร์ทริป เกิดจากอะไร?
สาเหตุที่พบบ่อย: ไม่มีช่วงตายหรือช่วงตายสั้นเกิน ทำให้ KM2 และ KM3 ซ้อนกันผ่านอาร์ก ลำดับสายด้านเดลต้าผิดทำให้ขดลวดต่อผิดรูป ไทเมอร์สั้นจนมอเตอร์ยังไม่เร่ง หรือลืมถอดแผ่นทองแดงในกล่องขั้ว

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมคอนแทกเตอร์ในชุดสตาร์-เดลต้าเล็กกว่ามอเตอร์?**
เพราะคอนแทกเตอร์หลัก (KM1) และเดลต้า (KM3) แต่ละตัวนำกระแสเฟสของขดลวด ซึ่งเท่ากับ In/√3 = 0.58 In ส่วนคอนแทกเตอร์สตาร์ (KM2) นำกระแสเฉพาะช่วงสตาร์ท 1/3 ของกระแสสตาร์ทตรง และตัดกระแสที่ต่ำ จึงเลือก ≥ 0.33 In ได้ ตัวอย่าง มอเตอร์ 66 A ใช้ 40 A + 40 A + 25 A

**ตั้งไทเมอร์สตาร์-เดลต้ากี่วินาที?**
ตั้งให้เปลี่ยนเป็นเดลต้าเมื่อมอเตอร์ถึงราว 85–90 % ของความเร็ว ซึ่งเห็นได้จากกระแสที่ลดลงจนนิ่งในช่วงสตาร์ ปั๊มและพัดลมเล็กมักใช้ 3–8 s โหลดเฉื่อยสูงอาจ 10–20 s วิธีที่ดีที่สุดคือคล้องแคลมป์มิเตอร์ดูกระแสช่วง Y แล้วตั้งให้นานกว่าจุดที่กระแสนิ่งเล็กน้อย ตั้งสั้นเกินไปกระแสกระชากเกือบเท่าสตาร์ทตรง ตั้งนานเกินไปมอเตอร์เดิน Y นานโดยไม่จำเป็น

**มอเตอร์เดินสตาร์แล้วเปลี่ยนเป็นเดลต้าแล้วเบรกเกอร์ทริป เกิดจากอะไร?**
สาเหตุที่พบบ่อย: ไม่มีช่วงตายหรือช่วงตายสั้นเกิน ทำให้ KM2 และ KM3 ซ้อนกันผ่านอาร์ก ลำดับสายด้านเดลต้าผิดทำให้ขดลวดต่อผิดรูป ไทเมอร์สั้นจนมอเตอร์ยังไม่เร่ง หรือลืมถอดแผ่นทองแดงในกล่องขั้ว

---

# ระบบไฟฟ้าแรงต่ำ 230/400 V 50 Hz ในไทย ลาว กัมพูชา เวียดนาม เมียนมา มาเลเซีย สิงคโปร์ สำหรับงานควบคุมมอเตอร์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/supply-systems/
Updated: 2026-10-14
Summary: ระบบไฟสามเฟสสี่สาย 230/400 V 50 Hz ตาม IEC 60038 แรงดันใช้งานจริงของไทย ลาว กัมพูชา เวียดนาม เมียนมา มาเลเซีย สิงคโปร์ แรงดันเฟสกับแรงดันสาย ค่าเผื่อ ±10 % ระบบสายดิน TN-C-S และ TT ลำดับเฟส แรงดันไม่สมดุลและการลดพิกัดมอเตอร์ และการใช้มอเตอร์ 60 Hz กับไฟ 50 Hz

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.2 · ควบคุมมอเตอร์ AC · 230/400 V 50 Hz Supply

# ระบบไฟฟ้าแรงต่ำ 230/400 V 50 Hz ในไทย ลาว กัมพูชา เวียดนาม เมียนมา มาเลเซีย สิงคโปร์ สำหรับงานควบคุมมอเตอร์

มอเตอร์และอุปกรณ์ควบคุมถูกออกแบบให้ทำงานกับแรงดันและความถี่ค่าหนึ่ง ถ้าเข้าใจว่าระบบไฟหน้างานเป็นอย่างไร ทั้งแรงดันจริง ระบบสายดิน และคุณภาพไฟ จะเลือกการต่อขั้วและตั้งค่าอุปกรณ์ได้ถูกตั้งแต่แรก หน้านี้รวบรวมสิ่งที่ต้องรู้สำหรับเจ็ดประเทศที่ใช้ระบบไฟแบบเดียวกัน

สรุปใน 30 วินาที

- สามเฟสสี่สาย: แรงดันเฟส 230 V (L–N) แรงดันสาย 400 V (L–L) = √3 × 230

- ทุกประเทศในชุดนี้ใช้ 50 Hz · แรงดันจริงอยู่ในช่วง 220/380–240/415 V

- มอเตอร์สามเฟสต่อ L1 L2 L3 + PE ไม่ใช้ N · วงจรควบคุม 230 V ใช้ L–N

- แรงดันไม่สมดุล 1 % ทำให้กระแสไม่สมดุล 6–10 % → ต้องลดพิกัดมอเตอร์

## ระบบสามเฟสสี่สาย พื้นฐาน

หม้อแปลงจำหน่ายของการไฟฟ้า (เช่น 22 kV/400 V หรือ 33 kV/400 V) ต่อด้านแรงต่ำแบบ Y และต่อจุดนิวทรัลลงดิน ให้สาย L1 L2 L3 และ N ระหว่างสายเฟสกับนิวทรัลคือ แรงดันเฟส 230 V ระหว่างสายเฟสด้วยกันคือ แรงดันสาย 400 V

รูป 1 · แรงดันเฟสสามตัวห่างกัน 120° (ค่ายอด 325 V) และแรงดันสาย v₁₂ = v₁ − v₂ (ค่ายอด 565 V) นำหน้า 30°

S1 Line and phase voltage แรงดันสายกับแรงดันเฟส

$$V_L = \sqrt{3}\,V_{ph} \qquad 230 \times \sqrt3 = 398 \approx 400\ \text{V} \qquad V_{peak} = \sqrt2\, V_{rms}$$

S2 Three-phase power กำลังสามเฟสสมดุล

$$P = \sqrt{3}\,V_L I_L \cos\varphi \qquad S = \sqrt{3}\,V_L I_L$$

## แรงดันและความถี่ในแต่ละประเทศ พื้นฐาน

IEC 60038 กำหนดค่าระบุ 230/400 V สำหรับระบบ 50 Hz ประเทศในภูมิภาคทยอยปรับจาก 220/380 V หรือ 240/415 V เข้าหาค่านี้ อุปกรณ์ที่ระบุพิกัด “380–415 V 50 Hz” (ซึ่งเป็นพิกัดปกติของคอนแทกเตอร์ อินเวอร์เตอร์ และมอเตอร์ IEC) ใช้ได้ทั้งหมด

| ประเทศ | ค่าระบุที่ใช้ | ค่าที่ยังพบหน้างาน | ความถี่ | ข้อควรรู้ |

| ไทย | 230/400 V | 220/380 V ในระบบเก่า | 50 Hz | การไฟฟ้านครหลวง (กฟน.) และส่วนภูมิภาค (กฟภ.) · ติดตั้งตามมาตรฐาน วสท. |

| ลาว | 230/400 V | 220/380 V | 50 Hz | ระบบเชื่อมกับไทยหลายจุด อุปกรณ์จากไทยใช้ได้ |

| กัมพูชา | 230/400 V | 220/380 V | 50 Hz | แรงดันต่างกันมากตามพื้นที่ ควรวัดก่อนติดตั้ง |

| เวียดนาม | 220/380 V | — | 50 Hz | มอเตอร์ 400 V จะได้แรงดันต่ำกว่าป้าย 5 %: แรงบิดเริ่มลด ~10 % กระแสโหลดเต็มเพิ่มเล็กน้อย |

| เมียนมา | 230/400 V | แรงดันแกว่งสูง | 50 Hz | แนะนำรีเลย์ป้องกันแรงดันตก-เกินและเฟสขาด |

| มาเลเซีย | 230/400 V | 240/415 V (ก่อนปี 2008) | 50 Hz | มอเตอร์และหม้อแปลงเก่าพิกัด 415 V ยังใช้ร่วมได้ |

| สิงคโปร์ | 230/400 V | — | 50 Hz | ติดตั้งตาม SS 638 (อิง IEC 60364) |

ตารางนี้ใช้เป็นภาพรวมเพื่อการเรียน ค่าแรงดันที่รับประกันและค่าเผื่อ (เช่น +10 %/−6 % หรือ ±10 %) กำหนดโดยการไฟฟ้าแต่ละประเทศและอาจปรับปรุง ตรวจเอกสารของผู้จ่ายไฟในพื้นที่เสมอ

ตัวอย่าง S-1

### มอเตอร์ 400 V ใช้กับไฟ 380 V และ 415 V

- 380 V คือ 95 % ของป้าย → แรงบิดทุกจุดบนกราฟลดเหลือ $0.95^2 = 0.90$ (M8)

- ที่โหลดคงที่ สลิปเพิ่มประมาณ $1/0.90$ เท่า กระแสโหลดเต็มเพิ่มราว 3–5 % → ใช้ค่าตั้งโอเวอร์โหลดตามกระแสป้ายเดิม ไม่ต้องเพิ่ม

- 415 V คือ 104 %: ฟลักซ์สูงขึ้น กระแสตัวเปล่าเพิ่ม แต่ยังอยู่ในโซน A ของ IEC 60034-1 (±5 %) มอเตอร์ทำงานได้ปกติ

## ระบบสายดิน: TN-C-S และ TT กลาง

ระบบสายดินบอกว่าโครงโลหะของมอเตอร์ “ลงดิน” ผ่านเส้นทางไหน ซึ่งกำหนดว่ากระแสลัดลงโครงจะมากพอให้เบรกเกอร์ตัดหรือไม่ ในไทยการไฟฟ้าจ่ายแบบที่ต่อนิวทรัลลงดินที่หม้อแปลงและให้ผู้ใช้ต่อ N กับ PE ร่วมกันที่ตู้เมนเพียงจุดเดียว (TN-C-S) ประเทศอื่นมีทั้ง TN และ TT ขึ้นกับผู้จ่ายไฟและประเภทการติดตั้ง

รูป 2 · TN-C-S: จากหม้อแปลงถึงตู้เมนเป็นสาย PEN เส้นเดียว หลังตู้เมนแยก N และ PE ห้ามต่อรวมกันอีก โครงมอเตอร์ต่อ PE เสมอ

| ระบบ | เส้นทางกระแสลัดลงโครง | อุปกรณ์ที่ตัดวงจร | จุดที่ต้องระวัง |

| TN-C-S / TN-S | ผ่าน PE กลับหม้อแปลง อิมพีแดนซ์ต่ำ กระแสสูง | เบรกเกอร์/ฟิวส์/MPCB ตัดเร็ว | ความยาวสายไม่เกินที่ทำให้กระแสลัดพอ · ห้ามต่อ N–PE ซ้ำหลังจุดแยก |

| TT | ผ่านหลักดินผู้ใช้และดิน กระแสต่ำ | RCD (เครื่องตัดไฟรั่ว) | เบรกเกอร์อย่างเดียวมักตัดไม่ทัน · อินเวอร์เตอร์ต้องใช้ RCD ชนิดที่เหมาะสม |

## ลำดับเฟสและทิศการหมุน พื้นฐาน

ลำดับเฟส L1→L2→L3 (บางที่ใช้ R-S-T หรือ A-B-C) กำหนดทิศของสนามหมุน ต่อ L1-L2-L3 เข้า U1-V1-W1 ตามลำดับ มอเตอร์ IEC จะหมุนตามเข็มนาฬิกาเมื่อมองจากด้านปลายเพลา (IEC 60034-8) ก่อนต่อเข้ากับปั๊มหรือคอมเพรสเซอร์ที่หมุนกลับไม่ได้ ให้ตรวจลำดับเฟสด้วยเครื่องวัดลำดับเฟส หรือเดินมอเตอร์ตัวเปล่าสั้น ๆ

S3 Reversing rotation กลับทางหมุนด้วยการสลับสองเฟส

$$(L1, L2, L3) \to (L3, L2, L1) \;\Rightarrow\; n_s \to -n_s$$

## แรงดันไม่สมดุลและการลดพิกัดมอเตอร์ ขั้นสูง

เมื่อแรงดันสามเฟสไม่เท่ากัน จะเกิดแรงดันลำดับลบ (negative sequence) ซึ่งสร้างสนามหมุน “ทวนทาง” อิมพีแดนซ์ลำดับลบของมอเตอร์ต่ำมาก (ใกล้อิมพีแดนซ์ตอนสตาร์ท) แรงดันไม่สมดุลเพียงเล็กน้อยจึงทำให้กระแสไม่สมดุลมากและโรเตอร์ร้อน

S4 Voltage unbalance เปอร์เซ็นต์แรงดันไม่สมดุล (นิยามแบบใช้งาน NEMA)

$$\%VU = \frac{\max |V_{L} - \bar V_L|}{\bar V_L} \times 100 \qquad \bar V_L = \frac{V_{12} + V_{23} + V_{31}}{3}$$

S5 Current unbalance estimate ประมาณกระแสไม่สมดุล

$$\%I_{unb} \approx \frac{I_{st}}{I_n}\,\%VU \approx (6\text{–}10)\,\%VU$$

| %VU | 1 % | 2 % | 3 % | 4 % | 5 % |

| ตัวคูณลดพิกัด (ประมาณตาม NEMA MG 1) | 0.98 | 0.95 | 0.88 | 0.82 | 0.75 |

ตัวอย่าง S-2

### วัดได้ 402 V · 396 V · 389 V

- ค่าเฉลี่ย $(402 + 396 + 389)/3 = 395.7$ V · ความต่างมากสุด $|389 - 395.7| = 6.7$ V

- S4: $\%VU = 6.7/395.7 = 1.7\,\%$ → S5: กระแสไม่สมดุลราว 10–17 %

- ตัวคูณลดพิกัด ≈ 0.96 · หาสาเหตุ: โหลดเฟสเดียวไม่กระจาย จุดต่อหลวม หรือหม้อแปลงมีปัญหา ก่อนจะไปเพิ่มขนาดมอเตอร์

## มอเตอร์ 60 Hz บนไฟ 50 Hz กลาง

เครื่องจักรนำเข้าจากอเมริกาเหนือ ญี่ปุ่นบางส่วน หรือเกาหลี อาจมีมอเตอร์ 60 Hz ฟลักซ์ในแกนเหล็กแปรตาม $V/f$ จึงต้องรักษาค่านี้ให้ใกล้เดิม

S6 60 Hz motor on 50 Hz มอเตอร์ 60 Hz ใช้กับไฟ 50 Hz

$$\Phi \propto \frac{V}{f} \qquad V_{50} = V_{60}\cdot\frac{50}{60} \qquad n_{50} = \frac{5}{6} n_{60} \qquad P_{50} \approx \frac{5}{6} P_{60}$$

| ป้ายมอเตอร์ 60 Hz | แรงดันที่เหมาะที่ 50 Hz | ใช้กับระบบ 400 V ได้ไหม |

| 460 V 60 Hz | 383 V | ได้ (380–400 V) ความเร็ว −17 % กำลัง −17 % |

| 380 V 60 Hz (ญี่ปุ่น/เกาหลีบางรุ่น) | 317 V | ไม่ควร: 400 V เกิน 26 % ฟลักซ์อิ่มตัว ร้อน |

| 230 V 60 Hz | 192 V | ไม่ได้ ต้องใช้หม้อแปลงหรืออินเวอร์เตอร์ |

ทางออกที่ยืดหยุ่นที่สุดคืออินเวอร์เตอร์: ตั้งความถี่ฐานและแรงดันฐานตามป้าย 60 Hz ได้โดยตรง (ดู หลักการ VFD)

## คุณภาพไฟที่กระทบมอเตอร์

- เฟสขาด (single phasing): ฟิวส์ขาดหนึ่งเส้นหรือหน้าสัมผัสไหม้ มอเตอร์ที่เดินอยู่จะเดินต่อด้วยกระแส ~1.7 เท่าในสองเฟสที่เหลือ และสตาร์ทใหม่ไม่ได้ → ใช้โอเวอร์โหลดที่มีฟังก์ชัน phase-loss หรือรีเลย์ป้องกันเฟส

- แรงดันตกชั่วขณะ (sag): คอนแทกเตอร์ AC อาจปล่อยเมื่อแรงดันคอยล์ต่ำกว่า ~60 % ทำให้เครื่องหยุดทั้งไลน์ — คิดเรื่องการสตาร์ทกลับอัตโนมัติอย่างปลอดภัย

- ฮาร์มอนิก: จากอินเวอร์เตอร์และโหลดอิเล็กทรอนิกส์ ทำให้มอเตอร์ที่สตาร์ทตรงร้อนเพิ่มและคาปาซิเตอร์ PF เสี่ยงเรโซแนนซ์ (ดู PF จริงกับฮาร์มอนิก)

## คำถามที่พบบ่อย

ไฟบ้าน 220 V กับ 230 V ต่างกันไหม?
เป็นระบบเดียวกันที่เปลี่ยนค่าระบุตามมาตรฐาน IEC 60038 จาก 220/380 V เป็น 230/400 V อุปกรณ์ที่ออกแบบตาม IEC ใช้ได้ทั้งสองค่าเพราะอยู่ในช่วงค่าเผื่อ ±10 % แรงดันจริงหน้างานมักอยู่ระหว่าง 215–240 V

มอเตอร์ 60 Hz จากอเมริกาใช้ไฟ 50 Hz ได้ไหม?
ได้ถ้าลดแรงดันตามสัดส่วนความถี่ (V/f เท่าเดิม) เช่น มอเตอร์ 460 V 60 Hz ใช้ที่ 380–400 V 50 Hz ได้ ความเร็วและกำลังลดเหลือ 5/6 ส่วนมอเตอร์ 230 V 60 Hz จะใช้ได้กับ 190 V 50 Hz ซึ่งไม่มีในระบบเรา และถ้าป้อน 230 V 50 Hz ฟลักซ์เกิน 20 % → ร้อน

ต้องต่อสาย N เข้ามอเตอร์สามเฟสไหม?
ไม่ต้อง มอเตอร์สามเฟสต่อ L1 L2 L3 และสายดิน PE เท่านั้น สาย N ใช้กับวงจรควบคุม 230 V หรือโหลดเฟสเดียว

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ไฟบ้าน 220 V กับ 230 V ต่างกันไหม?**
เป็นระบบเดียวกันที่เปลี่ยนค่าระบุตามมาตรฐาน IEC 60038 จาก 220/380 V เป็น 230/400 V อุปกรณ์ที่ออกแบบตาม IEC ใช้ได้ทั้งสองค่าเพราะอยู่ในช่วงค่าเผื่อ ±10 % แรงดันจริงหน้างานมักอยู่ระหว่าง 215–240 V

**มอเตอร์ 60 Hz จากอเมริกาใช้ไฟ 50 Hz ได้ไหม?**
ได้ถ้าลดแรงดันตามสัดส่วนความถี่ (V/f เท่าเดิม) เช่น มอเตอร์ 460 V 60 Hz ใช้ที่ 380–400 V 50 Hz ได้ ความเร็วและกำลังลดเหลือ 5/6 ส่วนมอเตอร์ 230 V 60 Hz จะใช้ได้กับ 190 V 50 Hz ซึ่งไม่มีในระบบเรา และถ้าป้อน 230 V 50 Hz ฟลักซ์เกิน 20 % → ร้อน

**ต้องต่อสาย N เข้ามอเตอร์สามเฟสไหม?**
ไม่ต้อง มอเตอร์สามเฟสต่อ L1 L2 L3 และสายดิน PE เท่านั้น สาย N ใช้กับวงจรควบคุม 230 V หรือโหลดเฟสเดียว

---

# ตั้งค่าและใช้งานอินเวอร์เตอร์: พารามิเตอร์พื้นฐาน ความเร็วหลายสเต็ป 0–10 V / 4–20 mA ปั๊มแรงดันคงที่ PID และการประหยัดพลังงานตามกฎแอฟฟินิตี

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/vfd-applications/
Updated: 2026-10-14
Summary: ขั้นตอนตั้งค่าอินเวอร์เตอร์ (VFD) 12 ข้อที่ใช้ได้ทุกยี่ห้อ: ข้อมูลแผ่นป้าย auto-tune เวลาเร่ง-ลด แหล่งคำสั่ง ความเร็วสเต็ปด้วยอินพุตดิจิทัล อินพุตแอนะล็อก 0–10 V และ 4–20 mA ปั๊มน้ำแรงดันคงที่ด้วย PID ในไดรฟ์ สายพาน พัดลม กฎแอฟฟินิตี Q ∝ n, H ∝ n², P ∝ n³ คำนวณพลังงานที่ประหยัดและระยะคืนทุน ลดพิกัดตามอุณหภูมิในภูมิอากาศร้อนชื้น บายพาส และรหัสความผิดพลาดที่พบบ่อย

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.13 · ควบคุมมอเตอร์ AC · VFD Setup & Applications

# ตั้งค่าและใช้งานอินเวอร์เตอร์: พารามิเตอร์พื้นฐาน ความเร็วหลายสเต็ป 0–10 V / 4–20 mA ปั๊มแรงดันคงที่ PID และการประหยัดพลังงานตามกฎแอฟฟินิตี

อินเวอร์เตอร์แต่ละยี่ห้อตั้งชื่อพารามิเตอร์ต่างกัน แต่สิ่งที่ต้องตั้งเหมือนกันทุกยี่ห้อ หน้านี้ให้ลำดับการตั้งค่าที่ใช้ได้ทั่วไป ตัวอย่างงานที่พบบ่อยที่สุด และวิธีพิสูจน์ด้วยตัวเลขว่าอินเวอร์เตอร์คุ้มค่าหรือไม่

สรุปใน 30 วินาที

- ใส่ข้อมูลแผ่นป้ายให้ครบ แล้ว auto-tune ก่อนทำอย่างอื่น

- เวลาเร่ง-ลดสั้นเกิน → ทริป OC/OV · ยาวเกิน → ตอบสนองช้า

- แอนะล็อก: $f = f_{min} + (f_{max} - f_{min})\cdot\frac{x - x_0}{x_1 - x_0}$

- ปั๊ม-พัดลม: $P \propto n^3$ ลด 20 % ความเร็ว กำลังเหลือ ~51 % (ถ้าไม่มีหัวสถิต)

- ภูมิอากาศร้อนชื้น: ตรวจอุณหภูมิในตู้ ลดพิกัดตามคู่มือ

## ขั้นตอนตั้งค่า 12 ข้อ พื้นฐาน

- รีเซ็ตเป็นค่าโรงงาน (เมื่อรับเครื่องเก่ามาใช้ใหม่)

- ข้อมูลมอเตอร์: แรงดัน กระแส กำลัง ความถี่ ความเร็ว cos φ จากแผ่นป้าย (ตามการต่อ Y/Δ ที่ใช้จริง)

- Auto-tune: แบบหยุดนิ่ง (static) ถ้าแยกโหลดไม่ได้ แบบหมุน (rotating) ถ้าปลดโหลดได้

- โหมดควบคุม: V/f สำหรับปั๊ม-พัดลม หรือหลายมอเตอร์ · vector สำหรับแรงบิดสูงที่รอบต่ำ

- ความถี่ต่ำสุด-สูงสุด: เช่น 20–50 Hz สำหรับปั๊ม (ต่ำกว่านั้นน้ำไม่ขึ้น)

- เวลาเร่ง-ลด: เริ่ม 5–10 s แล้วปรับ (ดู P1)

- วิธีหยุด: ramp (ลดตามเวลา) หรือ coast (ปล่อยหมุนอิสระ) — พัดลมใหญ่มัก coast

- แหล่งคำสั่ง: keypad / ขั้วต่อ (DI) / สื่อสาร (Modbus) · แหล่งความเร็ว: keypad / AI / preset / bus

- อินพุตดิจิทัล: RUN FWD, RUN REV, reset, preset speed, external fault

- อินพุตแอนะล็อก: ชนิด (0–10 V หรือ 4–20 mA) และการสเกล (ดู P2)

- เอาต์พุต: รีเลย์ fault/run ไปไฟแสดงหรือ PLC · AO แสดงความถี่หรือกระแส

- ทดสอบ: เดินตัวเปล่า ตรวจทิศหมุน (กลับทางด้วยพารามิเตอร์ได้) ใส่โหลด วัดกระแส บันทึกค่าทั้งหมด

ชื่อพารามิเตอร์ที่หน้าที่ตรงกัน (ตัวอย่างคำที่ผู้ผลิตใช้)

| หน้าที่ | คำที่พบในคู่มือ |

| กระแสพิกัดมอเตอร์ | Motor rated current · Rated motor current · Nominal current |

| เวลาเร่ง / ลด | Acceleration time · Ramp-up time · Accel 1 / Decel 1 |

| แหล่งคำสั่งเดิน | Run command source · Control place · Operation mode |

| แหล่งความถี่ | Frequency reference · Speed setpoint source |

| ความถี่สวิตช์ | Carrier frequency · PWM frequency · Switching frequency |

P1 Minimum ramp time เวลาเร่งต่ำสุดที่ไม่ทริป

$$t_{acc,min} \approx \frac{J\,\omega_n}{T_{lim} - \overline{T_L}} \qquad T_{lim} \approx 1.5\,T_n\ \ (\text{ตามขีดกระแสไดรฟ์})$$

P2 Analog reference scaling สเกลอินพุตแอนะล็อก

$$f = f_{min} + (f_{max} - f_{min})\,\frac{x - x_0}{x_1 - x_0} \qquad x: 0\text{–}10\ \text{V หรือ } 4\text{–}20\ \text{mA}$$

ตัวอย่าง P-1

### PLC ส่ง 12 mA ปั๊มตั้งช่วง 20–50 Hz

- P2: $f = 20 + 30\,(12 - 4)/(20 - 4) = 20 + 15 = 35$ Hz

- ถ้าสาย 4–20 mA ขาด สัญญาณเป็น 0 mA — ตั้งให้ไดรฟ์ตรวจ “signal loss” (

## ความเร็วหลายสเต็ปด้วยอินพุตดิจิทัล พื้นฐาน

ใช้อินพุตดิจิทัลสองหรือสามขาเลือกความเร็วตั้งไว้ล่วงหน้าแบบเลขฐานสอง เหมาะกับสายพานหรือเครื่องผสมที่ใช้ไม่กี่ความเร็ว และสั่งจากสวิตช์เลือกหรือ PLC ได้โดยไม่ต้องใช้แอนะล็อก

| DI3 | DI4 | ความเร็วที่ได้ | ตัวอย่างค่า |

| 0 | 0 | ความถี่หลัก (keypad/AI) | 50 Hz |

| 1 | 0 | Preset 1 | 15 Hz (จ็อก/ตั้งตำแหน่ง) |

| 0 | 1 | Preset 2 | 30 Hz |

| 1 | 1 | Preset 3 | 45 Hz |

## ปั๊มน้ำแรงดันคงที่ด้วย PID ในไดรฟ์ กลาง

ระบบประปาอาคารแบบบูสเตอร์ใช้ทรานสมิตเตอร์ความดัน 4–20 mA ต่อเข้า AI ของไดรฟ์ ตั้งค่าเป้าหมาย (เช่น 3.5 bar) ไดรฟ์คำนวณ PID ปรับความถี่ให้ความดันคงที่แม้การใช้น้ำเปลี่ยน ฟังก์ชันที่ควรตั้ง:

- Sleep / wake-up: เมื่อไม่มีการใช้น้ำ ความถี่ลดถึงค่าต่ำนานเกินเวลาหนึ่ง ไดรฟ์หยุดปั๊ม และกลับมาเดินเมื่อความดันตกต่ำกว่าเป้าหมายระดับหนึ่ง

- Dry-run protection: กระแสหรือกำลังต่ำผิดปกติที่ความถี่สูง = ปั๊มเดินแห้ง ให้หยุดและแจ้งเตือน

- Pipe fill: เติมท่อช้า ๆ ตอนเริ่มเพื่อกันค้อนน้ำ

- Multi-pump: ไดรฟ์หลายรุ่นสั่งปั๊มตัวที่สอง (DOL หรือไดรฟ์อีกตัว) เมื่อความต้องการเกิน

ทฤษฎีของ PID และการปรับจูนอยู่ใน ระบบควบคุม: PID และตัวอย่าง PLC สั่ง VFD อยู่ใน PLC อนาล็อก PID

## กฎแอฟฟินิตีและการประหยัดพลังงาน กลาง

รูป 1 · ซ้าย: กฎแอฟฟินิตี · ขวา: ที่อัตราไหล 80 % การหรี่วาล์วยังใช้กำลังราว 90 % ขณะที่ VFD ใช้ราว 55 %

P3 Affinity law — flow อัตราไหล

$$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{n_2}{n_1}$$

P4 Affinity law — head หัวหรือความดัน

$$\frac{H_2}{H_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2$$

P5 Affinity law — power กำลัง

$$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^3$$

P6 System with static head ระบบที่มีหัวสถิต

$$H_{sys} = H_{st} + kQ^2 \qquad \frac{n}{n_1} \approx \sqrt{h_0 + (1 - h_0)q^2} \quad (h_0 = H_{st}/H_1,\ q = Q/Q_1)$$

P7 Energy saved พลังงานที่ประหยัดต่อปี

$$\Delta E = (P_{throttle} - P_{VFD})\,h \qquad \text{เงิน} = \Delta E \times \text{ค่าไฟต่อ kWh}$$

P8 Simple payback ระยะคืนทุนอย่างง่าย

$$t_{payback} = \frac{\text{ราคา VFD ติดตั้ง}}{\text{เงินที่ประหยัดต่อปี}}$$

ตัวอย่าง P-2

### พัดลมระบายอากาศ 30 kW เดิน 6,000 ชม./ปี ใช้อัตราไหลเฉลี่ย 75 % ค่าไฟ 4.5 บาท/kWh

- หรี่แดมเปอร์: $P \approx 30(0.55 + 0.45 \times 0.75) = 26.6$ kW

- VFD (P5, ไม่มีหัวสถิต): $30 \times 0.75^3 / 0.97 + 0.6 = 13.6$ kW (รวมสูญเสียไดรฟ์)

- P7: $\Delta E = (26.6 - 13.6)(6000) = 78{,}000$ kWh/ปี ≈ 351,000 บาท/ปี

- P8: ไดรฟ์ติดตั้ง 180,000 บาท → คืนทุน ~0.5 ปี

## ติดตั้งในภูมิอากาศร้อนชื้น กลาง

- พิกัดอินเวอร์เตอร์ส่วนใหญ่กำหนดที่อุณหภูมิแวดล้อม 40 °C (บางรุ่น 50 °C) เกินกว่านั้นลดพิกัดประมาณ 1–2.5 %/°C ตามคู่มือ — ตู้กลางแดดในเขตร้อนภายในอาจเกิน 50 °C

- สูงเหนือน้ำทะเลเกิน 1000 m ลดพิกัด ~1 % ต่อ 100 m

- ความชื้นสูงและการกลั่นตัว: ใช้ฮีตเตอร์กันชื้นในตู้ที่หยุดเดินนาน และเลือกแผงวงจรเคลือบ (conformal coating, 3C2/3C3)

- ระบายความร้อน: กำลังสูญเสียของไดรฟ์ ~2–3 % ของกำลัง ต้องรวมในการคำนวณพัดลมตู้ (ดู K7)

## บายพาสและมอเตอร์หลายตัว ขั้นสูง

งานสำคัญ (ปั๊มดับเพลิงห้ามใช้ VFD เป็นทางเดียว ปั๊มน้ำเสียหลัก) อาจต้องมีบายพาส: คอนแทกเตอร์ KM-VFD (ด้านออกไดรฟ์) และ KM-BYP (จากเมนตรงเข้ามอเตอร์) อินเตอร์ล็อกทั้งไฟฟ้าและกลไก สลับได้เมื่อไดรฟ์หยุดและมอเตอร์ไม่มีไฟเท่านั้น และต้องมีโอเวอร์โหลดสำหรับเส้นทางบายพาส ไดรฟ์ตัวเดียวขับมอเตอร์หลายตัวพร้อมกันได้ในโหมด V/f โดยเลือกไดรฟ์ ≥ ผลรวมกระแส × 1.1 และมีโอเวอร์โหลดแยกแต่ละตัว

## รหัสความผิดพลาดที่พบบ่อย

| รหัส (ทั่วไป) | ความหมาย | สาเหตุ/วิธีแก้ |

| OC / Overcurrent | กระแสเกินทันที | เร่งเร็วเกิน สายมอเตอร์ลัด ไม่ได้ auto-tune บูสต์สูงเกิน |

| OV / DC overvoltage | บัส DC สูงเกิน | ลดความเร็วเร็วเกิน โหลดดันกลับ ไฟเข้าสูง → เพิ่ม decel หรือใส่ตัวต้านทานเบรก |

| UV / Undervoltage | บัส DC ต่ำ | ไฟตก เฟสเข้าขาด ฟิวส์ด้านเข้าขาด |

| OH / Overtemperature | ฮีตซิงก์ร้อน | พัดลมไดรฟ์เสีย ตู้ร้อน ฝุ่นอุดตัน ความถี่สวิตช์สูง |

| OL / Motor overload | แบบจำลองความร้อนมอเตอร์เต็ม | โหลดเกิน เดินรอบต่ำแรงบิดสูงนาน ตั้งค่ากระแสมอเตอร์ผิด |

| GF / Earth fault | กระแสรั่วลงดินด้านออก | ฉนวนสายหรือมอเตอร์เสื่อม ความชื้นในกล่องขั้ว |

| PHL / Input phase loss | เฟสเข้าขาดหรือไม่สมดุล | ตรวจฟิวส์ ขั้วต่อ แรงดันสามเฟส |

## คำถามที่พบบ่อย

ลดความเร็วปั๊มลงครึ่งหนึ่งประหยัดไฟกี่เปอร์เซ็นต์?
ตามกฎแอฟฟินิตีในระบบที่ไม่มีหัวสถิต กำลังลดเหลือ (0.5)³ = 12.5 % คือประหยัดเกือบ 88 % แต่ระบบจริงที่ต้องยกน้ำขึ้นที่สูงต้องคงความเร็วไว้ระดับหนึ่งเพื่อเอาชนะหัวสถิต จึงประหยัดน้อยกว่านี้มาก ใช้กราฟระบบหรือเครื่องคำนวณในหน้านี้ที่ใส่สัดส่วนหัวสถิตได้

อินเวอร์เตอร์ทริป OC (overcurrent) ตอนเร่ง แก้อย่างไร?
เพิ่มเวลาเร่ง (accel time) ตรวจว่าใส่ค่ากระแสและกำลังมอเตอร์ถูกต้องและทำ auto-tune แล้ว ตรวจสายมอเตอร์ลัดวงจรหรือรั่วลงดิน และดูว่าโหลดติดขัดทางกลหรือไม่ ถ้าโหลดเฉื่อยสูงจริงอาจต้องเลือกอินเวอร์เตอร์พิกัด heavy duty

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ลดความเร็วปั๊มลงครึ่งหนึ่งประหยัดไฟกี่เปอร์เซ็นต์?**
ตามกฎแอฟฟินิตีในระบบที่ไม่มีหัวสถิต กำลังลดเหลือ (0.5)³ = 12.5 % คือประหยัดเกือบ 88 % แต่ระบบจริงที่ต้องยกน้ำขึ้นที่สูงต้องคงความเร็วไว้ระดับหนึ่งเพื่อเอาชนะหัวสถิต จึงประหยัดน้อยกว่านี้มาก ใช้กราฟระบบหรือเครื่องคำนวณในหน้านี้ที่ใส่สัดส่วนหัวสถิตได้

**อินเวอร์เตอร์ทริป OC (overcurrent) ตอนเร่ง แก้อย่างไร?**
เพิ่มเวลาเร่ง (accel time) ตรวจว่าใส่ค่ากระแสและกำลังมอเตอร์ถูกต้องและทำ auto-tune แล้ว ตรวจสายมอเตอร์ลัดวงจรหรือรั่วลงดิน และดูว่าโหลดติดขัดทางกลหรือไม่ ถ้าโหลดเฉื่อยสูงจริงอาจต้องเลือกอินเวอร์เตอร์พิกัด heavy duty

---

# อินเวอร์เตอร์ (VFD) สำหรับมอเตอร์: วงจรเรียงกระแส บัส DC IGBT PWM การควบคุม V/f เวกเตอร์ และการต่อสายที่ถูกต้อง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/motor-control/vfd/
Updated: 2026-10-14
Summary: หลักการอินเวอร์เตอร์ปรับความเร็วรอบ (Variable Frequency Drive) สำหรับมอเตอร์ 400 V 50 Hz: วงจรเรียงกระแสหกไดโอด บัส DC 540–565 V อินเวอร์เตอร์ IGBT PWM ควบคุม V/f คงที่ บูสต์แรงดัน ย่านฟลักซ์ลด sensorless vector การต่อสายไฟเข้า-ไฟออก สายชีลด์และ EMC ความยาวสายและ dv/dt RCD Type B ตัวต้านทานเบรก อินเวอร์เตอร์ 1 เฟสเข้า 3 เฟสออก และข้อห้ามด้านออก

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 21.12 · ควบคุมมอเตอร์ AC · VFD Principles

# อินเวอร์เตอร์ (VFD) สำหรับมอเตอร์: วงจรเรียงกระแส บัส DC IGBT PWM การควบคุม V/f เวกเตอร์ และการต่อสายที่ถูกต้อง

คอนแทกเตอร์ทำได้แค่เปิดหรือปิดมอเตอร์ อินเวอร์เตอร์สร้างไฟสามเฟสใหม่ที่ปรับทั้งความถี่และแรงดันได้ มอเตอร์จึงเดินที่ความเร็วใดก็ได้ด้วยกระแสที่ควบคุมได้ หน้านี้อธิบายสิ่งที่อยู่ในกล่อง ทำไมต้องรักษา V/f และกฎการต่อสายที่ทำให้อินเวอร์เตอร์ทำงานนานโดยไม่รบกวนระบบอื่น

สรุปใน 30 วินาที

- AC 400 V → เรียงกระแส → บัส DC ≈ 540–565 V → IGBT PWM → AC 0–400 V, 0–50 Hz (หรือสูงกว่า)

- รักษา V/f = 8 V/Hz ให้ฟลักซ์คงที่ → แรงบิดเต็มที่ทุกความเร็วต่ำกว่า 50 Hz

- เหนือ 50 Hz แรงดันคงที่ ฟลักซ์ลด แรงบิดลดตาม 1/f

- ด้านออก: ห้ามคาปาซิเตอร์ ห้ามตัดคอนแทกเตอร์ขณะเดิน ใช้สายชีลด์ลงดิน 360°

- ไฟเข้า 1 เฟส 230 V ขับมอเตอร์ 230/400 V ต่อ Δ ได้

## ภายในอินเวอร์เตอร์ พื้นฐาน

รูป 1 · สามส่วน: วงจรเรียงกระแส (AC → DC) บัส DC พร้อมคาปาซิเตอร์ (เก็บพลังงาน) และอินเวอร์เตอร์ IGBT (DC → AC ความถี่ปรับได้)

V1 DC bus voltage แรงดันบัส DC

$$V_{dc} \approx 1.35\,V_L = 540\ \text{V (มีโหลด)} \qquad V_{dc,0} = \sqrt2\,V_L = 566\ \text{V (ตัวเปล่า)}$$

IGBT หกตัวสวิตช์ด้วยความถี่ 2–16 kHz สร้างแรงดันพัลส์ที่ความกว้างแปรตามรูปไซน์ (PWM) มอเตอร์ซึ่งเป็นตัวเหนี่ยวนำกรองพัลส์ออก กระแสจึงเกือบเป็นไซน์ ความถี่สวิตช์สูงเสียงมอเตอร์เงียบแต่ IGBT ร้อนกว่า (ต้องลดพิกัด)

V2 Maximum output voltage แรงดันออกสูงสุดจาก PWM

$$V_{LL,rms} = 0.612\,m\,V_{dc}\ (\text{SPWM}, m \le 1) \qquad V_{LL,max} \approx 0.707\,V_{dc}\ (\text{SVPWM})$$

ด้วย $V_{dc}$ = 540 V แรงดันออกสูงสุดแบบ SVPWM ≈ 382 V ซึ่งต่ำกว่า 400 V เล็กน้อย อินเวอร์เตอร์จึงใช้ over-modulation ใกล้ความถี่ฐาน และถ้าไฟเข้าต่ำ (เช่น 380 V) มอเตอร์ที่ 50 Hz จะได้แรงดันต่ำกว่าป้าย ทำให้กระแสสูงขึ้นเล็กน้อยที่โหลดเต็ม

## การควบคุม V/f กลาง

ฟลักซ์ในแกนเหล็กแปรตาม $V/f$ ถ้าลดความถี่โดยไม่ลดแรงดัน แกนจะอิ่มตัว กระแสพุ่ง ถ้าลดแรงดันมากเกินฟลักซ์จะอ่อน แรงบิดหาย อินเวอร์เตอร์จึงรักษาอัตราส่วนคงที่ จนถึงความถี่ฐาน (ป้ายมอเตอร์) ที่ความถี่ต่ำ แรงดันตกคร่อม R₁ มีสัดส่วนมาก จึงเพิ่มแรงดัน (boost) เล็กน้อย

รูป 2 · ใต้ 50 Hz: แรงบิดคงที่ กำลังเพิ่มตามความเร็ว · เหนือ 50 Hz: แรงดันคงที่ กำลังคงที่ แรงบิดลดตาม 1/f

V3 Constant V/f V/f คงที่

$$V(f) = V_n\frac{f}{f_n} + V_{boost}\left(1 - \frac{f}{f_n}\right) \qquad \frac{V_n}{f_n} = \frac{400}{50} = 8\ \text{V/Hz}$$

V4 Speed with a VFD ความเร็วเมื่อปรับความถี่

$$n = \frac{120 f}{p} - \Delta n \qquad \Delta n \approx s_n\,n_{s,n}\ \ (\text{คงที่ที่แรงบิดพิกัด})$$

V5 Field weakening ย่านฟลักซ์ลด (f > f_n)

$$T_{cont} \approx T_n\,\frac{f_n}{f} \qquad T_{max} \approx T_{max,n}\left(\frac{f_n}{f}\right)^2 \qquad P \approx P_n$$

ตัวอย่าง V-1

### มอเตอร์ 7.5 kW 4 ขั้ว 1470 rpm ที่ 30 Hz และ 60 Hz

- V3 (ไม่รวมบูสต์): 30 Hz → $V = 8 \times 30 = 240$ V · 60 Hz → แรงดันคงที่ 400 V

- V4: ส่วนต่างความเร็วที่พิกัด $\Delta n = 1500 - 1470 = 30$ rpm → 30 Hz: $n = 900 - 30 = 870$ rpm · 60 Hz: $n \approx 1800 - 35 \approx 1765$ rpm (ในย่านฟลักซ์ลด สลิปที่กำลังพิกัดเพิ่มขึ้นเล็กน้อย)

- V5: ที่ 60 Hz แรงบิดต่อเนื่อง ≈ $48.7 \times 50/60 = 40.6$ N·m กำลังยังได้ ~7.5 kW แต่แรงบิดสูงสุดลดเหลือ $(5/6)^2 = 69\,\%$

- ที่ 30 Hz แรงบิดเต็ม 48.7 N·m ได้ทางไฟฟ้า แต่พัดลมบนเพลาหมุน 60 % ระบายความร้อนได้น้อย ถ้าโหลดแรงบิดคงที่ต้องลดพิกัด

### V/f เทียบกับเวกเตอร์ (sensorless vector)

V/f เพียงสั่งแรงดันและความถี่ ไม่รู้ว่ามอเตอร์ทำอะไร เหมาะกับปั๊มพัดลม และใช้กับมอเตอร์หลายตัวขนานกันได้ การควบคุมแบบเวกเตอร์ (FOC) ประมาณฟลักซ์และแรงบิดจากกระแสที่วัดได้ แยกควบคุมกระแสสร้างฟลักซ์กับกระแสสร้างแรงบิด จึงได้แรงบิดสูงที่ความเร็วต่ำ (150 % ที่ 1 Hz) และตอบสนองเร็ว เหมาะกับสายพาน เครื่องผสม รอก ต้องทำ auto-tuning ให้อินเวอร์เตอร์วัดพารามิเตอร์มอเตอร์ก่อนใช้ และใช้กับมอเตอร์ตัวเดียวต่ออินเวอร์เตอร์หนึ่งเครื่อง

ต้องเปิด JavaScript

## การต่อสาย พื้นฐาน

รูป 3 · ชื่อขั้วต่างกันตามยี่ห้อ แต่หน้าที่ตรงกัน: ไฟเข้า R S T (L1 L2 L3) ไฟออก U V W อินพุตดิจิทัล อนาล็อก รีเลย์แจ้งเตือน และขั้วตัวต้านทานเบรก

### กฎด้านกำลัง

- ไฟเข้าผ่าน MCCB หรือฟิวส์ตามที่คู่มือกำหนด (ฟิวส์ gG/gR ป้องกัน IGBT/ไดโอดได้ดีกว่า) คอนแทกเตอร์ด้านเข้า (ถ้ามี) ใช้แยกไฟ ไม่ใช้สั่งเดิน-หยุด (สั่งผ่านอินพุตดิจิทัล) เพราะคาปาซิเตอร์บัส DC ชาร์จทุกครั้งที่จ่ายไฟ

- ไม่ต้องใช้โอเวอร์โหลดแยก อินเวอร์เตอร์ป้องกันมอเตอร์ด้วยแบบจำลองความร้อนเมื่อใส่ค่ากระแสป้ายถูกต้อง (ยกเว้นมอเตอร์หลายตัวต่ออินเวอร์เตอร์เดียว ต้องมีโอเวอร์โหลดแยกต่อมอเตอร์)

- สายมอเตอร์ใช้สายชีลด์แบบสมมาตร ต่อชีลด์ลงดินแบบ 360° ที่แคลมป์ทั้งสองปลาย สาย PE ของมอเตอร์กลับมาที่ขั้ว PE ของอินเวอร์เตอร์

- แยกสายมอเตอร์ห่างสายสัญญาณอย่างน้อย 20–30 cm ถ้าต้องตัดกันให้ตั้งฉาก

- สายยาวเกินที่คู่มือกำหนด (มักราว 50–100 m สำหรับสายชีลด์) ใช้ output reactor, dv/dt filter หรือ sine filter

ข้อห้ามด้านออก U V W: ห้ามต่อคาปาซิเตอร์ปรับ PF หรือสนับเบอร์ · ห้ามตัด-ต่อคอนแทกเตอร์ขณะอินเวอร์เตอร์จ่ายไฟ · ห้ามจ่ายไฟเมนเข้าขั้ว U V W (เช่น บายพาสที่ไม่มีอินเตอร์ล็อก) · ห้ามวัดความเป็นฉนวนด้วยเมกเกอร์ขณะสายยังต่ออยู่กับอินเวอร์เตอร์

### บัส DC อันตรายแม้ตัดไฟแล้ว

คาปาซิเตอร์บัส DC เก็บประจุ 540–565 V ไว้หลายนาทีหลังตัดไฟ คู่มือกำหนดเวลารอ (มัก 5–15 นาที) และต้องวัดยืนยันที่ขั้ว DC+ DC− ก่อนแตะต้อง

## EMC กระแสรั่ว และ RCD กลาง

ขอบแรงดันที่ชันของ PWM (หลายพันโวลต์ต่อไมโครวินาที) ทำให้กระแสความถี่สูงไหลผ่านความจุของสายและมอเตอร์ลงดิน และแผ่คลื่นรบกวน ฟิลเตอร์ EMC ด้านเข้ากันการรบกวนย้อนเข้าระบบ แต่เพิ่มกระแสรั่วลงดิน

- ไดรฟ์สามเฟสอาจสร้างกระแสรั่วแบบ DC เรียบ ต้องใช้ RCD Type B · ไดรฟ์หนึ่งเฟสใช้ Type F หรือ Type B

- ในระบบ IT (ไม่ต่อลงดิน) ต้องปลดตัวเก็บประจุ Y ของฟิลเตอร์ภายในตามคู่มือ

- กระแสผ่านลูกปืนจากแรงดัน common-mode ทำให้ลูกปืนเป็นร่อง (fluting) ในมอเตอร์ใหญ่ ใช้ลูกปืนฉนวนหรือแปรงลงดินเพลา

## การเบรกและตัวต้านทานเบรก ขั้นสูง

เมื่อสั่งลดความเร็วเร็วกว่าที่โหลดหยุดเอง มอเตอร์กลายเป็นเครื่องกำเนิด พลังงานไหลกลับเข้าบัส DC ซึ่งวงจรเรียงกระแสไดโอดส่งกลับเข้าไฟเมนไม่ได้ แรงดันบัสจึงสูงขึ้นจนอินเวอร์เตอร์ทริป “DC overvoltage” ทางแก้: เพิ่มเวลาลดความเร็ว ใช้ตัวต้านทานเบรกผ่าน brake chopper หรือใช้อินเวอร์เตอร์แบบจ่ายกลับ (regenerative/AFE)

V6 Braking resistor ตัวต้านทานเบรก

$$E = \tfrac12 J(\omega_1^2 - \omega_2^2) \qquad P_{peak} \approx \frac{J\,\omega_1\,\Delta\omega}{t_{dec}} \qquad R \le \frac{V_{br}^2}{P_{peak}},\ R \ge R_{min}$$

ตัวอย่าง V-2

### พัดลม J = 2.2 kg·m² ลดจาก 1470 rpm ถึง 0 ใน 10 s

- $\omega_1 = 2\pi(1470)/60 = 154$ rad/s · $E = \tfrac12(2.2)(154^2) = 26.1$ kJ (บางส่วนเสียในแรงต้านลม จึงเป็นกรณีเลวร้ายที่สุด)

- V6: $P_{peak} \approx 2.2(154)(154)/10 = 5.2$ kW

- chopper ทำงานที่ $V_{br} \approx 760$ V (ทั่วไปของไดรฟ์ 400 V) → $R \le 760^2/5{,}200 = 111\ \Omega$ และต้องไม่น้อยกว่า $R_{min}$ ในคู่มือ · กำลังเฉลี่ยขึ้นกับความถี่ในการเบรก ไม่ใช่ 5.2 kW ตลอดเวลา

## อินเวอร์เตอร์ 1 เฟสเข้า 3 เฟสออก พื้นฐาน

บ้านพัก ฟาร์ม และร้านค้าที่มีแต่ไฟ 1 เฟส 230 V ใช้อินเวอร์เตอร์ 1 เฟสเข้า (ขั้ว L N) 3 เฟส 230 V ออก ขับมอเตอร์สามเฟสได้ถึงราว 2.2–3 kW มอเตอร์ต้องเป็นแบบ 230/400 V ต่อ Δ เพื่อให้ขดลวดได้ 230 V ข้อดีคือแรงบิดเริ่มสูงกว่ามอเตอร์ 1 เฟสคาปาซิเตอร์ ปรับความเร็วได้ และกระแสสตาร์ทต่ำ ข้อจำกัดคือกระแสด้านเข้าเป็นยอดแหลม (PF จริงต่ำ) ต้องเลือกเบรกเกอร์ด้านเข้าตามคู่มือ

## คำถามที่พบบ่อย

ใส่คอนแทกเตอร์ระหว่างอินเวอร์เตอร์กับมอเตอร์ได้ไหม?
ได้เฉพาะเพื่อแยกไฟหรือบายพาส โดยต้องเปิด-ปิดเมื่ออินเวอร์เตอร์ไม่ได้จ่ายไฟออกเท่านั้น (สั่งหยุดและรอให้เอาต์พุตปิดก่อน) การตัดด้านออกขณะจ่ายกระแสทำให้เกิดแรงดันกระชากทำลาย IGBT และหน้าสัมผัส ส่วนการต่อเข้าขณะอินเวอร์เตอร์จ่ายอยู่ทำให้กระแสพุ่งจนอินเวอร์เตอร์ทริป

ทำไมเครื่องตัดไฟรั่วทริปเมื่อติดอินเวอร์เตอร์?
ฟิลเตอร์ EMC และความจุของสายชีลด์ทำให้มีกระแสรั่วลงดินความถี่สูงและกระแส DC ได้ ต้องใช้ RCD ที่ออกแบบสำหรับอินเวอร์เตอร์ (Type B สำหรับไดรฟ์สามเฟส Type F สำหรับไดรฟ์หนึ่งเฟส) พิกัด 30 mA เฉพาะที่จำเป็นต่อความปลอดภัยของคน หรือ 100–300 mA สำหรับป้องกันไฟไหม้ ตามคำแนะนำของผู้ผลิต

ใช้อินเวอร์เตอร์กับมอเตอร์เก่าได้ไหม?
ส่วนใหญ่ได้ แต่ IGBT สวิตช์เร็วทำให้เกิดแรงดันยอดสูงที่ขั้วมอเตอร์เมื่อสายยาว ฉนวนของมอเตอร์เก่าอาจรับไม่ไหว ควรเลือกสายสั้น ใช้ dv/dt filter หรือ sine filter เมื่อสายยาว และตรวจการระบายความร้อนเมื่อเดินรอบต่ำ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ใส่คอนแทกเตอร์ระหว่างอินเวอร์เตอร์กับมอเตอร์ได้ไหม?**
ได้เฉพาะเพื่อแยกไฟหรือบายพาส โดยต้องเปิด-ปิดเมื่ออินเวอร์เตอร์ไม่ได้จ่ายไฟออกเท่านั้น (สั่งหยุดและรอให้เอาต์พุตปิดก่อน) การตัดด้านออกขณะจ่ายกระแสทำให้เกิดแรงดันกระชากทำลาย IGBT และหน้าสัมผัส ส่วนการต่อเข้าขณะอินเวอร์เตอร์จ่ายอยู่ทำให้กระแสพุ่งจนอินเวอร์เตอร์ทริป

**ทำไมเครื่องตัดไฟรั่วทริปเมื่อติดอินเวอร์เตอร์?**
ฟิลเตอร์ EMC และความจุของสายชีลด์ทำให้มีกระแสรั่วลงดินความถี่สูงและกระแส DC ได้ ต้องใช้ RCD ที่ออกแบบสำหรับอินเวอร์เตอร์ (Type B สำหรับไดรฟ์สามเฟส Type F สำหรับไดรฟ์หนึ่งเฟส) พิกัด 30 mA เฉพาะที่จำเป็นต่อความปลอดภัยของคน หรือ 100–300 mA สำหรับป้องกันไฟไหม้ ตามคำแนะนำของผู้ผลิต

**ใช้อินเวอร์เตอร์กับมอเตอร์เก่าได้ไหม?**
ส่วนใหญ่ได้ แต่ IGBT สวิตช์เร็วทำให้เกิดแรงดันยอดสูงที่ขั้วมอเตอร์เมื่อสายยาว ฉนวนของมอเตอร์เก่าอาจรับไม่ไหว ควรเลือกสายสั้น ใช้ dv/dt filter หรือ sine filter เมื่อสายยาว และตรวจการระบายความร้อนเมื่อเดินรอบต่ำ

---

# แคลคูลัสหลายตัวแปรและแคลคูลัสเวกเตอร์ (Multivariable & Vector Calculus): ฟังก์ชันหลายตัวแปร อนุพันธ์ย่อย อินทิกรัลหลายชั้น สนามเวกเตอร์ พร้อมแล็บและงานวิศวกรรม

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/
Updated: 2026-10-17
Summary: เรียนแคลคูลัสหลายตัวแปร (multivariable calculus) และแคลคูลัสเวกเตอร์ (vector calculus) ภาษาไทย: ฟังก์ชันหลายตัวแปร อนุพันธ์ย่อย gradient จุดวิกฤต Lagrange อินทิกรัลสองชั้นสามชั้น ฟังก์ชันเวกเตอร์ divergence curl ทฤษฎีบทกรีน Gauss Stokes พร้อมสูตร ตัวอย่างวิธีทำ แล็บออนไลน์ 19 ชุด และงานวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล โยธา

// บทที่ 24 · Multivariable & Vector Calculus · 13 หน้า

# แคลคูลัสหลายตัวแปรและแคลคูลัสเวกเตอร์ (Multivariable & Vector Calculus): อนุพันธ์ย่อย อินทิกรัลหลายชั้น สนามเวกเตอร์ พร้อมแล็บและงานวิศวกรรม

แคลคูลัส 3 ที่นักศึกษาวิศวกรรมต้องผ่านก่อนเข้าสู่วิชาสนามไฟฟ้า การถ่ายเทความร้อน กลศาสตร์ของไหล และโครงสร้าง ชุดนี้เริ่มจากกราฟผิวสามมิติ ไปจนถึงทฤษฎีบทของเกาส์และสโตกส์ ทุกหัวข้อมีสูตรอ้างอิง ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขแล้ว และแล็บให้ลากเมาส์ดูของจริง แล้วปิดท้ายด้วยงานของวิศวกรไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา

ในชุดนี้มีอะไร

- 13 หน้า 6 ส่วน: ฟังก์ชันหลายตัวแปร · อนุพันธ์ · อินทิกรัลหลายชั้น · เวกเตอร์ · วิศวกรรม · แล็บ

- 134 สูตรมีรหัสอ้างอิง และ 111 ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขด้วย sympy และ numpy แล้ว

- แล็บโต้ตอบ 19 ชุดพิมพ์สมการเองได้: กราฟผิว gradient Lagrange อินทิกรัล Jacobian เส้นโค้ง สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes ประจุไฟฟ้า การนำความร้อน ดินขุด-ถม หน้าตัด

- คำศัพท์เขียนไทยก่อน แล้วระบุอังกฤษในวงเล็บ เพื่อให้ค้นตำราต่างประเทศและอ่านข้อสอบอังกฤษได้

## เลือกเส้นทางเรียนตามเป้าหมาย

ทุกคนเริ่มที่นี่

### แกนกลางแคลคูลัส 3

- ฟังก์ชันหลายตัวแปร กราฟผิว เส้นชั้นความสูง

- อนุพันธ์ย่อย ระนาบสัมผัส กฎลูกโซ่

- Gradient และอนุพันธ์ตามทิศ

- ค่าสุดขีดและตัวคูณลากรองจ์

- อินทิกรัลสองชั้น สามชั้น Jacobian

คณิตศาสตร์วิศวกรรม · ฟิสิกส์ 2

### เส้นทางแคลคูลัสเวกเตอร์

- ฟังก์ชันเวกเตอร์ เส้นโค้ง ความโค้ง

- สนามเวกเตอร์ div curl

- อินทิกรัลตามเส้น ทฤษฎีบทกรีน

- ฟลักซ์ Gauss Stokes

เลือกสาขาที่เรียน

### เส้นทางวิศวกรรม

- ไฟฟ้า: ศักย์ สนาม กฎของเกาส์ Laplace

- เครื่องกล: ความร้อน ของไหล Jacobian แขนกล

- โยธา: ดินขุด-ถม หน้าตัด แรงดันน้ำ การซึม

- แล็บรวมทั้งหมด

f(x, y) กราฟผิว (F)→∂f/∂x (P)→∇f (G)→max/min (O)→∬ dA (M)→r(t) (R)→F(x,y,z) (D)→∮ F·dr (L)→∯ F·n dS (S)

## ทุกหน้าในชุดแคลคูลัสหลายตัวแปร

ส่วนที่ 1

### ฟังก์ชันหลายตัวแปร Functions of Several Variables
โดเมน กราฟผิว เส้นชั้นความสูง (contour) ลิมิตและความต่อเนื่องในสองตัวแปร

f(x,y)24.1
ฟังก์ชันหลายตัวแปร (Functions of Several Variables) คืออะไร: โดเมน กราฟผิว เส้นชั้นความสูง และลิมิต
Functions of Several Variables
z = f(x, y) กราฟเป็นผิว โดเมนและเรนจ์ เส้นชั้นความสูง (level curves) ผิวระดับ (level surfaces) ผิวกำลังสอง ลิมิตตามหลายเส้นทางและความต่อเนื่อง พร้อมแล็บพื้นผิว 3 มิติกับแผนที่ contour
เปิดหน้า →สูตร F1, F2, …

ส่วนที่ 2

### อนุพันธ์หลายตัวแปร Multivariable Differentiation
อนุพันธ์ย่อย ระนาบสัมผัส กฎลูกโซ่ gradient อนุพันธ์ตามทิศ จุดวิกฤต Hessian ตัวคูณลากรองจ์ และกำลังสองน้อยสุด

∂f/∂x24.2
อนุพันธ์ย่อย (Partial Derivatives): สูตร ตัวอย่าง ระนาบสัมผัส กฎลูกโซ่ และการประมาณความคลาดเคลื่อน
Partial Derivatives
อนุพันธ์ย่อยคืออะไร ความหมายเชิงเรขาคณิต อนุพันธ์อันดับสูงและทฤษฎีบทของแคลโร ระนาบสัมผัสและการประมาณเชิงเส้น ผลต่างรวม กฎลูกโซ่ อนุพันธ์โดยปริยาย และการแพร่ความคลาดเคลื่อน
เปิดหน้า →สูตร P1, P2, …

∇f24.3
เกรเดียนต์ (Gradient) และอนุพันธ์ตามทิศ (Directional Derivative): ความหมาย สูตร และตัวอย่าง
Gradient & Directional Derivative
∇f ชี้ทางขึ้นชันที่สุด D_u f = ∇f·u ตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง เวกเตอร์ปกติของผิวระดับ ระนาบสัมผัสของ F(x,y,z)=c และ gradient descent พร้อมแล็บกราฟขั้ว
เปิดหน้า →สูตร G1, G2, …

∇f=024.4
ค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันหลายตัวแปร: จุดวิกฤต Hessian ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange Multiplier) และกำลังสองน้อยสุด
Optimization, Lagrange Multipliers & Least Squares
∇f = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง (D = fxx fyy − fxy²) ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บนบริเวณปิด ตัวคูณลากรองจ์ λ ความหมายของ λ การถดถอยเชิงเส้นด้วยกำลังสองน้อยสุด และโจทย์ออกแบบวิศวกรรม
เปิดหน้า →สูตร O1, O2, …

ส่วนที่ 3

### อินทิกรัลหลายชั้น Multiple Integrals
อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น พิกัดขั้ว ทรงกระบอก ทรงกลม จาโคเบียน จุดศูนย์กลางมวล และโมเมนต์ความเฉื่อย

∬24.5
อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น (Double & Triple Integrals): พิกัดขั้ว ทรงกระบอก ทรงกลม และ Jacobian
Double & Triple Integrals
ผลรวมรีมันน์ในสองมิติ ทฤษฎีบทฟูบินี บริเวณ type I/II สลับลำดับ พิกัดขั้ว อินทิกรัลสามชั้น พิกัดทรงกระบอกและทรงกลม จาโคเบียนเปลี่ยนตัวแปร มวล จุดศูนย์กลางมวล และโมเมนต์ความเฉื่อย
เปิดหน้า →สูตร M1, M2, …

ส่วนที่ 4

### ฟังก์ชันเวกเตอร์และแคลคูลัสเวกเตอร์ Vector Functions & Vector Calculus
เส้นโค้งในอวกาศ ความโค้ง สนามเวกเตอร์ divergence curl อินทิกรัลตามเส้น ทฤษฎีบท Green Gauss และ Stokes

r(t)24.6
ฟังก์ชันเวกเตอร์ (Vector-Valued Functions): เส้นโค้งในอวกาศ ความเร็ว ความเร่ง ความยาวส่วนโค้ง และความโค้ง
Vector-Valued Functions & Space Curves
r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ ลิมิต อนุพันธ์ อินทิกรัล เส้นสัมผัส ความเร็ว-ความเร่ง ลูกกระสุน ความยาวส่วนโค้ง ความโค้ง κ กรอบ Frenet–Serret (T, N, B) torsion และ a_T a_N พร้อมแล็บเส้นโค้ง 3 มิติ
เปิดหน้า →สูตร R1, R2, …

∇·F24.7
สนามเวกเตอร์ (Vector Fields): Gradient, Divergence, Curl และสนามอนุรักษ์
Vector Fields: Divergence & Curl
F(x,y,z) ตัวดำเนินการ ∇ ดีเวอร์เจนซ์ เคิร์ล ลาปลาเซียน เอกลักษณ์ curl(grad)=0 และ div(curl)=0 สนามอนุรักษ์และฟังก์ชันศักย์ เส้นกระแส พร้อมแล็บสนามเวกเตอร์ที่วัด div curl บนวงกลม
เปิดหน้า →สูตร D1, D2, …

∮24.8
อินทิกรัลตามเส้น (Line Integrals) งานของแรง และทฤษฎีบทกรีน (Green's Theorem)
Line Integrals & Green's Theorem
∫ f ds และ ∫ F·dr งานของแรงตามเส้นทาง ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น ความไม่ขึ้นกับเส้นทาง ทฤษฎีบทกรีนทั้งรูปการหมุนและฟลักซ์ พื้นที่ด้วยอินทิกรัลเส้น และตัวอย่างวิศวกรรม
เปิดหน้า →สูตร L1, L2, …

∯24.9
อินทิกรัลบนผิว (Surface Integrals) ฟลักซ์ ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ (Gauss) และทฤษฎีบทสโตกส์ (Stokes)
Surface Integrals, Divergence Theorem & Stokes' Theorem
ผิวพารามิเตอร์ พื้นที่ผิว ฟลักซ์ ∬F·n dS ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ ทฤษฎีบทสโตกส์ กฎของเกาส์ กฎของฟาราเดย์ และสมการแมกซ์เวลล์ พร้อมตัวตรวจ Gauss–Stokes ที่คำนวณทั้งสองฝั่ง
เปิดหน้า →สูตร S1, S2, …

ส่วนที่ 5

### การประยุกต์ทางวิศวกรรม Engineering Applications
ไฟฟ้า: สนามและศักย์ แมกซ์เวลล์ · เครื่องกล: ความร้อน ของไหล มวล · โยธา: ภูมิประเทศ ดินขุด-ถม หน้าตัด ซึมผ่าน

E=−∇V24.10
แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมไฟฟ้า: สนามไฟฟ้า ศักย์ กฎของเกาส์ ตัวเก็บประจุ และสมการแมกซ์เวลล์
Multivariable Calculus in Electrical Engineering
E = −∇V ประจุจุดและแล็บลากประจุ กฎของเกาส์ในรูปปริพันธ์และอนุพันธ์ สมการลาปลาซ-พัวซอง ความจุของตัวเก็บประจุ ฟลักซ์แม่เหล็กและกฎของฟาราเดย์ เวกเตอร์พอยน์ติง และความต้านทานจากสนาม
เปิดหน้า →สูตร E1, E2, …

q=−k∇T24.11
แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมเครื่องกล: การนำความร้อน การไหลของของไหล จุดศูนย์กลางมวล และจาโคเบียนหุ่นยนต์
Multivariable Calculus in Mechanical Engineering
กฎของฟูริเยร์ q = −k∇T สมการความร้อนและลาปลาซ ท่อกลมและผนัง ความต่อเนื่อง ∇·v = 0 ความหมุนวน (vorticity) ของไหล จุดศูนย์กลางมวลและโมเมนต์ความเฉื่อย อนุพันธ์ย่อยทางเทอร์โมไดนามิกส์ และจาโคเบียนแขนกล
เปิดหน้า →สูตร K1, K2, …

cut/fill24.12
แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมโยธา: ภูมิประเทศ ดินขุด-ถม คุณสมบัติหน้าตัด แรงดันน้ำ และการไหลซึมของน้ำ
Multivariable Calculus in Civil Engineering
แผนที่เส้นชั้นความสูง ความชันและทิศน้ำไหล ปริมาตรดินขุด-ถมด้วยอินทิกรัลสองชั้น ระดับสมดุล A ȳ I ของหน้าตัดด้วยทฤษฎีบทกรีน น้ำหนักแผ่นพื้นที่กระจายไม่สม่ำเสมอ แรงดันน้ำบนผิวโค้ง และฟลักซ์ซึมผ่านดิน
เปิดหน้า →สูตร C1, C2, …

ส่วนที่ 6

### ห้องแล็บ Labs
เครื่องมือโต้ตอบรวมทุกบท: พื้นผิว gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล เส้นโค้ง สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes

⚗24.13
แล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร: พื้นผิว gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล เส้นโค้ง สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes ในหน้าเดียว
Multivariable Calculus Lab Bench
ห้องแล็บ 19 ชุดในหน้าเดียว: พื้นผิวและระนาบสัมผัส gradient และ gradient descent จุดวิกฤต Lagrange กำลังสองน้อยสุด อินทิกรัลสองชั้น-สามชั้น Jacobian เส้นโค้งในอวกาศ สนามเวกเตอร์ และตัวตรวจ Gauss–Stokes
เปิดหน้า →แล็บรวม

## เลือกเครื่องมือให้ตรงกับคำถาม

| คำถาม | เครื่องมือ | ชนิดคำตอบ |

| ผิว $z = f(x, y)$ หน้าตาเป็นอย่างไร? | กราฟผิว + เส้นชั้นความสูง | ภาพ 3 มิติ |

| ลิมิตที่จุดหนึ่งมีไหม? | ทดสอบหลายเส้นทาง | มี / ไม่มี |

| เปลี่ยนทีละตัวแปรแล้ว $f$ เปลี่ยนเท่าไร? | อนุพันธ์ย่อย $f_x, f_y$ | อัตราการเปลี่ยนแปลง |

| ทิศไหนขึ้นชันที่สุด? ชันเท่าไร? | $\nabla f$ และ $D_{\mathbf u}f$ | เวกเตอร์ / อัตรา |

| ค่าสูงสุด-ต่ำสุดอยู่ที่ไหน? | Hessian, Lagrange | จุด + ชนิด |

| ปริมาตร มวล จุดศูนย์กลางมวล? | อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น | ปริมาตร / มวล / พิกัด |

| อนุภาคเคลื่อนที่ในอวกาศ ความเร็วและความโค้ง? | $\mathbf r(t)$, Frenet | $\mathbf v, \mathbf a, \kappa$ |

| สนามนี้ไหลออก หมุนวน หรือเป็นสนามอนุรักษ์? | div, curl | สเกลาร์ / เวกเตอร์ |

| แรงทำงานตามเส้นทางเท่าไร? | $\int\mathbf F\cdot d\mathbf r$, Green | งาน (J) |

| ฟลักซ์ผ่านผิวเท่าไร? | $\iint\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$, Gauss, Stokes | ฟลักซ์ |

## ห้องแล็บและเครื่องมือ

19 เครื่องมือ · พิมพ์สมการเองได้

### แล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร
กราฟผิว gradient จุดวิกฤต Lagrange อินทิกรัล Jacobian เส้นโค้ง สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes

ไฟฟ้า

### แล็บประจุและศักย์ไฟฟ้า
ลากประจุ ดู V, E = −∇V, เส้นสมศักย์ และฟลักซ์ผ่านทรงกลม

เครื่องกล

### แล็บการนำความร้อน
เส้นไอโซเทอร์ม q = −k∇T และความร้อนที่ไหลผ่านหน้าตัด

โยธา

### แล็บภูมิประเทศและดินขุด-ถม
ความลาดชัน ทิศน้ำไหล ปริมาตรขุด-ถม และระดับสมดุล

โยธา · เครื่องกล

### แล็บคุณสมบัติหน้าตัด
พื้นที่ จุดศูนย์ถ่วง โมเมนต์ความเฉื่อยของหน้าตัดหลายเหลี่ยมด้วยทฤษฎีบทกรีน

## ดัชนีสูตรที่ค้นหาและอ้างอิงได้

รหัส F ฟังก์ชันหลายตัวแปร · P อนุพันธ์ย่อย · G เกรเดียนต์ · O ค่าสุดขีด · M อินทิกรัลหลายชั้น · R ฟังก์ชันเวกเตอร์ · D สนามเวกเตอร์ · L อินทิกรัลตามเส้น · S อินทิกรัลบนผิว · E ไฟฟ้า · K เครื่องกล · C โยธา คลิกสูตรเพื่ออ่านเงื่อนไขการใช้และตัวอย่างในหน้าที่เกี่ยวข้อง

## วิธีเรียนและตรวจคำตอบที่ใช้ได้ทุกบท

- วาดก่อนคำนวณ — วาดบริเวณในระนาบ xy หรือเส้นชั้นความสูงคร่าว ๆ ก่อนตั้งขอบเขตอินทิกรัลหรือหาจุดวิกฤต

- ตรวจหน่วยและมิติ — $\iint$ ของความหนาแน่นพื้นที่ต้องได้มวล ฟลักซ์ต้องมีหน่วยของสนามคูณพื้นที่

- สองวิธีต้องตรงกัน — เปลี่ยนลำดับ $dx\,dy$ เป็น $dy\,dx$ หรือใช้พิกัดขั้ว/ทรงกลมตรวจ และใช้ทฤษฎีบทกรีน-เกาส์-สโตกส์ตรวจอินทิกรัลตามเส้นและบนผิว

- ใช้แล็บตรวจทีหลัง ไม่ใช่แทนที่ — ลองคำนวณเองก่อน แล้วพิมพ์โจทย์ลงแล็บ ถ้าไม่ตรงให้ย้อนหาจุดที่ผิด

## เอกสารค้นคว้าต่อ

- OpenStax Calculus Volume 3 — ตำราเปิดครบ Calculus III

- MIT OpenCourseWare 18.02SC Multivariable Calculus

- Paul's Online Math Notes: Calculus III

- คู่มือและสรุปสูตรแบบ Markdown สำหรับอ่าน ค้นคว้า และผู้ช่วย AI

## ต่อยอดจากแคลคูลัสหลายตัวแปร

ต่อไปที่ การแปลงลาปลาซ สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ในวงจรและระบบควบคุม อนุกรมฟูริเยร์ สำหรับสัญญาณและการนำความร้อน และ พีชคณิตเชิงเส้น สำหรับเมทริกซ์ Jacobian และ Hessian ในรูปเมทริกซ์ ถ้ายังไม่แม่นเรื่องพื้นฐานย้อนไปอ่าน แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ และ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ และเวกเตอร์

## คำถามที่พบบ่อย

แคลคูลัสหลายตัวแปร (Calculus 3) เรียนอะไรบ้าง และยากกว่าแคลคูลัส 1-2 แค่ไหน?
แคลคูลัสหลายตัวแปรขยายแคลคูลัส 1-2 จากฟังก์ชันตัวแปรเดียวไปสู่หลายตัวแปร หัวข้อหลักคือฟังก์ชันหลายตัวแปรและกราฟผิว อนุพันธ์ย่อยและ gradient ค่าสูงสุด-ต่ำสุดและตัวคูณลากรองจ์ อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น แล้วต่อด้วยแคลคูลัสเวกเตอร์ ได้แก่ เส้นโค้งในอวกาศ สนามเวกเตอร์ อินทิกรัลตามเส้น ทฤษฎีบทกรีน ดีเวอร์เจนซ์ เคิร์ล และทฤษฎีบทของเกาส์และสโตกส์ ความยากส่วนใหญ่อยู่ที่การมองภาพสามมิติและการตั้งขอบเขตอินทิกรัล ซึ่งแล็บในชุดนี้ช่วยให้เห็นภาพได้

ควรเรียนอะไรก่อนเริ่มแคลคูลัสหลายตัวแปร?
ควรคล่องอนุพันธ์และอินทิกรัลตัวแปรเดียว (กฎลูกโซ่ การอินทิกรัลแบบแทนค่า) ตรีโกณมิติพื้นฐาน และเวกเตอร์ 2-3 มิติ โดยเฉพาะ dot product และ cross product ถ้ายังไม่แม่นเวกเตอร์ให้อ่านชุดเวกเตอร์ก่อน จากนั้นเริ่มที่หน้าฟังก์ชันหลายตัวแปรแล้วไล่ตามลำดับ

แคลคูลัสหลายตัวแปรใช้ในวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธาอย่างไร?
วิศวกรรมไฟฟ้าใช้ $\mathbf E = -\nabla V$ กฎของเกาส์และสมการลาปลาซกับสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก วิศวกรรมเครื่องกลใช้กฎของฟูริเยร์ $\mathbf q = -k\nabla T$ การไหลของของไหล โมเมนต์ความเฉื่อย และจาโคเบียนของแขนกล วิศวกรรมโยธาใช้เส้นชั้นความสูงและความลาดชัน ปริมาตรดินขุด-ถม คุณสมบัติหน้าตัดด้วยทฤษฎีบทกรีน และการซึมของน้ำใต้ดิน แต่ละสาขามีหน้าของตัวเองพร้อมแล็บและตัวอย่างตัวเลขจริง

ทฤษฎีบทกรีน ดีเวอร์เจนซ์ และสโตกส์ต่างกันอย่างไร?
ทั้งสามคือทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสในมิติสูงขึ้น: อินทิกรัลของ "อนุพันธ์" ภายในบริเวณเท่ากับอินทิกรัลของสนามบน "ขอบ" ทฤษฎีบทกรีนใช้กับบริเวณในระนาบ (วงปิด ↔ พื้นที่) สโตกส์ยกกรีนไปบนผิวโค้งในอวกาศ (วงปิด ↔ เคิร์ลผ่านผิว) ส่วนทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์เชื่อมฟลักซ์ผ่านผิวปิดกับอินทิกรัลสามชั้นของ $\nabla\cdot\mathbf F$ ในแล็บ Gauss–Stokes คำนวณสองข้างแยกกันให้เห็นว่าตัวเลขตรงกัน

มีสูตรสรุปแคลคูลัสหลายตัวแปรและเครื่องคิดเลขตรวจคำตอบไหม?
มี ดัชนีสูตรในหน้านี้ค้นหาได้ทุกสูตรพร้อมรหัสอ้างอิง และทุกสูตรเชื่อมไปยังตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขแล้ว ส่วนเครื่องมือโต้ตอบอยู่ในหน้าแล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร พิมพ์สมการเองแล้วดู gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล และตัวตรวจ Gauss–Stokes ได้ทันที

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**แคลคูลัสหลายตัวแปร (Calculus 3) เรียนอะไรบ้าง และยากกว่าแคลคูลัส 1-2 แค่ไหน?**
แคลคูลัสหลายตัวแปรขยายแคลคูลัส 1-2 จากฟังก์ชันตัวแปรเดียวไปสู่หลายตัวแปร หัวข้อหลักคือฟังก์ชันหลายตัวแปรและกราฟผิว อนุพันธ์ย่อยและ gradient ค่าสูงสุด-ต่ำสุดและตัวคูณลากรองจ์ อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น แล้วต่อด้วยแคลคูลัสเวกเตอร์ ได้แก่ เส้นโค้งในอวกาศ สนามเวกเตอร์ อินทิกรัลตามเส้น ทฤษฎีบทกรีน ดีเวอร์เจนซ์ เคิร์ล และทฤษฎีบทของเกาส์และสโตกส์ ความยากส่วนใหญ่อยู่ที่การมองภาพสามมิติและการตั้งขอบเขตอินทิกรัล ซึ่งแล็บในชุดนี้ช่วยให้เห็นภาพได้

**ควรเรียนอะไรก่อนเริ่มแคลคูลัสหลายตัวแปร?**
ควรคล่องอนุพันธ์และอินทิกรัลตัวแปรเดียว (กฎลูกโซ่ การอินทิกรัลแบบแทนค่า) ตรีโกณมิติพื้นฐาน และเวกเตอร์ 2-3 มิติ โดยเฉพาะ dot product และ cross product ถ้ายังไม่แม่นเวกเตอร์ให้อ่านชุดเวกเตอร์ก่อน จากนั้นเริ่มที่หน้าฟังก์ชันหลายตัวแปรแล้วไล่ตามลำดับ

**แคลคูลัสหลายตัวแปรใช้ในวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธาอย่างไร?**
วิศวกรรมไฟฟ้าใช้ $\mathbf E = -\nabla V$ กฎของเกาส์และสมการลาปลาซกับสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก วิศวกรรมเครื่องกลใช้กฎของฟูริเยร์ $\mathbf q = -k\nabla T$ การไหลของของไหล โมเมนต์ความเฉื่อย และจาโคเบียนของแขนกล วิศวกรรมโยธาใช้เส้นชั้นความสูงและความลาดชัน ปริมาตรดินขุด-ถม คุณสมบัติหน้าตัดด้วยทฤษฎีบทกรีน และการซึมของน้ำใต้ดิน แต่ละสาขามีหน้าของตัวเองพร้อมแล็บและตัวอย่างตัวเลขจริง

**ทฤษฎีบทกรีน ดีเวอร์เจนซ์ และสโตกส์ต่างกันอย่างไร?**
ทั้งสามคือทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสในมิติสูงขึ้น: อินทิกรัลของ "อนุพันธ์" ภายในบริเวณเท่ากับอินทิกรัลของสนามบน "ขอบ" ทฤษฎีบทกรีนใช้กับบริเวณในระนาบ (วงปิด ↔ พื้นที่) สโตกส์ยกกรีนไปบนผิวโค้งในอวกาศ (วงปิด ↔ เคิร์ลผ่านผิว) ส่วนทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์เชื่อมฟลักซ์ผ่านผิวปิดกับอินทิกรัลสามชั้นของ $\nabla\cdot\mathbf F$ ในแล็บ Gauss–Stokes คำนวณสองข้างแยกกันให้เห็นว่าตัวเลขตรงกัน

**มีสูตรสรุปแคลคูลัสหลายตัวแปรและเครื่องคิดเลขตรวจคำตอบไหม?**
มี ดัชนีสูตรในหน้านี้ค้นหาได้ทุกสูตรพร้อมรหัสอ้างอิง และทุกสูตรเชื่อมไปยังตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขแล้ว ส่วนเครื่องมือโต้ตอบอยู่ในหน้าแล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร พิมพ์สมการเองแล้วดู gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล และตัวตรวจ Gauss–Stokes ได้ทันที

---

# แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมโยธา: ภูมิประเทศ ดินขุด-ถม คุณสมบัติหน้าตัด แรงดันน้ำ และการไหลซึม

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/civil-engineering/
Updated: 2026-10-17
Summary: การประยุกต์แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมโยธา (civil engineering): แผนที่เส้นชั้นความสูง ความลาดชัน |∇h| และทิศน้ำไหล ปริมาตรดินขุด-ถม (cut and fill) ด้วยอินทิกรัลสองชั้นและระดับสมดุล พื้นที่ จุดศูนย์ถ่วง โมเมนต์ความเฉื่อยของหน้าตัดด้วยทฤษฎีบทกรีน น้ำหนักบรรทุกกระจายบนแผ่นพื้น แรงดันน้ำบนเขื่อน กฎของดาร์ซีและสมการลาปลาซของการซึมผ่านดิน พร้อมแล็บภูมิประเทศและแล็บหน้าตัด

// บทที่ 24.12 · การประยุกต์ · Civil Engineering

# แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมโยธา: ภูมิประเทศ ดินขุด-ถม คุณสมบัติหน้าตัด แรงดันน้ำ และการไหลซึม

วิศวกรโยธาทำงานบนพื้นผิวจริง: ดินที่ต้องขุดและถมให้ได้ระดับ คานที่ต้องรู้โมเมนต์ความเฉื่อยของหน้าตัด แผ่นพื้นที่รับน้ำหนักกระจายไม่สม่ำเสมอ เขื่อนที่รับแรงดันน้ำ และดินที่น้ำซึมผ่าน หน้านี้ใช้แคลคูลัสหลายตัวแปรกับโจทย์เหล่านี้โดยตรง: gradient ของภูมิประเทศให้ความชันและทิศน้ำไหล อินทิกรัลสองชั้นให้ปริมาตรงานดิน อินทิกรัลเส้นตามทฤษฎีบทกรีนให้ A ȳ และ I ของหน้าตัดจากพิกัด และสมการลาปลาซอธิบายการซึมของน้ำ พร้อมแล็บภูมิประเทศที่ปรับระดับ pad แล้วเห็นปริมาตรขุด-ถมทันที และแล็บหน้าตัดที่ลากจุดยอดได้

สรุปใน 30 วินาที

- ความลาดชัน $= 100|\nabla h|$% · น้ำไหลทิศ $-\nabla h$ (ตั้งฉากเส้นชั้นความสูง)

- ขุด $\iint\max(h - z_0, 0)\,dA$ · ถม $\iint\max(z_0 - h, 0)\,dA$ · ขุด = ถม เมื่อ $z_0 = \bar h = \tfrac1A\iint h\,dA$

- หน้าตัด (Green): $A = \tfrac12\sum(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)$ · $I_{\bar x} = I_x - A\bar y^2$ · ความเค้นดัด $\sigma = My/I$

- ดาร์ซี: $\mathbf v = -K\nabla h$ → $\nabla^2h = 0$ · แรงดันน้ำ: $F = \iint\rho gd\,dA = \tfrac12\rho gwH^2$ ที่ $H/3$

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## ภูมิประเทศเป็นฟังก์ชัน h(x, y): ความลาดชันและทิศน้ำไหล พื้นฐาน

ความสูงของพื้นที่ก่อสร้างคือฟังก์ชันสองตัวแปร $h(x, y)$ และแผนที่เส้นชั้นความสูงคือแผนที่เส้นชั้นของมัน (บทฟังก์ชันหลายตัวแปร) เกรเดียนต์ $\nabla h$ ชี้ทางขึ้นชันที่สุด ขนาดของมันคือความชัน (rise ต่อ run) น้ำฝนไหลลงทางชันที่สุด $-\nabla h$ ซึ่งตั้งฉากกับเส้นชั้นเสมอ

C1 Terrain slope and drainage direction ความลาดชันและทิศน้ำไหล

$$S = 100\,|\nabla h| = 100\sqrt{h_x^2 + h_y^2}\ \%,\qquad \beta = \arctan|\nabla h|,\qquad \text{ทิศน้ำไหล } \mathbf d = -\frac{\nabla h}{|\nabla h|}$$

ทิศเข็มทิศ (bearing จากเหนือตามเข็ม) $= \operatorname{atan2}(d_x, d_y)$ · ถนนทั่วไปความชันไม่เกิน 6–12% · ทางลาดคนพิการ 8.3% (1:12) · เส้นชั้นชิดกัน = ชัน

### แล็บภูมิประเทศและดินขุด-ถม

แผนที่ซ้าย: สีพื้นคือความชัน (น้ำเงิน = ลาด ส้ม-แดง = ชัน) เส้นดำคือเส้นชั้นความสูงทุก 1 m ลูกศรฟ้าคือทิศน้ำไหล $-\nabla h$ กรอบส้มเส้นประคือพื้นที่ปรับระดับ (pad) ภาพขวาแสดงภูมิประเทศ 3 มิติกับระนาบ pad ที่ระดับ $z_0$ เลื่อนแถบ $z_0$ แล้วดูปริมาตรขุดและถมเปลี่ยน แล้วลองตั้ง $z_0$ เท่ากับ “ระดับสมดุล” เพื่อให้ขุด = ถม ลากจุด P เพื่ออ่านความลาดชันและทิศน้ำไหล

หน้าตัดดินขุด-ถม (cut and fill): ส่วนของพื้นดินเดิมที่สูงกว่าระดับออกแบบ $z_0$ คือส่วนที่ต้องขุด (cut) ส่วนที่ต่ำกว่าคือส่วนที่ต้องถม (fill) ปริมาตรคืออินทิกรัลสองชั้นของความต่าง $\lvert h - z_0\rvert$

ตัวอย่าง C-1 · ความลาดชันและทิศน้ำไหล

### ที่ลาดเอียง $h(x, y) = 10 + 0.06x + 0.03y$ เมตร ($x$ ไปทางตะวันออก $y$ ไปทางเหนือ) หาความลาดชัน ทิศน้ำไหล และเส้นชั้นความสูงทุก 1 m ห่างกันกี่เมตร

- $\nabla h = \langle0.06,\ 0.03\rangle$ · $|\nabla h| = \sqrt{0.0036 + 0.0009} = 0.0671$ → ความลาดชัน 6.71% ($\beta = 3.84^\circ$)

- ทิศน้ำไหล $-\nabla h = \langle-0.06,\ -0.03\rangle$ → ชี้ไปทางตะวันตกและใต้ · bearing $= \operatorname{atan2}(-0.06, -0.03) = -116.6^\circ \equiv 243.4^\circ$ (ตะวันตกเฉียงใต้ ค่อนไปทางตะวันตก)

- เส้นชั้นความสูงตั้งฉากกับ $\nabla h$ และห่างกัน $\Delta h/|\nabla h| = 1/0.0671 = 14.9$ m (คำนวณตามทิศ $\nabla h$)

- เทียบกับเกณฑ์: 6.7% ใช้เป็นพื้นระบายน้ำได้ดีและไม่ชันเกินไปสำหรับถนนภายในโครงการ (แต่เกิน 5% ที่มักกำหนดสำหรับลานจอดรถ)

ความลาดชัน $6.71\%$ · น้ำไหลทิศ $243.4^\circ$ · เส้นชั้นห่างกัน 14.9 m

ตัวอย่าง C-2 · ความชันสูงสุดของเนิน

### เนินดิน $h = 8 + 5e^{-r^2/260}$ ($r$ = ระยะจากยอดเนิน, เมตร) ความชันสูงสุดเท่าไร และอยู่ที่ระยะเท่าไรจากยอด

- เนินสมมาตรรอบยอด: $|\nabla h| = \left|\dfrac{dh}{dr}\right| = 5\cdot\dfrac{2r}{260}e^{-r^2/260} = \dfrac{r}{26}e^{-r^2/260}$

- หาค่าสูงสุดตาม $r$: $\dfrac{d}{dr}\left[re^{-r^2/260}\right] = e^{-r^2/260}\left(1 - \dfrac{2r^2}{260}\right) = 0$ → $r^2 = 130$ → $r = 11.40$ m

- $|\nabla h|_{\max} = \dfrac{11.40}{26}e^{-0.5} = 0.4385\times0.6065 = 0.2660$ → ความลาดชัน 26.6% ($14.9^\circ$)

- ที่ยอด $r = 0$ ความชัน 0 (จุดวิกฤตสูงสุด) และที่ไกลมากความชันเข้าสู่ 0 · เส้นชั้นเป็นวงกลม และน้ำไหลออกตามรัศมีทุกทิศ ตั้งฉากเส้นชั้น

ความลาดชันสูงสุด 26.6% ที่ $r = 11.4$ m จากยอด (ในแล็บ จุดนี้คือ $(41.4, 22)$)

## ปริมาตรดินขุด-ถม (Cut and Fill) กลาง

ก่อนก่อสร้างอาคารหรือถนน ต้องปรับพื้นที่ให้ได้ระดับ $z_0$ ดินส่วนสูงกว่าถูกขุดไปถมส่วนต่ำกว่า ความหนาของดินที่ต้องปรับที่จุด $(x, y)$ คือ $h - z_0$ (บวก = ขุด ลบ = ถม) ปริมาตรคืออินทิกรัลสองชั้นเหนือพื้นที่ pad (บทอินทิกรัลหลายชั้น) ถ้าต้องการให้ดินสมดุล (ขุด = ถม) ระดับต้องเป็นความสูงเฉลี่ย

C2 Cut and fill volumes ปริมาตรดินขุดและดินถม

$$V_{\text{cut}} = \iint_R\max\big(h - z_0,\,0\big)\,dA,\qquad V_{\text{fill}} = \iint_R\max\big(z_0 - h,\,0\big)\,dA,\qquad V_{\text{cut}} - V_{\text{fill}} = \iint_R(h - z_0)\,dA = A(\bar h - z_0)$$

ผลต่างขุด − ถม = $A(\bar h - z_0)$ ตรง ๆ จึงสมดุลเมื่อ $z_0 = \bar h$ · ในทางปฏิบัติดินขุดขยายตัว 15–30% และดินถมต้องบดอัด ปรับด้วยตัวคูณ · $\bar h = \tfrac1A\iint_Rh\,dA$ = ความสูงเฉลี่ย (M3)

C3 Grid (four-corner) method วิธีตารางสี่เหลี่ยม (ค่ามุมทั้งสี่)

$$V = \sum_{\text{ช่อง}}A_{\text{ช่อง}}\cdot\frac{d_1 + d_2 + d_3 + d_4}{4},\qquad d = h - z_0$$

ตรงกับอินทิกรัลของผิวสอดแทรกสองเชิงเส้นในแต่ละช่อง (เป็นกฎสี่เหลี่ยมคางหมูสองมิติ) · ใช้ในโปรแกรมคำนวณปริมาณงานดิน · ช่องที่มีทั้งขุดและถมให้แยกเป็นสามเหลี่ยมหรือใช้สูตรเฉพาะ

ตัวอย่าง C-3 · ขุด-ถมบนที่ลาดคลื่น

### พื้นที่ pad $5 \le x \le 55,\ 5 \le y \le 35$ (50 × 30 m) บนภูมิประเทศ $h = 10 + 0.06x + 0.03y + 0.8\sin\frac x9\cos\frac y{11}$ หาปริมาตรขุดและถมเมื่อ $z_0 = 11.5$ m และระดับสมดุล

- พื้นที่ $A = 50\times30 = 1500$ m² · ปริมาตรขุด $\iint\max(h - 11.5, 0)\,dA$ และถม $\iint\max(11.5 - h, 0)\,dA$ อินทิเกรตเชิงตัวเลข (เส้นแบ่งขุด/ถมคือเส้นชั้น $h = 11.5$ ซึ่งเป็นเส้นโค้ง จึงไม่เหมาะกับการหาด้วยมือ)

- ผล: $V_{\text{cut}} = 1497.4$ m³ · $V_{\text{fill}} = 142.3$ m³ · ขุด − ถม = 1355.2 m³ (ดินเหลือต้องขนออก)

- ตรวจด้วยสูตร $A(\bar h - z_0)$: ความสูงเฉลี่ย $\bar h = \dfrac1A\iint h\,dA = 12.403$ m (อินทิกรัลของ $0.8\sin\frac x9\cos\frac y{11}$ บนพื้นที่นี้ได้ $+0.1$ กว่าเล็กน้อย) → $1500(12.403 - 11.5) = 1355$ ✓

- ตั้ง $z_0 = \bar h = 12.403$ m: ขุด = ถม = 680.9 m³ (สมดุล ไม่ต้องขนดินเข้า-ออก)

- จำนวนเที่ยวรถบรรทุก 10 m³ สำหรับส่วนที่ขุดเมื่อ $z_0 = 11.5$: $1497.4/10 \to 150$ เที่ยว (ก่อนคิดการขยายตัว) · แต่ถ้าสมดุล ใช้ 69 เที่ยวภายในโครงการ (ขุดไปถมในโครงการเอง)

$z_0 = 11.5$: ขุด 1497 m³ ถม 142 m³ · สมดุลที่ $z_0 = 12.40$ m: ขุด = ถม = 681 m³

ตัวอย่าง C-4 · วิธีตารางสี่เหลี่ยม

### ช่องสี่เหลี่ยม $10\times10$ m ที่มุมทั้งสี่มีความลึกขุด 0.8, 1.2, 1.0, 0.6 m (เทียบระดับออกแบบ) ปริมาตรดินขุดในช่องนี้

- ความลึกเฉลี่ยจากสี่มุม $= \dfrac{0.8 + 1.2 + 1.0 + 0.6}{4} = 0.90$ m

- $V = 100\times0.90 = 90$ m³

- เหตุผลทางแคลคูลัส: ผิวสอดแทรกสองเชิงเส้น $d(x, y) = a + bx + cy + dxy$ มีอินทิกรัลบนสี่เหลี่ยม = พื้นที่ × ค่าเฉลี่ยของสี่มุมพอดี (พจน์ $xy$ เฉลี่ยออกไปด้วยสมมาตร) จึงไม่ใช่การประมาณหยาบ แต่เป็นอินทิกรัลที่แน่นอนของผิวที่สมมติ

$V = 90$ m³

## คุณสมบัติหน้าตัดคานด้วยทฤษฎีบทกรีน กลาง

ความเค้นดัด $\sigma = My/I$ ต้องการโมเมนต์ความเฉื่อย $I$ ของหน้าตัด ซึ่งคืออินทิกรัลสองชั้น $\iint y^2\,dA$ หน้าตัดจริงมักเป็นรูปหลายเหลี่ยม (ตัว T, I, L, กล่อง) ทฤษฎีบทกรีน (บทอินทิกรัลตามเส้น) เปลี่ยนอินทิกรัลสองชั้นเป็นผลรวมตามขอบของพิกัดจุดยอด ได้สูตรแน่นอนที่คอมพิวเตอร์ใช้ในโปรแกรมวิเคราะห์โครงสร้างทุกตัว

C4 Area and centroid of a polygon พื้นที่และจุดศูนย์ถ่วงของรูปหลายเหลี่ยม

$$c_i = x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i,\quad A = \tfrac12\sum c_i,\quad \bar x = \frac{1}{6A}\sum(x_i + x_{i+1})c_i,\quad \bar y = \frac{1}{6A}\sum(y_i + y_{i+1})c_i$$

จุดยอดเรียงทวนเข็มต่อเนื่อง $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$ · มาจากทฤษฎีบทกรีน $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ · รูกลวงทำโดยลบหน้าตัดของรู (พื้นที่และโมเมนต์ลบ)

C5 Moments of inertia of a polygon โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปหลายเหลี่ยม

$$I_x = \tfrac1{12}\sum(y_i^2 + y_iy_{i+1} + y_{i+1}^2)c_i,\quad I_y = \tfrac1{12}\sum(x_i^2 + x_ix_{i+1} + x_{i+1}^2)c_i,\quad I_{\bar x} = I_x - A\bar y^2,\quad \tan2\theta_p = \frac{-2I_{\bar x\bar y}}{I_{\bar x} - I_{\bar y}}$$

$I_x, I_y$ รอบแกนที่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัด แล้วย้ายไปจุดศูนย์ถ่วงด้วยทฤษฎีบทแกนขนาน · $I_{\bar x\bar y} = I_{xy} - A\bar x\bar y$ · มุม $\theta_p$ ของแกนหลักที่ผลคูณความเฉื่อยเป็นศูนย์ · สี่เหลี่ยมผืนผ้า $I = bh^3/12$

C6 Flexure formula สูตรการดัด

$$\sigma = \frac{M\,y}{I_{\bar x}},\qquad S = \frac{I_{\bar x}}{c},\qquad \sigma_{\max} = \frac{M}{S}$$

$y$ วัดจากแกนสะเทิน (ผ่านจุดศูนย์ถ่วง) · $c$ = ระยะถึงเส้นใยไกลสุด · หน้าตัดไม่สมมาตรมี $S$ ต่างกันบนและล่าง

### แล็บหน้าตัด: ลากจุดยอด

เลือกรูปร่างหรือแก้พิกัด (หน่วย mm) ลากจุดยอดสีฟ้าบนภาพ ระบบคำนวณ $A$, $\bar x$, $\bar y$, $I_{\bar x}$, $I_{\bar y}$, $I_{\bar x\bar y}$, แกนหลัก และโมดูลัสหน้าตัดทันทีด้วยสูตรของกรีน (แม่นยำ) แล้วตรวจย้อนด้วยจุดตารางหนาแน่น เส้นประสีส้มคือแกนหลัก

ตัวอย่าง C-5 · คานตัว T และความเค้นดัด

### หน้าตัดตัว T: เอวกว้าง 100 สูง 300 mm ปีกกว้าง 300 หนา 100 mm (จุดยอด $(0,0)$, $(100,0)$, $(100,300)$, $(200,300)$, $(200,400)$, $(-100,400)$, $(-100,300)$, $(0,300)$) หา $A, \bar y, I_{\bar x}$ และความเค้นสูงสุดเมื่อ $M = 30$ kN·m

- แบ่งเป็นสองสี่เหลี่ยม: เอว $A_1 = 100\times300 = 30\,000$ mm² ($y_1 = 150$) · ปีก $A_2 = 300\times100 = 30\,000$ mm² ($y_2 = 350$) → $A = 60\,000$ mm²

- $\bar y = \dfrac{30\,000(150) + 30\,000(350)}{60\,000} = 250$ mm · $\bar x = 50$ mm (สมมาตร)

- แกนขนาน: เอว $I = \dfrac{100(300)^3}{12} + 30\,000(250 - 150)^2 = 225\times10^6 + 300\times10^6 = 525\times10^6$ · ปีก $I = \dfrac{300(100)^3}{12} + 30\,000(350 - 250)^2 = 25\times10^6 + 300\times10^6 = 325\times10^6$

- $I_{\bar x} = 850\times10^6$ mm⁴ (ตรงกับสูตรกรีนในแล็บ) · $S_{\text{บน}} = I/150 = 5.667\times10^6$ mm³ · $S_{\text{ล่าง}} = I/250 = 3.400\times10^6$ mm³

- $M = 30$ kN·m $= 30\times10^6$ N·mm (ทำให้ใต้เส้นใยล่างดึง บนอัด): $\sigma_{\text{บน}} = \dfrac{30\times10^6(150)}{850\times10^6} = 5.29$ MPa (อัด) · $\sigma_{\text{ล่าง}} = \dfrac{30\times10^6(250)}{850\times10^6} = 8.82$ MPa (ดึง)

$A = 60\,000$ mm² · $\bar y = 250$ mm · $I = 850\times10^6$ mm⁴ · $\sigma_{\text{บน}} = 5.29$ MPa, $\sigma_{\text{ล่าง}} = 8.82$ MPa

ตัวอย่าง C-6 · ทดสอบสูตรกรีนกับสี่เหลี่ยม

### หน้าตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 300 สูง 500 mm (จุดยอด $(0,0),(300,0),(300,500),(0,500)$) หา $A, \bar x, \bar y, I_{\bar x}$ ด้วยสูตรผลรวมตามขอบ

- $c_1 = 0\cdot0 - 300\cdot0 = 0$ · $c_2 = 300\cdot500 - 300\cdot0 = 150\,000$ · $c_3 = 300\cdot500 - 0\cdot500 = 150\,000$ · $c_4 = 0\cdot0 - 0\cdot500 = 0$

- $A = \tfrac12(0 + 150\,000 + 150\,000 + 0) = 150\,000$ mm² ($= 300\times500$ ✓)

- จุดศูนย์ถ่วง:

$$\bar y = \dfrac{1}{6A}\left[(0 + 0)\cdot0 + (0 + 500)(150\,000) + (500 + 500)(150\,000) + (500 + 0)\cdot0\right] = \dfrac{225\times10^6}{900\,000} = 250\ \text{mm}$$
ตรงตามที่คาด ✓ (และ $\bar x = 150$)

- $I_x$ (รอบแกนที่ขอบล่าง):

$$I_x = \tfrac1{12}\left[(0 + 0 + 250\,000)\cdot150\,000 + (250\,000 + 250\,000 + 250\,000)\cdot150\,000\right] = \tfrac1{12}\left[37.5\times10^9 + 112.5\times10^9\right] = 12.5\times10^9\ \text{mm}^4$$
ตรงกับ $bh^3/3 = 300\cdot500^3/3$ ✓

- ย้ายไปแกนผ่านจุดศูนย์ถ่วง: $I_{\bar x} = I_x - A\bar y^2 = 12.5\times10^9 - 150\,000(250)^2 = 3.125\times10^9$ mm⁴ = $bh^3/12$ ✓

$A = 150\,000$ mm² · $(\bar x, \bar y) = (150, 250)$ · $I_{\bar x} = 3.125\times10^9$ mm⁴ (ตรงกับสูตร $bh^3/12$)

## น้ำหนักบรรทุกกระจายบนแผ่นพื้น กลาง

แผ่นพื้นที่รับน้ำหนักไม่สม่ำเสมอ $q(x, y)$ (kN/m²) เช่นกองวัสดุ ดิน หรือน้ำบนหลังคา ต้องรู้แรงลัพธ์และตำแหน่งที่แรงลัพธ์กระทำเพื่อออกแบบคานรองรับ ทั้งสองเป็นอินทิกรัลสองชั้นแบบเดียวกับมวลและจุดศูนย์กลางมวล (M12) โดย $q$ ทำหน้าที่เป็นความหนาแน่น

C7 Resultant of a distributed load แรงลัพธ์ของน้ำหนักกระจาย

$$R = \iint_Rq(x, y)\,dA,\qquad \bar x = \frac1R\iint x\,q\,dA,\qquad \bar y = \frac1R\iint y\,q\,dA$$

$(\bar x, \bar y)$ = จุดศูนย์กลางของ “ปริมาตรน้ำหนัก” ใต้ผิว $q(x,y)$ · ใช้แทนน้ำหนักกระจายด้วยแรงเดี่ยว $R$ ที่จุดนี้เมื่อคำนวณปฏิกิริยาที่ฐานรองรับ · ผลรวมโมเมนต์เท่ากัน

ตัวอย่าง C-7 · น้ำหนักกระจายแบบสามเหลี่ยมบนแผ่นพื้น

### แผ่นพื้น $6\times4$ m รับน้ำหนักกระจาย $q = 10x/6$ kN/m² (0 ที่ขอบ $x = 0$ ถึง 10 ที่ขอบ $x = 6$) หาแรงลัพธ์และตำแหน่ง

- $R = \displaystyle\int_0^4\!\int_0^6\dfrac{10x}{6}\,dx\,dy = 4\cdot\dfrac{10}{6}\cdot\dfrac{36}{2} = 4\cdot30 = 120$ kN

- $\bar x = \dfrac{1}{120}\displaystyle\int_0^4\!\int_0^6x\cdot\dfrac{10x}{6}\,dx\,dy = \dfrac{1}{120}\cdot4\cdot\dfrac{10}{6}\cdot\dfrac{216}{3} = \dfrac{480}{120} = 4.0$ m (สองในสามของ 6 — ตรงกับเรขาคณิตของพีระมิดลิ่ม)

- $\bar y = 2.0$ m (สมมาตรตามแนว $y$) · แรงลัพธ์ 120 kN กระทำที่ $(4.0,\ 2.0)$ ตรวจในแล็บได้ $M = 120,\ \bar x = 4,\ \bar y = 2$

- ถ้าแผ่นพื้นวางบนคานสองเส้นที่ $x = 0$ และ $x = 6$: ปฏิกิริยา $R_6 = 120\times\dfrac46 = 80$ kN และ $R_0 = 120\times\dfrac26 = 40$ kN (สมดุลโมเมนต์รอบ $x = 0$)

$R = 120$ kN ที่ $(\bar x, \bar y) = (4.0, 2.0)$ m · ปฏิกิริยาคาน 40 และ 80 kN

## แรงดันน้ำบนเขื่อนและการไหลซึมใต้ดิน ขั้นสูง

แรงดันน้ำที่ความลึก $d$ คือ $p = \rho gd$ แรงลัพธ์บนผนังคืออินทิกรัลบนผิว $\mathbf F = \iint p\,\mathbf n\,dS$ ส่วนน้ำใต้ดินซึมผ่านดินตามกฎของดาร์ซี $\mathbf v = -K\nabla h$ ซึ่งเป็นสนามเกรเดียนต์ เมื่อรวมกับความต่อเนื่อง $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ ได้สมการลาปลาซ $\nabla^2h = 0$ สมการเดียวกับศักย์ไฟฟ้า (บทไฟฟ้า) และอุณหภูมิคงตัว (บทเครื่องกล)

C8 Hydrostatic force on a vertical wall แรงดันน้ำบนผนังตั้ง

$$F = \iint p\,dA = \int_0^H\rho g(H - z)\,w\,dz = \tfrac12\rho g\,wH^2,\qquad z_{cp} = \frac{\int z\,p\,dz}{\int p\,dz} = \frac H3\ \text{(เหนือฐาน)}$$

$p = \rho gd$, $d = H - z$ ความลึก · แรงแปรผันกับ $H^2$ · ผนังเอียงหรือโค้งใช้ $\iint p\,\mathbf n\,dS$ ตามบทผิว · เพิ่มแรงยกที่ฐาน (uplift) ในการเช็กเสถียรภาพ

C9 Darcy's law and seepage กฎของดาร์ซีและการไหลซึม

$$\mathbf v = -K\nabla h,\quad Q = \iint_S\mathbf v\cdot\mathbf n\,dA,\quad \nabla\cdot\mathbf v = 0\ \Rightarrow\ \nabla^2h = 0;\qquad Q_{\text{1D}} = K\frac{\Delta h}{L}A$$

$K$ = สภาพนำน้ำ (m/s): กรวด $10^{-2}$ · ทรายสะอาด $10^{-4}$ · ทรายปนทรายแป้ง $10^{-5}$ · ดินเหนียว $\le 10^{-9}$ · $h$ = ระดับพีโซเมตริก · เส้นระดับ $h$ = const ตั้งฉากกับเส้นกระแส → flow net

C10 Radial flow to a well (Thiem) การไหลเข้าบ่อ (Thiem)

$$h(r) = h_w + \frac{Q}{2\pi KT}\ln\frac r{r_w},\qquad Q = \frac{2\pi KT\,(h_2 - h_1)}{\ln(r_2/r_1)}$$

ชั้นน้ำใต้ดินแบบจำกัด (confined) หนา $T$ · คำตอบของลาปลาซในพิกัดทรงกระบอก (รูปเดียวกับ K-2: ท่อกลมนำความร้อน และ E4: สายโคแอกเชียล)

ตัวอย่าง C-8 · แรงดันน้ำบนเขื่อน

### เขื่อนผนังตั้งกว้าง $w = 100$ m น้ำลึก $H = 20$ m ($\rho = 1000$ kg/m³) หาแรงลัพธ์และตำแหน่งที่กระทำ

- แรงดันที่ความลึก $d$: $p = \rho gd = 9810d$ Pa · ที่ฐาน $p = 196.2$ kPa

- $F = \displaystyle\iint p\,dA = \int_0^{20}9810(20 - z)(100)\,dz = 9810\cdot100\cdot\dfrac{20^2}{2} = 1.962\times10^{8}$ N = 196.2 MN

- ตำแหน่ง: $z_{cp} = \dfrac{\int_0^{20}z(20 - z)\,dz}{\int_0^{20}(20 - z)\,dz} = \dfrac{20^3/6}{20^2/2} = \dfrac{20}{3} = 6.67$ m เหนือฐาน (ต่ำกว่าครึ่งความสูงเพราะแรงดันมากที่ล่าง)

- โมเมนต์พลิกคว่ำรอบฐาน $M = F\cdot z_{cp} = 196.2\times6.67 = 1308$ MN·m ต้องถูกต้านด้วยน้ำหนักของเขื่อนและแรงต้านดิน · ถ้าระดับน้ำเพิ่มเป็น 25 m แรงเพิ่ม $(25/20)^2 = 1.56$ เท่า (306.6 MN)

$F = 196.2$ MN ที่ $6.67$ m เหนือฐาน · $M = 1308$ MN·m

ตัวอย่าง C-9 · น้ำซึมผ่านคันดิน

### คันดินทรายปนทรายแป้ง $K = 10^{-5}$ m/s หนา $L = 50$ m ระดับน้ำต่างกัน 5 m หน้าตัดตั้งฉากการไหลกว้าง 10 m สูง 2 m หาความเร็วซึมและปริมาณน้ำซึม

- ระดับน้ำเป็นเส้นตรง $h(x) = h_1 - 5x/50$ ซึ่งเป็นคำตอบของลาปลาซ ($h'' = 0$) · gradient ไฮดรอลิก $i = |\nabla h| = 5/50 = 0.1$

- ดาร์ซี: $v = Ki = 10^{-5}\times0.1 = 1.0\times10^{-6}$ m/s (ตามทิศ $-\nabla h$ คือจากฝั่งสูงไปต่ำ)

- $Q = vA = 10^{-6}\times(10\times2) = 2.0\times10^{-5}$ m³/s = 1.73 m³/วัน

- เทียบกับการนำความร้อนของผนังหนา (K-1) $q = k\Delta T/L$: รูปเดียวกัน $v \leftrightarrow q,\ K \leftrightarrow k,\ h \leftrightarrow T$ — ตารางเปรียบเทียบด้านล่าง

$v = 1.0\times10^{-6}$ m/s · $Q = 2.0\times10^{-5}$ m³/s $\approx 1.73$ m³/วัน

ตัวอย่าง C-10 · บ่อสูบในชั้นน้ำใต้ดินแบบจำกัด

### ชั้นน้ำใต้ดินหนา $T = 20$ m, $K = 10^{-4}$ m/s มีบ่อสังเกตการณ์ที่ $r_1 = 10$ m (ระดับ $h_1 = 18.2$ m) และ $r_2 = 100$ m ($h_2 = 19.6$ m) หาอัตราสูบ $Q$

- การไหลเข้าบ่อสมมาตรรอบแกน $h = h(r)$ · ลาปลาซ: $\dfrac1r\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dh}{dr}\right) = 0$ → $h = C_1\ln r + C_2$

- ดาร์ซี: $v_r = -K\dfrac{dh}{dr} = -\dfrac{KC_1}{r}$ · ฟลักซ์ผ่านทรงกระบอกรัศมี $r$ สูง $T$: $Q = v_r(2\pi rT)$ = คงที่ → $C_1 = \dfrac{Q}{2\pi KT}$ (เมื่อ $Q$ ไหลเข้าบ่อ เครื่องหมายสลับ)

- จากสองบ่อ: $h_2 - h_1 = C_1\ln\dfrac{r_2}{r_1}$ → $Q = \dfrac{2\pi KT(h_2 - h_1)}{\ln(r_2/r_1)} = \dfrac{2\pi(10^{-4})(20)(1.4)}{\ln10} = \dfrac{0.017593}{2.3026} = 7.64\times10^{-3}$ m³/s

- $Q = 7.64$ L/s ≈ 660 m³/วัน · ตรวจแบบเดียวกับ K-2: อัตราไหลต่อความยาว/ความหนาเป็นค่าคงที่ทุกรัศมี

$Q = 7.64$ L/s (Thiem)

### ตารางเปรียบเทียบ: ความร้อน ไหลซึม ไฟฟ้า สมการเดียวกัน

| ปริมาณ | ความร้อน (เครื่องกล) | ไหลซึม (โยธา) | นำไฟฟ้า (ไฟฟ้า) |

| ศักย์ | อุณหภูมิ $T$ | ระดับน้ำ $h$ | แรงดัน $V$ |

| สภาพนำ | $k$ (W/m·K) | $K$ (m/s) | $\sigma$ (S/m) |

| ฟลักซ์ | $\mathbf q = -k\nabla T$ | $\mathbf v = -K\nabla h$ | $\mathbf J = -\sigma\nabla V$ |

| อนุรักษ์ | $\nabla\cdot\mathbf q = 0$ | $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ | $\nabla\cdot\mathbf J = 0$ |

| สมการ | $\nabla^2T = 0$ | $\nabla^2h = 0$ | $\nabla^2V = 0$ |

| ท่อกลม/บ่อ/โคแอก | $\dot Q' = \dfrac{2\pi k\Delta T}{\ln(r_o/r_i)}$ (K-2) | $Q = \dfrac{2\pi KT\Delta h}{\ln(r_2/r_1)}$ (C-10) | $I' = \dfrac{2\pi\sigma V}{\ln(b/a)}$ (E-4) |

เพราะสมการเหมือนกัน คำตอบที่คำนวณครั้งเดียวใช้ได้สามสาขา: แล็บความร้อนในบทเครื่องกลและแล็บประจุในบทไฟฟ้าจึงใช้เรียนการซึมของน้ำได้ด้วย (เส้นกระแสตั้งฉากเส้นศักย์เท่ากัน เหมือน flow net)

## สรุปเครื่องมือแคลคูลัสกับโจทย์โยธา พื้นฐาน

| ปัญหาโยธา | เครื่องมือ | ผลลัพธ์ |

| ความลาดชันและทิศน้ำไหลของพื้นที่ | เกรเดียนต์ $\nabla h$ | $100|\nabla h|$% · $-\nabla h$ (C1) |

| ปริมาณงานดินและระดับสมดุล | อินทิกรัลสองชั้นของ $h - z_0$ | $V_{cut}, V_{fill}, \bar h$ (C2–C3) |

| หน้าตัดคานและเสา | ทฤษฎีบทกรีน / อินทิกรัลสองชั้น | $A, \bar y, I, S, \sigma$ (C4–C6) |

| น้ำหนักกระจาย | อินทิกรัลสองชั้นถ่วงน้ำหนัก | $R, \bar x, \bar y$ (C7) |

| แรงดันน้ำบนเขื่อน/ประตูน้ำ | อินทิกรัลบนผิว | $F, z_{cp}$ (C8) |

| การซึมของน้ำ บ่อสูบ | ดาร์ซี + ลาปลาซ + ฟลักซ์ | $Q$ (C9, C10) |

| การโก่งตัวของคาน | อินทิกรัลตัวแปรเดียวซ้ำ + $\kappa \approx M/EI$ | ดูแล็บคาน และความโค้ง |

| ผิวเปลือกบางและหลังคาโค้ง | พื้นที่ผิว $\iint\sqrt{1 + |\nabla g|^2}\,dA$ | ปริมาณวัสดุ (บทผิว) |

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- ใช้ค่าเฉลี่ยของความลึกที่ไม่ถ่วงน้ำหนักพื้นที่ · ช่องที่มีขนาดไม่เท่ากันต้องคูณพื้นที่ของแต่ละช่อง

- ไม่แยกส่วนขุดและส่วนถมก่อนรวม · ใช้ $\max(h - z_0, 0)$ ไม่ใช่ $h - z_0$ ตรง ๆ (ผลรวมตรง ๆ ได้แค่ผลต่างสุทธิ)

- ลืมตัวคูณขยายตัวและบดอัด ของดิน · ปริมาตรในสนามต่างจากปริมาตรคำนวณ (ดินร่วนขยายตัว ดินถมอัดตัว)

- ใช้ $I$ รอบแกนที่ขอบแทนที่จุดศูนย์ถ่วง ในสูตร $\sigma = My/I$ · ต้องย้ายแกนด้วยทฤษฎีบทแกนขนานก่อน

- ลำดับจุดยอดตามเข็มนาฬิกา ในสูตรกรีน · ได้เครื่องหมายลบ ใส่ค่าสัมบูรณ์ (โปรแกรมในแล็บทำให้อัตโนมัติ)

- ใช้ความดันเกจกับความดันสัมบูรณ์ปนกัน ในเขื่อน · ความดันบรรยากาศหักล้างกันทั้งสองด้านของผนัง

รวมเครื่องมือทั้งหมดของชุดนี้ไว้ในหน้าเดียวที่แล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร หรือกลับไปดูภาพรวมที่หน้าหลักของชุด

## คำถามที่พบบ่อย

คำนวณปริมาตรดินขุด-ถม (cut and fill) ด้วยอินทิกรัลสองชั้นอย่างไร?
ให้ $h(x, y)$ เป็นความสูงภูมิประเทศเดิมและ $z_0$ เป็นระดับที่ต้องการปรับแต่ง ปริมาตรดินขุดคือ $\iint\max(h - z_0, 0)\,dA$ และปริมาตรดินถมคือ $\iint\max(z_0 - h, 0)\,dA$ บนพื้นที่ปรับแต่ง ในทางปฏิบัติแบ่งเป็นตารางสี่เหลี่ยมแล้วใช้ค่าความลึกที่มุม $V = \tfrac{A}{4}\sum(d_1 + d_2 + d_3 + d_4)$ ซึ่งเท่ากับอินทิกรัลของพื้นผิวสอดแทรกสองเชิงเส้นพอดี ถ้าตั้ง $z_0$ เท่ากับความสูงเฉลี่ย $\bar h = \tfrac1A\iint h\,dA$ จะได้ขุด = ถม (ไม่ต้องขนดินเข้าออก)

ความลาดชัน (slope) ของภูมิประเทศคำนวณจาก gradient อย่างไร?
ความลาดชันเป็นเปอร์เซ็นต์ $= 100\times|\nabla h| = 100\sqrt{h_x^2 + h_y^2}$ และมุมเอียง $\arctan|\nabla h|$ ทิศที่น้ำไหลลงคือ $-\nabla h$ ซึ่งตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง ตัวอย่าง $h = 10 + 0.06x + 0.03y$ ได้ $|\nabla h| = 0.0671$ หรือ 6.7% น้ำไหลไปทางตะวันตกเฉียงใต้ (ทิศ $243^\circ$ จากทิศเหนือ) ใช้กำหนดแนวระบายน้ำ ความชันของทางลาด และตรวจเกณฑ์ความชันสูงสุดของถนน

หา A ȳ และ I ของหน้าตัดรูปหลายเหลี่ยมด้วยทฤษฎีบทกรีนอย่างไร?
ทฤษฎีบทกรีนเปลี่ยนอินทิกรัลสองชั้นบนหน้าตัดให้เป็นผลรวมตามขอบ ทำให้ได้สูตรจากพิกัดจุดยอดโดยตรง $A = \tfrac12\sum(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)$ และ $\bar y = \tfrac{1}{6A}\sum(y_i + y_{i+1})(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)$ ทำนองเดียวกันกับ $\bar x$ และ $I_x$ จากนั้นย้ายแกนมาที่จุดศูนย์ถ่วงด้วยทฤษฎีบทแกนขนาน $I_{\bar x} = I_x - A\bar y^2$ ตัวอย่างหน้าตัดตัว T (สะพานคานตัว T) ได้ $A = 60\,000$ mm², $\bar y = 250$ mm, $I = 850\times10^6$ mm⁴

กฎของดาร์ซี (Darcy's law) เกี่ยวกับสมการลาปลาซอย่างไร?
กฎของดาร์ซีบอกว่าความเร็วซึมของน้ำใต้ดินเป็น $\mathbf v = -K\nabla h$ (ตามสนามเกรเดียนต์ของระดับน้ำ $h$) เมื่อน้ำไม่บีบอัดและสภาวะคงตัว $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ แทนกันได้ $\nabla\cdot(K\nabla h) = 0$ หรือ $\nabla^2h = 0$ เมื่อ $K$ สม่ำเสมอ นั่นคือสมการลาปลาซเดียวกับศักย์ไฟฟ้าและอุณหภูมิคงตัว จึงแก้ปัญหาการซึมใต้เขื่อนด้วยเครือข่ายการไหล (flow net) ซึ่งเส้นศักย์ตั้งฉากกับเส้นกระแสได้

แรงดันน้ำบนผนังเขื่อน (hydrostatic force) คำนวณอย่างไร?
แรงดันที่ความลึก $d$ คือ $p = \rho g d$ เพิ่มเป็นเส้นตรงตามความลึก แรงลัพธ์บนผนังคืออินทิกรัลบนผิว $F = \iint p\,dA$ สำหรับผนังตั้งกว้าง $w$ สูง $H$ เมื่อน้ำเต็มถึงยอด $F = \tfrac12\rho gwH^2$ กระทำที่ความสูง $H/3$ จากฐาน เช่นเขื่อนกว้าง 100 m น้ำลึก 20 m ได้ $F = 196.2$ MN ที่ 6.67 m เหนือฐาน แรงเพิ่มตามกำลังสองของระดับน้ำ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**คำนวณปริมาตรดินขุด-ถม (cut and fill) ด้วยอินทิกรัลสองชั้นอย่างไร?**
ให้ $h(x, y)$ เป็นความสูงภูมิประเทศเดิมและ $z_0$ เป็นระดับที่ต้องการปรับแต่ง ปริมาตรดินขุดคือ $\iint\max(h - z_0, 0)\,dA$ และปริมาตรดินถมคือ $\iint\max(z_0 - h, 0)\,dA$ บนพื้นที่ปรับแต่ง ในทางปฏิบัติแบ่งเป็นตารางสี่เหลี่ยมแล้วใช้ค่าความลึกที่มุม $V = \tfrac{A}{4}\sum(d_1 + d_2 + d_3 + d_4)$ ซึ่งเท่ากับอินทิกรัลของพื้นผิวสอดแทรกสองเชิงเส้นพอดี ถ้าตั้ง $z_0$ เท่ากับความสูงเฉลี่ย $\bar h = \tfrac1A\iint h\,dA$ จะได้ขุด = ถม (ไม่ต้องขนดินเข้าออก)

**ความลาดชัน (slope) ของภูมิประเทศคำนวณจาก gradient อย่างไร?**
ความลาดชันเป็นเปอร์เซ็นต์ $= 100\times|\nabla h| = 100\sqrt{h_x^2 + h_y^2}$ และมุมเอียง $\arctan|\nabla h|$ ทิศที่น้ำไหลลงคือ $-\nabla h$ ซึ่งตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง ตัวอย่าง $h = 10 + 0.06x + 0.03y$ ได้ $|\nabla h| = 0.0671$ หรือ 6.7% น้ำไหลไปทางตะวันตกเฉียงใต้ (ทิศ $243^\circ$ จากทิศเหนือ) ใช้กำหนดแนวระบายน้ำ ความชันของทางลาด และตรวจเกณฑ์ความชันสูงสุดของถนน

**หา A ȳ และ I ของหน้าตัดรูปหลายเหลี่ยมด้วยทฤษฎีบทกรีนอย่างไร?**
ทฤษฎีบทกรีนเปลี่ยนอินทิกรัลสองชั้นบนหน้าตัดให้เป็นผลรวมตามขอบ ทำให้ได้สูตรจากพิกัดจุดยอดโดยตรง $A = \tfrac12\sum(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)$ และ $\bar y = \tfrac{1}{6A}\sum(y_i + y_{i+1})(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)$ ทำนองเดียวกันกับ $\bar x$ และ $I_x$ จากนั้นย้ายแกนมาที่จุดศูนย์ถ่วงด้วยทฤษฎีบทแกนขนาน $I_{\bar x} = I_x - A\bar y^2$ ตัวอย่างหน้าตัดตัว T (สะพานคานตัว T) ได้ $A = 60\,000$ mm², $\bar y = 250$ mm, $I = 850\times10^6$ mm⁴

**กฎของดาร์ซี (Darcy's law) เกี่ยวกับสมการลาปลาซอย่างไร?**
กฎของดาร์ซีบอกว่าความเร็วซึมของน้ำใต้ดินเป็น $\mathbf v = -K\nabla h$ (ตามสนามเกรเดียนต์ของระดับน้ำ $h$) เมื่อน้ำไม่บีบอัดและสภาวะคงตัว $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ แทนกันได้ $\nabla\cdot(K\nabla h) = 0$ หรือ $\nabla^2h = 0$ เมื่อ $K$ สม่ำเสมอ นั่นคือสมการลาปลาซเดียวกับศักย์ไฟฟ้าและอุณหภูมิคงตัว จึงแก้ปัญหาการซึมใต้เขื่อนด้วยเครือข่ายการไหล (flow net) ซึ่งเส้นศักย์ตั้งฉากกับเส้นกระแสได้

**แรงดันน้ำบนผนังเขื่อน (hydrostatic force) คำนวณอย่างไร?**
แรงดันที่ความลึก $d$ คือ $p = \rho g d$ เพิ่มเป็นเส้นตรงตามความลึก แรงลัพธ์บนผนังคืออินทิกรัลบนผิว $F = \iint p\,dA$ สำหรับผนังตั้งกว้าง $w$ สูง $H$ เมื่อน้ำเต็มถึงยอด $F = \tfrac12\rho gwH^2$ กระทำที่ความสูง $H/3$ จากฐาน เช่นเขื่อนกว้าง 100 m น้ำลึก 20 m ได้ $F = 196.2$ MN ที่ 6.67 m เหนือฐาน แรงเพิ่มตามกำลังสองของระดับน้ำ

---

# แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมไฟฟ้า: สนามไฟฟ้า ศักย์ กฎของเกาส์ ตัวเก็บประจุ และสมการแมกซ์เวลล์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/electrical-engineering/
Updated: 2026-10-17
Summary: การประยุกต์แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมไฟฟ้า (electrical engineering): สนามไฟฟ้า E = −∇V ศักย์ไฟฟ้า (electric potential) ประจุจุดและสนามซ้อนทับ กฎของเกาส์ (Gauss's law) ความจุของตัวเก็บประจุและสายโคแอกเชียล หลักดินและแรงดันก้าว สมการลาปลาซ-พัวซอง สมการแมกซ์เวลล์ เวกเตอร์พอยน์ติง พร้อมแล็บลากประจุและตรวจกฎของเกาส์

// บทที่ 24.10 · การประยุกต์ · Electrical Engineering

# แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมไฟฟ้า: สนามไฟฟ้า ศักย์ กฎของเกาส์ ตัวเก็บประจุ และสมการแมกซ์เวลล์

แม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetics) คือวิชาที่แคลคูลัสหลายตัวแปรทั้งหมดมารวมกัน: gradient เปลี่ยนศักย์เป็นสนาม อินทิกรัลผิวหาฟลักซ์ อินทิกรัลเส้นหาแรงดัน divergence และ curl แปลงกฎทั้งสี่ให้เป็นสมการที่แก้ได้ หน้านี้ใช้เครื่องมือจากบทก่อนหน้าแก้โจทย์ไฟฟ้าจริง ตั้งแต่สนามของประจุจุดและแล็บลากประจุ กฎของเกาส์ ความจุของแผ่นขนานและสายโคแอกเชียล ค่าความต้านทานดินของหลักดินและแรงดันก้าว (step voltage) ไปจนถึงสมการแมกซ์เวลล์ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า และพลังงานที่ไหลเข้าสู่ลวดนำกระแสผ่านเวกเตอร์พอยน์ติง

สรุปใน 30 วินาที

- $\mathbf E = -\nabla V$ · $V = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum\dfrac{q_i}{r_i}$ · $V_{AB} = -\int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l$ (ไม่ขึ้นกับเส้นทางเพราะ $\nabla\times\mathbf E = \mathbf 0$)

- เกาส์: $\oiint\mathbf E\cdot d\mathbf S = Q_{enc}/\varepsilon_0$ · $\nabla\cdot\mathbf E = \rho_v/\varepsilon_0$ · เส้นประจุ $E = \lambda/2\pi\varepsilon_0r$ · ระนาบ $E = \sigma/2\varepsilon_0$

- ความจุ: $C = Q/V$ · แผ่นขนาน $\varepsilon_0A/d$ · โคแอกเชียล $2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a)$ · พลังงาน $\tfrac12\varepsilon_0\iiint E^2dV = \tfrac12CV^2$

- ลาปลาซ/พัวซอง: $\nabla^2V = -\rho_v/\varepsilon_0$ · พอยน์ติง: $\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H$, $P = \oiint\mathbf S\cdot d\mathbf A$

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## สนามไฟฟ้าจากศักย์: E = −∇V พื้นฐาน

ศักย์ไฟฟ้า $V(x, y, z)$ เป็นสเกลาร์ (ตัวเลขเดียวต่อจุด) ซึ่งคำนวณง่ายกว่าสนามเวกเตอร์ เพราะรวมจากหลายประจุได้โดยบวกตัวเลข แล้วใช้ $\mathbf E = -\nabla V$ หาสนามทั้งสามองค์ประกอบในครั้งเดียว (บทเกรเดียนต์) ผลคือเส้นศักย์เท่ากัน (equipotential) ตั้งฉากกับเส้นแรงเสมอ และ $\mathbf E$ ชี้ไปทางที่ศักย์ลดลง

E1 Point charge and superposition ประจุจุดและการซ้อนทับ

$$V(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i\frac{q_i}{|\mathbf r - \mathbf r_i|},\qquad \mathbf E(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i q_i\frac{\mathbf r - \mathbf r_i}{|\mathbf r - \mathbf r_i|^3},\qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8.988\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$$

$\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ F/m · ศักย์บวกกันได้เป็นตัวเลข สนามบวกกันเป็นเวกเตอร์ · $V$ อ้างอิง $V(\infty) = 0$

E2 Field from potential and voltage สนามจากศักย์และแรงดัน

$$\mathbf E = -\nabla V = -\left\langle\frac{\partial V}{\partial x},\ \frac{\partial V}{\partial y},\ \frac{\partial V}{\partial z}\right\rangle,\qquad V_A - V_B = \int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l,\qquad \nabla\times\mathbf E = \mathbf 0\ \text{(สถิต)}$$

สนามอนุรักษ์: แรงดันระหว่างสองจุดไม่ขึ้นกับเส้นทาง (ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น) · $\mathbf E \perp$ ผิวศักย์เท่ากัน · ผิวตัวนำเป็นผิวศักย์เท่ากัน $\Rightarrow$ $\mathbf E$ ตั้งฉากผิวตัวนำ

### แล็บประจุจุด: ลากประจุ ดู V และ E

แล็บอยู่ในระนาบ $z = 0$ (หน่วย nC, เมตร) สีพื้นแสดงศักย์ (ส้ม = บวก ฟ้า = ลบ) เส้นสีแสดงเส้นศักย์เท่ากัน และเส้นดำคือเส้นแรง ลากประจุได้ ลากจุด P เพื่ออ่าน $V$ และ $\mathbf E$ ตารางเทียบ $\mathbf E$ จากสูตรคูลอมบ์กับ $-\nabla V$ ที่คำนวณด้วยผลต่างของ $V$ (ตรงกันเสมอ) เลือกเครื่องมือเพื่อเพิ่ม/ลบประจุ และเปิด “ทรงกลมเกาส์” เพื่อตรวจฟลักซ์

ตัวอย่าง E-1 · ไดโพล (dipole)

### ประจุ $+2$ nC ที่ $(-1, 0)$ และ $-2$ nC ที่ $(1, 0)$ (เมตร) หา $V$ และ $\mathbf E$ ที่จุดกำเนิดและที่ $(0, 1)$

- $V = kq\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$ ที่จุดกำเนิด $r_1 = r_2 = 1$ → $V = 0$ · ที่ $(0, 1)$ ก็ $r_1 = r_2 = \sqrt2$ → $V = 0$ (ทั้งแกน $y$ คือเส้นศักย์เท่ากันที่ 0 V — ระนาบแบ่งครึ่งระหว่างประจุคู่)

- ที่จุดกำเนิด: ประจุบวกผลักไปทาง $+x$ ประจุลบดึงไปทาง $+x$ → $E_x = 2\cdot\dfrac{kq}{1^2} = 2(8.988\times10^9)(2\times10^{-9}) = 35.95$ V/m, $E_y = 0$

- ที่ $(0, 1)$: แต่ละประจุห่าง $\sqrt2$ ได้ขนาด $kq/2 = 8.988$ V/m · จากประจุบวก ทิศ $(1, 1)/\sqrt2$ → $(6.355, 6.355)$ · จากประจุลบ ทิศ $(1, -1)/\sqrt2$ → $(6.355, -6.355)$

- รวม: $\mathbf E = (12.71,\ 0)$ V/m — ชี้ขนานแกน $x$ ตั้งฉากกับเส้นศักย์เท่ากัน (แกน $y$) ✓ สังเกต: ตามแกน $y$ สนามชี้ $+x$ เสมอ จึง $V$ ไม่เปลี่ยนตามแกน $y$

- ตรวจ $\mathbf E = -\nabla V$: ในแล็บ ตั้ง P ที่ $(0, 1)$ แล้วเทียบแถว “E จากสูตรคูลอมบ์” กับ “E = −∇V” ได้ $(12.71, 0)$ V/m ทั้งสองแถว

$V(0,0) = V(0,1) = 0$ · $\mathbf E(0,0) = (35.95, 0)$ V/m · $\mathbf E(0,1) = (12.71, 0)$ V/m

## กฎของเกาส์ในงานไฟฟ้า กลาง

กฎของเกาส์ $\oiint\mathbf E\cdot d\mathbf S = Q_{enc}/\varepsilon_0$ เป็นทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ของไฟฟ้า (บทอินทิกรัลบนผิว) ใช้ได้เสมอ แต่ใช้หาสนามได้สะดวกเฉพาะเมื่อมีความสมมาตรสูง เพราะต้องเลือกผิวเกาส์ให้ $\mathbf E\cdot\mathbf n$ คงที่ ในแล็บด้านบนเปิดสวิตช์ “ทรงกลมเกาส์” แล้วลากวงเขียว: ฟลักซ์ผ่านทรงกลมมีค่าเท่ากับ $Q_{ใน}/\varepsilon_0$ เสมอ ประจุนอกวงให้ฟลักซ์สุทธิเป็นศูนย์

E3 Fields from Gauss's law (symmetric charges) สนามจากกฎของเกาส์ (ประจุสมมาตร)

$$\text{ทรงกลม: } E = \frac{Q_{enc}}{4\pi\varepsilon_0r^2}\quad\text{เส้นประจุ: } E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\quad\text{ระนาบ: } E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\quad\text{ผิวตัวนำ: } E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

ผิวเกาส์: ทรงกลมรัศมี $r$ · ทรงกระบอกรัศมี $r$ ยาว $L$ (ฟลักซ์ผ่านผนังข้าง) · กล่องกระดุม (pillbox) คร่อมระนาบ · ผิวตัวนำ: สนามภายใน = 0 จึงฟลักซ์ออกด้านเดียว

E4 Poisson and Laplace equations สมการพัวซองและลาปลาซ

$$\nabla\cdot\mathbf E = \frac{\rho_v}{\varepsilon_0},\ \ \mathbf E = -\nabla V\ \Longrightarrow\ \nabla^2V = -\frac{\rho_v}{\varepsilon_0}\quad(\text{พัวซอง}),\qquad \nabla^2V = 0\quad(\rho_v = 0:\ \text{ลาปลาซ})$$

ใช้หา $V$ เมื่อรู้แรงดันที่ขอบ (ขั้วอิเล็กโทรด) · คำตอบของลาปลาซไม่มีค่าสูงสุด/ต่ำสุดภายใน (สูงสุดอยู่ที่ขอบ) · สมการรูปเดียวกันใช้กับอุณหภูมิคงตัวและระดับน้ำใต้ดิน

ตัวอย่าง E-2 · สนามของเส้นประจุและแผ่นระนาบ

### (ก) เส้นประจุยาวมาก $\lambda = 10$ nC/m หา $E$ ที่ 0.5 m (ข) แผ่นประจุระนาบ $\sigma = 20$ nC/m² หา $E$

- (ก) ผิวเกาส์ทรงกระบอกรัศมี $r$ ยาว $L$: $E(2\pi rL) = \lambda L/\varepsilon_0$ → $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r} = \dfrac{10\times10^{-9}}{2\pi(8.854\times10^{-12})(0.5)} = 359.5$ V/m

- (ข) กล่องกระดุมคร่อมแผ่น พื้นที่หน้า $A$ สองด้าน: $2EA = \sigma A/\varepsilon_0$ → $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \dfrac{20\times10^{-9}}{2(8.854\times10^{-12})} = 1129$ V/m (คงที่ ไม่ขึ้นกับระยะ)

- ตรวจด้วยศักย์: $V(r) = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r + C$ → $E = -\dfrac{dV}{dr} = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$ ✓ สอดคล้องกับ (ก) และ $\nabla^2V = \dfrac1r\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dV}{dr}\right) = 0$

(ก) $E = 359.5$ V/m · (ข) $E = 1129$ V/m

## ความจุ พลังงานในสนาม และสายโคแอกเชียล กลาง

ความจุ (capacitance) $C = Q/V$ คืออัตราส่วนประจุที่เก็บต่อแรงดัน ขั้นตอนมาตรฐานคือ: (1) สมมติประจุ $Q$ บนอิเล็กโทรด (2) หา $\mathbf E$ ด้วยกฎของเกาส์ (3) หา $V = -\int\mathbf E\cdot d\mathbf l$ ระหว่างสองอิเล็กโทรด (4) $C = Q/V$ พลังงานที่สะสมคืออินทิกรัลสามชั้นของความหนาแน่นพลังงานสนาม $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ ทั่วปริมาตร

E5 Capacitance and stored energy ความจุและพลังงานที่สะสม

$$C = \frac{Q}{V},\qquad C_{\text{plates}} = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_rA}{d},\qquad w_E = \tfrac12\varepsilon E^2,\qquad W = \iiint\tfrac12\varepsilon E^2\,dV = \tfrac12CV^2$$

$W$ จากอินทิกรัลสามชั้นของ $w_E$ เท่ากับ $\tfrac12CV^2$ เสมอ (ตรวจสอบได้) · ละเลยผลที่ขอบ (fringe) สำหรับแผ่นขนานที่ระยะห่างน้อยกว่าขนาดแผ่นมาก

E6 Coaxial cable สายโคแอกเชียล

$$E(r) = \frac{V_0}{r\ln(b/a)},\quad V(r) = V_0\frac{\ln(b/r)}{\ln(b/a)},\quad C' = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}\ \text{F/m},\quad L' = \frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac ba\ \text{H/m}$$

$a$ = รัศมีแกนใน · $b$ = รัศมีด้านในของชีลด์ · $\varepsilon_r$ = ค่าไดอิเล็กทริก (โพลีเอทิลีน ≈ 2.3) · $V(r)$ เป็นคำตอบของสมการลาปลาซในพิกัดทรงกระบอก $\tfrac1r(rV')' = 0$

ตัวอย่าง E-3 · ตัวเก็บประจุแผ่นขนาน

### แผ่น 10 cm × 10 cm ห่าง 1 mm ในอากาศ ต่อกับ 100 V หา $E$, $C$, $Q$, $W$ และตรวจ $W$ ด้วยอินทิกรัลความหนาแน่นพลังงาน

- $E = V/d = 100/0.001 = 1.00\times10^{5}$ V/m (สม่ำเสมอระหว่างแผ่น)

- $C = \dfrac{\varepsilon_0A}{d} = \dfrac{8.854\times10^{-12}\times0.01}{0.001} = 88.54$ pF · $Q = CV = 8.854$ nC

- $W = \tfrac12CV^2 = \tfrac12(88.54\times10^{-12})(100)^2 = 4.427\times10^{-7}$ J = 0.443 µJ

- ตรวจด้วยสนาม: $w_E = \tfrac12\varepsilon_0E^2 = \tfrac12(8.854\times10^{-12})(10^{5})^2 = 0.04427$ J/m³ คูณปริมาตร $Ad = 10^{-5}$ m³ → $W = 4.427\times10^{-7}$ J ✓ (ตรงกัน)

$E = 10^5$ V/m · $C = 88.54$ pF · $Q = 8.85$ nC · $W = 0.443$ µJ

ตัวอย่าง E-4 · ความจุสายโคแอกเชียลต่อเมตร

### สายโคแอก $a = 0.45$ mm, $b = 1.47$ mm ไดอิเล็กทริกโพลีเอทิลีน $\varepsilon_r = 2.3$ หา $C'$ และสนามสูงสุดที่แกนในเมื่อใส่ 100 V

- สมมติประจุเส้น $\lambda$ บนแกนใน · เกาส์: $E(r) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_rr}$

- แรงดัน $V_0 = \displaystyle\int_a^bE\,dr = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\ln\dfrac ba$ · $C' = \dfrac{\lambda}{V_0} = \dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}$

- $\ln(1.47/0.45) = \ln3.267 = 1.1838$ → $C' = \dfrac{2\pi(8.854\times10^{-12})(2.3)}{1.1838} = 108.1$ pF/m (สาย RG-58 ในแค็ตตาล็อกอยู่ราว 101 pF/m — ใกล้เคียง)

- สนามที่แกนใน $r = a$: $E = \dfrac{V_0}{a\ln(b/a)} = \dfrac{100}{(0.45\times10^{-3})(1.1838)} = 1.877\times10^{5}$ V/m = 187.7 kV/m (สนามสูงสุดอยู่ติดแกนใน จึงกำหนดแรงดันที่สายทนได้)

$C' = 108.1$ pF/m · $E_{\max} = 187.7$ kV/m ที่ 100 V

## หลักดิน ความต้านทานจากสนาม และแรงดันก้าว กลาง

ความหนาแน่นกระแส $\mathbf J$ กับสนาม $\mathbf E$ สัมพันธ์ด้วยกฎของโอห์มในรูปจุด $\mathbf J = \sigma\mathbf E$ กระแสรวมคือฟลักซ์ของ $\mathbf J$ ผ่านหน้าตัด $I = \iint\mathbf J\cdot d\mathbf S$ และแรงดันคืออินทิกรัลเส้นของ $\mathbf E$ ความต้านทาน $R = V/I$ จึงคำนวณได้จากสองอินทิกรัลนี้ ตัวอย่างสำคัญคือการต่อลงดิน (earthing) ซึ่งความปลอดภัยของคนขึ้นกับสนามที่ผิวดินรอบหลักดิน

E7 Resistance from the fields ความต้านทานจากสนาม

$$\mathbf J = \sigma\mathbf E,\qquad I = \iint_S\mathbf J\cdot d\mathbf S,\qquad V = \int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l,\qquad R = \frac VI = \frac{\int\mathbf E\cdot d\mathbf l}{\sigma\iint\mathbf E\cdot d\mathbf S}$$

$\nabla\cdot\mathbf J = 0$ ในสภาวะคงตัว (กระแสไม่สะสม) จึง $\nabla\cdot(\sigma\nabla V) = 0$ หรือ $\nabla^2V = 0$ เมื่อ $\sigma$ สม่ำเสมอ · $\rho = 1/\sigma$ ความต้านทานจำเพาะ (Ω·m)

E8 Hemispherical earth electrode หลักดินครึ่งทรงกลม

$$J(r) = \frac{I}{2\pi r^2},\quad V(r) = \frac{\rho I}{2\pi r},\quad R_g = \frac{\rho}{2\pi a},\quad V_{\text{step}} = \frac{\rho I}{2\pi}\left(\frac1{r_1} - \frac1{r_2}\right)$$

กระแสกระจายออกครึ่งทรงกลม (ผิวพื้นที่ $2\pi r^2$) · แรงดันเมื่อห่าง $r$ ลดเป็น $1/r$ · แรงดันก้าวคือความต่างศักย์ระหว่างสองเท้าที่ห่างกันก้าวหนึ่ง (~1 m)

ตัวอย่าง E-5 · หลักดินและแรงดันก้าว

### หลักดินครึ่งทรงกลมรัศมี $a = 0.10$ m ในดินความต้านทานจำเพาะ $\rho = 100\ \Omega\!\cdot\!\text{m}$ เมื่อเกิดกระแสลัดวงจร $I = 1000$ A ลงดิน หา $R_g$, $V$ ที่ผิวดินห่าง 1 m และแรงดันก้าวระหว่าง $r = 1.0$ กับ $1.8$ m

- กระแสไหลออกทุกทิศบนครึ่งทรงกลมรัศมี $r$: $I = J(2\pi r^2)$ → $J = \dfrac{I}{2\pi r^2}$ · $E = \rho J = \dfrac{\rho I}{2\pi r^2}$

- $V(r) = \displaystyle\int_r^\infty E\,dr' = \dfrac{\rho I}{2\pi r}$ · ที่ผิวหลักดิน $V(a) = \dfrac{\rho I}{2\pi a}$ → $R_g = \dfrac{V(a)}{I} = \dfrac{\rho}{2\pi a} = \dfrac{100}{2\pi(0.1)} = 159.2\ \Omega$

- $V(r = 1\text{ m}) = \dfrac{100\times1000}{2\pi(1)} = 15\,915$ V (เทียบกับดินไกล) และ $V(1.8) = 8842$ V

- แรงดันก้าว $= 15\,915 - 8842 = 7073$ V อันตรายถึงชีวิต (เกณฑ์ปลอดภัยโดยทั่วไปอยู่ระดับร้อยโวลต์) จึงต้องลดโดยทำหลักดินหลายแท่ง ตาข่ายต่อลงดิน และปูผิวหินกรวดความต้านทานสูงในสถานีไฟฟ้าย่อย

$R_g = 159.2\ \Omega$ · $V(1\text{ m}) = 15.9$ kV · แรงดันก้าว (1.0→1.8 m) = 7.07 kV

## สมการแมกซ์เวลล์ คลื่น และเวกเตอร์พอยน์ติง ขั้นสูง

สมการแมกซ์เวลล์สี่ข้อ (ดูตารางในบทผิวและสโตกส์) มีรูปอนุพันธ์ที่ใช้ div และ curl ถ้าแทนกันและใช้เอกลักษณ์ $\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf E) - \nabla^2\mathbf E$ (D9) ในที่ว่าง ($\rho = 0,\ \mathbf J = \mathbf 0$) จะได้สมการคลื่น ซึ่งทำนองค์ประกอบสำคัญคือ ความเร็วคลื่นเท่ากับ $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$

E9 Electromagnetic wave equation สมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = -\frac{\partial}{\partial t}\nabla\times\mathbf B = -\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}\ \ \Longrightarrow\ \ \nabla^2\mathbf E = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2},\qquad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$$

ใช้ $\nabla\cdot\mathbf E = 0$ ในที่ว่าง · คลื่นระนาบ $E_x = E_0\cos(kz - \omega t)$ เป็นคำตอบเมื่อ $\omega = ck$ · $\lambda = c/f$ · ความไม่แปรผันนี้คือแกนของสายอากาศ สายส่งความถี่สูง และท่อนำคลื่น

E10 Poynting vector and power เวกเตอร์พอยน์ติงและกำลัง

$$\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H,\qquad P_{\text{out}} = \oiint_S\mathbf S\cdot d\mathbf A,\qquad \text{ความร้อนจูล: } P = \iiint\mathbf J\cdot\mathbf E\,dV = \iiint\sigma E^2\,dV$$

ทฤษฎีบทพอยน์ติง: กำลังที่ไหลเข้าผ่านผิว = กำลังที่สูญเสียในตัวนำ + อัตราเปลี่ยนของพลังงานสนาม · คลื่นระนาบ $S = E_0^2/(2\eta_0)$ ค่าเฉลี่ย, $\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = 376.7\ \Omega$

ตัวอย่าง E-6 · พลังงานไหลเข้าสู่ลวดนำกระแส

### ลวดทองแดงรัศมี 1 mm ยาว 1 m นำกระแสตรง 10 A ($\sigma = 5.8\times10^7$ S/m) หา $\mathbf J, \mathbf E, \mathbf H$ ที่ผิวลวด และแสดงว่ากำลังที่ไหลเข้าผ่านผิวลวดตามเวกเตอร์พอยน์ติงเท่ากับ $I^2R$

- $J = I/A = 10/(\pi\times10^{-6}) = 3.183\times10^{6}$ A/m² · $E = J/\sigma = 0.05488$ V/m (ตามแนวลวด)

- กฎของแอมแปร์รอบผิวลวด: $H(2\pi a) = I$ → $H = \dfrac{10}{2\pi(10^{-3})} = 1591.5$ A/m (ล้อมรอบลวด)

- $\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H$ ตั้งฉากกับทั้งคู่ ชี้ เข้าผิวลวด (ตามรัศมีเข้า) ขนาด $S = EH = 0.05488\times1591.5 = 87.35$ W/m²

- กำลังที่ไหลเข้าทั้งผิวข้าง (พื้นที่ $2\pi aL = 6.283\times10^{-3}$ m²): $P = 87.35\times6.283\times10^{-3} = 0.5488$ W

- เทียบกับความร้อนจูล: $R = \dfrac{L}{\sigma A} = \dfrac{1}{(5.8\times10^7)(3.1416\times10^{-6})} = 5.488$ mΩ → $I^2R = 100\times5.488\times10^{-3} = 0.5488$ W ตรงกับกำลังที่ไหลเข้าตามพอยน์ติงทุกหลัก ✓ (ใช้ $\sigma$ ค่าเดียวกัน)

$P = \oiint\mathbf S\cdot d\mathbf A = 0.549$ W = $I^2R$ — พลังงานไหลเข้ามาจากสนามรอบ ๆ ไม่ได้ “ไหลตามเนื้อลวด”

ตัวอย่าง E-7 · คลื่นระนาบ 100 MHz

### คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าระนาบในอากาศที่ 100 MHz มีแอมพลิจูด $E_0 = 10$ V/m หา $c$, $\lambda$, $k$ และความหนาแน่นกำลังเฉลี่ย

- $c = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \dfrac{1}{\sqrt{(4\pi\times10^{-7})(8.854\times10^{-12})}} = 2.998\times10^8$ m/s

- $\lambda = c/f = 2.998\times10^8/10^8 = 3.00$ m · $k = 2\pi/\lambda = 2.096$ rad/m · $\omega = 2\pi f = 6.283\times10^8$ rad/s ($\omega/k = c$ ✓)

- $\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = 376.7\ \Omega$ · $H_0 = E_0/\eta_0 = 0.02654$ A/m

- $\langle S\rangle = \dfrac{E_0^2}{2\eta_0} = \dfrac{100}{753.5} = 0.1327$ W/m² (ตัวเลขนี้คือกำลังที่สายอากาศรับ 1 m² จะได้ ถ้ารับได้หมด)

$c = 3.00\times10^8$ m/s · $\lambda = 3.00$ m · $\langle S\rangle = 0.133$ W/m²

## สรุป: เครื่องมือแคลคูลัสกับโจทย์ไฟฟ้า พื้นฐาน

| ปัญหาไฟฟ้า | เครื่องมือ | ผลลัพธ์ |

| สนามจากประจุหลายตัว | รวมศักย์ แล้ว gradient | $\mathbf E = -\nabla V$ (E1, E2 · แล็บลากประจุ) |

| สนามของรูปทรงสมมาตร | ผิวเกาส์ + อินทิกรัลผิว | เส้น ระนาบ ทรงกลม (E3) |

| ศักย์ระหว่างอิเล็กโทรด | สมการลาปลาซ | $V(r)$ ของโคแอกเชียล (E4, E6) |

| ความจุ $C$ และพลังงาน | เกาส์ + อินทิกรัลเส้น + อินทิกรัลสามชั้น | แผ่นขนาน โคแอก (E5, E6) |

| ความต้านทานของรูปทรง | $\mathbf J$, $\mathbf E$, ฟลักซ์ | หลักดิน แรงดันก้าว (E7, E8) |

| EMF เหนี่ยวนำ | สโตกส์ + อินทิกรัลผิว | $-d\Phi/dt$ (บทผิว ตัวอย่าง S-10) |

| คลื่นและกำลังที่แผ่ | curl curl และ Poynting | $c$, $\lambda$, $\langle S\rangle$ (E9, E10) |

| ฮาร์โมนิกรูปคลื่นหลายตัวแปร | ฟูเรียร์ซีรีส์ + Laplace | ดู อนุกรมฟูเรียร์ และ การแปลงลาปลาซ |

เส้นทางต่อ: สนามไฟฟ้า-แม่เหล็กและแรงลอเรนซ์ด้วยเวกเตอร์ · แล็บสนามในชุดเวกเตอร์ · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · ระบบไฟฟ้ากำลังและการป้องกัน (การต่อลงดินและการทำงานของรีเลย์ใช้สนามและศักย์ในหน้านี้)

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- ลืมเครื่องหมายลบใน $\mathbf E = -\nabla V$ · สนามชี้ไปทางที่ศักย์ลด

- ใช้กฎของเกาส์กับรูปที่ไม่สมมาตร · กฎใช้ได้เสมอแต่ $E$ ออกจากอินทิกรัลไม่ได้ (ต้องซ้อนทับหรือแก้เชิงตัวเลข)

- ลืมว่าระบบหน่วย · $k = 8.988\times10^9$ ใช้กับ C, m · ถ้าใช้ nC ต้องคูณ $10^{-9}$ (ในแล็บทำให้แล้ว)

- ใช้ $\varepsilon_0$ แทน $\varepsilon_0\varepsilon_r$ ในไดอิเล็กทริก · ความจุเพิ่มขึ้น $\varepsilon_r$ เท่า

- เข้าใจผิดว่าพลังงานไหลตามเนื้อลวด · เวกเตอร์พอยน์ติงชี้เข้าผิวลวดจากสนามรอบ ๆ (E-6)

ไปต่อที่วิศวกรรมเครื่องกล ซึ่งใช้สมการรูปเดียวกัน (ลาปลาซ, ดีเวอร์เจนซ์, เกรเดียนต์) กับความร้อนและของไหล

## คำถามที่พบบ่อย

สนามไฟฟ้า E ได้จากศักย์ไฟฟ้า V ได้อย่างไร?
ใช้ $\mathbf E = -\nabla V = -\left\langle\dfrac{\partial V}{\partial x}, \dfrac{\partial V}{\partial y}, \dfrac{\partial V}{\partial z}\right\rangle$ คือสนามไฟฟ้าเท่ากับลบเกรเดียนต์ของศักย์ ชี้ไปทางที่ศักย์ลดลงเร็วสุด และตั้งฉากกับผิวศักย์เท่ากัน ข้อดีคือหา $V$ ซึ่งเป็นสเกลาร์ (บวกกันได้ง่าย $V = k\sum q_i/r_i$) แล้วหาอนุพันธ์ย่อยจะได้ $\mathbf E$ ทั้งสามองค์ประกอบ ตัวอย่าง $V = kq/r$ ได้ $\mathbf E = kq\,\hat{\mathbf r}/r^2$ ซึ่งคือกฎของคูลอมบ์

กฎของเกาส์ (Gauss's law) ใช้หาสนามไฟฟ้าอย่างไร?
กฎบอกว่า $\oiint\mathbf E\cdot d\mathbf S = Q_{enc}/\varepsilon_0$ เมื่อมีความสมมาตร (ทรงกลม ทรงกระบอก ระนาบ) เลือกผิวเกาส์ให้ $\mathbf E$ ตั้งฉากกับผิวและมีขนาดคงที่ แล้วอินทิกรัลลดเหลือ $E\times$พื้นที่ ตัวอย่าง เส้นประจุยาวอนันต์: $E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0r)$ · แผ่นระนาบอนันต์: $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$ · ทรงกลม: $E = kQ/r^2$ นอกทรงกลม ถ้าไม่มีความสมมาตรต้องใช้สนามซ้อนทับหรือแก้สมการลาปลาซ-พัวซอง

สมการลาปลาซกับสมการพัวซองต่างกันอย่างไร ใช้เมื่อไร?
สมการพัวซอง $\nabla^2V = -\rho_v/\varepsilon_0$ ใช้ในบริเวณที่มีประจุ ส่วนสมการลาปลาซ $\nabla^2V = 0$ เป็นกรณีที่ไม่มีประจุในบริเวณนั้น (ประจุอยู่เฉพาะที่ขอบเขต เช่นขั้วอิเล็กโทรด) ใช้หาศักย์ระหว่างอิเล็กโทรดเมื่อรู้แรงดันที่ขอบ เช่นในสายโคแอกเชียล $V(r) = V_0\ln(b/r)/\ln(b/a)$ และในตัวเก็บประจุแผ่นขนาน $V$ เปลี่ยนเป็นเส้นตรงตามระยะ สมการนี้ยังใช้กับการนำความร้อนสภาวะคงตัวและการซึมของน้ำใต้ดินด้วย

คำนวณความจุ (capacitance) ด้วยแคลคูลัสหลายตัวแปรอย่างไร?
ขั้นตอนมาตรฐาน: สมมติประจุ $Q$ บนอิเล็กโทรด หาสนาม $\mathbf E$ ด้วยกฎของเกาส์ หาแรงดัน $V = -\int\mathbf E\cdot d\mathbf l$ ระหว่างอิเล็กโทรดทั้งสอง แล้ว $C = Q/V$ ตัวอย่างแผ่นขนาน $C = \varepsilon_0A/d$ สายโคแอกเชียล $C' = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a)$ ต่อเมตร (สาย RG-58 ได้ราว 108 pF/m) พลังงานที่สะสมคือ $W = \tfrac12\varepsilon_0\iiint E^2\,dV = \tfrac12CV^2$

เวกเตอร์พอยน์ติง (Poynting vector) คืออะไร?
เวกเตอร์พอยน์ติง $\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H$ (W/m²) บอกทิศและขนาดของกำลังที่ไหลผ่านพื้นที่หนึ่งหน่วยของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า อินทิกรัลบนผิวปิด $\oiint\mathbf S\cdot d\mathbf A$ คือกำลังที่ไหลออกจากปริมาตร เช่นลวดนำกระแส 10 A ที่ร้อนขึ้น 0.549 W เป็นพลังงานที่ไหล “เข้า” ผ่านผิวลวดจากสนามรอบ ๆ ตรงกับ $I^2R$ และสำหรับคลื่นระนาบ $S = E_0^2/(2\eta_0)$ เมื่อ $\eta_0 = 376.7\ \Omega$

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**สนามไฟฟ้า E ได้จากศักย์ไฟฟ้า V ได้อย่างไร?**
ใช้ $\mathbf E = -\nabla V = -\left\langle\dfrac{\partial V}{\partial x}, \dfrac{\partial V}{\partial y}, \dfrac{\partial V}{\partial z}\right\rangle$ คือสนามไฟฟ้าเท่ากับลบเกรเดียนต์ของศักย์ ชี้ไปทางที่ศักย์ลดลงเร็วสุด และตั้งฉากกับผิวศักย์เท่ากัน ข้อดีคือหา $V$ ซึ่งเป็นสเกลาร์ (บวกกันได้ง่าย $V = k\sum q_i/r_i$) แล้วหาอนุพันธ์ย่อยจะได้ $\mathbf E$ ทั้งสามองค์ประกอบ ตัวอย่าง $V = kq/r$ ได้ $\mathbf E = kq\,\hat{\mathbf r}/r^2$ ซึ่งคือกฎของคูลอมบ์

**กฎของเกาส์ (Gauss's law) ใช้หาสนามไฟฟ้าอย่างไร?**
กฎบอกว่า $\oiint\mathbf E\cdot d\mathbf S = Q_{enc}/\varepsilon_0$ เมื่อมีความสมมาตร (ทรงกลม ทรงกระบอก ระนาบ) เลือกผิวเกาส์ให้ $\mathbf E$ ตั้งฉากกับผิวและมีขนาดคงที่ แล้วอินทิกรัลลดเหลือ $E\times$พื้นที่ ตัวอย่าง เส้นประจุยาวอนันต์: $E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0r)$ · แผ่นระนาบอนันต์: $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$ · ทรงกลม: $E = kQ/r^2$ นอกทรงกลม ถ้าไม่มีความสมมาตรต้องใช้สนามซ้อนทับหรือแก้สมการลาปลาซ-พัวซอง

**สมการลาปลาซกับสมการพัวซองต่างกันอย่างไร ใช้เมื่อไร?**
สมการพัวซอง $\nabla^2V = -\rho_v/\varepsilon_0$ ใช้ในบริเวณที่มีประจุ ส่วนสมการลาปลาซ $\nabla^2V = 0$ เป็นกรณีที่ไม่มีประจุในบริเวณนั้น (ประจุอยู่เฉพาะที่ขอบเขต เช่นขั้วอิเล็กโทรด) ใช้หาศักย์ระหว่างอิเล็กโทรดเมื่อรู้แรงดันที่ขอบ เช่นในสายโคแอกเชียล $V(r) = V_0\ln(b/r)/\ln(b/a)$ และในตัวเก็บประจุแผ่นขนาน $V$ เปลี่ยนเป็นเส้นตรงตามระยะ สมการนี้ยังใช้กับการนำความร้อนสภาวะคงตัวและการซึมของน้ำใต้ดินด้วย

**คำนวณความจุ (capacitance) ด้วยแคลคูลัสหลายตัวแปรอย่างไร?**
ขั้นตอนมาตรฐาน: สมมติประจุ $Q$ บนอิเล็กโทรด หาสนาม $\mathbf E$ ด้วยกฎของเกาส์ หาแรงดัน $V = -\int\mathbf E\cdot d\mathbf l$ ระหว่างอิเล็กโทรดทั้งสอง แล้ว $C = Q/V$ ตัวอย่างแผ่นขนาน $C = \varepsilon_0A/d$ สายโคแอกเชียล $C' = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a)$ ต่อเมตร (สาย RG-58 ได้ราว 108 pF/m) พลังงานที่สะสมคือ $W = \tfrac12\varepsilon_0\iiint E^2\,dV = \tfrac12CV^2$

**เวกเตอร์พอยน์ติง (Poynting vector) คืออะไร?**
เวกเตอร์พอยน์ติง $\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H$ (W/m²) บอกทิศและขนาดของกำลังที่ไหลผ่านพื้นที่หนึ่งหน่วยของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า อินทิกรัลบนผิวปิด $\oiint\mathbf S\cdot d\mathbf A$ คือกำลังที่ไหลออกจากปริมาตร เช่นลวดนำกระแส 10 A ที่ร้อนขึ้น 0.549 W เป็นพลังงานที่ไหล “เข้า” ผ่านผิวลวดจากสนามรอบ ๆ ตรงกับ $I^2R$ และสำหรับคลื่นระนาบ $S = E_0^2/(2\eta_0)$ เมื่อ $\eta_0 = 376.7\ \Omega$

---

# ฟังก์ชันหลายตัวแปร (Functions of Several Variables) คืออะไร: โดเมน กราฟผิว เส้นชั้นความสูง และลิมิต

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/functions-of-several-variables/
Updated: 2026-10-17
Summary: ฟังก์ชันหลายตัวแปร (multivariable function) คืออะไร: โดเมน (domain) และเรนจ์ (range) กราฟ z = f(x, y) เป็นผิว เส้นชั้นความสูง (contour / level curve) ผิวกำลังสอง (quadric surfaces) ลิมิตสองตัวแปรด้วย path test และพิกัดขั้ว ความต่อเนื่อง ตัวอย่างวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล โยธา พร้อมแล็บพื้นผิว 3 มิติและแล็บทดสอบลิมิต

// บทที่ 24.1 · แคลคูลัสหลายตัวแปร · Functions of Several Variables

# ฟังก์ชันหลายตัวแปร (Functions of Several Variables) คืออะไร: โดเมน กราฟผิว เส้นชั้นความสูง และลิมิต

โลกจริงแทบไม่เคยขึ้นกับตัวแปรเดียว อุณหภูมิในห้องขึ้นกับตำแหน่ง $(x, y, z)$ กำลังไฟฟ้า $P = V^2/R$ ขึ้นกับทั้งแรงดันและความต้านทาน ความดันแก๊ส $P = nRT/V$ ขึ้นกับอุณหภูมิและปริมาตร หน้านี้เริ่มจากคำถามพื้นฐานที่สุดของแคลคูลัสหลายตัวแปร (multivariable calculus): ฟังก์ชันที่รับตัวเลขหลายตัวหน้าตาเป็นอย่างไร วาดได้อย่างไร และเมื่อ $(x, y)$ เข้าใกล้จุดหนึ่งแล้ว $f$ เข้าใกล้อะไร พร้อมแล็บที่ลากหมุนพื้นผิว 3 มิติและดูเส้นชั้นความสูงพร้อมกัน

สรุปใน 30 วินาที

- $f(x, y)$ รับคู่ตัวเลขแล้วให้ค่าเดียว · กราฟ $z = f(x, y)$ คือผิวในสามมิติ · โดเมนคือบริเวณในระนาบ ไม่ใช่ช่วงบนเส้นตรง

- เส้นชั้นความสูง (contour) $f(x, y) = c$ คือรอยตัดของผิวด้วยระนาบแนวนอน · เส้นชิด = ชัน เส้นห่าง = ลาด

- ถ้า $f$ มีสามตัวแปรขึ้นไปใช้ ผิวระดับ (level surface) $f(x, y, z) = c$ แทนกราฟ

- ลิมิต ที่จุดหนึ่งมีก็ต่อเมื่อทุกเส้นทางให้ค่าเดียวกัน · สองเส้นทางให้ค่าต่างกัน = ไม่มีลิมิต · ทุกเส้นทางที่ลองตรงกัน ≠ พิสูจน์แล้ว

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## ฟังก์ชันหลายตัวแปรคืออะไร พื้นฐาน

ฟังก์ชันหลายตัวแปร (multivariable function) คือกฎที่จับคู่ “กลุ่มตัวเลข” หนึ่งชุดกับจำนวนจริงหนึ่งตัว ถ้ารับสองตัวเขียน $z = f(x, y)$ ถ้าสามตัวเขียน $w = f(x, y, z)$ ส่วนฟังก์ชันที่ให้ค่าเป็นเวกเตอร์ (เช่นสนามไฟฟ้า) จะเรียนในบทสนามเวกเตอร์ หน้านี้พูดถึงเฉพาะฟังก์ชันค่าสเกลาร์ (scalar function) ที่ให้ตัวเลขตัวเดียว

| ปริมาณทางวิศวกรรม | ฟังก์ชัน | ตัวแปรอิสระ |

| กำลังไฟฟ้าในตัวต้านทาน | $P(V, R) = V^2/R$ | แรงดัน $V$, ความต้านทาน $R$ |

| ความต้านทานขนาน | $R(R_1, R_2) = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ | $R_1, R_2$ |

| ความดันแก๊สอุดมคติ (n = 1 mol) | $P(T, V) = 8.314\,T/V$ | อุณหภูมิ $T$, ปริมาตร $V$ |

| อุณหภูมิในห้อง | $T(x, y, z)$ | ตำแหน่ง 3 พิกัด |

| ความสูงของภูมิประเทศ | $h(x, y)$ | พิกัดทางราบ |

| ศักย์ไฟฟ้ารอบประจุจุด | $V(x, y, z) = \dfrac{kq}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ | ตำแหน่ง |

| ปริมาตรกระป๋องทรงกระบอก | $V(r, h) = \pi r^2 h$ | รัศมี $r$, สูง $h$ |

F1 Function of two variables ฟังก์ชันสองตัวแปร

$$f: D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\qquad (x, y) \longmapsto z = f(x, y)$$

$D$ = โดเมน (domain) เซตของคู่ $(x, y)$ ที่นิยามได้ · เรนจ์ (range) = เซตของค่า $f$ ทั้งหมด · สำหรับสามตัวแปร $D \subseteq \mathbb{R}^3$

F2 Function of n variables ฟังก์ชัน n ตัวแปร

$$f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R},\quad w = f(\mathbf x) = f(x_1, \dots, x_n)$$

เขียนสั้นด้วยเวกเตอร์ตำแหน่ง $\mathbf x$ · ใช้ในการหาค่าเหมาะสมของระบบหลายพารามิเตอร์

## โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันสองตัวแปร พื้นฐาน

หลักเดิมของตัวแปรเดียวใช้ได้ทั้งหมด: ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ ค่าใต้รากที่สองไม่ติดลบ ค่าใน $\ln$ ต้องมากกว่าศูนย์ ต่างกันตรงที่ผลลัพธ์เป็นบริเวณในระนาบ ให้วาดบริเวณก่อนเสมอ แล้วจึงเขียนเป็นเซต และจดไว้ว่าขอบรวมหรือไม่รวม (เส้นทึบ = รวม เส้นประ = ไม่รวม)

ตัวอย่าง F-1 · โดเมนที่เป็นแผ่นวงกลม

### หาโดเมนและเรนจ์ของ $f(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$

- ค่าใต้รากต้องไม่ติดลบ: $9 - x^2 - y^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + y^2 \le 9$

- นี่คือแผ่นวงกลมรัศมี 3 กึ่งกลางที่จุดกำเนิด รวมขอบ: $D = \{(x, y) : x^2 + y^2 \le 9\}$

- เรนจ์: ที่จุดกำเนิด $f = 3$ (มากที่สุด) ที่ขอบ $f = 0$ (น้อยที่สุด) และ $f$ ต่อเนื่อง จึงได้ทุกค่าในช่วง $[0, 3]$

- กราฟ $z = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$ คือซีกบนของทรงกลมรัศมี 3 เพราะยกกำลังสองได้ $x^2 + y^2 + z^2 = 9,\ z \ge 0$

โดเมน $= \{x^2 + y^2 \le 9\}$ · เรนจ์ $= [0, 3]$

ตัวอย่าง F-2 · ครึ่งระนาบ

### หาโดเมนของ $f(x, y) = \dfrac{\ln(x - y)}{\sqrt{y + 1}}$

- $\ln(x - y)$ ต้องการ $x - y > 0$ คือ $y

- $\sqrt{y + 1}$ ต้องการ $y + 1 \ge 0$ และอยู่ในตัวส่วนจึงต้อง $\ne 0$ รวมกันเป็น $y + 1 > 0$ คือ $y > -1$

- ทั้งสองเงื่อนไขพร้อมกัน: $-1

$D = \{(x, y) : -1
ตัวอย่าง F-3 · โดเมนทางกายภาพ

### กำลังไฟฟ้า $P(V, R) = V^2/R$ ของตัวต้านทานในวงจร มีโดเมนอย่างไร?

- ทางคณิตศาสตร์ตัวส่วนห้ามเป็นศูนย์: $R \ne 0$

- ทางฟิสิกส์ตัวต้านทานจริงมี $R > 0$ และแรงดันที่ใช้งานจริงอยู่ในพิกัดของอุปกรณ์ เช่น $0 \le V \le 250$ V

- โดเมนจึงเป็นสี่เหลี่ยมในระนาบ $(V, R)$ เช่น $\{0 \le V \le 250,\ R \ge 1\ \Omega\}$ — โดเมนทางวิศวกรรมแคบกว่าโดเมนทางคณิตศาสตร์เสมอ

โดเมนที่ใช้งานจริงกำหนดโดยข้อจำกัดของอุปกรณ์ ไม่ใช่แค่ว่านิพจน์นิยามได้

## กราฟของ z = f(x, y) เป็นผิว: แล็บพื้นผิว 3 มิติ พื้นฐาน

ตัวแปรเดียววาดกราฟเป็นเส้นโค้ง สองตัวแปรวาดเป็นผิว (surface) เหนือบริเวณโดเมน ความสูงของผิวที่จุด $(x, y)$ คือ $f(x, y)$ ในแล็บนี้ลากภาพซ้ายเพื่อหมุน ลาก/คลิกแผนที่ขวาเพื่อย้ายจุด เส้นสีส้มและสีฟ้าคือรอยตัดของผิวด้วยระนาบ $y = y_0$ และ $x = x_0$ (จะกลับมาใช้เป็นอนุพันธ์ย่อยในบทถัดไป) ลองพิมพ์ฟังก์ชันของคุณเอง เช่น x*y หรือ sin(x)*cos(y)

ผิวอานม้า $z = x^2 - y^2$ กับเส้นชั้นความสูงของมัน: ตัดผิวด้วยระนาบ $z = c$ แล้วฉายลงระนาบ $xy$ ได้ไฮเพอร์โบลา (สีฟ้า $c < 0$, สีส้ม $c > 0$, เส้นทแยง $c = 0$)

F3 Plane as a graph ระนาบเป็นกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น

$$z = f(x, y) = c + a x + b y$$

ความชันตามแกน $x$ คือ $a$ ตามแกน $y$ คือ $b$ ทุกที่เท่ากัน — แบบจำลองของ “ผิวที่ไม่โค้ง” และของระนาบสัมผัสในบทหน้า

F4 Graph of f กราฟของ f

$$\operatorname{graph}(f) = \{(x, y, z) : z = f(x, y),\ (x, y) \in D\}$$

ผิวเหนือโดเมน $D$ · เส้นตั้งฉากกับระนาบ $xy$ ใด ๆ ตัดผิวไม่เกินหนึ่งจุด (vertical line test แบบ 3 มิติ)

## เส้นชั้นความสูง (Level Curves) และผิวระดับ (Level Surfaces) พื้นฐาน

วาดผิว 3 มิติด้วยมือเป็นเรื่องยาก วิศวกรจึงใช้อีกวิธีที่เก่าแก่ที่สุด คือแผนที่เส้นชั้นความสูง (contour map) ตัดผิวด้วยระนาบแนวนอน $z = c$ หลายระดับ แล้วฉายรอยตัดลงบนระนาบ $xy$ ถ้าเลือก $c$ ห่างกันเท่า ๆ กัน (เช่นทุก 1 เมตร) ระยะห่างของเส้นบอกความชันได้ทันที เส้นชิดกันคือชัน เส้นห่างกันคือลาด

F5 Level curve เส้นชั้นความสูง

$$L_c = \{(x, y) \in D : f(x, y) = c\}$$

ชื่อเรียกตามปริมาณ: ความสูง → contour · อุณหภูมิ → isotherm · ความดัน → isobar · ศักย์ไฟฟ้า → equipotential · เส้นชั้นของคนละระดับ $c$ ไม่ตัดกัน (ฟังก์ชันให้ค่าเดียว)

F6 Level surface ผิวระดับ

$$S_c = \{(x, y, z) : f(x, y, z) = c\}$$

ฟังก์ชันสามตัวแปรวาดกราฟไม่ได้ (ต้อง 4 มิติ) จึงดูผ่านผิวระดับ เช่น $x^2 + y^2 + z^2 = c$ เป็นทรงกลมซ้อนกัน

ตัวอย่าง F-4 · เส้นชั้นเป็นวงรี

### วาดเส้นชั้นความสูงของ $f(x, y) = x^2 + 4y^2$ ที่ $c = 1, 4, 9$

- ตั้ง $x^2 + 4y^2 = c$ หารด้วย $c$: $\dfrac{x^2}{c} + \dfrac{y^2}{c/4} = 1$ เป็นวงรีกึ่งแกนยาว $\sqrt{c}$ (แนว $x$) และกึ่งแกนสั้น $\sqrt{c}/2$ (แนว $y$)

- $c = 1$: $a = 1,\ b = 0.5$ · $c = 4$: $a = 2,\ b = 1$ · $c = 9$: $a = 3,\ b = 1.5$

- ที่ $c = 0$ เหลือจุดเดียว $(0,0)$ ซึ่งเป็นจุดต่ำสุด และ $c < 0$ ไม่มีเส้น เพราะ $f \ge 0$ เสมอ

- สังเกต: ในแนวแกน $y$ ผิวชันกว่าแนว $x$ สองเท่าตัว วงรีจึงแบนตามแกน $y$ และเส้นที่ห่างกันเท่า ๆ ใน $c$ จะชิดกันมากกว่าตามแกน $y$

วงรีโฟกัสร่วมจุดกำเนิด กึ่งแกน $(\sqrt{c},\ \sqrt{c}/2)$

ตัวอย่างจากงานจริง: ศักย์ไฟฟ้ารอบประจุจุด $V = kq/r$ มีเส้นชั้นเป็นวงกลมศูนย์กลางเดียวกัน ผนังเตาที่ร้อนด้านเดียวมี isotherm เป็นเส้นตรงขนานผนัง และแผนที่อากาศมี isobar ปิดรอบศูนย์กลางพายุ ในบทเกรเดียนต์จะเห็นว่าทิศที่ปริมาณเปลี่ยนเร็วสุดตั้งฉากกับเส้นชั้นเหล่านี้เสมอ

## ผิวกำลังสอง (Quadric Surfaces) กลาง

สมการดีกรีสองในสามตัวแปรให้ผิวมาตรฐานเพียงไม่กี่แบบ ซึ่งเจอซ้ำ ๆ ในงานวิศวกรรม: จานรับสัญญาณดาวเทียมคือพาราโบลอยด์ หอคอยระบายความร้อนของโรงไฟฟ้าคือไฮเพอร์โบลอยด์ 1 ตอน ถังแก๊สคือทรงรี วิธีจำแนกคือตัดด้วยระนาบ (trace) แล้วดูรูปรอยตัด

ผิวกำลังสองหกแบบ: ทรงรี พาราโบลอยด์ทรงรี อานม้า กรวย ไฮเพอร์โบลอยด์ 1 ตอน และทรงกระบอกพาราโบลา

| ผิว (English) | สมการมาตรฐาน | รอยตัด $z = k$ | รอยตัดตั้ง | พบใน |

| ทรงรี (ellipsoid) | $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$ | วงรี | วงรี | ถังแก๊ส เปลือกตัวถัง |

| พาราโบลอยด์ทรงรี (elliptic paraboloid) | $z = \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}$ | วงรี | พาราโบลา | จานสะท้อน เสาอากาศ กระจกโค้ง |

| อานม้า (hyperbolic paraboloid) | $z = \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2}$ | ไฮเพอร์โบลา | พาราโบลา | หลังคาเปลือกบาง จุดอานม้าของ $f$ |

| กรวย (cone) | $z^2 = \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}$ | วงรี | เส้นตรงตัดกัน/ไฮเพอร์โบลา | ปล่องกรวย ปากลำโพง |

| ไฮเพอร์โบลอยด์ 1 ตอน (hyperboloid of one sheet) | $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$ | วงรี | ไฮเพอร์โบลา | หอระบายความร้อน (cooling tower) |

| ไฮเพอร์โบลอยด์ 2 ตอน (hyperboloid of two sheets) | $\dfrac{z^2}{c^2} - \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ | วงรี (เมื่อ $\lvert k \rvert > c$) | ไฮเพอร์โบลา | กระจกสะท้อนแบบ Cassegrain |

| ทรงกระบอก (cylinder) | $x^2 + y^2 = r^2$ (ไม่มี $z$) | วงกลม | เส้นตรงขนาน | ท่อ ถังเก็บ เสา |

F7 Ellipsoid · sphere ทรงรี · ทรงกลม

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1,\qquad x^2 + y^2 + z^2 = R^2$$

$a = b = c = R$ คือทรงกลม · ซีกบนคือกราฟ $z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$

F8 Paraboloids พาราโบลอยด์

$$z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\ \ (\text{ชาม}),\qquad z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\ \ (\text{อานม้า})$$

เครื่องหมายระหว่างสองพจน์ตัดสินว่าเป็นชามหรืออานม้า · จุดวิกฤตของทั้งคู่อยู่ที่จุดกำเนิด (ดูบทค่าสุดขีด)

ตัวอย่าง F-5 · จำแนกผิวจากสมการ

### จำแนกผิว $4x^2 + y^2 - z^2 = 4$ และบอกรอยตัดที่ $z = 0$ และ $z = 2$

- หารด้วย 4: $x^2 + \dfrac{y^2}{4} - \dfrac{z^2}{4} = 1$ เทียบ $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$ ได้ $a = 1,\ b = 2,\ c = 2$ — เครื่องหมายลบเพียงหนึ่งตัวและเท่ากับ 1: ไฮเพอร์โบลอยด์ 1 ตอน

- $z = 0$: $x^2 + y^2/4 = 1$ วงรีกึ่งแกน 1 (แนว $x$) และ 2 (แนว $y$) — นี่คือ “เอว” ที่แคบที่สุด

- $z = 2$: $x^2 + y^2/4 = 1 + 1 = 2$ วงรีกึ่งแกน $\sqrt{2}$ และ $2\sqrt{2}$ — ใหญ่ขึ้นเมื่อห่างจากเอว

- รอยตัดที่ $y = 0$: $4x^2 - z^2 = 4$ ไฮเพอร์โบลา จึงยืนยันว่าไม่ใช่ทรงรี

ไฮเพอร์โบลอยด์ 1 ตอน แกนตามแนว $z$ · เอว ($z = 0$) เป็นวงรี $x^2 + y^2/4 = 1$

## ลิมิตของฟังก์ชันสองตัวแปร: ทำไมต้องตรวจทุกเส้นทาง กลาง

ลิมิตของตัวแปรเดียวมีแค่สองทิศ (ซ้ายกับขวา) แต่เมื่อ $(x, y) \to (a, b)$ บนระนาบ จุดเข้าหาได้จากทุกทิศและตามเส้นโค้งทุกรูปแบบ นิยามจึงเข้มงวดขึ้น: ลิมิตมี ต่อเมื่อ ทุกเส้นทางให้ค่าเดียวกัน

F9 Limit (ε–δ) นิยามลิมิตสองตัวแปร

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x, y) = L \iff \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0:\ 0 เงื่อนไขเป็น “วงกลมรัศมี $\delta$” รอบ $(a, b)$ (ไม่ใช่ช่วง) ที่ไม่รวมจุดศูนย์กลาง · ทุกจุดในวงกลมต้องทำให้ $f$ ห่างจาก $L$ น้อยกว่า $\varepsilon$

F10 Two-path test การทดสอบสองเส้นทาง

$$f \to L_1 \text{ ตาม } C_1,\ f \to L_2 \text{ ตาม } C_2,\ L_1 \neq L_2 \Rightarrow \text{ลิมิตไม่มี (DNE)}$$

ใช้ได้ทางเดียว: พิสูจน์ว่า “ไม่มี” ได้ แต่ทุกเส้นทางที่ลองตรงกันก็ยังไม่พิสูจน์ว่า “มี”

0 แซนด์วิช">
F11 Squeeze theorem ทฤษฎีบทแซนด์วิช

$$|f(x, y) - L| \le g(x, y) \to 0 \ \Rightarrow\ \lim f = L$$

ประเมินขอบบนด้วยอสมการ เช่น $x^2 \le x^2 + y^2$ หรือ $|y| \le \sqrt{x^2 + y^2}$ แล้วแสดงว่าขอบบนเข้าหาศูนย์

0 x = r cos theta พิกัดขั้ว ลิมิต">
F12 Polar substitution แทนด้วยพิกัดขั้ว (ที่จุดกำเนิด)

$$x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta;\qquad (x, y) \to (0, 0) \iff r \to 0^{+} \ \text{(ทุก } \theta)$$

ถ้า $|f(r\cos\theta,\, r\sin\theta) - L| \le g(r)$ โดยที่ $g$ ไม่ขึ้นกับ $\theta$ และ $g(r) \to 0$ ลิมิตคือ $L$ · ถ้านิพจน์ยังขึ้นกับ $\theta$ หลัง $r \to 0$ ลิมิตไม่มี

### แล็บทดสอบลิมิตตามเส้นทาง

เลือกตัวอย่างแล้วสลับชนิดของเส้นทาง สังเกตกรณี $xy^2/(x^2 + y^4)$: เส้นตรงทุกเส้นให้ 0 แต่พาราโบลา $x = m y^2$ ให้ค่าไม่เท่ากัน

หลายเส้นทางเข้าหาจุดกำเนิดในระนาบ $xy$: ถ้า $f$ ให้ค่าต่างกันตามเส้นทาง (เช่น $xy/(x^2+y^2) = m/(1+m^2)$ ตามเส้น $y = mx$) ลิมิตไม่มี

ตัวอย่าง F-6 · ลิมิตไม่มี

### $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{xy}{x^2+y^2}$

- เส้นทางที่ 1: ตามแกน $x$ ($y = 0$): $f = \dfrac{0}{x^2} = 0$ จึงได้ $0$

- เส้นทางที่ 2: ตามเส้น $y = x$: $f = \dfrac{x^2}{2x^2} = \dfrac{1}{2}$ จึงได้ $\tfrac12$

- สองเส้นทางให้ค่าต่างกัน ($0 \ne \tfrac12$) · ทั่วไป ตาม $y = mx$ ได้ $\dfrac{m}{1+m^2}$ ซึ่งเปลี่ยนตาม $m$ (ในพิกัดขั้ว $f = \sin\theta\cos\theta$ ขึ้นกับ $\theta$)

ลิมิตไม่มี (DNE) — ฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่องที่จุดกำเนิดแม้จะนิยามค่าที่นั่นอย่างไรก็ตาม

ตัวอย่าง F-7 · พิสูจน์ว่าลิมิตมีด้วย squeeze และพิกัดขั้ว

### $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}$

- ลองเส้นทางก่อน: $y = mx$ ได้ $\dfrac{m x^3}{x^2(1+m^2)} = \dfrac{m x}{1+m^2} \to 0$ ทุก $m$ และตามแกนก็ $0$ จึงคาดว่าลิมิตคือ 0 (ยังไม่ใช่การพิสูจน์)

- วิธี squeeze: $x^2 \le x^2 + y^2$ จึง $\dfrac{x^2}{x^2+y^2} \le 1$ ดังนั้น $\left|\dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}\right| \le |y|$

- เมื่อ $(x, y) \to (0, 0)$ ได้ $|y| \to 0$ โดย squeeze ลิมิตเท่ากับ 0

- วิธีพิกัดขั้ว: $\dfrac{r^2\cos^2\theta \cdot r\sin\theta}{r^2} = r\cos^2\theta\sin\theta$ และ $|r\cos^2\theta\sin\theta| \le r \to 0$ โดยขอบบน $r$ ไม่ขึ้นกับ $\theta$ ยืนยันคำตอบเดียวกัน

$\displaystyle\lim = 0$

ตัวอย่าง F-8 · เส้นตรงทุกเส้นหลอกได้

### $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x y^2}{x^2+y^4}$

- ตามเส้น $y = mx$: $\dfrac{x \cdot m^2 x^2}{x^2 + m^4 x^4} = \dfrac{m^2 x}{1 + m^4 x^2} \to 0$ และตามแกน $y$ ($x = 0$) ก็ $0$ — เส้นตรงทุกเส้นให้ 0

- แต่ตามพาราโบลา $x = y^2$: $\dfrac{y^2 \cdot y^2}{y^4 + y^4} = \dfrac{y^4}{2y^4} = \dfrac{1}{2}$ สำหรับทุก $y \ne 0$

- ได้ $0$ กับ $\tfrac12$ → ต่างกัน ลิมิตไม่มี

ลิมิตไม่มี (DNE) — ตัวอย่างนี้แสดงว่าการทดสอบด้วยเส้นตรงอย่างเดียวไม่พอ ต้องลองเส้นโค้งที่ “เข้ากับ” รูปของนิพจน์ด้วย

ตัวอย่าง F-9 · ลิมิตมาตรฐานด้วยพิกัดขั้ว

### $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$

- แทน $x^2 + y^2 = r^2$: นิพจน์เป็น $\dfrac{\sin r^2}{r^2}$ ไม่ขึ้นกับ $\theta$ เลย

- เมื่อ $(x, y) \to (0, 0)$ ได้ $r \to 0^{+}$ และ $u = r^2 \to 0^{+}$ จึง $\dfrac{\sin u}{u} \to 1$ (ลิมิตตัวแปรเดียวมาตรฐาน)

$\displaystyle\lim = 1$ — เทคนิคนี้ใช้ได้เสมอเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันของ $x^2 + y^2$ เท่านั้น

### ความต่อเนื่อง (Continuity)

F13 Continuity at a point ความต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง

$$f \text{ ต่อเนื่องที่ } (a, b) \iff \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x, y) = f(a, b)$$

ต้องครบสามข้อ: $f(a, b)$ นิยามได้ · ลิมิตมี · ทั้งสองเท่ากัน · พหุนาม ฟังก์ชันตรรกยะ (ที่ตัวส่วน $\ne 0$) และ $\sin, \cos, e^{(\cdot)}, \ln$ ของฟังก์ชันต่อเนื่อง ต่างต่อเนื่องบนโดเมนของมัน

ผลที่ตามมา: ถ้าฟังก์ชันสร้างจากพหุนามและฟังก์ชันพื้นฐานด้วยการบวก ลบ คูณ หาร และประกอบ เราหาลิมิตได้ด้วยการ “แทนค่า” ตราบใดที่จุดนั้นอยู่ในโดเมน ปัญหาเกิดเฉพาะจุดที่ได้ $0/0$ เช่นจุดกำเนิดของตัวอย่าง F-6 ถึง F-9 ซึ่งต้องใช้เทคนิคข้างต้น ความต่อเนื่องคือเงื่อนไขที่ทำให้อนุพันธ์ย่อยและอินทิกรัลหลายชั้นในบทถัดไปมีความหมายและคำนวณได้

## นำไปใช้ในงานวิศวกรรม พื้นฐาน

ไฟฟ้า

### ศักย์ไฟฟ้า $V(x,y)$
เส้นชั้นคือเส้นศักย์เท่ากัน ตัวนำเป็นผิว $V$ = ค่าคงที่ ดูแล็บประจุจุด

เครื่องกล

### อุณหภูมิ $T(x,y,z)$
isotherm ในแผ่นโลหะ ผนังเตา หัวอัด และการกระจายความเค้นบนชิ้นงาน ดูแล็บความร้อน

โยธา

### ภูมิประเทศ $h(x,y)$
แผนที่เส้นชั้นความสูง ความลาดชัน การวางผังระบายน้ำ ดูแล็บภูมิประเทศ

ไปต่อที่อนุพันธ์ย่อย: ถ้าตรึงตัวแปรหนึ่งตัวไว้ แล้วหาอนุพันธ์ตามอีกตัว จะได้ความชันของรอยตัดสีส้มและสีฟ้าในแล็บข้างต้น

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- สรุปว่ามีลิมิตเพราะ “ลองสามเส้นทางแล้วเท่ากัน” — ต้องพิสูจน์ด้วย squeeze หรือพิกัดขั้ว (ตัวอย่าง F-8 เป็นตัวอย่างค้านคลาสสิก)

- ใช้พิกัดขั้วแล้วลืมว่าต้อง “ทุก $\theta$” — ขอบบนของ $|f - L|$ ต้องไม่ขึ้นกับ $\theta$ · ถ้ายังมี $\theta$ เหลือหลังให้ $r \to 0$ ลิมิตไม่มี (เช่น F-6 ได้ $\sin\theta\cos\theta$)

- ตอบโดเมนเป็นช่วง — โดเมนของ $f(x, y)$ เป็นบริเวณในระนาบ ต้องอธิบายด้วยอสมการของ $x$ และ $y$ ร่วมกัน

- เข้าใจว่าเส้นชั้นความสูงคือเส้นที่ผิวสูง $c$ บนกราฟ — เส้นชั้นอยู่บนระนาบ $xy$ คือรอยตัดที่ถูก “ฉายลงมา” ไม่ใช่เส้นบนผิว (แต่เส้นบนผิวที่ $z = c$ เป็นเส้นชั้นยกขึ้น)

- เชื่อกราฟคอมพิวเตอร์ใกล้จุดที่ $0/0$ — ผิวอาจดูเรียบแต่ลิมิตไม่มี ใช้การทดสอบเส้นทางควบคู่

## คำถามที่พบบ่อย

ฟังก์ชันหลายตัวแปร (multivariable function) คืออะไร ต่างจากฟังก์ชันตัวแปรเดียวอย่างไร?
ฟังก์ชันตัวแปรเดียว $y = f(x)$ รับตัวเลขหนึ่งตัวแล้วให้ค่าออกหนึ่งค่า กราฟเป็นเส้นโค้งบนระนาบ ส่วนฟังก์ชันหลายตัวแปรรับตัวเลขหลายตัวพร้อมกัน เช่น $z = f(x, y)$ หรือ $T = f(x, y, z)$ แต่ยังให้ค่าออกเป็นจำนวนจริงหนึ่งค่า กราฟของ $f(x,y)$ เป็นผิวในปริภูมิสามมิติ ส่วน $f(x,y,z)$ วาดกราฟไม่ได้จึงดูผ่านผิวระดับ (level surface) แทน ตัวอย่างในงานวิศวกรรมคืออุณหภูมิในห้อง ศักย์ไฟฟ้ารอบประจุ และความดันแก๊ส $P = nRT/V$

หาโดเมนของฟังก์ชันสองตัวแปรอย่างไร?
หาเงื่อนไขของคู่ $(x, y)$ ที่ทำให้นิพจน์นิยามได้ เหมือนฟังก์ชันตัวแปรเดียวแต่เงื่อนไขกลายเป็นบริเวณในระนาบ: ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ ค่าใต้รากที่สองต้องไม่ติดลบ ค่าใน $\ln$ ต้องมากกว่าศูนย์ ตัวอย่าง $f = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$ ต้องมี $x^2 + y^2 \le 9$ โดเมนคือแผ่นวงกลมรัศมี 3 รวมขอบ ส่วน $f = \ln(x - y)$ ต้องมี $x > y$ โดเมนคือครึ่งระนาบเหนือเส้น $y = x$ ไม่รวมเส้น วาดบริเวณก่อนแล้วจึงเขียนเป็นเซต

เส้นชั้นความสูง (level curve / contour) คืออะไร ใช้ทำอะไร?
เส้นชั้นความสูงของ $f(x,y)$ คือเซตของจุดที่ $f(x, y) = c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่ ถ้า $f$ คือความสูงของภูเขา เส้นเหล่านี้คือเส้นชั้นความสูงบนแผนที่ ถ้า $f$ คืออุณหภูมิจะเรียก isotherm ถ้าคือศักย์ไฟฟ้าจะเรียกเส้นศักย์เท่ากัน (equipotential) ที่ใดเส้นชิดกันแสดงว่า $f$ เปลี่ยนเร็ว (ชัน) ที่ใดห่างกันแสดงว่าเปลี่ยนช้า วิศวกรใช้อ่านและออกแบบสนามต่าง ๆ โดยไม่ต้องวาดกราฟ 3 มิติ

ทำไมลิมิตสองตัวแปรต้องตรวจหลายเส้นทาง?
ในตัวแปรเดียวเข้าหาจุดได้แค่ซ้ายกับขวา แต่ในระนาบเข้าหาจุด $(a, b)$ ได้ไม่จำกัดเส้นทาง ลิมิตมีก็ต่อเมื่อทุกเส้นทางให้ค่าเดียวกัน ดังนั้นถ้าพบสองเส้นทางที่ให้ค่าต่างกันก็สรุปได้ทันทีว่าลิมิตไม่มี (DNE) เช่น $xy/(x^2+y^2)$ ที่จุดกำเนิดได้ $m/(1+m^2)$ ตามเส้น $y = mx$ แต่ถ้าทุกเส้นทางที่ลองให้ค่าเท่ากันยังไม่พอสรุปว่าลิมิตมี ต้องพิสูจน์ด้วย squeeze theorem หรือพิกัดขั้ว และระวังเส้นโค้งอย่าง $x = y^2$ ที่อาจให้ค่าต่างจากเส้นตรงทั้งหมด

ผิวกำลังสอง (quadric surface) มีกี่แบบ ดูอย่างไรว่าเป็นแบบไหน?
มีหลักคือทรงรี (ellipsoid) ไฮเพอร์โบลอยด์ 1 และ 2 ตอน (hyperboloid) กรวย (cone) พาราโบลอยด์ทรงรี (elliptic paraboloid) พาราโบลอยด์ไฮเพอร์โบลิก หรืออานม้า (hyperbolic paraboloid) และทรงกระบอกชนิดต่าง ๆ วิธีดูที่ง่ายที่สุดคือตัดด้วยระนาบ $z = k$ และระนาบอีกสองแกน (trace) แล้วดูว่าได้วงรี พาราโบลา หรือไฮเพอร์โบลา เช่น $z = x^2 + y^2$ ตัดที่ $z = k$ ได้วงกลม ตัดที่ $y = 0$ ได้พาราโบลา จึงเป็นพาราโบลอยด์ทรงรี

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ฟังก์ชันหลายตัวแปร (multivariable function) คืออะไร ต่างจากฟังก์ชันตัวแปรเดียวอย่างไร?**
ฟังก์ชันตัวแปรเดียว $y = f(x)$ รับตัวเลขหนึ่งตัวแล้วให้ค่าออกหนึ่งค่า กราฟเป็นเส้นโค้งบนระนาบ ส่วนฟังก์ชันหลายตัวแปรรับตัวเลขหลายตัวพร้อมกัน เช่น $z = f(x, y)$ หรือ $T = f(x, y, z)$ แต่ยังให้ค่าออกเป็นจำนวนจริงหนึ่งค่า กราฟของ $f(x,y)$ เป็นผิวในปริภูมิสามมิติ ส่วน $f(x,y,z)$ วาดกราฟไม่ได้จึงดูผ่านผิวระดับ (level surface) แทน ตัวอย่างในงานวิศวกรรมคืออุณหภูมิในห้อง ศักย์ไฟฟ้ารอบประจุ และความดันแก๊ส $P = nRT/V$

**หาโดเมนของฟังก์ชันสองตัวแปรอย่างไร?**
หาเงื่อนไขของคู่ $(x, y)$ ที่ทำให้นิพจน์นิยามได้ เหมือนฟังก์ชันตัวแปรเดียวแต่เงื่อนไขกลายเป็นบริเวณในระนาบ: ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ ค่าใต้รากที่สองต้องไม่ติดลบ ค่าใน $\ln$ ต้องมากกว่าศูนย์ ตัวอย่าง $f = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$ ต้องมี $x^2 + y^2 \le 9$ โดเมนคือแผ่นวงกลมรัศมี 3 รวมขอบ ส่วน $f = \ln(x - y)$ ต้องมี $x > y$ โดเมนคือครึ่งระนาบเหนือเส้น $y = x$ ไม่รวมเส้น วาดบริเวณก่อนแล้วจึงเขียนเป็นเซต

**เส้นชั้นความสูง (level curve / contour) คืออะไร ใช้ทำอะไร?**
เส้นชั้นความสูงของ $f(x,y)$ คือเซตของจุดที่ $f(x, y) = c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่ ถ้า $f$ คือความสูงของภูเขา เส้นเหล่านี้คือเส้นชั้นความสูงบนแผนที่ ถ้า $f$ คืออุณหภูมิจะเรียก isotherm ถ้าคือศักย์ไฟฟ้าจะเรียกเส้นศักย์เท่ากัน (equipotential) ที่ใดเส้นชิดกันแสดงว่า $f$ เปลี่ยนเร็ว (ชัน) ที่ใดห่างกันแสดงว่าเปลี่ยนช้า วิศวกรใช้อ่านและออกแบบสนามต่าง ๆ โดยไม่ต้องวาดกราฟ 3 มิติ

**ทำไมลิมิตสองตัวแปรต้องตรวจหลายเส้นทาง?**
ในตัวแปรเดียวเข้าหาจุดได้แค่ซ้ายกับขวา แต่ในระนาบเข้าหาจุด $(a, b)$ ได้ไม่จำกัดเส้นทาง ลิมิตมีก็ต่อเมื่อทุกเส้นทางให้ค่าเดียวกัน ดังนั้นถ้าพบสองเส้นทางที่ให้ค่าต่างกันก็สรุปได้ทันทีว่าลิมิตไม่มี (DNE) เช่น $xy/(x^2+y^2)$ ที่จุดกำเนิดได้ $m/(1+m^2)$ ตามเส้น $y = mx$ แต่ถ้าทุกเส้นทางที่ลองให้ค่าเท่ากันยังไม่พอสรุปว่าลิมิตมี ต้องพิสูจน์ด้วย squeeze theorem หรือพิกัดขั้ว และระวังเส้นโค้งอย่าง $x = y^2$ ที่อาจให้ค่าต่างจากเส้นตรงทั้งหมด

**ผิวกำลังสอง (quadric surface) มีกี่แบบ ดูอย่างไรว่าเป็นแบบไหน?**
มีหลักคือทรงรี (ellipsoid) ไฮเพอร์โบลอยด์ 1 และ 2 ตอน (hyperboloid) กรวย (cone) พาราโบลอยด์ทรงรี (elliptic paraboloid) พาราโบลอยด์ไฮเพอร์โบลิก หรืออานม้า (hyperbolic paraboloid) และทรงกระบอกชนิดต่าง ๆ วิธีดูที่ง่ายที่สุดคือตัดด้วยระนาบ $z = k$ และระนาบอีกสองแกน (trace) แล้วดูว่าได้วงรี พาราโบลา หรือไฮเพอร์โบลา เช่น $z = x^2 + y^2$ ตัดที่ $z = k$ ได้วงกลม ตัดที่ $y = 0$ ได้พาราโบลา จึงเป็นพาราโบลอยด์ทรงรี

---

# เกรเดียนต์ (Gradient) และอนุพันธ์ตามทิศ (Directional Derivative): ความหมาย สูตร และตัวอย่าง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/gradient-directional-derivative/
Updated: 2026-10-17
Summary: เกรเดียนต์ (gradient, ∇f) คืออะไร ชี้ทางขึ้นชันที่สุด อนุพันธ์ตามทิศ (directional derivative) D_u f = ∇f · u ทำไม gradient ตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง เวกเตอร์ปกติและระนาบสัมผัสของผิวระดับ gradient descent พร้อมตัวอย่างไฟฟ้า เครื่องกล โยธา และแล็บกราฟขั้วที่หมุนทิศได้

// บทที่ 24.3 · แคลคูลัสหลายตัวแปร · Gradient & Directional Derivative

# เกรเดียนต์ (Gradient) และอนุพันธ์ตามทิศ (Directional Derivative): ความหมาย สูตร และตัวอย่าง

ยืนบนเนินเขา อยากรู้ว่า “เดินไปทางไหนชันที่สุด” และ “ถ้าเดินไปทางตะวันออกเฉียงเหนือจะชันเท่าไร” คำตอบทั้งสองมาจากเวกเตอร์ตัวเดียวที่เรียกว่าเกรเดียนต์ (gradient) $\nabla f$ ซึ่งเป็นหัวใจของแคลคูลัสหลายตัวแปร และปรากฏทุกที่ในงานวิศวกรรม: สนามไฟฟ้า $\mathbf E = -\nabla V$ ฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q = -k\nabla T$ การไหลของน้ำบนผิวดิน และอัลกอริทึม gradient descent ที่ปรับพารามิเตอร์ตัวควบคุมหรือโมเดล หน้านี้มีแล็บหมุนทิศ $\mathbf u$ แล้วดูค่า $D_{\mathbf u}f$ บนกราฟขั้ว และปล่อยจุดลงเขาด้วย gradient descent

สรุปใน 30 วินาที

- $\nabla f = \langle f_x, f_y\rangle$ (หรือ $\langle f_x, f_y, f_z\rangle$) · ชี้ทาง $f$ เพิ่มเร็วสุด · ขนาด $|\nabla f|$ = อัตราเพิ่มสูงสุด

- อนุพันธ์ตามทิศ $D_{\mathbf u}f = \nabla f\cdot\mathbf u = |\nabla f|\cos\theta$ เมื่อ $\mathbf u$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

- $\nabla f$ ตั้งฉากกับเส้นชั้น $f = c$ · ใน 3 มิติ $\nabla F$ คือเวกเตอร์ปกติของผิวระดับ $F = c$

- gradient descent: $\mathbf x \leftarrow \mathbf x - \alpha\nabla f$ ลงเขาทีละก้าว

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## เกรเดียนต์คืออะไร พื้นฐาน

อนุพันธ์ย่อยให้ความชันตามแกน $x$ และแกน $y$ แต่ผิวมีทิศให้เดินได้ไม่จำกัด ทำไมความรู้เรื่องสองแกนจึงพอทำนายทิศไหนก็ได้? เพราะผิวเรียบเมื่อซูมเข้าจะเป็นระนาบ (บทระนาบสัมผัส) และระนาบถูกกำหนดด้วยความชันสองค่า การรวมสองค่าเป็นเวกเตอร์เดียวคือเกรเดียนต์ ซึ่งเขียนด้วยสัญลักษณ์ $\nabla$ (อ่านว่า “เดล” หรือ “นาบลา”)

G1 Gradient เกรเดียนต์

$$\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right\rangle = f_x\,\mathbf i + f_y\,\mathbf j,\qquad \nabla f = \left\langle f_x, f_y, f_z\right\rangle \ \text{(3 ตัวแปร)}$$

ฟังก์ชันสเกลาร์ → สนามเวกเตอร์ · ตัวดำเนินการ $\nabla = \left\langle \dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, \dfrac{\partial}{\partial z}\right\rangle$ (grad) · บางตำราเขียน $\operatorname{grad} f$

ตัวอย่าง G-1 · หา gradient

### หา $\nabla f$ ของ $f(x, y) = x^2 y^3 - 4y$ แล้วคำนวณที่ $(2, -1)$

- $f_x = 2xy^3$ · $f_y = 3x^2y^2 - 4$

- แทน $(2, -1)$: $f_x = 2(2)(-1)^3 = -4$ · $f_y = 3(4)(1) - 4 = 8$

- ดังนั้น $\nabla f(2, -1) = \langle -4, 8\rangle$ · ขนาด $|\nabla f| = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 8.94$

$\nabla f = \langle 2xy^3,\ 3x^2y^2 - 4\rangle$ · ที่ $(2,-1)$ คือ $\langle -4, 8\rangle$

## อนุพันธ์ตามทิศ (Directional Derivative) พื้นฐาน

อนุพันธ์ตามทิศคืออัตราเปลี่ยนของ $f$ เมื่อเดินจากจุดหนึ่งตรงไปตามทิศที่กำหนด ด้วยความเร็วหนึ่งหน่วยต่อหน่วยระยะ ทิศถูกระบุด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย $\mathbf u = \langle \cos\theta, \sin\theta\rangle$ อนุพันธ์ย่อย $f_x$ และ $f_y$ คือกรณีพิเศษของ $D_{\mathbf u}f$ ที่ทิศ $\mathbf u = \mathbf i$ และ $\mathbf u = \mathbf j$

G2 Directional derivative (definition) อนุพันธ์ตามทิศ (นิยาม)

$$D_{\mathbf u} f(a, b) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a + h u_1,\ b + h u_2) - f(a, b)}{h} = \left.\frac{d}{dh} f(\mathbf x_0 + h\mathbf u)\right|_{h=0}$$

เดินเป็นเส้นตรง $\mathbf x_0 + h\mathbf u$ แล้วหาอนุพันธ์ของ $f$ ตามระยะ $h$ · $\mathbf u$ ต้องหนึ่งหน่วย ($|\mathbf u| = 1$) จึงให้หน่วยเป็น “ต่อหน่วยระยะ”

G3 Computing formula สูตรคำนวณ

$$D_{\mathbf u} f = \nabla f \cdot \mathbf u = f_x u_1 + f_y u_2 = |\nabla f|\cos\theta,\qquad \mathbf u = \frac{\mathbf v}{|\mathbf v|}$$

$\theta$ = มุมระหว่าง $\nabla f$ กับ $\mathbf u$ · ถ้าโจทย์ให้ทิศเป็นเวกเตอร์ $\mathbf v$ ใด ๆ ให้ทำเป็นหนึ่งหน่วยก่อนเสมอ (ข้อผิดพลาดอันดับหนึ่ง) · พิสูจน์ด้วยกฎลูกโซ่ $\dfrac{d}{dh}f(a + hu_1, b + hu_2) = f_x u_1 + f_y u_2$

ตัวอย่าง G-2 · อนุพันธ์ตามทิศที่กำหนดด้วยเวกเตอร์

### ต่อจาก G-1: หา $D_{\mathbf u}f$ ที่ $(2, -1)$ ในทิศ $\mathbf v = \langle 2, 5\rangle$

- $|\mathbf v| = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$ จึง $\mathbf u = \dfrac{\langle 2, 5\rangle}{\sqrt{29}}$ (ทำเป็นหนึ่งหน่วยก่อน!)

- $\nabla f(2,-1) = \langle -4, 8\rangle$ จาก G-1

- $D_{\mathbf u} f = \langle -4, 8\rangle\cdot\dfrac{\langle 2, 5\rangle}{\sqrt{29}} = \dfrac{-8 + 40}{\sqrt{29}} = \dfrac{32}{\sqrt{29}} \approx 5.94$

- เทียบกับขนาดสูงสุด $|\nabla f| = 8.94$: ทิศนี้ทำมุม $\theta$ กับ $\nabla f$ โดย $\cos\theta = 5.94/8.94 = 0.665$ → $\theta \approx 48.4^\circ$

$D_{\mathbf u}f = 32/\sqrt{29} \approx 5.94$ (ถ้าลืมทำเป็นหนึ่งหน่วยจะได้ 32 ซึ่งผิด)

## แล็บ: หมุนทิศ u ดู Duf และปล่อยจุดลงเขา พื้นฐาน

ลูกศรดำคือ $\nabla f$ (ชี้ขึ้นเขาชันสุด ตั้งฉากกับเส้นชั้นที่ผ่านจุด) ลูกศรฟ้าคือทิศ $\mathbf u$ ที่คุณเลือกด้วยแถบมุม $\theta$ กราฟขั้วด้านขวาแสดงค่า $D_{\mathbf u}f$ ทุกทิศ เป็นวงกลมที่ผ่านจุดกำเนิด (เพราะ $D_{\mathbf u}f = |\nabla f|\cos(\theta - \theta_g)$) ยอดวงกลมอยู่ในทิศ $\nabla f$ ส่วนจุดที่ผ่านจุดกำเนิดคือทิศตั้งฉาก ซึ่ง $D_{\mathbf u}f = 0$ นั่นคือเดินไปตามเส้นชั้น

เกรเดียนต์ของ $f = x^2 + 3y^2$ ที่หลายจุด: ลูกศรชี้ทางขึ้นชันที่สุดและตั้งฉากกับเส้นชั้นเสมอ (เส้นชั้นเป็นวงรี)

## ทิศที่ชันที่สุด และอัตราสูงสุด พื้นฐาน

จาก $D_{\mathbf u}f = |\nabla f|\cos\theta$ ค่านี้ใหญ่สุดเมื่อ $\cos\theta = 1$ ($\mathbf u$ ทิศเดียวกับ $\nabla f$) เล็กสุดเมื่อ $\cos\theta = -1$ และเป็นศูนย์เมื่อ $\cos\theta = 0$ (ตั้งฉาก)

G4 Direction of steepest ascent ทิศขึ้นชันที่สุด

$$\max_{|\mathbf u|=1} D_{\mathbf u}f = |\nabla f|\ \ (\mathbf u = \tfrac{\nabla f}{|\nabla f|}),\qquad \min D_{\mathbf u}f = -|\nabla f|\ \ (\mathbf u = -\tfrac{\nabla f}{|\nabla f|}),\qquad D_{\mathbf u}f = 0\ \ (\mathbf u \perp \nabla f)$$

ขึ้นชันสุด $+\nabla f$ · ลงชันสุด $-\nabla f$ · เดินตามเส้นชั้น $\perp\nabla f$ · ถ้า $\nabla f = \mathbf 0$ (จุดวิกฤต) ทุกทิศได้ $D_{\mathbf u}f = 0$

ตัวอย่าง G-3 · อุณหภูมิบนแผ่นโลหะ (เครื่องกล)

### อุณหภูมิบนแผ่นโลหะ $T(x, y) = \dfrac{80}{1 + x^2 + 2y^2}$ °C (x, y เป็นเมตร) แมลงที่ $(3, -1)$ ต้องการหนีร้อนให้เร็วที่สุด ควรเดินไปทิศใด และอุณหภูมิลดเร็วเพียงใด

- ที่ $(3, -1)$: ตัวส่วน $1 + 9 + 2 = 12$ · $T = 80/12 = 6.67$ °C

- $T_x = \dfrac{-80(2x)}{(1 + x^2 + 2y^2)^2} = \dfrac{-480}{144} = -\dfrac{10}{3}$ · $T_y = \dfrac{-80(4y)}{(1 + x^2 + 2y^2)^2} = \dfrac{320}{144} = \dfrac{20}{9}$

- $\nabla T = \left\langle -\tfrac{10}{3},\ \tfrac{20}{9}\right\rangle \propto \langle -3, 2\rangle$ ชี้ทางที่ร้อนขึ้นเร็วสุด (ไปทางจุดกำเนิดที่ร้อนสุด)

- แมลงต้องการเย็นลงเร็วสุด จึงเดินสวนทาง $-\nabla T$ คือทิศ $\langle 3, -2\rangle/\sqrt{13}$ (ห่างออกจากจุดกำเนิด)

- อัตราลดสูงสุด $= |\nabla T| = \sqrt{\tfrac{100}{9} + \tfrac{400}{81}} = \sqrt{\tfrac{1300}{81}} = \tfrac{\sqrt{1300}}{9} \approx 4.006$ °C/m

เดินทิศ $-\nabla T \propto \langle 3, -2\rangle$ · อุณหภูมิลดเร็วสุด 4.006 °C ต่อเมตร

## เกรเดียนต์ตั้งฉากกับเส้นชั้น และผิวระดับ กลาง

ตามเส้นชั้น $f(x, y) = c$ ค่าของ $f$ คงที่ ดังนั้นถ้าเดินเล็กน้อยตามทิศสัมผัสเส้นชั้น $\mathbf T$ จะได้ $D_{\mathbf T}f = \nabla f\cdot\mathbf T = 0$ ผลดอตเป็นศูนย์แปลว่า $\nabla f \perp \mathbf T$ ผลเดียวกันใช้กับผิวระดับ: เวกเตอร์ปกติของผิว $F(x, y, z) = c$ คือ $\nabla F$ ซึ่งให้วิธีเขียนระนาบสัมผัสและเส้นปกติทันที

G5 Gradient ⟂ level curve gradient ตั้งฉากเส้นชั้น

$$\mathbf r(t) \in \{f = c\} \ \Rightarrow\ \frac{d}{dt}f(\mathbf r(t)) = \nabla f\cdot\mathbf r'(t) = 0$$

เส้นสัมผัสของเส้นชั้นที่ $(a,b)$ มีสมการ $f_x(x - a) + f_y(y - b) = 0$

G6 Tangent plane and normal line of F = c ระนาบสัมผัสและเส้นปกติของผิวระดับ

$$F_x(P)(x - x_0) + F_y(P)(y - y_0) + F_z(P)(z - z_0) = 0,\qquad \mathbf r(t) = \mathbf r_0 + t\,\nabla F(P)$$

ถ้าผิวให้ในรูป $z = f(x, y)$ ให้ตั้ง $F = f(x,y) - z$ จะได้ $\nabla F = \langle f_x, f_y, -1\rangle$ ตรงกับระนาบสัมผัสในบทอนุพันธ์ย่อย

ตัวอย่าง G-4 · ระนาบสัมผัสของทรงรี

### หาระนาบสัมผัสและเส้นปกติของ $\dfrac{x^2}{4} + y^2 + \dfrac{z^2}{4} = 3$ ที่ $(-2, 1, 2)$

- ตั้ง $F = \dfrac{x^2}{4} + y^2 + \dfrac{z^2}{4} - 3$ ตรวจจุด: $1 + 1 + 1 - 3 = 0$ ✓

- $\nabla F = \left\langle \dfrac{x}{2},\ 2y,\ \dfrac{z}{2}\right\rangle$ ที่ $(-2, 1, 2)$: $\langle -1,\ 2,\ 1\rangle$

- ระนาบสัมผัส: $-1(x + 2) + 2(y - 1) + 1(z - 2) = 0$ → $-x + 2y + z = 6$

- เส้นปกติ: $x = -2 - t,\ y = 1 + 2t,\ z = 2 + t$

- ตรวจ: แทนจุด $(-2,1,2)$: $2 + 2 + 2 = 6$ ✓

ระนาบสัมผัส $-x + 2y + z = 6$ · เส้นปกติ $\langle -2, 1, 2\rangle + t\langle -1, 2, 1\rangle$

ในงานวิศวกรรม: ผิวตัวนำไฟฟ้าเป็นผิวศักย์เท่ากัน ($V$ คงที่) สนาม $\mathbf E = -\nabla V$ จึงตั้งฉากกับผิวตัวนำเสมอ (เงื่อนไขขอบเขตที่ใช้ในการออกแบบอิเล็กโทรด) น้ำบนผิวดินไหลตามทิศ $-\nabla h$ ซึ่งตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง จึงวางแนวร่องระบายน้ำตั้งฉากกับเส้นชั้น และความร้อนไหลตั้งฉากกับ isotherm

## กฎของเกรเดียนต์และสูตรที่ใช้บ่อย กลาง

G7 Gradient rules กฎของเกรเดียนต์

$$\nabla(f \pm g) = \nabla f \pm \nabla g,\quad \nabla(fg) = f\nabla g + g\nabla f,\quad \nabla\,h(f) = h'(f)\,\nabla f$$

เป็นกฎของตัวแปรเดียวทุกข้อ ใส่ $\nabla$ แทน $d/dx$

G8 Gradient of radial functions เกรเดียนต์ของฟังก์ชันรัศมี

$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}:\quad \nabla r = \frac{\mathbf r}{r},\qquad \nabla\!\left(\frac1r\right) = -\frac{\mathbf r}{r^3},\qquad \nabla r^n = n\,r^{n-2}\mathbf r$$

สูตรสามข้อนี้ใช้บ่อยมากในไฟฟ้า (ศักย์จากประจุจุด) และแรงโน้มถ่วง · ทิศ $\mathbf r/r$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามรัศมี

ตัวอย่าง G-5 · ได้กฎของคูลอมบ์จากศักย์ (ไฟฟ้า)

### ศักย์ของประจุจุด $q$ คือ $V = \dfrac{kq}{r}$ จงหา $\mathbf E = -\nabla V$

- $V = kq\cdot r^{-1}$ จากสูตร G8: $\nabla\left(\dfrac1r\right) = -\dfrac{\mathbf r}{r^3}$

- $\mathbf E = -\nabla V = -kq\left(-\dfrac{\mathbf r}{r^3}\right) = \dfrac{kq\,\mathbf r}{r^3} = \dfrac{kq}{r^2}\,\hat{\mathbf r}$

- นี่คือกฎของคูลอมบ์ — ขนาด $kq/r^2$ พุ่งออกตามรัศมี และเมื่อ $q < 0$ พุ่งเข้า

- สรุป: คำนวณศักย์ (สเกลาร์ ง่ายกว่า) แล้วหา gradient ได้สนามเวกเตอร์ทั้ง 3 องค์ประกอบในครั้งเดียว

$\mathbf E = \dfrac{kq}{r^2}\hat{\mathbf r}$ · ใช้ได้กับผลรวมของหลายประจุโดยรวม $V$ ก่อนแล้วหา gradient (ดูแล็บประจุจุด)

## Gradient Descent: ลงเขาทีละก้าว กลาง

ถ้าต้องการจุดต่ำสุดของ $f$ แต่แก้ $\nabla f = \mathbf 0$ ตรง ๆ ไม่ได้ (ฟังก์ชันซับซ้อน มีพารามิเตอร์นับพัน) ให้เริ่มจากจุดหนึ่งแล้วเดินสวนทางเกรเดียนต์ซ้ำ ๆ ทีละก้าวเล็ก ๆ นี่คือ gradient descent ซึ่งเป็นแกนของการฝึกโครงข่ายประสาทเทียม การจูนพารามิเตอร์ตัวควบคุม และการแก้ปัญหากำลังสองน้อยสุดขนาดใหญ่ ส่วนการไต่ขึ้น (gradient ascent) ใช้หาค่ามากสุด เช่น วิธี perturb & observe ที่ตามจุดกำลังสูงสุดของแผงโซลาร์เซลล์ก็คือการไต่เขา $P(V)$ ในมิติเดียว

G9 Gradient descent วิธีลงเขาตามเกรเดียนต์

$$\mathbf x_{k+1} = \mathbf x_k - \alpha\,\nabla f(\mathbf x_k),\qquad \text{ฟังก์ชันกำลังสอง } f = \tfrac12\mathbf x^{\top}\mathbf A\mathbf x:\ \text{ลู่เข้า} \iff 0 $\alpha$ = ขนาดก้าว (learning rate) · เล็กเกิน = ช้า ใหญ่เกิน = แกว่งแล้วแตกออก · เส้นชั้นเป็นวงรียาว ($\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ มาก) = ลู่เข้าช้าเป็นรูปซิกแซก

ตัวอย่าง G-6 · ทำสองก้าวด้วยมือ

### $f(x, y) = x^2 + 3y^2$ เริ่มที่ $(2, 1)$ ใช้ $\alpha = 0.1$ ทำ gradient descent สองก้าว

- $\nabla f = \langle 2x, 6y\rangle$ · เริ่ม $f(2, 1) = 4 + 3 = 7$

- ก้าวที่ 1: $\nabla f(2,1) = \langle 4, 6\rangle$ · $(x, y) = (2, 1) - 0.1\langle 4, 6\rangle = (1.6,\ 0.4)$ · $f = 2.56 + 0.48 = 3.04$

- ก้าวที่ 2: $\nabla f(1.6, 0.4) = \langle 3.2, 2.4\rangle$ · $(x, y) = (1.28,\ 0.16)$ · $f = 1.638 + 0.077 = 1.715$

- ค่า $f$ ลดลงทุกก้าว (7 → 3.04 → 1.715) และเข้าใกล้จุดต่ำสุด $(0, 0)$ ซึ่ง $f = 0$

$(2,1) \to (1.6, 0.4) \to (1.28, 0.16)$ · $f: 7 \to 3.04 \to 1.715$

ตัวอย่าง G-7 · เลือกขนาดก้าวไม่ได้ถ้าไม่รู้ความโค้ง

### $f = x^2 + 10y^2$ ต้องใช้ $\alpha$ น้อยกว่าเท่าไรจึงลู่เข้า

- $\nabla f = \langle 2x, 20y\rangle$ แต่ละก้าวคูณแต่ละพิกัดด้วย $(1 - 2\alpha)$ และ $(1 - 20\alpha)$

- ลู่เข้าเมื่อทั้งสองตัวคูณมีขนาดน้อยกว่า 1: $|1 - 2\alpha| < 1$ ได้ $\alpha < 1$ และ $|1 - 20\alpha| < 1$ ได้ $\alpha < 0.1$

- ข้อจำกัดคือ $\alpha < 0.1 = 2/\lambda_{\max}$ เมื่อ $\lambda_{\max} = 20$ (ค่าเฉพาะที่ใหญ่สุดของ Hessian)

- ทดสอบ 30 ก้าวจาก $(2, 1)$: $\alpha = 0.09$ → $(0.005, 0.001)$ ลู่เข้า · $\alpha = 0.1$ → $y$ สลับ $\pm 1$ ตลอด (ขอบเขต) · $\alpha = 0.11$ → $y \approx 237$ แตกออก

- ปัญหาของวงรียาว: $x$ ต้องการก้าวใหญ่ (ความโค้งน้อย) แต่ $y$ ต้องการก้าวเล็ก (ความโค้งมาก) ทำให้ช้า จึงมีวิธีขั้นสูง เช่น momentum, Newton, conjugate gradient

ลู่เข้าเมื่อ $0 < \alpha < 0.1$ · $\alpha = 0.11$ แตกออก

## นำไปใช้ในงานวิศวกรรม พื้นฐาน

| สาขา | เกรเดียนต์ของ | ใช้ทำอะไร |

| ไฟฟ้า | ศักย์ไฟฟ้า $V$ | $\mathbf E = -\nabla V$ · สนามตั้งฉากกับผิวตัวนำ (บทไฟฟ้า) |

| ไฟฟ้า | กำลัง $P(V_{pv})$ ของแผงโซลาร์ | MPPT แบบ perturb & observe คือการไต่เขา (MPPT) |

| เครื่องกล | อุณหภูมิ $T$ | $\mathbf q = -k\nabla T$ ฟลักซ์ความร้อนตั้งฉาก isotherm (บทเครื่องกล) |

| เครื่องกล | ความดัน $p$ | แรงสุทธิต่อหน่วยปริมาตรของของไหล $-\nabla p$ |

| โยธา | ความสูงภูมิประเทศ $h$ | ความชัน $|\nabla h|$ และทิศน้ำไหล $-\nabla h$ (บทโยธา) |

| โยธา / ธรณี | ระดับน้ำใต้ดิน $h$ | กฎของดาร์ซี $\mathbf v = -K\nabla h$ ความเร็วซึมตั้งฉากเส้นระดับ |

| ทุกสาขา | ฟังก์ชันค่าความผิดพลาด $J(\theta)$ | gradient descent ปรับพารามิเตอร์ (บทค่าสุดขีด) |

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- ลืมทำเวกเตอร์ทิศให้เป็นหนึ่งหน่วย ก่อนดอต · $D_{\mathbf u}f$ ต้องใช้ $\mathbf u$ ที่ $|\mathbf u| = 1$ เสมอ

- คิดว่า gradient เป็นสเกลาร์ · $\nabla f$ เป็นเวกเตอร์ (ชี้ทิศ) ส่วน $D_{\mathbf u}f$ เป็นสเกลาร์

- คิดว่า $\nabla f$ อยู่บนผิว 3 มิติ · $\nabla f$ ของ $f(x,y)$ เป็นเวกเตอร์ 2 มิติในระนาบ $xy$ (ทิศบนแผนที่) ไม่ใช่เวกเตอร์ชี้ขึ้นบนผิว

- ใช้ gradient descent โดยไม่ตรวจขนาดก้าว · ถ้า $f$ ไม่ลดลงเลยหลังหลายก้าวให้ลด $\alpha$ ลงครึ่งหนึ่ง

- สับสนทิศลงเขา · ลงเขาชันสุดคือ $-\nabla f$ (น้ำไหล) ไม่ใช่ $+\nabla f$

ไปต่อที่ค่าสูงสุด-ต่ำสุดและตัวคูณลากรองจ์ ที่ใช้เงื่อนไข $\nabla f = \mathbf 0$ และ $\nabla f \parallel \nabla g$ หาจุดเหมาะสมที่สุด

## คำถามที่พบบ่อย

เกรเดียนต์ (gradient) คืออะไร ชี้ไปทางไหน?
เกรเดียนต์ของ $f(x,y)$ คือเวกเตอร์ $\nabla f = \langle f_x, f_y\rangle$ ที่รวมอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดไว้ด้วยกัน มันชี้ไปทางที่ $f$ เพิ่มขึ้นเร็วที่สุด และขนาด $|\nabla f|$ คืออัตราเพิ่มสูงสุดนั้น ถ้า $f$ คือความสูงภูเขา $\nabla f$ ชี้ขึ้นเขาทางชันที่สุด และ $-\nabla f$ คือทางที่น้ำไหลลง ทิศของ $\nabla f$ ตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูงเสมอ

อนุพันธ์ตามทิศ (directional derivative) หาอย่างไร?
ใช้ $D_{\mathbf u} f = \nabla f \cdot \mathbf u$ เมื่อ $\mathbf u$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ถ้าโจทย์ให้ทิศเป็นเวกเตอร์ $\mathbf v$ ใด ๆ ต้องทำเป็นหนึ่งหน่วยก่อน $\mathbf u = \mathbf v/|\mathbf v|$ ตัวอย่าง $f = x^2y^3 - 4y$ ที่ $(2,-1)$ ทิศ $\langle 2, 5\rangle$: $\nabla f = \langle -4, 8\rangle$ และ $D_{\mathbf u} f = (-8 + 40)/\sqrt{29} = 5.94$ ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือลืมทำเวกเตอร์ให้เป็นหนึ่งหน่วย

ทำไม gradient ตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง?
ตามเส้นชั้น $f$ คงที่ จึงอัตราเปลี่ยนในทิศสัมผัสเส้นชั้นเป็นศูนย์ นั่นคือ $D_{\mathbf u} f = \nabla f \cdot \mathbf u = 0$ เมื่อ $\mathbf u$ สัมผัสเส้นชั้น ดอตเป็นศูนย์แปลว่าตั้งฉากกัน เหตุผลเดียวกันใช้กับผิวระดับ $F(x,y,z) = c$: $\nabla F$ คือเวกเตอร์ปกติของผิว ซึ่งทำให้เขียนระนาบสัมผัสได้ทันที และในไฟฟ้าอธิบายว่าสนาม $\mathbf E = -\nabla V$ ตั้งฉากกับผิวตัวนำ

Gradient descent คืออะไร ใช้ทำอะไร?
คือวิธีหาจุดต่ำสุดของ $f$ โดยเดินสวนทาง gradient ซ้ำ ๆ: $\mathbf x_{k+1} = \mathbf x_k - \alpha\nabla f(\mathbf x_k)$ เมื่อ $\alpha$ คืออัตราการเรียนรู้ (learning rate) ใช้ฝึกโครงข่ายประสาทเทียม ปรับพารามิเตอร์ตัวควบคุม และแก้ปัญหากำลังสองน้อยสุด ถ้า $\alpha$ ใหญ่เกินไปจะแกว่งแล้วแตกออก (เช่นสำหรับ $x^2 + 10y^2$ ต้อง $\alpha
เกรเดียนต์กับอนุพันธ์ย่อยต่างกันอย่างไร?
อนุพันธ์ย่อยแต่ละตัวบอกอัตราเปลี่ยนตามแกนเดียว ($f_x$ ตามแกน $x$) ส่วนเกรเดียนต์รวมทุกอนุพันธ์ย่อยเป็นเวกเตอร์เดียว จึงบอกอัตราเปลี่ยนในทุกทิศผ่านการดอตกับเวกเตอร์ทิศ และบอกทิศที่ชันที่สุดได้ด้วย ถ้า $f$ หาอนุพันธ์ได้ ความรู้ $f_x, f_y$ สองตัวก็เพียงพอจะทำนายความชันในทุกทิศ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เกรเดียนต์ (gradient) คืออะไร ชี้ไปทางไหน?**
เกรเดียนต์ของ $f(x,y)$ คือเวกเตอร์ $\nabla f = \langle f_x, f_y\rangle$ ที่รวมอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดไว้ด้วยกัน มันชี้ไปทางที่ $f$ เพิ่มขึ้นเร็วที่สุด และขนาด $|\nabla f|$ คืออัตราเพิ่มสูงสุดนั้น ถ้า $f$ คือความสูงภูเขา $\nabla f$ ชี้ขึ้นเขาทางชันที่สุด และ $-\nabla f$ คือทางที่น้ำไหลลง ทิศของ $\nabla f$ ตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูงเสมอ

**อนุพันธ์ตามทิศ (directional derivative) หาอย่างไร?**
ใช้ $D_{\mathbf u} f = \nabla f \cdot \mathbf u$ เมื่อ $\mathbf u$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ถ้าโจทย์ให้ทิศเป็นเวกเตอร์ $\mathbf v$ ใด ๆ ต้องทำเป็นหนึ่งหน่วยก่อน $\mathbf u = \mathbf v/|\mathbf v|$ ตัวอย่าง $f = x^2y^3 - 4y$ ที่ $(2,-1)$ ทิศ $\langle 2, 5\rangle$: $\nabla f = \langle -4, 8\rangle$ และ $D_{\mathbf u} f = (-8 + 40)/\sqrt{29} = 5.94$ ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือลืมทำเวกเตอร์ให้เป็นหนึ่งหน่วย

**ทำไม gradient ตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง?**
ตามเส้นชั้น $f$ คงที่ จึงอัตราเปลี่ยนในทิศสัมผัสเส้นชั้นเป็นศูนย์ นั่นคือ $D_{\mathbf u} f = \nabla f \cdot \mathbf u = 0$ เมื่อ $\mathbf u$ สัมผัสเส้นชั้น ดอตเป็นศูนย์แปลว่าตั้งฉากกัน เหตุผลเดียวกันใช้กับผิวระดับ $F(x,y,z) = c$: $\nabla F$ คือเวกเตอร์ปกติของผิว ซึ่งทำให้เขียนระนาบสัมผัสได้ทันที และในไฟฟ้าอธิบายว่าสนาม $\mathbf E = -\nabla V$ ตั้งฉากกับผิวตัวนำ

**Gradient descent คืออะไร ใช้ทำอะไร?**
คือวิธีหาจุดต่ำสุดของ $f$ โดยเดินสวนทาง gradient ซ้ำ ๆ: $\mathbf x_{k+1} = \mathbf x_k - \alpha\nabla f(\mathbf x_k)$ เมื่อ $\alpha$ คืออัตราการเรียนรู้ (learning rate) ใช้ฝึกโครงข่ายประสาทเทียม ปรับพารามิเตอร์ตัวควบคุม และแก้ปัญหากำลังสองน้อยสุด ถ้า $\alpha$ ใหญ่เกินไปจะแกว่งแล้วแตกออก (เช่นสำหรับ $x^2 + 10y^2$ ต้อง $\alpha < 0.1$) ถ้าเล็กเกินไปจะช้ามาก

**เกรเดียนต์กับอนุพันธ์ย่อยต่างกันอย่างไร?**
อนุพันธ์ย่อยแต่ละตัวบอกอัตราเปลี่ยนตามแกนเดียว ($f_x$ ตามแกน $x$) ส่วนเกรเดียนต์รวมทุกอนุพันธ์ย่อยเป็นเวกเตอร์เดียว จึงบอกอัตราเปลี่ยนในทุกทิศผ่านการดอตกับเวกเตอร์ทิศ และบอกทิศที่ชันที่สุดได้ด้วย ถ้า $f$ หาอนุพันธ์ได้ ความรู้ $f_x, f_y$ สองตัวก็เพียงพอจะทำนายความชันในทุกทิศ

---

# อินทิกรัลตามเส้น (Line Integrals) งานของแรง และทฤษฎีบทกรีน (Green's Theorem)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/line-integrals/
Updated: 2026-10-17
Summary: อินทิกรัลตามเส้น (line integral) ของสนามสเกลาร์ ∫f ds และสนามเวกเตอร์ ∫F·dr คืองานของแรง ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น ความไม่ขึ้นกับเส้นทาง (path independence) ทฤษฎีบทกรีน (Green's theorem) ทั้งรูปการหมุนและฟลักซ์ การหาพื้นที่ด้วยอินทิกรัลเส้น สูตร shoelace พร้อมตัวอย่างไฟฟ้า เครื่องกล โยธา และแล็บเปรียบเทียบเส้นทาง

// บทที่ 24.8 · แคลคูลัสเวกเตอร์ · Line Integrals & Green's Theorem

# อินทิกรัลตามเส้น (Line Integrals) งานของแรง และทฤษฎีบทกรีน (Green's Theorem)

งานที่แรงทำกับวัตถุที่เคลื่อนไปตามเส้นทางโค้ง มวลของลวดที่ความหนาแน่นไม่คงที่ แรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนำรอบขดลวด และพื้นที่แปลงที่ดินจากพิกัดจุดยอด ทั้งหมดคืออินทิกรัลตามเส้น (line integral) หน้านี้สอนทั้งสองแบบ คือแบบสเกลาร์ที่รวมตามความยาว และแบบเวกเตอร์ที่รวมองค์ประกอบสัมผัส (งาน) แล้วเชื่อมกับสนามอนุรักษ์ด้วยทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น ปิดท้ายด้วยทฤษฎีบทกรีน (Green's theorem) ที่แปลงอินทิกรัลรอบวงปิดเป็นอินทิกรัลสองชั้นของ curl และ div พร้อมแล็บเปรียบเทียบงานตามสองเส้นทางและแล็บวัดการหมุนวนบนวงกลม

สรุปใน 30 วินาที

- สเกลาร์: $\int_C f\,ds = \int f(\mathbf r(t))\,|\mathbf r'(t)|\,dt$ · เวกเตอร์ (งาน): $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \int \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$

- อนุรักษ์: $\int_C\nabla f\cdot d\mathbf r = f(B) - f(A)$ ไม่ขึ้นกับเส้นทาง · $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r = 0$

- กรีน (ทวนเข็ม): $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R (Q_x - P_y)\,dA$ · รูปฟลักซ์ $\oint\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_R\nabla\cdot\mathbf F\,dA$

- พื้นที่: $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ → สูตร shoelace $A = \tfrac12\left|\sum(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)\right|$

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## อินทิกรัลตามเส้นของฟังก์ชันสเกลาร์ ∫ f ds กลาง

ลวดโค้ง $C$ มีความหนาแน่นเชิงเส้น (มวลต่อความยาว) $\rho(x, y, z)$ แบ่งลวดเป็นชิ้นสั้น $ds$ มวลแต่ละชิ้น $\rho\,ds$ รวมกันได้ $M = \int_C\rho\,ds$ นั่นคืออินทิกรัลตามเส้นของฟังก์ชันสเกลาร์ ซึ่งรวมตามความยาวส่วนโค้ง และไม่ขึ้นกับทิศที่เดิน เมื่อ $f = 1$ ได้ความยาวเส้นโค้ง (บทฟังก์ชันเวกเตอร์)

L1 Line integral of a scalar function อินทิกรัลตามเส้นของฟังก์ชันสเกลาร์

$$\int_C f\,ds = \int_a^b f\big(\mathbf r(t)\big)\,|\mathbf r'(t)|\,dt,\qquad M = \int_C\rho\,ds,\qquad \bar x = \frac1M\int_C x\rho\,ds$$

$ds = |\mathbf r'(t)|\,dt$ · ผลไม่ขึ้นกับทิศการเดินและไม่ขึ้นกับพารามิเตอร์ (ต่างจากแบบเวกเตอร์ซึ่งเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อกลับทิศ) · ในระนาบ $y = g(x)$: $ds = \sqrt{1 + g'^2}\,dx$

ตัวอย่าง L-1 · มวลของลวดเกลียว (เครื่องกล)

### ลวดเกลียว $\mathbf r(t) = \langle\cos t,\ \sin t,\ t\rangle$ $0 \le t \le 2\pi$ (หน่วย cm) มีความหนาแน่นเชิงเส้น $\rho = x^2 + y^2 + z^2$ g/cm จงหามวล

- บนเส้นโค้ง $x^2 + y^2 + z^2 = \cos^2t + \sin^2t + t^2 = 1 + t^2$ · $|\mathbf r'| = \sqrt2$

- $M = \displaystyle\int_0^{2\pi}(1 + t^2)\sqrt2\,dt = \sqrt2\left[t + \dfrac{t^3}{3}\right]_0^{2\pi} = \sqrt2\left(2\pi + \dfrac{8\pi^3}{3}\right)$

- ตัวเลข: $2\pi = 6.283,\ \dfrac{8\pi^3}{3} = 82.68$ → $M = 1.4142\times88.96 = 125.8$ g

$M = \sqrt2\left(2\pi + \tfrac{8\pi^3}{3}\right) \approx 125.8$ g

ตัวอย่าง L-2 · ความยาวลวดโซลินอยด์ (ไฟฟ้า)

### ขดลวดทองแดงเส้นผ่านศูนย์กลาง 0.5 mm พัน 200 รอบรอบแกนรัศมี 2 cm ระยะพิตช์ 0.5 mm ต่อรอบ หาความยาวลวดและความต้านทาน ($\rho_{Cu} = 1.72\times10^{-8}$ Ω·m)

- หนึ่งรอบ: $\mathbf r(t) = \langle R\cos t, R\sin t, ct\rangle$ โดย $c = p/2\pi$ · $|\mathbf r'| = \sqrt{R^2 + c^2}$ ความยาวต่อรอบ $= \sqrt{(2\pi R)^2 + p^2}$

- $2\pi R = 0.12566$ m · $p = 0.0005$ m → $\sqrt{0.12566^2 + 0.0005^2} = 0.125664$ m (พิตช์แทบไม่มีผล)

- ความยาวรวม $= 200\times0.125664 = 25.13$ m

- พื้นที่หน้าตัด $A = \pi(0.25\times10^{-3})^2 = 1.9635\times10^{-7}$ m² · $R_{wire} = \dfrac{\rho L}{A} = \dfrac{1.72\times10^{-8}\times25.13}{1.9635\times10^{-7}} = 2.20$ Ω

$L = 25.13$ m · $R_{wire} \approx 2.20$ Ω

## อินทิกรัลตามเส้นของสนามเวกเตอร์ ∫ F·dr (งาน) กลาง

วัตถุเคลื่อนไปตามเส้นทาง $C$ ในสนามแรง $\mathbf F$ งานในช่วงเล็ก $d\mathbf r$ คือ $\mathbf F\cdot d\mathbf r$ (เฉพาะองค์ประกอบของแรงตามแนวเคลื่อนที่ทำงาน) รวมตลอดเส้นทางได้ $W = \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ ต่างจากแบบสเกลาร์ตรงที่ ทิศการเดินมีผล: กลับทิศแล้วงานเปลี่ยนเครื่องหมาย $\int_{-C}\mathbf F\cdot d\mathbf r = -\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$

L2 Line integral of a vector field (work) อินทิกรัลตามเส้นของสนามเวกเตอร์ (งาน)

$$W = \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_a^b\mathbf F\big(\mathbf r(t)\big)\cdot\mathbf r'(t)\,dt = \int_C P\,dx + Q\,dy + R\,dz$$

ขั้นตอน: (1) กำหนดพารามิเตอร์เส้นทาง $x(t), y(t), z(t)$ (2) หา $\mathbf r'(t)$ (3) แทน $\mathbf F$ ด้วยพิกัดของ $\mathbf r(t)$ (4) ดอต แล้วอินทิเกรต $t$ จาก $a$ ถึง $b$ · กลับทิศ = เครื่องหมายสลับ · วงปิด เขียน $\oint$

L3 Work–energy theorem ทฤษฎีบทงาน–พลังงาน

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \tfrac12 m\,|\mathbf v_B|^2 - \tfrac12 m\,|\mathbf v_A|^2$$

จากกฎของนิวตัน $\mathbf F = m\mathbf r''$ แล้วอินทิเกรต $m\mathbf r''\cdot\mathbf r'$ · งานรวมคือการเปลี่ยนพลังงานจลน์

### แล็บเปรียบเทียบงานตามสองเส้นทาง

เลือกพรีเซ็ตหรือพิมพ์สนามและเส้นทางเอง (พารามิเตอร์ $t$ จาก 0 ถึง 1) โปรแกรมคำนวณงานตามเส้นทาง A (ส้ม) และเส้นทาง B (ฟ้า) แล้วตรวจ $Q_x - P_y$ สำหรับสนามอนุรักษ์ ค่าตามสองเส้นทางต้องเท่ากัน ลองพรีเซ็ตสุดท้าย $\langle -y, x\rangle/(x^2 + y^2)$ ที่ curl เป็นศูนย์แต่ค่าต่างกัน เพราะบริเวณมีรู

ตัวอย่าง L-3 · งานตามสองเส้นทางที่ต่างกัน

### $\mathbf F = \langle x^2,\ xy\rangle$ หางานจาก $(0, 0)$ ถึง $(1, 1)$ ตาม (ก) พาราโบลา $y = x^2$ (ข) เส้นตรง $y = x$

- (ก) $\mathbf r(t) = \langle t, t^2\rangle,\ 0 \le t \le 1$ · $\mathbf r' = \langle 1, 2t\rangle$ · $\mathbf F(\mathbf r(t)) = \langle t^2,\ t\cdot t^2\rangle = \langle t^2, t^3\rangle$

- $\mathbf F\cdot\mathbf r' = t^2 + 2t^4$ → $W_{ก} = \displaystyle\int_0^1(t^2 + 2t^4)\,dt = \dfrac13 + \dfrac25 = \dfrac{11}{15}$

- (ข) $\mathbf r(t) = \langle t, t\rangle$ · $\mathbf r' = \langle1, 1\rangle$ · $\mathbf F = \langle t^2, t^2\rangle$ → $\mathbf F\cdot\mathbf r' = 2t^2$ → $W_{ข} = \displaystyle\int_0^1 2t^2\,dt = \dfrac23$

- $11/15 = 0.7333 \ne 2/3 = 0.6667$ → งานขึ้นกับเส้นทาง · ตรวจ $Q_x - P_y = y - 0 = y \ne 0$ สนามไม่อนุรักษ์ ✓

$W_{ก} = \tfrac{11}{15}$ · $W_{ข} = \tfrac{2}{3}$ · ต่างกัน เพราะ $\nabla\times\mathbf F \ne 0$

## ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น และความไม่ขึ้นกับเส้นทาง กลาง

ตัวแปรเดียว: $\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$ ใช้เพียงค่าที่ปลาย ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้นเป็นรูปทั่วไป: ถ้า $\mathbf F = \nabla f$ งานตามเส้นทางใดก็ได้เท่ากับผลต่างของ $f$ ที่ปลายทั้งสอง ผลคือ “ไม่ต้องหาเส้นทาง” — นี่คือเหตุผลที่แรงดันระหว่างสองจุดในวงจร DC ไม่ขึ้นกับว่าวัดตามสายไหน และที่พลังงานศักย์โน้มถ่วงขึ้นกับความสูงอย่างเดียว

L4 Fundamental theorem for line integrals ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น

$$\mathbf F = \nabla f \ \Rightarrow\ \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = f\big(\mathbf r(b)\big) - f\big(\mathbf r(a)\big)$$

ใช้เมื่อพบว่า $\mathbf F$ อนุรักษ์ (curl = 0) แล้วหา $f$ (วิธีหาศักย์) · ไฟฟ้า: $\int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf r = V(A) - V(B)$ เมื่อ $\mathbf E = -\nabla V$

L5 Equivalent conditions เงื่อนไขที่สมมูลกัน

$$\mathbf F = \nabla f \iff \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r \text{ ไม่ขึ้นกับเส้นทาง} \iff \oint\mathbf F\cdot d\mathbf r = 0\ \text{ทุกวงปิด} \iff \nabla\times\mathbf F = \mathbf 0\ \ (\text{บริเวณไม่มีรู})$$

เหตุผลที่สองข้อแรกสมมูล: วงปิด = เส้นทาง A ตามด้วยเส้นทาง B ย้อนกลับ $\oint = \int_A - \int_B$ · ข้อสุดท้ายต้องการ “เชื่อมต่อแบบง่าย”

ตัวอย่าง L-4 · ใช้ศักย์แทนการอินทิเกรตตามเส้น

### $\mathbf F = \langle 2xy + z^3,\ x^2,\ 3xz^2\rangle$ หางานจาก $(0,0,0)$ ถึง $(1,2,1)$

- จากบทสนามเวกเตอร์ (ตัวอย่าง D-5) $\mathbf F$ อนุรักษ์ และ $f = x^2y + xz^3$

- $W = f(1, 2, 1) - f(0, 0, 0) = (1\cdot2 + 1\cdot1) - 0 = 3$

- ตรวจด้วยเส้นตรง $\mathbf r(t) = \langle t, 2t, t\rangle$: $\mathbf F = \langle 4t^2 + t^3,\ t^2,\ 3t^3\rangle$ และ $\mathbf r' = \langle 1, 2, 1\rangle$ → $\mathbf F\cdot\mathbf r' = 4t^2 + t^3 + 2t^2 + 3t^3 = 6t^2 + 4t^3$

- $\displaystyle\int_0^1(6t^2 + 4t^3)\,dt = 2 + 1 = 3$ ✓ ตรงกัน และเส้นทางอื่นใดก็ให้ 3

$W = 3$ (ไม่ขึ้นกับเส้นทาง)

ตัวอย่าง L-5 · สนามอนุรักษ์ 2 มิติ

### $\mathbf F = \langle y, x\rangle$ หางานจาก $(0,0)$ ถึง $(2,3)$ ตามเส้นตรง และตาม $\mathbf r(t) = \langle 2t^2, 3t\rangle$

- $P_y = 1 = Q_x$ → อนุรักษ์ · ศักย์ $f = xy$ ($f_x = y,\ f_y = x$ ✓)

- ตามเส้นตรง $\langle 2t, 3t\rangle$: $\mathbf F = \langle 3t, 2t\rangle$, $\mathbf r' = \langle 2, 3\rangle$ → $\mathbf F\cdot\mathbf r' = 6t + 6t = 12t$ → $\int_0^1 12t\,dt = 6$

- ตาม $\langle 2t^2, 3t\rangle$: $\mathbf F = \langle 3t, 2t^2\rangle$, $\mathbf r' = \langle 4t, 3\rangle$ → $\mathbf F\cdot\mathbf r' = 12t^2 + 6t^2 = 18t^2$ → $\int_0^1 18t^2\,dt = 6$

- ตรวจด้วยศักย์ $f(2, 3) - f(0, 0) = 6 - 0 = 6$ ✓ ทั้งสามวิธีเท่ากัน

$W = 6$ ทุกเส้นทาง

## ทฤษฎีบทของกรีน (Green's Theorem) ขั้นสูง

ทฤษฎีบทของกรีนเชื่อมอินทิกรัลตามเส้นปิดรอบบริเวณ $R$ ในระนาบกับอินทิกรัลสองชั้นของบริเวณนั้น แนวคิด: แบ่ง $R$ เป็นช่องเล็ก ๆ ที่แต่ละช่องมีการหมุนวนเล็ก ๆ เท่ากับ $(Q_x - P_y)\,dA$ ตอนรวมช่องทั้งหมด ขอบที่ใช้ร่วมกันของช่องข้างเคียงถูกเดินสองครั้งในทิศตรงข้ามจึงหักล้างกัน เหลือเฉพาะขอบนอกสุด นี่คือ “การหมุนวนทั้งหมดรอบวง = ผลรวมการหมุนวนเล็ก ๆ ข้างใน”

ทฤษฎีบทกรีน (Green's theorem): แบ่งบริเวณเป็นช่องเล็ก การหมุนวนของช่องข้างเคียงหักล้างกันที่ขอบร่วม เหลือเฉพาะขอบนอกที่วนทวนเข็มนาฬิกา

L6 Green's theorem (circulation form) ทฤษฎีบทกรีน (รูปการหมุนวน)

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_R\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$$

$C$ = ขอบเขตปิดเรียบเป็นช่วง ๆ วนทวนเข็มนาฬิกา (บริเวณอยู่ทางซ้ายมือเสมอ) · $P, Q$ มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องบน $R$ · ถ้าวนตามเข็มนาฬิกา เพิ่มเครื่องหมายลบ · บริเวณมีรู: ขอบในวนตามเข็ม

L7 Green's theorem (flux form) ทฤษฎีบทกรีน (รูปฟลักซ์)

$$\oint_C\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \oint_C P\,dy - Q\,dx = \iint_R\left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)dA = \iint_R\nabla\cdot\mathbf F\,dA$$

$\mathbf n$ = เวกเตอร์ปกติชี้ออกนอกบริเวณ · เป็นทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ในสองมิติ (บทผิว)

L8 Area by a line integral · shoelace พื้นที่ด้วยอินทิกรัลเส้นและสูตร shoelace

$$A = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \tfrac12\oint_C x\,dy - y\,dx,\qquad A_{\text{polygon}} = \tfrac12\Big|\sum_{i=1}^{n}\big(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\big)\Big|$$

เลือก $P, Q$ ให้ $Q_x - P_y = 1$ (เช่น $Q = x, P = 0$ หรือ $Q = x/2, P = -y/2$) · รูปหลายเหลี่ยมคำนวณทีละด้าน (เส้นตรง) จึงได้ผลรวม · $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$ · วนทวนเข็มได้พื้นที่บวก

ในแล็บสนามเวกเตอร์ (บทสนามเวกเตอร์) วงกลมทดสอบวัด $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r$ และ $\oint\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds$ เทียบกับ $\iint$ ของ curl และ div ซึ่งคือทฤษฎีบทกรีนในรูปเชิงตัวเลข ลองอีกครั้งที่นี่กับสนามที่ curl ไม่คงที่ แล้วดูว่า $\oint$ ตรงกับ $\iint(Q_x - P_y)\,dA$ โดยประมาณ (ตรงเมื่อ $\rho$ เล็ก) ค่าสองบรรทัดสุดท้ายในกล่องคำตอบเป็นการเทียบโดยตรงกับค่าที่ทฤษฎีบทกรีนทำนาย

ตัวอย่าง L-6 · ใช้กรีนแทนการอินทิเกรตเส้นที่ยาก

### คำนวณ $\displaystyle\oint_C\big(3y - e^{\sin x}\big)dx + \big(7x + \sqrt{y^4 + 1}\big)dy$ เมื่อ $C$ คือวงกลม $x^2 + y^2 = 9$ วนทวนเข็ม

- อินทิกรัลเส้นตรง ๆ ทำยาก (มี $e^{\sin x}$ และ $\sqrt{y^4 + 1}$ ที่ไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบปิด) ใช้ทฤษฎีบทกรีน

- $P = 3y - e^{\sin x}$ → $P_y = 3$ · $Q = 7x + \sqrt{y^4 + 1}$ → $Q_x = 7$ · $Q_x - P_y = 4$ (ค่าคงที่!)

- $\displaystyle\oint_C = \iint_R 4\,dA = 4\times\text{พื้นที่วงกลมรัศมี }3 = 4\times9\pi = 36\pi$

$36\pi \approx 113.1$ (พจน์ที่ซับซ้อนหายไปหมดเมื่ออนุพันธ์ย่อยหักล้างกัน)

ตัวอย่าง L-7 · พื้นที่วงรีด้วยกรีน

### หาพื้นที่ภายในวงรี $x = a\cos t,\ y = b\sin t$ ด้วย $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$

- $dx = -a\sin t\,dt$ และ $dy = b\cos t\,dt$ · $x\,dy - y\,dx = ab\cos^2t\,dt + ab\sin^2t\,dt = ab\,dt$

- $A = \dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}ab\,dt = \dfrac12\cdot ab\cdot2\pi = \pi ab$

- ตรงกับผลของบทอินทิกรัลหลายชั้น (เปลี่ยนตัวแปรด้วย Jacobian $ab$) ✓

$A = \pi ab$

ตัวอย่าง L-8 · พื้นที่แปลงที่ดินจากพิกัดจุดยอด (โยธา / สำรวจ)

### แปลงที่ดินห้าเหลี่ยมมีพิกัด (เมตร): $(0, 0),\ (40, 0),\ (55, 30),\ (20, 45),\ (-5, 25)$ เรียงทวนเข็ม หาพื้นที่

- คำนวณ $x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i$ ทีละด้าน: $0\cdot0 - 40\cdot0 = 0$ · $40\cdot30 - 55\cdot0 = 1200$ · $55\cdot45 - 20\cdot30 = 2475 - 600 = 1875$ · $20\cdot25 - (-5)\cdot45 = 500 + 225 = 725$ · $(-5)\cdot0 - 0\cdot25 = 0$

- ผลรวม $= 0 + 1200 + 1875 + 725 + 0 = 3800$

- $A = \tfrac12\times3800 = 1900$ ตารางเมตร · หน่วยไทย: 1 ตารางวา = 4 ตร.ม. ดังนั้น $1900/4 = 475$ ตารางวา = 1 ไร่ 75 ตารางวา (1 ไร่ = 400 ตร.ว. = 1600 ตร.ม.)

- ถ้าเรียงจุดตามเข็มนาฬิกาจะได้ผลรวมเป็น $-3800$ จึงต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ · วิธีนี้ใช้ในโปรแกรมสำรวจและ GIS ทุกชนิด

$A = 1900$ m² $\approx 1.19$ ไร่ (ใช้ทฤษฎีบทกรีนกับเส้นขอบที่เป็นเส้นตรงทีละด้าน)

ตัวอย่าง L-9 · รูปฟลักซ์ของกรีน

### $\mathbf F = \langle x, y\rangle$ หาฟลักซ์ออกจากวงกลมรัศมี $R$ ด้วยสองวิธี

- วิธีตรง: บนวงกลม $\mathbf n = \langle x, y\rangle/R$ → $\mathbf F\cdot\mathbf n = (x^2 + y^2)/R = R$ คงที่ · $\oint\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = R\times2\pi R = 2\pi R^2$

- วิธีกรีน: $\nabla\cdot\mathbf F = 1 + 1 = 2$ → $\iint 2\,dA = 2\times\pi R^2 = 2\pi R^2$ ✓

- ในแล็บ: วงกลมรัศมี 1 ที่จุดกำเนิดให้ flux $= 2\pi = 6.2832$ และ flux ÷ พื้นที่ $= 2$ ตรงกับ $\nabla\cdot\mathbf F$

$\oint\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = 2\pi R^2$ ทั้งสองวิธี

## นำไปใช้ในงานวิศวกรรม พื้นฐาน

| สาขา | อินทิกรัลตามเส้น | ความหมาย |

| ไฟฟ้า | $V_{AB} = -\int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf r$ | แรงดันระหว่างสองจุด ไม่ขึ้นกับเส้นทางในสนามสถิต (L4) |

| ไฟฟ้า | $\oint\mathbf B\cdot d\mathbf l = \mu_0 I_{enc}$ | กฎของแอมแปร์ · สนามรอบลวดเส้นตรง $B = \mu_0I/2\pi r$ (บทผิว) |

| ไฟฟ้า | $\mathcal E = \oint\mathbf E\cdot d\mathbf l = -d\Phi_B/dt$ | แรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนำ (กฎฟาราเดย์) — สนามไม่อนุรักษ์ |

| เครื่องกล | $W = \int\mathbf F\cdot d\mathbf r$ | งานของแรงตามเส้นทางโค้ง งานของแรงเสียดทานขึ้นกับเส้นทาง |

| เครื่องกล | $\Gamma = \oint\mathbf v\cdot d\mathbf l$ | ไหลเวียน (circulation) ของของไหล · ทฤษฎีบท Kutta–Joukowski $L' = \rho U\Gamma$ ของแรงยกปีก |

| โยธา | $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ | พื้นที่แปลงที่ดินจากพิกัด (shoelace) · เครื่องมือ planimeter วัดพื้นที่บนแผนที่ (ตัวอย่าง L-8) |

| โยธา | $\int_C\rho\,ds$ | น้ำหนักของสายเคเบิลที่น้ำหนักต่อความยาวไม่คงที่ |

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- ลืมคูณ $|\mathbf r'|$ ในแบบสเกลาร์ · $\int f\,ds$ ใช้ $|\mathbf r'(t)|\,dt$ (ต่างจาก $\int\mathbf F\cdot d\mathbf r$ ที่ใช้ $\mathbf r'\,dt$ ในผลดอต)

- ลืมกลับเครื่องหมายเมื่อเดินย้อนทิศ ในแบบเวกเตอร์ · แบบสเกลาร์ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย

- ใช้กรีนกับขอบที่ไม่วนทวนเข็ม · วนตามเข็มได้ผลลบ · และต้องเป็นเส้นปิดที่ไม่ตัดตัวเอง

- ใช้ทฤษฎีบทกรีนเมื่อ $\mathbf F$ ไม่นิยามภายในวง · เช่น $\langle -y, x\rangle/(x^2 + y^2)$ รอบจุดกำเนิดให้ $2\pi$ แม้ curl เป็นศูนย์ (มีรูที่จุดกำเนิด)

- เข้าใจว่า curl = 0 แล้วอนุรักษ์เสมอ · ต้องบริเวณเชื่อมต่อแบบง่าย

ไปต่อที่อินทิกรัลบนผิว ฟลักซ์ และทฤษฎีบทของเกาส์–สโตกส์ ซึ่งเป็นรูปทั่วไปของกรีนในสามมิติ

## คำถามที่พบบ่อย

อินทิกรัลตามเส้น (line integral) คืออะไร มีกี่แบบ?
มีสองแบบหลัก แบบสเกลาร์ $\int_C f\,ds$ รวมค่า $f$ ตามความยาวเส้น เช่นหามวลของลวดที่ความหนาแน่นไม่สม่ำเสมอ ส่วนแบบเวกเตอร์ $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$ รวมองค์ประกอบของสนามตามแนวสัมผัสเส้นทาง คือ “งาน” ที่สนามทำกับวัตถุที่เคลื่อนไปตามเส้น C ทั้งสองคำนวณโดยกำหนดพารามิเตอร์ $\mathbf r(t)$: $\int f(\mathbf r(t))|\mathbf r'(t)|\,dt$ และ $\int \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$

งานของแรง (work) หาจากอินทิกรัลตามเส้นอย่างไร?
งานเมื่อวัตถุเคลื่อนไปตามเส้นทาง C ในสนามแรง $\mathbf F$ คือ $W = \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_a^b \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$ ตัวอย่าง $\mathbf F = \langle x^2, xy\rangle$ ตามพาราโบลา $y = x^2$ จาก (0,0) ถึง (1,1) ได้ $11/15$ แต่ตามเส้นตรง $y = x$ ได้ $2/3$ งานขึ้นกับเส้นทางเพราะสนามไม่อนุรักษ์ ถ้าสนามอนุรักษ์ งานเท่ากับผลต่างของฟังก์ชันศักย์ที่ปลายทั้งสอง

ทฤษฎีบทกรีน (Green's theorem) บอกอะไร ใช้เมื่อไร?
เชื่อมอินทิกรัลตามเส้นปิดกับอินทิกรัลสองชั้นของบริเวณที่ล้อมอยู่: $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dA$ เมื่อ C ปิด เรียบเป็นช่วง ๆ และวนทวนเข็มนาฬิกา ใช้เมื่ออินทิกรัลหนึ่งง่ายกว่าอีกอัน เช่นคำนวณการหมุนวนรอบวงโดยอินทิกรัลของ curl ทั้งบริเวณ หรือหาพื้นที่โดยเลือก $P, Q$ ให้ $Q_x - P_y = 1$ เช่น $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ ซึ่งเป็นที่มาของสูตรพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมจากพิกัดจุด (shoelace)

เมื่อไรอินทิกรัลตามเส้นไม่ขึ้นกับเส้นทาง (path independent)?
เมื่อสนามเป็นสนามอนุรักษ์ $\mathbf F = \nabla f$ บนบริเวณเชื่อมต่อ ซึ่งสมมูลกับ (ก) งานรอบวงปิดทุกวงเป็นศูนย์ (ข) $\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$ บนบริเวณที่ไม่มีรู (2 มิติ) หรือ $\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0$ (3 มิติ) ผลคือทฤษฎีบทมูลฐาน $\int_C\nabla f\cdot d\mathbf r = f(B) - f(A)$ ไม่ต้องหาเส้นทาง เพียงหาค่าศักย์ที่ปลายทั้งสอง เช่นแรงดันไฟฟ้าระหว่างสองจุดในสนามไฟฟ้าสถิตไม่ขึ้นกับสายที่ใช้วัด

สูตร shoelace คำนวณพื้นที่จากพิกัดคืออะไร?
พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$ เรียงต่อเนื่องทวนเข็ม คือ $A = \tfrac12\left|\sum_{i=1}^n (x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)\right|$ โดย $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$ มาจากทฤษฎีบทกรีน $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ คำนวณทีละด้านเป็นเส้นตรง ใช้ในงานสำรวจที่ดินหาพื้นที่แปลงจากพิกัด GPS ตัวอย่างแปลง (0,0),(40,0),(55,30),(20,45),(−5,25) ได้ 1,900 ตร.ม.

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**อินทิกรัลตามเส้น (line integral) คืออะไร มีกี่แบบ?**
มีสองแบบหลัก แบบสเกลาร์ $\int_C f\,ds$ รวมค่า $f$ ตามความยาวเส้น เช่นหามวลของลวดที่ความหนาแน่นไม่สม่ำเสมอ ส่วนแบบเวกเตอร์ $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$ รวมองค์ประกอบของสนามตามแนวสัมผัสเส้นทาง คือ “งาน” ที่สนามทำกับวัตถุที่เคลื่อนไปตามเส้น C ทั้งสองคำนวณโดยกำหนดพารามิเตอร์ $\mathbf r(t)$: $\int f(\mathbf r(t))|\mathbf r'(t)|\,dt$ และ $\int \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$

**งานของแรง (work) หาจากอินทิกรัลตามเส้นอย่างไร?**
งานเมื่อวัตถุเคลื่อนไปตามเส้นทาง C ในสนามแรง $\mathbf F$ คือ $W = \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_a^b \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$ ตัวอย่าง $\mathbf F = \langle x^2, xy\rangle$ ตามพาราโบลา $y = x^2$ จาก (0,0) ถึง (1,1) ได้ $11/15$ แต่ตามเส้นตรง $y = x$ ได้ $2/3$ งานขึ้นกับเส้นทางเพราะสนามไม่อนุรักษ์ ถ้าสนามอนุรักษ์ งานเท่ากับผลต่างของฟังก์ชันศักย์ที่ปลายทั้งสอง

**ทฤษฎีบทกรีน (Green's theorem) บอกอะไร ใช้เมื่อไร?**
เชื่อมอินทิกรัลตามเส้นปิดกับอินทิกรัลสองชั้นของบริเวณที่ล้อมอยู่: $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dA$ เมื่อ C ปิด เรียบเป็นช่วง ๆ และวนทวนเข็มนาฬิกา ใช้เมื่ออินทิกรัลหนึ่งง่ายกว่าอีกอัน เช่นคำนวณการหมุนวนรอบวงโดยอินทิกรัลของ curl ทั้งบริเวณ หรือหาพื้นที่โดยเลือก $P, Q$ ให้ $Q_x - P_y = 1$ เช่น $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ ซึ่งเป็นที่มาของสูตรพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมจากพิกัดจุด (shoelace)

**เมื่อไรอินทิกรัลตามเส้นไม่ขึ้นกับเส้นทาง (path independent)?**
เมื่อสนามเป็นสนามอนุรักษ์ $\mathbf F = \nabla f$ บนบริเวณเชื่อมต่อ ซึ่งสมมูลกับ (ก) งานรอบวงปิดทุกวงเป็นศูนย์ (ข) $\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$ บนบริเวณที่ไม่มีรู (2 มิติ) หรือ $\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0$ (3 มิติ) ผลคือทฤษฎีบทมูลฐาน $\int_C\nabla f\cdot d\mathbf r = f(B) - f(A)$ ไม่ต้องหาเส้นทาง เพียงหาค่าศักย์ที่ปลายทั้งสอง เช่นแรงดันไฟฟ้าระหว่างสองจุดในสนามไฟฟ้าสถิตไม่ขึ้นกับสายที่ใช้วัด

**สูตร shoelace คำนวณพื้นที่จากพิกัดคืออะไร?**
พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$ เรียงต่อเนื่องทวนเข็ม คือ $A = \tfrac12\left|\sum_{i=1}^n (x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)\right|$ โดย $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$ มาจากทฤษฎีบทกรีน $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ คำนวณทีละด้านเป็นเส้นตรง ใช้ในงานสำรวจที่ดินหาพื้นที่แปลงจากพิกัด GPS ตัวอย่างแปลง (0,0),(40,0),(55,30),(20,45),(−5,25) ได้ 1,900 ตร.ม.

---

# แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมเครื่องกล: การนำความร้อน การไหลของของไหล จุดศูนย์กลางมวล และจาโคเบียนหุ่นยนต์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/mechanical-engineering/
Updated: 2026-10-17
Summary: การประยุกต์แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมเครื่องกล (mechanical engineering): กฎของฟูริเยร์ q = −k∇T สมการความร้อนและลาปลาซ การนำความร้อนในผนังและท่อกลม ความต่อเนื่อง ∇·v = 0 ความหมุนวน (vorticity) ของของไหล การไหลรอบทรงกระบอกและ Bernoulli จุดศูนย์กลางมวลและโมเมนต์ความเฉื่อยของล้อช่วยแรง การขยายตัวทางความร้อนและจาโคเบียนแขนกล พร้อมแล็บความร้อนและสนามการไหล

// บทที่ 24.11 · การประยุกต์ · Mechanical Engineering

# แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมเครื่องกล: การนำความร้อน การไหลของของไหล จุดศูนย์กลางมวล และจาโคเบียนหุ่นยนต์

เครื่องกลคือวิชาที่ปริมาณทุกอย่างกระจายอยู่ในอวกาศ: อุณหภูมิในครีบระบายความร้อน ความเร็วของลมรอบใบพัด มวลที่กระจายในล้อช่วยแรง และมุมข้อต่อที่กำหนดตำแหน่งปลายแขนกล หน้านี้ใช้ gradient divergence curl และอินทิกรัลหลายชั้นกับโจทย์ของวิศวกรเครื่องกลโดยตรง: กฎของฟูริเยร์ q = −k∇T และการนำความร้อนในผนังและท่อ ความต่อเนื่องและความหมุนวนของของไหล การไหลศักย์รอบทรงกระบอกกับ Bernoulli โมเมนต์ความเฉื่อยและพลังงานของล้อช่วยแรง การขยายตัวทางความร้อนด้วยผลต่างรวม และจาโคเบียนที่เปลี่ยนความเร็วข้อต่อเป็นความเร็วปลายแขน พร้อมแล็บความร้อนที่ลาก isotherm และวัดฟลักซ์ได้

สรุปใน 30 วินาที

- ความร้อน: $\mathbf q = -k\nabla T$ · คงตัวไม่มีแหล่งกำเนิด: $\nabla^2T = 0$ · $\oint\mathbf q\cdot\mathbf n\,dS = 0$ (เข้า = ออก) · ท่อกลม $\dot Q' = 2\pi k(T_i - T_o)/\ln(r_o/r_i)$

- ของไหล: ไม่บีบอัด $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ · ความหมุนวน $\boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v$ · ศักย์ $\mathbf v = \nabla\phi$, $\nabla^2\phi = 0$ · Bernoulli $p + \tfrac12\rho v^2 = \text{ค่าคงที่}$

- มวล: $I = \iiint r_\perp^2\rho\,dV$ · จานตัน $\tfrac12mR^2$ · พลังงานจลน์หมุน $\tfrac12I\omega^2$ · แกนขนาน $I = I_c + md^2$

- แขนกล: $\mathbf v = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta}$, $\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F$, $\det\mathbf J = L_1L_2\sin\theta_2$ · ขยายตัวความร้อน $\Delta A/A \approx 2\alpha\Delta T$

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## การนำความร้อนและกฎของฟูริเยร์: q = −k∇T พื้นฐาน

ความร้อนไหลจากร้อนไปเย็นตามทิศที่อุณหภูมิลดเร็วที่สุด ซึ่งคือ $-\nabla T$ (บทเกรเดียนต์) กฎของฟูริเยร์เขียนข้อเท็จจริงนี้เป็นสมการ: ฟลักซ์ความร้อน (heat flux) $\mathbf q = -k\nabla T$ หน่วย W/m² ตั้งฉากกับเส้นอุณหภูมิเท่ากัน (isotherm) เสมอ เมื่อรวมกับการอนุรักษ์พลังงาน (ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์) จะได้สมการความร้อน และในสภาวะคงตัวเหลือสมการลาปลาซ

K1 Fourier's law กฎของฟูริเยร์

$$\mathbf q = -k\,\nabla T,\qquad |\mathbf q| = k\,|\nabla T|,\qquad \dot Q = \iint_S\mathbf q\cdot\mathbf n\,dS$$

$k$ (W/m·K): ทองแดง 400 · อะลูมิเนียม 237 · เหล็กกล้า 50 · คอนกรีต 1.4 · อิฐ 0.7 · ไม้ 0.15 · ฉนวนโฟม 0.04 · $\dot Q$ = อัตราความร้อนผ่านผิว S (W) · 1 มิติ: $q = -k\,dT/dx$

K2 Heat equation สมการความร้อน

$$\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf q + \dot q_{gen} = k\,\nabla^2T + \dot q_{gen},\qquad \text{คงตัว ไม่มีแหล่งกำเนิด: }\ \nabla^2T = 0$$

ที่มา: ความร้อนสุทธิที่ไหลออกจากปริมาตรเล็กคือ $\oiint\mathbf q\cdot\mathbf n\,dS = \iiint\nabla\cdot\mathbf q\,dV$ (เกาส์) · $\alpha = k/\rho c$ การแพร่ความร้อน (m²/s) · $\rho c$ = ความจุความร้อนต่อปริมาตร

K3 Mean value property and maximum principle สมบัติค่าเฉลี่ยและหลักการค่าสูงสุด

$$\nabla^2T = 0\ \Rightarrow\ T(\mathbf x_0) = \frac{1}{2\pi R}\oint_{|\mathbf x - \mathbf x_0| = R}T\,ds,\qquad T_{\max},\ T_{\min}\ \text{อยู่บนขอบเสมอ}$$

อุณหภูมิที่จุดหนึ่งเท่ากับค่าเฉลี่ยบนวงกลมรอบมัน (ภายใต้เงื่อนไขอยู่ในบริเวณ) จึงไม่มีจุดร้อนสุดหรือเย็นสุดภายในแผ่น ตรวจคำตอบเชิงตัวเลขได้ง่าย

### แล็บการนำความร้อนในแผ่น

เลือกสถานการณ์แล้วลากจุด P: สีแสดงอุณหภูมิ เส้นบางคือ isotherm ลูกศรดำคือฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q = -k\nabla T$ (ตั้งฉากกับ isotherm และชี้จากร้อนไปเย็น) กรอบเขียวคือ “กล่องตรวจ” รอบ P: ความร้อนสุทธิที่ไหลออก $\oint\mathbf q\cdot\mathbf n\,ds$ ต้องเท่ากับ $\iint\nabla\cdot\mathbf q\,dA = \iint -k\nabla^2T\,dA$ ในสภาวะคงตัวที่ $\nabla^2T = 0$ ได้ศูนย์ (สถานการณ์ “จุดร้อนแบบเกาส์” ไม่ใช่ steady จึงได้ค่าไม่เป็นศูนย์) ลองเปลี่ยนวัสดุเพื่อดูว่า $k$ มีผลกับ $\mathbf q$ แต่ไม่มีผลกับรูปร่าง isotherm

ฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q = -k\nabla T$ ตั้งฉากกับ isotherm เสมอ: ความร้อนไหลจากร้อนไปเย็น ตามทิศที่อุณหภูมิลดเร็วที่สุด (heat flux perpendicular to isotherms)

ตัวอย่าง K-1 · ผนังอิฐ (ภาระความเย็น)

### ผนังอิฐหนา 0.20 m ($k = 0.72$ W/m·K) ผิวนอก 35 °C ผิวในห้อง 25 °C พื้นที่ผนัง 12 m² หาฟลักซ์และความร้อนที่เข้าห้อง

- ผนังใหญ่เทียบกับความหนา อุณหภูมิเปลี่ยนแค่แนวความหนา (1 มิติ): $T(x) = 35 - 50x$ (องศา, $x$ เมตรจากผิวนอก) · $\dfrac{dT}{dx} = -50$ K/m

- $q = -k\dfrac{dT}{dx} = -0.72(-50) = 36$ W/m² (ชี้เข้าห้อง ทิศ $+x$)

- $\dot Q = qA = 36\times12 = 432$ W (ภาระความเย็นจากผนัง) · ฟลักซ์เท่ากันทุกหน้าตัดตามความหนา เพราะ $\nabla^2T = 0$

- ถ้าเปลี่ยนเป็นฉนวนโฟม $k = 0.04$ ความหนาเท่ากัน: $q = 2.0$ W/m² (ลดลง 18 เท่า) จึงเห็นว่าวัสดุมีผลกับขนาดของฟลักซ์ ไม่ใช่รูปร่างสนามอุณหภูมิ

$q = 36$ W/m² · $\dot Q = 432$ W

ตัวอย่าง K-2 · ท่อไอน้ำ (การนำความร้อนในแนวรัศมี)

### ท่อเหล็กกล้าผนังหนา $r_i = 0.10$ m ถึง $r_o = 0.50$ m ($k = 50$) ผิวใน 150 °C ผิวนอก 25 °C หา $T(r)$ และอัตราความร้อนต่อความยาวท่อ

- สมมาตรรอบแกน: $T = T(r)$ · สมการลาปลาซในพิกัดทรงกระบอก $\dfrac1r\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dT}{dr}\right) = 0$ → $r\,T' = C_1$ → $T = C_1\ln r + C_2$

- เงื่อนไขขอบ: $T(r_i) = 150,\ T(r_o) = 25$ → $T(r) = 150 - 125\dfrac{\ln(r/r_i)}{\ln(r_o/r_i)}$ = $150 - 77.67\ln(10r)$

- ฟลักซ์ $q_r = -k\dfrac{dT}{dr} = \dfrac{k\cdot125}{r\ln(r_o/r_i)} = \dfrac{3883}{r}$ W/m² ($\ln5 = 1.6094$)

- อัตราความร้อนต่อเมตรความยาว: $\dot Q' = q_r\cdot2\pi r = \dfrac{2\pi k(T_i - T_o)}{\ln(r_o/r_i)} = \dfrac{2\pi(50)(125)}{1.6094} = 24\,400$ W/m — คงที่ทุกรัศมี เพราะความร้อนที่ผ่านผิวทรงกระบอกแต่ละชั้นเท่ากัน (ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์: $\nabla\cdot\mathbf q = 0$)

$T(r) = 150 - 125\ln(10r)/\ln5$ · $\dot Q' \approx 24.4$ kW/m (ทุกรัศมี)

ตัวอย่าง K-3 · อุณหภูมิกลางแผ่นจากสมบัติค่าเฉลี่ย

### แผ่นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ขอบบน 100 °C ขอบอื่นสามด้าน 20 °C ในสภาวะคงตัว หาอุณหภูมิที่จุดกลางแผ่น

- $\nabla^2T = 0$ และเป็นเชิงเส้น: ตั้ง $\theta = T - 20$ จะได้ขอบบน $\theta = 80$ K ที่เหลือ 0 K

- วางสำเนาของปัญหานี้สี่ชุด หมุนไปทีละ 90° แล้วรวมกัน จะได้ปัญหาที่ ทุกขอบ เป็น 80 K ซึ่งมีคำตอบ $\theta = 80$ ทั่วแผ่น · โดยสมมาตรทั้งสี่ชุดให้ค่าที่จุดกลางเท่ากัน จึง $\theta(\text{center}) = 80/4 = 20$ K

- อุณหภูมิกลางแผ่น $T = 20 + 20 = 40$ °C (ค่าเฉลี่ยของอุณหภูมิขอบทั้งสี่: $\tfrac14(100 + 20 + 20 + 20) = 40$)

- ตรวจในแล็บ: ตั้ง P ที่ $(0.5, 0.5)$ ได้ $T = 40.0$ °C และ $\nabla^2T \approx 0$ · ใกล้ขอบบน (ที่มุมบน) สนามชันมาก ฟลักซ์สูงมาก ตรงข้ามที่ก้นแผ่นแทบไม่มีความร้อนไหลถึง

$T_{\text{center}} = 40$ °C

## ของไหล: ความต่อเนื่อง ความหมุนวน และการไหลรอบทรงกระบอก กลาง

สนามความเร็ว $\mathbf v(x, y, z, t)$ คือสนามเวกเตอร์ (บทสนามเวกเตอร์) divergence บอกว่าของไหลถูกบีบอัดหรือไม่ curl บอกว่ามีการหมุนวนหรือไม่ ของไหลอุดมคติ (ไม่หนืด ไม่บีบอัด ไม่หมุนวน) เป็นกรณีที่คำตอบทั้งหมดมาจากสมการลาปลาซ: $\mathbf v = \nabla\phi$ และ $\nabla^2\phi = 0$

K4 Continuity equation สมการความต่อเนื่อง

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf v) = 0\ \ \xrightarrow{\ \rho\text{ คงที่}\ }\ \ \nabla\cdot\mathbf v = 0$$

การอนุรักษ์มวล · ฟลักซ์เข้า = ฟลักซ์ออกของปริมาตรใด ๆ · ท่อหน้าตัดเปลี่ยน: $A_1v_1 = A_2v_2$ (เป็นรูปปริพันธ์ที่อินทิเกรตเหนือหน้าตัด)

K5 Vorticity, circulation, potential flow ความหมุนวน การหมุนเวียน การไหลศักย์

$$\boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v,\qquad \Gamma = \oint_C\mathbf v\cdot d\mathbf l = \iint_S\boldsymbol\zeta\cdot\mathbf n\,dS,\qquad \boldsymbol\zeta = \mathbf 0\ \Rightarrow\ \mathbf v = \nabla\phi,\ \nabla^2\phi = 0$$

ความหมุนวนคือสองเท่าของความเร็วเชิงมุมของอนุภาค · $\Gamma$ = การหมุนเวียน (circulation) ตามทฤษฎีบทสโตกส์ · ปีกเครื่องบิน: แรงยก $L' = \rho U\Gamma$ (Kutta–Joukowski)

K6 Bernoulli equation สมการเบอร์นูลลี

$$p + \tfrac12\rho|\mathbf v|^2 + \rho gz = \text{ค่าคงที่ตามเส้นกระแส (หรือทั่วสนามถ้า irrotational)},\qquad C_p = \frac{p - p_\infty}{\tfrac12\rho U^2} = 1 - \frac{|\mathbf v|^2}{U^2}$$

ใช้กับการไหลคงตัว ไม่หนืด ไม่บีบอัด · ความดันลดเมื่อความเร็วเพิ่ม (ท่อเวนทูรี ปีก) · สัมประสิทธิ์ความดัน $C_p$ ใช้เทียบกับการทดลองอุโมงค์ลม

แล็บด้านล่างใช้สนามความเร็วอุดมคติรอบทรงกระบอก (ปรับให้รัศมี 1 และความเร็วไกล 1) เปิดสีพื้นตามขนาด $|\mathbf v|$ แล้วดูว่าความเร็วสูงสุดที่ยอดและก้นทรงกระบอก ลองเปิดเส้นกระแสและอนุภาค

ตัวอย่าง K-4 · การไหลรอบทรงกระบอก

### ลมความเร็ว $U = 2$ m/s พัดผ่านเสาทรงกระบอกรัศมี $a = 0.05$ m (ใช้แบบจำลองอุดมคติ $\rho = 1.2$ kg/m³) หาความเร็วบนผิวที่ยอดเสา และความดันที่จุดหยุดนิ่งกับที่ยอด

- สนามความเร็ว (พิกัดไร้มิติ $a = 1,\ U = 1$): $v_x = 1 - \dfrac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2},\ v_y = -\dfrac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$ · ตรวจ $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ และ $\nabla\times\mathbf v = 0$ ได้ทั้งคู่ (ลองเปิดสีพื้น div/curl ในแล็บ)

- ที่ยอด $(0, a)$: $v_x = U(1 + 1) = 2U = 4$ m/s และ $v_y = 0$ → ความเร็วที่ผิวมากสุด = $2U$ (เร็วเป็นสองเท่าของลมที่ไกล)

- จุดหยุดนิ่งหน้าเสา $(-a, 0)$: $\mathbf v = \mathbf 0$ · เบอร์นูลลี: $p - p_\infty = \tfrac12\rho U^2 = \tfrac12(1.2)(4) = 2.4$ Pa

- ที่ยอด: $p - p_\infty = \tfrac12\rho(U^2 - (2U)^2) = -\tfrac32\rho U^2 = -1.5(1.2)(4) = -7.2$ Pa ($C_p = -3$) ความดันต่ำที่ข้างเสาทำให้เกิดแรงดูด

$v_{\text{top}} = 4$ m/s · $p_{\text{stag}} - p_\infty = +2.4$ Pa · $p_{\text{top}} - p_\infty = -7.2$ Pa (การไหลอุดมคติให้แรงต้านเป็นศูนย์ — ความต้านจริงมาจากความหนืดและการแยกตัวของชั้นขอบ)

ตัวอย่าง K-5 · พายุหมุน (Rankine vortex)

### แบบจำลองพายุหมุน: ภายในแกนรัศมี $R = 50$ m หมุนเหมือนวัตถุแข็ง $v = \omega r$ ภายนอก $v = \Gamma/(2\pi r)$ ความเร็วสูงสุดที่ $r = R$ คือ 60 m/s หาความหมุนวนภายในแกน การหมุนเวียน $\Gamma$ และความเร็วที่ $r = 100$ m

- ภายใน: $\omega = v_{\max}/R = 60/50 = 1.2$ rad/s · $\nabla\times\mathbf v = 2\omega = 2.4$ s⁻¹ (คงที่ ตามสูตร D6 ในบทสนามเวกเตอร์)

- ที่ขอบแกน: $\Gamma = \oint\mathbf v\cdot d\mathbf l = v_{\max}\cdot2\pi R = 60\times2\pi\times50 = 18\,850$ m²/s (ตรงกับ $\iint\zeta\,dA = 2.4\times\pi R^2 = 18\,850$ ตามทฤษฎีบทสโตกส์/กรีน ✓)

- ภายนอก: $\Gamma$ คงที่ (curl เป็นศูนย์นอกแกนแต่ยังมีการหมุนเวียน เพราะวงนั้นล้อมรูของแกน) → $v(100) = \dfrac{\Gamma}{2\pi r} = \dfrac{18\,850}{2\pi(100)} = 30$ m/s (ลดลงครึ่งหนึ่งเมื่อรัศมีเป็นสองเท่า)

- ความดัน: ภายนอกเป็นการไหลศักย์ใช้ Bernoulli ได้ เมื่อเทียบกับไกล: $p_\infty - p(100) = \tfrac12\rho(30)^2 = 540$ Pa ที่ $\rho = 1.2$ ความดันต่ำที่ตาพายุที่เกิดจากการหมุน

$\zeta = 2.4$ s⁻¹ ในแกน · $\Gamma = 1.885\times10^4$ m²/s · $v(100\text{ m}) = 30$ m/s

## จุดศูนย์กลางมวล โมเมนต์ความเฉื่อย และพลังงานของล้อช่วยแรง กลาง

อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้นของบทก่อน (M12, M13) เป็นเครื่องมือประจำของวิศวกรเครื่องกลสำหรับชิ้นส่วนหมุน สมการการหมุน $\tau = I\alpha$ และพลังงานจลน์ $\tfrac12I\omega^2$ ต้องการ $I$ ที่คำนวณจาก $\iiint r_\perp^2\rho\,dV$ ทฤษฎีบทแกนขนาน $I = I_c + md^2$ ใช้ย้ายแกนจากจุดศูนย์กลางมวลไปแกนอื่น

K7 Moments of inertia (standard shapes) โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปทรงมาตรฐาน

$$I_{\text{แผ่นสี่เหลี่ยม}} = \frac{m(a^2 + b^2)}{12},\quad I_{\text{จานตัน}} = \tfrac12mR^2,\quad I_{\text{ทรงกลมตัน}} = \tfrac25mR^2,\quad I = I_c + md^2,\quad E_k = \tfrac12I\omega^2$$

ที่มา: ตัวอย่าง M-12, M-13 ในบทอินทิกรัลหลายชั้น และ K-6 ข้างล่าง · แกนผ่านจุดศูนย์กลางมวลตั้งฉากกับแผ่น · วงแหวนบางรัศมี $R$: $mR^2$

ตัวอย่าง K-6 · แผ่นเหล็กและล้อช่วยแรง

### (ก) แผ่นเหล็กกล้า $0.40\times0.30$ m หนา 10 mm ($\rho = 7850$ kg/m³) หา $I$ รอบแกนตั้งฉากแผ่นที่ผ่านกึ่งกลาง (ข) ล้อช่วยแรงจานเหล็กรัศมี 0.25 m หนา 50 mm หมุน 3000 rpm หา $I$ และพลังงานที่สะสม

- (ก) $I_z = \rho_s\iint(x^2 + y^2)\,dA$ เมื่อ $\rho_s$ = มวลต่อพื้นที่ · $= \rho_s\left(\dfrac{a^3b}{12} + \dfrac{ab^3}{12}\right) = \dfrac{m(a^2 + b^2)}{12}$

- $m = 7850\times0.40\times0.30\times0.010 = 9.42$ kg · $I_z = \dfrac{9.42(0.40^2 + 0.30^2)}{12} = \dfrac{9.42\times0.25}{12} = 0.1963$ kg·m²

- (ข) $m = \rho\pi R^2h = 7850\pi(0.25)^2(0.05) = 77.07$ kg · $I = \tfrac12mR^2 = \tfrac12(77.07)(0.0625) = 2.408$ kg·m²

- $\omega = 3000\times2\pi/60 = 314.16$ rad/s · $E_k = \tfrac12I\omega^2 = \tfrac12(2.408)(314.16)^2 = 1.188\times10^{5}$ J ≈ 119 kJ (เทียบเท่าพลังงานของรถ 1000 kg ที่วิ่งราว 54 km/h)

(ก) $I_z = 0.196$ kg·m² · (ข) $I = 2.41$ kg·m², $E_k = 119$ kJ

ในแล็บ ตั้ง $f = 1$ (ความหนาแน่นผิว 1 kg/m²) ของสี่เหลี่ยม $0.4\times0.3$ m จะได้มวล $M = 0.12$ และ $J = I_x + I_y = 0.12\times0.25/12 = 0.0025$ เป็นตัวเลขเดียวกับ $m(a^2+b^2)/12$ ของสูตรเมื่อมวลเท่ากับ 0.12 หน่วย (ลองเทียบ)

## อนุพันธ์ย่อยในเทอร์โมไดนามิกส์และการขยายตัวทางความร้อน พื้นฐาน

สมบัติของสารแสดงด้วยอนุพันธ์ย่อยของสมการสถานะ เช่นสัมประสิทธิ์การขยายตัวเชิงปริมาตร $\beta = \tfrac1V\left(\tfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P$ และสัมประสิทธิ์การบีบอัด $\kappa_T = -\tfrac1V\left(\tfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T$ ซึ่งหาได้ด้วยวิธีเดียวกับบทอนุพันธ์ย่อย และการขยายตัวของชิ้นส่วนด้วยอุณหภูมิใช้ผลต่างรวม

K8 Thermal expansion (total differential) การขยายตัวทางความร้อน (ผลต่างรวม)

$$\Delta L = \alpha L\,\Delta T,\qquad A = LW \Rightarrow \frac{\Delta A}{A} \approx 2\alpha\Delta T,\qquad \frac{\Delta V}{V} \approx 3\alpha\Delta T;\qquad \text{แก๊สอุดมคติ: } \beta = \frac1T,\ \ \kappa_T = \frac1P$$

$dA = W\,dL + L\,dW$ → ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์รวมกัน (บท P12) · เหล็กกล้า $\alpha \approx 12\times10^{-6}$ K⁻¹ · อะลูมิเนียม $23\times10^{-6}$ · คอนกรีต $10\times10^{-6}$

ตัวอย่าง K-7 · รางเหล็กและแผ่นเหล็ก

### (ก) รางเหล็กยาว 10 m เมื่อร้อนขึ้น 80 K ยาวขึ้นเท่าไร (ข) แผ่นเหล็ก 1 × 1 m ขยายพื้นที่กี่ % (ค) $\beta$ และ $\kappa_T$ ของอากาศ 300 K, 1 atm

- (ก) $\Delta L = \alpha L\Delta T = 12\times10^{-6}\times10\times80 = 9.6\times10^{-3}$ m = 9.6 mm (จึงต้องเว้นรอยต่อขยายตัว)

- (ข) $dA = W\,dL + L\,dW = 2L\cdot\alpha L\,dT$ → $\Delta A/A = 2\alpha\Delta T = 2(12\times10^{-6})(80) = 1.92\times10^{-3}$ = 0.192% (= $1920$ mm² บนแผ่น 1 m²)

- (ค) จาก $PV = nRT$: $\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P = \dfrac{nR}{P} = \dfrac VT$ → $\beta = \dfrac1T = 3.33\times10^{-3}$ K⁻¹ · $\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T = -\dfrac{V}{P}$ → $\kappa_T = \dfrac1P = 9.87\times10^{-6}$ Pa⁻¹

(ก) 9.6 mm · (ข) 0.192% · (ค) $\beta = 3.33\times10^{-3}$ K⁻¹, $\kappa_T = 9.87\times10^{-6}$ Pa⁻¹

## จาโคเบียนของแขนกล: ความเร็วและแรงบิดข้อต่อ ขั้นสูง

ตำแหน่งปลายแขนกลเป็นฟังก์ชันหลายตัวแปรของมุมข้อต่อ $\mathbf x = \mathbf f(\boldsymbol\theta)$ ดังนั้นความเร็วปลายแขนตามกฎลูกโซ่ $\dot{\mathbf x} = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta}$ เมื่อ $\mathbf J = \partial\mathbf f/\partial\boldsymbol\theta$ คือเมทริกซ์จาโคเบียน (P19) และจากหลักงานเสมือน แรงที่ปลายแขน $\mathbf F$ ต้องการแรงบิดข้อต่อ $\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F$ รายละเอียดจลนศาสตร์ไปข้างหน้า-ย้อนกลับอยู่ในบทเวกเตอร์ในแขนกล

K9 Two-link planar arm แขนกลสองข้อต่อบนระนาบ

$$x = L_1c_1 + L_2c_{12},\ \ y = L_1s_1 + L_2s_{12};\quad \mathbf J = \begin{pmatrix} -L_1s_1 - L_2s_{12} & -L_2s_{12}\\ L_1c_1 + L_2c_{12} & L_2c_{12}\end{pmatrix},\quad \det\mathbf J = L_1L_2\sin\theta_2$$

$c_1 = \cos\theta_1,\ s_{12} = \sin(\theta_1 + \theta_2)$ · $\dot{\mathbf x} = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta}$ · $\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F$ · $\det\mathbf J = 0$ ที่ $\theta_2 = 0,\pi$ (แขนเหยียดหรือพับสนิท): จุดเอกฐาน (singularity) ปลายแขนเคลื่อนไปตามแนวแขนไม่ได้ · ระวังหน่วย rad

ตัวอย่าง K-8 · จาโคเบียนแขนกล 2 ข้อต่อ

### แขนกล $L_1 = 0.5$ m, $L_2 = 0.4$ m ที่ $\theta_1 = 30^\circ,\ \theta_2 = 60^\circ$ ข้อต่อหมุน $\dot\theta_1 = 1$, $\dot\theta_2 = 0.5$ rad/s และปลายแขนรับแรง $\mathbf F = (0, -10)$ N หาตำแหน่ง ความเร็วปลาย $\det\mathbf J$ และแรงบิดข้อต่อ

- ตำแหน่ง: $x = 0.5\cos30^\circ + 0.4\cos90^\circ = 0.4330$ · $y = 0.5\sin30^\circ + 0.4\sin90^\circ = 0.25 + 0.4 = 0.650$ m

- $\mathbf J = \begin{pmatrix}-0.5(0.5) - 0.4(1) & -0.4(1)\\ 0.5(0.866) + 0.4(0) & 0.4(0)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0.650 & -0.400\\ 0.433 & 0\end{pmatrix}$

- $\det\mathbf J = (-0.650)(0) - (-0.400)(0.433) = 0.1732$ = $L_1L_2\sin60^\circ = 0.2\times0.866$ ✓ (ไม่เป็นศูนย์ → ไม่อยู่ที่จุดเอกฐาน)

- ความเร็วปลาย: $\dot{\mathbf x} = \mathbf J\begin{pmatrix}1\\0.5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0.650 - 0.200\\ 0.433\end{pmatrix} = (-0.850,\ 0.433)$ m/s · อัตราเร็ว $0.954$ m/s

- แรงบิด: $\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F = \begin{pmatrix}-0.650 & 0.433\\ -0.400 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\-10\end{pmatrix} = (-4.33,\ 0)$ N·m · ตรวจด้วยกลศาสตร์: ข้อต่อที่ 2 ที่ $\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$ ทำให้แขนท่อนที่ 2 ตั้งฉากพอดี แรงลงแนวดิ่งขนานแขน จึงไม่มีโมเมนต์ที่ข้อศอก ($\tau_2 = 0$) ส่วนที่ไหล่ $\tau_1 = 10\times0.433 = 4.33$ N·m (แขนยื่นไปทางขวา 0.433 m) ✓

ปลายแขน $(0.433, 0.650)$ m · $\dot{\mathbf x} = (-0.850, 0.433)$ m/s · $\det\mathbf J = 0.1732$ · $\boldsymbol\tau = (-4.33, 0)$ N·m

แล็บจาโคเบียนด้านบนถูกตั้งเป็นแผนที่ $(u, v) = (\theta_1, \theta_2) \mapsto (x, y)$ ของแขนกลนี้ (ใช้ $u$ แทน $\theta_1$ และ $v$ แทน $\theta_2$) ค่า $\det J$ ในแล็บเท่ากับ $L_1L_2\sin v$ เมื่อลาก $v$ เข้าใกล้ 0 พื้นที่ของภาพของช่องเล็กจะหายไปทั้งหมด — นั่นคือแขนที่ “แบน” เข้าหาจุดเอกฐาน

## สรุปเครื่องมือแคลคูลัสกับโจทย์เครื่องกล พื้นฐาน

| ปัญหาเครื่องกล | เครื่องมือ | ผลลัพธ์ |

| การนำความร้อนในผนัง ท่อ ครีบ | $\nabla T$, $\nabla^2T = 0$, ฟลักซ์ผ่านผิว | $\mathbf q = -k\nabla T$, $\dot Q'$ ท่อ (K1–K3) |

| การไหลรอบวัตถุ | div, curl, potential, Bernoulli | $\mathbf v$, $p$, $C_p$ (K4–K6) |

| กระแสน้ำวนและแรงยก | การหมุนเวียน $\Gamma = \oint\mathbf v\cdot d\mathbf l$ | ความหมุนวน แรงยก $\rho U\Gamma$ (K5) |

| ชิ้นส่วนหมุน ล้อช่วยแรง | อินทิกรัลสามชั้น $\iiint r^2\rho\,dV$ | $I$, $E_k = \tfrac12I\omega^2$ (K7) |

| ขยายตัวทางความร้อน ความเค้นความร้อน | ผลต่างรวม | $\Delta L$, $\Delta A/A$ (K8) |

| หุ่นยนต์ แขนกล | เมทริกซ์จาโคเบียน | $\mathbf v = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta}$, $\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F$, จุดเอกฐาน (K9) |

| ปรับพารามิเตอร์ตัวควบคุม / หาเส้นโค้งสอบเทียบ | gradient descent, กำลังสองน้อยสุด | บทค่าสุดขีด · ระบบควบคุม |

| ความเค้นและความเครียดในวัสดุ | ดีเวอร์เจนซ์ของเทนเซอร์ $\nabla\cdot\boldsymbol\sigma + \mathbf f = \mathbf 0$ | สมดุลภายใน (วิชากลศาสตร์วัสดุ) |

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- ลืมเครื่องหมายลบใน $\mathbf q = -k\nabla T$ · ความร้อนไหลสวนทาง gradient (ลงจากร้อนไปเย็น)

- ใช้ $\nabla^2T = 0$ กับกรณีไม่คงตัวหรือมีแหล่งกำเนิด · ตรวจเงื่อนไขก่อนเสมอ

- ใช้ Bernoulli ข้ามเส้นกระแสโดยการไหลมีความหมุนวน · ค่าคงที่เปลี่ยนตามเส้นกระแส เว้นแต่การไหลเป็น irrotational ทั้งสนาม

- ใช้รอบต่อนาที (rpm) แทน rad/s ใน $\tfrac12I\omega^2$ · ต้องแปลง $\omega = 2\pi n/60$

- ใช้องศากับจาโคเบียน · $\partial/\partial\theta$ ต้องเป็น rad จึงเป็นความเร็ว (องศาจะผิดไป $\pi/180$ เท่า)

- ลืมจุดเอกฐาน · เมื่อ $\det\mathbf J \approx 0$ $\mathbf J^{-1}$ ใหญ่มาก ความเร็วข้อต่อที่ต้องใช้พุ่งสูง

ไปต่อที่วิศวกรรมโยธา ที่ใช้อินทิกรัลสองชั้นกับปริมาตรดิน คุณสมบัติหน้าตัด และสมการลาปลาซกับการซึมของน้ำ

## คำถามที่พบบ่อย

กฎของฟูริเยร์ (Fourier's law) คืออะไร เกี่ยวกับ gradient อย่างไร?
กฎของฟูริเยร์บอกว่าความร้อนไหลจากร้อนไปเย็น ด้วยฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q = -k\nabla T$ เมื่อ $k$ คือสภาพนำความร้อน (W/m·K) และ $\nabla T$ คือเกรเดียนต์อุณหภูมิ เครื่องหมายลบแสดงว่าความร้อนไหลสวนทาง gradient (ลงจากร้อนไปเย็น) ฟลักซ์ตั้งฉากกับ isotherm เสมอ และมีขนาด $|\mathbf q| = k|\nabla T|$ ตัวอย่าง ผนังอิฐหนา 0.2 m ต่างอุณหภูมิ 10 K (k = 0.72) มี $q = 36$ W/m²

สมการความร้อน (heat equation) กับสมการลาปลาซต่างกันอย่างไร?
สมการความร้อน $\rho c\,\partial T/\partial t = k\nabla^2T + \dot q_{gen}$ บอกอุณหภูมิที่เปลี่ยนตามเวลา เมื่อเข้าสู่สภาวะคงตัว ($\partial T/\partial t = 0$) และไม่มีแหล่งกำเนิดความร้อน ($\dot q_{gen} = 0$) จะเหลือสมการลาปลาซ $\nabla^2T = 0$ ซึ่งหมายความว่า $\nabla\cdot\mathbf q = 0$ ความร้อนที่ไหลเข้าบริเวณใดเท่ากับที่ไหลออก ผลคือไม่มีจุดร้อนสุดหรือเย็นสุดภายในแผ่น (อยู่ที่ขอบเสมอ) และอุณหภูมิที่จุดศูนย์กลางเท่ากับค่าเฉลี่ยรอบวงกลมที่ล้อมมัน

สมการความต่อเนื่อง (continuity equation) ของของไหลคืออะไร?
เป็นการอนุรักษ์มวลในรูปอนุพันธ์ $\partial\rho/\partial t + \nabla\cdot(\rho\mathbf v) = 0$ สำหรับของไหลที่ไม่บีบอัด ($\rho$ คงที่) เหลือ $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ นั่นคือฟลักซ์ที่ไหลเข้าปริมาตรใด ๆ เท่ากับฟลักซ์ที่ไหลออก ใช้ตรวจว่าสนามความเร็วที่เสนอเป็นไปได้ และใช้หาองค์ประกอบความเร็วที่ขาดไป เช่นถ้า $v_x = x$ และ $v_y = -y$ แล้ว $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ ถูกต้อง แต่ถ้า $v_y = y$ จะมีดีเวอร์เจนซ์ 2 (ของไหลถูกสร้างขึ้น)

ความหมุนวน (vorticity) ของของไหลคืออะไร คำนวณอย่างไร?
ความหมุนวน $\boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v$ วัดการหมุนเฉพาะที่ของอนุภาคของไหล ขนาดเท่ากับสองเท่าของความเร็วเชิงมุมของอนุภาค การไหลที่ $\nabla\times\mathbf v = \mathbf 0$ เรียกว่า irrotational (มีศักย์ความเร็ว) เช่นการไหลอุดมคติรอบทรงกระบอก และกระแสน้ำวนอิสระ ส่วนการหมุนแบบวัตถุแข็ง $\mathbf v = \boldsymbol\omega\times\mathbf r$ มี $\nabla\times\mathbf v = 2\boldsymbol\omega$ ตัวอย่างพายุหมุนแบบ Rankine ภายในแกนมีความหมุนวนคงที่ ภายนอกเป็นศูนย์แต่ยังมีการหมุนเวียน Γ ≠ 0

จาโคเบียนของแขนกลหาอย่างไร และใช้ทำอะไร?
จาโคเบียน $\mathbf J$ คือเมทริกซ์ของอนุพันธ์ย่อยของตำแหน่งปลายแขนต่อมุมข้อต่อ $J_{ij} = \partial x_i/\partial\theta_j$ ใช้แปลงความเร็วข้อต่อเป็นความเร็วปลายแขน $\mathbf v = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta}$ และแปลงแรงที่ปลายแขนเป็นแรงบิดข้อต่อ $\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F$ แขน 2 ข้อต่อระนาบมี $\det\mathbf J = L_1L_2\sin\theta_2$ ซึ่งเป็นศูนย์เมื่อแขนเหยียดตรงหรือพับสนิท (จุดเอกฐาน singularity) ที่ปลายแขนไม่สามารถเคลื่อนที่ในบางทิศได้

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**กฎของฟูริเยร์ (Fourier's law) คืออะไร เกี่ยวกับ gradient อย่างไร?**
กฎของฟูริเยร์บอกว่าความร้อนไหลจากร้อนไปเย็น ด้วยฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q = -k\nabla T$ เมื่อ $k$ คือสภาพนำความร้อน (W/m·K) และ $\nabla T$ คือเกรเดียนต์อุณหภูมิ เครื่องหมายลบแสดงว่าความร้อนไหลสวนทาง gradient (ลงจากร้อนไปเย็น) ฟลักซ์ตั้งฉากกับ isotherm เสมอ และมีขนาด $|\mathbf q| = k|\nabla T|$ ตัวอย่าง ผนังอิฐหนา 0.2 m ต่างอุณหภูมิ 10 K (k = 0.72) มี $q = 36$ W/m²

**สมการความร้อน (heat equation) กับสมการลาปลาซต่างกันอย่างไร?**
สมการความร้อน $\rho c\,\partial T/\partial t = k\nabla^2T + \dot q_{gen}$ บอกอุณหภูมิที่เปลี่ยนตามเวลา เมื่อเข้าสู่สภาวะคงตัว ($\partial T/\partial t = 0$) และไม่มีแหล่งกำเนิดความร้อน ($\dot q_{gen} = 0$) จะเหลือสมการลาปลาซ $\nabla^2T = 0$ ซึ่งหมายความว่า $\nabla\cdot\mathbf q = 0$ ความร้อนที่ไหลเข้าบริเวณใดเท่ากับที่ไหลออก ผลคือไม่มีจุดร้อนสุดหรือเย็นสุดภายในแผ่น (อยู่ที่ขอบเสมอ) และอุณหภูมิที่จุดศูนย์กลางเท่ากับค่าเฉลี่ยรอบวงกลมที่ล้อมมัน

**สมการความต่อเนื่อง (continuity equation) ของของไหลคืออะไร?**
เป็นการอนุรักษ์มวลในรูปอนุพันธ์ $\partial\rho/\partial t + \nabla\cdot(\rho\mathbf v) = 0$ สำหรับของไหลที่ไม่บีบอัด ($\rho$ คงที่) เหลือ $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ นั่นคือฟลักซ์ที่ไหลเข้าปริมาตรใด ๆ เท่ากับฟลักซ์ที่ไหลออก ใช้ตรวจว่าสนามความเร็วที่เสนอเป็นไปได้ และใช้หาองค์ประกอบความเร็วที่ขาดไป เช่นถ้า $v_x = x$ และ $v_y = -y$ แล้ว $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ ถูกต้อง แต่ถ้า $v_y = y$ จะมีดีเวอร์เจนซ์ 2 (ของไหลถูกสร้างขึ้น)

**ความหมุนวน (vorticity) ของของไหลคืออะไร คำนวณอย่างไร?**
ความหมุนวน $\boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v$ วัดการหมุนเฉพาะที่ของอนุภาคของไหล ขนาดเท่ากับสองเท่าของความเร็วเชิงมุมของอนุภาค การไหลที่ $\nabla\times\mathbf v = \mathbf 0$ เรียกว่า irrotational (มีศักย์ความเร็ว) เช่นการไหลอุดมคติรอบทรงกระบอก และกระแสน้ำวนอิสระ ส่วนการหมุนแบบวัตถุแข็ง $\mathbf v = \boldsymbol\omega\times\mathbf r$ มี $\nabla\times\mathbf v = 2\boldsymbol\omega$ ตัวอย่างพายุหมุนแบบ Rankine ภายในแกนมีความหมุนวนคงที่ ภายนอกเป็นศูนย์แต่ยังมีการหมุนเวียน Γ ≠ 0

**จาโคเบียนของแขนกลหาอย่างไร และใช้ทำอะไร?**
จาโคเบียน $\mathbf J$ คือเมทริกซ์ของอนุพันธ์ย่อยของตำแหน่งปลายแขนต่อมุมข้อต่อ $J_{ij} = \partial x_i/\partial\theta_j$ ใช้แปลงความเร็วข้อต่อเป็นความเร็วปลายแขน $\mathbf v = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta}$ และแปลงแรงที่ปลายแขนเป็นแรงบิดข้อต่อ $\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F$ แขน 2 ข้อต่อระนาบมี $\det\mathbf J = L_1L_2\sin\theta_2$ ซึ่งเป็นศูนย์เมื่อแขนเหยียดตรงหรือพับสนิท (จุดเอกฐาน singularity) ที่ปลายแขนไม่สามารถเคลื่อนที่ในบางทิศได้

---

# อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น (Double & Triple Integrals): พิกัดขั้ว ทรงกระบอก ทรงกลม และ Jacobian

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/multiple-integrals/
Updated: 2026-10-17
Summary: อินทิกรัลสองชั้น (double integral) และสามชั้น (triple integral) คืออะไร ผลรวมรีมันน์ ทฤษฎีบทฟูบินี บริเวณ type I type II สลับลำดับ พิกัดขั้ว (polar) ทรงกระบอก (cylindrical) ทรงกลม (spherical) จาโคเบียน (Jacobian) มวล จุดศูนย์กลางมวล โมเมนต์ความเฉื่อย พร้อมตัวอย่างวิศวกรรมและแล็บคำนวณพร้อมภาพ

// บทที่ 24.5 · แคลคูลัสหลายตัวแปร · Double & Triple Integrals

# อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น (Double & Triple Integrals): พิกัดขั้ว ทรงกระบอก ทรงกลม และ Jacobian

อินทิกรัลตัวแปรเดียวรวม “พื้นที่ใต้เส้นโค้ง” ส่วนอินทิกรัลสองชั้น (double integral) รวม “ปริมาตรใต้ผิว” และอินทิกรัลสามชั้น (triple integral) รวมปริมาณใด ๆ ทั่วเนื้อของวัตถุ ไม่ว่าจะเป็นมวล ประจุ พลังงาน หรือโมเมนต์ความเฉื่อยของชิ้นส่วนเครื่องจักร หน้านี้สอนทั้งวิธีคำนวณทีละชั้น การเลือกบริเวณ การสลับลำดับ การเปลี่ยนไปใช้พิกัดขั้ว ทรงกระบอก ทรงกลมพร้อมตัวคูณ Jacobian และการประยุกต์หามวลกับจุดศูนย์กลางมวล พร้อมแล็บที่เห็นทั้งผลรวมรีมันน์และค่าที่แท้จริง

สรุปใน 30 วินาที

- $\iint_R f\,dA =$ ปริมาตรใต้ผิว (เมื่อ $f \ge 0$) · คำนวณทีละชั้น (Fubini): ในสุดก่อน ถือตัวนอกเป็นค่าคงที่

- บริเวณ type I $a \le x \le b,\ g_1(x) \le y \le g_2(x)$ · type II $c \le y \le d,\ h_1(y) \le x \le h_2(y)$ · อินทิเกรตไม่ออกให้สลับลำดับ

- พิกัดขั้ว: $dA = r\,dr\,d\theta$ · ทรงกระบอก: $dV = r\,dz\,dr\,d\theta$ · ทรงกลม: $dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$ · ตัวคูณคือ $|J|$

- ประยุกต์: มวล $M = \iint\rho\,dA$ · $\bar x = \tfrac1M\iint x\rho\,dA$ · $I_x = \iint y^2\rho\,dA$

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## อินทิกรัลสองชั้นคืออะไร: ผลรวมรีมันน์ในสองมิติ พื้นฐาน

ตัวแปรเดียว: แบ่งช่วงเป็นชิ้นแคบ $\Delta x$ คูณความสูง $f$ แล้วบวก สองตัวแปร: แบ่งบริเวณ $R$ เป็นช่องเล็กพื้นที่ $\Delta A$ แต่ละช่องมี “แท่ง” สูง $f(x_i^*, y_j^*)$ ปริมาตรรวมของแท่งทั้งหมดคือผลรวมรีมันน์ (Riemann sum) เมื่อช่องเล็กลงจนไม่สิ้นสุด ผลรวมเข้าใกล้อินทิกรัลสองชั้น ในแล็บด้านล่างเลื่อน $n$ จาก 1 ถึง 40 แล้วดูแท่งปริมาตรกับค่า “ที่แท้จริง” วิ่งเข้าหากัน

M1 Double integral (Riemann sum) อินทิกรัลสองชั้น (ผลรวมรีมันน์)

$$\iint_R f(x, y)\,dA = \lim_{m,n\to\infty}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(x_i^{*}, y_j^{*})\,\Delta A,\qquad \Delta A = \Delta x\,\Delta y$$

$f \ge 0$: ปริมาตรใต้ผิว $z = f(x, y)$ เหนือ $R$ · จุด $(x_i^*, y_j^*)$ เลือกกึ่งกลางช่อง = midpoint rule · $f = 1$ ให้พื้นที่ $A(R)$

M2 Fubini's theorem (rectangle) ทฤษฎีบทฟูบินี (สี่เหลี่ยมผืนผ้า)

$$\iint_{[a,b]\times[c,d]} f\,dA = \int_a^b\!\left(\int_c^d f(x, y)\,dy\right)dx = \int_c^d\!\left(\int_a^b f(x, y)\,dx\right)dy$$

เมื่อ $f$ ต่อเนื่อง สองลำดับให้ค่าเท่ากัน · ชั้นในอินทิเกรตก่อน โดยถือตัวแปรนอกเป็นค่าคงที่ · ถ้า $f = g(x)h(y)$ แยกเป็นผลคูณ $\int g\,dx\cdot\int h\,dy$

M3 Average value ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{A(R)}\iint_R f\,dA,\qquad A(R) = \iint_R dA$$

เชิงเส้นและบวกกันได้ตามบริเวณ · ค่าเฉลี่ยทางวิศวกรรม เช่น อุณหภูมิเฉลี่ยของแผ่น ความสูงเฉลี่ยของพื้นที่ (ใช้หาระดับสมดุลในบทโยธา)

ตัวอย่าง M-1 · Riemann sum กับค่าที่แท้จริง

### หา $\displaystyle\iint_R (x^2 + y^2)\,dA$ เมื่อ $R = [0, 1]\times[0, 2]$ และเทียบกับผลรวมรีมันน์แบบ 2×2 ช่อง (กึ่งกลาง)

- ชั้นใน (ตาม $y$, ถือ $x$ คงที่): $\displaystyle\int_0^2 (x^2 + y^2)\,dy = \left[x^2 y + \dfrac{y^3}{3}\right]_0^2 = 2x^2 + \dfrac83$

- ชั้นนอก: $\displaystyle\int_0^1\left(2x^2 + \dfrac83\right)dx = \dfrac{2}{3} + \dfrac83 = \dfrac{10}{3} \approx 3.3333$

- Riemann sum 2×2: $\Delta x = 0.5,\ \Delta y = 1,\ \Delta A = 0.5$ · จุดกึ่งกลาง $x \in \{0.25, 0.75\}$, $y \in \{0.5, 1.5\}$

- ค่า $f$: $0.3125,\ 0.8125,\ 2.3125,\ 2.8125$ · ผลรวม $= 6.25$ · $\times\,0.5 = 3.125$ (ต่ำกว่าจริง 6.25%) · เพิ่ม $n$ เป็น 6 ได้ $3.3102$ (ต่ำกว่า 0.7%)

$\iint_R (x^2 + y^2)\,dA = \dfrac{10}{3}$ · midpoint 2×2 ได้ 3.125

## บริเวณที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยม: type I, type II และการสลับลำดับ พื้นฐาน

บริเวณในงานจริงแทบไม่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ให้วาดบริเวณก่อน แล้วเลือกว่าจะ “กวาด” ด้วยแถบแนวตั้งหรือแนวนอน: type I ขอบบนและล่างเป็นฟังก์ชันของ $x$ (แถบตั้ง) · type II ขอบซ้ายและขวาเป็นฟังก์ชันของ $y$ (แถบนอน) ขอบเขตของชั้นในได้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรนอกได้ แต่ขอบเขตของชั้นนอกต้องเป็นค่าคงที่เสมอ

บริเวณ type I (แถบแนวตั้ง: $y$ ระหว่าง $g_1(x)$ กับ $g_2(x)$) และ type II (แถบแนวนอน: $x$ ระหว่าง $h_1(y)$ กับ $h_2(y)$) ของบริเวณเดียวกัน — การสลับลำดับการอินทิเกรตคือการเปลี่ยนวิธีแบ่ง

M4 Type I region บริเวณ type I

$$R = \{a \le x \le b,\ g_1(x) \le y \le g_2(x)\}:\qquad \iint_R f\,dA = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,dy\,dx$$

แถบตั้ง: ลากเส้นตั้งผ่านบริเวณ เส้นเข้าที่ $g_1$ ออกที่ $g_2$ · ขอบชั้นนอก $a, b$ เป็นค่าคงที่

M5 Type II region บริเวณ type II

$$R = \{c \le y \le d,\ h_1(y) \le x \le h_2(y)\}:\qquad \iint_R f\,dA = \int_c^d\!\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x, y)\,dx\,dy$$

แถบนอน: ลากเส้นนอนผ่านบริเวณ เส้นเข้าที่ $h_1$ ออกที่ $h_2$ · เปลี่ยนลำดับ = เปลี่ยนจาก type I เป็น type II (วาดรูปแล้วอ่านขอบใหม่)

ตัวอย่าง M-2 · บริเวณสามเหลี่ยม

### หา $\iint_R xy\,dA$ เมื่อ $R$ เป็นสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(0,0),\ (2,0),\ (0,2)$

- วาดบริเวณ: เส้นตรงจาก $(2,0)$ ถึง $(0,2)$ คือ $y = 2 - x$ · type I: $0 \le x \le 2,\ 0 \le y \le 2 - x$

- ชั้นใน: $\displaystyle\int_0^{2-x} xy\,dy = x\cdot\dfrac{(2-x)^2}{2}$

- ชั้นนอก: $\displaystyle\dfrac12\int_0^2 x(4 - 4x + x^2)\,dx = \dfrac12\left[2x^2 - \dfrac{4x^3}{3} + \dfrac{x^4}{4}\right]_0^2 = \dfrac12\left(8 - \dfrac{32}{3} + 4\right) = \dfrac12\cdot\dfrac43 = \dfrac23$

- ตรวจด้วยอีกลำดับ (type II: $0 \le y \le 2,\ 0 \le x \le 2 - y$): โดยสมมาตรของ $xy$ ได้ $\tfrac23$ เท่ากัน ✓

$\iint_R xy\,dA = \dfrac23$

ตัวอย่าง M-3 · สลับลำดับเมื่อชั้นในอินทิเกรตไม่ได้

### คำนวณ $\displaystyle\int_0^1\!\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$

- $\int e^{y^2}\,dy$ ไม่มีรูปปิดจากฟังก์ชันพื้นฐาน จึงอินทิเกรตตาม $y$ ก่อนไม่ได้

- อ่านบริเวณ: $0 \le x \le 1$ และ $x \le y \le 1$ คือสามเหลี่ยมใต้เส้น $y = 1$ เหนือเส้น $y = x$ (จุดยอด $(0,0),(0,1),(1,1)$)

- เปลี่ยนเป็น type II: $0 \le y \le 1$ และ $0 \le x \le y$ · $\displaystyle\int_0^1\!\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy$

- ชั้นใน (ตาม $x$, $e^{y^2}$ คงที่): $y\,e^{y^2}$ · ชั้นนอก: $\displaystyle\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = \left[\tfrac12 e^{y^2}\right]_0^1 = \dfrac{e - 1}{2} \approx 0.8591$

$\dfrac{e - 1}{2} \approx 0.8591$

ตัวอย่าง M-4 · พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง

### หาพื้นที่ที่ล้อมด้วย $y = x^2$ และ $y = x$

- จุดตัด: $x^2 = x$ → $x = 0, 1$ · บน $0 < x < 1$ เส้นตรง $y = x$ อยู่เหนือพาราโบลา

- $A = \displaystyle\int_0^1\!\int_{x^2}^{x} dy\,dx = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac16$

$A = \dfrac16$ (นี่คืออินทิกรัลสองชั้นของ $f = 1$ · ตรงกับอินทิกรัลตัวแปรเดียว $\int (\text{บน} - \text{ล่าง})\,dx$)

## พิกัดขั้ว (Polar Coordinates) ในอินทิกรัลสองชั้น กลาง

บริเวณวงกลม ครึ่งวงกลม เซกเตอร์ และวงแหวนเขียนในพิกัดฉากยากมาก แต่ในพิกัดขั้วเรียบง่าย: $0 \le r \le R,\ 0 \le \theta \le 2\pi$ กฎคือแทน $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$ แล้วเปลี่ยน $dA = r\,dr\,d\theta$ ตัวคูณ $r$ มาจากการที่ “ช่องขั้ว” กว้าง $\Delta r$ และยาวเป็นส่วนโค้ง $r\,\Delta\theta$ ยิ่งไกลจุดกำเนิด ช่องเดียวกันใน $(r,\theta)$ ยิ่งใหญ่

ช่องในพิกัดขั้ว (polar rectangle): กว้าง $\Delta r$ ยาว $r\,\Delta\theta$ จึงมีพื้นที่ $\Delta A \approx r\,\Delta r\,\Delta\theta$ ซึ่งเป็นที่มาของตัวคูณ $r$

M6 Double integral in polar coordinates อินทิกรัลสองชั้นในพิกัดขั้ว

$$\iint_R f(x, y)\,dA = \int_{\alpha}^{\beta}\!\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta,\ r\sin\theta)\;\underbrace{r}_{\text{Jacobian}}\;dr\,d\theta$$

ใช้เมื่อบริเวณหรือ $f$ มี $x^2 + y^2$ · $r^2 = x^2 + y^2$ · พื้นที่ $A = \tfrac12\int (r_2^2 - r_1^2)\,d\theta$ · ระวังขอบเขต $\theta$ ของบริเวณ (ครึ่งบน $0 \le \theta \le \pi$, ควอดแรนต์แรก $0 \le \theta \le \pi/2$)

ลองในแล็บ: โหมดขั้วใช้ $r$ ระหว่าง $r_1(\theta)$ ถึง $r_2(\theta)$ และ $\theta$ ระหว่างสองค่า เลือกพรีเซ็ต “พื้นที่วงกลม” “ปริมาตรพาราโบลอยด์” หรือ “ใบกลีบ $r = 2\sin 2\theta$” แล้วดูแผนผังช่องที่เป็นรูปพัด

ตัวอย่าง M-5 · ปริมาตรพาราโบลอยด์

### หาปริมาตรใต้ผิว $z = 4 - x^2 - y^2$ เหนือระนาบ $xy$

- ผิวตัดระนาบ $z = 0$ ที่ $x^2 + y^2 = 4$ · บริเวณคือแผ่นวงกลมรัศมี 2: $0 \le r \le 2,\ 0 \le \theta \le 2\pi$

- แทน $x^2 + y^2 = r^2$: $V = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^2 (4 - r^2)\,r\,dr\,d\theta$

- ชั้นใน: $\displaystyle\int_0^2 (4r - r^3)\,dr = \left[2r^2 - \dfrac{r^4}{4}\right]_0^2 = 8 - 4 = 4$

- ชั้นนอก: $\displaystyle\int_0^{2\pi} 4\,d\theta = 8\pi \approx 25.13$

$V = 8\pi \approx 25.13$ หน่วยปริมาตร (ตรงกับค่าที่แล็บคำนวณ)

ตัวอย่าง M-6 · อินทิกรัลเกาส์เซียน (ไฟฟ้า)

### แสดงว่า $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$ ด้วยอินทิกรัลสองชั้น

- ให้ $I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx$ · $I^2 = \int e^{-x^2}dx\int e^{-y^2}dy = \iint_{\mathbb R^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dA$

- พิกัดขั้ว: ทั่วระนาบคือ $0 \le r < \infty,\ 0 \le \theta \le 2\pi$ · $I^2 = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\infty} e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta$

- $\displaystyle\int_0^\infty r e^{-r^2}dr = \left[-\tfrac12 e^{-r^2}\right]_0^\infty = \tfrac12$ · $I^2 = 2\pi\cdot\tfrac12 = \pi$ → $I = \sqrt{\pi}$

- ผลนี้คือตัวทำให้เป็นปกติ (normalizing constant) ของการแจกแจงเกาส์เซียน $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2\sigma^2}$ ที่ใช้อธิบายสัญญาณรบกวนในระบบสื่อสารและการวัด

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$ (ใช้ตัวคูณ $r$ จึงอินทิเกรตได้ — ในพิกัดฉากไม่มีรูปปิด)

ตัวอย่าง M-7 · พื้นที่กลีบกุหลาบ

### หาพื้นที่หนึ่งกลีบของ $r = 2\sin 2\theta$ ($0 \le \theta \le \pi/2$)

- $A = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\!\int_0^{2\sin 2\theta} r\,dr\,d\theta = \int_0^{\pi/2}\dfrac{(2\sin2\theta)^2}{2}\,d\theta = 2\int_0^{\pi/2}\sin^2 2\theta\,d\theta$

- $\sin^2 2\theta = \tfrac12(1 - \cos 4\theta)$ → $2\cdot\tfrac12\left[\theta - \tfrac{\sin4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2} = \dfrac{\pi}{2}$

$A = \dfrac{\pi}{2} \approx 1.571$

## อินทิกรัลสามชั้น: พิกัดฉาก ทรงกระบอก และทรงกลม กลาง

เมื่อเพิ่มมิติ $z$ ได้ $\iiint_E f\,dV$ ที่รวม $f$ ทั่วบริเวณตัน $E$ ถ้า $f = 1$ ได้ปริมาตร ถ้า $f = \rho$ (ความหนาแน่น) ได้มวล เลือกพิกัดตามรูปทรง: ฉาก (กล่อง ปริซึม เตตระฮีดรอน) · ทรงกระบอก (ท่อ ถัง กรวย พาราโบลอยด์) · ทรงกลม (ลูกบอล เปลือก ซีกทรงกลม)

พิกัดทรงกระบอก (cylindrical coordinates) $(r, \theta, z)$ และพิกัดทรงกลม (spherical coordinates) $(\rho, \varphi, \theta)$ พร้อมความสัมพันธ์กับ $(x, y, z)$

M7 Triple integral (rectangular) อินทิกรัลสามชั้น (พิกัดฉาก)

$$\iiint_E f\,dV = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\!\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x, y, z)\,dz\,dy\,dx,\qquad V = \iiint_E dV,\quad M = \iiint_E \rho\,dV$$

ขอบชั้นในเป็นฟังก์ชันของตัวแปรนอกได้ · วาดเงาของ $E$ บนระนาบ $xy$ เพื่อหาขอบ $x$ และ $y$ แล้วระบุผิวบน-ล่างของ $z$

M8 Cylindrical coordinates พิกัดทรงกระบอก

$$x = r\cos\theta,\ \ y = r\sin\theta,\ \ z = z;\qquad r^2 = x^2 + y^2;\qquad dV = r\,dz\,dr\,d\theta$$

เหมาะกับรูปที่สมมาตรรอบแกน $z$ · $\iiint f\,dV = \iiint f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)\,r\,dz\,dr\,d\theta$

M9 Spherical coordinates พิกัดทรงกลม

$$x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\ \ y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\ \ z = \rho\cos\varphi;\quad \rho^2 = x^2 + y^2 + z^2;\quad dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$$

$\rho \ge 0$ ระยะจากจุดกำเนิด · $0 \le \varphi \le \pi$ มุมจากแกน $+z$ · $0 \le \theta \le 2\pi$ มุมราบ · ระวังตำราบางเล่นสลับ $\theta$ กับ $\varphi$ (ฟิสิกส์ใช้แบบนี้ ตำราคณิตศาสตร์บางเล่มสลับ)

แล็บสามชั้นรับ $f(x, y, z)$ เสมอในพิกัดฉาก โปรแกรมแทนพิกัดใหม่และคูณจาโคเบียนให้ จุดสีในภาพแสดงตัวอย่างจุดภายในรูปทรง เลือกพรีเซ็ต แล้วลองแก้ขอบเขตเอง

ตัวอย่าง M-8 · เตตระฮีดรอน (พิกัดฉาก)

### หาปริมาตรของรูปตันที่ล้อมด้วยระนาบพิกัดสามระนาบกับ $x + y + z = 1$

- เงาบนระนาบ $xy$: สามเหลี่ยม $0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1 - x$ · $z$ จาก 0 ถึง $1 - x - y$

- $V = \displaystyle\int_0^1\!\int_0^{1-x}\!\int_0^{1-x-y} dz\,dy\,dx = \int_0^1\!\int_0^{1-x}(1 - x - y)\,dy\,dx = \int_0^1 \dfrac{(1-x)^2}{2}\,dx = \dfrac16$

$V = \dfrac16$ (ตรงกับสูตรปริมาตรพีระมิด $\tfrac13 \cdot \text{ฐาน}\tfrac12 \cdot \text{สูง}1$)

ตัวอย่าง M-9 · กรวย (พิกัดทรงกระบอก)

### หาปริมาตรรูปตันที่อยู่เหนือกรวย $z = r$ และใต้ระนาบ $z = 2$

- กรวยตัดระนาบ $z = 2$ ที่ $r = 2$ · ขอบเขต: $0 \le \theta \le 2\pi,\ 0 \le r \le 2,\ r \le z \le 2$

- $V = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^2\!\int_r^2 r\,dz\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2 r(2 - r)\,dr\,d\theta$

- ชั้นใน: $\left[r^2 - \dfrac{r^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \dfrac83 = \dfrac43$ · ชั้นนอก: $2\pi\cdot\dfrac43 = \dfrac{8\pi}{3}$

- ตรวจด้วยสูตร: ทรงกระบอกรัศมี 2 สูง 2 มีปริมาตร $8\pi$ และกรวยมี $\tfrac13$ ของ $8\pi$ = $\tfrac{8\pi}{3}$ → รูปตันที่ถามคือ “กรวยกลับหัว” ปริมาตร $\tfrac{8\pi}{3}$ ✓

$V = \dfrac{8\pi}{3} \approx 8.378$

ตัวอย่าง M-10 · ทรงกลมและซีกทรงกลม (พิกัดทรงกลม)

### (ก) ปริมาตรทรงกลมรัศมี $R$ (ข) จุดศูนย์กลางมวลของซีกทรงกลมตันรัศมี 1 ความหนาแน่นสม่ำเสมอ

- (ก) $V = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^{R}\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 2\pi\cdot 2\cdot\dfrac{R^3}{3} = \dfrac{4\pi R^3}{3}$ (R = 2 ได้ $\tfrac{32\pi}{3} = 33.51$)

- (ข) ซีกบน: $0 \le \varphi \le \pi/2$ · ปริมาตร $= \tfrac{2\pi}{3}$

-
$$\iiint z\,dV = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\!\int_0^1 (\rho\cos\varphi)\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 2\pi\cdot\dfrac14\cdot\dfrac12 = \dfrac{\pi}{4}$$

- $\bar z = \dfrac{\pi/4}{2\pi/3} = \dfrac38$ และโดยสมมาตร $\bar x = \bar y = 0$

(ก) $V = \tfrac43\pi R^3$ · (ข) $(\bar x, \bar y, \bar z) = (0, 0, \tfrac38 R)$ สำหรับซีกทรงกลมรัศมี $R$ (ตรงกับตารางในหนังสือกลศาสตร์วิศวกรรม)

## การเปลี่ยนตัวแปรและ Jacobian ขั้นสูง

พิกัดขั้วเป็นกรณีเฉพาะของการเปลี่ยนตัวแปรทั่วไป $x = x(u, v),\ y = y(u, v)$ ซึ่งแปลงช่องสี่เหลี่ยมเล็กบนระนาบ $uv$ ให้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานโค้งบนระนาบ $xy$ ขนาดพื้นที่ใหม่เท่ากับ $|J|$ คูณพื้นที่เดิม โดย $J$ คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียน (จากบทอนุพันธ์ย่อย) ใช้แล็บด้านล่างลากแถบ $(u_0, v_0)$ และขนาดช่อง แล้วเทียบ “พื้นที่ภาพจริง” กับ $|\det J|\Delta u\Delta v$

M10 Change of variables (2D) เปลี่ยนตัวแปร (สองมิติ)

$$\iint_R f(x, y)\,dx\,dy = \iint_S f\big(x(u,v),\,y(u,v)\big)\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|du\,dv,\qquad \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix}$$

การแปลงต้องหนึ่งต่อหนึ่ง (อาจยกเว้นขอบ) · พิกัดขั้ว $J = r$ · $|J|$ ใช้ค่าสัมบูรณ์เสมอ (พื้นที่ไม่ติดลบ) · เลือกตัวแปรใหม่ให้บริเวณ $S$ กลายเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

M11 Jacobians of standard coordinates จาโคเบียนของพิกัดมาตรฐาน

$$\text{ขั้ว: } \left|\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right| = r\qquad \text{ทรงกระบอก: } r\qquad \text{ทรงกลม: } \left|\tfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,\theta)}\right| = \rho^2\sin\varphi$$

ตัวคูณทั้งสามคือที่มาของ $r\,dr\,d\theta,\ r\,dz\,dr\,d\theta,\ \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$ · สามตัวแปร $J$ เป็นดีเทอร์มิแนนต์ 3×3

จาโคเบียน (Jacobian): ช่องเล็ก $\Delta u\times\Delta v$ ถูกแปลงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ขึงด้วย $(x_u, y_u)\Delta u$ และ $(x_v, y_v)\Delta v$ พื้นที่ใหม่คือ $|\det J|\,\Delta u\,\Delta v$

ตัวอย่าง M-11 · พื้นที่วงรี

### หาพื้นที่ภายในวงรี $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} \le 1$

- เปลี่ยนตัวแปร $x = au,\ y = bv$ · วงรีกลายเป็นแผ่นวงกลมหนึ่งหน่วย $u^2 + v^2 \le 1$

- $J = \begin{vmatrix} a & 0\\ 0 & b\end{vmatrix} = ab$

- $A = \iint dx\,dy = \iint_{u^2+v^2\le1} ab\,du\,dv = ab\cdot\pi\cdot1^2 = \pi ab$

- ตัวอย่างเชิงตัวเลข: $a = 2,\ b = 1$ ได้ $A = 2\pi = 6.283$ (แล็บ Jacobian โหมด “วงรี” ให้ $\det J = 2u$ เมื่อรวม $x = 2u\cos v$ ในพิกัดขั้ววงรี)

$A = \pi ab$

## มวล จุดศูนย์กลางมวล และโมเมนต์ความเฉื่อย กลาง

แผ่นบางที่ความหนาแน่นผิว $\rho(x, y)$ (มวลต่อพื้นที่) มีมวล $M = \iint\rho\,dA$ จุดศูนย์กลางมวลคือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของพิกัด และโมเมนต์ความเฉื่อยวัดความ “ต้านการหมุน” ซึ่งใช้ในสมการ $\tau = I\alpha$ ของเครื่องกล และ $I$ ของหน้าตัดคาน (ใส่ $\rho = 1$) ในงานโยธา เปิดสวิตช์ “ถือว่า $f$ = ความหนาแน่น” ในแล็บเพื่อให้โปรแกรมคำนวณทั้งหมดพร้อมกัน

M12 Mass and center of mass มวลและจุดศูนย์กลางมวล

$$M = \iint_R \rho\,dA,\qquad \bar x = \frac{1}{M}\iint_R x\,\rho\,dA,\qquad \bar y = \frac{1}{M}\iint_R y\,\rho\,dA$$

$\rho = 1$: จุดศูนย์ถ่วงทางเรขาคณิต (centroid) · สามมิติ $\bar z = \tfrac1M\iiint z\rho\,dV$ · บริเวณสมมาตรให้ $\bar x$ หรือ $\bar y$ อยู่ที่แกนสมมาตร

M13 Moments of inertia โมเมนต์ความเฉื่อย

$$I_x = \iint y^2\rho\,dA,\qquad I_y = \iint x^2\rho\,dA,\qquad I_0 = I_x + I_y = \iint (x^2 + y^2)\rho\,dA,\qquad I_z = \iiint (x^2 + y^2)\rho\,dV$$

$I_x$ ถ่วงด้วยระยะจากแกน $x$ (จึงเป็น $y^2$) · $I_0$ = โมเมนต์เชิงขั้ว · ทฤษฎีบทแกนขนาน $I = I_c + Md^2$ · รัศมีไจเรชัน $k = \sqrt{I/M}$

ตัวอย่าง M-12 · แผ่นครึ่งวงกลม

### แผ่นครึ่งวงกลมรัศมี 1 ($y \ge 0$) ความหนาแน่นสม่ำเสมอ $\rho = 1$ หา $M,\ \bar y,\ I_x,\ I_y$

- ขอบเขตขั้ว: $0 \le r \le 1,\ 0 \le \theta \le \pi$ · $M = \displaystyle\int_0^\pi\!\int_0^1 r\,dr\,d\theta = \dfrac{\pi}{2}$

- $\iint y\,dA = \displaystyle\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta\int_0^1 r^2\,dr = 2\cdot\dfrac13 = \dfrac23$ → $\bar y = \dfrac{2/3}{\pi/2} = \dfrac{4}{3\pi} \approx 0.4244$ · $\bar x = 0$ (สมมาตร)

- $I_x = \iint y^2\,dA = \displaystyle\int_0^\pi\sin^2\theta\,d\theta\int_0^1 r^3\,dr = \dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac14 = \dfrac{\pi}{8}$ · $I_y = \iint x^2\,dA = \dfrac{\pi}{8}$

- $I_0 = \dfrac{\pi}{4}$ และเมื่อ $\rho$ เป็นมวลต่อพื้นที่ $M = \dfrac{\pi}{2}$ ได้ $I_0 = \tfrac12 M R^2$ เหมือนจานกลมเต็มดวง (ซีกก็มี $I_0$ อัตราส่วนเดียวกัน)

$M = \dfrac{\pi}{2}$ · $\bar y = \dfrac{4}{3\pi}$ · $I_x = I_y = \dfrac{\pi}{8}$ · $I_0 = \dfrac{\pi}{4}$

ตัวอย่าง M-13 · โมเมนต์ความเฉื่อยของกระบอกและทรงกลม (เครื่องกล)

### แสดงว่าทรงกระบอกตันรัศมี $R$ สูง $h$ มี $I_z = \tfrac12 MR^2$ และทรงกลมตันมี $I = \tfrac25 MR^2$ (ความหนาแน่น $\rho_0$ สม่ำเสมอ)

- ทรงกระบอก (พิกัดทรงกระบอก): $I_z = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^R\!\int_0^h \rho_0\,r^2\cdot r\,dz\,dr\,d\theta = \rho_0\cdot2\pi\cdot\dfrac{R^4}{4}\cdot h = \dfrac{\pi\rho_0 hR^4}{2}$

- มวล $M = \rho_0\pi R^2h$ ดังนั้น $I_z = \dfrac{1}{2}MR^2$ ✓

- ทรงกลม (พิกัดทรงกลม): $(x^2 + y^2) = \rho^2\sin^2\varphi$ · $I = \rho_0\displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^\pi\!\int_0^R \rho^2\sin^2\varphi\cdot\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \rho_0\cdot\dfrac{R^5}{5}\cdot\dfrac43\cdot2\pi = \dfrac{8\pi\rho_0R^5}{15}$

- มวล $M = \dfrac{4\pi\rho_0R^3}{3}$ → $I = \dfrac{8\pi/15}{4\pi/3}MR^2 = \dfrac25MR^2$ ✓

กระบอกตัน $I_z = \tfrac12MR^2$ · ทรงกลมตัน $I = \tfrac25MR^2$ (ใช้ $\int_0^\pi\sin^3\varphi\,d\varphi = \tfrac43$)

ตัวอย่าง M-14 · ประจุรวมบนแผ่นกลม (ไฟฟ้า)

### แผ่นตัวนำกลมรัศมี $a = 5$ cm มีความหนาแน่นประจุผิว $\sigma(r) = \sigma_0 e^{-r/b}$ เมื่อ $\sigma_0 = 20$ nC/m² และ $b = 2$ cm จงหาประจุรวม

- $Q = \displaystyle\iint\sigma\,dA = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{a}\sigma_0 e^{-r/b}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\sigma_0\int_0^a r e^{-r/b}dr$

- อินทิเกรตทีละส่วน: $\displaystyle\int_0^a r e^{-r/b}dr = b^2\left[1 - \left(1 + \dfrac{a}{b}\right)e^{-a/b}\right]$

- แทน $a/b = 2.5$: $e^{-2.5} = 0.08208$ · วงเล็บ $= 1 - 3.5(0.08208) = 0.7127$

- $Q = 2\pi(20\times10^{-9})(0.02)^2(0.7127) = 3.58\times10^{-11}$ C

$Q \approx 35.8$ pC (ถ้าประจุสม่ำเสมอที่ $\sigma_0$ ทั้งแผ่นจะได้ 157 pC ซึ่งมากกว่า 4.4 เท่า เพราะประจุจริงกระจุกใกล้ศูนย์กลาง)

## นำไปใช้ในงานวิศวกรรม พื้นฐาน

| สาขา | อินทิกรัลหลายชั้นที่ใช้ | ผลลัพธ์ |

| ไฟฟ้า | $Q = \iint\sigma\,dA$, $Q = \iiint\rho_v\,dV$ | ประจุรวมบนแผ่น/ในปริมาตร (ตัวอย่าง M-14) |

| ไฟฟ้า | $W = \tfrac12\varepsilon_0\iiint E^2\,dV$ | พลังงานที่สะสมในสนามไฟฟ้า (บทไฟฟ้า) |

| เครื่องกล | $I = \iiint r_\perp^2\rho\,dV$ | โมเมนต์ความเฉื่อยของล้อ เพลา ใบพัด (ตัวอย่าง M-13) |

| เครื่องกล | $\bar{\mathbf r} = \tfrac1M\iiint\mathbf r\rho\,dV$ | จุดศูนย์กลางมวลของชิ้นส่วน (บทเครื่องกล) |

| โยธา | $V = \iint (h - z_0)\,dA$ | ปริมาตรดินขุด-ถม (บทโยธา) |

| โยธา | $A = \iint dA,\ I_x = \iint y^2\,dA$ | พื้นที่และโมเมนต์ความเฉื่อยของหน้าตัดคาน (แล็บคาน) |

| ทุกสาขา | $\iint f\,dA / A$ | ค่าเฉลี่ยบนพื้นที่ เช่นอุณหภูมิหรือความเข้มรังสีเฉลี่ย |

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- ไม่วาดบริเวณ ก่อนเขียนขอบเขต · ส่วนใหญ่ที่ผิดเพราะอ่านขอบจากสมการโดยไม่เห็นรูป

- ขอบชั้นนอกเป็นตัวแปร · ขอบชั้นนอกต้องเป็นค่าคงที่ (ผลลัพธ์สุดท้ายต้องเป็นตัวเลข)

- ลืมตัวคูณ $r$ ในพิกัดขั้วและทรงกระบอก และ $\rho^2\sin\varphi$ ในพิกัดทรงกลม

- สลับลำดับโดยไม่เปลี่ยนขอบ · เปลี่ยนลำดับ $dy\,dx$ เป็น $dx\,dy$ ต้องอ่านขอบจากรูปใหม่ทุกตัว

- ใช้ $\varphi$ กับ $\theta$ สลับกัน ระหว่างตำราต่างเล่ม · ตรวจนิยามก่อน (ในเว็บนี้ $\varphi$ = มุมจากแกน $z$, $\theta$ = มุมราบ)

- ได้ปริมาตรติดลบ · ตรวจว่า “บน − ล่าง” ถูกด้าน; พื้นที่และปริมาตรไม่เป็นลบ

ไปต่อที่ฟังก์ชันเวกเตอร์ ซึ่งอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุในอวกาศด้วย $\mathbf r(t)$ และเตรียมไปสู่อินทิกรัลตามเส้นและบนผิว

## คำถามที่พบบ่อย

อินทิกรัลสองชั้น (double integral) คืออะไร คำนวณอย่างไร?
คือผลรวมของค่า $f(x,y)$ คูณพื้นที่ช่องเล็ก $\Delta A$ ทั่วบริเวณ $R$ เมื่อ $f \ge 0$ จะเป็นปริมาตรใต้ผิว $z = f(x, y)$ เหนือ $R$ คำนวณด้วยทฤษฎีบทฟูบินี (Fubini) โดยทำทีละชั้น: อินทิเกรตตัวแปรในสุดก่อนโดยถือตัวแปรนอกเป็นค่าคงที่ แล้วอินทิเกรตผลลัพธ์ตามตัวแปรนอก เช่น $\int_0^1\!\int_0^2 (x^2+y^2)\,dy\,dx = \int_0^1 (2x^2 + \tfrac83)\,dx = \tfrac{10}{3}$

เมื่อไรควรเปลี่ยนเป็นพิกัดขั้ว (polar) ในอินทิกรัลสองชั้น?
เมื่อบริเวณเป็นวงกลม ครึ่งวงกลม วงแหวน หรือเซกเตอร์ หรือเมื่อ integrand มีกลุ่ม $x^2 + y^2$ แทน $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$ และเปลี่ยน $dA$ เป็น $r\,dr\,d\theta$ อย่าลืมตัวคูณ $r$ เด็ดขาด เพราะช่องเล็กในพิกัดขั้วกว้าง $dr$ และยาว $r\,d\theta$ ตัวอย่าง $\iint e^{-(x^2+y^2)}\,dA$ ทั่วระนาบ = $\pi$ คำนวณได้ง่ายในพิกัดขั้ว แต่แทบทำไม่ได้ในพิกัดฉาก

พิกัดทรงกระบอกกับพิกัดทรงกลมเลือกใช้อย่างไร?
พิกัดทรงกระบอก $(r, \theta, z)$ เหมาะกับรูปที่มีแกนสมมาตร เช่นทรงกระบอก กรวย พาราโบลอยด์ และมี $dV = r\,dz\,dr\,d\theta$ ส่วนพิกัดทรงกลม $(\rho, \varphi, \theta)$ เหมาะกับรูปที่สมมาตรรอบจุด เช่นทรงกลม ซีกทรงกลม เปลือกทรงกลม และมี $dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$ ข้อสังเกต: ถ้าสมการขอบเขตมี $x^2 + y^2 + z^2$ ให้นึกถึงทรงกลมก่อน ถ้ามี $x^2 + y^2$ อย่างเดียวให้นึกถึงทรงกระบอก

สลับลำดับการอินทิเกรต (change order of integration) ทำอย่างไร?
วาดบริเวณก่อน แล้วอธิบายบริเวณเดิมด้วยลำดับใหม่ เช่น $\int_0^1\!\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ อินทิเกรต $e^{y^2}$ ตาม $y$ ไม่ได้ แต่บริเวณคือสามเหลี่ยม $0 \le x \le y \le 1$ สลับเป็น $\int_0^1\!\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy = \int_0^1 y e^{y^2}\,dy = \tfrac{e-1}{2}$ ใช้สลับเมื่อลำดับเดิมอินทิเกรตไม่ได้หรือขอบเขตซับซ้อน

จาโคเบียน (Jacobian) คืออะไร ทำไมต้องคูณเวลาเปลี่ยนตัวแปร?
จาโคเบียนคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์อนุพันธ์ย่อยของการแปลง $\partial(x,y)/\partial(u,v)$ มันบอกว่าช่องเล็กบนระนาบ $uv$ ถูกขยายหรือหดเป็นกี่เท่าเมื่อแปลงไปเป็นระนาบ $xy$ จึงต้องคูณ $|J|$ เพื่อรักษาพื้นที่ที่ถูกต้อง ในพิกัดขั้ว $J = r$ ในพิกัดทรงกระบอก $J = r$ ในพิกัดทรงกลม $J = \rho^2\sin\varphi$ สำหรับวงรี $x = au,\ y = bv$ ได้ $J = ab$ จึงได้พื้นที่ $\pi ab$

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**อินทิกรัลสองชั้น (double integral) คืออะไร คำนวณอย่างไร?**
คือผลรวมของค่า $f(x,y)$ คูณพื้นที่ช่องเล็ก $\Delta A$ ทั่วบริเวณ $R$ เมื่อ $f \ge 0$ จะเป็นปริมาตรใต้ผิว $z = f(x, y)$ เหนือ $R$ คำนวณด้วยทฤษฎีบทฟูบินี (Fubini) โดยทำทีละชั้น: อินทิเกรตตัวแปรในสุดก่อนโดยถือตัวแปรนอกเป็นค่าคงที่ แล้วอินทิเกรตผลลัพธ์ตามตัวแปรนอก เช่น $\int_0^1\!\int_0^2 (x^2+y^2)\,dy\,dx = \int_0^1 (2x^2 + \tfrac83)\,dx = \tfrac{10}{3}$

**เมื่อไรควรเปลี่ยนเป็นพิกัดขั้ว (polar) ในอินทิกรัลสองชั้น?**
เมื่อบริเวณเป็นวงกลม ครึ่งวงกลม วงแหวน หรือเซกเตอร์ หรือเมื่อ integrand มีกลุ่ม $x^2 + y^2$ แทน $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$ และเปลี่ยน $dA$ เป็น $r\,dr\,d\theta$ อย่าลืมตัวคูณ $r$ เด็ดขาด เพราะช่องเล็กในพิกัดขั้วกว้าง $dr$ และยาว $r\,d\theta$ ตัวอย่าง $\iint e^{-(x^2+y^2)}\,dA$ ทั่วระนาบ = $\pi$ คำนวณได้ง่ายในพิกัดขั้ว แต่แทบทำไม่ได้ในพิกัดฉาก

**พิกัดทรงกระบอกกับพิกัดทรงกลมเลือกใช้อย่างไร?**
พิกัดทรงกระบอก $(r, \theta, z)$ เหมาะกับรูปที่มีแกนสมมาตร เช่นทรงกระบอก กรวย พาราโบลอยด์ และมี $dV = r\,dz\,dr\,d\theta$ ส่วนพิกัดทรงกลม $(\rho, \varphi, \theta)$ เหมาะกับรูปที่สมมาตรรอบจุด เช่นทรงกลม ซีกทรงกลม เปลือกทรงกลม และมี $dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$ ข้อสังเกต: ถ้าสมการขอบเขตมี $x^2 + y^2 + z^2$ ให้นึกถึงทรงกลมก่อน ถ้ามี $x^2 + y^2$ อย่างเดียวให้นึกถึงทรงกระบอก

**สลับลำดับการอินทิเกรต (change order of integration) ทำอย่างไร?**
วาดบริเวณก่อน แล้วอธิบายบริเวณเดิมด้วยลำดับใหม่ เช่น $\int_0^1\!\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ อินทิเกรต $e^{y^2}$ ตาม $y$ ไม่ได้ แต่บริเวณคือสามเหลี่ยม $0 \le x \le y \le 1$ สลับเป็น $\int_0^1\!\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy = \int_0^1 y e^{y^2}\,dy = \tfrac{e-1}{2}$ ใช้สลับเมื่อลำดับเดิมอินทิเกรตไม่ได้หรือขอบเขตซับซ้อน

**จาโคเบียน (Jacobian) คืออะไร ทำไมต้องคูณเวลาเปลี่ยนตัวแปร?**
จาโคเบียนคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์อนุพันธ์ย่อยของการแปลง $\partial(x,y)/\partial(u,v)$ มันบอกว่าช่องเล็กบนระนาบ $uv$ ถูกขยายหรือหดเป็นกี่เท่าเมื่อแปลงไปเป็นระนาบ $xy$ จึงต้องคูณ $|J|$ เพื่อรักษาพื้นที่ที่ถูกต้อง ในพิกัดขั้ว $J = r$ ในพิกัดทรงกระบอก $J = r$ ในพิกัดทรงกลม $J = \rho^2\sin\varphi$ สำหรับวงรี $x = au,\ y = bv$ ได้ $J = ab$ จึงได้พื้นที่ $\pi ab$

---

# แล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร (Multivariable Calculus Lab) ออนไลน์: กราฟผิว gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/multivariable-lab/
Updated: 2026-10-17
Summary: เครื่องมือแล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร (multivariable calculus lab) ภาษาไทยใช้ฟรี 19 ชุด: กราฟผิว 3 มิติและระนาบสัมผัส gradient จุดวิกฤต ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange multiplier) อินทิกรัลสองชั้นสามชั้น Jacobian เส้นโค้งในอวกาศ สนามเวกเตอร์ divergence curl ทฤษฎีบท Gauss และ Stokes พร้อมแล็บไฟฟ้า เครื่องกล โยธา พิมพ์สมการเองได้ ไม่ต้องติดตั้ง

// บทที่ 24.13 · ห้องแล็บ · Multivariable Calculus Lab

# แล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร (Multivariable Calculus Lab) ออนไลน์: กราฟผิว gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes

รวมเครื่องมือโต้ตอบของทั้งชุด 19 ตัวไว้ในหน้าเดียว พิมพ์สมการของโจทย์ตัวเองลงไปได้เลย ทุกแล็บแสดงสูตรและตัวเลขที่ต้องใช้ในข้อสอบ แล้วลากเมาส์หรือนิ้วเพื่อดูว่าตัวเลขเปลี่ยนอย่างไร เหมาะกับการตรวจคำตอบการบ้านแคลคูลัส 3 และสร้างภาพในหัวก่อนลงมือคำนวณ

วิธีใช้

- พิมพ์สมการ: ใช้ x, y, z, t และ ^ ยกกำลัง * คูณ เช่น sin(x)*cos(y), exp(-(x^2+y^2)) · มี pi และ e

- ลากกราฟ 3 มิติ เพื่อหมุน ลากจุดบนแผนที่เส้นชั้นความสูงเพื่อย้ายตำแหน่ง

- ปุ่มตัวอย่างโหลดโจทย์สำเร็จรูป ใต้แล็บแต่ละตัวมี "ลองทำ" เพื่อชี้ว่าควรสังเกตอะไร

## กลุ่ม 1 · ฟังก์ชันและอนุพันธ์หลายตัวแปร

### 1. กราฟผิว 3 มิติ เส้นชั้นความสูง และระนาบสัมผัส (3D surface, contour, tangent plane)

พิมพ์ $z = f(x, y)$ ดูผิวสามมิติคู่กับแผนที่เส้นชั้นความสูง เปิด "ระนาบสัมผัส" เพื่อดูเส้นตัดและระนาบ $z = f(x_0,y_0) + f_x(x - x_0) + f_y(y - y_0)$ ที่จุดที่ลากได้ เนื้อหา: ฟังก์ชันหลายตัวแปร · อนุพันธ์ย่อย

ลองทำ: ใส่ x^2-y^2 (อานม้า) แล้วย้ายจุดไปที่ (0, 0) ระนาบสัมผัสจะแบนราบแต่ผิวโค้งขึ้นทางหนึ่งและลงอีกทางหนึ่ง · ใส่ sqrt(x^2+y^2) แล้วดูว่ายอดกรวยไม่มีระนาบสัมผัส

### 2. ทดสอบลิมิตสองตัวแปร (Limit along paths)

ลิมิตที่ $(0,0)$ ต้องได้ค่าเดียวกันทุกเส้นทาง แล็บนี้ทดลองเส้นตรง พาราโบลา และเส้นโค้งอื่น ๆ เข้าหาจุดแล้วแจ้งว่า "ไม่มีลิมิต" เมื่อสองเส้นทางให้ค่าต่างกัน เนื้อหา: ลิมิตและความต่อเนื่อง

### 3. เกรเดียนต์ อนุพันธ์ตามทิศ และ gradient descent (Gradient, directional derivative)

$\nabla f$ ชี้ทางขึ้นชันที่สุด หมุนทิศ $\mathbf u$ แล้วดู $D_{\mathbf u}f = \nabla f\cdot\mathbf u$ เปลี่ยนจาก $+|\nabla f|$ ถึง $-|\nabla f|$ ปุ่ม gradient descent เดินตาม $-\nabla f$ ลงหุบ เนื้อหา: เกรเดียนต์และอนุพันธ์ตามทิศ

ลองทำ: ตั้งทิศให้ $D_{\mathbf u}f = 0$ ทิศนั้นขนานเส้นชั้นความสูง · เปลี่ยนเป็น x^2+30y^2 แล้วดู gradient descent ซิกแซ็กเมื่อหุบแคบ

### 4. การประมาณค่าและการแพร่ของความคลาดเคลื่อน (Differentials and error propagation)

$df = f_x\,dx + f_y\,dy$ บอกว่าความคลาดเคลื่อนของ $x, y$ ส่งผลถึง $f$ เท่าไร เช่น กำลัง $P = V^2/R$ หรือปริมาตรทรงกระบอก เนื้อหา: ดิฟเฟอเรนเชียลและความคลาดเคลื่อน

## กลุ่ม 2 · ค่าสูงสุด-ต่ำสุดและการหาค่าเหมาะที่สุด

### 5. จุดวิกฤตและ Hessian (Critical points, saddle point)

แล็บแก้ $\nabla f = 0$ หาจุดวิกฤตทุกจุดในช่วงที่เลือก แล้วจำแนกด้วย $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ เป็นค่าต่ำสุด สูงสุด หรือจุดอานม้า เนื้อหา: ค่าสูงสุด-ต่ำสุดและ Lagrange

### 6. ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange multiplier)

เพิ่มหรือลด $f$ บนเส้นเงื่อนไข $g = c$ จุดที่ $\nabla f = \lambda\nabla g$ คือเส้นชั้นของ $f$ สัมผัสเส้นเงื่อนไขพอดี ลากดูการเลื่อนของเส้นชั้นจนแตะเส้นเงื่อนไข

### 7. กำลังสองน้อยที่สุด (Least squares) จากข้อมูลวัดจริง

ลากจุดข้อมูลแล้วดูเส้นตรงที่ทำให้ผลรวมกำลังสองของความคลาดเคลื่อนน้อยที่สุด ซึ่งเป็นปัญหาค่าต่ำสุดสองตัวแปร (ความชัน $m$ และจุดตัด $b$)

## กลุ่ม 3 · อินทิกรัลหลายชั้น

### 8. อินทิกรัลสองชั้น (Double integral) ผลรวมรีมันน์กับค่าจริง

เลือกบริเวณสี่เหลี่ยม แบบ type I หรือพิกัดขั้ว แล้วเทียบผลรวมรีมันน์กับค่าอินทิกรัลที่แม่นยำ เปิดโหมด "มวล" เพื่อหาจุดศูนย์กลางมวลและโมเมนต์ความเฉื่อย เนื้อหา: อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น

### 9. พิกัดขั้ว (Polar coordinates)

ในพิกัดขั้ว $dA = r\,dr\,d\theta$ ลองหา $\iint e^{-(x^2+y^2)}\,dA$ บนจานรัศมี 2 ได้ $\pi(1 - e^{-4})$ และเมื่อรัศมีใหญ่ขึ้นจะเข้าใกล้ $\pi$

### 10. อินทิกรัลสามชั้น พิกัดทรงกระบอกและทรงกลม (Triple integral)

เลือกระบบพิกัดแล้วดูตัวคูณ $1$ / $r$ / $\rho^2\sin\phi$ พร้อมปริมาตรหรือมวลของทรงตัน เนื้อหา: ทรงกระบอกและทรงกลม

### 11. จาโคเบียนและการเปลี่ยนตัวแปร (Jacobian, change of variables)

ตารางสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ในระนาบ $(u, v)$ ถูกแปลงเป็นรูปโค้งในระนาบ $(x, y)$ โดยพื้นที่ขยายด้วย $|\det\mathbf J|$ ลองพิมพ์ $x(u,v)$ และ $y(u,v)$ เอง

## กลุ่ม 4 · เส้นโค้ง สนามเวกเตอร์ และทฤษฎีบทหลัก

### 12. เส้นโค้งในอวกาศ (Space curve) และกรอบ Frenet

พิมพ์ $x(t), y(t), z(t)$ ดูเวกเตอร์สัมผัส $\mathbf T$ ปกติ $\mathbf N$ ไบนอร์มอล $\mathbf B$ ความโค้ง $\kappa$ และการบิด $\tau$ เนื้อหา: ฟังก์ชันเวกเตอร์

### 13. สนามเวกเตอร์ 2 มิติ ไดเวอร์เจนซ์ และเคิร์ล (Vector field, divergence, curl)

พิมพ์ $P(x,y)$ และ $Q(x,y)$ ดูพื้นหลังสีของ $\nabla\cdot\mathbf F$ หรือ $\nabla\times\mathbf F$ และเส้นการไหล วงกลมทดสอบแสดงการหมุนเวียนและฟลักซ์ เนื้อหา: สนามเวกเตอร์

### 14. งานของแรงและอินทิกรัลตามเส้น (Line integral, path independence)

เปรียบเทียบงาน $\int\mathbf F\cdot d\mathbf r$ ตามเส้นทางต่าง ๆ ระหว่างสองจุดเดียวกัน ถ้าเป็นสนามอนุรักษ์ทุกเส้นทางให้ค่าเท่ากัน เนื้อหา: อินทิกรัลตามเส้นและทฤษฎีบทกรีน

### 15. ตัวตรวจทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ (Gauss) และสโตกส์ (Stokes)

ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์: ฟลักซ์ผ่านผิวปิด $= \iiint\nabla\cdot\mathbf F\,dV$ · ทฤษฎีบทสโตกส์: $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS$ แล็บคำนวณสองข้างเป็นตัวเลขแยกกัน แล้วบอกว่าตรงกันหรือไม่ เนื้อหา: อินทิกรัลบนผิว

## กลุ่ม 5 · แล็บวิศวกรรม ไฟฟ้า เครื่องกล โยธา

### 16. ไฟฟ้า: ประจุ ศักย์ และสนามไฟฟ้า (Electric potential, E = −∇V)

ลากประจุ ดูศักย์ $V$ เส้นสมศักย์ เส้นแรง และฟลักซ์ผ่านทรงกลม (กฎของเกาส์) เนื้อหา: แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมไฟฟ้า

### 17. เครื่องกล: การนำความร้อน (Heat conduction, Fourier's law)

อุณหภูมิ $T(x,y)$ เส้นไอโซเทอร์ม และฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q = -k\nabla T$ เนื้อหา: แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมเครื่องกล

### 18. โยธา: ภูมิประเทศ ความลาดชัน และดินขุด-ถม (Terrain cut and fill)

ปรับระดับออกแบบ $z_0$ ดูปริมาตรขุดและถมจากอินทิกรัลสองชั้น และหาระดับสมดุล เนื้อหา: แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมโยธา

### 19. โยธา-เครื่องกล: คุณสมบัติหน้าตัดด้วยทฤษฎีบทกรีน (Section properties)

วาดหน้าตัดหลายเหลี่ยมแล้วอ่านพื้นที่ จุดศูนย์ถ่วง $I_x, I_y, I_{xy}$ และแกนหลัก (principal axes)

กลับไปอ่านเนื้อหาครบชุดได้ที่หน้าแรกของชุดแคลคูลัสหลายตัวแปร สูตรอ้างอิงที่ใช้ในแล็บทุกตัวอยู่ใน ดัชนีสูตร

## คำถามที่พบบ่อย

แล็บนี้พิมพ์สมการเองได้ไหม ใช้รูปแบบไหน?
ได้ ช่อง $f(x,y)$ ทุกแล็บรับสมการแบบที่พิมพ์ในเครื่องคิดเลข เช่น x^2+y^2, sin(x)*cos(y), exp(-(x^2+y^2)), sqrt(x^2+y^2) ใช้ ^ แทนยกกำลัง * แทนคูณ และมีฟังก์ชัน sin cos tan exp ln sqrt abs รวมถึงค่าคงที่ pi และ e แล็บจะหาอนุพันธ์เชิงสัญลักษณ์และแสดงสูตรให้ทันที ถ้าพิมพ์ผิดจะแจ้งข้อผิดพลาดตรงช่องนั้น

แล็บคิดเลขแบบไหน แม่นยำแค่ไหน?
อนุพันธ์ที่แสดงเป็นสูตรมาจากการหาอนุพันธ์เชิงสัญลักษณ์ (symbolic differentiation) จึงเป็นค่าที่แน่นอน ส่วนอินทิกรัลใช้ควอดราเจอร์เกาส์–เลฌ็องดร์ (Gauss–Legendre quadrature) ความแม่นระดับทศนิยม 8 ตำแหน่งขึ้นไปสำหรับฟังก์ชันเรียบ ตัวตรวจ Gauss–Stokes แสดงทั้งสองข้างของทฤษฎีบทให้เห็นว่าตรงกัน ผลจากแล็บทุกตัวทดสอบเทียบกับ sympy และ numpy ก่อนเผยแพร่

ใช้บนมือถือได้ไหม และหมุนกราฟ 3 มิติอย่างไร?
ได้ ทุกแล็บปรับตามความกว้างหน้าจอ บนกราฟ 3 มิติให้ลากนิ้วหรือเมาส์เพื่อหมุน (orbit) และใช้ปุ่มหรือสไลเดอร์ปรับมุมมอง บนมือถือควรหมุนจอเป็นแนวนอนเมื่อดูแผนที่เส้นชั้นความสูงหรือสนามเวกเตอร์ขนาดใหญ่

แล็บนี้เหมาะกับวิชาไหนและเริ่มจากแล็บไหนดี?
เหมาะกับแคลคูลัส 3 (Calculus III) คณิตศาสตร์วิศวกรรม ฟิสิกส์ไฟฟ้าสนาม และวิชาสถิตยศาสตร์-กลศาสตร์ของไหลที่ใช้แคลคูลัสหลายตัวแปร เริ่มจากแล็บกราฟผิวและเกรเดียนต์ก่อน แล้วไปจุดวิกฤต อินทิกรัลสองชั้น เส้นโค้ง และสนามเวกเตอร์ตามลำดับ ปิดท้ายด้วย Gauss–Stokes และแล็บวิศวกรรมสาขาที่เรียน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**แล็บนี้พิมพ์สมการเองได้ไหม ใช้รูปแบบไหน?**
ได้ ช่อง $f(x,y)$ ทุกแล็บรับสมการแบบที่พิมพ์ในเครื่องคิดเลข เช่น x^2+y^2, sin(x)*cos(y), exp(-(x^2+y^2)), sqrt(x^2+y^2) ใช้ ^ แทนยกกำลัง * แทนคูณ และมีฟังก์ชัน sin cos tan exp ln sqrt abs รวมถึงค่าคงที่ pi และ e แล็บจะหาอนุพันธ์เชิงสัญลักษณ์และแสดงสูตรให้ทันที ถ้าพิมพ์ผิดจะแจ้งข้อผิดพลาดตรงช่องนั้น

**แล็บคิดเลขแบบไหน แม่นยำแค่ไหน?**
อนุพันธ์ที่แสดงเป็นสูตรมาจากการหาอนุพันธ์เชิงสัญลักษณ์ (symbolic differentiation) จึงเป็นค่าที่แน่นอน ส่วนอินทิกรัลใช้ควอดราเจอร์เกาส์–เลฌ็องดร์ (Gauss–Legendre quadrature) ความแม่นระดับทศนิยม 8 ตำแหน่งขึ้นไปสำหรับฟังก์ชันเรียบ ตัวตรวจ Gauss–Stokes แสดงทั้งสองข้างของทฤษฎีบทให้เห็นว่าตรงกัน ผลจากแล็บทุกตัวทดสอบเทียบกับ sympy และ numpy ก่อนเผยแพร่

**ใช้บนมือถือได้ไหม และหมุนกราฟ 3 มิติอย่างไร?**
ได้ ทุกแล็บปรับตามความกว้างหน้าจอ บนกราฟ 3 มิติให้ลากนิ้วหรือเมาส์เพื่อหมุน (orbit) และใช้ปุ่มหรือสไลเดอร์ปรับมุมมอง บนมือถือควรหมุนจอเป็นแนวนอนเมื่อดูแผนที่เส้นชั้นความสูงหรือสนามเวกเตอร์ขนาดใหญ่

**แล็บนี้เหมาะกับวิชาไหนและเริ่มจากแล็บไหนดี?**
เหมาะกับแคลคูลัส 3 (Calculus III) คณิตศาสตร์วิศวกรรม ฟิสิกส์ไฟฟ้าสนาม และวิชาสถิตยศาสตร์-กลศาสตร์ของไหลที่ใช้แคลคูลัสหลายตัวแปร เริ่มจากแล็บกราฟผิวและเกรเดียนต์ก่อน แล้วไปจุดวิกฤต อินทิกรัลสองชั้น เส้นโค้ง และสนามเวกเตอร์ตามลำดับ ปิดท้ายด้วย Gauss–Stokes และแล็บวิศวกรรมสาขาที่เรียน

---

# ค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันหลายตัวแปร: จุดวิกฤต Hessian ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange Multiplier) และกำลังสองน้อยสุด

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/optimization/
Updated: 2026-10-17
Summary: การหาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันหลายตัวแปร (optimization): จุดวิกฤต (critical point) การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง D = fxx fyy − fxy² (second derivative test) Hessian ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บนบริเวณปิด ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange multiplier) ความหมายของ λ และการถดถอยเชิงเส้นด้วยกำลังสองน้อยสุด (least squares) พร้อมตัวอย่างออกแบบไฟฟ้า เครื่องกล โยธา และแล็บโต้ตอบ

// บทที่ 24.4 · แคลคูลัสหลายตัวแปร · Optimization

# ค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันหลายตัวแปร: จุดวิกฤต Hessian ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange Multiplier) และกำลังสองน้อยสุด

วิศวกรทำงานกับ “ค่าที่ดีที่สุด” ตลอดเวลา: ออกแบบกระป๋องที่ใช้โลหะน้อยที่สุดสำหรับปริมาตรที่กำหนด หาจุดทำงานของแผงโซลาร์ให้ได้กำลังสูงสุด หรือหาเส้นตรงที่พอดีกับข้อมูลที่วัดมา ทั้งหมดคือการหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันหลายตัวแปร หน้านี้สอนครบสามระดับ: จุดวิกฤตและการทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง (Hessian) ค่าสุดขีดที่มีเงื่อนไขด้วยตัวคูณลากรองจ์ และกำลังสองน้อยสุด พร้อมแล็บสามชุดที่เห็นการสัมผัสกันของเส้นชั้นกับเส้นเงื่อนไข

สรุปใน 30 วินาที

- จุดวิกฤต: $\nabla f = \mathbf 0$ · ทดสอบ: $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ · $D>0,\ f_{xx}>0$ ต่ำสุด · $D>0,\ f_{xx}<0$ สูงสุด · $D<0$ อานม้า

- บริเวณปิด: เทียบค่าที่จุดวิกฤตภายใน กับค่าสุดขีดบนขอบ และมุม

- Lagrange: สุดขีดของ $f$ ภายใต้ $g = c$ ที่ $\nabla f = \lambda\nabla g$ · $\lambda = df^*/dc$

- กำลังสองน้อยสุด: เลือก $a, b$ ให้ $S = \sum(y_i - ax_i - b)^2$ ต่ำสุด → สมการปกติเชิงเส้น 2 สมการ

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## จุดวิกฤต (Critical Points) และการทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง พื้นฐาน

ที่ยอดเขาหรือก้นหุบ ผิวราบในแนวนอน: ความชันตามแกนทั้งสองเป็นศูนย์ นั่นคือ $\nabla f = \mathbf 0$ จุดที่ทำให้เป็นจริง (หรือที่อนุพันธ์ไม่มีค่า) เรียกว่าจุดวิกฤต (critical point) แต่ในสองตัวแปร จุดวิกฤตมีสามชนิด ไม่ใช่สอง: ต่ำสุด สูงสุด และจุดอานม้า (saddle point) ซึ่งโค้งขึ้นทางหนึ่งและโค้งลงอีกทางหนึ่ง การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองจำแนกทั้งสามด้วยตัวเลขตัวเดียวคือ $D$

O1 Critical point (necessary condition) จุดวิกฤต (เงื่อนไขจำเป็น)

$$f \text{ มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่จุดภายใน } (a, b) \ \Rightarrow\ f_x(a, b) = 0 \ \text{และ}\ f_y(a, b) = 0\ \ (\nabla f = \mathbf 0)$$

เป็นเงื่อนไข “จำเป็น” ไม่ใช่ “เพียงพอ”: $\nabla f = \mathbf 0$ อาจเป็นจุดอานม้า · ตรวจเฉพาะจุดภายในของโดเมน และจุดที่อนุพันธ์ไม่นิยาม (เช่นยอดแหลมของกรวย)

O2 Second derivative test การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

$$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = \det\mathbf H,\qquad \begin{cases} D > 0,\ f_{xx} > 0 & \Rightarrow \text{ต่ำสุดสัมพัทธ์ (local min)}\\ D > 0,\ f_{xx} $D>0$ หมายถึงโค้งทิศเดียวกันทุกแนว (ชามหรือโดม) · $D<0$ โค้งตรงข้ามกันในบางแนว (อานม้า) · ค่า $D$ ต้องคิด “ที่จุดวิกฤต” เท่านั้น

O3 Hessian and eigenvalues เมทริกซ์เฮสเซียนและค่าเฉพาะ

$$\mathbf H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix}:\quad \lambda_1,\lambda_2 > 0 \Rightarrow \min,\quad \lambda_1,\lambda_2 ใช้ได้กับ $n$ ตัวแปร: ต่ำสุดเมื่อ $\mathbf H$ เป็นบวกแน่นอน (positive definite) · $\det\mathbf H = \lambda_1\lambda_2 = D$ และ $\operatorname{tr}\mathbf H = \lambda_1 + \lambda_2$ · ค่าเฉพาะเป็นความโค้งของผิวในทิศหลัก (ดูค่าเฉพาะ)

### แล็บจุดวิกฤตและ Hessian

เลือกตัวอย่างหรือพิมพ์ฟังก์ชันของคุณ โปรแกรมหาจุด $\nabla f = \mathbf 0$ ทั้งหมดในกรอบ จำแนกชนิดด้วย $D$ และ $f_{xx}$ แล้วทำเครื่องหมายบนผิวและแผนที่เส้นชั้น ลองตัวอย่าง “ลิงอานม้า (D = 0)” เพื่อดูกรณีที่การทดสอบไม่สรุป

จุดวิกฤตสามชนิด: ต่ำสุดสัมพัทธ์ (local minimum) สูงสุดสัมพัทธ์ (local maximum) และจุดอานม้า (saddle point) พร้อมเส้นชั้นความสูงของแต่ละชนิด

ตัวอย่าง O-1 · จำแนกจุดวิกฤต

### หาและจำแนกจุดวิกฤตของ $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy$

- $f_x = 4x^3 - 4y = 0$ และ $f_y = 4y^3 - 4x = 0$ → $y = x^3$ และ $x = y^3$

- แทน $y = x^3$ ใน $x = y^3$: $x = x^9$ → $x(x^8 - 1) = 0$ ได้ $x = 0, 1, -1$ (ค่าจริง) จึงได้จุด $(0, 0),\ (1, 1),\ (-1, -1)$

- อนุพันธ์อันดับสอง: $f_{xx} = 12x^2$ · $f_{yy} = 12y^2$ · $f_{xy} = -4$

- ที่ $(0,0)$: $D = 0\cdot0 - 16 = -16 < 0$ → จุดอานม้า

- ที่ $(1, 1)$ และ $(-1,-1)$: $f_{xx} = 12,\ f_{yy} = 12$ → $D = 144 - 16 = 128 > 0$ และ $f_{xx} > 0$ → ต่ำสุดสัมพัทธ์ ทั้งสองจุด ค่า $f = 1 + 1 - 4 = -2$

$(0,0)$: อานม้า $f = 0$ · $(1,1)$ และ $(-1,-1)$: ต่ำสุดสัมพัทธ์ $f = -2$

ตัวอย่าง O-2 · เมื่อ D = 0

### $f(x, y) = x^3 - 3xy^2$ (monkey saddle) ที่ $(0, 0)$

- $f_x = 3x^2 - 3y^2,\ f_y = -6xy$ → $(0, 0)$ เป็นจุดวิกฤต (และเป็นจุดเดียว)

- $f_{xx} = 6x,\ f_{yy} = -6x,\ f_{xy} = -6y$ ที่จุดกำเนิดเป็น 0 ทั้งหมด → $D = 0$ ทดสอบไม่สรุป

- ตรวจด้วยการพิจารณาตามเส้น: ตามแกน $x$ $f = x^3$ ซึ่งเป็นลบเมื่อ $x < 0$ และบวกเมื่อ $x > 0$ → ไม่ใช่ทั้งสูงสุดและต่ำสุด

- เป็นจุดอานม้าชนิด “สามหุบ” (ผิวมีสามร่องขึ้นและสามร่องลง เหมือนอานสำหรับลิงที่มีหาง)

$D = 0$ การทดสอบไม่สรุป · ตรวจโดยตรงพบเป็นจุดอานม้า

## ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บนบริเวณปิด กลาง

การทดสอบ $D$ บอกแค่ค่าสุดขีด “สัมพัทธ์” (เฉพาะละแวก) งานออกแบบจริงมักถามค่าสุดขีด “สัมบูรณ์” บนบริเวณที่กำหนด เช่นกำลังสูงสุดในช่วงแรงดันที่ใช้ได้ ทฤษฎีบทค่าสุดขีด (Extreme Value Theorem) รับรองว่าฟังก์ชันต่อเนื่องบนบริเวณปิดและมีขอบเขตมีค่าสูงสุดและต่ำสุดแน่นอน ค่าเหล่านั้นอยู่ที่จุดวิกฤตภายในหรือบนขอบ

O4 Absolute extrema on a closed region ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บนบริเวณปิด

$$\text{(1) หา } f \text{ ที่จุดวิกฤตภายใน}\ \ \text{(2) หาค่าสุดขีดของ } f \text{ บนขอบ (ลดเป็นตัวแปรเดียว) รวมมุม}\ \ \text{(3) เทียบทุกค่า: มากสุด = max สัมบูรณ์ น้อยสุด = min สัมบูรณ์}$$

ไม่ต้องใช้ $D$ · ขอบที่เป็นเส้นโค้งอาจใช้ตัวคูณลากรองจ์ (ด้านล่าง) แทนการแทนค่า

ตัวอย่าง O-3 · บนสี่เหลี่ยมผืนผ้า

### หาค่าสูงสุดและต่ำสุดสัมบูรณ์ของ $f(x, y) = x^2 - 2xy + 2y$ บน $0 \le x \le 3,\ 0 \le y \le 2$

- จุดวิกฤตภายใน: $f_x = 2x - 2y = 0$ และ $f_y = -2x + 2 = 0$ → $(1, 1)$ อยู่ภายใน · $f(1, 1) = 1 - 2 + 2 = 1$

- ขอบล่าง $y = 0$, $0 \le x \le 3$: $f = x^2$ ต่ำสุด 0 ที่ $x = 0$ สูงสุด 9 ที่ $x = 3$

- ขอบขวา $x = 3$, $0 \le y \le 2$: $f = 9 - 6y + 2y = 9 - 4y$ ลดลง จาก 9 (ที่ $y = 0$) ถึง 1 (ที่ $y = 2$)

- ขอบบน $y = 2$, $0 \le x \le 3$: $f = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ ต่ำสุด 0 ที่ $x = 2$ สูงสุด 4 ที่ $x = 0$

- ขอบซ้าย $x = 0$, $0 \le y \le 2$: $f = 2y$ จาก 0 ถึง 4

- เทียบค่าที่ได้ทั้งหมด: $1,\ 0,\ 9,\ 1,\ 0,\ 4,\ 4$ → มากสุด 9 ที่ $(3, 0)$ · น้อยสุด 0 ที่ $(0, 0)$ และ $(2, 2)$

สูงสุดสัมบูรณ์ $f = 9$ ที่ $(3, 0)$ · ต่ำสุดสัมบูรณ์ $f = 0$ ที่ $(0, 0)$ และ $(2, 2)$ (จุดวิกฤต $(1,1)$ ให้แค่ $f = 1$ ซึ่งเป็นจุดอานม้า)

ตัวอย่าง O-4 · กล่องไม่มีฝา (เครื่องกล)

### กล่องสี่เหลี่ยมไม่มีฝาทำจากแผ่นโลหะ 12 ตารางเมตร ออกแบบให้ความจุสูงสุด

- ให้ยาว $x$ กว้าง $y$ สูง $z$ · ปริมาตร $V = xyz$ · พื้นที่ผิว $xy + 2yz + 2xz = 12$

- แก้ $z = \dfrac{12 - xy}{2(x + y)}$ แล้วแทน: $V(x, y) = \dfrac{xy(12 - xy)}{2(x + y)}$ (ฟังก์ชันสองตัวแปร)

- แก้ $V_x = V_y = 0$ (โดยสมมาตรของ $x$ กับ $y$) ได้ $x = y = 2$ (จุดวิกฤตที่ใช้ได้ คือ $x, y > 0$)

- $z = \dfrac{12 - 4}{2\cdot 4} = 1$ · $V = 2\cdot2\cdot1 = 4$ ลูกบาศก์เมตร

- เหตุผลว่าเป็นสูงสุด: $V \to 0$ ที่ขอบ ($x\to0$, $y\to0$ หรือ $xy \to 12$) และจุดวิกฤตเดียวที่ภายในจึงต้องเป็นค่าสูงสุด

ขนาด $2 \times 2 \times 1$ ม. (ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส สูงครึ่งหนึ่งของด้านฐาน) ปริมาตร $4$ ม³

## ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange Multipliers) กลาง

งานออกแบบมีเงื่อนไขเสมอ: ปริมาตรต้องได้ 355 mL งบประมาณ 1 ล้านบาท ลวดยาว 100 เมตร วิธีของลากรองจ์หาค่าสุดขีดของ $f(x, y)$ ภายใต้เงื่อนไข $g(x, y) = c$ โดยไม่ต้องแก้เงื่อนไขหาตัวแปรตัวหนึ่ง ภาพเรขาคณิตคือ: เดินตามเส้นเงื่อนไข $g = c$ แล้วดูเส้นชั้นของ $f$ ที่เดินผ่าน ค่า $f$ เพิ่มขึ้นขณะที่เส้นชั้นตัดเส้นเงื่อนไข และหยุดเพิ่ม (สุดขีด) ตอนที่เส้นชั้นเพียงสัมผัสเส้นเงื่อนไข ณ จุดสัมผัส เส้นสัมผัสร่วม แปลว่าเส้นตั้งฉากร่วม นั่นคือ $\nabla f \parallel \nabla g$

O5 Lagrange condition เงื่อนไขของลากรองจ์

$$\nabla f = \lambda\,\nabla g,\quad g(x, y) = c \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases} f_x = \lambda\,g_x\\ f_y = \lambda\,g_y\\ g(x,y) = c \end{cases}\quad(\text{3 สมการ 3 ตัวไม่ทราบ } x, y, \lambda)$$

ใช้ได้เมื่อ $\nabla g \ne \mathbf 0$ บนเส้นเงื่อนไข · สามตัวแปรก็เหมือนกัน (4 สมการ 4 ตัวไม่ทราบ) · เทียบค่า $f$ ที่ทุกจุดที่ได้ แล้วเลือกมากสุด/น้อยสุด · วิธีจำ: สร้าง $\mathcal L = f - \lambda(g - c)$ แล้วตั้ง $\nabla\mathcal L = \mathbf 0$

O6 Two constraints สองเงื่อนไข

$$\nabla f = \lambda\,\nabla g + \mu\,\nabla h,\quad g = c_1,\ h = c_2 \quad(f(x,y,z))$$

เมื่อมีเงื่อนไขสองข้อในสามตัวแปร จุดเหมาะสมที่สุดอยู่บนเส้นโค้งที่เป็นรอยตัดของสองผิว และ $\nabla f$ อยู่ในระนาบที่ขึงด้วย $\nabla g$ กับ $\nabla h$

O7 Meaning of λ (shadow price) ความหมายของ λ

$$\lambda = \frac{df^{*}}{dc},\qquad f^{*}(c) = \text{ค่าสุดขีดเมื่อเงื่อนไขเป็น } g = c$$

ถ้าผ่อนเงื่อนไขเพิ่ม $\Delta c$ ค่าเหมาะสมที่สุดเปลี่ยนประมาณ $\lambda\,\Delta c$ · ในงานวิศวกรรมบอกว่า “ลงทุนเพิ่มทรัพยากร 1 หน่วยคุ้มแค่ไหน”

### แล็บลากรองจ์: เส้นชั้นสัมผัสเส้นเงื่อนไข

เส้นหนาสีดำคือเงื่อนไข $g = c$ เส้นสีคือเส้นชั้นของ $f$ ที่จุดสุดขีดลูกศรสีฟ้า ($\nabla f$) และสีส้มประ ($\nabla g$) ซ้อนทับกัน (ขนานกัน) คลิกบนเส้นเงื่อนไขที่จุดใดก็ได้เพื่อดูว่ามุมระหว่างสองลูกศรเป็นศูนย์เฉพาะที่ตำแหน่งเหล่านี้เท่านั้น

ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange multiplier): ที่จุดเหมาะสมที่สุด เส้นชั้นของ $f$ สัมผัสเส้นเงื่อนไข $g = c$ จึง $\nabla f$ ขนาน $\nabla g$

ตัวอย่าง O-5 · รั้วสี่เหลี่ยมพื้นที่สูงสุด

### ลวดยาว 20 เมตรล้อมรั้วสี่เหลี่ยมผืนผ้า ให้พื้นที่ $f = xy$ มากสุด เมื่อ $g = x + y = 10$ (ครึ่งเส้นรอบรูป) · และหา $\lambda$

- $\nabla f = \langle y, x\rangle$ · $\nabla g = \langle 1, 1\rangle$ → $y = \lambda,\ x = \lambda$ จึง $x = y$

- เงื่อนไข $x + y = 10$ → $x = y = 5$ · $f = 25$ ตารางเมตร (จัตุรัสพื้นที่สูงสุด)

- $\lambda = 5$ · ตรวจความหมาย: เมื่อ $x + y = c$ พื้นที่สูงสุดคือ $f^* = c^2/4$ จึง $df^*/dc = c/2 = 5$ ที่ $c = 10$ ตรงกับ $\lambda$ ✓

- ตีความ: ต่อลวดเพิ่ม 1 เมตร (เส้นรอบรูปเป็น 21 m จึง $c$ เพิ่ม $\Delta c = 0.5$) พื้นที่สูงสุดเพิ่มประมาณ $\lambda\,\Delta c = 5 \times 0.5 = 2.5$ ตร.ม. · ตรวจ: $c = 10.5$ ให้ $f^* = 10.5^2/4 = 27.56$ เพิ่มจาก 25 อยู่ 2.56 ✓

$x = y = 5$, $f_{\max} = 25$ m², $\lambda = 5$

ตัวอย่าง O-6 · สุดขีดบนวงกลม

### หาค่าสูงสุดและต่ำสุดของ $f(x, y) = x^2 + 2y^2$ บนวงกลม $x^2 + y^2 = 1$

- $\nabla f = \langle 2x, 4y\rangle$ · $\nabla g = \langle 2x, 2y\rangle$ · ตั้ง $2x = 2\lambda x$ และ $4y = 2\lambda y$

- กรณี $x \ne 0$: $\lambda = 1$ แล้ว $4y = 2y$ → $y = 0$ → $x = \pm 1$ · $f = 1$

- กรณี $y \ne 0$: $\lambda = 2$ แล้ว $2x = 4x$ → $x = 0$ → $y = \pm 1$ · $f = 2$

- เทียบ: $f(\pm1, 0) = 1,\ f(0, \pm1) = 2$

สูงสุด $f = 2$ ที่ $(0, \pm1)$ ($\lambda = 2$) · ต่ำสุด $f = 1$ ที่ $(\pm1, 0)$ ($\lambda = 1$)

ตัวอย่าง O-7 · กระป๋องใช้โลหะน้อยที่สุด (เครื่องกล)

### กระป๋องทรงกระบอกจุ 355 cm³ ออกแบบรัศมี $r$ และความสูง $h$ ให้พื้นที่ผิว $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ น้อยที่สุด

- เงื่อนไข $g = \pi r^2 h = 355$ · $\nabla A = \langle 4\pi r + 2\pi h,\ 2\pi r\rangle$ · $\nabla g = \langle 2\pi rh,\ \pi r^2\rangle$ (ตัวแปรเรียง $r, h$)

- จาก $2\pi r = \lambda\pi r^2$ ได้ $\lambda = 2/r$

- แทนใน $4\pi r + 2\pi h = \lambda\cdot 2\pi rh = 4\pi h$ → $4\pi r = 2\pi h$ → $h = 2r$

- เงื่อนไข: $\pi r^2(2r) = 355$ → $r = \sqrt[3]{355/(2\pi)} = 3.837$ cm → $h = 7.674$ cm

- $A_{\min} = 6\pi r^2 = 6\pi(14.72) = 277.5$ cm² · กระป๋องที่ดีที่สุดมีความสูง = เส้นผ่านศูนย์กลางพอดี (ในทางปฏิบัติกระป๋องจริงสูงกว่าเพราะเหตุผลการจับถือ รอยตะเข็บ และต้นทุนพิมพ์)

$r = 3.84$ cm, $h = 7.67$ cm ($h = 2r$) · พื้นที่ผิวต่ำสุด $\approx 277.5$ cm²

ตัวอย่าง O-8 · คานที่แข็งแรงที่สุดจากท่อนซุง (โยธา)

### ตัดคานสี่เหลี่ยมกว้าง $w$ สูง $h$ จากซุงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง $D = 0.50$ m ให้ความแข็งแรง $f = wh^2$ (ซึ่งแปรผันตามโมดูลัสหน้าตัด $S = wh^2/6$) สูงสุด

- เงื่อนไข: มุมคานอยู่บนวงกลม $w^2 + h^2 = D^2$ · $\nabla f = \langle h^2,\ 2wh\rangle$ · $\nabla g = \langle 2w,\ 2h\rangle$

- $h^2 = 2\lambda w$ และ $2wh = 2\lambda h$ → (เมื่อ $h \ne 0$) $\lambda = w$ → $h^2 = 2w^2$

- แทนในเงื่อนไข: $w^2 + 2w^2 = D^2$ → $w = D/\sqrt3 = 0.2887$ m และ $h = D\sqrt{2/3} = 0.4082$ m

- $h/w = \sqrt2 = 1.414$ — อัตราส่วนคลาสสิกของคานไม้จากซุงกลม (ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งได้ $w = h = 0.354$ และ $wh^2 = 0.0442$ เทียบกับค่าที่ดีที่สุด $0.2887\times0.4082^2 = 0.0481$, ดีกว่า 8.9%)

$w = 0.289$ m, $h = 0.408$ m ($h/w = \sqrt2$) · แข็งแรงกว่าหน้าตัดจัตุรัสจากซุงเดียวกันราว 9%

## กำลังสองน้อยสุด (Least Squares) และการถดถอยเชิงเส้น กลาง

วัดข้อมูลมาหลายจุด $(x_i, y_i)$ ซึ่งมีสัญญาณรบกวน ต้องการเส้นตรง $y = ax + b$ ที่ “พอดีที่สุด” นิยามความพอดีด้วยผลรวมกำลังสองของความคลาดเคลื่อนในแนวตั้ง $S(a, b) = \sum (y_i - ax_i - b)^2$ แล้วเลือก $a, b$ ที่ทำให้ $S$ ต่ำสุด นี่คือปัญหาหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันสองตัวแปร (ตัวแปรคือ $a, b$ ไม่ใช่ $x, y$!) ซึ่ง $S$ เป็นฟังก์ชันกำลังสองของ $a, b$ จึงมีชามเดียว จุดวิกฤตเดียวคือต่ำสุดแน่นอน และได้สมการเชิงเส้นแก้ตรง ๆ

O8 Normal equations (line fit) สมการปกติของเส้นตรง

$$\frac{\partial S}{\partial a} = 0,\ \frac{\partial S}{\partial b} = 0 \ \Rightarrow\ \begin{cases} \left(\sum x_i^2\right)a + \left(\sum x_i\right)b = \sum x_iy_i\\ \left(\sum x_i\right)a + n\,b = \sum y_i \end{cases}\ \Rightarrow\ a = \frac{n\sum x_iy_i - \sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2},\ \ b = \bar y - a\bar x$$

เส้นผ่านจุดศูนย์กลางข้อมูล $(\bar x, \bar y)$ เสมอ · ต้องมีค่า $x$ ต่างกันอย่างน้อยสองค่า (ตัวส่วน $\ne 0$) · สรุปไว้ใช้เป็นฟังก์ชัน LINEST / polyfit

O9 Coefficient of determination ความพอดีของเส้น

$$R^2 = 1 - \frac{S_{\min}}{\sum (y_i - \bar y)^2}$$

$R^2 = 1$ เส้นผ่านทุกจุดพอดี · $R^2 \approx 0$ เส้นตรงไม่ช่วยอธิบายข้อมูล

O10 Matrix form รูปเมทริกซ์

$$\mathbf A\boldsymbol\theta \approx \mathbf y \ \Rightarrow\ \mathbf A^{\!\top}\mathbf A\,\boldsymbol\theta = \mathbf A^{\!\top}\mathbf y,\quad \mathbf A = \begin{pmatrix} x_1 & 1\\ \vdots & \vdots\\ x_n & 1\end{pmatrix}$$

ใช้ได้กับพหุนามและโมเดลเชิงเส้นในพารามิเตอร์ทุกแบบ · เชื่อมกับพีชคณิตเชิงเส้น

### แล็บกำลังสองน้อยสุด: ชามของ S(a, b)

เลือกชุดข้อมูลจากงานไฟฟ้า เครื่องกล หรือโยธา แล้วลากจุดสีส้มบนแผนที่ขวา (ระนาบ $a$–$b$) หรือใช้แถบเลื่อน เส้นประบนกราฟซ้ายจะเปลี่ยน ส่วนเส้นประสีแดงแสดงความคลาดเคลื่อนแต่ละจุด เมื่อจุดสีส้มไปถึงจุดสีเขียว (ก้นชาม) ผลรวมกำลังสอง $S$ น้อยที่สุด ตรงกับเส้นสีเขียวที่คำนวณจากสมการปกติ คลิกบนกราฟซ้ายเพื่อเพิ่มจุดข้อมูลได้

ตัวอย่าง O-9 · เส้นตรงที่พอดีกับข้อมูลสี่จุด

### ข้อมูล $(1, 2.1),\ (2, 3.9),\ (3, 6.2),\ (4, 7.8)$ จงหา $y = ax + b$

- ผลรวม: $n = 4$ · $\sum x = 10$ · $\sum y = 20.0$ · $\sum x^2 = 30$ · $\sum xy = 2.1 + 7.8 + 18.6 + 31.2 = 59.7$

- สมการปกติ: $30a + 10b = 59.7$ และ $10a + 4b = 20.0$

- จากสมการที่สอง $b = 5 - 2.5a$ แทนในสมการแรก: $30a + 50 - 25a = 59.7$ → $5a = 9.7$ → $a = 1.94$ และ $b = 5 - 4.85 = 0.15$

- ตรวจ: เส้นผ่านจุดศูนย์กลาง $(\bar x, \bar y) = (2.5, 5.0)$: $1.94(2.5) + 0.15 = 5.0$ ✓

$y = 1.94x + 0.15$

ตัวอย่าง O-10 · หาค่าความต้านทานจากการวัด V–I (ไฟฟ้า)

### วัดกระแส $I$ (mA) = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ได้แรงดัน $V$ (V) = 0.51, 1.03, 1.49, 2.02, 2.52, 2.98 ประมาณความต้านทาน $R$

- กฎของโอห์ม $V = RI$: ความชัน $a$ ของกราฟ $V$–$I$ คือ $R$ (หน่วย V/mA = kΩ)

- กำลังสองน้อยสุดให้ $a = 0.4957$ kΩ และ $b = 0.0233$ V (ค่าชดเชยของเครื่องวัด/อ็อฟเซต)

- $R \approx 496\ \Omega$ · $R^2 = 0.9996$ เส้นตรงอธิบายข้อมูลได้ดีมาก และ $b$ เล็กมากเทียบกับ $V$ สูงสุด

- ถ้าบังคับเส้นผ่านจุดกำเนิด ($b = 0$) จะได้ $R = \sum IV/\sum I^2 = 45.6/91 = 0.5011$ kΩ (501 Ω) ใกล้กัน · หากต้องการประเมินความไม่แน่นอนของ $R$ ใช้ความแปรปรวนของส่วนเหลือ

$R \approx 496\ \Omega$ ($R^2 = 0.9996$) · ออฟเซตเครื่องวัด $\approx 23$ mV

## ขั้นตอนแก้โจทย์ออกแบบ พื้นฐาน

- เขียนฟังก์ชันเป้าหมาย $f$ (ต้นทุน พื้นที่ผิว กำลัง ความผิดพลาด) และตัวแปรทั้งหมดพร้อมหน่วย

- ระบุเงื่อนไข ถ้ามีสมการเงื่อนไข เลือก (ก) แทนค่าลดตัวแปร หรือ (ข) ลากรองจ์ (เมื่อแทนยาก หรือต้องการ $\lambda$)

- หาจุดวิกฤต แก้ $\nabla f = \mathbf 0$ (ไม่มีเงื่อนไข) หรือ $\nabla f = \lambda\nabla g$ (มีเงื่อนไข)

- ตรวจชนิด ด้วย $D$ หรือเหตุผลของบริเวณปิด (เทียบกับขอบ) หรือสังเกตว่าค่า $\to \infty$ ที่ขอบ

- ตรวจความสมเหตุสมผล หน่วย ขนาดที่ได้เป็นไปได้ทางกายภาพ (เช่นขนาดไม่เป็นลบ) และเทียบกับค่าตัวเลขอย่างหยาบ

| สาขา | ปัญหา | วิธี |

| ไฟฟ้า | พารามิเตอร์ตัวควบคุมที่ทำให้ค่าความผิดพลาด $J(K_p, K_i)$ ต่ำสุด | จุดวิกฤต / gradient descent (จูน PID) |

| ไฟฟ้า | หาแบบจำลองเส้นตรงของเซนเซอร์จากการสอบเทียบ | กำลังสองน้อยสุด (การสอบเทียบ) |

| เครื่องกล | รูปทรงถัง/ท่อที่ใช้วัสดุน้อยที่สุด | Lagrange (ตัวอย่าง O-7) |

| เครื่องกล | กล่อง/ครีบระบายความร้อนที่รับกำลังได้สูงสุดในพื้นที่จำกัด | จุดวิกฤต + บริเวณปิด |

| โยธา | หน้าตัดคานที่แข็งแรงสุดจากวัสดุกลม | Lagrange (ตัวอย่าง O-8) |

| โยธา | จุดตั้งสถานีที่ทำให้ระยะทางรวมถึงจุดต่าง ๆ สั้นที่สุด | กำลังสองน้อยสุดและจุดวิกฤต |

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- สรุปว่าจุดวิกฤตทุกจุดคือสูงสุดหรือต่ำสุด ต้องแยกจุดอานม้าด้วย $D$ (เช่น $(0,0)$ ของ $x^2 - y^2$)

- ใช้ $D$ ที่จุดที่ไม่ใช่จุดวิกฤต · ต้องแก้ $\nabla f = \mathbf 0$ ก่อนเสมอ

- ลืมตรวจขอบ ในโจทย์บริเวณปิด ค่าสูงสุดสัมบูรณ์มักอยู่บนขอบหรือที่มุม (ตัวอย่าง O-3 ค่าสูงสุดอยู่ที่มุม)

- ลืมเทียบค่า $f$ หลังหาจุดจาก Lagrange · วิธีนี้ให้ “ผู้ต้องสงสัย” ไม่ได้บอกว่าจุดไหนสูงสุดหรือต่ำสุด

- สับสนตัวแปรของกำลังสองน้อยสุด · ตัวแปรเมื่อหาค่าต่ำสุดคือ $a, b$ (พารามิเตอร์) ส่วน $x_i, y_i$ คือข้อมูลคงที่

ไปต่อที่อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น ซึ่งรวมค่าของฟังก์ชันหลายตัวแปรทั่วบริเวณเพื่อหาปริมาตร มวล และจุดศูนย์กลางมวล

## คำถามที่พบบ่อย

จุดวิกฤต (critical point) ของฟังก์ชันสองตัวแปรหาอย่างไร?
ตั้ง $f_x = 0$ และ $f_y = 0$ พร้อมกันแล้วแก้ระบบสมการ ได้จุดที่ผิวมีระนาบสัมผัสแนวนอน (หรือจุดที่ $f_x$ หรือ $f_y$ ไม่มีค่า) ตัวอย่าง $f = x^4 + y^4 - 4xy$: $4x^3 - 4y = 0$ และ $4y^3 - 4x = 0$ ได้ $(0,0), (1,1), (-1,-1)$ จากนั้นจำแนกชนิดด้วยการทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง (second derivative test) ทำอย่างไร?
คำนวณ $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ ที่จุดวิกฤต ถ้า $D > 0$ และ $f_{xx} > 0$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ถ้า $D > 0$ และ $f_{xx}
ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange multiplier) ใช้เมื่อไร และ λ แปลว่าอะไร?
ใช้หาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของ $f$ ภายใต้เงื่อนไข $g(x,y) = c$ โดยแก้ $\nabla f = \lambda\nabla g$ ร่วมกับ $g = c$ ความหมายเชิงเรขาคณิตคือที่จุดเหมาะสม เส้นชั้นของ $f$ สัมผัสเส้นเงื่อนไข จึง gradient ขนานกัน ส่วน $\lambda$ เท่ากับ $df^*/dc$ คืออัตราที่ค่าเหมาะสมที่สุดเปลี่ยนเมื่อผ่อนเงื่อนไข (shadow price) เช่นขยายงบประมาณ 1 หน่วยจะได้ผลดีขึ้นประมาณ $\lambda$ หน่วย

กำลังสองน้อยสุด (least squares) เกี่ยวกับอนุพันธ์ย่อยอย่างไร?
เส้นตรง $y = ax + b$ ที่พอดีกับข้อมูลที่สุดคือเส้นที่ทำให้ผลรวมกำลังสองความคลาดเคลื่อน $S(a,b) = \sum (y_i - ax_i - b)^2$ น้อยที่สุด ซึ่งเป็นปัญหาหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันสองตัวแปร $a, b$ ตั้ง $\partial S/\partial a = 0$ และ $\partial S/\partial b = 0$ ได้ระบบสมการปกติ (normal equations) เชิงเส้นสองสมการ แก้หา $a, b$ ตรง ๆ ได้ นี่คือที่มาของ linear regression

หาค่าสูงสุด-ต่ำสุดสัมบูรณ์บนบริเวณปิดทำอย่างไร?
เมื่อบริเวณปิดและมีขอบเขต (closed and bounded) ค่าสุดขีดสัมบูรณ์มีแน่นอน ให้ (1) หาจุดวิกฤตภายในและคำนวณ $f$ (2) หาค่าสุดขีดบนขอบโดยลดเป็นปัญหาตัวแปรเดียวทีละด้าน ตรวจมุมด้วย (3) เปรียบเทียบค่าทั้งหมด ค่ามากสุดคือค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ค่าน้อยสุดคือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ไม่ต้องทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**จุดวิกฤต (critical point) ของฟังก์ชันสองตัวแปรหาอย่างไร?**
ตั้ง $f_x = 0$ และ $f_y = 0$ พร้อมกันแล้วแก้ระบบสมการ ได้จุดที่ผิวมีระนาบสัมผัสแนวนอน (หรือจุดที่ $f_x$ หรือ $f_y$ ไม่มีค่า) ตัวอย่าง $f = x^4 + y^4 - 4xy$: $4x^3 - 4y = 0$ และ $4y^3 - 4x = 0$ ได้ $(0,0), (1,1), (-1,-1)$ จากนั้นจำแนกชนิดด้วยการทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

**การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง (second derivative test) ทำอย่างไร?**
คำนวณ $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ ที่จุดวิกฤต ถ้า $D > 0$ และ $f_{xx} > 0$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ถ้า $D > 0$ และ $f_{xx} < 0$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ถ้า $D < 0$ เป็นจุดอานม้า (saddle point) ถ้า $D = 0$ ทดสอบนี้ไม่สรุป ต้องดูแบบอื่น เช่นตัวอย่าง $x^3 - 3xy^2$ ที่ $D = 0$ แต่เป็นจุดอานม้า

**ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange multiplier) ใช้เมื่อไร และ λ แปลว่าอะไร?**
ใช้หาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของ $f$ ภายใต้เงื่อนไข $g(x,y) = c$ โดยแก้ $\nabla f = \lambda\nabla g$ ร่วมกับ $g = c$ ความหมายเชิงเรขาคณิตคือที่จุดเหมาะสม เส้นชั้นของ $f$ สัมผัสเส้นเงื่อนไข จึง gradient ขนานกัน ส่วน $\lambda$ เท่ากับ $df^*/dc$ คืออัตราที่ค่าเหมาะสมที่สุดเปลี่ยนเมื่อผ่อนเงื่อนไข (shadow price) เช่นขยายงบประมาณ 1 หน่วยจะได้ผลดีขึ้นประมาณ $\lambda$ หน่วย

**กำลังสองน้อยสุด (least squares) เกี่ยวกับอนุพันธ์ย่อยอย่างไร?**
เส้นตรง $y = ax + b$ ที่พอดีกับข้อมูลที่สุดคือเส้นที่ทำให้ผลรวมกำลังสองความคลาดเคลื่อน $S(a,b) = \sum (y_i - ax_i - b)^2$ น้อยที่สุด ซึ่งเป็นปัญหาหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันสองตัวแปร $a, b$ ตั้ง $\partial S/\partial a = 0$ และ $\partial S/\partial b = 0$ ได้ระบบสมการปกติ (normal equations) เชิงเส้นสองสมการ แก้หา $a, b$ ตรง ๆ ได้ นี่คือที่มาของ linear regression

**หาค่าสูงสุด-ต่ำสุดสัมบูรณ์บนบริเวณปิดทำอย่างไร?**
เมื่อบริเวณปิดและมีขอบเขต (closed and bounded) ค่าสุดขีดสัมบูรณ์มีแน่นอน ให้ (1) หาจุดวิกฤตภายในและคำนวณ $f$ (2) หาค่าสุดขีดบนขอบโดยลดเป็นปัญหาตัวแปรเดียวทีละด้าน ตรวจมุมด้วย (3) เปรียบเทียบค่าทั้งหมด ค่ามากสุดคือค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ค่าน้อยสุดคือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ไม่ต้องทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง

---

# อนุพันธ์ย่อย (Partial Derivatives): สูตร ตัวอย่าง ระนาบสัมผัส กฎลูกโซ่ และการประมาณความคลาดเคลื่อน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/partial-derivatives/
Updated: 2026-10-17
Summary: อนุพันธ์ย่อย (partial derivative) คืออะไร วิธีหา ∂f/∂x และ ∂f/∂y ความหมายเป็นความชันของรอยตัด อนุพันธ์อันดับสูงและทฤษฎีบทของแคลโร (Clairaut) ระนาบสัมผัส (tangent plane) การประมาณเชิงเส้น ผลต่างรวม (total differential) กฎลูกโซ่ (chain rule) อนุพันธ์โดยปริยาย และการแพร่ความคลาดเคลื่อนในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา พร้อมแล็บ

// บทที่ 24.2 · แคลคูลัสหลายตัวแปร · Partial Derivatives

# อนุพันธ์ย่อย (Partial Derivatives): สูตร ตัวอย่าง ระนาบสัมผัส กฎลูกโซ่ และการประมาณความคลาดเคลื่อน

เมื่อปริมาณหนึ่งขึ้นกับหลายตัวแปร คำถามแรกที่วิศวกรถามคือ “ถ้าขยับตัวแปรนี้ตัวเดียว ค่าเปลี่ยนเท่าไร” คำตอบคืออนุพันธ์ย่อย (partial derivative) หน้านี้สอนตั้งแต่วิธีหา ความหมายเป็นความชันของรอยตัด อนุพันธ์อันดับสูง ระนาบสัมผัส ไปจนถึงกฎลูกโซ่และการประมาณความคลาดเคลื่อนของสูตรที่ใช้ค่าที่วัดมาหลายตัว (error propagation) ซึ่งเป็นเรื่องที่ใช้จริงทุกครั้งที่อ่านเครื่องมือวัด

สรุปใน 30 วินาที

- วิธีหา: ตรึงตัวแปรอื่นเป็นค่าคงที่ แล้วหาอนุพันธ์ตามตัวที่สนใจด้วยกฎเดิมของตัวแปรเดียว

- ความหมาย: $f_x$ คือความชันของผิวตามแนวแกน $x$ (ตัดด้วยระนาบ $y =$ ค่าคงที่) · $f_y$ ตามแนวแกน $y$

- ระนาบสัมผัส: $L(x,y) = f(a,b) + f_x(x-a) + f_y(y-b)$ · ผลต่างรวม: $df = f_x\,dx + f_y\,dy$

- กฎลูกโซ่: $\dfrac{dz}{dt} = f_x \dfrac{dx}{dt} + f_y \dfrac{dy}{dt}$ · โดยปริยาย: $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}$

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## อนุพันธ์ย่อยคืออะไร และหาอย่างไร พื้นฐาน

จากแคลคูลัสตัวแปรเดียว อนุพันธ์ $f'(x)$ บอกอัตราเปลี่ยนของ $f$ เมื่อ $x$ เปลี่ยน แต่ $f(x, y)$ มีสองตัวแปร จึงมี “ทิศ” ให้ขยับได้หลายทิศ ทิศที่ง่ายที่สุดคือขยับตัวแปรเดียวโดยอีกตัวไม่ขยับ นั่นคืออนุพันธ์ย่อย เหมือนอ่านค่ากำลังไฟ $P = V^2/R$ ว่าเปลี่ยนเท่าไรเมื่อปรับ $V$ โดยไม่แตะ $R$

P1 Partial derivative (definition) อนุพันธ์ย่อย (นิยาม)

$$f_x(a, b) = \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h,\, b) - f(a,\, b)}{h},\qquad f_y(a, b) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a,\, b+h) - f(a,\, b)}{h}$$

ตัวแปรที่ไม่ได้ขยับ ($b$ ใน $f_x$) ถูกตรึงไว้ · ถ้าลิมิตมีที่ทุกจุดของบริเวณ จะได้ฟังก์ชัน $f_x(x, y)$ และ $f_y(x, y)$

P2 Notation สัญกรณ์ที่เจอบ่อย

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \partial_x f = D_x f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$$

เครื่องหมาย $\partial$ อ่านว่า “พาร์เชียล” · ในเทอร์โมไดนามิกส์เขียนตัวห้อยบอกตัวแปรที่ตรึง เช่น $(\partial P/\partial V)_T$

P3 Working rule วิธีทำในทางปฏิบัติ

$$\frac{\partial}{\partial x}\big[\,\text{นิพจน์ใน } x, y\,\big]\ :\ y \text{ เป็นค่าคงที่}$$

กฎยกกำลัง ผลคูณ ผลหาร และลูกโซ่ใช้ได้ทั้งหมดเหมือนเดิม · ตรวจ: ถ้านิพจน์ไม่มี $x$ เลย $f_x = 0$

ตัวอย่าง P-1 · พหุนามกับตรีโกณ

### หา $f_x$ และ $f_y$ ของ $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$

- หา $f_x$: ถือ $y$ เป็นค่าคงที่ · พจน์แรก $\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy$

- พจน์ที่สอง ใช้กฎลูกโซ่: $\dfrac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy) \cdot \dfrac{\partial (xy)}{\partial x} = y\cos(xy)$

- รวม $f_x = 2xy + y\cos(xy)$

- หา $f_y$: ถือ $x$ เป็นค่าคงที่ · $\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2$ และ $\dfrac{\partial}{\partial y}\sin(xy) = x\cos(xy)$

- ได้ $f_y = x^2 + x\cos(xy)$

$f_x = 2xy + y\cos(xy)$ · $f_y = x^2 + x\cos(xy)$

ตัวอย่าง P-2 · เทอร์โมไดนามิกส์ (เครื่องกล)

### แก๊สอุดมคติ 1 mol: $P = \dfrac{RT}{V}$ หา $\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V$ และ $\left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_T$ ที่ $T = 300$ K, $V = 0.0245$ m³ ($R = 8.314$ J/mol·K)

- $\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V = \dfrac{R}{V}$ (ตรึง $V$) → $\dfrac{8.314}{0.0245} = 339.3$ Pa/K

- $\left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_T = -\dfrac{RT}{V^2}$ (ตรึง $T$) → $-\dfrac{8.314 \times 300}{0.0245^2} = -4.155\times10^{6}$ Pa/m³

- ที่จุดนี้ $P = RT/V = 1.018\times10^5$ Pa (ประมาณ 1 atm) ตีความ: อุ่นขึ้น 1 K ที่ปริมาตรคงที่ ความดันเพิ่ม 339 Pa · บีบปริมาตรลง 1 ลิตร ($10^{-3}$ m³) ที่อุณหภูมิคงที่ ความดันเพิ่มราว 4155 Pa

$\partial P/\partial T = 339.3$ Pa/K · $\partial P/\partial V = -4.155\times10^{6}$ Pa/m³ (เครื่องหมายลบ: ปริมาตรมากขึ้น ความดันลดลง)

## ความหมายเชิงเรขาคณิต: ความชันของรอยตัด พื้นฐาน

ตัดผิว $z = f(x, y)$ ด้วยระนาบ $y = b$ จะได้เส้นโค้งบนระนาบนั้นซึ่งเป็นฟังก์ชันของ $x$ ตัวเดียว ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ที่จุด $(a, b)$ คือ $f_x(a, b)$ เช่นเดียวกัน ตัดด้วย $x = a$ ได้ความชัน $f_y(a, b)$ ในแล็บ เส้นประสีส้มและสีฟ้าคือเส้นสัมผัสสองเส้นนี้ ลองลากจุดไปรอบ ๆ และเปิดสวิตช์ระนาบสัมผัส ระนาบที่ถูกขึงด้วยเส้นประทั้งสองเส้น

$f_x$ คือความชันของรอยตัดตามแนวแกน $x$ (ระนาบ $y = b$) และ $f_y$ คือความชันของรอยตัดตามแนวแกน $y$ (ระนาบ $x = a$) ที่จุดเดียวกัน

P4 Slopes of the traces ความชันของรอยตัด

$$\begin{aligned} \text{ระนาบ } y = b:&\quad z = f(x, b),\quad \text{ความชัน} = f_x(a, b)\\ \text{ระนาบ } x = a:&\quad z = f(a, y),\quad \text{ความชัน} = f_y(a, b) \end{aligned}$$

อัตราเปลี่ยนตามแกนแต่ละแกน ไม่ใช่ความชันชันสุดของผิว (นั่นคือ gradient ในบทถัดไป)

P5 Rate of change and units อัตราเปลี่ยนและหน่วย

$$\Delta f \approx f_x\,\Delta x \quad(\Delta y = 0),\qquad [f_x] = \frac{[f]}{[x]}$$

หน่วยของ $\partial P/\partial T$ คือ Pa/K · ตรวจหน่วยทุกครั้งเป็นวิธีจับความผิดพลาดที่ดีที่สุด

## อนุพันธ์ย่อยอันดับสูงและทฤษฎีบทของแคลโร กลาง

หาอนุพันธ์ย่อยซ้ำได้ ในสองตัวแปรมีสี่ตัวอันดับสอง: $f_{xx},\ f_{yy}$ (ตัวเดียวซ้ำ) และอนุพันธ์ผสม $f_{xy},\ f_{yx}$ สัญกรณ์ $f_{xy}$ อ่านจากซ้ายไปขวา คือหาตาม $x$ ก่อนแล้วตาม $y$ (ตรงข้ามกับ $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ ที่อ่านจากขวาไปซ้าย)

P6 Second partial derivatives อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง

$$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy} = (f_x)_y = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x},\quad f_{yx} = (f_y)_x$$

$f_{xx}$ = ความโค้งของรอยตัดตามแกน $x$ (โค้งขึ้นถ้า $> 0$) · $f_{xy}$ = ความ “บิด” ของผิว

P7 Clairaut's theorem ทฤษฎีบทของแคลโร

$$f_{xy},\, f_{yx} \text{ ต่อเนื่องบนวงกลมเปิดรอบ } (a, b) \ \Rightarrow\ f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$$

ใช้ตรวจคำตอบ และใช้เลือกลำดับการหาที่ง่ายกว่า · สนามเวกเตอร์ $(P, Q)$ ที่มี $P_y \ne Q_x$ ไม่อนุรักษ์ (ดูสนามเวกเตอร์)

P8 Laplace's equation สมการลาปลาซ

$$\nabla^2 u = u_{xx} + u_{yy} = 0 \quad(\text{ฟังก์ชันฮาร์มอนิก})$$

อุณหภูมิสภาวะคงตัวในแผ่น (ไม่มีแหล่งความร้อน) ศักย์ไฟฟ้าในที่ว่างไม่มีประจุ ศักย์ความเร็วของของไหลอุดมคติ และระดับพีโซเมตริกของน้ำใต้ดิน ต่างเป็นคำตอบ

P9 Heat (diffusion) equation สมการความร้อน

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

$\alpha$ = การแพร่ความร้อน (m²/s) · ตัวอย่างสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) ที่ใช้อนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งในเวลาและอันดับสองในตำแหน่ง

ตัวอย่าง P-3 · ตรวจ Clairaut

### ให้ $f(x, y) = x\,e^{xy}$ แสดงว่า $f_{xy} = f_{yx}$

- $f_x = e^{xy} + x\cdot y\,e^{xy} = (1 + xy)\,e^{xy}$

- $f_{xy} = \dfrac{\partial}{\partial y}\big[(1 + xy)e^{xy}\big] = x\,e^{xy} + (1 + xy)\,x\,e^{xy} = x(2 + xy)\,e^{xy}$

- อีกลำดับ: $f_y = x\cdot x\,e^{xy} = x^2 e^{xy}$ แล้ว $f_{yx} = 2x\,e^{xy} + x^2\cdot y\,e^{xy} = x(2 + xy)\,e^{xy}$

- ทั้งสองเท่ากัน ตามทฤษฎีบทของแคลโร (ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและพหุนามต่อเนื่องทุกจุด)

$f_{xy} = f_{yx} = x(2 + xy)\,e^{xy}$

ตัวอย่าง P-4 · ตรวจสมการลาปลาซและสมการความร้อน

### (ก) $u = \ln\sqrt{x^2 + y^2}$ เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกหรือไม่ (ข) $u = e^{-\alpha t}\sin x$ สอดคล้อง $u_t = u_{xx}$ เมื่อ $\alpha = 1$ หรือไม่

- (ก) $u = \tfrac12\ln(x^2 + y^2)$ · $u_x = \dfrac{x}{x^2+y^2}$ · $u_{xx} = \dfrac{(x^2+y^2) - 2x^2}{(x^2+y^2)^2} = \dfrac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$

- โดยสมมาตร $u_{yy} = \dfrac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}$ รวมกันได้ $u_{xx} + u_{yy} = 0$ ทุกจุดยกเว้นจุดกำเนิด → ฮาร์มอนิก (นี่คือศักย์ของเส้นประจุยาวอนันต์ และอุณหภูมิรอบท่อกลม)

- (ข) $u_t = -e^{-t}\sin x$ และ $u_x = e^{-t}\cos x$ จึง $u_{xx} = -e^{-t}\sin x$

- $u_t = u_{xx}$ เป็นจริง → สอดคล้องสมการความร้อนที่ $\alpha = 1$ (คลื่นอุณหภูมิรูปไซน์ที่ค่อย ๆ จางลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล)

(ก) ฮาร์มอนิก $u_{xx} + u_{yy} = 0$ · (ข) สอดคล้อง $u_t = u_{xx}$

## ระนาบสัมผัสและการประมาณเชิงเส้น กลาง

ตัวแปรเดียว: เส้นสัมผัส $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ ประมาณเส้นโค้งใกล้ $a$ สองตัวแปร: ระนาบสัมผัส (tangent plane) ที่ขึงด้วยเส้นสัมผัสทั้งสองเส้นของรอยตัดประมาณผิวใกล้จุดนั้น ถ้าซูมเข้าไปที่ผิวเรียบมากพอ จะเห็นผิวแบนราบเป็นระนาบนี้ ในแล็บด้านบนเปิดสวิตช์ “ระนาบสัมผัส” แล้วย้ายจุด ระนาบกลิ้งตามผิวเสมอ

P10 Tangent plane ระนาบสัมผัส

$$z = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)$$

มีเมื่อ $f_x, f_y$ ต่อเนื่องที่จุดนั้น (เพียงพอให้ $f$ หาอนุพันธ์ได้) · เวกเตอร์ปกติของระนาบคือ $\langle f_x, f_y, -1\rangle$

P11 Linearization การประมาณเชิงเส้น

$$f(x, y) \approx L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)$$

แม่นเมื่อ $(x, y)$ ใกล้ $(a, b)$ · ความผิดพลาดเป็นอันดับสอง (กำลังสองของระยะ) และขึ้นกับ $f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}$

ตัวอย่าง P-5 · ระนาบสัมผัสและประมาณค่า

### หาระนาบสัมผัสของ $f(x, y) = \sqrt{20 - x^2 - 7y^2}$ ที่ $(2, 1)$ แล้วประมาณ $f(1.95,\ 1.08)$

- $f(2, 1) = \sqrt{20 - 4 - 7} = \sqrt{9} = 3$

- $f_x = \dfrac{-x}{\sqrt{20 - x^2 - 7y^2}} \Rightarrow f_x(2,1) = -\dfrac{2}{3}$ · $f_y = \dfrac{-7y}{\sqrt{20 - x^2 - 7y^2}} \Rightarrow f_y(2,1) = -\dfrac{7}{3}$

- ระนาบสัมผัส: $z = 3 - \dfrac{2}{3}(x - 2) - \dfrac{7}{3}(y - 1)$

- ประมาณ: $L(1.95, 1.08) = 3 - \tfrac23(-0.05) - \tfrac73(0.08) = 3 + 0.0333 - 0.1867 = 2.8467$

- ค่าจริง $f(1.95, 1.08) = \sqrt{20 - 3.8025 - 8.1648} = \sqrt{8.0327} = 2.8342$ · คลาดเคลื่อน 0.0125 หรือ 0.44%

$L(x,y) = 3 - \tfrac23(x-2) - \tfrac73(y-1)$ · $f(1.95, 1.08) \approx 2.847$ (จริง 2.834)

## ผลต่างรวม (Total Differential) และการแพร่ความคลาดเคลื่อน กลาง

เปลี่ยน $x$ เล็กน้อย $dx$ และ $y$ เล็กน้อย $dy$ พร้อมกัน ค่า $f$ เปลี่ยนโดยประมาณเท่ากับผลรวมของการเปลี่ยนจากแต่ละตัวแปร นี่คือสูตรของผลต่างรวม (total differential) และเป็นฐานของการแพร่ความคลาดเคลื่อน (error propagation) ที่ช่าง วิศวกร และนักวิทยาศาสตร์ใช้ประเมินว่าสูตรซึ่งใช้ค่าที่วัดมาหลายค่าจะคลาดเคลื่อนเท่าไร

P12 Total differential ผลต่างรวม

$$df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy,\qquad \Delta f \approx df \quad(\text{เมื่อ } \Delta x, \Delta y \text{ เล็ก})$$

สามตัวแปร: $df = f_x\,dx + f_y\,dy + f_z\,dz$ · เป็นการประมาณเชิงเส้นในรูปการเปลี่ยนแปลง

P13 Worst-case error ความคลาดเคลื่อนสูงสุด

$$|\Delta f| \lesssim \left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|\Delta x + \left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\Delta y$$

ใช้เมื่อต้องการ “รับประกัน” ขอบเขต (เช่นพิกัดความเผื่อทางกล)

P14 RSS (quadrature) error ความคลาดเคลื่อนแบบ RSS

$$\Delta f \approx \sqrt{\left(f_x\,\Delta x\right)^2 + \left(f_y\,\Delta y\right)^2}$$

เมื่อความคลาดเคลื่อนของตัวแปรเป็นอิสระต่อกัน (วัดคนละเครื่อง) · เล็กกว่าค่าแย่สุดเสมอ

ตัวอย่าง P-6 · ความต้านทานจากแรงดันและกระแส (ไฟฟ้า)

### วัด $V = 12.0 \pm 0.1$ V และ $I = 2.00 \pm 0.02$ A คำนวณ $R = V/I$ พร้อมความคลาดเคลื่อน

- $R = V/I = 12.0/2.00 = 6.00$ Ω

- $\dfrac{\partial R}{\partial V} = \dfrac1I = 0.5$ Ω/V · $\dfrac{\partial R}{\partial I} = -\dfrac{V}{I^2} = -\dfrac{12}{4} = -3$ Ω/A

- แย่สุด: $\Delta R \le 0.5(0.1) + 3(0.02) = 0.05 + 0.06 = 0.11$ Ω (1.83%)

- RSS: $\Delta R \approx \sqrt{0.05^2 + 0.06^2} = \sqrt{0.0061} = 0.078$ Ω (1.30%)

- สังเกต: ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของ $V$ คือ 0.83% ของ $I$ คือ 1.0% — กระแสมีน้ำหนักมากกว่า จึงปรับปรุงด้วยการใช้แอมมิเตอร์ที่ละเอียดขึ้นจะได้ผลมากสุด

$R = 6.00 \pm 0.11$ Ω (แย่สุด) หรือ $\pm 0.08$ Ω (RSS)

ตัวอย่าง P-7 · ปริมาตรจากการวัดขนาด (เครื่องกล)

### กระบอกสูบวัดได้ $r = 5.00 \pm 0.05$ cm และ $h = 12.0 \pm 0.1$ cm ปริมาตร $V = \pi r^2 h$ คลาดเคลื่อนเท่าไร

- $V = \pi (5)^2 (12) = 300\pi = 942.5$ cm³

- $\dfrac{\partial V}{\partial r} = 2\pi r h = 2\pi(5)(12) = 376.99$ cm² · $\dfrac{\partial V}{\partial h} = \pi r^2 = 78.54$ cm²

- $dV = 376.99(0.05) + 78.54(0.1) = 18.85 + 7.85 = 26.70$ cm³ → 2.83%

- รัศมีมีผลมากกว่าความสูง 2.4 เท่า (18.85 เทียบ 7.85) เพราะ $r$ มีความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ 1% และยังถูกยกกำลังสองจึงนับเป็นสองเท่า ส่วน $h$ มี 0.83% ได้ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของ $V$ ≈ $2(1\%) + 0.83\% = 2.83\%$

$V = 942.5 \pm 26.7$ cm³ (≈ 2.8%)

### เครื่องคิดเลขแพร่ความคลาดเคลื่อน

ใส่สูตรของคุณพร้อมค่าที่วัดและความไม่แน่นอน ตารางจะแสดงว่าตัวแปรใดทำให้ผลคลาดเคลื่อนมากที่สุด ซึ่งบอกว่าควรลงทุนปรับปรุงการวัดตัวไหน ตัวอย่างสุดท้ายคือการโก่งตัวของคานรับน้ำหนักแผ่ (โยธา)

## กฎลูกโซ่และอนุพันธ์โดยปริยาย กลาง

ตัวแปรของ $f$ เองอาจขึ้นกับตัวแปรอื่น เช่นตำแหน่ง $(x, y)$ ของอนุภาคที่เคลื่อนที่ตามเวลา $t$ กฎลูกโซ่หลายตัวแปรบอกว่า $f$ เปลี่ยนตามเวลาเท่าไร วิธีจำที่ง่ายที่สุดคือแผนภาพต้นไม้ (tree diagram): ลากกิ่งจาก $f$ ไปหาตัวแปรกลาง แล้วไปหาตัวแปรต้นทาง คูณตามกิ่ง บวกทุกเส้นทางที่ไปถึงตัวแปรปลาย

แผนภาพต้นไม้ของกฎลูกโซ่: $z = f(x, y)$ โดย $x = x(s, t)$ และ $y = y(s, t)$ · $\partial z/\partial s$ = ผลรวมของผลคูณตามกิ่งจาก $z$ ถึง $s$ ทุกเส้นทาง

P15 Chain rule (one parameter) กฎลูกโซ่ (พารามิเตอร์เดียว)

$$z = f(x(t),\, y(t)) \ \Rightarrow\ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} = \nabla f \cdot \mathbf r'(t)$$

เขียนแบบเวกเตอร์ได้เป็น gradient จุดดอตกับความเร็ว (ดูบทเกรเดียนต์) · เป็น “อนุพันธ์รวม” ตามเวลา

P16 Chain rule (two parameters) กฎลูกโซ่ (สองพารามิเตอร์)

$$\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s},\qquad \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$$

ในรูปเมทริกซ์: $\begin{pmatrix} z_s & z_t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_x & z_y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_s & x_t \\ y_s & y_t \end{pmatrix}$ (คูณด้วยเมทริกซ์จาโคเบียน)

P17 Implicit differentiation (2 variables) อนุพันธ์โดยปริยาย

$$F(x, y) = 0 \ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}\quad (F_y \ne 0)$$

ได้จากกฎลูกโซ่ $F_x + F_y\,\dfrac{dy}{dx} = 0$ · ไม่ต้องแก้หา $y$ ก่อน

P18 Implicit differentiation (3 variables) อนุพันธ์โดยปริยาย (สามตัวแปร)

$$F(x, y, z) = 0 \ \Rightarrow\ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} \quad (F_z \ne 0)$$

$z$ เป็นฟังก์ชันของ $x, y$ โดยปริยาย · เช่นสมการสถานะ $F(P, V, T) = 0$

ตัวอย่าง P-8 · กฎลูกโซ่พารามิเตอร์เดียว

### $z = x^2 y + 3xy^4$ เมื่อ $x = \sin 2t,\ y = \cos t$ หา $dz/dt$ ที่ $t = 0$

- $\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2xy + 3y^4$ · $\dfrac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 12xy^3$

- $\dfrac{dx}{dt} = 2\cos 2t$ · $\dfrac{dy}{dt} = -\sin t$

- ที่ $t = 0$: $x = 0,\ y = 1$ · $z_x = 0 + 3 = 3$ · $z_y = 0 + 0 = 0$ · $x' = 2$ · $y' = 0$

- $\dfrac{dz}{dt} = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 6$

$\left.\dfrac{dz}{dt}\right|_{t=0} = 6$

ตัวอย่าง P-9 · กำลังไฟฟ้าที่เปลี่ยนตามเวลา (ไฟฟ้า)

### แรงดัน $V(t) = 12 + 0.5t$ V และความต้านทาน $R(t) = 8 + 0.1t$ Ω (ร้อนขึ้นจึงเพิ่ม) กำลัง $P = V^2/R$ เปลี่ยนด้วยอัตราเท่าไรที่ $t = 0$

- $P_V = \dfrac{2V}{R} = \dfrac{24}{8} = 3$ W/V · $P_R = -\dfrac{V^2}{R^2} = -\dfrac{144}{64} = -2.25$ W/Ω

- $V' = 0.5$ V/s · $R' = 0.1$ Ω/s

- $\dfrac{dP}{dt} = 3(0.5) + (-2.25)(0.1) = 1.5 - 0.225 = 1.275$ W/s

- ตีความ: แรงดันที่เพิ่มดันกำลังขึ้น (+1.5 W/s) ส่วนความต้านทานที่เพิ่มดึงลง (−0.225 W/s)

$dP/dt = 1.275$ W/s ที่ $t = 0$ (ที่ $P = 18$ W)

ตัวอย่าง P-10 · อนุพันธ์โดยปริยาย

### (ก) $x^3 + y^3 = 6xy$ หา $dy/dx$ (ข) แสดงความสัมพันธ์วัฏจักรของแก๊สอุดมคติ $\left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_T\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P\left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_V = -1$

- (ก) $F = x^3 + y^3 - 6xy$ · $F_x = 3x^2 - 6y$ · $F_y = 3y^2 - 6x$

- $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y} = -\dfrac{3x^2 - 6y}{3y^2 - 6x} = \dfrac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$

- (ข) จาก $PV = nRT$: $\left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_T = -\dfrac{nRT}{V^2}$ · $\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P = \dfrac{nR}{P}$ · $\left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_V = \dfrac{V}{nR}$

- คูณกัน: $-\dfrac{nRT}{V^2}\cdot\dfrac{nR}{P}\cdot\dfrac{V}{nR} = -\dfrac{nRT}{PV} = -1$ (เพราะ $PV = nRT$) · ไม่ใช่ $+1$ อย่างที่เข้าใจผิดจากการ “ตัด” $\partial$

(ก) $dy/dx = \dfrac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$ · (ข) ผลคูณ $= -1$

### เมทริกซ์จาโคเบียน (Jacobian Matrix)

เมื่อมีฟังก์ชันหลายตัวพร้อมกัน เช่นพิกัดใหม่ $(u, v)$ จากพิกัดเดิม $(x, y)$ หรือตำแหน่งปลายแขนกลจากมุมข้อต่อ จัดอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดเป็นเมทริกซ์เดียว เรียกว่าเมทริกซ์จาโคเบียน (Jacobian matrix) ซึ่งเป็น “อนุพันธ์” ของการแปลง และเป็นตัวที่ปรากฏทั้งในการเปลี่ยนตัวแปรของอินทิกรัลหลายชั้นและในจลนศาสตร์ของแขนกล

P19 Jacobian matrix เมทริกซ์จาโคเบียน

$$\mathbf F(u, v) = \big(x(u,v),\, y(u,v)\big) \ \Rightarrow\ \mathbf J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{pmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{pmatrix},\qquad \Delta \mathbf F \approx \mathbf J\,\Delta(u, v)^{\!\top}$$

$\lvert\det\mathbf J\rvert$ = ตัวคูณพื้นที่ท้องถิ่น · ตัวอย่างพิกัดขั้ว $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$: $\det\mathbf J = r$ (แล็บ Jacobian ในบทอินทิกรัล)

## นำไปใช้ในงานวิศวกรรม พื้นฐาน

| สาขา | อนุพันธ์ย่อยที่ใช้ | ความหมาย |

| ไฟฟ้า | $\partial P/\partial V,\ \partial P/\partial R$ ของ $P = V^2/R$ | ความไวของกำลังต่อแรงดันและความต้านทาน (sensitivity) |

| ไฟฟ้า | $E_x = -\partial V/\partial x$ | สนามไฟฟ้าจากศักย์ (บทไฟฟ้า) |

| เครื่องกล | $(\partial P/\partial T)_V,\ (\partial U/\partial T)_V = C_v$ | สมบัติแก๊ส ความร้อนจำเพาะ |

| เครื่องกล | $\partial T/\partial x$ ในกฎของฟูริเยร์ | ฟลักซ์ความร้อน (บทเครื่องกล) |

| โยธา | $\partial h/\partial x,\ \partial h/\partial y$ ของภูมิประเทศ | ความลาดชันและทิศน้ำไหล (บทโยธา) |

| โยธา | $\partial\delta/\partial w,\ \partial\delta/\partial L$ ของการโก่งตัว | ตัวแปรใดต้องคุมความแม่นยำมากสุด |

| ทุกสาขา | $\partial J/\partial a,\ \partial J/\partial b$ ของฟังก์ชันค่าความผิดพลาด | การหาพารามิเตอร์ที่พอดีที่สุด (กำลังสองน้อยสุด) |

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- ลืมว่าตัวแปรอื่นเป็นค่าคงที่ เช่นหา $\partial/\partial x$ ของ $x y^2$ แล้วได้ $2xy$ · ที่ถูกคือ $y^2$

- “ตัด” $\partial$ ในสูตรวัฏจักร เช่นเขียน $\dfrac{\partial P}{\partial V}\dfrac{\partial V}{\partial T}\dfrac{\partial T}{\partial P} = 1$ ซึ่งผิด (ได้ −1) เพราะตัวแปรที่ตรึงต่างกัน

- ใช้ประมาณเชิงเส้นไกลจากจุดสัมผัส ความผิดพลาดโตเป็นกำลังสองของระยะ ตรวจด้วยอนุพันธ์อันดับสอง

- รวมความคลาดเคลื่อนโดยไม่ใส่ค่าสัมบูรณ์ พจน์ลบอาจหักล้างกันได้ในสูตร จึงต้องใช้ $|f_x|\Delta x$ ในกรณีแย่สุด

- ลืมใส่หน่วย หน่วยของ $\partial f/\partial x$ คือหน่วยของ $f$ ต่อหน่วยของ $x$ · ใช้ตรวจคำตอบได้ทันที

ไปต่อที่เกรเดียนต์และอนุพันธ์ตามทิศ ซึ่งรวม $f_x$ กับ $f_y$ เป็นเวกเตอร์เดียว บอกทั้งทิศที่ชันที่สุดและความชันในทิศใดก็ได้

## คำถามที่พบบ่อย

อนุพันธ์ย่อย (partial derivative) หาอย่างไร?
ในการหา $\partial f/\partial x$ ให้มองตัวแปรอื่นทั้งหมด (เช่น $y$) เป็น “ค่าคงที่” แล้วหาอนุพันธ์ตาม $x$ ด้วยกฎของตัวแปรเดียวตามปกติ (กฎยกกำลัง ผลคูณ ผลหาร ลูกโซ่) ทำแบบเดียวกันกับ $y$ ตัวอย่าง $f = x^2 y + \sin(xy)$ ได้ $f_x = 2xy + y\cos(xy)$ และ $f_y = x^2 + x\cos(xy)$ เมื่อหาแล้วค่อยแทนจุดที่ต้องการ

อนุพันธ์ย่อยกับอนุพันธ์รวม (total derivative) ต่างกันอย่างไร?
อนุพันธ์ย่อยวัดการเปลี่ยนแปลงของ $f$ เมื่อเปลี่ยนตัวแปรเพียงตัวเดียวและตรึงตัวอื่นไว้ ส่วนอนุพันธ์รวม $df/dt$ วัดการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดเมื่อทุกตัวแปรเปลี่ยนไปตามเวลา คำนวณด้วยกฎลูกโซ่ $\dfrac{df}{dt} = f_x\dfrac{dx}{dt} + f_y\dfrac{dy}{dt}$ เช่นกำลัง $P(V, R)$ ที่แรงดันและความต้านทานต่างเปลี่ยนตามเวลา

ระนาบสัมผัสของ z = f(x, y) หาอย่างไร?
ที่จุด $(a, b)$ ระนาบสัมผัสคือ $z = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)$ ใช้ประมาณค่า $f$ ใกล้จุดนั้นได้ (linearization) เช่น $f = \sqrt{20 - x^2 - 7y^2}$ ที่ $(2, 1)$ ได้ $L = 3 - \tfrac23(x-2) - \tfrac73(y-1)$ และ $f(1.95, 1.08) \approx 2.847$ (ค่าจริง 2.834)

ทำไม f_xy = f_yx ? ต้องมีเงื่อนไขอะไร?
ทฤษฎีบทของแคลโร (Clairaut) บอกว่าถ้า $f_{xy}$ และ $f_{yx}$ ต่อเนื่องบนบริเวณเปิดที่ครอบจุดนั้น แล้วสองอนุพันธ์ผสมเท่ากัน ฟังก์ชันที่ใช้ในงานวิศวกรรมแทบทั้งหมดเรียบพอ จึงเลือกหาลำดับใดก่อนก็ได้ ใช้เป็นเครื่องมือตรวจคำตอบ และเป็นเกณฑ์ว่าสนามเวกเตอร์ $P\,\mathbf i + Q\,\mathbf j$ อนุรักษ์หรือไม่ ($P_y = Q_x$)

หา error propagation ของสูตรที่วัดหลายค่าอย่างไร?
ใช้ผลต่างรวม $\Delta f \approx |f_x|\Delta x + |f_y|\Delta y$ (ค่าแย่สุด) หรือ $\Delta f \approx \sqrt{(f_x\Delta x)^2 + (f_y\Delta y)^2}$ (RSS เมื่อความคลาดเคลื่อนอิสระกัน) เช่น $R = V/I$ เมื่อ $V = 12.0 \pm 0.1$ V และ $I = 2.00 \pm 0.02$ A ได้ $R = 6.00$ Ω และ $\Delta R \approx 0.05 + 0.06 = 0.11$ Ω แบบแย่สุด หรือ 0.078 Ω แบบ RSS

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**อนุพันธ์ย่อย (partial derivative) หาอย่างไร?**
ในการหา $\partial f/\partial x$ ให้มองตัวแปรอื่นทั้งหมด (เช่น $y$) เป็น “ค่าคงที่” แล้วหาอนุพันธ์ตาม $x$ ด้วยกฎของตัวแปรเดียวตามปกติ (กฎยกกำลัง ผลคูณ ผลหาร ลูกโซ่) ทำแบบเดียวกันกับ $y$ ตัวอย่าง $f = x^2 y + \sin(xy)$ ได้ $f_x = 2xy + y\cos(xy)$ และ $f_y = x^2 + x\cos(xy)$ เมื่อหาแล้วค่อยแทนจุดที่ต้องการ

**อนุพันธ์ย่อยกับอนุพันธ์รวม (total derivative) ต่างกันอย่างไร?**
อนุพันธ์ย่อยวัดการเปลี่ยนแปลงของ $f$ เมื่อเปลี่ยนตัวแปรเพียงตัวเดียวและตรึงตัวอื่นไว้ ส่วนอนุพันธ์รวม $df/dt$ วัดการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดเมื่อทุกตัวแปรเปลี่ยนไปตามเวลา คำนวณด้วยกฎลูกโซ่ $\dfrac{df}{dt} = f_x\dfrac{dx}{dt} + f_y\dfrac{dy}{dt}$ เช่นกำลัง $P(V, R)$ ที่แรงดันและความต้านทานต่างเปลี่ยนตามเวลา

**ระนาบสัมผัสของ z = f(x, y) หาอย่างไร?**
ที่จุด $(a, b)$ ระนาบสัมผัสคือ $z = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)$ ใช้ประมาณค่า $f$ ใกล้จุดนั้นได้ (linearization) เช่น $f = \sqrt{20 - x^2 - 7y^2}$ ที่ $(2, 1)$ ได้ $L = 3 - \tfrac23(x-2) - \tfrac73(y-1)$ และ $f(1.95, 1.08) \approx 2.847$ (ค่าจริง 2.834)

**ทำไม f_xy = f_yx ? ต้องมีเงื่อนไขอะไร?**
ทฤษฎีบทของแคลโร (Clairaut) บอกว่าถ้า $f_{xy}$ และ $f_{yx}$ ต่อเนื่องบนบริเวณเปิดที่ครอบจุดนั้น แล้วสองอนุพันธ์ผสมเท่ากัน ฟังก์ชันที่ใช้ในงานวิศวกรรมแทบทั้งหมดเรียบพอ จึงเลือกหาลำดับใดก่อนก็ได้ ใช้เป็นเครื่องมือตรวจคำตอบ และเป็นเกณฑ์ว่าสนามเวกเตอร์ $P\,\mathbf i + Q\,\mathbf j$ อนุรักษ์หรือไม่ ($P_y = Q_x$)

**หา error propagation ของสูตรที่วัดหลายค่าอย่างไร?**
ใช้ผลต่างรวม $\Delta f \approx |f_x|\Delta x + |f_y|\Delta y$ (ค่าแย่สุด) หรือ $\Delta f \approx \sqrt{(f_x\Delta x)^2 + (f_y\Delta y)^2}$ (RSS เมื่อความคลาดเคลื่อนอิสระกัน) เช่น $R = V/I$ เมื่อ $V = 12.0 \pm 0.1$ V และ $I = 2.00 \pm 0.02$ A ได้ $R = 6.00$ Ω และ $\Delta R \approx 0.05 + 0.06 = 0.11$ Ω แบบแย่สุด หรือ 0.078 Ω แบบ RSS

---

# อินทิกรัลบนผิว (Surface Integrals) ฟลักซ์ ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ (Gauss) และทฤษฎีบทสโตกส์ (Stokes)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/surface-integrals/
Updated: 2026-10-17
Summary: อินทิกรัลบนผิว (surface integral) ผิวพารามิเตอร์ พื้นที่ผิว dS = |r_u × r_v| du dv ฟลักซ์ (flux) ∬F·n dS ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ของเกาส์ (divergence theorem / Gauss) ทฤษฎีบทสโตกส์ (Stokes' theorem) กฎของเกาส์ กฎของฟาราเดย์ กฎของแอมแปร์และสมการแมกซ์เวลล์ พร้อมตัวอย่างจานรับสัญญาณ ท่อน้ำ และตัวตรวจ Gauss–Stokes ที่คำนวณทั้งสองฝั่ง

// บทที่ 24.9 · แคลคูลัสเวกเตอร์ · Surface Integrals, Gauss & Stokes

# อินทิกรัลบนผิว (Surface Integrals) ฟลักซ์ ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ (Gauss) และทฤษฎีบทสโตกส์ (Stokes)

อัตราการไหลของน้ำผ่านหน้าตัดท่อ พลังงานรังสีที่ตกบนจานรับสัญญาณ ฟลักซ์ไฟฟ้าที่ออกจากประจุ และแรงเคลื่อนไฟฟ้าที่เหนี่ยวนำรอบขดลวด ล้วนคืออินทิกรัลบนผิว (surface integral) หน้านี้สร้างเครื่องมือทีละชั้น: อธิบายผิวด้วยพารามิเตอร์ หาพื้นที่ผิว คำนวณฟลักซ์ แล้วจึงถึงสองทฤษฎีบทใหญ่ คือทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ของเกาส์ (ผิวปิด ↔ ปริมาตร) และทฤษฎีบทสโตกส์ (ขอบ ↔ ผิว) ซึ่งเป็นรากฐานของสมการแมกซ์เวลล์ มีตัวตรวจที่คำนวณทั้งสองฝั่งของทั้งสองทฤษฎีบทให้เห็นว่าเท่ากัน

สรุปใน 30 วินาที

- พื้นที่ผิว $dS = |\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,du\,dv$ · กราฟ $z = g(x,y)$: $dS = \sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\,dA$

- ฟลักซ์ $\Phi = \iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS = \iint\mathbf F\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv$ · ทิศ $\mathbf n$ ต้องกำหนด (ผิวปิดชี้ออก)

- Gauss: $\oiint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS = \iiint_E\nabla\cdot\mathbf F\,dV$ · Stokes: $\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS$

- ไฟฟ้า: Gauss → $\nabla\cdot\mathbf D = \rho_v$ · Stokes → $\nabla\times\mathbf E = -\partial_t\mathbf B$ (ฟาราเดย์) · แอมแปร์ $\oint\mathbf B\cdot d\mathbf l = \mu_0I$

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## ผิวพารามิเตอร์และพื้นที่ผิว กลาง

เส้นโค้งใช้พารามิเตอร์ตัวเดียว $t$ ผิวต้องใช้สองตัว $(u, v)$: $\mathbf r(u, v) = \langle x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v)\rangle$ กริดของเส้น $u$ คงที่และ $v$ คงที่ปูผิวนั้น เวกเตอร์ $\mathbf r_u = \partial\mathbf r/\partial u$ และ $\mathbf r_v$ สัมผัสผิวทั้งคู่ และผลคูณไขว้ $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ ตั้งฉากกับผิว ขนาดของมันคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเล็กบนผิว (เหมือนจาโคเบียนของช่องเล็กบนระนาบ $uv$ ที่ถูกแปลงขึ้นสู่ผิวในบทอินทิกรัลหลายชั้น)

ผิวพารามิเตอร์ (parametric surface) $\mathbf r(u, v)$: เวกเตอร์ $\mathbf r_u$ และ $\mathbf r_v$ สัมผัสผิว และ $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ เป็นเวกเตอร์ปกติที่มีขนาดเท่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเล็ก $dS$

S1 Surface area (parametric) พื้นที่ผิว (พารามิเตอร์)

$$\mathbf r(u,v) = \langle x, y, z\rangle,\quad \mathbf N = \mathbf r_u\times\mathbf r_v,\quad dS = |\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,du\,dv,\quad A(S) = \iint_D|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,du\,dv$$

$D$ = บริเวณของ $(u, v)$ · $\mathbf n = \mathbf N/|\mathbf N|$ · ทรงกลมรัศมี $a$: $\mathbf r = a\langle\sin u\cos v,\ \sin u\sin v,\ \cos u\rangle$ ได้ $dS = a^2\sin u\,du\,dv$ และ $A = 4\pi a^2$

S2 Surface area of a graph พื้นที่ผิวของกราฟ

$$z = g(x, y):\quad dS = \sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\,dA,\qquad A(S) = \iint_D\sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\,dA$$

มาจาก $\mathbf r(x, y) = \langle x, y, g\rangle$ → $\mathbf r_x\times\mathbf r_y = \langle -g_x, -g_y, 1\rangle$ · ตัวคูณ $\sqrt{1 + |\nabla g|^2} = 1/\cos\gamma$ ($\gamma$ = มุมระหว่างผิวกับระนาบ $xy$) ≥ 1 เสมอ

ตัวอย่าง S-1 · พื้นที่ผิวพาราโบลอยด์

### หาพื้นที่ผิวของ $z = x^2 + y^2$ ที่ $z \le 4$

- $g_x = 2x,\ g_y = 2y$ → $\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2} = \sqrt{1 + 4r^2}$ · บริเวณเงา: $r \le 2$

- $A = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^2\sqrt{1 + 4r^2}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\left[\dfrac{(1 + 4r^2)^{3/2}}{12}\right]_0^2$

- $= \dfrac{2\pi}{12}\left(17^{3/2} - 1\right) = \dfrac{\pi}{6}(70.093 - 1) = \dfrac{\pi}{6}(69.093) = 36.18$ (ผิวใหญ่กว่าแผ่นวงกลมเงา $\pi\cdot4 = 12.57$ เพราะชัน)

$A = \dfrac{\pi}{6}\left(17\sqrt{17} - 1\right) \approx 36.18$ หน่วยพื้นที่

ตัวอย่าง S-2 · พื้นที่ผิวจานรับสัญญาณดาวเทียม (ไฟฟ้า / เครื่องกล)

### จานพาราโบลาเส้นผ่านศูนย์กลาง 1.2 m ระยะโฟกัส $f = 0.45$ m รูปผิว $z = \dfrac{x^2 + y^2}{4f}$ หาความลึกและพื้นที่ผิว (วัสดุเคลือบสะท้อน)

- ความลึกที่ขอบ $r = R = 0.6$: $z = \dfrac{R^2}{4f} = \dfrac{0.36}{1.8} = 0.20$ m

- $g_x = \dfrac{x}{2f},\ g_y = \dfrac{y}{2f}$ → $\sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2} = \sqrt{1 + \dfrac{r^2}{4f^2}}$

- $A = 2\pi\displaystyle\int_0^R\sqrt{1 + \dfrac{r^2}{4f^2}}\,r\,dr = 2\pi\cdot\dfrac{4f^2}{3}\left[\left(1 + \dfrac{R^2}{4f^2}\right)^{3/2} - 1\right]$

- $4f^2 = 0.81$ · $R^2/4f^2 = 0.4444$ · $(1.4444)^{3/2} = 1.7359$ → $A = 2\pi(0.27)(0.7359) = 1.2486$ m² เทียบกับแผ่นเรียบ $\pi R^2 = 1.131$ m² (ใหญ่กว่า 10%)

ความลึก $0.20$ m · พื้นที่ผิว $A \approx 1.249$ m²

ตัวอย่าง S-3 · ทรงกลมด้วยพารามิเตอร์ และอินทิกรัลสเกลาร์

### (ก) แสดงว่าพื้นที่ผิวทรงกลมรัศมี $a$ คือ $4\pi a^2$ (ข) หา $\iint_S z\,dS$ บนซีกบนของทรงกลม และความสูงเฉลี่ยของเปลือกซีก

- (ก) $\mathbf r_u = a\langle\cos u\cos v,\ \cos u\sin v,\ -\sin u\rangle$ · $\mathbf r_v = a\langle-\sin u\sin v,\ \sin u\cos v,\ 0\rangle$

- $\mathbf r_u\times\mathbf r_v = a^2\sin u\,\langle\sin u\cos v,\ \sin u\sin v,\ \cos u\rangle$ (ชี้ออกนอก) · $|\,\cdot\,| = a^2\sin u$ · $A = \int_0^{2\pi}\!\int_0^\pi a^2\sin u\,du\,dv = 4\pi a^2$

- (ข) บนทรงกลม $z = a\cos u$ ซีกบน $0 \le u \le \pi/2$: $\displaystyle\iint z\,dS = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}(a\cos u)\,a^2\sin u\,du\,dv = a^3\cdot2\pi\cdot\dfrac12 = \pi a^3$

- พื้นที่ซีก $= 2\pi a^2$ → ความสูงเฉลี่ย $\bar z = \dfrac{\pi a^3}{2\pi a^2} = \dfrac{a}{2}$ (จุดศูนย์กลางมวลของเปลือกซีกอยู่ที่ครึ่งรัศมี ต่างจากซีกตัน $3a/8$)

(ก) $A = 4\pi a^2$ · (ข) $\iint z\,dS = \pi a^3$, $\bar z = a/2$

## ฟลักซ์ผ่านผิว (Flux) กลาง

ฟลักซ์ของ $\mathbf F$ ผ่านผิว $S$ วัดว่าสนามไหลผ่านผิวเท่าไรต่อหน่วยเวลา ถ้า $\mathbf F = \mathbf v$ (ความเร็วของน้ำ) ฟลักซ์คืออัตราการไหลเชิงปริมาตร (m³/s) เฉพาะองค์ประกอบที่ตั้งฉากกับผิว $\mathbf F\cdot\mathbf n$ ส่งผ่านจริง องค์ประกอบขนานผิวเฉียดผ่านโดยไม่เข้า ดังนั้นต้องเลือกทิศของ $\mathbf n$ (ผิวปิดมักเลือกชี้ออกนอก ผิวกราฟมักเลือกชี้ขึ้น) กลับทิศ $\mathbf n$ ฟลักซ์เปลี่ยนเครื่องหมาย

S3 Scalar surface integral อินทิกรัลบนผิวของฟังก์ชันสเกลาร์

$$\iint_S f\,dS = \iint_D f\big(\mathbf r(u,v)\big)\,|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,du\,dv,\qquad m = \iint_S\sigma\,dS$$

เช่นมวลของเปลือกบางที่ความหนาแน่นผิว $\sigma$ หรือประจุรวมบนผิว · ไม่ขึ้นกับทิศของ $\mathbf n$

S4 Flux through a surface ฟลักซ์ผ่านผิว

$$\Phi = \iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS = \iint_D\mathbf F\big(\mathbf r(u,v)\big)\cdot\big(\mathbf r_u\times\mathbf r_v\big)\,du\,dv$$

ใช้ $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ ทั้งก้อน (ไม่ต้องทำเป็นหนึ่งหน่วย เพราะขนาดของมันคือ $dS$ อยู่แล้ว) · ถ้า $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ ชี้ผิดทิศที่ต้องการ ให้เติมเครื่องหมายลบ · ผิวปิด $\oiint$

S5 Flux through a graph (upward) ฟลักซ์ผ่านกราฟ (ทิศขึ้น)

$$z = g(x, y),\ \mathbf n\ \text{ขึ้น}:\quad \Phi = \iint_D\big(-P\,g_x - Q\,g_y + R\big)\,dA,\qquad \mathbf F = \langle P, Q, R\rangle \text{ ประเมินที่ } (x, y, g(x,y))$$

มาจาก $\mathbf r_x\times\mathbf r_y = \langle -g_x, -g_y, 1\rangle$ ซึ่งชี้ขึ้น · ผิวทรงกระบอก/ผนังตั้งให้ใช้พารามิเตอร์ ($\theta, z$) แทน

ตัวอย่าง S-4 · ฟลักซ์ผ่านทรงกลม

### $\mathbf F = \langle x, y, z\rangle$ หาฟลักซ์ออกผ่านทรงกลมรัศมี $a$

- บนทรงกลม $\mathbf F = \mathbf r = a\hat{\mathbf r}$ และ $\mathbf n = \hat{\mathbf r}$ จึง $\mathbf F\cdot\mathbf n = a$ คงที่ทั้งผิว

- $\Phi = a\iint dS = a\cdot4\pi a^2 = 4\pi a^3$

- ตรวจด้วยพารามิเตอร์: บนผิว $\mathbf F = a\,\hat{\mathbf r}$ และ $\mathbf r_u\times\mathbf r_v = a^2\sin u\,\hat{\mathbf r}$ ($\hat{\mathbf r} = \langle\sin u\cos v,\ \sin u\sin v,\ \cos u\rangle$) ดอตกันได้ $a\cdot a^2\sin u$ → $\int_0^{2\pi}\!\int_0^\pi a^3\sin u\,du\,dv = 4\pi a^3$ ✓

$\Phi = 4\pi a^3$ (และจะได้ค่าเดียวกันจากทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ใน S-7)

ตัวอย่าง S-5 · ฟลักซ์ผ่านระนาบเอียง

### $\mathbf F = \langle x, y, z\rangle$ หาฟลักซ์ขึ้นผ่านส่วนของระนาบ $x + y + z = 1$ ในอ็อกแทนต์แรก

- เป็นกราฟ $z = g(x, y) = 1 - x - y$ · $g_x = g_y = -1$ · บริเวณเงา: สามเหลี่ยม $x, y \ge 0,\ x + y \le 1$

- $-Pg_x - Qg_y + R = -x(-1) - y(-1) + z = x + y + (1 - x - y) = 1$

- $\Phi = \iint_D1\,dA = \text{พื้นที่สามเหลี่ยม} = \dfrac12$

- เหตุผลเรขาคณิต: $\mathbf F\cdot\mathbf n$ บนระนาบเท่ากับระยะจากจุดกำเนิดถึงระนาบ $= 1/\sqrt3$ คงที่ และพื้นที่ผิวของสามเหลี่ยมเอียง $= \sqrt3/2$ → $\Phi = \dfrac{1}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac12$ ✓

$\Phi = \dfrac12$

ตัวอย่าง S-6 · อัตราการไหลในท่อ (เครื่องกล / โยธา)

### น้ำไหลแบบราบเรียบในท่อกลมรัศมี $R = 50$ mm มีโปรไฟล์ความเร็ว $v(r) = v_{\max}\left(1 - \dfrac{r^2}{R^2}\right)$ เมื่อ $v_{\max} = 1.2$ m/s หาอัตราการไหลเชิงปริมาตรและความเร็วเฉลี่ย

- หน้าตัดเป็นแผ่นวงกลมตั้งฉากกับการไหล $\mathbf n = \hat{\mathbf z}$ ฟลักซ์ = $\iint v\,dA$

- พิกัดขั้ว: $Q = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^R v_{\max}\left(1 - \dfrac{r^2}{R^2}\right)r\,dr\,d\theta = 2\pi v_{\max}\left[\dfrac{R^2}{2} - \dfrac{R^2}{4}\right] = \dfrac{\pi R^2v_{\max}}{2}$

- ตัวเลข: $Q = \dfrac{\pi(0.05)^2(1.2)}{2} = 4.712\times10^{-3}$ m³/s = 4.71 L/s

- ความเร็วเฉลี่ย $\bar v = Q/(\pi R^2) = v_{\max}/2 = 0.6$ m/s (ค่าที่มิเตอร์วัดการไหลอ่านจากอัตราไหลหารพื้นที่)

$Q = 4.71$ L/s · $\bar v = 0.6$ m/s = ครึ่งหนึ่งของ $v_{\max}$

## ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ของเกาส์ (Divergence Theorem) ขั้นสูง

ลองนึกถึงห้องที่มีเครื่องทำอากาศไหลออกจากเครื่อง ลมที่ไหลออกทางประตูและหน้าต่างทั้งหมดเท่ากับลมที่เครื่องปล่อยออกมาภายในห้อง นี่คือสาระของทฤษฎีบท: ฟลักซ์ออกสุทธิผ่านผิวปิด = ผลรวมของดีเวอร์เจนซ์ (แหล่งกำเนิด) ภายในปริมาตร ความจริงนี้ใช้แปลงอินทิกรัลบนผิวที่ยาก (หลายหน้า) เป็นอินทิกรัลสามชั้นเดียว หรือกลับกัน

S6 Divergence theorem (Gauss) ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ (เกาส์)

$$\oiint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS = \iiint_E\nabla\cdot\mathbf F\,dV \qquad(\mathbf n\ \text{ชี้ออกนอก } E,\ \ \partial E = S)$$

ต้องการ $\mathbf F$ เรียบ (มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่อง) ทั่วทั้ง $E$ รวมภายใน — ถ้ามีจุดที่ $\mathbf F$ ไม่นิยามข้างใน (เช่นประจุจุดที่ $r = 0$) ทฤษฎีบทใช้ตรง ๆ ไม่ได้ · เป็นรูป 3 มิติของทฤษฎีบทกรีนฟลักซ์ (L7)

S7 Gauss's law (electrostatics) กฎของเกาส์ (ไฟฟ้าสถิต)

$$\oiint_S\mathbf E\cdot\mathbf n\,dS = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}\ \ \Longleftrightarrow\ \ \nabla\cdot\mathbf E = \frac{\rho_v}{\varepsilon_0}$$

สองรูปเชื่อมกันด้วยทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ (ใช้ $Q = \iiint\rho_v\,dV$) · ใช้หาสนามโดยตรงเมื่อมีความสมมาตร (ทรงกลม ทรงกระบอก ระนาบ) เลือกผิวเกาส์ให้ $\mathbf E\cdot\mathbf n$ คงที่

### ตัวตรวจ Gauss และ Stokes: คำนวณสองฝั่งให้ดู

โหมด Gauss คำนวณฟลักซ์ผ่านทุกหน้าของผิวปิด (ทรงกลม ลูกบาศก์ ทรงกระบอก) แล้วเทียบกับ $\iiint\nabla\cdot\mathbf F\,dV$ ตัวอย่างสุดท้าย $\mathbf F = \mathbf r/\rho^3$ (ประจุจุด) แสดงกรณีที่ทฤษฎีบท “ล้มเหลว” เพราะ $\mathbf F$ ไม่นิยามที่จุดกำเนิด ให้ฟลักซ์ $4\pi$ ทั้งที่ $\nabla\cdot\mathbf F = 0$ ทุกที่ที่นิยาม · แท็บ Stokes อยู่ในหัวข้อถัดไป

ทฤษฎีบทเกาส์ (ผิวปิด S ล้อมปริมาตร E · $\mathbf n$ ชี้ออก) เทียบกับทฤษฎีบทสโตกส์ (ผิวเปิด S ที่มีขอบ C · ทิศ $\mathbf n$ สัมพันธ์กับทิศวนของ C ตามกฎมือขวา)

ตัวอย่าง S-7 · ใช้ทฤษฎีบทแทนอินทิกรัลผิวหกหน้า

### (ก) ทรงกลม: $\mathbf F = \langle x, y, z\rangle$ (ข) ลูกบาศก์หนึ่งหน่วย $[0,1]^3$: $\mathbf F = \langle x^2, y^2, z^2\rangle$ หาฟลักซ์ออกรวม

- (ก) $\nabla\cdot\mathbf F = 3$ · $\iiint3\,dV = 3\cdot\dfrac{4\pi a^3}{3} = 4\pi a^3$ ตรงกับ S-4 ที่คำนวณฟลักซ์บนผิวโดยตรง ✓

- (ข) $\nabla\cdot\mathbf F = 2x + 2y + 2z$ · $\iiint_{[0,1]^3}2(x + y + z)\,dV = 2\left(\tfrac12 + \tfrac12 + \tfrac12\right) = 3$

- ตรวจโดยตรง (ข): หน้า $x = 1$ ให้ $\iint x^2\,dy\,dz = 1$, หน้า $x = 0$ ให้ 0 · ทำนองเดียวกันสำหรับ $y$ และ $z$ → $1 + 1 + 1 = 3$ ✓ (หกหน้าต้องบวกกัน แต่ทฤษฎีบทลดเหลืออินทิกรัลเดียว)

(ก) $\Phi = 4\pi a^3$ · (ข) $\Phi = 3$

ตัวอย่าง S-8 · ใช้กฎของเกาส์หาสนามไฟฟ้า (ไฟฟ้า)

### (ก) ประจุเส้นยาวอนันต์ $\lambda = 10$ nC/m หา $E$ ที่ระยะ 0.5 m (ข) ทรงกลมตันรัศมี $a = 0.1$ m มีประจุสม่ำเสมอ $\rho = 1\ \mu\text{C/m}^3$ หา $E$ ที่ $r = 0.05$ m และที่ผิว

- (ก) ผิวเกาส์: ทรงกระบอกรัศมี $r$ ยาว $L$ · ฟลักซ์ทะลุผนังข้างเท่านั้น $E\cdot2\pi rL = \dfrac{\lambda L}{\varepsilon_0}$ → $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$

- แทนค่า: $E = \dfrac{10\times10^{-9}}{2\pi(8.854\times10^{-12})(0.5)} = 359.5$ V/m (ชี้ออกตามรัศมี)

- (ข) ผิวเกาส์ทรงกลมรัศมี $r < a$: $E\cdot4\pi r^2 = \dfrac{\rho\cdot\frac43\pi r^3}{\varepsilon_0}$ → $E = \dfrac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ (เพิ่มเป็นเส้นตรงตาม $r$)

- $r = 0.05$: $E = \dfrac{10^{-6}(0.05)}{3(8.854\times10^{-12})} = 1882$ V/m · ที่ผิว $r = a = 0.1$: $E = 3765$ V/m

- ตรวจที่ผิวด้วยกฎของคูลอมบ์: $Q = \rho\cdot\frac43\pi a^3 = 4.189\times10^{-9}$ C → $\dfrac{kQ}{a^2} = \dfrac{8.988\times10^{9}\times4.189\times10^{-9}}{0.01} = 3765$ V/m ✓ ต่อเนื่องที่ผิว

(ก) $E = 359.5$ V/m · (ข) $E(0.05) = 1882$ V/m, $E(a) = 3765$ V/m

## ทฤษฎีบทสโตกส์ (Stokes' Theorem) ขั้นสูง

ทฤษฎีบทกรีนเกี่ยวกับการหมุนวนรอบวงปิดในระนาบ สโตกส์ยกขึ้นเป็นสามมิติ: การหมุนวน ($\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r$) รอบขอบ $C$ ของผิวเปิด $S$ เท่ากับฟลักซ์ของ curl ผ่านผิว $S$ ผิวใดก็ได้ที่มีขอบเป็น $C$ (ผิวโค้งตะกร้า แผ่นเรียบ หรืออื่นใดให้ค่าเท่ากันทั้งหมด) นี่คือประโยชน์ใหญ่: เลือกผิวที่อินทิเกรตง่ายที่สุด ทิศ $\mathbf n$ ต้องสอดคล้องกับทิศวนของ $C$ ตามกฎมือขวา: ให้นิ้วทั้งสี่โค้งตามทิศวน $C$ นิ้วหัวแม่มือชี้ทางของ $\mathbf n$

S8 Stokes' theorem ทฤษฎีบทสโตกส์

$$\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS \qquad(\partial S = C,\ \text{ทิศตามกฎมือขวา})$$

ถ้า $S$ แบนอยู่ในระนาบ $xy$ จะลดเหลือทฤษฎีบทกรีน (L6) · $\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0$ ⇒ งานรอบวงปิดเป็น 0 (สนามอนุรักษ์) · เป็นที่มาของกฎของแอมแปร์และฟาราเดย์

S9 Ampère's and Faraday's laws กฎของแอมแปร์และฟาราเดย์

$$\oint_C\mathbf B\cdot d\mathbf l = \mu_0 I_{\text{enc}}\ \Leftrightarrow\ \nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J,\qquad \oint_C\mathbf E\cdot d\mathbf l = -\frac{d\Phi_B}{dt}\ \Leftrightarrow\ \nabla\times\mathbf E = -\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}$$

$I_{enc} = \iint\mathbf J\cdot\mathbf n\,dS$ · $\Phi_B = \iint\mathbf B\cdot\mathbf n\,dS$ · ข้อแรกเป็นกรณีสถิต (เพิ่ม $\mu_0\varepsilon_0\partial_t\mathbf E$ ในกรณีไดนามิก)

ลองในตัวตรวจ ข้างล่างเลือกแท็บ Stokes แล้วดูว่า “ครึ่งทรงกลม” “แผ่นวงกลม” และ “พาราโบลอยด์” ซึ่งมีขอบเป็นวงกลมเดียวกันที่ $z = 0$ ให้ $\iint(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS$ เท่ากันหมด และเท่ากับ $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r$ รอบวงกลม

ตัวอย่าง S-9 · เลือกผิวง่ายแทนผิวโค้ง

### $\mathbf F = \langle -y^2,\ x,\ z^2\rangle$ และ $C$ คือเส้นโค้งตัดกันของระนาบ $y + z = 2$ กับทรงกระบอก $x^2 + y^2 = 1$ (วนทวนเข็มเมื่อมองจากข้างบน) หา $\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$

- $\nabla\times\mathbf F = \langle 0 - 0,\ 0 - 0,\ 1 - (-2y)\rangle = \langle 0, 0, 1 + 2y\rangle$

- เลือกผิว $S$ = ส่วนของระนาบ $z = 2 - y$ ภายในทรงกระบอก (เป็นวงรี) · $g_x = 0,\ g_y = -1$ · $\mathbf n\,dS = \langle -g_x, -g_y, 1\rangle\,dA = \langle 0, 1, 1\rangle\,dA$ (ชี้ขึ้น)

- $(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS = (1 + 2y)\cdot1\,dA$ · บริเวณเงา: แผ่นวงกลมรัศมี 1

- $\displaystyle\oint_C = \iint_{x^2+y^2\le1}(1 + 2y)\,dA = \pi + 2\iint y\,dA = \pi + 0 = \pi$ ($\iint y\,dA = 0$ โดยสมมาตร)

- ถ้าอินทิเกรตเส้นตรง ๆ ต้องพารามิเตอร์ $\langle\cos t, \sin t, 2 - \sin t\rangle$ แล้วคำนวณ $\int(-\sin^2t)(-\sin t) + \cos t\cos t + (2-\sin t)^2(-\cos t)\,dt$ ซึ่งยาวกว่าอย่างเห็นได้ชัด — และได้ $\pi$ เช่นกัน

$\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \pi$

ตัวอย่าง S-10 · แรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนำ (ไฟฟ้า)

### ห่วงลวดวงกลมรัศมี 5 cm วางตั้งฉากกับสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ $B(t) = B_0\sin\omega t$ เมื่อ $B_0 = 0.2$ T ความถี่ 50 Hz หาค่าแรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนำสูงสุด

- ฟลักซ์แม่เหล็ก $\Phi_B = \iint\mathbf B\cdot\mathbf n\,dS = B(t)\cdot\pi r^2 = \pi(0.05)^2B_0\sin\omega t = 7.854\times10^{-3}\times0.2\sin\omega t = 1.571\times10^{-3}\sin\omega t$ Wb

- กฎของฟาราเดย์ (จากสโตกส์): $\mathcal E = \oint\mathbf E\cdot d\mathbf l = -\dfrac{d\Phi_B}{dt} = -\omega\Phi_{\max}\cos\omega t$

- $\omega = 2\pi\times50 = 314.16$ rad/s · $\mathcal E_{\max} = 314.16\times1.571\times10^{-3} = 0.4935$ V

- ตีความ: สนามไฟฟ้า $\mathbf E$ ที่เกิดขึ้นรอบห่วงมี $\nabla\times\mathbf E \ne \mathbf 0$ จึงไม่อนุรักษ์ — นี่คือกลไกของหม้อแปลงและเครื่องกำเนิดไฟฟ้า (ค่าสูงสุด 0.49 V ต่อหนึ่งรอบ ขดลวด $N$ รอบได้ $N$ เท่า)

$\Phi_{\max} = 1.571$ mWb · $\mathcal E_{\max} \approx 0.494$ V ต่อรอบ

ตัวอย่าง S-11 · สนามแม่เหล็กรอบสายไฟ (ไฟฟ้า)

### สายไฟตรงยาวมากนำกระแส 100 A หา $B$ ที่ระยะ 2 m ด้วยกฎของแอมแปร์

- วงแอมแปร์: วงกลมรัศมี $r$ รอบสายไฟ · โดยสมมาตร $\mathbf B$ สัมผัสวงและขนาดคงที่ → $\oint\mathbf B\cdot d\mathbf l = B(2\pi r)$

- $B(2\pi r) = \mu_0I$ → $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$

- $B = \dfrac{(4\pi\times10^{-7})(100)}{2\pi(2)} = 1.0\times10^{-5}$ T = 10 µT (ประมาณ 1/5 ของสนามแม่เหล็กโลกที่ ~50 µT)

- ข้อสังเกต: ในแบบอนุพันธ์ $\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J$ ตรวจได้ว่า $\nabla\times\mathbf B = \mathbf 0$ นอกสายไฟ แต่ $\oint\mathbf B\cdot d\mathbf l \ne 0$ รอบสาย — ตัวอย่างของบริเวณที่มีรู (สนามนี้มีรูปแบบเดียวกับ $\langle -y, x\rangle/(x^2+y^2)$ ในบทสนามเวกเตอร์)

$B = \mu_0I/(2\pi r) = 10\ \mu\text{T}$ ที่ 2 m จากสาย 100 A

## สรุปสมการแมกซ์เวลล์: Gauss และ Stokes ในรูปที่ใช้จริง ขั้นสูง

สมการแมกซ์เวลล์สี่ข้อเขียนได้สองรูป รูปปริพันธ์ (บนผิวและเส้น) และรูปอนุพันธ์ (ที่จุด) ทั้งสองรูปเชื่อมกันด้วยทฤษฎีบทเกาส์ (ข้อ 1–2) และสโตกส์ (ข้อ 3–4) ซึ่งเป็นเหตุผลที่แคลคูลัสเวกเตอร์เป็นภาษาของแม่เหล็กไฟฟ้า

| กฎ | รูปปริพันธ์ (integral) | รูปอนุพันธ์ (differential) | ทฤษฎีบทที่ใช้ |

| เกาส์ (ไฟฟ้า) | $\oiint\mathbf D\cdot d\mathbf S = Q_{enc}$ | $\nabla\cdot\mathbf D = \rho_v$ | ดีเวอร์เจนซ์ |

| เกาส์ (แม่เหล็ก) | $\oiint\mathbf B\cdot d\mathbf S = 0$ | $\nabla\cdot\mathbf B = 0$ | ดีเวอร์เจนซ์ |

| ฟาราเดย์ | $\oint\mathbf E\cdot d\mathbf l = -\dfrac{d}{dt}\iint\mathbf B\cdot d\mathbf S$ | $\nabla\times\mathbf E = -\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}$ | สโตกส์ |

| แอมแปร์–แมกซ์เวลล์ | $\oint\mathbf H\cdot d\mathbf l = I_{enc} + \dfrac{d}{dt}\iint\mathbf D\cdot d\mathbf S$ | $\nabla\times\mathbf H = \mathbf J + \dfrac{\partial\mathbf D}{\partial t}$ | สโตกส์ |

เพิ่มเติมที่ บทแคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมไฟฟ้า มีแล็บประจุจุดที่ตรวจกฎของเกาส์ด้วยทรงกลมเกาส์ที่ลากได้ และการหาสมการคลื่นจากสมการข้างบน

## นำไปใช้ในงานวิศวกรรม พื้นฐาน

| สาขา | อินทิกรัลบนผิว | ผลลัพธ์ |

| ไฟฟ้า | $\Phi_E = \oiint\mathbf E\cdot d\mathbf S$ | ประจุภายในผิวปิด (กฎของเกาส์) · สนามของเส้น/ระนาบ/ทรงกลมประจุ |

| ไฟฟ้า | $\Phi_B = \iint\mathbf B\cdot d\mathbf S$ | ฟลักซ์แม่เหล็กในแกนเหล็ก · $\mathcal E = -N\,d\Phi_B/dt$ ของหม้อแปลง |

| ไฟฟ้า | $\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H,\ P = \oiint\mathbf S\cdot d\mathbf A$ | กำลังที่ไหลผ่านผิว (เวกเตอร์พอยน์ติง) เช่นกำลังที่แผ่ออกจากเสาอากาศ |

| เครื่องกล | $Q = \iint\mathbf v\cdot\mathbf n\,dA$ | อัตราการไหลเชิงปริมาตรผ่านท่อ/หน้าตัด (ตัวอย่าง S-6) |

| เครื่องกล | $\dot Q = \iint\mathbf q\cdot\mathbf n\,dA$ | อัตราการถ่ายเทความร้อนผ่านผิว ($\mathbf q = -k\nabla T$) · ทั้งผิวปิดรอบวัตถุ = พลังงานความร้อนที่ผลิต |

| เครื่องกล | $A = \iint dS$ | พื้นที่ผิวเคลือบ/ทาสี/แลกเปลี่ยนความร้อน (ตัวอย่าง S-1, S-2) |

| โยธา | $F = \iint p\,\mathbf n\,dS$ | แรงดันน้ำสุทธิบนผิวโค้งของเขื่อนหรือประตูน้ำ (บทโยธา) |

| โยธา | $Q = \iint\mathbf v\cdot\mathbf n\,dS$ | ปริมาณน้ำซึมผ่านดิน $\mathbf v = -K\nabla h$ · ปริมาณน้ำท่าผ่านหน้าตัดลำน้ำ |

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- ทิศ $\mathbf n$ ผิด · ผิวปิดต้องชี้ออกนอก · ผิวเปิดต้องสัมพันธ์กับทิศวนของขอบด้วยกฎมือขวา (เครื่องหมายผิดทั้งคำตอบ)

- ทำ $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ เป็นหนึ่งหน่วยก่อนคำนวณฟลักซ์ · ไม่ต้อง: ขนาดของมันคือ $dS$ อยู่แล้ว (ต่างจากอนุพันธ์ตามทิศที่ต้องทำเป็นหนึ่งหน่วย)

- ลืมปิดผิว เมื่อใช้ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ · ผิวทรงกระบอกต้องรวมฝาบนและล่าง (ถ้าผิวไม่ปิด ต้องเพิ่มผิวปิดแล้วลบออก)

- ใช้ทฤษฎีบทเกาส์เมื่อ $\mathbf F$ ไม่นิยามภายใน · ตัวอย่างประจุจุด $\mathbf r/\rho^3$ ให้ $\nabla\cdot\mathbf F = 0$ แต่ฟลักซ์ $= 4\pi$

- สับสนเกาส์ กรีน สโตกส์ · เกาส์: ผิวปิด↔ปริมาตร (div) · กรีน: เส้นปิดในระนาบ↔บริเวณ · สโตกส์: เส้นปิดในอวกาศ↔ผิวเปิด (curl)

ไปต่อที่หน้าการประยุกต์: วิศวกรรมไฟฟ้า · วิศวกรรมเครื่องกล · วิศวกรรมโยธา

## คำถามที่พบบ่อย

ฟลักซ์ (flux) ของสนามเวกเตอร์ผ่านผิวคืออะไร?
ฟลักซ์ $\Phi = \iint_S \mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$ คืออัตราที่สนามไหลผ่านผิว S เมื่อ $\mathbf n$ เป็นเวกเตอร์ปกติหนึ่งหน่วย เมื่อ $\mathbf F$ เป็นความเร็วของน้ำ ฟลักซ์คืออัตราการไหลเชิงปริมาตร (m³/s) เมื่อ $\mathbf F$ เป็นสนามไฟฟ้า ฟลักซ์คือ $\Phi_E$ ในกฎของเกาส์ เฉพาะองค์ประกอบของสนามที่ตั้งฉากกับผิวเท่านั้นที่ส่งผ่าน องค์ประกอบที่ขนานผิวไหลเฉียดไม่ผ่าน ฟลักซ์เป็นบวกเมื่อไหลไปทางเดียวกับ $\mathbf n$

ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ (divergence theorem) ของเกาส์บอกอะไร?
ฟลักซ์ออกสุทธิผ่านผิวปิด S เท่ากับผลรวมของดีเวอร์เจนซ์ภายในปริมาตรที่ล้อม $\oiint_S \mathbf F\cdot\mathbf n\,dS = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf F\,dV$ $\mathbf n$ ชี้ออกนอก ความหมายคือ “สิ่งที่ไหลออกทางผิว = สิ่งที่ถูกสร้างขึ้นภายใน” ใช้เปลี่ยนอินทิกรัลบนผิวหกหน้าให้เป็นอินทิกรัลสามชั้นเดียว เช่น $\mathbf F = \langle x, y, z\rangle$ ผ่านทรงกลมรัศมี $a$ ได้ $\iiint 3\,dV = 4\pi a^3$ และเป็นที่มาของกฎของเกาส์ในไฟฟ้าสถิต

ทฤษฎีบทสโตกส์ (Stokes' theorem) ใช้ทำอะไร?
เชื่อมการหมุนวนรอบเส้นปิด C กับ curl ที่ผ่านผิวใดก็ได้ S ที่มี C เป็นขอบ: $\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS$ โดยทิศ $\mathbf n$ สัมพันธ์กับทิศวน C ตามกฎมือขวา ผลคือเลือกผิวที่คำนวณง่ายที่สุดได้ (เช่นแผ่นเรียบแทนผิวโค้ง) และเป็นที่มาของกฎของแอมแปร์และกฎของฟาราเดย์ในรูปอนุพันธ์ ถ้า $\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0$ ทั้งสองฝั่งเป็นศูนย์ ตรงกับสนามอนุรักษ์

ทฤษฎีบทของกรีน เกาส์ และสโตกส์ต่างกันอย่างไร?
ทั้งสามเป็นรูปแบบของทฤษฎีบทมูลฐานแบบเดียวกัน (อินทิกรัลของอนุพันธ์บนบริเวณ = อินทิกรัลของฟังก์ชันบนขอบ) กรีนใช้กับบริเวณในระนาบและขอบเป็นเส้นปิด (curl หรือ div ในสองมิติ) สโตกส์ยกกรีนขึ้นสามมิติ: ผิวในอวกาศและขอบเป็นเส้นปิด (curl) ส่วนเกาส์ (ดีเวอร์เจนซ์) ใช้กับปริมาตรสามมิติและขอบเป็นผิวปิด (div) ตัวแปรเดียวก็คือทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส $\int_a^b F'\,dx = F(b) - F(a)$

สมการแมกซ์เวลล์ (Maxwell's equations) เกี่ยวกับ Gauss และ Stokes อย่างไร?
สมการทั้งสี่เขียนได้สองรูปที่เชื่อมกันด้วยสองทฤษฎีบทนี้ รูปปริพันธ์ (ผิว/เส้น) กับรูปอนุพันธ์ (จุด) ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์แปลงกฎของเกาส์ $\oiint\mathbf D\cdot d\mathbf S = Q$ เป็น $\nabla\cdot\mathbf D = \rho_v$ และ $\oiint\mathbf B\cdot d\mathbf S = 0$ เป็น $\nabla\cdot\mathbf B = 0$ ส่วนทฤษฎีบทสโตกส์แปลงกฎของฟาราเดย์ $\oint\mathbf E\cdot d\mathbf l = -d\Phi_B/dt$ เป็น $\nabla\times\mathbf E = -\partial\mathbf B/\partial t$ และกฎของแอมแปร์ในทำนองเดียวกัน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ฟลักซ์ (flux) ของสนามเวกเตอร์ผ่านผิวคืออะไร?**
ฟลักซ์ $\Phi = \iint_S \mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$ คืออัตราที่สนามไหลผ่านผิว S เมื่อ $\mathbf n$ เป็นเวกเตอร์ปกติหนึ่งหน่วย เมื่อ $\mathbf F$ เป็นความเร็วของน้ำ ฟลักซ์คืออัตราการไหลเชิงปริมาตร (m³/s) เมื่อ $\mathbf F$ เป็นสนามไฟฟ้า ฟลักซ์คือ $\Phi_E$ ในกฎของเกาส์ เฉพาะองค์ประกอบของสนามที่ตั้งฉากกับผิวเท่านั้นที่ส่งผ่าน องค์ประกอบที่ขนานผิวไหลเฉียดไม่ผ่าน ฟลักซ์เป็นบวกเมื่อไหลไปทางเดียวกับ $\mathbf n$

**ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ (divergence theorem) ของเกาส์บอกอะไร?**
ฟลักซ์ออกสุทธิผ่านผิวปิด S เท่ากับผลรวมของดีเวอร์เจนซ์ภายในปริมาตรที่ล้อม $\oiint_S \mathbf F\cdot\mathbf n\,dS = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf F\,dV$ $\mathbf n$ ชี้ออกนอก ความหมายคือ “สิ่งที่ไหลออกทางผิว = สิ่งที่ถูกสร้างขึ้นภายใน” ใช้เปลี่ยนอินทิกรัลบนผิวหกหน้าให้เป็นอินทิกรัลสามชั้นเดียว เช่น $\mathbf F = \langle x, y, z\rangle$ ผ่านทรงกลมรัศมี $a$ ได้ $\iiint 3\,dV = 4\pi a^3$ และเป็นที่มาของกฎของเกาส์ในไฟฟ้าสถิต

**ทฤษฎีบทสโตกส์ (Stokes' theorem) ใช้ทำอะไร?**
เชื่อมการหมุนวนรอบเส้นปิด C กับ curl ที่ผ่านผิวใดก็ได้ S ที่มี C เป็นขอบ: $\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS$ โดยทิศ $\mathbf n$ สัมพันธ์กับทิศวน C ตามกฎมือขวา ผลคือเลือกผิวที่คำนวณง่ายที่สุดได้ (เช่นแผ่นเรียบแทนผิวโค้ง) และเป็นที่มาของกฎของแอมแปร์และกฎของฟาราเดย์ในรูปอนุพันธ์ ถ้า $\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0$ ทั้งสองฝั่งเป็นศูนย์ ตรงกับสนามอนุรักษ์

**ทฤษฎีบทของกรีน เกาส์ และสโตกส์ต่างกันอย่างไร?**
ทั้งสามเป็นรูปแบบของทฤษฎีบทมูลฐานแบบเดียวกัน (อินทิกรัลของอนุพันธ์บนบริเวณ = อินทิกรัลของฟังก์ชันบนขอบ) กรีนใช้กับบริเวณในระนาบและขอบเป็นเส้นปิด (curl หรือ div ในสองมิติ) สโตกส์ยกกรีนขึ้นสามมิติ: ผิวในอวกาศและขอบเป็นเส้นปิด (curl) ส่วนเกาส์ (ดีเวอร์เจนซ์) ใช้กับปริมาตรสามมิติและขอบเป็นผิวปิด (div) ตัวแปรเดียวก็คือทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส $\int_a^b F'\,dx = F(b) - F(a)$

**สมการแมกซ์เวลล์ (Maxwell's equations) เกี่ยวกับ Gauss และ Stokes อย่างไร?**
สมการทั้งสี่เขียนได้สองรูปที่เชื่อมกันด้วยสองทฤษฎีบทนี้ รูปปริพันธ์ (ผิว/เส้น) กับรูปอนุพันธ์ (จุด) ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์แปลงกฎของเกาส์ $\oiint\mathbf D\cdot d\mathbf S = Q$ เป็น $\nabla\cdot\mathbf D = \rho_v$ และ $\oiint\mathbf B\cdot d\mathbf S = 0$ เป็น $\nabla\cdot\mathbf B = 0$ ส่วนทฤษฎีบทสโตกส์แปลงกฎของฟาราเดย์ $\oint\mathbf E\cdot d\mathbf l = -d\Phi_B/dt$ เป็น $\nabla\times\mathbf E = -\partial\mathbf B/\partial t$ และกฎของแอมแปร์ในทำนองเดียวกัน

---

# สนามเวกเตอร์ (Vector Fields): Gradient, Divergence, Curl และสนามอนุรักษ์ (Conservative Field)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/vector-fields/
Updated: 2026-10-17
Summary: สนามเวกเตอร์ (vector field) คืออะไร ตัวดำเนินการ ∇ (del) ดีเวอร์เจนซ์ (divergence) แสดงการแผ่ออก เคิร์ล (curl) แสดงการหมุน ลาปลาเซียน เอกลักษณ์ curl(grad f) = 0 และ div(curl F) = 0 สนามอนุรักษ์และฟังก์ชันศักย์ (potential function) เส้นกระแส พร้อมตัวอย่างไฟฟ้า ของไหล ความร้อน และแล็บสนามเวกเตอร์ที่วัด div curl บนวงกลม

// บทที่ 24.7 · แคลคูลัสเวกเตอร์ · Vector Fields

# สนามเวกเตอร์ (Vector Fields): Gradient, Divergence, Curl และสนามอนุรักษ์ (Conservative Field)

สนามไฟฟ้ารอบประจุ ความเร็วของน้ำในท่อ ฟลักซ์ความร้อนในแผ่นโลหะ และแรงโน้มถ่วง ล้วนเป็นสนามเวกเตอร์ (vector field) คือการผูกลูกศรหนึ่งตัวไว้กับทุกจุดในอวกาศ คำถามพื้นฐานสองข้อที่วิศวกรถามกับสนามใดก็ตามคือ “สนามนี้แผ่ออกหรือไหลเข้าที่จุดนี้หรือไม่” และ “สนามนี้หมุนวนรอบจุดนี้หรือไม่” คำตอบคือดีเวอร์เจนซ์ (divergence) และเคิร์ล (curl) ซึ่งเป็นหัวใจของสมการแมกซ์เวลล์และกลศาสตร์ของไหล หน้านี้มีแล็บที่ให้ลากจุดแล้ววัด div กับ curl จากอินทิกรัลบนวงกลมเล็กเพื่อเห็นความหมายจริงของสองตัวนี้

สรุปใน 30 วินาที

- ดีเวอร์เจนซ์ $\nabla\cdot\mathbf F = P_x + Q_y + R_z$ (สเกลาร์) = การแผ่ออกต่อปริมาตร · เคิร์ล $\nabla\times\mathbf F$ (เวกเตอร์) = การหมุนวนต่อพื้นที่ (ใน 2D: $Q_x - P_y$)

- $\nabla\times(\nabla f) = \mathbf 0$ และ $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F) = 0$ เสมอ · $\nabla\cdot\nabla f = \nabla^2 f$ (ลาปลาเซียน)

- อนุรักษ์ ⇔ $\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0$ (บริเวณไม่มีรู) ⇔ $\mathbf F = \nabla f$ ⇔ งานไม่ขึ้นกับเส้นทาง

- ไฟฟ้าสถิต: $\nabla\cdot\mathbf E = \rho/\varepsilon_0,\ \nabla\times\mathbf E = \mathbf 0$ · ของไหลไม่บีบอัด: $\nabla\cdot\mathbf v = 0$

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## สนามเวกเตอร์คืออะไร พื้นฐาน

สนามเวกเตอร์ (vector field) คือฟังก์ชันที่รับจุด $(x, y)$ หรือ $(x, y, z)$ แล้วให้เวกเตอร์ออกมา: $\mathbf F(x, y) = \langle P(x, y),\ Q(x, y)\rangle$ หรือ $\mathbf F = \langle P, Q, R\rangle$ ต่างจากฟังก์ชันสเกลาร์ที่ให้ตัวเลขตัวเดียวต่อจุด (อุณหภูมิ ศักย์ไฟฟ้า ความสูง) สนามเวกเตอร์ให้ทั้งขนาดและทิศ (สนามไฟฟ้า ความเร็วของไหล ฟลักซ์ความร้อน)

D1 Vector field สนามเวกเตอร์

$$\mathbf F(x, y, z) = P(x, y, z)\,\mathbf i + Q(x, y, z)\,\mathbf j + R(x, y, z)\,\mathbf k,\qquad \mathbf F: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$$

ตัวอย่าง: $\mathbf F = \langle -y, x\rangle$ (หมุนรอบจุดกำเนิด) · $\mathbf F = \langle x, y\rangle$ (พุ่งออก) · $\mathbf E = kq\,\mathbf r/r^3$ (ประจุจุด) · $\mathbf v = \langle x, -y\rangle$ (ไหลเข้ามุม)

D2 Gradient field สนามเกรเดียนต์

$$f(x, y, z) \ \longmapsto\ \nabla f = \langle f_x, f_y, f_z\rangle,\qquad \mathbf E = -\nabla V,\quad \mathbf q = -k\nabla T,\quad \mathbf v = -K\nabla h$$

ฟังก์ชันสเกลาร์ → สนามเวกเตอร์ (บทเกรเดียนต์) · สนามที่มาจากเกรเดียนต์เรียกสนามอนุรักษ์ มีฟังก์ชันศักย์ $f$

วาดสนามด้วยลูกศร ณ จุดตัวอย่างบนตาราง (ความยาวหรือสีบอกขนาด) หรือด้วยเส้นกระแส (flow lines / field lines) ที่สัมผัสทิศของสนามทุกจุด เช่นเส้นแรงไฟฟ้า เส้นลมในอุโมงค์ลม เส้นไหลของน้ำรอบเสา ทั้งสองแบบมีอยู่ในแล็บด้านล่าง

## ตัวดำเนินการ ∇ ดีเวอร์เจนซ์ เคิร์ล และลาปลาเซียน กลาง

ตัวดำเนินการ $\nabla = \left\langle\dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, \dfrac{\partial}{\partial z}\right\rangle$ (เดล) ทำหน้าที่เหมือนเวกเตอร์ที่ใส่อนุพันธ์ย่อยเป็นองค์ประกอบ ใช้ได้สามแบบ: คูณสเกลาร์ ($\nabla f$ = gradient) ดอตกับเวกเตอร์ ($\nabla\cdot\mathbf F$ = divergence) และครอสกับเวกเตอร์ ($\nabla\times\mathbf F$ = curl)

D3 Divergence ดีเวอร์เจนซ์

$$\nabla\cdot\mathbf F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = \lim_{V\to0}\frac{1}{V}\oint\!\!\oint_{S}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$$

ความหมาย: การไหลออกสุทธิต่อหน่วยปริมาตร · $> 0$ แหล่งกำเนิด (source) · $< 0$ ท่อรับ (sink) · $= 0$ ไม่บีบอัด (solenoidal) · ผลเป็นสเกลาร์

D4 Curl เคิร์ล

$$\nabla\times\mathbf F = \begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\ P & Q & R\end{vmatrix} = \langle R_y - Q_z,\ P_z - R_x,\ Q_x - P_y\rangle$$

ความหมาย: การหมุนวนต่อหน่วยพื้นที่ · ทิศ = แกนหมุนตามกฎมือขวา · ขนาด = 2 × ความเร็วเชิงมุมของใบพัดเล็ก (paddle wheel) · $= \mathbf 0$ เรียก irrotational · ผลเป็นเวกเตอร์ · ในสองมิติ $\mathbf F = \langle P, Q, 0\rangle$ ให้ $\operatorname{curl} = Q_x - P_y$ (องค์ประกอบ $z$)

D5 Laplacian ลาปลาเซียน

$$\nabla^2 f = \nabla\cdot(\nabla f) = f_{xx} + f_{yy} + f_{zz}$$

ผลเป็นสเกลาร์ · $\nabla^2 f = 0$ คือสมการลาปลาซ (สภาวะคงตัว) · $\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0$ พัวซอง

D6 Rigid rotation การหมุนแบบวัตถุแข็ง

$$\mathbf v = \boldsymbol\omega\times\mathbf r\ \Rightarrow\ \nabla\times\mathbf v = 2\boldsymbol\omega,\qquad \nabla\cdot\mathbf v = 0$$

เคิร์ลของความเร็วคือสองเท่าของความเร็วเชิงมุม (นี่คือที่มาของ “ความหมุนวน” $\boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v$ ในกลศาสตร์ของไหล)

### แล็บสนามเวกเตอร์: วัด div และ curl จากวงกลมเล็ก

เลือกสนามหรือพิมพ์ $P(x, y)$ และ $Q(x, y)$ เองแล้วเปิดสีพื้น “ดีเวอร์เจนซ์” หรือ “เคิร์ล” (สีส้ม = บวก สีฟ้า = ลบ) ลากจุดสีส้ม วงกลมดำคือวงทดสอบรัศมี $\rho$ โปรแกรมคำนวณการไหลออกสุทธิ $\oint\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds$ และการหมุนวน $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r$ ตามวงกลมด้วยอินทิกรัลเชิงตัวเลข แล้วหารด้วยพื้นที่ $\pi\rho^2$ เทียบกับค่า div และ curl ที่ได้จากสูตร ยิ่งลดรัศมีวงกลม ตัวเลขยิ่งตรงกัน (นี่คือคำจำกัดความ “ต่อหน่วยพื้นที่” ของ div และ curl) เปิดอนุภาคไหลเพื่อดูการเคลื่อนที่

ดีเวอร์เจนซ์และเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ 2 มิติ: สนามแผ่ออก ($\nabla\cdot\mathbf F > 0$) สนามหมุนวน ($\nabla\times\mathbf F \ne \mathbf 0$) และสนามเฉือน (ทั้ง div และ curl ได้จากตัวเลขเดียวกัน) · ใบพัดเล็กหมุนเมื่อ curl ≠ 0

ตัวอย่าง D-1 · คำนวณ div และ curl

### $\mathbf F = \langle x^2 y,\ y^2 z,\ z^2 x\rangle$ หา $\nabla\cdot\mathbf F$ และ $\nabla\times\mathbf F$ แล้วคำนวณที่ $(1, 2, 3)$

- $P = x^2y,\ Q = y^2z,\ R = z^2x$ · $\nabla\cdot\mathbf F = P_x + Q_y + R_z = 2xy + 2yz + 2zx$

- $R_y - Q_z = 0 - y^2 = -y^2$ · $P_z - R_x = 0 - z^2 = -z^2$ · $Q_x - P_y = 0 - x^2 = -x^2$

- $\nabla\times\mathbf F = \langle -y^2,\ -z^2,\ -x^2\rangle$

- ที่ $(1, 2, 3)$: div $= 2(2) + 2(6) + 2(3) = 4 + 12 + 6 = 22$ · curl $= \langle -4,\ -9,\ -1\rangle$

$\nabla\cdot\mathbf F = 2(xy + yz + zx)$ → 22 · $\nabla\times\mathbf F = \langle-y^2, -z^2, -x^2\rangle$ → $\langle-4,-9,-1\rangle$

ตัวอย่าง D-2 · โรเตอร์หมุน (เครื่องกล)

### ความเร็วของจุดบนโรเตอร์ที่หมุนรอบแกน $z$ ด้วย $\omega = 314$ rad/s คือ $\mathbf v = \langle -\omega y,\ \omega x,\ 0\rangle$ หา div และ curl

- $P = -\omega y,\ Q = \omega x,\ R = 0$

- $\nabla\cdot\mathbf v = \partial_x(-\omega y) + \partial_y(\omega x) + 0 = 0$ → วัสดุไม่ถูกบีบอัดหรือขยาย (เป็นการหมุนแบบแข็ง)

- $\nabla\times\mathbf v = \langle 0,\ 0,\ Q_x - P_y\rangle = \langle0, 0, \omega - (-\omega)\rangle = \langle 0, 0, 2\omega\rangle$ = $2\omega\,\mathbf k$

- เคิร์ลคือ $2\times314 = 628$ rad/s ชี้ตามแกน $z$ (กฎมือขวา) ตรงกับสูตร D6 ที่ $\nabla\times\mathbf v = 2\boldsymbol\omega$

div = 0 · curl = $2\omega\,\mathbf k = 628\,\mathbf k$ rad/s (ในแล็บ: ทุกจุด curl เป็นค่าคงที่ = 2)

ตัวอย่าง D-3 · สนามกำลังสองผกผัน (ไฟฟ้า)

### $\mathbf E = kq\,\dfrac{\mathbf r}{r^3}$ (ประจุจุด) แสดงว่า $\nabla\cdot\mathbf E = 0$ และ $\nabla\times\mathbf E = \mathbf 0$ ที่ $r \ne 0$

- องค์ประกอบ $E_x = kq\,x\,(x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2}$ · $\partial_x E_x = kq\left[r^{-3} - 3x^2 r^{-5}\right]$

- บวกกับ $\partial_y E_y$ และ $\partial_z E_z$ (รูปเดียวกัน): $\nabla\cdot\mathbf E = kq\left[3r^{-3} - 3(x^2 + y^2 + z^2)r^{-5}\right] = kq\left[3r^{-3} - 3r^{-3}\right] = 0$

- เคิร์ล: เช่น $\partial_y E_z - \partial_z E_y = kq\left[-3yzr^{-5} + 3zyr^{-5}\right] = 0$ (ทุกองค์ประกอบเป็นศูนย์) เพราะ $\mathbf E = -\nabla(kq/r)$ เป็นเกรเดียนต์

- แต่ฟลักซ์ผ่านทรงกลมรอบประจุเท่ากับ $4\pi kq = q/\varepsilon_0$ ไม่ใช่ศูนย์ — ที่จุดกำเนิดสนามไม่นิยามและ div เป็น “ฟังก์ชันเดลต้า” (แหล่งกำเนิดจุด) ซึ่งคือเนื้อหาของกฎของเกาส์ (ลองในแล็บ Gauss ด้วย $\mathbf F = \mathbf r/\rho^3$)

นอกจุดกำเนิด $\nabla\cdot\mathbf E = 0$ และ $\nabla\times\mathbf E = \mathbf 0$ · ที่จุดกำเนิดมีแหล่งกำเนิดจุด

## เอกลักษณ์เวกเตอร์ที่ต้องรู้ กลาง

เอกลักษณ์สองข้อแรกมาจากข้อเท็จจริงเดียว: อนุพันธ์ย่อยผสมสลับลำดับได้ (ทฤษฎีบทของแคลโร บทอนุพันธ์ย่อย) สองข้อนี้อธิบายว่าทำไมสนามไฟฟ้าสถิตไม่หมุนวน และสนามแม่เหล็กไม่มีแหล่งกำเนิด

D7 Curl of a gradient เคิร์ลของเกรเดียนต์

$$\nabla\times(\nabla f) = \mathbf 0 \qquad\left(\text{เช่น } (f_z)_y - (f_y)_z = 0 \text{ เพราะ } f_{zy} = f_{yz}\right)$$

ทุกสนามที่เป็น gradient ไม่หมุนวน · ใช้ตรวจว่า $\mathbf F$ ไม่ใช่ gradient: ถ้า curl ≠ 0 แล้ว $\mathbf F \ne \nabla f$ ทุก $f$

D8 Divergence of a curl ดีเวอร์เจนซ์ของเคิร์ล

$$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F) = 0$$

สนามที่เป็น curl ของสนามอื่น ไม่มีแหล่งกำเนิด · $\mathbf B = \nabla\times\mathbf A$ จึง $\nabla\cdot\mathbf B = 0$ (ไม่มีประจุแม่เหล็กเดี่ยว)

D9 Product rules กฎผลคูณ

$$\nabla\cdot(f\mathbf F) = f\,\nabla\cdot\mathbf F + \nabla f\cdot\mathbf F,\qquad \nabla\times(f\mathbf F) = f\,\nabla\times\mathbf F + \nabla f\times\mathbf F,\qquad \nabla\times(\nabla\times\mathbf F) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf F) - \nabla^2\mathbf F$$

ข้อสุดท้ายใช้ในการหาสมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจากสมการแมกซ์เวลล์ (บทไฟฟ้า)

ตัวอย่าง D-4 · ตรวจเอกลักษณ์

### ให้ $f = x^2y + xz^3$ หา $\nabla f$, ตรวจ $\nabla\times\nabla f = \mathbf 0$ และคำนวณ $\nabla^2 f$

- $\nabla f = \langle 2xy + z^3,\ x^2,\ 3xz^2\rangle$

- curl: $\langle (3xz^2)_y - (x^2)_z,\ (2xy + z^3)_z - (3xz^2)_x,\ (x^2)_x - (2xy + z^3)_y\rangle = \langle 0 - 0,\ 3z^2 - 3z^2,\ 2x - 2x\rangle = \mathbf 0$ ✓

- $\nabla^2 f = \nabla\cdot\nabla f = (2xy + z^3)_x + (x^2)_y + (3xz^2)_z = 2y + 0 + 6xz = 2y + 6xz$

curl(grad f) = $\mathbf 0$ ✓ · $\nabla^2 f = 2y + 6xz$

## สนามอนุรักษ์และฟังก์ชันศักย์ กลาง

สนามเวกเตอร์ $\mathbf F$ เป็นสนามอนุรักษ์ (conservative) ถ้ามีฟังก์ชันสเกลาร์ $f$ ที่ $\mathbf F = \nabla f$ (เรียก $f$ ว่าฟังก์ชันศักย์) ผลคืองานของสนามไม่ขึ้นกับเส้นทาง (บทอินทิกรัลตามเส้น) สนามไฟฟ้าสถิตและแรงโน้มถ่วงเป็นแบบนี้ ส่วนแรงเสียดทานและสนามไฟฟ้าเหนี่ยวนำไม่ใช่

D10 Test for a conservative field การทดสอบสนามอนุรักษ์

$$\mathbb R^2:\ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x},\qquad \mathbb R^3:\ \nabla\times\mathbf F = \mathbf 0\qquad(\text{บนบริเวณเปิดที่เชื่อมต่อแบบง่าย})$$

ต้อง “เชื่อมต่อแบบง่าย” (simply connected: ไม่มีรู) · ตัวอย่างค้านที่มีรู: $\mathbf F = \dfrac{\langle -y, x\rangle}{x^2 + y^2}$ มี $Q_x = P_y$ ทุกจุดยกเว้นจุดกำเนิดแต่ $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r = 2\pi \ne 0$ รอบจุดกำเนิด → ไม่อนุรักษ์

D11 Finding the potential function วิธีหาฟังก์ชันศักย์

$$f_x = P \Rightarrow f = \int P\,dx + g(y,z);\ \ f_y = Q \Rightarrow g_y = Q - \partial_y\!\!\int P\,dx;\ \ \text{อินทิเกรต } g_y\text{ แล้วทำซ้ำกับ } f_z = R$$

ได้ $f$ ถึงค่าคงที่ $C$ · ตรวจทุกครั้งโดย $\nabla f = \mathbf F$ · ในไฟฟ้ามักนิยาม $\mathbf E = -\nabla V$ ดังนั้น $V = -f$

ตัวอย่าง D-5 · หาฟังก์ชันศักย์สามมิติ

### แสดงว่า $\mathbf F = \langle 2xy + z^3,\ x^2,\ 3xz^2\rangle$ เป็นสนามอนุรักษ์ และหา $f$

- เคิร์ล: $R_y - Q_z = 0 - 0 = 0$ · $P_z - R_x = 3z^2 - 3z^2 = 0$ · $Q_x - P_y = 2x - 2x = 0$ → $\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0$ บน $\mathbb R^3$ (ไม่มีรู) → อนุรักษ์

- $f_x = 2xy + z^3$ → $f = x^2y + xz^3 + g(y, z)$

- $f_y = x^2 + g_y = Q = x^2$ → $g_y = 0$ → $g = h(z)$

- $f_z = 3xz^2 + h'(z) = R = 3xz^2$ → $h' = 0$ → $h = C$

- $f(x, y, z) = x^2y + xz^3 + C$ · ตรวจ: $\nabla f = \langle 2xy + z^3,\ x^2,\ 3xz^2\rangle = \mathbf F$ ✓ (นี่คือ $f$ ของตัวอย่าง D-4)

$f = x^2 y + x z^3 + C$

ตัวอย่าง D-6 · สนามสองมิติที่ไม่อนุรักษ์

### ตรวจ $\mathbf F_1 = \langle 2xy,\ x^2 - 3y^2\rangle$ และ $\mathbf F_2 = \langle y^2,\ x\rangle$

- $\mathbf F_1$: $P_y = 2x$ · $Q_x = 2x$ → เท่ากัน → อนุรักษ์ · ศักย์ $f = x^2y - y^3$ (ตรวจ $f_x = 2xy,\ f_y = x^2 - 3y^2$ ✓)

- $\mathbf F_2$: $P_y = 2y$ แต่ $Q_x = 1$ → ไม่เท่ากัน (curl $= 1 - 2y \ne 0$) → ไม่อนุรักษ์

- ในแล็บ เปิดสีพื้นเคิร์ลของ $\mathbf F_2$: ค่าเป็นบวกใต้เส้น $y = 0.5$ และลบเหนือเส้นนั้น ที่ $y = 0.5$ curl หายไป · งานตามวงปิดที่ผ่านบริเวณ curl ≠ 0 จึงไม่เป็นศูนย์

$\mathbf F_1$ อนุรักษ์ ($f = x^2y - y^3$) · $\mathbf F_2$ ไม่อนุรักษ์ (curl = $1 - 2y$)

| สนาม | อนุรักษ์? | เหตุผล / ความหมายทางฟิสิกส์ |

| สนามไฟฟ้าสถิต $\mathbf E$ | ใช่ | $\nabla\times\mathbf E = \mathbf 0$ · มีศักย์ไฟฟ้า $V$ · แรงดันระหว่างสองจุดไม่ขึ้นกับสายที่ใช้วัด |

| แรงโน้มถ่วง | ใช่ | มีพลังงานศักย์ $mgh$ · งานของแรงโน้มถ่วงขึ้นกับความสูงต้น-ปลาย เท่านั้น |

| แรงสปริง $\mathbf F = -k\mathbf r$ | ใช่ | ศักย์ $\tfrac12 kr^2$ |

| แรงเสียดทาน | ไม่ | ทำงานมากขึ้นถ้าเส้นทางยาวขึ้น · พลังงานสูญเป็นความร้อน |

| สนามไฟฟ้าเหนี่ยวนำ (ฟาราเดย์) | ไม่ | $\nabla\times\mathbf E = -\partial\mathbf B/\partial t \ne \mathbf 0$ · ใช้ในหม้อแปลงและมอเตอร์ |

| สนามแม่เหล็กรอบเส้นลวด $\mathbf B$ | ไม่ (ในบริเวณรอบลวด) | $\oint\mathbf B\cdot d\mathbf l = \mu_0 I$ (Ampère) ≠ 0 |

| ความเร็วของของไหลอุดมคติ (ไม่หมุนวน) | ใช่ (irrotational) | มีศักย์ความเร็ว $\phi$ และ $\nabla^2\phi = 0$ เมื่อไม่บีบอัด |

## เส้นกระแส (Flow Lines) กลาง

เส้นกระแสคือเส้นทาง $\mathbf r(t)$ ที่ความเร็วเท่ากับสนาม ณ ตำแหน่งนั้นเสมอ: $\mathbf r'(t) = \mathbf F(\mathbf r(t))$ เป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์ (เป็นเส้นทางของอนุภาคเล็กที่ลอยไปกับของไหลเมื่อการไหลคงที่) ในสนามไฟฟ้า เส้นแรงออกจากประจุบวกเข้าประจุลบ และไม่ตัดกัน

ตัวอย่าง D-7 · หาเส้นกระแสด้วยการแก้ ODE

### หาเส้นกระแสของ $\mathbf F = \langle x,\ -y\rangle$ ที่ผ่านจุด $(2, 1)$

- ตั้ง $\dfrac{dx}{dt} = x$ และ $\dfrac{dy}{dt} = -y$ → $x = 2e^{t}$ และ $y = e^{-t}$ (เริ่มที่ $t = 0$)

- กำจัด $t$: $xy = 2e^{t}e^{-t} = 2$ เป็นค่าคงที่ตลอดเส้นทาง

- เส้นกระแสคือไฮเพอร์โบลา $xy = 2$ เคลื่อนเข้าหาแกน $x$ และออกห่างแกน $y$ · นี่คือการไหลเข้ามุมฉาก (stagnation flow) ที่จุดกำเนิดความเร็วเป็นศูนย์

- ตรวจ: $\nabla\cdot\mathbf F = 1 + (-1) = 0$ (ไม่บีบอัด) และ $\nabla\times\mathbf F = 0$ → เป็นการไหลศักย์ของของไหลอุดมคติ

เส้นกระแส: $xy = 2$ (ไฮเพอร์โบลา) · div = 0 และ curl = 0

## นำไปใช้ในงานวิศวกรรม พื้นฐาน

| สาขา | สมการ | ความหมาย |

| ไฟฟ้า | $\nabla\cdot\mathbf D = \rho_v,\ \ \nabla\times\mathbf E = -\partial_t\mathbf B$ | กฎของเกาส์และฟาราเดย์ในรูปอนุพันธ์ (บทไฟฟ้า) |

| ไฟฟ้า | $\nabla\cdot\mathbf B = 0,\ \ \nabla\times\mathbf H = \mathbf J + \partial_t\mathbf D$ | ไม่มีประจุแม่เหล็ก · กฎของแอมแปร์-แมกซ์เวลล์ |

| เครื่องกล | $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ (ไม่บีบอัด) · $\boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v$ | สมการความต่อเนื่องและความหมุนวนของของไหล (บทเครื่องกล) |

| เครื่องกล | $\nabla\cdot\mathbf q = \dot q_{gen}$ | สมดุลพลังงานความร้อนที่จุดหนึ่ง |

| โยธา | $\mathbf v = -K\nabla h,\ \ \nabla\cdot\mathbf v = 0$ | ดาร์ซีและความต่อเนื่อง → $\nabla^2h = 0$ การซึมผ่านดิน (บทโยธา) |

| โยธา | $\nabla\cdot\boldsymbol\sigma + \mathbf f = \mathbf 0$ | สมดุลความเค้นภายในวัสดุ (ดีเวอร์เจนซ์ของเทนเซอร์) |

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- สลับผลลัพธ์ของ div กับ curl · div ได้สเกลาร์ curl (สามมิติ) ได้เวกเตอร์ · เขียน $\nabla\cdot\mathbf F$ ผลเป็นเวกเตอร์ผิดแน่นอน

- ใช้ curl = 0 ตัดสินสนามอนุรักษ์ในบริเวณที่มีรู · ตัวอย่าง $\langle -y, x\rangle/(x^2 + y^2)$

- เคิร์ลของสนามสองมิติ · ใช้ $Q_x - P_y$ (ไม่ใช่ $P_y - Q_x$) ลำดับสำคัญต่อเครื่องหมาย

- ลืมตัวห้อยของ $P_y$ · $P_y = \partial P/\partial y$ ไม่ใช่ $P$ คูณ $y$

- เชื่อว่า div = 0 แปลว่าสนามเป็นศูนย์ · สนามที่มีลูกศรใหญ่ได้ แต่ไหลเข้า-ออกสมดุล (เช่นการไหลเข้ามุม)

ไปต่อที่อินทิกรัลตามเส้นและทฤษฎีบทของกรีน ที่เชื่อมการหมุนวน (curl) กับการหมุนวนบนวงปิด และสนามอนุรักษ์กับงานที่ไม่ขึ้นกับเส้นทาง

## คำถามที่พบบ่อย

สนามเวกเตอร์ (vector field) คืออะไร ยกตัวอย่าง?
คือฟังก์ชันที่ผูกเวกเตอร์หนึ่งตัวกับทุกจุดในระนาบหรืออวกาศ $\mathbf F(x, y, z) = \langle P, Q, R\rangle$ เช่นสนามไฟฟ้ารอบประจุ $\mathbf E$ สนามความเร็วของน้ำในท่อ $\mathbf v$ ฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q$ สนามแรงโน้มถ่วง และสนามแม่เหล็ก $\mathbf B$ ต่างจากฟังก์ชันสเกลาร์ที่ให้ตัวเลขตัวเดียวต่อจุด (อุณหภูมิ ศักย์) วาดสนามเป็นลูกศรที่ตำแหน่งต่าง ๆ หรือเป็นเส้นกระแสที่สัมผัสลูกศรทุกจุด

ดีเวอร์เจนซ์ (divergence) กับเคิร์ล (curl) ต่างกันอย่างไร?
ดีเวอร์เจนซ์ $\nabla\cdot\mathbf F = P_x + Q_y + R_z$ เป็นสเกลาร์ วัดการ “แผ่ออก” ของสนามจากจุดหนึ่ง (แหล่งกำเนิดเป็นบวก ท่อรับเป็นลบ) ส่วนเคิร์ล $\nabla\times\mathbf F$ เป็นเวกเตอร์ วัดการ “หมุนวน” รอบจุด (ทิศคือแกนหมุนตามกฎมือขวา ขนาดคือสองเท่าของความเร็วเชิงมุมของใบพัดเล็กที่วางในสนาม) สนามที่ $\nabla\cdot\mathbf F = 0$ เรียกว่า solenoidal (ไม่บีบอัด) สนามที่ $\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0$ เรียกว่า irrotational

สนามอนุรักษ์ (conservative field) ตรวจอย่างไร?
ในสองมิติตรวจ $\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$ ในสามมิติตรวจ $\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0$ บนบริเวณที่เชื่อมต่อแบบง่าย (ไม่มีรู) ถ้าผ่านการตรวจจะมีฟังก์ชันศักย์ $f$ ที่ $\mathbf F = \nabla f$ และงาน $\int\mathbf F\cdot d\mathbf r$ ไม่ขึ้นกับเส้นทาง ตัวอย่างคือสนามไฟฟ้าสถิตและแรงโน้มถ่วง ส่วนแรงเสียดทานไม่อนุรักษ์ ระวังกรณีมีรู เช่น $\langle -y, x\rangle/(x^2+y^2)$ มี curl เป็นศูนย์แต่ไม่อนุรักษ์เพราะวนรอบจุดกำเนิด

หาฟังก์ชันศักย์ (potential function) จากสนามอนุรักษ์อย่างไร?
อินทิเกรต $f_x = P$ ตาม $x$ ได้ $f = \int P\,dx + g(y, z)$ แล้วหาอนุพันธ์ตาม $y$ เทียบกับ $Q$ เพื่อหา $g_y$ อินทิเกรตหา $g$ แล้วทำซ้ำกับ $z$ ตัวอย่าง $\mathbf F = \langle 2xy + z^3,\ x^2,\ 3xz^2\rangle$ ได้ $f = x^2y + xz^3 + C$ ตรวจโดย $\nabla f = \mathbf F$ ในงานไฟฟ้า ศักย์ $V$ ในนิยาม $\mathbf E = -\nabla V$ ต่างจาก $f$ แค่เครื่องหมายลบ

เอกลักษณ์ curl(grad f) = 0 และ div(curl F) = 0 บอกอะไร?
$\nabla\times(\nabla f) = \mathbf 0$ บอกว่าสนามที่มาจาก gradient (เช่นสนามไฟฟ้าสถิต $\mathbf E = -\nabla V$) ไม่มีการหมุนวน ส่วน $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F) = 0$ บอกว่าสนามที่มาจาก curl (เช่นสนามแม่เหล็ก $\mathbf B = \nabla\times\mathbf A$) ไม่มีแหล่งกำเนิดหรือท่อรับ นั่นคือ $\nabla\cdot\mathbf B = 0$ ไม่มีประจุแม่เหล็กเดี่ยว ทั้งสองมาจากการที่อนุพันธ์ย่อยผสมสลับลำดับได้ (ทฤษฎีบทของแคลโร)

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**สนามเวกเตอร์ (vector field) คืออะไร ยกตัวอย่าง?**
คือฟังก์ชันที่ผูกเวกเตอร์หนึ่งตัวกับทุกจุดในระนาบหรืออวกาศ $\mathbf F(x, y, z) = \langle P, Q, R\rangle$ เช่นสนามไฟฟ้ารอบประจุ $\mathbf E$ สนามความเร็วของน้ำในท่อ $\mathbf v$ ฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q$ สนามแรงโน้มถ่วง และสนามแม่เหล็ก $\mathbf B$ ต่างจากฟังก์ชันสเกลาร์ที่ให้ตัวเลขตัวเดียวต่อจุด (อุณหภูมิ ศักย์) วาดสนามเป็นลูกศรที่ตำแหน่งต่าง ๆ หรือเป็นเส้นกระแสที่สัมผัสลูกศรทุกจุด

**ดีเวอร์เจนซ์ (divergence) กับเคิร์ล (curl) ต่างกันอย่างไร?**
ดีเวอร์เจนซ์ $\nabla\cdot\mathbf F = P_x + Q_y + R_z$ เป็นสเกลาร์ วัดการ “แผ่ออก” ของสนามจากจุดหนึ่ง (แหล่งกำเนิดเป็นบวก ท่อรับเป็นลบ) ส่วนเคิร์ล $\nabla\times\mathbf F$ เป็นเวกเตอร์ วัดการ “หมุนวน” รอบจุด (ทิศคือแกนหมุนตามกฎมือขวา ขนาดคือสองเท่าของความเร็วเชิงมุมของใบพัดเล็กที่วางในสนาม) สนามที่ $\nabla\cdot\mathbf F = 0$ เรียกว่า solenoidal (ไม่บีบอัด) สนามที่ $\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0$ เรียกว่า irrotational

**สนามอนุรักษ์ (conservative field) ตรวจอย่างไร?**
ในสองมิติตรวจ $\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$ ในสามมิติตรวจ $\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0$ บนบริเวณที่เชื่อมต่อแบบง่าย (ไม่มีรู) ถ้าผ่านการตรวจจะมีฟังก์ชันศักย์ $f$ ที่ $\mathbf F = \nabla f$ และงาน $\int\mathbf F\cdot d\mathbf r$ ไม่ขึ้นกับเส้นทาง ตัวอย่างคือสนามไฟฟ้าสถิตและแรงโน้มถ่วง ส่วนแรงเสียดทานไม่อนุรักษ์ ระวังกรณีมีรู เช่น $\langle -y, x\rangle/(x^2+y^2)$ มี curl เป็นศูนย์แต่ไม่อนุรักษ์เพราะวนรอบจุดกำเนิด

**หาฟังก์ชันศักย์ (potential function) จากสนามอนุรักษ์อย่างไร?**
อินทิเกรต $f_x = P$ ตาม $x$ ได้ $f = \int P\,dx + g(y, z)$ แล้วหาอนุพันธ์ตาม $y$ เทียบกับ $Q$ เพื่อหา $g_y$ อินทิเกรตหา $g$ แล้วทำซ้ำกับ $z$ ตัวอย่าง $\mathbf F = \langle 2xy + z^3,\ x^2,\ 3xz^2\rangle$ ได้ $f = x^2y + xz^3 + C$ ตรวจโดย $\nabla f = \mathbf F$ ในงานไฟฟ้า ศักย์ $V$ ในนิยาม $\mathbf E = -\nabla V$ ต่างจาก $f$ แค่เครื่องหมายลบ

**เอกลักษณ์ curl(grad f) = 0 และ div(curl F) = 0 บอกอะไร?**
$\nabla\times(\nabla f) = \mathbf 0$ บอกว่าสนามที่มาจาก gradient (เช่นสนามไฟฟ้าสถิต $\mathbf E = -\nabla V$) ไม่มีการหมุนวน ส่วน $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F) = 0$ บอกว่าสนามที่มาจาก curl (เช่นสนามแม่เหล็ก $\mathbf B = \nabla\times\mathbf A$) ไม่มีแหล่งกำเนิดหรือท่อรับ นั่นคือ $\nabla\cdot\mathbf B = 0$ ไม่มีประจุแม่เหล็กเดี่ยว ทั้งสองมาจากการที่อนุพันธ์ย่อยผสมสลับลำดับได้ (ทฤษฎีบทของแคลโร)

---

# ฟังก์ชันเวกเตอร์ (Vector-Valued Functions): เส้นโค้งในอวกาศ ความเร็ว ความเร่ง ความยาวส่วนโค้ง และความโค้ง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/vector-functions/
Updated: 2026-10-17
Summary: ฟังก์ชันเวกเตอร์ r(t) (vector function) คืออะไร เส้นโค้งในอวกาศ (space curve) อนุพันธ์และอินทิกรัลของ r(t) เวกเตอร์สัมผัส ความเร็ว ความเร่ง ความยาวส่วนโค้ง (arc length) ความโค้ง κ (curvature) กรอบ Frenet–Serret T N B torsion และ a_T a_N พร้อมตัวอย่างลูกกระสุน ทางโค้งถนน ทางลาดเกลียว อนุภาคในสนามแม่เหล็ก และแล็บเส้นโค้ง 3 มิติ

// บทที่ 24.6 · แคลคูลัสเวกเตอร์ · Vector-Valued Functions

# ฟังก์ชันเวกเตอร์ (Vector-Valued Functions): เส้นโค้งในอวกาศ ความเร็ว ความเร่ง ความยาวส่วนโค้ง และความโค้ง

ลูกบอลที่ถูกโยน อนุภาคที่ลอยในสนามแม่เหล็ก หัวจับของแขนกลที่ลากเส้นทางหนึ่ง ทางลาดเกลียวของลานจอดรถ ทั้งหมดเคลื่อนที่ในอวกาศ ตำแหน่งของมันคือเวกเตอร์ที่เปลี่ยนตามเวลา เรียกว่าฟังก์ชันเวกเตอร์ (vector-valued function) $\mathbf r(t)$ เมื่อหาอนุพันธ์ได้ความเร็วและความเร่ง เมื่ออินทิเกรตได้ระยะทาง และเมื่อวิเคราะห์รูปร่างของเส้นทางได้ความโค้งและกรอบ Frenet–Serret ที่บอกว่า “เลี้ยวแรงแค่ไหน” หน้านี้มีแล็บที่วาดเส้นโค้ง 3 มิติ พร้อมเวกเตอร์ T N B วงกลมออสคิวเลติง และค่า κ τ แบบเรียลไทม์

สรุปใน 30 วินาที

- $\mathbf r(t) = \langle x(t), y(t), z(t)\rangle$ · ลิมิต อนุพันธ์ อินทิกรัล ทำทีละองค์ประกอบ · $\mathbf v = \mathbf r'$ (สัมผัสเส้นโค้ง) · $\mathbf a = \mathbf r''$

- ความยาวส่วนโค้ง $L = \int_a^b |\mathbf r'(t)|\,dt$ · ความโค้ง $\kappa = \dfrac{|\mathbf r'\times\mathbf r''|}{|\mathbf r'|^3}$ · รัศมี $R = 1/\kappa$

- กรอบ Frenet: $\mathbf T = \mathbf r'/|\mathbf r'|$ · $\mathbf N = \mathbf T'/|\mathbf T'|$ · $\mathbf B = \mathbf T\times\mathbf N$ · $\mathbf a = a_T\mathbf T + a_N\mathbf N$, $a_N = \kappa|\mathbf v|^2$

- ความเร่งทิศ $\mathbf N$ เกิดจากการเลี้ยว แม้อัตราเร็วคงที่ · ตัวอย่าง: โรเตอร์ 3000 rpm รัศมี 15 cm มี $a_N = 14\,800$ m/s² ≈ 1510 g

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## ฟังก์ชันเวกเตอร์และเส้นโค้งในอวกาศ พื้นฐาน

ฟังก์ชันเวกเตอร์รับตัวเลขหนึ่งตัวและให้เวกเตอร์ออกมา ถ้า $t$ คือเวลา $\mathbf r(t)$ คือเวกเตอร์ตำแหน่ง ปลายของมันลากเป็นเส้นโค้งในอวกาศ (space curve) สมการ $x(t),\ y(t),\ z(t)$ เรียกว่าสมการพารามิเตอร์ (parametric equations) เส้นโค้งเดียวกันเขียนด้วยพารามิเตอร์ได้หลายแบบ แต่ทิศการเคลื่อนที่และความเร็วที่ผ่านแต่ละจุดต่างกัน

R1 Vector-valued function ฟังก์ชันเวกเตอร์

$$\mathbf r(t) = x(t)\,\mathbf i + y(t)\,\mathbf j + z(t)\,\mathbf k = \langle x(t),\, y(t),\, z(t)\rangle,\qquad t \in [a, b]$$

ตัวอย่าง: เส้นตรง $\mathbf r_0 + t\mathbf d$ · วงกลม $\langle R\cos t, R\sin t, 0\rangle$ · เกลียว $\langle R\cos t, R\sin t, ct\rangle$ · ลูกกระสุน $\langle v_x t,\ 0,\ v_z t - \tfrac12 gt^2\rangle$

R2 Calculus componentwise แคลคูลัสทำทีละองค์ประกอบ

$$\lim_{t\to a}\mathbf r(t) = \langle \lim x, \lim y, \lim z\rangle,\quad \mathbf r'(t) = \langle x', y', z'\rangle,\quad \int_a^b \mathbf r(t)\,dt = \left\langle \int_a^b x\,dt,\ \int_a^b y\,dt,\ \int_a^b z\,dt\right\rangle$$

ใช้ได้เพราะเวกเตอร์ประกอบด้วยสามองค์ประกอบอิสระ · $\mathbf r$ ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อทุกองค์ประกอบต่อเนื่อง · ทฤษฎีบทมูลฐาน: $\int_a^b \mathbf r'\,dt = \mathbf r(b) - \mathbf r(a)$

### แล็บเส้นโค้งในอวกาศ

เลือกเส้นโค้งหรือพิมพ์ $x(t),\ y(t),\ z(t)$ เอง เลื่อนแถบเพื่อเดินไปตามเส้นโค้ง ลูกศรสีส้ม $\mathbf T$ ชี้ทิศเคลื่อนที่ สีฟ้า $\mathbf N$ ชี้เข้าหาศูนย์กลางความโค้ง สีเขียว $\mathbf B$ ตั้งฉากทั้งคู่ วงกลมประสีฟ้าคือวงกลมออสคิวเลติงที่ “แนบ” เส้นโค้งที่สุด ตารางด้านข้างแสดง $\mathbf v$, $\mathbf a$, $\kappa$, $\tau$, $a_T$, $a_N$ และความยาวส่วนโค้ง ส่วนต่าง ๆ ของบทนี้ใช้แล็บเดียวกันนี้อ้างอิง

กรอบ Frenet–Serret (Frenet frame) บนเส้นโค้งในอวกาศ: $\mathbf T$ สัมผัส $\mathbf N$ ชี้เข้าหาจุดศูนย์กลางความโค้ง $\mathbf B$ ตั้งฉากกับระนาบออสคิวเลติง (osculating plane) และวงกลมออสคิวเลติงรัศมี $R = 1/\kappa$

## อนุพันธ์ของ r(t): เวกเตอร์สัมผัส พื้นฐาน

อนุพันธ์ $\mathbf r'(t) = \lim_{h\to0}\dfrac{\mathbf r(t + h) - \mathbf r(t)}{h}$ คืออัตราเปลี่ยนของตำแหน่ง ทางเรขาคณิต $\mathbf r(t + h) - \mathbf r(t)$ คือเวกเตอร์ที่ลากจากจุดหนึ่งไปจุดถัดไปบนเส้นโค้ง เมื่อ $h \to 0$ เวกเตอร์นี้เข้าหาทิศสัมผัส จึงได้ว่า $\mathbf r'(t)$ สัมผัสเส้นโค้งเสมอ และชี้ไปทางที่ $t$ เพิ่ม

R3 Tangent vector and tangent line เวกเตอร์สัมผัสและเส้นสัมผัส

$$\mathbf T(t) = \frac{\mathbf r'(t)}{|\mathbf r'(t)|},\qquad \text{เส้นสัมผัสที่ } t_0:\ \mathbf L(s) = \mathbf r(t_0) + s\,\mathbf r'(t_0)$$

ต้องมี $\mathbf r'(t_0) \ne \mathbf 0$ (เส้นโค้งเรียบ ณ จุดนั้น) · $\mathbf T$ ไม่ขึ้นกับว่าใช้พารามิเตอร์ใด (แต่ทิศอาจกลับ)

R4 Differentiation rules กฎอนุพันธ์ของเวกเตอร์

$$(\mathbf u\cdot\mathbf v)' = \mathbf u'\cdot\mathbf v + \mathbf u\cdot\mathbf v',\qquad (\mathbf u\times\mathbf v)' = \mathbf u'\times\mathbf v + \mathbf u\times\mathbf v',\qquad (f\mathbf u)' = f'\mathbf u + f\mathbf u'$$

ลำดับในผลคูณไขว้ต้องคงเดิม ($\mathbf u'\times\mathbf v$ ไม่ใช่ $\mathbf v\times\mathbf u'$) · ผลสำคัญ: ถ้า $|\mathbf r(t)|$ คงที่ แล้ว $\mathbf r\cdot\mathbf r' = 0$ (เวกเตอร์ขนาดคงที่ตั้งฉากกับอนุพันธ์ของมัน) ซึ่งทำให้ $\mathbf T \perp \mathbf T'$

ตัวอย่าง R-1 · เส้นสัมผัสของ twisted cubic

### $\mathbf r(t) = \langle t,\ t^2,\ t^3\rangle$ หา $\mathbf r'(t)$, $\mathbf T(1)$ และเส้นสัมผัสที่ $t = 1$

- $\mathbf r'(t) = \langle 1,\ 2t,\ 3t^2\rangle$ · ที่ $t = 1$: $\mathbf r(1) = \langle 1,1,1\rangle$ และ $\mathbf r'(1) = \langle 1, 2, 3\rangle$

- $|\mathbf r'(1)| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$ · $\mathbf T(1) = \dfrac{1}{\sqrt{14}}\langle 1, 2, 3\rangle \approx \langle 0.267, 0.535, 0.802\rangle$

- เส้นสัมผัส: $\mathbf L(s) = \langle 1, 1, 1\rangle + s\langle 1, 2, 3\rangle$ หรือ $x = 1 + s,\ y = 1 + 2s,\ z = 1 + 3s$

$\mathbf r'(t) = \langle 1, 2t, 3t^2\rangle$ · $\mathbf T(1) = \langle 1,2,3\rangle/\sqrt{14}$

## ความเร็ว ความเร่ง และการเคลื่อนที่ในอวกาศ พื้นฐาน

ถ้า $\mathbf r(t)$ คือตำแหน่ง ความเร็วคืออนุพันธ์ตำแหน่ง และความเร่งคืออนุพันธ์ความเร็ว ตรงกับฟิสิกส์ แต่ในรูปเวกเตอร์ทั้งหมด การเคลื่อนที่ในอวกาศจึงเป็นการวิเคราะห์สามแกนพร้อมกัน และถ้ารู้ความเร่ง (จากแรง $\mathbf F = m\mathbf a$) ก็อินทิเกรตย้อนกลับเพื่อหาความเร็วและตำแหน่งได้

R5 Velocity, speed, acceleration ความเร็ว อัตราเร็ว ความเร่ง

$$\mathbf v(t) = \mathbf r'(t),\qquad v = |\mathbf v(t)| = \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2},\qquad \mathbf a(t) = \mathbf v'(t) = \mathbf r''(t)$$

ความเร็ว = เวกเตอร์ (สัมผัสเส้นทาง) · อัตราเร็ว = สเกลาร์ ≥ 0 · ย้อนกลับ: $\mathbf v(t) = \mathbf v_0 + \int\mathbf a\,dt$ และ $\mathbf r(t) = \mathbf r_0 + \int\mathbf v\,dt$

R6 Projectile motion (no drag) การเคลื่อนที่แบบกระสุน (ไม่คิดแรงต้าน)

$$\mathbf r(t) = \big\langle v_0\cos\alpha\ t,\ \ 0,\ \ v_0\sin\alpha\ t - \tfrac12 gt^2\big\rangle,\quad t_f = \frac{2v_0\sin\alpha}{g},\quad R = \frac{v_0^2\sin2\alpha}{g},\quad H = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$$

$\mathbf a = \langle 0, 0, -g\rangle$ คงที่ · พิสัยสูงสุดที่ $\alpha = 45^\circ$ · ถ้ามีแรงต้านอากาศต้องแก้เชิงตัวเลข

R7 Uniform circular motion การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ

$$\mathbf r = \langle R\cos\omega t,\ R\sin\omega t\rangle,\quad \mathbf v = R\omega\langle-\sin\omega t,\ \cos\omega t\rangle,\quad \mathbf a = -\omega^2\mathbf r,\quad |\mathbf a| = R\omega^2 = \frac{v^2}{R}$$

$\mathbf a$ ชี้เข้าศูนย์กลาง ($-\mathbf r$) แม้อัตราเร็ว $|\mathbf v| = R\omega$ คงที่ · $\omega$ (rad/s) = $2\pi n/60$ เมื่อ $n$ = rpm

ตัวอย่าง R-2 · ลูกกระสุน (เครื่องกล)

### ขว้างวัตถุด้วยอัตราเร็ว $v_0 = 20$ m/s ทำมุม $60^\circ$ กับแนวราบ ($g = 9.8$ m/s²) หาเวลาตกพื้น พิสัย และความสูงสูงสุด

- $v_x = 20\cos60^\circ = 10$ m/s · $v_z = 20\sin60^\circ = 17.32$ m/s · $\mathbf r(t) = \langle 10t,\ 0,\ 17.32t - 4.9t^2\rangle$

- ตกพื้นเมื่อ $z = 0$: $t(17.32 - 4.9t) = 0$ → $t_f = 17.32/4.9 = 3.535$ s

- พิสัย $R = x(t_f) = 10(3.535) = 35.35$ m (ตรงกับ $v_0^2\sin120^\circ/g = 400(0.866)/9.8$)

- สูงสุดเมื่อ $v_z = 0$: $t = 17.32/9.8 = 1.767$ s · $H = 17.32(1.767) - 4.9(1.767)^2 = 15.31$ m

- ตรวจ: ความเร็วตอนตกพื้น $\mathbf v(t_f) = \langle 10,\ 0,\ -17.32\rangle$ อัตราเร็ว $= 20$ m/s เท่าตอนปล่อย (พลังงานคงตัว) ✓

$t_f = 3.535$ s · พิสัย $35.35$ m · $H = 15.31$ m

ตัวอย่าง R-3 · โรเตอร์หมุน (ไฟฟ้า/เครื่องกล)

### โรเตอร์มอเตอร์รัศมี 15 cm หมุน 3000 rpm หาอัตราเร็วที่ผิวและความเร่งสู่ศูนย์กลาง

- $\omega = 3000\times 2\pi/60 = 314.16$ rad/s

- อัตราเร็วที่ผิว $v = R\omega = 0.15\times314.16 = 47.12$ m/s (≈ 170 km/h)

- ความเร่งสู่ศูนย์กลาง $a = R\omega^2 = 0.15\times314.16^2 = 14\,804$ m/s² หรือเทียบกับแรงโน้มถ่วง $14\,804/9.81 = 1509\,g$

- แรงสู่ศูนย์กลางต่อมวล 1 กรัมของลวดทองแดงที่ปลายโรเตอร์ $= 0.001\times14\,804 = 14.8$ N จึงต้องมีลิ่มและแถบรัดยึดขดลวดกับโรเตอร์ (ความเค้นแปรผันตาม $\omega^2$ ทำให้ความเร็วรอบสูงสุดถูกจำกัดโดยวัสดุ)

$v = 47.1$ m/s · $a = 1.48\times10^4$ m/s² ≈ 1509 g

## ความยาวส่วนโค้ง (Arc Length) กลาง

ระยะทางที่เดินตามเส้นโค้ง คืออินทิกรัลของอัตราเร็วตามเวลา เพราะในช่วงเวลา $dt$ วัตถุเดินได้ $|\mathbf r'|\,dt$ ผลนี้ไม่ขึ้นกับพารามิเตอร์ที่เลือก ถ้าใช้ความยาวส่วนโค้ง $s$ เป็นพารามิเตอร์เอง (arc-length parametrization) จะได้ $|d\mathbf r/ds| = 1$ พอดี ซึ่งเป็นรากฐานของนิยามความโค้ง

R8 Arc length ความยาวส่วนโค้ง

$$L = \int_a^b |\mathbf r'(t)|\,dt = \int_a^b\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}\,dt,\qquad s(t) = \int_a^t|\mathbf r'(u)|\,du,\ \ \frac{ds}{dt} = |\mathbf r'(t)|$$

เส้นโค้ง $y = f(x)$: $L = \int_a^b\sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx$ · อินทิกรัลมักไม่มีรูปปิด ใช้วิธีเชิงตัวเลข (แล็บใช้ Gauss–Legendre) · พารามิเตอร์ด้วย $s$: $\mathbf r(s)$ มีอัตราเร็ว 1 เสมอ

ตัวอย่าง R-4 · ความยาวเกลียว

### หาความยาวของ $\mathbf r(t) = \langle\cos t,\ \sin t,\ t\rangle$ สำหรับ $0 \le t \le 2\pi$ (หนึ่งรอบ)

- $\mathbf r' = \langle-\sin t,\ \cos t,\ 1\rangle$ · $|\mathbf r'| = \sqrt{\sin^2t + \cos^2t + 1} = \sqrt2$ (คงที่ทั้งเส้น)

- $L = \displaystyle\int_0^{2\pi}\sqrt2\,dt = 2\pi\sqrt2 \approx 8.886$

- ตรวจด้วยเรขาคณิต: คลี่ผิวทรงกระบอกออกเป็นแผ่นราบ เกลียวเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมกว้าง $2\pi$ (เส้นรอบวง) สูง $2\pi$ (ระยะยก) → $\sqrt{(2\pi)^2 + (2\pi)^2} = 2\pi\sqrt2$ ✓

$L = 2\pi\sqrt2 \approx 8.886$

ตัวอย่าง R-5 · ทางลาดเกลียวของลานจอดรถ (โยธา)

### ทางลาดวนรัศมี 15 m ขึ้นสูง 4 m ต่อหนึ่งรอบ หาความยาวทางลาดต่อรอบและความชัน

- $\mathbf r(t) = \langle 15\cos t,\ 15\sin t,\ ct\rangle$ โดยยก 4 m ใน $2\pi$: $c = 4/(2\pi) = 0.6366$ m/rad

- $|\mathbf r'| = \sqrt{15^2 + c^2} = \sqrt{225.405} = 15.0135$ m/rad

- $L = 2\pi\times15.0135 = 94.33$ m ต่อรอบ

- ความชัน (grade) = ระยะยกต่อระยะทางราบ = $4/(2\pi\cdot15) = 4/94.25 = 4.24\%$ (ตามแนวรัศมี 15 m) · ที่ขอบในรัศมีเล็กกว่า ความชันจะมากกว่า (รัศมี 6 m ได้ 10.6%) จึงต้องตรวจเกณฑ์ความชันสูงสุดของทางลาด (มักไม่เกิน 12–15%)

$L = 94.33$ m ต่อรอบ · ความชัน $4.24\%$ ที่รัศมี 15 m

## ความโค้งและกรอบ Frenet–Serret ขั้นสูง

เส้นตรงไม่โค้ง วงกลมรัศมีเล็กโค้งมากกว่าวงกลมรัศมีใหญ่ ความโค้ง (curvature) $\kappa$ วัดว่าทิศสัมผัส $\mathbf T$ หมุนเร็วเท่าไรต่อระยะทางที่เดิน: $\kappa = |d\mathbf T/ds|$ รัศมีความโค้ง $R = 1/\kappa$ คือรัศมีของวงกลมที่แนบกับเส้นโค้งที่สุดที่จุดนั้น (วงกลมออสคิวเลติง) ดังนั้นโค้งแหลม = $\kappa$ มาก = $R$ เล็ก

R9 Curvature ความโค้ง

$$\kappa = \left|\frac{d\mathbf T}{ds}\right| = \frac{|\mathbf T'(t)|}{|\mathbf r'(t)|} = \frac{|\mathbf r'(t)\times\mathbf r''(t)|}{|\mathbf r'(t)|^3},\qquad R = \frac1\kappa$$

สูตรขวาสุดใช้ง่ายที่สุดในทางปฏิบัติ · วงกลมรัศมี $R$: $\kappa = 1/R$ · เส้นตรง: $\kappa = 0$ · เกลียว $\langle a\cos t, a\sin t, bt\rangle$: $\kappa = \dfrac{a}{a^2 + b^2}$

R10 Curvature of a plane curve ความโค้งของเส้นโค้งในระนาบ

$$y = f(x):\quad \kappa = \frac{|f''(x)|}{\big(1 + f'(x)^2\big)^{3/2}};\qquad \mathbf r = \langle x(t), y(t)\rangle:\quad \kappa = \frac{|x'y'' - y'x''|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}$$

ใช้กับการโก่งตัวของคาน ($\kappa \approx f''$ เมื่อลาดน้อย) และทางโค้งแนวดิ่งของถนน

R11 Frenet–Serret frame กรอบ Frenet–Serret

$$\mathbf T = \frac{\mathbf r'}{|\mathbf r'|},\quad \mathbf N = \frac{\mathbf T'}{|\mathbf T'|},\quad \mathbf B = \mathbf T\times\mathbf N;\qquad \frac{d\mathbf T}{ds} = \kappa\mathbf N,\quad \frac{d\mathbf N}{ds} = -\kappa\mathbf T + \tau\mathbf B,\quad \frac{d\mathbf B}{ds} = -\tau\mathbf N$$

$\mathbf T, \mathbf N, \mathbf B$ เป็นหนึ่งหน่วยและตั้งฉากกันเป็นระบบมือขวา · ระนาบที่ขึงด้วย $\mathbf T, \mathbf N$ คือระนาบออสคิวเลติง · ในเส้นโค้งระนาบ $\mathbf B$ คงที่ และ $\tau = 0$

R12 Torsion ทอร์ชัน (การบิดของเส้นโค้ง)

$$\tau = \frac{(\mathbf r'\times\mathbf r'')\cdot\mathbf r'''}{|\mathbf r'\times\mathbf r''|^2}$$

$\tau = 0$ ทุกจุด ↔ เส้นโค้งอยู่ในระนาบเดียว · $\tau$ เป็นบวกเมื่อบิดแบบมือขวา (เหมือนสกรูมาตรฐาน) · เกลียวมือขวา $\langle a\cos t, a\sin t, bt\rangle$: $\tau = \dfrac{b}{a^2 + b^2}$

R13 Tangential and normal acceleration ความเร่งสัมผัสและความเร่งตั้งฉาก

$$\mathbf a = a_T\,\mathbf T + a_N\,\mathbf N,\quad a_T = \frac{d|\mathbf v|}{dt} = \frac{\mathbf r'\cdot\mathbf r''}{|\mathbf r'|},\quad a_N = \kappa|\mathbf v|^2 = \frac{|\mathbf r'\times\mathbf r''|}{|\mathbf r'|},\quad |\mathbf a|^2 = a_T^2 + a_N^2$$

$a_T$ เปลี่ยนอัตราเร็ว · $a_N$ เปลี่ยนทิศ (มี $v^2/R$ เสมอ) · ความเร่งไม่มีองค์ประกอบตามแนว $\mathbf B$

ตัวอย่าง R-6 · κ และ τ ของเกลียว

### หา $\kappa$ และ $\tau$ ของ $\mathbf r(t) = \langle\cos t,\ \sin t,\ t\rangle$

- $\mathbf r' = \langle-\sin t,\ \cos t,\ 1\rangle$ · $\mathbf r'' = \langle-\cos t,\ -\sin t,\ 0\rangle$ · $\mathbf r''' = \langle\sin t,\ -\cos t,\ 0\rangle$

- $\mathbf r'\times\mathbf r'' = \langle\sin t,\ -\cos t,\ 1\rangle$ · $|\mathbf r'\times\mathbf r''| = \sqrt2$ · $|\mathbf r'| = \sqrt2$

- $\kappa = \dfrac{\sqrt2}{(\sqrt2)^3} = \dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2} = \dfrac12$ → รัศมีความโค้ง $R = 2$ (ใหญ่กว่ารัศมีของกระบอก 1 เพราะเกลียวเอียงขึ้น)

- $\tau = \dfrac{(\mathbf r'\times\mathbf r'')\cdot\mathbf r'''}{2} = \dfrac{\sin^2t + \cos^2t + 0}{2} = \dfrac12$ (บวก = เกลียวมือขวา)

- ตรวจด้วยสูตรทั่วไป $a = 1,\ b = 1$: $\kappa = \dfrac{a}{a^2+b^2} = \dfrac12$ และ $\tau = \dfrac{b}{a^2 + b^2} = \dfrac12$ ✓ (ทั้งคู่คงที่ทุกจุด)

$\kappa = \tfrac12$ · $R = 2$ · $\tau = \tfrac12$ (ค่าคงที่ตลอดเส้นโค้ง)

ตัวอย่าง R-7 · ความเร่งสัมผัสและตั้งฉาก

### $\mathbf r(t) = \langle t, t^2, t^3\rangle$ ที่ $t = 1$ หา $a_T,\ a_N,\ \kappa,\ \tau$

- จาก R-1: $\mathbf r'(1) = \langle1, 2, 3\rangle$ · $\mathbf r''(t) = \langle0, 2, 6t\rangle$ → $\mathbf r''(1) = \langle0, 2, 6\rangle$ · $\mathbf r'''= \langle0, 0, 6\rangle$

- $\mathbf r'\cdot\mathbf r'' = 0 + 4 + 18 = 22$ · $|\mathbf r'| = \sqrt{14}$ → $a_T = 22/\sqrt{14} = 5.880$

- $\mathbf r'\times\mathbf r'' = \langle 2\cdot6 - 3\cdot2,\ 3\cdot0 - 1\cdot6,\ 1\cdot2 - 0\rangle = \langle6, -6, 2\rangle$ · $|\,\cdot\,| = \sqrt{76} = 8.718$ → $a_N = 8.718/3.742 = 2.330$

- ตรวจ: $a_T^2 + a_N^2 = 34.57 + 5.43 = 40.0 = |\mathbf r''|^2 = 4 + 36$ ✓

- $\kappa = \dfrac{8.718}{14^{3/2}} = \dfrac{8.718}{52.38} = 0.1664$ ($R = 6.01$) · $\tau = \dfrac{(6, -6, 2)\cdot(0, 0, 6)}{76} = \dfrac{12}{76} = 0.1579$

$a_T = 5.880,\ a_N = 2.330,\ \kappa = 0.1664,\ \tau = 0.1579$ (ผลของแล็บตรงกันทุกค่า)

ตัวอย่าง R-8 · ทางโค้งถนน (โยธา)

### รถวิ่ง 100 km/h ผ่านทางโค้งราบรัศมี 300 m ความเร่งด้านข้างเท่าไร และต้องการแรงเสียดทานข้างเท่าไรถ้าไม่มี superelevation

- อัตราเร็ว $v = 100/3.6 = 27.78$ m/s · วิ่งคงที่ จึง $a_T = 0$ และ $\mathbf a = a_N\mathbf N$

- $\kappa = 1/300 = 0.00333$ m⁻¹ · $a_N = \kappa v^2 = v^2/R = \dfrac{27.78^2}{300} = 2.572$ m/s² ($= 0.262\,g$)

- ถ้าถนนราบ แรงเสียดทานข้างต่อน้ำหนักต้อง $f = a_N/g = 0.262$ (ใกล้ขีดจำกัดของผิวถนนเปียก 0.3–0.4) ในการออกแบบจริงจึงยกขอบนอกทางโค้ง (superelevation $e$) ให้ $e + f = v^2/(gR)$

- ความโค้งของถนน $\kappa$ คือสิ่งที่ผู้ออกแบบกำหนดจากรัศมีต่ำสุดที่ยอมรับได้สำหรับความเร็วออกแบบ ($R_{\min} = v^2/(g(e + f))$)

$a_N = 2.57$ m/s² $\approx 0.26\,g$ · ถ้าไม่ยกขอบ ต้องมีสัมประสิทธิ์เสียดทานข้าง $\ge 0.26$

ตัวอย่าง R-9 · อิเล็กตรอนในสนามแม่เหล็ก (ไฟฟ้า)

### อิเล็กตรอนมี $v_\perp = 2\times10^6$ m/s (ตั้งฉากสนาม) และ $v_\parallel = 10^6$ m/s (ขนานสนาม) ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ $B = 1$ mT จงหาวิถี รัศมี คาบ และพิตช์

- แรงลอเรนซ์ $\mathbf F = q\mathbf v\times\mathbf B$ ตั้งฉากกับ $\mathbf v$ จึงไม่ทำงาน อัตราเร็วคงที่ · ในระนาบตั้งฉากสนามเคลื่อนที่เป็นวงกลม ส่วนตามสนามเคลื่อนที่สม่ำเสมอ → วิถีเป็นเกลียว $\mathbf r(t) = \langle R\cos\omega t,\ R\sin\omega t,\ v_\parallel t\rangle$

- จาก $m\dfrac{v_\perp^2}{R} = ev_\perp B$: $R = \dfrac{mv_\perp}{eB} = \dfrac{9.109\times10^{-31}\times2\times10^6}{1.602\times10^{-19}\times10^{-3}} = 1.137\times10^{-2}$ m = 11.4 mm

- ความถี่ไซโคลตรอน $\omega = \dfrac{eB}{m} = 1.759\times10^{8}$ rad/s · คาบ $T = \dfrac{2\pi m}{eB} = 3.572\times10^{-8}$ s ($f \approx 28.0$ MHz) ไม่ขึ้นกับ $v_\perp$

- พิตช์ (ระยะตามสนามต่อหนึ่งรอบ) $p = v_\parallel T = 10^6\times3.572\times10^{-8} = 0.0357$ m = 35.7 mm

- ความโค้งของเกลียวนี้ $\kappa = \dfrac{R}{R^2 + (p/2\pi)^2}$ ซึ่งเป็นเรื่องเดียวกับเกลียวใน R-6 ที่ $a = R,\ b = v_\parallel/\omega$

เกลียวรัศมี $R = 11.4$ mm · คาบ $35.7$ ns (28.0 MHz) · พิตช์ $35.7$ mm

## นำไปใช้ในงานวิศวกรรม พื้นฐาน

| สาขา | ฟังก์ชันเวกเตอร์ / ปริมาณ | ใช้ทำอะไร |

| ไฟฟ้า | $\mathbf r(t)$ ของอนุภาคมีประจุ · $\mathbf F = q\mathbf v\times\mathbf B$ | วิถีเกลียวในสนามแม่เหล็ก มวลสเปกโตรมิเตอร์ ไซโคลตรอน (ตัวอย่าง R-9) |

| ไฟฟ้า | $\mathbf r(t)$ ของลวดขดโซลินอยด์ | ความยาวลวดทั้งหมดจากเกลียว (R8) สำหรับคำนวณความต้านทาน |

| เครื่องกล | $\mathbf r(t)$ ของปลายแขนกล / หัวเลเซอร์ | ความเร็ว $\mathbf v$ และความเร่ง $\mathbf a$ ที่ต้องการจากมอเตอร์ (แขนกล) |

| เครื่องกล | $a_N = \kappa v^2$ | แรงสู่ศูนย์กลางของโรเตอร์ (ตัวอย่าง R-3) และรางลูกเบี้ยว |

| เครื่องกล | เส้นทาง CNC $\mathbf r(s)$ | ความเร็วป้อนต้องลดที่ความโค้งสูงเพื่อจำกัด $a_N$ |

| โยธา | แนวเส้นทางถนน/ทางรถไฟ $\mathbf r(s)$ | รัศมีโค้งต่ำสุด superelevation ความยาวทางลาด (ตัวอย่าง R-5, R-8) |

| โยธา | เส้นโค้งสายเคเบิล/ซุ้มประตู | ความยาวส่วนโค้ง ความโค้งของคานที่โก่ง $\kappa \approx M/EI$ (แล็บคาน) |

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- สับสนความเร็วกับอัตราเร็ว · $\mathbf v$ เป็นเวกเตอร์ ส่วน $|\mathbf v|$ เป็นสเกลาร์ และอัตราเร็วคงที่ไม่ได้แปลว่าความเร่งเป็นศูนย์

- ลืมหารด้วย $|\mathbf r'|^3$ ในสูตร $\kappa$ · ผิดบ่อยกว่าที่คิด ตรวจกับวงกลมรัศมี $R$ ต้องได้ $1/R$

- ลืมว่า $\mathbf N$ ไม่ใช่ $\mathbf r''/|\mathbf r''|$ · $\mathbf r''$ มีองค์ประกอบตาม $\mathbf T$ ด้วย ($a_T$) ต้องทำ $\mathbf T'$ หรือ $\mathbf B\times\mathbf T$

- หา $\mathbf T$ ที่จุดที่ $\mathbf r' = \mathbf 0$ · เส้นโค้งไม่เรียบที่จุดนั้น (เช่นยอดแหลม) ทิศสัมผัสไม่นิยาม

- พารามิเตอร์ต่างกัน เข้าใจว่าเส้นโค้งต่างกัน · $\langle t, t^2\rangle$ กับ $\langle 2t, 4t^2\rangle$ เป็นพาราโบลาเดียวกัน ต่างที่ความเร็ว (ความยาวส่วนโค้งและ $\kappa$ เป็นสมบัติของเส้นทาง ไม่ใช่ของพารามิเตอร์)

ไปต่อที่สนามเวกเตอร์ (Divergence และ Curl) ซึ่งแต่ละจุดในอวกาศมีเวกเตอร์ผูกอยู่ แล้วค่อยรวมสนามตามเส้นทางในบทอินทิกรัลตามเส้น

## คำถามที่พบบ่อย

ฟังก์ชันเวกเตอร์ (vector-valued function) คืออะไร?
คือฟังก์ชันที่รับตัวเลขหนึ่งตัว (มักเป็นเวลา $t$) แล้วให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ เช่น $\mathbf r(t) = \langle x(t), y(t), z(t)\rangle$ ซึ่งแทนตำแหน่งของวัตถุที่เคลื่อนที่ในอวกาศ ปลายเวกเตอร์ตำแหน่งวาดเป็นเส้นโค้งเมื่อ $t$ เปลี่ยน ลิมิต อนุพันธ์ และอินทิกรัลทำทีละองค์ประกอบ เช่น $\mathbf r'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t)\rangle$ คือเวกเตอร์ความเร็ว

ความเร็วกับอัตราเร็ว (velocity vs speed) ต่างกันอย่างไร?
ความเร็ว (velocity) $\mathbf v = \mathbf r'(t)$ เป็นเวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศ (สัมผัสเส้นทาง) ส่วนอัตราเร็ว (speed) $|\mathbf v| = |\mathbf r'(t)|$ เป็นสเกลาร์ คือขนาดของความเร็ว ความเร่ง $\mathbf a = \mathbf r''(t)$ เป็นเวกเตอร์เช่นกัน ถ้าเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่แต่เส้นทางโค้ง ความเร็วยังเปลี่ยนทิศจึงยังมีความเร่ง (ความเร่งสู่ศูนย์กลาง)

คำนวณความยาวส่วนโค้ง (arc length) ของเส้นโค้งอย่างไร?
ใช้ $L = \int_a^b |\mathbf r'(t)|\,dt = \int_a^b \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}\,dt$ คืออินทิกรัลของอัตราเร็วตามเวลา ตัวอย่างเกลียว $\langle\cos t, \sin t, t\rangle$ มี $|\mathbf r'| = \sqrt2$ หนึ่งรอบ ($0 \le t \le 2\pi$) ยาว $2\pi\sqrt2 \approx 8.886$ ทางลาดเกลียวรัศมี 15 ม. ขึ้น 4 ม. ต่อรอบยาว 94.33 ม. สูตรนี้ไม่ขึ้นกับวิธีเลือกพารามิเตอร์

ความโค้ง (curvature) κ หาอย่างไร มีความหมายอย่างไร?
ความโค้งคืออัตราที่ทิศทางสัมผัสหมุนต่อความยาวส่วนโค้ง $\kappa = |d\mathbf T/ds|$ คำนวณได้จาก $\kappa = \dfrac{|\mathbf r' \times \mathbf r''|}{|\mathbf r'|^3}$ สำหรับเส้นโค้ง $y = f(x)$ ในระนาบใช้ $\kappa = \dfrac{|f''|}{(1 + f'^2)^{3/2}}$ รัศมีความโค้ง $R = 1/\kappa$ คือรัศมีวงกลมที่แนบกับเส้นโค้งที่สุด ในงานถนนความโค้งกำหนดความเร่งด้านข้าง $a_N = v^2/R$ ที่ผู้โดยสารรู้สึก

กรอบ Frenet–Serret (T, N, B) คืออะไร?
เป็นระบบแกนที่เคลื่อนไปกับเส้นโค้ง ประกอบด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วยสามตัวตั้งฉากกัน: $\mathbf T$ สัมผัสเส้นโค้ง (ทิศเคลื่อนที่) $\mathbf N = \mathbf T'/|\mathbf T'|$ ชี้เข้าหาจุดศูนย์กลางความโค้ง และ $\mathbf B = \mathbf T \times \mathbf N$ ตั้งฉากกับระนาบออสคิวเลติง ความเร่งแตกเป็น $\mathbf a = a_T\mathbf T + a_N\mathbf N$ โดย $a_T = \tfrac{d|\mathbf v|}{dt}$ (เปลี่ยนอัตราเร็ว) และ $a_N = \kappa|\mathbf v|^2$ (เปลี่ยนทิศ) ส่วน torsion $\tau$ วัดการบิดออกจากระนาบ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ฟังก์ชันเวกเตอร์ (vector-valued function) คืออะไร?**
คือฟังก์ชันที่รับตัวเลขหนึ่งตัว (มักเป็นเวลา $t$) แล้วให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ เช่น $\mathbf r(t) = \langle x(t), y(t), z(t)\rangle$ ซึ่งแทนตำแหน่งของวัตถุที่เคลื่อนที่ในอวกาศ ปลายเวกเตอร์ตำแหน่งวาดเป็นเส้นโค้งเมื่อ $t$ เปลี่ยน ลิมิต อนุพันธ์ และอินทิกรัลทำทีละองค์ประกอบ เช่น $\mathbf r'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t)\rangle$ คือเวกเตอร์ความเร็ว

**ความเร็วกับอัตราเร็ว (velocity vs speed) ต่างกันอย่างไร?**
ความเร็ว (velocity) $\mathbf v = \mathbf r'(t)$ เป็นเวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศ (สัมผัสเส้นทาง) ส่วนอัตราเร็ว (speed) $|\mathbf v| = |\mathbf r'(t)|$ เป็นสเกลาร์ คือขนาดของความเร็ว ความเร่ง $\mathbf a = \mathbf r''(t)$ เป็นเวกเตอร์เช่นกัน ถ้าเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่แต่เส้นทางโค้ง ความเร็วยังเปลี่ยนทิศจึงยังมีความเร่ง (ความเร่งสู่ศูนย์กลาง)

**คำนวณความยาวส่วนโค้ง (arc length) ของเส้นโค้งอย่างไร?**
ใช้ $L = \int_a^b |\mathbf r'(t)|\,dt = \int_a^b \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}\,dt$ คืออินทิกรัลของอัตราเร็วตามเวลา ตัวอย่างเกลียว $\langle\cos t, \sin t, t\rangle$ มี $|\mathbf r'| = \sqrt2$ หนึ่งรอบ ($0 \le t \le 2\pi$) ยาว $2\pi\sqrt2 \approx 8.886$ ทางลาดเกลียวรัศมี 15 ม. ขึ้น 4 ม. ต่อรอบยาว 94.33 ม. สูตรนี้ไม่ขึ้นกับวิธีเลือกพารามิเตอร์

**ความโค้ง (curvature) κ หาอย่างไร มีความหมายอย่างไร?**
ความโค้งคืออัตราที่ทิศทางสัมผัสหมุนต่อความยาวส่วนโค้ง $\kappa = |d\mathbf T/ds|$ คำนวณได้จาก $\kappa = \dfrac{|\mathbf r' \times \mathbf r''|}{|\mathbf r'|^3}$ สำหรับเส้นโค้ง $y = f(x)$ ในระนาบใช้ $\kappa = \dfrac{|f''|}{(1 + f'^2)^{3/2}}$ รัศมีความโค้ง $R = 1/\kappa$ คือรัศมีวงกลมที่แนบกับเส้นโค้งที่สุด ในงานถนนความโค้งกำหนดความเร่งด้านข้าง $a_N = v^2/R$ ที่ผู้โดยสารรู้สึก

**กรอบ Frenet–Serret (T, N, B) คืออะไร?**
เป็นระบบแกนที่เคลื่อนไปกับเส้นโค้ง ประกอบด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วยสามตัวตั้งฉากกัน: $\mathbf T$ สัมผัสเส้นโค้ง (ทิศเคลื่อนที่) $\mathbf N = \mathbf T'/|\mathbf T'|$ ชี้เข้าหาจุดศูนย์กลางความโค้ง และ $\mathbf B = \mathbf T \times \mathbf N$ ตั้งฉากกับระนาบออสคิวเลติง ความเร่งแตกเป็น $\mathbf a = a_T\mathbf T + a_N\mathbf N$ โดย $a_T = \tfrac{d|\mathbf v|}{dt}$ (เปลี่ยนอัตราเร็ว) และ $a_N = \kappa|\mathbf v|^2$ (เปลี่ยนทิศ) ส่วน torsion $\tau$ วัดการบิดออกจากระนาบ

---

# การควบคุมอัตโนมัติด้วย PLC

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/plc/
Updated: 2026-10-14
Summary: ชุดบทเรียน PLC ภาษาไทยครบชุด: PLC คืออะไร วงรอบการสแกน การต่อสายอินพุต-เอาต์พุต PNP NPN ซิงก์ ซอร์ส แลดเดอร์ไดอะแกรม ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ ภาษา IEC 61131-3 (LD FBD ST SFC) ควบคุมมอเตอร์ DOL กลับทาง สตาร์-เดลต้า การควบคุมแบบลำดับขั้น อนาล็อก 4–20 mA PID สั่งอินเวอร์เตอร์ Modbus การทดสอบระบบและความปลอดภัยเครื่องจักร พร้อมซิมูเลเตอร์แลดเดอร์ในเบราว์เซอร์

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 22 · PLC Automation · ช่างไฟฟ้า → นักศึกษา → วิศวกร

# การควบคุมอัตโนมัติด้วย PLC

PLC (Programmable Logic Controller) แทนที่ตู้รีเลย์นับร้อยตัวด้วยโปรแกรมที่แก้ไขได้ ชุดนี้สอนตั้งแต่ PLC สแกนอย่างไร ต่อเซนเซอร์ PNP/NPN ให้ถูก เขียนแลดเดอร์ ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ ไปจนถึงควบคุมมอเตอร์ สตาร์-เดลต้า ระบบลำดับขั้น อนาล็อก PID และการสั่งอินเวอร์เตอร์ ทุกตัวอย่างลองได้ทันทีในซิมูเลเตอร์ในหน้าเว็บ มี 43 สูตรที่มีรหัสอ้างอิง และ 10 ตัวอย่าง

สรุปใน 30 วินาที

- PLC วนทำสามอย่างซ้ำทุกไม่กี่มิลลิวินาที: อ่านอินพุต → รันโปรแกรม → เขียนเอาต์พุต

- แลดเดอร์: อนุกรม = AND · ขนาน = OR · NC = NOT · วงจรล็อกตัวเองเหมือนคอนแทกเตอร์

- เซนเซอร์ PNP คู่กับอินพุตแบบซิงก์ (COM ลง 0 V) · NPN คู่กับซอร์ส

- ปุ่ม STOP และหยุดฉุกเฉินต่อแบบ NC และอินเตอร์ล็อกสำคัญต้องคงไว้ในฮาร์ดแวร์

- ไทเมอร์ TON TOF TP และเคาน์เตอร์ CTU CTD ตาม IEC 61131-3 ใช้ได้ทุกยี่ห้อ

## เส้นทางเรียนตามระดับ

ระดับ 1 · ช่าง · ปวช.–ปวส.

### ต่อสายและเขียนแลดเดอร์
PLC คืออะไร ต่อ I/O แลดเดอร์ ล็อกตัวเอง ไทเมอร์ เคาน์เตอร์
พื้นฐาน → ต่อสาย I/O → แลดเดอร์ → ไทเมอร์

ระดับ 2 · ช่างเทคนิค · โปรแกรมเมอร์

### งานจริงในโรงงาน
ควบคุมมอเตอร์ ลำดับขั้น อนาล็อก สั่ง VFD ทดสอบระบบ
ควบคุมมอเตอร์ → ลำดับขั้น → อนาล็อก · PID

ระดับ 3 · นักศึกษาวิศวกรรม · วิศวกร

### ออกแบบเชิงระบบ
พีชคณิตบูลีน สเตตแมชชีน SFC ST เวลาตอบสนอง PID เชิงตัวเลข ความปลอดภัยเชิงฟังก์ชัน
IEC 61131-3 → SFC → ความปลอดภัย

## ลองเลย: PLC สตาร์-เดลต้าในเบราว์เซอร์

กด START (I0.1) แล้วดูเส้นสีเขียวไหลในแลดเดอร์ ไทเมอร์ T1 นับ 6 วินาที K2 (สตาร์) ปล่อย รอช่วงตาย 80 ms แล้ว K3 (เดลต้า) ดูด เลือกตัวอย่างอื่นจากเมนู หรือเปิด “แก้ไขโปรแกรม” เพื่อเขียนเอง ซิมูเลเตอร์เต็มพร้อมใบงานอยู่ที่ ซิมูเลเตอร์แลดเดอร์

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้ซิมูเลเตอร์

## สมการหลักที่ใช้ทั้งชุด

H1 Worst-case response เวลาตอบสนองแย่ที่สุด

$$t_{resp,max} \approx t_{in} + 2\,t_{scan} + t_{out}$$

H2 Latch rung แลดเดอร์ล็อกตัวเอง

$$Q = \overline{\text{STOP}}\cdot(\text{START} + Q) \;\;\equiv\;\; \text{STOP ต่อ NC → ในโปรแกรมใช้หน้าสัมผัส NO}$$

H3 On-delay timer ไทเมอร์หน่วงเวลาเปิด

$$Q_{TON} = IN \wedge (ET \ge PT) \qquad ET \le PT$$

H4 Analog scaling สเกลค่าแอนะล็อก

$$y = y_{min} + (x - x_{min})\,\frac{y_{max} - y_{min}}{x_{max} - x_{min}}$$

## PLC ที่พบในภูมิภาคและการเรียกชื่อแอดเดรส

| ยี่ห้อ (ตัวอย่างรุ่น) | อินพุต | เอาต์พุต | หน่วยความจำ | ซอฟต์แวร์ |

| IEC 61131-3 (มาตรฐาน) | %IX0.0 | %QX0.0 | %MX0.0 | CODESYS และอื่น ๆ |

| Siemens (S7-1200/1500) | I0.0 | Q0.0 | M0.0 | TIA Portal |

| Mitsubishi (FX5U, iQ-R) | X0 | Y0 | M0 | GX Works3 |

| Omron (CP1, NX/NJ) | 0.00 | 100.00 | W0.00 | CX-Programmer / Sysmac Studio |

| Delta (DVP, AS) | X0 | Y0 | M0 | ISPSoft |

| Rockwell (Micro800, CompactLogix) | _IO_EM_DI_00 / tag | _IO_EM_DO_00 / tag | tag | CCW / Studio 5000 |

ชุดนี้ใช้รูปแบบ I0.0 / Q0.0 / M0.0 แบบ Siemens เพราะอ่านง่ายและแปลงไปยี่ห้ออื่นได้ตรงไปตรงมา

## ทุกบทในชุดนี้

ส่วนที่ 1

### พื้นฐาน PLC และฮาร์ดแวร์ PLC Basics & Hardware
PLC คืออะไร โครงสร้าง วงรอบการสแกน มาตรฐาน IEC 61131 และการต่อสายอินพุต-เอาต์พุต PNP/NPN

CPU22.1
PLC คืออะไร: โครงสร้าง CPU หน่วยความจำ I/O วงรอบการสแกน เวลาสแกน มาตรฐาน IEC 61131 และการเลือก PLC
What a PLC is
ประวัติจากรีเลย์สู่ PLC สถาปัตยกรรม การสแกนอินพุต-โปรแกรม-เอาต์พุต เวลาสแกนและเวลาตอบสนอง PLC แบบคอมแพกต์ โมดูลาร์ เซฟตี้ เทียบรีเลย์และไมโครคอนโทรลเลอร์ และยี่ห้อที่ใช้ในภูมิภาค
เปิดหน้า →สูตร F1, F2, …

24V22.2
การต่อสายอินพุต-เอาต์พุต PLC: ซิงก์-ซอร์ส เซนเซอร์ PNP/NPN เอาต์พุตรีเลย์-ทรานซิสเตอร์ โหลดเหนี่ยวนำ และแหล่งจ่าย 24 VDC
Wiring PLC inputs and outputs
อินพุต 24 VDC ตาม IEC 61131-2 ซิงก์กับซอร์ส เซนเซอร์ 3 สาย PNP NPN และ 2 สาย เอาต์พุตรีเลย์ ทรานซิสเตอร์ ไทรแอก ไดโอดและ RC สนับเบอร์ รีเลย์ต่อกลาง อนาล็อก 4–20 mA และการเลือกแหล่งจ่าย
เปิดหน้า →สูตร W1, W2, …

ส่วนที่ 2

### การเขียนโปรแกรม Programming
แลดเดอร์ ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ และภาษา IEC 61131-3 ทั้ง 5 แบบ พร้อมตัวอย่างโค้ดเดียวกันหลายภาษา

┤├22.3
แลดเดอร์ไดอะแกรมพื้นฐาน: หน้าสัมผัส NO NC คอยล์ AND OR ล็อกตัวเอง SET RESET ขอบสัญญาณ และพีชคณิตบูลีน
Ladder diagram basics
อ่านแลดเดอร์เหมือนวงจรรีเลย์ ตารางความจริง ปุ่ม STOP ที่ต่อแบบ NC ใช้หน้าสัมผัส NO ในโปรแกรม ทำไม? คอยล์ซ้ำ ขอบขาขึ้น-ขาลง และรูปแบบแอดเดรส Mitsubishi Omron Siemens IEC
เปิดหน้า →สูตร B1, B2, …

TON22.4
ไทเมอร์และเคาน์เตอร์ตาม IEC 61131-3: TON TOF TP CTU CTD CTUD พร้อมไดอะแกรมเวลาและตัวอย่างงานจริง
IEC 61131-3 timers and counters
หน่วงเวลาเปิด หน่วงเวลาปิด พัลส์ วงจรไฟกะพริบ นับชิ้นงาน รีเซ็ต เคาน์เตอร์ความเร็วสูง และกับดักเวลาสแกน
เปิดหน้า →สูตร T1, T2, …

ST22.5
ภาษาโปรแกรม PLC ตาม IEC 61131-3: LD FBD ST SFC และ IL โปรแกรมเดียวกันในหลายภาษา ชนิดข้อมูล และการเลือกใช้
PLC programming languages in IEC 61131-3
แลดเดอร์ ฟังก์ชันบล็อก Structured Text Sequential Function Chart ชนิดข้อมูล BOOL INT REAL TIME ฟังก์ชันบล็อกที่สร้างเอง และเมื่อไรควรใช้ภาษาไหน
เปิดหน้า →สูตร L1, L2, …

ส่วนที่ 3

### งานประยุกต์ในโรงงาน Industrial Applications
ควบคุมมอเตอร์ด้วย PLC การควบคุมแบบลำดับขั้น อนาล็อก PID และสั่งงานอินเวอร์เตอร์

M22.6
ควบคุมมอเตอร์ด้วย PLC: DOL กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้า รายการ I/O การต่อสาย อินเตอร์ล็อกฮาร์ดไวร์ และการตรวจสอบป้อนกลับคอนแทกเตอร์
Motor control with a PLC
แปลงวงจรคอนแทกเตอร์เป็นแลดเดอร์และ ST สิ่งที่ต้องคงไว้ในฮาร์ดแวร์ อินพุตโอเวอร์โหลด ตรวจคอนแทกเตอร์ค้าง และแบบวงจร PLC ควบคุมสตาร์-เดลต้าครบชุด
เปิดหน้า →สูตร M1, M2, …

SFC22.7
การควบคุมแบบลำดับขั้น: สเตตแมชชีน SFC/GRAFCET สัญญาณไฟจราจร สายพานคัดแยก และถังผสมแบบแบตช์
Sequential control
ออกแบบด้วยแผนภาพสถานะ ขั้นและเงื่อนไขเปลี่ยนขั้น เขียนเป็นแลดเดอร์แบบ SET/RESET และ ST แบบ CASE โหมดอัตโนมัติ-มือ หยุดฉุกเฉินและการกลับสู่จุดเริ่ม
เปิดหน้า →สูตร S1, S2, …

PID22.8
อนาล็อก PID และการสั่งงานอินเวอร์เตอร์ด้วย PLC: สเกล 4–20 mA บล็อก PID ปั๊มแรงดันคงที่ และ Modbus RTU
Analog, PID and commanding VFDs from a PLC
สูตรสเกลค่า raw เป็นหน่วยวิศวกรรม ตรวจสายขาด PID แบบ positional ปรับจูน สั่ง VFD ด้วยดิจิทัล อนาล็อก และ Modbus RTU พร้อมแผนที่รีจิสเตอร์ตัวอย่าง
เปิดหน้า →สูตร P1, P2, …

ส่วนที่ 4

### ติดตั้ง ความปลอดภัย และแล็บ Commissioning, Safety & Lab
ขั้นตอนทดสอบระบบ ความปลอดภัยเครื่องจักร การแก้ปัญหา และซิมูเลเตอร์แลดเดอร์ในเบราว์เซอร์

⚠22.9
ทดสอบระบบ PLC ความปลอดภัยเครื่องจักร และการแก้ปัญหา: ลูปเช็ก การ Force หยุดฉุกเฉิน IEC 60204-1 ISO 13849 และเอกสาร
PLC commissioning, machine safety and troubleshooting
ขั้นตอนก่อนจ่ายไฟ ทดสอบ I/O ทีละจุด อันตรายของการ Force หมวดหยุด 0/1/2 รีเลย์เซฟตี้ PL และ SIL การสำรองโปรแกรม และผังแก้ปัญหา
เปิดหน้า →สูตร K1, K2, …

▶22.10
ซิมูเลเตอร์ PLC แลดเดอร์ในเบราว์เซอร์: เขียนโปรแกรม เห็นกระแสไหลในแลดเดอร์ ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ และตัวอย่างพร้อมใช้
In-browser PLC ladder simulator
แก้ไขโปรแกรมแบบข้อความ แสดงเป็นแลดเดอร์อัตโนมัติ กดอินพุตแล้วเห็นการสแกน TON TOF CTU SET RESET ขอบสัญญาณ ตัวอย่าง DOL กลับทาง สตาร์-เดลต้า ไฟจราจร ถังน้ำ และใบงาน
เปิดหน้า →ซิมูเลเตอร์ + ใบงาน

## ค้นหาสูตรทั้งหมดในที่เดียว

รหัส: H ภาพรวม · F พื้นฐาน · W ต่อสาย I/O · B แลดเดอร์ · T ไทเมอร์/เคาน์เตอร์ · L ภาษา · M มอเตอร์ · S ลำดับขั้น · P อนาล็อก/PID · K ทดสอบ/ความปลอดภัย

## ต่อยอดบนเว็บนี้

- การควบคุมมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสสลับ — วงจรคอนแทกเตอร์ทุกแบบที่นำมาเขียนเป็นแลดเดอร์ในชุดนี้

- สัญญาณ 4–20 mA และ HART · Modbus RTU/TCP · แล็บวัดคุมเสมือนที่มี PLC

- ระบบควบคุม: PID — ทฤษฎีเบื้องหลังบล็อก PID ใน PLC

## มาตรฐานและแหล่งอ้างอิง

- IEC 61131-1 (ภาพรวม) · IEC 61131-2 (ฮาร์ดแวร์ ชนิดอินพุต 24 VDC) · IEC 61131-3 (ภาษาโปรแกรม)

- IEC 60204-1 (อุปกรณ์ไฟฟ้าของเครื่องจักร หมวดการหยุด) · ISO 13849-1 / IEC 62061 (ความปลอดภัยเชิงฟังก์ชันของเครื่องจักร)

- IEC 60848 (GRAFCET) · Modbus Application Protocol Specification (Modbus Organization)

- F. D. Petruzella, Programmable Logic Controllers · W. Bolton, Programmable Logic Controllers · คู่มือของผู้ผลิต PLC

## คำถามที่พบบ่อย

เรียน PLC ต้องรู้อะไรก่อน?
ควรเข้าใจวงจรควบคุมด้วยคอนแทกเตอร์ (ล็อกตัวเอง อินเตอร์ล็อก ไทเมอร์) เพราะแลดเดอร์ถูกออกแบบให้อ่านเหมือนวงจรรีเลย์ และรู้ไฟฟ้าพื้นฐาน 24 VDC กับ 230 VAC เพื่อต่อสาย I/O ได้ถูก ทั้งหมดนี้อยู่ในชุดควบคุมมอเตอร์บนเว็บนี้

ควรเริ่มกับ PLC ยี่ห้อไหน?
หลักการเหมือนกันทุกยี่ห้อเพราะอิงมาตรฐาน IEC 61131 เลือกยี่ห้อที่ใช้ในโรงงานหรือสถานศึกษาใกล้ตัว และที่มีซอฟต์แวร์ฟรีพร้อมซิมูเลเตอร์ ในภูมิภาคนี้พบ Mitsubishi, Omron, Siemens, Delta, Schneider, Rockwell และ Keyence บ่อย

PLC ต่างจาก Arduino หรือไมโครคอนโทรลเลอร์อย่างไร?
PLC ออกแบบมาสำหรับสภาพแวดล้อมโรงงาน: I/O 24 VDC ที่ทนสัญญาณรบกวนและมีการแยกโดดเดี่ยว ทำงานแบบสแกนที่คาดเดาได้ มีการวินิจฉัยตัวเอง ภาษาตามมาตรฐาน ซ่อมและเปลี่ยนโมดูลได้ระหว่างใช้งาน และผ่านการรับรองตามมาตรฐานอุตสาหกรรม ส่วนไมโครคอนโทรลเลอร์ยืดหยุ่นและถูกกว่า แต่ผู้ใช้ต้องสร้างความทนทานเหล่านี้เอง

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เรียน PLC ต้องรู้อะไรก่อน?**
ควรเข้าใจวงจรควบคุมด้วยคอนแทกเตอร์ (ล็อกตัวเอง อินเตอร์ล็อก ไทเมอร์) เพราะแลดเดอร์ถูกออกแบบให้อ่านเหมือนวงจรรีเลย์ และรู้ไฟฟ้าพื้นฐาน 24 VDC กับ 230 VAC เพื่อต่อสาย I/O ได้ถูก ทั้งหมดนี้อยู่ในชุดควบคุมมอเตอร์บนเว็บนี้

**ควรเริ่มกับ PLC ยี่ห้อไหน?**
หลักการเหมือนกันทุกยี่ห้อเพราะอิงมาตรฐาน IEC 61131 เลือกยี่ห้อที่ใช้ในโรงงานหรือสถานศึกษาใกล้ตัว และที่มีซอฟต์แวร์ฟรีพร้อมซิมูเลเตอร์ ในภูมิภาคนี้พบ Mitsubishi, Omron, Siemens, Delta, Schneider, Rockwell และ Keyence บ่อย

**PLC ต่างจาก Arduino หรือไมโครคอนโทรลเลอร์อย่างไร?**
PLC ออกแบบมาสำหรับสภาพแวดล้อมโรงงาน: I/O 24 VDC ที่ทนสัญญาณรบกวนและมีการแยกโดดเดี่ยว ทำงานแบบสแกนที่คาดเดาได้ มีการวินิจฉัยตัวเอง ภาษาตามมาตรฐาน ซ่อมและเปลี่ยนโมดูลได้ระหว่างใช้งาน และผ่านการรับรองตามมาตรฐานอุตสาหกรรม ส่วนไมโครคอนโทรลเลอร์ยืดหยุ่นและถูกกว่า แต่ผู้ใช้ต้องสร้างความทนทานเหล่านี้เอง

---

# อนาล็อก PID และการสั่งงานอินเวอร์เตอร์ด้วย PLC: สเกล 4–20 mA บล็อก PID ปั๊มแรงดันคงที่ และ Modbus RTU

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/plc/analog-pid-vfd/
Updated: 2026-10-14
Summary: งานแอนะล็อกใน PLC ครบชุด: ความละเอียด ADC สูตรสเกลค่าดิบเป็นหน่วยวิศวกรรม (Siemens 0–27648 Mitsubishi Omron) ตรวจสายขาดตาม NE 43 บล็อก PID แบบ positional และ discrete ค่าตั้ง Kp Ti Td การปรับจูนเบื้องต้น ตัวอย่างปั๊มแรงดันคงที่ สั่งอินเวอร์เตอร์ด้วยดิจิทัล อนาล็อก และ Modbus RTU พร้อมแผนที่รีจิสเตอร์ตัวอย่าง control word สถานะ และความถี่หน่วย 0.01 Hz

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 22.8 · PLC · Analog, PID & VFD

# อนาล็อก PID และการสั่งงานอินเวอร์เตอร์ด้วย PLC: สเกล 4–20 mA บล็อก PID ปั๊มแรงดันคงที่ และ Modbus RTU

โลกจริงไม่ได้มีแค่ 0 กับ 1: ความดัน ระดับ อุณหภูมิ และความเร็วมอเตอร์เป็นค่าต่อเนื่อง หน้านี้พาจากตัวเลขดิบในโมดูลแอนะล็อกไปสู่ลูปควบคุมความดันที่สั่งอินเวอร์เตอร์ ซึ่งเป็นงานที่พบมากที่สุดในอาคารและโรงงาน

สรุปใน 30 วินาที

- สเกล: $y = y_{min} + (x - x_{min})(y_{max} - y_{min})/(x_{max} - x_{min})$ คำนวณเป็น REAL

- ต่ำกว่า 3.6 mA หรือเกิน 21 mA = ความผิดพลาด ไม่ใช่ค่าวัด

- PID: $u = K_p\left(e + \frac{1}{T_i}\int e\,dt + T_d\frac{de}{dt}\right)$ · เริ่มจูนด้วย PI

- สั่ง VFD: DI + AI ง่ายที่สุด · Modbus ได้ข้อมูลกลับ (กระแส ความผิดพลาด) ด้วยสายคู่เดียว

## จากค่าดิบสู่หน่วยวิศวกรรม พื้นฐาน

รูป 1 · ทรานสมิตเตอร์ความดัน 0–10 bar 4–20 mA เข้าโมดูลแอนะล็อกที่ให้ค่าดิบ 0–27648

P1 Linear scaling สเกลเชิงเส้น

$$y = y_{min} + (x - x_{min})\,\frac{y_{max} - y_{min}}{x_{max} - x_{min}}$$

P2 Resolution ความละเอียดต่อหนึ่งหน่วยดิบ

$$\Delta y = \frac{y_{max} - y_{min}}{x_{max} - x_{min}} \qquad \text{เช่น } \frac{10\ \text{bar}}{27648} = 0.36\ \text{mbar}$$

P3 Signal validity (NAMUR NE 43) ตรวจความถูกต้องของสัญญาณ

$$3.8 \le I \le 20.5\ \text{mA ค่าวัดเชื่อได้} \qquad I \le 3.6 \text{ หรือ } I \ge 21\ \text{mA → ความผิดพลาด}$$

ตัวอย่าง P-1

### สเกลค่าดิบ 13824 ด้วย INT แล้วเกิดศูนย์

- ผิด: Bar := Raw / 27648 * 10; ใช้ INT → 13824/27648 = 0 (ปัดทิ้ง) → 0 bar

- ผิดอีกแบบ: Raw * 10 / 27648 ด้วย INT → 27648 × 10 = 276480 ล้น INT

- ถูก: Bar := INT_TO_REAL(Raw) * 10.0 / 27648.0; → 5.0 bar

- ตรวจ P3: โมดูล Siemens ให้ค่าดิบติดลบเมื่อกระแสต่ำกว่า 4 mA (ลงไปถึง −4864 ≈ 1.185 mA) และเมื่อเปิดการวินิจฉัยสายขาดจะรายงานค่าพิเศษ (32767) — ตรวจทั้งช่วงค่าดิบตาม P3 และบิตสถานะของโมดูล

## บล็อก PID ใน PLC กลาง

รูป 2 · ลูปความดันคงที่: SP − PV = e → PID → ความถี่ → VFD → ปั๊ม → ความดัน → ทรานสมิตเตอร์

P4 PID (standard form) PID แบบมาตรฐาน

$$u(t) = K_p\left(e + \frac{1}{T_i}\int_0^t e\,d\tau + T_d\,\frac{de}{dt}\right) \qquad e = SP - PV$$

P5 Discrete PID PID ดิจิทัล (คาบสุ่ม $T_s$)

$$u_k = K_p\left(e_k + \frac{T_s}{T_i}\sum_{j=0}^{k} e_j - \frac{T_d}{T_s}(PV_k - PV_{k-1})\right)$$

เทอมอนุพันธ์ใช้ PV แทน e (derivative on measurement) เพื่อไม่ให้กระชากเมื่อเปลี่ยน SP และต้องมี anti-windup: เมื่อเอาต์พุตชนขีด (เช่น 50 Hz) ให้หยุดสะสมอินทิกรัล งานปั๊ม-พัดลมส่วนใหญ่ใช้แค่ PI (Td = 0) เพราะสัญญาณความดันมีสัญญาณรบกวนมาก

### จูนเริ่มต้นสำหรับปั๊มแรงดันคงที่

- เริ่ม Kp เล็ก (เช่น 0.5 ของสเกลเต็ม) Ti ยาว (เช่น 5 s) Td = 0

- เพิ่ม Kp จนเริ่มแกว่ง แล้วลดลงครึ่งหนึ่ง

- ลด Ti ทีละน้อยจนค่ากลับเข้าเป้าเร็วพอโดยไม่แกว่ง (ปกติ 1–5 s สำหรับความดันน้ำ)

- ทดสอบด้วยการเปิด-ปิดก๊อกจริง ดูทั้งการตกและการพุ่งเกิน

ทดลองผลของ Kp Ti Td ได้ใน แล็บ PID และลูปความดันกับปั๊ม VFD ใน แล็บวัดคุมเสมือน

## สั่งอินเวอร์เตอร์จาก PLC กลาง

| วิธี | สาย | ข้อดี | ข้อจำกัด |

| ดิจิทัล + preset speed | DO → DI หลายเส้น | ง่าย ทนสัญญาณรบกวน | ได้ไม่กี่ความเร็ว |

| ดิจิทัล + แอนะล็อก | DO → RUN · AO → AI (4–20 mA) | ปรับต่อเนื่อง เข้าใจง่าย | ได้ข้อมูลกลับเพียงสิ่งที่เดินสายไว้ (AO, รีเลย์) |

| Modbus RTU (RS-485) | สายคู่บิดเกลียว 1 คู่ ต่อหลายไดรฟ์ | อ่านกระแส ความถี่ ความผิดพลาด ตั้งพารามิเตอร์ได้ | ต้องตั้งค่าการสื่อสาร ตอบสนองช้ากว่าเมื่อมีหลายสถานี |

| Industrial Ethernet | PROFINET EtherNet/IP Modbus TCP EtherCAT | เร็ว ข้อมูลมาก วินิจฉัยครบ | ต้องการโมดูลและการตั้งค่าเครือข่าย |

P6 Frequency setpoint over Modbus ค่าความถี่ที่ส่งทาง Modbus

$$\text{Reg} = \frac{f}{0.01\ \text{Hz}} \quad (35.5\ \text{Hz} \to 3550) \qquad \text{หรือ} \quad \text{Reg} = \frac{f}{f_{max}}\times \text{Scale}_{100\%}$$

แผนที่รีจิสเตอร์ตัวอย่าง (สมมติเพื่อการเรียน — ทุกยี่ห้อต่างกัน ต้องใช้คู่มือจริง)

| รีจิสเตอร์ | ชื่อ | อ่าน/เขียน | ค่า |

| 40001 | Control word | W | บิต 0 = RUN · บิต 1 = REV · บิต 2 = RESET |

| 40002 | Frequency reference | W | 0.01 Hz |

| 40011 | Status word | R | บิต 0 = Ready · บิต 1 = Running · บิต 3 = Fault |

| 40012 | Output frequency | R | 0.01 Hz |

| 40013 | Output current | R | 0.1 A |

| 40014 | Fault code | R | รหัสตามคู่มือ |

การต่อ RS-485 การคำนวณ CRC-16 และเครื่องสร้างเฟรมอยู่ใน Modbus RTU · TCP ข้อควรจำ: ตั้ง “communication timeout” ในไดรฟ์ ถ้า PLC เงียบเกินเวลาที่ตั้งให้ไดรฟ์หยุด มิฉะนั้นเมื่อสายสื่อสารขาด ไดรฟ์จะเดินค้างที่ความถี่สุดท้าย

ตัวอย่าง P-2

### PLC ส่ง 4–20 mA ให้ VFD ช่วง 20–50 Hz ต้องการ 42 Hz

- กลับสูตร P1: $I = 4 + 16\,(42 - 20)/(50 - 20) = 4 + 11.73 = 15.73$ mA

- ถ้าเอาต์พุตแอนะล็อก 0–27648 = 4–20 mA: ค่าดิบ $= 27648 \times 11.73/16 = 20275$

- ตั้งไดรฟ์ให้ตรวจ AI ต่ำกว่า 2 mA ว่าสายขาด และเลือกการตอบสนอง (หยุด/ความเร็วสำรอง)

## คำถามที่พบบ่อย

ใช้ PID ใน PLC หรือใน VFD ดีกว่า?
ถ้าเป็นลูปเดียวที่ทรานสมิตเตอร์ต่อเข้า VFD ได้ตรง PID ใน VFD ง่ายและตอบสนองเร็ว ทำงานต่อได้แม้ PLC ขัดข้อง ถ้าต้องประสานหลายปั๊ม มีหลายเงื่อนไข หรือต้องบันทึกและปรับจาก SCADA PID ใน PLC ยืดหยุ่นกว่า

Modbus สั่งความถี่ 35.5 Hz ต้องส่งค่าอะไร?
ขึ้นกับหน่วยของรีจิสเตอร์ในคู่มือไดรฟ์ ไดรฟ์หลายยี่ห้อใช้หน่วย 0.01 Hz จึงส่ง 3550 บางยี่ห้อใช้สัดส่วนของความถี่สูงสุด เช่น 0–16384 หรือ 0–10000 = 0–100 % ต้องอ่านคู่มือและทดสอบด้วยค่าต่ำก่อนเสมอ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ใช้ PID ใน PLC หรือใน VFD ดีกว่า?**
ถ้าเป็นลูปเดียวที่ทรานสมิตเตอร์ต่อเข้า VFD ได้ตรง PID ใน VFD ง่ายและตอบสนองเร็ว ทำงานต่อได้แม้ PLC ขัดข้อง ถ้าต้องประสานหลายปั๊ม มีหลายเงื่อนไข หรือต้องบันทึกและปรับจาก SCADA PID ใน PLC ยืดหยุ่นกว่า

**Modbus สั่งความถี่ 35.5 Hz ต้องส่งค่าอะไร?**
ขึ้นกับหน่วยของรีจิสเตอร์ในคู่มือไดรฟ์ ไดรฟ์หลายยี่ห้อใช้หน่วย 0.01 Hz จึงส่ง 3550 บางยี่ห้อใช้สัดส่วนของความถี่สูงสุด เช่น 0–16384 หรือ 0–10000 = 0–100 % ต้องอ่านคู่มือและทดสอบด้วยค่าต่ำก่อนเสมอ

---

# ทดสอบระบบ PLC ความปลอดภัยเครื่องจักร และการแก้ปัญหา: ลูปเช็ก การ Force หยุดฉุกเฉิน IEC 60204-1 ISO 13849 และเอกสาร

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/plc/commissioning-safety/
Updated: 2026-10-14
Summary: ขั้นตอนทดสอบและเดินระบบ PLC (commissioning): ตรวจก่อนจ่ายไฟ ทดสอบ I/O ทีละจุด ลูปเช็กแอนะล็อก อันตรายของการ Force บิต การสำรองและจัดเวอร์ชันโปรแกรม หมวดการหยุด 0 1 2 ตาม IEC 60204-1 หยุดฉุกเฉินด้วยรีเลย์เซฟตี้สองช่อง ระดับประสิทธิภาพ PL ตาม ISO 13849-1 และ SIL ตาม IEC 62061 ระยะติดตั้งม่านแสงตาม ISO 13855 และผังแก้ปัญหาเมื่อเครื่องไม่ทำงาน

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 22.9 · PLC · Commissioning & Safety

# ทดสอบระบบ PLC ความปลอดภัยเครื่องจักร และการแก้ปัญหา: ลูปเช็ก การ Force หยุดฉุกเฉิน IEC 60204-1 ISO 13849 และเอกสาร

โปรแกรมที่ผ่านซิมูเลเตอร์ยังไม่ใช่เครื่องที่พร้อมใช้ ช่วงเดินระบบคือช่วงที่เกิดอุบัติเหตุบ่อยที่สุด เพราะสายยังไม่ครบ คนยังไม่คุ้นเครื่อง และมีการแก้โปรแกรมสด หน้านี้ให้ขั้นตอนที่เป็นระบบ หลักความปลอดภัยที่บังคับในมาตรฐาน และวิธีหาจุดเสียอย่างมีหลักการ

สรุปใน 30 วินาที

- ทดสอบเป็นชั้น: สาย → ไฟเลี้ยง → I/O ทีละจุด → ลอจิกโดยไม่มีกำลัง → เดินจริง

- หยุดฉุกเฉิน = หมวดหยุด 0 หรือ 1 ผ่านอุปกรณ์เซฟตี้ ไม่ใช่ผ่านโปรแกรม PLC ทั่วไป

- ระดับที่ต้องการ (PLr) มาจากการประเมินความเสี่ยง · ระยะม่านแสง $S = K\,T + C$

- Force ทุกครั้งต้องมีขั้นตอน และต้องไม่เหลือค้างเมื่อส่งมอบ

## ขั้นตอนทดสอบและเดินระบบ พื้นฐาน

- ก่อนจ่ายไฟ: ตรวจสายตามแบบ ความต่อเนื่องของ PE ความเป็นฉนวนสายกำลัง (ปลดอิเล็กทรอนิกส์ออก) ขั้วขันแน่น

- จ่ายไฟทีละส่วน: ไฟควบคุม 24 VDC ก่อน วัดแรงดันที่ทุกกลุ่ม I/O · ไฟกำลังยังปลด

- ทดสอบอินพุตทีละจุด: กดปุ่ม/กระตุ้นเซนเซอร์จริงที่หน้างาน ดูบิตเปลี่ยนในซอฟต์แวร์ บันทึกในใบ I/O check

- ทดสอบเอาต์พุตทีละจุด: ขณะไฟกำลังยังปลด สั่งเอาต์พุต (ใช้โหมดทดสอบหรือ Force ตามขั้นตอน) ดูคอนแทกเตอร์ วาล์ว ไฟ ทำงานถูกตัว

- ลูปเช็กแอนะล็อก: ป้อนกระแส 4 · 12 · 20 mA ด้วยเครื่องสอบเทียบ อ่านค่าหน่วยวิศวกรรมใน PLC และบน HMI

- ทดสอบความปลอดภัย: หยุดฉุกเฉินทุกจุด ประตูนิรภัย ม่านแสง ตรวจว่าตัดพลังงานจริงและรีเซ็ตต้องทำด้วยมือ

- ทดสอบลอจิกแห้ง: เดินลำดับทั้งหมดโดยไฟกำลังปลด จำลองเซนเซอร์

- เดินจริง: ทีละมอเตอร์ ตรวจทิศ กระแส แล้วทั้งลำดับ ทั้งปกติและกรณีผิดปกติ (ดึงเซนเซอร์ ทริปโอเวอร์โหลด)

- ส่งมอบ: ไม่มี Force ค้าง สำรองโปรแกรมพร้อมคอมเมนต์ เอกสาร I/O list แบบวงจร as-built ค่าพารามิเตอร์ไดรฟ์

การ Force: ก่อน Force เอาต์พุตที่ทำให้เครื่องเคลื่อนที่ ต้องแจ้งทุกคนในพื้นที่ มีคนเฝ้าปุ่มหยุดฉุกเฉิน และบันทึก ซอฟต์แวร์ส่วนใหญ่แสดงสัญลักษณ์เตือนเมื่อมี Force — ตรวจทุกครั้งก่อนออกจากหน้างาน

## หมวดการหยุดและหยุดฉุกเฉิน (IEC 60204-1) กลาง

K1 Stop categories หมวดการหยุด

$$\text{Cat 0: ตัดพลังงานทันที} \qquad \text{Cat 1: หยุดแบบควบคุมแล้วตัดพลังงาน} \qquad \text{Cat 2: หยุดแบบควบคุม คงพลังงานไว้}$$

หยุดฉุกเฉินต้องเป็นหมวด 0 หรือ 1 เท่านั้น หมวด 1 ใช้เมื่อการตัดทันทีอันตรายกว่า เช่น เครื่องเหวี่ยงขนาดใหญ่ที่ต้องเบรกด้วยไดรฟ์ก่อนตัดไฟ (ใช้รีเลย์เซฟตี้แบบหน่วงเวลา) ปุ่มหยุดฉุกเฉินเป็นหัวเห็ดสีแดงบนพื้นเหลือง ล็อกค้างเมื่อกด หน้าสัมผัสเปิดด้วยกลไกบังคับ และการปลดล็อกปุ่มต้องไม่ทำให้เครื่องเดินเอง

รูป 1 · รีเลย์เซฟตี้ตรวจสองช่องและการลัดข้ามช่อง หน้าสัมผัสเซฟตี้ต่ออนุกรมกับเอาต์พุต PLC จึงตัดคอยล์ได้เสมอ PLC เพียงอ่านสถานะ

## ระดับความปลอดภัย PL และ SIL ขั้นสูง

ISO 13849-1 ประเมินความเสี่ยงจากสามปัจจัย: ความรุนแรงของการบาดเจ็บ (S1 เล็กน้อย / S2 รุนแรง) ความถี่ที่สัมผัสอันตราย (F1 นาน ๆ ครั้ง / F2 บ่อย) และโอกาสหลบเลี่ยง (P1 เป็นไปได้ / P2 แทบเป็นไปไม่ได้) ได้ระดับที่ต้องการ PLr ตั้งแต่ a ถึง e จากนั้นออกแบบฟังก์ชันความปลอดภัย (โครงสร้างหมวด B 1 2 3 4 อายุอุปกรณ์ MTTFd การตรวจจับความผิดพลาด DC) ให้ได้ PL ≥ PLr

K2 PL / SIL by dangerous failure rate ระดับตามอัตราความล้มเหลวอันตรายต่อชั่วโมง

$$\text{PL d} \approx \text{SIL 2}: 10^{-7} \le PFH_D

| ตัวอย่างฟังก์ชัน | PLr ที่พบบ่อย | วิธีทำทั่วไป |

| หยุดฉุกเฉินเครื่องจักรทั่วไป | c–d | ปุ่มสองช่อง + รีเลย์เซฟตี้ + คอนแทกเตอร์สองตัวอนุกรมพร้อมป้อนกลับ |

| ประตูนิรภัยเครื่องตัด/เครื่องอัด | d–e | สวิตช์ประตูสองตัวหรือสวิตช์เข้ารหัส + safety PLC |

| ม่านแสงหน้าเครื่องปั๊ม | d–e | ม่านแสง Type 4 + ระยะติดตั้งตาม K3 |

K3 Minimum safety distance (ISO 13855) ระยะติดตั้งขั้นต่ำของม่านแสง

$$S = K\,T + C \qquad K = 2000\ \text{mm/s (ถ้า } S \le 500\ \text{mm)},\ 1600\ \text{mm/s (ถ้ามากกว่า)} \qquad C = 8(d - 14)\ \text{mm},\ d \le 40\ \text{mm}$$

ตัวอย่าง K-1

### ม่านแสงความละเอียด 14 mm เวลาหยุดรวม 120 ms

- เวลารวม T = เวลาตอบสนองม่านแสง + รีเลย์เซฟตี้ + เวลาหยุดของเครื่อง (วัดจริง) = 0.12 s

- $C = 8(14 - 14) = 0$ · $S = 2000(0.12) + 0 = 240$ mm ≤ 500 ✓ ใช้ K = 2000

- ติดตั้งม่านแสงห่างจุดอันตรายอย่างน้อย 240 mm (ขั้นต่ำตามมาตรฐานคือ 100 mm) และกันการเอื้อมข้ามด้านบน-ด้านข้าง

## แก้ปัญหาเมื่อเครื่องไม่ทำงาน กลาง

- ดูสถานะ PLC: RUN/STOP ไฟ ERR ไฟแบตเตอรี่ บันทึกเหตุการณ์ (diagnostic buffer)

- ดู HMI: ข้อความแจ้งเตือน ขั้นที่ค้าง (ถ้าเขียนแบบสเตตแมชชีน)

- ไล่จากเอาต์พุตย้อนกลับ: เอาต์พุตที่ควรติดแต่ไม่ติด → เปิดรังนั้นออนไลน์ → หาหน้าสัมผัสที่ “ไม่เขียว” → เป็นอินพุตหรือบิตภายใน?

- ถ้าเป็นอินพุต: ดูไฟ LED ที่โมดูล → ถ้าไม่ติด วัดแรงดันที่ขั้ว → ตรวจเซนเซอร์/สาย/ไฟเลี้ยงเซนเซอร์

- ถ้าบิตเอาต์พุตเป็น 1 แต่อุปกรณ์ไม่ทำงาน: ไฟ LED เอาต์พุต → ฟิวส์เอาต์พุต → รีเลย์ต่อกลาง → คอยล์ → อินเตอร์ล็อกฮาร์ดไวร์ (NC ช่วย, 95-96, รีเลย์เซฟตี้)

กฎทอง: “เปลี่ยนสิ่งเดียวในเวลาเดียว และบันทึกทุกการเปลี่ยน” โดยเฉพาะการแก้โปรแกรมออนไลน์ เก็บสำเนาก่อนแก้ทุกครั้ง และตั้งชื่อไฟล์ด้วยวันที่และสาเหตุ

## เอกสารที่ต้องส่งมอบ

- แบบวงจรไฟฟ้าฉบับ as-built พร้อมรายการอุปกรณ์

- รายการ I/O (แอดเดรส ชื่อ tag คำอธิบาย ชนิดสัญญาณ ช่วงสเกล)

- โปรแกรม PLC และ HMI ที่มีคอมเมนต์ ไฟล์ต้นฉบับ (ไม่ใช่แค่ไฟล์ที่ดึงจาก PLC) พร้อมรหัสผ่านที่ส่งมอบให้เจ้าของ

- ค่าพารามิเตอร์อินเวอร์เตอร์และอุปกรณ์อัจฉริยะทุกตัว

- ใบ I/O check ลูปเช็ก และผลทดสอบฟังก์ชันความปลอดภัยที่ลงนาม

- คู่มือการใช้งานและการกู้คืนเมื่อเครื่องหยุดฉุกเฉิน

## คำถามที่พบบ่อย

การ Force บิตใน PLC อันตรายอย่างไร?
Force บังคับค่าบิตโดยไม่สนเงื่อนไขในโปรแกรมหรือสถานะจริงของอินพุต เครื่องอาจเคลื่อนที่ในจังหวะที่ไม่มีใครคาด อินเตอร์ล็อกในซอฟต์แวร์ถูกข้าม และถ้าลืมยกเลิก ค่า Force จะค้างไปจนเกิดเหตุ ควรมีขั้นตอนขออนุญาต แจ้งคนในพื้นที่ บันทึก และตรวจว่าไม่มี Force ค้างก่อนส่งมอบเครื่อง

ปุ่มหยุดฉุกเฉินต่อเข้า PLC แล้วให้โปรแกรมตัดเอาต์พุตได้ไหม?
ไม่เพียงพอสำหรับ PLC มาตรฐาน หยุดฉุกเฉินต้องมีระดับความน่าเชื่อถือที่ประเมินตาม ISO 13849-1 หรือ IEC 62061 ซึ่ง PLC ทั่วไปไม่ได้รับรอง ให้ใช้รีเลย์เซฟตี้หรือ safety PLC ที่ตัดพลังงานจากอุปกรณ์ขับเคลื่อนโดยตรง แล้วนำสถานะเข้า PLC เพื่อแสดงผลและจัดลำดับการกลับมาทำงาน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**การ Force บิตใน PLC อันตรายอย่างไร?**
Force บังคับค่าบิตโดยไม่สนเงื่อนไขในโปรแกรมหรือสถานะจริงของอินพุต เครื่องอาจเคลื่อนที่ในจังหวะที่ไม่มีใครคาด อินเตอร์ล็อกในซอฟต์แวร์ถูกข้าม และถ้าลืมยกเลิก ค่า Force จะค้างไปจนเกิดเหตุ ควรมีขั้นตอนขออนุญาต แจ้งคนในพื้นที่ บันทึก และตรวจว่าไม่มี Force ค้างก่อนส่งมอบเครื่อง

**ปุ่มหยุดฉุกเฉินต่อเข้า PLC แล้วให้โปรแกรมตัดเอาต์พุตได้ไหม?**
ไม่เพียงพอสำหรับ PLC มาตรฐาน หยุดฉุกเฉินต้องมีระดับความน่าเชื่อถือที่ประเมินตาม ISO 13849-1 หรือ IEC 62061 ซึ่ง PLC ทั่วไปไม่ได้รับรอง ให้ใช้รีเลย์เซฟตี้หรือ safety PLC ที่ตัดพลังงานจากอุปกรณ์ขับเคลื่อนโดยตรง แล้วนำสถานะเข้า PLC เพื่อแสดงผลและจัดลำดับการกลับมาทำงาน

---

# ภาษาโปรแกรม PLC ตาม IEC 61131-3: LD FBD ST SFC และ IL — โปรแกรมเดียวกันในหลายภาษา ชนิดข้อมูล และการเลือกใช้

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/plc/iec-languages/
Updated: 2026-10-14
Summary: ภาษามาตรฐานของ PLC ทุกยี่ห้อตาม IEC 61131-3: Ladder Diagram (LD) Function Block Diagram (FBD) Structured Text (ST) Sequential Function Chart (SFC) และ Instruction List (IL) ที่ถูกยกเลิก โปรแกรมควบคุมมอเตอร์เดียวกันเขียนในทุกภาษา ชนิดข้อมูล BOOL INT DINT REAL TIME ค่าคงที่ T#5s ฟังก์ชันกับฟังก์ชันบล็อก การสร้าง FB มอเตอร์ใช้ซ้ำ และเมื่อไรควรใช้ภาษาไหน

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 22.5 · PLC · IEC 61131-3 Languages

# ภาษาโปรแกรม PLC ตาม IEC 61131-3: LD FBD ST SFC และ IL — โปรแกรมเดียวกันในหลายภาษา ชนิดข้อมูล และการเลือกใช้

IEC 61131-3 กำหนดห้าภาษาให้ PLC ทุกยี่ห้อ เพื่อให้คนที่เรียนจากยี่ห้อหนึ่งอ่านอีกยี่ห้อได้ หน้านี้เขียนงานเดียวกัน — มอเตอร์ล็อกตัวเองพร้อมแตรเตือน 5 วินาที — ในทุกภาษา ให้เห็นว่าแต่ละภาษาถนัดอะไร

สรุปใน 30 วินาที

- LD: ตรรกะบิต อ่านเหมือนวงจรรีเลย์ · FBD: บล็อกต่อสาย เหมาะงานกระบวนการ

- ST: ภาษาข้อความแบบ Pascal เหมาะคำนวณ ลูป ข้อมูล สเตตแมชชีน

- SFC: ขั้นและเงื่อนไข เหมาะงานลำดับ · IL: ถูกยกเลิกในฉบับ 2013

- FUNCTION ไม่มีหน่วยความจำ · FUNCTION_BLOCK มีหน่วยความจำ (ไทเมอร์ PID)

## โจทย์เดียว ห้าภาษา พื้นฐาน

อินพุต: STOP (NC) START · เอาต์พุต: แตร (Horn) สายพาน (Conveyor) · กด START แล้วแตรดัง 5 s จากนั้นสายพานเดิน กด STOP หยุดทั้งหมด

### Ladder Diagram (LD)

I0.0(STOP) I0.1(START) M0.0
──┤ ├────────┬──┤ ├──────┬───────────────────────( )── สั่งเดิน (ล็อกตัวเอง)
│ M0.0 │
└──┤ ├──────┘
M0.0 ┌─TON T1──┐
──┤ ├────────────────────────┤IN Q├─────────── นับ 5 s
T#5s ──┤PT ET├
M0.0 T1 Q0.1
──┤ ├────────┤/├────────────────────────────────( )── แตร
T1 Q0.0
──┤ ├───────────────────────────────────────────( )── สายพาน

### Function Block Diagram (FBD)

┌──────┐
START ───┤ ≥1 │ ┌──────┐
Run ─────┤ ├──────┤ & ├──── Run
└──────┘ STOP─┤ │
└──────┘
┌─TON───┐ ┌──────┐
Run ─────┤IN Q├──── T1.Q ───────┤ & │
T#5s ───┤PT ET├ Run ─────────┤ ├──── Horn
└───────┘ T1.Q ──o─────┤ │ (o = กลับค่า)
└──────┘
T1.Q ───────────────────────────────────────── Conveyor

### Structured Text (ST)

VAR
Run : BOOL;
T1 : TON;
END_VAR

Run := (PB_Start OR Run) AND PB_Stop_NC; // ล็อกตัวเอง
T1(IN := Run, PT := T#5S); // เรียกอินสแตนซ์ไทเมอร์ทุกสแกน
Horn := Run AND NOT T1.Q;
Conveyor := T1.Q;

### Sequential Function Chart (SFC)

╔══════╗
║ 0 รอ ║
╚══╤═══╝
──┼── START
┌──┴───┐ ┌────────────┐
│1 เตือน├───┤ N Horn │
└──┬───┘ └────────────┘
──┼── Step1.T >= T#5s
┌──┴───┐ ┌────────────┐
│2 เดิน ├───┤ N Conveyor │
└──┬───┘ └────────────┘
──┼── NOT PB_Stop_NC
└──────► กลับขั้น 0

### Instruction List (IL) — ภาษาที่ถูกยกเลิก

LD PB_Start
OR Run
AND PB_Stop_NC
ST Run
IL คล้ายภาษาแอสเซมบลี ถูกตัดออกจาก IEC 61131-3 ฉบับที่ 3 (2013) แต่ยังพบในโปรแกรมเก่า (Siemens STL, Mitsubishi List)

## ชนิดข้อมูลและค่าคงที่ กลาง

| ชนิด | ขนาด | ช่วงค่า | ใช้กับ |

| BOOL | 1 บิต | FALSE / TRUE | I/O ดิจิทัล สถานะ |

| INT | 16 บิต | −32 768 … 32 767 | ค่าดิบแอนะล็อก ตัวนับ |

| DINT | 32 บิต | −2 147 483 648 … 2 147 483 647 | ตัวนับใหญ่ ตำแหน่งเอนโค้ดเดอร์ |

| REAL | 32 บิต IEEE 754 | ~7 หลักนัยสำคัญ | ค่าทางวิศวกรรม PID |

| TIME | 32 บิต (ms) | T#0ms … T#24d20h… | ค่าตั้งไทเมอร์ |

| WORD / DWORD | 16 / 32 บิต | บิตแพทเทิร์น | สถานะหลายบิต รีจิสเตอร์ Modbus |

L1 Signed integer range ช่วงค่าจำนวนเต็มแบบมีเครื่องหมาย

$$-2^{n-1} \le x \le 2^{n-1} - 1 \qquad n = 16 \Rightarrow -32768 \ldots 32767$$

L2 Integer pitfalls in scaling กับดักการคำนวณจำนวนเต็ม

$$\frac{27648 \times 10}{27648} \;\text{(ล้น INT ที่ขั้นคูณ)} \qquad \frac{13824}{27648}\times 10 = 0 \;\text{(หารปัดทิ้งก่อนคูณ)}$$

วิธีหลีกเลี่ยง: แปลงเป็น REAL ก่อนคำนวณ (INT_TO_REAL) หรือใช้ DINT และคูณก่อนหาร — ตัวอย่างการสเกลอยู่ใน อนาล็อก · PID

## สร้างฟังก์ชันบล็อกมอเตอร์ใช้ซ้ำ ขั้นสูง

โรงงานที่มีมอเตอร์ 50 ตัว ไม่ควรเขียนวงจรล็อกตัวเอง ตรวจป้อนกลับ และนับชั่วโมงซ้ำ 50 ครั้ง สร้าง FB หนึ่งตัวแล้วเรียก 50 อินสแตนซ์

FUNCTION_BLOCK FB_Motor
VAR_INPUT Start, Stop_NC, OL_NC, Feedback : BOOL; FbTime : TIME := T#2S; END_VAR
VAR_OUTPUT Run, Fault : BOOL; Hours : REAL; END_VAR
VAR Cmd : BOOL; TFb : TON; THr : TON; END_VAR

Cmd := (Start OR Cmd) AND Stop_NC AND OL_NC AND NOT Fault;
TFb(IN := Cmd XOR Feedback, PT := FbTime); // สั่งแล้วไม่มีป้อนกลับ หรือไม่สั่งแต่มีป้อนกลับ
IF TFb.Q THEN Fault := TRUE; END_IF // รีเซ็ต Fault จาก HMI
Run := Cmd;
THr(IN := Feedback AND NOT THr.Q, PT := T#36S); // พัลส์ทุก 0.01 ชม.
IF THr.Q THEN Hours := Hours + 0.01; END_IF
END_FUNCTION_BLOCK

## เลือกภาษาให้เหมาะกับงาน

| งาน | ภาษาที่เหมาะ | เหตุผล |

| อินเตอร์ล็อก ล็อกตัวเอง ตรรกะความปลอดภัย | LD | ช่างหน้างานดูออนไลน์และวิเคราะห์ได้ทันที |

| ลูปควบคุมกระบวนการ บล็อก PID | FBD | เห็นทางไหลของสัญญาณ |

| คำนวณ สูตรผลิต อาร์เรย์ ข้อความ การสื่อสาร | ST | กระชับ ใช้ลูปและเงื่อนไขได้ |

| เครื่องจักรทำงานเป็นขั้น แบตช์ | SFC (หรือ ST แบบ CASE) | เห็นขั้นปัจจุบัน วินิจฉัยว่าค้างขั้นไหนได้ทันที |

## คำถามที่พบบ่อย

ควรเขียน PLC ด้วยแลดเดอร์หรือ Structured Text?
ใช้ตามงาน: ตรรกะเปิด-ปิดและอินเตอร์ล็อกที่ช่างต้องอ่านวิเคราะห์หน้างาน แลดเดอร์เหมาะที่สุด การคำนวณ การจัดการข้อมูล สูตรผลิต ลูป สเตตแมชชีนที่ซับซ้อน ST สั้นและชัดกว่า ลำดับขั้นใช้ SFC โปรเจกต์จริงมักผสมหลายภาษา โดยห่อส่วนที่ซับซ้อนเป็นฟังก์ชันบล็อกแล้วเรียกจากแลดเดอร์

ฟังก์ชัน (FUNCTION) ต่างจากฟังก์ชันบล็อก (FUNCTION_BLOCK) อย่างไร?
ฟังก์ชันไม่มีหน่วยความจำ ให้ผลเดียวกันทุกครั้งเมื่ออินพุตเดียวกัน เช่น การสเกลค่า ฟังก์ชันบล็อกมีตัวแปรภายในที่คงค่าข้ามสแกน ต้องสร้างอินสแตนซ์ เช่น ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ PID หรือบล็อกควบคุมมอเตอร์

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ควรเขียน PLC ด้วยแลดเดอร์หรือ Structured Text?**
ใช้ตามงาน: ตรรกะเปิด-ปิดและอินเตอร์ล็อกที่ช่างต้องอ่านวิเคราะห์หน้างาน แลดเดอร์เหมาะที่สุด การคำนวณ การจัดการข้อมูล สูตรผลิต ลูป สเตตแมชชีนที่ซับซ้อน ST สั้นและชัดกว่า ลำดับขั้นใช้ SFC โปรเจกต์จริงมักผสมหลายภาษา โดยห่อส่วนที่ซับซ้อนเป็นฟังก์ชันบล็อกแล้วเรียกจากแลดเดอร์

**ฟังก์ชัน (FUNCTION) ต่างจากฟังก์ชันบล็อก (FUNCTION_BLOCK) อย่างไร?**
ฟังก์ชันไม่มีหน่วยความจำ ให้ผลเดียวกันทุกครั้งเมื่ออินพุตเดียวกัน เช่น การสเกลค่า ฟังก์ชันบล็อกมีตัวแปรภายในที่คงค่าข้ามสแกน ต้องสร้างอินสแตนซ์ เช่น ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ PID หรือบล็อกควบคุมมอเตอร์

---

# การต่อสายอินพุต-เอาต์พุต PLC: ซิงก์-ซอร์ส เซนเซอร์ PNP/NPN เอาต์พุตรีเลย์-ทรานซิสเตอร์ โหลดเหนี่ยวนำ และแหล่งจ่าย 24 VDC

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/plc/io-wiring/
Updated: 2026-10-14
Summary: ต่อสาย I/O ของ PLC ให้ถูกทุกครั้ง: อินพุต 24 VDC ชนิด Type 1 2 3 ตาม IEC 61131-2 อินพุตแบบซิงก์และซอร์ส เซนเซอร์ PNP NPN แบบ 3 สาย สีสายน้ำตาล ดำ น้ำเงิน เซนเซอร์ 2 สายและกระแสรั่ว เอาต์พุตรีเลย์ ทรานซิสเตอร์ ไทรแอก ไดโอดคร่อมคอยล์ RC สนับเบอร์ รีเลย์ต่อกลาง สัญญาณแอนะล็อก 4–20 mA ชีลด์ การต่อ 0 V ลงดิน และการเลือกขนาดพาวเวอร์ซัพพลาย

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 22.2 · PLC · I/O Wiring

# การต่อสายอินพุต-เอาต์พุต PLC: ซิงก์-ซอร์ส เซนเซอร์ PNP/NPN เอาต์พุตรีเลย์-ทรานซิสเตอร์ โหลดเหนี่ยวนำ และแหล่งจ่าย 24 VDC

โปรแกรมที่ถูกต้องจะไร้ค่าถ้าอินพุตอ่านผิดหรือเอาต์พุตไหม้ หน้านี้อธิบายการต่อสายด้วยทิศของกระแส ไม่ใช่ด้วยการจำ เมื่อเข้าใจว่า “ใครจ่าย ใครรับ” เรื่องซิงก์-ซอร์สและ PNP-NPN จะไม่สับสนอีก

สรุปใน 30 วินาที

- PNP จ่าย +24 V → ต่ออินพุตซิงก์ (COM → 0 V) · NPN ดึงลง 0 V → ต่ออินพุตซอร์ส (COM → +24 V)

- เซนเซอร์ 3 สาย: น้ำตาล +24 V · น้ำเงิน 0 V · ดำ สัญญาณ

- เอาต์พุตรีเลย์: AC/DC ได้ ช้า สึกหรอ · ทรานซิสเตอร์: DC เร็ว ไม่สึก

- คอยล์ DC ใส่ไดโอด · คอยล์ AC ใส่ RC/วาริสเตอร์ · โหลดใหญ่ใช้รีเลย์ต่อกลาง

## อินพุต 24 VDC: ซิงก์และซอร์ส พื้นฐาน

ภายในอินพุตดิจิทัลคือออปโตคัปเปลอร์ต่ออนุกรมกับตัวต้านทาน กระแสไหลผ่าน LED ได้ทางเดียว ชื่อซิงก์/ซอร์สบอกทิศของกระแส ที่ขั้วอินพุต: อินพุตแบบซิงก์ “รับ” กระแสเข้า (ต้องมีอุปกรณ์ภายนอกจ่าย +24 V ให้) อินพุตแบบซอร์ส “จ่าย” กระแสออก (อุปกรณ์ภายนอกต้องดึงลง 0 V) PLC สมัยใหม่หลายรุ่นต่อได้ทั้งสองแบบ ขึ้นกับว่าต่อขั้ว COM ของกลุ่มเข้าขั้วไหน

รูป 1 · ลูกศรคือทิศกระแส: PNP “ผลัก” กระแสจาก +24 V เข้าอินพุต · NPN “ดึง” กระแสจากอินพุตลง 0 V

W1 Input current กระแสอินพุต

$$I_{in} \approx \frac{V - V_{LED}}{R_{in}} \approx \frac{24 - 1.2}{4.7\ \text{k}\Omega} \approx 5\ \text{mA}$$

ชนิดอินพุต 24 VDC ตาม IEC 61131-2 (ค่าโดยประมาณ — ดูคู่มือ PLC)

| ชนิด | ON | OFF | ใช้กับ |

| Type 1 | ≥ 15 V และ ≥ 2 mA | ≤ 5 V หรือ ≤ 0.5 mA | หน้าสัมผัส สวิตช์ เซนเซอร์ 3 สาย |

| Type 2 | ≥ 11 V และ ≥ 6 mA | ≤ 5 V หรือ ≤ 2 mA | อุปกรณ์กินกระแสสูง (หายาก) |

| Type 3 | ≥ 11 V และ ≥ 2 mA | ≤ 5 V หรือ ≤ 1.5 mA | เซนเซอร์ 2 สาย (กระแสรั่วสูง) และงานทั่วไป |

W2 Two-wire sensor compatibility เซนเซอร์ 2 สายกับอินพุต

$$I_{leak,sensor} \le I_{OFF,max} \qquad V_{drop,sensor} \le 24 - V_{ON,min}$$

## เซนเซอร์ 3 สายและสีสาย พื้นฐาน

| สาย (IEC 60947-5-2) | หน้าที่ | PNP | NPN |

| น้ำตาล (BN) | +24 V | +24 V | +24 V |

| น้ำเงิน (BU) | 0 V | 0 V | 0 V |

| ดำ (BK) | สัญญาณ NO | ทำงาน = +24 V | ทำงาน = 0 V |

| ขาว (WH) | สัญญาณ NC (รุ่น 4 สาย) | กลับกัน | กลับกัน |

ภูมิภาคเอเชียพบทั้ง PNP (นิยมในเครื่องจักรยุโรป) และ NPN (นิยมในเครื่องจักรญี่ปุ่นรุ่นเก่า) ซื้ออะไหล่ต้องตรงชนิด การต่อเซนเซอร์ผิดชนิดไม่ทำให้เสียหายทันทีแต่จะไม่ทำงาน หรืออ่านกลับค่า

ตัวอย่าง W-1

### เปลี่ยนเซนเซอร์ NPN เป็น PNP ในเครื่องที่ COM อินพุตต่อ +24 V

- กลุ่มอินพุตตอนนี้เป็นแบบซอร์ส (COM → +24 V) ใช้ได้เฉพาะเซนเซอร์ NPN

- ถ้าทั้งกลุ่มเปลี่ยนเป็น PNP: ย้าย COM ของกลุ่มไปที่ 0 V ตรวจว่าไม่มีอุปกรณ์ NPN เหลือในกลุ่มนั้น

- ถ้าเปลี่ยนตัวเดียวและย้าย COM ไม่ได้: เลือกเซนเซอร์ NPN ตามเดิม หรือใช้รีเลย์/โมดูลแปลงสัญญาณ

## เอาต์พุต: รีเลย์ ทรานซิสเตอร์ ไทรแอก กลาง

รูป 2 · คอยล์คอนแทกเตอร์ AC ต่อผ่านเอาต์พุตรีเลย์พร้อม RC สนับเบอร์ · รีเลย์ 24 VDC ต่อผ่านเอาต์พุตทรานซิสเตอร์ PNP พร้อมไดโอด

| ชนิด | โหลด | ความเร็ว | อายุ | ข้อควรระวัง |

| รีเลย์ | AC/DC ≤ 2 A ต่อจุด | ~10 ms | 10⁵–10⁶ ครั้ง (ลดลงกับโหลดเหนี่ยวนำ) | ไม่เหมาะกับการสวิตช์ถี่ (PWM ไฟกะพริบเร็ว) |

| ทรานซิสเตอร์ (PNP/NPN) | DC 0.3–0.5 A ต่อจุด | < 1 ms (รุ่นเร็ว µs) | ไม่สึก | DC เท่านั้น ลัดวงจรแล้วเสียได้ (บางรุ่นป้องกันในตัว) |

| ไทรแอก (SSR) | AC 0.5–1 A | ครึ่งรอบ | ไม่สึก | กระแสรั่วขณะ OFF อาจทำให้คอยล์เล็กไม่ปล่อย |

W3 Inductive kick แรงดันกระชากตอนตัดคอยล์

$$v_L = L\frac{di}{dt} \qquad \text{ไม่มีตัวจำกัด: หลายร้อยโวลต์} \qquad \text{มีไดโอด: } V_{clamp} \approx V_{supply} + 0.7\ \text{V}$$

ไดโอดจำกัดแรงดันได้ดีที่สุดแต่ทำให้คอยล์ปล่อยช้าลง (กระแสวนนานขึ้น) ถ้าต้องการปล่อยเร็วใช้ไดโอดซีเนอร์หรือวาริสเตอร์ คอยล์ AC ใช้ RC สนับเบอร์หรือวาริสเตอร์ คอนแทกเตอร์รุ่นใหม่มีโมดูลกันกระชากเสียบได้ที่ A1-A2

### รีเลย์ต่อกลาง (interposing relay)

เมื่อโหลดเกินพิกัดเอาต์พุต ต่างแรงดัน หรือเพื่อแยกวงจร PLC ออกจากภาคสนาม ใช้รีเลย์ 24 VDC ขนาดเล็กบนราง DIN เป็นตัวกลาง ถ้าเสียเปลี่ยนรีเลย์ราคาไม่กี่สิบบาทแทนโมดูลเอาต์พุต

## สายสัญญาณแอนะล็อก กลาง

- ใช้สายคู่บิดเกลียวมีชีลด์ ต่อชีลด์ลงดินด้านตู้ด้านเดียว (เว้นแต่คู่มือกำหนดให้ต่อสองด้านพร้อมสายปรับศักย์)

- 4–20 mA ทนสัญญาณรบกวนและสายยาวดีกว่า 0–10 V และตรวจสายขาดได้ (ต่ำกว่า 3.6 mA) — รายละเอียดใน 4–20 mA · NE 43

- ทรานสมิตเตอร์ 2 สายต่อแบบลูป: +24 V → ทรานสมิตเตอร์ → อินพุตกระแส → 0 V ตรวจงบแรงดันลูปด้วย

## พาวเวอร์ซัพพลาย 24 VDC และการต่อลงดิน กลาง

W4 24 VDC supply sizing ขนาดพาวเวอร์ซัพพลาย

$$I_{PSU} \ge 1.25\left(I_{CPU} + \sum I_{in} + \sum I_{sensor} + \sum I_{out\,(ทำงานพร้อมกัน)}\right)$$

ตัวอย่าง W-2

### CPU 0.4 A · อินพุต 24 จุด × 5 mA · เซนเซอร์ 10 ตัว × 20 mA · รีเลย์ต่อกลาง 8 ตัว × 25 mA · โซลินอยด์ 4 ตัว × 0.3 A

- รวม $0.4 + 0.12 + 0.2 + 0.2 + 1.2 = 2.12$ A

- W4: $1.25 \times 2.12 = 2.65$ A → พาวเวอร์ซัพพลาย 24 V 5 A (หรือแยกโซลินอยด์ไปซัพพลายอีกตัว เพื่อไม่ให้กระแสกระชากรบกวน CPU)

IEC 60204-1 แนะนำให้วงจร 24 VDC เป็นระบบ PELV โดยต่อขั้ว 0 V ลงดินที่จุดเดียวในตู้ เพื่อให้การลัดลงดินของสายควบคุมทำให้ฟิวส์ขาดแทนที่จะทำให้อุปกรณ์ทำงานเองโดยไม่ตั้งใจ ใส่ฟิวส์หรือเบรกเกอร์ 24 V แยกกลุ่มอินพุต เอาต์พุต และ CPU

หยุดฉุกเฉิน: ห้ามพึ่งเพียงอินพุต PLC ทั่วไปในการหยุดฉุกเฉิน ต้องต่อผ่านรีเลย์เซฟตี้หรือ safety PLC ที่ตัดพลังงานโดยตรง และให้ PLC อ่านเพียงสถานะ (ดู ความปลอดภัย)

## คำถามที่พบบ่อย

เซนเซอร์ PNP ต่อกับอินพุตแบบไหน?
เซนเซอร์ PNP จ่าย +24 V ออกที่สายสัญญาณ (เป็นแหล่งจ่าย = sourcing) จึงต้องต่อกับอินพุตที่รับกระแสเข้าแล้วไหลลง 0 V (sinking input) ในทางปฏิบัติ PLC ที่มีขั้ว COM ร่วม ให้ต่อ COM ของกลุ่มอินพุตนั้นเข้า 0 V ส่วนเซนเซอร์ NPN ดึงสัญญาณลง 0 V ต้องต่อ COM เข้า +24 V

ทำไมเซนเซอร์ 2 สายทำให้อินพุตติดค้าง?
เซนเซอร์ 2 สายต้องการกระแสเลี้ยงตัวเองแม้ตอนสถานะ OFF (กระแสรั่ว 0.5–1.5 mA) ถ้ากระแสนี้มากกว่ากระแส OFF สูงสุดที่อินพุตยอมรับ PLC จะอ่านเป็น ON ค้าง ต้องใช้อินพุต Type 3 หรือใส่ตัวต้านทาน bleeder ขนานอินพุตตามคู่มือ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เซนเซอร์ PNP ต่อกับอินพุตแบบไหน?**
เซนเซอร์ PNP จ่าย +24 V ออกที่สายสัญญาณ (เป็นแหล่งจ่าย = sourcing) จึงต้องต่อกับอินพุตที่รับกระแสเข้าแล้วไหลลง 0 V (sinking input) ในทางปฏิบัติ PLC ที่มีขั้ว COM ร่วม ให้ต่อ COM ของกลุ่มอินพุตนั้นเข้า 0 V ส่วนเซนเซอร์ NPN ดึงสัญญาณลง 0 V ต้องต่อ COM เข้า +24 V

**ทำไมเซนเซอร์ 2 สายทำให้อินพุตติดค้าง?**
เซนเซอร์ 2 สายต้องการกระแสเลี้ยงตัวเองแม้ตอนสถานะ OFF (กระแสรั่ว 0.5–1.5 mA) ถ้ากระแสนี้มากกว่ากระแส OFF สูงสุดที่อินพุตยอมรับ PLC จะอ่านเป็น ON ค้าง ต้องใช้อินพุต Type 3 หรือใส่ตัวต้านทาน bleeder ขนานอินพุตตามคู่มือ

---

# แลดเดอร์ไดอะแกรมพื้นฐาน: หน้าสัมผัส NO NC คอยล์ AND OR ล็อกตัวเอง SET RESET ขอบสัญญาณ และพีชคณิตบูลีน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/plc/ladder-basics/
Updated: 2026-10-14
Summary: เรียนเขียนแลดเดอร์ไดอะแกรม (Ladder Diagram) สำหรับ PLC ตั้งแต่ต้น: อ่านแลดเดอร์เหมือนวงจรรีเลย์ หน้าสัมผัส NO NC คอยล์ วงจร AND OR NOT ตารางความจริง วงจรล็อกตัวเอง ทำไมปุ่ม STOP ที่ต่อ NC ต้องใช้หน้าสัมผัส NO ในโปรแกรม SET RESET ขอบขาขึ้นขาลง คอยล์ซ้ำ ทฤษฎีเดอมอร์แกน และรูปแบบแอดเดรสของ Siemens Mitsubishi Omron IEC พร้อมซิมูเลเตอร์

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 22.3 · PLC · Ladder Basics

# แลดเดอร์ไดอะแกรมพื้นฐาน: หน้าสัมผัส NO NC คอยล์ AND OR ล็อกตัวเอง SET RESET ขอบสัญญาณ และพีชคณิตบูลีน

แลดเดอร์ถูกออกแบบให้ช่างไฟที่อ่านวงจรรีเลย์เป็นอ่านโปรแกรมได้ทันที รางซ้ายคือ “ไฟบวก” รางขวาคือ “ศูนย์” แต่ละขั้นบันได (rung) คือเส้นทางที่ไฟจะไหลถึงคอยล์ได้ถ้าหน้าสัมผัสปิดครบ สิ่งเดียวที่ต้องเปลี่ยนความคิดคือ หน้าสัมผัสในโปรแกรมตรวจ ค่าบิต ไม่ใช่ตรวจปุ่ม

สรุปใน 30 วินาที

- ─┤ ├─ NO: นำเมื่อบิต = 1 · ─┤/├─ NC: นำเมื่อบิต = 0 · ─( )─ คอยล์: เขียนผลลงบิต

- อนุกรม AND · ขนาน OR · NC NOT · ทุกรังคือสมการบูลีนหนึ่งสมการ

- ปุ่ม STOP ต่อ NC → ในโปรแกรมใช้ NO (สายขาด = หยุด)

- คอยล์หนึ่งตัวเขียนได้ที่เดียว · ขอบสัญญาณ P/N นำกระแสหนึ่งสแกน

## องค์ประกอบของแลดเดอร์ พื้นฐาน

รูป 1 · สี่รังพื้นฐาน: AND OR NOT และวงจรล็อกตัวเองของมอเตอร์ (เทียบกับวงจรคอนแทกเตอร์ใน DOL)

B1 AND (series) AND (อนุกรม)

$$Y = A \cdot B \qquad \text{ST: } Y := A \text{ AND } B;$$

B2 OR (parallel) OR (ขนาน)

$$Y = A + B \qquad \text{ST: } Y := A \text{ OR } B;$$

B3 NOT (NC contact) NOT (หน้าสัมผัส NC)

$$Y = \overline{A} \qquad \text{ST: } Y := \text{NOT } A;$$

| A | B | A·B | A+B | Ā | A⊕B |

| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |

B4 De Morgan ทฤษฎีเดอมอร์แกน

$$\overline{A\cdot B} = \overline{A} + \overline{B} \qquad \overline{A + B} = \overline{A}\cdot\overline{B}$$

B4 ใช้ทุกครั้งที่ต้องการ “ไม่ใช่ทั้งคู่” ในแลดเดอร์ เพราะแลดเดอร์พื้นฐานไม่มี NOT หน้าวงเล็บ ซิมูเลเตอร์ในหน้านี้ใช้กฎนี้แปลงสมการเป็นหน้าสัมผัส NO/NC ให้อัตโนมัติ

B5 XOR เอกซ์คลูซีฟ-ออร์ (สวิตช์สองทาง)

$$Y = A\overline{B} + \overline{A}B$$

## ปุ่ม STOP ที่ต่อ NC กับหน้าสัมผัสในโปรแกรม พื้นฐาน

รูป 2 · ข้อผิดพลาดยอดนิยมของผู้เริ่มต้น: “ปุ่ม STOP เป็น NC จึงเขียนเป็นหน้าสัมผัส NC” — ผลคือมอเตอร์ไม่เดินเลย เพราะบิต I0.0 = 1 ทำให้ NC ในโปรแกรมเปิดตลอด

B6 Motor latch in a PLC รังล็อกตัวเองใน PLC

$$Q0.0 = I0.0_{(\text{STOP, NC})}\cdot(I0.1_{(\text{START})} + Q0.0)\cdot I0.2_{(\text{OL 95-96, NC})}$$

ต้องเปิด JavaScript

ในซิมูเลเตอร์ อินพุตที่มีกรอบประคือปุ่ม NC: ไฟสีเขียวที่ I0.0 ติดอยู่แล้วโดยไม่ต้องกด ลองกด START แล้ว STOP และกดปุ่มโอเวอร์โหลดเพื่อจำลองการทริป

## SET RESET และขอบสัญญาณ กลาง

คอยล์ SET (─(S)─) ทำให้บิตเป็น 1 เมื่อรังเป็นจริง และ คงค่าไว้ แม้รังจะเป็นเท็จ คอยล์ RESET (─(R)─) ทำให้เป็น 0 ใช้คู่กันแทนวงจรล็อกตัวเอง หน้าสัมผัสขอบขาขึ้น P (rising edge) นำกระแสเพียงหนึ่งสแกนตอนบิตเปลี่ยน 0→1 ขอบขาลง N นำหนึ่งสแกนตอน 1→0 ใช้นับครั้ง สลับสถานะ หรือสั่งงานครั้งเดียวต่อการกด

B7 Set/Reset with reset priority SET/RESET แบบ RESET มาก่อน (รัง R อยู่ล่าง)

$$Q_{k+1} = (S + Q_k)\cdot\overline{R}$$

B8 Rising edge (one-shot) ขอบขาขึ้น

$$P(A)_k = A_k\cdot\overline{A_{k-1}} \qquad N(A)_k = \overline{A_k}\cdot A_{k-1}$$

ตัวอย่าง B-1

### ปุ่มเดียวกดติด กดดับ (toggle / flip-flop)

- สร้างพัลส์หนึ่งสแกน: $M0.1 = P(I0.0)$

- ถ้ายังดับอยู่ให้ติด: $S\ M0.2 = M0.1\cdot\overline{Q0.1}$ · ถ้าติดอยู่ให้ดับ: $R\ M0.2 = M0.1\cdot Q0.1$

- $Q0.1 = M0.2$ — สังเกตว่าเงื่อนไขทั้งสองอ่าน Q0.1 ค่าเดิมของสแกนก่อน จึงไม่ติดแล้วดับในสแกนเดียว ลองในซิมูเลเตอร์ตัวอย่าง “SET/RESET และขอบสัญญาณ”

## กฎการเขียนที่ป้องกันบั๊ก กลาง

- คอยล์หนึ่งตัวเขียนที่เดียว — ถ้าเขียนสองรัง รังล่างทับรังบน (double coil)

- ใช้หน่วยความจำภายใน (M) เป็นตัวกลาง แล้วค่อยเขียนเอาต์พุตจริง (Q) ที่ท้ายโปรแกรม ทำให้ดูแลง่าย

- ตั้งชื่อสัญลักษณ์ (tag) ทุกบิต เช่น M1_Run PB_Stop_NC ไม่ใช้แอดเดรสเปล่า

- เขียนคอมเมนต์ทุกรังว่า “ทำไม” ไม่ใช่ “ทำอะไร” (แลดเดอร์บอกอยู่แล้วว่าทำอะไร)

- เงื่อนไขความปลอดภัย (STOP, OL, E-stop status) วางซ้ายสุดของรัง อ่านเจอก่อน

## คำถามที่พบบ่อย

หน้าสัมผัส NC ในโปรแกรมกับปุ่ม NC ที่ต่อจริงเหมือนกันไหม?
ไม่เหมือน หน้าสัมผัสในโปรแกรมตรวจ “ค่าบิต” ไม่ใช่สภาพปุ่ม หน้าสัมผัส NO ในโปรแกรมนำกระแสเมื่อบิตเป็น 1 หน้าสัมผัส NC นำกระแสเมื่อบิตเป็น 0 ปุ่ม STOP ที่ต่อ NC ทำให้บิตเป็น 1 ตอนปกติ จึงต้องใช้หน้าสัมผัส NO ในโปรแกรมเพื่อให้รังทำงานตอนปกติและหยุดเมื่อกด

ใช้ SET/RESET แทนวงจรล็อกตัวเองดีไหม?
ใช้ได้และอ่านง่ายในงานลำดับขั้น แต่ระวังสองเรื่อง: ถ้าทั้ง SET และ RESET เป็นจริงพร้อมกัน ตัวที่อยู่รังล่างกว่าชนะ และบิตที่ SET ไว้อาจคงค่าหลังไฟดับถ้าเป็นหน่วยความจำ retentive ทำให้เครื่องเดินเองเมื่อไฟกลับ งานมอเตอร์ทั่วไปวงจรล็อกตัวเองแบบเดิมปลอดภัยกว่าเพราะหลุดเองเมื่อ STOP

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**หน้าสัมผัส NC ในโปรแกรมกับปุ่ม NC ที่ต่อจริงเหมือนกันไหม?**
ไม่เหมือน หน้าสัมผัสในโปรแกรมตรวจ “ค่าบิต” ไม่ใช่สภาพปุ่ม หน้าสัมผัส NO ในโปรแกรมนำกระแสเมื่อบิตเป็น 1 หน้าสัมผัส NC นำกระแสเมื่อบิตเป็น 0 ปุ่ม STOP ที่ต่อ NC ทำให้บิตเป็น 1 ตอนปกติ จึงต้องใช้หน้าสัมผัส NO ในโปรแกรมเพื่อให้รังทำงานตอนปกติและหยุดเมื่อกด

**ใช้ SET/RESET แทนวงจรล็อกตัวเองดีไหม?**
ใช้ได้และอ่านง่ายในงานลำดับขั้น แต่ระวังสองเรื่อง: ถ้าทั้ง SET และ RESET เป็นจริงพร้อมกัน ตัวที่อยู่รังล่างกว่าชนะ และบิตที่ SET ไว้อาจคงค่าหลังไฟดับถ้าเป็นหน่วยความจำ retentive ทำให้เครื่องเดินเองเมื่อไฟกลับ งานมอเตอร์ทั่วไปวงจรล็อกตัวเองแบบเดิมปลอดภัยกว่าเพราะหลุดเองเมื่อ STOP

---

# PLC คืออะไร: โครงสร้าง CPU หน่วยความจำ I/O วงรอบการสแกน เวลาสแกน มาตรฐาน IEC 61131 และการเลือก PLC

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/plc/plc-fundamentals/
Updated: 2026-10-14
Summary: พื้นฐาน PLC (Programmable Logic Controller) สำหรับงานอุตสาหกรรม: ประวัติจากตู้รีเลย์สู่ PLC สถาปัตยกรรม พาวเวอร์ซัพพลาย CPU หน่วยความจำ โมดูลอินพุตเอาต์พุต วงรอบการสแกนแบบอ่านอินพุต-รันโปรแกรม-เขียนเอาต์พุต อิมเมจ I/O เวลาสแกนและเวลาตอบสนอง พัลส์สั้นสุดที่จับได้ PLC แบบคอมแพกต์ โมดูลาร์ เซฟตี้ เทียบรีเลย์และไมโครคอนโทรลเลอร์ และขั้นตอนเลือก PLC

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 22.1 · PLC · What Is a PLC

# PLC คืออะไร: โครงสร้าง CPU หน่วยความจำ I/O วงรอบการสแกน เวลาสแกน มาตรฐาน IEC 61131 และการเลือก PLC

ปี 1968 โรงงานเกียร์ของ General Motors ต้องการเลิกต่อสายตู้รีเลย์ใหม่ทุกครั้งที่เปลี่ยนรุ่นรถ โจทย์นั้นทำให้เกิด PLC เครื่องแรก (Modicon 084) ความคิดหลักยังเหมือนเดิมจนถึงวันนี้: คอมพิวเตอร์ที่ทนสภาพโรงงาน อ่านอินพุตจากสวิตช์และเซนเซอร์ ตัดสินใจด้วยโปรแกรมที่ช่างไฟอ่านเข้าใจ แล้วสั่งเอาต์พุต — ทำซ้ำอย่างคาดเดาได้ไม่รู้จบ

สรุปใน 30 วินาที

- PLC = แหล่งจ่ายไฟ + CPU + หน่วยความจำ + โมดูล I/O + พอร์ตสื่อสาร

- หนึ่งสแกน: อ่านอินพุตเข้าอิมเมจ → รันโปรแกรมบนลงล่าง → เขียนเอาต์พุต → งานระบบ

- เวลาสแกนทั่วไป 1–20 ms · เวลาตอบสนองแย่ที่สุด ≈ หน่วงอินพุต + 2 สแกน + หน่วงเอาต์พุต

- จุดแข็งคือความทนทานและการทำงานที่คาดเดาได้ (deterministic) ไม่ใช่ความเร็ว

## โครงสร้างของ PLC พื้นฐาน

รูป 1 · PLC เป็นตัวกลางระหว่างอุปกรณ์ภาคสนามสองฝั่ง: ฝั่งที่ “บอก” (ปุ่ม เซนเซอร์) และฝั่งที่ “ทำ” (คอนแทกเตอร์ วาล์ว ไฟ)

| ส่วน | หน้าที่ | สิ่งที่ควรรู้ |

| Power supply | แปลง 230 VAC เป็น 24 VDC ให้ CPU และ I/O | ใช้แหล่งแยกสำหรับโหลดภาคสนามที่กินกระแสมาก (โซลินอยด์) |

| CPU | รันโปรแกรม จัดการ I/O และการสื่อสาร | ดูความเร็วต่อคำสั่ง ขนาดหน่วยความจำ ฟังก์ชันพิเศษ (PID ตัวนับเร็ว) |

| Memory | เก็บโปรแกรม ข้อมูล ค่าตั้ง | ข้อมูลแบบ retentive คงค่าเมื่อไฟดับ (แบตเตอรี่/แฟลช) |

| Digital I/O | สัญญาณ 0/1 จากสวิตช์และไปยังคอยล์ | 24 VDC ซิงก์/ซอร์ส เอาต์พุตรีเลย์/ทรานซิสเตอร์ |

| Analog I/O | สัญญาณต่อเนื่อง 4–20 mA, 0–10 V | ความละเอียด 12–16 บิต ต้องสเกลเป็นหน่วยวิศวกรรม |

| Communication | คุยกับ HMI SCADA ไดรฟ์ PLC อื่น | Ethernet (PROFINET, EtherNet/IP, Modbus TCP) RS-485 (Modbus RTU) |

## วงรอบการสแกน กลาง

PLC ไม่ได้ “ดู” อินพุตตลอดเวลา ตอนต้นสแกนมันถ่ายรูปสถานะขั้วอินพุตทั้งหมดลงตาราง อิมเมจอินพุต จากนั้นรันโปรแกรมทีละรังจากบนลงล่างโดยอ่านจากรูปนั้น ผลของคอยล์เขียนลง อิมเมจเอาต์พุต ซึ่งส่งไปที่ขั้วเอาต์พุตพร้อมกันตอนจบสแกน การทำงานแบบนี้ทำให้ตลอดสแกนหนึ่งค่าอินพุตไม่เปลี่ยนกลางคัน ผลลัพธ์จึงคาดเดาได้

รูป 2 · ขวา: ปุ่ม I0.0 เปลี่ยนกลางสแกนที่ 0 ถูกอ่านเข้าอิมเมจตอนต้นสแกนที่ 1 และเอาต์พุต Q0.0 เปลี่ยนตอนจบสแกนที่ 1 (เห็นที่ขั้วสแกนที่ 2)

F1 Scan time เวลาสแกน

$$t_{scan} = t_{read\,I} + t_{program} + t_{write\,Q} + t_{comm/diag}$$

F2 Program execution estimate เวลารันโปรแกรมโดยประมาณ

$$t_{program} \approx N_{bit}\,t_{bit} + N_{word}\,t_{word} + N_{real}\,t_{real}$$

F3 Response time เวลาตอบสนองของระบบ

$$t_{in} + t_{scan} + t_{out} \;\le\; t_{resp} \;\le\; t_{in} + 2\,t_{scan} + t_{out}$$

F4 Shortest pulse surely seen พัลส์สั้นสุดที่ PLC จับได้แน่นอน

$$t_{pulse} > t_{scan} + t_{in}$$

ตัวอย่าง F-1

### สายพานวิ่ง 1.2 m/s ชิ้นงานยาว 30 mm ผ่านเซนเซอร์แสง PLC สแกน 10 ms ตัวกรองอินพุต 3 ms

- เวลาที่ชิ้นงานบังเซนเซอร์ $t = 0.030/1.2 = 25$ ms

- F4: ต้องมากกว่า $10 + 3 = 13$ ms → 25 ms จับได้ ✓ (เผื่อเกือบสองเท่า)

- ถ้าสายพานเร่งเป็น 3 m/s: $t = 10$ ms

- F3: เวลาตั้งแต่ชิ้นงานถึงเซนเซอร์จนลมเป่าคัดแยก (เอาต์พุตทรานซิสเตอร์ 0.1 ms + โซลินอยด์ 15 ms) แย่สุด ≈ 3 + 20 + 0.1 + 15 = 38 ms → ชิ้นงานเคลื่อนไป 46 mm ระหว่างนั้น ต้องติดหัวเป่าเลยเซนเซอร์ตามระยะนี้

## ชนิดของ PLC พื้นฐาน

| ชนิด | ลักษณะ | เหมาะกับ |

| Nano/Compact (ตัวเดียวจบ) | CPU และ I/O ในกล่องเดียว 10–60 จุด ขยายได้เล็กน้อย | เครื่องจักรเดี่ยว ปั๊ม งานอาคาร |

| Modular (แร็ค) | เลือก CPU และโมดูล I/O สื่อสาร ตามต้องการ หลายร้อยถึงหลายพันจุด | ไลน์ผลิต โรงงานกระบวนการ |

| Safety PLC | CPU คู่ ตรวจสอบตัวเอง ได้รับรอง SIL/PL | หยุดฉุกเฉิน ม่านแสง ประตูนิรภัย ระบบเผาไหม้ |

| PAC / IPC (soft PLC) | คอมพิวเตอร์อุตสาหกรรมรันรันไทม์ IEC 61131-3 | งานที่ต้องการคำนวณหนัก การเคลื่อนที่หลายแกน ข้อมูลมาก |

| Smart relay | รีเลย์โปรแกรมได้ จอเล็ก ฟังก์ชันบล็อก | งานเล็กมาก แทนรีเลย์ไม่กี่ตัว |

### PLC เทียบรีเลย์และไมโครคอนโทรลเลอร์

| เกณฑ์ | ตู้รีเลย์ | PLC | ไมโครคอนโทรลเลอร์ |

| แก้ลอจิก | เดินสายใหม่ | แก้โปรแกรม | แก้โปรแกรม (ต้องเขียน C) |

| ทนสภาพโรงงาน | สูง | สูง (IEC 61131-2 ทดสอบ EMC อุณหภูมิ การสั่น) | ผู้ใช้ต้องออกแบบเอง |

| การวินิจฉัย | ไล่วัดทีละจุด | ดูสถานะออนไลน์ บันทึกเหตุการณ์ | ขึ้นกับผู้เขียน |

| ความคาดเดาได้ | สูง | สูง (สแกนคงที่ watchdog) | ขึ้นกับการออกแบบ |

| ราคา/จุด | ต่ำเมื่องานเล็กมาก | ปานกลาง | ต่ำมาก |

## มาตรฐาน IEC 61131 กลาง

IEC 61131 ทำให้ความรู้ PLC ข้ามยี่ห้อได้ ส่วนที่ช่างและวิศวกรใช้บ่อย:

- ส่วนที่ 2 (อุปกรณ์): ชนิดอินพุต 24 VDC Type 1/2/3 ช่วงแรงดัน ON/OFF การทดสอบ EMC — รายละเอียดใน ต่อสาย I/O

- ส่วนที่ 3 (ภาษา): LD FBD ST SFC (และ IL ที่ถูกยกเลิกในฉบับ 2013) ชนิดข้อมูล ไทเมอร์ เคาน์เตอร์มาตรฐาน — ดู ภาษา IEC 61131-3

## เลือก PLC อย่างไร กลาง

F5 I/O count with spare จำนวนจุด I/O พร้อมสำรอง

$$N_{I/O} = \left\lceil 1.2\,N_{required} \right\rceil \quad (\text{สำรอง 15–25 \%})$$

- ทำรายการ I/O: นับอินพุต-เอาต์พุตดิจิทัล แอนะล็อก อินพุตความเร็วสูง พร้อมชนิด (PNP/NPN, 4–20 mA)

- เวลาตอบสนองที่ต้องการ (F3) และฟังก์ชันพิเศษ (PID, ตัวนับ, การเคลื่อนที่)

- การสื่อสารกับ HMI ไดรฟ์ ระบบ SCADA ที่มีอยู่ในโรงงาน

- ความปลอดภัย: ต้องการ safety PLC/รีเลย์เซฟตี้หรือไม่

- สภาพแวดล้อม: อุณหภูมิตู้ ความชื้น การสั่น

- มาตรฐานของโรงงานและอะไหล่ที่มีอยู่ — ยี่ห้อที่ช่างดูแลเป็นอยู่แล้วมักคุ้มกว่ายี่ห้อที่ถูกกว่า

## คำถามที่พบบ่อย

ถ้ากดปุ่มเร็วกว่าเวลาสแกน PLC จะเห็นไหม?
อาจไม่เห็น อินพุตถูกอ่านครั้งเดียวตอนต้นสแกน ถ้าพัลส์สั้นกว่าเวลาสแกนบวกเวลากรองอินพุต อาจเกิดและหายไประหว่างการอ่านสองครั้ง สัญญาณเร็ว (เอนโค้ดเดอร์ เซนเซอร์นับชิ้นงานความเร็วสูง) ต้องใช้อินพุตความเร็วสูง ตัวนับฮาร์ดแวร์ หรืออินเตอร์รัปต์

ทำไมเขียนคอยล์เดียวกันสองที่แล้วโปรแกรมทำงานผิด?
เพราะ PLC ประมวลผลจากบนลงล่าง ค่าที่คอยล์ตัวล่างเขียนจะทับค่าจากตัวบนก่อนเอาต์พุตถูกส่งออกตอนจบสแกน ผลคือคอยล์ตัวบนดูเหมือนไม่ทำงาน (double coil syndrome) ให้รวมเงื่อนไขไว้ในรังเดียว หรือใช้ SET/RESET อย่างตั้งใจ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ถ้ากดปุ่มเร็วกว่าเวลาสแกน PLC จะเห็นไหม?**
อาจไม่เห็น อินพุตถูกอ่านครั้งเดียวตอนต้นสแกน ถ้าพัลส์สั้นกว่าเวลาสแกนบวกเวลากรองอินพุต อาจเกิดและหายไประหว่างการอ่านสองครั้ง สัญญาณเร็ว (เอนโค้ดเดอร์ เซนเซอร์นับชิ้นงานความเร็วสูง) ต้องใช้อินพุตความเร็วสูง ตัวนับฮาร์ดแวร์ หรืออินเตอร์รัปต์

**ทำไมเขียนคอยล์เดียวกันสองที่แล้วโปรแกรมทำงานผิด?**
เพราะ PLC ประมวลผลจากบนลงล่าง ค่าที่คอยล์ตัวล่างเขียนจะทับค่าจากตัวบนก่อนเอาต์พุตถูกส่งออกตอนจบสแกน ผลคือคอยล์ตัวบนดูเหมือนไม่ทำงาน (double coil syndrome) ให้รวมเงื่อนไขไว้ในรังเดียว หรือใช้ SET/RESET อย่างตั้งใจ

---

# ซิมูเลเตอร์ PLC แลดเดอร์ในเบราว์เซอร์: เขียนโปรแกรม เห็นกระแสไหล ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ และตัวอย่างพร้อมใช้

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/plc/plc-lab/
Updated: 2026-10-14
Summary: ซิมูเลเตอร์ PLC ฟรีภาษาไทย ไม่ต้องติดตั้ง: เขียนโปรแกรมแบบข้อความ (Boolean/ST) แล้วแสดงเป็นแลดเดอร์อัตโนมัติ กดอินพุตปุ่ม NO NC สวิตช์ เห็นกระแสไหลในแต่ละรัง ไทเมอร์ TON TOF TP เคาน์เตอร์ CTU SET RESET ขอบสัญญาณ ปรับเวลาสแกน ตัวอย่าง DOL กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้า ไฟกะพริบ ไฟจราจร เติมถังพร้อมโรงงานจำลอง สายพานนับชิ้น และใบงาน 8 ชุด

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 22.10 · PLC · Ladder Simulator

# ซิมูเลเตอร์ PLC แลดเดอร์ในเบราว์เซอร์: เขียนโปรแกรม เห็นกระแสไหล ไทเมอร์ เคาน์เตอร์ และตัวอย่างพร้อมใช้

เปิดหน้านี้แล้วเริ่มเขียน PLC ได้ทันที เลือกตัวอย่างจากเมนู กดอินพุตทางซ้าย ดูเส้นสีเขียวที่บอกว่ากระแสไหลถึงตรงไหน แล้วเปิด “แก้ไขโปรแกรม” เพื่อเขียนรังของคุณเอง โปรแกรมจะถูกวาดเป็นแลดเดอร์ให้อัตโนมัติ

## ซิมูเลเตอร์

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้ซิมูเลเตอร์

## ไวยากรณ์ของโปรแกรม

หนึ่งบรรทัดคือหนึ่งรัง เขียนเป็นสมการบูลีนคล้าย Structured Text ข้อความหลัง # หรือ // เป็นคอมเมนต์ (แสดงข้างรัง)

| เขียน | ความหมาย | ในแลดเดอร์ |

| Q0.0 = I0.1 & I0.2 | AND | หน้าสัมผัสอนุกรม → คอยล์ |

| Q0.0 = I0.1 | Q0.0 | OR | หน้าสัมผัสขนาน |

| !I0.2 | NOT | หน้าสัมผัส NC |

| S Q0.0 = … / R Q0.0 = … | SET / RESET | คอยล์ (S) / (R) |

| P(I0.1) / N(I0.1) | ขอบขาขึ้น / ขาลง | หน้าสัมผัสมีตัว P / N |

| T1 = TON(I0.0, 5s) | ไทเมอร์ TON TOF TP เวลาเป็น s หรือ ms | บล็อก TON T1 · ใช้ T1 เป็นหน้าสัมผัส Q |

| C1 = CTU(I0.2, I0.3, 6) | เคาน์เตอร์นับขึ้น (นับ, รีเซ็ต, PV) | บล็อก CTU C1 · ใช้ C1 เป็นหน้าสัมผัส Q |

ตัวแปร: I0.0–I1.7 อินพุต (เขียนไม่ได้) · Q0.0–Q1.7 เอาต์พุต · M0.0–M9.7 หน่วยความจำ · T1… C1… · TRUE FALSE · ใช้ AND OR NOT แทน & | ! ได้ · NOT หน้าวงเล็บจะถูกกระจายด้วยทฤษฎีเดอมอร์แกนก่อนวาด

ปุ่มที่มีกรอบประเป็นอุปกรณ์ต่อแบบ NC: อินพุตเป็น 1 เมื่อไม่ได้กด · อินพุตจาก “โรงงานจำลอง” (ระดับน้ำ เซนเซอร์นับชิ้น) กดไม่ได้ เปลี่ยนตามสภาพจำลอง

## ใบงาน 8 ชุด

### 1 · ล็อกตัวเอง
ตัวอย่าง DOL: ลบ | Q0.0 ออกแล้วโหลด อธิบายผล จากนั้นเปลี่ยน I0.0 เป็น !I0.0 แล้วอธิบายว่าทำไมมอเตอร์ไม่เดินเลย

### 2 · ควบคุมสองจุด
เพิ่มปุ่ม STOP2 (I0.3) และ START2 (I0.4) ให้ DOL ตามกฎ STOP อนุกรม START ขนาน (อินพุตใหม่ในซิมูเลเตอร์เป็นปุ่ม NO จึงเขียน STOP2 เป็น !I0.3)

### 3 · อินเตอร์ล็อก
ตัวอย่างกลับทาง: กด FWD และ REV พร้อมกัน (สองนิ้ว) Q ตัวไหนติด ลบ & !Q0.1 ออกแล้วลองใหม่ อธิบายความเสี่ยง

### 4 · ช่วงตาย
ตัวอย่างสตาร์-เดลต้า: เปลี่ยน T2 เป็น 0ms สังเกตโรงงานจำลองตอนเปลี่ยนจังหวะ จากนั้นลบ & !Q0.1 ในรัง Q0.2

### 5 · เวลาสแกน
ตัวอย่างนับชิ้นงาน: เพิ่มเวลาสแกนเป็น 200 ms เคาน์เตอร์ยังนับครบไหม เทียบกับสูตร F4

### 6 · ไฟกะพริบ
แก้ให้ติด 0.2 s ดับ 0.8 s แล้วทำไฟกะพริบสองดวงสลับกัน (Q0.0 และ Q0.1)

### 7 · ไฟจราจรกลางคืน
เพิ่มสวิตช์ I0.1 “โหมดกลางคืน” ที่ทำให้ไฟเหลืองทั้งสองทิศกะพริบ และไฟอื่นดับ

### 8 · เติมถังพร้อมเตือน
เพิ่มไทเมอร์เฝ้า: ถ้าปั๊มเดินนานเกิน 20 s แต่ยังไม่ถึง LH ให้หยุดปั๊มและติดไฟเตือน Q0.3 จนกด RESET (I0.5)

## คำถามที่พบบ่อย

ซิมูเลเตอร์นี้ใช้แทน PLC จริงได้ไหม?
ใช้ฝึกตรรกะ ลำดับการสแกน ไทเมอร์ และเคาน์เตอร์ได้ดี แต่ไม่ได้จำลองฮาร์ดแวร์ การสื่อสาร หรือคำสั่งเฉพาะยี่ห้อ เมื่อเข้าใจแล้วให้ฝึกต่อกับซอฟต์แวร์ของผู้ผลิตที่มีซิมูเลเตอร์ของตัวเอง หรือกับ PLC จริงในห้องแล็บ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ซิมูเลเตอร์นี้ใช้แทน PLC จริงได้ไหม?**
ใช้ฝึกตรรกะ ลำดับการสแกน ไทเมอร์ และเคาน์เตอร์ได้ดี แต่ไม่ได้จำลองฮาร์ดแวร์ การสื่อสาร หรือคำสั่งเฉพาะยี่ห้อ เมื่อเข้าใจแล้วให้ฝึกต่อกับซอฟต์แวร์ของผู้ผลิตที่มีซิมูเลเตอร์ของตัวเอง หรือกับ PLC จริงในห้องแล็บ

---

# ควบคุมมอเตอร์ด้วย PLC: DOL กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้า รายการ I/O การต่อสาย อินเตอร์ล็อกฮาร์ดไวร์ และการตรวจสอบป้อนกลับคอนแทกเตอร์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/plc/plc-motor-control/
Updated: 2026-10-14
Summary: แปลงวงจรคอนแทกเตอร์เป็นโปรแกรม PLC อย่างถูกต้องและปลอดภัย: สิ่งที่ต้องคงไว้ในฮาร์ดแวร์ (หยุดฉุกเฉิน โอเวอร์โหลด อินเตอร์ล็อก K2/K3) รายการ I/O การต่อสาย PLC กับคอยล์คอนแทกเตอร์ แลดเดอร์และ Structured Text สำหรับ DOL กลับทางหมุน และสตาร์-เดลต้าพร้อมช่วงตาย การตรวจคอนแทกเตอร์ค้างด้วยหน้าสัมผัสป้อนกลับ และซิมูเลเตอร์ให้ทดลอง

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 22.6 · PLC · Motor Control with a PLC

# ควบคุมมอเตอร์ด้วย PLC: DOL กลับทางหมุน สตาร์-เดลต้า รายการ I/O การต่อสาย อินเตอร์ล็อกฮาร์ดไวร์ และการตรวจสอบป้อนกลับคอนแทกเตอร์

เมื่อย้ายลอจิกจากตู้รีเลย์มาไว้ใน PLC สิ่งที่ได้คือความยืดหยุ่น การแสดงสถานะ และการตรวจจับความผิดปกติ แต่สิ่งที่ต้องไม่เสียไปคือความปลอดภัยของวงจรเดิม หน้านี้แบ่งชัดเจนว่าอะไรอยู่ในซอฟต์แวร์ อะไรต้องอยู่ในฮาร์ดแวร์ และให้โปรแกรมที่ใช้ได้จริงสำหรับวงจรมอเตอร์ทั้งสามแบบ

สรุปใน 30 วินาที

- คงไว้ในฮาร์ดแวร์: หยุดฉุกเฉินผ่านรีเลย์เซฟตี้ · โอเวอร์โหลด 95-96 · อินเตอร์ล็อก NC + กลไก

- PLC ทำ: ล็อกตัวเอง ลำดับ ไทเมอร์ ตรวจป้อนกลับ แจ้งเตือน นับชั่วโมง

- ป้อนกลับ: $\text{Fault} = \text{TON}(\text{Cmd} \oplus \text{FB},\ 0.5\text{–}2\ \text{s})$

- สตาร์-เดลต้า: Y ก่อน → K1 → ครบเวลา → Y ปล่อย → ช่วงตาย → Δ

## แบ่งหน้าที่: ฮาร์ดแวร์กับซอฟต์แวร์ พื้นฐาน

| หน้าที่ | ที่ไหน | เหตุผล |

| หยุดฉุกเฉิน | รีเลย์เซฟตี้/safety PLC ตัดไฟคอยล์ + PLC อ่านสถานะ | ต้องทำงานแม้ PLC มาตรฐานเสียหรือถูกแก้โปรแกรม |

| โอเวอร์โหลด | 95-96 อนุกรมคอยล์ + 97-98 เข้า PLC | ตัดได้แม้ PLC ค้าง และแสดงสาเหตุได้ |

| อินเตอร์ล็อกกันลัดวงจร | NC ช่วย + กลไก + ในโปรแกรม | เอาต์พุตทรานซิสเตอร์ลัดค้างหรือการ force ต้องไม่ทำให้ลัดวงจร |

| ล็อกตัวเอง ลำดับ ไทเมอร์ | โปรแกรม | แก้ไขง่าย ตั้งค่าจาก HMI |

| ตรวจคอนแทกเตอร์ค้าง/ไม่ดูด | โปรแกรม + หน้าสัมผัสป้อนกลับ | ตรวจได้เฉพาะเมื่อมีสมองกล |

## DOL ด้วย PLC และการตรวจป้อนกลับ พื้นฐาน

| แอดเดรส | อุปกรณ์ | ชนิด |

| I0.0 | -S0 STOP | NC (1 = ปกติ) |

| I0.1 | -S1 START | NO |

| I0.2 | -F2 97-98 หรือ 95-96 ช่วย | NC (1 = ปกติ) |

| I0.3 | -K1 13-14 ป้อนกลับ | NO |

| Q0.0 | -K1 คอยล์ (ผ่าน 95-96) | รีเลย์หรือรีเลย์ต่อกลาง |

| Q0.1 / Q0.2 | ไฟเดิน / ไฟผิดปกติ | — |

M1 Run command คำสั่งเดิน

$$\text{Cmd} = I0.0\cdot I0.2\cdot\overline{\text{Fault}}\cdot(I0.1 + \text{Cmd})$$

M2 Feedback discrepancy ตรวจความไม่ตรงกันของป้อนกลับ

$$\text{Fault} \leftarrow \text{TON}(\text{Cmd} \oplus \text{FB},\ t_{fb}) \qquad t_{fb} \approx 0.5\text{–}2\ \text{s}$$

กรณีที่ M2 จับได้: สั่งแล้วไม่ดูด (ฟิวส์คอยล์ขาด คอยล์ขาด 95-96 เปิด) และไม่ได้สั่งแต่ยังดูด (หน้าสัมผัสเชื่อมติด เอาต์พุตค้าง) — กรณีหลังอันตราย ต้องแจ้งเตือนและตัดด้วยอุปกรณ์ต้นทาง

ต้องเปิด JavaScript

## กลับทางหมุนด้วย PLC กลาง

M3 Software interlock อินเตอร์ล็อกในโปรแกรม

$$Q_F = \overline{S0}\,\overline{OL}\,(S_F + Q_F)\,\overline{S_R}\,\overline{Q_R}\,\overline{FB_R} \qquad Q_R = \overline{S0}\,\overline{OL}\,(S_R + Q_R)\,\overline{S_F}\,\overline{Q_F}\,\overline{FB_F}$$

เพิ่ม $\overline{FB}$ ของอีกทิศ (ป้อนกลับจากคอนแทกเตอร์จริง) ทำให้โปรแกรมไม่สั่งทิศใหม่จนกว่าคอนแทกเตอร์เดิมปล่อยจริง และนิยมเพิ่มไทเมอร์หน่วงกลับทาง 0.5–2 s ให้มอเตอร์ชะลอ

ต้องเปิด JavaScript

## สตาร์-เดลต้าด้วย PLC กลาง

รูป 1 · เอาต์พุตสั่งคอยล์ผ่านหน้าสัมผัส NC ของคอนแทกเตอร์ตรงข้าม (ฮาร์ดไวร์) · อินพุตรับปุ่ม โอเวอร์โหลด และป้อนกลับทั้งสามตัว

M4 Star–delta sequence ลำดับสตาร์-เดลต้าในโปรแกรม

$$K_Y = \text{Run}\,\overline{T_Y}\,\overline{K_\Delta} \quad K_1 = \text{Run}\,(K_Y + K_1) \quad K_\Delta = \text{Run}\,\text{TON}(T_Y,\ t_{dead})\,\overline{K_Y}\,\overline{FB_Y}$$

(* Structured Text: star–delta with feedback check *)
Run := (PB_Start OR Run) AND PB_Stop_NC AND OL_NC AND NOT Fault;
TY(IN := Run, PT := T#6S); // เวลาช่วงสตาร์
KY := Run AND NOT TY.Q AND NOT KD; // K2 สตาร์
K1 := Run AND (FB_Y OR K1); // K1 หลัง เมื่อสตาร์ดูดจริง
TDead(IN := TY.Q AND NOT FB_Y, PT := T#80MS); // รอ K2 ปล่อยจริงแล้วนับช่วงตาย
KD := Run AND TDead.Q; // K3 เดลต้า
TChk(IN := (K1 XOR FB_1) OR (KY XOR FB_Y) OR (KD XOR FB_D), PT := T#1S);
IF TChk.Q OR (FB_Y AND FB_D) THEN Fault := TRUE; END_IF
สังเกต: ช่วงตายเริ่มนับเมื่อ ป้อนกลับ ของ K2 ยืนยันว่าปล่อยแล้ว ไม่ใช่เมื่อสั่งปล่อย — ป้องกันกรณีหน้าสัมผัส K2 ค้าง นี่คือสิ่งที่วงจรรีเลย์ธรรมดาทำไม่ได้ ซิมูเลเตอร์ด้านล่างเป็นรุ่นย่อที่ไม่มีป้อนกลับ

ต้องเปิด JavaScript

ตัวอย่าง M-1

### ทดสอบลำดับในซิมูเลเตอร์และตอบคำถาม

- กด START: บันทึกลำดับที่ Q0.1 (Y) และ Q0.0 (K1) ติด — ทำไม Q0.1 ต้องติดก่อน? (เพื่อให้จุดสตาร์ต่อเสร็จก่อนจ่ายไฟเข้าขดลวด)

- ดูแถบ ET ของ T1 และ T2: ช่วงที่ Q0.1 ดับแต่ Q0.2 ยังไม่ติดยาวเท่าไร? (80 ms = PT ของ T2)

- แก้รัง Q0.1 ลบเงื่อนไข !Q0.2 แล้วโหลดใหม่ ระบบยังทำงานไหม และทำไมอินเตอร์ล็อกนี้ยังควรอยู่?

## คำถามที่พบบ่อย

ใช้ PLC แล้วยังต้องมีหน้าสัมผัสช่วยอินเตอร์ล็อกในวงจรคอยล์อีกไหม?
ต้องมี อินเตอร์ล็อกที่ป้องกันลัดวงจร (K1/K2 กลับทาง K2/K3 สตาร์-เดลต้า) ต้องทำงานได้แม้ PLC เสีย เอาต์พุตทรานซิสเตอร์ลัดค้าง หรือมีคนสั่ง force บิต การใส่หน้าสัมผัส NC ของคอนแทกเตอร์ตรงข้ามอนุกรมกับคอยล์และอินเตอร์ล็อกทางกลจึงยังจำเป็น โปรแกรมเป็นชั้นเพิ่มเติม ไม่ใช่ชั้นเดียว

ต่อโอเวอร์โหลดเข้า PLC อย่างเดียวได้ไหม?
ทำได้ในทางเทคนิค แต่แนวปฏิบัติที่ดีคือให้ 95-96 อนุกรมกับคอยล์คอนแทกเตอร์โดยตรง (ตัดได้แม้ PLC ค้าง) และนำ 97-98 หรือหน้าสัมผัสช่วยเข้า PLC เพื่อแสดงสถานะและบันทึกเหตุการณ์

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ใช้ PLC แล้วยังต้องมีหน้าสัมผัสช่วยอินเตอร์ล็อกในวงจรคอยล์อีกไหม?**
ต้องมี อินเตอร์ล็อกที่ป้องกันลัดวงจร (K1/K2 กลับทาง K2/K3 สตาร์-เดลต้า) ต้องทำงานได้แม้ PLC เสีย เอาต์พุตทรานซิสเตอร์ลัดค้าง หรือมีคนสั่ง force บิต การใส่หน้าสัมผัส NC ของคอนแทกเตอร์ตรงข้ามอนุกรมกับคอยล์และอินเตอร์ล็อกทางกลจึงยังจำเป็น โปรแกรมเป็นชั้นเพิ่มเติม ไม่ใช่ชั้นเดียว

**ต่อโอเวอร์โหลดเข้า PLC อย่างเดียวได้ไหม?**
ทำได้ในทางเทคนิค แต่แนวปฏิบัติที่ดีคือให้ 95-96 อนุกรมกับคอยล์คอนแทกเตอร์โดยตรง (ตัดได้แม้ PLC ค้าง) และนำ 97-98 หรือหน้าสัมผัสช่วยเข้า PLC เพื่อแสดงสถานะและบันทึกเหตุการณ์

---

# การควบคุมแบบลำดับขั้น: สเตตแมชชีน SFC/GRAFCET สัญญาณไฟจราจร สายพานคัดแยก และถังผสมแบบแบตช์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/plc/sequential-control/
Updated: 2026-10-14
Summary: ออกแบบโปรแกรม PLC แบบลำดับขั้นอย่างเป็นระบบ: แผนภาพสถานะ ขั้นและเงื่อนไขเปลี่ยนขั้นตาม SFC/GRAFCET (IEC 60848) วิธีเขียนเป็นแลดเดอร์ด้วย SET/RESET และเป็น Structured Text ด้วย CASE ตัวอย่างไฟจราจรสองทิศ ถังผสมแบบแบตช์ เติมถังอัตโนมัติ โหมดอัตโนมัติ-มือ หยุดฉุกเฉิน การกลับจุดเริ่ม และการวินิจฉัยว่าเครื่องค้างที่ขั้นไหน พร้อมซิมูเลเตอร์

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 22.7 · PLC · Sequential Control

# การควบคุมแบบลำดับขั้น: สเตตแมชชีน SFC/GRAFCET สัญญาณไฟจราจร สายพานคัดแยก และถังผสมแบบแบตช์

เครื่องจักรส่วนใหญ่ทำงานเป็นลำดับ: รอ → เติม → ผสม → ปล่อย → รอ การเขียนโปรแกรมลำดับด้วยวงจรล็อกตัวเองซ้อนกันได้ผลในงานเล็ก แต่จะยุ่งเหยิงเมื่อเครื่องซับซ้อน วิธีที่วิศวกรใช้คือคิดเป็น สเตตแมชชีน ก่อน แล้วค่อยแปลงเป็นภาษาใดก็ได้

สรุปใน 30 วินาที

- ขั้นตอนออกแบบ: เขียนขั้น (state) → เงื่อนไขเปลี่ยนขั้น (transition) → เอาต์พุตของแต่ละขั้น

- มีขั้นทำงานทีละหนึ่งขั้นเสมอ (ยกเว้นกิ่งขนานใน SFC)

- แลดเดอร์: SET ขั้นถัดไป + RESET ขั้นปัจจุบัน ในรังเดียวกัน · ST: CASE State OF

- เอาต์พุตเขียนท้ายโปรแกรมเป็น OR ของขั้น

## สเตตแมชชีน: ขั้น เงื่อนไข เอาต์พุต กลาง

รูป 1 · ไฟจราจรสองทิศ: หกขั้นวนรอบ แต่ละขั้นมีไทเมอร์ของตัวเอง เงื่อนไขเปลี่ยนขั้นคือไทเมอร์ครบ

S1 Transition rule กฎการเปลี่ยนขั้น

$$X_{n+1} \leftarrow 1,\ X_n \leftarrow 0 \quad \text{เมื่อ}\quad X_n \wedge t_{n\to n+1}$$

S2 One active step มีขั้นทำงานหนึ่งขั้น (ลำดับเชิงเส้น)

$$\sum_i X_i = 1$$

S3 Outputs from steps เอาต์พุตจากขั้น

$$Q_j = \bigvee_{i \in A_j} X_i \cdot \text{(เงื่อนไขอนุญาต)}$$

ต้องเปิด JavaScript

ตัวอย่างไฟจราจรในซิมูเลเตอร์ใช้ไทเมอร์ต่อเป็นโซ่ (T1→T6) เป็นสเตตแมชชีนแบบง่าย: ขั้นปัจจุบันระบุได้จากไทเมอร์ตัวไหนครบแล้ว เหมาะกับลำดับที่ขึ้นกับเวลาล้วน ๆ งานที่มีเงื่อนไขจากเซนเซอร์ใช้วิธี SFC ด้านล่าง

## SFC / GRAFCET: ถังผสมแบบแบตช์ กลาง

รูป 2 · กรอบคือขั้น ขีดขวางคือเงื่อนไขเปลี่ยนขั้น กล่องด้านขวาคือ action ที่ทำขณะขั้นนั้นทำงาน

### แปลงเป็นแลดเดอร์ด้วย SET/RESET

// ขั้นเริ่มต้นเมื่อเปิดเครื่อง (first scan)
S X0 = FirstScan
// แต่ละรัง: ขั้นปัจจุบัน AND เงื่อนไข → SET ขั้นถัดไป, RESET ขั้นปัจจุบัน
S X1 = X0 & START & !LL R X0 = X0 & START & !LL
S X2 = X1 & LM R X1 = X1 & LM
S X3 = X2 & LH R X2 = X2 & LH
S X4 = X3 & T3.Q R X3 = X3 & T3.Q
S X0 = X4 & !LL R X4 = X4 & !LL
T3 = TON(X3, 60s)
// ส่วนเอาต์พุต (S3)
V1 = X1 · V2 = X2 · M1 = X3 · V3 = X4

### แปลงเป็น Structured Text ด้วย CASE

CASE Step OF
0: IF Start AND NOT LL THEN Step := 10; END_IF
10: IF LM THEN Step := 20; END_IF // เติม A
20: IF LH THEN Step := 30; END_IF // เติม B
30: IF TMix.Q THEN Step := 40; END_IF // กวน
40: IF NOT LL THEN Step := 0; END_IF // ปล่อย
END_CASE
TMix(IN := Step = 30, PT := T#60S);
V1 := Step = 10; V2 := Step = 20; M1 := Step = 30; V3 := Step = 40;
เลขขั้นเว้นทีละ 10 เพื่อแทรกขั้นใหม่ภายหลังได้โดยไม่ต้องเลื่อนเลขทั้งโปรแกรม และแสดง Step บน HMI ช่างจะรู้ทันทีว่าเครื่องรออะไรอยู่

## ตัวอย่างเติมถังอัตโนมัติ (มีโรงงานจำลอง)

กด START ระบบเติมน้ำจนถึง LH หยุด และเติมใหม่เมื่อระดับต่ำกว่า LL เปิดก๊อก (I0.4) ให้มีการใช้น้ำ ดูการ SET/RESET ของปั๊ม Q0.0 ตามสวิตช์ระดับ — นี่คือวงจรสองระดับแบบเดียวกับ ปั๊มลูกลอย แต่เขียนในโปรแกรม

ต้องเปิด JavaScript

## โหมดอัตโนมัติ-มือ หยุด และกลับจุดเริ่ม ขั้นสูง

- Auto / Manual: โหมดมือให้สั่งเอาต์พุตทีละตัวจาก HMI แต่ยังผ่านอินเตอร์ล็อก (เช่น ห้ามเปิดวาล์วปล่อยขณะเติม) ลำดับขั้นหยุดนับขณะอยู่โหมดมือ

- Cycle stop: กดหยุดแล้วให้ทำรอบปัจจุบันจนจบก่อนหยุดที่ขั้น 0 — เหมาะกับงานที่หยุดกลางรอบแล้วเสียวัตถุดิบ

- Immediate stop / E-stop: ตัดเอาต์พุตทั้งหมดทันที เก็บขั้นที่หยุดไว้ และต้องผ่านขั้นตอนกลับจุดเริ่ม (homing) หรือกู้คืนด้วยมือก่อนเริ่มใหม่

- Timeout ต่อขั้น: ทุกขั้นที่รอเซนเซอร์ควรมีไทเมอร์เฝ้า เช่น เติมนานเกิน 5 นาทีแปลว่าวาล์วค้างหรือเซนเซอร์เสีย → แจ้งเตือนพร้อมบอกขั้น

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมโปรแกรมลำดับขั้นที่เขียนด้วยวงจรล็อกตัวเองหลายชั้นมักมีบั๊ก?
เพราะสถานะของเครื่องกระจายอยู่ในบิตหลายตัวที่ไม่มีกฎบังคับว่าต้องเป็นหนึ่งเดียว ทำให้เกิดสองขั้นทำงานพร้อมกันหรือไม่มีขั้นไหนทำงานได้ วิธีสเตตแมชชีนเก็บสถานะในตัวแปรเดียว (หรือบิตขั้นที่ SET/RESET คู่กันอย่างมีวินัย) ทำให้มีขั้นเดียวที่ทำงานเสมอ และรู้ทันทีว่าเครื่องค้างที่ไหน

เอาต์พุตควรเขียนในแต่ละขั้นหรือท้ายโปรแกรม?
แนะนำให้ส่วนลำดับคำนวณแค่ “ขั้นปัจจุบัน” แล้วมีส่วนเอาต์พุตแยกที่ท้ายโปรแกรม เขียนเอาต์พุตแต่ละตัวครั้งเดียวเป็น OR ของขั้นที่ต้องการให้ทำงาน เช่น ปั๊ม = ขั้น1 OR ขั้น4 วิธีนี้ป้องกันคอยล์ซ้ำและเพิ่มเงื่อนไขโหมดมือหรือหยุดฉุกเฉินได้จุดเดียว

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมโปรแกรมลำดับขั้นที่เขียนด้วยวงจรล็อกตัวเองหลายชั้นมักมีบั๊ก?**
เพราะสถานะของเครื่องกระจายอยู่ในบิตหลายตัวที่ไม่มีกฎบังคับว่าต้องเป็นหนึ่งเดียว ทำให้เกิดสองขั้นทำงานพร้อมกันหรือไม่มีขั้นไหนทำงานได้ วิธีสเตตแมชชีนเก็บสถานะในตัวแปรเดียว (หรือบิตขั้นที่ SET/RESET คู่กันอย่างมีวินัย) ทำให้มีขั้นเดียวที่ทำงานเสมอ และรู้ทันทีว่าเครื่องค้างที่ไหน

**เอาต์พุตควรเขียนในแต่ละขั้นหรือท้ายโปรแกรม?**
แนะนำให้ส่วนลำดับคำนวณแค่ “ขั้นปัจจุบัน” แล้วมีส่วนเอาต์พุตแยกที่ท้ายโปรแกรม เขียนเอาต์พุตแต่ละตัวครั้งเดียวเป็น OR ของขั้นที่ต้องการให้ทำงาน เช่น ปั๊ม = ขั้น1 OR ขั้น4 วิธีนี้ป้องกันคอยล์ซ้ำและเพิ่มเงื่อนไขโหมดมือหรือหยุดฉุกเฉินได้จุดเดียว

---

# ไทเมอร์และเคาน์เตอร์ตาม IEC 61131-3: TON TOF TP CTU CTD CTUD พร้อมไดอะแกรมเวลาและตัวอย่างงานจริง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/plc/timers-counters/
Updated: 2026-10-14
Summary: ไทเมอร์และเคาน์เตอร์มาตรฐานของ PLC ทุกยี่ห้อ: TON หน่วงเวลาเปิด TOF หน่วงเวลาปิด TP พัลส์ ไดอะแกรมเวลา ET PT วงจรไฟกะพริบ เตือนก่อนเครื่องเดิน พัดลมเดินต่อหลังหยุด เคาน์เตอร์ CTU CTD CTUD นับชิ้นงาน รีเซ็ต เวลานานเกินค่าสูงสุด ความแม่นยำขึ้นกับเวลาสแกน เคาน์เตอร์ความเร็วสูง และการเทียบชื่อกับ Siemens Mitsubishi Omron

THภาษาไทยENEnglish

// บทที่ 22.4 · PLC · Timers & Counters

# ไทเมอร์และเคาน์เตอร์ตาม IEC 61131-3: TON TOF TP CTU CTD CTUD พร้อมไดอะแกรมเวลาและตัวอย่างงานจริง

ไทเมอร์และเคาน์เตอร์คือเหตุผลหลักที่ PLC แทนตู้รีเลย์ได้คุ้ม ไทเมอร์หนึ่งตัวในโปรแกรมแทนไทเมอร์จริงราคาหลายร้อยบาท และตั้งเวลาได้แม่นยำจาก HMI หน้านี้ใช้ชื่อตามมาตรฐาน IEC 61131-3 ซึ่งเป็นแม่แบบของคำสั่งในทุกยี่ห้อ

สรุปใน 30 วินาที

- TON: IN ต้องค้างครบ PT จึง Q = 1 · TOF: Q ค้างอีก PT หลัง IN ดับ · TP: พัลส์ยาว PT ต่อหนึ่งขอบขาขึ้น

- CTU นับขอบขาขึ้นของ CU · Q = 1 เมื่อ CV ≥ PV · R ล้างค่า

- ความแม่นยำ ≈ ± หนึ่งเวลาสแกน

- เวลานานมาก: ใช้ไทเมอร์นาทีป้อนเคาน์เตอร์

## ไทเมอร์สามแบบ พื้นฐาน

รูป 1 · อินพุตเดียวกัน (แถวบน) ป้อนไทเมอร์สามแบบที่ PT = 3 s

T1 TON — on-delay หน่วงเวลาเปิด

$$ET = \begin{cases} \min(ET + \Delta t,\ PT) & IN = 1 \\ 0 & IN = 0 \end{cases} \qquad Q = IN \wedge (ET \ge PT)$$

T2 TOF — off-delay หน่วงเวลาปิด

$$Q = IN \vee (ET T3 TP — pulse พัลส์ความยาวคงที่

$$Q = 1 \ \text{ช่วง } [t_0,\ t_0 + PT) \text{ หลังขอบขาขึ้นของ } IN \text{ ที่ } t_0 \ (\text{ไม่เริ่มใหม่ระหว่างพัลส์})$$

T4 Timer accuracy ความแม่นยำของไทเมอร์ซอฟต์แวร์

$$PT \le t_{actual} \le PT + t_{scan} + t_{base}$$

ตัวอย่าง T-1

### สายพานเตือนด้วยแตร 5 s ก่อนเดิน และพัดลมระบายความร้อนเดินต่อ 2 นาทีหลังหยุด

- สั่งเดิน M0.0 (ล็อกตัวเองจาก START/STOP) · T1 = TON(M0.0, 5s)

- แตร: Q0.1 = M0.0 & !T1 · สายพาน: Q0.0 = T1 (เดินเมื่อครบ 5 s)

- พัดลม: T2 = TOF(Q0.0, 120s) · Q0.2 = T2 — เดินพร้อมสายพานและค้างอีก 2 นาทีหลังสายพานหยุด

T5 Flasher from two timers ไฟกะพริบด้วยไทเมอร์สองตัว

$$T1 = \text{TON}(EN \wedge \overline{T2},\ t_{on}) \quad T2 = \text{TON}(T1,\ t_{off}) \quad Q = EN \wedge \overline{T1} \quad (T_{period} = t_{on} + t_{off})$$

ต้องเปิด JavaScript

## เคาน์เตอร์ พื้นฐาน

รูป 2 · CTU นับเฉพาะขอบขาขึ้นของ CU ถ้าชิ้นงานหยุดค้างหน้าเซนเซอร์ก็นับเพียงครั้งเดียว

T6 CTU — up counter เคาน์เตอร์นับขึ้น

$$CV_{k+1} = \begin{cases} 0 & R = 1 \\ CV_k + 1 & P(CU) \\ CV_k & \text{otherwise} \end{cases} \qquad Q = (CV \ge PV)$$

T7 CTD — down counter เคาน์เตอร์นับลง

$$CV = PV \text{ เมื่อ LD} \qquad CV_{k+1} = CV_k - 1 \text{ ที่ } P(CD) \qquad Q = (CV \le 0)$$

CTUD รวมทั้งสองในตัวเดียว (QU และ QD) ใช้นับจำนวนชิ้นงานที่อยู่ในพื้นที่ เช่น รถเข้า-ออกลานจอด หรือชิ้นงานบนบัฟเฟอร์ระหว่างสองเครื่อง

ต้องเปิด JavaScript

ตัวอย่าง T-2

### รอบเปลี่ยนไส้กรองทุก 500 ชั่วโมงทำงาน แต่ไทเมอร์ PT สูงสุด 24 ชม.

- สร้างพัลส์ทุก 1 ชั่วโมงขณะปั๊มเดิน: T1 = TON(Q0.0 & !T1, 3600s) (รีเซ็ตตัวเองเมื่อครบ)

- นับพัลส์: C1 = CTU(T1, I0.5, 500) · I0.5 = ปุ่มรีเซ็ตหลังเปลี่ยนไส้กรอง

- เตือน: Q0.3 = C1 · ทำ C1 เป็นแบบ retentive เพื่อไม่ให้ค่าหายเมื่อไฟดับ

## ชื่อในแต่ละยี่ห้อ

| IEC 61131-3 | Siemens S7-1200/1500 | Mitsubishi FX5/iQ | Omron CP/NX |

| TON | TON (IEC_TIMER) | OUT T0 K50 (100 ms) / TON FB | TIM / TON |

| TOF | TOF | TOF FB (หรือวงจร) | TOF |

| TP | TP | TP FB | TP |

| CTU | CTU | OUT C0 K10 / CTU FB | CNT / CTU |

ไทเมอร์แบบเก่าของบางยี่ห้อกำหนดเป็นจำนวน “ฐานเวลา” เช่น K50 ที่ฐาน 100 ms = 5 s ตรวจฐานเวลาทุกครั้งเมื่อย้ายโปรแกรมข้ามรุ่น

## เคาน์เตอร์ความเร็วสูง กลาง

CTU ในโปรแกรมนับได้ไม่เกินครึ่งหนึ่งของอัตราสแกนโดยประมาณ (ต้องเห็น 0 หนึ่งสแกนและ 1 หนึ่งสแกน) เช่น สแกน 10 ms นับได้ไม่เกิน ~50 Hz และต้องหักตัวกรองอินพุต เอนโค้ดเดอร์และเซนเซอร์ความเร็วสูงต้องต่อเข้าอินพุตความเร็วสูง (HSC) ของ CPU ซึ่งนับด้วยฮาร์ดแวร์ได้ถึงหลายสิบหรือหลายร้อย kHz และรองรับสัญญาณ A/B สองเฟส

T8 Software counter limit ความถี่สูงสุดของเคาน์เตอร์ในโปรแกรม

$$f_{max} \approx \frac{1}{2\,(t_{scan} + t_{in})}$$

## คำถามที่พบบ่อย

ไทเมอร์ PLC แม่นยำแค่ไหน?
ไทเมอร์อัปเดตเมื่อถูกประมวลผลในแต่ละสแกน ความคลาดเคลื่อนจึงประมาณหนึ่งเวลาสแกน (บวกความละเอียดของฐานเวลา เช่น 1 ms 10 ms 100 ms) งานทั่วไปไม่มีปัญหา แต่ถ้าต้องการความแม่นยำระดับมิลลิวินาทีให้ใช้ไทเมอร์ฮาร์ดแวร์ งานที่เรียกเป็นรอบ (cyclic interrupt) หรือเอาต์พุตพัลส์ของ CPU

ไทเมอร์ไม่นับเมื่ออยู่ในส่วนโปรแกรมที่ไม่ถูกเรียก เกิดอะไรขึ้น?
ไทเมอร์แบบซอฟต์แวร์นับเฉพาะตอนคำสั่งถูกประมวลผล ถ้าอยู่ในฟังก์ชันหรือการกระโดดข้าม (jump) ที่ไม่ได้ทำงาน มันจะหยุดนับหรือค้างค่า ควรเรียกไทเมอร์ทุกสแกนแล้วควบคุมด้วยอินพุต IN แทน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ไทเมอร์ PLC แม่นยำแค่ไหน?**
ไทเมอร์อัปเดตเมื่อถูกประมวลผลในแต่ละสแกน ความคลาดเคลื่อนจึงประมาณหนึ่งเวลาสแกน (บวกความละเอียดของฐานเวลา เช่น 1 ms 10 ms 100 ms) งานทั่วไปไม่มีปัญหา แต่ถ้าต้องการความแม่นยำระดับมิลลิวินาทีให้ใช้ไทเมอร์ฮาร์ดแวร์ งานที่เรียกเป็นรอบ (cyclic interrupt) หรือเอาต์พุตพัลส์ของ CPU

**ไทเมอร์ไม่นับเมื่ออยู่ในส่วนโปรแกรมที่ไม่ถูกเรียก เกิดอะไรขึ้น?**
ไทเมอร์แบบซอฟต์แวร์นับเฉพาะตอนคำสั่งถูกประมวลผล ถ้าอยู่ในฟังก์ชันหรือการกระโดดข้าม (jump) ที่ไม่ได้ทำงาน มันจะหยุดนับหรือค้างค่า ควรเรียกไทเมอร์ทุกสแกนแล้วควบคุมด้วยอินพุต IN แทน

---

# อิเล็กทรอนิกส์กำลัง (Power Electronics)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/
Updated: 2026-10-15
Summary: เรียนอิเล็กทรอนิกส์กำลังภาษาไทยตั้งแต่พื้นฐานถึงระดับปริญญาโท 23 หน้า: บั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ ชุคคอนเวอร์เตอร์ volt-second balance ไล่วงจร CCM/DCM หาดิวตี้ไซเคิล ริปเปิล แบบจำลองเฉลี่ยด้วยสเตตสเปซ ฟังก์ชันถ่ายโอนทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต ออกแบบบั๊กพร้อมโปรแกรมโหลดหลายสภาวะ แบบจำลองสัญญาณเล็ก ออกแบบตัวชดเชย Type II Type III peak current mode ควบคุมด้วยออปแอมป์และไมโครคอนโทรลเลอร์ ตัวสังเกตกระแส AI ช่วยควบคุม ออกแบบตัวเหนี่ยวนำ แหล่งจ่ายทดสอบ เลือกชิปควบคุม SMPS เทคนิคหน้างาน วิเคราะห์อาการเสีย และแล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์พร้อมออสซิลโลสโคปฟรี

// บทที่ 15 · Power Electronics · ป.ตรี → ป.โท

# อิเล็กทรอนิกส์กำลัง (Power Electronics)

อิเล็กทรอนิกส์กำลังคือการแปลงและควบคุมพลังงานไฟฟ้าด้วยสวิตช์สารกึ่งตัวนำให้มีประสิทธิภาพสูงสุด ตั้งแต่ที่ชาร์จโทรศัพท์จนถึงอินเวอร์เตอร์รถยนต์ไฟฟ้า หัวใจของวิชาไม่ใช่การจำวงจร แต่คือคณิตศาสตร์ของการสวิตช์ — volt-second balance การเฉลี่ยสถานะ Laplace และ z-transform — แล้วนำไปออกแบบ วัด และแก้ปัญหาของจริง ชุดนี้มี 23 หน้า 84 สูตรที่มีรหัสอ้างอิงถาวร 20 ตัวอย่างวิธีทำ และแล็บจำลองที่ใช้ได้ทันทีในเบราว์เซอร์

สรุปใน 30 วินาที

- สถานะคงตัว: $\langle v_L\rangle = 0$ (volt-second) และ $\langle i_C\rangle = 0$ (charge) ให้อัตราส่วนแปลงผันของทุกวงจร

- บั๊ก $D$ · บูสต์ $\frac{1}{1-D}$ · บั๊ก-บูสต์และชุค $-\frac{D}{1-D}$

- เฉลี่ยตลอดคาบแล้ว linearize ได้ $G_{vd}(s)$ → ออกแบบตัวชดเชยด้วย Bode

- ของจริงพังที่ layout การวัด และแม่เหล็ก มากกว่าที่สมการ — ดูหมวดภาคปฏิบัติ

ระดับพื้นฐาน ปวส. · ป.ตรี ปี 2–3กลาง ป.ตรี ปี 3–4ขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## สมการที่ต้องรู้ตั้งแต่วันแรก พื้นฐาน

ในสถานะคงตัว แรงดันเฉลี่ยบนตัวเหนี่ยวนำและกระแสเฉลี่ยของตัวเก็บประจุเป็นศูนย์ สองบรรทัดนี้ให้อัตราส่วนแปลงผัน $M(D)$ ของทุกวงจร

$$\langle v_L\rangle = \frac{1}{T_s}\int_0^{T_s} v_L\,dt = 0 \qquad \langle i_C\rangle = \frac{1}{T_s}\int_0^{T_s} i_C\,dt = 0$$

| วงจร | $V_o/V_{in}$ (CCM) | แรงดันบนสวิตช์ | กระแสขาเข้า | ข้อสังเกตด้านควบคุม |

| บั๊ก | $D$ | $V_{in}$ | เป็นพัลส์ | ไม่มี RHP zero ควบคุมง่าย |

| บูสต์ | $\dfrac{1}{1-D}$ | $V_o$ | ต่อเนื่อง | มี RHP zero |

| บั๊ก-บูสต์ | $-\dfrac{D}{1-D}$ | $V_{in}+|V_o|$ | เป็นพัลส์ | มี RHP zero กลับขั้ว |

| ชุค | $-\dfrac{D}{1-D}$ | $V_{in}+|V_o|$ | ต่อเนื่อง (เข้าและออก) | อันดับสี่ ต้องหน่วง |

## เริ่มตามระดับของคุณ

พื้นฐาน

ปวส. ป.ตรี ปีแรก ๆ หรือช่างที่อยากเข้าใจว่าวงจรทำงานอย่างไร

บั๊ก → CCM · หาดิวตี้ → DCM → แล็บจำลอง → แหล่งจ่ายทดสอบ → เทคนิคหน้างาน

กลาง

ป.ตรี ปี 3–4 ที่ต้องออกแบบวงจรและลูปควบคุมจริง

แบบจำลองเฉลี่ย → ฟังก์ชันถ่ายโอนบั๊ก → ออกแบบ + โปรแกรมโหลด → บูสต์ → แบบจำลองสัญญาณเล็ก → ตัวชดเชย → ออปแอมป์ → ตัวเหนี่ยวนำ

ขั้นสูง

ป.โท งานวิจัย และวิศวกรออกแบบผลิตภัณฑ์

ชุค → ควบคุมดิจิทัล → ตัวสังเกต → AI ช่วยควบคุม

## บั๊กเชิงลึก: ไล่วงจร → แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ → ออกแบบและทดสอบ กลาง

ชุดห้าหน้าที่พาตั้งแต่ "ตั้งดิวตี้เท่าไร" ไปจนถึง "ออกแบบแล้วจ่ายกระแสได้เท่าไร" ทุกหน้ามีที่มาครบ ตัวอย่างตรวจตัวเลขกับการจำลองสวิตชิ่ง แล็บโต้ตอบ และใบงาน

- CCM: ไล่วงจรหาดิวตี้KVL/KCL → volt-second → $D = V_o/V_g$ → ค่าแฝง (สูตร H1–H9)

- DCM: ดิวตี้ตามโหลดD₁ D₂ D₃ → $M(D,K)$ → $D = M\sqrt{K/(1-M)}$ (สูตร J1–J10)

- แบบจำลองเฉลี่ยและสเตตสเปซเฉลี่ยกระแส/แรงดัน → สัญญาณเล็ก → A, B, C, E (สูตร X1–X10)

- ฟังก์ชันถ่ายโอนทุกคู่$G_{vd}, G_{vg}, Z_{out}, Z_{in}, G_{iLd}$ + DCM + เครื่องวัดเสมือน (T1–T12)

- ออกแบบ + โปรแกรมโหลด48 ชิ้นส่วน · ความเค้น · โหลดหลายสภาวะ · load line (D1–D9)

## ทุกบทในชุดนี้

ส่วนที่ 1

### วงจรแปลงผัน DC-DC DC-DC Converters
บั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ และชุค ตั้งแต่ volt-second balance ริปเปิล CCM/DCM ความเค้น การสูญเสีย จนถึงฟังก์ชันถ่ายโอนและตัวอย่างออกแบบ

↓V15.1
บั๊กคอนเวอร์เตอร์ (Buck Converter): หลักการ สูตร ริปเปิล CCM/DCM การออกแบบ และฟังก์ชันถ่ายโอน
Buck Converter
วงจรลดแรงดัน: volt-second balance V_o = DV_in ริปเปิลกระแสและแรงดัน ขอบ CCM/DCM ความเค้นของอุปกรณ์ การสูญเสีย G_vd(s) และตัวอย่างออกแบบ 24 V → 12 V
เปิดหน้า →สูตร B1, B2, …

D15.2
บั๊กคอนเวอร์เตอร์โหมด CCM: ไล่วงจรทีละขั้นเพื่อหาดิวตี้ไซเคิล D = Vo/Vin พร้อมค่าแฝงและแล็บรูปคลื่น
Buck in CCM: Duty-Cycle Derivation
ไล่วงจรช่วงสวิตช์ ON และ OFF ด้วย KVL/KCL หา volt-second balance charge balance ริปเปิล ขอบเขต CCM/DCM และดิวตี้ที่ต้องใช้เมื่อมี Rds(on) DCR และ Vf พร้อมแล็บรูปคลื่นเทียบทฤษฎีกับซิมูเลชันสวิตชิ่ง
เปิดหน้า →สูตร H1, H2, …

D₃15.3
บั๊กคอนเวอร์เตอร์โหมด DCM: ไล่วงจรสามช่วงเวลาเพื่อหาดิวตี้ไซเคิลจากโหลด M = 2/(1+√(1+4K/D²))
Buck in DCM: Three-Interval Analysis
ช่วง D₁ D₂ D₃ กระแสพีก ipk หา D₂ จาก volt-second สมการกำลังสองของ M สูตร M(D,K) และดิวตี้ที่ต้องใช้ D = M√(K/(1−M)) ทำไมแรงดันขาออกสูงขึ้นเมื่อไร้โหลด กราฟดิวตี้เทียบโหลด และแล็บ
เปิดหน้า →สูตร J1, J2, …

x̂15.4
แบบจำลองบั๊กด้วยการเฉลี่ยสถานะ (State-Space Averaging): จากสวิตช์ ON/OFF สู่สเตตสเปซสัญญาณเล็กทีละขั้น
Buck Averaged Model & State Space
เขียนสมการสถานะช่วง ON และ OFF เฉลี่ยกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุตลอดคาบ หาจุดทำงาน DC แล้วรบกวนด้วยสัญญาณเล็ก ได้เมทริกซ์ A B C E พร้อมแล็บสร้างสเตตสเปซเองและแล็บเทียบแบบจำลองเฉลี่ยกับสวิตชิ่งจริง
เปิดหน้า →สูตร X1, X2, …

G(s)15.5
ฟังก์ชันถ่ายโอนของบั๊กทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต: Gvd Gvg Zout Zin GiLd พร้อมที่มาและเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือน
Buck Transfer Functions
ตาราง 12 ฟังก์ชันจากอินพุต d̂ v̂g îx ไปเอาต์พุต v̂o îL îC îg ที่มาด้วย C(sI−A)⁻¹B+E รูปปิดแม่นยำเมื่อมี DCR และ ESR ผลของ ESR zero DCM แบบอันดับหนึ่ง และเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือนที่ฉีดไซน์ใส่สวิตชิ่งจริงแล้วเทียบกับทฤษฎี
เปิดหน้า →สูตร T1, T2, …

Ω15.6
ออกแบบและทดสอบบั๊กคอนเวอร์เตอร์ครบวงจร: เลือกแรงดันอินพุต ไดโอด ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ และโปรแกรมโหลดหลายสภาวะ
Buck Design Lab & Load Program
ขั้นตอนออกแบบ 8 ขั้น คัดเลือกไดโอด 10 แบบ ตัวเหนี่ยวนำ 22 แบบ ตัวเก็บประจุ 10 แบบ MOSFET 6 แบบ กำหนดโปรแกรมโหลดเป็นช่วงๆ กี่โอห์มนานเท่าไร ดูแรงดันและกระแสแบบเรียลไทม์ ตรวจความเค้น ความสูญเสีย การอิ่มตัว และกราฟศักยภาพการจ่ายกระแส
เปิดหน้า →สูตร D1, D2, …

↑V15.7
บูสต์คอนเวอร์เตอร์ (Boost Converter): สูตร ขีดจำกัดอัตราขยาย RHP zero และการออกแบบ
Boost Converter
วงจรเพิ่มแรงดัน 1/(1−D) ความต้านทานแฝงจำกัดอัตราขยาย ริปเปิลและ ESR ขอบ DCM อันตรายเมื่อไร้โหลด RHP zero และตัวอย่าง 24 V → 48 V
เปิดหน้า →สูตร U1, U2, …

±V15.8
บั๊ก-บูสต์คอนเวอร์เตอร์: แบบกลับขั้ว แบบ 4 สวิตช์ และการเลือกโทโพโลยี
Buck-Boost Converter
บั๊ก-บูสต์กลับขั้ว −D/(1−D) ความเค้น V_in + |V_o| RHP zero บั๊ก-บูสต์ 4 สวิตช์แบบไม่กลับขั้ว และตารางเลือกระหว่าง SEPIC Ćuk และ flyback
เปิดหน้า →สูตร W1, W2, …

Ć15.9
ชุคคอนเวอร์เตอร์ (Ćuk Converter): ตัวเก็บประจุคัปปลิ้ง การออกแบบ การหน่วง และ zero ripple
Ćuk Converter
ถ่ายโอนพลังงานผ่านตัวเก็บประจุ C1 สมการออกแบบ L1 L2 C1 ไดนามิกอันดับสี่และการหน่วง coupled inductor กับกระแสริปเปิลเกือบศูนย์
เปิดหน้า →สูตร K1, K2, …

ส่วนที่ 2

### การควบคุมและตัวชดเชย Modeling & Control
แบบจำลองสัญญาณเล็ก ออกแบบตัวชดเชย Type II/III ควบคุมด้วยออปแอมป์และไมโครคอนโทรลเลอร์ ตัวสังเกตสถานะ และ AI ช่วยควบคุม

Gvd15.10
แบบจำลองสัญญาณเล็กของคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: State-Space Averaging และฟังก์ชันถ่ายโอน
Small-Signal Modeling
เฉลี่ยสถานะตลอดคาบแล้ว linearize ได้ G_vd G_vg Z_out ตารางฟังก์ชันถ่ายโอนของบั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ PWM gain ลูปเกน และเกณฑ์ฟิลเตอร์ขาเข้าของ Middlebrook
เปิดหน้า →สูตร S1, S2, …

Type III15.11
ออกแบบตัวชดเชย Type I II III ด้วยวิธี k-factor และ Peak Current Mode กับ Slope Compensation
Compensator Design
เป้าหมายลูป เฟสมาร์จิน ขีดจำกัดความถี่ครอสโอเวอร์ สูตรค่า R C ของ Type II/III ด้วย k-factor ตัวอย่างบั๊กที่ตรวจด้วย python-control และ peak current mode
เปิดหน้า →สูตร C1, C2, …

op-amp15.12
ควบคุมคอนเวอร์เตอร์แบบอนาล็อกด้วยออปแอมป์: PWM, Error Amplifier, วัดกระแส, TL494, UC3843
Analog Control with Op-Amps
สร้าง PWM ด้วยออปแอมป์ล้วน error amplifier การเลือกออปแอมป์ วิธีวัดกระแส 4 แบบ ชิปคลาสสิก TL494 UC384x TL431 + optocoupler และเช็กลิสต์
เปิดหน้า →สูตร A1, A2, …

z⁻¹15.13
ควบคุมคอนเวอร์เตอร์ DC-DC แบบดิจิทัล: ADC, DPWM, Limit Cycle, Tustin และโค้ด PI
Digital Control
จังหวะสุ่มสัญญาณ ดีเลย์ ความละเอียด DPWM กับ limit cycle แปลงตัวชดเชยด้วย Tustin โค้ด PI พร้อม anti-windup การป้องกันในฮาร์ดแวร์ และขั้นตอน bring-up
เปิดหน้า →สูตร Z1, Z2, …

x̂15.14
ตัวสังเกตกระแสและสถานะ (Observer) ในคอนเวอร์เตอร์ และการเฝ้าสังเกตสภาวะแวดล้อม
Observers & Condition Monitoring
Luenberger observer ประมาณ i_L disturbance observer ประมาณกระแสโหลดเพื่อ feedforward Kalman filter ข้อควรระวัง และการเฝ้าสังเกต V_in อุณหภูมิ ESR และการอิ่มตัว
เปิดหน้า →สูตร O1, O2, …

AI15.15
AI ช่วยควบคุมและวินิจฉัยคอนเวอร์เตอร์: ปรับจูนอัตโนมัติ RL วินิจฉัยจากรูปคลื่น และ LLM
AI-Assisted Control & Diagnosis
แบ่งชั้นให้ปลอดภัย ลูปเร็วต้องเชิงกำหนด AI อยู่ชั้นกำกับ ปรับจูนอัตโนมัติ RL วินิจฉัยความผิดพลาดจากรูปคลื่น บำรุงรักษาเชิงพยากรณ์ และใช้ LLM เป็นผู้ช่วยออกแบบ
เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ

ส่วนที่ 3

### ออกแบบฮาร์ดแวร์ Hardware Design
พันตัวเหนี่ยวนำ เลือกแหล่งจ่ายทดสอบ เลือกชิปควบคุมและไมโครคอนโทรลเลอร์ และภาพรวมแหล่งจ่ายไฟสวิตชิ่ง

N²A_L15.16
ออกแบบและพันตัวเหนี่ยวนำกำลัง: เลือกแกน จำนวนรอบ ช่องอากาศ ลวด และการสูญเสีย
Power Inductor Design
สมการ L = N²A_L ความหนาแน่นฟลักซ์ area product ขั้นตอนออกแบบพร้อมตัวเลข skin depth Steinmetz เลือกวัสดุแกน และวิธีวัด L กับกระแสอิ่มตัวในแล็บ
เปิดหน้า →สูตร L1, L2, …

⚡15.17
แหล่งจ่ายไฟสำหรับทดสอบวงจร: แบตเตอรี่ ไฟบ้าน 220 V ผ่านเรกติไฟเออร์ และโซลาร์เซลล์
Test Power Sources
กฎทองของการทดสอบ แบตเตอรี่ 3 ชนิด คำนวณตัวเก็บประจุหลังบริดจ์ inrush ฟิวส์ หม้อแปลงแยกขด แบบจำลองแผงโซลาร์ MPPT และตารางเลือกแหล่งจ่าย
เปิดหน้า →สูตร V1, V2, …

IC15.18
เลือกชิปควบคุมและไมโครคอนโทรลเลอร์สำหรับคอนเวอร์เตอร์: รุ่นปัจจุบันและรุ่นที่ไม่ตกยุค
Controller & MCU Selection
กรอบการตัดสินใจ ชิปอนาล็อกคลาสสิก TL494 SG3525 UC3843 TL431 ชิปรุ่นปัจจุบัน MCU C2000 STM32G4 dsPIC33 gate driver และคำเตือนเรื่องของปลอม
เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ

SMPS15.19
แหล่งจ่ายไฟสวิตชิ่ง (SMPS): Flyback Forward Bridge LLC PFC และมาตรฐานความปลอดภัย
Switching Power Supply (SMPS)
โครงสร้างแหล่งจ่ายต่อไฟบ้าน EMI filter PFC ตระกูลวงจรแยกฉนวน ขั้นตอนออกแบบ flyback 7 ขั้น มาตรฐาน IEC 62368-1 และ CISPR 32
เปิดหน้า →สูตร F1, F2, …

ส่วนที่ 4

### ภาคปฏิบัติและแล็บ Practice & Lab
เทคนิคหน้างาน การวัด การ bring-up งานบำรุงรักษา วิเคราะห์อาการเสีย และแล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์พร้อมใบงาน

⚙15.20
เทคนิคเชิงช่างและวิศวกรรมสำหรับวงจรสวิตชิ่ง: Layout, Snubber, การวัด, Bode, Bring-up และงานประจำ
Engineering Techniques & Routine Work
hot loop และ layout ออกแบบ RC snubber วัดด้วยสโคปให้ถูก วัดลูปเกนจริง ขั้นตอน bring-up 7 ขั้น ตารางงานบำรุงรักษา และกฎจากประสบการณ์
เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ

⚠15.21
วิเคราะห์อาการเสียของคอนเวอร์เตอร์และแหล่งจ่ายไฟสวิตชิ่ง: อาการ สาเหตุ วิธีตรวจ
Troubleshooting
วิธีคิดแบบเป็นระบบ ตาราง 17 อาการ เช่น ไม่มีเอาต์พุต hiccup แกว่ง เสียงหอน MOSFET ระเบิด แกนอิ่มตัว ริปเปิลสูง EMI และวิธีฝึกด้วยซิมูเลเตอร์
เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ

▶15.22
แล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: ออสซิลโลสโคป ฟังก์ชันเจนเนอเรเตอร์ แหล่งจ่าย โหลด และคำนวณตัวเหนี่ยวนำ
DC-DC Converter Simulator Lab
ซิมูเลเตอร์ระดับการสวิตช์ของบั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ ชุค กับแบตเตอรี่ ไฟบ้าน โซลาร์ โหลด 3 แบบ ตัวควบคุม 4 โหมด สโคป 2 ช่อง ฟังก์ชันเจนฯ คำนวณ L และใบงาน 10 ชุด
เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ + ใบงาน 10 ชุด

## ลองเลย: แล็บคอนเวอร์เตอร์ขนาดเล็ก

บั๊ก 24 V → 12 V แบบ open loop เปลี่ยนวงจร duty ค่า L C หรือโหลด แล้วดูกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันขาออกบนสโคปทันที ฉบับเต็มพร้อมเครื่องคำนวณตัวเหนี่ยวนำและใบงานอยู่ที่ แล็บจำลอง

## ค้นหาสูตรทั้งหมดในที่เดียว

ทุกสูตรมีรหัสถาวร (B บั๊ก · H บั๊ก CCM · J บั๊ก DCM · X แบบจำลองเฉลี่ย · T ฟังก์ชันถ่ายโอน · D ออกแบบบั๊ก · U บูสต์ · W บั๊ก-บูสต์ · K ชุค · S แบบจำลอง · C ตัวชดเชย · A อนาล็อก · Z ดิจิทัล · O ตัวสังเกต · L ตัวเหนี่ยวนำ · V แหล่งจ่าย) อ้างอิงข้ามหน้าได้

## คณิตศาสตร์ที่ใช้ และอยู่ตรงไหนบนเว็บนี้

| ความรู้ | ใช้ทำอะไรในวิชานี้ | บทเรียน |

| สมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1–2 | ไฟฟ้าบน L C RLC ระหว่างสวิตช์ | ระบบอันดับ 1 · ระบบอันดับ 2 |

| Laplace ฟังก์ชันถ่ายโอน Bode | แบบจำลองสัญญาณเล็ก ตัวชดเชย | Laplace · Bode |

| เมทริกซ์และ state space | state-space averaging ตัวสังเกต | พีชคณิตเชิงเส้น · state space |

| อนุกรมฟูเรียร์ | ริปเปิล ฮาร์มอนิก EMI | ฟูเรียร์ในคอนเวอร์เตอร์ DC-DC |

| z-transform | การควบคุมดิจิทัล | ระบบควบคุมดิจิทัล |

| ออปแอมป์และสโคป | error amplifier การวัดในแล็บ | แล็บออปแอมป์ · ออสซิลโลสโคปจำลอง |

## หัวข้อที่จะเพิ่มต่อไป

ชุดนี้ออกแบบให้ขยายได้ บทถัดไปตามลำดับ: SEPIC และ Zeta · synchronous และ interleaved converter · วงจรเรียงกระแสและ PFC · LLC resonant และ soft switching · Dual Active Bridge · อินเวอร์เตอร์ SPWM/SVPWM และการควบคุมแบบ dq · SiC/GaN · EV charger

การนำคอนเวอร์เตอร์ไปใช้กับระบบโซลาร์ (MPPT อินเวอร์เตอร์เชื่อมกริด PLL anti-islanding และการเลือกตัวควบคุม) อยู่ในชุดใหม่ ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ — ดู MPPT · อินเวอร์เตอร์โซลาร์ · เลือกตัวควบคุมโซลาร์

## ตำราอ้างอิงมาตรฐาน

- R. W. Erickson & D. Maksimović, Fundamentals of Power Electronics, 3rd ed., Springer — มาตรฐานด้านแบบจำลองและการควบคุม

- N. Mohan, T. Undeland, W. Robbins, Power Electronics: Converters, Applications, and Design — ภาพรวมกว้าง

- M. K. Kazimierczuk, Pulse-Width Modulated DC-DC Power Converters — สูตรออกแบบละเอียด

- C. Basso, Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies — ตัวชดเชยเชิงปฏิบัติ

- R. D. Middlebrook & S. Ćuk (1976), "A General Unified Approach to Modelling Switching-Converter Power Stages" — ต้นกำเนิด state-space averaging

## คำถามที่พบบ่อย

ควรเริ่มเรียนอิเล็กทรอนิกส์กำลังจากหัวข้อไหน?
เริ่มจากบั๊กคอนเวอร์เตอร์ เพราะใช้หลัก volt-second balance และ charge balance ที่ใช้ได้กับทุกวงจร แล้วลองในแล็บจำลอง จากนั้นค่อยไปบูสต์ บั๊ก-บูสต์ ชุค และการควบคุม

ต้องรู้คณิตศาสตร์อะไรก่อน?
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสอง Laplace transform ฟังก์ชันถ่ายโอนและ Bode plot เมทริกซ์และ state space สำหรับแบบจำลอง และ z-transform สำหรับการควบคุมดิจิทัล ทุกหัวข้อมีบทเรียนบนเว็บนี้

แล็บจำลองใช้ทำอะไรได้บ้าง?
จำลองทุกจังหวะการสวิตช์ของบั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ และชุค เลือกแหล่งจ่ายแบตเตอรี่ ไฟบ้านผ่านเรกติไฟเออร์ หรือโซลาร์เซลล์ เลือกโหลดและตัวควบคุม ดูรูปคลื่นบนออสซิลโลสโคป 2 ช่อง ฉีดสัญญาณจากฟังก์ชันเจนเนอเรเตอร์ และคำนวณตัวเหนี่ยวนำ มีใบงาน 10 ชุด

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ควรเริ่มเรียนอิเล็กทรอนิกส์กำลังจากหัวข้อไหน?**
เริ่มจากบั๊กคอนเวอร์เตอร์ เพราะใช้หลัก volt-second balance และ charge balance ที่ใช้ได้กับทุกวงจร แล้วลองในแล็บจำลอง จากนั้นค่อยไปบูสต์ บั๊ก-บูสต์ ชุค และการควบคุม

**ต้องรู้คณิตศาสตร์อะไรก่อน?**
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสอง Laplace transform ฟังก์ชันถ่ายโอนและ Bode plot เมทริกซ์และ state space สำหรับแบบจำลอง และ z-transform สำหรับการควบคุมดิจิทัล ทุกหัวข้อมีบทเรียนบนเว็บนี้

**แล็บจำลองใช้ทำอะไรได้บ้าง?**
จำลองทุกจังหวะการสวิตช์ของบั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ และชุค เลือกแหล่งจ่ายแบตเตอรี่ ไฟบ้านผ่านเรกติไฟเออร์ หรือโซลาร์เซลล์ เลือกโหลดและตัวควบคุม ดูรูปคลื่นบนออสซิลโลสโคป 2 ช่อง ฉีดสัญญาณจากฟังก์ชันเจนเนอเรเตอร์ และคำนวณตัวเหนี่ยวนำ มีใบงาน 10 ชุด

---

# AI ช่วยควบคุมและวินิจฉัยคอนเวอร์เตอร์: ปรับจูนอัตโนมัติ RL วินิจฉัยจากรูปคลื่น และ LLM

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/ai-control/
Updated: 2026-10-13
Summary: ใช้ AI และ machine learning กับคอนเวอร์เตอร์ DC-DC อย่างปลอดภัย: สถาปัตยกรรมแบ่งชั้น ปรับจูนอัตโนมัติด้วย Bayesian optimization reinforcement learning neural-network observer MPPT ใต้เงาบางส่วน วินิจฉัยความผิดพลาดจากคุณลักษณะรูปคลื่น บำรุงรักษาเชิงพยากรณ์ และการใช้ LLM เป็นผู้ช่วยวิศวกรพร้อมตัวอย่าง prompt

// บทที่ 15.15 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · AI-Assisted Control & Diagnosis

# AI ช่วยควบคุมและวินิจฉัยคอนเวอร์เตอร์: ปรับจูนอัตโนมัติ RL วินิจฉัยจากรูปคลื่น และ LLM

แบ่งชั้นให้ปลอดภัย ลูปเร็วต้องเชิงกำหนด AI อยู่ชั้นกำกับ ปรับจูนอัตโนมัติ RL วินิจฉัยความผิดพลาดจากรูปคลื่น บำรุงรักษาเชิงพยากรณ์ และใช้ LLM เป็นผู้ช่วยออกแบบ

สรุปใน 30 วินาที

- ลูปกระแสและ OCP ต้องเชิงกำหนด AI ห้ามแตะ

- AI ปรับพารามิเตอร์ภายในขอบเขตที่ clamp

- คุณลักษณะรูปคลื่นบอก L ESR Rds(on) slope comp และ PM

- ทุกคำตอบของ LLM ต้องคำนวณซ้ำ ซิม และวัดจริง

## หลักความปลอดภัยข้อแรก

ลูปในที่เร็ว (กระแส, OCP) ต้องเป็นอัลกอริทึมเชิงกำหนด (deterministic) ที่พิสูจน์เสถียรภาพได้ AI ทำงานในชั้น กำกับดูแล (supervisory): ปรับพารามิเตอร์ วางแผน ทำนาย วินิจฉัย — ภายใต้ขอบเขตที่ถูก clamp เสมอ

[AI/ML: จูน, ทำนาย, วินิจฉัย] ← ms–ชั่วโมง
│ ปรับ Kp, Ki, Vref, โหมด (มีขอบเขต)
[ลูปแรงดัน PI / Type III] ← 100 µs–ms
[ลูปกระแส + OCP ฮาร์ดแวร์] ← µs (ห้าม AI แตะ)

## รูปแบบการใช้ AI

|
งาน |
เทคนิค |
สถานะความพร้อม |

|
ปรับจูนตัวควบคุมอัตโนมัติ |
Bayesian optimization / GA บน digital twin แล้วยืนยันบน HIL |
ใช้จริงได้ |

|
ประมาณสถานะ/โหลด |
NN หรือ Gaussian process เสริม observer แบบจำลอง |
งานวิจัย-ใช้จริงบางส่วน |

|
ควบคุมแบบ RL |
DDPG/PPO เรียนบนซิม แล้วกลั่นเป็นตาราง/โครงข่ายเล็ก (policy distillation) |
งานวิจัยระดับ ป.โท-เอก |

|
MPPT โซลาร์ใต้เงาบางส่วน |
หาค่าสูงสุดสากล (global MPP) ด้วย PSO/NN |
ใช้จริงได้ |

|
วินิจฉัยความผิดพลาด |
ดึงคุณลักษณะ (ripple, ความชัน iL, ประสิทธิภาพ, อุณหภูมิ) → random forest / 1D-CNN |
ใช้จริงได้ |

|
บำรุงรักษาเชิงพยากรณ์ |
ติดตาม ESR, $R_{ds(on)}$, $V_F$ เทียบเวลา → ประมาณอายุ (RUL) |
ใช้จริงได้ |

## ตัวอย่าง: วินิจฉัยจากรูปคลื่น

คุณลักษณะที่วัดได้ง่ายและสื่อความหมาย:

- $\Delta i_L$ เทียบค่าทฤษฎี → L ลดลง (แกนแตก/อิ่มตัว)

- ripple $v_o$ ที่ $f_s$ / $\Delta i_L$ → ESR ตัวเก็บประจุ

- ประสิทธิภาพลดที่โหลดเท่าเดิม → $R_{ds(on)}$/ไดโอดเสื่อม

- ripple ความถี่ $f_s/2$ → subharmonic (slope comp ไม่พอ)

- การแกว่งความถี่ต่ำหลัง step load → phase margin ต่ำ

ใช้ ห้องแลปจำลอง สร้างชุดข้อมูล: เปลี่ยน L, ESR, $R_{on}$ แบบสุ่ม บันทึกค่าที่วัดได้ → ฝึกโมเดลจำแนก — เป็นหัวข้อโครงงาน/วิทยานิพนธ์ที่ดี

## ใช้ LLM (เช่น Claude) เป็นผู้ช่วยวิศวกร

ได้ผลดีเมื่อให้ข้อมูลครบและขอให้แสดงที่มา:

ออกแบบตัวชดเชย Type III สำหรับ buck: Vin 18–30 V, Vo 12 V, Io 0.2–2 A,
L 100 µH ±20%, Cout 100 µF ESR 20 mΩ, fs 100 kHz, ramp 1 V, ตัวแบ่ง 2.5/12
ต้องการ PM ≥ 55° ทุกมุม ให้แสดงสมการ ค่า R C มาตรฐาน E24 และสคริปต์ Python ตรวจ margin
ต้องตรวจทุกครั้ง ด้วยการคำนวณซ้ำ ซิม และวัดจริง — LLM อาจคำนวณผิดหรืออ้างค่าในดาต้าชีตผิด

## แนวทางวิจัยระดับปริญญาโท

- Physics-informed neural network (PINN) เป็นแบบจำลองของคอนเวอร์เตอร์

- Safe RL ที่มี control barrier function รับประกันขอบเขต

- Federated learning สำหรับ fleet ของ EV charger / อินเวอร์เตอร์โซลาร์

- TinyML บน MCU (STM32/ESP32) สำหรับวินิจฉัย ณ หน้างาน

## คำถามที่พบบ่อย

ใช้ AI ควบคุมคอนเวอร์เตอร์แทน PID ได้ไหม?
ในงานวิจัยทำได้ แต่ในผลิตภัณฑ์ควรให้ลูปเร็วเป็นตัวควบคุมที่พิสูจน์เสถียรภาพได้ แล้วใช้ AI ในชั้นกำกับดูแล เช่น ปรับเกน เลือกโหมด ทำนายความผิดพลาด โดยจำกัดขอบเขตค่าที่ AI สั่งได้

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ใช้ AI ควบคุมคอนเวอร์เตอร์แทน PID ได้ไหม?**
ในงานวิจัยทำได้ แต่ในผลิตภัณฑ์ควรให้ลูปเร็วเป็นตัวควบคุมที่พิสูจน์เสถียรภาพได้ แล้วใช้ AI ในชั้นกำกับดูแล เช่น ปรับเกน เลือกโหมด ทำนายความผิดพลาด โดยจำกัดขอบเขตค่าที่ AI สั่งได้

---

# ควบคุมคอนเวอร์เตอร์แบบอนาล็อกด้วยออปแอมป์: PWM, Error Amplifier, วัดกระแส, TL494, UC3843

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/analog-control/
Updated: 2026-10-13
Summary: สร้างตัวควบคุมคอนเวอร์เตอร์ DC-DC แบบอนาล็อก: วงจรสร้างคลื่นสามเหลี่ยมด้วยออปแอมป์ comparator PWM error amplifier Type II/III การเลือกออปแอมป์ตาม GBW การวัดกระแสด้วย shunt DCR Hall CT leading-edge blanking และการใช้ TL494 UC3843 TL431 กับ optocoupler

// บทที่ 15.12 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Analog Control with Op-Amps

# ควบคุมคอนเวอร์เตอร์แบบอนาล็อกด้วยออปแอมป์: PWM, Error Amplifier, วัดกระแส, TL494, UC3843

สร้าง PWM ด้วยออปแอมป์ล้วน error amplifier การเลือกออปแอมป์ วิธีวัดกระแส 4 แบบ ชิปคลาสสิก TL494 UC384x TL431 + optocoupler และเช็กลิสต์

สรุปใน 30 วินาที

- $d = v_c/V_M$ — feedforward $V_M \propto V_{in}$ ตัดผลของแรงดันขาเข้า

- สามเหลี่ยม $f = R_B/(4R_ARC)$

- GBW ของออปแอมป์ ≥ 10 เท่าของที่ต้องการ

- PCMC ต้องมี leading-edge blanking

## สถาปัตยกรรม Voltage mode

Vout ─ R1/R2 ─▶ [Error amp Type III] ─ vc ─▶ (+) Comparator ─▶ Gate driver ─▶ Q
Vref ──▶ (+) Ramp ─▶ (−)
duty: $d = v_c/V_M$ เมื่อ ramp สูง $V_M$ (ใส่ฟีดฟอร์เวิร์ด $V_M \propto V_{in}$ ทำให้ลูป gain ไม่ขึ้นกับ $V_{in}$ และตัด $G_{vg}$ ได้)

## สร้าง PWM ด้วย op-amp ล้วน (เหมาะกับแลปการสอน)

ตัวสร้างคลื่นสามเหลี่ยม: Schmitt trigger (comparator + $R_A$, $R_B$) ต่อกับ integrator ($R$, $C$)

A1 Op-amp triangle generator วงจรสร้างคลื่นสามเหลี่ยม

$$f = \frac{R_B}{4R_A R C},\qquad V_{tri,pp} = 2V_{sat}\frac{R_A}{R_B}$$

ตัวอย่าง: $R=10$ kΩ, $C=1$ nF, $R_A=10$ kΩ, $R_B=20$ kΩ → $f = 50$ kHz ใช้ op-amp ที่ slew rate ≥ $4 V_{pp} f$ (เช่น ≥ 2 V/µs ที่ 50 kHz, 10 Vpp) และ comparator แยก (LM393 ช้าแต่ใช้ได้ถึง ~100 kHz; TLV3501/LT1016 สำหรับเร็ว)

## Error amplifier

- ใช้สูตร Type II/III จาก การออกแบบตัวชดเชย

- ต้องเลือก op-amp ให้ GBW ≥ 10× ของ gain ที่ต้องการ ณ ความถี่ขั้วสูงสุด ไม่งั้นขั้วของ op-amp จะกินเฟส

- ตัวต้านทาน $R_1$ (บนของตัวแบ่ง) เป็นส่วนของตัวชดเชย; $R_{bottom}$ ไม่มีผลกับ AC (ขา inverting เป็น virtual ground) จึงตั้ง DC ได้อิสระ

|
ระดับ |
Op-amp แนะนำ |
หมายเหตุ |

|
ราคาถูก/สอน |
LM358, TL072 |
GBW 1–3 MHz, ใช้ได้ถึง $f_c$ ~ 5 kHz |

|
ทั่วไป ทนทาน |
OPA2171, TLV9062, MCP6022 |
rail-to-rail, GBW 3–10 MHz |

|
ความเร็วสูง |
OPA2350, AD8065 |
ลูปกระแสเร็ว |

## การวัดกระแส

|
วิธี |
ข้อดี |
ข้อควรระวัง |

|
Shunt + amp (INA240, INA181) |
แม่น ราคาถูก |
สูญเสีย $I^2R$, common-mode สูงต้องใช้ amp ที่ทน PWM |

|
DCR sensing ($R_sC_s = L/r_L$) |
ไม่มีการสูญเสียเพิ่ม |
DCR เปลี่ยนตามอุณหภูมิ ~0.39%/°C |

|
Hall/magnetic (ACS7xx, TMCS) |
มีฉนวน |
แบนด์วิดท์/offset |

|
Current transformer |
ใช้ใน off-line SMPS |
วัดได้เฉพาะ AC/พัลส์ ต้อง reset แกน |

สำหรับ PCMC ต้องมี leading-edge blanking (100–300 ns) หรือ RC กรองหนามจากการคืนตัวของไดโอด

## ชิปควบคุมคลาสสิกที่ยังไม่ตกยุค

- TL494 / KA7500 — voltage mode, มี error amp 2 ตัว (แรงดัน+กระแสจำกัด), dead-time ปรับได้, push-pull output ใช้สอนได้ดีมาก

- UC3842/3/4/5 (UC384x) — peak current mode, มี error amp + LEB ภายใน, ทนทาน ใช้แพร่หลายใน flyback/forward

- TL431 + optocoupler (PC817) — error amp แบบแยกฉนวนมาตรฐาน: ลูปมีสองเส้นทาง (fast lane ผ่านตัวต้านทาน LED) ต้องคิด CTR และขั้วของ opto (~5–20 kHz)

- ชิปรุ่นปัจจุบันดู การเลือกตัวควบคุม

## Checklist วงจรอนาล็อก

- Soft-start: ค่อยๆ ยก $V_{ref}$ (RC บน ref หรือ SS pin) ป้องกันกระแสพุ่งและ overshoot

- Anti-windup: clamp เอาต์พุต error amp (Zener/diode) ตอนจำกัดกระแส

- ต่อ $V_{ref}$ ด้วย 100 nF ใกล้ขา; กราวด์สัญญาณแยกจากกราวด์กำลังแล้วรวมจุดเดียว

- ตรวจด้วยการฉีดสัญญาณวัด Bode จริง — ดู เทคนิคเชิงช่าง

## คำถามที่พบบ่อย

ใช้ LM358 ทำ error amplifier ได้ไหม?
ได้สำหรับลูปช้า GBW ราว 1 MHz พอสำหรับครอสโอเวอร์ไม่กี่กิโลเฮิรตซ์ ถ้าต้องการลูปเร็วหรือ Type III ที่มีขั้วที่ความถี่สูง ควรใช้ออปแอมป์ GBW 3–10 MHz ขึ้นไป ไม่งั้นขั้วของออปแอมป์จะกินเฟสมาร์จิน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ใช้ LM358 ทำ error amplifier ได้ไหม?**
ได้สำหรับลูปช้า GBW ราว 1 MHz พอสำหรับครอสโอเวอร์ไม่กี่กิโลเฮิรตซ์ ถ้าต้องการลูปเร็วหรือ Type III ที่มีขั้วที่ความถี่สูง ควรใช้ออปแอมป์ GBW 3–10 MHz ขึ้นไป ไม่งั้นขั้วของออปแอมป์จะกินเฟสมาร์จิน

---

# บูสต์คอนเวอร์เตอร์ (Boost Converter): สูตร ขีดจำกัดอัตราขยาย RHP zero และการออกแบบ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/boost-converter/
Updated: 2026-10-13
Summary: บูสต์คอนเวอร์เตอร์ละเอียด: อัตราส่วน Vo/Vin = 1/(1−D) ผลของ DCR ที่จำกัดอัตราขยายสูงสุด ริปเปิลและผลของ ESR ขอบ CCM/DCM ความเค้น ทำไมบูสต์ไร้โหลดอันตราย ฟังก์ชันถ่ายโอนกับ right-half-plane zero และข้อจำกัดความถี่ครอสโอเวอร์ ตัวอย่างออกแบบ 24 V → 48 V 1 A พร้อมซิมูเลชัน

// บทที่ 15.7 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Boost Converter

# บูสต์คอนเวอร์เตอร์ (Boost Converter): สูตร ขีดจำกัดอัตราขยาย RHP zero และการออกแบบ

วงจรเพิ่มแรงดัน 1/(1−D) ความต้านทานแฝงจำกัดอัตราขยาย ริปเปิลและ ESR ขอบ DCM อันตรายเมื่อไร้โหลด RHP zero และตัวอย่าง 24 V → 48 V

สรุปใน 30 วินาที

- $V_o/V_{in} = 1/(1-D)$, $I_L = I_o/(1-D)$

- DCR จำกัดอัตราขยายจริง → ใช้ D ไม่เกิน ~0.85

- กระแสขาออกเป็นพัลส์ → ESR ของ Cout สำคัญ

- RHP zero $\omega = R(1-D)^2/L$ → $f_c \le f_{RHPZ}/5$

## การทำงาน

- ON: สวิตช์ลัดลงกราวด์ $v_L = V_{in}$ — สะสมพลังงานใน L, โหลดได้พลังงานจาก C เพียงอย่างเดียว

- OFF: ไดโอดนำ $v_L = V_{in}-V_o$ — L ปล่อยพลังงานรวมกับแหล่งจ่ายไปที่ขาออก

U1 Volt-second balance (boost) อัตราส่วนแปลงผัน

$$V_{in}DT_s + (V_{in}-V_o)(1-D)T_s = 0 \;\Rightarrow\; \boxed{\frac{V_o}{V_{in}}=\frac{1}{1-D}},\qquad I_L = \frac{I_o}{1-D}$$

## อัตราขยายจริงถูกจำกัดด้วยความต้านทานแฝง

U2 Gain limit from parasitic resistance อัตราขยายเมื่อมี DCR

$$\frac{V_o}{V_{in}} = \frac{1}{1-D}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{r_L}{R(1-D)^2}}$$

ฟังก์ชันนี้มีค่าสูงสุดแล้วลดลงเมื่อ $D \to 1$ → ห้ามใช้ D สูงเกิน ~0.85 ในทางปฏิบัติ ถ้าต้องการอัตราขยายเกิน 5–6 เท่า ใช้ coupled-inductor boost, หม้อแปลง (flyback/forward) หรือวงจรต่อซ้อน

## Ripple และ CCM/DCM

U3 Boost ripple ริปเปิลกระแสและแรงดัน

$$\Delta i_L = \frac{V_{in}D}{L f_s},\qquad \Delta v_o = \frac{I_o D}{C f_s} + \frac{I_o}{1-D}ESR \;(\text{ESR term dominates!})$$

กระแสขาออกเป็นพัลส์ขนาด $I_L$ → ESR ของ $C_{out}$ สำคัญกว่าใน Buck มาก ขอบ CCM: $K_{crit}=D(1-D)^2$ (สูงสุด 4/27 ที่ $D=1/3$) ใน DCM: $M = \tfrac{1}{2}\left(1+\sqrt{1+4D^2/K}\right)$

Boost ไร้โหลด ในโหมด open-loop ถ้าถอดโหลดออก พลังงานจาก L ยังถูกดันเข้า C ทุกคาบ — แรงดันจะพุ่งจนตัวเก็บประจุหรือสวิตช์ระเบิด ต้องมี OVP (over-voltage protection) เสมอ และ Boost ไม่มีทางตัดกระแสลัดวงจรขาออก ได้ด้วยสวิตช์ (ไดโอดตรงจาก Vin ถึง Vout) ต้องใช้ฟิวส์/eFuse

## แบบจำลองสัญญาณเล็กและ RHP Zero

U4 Boost Gvd with RHP zero ฟังก์ชันถ่ายโอนและ RHP zero

$$G_{vd}(s)=\frac{V_o}{1-D}\cdot\frac{1-\dfrac{s}{\omega_{RHPZ}}}{\dfrac{LC}{(1-D)^2}s^2+\dfrac{L}{R(1-D)^2}s+1},
\qquad \omega_{RHPZ}=\frac{R(1-D)^2}{L},\quad \omega_0=\frac{1-D}{\sqrt{LC}}$$

ความหมายเชิงฟิสิกส์ของ RHP zero: เมื่อเพิ่ม D ทันที เวลา OFF สั้นลง กระแสที่ส่งให้ขาออกลดลง ก่อน ที่ $i_L$ จะเพิ่มทัน → แรงดันตกก่อนแล้วค่อยขึ้น (non-minimum phase) เฟสเพิ่มลบ 90° แต่ขนาดเพิ่มขึ้น → ชดเชยไม่ได้ กฎ: $f_c \le f_{RHPZ}/5$ และประเมินที่ $V_{in,min}$, $I_{o,max}$ (กรณีแย่สุด)

Current-mode ไม่ได้ลบ RHP zero แต่ทำให้ระบบเหลือขั้วเด่นเดียว ออกแบบด้วย Type II ได้ง่ายขึ้น — ดู ตัวชดเชย

## ตัวอย่างออกแบบ: 24 V → 48 V, 1 A, 50 kHz

ตัวอย่าง U-1

### 24 V → 48 V, 1 A, 50 kHz

- $D = 1 - 24/48 = 0.5$, $I_L = 2$ A

- $\Delta i_L = 30\% \times 2 = 0.6$ A → $L = \dfrac{24(0.5)}{0.6(50\text{k})} = 400\ \mu\text{H}$, $I_{pk}=2.3$ A

- $\Delta v_o = 0.5$ V → $C \ge \dfrac{1(0.5)}{50\text{k}(0.5)} = 20\ \mu\text{F}$, ESR $\le 0.25/2 \approx 0.12\ \Omega$ (แบ่ง ripple ครึ่งหนึ่งให้ ESR)

- $f_{RHPZ} = \dfrac{48(0.25)}{2\pi(400\mu)} \approx 4.8$ kHz → $f_c \le 950$ Hz (ช้า! เป็นธรรมชาติของ boost)

- สวิตช์/ไดโอด ≥ 75–100 V, ไดโอดควรเป็น Schottky หรือ ultrafast (ลด $Q_{rr}$)

## หัวข้อขยาย

- Boost PFC — ใช้ boost ทำให้กระแสอินพุตตามรูป sine (average current mode), ดู SMPS

- Interleaved boost ในอินเวอร์เตอร์โซลาร์และรถยนต์ไฟฟ้า

- Synchronous boost สำหรับแบตเตอรี่ (ทำงานสองทิศทางเป็น buck ได้)

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมบูสต์จึงตอบสนองช้ากว่าบั๊ก?
เพราะมีศูนย์ครึ่งระนาบขวา (RHP zero) เมื่อเพิ่ม D ทันที เวลาที่ส่งพลังงานไปขาออกสั้นลงก่อนที่กระแส L จะเพิ่มทัน แรงดันจึงตกก่อนแล้วค่อยขึ้น ทำให้ต้องจำกัดความถี่ครอสโอเวอร์ไว้ต่ำกว่าราวหนึ่งในห้าของความถี่ RHP zero

ถอดโหลดของบูสต์ออกจะเกิดอะไรขึ้น?
ในโหมด open loop พลังงานจากตัวเหนี่ยวนำยังถูกดันเข้าตัวเก็บประจุทุกคาบ แรงดันขาออกจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ จนอุปกรณ์เสียหาย จึงต้องมีวงจรป้องกันแรงดันเกิน (OVP) เสมอ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมบูสต์จึงตอบสนองช้ากว่าบั๊ก?**
เพราะมีศูนย์ครึ่งระนาบขวา (RHP zero) เมื่อเพิ่ม D ทันที เวลาที่ส่งพลังงานไปขาออกสั้นลงก่อนที่กระแส L จะเพิ่มทัน แรงดันจึงตกก่อนแล้วค่อยขึ้น ทำให้ต้องจำกัดความถี่ครอสโอเวอร์ไว้ต่ำกว่าราวหนึ่งในห้าของความถี่ RHP zero

**ถอดโหลดของบูสต์ออกจะเกิดอะไรขึ้น?**
ในโหมด open loop พลังงานจากตัวเหนี่ยวนำยังถูกดันเข้าตัวเก็บประจุทุกคาบ แรงดันขาออกจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ จนอุปกรณ์เสียหาย จึงต้องมีวงจรป้องกันแรงดันเกิน (OVP) เสมอ

---

# แบบจำลองบั๊กด้วยการเฉลี่ยสถานะ (State-Space Averaging): จากสวิตช์ ON/OFF สู่สเตตสเปซสัญญาณเล็กทีละขั้น

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-averaged-model/
Updated: 2026-10-15
Summary: สร้างแบบจำลองบั๊กด้วยการเฉลี่ยกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุ (state-space averaging) จากสมการ ON/OFF รบกวนสัญญาณเล็กได้เมทริกซ์ A Bd Bg C พร้อมแล็บสร้างสเตตสเปซและเทียบกับสวิตชิ่งจริง

// บทที่ 15.4 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Buck Averaged Model — State-Space Averaging & Small-Signal

# แบบจำลองบั๊กด้วยการเฉลี่ยสถานะ (State-Space Averaging): จากสวิตช์ ON/OFF สู่สเตตสเปซสัญญาณเล็กทีละขั้น

เมื่อต้องการรู้ว่าแรงดันขาออกตอบสนองอย่างไรต่อการเปลี่ยนดิวตี้ แรงดันอินพุต หรือโหลด เราต้องการสมการที่ต่อเนื่องตามเวลา ไม่ใช่สองวงจรที่สลับกัน หน้านี้เฉลี่ยกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุตลอดคาบ แล้วรบกวนด้วยสัญญาณเล็กจนได้เมทริกซ์สเตตสเปซ พร้อมแล็บสร้างเองและแล็บทดสอบกับสวิตชิ่งจริง

สรุปใน 30 วินาที

- ช่วง ON $\dot x = A_1x + B_1v_g$ · ช่วง OFF $\dot x = A_2x + B_2v_g$ เมื่อ $x = [i_L\ \ v_C]^T$

- เฉลี่ย: $\dot x = [dA_1 + d'A_2]x + [dB_1 + d'B_2]v_g$ — ตัวแปรสถานะคือ ค่าเฉลี่ยรายคาบ

- จุดทำงาน $X = -A^{-1}BV_g$ (ได้ $V_o = DV_g$) · รบกวน $d = D+\hat d$ ตัดพจน์อันดับสอง

- ได้ $\dot{\hat x} = A\hat x + B_g\hat v_g + B_d\hat d$ โดย $B_d = (A_1-A_2)X + (B_1-B_2)V_g$

## ทำไมต้องเฉลี่ย และเฉลี่ยอะไร พื้นฐาน

ในหน้า CCM เราหา สถานะคงตัว (DC) ซึ่งตอบคำถามว่า "ตั้ง D เท่าไรจึงได้ Vo" แต่การออกแบบวงป้อนกลับต้องรู้ ไดนามิก: ถ้าเพิ่ม D เล็กน้อย แรงดันขาออกจะตอบสนองอย่างไร (ตกลงก่อน? แกว่ง? ช้าแค่ไหน?) ปัญหาคือ iL และ vC ที่สวิตช์จริงขยับเป็นสามเหลี่ยมทุกคาบ ซึ่งไม่ใช่สิ่งที่เราสนใจ เราสนใจแค่ แนวโน้มช้า ของมัน นั่นคือ ค่าเฉลี่ยรายคาบ

กระแสเฉลี่ยรายคาบนิยามเป็น $\langle i_L\rangle_{T_s}(t) = \dfrac{1}{T_s}\displaystyle\int_{t-T_s}^{t} i_L(\tau)\,d\tau$ สมบัติสำคัญคือการหาอนุพันธ์และการเฉลี่ยสลับที่กันได้: $\dfrac{d}{dt}\langle i_L\rangle = \langle \dfrac{di_L}{dt}\rangle$ ดังนั้นถ้าเรารู้สมการของ $di_L/dt$ ในแต่ละช่วงสวิตช์ เราเฉลี่ยสมการเหล่านั้นได้ตรงๆ — นี่คือแนวคิดของ state-space averaging (Middlebrook และ Ćuk, 1976) ต่อไปนี้ $x$ แทนค่าเฉลี่ยรายคาบ (ไม่เขียนเครื่องหมาย $\langle\ \rangle$ ให้รก)

ข้อสมมติสำคัญ: ความถี่ของสัญญาณที่สนใจและขั้วของระบบต้องต่ำกว่าความถี่สวิตช์มาก (ดูหัวข้อขอบเขตการใช้งาน) และวงจรอยู่ใน CCM ตลอด (ถ้า DCM ใช้แบบจำลองอันดับต่ำกว่า ดูหน้าฟังก์ชันถ่ายโอน)

## ขั้นที่ 1–2: เขียนสมการสถานะของแต่ละช่วงสวิตช์ พื้นฐาน

เลือกตัวแปรสถานะคือตัวที่เก็บพลังงาน: กระแสตัวเหนี่ยวนำ $i_L$ และแรงดันตัวเก็บประจุ $v_C$ เก็บเป็นเวกเตอร์ $x = [\,i_L\ \ v_C\,]^T$ อินพุตคือ $v_g$ (และดิวตี้ $d$ ซึ่งเป็นตัวเลือกวงจร) เอาต์พุตคือ $v_o$ เริ่มจากกรณีอุดมคติ (ไม่มีค่าแฝง ไม่มี ESR) $v_o = v_C$

### ช่วง ON (Q นำ)

จาก KVL ที่ L และ KCL ที่ C (วงจรดูรูปหน้า CCM): $L\dfrac{di_L}{dt} = v_g - v_C$ และ $C\dfrac{dv_C}{dt} = i_L - \dfrac{v_C}{R}$ จัดเป็นเมทริกซ์:

$$\underbrace{\begin{bmatrix}\dot i_L\\ \dot v_C\end{bmatrix}}_{\dot x} = \underbrace{\begin{bmatrix}0 & -\dfrac1L\\[4pt] \dfrac1C & -\dfrac1{RC}\end{bmatrix}}_{A_1}\begin{bmatrix}i_L\\ v_C\end{bmatrix} + \underbrace{\begin{bmatrix}\dfrac1L\\[4pt] 0\end{bmatrix}}_{B_1}v_g,\qquad v_o = \underbrace{\begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}}_{C_1}x$$

### ช่วง OFF (ไดโอดนำ)

แรงดันอินพุตหลุดออกจากวงจร: $L\,di_L/dt = -v_C$ ส่วนสมการตัวเก็บประจุเหมือนเดิม จึงได้

X1 Switched state equations (ideal buck) สมการสถานะแต่ละช่วงของบั๊กอุดมคติ

$$A_1 = A_2 = \begin{bmatrix}0 & -\frac1L\\ \frac1C & -\frac1{RC}\end{bmatrix},\qquad B_1 = \begin{bmatrix}\frac1L\\ 0\end{bmatrix},\quad B_2 = \begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix},\qquad C_1 = C_2 = \begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}$$

สังเกต: ในบั๊กอุดมคติ $A_1 = A_2$ ต่างกันเฉพาะ $B$ (แรงดันอินพุตเข้าเฉพาะช่วง ON) เมื่อมีความต้านทานแฝง $A_1 \ne A_2$ ดูหัวข้อผลของค่าแฝง

## ขั้นที่ 3: เฉลี่ยตามเวลา พื้นฐาน

ภายในหนึ่งคาบ ระบบอยู่ใน ON เป็นสัดส่วน $d$ ของเวลา และ OFF เป็น $d' = 1-d$ เฉลี่ยสมการสองช่วงถ่วงน้ำหนักด้วยสัดส่วนเวลาที่อยู่ในแต่ละช่วง

X2 Averaged state equation สมการสถานะเฉลี่ย

$$\dot x = \big[dA_1 + d'A_2\big]\,x + \big[dB_1 + d'B_2\big]\,v_g,\qquad v_o = \big[dC_1 + d'C_2\big]\,x$$

แทนค่าของบั๊กอุดมคติ: $A = dA_1 + d'A_2 = A_1$ และ $B = dB_1 + d'B_2 = d\,B_1$ ได้

$$\frac{d\langle i_L\rangle}{dt} = \frac{d\,v_g - v_C}{L},\qquad \frac{dv_C}{dt} = \frac{i_L}{C} - \frac{v_C}{RC}$$

ความหมายทางกายภาพ: แรงดันเฉลี่ยที่ L เห็นคือ $d(v_g - v_C) + (1-d)(-v_C) = d\,v_g - v_C$ นั่นคือ สวิตช์กับไดโอดรวมกันทำหน้าที่เป็นแหล่งแรงดัน $d\cdot v_g$ ที่ป้อนตัวกรอง LC ตรงกับมุมมอง $\langle v_{sw}\rangle = DV_g$ ในหน้าก่อน

จุดที่ควรสังเกต: ระบบเฉลี่ยยังเป็น ไม่เชิงเส้น เพราะ $d$ คูณกับ $v_g$ (ผลคูณสองตัวแปร) ถ้าให้ $d$ เป็นค่าคงที่ ระบบเป็นเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา (LTI) แต่เรายังต้องการดูผลเมื่อ $d$ เปลี่ยน ขั้นต่อไปจึงรบกวนแล้วเชิงเส้นรอบจุดทำงาน

## ขั้นที่ 4: จุดทำงาน DC พื้นฐาน

ที่สถานะคงตัว $\dot x = 0$, $d = D$, $v_g = V_g$ ได้ $0 = AX + BV_g$ ดังนั้น

X3 DC operating point จุดทำงาน DC

$$X = -A^{-1}B\,V_g,\qquad Y = C X$$

ผกผันของเมทริกซ์ $A$ ขนาด 2×2 คือ $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\begin{bmatrix}a_{22} & -a_{12}\\ -a_{21} & a_{11}\end{bmatrix}$ ในที่นี้ $\det A = 0\cdot(-\tfrac1{RC}) - (-\tfrac1L)(\tfrac1C) = \tfrac1{LC}$ ดังนั้น

$$A^{-1} = LC\begin{bmatrix}-\frac1{RC} & \frac1L\\ -\frac1C & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\frac LR & C\\ -L & 0\end{bmatrix},\qquad X = -A^{-1}\begin{bmatrix}\frac{D}{L}V_g\\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\dfrac{DV_g}{R}\\[4pt] DV_g\end{bmatrix}$$

ได้ $I_L = DV_g/R$ และ $V_o = V_C = DV_g$ ตรงกับผลของ volt-second balance ทุกประการ — เป็นการตรวจสอบว่าแบบจำลองเฉลี่ยให้ DC ถูกต้อง

## ขั้นที่ 5: รบกวนด้วยสัญญาณเล็ก (perturbation) และเชิงเส้น กลาง

ให้ทุกตัวแปรเท่ากับค่าที่จุดทำงาน (ตัวพิมพ์ใหญ่) บวกการรบกวนเล็กๆ (มีหมวก):

$$d = D + \hat d,\qquad v_g = V_g + \hat v_g,\qquad x = X + \hat x \quad (|\hat d| \ll D,\ |\hat v_g| \ll V_g,\ |\hat x| \ll |X|)$$

แทนลงในสมการเฉลี่ย (กรณีทั่วไปที่ $A_1 \ne A_2$ เขียน $A(d) = A + (A_1 - A_2)\hat d$ และ $B(d)v_g = [B + (B_1 - B_2)\hat d](V_g + \hat v_g)$):

$$\dot X + \dot{\hat x} = \big[A + (A_1-A_2)\hat d\big](X + \hat x) + \big[B + (B_1-B_2)\hat d\big](V_g + \hat v_g)$$

กระจายแล้วจัดกลุ่มตามอันดับของการรบกวน:

X4 Perturbation expansion การกระจายพจน์จากการรบกวน

$$\begin{aligned} \dot X + \dot{\hat x} &= \underbrace{AX + BV_g}_{\text{DC: } =\,0} \\ &\quad + \underbrace{A\hat x + B\hat v_g + \big[(A_1-A_2)X + (B_1-B_2)V_g\big]\hat d}_{\text{อันดับหนึ่ง (เชิงเส้น)}} \\ &\quad + \underbrace{(A_1-A_2)\hat x\hat d + (B_1-B_2)\hat v_g\hat d}_{\text{อันดับสอง (ตัดทิ้ง)}} \end{aligned}$$

- พจน์ DC หักล้างกับ $\dot X = 0$ อยู่แล้ว (จุดทำงานในขั้นที่ 4)

- พจน์อันดับสองคือผลคูณของการรบกวนสองตัว เล็กกว่าพจน์เชิงเส้นมากเมื่อรบกวนเล็ก จึงตัดทิ้ง

- ที่เหลือเป็นสมการเชิงเส้นในตัวแปรรบกวน

สำหรับบั๊กอุดมคติ $A_1 - A_2 = 0$ และ $B_1 - B_2 = B_1$ จึงเหลือผลคูณอันดับสองตัวเดียวคือ $B_1\hat v_g\hat d$ ได้ผลสุดท้าย:

X5 Small-signal state-space model แบบจำลองสเตตสเปซสัญญาณเล็ก

$$\dot{\hat x} = A\hat x + B_g\hat v_g + B_d\hat d,\qquad \hat v_o = C\hat x$$

$$A = DA_1 + D'A_2,\qquad B_g = DB_1 + D'B_2$$

$$B_d = (A_1 - A_2)X + (B_1 - B_2)V_g,\qquad C = DC_1 + D'C_2$$

สำหรับบั๊กอุดมคติ: $B_g = D\begin{bmatrix}1/L\\0\end{bmatrix}$ และ $B_d = V_g\begin{bmatrix}1/L\\0\end{bmatrix}$ แปลความหมายได้ทันที: ทั้ง $\hat v_g$ และ $\hat d$ ป้อนเข้ากระแสตัวเหนี่ยวนำผ่านแรงดัน $D\hat v_g + V_g\hat d$ (ความแตกต่างจากการรบกวนของ $d\cdot v_g$) — ตรงกับเทอมอันดับหนึ่งของ $\langle v_{sw}\rangle = d v_g$ ดูหัวข้อวงจรเฉลี่ย

ตัวอย่างขนาดของพจน์ที่ตัดทิ้ง: $D = 0.5$, $V_g = 24$ V ถ้ารบกวน $\hat d = 0.025$ (5 % ของ D) และ $\hat v_g = 1.2$ V (5 % ของ $V_g$) พจน์เชิงเส้นคือ $D\hat v_g = 0.6$ V กับ $V_g\hat d = 0.6$ V ส่วนพจน์ผลคูณ $\hat d\hat v_g = 0.03$ V คิดเป็น 2.5 % ของผลรวมเชิงเส้น 1.2 V — ถ้ารบกวนใหญ่ขึ้นเป็น 40 % ของจุดทำงาน พจน์ผลคูณจะโตเป็น 20 % แล็บเทียบเชิงเส้นกับสวิตชิ่งแสดงให้เห็น

## ผลของความต้านทานแฝงต่อเมทริกซ์ กลาง

ใส่ $R_{on}$ (สวิตช์) $R_d, V_F$ (ไดโอด) $r_L$ (DCR ของ L) และ ESR $r_C$ แรงดันขาออกที่วัดคือ $v_o = v_C + r_Ci_C$ ซึ่งเมื่อจัดรูป (ให้ $i_C = i_L - v_o/R$) ได้ $v_o = a\,v_C + b\,i_L$ โดย

$$a = \frac{R}{R+r_C},\qquad b = \frac{R\,r_C}{R+r_C}$$

X6 State matrices with parasitics เมทริกซ์สถานะเมื่อมีความต้านทานแฝง

$$A_1 = \begin{bmatrix}-\dfrac{r_L + R_{on} + b}{L} & -\dfrac aL\\[6pt] \dfrac aC & -\dfrac{1}{C(R+r_C)}\end{bmatrix}$$

$$A_2 = \begin{bmatrix}-\dfrac{r_L + R_d + b}{L} & -\dfrac aL\\[6pt] \dfrac aC & -\dfrac{1}{C(R+r_C)}\end{bmatrix}$$

$$B_1 = \begin{bmatrix}\frac1L\\0\end{bmatrix},\quad e_1 = 0,\qquad B_2 = 0,\quad e_2 = \begin{bmatrix}-\frac{V_F}{L}\\0\end{bmatrix},\qquad C_1 = C_2 = \begin{bmatrix}b & a\end{bmatrix}$$

$e_1, e_2$ คือแหล่งคงที่ (แรงดัน $V_F$ ของไดโอดปรากฏเป็นอินพุตคงที่ในช่วง OFF) ในการเฉลี่ยจะเพิ่มพจน์ $e = De_1 + D'e_2 = -D'V_F/L$ ในสมการเฉลี่ย และใน $B_d$ เพิ่ม $(e_1 - e_2) = V_F/L$ ได้

X7 Bd with parasitics เวกเตอร์ควบคุมดิวตี้เมื่อมีค่าแฝง

$$B_d = \begin{bmatrix}\dfrac{V_g + V_F - (R_{on} - R_d)\,I_L}{L}\\[8pt] 0\end{bmatrix},\qquad B_g = \begin{bmatrix}D/L\\ 0\end{bmatrix}$$

| ค่าแฝง | ส่วนที่เมทริกซ์เปลี่ยน | ผลทางไดนามิก |

| $r_L,\ R_{on},\ R_d$ | $A_{11}$ เพิ่มเป็น $-(r_L + DR_{on} + D'R_d)/L$ | เพิ่มการหน่วง (Q ลดลง) · DC ของ $V_o$ ตกลง |

| ESR $r_C$ | $C = [b\ a]$ (ได้ผลเป็นศูนย์ของฟังก์ชันถ่ายโอน) | ศูนย์ที่ $f_z = 1/(2\pi r_CC)$ ทำให้เฟสดีขึ้นที่ความถี่สูง |

| $V_F$ | เพิ่มพจน์คงที่ $e$ · $B_d$ เพิ่ม $V_F/L$ | เลื่อนจุดทำงาน (ต้องชดเชยที่ D) · อัตราขยาย $\hat d$ เพิ่มเล็กน้อย |

| $R_{on} \ne R_d$ | $A_1 \ne A_2$ → ใน $B_d$ มี $-(R_{on}-R_d)I_L$ | อัตราขยาย $\hat d$ ลดลงตามกระแสโหลด |

เมื่อรู้ $A_1, A_2, B_1, B_2, e$ แล้ว การเฉลี่ยและรบกวนทำเหมือนกรณีอุดมคติทุกขั้นตอน เครื่องมือในแล็บด้านล่างคำนวณทุกเมทริกซ์ให้เป็นตัวเลข

## อีกมุมมอง: เฉลี่ยกระแสและแรงดันของสวิตช์ (averaged switch model) กลาง

แทนที่จะเฉลี่ยสมการสถานะ เราเฉลี่ยปริมาณที่ ขา ของสวิตช์ได้เช่นกัน: ในแต่ละคาบสวิตช์ Q ส่งกระแส $i_L$ นาน $d$ ของคาบ และโหนด SW อยู่ที่ $v_g$ นาน $d$ ของคาบ ดังนั้น

X8 Averaged switch terminal relations ความสัมพันธ์เฉลี่ยที่ขาของสวิตช์

$$\langle i_g\rangle = d\,\langle i_L\rangle,\qquad \langle v_{sw}\rangle = d\,\langle v_g\rangle$$

กระแสอินพุตเฉลี่ยคือ $d$ คูณกระแสตัวเหนี่ยวนำ และแรงดันโหนด SW เฉลี่ยคือ $d$ คูณแรงดันอินพุต (วิธี "เฉลี่ยกระแส" ที่หลายตำราเรียกว่า circuit averaging หรือ PWM switch) รบกวน $d = D + \hat d$ เป็นต้น แล้วเก็บเฉพาะอันดับหนึ่ง:

X9 Linearized terminal relations (canonical model) ความสัมพันธ์สัญญาณเล็กที่ขา (แบบจำลองมาตรฐาน)

$$\hat v_{sw} = D\,\hat v_g + V_g\,\hat d,\qquad \hat i_g = D\,\hat i_L + I_L\,\hat d$$

อ่านจากวงจร: ด้านอินพุตเป็นหม้อแปลงอุดมคติอัตรา $1:D$ กับแหล่งกระแส $I_L\hat d$ ขนานที่ขดปฐมภูมิ ด้านเอาต์พุตมีแหล่งแรงดัน $V_g\hat d$ อนุกรมกับขดทุติยภูมิ แล้วต่อ L, C ∥ R ตามปกติ KVL ที่ตัวเหนี่ยวนำให้ $L\,\dot{\hat i}_L = D\hat v_g + V_g\hat d - \hat v_o$ ซึ่งตรงกับแถวแรกของสมการ X5 ทุกตัว แต่วิธีนี้ให้ผลเพิ่มคือ กระแสอินพุต $\hat i_g$ ด้วย (ใช้หา $Z_{in}$ ในหน้าฟังก์ชันถ่ายโอน) และสามารถวิเคราะห์วงจรนี้ใน SPICE ด้วย .ac หรือด้วยมือโดยไม่ต้องใช้เมทริกซ์

## ขอบเขตการใช้งานของแบบจำลองเฉลี่ย ขั้นสูง

X10 Validity of the averaged model เงื่อนไขของแบบจำลองเฉลี่ย

$$f \ll f_s\ (\text{ใช้จริง } f \lesssim f_s/10),\qquad f_0 \ll f_s,\qquad \frac{\Delta i_L}{I_L} \ll 1,\qquad \frac{|\hat d|}{D},\ \frac{|\hat v_g|}{V_g} \ll 1$$

- ความถี่: สัญญาณที่ความถี่ใกล้ $f_s/2$ ถูกสุ่มโดย PWM (ดิวตี้อัปเดตครั้งละคาบ) เกิดเฟสตกประมาณ $e^{-sT_s/2}$ (ดีเลย์ครึ่งคาบ) ซึ่งแบบจำลองเฉลี่ยไม่มี ถ้าต้องการความแม่นใกล้ $f_s/2$ ใช้แบบจำลองแบบสุ่มตัวอย่าง (sampled-data) หรือเพิ่มดีเลย์ $T_s/2$ ด้วยมือ

- ริปเปิล: ถ้าริปเปิลใหญ่ (ใกล้ DCM) การเฉลี่ยโดยถือว่า $i_L$ เป็นเส้นตรงเริ่มคลาดเคลื่อน

- ขนาดของสัญญาณ: ต่ำกว่าประมาณ 10–20 % ของจุดทำงาน จึงตัดพจน์อันดับสองได้

- โหมด: เฉพาะ CCM ตลอด ถ้าเข้า DCM โครงสร้างของสมการเปลี่ยน (ลดอันดับ)

## ตัวอย่างวิธีทำ (ตรวจตัวเลขแล้ว)

โจทย์ฐาน: $V_g = 24$ V, $D = 0.5$, $R = 10\ \Omega$, $L = 300\ \mu$H, $C = 100\ \mu$F (อุดมคติ)

ตัวอย่าง X-1

### สร้างเมทริกซ์ของบั๊กอุดมคติเป็นตัวเลข

- $1/L = 3333.3$ s⁻¹·Ω⁻¹ , $1/C = 10^4$ , $1/(RC) = 1000$ → $A_1 = A_2 = A = \begin{bmatrix}0 & -3333.3\\ 10000 & -1000\end{bmatrix}$

- $B_1 = \begin{bmatrix}3333.3\\0\end{bmatrix}$ → เฉลี่ย $B_g = D\,B_1 = \begin{bmatrix}1666.7\\0\end{bmatrix}$

- จุดทำงาน $X = -A^{-1}B_gV_g$: $\det A = 3.333\times10^7$, $A^{-1} = \begin{bmatrix}-0.00003 & 0.0001\\ -0.0003 & 0\end{bmatrix}$ → $X = \begin{bmatrix}1.2\\12\end{bmatrix}$ ✓ ตรงกับ $I_L = 1.2$ A, $V_o = 12$ V

- ขั้ว (ค่าไอเกนของ $A$): $\det(sI - A) = s^2 + 1000s + 3.333\times10^7 = 0$ → $s = -500 \pm j5752$ rad/s ; $\omega_0 = \sqrt{1/LC} = 5774$ rad/s ($f_0 = 918.9$ Hz), $\zeta = 0.0866$, $Q = R\sqrt{C/L} = 5.77$ — ขั้วคู่ใกล้แกนจินตภาพมาก แรงดันขาออกจะแกว่งแรงเมื่อ $d$ เปลี่ยน

ตัวอย่าง X-2

### รบกวนดิวตี้: หา Bd และตรวจความไวเชิงตัวเลข

- $A_1 - A_2 = 0$, $B_1 - B_2 = B_1$ → $B_d = (A_1 - A_2)X + (B_1 - B_2)V_g = B_1V_g = \begin{bmatrix}80000\\0\end{bmatrix}$ (= $24\times3333.3$)

- อัตราขยาย DC ของ $\hat v_o/\hat d$: ตั้ง $\dot{\hat x} = 0$ → $\hat x = -A^{-1}B_d\hat d = \begin{bmatrix}2.4\\24\end{bmatrix}\hat d$ → $\hat v_o/\hat d = 24$ V (= $V_g$) ✓ ตรงกับ $V_o = DV_g$ ที่ $dV_o/dD = V_g$

- ตรวจด้วยสวิตชิ่ง: เปลี่ยน $D$ จาก 0.5 → 0.51 ($\hat d = 0.01$) ได้ $V_o$ เปลี่ยน $0.24$ V (สภาวะคงตัว 12.24 V) ✓

ตัวอย่าง X-3

### ใส่ค่าแฝงจริง (Ron = 50 mΩ, rL = 0.1 Ω, ESR = 50 mΩ, VF = 0.4 V) ที่ D = 0.5144

- $a = 10/10.05 = 0.99502$, $b = 10(0.05)/10.05 = 0.04975\ \Omega$

- $A_{11}^{(1)} = -(0.1 + 0.05 + 0.04975)/300\mu = -665.8$ · $A_{11}^{(2)} = -(0.1 + 0 + 0.04975)/300\mu = -499.2$ · เฉลี่ยที่ $D = 0.5144$: $A_{11} = -584.9$

- $A = \begin{bmatrix}-584.9 & -3316.7\\ 9950.2 & -995.0\end{bmatrix}$ (แถวที่สองเท่ากันทั้งสองช่วง) · $B_g = \begin{bmatrix}1714.6\\0\end{bmatrix}$ (= D/L)

- $B_d$ (X7): $\dfrac{24 + 0.4 - (0.05-0)(1.2)}{300\mu} = \dfrac{24.34}{300\mu} = 81133$ (สูงกว่าอุดมคติ 80000 เพราะ $V_F$) · จุดทำงานได้ $X = [1.2\ \ 12]^T$ ✓

- ขั้วเปลี่ยนเป็น $-790 \pm j5741$ rad/s (การหน่วงเพิ่มจาก $-500$) เพราะ $A_{11}$ ลบมากขึ้นและ $b$ เพิ่มความต้านทานรวม ค่าหน่วง $\sigma$ นี้ลด $Q$ ลงเหลือ ≈ 3.7 (จาก 5.77)

ตัวอย่าง X-4

### เส้นทางตรวจสอบ: เมทริกซ์ถูกต้องหรือไม่?

- ตรวจ DC: $-A^{-1}B_gV_g$ ต้องให้ $V_o = (DV_g - D'V_F)/(1 + R_s/R)$ ที่ตัวอย่าง X-3 ได้ 12.000 V ✓ (ตรงกับสูตร H8 ในหน้า CCM)

- ตรวจการเชิงเส้น: เปลี่ยน $\hat d$ เล็กและเทียบกับเส้นทฤษฎี — ทำในแล็บ "เทียบสวิตชิ่ง" ด้านล่าง

- ตรวจเสถียรภาพ: ค่าไอเกนของ $A$ ต้องอยู่ซีกซ้าย ($\mathrm{tr}A 0$) ทุกสภาวะของบั๊ก CCM

## แล็บที่ 1: สร้างสเตตสเปซด้วยตัวเอง พื้นฐาน

ป้อน Vin D R L C และค่าแฝง เครื่องมือจะแสดงทีละขั้นตามหน้านี้: ① เมทริกซ์ช่วง ON ② ช่วง OFF ③ เฉลี่ย ④ จุดทำงาน (พร้อมจำลองสวิตชิ่งตรวจ) ⑤ เมทริกซ์สัญญาณเล็ก ⑥ ขั้วของระบบ ใช้ตรวจคำตอบที่คำนวณมือได้ทุกตัวเลข

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ใบงาน X1 — ตรวจมือ: คำนวณ $A_1, B_1, A_{11}$ ของ L = 300 µH, R = 10 Ω มือแล้วเทียบ · ตั้ง L = 150 µH ดูว่า $\omega_0$ เปลี่ยนเป็น $\sqrt2$ เท่า และ $Q$ ลดลงหรือเพิ่มขึ้น (ให้ตอบก่อนกดดู)

ใบงาน X2 — ค่าแฝงแต่ละตัว: เปิดค่าแฝงจริงแล้วตั้งทีละตัวเป็นศูนย์ (DCR, ESR, Rds(on), Vf) ดูว่าแต่ละตัวเปลี่ยนเมทริกซ์ตัวไหนบ้าง (ตรวจกับตารางในหัวข้อ ผลของค่าแฝง)

ใบงาน X3 — โหลดเบา: ตั้ง R = 100 Ω D = 0.5 ในโหมดอุดมคติ สังเกตข้อความเตือน DCM ที่ช่อง ④ — แบบจำลอง CCM ใช้ไม่ได้ เพราะ $K = 0.3 กลาง

เครื่องมือรันสวิตชิ่งจริงทุกจังหวะ (เส้นเทา) แล้วหาค่าเฉลี่ยรายคาบ (เส้นฟ้า) เทียบกับ แบบจำลองเฉลี่ยไม่เชิงเส้น ที่ได้จากขั้นที่ 3 (ส้มประ) และ แบบจำลองสัญญาณเล็ก จากขั้นที่ 5 (ม่วงประ) ตารางด้านล่างคือค่าคลาดเคลื่อนเทียบกับค่าเฉลี่ยจริง ลองสเต็ปเล็ก สเต็ปใหญ่ ไซน์ และลด fs ดู

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ใบงาน X4 — สัญญาณเล็กทดสอบเชิงเส้น: สเต็ป $\Delta D$ = 0.02 → เส้นเชิงเส้นและเฉลี่ยเกือบซ้อนทับ (คลาด < 1 %) เพิ่มเป็น 0.25 แล้วดูว่าเส้นเชิงเส้นคลาดจากเส้นจริงเท่าไร เส้นเฉลี่ยไม่เชิงเส้นยังตามได้ดี

ใบงาน X5 — ขอบเขตด้านความถี่: เลือกไซน์ ±0.03 แล้วเลื่อนความถี่จาก 100 Hz ไปจนถึง 5 kHz ดูว่าเมื่อความถี่เข้าใกล้ $f_s/10$ (5 kHz ที่ $f_s$ = 50 kHz) ค่าคลาดเคลื่อนเริ่มโตหรือไม่ แล้วลอง $f_s$ = 8 kHz

ใบงาน X6 — ค่าแฝงลดการแกว่ง: เปรียบเทียบการแกว่งหลังสเต็ปของอุดมคติกับ "มีค่าแฝงจริง" ค่าหน่วงเพิ่มขึ้นตามตัวอย่าง X-3 หรือไม่ (วัดจากจำนวนครั้งที่ยอดแกว่งก่อนนิ่ง)

## สรุปและก้าวต่อไป

- เขียนสมการสถานะของ ON และ OFF → $A_1,B_1,C_1$ และ $A_2,B_2,C_2$

- เฉลี่ยด้วยสัดส่วนเวลา → $A = DA_1 + D'A_2$, $B = DB_1 + D'B_2$

- จุดทำงาน $X = -A^{-1}BV_g$ (ต้องได้ $V_o$ เท่ากับผลหน้า CCM)

- รบกวนสัญญาณเล็ก ตัดอันดับสอง → $B_d = (A_1-A_2)X + (B_1-B_2)V_g$, $B_g = DB_1 + D'B_2$

- เอาต์พุตแต่ละตัวมีแถว $C$ ของตัวเอง — ต่อไปใช้เมทริกซ์ชุดนี้หาฟังก์ชันถ่ายโอนทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต

ต่อไป: ฟังก์ชันถ่ายโอนทุกแบบของบั๊ก $G_{vd}, G_{vg}, Z_{out}, Z_{in}, G_{iLd}$ · เปรียบเทียบกับภาพรวมของ แบบจำลองสัญญาณเล็กของบูสต์และบั๊ก-บูสต์ · สเตตสเปซพื้นฐานในวิชาระบบควบคุม

## คำถามที่พบบ่อย

state-space averaging คืออะไรและทำไมต้องเฉลี่ย?
บั๊กสลับระหว่างวงจรเชิงเส้นสองแบบ (สวิตช์ ON และ OFF) ทำให้เป็นระบบที่เปลี่ยนตามเวลาและไม่เชิงเส้น วิธี state-space averaging เฉลี่ยสมการสถานะของสองช่วงถ่วงน้ำหนักด้วยดิวตี้ D และ 1−D ได้แบบจำลองที่ต่อเนื่องตามเวลา แล้วค่อยรบกวนด้วยสัญญาณเล็ก (linearize) จนได้ระบบเชิงเส้นที่ใช้ฟังก์ชันถ่ายโอนและตัวชดเชยได้

แบบจำลองเฉลี่ยใช้ได้ถึงความถี่เท่าไร?
ใช้ได้เมื่อความถี่ของสัญญาณและขั้วของระบบต่ำกว่าความถี่สวิตช์มาก โดยทั่วไปไม่เกินประมาณ fs/10 ถึง fs/5 เกินกว่านั้นผลของการสุ่มตัวอย่างของ PWM ทำให้เกิดเฟสตกและความคลาดเคลื่อน ในแล็บด้านล่างจะเห็นข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้นเมื่อลด fs ใกล้ f0

ทำไมต้องตัดพจน์ผลคูณ d̂·v̂g ทิ้ง?
ผลคูณของการรบกวนสองตัวเป็นอันดับสอง เล็กกว่าพจน์อันดับหนึ่งมากเมื่อรบกวนเล็ก เช่น d̂ = 5 % ของ D ผลคูณ d̂·v̂g เทียบกับพจน์เชิงเส้น D·v̂g คิดเป็นสัดส่วน d̂/D = 5 % เมื่อตัดทิ้งได้ระบบเชิงเส้นที่ใช้เครื่องมือทฤษฎีควบคุมได้ แต่ถ้ารบกวนใหญ่ เช่นเปลี่ยนดิวตี้ 40 % แบบจำลองเชิงเส้นจะคลาดเคลื่อนให้เห็น

เมทริกซ์ Bd = (A1−A2)X + (B1−B2)Vg มาจากไหน?
มาจากการรบกวนดิวตี้ในสมการเฉลี่ย (dA1 + (1−d)A2)x + (dB1 + (1−d)B2)vg เมื่อ d = D + d̂ พจน์ที่คูณ d̂ คือ (A1−A2)X + (B1−B2)Vg ซึ่งบอกว่าดิวตี้ที่เปลี่ยนไปกระทบสถานะผ่านความต่างของสองวงจรที่จุดทำงาน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**state-space averaging คืออะไรและทำไมต้องเฉลี่ย?**
บั๊กสลับระหว่างวงจรเชิงเส้นสองแบบ (สวิตช์ ON และ OFF) ทำให้เป็นระบบที่เปลี่ยนตามเวลาและไม่เชิงเส้น วิธี state-space averaging เฉลี่ยสมการสถานะของสองช่วงถ่วงน้ำหนักด้วยดิวตี้ D และ 1−D ได้แบบจำลองที่ต่อเนื่องตามเวลา แล้วค่อยรบกวนด้วยสัญญาณเล็ก (linearize) จนได้ระบบเชิงเส้นที่ใช้ฟังก์ชันถ่ายโอนและตัวชดเชยได้

**แบบจำลองเฉลี่ยใช้ได้ถึงความถี่เท่าไร?**
ใช้ได้เมื่อความถี่ของสัญญาณและขั้วของระบบต่ำกว่าความถี่สวิตช์มาก โดยทั่วไปไม่เกินประมาณ fs/10 ถึง fs/5 เกินกว่านั้นผลของการสุ่มตัวอย่างของ PWM ทำให้เกิดเฟสตกและความคลาดเคลื่อน ในแล็บด้านล่างจะเห็นข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้นเมื่อลด fs ใกล้ f0

**ทำไมต้องตัดพจน์ผลคูณ d̂·v̂g ทิ้ง?**
ผลคูณของการรบกวนสองตัวเป็นอันดับสอง เล็กกว่าพจน์อันดับหนึ่งมากเมื่อรบกวนเล็ก เช่น d̂ = 5 % ของ D ผลคูณ d̂·v̂g เทียบกับพจน์เชิงเส้น D·v̂g คิดเป็นสัดส่วน d̂/D = 5 % เมื่อตัดทิ้งได้ระบบเชิงเส้นที่ใช้เครื่องมือทฤษฎีควบคุมได้ แต่ถ้ารบกวนใหญ่ เช่นเปลี่ยนดิวตี้ 40 % แบบจำลองเชิงเส้นจะคลาดเคลื่อนให้เห็น

**เมทริกซ์ Bd = (A1−A2)X + (B1−B2)Vg มาจากไหน?**
มาจากการรบกวนดิวตี้ในสมการเฉลี่ย (dA1 + (1−d)A2)x + (dB1 + (1−d)B2)vg เมื่อ d = D + d̂ พจน์ที่คูณ d̂ คือ (A1−A2)X + (B1−B2)Vg ซึ่งบอกว่าดิวตี้ที่เปลี่ยนไปกระทบสถานะผ่านความต่างของสองวงจรที่จุดทำงาน

---

# บั๊ก-บูสต์คอนเวอร์เตอร์: แบบกลับขั้ว แบบ 4 สวิตช์ และการเลือกโทโพโลยี

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-boost-converter/
Updated: 2026-10-13
Summary: บั๊ก-บูสต์คอนเวอร์เตอร์แบบกลับขั้ว (inverting) และแบบ 4 สวิตช์ไม่กลับขั้ว: อัตราส่วน −D/(1−D) ความเค้นแรงดันและกระแส ขอบ DCM ฟังก์ชันถ่ายโอนและ RHP zero การป้อนกลับเมื่อขาออกเป็นลบ และตารางเลือกโทโพโลยีเทียบ SEPIC Ćuk flyback

// บทที่ 15.8 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Buck-Boost Converter

# บั๊ก-บูสต์คอนเวอร์เตอร์: แบบกลับขั้ว แบบ 4 สวิตช์ และการเลือกโทโพโลยี

บั๊ก-บูสต์กลับขั้ว −D/(1−D) ความเค้น Vin + |Vo| RHP zero บั๊ก-บูสต์ 4 สวิตช์แบบไม่กลับขั้ว และตารางเลือกระหว่าง SEPIC Ćuk และ flyback

สรุปใน 30 วินาที

- $V_o/V_{in} = -D/(1-D)$ — D น้อยกว่า 0.5 ลด มากกว่า 0.5 เพิ่ม

- สวิตช์และไดโอดรับ $V_{in}+|V_o|$

- RHP zero ต่ำกว่าบูสต์ด้วยปัจจัย 1/D

- ต้องการขั้วบวกประสิทธิภาพสูง → 4-switch buck-boost

## Inverting buck-boost

- ON: $v_L = V_{in}$, ไดโอดกลับไบแอส — โหลดได้พลังงานจาก C

- OFF: $v_L = V_o$ (ซึ่งเป็นลบ) — L ปล่อยพลังงานทั้งหมดไปขาออก (ไม่มี เส้นทางตรงจาก Vin สู่ Vout)

W1 Volt-second balance (buck-boost) อัตราส่วนแปลงผัน

$$V_{in}D + V_o(1-D) = 0 \;\Rightarrow\; \boxed{\frac{V_o}{V_{in}} = -\frac{D}{1-D}},\qquad I_L = \frac{I_o}{1-D} = I_{in}+I_o$$

$D \lt 0.5$ ลดแรงดัน, $D \gt 0.5$ เพิ่มแรงดัน — นี่คือ flyback ที่ไม่มีหม้อแปลง ($L$ เป็นตัวเก็บพลังงานล้วน)

## ความเค้นสูงกว่า Buck/Boost

|
ปริมาณ |
ค่า |

|
แรงดันสวิตช์/ไดโอด |
$V_{in} + \lvert V_o\rvert$ |

|
กระแสพีก |
$I_o/(1-D) + \Delta i_L/2$ |

|
$\Delta i_L$ |
$V_{in}D/(Lf_s)$ |

|
$\Delta v_o$ |
$I_oD/(Cf_s)$ + ESR term |

|
พลังงานต่อคาบที่ L ต้องเก็บ |
$P_o T_s$ ทั้งหมด → แกนใหญ่กว่า buck ที่กำลังเท่ากัน |

ขอบ CCM: $K_{crit}=(1-D)^2$; DCM: $\lvert M\rvert = D/\sqrt{K}$ (ไม่ขึ้นกับ $V_{in}$ ในเชิงอัตราส่วน — สะดวกสำหรับ LED driver)

## แบบจำลองสัญญาณเล็ก

W2 Buck-boost Gvd with RHP zero ฟังก์ชันถ่ายโอนและ RHP zero

$$G_{vd}(s) = -\frac{V_{in}}{(1-D)^2}\cdot\frac{1 - s\dfrac{DL}{R(1-D)^2}}{\dfrac{LC}{(1-D)^2}s^2 + \dfrac{L}{R(1-D)^2}s + 1},
\qquad \omega_{RHPZ} = \frac{R(1-D)^2}{DL}$$

RHP zero ต่ำกว่า boost ด้วยปัจจัย $1/D$ — ยิ่งเพิ่มแรงดันมาก ยิ่งต้องจำกัดแบนด์วิดท์

เรื่องสัญญาณป้อนกลับขั้วลบ Vout เป็นลบเทียบกับกราวด์ร่วม ต้องใช้ op-amp แบบ inverting (หรือวงจร level-shift) ป้อนกลับให้คอนโทรลเลอร์ ซิมูเลเตอร์บนเว็บนี้แสดงขนาด $\lvert V_o\rvert$

## Non-inverting 4-switch buck-boost

ใช้สองขาสวิตช์ (buck leg + boost leg) กับ L ตัวเดียว ทำงาน 3 โหมด: buck ($V_{in} \gt V_o$), boost ($V_{in} \lt V_o$) และ buck-boost ช่วงเปลี่ยนผ่าน ข้อดี: ขั้วบวก, ความเค้น = $\max(V_{in},V_o)$, ประสิทธิภาพ 95–98% เหมาะกับแบตเตอรี่ Li-ion ที่แรงดันคร่อมค่าเป้าหมาย, USB-PD, ระบบ 12 V รถยนต์ (cold crank) ตัวอย่างชิปควบคุมดู การเลือกตัวควบคุม

## เลือกใช้อย่างไร

|
ต้องการ |
เลือก |

|
ขาออกกลับขั้ว ราคาถูก กำลังต่ำ |
Inverting buck-boost |

|
ขาออกบวก Vin คร่อม Vo กำลังต่ำ-กลาง |
SEPIC |

|
ขาออกบวก ประสิทธิภาพสูง กำลังกลาง-สูง |
4-switch buck-boost |

|
กระแสเข้า-ออกต่อเนื่อง EMI ต่ำ (กลับขั้ว) |
Ćuk |

|
ต้องการฉนวนไฟฟ้า |
Flyback (SMPS) |

## คำถามที่พบบ่อย

บั๊ก-บูสต์ต่างจาก flyback อย่างไร?
ทำงานเหมือนกันคือเก็บพลังงานในตัวเหนี่ยวนำช่วงสวิตช์นำแล้วปล่อยให้ขาออกช่วงสวิตช์ดับ flyback เปลี่ยนตัวเหนี่ยวนำเป็นหม้อแปลงที่มีขดสองชุด จึงได้ฉนวนไฟฟ้าและปรับอัตราส่วนด้วยจำนวนรอบ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**บั๊ก-บูสต์ต่างจาก flyback อย่างไร?**
ทำงานเหมือนกันคือเก็บพลังงานในตัวเหนี่ยวนำช่วงสวิตช์นำแล้วปล่อยให้ขาออกช่วงสวิตช์ดับ flyback เปลี่ยนตัวเหนี่ยวนำเป็นหม้อแปลงที่มีขดสองชุด จึงได้ฉนวนไฟฟ้าและปรับอัตราส่วนด้วยจำนวนรอบ

---

# บั๊กคอนเวอร์เตอร์โหมด CCM: ไล่วงจรทีละขั้นเพื่อหาดิวตี้ไซเคิล D = Vo/Vin พร้อมค่าแฝงและแล็บรูปคลื่น

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-ccm-analysis/
Updated: 2026-10-15
Summary: ไล่วงจรบั๊กโหมด CCM ทีละขั้นด้วย KVL/KCL หา volt-second balance, D = Vo/Vin, ริปเปิล, ขอบเขต CCM/DCM และดิวตี้ที่ต้องใช้เมื่อมี Rds(on) DCR Vf พร้อมแล็บรูปคลื่นและตัวอย่างที่ตรวจตัวเลขแล้ว

// บทที่ 15.2 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Buck in CCM — Circuit Analysis & Duty Cycle

# บั๊กคอนเวอร์เตอร์โหมด CCM: ไล่วงจรทีละขั้นเพื่อหาดิวตี้ไซเคิล D = Vo/Vin พร้อมค่าแฝงและแล็บรูปคลื่น

หน้านี้พาไล่วงจรบั๊กด้วยกฎของเคอร์ชอฟฟ์ทีละช่วงสวิตช์ แล้วสรุปเป็น volt-second balance และ charge balance จนได้ดิวตี้ที่ต้องตั้ง ทั้งแบบอุดมคติและแบบมี Rds(on) DCR VF พร้อมแล็บที่เทียบสูตรกับการจำลองสวิตชิ่งจริง

สรุปใน 30 วินาที

- ช่วง ON: $v_L = V_g - V_o$ กระแสชันขึ้น · ช่วง OFF: $v_L = -V_o$ กระแสชันลง

- กระแสต้องกลับที่เดิมเมื่อสิ้นคาบ → พื้นที่ $v_L\cdot t$ สองช่วงเท่ากัน → $V_o = DV_g$

- $\langle i_C\rangle = 0$ → $I_L = I_o$ และ $I_g = D\,I_o$ · ripple $\Delta i_L = V_o(1-D)/(Lf_s)$

- เป็น CCM เมื่อ $K = 2L/(RT_s) > 1-D$ · มีค่าแฝงต้องใช้ $D = \dfrac{V_o + V_F + I_L(r_L+R_d)}{V_g + V_F - I_L(R_{on}-R_d)}$

ระดับพื้นฐาน ปวส. · ป.ตรี ปี 2–3กลาง ป.ตรี ปี 3–4ขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## เป้าหมาย: ตั้งดิวตี้เท่าไรจึงได้แรงดันที่ต้องการ พื้นฐาน

หน้า บั๊กคอนเวอร์เตอร์ สรุปผลไว้แล้วว่า $V_o = DV_g$ หน้านี้ตอบคำถามที่ลึกกว่า: สูตรนี้มาจากไหน ใช้ได้เมื่อไร และเมื่อวงจรมีความสูญเสียจริงต้องตั้ง $D$ เป็นเท่าไร ทุกขั้นเขียนจากวงจรจริงด้วย KVL/KCL ไม่ใช่การท่องสูตร และทุกตัวเลขในตัวอย่างตรวจกับซิมูเลเตอร์ระดับการสวิตช์ในแล็บด้านล่าง

ข้อตกลงที่ใช้ทั้งชุด: แรงดันอินพุตเขียนเป็น $V_g$ (เหมือน $V_{in}$) · ตัวพิมพ์ใหญ่ = ค่าคงตัวของสถานะคงตัว ตัวพิมพ์เล็ก = ค่าขณะใดขณะหนึ่ง · $D' = 1-D$ · คาบสวิตช์ $T_s = 1/f_s$

| ข้อสมมติ | ความหมาย | เมื่อไรไม่จริง |

| สถานะคงตัวเป็นคาบ | ปริมาณทุกตัวกลับมาเท่าเดิมเมื่อครบคาบ | ช่วงสตาร์ท เปลี่ยนโหลด (ดูหน้าแบบจำลองเฉลี่ย) |

| ริปเปิลแรงดันขาออกเล็ก | $v_o(t)\approx V_o$ คงที่ภายในหนึ่งคาบ | C เล็กเกินไป ESR สูง |

| สวิตช์และไดโอดอุดมคติ | ไม่มีแรงดันตกขณะนำ ไม่มีเวลาสวิตช์ | หัวข้อค่าแฝงแก้ข้อนี้ |

| กระแส $i_L$ ไม่ลงถึงศูนย์ | โหมดกระแสต่อเนื่อง (CCM) | โหลดเบา → DCM |

## ขั้นที่ 1–2: วงจรในแต่ละช่วงของสวิตช์ พื้นฐาน

สวิตช์ Q เปิด–ปิดสลับกันด้วยคาบ $T_s$ ช่วงแรก ($0 \le t

แรงดันที่โหนด SW เท่ากับ $V_g$ ไดโอดมีแคโทดสูงกว่าแอโนดจึงถูกไบแอสย้อนและไม่นำ วงจรเหลือวงเดียว: $V_g$ → L → (C ∥ R) → กลับ KVL รอบวงให้ $V_g - v_L - v_o = 0$ และเมื่อ $v_L = L\,\dfrac{di_L}{dt}$ จะได้

H1 Inductor equation in each interval สมการตัวเหนี่ยวนำแต่ละช่วง

$$\text{ON: } L\frac{di_L}{dt} = V_g - v_o \approx V_g - V_o \qquad\qquad \text{OFF: } L\frac{di_L}{dt} = -v_o \approx -V_o$$

ที่โหนดเอาต์พุต KCL ให้กระแสตัวเก็บประจุ $i_C = i_L - v_o/R$ เสมอทั้งสองช่วง (กระแสที่เหลือจาก $i_L$ หลังโหลดใช้ไปคือกระแสที่ชาร์จ C)

### ช่วง OFF (สวิตช์ Q เปิดวงจร)

กระแสในตัวเหนี่ยวนำเปลี่ยนทันทีไม่ได้ (ถ้าเปลี่ยนทันที $v_L = L\,di/dt$ จะเป็นอนันต์) เมื่อ Q เปิด ตัวเหนี่ยวนำจึงกลับขั้วแรงดันเองจนโหนด SW ต่ำกว่าศูนย์ ไดโอดถูกไบแอสตรงและนำกระแสเดิมต่อไป โหนด SW ≈ 0 (ในอุดมคติ) ดังนั้น $v_L = -v_o$ กระแสเริ่ม ลดลง ผ่านไดโอดไปยัง C ∥ R

จุดที่นักศึกษามักสับสน: ในช่วง OFF พลังงานไม่ได้มาจากแหล่งจ่ายอีกต่อไป แต่มาจากพลังงานแม่เหล็ก $\tfrac12 Li_L^2$ ที่เก็บไว้ในช่วง ON ตัวเหนี่ยวนำจึงเป็น "แหล่งกระแส" ที่ไดโอดคอยส่งต่อให้โหลด

## ขั้นที่ 3: กระแสตัวเหนี่ยวนำในหนึ่งคาบ พื้นฐาน

เมื่อ $v_o \approx V_o$ คงที่ ความชันของ $i_L$ ในแต่ละช่วงคงที่ → กระแสเป็นเส้นตรงสองท่อนต่อกัน (สามเหลี่ยม) กระแสเพิ่มในช่วง ON และลดในช่วง OFF

H2 Inductor current ripple ริปเปิลกระแสตัวเหนี่ยวนำ

$$\Delta i_L^{\text{(ON)}} = \frac{V_g - V_o}{L}\,DT_s \qquad \Delta i_L^{\text{(OFF)}} = -\frac{V_o}{L}\,D'T_s$$

กระแสเฉลี่ยของสามเหลี่ยมคือค่ากลางระหว่างจุดสูงสุดและต่ำสุด $I_L = \dfrac{I_{L,\min} + I_{L,\max}}{2}$ และผลต่างคือริปเปิล $\Delta i_L = I_{L,\max} - I_{L,\min}$ ถ้าสิ้นคาบกระแสไม่กลับมาที่ $I_{L,\min}$ แสดงว่ายังไม่ถึงสถานะคงตัว (กระแสจะไล่ขึ้นหรือลงต่อไปทุกคาบ)

## ขั้นที่ 4: หาอัตราส่วนแปลงผัน Vo/Vg และดิวตี้ พื้นฐาน

เงื่อนไขสถานะคงตัวคือ กระแสสิ้นคาบ = กระแสต้นคาบ ดังนั้นการเพิ่มของกระแสในช่วง ON ต้องถูกลดลงเท่ากันในช่วง OFF พอดี แสดงได้สามวิธีที่ได้ผลเดียวกัน

### วิธี ก: ให้ผลรวมการเปลี่ยนกระแสเป็นศูนย์

$\Delta i_L^{(ON)} + \Delta i_L^{(OFF)} = 0$ จาก H2:

$$\begin{aligned} \frac{(V_g - V_o)DT_s}{L} - \frac{V_o D'T_s}{L} &= 0 \\ (V_g - V_o)D &= V_o(1-D) \\ V_gD - V_oD &= V_o - V_oD \\ V_o &= DV_g \end{aligned}$$

### วิธี ข: volt-second balance (พื้นที่ใต้กราฟ $v_L$)

คูณทั้งสองข้างด้วย $L$: การเปลี่ยนกระแสทุกช่วงคือ $\int v_L\,dt$ ผลรวมต้องเป็นศูนย์ เรียกว่า volt-second balance ในรูปคือพื้นที่สี่เหลี่ยมสองก้อนต้องเท่ากัน $A_1 = A_2$:

H3 Volt-second balance → conversion ratio (CCM) อัตราส่วนแปลงผันและดิวตี้

$$\underbrace{(V_g - V_o)\,DT_s}_{A_1} + \underbrace{(-V_o)\,D'T_s}_{-A_2} = 0 \;\Rightarrow\; \boxed{\frac{V_o}{V_g} = D} \qquad \boxed{D = \frac{V_o}{V_g}}$$

### วิธี ค: เฉลี่ยแรงดันที่โหนด SW (เห็นภาพที่สุด)

แรงดันที่โหนด SW เป็นคลื่นสี่เหลี่ยมสูง $V_g$ นาน $D$ ของคาบ ค่าเฉลี่ยคือ $\langle v_{sw}\rangle = DV_g$ ตัวกรอง LC ปล่อยผ่านเฉพาะค่าเฉลี่ยนี้ และที่ DC ตัวเหนี่ยวนำเป็นสายลัด (แรงดันเฉลี่ยคร่อม L เป็นศูนย์) จึงได้ $V_o = \langle v_{sw}\rangle = DV_g$ บั๊กจึงเป็น "ตัวเฉลี่ยแรงดันที่ควบคุมด้วยความกว้างพัลส์"

ผลที่ควรจำ: $V_o$ ขึ้นกับ $D$ และ $V_g$ เท่านั้น ไม่ขึ้นกับ L, C, fs หรือโหลด (ตราบใดที่ยังเป็น CCM และไม่มีค่าแฝง) นั่นคือแหล่งจ่ายแรงดันในอุดมคติ ต่างจาก DCM ที่ $V_o$ ขึ้นกับโหลดอย่างแรง ดูหน้า DCM

## ขั้นที่ 5: charge balance กระแสเฉลี่ย และกำลัง พื้นฐาน

ในสถานะคงตัวแรงดันตัวเก็บประจุกลับมาเท่าเดิมทุกคาบ ประจุสุทธิที่เข้า C ต้องเป็นศูนย์: $\langle i_C\rangle = 0$ จาก KCL $i_C = i_L - v_o/R$ ได้ค่าเฉลี่ยของ $i_L$ เท่ากับกระแสโหลดทันที ส่วนกระแสอินพุต $i_g$ ไหลเฉพาะช่วง ON (เท่ากับ $i_L$) จึงมีค่าเฉลี่ย $D\,I_L$

H4 Charge balance and currents สมดุลประจุและกระแสเฉลี่ย

$$\langle i_C\rangle = 0 \;\Rightarrow\; I_L = I_o = \frac{V_o}{R},\qquad I_g = D\,I_L$$

$$P_{in} = V_gI_g = V_g\,D\,I_o = V_oI_o = P_{out}$$

บรรทัดสุดท้ายแสดงว่าแบบจำลองอุดมคติไม่มีการสูญเสีย ($\eta = 100\%$) และเทียบเท่าหม้อแปลง DC อัตราส่วน $1:D$ ที่ลดแรงดันได้ $D$ เท่าและเพิ่มกระแสได้ $1/D$ เท่า — มุมมองนี้ใช้ต่อในหน้าแบบจำลองวงจรเฉลี่ย

## ขั้นที่ 6: ค่าสูงสุด–ต่ำสุดของกระแส และริปเปิลแรงดันขาออก กลาง

รวมค่าเฉลี่ย (ขั้นที่ 5) กับความชัน (ขั้นที่ 3) จะได้ขอบของสามเหลี่ยม แทน $V_o = DV_g$ ใน H2 ได้ริปเปิลที่นิยมใช้ออกแบบ

H5 Current extremes and ripple ค่าสูงสุด–ต่ำสุดของกระแสและริปเปิล

$$\Delta i_L = \frac{V_o(1-D)}{L f_s} = \frac{(V_g - V_o)D}{Lf_s},\qquad I_{L,\max/\min} = I_o \pm \frac{\Delta i_L}{2}$$

ริปเปิลกระแสไหลเข้าตัวเก็บประจุ (ส่วนที่เกิน $I_o$) ประจุสะสมคือพื้นที่สามเหลี่ยมเล็กที่ระดับเหนือ $I_o$: $\Delta Q = \tfrac12\cdot\dfrac{T_s}{2}\cdot\dfrac{\Delta i_L}{2} = \dfrac{\Delta i_LT_s}{8}$ จึงเกิดแรงดันขึ้นลง $\Delta Q/C$ ส่วน ESR ทำให้เกิดแรงดัน $\Delta i_L\cdot r_C$ ซ้อนทับ

H6 Output voltage ripple ริปเปิลแรงดันขาออก

$$\Delta v_{o}^{(C)} = \frac{\Delta i_L}{8\,C f_s}, \qquad \Delta v_o^{(ESR)} = \Delta i_L\, r_C, \qquad \Delta v_{o,pp} \le \Delta v_o^{(C)} + \Delta v_o^{(ESR)}$$

การบวกตรงๆ เป็น ขอบบน เพราะจุดสูงสุดของสองส่วนไม่เกิดพร้อมกัน ค่าจริงจากรูปคลื่นมักต่ำกว่า (ดูตัวอย่าง H-1 และเทียบในแล็บ) ถ้า ESR ใหญ่กว่า $\dfrac{1}{8Cf_s}$ ริปเปิลแรงดันถูกกำหนดโดย ESR เป็นหลัก ซึ่งเป็นเหตุผลที่ตัวเก็บประจุอิเล็กโทรไลต์ธรรมดาให้ริปเปิลสูงกว่าโพลิเมอร์หรือเซรามิกมาก

ออกแบบที่ Vg สูงสุด: $\Delta i_L = V_o(1-D)/(Lf_s)$ มากที่สุดเมื่อ $D$ ต่ำสุด คือเมื่อ $V_g$ สูงสุด ดังนั้นคำนวณ L ที่ $V_{g,\max}$ เสมอ (ตัวอย่าง H-3)

## ขั้นที่ 7: ขอบเขตของ CCM — สูตรข้างบนใช้ได้เมื่อใด พื้นฐาน

ทุกสูตรข้างต้นสมมติว่า $i_L$ ไม่ลงถึงศูนย์ ถ้า $I_{L,\min} = I_o - \Delta i_L/2 \le 0$ ไดโอดจะหยุดนำกลางคาบ (วงจรเข้า DCM) เงื่อนไขขอบเขตคือ $I_o = \Delta i_L/2$:

$$\frac{V_o}{R} > \frac{V_o(1-D)}{2Lf_s} \;\Longleftrightarrow\; \frac{2L}{RT_s} > 1-D$$

H7 CCM/DCM boundary ขอบเขตโหมดกระแสต่อเนื่อง

$$K \equiv \frac{2L}{RT_s} > K_{crit}(D) = 1-D$$

$$I_{o,crit} = \frac{V_o(1-D)}{2Lf_s},\qquad R_{crit} = \frac{2L}{(1-D)T_s},\qquad L_{crit} = \frac{(1-D)RT_s}{2}$$

ตีความ: โหลดเบาลง (R ใหญ่ขึ้น) หรือ L เล็กลง หรือ fs ต่ำลง ทำให้ K ลดลงและเข้าใกล้ DCM ขอบเขตแย่ที่สุดเมื่อ $D$ ต่ำสุด ($V_g$ สูงสุด) เพราะ $1-D$ ใหญ่สุด ถ้าต้องการ CCM ถึงกระแสโหลดต่ำสุด $I_{o,\min}$ ให้เลือก $L \ge \dfrac{V_o(1-D_{\min})}{2f_sI_{o,\min}}$

บั๊กแบบ synchronous (ใช้ MOSFET ตัวล่างแทนไดโอด) ไม่มีขอบเขตนี้ เพราะ MOSFET นำกระแสย้อนกลับได้ $i_L$ จึงติดลบและเป็น CCM เสมอ (เรียก forced CCM) แลกกับกระแสหมุนวนที่เพิ่มการสูญเสียตอนเบา — ลองในแล็บด้วยปุ่ม Synchronous

## ขั้นที่ 8: ดิวตี้ที่ต้องใช้จริงเมื่อมี Rds(on) DCR และ VF กลาง

วงจรจริงมีความต้านทานแฝงสี่ตัวที่ทำให้แรงดันขาออกต่ำกว่า $DV_g$: $R_{on}$ ของสวิตช์ (ช่วง ON) $V_F$ และ $R_d$ ของไดโอด (ช่วง OFF) และ DCR $r_L$ ของตัวเหนี่ยวนำ (ทั้งสองช่วง) ทำ volt-second balance ใหม่โดยใส่ตัวแฝงลงในสมการช่วงละบรรทัด (ใช้ $I_L = V_o/R$ เป็นกระแสเฉลี่ย):

$$\text{ON: } v_L = V_g - R_{on}I_L - r_LI_L - V_o,\qquad \text{OFF: } v_L = -V_F - R_dI_L - r_LI_L - V_o$$

เฉลี่ยตลอดคาบให้เป็นศูนย์ $D\,v_L^{(ON)} + D'\,v_L^{(OFF)} = 0$:

$$D(V_g - R_{on}I_L) - D'(V_F + R_dI_L) - r_LI_L - V_o = 0$$

H8 Output voltage with parasitics แรงดันขาออกเมื่อมีความต้านทานแฝง

$$V_o = \frac{D V_g - D' V_F}{1 + R_s/R},\qquad R_s = r_L + D\,R_{on} + D'\,R_d$$

แก้สมการข้างต้นหา $D$ ตรงๆ ได้เพราะ $D$ ปรากฏเป็นเชิงเส้น ($R_s$ มี $D$ แต่คูณกับ $I_L$ ที่ทราบ):

H9 Required duty cycle with parasitics ดิวตี้ที่ต้องใช้เมื่อมีค่าแฝง

$$\boxed{D = \frac{V_o + V_F + I_L\,(r_L + R_d)}{V_g + V_F - I_L\,(R_{on} - R_d)}},\qquad I_L = \frac{V_o}{R}$$

กรณี synchronous แทน $V_F = 0$ และ $R_d = R_{on,\text{ตัวล่าง}}$ ผลคือค่าแฝงเหลือเพียง $r_L$ และ $R_{on}$ ของ FET ทั้งสอง ทำให้ $D$ ใกล้ $V_o/V_g$ มากกว่าแบบไดโอด สังเกตว่า $D$ ที่ต้องใช้ขึ้นกับกระแสโหลด (ผ่าน $I_L$) ต่างจากอุดมคติ ตัวควบคุมแบบป้อนกลับจึงจำเป็นเพื่อรักษา $V_o$ เมื่อโหลดเปลี่ยน

ข้อควรระวัง: H8 และ H9 ใช้ได้เฉพาะ CCM และไม่รวมการสูญเสียจากการสวิตช์ (ซึ่งกินพลังงานแต่แทบไม่เปลี่ยน $D$) ถ้าวงจรเข้า DCM ให้ใช้สูตรในหน้า DCM

## ตัวอย่างวิธีทำ (ตรวจตัวเลขด้วยซิมูเลเตอร์แล้ว)

โจทย์ฐาน: $V_g = 24$ V, $V_o = 12$ V, $R = 10\ \Omega$ ($I_o = 1.2$ A), $L = 300\ \mu$H, $C = 100\ \mu$F, $f_s = 50$ kHz ($T_s = 20\ \mu$s)

ตัวอย่าง H-1

### วงจรอุดมคติ: หา D ริปเปิล และตรวจว่าเป็น CCM

- ดิวตี้: $D = V_o/V_g = 12/24 = 0.5$

- กระแสเฉลี่ย (H4): $I_L = V_o/R = 12/10 = 1.2$ A และ $I_g = D\,I_L = 0.6$ A ตรวจกำลัง $P_{in} = 24\times0.6 = 14.4$ W $= P_{out} = 12\times1.2$ ✓

- ริปเปิลกระแส (H5): $\Delta i_L = \dfrac{12(1-0.5)}{300\mu\cdot 50k} = \dfrac{6}{15} = 0.4$ A → $I_{L,\max} = 1.4$ A, $I_{L,\min} = 1.0$ A

- ตรวจ CCM (H7): $K = \dfrac{2(300\mu)}{10\,(20\mu)} = 3 > 1-D = 0.5$ ✓ เป็น CCM ($I_{L,\min} = 1.0 > 0$) ขอบเขตคือ $R_{crit} = \dfrac{2(300\mu)}{0.5\,(20\mu)} = 60\ \Omega$ ตรงกับ $I_{o,crit} = \Delta i_L/2 = 0.2$ A

- ริปเปิลแรงดัน (H6) ถ้า ESR = 0: $\Delta v_o = \dfrac{0.4}{8(100\mu)(50k)} = 10$ mV · ถ้า ESR = 50 mΩ: ขอบบน $10 + 0.4\times0.05\times 1000 = 30$ mV แต่รูปคลื่นจริงที่ซิมูเลเตอร์วัดได้ $\approx 20$ mV (สองส่วนไม่พีคพร้อมกัน)

ตัวอย่าง H-2

### มีค่าแฝงจริง: ตั้ง D เท่าไรจึงได้ 12 V ที่ 1.2 A

- ค่าแฝง: $R_{on} = 0.05\ \Omega$, $r_L = 0.1\ \Omega$, $V_F = 0.4$ V, $R_d = 0$, ESR $= 0.05\ \Omega$

- ถ้ายังตั้ง $D = 0.5$: $R_s = 0.1 + 0.5(0.05) = 0.125\ \Omega$ → $V_o = \dfrac{0.5(24) - 0.5(0.4)}{1 + 0.125/10} = \dfrac{11.8}{1.0125} = 11.654$ V (ต่ำกว่าเป้าไป 0.35 V และกระแสโหลดลดเป็น 1.165 A)

- ใช้ H9 หา D ที่ถูกต้อง: $D = \dfrac{12 + 0.4 + 1.2(0.1+0)}{24 + 0.4 - 1.2(0.05 - 0)} = \dfrac{12.52}{24.34} = \mathbf{0.5144}$

- ตรวจด้วยการจำลองสวิตชิ่งที่ $D = 0.5144$: $V_o = 12.000$ V, $I_L = 1.200$ A, $\Delta i_L = 0.405$ A ✓ (สูตร H5 แบบอุดมคติให้ 0.389 A เพราะไม่รวม $V_F$ และ DCR ในช่วง OFF · ใช้ความชันช่วง OFF จริง $(V_o + V_F + r_LI_L)/L$ จะได้ $12.52\times0.4856\times20\mu/300\mu = 0.405$ A)

- ความสูญเสียที่ $D = 0.5144$: $P_{R_{on}} = R_{on}\,D(I_L^2 + \Delta i_L^2/12) = 0.05(0.5144)(1.4537) = 0.0374$ W · $P_{diode} = V_F(1-D)I_L = 0.4(0.4856)(1.2) = 0.2331$ W · $P_{Cu} = r_L(I_L^2 + \Delta i_L^2/12) = 0.1454$ W รวม $0.416$ W → $\eta = \dfrac{14.4}{14.4 + 0.416} = 97.2\%$ (ซิมูเลเตอร์ให้ 97.19%; ยังไม่รวมการสูญเสียจากการสวิตช์)

- บทเรียน: ไดโอดกินมากที่สุด (56 % ของความสูญเสีย) เพราะ $V_F$ คงที่คูณกระแส — นี่คือเหตุผลที่แหล่งจ่าย 5 V หรือ 3.3 V ใช้ synchronous (แทน $V_F = 0.4$ V ด้วย MOSFET $R_{on}$ ไม่กี่ mΩ)

ตัวอย่าง H-3

### แหล่งจ่ายอินพุตเปลี่ยนค่า: 18–30 V → 12 V

- ช่วงดิวตี้ (อุดมคติ): $D = 12/18 = 0.667$ (Vin ต่ำสุด) ถึง $D = 12/30 = 0.4$ (Vin สูงสุด)

- ริปเปิลที่ $V_g = 18, 24, 30$ V (H5): $\Delta i_L = 0.267,\ 0.40,\ 0.48$ A ตามลำดับ — ริปเปิลสูงสุดที่ 30 V ใช้ที่นี่ออกแบบ L และกระแสพีก $I_{L,\max} = 1.2 + 0.24 = 1.44$ A

- ตรวจ CCM ที่โหลด 0.2 A: ขอบ $I_{o,crit} = \Delta i_L/2 = 0.133,\ 0.2,\ 0.24$ A — ที่ 30 V ต้องมีโหลด ≥ 0.24 A จึงยังเป็น CCM ถ้าต้องการ CCM ถึง 0.12 A (10 % ของโหลด) ต้องใช้ $L \ge \dfrac{12(1-0.4)}{2(50k)(0.12)} = 600\ \mu$H

- ตัวควบคุมต้องเปลี่ยน D เองเมื่อ Vin เปลี่ยน — แบบ open-loop จะได้ $V_o$ แปรตาม $V_g$ ตรงๆ ($V_o = DV_g$) ซึ่งเป็นเหตุผลของวงป้อนกลับและ ฟังก์ชันถ่ายโอน $G_{vg}$

## แล็บ: รูปคลื่นบั๊ก CCM/DCM เทียบสูตรกับซิมูเลชันสวิตชิ่ง พื้นฐาน

เลือก ตั้งดิวตี้ D เอง เพื่อดูว่า $V_o$ เป็นเท่าไร หรือเลือก ให้คำนวณ D จาก Vo เป้าหมาย เพื่อดูว่าสูตรให้ $D$ เท่าไร แล้วดูว่า $V_o$ จากการจำลองตรงเป้าหรือไม่ กราฟใช้สีพื้นหลังแยกช่วง ON (ฟ้า) และ OFF (ส้ม) ตารางด้านล่างเทียบสูตรกับการจำลองทีละตัวเลข

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

### ใบงานทดลอง

ใบงาน A1 — ตรวจ $V_o = DV_g$: เริ่มจาก CCM ตั้ง D = 0.3, 0.5, 0.7 บันทึก $V_o$ เทียบ $D\cdot24$ ความต่างเท่ากับ 0 ใช่ไหม ทำไม $V_o$ ไม่ขึ้นกับ R, L, C

ใบงาน A2 — ริปเปิลกับ L: ลด L เหลือครึ่งหนึ่ง (150 µH) ΔiL ต้องเพิ่มเป็น 2 เท่า (0.8 A) ตรวจ $I_{L,\min}$ ว่ายังบวกอยู่ไหม แล้วลอง L = 47 µH ที่ fs = 20 kHz

ใบงาน A3 — หาขอบเขต CCM: เริ่มที่ R = 60 Ω (ขอบพอดี $I_{L,\min}$ ≈ 0) เพิ่ม R ทีละน้อยแล้วดูว่ารูปคลื่น iL เริ่มมีช่วงราบเมื่อใด เปลี่ยนมาเป็น Synchronous แล้วเปรียบเทียบ

ใบงาน A4 — ค่าแฝงกับดิวตี้: โหลดตัวอย่าง "ค่าแฝงจริง" ซึ่งตั้งโหมดคำนวณ D จาก Vo เป้าหมาย 12 V บันทึก D (ต้องได้ 0.5144 ตามตัวอย่าง H-2) แล้วสลับไปโหมดตั้ง D เอง ใส่ D = 0.5 ดูว่า $V_o$ ตกเท่าไร (11.65 V)

ใบงาน A5 — Vin เปลี่ยน: โหลด Vin = 48 V ในโหมดคำนวณ D (ต้องได้ 0.25) เปรียบเทียบ ΔiL กับกรณี 24 V ที่ L เท่าเดิม ว่าเพิ่มขึ้นกี่เท่า (สูตร H5: $\propto (1-D)$)

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

- ใช้ $D$ แทน $D'$ ตอนคิดไดโอด: กระแสไดโอดเฉลี่ยคือ $(1-D)I_o$ ไม่ใช่ $D I_o$ · กระแสสวิตช์เฉลี่ยคือ $D I_o$

- ออกแบบ L ที่ $V_{g,nom}$: ริปเปิลสูงสุดและขอบ CCM แย่สุดที่ $V_{g,\max}$

- ลืมว่า H9 ขึ้นกับกระแสโหลด: ตั้ง D คงที่ตามสูตรอุดมคติแล้วแรงดันตกเมื่อโหลดหนัก → ต้องมีวงป้อนกลับ

- ใช้สูตร CCM กับวงจรที่เข้า DCM: $V_o$ จริงจะสูงกว่า $DV_g$ มาก ตรวจ $K > 1-D$ ก่อนทุกครั้ง

- บวกริปเปิลแรงดันสองส่วนตรงๆ แล้วถือเป็นค่าจริง: เป็นขอบบน ใช้เป็นเกณฑ์ออกแบบปลอดภัยได้ แต่ค่าวัดจริงต่ำกว่า

## สรุปผลและก้าวต่อไป

| ปริมาณ | CCM อุดมคติ | มีค่าแฝง |

| ดิวตี้ที่ต้องใช้ | $D = V_o/V_g$ | $D = \dfrac{V_o + V_F + I_L(r_L+R_d)}{V_g + V_F - I_L(R_{on}-R_d)}$ |

| กระแสตัวเหนี่ยวนำเฉลี่ย | $I_L = V_o/R$ | เท่ากัน (charge balance) |

| ริปเปิลกระแส | $\Delta i_L = V_o(1-D)/(Lf_s)$ | ใกล้เคียง (ผิดไม่กี่ %) |

| เงื่อนไข CCM | $2L/(RT_s) > 1-D$ | ตรวจ $I_{L,\min} > 0$ |

| กระแสอินพุตเฉลี่ย | $I_g = D\,I_L$ | $I_g = D\,I_L$ (รวมความสูญเสียแล้ว $P_{in} = P_{out} + P_{loss}$) |

ต่อไป: โหลดเบาจนกระแสลงถึงศูนย์ → บั๊กโหมด DCM · เมื่อต้องการให้เครื่องตอบสนองต่อการเปลี่ยนค่า → แบบจำลองเฉลี่ย → ฟังก์ชันถ่ายโอน → ออกแบบและทดสอบโหลดหลายสภาวะ

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมบั๊กโหมด CCM จึงได้ Vo = D·Vin?
ในสถานะคงตัวกระแสตัวเหนี่ยวนำต้องกลับมาค่าเดิมเมื่อสิ้นคาบ ช่วง ON ตัวเหนี่ยวนำรับแรงดัน Vin − Vo นาน D·Ts ช่วง OFF รับ −Vo นาน (1−D)·Ts พื้นที่แรงดัน-เวลา (volt-second) ทั้งสองต้องหักล้างกัน (Vin − Vo)·D = Vo·(1−D) จึงได้ Vo = D·Vin

ถ้ามีความต้านทานแฝง ต้องตั้งดิวตี้เท่าไรจึงได้ Vo ที่ต้องการ?
D = (Vo + Vf + IL(rL + Rd)) / (Vin + Vf − IL(Ron − Rd)) เมื่อ IL = Vo/R คือกระแสโหลด Ron คือ Rds(on) ของสวิตช์ rL คือ DCR ของตัวเหนี่ยวนำ Vf และ Rd คือแรงดันตกและความต้านทานของไดโอด ค่านี้มากกว่า Vo/Vin เล็กน้อยเสมอ และเพิ่มขึ้นตามกระแสโหลด

วงจรบั๊กอยู่ในโหมด CCM เมื่อใด?
เมื่อกระแสตัวเหนี่ยวนำไม่ลงถึงศูนย์ คือกระแสโหลด Io มากกว่าครึ่งหนึ่งของริปเปิล ΔiL/2 เทียบเท่า K = 2L/(R·Ts) มากกว่า 1 − D ถ้าใช้ synchronous rectifier กระแสติดลบได้จึงเป็น CCM เสมอ

ควรคำนวณริปเปิลกระแสที่ Vin ค่าไหน?
ที่ Vin สูงสุด เพราะ ΔiL = Vo(1−D)/(L·fs) และ D = Vo/Vin ต่ำสุดเมื่อ Vin สูงสุด ทำให้ริปเปิลมากสุดและเป็นกรณีที่ใกล้หลุด CCM ที่สุดด้วย

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมบั๊กโหมด CCM จึงได้ Vo = D·Vin?**
ในสถานะคงตัวกระแสตัวเหนี่ยวนำต้องกลับมาค่าเดิมเมื่อสิ้นคาบ ช่วง ON ตัวเหนี่ยวนำรับแรงดัน Vin − Vo นาน D·Ts ช่วง OFF รับ −Vo นาน (1−D)·Ts พื้นที่แรงดัน-เวลา (volt-second) ทั้งสองต้องหักล้างกัน (Vin − Vo)·D = Vo·(1−D) จึงได้ Vo = D·Vin

**ถ้ามีความต้านทานแฝง ต้องตั้งดิวตี้เท่าไรจึงได้ Vo ที่ต้องการ?**
D = (Vo + Vf + IL(rL + Rd)) / (Vin + Vf − IL(Ron − Rd)) เมื่อ IL = Vo/R คือกระแสโหลด Ron คือ Rds(on) ของสวิตช์ rL คือ DCR ของตัวเหนี่ยวนำ Vf และ Rd คือแรงดันตกและความต้านทานของไดโอด ค่านี้มากกว่า Vo/Vin เล็กน้อยเสมอ และเพิ่มขึ้นตามกระแสโหลด

**วงจรบั๊กอยู่ในโหมด CCM เมื่อใด?**
เมื่อกระแสตัวเหนี่ยวนำไม่ลงถึงศูนย์ คือกระแสโหลด Io มากกว่าครึ่งหนึ่งของริปเปิล ΔiL/2 เทียบเท่า K = 2L/(R·Ts) มากกว่า 1 − D ถ้าใช้ synchronous rectifier กระแสติดลบได้จึงเป็น CCM เสมอ

**ควรคำนวณริปเปิลกระแสที่ Vin ค่าไหน?**
ที่ Vin สูงสุด เพราะ ΔiL = Vo(1−D)/(L·fs) และ D = Vo/Vin ต่ำสุดเมื่อ Vin สูงสุด ทำให้ริปเปิลมากสุดและเป็นกรณีที่ใกล้หลุด CCM ที่สุดด้วย

---

# บั๊กคอนเวอร์เตอร์ (Buck Converter): หลักการ สูตร ริปเปิล CCM/DCM การออกแบบ และฟังก์ชันถ่ายโอน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-converter/
Updated: 2026-10-15
Summary: บั๊กคอนเวอร์เตอร์ละเอียดถึงระดับปริญญาโท: หลักการทำงาน volt-second balance Vo = D·Vin ผลของ Rds(on) DCR และ Vf ริปเปิลกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันขาออกรวม ESR ขอบเขต CCM/DCM ความเค้นของสวิตช์ ไดโอด ตัวเก็บประจุ การสูญเสียการนำและการสวิตช์ ฟังก์ชันถ่ายโอน Gvd(s) ตัวอย่างออกแบบ 24 V → 12 V 1.2 A 50 kHz และซิมูเลชันวงจรออนไลน์ พร้อมหัวข้อย่อยเชิงลึก 5 หน้า: ไล่วงจร CCM และ DCM หาดิวตี้ไซเคิล แบบจำลองเฉลี่ยด้วยสเตตสเปซ ฟังก์ชันถ่ายโอนทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต และแล็บออกแบบพร้อมโปรแกรมโหลด

// บทที่ 15.1 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Buck Converter

# บั๊กคอนเวอร์เตอร์ (Buck Converter): หลักการ สูตร ริปเปิล CCM/DCM การออกแบบ และฟังก์ชันถ่ายโอน

วงจรลดแรงดัน: volt-second balance Vo = DVin ริปเปิลกระแสและแรงดัน ขอบ CCM/DCM ความเค้นของอุปกรณ์ การสูญเสีย Gvd(s) และตัวอย่างออกแบบ 24 V → 12 V

สรุปใน 30 วินาที

- $V_o = DV_{in}$ จาก volt-second balance บนตัวเหนี่ยวนำ

- $\Delta i_L = V_o(1-D)/(Lf_s)$ ออกแบบ L ที่ $V_{in,max}$ เสมอ

- ตัวเก็บประจุขาเข้ารับ RMS $I_o\sqrt{D(1-D)}$ หนักกว่าขาออก

- $G_{vd}$ มีขั้วคู่ LC → voltage mode ใช้ Type III

## หัวข้อย่อยของบั๊ก: ไล่วงจร → แบบจำลอง → ออกแบบ

หน้านี้สรุปภาพรวมของบั๊กในหน้าเดียว ส่วนการ ไล่วงจรทีละขั้นเพื่อหาดิวตี้ไซเคิล การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ด้วยการเฉลี่ยกระแสและแรงดันแล้วทดสอบด้วยสัญญาณเล็ก ฟังก์ชันถ่ายโอนทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต และ การออกแบบพร้อมทดสอบโหลดหลายสภาวะ แยกเป็นหัวข้อย่อยเชิงลึก แต่ละหน้ามีแล็บโต้ตอบ ตัวอย่างที่ตรวจตัวเลขแล้ว และใบงาน

- 1 · บั๊กโหมด CCMไล่วงจรช่วง ON/OFF ด้วย KVL/KCL → volt-second balance → $D = V_o/V_g$ · ดิวตี้ที่ต้องใช้เมื่อมี Rds(on) DCR Vf · แล็บรูปคลื่น

- 2 · บั๊กโหมด DCMสามช่วงเวลา D₁ D₂ D₃ → $M = 2/(1+\sqrt{1+4K/D^2})$ → ดิวตี้ตามโหลด · ทำไมแรงดันลอยเมื่อไร้โหลด · กราฟดิวตี้เทียบโหลด

- 3 · แบบจำลองเฉลี่ย (state-space averaging)เฉลี่ยกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุ → รบกวนสัญญาณเล็ก → เมทริกซ์ A B C E · แล็บสร้างสเตตสเปซและแล็บเทียบกับสวิตชิ่งจริง

- 4 · ฟังก์ชันถ่ายโอนทุกแบบ$G_{vd}, G_{vg}, Z_{out}, Z_{in}, G_{iLd}$ ที่มาทีละขั้นจาก $C(sI-A)^{-1}B+E$ · ผลของ ESR DCR · DCM · เครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือน

- 5 · ออกแบบ + โปรแกรมโหลดเลือก Vin ไดโอด ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ MOSFET · กำหนดโหลดกี่โอห์มในแต่ละช่วงเวลา · ดูกระแสและศักยภาพการจ่าย

## โครงสร้างและการทำงาน

ประกอบด้วยสวิตช์ $Q$ ไดโอด $D$ (หรือสวิตช์ตัวล่างในแบบ synchronous) ตัวเหนี่ยวนำ $L$ และตัวเก็บประจุ $C$ สวิตช์ทำงานด้วยคาบ $T_s = 1/f_s$ และ duty ratio $D$ (ไล่วงจรทีละขั้นอยู่ในหน้า CCM)

- ช่วง ON ($0 \le t \le DT_s$): $v_L = V_{in} - V_o$ กระแส $i_L$ เพิ่มขึ้นเชิงเส้น

- ช่วง OFF ($DT_s \le t \le T_s$): ไดโอดนำ $v_L = -V_o$ กระแสลดลง

## อัตราส่วนแปลงผัน (Volt-second balance)

B1 Volt-second balance (buck) อัตราส่วนแปลงผัน

$$(V_{in}-V_o)\,DT_s + (-V_o)(1-D)T_s = 0 \;\Rightarrow\; \boxed{V_o = D\,V_{in}}$$

รวมผลของ $R_{ds(on)}$, DCR ของขด $r_L$ และ $V_F$ ของไดโอด (ใช้ประเมินค่าจริง ที่มาและสูตรดิวตี้ที่ต้องใช้อยู่ในหน้า CCM):

B2 Conversion ratio with parasitics อัตราส่วนเมื่อมีค่าแฝง

$$V_o \approx \frac{D V_{in} - (1-D)V_F}{1 + (r_L + D R_{ds(on)})/R}$$

## Ripple ของกระแสและแรงดัน

B3 Inductor & output ripple ริปเปิลกระแสและแรงดัน

$$\Delta i_L = \frac{(V_{in}-V_o)D}{L f_s} = \frac{V_o(1-D)}{L f_s},
\qquad
\Delta v_o \approx \underbrace{\frac{\Delta i_L}{8 C f_s}}_{\text{charge}} + \underbrace{\Delta i_L \cdot ESR}_{\text{ESR}}$$

ข้อสังเกตเชิงวิศวกรรม: $\Delta i_L$ สูงสุดที่ $D=0.5$ เมื่อ $V_o$ คงที่แต่ $V_{in}$ เปลี่ยน ripple จะสูงสุดที่ $V_{in,max}$ — ออกแบบ L ที่ $V_{in,max}$ เสมอ

## ขอบเขต CCM/DCM

นิยาม $K = 2L/(R T_s)$ วงจรอยู่ใน CCM เมื่อ $K > K_{crit}(D) = 1-D$ หรือเทียบเท่า $I_o > \Delta i_L/2$ ใน DCM (ที่มาเต็มและดิวตี้ที่ต้องใช้อยู่ในหน้า DCM):

B4 DCM conversion ratio อัตราส่วนใน DCM

$$M = \frac{V_o}{V_{in}} = \frac{2}{1+\sqrt{1+4K/D^2}}$$

DCM ทำให้แรงดันขาออกขึ้นกับโหลด, ฟังก์ชันถ่ายโอนลดเหลือขั้วเด่นเดียว — ตัวชดเชยที่ออกแบบสำหรับ CCM อาจช้าเกินไปใน DCM

## ความเค้นของอุปกรณ์ (Stress)

|
อุปกรณ์ |
แรงดันสูงสุด |
กระแสที่ต้องรองรับ |

|
สวิตช์ $Q$ |
$V_{in}$ (+ ringing) |
$I_{rms}=\sqrt{D}\sqrt{I_o^2+\Delta i_L^2/12}$ |

|
ไดโอด |
$V_{in}$ |
$I_{avg}=(1-D)I_o$ |

|
$C_{out}$ |
$V_o$ |
$I_{C,rms}=\Delta i_L/\sqrt{12}$ |

|
$C_{in}$ |
$V_{in}$ |
$I_{Cin,rms}\approx I_o\sqrt{D(1-D)}$ (สูงสุดที่ $D=0.5$) |

ตัวเก็บประจุ ขาเข้า ของ Buck รับ ripple หนักกว่าขาออก — สาเหตุเสียอันดับต้นๆ ในงานจริง

## การสูญเสียและประสิทธิภาพ

B5 Conduction & switching losses การสูญเสีย

$$P_{cond}=I_{Q,rms}^2R_{ds(on)} + V_F I_{D,avg} + I_{L,rms}^2 r_L,\quad
P_{sw}\approx \tfrac12 V_{in} I_o (t_r+t_f) f_s + Q_{rr}V_{in}f_s + Q_g V_{GS} f_s + \tfrac12 C_{oss}V_{in}^2 f_s$$

การเพิ่ม $f_s$ ลดขนาด L, C แต่เพิ่ม $P_{sw}$ — นี่คือ trade-off หลักของงานออกแบบ ใน synchronous buck แทนไดโอดด้วย MOSFET ตัวล่าง ลด $V_F I$ เหลือ $I^2R$ แต่ต้องมี dead-time ป้องกัน shoot-through

## แบบจำลองสัญญาณเล็ก

จาก state-space averaging (ที่มาทีละขั้นอยู่ในแบบจำลองเฉลี่ยของบั๊ก และฟังก์ชันถ่ายโอนทุกคู่ในหน้าฟังก์ชันถ่ายโอน ภาพรวมของบูสต์และบั๊ก-บูสต์ดู บทแบบจำลอง):

B6 Control-to-output transfer function ฟังก์ชันถ่ายโอน Gvd

$$G_{vd}(s)=\frac{\hat v_o}{\hat d}= V_{in}\,\frac{1+s\,ESR\cdot C}{LC\,s^2 + \left(\frac{L}{R}+ESR\cdot C\right)s + 1},
\quad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\; Q = R\sqrt{C/L}$$

$G_{vd}$ มีขั้วคู่ที่ $f_0$ (เฟสตก 180°) และศูนย์ ESR ที่ $f_{esr}=1/(2\pi\, ESR\, C)$ → ใช้ Type III สำหรับ voltage mode หรือ Type II สำหรับ current mode — ดู การออกแบบตัวชดเชย

## ตัวอย่างออกแบบ: 24 V → 12 V, 1.2 A, 50 kHz

ตัวอย่าง B-1

### 24 V → 12 V, 1.2 A, 50 kHz

- $D = 12/24 = 0.5$

- เลือก $\Delta i_L = 30\%$ ของ $I_o = 0.36$ A → $L = \dfrac{(24-12)(0.5)}{(0.36)(50\text{k})} = 333\ \mu\text{H}$ → เลือก 330–390 µH, $I_{sat} \ge 1.5$ A

- $\Delta v_o = 1\% = 0.12$ V → $C \ge \dfrac{0.36}{8(50\text{k})(0.12)} = 7.5\ \mu\text{F}$ แต่ ESR ต้อง $\le 0.12/0.36 = 0.33\ \Omega$ → ใช้ 47 µF low-ESR + 1 µF เซรามิก

- $C_{in}$: $I_{rms}\approx 1.2\sqrt{0.25}=0.6$ A → อิเล็กโตรไลต์ ripple-rated ≥ 1 A + เซรามิก 1–4.7 µF ชิดสวิตช์

- MOSFET ≥ 40 V (margin 1.5×), ไดโอด Schottky ≥ 40 V 3 A

- เข็คขอบ DCM: $I_{o,min} = \Delta i_L/2 = 0.18$ A — ต่ำกว่านี้เข้า DCM

## ทดลองในซิมูเลเตอร์

- ตั้ง Open loop, D = 0.5 → สังเกต iL เป็นสามเหลี่ยม, Vout ≈ 12 V

- เพิ่ม R เป็น 100 Ω → เข้า DCM (iL แตะศูนย์, switch node ringing ไม่มีในซิมแต่มีในของจริง)

- ลองแล็บเชิงลึกต่อ: รูปคลื่น CCM/DCM เทียบสูตร · ออกแบบ + โปรแกรมโหลด

- เปลี่ยนเป็น Peak current mode + Step load → ดู transient

## ประเด็นระดับปริญญาโท

- Multiphase/Interleaved buck สำหรับ CPU/VRM: ripple หักล้างกัน, $f_{ripple} = N f_s$

- Constant on-time (COT)/hysteretic control: ตอบสนองเร็ว ต้องการ ripple บน ESR หรือ ripple injection

- Adaptive voltage positioning (AVP) ใน VRM: ตั้ง output impedance เป็นค่าคงที่ $R_{LL}$

- Pre-bias startup, OCP แบบ hiccup, load-line — ดู เทคนิคเชิงช่าง

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมแรงดันขาออกของบั๊กเท่ากับ D คูณแรงดันขาเข้า?
ในสถานะคงตัวแรงดันเฉลี่ยบนตัวเหนี่ยวนำต้องเป็นศูนย์ ช่วงสวิตช์นำ L รับ Vin − Vo นาน DTs ช่วงไดโอดนำรับ −Vo นาน (1−D)Ts รวมกันเป็นศูนย์จะได้ Vo = D·Vin

จะหาดิวตี้ไซเคิลของบั๊กโหมด CCM และ DCM ได้อย่างไร?
ใน CCM ใช้ volt-second balance ได้ D = Vo/Vin ถ้ามีความต้านทานแฝงใช้ D = (Vo + Vf + IL(rL + Rd)) / (Vin + Vf − IL(Ron − Rd)) ใน DCM ใช้ M = 2/(1+√(1+4K/D²)) เมื่อ K = 2L/(R·Ts) หรือดิวตี้ที่ต้องใช้ D = M√(K/(1−M)) ซึ่งขึ้นกับโหลด ที่มาทีละขั้นอยู่ในหน้าย่อย CCM และ DCM

แบบจำลองสัญญาณเล็กและฟังก์ชันถ่ายโอนของบั๊กหาอย่างไร?
เขียนสมการสถานะช่วง ON และ OFF เฉลี่ยด้วยดิวตี้ รบกวนรอบจุดทำงานด้วยสัญญาณเล็กแล้วตัดพจน์อันดับสอง ได้เมทริกซ์ A Bd Bg C จากนั้นฟังก์ชันถ่ายโอนทุกคู่อินพุต–เอาต์พุตคือ C(sI−A)^-1 B + E เช่น Gvd = Vin/(LC·s² + (L/R)·s + 1) มีหน้าย่อยพร้อมแล็บสร้างสเตตสเปซและเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือน

ควรออกแบบริปเปิลกระแสตัวเหนี่ยวนำเท่าไร?
นิยมเลือก 20–40 % ของกระแสโหลด ค่าน้อยทำให้ L ใหญ่และตอบสนองช้า ค่ามากทำให้กระแสพีก ริปเปิลขาออก และการสูญเสียแกนสูง และต้องคำนวณที่แรงดันขาเข้าสูงสุด

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมแรงดันขาออกของบั๊กเท่ากับ D คูณแรงดันขาเข้า?**
ในสถานะคงตัวแรงดันเฉลี่ยบนตัวเหนี่ยวนำต้องเป็นศูนย์ ช่วงสวิตช์นำ L รับ Vin − Vo นาน DTs ช่วงไดโอดนำรับ −Vo นาน (1−D)Ts รวมกันเป็นศูนย์จะได้ Vo = D·Vin

**จะหาดิวตี้ไซเคิลของบั๊กโหมด CCM และ DCM ได้อย่างไร?**
ใน CCM ใช้ volt-second balance ได้ D = Vo/Vin ถ้ามีความต้านทานแฝงใช้ D = (Vo + Vf + IL(rL + Rd)) / (Vin + Vf − IL(Ron − Rd)) ใน DCM ใช้ M = 2/(1+√(1+4K/D²)) เมื่อ K = 2L/(R·Ts) หรือดิวตี้ที่ต้องใช้ D = M√(K/(1−M)) ซึ่งขึ้นกับโหลด ที่มาทีละขั้นอยู่ในหน้าย่อย CCM และ DCM

**แบบจำลองสัญญาณเล็กและฟังก์ชันถ่ายโอนของบั๊กหาอย่างไร?**
เขียนสมการสถานะช่วง ON และ OFF เฉลี่ยด้วยดิวตี้ รบกวนรอบจุดทำงานด้วยสัญญาณเล็กแล้วตัดพจน์อันดับสอง ได้เมทริกซ์ A Bd Bg C จากนั้นฟังก์ชันถ่ายโอนทุกคู่อินพุต–เอาต์พุตคือ C(sI−A)^-1 B + E เช่น Gvd = Vin/(LC·s² + (L/R)·s + 1) มีหน้าย่อยพร้อมแล็บสร้างสเตตสเปซและเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือน

**ควรออกแบบริปเปิลกระแสตัวเหนี่ยวนำเท่าไร?**
นิยมเลือก 20–40 % ของกระแสโหลด ค่าน้อยทำให้ L ใหญ่และตอบสนองช้า ค่ามากทำให้กระแสพีก ริปเปิลขาออก และการสูญเสียแกนสูง และต้องคำนวณที่แรงดันขาเข้าสูงสุด

---

# บั๊กคอนเวอร์เตอร์โหมด DCM: ไล่วงจรสามช่วงเวลาเพื่อหาดิวตี้ไซเคิลจากโหลด M = 2/(1+√(1+4K/D²))

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-dcm-analysis/
Updated: 2026-10-15
Summary: ไล่วงจรบั๊กโหมด DCM สามช่วง D1 D2 D3 หา M = 2/(1+√(1+4K/D²)) และดิวตี้ที่ต้องใช้ D = M√(K/(1−M)) พร้อมกราฟดิวตี้เทียบโหลด กระแส RMS และแล็บเทียบกับซิมูเลชันสวิตชิ่ง

// บทที่ 15.3 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Buck in DCM — Three-Interval Analysis & Duty Cycle

# บั๊กคอนเวอร์เตอร์โหมด DCM: ไล่วงจรสามช่วงเวลาเพื่อหาดิวตี้ไซเคิลจากโหลด M = 2/(1+√(1+4K/D²))

เมื่อโหลดเบาจนกระแสตัวเหนี่ยวนำลงถึงศูนย์ ดิวตี้ไม่ใช่ Vo/Vg อีกต่อไป แต่ขึ้นกับโหลด หน้านี้ไล่วงจรทีละช่วง D₁ D₂ D₃ จนได้สูตรอัตราส่วนแปลงผัน สูตรดิวตี้ที่ต้องใช้ กระแสพีกและ RMS พร้อมกราฟแล็บเทียบกับการจำลองสวิตชิ่ง

สรุปใน 30 วินาที

- ช่วง $D_1$: iL ขึ้นถึง $i_{pk}$ · $D_2$: iL ลงถึง 0 · $D_3$: iL = 0 (ว่าง) เป็นเงื่อนไขของ DCM

- volt-second: $D_2 = D_1(1-M)/M$ · กระแสเฉลี่ย: $I_o = \tfrac12 i_{pk}(D_1 + D_2)$

- ได้ $M = \dfrac{2}{1+\sqrt{1+4K/D^2}}$ เมื่อ $K = \dfrac{2L}{RT_s}$ และดิวตี้ที่ต้องใช้ $D = M\sqrt{\dfrac{K}{1-M}}$

- ที่ดิวตี้คงที่ $V_o$ เพิ่มเมื่อโหลดเบา สูงสุดที่ $V_g$ ที่ไม่มีโหลด → ต้องใช้วงป้อนกลับ

## ทำไมถึงเกิด DCM พื้นฐาน

จากหน้า CCM กระแสตัวเหนี่ยวนำเป็นสามเหลี่ยมที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับกระแสโหลด $I_o$ ถ้า $I_o$ น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของริปเปิล $\Delta i_L/2$ ปลายสามเหลี่ยมจะต่ำกว่าศูนย์ แต่ไดโอดกันกระแสย้อน $i_L$ จึงหยุดที่ศูนย์แล้วค้างไว้จนกว่าสวิตช์จะปิดวงจรรอบใหม่ เรียกว่า โหมดกระแสไม่ต่อเนื่อง (DCM)

- โหลดเบา (R ใหญ่) เช่นอุปกรณ์ที่อยู่ในโหมดรอ (standby)

- L เล็ก หรือ fs ต่ำ ทำให้ริปเปิลใหญ่เมื่อเทียบกับกระแสโหลด

- Vg สูง (D ต่ำ) ริปเปิลมาก ขอบเขต CCM แย่ลง

บางงานเลือก DCM โดยตั้งใจ: ใช้ L เล็ก ไดโอดไม่มี reverse recovery (กระแสเป็นศูนย์ก่อนไดโอดปิด) และประสิทธิภาพตอนเบาดี แลกกับกระแสพีกและ RMS ที่สูงกว่า

## ขั้นที่ 1: สามช่วงเวลาในหนึ่งคาบ พื้นฐาน

แยกเป็นสามช่วง เขียนดิวตี้ของแต่ละช่วงเป็น $D_1, D_2, D_3$ โดย $D_1 + D_2 + D_3 = 1$ เฉพาะ $D_1$ เท่านั้นที่ตัวควบคุมกำหนด ($D_1 = D$) ส่วน $D_2$ ขึ้นกับวงจรและ $D_3$ คือเวลาที่เหลือ

| ช่วง | สถานะ | $v_L$ | $i_L$ |

| $D_1T_s$ | Q นำ ไดโอดไม่นำ | $V_g - V_o$ | เพิ่มจาก 0 ถึง $i_{pk}$ |

| $D_2T_s$ | Q ไม่นำ ไดโอดนำ | $-V_o$ | ลดจาก $i_{pk}$ ถึง 0 |

| $D_3T_s$ | ทั้งคู่ไม่นำ (ช่วงว่าง) | 0 | 0 |

ช่วงว่าง ($D_3$) ไม่มีกระแสผ่านตัวเหนี่ยวนำ จึงไม่มีแรงดันคร่อม $v_L = 0$ โหนด SW ลอยอยู่ที่แรงดันขาออก (ในวงจรจริงมันสั่นด้วย L กับ $C_{oss}$ ของสวิตช์ที่ความถี่ $\approx 1/(2\pi\sqrt{LC_{oss}})$ ซึ่งไม่ได้อยู่ในแบบจำลองอุดมคตินี้) ส่วนโหลดได้รับพลังงานจากตัวเก็บประจุ C เพียงอย่างเดียว

J1 Three intervals of DCM สามช่วงเวลาของ DCM

$$D_1 + D_2 + D_3 = 1,\qquad D_1 = D,\qquad D_3 > 0 \;\Leftrightarrow\; \text{DCM}$$

## ขั้นที่ 2–4: หาอัตราส่วนแปลงผัน M = Vo/Vg กลาง

### ขั้นที่ 2: กระแสพีกจากช่วง D₁

ในช่วง $D_1$ กระแสเริ่มที่ศูนย์ เพิ่มด้วยความชัน $(V_g - V_o)/L$ นาน $D_1T_s$:

J2 Peak inductor current กระแสพีกตัวเหนี่ยวนำ

$$i_{pk} = \frac{(V_g - V_o)\,D_1T_s}{L} = \frac{V_g(1-M)\,D_1}{Lf_s}$$

### ขั้นที่ 3: volt-second balance หา D₂

กระแสเริ่มและจบที่ศูนย์ ดังนั้นพื้นที่ $v_L\cdot t$ ของช่วง $D_1$ ต้องหักล้างช่วง $D_2$ (ช่วง $D_3$ ไม่มีส่วนร่วมเพราะ $v_L = 0$):

$$(V_g - V_o)D_1 - V_oD_2 = 0 \;\Rightarrow\; D_2 = D_1\,\frac{V_g - V_o}{V_o} = D_1\,\frac{1-M}{M}$$

J3 Interval lengths D₂ and D₃ ความยาวช่วง D₂ และ D₃

$$D_2 = D_1\,\frac{1-M}{M},\qquad D_3 = 1 - D_1 - D_2 = 1 - \frac{D_1}{M}$$

$$\text{DCM } (D_3>0) \Leftrightarrow M > D_1$$

ข้อสังเกต: เงื่อนไขของ DCM คือ $M > D$ นั่นคือ ใน DCM แรงดันขาออกสูงกว่าที่ $D$ บอกไว้เสมอ (ในอุดมคติ CCM เท่ากับ $M = D$ พอดี)

### ขั้นที่ 4: charge balance — กระแสเฉลี่ยของสามเหลี่ยม

กระแสเฉลี่ยของ $i_L$ ต้องเท่ากับกระแสโหลด $I_o = V_o/R$ พื้นที่สามเหลี่ยมฐาน $(D_1 + D_2)T_s$ สูง $i_{pk}$ หารด้วย $T_s$:

J4 Average current in DCM กระแสเฉลี่ยใน DCM

$$I_o = \frac{V_o}{R} = \frac{1}{2}\,i_{pk}\,(D_1 + D_2) = \frac{1}{2}\,i_{pk}\,\frac{D_1}{M}$$

แทน $i_{pk}$ จาก J2 และ $V_o = MV_g$:

$$\frac{MV_g}{R} = \frac{1}{2}\cdot\frac{V_g(1-M)D_1T_s}{L}\cdot\frac{D_1}{M} \;\Rightarrow\; M^2 = (1-M)\,\frac{D_1^2RT_s}{2L} = \frac{(1-M)D^2}{K}$$

โดยนิยาม $K \equiv \dfrac{2L}{RT_s}$ (พารามิเตอร์ไร้หน่วยที่รวม L โหลด และความถี่สวิตช์)

จัดเป็นสมการกำลังสองของ $M$: $K M^2 + D^2 M - D^2 = 0$ ได้รากที่เป็นบวก

$$M = \frac{-D^2 + \sqrt{D^4 + 4KD^2}}{2K} = \frac{D^2\left(\sqrt{1+4K/D^2}-1\right)}{2K}$$

คูณบนและล่างด้วย $\sqrt{1+4K/D^2}+1$ ส่วนบนกลายเป็น $D^2\cdot 4K/D^2 = 4K$ จึงตัด $K$ ได้:

J5 DCM conversion ratio อัตราส่วนแปลงผันใน DCM

$$\boxed{M = \frac{V_o}{V_g} = \frac{2}{1+\sqrt{1+4K/D^2}}},\qquad K = \frac{2L}{RT_s}$$

ตรวจที่ขอบเขต $D_3 = 0$ ($M = D$): แทน $M = D$ ได้ $\sqrt{1+4K/D^2} = 2/D - 1$ ยกกำลังสองและจัดรูปได้ $K = 1-D$ ตรงกับขอบเขต CCM ในหน้าก่อน ✓ นี่คือ ความต่อเนื่อง ของสองโหมด: สูตร DCM ลู่เข้าสู่ $M = D$ ที่ขอบ

## ขั้นที่ 5: ดิวตี้ที่ต้องใช้ใน DCM กลาง

ในทางปฏิบัติเรารู้ $V_o$ ที่ต้องการและโหลด จึงต้องการ $D$ ย้อนจาก $M$ ใช้สมการก่อนแก้กำลังสอง $KM^2 = (1-M)D^2$:

J6 Required duty in DCM ดิวตี้ที่ต้องใช้ใน DCM

$$\boxed{D = M\sqrt{\frac{K}{1-M}}} = \sqrt{\frac{2L\,I_o\,V_o}{T_s\,V_g\,(V_g - V_o)}}$$

รูปที่สองได้โดยแทน $K = 2L/(RT_s)$ และ $R = V_o/I_o$ ผลที่ได้สำคัญมาก: ดิวตี้ที่ต้องใช้ใน DCM แปรตาม $\sqrt{I_o}$ (โหลดเบาลง 4 เท่า ดิวตี้ลดเหลือครึ่งเดียว) ต่างจาก CCM ที่ดิวตี้คงที่ไม่ขึ้นกับโหลด นี่คือเหตุผลที่คอนเวอร์เตอร์ที่ตั้งดิวตี้คงที่มีแรงดันขาออกลอยเมื่อโหลดเบา และเป็นเหตุผลที่ตัวชดเชยต้องรองรับสองโหมด (ดูหน้าฟังก์ชันถ่ายโอนใน DCM)

J7 Boundary between CCM and DCM ขอบเขตระหว่าง CCM และ DCM

$$K = 1-D \;\Leftrightarrow\; I_{o,crit} = \frac{V_o(1-V_o/V_g)}{2Lf_s} \qquad \text{DCM เมื่อ } I_o กราฟในแล็บด้านล่างแสดงเส้นนี้: ดิวตี้ที่ต้องใช้เป็นเส้นราบ (CCM) แล้วโค้งลงตามรากที่สองเมื่อ $I_o

## แรงดันขาออกลอยเมื่อไร้โหลด (open loop) พื้นฐาน

ตั้ง $D$ คงที่แล้วให้โหลดเบาลง ($R \to \infty$, $K \to 0$): ในสูตร J5 $4K/D^2 \to 0$ จึงได้ $M \to \dfrac{2}{1+1} = 1$ คือ $V_o \to V_g$ ไม่ว่าดิวตี้เล็กแค่ไหน (ตัวเก็บประจุถูกชาร์จทีละพัลส์โดยไม่มีอะไรดึงพลังงานออก จนแรงดันสูงถึงระดับอินพุต) ตัวอย่าง J-4 ใช้ตัวเลขจริง ตรงนี้เป็นสาเหตุที่แหล่งจ่ายแบบ open-loop ที่ไม่มีโหลดขั้นต่ำ (dummy load) อาจทำให้แรงดันสูงเกินพิกัดวงจรที่ต่อกับมัน

J8 No-load limit ขีดจำกัดเมื่อไร้โหลด

$$R\to\infty \;\Rightarrow\; K\to 0 \;\Rightarrow\; M \to 1 \qquad \left(\text{ประมาณ } M \approx 1 - \frac{K}{2D^2}\ \text{เมื่อ } K \ll D^2\right)$$

## กระแส RMS ริปเปิลแรงดัน และความเค้นใน DCM กลาง

รูปคลื่นเป็นสามเหลี่ยมที่รู้ทั้งความสูง $i_{pk}$ และความกว้าง จึงคำนวณค่า RMS ได้จาก $\langle i^2\rangle$ ของสามเหลี่ยม: ความชันเชิงเส้นจาก 0 ถึง $i_{pk}$ ตลอดช่วงกว้าง $D$ มีค่า $\langle i^2\rangle = i_{pk}^2 D/3$

J9 Currents in DCM กระแสต่างๆ ใน DCM

$$I_{Q,rms} = i_{pk}\sqrt{\frac{D_1}{3}},\qquad I_{D,rms} = i_{pk}\sqrt{\frac{D_2}{3}},\qquad I_{L,rms} = i_{pk}\sqrt{\frac{D_1+D_2}{3}}$$

$$I_{g} = \frac{1}{2}i_{pk}D_1,\qquad I_{D,avg} = \frac{1}{2}i_{pk}D_2$$

ริปเปิลแรงดัน (ESR = 0): กระแสเข้า C คือ $i_L - I_o$ เฉพาะส่วนที่ $i_L > I_o$ ทำให้ประจุเพิ่ม พื้นที่สามเหลี่ยมเล็กที่อยู่เหนือระดับ $I_o$ ฐานกว้าง $(i_{pk}-I_o)(D_1+D_2)T_s/i_{pk}$:

J10 Output ripple in DCM (ESR = 0) ริปเปิลแรงดันใน DCM

$$\Delta v_o = \frac{\Delta Q}{C} = \frac{(i_{pk} - I_o)^2\,(D_1+D_2)\,T_s}{2\,C\,i_{pk}}$$

เมื่อเทียบกับ CCM ที่โหลดเท่ากัน DCM มี $i_{pk}$ สูงกว่า $I_o$ หลายเท่า จึงมีกระแส RMS ในสวิตช์และตัวเหนี่ยวนำสูงกว่าสัดส่วนกับกระแสโหลด สูญเสียการนำ $I^2R$ จึงเพิ่มขึ้นที่โหลดเบา แต่สูญเสียสวิตช์ลดเพราะ turn-on ที่กระแสศูนย์ ไม่มี reverse recovery ของไดโอด

## ในทางปฏิบัติ ขั้นสูง

- ควบคุมแบบป้อนกลับ ปรับ D ตาม J6 เองเมื่อโหลดเปลี่ยน แต่ตัวชดเชยที่ออกแบบสำหรับ CCM (ขั้วคู่) จะผิดทันทีที่เข้า DCM (ขั้วเดียว) ดูหน้า ฟังก์ชันถ่ายโอน และ การออกแบบตัวชดเชย

- Synchronous rectifier ถ้าไม่ปิด MOSFET ตัวล่างเมื่อกระแสถึงศูนย์ → forced CCM ไม่เกิด DCM แต่มีกระแสวน ชิปสมัยใหม่จึงมี diode emulation (ปิดที่กระแสศูนย์) หรือ pulse-skipping / burst mode ที่โหลดเบามาก เพื่อรักษาประสิทธิภาพ

- เสียงรบกวน: ช่วงว่างทำให้โหนด SW สั่นด้วย L–Coss ซึ่งแผ่ EMI และบางครั้งเกิดเสียงหอนเมื่อความถี่สวิตช์ลดลงเข้าย่านเสียง (burst) — ดู วิเคราะห์อาการเสีย

- ค่าแฝงใน DCM: ตัวแบบที่เสนอเป็นแบบอุดมคติ ค่าแฝงขยับ $M$ เล็กน้อย การจำลองสวิตชิ่งในแล็บรวมค่าแฝงให้ดูผลได้

## ตัวอย่างวิธีทำ (ตรวจตัวเลขด้วยซิมูเลเตอร์แล้ว)

โจทย์ฐาน: $V_g = 24$ V, $L = 300\ \mu$H, $C = 100\ \mu$F, $f_s = 50$ kHz ($T_s = 20\ \mu$s) ไม่มีค่าแฝง (เหมือนหน้า CCM แต่เปลี่ยนโหลด)

ตัวอย่าง J-1

### ตั้ง D = 0.5 คงที่ แล้วโหลดเบาลงเป็น R = 100 Ω: Vo เป็นเท่าไร

- $K = \dfrac{2L}{RT_s} = \dfrac{2(300\mu)}{100(20\mu)} = 0.3$ เทียบ $1-D = 0.5$: $K DCM

- J5: $M = \dfrac{2}{1+\sqrt{1+4(0.3)/0.25}} = \dfrac{2}{1+\sqrt{5.8}} = \dfrac{2}{3.4083} = 0.5868$ → $V_o = 24\times0.5868 = \mathbf{14.08}$ V (สูงกว่า 12 V ของ CCM!)

- J3: $D_2 = 0.5\times\dfrac{1-0.5868}{0.5868} = 0.3521$ และ $D_3 = 1 - 0.5 - 0.3521 = 0.1479$ (ช่วงว่าง 14.8 %)

- J2: $i_{pk} = \dfrac{(24 - 14.08)(0.5)(20\mu)}{300\mu} = 0.3306$ A · J4: $I_o = \tfrac12(0.3306)(0.5 + 0.3521) = 0.1408$ A $= V_o/R = 14.08/100$ ✓

- ตรวจด้วยซิมูเลเตอร์สวิตชิ่ง: $V_o = 14.08$ V, $i_{pk} = 0.331$ A ✓

ตัวอย่าง J-2

### ต้องการ 12 V ที่โหลด R = 100 Ω (0.12 A) ตั้ง D เท่าไร

- $M = 12/24 = 0.5$, $K = 0.3$ (ข้างต้น) ตรวจโหมด: ขอบเขต $1-D$ ที่ดิวตี้ CCM คือ 0.5 > 0.3 → DCM

- J6: $D = M\sqrt{\dfrac{K}{1-M}} = 0.5\sqrt{\dfrac{0.3}{0.5}} = 0.5\times0.7746 = \mathbf{0.3873}$ (ไม่ใช่ 0.5!)

- ตรวจอีกรูป: $D = \sqrt{\dfrac{2(300\mu)(0.12)(12)}{(20\mu)(24)(12)}} = \sqrt{0.15} = 0.3873$ ✓

- รายละเอียดรูปคลื่น: $D_2 = D_1(1-M)/M = 0.3873$ และ $D_3 = 1 - 0.7746 = 0.2254$ · $i_{pk} = \dfrac{12(0.3873)(20\mu)}{300\mu} = 0.3098$ A · $I_{Q,rms} = 0.3098\sqrt{0.3873/3} = 0.1113$ A · $I_{L,rms} = 0.3098\sqrt{0.7746/3} = 0.1574$ A · $I_g = \tfrac12(0.3098)(0.3873) = 0.0600$ A → $P_{in} = 24\times0.06 = 1.44$ W $= 12\times0.12$ ✓

- ริปเปิลแรงดัน (J10): $\Delta v_o = \dfrac{(0.3098-0.12)^2(0.7746)(20\mu)}{2(100\mu)(0.3098)} = 9.0$ mV ซิมูเลเตอร์ให้ 9.02 mV ✓ และซิมที่ $D = 0.3873$ ให้ $V_o = 12.001$ V

ตัวอย่าง J-3

### เลือก L ให้ยังเป็น CCM ถึง 10 % ของโหลดเต็ม

- โหลดเต็ม 1.2 A → 10 % คือ $I_{o,\min} = 0.12$ A

- ขอบเขต: $I_{o,crit} = \dfrac{V_o(1-D)}{2Lf_s} \le I_{o,\min}$ → $L \ge \dfrac{V_o(1-D)}{2f_sI_{o,\min}}$

- ที่ $V_g = 24$ V (D = 0.5): $L \ge \dfrac{12(0.5)}{2(50k)(0.12)} = 500\ \mu$H

- ที่ $V_g = 30$ V (D = 0.4) แย่กว่า: $L \ge \dfrac{12(0.6)}{2(50k)(0.12)} = \mathbf{600}\ \mu$H → เลือก 680 µH (ใหญ่กว่าเดิมที่ใช้ 300 µH สองเท่าเศษ) หรือเพิ่ม $f_s$ เป็น 100 kHz ใช้ 300–330 µH ได้

ตัวอย่าง J-4

### ตั้ง D = 0.5 แล้วถอดโหลดเกือบหมด (open loop)

- R = 1 kΩ: $K = 0.03$, $4K/D^2 = 0.48$ → $M = \dfrac{2}{1+\sqrt{1.48}} = 0.9023$ → $V_o = 21.7$ V

- R = 10 kΩ: $K = 0.003$, $4K/D^2 = 0.048$ → $M = 0.9883$ → $V_o = 23.7$ V (ใกล้ 24 V ของอินพุต)

- บทเรียน: ตัวเก็บประจุและวงจรปลายทางต้องทนแรงดันอินพุตทั้งหมดแม้ตั้ง D ไว้ที่แรงดันครึ่งหนึ่ง เมื่อไม่มีวงป้อนกลับ

## แล็บ: ดิวตี้ที่ต้องใช้เทียบโหลด และ M(D,K) พื้นฐาน

### กราฟที่ 1: ดิวตี้ที่ต้องใช้ให้ได้ Vo เมื่อโหลดเปลี่ยน

เลื่อนแถบ Io ดูจุดบนเส้น แล้วเปลี่ยน L หรือ fs เพื่อดูว่าจุดแบ่ง CCM/DCM ขยับไปที่ไหน ติ๊ก "รวมค่าแฝง" เพื่อดูเส้น CCM ยกสูงขึ้นเล็กน้อยตามกระแส (H9)

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

### กราฟที่ 2: อัตราส่วนแปลงผัน M เทียบกับ D สำหรับค่า K ต่างๆ

เส้นเฉียงคือ CCM ($M = D$) เส้นโค้งสูงกว่าคือ DCM แต่ละ K จะแตกออกจากเส้นเฉียงที่ $D = 1-K$ ตามสูตร J5 ยิ่ง K เล็ก (โหลดเบา) เส้นยิ่งสูง

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

### รูปคลื่นจริงจากการจำลองสวิตชิ่ง

กดตัวอย่าง "DCM โหลดเบา" (D = 0.5, R = 100 Ω → 14.08 V) และ "DCM: หา D ให้ได้ 12 V" (D = 0.3873) แล้วเทียบตารางทฤษฎี–จำลอง

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

### ใบงานทดลอง

ใบงาน B1 — ปีนขึ้นของแรงดันตอนโหลดเบา: ตั้ง D = 0.5 คงที่ เพิ่ม R จาก 60 → 100 → 300 → 1000 Ω บันทึก $V_o$ เทียบ J5 (12.0 ที่ขอบเขต, 14.08, 18.37, 21.66 V ตามลำดับ) ดูรูปคลื่น iL ที่ช่วงราบ D₃ ยาวขึ้น

ใบงาน B2 — หา D สำหรับ 12 V: เลือกโหมดคำนวณ D จาก Vo เป้าหมาย 12 V ที่ R = 100 Ω ได้ D = 0.3873 เปลี่ยน R เป็น 80, 70, 60 Ω จะได้ D = 0.433, 0.463, 0.500 ตามลำดับ และคงที่ 0.5 เมื่อ R ≤ 60 Ω (เข้า CCM)

ใบงาน B3 — ผลของ L: ที่ R = 100 Ω ตั้ง D = 0.5 เพิ่ม L จาก 300 → 450 → 600 µH ดูว่า $V_o$ ลดลงเข้าใกล้ 12 V เมื่อ K โตขึ้น ที่ 600 µH ได้ K = 0.6 > 0.5 กลับเป็น CCM และ $V_o = 12$ V แล้วลองใช้ L = 100 µH ดูว่า $V_o$ สูงขึ้นเท่าไร

ใบงาน B4 — Synchronous: เปิด Synchronous ที่ R = 100 Ω, D = 0.5 แล้วดู $V_o$ (12 V แม้โหลดเบา) และ iL ที่ติดลบ (กระแสวนกลับ) สังเกตว่า $V_o = DV_g$ กลับมาเป็นจริงทุกโหลด

ใบงาน B5 — เส้นดิวตี้เทียบโหลด: ที่กราฟที่ 1 เลื่อน $I_o$ แล้วจดค่า D ที่ 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1 A ควรได้ 0.250, 0.354, 0.500, 0.500, 0.500 เพราะต่ำกว่า $I_{o,crit}$ = 0.2 A ใช้ $D = \sqrt{1.25\,I_o}$ (J6) แล้วคงที่ที่ 0.5 ใน CCM

## สรุปและก้าวต่อไป

| | CCM | DCM |

| เงื่อนไข | $K > 1-D$ | $K D$) |

| $V_o/V_g$ | $D$ | $\dfrac{2}{1+\sqrt{1+4K/D^2}}$ |

| ดิวตี้ที่ต้องใช้ | $V_o/V_g$ ไม่ขึ้นกับโหลด | $M\sqrt{K/(1-M)}$ ขึ้นกับ $\sqrt{I_o}$ |

| กระแสสูงสุด | $I_o + \Delta i_L/2$ | $i_{pk} = V_g(1-M)D/(Lf_s)$ |

| แรงดันเมื่อไร้โหลด (D คงที่) | — | $\to V_g$ |

| ไดนามิก | ขั้วคู่ LC | ขั้วเดียว $f_p$ (ดูหน้าฟังก์ชันถ่ายโอน) |

ต่อไป: แบบจำลองเฉลี่ยด้วยสเตตสเปซ ซึ่งทำให้ได้ฟังก์ชันถ่ายโอน (รวมกรณี DCM แบบอันดับหนึ่ง) · ย้อนกลับ: CCM · นำไปใช้ออกแบบ: ออกแบบและทดสอบโหลดหลายสภาวะ

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมบั๊กโหมด DCM ถึงมีแรงดันขาออกสูงขึ้นเมื่อโหลดเบาและดิวตี้คงที่?
ใน DCM กระแสตัวเหนี่ยวนำหยุดที่ศูนย์ พลังงานต่อคาบที่ส่งให้โหลดคือ ½·L·ipk² เมื่อโหลดเบา พลังงานนี้เกินความต้องการ แรงดันตัวเก็บประจุจึงสูงขึ้นจนกว่า Vo จะสูงพอให้ช่วง OFF สั้นลงและสมดุล ที่ไม่มีโหลดเลย M = 2/(1+√(1+4K/D²)) → 1 คือ Vo → Vin จึงต้องใช้วงป้อนกลับลดดิวตี้

ดิวตี้ที่ต้องใช้ใน DCM คำนวณอย่างไร?
ใช้ D = M·√(K/(1−M)) เมื่อ M = Vo/Vin และ K = 2L/(R·Ts) หรือเขียนด้วยกระแสโหลดได้เป็น D = √(2·L·Io·Vo / (Ts·Vin·(Vin − Vo))) ค่านี้ต่ำกว่า Vo/Vin ใน CCM และลดลงเมื่อโหลดเบาลง

ค่า K = 2L/(R·Ts) บอกอะไร?
เป็นพารามิเตอร์ไร้หน่วยที่รวม L โหลด และความถี่สวิตช์ ถ้า K มากกว่า 1−D วงจรเป็น CCM ถ้าน้อยกว่าเป็น DCM ยิ่ง K เล็กยิ่งลึกเข้า DCM

บั๊กแบบ synchronous มี DCM ไหม?
ไม่มีถ้าให้ MOSFET ตัวล่างนำต่อเนื่อง (forced CCM) เพราะกระแสติดลบได้ แต่ชิปส่วนใหญ่มีโหมดจำลองไดโอด (diode emulation) ที่ปิด MOSFET ตัวล่างเมื่อกระแสถึงศูนย์ เพื่อประสิทธิภาพที่โหลดเบา ซึ่งทำให้เข้า DCM เหมือนใช้ไดโอด

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมบั๊กโหมด DCM ถึงมีแรงดันขาออกสูงขึ้นเมื่อโหลดเบาและดิวตี้คงที่?**
ใน DCM กระแสตัวเหนี่ยวนำหยุดที่ศูนย์ พลังงานต่อคาบที่ส่งให้โหลดคือ ½·L·ipk² เมื่อโหลดเบา พลังงานนี้เกินความต้องการ แรงดันตัวเก็บประจุจึงสูงขึ้นจนกว่า Vo จะสูงพอให้ช่วง OFF สั้นลงและสมดุล ที่ไม่มีโหลดเลย M = 2/(1+√(1+4K/D²)) → 1 คือ Vo → Vin จึงต้องใช้วงป้อนกลับลดดิวตี้

**ดิวตี้ที่ต้องใช้ใน DCM คำนวณอย่างไร?**
ใช้ D = M·√(K/(1−M)) เมื่อ M = Vo/Vin และ K = 2L/(R·Ts) หรือเขียนด้วยกระแสโหลดได้เป็น D = √(2·L·Io·Vo / (Ts·Vin·(Vin − Vo))) ค่านี้ต่ำกว่า Vo/Vin ใน CCM และลดลงเมื่อโหลดเบาลง

**ค่า K = 2L/(R·Ts) บอกอะไร?**
เป็นพารามิเตอร์ไร้หน่วยที่รวม L โหลด และความถี่สวิตช์ ถ้า K มากกว่า 1−D วงจรเป็น CCM ถ้าน้อยกว่าเป็น DCM ยิ่ง K เล็กยิ่งลึกเข้า DCM

**บั๊กแบบ synchronous มี DCM ไหม?**
ไม่มีถ้าให้ MOSFET ตัวล่างนำต่อเนื่อง (forced CCM) เพราะกระแสติดลบได้ แต่ชิปส่วนใหญ่มีโหมดจำลองไดโอด (diode emulation) ที่ปิด MOSFET ตัวล่างเมื่อกระแสถึงศูนย์ เพื่อประสิทธิภาพที่โหลดเบา ซึ่งทำให้เข้า DCM เหมือนใช้ไดโอด

---

# ออกแบบและทดสอบบั๊กคอนเวอร์เตอร์ครบวงจร: เลือกแรงดันอินพุต ไดโอด ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ และโปรแกรมโหลดหลายสภาวะ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-design-lab/
Updated: 2026-10-15
Summary: แล็บออกแบบบั๊กฟรี: ตั้ง Vin Vo Io เลือกไดโอด ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ MOSFET กำหนดโปรแกรมโหลดกี่โอห์มหลายช่วง ดูแรงดัน กระแส การอิ่มตัวของตัวเหนี่ยวนำ และศักยภาพการจ่ายกระแส

// บทที่ 15.6 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Buck Design Lab — Parts Selection & Load Program

# ออกแบบและทดสอบบั๊กคอนเวอร์เตอร์ครบวงจร: เลือกแรงดันอินพุต ไดโอด ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ และโปรแกรมโหลดหลายสภาวะ

นำสิ่งที่เรียนมา (CCM/DCM ริปเปิล ฟังก์ชันถ่ายโอน) มาออกแบบวงจรจริง เลือกชิ้นส่วนจากไลบรารี 48 แบบ กำหนดว่าช่วงนี้โหลดกี่โอห์ม ช่วงนั้นกี่โอห์ม แล้วดูแรงดัน กระแส ความเค้น การอิ่มตัว และศักยภาพการจ่ายกระแสของวงจรแบบจำลองสวิตชิ่งทุกจังหวะ

สรุปใน 30 วินาที

- กำหนด $V_{g,\min/\max}$, $V_o$, $I_o$, $f_s$, ripple → ได้ $L,\ C,\ \text{ESR}$ ขั้นต่ำ แล้วเลือกชิ้นส่วนจริงที่ผ่านทุกเกณฑ์

- $I_{sat} \ge 1.2\,I_{pk}$, $V_{rrm} \ge 1.4\,V_{g,\max}$, $V_{ds} \ge 1.5\,V_{g,\max}$, ESR ≤ $\Delta V/(2\Delta i_L)$

- โปรแกรมโหลด: ใส่ช่วงเวลา · โอห์ม (หรือแอมป์) · Vin ของแต่ละช่วง แล้วดูผลทั้งชุด

- กราฟ load line บอกว่าจ่ายได้ถึงกี่แอมป์และเพราะเหตุใดจึงล้ม

## แล็บนี้ทำอะไรได้ พื้นฐาน

- ข้อกำหนด: แรงดันอินพุตต่ำ/ปกติ/สูง · $V_o$ · กระแสโหลดสูงสุดและต่ำสุด · $f_s$ · เป้าริปเปิลกระแสและแรงดัน

- เลือกชิ้นส่วน: MOSFET 6 แบบ · ไดโอด 10 แบบ (Schottky, ultrafast, SiC, ซิลิคอนทั่วไป, synchronous) · ตัวเหนี่ยวนำ 22 แบบ (ฟอร์ไรต์ drum, ผงเหล็ก, โทรอยด์, E-core, แกนอากาศ) · ตัวเก็บประจุ 10 แบบ (อลูมิเนียม, low-ESR, โพลิเมอร์, แทนทาลัม, MLCC) หรือกดปุ่ม "แนะนำชิ้นส่วนให้อัตโนมัติ"

- ตรวจความเค้น: ตารางผ่าน/เตือน/ไม่ผ่านของทุกชิ้นพร้อมตัวเลขการสูญเสียและประสิทธิภาพที่ Vin ต่ำ/ปกติ/สูง

- โปรแกรมโหลด: ตารางช่วงเวลา แต่ละช่วงเลือกโหลดเป็นตัวต้านทาน (กี่โอห์ม) หรือกระแสคงที่ (กี่แอมป์) และ Vin ของช่วงนั้น เพิ่ม ลบ แก้ได้เหมือนเขียนสคริปต์ทดสอบ

- จำลองสวิตชิ่ง ทุกจังหวะ ด้วยตัวควบคุมแบบ open loop หรือ peak current mode พร้อม cycle-by-cycle current limit และการอิ่มตัวของตัวเหนี่ยวนำ

- ศักยภาพการจ่ายกระแส: ไล่โหลดจาก 4 % ถึง 220 % ของพิกัด แล้วพล็อตแรงดัน กระแสพีก และประสิทธิภาพ

ขอบเขตของแบบจำลอง: รวมค่าความต้านทานแฝงทั้งหมด (Rds(on), Vf+Rd, DCR, ESR) และการอิ่มตัวของแกน การสูญเสียจากการสวิตช์คำนวณด้วยสูตรปิด ไม่รวมสูญเสียแกน วงจรขับ ringing หรือค่าความจุแฝง ค่าชิ้นส่วนเป็นค่าโดยประมาณระดับดาต้าชีตทั่วไป ("คลาส" หมายถึงตระกูลที่พิกัดใกล้เคียง) ต้องอ่านดาต้าชีตจริงก่อนสร้างวงจร

## ขั้นตอนออกแบบ 8 ขั้น กลาง

ทุกสูตรมาจากหน้า CCM และ DCM ลำดับนี้คือลำดับที่แล็บคำนวณให้

### ขั้นที่ 1: ช่วงดิวตี้

D1 Duty-cycle range ช่วงดิวตี้

$$D_{\min} = \frac{V_o}{V_{g,\max}},\qquad D_{\max} = \frac{V_o}{V_{g,\min}} \quad(\text{บวกการชดเชยค่าแฝงด้วย H9 ในหน้า CCM})$$

ตรวจว่า $D_{\max}$ ต่ำกว่าดิวตี้สูงสุดของชิป (เช่น 0.9–0.95) เสมอ ถ้าไม่ ต้องลดอัตราส่วน $V_{g,\min}/V_o$ หรือเปลี่ยนโทโพโลยี

### ขั้นที่ 2–3: ตัวเหนี่ยวนำ

D2 Minimum L from ripple ค่า L ขั้นต่ำจากริปเปิล

$$L \ge \frac{V_o(1-D_{\min})}{f_s\,\Delta I_L},\qquad \Delta I_L = r\,I_{o,\max}\quad(r = 0.2\text{–}0.4)$$

D3 L to stay in CCM down to Io,min L ที่ทำให้ยังเป็น CCM ถึงโหลดต่ำสุด

$$L \ge \frac{V_o(1-D_{\min})}{2\,f_s\,I_{o,\min}}$$

สองเกณฑ์ใช้ค่าที่ใหญ่กว่า หรือยอมรับ DCM ที่โหลดเบาถ้าตัวควบคุมรองรับ ทั้งคู่คิดที่ $V_{g,\max}$ เพราะริปเปิลสูงสุดที่นั่น

D4 Inductor current ratings พิกัดกระแสของตัวเหนี่ยวนำ

$$I_{pk} = I_{o,\max} + \frac{\Delta I_L}{2},\qquad I_{L,rms} = \sqrt{I_{o,\max}^2 + \frac{\Delta I_L^2}{12}},\qquad I_{sat} \ge 1.2\,I_{pk} \;(\text{และ} \ge I_{lim})$$

### ขั้นที่ 4: ตัวเก็บประจุขาออก

D5 Output capacitor: C and ESR ตัวเก็บประจุขาออก: ค่า C และ ESR

$$\Delta V_o \approx \frac{\Delta I_L}{8Cf_s} + \Delta I_L\,r_C \le \Delta V_{spec}$$

$$C \ge \frac{\Delta I_L}{4f_s\,\Delta V_{spec}},\qquad r_C \le \frac{\Delta V_{spec}}{2\Delta I_L},\qquad I_{C,rms} = \frac{\Delta I_L}{\sqrt{12}}$$

แบ่งงบริปเปิลครึ่งต่อครึ่งให้ความจุและ ESR (เป็นขอบบน ค่าจริงต่ำกว่า) นอกจากนี้ต้องดูพิกัดแรงดัน (เผื่อ ≥ 1.25×) ค่ากระแสริปเปิลที่ชิ้นทนได้ และผลของการไบแอส DC ในเซรามิก (ค่าความจุจริงของ MLCC ที่แรงดันใช้งานอาจเหลือครึ่งเดียว)

### ขั้นที่ 5: ตัวเก็บประจุขาเข้า

D6 Input capacitor ตัวเก็บประจุขาเข้า

$$I_{Cin,rms} = I_o\sqrt{D(1-D)} \le \frac{I_o}{2},\qquad C_{in} \ge \frac{I_o\,D(1-D)}{f_s\,\Delta V_{in}}$$

กระแสขาเข้าของบั๊กเป็นพัลส์ (ไหลเฉพาะช่วง ON) ตัวเก็บประจุขาเข้าจึงเหนื่อยกว่าขาออกมาก ใช้แบบ low-ESR พิกัดริปเปิลสูง และวางเซรามิกชิดขา Q กับกราวด์

### ขั้นที่ 6: ความเค้นของสวิตช์และไดโอด

D7 Device stresses ความเค้นของอุปกรณ์

$$V_{ds} \ge 1.5\,V_{g,\max},\qquad V_{rrm} \ge 1.4\,V_{g,\max}$$

$$I_{Q,rms} = \sqrt{D}\,I_{L,rms},\qquad I_{D,avg} = (1-D)\,I_o,\qquad I_{D,rms} = \sqrt{1-D}\,I_{L,rms}$$

### ขั้นที่ 7: งบความสูญเสียและประสิทธิภาพ

D8 Loss budget and efficiency งบความสูญเสียและประสิทธิภาพ

$$P_{loss} = I_{Q,rms}^2R_{on} + \big(V_FI_{D,avg} + R_dI_{D,rms}^2\big) + I_{L,rms}^2r_L + I_{C,rms}^2r_C + P_{sw}$$

$$\eta = \frac{P_o}{P_o + P_{loss}}$$

$$P_{sw} = \tfrac12V_gI_o(t_r+t_f)f_s + Q_gV_{drv}f_s + Q_{rr}V_gf_s + \tfrac12C_{oss}V_g^2f_s$$

### ขั้นที่ 8: ขีดจำกัดกระแสและศักยภาพการจ่าย

D9 Current limit and deliverable current ขีดจำกัดกระแสและกระแสที่จ่ายได้

$$I_{lim} \ge 1.15\,\big(I_{o,\max} + \tfrac{\Delta I_L}{2}\big) + m_aD_{\max}T_s,\qquad m_a = 0.6\,\frac{V_o}{L}$$

$$I_{o,deliver} \approx I_{lim} - \frac{\Delta I_L}{2} - m_aDT_s \qquad(\text{และ } I_{lim} ใน peak current mode สวิตช์ปิดเมื่อกระแสแตะค่าสั่งงาน $i_c$ ลบเส้นเอียง slope compensation $m_a$ (ป้องกัน sub-harmonic เมื่อ D > 0.5 ดูหน้าตัวชดเชย) ค่า $i_c$ ถูกจำกัดที่ $I_{lim}$ จึงจำกัดกระแสพีกทุกคาบ กระแสเฉลี่ยที่จ่ายได้จึงต่ำกว่า $I_{lim}$ เท่ากับครึ่งริปเปิลและส่วนที่เส้นเอียงลดไป — สูตรนี้ตรวจกับ load line ในแล็บ

## เลือกชิ้นส่วนอย่างไร (ตัวเลขจากไลบรารีในแล็บ) กลาง

ตารางต่อไปนี้ใช้ข้อกำหนด 18–30 V → 12 V, 3 A, 100 kHz และเป็นผลที่แล็บคำนวณจริง ลองเลือกชิ้นเดียวกันแล้วเทียบ

### ไดโอด (ที่ Vg = 30 V, Io = 3 A, ID,avg = 1.8 A)

| ชนิด | Vf + Rd·i | Qrr | สูญเสียนำกระแส (W) | ข้อสังเกต |

| Schottky 10 A / 45 V | 0.35 V + 25 mΩ | ≈ 0 | 0.77 | ดีที่สุดในกลุ่ม Schottky · ประสิทธิภาพรวม 96.3 % |

| Schottky 5 A / 60 V | 0.35 V + 50 mΩ | ≈ 0 | 0.90 | เผื่อแรงดันมากขึ้น |

| Schottky 3 A / 40 V | 0.30 V + 70 mΩ | ≈ 0 | 0.92 | กระแส 3 A เกือบเต็มพิกัด เผื่อแรงดัน 1.33× (< 1.4×) |

| Schottky 10 A / 100 V | 0.50 V + 30 mΩ | ≈ 0 | 1.06 | ทนแรงดันสูงต้องแลกกับ Vf สูงขึ้น |

| Schottky 1 A / 40 V | 0.28 V + 220 mΩ | ≈ 0 | 1.70 | เกินพิกัด 1 A (กระแสเฉลี่ย 1.8 A) |

| Ultrafast 4 A / 600 V | 0.70 V + 140 mΩ | 40 nC | 2.02 (+0.12 W Qrr) | เหมาะกับแรงดันสูง ไม่เหมาะ 30 V |

| SiC Schottky 4 A / 650 V | 0.95 V + 180 mΩ | 8 nC | 2.69 | Vf สูงที่แรงดันต่ำ ใช้ในงาน PFC 400 V |

| ซิลิคอนทั่วไป 1N4007 | 0.70 V + 100 mΩ | 1.5 µC | 1.80 (+4.5 W Qrr) | ห้ามใช้ที่ความถี่สวิตช์ ช้ามาก ร้อนจัด |

| MOSFET ตัวล่าง (synchronous) | 35 mΩ · i (ไม่มี Vf) | — | 0.19 | ประสิทธิภาพรวม 97.8 % · ต้องมี dead-time และตัวขับ 2 ตัว |

### ตัวเหนี่ยวนำ (ที่ Vg = 30 V)

| ตัวเลือก | ΔIL | Ipk | Isat / Ipk | P ทองแดง (W) | ผล |

| E-core ช่องอากาศ 100 µH · 8 A (ฟอร์ไรต์) | 0.72 A | 3.36 A | 2.38× | 0.18 | ผ่านสบาย แต่อิ่มตัวฉับพลัน |

| โทรอยด์ผงเหล็ก 100 µH · 8 A | 0.72 A | 3.36 A | 2.38× | 0.23 | ผ่าน อิ่มตัวนุ่มนวล |

| โทรอยด์ผงเหล็ก 150 µH · 4 A | 0.48 A | 3.24 A | 1.23× | 0.32 | ผ่านเฉียด แต่เป็น CCM ถึง 0.24 A |

| Molded powder 100 µH · 2.9 A | 0.72 A | 3.36 A | 0.86× | 0.77 | Isat ต่ำกว่าพีก L ตกที่ยอดคลื่น |

| ฟอร์ไรต์ drum 47 µH · 2.2 A | 1.53 A | 3.77 A | 0.58× | 0.87 | อิ่มตัว ริปเปิลสูงและ Isat ต่ำ |

| ฟอร์ไรต์ drum 220 µH · 1.0 A | 0.33 A | 3.16 A | 0.32× | 3.78 | DCR ทำให้ร้อน (ขนาดเล็กเกินกับกระแส 3 A) |

| ชอกสัญญาณ 100 µH · 0.3 A | 0.72 A | 3.36 A | 0.09× | 13.6 | เลือกผิดประเภท |

ข้อคิด: ตัวเหนี่ยวนำที่ค่า L เท่ากัน พิกัดกระแสต่างกันมาก เพราะขนาดแกนและสายต่างกัน — ดูหน้า ออกแบบและพันตัวเหนี่ยวนำ ว่า L, Isat, DCR มาจากแกนและจำนวนรอบอย่างไร

### ตัวเก็บประจุขาออก (ที่ ΔIL = 0.72 A, ΔVo ต้อง ≤ 120 mV)

| ตัวเลือก (1 ตัว) | C | ESR | ส่วน C (mV) | ส่วน ESR (mV) | รวม (mV) |

| อลูมิเนียมทั่วไป 100 µF / 35 V | 100 µF | 0.55 Ω | 9.0 | 396 | 405 |

| อลูมิเนียมทั่วไป 470 µF / 25 V | 470 µF | 0.22 Ω | 1.9 | 158 | 160 |

| Low-ESR 220 µF / 25 V | 220 µF | 80 mΩ | 4.1 | 57.6 | 61.7 |

| Low-ESR 470 µF / 25 V | 470 µF | 45 mΩ | 1.9 | 32.4 | 34.3 |

| โพลิเมอร์ 100 µF / 25 V | 100 µF | 20 mΩ | 9.0 | 14.4 | 23.4 |

| โพลิเมอร์ 330 µF / 16 V | 330 µF | 15 mΩ | 2.7 | 10.8 | 13.5 |

| MLCC X7R 22 µF (ค่าจริง ≈ 12 µF) | 12 µF | 4 mΩ | 75 | 2.9 | 77.9 |

สังเกตความแตกต่างของ "ตัวการ" ในริปเปิล: ตัวเก็บประจุอิเล็กโทรไลต์ถูกกำหนดโดย ESR (ต้องใช้ตัวที่ ESR ต่ำ) ส่วน MLCC ถูกกำหนดโดย ความจุ (ต้องใช้หลายตัวขนานและระวังค่าลดลงตามแรงดัน)

## โปรแกรมโหลด: ทดสอบกี่โอห์มกี่สภาวะ พื้นฐาน

ตาราง "โปรแกรมโหลด" ในแล็บคือสคริปต์ทดสอบ แต่ละแถวคือหนึ่งสภาวะ:

| ช่อง | ความหมาย | ตัวอย่าง |

| นาน (ms) | ระยะเวลาของช่วง ควรยาวพอให้แรงดันนิ่ง (หลายเท่าของ $R\cdot C$ ถ้าเปิดวง; แล็บจะเตือน "ยังไม่นิ่ง") | 8 ms |

| ชนิดโหลด | ตัวต้านทาน (Ω) หรือกระแสคงที่ (A) แบบอีโหลด | 4 Ω หรือ 3 A |

| ค่า | จำนวนโอห์มหรือแอมป์ | 48 Ω = โหลดเบา 0.25 A |

| Vin | แรงดันอินพุตของช่วงนี้ ว่าง = ใช้ค่าปกติ ใช้จำลองแรงดันตก/พุ่ง | 18 V |

ปุ่มชุดสำเร็จรูป: ชุดมาตรฐาน (ครึ่งโหลด → เต็มโหลด → โหลดเบา → Vin ต่ำ → Vin สูง) · โหลดเบา ↔ หนัก (ข้ามระหว่าง DCM กับ CCM) · ทดสอบโอเวอร์โหลด (150 % → 250 % → 500 %) · Vin ตก/ขึ้น (ที่โหลดคงที่) จากนั้นแก้ตัวเลขเองได้ทุกช่อง

วิธีอ่านผลในตาราง "ผลตรวจ" ต่อช่วง: แดง = ไม่ผ่าน (แรงดันตกเกิน 3 %, ชนขีดจำกัดกระแส, L อิ่มตัว, เกินพิกัดไดโอด) เหลือง = เตือน (แรงดันเบี่ยงในโหมด open loop, พีกชั่วขณะเกิน Isat, ยังไม่นิ่ง) นอกจากนี้ยังบอกว่าช่วงนั้นเป็น CCM หรือ DCM (เปอร์เซ็นต์เวลาว่าง) ประสิทธิภาพ และกำลังสูญเสียรวม

## แล็บออกแบบและทดสอบ กลาง

เริ่มจากชุดตัวอย่างด้านบน (24 V → 12 V · 3 A) กด "แนะนำชิ้นส่วนให้อัตโนมัติ" เพื่อกลับไปค่าเริ่มต้น เปลี่ยนชิ้นส่วนทีละอย่างแล้วดูตารางตรวจและผลจำลองเปลี่ยนตามทันที

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## ตัวอย่างวิธีทำ (ตรงกับค่าเริ่มต้นของแล็บ)

ตัวอย่าง D-1

### ออกแบบ 18–30 V → 12 V, 3 A, 100 kHz ด้วยมือแล้วเทียบกับแล็บ

- D1: $D_{\min} = 12/30 = 0.4$, $D_{\max} = 12/18 = 0.667$ (ต่ำกว่า $D_{max}$ ของชิป 0.92 ✓)

- D2: $\Delta I_L = 0.3\times3 = 0.9$ A → $L \ge \dfrac{12(1-0.4)}{100k\times0.9} = 80\ \mu$H · D3: ถ้าต้องการ CCM ถึง 0.3 A: $L \ge \dfrac{12(0.6)}{2(100k)(0.3)} = 120\ \mu$H

- เลือกตัวเหนี่ยวนำ 100 µH (E-core ช่องอากาศ 8 A, DCR 20 mΩ): $\Delta I_L = \dfrac{12(0.6)}{100\mu\times100k} = 0.72$ A (24 %) · $I_{pk} = 3 + 0.36 = 3.36$ A · $I_{L,rms} = \sqrt{9 + 0.72^2/12} = 3.01$ A · $I_{sat}/I_{pk} = 8/3.36 = 2.38\times$ ✓ · ขอบ CCM $I_{o,crit} = \Delta I_L/2 = 0.36$ A (สูงกว่า 0.3 A ที่ต้องการ → เตือน DCM ที่โหลดเบา; ใช้ 150 µH จะได้ 0.24 A)

- D5: $C \ge \dfrac{0.9}{4(100k)(0.12)} = 18.75\ \mu$F และ $r_C \le \dfrac{0.12}{2(0.9)} = 66.7$ mΩ → เลือกโพลิเมอร์ 330 µF / 16 V (ESR 15 mΩ): $\Delta V_o \approx \dfrac{0.72}{8(330\mu)(100k)} + 0.72(0.015) = 2.7 + 10.8 = 13.5$ mV ✓ (เป้า 120 mV)

- D6: $I_{Cin,rms} \le I_o\sqrt{0.4\times0.6} = 1.47$ A (สูงสุด 1.5 A ที่ D = 0.5) · $C_{in} \ge \dfrac{0.25(3)}{100k(0.02)(18)} = 20.8\ \mu$F

- D7: ไดโอด Schottky 10 A / 45 V: $V_{rrm}/V_{g,max} = 1.5\times$ ✓ · $I_{D,avg} = (1-0.4)(3) = 1.8$ A ✓ · MOSFET 55 V ($1.83\times$), $I_{Q,rms} = \sqrt{0.4}(3.01) = 1.9$ A ✓

- D8 ที่ 30 V: $P_{R_{on}} = 0.035(1.9^2) = 0.127$ W · $P_{diode} = 0.35(1.8) + 0.025(2.33^2) = 0.63 + 0.136 = 0.766$ W · $P_{Cu} = 0.02(3.01^2) = 0.181$ W · $P_{sw} = 0.312$ W รวม 1.39 W → $\eta = \dfrac{36}{36 + 1.39} = 96.3\%$ · ที่ 18 V: 97.3 % ตรงกับตารางในแล็บ (97.3 / 96.7 / 96.3 % ที่ 18 / 24 / 30 V)

- D9: $I_{lim} = 1.15(3 + 0.36) + 0.6\dfrac{12}{100\mu}\cdot\dfrac{0.667}{100k} = 3.86 + 0.48 = 4.34$ A ซึ่งต่ำกว่า $I_{sat} = 8$ A ✓ — ตรงกับค่า $I_{lim}$ ที่แล็บตั้งให้

ตัวอย่าง D-2

### อ่านผลของโปรแกรมโหลดมาตรฐาน (peak current mode)

- ช่วง 1–2 (ครึ่งโหลด 1.5 A → เต็มโหลด 3 A): $V_o = 12.00$ V ทุกช่วงด้วยริปเปิล 9.1 mV p-p · iL สูงสุด 3.3 A ที่ 3 A (ตรงกับ $I_{pk}$ ที่ 24 V: $3 + 0.3 = 3.3$ A ✓)

- ช่วง 3 (R = 48 Ω, 0.25 A): เข้า DCM ใช้เวลาว่าง 9.4 % (กระแสเฉลี่ย 0.25 A

- ช่วง 4–5 (Vin = 18 V และ 30 V ที่ 3 A): $V_o$ ยังเป็น 12.00 V ริปเปิล 6.0 mV และ 11 mV (ΔiL เปลี่ยนตาม $1-D$) ประสิทธิภาพ 97.3 % และ 96.3 %

- เปลี่ยนไปใช้ Open loop (D = 0.5134 ที่ Vin 24 V, 3 A): ช่วง 1: 12.07 V · ช่วง 2: 12.00 V · ช่วง 3 (โหลดเบา, DCM): ≈ 12.9 V เมื่อนิ่งจริง (+7 %) — ในช่วงสั้น 8 ms แล็บอ่านได้ 13.1 V และเตือน "ยังไม่นิ่ง" เพราะ $RC = 48\times330\mu = 16$ ms จึงควรยืดช่วงเป็น 60–80 ms · ช่วง 4 (Vin 18 V): 8.96 V (−25 %) · ช่วง 5 (Vin 30 V): 15.05 V (+25 %) — $V_o \propto V_g$ ตาม $G_{vg} = D$ และ DCM ทำให้สูงขึ้น (หน้าฟังก์ชันถ่ายโอน)

ตัวอย่าง D-3

### กระแสสูงสุดที่จ่ายได้ (capability)

- กดปุ่ม "วัดศักยภาพการจ่ายกระแส" ที่ Vin 24 V แบบ peak current mode: แรงดันเริ่มตกต่ำกว่า 98 % หลังกระแส ≈ 3.5 A (1.17× ของ $I_{o,max}$)

- สาเหตุ: ชนขีดจำกัดกระแส $I_{lim} = 4.34$ A ตรวจด้วย D9: $I_{o,deliver} \approx 4.34 - 0.30 - m_aDT_s$ โดย $m_aDT_s = 0.6\cdot\dfrac{12}{100\mu}\cdot\dfrac{0.5}{100k} = 0.36$ → $4.34 - 0.30 - 0.36 = 3.68$ A สอดคล้องกับที่วัด (ระหว่าง 3.5–3.7 A ตามความละเอียดของจุดวัด)

- ถ้าอยากจ่ายได้มากกว่านี้: เพิ่ม $I_{lim}$ (ต้องไม่เกิน $I_{sat}$ = 8 A และไม่เกินพิกัดไดโอด 10 A) หรือเปลี่ยนเป็นตัวเหนี่ยวนำที่ L ใหญ่ขึ้นเพื่อลดริปเปิล

## วิธีอ่านกราฟศักยภาพการจ่ายกระแส (load line) พื้นฐาน

ส่วน ⑤ ในแล็บไล่กระแสโหลดตั้งแต่ 4 % ถึง 220 % ของ $I_{o,max}$ แล้ววัดสภาวะคงตัวของแต่ละจุด (ใช้ Vin ตามที่เลือก) กราฟมีสามภาพ:

- Vo เทียบ Io: เส้นราบที่ 12 V คือช่วงควบคุมได้ พื้นเขียว/แดงบอกจุดที่แรงดันตกต่ำกว่า 98 % (สาเหตุถูกวิเคราะห์ให้ในกล่องสรุปด้านบนกราฟ)

- iL,pk เทียบ Io: เทียบกับเส้น $I_{sat}$ (ตัวเหนี่ยวนำ) และ $I_{lim}$ (ชิป) เห็นว่าใครชนก่อน

- ประสิทธิภาพ: โดยรวมสูงสุดที่โหลดปานกลาง ตกที่โหลดเบา (สูญเสียคงที่จากสวิตช์) และตกที่โหลดหนัก (สูญเสีย $I^2R$) · เส้นประคือสัดส่วนเวลาว่างของ DCM

Open loop vs peak current mode: open loop ไม่มีการจำกัดกระแส จ่ายได้เกินพิกัดจนส่วนประกอบพังแต่แรงดันตกเล็กน้อยตามความต้านทานแฝง (load regulation) ส่วน peak current mode จำกัดกระแสเด็ดขาด แรงดันจึงตกลงเป็นเส้นตรง (ลักษณะแหล่งจ่ายกระแสคงที่) เมื่อเกินขีดจำกัด — ซึ่งเป็นพฤติกรรมที่ต้องการเมื่อลัดวงจร

### ใบงานทดลอง

ใบงาน D1 — ออกแบบตามข้อกำหนด: เริ่มจากชุด 24 V → 12 V · 3 A ตรวจตารางว่าทุกข้อผ่าน บันทึกประสิทธิภาพที่ 3 Vin เทียบตัวอย่าง D-1 แล้วสลับเป็น 12 V → 5 V และ 48 V → 12 V กด "แนะนำชิ้นส่วน" ดูว่าเลือกต่างกันอย่างไร

ใบงาน D2 — เลือกตัวเหนี่ยวนำผิด: เปลี่ยนเป็นชอกสัญญาณ 100 µH 0.3 A ดูทุกข้อที่เปลี่ยนเป็นแดง จากนั้นลอง Molded powder 100 µH 2.9 A (Isat ต่ำกว่าพีก 3.36 A) ว่าผลจำลองต่างจากชอกสัญญาณอย่างไร

ใบงาน D3 — อิ่มตัวฉับพลัน vs นุ่มนวล: ฟอร์ไรต์ drum 47 µH 2.2 A (อิ่มตัวฉับพลัน) กับ Molded powder 47 µH 4 A (นุ่มนวล) ใช้ข้อกำหนด 24 V → 12 V เทียบ iL สูงสุดในตารางและรูปร่างกราฟ iL

ใบงาน D4 — เลือกไดโอด: เปลี่ยนเป็น Schottky 3 A, 10 A/100 V, ultrafast 4 A, 1N4007 บันทึกกำลังสูญเสียของไดโอดและประสิทธิภาพ เทียบตารางในส่วน "เลือกชิ้นส่วน" แล้วลอง synchronous (ประสิทธิภาพควรสูงขึ้น ~1.5 จุด)

ใบงาน D5 — ตัวเก็บประจุ: เปลี่ยนเป็นอลูมิเนียมทั่วไป 470 µF แล้วดูริปเปิลขาออก (≈ 160 mV เกินเป้า) เปลี่ยนเป็น MLCC 22 µF และเพิ่มจำนวนขนานจาก 1 → 4 ดูว่าริปเปิลลดลงเท่าไร (ส่วนความจุลดลงเป็น 1/4)

ใบงาน D6 — โหลดเบา ↔ หนัก: โปรแกรมโหลดเบา ↔ หนัก ที่ peak current mode แล้วเปลี่ยนเป็น open loop เทียบ Vo ทุกช่วง ช่วงโหลดเบาที่ใดเข้า DCM และแรงดัน open loop สูงขึ้นเท่าไร

ใบงาน D7 — โอเวอร์โหลดและลัดวงจร: โปรแกรมโอเวอร์โหลด (150 → 250 → 500 %) ดูว่า Vo เป็นเท่าไรเมื่อเกิน $I_{lim}$ แล้วกดวัดศักยภาพ เปลี่ยน $I_{lim}$ เป็น 3.5, 4.34, 6 A เทียบกับ D9 แล้วดูว่า Isat ชนก่อนหรือไม่

ใบงาน D8 — แรงดันอินพุตตก/พุ่ง: โปรแกรม Vin ตก/ขึ้น (18 → 30 V) เทียบ PCMC กับ open loop · open loop ควรได้ 8.96 V และ 15.05 V ตามตัวอย่าง D-2

## ต่อยอดสู่ของจริง

เมื่อค่าจากแล็บผ่านแล้ว: ออกแบบและพันตัวเหนี่ยวนำจริงตามหน้าออกแบบตัวเหนี่ยวนำ → ตรวจเลย์เอาต์และการวัดตามเทคนิคเชิงช่าง → ออกแบบตัวชดเชยด้วย $G_{vd}$ จากหน้าฟังก์ชันถ่ายโอน และตัวชดเชย Type II/III → ทดสอบด้วยแหล่งจ่ายจริงตามแหล่งจ่ายทดสอบ → ถ้ามีอาการเสีย ดูวิเคราะห์อาการเสีย · ซิมูเลเตอร์เต็มที่มีสโคปและฟังก์ชันเจนเนอเรเตอร์อยู่ที่แล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์

## คำถามที่พบบ่อย

ควรเลือกกระแสอิ่มตัว (Isat) ของตัวเหนี่ยวนำเท่าไร?
ให้ Isat อย่างน้อย 1.2 เท่าของกระแสพีก Io,max + ΔiL/2 ที่ Vin สูงสุด และสูงกว่าขีดจำกัดกระแสของชิปควบคุม ตัวเหนี่ยวนำแกนฟอร์ไรต์อิ่มตัวฉับพลัน (กระแสพุ่ง) แกนผงเหล็กอิ่มตัวค่อยเป็นค่อยไป จึงให้อภัยมากกว่าเมื่อเกิดโอเวอร์โหลดชั่วขณะ

ทำไมบั๊กแบบ open loop แรงดันขาออกเปลี่ยนตาม Vin?
ใน CCM Vo = D·Vin ถ้าดิวตี้คงที่ Vo แปรผันตาม Vin โดยตรง (อัตราขยาย Gvg = D) และเมื่อโหลดเบาเข้า DCM แรงดันจะสูงขึ้นอีก วงป้อนกลับจึงจำเป็นเพื่อปรับดิวตี้ตามโหลดและ Vin

กราฟศักยภาพการจ่ายกระแสแสดงอะไร?
ไล่โหลดจากเบาไปหนักแล้ววัดแรงดันและกระแสสภาวะคงตัว เห็นว่าวงจรจ่ายกระแสได้ถึงเท่าไรก่อนแรงดันตก และตกเพราะเหตุใด เช่น ชนขีดจำกัดกระแสของตัวควบคุม ดิวตี้เต็ม Dmax หรือตัวเหนี่ยวนำอิ่มตัว

ทำไมต้องเลือกตัวเก็บประจุแบบ ESR ต่ำ?
ริปเปิลแรงดันขาออกประกอบด้วยส่วนจากความจุ ΔiL/(8·C·fs) และส่วนจาก ESR ΔiL·ESR ตัวเก็บประจุอิเล็กโทรไลต์ทั่วไป 100–470 µF มี ESR 0.2–0.5 Ω ทำให้ส่วน ESR ใหญ่กว่าส่วนความจุหลายสิบเท่า ตัวเก็บประจุโพลิเมอร์หรือ low-ESR ให้ริปเปิลต่ำกว่ามาก

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ควรเลือกกระแสอิ่มตัว (Isat) ของตัวเหนี่ยวนำเท่าไร?**
ให้ Isat อย่างน้อย 1.2 เท่าของกระแสพีก Io,max + ΔiL/2 ที่ Vin สูงสุด และสูงกว่าขีดจำกัดกระแสของชิปควบคุม ตัวเหนี่ยวนำแกนฟอร์ไรต์อิ่มตัวฉับพลัน (กระแสพุ่ง) แกนผงเหล็กอิ่มตัวค่อยเป็นค่อยไป จึงให้อภัยมากกว่าเมื่อเกิดโอเวอร์โหลดชั่วขณะ

**ทำไมบั๊กแบบ open loop แรงดันขาออกเปลี่ยนตาม Vin?**
ใน CCM Vo = D·Vin ถ้าดิวตี้คงที่ Vo แปรผันตาม Vin โดยตรง (อัตราขยาย Gvg = D) และเมื่อโหลดเบาเข้า DCM แรงดันจะสูงขึ้นอีก วงป้อนกลับจึงจำเป็นเพื่อปรับดิวตี้ตามโหลดและ Vin

**กราฟศักยภาพการจ่ายกระแสแสดงอะไร?**
ไล่โหลดจากเบาไปหนักแล้ววัดแรงดันและกระแสสภาวะคงตัว เห็นว่าวงจรจ่ายกระแสได้ถึงเท่าไรก่อนแรงดันตก และตกเพราะเหตุใด เช่น ชนขีดจำกัดกระแสของตัวควบคุม ดิวตี้เต็ม Dmax หรือตัวเหนี่ยวนำอิ่มตัว

**ทำไมต้องเลือกตัวเก็บประจุแบบ ESR ต่ำ?**
ริปเปิลแรงดันขาออกประกอบด้วยส่วนจากความจุ ΔiL/(8·C·fs) และส่วนจาก ESR ΔiL·ESR ตัวเก็บประจุอิเล็กโทรไลต์ทั่วไป 100–470 µF มี ESR 0.2–0.5 Ω ทำให้ส่วน ESR ใหญ่กว่าส่วนความจุหลายสิบเท่า ตัวเก็บประจุโพลิเมอร์หรือ low-ESR ให้ริปเปิลต่ำกว่ามาก

---

# ฟังก์ชันถ่ายโอนของบั๊กทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต: Gvd Gvg Zout Zin GiLd พร้อมที่มาและเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-transfer-functions/
Updated: 2026-10-15
Summary: หาฟังก์ชันถ่ายโอน 12 แบบของบั๊ก Gvd Gvg Zout Zin GiLd ด้วย C(sI−A)^-1 B+E ที่มาทีละขั้น ผลของ ESR และ DCR โหมด DCM และเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือนที่ฉีดไซน์ใส่สวิตชิ่งจริงเทียบกับทฤษฎี

// บทที่ 15.5 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Buck Transfer Functions — Gvd, Gvg, Zout, Zin, GiLd

# ฟังก์ชันถ่ายโอนของบั๊กทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต: Gvd Gvg Zout Zin GiLd พร้อมที่มาและเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือน

จากเมทริกซ์สเตตสเปซสัญญาณเล็ก เราได้ฟังก์ชันถ่ายโอนครบทุกคู่ — แค่เปลี่ยนว่าจะ "ป้อนอะไร" และ "วัดอะไร" หน้านี้แสดงที่มาของทั้ง 12 รูปแบบด้วยสูตรเดียว พร้อมรูปปิดที่แม่นยำเมื่อมี DCR และ ESR แบบ DCM อันดับหนึ่ง และเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือนที่ฉีดไซน์ใส่วงจรสวิตชิ่งจริงเพื่อพิสูจน์

สรุปใน 30 วินาที

- $G(s) = C\,(sI-A)^{-1}B + E$ — เลือกคอลัมน์ $B$ ตามอินพุต เลือกแถว $C$ ตามเอาต์พุต

- ตัวส่วนเดียวกันทุกแบบ: $\Delta(s) = LCs^2 + \tfrac LR s + 1$ → $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, $Q = R\sqrt{C/L}$

- $G_{vd} = V_g/\Delta$ · $G_{vg} = D/\Delta$ · $Z_{out} = sL/\Delta$ · $Z_{in} = \dfrac{R}{D^2}\cdot\dfrac{\Delta}{1+sRC}$

- ใน DCM ลดเหลือขั้วเดียว $G_{vd} = G_{d0}/(1+s/\omega_p)$

## แผนที่: ทำไมมีฟังก์ชันถ่ายโอนหลายรูปแบบ พื้นฐาน

ฟังก์ชันถ่ายโอนคือ อัตราส่วนของเอาต์พุตหนึ่งต่ออินพุตหนึ่ง ขณะที่อินพุตตัวอื่นถูกตรึงเป็นศูนย์ บั๊กมีสามอินพุตที่เราเปลี่ยนได้ (หรือถูกเปลี่ยนโดยโลกภายนอก) และมีเอาต์พุตที่น่าสนใจหลายตัว:

- $\hat d$ ดิวตี้ — ตัวควบคุมสั่งเอง (control input)

- $\hat v_g$ แรงดันอินพุต — แหล่งจ่ายผันผวน (line disturbance)

- $\hat i_x$ กระแสโหลดที่เปลี่ยน — โหลดดึงมากขึ้น (load disturbance) นิยามเป็นแหล่งกระแสขนานกับ R

เอาต์พุตที่ใช้บ่อย: แรงดันขาออก $\hat v_o$ · กระแสตัวเหนี่ยวนำ $\hat i_L$ (ใช้ออกแบบ current mode) · กระแสตัวเก็บประจุ $\hat i_C$ · กระแสอินพุตเฉลี่ย $\hat i_g$ (ใช้ดูปฏิสัมพันธ์กับตัวกรองอินพุต) เพราะระบบเป็นเชิงเส้น จึงใช้หลักการซ้อนทับ:

$$\hat v_o(s) = G_{vd}(s)\,\hat d(s) + G_{vg}(s)\,\hat v_g(s) - Z_{out}(s)\,\hat i_x(s)$$

| เอาต์พุต \ อินพุต | $\hat d$ (ดิวตี้) | $\hat v_g$ (แรงดันอินพุต) | $\hat i_x$ (กระแสโหลด) |

| $\hat v_o$ | $G_{vd}$ ใช้ออกแบบตัวชดเชย | $G_{vg}$ ความไวต่อแรงดันอินพุต (audio susceptibility) | $-Z_{out}$ ผลของโหลดเปลี่ยน (load step) |

| $\hat i_L$ | $G_{iLd}$ current mode · จำกัดกระแส | $G_{iLg}$ | $G_{iLx}$ |

| $\hat i_C$ | $G_{iCd}$ | $G_{iCg}$ | $G_{iCx}$ |

| $\hat i_g$ | $G_{igd}$ | $Y_{in} = 1/Z_{in}$ ปฏิสัมพันธ์กับตัวกรองอินพุต | $G_{igx}$ |

ทั้ง 12 ช่องนี้คำนวณจากเมทริกซ์ชุดเดียวกันที่ได้ในหน้าแบบจำลองเฉลี่ย ตัวส่วน $\Delta(s)$ เหมือนกันทั้งหมด (ขั้วของระบบมีชุดเดียว) ต่างกันที่ตัวเศษซึ่งกำหนดศูนย์และอัตราขยาย

## วิธีหา: สูตรเดียวใช้กับทุกคู่ กลาง

จากสมการสัญญาณเล็ก $\dot{\hat x} = A\hat x + B\hat u$, $\hat y = C\hat x + E\hat u$ แปลง Laplace (ค่าเริ่มต้นศูนย์) ได้ $s\hat x = A\hat x + B\hat u$ → $\hat x = (sI - A)^{-1}B\hat u$ แทนในสมการเอาต์พุต:

T1 Transfer function from state space ฟังก์ชันถ่ายโอนจากสเตตสเปซ

$$G(s) = \frac{\hat y(s)}{\hat u(s)} = C\,(sI - A)^{-1}B + E$$

สำหรับสเตตสเปซขนาด 2×2 ผกผันหาได้ด้วย adjugate: $(sI-A)^{-1} = \dfrac{\operatorname{adj}(sI - A)}{\Delta(s)}$ โดย

T2 Characteristic polynomial and adjugate (2×2) พหุนามลักษณะเฉพาะและ adjugate

$$\Delta(s) = \det(sI - A) = s^2 - \operatorname{tr}(A)\,s + \det A,\qquad \operatorname{adj}(sI-A) = \begin{bmatrix}s - a_{22} & a_{12}\\ a_{21} & s - a_{11}\end{bmatrix}$$

ขั้นตอนทำมือ 4 ขั้น (ใช้ซ้ำได้กับทุกคู่):

- เลือกคอลัมน์อินพุต: $B_d = \begin{bmatrix}V_g/L\\0\end{bmatrix}$ สำหรับ $\hat d$ · $B_g = \begin{bmatrix}D/L\\0\end{bmatrix}$ สำหรับ $\hat v_g$ · $B_x = \begin{bmatrix}0\\-1/C\end{bmatrix}$ สำหรับ $\hat i_x$ (บั๊กอุดมคติ)

- เลือกแถวเอาต์พุต: $C_{v} = [0\ \ 1]$ สำหรับ $\hat v_o$ · $C_{iL} = [1\ \ 0]$ สำหรับ $\hat i_L$

- คำนวณ $\operatorname{adj}(sI-A)\cdot B$ แล้วเลือกแถวตาม $C$

- หารด้วย $\Delta(s)$ แล้วจัดรูปให้พจน์คงที่ของตัวส่วนเป็น 1

## Gvd: จากดิวตี้ไปแรงดันขาออก (ทำให้ดูทีละขั้น) กลาง

บั๊กอุดมคติ: $A = \begin{bmatrix}0 & -1/L\\ 1/C & -1/(RC)\end{bmatrix}$ จาก T2: $\operatorname{tr}A = -\dfrac1{RC}$, $\det A = \dfrac1{LC}$ ดังนั้น

$$\Delta(s) = s^2 + \frac{s}{RC} + \frac1{LC},\qquad \operatorname{adj}(sI-A) = \begin{bmatrix}s + \frac1{RC} & -\frac1L\\ \frac1C & s\end{bmatrix}$$

คูณกับ $B_d = [V_g/L\ \ 0]^T$:

$$\operatorname{adj}(sI-A)\,B_d = \begin{bmatrix}\left(s + \frac1{RC}\right)\frac{V_g}{L}\\[4pt] \frac1C\cdot\frac{V_g}{L}\end{bmatrix}$$

แถวที่สองคือ $\hat v_C$ ($C_v = [0\ 1]$): $G_{vd} = \dfrac{V_g/(LC)}{\Delta(s)}$ คูณบนล่างด้วย $LC$ ให้พจน์คงที่ของตัวส่วนเป็น 1:

T3 Gvd (ideal buck) ฟังก์ชันถ่ายโอนจากดิวตี้ไปแรงดันขาออก

$$G_{vd}(s) = \frac{\hat v_o}{\hat d} = \frac{V_g}{LC\,s^2 + \dfrac{L}{R}\,s + 1}$$

เทียบกับรูปมาตรฐานอันดับสอง $\dfrac{G_0}{1 + \frac{s}{Q\omega_0} + \frac{s^2}{\omega_0^2}}$:

T4 Resonance of the LC filter เรโซแนนซ์ของตัวกรอง LC

$$G_0 = V_g,\qquad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad Q = R\sqrt{\frac CL},\qquad \zeta = \frac1{2Q}$$

- DC: $G_{vd}(0) = V_g$ — เพิ่มดิวตี้ 0.01 แรงดันเพิ่ม $0.01V_g$ ตรงกับ $V_o = DV_g$

- ที่ $f_0$: ขนาดเป็น $QV_g$ และเฟส $-90^\circ$ (ยอดเรโซแนนซ์) ถ้า $Q$ สูง (โหลดเบา หรือค่าแฝงน้อย) ยอดสูงแหลม

- เหนือ $f_0$: ขนาดลดลง 40 dB/ทศวรรษ เฟสตกเป็น $-180^\circ$ — เฟสที่หายไปนี้เองที่ทำให้ต้องมีตัวชดเชย (หน้าตัวชดเชย)

- เหตุที่ L,C ไม่หายไปจากแรงดัน DC: ที่ DC $sL = 0$ และ $1/sC = \infty$ จึงไม่เกี่ยวกับ $G_{vd}(0)$ แต่กำหนดตำแหน่ง $f_0$ และความแหลม

## Gvg, GiLd, GiLg, Zout, Zin: เปลี่ยนคอลัมน์ B หรือแถว C กลาง

ใช้ $\operatorname{adj}(sI-A)$ และ $\Delta(s)$ ชุดเดิมจากข้างบน เปลี่ยนเฉพาะ $B$ และ $C$ แล้วจัดรูปโดยคูณบนล่างด้วย $LC$:

(1) $G_{vg} = \hat v_o/\hat v_g$ ใช้ $B_g = [D/L\ \ 0]^T$ ซึ่งต่างจาก $B_d$ แค่ $V_g \to D$:

T5 Gvg (audio susceptibility) ฟังก์ชันถ่ายโอนจากแรงดันอินพุตไปแรงดันขาออก

$$G_{vg}(s) = \frac{D}{LC\,s^2 + \dfrac LR\,s + 1} \;=\; \frac{D}{V_g}\,G_{vd}(s)$$

บอกว่าแรงดันริปเปิลหรือสัญญาณรบกวนบนอินพุตผ่านมาที่เอาต์พุตเท่าไร — ที่ DC เท่ากับ $D$ (ลด $V_g$ เป็นครึ่งหนึ่งที่ D = 0.5 → $V_o$ ลด 25 %) และมีเรโซแนนซ์ที่ $f_0$ เดียวกัน

(2) กระแสตัวเหนี่ยวนำ ใช้แถวแรก $C_{iL} = [1\ \ 0]$ ของ $\operatorname{adj}(sI-A)B$ ซึ่งคือ $(s + \frac1{RC})\cdot\frac{V_g}{L}$ หารด้วย $\Delta$:

T6 GiLd and GiLg ฟังก์ชันถ่ายโอนของกระแสตัวเหนี่ยวนำ

$$G_{iLd} = \frac{\hat i_L}{\hat d} = \frac{V_g}{R}\cdot\frac{1 + sRC}{LC\,s^2 + \frac LRs + 1},\qquad G_{iLg} = \frac{\hat i_L}{\hat v_g} = \frac{D}{R}\cdot\frac{1 + sRC}{LC\,s^2 + \frac LRs + 1}$$

ศูนย์ที่ $f = 1/(2\pi RC)$ (159 Hz ในตัวอย่าง) เกิดจากตัวเก็บประจุกับโหลด ที่ความถี่เหนือศูนย์ กระแสตัวเหนี่ยวนำตอบสนอง $\hat d$ แบบ 1 ขั้ว ซึ่งเป็นเหตุผลที่ current mode ลดปัญหาของขั้วคู่ LC

(3) อิมพีแดนซ์ขาออก $Z_{out}$ ใช้อินพุตกระแสโหลด $B_x = [0\ \ -1/C]^T$ (กระแสที่เพิ่มขึ้นดึงประจุออกจาก C) เอาต์พุต $\hat v_C$:

$$\operatorname{adj}(sI-A)\,B_x = \begin{bmatrix}-\frac1L\cdot\left(-\frac1C\right)\\[2pt] s\cdot\left(-\frac1C\right)\end{bmatrix} \;\Rightarrow\; \frac{\hat v_o}{\hat i_x} = \frac{-s/C}{\Delta(s)} = -\frac{sL}{LC\,s^2 + \frac LRs + 1}$$

T7 Output impedance Zout อิมพีแดนซ์ขาออก

$$Z_{out}(s) = -\frac{\hat v_o}{\hat i_x} = \frac{sL}{LC\,s^2 + \dfrac LRs + 1} = sL\,\Big\|\,\frac{1}{sC}\,\Big\|\,R$$

ตรวจด้วยวงจร: ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ และโหลด ขนานกัน (แหล่งอินพุตถูกลดเป็นศูนย์ จึงต่อ SW ลงกราวด์ผ่านไดโอด/สวิตช์) ได้ $\dfrac1Z = \dfrac1{sL} + sC + \dfrac1R$ แล้วจัดรูปก็ได้สูตรเดียวกัน ที่ DC $Z_{out} = 0$ (L ลัดวงจร) ที่ $f_0$ L และ C ตัดกัน เหลือ $Z_{out} = R$ (ยอดสูงสุด) เหนือ $f_0$ เป็น $1/(sC)$ ตามตัวเก็บประจุ ดังนั้นการตอบสนองต่อโหลดกระชากสูงสุดบริเวณ $f_0$

(4) อิมพีแดนซ์ขาเข้า $Z_{in}$ เอาต์พุตคือกระแสอินพุตเฉลี่ย $\hat i_g = D\hat i_L + I_L\hat d$ (X9) เมื่อ $\hat d = 0$ ได้ $\hat i_g = D\hat i_L$ ดังนั้น $Y_{in} = D\,G_{iLg}$

T8 Input impedance Zin (open loop) อิมพีแดนซ์ขาเข้าขณะเปิดวง

$$Y_{in} = \frac{\hat i_g}{\hat v_g} = D\,G_{iLg} = \frac{D^2}{R}\cdot\frac{1+sRC}{LC\,s^2+\frac LRs+1},\qquad Z_{in} = \frac{R}{D^2}\cdot\frac{LC\,s^2+\frac LRs+1}{1+sRC}$$

ที่ DC $Z_{in} = R/D^2$ (ความต้านทานโหลดสะท้อนผ่านหม้อแปลง 1:D) เป็นบวก — สำหรับบั๊กที่ ปิดวงป้อนกลับแรงดัน พฤติกรรมช่วงความถี่ต่ำเปลี่ยนเป็นความต้านทาน ลบ $-V_g^2/P$ ตามหน้าเกณฑ์ตัวกรองอินพุต เพราะวงป้อนกลับรักษากำลังให้คงที่

(5) กระแสตัวเก็บประจุ $\hat i_C$ และกระแสอินพุต $\hat i_g$ จากดิวตี้: $\hat i_C = \hat i_L - \hat v_o/R - \hat i_x$ และ $\hat i_g = D\hat i_L + I_L\hat d$ นำ $G_{iLd}$ และ $G_{vd}$ มาประกอบ (ตารางในแล็บคำนวณให้ครบ): ตัวอย่าง $G_{igd}(0) = D\,\dfrac{V_g}{R} + I_L = 2.4$ A ที่ตัวอย่าง D = 0.5

| ฟังก์ชัน | สูตร (ตัวส่วน $\Delta = LCs^2 + \frac LRs + 1$) | DC (24 V, D = 0.5, R = 10 Ω) | ศูนย์ |

| $G_{vd}$ | $V_g/\Delta$ | 24 V | ไม่มี |

| $G_{vg}$ | $D/\Delta$ | 0.5 | ไม่มี |

| $G_{iLd}$ | $\dfrac{V_g}{R}(1+sRC)/\Delta$ | 2.4 A | 159 Hz |

| $G_{iLg}$ | $\dfrac DR(1+sRC)/\Delta$ | 0.05 S | 159 Hz |

| $Z_{out}$ | $sL/\Delta$ | 0 Ω | 0 (ที่ DC) |

| $Y_{in}$ | $\dfrac{D^2}{R}(1+sRC)/\Delta$ | 0.025 S ($Z_{in} = 40\ \Omega$) | 159 Hz |

## เมื่อมี DCR และ ESR: รูปปิดที่แม่นยำ ขั้นสูง

ใช้วิธีเดียวกัน (T1–T2) กับเมทริกซ์ที่มี $R_l = r_L + DR_{on} + D'R_d$ และ $r_C$ (หน้าแบบจำลองเฉลี่ย X6–X7) ผลที่ได้เป็นรูปปิดที่แม่นยำ (ตรวจกับการคำนวณเมทริกซ์ตัวเลขทั้งหกฟังก์ชันด้านล่างที่ความคลาดเคลื่อนระดับ $10^{-15}$):

T9 Exact denominator with parasitics ตัวส่วนที่แม่นยำเมื่อมีค่าแฝง

$$\Delta(s) = 1 + a_1 s + \frac{s^2}{\omega_0^2}$$

$$\omega_0^2 = \frac{R + R_l}{LC\,(R + r_C)},\qquad a_1 = \frac{L + C\,\big[R_l(R+r_C) + R\,r_C\big]}{R + R_l}$$

$$Q = \frac{1}{\omega_0 a_1}\;\approx\; \frac{R\sqrt{C/L}}{1 + RC\,(R_l + r_C)/L}\qquad (R_l,\ r_C \ll R)$$

T10 Exact transfer functions with parasitics ฟังก์ชันถ่ายโอนรูปปิดเมื่อมีค่าแฝง

$$\beta = V_g + V_F - (R_{on}-R_d)I_L$$

$$G_{vd} = \frac{\beta R}{R + R_l}\cdot\frac{1 + s\,r_CC}{\Delta(s)},\qquad G_{vg} = \frac{DR}{R+R_l}\cdot\frac{1 + s\,r_CC}{\Delta(s)}$$

$$G_{iLd} = \frac{\beta}{R+R_l}\cdot\frac{1 + sC(R+r_C)}{\Delta(s)},\qquad G_{iLg} = \frac{D}{R+R_l}\cdot\frac{1 + sC(R+r_C)}{\Delta(s)}$$

$$Z_{out} = \frac{R\,(R_l + sL)(1 + s\,r_CC)}{(R+R_l)\,\Delta(s)},\qquad Z_{in} = \frac{R+R_l}{D^2}\cdot\frac{\Delta(s)}{1 + sC(R+r_C)}$$

เมื่อ $R_l, r_C \to 0$ กลับเป็นผลของอุดมคติ T3–T8 ผลของแต่ละค่า:

- ESR $r_C$ เติมศูนย์ $f_z = 1/(2\pi r_CC)$ ใน $G_{vd}$, $G_{vg}$, $Z_{out}$ (เป็นศูนย์ในซีกซ้าย ให้เฟสเพิ่ม +90° และอัตราลดลงเหลือ −20 dB/dec เหนือ $f_z$) · ตัวอย่าง $r_C = 50$ mΩ, $C = 100\ \mu$F → $f_z = 31.8$ kHz

- ความต้านทานอนุกรม $R_l$ เพิ่มการหน่วง ($a_1$ เพิ่ม) ลด $Q$ และทำให้ $Z_{out}(0) = R\|R_l$ ไม่เป็นศูนย์ และลดอัตราขยาย DC ของ $G_{vd}$ ลง $\dfrac{R}{R+R_l}$

- $V_F$ และ $R_{on}-R_d$ เปลี่ยนเฉพาะอัตราขยายของ $G_{vd}$ ผ่าน $\beta$ (ใหญ่ขึ้นด้วย $V_F$ เล็กลงด้วย $R_{on}I_L$)

- เป็นสาเหตุที่ในทางปฏิบัติ $Q$ ของบั๊กอยู่ที่ 2–6 แทนที่จะสูงเป็นร้อย

ตัวเลข (D = 0.5144, $R_{on} = 50$ mΩ, $r_L = 0.1\ \Omega$, $V_F = 0.4$ V, ESR 50 mΩ ที่ R = 10 Ω): $R_l = 0.1257\ \Omega$, $\beta = 24.34$ V → DC $G_{vd}(0) = 24.04$ V (27.6 dB) · $f_0 = 922.3$ Hz · $Q = 3.67$ (อุดมคติ 5.77) · ยอด $|G_{vd}| = 89.0$ V = 39.0 dB ที่ประมาณ 906 Hz · $Z_{out}(0) = 0.124\ \Omega$ = $R\|R_l$ · ยอด $Z_{out} = 6.32\ \Omega$ ที่ 922 Hz · $Z_{in}(0) = 38.3\ \Omega$

## ฟังก์ชันถ่ายโอนใน DCM: ลดเหลืออันดับหนึ่ง ขั้นสูง

ใน DCM กระแส $i_L$ กลับเป็นศูนย์ทุกคาบ ค่าเฉลี่ยของมันถูกกำหนดทันทีจาก $d, v_g, v$ ไม่ใช่ตัวแปรสถานะอิสระ เหลือสถานะเดียวคือ $v_C$ จากหน้า DCM กระแสเฉลี่ย (แทน $D_2 = D_1(v_g - v)/v$ และ $i_{pk}$):

$$\langle i_L\rangle = \tfrac12\,i_{pk}\,(D_1 + D_2) = \frac{d^2\,T_s\,v_g\,(v_g - v)}{2L\,v} \equiv f(d, v_g, v)$$

สมการเดียวของระบบ $C\,\dot v = f(d,v_g,v) - v/R$ เป็นไม่เชิงเส้น ใช้การรบกวนเหมือนเดิม: $sC\hat v = \dfrac{\partial f}{\partial d}\hat d + \dfrac{\partial f}{\partial v_g}\hat v_g + \dfrac{\partial f}{\partial v}\hat v - \dfrac{\hat v}{R}$ คำนวณอนุพันธ์ย่อยที่จุดทำงาน (ใช้ $D^2/K = M^2/(1-M)$ จากหน้า DCM):

$$\frac{\partial f}{\partial d} = \frac{2V}{RD},\qquad \frac{\partial f}{\partial v_g} = \frac{M(2-M)}{(1-M)R},\qquad \frac{\partial f}{\partial v} = -\frac{1}{(1-M)R}$$

รวม $\dfrac1R + \dfrac1{(1-M)R} = \dfrac{2-M}{(1-M)R}$ แล้วแก้หา $\hat v$:

T11 DCM transfer functions (first order) ฟังก์ชันถ่ายโอนใน DCM (อันดับหนึ่ง)

$$G_{vd} = \frac{G_{d0}}{1 + s/\omega_p},\qquad G_{d0} = \frac{2V_o}{D}\cdot\frac{1-M}{2-M}$$

$$G_{vg} = \frac{M}{1 + s/\omega_p},\qquad \omega_p = \frac{2-M}{(1-M)\,RC}$$

$$Z_{out} = \frac{R_{eq}}{1 + sR_{eq}C},\qquad R_{eq} = R\,\frac{1-M}{2-M}$$

เทียบกับ CCM ($\Delta$ อันดับสอง): ไม่มีขั้วคู่ LC และไม่มียอดเรโซแนนซ์ ขั้วเดียว $f_p = \omega_p/2\pi$ ต่ำมาก (หลักสิบ Hz) เพราะขึ้นกับ RC ของโหลดเบา อัตราขยาย DC $G_{d0}$ และขั้ว $f_p$ เปลี่ยนตามโหลดและ $M$ ตัวอย่าง R = 100 Ω, D = 0.3873 ($M = 0.5$): $G_{d0} = \dfrac{2(12)}{0.3873}\cdot\dfrac{0.5}{1.5} = 20.66$ V (26.3 dB), $\omega_p = \dfrac{1.5}{0.5\times100\times100\mu} = 300$ rad/s ($f_p = 47.7$ Hz), $R_{eq} = 33.3\ \Omega$ เทียบกับ CCM ที่ R = 10 Ω มี $f_0 = 919$ Hz แบบสองขั้ว — ตัวชดเชยที่ออกแบบให้ CCM จึงต้องปรับสำหรับ DCM (ดูหน้าตัวชดเชย) ข้อจำกัด: แบบจำลองนี้ไม่รวมขั้วความถี่สูงใกล้ $f_s$ ที่เกิดจากกระแส $i_L$ ในแต่ละคาบ จึงใช้ได้ที่ความถี่ต่ำกว่าประมาณ $f_s/3$

## ต่อกับตัวควบคุม: PWM และลูปเกน กลาง

ตัวมอดูเลเตอร์ PWM เปรียบเทียบแรงดันควบคุม $v_c$ กับสัญญาณฟันเลื่อย (สูง $V_M$) ได้ $d = v_c/V_M$ → $\hat d = \hat v_c/V_M$ ดังนั้นฟังก์ชันถ่ายโอนจาก $\hat v_c$ ไปเอาต์พุตคือ $G_{vd}/V_M$ ลูปเกนของแรงดันป้อนกลับ $T(s) = G_c(s)\,\dfrac{G_{vd}(s)}{V_M}\,H$ เมื่อปิดวงแล้วฟังก์ชันอื่นๆ ที่ได้ในหน้านี้เปลี่ยนเป็น:

T12 Loop gain and closed-loop functions ลูปเกนและฟังก์ชันตอนปิดวง

$$T(s) = G_c(s)\,\frac{G_{vd}(s)}{V_M}\,H$$

$$Z_{out,cl} = \frac{Z_{out}}{1 + T},\qquad G_{vg,cl} = \frac{G_{vg}}{1 + T},\qquad \frac{\hat v_o}{\hat v_{ref}} = \frac{1}{H}\cdot\frac{T}{1+T}$$

ตัวอย่างความหมาย: ลูปเกนที่ $f$ = 100 Hz ขนาด 30 dB (≈ 32 เท่า) ลดผลของโหลดกระชากและของริปเปิลบนอินพุตลง 33 เท่า ที่ความถี่นั้น — นี่คือเหตุผลหลักของการป้อนกลับ และเป็นที่มาของโจทย์ออกแบบ $G_c$ ให้ $T$ มีครอสโอเวอร์สูงพอแต่ยังมีเฟสมาร์จิน

## ตัวอย่างวิธีทำ (ตรวจตัวเลขแล้ว)

โจทย์ฐาน: $V_g = 24$ V, $D = 0.5$, $R = 10\ \Omega$, $L = 300\ \mu$H, $C = 100\ \mu$F (อุดมคติ ยกเว้นระบุ)

ตัวอย่าง T-1

### หา Gvd ของบั๊กอุดมคติเป็นตัวเลข

- $LC = 3\times10^{-8}$ s², $L/R = 3\times10^{-5}$ s → $G_{vd} = \dfrac{24}{3\times10^{-8}s^2 + 3\times10^{-5}s + 1}$

- $\omega_0 = 1/\sqrt{3\times10^{-8}} = 5774$ rad/s → $f_0 = 918.9$ Hz · $Q = 10\sqrt{100\mu/300\mu} = 5.77$ → $\zeta = 0.0866$

- DC $= 24$ V = 27.6 dB · ที่ $f_0$: $|G_{vd}| = QV_g = 138.6$ V = 42.8 dB (สูงกว่า DC 15.2 dB = 20log Q) เฟส $-90^\circ$

- ตรวจด้วยเครื่องวัดเสมือนในแล็บ (ฉีดไซน์เข้าวงจรสวิตชิ่งจริง): ที่ 926 Hz วัดได้ 42.73 dB เฟส −95.0° ตรงกับทฤษฎี 42.73 dB, −95.0° · ที่ 20 Hz วัด 27.61 dB (ทฤษฎี 27.61 dB) ✓

ตัวอย่าง T-2

### แรงดันอินพุตกระโดด +2.4 V (10 %): Vo เปลี่ยนเท่าไรถ้าเปิดวง (Gvg)

- $G_{vg} = D/\Delta$ → ค่าสุดท้าย $\Delta V_o = D\Delta V_g = 0.5\times2.4 = 1.2$ V

- ระบบอันดับสอง $\zeta = 0.0866$ → overshoot $= e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} = e^{-0.273} = 0.761$ (76 %)

- ค่ายอด $\Delta V_{o,pk} = 1.2\times1.761 = 2.11$ V ที่เวลา $t_p = \pi/\omega_d = 0.546$ ms · จำลองสวิตชิ่งจริง (เปลี่ยน $V_g$ จาก 24 เป็น 26.4 V ที่ D = 0.5 คงที่) ได้ยอด +2.11 V ที่ 0.55 ms และค่าสุดท้าย +1.20 V ✓ — ใหญ่กว่าค่าสุดท้ายเกือบเท่าตัว → ต้องป้อนกลับหรือเพิ่มการหน่วง (ลด Q)

ตัวอย่าง T-3

### กระแสโหลดเปลี่ยน 1 A: Zout บอกอะไร (ค่าแฝงจริง)

- ใช้ค่าแฝงจริงตามหัวข้อก่อนหน้า ($R_l = 0.1257\ \Omega$, ESR 50 mΩ): $Z_{out}(0) = R\|R_l = 0.124\ \Omega$ → ค่าสุดท้ายหลังเปลี่ยนกระแส 1 A ลดแรงดัน $0.124$ V (ความต้านทานในวงจร)

- แต่ช่วงชั่วคราว $Z_{out}$ สูงสุดที่ $f_0$: $|Z_{out}| = 6.32\ \Omega$ → ปลายทางสั่นด้วยแอมพลิจูดสูง การตอบสนองต่อสเต็ปของ $-Z_{out}$ ให้ยอดตก $\approx 1.51$ V ต่อกระแส 1 A ก่อนจะนิ่งที่ −0.125 V

- สำหรับโหลดกระโดด 1.2 A (เต็มพิกัด): $\Delta V \approx 1.2\times1.51 = 1.8$ V ตกชั่วคราว (15 % ของ 12 V) — เปิดวงรับไม่ได้ ต้องใช้วงป้อนกลับที่ลด $Z_{out}$ ลง $1+T$ เท่า (T12) และตัวเก็บประจุที่ใหญ่ขึ้นหรือ ESR ต่ำ

ตัวอย่าง T-4

### โหลดเบาเข้า DCM: ฟังก์ชันถ่ายโอนเปลี่ยนจากสองขั้วเป็นหนึ่งขั้ว

- R = 100 Ω, L = 300 µH, fs = 50 kHz: $K = 0.3$; ต้องการ 12 V → D = 0.3873 ($M = 0.5$) ตามหน้า DCM

- T11: $G_{d0} = 20.66$ V (26.3 dB), $f_p = 47.7$ Hz, $G_{vg}(0) = M = 0.5$ (เท่า CCM), $R_{eq} = 33.3\ \Omega$

- ตรวจด้วยเครื่องวัดเสมือนบนวงจรสวิตชิ่งใน DCM: ที่ 20 Hz วัด 25.60 dB, ที่ 104 Hz 18.74 dB ขณะที่ทฤษฎี DCM ให้ 25.60 และ 18.73 dB (ขั้วเดียว −20 dB/dec หลัง 48 Hz) · ที่ 926 Hz วัด 0.54 dB — ไม่มียอดเรโซแนนซ์ ในขณะที่แบบจำลอง CCM ที่ R = 100 Ω ทำนายยอด 62.8 dB ที่ความถี่นั้น ซึ่งผิดอย่างมาก

- บทเรียน: ตัวชดเชยของโหลดหนัก (ขั้วคู่ที่ ~1 kHz) ใช้กับโหลดเบา (ขั้วเดียวที่ ~50 Hz) ไม่ได้ครอสโอเวอร์เปลี่ยนมาก

## แล็บ: สำรวจฟังก์ชันถ่ายโอนทั้ง 12 แบบ และวัดด้วยสวิตชิ่งจริง กลาง

เลือก อินพุต (สิ่งที่เปลี่ยน) และ เอาต์พุต (สิ่งที่วัด) แล้วเครื่องมือแสดงตัวเศษ ตัวส่วน DC ขั้ว ศูนย์ โบเด และการตอบสนองต่อสเต็ป ตารางล่างสุดสรุปทั้ง 12 ฟังก์ชันที่จุดทำงานนั้น ปุ่ม "วัดด้วยสวิตชิ่งจริง" ฉีดไซน์เล็กที่ความถี่ต่างๆ เข้าวงจรสวิตชิ่ง (ไม่ใช้สูตรใดๆ) แล้ววัดเอาต์พุตด้วยสหสัมพันธ์ จุดสีส้มควรตกบนเส้นทฤษฎี

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

### ใบงานทดลอง

ใบงาน T1 — พิสูจน์ Gvd: โหลดอุดมคติ เลือก d̂ → v̂o กด "วัดด้วยสวิตชิ่งจริง" จดความต่าง (dB, องศา) ที่ 5 ความถี่ แล้วหาความถี่ที่เริ่มต่างเกิน 0.1 dB (ควรเป็นราว fs/20) ทำไมจึงเริ่มต่าง

ใบงาน T2 — Gvg: เลือก v̂g → v̂o ตรวจว่า DC = D = 0.5 แล้วเปลี่ยน D เป็น 0.3 DC ต้องเป็น 0.3 · ยอดเรโซแนนซ์เหมือน Gvd หรือไม่

ใบงาน T3 — Zout: เลือก îx → v̂o ตรวจยอดที่ f0 = R = 10 Ω แล้วเปิดค่าแฝงจริงดูว่ายอดลดเหลือ 6.3 Ω

ใบงาน T4 — ESR zero: เลือก "มี ESR เท่านั้น" ใน Gvd ดูว่าเฟสที่ความถี่สูงดีขึ้นเพียงใด (เฟสไม่ถึง −180° เพราะศูนย์ที่ 31.8 kHz) ปรับ ESR จาก 0 → 50 → 200 mΩ แล้วดูว่าศูนย์เลื่อนไปที่ใด

ใบงาน T5 — DCM: โหลดตัวอย่างโหลดเบา (R = 100 Ω, D = 0.5) ดูโบเดทฤษฎี DCM (ขั้วเดียว เส้นฟ้า) เทียบกับเส้น CCM (ประเทา) และจุดวัดจากสวิตชิ่งจริง จุดตกบนเส้นไหน

ใบงาน T6 — เอาต์พุตอื่น: เลือก d̂ → îL (ศูนย์ที่ 159 Hz) แล้ว d̂ → îg ตรวจ DC ของ Gigd ว่าเป็น 2.4 A และลองขนาดสัญญาณรบกวน 16× (ใหญ่) ดูว่าจุดวัดเริ่มเบี่ยงเมื่อใด (ความไม่เชิงเส้น)

## สรุปและก้าวต่อไป

- ฟังก์ชันถ่ายโอนมีหลายแบบเพราะเลือก (อินพุต, เอาต์พุต) ต่างกัน — สูตรเดียว $C(sI-A)^{-1}B + E$ ครอบคลุมทุกแบบ ตัวส่วนร่วม $\Delta(s)$ = ขั้วของระบบ

- $G_{vd}$ ใช้ออกแบบตัวชดเชย · $G_{vg}$ ใช้ดูการรบกวนจากอินพุต · $Z_{out}$ ใช้ดูโหลดกระชาก · $Z_{in}$ ใช้ดูการอยู่ร่วมกับตัวกรองอินพุต · $G_{iLd}$ ใช้ออกแบบ current mode

- CCM มีขั้วคู่ LC (ยอดแหลม ขึ้นกับ Q) · DCM มีขั้วเดียว · ค่าแฝงลด Q และ ESR เติมศูนย์

ต่อไป: ออกแบบบั๊กครบวงจรและทดสอบโหลดหลายสภาวะ · ออกแบบตัวชดเชย Type II/III จาก $G_{vd}$ ที่ได้ · ภาพรวมแบบจำลองสัญญาณเล็กของบูสต์และบั๊ก-บูสต์ · Bode plot

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมบั๊กคอนเวอร์เตอร์ถึงมีฟังก์ชันถ่ายโอนหลายแบบ?
เพราะระบบมีหลายอินพุต (ดิวตี้ แรงดันอินพุต กระแสโหลด) และหลายเอาต์พุต (แรงดันขาออก กระแสตัวเหนี่ยวนำ กระแสอินพุต) ฟังก์ชันถ่ายโอนแต่ละแบบคืออัตราส่วนของเอาต์พุตหนึ่งต่ออินพุตหนึ่งขณะที่อินพุตอื่นเป็นศูนย์ ทุกแบบมีตัวส่วนเดียวกัน (ขั้วเดียวกัน) ต่างกันที่ตัวเศษ

Gvd ของบั๊กคืออะไรและใช้ทำอะไร?
Gvd = v̂o/d̂ คือฟังก์ชันถ่ายโอนจากดิวตี้ไปแรงดันขาออก ในบั๊กอุดมคติเท่ากับ Vin/(LC·s² + (L/R)·s + 1) มีขั้วคู่ที่ f0 = 1/(2π√LC) ใช้ออกแบบตัวชดเชยของวงป้อนกลับแบบ voltage mode

Zout ของบั๊กบอกอะไร?
Zout คืออิมพีแดนซ์ที่โหลดมองเข้าไปในวงจร ใช้ประเมินว่าแรงดันขาออกตกเท่าไรเมื่อกระแสโหลดเปลี่ยน ΔVo ≈ ΔIo·|Zout| ในบั๊กเปิดวงเท่ากับ sL ∥ 1/(sC) ∥ R เมื่อปิดวงป้อนกลับจะเล็กลงเป็น Zout/(1+T)

ใน DCM ฟังก์ชันถ่ายโอนต่างจาก CCM อย่างไร?
ใน DCM กระแสตัวเหนี่ยวนำไม่ใช่ตัวแปรสถานะอิสระ ระบบลดเหลืออันดับหนึ่ง Gvd = Gd0/(1 + s/ωp) โดย Gd0 = (2Vo/D)(1−M)/(2−M) และ ωp = (2−M)/((1−M)RC) ไม่มีขั้วคู่ LC และไม่มียอดเรโซแนนซ์ ตัวชดเชยที่ออกแบบสำหรับ CCM จึงผิดทันทีที่เข้า DCM

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมบั๊กคอนเวอร์เตอร์ถึงมีฟังก์ชันถ่ายโอนหลายแบบ?**
เพราะระบบมีหลายอินพุต (ดิวตี้ แรงดันอินพุต กระแสโหลด) และหลายเอาต์พุต (แรงดันขาออก กระแสตัวเหนี่ยวนำ กระแสอินพุต) ฟังก์ชันถ่ายโอนแต่ละแบบคืออัตราส่วนของเอาต์พุตหนึ่งต่ออินพุตหนึ่งขณะที่อินพุตอื่นเป็นศูนย์ ทุกแบบมีตัวส่วนเดียวกัน (ขั้วเดียวกัน) ต่างกันที่ตัวเศษ

**Gvd ของบั๊กคืออะไรและใช้ทำอะไร?**
Gvd = v̂o/d̂ คือฟังก์ชันถ่ายโอนจากดิวตี้ไปแรงดันขาออก ในบั๊กอุดมคติเท่ากับ Vin/(LC·s² + (L/R)·s + 1) มีขั้วคู่ที่ f0 = 1/(2π√LC) ใช้ออกแบบตัวชดเชยของวงป้อนกลับแบบ voltage mode

**Zout ของบั๊กบอกอะไร?**
Zout คืออิมพีแดนซ์ที่โหลดมองเข้าไปในวงจร ใช้ประเมินว่าแรงดันขาออกตกเท่าไรเมื่อกระแสโหลดเปลี่ยน ΔVo ≈ ΔIo·|Zout| ในบั๊กเปิดวงเท่ากับ sL ∥ 1/(sC) ∥ R เมื่อปิดวงป้อนกลับจะเล็กลงเป็น Zout/(1+T)

**ใน DCM ฟังก์ชันถ่ายโอนต่างจาก CCM อย่างไร?**
ใน DCM กระแสตัวเหนี่ยวนำไม่ใช่ตัวแปรสถานะอิสระ ระบบลดเหลืออันดับหนึ่ง Gvd = Gd0/(1 + s/ωp) โดย Gd0 = (2Vo/D)(1−M)/(2−M) และ ωp = (2−M)/((1−M)RC) ไม่มีขั้วคู่ LC และไม่มียอดเรโซแนนซ์ ตัวชดเชยที่ออกแบบสำหรับ CCM จึงผิดทันทีที่เข้า DCM

---

# ออกแบบตัวชดเชย Type I II III ด้วยวิธี k-factor และ Peak Current Mode กับ Slope Compensation

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/compensator-design/
Updated: 2026-10-13
Summary: ออกแบบตัวชดเชย (compensator) ของคอนเวอร์เตอร์ DC-DC ด้วยออปแอมป์: เป้าหมายลูป phase margin gain margin ข้อจำกัดความถี่ครอสโอเวอร์ วิธี k-factor ของ Venable สูตรค่า R C ของ Type II และ Type III ตัวอย่างบั๊ก 24 V ได้ fc 5.4 kHz PM 62° ตรวจด้วย python-control และ peak current mode กับ slope compensation

// บทที่ 15.11 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Compensator Design

# ออกแบบตัวชดเชย Type I II III ด้วยวิธี k-factor และ Peak Current Mode กับ Slope Compensation

เป้าหมายลูป เฟสมาร์จิน ขีดจำกัดความถี่ครอสโอเวอร์ สูตรค่า R C ของ Type II/III ด้วย k-factor ตัวอย่างบั๊กที่ตรวจด้วย python-control และ peak current mode

สรุปใน 30 วินาที

- $f_c \le f_s/10$ และ $\le f_{RHPZ}/5$, PM 45–70°

- Boost เฟส = PM − P − 90° แล้วเลือก Type ตามที่ต้องการ

- Type III: $k = \tan^2(\text{Boost}/4 + 45^\circ)$

- PCMC ที่ D มากกว่า 0.5 ต้อง slope comp $m_a \ge m_2/2$

## เป้าหมายของลูป

$T(s) = G_c(s)\,F_m\,G_{vd}(s)\,H$ ต้องให้

- ความถี่ตัดข้าม $f_c$: สูงพอให้ตอบสนองเร็ว แต่ต่ำกว่าขีดจำกัดทางกายภาพ

- Phase margin 45–70° (60° ≈ overshoot ต่ำ, ไม่ช้าเกิน), Gain margin ≥ 10 dB

- อินทิเกรเตอร์ที่ DC → ความผิดพลาดสถานะคงตัวเป็นศูนย์

|
ข้อจำกัดของ $f_c$ |
เหตุผล |

|
$f_c \le f_s/10$ (อนาล็อก), $\le f_s/20$ (ดิจิทัล) |
สมมติฐานการเฉลี่ย + delay ของการสุ่ม |

|
$f_c \le f_{RHPZ}/5$ |
boost / buck-boost (ประเมินที่ $V_{in,min}$, $I_{max}$) |

|
$f_c$ ต่ำกว่าเรโซแนนซ์ของ input filter |
เกณฑ์ Middlebrook |

## ชนิดตัวชดเชย (Op-amp, ป้อนจาก $R_1$ เข้าขา inverting)

|
ชนิด |
ฟังก์ชันถ่ายโอน |
ให้เฟสเพิ่ม |
ใช้กับ |

|
Type I |
$\dfrac{1}{sR_1C_1}$ |
0° |
ระบบขั้วเดียวช้าๆ |

|
Type II |
$\dfrac{1+sR_2C_1}{sR_1(C_1+C_2)\left(1+sR_2\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\right)}$ |
สูงสุด 90° |
Current mode, DCM, buck ที่ ESR zero ต่ำ |

|
Type III |
Type II × $\dfrac{1+s(R_1+R_3)C_3}{1+sR_3C_3}$ |
สูงสุด 180° |
Voltage mode CCM (ขั้วคู่ LC) |

## วิธี k-factor (Venable)

- เลือก $f_c$ และ PM; อ่านเฟสพืช $P$ (องศา, ติดลบ) และขนาด $|F_mG_{vd}H|$ ที่ $f_c$ → $G = 1/|F_mG_{vd}H|$

- เฟสที่ต้องเพิ่ม: $\text{Boost} = PM - P - 90^\circ$

- Type II: $k=\tan(\text{Boost}/2+45^\circ)$ แล้ว

C1 Type II component values (k-factor) ค่า R C ของ Type II

$$C_2=\frac{1}{2\pi f_c G R_1 k},\quad C_1=C_2(k^2-1),\quad R_2=\frac{k}{2\pi f_c C_1}$$

- Type III: $k=\tan^2(\text{Boost}/4+45^\circ)$ แล้ว

C2 Type III component values (k-factor) ค่า R C ของ Type III

$$C_2=\frac{1}{2\pi f_c G R_1},\; C_1=C_2(k-1),\; R_2=\frac{\sqrt k}{2\pi f_cC_1},\; R_3=\frac{R_1}{k-1},\; C_3=\frac{1}{2\pi f_c\sqrt k R_3}$$

ศูนย์คู่อยู่ที่ $f_c/\sqrt k$, ขั้วคู่ที่ $f_c\sqrt k$

## ตัวอย่าง: Buck voltage mode (ค่าเดียวกับซิมูเลเตอร์)

$V_{in}=24$ V, $L=C=100\ \mu$, ESR 20 mΩ, $R=10\ \Omega$, $f_s=50$ kHz, $V_M=1$ V, ตัวแบ่ง $H = 2.5/12 = 0.208$

- $f_0 = 1.59$ kHz, $Q = 10$, $f_{esr}=79.6$ kHz → เลือก $f_c = 5$ kHz

- $|G_{vd}(f_c)| \approx V_{in}(f_0/f_c)^2 = 2.43$ → $|F_mG_{vd}H| = 0.506$ → $G = 1.98$

- $P\approx -176^\circ$ → Boost $= 60+176-90=146^\circ$ → Type III, $k = \tan^2(81.5^\circ)=44.8$

- $R_1 = 10\text{ k}\Omega$: $C_2=1.6$ nF, $C_1=70$ nF, $R_2=3.0$ kΩ, $R_3=228\ \Omega$, $C_3=21$ nF

- ศูนย์ที่ 747 Hz (ต่ำกว่า $f_0$ — ดี), ขั้วที่ 33 kHz (ต่ำกว่า $f_s$)

Q สูง $Q=10$ แปลว่ายอดเรโซแนนซ์ +20 dB — ถ้าโหลดเบาลง Q สูงขึ้นอีก ตรวจ gain margin ที่โหลดน้อยสุดเสมอ และตรวจทุกมุมของ $V_{in}$, $I_o$, อุณหภูมิ, tolerance ของ L/C (±20–30%)

### สคริปต์ตรวจลูป

s=ct.tf('s'); Vin,L,C,R,ESR,H,VM=24,100e-6,100e-6,10,0.02,0.208,1
Gvd=Vin*(1+s*ESR*C)/(L*C*s**2+(L/R+ESR*C)*s+1)
R1,R2,R3,C1,C2,C3=10e3,3.0e3,228,70e-9,1.6e-9,21e-9
Gc=(1+s*R2*C1)*(1+s*(R1+R3)*C3)/(s*R1*(C1+C2)*(1+s*R2*C1*C2/(C1+C2))*(1+s*R3*C3))
T=Gc*Gvd*H/VM
gm,pm,wg,wc=ct.margin(T); print(f"fc={wc/2/np.pi:.0f} Hz PM={pm:.1f} deg GM={20*np.log10(gm):.1f} dB")

## Peak current mode (PCMC)

ลูปในวัดกระแสพีกของ L/สวิตช์ ลูปนอกสร้างค่าอ้างอิงกระแส $i_c$ ผลคือ L "หายไป" จากลูปนอก:

C3 PCMC control-to-output (buck) ฟังก์ชันถ่ายโอนโหมดกระแส

$$G_{vc}(s)\approx \frac{R}{R_i}\cdot\frac{1+s\,ESR\,C}{1+sRC}\cdot F_h(s)\quad(\text{buck})$$

โดย $R_i$ คือ gain ของการวัดกระแส (V/A), $F_h$ คือผลของการสุ่ม (ขั้วคู่ที่ $f_s/2$)

Slope compensation: เมื่อ $D>0.5$ การรบกวนกระแสจะขยายทุกคาบ (subharmonic oscillation) เงื่อนไขเสถียร:

C4 Slope compensation condition เงื่อนไขความชันชดเชย

$$m_a \ge \tfrac12 m_2,\qquad Q_{f_s/2}=\frac{1}{\pi\left(m_cD'-0.5\right)},\; m_c = 1+\frac{m_a}{m_1}$$

เลือก $m_a \approx 0.5$–$1\times m_2$ ให้ $Q \approx 1$ ($m_2$ = ความชันขาลงของกระแส; buck: $V_o/L$)

ตัวชดเชย Type II สำหรับ PCMC: วางศูนย์ที่ขั้วโหลด $1/(2\pi RC)$ (ที่โหลดเต็ม), ขั้วที่ $f_{esr}$ หรือ $f_s/2$ ตัวเลือกใด ต่ำกว่า, $f_c \approx f_s/10$

ทดลองในซิม: ตั้ง Boost, PCMC, slope k = 0 → สังเกตกระแสแกว่งที่ $f_s/2$ (คาบคู่-คาบคี่ไม่เท่ากัน) → เพิ่ม k = 0.5 แล้วหายไป

## ทางเลือกอื่นระดับปริญญาโท

Average current mode (PFC, charger), V² / COT, Sliding-mode, Model predictive control (MPC), Robust $H_\infty$ — จะเพิ่มในบทถัดไป

## คำถามที่พบบ่อย

เลือก Type II หรือ Type III อย่างไร?
ดูเฟสที่ต้องเพิ่ม ถ้าน้อยกว่า 90° ใช้ Type II ได้ ซึ่งมักเป็นกรณี current mode หรือ DCM ถ้าพืชมีขั้วคู่ LC ที่ทำให้เฟสตกเกือบ 180° อย่าง voltage mode ใน CCM ต้องใช้ Type III ที่ให้เฟสได้ถึง 180°

subharmonic oscillation คืออะไร?
ใน peak current mode เมื่อ duty เกิน 0.5 การรบกวนของกระแสตัวเหนี่ยวนำจะขยายขึ้นทุกคาบ เห็นเป็นกระแสคาบคู่คาบคี่ไม่เท่ากันที่ความถี่ fs/2 แก้ด้วยการเพิ่มความชันชดเชยอย่างน้อยครึ่งหนึ่งของความชันขาลงของกระแส

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เลือก Type II หรือ Type III อย่างไร?**
ดูเฟสที่ต้องเพิ่ม ถ้าน้อยกว่า 90° ใช้ Type II ได้ ซึ่งมักเป็นกรณี current mode หรือ DCM ถ้าพืชมีขั้วคู่ LC ที่ทำให้เฟสตกเกือบ 180° อย่าง voltage mode ใน CCM ต้องใช้ Type III ที่ให้เฟสได้ถึง 180°

**subharmonic oscillation คืออะไร?**
ใน peak current mode เมื่อ duty เกิน 0.5 การรบกวนของกระแสตัวเหนี่ยวนำจะขยายขึ้นทุกคาบ เห็นเป็นกระแสคาบคู่คาบคี่ไม่เท่ากันที่ความถี่ fs/2 แก้ด้วยการเพิ่มความชันชดเชยอย่างน้อยครึ่งหนึ่งของความชันขาลงของกระแส

---

# เลือกชิปควบคุมและไมโครคอนโทรลเลอร์สำหรับคอนเวอร์เตอร์: รุ่นปัจจุบันและรุ่นที่ไม่ตกยุค

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/controller-selection/
Updated: 2026-10-13
Summary: แนวทางเลือกตัวควบคุมคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: ชิปอนาล็อกที่แข็งแกร่งไม่ตกยุค TL494 SG3525 UC3843 TL431 ชิปรุ่นปัจจุบัน LM5146 LTC3891 LM5122 LT8390 LM5175 LT3757 ไมโครคอนโทรลเลอร์ TI C2000 STM32G474 HRTIM dsPIC33 gate driver และสถาปัตยกรรมอนาล็อก + MCU

// บทที่ 15.18 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Controller & MCU Selection

# เลือกชิปควบคุมและไมโครคอนโทรลเลอร์สำหรับคอนเวอร์เตอร์: รุ่นปัจจุบันและรุ่นที่ไม่ตกยุค

กรอบการตัดสินใจ ชิปอนาล็อกคลาสสิก TL494 SG3525 UC3843 TL431 ชิปรุ่นปัจจุบัน MCU C2000 STM32G4 dsPIC33 gate driver และคำเตือนเรื่องของปลอม

สรุปใน 30 วินาที

- สอน: ออปแอมป์ล้วนหรือ TL494

- ผลิตจริง: ชิปควบคุมเฉพาะทาง + MCU กำกับ

- ลูปเร็วดิจิทัล: C2000, STM32G474 HRTIM, dsPIC33

- ESP32 เหมาะลูปช้า (MPPT, monitor)

ก่อนสั่งซื้อ ตรวจ สถานะผลิตภัณฑ์ (Active/NRND), ดาต้าชีตฉบับล่าสุด และแหล่งจำหน่ายที่เชื่อถือได้ — ชิปยอดนิยม (LM2596, UC3843, IR2110) มี ของปลอม จำนวนมากในตลาดออนไลน์

สำหรับงานโซลาร์ ชาร์จคอนโทรลเลอร์ PWM/MPPT เกณฑ์เลือกอินเวอร์เตอร์ ชิปชาร์จ MPPT และ MCU สำหรับอินเวอร์เตอร์เชื่อมกริด อยู่ที่ เลือกตัวควบคุมโซลาร์

## กรอบการตัดสินใจ

|
คำถาม |
ถ้าใช่ → |

|
เพื่อการสอน/เข้าใจทุกบล็อก |
Op-amp + comparator ล้วน หรือ TL494 |

|
ผลิตใช้งานจริง ต้องการเชื่อถือได้ เร็ว |
ชิปควบคุมเฉพาะทาง (อนาล็อก) |

|
ต้องการโหมดหลายแบบ/สื่อสาร/บันทึกข้อมูล/อัลกอริทึมขั้นสูง |
MCU/DSP ควบคุมดิจิทัล |

|
ต้องการทั้งสองอย่าง |
ชิปอนาล็อกคุมลูปเร็ว + MCU กำกับ (ปรับ Vref, ตรวจ, สื่อสาร) — สถาปัตยกรรมที่แนะนำสำหรับงานส่วนใหญ่ |

## ชิปอนาล็อก "ตัวกลางที่แข็งแกร่ง ไม่ตกยุค"

|
ชิป |
โหมด |
เด่น |

|
TL494 / KA7500 |
Voltage mode |
2 error amp, dead-time, สอนได้ครบ, หาง่ายมาก |

|
SG3525 |
Voltage mode |
soft-start, push-pull, เหมาะ half/full-bridge |

|
UC3843/UC2843 |
Peak current mode |
มาตรฐานอุตสาหกรรมของ flyback/forward/boost |

|
TL431 |
Shunt reference + error amp |
ใช้คู่ optocoupler ในวงจรแยกฉนวน |

## ชิปควบคุมรุ่นปัจจุบัน (ตัวอย่างที่ใช้แพร่หลาย)

|
งาน |
ตัวอย่าง |
หมายเหตุ |

|
Synchronous buck แรงดันสูง |
TI LM5146 (100 V, voltage mode + feedforward), ADI LTC3891 (60 V, current mode) |
กำหนด fs/compensation เองได้ — ดีต่อการเรียนตัวชดเชย |

|
Synchronous boost |
TI LM5122, ADI LTC3786 |
|

|
4-switch buck-boost |
ADI LT8390, TI LM5175 |
แบตเตอรี่, USB-PD, รถยนต์ |

|
หลายโทโพโลยี (boost/SEPIC/inverting/flyback) |
ADI LT3757 |
ใช้ทำ Ćuk/inverting ได้ |

|
Converter แบบรวมสวิตช์ (ทำแลปเร็ว) |
LM2596 (รุ่นเก่า, 150 kHz), MP1584, TPS5430 |
ระวังของปลอม |

## ไมโครคอนโทรลเลอร์สำหรับควบคุมดิจิทัล

|
ตระกูล |
จุดเด่นด้าน power |
เหมาะกับ |

|
TI C2000 (F28003x, F28P55x, F28P65x) |
HRPWM, CLA (co-processor), comparator subsystem, ไลบรารี DCL/digital power |
อุตสาหกรรม, อินเวอร์เตอร์, EV charger, งานวิจัย |

|
STM32G474 |
HRTIM 184 ps, 5 ADC, comparator+DAC, CORDIC/FMAC |
งานทั่วไปคุ้มราคา, การสอน (มีบอร์ด Nucleo/Discovery) |

|
Microchip dsPIC33CK/CH, dsPIC33A |
PWM ความละเอียดสูง, DSP engine, เครื่องมือ MPLAB PowerSmart |
SMPS ดิจิทัล, ชาร์จเจอร์ |

|
ESP32-S3 / RP2040/RP2350 |
WiFi/ราคาถูก |
ลูปช้า: MPPT, ชาร์จแบต, monitor, IoT — ไม่ใช่ลูปกระแสเร็ว |

คำแนะนำสำหรับห้องแลปมหาวิทยาลัย: STM32G474 Nucleo (ราคาถูก, HRTIM) หรือ C2000 LaunchPad F280039C (ใช้กันมากในอุตสาหกรรมและเอกสารการสอนเยอะ)

## Gate driver

|
งาน |
ตัวอย่าง |

|
Low-side |
UCC27511/UCC27517, TC4420 |

|
Half-bridge bootstrap ≤100–120 V |
UCC27211, IR2184/IR2110 (คลาสสิก) |

|
แยกฉนวน (SiC, high-side สูง) |
UCC21520, Si823x, 1ED-series |

|
GaN |
ใช้ driver เฉพาะ GaN (แรงดันเกตจำกัด ~6 V) หรือ GaN แบบมี driver ในตัว |

## Op-amp และ comparator

ดูตารางใน การควบคุมแบบอนาล็อก — หลัก: GBW ≥ 10× ความต้องการ, rail-to-rail ถ้าแหล่งจ่ายต่ำ, ทน common-mode ของการวัดกระแส

## คำถามที่พบบ่อย

ห้องแล็บมหาวิทยาลัยควรเลือก MCU ตัวไหนสอนควบคุมดิจิทัล?
STM32G474 บนบอร์ด Nucleo ราคาถูกและมี HRTIM ความละเอียดสูง หรือ C2000 LaunchPad ที่ใช้มากในอุตสาหกรรมและมีเอกสารการสอนจำนวนมาก ทั้งสองมี comparator ในตัวสำหรับป้องกันกระแสเกินแบบรอบต่อรอบ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ห้องแล็บมหาวิทยาลัยควรเลือก MCU ตัวไหนสอนควบคุมดิจิทัล?**
STM32G474 บนบอร์ด Nucleo ราคาถูกและมี HRTIM ความละเอียดสูง หรือ C2000 LaunchPad ที่ใช้มากในอุตสาหกรรมและมีเอกสารการสอนจำนวนมาก ทั้งสองมี comparator ในตัวสำหรับป้องกันกระแสเกินแบบรอบต่อรอบ

---

# แล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: ออสซิลโลสโคป ฟังก์ชันเจนเนอเรเตอร์ แหล่งจ่าย โหลด และคำนวณตัวเหนี่ยวนำ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/converter-lab/
Updated: 2026-10-13
Summary: แล็บเสมือนคอนเวอร์เตอร์ DC-DC ฟรีบนเว็บ: จำลองทุกจังหวะการสวิตช์ของบั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ ชุค เลือกแหล่งจ่ายแบตเตอรี่ ไฟบ้าน 220 V 50 Hz ผ่านหม้อแปลงและบริดจ์ หรือแผงโซลาร์ โหลดตัวต้านทาน กระแสคงที่ step load ตัวควบคุม open loop PI peak current mode MPPT ออสซิลโลสโคป 2 ช่อง ฟังก์ชันเจนเนอเรเตอร์ เครื่องคำนวณตัวเหนี่ยวนำ และใบงาน 10 ชุด

// บทที่ 15.22 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · DC-DC Converter Simulator Lab

# แล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: ออสซิลโลสโคป ฟังก์ชันเจนเนอเรเตอร์ แหล่งจ่าย โหลด และคำนวณตัวเหนี่ยวนำ

ซิมูเลเตอร์ระดับการสวิตช์ของบั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ ชุค กับแบตเตอรี่ ไฟบ้าน โซลาร์ โหลด 3 แบบ ตัวควบคุม 4 โหมด สโคป 2 ช่อง ฟังก์ชันเจนฯ คำนวณ L และใบงาน 10 ชุด

สรุปใน 30 วินาที

- จำลองทุกจังหวะสวิตช์ ไม่ใช่แบบเฉลี่ย

- แหล่งจ่าย 3 แบบ โหลด 3 แบบ ตัวควบคุม 4 โหมด

- สโคปเป็นเอนเวโลป min–max ไม่เกิด aliasing

- ใบงาน 10 ชุด กดปุ่มโหลด preset ได้ทันที

ซิมูเลเตอร์นี้คำนวณ ทุกจังหวะการสวิตช์จริง (ไม่ใช่แบบเฉลี่ย) ด้วยขั้นเวลา ~1/120 ของคาบ รวมผลของ $R_{ds(on)}$, $V_F$ ไดโอด, DCR ขด, ESR ตัวเก็บประจุ, CCM/DCM และอิมพีแดนซ์ของแหล่งจ่าย ทำงานในเบราว์เซอร์ทั้งหมด

## วิธีใช้

|
ส่วน |
ใช้ทำอะไร |

|
① แหล่งจ่าย |
แบตเตอรี่ / ไฟบ้าน 220 V 50 Hz ผ่านหม้อแปลง+บริดจ์ / แผงโซลาร์ |

|
② ภาคกำลัง |
ความถี่สวิตช์, L, C, ค่าแฝง |

|
③ โหลด |
ตัวต้านทาน / กระแสคงที่ (e-load) / step load |

|
④ ตัวควบคุม |
Open loop, Voltage-mode PI ดิจิทัล, Peak current mode + slope compensation, MPPT |

|
⑤ ฟังก์ชันเจนฯ |
ฉีด square/sine/triangle เข้าที่ Vref หรือ Duty |

|
สโคป |
เลือกสัญญาณ 2 ช่อง, time/div, ค่าเฉลี่ย/p-p แสดงอัตโนมัติ (ภาพเป็นเอนเวโลป min–max จึงไม่เกิด aliasing) |

|
⑥ คำนวณ L/C |
หา L, C, จำนวนรอบ, $B_{pk}$, ขนาดลวด แล้วกด "ใช้ค่านี้ในซิม" |

ขอบเขตของแบบจำลอง สวิตช์และไดโอดเป็นแบบอุดมคติ + ค่าแฝงหลัก ไม่จำลอง ringing จาก L/C แฝงของ PCB, reverse recovery, การอิ่มตัวของแกน และความร้อน — ปรากฏการณ์เหล่านี้ต้องเรียนจาก เทคนิคเชิงช่าง และการวัดจริง

## ใบงานทดลอง

แลป 1 — Volt-second balance (Buck): Open loop, D = 0.3, 0.5, 0.7 บันทึก Vout เทียบ $DV_{in}$ อธิบายความต่างด้วย $R_{ds(on)}$, $V_F$

แลป 2 — Ripple และ CCM/DCM: CH1 = iL, เพิ่ม R จาก 10 → 200 Ω หาค่า R ที่เริ่มเข้า DCM เทียบสูตร $K_{crit}$

แลป 3 — ออกแบบตัวเหนี่ยวนำ: ใช้ส่วน ⑥ ออกแบบ ΔiL = 20% แล้วยืนยัน ΔiL ในสโคป

แลป 4 — Boost และขีดจำกัดอัตราขยาย: Open loop เพิ่ม D จาก 0.5 → 0.95 พร้อม ESR(L) = 0.2 Ω วาดกราฟ $V_o$–$D$ หาจุดสูงสุด

แลป 5 — Step load และตัวชดเชย: Voltage-mode PI, step load 10 → 5 Ω ปรับ Kp, Ki ดู overshoot/settling บันทึกค่าที่ดีที่สุด

แลป 6 — Peak current mode & subharmonic: Boost, PCMC, slope k = 0 → 0.5 → 1 บันทึกรูปคลื่น iL

แลป 7 — วัด $G_{vd}$ ด้วยฟังก์ชันเจนฯ: Buck open loop, ฉีด sine เข้า Duty แอมพลิจูด 0.01 ที่ 200 Hz – 10 kHz วัด p-p ของ Vout คำนวณ $|G_{vd}| = \Delta V_{o,pp}/0.02$ เทียบกับสูตร หา $f_0$ จากยอดเรโซแนนซ์

แลป 8 — แหล่งจ่ายไฟบ้าน: เลือกไฟบ้าน 24 Vrms, Cin 1000 µF, time/div 5 ms ดู ripple 100 Hz ที่ Vin และดูว่าลูป PI กำจัดออกจาก Vout ได้แค่ไหน ลด Cin ลงจนลูปไม่ไหว

แลป 9 — โซลาร์ + MPPT: แหล่ง = โซลาร์, ตัวควบคุม = MPPT, เปลี่ยน G = 1000 → 500 W/m² ดู Vin และ Pin ปรับ R โหลดให้ระบบหา MPP ได้

แลป 10 — Ćuk: ลด C1 ทีละขั้น ดูริปเปิลและการหน่วงของ VC1, เปรียบเทียบ ripple ของกระแสขาเข้า (CH = Iin) กับ Buck-Boost

## ต่อยอดสู่ของจริง

เมื่อได้ค่าจากซิม → ออกแบบตัวเหนี่ยวนำ → เลือกตัวควบคุม → แหล่งจ่ายทดสอบ → bring-up ตาม เทคนิคเชิงช่าง

## คำถามที่พบบ่อย

ซิมูเลเตอร์นี้ต่างจาก SPICE อย่างไร?
เป็นแบบจำลองระดับการสวิตช์ที่รวมค่าแฝงหลักคือ Rds(on) Vf DCR ESR และอิมพีแดนซ์ของแหล่งจ่าย ทำงานในเบราว์เซอร์ทันทีโดยไม่ต้องติดตั้ง แต่ไม่จำลอง ringing จากค่าแฝงของ PCB reverse recovery การอิ่มตัวของแกน และความร้อน ซึ่งต้องเรียนจากการวัดจริงหรือ SPICE

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ซิมูเลเตอร์นี้ต่างจาก SPICE อย่างไร?**
เป็นแบบจำลองระดับการสวิตช์ที่รวมค่าแฝงหลักคือ Rds(on) Vf DCR ESR และอิมพีแดนซ์ของแหล่งจ่าย ทำงานในเบราว์เซอร์ทันทีโดยไม่ต้องติดตั้ง แต่ไม่จำลอง ringing จากค่าแฝงของ PCB reverse recovery การอิ่มตัวของแกน และความร้อน ซึ่งต้องเรียนจากการวัดจริงหรือ SPICE

---

# ชุคคอนเวอร์เตอร์ (Ćuk Converter): ตัวเก็บประจุคัปปลิ้ง การออกแบบ การหน่วง และ zero ripple

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/cuk-converter/
Updated: 2026-10-13
Summary: ชุคคอนเวอร์เตอร์ (Ćuk converter) ละเอียด: การทำงานผ่านตัวเก็บประจุคัปปลิ้ง VC1 = Vin + |Vo| อัตราส่วน −D/(1−D) สมการออกแบบ L1 L2 C1 C2 กระแส RMS ของ C1 ไดนามิกอันดับสี่ การหน่วงด้วย RC coupled inductor และ ripple steering พร้อมซิมูเลชัน

// บทที่ 15.9 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Ćuk Converter

# ชุคคอนเวอร์เตอร์ (Ćuk Converter): ตัวเก็บประจุคัปปลิ้ง การออกแบบ การหน่วง และ zero ripple

ถ่ายโอนพลังงานผ่านตัวเก็บประจุ C1 สมการออกแบบ L1 L2 C1 ไดนามิกอันดับสี่และการหน่วง coupled inductor กับกระแสริปเปิลเกือบศูนย์

สรุปใน 30 วินาที

- $V_{C1} = V_{in}+|V_o|$, $V_o/V_{in} = -D/(1-D)$

- กระแสทั้งขาเข้าและขาออกต่อเนื่อง → EMI ต่ำ

- C1 ต้องเป็นฟิล์มหรือเซรามิก รับ RMS สูง

- อันดับสี่ → ต้องหน่วงเรโซแนนซ์ก่อนปิดลูป

คิดค้นโดย Slobodan Ćuk (Caltech, 1976) — เป็น boost ต่ออนุกรมกับ buck โดยใช้ตัวเก็บประจุ $C_1$ เป็นตัวถ่ายโอนพลังงานแทนตัวเหนี่ยวนำ

## การทำงาน

- ON (Q นำ): $L_1$ รับพลังงานจาก $V_{in}$; $C_1$ คายประจุผ่าน Q ไปยัง $L_2$ และโหลด

- OFF (D นำ): $L_1$ ชาร์จ $C_1$ ผ่านไดโอด; $L_2$ ปล่อยพลังงานให้โหลดผ่านไดโอด

Volt-second บน $L_1$ และ $L_2$:

K1 Coupling-capacitor voltage แรงดันบน C1

$$V_{in}D + (V_{in}-V_{C1})(1-D)=0 \Rightarrow V_{C1}=\frac{V_{in}}{1-D} = V_{in}+\lvert V_o\rvert$$

K2 Ćuk conversion ratio อัตราส่วนแปลงผัน

$$(V_{C1}+V_o)D + V_o(1-D)=0 \Rightarrow \boxed{\frac{V_o}{V_{in}} = -\frac{D}{1-D}}$$

Charge balance บน $C_1$: $I_{L1}(1-D) = I_{L2}D$ → $I_{L1} = I_{in}$, $I_{L2}=I_o$

## สมการออกแบบ

K3 Ćuk design ripples สมการออกแบบ

$$\Delta i_{L1} = \frac{V_{in}D}{L_1 f_s},\quad
\Delta i_{L2} = \frac{V_{in}D}{L_2 f_s},\quad
\Delta v_{C1} = \frac{I_o D}{C_1 f_s},\quad
\Delta v_o = \frac{\Delta i_{L2}}{8C_2 f_s}$$

$C_1$ รับ RMS current สูง: $I_{C1,rms}=\sqrt{I_{L1}^2(1-D)+I_{L2}^2D}$ → ใช้ฟิล์ม (PP) หรือเซรามิกแรงดันสูง ห้ามใช้อิเล็กโตรไลต์ ต้องทนแรงดัน $\ge 1.5(V_{in}+\lvert V_o\rvert)$

## ไดนามิกอันดับสี่และการหน่วง

สถานะ 4 ตัว ($i_{L1}, i_{L2}, v_{C1}, v_{C2}$) ทำให้มีขั้วคู่ซับซ้อนสองคู่ เรโซแนนซ์ $L_1$–$C_1$ และ $L_2$–$C_1$ มักมี Q สูง และ $G_{vd}$ มีคู่ศูนย์ (บางกรณีอยู่ครึ่งขวา) ทำให้เฟสตกถึง −360°

วิธีแก้เชิงวิศวกรรม:

- เพิ่ม $R_d$–$C_d$ damping ขนาน $C_1$ โดย $C_d \approx 4C_1$, $R_d \approx \sqrt{L_{eq}/C_1}$

- ใช้ current-mode ที่วัดผลรวม $i_{L1}+i_{L2}$ (= กระแสสวิตช์)

- จำกัด $f_c$ ให้ต่ำกว่าเรโซแนนซ์ต่ำสุดอย่างน้อย 3–5 เท่า

## Coupled inductor และ zero-ripple

พัน $L_1$, $L_2$ บนแกนเดียวกัน (แรงดันบนทั้งสองเท่ากันทุกช่วงเวลา) เลือก coupling $k = n$ (อัตราส่วนรอบ) ทำให้ ripple ย้ายไปอยู่ขดเดียว — อีกขดได้กระแส ripple เกือบศูนย์ (ripple steering) ลด EMI ขาเข้าหรือขาออกได้มาก เป็นจุดเด่นที่ทำให้ Ćuk ใช้ในงานเซนเซอร์, LED และโซลาร์

## ข้อดี-ข้อเสีย

|
✅ |
❌ |

|
กระแสเข้า-ออกต่อเนื่อง, ฟิลเตอร์ EMI เล็ก |
กลับขั้ว |

|
ripple ต่ำมาก (โดยเฉพาะ coupled) |
ชิ้นส่วนมาก, C1 รับความเค้นสูง |

|
ขยายเป็นแบบมีฉนวน (isolated Ćuk) ได้ |
ควบคุมยาก (อันดับ 4) |

ทดลอง: ลด C1 เป็น 2 µF แล้วเปิดโหมด Voltage-mode PI → สังเกตริปเปิลและการหน่วงของ VC1 (CH2) ว่าเฉลี่ยใกล้ $V_{in}+\lvert V_o\rvert$

## คำถามที่พบบ่อย

ข้อดีหลักของ Ćuk คืออะไร?
กระแสขาเข้าและขาออกต่อเนื่องเพราะมีตัวเหนี่ยวนำอยู่ทั้งสองฝั่ง ฟิลเตอร์ EMI จึงเล็ก และถ้าพันตัวเหนี่ยวนำสองตัวบนแกนเดียวกันอย่างเหมาะสม จะย้ายริปเปิลไปอยู่ขดเดียวจนอีกขดแทบไม่มีริปเปิล

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ข้อดีหลักของ Ćuk คืออะไร?**
กระแสขาเข้าและขาออกต่อเนื่องเพราะมีตัวเหนี่ยวนำอยู่ทั้งสองฝั่ง ฟิลเตอร์ EMI จึงเล็ก และถ้าพันตัวเหนี่ยวนำสองตัวบนแกนเดียวกันอย่างเหมาะสม จะย้ายริปเปิลไปอยู่ขดเดียวจนอีกขดแทบไม่มีริปเปิล

---

# ควบคุมคอนเวอร์เตอร์ DC-DC แบบดิจิทัล: ADC, DPWM, Limit Cycle, Tustin และโค้ด PI

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/digital-control/
Updated: 2026-10-13
Summary: ควบคุมคอนเวอร์เตอร์ DC-DC ด้วยไมโครคอนโทรลเลอร์: สุ่ม ADC ให้ตรงจังหวะ PWM ดีเลย์และเฟสที่เสีย ความละเอียด DPWM และ limit cycle high-resolution PWM แปลงตัวชดเชยด้วย Tustin เป็น 2P2Z/3P3Z โค้ด PI ภาษา C พร้อม anti-windup และขั้นตอน bring-up

// บทที่ 15.13 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Digital Control

# ควบคุมคอนเวอร์เตอร์ DC-DC แบบดิจิทัล: ADC, DPWM, Limit Cycle, Tustin และโค้ด PI

จังหวะสุ่มสัญญาณ ดีเลย์ ความละเอียด DPWM กับ limit cycle แปลงตัวชดเชยด้วย Tustin โค้ด PI พร้อม anti-windup การป้องกันในฮาร์ดแวร์ และขั้นตอน bring-up

สรุปใน 30 วินาที

- สุ่มกลางช่วง ON/OFF ได้ค่าเฉลี่ย iL โดยไม่ต้องกรอง

- ดีเลย์ $\approx 1.5T_s$ กินเฟส $360^\circ f_cT_d$

- ไม่เกิด limit cycle: DPWM ต้องละเอียดกว่า ADC

- OCP ต้องอยู่ในฮาร์ดแวร์ ไม่ผ่าน CPU

## โครงสร้าง

ADC สุ่ม $v_o$ (และ $i_L$) → ตัวชดเชยดิจิทัล $G_c(z)$ → DPWM (ตัวนับ) → gate driver

สิ่งที่ต่างจากอนาล็อก: (1) delay จากการสุ่ม-คำนวณ-อัปเดต (2) quantization ทั้ง ADC และ PWM (3) aliasing

## จังหวะการสุ่ม

สุ่ม ตรงกลางช่วง ON หรือ OFF (ใช้ trigger จาก timer PWM) จะได้ค่าเฉลี่ยของ $i_L$ โดยไม่ต้องกรอง และหลบหนามจากการสวิตช์ — เป็นเทคนิคมาตรฐานของ C2000/STM32 HRTIM/dsPIC

Delay รวมโดยประมาณ $T_d \approx T_{conv} + T_{calc} + T_s/2$ (ZOH) → เฟสหาย $\phi = -360^\circ f_c T_d$ เช่น $f_s = 100$ kHz, $T_d = 1.5T_s$, $f_c = 5$ kHz → เสียเฟส 27°

## ความละเอียดและ limit cycle

ความละเอียดแรงดันขาออกจาก DPWM (buck): $\Delta V_o = V_{in}/2^{N_{PWM}}$ โดย $2^{N_{PWM}} = f_{clk}/f_s$
เงื่อนไขไม่เกิด limit cycle: $\Delta V_{o,DPWM} \lt \Delta V_{o,ADC}$ (PWM ละเอียดกว่า ADC) + ตัวควบคุมต้องมีอินทิเกรเตอร์ และ gain ของอินทิเกรเตอร์ไม่สูงเกิน

ตัวอย่าง: clock 170 MHz, $f_s = 200$ kHz → 850 count (≈9.7 บิต) → $24/850 = 28$ mV ขณะที่ ADC 12 บิตกับตัวแบ่ง 3.3/15 V → 3.7 mV ⇒ เกิด limit cycle! ต้องใช้ High-resolution PWM (HRTIM 184 ps ใน STM32G4, HRPWM ใน C2000 ~150 ps) หรือ dithering

## แปลงตัวชดเชยต่อเนื่อง → ดิจิทัล

Tustin (bilinear) พร้อม prewarp ที่ $f_c$:

Z1 Tustin (bilinear) transform การแปลงบิลิเนียร์

$$s \leftarrow \frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

ได้รูปทั่วไป (2P2Z / 3P3Z):

Z2 2P2Z / 3P3Z difference equation สมการผลต่างของตัวชดเชย

$$u[n] = \sum_{k=0}^{3} b_k\, e[n-k] - \sum_{k=1}^{3} a_k u[n-k]$$

หรือออกแบบโดยตรงใน z-domain (direct digital design) เมื่อ $f_c$ ใกล้ $f_s/10$

## โค้ด PI ภาษา C (จุดลอยตัว, เรียกใน ISR ของ ADC)

typedef struct { float kp, ki_T, i, umin, umax; } PI;
static inline float pi_step(PI *c, float ref, float meas) {
float e = ref - meas;
float u = c->kp * e + c->i + c->ki_T * e; // ลอง output ก่อน
if (u > c->umax) u = c->umax; // clamp
else if (u < c->umin) u = c->umin;
else c->i += c->ki_T * e; // conditional integration = anti-windup
return u; // duty 0..Dmax
}
// ISR: duty = pi_step(&vloop, vref_soft, adc_to_volt(ADC1->DR));
// TIM->CCR1 = (uint32_t)(duty * PERIOD);
ซิมูเลเตอร์ของเว็บนี้ใช้อัลกอริทึมเดียวกัน (โหมด Voltage-mode PI) — ลองเพิ่ม Ki จนแกว่ง แล้วสังเกตผลของ soft-start

## การป้องกันที่ต้องทำในฮาร์ดแวร์ ไม่ใช่ซอฟต์แวร์

OCP แบบ cycle-by-cycle ต้องใช้ comparator ภายใน MCU ต่อเข้าตัว PWM โดยตรง (fault input / blanking window) ไม่ผ่าน CPU — ซอฟต์แวร์ค้าง/รีเซ็ตต้องไม่ทำให้สวิตช์ค้าง ON

## MCU ที่แนะนำ

ดูตารางเต็มที่ การเลือกตัวควบคุม — โดยสรุป: TI C2000 (F28003x/F28P55x/F28P65x), STM32G474 (HRTIM), Microchip dsPIC33CK/CH และ dsPIC33A เป็นสายที่ออกแบบมาเพื่อ power conversion โดยตรง; ESP32/Arduino เหมาะกับลูปช้า (MPPT, ชาร์จแบต, การสื่อสาร) แต่ไม่ควรใช้กับลูปกระแสเร็ว

## ขั้นตอน bring-up

- รันลูปเปิด: ตรวจ ADC scaling, ทิศทาง, offset

- ปิดลูปด้วย gain ต่ำ, $V_{in}$ ต่ำ ผ่านแหล่งจ่ายจำกัดกระแส

- วัด Bode โดยฉีดสัญญาณในซอฟต์แวร์ (เพิ่ม sine ที่ค่าอ้างอิงหรือ duty — เหมือนฟังก์ชันเจนฯ ในซิม) แล้วอ่านกลับผ่าน DAC/UART

- ทดสอบ step load, $V_{in}$ ต่ำ-สูง, อุณหภูมิ

## คำถามที่พบบ่อย

limit cycle ในคอนเวอร์เตอร์ดิจิทัลคืออะไร?
เมื่อ DPWM หยาบกว่า ADC แรงดันขาออกไม่มีระดับ duty ที่ตรงค่าอ้างอิงพอดี อินทิเกรเตอร์จึงกระโดดไปมาระหว่างสองระดับ เกิดการแกว่งความถี่ต่ำ แก้ด้วย high-resolution PWM หรือ dithering

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**limit cycle ในคอนเวอร์เตอร์ดิจิทัลคืออะไร?**
เมื่อ DPWM หยาบกว่า ADC แรงดันขาออกไม่มีระดับ duty ที่ตรงค่าอ้างอิงพอดี อินทิเกรเตอร์จึงกระโดดไปมาระหว่างสองระดับ เกิดการแกว่งความถี่ต่ำ แก้ด้วย high-resolution PWM หรือ dithering

---

# เทคนิคเชิงช่างและวิศวกรรมสำหรับวงจรสวิตชิ่ง: Layout, Snubber, การวัด, Bode, Bring-up และงานประจำ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/engineering-techniques/
Updated: 2026-10-13
Summary: เทคนิคหน้างานสำหรับคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: วาง PCB ให้ hot loop เล็ก Kelvin sense ออกแบบ RC snubber จากความถี่ ringing วิธีวัดด้วยออสซิลโลสโคปที่ถูกต้อง วัดลูปเกนด้วยตัวต้านทานฉีด ขั้นตอน bring-up ตารางงานประจำและบำรุงรักษา และ derating

// บทที่ 15.20 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Engineering Techniques & Routine Work

# เทคนิคเชิงช่างและวิศวกรรมสำหรับวงจรสวิตชิ่ง: Layout, Snubber, การวัด, Bode, Bring-up และงานประจำ

hot loop และ layout ออกแบบ RC snubber วัดด้วยสโคปให้ถูก วัดลูปเกนจริง ขั้นตอน bring-up 7 ขั้น ตารางงานบำรุงรักษา และกฎจากประสบการณ์

สรุปใน 30 วินาที

- 1 nH × 10 A/ns = 10 V spike → hot loop ต้องเล็กที่สุด

- Snubber: $C_s = 3\text{–}4C_{par}$, $R_s = \sqrt{L_{par}/C_{par}}$

- ถอดสายกราวด์ยาวของโพรบ ใช้ ground spring

- เปลี่ยนทีละอย่าง บันทึกทุกครั้ง

## Layout: หัวใจที่ทำให้วงจรเดียวกันทำงานต่างกัน

- Hot loop (เส้นทางที่กระแสเปลี่ยนแบบขั้นบันได): Buck = $C_{in}$ → Q → ไดโอด/สวิตช์ล่าง → $C_{in}$; Boost = Q → ไดโอด → $C_{out}$ → Q ต้อง สั้นและแคบเป็นพื้นที่ที่เล็กที่สุด (ทุก 1 nH × 10 A/ns = 10 V spike)

- ใช้ระนาบกราวด์เต็มชั้นใต้ hot loop (ลด L ด้วยกระแสสะท้อน)

- Switch node: พื้นที่ทองแดงเล็กที่สุดเท่าที่ระบายความร้อนได้ (เป็นแหล่ง E-field)

- ตัวแบ่งแรงดันป้อนกลับ: วางใกล้ IC, ต่อจากจุดที่ต้องการคุม (Kelvin) อยู่ห่าง switch node/ขด

- Shunt วัดกระแส: ต่อสาย sense แบบ Kelvin (4 สาย) แล้วเดินคู่กันไปที่ amp

- กราวด์สัญญาณ (AGND) รวมกับกราวด์กำลัง (PGND) จุดเดียว ใกล้ขา GND ของคอนโทรลเลอร์

## RC Snubber (ลด ringing บน switch node/ไดโอด)

- วัดความถี่ ringing เดิม $f_1$

- ต่อ $C_{add}$ คร่อมจุดนั้น จนความถี่ลดเหลือ $f_1/2$ → $C_{par} = C_{add}/3$

- $L_{par} = \dfrac{1}{(2\pi f_1)^2C_{par}}$

- เลือก $C_s = 3$–$4\,C_{par}$, $R_s = \sqrt{L_{par}/C_{par}}$

- กำลังสูญเสีย $P_{R} \approx C_sV^2f_s$ — เลือกตัวต้านทานแบบ non-inductive

## การวัดด้วยออสซิลโลสโคปให้ถูก

- ถอดสายกราวด์ยาว (จระเข้) ใช้ ground spring/tip-and-barrel แตะจุดโดยตรง — สายกราวด์ 15 cm สร้าง ringing ปลอมหลายสิบ MHz

- วัด high-side/off-line ใช้ differential probe ห้ามตัดสายดิน (floating scope) เด็ดขาด

- กระแส: current probe (Hall/Rogowski) หรือ shunt coaxial; deskew probe แรงดัน-กระแสก่อนคำนวณกำลัง

- Ripple ขาออก: ตั้ง BW limit 20 MHz, AC coupling, วัดคร่อมตัวเก็บประจุโดยตรง

- อย่าวัดบนตัวต้านทานกราวด์ร่วมโดยลืมว่าโพรบสองช่องใช้กราวด์เดียวกัน (ลัดวงจรผ่านสโคป!)

## การวัด Loop Gain (Bode) จริง

- ใส่ตัวต้านทานฉีด $R_{inj}$ = 10–50 Ω ระหว่างจุดขาออกกับตัวแบ่งป้อนกลับ

- ฉีดสัญญาณ sine แยกฉนวน (injection transformer, เช่น Bode 100/Picotest J2100A หรือ FRA ในตัวสโคปรุ่นใหม่) ข้าม $R_{inj}$

- วัด $T = v_y/v_x$ (ฝั่งหลัง/ฝั่งก่อนตัวต้านทาน) กวาด 10 Hz – $f_s/2$

- ขนาดสัญญาณ: เล็กพอให้เป็นเชิงเส้น (ripple ที่ฉีดไม่เกิน ~1–5% ของ $V_o$) แต่ใหญ่พอเหนือสัญญาณรบกวน

- วัดทุกมุม: $V_{in}$ ต่ำ/สูง, โหลดน้อย/เต็ม, เย็น/ร้อน

ไม่มีเครื่อง FRA? ใช้ฟังก์ชันเจนฯ + สโคปวัดทีละความถี่ หรือฉีดในซอฟต์แวร์ของ MCU (ดู ดิจิทัล) — ในซิมของเว็บนี้ใช้หลักเดียวกัน

## ขั้นตอน bring-up มาตรฐาน

- ตรวจด้วยตา: ขั้วตัวเก็บประจุ ไดโอด ทิศ MOSFET, ลัดวงจร (วัดความต้านทาน Vin–GND, Vout–GND)

- จ่ายไฟเลี้ยงคอนโทรลเลอร์อย่างเดียว ตรวจสัญญาณเกต (แอมพลิจูด, dead-time, ความถี่)

- ภาคกำลังด้วย bench supply จำกัดกระแส $V_{in}$ ต่ำ 25% → ดู switch node, $i_L$

- เพิ่ม $V_{in}$ เป็นขั้น → โหลด 10% → 50% → 100% บันทึกประสิทธิภาพและอุณหภูมิ

- ทดสอบป้องกัน: OCP (ลัดวงจรขาออกผ่าน MOSFET โหลด), OVP, UVLO, OTP

- Step load, line step, start-up ที่โหลดเต็ม/ไม่มีโหลด/pre-bias

- Burn-in ที่อุณหภูมิสูง 4–24 ชม.

## งานประจำ/บำรุงรักษา (Routine)

|
รอบ |
รายการ |

|
ทุกวัน/ทุกครั้งใช้งาน |
เสียงผิดปกติ (หอน = แกว่ง/ขดคลาย), กลิ่นไหม้, อุณหภูมิเทียบปกติ |

|
รายเดือน |
ทำความสะอาดฝุ่น พัดลม ตรวจแรงขันขั้วต่อ (torque) |

|
ราย 6–12 เดือน |
ถ่ายภาพความร้อน (thermal camera), วัด ripple ขาออกเทียบค่าแรกติดตั้ง, ESR ตัวเก็บประจุ |

|
ตามอายุ |
เปลี่ยนตัวเก็บประจุอิเล็กโตรไลต์: อายุลดครึ่งทุกอุณหภูมิเพิ่ม 10 °C ($L = L_0\cdot2^{(T_0-T)/10}$) |

## กฎจากประสบการณ์ (rules of thumb)

- Derate: แรงดัน MOSFET/ไดโอด ≥ 1.5× ใช้งาน, ตัวเก็บประจุอิเล็กโตรไลต์ ≤ 80% พิกัดแรงดัน, เซรามิก X7R สูญเสียค่าความจุ 30–70% ภายใต้ DC bias

- ทุกการแก้ปัญหา: เปลี่ยนทีละอย่าง บันทึกผลทุกครั้ง

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมวัดริปเปิลแล้วเห็นหนามสูงผิดปกติ?
ส่วนใหญ่มาจากสายกราวด์ยาวของโพรบที่รับสนามแม่เหล็กจาก hot loop ให้ใช้ ground spring แตะคร่อมตัวเก็บประจุขาออกโดยตรง ตั้ง bandwidth limit 20 MHz และ AC coupling

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมวัดริปเปิลแล้วเห็นหนามสูงผิดปกติ?**
ส่วนใหญ่มาจากสายกราวด์ยาวของโพรบที่รับสนามแม่เหล็กจาก hot loop ให้ใช้ ground spring แตะคร่อมตัวเก็บประจุขาออกโดยตรง ตั้ง bandwidth limit 20 MHz และ AC coupling

---

# ออกแบบและพันตัวเหนี่ยวนำกำลัง: เลือกแกน จำนวนรอบ ช่องอากาศ ลวด และการสูญเสีย

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/inductor-design/
Updated: 2026-10-13
Summary: ออกแบบตัวเหนี่ยวนำสำหรับคอนเวอร์เตอร์ DC-DC ทีละขั้น: L = N²·AL ตรวจ Bpk กับ Bsat area product เลือกขนาดแกน ช่องอากาศ ขนาดลวดและ skin depth การสูญเสียแกนแบบ Steinmetz เปรียบเทียบเฟอร์ไรต์ ผงเหล็ก sendust MPP และวิธีวัดค่า L และกระแสอิ่มตัวด้วย pulse test

// บทที่ 15.16 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Power Inductor Design

# ออกแบบและพันตัวเหนี่ยวนำกำลัง: เลือกแกน จำนวนรอบ ช่องอากาศ ลวด และการสูญเสีย

สมการ L = N²AL ความหนาแน่นฟลักซ์ area product ขั้นตอนออกแบบพร้อมตัวเลข skin depth Steinmetz เลือกวัสดุแกน และวิธีวัด L กับกระแสอิ่มตัวในแล็บ

สรุปใน 30 วินาที

- $L = N^2A_L$, ตรวจ $B_{pk} = LI_{pk}/(NA_e) \lt B_{sat}$

- ช่องอากาศเก็บพลังงานเกือบทั้งหมด

- ที่ 50 kHz skin depth ≈ 0.30 mm

- การสูญเสียแกนใช้ $\Delta B/2$ ไม่ใช่ $B_{pk}$

## ข้อมูลตั้งต้นจากวงจร

จากบท Buck/Boost: $L$, $I_{L,dc}$, $\Delta i_L$, $I_{pk}=I_{L,dc}+\Delta i_L/2$, $I_{rms}=\sqrt{I_{dc}^2+\Delta i_L^2/12}$, $f_s$

## สมการพื้นฐาน

L1 Inductance, flux density, gapped core ความเหนี่ยวนำและฟลักซ์

$$L = N^2 A_L,\qquad
B_{pk} = \frac{L\,I_{pk}}{N A_e} \lt B_{sat},\qquad
L \approx \frac{\mu_0 N^2 A_e}{l_g + l_e/\mu_r}$$

ช่องอากาศ $l_g$ เก็บพลังงานเกือบทั้งหมด ($\tfrac12 LI^2$) และทำให้ L ไม่ขึ้นกับ $\mu_r$ ของแกนที่เปลี่ยนตามอุณหภูมิ

## เลือกขนาดแกนด้วย Area Product

L2 Area product ผลคูณพื้นที่แกน

$$A_p = W_aA_e \ge \frac{L\,I_{pk}\,I_{rms}}{B_{max}\,J\,K_u}$$

$K_u$ ≈ 0.3–0.4 (fill factor), $J$ ≈ 4–6 A/mm² (ระบายความร้อนธรรมชาติ), $B_{max}$ ≈ 0.25–0.3 T (ferrite ที่ 100 °C)

## ขั้นตอนออกแบบ (ตัวอย่าง Buck 333 µH, $I_{pk}$ 1.38 A, $I_{rms}$ 1.2 A)

- $A_p \ge \dfrac{333\mu \times 1.38 \times 1.2}{0.25 \times 5\times10^6 \times 0.35} = 1.26\times10^{-9}\,\text{m}^4 = 1260\ \text{mm}^4$ → เลือก EE25 หรือ PQ20/16 ($A_p$ ≈ 2000–4000 mm⁴)

- สมมติ $A_e = 50$ mm² → $N \ge \dfrac{LI_{pk}}{B_{max}A_e} = \dfrac{333\mu\times1.38}{0.25\times50\mu} = 37$ รอบ

- $A_L$ ที่ต้องการ $= L/N^2 = 243$ nH/N² → สั่งแกนแบบมีช่องอากาศค่านี้ หรือคำนวณ $l_g \approx \mu_0N^2A_e/L = 0.26$ mm (แบ่งครึ่งเป็น spacer 0.13 mm ต่อขา ถ้าแกน EE)

- ลวด: $A_{cu} = I_{rms}/J = 0.24$ mm² → Ø 0.55 mm; ตรวจ skin depth

- ตรวจหน้าต่าง: $N A_{cu}/(K_u W_a) \le 1$

- ประเมินการสูญเสียและอุณหภูมิ

เครื่องคำนวณใน ห้องแลปจำลอง ทำขั้นตอน 2–4 ให้อัตโนมัติ

## Skin depth และลวด Litz

L3 Skin depth ความลึกผิว

$$\delta = \sqrt{\frac{\rho}{\pi f \mu_0}} \approx \frac{66}{\sqrt{f\,[\text{Hz}]}}\ \text{mm (Cu, 20}^\circ\text{C)}$$

ที่ 50 kHz → $\delta$ ≈ 0.30 mm ลวดที่ Ø เกิน $2\delta$ จะใช้พื้นที่ไม่เต็ม → ใช้ลวดเล็กหลายเส้นขนานหรือ Litz (สำคัญกับ AC ripple สูง เช่น DCM, flyback)

## การสูญเสียแกน (Steinmetz)

L4 Steinmetz core loss การสูญเสียแกน

$$P_v = k\,f^{\alpha}\,(\Delta B/2)^{\beta}\quad[\text{W/m}^3]$$

ใช้ $\Delta B$ (ส่วนแกว่ง) ไม่ใช่ $B_{pk}$! ค่า $k,\alpha,\beta$ จากดาต้าชีตวัสดุ

## เลือกวัสดุแกน

|
วัสดุ |
$B_{sat}$ |
จุดเด่น |
ใช้กับ |

|
Ferrite (N87, 3C90, PC95) |
0.35–0.5 T |
สูญเสียต่ำที่ความถี่สูง, อิ่มตัวแบบ "หักศอก" |
หม้อแปลง, L ที่ ripple สูง |

|
Iron powder (-26, -52) |
1.0+ T |
ราคาถูก, อิ่มตัวนุ่ม |
DC filter ripple ต่ำ, ความถี่ต่ำ |

|
Sendust / Kool Mµ |
1.0 T |
อิ่มตัวนุ่ม, สูญเสียปานกลาง |
Buck/Boost กำลังกลาง, PFC |

|
High Flux / MPP |
1.5 / 0.75 T |
DC bias ดีมาก |
งานแม่นยำ, กระแสสูง |

แกน powder มี DC bias roll-off: $\mu$ ลดลงเมื่อ H สูง → L ที่โหลดเต็มอาจเหลือ 60–80% ต้องใช้กราฟในดาต้าชีตคำนวณ

## วัดในแลป

- LCR meter ที่ความถี่ใกล้ $f_s$ (ไม่มี DC bias → ไม่บอกการอิ่มตัว)

- Pulse test หากระแสอิ่มตัว: จ่ายพัลส์แรงดัน $V$ ผ่าน MOSFET วัดกระแสด้วย current probe; $L = V/(di/dt)$ ช่วงที่เป็นเส้นตรง จุดที่ความชันเพิ่มขึ้นเร็วคือ $I_{sat}$

- วิธี ringing: ต่อ $C$ ที่รู้ค่า วัดความถี่เรโซแนนซ์ $L = 1/((2\pi f)^2C)$

## คำถามที่พบบ่อย

ตัวเหนี่ยวนำอิ่มตัวดูได้อย่างไร?
ดูกระแสตัวเหนี่ยวนำบนสโคป ปกติเป็นสามเหลี่ยมเส้นตรง ถ้าใกล้ยอดแล้วความชันเพิ่มขึ้นเป็นหางยกขึ้น แปลว่าค่า L ลดลงเพราะแกนอิ่มตัว ต้องเพิ่มรอบ ใช้แกนใหญ่ขึ้น หรือเพิ่มช่องอากาศ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ตัวเหนี่ยวนำอิ่มตัวดูได้อย่างไร?**
ดูกระแสตัวเหนี่ยวนำบนสโคป ปกติเป็นสามเหลี่ยมเส้นตรง ถ้าใกล้ยอดแล้วความชันเพิ่มขึ้นเป็นหางยกขึ้น แปลว่าค่า L ลดลงเพราะแกนอิ่มตัว ต้องเพิ่มรอบ ใช้แกนใหญ่ขึ้น หรือเพิ่มช่องอากาศ

---

# ตัวสังเกตกระแสและสถานะ (Observer) ในคอนเวอร์เตอร์ และการเฝ้าสังเกตสภาวะแวดล้อม

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/observers/
Updated: 2026-10-13
Summary: ประมาณกระแสตัวเหนี่ยวนำและกระแสโหลดโดยไม่ใช้เซนเซอร์: Luenberger observer ของบั๊ก extended-state/disturbance observer สำหรับ load-current feedforward Kalman filter ข้อจำกัด และการเฝ้าสังเกตเหตุการณ์แวดล้อม เช่น input voltage feedforward อุณหภูมิ ESR ของตัวเก็บประจุ การอิ่มตัวของแกน และ event log

// บทที่ 15.14 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Observers & Condition Monitoring

# ตัวสังเกตกระแสและสถานะ (Observer) ในคอนเวอร์เตอร์ และการเฝ้าสังเกตสภาวะแวดล้อม

Luenberger observer ประมาณ iL disturbance observer ประมาณกระแสโหลดเพื่อ feedforward Kalman filter ข้อควรระวัง และการเฝ้าสังเกต Vin อุณหภูมิ ESR และการอิ่มตัว

สรุปใน 30 วินาที

- ขั้วตัวสังเกตเร็วกว่าลูปควบคุม 3–5 เท่า

- เพิ่มสถานะ $i_o$ → feedforward ลด load-step dip

- ห้ามใช้ค่าประมาณทำ OCP

- $\widehat{ESR} = \Delta v_{o,f_s}/\Delta i_L$ ใช้ทำนายอายุตัวเก็บประจุ

## ทำไมต้องสังเกตแทนวัด

เซนเซอร์กระแสเพิ่มต้นทุน การสูญเสีย สัญญาณรบกวน และจุดเสีย ถ้าเรารู้แบบจำลองและวัด $v_o$, $v_{in}$, $d$ ได้ เราประมาณ $i_L$ และกระแสโหลดได้

## Luenberger observer สำหรับ Buck

แบบจำลองเฉลี่ย ($\mathbf x=[i_L\;v_o]^T$, กระแสโหลด $i_o$ เป็นสัญญาณรบกวน):

O1 Averaged buck state model แบบจำลองสถานะของบั๊ก

$$\dot{\mathbf x} = \underbrace{\begin{bmatrix}-r_L/L & -1/L\\ 1/C & 0\end{bmatrix}}_{A}\mathbf x + \begin{bmatrix}v_{in}/L\\0\end{bmatrix}d + \begin{bmatrix}0\\-1/C\end{bmatrix}i_o,\qquad y = v_o$$

ตัวสังเกต: $\dot{\hat{\mathbf x}} = A\hat{\mathbf x} + B d + L_o(y - \hat y)$ เลือก $L_o$ ให้ขั้วของ $A - L_oC_y$ เร็วกว่าลูปควบคุม 3–5 เท่า แต่ช้ากว่า $f_s/5$

## ประมาณกระแสโหลดด้วย Extended-state / Disturbance observer

เพิ่มสถานะ $i_o$ โดยสมมติ $\dot i_o \approx 0$:

O2 Extended-state load observer ตัวสังเกตกระแสโหลด

$$\mathbf z = [i_L\; v_o\; i_o]^T,\quad \dot{\hat i}_o = l_3(v_o - \hat v_o)$$

นำ $\hat i_o$ ไปทำ load-current feedforward → load-step dip ลดลงอย่างมาก (เทคนิคที่ใช้ใน VRM และ EV charger)

## Kalman filter

เมื่อสัญญาณวัดมีสัญญาณรบกวนมาก (ADC + สวิตชิ่ง) ใช้ Kalman แบบดิสครีต: ทำนาย $\hat x^-=A_d\hat x + B_d u$, $P^-=A_dPA_d^T+Q$ แล้วแก้ไข $K=P^-C^T(CP^-C^T+R)^{-1}$ — ปรับ $Q$ (ความไม่แน่นอนของแบบจำลอง) กับ $R$ (สัญญาณรบกวนวัด) เป็นตัวแลกระหว่างความเร็วกับความเรียบ

## ข้อควรระวังของการสังเกต

- ความผิดพลาดของ $L$, $C$, $r_L$ (±20%) → ค่าประมาณเอนเอียง → ใช้ร่วมกับเซนเซอร์ราคาถูกความเร็วต่ำ (fusion)

- การป้องกันกระแสเกินห้ามพึ่งค่าประมาณ ต้องมีวงจรตรวจจริงเสมอ

## การเฝ้าสังเกตเหตุการณ์แวดล้อม (Condition & Event Monitoring)

|
สิ่งที่สังเกต |
วิธี |
ใช้ทำอะไร |

|
$V_{in}$ เปลี่ยน |
วัด + input voltage feedforward ($d \propto 1/V_{in}$) |
ลด $G_{vg}$, ทนแหล่งจ่ายผันผวน (โซลาร์, แบต) |

|
อุณหภูมิฮีตซิงก์/ขด |
NTC ใกล้ MOSFET |
derating, ชดเชย DCR |

|
ESR ของ $C_{out}$ เพิ่ม |
วัด ripple ที่ $f_s$ เทียบกับ $\Delta i_L$ → $\widehat{ESR} = \Delta v_{o,f_s}/\Delta i_L$ |
ทำนายอายุตัวเก็บประจุ (ESR ×2 = หมดอายุ) |

|
L เข้าใกล้อิ่มตัว |
ความชันกระแสขาขึ้นเพิ่มผิดปกติ |
ลดกระแสพีก |

|
เหตุการณ์ผิดปกติ (OVP, brown-out, ลัดวงจร) |
บันทึก event log + timestamp |
วิเคราะห์ย้อนหลัง/บำรุงรักษาเชิงพยากรณ์ — ดู AI ช่วยควบคุม |

## คำถามที่พบบ่อย

ประมาณกระแสตัวเหนี่ยวนำโดยไม่ใช้เซนเซอร์ได้อย่างไร?
ใช้แบบจำลองเฉลี่ยของวงจรร่วมกับค่าที่วัดได้คือแรงดันขาออก แรงดันขาเข้า และ duty แล้วสร้าง Luenberger observer ที่ป้อนกลับความต่างระหว่างแรงดันที่วัดกับที่ประมาณ ค่าประมาณจะลู่เข้าค่าจริงด้วยความเร็วที่กำหนดจากขั้วของตัวสังเกต

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ประมาณกระแสตัวเหนี่ยวนำโดยไม่ใช้เซนเซอร์ได้อย่างไร?**
ใช้แบบจำลองเฉลี่ยของวงจรร่วมกับค่าที่วัดได้คือแรงดันขาออก แรงดันขาเข้า และ duty แล้วสร้าง Luenberger observer ที่ป้อนกลับความต่างระหว่างแรงดันที่วัดกับที่ประมาณ ค่าประมาณจะลู่เข้าค่าจริงด้วยความเร็วที่กำหนดจากขั้วของตัวสังเกต

---

# แบบจำลองสัญญาณเล็กของคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: State-Space Averaging และฟังก์ชันถ่ายโอน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/small-signal-model/
Updated: 2026-10-15
Summary: หาฟังก์ชันถ่ายโอนของคอนเวอร์เตอร์ DC-DC ด้วย state-space averaging และ linearization: Gvd Gvg Zout Zin ตารางของบั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ PWM modulator gain ลูปเกน T(s) ดีเลย์ของการควบคุมดิจิทัล เกณฑ์ตัวกรองขาเข้า Middlebrook averaged switch model และสคริปต์ Python วาด Bode

// บทที่ 15.10 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Small-Signal Modeling

# แบบจำลองสัญญาณเล็กของคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: State-Space Averaging และฟังก์ชันถ่ายโอน

เฉลี่ยสถานะตลอดคาบแล้ว linearize ได้ Gvd G_vg Z_out ตารางฟังก์ชันถ่ายโอนของบั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ PWM gain ลูปเกน และเกณฑ์ฟิลเตอร์ขาเข้าของ Middlebrook

สรุปใน 30 วินาที

- เฉลี่ย $A = DA_1 + D'A_2$ แล้วรบกวนรอบจุดทำงาน

- $G_{vd}$ มีขั้วคู่ $\omega_0$ และ (บูสต์ บั๊ก-บูสต์) RHP zero

- ลูปเกน $T = G_c\,G_{vd}\,H/V_M$

- ขาเข้าเป็นความต้านทานลบ $-V_{in}^2/P$ → ระวังฟิลเตอร์ขาเข้า

คอนเวอร์เตอร์เป็นระบบ ไม่เชิงเส้นและแปรตามเวลา (สวิตช์เปิด/ปิด) แต่ถ้าสนใจความถี่ต่ำกว่า $f_s/2$ มาก เราเฉลี่ยตลอดคาบแล้ว linearize รอบจุดทำงานได้

อยากเห็นที่มาของบั๊กทีละขั้น? หน้านี้ให้ภาพรวมของบั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ ส่วนที่มาแบบละเอียดของบั๊กอยู่ในชุดเชิงลึก: แบบจำลองเฉลี่ยและสเตตสเปซ (เขียน A₁ B₁ A₂ B₂ → เฉลี่ย → สัญญาณเล็ก พร้อมแล็บ) และ ฟังก์ชันถ่ายโอนทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต (Gvd Gvg Zout Zin GiLd และ DCM)

## State-space averaging (Middlebrook & Ćuk, 1976)

สถานะ $\mathbf x = [i_L\; v_C]^T$ แต่ละช่วงสวิตช์:

S1 Switched state equations สมการสถานะแต่ละช่วง

$$\dot{\mathbf x} = A_1\mathbf x + B_1 v_{in}\;(\text{ON}),\qquad \dot{\mathbf x} = A_2\mathbf x + B_2 v_{in}\;(\text{OFF})$$

เฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วย $d$ และ $d' = 1-d$:

S2 Averaged state equation สมการสถานะเฉลี่ย

$$\dot{\mathbf x} = (dA_1 + d'A_2)\mathbf x + (dB_1+d'B_2)v_{in}$$

แทน $d = D + \hat d$, $\mathbf x = X + \hat{\mathbf x}$ ตัดพจน์อันดับสอง:

S3 DC operating point and AC model จุดทำงานและแบบจำลอง AC

$$\text{DC: } X = -A^{-1}BV_{in},\qquad
\text{AC: } \dot{\hat{\mathbf x}} = A\hat{\mathbf x} + B\hat v_{in} + \big[(A_1-A_2)X + (B_1-B_2)V_{in}\big]\hat d$$

โดย $A = DA_1 + D'A_2$ จากนั้น $G_{vd}(s) = C(sI-A)^{-1}B_d$

## ตารางฟังก์ชันถ่ายโอน (CCM, ไม่คิด ESR)

รูปทั่วไป: $G_{vd}(s) = G_{d0}\dfrac{1 - s/\omega_z}{1 + s/(Q\omega_0) + (s/\omega_0)^2}$

|
วงจร |
$G_{d0}$ |
$\omega_0$ |
$Q$ |
$\omega_z$ (RHP) |

|
Buck |
$V_o/D$ |
$1/\sqrt{LC}$ |
$R\sqrt{C/L}$ |
$\infty$ |

|
Boost |
$V_o/D'$ |
$D'/\sqrt{LC}$ |
$D'R\sqrt{C/L}$ |
$D'^2R/L$ |

|
Buck-boost |
$\lvert V_o\rvert/(DD') = V_{in}/D'^2$ |
$D'/\sqrt{LC}$ |
$D'R\sqrt{C/L}$ |
$D'^2R/(DL)$ |

## PWM modulator และ loop gain

ตัวเปรียบเทียบกับ ramp สูง $V_M$: $\hat d = \hat v_c / V_M$ ดังนั้น

S4 Loop gain ลูปเกน

$$T(s) = G_c(s)\cdot \frac{1}{V_M}\cdot G_{vd}(s)\cdot H(s),\qquad H = \frac{R_2}{R_1+R_2}$$

ในตัวควบคุมดิจิทัล $V_M$ เทียบเท่าค่า count เต็มของ PWM และต้องรวม delay $e^{-sT_d}$ ($T_d\approx 1.5T_s$ สำหรับ update ครั้งเดียวต่อคาบ) — ดู การควบคุมดิจิทัล

## ฟังก์ชันอื่นที่ต้องรู้

- $G_{vg} = \hat v_o/\hat v_{in}$ (audio susceptibility) — buck: $D\cdot\dfrac{1}{1+s/(Q\omega_0)+(s/\omega_0)^2}$

- $Z_{out}$ — ใช้ประเมิน load-step: $\Delta V \approx \Delta I \cdot |Z_{out,cl}|$, กับวงปิด $Z_{out,cl}=Z_{out,ol}/(1+T)$

- $Z_{in}$ — ที่ความถี่ต่ำ คอนเวอร์เตอร์คุมแรงดันเป็น ความต้านทานเชิงลบ $-V_{in}^2/P$

## เกณฑ์ตัวกรองอินพุตของ Middlebrook

ถ้าใส่ LC filter หน้า converter ต้องให้ $|Z_{o,filter}| \ll |Z_{in,conv}|$ ทุกความถี่ มิฉะนั้นวงจรจะแกว่ง (เพราะความต้านทานลบ) → ต้องหน่วงฟิลเตอร์ด้วย $R_d$–$C_d$ เป็นสาเหตุจริงของอาการ "ต่อสายยาว/เปลี่ยนแหล่งจ่ายแล้วแกว่ง" ดู วิเคราะห์อาการเสีย

## แบบจำลองเชิงวงจร: Averaged switch (PWM switch ของ Vorpérian)

แทนคู่สวิตช์-ไดโอดด้วยหม้อแปลงอุดมคติอัตรา $1:D$ + แหล่งพึ่งพา — ใช้ใน SPICE (.ac analysis) ได้ทันที เร็วกว่าซิมสวิตชิ่งมาก และรวม DCM ได้

## ตรวจสอบด้วยการวัด

ฉีดสัญญาณผ่านตัวต้านทาน 10–50 Ω ในลูปป้อนกลับ (ดู เทคนิคเชิงช่าง) หรือในซิมูเลเตอร์ของเว็บนี้: ตั้ง Open loop, ฟังก์ชันเจนฯ ฉีดที่ Duty แบบ sine ขนาด 0.01 แล้ววัดอัตราส่วน p-p ของ Vout ต่อ 0.02 ที่หลายความถี่ → ได้ $|G_{vd}|$ เทียบกับสูตรข้างบน

## Python: วาด Bode ของ Buck

Vin, L, C, R, ESR = 24, 100e-6, 100e-6, 10, 0.02
s = ct.tf('s')
Gvd = Vin*(1 + s*ESR*C)/(L*C*s**2 + (L/R + ESR*C)*s + 1)
ct.bode_plot(Gvd, omega_limits=(2*np.pi*10, 2*np.pi*1e5), Hz=True)

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมคอนเวอร์เตอร์ที่ปกติดีถึงแกว่งเมื่อใส่ฟิลเตอร์ LC ขาเข้า?
คอนเวอร์เตอร์ที่คุมแรงดันมีอิมพีแดนซ์ขาเข้าเป็นความต้านทานลบที่ความถี่ต่ำ ถ้าอิมพีแดนซ์ขาออกของฟิลเตอร์ไม่น้อยกว่ามากที่ทุกความถี่ ระบบรวมจะไม่เสถียร ต้องหน่วงฟิลเตอร์ตามเกณฑ์ Middlebrook

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทำไมคอนเวอร์เตอร์ที่ปกติดีถึงแกว่งเมื่อใส่ฟิลเตอร์ LC ขาเข้า?**
คอนเวอร์เตอร์ที่คุมแรงดันมีอิมพีแดนซ์ขาเข้าเป็นความต้านทานลบที่ความถี่ต่ำ ถ้าอิมพีแดนซ์ขาออกของฟิลเตอร์ไม่น้อยกว่ามากที่ทุกความถี่ ระบบรวมจะไม่เสถียร ต้องหน่วงฟิลเตอร์ตามเกณฑ์ Middlebrook

---

# แหล่งจ่ายไฟสวิตชิ่ง (SMPS): Flyback Forward Bridge LLC PFC และมาตรฐานความปลอดภัย

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/switching-power-supply/
Updated: 2026-10-13
Summary: ภาพรวมแหล่งจ่ายไฟสวิตชิ่งที่ต่อไฟบ้าน: EMI filter PFC boost ตัวแปลงแยกฉนวน flyback forward push-pull half/full-bridge LLC พร้อมอัตราส่วนแปลงผัน ขั้นตอนออกแบบ flyback แรงดันสะท้อน RCD clamp และมาตรฐาน IEC 62368-1 CISPR 32 IEC 61000-3-2

// บทที่ 15.19 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Switching Power Supply (SMPS)

# แหล่งจ่ายไฟสวิตชิ่ง (SMPS): Flyback Forward Bridge LLC PFC และมาตรฐานความปลอดภัย

โครงสร้างแหล่งจ่ายต่อไฟบ้าน EMI filter PFC ตระกูลวงจรแยกฉนวน ขั้นตอนออกแบบ flyback 7 ขั้น มาตรฐาน IEC 62368-1 และ CISPR 32

สรุปใน 30 วินาที

- Flyback = buck-boost + หม้อแปลง: $\frac{N_s}{N_p}\frac{D}{1-D}$

- Forward = buck + หม้อแปลง ต้อง reset แกน

- เกิน ~75 W ต้องมี PFC

- ทดลอง off-line ต้องมีหม้อแปลงแยกขดและ differential probe

## โครงสร้างแหล่งจ่ายต่อไฟบ้าน (off-line)

AC 220 V → ฟิวส์/MOV → EMI filter (CM choke, X/Y cap) → บริดจ์ → [PFC boost ~400 V] → bulk C
→ DC-DC แยกฉนวน (flyback / forward / LLC) → rectifier + filter → Vout
↑ ป้อนกลับผ่าน TL431 + optocoupler
PFC บังคับตามมาตรฐานฮาร์มอนิก (IEC 61000-3-2) เมื่อกำลังเกิน ~75 W

## ตระกูลวงจรแยกฉนวน

|
วงจร |
ได้มาจาก |
$V_o/V_{in}$ |
กำลังเหมาะสม |
ข้อสังเกต |

|
Flyback |
Buck-boost |
$\dfrac{N_s}{N_p}\dfrac{D}{1-D}$ |
≤ 100–150 W |
ชิ้นส่วนน้อย, หม้อแปลงเก็บพลังงาน (มี gap), leakage → ต้อง clamp/snubber |

|
Forward |
Buck |
$\dfrac{N_s}{N_p}D$ |
100–500 W |
ต้อง reset แกน, $D \le 0.5$ (ขด reset 1:1) |

|
Push-pull |
Buck ×2 |
$2\dfrac{N_s}{N_p}D$ |
แรงดันต่ำ กระแสสูง |
ระวัง flux walking |

|
Half/Full-bridge |
Buck |
$\dfrac{N_s}{N_p}D$ (HB: ×½) |
300 W – หลาย kW |
ใช้แกนเต็ม 2 ทิศ |

|
LLC resonant |
Bridge + tank |
ขึ้นกับ $f_s/f_r$ |
100 W – หลาย kW |
ZVS ฝั่งปฐม, ZCS ฝั่งทุติย, ประสิทธิภาพ 95%+ |

## ขั้นตอนออกแบบ Flyback (CCM/DCM)

- กำหนด $V_{in,min}$ (bulk ต่ำสุด), $V_o$, $P_o$, $f_s$, $D_{max}$ ≈ 0.45

- แรงดันสะท้อน $V_{OR} = \dfrac{N_p}{N_s}(V_o+V_F)$ เลือกให้ $V_{in,max}+V_{OR}+V_{spike} \lt$ 0.8 × $V_{DS,max}$

- อัตราส่วนรอบ $n = N_p/N_s$ จาก $D_{max} = \dfrac{V_{OR}}{V_{OR}+V_{in,min}}$

- $L_p$ จากโหมดที่ต้องการ (DCM: $L_p \le \dfrac{(V_{in,min}D_{max})^2}{2P_{in}f_s}$)

- เลือกแกน/ช่องอากาศ/จำนวนรอบ (เหมือน ออกแบบตัวเหนี่ยวนำ) + ฉนวนตามมาตรฐาน (creepage/clearance, ลวด triple-insulated)

- Clamp RCD: $V_{clamp} \approx 1.5V_{OR}$, $P = \tfrac12 L_{lk}I_{pk}^2f_s\dfrac{V_{clamp}}{V_{clamp}-V_{OR}}$

- ลูปป้อนกลับ: current mode (UC384x หรือ IC รุ่นใหม่) + TL431/opto — ระวัง RHP zero ใน CCM flyback

## ความปลอดภัยและมาตรฐาน

- IEC 62368-1 (ความปลอดภัยอุปกรณ์ ICT/AV), ฉนวนแบบ reinforced ระหว่างปฐม-ทุติย

- EMI: CISPR 32 (conducted 150 kHz–30 MHz, radiated)

- กระแสรั่วผ่าน Y-cap จำกัด (สำคัญกับเครื่องมือแพทย์)

- ทดลอง off-line ต้องใช้ isolation transformer + variac + differential probe — ดู แหล่งจ่ายทดสอบ

## หัวข้อที่จะเพิ่ม (ระดับ ป.โท)

PFC แบบ totem-pole (GaN/SiC), LLC: First Harmonic Approximation และการออกแบบ tank, Active clamp flyback, Phase-shift full-bridge, DAB สำหรับ EV/ESS, synchronous rectification ฝั่งทุติยภูมิ

## คำถามที่พบบ่อย

flyback เหมาะกับกำลังเท่าไร?
เหมาะประมาณไม่เกิน 100–150 W เพราะหม้อแปลงต้องเก็บพลังงานทั้งหมดในช่องอากาศและ leakage inductance สร้างแรงดันกระชากที่ต้องดูดซับ กำลังสูงกว่านี้นิยม forward, half/full-bridge หรือ LLC

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**flyback เหมาะกับกำลังเท่าไร?**
เหมาะประมาณไม่เกิน 100–150 W เพราะหม้อแปลงต้องเก็บพลังงานทั้งหมดในช่องอากาศและ leakage inductance สร้างแรงดันกระชากที่ต้องดูดซับ กำลังสูงกว่านี้นิยม forward, half/full-bridge หรือ LLC

---

# แหล่งจ่ายไฟสำหรับทดสอบวงจร: แบตเตอรี่ ไฟบ้าน 220 V ผ่านเรกติไฟเออร์ และโซลาร์เซลล์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/test-power-sources/
Updated: 2026-10-13
Summary: เลือกแหล่งจ่ายทดสอบคอนเวอร์เตอร์อย่างปลอดภัย: แหล่งจ่ายจำกัดกระแส แบตเตอรี่ตะกั่วกรด Li-ion LiFePO4 ไฟบ้าน 220 V 50 Hz ผ่านหม้อแปลงและบริดจ์พร้อมสูตรคำนวณตัวเก็บประจุ ripple 100 Hz inrush NTC ฟิวส์ isolation transformer แบบจำลองไดโอดของแผงโซลาร์และ MPPT

// บทที่ 15.17 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Test Power Sources

# แหล่งจ่ายไฟสำหรับทดสอบวงจร: แบตเตอรี่ ไฟบ้าน 220 V ผ่านเรกติไฟเออร์ และโซลาร์เซลล์

กฎทองของการทดสอบ แบตเตอรี่ 3 ชนิด คำนวณตัวเก็บประจุหลังบริดจ์ inrush ฟิวส์ หม้อแปลงแยกขด แบบจำลองแผงโซลาร์ MPPT และตารางเลือกแหล่งจ่าย

สรุปใน 30 วินาที

- เริ่มจาก bench supply จำกัดกระแสเสมอ

- $C_{bulk} \ge 2P_{in}t_d/(V_{pk}^2 - V_{min}^2)$

- ripple หลังบริดจ์เป็น 100 Hz

- แผงโซลาร์ไม่ใช่แหล่งแรงดัน MPP ≈ 0.76–0.8 $V_{oc}$

ซิมูเลเตอร์ใน ห้องแลป เลือกแหล่งจ่ายทั้ง 3 แบบได้ พร้อมจำลองความต้านทานภายในและตัวเก็บประจุขาเข้า

## กฎทองของการทดสอบ

- เริ่มจากแหล่งจ่ายจำกัดกระแส (bench supply ตั้ง current limit ต่ำ) ก่อนเสมอ — วงจรใหม่ที่ผิดจะไม่ระเบิด

- เพิ่มแรงดันทีละขั้น สังเกตกระแสนิ่ง ($I_q$) และอุณหภูมิ

- ค่อยเปลี่ยนเป็นแหล่งจ่ายจริง (แบต/ไฟบ้าน/โซลาร์) ที่จ่ายกระแสลัดวงจรได้มหาศาล → ต้องมีฟิวส์

## แบตเตอรี่ DC

|
ชนิด |
แรงดันต่อเซลล์ (ชาร์จเต็ม→คัตออฟ) |
ข้อสังเกต |

|
ตะกั่วกรด 12 V |
12.7–13.8 → 10.5 V |
ทนทาน กระแสลัดวงจรหลายร้อย A |

|
Li-ion/NMC |
4.2 → 3.0 V |
ต้องมี BMS, อันตรายจากไฟไหม้ |

|
LiFePO4 |
3.65 → 2.5 V (ราบที่ 3.2–3.3 V) |
ปลอดภัยกว่า เหมาะทำแลป |

ความต้านทานภายในทำให้แรงดันตกเมื่อกระแสพัลส์ → ต้องมี $C_{in}$ ชิดวงจร สายยาวมี L → แรงดันกระโดดตอนสวิตช์ (ใส่อิเล็กโตรไลต์ ESR ปานกลางหน่วงเรโซแนนซ์)

## ไฟบ้าน 220 V 50 Hz ผ่านหม้อแปลง + บริดจ์เรกติไฟเออร์

V1 Bridge peak and bulk capacitor แรงดันยอดและตัวเก็บประจุ

$$V_{pk} = \sqrt2\,V_{sec} - 2V_F,\qquad
C_{bulk} \ge \frac{2P_{in}\,t_d}{V_{pk}^2 - V_{min}^2},\quad t_d \approx 8\text{–}9\ \text{ms (50 Hz)}$$

ตัวอย่าง: หม้อแปลง 24 Vrms, $P_{in}$ = 15 W, ยอมให้ตกถึง 25 V → $V_{pk}$ = 32.1 V, $C \ge \dfrac{2(15)(0.009)}{32.1^2-25^2} = 667\ \mu$F → ใช้ 1000 µF 50 V

- Ripple ความถี่ 100 Hz (สองเท่าของไลน์) ปรากฏที่ $V_{in}$ → ดูได้ในซิม (ตั้ง time/div = 5 ms, CH2 = Vin)

- กระแสชาร์จ C เป็นพัลส์แคบ พีกสูง 5–10 เท่าของกระแสเฉลี่ย → ไดโอด/หม้อแปลงต้องรองรับ RMS

- Inrush: ตอนเสียบปลั๊ก C ว่าง → ใส่ NTC thermistor หรือ relay bypass

- ความปลอดภัย: ใช้หม้อแปลงแยกขด (isolation transformer) เสมอ ห้ามวัดวงจร off-line ด้วยสโคปที่กราวด์ต่อดิน ถ้าไม่มี differential probe ฟิวส์ด้าน primary + MOV ป้องกันแรงดันกระชาก

- ถ้าต่อ 220 V ตรง (ไม่ใช้หม้อแปลง) แรงดัน bus ≈ 311 V — เป็นงาน SMPS เต็มรูปแบบ ดู Switching Power Supply

## โซลาร์เซลล์ (PV)

เรียนต่อแบบละเอียด เส้นโค้ง I-V แล็บเงาบัง การออกแบบสตริง MPPT และอินเวอร์เตอร์ของระบบโซลาร์จริงอยู่ในชุด ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ (เริ่มที่ เซลล์และเส้นโค้ง I-V และ MPPT)

แบบจำลองไดโอดเดี่ยว:

V2 Single-diode PV model แบบจำลองแผงโซลาร์

$$I = I_{ph} - I_0\left(e^{V/(nN_sV_t)} - 1\right),\qquad I_{ph}\approx I_{sc}\frac{G}{1000}$$

- แผงไม่ใช่แหล่งแรงดัน: แรงดันตกมากเมื่อดึงกระแสเกิน $I_{mpp}$ — คอนเวอร์เตอร์คุมแรงดันขาออกแบบปกติจะ "ดึงจนแผงยุบ" ได้

- MPPT: Perturb & Observe (ซิมมีโหมดนี้), Incremental Conductance; จุด MPP ≈ 0.76–0.8 $V_{oc}$

- แผง 36 เซลล์ ($V_{oc}$ ≈ 22 V) เหมาะกับแลป buck ชาร์จแบต 12 V

- ทดลองในซิม: เลือกแหล่ง = โซลาร์, ตัวควบคุม = MPPT, ลด G จาก 1000 → 400 W/m² ดูว่า Vin เลื่อนจุดทำงานอย่างไร

## เลือกแหล่งจ่ายให้เหมาะกับการทดลอง

|
วัตถุประสงค์ |
แหล่งจ่ายแนะนำ |

|
bring-up วงจรใหม่ |
Bench supply จำกัดกระแส |

|
ทดสอบ line regulation |
Bench supply แบบโปรแกรมได้ หรือ variac + หม้อแปลงแยกขด |

|
ทดสอบ transient จริง |
แบตเตอรี่ (impedance ต่ำ) |

|
ระบบพลังงานทดแทน |
แผงจริง หรือ PV simulator |

## คำถามที่พบบ่อย

คำนวณตัวเก็บประจุหลังบริดจ์เรกติไฟเออร์อย่างไร?
ใช้สมดุลพลังงาน C ≥ 2·P·td/(Vpk² − Vmin²) โดย td ราว 8–9 ms ที่ไฟ 50 Hz เช่นหม้อแปลง 24 Vrms กำลัง 15 W ยอมให้ตกถึง 25 V ได้ราว 667 µF จึงเลือก 1000 µF

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**คำนวณตัวเก็บประจุหลังบริดจ์เรกติไฟเออร์อย่างไร?**
ใช้สมดุลพลังงาน C ≥ 2·P·td/(Vpk² − Vmin²) โดย td ราว 8–9 ms ที่ไฟ 50 Hz เช่นหม้อแปลง 24 Vrms กำลัง 15 W ยอมให้ตกถึง 25 V ได้ราว 667 µF จึงเลือก 1000 µF

---

# วิเคราะห์อาการเสียของคอนเวอร์เตอร์และแหล่งจ่ายไฟสวิตชิ่ง: อาการ สาเหตุ วิธีตรวจ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/troubleshooting/
Updated: 2026-10-13
Summary: ตารางวิเคราะห์อาการเสียของบั๊ก บูสต์ บั๊ก-บูสต์ และ SMPS: ไม่มีเอาต์พุต hiccup แรงดันต่ำหรือสูงเกิน แกว่ง subharmonic เสียงหอน MOSFET ระเบิดหรือร้อน ไดโอดร้อน แกนอิ่มตัว ริปเปิลสูง ตัวเก็บประจุบวม ประสิทธิภาพตก EMI พร้อมวิธีตรวจและวิธีแก้

// บทที่ 15.21 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Troubleshooting

# วิเคราะห์อาการเสียของคอนเวอร์เตอร์และแหล่งจ่ายไฟสวิตชิ่ง: อาการ สาเหตุ วิธีตรวจ

วิธีคิดแบบเป็นระบบ ตาราง 17 อาการ เช่น ไม่มีเอาต์พุต hiccup แกว่ง เสียงหอน MOSFET ระเบิด แกนอิ่มตัว ริปเปิลสูง EMI และวิธีฝึกด้วยซิมูเลเตอร์

สรุปใน 30 วินาที

- สังเกตก่อนแตะ แยกส่วน วัดเทียบค่าที่คาด หาสาเหตุราก

- MOSFET ไหม้มักเป็นผล ไม่ใช่เหตุ

- แกว่งที่ $f_s/2$ = subharmonic → เพิ่ม slope comp

- iL หางยกขึ้น = แกนอิ่มตัว

## วิธีคิดแบบเป็นระบบ

- สังเกตก่อนแตะ — อาการ เสียง กลิ่น รอยไหม้ เกิดเมื่อไร (เปิดเครื่อง/โหลดเปลี่ยน/ร้อน)

- แยกส่วน: ไฟเลี้ยงคอนโทรลเลอร์ → สัญญาณเกต → ภาคกำลัง → ลูปป้อนกลับ

- วัดเทียบค่าที่คาด (คำนวณจากสูตรในแต่ละบท) — ความต่างคือเบาะแส

- หาสาเหตุราก ไม่ใช่แค่เปลี่ยนชิ้นที่ไหม้ (MOSFET ไหม้มักเป็น ผล ไม่ใช่ เหตุ)

## ตารางอาการ → สาเหตุ → วิธีตรวจ

|
อาการ |
สาเหตุที่เป็นไปได้ |
ตรวจ/แก้ |

|
ไม่มีเอาต์พุตเลย |
ไม่มีไฟเลี้ยง IC/UVLO, EN ไม่ถูกดึง, ฟิวส์ขาด, soft-start cap ลัด |
วัด VCC, EN, SS; ดูเกตมีพัลส์หรือไม่ |

|
สตาร์ทแล้วดับ วนซ้ำ (hiccup) |
OCP ทำงาน: โหลดลัด, C ขาออกใหญ่เกิน soft-start, L อิ่มตัว |
ลดโหลด, เพิ่มเวลา soft-start, ดู iL ช่วงสตาร์ท |

|
Vout ต่ำกว่าค่าตั้ง |
ตัวแบ่งผิด, ถึง Dmax (Vin ต่ำเกิน), จำกัดกระแส, ความต้านทานแฝงสูง (boost) |
ดู duty ว่าชน Dmax ไหม; เทียบสูตร $M$ ที่รวม $r_L$ |

|
Vout สูงเกิน/ไม่คุม |
สายป้อนกลับหลุด/ขาดตัวต้านทานล่าง, DCM ที่โหลดเบา (open loop), op-amp อิ่มตัว |
ตรวจ FB pin; ต้องมี OVP เสมอ (โดยเฉพาะ boost) |

|
แรงดันแกว่งความถี่ต่ำ (Hz–kHz) |
Phase margin ต่ำ, input filter โต้ตอบ (Middlebrook), สายแหล่งจ่ายยาว |
วัด Bode, step load ดู overshoot; หน่วง input filter |

|
Jitter/แกว่งที่ $f_s/2$ (คาบเว้นคาบ) |
Subharmonic ใน PCMC ที่ D > 0.5 |
เพิ่ม slope compensation ≥ 0.5 m2 (ลองในซิม) |

|
เสียงหอน/วี้ดได้ยิน |
ลูปแกว่งในช่วงเสียง, burst/skip mode ที่โหลดเบา, ขดลวด/เซรามิกสั่น (piezo) |
ดูว่าเปลี่ยนตามโหลดไหม; เคลือบวาร์นิชขด, ใช้ C ต่างชนิด |

|
MOSFET ระเบิดตอนเปิดเครื่อง |
Shoot-through (dead-time ไม่พอ), เกตลอย, แรงดัน spike เกินพิกัด, V_GS เกิน |
ตรวจ dead-time, ตัวต้านทาน pull-down เกต 10 kΩ, snubber, TVS |

|
MOSFET ร้อนผิดปกติ |
V_GS ต่ำ (Rds(on) สูง), สวิตช์ช้า (เกตไดรฟ์อ่อน), ringing, ทำงานเชิงเส้น |
วัด V_GS จริง, เวลา rise/fall; คำนวณ $P_{sw}$ |

|
ไดโอดร้อน/ไหม้ |
Reverse recovery สูง (ใช้ไดโอดธรรมดา), กระแสพีกเกิน |
ใช้ Schottky/ultrafast/SiC |

|
ตัวเหนี่ยวนำร้อน, iL เป็นรูปหางยกขึ้น |
แกนอิ่มตัว (กระแสเกิน, แกนผิดชนิด, ช่องอากาศหาย) |
ดู iL: ความชันเพิ่มใกล้พีก → เพิ่มรอบ/แกนใหญ่/gap |

|
Ripple ขาออกสูงเกินคำนวณ |
ESR ตัวเก็บประจุสูง (เสื่อม/ร้อน), วัดผิดวิธี (สายกราวด์ยาว), เซรามิกเสียค่าจาก DC bias |
วัดด้วย ground spring; ตรวจ ESR meter |

|
ตัวเก็บประจุบวม/รั่ว |
Ripple current เกิน, ร้อน, ใกล้แหล่งความร้อน, กลับขั้ว |
คำนวณ $I_{C,rms}$ (โดยเฉพาะ $C_{in}$ ของ buck) |

|
ประสิทธิภาพตก |
ไดโอด/MOSFET เสื่อม, DCM, fs สูงเกิน, ขดลวด skin effect |
แยกการสูญเสียด้วยการวัดอุณหภูมิทีละชิ้น |

|
ทำงานดีตอนเย็น เสียตอนร้อน |
ค่า L ลดลง (แกน powder/ferrite ใกล้ Curie), Rds(on) เพิ่ม, ESR อิเล็กโตรไลต์เปลี่ยน |
ทดสอบด้วย heat gun/chamber, derating |

|
รบกวนวิทยุ/เซนเซอร์อื่น (EMI) |
Hot loop ใหญ่, switch node กว้าง, ไม่มีฟิลเตอร์ขาเข้า |
ลด loop area, snubber, common-mode choke, spread spectrum |

|
MCU รีเซ็ตเมื่อมีโหลด |
Ground bounce, ไฟเลี้ยง MCU ตกขณะสวิตช์ |
แยก LDO/decoupling, star ground |

## ใช้ซิมูเลเตอร์ฝึกวิเคราะห์

ใน ห้องแลปจำลอง สร้าง "ความเสีย" แล้วดูผล:

- ลด L ลง 5 เท่า (จำลองแกนแตก) → ΔiL เพิ่ม, เข้า DCM

- เพิ่ม ESR (C) เป็น 0.5 Ω (ตัวเก็บประจุเสื่อม) → ripple ขาออกเป็นรูปเหลี่ยม

- เพิ่ม Rds(on) → ประสิทธิภาพตก

- PCMC slope = 0 กับ boost → subharmonic

- Boost + เปลี่ยนเป็นโหลด 1 kΩ แบบ open loop → แรงดันพุ่ง (เหตุผลที่ต้องมี OVP)

## คำถามที่พบบ่อย

MOSFET ในคอนเวอร์เตอร์ระเบิดตอนเปิดเครื่องเกิดจากอะไร?
สาเหตุที่พบบ่อยคือ shoot-through จาก dead-time ไม่พอ เกตลอยตอนไฟเลี้ยงยังไม่ขึ้น แรงดันกระชากเกินพิกัดเพราะ layout หรือไม่มี snubber และแรงดันเกตเกินพิกัด ควรใส่ตัวต้านทาน pull-down ที่เกต ตรวจ dead-time และวัดแรงดัน drain ด้วยโพรบที่ถูกวิธี

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**MOSFET ในคอนเวอร์เตอร์ระเบิดตอนเปิดเครื่องเกิดจากอะไร?**
สาเหตุที่พบบ่อยคือ shoot-through จาก dead-time ไม่พอ เกตลอยตอนไฟเลี้ยงยังไม่ขึ้น แรงดันกระชากเกินพิกัดเพราะ layout หรือไม่มี snubber และแรงดันเกตเกินพิกัด ควรใส่ตัวต้านทาน pull-down ที่เกต ตรวจ dead-time และวัดแรงดัน drain ด้วยโพรบที่ถูกวิธี

---

# เพาเวอร์แฟกเตอร์ (Power Factor) เข้าใจได้ทุกระดับ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/
Updated: 2026-10-13
Summary: เรียนเพาเวอร์แฟกเตอร์ตั้งแต่ภาพเปรียบเทียบง่าย ๆ จนถึงระดับวิศวกร 8 หน้า: P Q S สามเหลี่ยมกำลัง cos φ ตามหลังนำหน้า รูปคลื่น v i p กำลังไหลกลับ เฟสเซอร์ คำนวณคาปาซิเตอร์ Qc = P(tan φ₁ − tan φ₂) ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติ ค่าปรับ kvar เกิน 61.97 % ของการไฟฟ้า PF จริงกับฮาร์มอนิก ตู้ detuned และการวัด PF พร้อมซิมูเลเตอร์ภาพเคลื่อนไหวและอุปกรณ์จำลองเสมือน

// บทที่ 19 · Power Factor Explained · ทุกระดับ: ทั่วไป → ช่าง → วิศวกร

# เพาเวอร์แฟกเตอร์ (Power Factor) เข้าใจได้ทุกระดับ

เพาเวอร์แฟกเตอร์ (PF) เป็นเรื่องที่เกือบทุกคนในวงการไฟฟ้าเคยได้ยิน แต่น้อยคนอธิบายได้ว่า “กำลังที่ไม่ทำงาน” ไปอยู่ที่ไหน ทำไมคาปาซิเตอร์แก้ได้ และทำไมบางครั้งแก้ไม่ได้ ชุดนี้อธิบายสามระดับคู่กันเสมอ — ภาพเปรียบเทียบ ตัวเลขที่ใช้งาน และคณิตศาสตร์เบื้องหลัง — พร้อมซิมูเลเตอร์ที่เห็นกระแสไหลไปกลับจริง ๆ มี 47 สูตรที่มีรหัสอ้างอิง และ 15 ตัวอย่างคำนวณ

สรุปใน 30 วินาที

- P (kW) ทำงานจริง · Q (kvar) วิ่งไปกลับเติมสนามแม่เหล็ก/ไฟฟ้า · S (kVA) ที่สายต้องแบก · $S^2 = P^2 + Q^2$

- $PF = P/S = \cos\varphi$ เมื่อกระแสเป็นไซน์ · มอเตอร์ทำให้กระแส “ตามหลัง” แรงดัน

- PF ต่ำ → กระแสสูง สายร้อน (∝ 1/PF²) แรงดันตก หม้อแปลงเต็มเร็ว และค่าปรับ kvar

- คาปาซิเตอร์จ่าย Q ให้มอเตอร์ในพื้นที่: $Q_c = P(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2)$

- โหลดอิเล็กทรอนิกส์มี PF ต่ำจากฮาร์มอนิก — คาปาซิเตอร์แก้ส่วนนี้ไม่ได้

## อ่านตามระดับที่คุณต้องการ

ระดับ 1 · ไม่ต้องใช้สูตร

### เข้าใจด้วยภาพ
แก้วเบียร์ ม้าลากเรือ ชิงช้า แล้วดูซิมูเลเตอร์ว่ากระแสไหลไปกลับจริง
PF คืออะไร → ซิมูเลเตอร์

ระดับ 2 · ช่าง · เจ้าของกิจการ

### ใช้ตัวเลขให้เป็น
kW kvar kVA บนบิลและมิเตอร์ ขนาดคาปาซิเตอร์ ตู้อัตโนมัติ ค่าปรับ ระยะคืนทุน
คำนวณคาปาซิเตอร์ → ตู้คาปาซิเตอร์ → ค่าปรับ kvar

ระดับ 3 · นักศึกษา · วิศวกร

### คณิตศาสตร์และฟิสิกส์
p(t) = v·i, เฟสเซอร์ S = VI*, DPF × distortion factor, เรโซแนนซ์ $h = \sqrt{S_{sc}/Q_c}$
รูปคลื่น → ฮาร์มอนิก → การวัด

## ลองเลย: มอเตอร์ปั๊มน้ำกับคาปาซิเตอร์

กด ▶ เล่น แล้วดูเส้นสีม่วง p(t) — ช่วงสีแดงคือเวลาที่มอเตอร์ “คืน” พลังงานกลับไปที่แหล่งจ่าย จากนั้นกดคาปาซิเตอร์ C1 C2 C3 ทีละขั้น สังเกตว่ากระแสลดลง พื้นที่สีแดงหายไป แต่ P (kW) เท่าเดิม ลองโหลดอื่นในแล็บเต็มที่ ซิมูเลเตอร์ PF

## สมการหลักที่ใช้ทั้งชุด

| เรื่อง | สมการ | รหัส |

| สามเหลี่ยมกำลัง | $S^2 = P^2 + Q^2$ | B1 |

| เพาเวอร์แฟกเตอร์ | $PF = P/S = \cos\varphi$ | B2 |

| กำลังขณะหนึ่ง | $p(t) = VI\cos\varphi - VI\cos(2\omega t - \varphi)$ | W2 |

| ขนาดคาปาซิเตอร์ | $Q_c = P(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2)$ | C1 |

| ความจุ | $C = Q_c/(\omega V^2)$ | C3 |

| ค่าปรับ | $(Q_{max} - 0.6197P_{max})\times 56.07$ ฿ | T2 |

| PF จริง | $PF = DPF/\sqrt{1 + THD^2}$ | H2 |

| เรโซแนนซ์ | $h_r = \sqrt{S_{sc}/Q_c}$ | H5 |

## คำนวณคาปาซิเตอร์ทันที

## ทุกบทในชุดนี้

ส่วนที่ 1

### เข้าใจเพาเวอร์แฟกเตอร์ Understanding Power Factor
ภาพเปรียบเทียบ สามเหลี่ยมกำลัง รูปคลื่นแรงดัน กระแส และกำลังขณะใดขณะหนึ่ง

S19.1
เพาเวอร์แฟกเตอร์คืออะไร: ภาพเปรียบเทียบ สามเหลี่ยมกำลัง P Q S, cos φ, ตามหลังกับนำหน้า
What Is Power Factor?
เริ่มจากแก้วเบียร์และเรือลากจูง แล้วไปสู่ P (kW) Q (kvar) S (kVA) สามเหลี่ยมกำลัง cos φ โหลดตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ PF ของเครื่องใช้ไฟฟ้า และ PF ต่ำทำให้เสียอะไร
เปิดหน้า →สูตร B1, B2, …

p19.2
เพาเวอร์แฟกเตอร์ในรูปคลื่น: กำลังขณะหนึ่ง p(t) กำลังไหลกลับ เฟสเซอร์ และความหมายของกำลังรีแอกทีฟ
Power Factor in Waveforms & Phasors
คูณ v(t) กับ i(t) ทีละจุด ได้ p(t) ที่มีค่าเฉลี่ยคือ P และแกว่งด้วยความถี่สองเท่า กำลังไหลกลับไปมา พลังงานที่เก็บในสนามแม่เหล็กและไฟฟ้า เฟสเซอร์ และพิสูจน์ P = VI cos φ
เปิดหน้า →สูตร W1, W2, …

ส่วนที่ 2

### ปรับปรุงเพาเวอร์แฟกเตอร์ Power Factor Correction
คำนวณคาปาซิเตอร์ ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติ และค่าปรับ kvar ในบิลค่าไฟ

Qc19.3
ปรับปรุงเพาเวอร์แฟกเตอร์ด้วยคาปาซิเตอร์: Q_c = P(tan φ₁ − tan φ₂), kvar เป็น μF, กระแสลด การสูญเสียลด และ kVA ที่ได้คืน
Power Factor Correction Calculation
สูตรขนาดคาปาซิเตอร์ ตารางตัวคูณ kvar/kW แปลง kvar เป็น μF ทั้ง 1 เฟส สามเฟส Y Δ กระแสสายลดลงเท่าไร การสูญเสียลดตาม 1/PF² kVA หม้อแปลงที่ได้คืน แรงดันเพิ่ม และการชดเชยมอเตอร์รายตัว
เปิดหน้า →สูตร C1, C2, …

C19.4
ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติ: PF Controller ขั้นสวิตช์ C/k คอนแทกเตอร์ ตัวต้านทานคายประจุ กระแสพุ่งเข้า และการบำรุงรักษา
Automatic Capacitor Banks
ส่วนประกอบของตู้ คอนโทรลเลอร์วัดและตัดต่ออย่างไร ค่า C/k การแบ่งขั้น 1:1:2:2 คอนแทกเตอร์สำหรับคาปาซิเตอร์ inrush ตัวต้านทานคายประจุ แรงดันเกิน การตรวจเช็กประจำปี และอาการเสีย
เปิดหน้า →สูตร K1, K2, …

฿19.5
เพาเวอร์แฟกเตอร์กับค่าไฟ: ค่าปรับ kvar ส่วนที่เกิน 61.97 % ของ kW ความต้องการพลังไฟฟ้า และความคุ้มค่าของตู้คาปาซิเตอร์
Power Factor & the Electricity Bill
ผู้ใช้ไฟประเภทใดเสียค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์ ทำไมเกณฑ์คือ PF 0.85 คำนวณ kvar ที่ถูกเรียกเก็บ ค่าความต้องการพลังไฟฟ้า และระยะคืนทุนของตู้คาปาซิเตอร์จากบิลจริง
เปิดหน้า →สูตร T1, T2, …

ส่วนที่ 3

### ฮาร์มอนิกและการวัด Harmonics & Measurement
PF จริงเมื่อมีฮาร์มอนิก เรโซแนนซ์ ตู้ detuned และการวัด PF ด้วยเครื่องมือจริง

THD19.6
PF จริงกับฮาร์มอนิก: Displacement PF, Distortion PF, THD, เรโซแนนซ์ของคาปาซิเตอร์ และตู้ Detuned 7 %
True Power Factor & Harmonics
ทำไมโหลดอิเล็กทรอนิกส์มี cos φ ≈ 1 แต่ PF จริงแค่ 0.6 PF = DPF/√(1+THD²) คาปาซิเตอร์ช่วยไม่ได้ เรโซแนนซ์ h = √(S_sc/Q_c) ตู้ detuned 7 % 14 % active filter และ PFC
เปิดหน้า →สูตร H1, H2, …

W19.7
วัดเพาเวอร์แฟกเตอร์: แคลมป์มิเตอร์วัดกำลัง เพาเวอร์มิเตอร์ วัตต์มิเตอร์สองตัว และการอ่านมิเตอร์ของการไฟฟ้า
Measuring Power Factor
วัด P Q S PF ด้วยแคลมป์มิเตอร์ เพาเวอร์อนาไลเซอร์ และมิเตอร์ดิจิทัล วิธีวัตต์มิเตอร์สองตัว tan φ = √3(W₁−W₂)/(W₁+W₂) ทิศ CT ที่กลับข้าง การบันทึกโหลด และเช็กลิสต์ก่อนออกแบบตู้
เปิดหน้า →สูตร M1, M2, …

ส่วนที่ 4

### ซิมูเลเตอร์และอุปกรณ์จำลอง Simulator & Virtual Equipment
ซิมูเลเตอร์ PF แบบเห็นคลื่นและเฟสเซอร์ ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติจำลอง และใบงาน

▶19.8
ซิมูเลเตอร์เพาเวอร์แฟกเตอร์: รูปคลื่น เฟสเซอร์ สามเหลี่ยมกำลัง มิเตอร์เสมือน และตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติจำลอง
Power Factor Simulator & Virtual Capacitor Bank
เลือกโหลดจริง เช่น มอเตอร์ หลอดไฟ ฮีตเตอร์ ไดรเวอร์ LED เปิดคาปาซิเตอร์ทีละขั้น เห็นคลื่น v i p เฟสเซอร์หมุน สามเหลี่ยมกำลัง มิเตอร์ และค่าไฟ พร้อมตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติจำลองตลอดวันทำงาน
เปิดหน้า →ซิมูเลเตอร์ + อุปกรณ์จำลอง + ใบงาน 10 ชุด

## ความเชื่อผิด ๆ ที่พบบ่อย

| ความเชื่อ | ความจริง |

| “กล่องประหยัดไฟเสียบปลั๊กแก้ PF แล้วค่าไฟบ้านลด 30 %” | บ้านคิดเงินตาม kWh (P) ไม่ใช่ kVA การแก้ PF ลดกระแสในสายบ้านเล็กน้อยเท่านั้น ผลต่อค่าไฟน้อยมาก |

| “Q คือพลังงานที่เสียไปเปล่า ๆ” | Q ไม่ได้ถูกใช้หมดไป มันวิ่งไปกลับ สิ่งที่เสียจริงคือความร้อน I²R จากกระแสส่วนเกินที่ Q ทำให้เกิด |

| “ใส่คาปาซิเตอร์ยิ่งมากยิ่งดี” | เกินจะกลายเป็น PF นำหน้า กระแสกลับมาสูงขึ้น แรงดันเพิ่ม และเสี่ยงเรโซแนนซ์ |

| “cos φ = PF เสมอ” | จริงเฉพาะกระแสเป็นไซน์ โหลดอิเล็กทรอนิกส์มี cos φ ≈ 1 แต่ PF จริงอาจแค่ 0.6 |

| “PF ต่ำทำให้มิเตอร์บ้านหมุนเร็วขึ้น” | มิเตอร์ kWh วัดเฉพาะ P มิเตอร์จะหมุนเพิ่มเฉพาะการสูญเสียในสายที่อยู่หลังมิเตอร์ ซึ่งน้อย |

## ค้นหาสูตรทั้งหมดในที่เดียว

รหัส: B พื้นฐาน · W รูปคลื่น · C คำนวณคาปาซิเตอร์ · K ตู้คาปาซิเตอร์ · T ค่าไฟ · H ฮาร์มอนิก · M การวัด

## ความรู้ที่เกี่ยวข้องบนเว็บนี้

- THD เพาเวอร์แฟกเตอร์ และ IEEE 519 และ แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก (พรีเซ็ตเรโซแนนซ์คาปาซิเตอร์ ตู้ detuned)

- หม้อแปลงและแรงดันตก — ทำไม Q ทำให้แรงดันตก

- ชาร์จรถ EV ที่บ้าน — เครื่องชาร์จมี PFC

- ตรีโกณมิติ — cos tan และตารางค่า

## มาตรฐานและแหล่งอ้างอิง

- IEEE Std 1459-2010 นิยามกำลังภายใต้สภาวะไซน์ ไม่ไซน์ สมดุล และไม่สมดุล

- IEC 60831-1/-2 (คาปาซิเตอร์แรงต่ำแบบ self-healing), IEC 61921 (ตู้คาปาซิเตอร์แรงต่ำ), IEC 60947-4-1 (คอนแทกเตอร์ AC-6b)

- IEEE Std 18 และ IEEE Std 1036 (คาปาซิเตอร์แบบขนานและการใช้งาน)

- อัตราค่าไฟฟ้าของ กฟภ./กฟน. — ค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์ 56.07 บาท ต่อ kvar ที่เกิน 61.97 % ของความต้องการพลังไฟฟ้าสูงสุด (ตรวจอัตราปัจจุบัน)

- J. C. Das, Power System Harmonics and Passive Filter Designs, Wiley-IEEE — เรโซแนนซ์และตู้ detuned

## คำถามที่พบบ่อย

เพาเวอร์แฟกเตอร์คืออะไรแบบเข้าใจง่ายที่สุด?
คือสัดส่วนของไฟฟ้าที่ทำงานจริง (kW) เทียบกับไฟฟ้าทั้งหมดที่สายไฟต้องส่ง (kVA) เหมือนเบียร์หนึ่งแก้ว ส่วนที่ดื่มได้คือเนื้อเบียร์ (kW) ส่วนฟองคือกำลังรีแอกทีฟ (kvar) แก้วทั้งใบคือ kVA แก้วที่มีฟองมาก ต้องใช้แก้วใหญ่ขึ้นเพื่อได้เบียร์เท่าเดิม PF = 1 คือไม่มีฟองเลย

PF ต่ำเสียหายอย่างไร?
กระแสในสายสูงขึ้นทั้งที่งานเท่าเดิม ทำให้สายร้อนและสูญเสียพลังงานตาม 1/PF² แรงดันตกมากขึ้น หม้อแปลงและสายต้องใหญ่ขึ้น และผู้ใช้ไฟประเภทกิจการขนาดกลางขึ้นไปจะเสียค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์เมื่อ kvar เกิน 61.97 % ของ kW ความต้องการสูงสุด (ต่ำกว่า PF 0.85)

บ้านพักอาศัยต้องแก้ PF ไหม?
โดยทั่วไปไม่ต้อง ผู้ใช้ไฟบ้านเสียค่าไฟตาม kWh ไม่มีค่าปรับ kvar และเครื่องใช้ไฟฟ้าสมัยใหม่ เช่น แอร์อินเวอร์เตอร์และเครื่องชาร์จรถ มีวงจร PFC อยู่แล้ว อุปกรณ์ที่โฆษณาว่าเสียบปลั๊กแล้วลดค่าไฟบ้านด้วยการแก้ PF จึงไม่ช่วยลดค่าไฟจริง

มีเครื่องมือทดลองเพาเวอร์แฟกเตอร์ไหม?
มีซิมูเลเตอร์ที่เลือกโหลดจริง เช่น มอเตอร์ ฮีตเตอร์ หลอดบัลลาสต์ คอมพิวเตอร์ แล้วเปิดคาปาซิเตอร์ทีละขั้น เห็นรูปคลื่น v i p แบบเคลื่อนไหว เฟสเซอร์ สามเหลี่ยมกำลัง มิเตอร์ และความร้อนในสาย และมีตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติจำลองตลอดวันทำงานของโรงงาน ใช้ได้ฟรีในเบราว์เซอร์

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เพาเวอร์แฟกเตอร์คืออะไรแบบเข้าใจง่ายที่สุด?**
คือสัดส่วนของไฟฟ้าที่ทำงานจริง (kW) เทียบกับไฟฟ้าทั้งหมดที่สายไฟต้องส่ง (kVA) เหมือนเบียร์หนึ่งแก้ว ส่วนที่ดื่มได้คือเนื้อเบียร์ (kW) ส่วนฟองคือกำลังรีแอกทีฟ (kvar) แก้วทั้งใบคือ kVA แก้วที่มีฟองมาก ต้องใช้แก้วใหญ่ขึ้นเพื่อได้เบียร์เท่าเดิม PF = 1 คือไม่มีฟองเลย

**PF ต่ำเสียหายอย่างไร?**
กระแสในสายสูงขึ้นทั้งที่งานเท่าเดิม ทำให้สายร้อนและสูญเสียพลังงานตาม 1/PF² แรงดันตกมากขึ้น หม้อแปลงและสายต้องใหญ่ขึ้น และผู้ใช้ไฟประเภทกิจการขนาดกลางขึ้นไปจะเสียค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์เมื่อ kvar เกิน 61.97 % ของ kW ความต้องการสูงสุด (ต่ำกว่า PF 0.85)

**บ้านพักอาศัยต้องแก้ PF ไหม?**
โดยทั่วไปไม่ต้อง ผู้ใช้ไฟบ้านเสียค่าไฟตาม kWh ไม่มีค่าปรับ kvar และเครื่องใช้ไฟฟ้าสมัยใหม่ เช่น แอร์อินเวอร์เตอร์และเครื่องชาร์จรถ มีวงจร PFC อยู่แล้ว อุปกรณ์ที่โฆษณาว่าเสียบปลั๊กแล้วลดค่าไฟบ้านด้วยการแก้ PF จึงไม่ช่วยลดค่าไฟจริง

**มีเครื่องมือทดลองเพาเวอร์แฟกเตอร์ไหม?**
มีซิมูเลเตอร์ที่เลือกโหลดจริง เช่น มอเตอร์ ฮีตเตอร์ หลอดบัลลาสต์ คอมพิวเตอร์ แล้วเปิดคาปาซิเตอร์ทีละขั้น เห็นรูปคลื่น v i p แบบเคลื่อนไหว เฟสเซอร์ สามเหลี่ยมกำลัง มิเตอร์ และความร้อนในสาย และมีตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติจำลองตลอดวันทำงานของโรงงาน ใช้ได้ฟรีในเบราว์เซอร์

---

# ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติ: PF Controller ขั้นสวิตช์ C/k คอนแทกเตอร์ ตัวต้านทานคายประจุ และการบำรุงรักษา

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/capacitor-bank/
Updated: 2026-10-13
Summary: ทำความเข้าใจตู้คาปาซิเตอร์แก้เพาเวอร์แฟกเตอร์แบบอัตโนมัติ: ส่วนประกอบในตู้ PF controller วัด P Q อย่างไร ค่า C/k และแถบตอบสนอง การแบ่งขั้น 1:1:2:2 และ 1:2:4 การหมุนเวียนขั้น หน่วงเวลาการต่อซ้ำ คอนแทกเตอร์สำหรับคาปาซิเตอร์ AC-6b กระแสพุ่งเข้าแบบ back-to-back ตัวต้านทานคายประจุตาม IEC 60831 ตำแหน่ง CT ตารางบำรุงรักษาและอาการเสีย พร้อมตู้คาปาซิเตอร์จำลองตลอดวันทำงานของโรงงาน

// บทที่ 19.4 · เพาเวอร์แฟกเตอร์ · Automatic Capacitor Banks

# ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติ: PF Controller ขั้นสวิตช์ C/k คอนแทกเตอร์ ตัวต้านทานคายประจุ และการบำรุงรักษา

โหลดของโรงงานเปลี่ยนตลอดวัน คาปาซิเตอร์ขนาดคงที่จะชดเชยขาดตอนโหลดหนักและเกินตอนโหลดเบา ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติแก้ปัญหานี้ด้วยการวัด PF ตลอดเวลาแล้วสับหรือปลดคาปาซิเตอร์ทีละขั้น หน้านี้มีตู้จำลองเสมือนให้ลองตั้งค่าเหมือนกดคอนโทรลเลอร์จริง

สรุปใน 30 วินาที

- ตู้ = CT + PF controller + ฟิวส์/MCCB + คอนแทกเตอร์ AC-6b + คาปาซิเตอร์ + ตัวต้านทานคายประจุ + พัดลม (+ รีแอกเตอร์ถ้า detuned)

- C/k = Q ขั้นเล็กสุด ÷ (√3 V × อัตราส่วน CT) — เกณฑ์ตัดสินใจสับ/ปลด

- แบ่งขั้น 1:1:2:2 หรือ 1:2:4 ได้ระดับละเอียดด้วยคอนแทกเตอร์น้อยตัว

- หน่วงเวลาต่อซ้ำ ≥ เวลาคายประจุ (มักตั้ง 30–60 s)

## ส่วนประกอบของตู้ พื้นฐาน

| อุปกรณ์ | หน้าที่ | ข้อกำหนดที่สำคัญ |

| CT (ที่สายเมน) | ให้คอนโทรลเลอร์วัดกระแสรวมของโรงงาน | ติดต้นทางของตู้คาปาซิเตอร์ (เห็นทั้งโหลดและคาปาซิเตอร์) · เฟสที่ CT ต้องตรงกับที่ตั้งค่าในคอนโทรลเลอร์ |

| PF controller | คำนวณ P Q PF ตัดสินใจสับ/ปลดขั้น แสดงผล แจ้งเตือน | ตั้ง PF เป้า C/k หน่วงเวลา จำนวนขั้น การหมุนเวียน |

| ฟิวส์ NH / MCCB ต่อขั้น | ป้องกันลัดวงจรในขั้น | พิกัด ≈ 1.5–1.8 เท่ากระแสคาปาซิเตอร์ |

| คอนแทกเตอร์ AC-6b | สับ/ปลดขั้น | มีตัวต้านทานจำกัดกระแสพุ่งเข้า |

| คาปาซิเตอร์ (self-healing, IEC 60831) | จ่าย kvar | แรงดันพิกัด 440–480 V สำหรับระบบ 400 V มีอุปกรณ์ตัดเมื่อแรงดันภายในสูง |

| ตัวต้านทานคายประจุ | คายประจุให้ปลอดภัยและพร้อมสับซ้ำ | ≤ 75 V ภายใน 3 นาที (IEC 60831) |

| พัดลมและเทอร์โมสตัท | ระบายความร้อน | คาปาซิเตอร์อายุสั้นลงครึ่งหนึ่งทุก 7–10 °C ที่ร้อนขึ้น |

| รีแอกเตอร์ detuned (ถ้ามี) | กันเรโซแนนซ์ฮาร์มอนิก | p = 7 % (189 Hz) หรือ 14 % (134 Hz) — อ่าน |

## คอนโทรลเลอร์ตัดสินใจอย่างไร กลาง

K1 Reactive power still needed รีแอกทีฟที่ยังขาด

$$\Delta Q = Q_{measured} - P\tan\varphi_{target} \qquad \Delta Q > k_r Q_{step,min} \Rightarrow \text{สับ} \qquad \Delta Q < -k_r Q_{step,min} \Rightarrow \text{ปลด}$$

K2 C/k setting ค่า C/k (แอมป์ด้านทุติยภูมิ)

$$C/k = \frac{Q_{step,min}}{\sqrt3\,V_L\,k_{CT}} \qquad k_{CT} = \frac{I_{p}}{I_{s}}$$

$k_r$ (มักประมาณ 0.6–0.7) กำหนดความกว้างของ “แถบนิ่ง” รอบเป้าหมาย ถ้าแคบเกินไป ขั้นเล็กจะสับไปมา (hunting) คอนโทรลเลอร์ยังหน่วงเวลาก่อนตัดสินใจ (ไม่ตอบสนองโหลดกระชากชั่วครู่) และห้ามสับขั้นเดิมซ้ำจนกว่าคายประจุเสร็จ

ตัวอย่าง K-1

### ตู้ 6 × 25 kvar ระบบ 400 V CT 1000/5

- K2: $C/k = 25{,}000/(\sqrt3 \times 400 \times 200) = 0.18$ A

- ถ้าใช้ CT 2000/5 (k = 400): C/k = 0.09 A — ค่ายิ่งเล็ก คอนโทรลเลอร์ยิ่งต้องวัดละเอียด เลือก CT ให้เหมาะกับกระแสโหลดจริง

- คอนโทรลเลอร์รุ่นใหม่หลายรุ่นวัด C/k อัตโนมัติตอนเริ่มใช้งาน (สับแต่ละขั้นแล้ววัดกระแสที่เปลี่ยน)

## การแบ่งขั้น กลาง

K3 Number of levels จำนวนระดับที่ได้

$$\text{ขั้นเท่ากัน } n\ \text{ขั้น: } n\ \text{ระดับ} \qquad 1{:}2{:}4{:}\dots\ (n\ \text{ขั้น}): 2^n - 1\ \text{ระดับ} \qquad \Delta Q_{res} = Q_{step,min}$$

| รูปแบบ (150 kvar) | ระดับ | ข้อดี | ข้อเสีย |

| 6 × 25 | 6 ระดับ ทีละ 25 | สึกเท่ากัน หมุนเวียนได้ | คอนแทกเตอร์มาก |

| 1:1:2:2 (25 25 50 50) | 6 ระดับ ทีละ 25 | คอนแทกเตอร์ 4 ตัว | สับหลายขั้นพร้อมกันบางครั้ง |

| 1:2:4 (25 50 100) | 7 ระดับ (ถึง 175) | คอนแทกเตอร์น้อยที่สุด | ขั้นใหญ่สับบ่อย กระแสพุ่งเข้าสูง |

## กระแสพุ่งเข้าและการคายประจุ ขั้นสูง

K4 Inrush peak, single bank ค่ายอดกระแสพุ่งเข้า (สับขั้นแรก)

$$\frac{\hat i_{inrush}}{\sqrt2\,I_{C}} \approx \sqrt{\frac{2\,S_{sc}}{Q_c}}$$

เมื่อสับขั้นใหม่ขนานกับขั้นที่มีประจุอยู่แล้ว (back-to-back) อิมพีแดนซ์ระหว่างกันเหลือแค่สายสั้น ๆ ในตู้ กระแสพุ่งเข้าสูงกว่ากรณีแรกมาก นี่คือเหตุผลของคอนแทกเตอร์ AC-6b ที่มีตัวต้านทานต่อก่อน หรือรีแอกเตอร์ (ซึ่งตู้ detuned มีอยู่แล้ว)

K5 Discharge resistor ตัวต้านทานคายประจุ (≤ 75 V ใน t วินาที)

$$R \le \frac{t}{C\,\ln\!\left(\dfrac{\sqrt2\,U_N}{U_R}\right)} \qquad U_R = 75\ \text{V},\ t = 180\ \text{s}$$

ตัวอย่าง K-2

### ขั้น 25 kvar 440 V (137 µF ต่อเฟส Δ) และหม้อแปลง 1,000 kVA 6 %

- K4: $S_{sc} = 1000/0.06 = 16{,}700$ kVA → $\sqrt{2(16{,}700)/25} = 36.5$ เท่าของค่ายอดพิกัด

- K5: $R \le 180/(137\text{e-}6 \times \ln(\sqrt2 \cdot 440/75)) = 180/(137\text{e-}6 \times 2.12) = 620\ \text{k}\Omega$

- ผู้ผลิตมักใส่ตัวต้านทานที่คายเร็วกว่ามาก (เช่น ถึง 50 V ใน 60 s) เพื่อให้คอนโทรลเลอร์สับขั้นเดิมซ้ำได้เร็ว — ค่าหน่วงเวลาต่อซ้ำในคอนโทรลเลอร์ต้องไม่สั้นกว่าเวลาคายประจุ

## ตู้คาปาซิเตอร์จำลองเสมือน: หนึ่งวันของโรงงาน

หน้าจอคอนโทรลเลอร์ด้านบนแสดง cos φ และไฟสถานะของแต่ละขั้น เลื่อนแถบเวลาเพื่อดูว่าขั้นไหนสับอยู่ กราฟด้านล่างเทียบ PF เมื่อไม่มีตู้ (เส้นเทา) กับเมื่อมีตู้ (เส้นน้ำเงิน) พร้อม kvar ที่โหลดต้องการกับที่ตู้จ่าย ลองเปลี่ยนการแบ่งขั้น และลดค่า C/k เหลือ 0.3 แล้วดูจำนวนครั้งที่คอนแทกเตอร์ทำงาน

## บำรุงรักษาและอาการเสีย พื้นฐาน

| รายการ | ความถี่ | วิธี |

| ดูหน้าจอคอนโทรลเลอร์ PF และการแจ้งเตือน | รายสัปดาห์ | บันทึก PF ช่วงพีก |

| วัดกระแสแต่ละขั้นเทียบพิกัด | ทุก 6 เดือน | ลดลงเกิน 10–15 % = คาปาซิเตอร์เสื่อม (ความจุลด) |

| ภาพถ่ายความร้อน ขั้วต่อ ฟิวส์ คอนแทกเตอร์ | ทุก 6–12 เดือน | หาจุดร้อน ขั้วหลวม |

| ทำความสะอาดแผ่นกรองพัดลม | ทุก 3–6 เดือน | อุณหภูมิในตู้สูงทำให้อายุสั้น |

| ตรวจคาปาซิเตอร์บวม รั่ว กลิ่น | ทุกครั้งที่เปิดตู้ | เปลี่ยนทันที |

| อาการ | สาเหตุที่พบบ่อย |

| PF ไม่ขึ้นแม้สับครบทุกขั้น | คาปาซิเตอร์เสื่อม ฟิวส์ขาด ตู้เล็กเกินไปเมื่อโหลดเพิ่ม หรือ CT ติดผิดตำแหน่ง (หลังตู้) |

| คอนโทรลเลอร์แสดง PF แปลก ๆ หรือนำหน้าตลอด | CT ผิดเฟส กลับขั้ว k-l หรือตั้งค่าเฟสอ้างอิงผิด |

| คอนแทกเตอร์สับไปมาถี่ | C/k เล็กเกินไป หน่วงเวลาสั้น โหลดเปลี่ยนเร็ว (เครื่องเชื่อม ลิฟต์) |

| ฟิวส์ขาดบ่อย คาปาซิเตอร์ร้อน | ฮาร์มอนิกและเรโซแนนซ์ — ต้องวัด THD พิจารณาตู้ detuned |

| แรงดันสูงตอนกลางคืน | ขั้นค้าง (คอนแทกเตอร์ติด) หรือมีคาปาซิเตอร์คงที่มากเกิน |

## คำถามที่พบบ่อย

ค่า C/k ของ PF controller คืออะไร?
C/k คือกระแสรีแอกทีฟด้านทุติยภูมิของ CT ที่เทียบเท่ากับคาปาซิเตอร์ขั้นเล็กที่สุด คำนวณจาก Qขั้นเล็กสุด ÷ (√3 × V × อัตราส่วน CT) คอนโทรลเลอร์ใช้ค่านี้ตัดสินว่ารีแอกทีฟที่ขาดหรือเกินมากพอที่จะสับหรือปลดหนึ่งขั้นหรือยัง ถ้าตั้งเล็กเกินไปคอนแทกเตอร์จะสับไปมาบ่อย ถ้าตั้งใหญ่เกินไป PF จะไม่ถึงเป้า

ทำไมต้องใช้คอนแทกเตอร์สำหรับคาปาซิเตอร์โดยเฉพาะ?
ขณะสับคาปาซิเตอร์ที่ยังไม่มีประจุ โดยเฉพาะเมื่อมีขั้นอื่นต่ออยู่แล้ว (back-to-back) กระแสพุ่งเข้ามีค่ายอดหลายสิบถึงหลายร้อยเท่าของพิกัดในเวลาไม่กี่มิลลิวินาที หน้าสัมผัสคอนแทกเตอร์ธรรมดาจะเชื่อมติดหรือสึกเร็ว คอนแทกเตอร์ AC-6b มีหน้าสัมผัสช่วยพร้อมตัวต้านทานหน่วงที่ต่อก่อนหน้าสัมผัสหลักเพื่อจำกัดกระแสช่วงแรก

## FAQ

**ค่า C/k ของ PF controller คืออะไร?**
C/k คือกระแสรีแอกทีฟด้านทุติยภูมิของ CT ที่เทียบเท่ากับคาปาซิเตอร์ขั้นเล็กที่สุด คำนวณจาก Qขั้นเล็กสุด ÷ (√3 × V × อัตราส่วน CT) คอนโทรลเลอร์ใช้ค่านี้ตัดสินว่ารีแอกทีฟที่ขาดหรือเกินมากพอที่จะสับหรือปลดหนึ่งขั้นหรือยัง ถ้าตั้งเล็กเกินไปคอนแทกเตอร์จะสับไปมาบ่อย ถ้าตั้งใหญ่เกินไป PF จะไม่ถึงเป้า

**ทำไมต้องใช้คอนแทกเตอร์สำหรับคาปาซิเตอร์โดยเฉพาะ?**
ขณะสับคาปาซิเตอร์ที่ยังไม่มีประจุ โดยเฉพาะเมื่อมีขั้นอื่นต่ออยู่แล้ว (back-to-back) กระแสพุ่งเข้ามีค่ายอดหลายสิบถึงหลายร้อยเท่าของพิกัดในเวลาไม่กี่มิลลิวินาที หน้าสัมผัสคอนแทกเตอร์ธรรมดาจะเชื่อมติดหรือสึกเร็ว คอนแทกเตอร์ AC-6b มีหน้าสัมผัสช่วยพร้อมตัวต้านทานหน่วงที่ต่อก่อนหน้าสัมผัสหลักเพื่อจำกัดกระแสช่วงแรก

---

# PF จริงกับฮาร์มอนิก: Displacement PF, Distortion PF, THD, เรโซแนนซ์ของคาปาซิเตอร์ และตู้ Detuned

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/harmonics-true-pf/
Updated: 2026-10-13
Summary: ทำไมโหลดอิเล็กทรอนิกส์อย่างคอมพิวเตอร์ ไดรเวอร์ LED และไดรฟ์มอเตอร์มี cos φ เกือบ 1 แต่ PF จริงแค่ 0.6–0.7: กระแสยอดแหลม ฮาร์มอนิก THD PF จริง = DPF × distortion factor = DPF/√(1+THD²) กำลังบิดเบือน D คาปาซิเตอร์แก้ส่วนนี้ไม่ได้ เรโซแนนซ์ขนาน h = √(S_sc/Q_c) ตู้ detuned 7 % (189 Hz) 14 % (134 Hz) ฮาร์มอนิกที่ 3 ในสายนิวทรัล PFC แอกทีฟฟิลเตอร์ พร้อมซิมูเลเตอร์และเครื่องคำนวณ

// บทที่ 19.6 · เพาเวอร์แฟกเตอร์ · True Power Factor & Harmonics

# PF จริงกับฮาร์มอนิก: Displacement PF, Distortion PF, THD, เรโซแนนซ์ของคาปาซิเตอร์ และตู้ Detuned

ทุกอย่างก่อนหน้านี้สมมติว่ากระแสเป็นไซน์ แต่โหลดสมัยใหม่ส่วนใหญ่ผ่านวงจรเรียงกระแสกับตัวเก็บประจุ กระแสจึงไหลเป็นยอดแหลมเฉพาะช่วงยอดของแรงดัน ตรงนี้เองที่ “cos φ” กับ “PF” แยกทางกัน และคาปาซิเตอร์ที่เคยเป็นพระเอกอาจกลายเป็นตัวปัญหา

สรุปใน 30 วินาที

- $PF = DPF \times DF = \cos\varphi_1/\sqrt{1 + THD_I^2}$

- THD 100 % → PF สูงสุดแค่ 0.707 แม้ cos φ = 1

- คาปาซิเตอร์แก้ได้เฉพาะ DPF · ส่วน DF ต้องแก้ด้วย PFC ตัวเหนี่ยวนำ หรือแอกทีฟฟิลเตอร์

- เรโซแนนซ์ $h_r = \sqrt{S_{sc}/Q_c}$ → ใช้ตู้ detuned 7 % (189 Hz)

## ทำไมกระแสเป็นยอดแหลม พื้นฐาน

อุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์เกือบทุกชนิดเริ่มด้วยไดโอดบริดจ์และตัวเก็บประจุ (วงจรเรียงกระแส) ตัวเก็บประจุจะเติมประจุเฉพาะตอนแรงดันไฟบ้านสูงกว่าแรงดันของมันเอง คือช่วงสั้น ๆ รอบยอดคลื่น กระแสจึงเป็นพัลส์แคบสูง ตรงกลางพัลส์ตรงกับยอดแรงดันพอดี (cos φ₁ ≈ 1) แต่รูปร่างไม่ใช่ไซน์ — แยกด้วย อนุกรมฟูเรียร์ ได้ฮาร์มอนิกคี่ 3 5 7 9 …

H1 RMS current and THD กระแส rms และ THD

$$I_{rms} = \sqrt{\sum_{h=1}^{\infty} I_h^2} = I_1\sqrt{1 + THD_I^2} \qquad THD_I = \frac{\sqrt{\sum_{h\ge2} I_h^2}}{I_1}$$

## PF จริง = DPF × Distortion factor กลาง

H2 True power factor เพาเวอร์แฟกเตอร์จริง (แรงดันเป็นไซน์)

$$PF = \frac{P}{V I_{rms}} = \underbrace{\cos\varphi_1}_{DPF}\times\underbrace{\frac{I_1}{I_{rms}}}_{DF} = \frac{\cos\varphi_1}{\sqrt{1 + THD_I^2}}$$

H3 Power components with distortion กำลังเมื่อมีฮาร์มอนิก

$$S^2 = P^2 + Q_1^2 + D^2 \qquad D = V\sqrt{\sum_{h\ge2} I_h^2} = V I_1\,THD_I$$

H4 Best PF reachable with capacitors only PF สูงสุดที่คาปาซิเตอร์ทำได้

$$PF_{max} = DF = \frac{1}{\sqrt{1 + THD_I^2}} \qquad THD\ 100\,\% \Rightarrow 0.707$$

ตัวอย่าง H-1

### คอมพิวเตอร์ 10 เครื่อง 1.5 kW cos φ₁ = 0.986 THD = 103 %

- H2: $DF = 1/\sqrt{1 + 1.03^2} = 0.697$ → $PF = 0.986 \times 0.697 = 0.687$ (ซิมูเลเตอร์: 0.689)

- H1: $I_1 = 1500/(230 \times 0.986) = 6.61$ A → $I_{rms} = 6.61\sqrt{1 + 1.03^2} = 9.49$ A

- H3: $D = 230 \times 6.61 \times 1.03 = 1.57$ kVA — มากกว่า Q (0.25 kvar) หลายเท่า

- ใส่คาปาซิเตอร์ 0.5 kvar: Q กลายเป็น −0.75 (นำหน้า) PF แย่ลงเป็น 0.655 — ลองปุ่ม “คาปาซิเตอร์ช่วยฮาร์มอนิกไม่ได้” ในซิมูเลเตอร์

## ซิมูเลเตอร์: กระแสยอดแหลมกับเฟสเซอร์ที่ “ดูดี”

สังเกต: เฟสเซอร์ I₁ เกือบตรงกับ V (cos φ ดี) แต่รูปคลื่นกระแสเป็นยอดแหลม และมิเตอร์แสดง THD-I สูง PF จริงต่ำ เพิ่ม “แอร์อินเวอร์เตอร์ (มี PFC)” ลงไปเพื่อดูว่าโหลดที่มีวงจร PFC ต่างกันอย่างไร

## ฮาร์มอนิกที่ 3 กับสายนิวทรัล กลาง

H8 Neutral current from triplen harmonics กระแสนิวทรัลจากฮาร์มอนิกลำดับ 3 6 9

$$I_N \approx 3\sqrt{I_3^2 + I_9^2 + \cdots}\ \ (\text{โหลดเฟสเดียวสมดุลสามเฟส})$$

ฮาร์มอนิกที่ 3 ของสามเฟสมีมุมตรงกัน (เป็นลำดับศูนย์ — องค์ประกอบสมมาตร) จึงบวกกันในสายนิวทรัลแทนที่จะหักล้าง อาคารสำนักงานที่มีคอมพิวเตอร์มากอาจมีกระแสนิวทรัลสูงกว่ากระแสเฟส — ดูการจำลองที่ แล็บฮาร์มอนิก พรีเซ็ต neutral

## เรโซแนนซ์ขนาน: เมื่อคาปาซิเตอร์ขยายฮาร์มอนิก ขั้นสูง

H5 Parallel resonance order อันดับเรโซแนนซ์ขนาน

$$h_r = \sqrt{\frac{S_{sc}}{Q_c}} \approx \sqrt{\frac{S_T}{Q_c\,(\%Z_T/100)}} \qquad f_r = h_r\,f_1$$

มองจากแหล่งกระแสฮาร์มอนิก (ไดรฟ์) อิมพีแดนซ์ของหม้อแปลง (ตัวเหนี่ยวนำ) ขนานกับคาปาซิเตอร์ ที่ $h_r$ อิมพีแดนซ์ขนานสูงมาก กระแสฮาร์มอนิกเล็ก ๆ สร้างแรงดันฮาร์มอนิกใหญ่ และกระแสวนระหว่างหม้อแปลงกับคาปาซิเตอร์ถูกขยายหลายเท่า เมื่อตู้อัตโนมัติสับขั้นเพิ่ม $Q_c$ เพิ่ม $h_r$ ก็เลื่อนลง — ทุกตู้จึงผ่านช่วงอันตรายบางขณะ

ตัวอย่าง H-2

### หม้อแปลง 1,000 kVA 6 % กับตู้ที่สับ 150 / 300 / 450 kvar

- $S_{sc} = 1000/0.06 = 16{,}667$ kVA

- H5: 150 kvar → $h_r = 10.5$ · 300 kvar → $h_r = 7.45$ (ใกล้ 7!) · 450 kvar → $h_r = 6.1$

- โรงงานที่มี VFD ผลิตฮาร์มอนิกที่ 5 และ 7 สูง ตู้ธรรมดา 300 kvar จะขยายฮาร์มอนิกที่ 7 อย่างรุนแรง

## ตู้ Detuned 7 % และ 14 % ขั้นสูง

H6 Detuned tuning frequency ความถี่จูนของตู้ detuned

$$p = \frac{X_L}{X_C} \qquad f_{tune} = \frac{f_1}{\sqrt{p}} \qquad p = 7\,\% \Rightarrow 189\ \text{Hz}\ (h = 3.78),\ \ p = 14\,\% \Rightarrow 134\ \text{Hz}\ (h = 2.67)$$

H7 Capacitor voltage in a detuned branch แรงดันคร่อมคาปาซิเตอร์

$$U_C = \frac{U_N}{1 - p} \qquad Q_{branch} = \frac{Q_{C,rated}}{1-p}\left(\frac{U_N}{U_{C,rated}}\right)^2$$

รีแอกเตอร์อนุกรมทำให้กิ่งคาปาซิเตอร์เป็น “ตัวเหนี่ยวนำ” สำหรับทุกฮาร์มอนิกที่สูงกว่า 189 Hz (h = 5, 7, 11, …) จึงไม่มีเรโซแนนซ์ขนานในช่วงนั้น และยังจำกัดกระแสพุ่งเข้า ข้อแลกเปลี่ยน: แรงดันคร่อมคาปาซิเตอร์สูงขึ้น 7.5 % ต้องใช้คาปาซิเตอร์พิกัด 480–525 V และตู้แพงกว่า ใช้ 14 % เมื่อมีฮาร์มอนิกที่ 3 มาก (อาคารที่มีโหลดเฟสเดียวมาก)

## เลือกวิธีแก้ให้ตรงปัญหา กลาง

| สถานการณ์ | วิธี |

| มอเตอร์ บัลลาสต์ THD ต่ำ (< 10 %) | ตู้คาปาซิเตอร์ธรรมดา |

| มี VFD/อินเวอร์เตอร์ปนอยู่ (THD-I 10–30 %) หรือ THD-U > 3 % | ตู้ detuned 7 % |

| อาคารสำนักงาน โหลดเฟสเดียวมาก | detuned 14 % · สายนิวทรัลใหญ่ขึ้น |

| ฮาร์มอนิกสูงมาก PF แย่จากการบิดเบือน | แอกทีฟฟิลเตอร์ (ชดเชยทั้ง Q และฮาร์มอนิก) · AC/DC choke ที่ไดรฟ์ · ไดรฟ์ 12 พัลส์ หรือ Active Front End |

| ออกแบบอุปกรณ์ใหม่ | ใส่วงจร PFC แบบบูสต์ (บูสต์คอนเวอร์เตอร์) ให้ผ่าน IEC 61000-3-2 |

วัดก่อนแก้เสมอ: ใช้เพาเวอร์อนาไลเซอร์บันทึก THD-I THD-U และสเปกตรัมอย่างน้อยหนึ่งสัปดาห์ (การวัด PF) และทดลองผลของตู้ใน แล็บฮาร์มอนิก พรีเซ็ต detuned

## คำถามที่พบบ่อย

Displacement PF กับ True PF ต่างกันอย่างไร?
Displacement PF (DPF หรือ cos φ₁) คิดเฉพาะมุมระหว่างแรงดันกับกระแสความถี่พื้นฐาน 50 Hz ส่วน True PF คือ P หารด้วย S ที่รวมกระแสฮาร์มอนิกทุกลำดับ ถ้ากระแสเป็นไซน์ ทั้งสองเท่ากัน ถ้ามีฮาร์มอนิก True PF = DPF / √(1 + THD²) ซึ่งต่ำกว่าเสมอ

ทำไมตู้คาปาซิเตอร์ระเบิดหรือฟิวส์ขาดบ่อยในโรงงานที่มีอินเวอร์เตอร์มาก?
คาปาซิเตอร์กับอิมพีแดนซ์ของหม้อแปลงเกิดเรโซแนนซ์ขนานที่อันดับฮาร์มอนิก h = √(S_sc/Q_c) ถ้าตรงหรือใกล้ฮาร์มอนิกที่ 5 หรือ 7 ที่ไดรฟ์ผลิต กระแสฮาร์มอนิกจะถูกขยายหลายเท่า คาปาซิเตอร์ร้อน ฟิวส์ขาด แรงดันเพี้ยน วิธีแก้คือใช้ตู้ detuned ที่มีรีแอกเตอร์อนุกรมให้ความถี่เรโซแนนซ์ต่ำกว่าฮาร์มอนิกที่ 5

## FAQ

**Displacement PF กับ True PF ต่างกันอย่างไร?**
Displacement PF (DPF หรือ cos φ₁) คิดเฉพาะมุมระหว่างแรงดันกับกระแสความถี่พื้นฐาน 50 Hz ส่วน True PF คือ P หารด้วย S ที่รวมกระแสฮาร์มอนิกทุกลำดับ ถ้ากระแสเป็นไซน์ ทั้งสองเท่ากัน ถ้ามีฮาร์มอนิก True PF = DPF / √(1 + THD²) ซึ่งต่ำกว่าเสมอ

**ทำไมตู้คาปาซิเตอร์ระเบิดหรือฟิวส์ขาดบ่อยในโรงงานที่มีอินเวอร์เตอร์มาก?**
คาปาซิเตอร์กับอิมพีแดนซ์ของหม้อแปลงเกิดเรโซแนนซ์ขนานที่อันดับฮาร์มอนิก h = √(S_sc/Q_c) ถ้าตรงหรือใกล้ฮาร์มอนิกที่ 5 หรือ 7 ที่ไดรฟ์ผลิต กระแสฮาร์มอนิกจะถูกขยายหลายเท่า คาปาซิเตอร์ร้อน ฟิวส์ขาด แรงดันเพี้ยน วิธีแก้คือใช้ตู้ detuned ที่มีรีแอกเตอร์อนุกรมให้ความถี่เรโซแนนซ์ต่ำกว่าฮาร์มอนิกที่ 5

---

# เพาเวอร์แฟกเตอร์คืออะไร: ภาพเปรียบเทียบ สามเหลี่ยมกำลัง P Q S, cos φ, ตามหลังกับนำหน้า

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/pf-basics/
Updated: 2026-10-13
Summary: อธิบายเพาเวอร์แฟกเตอร์ให้เข้าใจตั้งแต่ไม่มีพื้นฐาน: แก้วเบียร์กับฟอง ม้าลากเรือริมคลอง กำลังจริง P (kW) กำลังรีแอกทีฟ Q (kvar) กำลังปรากฏ S (kVA) สามเหลี่ยมกำลัง cos φ โหลดตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ PF ตามหลังและนำหน้า ตาราง PF ของเครื่องใช้ไฟฟ้า PF ต่ำทำให้กระแสสูง สายร้อน แรงดันตก และค่าปรับ พร้อมตัวอย่างคำนวณ

// บทที่ 19.1 · เพาเวอร์แฟกเตอร์ · What Is Power Factor?

# เพาเวอร์แฟกเตอร์คืออะไร: ภาพเปรียบเทียบ สามเหลี่ยมกำลัง P Q S, cos φ, ตามหลังกับนำหน้า

เริ่มจากสิ่งที่จับต้องได้ก่อน แล้วค่อยแปลงเป็นตัวเลขและสมการ ถ้าอ่านจบหน้านี้ คุณจะอธิบายให้คนที่ไม่เคยเรียนไฟฟ้าฟังได้ว่า PF คืออะไร และคำนวณกระแสของโหลดที่ PF ต่ำได้

สรุปใน 30 วินาที

- P = งานจริง (kW) · Q = ส่วนที่วิ่งไปกลับ (kvar) · S = ภาระของสาย (kVA)

- PF = P/S ยิ่งใกล้ 1 ยิ่งดี · มอเตอร์โหลดเบามี PF ต่ำ

- กระแส = S/V → PF ต่ำ กระแสสูงเพื่อทำงานเท่าเดิม

- การสูญเสียในสาย ∝ I² ∝ 1/PF²

## ระดับ 1: สามภาพเปรียบเทียบ พื้นฐาน

🍺 แก้วเบียร์

### เบียร์ = P · ฟอง = Q · แก้ว = S
คุณจ่ายเงินซื้อทั้งแก้ว แต่ดื่มได้แค่เบียร์ ฟองยิ่งเยอะ ต้องใช้แก้วใหญ่ขึ้นเพื่อได้เบียร์เท่าเดิม PF = เบียร์ ÷ แก้ว (ภาพนี้ไม่สมบูรณ์ตรงที่ S² = P² + Q² ไม่ใช่ S = P + Q)

🐴 ม้าลากเรือริมคลอง

### เชือกเฉียง = S · แรงไปข้างหน้า = P
ม้าเดินบนตลิ่ง เชือกจึงเฉียงเป็นมุม φ แรงดึงทั้งหมดในเชือกคือ S ส่วนที่ทำให้เรือเคลื่อนไปข้างหน้าคือ S cos φ = P ส่วนที่ดึงเข้าตลิ่งคือ Q ไม่ได้งาน แต่เชือกต้องทน มุมยิ่งกว้าง ยิ่งเปลืองแรงเชือก

🛝 ชิงช้า

### Q = พลังงานที่โยนไปมา
คนที่ผลักชิงช้าผิดจังหวะ บางช่วงผลัก บางช่วงถูกชิงช้าดันกลับ พลังงานจึงวิ่งไปกลับ มอเตอร์ก็เช่นกัน ทุกครึ่งรอบมันเก็บพลังงานในสนามแม่เหล็กแล้วคืนกลับ — ดูได้จริงในซิมูเลเตอร์ด้านล่าง

## ระดับ 2: สามเหลี่ยมกำลัง พื้นฐาน

สามเหลี่ยมมุมฉาก: ด้านประชิดมุม φ คือ P ด้านตรงข้ามคือ Q ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ S

B1 Power triangle สามเหลี่ยมกำลัง

$$S^2 = P^2 + Q^2 \qquad S = \sqrt{P^2 + Q^2}$$

B2 Power factor เพาเวอร์แฟกเตอร์

$$PF = \frac{P}{S} = \cos\varphi \quad (\text{กระแสเป็นไซน์}) \qquad 0 \le PF \le 1$$

B3 Reactive power from P and PF หา Q จาก P และ PF

$$Q = P\tan\varphi = P\,\frac{\sqrt{1 - PF^2}}{PF}$$

B4 Current from apparent power กระแสจากกำลังปรากฏ

$$I_{1\varphi} = \frac{S}{V} = \frac{P}{V\cdot PF} \qquad I_{3\varphi} = \frac{S}{\sqrt3\,V_L} = \frac{P}{\sqrt3\,V_L\cdot PF}$$

ตัวอย่าง B-1

### ฮีตเตอร์ 2 kW กับมอเตอร์ปั๊ม 2.85 kW PF 0.824 ที่ 230 V

- ฮีตเตอร์ PF = 1: B4 $I = 2000/230 = 8.70$ A

- มอเตอร์: B2 $S = 2.85/0.824 = 3.46$ kVA · B3 $Q = \sqrt{3.46^2 - 2.85^2} = 1.96$ kvar · B4 $I = 3460/230 = 15.0$ A

- ถ้ามอเตอร์มี PF = 1 กระแสจะเหลือ $2850/230 = 12.4$ A — PF 0.824 ทำให้กระแสเกินจำเป็น 2.6 A (21 %)

## ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ พื้นฐาน

| โหลด | กระแสเทียบแรงดัน | P | Q | PF | ตัวอย่าง |

| ตัวต้านทาน R | ตรงเฟส (φ = 0°) | + | 0 | 1 | ฮีตเตอร์ กาต้มน้ำ หลอดไส้ |

| ตัวเหนี่ยวนำ L | ตามหลัง 90° | 0 | + (ดูด Q) | 0 ตามหลัง | ขดลวดล้วน (ในอุดมคติ) |

| ตัวเก็บประจุ C | นำหน้า 90° | 0 | − (จ่าย Q) | 0 นำหน้า | คาปาซิเตอร์แก้ PF |

| R + L | ตามหลัง 0–90° | + | + | 0–1 ตามหลัง | มอเตอร์ หม้อแปลง บัลลาสต์ |

| R + C | นำหน้า 0–90° | + | − | 0–1 นำหน้า | ชดเชยเกิน SMPS บางแบบโหลดเบา |

B5 Sign convention เครื่องหมายของ Q

$$Q_L = +I^2X_L\ (\text{ตามหลัง, ดูด Q}) \qquad Q_C = -I^2|X_C|\ (\text{นำหน้า, จ่าย Q}) \qquad Q_{net} = Q_L + Q_C$$

เพราะ Q ของ L กับ C มีเครื่องหมายตรงข้าม คาปาซิเตอร์จึง “หักล้าง” Q ของมอเตอร์ได้ — นี่คือหลักการแก้ PF ทั้งหมดในหนึ่งบรรทัด

## PF ของเครื่องใช้ไฟฟ้าทั่วไป พื้นฐาน

| อุปกรณ์ | PF โดยประมาณ | หมายเหตุ |

| ฮีตเตอร์ กาต้ม หม้อหุงข้าว | 1.0 | |

| มอเตอร์เหนี่ยวนำ โหลดเต็ม | 0.80–0.90 | มอเตอร์ใหญ่ PF ดีกว่ามอเตอร์เล็ก |

| มอเตอร์เหนี่ยวนำ โหลด 25 % | 0.45–0.65 | กระแสแม่เหล็กเกือบคงที่แม้โหลดน้อย |

| มอเตอร์ไม่มีโหลด | 0.1–0.3 | |

| หลอดฟลูออเรสเซนต์ บัลลาสต์แกนเหล็ก | 0.45–0.55 | หลอดที่มีคาปาซิเตอร์ชดเชย ≈ 0.9 |

| LED / คอมพิวเตอร์ ไม่มี PFC | 0.5–0.7 | cos φ ≈ 0.95–1 แต่ฮาร์มอนิกสูง (อ่านเหตุผล) |

| แอร์อินเวอร์เตอร์ เครื่องชาร์จรถ (มี PFC) | 0.95–0.99 | |

| เครื่องเชื่อมไฟฟ้าหม้อแปลง | 0.3–0.6 | |

## PF ต่ำเสียอะไร กลาง

B6 Line losses vs PF การสูญเสียในสายเทียบ PF (P เท่าเดิม)

$$\frac{P_{loss}(PF_1)}{P_{loss}(PF_2)} = \left(\frac{PF_2}{PF_1}\right)^2$$

B7 Usable real power of a transformer กำลังจริงที่หม้อแปลงจ่ายได้

$$P_{max} = S_{rated}\times PF$$

ตัวอย่าง B-2

### โรงงาน 100 kW 400 V 3 เฟส PF 0.75

- B2 B3: $S = 133.3$ kVA · $Q = 100\tan(\cos^{-1}0.75) = 88.2$ kvar

- B4: $I = 133{,}300/(\sqrt3 \times 400) = 192.5$ A · ถ้า PF = 0.95: 151.9 A · PF = 1: 144.3 A

- B6: สายเดิมร้อนกว่าที่ PF 0.95 อยู่ $(0.95/0.75)^2 = 1.60$ เท่า

- B7: หม้อแปลง 160 kVA ที่ PF 0.75 จ่ายได้ 120 kW ถ้าแก้เป็น 0.95 จ่ายได้ 152 kW — รับโหลดเพิ่มได้โดยไม่เปลี่ยนหม้อแปลง

- ถ้าเป็นผู้ใช้ไฟประเภทกิจการขนาดกลางขึ้นไป kvar ที่เกิน $0.6197 \times 100 = 62$ kvar ถูกคิดเงิน → $(88.2 - 62)\times 56.07 = 1{,}470$ ฿/เดือน (อ่านเรื่องค่าปรับ)

## ทดลองในซิมูเลเตอร์

เพิ่มฮีตเตอร์ 1 ตัว แล้วเพิ่มมอเตอร์ 1 ตัว แล้วลดโหลดมอเตอร์เหลือ 25 % สังเกตเข็ม PF และความยาวด้าน Q ของสามเหลี่ยม

## คำถามที่พบบ่อย

kW kvar kVA ต่างกันอย่างไร?
kW (กำลังจริง P) คือกำลังที่เปลี่ยนเป็นงาน ความร้อน แสง หรือแรงบิด kvar (กำลังรีแอกทีฟ Q) คือกำลังที่วิ่งไปกลับระหว่างแหล่งจ่ายกับสนามแม่เหล็กหรือสนามไฟฟ้าในโหลด kVA (กำลังปรากฏ S) คือแรงดันคูณกระแส เป็นภาระที่สาย หม้อแปลง และเครื่องกำเนิดต้องรองรับ ทั้งสามสัมพันธ์กันแบบสามเหลี่ยมมุมฉาก S² = P² + Q²

PF ตามหลัง (lagging) กับนำหน้า (leading) ต่างกันอย่างไร?
ตามหลังคือกระแสถึงจุดสูงสุดหลังแรงดัน เกิดจากโหลดที่มีขดลวด เช่น มอเตอร์ หม้อแปลง บัลลาสต์แกนเหล็ก นำหน้าคือกระแสถึงจุดสูงสุดก่อนแรงดัน เกิดจากตัวเก็บประจุ เช่น คาปาซิเตอร์แก้ PF ที่ใส่มากเกินไป หรือสายเคเบิลยาวที่ไม่มีโหลด

## FAQ

**kW kvar kVA ต่างกันอย่างไร?**
kW (กำลังจริง P) คือกำลังที่เปลี่ยนเป็นงาน ความร้อน แสง หรือแรงบิด kvar (กำลังรีแอกทีฟ Q) คือกำลังที่วิ่งไปกลับระหว่างแหล่งจ่ายกับสนามแม่เหล็กหรือสนามไฟฟ้าในโหลด kVA (กำลังปรากฏ S) คือแรงดันคูณกระแส เป็นภาระที่สาย หม้อแปลง และเครื่องกำเนิดต้องรองรับ ทั้งสามสัมพันธ์กันแบบสามเหลี่ยมมุมฉาก S² = P² + Q²

**PF ตามหลัง (lagging) กับนำหน้า (leading) ต่างกันอย่างไร?**
ตามหลังคือกระแสถึงจุดสูงสุดหลังแรงดัน เกิดจากโหลดที่มีขดลวด เช่น มอเตอร์ หม้อแปลง บัลลาสต์แกนเหล็ก นำหน้าคือกระแสถึงจุดสูงสุดก่อนแรงดัน เกิดจากตัวเก็บประจุ เช่น คาปาซิเตอร์แก้ PF ที่ใส่มากเกินไป หรือสายเคเบิลยาวที่ไม่มีโหลด

---

# เพาเวอร์แฟกเตอร์กับค่าไฟ: ค่าปรับ kvar ส่วนที่เกิน 61.97 % ของ kW และความคุ้มค่าของตู้คาปาซิเตอร์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/pf-billing/
Updated: 2026-10-13
Summary: อ่านค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์ในบิลค่าไฟของ กฟภ. และ กฟน.: ผู้ใช้ไฟประเภทใดเสียค่า PF ความต้องการพลังไฟฟ้า kW และ kvar สูงสุด เกณฑ์ 61.97 % มาจาก tan(cos⁻¹ 0.85) อัตรา 56.07 บาทต่อ kvar คำนวณค่าปรับ ขนาดตู้ที่ต้องใช้ และระยะคืนทุน รวมผลประหยัดจากการสูญเสียที่ลดลง และสิ่งที่การแก้ PF ไม่ได้ลด พร้อมเครื่องคำนวณและตู้จำลอง

// บทที่ 19.5 · เพาเวอร์แฟกเตอร์ · Power Factor & the Electricity Bill

# เพาเวอร์แฟกเตอร์กับค่าไฟ: ค่าปรับ kvar ส่วนที่เกิน 61.97 % ของ kW และความคุ้มค่าของตู้คาปาซิเตอร์

สำหรับโรงงาน ห้าง โรงแรม และอาคารขนาดกลางขึ้นไป PF ต่ำมีราคาที่เห็นได้ชัดในบิลทุกเดือน หน้านี้แกะว่าค่าปรับมาจากไหน ตัวเลข 61.97 % หมายถึงอะไร และตู้คาปาซิเตอร์คืนทุนเร็วแค่ไหน — รวมถึงสิ่งที่ตู้ ไม่ ช่วย เพื่อไม่ให้คาดหวังผิด

สรุปใน 30 วินาที

- คิดเงิน kvar ส่วนที่เกิน $0.6197 \times kW_{max}$ อัตรา 56.07 ฿/kvar/เดือน

- 0.6197 = tan(cos⁻¹ 0.85) → PF ≥ 0.85 ไม่เสีย

- ตู้คาปาซิเตอร์มักคืนทุน 1–4 ปีจากค่าปรับ + การสูญเสียที่ลดลง

- ไม่ลด kWh ของเครื่องจักร ไม่ลด kW demand · บ้านพักอาศัยไม่มีค่าปรับนี้

## กติกาค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์ พื้นฐาน

ผู้ใช้ไฟประเภทที่มีมิเตอร์วัดความต้องการพลังไฟฟ้า (กิจการขนาดกลาง ขนาดใหญ่ กิจการเฉพาะอย่าง ส่วนราชการและองค์กรไม่แสวงหากำไรบางประเภท) มีมิเตอร์บันทึกทั้ง kW และ kvar สูงสุดในช่วง 15 นาที ทุกเดือนการไฟฟ้าคิดค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์จาก kvar ส่วนที่เกินเกณฑ์

T1 PF at maximum demand PF ที่ความต้องการสูงสุด

$$PF_{md} = \frac{P_{max}}{\sqrt{P_{max}^2 + Q_{max}^2}}$$

T2 Thai PF charge ค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์ (กฟภ./กฟน.)

$$C_{PF} = \max\!\big(0,\ Q_{max} - 0.6197\,P_{max}\big)\times 56.07\ \ \text{฿/เดือน}$$

T3 Origin of 61.97 % ที่มาของ 61.97 %

$$\tan\!\left(\cos^{-1}0.85\right) = \frac{\sqrt{1-0.85^2}}{0.85} = 0.6197$$

หมายเหตุ อัตรา 56.07 ฿/kvar และเงื่อนไขการปัดเศษเป็นค่าตามโครงสร้างอัตราค่าไฟฟ้าของการไฟฟ้าที่ใช้ในปัจจุบัน ตรวจประกาศฉบับล่าสุดเสมอ และ kvar ที่บันทึกคือค่าสูงสุดในเดือน ไม่ใช่ค่าเฉลี่ย

ตัวอย่าง T-1

### บิล: kW สูงสุด 250 · kvar สูงสุด 230

- T1: $PF = 250/\sqrt{250^2+230^2} = 0.736$

- T2: ฟรี $0.6197 \times 250 = 154.9$ kvar → เกิน $230 - 154.9 = 75.1$ kvar → $75.1 \times 56.07 = 4{,}209$ ฿/เดือน ≈ 50,500 ฿/ปี

- ต้องลดให้ได้ PF 0.95: $Q_{target} = 250\tan(\cos^{-1}0.95) = 82.2$ kvar → ตู้ $230 - 82.2 = 147.8$ → เลือก 150 kvar

## ความคุ้มค่าของตู้คาปาซิเตอร์ กลาง

T4 Bank size from the bill ขนาดตู้จากบิล

$$Q_c = Q_{max} - P_{max}\tan\varphi_{target}$$

T5 Simple payback ระยะคืนทุนอย่างง่าย

$$\text{คืนทุน (เดือน)} = \frac{\text{ราคาตู้}}{C_{PF} + \Delta E_{loss}\,r_{energy}} \qquad \Delta E_{loss} \approx E_{loss}\left[1 - \left(\frac{PF_1}{PF_2}\right)^2\right]$$

ตัวอย่าง T-2

### ต่อจาก T-1: ตู้ 150 kvar ราคา 1,200 ฿/kvar

- ราคาตู้ ≈ 180,000 ฿ · ค่าปรับที่หายไป 4,209 ฿/เดือน → คืนทุน 42.8 เดือนจากค่าปรับอย่างเดียว

- การสูญเสียภายในโรงงาน (สาย หม้อแปลง) สมมติ 2 % ของ 60,000 kWh = 1,200 kWh/เดือน → ลดลง $1 - (0.736/0.95)^2 = 40\,\%$ = 480 kWh × 4 ฿ = 1,920 ฿/เดือน

- รวมประหยัด ≈ 6,130 ฿/เดือน → คืนทุน ≈ 29 เดือน (2.4 ปี) — อายุตู้ 10–15 ปี จึงคุ้มมาก

## ดูค่าปรับจากตู้จำลองตลอดวัน

ตู้จำลองคำนวณค่าปรับจาก kW สูงสุดช่วง 15 นาที และ kvar สูงสุดของวัน (สมมติทุกวันทำงานเหมือนกัน) โรงงานตัวอย่างมี PF เฉลี่ย 0.81 เสียค่าปรับ ≈ 1,311 ฿/เดือน ตู้ 6 × 25 kvar ทำให้เป็น 0 ลองเลือก “ไม่มีตู้คาปาซิเตอร์” หรือ “4 × 50 kvar” แล้วเทียบ

## สิ่งที่การแก้ PF ไม่ได้ลด พื้นฐาน

- kWh ของเครื่องจักร: มอเตอร์ทำงานเท่าเดิม ใช้พลังงานเท่าเดิม คาปาซิเตอร์ลดได้เฉพาะการสูญเสียในสายช่วงต้นทางของคาปาซิเตอร์

- ค่าความต้องการพลังไฟฟ้า (kW): การไฟฟ้าไทยคิดจาก kW ไม่ใช่ kVA จึงไม่ลด (บางประเทศคิดจาก kVA ซึ่งจะลดด้วย)

- ค่าไฟบ้าน: ผู้ใช้ไฟบ้านไม่มีค่า kvar อุปกรณ์ “ประหยัดไฟด้วยการแก้ PF” สำหรับบ้านจึงแทบไม่มีผลต่อบิล

- PF ต่ำจากฮาร์มอนิก: ถ้าโหลดส่วนใหญ่เป็นอิเล็กทรอนิกส์ คาปาซิเตอร์ไม่ช่วยและอาจทำให้แย่ลง (อ่านต่อ)

## คำถามที่พบบ่อย

ค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์ในบิลค่าไฟคิดอย่างไร?
การไฟฟ้าคิดเงินเฉพาะส่วน kvar ที่เกิน 61.97 % ของความต้องการพลังไฟฟ้าสูงสุด (kW) ในเดือนนั้น ในอัตรา 56.07 บาทต่อ kvar (เศษของ kvar ถ้าเกิน 0.5 ปัดเป็น 1) เช่น kW สูงสุด 250 kW และ kvar สูงสุด 230 kvar ยอมให้ฟรี 154.9 kvar ส่วนเกิน 75.1 kvar เสียประมาณ 4,200 บาทต่อเดือน ตรวจอัตราและเงื่อนไขล่าสุดจากการไฟฟ้า

แก้ PF แล้วค่าไฟลดลงเท่าไร?
ลดค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์ได้ทั้งหมดถ้าแก้ให้เกิน 0.85 ตลอดเวลา และลดการสูญเสียในสายและหม้อแปลงของโรงงานซึ่งมักเป็น 1–3 % ของพลังงาน แต่การแก้ PF ไม่ลดพลังงานที่เครื่องจักรใช้ทำงาน (kWh) และไม่ลดค่าความต้องการพลังไฟฟ้า (kW) ผู้ใช้ไฟบ้านที่ไม่มีค่าปรับ kvar จึงแทบไม่ได้ประโยชน์ด้านค่าไฟ

## FAQ

**ค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์ในบิลค่าไฟคิดอย่างไร?**
การไฟฟ้าคิดเงินเฉพาะส่วน kvar ที่เกิน 61.97 % ของความต้องการพลังไฟฟ้าสูงสุด (kW) ในเดือนนั้น ในอัตรา 56.07 บาทต่อ kvar (เศษของ kvar ถ้าเกิน 0.5 ปัดเป็น 1) เช่น kW สูงสุด 250 kW และ kvar สูงสุด 230 kvar ยอมให้ฟรี 154.9 kvar ส่วนเกิน 75.1 kvar เสียประมาณ 4,200 บาทต่อเดือน ตรวจอัตราและเงื่อนไขล่าสุดจากการไฟฟ้า

**แก้ PF แล้วค่าไฟลดลงเท่าไร?**
ลดค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์ได้ทั้งหมดถ้าแก้ให้เกิน 0.85 ตลอดเวลา และลดการสูญเสียในสายและหม้อแปลงของโรงงานซึ่งมักเป็น 1–3 % ของพลังงาน แต่การแก้ PF ไม่ลดพลังงานที่เครื่องจักรใช้ทำงาน (kWh) และไม่ลดค่าความต้องการพลังไฟฟ้า (kW) ผู้ใช้ไฟบ้านที่ไม่มีค่าปรับ kvar จึงแทบไม่ได้ประโยชน์ด้านค่าไฟ

---

# ปรับปรุงเพาเวอร์แฟกเตอร์ด้วยคาปาซิเตอร์: Q_c = P(tan φ₁ − tan φ₂), kvar เป็น μF, กระแสลด และ kVA ที่ได้คืน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/pf-correction/
Updated: 2026-10-13
Summary: คำนวณคาปาซิเตอร์แก้เพาเวอร์แฟกเตอร์ทีละขั้น: สูตร Qc = P(tan φ₁ − tan φ₂) ตารางตัวคูณ kvar/kW แปลง kvar เป็นไมโครฟารัดทั้ง 1 เฟส และ 3 เฟสแบบเดลต้าและสตาร์ กระแสสายลดลงตาม PF₁/PF₂ การสูญเสียลด 1 − (PF₁/PF₂)² kVA หม้อแปลงที่ได้คืน แรงดันเพิ่ม การชดเชยมอเตอร์รายตัวไม่เกิน 0.9 √3 V I₀ และตำแหน่งติดตั้ง พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 19.3 · เพาเวอร์แฟกเตอร์ · Power Factor Correction Calculation

# ปรับปรุงเพาเวอร์แฟกเตอร์ด้วยคาปาซิเตอร์: Q_c = P(tan φ₁ − tan φ₂), kvar เป็น μF, กระแสลด และ kVA ที่ได้คืน

คาปาซิเตอร์จ่ายกำลังรีแอกทีฟให้มอเตอร์ “ในพื้นที่” แหล่งจ่ายจึงเหลือหน้าที่ส่งแค่กำลังจริง หน้านี้คำนวณตั้งแต่ขนาด kvar ความจุ μF จนถึงผลที่ได้: กระแส การสูญเสีย แรงดัน และความจุของหม้อแปลงที่ได้คืน

สรุปใน 30 วินาที

- $Q_c = P(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2)$ · 100 kW จาก 0.75 → 0.95 ต้อง 55 kvar

- 3 เฟส Δ: $C = Q_c/(3\omega V_L^2)$ ต่อเฟส · Y ต้องใช้ความจุ 3 เท่า

- กระแสลด: $I_2/I_1 = PF_1/PF_2$ · การสูญเสียลด $1 - (PF_1/PF_2)^2$

- เป้า 0.95–0.98 ตามหลัง ไม่ใช่ 1.0 · มอเตอร์รายตัว ≤ 0.9 √3 V I₀

## ขนาด kvar พื้นฐาน

C1 Capacitor size ขนาดคาปาซิเตอร์

$$Q_c = P\left(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2\right) \qquad \varphi = \cos^{-1}(PF)$$

ที่มา: ก่อนแก้ $Q_1 = P\tan\varphi_1$ หลังแก้ $Q_2 = P\tan\varphi_2$ (P เท่าเดิมเพราะคาปาซิเตอร์ไม่ใช้กำลังจริง) ผลต่างคือสิ่งที่คาปาซิเตอร์ต้องจ่าย

ตัวคูณ $\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2$ (kvar ต่อ kW)

| PF เดิม ↓ / เป้าหมาย → | 0.90 | 0.95 | 1.00 |

| 0.60 | 0.849 | 1.005 | 1.333 |

| 0.65 | 0.685 | 0.840 | 1.169 |

| 0.70 | 0.536 | 0.692 | 1.020 |

| 0.75 | 0.398 | 0.553 | 0.882 |

| 0.80 | 0.266 | 0.421 | 0.750 |

| 0.85 | 0.136 | 0.291 | 0.620 |

ตัวอย่าง C-1

### โรงงาน 100 kW PF 0.75 → 0.95 ที่ 400 V 3 เฟส

- C1: $\tan(\cos^{-1}0.75) = 0.882$ · $\tan(\cos^{-1}0.95) = 0.329$ → $Q_c = 100(0.553) = 55.3$ kvar → เลือก 60 kvar แบ่ง 4–6 ขั้น

- C4 (Δ): $C = 55{,}300/(3 \times 314.16 \times 400^2) = 367\ \mu\text{F}$ ต่อเฟส

- C5: กระแส $192.5 \to 151.9$ A (ลด 21 %) · การสูญเสียลด $1 - (0.75/0.95)^2 = 37.7\,\%$

- C6: $133.3 \to 105.3$ kVA → หม้อแปลงได้ที่ว่างคืน 28 kVA

## แปลง kvar เป็นไมโครฟารัด กลาง

C2 Reactive power of a capacitor กำลังรีแอกทีฟของคาปาซิเตอร์

$$Q_C = \frac{V^2}{X_C} = \omega C V^2 \qquad I_C = \omega C V$$

C3 Single-phase capacitance ความจุ 1 เฟส

$$C = \frac{Q_c}{2\pi f V^2}$$

C4 Three-phase capacitance per phase ความจุต่อเฟส 3 เฟส

$$C_\Delta = \frac{Q_c}{3\,\omega V_L^2} \qquad C_Y = \frac{Q_c}{\omega V_L^2} = 3\,C_\Delta$$

เพราะ Q ∝ V² คาปาซิเตอร์ที่ต่อ Δ ได้แรงดัน 400 V ต่อตัว ให้ kvar มากกว่าต่อ Y (230 V) ถึง 3 เท่า ตู้คาปาซิเตอร์แรงต่ำจึงต่อ Δ เกือบทั้งหมด และระวัง: คาปาซิเตอร์พิกัด 480 V ที่ใช้ที่ 400 V ให้ kvar เพียง $(400/480)^2 = 69\,\%$ ของค่าบนป้าย

ตัวอย่าง C-2

### มอเตอร์ปั๊ม 1 เฟส 230 V 2.85 kW PF 0.824 → 0.95

- C1: $\tan\varphi_1 = 0.688,\ \tan\varphi_2 = 0.329$ → $Q_c = 2.85(0.359) = 1.02$ kvar

- C3: $C = 1020/(314.16 \times 230^2) = 61\ \mu\text{F}$ — ใกล้ 60 µF ซึ่งเป็นขนาดมาตรฐาน

- ในซิมูเลเตอร์ ขั้นละ 0.5 kvar: 2 ขั้น (1.0 kvar) ได้ PF 0.948 · 3 ขั้น (1.5 kvar) ได้ 0.987

ตัวอย่าง C-3

### คาปาซิเตอร์ 25 kvar 440 V ใช้ที่ 400 V Δ

- kvar จริง $= 25(400/440)^2 = 20.7$ kvar

- ความจุต่อเฟส (C2 ที่พิกัด) $= 25{,}000/(3 \times 314.16 \times 440^2) = 137\ \mu\text{F}$

- ทำไมเลือก 440 V: เผื่อแรงดันเกินช่วงกลางคืนและแรงดันฮาร์มอนิก ทำให้คาปาซิเตอร์อายุยืน แต่ต้องเผื่อ kvar ที่ลดลงตอนออกแบบ

## ผลที่ได้จากการแก้ PF กลาง

C5 Current and loss reduction กระแสและการสูญเสียที่ลดลง

$$\frac{I_2}{I_1} = \frac{PF_1}{PF_2} \qquad \frac{\Delta P_{loss}}{P_{loss,1}} = 1 - \left(\frac{PF_1}{PF_2}\right)^2$$

C6 Released kVA kVA ที่ได้คืน

$$\Delta S = P\left(\frac{1}{PF_1} - \frac{1}{PF_2}\right)$$

C7 Voltage rise แรงดันที่เพิ่มขึ้น

$$\Delta V\% \approx \frac{Q_c}{S_{sc}}\times 100 \approx \frac{Q_c\,(\%Z_T)}{S_T}$$

ตัวอย่าง C-4

### ตู้ 300 kVAr ที่หม้อแปลง 1,000 kVA %Z = 6 %

- C7: $\Delta V \approx 300 \times 6/1000 = 1.8\,\%$ — ประมาณ 7 V ที่ 400 V

- กลางวันช่วยชดเชยแรงดันตก แต่กลางคืนโหลดน้อยถ้ายังสับค้างไว้ แรงดันอาจสูงเกิน — ตู้อัตโนมัติจึงสำคัญ (อ่านต่อ)

## ติดตั้งที่ไหน: รายตัว รายกลุ่ม หรือที่ตู้เมน กลาง

| แบบ | ข้อดี | ข้อเสีย | เหมาะกับ |

| รายตัว (individual) ที่มอเตอร์ | ลดกระแสในสายทั้งเส้น สับพร้อมมอเตอร์ ไม่ต้องมีคอนโทรลเลอร์ | ใช้คาปาซิเตอร์หลายตัว ใช้ไม่เต็มเมื่อมอเตอร์หยุด | มอเตอร์ใหญ่ที่ทำงานต่อเนื่อง |

| รายกลุ่ม (group) ที่ตู้ย่อย | สมดุลระหว่างต้นทุนกับการลดการสูญเสีย | ต้องตัดต่อตามโหลดของกลุ่ม | อาคารหลายโซน |

| ส่วนกลาง (central) ที่ตู้ MDB | ต้นทุนต่อ kvar ต่ำที่สุด ใช้ประโยชน์เต็มที่ แก้ค่าปรับได้ | ไม่ลดกระแสในสายป้อนย่อย | โรงงานทั่วไป · ตู้อัตโนมัติ |

C8 Maximum capacitor directly at a motor คาปาซิเตอร์สูงสุดที่ต่อตรงกับมอเตอร์

$$Q_{c,max} \le 0.9\,\sqrt3\,V\,I_0 \qquad I_0 = \text{กระแสไร้โหลด}$$

ถ้าเกินค่านี้ เมื่อตัดไฟมอเตอร์ที่ยังหมุนอยู่ คาปาซิเตอร์จะกระตุ้นมอเตอร์ให้กลายเป็นเครื่องกำเนิด แรงดันที่ขั้วอาจสูงเกินพิกัดอย่างอันตราย ห้ามต่อคาปาซิเตอร์ที่ขั้วออกของ VFD หรือซอฟต์สตาร์ตเตอร์

## เครื่องคำนวณคาปาซิเตอร์

## คำถามที่พบบ่อย

คำนวณขนาดคาปาซิเตอร์แก้ PF อย่างไร?
ใช้สูตร Qc = P × (tan φ₁ − tan φ₂) โดย P คือกำลังจริง kW, φ₁ = cos⁻¹ ของ PF เดิม, φ₂ = cos⁻¹ ของ PF ที่ต้องการ เช่น โหลด 100 kW PF 0.75 ต้องการ 0.95 ได้ตัวคูณ 0.882 − 0.329 = 0.553 จึงต้องใช้ 55.3 kvar ในทางปฏิบัติเลือกขนาดมาตรฐานถัดไปและแบ่งเป็นขั้นในตู้อัตโนมัติ

ควรแก้ PF ให้ได้ 1.0 พอดีไหม?
ไม่ควร เป้าหมายที่นิยมคือ 0.95–0.98 ตามหลัง เพราะตัวคูณจาก 0.95 ไปถึง 1.0 ต้องใช้คาปาซิเตอร์เพิ่มมาก (0.33 kvar ต่อ kW) แต่ลดกระแสได้เพียง 5 % และเสี่ยงชดเชยเกินเมื่อโหลดลดลง ทำให้แรงดันสูงขึ้นและเกิด PF นำหน้า

## FAQ

**คำนวณขนาดคาปาซิเตอร์แก้ PF อย่างไร?**
ใช้สูตร Qc = P × (tan φ₁ − tan φ₂) โดย P คือกำลังจริง kW, φ₁ = cos⁻¹ ของ PF เดิม, φ₂ = cos⁻¹ ของ PF ที่ต้องการ เช่น โหลด 100 kW PF 0.75 ต้องการ 0.95 ได้ตัวคูณ 0.882 − 0.329 = 0.553 จึงต้องใช้ 55.3 kvar ในทางปฏิบัติเลือกขนาดมาตรฐานถัดไปและแบ่งเป็นขั้นในตู้อัตโนมัติ

**ควรแก้ PF ให้ได้ 1.0 พอดีไหม?**
ไม่ควร เป้าหมายที่นิยมคือ 0.95–0.98 ตามหลัง เพราะตัวคูณจาก 0.95 ไปถึง 1.0 ต้องใช้คาปาซิเตอร์เพิ่มมาก (0.33 kvar ต่อ kW) แต่ลดกระแสได้เพียง 5 % และเสี่ยงชดเชยเกินเมื่อโหลดลดลง ทำให้แรงดันสูงขึ้นและเกิด PF นำหน้า

---

# ซิมูเลเตอร์เพาเวอร์แฟกเตอร์: รูปคลื่น เฟสเซอร์ สามเหลี่ยมกำลัง มิเตอร์เสมือน และตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติจำลอง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/pf-lab/
Updated: 2026-10-13
Summary: ห้องทดลองเพาเวอร์แฟกเตอร์ฟรีในเบราว์เซอร์: เลือกโหลดจริง ฮีตเตอร์ มอเตอร์ปรับโหลดได้ หลอดบัลลาสต์ คอมพิวเตอร์ไม่มี PFC แอร์อินเวอร์เตอร์ ตู้เย็น และโหลด R-X อิสระ เปิดคาปาซิเตอร์ทีละขั้น เห็นรูปคลื่นแรงดัน กระแส กำลังขณะหนึ่งแบบเคลื่อนไหว เฟสเซอร์หมุน สามเหลี่ยมกำลัง หน้าปัด PF มิเตอร์ดิจิทัล ความร้อนในสาย และตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติจำลองตลอดวันทำงานของโรงงาน พร้อมเครื่องคำนวณ 7 ตัวและใบงาน 10 ชุด

// บทที่ 19.8 · เพาเวอร์แฟกเตอร์ · Power Factor Simulator & Virtual Capacitor Bank

# ซิมูเลเตอร์เพาเวอร์แฟกเตอร์: รูปคลื่น เฟสเซอร์ สามเหลี่ยมกำลัง มิเตอร์เสมือน และตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติจำลอง

ห้องทดลองนี้รวมอุปกรณ์เสมือนทั้งหมดของชุด: แผงโหลดที่กด + − ได้ ตู้คาปาซิเตอร์ 6 ขั้น ออสซิลโลสโคปแสดง v i p แบบเคลื่อนไหว เฟสเซอร์หมุน สามเหลี่ยมกำลัง หน้าปัด PF และมิเตอร์ดิจิทัล ต่อด้วยตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติจำลองที่ทำงานตลอดวันของโรงงาน และเครื่องคำนวณทุกตัว

## ซิมูเลเตอร์เพาเวอร์แฟกเตอร์

วิธีใช้ (1) เลือกสถานการณ์หรือกด + ที่โหลด (2) กด ▶ เล่น เพื่อดูเส้นเวลาวิ่งและเฟสเซอร์หมุน (3) กดขั้นคาปาซิเตอร์ C1–C6 หรือ “ปรับอัตโนมัติ” (4) อ่านมิเตอร์และกล่องคำอธิบายด้านล่าง ซึ่งเปลี่ยนตามสิ่งที่เกิดขึ้น

## ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติจำลอง

โรงงานขนาดเล็ก 24 ชั่วโมงทุก 5 นาที: ไฟและสำนักงาน มอเตอร์สายพาน ปั๊มลมที่ตัดต่อเป็นรอบ และเครื่องจักรใหญ่ที่เดินเป็นช่วง ๆ เลื่อนแถบเวลาเพื่อดูหน้าจอคอนโทรลเลอร์ ทฤษฎีที่ ตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติ

## เครื่องคำนวณ

## ใบงาน 10 ชุด (คลิกดูแนวคำตอบ)

1. ฮีตเตอร์ 1 ตัว: ช่วงสีแดงของ p(t) มีไหม เพราะอะไร
ไม่มี กระแสตรงเฟสกับแรงดัน p(t) = v·i ≥ 0 ตลอด ค่าต่ำสุดเป็นศูนย์ที่แรงดันผ่านศูนย์ PF = 1 (W7: φ = 0)

2. มอเตอร์ 75 % → 25 % PF และกระแสเปลี่ยนอย่างไร
PF 0.824 → 0.623 กระแส 15.0 → 8.3 A — กระแสลดน้อยกว่า P เพราะ Q (กระแสแม่เหล็ก) เกือบคงที่ ข้อคิด: อย่าใช้มอเตอร์ใหญ่เกินงาน

3. มอเตอร์ 75 % ต้องเปิดกี่ขั้น (ขั้นละ 0.5 kvar) จึงได้ PF ≥ 0.95
3 ขั้น (1.5 kvar) PF 0.987 · 2 ขั้นได้ 0.948 — ตรงกับ C1: 1.02 kvar สำหรับ 0.95

4. มอเตอร์ 25 % เปิดครบ 6 ขั้น เกิดอะไรขึ้น
Q = −1.51 kvar PF 0.616 นำหน้า กระแสกลับมาสูง 8.35 A เท่ากับไม่ใส่ (8.26 A) — ชดเชยเกินแย่พอ ๆ กับไม่ชดเชย

5. คอมพิวเตอร์ 10 เครื่อง: cos φ กับ PF จริงต่างกันเท่าไร
DPF 0.986 PF จริง 0.689 THD 103 % — H2: 0.986/√(1+1.03²) = 0.687

6. คอมพิวเตอร์ + คาปาซิเตอร์ 2 ขั้น PF ดีขึ้นไหม
แย่ลงเป็น 0.655 เพราะ DPF ดีอยู่แล้ว คาปาซิเตอร์ทำให้นำหน้า ส่วน DF แก้ไม่ได้

7. บ้านผสม: หาว่าโหลดไหนทำให้ PF ต่ำที่สุด
ลองกด − ทีละโหลด: หลอดบัลลาสต์ (PF 0.5) และมอเตอร์โหลด 50 % มีผลมากที่สุด แอร์อินเวอร์เตอร์มี PFC จึงดี

8. โหลด R–X: ตั้ง Q = −1 kvar (ตัวเก็บประจุ) ดูทิศเฟสเซอร์และหน้าปัด
I₁ นำหน้า V เข็มหน้าปัดไปฝั่ง LEAD สามเหลี่ยมกำลังชี้ลง p(t) ยังมีช่วงติดลบ — ทั้ง L และ C ทำให้พลังงานไหลไปกลับ

9. ตู้จำลอง: ลด C/k เหลือ 0.3 จำนวนครั้งสับเปลี่ยนเป็นเท่าไร PF เฉลี่ยดีขึ้นแค่ไหน
6 × 25 kvar: 22 → 50 ครั้ง/วัน PF เฉลี่ย 0.942 → 0.962 — แลกอายุคอนแทกเตอร์กับ PF ที่ดีขึ้นเล็กน้อย

10. ตู้จำลอง: เลือก “4 × 50 kvar” แล้วเปรียบเทียบกับ 6 × 25
สับน้อยครั้ง (4) แต่ขั้นหยาบ PF เฉลี่ย 0.930 และมีช่วงที่ PF ต่ำกว่าเป้า — ขั้นเล็กสุดต้องเล็กพอเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของโหลด

## คำถามที่พบบ่อย

ซิมูเลเตอร์นี้คำนวณอะไรบ้าง?
รวมกำลังจริงและรีแอกทีฟของทุกโหลดที่เลือก (มอเตอร์มีแบบจำลองที่ PF เปลี่ยนตามภาระ) บวกกระแสฮาร์มอนิกของโหลดอิเล็กทรอนิกส์ หักคาปาซิเตอร์ที่เปิด แล้วสร้างรูปคลื่นกระแสจริงจากผลรวมฟูเรียร์ คำนวณ P Q S PF DPF THD กระแส rms ความร้อนในสายและแรงดันตก สมมติแรงดันแหล่งจ่ายเป็นไซน์บริสุทธิ์

แชร์สถานการณ์ให้เพื่อนได้ไหม?
ได้ด้วยลิงก์ที่มี #preset= เช่น /learn/power-factor/pf-lab/#preset=motor-light หรือ #preset=smps-cap ซิมูเลเตอร์จะเปิดสถานการณ์นั้นทันที

## FAQ

**ซิมูเลเตอร์นี้คำนวณอะไรบ้าง?**
รวมกำลังจริงและรีแอกทีฟของทุกโหลดที่เลือก (มอเตอร์มีแบบจำลองที่ PF เปลี่ยนตามภาระ) บวกกระแสฮาร์มอนิกของโหลดอิเล็กทรอนิกส์ หักคาปาซิเตอร์ที่เปิด แล้วสร้างรูปคลื่นกระแสจริงจากผลรวมฟูเรียร์ คำนวณ P Q S PF DPF THD กระแส rms ความร้อนในสายและแรงดันตก สมมติแรงดันแหล่งจ่ายเป็นไซน์บริสุทธิ์

**แชร์สถานการณ์ให้เพื่อนได้ไหม?**
ได้ด้วยลิงก์ที่มี #preset= เช่น /learn/power-factor/pf-lab/#preset=motor-light หรือ #preset=smps-cap ซิมูเลเตอร์จะเปิดสถานการณ์นั้นทันที

---

# วัดเพาเวอร์แฟกเตอร์: แคลมป์มิเตอร์ เพาเวอร์อนาไลเซอร์ วิธีวัตต์มิเตอร์สองตัว และการอ่านมิเตอร์ของการไฟฟ้า

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/pf-measurement/
Updated: 2026-10-13
Summary: วิธีวัด P Q S และ PF ในงานจริง: แคลมป์มิเตอร์วัดกำลังแบบ 1 เฟสและ 3 เฟส เพาเวอร์อนาไลเซอร์ ต่อแรงดันและ CT ให้ถูกทิศ วิธีวัตต์มิเตอร์สองตัวสำหรับระบบ 3 สาย P = W₁ + W₂ Q = √3(W₁ − W₂) ความหมายเมื่อค่าหนึ่งติดลบ PF เฉลี่ยจาก kWh และ kvarh อาการ CT กลับข้างหรือสลับเฟส การบันทึกโหลดก่อนออกแบบตู้คาปาซิเตอร์ และเช็กลิสต์ความปลอดภัย พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 19.7 · เพาเวอร์แฟกเตอร์ · Measuring Power Factor

# วัดเพาเวอร์แฟกเตอร์: แคลมป์มิเตอร์ เพาเวอร์อนาไลเซอร์ วิธีวัตต์มิเตอร์สองตัว และการอ่านมิเตอร์ของการไฟฟ้า

การออกแบบตู้คาปาซิเตอร์ที่ดีเริ่มจากตัวเลขที่วัดถูก ไม่ใช่ค่าที่คาดเดา หน้านี้อธิบายเครื่องมือที่ใช้จริงหน้างาน วิธีต่อให้ถูกทิศ ความผิดพลาดที่พบบ่อย และวิธีคลาสสิกที่ยังออกสอบเสมอ: วัตต์มิเตอร์สองตัว

สรุปใน 30 วินาที

- วัด P ต้องวัดแรงดันและกระแสพร้อมกัน — แคลมป์มิเตอร์วัดกระแสอย่างเดียวบอก PF ไม่ได้

- 3 สาย: $P = W_1 + W_2$ · โหลดสมดุล $\tan\varphi = \sqrt3(W_1 - W_2)/(W_1 + W_2)$

- ลูกศร CT ชี้ไปทางโหลด และ CT ต้องอยู่เฟสเดียวกับสายแรงดันที่จับคู่

- ออกแบบตู้จากการบันทึกอย่างน้อย 7 วัน ไม่ใช่ค่าที่อ่านครั้งเดียว

## เครื่องมือวัด พื้นฐาน

| เครื่องมือ | วัดได้ | ข้อจำกัด |

| แคลมป์มิเตอร์ธรรมดา | กระแส rms | ไม่รู้มุม → ไม่รู้ P หรือ PF |

| แคลมป์มิเตอร์วัดกำลัง (power clamp) | V I P Q S PF 1 เฟส / 3 เฟสสมดุล | 3 เฟสไม่สมดุลต้องวัดทีละเฟส บางรุ่นแสดงแค่ DPF |

| เพาเวอร์อนาไลเซอร์ / เครื่องบันทึก (logger) | ทุกค่าทุกเฟส ฮาร์มอนิก บันทึกต่อเนื่อง | ราคาสูง ต้องตั้งค่า CT และระบบไฟให้ถูก |

| มิเตอร์ดิจิทัลในตู้ (multifunction meter) | ค่าทันทีและสะสม kWh kvarh | ขึ้นกับการต่อ CT ตอนติดตั้ง |

| มิเตอร์ของการไฟฟ้า | kWh kvarh kW สูงสุด kvar สูงสุด | อ่านรายเดือน — ดูในบิลหรือขอข้อมูลโหลดโปรไฟล์ |

M1 What a wattmeter measures สิ่งที่วัตต์มิเตอร์วัด

$$W = \frac1T\int_0^T v(t)\,i(t)\,dt = V I\cos(\angle V - \angle I)\ \ (\text{ไซน์})$$

M2 PF from measurements PF จากค่าที่วัดได้

$$PF = \frac{P}{V_{rms}\,I_{rms}} \quad (1\varphi) \qquad PF_{3\varphi} = \frac{P_a + P_b + P_c}{S_a + S_b + S_c}\ \ (\text{แบบเลขคณิต})$$

เครื่องวัดดิจิทัลสุ่ม v และ i พร้อมกันหลายพันครั้งต่อวินาที แล้วคำนวณ M1 ด้วยผลรวมเชิงตัวเลข จึงได้ PF จริงที่รวมฮาร์มอนิก ส่วนค่า “cos φ” หรือ DPF ได้จากการแยกความถี่พื้นฐานด้วย DFT ถ้าสองค่านี้ต่างกันมาก แปลว่ามีฮาร์มอนิกสูง (H2)

## วิธีวัตต์มิเตอร์สองตัว (Two-wattmeter method) กลาง

ต่อขดกระแสของ W₁ ที่สาย a ขดแรงดันคร่อม a–c และ W₂ ที่สาย b ขดแรงดันคร่อม b–c (สาย c เป็นจุดอ้างอิงร่วม) ทฤษฎีบทของ Blondel บอกว่าระบบ n สายใช้วัตต์มิเตอร์ n − 1 ตัวก็วัดกำลังรวมได้

M3 Total power กำลังรวม (ใช้ได้เสมอในระบบ 3 สาย)

$$P = W_1 + W_2 \qquad W_1 = V_L I_L\cos(30^\circ - \varphi),\ \ W_2 = V_L I_L\cos(30^\circ + \varphi)$$

M4 Reactive power (balanced) กำลังรีแอกทีฟ (โหลดสมดุล)

$$Q = \sqrt3\,(W_1 - W_2)$$

M5 Power factor (balanced) เพาเวอร์แฟกเตอร์ (โหลดสมดุล)

$$\tan\varphi = \frac{\sqrt3\,(W_1 - W_2)}{W_1 + W_2} \qquad PF = \cos\!\left[\tan^{-1}\frac{\sqrt3\,(W_1 - W_2)}{W_1 + W_2}\right]$$

| สิ่งที่อ่านได้ | ความหมาย |

| $W_1 = W_2$ | PF = 1 (φ = 0°) |

| $W_2 = 0$ | PF = 0.5 (φ = 60°) |

| $W_2 < 0$ (เข็มตีกลับ) | PF < 0.5 — กลับขั้วขดแรงดันแล้วอ่านเป็นลบ |

| $W_1 = -W_2$ | PF = 0 (โหลดรีแอกทีฟล้วน) |

ตัวอย่าง M-1

### W₁ = 30 kW, W₂ = 12 kW

- M3: $P = 42$ kW · M4: $Q = \sqrt3(18) = 31.2$ kvar

- M5: $\tan\varphi = 31.2/42 = 0.742$ → $\varphi = 36.6^\circ$ → PF = 0.803

- ตรวจด้วย M3: $V_LI_L = S/\sqrt3 = 52.3/1.732 = 30.2$ kVA → $W_1 = 30.2\cos(30 - 36.6)^\circ = 30.0$ ✓ $W_2 = 30.2\cos 66.6^\circ = 12.0$ ✓

## PF เฉลี่ยจากมิเตอร์ kWh และ kvarh พื้นฐาน

M6 Average power factor PF เฉลี่ยจากพลังงาน

$$\overline{PF} = \frac{E_{kWh}}{\sqrt{E_{kWh}^2 + E_{kvarh}^2}}$$

ระวัง: PF เฉลี่ยรายเดือนอาจดูดี (เช่น 0.9) แต่ค่าปรับคิดจาก kvar สูงสุด ช่วงที่มอเตอร์เบาโหลดหรือกะกลางคืนที่มีแต่ไฟส่องสว่างบัลลาสต์อาจมี PF ต่ำมาก ต้องดูข้อมูลรายช่วง 15 นาที

## ความผิดพลาดในการวัดที่พบบ่อย กลาง

| อาการบนเครื่องวัด | สาเหตุ | แก้ |

| P ติดลบ | CT/แคลมป์กลับทิศ | หันลูกศรไปทางโหลด หรือกลับ k-l |

| PF ต่ำผิดปกติ (เช่น 0.2) ทั้งที่โหลดเป็นฮีตเตอร์ | CT ไม่ตรงเฟสกับสายแรงดัน (เลื่อน 120°) | ไล่จับคู่ L1-CT1, L2-CT2, L3-CT3 |

| เฟสหนึ่ง PF นำหน้า อีกสองเฟสตามหลังผิดปกติ | ลำดับเฟสสลับ | ตรวจ phase rotation |

| กำลังเพี้ยน 1/1000 หรือ 1000 เท่า | ตั้งอัตราส่วน CT/VT ในเครื่องผิด | ตั้งค่า CT ratio ให้ตรง |

| PF แกว่งมาก | โหลดเปลี่ยนเร็ว (เครื่องเชื่อม ลิฟต์ เครื่องปั๊ม) | บันทึกค่าเฉลี่ย 1 วินาที–1 นาที แทนค่าทันที |

## บันทึกโหลดก่อนออกแบบตู้คาปาซิเตอร์ กลาง

- บันทึกที่ตู้ MDB อย่างน้อย 7 วัน รวมวันทำงานและวันหยุด ช่วงเวลา 1–15 นาที

- เก็บ P Q S PF DPF แรงดัน THD-U THD-I และสเปกตรัมฮาร์มอนิก

- หา Q สูงสุดที่ต้องชดเชย (T4) และ Q ต่ำสุด (กำหนดขั้นเล็กสุด ไม่ให้ชดเชยเกินตอนโหลดเบา)

- ถ้า THD-I > 10–15 % หรือมี VFD มาก พิจารณาตู้ detuned

- เปรียบเทียบกับบิล 12 เดือน (kW kvar สูงสุดรายเดือน)

- หลังติดตั้ง วัดซ้ำเพื่อยืนยัน PF และตรวจว่าไม่มีเรโซแนนซ์ (THD-U ไม่เพิ่ม)

ความปลอดภัย การต่อสายวัดแรงดันในตู้ที่มีไฟเป็นงานไฟฟ้าแรงต่ำขณะมีไฟ (live work) ใช้เครื่องมือ CAT III/CAT IV ที่เหมาะสม อุปกรณ์ป้องกันอันตรายจากอาร์ก และทำโดยผู้ที่ได้รับอนุญาตเท่านั้น ห้ามเปิดวงจรทุติยภูมิของ CT ที่มีกระแส

## คำถามที่พบบ่อย

วิธีวัตต์มิเตอร์สองตัวใช้ได้เมื่อไร?
ใช้วัดกำลังจริงรวมของระบบสามเฟสสามสาย (ไม่มีนิวทรัล) ได้เสมอไม่ว่าโหลดสมดุลหรือไม่ ส่วนการหา Q และ PF จาก √3(W₁ − W₂) ใช้ได้เฉพาะโหลดสมดุลที่กระแสเป็นไซน์ ระบบสี่สายที่มีนิวทรัลต้องใช้วัตต์มิเตอร์สามตัว

ทำไมเพาเวอร์มิเตอร์แสดงกำลังติดลบ?
ส่วนใหญ่เกิดจาก CT หรือแคลมป์คล้องกลับทิศ (ลูกศรต้องชี้จากแหล่งจ่ายไปโหลด) หรือสายแรงดันกับ CT อยู่คนละเฟส ถ้าแน่ใจว่าต่อถูกแล้ว กำลังติดลบหมายถึงกำลังไหลกลับจริง เช่น จากโซลาร์เซลล์ หรือมอเตอร์ที่ถูกโหลดขับให้เป็นเครื่องกำเนิด

## FAQ

**วิธีวัตต์มิเตอร์สองตัวใช้ได้เมื่อไร?**
ใช้วัดกำลังจริงรวมของระบบสามเฟสสามสาย (ไม่มีนิวทรัล) ได้เสมอไม่ว่าโหลดสมดุลหรือไม่ ส่วนการหา Q และ PF จาก √3(W₁ − W₂) ใช้ได้เฉพาะโหลดสมดุลที่กระแสเป็นไซน์ ระบบสี่สายที่มีนิวทรัลต้องใช้วัตต์มิเตอร์สามตัว

**ทำไมเพาเวอร์มิเตอร์แสดงกำลังติดลบ?**
ส่วนใหญ่เกิดจาก CT หรือแคลมป์คล้องกลับทิศ (ลูกศรต้องชี้จากแหล่งจ่ายไปโหลด) หรือสายแรงดันกับ CT อยู่คนละเฟส ถ้าแน่ใจว่าต่อถูกแล้ว กำลังติดลบหมายถึงกำลังไหลกลับจริง เช่น จากโซลาร์เซลล์ หรือมอเตอร์ที่ถูกโหลดขับให้เป็นเครื่องกำเนิด

---

# เพาเวอร์แฟกเตอร์ในรูปคลื่น: กำลังขณะหนึ่ง p(t) กำลังไหลกลับ เฟสเซอร์ และความหมายของกำลังรีแอกทีฟ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-factor/waveforms-power/
Updated: 2026-10-13
Summary: มองเพาเวอร์แฟกเตอร์ผ่านรูปคลื่นจริง: แรงดัน v(t) กระแส i(t) ที่ตามหลังมุม φ คูณกันทีละจุดได้กำลังขณะหนึ่ง p(t) ที่แกว่งด้วยความถี่สองเท่า ค่าเฉลี่ยคือ P = VI cos φ ช่วงที่ p ติดลบคือโหลดคืนพลังงาน แยก p(t) เป็นส่วนกำลังจริงและส่วนรีแอกทีฟ Q คือแอมพลิจูดของการไหลไปกลับ พลังงานที่เก็บในตัวเหนี่ยวนำ เวลาที่กระแสตามหลัง และเฟสเซอร์หมุน พร้อมซิมูเลเตอร์ภาพเคลื่อนไหว

// บทที่ 19.2 · เพาเวอร์แฟกเตอร์ · Power Factor in Waveforms & Phasors

# เพาเวอร์แฟกเตอร์ในรูปคลื่น: กำลังขณะหนึ่ง p(t) กำลังไหลกลับ เฟสเซอร์ และความหมายของกำลังรีแอกทีฟ

สามเหลี่ยมกำลังบอก “ผล” แต่รูปคลื่นบอก “สิ่งที่เกิดขึ้นจริง” ในทุกเสี้ยววินาที เมื่อคูณแรงดันกับกระแสทีละจุด เราจะเห็นว่ากำลังไม่ได้ไหลทางเดียวเสมอ บางช่วงโหลดส่งพลังงานกลับ — และนั่นคือที่มาของคำว่า “กำลังรีแอกทีฟ”

สรุปใน 30 วินาที

- $p(t) = VI\cos\varphi - VI\cos(2\omega t - \varphi)$: ค่าคงที่ + แกว่ง 100 Hz

- ค่าเฉลี่ยของ p(t) คือ $P = VI\cos\varphi$ — นี่คือที่มาของ cos φ

- p(t) < 0 เป็นสัดส่วน φ/180° ของเวลา: พลังงานไหลกลับ

- Q = แอมพลิจูดของส่วนที่ไหลไปกลับ = 2ω × พลังงานเฉลี่ยที่เก็บในสนาม

## กำลังขณะหนึ่ง p(t) กลาง

W1 Voltage and lagging current แรงดันและกระแสที่ตามหลัง

$$v(t) = \sqrt2\,V\sin\omega t \qquad i(t) = \sqrt2\,I\sin(\omega t - \varphi)$$

W2 Instantaneous power กำลังขณะหนึ่ง

$$p(t) = v(t)\,i(t) = 2VI\sin\omega t\,\sin(\omega t-\varphi) = VI\cos\varphi - VI\cos(2\omega t - \varphi)$$

ใช้เอกลักษณ์ $2\sin A\sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ (สูตรตรีโกณ) ผลคือเทอมคงที่ $VI\cos\varphi$ บวกกับคลื่นโคไซน์ความถี่ $2\omega$ ที่มีแอมพลิจูด $VI$ (= S)

W3 Average (real) power กำลังเฉลี่ย

$$P = \frac1T\int_0^T p(t)\,dt = VI\cos\varphi$$

เพราะค่าเฉลี่ยของ $\cos(2\omega t-\varphi)$ ตลอดคาบเป็นศูนย์ (อินทิกรัล) นี่คือเหตุผลที่ cos φ ปรากฏในสูตรกำลัง — ไม่ได้มาจากการท่องจำ แต่มาจากการเฉลี่ยผลคูณของสองไซน์

W7 Fraction of time with p < 0 สัดส่วนเวลาที่กำลังไหลกลับ

$$\frac{t_{p<0}}{T} = \frac{\varphi}{180^\circ} \qquad p_{min} = VI(\cos\varphi - 1),\ \ p_{max} = VI(\cos\varphi + 1)$$

ตัวอย่าง W-1

### มอเตอร์ 230 V 15.05 A φ = 34.6°

- W3: $P = 230(15.05)\cos 34.6^\circ = 3461(0.823) = 2.85$ kW

- W7: $p_{max} = 3461(1.823) = 6.31$ kW · $p_{min} = 3461(0.823 - 1) = -0.61$ kW

- สัดส่วนเวลาที่ไหลกลับ $34.6/180 = 19\,\%$ — ช่วงสีแดงในกราฟซิมูเลเตอร์

- W6: กระแสถึงยอดช้ากว่าแรงดัน $\Delta t = 34.6/360 \times 20\ \text{ms} = 1.92$ ms

W6 Time shift เวลาที่กระแสตามหลัง

$$\Delta t = \frac{\varphi}{360^\circ}\,T = \frac{\varphi}{360^\circ\,f}$$

## แยก p(t) เป็นส่วนที่ทำงานกับส่วนที่ไหลไปกลับ ขั้นสูง

W4 Active and reactive parts of p(t) แยกส่วนจริงและส่วนรีแอกทีฟ

$$p(t) = \underbrace{P\,(1 - \cos 2\omega t)}_{\ge 0\ \text{เสมอ: ไหลทางเดียว}} \;-\; \underbrace{Q\,\sin 2\omega t}_{\text{ค่าเฉลี่ย } 0:\ \text{ไหลไปกลับ}}$$

ส่วนแรกเป็นบวกเสมอ — พลังงานไหลไปที่โหลดแล้วไม่กลับมา (กลายเป็นงานหรือความร้อน) ส่วนที่สองแกว่งรอบศูนย์ มีแอมพลิจูดเท่ากับ Q พอดี นี่คือนิยามทางกายภาพของกำลังรีแอกทีฟ: อัตราสูงสุดที่พลังงานวิ่งไปกลับระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด

W5 Q and stored energy Q กับพลังงานที่เก็บในสนาม

$$w_L(t) = \tfrac12 L\,i^2(t) \qquad \bar W_L = \tfrac12 L I^2 \qquad Q_L = \omega L I^2 = 2\omega\,\bar W_L$$

ตัวอย่าง W-2

### Q = 1.96 kvar ที่ 50 Hz เก็บพลังงานในสนามแม่เหล็กเท่าไร

- W5: $\bar W = Q/(2\omega) = 1960/(2 \times 314.16) = 3.12$ J

- พลังงานแค่ 3 จูล แต่ถูกเติมและถอนออก 100 ครั้งต่อวินาที อัตราการไหลสูงสุดจึงเป็นหลักกิโลวาร์

- คาปาซิเตอร์ที่อยู่ข้างมอเตอร์เก็บพลังงานในสนามไฟฟ้า $\tfrac12Cv^2$ ในจังหวะตรงข้ามกัน (เมื่อขดลวดคายพลังงาน คาปาซิเตอร์รับ) พลังงานจึงวิ่งไปกลับระหว่างสองตัวนี้ในพื้นที่ แทนที่จะวิ่งผ่านสายยาวไปถึงโรงไฟฟ้า

## เฟสเซอร์หมุน: มองคลื่นเป็นเงา กลาง

เฟสเซอร์คือลูกศรที่หมุนทวนเข็มนาฬิกาด้วยความเร็ว ω ค่าขณะหนึ่งของไซน์คือ “เงา” ของปลายลูกศรบนแกนตั้ง แรงดันและกระแสหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน มุมระหว่างสองลูกศรจึงคงที่เป็น φ เราจึงวาดหยุดนิ่งได้ (V บนแกนจริง) แล้วแยกกระแสเป็นสองส่วน:

W8 Active and reactive current กระแสส่วนทำงานและส่วนรีแอกทีฟ

$$I_P = I\cos\varphi \ \ (\text{ตรงเฟสกับ } V) \qquad I_Q = I\sin\varphi \ \ (\text{ตั้งฉากกับ } V) \qquad I = \sqrt{I_P^2 + I_Q^2}$$

คาปาซิเตอร์แก้ได้เฉพาะ $I_Q$ (ใส่กระแสนำหน้าที่หักล้างกัน) ส่วน $I_P$ คืองานที่โหลดต้องการจริง ไม่มีใครลดได้ถ้าไม่ลดงาน — ในซิมูเลเตอร์ด้านล่าง ลูกศรสีเหลืองคือ $I_P$ สังเกตว่ามันยาวเท่าเดิมเมื่อเปิดคาปาซิเตอร์

## ซิมูเลเตอร์ภาพเคลื่อนไหว

กด ▶ เล่น: เส้นประแนวตั้งวิ่งตามเวลา ค่า v i p ใต้กราฟเปลี่ยนตามจริง และเฟสเซอร์หมุนพร้อมกัน ลองเปลี่ยนเป็น “ฮีตเตอร์ล้วน” (p ไม่เคยติดลบ) และ “ชดเชยเกิน” (กระแสนำหน้า p ติดลบอีกครั้ง)

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมกำลังขณะหนึ่ง p(t) มีความถี่ 100 Hz?
เพราะ p(t) คือผลคูณของแรงดันและกระแสที่เป็นไซน์ 50 Hz ทั้งคู่ ผลคูณของไซน์สองตัวตามเอกลักษณ์ตรีโกณมิติให้ค่าคงที่บวกกับไซน์ความถี่สองเท่า กำลังจึงเต้นขึ้นลง 100 ครั้งต่อวินาที ค่าคงที่คือกำลังเฉลี่ย P

กำลังรีแอกทีฟ Q มีอยู่จริงไหม?
มีในความหมายว่าพลังงานไหลไปกลับจริงระหว่างแหล่งจ่ายกับสนามแม่เหล็กหรือสนามไฟฟ้าของโหลด Q คือแอมพลิจูดของส่วนที่ไหลไปกลับนั้น ค่าเฉลี่ยของมันเป็นศูนย์ จึงไม่ทำงานสุทธิ แต่กระแสที่ทำให้เกิดการไหลนี้ทำให้สายร้อนจริง

## FAQ

**ทำไมกำลังขณะหนึ่ง p(t) มีความถี่ 100 Hz?**
เพราะ p(t) คือผลคูณของแรงดันและกระแสที่เป็นไซน์ 50 Hz ทั้งคู่ ผลคูณของไซน์สองตัวตามเอกลักษณ์ตรีโกณมิติให้ค่าคงที่บวกกับไซน์ความถี่สองเท่า กำลังจึงเต้นขึ้นลง 100 ครั้งต่อวินาที ค่าคงที่คือกำลังเฉลี่ย P

**กำลังรีแอกทีฟ Q มีอยู่จริงไหม?**
มีในความหมายว่าพลังงานไหลไปกลับจริงระหว่างแหล่งจ่ายกับสนามแม่เหล็กหรือสนามไฟฟ้าของโหลด Q คือแอมพลิจูดของส่วนที่ไหลไปกลับนั้น ค่าเฉลี่ยของมันเป็นศูนย์ จึงไม่ทำงานสุทธิ แต่กระแสที่ทำให้เกิดการไหลนี้ทำให้สายร้อนจริง

---

# ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน: ปูพื้นก่อนเรียน (Power Systems & Protection)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/
Updated: 2026-10-13
Summary: ชุดปูพื้นฐานภาษาไทยก่อนเรียนวิชาระบบไฟฟ้ากำลังและการป้องกันระบบไฟฟ้ากำลัง 11 หน้า: โครงสร้างระบบไฟฟ้าไทย 500/230/115/22 kV เฟสเซอร์ กำลังเชิงซ้อน สามเฟส Y Δ ระบบต่อหน่วย หม้อแปลงและสายส่ง P-δ การคำนวณกระแสลัดวงจร องค์ประกอบสมมาตร หลักการป้องกัน CT รีเลย์กระแสเกินและการประสาน TCC การต่อลงดิน รีเลย์ผลต่าง 87 และรีเลย์ระยะทาง 21 พร้อมแล็บคำนวณ

// บทที่ 18 · Power Systems & Protection · ปูพื้นก่อนเรียน ปวส. → ป.ตรี

# ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน: ปูพื้นก่อนเรียน (Power Systems & Protection)

วิชาระบบไฟฟ้ากำลังและวิชาการป้องกันระบบไฟฟ้ากำลังมักทำให้นักศึกษาสะดุด ไม่ใช่เพราะยาก แต่เพราะต้องใช้ความรู้หลายอย่างพร้อมกัน: เฟสเซอร์ สามเฟส per-unit หม้อแปลง ลัดวงจร เมทริกซ์ ชุดนี้ปูพื้นทีละก้อนให้แน่น เรียงตามลำดับที่ตำราใช้ มี 74 สูตรที่มีรหัสอ้างอิง 24 ตัวอย่างคำนวณ และแล็บที่ลองตั้งค่ารีเลย์ได้จริง

สรุปใน 30 วินาที

- ระบบไฟฟ้า = ผลิต → ส่ง (500/230/115 kV) → จำหน่าย (22/33 kV, 12/24 kV) → ผู้ใช้ (400/230 V)

- เครื่องมือคิดหลัก: เฟสเซอร์ · $S = VI^*$ · สามเฟสสมดุลคิดทีละเฟส · per-unit

- ลัดวงจร: $I_k = V/Z$ — หม้อแปลง %Z บอกกระแสลัดวงจรทันที $I_k \approx I_n/Z_{pu}$

- ฟอลต์ไม่สมดุลใช้องค์ประกอบสมมาตร (ลำดับบวก ลบ ศูนย์)

- ระบบป้องกัน = ตรวจ (CT/VT) → ตัดสิน (รีเลย์) → ตัด (เบรกเกอร์) อย่างเลือกสรรและเร็ว

## แผนที่วิชา: ชุดนี้ปูพื้นให้อะไร พื้นฐาน

คณิต: เชิงซ้อน · เมทริกซ์→วงจร AC · เฟสเซอร์ · PF→สามเฟส · per-unit→หม้อแปลง · สายส่ง→ลัดวงจร · องค์ประกอบสมมาตร→ระบบป้องกัน · รีเลย์

| วิชาในหลักสูตร | หัวข้อหลักในตำรา | ปูพื้นในหน้า |

| ระบบไฟฟ้ากำลัง (Power System Analysis) | แบบจำลองสาย หม้อแปลง เครื่องกำเนิด per-unit Y-bus load flow ลัดวงจรสมมาตร องค์ประกอบสมมาตร เสถียรภาพ | เฟสเซอร์ · per-unit · หม้อแปลง สายส่ง P-δ · ลัดวงจร · องค์ประกอบสมมาตร |

| การป้องกันระบบไฟฟ้ากำลัง (Power System Protection) | CT VT รีเลย์กระแสเกิน การประสาน รีเลย์ทิศทาง ผลต่าง ระยะทาง ป้องกันหม้อแปลง เครื่องกำเนิด บัส สายส่ง | หลักการ · CT · กระแสเกิน · ประสาน · 87 · 21 |

| การออกแบบระบบไฟฟ้า (Electrical System Design) | โหลด สายป้อน หม้อแปลง เลือกอุปกรณ์ตามกระแสลัดวงจร การต่อลงดิน | กระแสลัดวงจรระบบแรงต่ำ · การต่อลงดิน |

## แบบทดสอบความพร้อม 8 ข้อ (คลิกดูเฉลย) พื้นฐาน

ถ้าตอบได้ 6 ข้อขึ้นไปโดยไม่เปิดเฉลย เริ่มที่ ระบบต่อหน่วย ได้เลย ถ้าน้อยกว่านั้นเริ่มที่ เฟสเซอร์และสามเฟส

1. $(3 + j4)(1 - j2)$ เท่ากับเท่าไร และ $|3 + j4|$ เท่าไร
$3 - j6 + j4 - j^2 8 = 11 - j2$ · $|3+j4| = 5$ — ทบทวนที่ พีชคณิตเชิงเส้น และ ตรีโกณ

2. $10\angle 30^\circ \times 2\angle -45^\circ$ และ $10\angle 30^\circ / 2\angle -45^\circ$
$20\angle -15^\circ$ · $5\angle 75^\circ$ — คูณ: คูณขนาด บวกมุม · หาร: หารขนาด ลบมุม

3. แรงดัน $230\angle 0^\circ$ V จ่ายโหลด $Z = 8 + j6\ \Omega$ กระแสและ P Q เท่าไร
$I = 230/(10\angle 36.87^\circ) = 23\angle -36.87^\circ$ A · $S = VI^* = 5290\angle 36.87^\circ$ → P = 4,232 W, Q = 3,174 var (A3)

4. ระบบ 400 V สามเฟส แรงดันเฟสเท่าไร
$400/\sqrt{3} = 230.9$ V (A5)

5. มอเตอร์ 3 เฟส 400 V 30 kW PF 0.85 กินกระแสเท่าไร (ไม่คิดประสิทธิภาพ)
$I = 30{,}000/(\sqrt{3}\times 400 \times 0.85) = 50.9$ A (A6)

6. หม้อแปลง 22 kV/400 V จ่ายกระแสด้านแรงต่ำ 1,000 A ด้านแรงสูงมีกระแสเท่าไร
$1000 \times 400/22{,}000 = 18.2$ A

7. หม้อแปลง 1,000 kVA %Z = 6 % ลัดวงจรที่ขั้วแรงต่ำ (ต้นทางแข็งแรงมาก) กระแสประมาณเท่าไร
$I_n = 1{,}443$ A → $I_k \approx I_n/0.06 = 24$ kA (F3)

8. $\det\begin{bmatrix}1&1&1\\1&a^2&a\\1&a&a^2\end{bmatrix}$ ไม่เท่ากับศูนย์ หมายความว่าอะไรสำหรับองค์ประกอบสมมาตร
เมทริกซ์ Fortescue หาอินเวอร์สได้ → แปลงไป-กลับระหว่าง (a, b, c) กับ (0, 1, 2) ได้เสมอ และไม่สูญเสียข้อมูล (S2)

## สมการหลักที่ใช้ทั้งชุด พื้นฐาน

| เรื่อง | สมการ | รหัส |

| กำลังเชิงซ้อน | $S = VI^* = P + jQ$ | A3 |

| กำลังสามเฟส | $S_{3\varphi} = \sqrt{3}\,V_L I_L$ | A6 |

| อิมพีแดนซ์ฐาน | $Z_{base} = V_{base}^2/S_{base}$ | U2 |

| เปลี่ยนฐาน | $Z_{new} = Z_{old}\dfrac{S_{new}}{S_{old}}\left(\dfrac{V_{old}}{V_{new}}\right)^2$ | U5 |

| ส่งกำลัง | $P = \dfrac{V_s V_r}{X}\sin\delta$ | L6 |

| ลัดวงจรสามเฟส | $I_k'' = \dfrac{c\,U_n}{\sqrt{3}\,|Z_k|}$ | F1 |

| ลัดลงดินหนึ่งเฟส | $I_f = \dfrac{3E}{Z_1+Z_2+Z_0+3Z_f}$ | S5 |

| รีเลย์ IDMT | $t = TMS\,\dfrac{k}{(I/I_s)^{\alpha}-1}$ | R2 |

## ลองเลย: กระแสลัดวงจรของตู้ MDB โรงงาน

เปลี่ยนขนาดหม้อแปลง %Z และความยาวสาย แล้วดูว่ากระแสลัดวงจรเปลี่ยนไปเท่าไร นี่คือตัวเลขที่ใช้เลือกพิกัดตัดกระแส (kA) ของเบรกเกอร์ทุกตัวในตู้ อ่านวิธีคิดที่ คำนวณกระแสลัดวงจร

## ทุกบทในชุดนี้

ส่วนที่ 1

### พื้นฐานระบบไฟฟ้ากำลัง Foundations
ระบบไฟฟ้าตั้งแต่โรงไฟฟ้าถึงบ้าน เฟสเซอร์และสามเฟส กำลังเชิงซ้อน ระบบต่อหน่วย หม้อแปลง และสายส่ง

G18.1
ภาพรวมระบบไฟฟ้ากำลัง: ผลิต ส่ง จำหน่าย ระดับแรงดันในประเทศไทย และทำไมต้องส่งด้วยแรงดันสูง
Power System Overview
โรงไฟฟ้า สายส่ง สถานีไฟฟ้า ระบบจำหน่าย 500/230/115 kV 22/33 kV 400/230 V บทบาท กฟผ. กฟภ. กฟน. ทำไมแรงดันสูงลดการสูญเสีย I²R ความถี่ 50 Hz สมดุลกำลัง และแผนที่วิชาที่ต้องเรียน
เปิดหน้า →สูตร G1, G2, …

∠18.2
เฟสเซอร์ อิมพีแดนซ์ กำลังเชิงซ้อน และระบบสามเฟส: Y กับ Δ, √3 และกำลังสามเฟส
Phasors, Complex Power & Three-Phase Systems
เขียนไซน์เป็นเฟสเซอร์ อิมพีแดนซ์ R X Z กำลังเชิงซ้อน S = VI* แรงดันเฟสกับแรงดันสาย การต่อ Y และ Δ กำลังสามเฟส √3 V_L I_L cosφ และวงจรสมมูลเฟสเดียว
เปิดหน้า →สูตร A1, A2, …

pu18.3
ระบบต่อหน่วย (Per-Unit System): ค่าฐาน การเปลี่ยนฐาน หม้อแปลง และไดอะแกรมอิมพีแดนซ์
Per-Unit System
ทำไมวิศวกรระบบไฟฟ้าใช้ pu เลือก S_base V_base คำนวณ Z_base I_base เปลี่ยนฐานอิมพีแดนซ์ หม้อแปลงหายไปจากวงจร ตัวอย่างระบบเครื่องกำเนิด–หม้อแปลง–สายส่ง–โหลด
เปิดหน้า →สูตร U1, U2, …

P-δ18.4
หม้อแปลงและสายส่งในระบบกำลัง: วงจรสมมูล %Z การควบคุมแรงดัน แบบจำลองสายส่ง และสมการส่งกำลัง P-δ
Transformers, Lines & Power Transfer
วงจรสมมูลหม้อแปลง %Z จากการทดสอบลัดวงจร voltage regulation การต่อ Dyn11 แบบจำลองสายสั้น ปานกลาง ยาว แรงดันตก ΔV ≈ (RP + XQ)/V และ P = V₁V₂ sin δ / X
เปิดหน้า →สูตร L1, L2, …

ส่วนที่ 2

### การลัดวงจร Fault Analysis
คำนวณกระแสลัดวงจรสามเฟสด้วย %Z และ MVA องค์ประกอบสมมาตร และการลัดวงจรไม่สมมาตร

Isc18.5
คำนวณกระแสลัดวงจร: ลัดวงจรสามเฟสด้วย %Z และวิธี MVA, แหล่งจ่าย หม้อแปลง สาย และค่ายอดที่ไม่สมมาตร
Short-Circuit Calculation
ทำไมต้องรู้กระแสลัดวงจร แหล่งจ่ายต้นทาง หม้อแปลง สายเคเบิล วิธี %Z กับวิธี MVA กระแสลัดวงจรที่ตู้ MDB อัตรา X/R ค่ายอด i_p พิกัดตัดกระแส (Icu kA) และตัวอย่างหม้อแปลง 1,000 kVA
เปิดหน้า →สูตร F1, F2, …

a18.6
องค์ประกอบสมมาตรและการลัดวงจรไม่สมมาตร: ลำดับบวก ลบ ศูนย์ ลัดลงดินหนึ่งเฟส สองเฟส และสองเฟสลงดิน
Symmetrical Components & Unbalanced Faults
ตัวดำเนินการ a เมทริกซ์ Fortescue แยกระบบไม่สมดุลเป็นลำดับ 1 2 0 วงจรลำดับของเครื่องกำเนิด หม้อแปลง Dyn สายส่ง การต่อวงจรลำดับสำหรับ SLG LL DLG และกระแสลงดิน
เปิดหน้า →สูตร S1, S2, …

ส่วนที่ 3

### ระบบป้องกัน Power System Protection
หลักการป้องกัน CT VT รีเลย์กระแสเกินและการประสาน การต่อลงดินและความปลอดภัย รีเลย์ผลต่างและรีเลย์ระยะทาง

5218.7
หลักการระบบป้องกันไฟฟ้ากำลัง: โซนป้องกัน การเลือกตัด CT VT รหัส ANSI และคุณสมบัติของรีเลย์
Protection Principles, CTs & Relays
คุณสมบัติ 5 ข้อของระบบป้องกัน โซนป้องกันและการซ้อนทับ ป้องกันหลักกับสำรอง เบรกเกอร์ CT ความอิ่มตัว คลาส 5P20 VT รหัส ANSI 50 51 50N 87 21 27 59 81 และรีเลย์ดิจิทัล
เปิดหน้า →สูตร P1, P2, …

TCC18.8
รีเลย์กระแสเกินและการประสานการป้องกัน: กราฟ IDMT IEC 60255, TMS, CTI, ฟิวส์ และเบรกเกอร์ MCB/MCCB
Overcurrent Protection & Coordination
รีเลย์ 50/51 กราฟ Standard Very Extremely Inverse ตั้ง pickup และ TMS ช่วงเวลาประสาน CTI 0.3 s การประสานรีเลย์–ฟิวส์–เบรกเกอร์ กราฟ MCB B C D และตัวอย่างประสาน 3 ระดับ
เปิดหน้า →สูตร R1, R2, …

⏚18.9
การต่อลงดินและการป้องกันไฟดูด: TN-C-S TT IT อิมพีแดนซ์วงรอบ เวลาตัดวงจร RCD แรงดันสัมผัส และหลักดิน
Earthing Systems & Shock Protection
ระบบการต่อลงดิน TN TT IT วงรอบความผิดพร่อง Z_s เงื่อนไขตัดวงจรอัตโนมัติ 0.4 s แรงดันสัมผัส RCD 30 mA ความต้านทานหลักดิน 5 Ω ตามแบบไทย และการวัดด้วย fall-of-potential
เปิดหน้า →สูตร E1, E2, …

8718.10
รีเลย์ผลต่าง (87) และรีเลย์ระยะทาง (21): ป้องกันหม้อแปลง บัส สายส่ง เปอร์เซ็นต์ไบแอส และโซน Mho
Differential (87) & Distance (21) Protection
หลักกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ในรีเลย์ผลต่าง ไบแอสเปอร์เซ็นต์ inrush และฮาร์มอนิกที่ 2 ป้องกันหม้อแปลง รีเลย์ระยะทาง Z = V/I วงกลม Mho โซน 1 2 3 และระยะเวลาหน่วง
เปิดหน้า →สูตร D1, D2, …

ส่วนที่ 4

### แล็บคำนวณ Lab
ระบบต่อหน่วย กระแสลัดวงจร กราฟประสานรีเลย์ (TCC) การส่งกำลัง P-δ และองค์ประกอบสมมาตร

▶18.11
แล็บคำนวณระบบไฟฟ้ากำลังและการป้องกัน: Per-unit กระแสลัดวงจร TCC ประสานรีเลย์ P-δ และองค์ประกอบสมมาตร
Power Systems & Protection Lab
ระบบต่อหน่วย เปลี่ยนฐาน กระแสลัดวงจรจากแหล่งจ่าย–หม้อแปลง–สาย ประสานรีเลย์ IDMT 3 ระดับบนกราฟ log-log การส่งกำลัง P-δ และแยกองค์ประกอบสมมาตร พร้อมใบงาน
เปิดหน้า →เครื่องคำนวณ 6 ตัว + ใบงาน

## รหัสอุปกรณ์ป้องกัน ANSI/IEEE C37.2 ที่ต้องจำ พื้นฐาน

| รหัส | ชื่อ | ใช้ทำอะไร |

| 21 | Distance relay | ป้องกันสายส่งด้วยอิมพีแดนซ์ที่วัดได้ |

| 25 | Synchronism check | ตรวจก่อนขนานเครื่องกำเนิดหรือปิดวงจรสองฝั่ง |

| 27 / 59 | Under / Over voltage | แรงดันต่ำ / เกิน |

| 32 | Directional power | กำลังไหลย้อน (เช่น ห้ามโซลาร์ส่งออก) |

| 46 | Negative-sequence overcurrent | ไม่สมดุล เฟสขาด (มอเตอร์ เครื่องกำเนิด) |

| 49 | Thermal overload | ความร้อนสะสม |

| 50 / 51 | Instantaneous / Time overcurrent | กระแสเกินทันที / หน่วงเวลา |

| 50N / 51N (51G) | Earth-fault overcurrent | กระแสลงดิน (3I₀) |

| 52 | AC circuit breaker | เบรกเกอร์ |

| 67 / 67N | Directional overcurrent | กระแสเกินแบบมีทิศทาง (ระบบวงแหวน/ขนาน) |

| 79 | Auto-reclose | ต่อกลับอัตโนมัติ (สายอากาศ) |

| 81 | Frequency | ความถี่ต่ำ/เกิน ปลดโหลดตามความถี่ |

| 86 | Lockout relay | ล็อกการตัด ต้องรีเซ็ตด้วยมือ |

| 87 | Differential | ผลต่างกระแส (หม้อแปลง บัส เครื่องกำเนิด สาย) |

## ค้นหาสูตรทั้งหมดในที่เดียว

รหัสสูตร: G ภาพรวม · A เฟสเซอร์/สามเฟส · U per-unit · L หม้อแปลง/สายส่ง · F ลัดวงจร · S องค์ประกอบสมมาตร · P หลักการป้องกัน · R กระแสเกิน · E การต่อลงดิน · D รีเลย์ 87/21

## ความรู้พื้นฐานที่เกี่ยวข้องบนเว็บนี้

| ความรู้ | ใช้ทำอะไร | บทเรียน |

| เพาเวอร์แฟกเตอร์ P Q S | กำลังเชิงซ้อน การชดเชยรีแอกทีฟ แรงดันตก | เพาเวอร์แฟกเตอร์ |

| เมทริกซ์ อินเวอร์ส ค่าเฉพาะ | องค์ประกอบสมมาตร Y-bus Z-bus | พีชคณิตเชิงเส้น |

| ระบบอันดับหนึ่ง/สอง | กระแสลัดวงจรช่วงชั่วครู่ DC offset การแกว่งของเครื่องกำเนิด | อันดับหนึ่ง · อันดับสอง |

| ฮาร์มอนิก | inrush หม้อแปลงฮาร์มอนิกที่ 2 คุณภาพไฟฟ้า | THD · IEEE 519 |

| ระบบควบคุม | AVR governor เสถียรภาพ | ระบบควบคุม |

## ตำราและมาตรฐานอ้างอิง

- J. D. Glover, T. J. Overbye, M. S. Sarma, Power System Analysis and Design, 6th ed., Cengage — อ่านง่าย ตัวอย่างมาก

- H. Saadat, Power System Analysis, 3rd ed. — มีโค้ดประกอบทุกบท

- J. J. Grainger & W. D. Stevenson, Power System Analysis, McGraw-Hill — คลาสสิกเรื่องลัดวงจรและองค์ประกอบสมมาตร

- J. L. Blackburn & T. J. Domin, Protective Relaying: Principles and Applications, 4th ed., CRC — ตำราหลักด้านการป้องกัน

- Alstom/GE, Network Protection & Automation Guide (NPAG) — คู่มือภาคปฏิบัติที่วิศวกรรีเลย์ใช้จริง

- มาตรฐาน: IEC 60909-0 (กระแสลัดวงจร), IEC 60255-151 (กราฟรีเลย์กระแสเกิน), IEC 61869-2 (CT), IEEE C37.2 (รหัสอุปกรณ์), IEC 60364 (การติดตั้งแรงต่ำ), มาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้าสำหรับประเทศไทย (วสท.)

## คำถามที่พบบ่อย

ก่อนเรียนวิชาระบบไฟฟ้ากำลังต้องรู้อะไรบ้าง?
ต้องคล่องจำนวนเชิงซ้อนและเฟสเซอร์ (บวก คูณ หาร ในรูปเชิงขั้ว) การวิเคราะห์วงจร AC อิมพีแดนซ์ กำลังจริง กำลังรีแอกทีฟ เพาเวอร์แฟกเตอร์ ระบบสามเฟส Y และ Δ หม้อแปลงเบื้องต้น และเมทริกซ์ (สำหรับองค์ประกอบสมมาตรและ load flow) หน้าภาพรวมนี้มีแบบทดสอบตัวเองให้ตรวจความพร้อม

ทำไมต้องเรียนระบบต่อหน่วย (per-unit)?
ระบบไฟฟ้ามีหลายระดับแรงดันเชื่อมกันด้วยหม้อแปลง ถ้าคิดเป็นโอห์มต้องแปลงค่าข้ามหม้อแปลงตลอด ระบบต่อหน่วยทำให้หม้อแปลงอุดมคติหายไปจากวงจร ค่าอิมพีแดนซ์ของอุปกรณ์ขนาดต่างกันอยู่ในช่วงใกล้กัน ตรวจความผิดพลาดง่าย และเป็นภาษากลางของดาต้าชีตและโปรแกรมวิเคราะห์ระบบไฟฟ้า

ระบบป้องกันไฟฟ้ากำลังต้องมีคุณสมบัติอะไร?
ห้าข้อหลัก: ความเชื่อถือได้ (ทำงานเมื่อควรทำงานและไม่ทำงานเมื่อไม่ควร) การเลือกตัด (ตัดเฉพาะส่วนที่เสีย) ความเร็ว ความไว (ตรวจจับฟอลต์เล็กสุดได้) และความประหยัด ระบบป้องกันที่ดีต้องหาสมดุลระหว่างข้อเหล่านี้ เช่น เร็วขึ้นอาจทำให้เลือกตัดได้ยากขึ้น

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ก่อนเรียนวิชาระบบไฟฟ้ากำลังต้องรู้อะไรบ้าง?**
ต้องคล่องจำนวนเชิงซ้อนและเฟสเซอร์ (บวก คูณ หาร ในรูปเชิงขั้ว) การวิเคราะห์วงจร AC อิมพีแดนซ์ กำลังจริง กำลังรีแอกทีฟ เพาเวอร์แฟกเตอร์ ระบบสามเฟส Y และ Δ หม้อแปลงเบื้องต้น และเมทริกซ์ (สำหรับองค์ประกอบสมมาตรและ load flow) หน้าภาพรวมนี้มีแบบทดสอบตัวเองให้ตรวจความพร้อม

**ทำไมต้องเรียนระบบต่อหน่วย (per-unit)?**
ระบบไฟฟ้ามีหลายระดับแรงดันเชื่อมกันด้วยหม้อแปลง ถ้าคิดเป็นโอห์มต้องแปลงค่าข้ามหม้อแปลงตลอด ระบบต่อหน่วยทำให้หม้อแปลงอุดมคติหายไปจากวงจร ค่าอิมพีแดนซ์ของอุปกรณ์ขนาดต่างกันอยู่ในช่วงใกล้กัน ตรวจความผิดพลาดง่าย และเป็นภาษากลางของดาต้าชีตและโปรแกรมวิเคราะห์ระบบไฟฟ้า

**ระบบป้องกันไฟฟ้ากำลังต้องมีคุณสมบัติอะไร?**
ห้าข้อหลัก: ความเชื่อถือได้ (ทำงานเมื่อควรทำงานและไม่ทำงานเมื่อไม่ควร) การเลือกตัด (ตัดเฉพาะส่วนที่เสีย) ความเร็ว ความไว (ตรวจจับฟอลต์เล็กสุดได้) และความประหยัด ระบบป้องกันที่ดีต้องหาสมดุลระหว่างข้อเหล่านี้ เช่น เร็วขึ้นอาจทำให้เลือกตัดได้ยากขึ้น

---

# รีเลย์ผลต่าง (87) และรีเลย์ระยะทาง (21): เปอร์เซ็นต์ไบแอส Inrush วงกลม Mho และโซนป้องกันสายส่ง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/differential-distance/
Updated: 2026-10-13
Summary: ปูพื้นการป้องกันแบบหน่วย (unit protection) และรีเลย์ระยะทาง: หลักกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ในรีเลย์ผลต่าง กระแสผลต่างและกระแสไบแอส คุณลักษณะ dual slope การปรับอัตราส่วน CT และกลุ่มเวกเตอร์ของหม้อแปลง inrush และการหน่วงด้วยฮาร์มอนิกที่ 2 รีเลย์ระยะทาง Z = V/I ลูปเฟสและลูปลงดิน k0 วงกลม Mho โซน 1 2 3 และการแปลงอิมพีแดนซ์เป็นค่าทุติยภูมิ พร้อมเครื่องคำนวณรีเลย์ผลต่าง

// บทที่ 18.10 · ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน · Differential (87) & Distance (21)

# รีเลย์ผลต่าง (87) และรีเลย์ระยะทาง (21): เปอร์เซ็นต์ไบแอส Inrush วงกลม Mho และโซนป้องกันสายส่ง

รีเลย์กระแสเกินต้องหน่วงเวลาเพื่อประสาน จึงช้าเมื่อฟอลต์อยู่ใกล้ต้นทาง อุปกรณ์ราคาแพงอย่างหม้อแปลงกำลัง บัส และสายส่งแรงสูงจึงใช้รีเลย์ที่ “รู้ขอบเขต” ของตัวเอง: รีเลย์ผลต่างใช้กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ และรีเลย์ระยะทางใช้กฎของโอห์ม ทั้งสองตัดได้เร็วโดยยังเลือกตัดได้

สรุปใน 30 วินาที

- 87: $I_d = |\sum I|$ ≈ 0 เมื่อฟอลต์อยู่นอกโซน · ตัดเมื่อ $I_d$ เกินเส้นไบแอสที่เพิ่มตาม $I_r$

- หม้อแปลง: ชดเชยอัตราส่วน กลุ่มเวกเตอร์ ตัดลำดับศูนย์ และหน่วงด้วยฮาร์มอนิกที่ 2

- 21: $Z = V/I$ ที่จุดติดตั้ง ∝ ระยะถึงฟอลต์ · ทริปเมื่อ Z อยู่ในวงกลม Mho

- โซน 1 ≈ 80 % ทันที · โซน 2 ≈ 120 % หน่วง 0.3–0.4 s · โซน 3 สำรองไกล

## รีเลย์ผลต่าง: กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ กลาง

D1 Differential (operate) current กระแสผลต่าง

$$I_d = \Big|\sum_k \mathbf I_k\Big| \quad (\text{ทุกกระแสนิยามทิศเข้าโซน}) \qquad \text{สองปลาย: } I_d = |\mathbf I_1 - \mathbf I_2|\ (\mathbf I_2 \text{ ทิศออก})$$

D2 Restraint (bias) current กระแสไบแอส

$$I_r = \frac{|\mathbf I_1| + |\mathbf I_2|}{2}$$

D3 Dual-slope bias characteristic เงื่อนไขทริป

$$I_d > \begin{cases} \max(I_{s1},\ k_1 I_r) & I_r \le I_{s2} \\ k_1 I_{s2} + k_2(I_r - I_{s2}) & I_r > I_{s2} \end{cases}$$

ทำไมต้องไบแอส: แม้ไม่มีฟอลต์ภายใน $I_d$ ไม่เป็นศูนย์จริง เพราะ CT สองชุดคลาดเคลื่อนต่างกัน แทปหม้อแปลงเปลี่ยน และกระแสกระตุ้นแกนเหล็ก ความผิดพลาดเหล่านี้เพิ่มตามกระแสผ่าน (through current) ความชัน k₁ จึงให้ “ที่ว่าง” ตามสัดส่วน ช่วงกระแสสูงมาก CT อาจอิ่มตัว ความชัน k₂ ที่ชันกว่าจึงป้องกันการทริปผิดเมื่อฟอลต์ภายนอกรุนแรง

ตัวอย่าง D-1

### Is1 = 0.2, k1 = 30 %, Is2 = 2, k2 = 80 % (pu ของแทป)

- โหลดผ่านปกติ: $I_1 = 1.0,\ I_2 = 0.92$ → $I_d = 0.08,\ I_r = 0.96$ → ต้องเกิน $\max(0.2, 0.288) = 0.288$ → ไม่ทริป ✓

- ฟอลต์ภายนอกรุนแรง CT อิ่มตัวบางส่วน: $I_1 = 8,\ I_2 = 6.5$ → $I_d = 1.5,\ I_r = 7.25$ → ต้องเกิน $0.6 + 0.8(5.25) = 4.8$ → ไม่ทริป ✓ (ถ้าใช้ความชันเดียว 30 % จะได้ 2.18 ยังไม่ทริป แต่ส่วนเผื่อน้อยลง)

- ฟอลต์ภายใน ป้อนสองด้าน: $I_1 = 3,\ I_2 = -2$ (กระแสด้าน 2 ไหลเข้าโซน) → $I_d = 5,\ I_r = 2.5$ → ต้องเกิน $0.6 + 0.8(0.5) = 1.0$ → ทริป

## เครื่องคำนวณรีเลย์ผลต่าง

## รีเลย์ผลต่างของหม้อแปลง ขั้นสูง

D4 Compensations in transformer differential การชดเชยที่ต้องทำ

$$\mathbf I_{HV}' = \frac{\mathbf I_{HV}}{I_{n,HV}} \qquad \mathbf I_{LV}' = \frac{T_{vg}\,(\mathbf I_{LV} - \mathbf I_0)}{I_{n,LV}} \qquad \frac{I_{2h}}{I_{1h}} > 15\text{–}20\,\% \Rightarrow \text{block}$$

- อัตราส่วน: กระแสสองด้านต่างกันตามอัตราส่วนแรงดัน รีเลย์ดิจิทัลหารด้วยกระแสพิกัดแต่ละด้าน (ไม่ต้องใช้ CT ช่วยปรับเหมือนสมัยก่อน)

- กลุ่มเวกเตอร์: Dyn11 ทำให้กระแสสองด้านต่างเฟส 30° รีเลย์หมุนเฟสด้วยเมทริกซ์ $T_{vg}$ ให้ตรงกัน

- ลำดับศูนย์: ฟอลต์ลงดินภายนอกด้าน yn มีกระแสลำดับศูนย์เฉพาะด้านนั้น (ด้าน D ไม่มี — S9) ต้องลบ $I_0$ ออกก่อน ไม่งั้นทริปผิด

- Inrush: กระแสพุ่งเข้าขณะจ่ายไฟหม้อแปลงมีฮาร์มอนิกที่ 2 สูง (อนุกรมฟูเรียร์ ของคลื่นที่ถูกตัดครึ่ง) ใช้หน่วง · overexcitation มีฮาร์มอนิกที่ 5 สูง

## รีเลย์ระยะทาง (21) ขั้นสูง

D5 Apparent impedance (phase loop) อิมพีแดนซ์ที่รีเลย์เห็น (ลูประหว่างเฟส)

$$\mathbf Z_{bc} = \frac{\mathbf V_b - \mathbf V_c}{\mathbf I_b - \mathbf I_c} = m\,\mathbf Z_{1,line}\quad (m = \text{สัดส่วนระยะถึงฟอลต์})$$

D6 Earth loop with residual compensation ลูปลงดิน

$$\mathbf Z_{a} = \frac{\mathbf V_a}{\mathbf I_a + \mathbf k_0\,3\mathbf I_0} \qquad \mathbf k_0 = \frac{\mathbf Z_0 - \mathbf Z_1}{3\,\mathbf Z_1}$$

D7 Typical zone settings การตั้งโซนโดยทั่วไป

$$Z_1 = 0.8\,Z_L\ (t \approx 0) \qquad Z_2 = 1.2\,Z_L\ (t \approx 0.3\text{–}0.4\ \text{s}) \qquad Z_3 = Z_L + 1.2\,Z_{next}\ (t \approx 0.8\text{–}1\ \text{s})$$

D8 Secondary (relay) impedance แปลงเป็นค่าที่รีเลย์ตั้ง

$$Z_{sec} = Z_{prim}\,\frac{CT_{ratio}}{VT_{ratio}}$$

วงกลม Mho บนระนาบ R-X ผ่านจุดกำเนิด เส้นผ่านศูนย์กลางตามมุมของสาย ทำให้รีเลย์มีทิศทางในตัว (ไม่ทริปฟอลต์ด้านหลัง) โซน 1 ตั้งแค่ 80 % เพราะความคลาดเคลื่อนของ CT VT และพารามิเตอร์สาย ป้องกันไม่ให้มองเลยเข้าไปในสายถัดไป ช่วงปลาย 20 % ใช้โซน 2 หน่วงเวลา หรือใช้การสื่อสารระหว่างสองปลาย (teleprotection) ให้ตัดทันทีทั้งสาย

ตัวอย่าง D-2

### สาย 115 kV ยาว 100 km z₁ = 0.03 + j0.40 Ω/km, CT 600/1, VT 115 kV/110 V

- $Z_L = 3 + j40 = 40.1\angle 85.7^\circ\ \Omega$

- D7: โซน 1 = $0.8 \times 40.1 = 32.1\ \Omega$ ปฐมภูมิ

- D8: $CT/VT = 600/(115{,}000/110) = 0.574$ → ตั้งรีเลย์ $32.1 \times 0.574 = 18.4\ \Omega$ ทุติยภูมิ

- ฟอลต์ที่ 50 km: รีเลย์เห็น $20.05\ \Omega$ ปฐมภูมิ = 11.5 Ω ทุติยภูมิ < 18.4 → ทริปโซน 1 ทันที

- โหลดหนัก 400 A ที่ PF 0.95: $Z = 66{,}400/400 = 166\ \Omega$ ที่มุม 18° — อยู่นอกวงกลม ไม่ทริป (โซน 3 ที่ยาวมากอาจรุกเข้าพื้นที่โหลด จึงต้องมี load encroachment blinder)

## คำถามที่พบบ่อย

รีเลย์ผลต่างทำงานอย่างไร?
วัดกระแสที่ทุกทางเข้าออกของโซนด้วย CT แล้วรวมกันตามกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ ถ้าไม่มีฟอลต์ภายใน กระแสที่เข้าเท่ากับที่ออก ผลรวมเกือบศูนย์ ถ้ามีฟอลต์ภายใน ผลรวมเท่ากับกระแสฟอลต์ รีเลย์จึงตัดได้เร็วมากโดยไม่ต้องประสานเวลากับรีเลย์อื่น เพราะมันมองเห็นเฉพาะโซนของตัวเอง

ทำไมรีเลย์ผลต่างหม้อแปลงต้องหน่วงด้วยฮาร์มอนิกที่ 2?
ตอนจ่ายไฟเข้าหม้อแปลง แกนเหล็กอิ่มตัวชั่วครู่และดึงกระแสพุ่งเข้า (inrush) สูง 8–12 เท่าของพิกัด ไหลเฉพาะด้านที่จ่ายไฟ รีเลย์จึงเห็นเป็นผลต่างเหมือนฟอลต์ภายใน แต่กระแส inrush มีฮาร์มอนิกที่ 2 สูง (มักเกิน 15–20 %) ขณะที่กระแสฟอลต์แทบไม่มี รีเลย์จึงใช้สัดส่วนฮาร์มอนิกที่ 2 แยกสองกรณีนี้

## FAQ

**รีเลย์ผลต่างทำงานอย่างไร?**
วัดกระแสที่ทุกทางเข้าออกของโซนด้วย CT แล้วรวมกันตามกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ ถ้าไม่มีฟอลต์ภายใน กระแสที่เข้าเท่ากับที่ออก ผลรวมเกือบศูนย์ ถ้ามีฟอลต์ภายใน ผลรวมเท่ากับกระแสฟอลต์ รีเลย์จึงตัดได้เร็วมากโดยไม่ต้องประสานเวลากับรีเลย์อื่น เพราะมันมองเห็นเฉพาะโซนของตัวเอง

**ทำไมรีเลย์ผลต่างหม้อแปลงต้องหน่วงด้วยฮาร์มอนิกที่ 2?**
ตอนจ่ายไฟเข้าหม้อแปลง แกนเหล็กอิ่มตัวชั่วครู่และดึงกระแสพุ่งเข้า (inrush) สูง 8–12 เท่าของพิกัด ไหลเฉพาะด้านที่จ่ายไฟ รีเลย์จึงเห็นเป็นผลต่างเหมือนฟอลต์ภายใน แต่กระแส inrush มีฮาร์มอนิกที่ 2 สูง (มักเกิน 15–20 %) ขณะที่กระแสฟอลต์แทบไม่มี รีเลย์จึงใช้สัดส่วนฮาร์มอนิกที่ 2 แยกสองกรณีนี้

---

# การต่อลงดินและการป้องกันไฟดูด: TN-C-S TT IT อิมพีแดนซ์วงรอบ เวลาตัดวงจร RCD และหลักดิน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/earthing-safety/
Updated: 2026-10-13
Summary: ปูพื้นการต่อลงดินสำหรับวิชาการป้องกันและการออกแบบระบบไฟฟ้า: ระบบ TN-S TN-C TN-C-S TT IT ความแตกต่างของสายดินกับสายนิวทรัล วงรอบความผิดพร่อง Zs = Ze + R1 + R2 เงื่อนไขตัดวงจรอัตโนมัติ 0.4 s ความยาวสายสูงสุด แรงดันสัมผัส RCD 30 mA ระบบ TT R_A × IΔn ≤ 50 V ความต้านทานหลักดิน การวัดแบบ fall-of-potential และการต่อประสานศักย์ พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 18.9 · ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน · Earthing Systems & Shock Protection

# การต่อลงดินและการป้องกันไฟดูด: TN-C-S TT IT อิมพีแดนซ์วงรอบ เวลาตัดวงจร RCD และหลักดิน

การต่อลงดินมีสองหน้าที่ที่มักสับสนกัน: (1) ให้ทางกลับที่อิมพีแดนซ์ต่ำแก่กระแสลัดลงดิน เพื่อให้เบรกเกอร์ตัดเร็ว และ (2) ทำให้ทุกอย่างที่คนจับได้อยู่ที่ศักย์ใกล้เคียงกัน หน้านี้เชื่อมทฤษฎีลัดวงจรกับความปลอดภัยของคน ซึ่งเป็นเป้าหมายสุดท้ายของระบบป้องกัน

สรุปใน 30 วินาที

- ตัวอักษรแรก: แหล่งจ่ายต่อดิน (T) หรือแยก (I) · ตัวที่สอง: โครงโลหะต่อดินเอง (T) หรือต่อนิวทรัล (N)

- TN: $I_f = U_0/Z_s$ สูง → เบรกเกอร์ตัดได้ ต้องให้ $Z_s I_a \le U_0$

- TT: กระแสฟอลต์ต่ำ (หลักสิบแอมป์) → ต้องพึ่ง RCD และ $R_A I_{\Delta n} \le 50$ V

- สายยาวขึ้น Zs เพิ่ม → มีความยาวสูงสุดที่ยังตัดทัน

## ระบบการต่อลงดิน TN TT IT พื้นฐาน

| ระบบ | นิวทรัลแหล่งจ่าย | โครงโลหะ | ทางกลับของฟอลต์ | ใช้ที่ไหน |

| TN-S | ต่อดิน | ต่อ PE แยกตลอดทาง | ตัวนำโลหะ (Z ต่ำ) | อาคารที่มีหม้อแปลงเอง |

| TN-C | ต่อดิน | ใช้ PEN ร่วม | ตัวนำโลหะ | ระบบจำหน่ายแรงต่ำ (สายอากาศ) |

| TN-C-S | ต่อดิน | PEN แยกเป็น N + PE ที่ตู้เมน | ตัวนำโลหะ | บ้านและอาคารทั่วไปในไทย |

| TT | ต่อดิน | หลักดินของผู้ใช้เอง | ผ่านดิน (Z สูง) | พื้นที่ชนบท จุดชาร์จรถกลางแจ้ง |

| IT | แยกหรือผ่านอิมพีแดนซ์สูง | ต่อดิน | ฟอลต์แรกกระแสน้อยมาก | โรงพยาบาล (ห้องผ่าตัด) เหมือง กระบวนการที่ห้ามดับ |

E1 TN automatic-disconnection condition เงื่อนไขตัดวงจรอัตโนมัติ (TN)

$$Z_s \times I_a \le U_0 \qquad I_a = \text{กระแสที่ทำให้อุปกรณ์ตัดภายในเวลาที่กำหนด (0.4 s ที่ 230 V)}$$

## อิมพีแดนซ์วงรอบความผิดพร่อง กลาง

E2 Earth-fault loop impedance อิมพีแดนซ์วงรอบ

$$Z_s = Z_e + (R_1 + R_2) \qquad R_1 + R_2 = \rho_\theta\,\ell\left(\frac{1}{A_{L}} + \frac{1}{A_{PE}}\right)$$

E3 Earth-fault current (TN) กระแสลัดลงดิน

$$I_f = \frac{U_0}{Z_s}$$

E4 Prospective touch voltage (TN) แรงดันสัมผัสโดยประมาณ

$$U_t \approx I_f\,R_2 = U_0\,\frac{R_2}{Z_e + R_1 + R_2}$$

E5 Maximum circuit length ความยาวสายสูงสุดที่ยังตัดทัน

$$\ell_{max} = \frac{U_0/I_a - Z_e}{\rho_\theta\left(1/A_L + 1/A_{PE}\right)}$$

ตัวอย่าง E-1

### วงจร MCB C32 สาย 6 mm² + PE 4 mm² ยาว 30 m, Z_e = 0.35 Ω

- E2: $R_1 + R_2 = 0.0206(30)(1/6 + 1/4) = 0.258\ \Omega$ → $Z_s = 0.608\ \Omega$

- E3: $I_f = 230/0.608 = 379$ A · MCB C ต้องการ $10 \times 32 = 320$ A เพื่อตัดทันที ✓

- E4: $U_t \approx 379 \times 0.0206(30)/4 = 58$ V — เกิน 50 V จึงต้องตัดเร็ว (ซึ่งผ่านในข้อ 2)

- E5: $\ell_{max} = (230/320 - 0.35)/[0.0206(1/6+1/4)] = 43$ m — ถ้าไกลกว่านี้ใช้สายใหญ่ขึ้น เปลี่ยนเป็น MCB B หรือเพิ่ม RCD

## เครื่องคำนวณการตัดวงจรอัตโนมัติ (TN-C-S / TT)

## ระบบ TT และ RCD กลาง

E6 TT condition เงื่อนไขระบบ TT

$$R_A\,I_{\Delta n} \le 50\ \text{V} \qquad I_f \approx \frac{U_0}{R_A + R_B}$$

ระบบ TT มี $R_A + R_B$ หลายโอห์ม กระแสฟอลต์จึงแค่ราว 10–50 A เบรกเกอร์ตามปกติไม่ตัดหรือตัดช้ามาก ขณะที่โครงโลหะมีแรงดันเกือบเต็ม 230 V การป้องกันขึ้นกับ RCD ทั้งหมด ข้อดีคือไม่ได้รับผลจากปัญหาสาย PEN ขาดในระบบจำหน่าย จึงใช้กับจุดชาร์จรถกลางแจ้ง (ดูบทความปลอดภัยการชาร์จ EV)

## หลักดินและการวัดค่าดิน กลาง

E7 Single rod electrode (Dwight) หลักดินแท่งเดียว

$$R = \frac{\rho}{2\pi L}\left[\ln\frac{8L}{d} - 1\right]$$

E8 Fall-of-potential method การวัดแบบแรงดันตก (กฎ 62 %)

$$R_E = \frac{V_{EP}}{I_{EC}} \quad \text{เมื่อหลัก P อยู่ที่ } 0.62\,D_{EC}$$

- ต่อหลักกระแส C ห่างจากหลักดิน E ระยะ $D$ อย่างน้อย 5–10 เท่าของความยาวหลักดิน แล้ววัดแรงดันด้วยหลัก P ที่ 62 % ของ D ย้าย P ไป ±10 % ค่าต้องเกือบเท่าเดิม

- หลักดินสองหลักขนานกันห่างไม่น้อยกว่าความยาวหลัก ลดค่าลงเหลือราว 55–60 % ของหลักเดียว (ไม่ใช่ 50 % เพราะเขตอิทธิพลซ้อนกัน)

- มาตรฐาน วสท. กำหนดค่าความต้านทานหลักดินของระบบไฟฟ้าทั่วไปไม่เกิน 5 Ω (มีข้อผ่อนผันตามเงื่อนไขในมาตรฐาน)

- การต่อประสานศักย์ (equipotential bonding): ต่อท่อน้ำโลหะ โครงสร้างเหล็ก และราวโลหะเข้ากับบัสกราวด์ ลดแรงดันระหว่างวัตถุที่มือกับเท้าจับได้พร้อมกัน — สำคัญเท่ากับค่าดินต่ำ

## คำถามที่พบบ่อย

สายดินกับสายนิวทรัลต่างกันอย่างไร?
สายนิวทรัล (N) เป็นสายที่มีกระแสใช้งานไหลกลับตามปกติ สายดิน (PE) ปกติไม่มีกระแส มีไว้ให้กระแสลัดลงดินไหลกลับเมื่อมีความผิดพร่อง เพื่อให้อุปกรณ์ป้องกันตัดวงจรได้เร็วและให้โครงโลหะไม่มีแรงดันอันตราย ในระบบ TN-C-S ทั้งสองต่อถึงกันที่จุดเดียวคือตู้เมน หลังจากนั้นห้ามต่อถึงกันอีก

ทำไมเบรกเกอร์ต้องตัดภายใน 0.4 วินาทีเมื่อลัดลงดิน?
เมื่อโครงโลหะของเครื่องใช้มีแรงดันจากการลัดลงดิน คนที่สัมผัสจะได้รับกระแส มาตรฐาน IEC 60364 กำหนดให้วงจรย่อยที่ไม่เกิน 32 A ในระบบ 230 V แบบ TN ตัดภายใน 0.4 วินาที ซึ่งเป็นเวลาที่แรงดันสัมผัสระดับนั้นยังไม่ทำให้หัวใจเต้นผิดจังหวะ เงื่อนไขนี้บังคับว่าอิมพีแดนซ์วงรอบต้องต่ำพอให้กระแสฟอลต์ถึงค่าตัดทันทีของเบรกเกอร์

## FAQ

**สายดินกับสายนิวทรัลต่างกันอย่างไร?**
สายนิวทรัล (N) เป็นสายที่มีกระแสใช้งานไหลกลับตามปกติ สายดิน (PE) ปกติไม่มีกระแส มีไว้ให้กระแสลัดลงดินไหลกลับเมื่อมีความผิดพร่อง เพื่อให้อุปกรณ์ป้องกันตัดวงจรได้เร็วและให้โครงโลหะไม่มีแรงดันอันตราย ในระบบ TN-C-S ทั้งสองต่อถึงกันที่จุดเดียวคือตู้เมน หลังจากนั้นห้ามต่อถึงกันอีก

**ทำไมเบรกเกอร์ต้องตัดภายใน 0.4 วินาทีเมื่อลัดลงดิน?**
เมื่อโครงโลหะของเครื่องใช้มีแรงดันจากการลัดลงดิน คนที่สัมผัสจะได้รับกระแส มาตรฐาน IEC 60364 กำหนดให้วงจรย่อยที่ไม่เกิน 32 A ในระบบ 230 V แบบ TN ตัดภายใน 0.4 วินาที ซึ่งเป็นเวลาที่แรงดันสัมผัสระดับนั้นยังไม่ทำให้หัวใจเต้นผิดจังหวะ เงื่อนไขนี้บังคับว่าอิมพีแดนซ์วงรอบต้องต่ำพอให้กระแสฟอลต์ถึงค่าตัดทันทีของเบรกเกอร์

---

# คำนวณกระแสลัดวงจร: ลัดวงจรสามเฟสด้วย %Z และวิธี MVA, X/R ค่ายอด และพิกัดตัดกระแสของเบรกเกอร์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/fault-analysis/
Updated: 2026-10-13
Summary: วิธีคำนวณกระแสลัดวงจรระบบแรงต่ำที่ใช้เลือกเบรกเกอร์จริง: กระแสลัดวงจรสามเฟสตาม IEC 60909 ตัวคูณแรงดัน c อิมพีแดนซ์ต้นทางจาก MVA ลัดวงจร หม้อแปลงจาก %Z สายเคเบิล วิธี %Z กับวิธี MVA อัตรา X/R DC offset ค่ายอด i_p = κ√2 I_k ตัวอย่างหม้อแปลง 1,000 kVA 6 % ที่ตู้ MDB และปลายสาย กระแสลัดลงดิน และการเลือก Icu Ics ของเบรกเกอร์ พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 18.5 · ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน · Short-Circuit Calculation

# คำนวณกระแสลัดวงจร: ลัดวงจรสามเฟสด้วย %Z และวิธี MVA, X/R ค่ายอด และพิกัดตัดกระแสของเบรกเกอร์

กระแสลัดวงจรเป็นตัวเลขที่สำคัญที่สุดตัวหนึ่งในงานไฟฟ้า ใช้เลือกพิกัดตัดกระแส (kA) ของเบรกเกอร์ทุกตัว ขนาดบัสบาร์ ขนาดสายให้ทนความร้อนช่วงสั้น และตั้งค่ารีเลย์ หน้านี้ใช้วิธีที่วิศวกรใช้จริง: รวมอิมพีแดนซ์ตั้งแต่ต้นทางถึงจุดเกิดเหตุ แล้วหารแรงดันด้วยอิมพีแดนซ์

สรุปใน 30 วินาที

- $I_k'' = c\,U_n/(\sqrt3\,|Z_k|)$ โดย $Z_k$ = ต้นทาง + หม้อแปลง + สาย (อ้างอิงแรงดันเดียวกัน)

- หม้อแปลงอย่างเดียว: $I_k \approx I_n/Z_{pu}$ → 1,000 kVA 6 % ≈ 24 kA

- ค่ายอดแรก $i_p = \kappa\sqrt2\,I_k''$, $\kappa = 1.02 + 0.98e^{-3R/X}$

- เบรกเกอร์ต้องมี Icu (และควร Ics) ≥ กระแสลัดวงจรสูงสุด ณ จุดติดตั้ง

## วิธีอิมพีแดนซ์ (%Z / โอห์ม) ตาม IEC 60909 กลาง

หลักการ: ที่จุดลัดวงจรวางแหล่งจ่ายเทียบเท่า $cU_n/\sqrt3$ แล้วหารด้วยอิมพีแดนซ์ลำดับบวกรวมจากทุกแหล่งถึงจุดนั้น ทุกค่าต้องอ้างอิงที่แรงดันเดียวกัน (ปกติคือแรงดันที่จุดเกิดเหตุ) ตัวคูณ $c$ ชดเชยแรงดันจริงที่อาจสูงกว่าพิกัด ($c_{max} = 1.05$ สำหรับแรงต่ำ, 1.10 สำหรับแรงสูง)

F1 Initial symmetrical short-circuit current กระแสลัดวงจรสามเฟสเริ่มต้น

$$I_k'' = \frac{c\,U_n}{\sqrt3\,|Z_k|} \qquad Z_k = Z_Q + Z_T + Z_L$$

F2 Network (source) impedance อิมพีแดนซ์ต้นทางจากกำลังลัดวงจร

$$Z_Q = \frac{c\,U_n^2}{S_{kQ}''} \quad (\text{อ้างอิงแรงดัน } U_n)$$

F3 Transformer impedance อิมพีแดนซ์หม้อแปลง

$$Z_T = \frac{u_k}{100}\,\frac{U_{rT}^2}{S_{rT}} \qquad I_k \approx \frac{I_{rT}}{u_k/100}\ \ (\text{ต้นทางแข็งแรงมาก})$$

F4 Cable impedance อิมพีแดนซ์สายเคเบิล

$$Z_L = \frac{1}{n}\left(\frac{\rho\,\ell}{A} + j\,x'\ell\right) \qquad \rho_{Cu,20^\circ} = 0.018\ \Omega\,\text{mm}^2/\text{m},\ x' \approx 0.08\ \text{m}\Omega/\text{m}$$

ตัวอย่าง F-1

### ระบบ 22 kV (500 MVA) → หม้อแปลง 1,000 kVA 6 % → MDB 400 V → สาย 2 × 240 mm² ยาว 30 m

- F2 (อ้างอิง 400 V): $Z_Q = 1.05 \times 400^2/500\text{e}6 = 0.336\ \text{m}\Omega$ (X/R = 10)

- F3: $Z_T = 0.06 \times 400^2/1\text{e}6 = 9.60\ \text{m}\Omega$ X/R = 6 → $R_T = 1.58,\ X_T = 9.47\ \text{m}\Omega$

- ที่ MDB: $R = 1.61,\ X = 9.80\ \text{m}\Omega$ → $|Z| = 9.93\ \text{m}\Omega$ → F1: $I_k'' = 1.05 \times 400/(\sqrt3 \times 9.93\text{e-}3) = 24.4$ kA

- F4 สาย: $R_L = 0.018(30)/240/2 = 1.13\ \text{m}\Omega$ · $X_L = 0.08(30)/2 = 1.20\ \text{m}\Omega$ → ปลายสาย $|Z| = \sqrt{2.74^2 + 11.0^2} = 11.3\ \text{m}\Omega$ → 21.4 kA

- สาย 30 m ลดกระแสได้เพียง 12 % — ตู้ย่อยที่อยู่ใกล้ MDB ยังต้องใช้เบรกเกอร์พิกัดสูง

## วิธี MVA: คิดในใจได้ พื้นฐาน

F7 MVA method วิธี MVA (ต่ออนุกรมรวมแบบส่วนกลับ ขนานรวมแบบบวก)

$$S_{sc,i} = \frac{S_{r,i}}{Z_{pu,i}} \qquad \frac{1}{S_{sc,series}} = \sum_i \frac{1}{S_{sc,i}} \qquad S_{sc,parallel} = \sum_i S_{sc,i} \qquad I_k = \frac{S_{sc}}{\sqrt3\,U_n}$$

ตัวอย่าง F-2

### ตรวจตัวอย่าง F-1 ด้วยวิธี MVA

- หม้อแปลง: $1/0.06 = 16.67$ MVA · ต้นทาง 500 MVA

- อนุกรม: $1/(1/500 + 1/16.67) = 16.13$ MVA → $I_k = 16.13\text{e}6/(\sqrt3 \times 400) = 23.3$ kA

- ต่างจาก F-1 (24.4 kA) ราว 5 % เพราะวิธี MVA ไม่คิดตัวคูณ c และรวมขนาดโดยไม่สนมุม — ใช้ตรวจคำตอบเร็ว ๆ ได้ดี

- มอเตอร์ 200 kW ในโรงงานช่วยป้อนกระแสช่วงแรก ≈ 5–6 เท่าของพิกัดของมันเอง ($S_{sc} \approx 5.5 \times 0.25 = 1.4$ MVA ขนานเข้าไป) — IEC 60909 ให้รวมด้วย

## X/R, DC offset และค่ายอด กลาง

F9 Asymmetrical fault current กระแสลัดวงจรไม่สมมาตร

$$i(t) = \sqrt2\,I_k''\left[\sin(\omega t + \alpha - \theta) - \sin(\alpha - \theta)\,e^{-t/\tau}\right] \qquad \tau = \frac{X}{\omega R}$$

F5 Peak factor κ ตัวคูณค่ายอด (IEC 60909)

$$\kappa = 1.02 + 0.98\,e^{-3R/X}$$

F6 Peak short-circuit current ค่ายอดกระแสลัดวงจร

$$i_p = \kappa\,\sqrt2\,I_k''$$

เทอม DC มาจากความจริงที่ว่ากระแสในตัวเหนี่ยวนำเปลี่ยนทันทีไม่ได้ (เหมือน ระบบอันดับหนึ่ง) ถ้าลัดวงจรเกิดขณะ $\alpha - \theta = -90^\circ$ เทอม DC ใหญ่สุด X/R ยิ่งสูง τ ยิ่งยาว ยอดแรกยิ่งใกล้ $2\sqrt2 I_k''$

ตัวอย่าง F-3

### ค่ายอดที่ MDB (X/R = 6.08)

- F5: $\kappa = 1.02 + 0.98e^{-3/6.08} = 1.02 + 0.98(0.611) = 1.62$

- F6: $i_p = 1.62 \times \sqrt2 \times 24.4 = 55.9$ kA — ค่ายอดนี้กำหนดความแข็งแรงทางกลของบัสบาร์และพิกัด making capacity (Icm) ของเบรกเกอร์

- τ = $6.08/314.16 = 19$ ms — เทอม DC หายไปเกือบหมดภายในราว 3τ ≈ 60 ms

## เครื่องคำนวณกระแสลัดวงจร

## นำไปใช้: เลือกพิกัดเบรกเกอร์และตรวจสาย กลาง

F8 Breaker duty check เงื่อนไขพิกัดเบรกเกอร์

$$I_{cu}\ (\text{และควร } I_{cs}) \ge I_{k,max}'' \qquad I_{cm} \ge i_p \qquad k^2S^2 \ge I^2t\ \ (\text{สายทนความร้อน})$$

- ค่าสูงสุด (c = 1.05, สายเย็น 20 °C, มอเตอร์ทุกตัวทำงาน) ใช้เลือกพิกัดตัดกระแสและความแข็งแรง

- ค่าต่ำสุด (c = 0.95, สายร้อน, ลัดลงดินที่ปลายสาย) ใช้ตรวจว่าอุปกรณ์ป้องกัน ตัดทัน — เชื่อมกับ การตัดวงจรอัตโนมัติ

- เงื่อนไขความร้อนของสาย $I^2t \le k^2S^2$ (k ≈ 115 สำหรับทองแดง PVC) — ตรวจว่าสายไม่เสียหายก่อนอุปกรณ์ตัด

- การป้องกันแบบ cascading/back-up: เบรกเกอร์ต้นทางช่วยจำกัดกระแสให้เบรกเกอร์ปลายทางที่พิกัดต่ำกว่าได้ เฉพาะคู่ที่ผู้ผลิตรับรอง

## คำถามที่พบบ่อย

กระแสลัดวงจรของหม้อแปลงคำนวณเร็ว ๆ อย่างไร?
ถ้าต้นทางแข็งแรงมาก กระแสลัดวงจรสามเฟสที่ขั้วแรงต่ำประมาณเท่ากับกระแสพิกัดหารด้วย Z ในหน่วย pu เช่น หม้อแปลง 1,000 kVA 400 V มีกระแสพิกัด 1,443 A ถ้า %Z = 6 % กระแสลัดวงจรประมาณ 1,443/0.06 = 24 kA ค่าจริงต่ำกว่านี้เล็กน้อยเพราะต้นทางมีอิมพีแดนซ์ และสูงขึ้นถ้ามีมอเตอร์ช่วยป้อนกระแส

Icu กับ Ics ของเบรกเกอร์ต่างกันอย่างไร?
Icu (ultimate breaking capacity) คือกระแสลัดวงจรสูงสุดที่เบรกเกอร์ตัดได้โดยไม่ระเบิด แต่อาจใช้ต่อไม่ได้ Ics (service breaking capacity) คือกระแสที่ตัดได้แล้วยังใช้งานต่อได้ตามปกติ เป็นเปอร์เซ็นต์ของ Icu เช่น 50 75 หรือ 100 % จุดที่สำคัญควรเลือกให้ Ics ไม่น้อยกว่ากระแสลัดวงจรที่คำนวณได้

ทำไมกระแสลัดวงจรช่วงแรกสูงกว่าค่าสมมาตร?
เพราะวงจรมีตัวเหนี่ยวนำ กระแสเปลี่ยนทันทีไม่ได้ ถ้าลัดวงจรเกิดขณะแรงดันผ่านศูนย์ กระแสจะมีส่วน DC ซ้อนอยู่และลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลด้วยค่าคงที่เวลา L/R ยอดแรกจึงสูงได้เกือบสองเท่าของค่ายอดสมมาตรเมื่อ X/R สูง เบรกเกอร์ต้องทนแรงแม่เหล็กไฟฟ้าจากค่ายอดนี้

## FAQ

**กระแสลัดวงจรของหม้อแปลงคำนวณเร็ว ๆ อย่างไร?**
ถ้าต้นทางแข็งแรงมาก กระแสลัดวงจรสามเฟสที่ขั้วแรงต่ำประมาณเท่ากับกระแสพิกัดหารด้วย Z ในหน่วย pu เช่น หม้อแปลง 1,000 kVA 400 V มีกระแสพิกัด 1,443 A ถ้า %Z = 6 % กระแสลัดวงจรประมาณ 1,443/0.06 = 24 kA ค่าจริงต่ำกว่านี้เล็กน้อยเพราะต้นทางมีอิมพีแดนซ์ และสูงขึ้นถ้ามีมอเตอร์ช่วยป้อนกระแส

**Icu กับ Ics ของเบรกเกอร์ต่างกันอย่างไร?**
Icu (ultimate breaking capacity) คือกระแสลัดวงจรสูงสุดที่เบรกเกอร์ตัดได้โดยไม่ระเบิด แต่อาจใช้ต่อไม่ได้ Ics (service breaking capacity) คือกระแสที่ตัดได้แล้วยังใช้งานต่อได้ตามปกติ เป็นเปอร์เซ็นต์ของ Icu เช่น 50 75 หรือ 100 % จุดที่สำคัญควรเลือกให้ Ics ไม่น้อยกว่ากระแสลัดวงจรที่คำนวณได้

**ทำไมกระแสลัดวงจรช่วงแรกสูงกว่าค่าสมมาตร?**
เพราะวงจรมีตัวเหนี่ยวนำ กระแสเปลี่ยนทันทีไม่ได้ ถ้าลัดวงจรเกิดขณะแรงดันผ่านศูนย์ กระแสจะมีส่วน DC ซ้อนอยู่และลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลด้วยค่าคงที่เวลา L/R ยอดแรกจึงสูงได้เกือบสองเท่าของค่ายอดสมมาตรเมื่อ X/R สูง เบรกเกอร์ต้องทนแรงแม่เหล็กไฟฟ้าจากค่ายอดนี้

---

# รีเลย์กระแสเกินและการประสานการป้องกัน: กราฟ IDMT, TMS, CTI, ฟิวส์ และเบรกเกอร์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/overcurrent-coordination/
Updated: 2026-10-13
Summary: ตั้งค่ารีเลย์กระแสเกิน 50/51 และประสานการป้องกันแบบที่วิศวกรทำจริง: กราฟ IEC 60255 Standard Inverse Very Inverse Extremely Inverse Long-time Inverse และ Definite Time การตั้ง pickup จากกระแสโหลดและกระแสฟอลต์ต่ำสุด plug setting multiplier TMS ช่วงเวลาประสาน CTI ส่วนประกอบของ CTI ค่าทันที 50 การประสานรีเลย์–ฟิวส์–เบรกเกอร์ MCB กราฟ B C D ตัวอย่างประสาน 3 ระดับ พร้อมแล็บกราฟ TCC log-log

// บทที่ 18.8 · ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน · Overcurrent Protection & Coordination

# รีเลย์กระแสเกินและการประสานการป้องกัน: กราฟ IDMT, TMS, CTI, ฟิวส์ และเบรกเกอร์

รีเลย์กระแสเกินคือการป้องกันที่พบมากที่สุดในระบบจำหน่ายและโรงงาน หลักง่ายมาก — กระแสยิ่งมากยิ่งตัดเร็ว — แต่ศิลปะอยู่ที่การประสาน: รีเลย์ที่ใกล้ฟอลต์ที่สุดต้องตัดก่อนเสมอ และรีเลย์ต้นทางต้องรอพอดี ๆ เพื่อเป็นสำรอง หน้านี้ตั้งค่ารีเลย์สามระดับทีละขั้น แล้วให้คุณลองเองบนกราฟ TCC

สรุปใน 30 วินาที

- $t = TMS\cdot k/((I/I_s)^\alpha - 1)$ · SI (0.14, 0.02) · VI (13.5, 1) · EI (80, 2)

- Pickup: เหนือกระแสโหลดสูงสุด 1.2–1.5 เท่า ต่ำกว่ากระแสฟอลต์ต่ำสุด 1.5 เท่า

- CTI ≈ 0.2–0.4 s ที่กระแสฟอลต์สูงสุดที่ทั้งคู่มองเห็น

- ค่าทันที (50) ตั้งเหนือกระแสฟอลต์สูงสุดที่บัสปลายทาง เพื่อไม่ตัดแทนตัวปลายทาง

## กราฟเวลาผกผัน IDMT ตาม IEC 60255-151 พื้นฐาน

R2 IEC inverse-time characteristic สมการเวลาทำงาน

$$t = TMS \cdot \frac{k}{\left(I/I_s\right)^{\alpha} - 1}$$

R3 Curve constants ค่าคงที่ของกราฟมาตรฐาน

$$\text{SI: } (0.14,\ 0.02) \quad \text{VI: } (13.5,\ 1) \quad \text{EI: } (80,\ 2) \quad \text{LTI: } (120,\ 1)$$

R4 Plug setting multiplier ตัวคูณกระแส

$$PSM = \frac{I_{fault}}{I_s} = \frac{I_{fault}}{CT_{ratio}\times PS}$$

กราฟ SI แทบแบนเมื่อ PSM เกิน 10 (เวลาเปลี่ยนน้อย) ส่วน EI ชันมาก: เวลาลดลงตามกำลังสองของกระแส คล้ายกราฟการหลอมของฟิวส์ ($I^2t$ คงที่) จึงประสานกับฟิวส์ได้ดี

ตัวอย่าง R-1

### CT 400/5 PS 1.0 TMS 0.1 SI กระแสฟอลต์ 6,000 A

- R4: $I_s = 400$ A → $PSM = 15$

- R2: $t = 0.1 \times 0.14/(15^{0.02} - 1) = 0.014/0.0557 = 0.25$ s

- ถ้าเป็น EI: $t = 0.1 \times 80/(15^2 - 1) = 8/224 = 0.036$ s — เร็วกว่ามากที่กระแสสูง

## ตั้งค่า pickup และค่าทันที กลาง

R1 Pickup setting กระแสตั้ง

$$1.2\text{–}1.5\,I_{load,max} \;\le\; I_s \;\le\; \frac{I_{fault,min,end\ of\ backup\ zone}}{1.5}$$

R7 Instantaneous (50) setting ค่าตั้งทันที

$$I_{>>} \ge 1.25\text{–}1.3 \times I_{fault,max}\ \text{at the next downstream bus}$$

ค่าทันทีช่วยตัดฟอลต์ใกล้ตัวรีเลย์ (กระแสสูงมาก) โดยไม่ต้องรอกราฟ แต่ต้องไม่เห็นฟอลต์ในโซนถัดไป สำหรับรีเลย์ที่ต้นทางหม้อแปลง ให้ตั้งเหนือกระแสลัดวงจรที่ฝั่งแรงต่ำ (อ้างอิงฝั่งแรงสูง) และเหนือ inrush ของหม้อแปลง (≈ 8–12 เท่าพิกัด ช่วง 0.1 s)

## ช่วงเวลาประสาน (CTI) และการประสาน 3 ระดับ กลาง

R5 Coordination time interval ช่วงเวลาประสาน

$$t_{upstream}(I_{f}) - t_{downstream}(I_{f}) \ge CTI = t_{CB} + t_{overshoot} + t_{errors} + t_{safety} \approx 0.2\text{–}0.4\ \text{s}$$

R6 Required TMS TMS ที่ต้องการเพื่อได้ CTI

$$TMS_{req} = \frac{\left(t_{down} + CTI\right)\left[(I_f/I_s)^{\alpha} - 1\right]}{k} \quad (\text{ปัดขึ้นเป็นขั้นที่รีเลย์ตั้งได้})$$

ตัวอย่าง R-2

### รีเลย์ 3 ระดับ SI ทั้งหมด ฟอลต์สูงสุดที่บัสปลายทาง 10 kA CTI 0.3 s

- R1 (ป้อนโหลด): $I_s = 200$ A, TMS 0.1 → PSM 50 → $t_1 = 0.1(0.14)/(50^{0.02}-1) = 0.172$ s

- R2 (เมนแรงต่ำ): $I_s = 600$ A → PSM 16.67 → ต่อ TMS 1: $0.14/(16.67^{0.02}-1) = 2.419$ s · R6: $TMS = (0.172+0.3)/2.419 = 0.195$ → ตั้ง 0.20 → $t_2 = 0.484$ s

- R3 (ต้นทาง): $I_s = 1200$ A → PSM 8.33 → ต่อ TMS 1: 3.232 s · $TMS = (0.484+0.3)/3.232 = 0.243$ → ตั้ง 0.25 → $t_3 = 0.808$ s

- ตรวจ CTI: $0.484 - 0.172 = 0.31$ ✓ · $0.808 - 0.484 = 0.32$ ✓ — ราคาของการเลือกตัด: ฟอลต์ใกล้ต้นทางใช้เวลาเกือบ 1 วินาที จึงมักเพิ่มค่าทันที (R7) ให้ R3

## แล็บกราฟ TCC: ลองประสานรีเลย์เอง

ค่าตั้งต้นคือตัวอย่าง R-2 ลองเปลี่ยน R1 เป็น EI แล้วดูว่า CTI ที่กระแสต่ำเสียไปหรือไม่ ลองตั้งค่าทันทีให้ R3 (เช่น 15,000 A) หรือกดปุ่มคำนวณ TMS อัตโนมัติ เส้นสีแดงแนวตั้งคือกระแสฟอลต์ที่ใช้ตรวจ

## ฟิวส์และเบรกเกอร์แรงต่ำในการประสาน พื้นฐาน

R8 MCB instantaneous (magnetic) trip bands ช่วงตัดทันทีของ MCB (IEC 60898)

$$\text{B: } 3\text{–}5\,I_n \qquad \text{C: } 5\text{–}10\,I_n \qquad \text{D: } 10\text{–}20\,I_n$$

| อุปกรณ์ | ลักษณะกราฟ | ข้อควรรู้ในการประสาน |

| ฟิวส์ HRC (gG) | ชันแบบ $I^2t$ คงที่ จำกัดกระแสได้ | ประสานฟิวส์ต่อฟิวส์ด้วยอัตราส่วนพิกัด ≈ 1.6:1 ขึ้นไป |

| MCB B / C / D | ส่วนความร้อน (bimetal) + ส่วนแม่เหล็ก (ทันที) | ในช่วงทันทีประสานด้วยเวลาไม่ได้ ต้องใช้ระดับกระแสหรือตารางของผู้ผลิต |

| MCCB / ACB electronic trip | LSI: Long (L) Short (S) Instantaneous (I) ปรับได้ | ตั้งช่วง S หน่วงเวลา 0.1–0.4 s เพื่อประสานกับตัวปลายทาง |

| รีโคลสเซอร์ (ระบบจำหน่าย) | กราฟเร็วและช้า ต่อกลับหลายครั้ง | “fuse saving”: ตัดเร็วก่อนฟิวส์ขาด ถ้าฟอลต์ยังอยู่ปล่อยให้ฟิวส์ขาด |

การประสานกับ MCB ปลายทางใช้หลักเดียวกัน: ที่กระแสฟอลต์สูงสุด ณ ตำแหน่ง MCB เส้นของอุปกรณ์ต้นทางต้องอยู่สูงกว่าเส้นบนสุดของ MCB (เวลาตัดรวม clearing) อย่างน้อย CTI ที่เหมาะกับชนิดอุปกรณ์

## คำถามที่พบบ่อย

CTI (Coordination Time Interval) ควรตั้งเท่าไร?
โดยทั่วไป 0.3–0.4 วินาทีสำหรับรีเลย์แบบกลไก และ 0.2–0.3 วินาทีสำหรับรีเลย์ดิจิทัลกับเบรกเกอร์สุญญากาศ CTI ต้องครอบคลุมเวลาเปิดของเบรกเกอร์ปลายทาง ความคลาดเคลื่อนของรีเลย์ทั้งสองตัว ความคลาดเคลื่อนของ CT overshoot และส่วนเผื่อความปลอดภัย

เลือกกราฟ SI VI EI อย่างไร?
เลือกตามว่ากระแสฟอลต์เปลี่ยนตามตำแหน่งมากแค่ไหน ระบบที่อิมพีแดนซ์ต้นทางเล็กเทียบกับสาย กระแสฟอลต์ลดลงมากเมื่อไกลออกไป ใช้ Very Inverse หรือ Extremely Inverse เพื่อให้แยกเวลาได้ดี EI ยังประสานกับฟิวส์และทนกระแสพุ่งเข้าของโหลดเย็น (cold load pickup) ได้ดี ระบบที่กระแสฟอลต์แทบไม่เปลี่ยน ใช้ Standard Inverse หรือ Definite Time

TMS คืออะไร?
Time Multiplier Setting คือตัวคูณที่เลื่อนกราฟเวลาขึ้นลงทั้งเส้น โดยไม่เปลี่ยนรูปร่าง TMS 0.1 ให้เวลาทำงานเป็นหนึ่งในสิบของ TMS 1.0 ที่กระแสเท่ากัน ใช้ปรับให้รีเลย์ต้นทางช้ากว่ารีเลย์ปลายทางตามช่วงเวลาประสาน

## FAQ

**CTI (Coordination Time Interval) ควรตั้งเท่าไร?**
โดยทั่วไป 0.3–0.4 วินาทีสำหรับรีเลย์แบบกลไก และ 0.2–0.3 วินาทีสำหรับรีเลย์ดิจิทัลกับเบรกเกอร์สุญญากาศ CTI ต้องครอบคลุมเวลาเปิดของเบรกเกอร์ปลายทาง ความคลาดเคลื่อนของรีเลย์ทั้งสองตัว ความคลาดเคลื่อนของ CT overshoot และส่วนเผื่อความปลอดภัย

**เลือกกราฟ SI VI EI อย่างไร?**
เลือกตามว่ากระแสฟอลต์เปลี่ยนตามตำแหน่งมากแค่ไหน ระบบที่อิมพีแดนซ์ต้นทางเล็กเทียบกับสาย กระแสฟอลต์ลดลงมากเมื่อไกลออกไป ใช้ Very Inverse หรือ Extremely Inverse เพื่อให้แยกเวลาได้ดี EI ยังประสานกับฟิวส์และทนกระแสพุ่งเข้าของโหลดเย็น (cold load pickup) ได้ดี ระบบที่กระแสฟอลต์แทบไม่เปลี่ยน ใช้ Standard Inverse หรือ Definite Time

**TMS คืออะไร?**
Time Multiplier Setting คือตัวคูณที่เลื่อนกราฟเวลาขึ้นลงทั้งเส้น โดยไม่เปลี่ยนรูปร่าง TMS 0.1 ให้เวลาทำงานเป็นหนึ่งในสิบของ TMS 1.0 ที่กระแสเท่ากัน ใช้ปรับให้รีเลย์ต้นทางช้ากว่ารีเลย์ปลายทางตามช่วงเวลาประสาน

---

# ระบบต่อหน่วย (Per-Unit System): ค่าฐาน การเปลี่ยนฐาน หม้อแปลง และไดอะแกรมอิมพีแดนซ์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/per-unit/
Updated: 2026-10-13
Summary: เรียนระบบต่อหน่วยให้เข้าใจจริง: ทำไมวิศวกรระบบไฟฟ้าใช้ pu เลือก S_base V_base คำนวณ Z_base = V²/S และ I_base = S/(√3V) การเปลี่ยนฐานอิมพีแดนซ์จากดาต้าชีต %Z หม้อแปลงมีค่า pu เท่ากันทั้งสองด้าน ตัวอย่างระบบเครื่องกำเนิด หม้อแปลง สายส่ง 138 kV และการหากระแสลัดวงจรด้วย pu พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 18.3 · ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน · Per-Unit System

# ระบบต่อหน่วย (Per-Unit System): ค่าฐาน การเปลี่ยนฐาน หม้อแปลง และไดอะแกรมอิมพีแดนซ์

ระบบไฟฟ้าจริงมีแรงดันหลายระดับต่อกันด้วยหม้อแปลง ถ้าคิดเป็นโวลต์และโอห์ม ต้องแปลงค่าข้ามหม้อแปลงทุกครั้ง ระบบต่อหน่วยแก้ปัญหานี้ด้วยการหารทุกค่าด้วย “ค่าฐาน” ที่เลือกอย่างฉลาด ผลคือหม้อแปลงอุดมคติหายไป และค่าทุกตัวอยู่ในช่วงที่ตรวจด้วยสามัญสำนึกได้

สรุปใน 30 วินาที

- ค่า pu = ค่าจริง ÷ ค่าฐาน · เลือก S_base (ทั้งระบบ) และ V_base (ต่อโซนแรงดัน)

- $Z_{base} = V_{base}^2/S_{base}$ · $I_{base} = S_{base}/(\sqrt3 V_{base})$ (ค่าสามเฟส แรงดันสาย)

- เปลี่ยนฐาน: $Z_{new} = Z_{old}(S_{new}/S_{old})(V_{old}/V_{new})^2$

- V_base ข้ามหม้อแปลงตามอัตราส่วนรอบ → หม้อแปลงเหลือแค่ $Z_{pu}$

## ทำไมต้องใช้ per-unit พื้นฐาน

- หม้อแปลงหายไป จากวงจรเมื่อเลือกฐานถูก (เหลือแค่อิมพีแดนซ์รั่ว)

- ค่าอยู่ในช่วงแคบ: หม้อแปลง 0.04–0.15 pu เครื่องกำเนิด $X_d''$ 0.12–0.25 pu แรงดันปกติ 0.95–1.05 pu — ตัวเลขแปลกตาแปลว่าคำนวณผิด

- ดาต้าชีตให้ค่าเป็น % หรือ pu อยู่แล้ว (%Z ของหม้อแปลง $X_d''$ ของเครื่องกำเนิด)

- ไม่มี √3 กวนใจ: ในระบบสามเฟสสมดุล ค่า pu ของแรงดันสายเท่ากับแรงดันเฟส และกำลังสามเฟสเท่ากับกำลังต่อเฟส

## ค่าฐานและค่าต่อหน่วย พื้นฐาน

U1 Per-unit value ค่าต่อหน่วย

$$x_{pu} = \frac{x_{actual}}{x_{base}} \qquad \%x = 100\,x_{pu}$$

U2 Base impedance อิมพีแดนซ์ฐาน (S สามเฟส, V แรงดันสาย)

$$Z_{base} = \frac{V_{base,LL}^2}{S_{base,3\varphi}} \qquad (\text{kV}^2/\text{MVA} = \Omega)$$

U3 Base current กระแสฐาน

$$I_{base} = \frac{S_{base,3\varphi}}{\sqrt3\,V_{base,LL}}$$

ตัวอย่าง U-1

### ฐาน 100 MVA 22 kV

- U2: $Z_{base} = 22^2/100 = 4.84\ \Omega$ · U3: $I_{base} = 100\text{e}6/(\sqrt3 \cdot 22\text{e}3) = 2{,}624$ A

- สาย $Z = 4.84\ \Omega$ → 1.0 pu · กระแส 1,000 A → 0.381 pu · แรงดัน 21.5 kV → 0.977 pu

## เปลี่ยนฐานอิมพีแดนซ์ กลาง

U5 Change of base เปลี่ยนฐานอิมพีแดนซ์

$$Z_{pu,new} = Z_{pu,old}\,\frac{S_{base,new}}{S_{base,old}}\left(\frac{V_{base,old}}{V_{base,new}}\right)^2$$

ที่มา: ค่าโอห์มจริงต้องเท่าเดิม $Z_{pu,old}Z_{base,old} = Z_{pu,new}Z_{base,new}$ แทน U2 ได้ U5 ทันที

ตัวอย่าง U-2

### หม้อแปลง 1 MVA 22 kV %Z = 6 % บนฐานระบบ 100 MVA

- U5: $0.06 \times (100/1) \times 1^2 = 6.0$ pu

- ตรวจเป็นโอห์ม: ฐานเดิม $0.06 \times 22^2/1 = 29.04\ \Omega$ · ฐานใหม่ $6 \times 4.84 = 29.04\ \Omega$ ✓

- ค่า 6 pu ดูใหญ่ แต่สมเหตุสมผล: หม้อแปลงเล็กมากเทียบกับฐาน 100 MVA จึง “แข็ง” น้อย (จำกัดกระแสได้มาก)

## ทำไมหม้อแปลงหายไปจากวงจร pu กลาง

U4 Voltage bases across a transformer ฐานแรงดันสองด้านของหม้อแปลง

$$\frac{V_{base,HV}}{V_{base,LV}} = \frac{V_{rated,HV}}{V_{rated,LV}} \quad\Rightarrow\quad \frac{Z_{base,HV}}{Z_{base,LV}} = \left(\frac{V_{HV}}{V_{LV}}\right)^2$$

U6 Transformer impedance is the same in pu on both sides ค่า pu เท่ากันสองด้าน

$$Z_{\Omega,HV} = a^2 Z_{\Omega,LV} \ \text{และ}\ Z_{base,HV} = a^2 Z_{base,LV} \;\Rightarrow\; Z_{pu,HV} = Z_{pu,LV}$$

ตัวอย่าง U-3

### หม้อแปลง 1 MVA 22/0.4 kV Z = 6 %

- ด้านแรงสูง: $0.06 \times 22^2/1 = 29.04\ \Omega$ · ด้านแรงต่ำ: $0.06 \times 0.4^2/1 = 9.6\ \text{m}\Omega$

- อัตราส่วน $29.04/0.0096 = 3025 = (22/0.4)^2$ ✓ — โอห์มต่างกัน 3,025 เท่า แต่ pu = 0.06 เท่ากัน

## ตัวอย่างระบบเต็ม: เครื่องกำเนิด–หม้อแปลง–สายส่ง–หม้อแปลง กลาง

ตัวอย่าง U-4

### ลัดวงจรสามเฟสที่บัส F (แรงดันก่อนเกิดเหตุ 1.0 pu)

- อุปกรณ์มีพิกัดตรงฐานทุกตัว ใช้ค่าเดิม: G 0.20 · T1 0.10 · T2 0.10

- สายส่ง: $Z_{base} = 138^2/100 = 190.44\ \Omega$ → $j50/190.44 = j0.2626$ pu

- รวม $X = 0.20 + 0.10 + 0.2626 + 0.10 = 0.6626$ pu → $I_f = 1/0.6626 = 1.509$ pu

- U3 ที่ 13.8 kV: $I_{base} = 100\text{e}6/(\sqrt3 \cdot 13.8\text{e}3) = 4{,}184$ A → $I_f = 1.509 \times 4184 = 6.31$ kA

- ในสายส่ง (ฐาน 138 kV, $I_{base} = 418.4$ A): กระแสเดียวกัน 1.509 pu = 631 A — pu ไม่สนว่าอยู่ด้านไหนของหม้อแปลง

## เครื่องคำนวณ per-unit และเปลี่ยนฐาน

## คำถามที่พบบ่อย

%Z ของหม้อแปลงกับค่า pu ต่างกันอย่างไร?
เป็นค่าเดียวกันคนละหน่วย %Z = 6 % หมายถึง Z = 0.06 pu บนฐานพิกัดของหม้อแปลงเอง (S_base = พิกัด kVA, V_base = แรงดันพิกัด) ก่อนนำไปรวมกับอุปกรณ์อื่นต้องเปลี่ยนฐานให้ใช้ S_base เดียวกันทั้งระบบ

ทำไมค่า pu ของหม้อแปลงเท่ากันทั้งด้านแรงสูงและแรงต่ำ?
เพราะเลือก V_base สองด้านตามอัตราส่วนรอบของหม้อแปลง ค่าโอห์มเมื่อสะท้อนข้ามหม้อแปลงคูณด้วยอัตราส่วนกำลังสอง และ Z_base ก็เปลี่ยนด้วยอัตราส่วนกำลังสองเท่ากัน ค่าที่หารกันจึงเท่าเดิม หม้อแปลงอุดมคติจึงหายไปจากวงจร pu

## FAQ

**%Z ของหม้อแปลงกับค่า pu ต่างกันอย่างไร?**
เป็นค่าเดียวกันคนละหน่วย %Z = 6 % หมายถึง Z = 0.06 pu บนฐานพิกัดของหม้อแปลงเอง (S_base = พิกัด kVA, V_base = แรงดันพิกัด) ก่อนนำไปรวมกับอุปกรณ์อื่นต้องเปลี่ยนฐานให้ใช้ S_base เดียวกันทั้งระบบ

**ทำไมค่า pu ของหม้อแปลงเท่ากันทั้งด้านแรงสูงและแรงต่ำ?**
เพราะเลือก V_base สองด้านตามอัตราส่วนรอบของหม้อแปลง ค่าโอห์มเมื่อสะท้อนข้ามหม้อแปลงคูณด้วยอัตราส่วนกำลังสอง และ Z_base ก็เปลี่ยนด้วยอัตราส่วนกำลังสองเท่ากัน ค่าที่หารกันจึงเท่าเดิม หม้อแปลงอุดมคติจึงหายไปจากวงจร pu

---

# เฟสเซอร์ อิมพีแดนซ์ กำลังเชิงซ้อน และระบบสามเฟส: Y กับ Δ, √3 และกำลังสามเฟส

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/phasors-three-phase/
Updated: 2026-10-13
Summary: ปูพื้นวงจรไฟฟ้ากระแสสลับสำหรับวิชาระบบไฟฟ้ากำลัง: เขียนสัญญาณไซน์เป็นเฟสเซอร์ค่า rms อิมพีแดนซ์ R X Z กำลังเชิงซ้อน S = VI* กำลังจริงและกำลังรีแอกทีฟ ระบบสามเฟสสมดุล แรงดันเฟสกับแรงดันสาย √3 ∠30° การต่อ Y และ Δ การแปลง Δ-Y กำลังสามเฟส √3 V_L I_L cosφ และการวิเคราะห์ด้วยวงจรสมมูลเฟสเดียว พร้อมตัวอย่าง

// บทที่ 18.2 · ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน · Phasors, Complex Power & Three-Phase

# เฟสเซอร์ อิมพีแดนซ์ กำลังเชิงซ้อน และระบบสามเฟส: Y กับ Δ, √3 และกำลังสามเฟส

ทุกบทของวิชาระบบไฟฟ้ากำลังเขียนด้วยภาษาเฟสเซอร์ ถ้าคล่องสามอย่างในหน้านี้ — เฟสเซอร์ กำลังเชิงซ้อน และการลดระบบสามเฟสสมดุลเหลือวงจรเฟสเดียว — บทที่เหลือจะง่ายขึ้นมาก

สรุปใน 30 วินาที

- $v(t) = V_m\cos(\omega t+\theta)\ \leftrightarrow\ \mathbf V = \tfrac{V_m}{\sqrt2}\angle\theta$ (ค่า rms)

- $S = \mathbf V\mathbf I^* = P + jQ$ · ตัวเหนี่ยวนำ Q > 0 · ตัวเก็บประจุ Q < 0

- Y: $V_L = \sqrt3 V_{ph}\angle 30^\circ$, $I_L = I_{ph}$ · Δ: $V_L = V_{ph}$, $I_L = \sqrt3 I_{ph}\angle -30^\circ$

- $S_{3\varphi} = \sqrt3 V_L I_L$ · ระบบสมดุลคิดเฟสเดียวแล้วคูณ 3

## เฟสเซอร์และอิมพีแดนซ์ พื้นฐาน

A1 Phasor (rms) เฟสเซอร์ค่า rms

$$v(t) = \sqrt{2}\,V\cos(\omega t + \theta) \;\longleftrightarrow\; \mathbf V = V\angle\theta = V\cos\theta + jV\sin\theta$$

ระบบไฟฟ้ากำลังใช้เฟสเซอร์ค่า rms (ไม่ใช่ค่ายอด) เพราะกำลังคำนวณได้ตรงโดยไม่ต้องหาร 2 แรงดัน 230 V คือค่า rms ค่ายอดคือ 325 V อ่านทฤษฎีเฟสเซอร์และการหมุนเชิงภาพใน เพาเวอร์แฟกเตอร์ในรูปคลื่น

A2 Impedance อิมพีแดนซ์

$$\mathbf Z = R + jX = |Z|\angle\varphi \qquad X_L = \omega L \qquad X_C = -\frac{1}{\omega C} \qquad \mathbf I = \frac{\mathbf V}{\mathbf Z}$$

## กำลังเชิงซ้อน S = VI* พื้นฐาน

A3 Complex power กำลังเชิงซ้อน

$$\mathbf S = \mathbf V\,\mathbf I^* = P + jQ = |V||I|\angle(\theta_v - \theta_i) \qquad P = |V||I|\cos\varphi,\ \ Q = |V||I|\sin\varphi$$

A4 Power absorbed by an impedance กำลังที่อิมพีแดนซ์ดูดกลืน

$$\mathbf S = |I|^2\mathbf Z = |I|^2R + j|I|^2X = \frac{|V|^2}{\mathbf Z^*}$$

ตัวอย่าง A-1

### 230∠0° V จ่ายโหลด 8 + j6 Ω

- A2: $\mathbf Z = 10\angle 36.87^\circ$ → $\mathbf I = 230/10\angle 36.87^\circ = 23\angle -36.87^\circ$ A (ตามหลัง)

- A3: $\mathbf S = 230 \times 23\angle(0 + 36.87^\circ) = 5290\angle 36.87^\circ = 4232 + j3174$ VA

- A4 ตรวจ: $|I|^2R = 529 \times 8 = 4232$ W ✓ $|I|^2X = 529 \times 6 = 3174$ var ✓ PF = 0.8 ตามหลัง

## ระบบสามเฟสสมดุล: Y และ Δ พื้นฐาน

เครื่องกำเนิดสามเฟสสร้างแรงดันสามชุดขนาดเท่ากัน ห่างกัน 120° ลำดับเฟส a-b-c (ลำดับบวก) ในไทยเรียกเฟส L1 L2 L3 (หรือ R S T) ข้อดี: กำลังรวมขณะหนึ่งคงที่ (มอเตอร์ไม่สั่น) และใช้ทองแดงน้อยกว่าระบบเฟสเดียวที่ส่งกำลังเท่ากัน

A5 Wye (Y) connection การต่อแบบ Y

$$\mathbf V_{ab} = \mathbf V_{an} - \mathbf V_{bn} = \sqrt3\,V_{ph}\angle(\theta + 30^\circ) \qquad \mathbf I_L = \mathbf I_{ph}$$

A6 Three-phase power กำลังสามเฟส (ทั้ง Y และ Δ)

$$\mathbf S_{3\varphi} = 3\,\mathbf V_{ph}\mathbf I_{ph}^* \qquad |S_{3\varphi}| = \sqrt3\,V_L I_L \qquad P_{3\varphi} = \sqrt3\,V_L I_L\cos\varphi$$

A7 Delta (Δ) connection การต่อแบบ Δ

$$\mathbf V_L = \mathbf V_{ph} \qquad \mathbf I_a = \mathbf I_{ab} - \mathbf I_{ca} = \sqrt3\,I_{ph}\angle(\theta - 30^\circ)$$

A8 Balanced Δ → Y conversion แปลงโหลด Δ สมดุลเป็น Y

$$\mathbf Z_Y = \frac{\mathbf Z_\Delta}{3} \qquad \mathbf I_a + \mathbf I_b + \mathbf I_c = 0\ \ (\text{สมดุล: ไม่มีกระแสนิวทรัล})$$

ตัวอย่าง A-2

### มอเตอร์ 3 เฟส 400 V 30 kW PF 0.85 ตามหลัง

- A6: $I_L = 30{,}000/(\sqrt3 \times 400 \times 0.85) = 50.9$ A

- $S = 30/0.85 = 35.3$ kVA → $Q = \sqrt{35.3^2 - 30^2} = 18.6$ kvar

- ถ้ามอเตอร์ต่อ Δ: กระแสในขดลวด $50.9/\sqrt3 = 29.4$ A แรงดันคร่อมขด 400 V · ต่อ Y: กระแสขด 50.9 A แรงดัน 231 V — กำลังเท่ากัน

ตัวอย่าง A-3

### ฮีตเตอร์ Δ ตัวละ 48 Ω ต่อกับ 400 V

- กระแสต่อตัว $400/48 = 8.33$ A → กำลังรวม $3 \times 400 \times 8.33 = 10$ kW

- A8: เทียบเท่า Y ตัวละ 16 Ω: $I_L = 230.9/16 = 14.4$ A $= \sqrt3 \times 8.33$ ✓

- ถ้านำฮีตเตอร์ชุดเดิมไปต่อ Y: แรงดันต่อตัว 230.9 V กระแส 4.81 A กำลังรวม 3.33 kW — Y ได้กำลังเป็น 1/3 ของ Δ (หลักของการสตาร์ตมอเตอร์แบบ Y-Δ)

## วงจรสมมูลเฟสเดียว (per-phase equivalent) กลาง

- แปลงทุกอย่างที่ต่อ Δ เป็น Y เทียบเท่า (A8) แหล่งจ่าย Δ ใช้แรงดันเฟส $V_L/\sqrt3$

- วาดเฉพาะเฟส a กับสายนิวทรัลสมมติ (ไม่มีกระแสในระบบสมดุล)

- แก้วงจรเฟสเดียวด้วยเฟสเซอร์ แล้วเฟส b c ได้จากการหมุน −120° และ +120°

- กำลังรวม = 3 เท่าของเฟสเดียว

วิธีนี้ใช้ได้เฉพาะระบบสมดุล เมื่อไม่สมดุล (เช่น ลัดลงดินเฟสเดียว) ต้องใช้ องค์ประกอบสมมาตร ซึ่งแยกระบบไม่สมดุลออกเป็นระบบสมดุลสามชุด แล้วใช้วงจรเฟสเดียวได้อีกครั้ง

## ฝึกคิดด้วยเครื่องคำนวณ

หม้อแปลงจ่ายโหลด 700 kW PF 0.8 แรงดันด้านโหลดตกเท่าไร (ใช้ P Q และ %R %X — ทฤษฎีอยู่ในบทถัดไป)

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมกำลังเชิงซ้อนใช้ S = VI* (กระแสคอนจูเกต)?
เพื่อให้มุมของ S เท่ากับมุมของแรงดันลบมุมของกระแส ซึ่งคือมุมเพาเวอร์แฟกเตอร์ φ ถ้าใช้ VI ตรง ๆ มุมจะเป็นผลบวกของสองมุมซึ่งไม่มีความหมายทางกายภาพ ด้วยนิยามนี้ โหลดตัวเหนี่ยวนำ (กระแสตามหลัง) ได้ Q เป็นบวก

ทำไมกำลังสามเฟสมี √3?
เพราะ V_L = √3 V_ph ในการต่อ Y และ I_L = √3 I_ph ในการต่อ Δ กำลังรวม 3 V_ph I_ph cosφ จึงเขียนในรูปค่าสายได้เป็น √3 V_L I_L cosφ ทั้งสองแบบการต่อ ค่า √3 มาจากผลต่างของเฟสเซอร์สองตัวที่ห่างกัน 120°

## FAQ

**ทำไมกำลังเชิงซ้อนใช้ S = VI* (กระแสคอนจูเกต)?**
เพื่อให้มุมของ S เท่ากับมุมของแรงดันลบมุมของกระแส ซึ่งคือมุมเพาเวอร์แฟกเตอร์ φ ถ้าใช้ VI ตรง ๆ มุมจะเป็นผลบวกของสองมุมซึ่งไม่มีความหมายทางกายภาพ ด้วยนิยามนี้ โหลดตัวเหนี่ยวนำ (กระแสตามหลัง) ได้ Q เป็นบวก

**ทำไมกำลังสามเฟสมี √3?**
เพราะ V_L = √3 V_ph ในการต่อ Y และ I_L = √3 I_ph ในการต่อ Δ กำลังรวม 3 V_ph I_ph cosφ จึงเขียนในรูปค่าสายได้เป็น √3 V_L I_L cosφ ทั้งสองแบบการต่อ ค่า √3 มาจากผลต่างของเฟสเซอร์สองตัวที่ห่างกัน 120°

---

# แล็บคำนวณระบบไฟฟ้ากำลังและการป้องกัน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/power-lab/
Updated: 2026-10-13
Summary: รวมเครื่องคำนวณระบบไฟฟ้ากำลังฟรีในหน้าเดียว: ค่าฐานและ per-unit เปลี่ยนฐาน regulation หม้อแปลง กราฟ P-δ กระแสลัดวงจรระบบแรงต่ำแบบ IEC 60909 ฟอลต์ SLG LL DLG แยกองค์ประกอบสมมาตรพร้อมแผนภาพเฟสเซอร์ รีเลย์ IDMT แล็บประสานรีเลย์ 3 ระดับบนกราฟ TCC log-log การตัดวงจรอัตโนมัติ TN TT และรีเลย์ผลต่าง พร้อมใบงาน 10 ชุด

// บทที่ 18.11 · ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน · Power Systems & Protection Lab

# แล็บคำนวณระบบไฟฟ้ากำลังและการป้องกัน

เครื่องมือทุกตัวของชุดนี้เรียงตามลำดับวิชา ทุกช่องแก้ได้ รองรับหน่วยย่อ เช่น 1.5k หรือ 22k ใช้ตรวจการบ้าน ทดลองว่าถ้าเปลี่ยนค่านี้แล้วจะเกิดอะไร หรือทำใบงานด้านล่าง

## 1 · ค่าฐาน per-unit และเปลี่ยนฐาน

## 2 · หม้อแปลงและการส่งกำลัง

## 3 · กระแสลัดวงจรระบบแรงต่ำ

## 4 · องค์ประกอบสมมาตรและฟอลต์ไม่สมมาตร

## 5 · รีเลย์กระแสเกินและการประสาน

## 6 · การต่อลงดินและรีเลย์ผลต่าง

## ใบงาน 10 ชุด (คลิกดูแนวคำตอบ)

1. มอเตอร์ 2,000 kVA 6.6 kV X″ = 0.17 pu บนฐานของตัวเอง แปลงเป็นฐาน 100 MVA 6.6 kV
U5: 0.17 × 100/2 = 8.5 pu (เครื่องมือ 1 ช่องล่าง)

2. หม้อแปลง 1,000 kVA 6 % จ่ายโหลด 900 kW PF 0.7 แรงดันตกเท่าไร เทียบกับ PF 0.95
เครื่องมือ 2: S = 1,286 kVA (เกินพิกัด!) regulation ≈ 6.4 % · PF 0.95: S = 947 kVA ≈ 2.8 % — ปรับ PF ช่วยทั้งพิกัดและแรงดัน

3. สองบัส X = 0.4 pu V = 1.0 pu ส่งได้สูงสุดเท่าไร ถ้าต้องการส่วนเผื่อ 30 % ส่งได้เท่าไร
P_max = 2.5 pu · P = 0.7 × 2.5 = 1.75 pu (δ = 44.4°)

4. หม้อแปลง 2,000 kVA 6 % ต้นทาง 500 MVA ที่ MDB ต้องใช้เบรกเกอร์กี่ kA
เครื่องมือ 3: ≈ 47 kA → เบรกเกอร์ Icu ≥ 50 kA (ค่ายอด ≈ 108 kA)

5. หม้อแปลงจำหน่าย 160 kVA 4 % สาย 35 mm² ยาว 60 m ถึงบ้าน กระแสลัดวงจรที่บ้านเท่าไร
เครื่องมือ 3 (ตั้ง kva 160, zt 4, l 60, a 35, np 1): ≈ 4.2 kA (ที่ขั้วหม้อแปลง 6.0 kA) — เบรกเกอร์บ้าน 6 kA ใช้ได้ (ปุ่มในหน้ากระแสลัดวงจร)

6. กระแส 3 เฟส 100∠0°, 0, 0 A (ลัดลงดินเฟส a) แยกองค์ประกอบ
I₀ = I₁ = I₂ = 33.3∠0° A — ลักษณะเฉพาะของ SLG

7. X₁ = X₂ = 0.2, X₀ = 0.6 pu ลัดลงดินหรือสามเฟสรุนแรงกว่า
3φ = 5.0 pu · SLG = 3/1.0 = 3.0 pu → สามเฟสรุนแรงกว่าเมื่อ X₀ > X₁ (นิวทรัลต่อดินผ่านรีแอกเตอร์ใช้หลักนี้จำกัดกระแสลงดิน)

8. ในแล็บ TCC เปลี่ยน R1 เป็น EI TMS 0.1 แล้วกดคำนวณ TMS อัตโนมัติ CTI ที่ 10 kA เป็นอย่างไร ที่ 2 kA ล่ะ
R1 EI ที่ 10 kA เร็วมาก (≈ 0.003 s ตามสูตร ในทางปฏิบัติจำกัดด้วยเวลาต่ำสุดของรีเลย์) TMS ของ R2 R3 ลดลง ลองเปลี่ยน I_f เป็น 2000 แล้วตรวจว่า CTI ยังพอหรือไม่ — การประสานต้องผ่านทุกค่ากระแส

9. วงจร MCB C32 สาย 6/4 mm² ยาวได้สูงสุดเท่าไรที่ Z_e = 0.8 Ω
เครื่องมือ 6: ℓ_max = (230/320 − 0.8)/0.00858 < 0 → ไม่ผ่านแม้สายสั้น ต้องใช้ RCD หรือ MCB B (I_a = 160 A → ℓ_max ≈ 74 m)

10. รีเลย์ผลต่าง: I1 = 5, I2 = 4.4 pu (ฟอลต์ภายนอก CT คลาดเคลื่อน) ทริปไหม
I_d = 0.6, I_r = 4.7 → ต้องเกิน 0.6 + 0.8(2.7) = 2.76 → ไม่ทริป ✓

## คำถามที่พบบ่อย

ใช้แล็บนี้ออกแบบงานจริงได้ไหม?
ใช้ตรวจคำตอบ เรียนรู้ และประมาณค่าเบื้องต้นได้ดี สูตรเป็นสูตรมาตรฐาน (IEC 60909 IEC 60255) แต่ใช้สมมติฐานที่ง่ายกว่าโปรแกรมวิเคราะห์ระบบไฟฟ้าเชิงพาณิชย์ เช่น ไม่รวมมอเตอร์ที่ช่วยป้อนกระแสลัดวงจร งานออกแบบจริงต้องใช้ข้อมูลจากผู้ผลิตและการไฟฟ้า และให้วิศวกรที่มีใบอนุญาตตรวจรับรอง

## FAQ

**ใช้แล็บนี้ออกแบบงานจริงได้ไหม?**
ใช้ตรวจคำตอบ เรียนรู้ และประมาณค่าเบื้องต้นได้ดี สูตรเป็นสูตรมาตรฐาน (IEC 60909 IEC 60255) แต่ใช้สมมติฐานที่ง่ายกว่าโปรแกรมวิเคราะห์ระบบไฟฟ้าเชิงพาณิชย์ เช่น ไม่รวมมอเตอร์ที่ช่วยป้อนกระแสลัดวงจร งานออกแบบจริงต้องใช้ข้อมูลจากผู้ผลิตและการไฟฟ้า และให้วิศวกรที่มีใบอนุญาตตรวจรับรอง

---

# ภาพรวมระบบไฟฟ้ากำลัง: ผลิต ส่ง จำหน่าย ระดับแรงดันในประเทศไทย และทำไมต้องส่งด้วยแรงดันสูง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/power-system-overview/
Updated: 2026-10-13
Summary: ระบบไฟฟ้ากำลังทำงานอย่างไรตั้งแต่โรงไฟฟ้าถึงปลั๊กในบ้าน: โรงไฟฟ้า สถานีไฟฟ้าแรงสูง สายส่ง 500 230 115 kV ของ กฟผ. ระบบจำหน่าย 22 33 kV ของ กฟภ. 12 24 kV ของ กฟน. แรงต่ำ 400/230 V คำนวณว่าทำไมแรงดันสูงลดการสูญเสีย I²R ความถี่ 50 Hz กับสมดุลกำลัง ความเฉื่อย df/dt โหลดแฟกเตอร์ และแผนผังส่วนประกอบที่ต้องป้องกัน

// บทที่ 18.1 · ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน · Power System Overview

# ภาพรวมระบบไฟฟ้ากำลัง: ผลิต ส่ง จำหน่าย ระดับแรงดันในประเทศไทย และทำไมต้องส่งด้วยแรงดันสูง

ระบบไฟฟ้ากำลังคือเครื่องจักรที่ใหญ่ที่สุดที่มนุษย์สร้าง เครื่องกำเนิดหลายร้อยเครื่องทั่วประเทศหมุนพร้อมกันเป็นจังหวะเดียว 50 รอบต่อวินาที และต้องผลิตไฟเท่ากับที่ทุกบ้านทุกโรงงานใช้ “ในขณะนั้น” หน้านี้วางภาพใหญ่ก่อนลงรายละเอียด: ส่วนประกอบ ระดับแรงดัน เหตุผลของแรงดันสูง และสิ่งที่ระบบป้องกันต้องดูแล

สรุปใน 30 วินาที

- ผลิต (13.8–24 kV) → หม้อแปลงยกแรงดัน → ส่ง 500/230/115 kV → สถานีไฟฟ้า → จำหน่าย 22/33 kV (กฟภ.) 12/24 kV (กฟน.) → หม้อแปลงจำหน่าย → 400/230 V

- การสูญเสียในสาย ∝ 1/V² เมื่อส่งกำลังเท่าเดิม

- ความถี่บอกสมดุลกำลัง: ผลิตน้อยกว่าใช้ → ความถี่ตก

- ทุกส่วนต้องมีระบบป้องกัน เพราะลัดวงจรเกิดได้ทุกที่

## โครงสร้างระบบไฟฟ้า: จากโรงไฟฟ้าถึงปลั๊ก พื้นฐาน

แผนภาพเส้นเดียว (single-line diagram) — ระบบสามเฟสวาดเป็นเส้นเดียวเพื่อความชัดเจน เป็นภาษาหลักของวิชานี้

| ส่วน | อุปกรณ์หลัก | สิ่งที่ต้องศึกษา |

| การผลิต (Generation) | เครื่องกำเนิดซิงโครนัส กังหัน AVR governor โรงไฟฟ้าพลังงานหมุนเวียนผ่านอินเวอร์เตอร์ | แบบจำลอง $X_d''$ การควบคุม P-f และ Q-V |

| การส่ง (Transmission) | สายอากาศ สายเคเบิลใต้ดิน หม้อแปลงกำลัง สถานีไฟฟ้า | แบบจำลองสาย การส่งกำลัง P-δ load flow เสถียรภาพ |

| การจำหน่าย (Distribution) | สายป้อน 22/33 kV หม้อแปลงจำหน่าย รีโคลสเซอร์ ฟิวส์ | แรงดันตก การชดเชยรีแอกทีฟ การประสานการป้องกัน |

| ผู้ใช้ไฟ (Utilization) | ตู้ MDB สายป้อน มอเตอร์ อาคาร | กระแสลัดวงจร เลือกอุปกรณ์ การต่อลงดิน PF |

## ระดับแรงดันในประเทศไทย พื้นฐาน

| ระดับ | แรงดัน (line-line) | ผู้ดูแล | ใช้ทำอะไร |

| แรงสูงพิเศษ (EHV) | 500 kV | กฟผ. | ส่งกำลังระยะไกลระหว่างภูมิภาค |

| แรงสูง (HV) | 230 kV · 115 kV (69 kV บางพื้นที่) | กฟผ. · กฟน. · กฟภ. | ส่งเข้าเมือง สถานีไฟฟ้าย่อย ผู้ใช้ไฟรายใหญ่ |

| แรงปานกลาง (MV) | 22 kV · 33 kV (กฟภ.) · 12 kV · 24 kV (กฟน.) | กฟภ. · กฟน. | สายป้อนจำหน่าย โรงงานที่มีหม้อแปลงเอง |

| แรงต่ำ (LV) | 400/230 V 3 เฟส 4 สาย | กฟภ. · กฟน. · ผู้ใช้ไฟ | บ้าน อาคาร โรงงานขนาดเล็ก |

## ทำไมต้องส่งด้วยแรงดันสูง พื้นฐาน

G1 Three-phase line loss การสูญเสียในสายสามเฟส

$$I = \frac{P}{\sqrt{3}\,V_L\cos\varphi} \qquad P_{loss} = 3I^2R = \frac{P^2 R}{V_L^2\cos^2\varphi}$$

G2 Fractional loss สัดส่วนการสูญเสีย

$$\frac{P_{loss}}{P} = \frac{P\,R}{V_L^2\cos^2\varphi} \;\propto\; \frac{1}{V_L^2}$$

ตัวอย่าง G-1

### ส่ง 20 MW ระยะ 100 km สาย R = 0.1 Ω/km ต่อเฟส PF = 1

- $R = 0.1 \times 100 = 10\ \Omega$ ต่อเฟส

- 22 kV: G1 $I = 20\text{e}6/(\sqrt3 \cdot 22\text{e}3) = 525$ A → $P_{loss} = 3(525)^2(10) = 8.27$ MW = 41 % — ใช้ไม่ได้

- 115 kV: $I = 100.4$ A → $0.30$ MW = 1.5 %

- 230 kV: $I = 50.2$ A → $0.076$ MW = 0.38 % — แรงดันเพิ่ม 2 เท่า การสูญเสียลด 4 เท่า (G2)

- ข้อแลกเปลี่ยน: แรงดันสูงต้องใช้ฉนวน เสา ระยะห่าง และหม้อแปลงที่แพงขึ้น จึงเลือกระดับแรงดันตามระยะทางและกำลังที่ส่ง

สูตรเดียวกันอธิบายว่าทำไม เพาเวอร์แฟกเตอร์ สำคัญ: $\cos\varphi$ อยู่ในตัวหารยกกำลังสอง PF 0.7 ทำให้การสูญเสียเพิ่มเป็น $1/0.49 \approx 2$ เท่าของ PF 1

## ความถี่กับสมดุลกำลัง กลาง

เครื่องกำเนิดทุกเครื่องในระบบหมุนซิงโครนัสกัน มวลหมุนเก็บพลังงานจลน์ไว้ ถ้ากำลังกลจากกังหัน $P_m$ น้อยกว่ากำลังไฟฟ้าที่โหลดดึง $P_e$ ส่วนต่างถูกดึงจากพลังงานจลน์ รอบหมุนลดลง ความถี่จึงตก

G3 Initial rate of change of frequency อัตราการเปลี่ยนความถี่ทันทีหลังเสียสมดุล

$$\frac{df}{dt} = \frac{f_0\,(P_m - P_e)}{2\,H\,S_{sys}} \qquad H = \frac{\tfrac12 J\omega^2}{S_{rated}}\ \ (\text{วินาที})$$

ตัวอย่าง G-2

### ระบบ 30,000 MW (H = 4 s) โรงไฟฟ้า 1,000 MW หลุดทันที

- G3: $df/dt = 50(-1000)/(2 \times 4 \times 30{,}000) = -0.21$ Hz/s

- ถ้าไม่มีอะไรช่วย ภายใน 3 วินาทีความถี่ตกถึง ≈ 49.4 Hz — governor ของโรงไฟฟ้าอื่นต้องเพิ่มกำลัง และถ้าตกต่อ รีเลย์ความถี่ต่ำ (81) จะปลดโหลดเป็นขั้น ๆ

- ระบบที่มีโซลาร์และลมผ่านอินเวอร์เตอร์มากขึ้นมี H จริงน้อยลง (อินเวอร์เตอร์ไม่มีมวลหมุน) df/dt จึงชันขึ้น — เป็นหัวข้อวิจัยปัจจุบัน (grid-forming inverter, synthetic inertia)

G4 Load factor โหลดแฟกเตอร์

$$LF = \frac{P_{avg}}{P_{peak}} = \frac{E_{period}}{P_{peak}\,T}$$

โหลดแฟกเตอร์ต่ำหมายถึงต้องสร้างโรงไฟฟ้าและสายส่งไว้รองรับพีกที่เกิดไม่กี่ชั่วโมง นี่คือเหตุผลของอัตรา TOU และค่าความต้องการพลังไฟฟ้า (demand charge) — เชื่อมกับ ค่าชาร์จรถ EV แบบ TOU

## ความผิดพร่อง (Fault) และทำไมต้องมีระบบป้องกัน พื้นฐาน

| ชนิดฟอลต์ | สัดส่วนโดยประมาณในสายอากาศ | สาเหตุทั่วไป |

| เฟสเดียวลงดิน (SLG) | ≈ 70–80 % | กิ่งไม้ สัตว์ ฉนวนแตก ฟ้าผ่า |

| สองเฟส (LL) | ≈ 8–15 % | สายแกว่งเข้าหากัน |

| สองเฟสลงดิน (DLG) | ≈ 8–10 % | ฟ้าผ่า เสาล้ม |

| สามเฟส (3φ) | ≈ 2–5 % | ลืมปลดสายดินชั่วคราว เครื่องจักรลัด — รุนแรงที่สุดในหลายกรณี |

กระแสลัดวงจรสูงกว่ากระแสปกติ 10–50 เท่า ภายในเสี้ยววินาทีทำให้ตัวนำร้อนจัด แรงแม่เหล็กไฟฟ้าดึงบัสบาร์งอ อาร์กเผาอุปกรณ์ และแรงดันตกทั้งระบบ ระบบป้องกันต้องหา “จุดที่เสีย” แล้วตัดเฉพาะจุดนั้นภายในเวลา 50–500 ms อ่านต่อ: คำนวณกระแสลัดวงจร · หลักการป้องกัน

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมสายส่งไฟฟ้าต้องใช้แรงดันสูง?
การสูญเสียในสายคือ I²R ถ้าส่งกำลังเท่าเดิมด้วยแรงดันสูงขึ้น กระแสลดลงตามสัดส่วน การสูญเสียจึงลดลงตามกำลังสองของแรงดัน เช่น เพิ่มแรงดันจาก 22 kV เป็น 230 kV (10.5 เท่า) การสูญเสียลดลงประมาณ 109 เท่า และใช้สายเส้นเล็กลงได้

ระดับแรงดันในระบบไฟฟ้าของประเทศไทยมีอะไรบ้าง?
ระบบส่งของ กฟผ. ใช้ 500 kV 230 kV 115 kV (และ 69 kV บางส่วน) ระบบจำหน่ายแรงสูงของ กฟภ. ใช้ 22 kV และ 33 kV ของ กฟน. ใช้ 12 kV และ 24 kV ระบบแรงต่ำของบ้านและอาคารใช้ 400/230 V สามเฟสสี่สาย ความถี่ 50 Hz

ทำไมความถี่ไฟฟ้าต้องคงที่ที่ 50 Hz?
ความถี่สะท้อนความเร็วรอบของเครื่องกำเนิดทุกเครื่องที่ซิงโครไนซ์กัน ถ้ากำลังผลิตน้อยกว่าโหลด เครื่องกำเนิดจะถูกดึงพลังงานจลน์ออก หมุนช้าลง ความถี่ตก ระบบควบคุมจึงต้องปรับกำลังผลิตให้เท่ากับโหลดตลอดเวลา ถ้าความถี่ตกมากจะมีการปลดโหลดอัตโนมัติเพื่อรักษาระบบ

## FAQ

**ทำไมสายส่งไฟฟ้าต้องใช้แรงดันสูง?**
การสูญเสียในสายคือ I²R ถ้าส่งกำลังเท่าเดิมด้วยแรงดันสูงขึ้น กระแสลดลงตามสัดส่วน การสูญเสียจึงลดลงตามกำลังสองของแรงดัน เช่น เพิ่มแรงดันจาก 22 kV เป็น 230 kV (10.5 เท่า) การสูญเสียลดลงประมาณ 109 เท่า และใช้สายเส้นเล็กลงได้

**ระดับแรงดันในระบบไฟฟ้าของประเทศไทยมีอะไรบ้าง?**
ระบบส่งของ กฟผ. ใช้ 500 kV 230 kV 115 kV (และ 69 kV บางส่วน) ระบบจำหน่ายแรงสูงของ กฟภ. ใช้ 22 kV และ 33 kV ของ กฟน. ใช้ 12 kV และ 24 kV ระบบแรงต่ำของบ้านและอาคารใช้ 400/230 V สามเฟสสี่สาย ความถี่ 50 Hz

**ทำไมความถี่ไฟฟ้าต้องคงที่ที่ 50 Hz?**
ความถี่สะท้อนความเร็วรอบของเครื่องกำเนิดทุกเครื่องที่ซิงโครไนซ์กัน ถ้ากำลังผลิตน้อยกว่าโหลด เครื่องกำเนิดจะถูกดึงพลังงานจลน์ออก หมุนช้าลง ความถี่ตก ระบบควบคุมจึงต้องปรับกำลังผลิตให้เท่ากับโหลดตลอดเวลา ถ้าความถี่ตกมากจะมีการปลดโหลดอัตโนมัติเพื่อรักษาระบบ

---

# หลักการระบบป้องกันไฟฟ้ากำลัง: โซนป้องกัน การเลือกตัด CT VT รหัส ANSI และคุณสมบัติของรีเลย์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/protection-principles/
Updated: 2026-10-13
Summary: ปูพื้นวิชาการป้องกันระบบไฟฟ้ากำลัง: ห่วงโซ่ตรวจจับ ตัดสินใจ ตัดวงจร คุณสมบัติ 5 ข้อ (ความเชื่อถือได้ การเลือกตัด ความเร็ว ความไว ความประหยัด) โซนป้องกันและการซ้อนทับ ป้องกันหลักกับสำรอง เวลากำจัดฟอลต์ เบรกเกอร์ หม้อแปลงกระแส CT คลาส 5P20 ภาระ (burden) ALF ที่แท้จริง ความอิ่มตัว VT ขั้วและทิศทาง รหัสอุปกรณ์ ANSI และรีเลย์ดิจิทัล IEC 61850 พร้อมตัวอย่างคำนวณ CT

// บทที่ 18.7 · ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน · Protection Principles, CTs & Relays

# หลักการระบบป้องกันไฟฟ้ากำลัง: โซนป้องกัน การเลือกตัด CT VT รหัส ANSI และคุณสมบัติของรีเลย์

ระบบป้องกันเปรียบเหมือนระบบภูมิคุ้มกันของระบบไฟฟ้า มันเฝ้าดูตลอดเวลาแต่ทำงานจริงเพียงไม่กี่ครั้งต่อปี และเมื่อถึงเวลาต้องตัดสินใจถูกภายในเสี้ยววินาที ตัดช้าไปอุปกรณ์เสียหาย ตัดผิดตัวไฟดับทั้งเมือง หน้านี้วางกรอบความคิดที่วิชาการป้องกันใช้ทั้งเล่ม

สรุปใน 30 วินาที

- ตรวจจับ (CT VT) → ตัดสินใจ (รีเลย์) → สั่งตัด (แบตเตอรี่ DC + ขดทริป) → ตัด (เบรกเกอร์)

- เชื่อถือได้ · เลือกตัด · เร็ว · ไว · ประหยัด — แลกเปลี่ยนกันเสมอ

- ทุกจุดของระบบต้องอยู่ในอย่างน้อยหนึ่งโซน โซนซ้อนกันที่เบรกเกอร์

- CT ห้ามเปิดวงจรทุติยภูมิ · 5P20 = ผิดพลาด ≤ 5 % ถึง 20 เท่าที่ภาระพิกัด

## ห่วงโซ่การป้องกัน พื้นฐาน

ฟอลต์ในระบบ→CT / VT ลดขนาดสัญญาณ→รีเลย์วัดและตัดสินใจ→หน้าสัมผัสทริป + แบตเตอรี่ DC→เบรกเกอร์เปิดหน้าสัมผัส ดับอาร์ก

P1 Fault clearing time เวลากำจัดฟอลต์

$$t_{clear} = t_{relay} + t_{breaker} \qquad (\text{รีเลย์ทันที } 20\text{–}40\ \text{ms},\ \text{เบรกเกอร์ } 40\text{–}80\ \text{ms})$$

ทุกส่วนต้องทำงานได้แม้ไฟ AC ดับ (ระหว่างฟอลต์แรงดันอาจตกเกือบศูนย์) จึงใช้ แบตเตอรี่ DC ของสถานี 110 V หรือ 220 V จ่ายให้รีเลย์และขดทริป ในตู้แรงต่ำ เบรกเกอร์มีตัวตรวจจับในตัว (trip unit) จึงรวมสามขั้นไว้ในอุปกรณ์เดียว

## คุณสมบัติ 5 ข้อของระบบป้องกัน พื้นฐาน

| คุณสมบัติ | ความหมาย | ขัดแย้งกับ |

| ความเชื่อถือได้ (Reliability) | Dependability: ทำงานเมื่อมีฟอลต์ · Security: ไม่ทำงานเมื่อไม่มี | สองด้านนี้ขัดกันเอง: ป้องกันสองชุดแบบ OR เพิ่ม dependability ลด security |

| การเลือกตัด (Selectivity) | ตัดเฉพาะส่วนที่เสีย | ความเร็ว (ต้องหน่วงเวลาเป็นขั้น) |

| ความเร็ว (Speed) | ลดความเสียหาย รักษาเสถียรภาพ | การเลือกตัด และ security |

| ความไว (Sensitivity) | ตรวจฟอลต์ที่เล็กที่สุดได้ (ปลายสาย ลงดินผ่านความต้านทาน) | Security (ไวเกินทริปผิดจาก inrush หรือโหลด) |

| ความประหยัด (Economy) | ค่าใช้จ่ายเหมาะกับมูลค่าที่ปกป้อง | ทุกข้อ |

P2 Setting window หน้าต่างการตั้งค่า

$$k_1\,I_{load,max} \;<\; I_{setting} \;<\; \frac{I_{fault,min}}{k_2} \qquad k_1 \approx 1.2\text{–}1.5,\ \ k_2 \approx 1.5\text{–}2$$

## โซนป้องกัน ป้องกันหลักและสำรอง กลาง

- โซนซ้อนกันที่เบรกเกอร์ ทำได้โดยใช้ CT คนละด้านของเบรกเกอร์ ฟอลต์ในช่วงซ้อนทำให้สองโซนตัด แต่ไม่มีจุดไหนที่ไม่มีใครดูแล

- ป้องกันหลัก (main) ตัดเร็วเฉพาะโซนของตัวเอง เช่น รีเลย์ผลต่าง 87

- ป้องกันสำรอง (back-up) ทำงานเมื่อป้องกันหลักหรือเบรกเกอร์ล้มเหลว: สำรองเฉพาะที่ (local) หรือสำรองระยะไกล (remote) เช่น รีเลย์กระแสเกินต้นทางที่หน่วงเวลามากกว่า

- Breaker failure (50BF): ถ้าสั่งตัดแล้วกระแสยังไหลหลัง ~150 ms ให้สั่งตัดเบรกเกอร์ที่อยู่รอบ ๆ ทั้งหมด

## หม้อแปลงกระแส (CT): ดวงตาของรีเลย์ กลาง

P3 CT ratio อัตราส่วน CT

$$I_s = \frac{I_p}{n} \qquad n = \frac{I_{pn}}{I_{sn}}\ \ (\text{เช่น } 400/5,\ 600/1)$$

P4 CT burden ภาระที่ต่อกับ CT

$$S_b = I_{sn}^2\left(R_{lead,loop} + R_{relay}\right) \qquad R_{lead,loop} = \frac{2\rho\ell}{A}\ \ (\text{ฟอลต์ลงดิน})$$

P5 Actual accuracy limit factor ALF ที่แท้จริงเมื่อภาระไม่เท่าพิกัด

$$ALF' = ALF\,\frac{S_n + S_{in}}{S_b + S_{in}} \qquad S_{in} = I_{sn}^2 R_{ct}$$

P6 Knee-point requirement แรงดันจุดเข่าที่ต้องการ (CT คลาส PX)

$$V_k \ge K\,I_{f,s}\left(R_{ct} + R_{lead} + R_{relay}\right) \qquad K \approx 1\text{–}2\ \ (\text{เผื่อ DC offset})$$

ตัวอย่าง P-1

### CT 400/5 5P20 15 VA R_ct = 0.2 Ω สายคู่ 10 m ขนาด 2.5 mm² รีเลย์ดิจิทัล 0.2 VA

- สาย: $R_{loop} = 2(0.0178)(10)/2.5 = 0.142\ \Omega$ · รีเลย์ $0.2/5^2 = 0.008\ \Omega$

- P4: $S_b = 25(0.142 + 0.008) = 3.76$ VA · $S_{in} = 25(0.2) = 5$ VA

- P5: $ALF' = 20 \times (15+5)/(3.76+5) = 45.7$ → แม่นยำถึง $45.7 \times 400 = 18.3$ kA

- ถ้าใช้รีเลย์แบบกลไกเก่า 10 VA ภาระรวม 13.6 VA → $ALF' = 20(20)/18.6 = 21.5$ → 8.6 kA เท่านั้น — รีเลย์ดิจิทัลช่วยให้ CT ใช้ได้ดีขึ้นมาก

ความปลอดภัย ห้ามเปิดวงจรทุติยภูมิของ CT ขณะมีกระแสปฐมภูมิ แกนจะอิ่มตัวและเกิดแรงดันยอดหลายพันโวลต์ ต้องลัดขั้วทุติยภูมิด้วยเทอร์มินัลลัดวงจร (shorting terminal) ก่อนถอดเครื่องวัดเสมอ

VT (หม้อแปลงแรงดัน) ลดแรงดันเป็น 100–120 V สำหรับรีเลย์แรงดัน รีเลย์ทิศทาง และรีเลย์ระยะทาง ด้านทุติยภูมิ ห้ามลัดวงจร (ตรงข้ามกับ CT) และต้องมีฟิวส์ ส่วน ขั้ว (polarity) ของทั้ง CT และ VT สำคัญมากสำหรับรีเลย์ทิศทางและรีเลย์ผลต่าง — ต่อกลับขั้วหนึ่งตัว รีเลย์ผลต่างจะทริปทันทีที่จ่ายโหลด

## รีเลย์: จากกลไกสู่ดิจิทัล พื้นฐาน

| ยุค | หลักการ | ข้อสังเกต |

| Electromechanical | จานหมุนเหนี่ยวนำ (induction disc) แม่เหล็กไฟฟ้า | ทนทาน แต่ภาระสูง ต้องปรับเทียบบ่อย ยังพบในสถานีเก่า |

| Static | วงจรอนาล็อก ทรานซิสเตอร์ | เร็วขึ้น ช่วงสั้นในประวัติศาสตร์ |

| Numerical (ดิจิทัล) | สุ่มสัญญาณ ADC → DFT หาเฟสเซอร์พื้นฐาน → อัลกอริทึม | หลายฟังก์ชันในเครื่องเดียว บันทึกเหตุการณ์ (disturbance record) สื่อสาร IEC 61850 |

รีเลย์ดิจิทัลสุ่มกระแสและแรงดัน 16–80 ครั้งต่อรอบ แล้วใช้ DFT แยกเฟสเซอร์ความถี่พื้นฐานออกมา (กรองฮาร์มอนิกและ DC offset) จากนั้นคำนวณ $I_1, I_2, 3I_0$ (องค์ประกอบสมมาตร) อิมพีแดนซ์ และกำลัง — คณิตศาสตร์ทุกบทที่เรียนมาอยู่ในกล่องเดียว ลองคำนวณเวลาทำงานของรีเลย์หนึ่งตัวด้านล่าง แล้วไปต่อที่ การประสานรีเลย์กระแสเกิน

## คำถามที่พบบ่อย

CT คลาส 5P20 หมายถึงอะไร?
5P20 คือ CT สำหรับงานป้องกัน (P) มีความผิดพลาดรวมไม่เกิน 5 % ที่กระแส 20 เท่าของพิกัด (ALF = 20) เมื่อต่อภาระเท่ากับพิกัด VA ของ CT ถ้าภาระจริงน้อยกว่าพิกัด CT จะแม่นยำถึงกระแสที่สูงกว่า 20 เท่า คำนวณได้จาก ALF ที่แท้จริง

ทำไมห้ามเปิดวงจรด้านทุติยภูมิของ CT ขณะมีกระแส?
CT บังคับกระแสตามด้านปฐมภูมิ ถ้าด้านทุติยภูมิเปิด แรงแม่เหล็กจากกระแสปฐมภูมิไม่มีอะไรหักล้าง แกนอิ่มตัวทันที และเกิดแรงดันยอดสูงหลายพันโวลต์ที่ขั้วทุติยภูมิ อันตรายต่อคนและทำให้ฉนวน CT เสีย ต้องลัดขั้ว (short) ก่อนถอดเครื่องวัดหรือรีเลย์เสมอ

การเลือกตัด (selectivity) คืออะไร?
คือความสามารถของระบบป้องกันที่จะตัดเฉพาะอุปกรณ์ป้องกันที่อยู่ใกล้ฟอลต์ที่สุด เพื่อให้ไฟดับในพื้นที่น้อยที่สุด ทำได้ด้วยการแบ่งโซนป้องกัน ใช้เวลาหน่วงเป็นขั้น (time grading) ใช้ระดับกระแส (current grading) หรือใช้การสื่อสารระหว่างรีเลย์

## FAQ

**CT คลาส 5P20 หมายถึงอะไร?**
5P20 คือ CT สำหรับงานป้องกัน (P) มีความผิดพลาดรวมไม่เกิน 5 % ที่กระแส 20 เท่าของพิกัด (ALF = 20) เมื่อต่อภาระเท่ากับพิกัด VA ของ CT ถ้าภาระจริงน้อยกว่าพิกัด CT จะแม่นยำถึงกระแสที่สูงกว่า 20 เท่า คำนวณได้จาก ALF ที่แท้จริง

**ทำไมห้ามเปิดวงจรด้านทุติยภูมิของ CT ขณะมีกระแส?**
CT บังคับกระแสตามด้านปฐมภูมิ ถ้าด้านทุติยภูมิเปิด แรงแม่เหล็กจากกระแสปฐมภูมิไม่มีอะไรหักล้าง แกนอิ่มตัวทันที และเกิดแรงดันยอดสูงหลายพันโวลต์ที่ขั้วทุติยภูมิ อันตรายต่อคนและทำให้ฉนวน CT เสีย ต้องลัดขั้ว (short) ก่อนถอดเครื่องวัดหรือรีเลย์เสมอ

**การเลือกตัด (selectivity) คืออะไร?**
คือความสามารถของระบบป้องกันที่จะตัดเฉพาะอุปกรณ์ป้องกันที่อยู่ใกล้ฟอลต์ที่สุด เพื่อให้ไฟดับในพื้นที่น้อยที่สุด ทำได้ด้วยการแบ่งโซนป้องกัน ใช้เวลาหน่วงเป็นขั้น (time grading) ใช้ระดับกระแส (current grading) หรือใช้การสื่อสารระหว่างรีเลย์

---

# องค์ประกอบสมมาตรและการลัดวงจรไม่สมมาตร: ลำดับบวก ลบ ศูนย์ และฟอลต์ SLG LL DLG

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/symmetrical-components/
Updated: 2026-10-13
Summary: เข้าใจองค์ประกอบสมมาตรตั้งแต่แนวคิดถึงการคำนวณฟอลต์: ตัวดำเนินการ a = 1∠120° เมทริกซ์ Fortescue และอินเวอร์ส แยกกระแสไม่สมดุลเป็นลำดับบวก ลบ ศูนย์ วงจรลำดับของเครื่องกำเนิด หม้อแปลง Dyn11 สายส่ง การต่อวงจรลำดับสำหรับลัดลงดินหนึ่งเฟส (SLG) สองเฟส (LL) สองเฟสลงดิน (DLG) กระแสลงดิน 3I₀ ตัวอย่างตัวเลขและเครื่องคำนวณพร้อมแผนภาพเฟสเซอร์

// บทที่ 18.6 · ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน · Symmetrical Components & Unbalanced Faults

# องค์ประกอบสมมาตรและการลัดวงจรไม่สมมาตร: ลำดับบวก ลบ ศูนย์ และฟอลต์ SLG LL DLG

ฟอลต์ที่พบบ่อยที่สุดคือลัดลงดินเฟสเดียว ซึ่งทำให้ระบบไม่สมดุล องค์ประกอบสมมาตร (Fortescue, 1918) เปลี่ยนปัญหาสามเฟสไม่สมดุลให้เป็นปัญหาสมดุลสามชุดที่แก้ทีละเฟสได้ — เป็นเครื่องมือคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังที่สุดของวิชานี้ และเป็นพื้นฐานของรีเลย์ลงดินกับรีเลย์ลำดับลบ

สรุปใน 30 วินาที

- $a = 1\angle 120^\circ$, $1 + a + a^2 = 0$

- $I_0 = \tfrac13(I_a+I_b+I_c)$, $I_1 = \tfrac13(I_a+aI_b+a^2I_c)$, $I_2 = \tfrac13(I_a+a^2I_b+aI_c)$

- SLG: ต่ออนุกรม 1-2-0 → $I_f = 3E/(Z_1+Z_2+Z_0+3Z_f)$

- LL: ต่อขนาน 1-2 → $I_f = \sqrt3E/(Z_1+Z_2)$ · DLG: 1 อนุกรมกับ (2 ∥ 0)

- กระแสลงดิน = 3I₀ — สิ่งที่รีเลย์ 50N/51N วัด

## แนวคิด: สามชุดสมดุลซ้อนกัน กลาง

- ลำดับบวก (1) ขนาดเท่ากัน ห่าง 120° ลำดับ a-b-c เหมือนระบบปกติ — สร้างสนามหมุนไปข้างหน้า

- ลำดับลบ (2) ขนาดเท่ากัน ห่าง 120° แต่ลำดับ a-c-b — สนามหมุนถอยหลัง ทำให้โรเตอร์มอเตอร์ร้อน (รีเลย์ 46)

- ลำดับศูนย์ (0) สามตัวขนาดเท่ากัน มุมเท่ากัน — รวมกันไหลในนิวทรัล/ดิน

S1 Operator a ตัวดำเนินการ a

$$a = 1\angle 120^\circ = -\tfrac12 + j\tfrac{\sqrt3}{2} \qquad a^2 = 1\angle 240^\circ \qquad a^3 = 1 \qquad 1 + a + a^2 = 0$$

## เมทริกซ์ Fortescue และอินเวอร์ส กลาง

S2 Phase quantities from sequence quantities สร้างค่าเฟสจากค่าลำดับ

$$\begin{bmatrix} I_a \\ I_b \\ I_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{bmatrix}$$

S3 Sequence quantities from phase quantities แยกค่าลำดับจากค่าเฟส

$$\begin{bmatrix} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = \frac13\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_a \\ I_b \\ I_c \end{bmatrix}$$

S4 Neutral / earth current กระแสนิวทรัลและกระแสลงดิน

$$I_n = I_a + I_b + I_c = 3I_0$$

อินเวอร์สของเมทริกซ์ใน S2 คือ S3 (ตรวจได้ด้วยการคูณกันแล้วใช้ $1 + a + a^2 = 0$) ทบทวนเมทริกซ์และอินเวอร์สที่ อินเวอร์สเมทริกซ์

ตัวอย่าง S-1

### $I_a = 100\angle 0^\circ,\ I_b = 80\angle -110^\circ,\ I_c = 60\angle 130^\circ$ A

- S3: $I_0 = 14.96\angle -40.6^\circ$ · $I_1 = 79.70\angle 5.8^\circ$ · $I_2 = 9.49\angle 9.9^\circ$ A

- S4: กระแสนิวทรัล $3 \times 14.96 = 44.9$ A — แม้โหลดแต่ละเฟสไม่เกินพิกัด สายนิวทรัลก็มีกระแสมาก

- ความไม่สมดุล $|I_2|/|I_1| = 11.9\,\%$ — มอเตอร์ที่ต่ออยู่จะร้อนขึ้นจากสนามหมุนย้อนกลับ

## วงจรลำดับของอุปกรณ์ ขั้นสูง

| อุปกรณ์ | $Z_1$ | $Z_2$ | $Z_0$ |

| เครื่องกำเนิดซิงโครนัส | $X_d''$ (มีแหล่งจ่าย E) | ≈ $X_d''$ | เล็ก ($X_0$) + $3Z_n$ ถ้านิวทรัลต่อดินผ่านอิมพีแดนซ์ |

| หม้อแปลง | $Z_T$ | $Z_T$ | ขึ้นกับการต่อ: Yn-yn ผ่าน · Dyn: ลงดินด้าน yn ขาดด้าน D · Yy ไม่ต่อดิน: ขาด |

| สายส่ง/เคเบิล | $Z_1$ | $= Z_1$ | $Z_0 \approx 2\text{–}4\,Z_1$ (ทางกลับผ่านดิน/สายดิน) |

| โหลดสถิตสมดุล | $Z$ | $Z$ | $Z$ ถ้า Y ต่อดิน · ∞ ถ้า Δ หรือ Y ลอย |

S9 Zero-sequence path of a Dyn transformer ทางเดินลำดับศูนย์ของหม้อแปลง Dyn

$$Z_{0,\,yn\ side} = Z_T + 3Z_n \qquad Z_{0,\,D\ side} = \infty\ \ (\text{กระแสวนในขด Δ})$$

## สูตรฟอลต์ไม่สมมาตร กลาง

S5 Single line-to-ground fault (phase a) ลัดลงดินหนึ่งเฟส

$$I_{a1} = I_{a2} = I_{a0} = \frac{E}{Z_1 + Z_2 + Z_0 + 3Z_f} \qquad I_f = 3I_{a0} = \frac{3E}{Z_1+Z_2+Z_0+3Z_f}$$

S6 Line-to-line fault (b–c) ลัดวงจรระหว่างสองเฟส

$$I_{a1} = -I_{a2} = \frac{E}{Z_1 + Z_2 + Z_f} \qquad |I_b| = |I_c| = \sqrt3\,|I_{a1}|$$

S7 Double line-to-ground fault (b–c–g) ลัดสองเฟสลงดิน

$$I_{a1} = \frac{E}{Z_1 + \dfrac{Z_2(Z_0+3Z_f)}{Z_2+Z_0+3Z_f}} \qquad I_{a2} = -I_{a1}\frac{Z_0+3Z_f}{Z_2+Z_0+3Z_f} \qquad I_{a0} = -I_{a1}\frac{Z_2}{Z_2+Z_0+3Z_f}$$

S8 Three-phase fault ลัดวงจรสามเฟส (มีแค่ลำดับบวก)

$$I_{a1} = \frac{E}{Z_1 + Z_f} \qquad I_{a2} = I_{a0} = 0$$

ตัวอย่าง S-2

### บัส 22 kV ฐาน 100 MVA: X₁ = X₂ = 0.25 pu, X₀ = 0.15 pu, Z_f = 0

- $I_{base} = 2{,}624$ A (U3)

- S8 สามเฟส: $1/0.25 = 4.00$ pu = 10.5 kA

- S5 SLG: $3/(0.25+0.25+0.15) = 4.615$ pu = 12.1 kA — มากกว่าสามเฟส เพราะ $X_0 < X_1$

- S6 LL: $\sqrt3/0.5 = 3.464$ pu = 9.09 kA $= 0.866 \times$ สามเฟส

- S7 DLG: $Z_2 \parallel Z_0 = j0.09375$ → $I_{a1} = -j2.909$ · $I_{a0} = j1.818$ → กระแสลงดิน $3I_{a0} = 5.455$ pu = 14.3 kA · $|I_b| = |I_c| = 4.41$ pu

## เครื่องคำนวณองค์ประกอบสมมาตรและฟอลต์

## คำถามที่พบบ่อย

องค์ประกอบสมมาตรมีไว้ทำไม?
ระบบสามเฟสที่ไม่สมดุล เช่น เมื่อเกิดลัดลงดินเฟสเดียว ใช้วงจรสมมูลเฟสเดียวไม่ได้ Fortescue พิสูจน์ว่าเฟสเซอร์สามตัวใด ๆ แยกได้เป็นสามชุดที่สมดุล ได้แก่ ลำดับบวก ลำดับลบ และลำดับศูนย์ แต่ละชุดคำนวณแบบเฟสเดียวได้ แล้วนำมาต่อกันตามเงื่อนไขของฟอลต์ ทำให้วิเคราะห์ฟอลต์ไม่สมดุลได้ง่าย และรีเลย์จำนวนมากก็วัดค่าลำดับเหล่านี้โดยตรง

ทำไมหม้อแปลง Dyn11 ทำให้กระแสลงดินด้านแรงต่ำไม่ไหลขึ้นด้านแรงสูง?
กระแสลำดับศูนย์ทั้งสามเฟสมีมุมเท่ากัน ขด Δ ด้านแรงสูงให้กระแสนี้ไหลวนภายในขดได้ แต่ไม่มีทางออกไปสายแรงสูงเพราะไม่มีนิวทรัล วงจรลำดับศูนย์ของหม้อแปลงจึงต่อลงดินที่ด้าน Y และขาดที่ด้าน Δ

## FAQ

**องค์ประกอบสมมาตรมีไว้ทำไม?**
ระบบสามเฟสที่ไม่สมดุล เช่น เมื่อเกิดลัดลงดินเฟสเดียว ใช้วงจรสมมูลเฟสเดียวไม่ได้ Fortescue พิสูจน์ว่าเฟสเซอร์สามตัวใด ๆ แยกได้เป็นสามชุดที่สมดุล ได้แก่ ลำดับบวก ลำดับลบ และลำดับศูนย์ แต่ละชุดคำนวณแบบเฟสเดียวได้ แล้วนำมาต่อกันตามเงื่อนไขของฟอลต์ ทำให้วิเคราะห์ฟอลต์ไม่สมดุลได้ง่าย และรีเลย์จำนวนมากก็วัดค่าลำดับเหล่านี้โดยตรง

**ทำไมหม้อแปลง Dyn11 ทำให้กระแสลงดินด้านแรงต่ำไม่ไหลขึ้นด้านแรงสูง?**
กระแสลำดับศูนย์ทั้งสามเฟสมีมุมเท่ากัน ขด Δ ด้านแรงสูงให้กระแสนี้ไหลวนภายในขดได้ แต่ไม่มีทางออกไปสายแรงสูงเพราะไม่มีนิวทรัล วงจรลำดับศูนย์ของหม้อแปลงจึงต่อลงดินที่ด้าน Y และขาดที่ด้าน Δ

---

# หม้อแปลงและสายส่งในระบบไฟฟ้ากำลัง: วงจรสมมูล %Z การควบคุมแรงดัน แบบจำลองสายส่ง และสมการส่งกำลัง P-δ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/transformers-lines/
Updated: 2026-10-13
Summary: ปูพื้นหม้อแปลงและสายส่งสำหรับวิชาระบบไฟฟ้ากำลัง: วงจรสมมูลหม้อแปลง %Z %R %X จากการทดสอบลัดวงจร voltage regulation การสูญเสียทองแดงตามภาระ ประสิทธิภาพ กลุ่มเวกเตอร์ Dyn11 แบบจำลองสายสั้น ปานกลาง (π) ยาว แรงดันตก ΔV ≈ (RP + XQ)/V ปรากฏการณ์เฟอร์รันติ สมการส่งกำลัง P = V₁V₂ sin δ / X กำลังรีแอกทีฟกับแรงดัน และเสถียรภาพสถิต พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 18.4 · ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน · Transformers, Lines & Power Transfer

# หม้อแปลงและสายส่งในระบบไฟฟ้ากำลัง: วงจรสมมูล %Z การควบคุมแรงดัน แบบจำลองสายส่ง และสมการส่งกำลัง P-δ

หม้อแปลงและสายส่งคือ “ท่อ” ของระบบไฟฟ้า ในวิชาระบบไฟฟ้ากำลังเรามองทั้งคู่เป็นอิมพีแดนซ์ที่ส่วนใหญ่เป็นรีแอกแตนซ์ ผลที่ตามมาคือสองเรื่องที่ต้องเข้าใจให้ขาด: แรงดันตกขึ้นกับ Q มากกว่าที่คิด และกำลังจริงไหลตามมุมของแรงดัน

สรุปใน 30 วินาที

- หม้อแปลงในระบบกำลัง ≈ อิมพีแดนซ์ %Z (ส่วนใหญ่เป็น X) อัตราส่วน X/R 3–15

- แรงดันตก $\Delta V \approx (RP + XQ)/V$ — Q ทำให้แรงดันตกมากเพราะ X ใหญ่

- $P = V_sV_r\sin\delta/X$: กำลังไหลตามมุม สูงสุดที่ δ = 90°

- Q ไหลจากแรงดันสูงไปแรงดันต่ำ — ควบคุมแรงดันด้วย Q

## หม้อแปลง: วงจรสมมูลและ %Z พื้นฐาน

วงจรสมมูลเต็มของหม้อแปลงมีความต้านทานขดลวด รีแอกแตนซ์รั่ว และกิ่งขนาน (แกนเหล็ก) สำหรับการคำนวณระบบไฟฟ้าส่วนใหญ่ กิ่งขนานกระแสน้อยมาก (≈ 0.5–2 %) จึงตัดทิ้ง เหลืออิมพีแดนซ์อนุกรมตัวเดียว $R + jX$ ซึ่งดาต้าชีตบอกเป็น %Z (หรือ $u_k$)

L1 Impedance from the short-circuit test %Z %R %X จากการทดสอบลัดวงจร

$$\%Z = \frac{V_{sc}}{V_n}\times 100 \qquad \%R = \frac{P_{cu,n}}{S_n}\times 100 \qquad \%X = \sqrt{\%Z^2 - \%R^2}$$

ตัวอย่าง L-1

### หม้อแปลง 1,000 kVA 22 kV/400 V ทดสอบลัดวงจรด้าน 22 kV ได้ 1,320 V และ 10 kW

- L1: $\%Z = 1320/22000 \times 100 = 6\,\%$ · $\%R = 10/1000 \times 100 = 1\,\%$ · $\%X = \sqrt{36-1} = 5.92\,\%$

- X/R = 5.92 — ใกล้ค่าทั่วไปของหม้อแปลงขนาดนี้ ค่านี้กำหนดค่ายอดของกระแสลัดวงจร (F5)

- ลัดวงจรที่ขั้วแรงต่ำ (ต้นทางแข็งแรงมาก): $I_k \approx I_n/0.06 = 1443/0.06 = 24$ kA

L3 Load losses and efficiency การสูญเสียตามภาระและประสิทธิภาพ

$$P_{cu}(x) = x^2 P_{cu,n} \qquad \eta = \frac{x S_n\cos\varphi}{x S_n\cos\varphi + P_{fe} + x^2 P_{cu,n}} \qquad x = S/S_n$$

ประสิทธิภาพสูงสุดเมื่อ $x^2P_{cu,n} = P_{fe}$ หม้อแปลงจำหน่ายออกแบบให้สูงสุดที่ภาระ 40–60 % เพราะส่วนใหญ่ไม่ได้จ่ายเต็มพิกัดตลอดเวลา

กลุ่มเวกเตอร์ Dyn11 (หม้อแปลงจำหน่ายในไทย): ด้านแรงสูงต่อ Δ ด้านแรงต่ำต่อ Y มีนิวทรัลนำออก แรงดันด้านแรงต่ำนำหน้าด้านแรงสูง 30° (เลข 11 = ตำแหน่ง 11 นาฬิกา) ขด Δ ทำให้กระแสลำดับศูนย์และฮาร์มอนิกที่ 3 วนอยู่ในขด ไม่ไหลขึ้นระบบแรงสูง — สำคัญมากในเรื่อง ลัดลงดิน

## Voltage regulation และแรงดันตกในสาย กลาง

L2 Transformer voltage regulation แรงดันตกในหม้อแปลง (%)

$$\varepsilon \approx x\left(\%R\cos\varphi + \%X\sin\varphi\right) + \frac{\big[x(\%X\cos\varphi - \%R\sin\varphi)\big]^2}{200}$$

L4 Voltage-drop approximation แรงดันตกโดยประมาณ (สามเฟส ใช้ P Q รวม แรงดันสาย)

$$\Delta V \approx \frac{R\,P + X\,Q}{V} \qquad \Delta V\% = \frac{RP + XQ}{V^2}\times 100$$

ตัวอย่าง L-2

### หม้อแปลง 1,000 kVA 6 % X/R 6 จ่าย 700 kW PF 0.8

- $S = 875$ kVA → $x = 0.875$ · $\%R = 0.99,\ \%X = 5.92$ · $\cos\varphi = 0.8,\ \sin\varphi = 0.6$

- L2: $0.875(0.99 \times 0.8 + 5.92 \times 0.6) + [0.875(5.92 \times 0.8 - 0.99 \times 0.6)]^2/200 = 3.80 + 0.07 = 3.86\,\%$

- ถ้า PF = 1 (700 kVA): $0.7 \times 0.99 + (0.7 \times 5.92)^2/200 = 0.78\,\%$ — PF ต่ำทำให้แรงดันตกเพิ่มเกือบ 5 เท่า

ตัวอย่าง L-3

### สายป้อน 22 kV R = 2 Ω X = 4 Ω ต่อเฟส จ่าย 5 MW + 3 Mvar

- L4: $\Delta V = (2 \times 5\text{e}6 + 4 \times 3\text{e}6)/22\text{e}3 = 22\text{e}6/22\text{e}3 = 1{,}000$ V = 4.5 %

- ติดคาปาซิเตอร์ปลายสาย 3 Mvar (Q → 0): $\Delta V = 10\text{e}6/22\text{e}3 = 455$ V = 2.1 % — คาปาซิเตอร์ “ยกแรงดัน” เพราะลดเทอม XQ

## แบบจำลองสายส่ง: สั้น ปานกลาง ยาว กลาง

| แบบจำลอง | ความยาว (50 Hz) | องค์ประกอบ |

| สายสั้น | < 80 km | $Z = R + jX$ อนุกรมอย่างเดียว |

| สายปานกลาง (π) | 80–250 km | Z อนุกรม + Y/2 สองข้าง (ความจุไฟฟ้าลงดิน) |

| สายยาว | > 250 km | พารามิเตอร์กระจาย ใช้ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก $\gamma\ell$ |

L5 Nominal-π line แบบจำลอง π ของสายปานกลาง

$$\mathbf V_s = \left(1 + \frac{\mathbf Z\mathbf Y}{2}\right)\mathbf V_r + \mathbf Z\,\mathbf I_r \qquad \mathbf I_s = \mathbf Y\left(1 + \frac{\mathbf Z\mathbf Y}{4}\right)\mathbf V_r + \left(1 + \frac{\mathbf Z\mathbf Y}{2}\right)\mathbf I_r$$

ปรากฏการณ์เฟอร์รันติ: สายยาวที่ไม่มีโหลด ($I_r = 0$) ให้ $V_r = V_s/(1 + ZY/2)$ และเพราะ $ZY$ เป็นลบเกือบจริง แรงดันปลายทางจึง สูงกว่า ต้นทาง ต้องใช้ shunt reactor ในสาย 500 kV ช่วงโหลดต่ำ

## สมการส่งกำลัง P-δ และกำลังรีแอกทีฟ กลาง

L6 Power-angle equation (lossless line) สมการส่งกำลัง

$$P = \frac{V_s\,V_r}{X}\sin\delta \qquad P_{max} = \frac{V_sV_r}{X}\ \ (\delta = 90^\circ)$$

L7 Reactive power at each end กำลังรีแอกทีฟที่ปลายทั้งสอง

$$Q_s = \frac{V_s^2 - V_sV_r\cos\delta}{X} \qquad Q_r = \frac{V_sV_r\cos\delta - V_r^2}{X}$$

L8 Steady-state stability margin ส่วนเผื่อเสถียรภาพสถิต

$$M = \frac{P_{max} - P}{P_{max}} = 1 - \sin\delta$$

ตัวอย่าง L-4

### V_s = V_r = 1.0 pu, X = 0.5 pu ต้องส่ง P = 1.0 pu

- L6: $P_{max} = 1/0.5 = 2.0$ pu → $\sin\delta = 1/2$ → $\delta = 30^\circ$

- L8: ส่วนเผื่อ 50 % · L7: $Q_s = (1 - \cos 30^\circ)/0.5 = 0.268$ pu และ $Q_r = -0.268$ pu (ปลายทางต้องจ่าย Q ด้วย)

- สายกินรีแอกทีฟ $Q_s - Q_r = 0.536 = I^2X$ — สายยิ่งส่งกำลังมาก ยิ่งกิน Q แรงดันจึงตกเมื่อโหลดสูง

## คำถามที่พบบ่อย

%Z ของหม้อแปลงวัดได้อย่างไร?
จากการทดสอบลัดวงจร: ลัดขั้วด้านหนึ่ง แล้วค่อย ๆ เพิ่มแรงดันอีกด้านจนกระแสเท่ากับพิกัด แรงดันที่ใช้เทียบกับแรงดันพิกัดคือ %Z (u_k) กำลังที่วัดได้ขณะนั้นคือการสูญเสียทองแดง ใช้หา %R และ %X ได้

ทำไมการส่งกำลังจริงขึ้นกับมุม δ แต่กำลังรีแอกทีฟขึ้นกับขนาดแรงดัน?
สายส่งมีรีแอกแตนซ์มากกว่าความต้านทานมาก จากสมการ P = V₁V₂ sin δ / X กำลังจริงไหลจากด้านที่มุมนำไปด้านที่มุมตาม ส่วน Q ≈ V(V₁cos δ − V₂)/X ขึ้นกับผลต่างขนาดแรงดันเป็นหลัก การควบคุมระบบจึงแยกเป็น P-f (governor) และ Q-V (AVR คาปาซิเตอร์ แทปหม้อแปลง)

## FAQ

**%Z ของหม้อแปลงวัดได้อย่างไร?**
จากการทดสอบลัดวงจร: ลัดขั้วด้านหนึ่ง แล้วค่อย ๆ เพิ่มแรงดันอีกด้านจนกระแสเท่ากับพิกัด แรงดันที่ใช้เทียบกับแรงดันพิกัดคือ %Z (u_k) กำลังที่วัดได้ขณะนั้นคือการสูญเสียทองแดง ใช้หา %R และ %X ได้

**ทำไมการส่งกำลังจริงขึ้นกับมุม δ แต่กำลังรีแอกทีฟขึ้นกับขนาดแรงดัน?**
สายส่งมีรีแอกแตนซ์มากกว่าความต้านทานมาก จากสมการ P = V₁V₂ sin δ / X กำลังจริงไหลจากด้านที่มุมนำไปด้านที่มุมตาม ส่วน Q ≈ V(V₁cos δ − V₂)/X ขึ้นกับผลต่างขนาดแรงดันเป็นหลัก การควบคุมระบบจึงแยกเป็น P-f (governor) และ Q-V (AVR คาปาซิเตอร์ แทปหม้อแปลง)

---

# ระบบอันดับสอง อัตราส่วนการหน่วง ζ และความถี่ธรรมชาติ ωn

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/second-order-system/
Updated: 2026-10-12
Summary: แล็บโต้ตอบระบบอันดับสอง G(s) = ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²) ปรับ ζ และ ωn หรือค่า R, L, C แล้วดูผลตอบสนองเวลา เปลือกเอกซ์โพเนนเชียล ตำแหน่งขั้วที่ลากได้ Bode plot ระนาบเฟส และ %OS พร้อมกันทุกมุม

// ทฤษฎีประกอบแล็บ

## ระบบอันดับสองทำงานอย่างไร

สรุปใน 30 วินาที

- $G(s) = \dfrac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$ มีพารามิเตอร์แค่สองตัว

- ζ กำหนดรูปร่าง: %OS, จำนวนครั้งที่แกว่ง, ยอดเรโซแนนซ์ ขึ้นกับ ζ อย่างเดียว

- ωn กำหนดความเร็ว: แค่ยืดหรือหดแกนเวลา

- ขั้วอยู่บนวงกลมรัศมี ωn ที่มุม θ โดย $\cos\theta = \zeta$ การแกว่งลดลงตามเปลือก $e^{-\zeta\omega_n t}$ ซึ่งมีค่าคงตัวเวลา $\tau = 1/(\zeta\omega_n)$

## รูปมาตรฐานและที่มา

ระบบที่มีตัวเก็บพลังงานสองตัวซึ่งแลกพลังงานกันไปมา เช่น ตัวเหนี่ยวนำกับตัวเก็บประจุในวงจร RLC หรือมวลกับสปริง จะได้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง เขียนในรูปมาตรฐานได้ว่า

$$\ddot y + 2\zeta\omega_n\,\dot y + \omega_n^2\,y = K\omega_n^2\,u(t) \quad\xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\quad G(s) = \frac{K\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

| ระบบ | ωn | ζ |

| วงจร RLC อนุกรม (เอาต์พุต $v_C$) | $\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ | $\dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L}}$ |

| มวล–สปริง–ตัวหน่วง | $\sqrt{k/m}$ | $\dfrac{c}{2\sqrt{km}}$ |

## ζ กับ ωn ทำหน้าที่ต่างกัน

แทนเวลาด้วยเวลาปรับมาตรฐาน $t' = \omega_n t$ จะได้ $\dfrac{d}{dt} = \omega_n\dfrac{d}{dt'}$ แทนลงในสมการแล้วหารด้วย $\omega_n^2$

$$\frac{d^2y}{dt'^2} + 2\zeta\,\frac{dy}{dt'} + y = K\,u$$

ωn หายไปจากสมการทั้งหมด เหลือเพียง ζ แปลว่า รูปร่างของกราฟเมื่อพล็อตเทียบกับ $\omega_n t$ ขึ้นกับ ζ อย่างเดียว ส่วน ωn ทำหน้าที่เพียงยืดหรือหดแกนเวลา ในแล็บด้านบน ลองเลือกแกน "เวลาปรับมาตรฐาน ωₙt" แล้วกด "กวาด ωn" กราฟจะนิ่งสนิท จากนั้นกด "กวาด ζ" จะเห็นรูปร่างเปลี่ยนตั้งแต่แกว่งมากจนถึงค่อย ๆ ขึ้นช้า ๆ

## สี่กรณีของ ζ

| ζ | ชื่อ | ขั้ว | ผลตอบสนองขั้นบันได |

| 0 | ไม่หน่วง | $\pm j\omega_n$ บนแกนจินตภาพ | แกว่งตลอดไป พุ่งเกิน 100% |

| 0 < ζ < 1 | หน่วงน้อย | คู่สังยุค $-\zeta\omega_n \pm j\omega_d$ | พุ่งเกินแล้วแกว่งลดลงตามเปลือก |

| 1 | หน่วงวิกฤต | ขั้วซ้ำที่ $-\omega_n$ | เร็วที่สุดโดยไม่พุ่งเกิน |

| > 1 | หน่วงมาก | ขั้วจริงสองตัว | ไม่พุ่งเกิน ช้า ถูกครอบงำด้วยขั้วที่ใกล้แกนจินตภาพ |

## ตำแหน่งขั้วบอกทุกอย่าง

$$s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = -\sigma \pm j\omega_d \qquad |s| = \omega_n,\quad \cos\theta = \zeta$$

- ระยะจากจุดกำเนิด คือ ωn ขั้วที่อยู่บนวงกลมเดียวกันมีความเร็วโดยรวมเท่ากัน

- มุม θ วัดจากแกนจริงลบ กำหนด ζ จึงกำหนด %OS เส้นรัศมีที่มุมเดียวกันให้ %OS เท่ากัน

- ส่วนจริง σ = ζωn กำหนดอัตราการลดลง เปลือก $e^{-\sigma t}$ มีค่าคงตัวเวลา $\tau = 1/\sigma$ และเวลาเข้าที่ $t_s \approx 4\tau$

- ส่วนจินตภาพ ωd กำหนดความถี่การแกว่ง คาบ $T_d = 2\pi/\omega_d$ และเวลาถึงยอด $t_p = \pi/\omega_d$

ในแล็บ ลากขั้วบนระนาบ s ไปตามวงกลม (ωn คงที่) แล้วดูรูปร่างเปลี่ยน หรือลากออกไปตามเส้นรัศมี (ζ คงที่) แล้วดูว่ากราฟเร็วขึ้นโดย %OS เท่าเดิม

## สเปกในโดเมนเวลา

$$\%OS = 100\,e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}} \qquad t_p = \frac{\pi}{\omega_d} \qquad t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}$$

สูตร $t_s$ มาจากเปลือก $e^{-\zeta\omega_n t}$ ลดลงเหลือประมาณ 2% เมื่อผ่านไป 4τ ค่าจริงอาจต่างเล็กน้อย แล็บแสดงทั้งสองค่าให้เทียบ

ตัวอย่างที่ 1

### ระบบมี ζ = 0.5 และ ωn = 4 rad/s จงหา %OS, tₚ และ tₛ

ดูวิธีทำ

$$\omega_d = 4\sqrt{1 - 0.25} = 3.46\ \text{rad/s} \qquad \%OS = 100\,e^{-0.5\pi/0.866} = 16.3\%$$

$$t_p = \frac{\pi}{3.46} = 0.907\ \text{s} \qquad t_s \approx \frac{4}{0.5 \times 4} = 2\ \text{s}$$

%OS = 16.3%, tₚ = 0.907 s, tₛ ≈ 2 s ลองตั้ง ζ = 0.5 และ ωn = 4 ในแล็บแล้วเปิด "แถบเข้าที่ ±2%" เพื่อเทียบค่า tₛ จริงกับสูตร

ตัวอย่างที่ 2 · ออกแบบ

### ต้องการให้พุ่งเกินไม่เกิน 5% ต้องใช้ ζ อย่างน้อยเท่าใด

ดูวิธีทำ

กลับสูตร %OS โดยให้ $L = -\ln(0.05)$

$$\zeta = \frac{-\ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2(\%OS/100)}} = \frac{2.996}{\sqrt{9.870 + 8.974}} = 0.690$$

ζ ≥ 0.69 ซึ่งตรงกับมุมขั้ว θ ≤ 46.4° บนระนาบ s

## ผลตอบสนองเชิงความถี่

$$\lvert G(j\omega)\rvert = \frac{\omega_n^2}{\sqrt{(\omega_n^2-\omega^2)^2 + (2\zeta\omega_n\omega)^2}} \qquad \angle G(j\omega) = -\tan^{-1}\frac{2\zeta\omega_n\omega}{\omega_n^2 - \omega^2}$$

- ที่ $\omega = \omega_n$ เฟสเท่ากับ −90° เสมอ และขนาดเท่ากับ $1/(2\zeta)$

- ถ้า $\zeta < 0.707$ มียอดเรโซแนนซ์ $M_r = \dfrac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}$ ที่ $\omega_r = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}$

- เหนือ ωn ขนาดลดลง 40 dB ต่อทศวรรษ (สองเท่าของระบบอันดับหนึ่ง)

| ζ | มุมขั้ว θ | %OS | ยอดเรโซแนนซ์ Mr |

| 0.3 | 72.5° | 37.2% | 4.85 dB |

| 0.5 | 60° | 16.3% | 1.25 dB |

| 0.707 | 45° | 4.3% | 0 dB (ไม่มียอด) |

| 1 | 0° | 0% | ไม่มียอด |

ตารางนี้คือหัวใจของบท ζ ตัวเดียวผูกมุมขั้ว การพุ่งเกินในโดเมนเวลา และยอดเรโซแนนซ์ในโดเมนความถี่เข้าด้วยกัน

ผลตอบสนองทั้งหมดในบทนี้คือคอนโวลูชันระหว่างอินพุตกับผลตอบสนองอิมพัลส์ของระบบ ปูพื้นเรื่องสัญญาณและคอนโวลูชันได้ใน แล็บสัญญาณเบื้องต้น

## ตัวอย่างวงจร RLC

ตัวอย่างที่ 3 · วงจร

### วงจร RLC อนุกรม R = 20 Ω, L = 100 mH, C = 100 µF ป้อนแรงดันขั้นบันได จงหา ωn, ζ, %OS และ tₛ ของแรงดันตัวเก็บประจุ

ดูวิธีทำ

$$\omega_n = \frac{1}{\sqrt{(0.1)(100\times10^{-6})}} = 316\ \text{rad/s} \qquad \zeta = \frac{20}{2}\sqrt{\frac{100\times10^{-6}}{0.1}} = 0.316$$

$$\%OS = 100\,e^{-0.316\pi/\sqrt{1-0.1}} = 35.1\% \qquad \tau = \frac{1}{\zeta\omega_n} = 10\ \text{ms} \qquad t_s \approx 4\tau = 40\ \text{ms}$$

ωn = 316 rad/s, ζ = 0.316, พุ่งเกิน 35.1% และเข้าที่ประมาณ 40 ms เลือก "วงจร RLC อนุกรม" ในแล็บ ค่าเริ่มต้นคือวงจรนี้พอดี ลองเพิ่ม R จะเห็น ζ เพิ่มขึ้นและการพุ่งเกินลดลง

## ต่อยอด: ออกแบบระบบอันดับสองด้วยรูทโลคัสและโบด

สูตร %OS, ts, tp ในแล็บนี้คือสเปกที่ใช้ออกแบบตัวควบคุมทั้งหมด ดูผลตอบสนองเวลาและขั้วเด่น รูทโลคัส ที่ใช้เลือกเกนให้ได้ ζ ตามต้องการ เฟสมาร์จินกับ ζ และยอดเรโซแนนซ์บนโบด

## คำถามที่พบบ่อย

อัตราส่วนการหน่วง ζ คืออะไร?
เป็นตัวเลขไร้หน่วยที่บอกว่าระบบสูญเสียพลังงานเร็วแค่ไหนเมื่อเทียบกับการแกว่ง ζ เพียงตัวเดียวกำหนดรูปร่างของผลตอบสนอง ได้แก่ ไม่หน่วง (ζ = 0) หน่วงน้อย (0 1) และกำหนดเปอร์เซ็นต์พุ่งเกินโดยตรง

ทำไมนิยมออกแบบให้ ζ ≈ 0.707?
เพราะเป็นค่าที่สมดุลระหว่างความเร็วกับการพุ่งเกิน พุ่งเกินเพียงประมาณ 4.3% ไม่มียอดเรโซแนนซ์ใน Bode plot และขั้วอยู่ที่มุม 45° พอดี

ζ กับ ωn ตัวไหนทำให้ระบบเร็วขึ้น?
ωn ทำหน้าที่ยืดหรือหดแกนเวลาเท่านั้น เพิ่ม ωn เป็นสองเท่า ทุกอย่างเกิดเร็วขึ้นสองเท่าโดยรูปร่างเหมือนเดิม ส่วน ζ เปลี่ยนรูปร่าง เวลาเข้าที่ประมาณ $4/(\zeta\omega_n)$ จึงขึ้นกับผลคูณ $\zeta\omega_n$ ซึ่งคือระยะของขั้วจากแกนจินตภาพ

ωn กับ ωd ต่างกันอย่างไร?
ωn คือความถี่ที่ระบบจะแกว่งถ้าไม่มีการหน่วงเลย ส่วน ωd = $\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ คือความถี่ที่แกว่งจริงเมื่อมีการหน่วง บนระนาบ s ωn คือระยะจากจุดกำเนิดถึงขั้ว และ ωd คือส่วนจินตภาพของขั้ว

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**อัตราส่วนการหน่วง ζ คืออะไร?**
เป็นตัวเลขไร้หน่วยที่บอกว่าระบบสูญเสียพลังงานเร็วแค่ไหนเมื่อเทียบกับการแกว่ง ζ เพียงตัวเดียวกำหนดรูปร่างของผลตอบสนอง ได้แก่ ไม่หน่วง (ζ = 0) หน่วงน้อย (0  1) และกำหนดเปอร์เซ็นต์พุ่งเกินโดยตรง

**ทำไมนิยมออกแบบให้ ζ ≈ 0.707?**
เพราะเป็นค่าที่สมดุลระหว่างความเร็วกับการพุ่งเกิน พุ่งเกินเพียงประมาณ 4.3% ไม่มียอดเรโซแนนซ์ใน Bode plot และขั้วอยู่ที่มุม 45° พอดี

**ζ กับ ωn ตัวไหนทำให้ระบบเร็วขึ้น?**
ωn ทำหน้าที่ยืดหรือหดแกนเวลาเท่านั้น เพิ่ม ωn เป็นสองเท่า ทุกอย่างเกิดเร็วขึ้นสองเท่าโดยรูปร่างเหมือนเดิม ส่วน ζ เปลี่ยนรูปร่าง เวลาเข้าที่ประมาณ $4/(\zeta\omega_n)$ จึงขึ้นกับผลคูณ $\zeta\omega_n$ ซึ่งคือระยะของขั้วจากแกนจินตภาพ

**ωn กับ ωd ต่างกันอย่างไร?**
ωn คือความถี่ที่ระบบจะแกว่งถ้าไม่มีการหน่วงเลย ส่วน ωd = $\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ คือความถี่ที่แกว่งจริงเมื่อมีการหน่วง บนระนาบ s ωn คือระยะจากจุดกำเนิดถึงขั้ว และ ωd คือส่วนจินตภาพของขั้ว

---

# เซนเซอร์และทรานส์ดิวเซอร์: เครื่องมือวัดคุมอุตสาหกรรมครบชุด

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/
Updated: 2026-10-14
Summary: ชุดบทเรียนเซนเซอร์ (sensor) และทรานส์ดิวเซอร์ (transducer) ภาษาไทย 20 หน้า: นิยามตาม VIM ประวัติและวิวัฒนาการ หน่วย SI มาตรวิทยา มาตรฐานพร้อมประเทศต้นแบบ การวัดอุณหภูมิ Pt100 เทอร์โมคัปเปิล ความดัน การไหล ISO 5167 magmeter คอริโอลิส ระดับ เรดาร์ แรง ตำแหน่ง กระแส แรงดัน ปรับสภาพสัญญาณ ADC สัญญาณมาตรฐาน 4–20 mA NAMUR NE 43 HART Modbus PROFIBUS FOUNDATION Fieldbus IO-Link Ethernet-APL เซนเซอร์อัจฉริยะ IIoT P&ID ISA-5.1 การสอบเทียบ และแล็บวัดคุมเสมือน (สะกดได้ทั้ง เซนเซอร์/เซ็นเซอร์ ทรานส์ดิวเซอร์/ทรานสดิวเซอร์)

// บทที่ 20 · Sensors & Transducers · Instrumentation & Control

# เซนเซอร์และทรานส์ดิวเซอร์: เครื่องมือวัดคุมอุตสาหกรรมครบชุด

ทุกระบบควบคุมเริ่มจากการวัด ถ้าค่าที่วัดผิด ตัวควบคุมที่ดีที่สุดก็ควบคุมผิดอย่างแม่นยำ ชุดนี้พาจากนิยาม หน่วย และมาตรฐาน ไปสู่เครื่องมือวัดอุณหภูมิ ความดัน การไหล ระดับ แรง ตำแหน่ง กระแส และแรงดัน แล้วต่อด้วยสัญญาณมาตรฐาน เครือข่ายอุตสาหกรรม และงานจริงในโรงงาน เหมือนเรียนในภาควิชาวัดคุม — มี 87 สูตรที่มีรหัสอ้างอิง 36 ตัวอย่างวิธีทำ เครื่องคำนวณกว่า 25 ตัว และแล็บวัดคุมเสมือน

ในชุดนี้มีอะไร

- ภาค 1 รากฐาน: นิยาม VIM · ประวัติ · หน่วย SI · แปลงหน่วย · มาตรวิทยา · มาตรฐานพร้อมประเทศต้นแบบ

- ภาค 2 เครื่องมือวัด: อุณหภูมิ · ความดัน · อัตราการไหล · ระดับ · แรงและตำแหน่ง · กระแสและแรงดัน

- ภาค 3 สัญญาณและเครือข่าย: ปรับสภาพสัญญาณ ADC · 4–20 mA HART · Modbus · ฟิลด์บัส · IIoT

- ภาค 4 งานจริง: P&ID ISA-5.1 · เลือก ติดตั้ง สอบเทียบ Ex SIL · แล็บวัดคุมเสมือน

## ภาพใหญ่: จากปริมาณทางกายภาพถึงตัวควบคุม

รูป 1 · ทุกหน้าในชุดนี้คือหนึ่งกล่องหรือหนึ่งลูกศรในภาพนี้

### Sensor VIM 3.8
ส่วนของระบบวัดที่ ได้รับผลโดยตรง จากปรากฏการณ์ วัตถุ หรือสารที่มีปริมาณซึ่งต้องการวัด เช่น ปลาย Pt100 ที่สัมผัสของเหลว ไดอะแฟรมของเซลล์ความดัน

### Measuring transducer VIM 3.7
อุปกรณ์ที่ให้ปริมาณเอาต์พุตซึ่งมีความสัมพันธ์ที่ระบุไว้กับปริมาณอินพุต เช่น เปลี่ยนความดันเป็นแรงดัน 0–10 V ในงานอุตสาหกรรมมักหมายถึง "เซนเซอร์ + ภาคปรับสภาพสัญญาณ"

### Transmitter
ทรานส์ดิวเซอร์ที่ออกสัญญาณมาตรฐานสำหรับส่งระยะไกล โดยทั่วไป 4–20 mA และอาจมี HART หรือฟิลด์บัส คำของภาคอุตสาหกรรมกระบวนการ

S1 Sensitivity ความไว (ความชันของคุณลักษณะสถิต)

$$S = \frac{\Delta y}{\Delta x} \qquad y = y_0 + S\,x \;(\text{เชิงเส้น})$$

S2 % of full scale vs % of reading ความคลาดเทียบเต็มสเกลกับเทียบค่าอ่าน

$$e_{FS} = \pm\,a\,\%\times FS \qquad e_{RDG} = \pm\,b\,\%\times x \qquad \frac{e_{FS}}{x} \text{ โตขึ้นเมื่อ } x \text{ เล็ก}$$

S3 First-order sensor response การตอบสนองอันดับหนึ่ง

$$y(t) = y_\infty\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad t = \tau \to 63.2\,\%,\;\; 3\tau \to 95\,\%,\;\; 5\tau \to 99.3\,\%$$

S4 Range scaling (any standard signal) สเกลสัญญาณมาตรฐาน

$$x = LRV + \frac{s - s_0}{s_{100} - s_0}\,(URV - LRV) \qquad (s_0, s_{100}) = (4, 20)\ \text{mA},\ (0, 10)\ \text{V},\ (3, 15)\ \text{psi}$$

## ทุกบทในชุดนี้

ส่วนที่ 1

### รากฐานการวัด หน่วย และมาตรฐาน Foundations, History, Units & Standards
นิยาม ห่วงโซ่การวัด ประวัติและวิวัฒนาการ หน่วย SI เครื่องแปลงหน่วย มาตรวิทยา และมาตรฐานพร้อมประเทศต้นแบบ

S20.1
หลักการเบื้องต้นของเซนเซอร์และทรานส์ดิวเซอร์: ห่วงโซ่การวัด ความคลาดเคลื่อน และการตอบสนอง
Sensor & Transducer Fundamentals
นิยามตาม VIM ห่วงโซ่การวัด หลักการแปลงพลังงาน sensitivity hysteresis nonlinearity %FS กับ %RDG ค่าคงตัวเวลา พร้อมแล็บ 3 ชุด
เปิดหน้า →สูตร F1, F2, …

⌛20.2
ประวัติและวิวัฒนาการของเซนเซอร์และเครื่องมือวัดคุม: จากเทอร์โมสโคปถึง Ethernet-APL
History & Evolution of Instrumentation
เส้นเวลา 400 ปี: ปรากฏการณ์ที่ค้นพบ ยุคนิวแมติก 3–15 psi ยุค 4–20 mA ยุคดิจิทัล HART ฟิลด์บัส และยุคเซนเซอร์อัจฉริยะ พร้อมประเทศต้นกำเนิด
เปิดหน้า →สูตร H1, H2, …

SI20.3
หน่วยและระบบหน่วยสำหรับงานเซนเซอร์: SI ค่าคงตัวนิยามปี 2019 คำนำหน้า และกับดักในดาต้าชีต
Units & Systems of Units
SI 7 หน่วยฐาน หน่วยอนุพันธ์ทางไฟฟ้า คำนำหน้า ระบบหน่วยอื่น psi kgf gauss กฎการเขียน และเครื่องมือวิเคราะห์มิติ
เปิดหน้า →สูตร U1, U2, …

⇄20.4
เครื่องมือแปลงหน่วยออนไลน์ สเกล 4–20 mA และเครื่องมือเดซิเบล
Unit Converter Lab
แปลงหน่วยแบบพิมพ์นิพจน์ psi bar kgf/cm² °C/°F rpm W/(m·K) สเกลกระแส 4–20 mA และเดซิเบล ทำงานในเบราว์เซอร์
เปิดหน้า →สูตร C1, C2, …

kg20.5
มาตรฐานการวัดและมาตรวิทยา: การสอบกลับ SI ปี 2019 Josephson และ ITS-90
Metrology & Measurement Standards
โซ่การสอบกลับจาก SI ถึงเซนเซอร์หน้างาน ประวัติต้นแบบ มาตรฐานไฟฟ้าควอนตัม จุดคงที่ ITS-90 และเครื่องคิดเลขงบความไม่แน่นอน
เปิดหน้า →สูตร M1, M2, …

IEC20.6
มาตรฐานสำหรับเซนเซอร์และเครื่องมือวัด: IEC ISO IEEE ISA NAMUR DIN JIS มอก. และประเทศต้นแบบ
Standards & Their Countries of Origin
ฐานข้อมูลมาตรฐานที่ค้นหาและกรองได้ พร้อมประเทศและองค์กรต้นแบบ แผนที่ประเทศ และตัวเลือกมาตรฐานตามชนิดเซนเซอร์
เปิดหน้า →สูตร E1, E2, …

ส่วนที่ 2

### เครื่องมือวัดตามปริมาณ Measuring Instruments by Quantity
อุณหภูมิ ความดัน อัตราการไหล ระดับ แรงและตำแหน่ง กระแสและแรงดัน ตั้งแต่หลักฟิสิกส์ถึงทรานสมิตเตอร์ในโรงงาน

°C20.7
การวัดอุณหภูมิ: RTD Pt100 เทอร์โมคัปเปิล เทอร์มิสเตอร์ IC และอินฟราเรด
Temperature Measurement
สมการ Callendar–Van Dusen ตาม IEC 60751 การต่อ 2/3/4 สาย เทอร์โมคัปเปิล IEC 60584 การชดเชยจุดเย็น Steinhart–Hart ไพโรมิเตอร์ ทรานสมิตเตอร์อุณหภูมิ พร้อมเครื่องคำนวณ
เปิดหน้า →สูตร T1, T2, …

Pa20.8
การวัดความดัน: Gauge Absolute DP เบอร์ดอง สเตรนเกจ ไพอีโซรีซิสทีฟ คาปาซิทีฟ และทรานสมิตเตอร์
Pressure Measurement
ความดันสัมบูรณ์ เกจ และผลต่าง หลักการเซนเซอร์ทุกแบบ ทรานสมิตเตอร์ DP ซีลไดอะแฟรม การเลือกช่วงและ turndown พร้อมแล็บ
เปิดหน้า →สูตร P1, P2, …

Q20.9
การวัดอัตราการไหล: ออริฟิซ ISO 5167 แม่เหล็กไฟฟ้า อัลตราโซนิก วอร์เท็กซ์ คอริโอลิส และเทอร์ไบน์
Flow Measurement
เรย์โนลด์ส์ สมการเบอร์นูลลีสู่ ISO 5167 การถอดรากที่สอง magmeter E = kBDv อัลตราโซนิกเวลาเดินทาง วอร์เท็กซ์ Strouhal คอริโอลิส และตารางเลือกมิเตอร์
เปิดหน้า →สูตร Q1, Q2, …

h20.10
การวัดระดับ: ความดันไฮโดรสแตติก DP เรดาร์ FMCW เรดาร์นำคลื่น อัลตราโซนิก ลูกลอย และสวิตช์ระดับ
Level Measurement
h = ΔP/(ρg) ถังเปิดและถังปิด ขาเปียกขาแห้ง เรดาร์ FMCW 80 GHz TDR อัลตราโซนิก การชดเชยอุณหภูมิ ปริมาตรถังนอน และสวิตช์ระดับ
เปิดหน้า →สูตร L1, L2, …

N20.11
เซนเซอร์แรง น้ำหนัก ตำแหน่ง และการเคลื่อนที่: สเตรนเกจ โหลดเซลล์ LVDT เอนโค้ดเดอร์ และพร็อกซิมิตี
Force, Weight & Position
สเตรนเกจและสะพานวีตสโตน โหลดเซลล์ mV/V LVDT เอนโค้ดเดอร์ A/B/Z พร็อกซิมิตีสวิตช์ NPN/PNP และความเร็วรอบ
เปิดหน้า →สูตร R1, R2, …

A20.12
เซนเซอร์วัดกระแสและแรงดัน: ชันต์ CT ฮอลล์ โรโกวสกี และตัวแบ่งแรงดันแบบแยกโดดเดี่ยว
Current & Voltage Sensing
ชันต์และ Kelvin หม้อแปลงกระแส IEC 61869 คลาสและภาระ ฮอลล์ open/closed loop ขดโรโกวสกี และการวัดแรงดันแบบแยกโดดเดี่ยว
เปิดหน้า →สูตร V1, V2, …

ส่วนที่ 3

### สัญญาณมาตรฐานและเครือข่ายอุตสาหกรรม Standard Signals & Industrial Networks
ปรับสภาพสัญญาณและ ADC, 4–20 mA กับ HART, Modbus, ฟิลด์บัสและ Industrial Ethernet, เซนเซอร์อัจฉริยะและ IIoT

ADC20.13
การปรับสภาพสัญญาณและ ADC: บริดจ์ อินสทรูเมนเทชันแอมป์ ฟิลเตอร์ การแยกโดดเดี่ยว และการสุ่ม
Signal Conditioning & ADC
สะพานวีตสโตน INA CMRR ฟิลเตอร์กันรอยต่อ (anti-aliasing) ความละเอียด LSB ENOB สัญญาณรบกวน การต่อกราวด์ และงบความคลาดเคลื่อนทั้งห่วงโซ่
เปิดหน้า →สูตร A1, A2, …

mA20.14
สัญญาณมาตรฐานอุตสาหกรรม: 4–20 mA สองสาย 0–10 V NAMUR NE 43 และ HART
Standard Signals: 4–20 mA & HART
ทำไมต้อง 4–20 mA ลูปสองสาย สามสาย สี่สาย งบแรงดันลูปและความต้านทานโหลด NE 43 HART FSK 1200/2200 Hz พร้อมซิมูเลเตอร์ลูปและโมเด็ม HART
เปิดหน้า →สูตร I1, I2, …

0120.15
Modbus RTU และ Modbus TCP: RS-485 เฟรม ฟังก์ชันโค้ด รีจิสเตอร์ CRC-16 และ Float32
Modbus RTU & TCP
RS-485 การต่อสายและเทอร์มิเนเตอร์ แบบจำลองข้อมูล 4 ตาราง ฟังก์ชันโค้ด 03/04/06/16 คำนวณ CRC-16 และเวลาเฟรม แปลง Float32 สลับไบต์ พร้อมเครื่องสร้างเฟรม
เปิดหน้า →สูตร D1, D2, …

⇆20.16
ฟิลด์บัสและ Industrial Ethernet: PROFIBUS DP/PA FOUNDATION Fieldbus IO-Link PROFINET EtherNet/IP EtherCAT และ Ethernet-APL
Fieldbus & Industrial Ethernet
เปรียบเทียบเครือข่ายภาคสนาม: ชั้นกายภาพ ความเร็ว ระยะ การจ่ายไฟบนสาย ความปลอดภัยในตัว งบกระแสเซกเมนต์ ประเทศต้นกำเนิด และวิธีเลือก
เปิดหน้า →สูตร B1, B2, …

IoT20.17
เซนเซอร์อัจฉริยะและ IIoT: MEMS เซนเซอร์ไร้สาย IEEE 1451 OPC UA MQTT และการบำรุงรักษาเชิงพยากรณ์
Smart Sensors & IIoT
หลักการสมัยใหม่: MEMS วินิจฉัยตัวเอง TEDS WirelessHART ISA100 LoRaWAN OPC UA MQTT NAMUR Open Architecture สถาปัตยกรรม Industry 4.0 และงบพลังงานแบตเตอรี่
เปิดหน้า →สูตร N1, N2, …

ส่วนที่ 4

### งานวัดคุมในโรงงานและแล็บ Plant Practice & Virtual Lab
สัญลักษณ์ P&ID ตาม ISA-5.1 การเลือก ติดตั้ง และสอบเทียบ และห้องแล็บวัดคุมเสมือนทั้งระบบ

FT20.18
สัญลักษณ์และแท็กเครื่องมือวัดบน P&ID ตาม ISA-5.1: อ่าน FT-101 TIC-205 และวงจรควบคุม
P&ID Symbols & Instrument Tags (ISA-5.1)
ตัวอักษรตัวแรกและตัวตาม สัญลักษณ์วงกลมตามตำแหน่ง เส้นสัญญาณ ตัวอย่างลูปควบคุมระดับ อัตราไหล ความดัน อุณหภูมิ และเครื่องมือถอดรหัสแท็ก
เปิดหน้า →สูตร G1, G2, …

✓20.19
เลือก ติดตั้ง และสอบเทียบเครื่องมือวัด: ช่วงวัด IP Ex SIL การสอบเทียบ 5 จุด ลูปเช็ก และใบรับรอง
Selection, Installation & Calibration
เช็กลิสต์เลือกเครื่องมือ IP ตาม IEC 60529 พื้นที่อันตราย Ex SIL ตาม IEC 61508/61511 การสอบเทียบ as-found/as-left TUR ลูปเช็กและการแก้ปัญหาหน้างาน
เปิดหน้า →สูตร K1, K2, …

⚗20.20
ห้องแล็บวัดคุมเสมือน: ถังน้ำ ปั๊ม วาล์ว ทรานสมิตเตอร์ 4–20 mA Modbus และ PID ในหน้าเดียว
Virtual Instrumentation & Control Lab
โรงงานจำลองแบบเรียลไทม์: LT FT PT TT ส่ง 4–20 mA เข้า PLC ควบคุม PID ใส่ความผิดพลาด (สายขาด drift ฟองอากาศ) อ่านรีจิสเตอร์ Modbus และใบงาน
เปิดหน้า →ซิมูเลเตอร์

## เส้นทางเรียนตามบทบาท

### ช่างวัดคุม · ปวส.
หลักการเบื้องต้น → 4–20 mA → อุณหภูมิ → ความดัน → P&ID → สอบเทียบ · ลูปเช็ก → แล็บ

### นักศึกษาวิศวกรรม · ป.ตรี
หน่วย → มาตรวิทยา → ปริมาณทั้งหก → ปรับสภาพสัญญาณ · ADC → Modbus → PID → แล็บ

### วิศวกรโครงการ · ออกแบบระบบ
การไหล → ระดับ → ฟิลด์บัส → IIoT → Ex · SIL → มาตรฐาน

## เครื่องมือโต้ตอบเด่น

ลองใช้ซิมูเลเตอร์ลูป 4–20 mA ได้ที่นี่เลย เลื่อนค่ากระบวนการแล้วเลือกความผิดพลาด จากนั้นไปที่ แล็บวัดคุมเสมือน เพื่อควบคุมถังน้ำทั้งระบบ

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้ซิมูเลเตอร์

| เครื่องมือ | หน้า |

| แล็บวัดคุมเสมือน: ถัง ปั๊ม วาล์ว LT FT PT TT PID Modbus | 20.20 |

| เครื่องแปลงหน่วย · สเกล 4–20 mA | 20.4 |

| Pt100 · เทอร์โมคัปเปิล NIST · CJC · NTC | 20.7 |

| ออริฟิซ ISO 5167 · magmeter · อัลตราโซนิก | 20.9 |

| ระดับ DP ขาเปียก · เรดาร์ FMCW · ถังนอน | 20.10 |

| โมเด็ม HART · งบลูป · NE 43 | 20.14 |

| เครื่องสร้างเฟรม Modbus · CRC-16 · Float32 | 20.15 |

| ถอดรหัสแท็ก ISA-5.1 · ใบบันทึกสอบเทียบ | 20.18 · 20.19 |

## เลือกใช้คำอย่างไร: ข้อกำหนดศัพท์ของชุดนี้

ชื่อหัวข้อมีผลทั้งต่อความถูกต้องทางวิชาการ ความสม่ำเสมอของตำรา และการค้นหา จึงตัดสินใจเป็นหลักเกณฑ์เดียวแล้วใช้ทั้งเว็บ

| คำที่ใช้ในเว็บนี้ | เหตุผล | รูปอื่นที่พบ (ค้นหาได้เช่นกัน) |

| เซนเซอร์ (sensor) | หลักเกณฑ์การทับศัพท์ภาษาอังกฤษของราชบัณฑิตยสภาไม่ใช้ไม้ไต่คู้กับคำทับศัพท์ทั่วไป หน่วยงานภาครัฐ เช่น สำนักงานปลัดกระทรวง อว. ใช้รูปนี้ในหัวเรื่อง (ในเนื้อหายังพบทั้งสองรูป สะท้อนว่าการใช้จริงยังไม่นิ่ง จึงยิ่งควรกำหนดให้ชัด) ผู้ผลิตอุปกรณ์จำนวนมากก็ใช้รูปนี้ อีกทั้งเว็บนี้ใช้รูปนี้อยู่แล้วในบทอื่นเกือบทั้งหมด และช่วยแยกจาก "เซ็นเซอร์" ในความหมายการตรวจพิจารณาเนื้อหา (censor) ที่คนไทยใช้กันทั่วไป | เซ็นเซอร์ · ตัวรับรู้ · ตัวตรวจจับ |

| ทรานส์ดิวเซอร์ (transducer) | ตามหลักเดียวกัน: พยางค์ trans- มีพยัญชนะท้ายสองตัว ออกเสียงตัวแรกเป็นตัวสะกดและใส่ทัณฑฆาตบน ส (แบบเดียวกับ "ทรานส์ฟอร์เมอร์") ใช้คู่กับภาษาอังกฤษในวงเล็บครั้งแรกของทุกหน้า | ทรานสดิวเซอร์ · ตัวแปลงพลังงาน · ตัวแปลงสัญญาณ |

| ทรานสมิตเตอร์ (transmitter) | แยกเป็นคำของตัวเอง: ทรานส์ดิวเซอร์ที่ส่งสัญญาณมาตรฐาน (4–20 mA, HART, ฟิลด์บัส) ไปไกล — ที่นี่ s ถูกออกเสียงเป็นต้นพยางค์ถัดไป จึงไม่มีทัณฑฆาต | ตัวส่งสัญญาณ |

| ภาคปรับสภาพสัญญาณ (signal conditioning) | บรรยายหน้าที่ตรงตัว: กระตุ้น ขยาย กรอง ชดเชย แปลงรูปสัญญาณ | วงจรปรับแต่งสัญญาณ |

| ปริมาณที่ต้องการวัด (measurand) | ตรงกับนิยาม VIM และไม่ปนกับ "ตัวแปร" ในสมการ | ตัวแปรวัด |

| การสอบเทียบ · การปรับแต่ง | แยกกันตาม VIM: calibration คือเปรียบเทียบและบันทึก adjustment คือแก้ไขเครื่อง | คาลิเบรต |

| การสอบกลับ (traceability) | ศัพท์ที่สถาบันมาตรวิทยาแห่งชาติใช้ | ความสามารถสอบย้อนกลับ |

หมายเหตุความโปร่งใส: ผมยืนยันรูป "เซนเซอร์" จากหลักเกณฑ์การทับศัพท์และการใช้ของหน่วยงานรัฐได้ แต่ยังไม่พบรายการ "transducer" ในพจนานุกรมศัพท์บัญญัติฉบับออนไลน์ รูป "ทรานส์ดิวเซอร์" จึงได้จากการใช้หลักเกณฑ์เดียวกัน หากพบศัพท์บัญญัติที่ต่างออกไปในอนาคต การเปลี่ยนทำได้ทั้งเว็บในขั้นตอนเดียว เพราะทุกหน้าสร้างจากต้นฉบับเดียวกัน คำค้นทั้งสองรูปถูกใส่ไว้ในข้อมูลสำหรับเครื่องมือค้นหาแล้ว

## ค้นหาสูตรทั้งหมดในที่เดียว

รหัส: S ภาพรวม · H ประวัติ · T อุณหภูมิ · P ความดัน · Q การไหล · L ระดับ · R แรงและตำแหน่ง · V กระแสและแรงดัน · A ปรับสภาพสัญญาณ · I 4–20 mA · D Modbus · B ฟิลด์บัส · N IIoT · K สอบเทียบ

## เชื่อมกับบทเรียนอื่นในเว็บ

| หัวข้อในชุดนี้ | บทที่เกี่ยวข้อง |

| การตอบสนองเวลาของเซนเซอร์ (τ) | ระบบอันดับหนึ่ง · ระบบอันดับสอง |

| ลูปควบคุมระดับ อุณหภูมิ และการจูน | PID · การจูน PID |

| การสุ่มสัญญาณ aliasing และการวิเคราะห์การสั่น | DFT · FFT |

| การวัดด้วยออสซิลโลสโคปและโพรบ | เทคนิคการวัด |

| เซนเซอร์กระแสในคอนเวอร์เตอร์ | เลือกชิปควบคุม |

| CT ในระบบป้องกันและการวัด PF | หลักการป้องกัน · การวัด PF |

| การเฝ้าติดตามระบบโซลาร์ | พยากรณ์ · เฝ้าติดตาม |

## แหล่งอ้างอิงหลักของชุดนี้

- VIM — International Vocabulary of Metrology (JCGM 200) · BIPM — SI

- IEC 60751 · IEC 60584 · ISO 5167 · IEC 61298 · IEC 60381 · NAMUR NE 43 · ANSI/ISA-5.1 · IEC 61158 · IEC 61131-9 · IEC 60079 · IEC 61511

- NIST ITS-90 Thermocouple Database · Modbus specifications · FieldComm Group

- สำนักงานปลัดกระทรวงการอุดมศึกษาฯ — เทคโนโลยีเซนเซอร์ (ตัวอย่างการใช้รูปสะกดของหน่วยงานรัฐ)

## คำถามที่พบบ่อย

เซนเซอร์กับทรานส์ดิวเซอร์ต่างกันอย่างไร?
ตามพจนานุกรมมาตรวิทยาสากล VIM เซนเซอร์ (sensor) คือส่วนของระบบวัดที่ได้รับผลโดยตรงจากปริมาณที่ต้องการวัด เช่น ปลาย Pt100 ที่แช่ในของเหลว ส่วนทรานส์ดิวเซอร์วัด (measuring transducer) คืออุปกรณ์ที่ให้ปริมาณเอาต์พุตซึ่งสัมพันธ์กับปริมาณอินพุตตามความสัมพันธ์ที่กำหนด เช่น แปลงความดันเป็นแรงดันไฟฟ้า ในงานอุตสาหกรรม ทรานส์ดิวเซอร์ที่ส่งสัญญาณมาตรฐานไปไกลเช่น 4–20 mA เรียกว่าทรานสมิตเตอร์ (transmitter)

ควรเขียน เซนเซอร์ หรือ เซ็นเซอร์?
เว็บนี้ใช้ เซนเซอร์ และ ทรานส์ดิวเซอร์ ตามหลักเกณฑ์การทับศัพท์ภาษาอังกฤษของราชบัณฑิตยสภาที่ไม่ใช้ไม้ไต่คู้ในคำทับศัพท์ทั่วไป และใส่ทัณฑฆาตบนพยัญชนะท้ายที่ตามตัวสะกด รูป เซ็นเซอร์ และ ทรานสดิวเซอร์ ก็พบได้ทั่วไปและผู้อ่านเข้าใจตรงกัน เมื่อค้นหาจึงใช้รูปใดก็ได้

ควรเริ่มเรียนวัดคุมจากหน้าไหน?
เริ่มจากหลักการเบื้องต้น (ห่วงโซ่การวัด ความคลาดเคลื่อน การตอบสนอง) แล้วไปที่ 4–20 mA และ HART เพราะเป็นภาษากลางของเครื่องมือวัดทุกชนิด จากนั้นเลือกปริมาณที่ใช้ในงาน (อุณหภูมิ ความดัน การไหล ระดับ) และปิดท้ายด้วยแล็บวัดคุมเสมือนเพื่อฝึกควบคุมและวินิจฉัยความผิดพลาด

## FAQ

**เซนเซอร์กับทรานส์ดิวเซอร์ต่างกันอย่างไร?**
ตามพจนานุกรมมาตรวิทยาสากล VIM เซนเซอร์ (sensor) คือส่วนของระบบวัดที่ได้รับผลโดยตรงจากปริมาณที่ต้องการวัด เช่น ปลาย Pt100 ที่แช่ในของเหลว ส่วนทรานส์ดิวเซอร์วัด (measuring transducer) คืออุปกรณ์ที่ให้ปริมาณเอาต์พุตซึ่งสัมพันธ์กับปริมาณอินพุตตามความสัมพันธ์ที่กำหนด เช่น แปลงความดันเป็นแรงดันไฟฟ้า ในงานอุตสาหกรรม ทรานส์ดิวเซอร์ที่ส่งสัญญาณมาตรฐานไปไกลเช่น 4–20 mA เรียกว่าทรานสมิตเตอร์ (transmitter)

**ควรเขียน เซนเซอร์ หรือ เซ็นเซอร์?**
เว็บนี้ใช้ เซนเซอร์ และ ทรานส์ดิวเซอร์ ตามหลักเกณฑ์การทับศัพท์ภาษาอังกฤษของราชบัณฑิตยสภาที่ไม่ใช้ไม้ไต่คู้ในคำทับศัพท์ทั่วไป และใส่ทัณฑฆาตบนพยัญชนะท้ายที่ตามตัวสะกด รูป เซ็นเซอร์ และ ทรานสดิวเซอร์ ก็พบได้ทั่วไปและผู้อ่านเข้าใจตรงกัน เมื่อค้นหาจึงใช้รูปใดก็ได้

**ควรเริ่มเรียนวัดคุมจากหน้าไหน?**
เริ่มจากหลักการเบื้องต้น (ห่วงโซ่การวัด ความคลาดเคลื่อน การตอบสนอง) แล้วไปที่ 4–20 mA และ HART เพราะเป็นภาษากลางของเครื่องมือวัดทุกชนิด จากนั้นเลือกปริมาณที่ใช้ในงาน (อุณหภูมิ ความดัน การไหล ระดับ) และปิดท้ายด้วยแล็บวัดคุมเสมือนเพื่อฝึกควบคุมและวินิจฉัยความผิดพลาด

---

# เซนเซอร์วัดกระแสและแรงดัน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/current-voltage-sensing/
Updated: 2026-10-14
Summary: การวัดกระแสและแรงดันสำหรับมิเตอร์ ระบบป้องกัน และอิเล็กทรอนิกส์กำลัง: ตัวต้านทานชันต์และการต่อ Kelvin หม้อแปลงกระแส (CT) ตาม IEC 61869-2 อัตราส่วน ภาระ VA คลาสวัด 0.2S 0.5 และคลาสป้องกัน 5P10 อันตรายของการเปิดวงจรทุติยภูมิ เซนเซอร์ฮอลล์แบบลูปเปิดและลูปปิด ฟลักซ์เกต ขดโรโกวสกี ตัวแบ่งแรงดัน VT และแอมป์แยกโดดเดี่ยว พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 20.12 · Sensors & Transducers · Current & Voltage Sensing

# เซนเซอร์วัดกระแสและแรงดัน: ชันต์ CT ฮอลล์ และโรโกวสกี

สำหรับวิศวกรไฟฟ้า กระแสและแรงดันคือปริมาณที่วัดบ่อยที่สุด ตั้งแต่มิเตอร์ค่าไฟ รีเลย์ป้องกัน ไปจนถึงลูปควบคุมกระแสของคอนเวอร์เตอร์ที่ต้องเร็วระดับไมโครวินาที แต่ละงานต้องการคุณสมบัติต่างกัน: ความแม่น แบนด์วิดท์ การแยกโดดเดี่ยว และช่วงกระแสลัดวงจร

## สี่เทคโนโลยีหลักในภาพเดียว พื้นฐาน

รูป 1 · ชันต์วัดแรงดันตกตรง ๆ ส่วนอีกสามแบบวัดสนามแม่เหล็กรอบตัวนำ จึงแยกโดดเดี่ยวจากวงจรกำลังได้

| คุณสมบัติ | ชันต์ | CT | ฮอลล์ลูปปิด | โรโกวสกี |

| DC | ได้ | ไม่ได้ | ได้ | ไม่ได้ |

| แยกโดดเดี่ยว | ไม่ (ต้องมีแอมป์แยก) | ได้ | ได้ | ได้ |

| แบนด์วิดท์ | สูงมาก (จำกัดด้วยค่าเหนี่ยวนำแฝง) | 50/60 Hz และฮาร์มอนิก | DC ถึงราว 100–200 kHz | สูง (Hz ถึง MHz) |

| อิ่มตัว | ไม่ (แต่ร้อน) | ได้ที่กระแสสูง/DC offset | ได้เมื่อเกินพิกัด | ไม่ (แกนอากาศ) |

| ใช้ที่ไหน | แบตเตอรี่ คอนเวอร์เตอร์ มิเตอร์ DC | มิเตอร์ค่าไฟ รีเลย์ป้องกัน | อินเวอร์เตอร์ ไดรฟ์ โซลาร์ | วัดกระแสใหญ่ ชั่วคราว คุณภาพไฟฟ้า |

## ตัวต้านทานชันต์และการต่อ Kelvin พื้นฐาน

V1 Shunt ชันต์

$$R_\text{sh} = \frac{V_\text{FS}}{I_\text{FS}} \qquad P = I^2 R_\text{sh} = I\,V_\text{FS}$$

V2 Thermal drift ความคลาดจากอุณหภูมิ

$$\frac{\Delta R}{R} = TCR \times \Delta T$$

ตัวอย่าง V-1

### ชันต์ 50 A / 75 mV ร้อนขึ้น 40 °C TCR 20 ppm/°C

- V1: $R = 0.075/50 = 1.5\ \text{m}\Omega$ · กำลัง 3.75 W ที่พิกัด

- V2: $20\times10^{-6} \times 40 = 0.08\,\%$

- ต่อแบบ Kelvin: สายกระแสใหญ่ต่อที่ขั้วหนึ่งคู่ สายวัดแรงดันต่อที่ขั้ว sense อีกคู่ มิฉะนั้นความต้านทานหน้าสัมผัสไม่กี่ mΩ ของสกรูจะใหญ่เท่าชันต์เอง

ในคอนเวอร์เตอร์ ชันต์ด้านต่ำ (low-side) วัดง่ายแต่ทำให้กราวด์ของโหลดลอย ชันต์ด้านสูง (high-side) ต้องใช้แอมป์วัดกระแสที่ทนแรงดันโหมดร่วมสูง ดูการใช้งานจริงใน การเลือกชิปควบคุมของคอนเวอร์เตอร์

## หม้อแปลงกระแส (CT) ตาม IEC 61869-2 กลาง

V3 CT ratio อัตราส่วน CT

$$I_s = \frac{I_p}{N} \qquad \text{เช่น } 400/5\ \text{A}: N = 80$$

V4 Burden ภาระด้านทุติยภูมิ

$$S_b = I_{sn}^2\,(R_\text{lead,loop} + R_\text{dev}) \qquad R_\text{lead,loop} = \rho\,\frac{2\ell}{A}$$

V5 Protection CT secondary voltage แรงดันที่ CT ป้องกันต้องให้ได้

$$V_s \approx I_{sn}\cdot ALF\cdot(R_{ct} + R_b) \qquad 5P10:\ ALF = 10$$

ตัวอย่าง V-2

### CT 400/5 A ภาระพิกัด 10 VA สาย 2.5 mm² ห่าง 30 m มิเตอร์กิน 1.5 VA

- V4: สายไป–กลับ $0.0175 \times 60/2.5 = 0.42\ \Omega$ → $5^2 \times 0.42 = 10.5\ \text{VA}$ รวมมิเตอร์ 12 VA เกินพิกัด 10 VA ความแม่นตามคลาสไม่รับประกัน

- เปลี่ยนเป็น CT 400/1 A: ภาระสาย $1^2 \times 0.42 = 0.42\ \text{VA}$ — ลดลง 25 เท่าด้วยสายเดิม

- นี่คือเหตุที่สถานีไฟฟ้าซึ่งสายจาก CT ถึงแผงยาวหลายร้อยเมตรนิยม CT 1 A ส่วนตู้ MDB ที่สายสั้นใช้ 5 A ได้

| คลาส | ความหมาย | ใช้กับ |

| 0.1 · 0.2 · 0.5 · 1 | ความคลาดอัตราส่วนสูงสุด (%) ที่กระแสพิกัด | มิเตอร์ทั่วไป |

| 0.2S · 0.5S | แม่นตลอดช่วงกระแสต่ำถึง 1 % ของพิกัด | มิเตอร์ซื้อขายไฟ |

| 5P10 · 10P20 | ความคลาดรวม 5 % หรือ 10 % จนถึง 10 หรือ 20 เท่าของกระแสพิกัด | รีเลย์ป้องกัน |

| PX (ชื่อเดิม Class X) | กำหนดด้วยแรงดันจุดเข่าและความต้านทานขด | รีเลย์ผลต่าง (87) |

ความปลอดภัย: ห้ามเปิดวงจรทุติยภูมิของ CT ขณะมีกระแส แรงดันที่ขั้วอาจสูงถึงกิโลโวลต์ ใช้เทอร์มินัลลัดวงจรก่อนถอดอุปกรณ์ทุกครั้ง และต่อลงดินด้านทุติยภูมิที่จุดเดียว การเลือก CT สำหรับระบบป้องกันอ่านต่อที่ หลักการป้องกัน · CT

## เซนเซอร์ฮอลล์: ลูปเปิด ลูปปิด และฟลักซ์เกต กลาง

V6 Hall voltage แรงดันฮอลล์

$$V_H = \frac{I_\text{bias}\,B}{n\,q\,t}$$

V7 Closed-loop (compensated) Hall sensor ฮอลล์แบบชดเชยฟลักซ์

$$I_s = \frac{I_p}{N_s} \qquad V_\text{out} = I_s\,R_M$$

ลูปเปิด: เซนเซอร์ฮอลล์อยู่ในช่องว่างของแกนเหล็ก อ่านสนามโดยตรง ถูกและกินไฟน้อย แต่ค่าเปลี่ยนตามอุณหภูมิและความไม่เชิงเส้นของแกน ลูปปิด: วงจรขับกระแสเข้าขดชดเชยให้ฟลักซ์ในแกนเป็นศูนย์ตลอดเวลา กระแสขดชดเชยจึงเป็นภาพย่อของกระแสปฐมภูมิด้วยอัตราส่วนรอบ ได้ความแม่นและแบนด์วิดท์ดีขึ้นมาก ตัวอย่าง: อัตราส่วน 1:1000 กระแส 50 A → 50 mA ผ่าน RM 50 Ω ได้ 2.5 V ฟลักซ์เกต ใช้หลักการอิ่มตัวของแกนเพื่อวัด DC ได้แม่นที่สุดในกลุ่มนี้ ใช้ในเครื่องมือวัดแม่นยำและการตรวจกระแสรั่ว DC ของเครื่องชาร์จ EV (ดู RCD Type B)

## ขดโรโกวสกี ขั้นสูง

V8 Rogowski coil ขดโรโกวสกี

$$v(t) = M\,\frac{di}{dt} \quad\Rightarrow\quad i(t) = \frac{1}{M}\int v\,dt \qquad \text{ไซน์: } V = 2\pi f M I$$

ตัวอย่าง V-3

### ขดโรโกวสกีความไว 100 mV/kA ที่ 50 Hz

- V8: $M = 0.1/(2\pi \cdot 50 \cdot 1000) = 318\ \text{nH}$

- กระแส 400 A ที่ 50 Hz ให้ 40 mV · ฮาร์มอนิกที่ 3 ขนาด 400 A ให้ 120 mV เพราะเอาต์พุตแปรตามความถี่

- ผลคือต้องมีอินทิเกรเตอร์ (แอนะล็อกหรือดิจิทัล) เพื่อให้สเปกตรัมกลับมาแบน ข้อดีที่แลกมาคือไม่อิ่มตัว เบา และพันรอบสายขนาดใหญ่ได้โดยไม่ต้องตัดวงจร

## การวัดแรงดัน: ตัวแบ่ง VT และแอมป์แยกโดดเดี่ยว กลาง

V9 Resistive divider ตัวแบ่งแรงดัน

$$V_\text{out} = V_\text{in}\,\frac{R_2}{R_1 + R_2} \qquad P_{R1} \approx \frac{V_\text{in}^2}{R_1}$$

- ตัวแบ่งแรงดัน + แอมป์แยกโดดเดี่ยว (isolated amplifier หรือ ADC แบบ isolated sigma-delta) ใช้ในอินเวอร์เตอร์และมิเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ R1 ต้องแบ่งเป็นหลายตัวอนุกรมเพื่อทนแรงดันและระยะห่างตามมาตรฐานความปลอดภัย

- หม้อแปลงแรงดัน (VT/PT) ตาม IEC 61869-3 แปลงแรงดันสูงเป็น 100 V หรือ 110 V ด้านทุติยภูมิ ข้อห้ามสลับกับ CT: ห้ามลัดวงจรด้านทุติยภูมิของ VT

- โพรบผลต่างแรงสูง สำหรับออสซิลโลสโคปเมื่อวัดวงจรที่ไม่ได้อ้างอิงกราวด์ — ดู เทคนิคการวัดด้วยสโคป

- ประเภทการวัด CAT II/III/IV ตาม IEC 61010 บอกระดับแรงดันกระชากที่เครื่องมือวัดทนได้ตามตำแหน่งในระบบไฟฟ้า มัลติมิเตอร์ที่ใช้ที่ตู้เมนต้องเป็น CAT III หรือ IV

ลองนำเซนเซอร์เหล่านี้ไปใช้จริงใน การวัดเพาเวอร์แฟกเตอร์ และ การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก

## แหล่งอ้างอิง

- IEC 61869-1/-2/-3 Instrument transformers — General, Current transformers, Inductive voltage transformers

- IEC 61010-1 Safety requirements for electrical equipment for measurement, control, and laboratory use

- IEC 62053-21/-22 Static meters for active energy · IEEE C57.13 Instrument transformers

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมห้ามเปิดวงจรด้านทุติยภูมิของ CT ขณะมีกระแส?
CT ถูกขับด้วยกระแสด้านปฐมภูมิ ขดทุติยภูมิพยายามส่งกระแส Ip/N ออกไปเสมอ ถ้าวงจรถูกเปิด อิมพีแดนซ์โหลดกลายเป็นอนันต์ แกนเหล็กจะอิ่มตัวและเกิดแรงดันพีคสูงมากที่ขั้ว อาจถึงหลายกิโลโวลต์ อันตรายต่อชีวิตและทำให้ฉนวนเสียหาย ก่อนถอดมิเตอร์ต้องลัดวงจรขั้วทุติยภูมิด้วยเทอร์มินัลลัดวงจร (shorting terminal) เสมอ

CT คลาส 0.5 กับ 5P10 ต่างกันอย่างไร?
คลาส 0.5 เป็น CT สำหรับวัด ความคลาดอัตราส่วนไม่เกิน ±0.5 % ที่กระแสพิกัดและภาระพิกัด และตั้งใจให้อิ่มตัวเร็วเมื่อเกิดลัดวงจรเพื่อปกป้องมิเตอร์ ส่วน 5P10 เป็น CT สำหรับป้องกัน ความคลาดรวมไม่เกิน 5 % จนถึง 10 เท่าของกระแสพิกัด เพื่อให้รีเลย์เห็นกระแสลัดวงจรได้ถูกต้อง ใช้แทนกันไม่ได้

## FAQ

**ทำไมห้ามเปิดวงจรด้านทุติยภูมิของ CT ขณะมีกระแส?**
CT ถูกขับด้วยกระแสด้านปฐมภูมิ ขดทุติยภูมิพยายามส่งกระแส Ip/N ออกไปเสมอ ถ้าวงจรถูกเปิด อิมพีแดนซ์โหลดกลายเป็นอนันต์ แกนเหล็กจะอิ่มตัวและเกิดแรงดันพีคสูงมากที่ขั้ว อาจถึงหลายกิโลโวลต์ อันตรายต่อชีวิตและทำให้ฉนวนเสียหาย ก่อนถอดมิเตอร์ต้องลัดวงจรขั้วทุติยภูมิด้วยเทอร์มินัลลัดวงจร (shorting terminal) เสมอ

**CT คลาส 0.5 กับ 5P10 ต่างกันอย่างไร?**
คลาส 0.5 เป็น CT สำหรับวัด ความคลาดอัตราส่วนไม่เกิน ±0.5 % ที่กระแสพิกัดและภาระพิกัด และตั้งใจให้อิ่มตัวเร็วเมื่อเกิดลัดวงจรเพื่อปกป้องมิเตอร์ ส่วน 5P10 เป็น CT สำหรับป้องกัน ความคลาดรวมไม่เกิน 5 % จนถึง 10 เท่าของกระแสพิกัด เพื่อให้รีเลย์เห็นกระแสลัดวงจรได้ถูกต้อง ใช้แทนกันไม่ได้

---

# มาตรฐานไฟฟ้าที่เกี่ยวข้อง: เป็นของใคร มาจากประเทศไหน ใช้กับเซนเซอร์แบบใด

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/electrical-standards/
Updated: 2026-10-14
Summary: ฐานข้อมูลมาตรฐานไฟฟ้าและเซนเซอร์ IEC 60751 IEC 60584 IEC 60381 NAMUR NE 43 HART IEEE 1451 IEC 61010 IP Code พร้อมประเทศและองค์กรต้นแบบ ค้นหากรองได้

// บทที่ 20.6 · Sensors & Transducers · Electrical Standards

# มาตรฐานไฟฟ้าที่เกี่ยวข้อง: เป็นของใคร มาจากประเทศไหน ใช้กับเซนเซอร์แบบใด

ฐานข้อมูลมาตรฐานที่ค้นหาและกรองได้ ครอบคลุมหน่วย มาตรวิทยา เซนเซอร์ สัญญาณและการสื่อสาร ความปลอดภัย และมิเตอร์ พร้อมต้นกำเนิดของมาตรฐานที่ใช้กันทั่วโลก

## 1 · ใครเป็นผู้ตั้งมาตรฐาน และมาจากประเทศใด

มาตรฐานไม่ได้เกิดจากองค์กรเดียว บางฉบับเป็นระดับ สากล (IEC, ISO) บางฉบับเกิดจากบริษัทหรือสมาคมของประเทศหนึ่งก่อน แล้วได้รับการยกระดับเป็นสากลภายหลัง ซึ่งอธิบายว่าทำไมสัญลักษณ์และตัวเลขบางอย่างจึงมี "ลายนิ้วมือ" ของประเทศต้นกำเนิด

| องค์กร | ประเทศ / ที่ตั้ง | บทบาท | ก่อตั้ง |

| BIPM | ฝรั่งเศส · Sèvres | ศูนย์กลางหน่วย SI และมาตรวิทยาโลก | 1875 |

| IEC | สวิตเซอร์แลนด์ · เจนีวา | มาตรฐานสากลด้านไฟฟ้า อิเล็กทรอนิกส์ (ประธานคนแรกคือลอร์ดเคลวิน) | 1906 |

| ISO | สวิตเซอร์แลนด์ · เจนีวา | มาตรฐานสากลเกือบทุกสาขา (ร่วมกับ IEC ในหัวข้อเช่น 17025) | 1947 |

| IEEE | สหรัฐอเมริกา · Piscataway, NJ | มาตรฐานไฟฟ้า/อิเล็กทรอนิกส์/การสื่อสาร (รวม AIEE และ IRE) | 1963 |

| ANSI | สหรัฐอเมริกา · วอชิงตัน ดี.ซี. | องค์กรกลางของระบบมาตรฐานสหรัฐฯ | 1918 |

| ISA | สหรัฐอเมริกา · North Carolina | เครื่องมือวัดและอัตโนมัติ (เช่น ISA-5.1) | 1945 |

| DIN | เยอรมนี · เบอร์ลิน | มาตรฐานแห่งชาติเยอรมนี (เช่น DIN 43760 → Pt100) | 1917 |

| JISC / JIS | ญี่ปุ่น · โตเกียว | มาตรฐานอุตสาหกรรมญี่ปุ่น | 1949 |

| สมอ. / มอก. | ไทย · กรุงเทพฯ | มาตรฐานผลิตภัณฑ์อุตสาหกรรมของไทย | — |

มาตรฐานกับกฎหมาย: มาตรฐาน IEC/ISO เป็นข้อกำหนดสมัครใจ จนกว่ากฎหมายหรือสัญญาจะอ้างอิง เช่น ข้อกำหนดบังคับของไทยที่ใช้ มอก. ของผลิตภัณฑ์บางชนิด หรือสัญญาซื้อขายที่ระบุ "ต้องผ่าน IEC xxxxx" ตรวจเอกสารกำกับก่อนอ้างว่า "ได้มาตรฐาน"

## 2 · "ต้นแบบ" ของมาตรฐานที่ใช้บ่อยกับเซนเซอร์

### Pt100
เส้นโค้ง R–T ของ Pt100 (α = 0.00385) มาจาก DIN 43760 ของเยอรมนี แล้วกลายเป็น IEC 751 และปัจจุบันคือ IEC 60751 จึงเป็นเหตุที่ Pt100 ทั่วโลกใช้เส้นโค้งเดียวกัน

### ชนิดเทอร์โมคัปเปิล K, J, T…
ตัวอักษรชนิดมาจากมาตรฐาน ANSI MC96.1 ของสหรัฐฯ ปัจจุบันตาราง emf อ้างอิงอยู่ใน IEC 60584-1 (และ ASTM E230 / NIST)

### 4–20 mA
สืบทอดแนวคิด "ศูนย์มีชีวิต" 20 % จากสัญญาณลม 3–15 psi ในระบบนิวเมติกส์ ปัจจุบันกำหนดอยู่ใน IEC 60381-1 และแนวปฏิบัติความผิดพลาดจาก NAMUR NE 43 (เยอรมนี)

### HART · Modbus · CAN
HART จาก Rosemount (สหรัฐฯ) และดูแลโดย FieldComm Group ; Modbus จาก Modicon (สหรัฐฯ, 1979) ; CAN พัฒนาโดย Bosch (เยอรมนี) แล้วเป็น ISO 11898

## 3 · เลือกตามชนิดเซนเซอร์

// เครื่องมือ · ตัวเลือกมาตรฐานตามเซนเซอร์

### คุณใช้เซนเซอร์แบบไหน

ชนิดเซนเซอร์

## 4 · มาตรฐานสัญญาณ 4–20 mA ที่มองเห็นได้

// แผนภาพ · ช่วงกระแสตาม NAMUR NE 43

### เลื่อนกระแส ดูสถานะ

กระแส

## 5 · ฐานข้อมูลมาตรฐานพร้อมประเทศต้นแบบ

ค้นหาและกรองตามหมวดหรือประเทศ แต่ละรายการระบุองค์กรเจ้าของและที่ตั้ง รายการนี้คัดมาเพื่อใช้กับงานเซนเซอร์และมาตรวิทยา ไม่ใช่แค็ตตาล็อกทั้งหมด

ค้นหา

หมายเหตุเรื่องฉบับ: หมายเลขและขอบเขตมาตรฐานในตารางตรวจจากความรู้ทั่วไปด้านมาตรวิทยาและเครื่องมือวัด ปีฉบับ (edition) เปลี่ยนบ่อย จึงไม่ระบุปีไว้ ก่อนอ้างอิงในเอกสารทางการให้ตรวจฉบับล่าสุดที่เว็บของ IEC (webstore.iec.ch), ISO (iso.org), IEEE หรือ มอก. และห้ามคัดลอกเนื้อหามาตรฐานมาลงเว็บโดยไม่ได้รับอนุญาต หน้านี้จึงสรุปเป็นคำอธิบายเท่านั้น

## แหล่งอ้างอิง

- IEC — International Electrotechnical Commission (Geneva)
- ISO — International Organization for Standardization (Geneva)
- IEEE Standards Association
- ISA — International Society of Automation
- FieldComm Group — HART
- สำนักงานมาตรฐานผลิตภัณฑ์อุตสาหกรรม (สมอ.)

---

# ฟิลด์บัสและ Industrial Ethernet: จาก PROFIBUS ถึง Ethernet-APL

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/fieldbus/
Updated: 2026-10-14
Summary: เปรียบเทียบเครือข่ายภาคสนามสำหรับเซนเซอร์และเครื่องมือวัด: PROFIBUS DP และ PA, FOUNDATION Fieldbus H1 และ HSE ชั้นกายภาพ IEC 61158-2 สาย Type A งบกระแสเซกเมนต์ FISCO, IO-Link (IEC 61131-9), AS-Interface, CANopen, PROFINET, EtherNet/IP, EtherCAT, OPC UA และ Ethernet-APL บน IEEE 802.3cg 10BASE-T1L พร้อมประเทศและองค์กรต้นกำเนิด และเครื่องคำนวณเซกเมนต์

// บทที่ 20.16 · Sensors & Transducers · Fieldbus & Industrial Ethernet

# ฟิลด์บัสและ Industrial Ethernet: จาก PROFIBUS ถึง Ethernet-APL

เมื่อหนึ่งคู่สายต่อเครื่องมือวัดได้หลายสิบตัวและส่งทั้งค่าวัด สถานะ และการวินิจฉัย ปริมาณสายในโรงงานลดลงมาก แต่ทศวรรษ 1990 ก็กลายเป็น "สงครามฟิลด์บัส" ระหว่างค่ายยุโรปกับอเมริกา ผลลัพธ์คือมาตรฐาน IEC 61158 ที่รวมหลายโปรโตคอลไว้ด้วยกัน หน้านี้ช่วยให้รู้ว่าแต่ละตัวมาจากไหน เหมาะกับงานแบบใด และคำนวณเซกเมนต์ได้

สรุปใน 30 วินาที

- PROFIBUS (เยอรมนี): DP บน RS-485 ถึง 12 Mbit/s · PA บน MBP 31.25 kbit/s จ่ายไฟบนสาย

- FOUNDATION Fieldbus H1 (สหรัฐฯ): ชั้นกายภาพเดียวกับ PA แต่รันบล็อก PID ในอุปกรณ์ภาคสนามได้

- เซกเมนต์: $V_\text{end} = V_\text{ps} - I_\text{tot}R_\text{trunk} \ge 9\ \text{V}$ · สาย Type A 44 Ω/km · ยาวรวม ≤ 1900 m

- อนาคต: IO-Link สำหรับเซนเซอร์ในเครื่องจักร และ Ethernet-APL 10 Mbit/s สองสายสำหรับเครื่องมือวัดกระบวนการ

## ภาพรวม: ใคร มาจากไหน ใช้ที่ไหน พื้นฐาน

| เครือข่าย | ต้นกำเนิด · ผู้ดูแล | ชั้นกายภาพ | ความเร็ว | ไฟบนสาย | งานหลัก |

| Modbus RTU/TCP | Modicon สหรัฐฯ 1979 · Modbus Organization | RS-485 · Ethernet | ≤ 115.2 kbit/s · 100 Mbit/s | ไม่ | มิเตอร์ อินเวอร์เตอร์ อุปกรณ์ทั่วไป |

| PROFIBUS DP | เยอรมนี ปลายทศวรรษ 1980 · PI (Karlsruhe) | RS-485 | 9.6 kbit/s – 12 Mbit/s | ไม่ | รีโมต I/O ไดรฟ์ งานโรงงานผลิต |

| PROFIBUS PA | เยอรมนี · PI | MBP (IEC 61158-2) | 31.25 kbit/s | ใช่ · Ex i | ทรานสมิตเตอร์ วาล์ว ในกระบวนการ |

| FOUNDATION Fieldbus H1 | สหรัฐฯ 1994 · FieldComm Group | MBP (IEC 61158-2) | 31.25 kbit/s | ใช่ · Ex i | กระบวนการ ควบคุมในภาคสนาม |

| HART | สหรัฐฯ กลางทศวรรษ 1980 · FieldComm Group | FSK บน 4–20 mA | 1.2 kbit/s | ใช่ | ตั้งค่าและวินิจฉัยทรานสมิตเตอร์ |

| AS-Interface | เยอรมนี ทศวรรษ 1990 · AS-International | สายแบนสองเส้น | รอบ ≈ 5 ms | ใช่ | สวิตช์ เซนเซอร์ไบนารี |

| CANopen · DeviceNet | CAN จาก Bosch เยอรมนี · CiA / ODVA สหรัฐฯ | CAN (ISO 11898) | ≤ 1 Mbit/s | DeviceNet ใช่ | เครื่องจักร ยานยนต์ หุ่นยนต์ |

| IO-Link | กลุ่มผู้ผลิตยุโรป 2006 · IEC 61131-9 | จุดต่อจุด 3 สาย ≤ 20 m | 4.8 / 38.4 / 230.4 kbaud | ใช่ (24 V) | เซนเซอร์อัจฉริยะในเครื่องจักร |

| PROFINET | เยอรมนี · PI | Ethernet (+ APL) | 100 Mbit/s ขึ้นไป | ผ่าน APL | โรงงานและกระบวนการ เวลาจริง |

| EtherNet/IP | สหรัฐฯ · ODVA | Ethernet (+ APL) | 100 Mbit/s ขึ้นไป | ผ่าน APL | PLC กลุ่ม CIP |

| EtherCAT | Beckhoff เยอรมนี 2003 · ETG | Ethernet | 100 Mbit/s | ไม่ | โมชันคอนโทรล รอบระดับไมโครวินาที |

| Ethernet-APL | ความร่วมมือ PI · ODVA · FieldComm · OPC Foundation (ออกสู่ตลาดราว 2021–2022) | IEEE 802.3cg 10BASE-T1L | 10 Mbit/s | ใช่ · Ex i | ทรานสมิตเตอร์ยุคใหม่ |

รายละเอียดประเทศและองค์กรของมาตรฐานทั้งหมดอยู่ใน ฐานข้อมูลมาตรฐาน ส่วนลำดับเหตุการณ์อยู่ใน ประวัติและวิวัฒนาการ

## PROFIBUS DP และ PA กลาง

PROFIBUS (Process Field Bus) เริ่มจากโครงการวิจัยที่รัฐบาลเยอรมนีสนับสนุนร่วมกับบริษัทและสถาบันจำนวนมากตั้งแต่ปี 1987 กลายเป็นมาตรฐานเยอรมัน (DIN 19245) ยุโรป (EN 50170) และต่อมาอยู่ใน IEC 61158/61784 ผู้ดูแลคือ PROFIBUS & PROFINET International (PI) ที่เมือง Karlsruhe

- DP (Decentralized Periphery): RS-485 ความเร็วเลือกได้ตั้งแต่ 9.6 kbit/s (ระยะได้ราว 1200 m ต่อเซกเมนต์) จนถึง 12 Mbit/s (ราว 100 m) แอดเดรส 0–125 ไม่เกิน 32 สถานีต่อเซกเมนต์ถ้าไม่มี repeater มาสเตอร์ส่งโทเคนต่อกันและแต่ละมาสเตอร์โพลสเลฟของตัวเองแบบวนรอบ คอนเน็กเตอร์ DB9 สีม่วงพร้อมสวิตช์ terminator ในตัวคือภาพที่คุ้นตา

- PA (Process Automation): ชั้นกายภาพ MBP (Manchester coded, Bus Powered) ตาม IEC 61158-2 ที่ 31.25 kbit/s อุปกรณ์รับไฟจากสายและสื่อสารด้วยการมอดูเลตกระแส จึงเดินสายเหมือนลูป 4–20 mA เดิมแต่ต่อหลายตัว และออกแบบเป็นแบบปลอดภัยในตัวตามแนวคิด FISCO ได้

- DP/PA coupler หรือ link แปลงระหว่างสองความเร็ว ให้ PLC ตัวเดียวคุมทั้งเครื่องจักรและเครื่องมือวัด

B1 MBP physical layer (IEC 61158-2) ชั้นกายภาพ MBP

$$31.25\ \text{kbit/s} \;\Rightarrow\; T_\text{bit} = 32\ \mu\text{s} \qquad \text{Manchester: ทุกบิตมีขอบเปลี่ยนกลางบิต → ไม่มีค่าเฉลี่ย DC}$$

การเข้ารหัสแมนเชสเตอร์ทำให้สัญญาณข้อมูลมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ไฟ DC ที่เลี้ยงอุปกรณ์จึงอยู่ร่วมกับข้อมูลบนสายเดียวได้ — หลักการเดียวกับ HART ที่ซ้อนบน 4–20 mA

## FOUNDATION Fieldbus: ย้ายการควบคุมไปที่ภาคสนาม กลาง

Fieldbus Foundation ก่อตั้งในสหรัฐฯ ปี 1994 จากการรวมกลุ่มที่แข่งขันกันก่อนหน้า ปี 2015 รวมกับ HART Communication Foundation เป็น FieldComm Group จุดต่างจาก PROFIBUS PA คือแนวคิด function block: ทรานสมิตเตอร์มีบล็อก AI วาล์วมีบล็อก AO และ PID ซึ่งทำงานบนอุปกรณ์ใดก็ได้ในเซกเมนต์ ตัวจัดตาราง LAS (Link Active Scheduler) กำหนดเวลาส่งข้อมูลแต่ละรอบ (macrocycle) ลูปควบคุมจึงทำงานต่อได้แม้ DCS หยุดสื่อสาร

รูป 1 · โทโพโลยีแบบ trunk และ spur ที่ใช้กับ H1 และ PROFIBUS PA

- สาย Type A: คู่บิดเกลียวมีชีลด์ประมาณ 18 AWG อิมพีแดนซ์ 100 Ω ที่ 31.25 kHz ความต้านทานลูป 44 Ω/km ความยาวรวม trunk + spur ไม่เกิน 1900 m

- เทอร์มิเนเตอร์: สองตัวที่ปลายทั้งสองของ trunk (RC 100 Ω อนุกรม 1 µF) ไม่มีหรือมีเกินทำให้สื่อสารผิดพลาดเป็นระยะ

- แหล่งจ่ายต้องมี power conditioner (อิมพีแดนซ์สูงที่ความถี่สัญญาณ) แหล่งจ่าย DC ธรรมดาจะลัดวงจรสัญญาณทิ้ง

- จำนวนอุปกรณ์: ทฤษฎีสูงสุด 32 ตัว แต่ในทางปฏิบัติจำกัดด้วยงบกระแส ความเร็วรอบ และ Ex มักออกแบบ 8–16 ตัวต่อเซกเมนต์

## คำนวณเซกเมนต์: กระแส แรงดันปลายสาย และความยาว ขั้นสูง

B2 Segment voltage at the far end แรงดันที่ปลายเซกเมนต์

$$V_\text{end} = V_\text{ps} - I_\text{tot}\,r_\text{loop}\,L \;\ge\; V_\text{dev,min} \approx 9\ \text{V}$$

B3 Maximum trunk length by voltage ความยาวสูงสุดตามแรงดัน

$$L_\text{max} = \frac{V_\text{ps} - V_\text{dev,min}}{I_\text{tot}\,r_\text{loop}} \qquad \text{และ } L \le 1900\ \text{m (รวม spur)}$$

ตัวอย่าง B-1

### เซกเมนต์ H1: อุปกรณ์ 12 ตัว ตัวละ 20 mA แหล่งจ่าย 28 V trunk 600 m

- กระแสรวมเผื่อ 20 %: $12 \times 20 \times 1.2 = 288\ \text{mA}$

- B2: $28 - 0.288 \times 44 \times 0.6 = 20.4\ \text{V}$ ≥ 9 V ผ่าน

- B3: $L_\text{max} = 19/(0.288 \times 44) = 1.50\ \text{km}$ — ข้อจำกัดด้านแรงดันยังหลวม แต่ถ้าเป็นเซกเมนต์ Ex แหล่งจ่ายแบบปลอดภัยในตัวให้กระแสได้น้อยกว่ามาก จำนวนอุปกรณ์จะถูกจำกัดด้วยกระแสก่อน

## IO-Link และ AS-Interface: ดิจิทัลถึงเซนเซอร์ตัวเล็กที่สุด กลาง

IO-Link (IEC 61131-9 ชื่อทางการ SDCI) ไม่ใช่บัส แต่เป็นการเชื่อมต่อจุดต่อจุดระหว่างพอร์ตของ IO-Link master กับเซนเซอร์หนึ่งตัว ใช้คอนเน็กเตอร์ M12 และสายสามเส้นไม่มีชีลด์แบบเดียวกับพร็อกซิมิตีสวิตช์ทั่วไป (ยาวได้ถึง 20 m) ความเร็ว COM1 4.8, COM2 38.4 และ COM3 230.4 kbaud สิ่งที่ได้คือค่าวัดหลายตัว พารามิเตอร์ และเหตุการณ์วินิจฉัยจากเซนเซอร์ราคาไม่แพง ไฟล์คำอธิบาย IODD บอก master ว่าเซนเซอร์มีข้อมูลอะไร และเมื่อเปลี่ยนเซนเซอร์ใหม่ master โหลดพารามิเตอร์คืนให้อัตโนมัติ

AS-Interface (IEC 62026-2) ใช้สายแบนสีเหลืองสองเส้นที่เสียบด้วยการเจาะฉนวน ส่งทั้งไฟและข้อมูลสำหรับสวิตช์และวาล์วไบนารีจำนวนมากในเครื่องจักรและสายพาน งานที่ต้องการเพียงสถานะเปิด/ปิดจึงลดสายได้มาก

## Industrial Ethernet, OPC UA และ Ethernet-APL ขั้นสูง

อีเทอร์เน็ตธรรมดาไม่รับประกันเวลา ผู้ผลิตจึงเพิ่มกลไกเวลาจริงต่างกัน: PROFINET แยกระดับ RT และ IRT, EtherNet/IP ใช้ CIP บน TCP/UDP, EtherCAT ให้เฟรมเดียววิ่งผ่านทุกอุปกรณ์และแต่ละตัวอ่าน/เขียนขณะเฟรมผ่าน (processing on the fly) จึงได้รอบระดับสิบไมโครวินาทีสำหรับโมชันคอนโทรล แนวโน้มปัจจุบันคือ TSN (Time-Sensitive Networking ชุด IEEE 802.1) ที่ทำให้หลายโปรโตคอลแชร์สายเดียวกันได้

OPC UA (IEC 62541, OPC Foundation) ไม่ใช่ฟิลด์บัส แต่เป็นแบบจำลองข้อมูลและการสื่อสารที่ปลอดภัยระหว่างอุปกรณ์ เกตเวย์ และระบบ IT ใช้ทั้งแบบ client/server และ publish/subscribe — เป็นภาษากลางที่ทำให้ข้อมูลเซนเซอร์ "มีความหมาย" (หน่วย ช่วง สถานะ) เมื่อขึ้นไปถึงคลาวด์

Ethernet-APL แก้ปัญหาสุดท้ายของโรงงานกระบวนการ: อีเทอร์เน็ตทั่วไปต้องใช้สาย 4–8 เส้น ระยะ 100 m และไม่ปลอดภัยในตัว APL อิง IEEE 802.3cg (10BASE-T1L, 2019) ใช้สายคู่เดียวแบบ Type A เดิม 10 Mbit/s ส่งไฟและข้อมูล trunk ได้ราว 1000 m spur ราว 200 m และมีแนวคิด Ex สำหรับสองสาย (2-WISE, IEC TS 60079-47) ผลคือทรานสมิตเตอร์ในพื้นที่อันตรายพูด PROFINET, EtherNet/IP, HART-IP หรือ OPC UA ได้ตรงถึงระบบควบคุม

## เลือกอย่างไรในโครงการจริง พื้นฐาน

- เริ่มจากระบบควบคุมที่มี: PLC/DCS ยี่ห้อใดถนัดโปรโตคอลใด (ค่ายยุโรปมักเป็น PROFIBUS/PROFINET ค่ายสหรัฐฯ มักเป็น EtherNet/IP หรือ FOUNDATION Fieldbus)

- พื้นที่อันตรายหรือไม่: ต้องการแบบปลอดภัยในตัว → 4–20 mA/HART, PROFIBUS PA, FF H1 หรือ Ethernet-APL

- ต้องการความเร็วแค่ไหน: ลูปกระบวนการ (วินาที) ใช้ได้ทุกแบบ · โมชันคอนโทรล (มิลลิวินาที) ต้อง Industrial Ethernet แบบเวลาจริง

- ใครดูแลหลังส่งมอบ: ทักษะของช่างในโรงงานและเครื่องมือวินิจฉัยสำคัญพอ ๆ กับสเปก ระบบที่ง่ายกว่ามักชนะในระยะยาว

- ข้อมูลไปไหนต่อ: ถ้าต้องการวิเคราะห์ข้อมูลระดับองค์กร วางทาง OPC UA หรือ MQTT ไว้ตั้งแต่แรก — ดู เซนเซอร์อัจฉริยะและ IIoT

## แหล่งอ้างอิง

- IEC 61158 (ชุด) Industrial communication networks — Fieldbus specifications · IEC 61784 (ชุด) Profiles

- IEC 61131-9 Single-drop digital communication interface for small sensors and actuators (SDCI, IO-Link) · IEC 62026-2 AS-i

- IEEE 802.3cg-2019 (10BASE-T1L) · IEC TS 60079-47 2-WISE · Ethernet-APL

- PROFIBUS & PROFINET International (PI) · FieldComm Group · OPC Foundation · IEC 62541 OPC UA

## คำถามที่พบบ่อย

PROFIBUS DP กับ PROFIBUS PA ต่างกันอย่างไร?
ใช้โปรโตคอลชุดเดียวกันแต่ชั้นกายภาพต่างกัน DP ใช้ RS-485 ความเร็ว 9.6 kbit/s ถึง 12 Mbit/s สำหรับรีโมต I/O ไดรฟ์ และอุปกรณ์ในตู้ ส่วน PA ใช้ MBP ตาม IEC 61158-2 ความเร็ว 31.25 kbit/s จ่ายไฟให้อุปกรณ์บนสายคู่เดียวกันและออกแบบเป็นแบบปลอดภัยในตัวได้ จึงใช้กับทรานสมิตเตอร์ในพื้นที่อันตราย เชื่อมสองแบบด้วย DP/PA coupler

IO-Link ต่างจากฟิลด์บัสอย่างไร?
IO-Link (IEC 61131-9) เป็นการเชื่อมต่อแบบจุดต่อจุดระหว่างพอร์ตของ IO-Link master กับเซนเซอร์หรือแอคชูเอเตอร์หนึ่งตัว ใช้สายไม่มีชีลด์ 3 เส้นแบบเดียวกับเซนเซอร์ 24 V ทั่วไป ยาวได้ถึง 20 m ไม่ใช่บัส ตัว master เองจึงต่อขึ้นสู่ PROFINET EtherNet/IP หรือเครือข่ายอื่นอีกชั้นหนึ่ง จุดเด่นคือส่งค่าวัด พารามิเตอร์ และการวินิจฉัยของเซนเซอร์ราคาถูกได้ และเปลี่ยนเซนเซอร์แล้วโหลดพารามิเตอร์กลับอัตโนมัติ

Ethernet-APL คืออะไร?
Ethernet-APL (Advanced Physical Layer) คือชั้นกายภาพอีเทอร์เน็ตแบบสองสายสำหรับอุตสาหกรรมกระบวนการ อิงมาตรฐาน IEEE 802.3cg 10BASE-T1L ความเร็ว 10 Mbit/s ส่งทั้งข้อมูลและไฟเลี้ยงบนคู่สายเดียว ยาว trunk ได้ถึงราว 1000 m และออกแบบให้ปลอดภัยในตัวสำหรับพื้นที่อันตรายได้ ทำให้ทรานสมิตเตอร์ในภาคสนามใช้โปรโตคอลอีเทอร์เน็ตอย่าง PROFINET, EtherNet/IP, HART-IP หรือ OPC UA ได้โดยตรง

## FAQ

**PROFIBUS DP กับ PROFIBUS PA ต่างกันอย่างไร?**
ใช้โปรโตคอลชุดเดียวกันแต่ชั้นกายภาพต่างกัน DP ใช้ RS-485 ความเร็ว 9.6 kbit/s ถึง 12 Mbit/s สำหรับรีโมต I/O ไดรฟ์ และอุปกรณ์ในตู้ ส่วน PA ใช้ MBP ตาม IEC 61158-2 ความเร็ว 31.25 kbit/s จ่ายไฟให้อุปกรณ์บนสายคู่เดียวกันและออกแบบเป็นแบบปลอดภัยในตัวได้ จึงใช้กับทรานสมิตเตอร์ในพื้นที่อันตราย เชื่อมสองแบบด้วย DP/PA coupler

**IO-Link ต่างจากฟิลด์บัสอย่างไร?**
IO-Link (IEC 61131-9) เป็นการเชื่อมต่อแบบจุดต่อจุดระหว่างพอร์ตของ IO-Link master กับเซนเซอร์หรือแอคชูเอเตอร์หนึ่งตัว ใช้สายไม่มีชีลด์ 3 เส้นแบบเดียวกับเซนเซอร์ 24 V ทั่วไป ยาวได้ถึง 20 m ไม่ใช่บัส ตัว master เองจึงต่อขึ้นสู่ PROFINET EtherNet/IP หรือเครือข่ายอื่นอีกชั้นหนึ่ง จุดเด่นคือส่งค่าวัด พารามิเตอร์ และการวินิจฉัยของเซนเซอร์ราคาถูกได้ และเปลี่ยนเซนเซอร์แล้วโหลดพารามิเตอร์กลับอัตโนมัติ

**Ethernet-APL คืออะไร?**
Ethernet-APL (Advanced Physical Layer) คือชั้นกายภาพอีเทอร์เน็ตแบบสองสายสำหรับอุตสาหกรรมกระบวนการ อิงมาตรฐาน IEEE 802.3cg 10BASE-T1L ความเร็ว 10 Mbit/s ส่งทั้งข้อมูลและไฟเลี้ยงบนคู่สายเดียว ยาว trunk ได้ถึงราว 1000 m และออกแบบให้ปลอดภัยในตัวสำหรับพื้นที่อันตรายได้ ทำให้ทรานสมิตเตอร์ในภาคสนามใช้โปรโตคอลอีเทอร์เน็ตอย่าง PROFINET, EtherNet/IP, HART-IP หรือ OPC UA ได้โดยตรง

---

# การวัดอัตราการไหล: จากเบอร์นูลลีถึงคอริโอลิส

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/flow-measurement/
Updated: 2026-10-14
Summary: การวัดอัตราการไหลในท่อสำหรับงานอุตสาหกรรม: อัตราไหลเชิงปริมาตรและเชิงมวล เลขเรย์โนลด์ส สมการเบอร์นูลลี แผ่นออริฟิซตาม ISO 5167-2 สมการ Reader-Harris/Gallagher การถอดรากที่สองและ rangeability มิเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้า U = kBDv อัลตราโซนิกเวลาเดินทาง วอร์เท็กซ์ Strouhal คอริโอลิส เทอร์ไบน์ ท่อตรงต้นน้ำ และตารางเลือกมิเตอร์ พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 20.9 · Sensors & Transducers · Flow Measurement

# การวัดอัตราการไหล: จากเบอร์นูลลีถึงคอริโอลิส

อัตราการไหลคือปริมาณที่ "แพง" ที่สุดในโรงงาน เพราะใช้คิดเงิน (ซื้อขายน้ำมัน แก๊ส น้ำ) และใช้ควบคุมสัดส่วนการผสม ไม่มีมิเตอร์แบบใดดีที่สุดสำหรับทุกงาน หน้านี้อธิบายหลักฟิสิกส์ของแต่ละแบบ สมการที่ใช้จริง และวิธีเลือกให้ตรงกับของไหล

สรุปใน 30 วินาที

- $Q_v = vA$ · $q_m = \rho Q_v$ · ตรวจ $Re = \rho v D/\mu$ ที่อัตราไหลต่ำสุดเสมอ

- DP (ออริฟิซ เวนจูรี): $q_m \propto \sqrt{\Delta P}$ → rangeability แค่ราว 3–5 : 1 และมีความดันสูญเสียถาวร

- magmeter $U = kBDv$ (ของเหลวนำไฟฟ้า) · อัลตราโซนิก $\Delta t \propto v$ · วอร์เท็กซ์ $f = St\,v/d$ — ทั้งหมดเชิงเส้นกับความเร็ว

- คอริโอลิสวัดมวลโดยตรงพร้อมความหนาแน่น แม่นที่สุดแต่แพงที่สุด

## อัตราไหลเชิงปริมาตร เชิงมวล และเลขเรย์โนลด์ส พื้นฐาน

Q1 Volumetric, mass flow and Reynolds number อัตราไหลและเลขเรย์โนลด์ส

$$Q_v = \bar v A \qquad q_m = \rho\,Q_v \qquad Re_D = \frac{\rho \bar v D}{\mu}$$

แก๊สต้องระบุสภาวะอ้างอิงเสมอ: "Nm³/h" (normal) หรือ "Sm³/h" (standard) คือปริมาตรที่แปลงไปยังความดันและอุณหภูมิอ้างอิงซึ่งแต่ละมาตรฐานกำหนดต่างกัน (เช่น 0 °C หรือ 15 °C หรือ 60 °F) อัตราไหลเชิงมวลไม่ขึ้นกับสภาวะ จึงเป็นปริมาณที่สมดุลมวลของกระบวนการต้องการจริง

เลขเรย์โนลด์สบอกว่าการไหลราบเรียบ (โปรไฟล์ความเร็วโค้งพาราโบลา) หรือปั่นป่วน (โปรไฟล์แบนกว่า) มิเตอร์ที่วัดความเร็ว "บางเส้น" ในท่อ (อัลตราโซนิก วอร์เท็กซ์ เทอร์ไบน์) จึงต้องรู้ว่าโปรไฟล์เป็นแบบใด และนี่คือเหตุผลของข้อกำหนด ท่อตรงต้นน้ำ: ข้องอ วาล์ว ปั๊ม ทำให้โปรไฟล์บิดเบี้ยวและหมุนวน

## มิเตอร์ความดันผลต่าง: แผ่นออริฟิซตาม ISO 5167 กลาง

ค.ศ. 1738 Daniel Bernoulli อธิบายว่าความเร็วที่เพิ่มขึ้นต้องแลกด้วยความดันที่ลดลง ค.ศ. 1797 Giovanni Battista Venturi ศึกษาผลนี้ในท่อคอดชาวอิตาลี และ ค.ศ. 1887 Clemens Herschel ในสหรัฐฯ สร้างมิเตอร์เวนจูรีสำหรับวัดน้ำ ปัจจุบันชุดมาตรฐาน ISO 5167 กำหนดรูปร่าง การติดตั้ง และสมการของออริฟิซ หัวฉีด และเวนจูรีไว้ละเอียดจนคำนวณได้โดยไม่ต้องสอบเทียบด้วยการไหลจริง — จุดเด่นที่ทำให้ออริฟิซยังใช้มากจนถึงทุกวันนี้

รูป 1 · ของไหลเร่งผ่านรูออริฟิซและคอดที่สุดหลังแผ่นเล็กน้อย (vena contracta) ความดันกลับคืนมาไม่หมด ส่วนที่หายไปคือพลังงานที่ปั๊มต้องจ่ายตลอดอายุการใช้งาน

Q2 Ideal DP flow from Bernoulli and continuity อัตราไหลในอุดมคติ

$$P_1 - P_2 = \tfrac12\rho\left(v_2^2 - v_1^2\right),\quad A_1v_1 = A_2v_2 \;\Rightarrow\; q_m = \frac{A_2}{\sqrt{1-\beta^4}}\sqrt{2\,\Delta P\,\rho}$$

Q3 ISO 5167-1 orifice equation สมการมาตรฐานของออริฟิซ

$$q_m = \frac{C}{\sqrt{1-\beta^4}}\;\varepsilon\;\frac{\pi}{4}d^2\sqrt{2\,\Delta P\,\rho_1} \qquad \beta = \frac{d}{D}$$

C (discharge coefficient) แก้ผลที่สมการอุดมคติไม่รวม — vena contracta และแรงเสียดทาน — ISO 5167-2 ให้สมการ Reader-Harris/Gallagher ที่ขึ้นกับ β, ReD, D และตำแหน่งรูวัด (flange, corner, D-D/2) ซึ่งต้องคำนวณวนซ้ำเพราะ Re ขึ้นกับอัตราไหลที่ยังไม่รู้ ε (expansibility) แก้การขยายตัวของแก๊ส สำหรับของเหลว ε = 1

Q4 Permanent pressure loss (ISO 5167-2) ความดันสูญเสียถาวร

$$\Delta\varpi = \frac{\sqrt{1-\beta^4(1-C^2)} - C\beta^2}{\sqrt{1-\beta^4(1-C^2)} + C\beta^2}\;\Delta P$$

ตัวอย่าง Q-1

### น้ำ ท่อ D = 100 mm ออริฟิซ d = 50 mm flange taps ΔP = 25 kPa

- $\beta = 0.5$, $1/\sqrt{1-\beta^4} = 1.0328$, ของเหลว $\varepsilon = 1$, ρ = 998 kg/m³, μ = 1.0 mPa·s

- วนซ้ำ Q3 กับสมการ Reader-Harris/Gallagher จนลู่เข้า: $C = 0.6060$, $Re_D = 1.11\times10^5$

- $q_m = 0.6060 \times 1.0328 \times \tfrac{\pi}{4}(0.05)^2\sqrt{2(25\,000)(998)} = 8.68\ \text{kg/s}$ = 31.3 m³/h ความเร็วในท่อ 1.11 m/s

- Q4: ความดันสูญเสียถาวร 18.3 kPa (73 % ของ ΔP) — ที่ 31 m³/h ต่อเนื่องทั้งปี คิดเป็นพลังงานปั๊มราว $18\,300 \times 0.0087 \approx 160\ \text{W}$ ก่อนหารประสิทธิภาพปั๊ม

Q5 Square-root relation and low-flow error รากที่สองและความคลาดที่อัตราไหลต่ำ

$$\frac{Q}{Q_\text{max}} = \sqrt{\frac{\Delta P}{\Delta P_\text{max}}} \qquad \frac{\delta Q}{Q} = \frac12\,\frac{\delta(\Delta P)}{\Delta P}$$

ตัวอย่าง Q-2

### ทรานสมิตเตอร์ DP คลาด ±0.1 % ของ span: อัตราไหลคลาดเท่าไรที่ 100 % 50 % และ 10 %

- 100 % flow → ΔP 100 % span: $\delta Q/Q = \tfrac12(0.1/100) = 0.05\,\%$

- 50 % flow → ΔP 25 %: $\tfrac12(0.1/25) = 0.2\,\%$ ของค่าอ่าน

- 10 % flow → ΔP 1 %: $\tfrac12(0.1/1) = 5\,\%$ ของค่าอ่าน — นี่คือเหตุผลที่ระบบควบคุมต้องมี low-flow cut-off และที่บางโรงงานติดทรานสมิตเตอร์ DP สองตัวช่วงต่างกัน

## มิเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้า (magmeter) กลาง

รูป 2 · สี่หลักการที่ไม่มีชิ้นส่วนเคลื่อนที่ในท่อ

ค.ศ. 1832 Michael Faraday พยายามวัดแรงดันที่เกิดจากน้ำในแม่น้ำเทมส์ไหลตัดสนามแม่เหล็กโลก แนวคิดนั้นกลายเป็น magmeter อุตสาหกรรมในทศวรรษ 1950 ของเหลวที่นำไฟฟ้าเปรียบเหมือนลวดตัวนำยาว D เคลื่อนที่ตัดสนาม B

Q6 Faraday's law in a magmeter กฎของฟาราเดย์

$$U = k\,B\,D\,\bar v \qquad Q_v = \frac{\pi D}{4kB}\,U$$

ตัวอย่าง Q-3

### น้ำ 50 m³/h ในมิเตอร์ DN100 สนาม 5 mT

- $\bar v = \dfrac{50/3600}{\pi(0.1)^2/4} = 1.77\ \text{m/s}$ — อยู่ในช่วงที่แนะนำ 1–5 m/s

- Q6 (k = 1): $U = 0.005 \times 0.1 \times 1.77 = 884\ \mu\text{V}$

- สัญญาณไมโครโวลต์ขณะที่อิเล็กโทรดมีศักย์ไฟฟ้าเคมีหลายร้อย mV — มิเตอร์จึงกระตุ้นขดลวดด้วย DC แบบพัลส์สลับขั้วแล้วหักศูนย์ทุกคาบ และต้องมีการต่อลงดินของของเหลว (grounding rings) ที่ดี

## อัลตราโซนิกแบบเวลาเดินทาง และแบบดอปเพลอร์ กลาง

Q7 Transit-time ultrasonic อัลตราโซนิกเวลาเดินทาง

$$t_{\uparrow} = \frac{L}{c - v\cos\theta},\quad t_{\downarrow} = \frac{L}{c + v\cos\theta} \;\Rightarrow\; v = \frac{L\,(t_{\uparrow} - t_{\downarrow})}{2\cos\theta\;t_{\uparrow}t_{\downarrow}}$$

ตัวอย่าง Q-4

### น้ำ v = 2 m/s ท่อ 200 mm เส้นทาง 45° c = 1482 m/s

- $L = D/\sin 45^\circ = 282.8\ \text{mm}$

- $t_\uparrow = 191.034\ \mu\text{s}$, $t_\downarrow = 190.670\ \mu\text{s}$ → $\Delta t = 364\ \text{ns}$

- ใส่กลับใน Q7 ได้ v = 2.000 m/s โดยไม่ต้องรู้ c — สูตรนี้ทนต่ออุณหภูมิและชนิดของเหลว แต่ต้องการวงจรจับเวลาที่ละเอียดระดับพิโควินาทีเพื่อแม่นที่ความเร็วต่ำ

แบบ หนีบภายนอก (clamp-on) ติดตั้งโดยไม่ต้องตัดท่อ เหมาะกับการตรวจสอบและงานชั่วคราว ความแม่นขึ้นกับข้อมูลท่อ (ความหนา วัสดุ ตะกรัน) ส่วนมิเตอร์หลายเส้นทาง (multipath) ใช้ซื้อขายแก๊สธรรมชาติตามแนวทาง AGA Report No. 9 แบบ ดอปเพลอร์ อาศัยการสะท้อนจากฟองหรืออนุภาค จึงใช้กับน้ำเสียหรือสลัดจ์ได้ แต่แม่นน้อยกว่า

## วอร์เท็กซ์ เทอร์ไบน์ และแบบปริมาตรแทนที่ กลาง

Q8 Vortex shedding ความถี่การหลุดของกระแสวน

$$f = \frac{St\,\bar v}{d} \qquad St \approx 0.2$$

Q9 Pulse meters: K-factor มิเตอร์เอาต์พุตพัลส์

$$Q_v = \frac{f}{K} \qquad V = \frac{N_\text{pulse}}{K}$$

วัตถุทื่อ (bluff body) กลางท่อทำให้กระแสวนหลุดสลับข้าง (Kármán vortex street ตามชื่อ Theodore von Kármán ค.ศ. 1911) ความถี่แปรตรงกับความเร็วตราบใดที่ Strouhal number คงที่ วอร์เท็กซ์จึงวัดของเหลว แก๊ส และไอน้ำได้ด้วยหลักเดียว ข้อจำกัดคืออัตราไหลต่ำ (Re ต่ำ กระแสวนไม่สม่ำเสมอ) และการสั่นของท่อที่อาจรบกวน

มิเตอร์ เทอร์ไบน์ นับรอบใบพัดด้วยพิกอัพแม่เหล็ก แม่นสูงกับของเหลวสะอาดความหนืดต่ำ แต่สึกหรอ ส่วนมิเตอร์ ปริมาตรแทนที่ (positive displacement) เช่น เฟืองวงรี ตักของเหลวเป็นห้อง ๆ จึงแม่นกับของหนืด (น้ำมัน กาว) และใช้ในหัวจ่ายน้ำมัน

## คอริโอลิส: วัดมวลและความหนาแน่นโดยตรง ขั้นสูง

Gaspard-Gustave de Coriolis อธิบายแรงในกรอบอ้างอิงที่หมุนไว้ในปี ค.ศ. 1835 มิเตอร์คอริโอลิสเชิงพาณิชย์ปรากฏในสหรัฐฯ ปลายทศวรรษ 1970 ท่อถูกกระตุ้นให้สั่นที่ความถี่ธรรมชาติ ของไหลที่ไหลผ่านถูกเร่งและหน่วงในทิศตั้งฉาก แรงคอริโอลิสทำให้ท่อบิด ปิกออฟที่ต้นทางและปลายทางจึงเห็นการสั่นต่างเวลากัน

Q10 Coriolis meter หลักการคอริโอลิส

$$q_m = K_\text{cal}\,\Delta t \qquad f_\text{tube} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_\text{tube} + \rho V_\text{tube}}} \;\Rightarrow\; \rho \text{ จากความถี่}$$

เพราะวัดมวลโดยตรง ผลของความหนาแน่น ความหนืด และโปรไฟล์ความเร็วจึงแทบหมดไป และได้ความหนาแน่นกับอุณหภูมิในเครื่องเดียว จุดอ่อนคือแก๊สปนในของเหลว (two-phase) ราคา และน้ำหนัก

## ตารางเลือกมิเตอร์และข้อกำหนดการติดตั้ง พื้นฐาน

| ชนิด | ของไหล | ความแม่นทั่วไป | rangeability | ความดันสูญเสีย | ท่อตรงที่ต้องการ | มาตรฐาน |

| ออริฟิซ + DP | ของเหลว แก๊ส ไอน้ำ | ±0.5–2 % (ระบบ) | 3–5 : 1 | สูง | มาก (ตาม β และข้อต่อ) | ISO 5167-2 |

| เวนจูรี | ของเหลว แก๊ส | ±0.5–1 % | 3–5 : 1 | ต่ำ | ปานกลาง | ISO 5167-4 |

| แม่เหล็กไฟฟ้า | ของเหลวนำไฟฟ้า สลัดจ์ | ±0.2–0.5 % ของค่า | > 30 : 1 | เกือบศูนย์ | ประมาณ 5D / 2D | ISO 20456 |

| อัลตราโซนิก | ของเหลว แก๊ส | ±0.5–2 % (clamp-on) · ดีกว่า 0.5 % (หลายเส้นทาง) | > 50 : 1 | ศูนย์ | มาก (10D ขึ้นไป) | ISO 12242 · AGA 9 |

| วอร์เท็กซ์ | ของเหลว แก๊ส ไอน้ำ | ±0.75–1 % ของค่า | 10–20 : 1 | ปานกลาง | ปานกลาง–มาก | ISO 12764 |

| คอริโอลิส | ของเหลว แก๊ส | ±0.1 % (ของเหลว) | > 50 : 1 | ปานกลาง–สูง | ไม่ต้อง | ISO 10790 |

| เทอร์ไบน์ | ของเหลวสะอาด แก๊ส | ±0.25–0.5 % | 10 : 1 | ปานกลาง | มาก | OIML R 117 (ซื้อขาย) |

| ปริมาตรแทนที่ | ของเหลวหนืด | ±0.1–0.5 % | 10–20 : 1 | สูง | ไม่ต้อง | OIML R 117 |

ตัวเลขเป็นค่าทั่วไปเพื่อเทียบระดับ ไม่ใช่สเปกของรุ่นใด ความยาวท่อตรงที่แท้จริงขึ้นกับชนิดข้อต่อต้นน้ำ ให้ดูจากมาตรฐานและคู่มือของรุ่นที่เลือก ส่วนมิเตอร์น้ำประปาอ้างอิง ISO 4064 / OIML R 49

ลำดับคำถามที่ใช้เลือก: (1) ของไหลคืออะไร นำไฟฟ้าหรือไม่ มีของแข็งหรือแก๊สปนหรือไม่ (2) ต้องการปริมาตรหรือมวล ใช้ควบคุมหรือซื้อขาย (3) ช่วงอัตราไหลต่ำสุด–สูงสุดจริง (4) ท่อตรงที่มีอยู่และความดันสูญเสียที่ยอมได้ (5) ต้นทุนตลอดอายุ ไม่ใช่ราคาซื้อเพียงอย่างเดียว ข้อมูลอัตราไหลถูกส่งเข้าระบบด้วย 4–20 mA + HART พัลส์ หรือ ฟิลด์บัส และนำไปควบคุมได้ในแล็บ วัดคุมเสมือน

## แหล่งอ้างอิง

- ISO 5167-1 และ ISO 5167-2 (ฉบับปัจจุบัน) Measurement of fluid flow by means of pressure differential devices — General principles; Orifice plates

- ISO 20456 Electromagnetic flowmeters · ISO 12242 Ultrasonic transit-time meters for liquid · ISO 12764 Vortex shedding flowmeters · ISO 10790 Coriolis flowmeters

- Reader-Harris, M. J. & Sattary, J. A. (1990) The orifice plate discharge coefficient equation, Flow Measurement and Instrumentation 1(2)

- OIML R 117 Dynamic measuring systems for liquids other than water · ISO 4064 / OIML R 49 Water meters

## คำถามที่พบบ่อย

มิเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้า (magmeter) วัดอะไรได้และไม่ได้?
วัดของเหลวที่นำไฟฟ้าได้ โดยทั่วไปความนำไฟฟ้าตั้งแต่ราว 5 µS/cm ขึ้นไป เช่น น้ำประปา น้ำเสีย กรด ด่าง สลัดจ์ เยื่อกระดาษ ไม่มีชิ้นส่วนกีดขวางการไหลจึงแทบไม่มีความดันสูญเสีย แต่วัดแก๊ส ไอน้ำ น้ำมัน และน้ำบริสุทธิ์มาก (เช่น น้ำ DI) ไม่ได้ ท่อต้องเต็มเสมอ

ทำไมมิเตอร์ DP (ออริฟิซ) ต้องถอดรากที่สอง?
เพราะสมการเบอร์นูลลีให้ความดันผลต่างแปรตามกำลังสองของความเร็ว ΔP ∝ Q² อัตราไหลจึงเป็น Q ∝ √ΔP ที่อัตราไหล 50 % ความดันผลต่างเหลือเพียง 25 % และที่ 10 % เหลือเพียง 1 % ของ span ความคลาดเล็ก ๆ ของ ΔP จึงกลายเป็นความคลาดใหญ่ของอัตราไหลที่ปลายต่ำ ทำให้มิเตอร์ DP มี rangeability ราว 3:1 ถึง 5:1

คอริโอลิสต่างจากมิเตอร์อื่นอย่างไร?
คอริโอลิสวัดอัตราไหลเชิงมวลโดยตรงจากการบิดของท่อที่สั่น ไม่ต้องรู้ความหนาแน่น ความหนืด หรือโปรไฟล์ความเร็ว และวัดความหนาแน่นได้พร้อมกันจากความถี่สั่น แม่นมาก (โดยทั่วไป ±0.1 % ของค่าสำหรับของเหลว) แต่ราคาสูง หนัก และขนาดท่อใหญ่มีข้อจำกัด เหมาะกับงานซื้อขาย การผสมสูตร และสารเคมีมูลค่าสูง

## FAQ

**มิเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้า (magmeter) วัดอะไรได้และไม่ได้?**
วัดของเหลวที่นำไฟฟ้าได้ โดยทั่วไปความนำไฟฟ้าตั้งแต่ราว 5 µS/cm ขึ้นไป เช่น น้ำประปา น้ำเสีย กรด ด่าง สลัดจ์ เยื่อกระดาษ ไม่มีชิ้นส่วนกีดขวางการไหลจึงแทบไม่มีความดันสูญเสีย แต่วัดแก๊ส ไอน้ำ น้ำมัน และน้ำบริสุทธิ์มาก (เช่น น้ำ DI) ไม่ได้ ท่อต้องเต็มเสมอ

**ทำไมมิเตอร์ DP (ออริฟิซ) ต้องถอดรากที่สอง?**
เพราะสมการเบอร์นูลลีให้ความดันผลต่างแปรตามกำลังสองของความเร็ว ΔP ∝ Q² อัตราไหลจึงเป็น Q ∝ √ΔP ที่อัตราไหล 50 % ความดันผลต่างเหลือเพียง 25 % และที่ 10 % เหลือเพียง 1 % ของ span ความคลาดเล็ก ๆ ของ ΔP จึงกลายเป็นความคลาดใหญ่ของอัตราไหลที่ปลายต่ำ ทำให้มิเตอร์ DP มี rangeability ราว 3:1 ถึง 5:1

**คอริโอลิสต่างจากมิเตอร์อื่นอย่างไร?**
คอริโอลิสวัดอัตราไหลเชิงมวลโดยตรงจากการบิดของท่อที่สั่น ไม่ต้องรู้ความหนาแน่น ความหนืด หรือโปรไฟล์ความเร็ว และวัดความหนาแน่นได้พร้อมกันจากความถี่สั่น แม่นมาก (โดยทั่วไป ±0.1 % ของค่าสำหรับของเหลว) แต่ราคาสูง หนัก และขนาดท่อใหญ่มีข้อจำกัด เหมาะกับงานซื้อขาย การผสมสูตร และสารเคมีมูลค่าสูง

---

# แรง น้ำหนัก ตำแหน่ง และการเคลื่อนที่

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/force-position/
Updated: 2026-10-14
Summary: เซนเซอร์เชิงกลสำหรับเครื่องจักรและกระบวนการ: ความเครียดและ gauge factor สะพานวีตสโตนแบบ quarter half full bridge โหลดเซลล์ mV/V การต่อ 6 สาย ความละเอียด ADC และ OIML R 60 เซนเซอร์ตำแหน่ง LVDT โพเทนชิโอมิเตอร์ เอ็ดดีเคอร์เรนต์ เลเซอร์ เอนโค้ดเดอร์แบบ incremental และ absolute พร็อกซิมิตีสวิตช์ NPN PNP NAMUR และเซนเซอร์ความเร็วและการสั่นสะเทือน พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 20.11 · Sensors & Transducers · Force, Weight & Position

# แรง น้ำหนัก ตำแหน่ง และการเคลื่อนที่

ในขณะที่โรงงานกระบวนการวัดอุณหภูมิ ความดัน การไหล และระดับ เครื่องจักรวัดแรง น้ำหนัก ตำแหน่ง และความเร็ว หน้านี้เริ่มจากสเตรนเกจซึ่งเป็นหัวใจของโหลดเซลล์และเซนเซอร์ความดันจำนวนมาก แล้วไปสู่เซนเซอร์ตำแหน่งและสวิตช์ที่พบในทุกตู้ควบคุม

สรุปใน 30 วินาที

- $\Delta R/R = GF\,\varepsilon$ · GF ≈ 2 · 500 µε ทำให้ R เปลี่ยนเพียง 0.1 %

- quarter bridge $V_o \approx V_{ex}GF\varepsilon/4$ · full bridge 4 เท่า และชดเชยอุณหภูมิในตัว

- โหลดเซลล์ 2 mV/V ที่ 5 V = 10 mV เต็มพิกัด → ต้อง ADC ความละเอียดสูงและสัญญาณรบกวนต่ำ

- เอนโค้ดเดอร์ $n = 60f/PPR$ · นับ ×4 จากขอบ A/B · PNP ต่อกับอินพุต sinking

## สเตรนเกจและสะพานวีตสโตน พื้นฐาน

R1 Strain gauge สเตรนเกจ

$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L} \qquad \sigma = E\,\varepsilon \qquad \frac{\Delta R}{R} = GF\cdot\varepsilon \quad (GF \approx 2 \text{ สำหรับฟอยล์โลหะ})$$

R2 Quarter bridge สเตรนเกจตัวเดียวในบริดจ์

$$V_o = V_{ex}\,\frac{GF\,\varepsilon}{4 + 2\,GF\,\varepsilon} \;\approx\; \frac{V_{ex}\,GF\,\varepsilon}{4}$$

R3 Half and full bridge สองและสี่แขนทำงาน

$$V_{o,\text{half}} = \frac{V_{ex}\,GF\,\varepsilon}{2} \qquad V_{o,\text{full}} = V_{ex}\,GF\,\varepsilon$$

รูป 1 · ซ้าย: สเตรนเกจหนึ่งตัวในบริดจ์ · ขวา: คานรับแรงที่ติดสเตรนเกจสองด้าน ด้านบนยืด ด้านล่างหด

ตัวอย่าง R-1

### คานเหล็กเครียด 500 µε GF = 2 กระตุ้น 5 V

- R1: $\Delta R/R = 2 \times 500\times10^{-6} = 0.1\,\%$ — สเตรนเกจ 350 Ω เปลี่ยนเพียง 0.35 Ω

- R2 quarter: $V_o = 5(0.001)/(4.002) = 1.2494\ \text{mV}$ (ประมาณเชิงเส้น 1.25 mV คลาด 0.05 %)

- R3 full bridge: $5\ \text{mV}$ — สัญญาณ 4 เท่า และถ้าอุณหภูมิเปลี่ยน ทุกแขนเปลี่ยนเท่ากัน บริดจ์ยังสมดุล

- ขยาย 200 เท่าด้วยอินสทรูเมนเทชันแอมป์ได้ 1.0 V (ดู ปรับสภาพสัญญาณ)

## โหลดเซลล์: mV/V การต่อ 6 สาย และความละเอียดที่ได้จริง กลาง

R4 Load cell output เอาต์พุตของโหลดเซลล์

$$V_o = S\,V_{ex}\,\frac{W}{W_\text{cap}} \qquad S = \text{rated output (mV/V)}$$

ตัวอย่าง R-2

### โหลดเซลล์ 500 kg 2 mV/V กระตุ้น 5 V ADC ±20 mV ได้ 18 บิตสะอาด

- R4: เต็มพิกัด 10 mV · ที่ 120 kg ได้ 2.4 mV

- 1 หลักของ ADC = $40\ \text{mV}/2^{18} = 153\ \text{nV}$ → $153\ \text{nV}/10\ \text{mV} \times 500\ \text{kg} = 7.6\ \text{g}$

- สัญญาณใช้เพียงครึ่งช่วง ADC — ถ้าเลือกช่วง ±10 mV จะละเอียดขึ้นสองเท่า ADC ชั่งน้ำหนักจึงมี PGA (gain 64–128) ในตัว

- ต่อ 6 สาย (excitation ±, sense ±, signal ±): สาย sense วัดแรงดันกระตุ้นที่ตัวโหลดเซลล์จริง หักแรงดันตกในสายยาวและผลอุณหภูมิของสาย

- อ่านแบบ ratiometric: ADC ใช้แรงดันกระตุ้นเป็นแรงดันอ้างอิงด้วย ความแกว่งของแหล่งจ่ายจึงหักล้างกัน

- คลาสตาม OIML R 60: เช่น C3 คือโหลดเซลล์ที่ผ่านการทดสอบที่ 3000 ช่วงแบ่ง ใช้กับเครื่องชั่งเชิงพาณิชย์ตาม OIML R 76 ซึ่งในไทยต้องผ่านการตรวจรับรองตามกฎหมายชั่งตวงวัด

- ปัจจัยกลไก: แรงด้านข้าง การบิด การยึดที่ไม่ขนาน และการขยายตัวจากความร้อนของโครงสร้าง มักทำให้ผิดมากกว่าตัวโหลดเซลล์เอง

## เซนเซอร์ตำแหน่งและระยะ กลาง

| ชนิด | หลักการ | ช่วงและความละเอียดทั่วไป | ใช้ที่ไหน |

| โพเทนชิโอมิเตอร์ | แบ่งแรงดันด้วยหน้าสัมผัสเลื่อน | ไม่กี่มิลลิเมตรถึงเมตร | ตำแหน่งวาล์ว คันโยก ราคาต่ำ (สึกหรอ) |

| LVDT | หม้อแปลงที่แกนเคลื่อน ขดทุติยภูมิสองขดต่ออนุกรมกลับเฟส | ±0.1 mm ถึง ±500 mm ความละเอียดสูงมาก | ทดสอบวัสดุ วัดการเคลื่อนของวาล์ว ไม่สัมผัส ไม่สึก |

| เอ็ดดีเคอร์เรนต์ (proximity probe) | อิมพีแดนซ์ของขดเปลี่ยนตามระยะถึงโลหะ | 0–2 mm ระดับไมโครเมตร | วัดการสั่นของเพลาในเครื่องจักรหมุน (API 670) |

| คาปาซิทีฟ | ความจุเปลี่ยนตามระยะ | ระดับนาโนเมตร | เครื่องจักรแม่นยำ เซมิคอนดักเตอร์ |

| แมกนีโตสตริกทีฟ | เวลาเดินทางของคลื่นบิดในลวดถึงแม่เหล็ก | ถึงหลายเมตร ระดับไมโครเมตร | กระบอกไฮดรอลิก ระดับของเหลว |

| เลเซอร์ (triangulation · time of flight) | มุมสะท้อน · เวลาเดินทางของแสง | มิลลิเมตรถึงหลายสิบเมตร | วัดชิ้นงานบนสายพาน ระยะรถเครน |

R5 LVDT หม้อแปลงผลต่างเชิงเส้น

$$V_o = V_{s1} - V_{s2} \approx k\,x \qquad \text{เฟสของ } V_o \text{ บอกทิศ } (\pm x)$$

ที่ตำแหน่งกลาง ขดทุติยภูมิทั้งสองได้แรงดันเท่ากันและหักล้างกันเป็นศูนย์ วงจรถอดสัญญาณแบบ synchronous demodulation ใช้เฟสเทียบกับแรงดันกระตุ้นเพื่อบอกว่าแกนเลื่อนไปทางใด

## เอนโค้ดเดอร์: incremental และ absolute กลาง

รูป 2 · สัญญาณ A และ B ต่างเฟส 90° ทำให้รู้ทิศและนับได้ 4 ขอบต่อคาบ

R6 Speed from pulse frequency ความเร็วรอบจากความถี่

$$n\ [\text{rpm}] = \frac{60\,f}{PPR}$$

R7 Angular resolution ความละเอียดมุม

$$\Delta\theta = \frac{360^\circ}{m\cdot PPR} \qquad m = 1, 2, 4$$

ตัวอย่าง R-3

### เอนโค้ดเดอร์ 1024 PPR สัญญาณ A 20 kHz

- R6: $n = 60(20\,000)/1024 = 1171.9\ \text{rpm}$

- R7 ×4: $360/4096 = 0.088^\circ$

- นับความถี่ใน gate 10 ms ได้ 800 ขอบ → ความละเอียดความเร็ว 1.46 rpm — ถ้าต้องการละเอียดกว่านี้ที่ความเร็วต่ำ ต้องวัดคาบระหว่างขอบแทน

เอนโค้ดเดอร์แบบ absolute ให้รหัสตำแหน่งเฉพาะทุกมุม (มักเป็น Gray code ที่เปลี่ยนทีละหนึ่งบิต) ไม่ต้องหาจุดอ้างอิงหลังเปิดเครื่อง แบบ multi-turn นับจำนวนรอบได้ด้วย ส่งข้อมูลผ่านอินเทอร์เฟซอนุกรมเช่น SSI, BiSS หรือโปรโตคอลเฉพาะผู้ผลิต ส่วน รีโซลเวอร์ (หม้อแปลงหมุน) ทนความร้อนและการสั่นสะเทือน นิยมในมอเตอร์ของรถยนต์ไฟฟ้าและงานอากาศยาน

## พร็อกซิมิตีสวิตช์: NPN, PNP และ NAMUR พื้นฐาน

| ชนิด | ตรวจจับ | หมายเหตุ |

| อินดักทีฟ | โลหะ | ระยะลดลงกับโลหะที่ไม่ใช่เหล็ก (correction factor) · IEC 60947-5-2 |

| คาปาซิทีฟ | เกือบทุกวัสดุ รวมของเหลวผ่านผนังพลาสติก | ไวต่อความชื้นและการเกาะ ต้องปรับความไว |

| โฟโตอิเล็กทริก | วัตถุที่บังหรือสะท้อนแสง | แบบ through-beam ไกลที่สุด แบบ diffuse ติดตั้งง่ายที่สุด |

| อัลตราโซนิก | วัตถุโปร่งใสหรือสีต่าง ๆ | มีระยะบอดใกล้หน้าเซนเซอร์ |

| NAMUR (IEC 60947-5-6) | เซนเซอร์สองสาย 8.2 V ที่กระแสเปลี่ยน ≤ 1.2 mA / ≥ 2.1 mA | ตรวจสายขาด/ลัดวงจรได้ ใช้กับแบเรียร์ในพื้นที่อันตราย |

PNP (sourcing) จ่ายไฟบวกออกที่ขาสัญญาณเมื่อตรวจพบ ต่อกับอินพุต PLC แบบ sinking (ขาร่วมเป็นลบ) · NPN (sinking) ดึงขาสัญญาณลงลบ ต่อกับอินพุตแบบ sourcing (ขาร่วมเป็นบวก) สลับกันแล้วอินพุตจะไม่ติดเลย จึงต้องดูจากสเปกการ์ดอินพุตก่อนสั่งซื้อ ส่วนเซนเซอร์ IO-Link รุ่นใหม่ส่งได้ทั้งสถานะสวิตช์และค่าระยะจริงบนสายเดิม (ดู IO-Link)

ความเร็วและการสั่นสะเทือน: แอกเซเลอโรมิเตอร์ไพอีโซแบบ IEPE (กระตุ้นด้วยกระแสคงที่ 2–20 mA บนสายโคแอกเซียล) ใช้วัดการสั่นของปั๊มและมอเตอร์ เกณฑ์ประเมินความรุนแรงของการสั่นเทียบกับชนิดเครื่องจักรอยู่ในชุดมาตรฐาน ISO 20816 (ฉบับเดิม ISO 10816) และใช้ FFT วิเคราะห์ความถี่เพื่อหาสาเหตุ

## แหล่งอ้างอิง

- OIML R 60 Metrological regulation for load cells · OIML R 76 Non-automatic weighing instruments

- IEC 60947-5-2 Proximity switches · IEC 60947-5-6 DC interface for proximity sensors and switching amplifiers (NAMUR)

- API Standard 670 Machinery Protection Systems · ISO 20816 (ชุด) Mechanical vibration — Measurement and evaluation of machine vibration

## คำถามที่พบบ่อย

โหลดเซลล์ 2 mV/V หมายถึงอะไร?
หมายถึงที่น้ำหนักเต็มพิกัด โหลดเซลล์ให้แรงดันเอาต์พุต 2 mV ต่อแรงดันกระตุ้นทุก 1 V ถ้ากระตุ้นด้วย 5 V สัญญาณเต็มพิกัดคือ 10 mV และแปรตามน้ำหนักแบบเชิงเส้น เช่น โหลดเซลล์ 500 kg ที่รับน้ำหนัก 120 kg ให้ 2.4 mV การระบุเป็น mV/V ทำให้ค่าไม่ขึ้นกับแรงดันกระตุ้น และเครื่องอ่านแบบ ratiometric ก็หักผลของแรงดันกระตุ้นที่แกว่งออกไปได้

พร็อกซิมิตีสวิตช์ NPN กับ PNP ต่างกันอย่างไร?
ทั้งคู่เป็นเซนเซอร์ 3 สาย (ไฟบวก ไฟลบ สัญญาณ) PNP (sourcing) จ่ายไฟบวกออกที่ขาสัญญาณเมื่อตรวจพบ จึงต่อกับอินพุต PLC แบบ sinking ส่วน NPN (sinking) ดึงขาสัญญาณลงลบเมื่อตรวจพบ ต่อกับอินพุตแบบ sourcing ยุโรปนิยม PNP ส่วนอุปกรณ์จากเอเชียหลายรายนิยม NPN ต้องเลือกให้ตรงกับการ์ดอินพุต

## FAQ

**โหลดเซลล์ 2 mV/V หมายถึงอะไร?**
หมายถึงที่น้ำหนักเต็มพิกัด โหลดเซลล์ให้แรงดันเอาต์พุต 2 mV ต่อแรงดันกระตุ้นทุก 1 V ถ้ากระตุ้นด้วย 5 V สัญญาณเต็มพิกัดคือ 10 mV และแปรตามน้ำหนักแบบเชิงเส้น เช่น โหลดเซลล์ 500 kg ที่รับน้ำหนัก 120 kg ให้ 2.4 mV การระบุเป็น mV/V ทำให้ค่าไม่ขึ้นกับแรงดันกระตุ้น และเครื่องอ่านแบบ ratiometric ก็หักผลของแรงดันกระตุ้นที่แกว่งออกไปได้

**พร็อกซิมิตีสวิตช์ NPN กับ PNP ต่างกันอย่างไร?**
ทั้งคู่เป็นเซนเซอร์ 3 สาย (ไฟบวก ไฟลบ สัญญาณ) PNP (sourcing) จ่ายไฟบวกออกที่ขาสัญญาณเมื่อตรวจพบ จึงต่อกับอินพุต PLC แบบ sinking ส่วน NPN (sinking) ดึงขาสัญญาณลงลบเมื่อตรวจพบ ต่อกับอินพุตแบบ sourcing ยุโรปนิยม PNP ส่วนอุปกรณ์จากเอเชียหลายรายนิยม NPN ต้องเลือกให้ตรงกับการ์ดอินพุต

---

# หลักการเบื้องต้น: ห่วงโซ่การวัด ความคลาดเคลื่อน และการตอบสนอง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/fundamentals/
Updated: 2026-10-14
Summary: หลักการเซนเซอร์และทรานส์ดิวเซอร์: measuring chain, หลักการแปลงพลังงาน, sensitivity, hysteresis, nonlinearity, %FS กับ %RDG, ค่าคงตัวเวลา พร้อมแล็บโต้ตอบ

// บทที่ 20.1 · Sensors & Transducers · Fundamentals

# หลักการเบื้องต้น: ห่วงโซ่การวัด ความคลาดเคลื่อน และการตอบสนอง

เซนเซอร์ (sensor) ทำอะไร ต่างจากทรานส์ดิวเซอร์ (transducer) อย่างไร สเปกที่เห็นในดาต้าชีตหมายความว่าอะไร พร้อมแล็บ 3 ชุดให้ลองปรับเอง

## 1 · ห่วงโซ่การวัด (measuring chain)

ปริมาณทางกายภาพไม่เดินทางเข้าคอมพิวเตอร์โดยตรง ต้องผ่านลำดับขั้น: เซนเซอร์ (sensor) รับรู้ปริมาณ → ภาคปรับสภาพสัญญาณ ทำให้สัญญาณมีขนาดและรูปแบบที่เหมาะสม → ตัวแปลง A/D → ซอฟต์แวร์ แปลงกลับเป็นหน่วยวิศวกรรม VIM เรียกลำดับนี้ว่า measuring chain (3.10) ความคลาดเคลื่อนของทุกขั้นสะสมเข้าด้วยกัน

// แล็บ 1 · ห่วงโซ่การวัด

### เลือกเซนเซอร์ แล้วกดแต่ละขั้นเพื่อดูตัวเลขจริง

ตัวอย่าง

## 2 · เซนเซอร์เปลี่ยนปริมาณเป็นสัญญาณได้อย่างไร

เซนเซอร์ส่วนใหญ่อาศัยปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์เพียงไม่กี่แบบ แบ่งได้เป็นสองตระกูล: แบบ passive (ต้องมีแหล่งกระตุ้น เช่น กระแสหรือแรงดันกระตุ้น) และ แบบ active/self-generating (สร้างแรงดันหรือประจุเอง)

| ปรากฏการณ์ | ชนิด | ตัวอย่างเซนเซอร์ | ปริมาณที่เปลี่ยน |

| ความต้านทานเปลี่ยนตามอุณหภูมิ | passive | RTD (Pt100), เทอร์มิสเตอร์ | R |

| ความต้านทานเปลี่ยนตามความเครียด | passive | สเตรนเกจ โหลดเซลล์ ความดันแบบพีโซรีซิสทีฟ | ΔR/R = GF·ε |

| เทอร์โมอิเล็กทริก (Seebeck) | active | เทอร์โมคัปเปิล | แรงเคลื่อนไฟฟ้า (µV–mV) |

| พีโซอิเล็กทริก | active | เซนเซอร์สั่นสะเทือน/แรงกระแทก | ประจุ Q |

| ความจุไฟฟ้า | passive | ระยะ ระดับ ความชื้น ความดันแบบคาปาซิทีฟ | C |

| ความเหนี่ยวนำ/การเหนี่ยวนำร่วม | passive | LVDT, เซนเซอร์ใกล้เคียงแบบเหนี่ยวนำ, CT | L, M |

| ฮอลล์ (Hall) | passive | เซนเซอร์สนามแม่เหล็ก/กระแสไม่สัมผัส | VH ∝ B |

| โฟโตอิเล็กทริก | active/passive | โฟโตไดโอด เซลล์แสงอาทิตย์ เซนเซอร์แสง | กระแส/แรงดัน |

| เคมีไฟฟ้า | active/passive | pH, เซนเซอร์ออกซิเจน/แก๊ส | แรงดัน/กระแส |

RTD: R เพิ่มเกือบเป็นเส้นตรงตามอุณหภูมิ ค่า Pt100 ที่ 200 °C ≈ 175.86 Ω

เทอร์โมคัปเปิล: วัดผลต่างระหว่างจุดวัดกับจุดอ้างอิง จึงต้องชดเชย cold junction ชนิด K ให้ ≈ 41 µV/°C

สเตรนเกจ: ตัวนำเส้นบางเรียงขนาน ยืดแล้ว R เพิ่ม ค่า GF ทั่วไปประมาณ 2 สำหรับฟอยล์โลหะ

ตัวอย่างคำนวณ: สเตรนเกจ GF = 2 รับความเครียด ε = 1000 µε → ΔR/R = 2 × 1000×10⁻⁶ = 2×10⁻³ บริดจ์ 1/4 ให้ Vo/Vex ≈ GF·ε/4 = 0.5 mV/V เมื่อกระตุ้นด้วย 10 V ได้ราว 5 mV จึงต้องขยายสัญญาณก่อนเข้า ADC

R(T) = R0(1 + A·T + B·T²) · A = 3.9083×10⁻³ °C⁻¹, B = −5.775×10⁻⁷ °C⁻² (0–850 °C, Pt100 ตาม IEC 60751)

## 3 · คุณลักษณะสถิต (static characteristics)

บอกว่าเซนเซอร์ทำงานเที่ยงตรงเพียงใดเมื่ออินพุตเปลี่ยนช้ามาก ศัพท์ด้านล่างอิงความหมายตาม VIM และแนวปฏิบัติทางเครื่องมือวัด

| คุณลักษณะ | ความหมาย | ข้อควรระวัง |

| ช่วงวัด (range) / สแปน (span) | ช่วงของปริมาณที่เซนเซอร์วัดได้ตามสเปก / ผลต่างปลายบน–ปลายล่าง | "FS" คือ full scale = span ของช่วงวัด |

| ความไว (sensitivity) S | S = Δy/Δx ความชันของเส้นโค้งอินพุต–เอาต์พุต | หน่วยมีมิติ เช่น mV/V, mV/bar, µV/°C |

| ออฟเซ็ต/ศูนย์ (offset, zero error) | เอาต์พุตเมื่ออินพุตเป็นศูนย์ ที่ควรเป็นศูนย์ | ปรับได้โดย "zeroing/tare" |

| ความไม่เป็นเส้นตรง (nonlinearity) | ส่วนเบี่ยงเบนสูงสุดจากเส้นตรงอ้างอิง | ต้องบอกว่าเทียบเส้นตรงแบบใด (best-fit, end-point) |

| ฮิสเทอรีซิส (hysteresis) | ผลต่างของเอาต์พุตที่อินพุตเดียวกัน เมื่อวัดขาขึ้นเทียบขาลง | สูงสุดมักอยู่กลางสเกล |

| ความซ้ำได้ (repeatability) | ผลวัดใกล้เคียงกันเมื่อวัดซ้ำภายใต้เงื่อนไขเดิม | ไม่เท่ากับความถูกต้อง |

| ความละเอียด (resolution) | การเปลี่ยนแปลงที่เล็กที่สุดที่แสดง/ตรวจพบได้ | ADC 16 บิตให้ 1 ส่วนใน 65 536 ของสเกล แต่ความถูกต้องอาจแย่กว่านั้นมาก |

| ความถูกต้อง (accuracy) | ความใกล้เคียงของค่าที่วัดกับค่าจริงของปริมาณ | เป็นแนวคิดเชิงคุณภาพ ตัวเลขที่แท้คือ "ความไม่แน่นอน" (ดูบทมาตรวิทยา) |

| ดริฟต์ (drift) | การเปลี่ยนค่าเมื่อเวลาผ่านไปหรืออุณหภูมิเปลี่ยน | ระบุเป็น %FS/ปี, ppm/°C |

// แล็บ 2 · ความคลาดเคลื่อนสถิต

### ใส่ความคลาดเคลื่อนแต่ละชนิด แล้วดูผลรวม

เส้นสีเขียวน้ำเงินคือขาขึ้น เส้นสีส้มคือขาลง เส้นประคืออุดมคติ กราฟล่างแสดงความคลาดเคลื่อน

ความคลาดเกน (%) 0
ออฟเซ็ต (%FS) 0
ไม่เป็นเส้นตรง (%FS) 0
ฮิสเทอรีซิส (%FS) 0
สัญญาณรบกวน rms (%FS) 0

อ่านสเปกให้เป็น: "±0.5 %FS" หมายถึงความคลาดคงที่เท่ากันทุกจุดของสเกล ส่วน "±0.5 %RDG" (ของค่าที่อ่าน) ลดลงตามค่าที่อ่านได้ ตัวอย่างโหลดเซลล์ 100 kg ± 0.1 %FS = ± 0.1 kg ทุกที่ ถ้าวัดของหนัก 5 kg ความคลาด 0.1 kg คิดเป็น 2 %RDG แล้ว เลือกช่วงวัดให้ค่าปกติอยู่ราว 50–80 % ของสเกล

## 4 · คุณลักษณะพลวัต (dynamic characteristics)

เซนเซอร์จริงไม่ตอบสนองทันที เซนเซอร์อุณหภูมิต้องรอให้ความร้อนไหลเข้าปลายวัด ระบบส่วนใหญ่จำลองได้ด้วยระบบอันดับหนึ่งที่มีค่าคงตัวเวลา τ:

τ·dy/dt + y = S·x(t) ⇒ y(t) = S·x∞(1 − e−t/τ) · |H(jω)| = 1/√(1 + (ωτ)²) · fc = 1/(2πτ)

แนวคิดเดียวกับแล็บ ระบบอันดับหนึ่ง ในบทที่ 9 ที่นี่นำมาใช้กับเซนเซอร์ที่วัดได้จริง เช่น เทอร์โมคัปเปิลเปลือยในอากาศ τ ≈ วินาที ส่วนในปลอกโลหะในของเหลวอาจเป็นสิบวินาที

// แล็บ 3 · การตอบสนองเวลา

### เซนเซอร์ที่ช้าอ่านค่าผิดไปเท่าไร

ค่าคงตัวเวลา τ (วินาที)
ความถี่อินพุตไซน์ (Hz)

กฎจำง่าย: รอ ≈ 5τ จึงเข้าใกล้ค่าจริง 99.3 % และถ้าต้องการวัดสัญญาณที่เปลี่ยนเร็วขึ้นต้องเลือกเซนเซอร์ที่ τ น้อยลง ไม่ใช่เพียงขยายสัญญาณ

## 5 · เช็กลิสต์เลือกเซนเซอร์

- ปริมาณและช่วงวัด: ค่าปกติ ค่าสูงสุดชั่วขณะ (overload) ค่าต่ำสุดที่ต้องแยกได้

- ความไม่แน่นอนที่ยอมรับได้: ต้องดีกว่าข้อกำหนดของงานอย่างน้อย 3–4 เท่า (แนวปฏิบัติของห้องสอบเทียบเรียกว่า TUR 4:1)

- เวลาตอบสนอง: τ และความถี่ที่ต้องการวัด

- เอาต์พุต: mV, 0–10 V, 4–20 mA, ดิจิทัล และต้องมีภาคปรับสภาพหรือไม่

- สภาพแวดล้อม: อุณหภูมิ ความชื้น การสั่นสะเทือน EMC และระดับ IP

- มาตรฐานและใบรับรอง: ที่ต้องการสอบกลับได้ ใบ Ex, SIL (ดูบท มาตรฐานไฟฟ้า)

- ต้นทุนทั้งวงจรชีวิต: สอบเทียบ บำรุงรักษา อะไหล่

## แหล่งอ้างอิง

- VIM (JCGM 200) — 3.7 measuring transducer, 3.8 sensor, 3.10 measuring chain
- IEC 60751 — Industrial platinum resistance thermometers (IEC Webstore)
- IEC 60584-1 — Thermocouples: EMF specifications and tolerances (IEC Webstore)
- NIST ITS-90 Thermocouple Database

---

# ประวัติและวิวัฒนาการของเซนเซอร์และเครื่องมือวัดคุม

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/history-technology/
Updated: 2026-10-14
Summary: เส้นเวลา 400 ปีของเซนเซอร์และเครื่องมือวัดคุม: การค้นพบปรากฏการณ์ Seebeck Faraday Hall piezoelectric สเตรนเกจ ยุคนิวแมติก 3–15 psi ยุคอิเล็กทรอนิกส์ 4–20 mA DCS และ PLC ยุคทรานสมิตเตอร์อัจฉริยะ HART สงครามฟิลด์บัส PROFIBUS FOUNDATION Fieldbus ยุค Industrial Ethernet ไร้สาย IIoT และ Ethernet-APL พร้อมประเทศต้นกำเนิดของแต่ละเทคโนโลยี

// บทที่ 20.2 · Sensors & Transducers · History & Evolution

# ประวัติและวิวัฒนาการ: จากเทอร์โมสโคปถึง Ethernet-APL

มาตรฐานและสัญญาณที่เราใช้วันนี้ไม่ได้ถูกออกแบบใหม่ทั้งหมดในคราวเดียว แต่ละรุ่นต้องอยู่ร่วมกับรุ่นก่อน 4–20 mA สืบทอด live zero จากลม HART ซ้อนบน 4–20 mA และ Ethernet-APL ใช้สายคู่เดิมของฟิลด์บัส การรู้ที่มาจึงช่วยให้เข้าใจว่าทำไมตัวเลขเหล่านั้นจึงเป็นแบบนั้น

## เส้นเวลาของเครื่องมือวัดคุมอุตสาหกรรม

รูป 1 · ยุคเทคโนโลยีซ้อนทับกัน โรงงานจำนวนมากยังมีอุปกรณ์จากสามยุคทำงานพร้อมกัน

## ปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ที่กลายเป็นเซนเซอร์ พื้นฐาน

เซนเซอร์เกือบทุกชนิดในบทนี้อาศัยการค้นพบในศตวรรษที่ 17–19 ช่องว่างระหว่าง "ค้นพบ" กับ "ใช้ในโรงงาน" มักยาวหลายสิบถึงร้อยปี จนกว่าจะมีวัสดุและอิเล็กทรอนิกส์ที่ทำให้ใช้งานได้จริง

- ราว 1593Galileo Galilei ทำเทอร์โมสโคป (อากาศขยายตัวดันน้ำในหลอด) · อิตาลี

- 1643Evangelista Torricelli วัดความดันบรรยากาศด้วยคอลัมน์ปรอท · อิตาลี

- 1714 · 1742Fahrenheit ทำเทอร์โมมิเตอร์ปรอท · Anders Celsius เสนอสเกลร้อยองศา · เนเธอร์แลนด์ · สวีเดน

- 1738 · 1797Daniel Bernoulli อธิบายความเร็วกับความดัน · Venturi ศึกษาการไหลผ่านท่อคอด · สวิตเซอร์แลนด์ · อิตาลี

- 1821Thomas Johann Seebeck พบแรงเคลื่อนไฟฟ้าจากผลต่างอุณหภูมิ → เทอร์โมคัปเปิล · เยอรมนี (ปรัสเซีย)

- 1831–1832Michael Faraday ค้นพบการเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า และทดลองวัดแรงดันจากแม่น้ำเทมส์ → CT, magmeter · สหราชอาณาจักร

- 1835Gaspard-Gustave de Coriolis อธิบายแรงในกรอบหมุน → มิเตอร์คอริโอลิส · ฝรั่งเศส

- 1843Charles Wheatstone เผยแพร่วงจรสะพานวัดความต้านทาน (ที่ Samuel Christie คิดไว้ก่อนในปี 1833) · สหราชอาณาจักร

- 1849Eugène Bourdon จดสิทธิบัตรท่อโค้งวัดความดัน · ฝรั่งเศส

- 1856William Thomson (Lord Kelvin) พบว่าความต้านทานโลหะเปลี่ยนเมื่อถูกดึง → พื้นฐานสเตรนเกจ · สหราชอาณาจักร

- 1871 · 1887William Siemens เสนอเทอร์โมมิเตอร์ความต้านทานแพลตตินัม · H. L. Callendar ทำให้แม่นยำ · สหราชอาณาจักร

- 1879 · 1880Edwin Hall พบปรากฏการณ์ฮอลล์ · Pierre และ Jacques Curie พบปรากฏการณ์ไพอีโซอิเล็กทริก · สหรัฐฯ · ฝรั่งเศส

- 1912Walter Rogowski อธิบายขดลวดวัดกระแสแบบแกนอากาศ · เยอรมนี

- 1938Edward Simmons และ Arthur Ruge พัฒนาสเตรนเกจแบบติดผิว · สหรัฐฯ

- 1954C. S. Smith (Bell Labs) รายงานผลไพอีโซรีซิสทีฟในซิลิคอน → เซนเซอร์ความดัน MEMS · สหรัฐฯ

## ห้ายุคของเครื่องมือวัดคุมในโรงงาน กลาง

### 1 · ยุคนิวแมติก (ทศวรรษ 1930–1960)

ตัวควบคุม PID แบบลมจากผู้ผลิตอย่าง Taylor และ Foxboro ในสหรัฐฯ ทำให้ควบคุมกระบวนการอัตโนมัติได้จริง ปี 1942 Ziegler และ Nichols ตีพิมพ์วิธีจูนที่ยังสอนกันถึงวันนี้ (ดู การจูน PID) สัญญาณมาตรฐานคือ 3–15 psi ข้อดีคือปลอดภัยในพื้นที่ไวไฟโดยธรรมชาติ ข้อเสียคือท่อลมยาวทำให้ตอบสนองช้า

H1 Pneumatic ↔ current signal แปลงสัญญาณลมกับกระแส (ตัวแปลง I/P)

$$P = 3 + 12\,\frac{I - 4}{16}\ \text{psi} \qquad 20\ \text{kPa} \leftrightarrow 4\ \text{mA},\;\; 100\ \text{kPa} \leftrightarrow 20\ \text{mA}$$

ตัวอย่าง H-1

### PLC สั่งวาล์วด้วย 12 mA ผ่านตัวแปลง I/P

- H1: $P = 3 + 12(8/16) = 9\ \text{psi}$ (60 kPa) = 50 % ของช่วงลม

- วาล์วแบบ air-to-open เปิด 50 % ส่วนแบบ air-to-close ปิด 50 % — การเลือกแบบขึ้นกับว่าถ้าลมหายวาล์วควรอยู่ที่ใด (fail-safe)

### 2 · ยุคอิเล็กทรอนิกส์แอนะล็อก (ทศวรรษ 1950–1980)

ทรานซิสเตอร์ทำให้ทรานสมิตเตอร์อิเล็กทรอนิกส์เป็นไปได้ ผู้ผลิตแต่ละรายใช้ช่วงกระแสต่างกันจนมาตรฐาน ISA S50.1 และ IEC 60381 ทำให้ 4–20 mA เป็นภาษากลาง ปี 1969 PLC รุ่นแรกจาก Modicon แทนที่ตู้รีเลย์ในอุตสาหกรรมรถยนต์สหรัฐฯ และปี 1975 ระบบควบคุมแบบกระจาย (DCS) รุ่นแรกออกสู่ตลาดเกือบพร้อมกันทั้งในสหรัฐฯ และญี่ปุ่น

### 3 · ยุคทรานสมิตเตอร์อัจฉริยะ (ทศวรรษ 1980)

ไมโครโปรเซสเซอร์ที่กินไฟต่ำพอจะอยู่ในงบ 3.6 mA ทำให้ทรานสมิตเตอร์ชดเชยอุณหภูมิและความไม่เชิงเส้นด้วยตัวเลข ตั้งช่วงจากระยะไกล และรายงานความผิดปกติได้ ทรานสมิตเตอร์ความดันอัจฉริยะเชิงพาณิชย์รุ่นแรก ๆ ออกในปี 1983 และ HART (กลางทศวรรษ 1980) กลายเป็นวิธีพูดคุยกับทรานสมิตเตอร์ผ่านสายเดิม ซึ่งยังเป็นทรานสมิตเตอร์ที่ติดตั้งมากที่สุดในโลกจนถึงวันนี้

### 4 · ยุคฟิลด์บัส (ทศวรรษ 1990)

ความหวังคือสายคู่เดียวต่อทุกอุปกรณ์แบบดิจิทัลล้วน แต่ค่ายเยอรมนี (PROFIBUS) ค่ายฝรั่งเศส (FIP/WorldFIP) และค่ายสหรัฐฯ (ISP แล้วกลายเป็น FOUNDATION Fieldbus) แข่งกันจนมาตรฐานสากลไม่สามารถเลือกโปรโตคอลเดียวได้ ผลประนีประนอมคือ IEC 61158 ที่บรรจุหลายโปรโตคอลเป็น "ชนิด" ต่าง ๆ บทเรียนสำคัญคือความเข้ากันได้ (interoperability) และเครื่องมือวินิจฉัยสำคัญพอ ๆ กับความเร็ว

### 5 · ยุคอีเทอร์เน็ต ไร้สาย และ IIoT (2000 ถึงปัจจุบัน)

Industrial Ethernet (PROFINET, EtherNet/IP, EtherCAT) ครองงานโรงงานผลิต WirelessHART (IEC 62591) และ ISA100.11a (IEC 62734) นำเซนเซอร์ไร้สายเข้าสู่กระบวนการ OPC UA ให้ข้อมูลมีความหมายข้ามระบบ คำว่า Industrie 4.0 ถูกนำเสนอในเยอรมนีปี 2011 และหน่วย SI ถูกนิยามใหม่ด้วยค่าคงตัวธรรมชาติในปี 2019 (ดู มาตรวิทยา) ล่าสุด Ethernet-APL นำอีเทอร์เน็ตสองสายลงไปถึงทรานสมิตเตอร์ในพื้นที่อันตราย

## ประเทศต้นกำเนิด: ใครวางรากฐานอะไร พื้นฐาน

| ประเทศ | องค์กร/ผู้ผลิตสำคัญ | สิ่งที่วางรากฐาน |

| สวิตเซอร์แลนด์ | IEC, ISO (เจนีวา) | มาตรฐานสากลเกือบทั้งหมดในบทนี้ (IEC 60751, 60584, 61158, 61508, ISO 5167) |

| ฝรั่งเศส | BIPM (Sèvres) | ระบบหน่วย SI ต้นแบบกิโลกรัมเดิม · Bourdon · Coriolis |

| เยอรมนี | DIN, PTB, NAMUR, PI, VDI/VDE | PROFIBUS/PROFINET · NE 43 · FISCO · เส้นโค้ง Pt100 (DIN) · Industrie 4.0 · EtherCAT |

| สหรัฐอเมริกา | ISA, NIST, IEEE, ODVA, FieldComm Group, API, ASME | ISA-5.1 P&ID · 4–20 mA (S50.1) · HART · FOUNDATION Fieldbus · Modbus · EtherNet/IP · ตาราง TC ของ NIST |

| สหราชอาณาจักร | NPL, BSI | Faraday · Wheatstone · Kelvin · Siemens/Callendar (RTD) |

| ญี่ปุ่น | JISC, CLPA | JIS C 1602/1604 · DCS ยุคแรก · CC-Link · เซนเซอร์ซิลิคอนเรโซแนนต์ |

| ไทย | มว. (NIMT), สมอ. (TISI), วสท. | มาตรฐานการวัดแห่งชาติ · มอก. · มาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้า |

รายการมาตรฐานพร้อมเมืองที่ตั้งองค์กรและตัวกรองตามชนิดเซนเซอร์อยู่ที่ ฐานข้อมูลมาตรฐาน

## ทิศทางเทคโนโลยี: จาก "วัดค่า" สู่ "รู้สถานะ" กลาง

### เซนเซอร์บอกสุขภาพตัวเอง
ทรานสมิตเตอร์รุ่นใหม่ตรวจท่อตัน การเกาะติด การสั่น และความเสื่อมของเซนเซอร์ แล้วรายงานตามหมวด NAMUR NE 107 (ล้มเหลว · ตรวจสอบ · นอกสเปก · ต้องบำรุงรักษา)

### MEMS และการรวมหลายปริมาณ
ชิปเดียววัดความดัน อุณหภูมิ และความเร่ง ราคาลดลงจนเซนเซอร์กลายเป็น "ของถูก" และสิ่งที่มีค่าคือข้อมูลที่ได้

### ดิจิทัลถึงปลายทาง
IO-Link และ Ethernet-APL ทำให้ข้อมูลดิจิทัลเดินทางจากเซนเซอร์ถึงคลาวด์โดยไม่ผ่านการแปลงเป็นแอนะล็อก

### ข้อมูลช่องทางที่สองและ AI
NAMUR Open Architecture แยกการเฝ้าดูและวิเคราะห์ออกจากลูปควบคุม ทำให้ใช้ AI พยากรณ์ความเสียหายได้โดยไม่เสี่ยงต่อการควบคุม

อ่านรายละเอียดเชิงเทคนิคที่ เซนเซอร์อัจฉริยะและ IIoT

## แหล่งอ้างอิง

- Ziegler, J. G. & Nichols, N. B. (1942) Optimum Settings for Automatic Controllers, Transactions of the ASME 64

- ANSI/ISA-50.1 · IEC 60381-1 · IEC 60382 (สัญญาณแอนะล็อกไฟฟ้าและนิวแมติก)

- IEC 61158 / IEC 61784 · NAMUR NE 107 Self-monitoring and diagnosis of field devices

- BIPM — The 2019 redefinition of the SI base units

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมสัญญาณลมใช้ 3–15 psi?
ช่วง 3–15 psi (ประมาณ 20–100 kPa) กลายเป็นมาตรฐานของเครื่องมือวัดคุมแบบนิวแมติกตั้งแต่ก่อนยุคอิเล็กทรอนิกส์ จุดเริ่มที่ 3 psi แทนศูนย์ทำให้แยกท่อลมรั่วหรือขาดออกจากค่า 0 % ได้ และช่วยให้กลไกอยู่ในย่านที่ทำงานเป็นเชิงเส้น แนวคิดนี้ส่งต่อมาเป็น live zero ของ 4–20 mA และยังใช้กับตัวขับวาล์วจนถึงปัจจุบัน

ทรานสมิตเตอร์อัจฉริยะ (smart transmitter) เริ่มเมื่อไร?
ต้นทศวรรษ 1980 เมื่อไมโครโปรเซสเซอร์เล็กและกินไฟน้อยพอจะอยู่ในทรานสมิตเตอร์สองสาย ทรานสมิตเตอร์ความดันอัจฉริยะรุ่นแรก ๆ ออกสู่ตลาดในปี 1983 ทำให้ชดเชยอุณหภูมิและความไม่เชิงเส้นด้วยตัวเลข ตั้งช่วงจากระยะไกล และวินิจฉัยตัวเองได้ ตามมาด้วยโปรโตคอล HART ที่ให้สื่อสารกับทรานสมิตเตอร์ผ่านสาย 4–20 mA เดิม

## FAQ

**ทำไมสัญญาณลมใช้ 3–15 psi?**
ช่วง 3–15 psi (ประมาณ 20–100 kPa) กลายเป็นมาตรฐานของเครื่องมือวัดคุมแบบนิวแมติกตั้งแต่ก่อนยุคอิเล็กทรอนิกส์ จุดเริ่มที่ 3 psi แทนศูนย์ทำให้แยกท่อลมรั่วหรือขาดออกจากค่า 0 % ได้ และช่วยให้กลไกอยู่ในย่านที่ทำงานเป็นเชิงเส้น แนวคิดนี้ส่งต่อมาเป็น live zero ของ 4–20 mA และยังใช้กับตัวขับวาล์วจนถึงปัจจุบัน

**ทรานสมิตเตอร์อัจฉริยะ (smart transmitter) เริ่มเมื่อไร?**
ต้นทศวรรษ 1980 เมื่อไมโครโปรเซสเซอร์เล็กและกินไฟน้อยพอจะอยู่ในทรานสมิตเตอร์สองสาย ทรานสมิตเตอร์ความดันอัจฉริยะรุ่นแรก ๆ ออกสู่ตลาดในปี 1983 ทำให้ชดเชยอุณหภูมิและความไม่เชิงเส้นด้วยตัวเลข ตั้งช่วงจากระยะไกล และวินิจฉัยตัวเองได้ ตามมาด้วยโปรโตคอล HART ที่ให้สื่อสารกับทรานสมิตเตอร์ผ่านสาย 4–20 mA เดิม

---

# สัญญาณมาตรฐานอุตสาหกรรม: 4–20 mA และ HART

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/industrial-signals/
Updated: 2026-10-14
Summary: ทำไมอุตสาหกรรมใช้ 4–20 mA: live zero การต้านสัญญาณรบกวน และลูปสองสายที่ส่งทั้งไฟเลี้ยงและสัญญาณ การสเกลหน่วยวิศวกรรม งบแรงดันลูปและความต้านทานโหลดสูงสุด NAMUR NE 43 ระดับแจ้งความผิดพลาด 3.6 และ 21 mA สัญญาณ 0–10 V และ 3–15 psi โปรโตคอล HART แบบ Bell 202 FSK 1200/2200 Hz คำสั่ง HART และ WirelessHART พร้อมซิมูเลเตอร์ลูปและโมเด็ม HART

// บทที่ 20.14 · Sensors & Transducers · 4–20 mA & HART

# สัญญาณมาตรฐานอุตสาหกรรม: 4–20 mA และ HART

สายคู่เดียวที่ส่งทั้งไฟเลี้ยงและค่าวัดได้ไกลหลายกิโลเมตร ทนสัญญาณรบกวน และบอกได้ว่าสายขาด — นี่คือเหตุที่ 4–20 mA อยู่มาครึ่งศตวรรษ และยังเป็นสัญญาณที่ช่างวัดคุมทุกคนต้องเข้าใจถึงระดับโวลต์และโอห์ม

สรุปใน 30 วินาที

- $x = LRV + \dfrac{I-4}{16}(URV - LRV)$ · 12 mA = 50 % · 250 Ω แปลงเป็น 1–5 V

- งบลูป: $V_s \ge V_\text{min} + I_\text{max}R_\text{loop}$ ใช้ $I_\text{max}$ ≈ 22 mA ไม่ใช่ 20 mA

- NE 43: วัดได้ 3.8–20.5 mA · ≤ 3.6 หรือ ≥ 21 mA = อุปกรณ์แจ้งเสีย

- HART: FSK ±0.5 mA 1200 Hz = 1, 2200 Hz = 0 · 1200 bit/s · ต้องมี R ลูป 230–1100 Ω

## ทำไมอุตสาหกรรมเลือกส่ง "กระแส" พื้นฐาน

ก่อนมีอิเล็กทรอนิกส์ เครื่องมือวัดคุมสื่อสารกันด้วยลม: 3–15 psi (20–100 kPa ตาม IEC 60382) สังเกตว่าลมก็เริ่มที่ 3 psi ไม่ใช่ศูนย์ แนวคิด "ศูนย์ที่ยังมีชีวิต" (live zero) จึงมีมาก่อนไฟฟ้า เมื่อเครื่องมืออิเล็กทรอนิกส์เข้ามาในทศวรรษ 1950–60 ผู้ผลิตแต่ละรายใช้ช่วงต่างกัน เช่น 10–50 mA และ 1–5 mA จนกระทั่ง ISA ออกมาตรฐาน S50.1 (ฉบับแรกปี 1975 ฉบับปรับปรุงปี 1982) และ IEC ออก IEC 60381-1 ทำให้ 4–20 mA เป็นภาษากลางของทั้งโลก

| เหตุผล | คำอธิบาย |

| ไม่ขึ้นกับความต้านทานสาย | ทรานสมิตเตอร์เป็นแหล่งกระแส ทุกจุดของวงจรอนุกรมมีกระแสเท่ากัน สายยาวไม่ทำให้ค่าผิดตราบใดที่งบแรงดันพอ ต่างจาก 0–10 V ที่แรงดันตกในสายคือความคลาดโดยตรง |

| ทนสัญญาณรบกวน | แหล่งกระแสมีอิมพีแดนซ์สูง แรงดันรบกวนที่เหนี่ยวนำในสายสร้างกระแสได้น้อยเมื่อเทียบกับ mA ของสัญญาณ |

| live zero | 0 % = 4 mA ส่วน 0 mA = สายขาด แยกกันได้ทันที |

| ส่งไฟเลี้ยงบนสายเดียวกัน | 3.6 mA ที่ไม่ใช้เป็นสัญญาณเลี้ยงวงจรทรานสมิตเตอร์ได้ราว 38 mW ที่ 10.5 V พอสำหรับเซนเซอร์ ADC และไมโครคอนโทรลเลอร์กำลังต่ำ |

| ปลอดภัยในพื้นที่อันตราย | พลังงานต่ำพอทำให้ออกแบบเป็นแบบปลอดภัยในตัว (Ex i) ได้ง่าย |

รูป 1 · 2 สาย: ไฟเลี้ยงและสัญญาณบนคู่เดียว · 3 สาย: ลบร่วม · 4 สาย: ไฟเลี้ยงแยก ทรานสมิตเตอร์จ่ายกระแสเอง (active output)

I1 Linear scaling แปลงกระแสเป็นหน่วยวิศวกรรม

$$x = LRV + \frac{I - 4\ \text{mA}}{16\ \text{mA}}\,(URV - LRV) \qquad I = 4 + 16\,\frac{x - LRV}{URV - LRV}$$

I2 Sense resistor แปลงกระแสเป็นแรงดัน

$$V = I\,R_s \qquad 250\ \Omega:\ 4\text{–}20\ \text{mA} \to 1\text{–}5\ \text{V}$$

ตัวอย่าง I-1

### ทรานสมิตเตอร์อุณหภูมิช่วง 0–250 °C

- อ่านได้ 12.0 mA → I1: $0 + (8/16)(250) = 125\ ^\circ\text{C}$

- อ่านได้ 9.6 mA → $(5.6/16)(250) = 87.5\ ^\circ\text{C}$

- ต้องการตั้งเตือนที่ 200 °C → $I = 4 + 16(200/250) = 16.8\ \text{mA}$ · ที่การ์ด 250 Ω = 4.2 V

## ซิมูเลเตอร์ลูป 4–20 mA: ลองทำให้มันเสีย พื้นฐาน

ซิมูเลเตอร์นี้จำลองแหล่งจ่าย 24 V ตัวต้านทาน 250 Ω ของการ์ด AI สาย และทรานสมิตเตอร์สองสายที่ต้องการแรงดันขั้วอย่างน้อย 10.5 V ลองเลื่อนค่ากระบวนการเกิน 100 % (เห็นการอิ่มตัวที่ 20.5 mA ตาม NE 43) แล้วเลือกความผิดพลาดแต่ละแบบ

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้ซิมูเลเตอร์

สังเกตกรณี กราวด์ลูป: ค่าผิดไปเงียบ ๆ โดยไม่มีอะไรเตือน เพราะกระแสที่รั่วยังอยู่ในช่วงปกติ นี่คือความผิดพลาดที่อันตรายกว่าสายขาด ทางป้องกันคือต่อกราวด์ของลูปที่จุดเดียว และใช้ตัวแยกสัญญาณ (signal isolator) เมื่อลูปผ่านอุปกรณ์ที่มีกราวด์ของตัวเอง

## งบแรงดันลูปและความต้านทานโหลดสูงสุด กลาง

I3 Loop voltage budget งบแรงดันลูป

$$V_s \;\ge\; V_\text{min} + I_\text{max}\left(R_s + R_\text{wire} + R_\text{barrier} + R_\text{other}\right)$$

I4 Maximum loop resistance ความต้านทานลูปสูงสุด

$$R_\text{max} = \frac{V_s - V_\text{min}}{I_\text{max}} \qquad I_\text{max} \approx 22\ \text{mA}$$

ตัวอย่าง I-2

### 24 V, ทรานสมิตเตอร์ 10.5 V, สาย 0.75 mm² ยาว 800 m, การ์ด 250 Ω

- สายไป–กลับ: $0.0175 \times 1600/0.75 = 37.3\ \Omega$ → ลูปรวม 287.3 Ω

- I4: $R_\text{max} = (24 - 10.5)/0.022 = 614\ \Omega$ → ผ่าน แรงดันที่ขั้วทรานสมิตเตอร์ที่ 22 mA = 17.7 V

- เพิ่มแบเรียร์ Zener สำหรับพื้นที่อันตราย 340 Ω → ลูปรวม 627 Ω เกิน 614 Ω — ที่ 22 mA ขั้วทรานสมิตเตอร์เหลือ 10.2 V ระดับแจ้งเตือนด้านสูงจะส่งไม่ถึง

- แก้ได้โดยใช้ isolator แบบกัลวานิกแทนแบเรียร์ Zener (ไม่กินแรงดันมากเท่า) หรือเพิ่มแรงดันแหล่งจ่ายตามที่ทรานสมิตเตอร์ยอม

## NAMUR NE 43: แยก "ค่าสุดขั้ว" ออกจาก "อุปกรณ์เสีย" กลาง

NAMUR (สมาคมผู้ใช้เทคโนโลยีอัตโนมัติในอุตสาหกรรมกระบวนการ ประเทศเยอรมนี) ออกข้อแนะนำ NE 43 กำหนดให้ทรานสมิตเตอร์ส่งค่าวัดได้เพียง 3.8–20.5 mA และใช้กระแสนอกช่วงนี้แจ้งว่าตัวเองผิดปกติ ระบบควบคุมจึงตั้งเงื่อนไขชัดเจนได้ว่าเมื่อใดควรเชื่อค่าและเมื่อใดควรสลับลูปเป็น manual

รูป 2 · แถบสีฟ้าคือช่วงที่ค่ายังเชื่อได้ สีส้มคือการแจ้งความผิดพลาด สีเขียวคือช่วงที่ไม่กำหนดซึ่งระบบควรถือว่าผิดปกติ

I5 NAMUR NE 43 levels ระดับกระแสตาม NE 43

$$\text{วัด: } 3.8 \le I \le 20.5\ \text{mA} \qquad \text{ผิดพลาด: } I \le 3.6\ \text{mA} \;\text{ หรือ }\; I \ge 21\ \text{mA}$$

ทิศของการแจ้ง (upscale ≥ 21 mA หรือ downscale ≤ 3.6 mA) เลือกตามความปลอดภัยของกระบวนการ เช่น ทรานสมิตเตอร์อุณหภูมิที่คุมฮีตเตอร์ควรแจ้งด้านสูงเพื่อให้ตัวควบคุมลดความร้อน ส่วนทรานสมิตเตอร์ระดับที่ป้องกันปั๊มทำงานแห้งอาจเลือกด้านต่ำ

## 0–10 V, 1–5 V, 0–20 mA และ 3–15 psi พื้นฐาน

| สัญญาณ | พบที่ไหน | live zero | ข้อควรระวัง |

| 4–20 mA | ทรานสมิตเตอร์กระบวนการ วาล์ว | มี | งบแรงดันลูป กราวด์จุดเดียว |

| 0–20 mA | อุปกรณ์รุ่นเก่า ไดรฟ์บางรุ่น | ไม่มี | แยกสายขาดกับ 0 % ไม่ได้ |

| 0–10 V · 2–10 V | HVAC อาคาร ไดรฟ์ เซนเซอร์ OEM | 2–10 V มี | แรงดันตกในสาย กราวด์ต่างศักย์ ใช้ระยะสั้น |

| 1–5 V | ภายในตู้ (หลังตัวต้านทาน 250 Ω) | มี | ใช้ภายในตู้เท่านั้น |

| 3–15 psi (20–100 kPa) | ตัวขับวาล์วนิวแมติก (ผ่าน I/P converter) | มี | คุณภาพลม ความล่าช้าในท่อลม |

## HART: ดิจิทัลซ้อนบนแอนะล็อก ขั้นสูง

HART (Highway Addressable Remote Transducer) พัฒนาโดย Rosemount ในสหรัฐฯ กลางทศวรรษ 1980 แล้วเปิดเป็นมาตรฐานเปิด ปัจจุบันดูแลโดย FieldComm Group หลักการคือใช้โมเด็ม Bell 202 แบบเดียวกับโทรศัพท์ยุคแรก ส่งคลื่นไซน์ ±0.5 mA บนสายเดิม ค่าเฉลี่ยในหนึ่งบิตใกล้ศูนย์ ฟิลเตอร์ของการ์ด AI จึงมองไม่เห็น

I6 HART physical layer ชั้นกายภาพของ HART

$$\text{บิต 1: } 1200\ \text{Hz} \quad \text{บิต 0: } 2200\ \text{Hz} \quad \pm 0.5\ \text{mA} \quad 1200\ \text{bit/s} \;\Rightarrow\; T_\text{bit} = 833\ \mu\text{s}$$

รูป 3 · สัญญาณ HART เปลี่ยนความถี่ทุกบิตโดยเฟสต่อเนื่อง

ต้องเปิด JavaScript

- เฟรมอักขระ: start 1 บิต · ข้อมูล 8 บิต (LSB ก่อน) · พาริตีคี่ · stop 1 บิต = 11 บิตต่อไบต์

- ความต้านทานลูป: ต้องมี 230–1100 Ω เพื่อให้แรงดัน HART อ่านได้ — ถ้าแหล่งจ่ายต่อตรงเข้าทรานสมิตเตอร์โดยไม่มีตัวต้านทาน communicator จะสื่อสารไม่ได้

- คำสั่ง: Universal (ทุกอุปกรณ์ต้องมี เช่น 0 อ่านรหัสอุปกรณ์, 1 อ่าน PV, 3 อ่านตัวแปรและกระแส) · Common practice (ตั้งช่วง damping ทดสอบลูป) · Device-specific

- ความเร็ว: ราว 2–3 ข้อความต่อวินาทีในโหมดถาม–ตอบ จึงเหมาะกับการตั้งค่าและวินิจฉัย ไม่ใช่การควบคุมแบบเร็ว

- Multidrop: ต่อหลายอุปกรณ์บนคู่สายเดียว กระแสคงที่ราว 4 mA ต่ออุปกรณ์ ใช้เฉพาะ HART ดิจิทัล

- WirelessHART (IEC 62591): เครือข่ายเมชไร้สาย 2.4 GHz (IEEE 802.15.4) ข้อมูลชุดเดียวกับ HART แบบสาย — ดู เซนเซอร์อัจฉริยะและ IIoT

ข้อมูลจาก HART ที่ระบบส่วนใหญ่ไม่เคยอ่านคือคุณค่าที่ซ่อนอยู่: สถานะวินิจฉัย อุณหภูมิของตัวเครื่อง จำนวนชั่วโมงทำงาน ค่า PV ที่สองถึงสี่ (เช่น ทรานสมิตเตอร์ DP ที่วัดความดันสถิตด้วย) การดึงข้อมูลเหล่านี้คือก้าวแรกของการบำรุงรักษาเชิงพยากรณ์ ต่อไปที่ Modbus RTU และ TCP

## แหล่งอ้างอิง

- ANSI/ISA-50.1-1982 (R1992) Compatibility of Analog Signals for Electronic Industrial Process Instruments

- IEC 60381-1 Analogue signals for process control systems — Direct current signals · IEC 60382 Analogue pneumatic signal for process control systems

- NAMUR NE 43 Standardization of the signal level for the failure information of digital transmitters

- FieldComm Group — HART Communication Protocol · IEC 62591 WirelessHART

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมสัญญาณอุตสาหกรรมเริ่มที่ 4 mA ไม่ใช่ 0 mA?
เรียกว่า live zero เหตุผลแรกคือแยกได้ทันทีว่า 0 % ของกระบวนการ (4 mA) ต่างจากสายขาดหรืออุปกรณ์เสีย (0 mA) เหตุผลที่สองคือทรานสมิตเตอร์แบบสองสายต้องดึงไฟเลี้ยงวงจรของตัวเองจากกระแสในลูป กระแสต่ำสุดจึงต้องมากกว่ากระแสที่วงจรใช้ ซึ่งโดยทั่วไปต่ำกว่า 3.6 mA

ลูป 4–20 mA ยาวได้แค่ไหน?
ไม่มีตัวเลขตายตัว ขึ้นกับงบแรงดัน: แรงดันแหล่งจ่ายต้องมากกว่าแรงดันต่ำสุดที่ทรานสมิตเตอร์ต้องการ บวกกับกระแสสูงสุด (ประมาณ 22 mA) คูณความต้านทานรวมของลูป เช่น 24 V กับทรานสมิตเตอร์ที่ต้องการ 10.5 V ยอมความต้านทานรวมได้ราว 614 Ω หักตัวต้านทาน 250 Ω ของการ์ดแล้วเหลือให้สายและแบเรียร์ราว 360 Ω ซึ่งสาย 0.75 mm² ยาวหลายกิโลเมตรยังอยู่ในงบนี้

HART คืออะไร ใช้กับ PLC ทั่วไปได้ไหม?
HART ส่งข้อมูลดิจิทัลซ้อนบนสายเดียวกับ 4–20 mA ด้วยคลื่นไซน์ ±0.5 mA ที่ 1200 Hz (บิต 1) และ 2200 Hz (บิต 0) ค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์จึงไม่รบกวนสัญญาณแอนะล็อก PLC ที่ไม่รู้จัก HART ยังอ่าน 4–20 mA ได้ตามปกติ ส่วนการอ่านข้อมูลดิจิทัล (สถานะวินิจฉัย ค่าตัวแปรอื่น ตั้งช่วง) ต้องใช้การ์ด AI ที่รองรับ HART มัลติเพล็กเซอร์ หรือ HART communicator

## FAQ

**ทำไมสัญญาณอุตสาหกรรมเริ่มที่ 4 mA ไม่ใช่ 0 mA?**
เรียกว่า live zero เหตุผลแรกคือแยกได้ทันทีว่า 0 % ของกระบวนการ (4 mA) ต่างจากสายขาดหรืออุปกรณ์เสีย (0 mA) เหตุผลที่สองคือทรานสมิตเตอร์แบบสองสายต้องดึงไฟเลี้ยงวงจรของตัวเองจากกระแสในลูป กระแสต่ำสุดจึงต้องมากกว่ากระแสที่วงจรใช้ ซึ่งโดยทั่วไปต่ำกว่า 3.6 mA

**ลูป 4–20 mA ยาวได้แค่ไหน?**
ไม่มีตัวเลขตายตัว ขึ้นกับงบแรงดัน: แรงดันแหล่งจ่ายต้องมากกว่าแรงดันต่ำสุดที่ทรานสมิตเตอร์ต้องการ บวกกับกระแสสูงสุด (ประมาณ 22 mA) คูณความต้านทานรวมของลูป เช่น 24 V กับทรานสมิตเตอร์ที่ต้องการ 10.5 V ยอมความต้านทานรวมได้ราว 614 Ω หักตัวต้านทาน 250 Ω ของการ์ดแล้วเหลือให้สายและแบเรียร์ราว 360 Ω ซึ่งสาย 0.75 mm² ยาวหลายกิโลเมตรยังอยู่ในงบนี้

**HART คืออะไร ใช้กับ PLC ทั่วไปได้ไหม?**
HART ส่งข้อมูลดิจิทัลซ้อนบนสายเดียวกับ 4–20 mA ด้วยคลื่นไซน์ ±0.5 mA ที่ 1200 Hz (บิต 1) และ 2200 Hz (บิต 0) ค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์จึงไม่รบกวนสัญญาณแอนะล็อก PLC ที่ไม่รู้จัก HART ยังอ่าน 4–20 mA ได้ตามปกติ ส่วนการอ่านข้อมูลดิจิทัล (สถานะวินิจฉัย ค่าตัวแปรอื่น ตั้งช่วง) ต้องใช้การ์ด AI ที่รองรับ HART มัลติเพล็กเซอร์ หรือ HART communicator

---

# เลือก ติดตั้ง และสอบเทียบเครื่องมือวัด

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/installation-calibration/
Updated: 2026-10-14
Summary: งานวัดคุมหน้างานครบวงจร: เช็กลิสต์เลือกเครื่องมือวัด รหัส IP ตาม IEC 60529 พื้นที่อันตราย Zone 0 1 2 กลุ่มแก๊ส IIA IIB IIC คลาสอุณหภูมิ T1–T6 วิธีป้องกัน Ex d Ex e Ex ia การตรวจพารามิเตอร์ความปลอดภัยในตัว SIL และ PFDavg ตาม IEC 61508 และ IEC 61511 EMC การสอบเทียบ 5 จุดขาขึ้นขาลง as-found as-left อัตราส่วน TUR การสอบกลับ ISO/IEC 17025 และขั้นตอนลูปเช็ก พร้อมใบบันทึกการสอบเทียบแบบโต้ตอบ

// บทที่ 20.19 · Sensors & Transducers · Selection, Installation & Calibration

# เลือก ติดตั้ง และสอบเทียบเครื่องมือวัด

เครื่องมือวัดที่แม่นที่สุดก็ให้ค่าผิดได้ถ้าเลือกวัสดุผิด ติดตั้งผิดตำแหน่ง หรือไม่เคยสอบเทียบ หน้านี้รวมสิ่งที่วิศวกรและช่างวัดคุมต้องตรวจตั้งแต่ใบสั่งซื้อจนถึงวันส่งมอบ: การป้องกันฝุ่นน้ำ พื้นที่อันตราย ความปลอดภัยเชิงหน้าที่ และการสอบเทียบที่ถูกวิธี

## เช็กลิสต์การเลือกเครื่องมือวัด พื้นฐาน

| หมวด | คำถามที่ต้องตอบ |

| กระบวนการ | ของไหลอะไร สถานะ (ของเหลว แก๊ส ไอ สลัดจ์) ความดันและอุณหภูมิต่ำสุด–ปกติ–สูงสุด ความหนาแน่น ความหนืด ความนำไฟฟ้า มีของแข็งหรือฟองหรือไม่ |

| ช่วงและความแม่น | ช่วงใช้งานจริง ค่าปกติอยู่ตรงไหนของช่วง ความแม่นที่ต้องการเพื่อการควบคุม การซื้อขาย หรือความปลอดภัย |

| วัสดุ | ส่วนที่สัมผัสของไหลทนการกัดกร่อน (316L, Hastelloy, PTFE ฯลฯ) ซีลและปะเก็นเข้ากันได้ |

| การต่อกระบวนการ | หน้าแปลน เกลียว แคลมป์สุขาภิบาล ขนาดและพิกัดความดัน |

| สัญญาณ | 4–20 mA/HART ฟิลด์บัส Modbus IO-Link การจ่ายไฟ สายและระยะ |

| สภาพแวดล้อม | IP อุณหภูมิแวดล้อม แสงแดด การสั่น การกัดกร่อนภายนอก พื้นที่อันตราย |

| ความปลอดภัย | เป็นส่วนของฟังก์ชันความปลอดภัย (SIF) หรือไม่ ต้องการ SIL ระดับใด |

| การบำรุงรักษา | เข้าถึงได้ไหม ถอดได้โดยไม่หยุดกระบวนการไหม อะไหล่ เครื่องมือตั้งค่า ทักษะของทีม |

## รหัส IP ตาม IEC 60529 พื้นฐาน

| ตัวเลขแรก (ของแข็ง) | ความหมาย | ตัวเลขที่สอง (น้ำ) | ความหมาย |

| 0 | ไม่ป้องกัน | 0 | ไม่ป้องกัน |

| 1–4 | วัตถุ ≥ 50 mm ถึง ≥ 1 mm | 1–2 | หยดน้ำแนวดิ่ง/เอียง 15° |

| 5 | กันฝุ่นบางส่วน (ไม่รบกวนการทำงาน) | 3–4 | ละอองน้ำ · น้ำสาด |

| 6 | กันฝุ่นสมบูรณ์ | 5–6 | ฉีดน้ำ · ฉีดน้ำแรง |

| | | 7 | จุ่มชั่วคราว (1 m, 30 นาที) |

| | | 8 | จุ่มต่อเนื่องตามเงื่อนไขผู้ผลิต |

IP69K สำหรับการล้างด้วยน้ำร้อนแรงดันสูง (โรงงานอาหาร) มาจากมาตรฐานยานยนต์ ISO 20653 ไม่ใช่ IEC 60529 ส่วนในสหรัฐฯ ใช้ระดับ NEMA Type ซึ่งรวมเงื่อนไขอื่นเช่นการกัดกร่อนและน้ำแข็ง เทียบกับ IP แบบหนึ่งต่อหนึ่งไม่ได้ ข้อสำคัญคือ IP ของเครื่องจะได้ตามสเปกต่อเมื่อปิดฝาและใช้เคเบิลแกลนด์ที่ถูกต้อง

## พื้นที่อันตราย (Ex) และความปลอดภัยในตัว กลาง

| หัวข้อ | รายละเอียด |

| โซนแก๊ส (IEC 60079-10-1) | Zone 0: มีบรรยากาศระเบิดได้ต่อเนื่องหรือเป็นเวลานาน · Zone 1: เกิดได้ในการทำงานปกติ · Zone 2: ไม่น่าเกิดและถ้าเกิดก็สั้น (ฝุ่น: Zone 20/21/22) |

| กลุ่มแก๊ส | IIA (เช่น โพรเพน) · IIB (เช่น เอทิลีน) · IIC (ไฮโดรเจน อะเซทิลีน) — อุปกรณ์ IIC ใช้กับ IIB และ IIA ได้ |

| คลาสอุณหภูมิ | อุณหภูมิผิวสูงสุด T1 450 °C · T2 300 °C · T3 200 °C · T4 135 °C · T5 100 °C · T6 85 °C ต้องต่ำกว่าอุณหภูมิจุดติดไฟเองของสาร |

| วิธีป้องกัน | Ex d ทนระเบิด (flameproof) · Ex e เพิ่มความปลอดภัย · Ex i ปลอดภัยในตัว (ia ใช้ได้ถึง Zone 0) · Ex p อัดอากาศ · Ex ec สำหรับ Zone 2 · Ex m หุ้มด้วยเรซิน |

| การรับรอง | ระบบสากล IECEx · ยุโรป ATEX (Directive 2014/34/EU) · สหรัฐฯ ใช้ระบบ Class/Division ตาม NEC Article 500 หรือ Zone ตาม Article 505 |

ตัวอย่างการอ่านป้าย: Ex ia IIC T4 Ga = ปลอดภัยในตัวระดับ ia ใช้กับแก๊สทุกกลุ่ม ผิวไม่เกิน 135 °C ระดับการป้องกันอุปกรณ์ Ga (เหมาะกับ Zone 0) ความปลอดภัยในตัวทำงานโดย จำกัดพลังงาน ในวงจรให้ต่ำจนไม่อาจจุดระเบิดได้แม้เกิดความผิดพลาด จึงต้องตรวจพารามิเตอร์ระหว่างแบเรียร์ (แหล่งจ่าย) กับอุปกรณ์ภาคสนามและสาย

K1 Intrinsic safety entity check การตรวจพารามิเตอร์ความปลอดภัยในตัว

$$U_o \le U_i,\quad I_o \le I_i,\quad P_o \le P_i,\quad C_o \ge C_i + C_\text{cable},\quad L_o \ge L_i + L_\text{cable}$$

ตัวอย่าง K-1

### แบเรียร์ 28 V/93 mA/0.65 W (IIC: Co 83 nF, Lo 4.2 mH) กับทรานสมิตเตอร์ Ui 30 V, Ii 100 mA, Pi 0.75 W, Ci 5 nF, Li ≈ 0

- แรงดัน กระแส กำลัง: 28 ≤ 30 · 93 ≤ 100 · 0.65 ≤ 0.75 ✓

- สาย 200 m ที่ 180 pF/m และ 1 µH/m: $C = 5 + 36 = 41\ \text{nF} \le 83$ ✓ · $L = 0.2\ \text{mH} \le 4.2$ ✓

- ความยาวสายสูงสุดตามความจุ: $(83 - 5)/0.18 = 433\ \text{m}$ — ในกลุ่ม IIC ความจุของสายมักเป็นข้อจำกัดแรก

- ตรวจงบแรงดันลูป 4–20 mA ด้วย เพราะแบเรียร์ Zener มีความต้านทานภายใน (ดู ตัวอย่าง I-2)

## ความปลอดภัยเชิงหน้าที่: SIL และ PFDavg ขั้นสูง

IEC 61508 คือมาตรฐานแม่ของความปลอดภัยเชิงหน้าที่ของระบบไฟฟ้า/อิเล็กทรอนิกส์/โปรแกรมได้ และ IEC 61511 นำมาใช้กับอุตสาหกรรมกระบวนการ ฟังก์ชันความปลอดภัย (SIF) หนึ่งฟังก์ชันประกอบด้วยเซนเซอร์ ลอจิกโซลเวอร์ และอุปกรณ์ขั้นสุดท้าย เช่น "ความดันสูงเกิน (PT) → ตัดวาล์วขาเข้า"

| SIL | PFDavg (low demand) | Risk reduction factor |

| 1 | 10⁻² ถึง < 10⁻¹ | 10–100 |

| 2 | 10⁻³ ถึง < 10⁻² | 100–1 000 |

| 3 | 10⁻⁴ ถึง < 10⁻³ | 1 000–10 000 |

| 4 | 10⁻⁵ ถึง < 10⁻⁴ | 10 000–100 000 |

K2 Simplified PFDavg ความน่าจะเป็นที่จะล้มเหลวเมื่อถูกเรียกใช้ (สูตรประมาณ)

$$PFD_\text{avg,1oo1} \approx \frac{\lambda_{DU}\,T_I}{2} \qquad PFD_\text{avg,1oo2} \approx \frac{(\lambda_{DU}\,T_I)^2}{3}$$

ตัวอย่าง K-2

### ทรานสมิตเตอร์ λDU = 2 × 10⁻⁷ ต่อชั่วโมง ทดสอบพิสูจน์ (proof test) ทุก 1 ปี

- $\lambda_{DU}T_I = 2\times10^{-7} \times 8760 = 1.75\times10^{-3}$

- 1oo1: $PFD_\text{avg} = 8.8\times10^{-4}$ (RRF ≈ 1140) — ส่วนของเซนเซอร์ตัวเดียวก็เกือบใช้งบ SIL 3 ทั้งวงไปหมด

- 1oo2 (สองตัว ตัวใดตัวหนึ่งสั่งตัดได้): $\approx 1.0\times10^{-6}$ — แต่สูตรนี้ยังไม่รวมความล้มเหลวร่วม (common cause, β) ซึ่งในทางปฏิบัติมักครอบงำผล

- การคำนวณจริงต้องรวมลอจิกและวาล์ว ข้อจำกัดเชิงสถาปัตยกรรม (HFT, SFF) และความครอบคลุมของการทดสอบ — ใช้ตัวอย่างนี้เพื่อเข้าใจขนาดของตัวเลขเท่านั้น

EMC: เครื่องมือวัดในอุตสาหกรรมทดสอบตาม IEC 61326-1 (และ IEC 61326-2-3 สำหรับทรานส์ดิวเซอร์) อ้างอิงวิธีทดสอบชุด IEC 61000-4-x ส่วน NAMUR NE 21 กำหนดเกณฑ์ที่เข้มกว่าสำหรับอุปกรณ์ในอุตสาหกรรมกระบวนการ

## การสอบเทียบ 5 จุด: as-found, as-left และ TUR กลาง

รูป 1 · ชุดสอบเทียบทรานสมิตเตอร์ความดัน มาตรฐานอ้างอิงต้องแม่นกว่าเครื่องที่ทดสอบหลายเท่า

K3 Error in % of span ความคลาดเป็นเปอร์เซ็นต์ของช่วง

$$e = \frac{I_\text{read} - I_\text{ideal}}{16\ \text{mA}}\times 100\,\% \qquad I_\text{ideal} = 4 + 16\,\frac{x_\text{ref} - LRV}{URV - LRV}$$

K4 Test uncertainty ratio อัตราส่วนความไม่แน่นอนในการทดสอบ

$$TUR = \frac{\text{เกณฑ์ยอมรับของเครื่องที่ทดสอบ}}{\text{ความไม่แน่นอนของการสอบเทียบ}} \;\ge\; 4$$

- เตรียม: ใบงาน ข้อมูลช่วง LRV/URV เกณฑ์ยอมรับ มาตรฐานอ้างอิงที่ใบรับรองยังไม่หมดอายุ แจ้งฝ่ายเดินเครื่องและสลับลูปเป็น manual หรือ bypass อินเตอร์ล็อกตามขั้นตอนอนุญาตทำงาน

- as-found: ป้อน 0, 25, 50, 75, 100 % ขาขึ้น แล้วขาลง บันทึกโดย ไม่ปรับอะไร — ข้อมูลนี้บอกว่าช่วงที่ผ่านมาเครื่องคลาดแค่ไหน และใช้ประเมินช่วงเวลาสอบเทียบ

- ตัดสิน: ถ้าทุกจุดอยู่ในเกณฑ์ ไม่ต้องปรับ ถ้าเกินให้ zero trim/sensor trim/output trim ตามขั้นตอนของผู้ผลิต

- as-left: ทดสอบซ้ำครบทุกจุดหลังปรับ แล้วบันทึก

- ปิดงาน: ติดป้ายสอบเทียบ คืนลูปเป็น auto ยืนยันค่าบนจอควบคุม

ลองกรอกค่ากระแสที่อ่านได้ในใบบันทึกด้านล่าง ปุ่มตัวอย่างแสดงรูปแบบความคลาดสามแบบ: ศูนย์เลื่อน ช่วงผิด และหลังปรับ

ต้องเปิด JavaScript

ความสามารถสอบกลับ (traceability) ของมาตรฐานอ้างอิงต้องต่อเนื่องถึงมาตรฐานแห่งชาติ (ในไทยคือสถาบันมาตรวิทยาแห่งชาติ) ผ่านห้องปฏิบัติการที่ได้รับการรับรองตาม ISO/IEC 17025 — รายละเอียดอยู่ที่ มาตรวิทยาและการสอบกลับ

## ลูปเช็กก่อนส่งมอบ และการแก้ปัญหาหน้างาน พื้นฐาน

- ตรวจสายตาม loop diagram: ขั้ว ขั้วต่อ ชีลด์ต่อปลายเดียว ความต้านทานฉนวน

- จ่ายไฟลูป วัดแรงดันที่ขั้วทรานสมิตเตอร์ให้มากกว่าค่าต่ำสุดที่กระแสสูงสุด

- ใช้ loop calibrator หรือ HART communicator สั่งกระแส 4, 8, 12, 16, 20 mA ยืนยันค่าบนจอ DCS/PLC ทุกจุด (ตรวจสเกลและหน่วย)

- สั่ง 3.6 mA และ 21 mA ยืนยันว่าระบบแสดงความผิดพลาดและลูปทำงานตามที่ออกแบบ (NE 43)

- ตรวจสัญญาณเตือน (H, L, HH, LL) และอินเตอร์ล็อก

- สำหรับเอาต์พุต: สั่งวาล์ว 0–25–50–75–100 % ดูตำแหน่งจริงและทิศการทำงาน (air-to-open/close)

| อาการ | สาเหตุที่พบบ่อย |

| ค่าคงที่ 0 mA หรือ BAD | สายขาด ฟิวส์ขาด ขั้วหลวม ขั้วสลับ |

| ค่าค้างที่ 3.8 หรือ 20.5 mA | ช่วงตั้งผิด (เช่น ลืมตั้ง LRV ติดลบของขาเปียก) ค่ากระบวนการเกินช่วงจริง |

| ค่าแกว่งรบกวน | ชีลด์ต่อสองปลาย กราวด์ลูป สายใกล้สายมอเตอร์ damping น้อยเกิน |

| ค่าเพี้ยนคงที่ | ศูนย์เลื่อนจากตำแหน่งติดตั้ง/ซีล ความหนาแน่นผิด อ่าน 2 สายแทน 3 สาย |

| ค่าตอบสนองช้า | ท่อนำความดันอุดตันบางส่วน damping นานเกิน ปลอก thermowell หนาเกิน |

ฝึกวินิจฉัยความผิดพลาดเหล่านี้แบบไม่มีความเสี่ยงที่ แล็บวัดคุมเสมือน

## แหล่งอ้างอิง

- IEC 60529 Degrees of protection provided by enclosures (IP Code) · ISO 20653 (IP69K)

- IEC 60079 (ชุด) Explosive atmospheres · Directive 2014/34/EU (ATEX) · IECEx

- IEC 61508 (ชุด) Functional safety of E/E/PE safety-related systems · IEC 61511 (ชุด) Process sector

- IEC 61326-1 EMC requirements for measurement, control and laboratory use · NAMUR NE 21

- ISO/IEC 17025 · JCGM 200 (VIM) นิยาม calibration และ adjustment

## คำถามที่พบบ่อย

การสอบเทียบ (calibration) กับการปรับแต่ง (adjustment) ต่างกันอย่างไร?
ตามนิยามของ VIM การสอบเทียบคือการเปรียบเทียบค่าที่เครื่องมือแสดงกับมาตรฐานอ้างอิงที่สอบกลับได้ และบันทึกผลพร้อมความไม่แน่นอน ส่วนการปรับแต่งคือการแก้ไขเครื่องมือให้ค่าตรงขึ้น เช่น zero trim หรือ span trim การสอบเทียบจึงไม่ได้แปลว่าต้องปรับเสมอ แนวปฏิบัติที่ดีคือบันทึกผลก่อนปรับ (as-found) ปรับเมื่อจำเป็น แล้วบันทึกผลหลังปรับ (as-left)

IP67 ต่างจาก IP68 อย่างไร?
ตัวเลขแรก 6 ในทั้งสองแบบหมายถึงกันฝุ่นได้สมบูรณ์ ตัวเลขที่สองต่างกัน 7 คือทนการจุ่มน้ำชั่วคราวที่ความลึก 1 เมตรเป็นเวลา 30 นาทีตามวิธีทดสอบของ IEC 60529 ส่วน 8 คือทนการจุ่มต่อเนื่องตามเงื่อนไขที่ผู้ผลิตกับผู้ใช้ตกลงกันซึ่งต้องรุนแรงกว่า 7 จึงต้องอ่านเงื่อนไขของแต่ละรุ่น และ IPX7/IPX8 ไม่ได้รับประกันว่าทนน้ำฉีดแรงดันสูง (IPX5, IPX6)

SIL คืออะไร เซนเซอร์มี SIL ได้ไหม?
SIL (Safety Integrity Level) ตาม IEC 61508 และ IEC 61511 เป็นระดับความน่าเชื่อถือที่กำหนดให้กับฟังก์ชันความปลอดภัยทั้งวง (เซนเซอร์ ลอจิก และอุปกรณ์ขั้นสุดท้าย) ไม่ใช่กับอุปกรณ์เดี่ยว ผู้ผลิตเซนเซอร์จะระบุว่าอุปกรณ์ 'เหมาะสำหรับใช้ใน' ฟังก์ชัน SIL ระดับใด พร้อมข้อมูลอัตราความล้มเหลวที่ใช้คำนวณ PFDavg ของทั้งวง

## FAQ

**การสอบเทียบ (calibration) กับการปรับแต่ง (adjustment) ต่างกันอย่างไร?**
ตามนิยามของ VIM การสอบเทียบคือการเปรียบเทียบค่าที่เครื่องมือแสดงกับมาตรฐานอ้างอิงที่สอบกลับได้ และบันทึกผลพร้อมความไม่แน่นอน ส่วนการปรับแต่งคือการแก้ไขเครื่องมือให้ค่าตรงขึ้น เช่น zero trim หรือ span trim การสอบเทียบจึงไม่ได้แปลว่าต้องปรับเสมอ แนวปฏิบัติที่ดีคือบันทึกผลก่อนปรับ (as-found) ปรับเมื่อจำเป็น แล้วบันทึกผลหลังปรับ (as-left)

**IP67 ต่างจาก IP68 อย่างไร?**
ตัวเลขแรก 6 ในทั้งสองแบบหมายถึงกันฝุ่นได้สมบูรณ์ ตัวเลขที่สองต่างกัน 7 คือทนการจุ่มน้ำชั่วคราวที่ความลึก 1 เมตรเป็นเวลา 30 นาทีตามวิธีทดสอบของ IEC 60529 ส่วน 8 คือทนการจุ่มต่อเนื่องตามเงื่อนไขที่ผู้ผลิตกับผู้ใช้ตกลงกันซึ่งต้องรุนแรงกว่า 7 จึงต้องอ่านเงื่อนไขของแต่ละรุ่น และ IPX7/IPX8 ไม่ได้รับประกันว่าทนน้ำฉีดแรงดันสูง (IPX5, IPX6)

**SIL คืออะไร เซนเซอร์มี SIL ได้ไหม?**
SIL (Safety Integrity Level) ตาม IEC 61508 และ IEC 61511 เป็นระดับความน่าเชื่อถือที่กำหนดให้กับฟังก์ชันความปลอดภัยทั้งวง (เซนเซอร์ ลอจิก และอุปกรณ์ขั้นสุดท้าย) ไม่ใช่กับอุปกรณ์เดี่ยว ผู้ผลิตเซนเซอร์จะระบุว่าอุปกรณ์ 'เหมาะสำหรับใช้ใน' ฟังก์ชัน SIL ระดับใด พร้อมข้อมูลอัตราความล้มเหลวที่ใช้คำนวณ PFDavg ของทั้งวง

---

# ห้องแล็บวัดคุมเสมือน (Virtual Instrumentation & Control Lab)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/instrumentation-lab/
Updated: 2026-10-14
Summary: โรงงานจำลองแบบเรียลไทม์ในเบราว์เซอร์สำหรับเรียนวัดคุม: ถังน้ำ ปั๊มควบคุมความเร็ว วาล์วขาออก ฮีตเตอร์ ทรานสมิตเตอร์ระดับ อัตราไหล ความดัน และอุณหภูมิที่ส่งกระแส 4–20 mA ตาม NAMUR NE 43 ตัวควบคุม PID ระดับและอุณหภูมิแบบ auto/manual สัญญาณเตือนและอินเตอร์ล็อก รีจิสเตอร์ Modbus สด และความผิดพลาดที่ใส่ได้ เช่น สายขาด ศูนย์เลื่อน ความหนาแน่นเปลี่ยน ฟองอากาศ วาล์วค้าง พร้อมใบงาน

// บทที่ 20.20 · Sensors & Transducers · Virtual Instrumentation Lab

# ห้องแล็บวัดคุมเสมือน ถังน้ำ ปั๊ม วาล์ว ทรานสมิตเตอร์ และ PID ในหน้าเดียว

ภาควิชาวัดคุมมีโต๊ะแล็บที่นักศึกษาต่อทรานสมิตเตอร์เข้า PLC แล้วจูนลูปควบคุม แล็บนี้นำประสบการณ์นั้นมาไว้ในเบราว์เซอร์ และเพิ่มสิ่งที่แล็บจริงทำไม่ได้: ทำให้อุปกรณ์เสียได้ทุกแบบโดยไม่มีอะไรพังจริง

## แล็บ: ควบคุมระดับและอุณหภูมิของถัง TK-101

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

วิธีใช้: เลื่อน SP ของ LIC-101 แล้วดูเทรนด์ · กด MAN เพื่อสั่งปั๊มเอง · เปลี่ยน Kp, Ti, Td แล้วกด Enter · ขยับวาล์ว FV-102 เพื่อสร้างภาระรบกวน · เลือกความเร็วจำลอง ×1 ถึง ×30 · เปิดหัวข้อ "รีจิสเตอร์ Modbus" ด้านล่างแล็บเพื่อดูข้อมูลที่ SCADA จะอ่าน

## แบบจำลองเบื้องหลัง

| ส่วน | แบบจำลอง (ค่าเพื่อการเรียนรู้) |

| ถัง TK-101 | ถังเปิดพื้นที่หน้าตัด A = 0.5 m² สูง 3 m · $A\,dh/dt = Q_\text{in} - Q_\text{out}$ |

| ปั๊ม P-101 + VFD | $Q_\text{in} = 20\ \text{m}^3/\text{h} \times$ ความเร็ว · ไดรฟ์เร่ง/ลดความเร็วด้วยค่าคงตัวเวลา 5 s · ความดันขาออก $\approx 4.5s^2 - Q^2/300$ bar |

| วาล์ว FV-102 | เชิงเส้น $Q_\text{out} = K_v\,u\sqrt{h}$ โดย $K_v = 9.8$ · เคลื่อนที่ด้วยค่าคงตัวเวลาราว 2 s |

| ฮีตเตอร์ E-104 | 0–150 kW · น้ำเข้า 30 °C · สมดุลพลังงาน $\rho c_p V\,dT/dt = \dot m c_p (T_\text{in} - T) + P - UA(T - 30)$ |

| LT-101 | DP ช่วง 0–3 m (ตั้งค่าที่ SG 1.0) · damping ตั้งได้ |

| FT-102 | magmeter ขาออก 0–15 m³/h · τ ≈ 0.5 s |

| PT-103 | ความดันขาออกปั๊ม 0–6 bar |

| TT-104 | Pt100 ในปลอก τ ≈ 15 s · ช่วง 0–100 °C |

| PLC | สเกล 4–20 mA · คุณภาพสัญญาณตาม NE 43 · PID แบบตำแหน่ง อนุพันธ์จากค่า PV และกันอินทิกรัลล้น · bumpless transfer · LAH 85 % · LAL 15 % · LAHH 95 % ทริปปั๊ม · TAH 80 °C |

ทรานสมิตเตอร์ทุกตัวส่งกระแสที่อิ่มตัวในช่วง 3.8–20.5 mA และแจ้งความผิดพลาดที่ ≤ 3.6 หรือ ≥ 21 mA เมื่อ PLC เห็นสัญญาณ BAD จะสลับลูปเป็น manual ค้างเอาต์พุตเดิม (สำหรับระดับ) หรือปิดฮีตเตอร์ (สำหรับอุณหภูมิ) ซึ่งเป็นพฤติกรรมที่พบบ่อยในระบบจริง พื้นฐานการจูน PID ดูได้ที่ PID และ การจูน PID

## ใบงานสำหรับห้องเรียน

### ใบงาน 1 · สเกลและสัญญาณ 4–20 mA

- ตั้ง LIC-101 เป็น MAN ให้ปั๊ม 30 % (วาล์ว 50 %) รอให้ระดับนิ่ง จดกระแสของ LT-101 แล้วคำนวณระดับด้วยมือจากช่วง 0–3 m เทียบกับค่าที่ PLC แสดง

- คำนวณว่ากระแสจะเป็นเท่าไรที่ระดับ 2.25 m แล้วปรับปั๊มจนถึงระดับนั้นเพื่อตรวจคำตอบ

- เปิดตารางรีจิสเตอร์ Modbus อ่านไบต์ของ LT-101 แล้วแปลง float32 ด้วยมือ (ใช้ เครื่องมือ Float32 ตรวจ)

### ใบงาน 2 · จูน PID ลูประดับ

- สถานการณ์ "ควบคุมระดับด้วย PID": เปลี่ยน SP จาก 50 % เป็น 70 % จดเวลาเข้าสู่ค่า overshoot และค่าคลาดคงตัว

- เปลี่ยน Ti เป็น 0 (ปิดอินทิกรัล) ทำซ้ำ อธิบายว่าทำไมระดับไม่ถึง SP

- สถานการณ์ "จูนแรงเกิน": อธิบายการแกว่งจากมุมมอง Kp และ Ti แล้วหาชุดค่าที่ดีขึ้นด้วยตัวเอง

- ขณะลูปนิ่ง ขยับวาล์ว FV-102 จาก 50 % เป็น 80 % (ภาระรบกวน) บันทึกการตอบสนอง

### ใบงาน 3 · วินิจฉัยความผิดพลาด

- ใส่ "LT-101 ค่าศูนย์เลื่อน +6 %" ระดับจริงที่เห็นในถังต่างจาก PV เท่าไร PID รู้ตัวหรือไม่ วิธีตรวจหน้างานคืออะไร (ดู การสอบเทียบ)

- ใส่ "ของเหลวหนักขึ้น SG 1.10" คำนวณระดับจริงจาก PV ด้วยสูตร $h = P/(\rho g)$ และอธิบายว่าเรดาร์จะได้รับผลแบบเดียวกันหรือไม่

- สถานการณ์ "สายขาดขณะควบคุม": อ่านกระแส สถานะ NE 43 และพฤติกรรมของลูป ถ้าระบบไม่สลับเป็น MAN จะเกิดอะไรขึ้น

- ใส่ "LT-101 สัญญาณสั่น" แล้วเพิ่ม damping จาก 1 s เป็น 5 s ผลดีและผลเสียต่อการควบคุมคืออะไร

- ใส่ "TT-104 เซนเซอร์ขาด" ในสถานการณ์ "ระดับ + อุณหภูมิ" ทำไมจึงเลือกแจ้งด้านสูงสำหรับวงจรฮีตเตอร์

### ใบงาน 4 · ความปลอดภัยและอินเตอร์ล็อก

- ตั้ง MAN ปั๊ม 100 % ปิดวาล์วขาออก 10 % ดูลำดับ LAH → LAHH → ทริปปั๊ม และระดับที่ปั๊มกลับมาทำงาน

- อภิปราย: ทำไม LSHH ในระบบจริงควรเป็นอุปกรณ์แยกจาก LT-101 (อ่าน SIL)

## เครื่องมือโต้ตอบทั้งหมดในบทนี้

| เครื่องมือ | อยู่ที่ |

| ห่วงโซ่การวัด · ความคลาดคงตัว · การตอบสนองเวลา | หลักการเบื้องต้น |

| แปลงหน่วย · สเกล 4–20 mA · เดซิเบล | เครื่องมือแปลงหน่วย |

| งบความไม่แน่นอน | มาตรวิทยา |

| Pt100 · เทอร์โมคัปเปิล · CJC · NTC | การวัดอุณหภูมิ |

| เลือกช่วงทรานสมิตเตอร์ความดัน | การวัดความดัน |

| ออริฟิซ ISO 5167 · magmeter · อัลตราโซนิก · วอร์เท็กซ์ | การวัดอัตราการไหล |

| ไฮโดรสแตติก · DP ขาเปียก · เรดาร์ FMCW · ปริมาตรถังนอน | การวัดระดับ |

| บริดจ์สเตรนเกจ · โหลดเซลล์ · เอนโค้ดเดอร์ | แรง · ตำแหน่ง |

| ชันต์ · ภาระ CT | กระแส · แรงดัน |

| ADC · ENOB | ปรับสภาพสัญญาณ |

| ซิมูเลเตอร์ลูป 4–20 mA · โมเด็ม HART · งบลูป | 4–20 mA และ HART |

| เครื่องสร้างเฟรม Modbus · CRC-16 · Float32 · เวลาโพล | Modbus |

| งบเซกเมนต์ฟิลด์บัส | ฟิลด์บัส |

| อายุแบตเตอรี่เซนเซอร์ไร้สาย | IIoT |

| ถอดรหัสแท็ก ISA-5.1 | P&ID |

| ใบบันทึกการสอบเทียบ 5 จุด | สอบเทียบ |

## คำถามที่พบบ่อย

แล็บนี้จำลองอะไรบ้าง?
ถังเปิดพื้นที่หน้าตัด 0.5 ตารางเมตร สูง 3 เมตร ปั๊มป้อนน้ำที่ปรับความเร็วได้ วาล์วขาออก และฮีตเตอร์ 150 kW ทรานสมิตเตอร์สี่ตัว (ระดับ อัตราไหล ความดัน อุณหภูมิ) ส่งกระแส 4–20 mA ที่อิ่มตัวและแจ้งความผิดพลาดตาม NAMUR NE 43 PLC จำลองทำการสเกล สัญญาณเตือน อินเตอร์ล็อก และควบคุม PID สองลูป พร้อมแสดงรีจิสเตอร์ Modbus แบบสด แบบจำลองเป็นค่าเพื่อการเรียนรู้ ไม่ได้แทนกระบวนการจริงเฉพาะแห่งใด

## FAQ

**แล็บนี้จำลองอะไรบ้าง?**
ถังเปิดพื้นที่หน้าตัด 0.5 ตารางเมตร สูง 3 เมตร ปั๊มป้อนน้ำที่ปรับความเร็วได้ วาล์วขาออก และฮีตเตอร์ 150 kW ทรานสมิตเตอร์สี่ตัว (ระดับ อัตราไหล ความดัน อุณหภูมิ) ส่งกระแส 4–20 mA ที่อิ่มตัวและแจ้งความผิดพลาดตาม NAMUR NE 43 PLC จำลองทำการสเกล สัญญาณเตือน อินเตอร์ล็อก และควบคุม PID สองลูป พร้อมแสดงรีจิสเตอร์ Modbus แบบสด แบบจำลองเป็นค่าเพื่อการเรียนรู้ ไม่ได้แทนกระบวนการจริงเฉพาะแห่งใด

---

# การวัดระดับ: จากความดันน้ำหนักของเหลวถึงเรดาร์ 80 GHz

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/level-measurement/
Updated: 2026-10-14
Summary: การวัดระดับของเหลวในถังอุตสาหกรรม: h = ΔP/(ρg) ถังเปิดและถังปิด ทรานสมิตเตอร์ DP แบบขาแห้งและขาเปียก การยกศูนย์และกดศูนย์ เรดาร์ FMCW 80 GHz สมการความถี่บีต เรดาร์นำคลื่น (TDR) อัลตราโซนิกและการชดเชยอุณหภูมิ ลูกลอย แมกนีโตสตริกทีฟ ดิสเพลเซอร์ สวิตช์ระดับ ตารางปริมาตรถังนอน และการป้องกันล้นถัง พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 20.10 · Sensors & Transducers · Level Measurement

# การวัดระดับ: จากความดันน้ำหนักของเหลวถึงเรดาร์ 80 GHz

ระดับดูเป็นปริมาณง่าย แต่สิ่งที่โรงงานต้องการจริงมักเป็น ปริมาตร หรือ มวล ในถัง และสภาพในถังมีทั้งโฟม ไอ การกวน การเกาะติด และชั้นของเหลวสองชนิด หน้านี้เริ่มจากวิธีวัดที่อาศัยความดัน ไปสู่วิธีวัดระยะด้วยคลื่น และจบที่การแปลงระดับเป็นปริมาตร

สรุปใน 30 วินาที

- ถังเปิด: $h = P/(\rho g)$ · น้ำ 1 m ≈ 9.8 kPa · ความหนาแน่นผิด 5 % = ระดับผิด 5 %

- ถังปิด + ขาเปียก: $\Delta P = \rho g h - \rho_w g H$ → LRV ติดลบ (zero elevation)

- เรดาร์ FMCW: $R = c f_b T/(2B)$ · 80 GHz ลำคลื่นแคบ แยกเป้าละเอียด · อัลตราโซนิกต้องชดเชยอุณหภูมิ

- ระดับ 50 % ≠ ปริมาตร 50 % ในถังนอน — ใช้ตาราง strapping

## ระดับจากความดันไฮโดรสแตติก (ถังเปิด) พื้นฐาน

L1 Hydrostatic level ระดับจากความดัน

$$h = \frac{P}{\rho\,g} \qquad \text{ทรานสมิตเตอร์ต่ำกว่าจุดต่อ } d:\; P = \rho g (h + d)$$

รูป 1 · ซ้าย: ถังเปิดกับทรานสมิตเตอร์เกจที่ก้นถัง · ขวา: ถังปิดกับทรานสมิตเตอร์ DP และขาเปียก

ตัวอย่าง L-1

### ถังน้ำเปิด ช่วงวัด 0–5 m ระดับปัจจุบัน 3.2 m

- URV: $998 \times 9.807 \times 5 = 48.94\ \text{kPa}$ · LRV = 0

- ที่ 3.2 m: $P = 31.32\ \text{kPa}$ → $4 + 16(31.32/48.94) = 14.24\ \text{mA}$

- ถ้าน้ำกลายเป็นน้ำเกลือ ρ สูงขึ้น 5 % โดยไม่แก้ค่า ระบบจะอ่าน 3.36 m ทั้งที่ระดับจริง 3.2 m — ความดันวัด "มวลต่อพื้นที่" ไม่ใช่ความสูงโดยตรง

วิธีฟองอากาศ (bubbler): ป้อนอากาศอัดไหลช้า ๆ ลงท่อจุ่มถึงก้นถัง ความดันที่ต้องใช้ดันฟองออกเท่ากับ ρgh เครื่องมือวัดอยู่นอกถังทั้งหมด เหมาะกับของเหลวกัดกร่อนหรือมีตะกอน แลกกับการใช้อากาศอัดตลอดเวลา

## ถังปิด: DP ขาแห้ง ขาเปียก และการตั้งศูนย์ กลาง

L2 Closed tank, dry leg ถังปิดขาแห้ง

$$\Delta P = P_H - P_L = \rho g (h + d) \qquad LRV = \rho g d \;(\text{zero suppression})$$

L3 Closed tank, wet leg ถังปิดขาเปียก

$$\Delta P = \rho g (h + d) - \rho_w g (H + d) \qquad LRV = \rho g d - \rho_w g (H + d) ตัวอย่าง L-2

### ช่วงระดับ 0–4 m รูวัดบนสูงกว่ารูวัดล่าง H = 5 m ทรานสมิตเตอร์ต่ำกว่ารูล่าง 0.5 m ขาเปียกเป็นน้ำ

- L3 ที่ h = 0: $998(9.807)(0.5) - 1000(9.807)(5.5) = -49.04\ \text{kPa}$ = LRV

- ที่ h = 4 m: $998(9.807)(4.5) - 53.94 = -9.90\ \text{kPa}$ = URV · span = 39.15 kPa

- ระดับ 2 m: ΔP = −29.47 kPa → 12.00 mA พอดีกลางช่วง — ค่าทุกจุด "ติดลบ" แต่เป็นเชิงเส้น ถ้าตั้ง LRV = 0 ตามความเคยชิน ทรานสมิตเตอร์จะอยู่ที่ 3.8 mA ตลอดเวลา

- ถ้าใช้ขาแห้ง (ไอไม่ควบแน่น) LRV = +4.89 kPa และ URV = 44.04 kPa (zero suppression)

ระบบ DP ยังใช้วัดความหนาแน่นและ ระดับรอยต่อ (interface) ระหว่างของเหลวสองชนิดได้ เช่น น้ำมันบนน้ำ โดยใช้ทรานสมิตเตอร์สองตัวหรือซีลสองจุด นอกจากนี้การวัดความดันสามจุดในถังน้ำมัน (hydrostatic tank gauging) ให้ทั้งความหนาแน่นและมวลโดยตรงสำหรับงานคลังสินค้า

## เรดาร์: แบบไม่สัมผัส (FMCW) และเรดาร์นำคลื่น (GWR) ขั้นสูง

เรดาร์ระดับวัด ระยะ จากหน้าแปลนถึงผิวของเหลว แล้วลบออกจากความสูงอ้างอิงของถัง ข้อดีคือไม่ขึ้นกับความหนาแน่น อุณหภูมิ และความดันในถังเกือบทั้งหมด (คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเดินทางในไอได้ใกล้ความเร็วแสง) สิ่งที่ต้องดีคือ การสะท้อน ซึ่งขึ้นกับค่าคงตัวไดอิเล็กทริก εr ของของเหลว: น้ำ (εr ≈ 80) สะท้อนแรง น้ำมัน (εr ≈ 2) สะท้อนอ่อน

L4 Time of flight เวลาเดินทางไป–กลับ

$$R = \frac{c\,t}{2} \qquad h = H_\text{ref} - R$$

L5 FMCW radar เรดาร์คลื่นต่อเนื่องกวาดความถี่

$$f_b = \frac{2R}{c}\cdot\frac{B}{T} \;\Rightarrow\; R = \frac{c\,f_b\,T}{2B} \qquad \Delta R = \frac{c}{2B}$$

รูป 2 · การวัดเวลาระดับนาโนวินาทีโดยตรงทำได้ยาก FMCW จึงเปลี่ยนเวลาให้เป็นความถี่บีตระดับกิโลเฮิรตซ์ที่วัดได้ง่ายด้วย FFT

ตัวอย่าง L-3

### เรดาร์ 80 GHz กวาด 4 GHz ใน 1 ms ผิวน้ำห่าง 6 m

- ความชัน $S = B/T = 4\times10^{12}\ \text{Hz/s}$

- L5: $f_b = 2(6)(4\times10^{12})/(2.998\times10^8) = 160.1\ \text{kHz}$ — ความถี่ที่ ADC ธรรมดาสุ่มได้สบาย

- ความละเอียดแยกเป้า $\Delta R = c/2B = 3.75\ \text{cm}$ แต่ความแม่นของระยะดีกว่านี้มากด้วยการประมาณยอดและเฟส — ความแม่นระดับมิลลิเมตรพบได้ทั่วไป

เรดาร์นำคลื่น (guided wave radar, TDR) ส่งพัลส์ไปตามแท่งหรือสายโพรบที่จุ่มลงถัง พลังงานกระจุกตามโพรบจึงวัดของเหลว εr ต่ำ โฟม และไอหนาได้ดีกว่าเรดาร์แบบไม่สัมผัส และวัดรอยต่อสองของเหลวได้ เพราะพัลส์ส่วนหนึ่งทะลุชั้นบนลงไปสะท้อนที่ชั้นล่าง ความเร็วในชั้นบนลดลงเป็น $c/\sqrt{\varepsilon_r}$ ตัวอย่าง: น้ำมัน εr = 2 ความเร็วเหลือ 0.71c

เรดาร์ระดับเป็นอุปกรณ์ส่งคลื่นวิทยุ ในยุโรปกำหนดโดย ETSI EN 302 372 (ในถังปิด, TLPR) และ EN 302 729 (ในที่เปิด, LPR) ในประเทศอื่นมีข้อกำหนดของหน่วยงานกำกับคลื่นความถี่ของตน ควรตรวจการรับรองของรุ่นก่อนติดตั้งในถังเปิดหรือบ่อ

## อัลตราโซนิก: ราคาประหยัดแต่ต้องเข้าใจอากาศเหนือของเหลว กลาง

L6 Speed of sound in air ความเร็วเสียงในอากาศ

$$c(T) = 331.3\sqrt{1 + \frac{T}{273.15}}\ \text{m/s} \approx 331.3 + 0.606\,T$$

ตัวอย่าง L-4

### ระยะจริง 4 m อากาศในบ่อ 40 °C แต่เครื่องคำนวณด้วย 20 °C

- L6: $c(40) = 354.7\ \text{m/s}$, $c(20) = 343.2\ \text{m/s}$

- เวลาไป–กลับจริง $2(4)/354.7 = 22.55\ \text{ms}$ → เครื่องคิดเป็น $343.2 \times 0.02255/2 = 3.87\ \text{m}$

- ผิด 130 mm (3.3 %) — เซนเซอร์อัลตราโซนิกจึงมีเซนเซอร์อุณหภูมิในหัว แต่ชดเชยได้เฉพาะอุณหภูมิที่หัว ไม่ใช่ชั้นอากาศทั้งช่วง

ข้อจำกัดอื่น: ระยะบอด (dead band) ใกล้หัวเซนเซอร์ โฟมดูดซับเสียง ไอหนาและสุญญากาศ (เสียงเดินทางในสุญญากาศไม่ได้) งานที่เหมาะคือบ่อน้ำ บ่อบำบัด ราง Parshall (วัดอัตราไหลในรางเปิด) และไซโลวัสดุที่ไม่ฝุ่นจัด

## ลูกลอย แมกนีโตสตริกทีฟ ดิสเพลเซอร์ คาปาซิแตนซ์ และสวิตช์ระดับ พื้นฐาน

| วิธี | หลักการ | จุดเด่น | ข้อควรระวัง |

| ลูกลอยแม่เหล็ก + แผ่นแสดง (magnetic level gauge) | ลูกลอยมีแม่เหล็กพลิกแผ่นสี | อ่านด้วยตาได้แม้ไฟดับ | ลูกลอยติด ความหนาแน่นเปลี่ยน |

| แมกนีโตสตริกทีฟ | พัลส์กระแสในลวดนำคลื่นสร้างคลื่นบิดที่ตำแหน่งแม่เหล็กของลูกลอย วัดเวลาเดินทาง | ความละเอียดสูงมาก (ระดับมิลลิเมตรหรือดีกว่า) วัดรอยต่อได้ | มีชิ้นส่วนในถัง ความยาวจำกัด |

| ดิสเพลเซอร์ (Archimedes) | แรงลอยตัวของทรงกระบอกจุ่ม ∝ ระดับ | ทนความดัน/อุณหภูมิสูง ใช้กับรอยต่อ | ไวต่อความหนาแน่น บำรุงรักษาเชิงกล |

| คาปาซิแตนซ์ | ของเหลวเปลี่ยนความจุระหว่างโพรบกับผนัง | ไม่มีชิ้นส่วนเคลื่อนที่ ใช้กับของแข็งได้ | การเกาะติดและ εr เปลี่ยน |

| รังสี (radiometric) | รังสีแกมมาถูกดูดกลืนตามความหนาของวัสดุ | ไม่สัมผัสเลย วัดผ่านผนังหนาได้ | ต้องมีใบอนุญาตทางรังสีและการจัดการความปลอดภัย |

| สวิตช์ส้อมสั่น (vibrating fork) | ความถี่สั่นเปลี่ยนเมื่อจุ่มของเหลว | เชื่อถือได้สูง ไม่ต้องปรับตั้ง | เป็นจุดเดียว (สูง/ต่ำ) ไม่ต่อเนื่อง |

| สวิตช์ลูกลอย · อิเล็กโทรด | ลูกลอยกดสวิตช์ · ของเหลวนำไฟต่อวงจร | ถูก ง่าย ใช้ควบคุมปั๊มน้ำ | สกปรกแล้วค้าง ใช้ได้เฉพาะของเหลวที่เหมาะ |

การป้องกันล้นถัง ต้องแยกจากการวัดเพื่อควบคุม: สวิตช์ระดับสูงสุด (LSHH) เป็นอุปกรณ์อิสระที่สั่งตัดปั๊มหรือวาล์วผ่านวงจรความปลอดภัย ในคลังน้ำมันมีแนวปฏิบัติเฉพาะเช่น API 2350 และในงานกระบวนการกำหนดระดับความน่าเชื่อถือตาม IEC 61511 (SIL) — ดู SIL และความปลอดภัยเชิงหน้าที่

## จากระดับเป็นปริมาตร: ถังนอนและตาราง strapping กลาง

L7 Horizontal cylindrical tank ปริมาตรในถังทรงกระบอกนอน

$$V(h) = L\left[r^2\cos^{-1}\!\left(\frac{r-h}{r}\right) - (r-h)\sqrt{2rh - h^2}\right]$$

ตัวอย่าง L-5

### ถังนอนเส้นผ่านศูนย์กลาง 2.5 m ยาว 6 m (ไม่คิดฝาโค้ง)

- เต็มถัง $\pi(1.25)^2(6) = 29.45\ \text{m}^3$

- ระดับ 0.8 m (32 %): L7 → 8.13 m³ = 27.6 % ของปริมาตร

- ระดับ 2.0 m (80 %): 25.26 m³ = 85.8 % — ปลายบนและล่างเปลี่ยนช้า กลางถังเปลี่ยนเร็ว PLC จึงต้องใช้สมการหรือตาราง ไม่ใช่สเกลเชิงเส้น

## ตารางเลือกวิธีวัดระดับ พื้นฐาน

| สภาพงาน | ตัวเลือกแรก | ตัวเลือกรอง | หลีกเลี่ยง |

| น้ำ/ของเหลวทั่วไป ถังเปิด | ทรานสมิตเตอร์ความดันที่ก้นถัง · เรดาร์ | อัลตราโซนิก | — |

| ถังปิดมีความดัน/ไอ | เรดาร์ FMCW · GWR | DP + ขาเปียก/ซีล | อัลตราโซนิก |

| โฟม ไอหนา εr ต่ำ | GWR | DP | อัลตราโซนิก |

| รอยต่อสองของเหลว | GWR · แมกนีโตสตริกทีฟ | ดิสเพลเซอร์ · DP สองจุด | เรดาร์ไม่สัมผัส |

| สารกัดกร่อน/สกปรก/ร้อนจัด | เรดาร์ไม่สัมผัส · รังสี | bubbler · ซีลไดอะแฟรม | ลูกลอย |

| แจ้งเตือน/ตัดปั๊มจุดเดียว | สวิตช์ส้อมสั่น | สวิตช์ลูกลอย | — |

ลองควบคุมระดับด้วยทรานสมิตเตอร์ DP ที่ความหนาแน่นเปลี่ยนได้ใน แล็บวัดคุมเสมือน และอ่านลูปควบคุมระดับบนแผนผังที่ P&ID ตาม ISA-5.1

## แหล่งอ้างอิง

- IEC 62828 (ชุด) Reference conditions and procedures for testing industrial and process measurement transmitters (ส่วนทั่วไปและส่วนเฉพาะชนิด)

- ETSI EN 302 372 (Tank Level Probing Radar) · ETSI EN 302 729 (Level Probing Radar)

- API Standard 2350 Overfill Prevention for Storage Tanks in Petroleum Facilities

- IEC 61511 Functional safety — Safety instrumented systems for the process industry sector

## คำถามที่พบบ่อย

วัดระดับด้วยทรานสมิตเตอร์ความดันได้อย่างไร?
ของเหลวสูง h สร้างความดันที่ก้นถัง P = ρgh ทรานสมิตเตอร์ที่ก้นถังจึงวัดระดับได้จาก h = P/(ρg) ถังปิดที่มีความดันด้านบนต้องใช้ทรานสมิตเตอร์ความดันผลต่าง (DP) ต่อด้านต่ำเข้ากับช่องว่างด้านบนเพื่อหักความดันในถังออก ข้อควรระวังคือค่าที่ได้แปรตามความหนาแน่น ถ้าความหนาแน่นเปลี่ยน ระดับที่อ่านได้จะเพี้ยนตาม

ขาเปียก (wet leg) คืออะไร ทำไม LRV ติดลบ?
ขาเปียกคือท่ออ้างอิงด้านต่ำของทรานสมิตเตอร์ DP ที่เติมของเหลวจนเต็ม ใช้เมื่อไอในถังควบแน่นได้ ความดันอ้างอิงจึงคงที่ไม่แกว่งตามปริมาณน้ำที่ค้างในท่อ เนื่องจากขาเปียกสูงกว่าระดับของเหลวเกือบตลอด ด้านต่ำจึงมีความดันมากกว่าด้านสูง ทำให้ ΔP ติดลบที่ระดับศูนย์ ต้องตั้ง LRV เป็นค่าลบ เรียกว่าการยกศูนย์ลง (zero elevation)

เรดาร์ 80 GHz ดีกว่า 26 GHz อย่างไร?
ด้วยเสาอากาศขนาดเท่ากัน ความถี่สูงให้ลำคลื่นแคบกว่ามาก จึงหลบสิ่งกีดขวางภายในถัง เช่น ใบกวน บันได ท่อ ได้ดี และกวาดความถี่ได้แบนด์กว้างกว่า ทำให้แยกเป้าได้ละเอียดและวัดใกล้หน้าแปลนได้ดีขึ้น เหมาะกับถังเล็กและหัวต่อขนาดเล็ก แต่อาจไวต่อการเกาะสะสมที่เสาอากาศ

## FAQ

**วัดระดับด้วยทรานสมิตเตอร์ความดันได้อย่างไร?**
ของเหลวสูง h สร้างความดันที่ก้นถัง P = ρgh ทรานสมิตเตอร์ที่ก้นถังจึงวัดระดับได้จาก h = P/(ρg) ถังปิดที่มีความดันด้านบนต้องใช้ทรานสมิตเตอร์ความดันผลต่าง (DP) ต่อด้านต่ำเข้ากับช่องว่างด้านบนเพื่อหักความดันในถังออก ข้อควรระวังคือค่าที่ได้แปรตามความหนาแน่น ถ้าความหนาแน่นเปลี่ยน ระดับที่อ่านได้จะเพี้ยนตาม

**ขาเปียก (wet leg) คืออะไร ทำไม LRV ติดลบ?**
ขาเปียกคือท่ออ้างอิงด้านต่ำของทรานสมิตเตอร์ DP ที่เติมของเหลวจนเต็ม ใช้เมื่อไอในถังควบแน่นได้ ความดันอ้างอิงจึงคงที่ไม่แกว่งตามปริมาณน้ำที่ค้างในท่อ เนื่องจากขาเปียกสูงกว่าระดับของเหลวเกือบตลอด ด้านต่ำจึงมีความดันมากกว่าด้านสูง ทำให้ ΔP ติดลบที่ระดับศูนย์ ต้องตั้ง LRV เป็นค่าลบ เรียกว่าการยกศูนย์ลง (zero elevation)

**เรดาร์ 80 GHz ดีกว่า 26 GHz อย่างไร?**
ด้วยเสาอากาศขนาดเท่ากัน ความถี่สูงให้ลำคลื่นแคบกว่ามาก จึงหลบสิ่งกีดขวางภายในถัง เช่น ใบกวน บันได ท่อ ได้ดี และกวาดความถี่ได้แบนด์กว้างกว่า ทำให้แยกเป้าได้ละเอียดและวัดใกล้หน้าแปลนได้ดีขึ้น เหมาะกับถังเล็กและหัวต่อขนาดเล็ก แต่อาจไวต่อการเกาะสะสมที่เสาอากาศ

---

# มาตรฐานการวัดและมาตรวิทยา: ใครเป็นต้นแบบของ "ค่าจริง"

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/measurement-standards/
Updated: 2026-10-14
Summary: มาตรวิทยาสำหรับงานเซนเซอร์: traceability, BIPM, NMI, SI ปี 2019, Josephson และ quantum Hall, ITS-90, ความไม่แน่นอนตาม GUM พร้อมเครื่องคิดเลข

// บทที่ 20.5 · Sensors & Transducers · Metrology

# มาตรฐานการวัดและมาตรวิทยา: ใครเป็นต้นแบบของ "ค่าจริง"

โซ่การสอบกลับจากนิยาม SI ถึงเซนเซอร์หน้างาน ประวัติต้นแบบ การนิยามใหม่ปี 2019 มาตรฐานไฟฟ้าควอนตัม จุดคงที่ ITS-90 และเครื่องคิดเลขงบความไม่แน่นอน

## 1 · ลำดับการสอบกลับ (traceability)

ค่าที่อ่านจากเซนเซอร์จะ "เชื่อถือได้" ก็ต่อเมื่อสอบกลับไปยังหน่วย SI ได้ผ่านโซ่การสอบเทียบที่ไม่ขาดตอน และทุกข้อต่อมีความไม่แน่นอนกำกับ (VIM เรียกว่า calibration hierarchy) ความไม่แน่นอนเพิ่มขึ้นเมื่อลงมาทางหน้างาน

// แผนภาพ · โซ่การสอบกลับ

### กดแต่ละขั้นเพื่อดูตัวอย่างไฟฟ้าและอุณหภูมิ

## 2 · ต้นแบบและประวัติศาสตร์ของมาตรฐานการวัด

ค.ศ. 1799 · ฝรั่งเศส — ระบบเมตริกกำเนิด
ฝรั่งเศสทำต้นแบบเมตริกจากแพลตินัม "Mètre des Archives" และ "Kilogramme des Archives" เก็บไว้ที่หอจดหมายเหตุ

ค.ศ. 1875 · ปารีส — อนุสัญญาเมตร (Metre Convention)
17 ประเทศลงนามเพื่อตั้ง BIPM ซึ่งตั้งอยู่ที่ Sèvres ใกล้ปารีส เป็นศูนย์กลางมาตรวิทยาโลก

ค.ศ. 1889 — ต้นแบบเมตรและกิโลกรัมสากล
CGPM ครั้งแรกรับรอง International Prototype of the Kilogram (IPK) ทำจากโลหะผสมแพลตินัม-อิริเดียม เก็บที่ BIPM และมีสำเนาแจกจ่ายประเทศสมาชิก กิโลกรัมเป็นหน่วยฐานสุดท้ายที่ยึดวัตถุจนถึงปี 2019

ค.ศ. 1960 — ตั้งชื่อ SI
การประชุม CGPM ครั้งที่ 11 รับรองชื่อ "ระบบหน่วยระหว่างประเทศ" (SI)

ค.ศ. 1967 / 1983 — วินาทีและเมตรอิงปรากฏการณ์ธรรมชาติ
วินาทีนิยามจากการเปลี่ยนสถานะของอะตอมซีเซียม-133 ; เมตรนิยามจากอัตราเร็วแสง (ปี 1983)

ค.ศ. 1990 — ITS-90 และค่าตามสัญญาทางไฟฟ้า
มีสเกลอุณหภูมิ ITS-90 และกำหนดค่าตามสัญญา KJ-90 = 483 597.9 GHz/V และ RK-90 = 25 812.807 Ω เพื่อให้ทุกประเทศใช้มาตรฐานไฟฟ้าควอนตัมให้สอดคล้องกัน

ค.ศ. 1999 — CIPM MRA
ข้อตกลงยอมรับร่วมระหว่างสถาบันมาตรวิทยาแห่งชาติ ทำให้ใบรับรองสอบเทียบของ NMI สมาชิกได้รับการยอมรับข้ามประเทศ

20 พฤษภาคม ค.ศ. 2019 — SI ฉบับนิยามใหม่
มติรับรองในการประชุม CGPM ครั้งที่ 26 ที่แวร์ซายส์ (พฤศจิกายน 2018) มีผลวันที่ 20 พฤษภาคม 2019 : กิโลกรัม แอมแปร์ เคลวิน และโมลถูกนิยามใหม่จากค่าคงตัว h, e, k, NA วัตถุ IPK หมดสถานะเป็นนิยามของกิโลกรัม

ภาพต้นแบบ: ผมไม่ได้ฝังภาพถ่ายต้นแบบในหน้านี้ เพราะรอบทำงานนี้ตรวจสอบสิทธิ์ใช้งานของไฟล์ภาพจริงไม่ได้ ภาพที่ควรเลือกใส่เมื่อตรวจสิทธิ์แล้ว ได้แก่ IPK ใต้ฝาแก้ว, เครื่อง Kibble balance, ชิป Josephson array, อาคาร BIPM ที่ Sèvres และ NIMT ค้นได้จาก Wikimedia Commons (ตรวจสัญญาอนุญาตและใส่เครดิตทุกครั้ง):
IPK ·
Kibble balance ·
Josephson ·
BIPM

## 3 · มาตรฐานไฟฟ้าควอนตัม

หลังปี 2019 ค่า e และ h เป็นค่าแน่นอน ทำให้ปรากฏการณ์ควอนตัมสองแบบให้ค่าอ้างอิงไฟฟ้าที่ทำซ้ำได้ทุกห้องปฏิบัติการ:

### แรงดัน: ปรากฏการณ์ Josephson
รอยต่อตัวนำยิ่งยวดที่ได้รับไมโครเวฟความถี่ f ให้ขั้นแรงดันคงที่ V = n·f/KJ โดย KJ = 2e/h ค้นพบเชิงทฤษฎีโดย Brian Josephson (สหราชอาณาจักร, 1962) ได้รางวัลโนเบล 1973

### ความต้านทาน: ปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์
ที่อุณหภูมิต่ำและสนามแม่เหล็กสูง ความต้านทานฮอลล์เป็นขั้น R = RK/i โดย RK = h/e² ค้นพบโดย Klaus von Klitzing (เยอรมนี, 1980) ได้รางวัลโนเบล 1985

// เครื่องคิดเลข 1 · ค่าจากนิยามใหม่

### คำนวณ KJ, RK และแรงดันของอาเรย์ Josephson

ความถี่ไมโครเวฟ f (GHz)
ลำดับขั้น n
จำนวนรอยต่อ N
ดัชนีที่ราบ i (ควอนตัมฮอลล์)

เครื่อง Kibble balance (เดิมเรียก watt balance ที่ NPL สหราชอาณาจักร โดย Bryan Kibble) ใช้คู่กับมาตรฐานทั้งสองนี้เพื่อโยง "มวล" เข้ากับ h จึงทำให้ห้องปฏิบัติการสร้างกิโลกรัมจากไฟฟ้าได้ โดยไม่ต้องพึ่ง IPK

## 4 · มาตรฐานถ่ายทอดและเครื่องสอบเทียบ

ชุดควอนตัมอยู่ในห้องแล็บแห่งชาติเท่านั้น ลงมาทางหน้างานใช้ มาตรฐานถ่ายทอด เช่น ไดโอดซีเนอร์อ้างอิงแรงดัน (หลาย V) ตัวต้านทานมาตรฐาน (1 Ω, 10 kΩ ฯลฯ) และมัลติมิเตอร์/เครื่องสอบเทียบความละเอียดสูง ในอดีตใช้ เซลล์ Weston (แรงดัน ≈ 1.0183 V) เป็นตัวแทนแรงดันมาตรฐานจนถึงยุคก่อน ค.ศ. 1990

## 5 · อุณหภูมิ: ITS-90 และจุดคงที่

สเกลอุณหภูมิสากลอ้างอิงจุดคงที่ของสารบริสุทธิ์ (จุดสามสถานะ จุดหลอมเหลว จุดเยือกแข็ง) ซึ่งเทอร์โมมิเตอร์ความต้านทานแพลตินัมมาตรฐานใช้สอบเทียบ ความสัมพันธ์ R–T ของ Pt100 ในมาตรฐาน IEC 60751 ก็อิงสเกลนี้

| จุดคงที่ ITS-90 | อุณหภูมิ (°C) |

| จุดสามสถานะของอาร์กอน | −189.3442 |

| จุดสามสถานะของปรอท | −38.8344 |

| จุดสามสถานะของน้ำ | 0.01 (273.16 K) |

| จุดหลอมเหลวของแกลเลียม | 29.7646 |

| จุดเยือกแข็งของอินเดียม | 156.5985 |

| จุดเยือกแข็งของดีบุก | 231.928 |

| จุดเยือกแข็งของสังกะสี | 419.527 |

| จุดเยือกแข็งของอะลูมิเนียม | 660.323 |

| จุดเยือกแข็งของเงิน | 961.78 |

## 6 · ความไม่แน่นอนของการวัด

ผลวัดที่ไม่มีความไม่แน่นอนกำกับ ถือว่าไม่สมบูรณ์ GUM (JCGM 100) กำหนดวิธีประเมิน: แต่ละองค์ประกอบแปลงเป็น ความไม่แน่นอนมาตรฐาน ui (Type A จากสถิติการวัดซ้ำ, Type B จากใบสอบเทียบ สเปก การแจกแจงสมมติ) แล้วรวมแบบรากที่สองของผลรวมกำลังสอง (กรณีองค์ประกอบอิสระ สัมประสิทธิ์ความไวเท่ากับ 1) และคูณตัวประกอบครอบคลุม k

uc = √(u₁² + u₂² + … + un²) · U = k·uc (k = 2 ≈ ความเชื่อมั่น 95 % สำหรับการแจกแจงปกติ)

// เครื่องคิดเลข 2 · งบความไม่แน่นอน

### รวมองค์ประกอบความไม่แน่นอน

ใส่ขนาดแต่ละองค์ประกอบ (หน่วยเดียวกัน) แล้วเลือกการแจกแจงเพื่อแปลงเป็นความไม่แน่นอนมาตรฐาน

ตัวประกอบครอบคลุม k

ตัวอย่างทิศทาง: สเปก "±0.1 °C" ของเครื่องวัดมักตีความเป็นการแจกแจงสี่เหลี่ยมผืนผ้า u = 0.1/√3 ≈ 0.058 °C ; ความละเอียดการอ่าน 0.01 °C ให้ u = (0.01/2)/√3 ≈ 0.0029 °C ; ความไม่แน่นอนจากใบสอบเทียบที่ระบุ U = 0.05 °C (k = 2) ให้ u = 0.025 °C

## 7 · สถาบันมาตรวิทยาแห่งชาติ (NMI) ในแต่ละประเทศ

| ประเทศ | สถาบัน | ที่ตั้ง |

| ฝรั่งเศส | BIPM (นานาชาติ) · LNE (ระดับชาติ) | Sèvres · ปารีส/Trappes |

| สหรัฐอเมริกา | NIST | Gaithersburg, Maryland |

| เยอรมนี | PTB | Braunschweig และ Berlin |

| สหราชอาณาจักร | NPL | Teddington |

| ญี่ปุ่น | NMIJ/AIST | Tsukuba |

| สวิตเซอร์แลนด์ | METAS | Bern-Wabern |

| จีน | NIM | ปักกิ่ง |

| เกาหลีใต้ | KRISS | แทจอน |

| ออสเตรเลีย | NMIA | ซิดนีย์ (Lindfield) |

| สิงคโปร์ | NMC, A*STAR | สิงคโปร์ |

| อินเดีย | CSIR-NPL | นิวเดลี |

| ไทย | NIMT สถาบันมาตรวิทยาแห่งชาติ | ปทุมธานี |

ห้องปฏิบัติการสอบเทียบเอกชนในไทยที่ได้รับการรับรองตาม ISO/IEC 17025 จะระบุขอบข่ายและความไม่แน่นอนที่ทำได้ในใบรับรอง ตรวจสอบขอบข่ายก่อนส่งเครื่องมือไปสอบเทียบเสมอ

## แหล่งอ้างอิง

- BIPM — Metre Convention and history
- BIPM — SI Brochure, 9th edition
- JCGM 100 — GUM
- BIPM — CIPM MRA
- BIPM — ITS-90
- NIMT — สถาบันมาตรวิทยาแห่งชาติ

---

# Modbus RTU และ Modbus TCP: จากสาย RS-485 ถึงไบต์ในเฟรม

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/modbus/
Updated: 2026-10-14
Summary: Modbus ฉบับใช้งานจริง: RS-485 การต่อแบบเดซี่เชน ตัวต้านทานปลายสาย 120 Ω ไบแอส แบบจำลองข้อมูล coils discrete inputs input registers holding registers แอดเดรส 40001 กับแอดเดรสในเฟรม ฟังก์ชันโค้ด 01 03 04 05 06 15 16 exception เฟรม RTU กับ MBAP ของ Modbus TCP การคำนวณ CRC-16 เวลาอักขระ t3.5 รอบโพล การอ่าน Float32 และลำดับไบต์ ABCD CDAB พร้อมเครื่องสร้างเฟรมและเครื่องคำนวณ CRC

// บทที่ 20.15 · Sensors & Transducers · Modbus RTU & TCP

# Modbus RTU และ Modbus TCP: จากสาย RS-485 ถึงไบต์ในเฟรม

Modbus เกิดขึ้นในปี 1979 ที่ Modicon ผู้ผลิต PLC ในสหรัฐฯ (ปัจจุบันอยู่ในเครือ Schneider Electric ของฝรั่งเศส) ความเรียบง่ายและการเปิดให้ใช้ฟรีทำให้มันกลายเป็นภาษาพื้นฐานของมิเตอร์ไฟฟ้า อินเวอร์เตอร์ ทรานสมิตเตอร์ และ PLC แทบทุกยี่ห้อ หน้านี้อธิบายจนสร้างและอ่านเฟรมได้ด้วยตัวเอง

สรุปใน 30 วินาที

- มาสเตอร์ถาม สเลฟตอบ · RTU บน RS-485 (สเลฟ 1–247) · TCP พอร์ต 502

- 4 ตาราง: coils · discrete inputs · input registers · holding registers — "40001" = แอดเดรส 0 ในเฟรม

- อ่าน 2 รีจิสเตอร์จากสเลฟ 1: 01 03 00 00 00 02 C4 0B · CRC ไบต์ต่ำก่อน

- float32 ใช้ 2 รีจิสเตอร์ ลำดับคำ ABCD หรือ CDAB แล้วแต่ผู้ผลิต

## ชั้นกายภาพ: RS-485 พื้นฐาน

RS-485 (TIA/EIA-485) ส่งข้อมูลด้วยผลต่างแรงดันระหว่างสองสาย สัญญาณรบกวนที่เหนี่ยวนำเข้าทั้งสองสายเท่า ๆ กันจึงหักล้างกัน ทำให้ส่งได้ไกลถึงราว 1200 m ที่ความเร็วต่ำ บัสเดียวรองรับ 32 unit load (ทรานซีฟเวอร์รุ่นใหม่ที่เป็น 1/8 unit load ทำให้ต่อได้มากกว่านั้น) ขณะที่ Modbus เองกำหนดแอดเดรสสเลฟได้ 1–247

รูป 1 · บัส RS-485 ที่ถูกต้อง: เดซี่เชนจากมาสเตอร์ไปยังสเลฟตัวสุดท้าย ตัวต้านทานปลายสายสองตัว และไบแอสหนึ่งชุด

- สาย: คู่บิดเกลียวมีชีลด์ อิมพีแดนซ์ราว 120 Ω พร้อมสายที่สามเป็นกราวด์อ้างอิง (common) — RS-485 ไม่ใช่ "สองสายจริง" แรงดันโหมดร่วมต้องอยู่ในขอบเขตของทรานซีฟเวอร์

- ชื่อขั้ว: มาตรฐานเรียก A/B แต่ผู้ผลิตหลายรายสลับกัน ถ้าต่อแล้วไม่ตอบ ลองสลับสองสายก่อนทำอย่างอื่น (ไม่ทำให้อุปกรณ์เสีย)

- ค่าเริ่มต้นของ Modbus serial line: 8 บิตข้อมูล พาริตีคู่ (Even) 1 stop · ถ้าไม่ใช้พาริตีต้องใช้ 2 stop bit เพื่อให้ยังเป็น 11 บิตต่ออักขระ (ในทางปฏิบัติหลายอุปกรณ์ตั้ง 8N1)

## แบบจำลองข้อมูล: 4 ตารางและแอดเดรส พื้นฐาน

| ตาราง | ขนาด | อ่าน/เขียน | แบบเดิม | ฟังก์ชันโค้ด | ตัวอย่าง |

| Coils | 1 บิต | อ่าน/เขียน | 0xxxx | 01 อ่าน · 05 เขียนตัวเดียว · 15 เขียนหลายตัว | สั่งเปิดปั๊ม รีเซ็ตเตือน |

| Discrete inputs | 1 บิต | อ่านอย่างเดียว | 1xxxx | 02 | สถานะสวิตช์ |

| Input registers | 16 บิต | อ่านอย่างเดียว | 3xxxx | 04 | ค่าวัด |

| Holding registers | 16 บิต | อ่าน/เขียน | 4xxxx | 03 อ่าน · 06 เขียนตัวเดียว · 16 เขียนหลายตัว | ค่าวัด ค่าตั้ง ช่วงวัด |

D1 Register number vs PDU address เลขรีจิสเตอร์กับแอดเดรสในเฟรม

$$\text{แอดเดรสในเฟรม} = \text{เลขแบบ 4xxxx} - 40001 \qquad 40001 \to \texttt{0x0000},\;\; 40010 \to \texttt{0x0009}$$

## เฟรม RTU, เฟรม TCP และ CRC-16 กลาง

รูป 2 · PDU (ฟังก์ชัน + ข้อมูล) เหมือนกันทั้งสองแบบ RTU ห่อด้วยแอดเดรสสเลฟกับ CRC ส่วน TCP ห่อด้วย MBAP header 7 ไบต์

D2 Modbus CRC-16 การตรวจสอบความผิดพลาด

$$g(x) = x^{16} + x^{15} + x^2 + 1 \;(\texttt{0x8005},\ \text{กลับบิต } \texttt{0xA001}) \qquad \text{ค่าเริ่ม } \texttt{0xFFFF} \;\cdot\; \text{ส่งไบต์ต่ำก่อน}$$

- ตั้ง CRC = 0xFFFF

- XOR ไบต์ข้อมูลเข้ากับไบต์ต่ำของ CRC

- เลื่อนขวา 8 ครั้ง ทุกครั้งที่บิตที่หลุดออกเป็น 1 ให้ XOR ด้วย 0xA001

- ทำซ้ำทุกไบต์ ผลลัพธ์ส่งไบต์ต่ำก่อน — คุณสมบัติที่ใช้ตรวจ: CRC ของทั้งเฟรมรวม CRC แล้วต้องได้ 0

ตัวอย่าง D-1

### อ่าน 40001–40002 (float อุณหภูมิ) จากสเลฟ 1

- D1: 40001 → แอดเดรส 0x0000 · จำนวน 2 → PDU 03 00 00 00 02

- D2: CRC ของ 01 03 00 00 00 02 = 0x0BC4 → ส่ง C4 0B · คำขอเต็ม 01 03 00 00 00 02 C4 0B

- คำตอบ: 01 03 04 41 BE 00 00 8E 2B — byte count 04 แล้วตามด้วยข้อมูล 4 ไบต์

- D6: 41 BE 00 00 แบบ ABCD = 23.75 °C

ต้องเปิด JavaScript

Exception: สเลฟตอบด้วยฟังก์ชันโค้ด + 0x80 ตามด้วยรหัส

| รหัส | ชื่อ | สาเหตุที่พบบ่อย |

| 01 | ILLEGAL FUNCTION | อุปกรณ์ไม่รองรับฟังก์ชันนั้น เช่น ใช้ 03 กับอุปกรณ์ที่มีแต่ input register |

| 02 | ILLEGAL DATA ADDRESS | แอดเดรสเลื่อนหนึ่ง (0-based/1-based) หรืออ่านข้ามช่วงที่ไม่มี |

| 03 | ILLEGAL DATA VALUE | จำนวนเกิน 125 รีจิสเตอร์ หรือค่าที่เขียนนอกขอบเขต |

| 04 | SERVER DEVICE FAILURE | อุปกรณ์ทำคำสั่งไม่สำเร็จ |

Modbus TCP ตัด CRC ออก (TCP/IP ตรวจความถูกต้องเอง) และเพิ่ม MBAP header: Transaction ID 2 ไบต์ (จับคู่คำถาม–คำตอบ) · Protocol ID = 0 · Length 2 ไบต์ · Unit ID 1 ไบต์ (ใช้เมื่อผ่านเกตเวย์ไปยังสเลฟ RTU) ใช้พอร์ต 502 ส่วน Modbus/TCP Security ห่อด้วย TLS ที่พอร์ต 802

## เครื่องสร้างเฟรม Modbus กับทรานสมิตเตอร์เสมือน กลาง

เลือกฟังก์ชัน แอดเดรส และจำนวน แล้วดูคำขอทั้งแบบ RTU และ TCP พร้อมคำตอบจริงจากทรานสมิตเตอร์เสมือน ลองอ่านแอดเดรส 20 (ได้ exception 02) ลองใช้ฟังก์ชัน 01 (exception 01) และลองเขียนค่าเข้ารีจิสเตอร์ 9

ต้องเปิด JavaScript

## เวลาบนสายและรอบการโพล กลาง

D3 Character time เวลาต่ออักขระ

$$t_\text{char} = \frac{11\ \text{bit}}{\text{baud}} \qquad (1\ \text{start} + 8\ \text{data} + 1\ \text{parity} + 1\ \text{stop})$$

D4 RTU framing gaps ช่องว่างระหว่างเฟรม

$$t_{3.5} = 3.5\,t_\text{char} \quad t_{1.5} = 1.5\,t_\text{char} \qquad \text{baud} > 19200:\ t_{3.5} = 1.75\ \text{ms},\ t_{1.5} = 0.75\ \text{ms}$$

D5 Polling cycle รอบโพลทั้งบัส

$$T_\text{cycle} \approx \sum_{\text{slaves}}\left[(n_\text{req} + n_\text{resp})\,t_\text{char} + 2t_{3.5} + t_\text{proc}\right]$$

ตัวอย่าง D-2

### มิเตอร์ 8 ตัว อ่านตัวละ 10 รีจิสเตอร์ ที่ 19200 8E1

- D3: $t_\text{char} = 11/19200 = 573\ \mu\text{s}$ · D4: $t_{3.5} = 2.0\ \text{ms}$

- คำขอ 8 ไบต์ คำตอบ $5 + 2(10) = 25$ ไบต์ → บนสาย $33 \times 0.573 = 18.9\ \text{ms}$

- D5 (สเลฟประมวลผล 5 ms): $18.9 + 4.0 + 5 = 27.9\ \text{ms}$ ต่อตัว → 223 ms ต่อรอบ

- เพิ่มเป็น 115200 baud ได้ 93 ms — ไม่ลดลง 6 เท่าเพราะเวลาประมวลผลและ t3.5 ขั้นต่ำไม่ลดตาม Modbus RTU จึงเหมาะกับการเฝ้าดูและตั้งค่า ไม่ใช่การควบคุมความเร็วสูง

## ค่า 32 บิตบนรีจิสเตอร์ 16 บิต: Float32 และลำดับคำ ขั้นสูง

D6 IEEE 754 single precision เลขทศนิยม 32 บิต

$$x = (-1)^s \times 1.f \times 2^{\,e - 127} \qquad \texttt{0x41BE0000} = 1.484375 \times 2^4 = 23.75$$

ตัวอย่าง D-3

### อ่านได้ N = 0x0000, N+1 = 0x41BE

- ตีความแบบ ABCD: 00 00 41 BE = 2.4 × 10⁻⁴¹ — เล็กจนไม่สมเหตุสมผล

- ตีความแบบ CDAB (สลับคำ): 41 BE 00 00 = 23.75 → อุปกรณ์นี้ส่งคำต่ำก่อน

- บันทึกลำดับคำไว้ในเอกสาร I/O list ทุกครั้ง เพราะอุปกรณ์รุ่นอื่นของผู้ผลิตเดียวกันอาจไม่เหมือนกัน

ต้องเปิด JavaScript

อุปกรณ์บางรุ่นเลี่ยงปัญหานี้ด้วยการส่งจำนวนเต็มที่ขยายสเกล เช่น 2375 แทน 23.75 (×100) ซึ่งต้องรู้ตัวคูณจากคู่มือ และระวังค่าลบ (int16 แบบ two's complement) กับค่าที่เกิน 32767

## เช็กลิสต์แก้ปัญหา Modbus หน้างาน พื้นฐาน

| อาการ | ตรวจอะไร |

| ไม่ตอบเลย (timeout) | แอดเดรสสเลฟ · baud/พาริตี/stop ตรงกันทุกตัว · สาย A/B สลับ · มีอุปกรณ์สองตัวใช้แอดเดรสเดียวกัน |

| ตอบบ้าง CRC ผิดบ้าง | ตัวต้านทานปลายสายขาดหรือมีมากเกินไป · ต่อแบบดาว · ไม่มีไบแอส · สายใกล้สายกำลังหรือไดรฟ์ |

| ได้ exception 02 | แอดเดรสเลื่อนหนึ่ง (0-based/1-based) · อ่านเกินช่วงที่อุปกรณ์มี |

| ค่าผิดแบบสุดขั้ว | ลำดับคำ/ไบต์ของ float · ตัวคูณสเกล · signed/unsigned |

| ช้า ข้อมูลไม่ทันใจ | รวมการอ่านเป็นบล็อกเดียว (ลดจำนวนคำขอ) · ลด timeout · แบ่งบัสเป็นหลายพอร์ต |

ข้อควรรู้ด้านความปลอดภัยไซเบอร์: Modbus แบบดั้งเดิมไม่มีการยืนยันตัวตน ใครเข้าถึงเครือข่ายได้ก็สั่งเขียนค่าได้ ระบบที่ต่ออินเทอร์เน็ตต้องแยกเครือข่ายและใช้แนวทางตามชุดมาตรฐาน IEC 62443 ต่อไป: ฟิลด์บัสและ Industrial Ethernet · ดูรีจิสเตอร์ที่อัปเดตสดใน แล็บวัดคุมเสมือน

## แหล่งอ้างอิง

- Modbus Organization — MODBUS Application Protocol Specification V1.1b3 · MODBUS over Serial Line V1.02 · MODBUS Messaging on TCP/IP Implementation Guide

- TIA/EIA-485-A Electrical Characteristics of Generators and Receivers for Use in Balanced Digital Multipoint Systems

- IEEE 754-2019 Standard for Floating-Point Arithmetic · IEC 62443 (ชุด) Security for industrial automation and control systems

## คำถามที่พบบ่อย

แอดเดรส 40001 ในคู่มือกับแอดเดรสในเฟรม Modbus ต่างกันอย่างไร?
40001 เป็นการเขียนแบบดั้งเดิมที่ตัวเลขแรก 4 บอกตาราง holding register และนับเริ่มจาก 1 ส่วนในเฟรมจริงส่งเฉพาะออฟเซ็ตที่นับจาก 0 ดังนั้น 40001 คือแอดเดรส 0x0000 และ 40010 คือ 0x0009 โปรแกรมหลายตัวให้เลือกว่าจะใช้แบบใด ความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคืออ่านเลื่อนไปหนึ่งรีจิสเตอร์

ทำไมอ่านค่า float จาก Modbus แล้วได้ตัวเลขแปลก ๆ?
Modbus กำหนดเพียงรีจิสเตอร์ 16 บิตแบบ big-endian ค่า float 32 บิตจึงต้องใช้สองรีจิสเตอร์ และผู้ผลิตแต่ละรายเรียงคำต่างกัน ลำดับที่พบบ่อยคือ ABCD (คำสูงก่อน) และ CDAB (คำต่ำก่อน) ถ้าเลือกผิด ค่าที่ได้จะเป็นเลขเล็กมากหรือใหญ่มากผิดปกติ วิธีแก้คือลองทุกลำดับกับค่าที่รู้ เช่น อุณหภูมิห้อง แล้วเลือกลำดับที่สมเหตุสมผล

RS-485 ต้องใส่ตัวต้านทานปลายสายที่ไหน?
ใส่ตัวต้านทานประมาณ 120 Ω (เท่ากับอิมพีแดนซ์ลักษณะของสาย) ที่ปลายทั้งสองของบัสเท่านั้น ไม่ใช่ทุกอุปกรณ์ และต่ออุปกรณ์แบบเดซี่เชนเรียงต่อกัน ไม่ต่อแบบดาว นอกจากนี้ควรมีไบแอส (pull-up/pull-down) ที่มาสเตอร์หนึ่งชุด เพื่อให้บัสอยู่ในสถานะที่แน่นอนเมื่อไม่มีใครส่ง

## FAQ

**แอดเดรส 40001 ในคู่มือกับแอดเดรสในเฟรม Modbus ต่างกันอย่างไร?**
40001 เป็นการเขียนแบบดั้งเดิมที่ตัวเลขแรก 4 บอกตาราง holding register และนับเริ่มจาก 1 ส่วนในเฟรมจริงส่งเฉพาะออฟเซ็ตที่นับจาก 0 ดังนั้น 40001 คือแอดเดรส 0x0000 และ 40010 คือ 0x0009 โปรแกรมหลายตัวให้เลือกว่าจะใช้แบบใด ความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคืออ่านเลื่อนไปหนึ่งรีจิสเตอร์

**ทำไมอ่านค่า float จาก Modbus แล้วได้ตัวเลขแปลก ๆ?**
Modbus กำหนดเพียงรีจิสเตอร์ 16 บิตแบบ big-endian ค่า float 32 บิตจึงต้องใช้สองรีจิสเตอร์ และผู้ผลิตแต่ละรายเรียงคำต่างกัน ลำดับที่พบบ่อยคือ ABCD (คำสูงก่อน) และ CDAB (คำต่ำก่อน) ถ้าเลือกผิด ค่าที่ได้จะเป็นเลขเล็กมากหรือใหญ่มากผิดปกติ วิธีแก้คือลองทุกลำดับกับค่าที่รู้ เช่น อุณหภูมิห้อง แล้วเลือกลำดับที่สมเหตุสมผล

**RS-485 ต้องใส่ตัวต้านทานปลายสายที่ไหน?**
ใส่ตัวต้านทานประมาณ 120 Ω (เท่ากับอิมพีแดนซ์ลักษณะของสาย) ที่ปลายทั้งสองของบัสเท่านั้น ไม่ใช่ทุกอุปกรณ์ และต่ออุปกรณ์แบบเดซี่เชนเรียงต่อกัน ไม่ต่อแบบดาว นอกจากนี้ควรมีไบแอส (pull-up/pull-down) ที่มาสเตอร์หนึ่งชุด เพื่อให้บัสอยู่ในสถานะที่แน่นอนเมื่อไม่มีใครส่ง

---

# สัญลักษณ์และแท็กเครื่องมือวัดบน P&ID ตาม ISA-5.1

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/pid-symbols/
Updated: 2026-10-14
Summary: อ่านแผนผัง P&ID ให้เป็น: ระบบแท็กเครื่องมือวัดตาม ANSI/ISA-5.1 ตัวอักษรตัวแรก (ปริมาณที่วัด) ตัวขยาย และตัวตาม (หน้าที่) เช่น FT FIC FV LT LAHH PDT TE TT TY PSV สัญลักษณ์วงกลมตามตำแหน่งติดตั้ง DCS PLC เส้นสัญญาณไฟฟ้า นิวแมติก และลิงก์ข้อมูล ตัวอย่างลูปควบคุมระดับ อัตราไหล ความดัน อุณหภูมิ พร้อมเครื่องมือถอดรหัสแท็ก

// บทที่ 20.18 · Sensors & Transducers · P&ID Symbols (ISA-5.1)

# สัญลักษณ์และแท็กเครื่องมือวัดบน P&ID ตาม ISA-5.1

P&ID (Piping and Instrumentation Diagram) คือภาษากลางระหว่างวิศวกรกระบวนการ วิศวกรวัดคุม ช่างติดตั้ง และผู้ควบคุมเครื่อง ทุกวงกลมบนแผนผังบอกสามเรื่อง: วัดอะไร ทำหน้าที่อะไร และติดตั้งที่ไหน หน้านี้ทำให้อ่านแท็กได้คล่องและเชื่อมกลับไปยังเครื่องมือวัดทุกชนิดในบทนี้

## โครงสร้างของแท็ก พื้นฐาน

P D T – 205 = [ตัวแรก: ความดัน] [ตัวขยาย: ผลต่าง] [หน้าที่: ส่งสัญญาณ] – [หมายเลขลูป]

- ตัวอักษรตัวแรก คือปริมาณที่วัดหรือที่ทำให้เกิดการทำงาน (measured or initiating variable) ไม่ใช่สิ่งที่ถูกควบคุม วาล์วที่ขยับตามค่าระดับจึงเป็น LV แม้จะเปลี่ยนอัตราไหลก็ตาม

- ตัวขยาย (ถ้ามี) ตามหลังตัวแรกทันที เช่น D ผลต่าง Q รวมสะสม S ความปลอดภัย

- ตัวตาม บอกหน้าที่: แสดง บันทึก ส่ง ควบคุม เตือน สวิตช์ วาล์ว และอาจมี H, L ต่อท้ายบอกระดับเตือน

- หมายเลขลูป ทุกอุปกรณ์ในลูปเดียวกันใช้เลขเดียวกัน บางโรงงานนำหน้าด้วยรหัสพื้นที่ เช่น 20-FIC-101

## เครื่องมือถอดรหัสแท็ก พื้นฐาน

ต้องเปิด JavaScript

ตัวถอดรหัสนี้ใช้ตารางหลักของ ISA-5.1 ตัวอักษรที่มาตรฐานให้ "ผู้ใช้กำหนดเอง" (เช่น C, D, M, N) แต่ละโรงงานกำหนดความหมายไว้ในเอกสาร legend ของตนเอง ให้ยึดเอกสารของโครงการเป็นหลัก

## ตารางตัวอักษรที่ใช้บ่อย พื้นฐาน

| ตัวอักษร | ตัวแรก (ปริมาณ) | ตัวขยายของตัวแรก | ตัวตาม (หน้าที่) |

| A | การวิเคราะห์ (pH, O₂, ความนำไฟฟ้า) | — | สัญญาณเตือน (Alarm) |

| C | ผู้ใช้กำหนด | — | ควบคุม (Controller) |

| D | ผู้ใช้กำหนด | ผลต่าง (Differential) | — |

| E | แรงดันไฟฟ้า | — | อุปกรณ์ปฐมภูมิ/ตัวรับรู้ (Element) |

| F | อัตราการไหล | อัตราส่วน (Ratio) | — |

| G | ผู้ใช้กำหนด | — | เกจ ช่องมอง (Glass/Gauge) |

| H | มือ (Hand) | — | ตัวขยายหน้าที่: สูง (High) |

| I | กระแสไฟฟ้า | — | แสดงค่า (Indicate) |

| J | กำลังไฟฟ้า | สแกน | — |

| K | เวลา | อัตราการเปลี่ยน | สถานีควบคุม |

| L | ระดับ | — | ไฟแสดง (Light) · ตัวขยายหน้าที่: ต่ำ (Low) |

| P | ความดัน | — | จุดทดสอบ (Point) |

| Q | ปริมาณ | รวมสะสม (Totalize) | — |

| R | รังสี | — | บันทึก (Record) |

| S | ความเร็ว ความถี่ | ความปลอดภัย (Safety) | สวิตช์ (Switch) |

| T | อุณหภูมิ | — | ส่งสัญญาณ (Transmit) |

| V | การสั่นสะเทือน | — | วาล์ว แดมเปอร์ |

| W | น้ำหนัก แรง | — | ปลอก (Well) |

| Y | เหตุการณ์ สถานะ | — | รีเลย์ คำนวณ แปลงสัญญาณ (เช่น I/P) |

| Z | ตำแหน่ง | — | ตัวขับ อุปกรณ์ขั้นสุดท้าย |

## สัญลักษณ์: ตำแหน่งติดตั้งและชนิดเส้น พื้นฐาน

รูป 1 · วงกลมเปล่า = ติดตั้งภาคสนาม · มีเส้นทึบกลาง = หน้าแผงในห้องควบคุม · เส้นประ = หลังแผง · วงกลมในสี่เหลี่ยม = ฟังก์ชันใน DCS · ข้าวหลามตัดในสี่เหลี่ยม = PLC

เส้นกระบวนการ (ท่อ) เป็นเส้นทึบหนา สัญญาณไฟฟ้าเช่น 4–20 mA เป็นเส้นประ สัญญาณลมมีขีดเฉียงคู่ และลิงก์ข้อมูลหรือฟิลด์บัสใช้เส้นที่มีวงกลมเล็ก ๆ (ฉบับต่าง ๆ ของมาตรฐานและแต่ละโครงการอาจต่างกันเล็กน้อย ให้ดู legend sheet ของโครงการ)

## ตัวอย่างลูปควบคุมที่พบบ่อย กลาง

รูป 2 · ลูปควบคุมระดับ 101: LT ส่ง 4–20 mA ไปยัง LIC ใน DCS ซึ่งสั่ง LV ผ่านตัวแปลง I/P มีเตือนระดับสูงและต่ำ และเกจระดับ LG ไว้ตรวจด้วยตา

| ลูป | อุปกรณ์ในลูป | เครื่องมือวัดที่ใช้บ่อย | อ่านต่อ |

| ควบคุมอัตราไหล | FE-102 (ออริฟิซ) · FT-102 · FIC-102 · FV-102 | DP + ออริฟิซ, magmeter | การวัดอัตราการไหล |

| ควบคุมระดับ | LT-101 · LIC-101 · LV-101 · LAH/LAL-101 · LSHH-101 | DP, เรดาร์ | การวัดระดับ |

| ควบคุมความดัน | PT-103 · PIC-103 · PV-103 · PSV-103 (วาล์วนิรภัย ไม่ผ่านระบบควบคุม) | ทรานสมิตเตอร์ความดัน | การวัดความดัน |

| ควบคุมอุณหภูมิ | TE-104 · TW-104 · TT-104 · TIC-104 · TY-104 · TV-104 | Pt100, เทอร์โมคัปเปิล | การวัดอุณหภูมิ |

| Cascade | TIC-104 (ลูปนอก) กำหนด SP ให้ FIC-105 (ลูปใน) ที่คุมอัตราไหลไอน้ำ | — | PID |

ลองดูลูป LIC-101, TIC-104 และอุปกรณ์ LT/FT/PT/TT ทำงานจริงพร้อมกระแส 4–20 mA ที่ แล็บวัดคุมเสมือน ซึ่งใช้แท็กชุดเดียวกับหน้านี้

## เอกสารวัดคุมที่ตามมาจาก P&ID กลาง

- Instrument index: รายการเครื่องมือวัดทุกตัวตามแท็ก พร้อมช่วงวัด ตำแหน่ง และเอกสารอ้างอิง

- Datasheet ของแต่ละเครื่อง: สภาวะกระบวนการ วัสดุ ช่วงวัด สัญญาณ และพื้นที่อันตราย (มีแบบฟอร์มมาตรฐานเช่น ISA-20 และ IEC 61987)

- Loop diagram ตาม ISA-5.4: เส้นทางสายจากเครื่องมือวัด ผ่านกล่องต่อสาย มาร์แชลลิง แบเรียร์ ถึงช่อง I/O พร้อมเลขขั้วทุกจุด — เอกสารหลักของการทำ loop check

- I/O list: ช่อง I/O ของ PLC/DCS ทุกช่อง ชนิดสัญญาณ ช่วง และสเกล รวมถึงรีจิสเตอร์ Modbus และลำดับไบต์

- Cause & effect / SIF list: สำหรับระบบความปลอดภัย ว่าเงื่อนไขใดทำให้เกิดการตัดอะไร

ในยุโรปและงานที่อิงมาตรฐาน IEC อาจพบสัญลักษณ์ตาม IEC 62424 และ ISO 10628 ซึ่งแนวคิดหลักเหมือนกัน ต่างกันที่รายละเอียดการเขียนรหัส

## แหล่งอ้างอิง

- ANSI/ISA-5.1 Instrumentation and Control Symbols and Identification · ANSI/ISA-5.4 Instrument Loop Diagrams

- IEC 62424 Representation of process control engineering — Requests in P&I diagrams · ISO 10628 Diagrams for the chemical and petrochemical industry

- IEC 61987 Industrial-process measurement and control — Data structures and elements in process equipment catalogues

## คำถามที่พบบ่อย

LIC-101 ย่อมาจากอะไร?
ตามระบบแท็ก ISA-5.1 ตัวอักษรตัวแรก L คือปริมาณที่วัดคือระดับ (Level) ตัวตาม I คือแสดงค่า (Indicate) และ C คือควบคุม (Control) จึงอ่านว่า Level Indicating Controller ตัวควบคุมระดับที่แสดงค่าได้ ส่วน 101 คือหมายเลขลูป อุปกรณ์อื่นในลูปเดียวกันใช้เลขเดียวกัน เช่น LT-101 ทรานสมิตเตอร์ระดับ และ LV-101 วาล์วควบคุมระดับ

ตัวอักษรตัวแรกบอกอะไร ตัวตามบอกอะไร?
ตัวอักษรตัวแรกบอกปริมาณที่วัดหรือที่ทำให้เกิดการทำงาน ไม่ใช่สิ่งที่อุปกรณ์ควบคุม เช่น วาล์วที่ควบคุมอัตราไหลตามค่าระดับมีแท็ก LV ไม่ใช่ FV ตัวขยายที่ตามมาทันทีปรับความหมายของปริมาณ เช่น D (ผลต่าง) ใน PDT ส่วนตัวตามบอกหน้าที่ของอุปกรณ์ เช่น T ส่งสัญญาณ I แสดงค่า C ควบคุม A เตือน S สวิตช์ V วาล์ว และตัว H หรือ L ท้ายสุดบอกระดับสูงหรือต่ำ

## FAQ

**LIC-101 ย่อมาจากอะไร?**
ตามระบบแท็ก ISA-5.1 ตัวอักษรตัวแรก L คือปริมาณที่วัดคือระดับ (Level) ตัวตาม I คือแสดงค่า (Indicate) และ C คือควบคุม (Control) จึงอ่านว่า Level Indicating Controller ตัวควบคุมระดับที่แสดงค่าได้ ส่วน 101 คือหมายเลขลูป อุปกรณ์อื่นในลูปเดียวกันใช้เลขเดียวกัน เช่น LT-101 ทรานสมิตเตอร์ระดับ และ LV-101 วาล์วควบคุมระดับ

**ตัวอักษรตัวแรกบอกอะไร ตัวตามบอกอะไร?**
ตัวอักษรตัวแรกบอกปริมาณที่วัดหรือที่ทำให้เกิดการทำงาน ไม่ใช่สิ่งที่อุปกรณ์ควบคุม เช่น วาล์วที่ควบคุมอัตราไหลตามค่าระดับมีแท็ก LV ไม่ใช่ FV ตัวขยายที่ตามมาทันทีปรับความหมายของปริมาณ เช่น D (ผลต่าง) ใน PDT ส่วนตัวตามบอกหน้าที่ของอุปกรณ์ เช่น T ส่งสัญญาณ I แสดงค่า C ควบคุม A เตือน S สวิตช์ V วาล์ว และตัว H หรือ L ท้ายสุดบอกระดับสูงหรือต่ำ

---

# การวัดความดัน: Absolute · Gauge · DP จากเบอร์ดองถึงทรานสมิตเตอร์อัจฉริยะ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/pressure-sensors/
Updated: 2026-10-14
Summary: การวัดความดันสำหรับงานอุตสาหกรรม: ความดันสัมบูรณ์ ความดันเกจ ความดันผลต่าง หน่วย Pa bar psi mmH2O หลักการเซนเซอร์ท่อเบอร์ดอง ไดอะแฟรมสเตรนเกจ ไพอีโซรีซิสทีฟ MEMS คาปาซิทีฟ และเรโซแนนต์ ทรานสมิตเตอร์ DP แมนิโฟลด์ 3 วาล์ว การเลือกช่วง turndown งบความคลาดเคลื่อน ซีลไดอะแฟรมและการแก้ head ของ capillary พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 20.8 · Sensors & Transducers · Pressure Measurement

# การวัดความดัน: Absolute · Gauge · DP จากเบอร์ดองถึงทรานสมิตเตอร์อัจฉริยะ

ความดันเป็นปริมาณ "สองหน้าที่": วัดเพื่อดูความดันเอง และเป็นทางผ่านไปสู่การวัดระดับ (ความดันของน้ำหนักของเหลว) และอัตราการไหล (ความดันผลต่างข้ามตัวจำกัดการไหล) ทรานสมิตเตอร์ความดันผลต่างจึงเป็นเครื่องมือวัดที่มีจำนวนติดตั้งมากที่สุดชนิดหนึ่งในโรงงานกระบวนการ

สรุปใน 30 วินาที

- $P_\text{abs} = P_g + P_\text{atm}$ · DP วัดผลต่างของสองพอร์ต · 1 bar = 100 kPa ≈ 10.2 m ของน้ำ

- เซนเซอร์หลัก: ไดอะแฟรม + สเตรนเกจ/ไพอีโซรีซิสทีฟ/คาปาซิทีฟ/เรโซแนนต์ — ทุกแบบแปลงความดันเป็นการเปลี่ยนรูปเล็ก ๆ ก่อน

- turndown = URL/span · ความคลาดจากอุณหภูมิและ drift มักเป็น % URL → อย่าเลือกรุ่นใหญ่เกินงาน

- ซีลไดอะแฟรมกับ capillary ทำให้ศูนย์เลื่อนตามระยะสูงต่ำ $\rho_\text{fill}\,g\,\Delta h$ ต้องตั้งค่าแก้

## ความดันเทียบกับอะไร: Absolute · Gauge · Differential พื้นฐาน

P1 Pressure ความดัน

$$P = \frac{F}{A} \qquad 1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2 \qquad 1\ \text{bar} = 10^5\ \text{Pa}$$

P2 Absolute and gauge สัมบูรณ์กับเกจ

$$P_\text{abs} = P_g + P_\text{atm} \qquad P_\text{atm,std} = 101.325\ \text{kPa} \qquad \Delta P = P_1 - P_2$$

P3 Hydrostatic pressure ความดันจากของเหลวสูง h

$$P = \rho\,g\,h \qquad 10\ \text{m H}_2\text{O} \approx 98.07\ \text{kPa} \approx 0.98\ \text{bar}$$

รูป 1 · จุด A อยู่เหนือบรรยากาศ (เกจเป็นบวก) จุด B ต่ำกว่าบรรยากาศ (สุญญากาศ) ส่วน DP วัดผลต่างระหว่างสองจุดใดก็ได้

กับดักในดาต้าชีต: หน่วย "psig" กับ "psia" ต่างกัน 14.7 psi และ "bar(g)" กับ "bar(a)" ต่างกันราว 1 bar ทรานสมิตเตอร์เกจรุ่นที่ปิดผนึก (sealed gauge) อ้างอิงบรรยากาศมาตรฐานคงที่แทนบรรยากาศจริง ส่วนหน่วยหัวน้ำ mmH₂O และ inH₂O ต้องระบุอุณหภูมิอ้างอิงของน้ำด้วย (4 °C, 20 °C หรือ 68 °F ให้ค่าต่างกันเล็กน้อย) แปลงหน่วยได้ที่ เครื่องมือแปลงหน่วย

## หลักการเซนเซอร์ความดัน กลาง

เส้นทางประวัติศาสตร์ของการวัดความดันคือการหาวิธี "เห็น" การเปลี่ยนรูปที่เล็กลงเรื่อย ๆ: ค.ศ. 1643 Torricelli ใช้คอลัมน์ปรอท ค.ศ. 1849 Eugène Bourdon ชาวฝรั่งเศสจดสิทธิบัตรท่อโค้งที่ยืดตัวเมื่อมีความดัน ซึ่งยังเป็นเกจหน้าปัดส่วนใหญ่ในปัจจุบัน ปี 1938 สเตรนเกจแบบลวดถูกคิดค้นในสหรัฐฯ และปี 1954 C. S. Smith แห่ง Bell Labs รายงานผลไพอีโซรีซิสทีฟในซิลิคอนและเจอร์เมเนียมที่แรงกว่าโลหะหลายสิบเท่า เปิดทางสู่เซนเซอร์ MEMS ที่ใช้กันในรถยนต์ เครื่องมือแพทย์ และทรานสมิตเตอร์

รูป 2 · ทุกแบบแปลงความดันเป็นการเปลี่ยนรูปก่อน แล้วจึงอ่านการเปลี่ยนรูปด้วยกลไก ความต้านทาน ความจุ หรือความถี่

| หลักการ | สิ่งที่วัด | จุดเด่น | ข้อจำกัด | ใช้ที่ไหน |

| ท่อเบอร์ดอง · ไดอะแฟรม · เบลโลว์ (กลไก) | การเคลื่อนที่ → เข็ม | ไม่ใช้ไฟ ทน ถูก | อ่านด้วยตา คลาส 0.6–2.5 ตาม EN 837 | เกจหน้างาน |

| ไดอะแฟรมโลหะ + สเตรนเกจฟอยล์/ฟิล์มบาง | $\Delta R/R = GF\,\varepsilon$ | ทนความดันสูง ทนสั่น | สัญญาณ mV ต้องขยาย | ไฮดรอลิก เครื่องจักร |

| ไพอีโซรีซิสทีฟซิลิคอน (MEMS) | ΔR จากความเค้นในผลึก | ไว เล็ก ราคาต่ำในปริมาณมาก | ไวต่ออุณหภูมิ ต้องชดเชย | OEM รถยนต์ HVAC ทรานสมิตเตอร์ |

| คาปาซิทีฟ (เซลล์ DP) | ระยะห่างระหว่างแผ่น → C | ความละเอียดสูง ทนการรับความดันเกิน | วงจรวัดซับซ้อนกว่า | ทรานสมิตเตอร์ DP กระบวนการ |

| ซิลิคอนเรโซแนนต์ | ความถี่ธรรมชาติเปลี่ยนตามความเค้น | เอาต์พุตเป็นความถี่ (ดิจิทัลโดยธรรมชาติ) เสถียรมาก | ซับซ้อน ราคาสูง | ทรานสมิตเตอร์แม่นยำสูง |

| ไพอีโซอิเล็กทริก | ประจุ ∝ แรงที่เปลี่ยน | เร็วมาก (kHz–MHz) | วัดค่าคงที่ (สถิต) ไม่ได้ | ความดันในห้องเผาไหม้ การระเบิด |

P4 Differential capacitive cell เซลล์ความจุผลต่าง

$$C = \frac{\varepsilon A}{d} \qquad \frac{C_H - C_L}{C_H + C_L} \;\propto\; \Delta P$$

แผ่นไดอะแฟรมกลางเคลื่อนเข้าหาแผ่นหนึ่งและออกจากอีกแผ่น อัตราส่วน (CH − CL)/(CH + CL) ทำให้ค่าคงตัว ε และ A ตัดกันเอง ผลของอุณหภูมิต่อของเหลวในเซลล์จึงลดลง แผ่นขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 mm ห่าง 0.1 mm มีความจุเพียงราว 7 pF วงจรต้องวัดการเปลี่ยนระดับเฟมโตฟารัด — เหตุที่ภาคอิเล็กทรอนิกส์ต้องอยู่ติดเซลล์

## กายวิภาคของทรานสมิตเตอร์ความดันและการติดตั้ง กลาง

- ไดอะแฟรมแยก (isolating diaphragm) สัมผัสของไหล เลือกวัสดุตามความกัดกร่อน (316L, Hastelloy C, Tantalum) แล้วถ่ายความดันผ่าน ของเหลวบรรจุ (fill fluid) เช่น ซิลิโคนออยล์ ไปยังเซนเซอร์

- โมดูลเซนเซอร์ มีเซนเซอร์ความดันและเซนเซอร์อุณหภูมิสำหรับชดเชย ค่าคงตัวการชดเชยถูกวัดและบันทึกในหน่วยความจำตั้งแต่โรงงาน

- ภาคอิเล็กทรอนิกส์ แปลงเป็นค่าดิจิทัล ทำ linearization, damping, จัดช่วง LRV/URV และส่งออก 4–20 mA + HART หรือฟิลด์บัส

แมนิโฟลด์ 3 วาล์ว (ด้านสูง · สมดุล · ด้านต่ำ) คืออุปกรณ์คู่กับทรานสมิตเตอร์ DP ลำดับการเปิดใช้งานที่ปลอดภัย: เปิดวาล์วสมดุล → เปิดด้านสูงช้า ๆ → ปิดวาล์วสมดุล → เปิดด้านต่ำ การปิดให้ทำย้อนกลับ ลำดับนี้ป้องกันไม่ให้ไดอะแฟรมรับความดันสถิตเต็มที่จากด้านเดียว ระบบแก๊สที่เป็นพิษหรือไอน้ำใช้แมนิโฟลด์ 5 วาล์ว (มีวาล์วระบายและทดสอบเพิ่ม)

- ของเหลว: ติดทรานสมิตเตอร์ต่ำกว่าจุดต่อ ท่อลาดลงหาเครื่องเพื่อไล่ฟองแก๊สออก

- แก๊ส: ติดสูงกว่าจุดต่อ ท่อลาดลงกลับสู่ท่อหลักเพื่อให้น้ำที่ควบแน่นไหลกลับ

- ไอน้ำ: ใช้ท่อขดหางหมู (siphon) ให้น้ำควบแน่นขังเป็นตัวกั้นความร้อน และเติมน้ำทั้งสองขาของ DP ให้ระดับเท่ากัน

- ความดันกระเพื่อม (pulsation) จากปั๊มลูกสูบ: ใช้ snubber หรือ damping อย่าตั้ง damping ยาวจนลูปควบคุมช้าเกิน

## เลือกช่วงวัดและ turndown ด้วยงบความคลาดเคลื่อน ขั้นสูง

P5 Turndown อัตราส่วนการลดช่วง

$$TD = \frac{URL}{\text{span}} \qquad \text{span} = URV - LRV$$

P6 Total probable error (RSS) ความคลาดรวมแบบรากกำลังสองของผลบวกกำลังสอง

$$e_\text{tot} = \sqrt{e_\text{ref}^2 + e_\text{temp}^2 + e_\text{static}^2 + e_\text{stab}^2 + \cdots}$$

P7 % of span vs % of URL แปลงสเปกให้หน่วยเดียวกัน

$$e\ [\%\,\text{span}] = e\ [\%\,URL] \times TD$$

ตัวอย่าง P-1

### ใช้งาน 0–10 bar: เลือกรุ่น URL 40 bar หรือ 16 bar ดี?

- สเปกสมมติ: ความแม่นอ้างอิง ±0.075 % span · ผลอุณหภูมิ ±0.05 % URL ต่อ 28 °C (ใช้งานเปลี่ยน 20 °C) · เสถียรภาพ ±0.1 % URL/ปี สอบเทียบทุกปี

- URL 40 bar (TD 4:1): $0.0075,\ 0.0143,\ 0.0400$ bar → P6: $e = 0.0431\ \text{bar} = 0.43\,\%$ ของ span

- URL 16 bar (TD 1.6:1): $0.0075,\ 0.0057,\ 0.0160$ bar → $e = 0.0186\ \text{bar} = 0.19\,\%$ ของ span

- สรุป: รุ่นที่ช่วงใกล้งานแม่นกว่าสองเท่าแม้ตัวเลข "ความแม่นอ้างอิง" บนหน้าปกเท่ากัน ส่วนที่ครอบงำคือเสถียรภาพซึ่งคิดเป็น % URL

สำหรับเกจหน้าปัด EN 837-1 กำหนดคลาสความแม่น (เช่น 0.6, 1.0, 1.6, 2.5 % ของเต็มสเกล) แนวปฏิบัติทั่วไปคือเลือกสเกลให้ความดันใช้งานปกติอยู่ราวครึ่งถึงสองในสามของหน้าปัด เพื่อให้อ่านง่ายและมีที่เหลือรับความดันกระชาก

## ซีลไดอะแฟรมและ capillary: เมื่อของไหลแตะเครื่องโดยตรงไม่ได้ ขั้นสูง

ของไหลที่หนืด กัดกร่อน ตกผลึก ร้อนจัด หรือต้องรักษาความสะอาด (อาหาร ยา) ใช้ ซีลไดอะแฟรมระยะไกล: ไดอะแฟรมติดที่ท่อหรือถัง ต่อกับทรานสมิตเตอร์ด้วยท่อ capillary ที่บรรจุของเหลว ข้อแลกเปลี่ยนคือเวลาตอบสนองช้าลง ผลอุณหภูมิของน้ำมันในท่อ และ ความดันจากคอลัมน์ของเหลวบรรจุ

P8 Seal head correction การแก้ศูนย์จากของเหลวบรรจุ

$$\Delta P_\text{head} = \rho_\text{fill}\,g\,\Delta h \qquad \Delta h = \text{ซีลอยู่สูงกว่าทรานสมิตเตอร์ (+)}$$

ตัวอย่าง P-2

### ซีลอยู่สูงกว่าทรานสมิตเตอร์ 5 m ของเหลวบรรจุ ρ = 934 kg/m³

- P8: $934 \times 9.807 \times 5 = 45.8\ \text{kPa} = 0.458\ \text{bar}$

- ทรานสมิตเตอร์เห็นความดันเพิ่มขึ้นคงที่ 0.458 bar ตลอดเวลา ต้องตั้งค่าแก้ศูนย์ (zero elevation/suppression) หรือทำ zero trim หลังติดตั้ง

- ถ้าช่วงใช้งานคือ 0–1 bar ค่าผิดนี้คือ 46 % ของ span — ความผิดที่พบจริงเมื่อย้ายตำแหน่งทรานสมิตเตอร์โดยไม่ตั้งค่าใหม่

หลักการเดียวกันนี้คือหัวใจของการวัดระดับด้วย DP ในถังปิด อ่านต่อที่ การวัดระดับ: ขาเปียกและขาแห้ง และการวัดอัตราการไหลด้วย DP ที่ แผ่นออริฟิซ ISO 5167

## แหล่งอ้างอิง

- IEC 61298 (ชุด) Process measurement and control devices — General methods and procedures for evaluating performance · IEC 60770 Transmitters for use in industrial-process control systems

- EN 837-1/-2/-3 Pressure gauges (Bourdon tube, selection and installation, diaphragm and capsule gauges)

- Smith, C. S. (1954) Piezoresistance Effect in Germanium and Silicon, Physical Review 94, 42

- BIPM — The International System of Units (หน่วย Pa)

## คำถามที่พบบ่อย

ความดันเกจกับความดันสัมบูรณ์ต่างกันอย่างไร?
ความดันสัมบูรณ์ (absolute) วัดเทียบกับสุญญากาศสมบูรณ์ ส่วนความดันเกจ (gauge) วัดเทียบกับความดันบรรยากาศ ณ ที่นั้น ความสัมพันธ์คือ P_abs = P_gauge + P_atm โดย P_atm ประมาณ 101.325 kPa ที่ระดับน้ำทะเลแต่เปลี่ยนตามอากาศและความสูง งานถังเปิด ปั๊ม ท่อทั่วไปใช้เกจ งานสุญญากาศ การกลั่น และการชดเชยแก๊สใช้สัมบูรณ์

turndown ของทรานสมิตเตอร์ความดันคืออะไร?
คืออัตราส่วนระหว่างช่วงสูงสุดของรุ่น (URL) กับ span ที่ตั้งใช้งาน เช่น รุ่น 40 bar ตั้ง 0–10 bar ได้ turndown 4:1 ทรานสมิตเตอร์อัจฉริยะตั้ง span ได้แคบลงหลายสิบเท่า แต่ความคลาดจากอุณหภูมิและเสถียรภาพมักกำหนดเป็น % ของ URL จึงโตขึ้นเมื่อคิดเป็น % ของ span ควรเลือกรุ่นที่ URL ใกล้ช่วงใช้งาน

แมนิโฟลด์ 3 วาล์วใช้ทำอะไร?
ใช้กับทรานสมิตเตอร์ความดันผลต่าง ประกอบด้วยวาล์วตัดด้านสูง วาล์วตัดด้านต่ำ และวาล์วปรับสมดุล (equalizing) ตรงกลาง ใช้ตรวจศูนย์โดยไม่ถอดเครื่อง และป้องกันไม่ให้ไดอะแฟรมรับความดันจากด้านเดียวระหว่างเปิดใช้งาน ลำดับที่ถูกคือเปิดวาล์วสมดุลก่อน แล้วเปิดด้านสูง ปิดวาล์วสมดุล จากนั้นเปิดด้านต่ำ

## FAQ

**ความดันเกจกับความดันสัมบูรณ์ต่างกันอย่างไร?**
ความดันสัมบูรณ์ (absolute) วัดเทียบกับสุญญากาศสมบูรณ์ ส่วนความดันเกจ (gauge) วัดเทียบกับความดันบรรยากาศ ณ ที่นั้น ความสัมพันธ์คือ P_abs = P_gauge + P_atm โดย P_atm ประมาณ 101.325 kPa ที่ระดับน้ำทะเลแต่เปลี่ยนตามอากาศและความสูง งานถังเปิด ปั๊ม ท่อทั่วไปใช้เกจ งานสุญญากาศ การกลั่น และการชดเชยแก๊สใช้สัมบูรณ์

**turndown ของทรานสมิตเตอร์ความดันคืออะไร?**
คืออัตราส่วนระหว่างช่วงสูงสุดของรุ่น (URL) กับ span ที่ตั้งใช้งาน เช่น รุ่น 40 bar ตั้ง 0–10 bar ได้ turndown 4:1 ทรานสมิตเตอร์อัจฉริยะตั้ง span ได้แคบลงหลายสิบเท่า แต่ความคลาดจากอุณหภูมิและเสถียรภาพมักกำหนดเป็น % ของ URL จึงโตขึ้นเมื่อคิดเป็น % ของ span ควรเลือกรุ่นที่ URL ใกล้ช่วงใช้งาน

**แมนิโฟลด์ 3 วาล์วใช้ทำอะไร?**
ใช้กับทรานสมิตเตอร์ความดันผลต่าง ประกอบด้วยวาล์วตัดด้านสูง วาล์วตัดด้านต่ำ และวาล์วปรับสมดุล (equalizing) ตรงกลาง ใช้ตรวจศูนย์โดยไม่ถอดเครื่อง และป้องกันไม่ให้ไดอะแฟรมรับความดันจากด้านเดียวระหว่างเปิดใช้งาน ลำดับที่ถูกคือเปิดวาล์วสมดุลก่อน แล้วเปิดด้านสูง ปิดวาล์วสมดุล จากนั้นเปิดด้านต่ำ

---

# การปรับสภาพสัญญาณและ ADC: จากมิลลิโวลต์ถึงตัวเลขที่เชื่อได้

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/signal-conditioning-adc/
Updated: 2026-10-14
Summary: ภาคปรับสภาพสัญญาณของเซนเซอร์: การกระตุ้นบริดจ์ อินสทรูเมนเทชันแอมป์และ CMRR ฟิลเตอร์กันรอยต่อ (anti-aliasing) ทฤษฎีการสุ่มของ Nyquist ความละเอียด ADC LSB SNR และ ENOB ADC แบบ SAR กับ sigma-delta สัญญาณรบกวนความร้อน การต่อกราวด์และชีลด์ การแยกโดดเดี่ยว และงบความคลาดเคลื่อนทั้งห่วงโซ่ พร้อมเครื่องคำนวณ ADC

// บทที่ 20.13 · Sensors & Transducers · Signal Conditioning & ADC

# การปรับสภาพสัญญาณและ ADC: จากมิลลิโวลต์ถึงตัวเลขที่เชื่อได้

เซนเซอร์ส่วนใหญ่ให้สัญญาณเล็กมาก (µV ถึง mV) หรือไม่ได้ให้แรงดันเลย (ความต้านทาน ความจุ) ภาคปรับสภาพสัญญาณทำให้มันมีขนาด รูปแบบ และความสะอาดพอที่ ADC จะแปลงเป็นตัวเลขได้ถูกต้อง หน้านี้คือ "ข้างใน" ของทรานสมิตเตอร์และการ์ดอินพุตทุกชนิด

## ห่วงโซ่ปรับสภาพสัญญาณ พื้นฐาน

รูป 1 · หน้าที่ของแต่ละขั้น: กระตุ้น → ขยายแบบผลต่าง → กรอง → สุ่มและแปลง → แยกโดดเดี่ยว → ประมวลผล

- กระตุ้น (excitation): เซนเซอร์แบบ passive ต้องมีแหล่งแรงดันหรือกระแสคงที่ เช่น กระแส 1 mA สำหรับ RTD แรงดัน 5–10 V สำหรับบริดจ์

- ขยายแบบผลต่าง: รับเฉพาะผลต่างระหว่างสองขา ปฏิเสธแรงดันที่ขึ้นลงพร้อมกัน (โหมดร่วม)

- กรอง: ตัดความถี่ที่ไม่ต้องการและกันรอยต่อก่อนสุ่ม

- ชดเชยและทำให้เป็นเชิงเส้น: CJC ของเทอร์โมคัปเปิล สมการ CVD ของ RTD — ทำในเชิงตัวเลขหลัง ADC

- แยกโดดเดี่ยว: ตัดเส้นทางกระแสกราวด์และป้องกันแรงดันสูงข้ามมาฝั่งระบบควบคุม

## อินสทรูเมนเทชันแอมป์และ CMRR กลาง

A1 Three-op-amp instrumentation amplifier อินสทรูเมนเทชันแอมป์แบบสามออปแอมป์

$$V_o = \left(1 + \frac{2R_1}{R_G}\right)\frac{R_3}{R_2}\,(V_+ - V_-)$$

A2 CMRR อัตราการปฏิเสธโหมดร่วม

$$CMRR = 20\log_{10}\frac{A_d}{A_{cm}} \qquad V_\text{err,RTI} = \frac{V_{cm}}{10^{CMRR/20}}$$

ตัวอย่าง A-1

### บริดจ์ให้ 1 mV มีแรงดัน 50 Hz โหมดร่วม 1 V จากสายยาว

- แอมป์ CMRR 100 dB: $1/10^5 = 10\ \mu\text{V}$ อ้างอิงที่อินพุต = 1 % ของสัญญาณ

- ถ้าใช้ออปแอมป์แบบผลต่างธรรมดาที่ตัวต้านทานคลาด 1 % CMRR อาจเหลือราว 40 dB → 10 mV ใหญ่กว่าสัญญาณ 10 เท่า

- สรุป: วงจรผลต่างที่ทำจากตัวต้านทานแยกชิ้นไม่พอสำหรับสัญญาณระดับมิลลิโวลต์ ต้องใช้ INA ที่ตัวต้านทานถูกตัดแต่งในชิป

## การสุ่มสัญญาณ Nyquist และฟิลเตอร์กันรอยต่อ กลาง

A3 Sampling theorem and alias frequency ทฤษฎีการสุ่มและความถี่ปลอม

$$f_s > 2 f_\text{max} \qquad f_\text{alias} = \left| f - k f_s \right| \;\;(k \text{ ทำให้ค่าน้อยที่สุด})$$

A4 First-order RC low-pass ฟิลเตอร์ RC อันดับหนึ่ง

$$f_c = \frac{1}{2\pi RC} \qquad |H(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (f/f_c)^2}}$$

ตัวอย่าง A-2

### สุ่มอุณหภูมิ 60 ครั้งต่อวินาที มีสัญญาณรบกวน 50 Hz ปน

- A3: $|50 - 60| = 10\ \text{Hz}$ — สัญญาณรบกวนกลายเป็นการแกว่ง 10 Hz ที่ดูเหมือนอุณหภูมิเปลี่ยนจริง

- แก้ด้วย RC $R = 10\ \text{k}\Omega,\ C = 1.6\ \mu\text{F}$: $f_c = 9.9\ \text{Hz}$ ลด 50 Hz ลงเหลือ ≈ 20 % (−14 dB) ถ้ายังไม่พอใช้ฟิลเตอร์อันดับสูงขึ้น หรือ ADC แบบ sigma-delta ที่มีร่องลด 50/60 Hz ในตัว

- อีกวิธีที่ทรานสมิตเตอร์ใช้: เฉลี่ยค่าในหนึ่งรอบไฟพอดี (20 ms สำหรับ 50 Hz) ซึ่งให้ศูนย์ที่ 50 Hz และทุกฮาร์มอนิก

ทบทวนพื้นฐานการสุ่มและสเปกตรัมได้ที่ DFT และ FFT และ สัญญาณและระบบ

## ADC: ความละเอียด SNR และ ENOB กลาง

A5 LSB size ขนาด 1 LSB

$$1\ \text{LSB} = \frac{FSR}{2^N}$$

A6 Ideal quantisation SNR SNR ในอุดมคติ

$$SNR_\text{ideal} = 6.02N + 1.76\ \text{dB}$$

A7 Effective number of bits จำนวนบิตที่ใช้ได้จริง

$$ENOB = \frac{SINAD - 1.76}{6.02}$$

ตัวอย่าง A-3

### การ์ด AI 16 บิต ช่วง 10 V SINAD 88 dB วัดอุณหภูมิช่วง 0–250 °C

- A5: $10/65\,536 = 152.6\ \mu\text{V}$ ต่อหลัก

- A7: $ENOB = (88 - 1.76)/6.02 = 14.3$ บิต

- ความละเอียดจริง $250/2^{14.3} = 0.012\ ^\circ\text{C}$ (ตามจำนวนบิตจะได้ 0.0038 °C) ทั้งสองค่าเล็กกว่าความคลาดของเซนเซอร์มาก — ADC ไม่ใช่คอขวดของระบบนี้

| ADC | หลักการ | ความละเอียด · ความเร็วทั่วไป | เหมาะกับ |

| SAR | เทียบแบบไบนารีทีละบิต | 12–18 บิต · kS/s ถึง MS/s | วัดกระแสคอนเวอร์เตอร์ หลายช่องสลับกัน การควบคุมเร็ว |

| Sigma-delta | สุ่มเกินแล้วกรองดิจิทัล | 16–32 บิต · S/s ถึง kS/s | โหลดเซลล์ เทอร์โมคัปเปิล RTD มิเตอร์พลังงาน |

| Pipeline · Flash | หลายขั้นขนาน | 8–16 บิต · สิบ MS/s ถึง GS/s | ออสซิลโลสโคป สื่อสาร |

## สัญญาณรบกวน กราวด์ ชีลด์ และการแยกโดดเดี่ยว ขั้นสูง

A8 Thermal (Johnson–Nyquist) noise สัญญาณรบกวนความร้อน

$$v_n = \sqrt{4kTRB} \qquad 350\ \Omega,\ 10\ \text{Hz},\ 300\ \text{K}:\ v_n \approx 7.6\ \text{nV}_\text{rms}$$

สัญญาณรบกวนความร้อนแปรตาม $\sqrt{B}$ การจำกัดแบนด์วิดท์ให้เท่าที่จำเป็นจึงเป็นวิธีลดสัญญาณรบกวนที่ได้ผลที่สุด เซนเซอร์อุตสาหกรรมส่วนใหญ่เปลี่ยนช้า (อุณหภูมิ ระดับ) การเฉลี่ย N ค่าลดสัญญาณรบกวนสุ่มลง $\sqrt N$ เท่า

- สายคู่บิดเกลียว ลดการเหนี่ยวนำจากสนามแม่เหล็ก (พื้นที่วงลูปเล็กและสลับทิศทุกเกลียว)

- ชีลด์ กันสนามไฟฟ้า ต่อกราวด์ที่ปลายด้านเดียว (มักเป็นด้านตู้ควบคุม) สำหรับสัญญาณแอนะล็อกความถี่ต่ำ เพื่อไม่ให้ชีลด์กลายเป็นเส้นทางกระแสกราวด์

- กราวด์ลูป: สองจุดกราวด์ที่ศักย์ต่างกันทำให้กระแสไหลในสายสัญญาณ แก้ด้วยการแยกโดดเดี่ยว (ออปโต แม่เหล็ก หรือความจุ) หรือ isolator สำเร็จรูปบนราง DIN

- แยกสายสัญญาณออกจากสายกำลัง และข้ามกันที่มุมฉาก สายขาออกของอินเวอร์เตอร์เป็นแหล่งสัญญาณรบกวนความถี่สูงที่แรงที่สุดในตู้

## งบความคลาดเคลื่อนทั้งห่วงโซ่ ขั้นสูง

A9 Chain error budget งบความคลาดทั้งห่วงโซ่

$$e_\text{tot} = \sqrt{e_\text{sensor}^2 + e_\text{tx}^2 + e_\text{ADC}^2 + e_\text{wiring}^2 + \cdots} \qquad (\text{แหล่งอิสระต่อกัน})$$

ตัวอย่าง A-4

### Pt100 เกรด A ที่ 0 °C + ทรานสมิตเตอร์ + การ์ด AI + ผลอุณหภูมิตู้

- สมมติ: เซนเซอร์ ±0.15 °C · ทรานสมิตเตอร์ ±0.10 °C · การ์ด AI ±0.05 °C · ผลอุณหภูมิแวดล้อม ±0.20 °C

- A9: $\sqrt{0.15^2 + 0.10^2 + 0.05^2 + 0.20^2} = 0.27\ ^\circ\text{C}$

- ถ้าบวกตรงได้ 0.50 °C ซึ่งเป็นกรณีเลวสุดที่แทบไม่เกิดพร้อมกัน การปรับปรุงที่คุ้มที่สุดคือแหล่งที่ใหญ่ที่สุด (ผลอุณหภูมิ) ไม่ใช่การซื้อ ADC ที่ละเอียดขึ้น

หลักการประเมินความไม่แน่นอนแบบเต็มตาม GUM อยู่ที่ มาตรวิทยาและการสอบกลับ ส่วนสัญญาณที่ออกจากทรานสมิตเตอร์ไปยังระบบควบคุมอ่านต่อที่ 4–20 mA และ HART

## แหล่งอ้างอิง

- JCGM 100:2008 (GUM) Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement

- IEEE 1241 Standard for Terminology and Test Methods for Analog-to-Digital Converters (นิยาม SINAD และ ENOB)

- Nyquist, H. (1928) Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors, Physical Review 32

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมต้องมีฟิลเตอร์ก่อน ADC?
เพราะสัญญาณที่มีความถี่สูงกว่าครึ่งหนึ่งของอัตราการสุ่ม (ความถี่ Nyquist) จะปรากฏหลังสุ่มเป็นความถี่ต่ำปลอม (aliasing) และแยกออกจากสัญญาณจริงไม่ได้อีกต่อไป เช่น สัญญาณรบกวน 50 Hz ที่ถูกสุ่มด้วย 60 ครั้งต่อวินาทีจะดูเหมือนสัญญาณ 10 Hz ฟิลเตอร์กันรอยต่อต้องลดสัญญาณเหล่านี้ก่อนการสุ่ม ไม่ใช่หลังการสุ่ม

ADC 24 บิตแม่นกว่า 16 บิตจริงหรือ?
ไม่เสมอไป จำนวนบิตบอกความละเอียดของรหัส แต่ความแม่นจริงขึ้นกับสัญญาณรบกวน (ENOB หรือ noise-free bits) ความคลาดของแรงดันอ้างอิง offset gain และ drift ตามอุณหภูมิ ADC 24 บิตหลายรุ่นมีบิตที่ใช้ได้จริงประมาณ 18–21 บิตเมื่อสุ่มช้า และต่ำกว่านั้นเมื่อสุ่มเร็ว ต้องดู ENOB ที่อัตราการสุ่มที่ใช้งานจริง

## FAQ

**ทำไมต้องมีฟิลเตอร์ก่อน ADC?**
เพราะสัญญาณที่มีความถี่สูงกว่าครึ่งหนึ่งของอัตราการสุ่ม (ความถี่ Nyquist) จะปรากฏหลังสุ่มเป็นความถี่ต่ำปลอม (aliasing) และแยกออกจากสัญญาณจริงไม่ได้อีกต่อไป เช่น สัญญาณรบกวน 50 Hz ที่ถูกสุ่มด้วย 60 ครั้งต่อวินาทีจะดูเหมือนสัญญาณ 10 Hz ฟิลเตอร์กันรอยต่อต้องลดสัญญาณเหล่านี้ก่อนการสุ่ม ไม่ใช่หลังการสุ่ม

**ADC 24 บิตแม่นกว่า 16 บิตจริงหรือ?**
ไม่เสมอไป จำนวนบิตบอกความละเอียดของรหัส แต่ความแม่นจริงขึ้นกับสัญญาณรบกวน (ENOB หรือ noise-free bits) ความคลาดของแรงดันอ้างอิง offset gain และ drift ตามอุณหภูมิ ADC 24 บิตหลายรุ่นมีบิตที่ใช้ได้จริงประมาณ 18–21 บิตเมื่อสุ่มช้า และต่ำกว่านั้นเมื่อสุ่มเร็ว ต้องดู ENOB ที่อัตราการสุ่มที่ใช้งานจริง

---

# เซนเซอร์อัจฉริยะและ IIoT: หลักการสมัยใหม่ของการวัด

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/smart-sensors-iiot/
Updated: 2026-10-14
Summary: หลักการสมัยใหม่ของเซนเซอร์และเครื่องมือวัด: เซนเซอร์อัจฉริยะที่ชดเชยและวินิจฉัยตัวเองตาม NAMUR NE 107 เซนเซอร์ MEMS IEEE 1451 และ TEDS เครือข่ายไร้สาย WirelessHART ISA100.11a LoRaWAN NB-IoT สถาปัตยกรรม ISA-95 กับ IIoT เกตเวย์ edge OPC UA MQTT NAMUR Open Architecture การบำรุงรักษาเชิงพยากรณ์ ความปลอดภัยไซเบอร์ IEC 62443 และการคำนวณอายุแบตเตอรี่

// บทที่ 20.17 · Sensors & Transducers · Smart Sensors & IIoT

# เซนเซอร์อัจฉริยะและ IIoT: หลักการสมัยใหม่ของการวัด

เซนเซอร์ราคาถูกลงจนแทบเป็นสินค้าทั่วไป สิ่งที่มีค่าขึ้นคือ ข้อมูลที่เชื่อถือได้และไปถึงคนที่ใช้ตัดสินใจ หน้านี้อธิบายว่าเซนเซอร์ยุคใหม่ "คิด" อะไรในตัวเอง ส่งข้อมูลอย่างไรโดยไม่ต้องเดินสาย และข้อมูลเดินทางจากหน้างานถึงคลาวด์โดยไม่รบกวนลูปควบคุมได้อย่างไร

## อะไรทำให้เซนเซอร์ "อัจฉริยะ" พื้นฐาน

### ชดเชยด้วยตัวเลข
เซนเซอร์ถูกวัดที่หลายอุณหภูมิและหลายความดันในโรงงานผลิต ค่าคงตัวถูกบันทึกในหน่วยความจำ ไมโครคอนโทรลเลอร์คำนวณแก้ทุกครั้งที่วัด

### หลายตัวแปรในเครื่องเดียว
ทรานสมิตเตอร์ DP วัดความดันสถิตและอุณหภูมิไปด้วย จึงคำนวณอัตราไหลเชิงมวลที่ชดเชยแล้วได้ในตัว

### วินิจฉัยตัวเอง
ตรวจเซนเซอร์ขาด ท่อตัน การเกาะ แรงดันไม่พอ และรายงานตามหมวด NE 107 แทนการส่งค่าผิดอย่างเงียบ ๆ

### บอกว่าตัวเองคือใคร
ไฟล์คำอธิบายอุปกรณ์ (DD, EDD, FDI, IODD) และ TEDS ทำให้ระบบรู้หน่วย ช่วง และความสามารถโดยไม่ต้องป้อนเอง

NAMUR NE 107: สี่สถานะที่อุปกรณ์รายงาน

| สัญลักษณ์ | สถานะ | ความหมายต่อผู้ปฏิบัติงาน |

| F | Failure · ล้มเหลว | ค่าวัดใช้ไม่ได้ ต้องเข้าแก้ทันที |

| C | Function check · ตรวจสอบ | อยู่ระหว่างทดสอบ/ตั้งค่า ค่าชั่วคราวไม่ใช่ค่าจริง |

| S | Out of specification · นอกสเปก | ทำงานนอกเงื่อนไขที่ออกแบบ ค่าอาจคลาดเกินสเปก |

| M | Maintenance required · ต้องบำรุงรักษา | ยังวัดได้ แต่ควรวางแผนซ่อมก่อนจะล้มเหลว |

IEEE 1451 (ISO/IEC/IEEE 21451) กำหนดอินเทอร์เฟซของ "ทรานส์ดิวเซอร์อัจฉริยะ" และ TEDS (Transducer Electronic Data Sheet) — หน่วยความจำเล็ก ๆ ในเซนเซอร์ที่เก็บผู้ผลิต รุ่น หมายเลขเครื่อง ความไว และวันสอบเทียบ เครื่องอ่านจึงตั้งค่าตัวเองได้เมื่อเสียบเซนเซอร์ (plug and play) แนวคิดนี้พบมากในแอกเซเลอโรมิเตอร์และโหลดเซลล์ของงานทดสอบ

## MEMS: เครื่องจักรขนาดไมโครบนชิปซิลิคอน กลาง

รูป 1 · แอกเซเลอโรมิเตอร์ MEMS แบบหวี มวลขนาดไมโครกรัมที่แขวนด้วยสปริงซิลิคอน

MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems) ใช้กระบวนการผลิตแบบเดียวกับชิป สร้างโครงสร้างเชิงกลขนาดไมโครเมตรร่วมกับวงจรอ่านค่า ต้นทศวรรษ 1990 แอกเซเลอโรมิเตอร์ MEMS สำหรับถุงลมนิรภัยรถยนต์พิสูจน์ว่าทำได้ในปริมาณมากและเชื่อถือได้ ปัจจุบันเซนเซอร์ความดัน ความเร่ง ไจโรสโคป ไมโครโฟน และแก๊สจำนวนมากเป็น MEMS

N1 Spring–mass accelerometer แอกเซเลอโรมิเตอร์มวล–สปริง

$$x = \frac{m\,a}{k} = \frac{a}{\omega_n^2} \qquad \omega_n = \sqrt{k/m}$$

สมการนี้บอกการแลกเปลี่ยนหลักของการออกแบบ: ความถี่ธรรมชาติสูง (วัดสัญญาณเร็วได้) ทำให้การกระจัดต่อความเร่งน้อยลง (ไวน้อยลง) แอกเซเลอโรมิเตอร์ที่ $\omega_n = 2\pi \times 5\ \text{kHz}$ เคลื่อนเพียงราว 10 นาโนเมตรต่อ 1 g วงจรอ่านค่าความจุจึงต้องละเอียดระดับอัตโตฟารัด — ทำได้เพราะวงจรอยู่บนชิปเดียวกัน ส่วนพื้นฐานระบบมวล–สปริง–แดมเปอร์ดูได้ที่ ระบบอันดับสอง

## เซนเซอร์ไร้สายในอุตสาหกรรม กลาง

| เทคโนโลยี | มาตรฐาน | ย่าน · โทโพโลยี | ระยะ | ใช้กับ |

| WirelessHART | IEC 62591 | 2.4 GHz IEEE 802.15.4 · เมช | สิบถึงร้อยเมตรต่อฮอป | เครื่องมือวัดกระบวนการ เฝ้าดู |

| ISA100.11a | IEC 62734 | 2.4 GHz IEEE 802.15.4 · เมช/ดาว | สิบถึงร้อยเมตร | เครื่องมือวัดกระบวนการ |

| LoRaWAN | LoRa Alliance | ย่าน sub-GHz ไม่ต้องขอใบอนุญาต · ดาว | หลายกิโลเมตร | มิเตอร์น้ำ เกษตร สิ่งแวดล้อม |

| NB-IoT · LTE-M | 3GPP | เครือข่ายมือถือ | ครอบคลุมตามเครือข่าย | มิเตอร์อัจฉริยะ อุปกรณ์กระจายตัว |

| Bluetooth LE | Bluetooth SIG | 2.4 GHz · จุดต่อจุด/เมช | สิบเมตร | ตั้งค่าเครื่องมือด้วยมือถือ |

N2 Average current of a duty-cycled node กระแสเฉลี่ยของโหนดที่หลับ–ตื่น

$$D = \frac{t_\text{on}}{T} \qquad \bar I = D\,I_\text{on} + (1 - D)\,I_\text{sleep}$$

N3 Battery lifetime อายุแบตเตอรี่

$$t_\text{life} = \frac{C\,(1 - k_\text{derate})}{\bar I}$$

ตัวอย่าง N-1

### แบตเตอรี่ 2600 mAh ตื่นวัด+ส่ง 30 mA นาน 150 ms หลับ 5 µA

- ส่งทุก 60 s: $D = 0.25\,\%$ → N2: $\bar I = 80\ \mu\text{A}$ → N3 (เผื่อ 30 %): 2.6 ปี

- ส่งทุก 10 s: $\bar I = 455\ \mu\text{A}$ → 0.46 ปี · ส่งทุก 10 นาที: $\bar I = 12.5\ \mu\text{A}$ → คำนวณได้ 16.6 ปี

- ตัวเลข 16.6 ปีเกินอายุการเก็บและการคายประจุเองของแบตเตอรี่ส่วนใหญ่ เมื่อกระแสเฉลี่ยต่ำมาก ข้อจำกัดจริงคือเคมีของแบตเตอรี่ ไม่ใช่วงจร และกระแสหลับกลายเป็น 40 % ของพลังงานทั้งหมด

## สถาปัตยกรรม: จากพีระมิด ISA-95 สู่ช่องทางที่สอง กลาง

รูป 2 · ซ้าย: ข้อมูลไหลทีละชั้นตาม ISA-95 · ขวา: NAMUR Open Architecture เพิ่มช่องทางที่สองสำหรับเฝ้าดูและวิเคราะห์ โดยลูปควบคุมยังอยู่ในระบบเดิม

- Edge gateway: อยู่ใกล้เครื่องจักร อ่านข้อมูลจาก PLC/HART/Modbus กรอง บีบอัด และส่งต่อ ช่วยลดปริมาณข้อมูลและยังทำงานได้เมื่ออินเทอร์เน็ตขาด

- OPC UA (IEC 62541): แบบจำลองข้อมูลพร้อมความหมาย (ชื่อ หน่วย ช่วง ความสัมพันธ์) การเข้ารหัสและการยืนยันตัวตนในตัว มี companion specification สำหรับอุตสาหกรรมเฉพาะ

- MQTT (มาตรฐาน OASIS และ ISO/IEC 20922): publish/subscribe ผ่านโบรกเกอร์ หัวข้อ (topic) เป็นลำดับชั้น คุณภาพบริการ QoS 0/1/2 เบาพอสำหรับอุปกรณ์เล็ก ข้อกำหนด Sparkplug เพิ่มโครงสร้างข้อมูลสำหรับงานอุตสาหกรรม

- NAMUR Open Architecture (NE 175): ให้ข้อมูลไหลออกจากระบบควบคุมทางเดียวผ่านช่องทางที่สอง เพื่อวิเคราะห์โดยไม่เสี่ยงต่อความปลอดภัยของการควบคุม

ตัวอย่าง N-2

### เซนเซอร์ 100 จุด ส่งค่าทุกวินาที ค่าละ 8 ไบต์ (เวลา + ค่า)

- $100 \times 86\,400 \times 8 = 69\ \text{MB}$ ต่อวันก่อนรวมส่วนหัวโปรโตคอล

- การส่ง "เมื่อค่าเปลี่ยนเกิน deadband" (report by exception) ของค่าที่เปลี่ยนช้าอย่างระดับหรืออุณหภูมิลดข้อมูลได้หลายสิบเท่า — เหตุที่ edge gateway และ OPC UA มีพารามิเตอร์ deadband

## การบำรุงรักษาเชิงพยากรณ์และความปลอดภัยไซเบอร์ ขั้นสูง

การบำรุงรักษาเปลี่ยนจาก "ซ่อมเมื่อเสีย" (reactive) เป็น "ตามรอบเวลา" (preventive) แล้วเป็น "ตามสภาพ" (condition-based) และ "เชิงพยากรณ์" (predictive) ซึ่งใช้ข้อมูลเซนเซอร์คาดการณ์ว่าเมื่อใดจะเสีย ตัวอย่างข้อมูลที่ใช้: การสั่นสะเทือนและสเปกตรัมของปั๊มและมอเตอร์ (FFT) อุณหภูมิตลับลูกปืน กระแสมอเตอร์ เสียงสัญญาณวาล์ว และการวินิจฉัยจากทรานสมิตเตอร์ HART

ข้อควรระวัง: แบบจำลอง AI เรียนรู้จากข้อมูลที่ได้รับ ถ้าเซนเซอร์ไม่ได้สอบเทียบหรือ drift ไปแล้ว ผลวิเคราะห์ก็ผิดตาม การสอบเทียบและการจัดการคุณภาพข้อมูลจึงเป็นรากฐานของระบบอัจฉริยะ ไม่ใช่เรื่องรอง (ดู การสอบเทียบ)

ความปลอดภัยไซเบอร์: ชุดมาตรฐาน IEC 62443 กำหนดแนวทางแบ่งโซนและช่องทางสื่อสาร (zones and conduits) ระดับความปลอดภัย และข้อกำหนดสำหรับผู้ผลิตอุปกรณ์และผู้รวมระบบ หลักง่ายที่สุดคือไม่ต่อเครือข่ายควบคุมตรงกับอินเทอร์เน็ต และให้ข้อมูลไหลออกทางเดียวเมื่อเป็นไปได้

## แหล่งอ้างอิง

- NAMUR NE 107 Self-monitoring and diagnosis of field devices · NAMUR NE 175 NAMUR Open Architecture

- ISO/IEC/IEEE 21451 (IEEE 1451) Smart transducer interface standards

- IEC 62591 WirelessHART · IEC 62734 ISA100.11a · IEC 62541 OPC UA · ISO/IEC 20922 MQTT · IEC 62264 (ISA-95)

- IEC 62443 (ชุด) Security for industrial automation and control systems

## คำถามที่พบบ่อย

เซนเซอร์อัจฉริยะ (smart sensor) ต่างจากเซนเซอร์ธรรมดาอย่างไร?
เซนเซอร์อัจฉริยะมีหน่วยประมวลผลในตัว ทำหน้าที่ชดเชยอุณหภูมิและความไม่เชิงเส้นด้วยตัวเลข แปลงเป็นหน่วยวิศวกรรม ตั้งค่าจากระยะไกล วินิจฉัยตัวเองและรายงานสถานะ (เช่น ตามหมวด NAMUR NE 107) และสื่อสารแบบดิจิทัลผ่าน HART ฟิลด์บัส IO-Link หรือไร้สาย สิ่งที่ได้ไม่ใช่แค่ค่าวัด แต่รวมถึงความน่าเชื่อถือของค่าวัดนั้นด้วย

ควรใช้ OPC UA หรือ MQTT?
ใช้คู่กันได้ OPC UA เด่นเรื่องแบบจำลองข้อมูลที่มีความหมายครบ (หน่วย ช่วง ความสัมพันธ์ของอุปกรณ์) และความปลอดภัยในตัว เหมาะกับการเชื่อมระหว่างเครื่องจักรกับระบบควบคุม ส่วน MQTT เป็นโปรโตคอล publish/subscribe ที่เบามากผ่านโบรกเกอร์ เหมาะกับการส่งข้อมูลจำนวนมากจาก edge ขึ้นคลาวด์ ปัจจุบัน OPC UA ก็มีรูปแบบ publish/subscribe ผ่าน MQTT ได้

## FAQ

**เซนเซอร์อัจฉริยะ (smart sensor) ต่างจากเซนเซอร์ธรรมดาอย่างไร?**
เซนเซอร์อัจฉริยะมีหน่วยประมวลผลในตัว ทำหน้าที่ชดเชยอุณหภูมิและความไม่เชิงเส้นด้วยตัวเลข แปลงเป็นหน่วยวิศวกรรม ตั้งค่าจากระยะไกล วินิจฉัยตัวเองและรายงานสถานะ (เช่น ตามหมวด NAMUR NE 107) และสื่อสารแบบดิจิทัลผ่าน HART ฟิลด์บัส IO-Link หรือไร้สาย สิ่งที่ได้ไม่ใช่แค่ค่าวัด แต่รวมถึงความน่าเชื่อถือของค่าวัดนั้นด้วย

**ควรใช้ OPC UA หรือ MQTT?**
ใช้คู่กันได้ OPC UA เด่นเรื่องแบบจำลองข้อมูลที่มีความหมายครบ (หน่วย ช่วง ความสัมพันธ์ของอุปกรณ์) และความปลอดภัยในตัว เหมาะกับการเชื่อมระหว่างเครื่องจักรกับระบบควบคุม ส่วน MQTT เป็นโปรโตคอล publish/subscribe ที่เบามากผ่านโบรกเกอร์ เหมาะกับการส่งข้อมูลจำนวนมากจาก edge ขึ้นคลาวด์ ปัจจุบัน OPC UA ก็มีรูปแบบ publish/subscribe ผ่าน MQTT ได้

---

# การวัดอุณหภูมิ: RTD Pt100 เทอร์โมคัปเปิล เทอร์มิสเตอร์ IC และอินฟราเรด

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/temperature-sensors/
Updated: 2026-10-14
Summary: การวัดอุณหภูมิในงานอุตสาหกรรมครบในหน้าเดียว: สมการ Callendar–Van Dusen ของ Pt100 ตาม IEC 60751 การต่อ 2 สาย 3 สาย 4 สาย เกรด AA A B C เทอร์โมคัปเปิลชนิด K J T N E R S B ตาม IEC 60584 และตาราง NIST ITS-90 การชดเชยจุดเย็น (CJC) เทอร์มิสเตอร์ NTC สมการ β และ Steinhart–Hart เซนเซอร์ IC ไพโรมิเตอร์และค่า emissivity พร้อมเครื่องคำนวณและตัวอย่างวิธีทำ

// บทที่ 20.7 · Sensors & Transducers · Temperature Measurement

# การวัดอุณหภูมิ: RTD Pt100 เทอร์โมคัปเปิล เทอร์มิสเตอร์ IC และอินฟราเรด

อุณหภูมิเป็นปริมาณที่วัดบ่อยที่สุดในโรงงาน หน้านี้อธิบายเซนเซอร์ห้าตระกูลจากฟิสิกส์ของมัน ไปจนถึงสมการในมาตรฐานที่ทรานสมิตเตอร์ใช้จริง ตัวเลขทุกตัวในตัวอย่างคำนวณจากสมการ IEC 60751 และตารางอ้างอิง NIST ITS-90 แบบเดียวกับเครื่องคำนวณในหน้านี้

สรุปใน 30 วินาที

- Pt100: $R(t) = R_0(1 + At + Bt^2)$ สำหรับ $t \ge 0$ · ≈ 0.385 Ω/°C · เกรด A ±(0.15 + 0.002|t|) °C

- ต่อ 2 สายแล้วสายรวม 3.5 Ω → อ่านสูงไป ≈ 9 °C · ใช้ 3 สายหรือ 4 สาย หรือ Pt1000

- เทอร์โมคัปเปิลวัด ผลต่าง อุณหภูมิ: $E(T_h) = E_\text{วัด} + E(T_{cj})$ แล้วจึงแปลงเป็น °C

- NTC ไวมาก (≈ −4 %/°C) แต่ไม่เชิงเส้น · IR ต้องตั้ง emissivity ให้ถูก

## เลือกเซนเซอร์อุณหภูมิ: ห้าตระกูลหลัก พื้นฐาน

ทุกตระกูลอาศัยปรากฏการณ์ต่างกัน จึงเด่นคนละด้าน คำถามแรกของการเลือกไม่ใช่ "ตัวไหนแม่นที่สุด" แต่คือ ช่วงอุณหภูมิ ความแม่นที่ต้องการจริง และ สภาพติดตั้ง (สัมผัสได้หรือไม่ ต้องตอบสนองเร็วแค่ไหน)

| ชนิด | หลักการ | ช่วงใช้งานโดยทั่วไป | ความแม่นทั่วไป | จุดเด่น · ข้อจำกัด | มาตรฐาน |

| RTD (Pt100, Pt1000) | ความต้านทานโลหะเพิ่มตามอุณหภูมิ | −200 … 600 °C | ±0.1 … ±0.5 °C | แม่น เสถียร ใกล้เชิงเส้น · ต้องมีกระแสกระตุ้น ระวังสายต่อ | IEC 60751 |

| เทอร์โมคัปเปิล | แรงเคลื่อนไฟฟ้า Seebeck | −200 … 1700 °C (ตามชนิด) | ±1 … ±2.5 °C หรือ 0.4–0.75 % ของค่า | ทนร้อน เร็ว ถูก ไม่ต้องกระตุ้น · สัญญาณ µV ต้อง CJC | IEC 60584 |

| เทอร์มิสเตอร์ NTC | ความต้านทานเซรามิกลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล | −50 … 150 °C | ±0.1 … ±1 °C | ไวมาก ถูก เล็ก · ไม่เชิงเส้น ช่วงแคบ | สเปกผู้ผลิต |

| เซนเซอร์ IC | แรงดัน VBE ของรอยต่อ PN (PTAT) | −55 … 150 °C | ±0.1 … ±2 °C | เอาต์พุตแอนะล็อก/ดิจิทัลพร้อมใช้ · ช่วงจำกัด วัดอุณหภูมิของตัวชิปเอง | สเปกผู้ผลิต |

| อินฟราเรด (ไพโรมิเตอร์) | รังสีความร้อน (Stefan–Boltzmann) | −50 … 3000 °C | ±1 … ±2 % ของค่า | ไม่สัมผัส วัดของเคลื่อนที่ · ขึ้นกับ emissivity และพื้นผิว | VDI/VDE 3511, ASTM E1256 |

รูป 1 · เส้นโค้งจริงของสามตระกูล คำนวณจาก IEC 60751, สมการ β และตาราง NIST ชนิด K

## RTD Pt100: สมการ Callendar–Van Dusen และ IEC 60751 พื้นฐาน

แพลตตินัมถูกเลือกเพราะเฉื่อยทางเคมี เส้นโค้งทำซ้ำได้ดีมาก และใช้เป็นเครื่องมือประมาณค่าใน ITS-90 เอง ค.ศ. 1871 William Siemens เสนอเทอร์โมมิเตอร์ความต้านทานแพลตตินัม ต่อมา H. L. Callendar (1887) และ M. S. Van Dusen (1925) ได้สมการที่ใช้กันจนถึงปัจจุบัน IEC 60751 กำหนดค่าคงตัวสำหรับเซนเซอร์อุตสาหกรรมไว้ชุดเดียวกันทั่วโลก

T1 Callendar–Van Dusen (IEC 60751) ความต้านทานของ Pt100

$$R(t) = R_0\left[1 + At + Bt^2 + C(t-100)\,t^3\right] \qquad C = 0 \text{ เมื่อ } t \ge 0\,^\circ\text{C}$$

$$A = 3.9083\times10^{-3},\quad B = -5.775\times10^{-7},\quad C = -4.183\times10^{-12}$$

T2 Mean temperature coefficient สัมประสิทธิ์อุณหภูมิเฉลี่ย α

$$\alpha = \frac{R_{100} - R_0}{100\,R_0} = 0.003\,85\ ^\circ\text{C}^{-1} \quad (R_{100} = 138.5055\ \Omega)$$

T3 Inverse for t ≥ 0 °C แปลงความต้านทานกลับเป็นอุณหภูมิ

$$t = \frac{-A + \sqrt{A^2 - 4B\left(1 - R/R_0\right)}}{2B}$$

ต่ำกว่า 0 °C ต้องแก้สมการกำลังสี่ด้วยวิธีเชิงตัวเลข (Newton) ซึ่งเป็นสิ่งที่ทรานสมิตเตอร์ทำ ส่วนเครื่องวัดราคาถูกบางรุ่นใช้ตารางหรือ "α = 0.00385 เชิงเส้น" แทน ซึ่งคลาดได้หลายองศาที่ปลายช่วง

ตัวอย่าง T-1

### Pt100 ที่ 150 °C ต่อสองสาย สาย 0.5 mm² ยาว 50 m

- T1: $R = 100[1 + 3.9083\times10^{-3}(150) - 5.775\times10^{-7}(150)^2] = 157.325\ \Omega$

- ความต้านทานสายต่อเส้น $R_L = \rho L/A = 0.0175 \times 50 / 0.5 = 1.75\ \Omega$ ต่อสองสายรวม $3.5\ \Omega$ → เครื่องเห็น $160.825\ \Omega$

- T3 กลับเป็นอุณหภูมิ: $t = 159.38\ ^\circ\text{C}$ — อ่านสูงไป 9.4 °C (ความไว ณ จุดนี้ 0.3735 Ω/°C)

- ถ้าเปลี่ยนเป็น Pt1000 สายเท่าเดิมคลาดเพียง 0.94 °C เพราะความต้านทานของเซนเซอร์สูงขึ้น 10 เท่า ขณะที่สายเท่าเดิม

รูป 2 · การต่อ RTD สามแบบ งานกระบวนการนิยม 3 สาย งานห้องแล็บและการสอบเทียบใช้ 4 สาย

T4 IEC 60751 tolerance classes พิกัดความคลาดเคลื่อน

$$\begin{aligned} \text{AA: }& \pm(0.1 + 0.0017|t|) & \text{A: }& \pm(0.15 + 0.002|t|) \\ \text{B: }& \pm(0.3 + 0.005|t|) & \text{C: }& \pm(0.6 + 0.01|t|)\ ^\circ\text{C} \end{aligned}$$

ช่วงอุณหภูมิที่แต่ละเกรดใช้ได้ต่างกันระหว่างแบบขดลวด (wire-wound) กับแบบฟิล์มบาง (thin film) ให้ดูจากดาต้าชีตของเซนเซอร์จริง เกรดคือ "ความคลาดที่ยอมได้ของเซนเซอร์เปล่า" ยังไม่รวมทรานสมิตเตอร์และสายต่อ ที่ 150 °C เกรด A ยอม ±0.45 °C ขณะที่ความผิดพลาดจากสองสายในตัวอย่าง T-1 ใหญ่กว่าถึง 20 เท่า

T5 Self-heating ความคลาดจากการร้อนตัวเอง

$$\Delta T = \frac{P}{E} = \frac{I^2 R}{E} \qquad E = \text{ค่าคงตัวการระบายความร้อน (mW/°C)}$$

กระแสกระตุ้น 1 mA ใน Pt100 ที่ 157 Ω สร้างความร้อน 0.157 mW ถ้าเซนเซอร์อยู่ในอากาศนิ่งซึ่ง E อาจเหลือไม่กี่ mW/°C ความคลาดจะเป็นหลักสิบขององศา ในของเหลวไหลผลนี้เล็กลงมาก — เหตุที่ทรานสมิตเตอร์ใช้กระแสเพียงระดับ 0.1–1 mA หรือกระแสแบบพัลส์

## เทอร์โมคัปเปิล: ปรากฏการณ์ Seebeck และตาราง NIST ITS-90 กลาง

ค.ศ. 1821 Thomas Johann Seebeck ในเบอร์ลินพบว่าวงจรของโลหะสองชนิดที่รอยต่อทั้งสองมีอุณหภูมิต่างกันจะเกิดแรงเคลื่อนไฟฟ้า ความเข้าใจที่ถูกคือ แรงดันเกิดตามความยาวของลวดที่มีเกรเดียนต์อุณหภูมิ ไม่ได้เกิดที่จุดรอยต่อ ผลที่ตามมาคือส่วนของลวดที่ผ่านบริเวณร้อน–เย็นต้องเป็นวัสดุเนื้อเดียวและไม่เสื่อม ไม่เช่นนั้นค่าจะเพี้ยนแม้รอยต่อจะดี

T6 Seebeck emf แรงเคลื่อนไฟฟ้าของเทอร์โมคัปเปิล

$$E = \int_{T_{cj}}^{T_h} \left[S_A(T) - S_B(T)\right] dT \;\approx\; S_{AB}\,(T_h - T_{cj})$$

T7 Law of intermediate temperatures กฎอุณหภูมิกลาง

$$E(T_1, T_3) = E(T_1, T_2) + E(T_2, T_3)$$

กฎข้อนี้คือเหตุผลที่ตารางอ้างอิงทุกฉบับใช้จุดอ้างอิง 0 °C ได้ และคือพื้นฐานของการชดเชยจุดเย็น อีกกฎที่สำคัญคือ กฎโลหะกลาง: แทรกโลหะชนิดที่สาม (เช่น ขั้วทองแดง) ได้โดยไม่เปลี่ยนแรงดัน ถ้ารอยต่อทั้งสองข้างของโลหะนั้นอุณหภูมิเท่ากัน

ชนิดเทอร์โมคัปเปิลตาม IEC 60584-1 (ความไวคำนวณจากตาราง NIST ที่ 100 °C, สีตาม IEC 60584-3: ขาลบเป็นสีขาว)

| ชนิด | วัสดุ (+/−) | ช่วงตาราง (°C) | ความไวที่ 100 °C | สีขาบวก | ใช้งาน |

| K | NiCr / NiAl | −270 … 1372 | 41.4 µV/°C | เขียว | ทั่วไป ใช้มากที่สุด ระวัง green rot และ short-range order 250–550 °C |

| J | Fe / CuNi | −210 … 1200 | 54.4 µV/°C | ดำ | บรรยากาศรีดิวซ์ ไม่เกินราว 750 °C (เหล็กเกิดสนิม) |

| T | Cu / CuNi | −270 … 400 | 46.8 µV/°C | น้ำตาล | อุณหภูมิต่ำ ห้องเย็น อาหาร |

| N | NiCrSi / NiSi | −270 … 1300 | 29.6 µV/°C | ชมพู | ทดแทน K ที่อุณหภูมิสูง เสถียรกว่า |

| E | NiCr / CuNi | −270 … 1000 | 67.5 µV/°C | ม่วง | ความไวสูงสุด อุณหภูมิต่ำ–ปานกลาง |

| R · S | PtRh / Pt | −50 … 1768 | 7.5 · 7.3 µV/°C | ส้ม | โลหะมีค่า เตาหลอม แก้ว ห้องแล็บ |

| B | Pt30Rh / Pt6Rh | 0 … 1820 | 0.9 µV/°C | เทา | สูงถึงราว 1700 °C แรงดันเกือบศูนย์ใต้ 50 °C จึงไม่ต้อง CJC มากนัก |

มาตรฐานสหรัฐฯ (ANSI/ASTM) ใช้รหัสสีต่างออกไป ขาลบเป็นสีแดงเสมอ เช่น ชนิด K ขาบวกสีเหลือง — ดูรหัสสีบนสายก่อนต่อเสมอ ไม่ควรเดาจากประเทศของผู้ผลิต

T8 IEC 60584-1 tolerance, types K and N พิกัดความคลาดชนิด K, N

$$\text{Class 1: } \pm\max(1.5\ ^\circ\text{C},\ 0.004|t|) \qquad \text{Class 2: } \pm\max(2.5\ ^\circ\text{C},\ 0.0075|t|)$$

## การชดเชยจุดเย็น (CJC) กลาง

รูป 3 · จุดที่ลวดเทอร์โมคัปเปิลพบขั้วทองแดงคือรอยต่อเย็น ทรานสมิตเตอร์วัดอุณหภูมิตรงนั้นด้วยเซนเซอร์อีกตัว

T9 Cold-junction compensation ชดเชยจุดเย็น

$$E(T_h, 0) = E_\text{วัด}(T_h, T_{cj}) + E(T_{cj}, 0) \;\;\Rightarrow\;\; T_h = E^{-1}\!\left[E_\text{วัด} + E(T_{cj})\right]$$

ตัวอย่าง T-2

### ชนิด K วัดได้ 18.516 mV ขั้วต่ออยู่ที่ 30 °C

- จากตาราง NIST: $E(30\ ^\circ\text{C}) = 1.2033\ \text{mV}$

- T9: $E(T_h) = 18.516 + 1.2033 = 19.7193\ \text{mV}$

- แปลงกลับ: $T_h = 478.3\ ^\circ\text{C}$

- เทียบความผิดสองแบบ: ลืมชดเชยได้ 450.0 °C (ต่ำไป 28 °C) · บวก 30 °C เข้าไปตรง ๆ ได้ 480.0 °C (สูงไป 1.7 °C เพราะความไวที่ 30 °C ไม่เท่ากับที่ 478 °C)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในหน้างาน: ใช้สายทองแดงธรรมดาต่อจากหัวเซนเซอร์มาที่ตู้ ทำให้ "รอยต่อเย็น" ย้ายไปอยู่ที่หัวเซนเซอร์ซึ่งร้อน แต่ CJC วัดที่ตู้ ผลคือค่าคลาดเท่ากับผลต่างอุณหภูมิระหว่างสองจุดนั้น วิธีแก้คือใช้ สายต่อ (extension) หรือสายชดเชย (compensating) ชนิดตรงกับเทอร์โมคัปเปิล ตลอดเส้นทาง หรือติดทรานสมิตเตอร์ที่หัวเซนเซอร์แล้วส่ง 4–20 mA

## เทอร์มิสเตอร์ NTC: สมการ β และ Steinhart–Hart กลาง

NTC ทำจากออกไซด์โลหะ (Mn, Ni, Co) ซึ่งเป็นสารกึ่งตัวนำ จำนวนพาหะประจุเพิ่มแบบเอกซ์โพเนนเชียลตามอุณหภูมิ ความต้านทานจึงลดลงเร็วมาก ใช้แพร่หลายในแบตเตอรี่ แอร์ ตู้เย็น อุปกรณ์การแพทย์ และวงจรป้องกันความร้อนของคอนเวอร์เตอร์ ส่วน PTC แบบสวิตชิ่งใช้เป็นตัวตัดกระแสเกินและป้องกันความร้อนในขดลวดมอเตอร์

T10 β model แบบจำลองบีตา

$$R(T) = R_{25}\,\exp\!\left[\beta\left(\frac{1}{T} - \frac{1}{298.15}\right)\right] \qquad T \text{ เป็นเคลวิน} \qquad \alpha = -\frac{\beta}{T^2}$$

T11 Steinhart–Hart (1968) สมการสามพารามิเตอร์

$$\frac{1}{T} = a + b\ln R + c\,(\ln R)^3$$

แบบ β ใช้ได้ดีในช่วงแคบ ส่วน Steinhart–Hart หาค่า a, b, c จากการวัดสามจุดและแม่นระดับ ±0.01–0.02 °C ตลอดช่วงกว้างหลายสิบองศา

ตัวอย่าง T-3

### NTC 10 kΩ β = 3950 ในวงจรแบ่งแรงดัน 3.3 V กับ 10 kΩ ที่ 60 °C

- T10: $R = 10\,000\exp[3950(1/333.15 - 1/298.15)] = 2486\ \Omega$

- $V_\text{out} = 3.3 \times 2486/(2486 + 10\,000) = 0.657\ \text{V}$ → ADC 12 บิตอ่านได้ 815

- $\alpha = -3950/333.15^2 = -3.56\ \%/^\circ\text{C}$ — เมื่อเทียบเป็นเปอร์เซ็นต์ต่อองศา ไวกว่า Pt100 ราว 10 เท่า

## เซนเซอร์ IC และเซนเซอร์ดิจิทัล กลาง

ทรานซิสเตอร์สองตัวที่ทำงานที่ความหนาแน่นกระแสต่างกันให้ผลต่างแรงดัน VBE ที่แปรตรงกับอุณหภูมิสัมบูรณ์ (PTAT) อย่างแม่นยำ หลักการเดียวกันนี้อยู่ในเซนเซอร์อุณหภูมิของไมโครคอนโทรลเลอร์ แบตเตอรี่แพ็ก และชิปวัดอุณหภูมิแบบดิจิทัล

T12 PTAT voltage แรงดันแปรตามอุณหภูมิสัมบูรณ์

$$\Delta V_{BE} = \frac{kT}{q}\ln N \qquad N = \text{อัตราส่วนความหนาแน่นกระแส}$$

ที่ 300 K กับ N = 8 ได้ $\Delta V_{BE} = 25.85\ \text{mV} \times \ln 8 = 53.8\ \text{mV}$ วงจรภายในขยายและชดเชยแล้วส่งออกเป็นแรงดันเชิงเส้น เช่น 10 mV/°C หรือส่งค่าดิจิทัลผ่าน I²C, SPI, 1-Wire ข้อควรระวังคือชิปวัด อุณหภูมิของตัวเอง การจับยึดความร้อนกับวัตถุและความร้อนจากแผงวงจรจึงสำคัญกว่าตัวเลขความแม่นในดาต้าชีต

## วัดแบบไม่สัมผัส: อินฟราเรดและ emissivity ขั้นสูง

T13 Stefan–Boltzmann รังสีจากพื้นผิว

$$M = \varepsilon\,\sigma\,T^4 \qquad \sigma = 5.670\times10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\text{K}^{-4}$$

T14 Wien's displacement law ความยาวคลื่นที่รังสีสูงสุด

$$\lambda_\text{max} = \frac{2898\ \mu\text{m}\cdot\text{K}}{T}$$

วัตถุ 100 °C ให้รังสีสูงสุดที่ 7.8 µm ไพโรมิเตอร์และกล้องถ่ายภาพความร้อนสำหรับอุณหภูมิต่ำจึงทำงานในแถบ 8–14 µm ซึ่งบรรยากาศโปร่งใส ส่วนโลหะร้อนจัดวัดที่ความยาวคลื่นสั้น (เช่น 1 µm) ซึ่งผลของ emissivity ต่ออุณหภูมิที่อ่านได้น้อยกว่า

ตัวอย่าง T-4

### วัตถุ 100 °C ε = 0.95 แต่ตั้งเครื่องไว้ ε = 1.00 ห้อง 25 °C

- ถ้าไม่มีรังสีสะท้อน: $T_m = T\varepsilon^{1/4} = 373.15 \times 0.95^{1/4} = 368.4\ \text{K} = 95.2\ ^\circ\text{C}$

- รวมรังสีจากห้องที่สะท้อนออกมา $(1-\varepsilon)$: $T_m^4 = 0.95(373.15)^4 + 0.05(298.15)^4$ → $T_m = 97.2\ ^\circ\text{C}$

- สรุป: ตั้ง ε ผิดเพียง 5 % ทำให้อ่านต่ำไป ≈ 3 °C และโลหะเงาซึ่ง ε อาจต่ำกว่า 0.2 อ่านผิดหลายสิบองศา ทางแก้คือติดเทปหรือพ่นสีที่รู้ค่า ε ก่อนวัด

## ติดตั้งให้วัดได้จริง: ปลอก thermowell เวลาตอบสนอง และทรานสมิตเตอร์ กลาง

- ความลึกการจุ่ม: ความร้อนรั่วตามปลอกขึ้นสู่หัว (stem conduction) ทำให้ปลายอุ่นน้อยกว่าของเหลว แนวทางทั่วไปคือจุ่มอย่างน้อยประมาณ 10 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางปลอกบวกความยาวส่วนรับรู้ ทดสอบได้ด้วยการดึงขึ้นทีละน้อยแล้วดูว่าค่าเปลี่ยนหรือไม่

- เวลาตอบสนอง: เซนเซอร์ในปลอกเป็นระบบอันดับหนึ่งโดยประมาณ ค่าคงตัวเวลาหลายวินาทีถึงหลายสิบวินาที ลูปควบคุมอุณหภูมิต้องรวม τ นี้ในการจูน (ดู หลักการเบื้องต้น และ ระบบอันดับหนึ่ง) ปลอกยังต้องตรวจความแข็งแรงต่อการสั่นจากกระแสวนตามแนวทาง ASME PTC 19.3 TW

- ทรานสมิตเตอร์หัวเซนเซอร์: แปลง RTD/TC เป็น 4–20 mA ที่หัวเซนเซอร์ ตัดปัญหาสายต่อและสัญญาณรบกวน รุ่นใหม่รับค่าคงตัว CVD เฉพาะตัวจากใบสอบเทียบ (sensor matching) ทำให้ความแม่นทั้งระบบดีกว่าเกรดของเซนเซอร์มาก

- เซนเซอร์คู่ (dual element): ใช้เปรียบเทียบกันเพื่อตรวจการ drift และสลับไปตัวสำรองเมื่อตัวหลักขาด ซึ่งพบในงานที่ต้องการความพร้อมใช้สูง

ต่อไป: การวัดความดัน · ทบทวนสัญญาณที่ทรานสมิตเตอร์ส่งออกที่ 4–20 mA และ HART

## แหล่งอ้างอิง

- IEC 60751:2022 Industrial platinum resistance thermometers and platinum temperature sensors

- IEC 60584-1:2013 Thermocouples — Part 1: EMF specifications and tolerances · IEC 60584-3 Extension and compensating cables

- NIST Standard Reference Database 60: ITS-90 Thermocouple Database

- BIPM CCT — Guides to Thermometry (ITS-90)

- Steinhart, J. S. & Hart, S. R. (1968) Calibration curves for thermistors, Deep-Sea Research 15, 497–503

## คำถามที่พบบ่อย

Pt100 กับเทอร์โมคัปเปิลต่างกันอย่างไร ควรเลือกแบบไหน?
Pt100 (RTD) เปลี่ยนความต้านทานตามอุณหภูมิ แม่นและเสถียรกว่า (เกรด A ±0.15 °C ที่ 0 °C) เหมาะกับช่วงประมาณ −200 ถึง 600 °C ส่วนเทอร์โมคัปเปิลสร้างแรงดันเองจากปรากฏการณ์ Seebeck ทนอุณหภูมิสูงกว่า (ชนิด K ถึงราว 1260 °C, ชนิด B ถึง 1700 °C) ตอบสนองเร็วและถูกกว่า แต่แม่นน้อยกว่าและต้องชดเชยจุดเย็น งานกระบวนการทั่วไปต่ำกว่า 400 °C นิยม Pt100 งานเตาและเผาไหม้ใช้เทอร์โมคัปเปิล

ทำไม Pt100 ต้องต่อ 3 สายหรือ 4 สาย?
เพราะความต้านทานของสายต่อบวกเข้าไปในค่าที่วัด Pt100 เปลี่ยนเพียงประมาณ 0.385 Ω ต่อ °C สายที่มีความต้านทานรวม 3.5 Ω จะทำให้อ่านสูงไปราว 9 °C การต่อ 3 สายชดเชยได้เมื่อสายทุกเส้นมีความต้านทานเท่ากัน ส่วน 4 สายตัดผลของสายออกทั้งหมดเพราะสายวัดแรงดันไม่มีกระแสไหล

การชดเชยจุดเย็น (CJC) คืออะไร?
เทอร์โมคัปเปิลวัดผลต่างอุณหภูมิระหว่างรอยต่อร้อนกับจุดที่สายต่อเข้ากับขั้วทองแดง (รอยต่อเย็น) เครื่องวัดจึงต้องวัดอุณหภูมิที่ขั้วต่อ แปลงเป็นแรงดันจากตาราง แล้วบวกกับแรงดันที่วัดได้ก่อนแปลงกลับเป็นอุณหภูมิ ต้องบวกในโดเมนแรงดัน ไม่ใช่บวกอุณหภูมิตรง ๆ

## FAQ

**Pt100 กับเทอร์โมคัปเปิลต่างกันอย่างไร ควรเลือกแบบไหน?**
Pt100 (RTD) เปลี่ยนความต้านทานตามอุณหภูมิ แม่นและเสถียรกว่า (เกรด A ±0.15 °C ที่ 0 °C) เหมาะกับช่วงประมาณ −200 ถึง 600 °C ส่วนเทอร์โมคัปเปิลสร้างแรงดันเองจากปรากฏการณ์ Seebeck ทนอุณหภูมิสูงกว่า (ชนิด K ถึงราว 1260 °C, ชนิด B ถึง 1700 °C) ตอบสนองเร็วและถูกกว่า แต่แม่นน้อยกว่าและต้องชดเชยจุดเย็น งานกระบวนการทั่วไปต่ำกว่า 400 °C นิยม Pt100 งานเตาและเผาไหม้ใช้เทอร์โมคัปเปิล

**ทำไม Pt100 ต้องต่อ 3 สายหรือ 4 สาย?**
เพราะความต้านทานของสายต่อบวกเข้าไปในค่าที่วัด Pt100 เปลี่ยนเพียงประมาณ 0.385 Ω ต่อ °C สายที่มีความต้านทานรวม 3.5 Ω จะทำให้อ่านสูงไปราว 9 °C การต่อ 3 สายชดเชยได้เมื่อสายทุกเส้นมีความต้านทานเท่ากัน ส่วน 4 สายตัดผลของสายออกทั้งหมดเพราะสายวัดแรงดันไม่มีกระแสไหล

**การชดเชยจุดเย็น (CJC) คืออะไร?**
เทอร์โมคัปเปิลวัดผลต่างอุณหภูมิระหว่างรอยต่อร้อนกับจุดที่สายต่อเข้ากับขั้วทองแดง (รอยต่อเย็น) เครื่องวัดจึงต้องวัดอุณหภูมิที่ขั้วต่อ แปลงเป็นแรงดันจากตาราง แล้วบวกกับแรงดันที่วัดได้ก่อนแปลงกลับเป็นอุณหภูมิ ต้องบวกในโดเมนแรงดัน ไม่ใช่บวกอุณหภูมิตรง ๆ

---

# เครื่องมือแปลงหน่วย: ตรวจมิติทุกครั้งก่อนให้คำตอบ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/unit-lab/
Updated: 2026-10-14
Summary: เครื่องมือแปลงหน่วยออนไลน์สำหรับงานวิศวกรรมและเซนเซอร์ psi bar kPa kgf/cm2 องศาเซลเซียส rpm พร้อมสเกล 4-20 mA และเครื่องมือเดซิเบล dBm dBV

// บทที่ 20.4 · Sensors & Transducers · Unit Lab

# เครื่องมือแปลงหน่วย: ตรวจมิติทุกครั้งก่อนให้คำตอบ

แปลงหน่วยแบบพิมพ์นิพจน์ได้ (psi, bar, kgf/cm², °C/°F, rpm, W/(m·K) ฯลฯ) สเกลกระแส 4–20 mA และเครื่องมือเดซิเบล ทำงานในเบราว์เซอร์ทั้งหมด

// เครื่องมือ 1 · แปลงหน่วยทั่วไป

### แปลงหน่วย (พิมพ์นิพจน์หน่วยเองได้)

หมวดตัวอย่าง

ค่า
จากหน่วย

เป็นหน่วย

ลองเลย:

วิธีพิมพ์นิพจน์หน่วย

- คูณด้วย * หรือ · ; หารด้วย / ; ยกกำลังด้วย ^ หรือ ² ³ ; ใช้วงเล็บเมื่อมีหารหลายตัว เช่น W/(m*K)

- ใส่คำนำหน้าได้: mbar, kPa, µA (พิมพ์ u แทน µ ได้)

- อุณหภูมิ: °C, °F, K, °R แปลงแบบจุด ส่วนผลต่างใช้ Δ°C, Δ°F, ΔK ; ในนิพจน์ผสมเช่น W/(m*K) หรือ BTU/(h*ft*degF) เครื่องมือถือเป็นผลต่างอยู่แล้ว

- เครื่องมือจะ ไม่แปลง เมื่อมิติไม่ตรงกัน เช่น psi→m และจะบอกว่ามิติของทั้งสองข้างคืออะไร

- Hz ถูกนับเป็น 1 รอบ/วินาที จึงเท่ากับ 2π rad/s ส่วน rpm = 1/60 Hz

// เครื่องมือ 2 · สเกลสัญญาณ 4–20 mA

### กระแส ↔ เปอร์เซ็นต์ ↔ ค่าวิศวกรรม

ปลายล่าง LRV
ปลายบน URV

กระแส (mA)
เปอร์เซ็นต์ของช่วง (%)
ค่าวิศวกรรม

สูตร: I = 4 + 16·(x − LRV)/(URV − LRV) ; "ศูนย์มีชีวิต" (live zero) ทำให้สายขาด (0 mA) แยกจากค่าศูนย์จริง (4 mA) ได้ แนวคิด 20 % ออฟเซ็ตสืบทอดจากสัญญาณลม 3–15 psi (3/15 = 20 %)

// เครื่องมือ 3 · เดซิเบล

### แปลง dB, dBm, dBV

ชนิด
ค่าเชิงเส้น (เท่า)
ค่า dB

กำลัง: dB = 10·log₁₀(P₂/P₁) ; แรงดัน/กระแส: dB = 20·log₁₀(V₂/V₁) ; −3 dB ≈ 0.707 เท่าของแรงดัน (ครึ่งกำลัง) · +6 dB ≈ 2 เท่าของแรงดัน · +20 dB = 10 เท่าของแรงดัน

## เครื่องมืออื่นที่เกี่ยวข้อง

- ตรวจมิติของสมการ: เครื่องมือวิเคราะห์มิติ

- แปลงตรีโกณและมุม: ตารางตรีโกณมิติ

- ค่าตัวเลขของค่าคงตัวนิยาม SI: ตาราง SI

ข้อจำกัด: ตัวแปลงทำงานในเบราว์เซอร์ด้วยตารางตัวคูณในหน้านี้ ค่าที่เป็นนิยามแน่นอน (เช่น 1 in = 0.0254 m, 1 lb = 0.453 592 37 kg, 1 kgf = 9.80665 N) ตรงตามนิยาม ส่วนหน่วยที่มีหลายนิยาม (เช่น cal, BTU, ตัน, แกลลอน US/UK) ใช้ค่าตามที่ระบุในรายการ ถ้างานต้องการนิยามอื่น ให้ระบุหน่วยให้ตรง เช่น galUK, tonUK, kcal เครื่องมือนี้เพื่อการเรียนรู้และการประมาณการ ไม่ใช่เอกสารสอบเทียบ

## แหล่งอ้างอิง

- BIPM — SI Brochure, 9th edition
- NAMUR NE 43 — Standardization of the signal level for the failure information of digital transmitters

---

# หน่วยและระบบหน่วย: จาก SI ถึงกับดักในดาต้าชีต

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sensors-transducers/units/
Updated: 2026-10-14
Summary: หน่วย SI ค่าคงตัวนิยามหลังปี 2019 หน่วยอนุพันธ์ไฟฟ้า คำนำหน้าหน่วย ระบบหน่วยอื่น psi kgf bar กฎการเขียน และกับดักหน่วยในดาต้าชีตเซนเซอร์ พร้อมเครื่องมือวิเคราะห์มิติ

// บทที่ 20.3 · Sensors & Transducers · Units

# หน่วยและระบบหน่วย: จาก SI ถึงกับดักในดาต้าชีต

SI 7 หน่วยฐานและค่าคงตัวนิยามหลังปี 2019 หน่วยอนุพันธ์ทางไฟฟ้า คำนำหน้า ระบบหน่วยอื่น (psi, kgf, gauss) กฎการเขียน และข้อผิดพลาดที่พบบ่อยกับสเปกเซนเซอร์

## 1 · ทำไมหน่วยจึงเป็นเรื่องใหญ่

### Mars Climate Orbiter (1999)
ยานสำรวจดาวอังคารของ NASA สูญหายหลังเข้าใกล้ดาวเคราะห์ต่ำกว่าที่คำนวณ รายงานการสอบสวนชี้ว่าซอฟต์แวร์ฝั่งหนึ่งให้ค่าแรงกระตุ้น (impulse) เป็น ปอนด์-แรง·วินาที ขณะที่อีกฝั่งคาดว่าเป็น นิวตัน·วินาที ความต่าง ≈ 4.45 เท่า ภารกิจมีมูลค่าราว 125 ล้านดอลลาร์สหรัฐ

### Gimli Glider (1983)
เที่ยวบิน Air Canada 143 เติมเชื้อเพลิงโดยใช้ตัวคูณแปลงที่คำนวณเป็นปอนด์แทนกิโลกรัม ได้เชื้อเพลิงน้อยกว่าที่ต้องการ เครื่องบินดับกลางอากาศและลงจอดฉุกเฉินได้ปลอดภัย

บทเรียนสำหรับงานเซนเซอร์: ค่าที่อ่านจากดาต้าชีตต้องมี หน่วยกำกับทุกครั้ง และการแปลงต้องตรวจมิติทุกครั้ง เครื่องมือในหน้า แปลงหน่วย จึงปฏิเสธการแปลงที่มิติไม่ตรงกัน แทนที่จะให้ตัวเลขผิด ๆ

## 2 · SI: ระบบหน่วยระหว่างประเทศ

SI (Le Système international d'unités) มี 7 หน่วยฐาน และตั้งแต่ 20 พฤษภาคม ค.ศ. 2019 ทุกหน่วยฐานถูกนิยามด้วย "ค่าคงตัวนิยาม" ที่กำหนดค่าตัวเลขแน่นอน แทนวัตถุต้นแบบหรือขั้นตอนทดลองเฉพาะ

| ปริมาณฐาน | หน่วย | สัญลักษณ์ | ค่าคงตัวนิยาม (ค่าแน่นอน) |

| เวลา | วินาที (second) | s | ความถี่ซีเซียม ΔνCs = 9 192 631 770 Hz |

| ความยาว | เมตร (metre) | m | อัตราเร็วแสง c = 299 792 458 m/s |

| มวล | กิโลกรัม (kilogram) | kg | ค่าคงตัวของพลังค์ h = 6.626 070 15×10⁻³⁴ J·s |

| กระแสไฟฟ้า | แอมแปร์ (ampere) | A | ประจุมูลฐาน e = 1.602 176 634×10⁻¹⁹ C |

| อุณหภูมิเทอร์โมไดนามิก | เคลวิน (kelvin) | K | ค่าคงตัวของโบลต์ซมันน์ k = 1.380 649×10⁻²³ J/K |

| ปริมาณสาร | โมล (mole) | mol | ค่าคงตัวอาโวกาโดร NA = 6.022 140 76×10²³ mol⁻¹ |

| ความเข้มการส่องสว่าง | แคนเดลา (candela) | cd | ประสิทธิภาพส่องสว่าง Kcd = 683 lm/W ที่ความถี่ 540×10¹² Hz |

ผลสำคัญต่อเซนเซอร์ไฟฟ้า: แอมแปร์นิยามจากประจุมูลฐาน e โดยตรง และเมื่อรวมกับ h ทำให้ปรากฏการณ์ควอนตัมสองอย่าง (Josephson และ quantum Hall) กลายเป็น ตัวสร้างมาตรฐานไฟฟ้าที่แน่นอน ดูรายละเอียดในบท มาตรวิทยา

## 3 · หน่วยอนุพันธ์ และการวิเคราะห์มิติ

หน่วยอนุพันธ์ที่มีชื่อเฉพาะ (coherent) เกิดจากการคูณ/หารหน่วยฐาน โดยไม่มีตัวคูณตัวเลขแอบแฝง การไล่กลับเป็นหน่วยฐานคือเครื่องมือตรวจสมการที่ทรงพลังที่สุดของวิศวกร

| ปริมาณ | หน่วย | นิยาม | ในหน่วยฐาน SI |

| แรง | N นิวตัน | kg·m/s² | kg·m·s⁻² |

| ความดัน | Pa ปาสกาล | N/m² | kg·m⁻¹·s⁻² |

| พลังงาน | J จูล | N·m | kg·m²·s⁻² |

| กำลัง | W วัตต์ | J/s | kg·m²·s⁻³ |

| ประจุ | C คูลอมบ์ | A·s | A·s |

| แรงดันไฟฟ้า | V โวลต์ | W/A | kg·m²·s⁻³·A⁻¹ |

| ความต้านทาน | Ω โอห์ม | V/A | kg·m²·s⁻³·A⁻² |

| ความจุไฟฟ้า | F ฟารัด | C/V | kg⁻¹·m⁻²·s⁴·A² |

| ความเหนี่ยวนำ | H เฮนรี | Wb/A | kg·m²·s⁻²·A⁻² |

| ฟลักซ์แม่เหล็ก | Wb เวเบอร์ | V·s | kg·m²·s⁻²·A⁻¹ |

| ความหนาแน่นฟลักซ์ | T เทสลา | Wb/m² | kg·s⁻²·A⁻¹ |

| ความถี่ | Hz เฮิรตซ์ | 1/s (รอบต่อวินาที) | s⁻¹ |

// เครื่องมือ · วิเคราะห์มิติ

### พิมพ์นิพจน์หน่วย ดูว่าเป็นปริมาณอะไร

นิพจน์หน่วย

ใช้ * หรือ · คูณ, / หาร, ^ ยกกำลัง และวงเล็บ ตัวอย่าง: W/(m^2*K), kgf/cm^2

ตัวอย่างตรวจสมการ: กฎของโอห์ม V = I·R ⇒ A·(kg·m²·s⁻³·A⁻²) = kg·m²·s⁻³·A⁻¹ ซึ่งคือโวลต์พอดี ✓ ถ้าสมการสเกลเซนเซอร์ของคุณไม่ผ่านการตรวจมิติ แสดงว่ามีตัวคูณหรือหน่วยหายไป

## 4 · คำนำหน้าหน่วย (SI prefixes)

| ชื่อ | สัญลักษณ์ | ตัวคูณ |

ข้อควรระวัง: m (มิลลิ, 10⁻³) ต่างจาก M (เมกะ, 10⁶) — "mW" กับ "MW" ต่างกันพันล้านเท่า ; ไมโครใช้ µ (หรือ u เมื่อพิมพ์ไม่ได้) ; ห้ามซ้อนคำนำหน้า เช่นเขียน nm ไม่ใช่ mµm ; ใช้กับ g ได้ (mg) แต่กิโลกรัมคือหน่วยฐานจึงไม่ใช้ "kkg"

## 5 · หน่วยนอก SI ที่ยังต้องพบ

| สถานะ | ตัวอย่าง | การแปลงสำคัญ |

| ใช้ร่วมกับ SI ได้ (ตาม SI Brochure) | นาที min, ชั่วโมง h, วัน d, ลิตร L, ตัน t, อิเล็กตรอนโวลต์ eV, องศา ° | 1 h = 3600 s · 1 L = 10⁻³ m³ · 1 t = 1000 kg · 1 eV = 1.602 176 634×10⁻¹⁹ J |

| ใช้แพร่หลายในสาขาเฉพาะ | bar, mmHg, atm, kWh, cal | 1 bar = 10⁵ Pa · 1 atm = 101 325 Pa · 1 kWh = 3.6 MJ · 1 cal(เทอร์โมเคมี) = 4.184 J |

| อิมพีเรียล/ยูเอสคัสตัมมารี | psi, lbf, lb, in, ft, BTU, hp, °F | 1 in = 0.0254 m (แน่นอน) · 1 lb = 0.453 592 37 kg (แน่นอน) · 1 psi ≈ 6.894757 kPa · 1 hp ≈ 745.7 W |

| ระบบเมตริกทางวิศวกรรมเดิม | kgf, kgf/cm², mmH₂O | 1 kgf = 9.80665 N (แน่นอน) · 1 kgf/cm² ≈ 0.980665 bar |

| CGS (แม่เหล็กไฟฟ้า) | gauss (G), maxwell (Mx), oersted (Oe) | 1 G = 10⁻⁴ T · 1 Mx = 10⁻⁸ Wb |

ในเอกสารเซนเซอร์ของไทยมักพบหลายระบบปนกัน เช่น ความดันเป็น kg/cm², bar หรือ psi ตามแหล่งผลิต จึงควรแปลงเป็น SI ก่อนคำนวณเสมอ

## 6 · กฎการเขียนหน่วย

- เว้นวรรคระหว่างตัวเลขกับหน่วย: 5 V, 20 °C (ยกเว้นมุม: 30°) และไม่ใส่จุดท้ายสัญลักษณ์

- สัญลักษณ์หน่วยใช้ตัวตั้งตรง ไม่ทำพหูพจน์: 5 kg ไม่ใช่ 5 kgs

- หน่วยที่ตั้งตามชื่อบุคคลใช้ตัวพิมพ์ใหญ่: Pa, V, W, Hz, Ω (แต่เขียนชื่อเต็มด้วยตัวพิมพ์เล็ก: "newton")

- เคลวินไม่มีเครื่องหมายองศา: 300 K ; เซลเซียสมี: 27 °C

- คูณหลายหน่วยด้วยจุดกลางหรือเว้นวรรค: N·m ; หารด้วย / ครั้งเดียวต่อนิพจน์ หรือใช้เลขชี้กำลังลบ: W/(m·K) หรือ W·m⁻¹·K⁻¹

- อย่าเติมข้อมูลลงในสัญลักษณ์หน่วย: ใช้ "แรงดัน 5 V (dc)" ไม่ใช่ "5 Vdc" ตามคำแนะนำของ SI

## 7 · กับดักหน่วยในดาต้าชีตเซนเซอร์

| กับดัก | อธิบาย |

| %FS กับ %RDG | ร้อยละของสเกลเต็มคงที่ทั้งช่วง แต่ร้อยละของค่าที่อ่านลดลงเมื่อค่าเล็ก (ดูแล็บในบทหลักการเบื้องต้น) |

| mV/V | ความไวของโหลดเซลล์ต่อแรงดันกระตุ้น: 2 mV/V กระตุ้น 10 V ได้ 20 mV เต็มสเกล ไม่ใช่ 2 mV |

| ppm/°C | 1 ppm = 10⁻⁶ ส่วน ; 50 ppm/°C = 0.005 %/°C ; เปลี่ยน 40 °C คลาดไป 0.2 % |

| kg กับ kgf | โหลดเซลล์ "100 kg" วัดแรง แล้วแปลงเป็นมวลที่ g มาตรฐาน (9.80665 m/s²) ค่า g จริงต่างกันตามพิกัด จึงต้องสอบเทียบ ณ สถานที่ใช้งานเมื่อต้องการความแม่นยำสูง |

| barg กับ bara | เกจ = เทียบความดันบรรยากาศ สัมบูรณ์ = เทียบสุญญากาศ ต่างกัน ≈ 1.013 bar ที่ระดับน้ำทะเล |

| m³/h กับ Nm³/h | "N" หมายถึงสภาวะอ้างอิง (normal) ซึ่งนิยามอุณหภูมิ-ความดันต่างกันในแต่ละผู้ผลิต ต้องดูหมายเหตุในเอกสาร |

| Vrms, Vpeak, Vpp | ไซน์ 230 Vrms มี peak ≈ 325 V และ peak-to-peak ≈ 650 V |

| Hz กับ rad/s กับ rpm | 1 Hz = 2π rad/s ≈ 6.283 rad/s ; 1 rpm = 1/60 Hz = 2π/60 rad/s |

| °C กับ K เมื่อเป็นผลต่าง | ΔT 10 °C = 10 K แต่ 10 °C ≠ 10 K ในฐานะจุดอุณหภูมิ (10 °C = 283.15 K) |

| dB กับ dBm | dB เป็นอัตราส่วน ส่วน dBm อ้างอิง 1 mW |

## แหล่งอ้างอิง

- BIPM — SI Brochure, 9th edition
- NIST — Guide for the Use of the International System of Units (SP 811)
- NASA — Mars Climate Orbiter Mishap Investigation Board Phase I Report (1999)

---

# ลำดับและอนุกรม (Sequences & Series): จากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์ ครบทุกระดับพร้อมแล็บและแนวข้อสอบ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/
Updated: 2026-10-26
Summary: เรียนลำดับและอนุกรมภาษาไทยครบทั้งบท: ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า (ratio, root, integral, comparison) อนุกรมสลับ อนุกรมกำลังและรัศมีการลู่เข้า อนุกรมเทย์เลอร์-แมคลอริน อนุกรมโลรองต์และเรซิดิว อุปนัยแบบเข้ม ตั้งแต่เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม พร้อมเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ แล็บ 23 ชุด แนวข้อสอบ 60 ข้อ และเครื่องสุ่มโจทย์

// บทที่ 26 · Sequences & Series · 10 หน้า

# ลำดับและอนุกรม (Sequences & Series): จากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์ ครบทุกระดับพร้อมแล็บและแนวข้อสอบ

บทนี้ตอบคำถามเดียวที่ลึกขึ้นเรื่อย ๆ: “บวกจำนวนไม่สิ้นสุดแล้วได้อะไร” เริ่มจากลำดับเลขคณิต-เรขาคณิตระดับเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย ผ่านการทดสอบการลู่เข้าของแคลคูลัส 2 ไปจนถึงอนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ที่วิศวกรใช้ประมาณฟังก์ชัน แก้สมการเชิงอนุพันธ์ และออกแบบระบบดิจิทัล ทุกหน้ามีสูตรพร้อมรหัสอ้างอิง ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขแล้ว และแล็บโต้ตอบที่ใช้บนมือถือได้

ในบทนี้มีอะไร

- 12 หน้า 5 ส่วน: ลำดับ · อนุกรมและการทดสอบ · อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ โลรองต์ · การประยุกต์ แล็บ และแนวข้อสอบ · เครื่องคิดเลขและอุปนัยแบบเข้ม

- 148 สูตรมีรหัสอ้างอิง และ 82 ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขด้วย sympy แล้ว

- แล็บ 12 ชุด: ผลบวกย่อย ขอบเขตปริพันธ์ จัดเรียงอนุกรมสลับ รัศมีการลู่เข้าในระนาบเชิงซ้อน พหุนามเทย์เลอร์ จำนวนพจน์ที่ต้องใช้ วงแหวนโลรองต์ และการประมาณในงานวิศวกรรม

- แนวข้อสอบ 60 ข้อ 3 ระดับ เกมเลือกการทดสอบ 40 ข้อ และเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัด

- ใหม่: เครื่องคิดเลข 6 ชุดที่แสดงวิธีทำด้วยเลขแม่นตรง (ซิกมา เวียนเกิด หาสูตรจากพจน์ ออยเลอร์–แมคลอริน) และ อุปนัยแบบเข้ม 17 ตัวอย่าง + แล็บ 11 ชุด

## แผนที่ทั้งบท: แต่ละเรื่องต่อกันอย่างไร

ทุกหัวข้อในบทนี้สร้างบนหัวข้อก่อนหน้า: อนุกรมคือลิมิตของลำดับผลบวกย่อย การทดสอบบอกว่าลิมิตนั้นมีหรือไม่ อนุกรมกำลังคืออนุกรมที่มีตัวแปร อนุกรมเทย์เลอร์บอกว่าสัมประสิทธิ์ต้องเป็นอะไร และอนุกรมโลรองต์ขยายไปยังบริเวณรอบจุดเอกฐาน

เส้นทางของบทลำดับและอนุกรม: จากลำดับ → อนุกรม → การทดสอบ → อนุกรมกำลัง → เทย์เลอร์ → โลรองต์ → การแปลง Z และงานวิศวกรรม

## เลือกเส้นทางเรียนตามเป้าหมาย

เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย

### ลำดับและอนุกรม ม.ปลาย

- ลำดับเลขคณิต · เรขาคณิต

- ลิมิตของลำดับ

- ซิกมาและสูตรผลบวก

- อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ · ทศนิยมซ้ำ

- แนวข้อสอบชุด A (20 ข้อ)

- เครื่องคิดเลขเลขคณิต-เรขาคณิต + โหมดฝึก

แคลคูลัส 2 · ปี 1

### อนุกรมอนันต์ถึงเทย์เลอร์

- อนุกรมอนันต์ · กล้องส่องทางไกล · อนุกรม p

- การทดสอบการลู่เข้า · ผังเลือกใช้

- อนุกรมสลับ · สัมบูรณ์ · มีเงื่อนไข

- อนุกรมกำลัง · ช่วงการลู่เข้า

- อนุกรมเทย์เลอร์ · แมคลอริน

- อุปนัยแบบเข้ม · ลำดับเวียนเกิด

คณิตศาสตร์วิศวกรรม

### ตัวแปรเชิงซ้อนและระบบ

- รัศมีการลู่เข้าจากระนาบเชิงซ้อน

- แก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยอนุกรม

- อนุกรมโลรองต์ · เรซิดิว

- การแปลง Z และ ROC

- อนุกรมในงานวิศวกรรม

- ความสัมพันธ์เวียนเกิด · ฟังก์ชันก่อกำเนิด

aₙ (Q)→Sₙ = Σaₖ (S)→ลู่เข้า? (T)→± สลับ (A)→Σcₙxⁿ (P)→f⁽ⁿ⁾(a)/n! (Y)→Σaₙzⁿ, n ∈ ℤ (L)→งานวิศวกรรม (E)→เครื่องคิดเลข (C)→อุปนัยแบบเข้ม (N)

## ทุกหน้าในบทลำดับและอนุกรม

ส่วนที่ 1

### ลำดับ Sequences
ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ ε–N ทฤษฎีบทแซนด์วิช ลำดับทางเดียวมีขอบเขต และลำดับโคชี

aₙ26.1
ลำดับ (Sequences): เลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ และทฤษฎีบทการลู่เข้า
Sequences & Their Limits
นิยามลำดับ สูตรพจน์ทั่วไป ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต ฮาร์มอนิก ความสัมพันธ์เวียนเกิดและสมการลักษณะเฉพาะ ลิมิต ε–N ทฤษฎีบทลิมิต แซนด์วิช ลำดับทางเดียวมีขอบเขต ลำดับย่อย ลำดับโคชี และลิมิตมาตรฐาน
เปิดหน้า →สูตร Q1, Q2, …

ส่วนที่ 2

### อนุกรมและการทดสอบการลู่เข้า Series & Convergence Tests
ผลบวกย่อย อนุกรมเรขาคณิต กล้องส่องทางไกล อนุกรม p การทดสอบทุกแบบ อนุกรมสลับ และการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์-มีเงื่อนไข

Σaₙ26.2
อนุกรมอนันต์ (Infinite Series): ผลบวกย่อย อนุกรมเรขาคณิต กล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก และอนุกรม p
Infinite Series
อนุกรมคือลิมิตของผลบวกย่อย อนุกรมเรขาคณิตและทศนิยมซ้ำ อนุกรมกล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก อนุกรม p สมบัติเชิงเส้น nth-term test สูตรผลบวก Σk Σk² Σk³ และอนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต พร้อมแล็บผลบวกย่อย
เปิดหน้า →สูตร S1, S2, …

ρ < 126.3
การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม (Convergence Tests): พจน์ที่ n ปริพันธ์ เปรียบเทียบ อัตราส่วน ราก และผังเลือกใช้
Convergence Tests for Series
nth-term test การทดสอบด้วยปริพันธ์และขอบเขตเศษเหลือ การเปรียบเทียบโดยตรงและแบบลิมิต อัตราส่วน ราก การควบแน่นของโคชี ราบี และผังตัดสินใจเลือกการทดสอบ พร้อมเกมฝึกเลือกการทดสอบ
เปิดหน้า →สูตร T1, T2, …

±26.4
อนุกรมสลับและการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (Alternating Series & Absolute Convergence): ไลบ์นิซ ความคลาดเคลื่อน และการจัดเรียงใหม่
Alternating Series & Absolute Convergence
การทดสอบอนุกรมสลับ (Leibniz) ขอบเขตความคลาดเคลื่อน ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์และมีเงื่อนไข ทฤษฎีบทการจัดเรียงใหม่ของรีมันน์ การทดสอบดีริชเลต์-อาเบล และผลคูณโคชี พร้อมแล็บจัดเรียงอนุกรมให้ได้ผลบวกที่ต้องการ
เปิดหน้า →สูตร A1, A2, …

ส่วนที่ 3

### อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ Power, Taylor & Laurent Series
รัศมีการลู่เข้า อนุพันธ์-อินทิกรัลทีละพจน์ อนุกรมเทย์เลอร์-แมคลอรินพร้อมเศษเหลือ และอนุกรมโลรองต์บนวงแหวนในระนาบเชิงซ้อน

Σcₙxⁿ26.5
อนุกรมกำลัง (Power Series): รัศมีและช่วงการลู่เข้า อนุพันธ์-อินทิกรัลทีละพจน์ และการแทนฟังก์ชัน
Power Series
รูปทั่วไป Σcₙ(x − a)ⁿ หารัศมีการลู่เข้าด้วยอัตราส่วน ราก และโคชี-อาดามาร์ ตรวจปลายช่วง อนุพันธ์และอินทิกรัลทีละพจน์ แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรมเรขาคณิต ทฤษฎีบทของอาเบล และแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยอนุกรม
เปิดหน้า →สูตร P1, P2, …

f⁽ⁿ⁾/n!26.6
อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน (Taylor & Maclaurin Series): สูตร ตารางอนุกรม เศษเหลือ ทวินาม และการประมาณค่า
Taylor & Maclaurin Series
สร้างพหุนามเทย์เลอร์ ตารางแมคลอรินที่ต้องจำ ทฤษฎีบทเทย์เลอร์และเศษเหลือลากรองจ์ จำนวนพจน์ที่ต้องใช้ อนุกรมทวินาม เทคนิคแทนค่า คูณ หาร หาลิมิตด้วยอนุกรม หาผลบวกอนุกรม สูตรออยเลอร์ และฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันวิเคราะห์
เปิดหน้า →สูตร Y1, Y2, …

Σaₙzⁿ26.7
อนุกรมโลรองต์ (Laurent Series): บริเวณวงแหวน ภาวะเอกฐาน เรซิดิว และการแปลง Z
Laurent Series
ทำไมอนุกรมเทย์เลอร์ใช้ไม่ได้ใกล้จุดเอกฐาน วงแหวนการลู่เข้า ส่วนหลัก กระจาย 1/((z−1)(z−2)) ทั้งสามบริเวณ จุดเอกฐานถอดได้ โพล เอกฐานแท้ เรซิดิวและทฤษฎีบทเรซิดิว และการแปลง Z ที่แท้จริงคืออนุกรมโลรองต์
เปิดหน้า →สูตร L1, L2, …

ส่วนที่ 4

### การประยุกต์ แล็บ และแนวข้อสอบ Applications, Labs & Exam Practice
อนุกรมในวงจร สัญญาณดิจิทัล การแปลง Z วิธีเชิงตัวเลข แล็บรวม และแนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยถึงไฟนอลพร้อมเครื่องสุ่มโจทย์

≈26.8
อนุกรมในงานวิศวกรรม (Series in Engineering): การประมาณ วงจรไม่เชิงเส้น สัญญาณดิจิทัล การแปลง Z และวิธีเชิงตัวเลข
Series in Engineering
ประมาณมุมเล็กและคาบลูกตุ้ม แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด บันไดตัวต้านทานอนันต์ การคำนวณ sin และ eˣ ในไมโครคอนโทรลเลอร์ ตัวกรองดิจิทัลและการแปลง Z มูลค่าปัจจุบันของโครงการ และการแพร่ความคลาดเคลื่อน
เปิดหน้า →สูตร E1, E2, …

✓26.9
แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม (Exam Practice): เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย มิดเทอม และไฟนอล พร้อมเฉลยละเอียดและโจทย์สุ่ม
Sequences & Series Exam Practice
โจทย์แบ่งสามระดับ: เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย (A-Level · TCAS) แคลคูลัส 1-2 ในมหาวิทยาลัย และคณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง ทุกข้อมีเฉลยทีละขั้น พร้อมเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัดที่ตรวจคำตอบให้ทันที
เปิดหน้า →โจทย์ 60 ข้อ 3 ระดับ + เครื่องสุ่มโจทย์

▶26.10
แล็บลำดับและอนุกรม (Series Lab): ผลบวกย่อย การทดสอบ อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ในหน้าเดียว
Sequences & Series Lab Bench
รวมเครื่องมือโต้ตอบทุกบท: สำรวจลำดับและใยแมงมุม ผลบวกย่อย ทดสอบการลู่เข้า ขอบเขตปริพันธ์ จัดเรียงอนุกรมสลับ รัศมีการลู่เข้าในระนาบเชิงซ้อน พหุนามเทย์เลอร์ จำนวนพจน์ที่ต้องใช้ และวงแหวนโลรองต์
เปิดหน้า →แล็บ 12 ชุด พิมพ์สมการเองได้

ส่วนที่ 5

### เครื่องคิดเลขและอุปนัยแบบเข้ม Calculators & Strong Induction
เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรมที่แสดงวิธีทำด้วยเลขแม่นตรงทั้งระดับพื้นฐาน กลาง ขั้นสูง และการพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มพร้อมแล็บฝึกพิสูจน์

Σ=26.11
เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม (Sequence & Series Calculators): พื้นฐาน กลาง ขั้นสูง พร้อมวิธีทำและโหมดฝึก
Sequence & Series Calculators
ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต (กรอก 3 ค่า หาที่เหลือ) ซิกมาแบบรูปปิด (สูตรผลบวกกำลัง กล้องส่องทางไกล พหุนาม×rᵏ) หาสูตรจากพจน์ด้วยตารางผลต่าง แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดพร้อมฟังก์ชันก่อกำเนิดและบทพิสูจน์ ออยเลอร์–แมคลอริน ทศนิยมซ้ำ และเงินงวด ทุกเครื่องมือแสดงวิธีทำและสุ่มโจทย์ฝึก
เปิดหน้า →สูตร C1, C2, …

∀j<n26.12
อุปนัยแบบเข้ม (Strong Induction): หลักการ จำนวนกรณีฐาน ตัวอย่างเข้มข้น 17 ข้อ และแล็บฝึกพิสูจน์
Strong Induction
หลักอุปนัยแบบเข้มและความเท่าเทียมกับอุปนัยธรรมดาและหลักการจัดอันดับดี กฎจำนวนกรณีฐาน แสตมป์และจำนวนโฟรเบเนียส ทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิต ฟีโบนัชชีและสูตรบิเนต์ ขอบเขตเรขาคณิต ช็อกโกแลต ปูกระเบื้อง เซกเคนดอร์ฟ เกมหยิบ merge sort เบซู และระบบควบคุมดิจิทัล
เปิดหน้า →สูตร N1, N2, …

## เลือกเครื่องมือให้ตรงกับคำถาม

| คำถาม | เครื่องมือ | หน้า |

| หาพจน์ที่ n หรือผลบวก n พจน์ | สูตรเลขคณิต · เรขาคณิต · ซิกมา | 26.1 · 26.2 |

| ลำดับนี้เข้าใกล้ค่าใด? | ลิมิต · แซนด์วิช · ทางเดียวมีขอบเขต | 26.1 |

| บวกไม่สิ้นสุดได้เท่าไร? | เรขาคณิต · กล้องส่องทางไกล · S − rS · อนุกรมเทย์เลอร์ | 26.2 · 26.6 |

| ลู่เข้าหรือลู่ออก? (หาผลบวกไม่ได้) | พจน์ที่ n · ปริพันธ์ · เปรียบเทียบ · อัตราส่วน · ราก | 26.3 |

| ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์หรือมีเงื่อนไข? | ทดสอบ Σ|aₙ| · ไลบ์นิซ · ดีริชเลต์ | 26.4 |

| ใช้ได้กับ x ช่วงไหน? | รัศมีการลู่เข้า + ตรวจปลายช่วง | 26.5 |

| ประมาณฟังก์ชันด้วยพหุนาม คลาดเท่าไร? | พหุนามเทย์เลอร์ · เศษเหลือลากรองจ์ | 26.6 |

| รอบจุดที่ฟังก์ชันระเบิด · อินทิกรัลเส้นปิด · อินเวอร์ส Z | อนุกรมโลรองต์ · เรซิดิว | 26.7 |

| หาสูตร Σ แบบรูปปิด · หาสูตรจากพจน์ · แก้ aₙ = c₁aₙ₋₁ + c₂aₙ₋₂ | สูตรผลบวกกำลัง · ตารางผลต่าง · สมการลักษณะเฉพาะ | 26.11 |

| พิสูจน์ว่าสูตรจริงทุก n เมื่อขั้นอุปนัยย้อนหลายขั้น | อุปนัยแบบเข้ม · กรณีฐานหลายตัว | 26.12 |

## ห้องแล็บและเครื่องมือ

6 เครื่องมือ · เลขแม่นตรง · โหมดฝึก

### เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม
เลขคณิต-เรขาคณิต ซิกมาแบบรูปปิด หาสูตรจากพจน์ เวียนเกิด ออยเลอร์–แมคลอริน พร้อมวิธีทำทุกขั้น

11 แล็บ · 17 ตัวอย่าง

### แล็บอุปนัยแบบเข้ม
กรณีฐานกี่ตัว แสตมป์ ต้นไม้ตัวประกอบ เกมหยิบ ปูกระเบื้อง เรียงบทพิสูจน์ หาจุดผิด

12 เครื่องมือ · พิมพ์สูตรเองได้

### แล็บรวมลำดับและอนุกรม
ลำดับและใยแมงมุม ผลบวกย่อย ตัวทดสอบอนุกรม ขอบเขตปริพันธ์ อนุกรมสลับ รัศมีการลู่เข้า เทย์เลอร์ โลรองต์

40 อนุกรม 3 ระดับ

### เกมเลือกการทดสอบ
มองแล้วรู้ว่าต้องใช้การทดสอบอะไร พร้อมเหตุผลทุกข้อ

เส้นจำนวนจริง + ระนาบเชิงซ้อน

### แล็บรัศมีการลู่เข้า
ผลบวกย่อยเกาะฟังก์ชันเฉพาะในช่วง และดิสก์ที่ชนจุดเอกฐาน

วงแหวน · เรซิดิว · การแปลง Z

### แล็บอนุกรมโลรองต์
เลือกบริเวณ ดูสัมประสิทธิ์ ลากจุดทดสอบการลู่เข้า

ไม่จำกัด · ตรวจอัตโนมัติ

### เครื่องสุ่มโจทย์
9 หมวด ตั้งแต่ลำดับเลขคณิตถึงเรซิดิว พร้อมเฉลยทีละขั้น

## แนวข้อสอบและการเตรียมตัว

ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเน้นการคำนวณผลบวกและลิมิตของลำดับ ข้อสอบแคลคูลัส 2 เน้นการเลือกการทดสอบและช่วงการลู่เข้า ส่วนคณิตศาสตร์วิศวกรรมเน้นอนุกรมโลรองต์และเรซิดิว หน้าแนวข้อสอบมีผังหัวข้อที่ออกสอบ โจทย์ 60 ข้อ และรายการความผิดพลาดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุด

## ดัชนีสูตรที่ค้นหาและอ้างอิงได้

รหัส Q ลำดับ · S อนุกรมอนันต์ · T การทดสอบการลู่เข้า · A อนุกรมสลับ · P อนุกรมกำลัง · Y เทย์เลอร์ · L โลรองต์ · E งานวิศวกรรม — แตะรหัสเพื่อไปยังสูตรพร้อมตัวอย่าง

## วิธีเรียนให้ได้ผล

- เห็นก่อนพิสูจน์ — เปิดแล็บดูผลบวกย่อยหรือพหุนามเทย์เลอร์ก่อนอ่านทฤษฎีบท จะเข้าใจว่าเงื่อนไขแต่ละข้อมีไว้ทำไม

- จำตัวเทียบให้ขึ้นใจ — อนุกรมเรขาคณิต อนุกรม p และตารางแมคลอริน 7 ตัว คือสิ่งที่ใช้เทียบทุกโจทย์

- เขียนเหตุผลครบ — ข้อสอบให้คะแนนที่การระบุการทดสอบและตรวจเงื่อนไข ไม่ใช่แค่คำตอบ

- ตรวจด้วยตัวเลขทีหลัง — ใช้แล็บยืนยันคำตอบ แต่ระวังอนุกรมที่ลู่ออกช้ามากอย่าง Σ 1/(n ln n) ซึ่งตัวเลขดูเหมือนนิ่ง

## เอกสารค้นคว้าต่อ

- OpenStax Calculus Volume 2 บทที่ 5–6 — ลำดับ อนุกรม อนุกรมกำลัง (ตำราเปิด)

- MIT OpenCourseWare 18.01SC — Unit 5: Exploring the Infinite

- Paul's Online Math Notes: Series & Sequences

- E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics — บทอนุกรมกำลัง อนุกรมเทย์เลอร์ อนุกรมโลรองต์ และการอินทิกรัลด้วยเรซิดิว

- คู่มือและสรุปสูตรแบบ Markdown สำหรับอ่าน ค้นคว้า และผู้ช่วย AI

## บทความและบทเรียนที่เกี่ยวข้อง

บทความอ่านง่าย: ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง (แผนที่ภาพรวม) · เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร · รัศมีการลู่เข้าหาอย่างไร · อนุกรมโลรองต์ต่างจากเทย์เลอร์อย่างไร · สูตรอนุกรมเรขาคณิต · อนุกรมเทย์เลอร์คืออะไร · English: Sequences and series roadmap · บทเรียนต่อยอด: ลิมิต · อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ · อนุกรมฟูริเยร์ · การแปลงลาปลาซ

## คำถามที่พบบ่อย

ลำดับและอนุกรมในมหาวิทยาลัยต่างจาก ม.ปลายอย่างไร?
ม.ปลายเน้นลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต ซิกมา และอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ซึ่งหาผลบวกได้ ส่วนแคลคูลัส 2 ในมหาวิทยาลัยเน้นคำถามว่าอนุกรมลู่เข้าหรือไม่ (การทดสอบต่าง ๆ) อนุกรมกำลัง และอนุกรมเทย์เลอร์ ส่วนคณิตศาสตร์วิศวกรรมต่อไปถึงอนุกรมโลรองต์ เรซิดิว และการแปลง Z หน้านี้จัดเส้นทางเรียนให้ทั้งสามระดับ

ควรเรียนอะไรก่อนเริ่มบทลำดับและอนุกรม?
ต้องคล่องลิมิตของฟังก์ชัน (รวมกฎของโลปิตาล) อนุพันธ์และอินทิกรัลพื้นฐาน สำหรับอนุกรมโลรองต์ควรรู้จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ ซึ่งมีในบทลิมิต บทอนุพันธ์ บทอินทิกรัล และบทการแปลงลาปลาซของเว็บไซต์นี้

อนุกรมเทย์เลอร์และอนุกรมโลรองต์ใช้ทำอะไรในงานวิศวกรรมไฟฟ้า?
อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ทำให้ระบบไม่เชิงเส้นเป็นเชิงเส้น (แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด ทรานซิสเตอร์ คอนเวอร์เตอร์) ประมาณมุมเล็ก และคำนวณฟังก์ชันในไมโครคอนโทรลเลอร์ อนุกรมโลรองต์คือรากฐานของการแปลง Z (ROC คือวงแหวนการลู่เข้า) เรซิดิวใช้หาการแปลงลาปลาซผกผันและอินทิกรัลในทฤษฎีสัญญาณ

จะเลือกการทดสอบการลู่เข้าแบบไหน?
เริ่มจากการทดสอบพจน์ที่ n แล้วดูรูปแบบ: เรขาคณิตและอนุกรม p ตอบได้ทันที เศษส่วนพหุนามใช้เปรียบเทียบแบบลิมิต แฟกทอเรียลหรือเลขยกกำลังใช้อัตราส่วน ยกกำลัง n ทั้งก้อนใช้ราก มี ln ใช้ปริพันธ์ เครื่องหมายสลับใช้ไลบ์นิซ ดูผังเต็มในหน้าการทดสอบการลู่เข้า

มีแบบฝึกหัดพร้อมเฉลยและเครื่องมือตรวจคำตอบไหม?
มีแนวข้อสอบ 60 ข้อแบ่งสามระดับพร้อมเฉลยทีละขั้น เครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัดที่ตรวจคำตอบอัตโนมัติ เกมฝึกเลือกการทดสอบ 40 ข้อ และแล็บ 12 ชุดสำหรับตรวจผลบวกย่อย รัศมีการลู่เข้า พหุนามเทย์เลอร์ และอนุกรมโลรองต์

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ลำดับและอนุกรมในมหาวิทยาลัยต่างจาก ม.ปลายอย่างไร?**
ม.ปลายเน้นลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต ซิกมา และอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ซึ่งหาผลบวกได้ ส่วนแคลคูลัส 2 ในมหาวิทยาลัยเน้นคำถามว่าอนุกรมลู่เข้าหรือไม่ (การทดสอบต่าง ๆ) อนุกรมกำลัง และอนุกรมเทย์เลอร์ ส่วนคณิตศาสตร์วิศวกรรมต่อไปถึงอนุกรมโลรองต์ เรซิดิว และการแปลง Z หน้านี้จัดเส้นทางเรียนให้ทั้งสามระดับ

**ควรเรียนอะไรก่อนเริ่มบทลำดับและอนุกรม?**
ต้องคล่องลิมิตของฟังก์ชัน (รวมกฎของโลปิตาล) อนุพันธ์และอินทิกรัลพื้นฐาน สำหรับอนุกรมโลรองต์ควรรู้จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ ซึ่งมีในบทลิมิต บทอนุพันธ์ บทอินทิกรัล และบทการแปลงลาปลาซของเว็บไซต์นี้

**อนุกรมเทย์เลอร์และอนุกรมโลรองต์ใช้ทำอะไรในงานวิศวกรรมไฟฟ้า?**
อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ทำให้ระบบไม่เชิงเส้นเป็นเชิงเส้น (แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด ทรานซิสเตอร์ คอนเวอร์เตอร์) ประมาณมุมเล็ก และคำนวณฟังก์ชันในไมโครคอนโทรลเลอร์ อนุกรมโลรองต์คือรากฐานของการแปลง Z (ROC คือวงแหวนการลู่เข้า) เรซิดิวใช้หาการแปลงลาปลาซผกผันและอินทิกรัลในทฤษฎีสัญญาณ

**จะเลือกการทดสอบการลู่เข้าแบบไหน?**
เริ่มจากการทดสอบพจน์ที่ n แล้วดูรูปแบบ: เรขาคณิตและอนุกรม p ตอบได้ทันที เศษส่วนพหุนามใช้เปรียบเทียบแบบลิมิต แฟกทอเรียลหรือเลขยกกำลังใช้อัตราส่วน ยกกำลัง n ทั้งก้อนใช้ราก มี ln ใช้ปริพันธ์ เครื่องหมายสลับใช้ไลบ์นิซ ดูผังเต็มในหน้าการทดสอบการลู่เข้า

**มีแบบฝึกหัดพร้อมเฉลยและเครื่องมือตรวจคำตอบไหม?**
มีแนวข้อสอบ 60 ข้อแบ่งสามระดับพร้อมเฉลยทีละขั้น เครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัดที่ตรวจคำตอบอัตโนมัติ เกมฝึกเลือกการทดสอบ 40 ข้อ และแล็บ 12 ชุดสำหรับตรวจผลบวกย่อย รัศมีการลู่เข้า พหุนามเทย์เลอร์ และอนุกรมโลรองต์

---

# อนุกรมสลับและการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (Alternating Series & Absolute Convergence): ไลบ์นิซ ความคลาดเคลื่อน และการจัดเรียงใหม่

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/alternating-series/
Updated: 2026-10-24
Summary: อนุกรมสลับ (alternating series) และการทดสอบไลบ์นิซ (Leibniz test) ขอบเขตความคลาดเคลื่อน |S − Sₙ| ≤ bₙ₊₁ การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (absolute convergence) และแบบมีเงื่อนไข (conditional convergence) ทฤษฎีบทการจัดเรียงใหม่ของรีมันน์ การทดสอบดีริชเลต์และอาเบล ผลคูณโคชี พร้อมแล็บจัดเรียงอนุกรมให้ได้ผลบวกที่ต้องการ

// บทที่ 26.4 · ลำดับและอนุกรม · Alternating Series

# อนุกรมสลับและการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (Alternating Series & Absolute Convergence): ไลบ์นิซ ความคลาดเคลื่อน และการจัดเรียงใหม่

เมื่อพจน์มีทั้งบวกและลบ การหักล้างกันทำให้อนุกรมบางตัวลู่เข้าได้ทั้งที่ค่าสัมบูรณ์บวกแล้วเป็นอนันต์ หน้านี้อธิบายการทดสอบไลบ์นิซ ขอบเขตความคลาดที่ใช้งานง่ายที่สุดในคณิตศาสตร์เชิงตัวเลข ความต่างของการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์กับแบบมีเงื่อนไข และปรากฏการณ์ที่น่าทึ่งที่สุดของบทนี้: สลับลำดับการบวกแล้วผลบวกเปลี่ยน

สรุปใน 30 วินาที

- $\sum(-1)^{n+1}b_n$ ลู่เข้าถ้า $b_n$ ลดลงและ $b_n \to 0$

- ความคลาด $|S - S_N| \le b_{N+1}$ และ S อยู่ระหว่าง $S_N$ กับ $S_{N+1}$

- $\sum|a_n|$ ลู่เข้า ⇒ $\sum a_n$ ลู่เข้า (สัมบูรณ์) · $\sum a_n$ ลู่เข้าแต่ $\sum|a_n|$ ลู่ออก = มีเงื่อนไข

- อนุกรมมีเงื่อนไขจัดเรียงใหม่ให้ได้ผลบวกเท่าใดก็ได้ (รีมันน์)

ระดับพื้นฐาน แนวคิดกลาง แคลคูลัส 2ขั้นสูง คณิตวิเคราะห์ · วิศวกรรม

## การทดสอบอนุกรมสลับ (Leibniz Test) พื้นฐาน

อนุกรมสลับ (alternating series) มีเครื่องหมายบวก-ลบสลับกันทุกพจน์ ภาพผลบวกย่อยเป็นการกระโดดไปซ้ายทีขวาที โดยแต่ละก้าวสั้นลงเรื่อย ๆ จึงต้องหยุดที่จุดหนึ่ง ช่วงที่ผลบวกจริงอยู่ได้แคบลงทุกครั้ง (ช่วงซ้อน) นี่คือแนวคิดของการพิสูจน์

ผลบวกย่อยของ $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ กระโดดข้ามผลบวกจริง ln 2 ไปมา ลำดับย่อยคี่ลดลง ลำดับย่อยคู่เพิ่มขึ้น และบีบเข้าหากัน

A1 Alternating series อนุกรมสลับ

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \cdots,\qquad b_n > 0$$

$\cos(n\pi) = (-1)^n$ ก็เป็นตัวสลับเครื่องหมาย · $\sin n$ ไม่ใช่ (เครื่องหมายไม่สลับทุกพจน์)

A2 Alternating series test (Leibniz) การทดสอบไลบ์นิซ

$$\text{(i) } b_{n+1} \le b_n \ \text{(เมื่อ } n \ge N)\quad \text{และ}\quad \text{(ii) } \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \ \ \Longrightarrow\ \ \sum(-1)^{n+1}b_n \text{ ลู่เข้า}$$

พิสูจน์: $S_{2n}$ เพิ่มขึ้นและมีขอบเขตบน $b_1$, $S_{2n+1} = S_{2n} + b_{2n+1}$ จึงลู่เข้าค่าเดียวกัน (Q17 + Q19)

ตัวอย่าง A-1 · ไลบ์นิซ

### $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\,n}{n^2+1}$ ลู่เข้าหรือไม่ และลู่เข้าแบบใด

- $b_n = \dfrac{n}{n^2+1} \to 0$ ✓

- ลดลง: $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$, $f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2} \le 0$ เมื่อ $x \ge 1$ ✓ ⇒ อนุกรมลู่เข้า

- ค่าสัมบูรณ์ $\sum \dfrac{n}{n^2+1}$ เทียบลิมิตกับ $\sum\tfrac1n$ (ลิมิต = 1) ลู่ออก

ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข (conditionally convergent)

กับดักที่พบบ่อย$\sum(-1)^n\dfrac{n}{n+1}$ ไม่ผ่านไลบ์นิซเพราะ $b_n \to 1$ — และไม่ได้ “สรุปไม่ได้” แต่ลู่ออกแน่นอนด้วยการทดสอบพจน์ที่ n เสมอเช็กพจน์ที่ n ก่อน

## ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของอนุกรมสลับ กลาง

ข้อดีที่สุดของอนุกรมสลับคือรู้ความคลาดเคลื่อนได้ทันทีโดยไม่ต้องรู้ผลบวกจริง: ความคลาดไม่เกินพจน์แรกที่ตัดทิ้ง นี่คือเหตุผลที่โปรแกรมคำนวณ $\sin x$, $\cos x$ หรือ $\ln(1+x)$ จากอนุกรมรู้ว่าต้องหยุดเมื่อใด

A3 Alternating series estimation theorem ขอบเขตความคลาดเคลื่อน

$$|S - S_N| \le b_{N+1},\qquad \operatorname{sgn}(S - S_N) = \operatorname{sgn}(\text{พจน์ที่ } N+1)$$

ผลบวกจริงอยู่ระหว่าง $S_N$ กับ $S_{N+1}$ เสมอ จึงใช้ค่าเฉลี่ย $\tfrac{S_N + S_{N+1}}{2}$ เป็นค่าประมาณที่ดีกว่าได้

ตัวอย่าง A-2 · ใช้กี่พจน์

### ประมาณ $\dfrac1e = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}$ ให้คลาดไม่เกิน $10^{-4}$

- บวกถึงพจน์ $n = N$ ความคลาด $\le b_{N+1} = \dfrac{1}{(N+1)!}$ ต้องการ $(N+1)! > 10^4$

- $7! = 5040$ ไม่พอ $8! = 40320$ พอ ⇒ $N + 1 = 8$ คือบวกพจน์ $n = 0, 1, \dots, 7$ (8 พจน์)

- $S_7 = 1 - 1 + \tfrac12 - \tfrac16 + \tfrac1{24} - \tfrac1{120} + \tfrac1{720} - \tfrac1{5040} = 0.3678571$ ค่าจริง 0.3678794 คลาด $2.2\times10^{-5} \le \tfrac{1}{40320} = 2.5\times10^{-5}$ ✓

ใช้ 8 พจน์ ได้ $1/e \approx 0.36786$

ตัวอย่าง A-3 · อนุกรมไลบ์นิซของ π

### ถ้าใช้ $\pi = 4\left(1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots\right)$ ต้องใช้กี่พจน์จึงได้ π ถูกต้องทศนิยม 4 ตำแหน่ง (คลาดน้อยกว่า $5\times10^{-5}$)

- บวกถึง $n = N$ ความคลาดของ π คือ $4b_{N+1} = \dfrac{4}{2N+3}$

- $\dfrac{4}{2N+3} < 5\times10^{-5} \iff 2N + 3 > 80{,}000 \iff N \ge 39{,}999$

ต้องใช้ 40,000 พจน์ — ช้ามาก นี่คือเหตุผลที่การคำนวณ π จริงใช้สูตรของมาชิน $\tfrac{\pi}{4} = 4\arctan\tfrac15 - \arctan\tfrac{1}{239}$ ซึ่งพจน์ลดลงแบบเรขาคณิต

## ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ vs แบบมีเงื่อนไข กลาง

สำหรับอนุกรมที่มีพจน์บวกปนลบ (ไม่จำเป็นต้องสลับเป็นระเบียบ) ให้ทดสอบค่าสัมบูรณ์ก่อนเสมอ เพราะการทดสอบทั้งหมดในหน้าก่อนใช้กับ $\sum|a_n|$ ได้ทันที ถ้าลู่เข้าก็จบ ถ้าลู่ออกจึงค่อยตรวจด้วยไลบ์นิซหรือดีริชเลต์

A4 Absolute convergence ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

$$\sum|a_n| \text{ ลู่เข้า} \ \Longrightarrow\ \sum a_n \text{ ลู่เข้า และ } \left|\sum a_n\right| \le \sum|a_n|$$

พิสูจน์: $0 \le a_n + |a_n| \le 2|a_n|$ แล้วใช้การเปรียบเทียบ · ratio/root test ที่ได้ $\rho < 1$ ให้การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์เสมอ

A5 Conditional convergence ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

$$\sum a_n \text{ ลู่เข้า แต่ } \sum|a_n| \text{ ลู่ออก}$$

ตัวอย่างมาตรฐาน $\sum\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^p}$ ที่ $0 < p \le 1$ · ถ้า $p > 1$ เป็นแบบสัมบูรณ์

A6 Classification procedure ขั้นตอนจำแนกอนุกรม

$$a_n \not\to 0 \Rightarrow \text{ลู่ออก};\quad \sum|a_n| \text{ ลู่เข้า} \Rightarrow \text{สัมบูรณ์};\quad \text{ไม่เช่นนั้น ใช้ไลบ์นิซ/ดีริชเลต์} \Rightarrow \text{มีเงื่อนไข หรือ ลู่ออก}$$

ข้อสอบมักถามคำตอบสามแบบ: ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ · ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข · ลู่ออก

ตัวอย่าง A-4 · จำแนก

### (ก) $\sum\dfrac{(-1)^n}{n^2}$ (ข) $\sum\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}$ (ค) $\sum\dfrac{(-1)^n\,n}{2^n}$ (ง) $\sum\dfrac{\cos(n\pi/3)}{n^2}$

- (ก) $\sum 1/n^2$ ลู่เข้า ⇒ สัมบูรณ์

- (ข) $\sum 1/\sqrt n$ ลู่ออก แต่ $1/\sqrt n$ ลดลง → 0 ⇒ มีเงื่อนไข

- (ค) อัตราส่วนของค่าสัมบูรณ์ $\dfrac{n+1}{2n} \to \tfrac12$ ⇒ สัมบูรณ์

- (ง) $\left|\dfrac{\cos(n\pi/3)}{n^2}\right| \le \dfrac{1}{n^2}$ ⇒ สัมบูรณ์ (ไม่ต้องสนใจรูปแบบเครื่องหมาย)

(ก) สัมบูรณ์ · (ข) มีเงื่อนไข · (ค) สัมบูรณ์ · (ง) สัมบูรณ์

## แล็บ: ความคลาดเคลื่อนและการจัดเรียงใหม่ พื้นฐาน

โหมด “ขอบเขตความคลาดเคลื่อน” แสดงแถบ $S_N \pm b_{N+1}$ ที่ต้องครอบผลบวกจริง และคำนวณจำนวนพจน์ที่ต้องใช้ โหมด “จัดเรียงใหม่” ใช้พจน์ $1, \tfrac13, \tfrac15, \dots$ และ $-\tfrac12, -\tfrac14, \dots$ ครบทุกตัว แต่เปลี่ยนลำดับให้ได้ผลบวกตามเป้า

## ทฤษฎีบทการจัดเรียงใหม่ของรีมันน์ ขั้นสูง

ในอนุกรมฮาร์มอนิกสลับ พจน์บวก $1 + \tfrac13 + \tfrac15 + \cdots$ รวมกันเป็นอนันต์ และพจน์ลบก็รวมกันเป็นลบอนันต์ เมื่อมี “งบไม่จำกัด” ทั้งสองฝั่ง เราจึงเลือกบวกตัวบวกจนเกินเป้า แล้วบวกตัวลบจนต่ำกว่าเป้า สลับไปเรื่อย ๆ เนื่องจากพจน์เล็กลงสู่ 0 การแกว่งรอบเป้าจึงแคบลงจนลู่เข้าสู่เป้า

พจน์ชุดเดียวกัน ลำดับต่างกัน: ลำดับปกติลู่เข้า ln 2 ≈ 0.693 แต่แบบ “บวก 2 ลบ 1” ลู่เข้า (3/2) ln 2 ≈ 1.040

A7 Riemann rearrangement theorem การจัดเรียงใหม่ของรีมันน์

$$\sum a_n \text{ ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข} \Rightarrow \forall\, T \in [-\infty, \infty]\ \exists \text{ การจัดเรียง } \sigma:\ \sum a_{\sigma(n)} = T$$

ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ⇒ ทุกการจัดเรียงให้ผลบวกเท่าเดิม (ทฤษฎีบทของดีริชเลต์)

A8 p positive : q negative บวก p ตัว ลบ q ตัว

$$\underbrace{1 + \tfrac13 + \cdots}_{p\ \text{ตัว}} \underbrace{- \tfrac12 - \cdots}_{q\ \text{ตัว}} + \cdots = \ln 2 + \frac12\ln\frac{p}{q}$$

(1:2) ให้ $\tfrac12\ln 2$ · (1:4) ให้ $0$ พอดี · (4:1) ให้ $2\ln 2$

ตัวอย่าง A-5 · บวก 1 ลบ 2

### แสดงว่า $1 - \tfrac12 - \tfrac14 + \tfrac13 - \tfrac16 - \tfrac18 + \tfrac15 - \tfrac1{10} - \tfrac1{12} + \cdots = \tfrac12\ln 2$

- จัดกลุ่มทีละสามพจน์: $\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{4k-2}\right) - \dfrac{1}{4k}$ และ $\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2(2k-1)} = \dfrac{1}{2(2k-1)}$

- แต่ละกลุ่มจึงเป็น $\dfrac{1}{2(2k-1)} - \dfrac{1}{4k} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k}\right)$

- รวมทุกกลุ่ม $= \dfrac12\left(1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots\right) = \dfrac12\ln 2$ (การจัดกลุ่มนี้ใช้ได้เพราะพจน์ → 0)

$\tfrac12\ln 2 \approx 0.3466$ — ครึ่งหนึ่งของลำดับเดิม ทั้งที่ใช้พจน์ชุดเดียวกัน

ทำไมวิศวกรต้องสนใจเวลาคอมพิวเตอร์บวกเลขทศนิยมลอยตัวจำนวนมาก ลำดับการบวกมีผลต่อผลลัพธ์อยู่แล้ว (round-off) สำหรับอนุกรมที่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ลำดับยังเปลี่ยนค่าทางคณิตศาสตร์ด้วย การประมวลผลแบบขนานที่แบ่งพจน์ไปบวกคนละเครื่องจึงต้องใช้อนุกรมที่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์เท่านั้น

## การทดสอบดีริชเลต์และอาเบล ขั้นสูง

ไลบ์นิซเป็นกรณีพิเศษของการทดสอบที่ทั่วไปกว่า: ถ้าผลบวกย่อยของส่วนที่ “แกว่ง” มีขอบเขต และอีกส่วนลดลงสู่ศูนย์ อนุกรมลู่เข้า ใช้กับอนุกรมของไซน์-โคไซน์ซึ่งเป็นพื้นฐานของอนุกรมฟูริเยร์

A9 Dirichlet's test การทดสอบของดีริชเลต์

$$\left|\sum_{k=1}^{N} a_k\right| \le M\ \forall N,\quad b_n \downarrow 0\ \Rightarrow\ \sum a_n b_n \text{ ลู่เข้า}$$

$\left|\sum_{k=1}^{N}\sin k\right| \le \dfrac{1}{\sin(1/2)} \approx 2.09$ ⇒ $\sum\dfrac{\sin n}{n} = \dfrac{\pi - 1}{2}$ ลู่เข้า · ไลบ์นิซคือ $a_n = (-1)^{n+1}$

A10 Abel's test การทดสอบของอาเบล

$$\sum a_n \text{ ลู่เข้า},\ (b_n) \text{ ทางเดียวและมีขอบเขต} \Rightarrow \sum a_n b_n \text{ ลู่เข้า}$$

เช่น $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}\left(1 + \dfrac1n\right)^n$ ลู่เข้า เพราะ $(1 + 1/n)^n$ เพิ่มขึ้นและไม่เกิน e

## ผลคูณโคชีของอนุกรม ขั้นสูง

คูณอนุกรมสองชุดเหมือนคูณพหุนาม โดยรวมพจน์ที่ดัชนีบวกกันได้ n ผลคูณนี้คือคอนโวลูชันแบบไม่ต่อเนื่อง (discrete convolution) ตัวเดียวกับในระบบดิจิทัลและการแปลง Z

A11 Cauchy product & Mertens' theorem ผลคูณโคชีและทฤษฎีบทของเมอร์เทนส์

$$\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n\right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n,\quad c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$$

ใช้ได้เมื่ออย่างน้อยหนึ่งอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (เมอร์เทนส์) · ตัวอย่างโต้แย้ง: ยกกำลังสอง $\sum\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$ ได้ $|c_n| \ge \dfrac{2(n+1)}{n+2} \not\to 0$ ลู่ออก

ตัวอย่าง A-6 · ผลคูณโคชี

### ใช้ผลคูณโคชีแสดงว่า $e^x e^y = e^{x+y}$ จากอนุกรม $e^x = \sum\dfrac{x^n}{n!}$

- $c_n = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^k}{k!}\cdot\dfrac{y^{n-k}}{(n-k)!} = \dfrac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k y^{n-k} = \dfrac{(x+y)^n}{n!}$ (ทฤษฎีบททวินาม)

- อนุกรมของ $e^x$ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ทุก x ⇒ เมอร์เทนส์ใช้ได้ ⇒ $e^xe^y = \sum\dfrac{(x+y)^n}{n!} = e^{x+y}$

กฎเลขยกกำลังพิสูจน์ได้จากอนุกรมโดยตรง

## ต่อไป: อนุกรมที่มีตัวแปร x

เมื่อพจน์ขึ้นกับ x เช่น $\sum \dfrac{x^n}{n}$ อนุกรมลู่เข้าหรือไม่ขึ้นกับค่า x และที่ปลายช่วงมักเจออนุกรมสลับแบบในหน้านี้ ไปต่อที่ อนุกรมกำลังและรัศมีการลู่เข้า · ทบทวน การทดสอบการลู่เข้า · ทดลองทุกเครื่องมือใน แล็บรวม

## คำถามที่พบบ่อย

การทดสอบอนุกรมสลับ (Leibniz test) มีเงื่อนไขอะไร?
อนุกรม $\sum (-1)^{n+1} b_n$ โดย $b_n > 0$ จะลู่เข้าถ้า (1) $b_n$ ลดลง (อย่างน้อยเมื่อ n มากพอ) และ (2) $b_n \to 0$ ถ้าเงื่อนไข (2) ไม่จริง อนุกรมลู่ออกด้วยการทดสอบพจน์ที่ n ถ้าเงื่อนไข (1) ไม่จริง การทดสอบนี้สรุปไม่ได้

ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์กับแบบมีเงื่อนไขต่างกันอย่างไร?
ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (absolutely) คือ $\sum |a_n|$ ลู่เข้า ซึ่งทำให้ $\sum a_n$ ลู่เข้าแน่นอน ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข (conditionally) คือ $\sum a_n$ ลู่เข้าแต่ $\sum |a_n|$ ลู่ออก เช่น $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ อนุกรมแบบหลังเปราะบาง: สลับลำดับพจน์แล้วผลบวกเปลี่ยนได้

ความคลาดเคลื่อนของอนุกรมสลับประมาณอย่างไร?
ถ้าอนุกรมผ่านการทดสอบไลบ์นิซ ผลบวกจริงอยู่ระหว่างผลบวกย่อยสองตัวติดกันเสมอ จึงได้ $|S - S_N| \le b_{N+1}$ คือความคลาดไม่เกินพจน์แรกที่ตัดทิ้ง และเครื่องหมายของความคลาดเหมือนเครื่องหมายของพจน์นั้น

ทฤษฎีบทการจัดเรียงใหม่ของรีมันน์บอกอะไร?
อนุกรมที่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขสามารถจัดลำดับพจน์ใหม่ให้ผลบวกเป็นจำนวนจริงใดก็ได้ หรือให้ลู่ออกก็ได้ เพราะผลบวกของพจน์บวกและพจน์ลบต่างก็เป็นอนันต์ ส่วนอนุกรมที่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์จัดเรียงอย่างไรก็ได้ผลบวกเท่าเดิม

Σ sin(n)/n ลู่เข้าไหม ในเมื่อเครื่องหมายไม่สลับเป็นระเบียบ?
ลู่เข้า ด้วยการทดสอบของดีริชเลต์: ผลบวกย่อยของ $\sin n$ มีขอบเขต (ไม่เกินประมาณ 2.09) และ $1/n$ ลดลงเข้าหา 0 ผลบวกจริงคือ $(\pi - 1)/2$ แต่ $\sum |\sin n|/n$ ลู่ออก จึงลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**การทดสอบอนุกรมสลับ (Leibniz test) มีเงื่อนไขอะไร?**
อนุกรม $\sum (-1)^{n+1} b_n$ โดย $b_n > 0$ จะลู่เข้าถ้า (1) $b_n$ ลดลง (อย่างน้อยเมื่อ n มากพอ) และ (2) $b_n \to 0$ ถ้าเงื่อนไข (2) ไม่จริง อนุกรมลู่ออกด้วยการทดสอบพจน์ที่ n ถ้าเงื่อนไข (1) ไม่จริง การทดสอบนี้สรุปไม่ได้

**ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์กับแบบมีเงื่อนไขต่างกันอย่างไร?**
ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (absolutely) คือ $\sum |a_n|$ ลู่เข้า ซึ่งทำให้ $\sum a_n$ ลู่เข้าแน่นอน ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข (conditionally) คือ $\sum a_n$ ลู่เข้าแต่ $\sum |a_n|$ ลู่ออก เช่น $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ อนุกรมแบบหลังเปราะบาง: สลับลำดับพจน์แล้วผลบวกเปลี่ยนได้

**ความคลาดเคลื่อนของอนุกรมสลับประมาณอย่างไร?**
ถ้าอนุกรมผ่านการทดสอบไลบ์นิซ ผลบวกจริงอยู่ระหว่างผลบวกย่อยสองตัวติดกันเสมอ จึงได้ $|S - S_N| \le b_{N+1}$ คือความคลาดไม่เกินพจน์แรกที่ตัดทิ้ง และเครื่องหมายของความคลาดเหมือนเครื่องหมายของพจน์นั้น

**ทฤษฎีบทการจัดเรียงใหม่ของรีมันน์บอกอะไร?**
อนุกรมที่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขสามารถจัดลำดับพจน์ใหม่ให้ผลบวกเป็นจำนวนจริงใดก็ได้ หรือให้ลู่ออกก็ได้ เพราะผลบวกของพจน์บวกและพจน์ลบต่างก็เป็นอนันต์ ส่วนอนุกรมที่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์จัดเรียงอย่างไรก็ได้ผลบวกเท่าเดิม

**Σ sin(n)/n ลู่เข้าไหม ในเมื่อเครื่องหมายไม่สลับเป็นระเบียบ?**
ลู่เข้า ด้วยการทดสอบของดีริชเลต์: ผลบวกย่อยของ $\sin n$ มีขอบเขต (ไม่เกินประมาณ 2.09) และ $1/n$ ลดลงเข้าหา 0 ผลบวกจริงคือ $(\pi - 1)/2$ แต่ $\sum |\sin n|/n$ ลู่ออก จึงลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

---

# เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม (Sequence & Series Calculators): พื้นฐาน กลาง ขั้นสูง พร้อมวิธีทำและโหมดฝึก

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/calculators/
Updated: 2026-10-26
Summary: เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรมภาษาไทยที่แสดงวิธีทำทุกขั้นด้วยเลขแม่นตรง (เศษส่วนและกรณฑ์): ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต ซิกมา (summation) กล้องส่องทางไกล หาสูตรจากพจน์ (difference table) ความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence) ออยเลอร์–แมคลอริน และโหมดฝึกตรวจคำตอบ

// บทที่ 26.11 · ลำดับและอนุกรม · Calculators

# เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม (Sequence & Series Calculators): พื้นฐาน กลาง ขั้นสูง พร้อมวิธีทำและโหมดฝึก

หกเครื่องมือที่ไม่ได้แค่บอกคำตอบ แต่เขียนวิธีทำให้ดูทีละขั้นเหมือนเฉลยในห้อง ทุกตัวคำนวณด้วยเลขแม่นตรง (เศษส่วนและกรณฑ์) ตรวจคำตอบย้อนกลับเอง และมีปุ่ม 🎯 ฝึกทำ ที่สุ่มโจทย์ให้ลองคิดก่อนดูเฉลย ใช้เป็นภาคปฏิบัติคู่กับบทเรียนได้ทันที

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · เตรียมสอบเข้ากลาง แคลคูลัส · คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องขั้นสูง คณิตศาสตร์วิศวกรรม · วิธีเชิงตัวเลข

6 เครื่องมือในหน้านี้

- พื้นฐาน ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต (กรอก 3 ค่า หาที่เหลือ) · ทศนิยมซ้ำ ค่าเฉลี่ย เงินฝาก-เงินกู้

- กลาง ซิกมา Σ: สูตรผลบวก กล้องส่องทางไกล เลขคณิต-เรขาคณิต · หาสูตรจากพจน์ (ตารางผลต่าง)

- ขั้นสูง ความสัมพันธ์เวียนเกิด + ฟังก์ชันก่อกำเนิด + บทพิสูจน์ · ผลบวกความแม่นยำสูง (ออยเลอร์–แมคลอริน)

## ใช้ให้เป็น “ภาคปฏิบัติ” ไม่ใช่แค่ดูคำตอบ

เครื่องคิดเลขที่ดีที่สุดสำหรับการเรียนคือเครื่องที่บังคับให้เราคิดก่อน ลำดับที่แนะนำสำหรับทุกเครื่องมือในหน้านี้คือ

- กด 🎯 ฝึกทำ ระบบสุ่มโจทย์ระดับข้อสอบ ทำในกระดาษก่อน แล้วพิมพ์คำตอบ (รับ 3/4, 2^10, sqrt(5))

- ดูวิธีทำทีละขั้น เทียบกับของเราทีละบรรทัด ว่าพลาดที่สูตร การแทนค่า หรือพีชคณิต

- เปลี่ยนตัวเลขเอง แล้วทำนายผลก่อนกดคำนวณ เช่น ถ้า r เปลี่ยนจาก 2 เป็น −2 ผลบวกจะเป็นอย่างไร นี่คือวิธีสร้างความเข้าใจที่อยู่ได้นาน

พื้นฐาน1. เลขคณิต · เรขาคณิตกรอกอะไรก็ได้ 3 ค่าจาก a₁, d หรือ r, n, aₙ, Sₙ, S∞ หรือรู้สองพจน์ใด ๆ
กลาง2. ซิกมา Σสูตรผลบวกกำลัง กล้องส่องทางไกล พหุนาม×rᵏ และอนุกรมอนันต์
กลาง3. หาสูตรจากพจน์ตารางผลต่าง สูตรของนิวตัน เรขาคณิต ผลคูณ และเวียนเกิด
ขั้นสูง4. เวียนเกิดเชิงเส้นสมการลักษณะเฉพาะ รากซ้ำ-เชิงซ้อน คำตอบเฉพาะ ฟังก์ชันก่อกำเนิด
ขั้นสูง5. ผลบวกความแม่นยำสูงออยเลอร์–แมคลอริน และเร่งการลู่เข้าของอนุกรมสลับ
พื้นฐาน6. ทศนิยมซ้ำ · ค่าเฉลี่ย · เงินงวดอนุกรมเรขาคณิตในชีวิตจริง

## 1. ลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต: กรอก 3 ค่า หาที่เหลือ พื้นฐาน

ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเรื่องลำดับเกือบทุกข้อคือ “รู้ 3 อย่าง หาอย่างที่ 4” จากห้าปริมาณ $a_1$ (พจน์แรก), $d$ หรือ $r$ (ผลต่างหรืออัตราส่วนร่วม), $n$, $a_n$ และ $S_n$ เครื่องมือนี้รับทุกชุดค่าที่เป็นไปได้ บอกเมื่อข้อมูลขัดกันเอง และบอกเมื่อมีคำตอบมากกว่าหนึ่ง (เช่นเมื่อแก้สมการกำลังสองหา n หรือถอดรากที่มีเลขชี้กำลังคู่)

C1 Arithmetic progression ลำดับและอนุกรมเลขคณิต

$$\begin{gathered} a_n = a_1 + (n-1)d \\ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\big[2a_1 + (n-1)d\big] \end{gathered}$$

รู้ $a_p, a_q$: $d = \dfrac{a_q - a_p}{q - p}$ · หา n จาก $S_n$ ได้สมการกำลังสองใน n

C2 Geometric progression ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต

$$\begin{gathered} a_n = a_1 r^{n-1} \\ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a_1 - a_n r}{1 - r}\ (r \ne 1) \\ S_\infty = \frac{a_1}{1-r}\ (|r| < 1) \end{gathered}$$

รู้ $a_p, a_q$: $r^{q-p} = a_q/a_p$ ถ้า $q - p$ เป็นเลขคู่จะได้ r สองค่า (บวกและลบ)

C3 Inserting means แทรกค่าเฉลี่ย k จำนวนระหว่าง a กับ b

$$\begin{gathered} d = \frac{b - a}{k + 1} \\ r = \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{k+1}} \\ \text{ฮาร์มอนิก: } \frac1a, \dots, \frac1b \text{ เป็นเลขคณิต} \end{gathered}$$

ทั้งหมดมี $k + 2$ พจน์ จึงมี $k + 1$ ช่วง

ตัวอย่าง C-1 · รู้สองพจน์

### ลำดับเลขคณิตมี $a_5 = 17$ และ $a_{12} = 38$ จงหา $a_{30}$ และ $S_{30}$

- สองพจน์ห่างกัน $12 - 5 = 7$ ช่วง ⇒ $7d = 38 - 17 = 21$ ⇒ $d = 3$

- $a_1 = a_5 - 4d = 17 - 12 = 5$ ⇒ $a_n = 3n + 2$

- $a_{30} = 5 + 29(3) = 92$ และ $S_{30} = \tfrac{30}{2}(5 + 92) = 1455$

$a_{30} = 92,\ S_{30} = 1455$

ตัวอย่าง C-2 · กับดักสองคำตอบ

### ลำดับเรขาคณิตมี $a_2 = 6$ และ $a_4 = 54$ จงหา $S_6$

- $r^2 = \dfrac{a_4}{a_2} = 9$ ⇒ $r = 3$ หรือ $r = -3$ (นักเรียนจำนวนมากตอบแค่ค่าบวก)

- $r = 3$: $a_1 = 2$, $S_6 = \dfrac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} = 728$

- $r = -3$: $a_1 = -2$, $S_6 = \dfrac{-2\left(1 - (-3)^6\right)}{1 - (-3)} = \dfrac{-2(-728)}{4} = 364$

$S_6 = 728$ หรือ $364$ ถ้าโจทย์ไม่บอกว่าพจน์เป็นบวก ต้องตอบทั้งสองกรณี

## 2. เครื่องคิดเลขซิกมา (Σ): สูตรผลบวก กล้องส่องทางไกล และพหุนาม × rᵏ กลาง

พิมพ์พจน์ $f(k)$ ขอบล่าง และขอบบน (ตัวเลข, n หรือ inf) เครื่องมือเลือกวิธีให้อัตโนมัติจากรูปของพจน์ และบอกชื่อวิธีที่ใช้ทุกครั้ง เพื่อให้รู้ว่าโจทย์แบบนี้ “ต้องคิดอย่างไร” ไม่ใช่แค่ได้ตัวเลข

| รูปของพจน์ f(k) | วิธี | ตัวอย่าง |

| พหุนามใน k | กระจาย + สมบัติเชิงเส้น + สูตรผลบวกกำลัง (Faulhaber) | $\sum k(k+1)$, $\sum (2k-1)^3$ |

| $c\,r^k$ | อนุกรมเรขาคณิต | $\sum 3\cdot 2^{k-1}$ |

| พหุนาม × $r^k$ | วิธี $S - rS$ (หาผลต่างย้อนกลับแบบไม่ต่อเนื่อง) | $\sum k\,2^k$, $\sum k/2^k$ |

| เศษส่วนของพหุนามที่ตัวส่วนแยกเป็นตัวประกอบเชิงเส้น | เศษส่วนย่อย → กล้องส่องทางไกล | $\sum \frac{1}{k(k+1)}$, $\sum \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ |

| อื่น ๆ ($1/k^2$, $\sqrt k$, …) | บวกตรงแบบแม่นตรง หรือออยเลอร์–แมคลอริน | $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$ |

C4 Power sums (Faulhaber) สูตรผลบวกกำลัง

$$\begin{gathered} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 \end{gathered}$$

$\sum k^4 = \tfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$ · $\sum k^p$ เป็นพหุนามดีกรี $p + 1$ เสมอ

C5 Linearity & index shift สมบัติเชิงเส้นและการเลื่อนดัชนี

$$\begin{gathered} \sum (\alpha f + \beta g) = \alpha\sum f + \beta \sum g \\ \sum_{k=m}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} f(k) - \sum_{k=1}^{m-1} f(k) \end{gathered}$$

$\sum_{k=1}^{n} c = cn$ · ข้อควรระวัง $\sum f g \ne \sum f \cdot \sum g$

C6 Telescoping กล้องส่องทางไกล

$$\begin{gathered} \sum_{k=1}^{n} \big[g(k) - g(k+1)\big] = g(1) - g(n+1) \\ \frac{1}{k(k+m)} = \frac1m\left(\frac1k - \frac{1}{k+m}\right) \end{gathered}$$

ยุบได้เมื่อสัมประสิทธิ์ของเศษส่วนย่อยในแต่ละกลุ่มที่ห่างกันเป็นจำนวนเต็มรวมกันเป็นศูนย์

C7 Arithmetico-geometric อนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต

$$\begin{gathered} \sum_{k=1}^{\infty} k r^{k} = \frac{r}{(1-r)^2}\ (|r| < 1) \\ \sum_{k=1}^{n} P(k)r^k = Q(n)r^n - Q(0) \end{gathered}$$

Q มีดีกรีเท่า P และ $Q(k) - Q(k-1)/r = P(k)$ นี่คือรูปทั่วไปของวิธี $S - rS$

ตัวอย่าง C-3 · กล้องส่องทางไกล

### หา $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ และผลบวกเมื่อ $n \to \infty$

- เศษส่วนย่อย: $\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right)$

- เขียนออกมา พจน์กลางหักล้างกันเป็นคู่ ๆ

$$\tfrac12\Big[\big(1 - \tfrac13\big) + \big(\tfrac13 - \tfrac15\big) + \dots + \big(\tfrac{1}{2n-1} - \tfrac{1}{2n+1}\big)\Big]$$

- เหลือ $\tfrac12\left(1 - \tfrac{1}{2n+1}\right) = \dfrac{n}{2n+1}$ และ $\lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{2n+1} = \dfrac12$

$S_n = \dfrac{n}{2n+1},\ S_\infty = \dfrac12$

ตัวอย่าง C-4 · พหุนาม × rᵏ

### หา $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k}$

- ให้ $S = \tfrac12 + \tfrac{2}{4} + \tfrac{3}{8} + \cdots$ และ $\tfrac12 S = \tfrac14 + \tfrac{2}{8} + \tfrac{3}{16} + \cdots$

- ลบกัน $S - \tfrac12 S = \tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$ (อนุกรมเรขาคณิต)

- $\tfrac12 S = 1$ ⇒ $S = 2$ ตรงกับสูตร C7: $\dfrac{r}{(1-r)^2} = \dfrac{1/2}{1/4} = 2$

$S = 2$

## 3. หาสูตรจากพจน์ที่ให้มา: ตารางผลต่างและสูตรของนิวตัน กลาง

ใส่พจน์ที่รู้แล้วเครื่องมือจะลองสี่แบบตามลำดับ: พหุนาม (ผลต่างอันดับใดอันดับหนึ่งคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) ผลคูณ (อัตราส่วนพจน์ติดกันเป็นพหุนามใน n เช่น แฟกทอเรียล) และเวียนเกิดเชิงเส้น (อัลกอริทึม Berlekamp–Massey) พร้อมพจน์ถัดไปและสูตรผลบวก

C8 Newton forward differences สูตรผลต่างเดินหน้าของนิวตัน

$$\begin{gathered} a_n = \sum_{j=0}^{d} \Delta^j a_1 \binom{n-1}{j} \\ \Delta a_n = a_{n+1} - a_n \end{gathered}$$

ผลต่างอันดับ d คงที่ ⇔ $a_n$ เป็นพหุนามดีกรี d (เหมือนอนุพันธ์อันดับ d ของพหุนามดีกรี d)

C9 Sum from differences ผลบวก n พจน์จากตารางผลต่าง

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{j=0}^{d} \Delta^j a_1 \binom{n}{j+1}$$

เช่น 2, 6, 12, 20 มี $\Delta^0 = 2,\ \Delta^1 = 4,\ \Delta^2 = 2$ ⇒ $S_n = 2n + 4\binom n2 + 2\binom n3 = \tfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

กับดัก: 1, 2, 4, 8, 16, …ส่วนใหญ่ตอบ 32 แต่โจทย์ “ลากเส้นเชื่อม n จุดบนวงกลม แบ่งได้มากที่สุดกี่ส่วน” ให้ 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57 ซึ่งเป็นพหุนามดีกรีสี่ $\tfrac{n^4 - 6n^3 + 23n^2 - 18n + 24}{24}$ ลองใส่ 6 พจน์นี้ในเครื่องมือ พจน์จำนวนจำกัดไม่ได้กำหนดลำดับเพียงหนึ่งเดียว ต้องมีกฎหรือการพิสูจน์เสมอ

ตัวอย่าง C-5 · ผลต่างอันดับสาม

### หาสูตรของ $3, 10, 29, 66, 127, \dots$ และผลบวก n พจน์แรก

- ผลต่าง: $7, 19, 37, 61$ → $12, 18, 24$ → $6, 6$ ผลต่างอันดับสามคงที่ ⇒ พหุนามดีกรีสาม

- ผลต่างอันดับสาม $= 6 = 3!\cdot a$ ⇒ สัมประสิทธิ์ $n^3$ คือ 1 ลอง $a_n - n^3 = 2, 2, 2, \dots$ ⇒ $a_n = n^3 + 2$

- $S_n = \sum k^3 + \sum 2 = \left[\tfrac{n(n+1)}{2}\right]^2 + 2n$

$a_n = n^3 + 2,\ S_n = \tfrac{n^2(n+1)^2}{4} + 2n$

## 4. แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น: สมการลักษณะเฉพาะ คำตอบเฉพาะ และฟังก์ชันก่อกำเนิด ขั้นสูง

เครื่องมือแก้ $a_n = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} + c_3 a_{n-3} + f(n)$ เมื่อสัมประสิทธิ์คงที่ และ $f(n)$ อยู่ในรูปพหุนาม × $s^n$ ผลลัพธ์เป็นเลขแม่นตรงแม้รากเป็นกรณฑ์หรือจำนวนเชิงซ้อน (คำนวณในฟีลด์ $\mathbb{Q}(\sqrt D)$) และให้ครบทั้งรากซ้ำ เรโซแนนซ์ รูปจริงของรากเชิงซ้อน ตารางตรวจ ฟังก์ชันก่อกำเนิด และบทพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มที่สร้างให้อัตโนมัติ

C10 Characteristic equation สมการลักษณะเฉพาะ

$$\begin{gathered} a_n = c_1 a_{n-1} + \dots + c_k a_{n-k} \\ \Rightarrow\ t^k - c_1 t^{k-1} - \dots - c_k = 0 \\ a_n = \sum_i A_i\, t_i^{\,n} \end{gathered}$$

ค่าคงตัว $A_i$ หาจากค่าเริ่มต้น k ค่า (ระบบสมการเชิงเส้น k ตัวแปร)

C11 Repeated & complex roots รากซ้ำและรากเชิงซ้อน

$$\begin{gathered} t \text{ ซ้ำ } m \text{ ครั้ง} \Rightarrow (A_0 + A_1 n + \dots + A_{m-1}n^{m-1})t^n \\ t = \rho e^{\pm i\theta} \Rightarrow \rho^n(A\cos n\theta + B\sin n\theta) \end{gathered}$$

เช่น $a_n = 2a_{n-1} - 2a_{n-2}$ มี $t = 1 \pm i = \sqrt2 e^{\pm i\pi/4}$

C12 Particular solution คำตอบเฉพาะ (เดาสัมประสิทธิ์)

$$\begin{gathered} f(n) = P_d(n)\,s^n \\ \Rightarrow\ a_n^{(p)} = n^m\,Q_d(n)\,s^n \end{gathered}$$

m = จำนวนครั้งที่ s เป็นรากของสมการลักษณะเฉพาะ (m = 0 ถ้าไม่เป็นราก) · $a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)}$ แล้วจึงใช้ค่าเริ่มต้น

C13 Generating function ฟังก์ชันก่อกำเนิด

$$\begin{gathered} G(x) = \sum_{n\ge0} a_n x^n = \frac{N(x)}{1 - c_1x - \dots - c_kx^k} \\ \text{ฟีโบนัชชี: } \frac{x}{1 - x - x^2} \end{gathered}$$

แยกเศษส่วนย่อยแล้วกระจายเป็นอนุกรมเรขาคณิต ได้สูตรปิดเดียวกับสมการลักษณะเฉพาะ

ตัวอย่าง C-6 · เรโซแนนซ์

### $a_0 = 0,\ a_1 = 1,\ a_n = 3a_{n-1} - 2a_{n-2} + 2^n$ จงหาสูตรปิด

- สมการลักษณะเฉพาะ $t^2 - 3t + 2 = (t-1)(t-2) = 0$ ⇒ $a_n^{(h)} = A\cdot 2^n + B$

- $f(n) = 2^n$ และ 2 เป็นรากหนึ่งครั้ง ⇒ เดา $a_n^{(p)} = Cn\,2^n$ (ไม่ใช่ $C2^n$ ซึ่งถูกส่วนเอกพันธ์กลืนไป)

- แทน: $Cn2^n - 3C(n-1)2^{n-1} + 2C(n-2)2^{n-2} = 2^n$ ⇒ $C\big(n - \tfrac32(n-1) + \tfrac12(n-2)\big) = 1$ ⇒ $\tfrac12 C = 1$ ⇒ $C = 2$

- $a_n = A2^n + B + 2n2^n$ จาก $a_0 = 0$: $A + B = 0$ · จาก $a_1 = 1$: $2A + B + 4 = 1$ ⇒ $A = -3,\ B = 3$

$a_n = (2n - 3)2^n + 3$ · ตรวจ $a_2 = 7$ ✓

## 5. ผลบวกความแม่นยำสูง: ออยเลอร์–แมคลอริน และเร่งการลู่เข้าของอนุกรมสลับ ขั้นสูง

อนุกรมอย่าง $\sum 1/k^2$ ลู่เข้าช้ามาก: บวกหนึ่งล้านพจน์ยังคลาดราว $10^{-6}$ สูตรออยเลอร์–แมคลอรินเปลี่ยนหางของอนุกรมเป็นปริพันธ์บวกพจน์แก้ที่มีอนุพันธ์ ได้ค่าถูก 15 หลักจากเพียง 10 พจน์ และใช้ได้กับผลบวกจำกัดที่ n ใหญ่มาก เช่น $H_{10^{12}}$ ส่วนอนุกรมสลับใช้อัลกอริทึม Cohen–Villegas–Zagier ที่ความคลาดลดลงราว $5.8^{-n}$

C14 Euler–Maclaurin สูตรออยเลอร์–แมคลอริน

$$\begin{aligned} \sum_{k=M}^{N} f(k) &= \int_M^N f\,dx + \tfrac{f(M) + f(N)}{2} \\ &\quad + \sum_{j=1}^{p} \tfrac{B_{2j}}{(2j)!}\Big(f^{(2j-1)}(N) - f^{(2j-1)}(M)\Big) \\ &\quad + R_p \end{aligned}$$

$B_2 = \tfrac16,\ B_4 = -\tfrac{1}{30},\ B_6 = \tfrac{1}{42}$ · ทำงานดีเมื่อ M ไม่เล็กเกินไป (บวกตรงช่วงแรกก่อน)

C15 Harmonic numbers จำนวนฮาร์มอนิก

$$\begin{gathered} H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac1k = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \cdots \\ \gamma \approx 0.5772156649 \end{gathered}$$

ลู่ออกแบบลอการิทึม: $H_{10^{12}} \approx 28.21$ เท่านั้น

ตัวอย่าง C-7 · ปัญหาบาเซิลด้วย 10 พจน์

### ประมาณ $\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2$ ด้วยออยเลอร์–แมคลอรินที่ $M = 11$

- บวกตรง $\sum_{k=1}^{10} 1/k^2 = 1.5497677311665$

- ปริพันธ์ $\int_{11}^{\infty} x^{-2}dx = \tfrac{1}{11} = 0.0909090909091$ และ $\tfrac12 f(11) = \tfrac{1}{242} = 0.0041322314050$

- พจน์แก้แรก $-\tfrac{B_2}{2}f'(11) = -\tfrac{1}{12}\cdot\left(-\tfrac{2}{11^3}\right) = 0.0001252191335$ พจน์ต่อไปเล็กลงเร็วมาก

รวม $\approx 1.6449340668482$ ตรงกับ $\pi^2/6$ ถึง 15 หลัก ขณะที่บวกตรง 10 พจน์ได้แค่ 1.5498

## 6. ทศนิยมซ้ำ ค่าเฉลี่ย และเงินฝาก-เงินกู้: อนุกรมเรขาคณิตในชีวิตจริง พื้นฐาน

สามโจทย์ที่ดูไม่เกี่ยวกัน แต่เบื้องหลังคืออนุกรมเรขาคณิตเหมือนกัน: ทศนิยมซ้ำคือผลบวกอนันต์ $\frac{a}{1-r}$ เงินฝากรายงวดคือผลบวกจำกัด $\frac{(1+i)^n - 1}{i}$ และค่างวดผ่อนบ้านคือมูลค่าปัจจุบันของค่างวดทุกงวดรวมกัน

C16 Repeating decimal ทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

$$0.b_1\dots b_L\overline{c_1\dots c_p} = \frac{\overline{b_1\dots b_Lc_1\dots c_p} - \overline{b_1\dots b_L}}{\underbrace{9\cdots9}_{p}\underbrace{0\cdots0}_{L}}$$

เช่น $0.1\overline{23} = \dfrac{123 - 1}{990} = \dfrac{61}{495}$ · $0.\overline{9} = 1$ พอดี

C17 Annuities เงินฝากรายงวดและค่างวดเงินกู้

$$\begin{gathered} FV = P\,\frac{(1+i)^n - 1}{i} \\ R = \frac{PV\cdot i}{1 - (1+i)^{-n}} \end{gathered}$$

i = ดอกเบี้ยต่องวด, n = จำนวนงวด · ฝากต้นงวดคูณ $(1+i)$ เพิ่ม

ตัวอย่าง C-8 · ผ่อนบ้าน

### กู้ 1,500,000 บาท ดอกเบี้ย 6% ต่อปี ผ่อนรายเดือน 20 ปี ค่างวดเท่าไร

- $i = 0.06/12 = 0.005$, $n = 240$ งวด

- $R = \dfrac{1{,}500{,}000 \times 0.005}{1 - 1.005^{-240}} \approx 10{,}746.47$ บาท

- จ่ายรวม $240R \approx 2{,}579{,}151.81$ บาท เป็นดอกเบี้ยราว 1.08 ล้านบาท

ค่างวดประมาณ 10,746.47 บาทต่อเดือน

## ฝึกทำแบบภาคปฏิบัติ: 12 โจทย์ไล่ระดับ

ทำในกระดาษก่อน แล้วกด “เฉลย” หรือ “เปิดในเครื่องคิดเลข” เพื่อดูวิธีทำเต็ม (โจทย์สุ่มไม่จำกัดอยู่ในปุ่ม 🎯 ของแต่ละเครื่องมือ)

P1 พื้นฐานลำดับเลขคณิต 7, 11, 15, … พจน์ใดเท่ากับ 203
$d = 4,\ a_n = 7 + 4(n-1) = 203$ ⇒ $n = 50$
พจน์ที่ 50

P2 พื้นฐานบวกจำนวนคี่ 1 + 3 + 5 + ⋯ ได้ 625 ต้องบวกกี่พจน์
$S_n = n^2 = 625$ ⇒ $n = 25$ (หรือแก้ $\tfrac{n}{2}[2 + 2(n-1)] = 625$)
25 พจน์

P3 พื้นฐานอนุกรมเรขาคณิตอนันต์มีผลบวก 12 และพจน์แรก 8 จงหา r
$12 = \dfrac{8}{1 - r}$ ⇒ $1 - r = \tfrac23$ ⇒ $r = \tfrac13$
$r = \tfrac13$

P4 พื้นฐานเขียน $1.2\overline{45}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
$\dfrac{1245 - 12}{990} = \dfrac{1233}{990} = \dfrac{137}{110}$
$\tfrac{137}{110}$

P5 กลาง$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$
$4\sum k^2 - 4\sum k + n = \tfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n = \tfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$
$\tfrac{n(4n^2 - 1)}{3}$

P6 กลาง$\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2 - 1}$
$\dfrac{1}{k^2-1} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k+1}\right)$ ห่างกันสองขั้น เหลือหัว $\tfrac12\left(1 + \tfrac12\right)$
$\tfrac34$

P7 กลาง$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\cdot 2^k$
$S - 2S = 2 + 2^2 + \dots + 2^n - n2^{n+1}$ ⇒ $S = (n-1)2^{n+1} + 2$
$(n-1)2^{n+1} + 2$

P8 กลางหาสูตรของ 1, 5, 14, 30, 55, 91, …
ผลต่าง 4, 9, 16, 25, 36 คือกำลังสอง ⇒ $a_n = \sum_{k=1}^{n} k^2$
$\tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

P9 ขั้นสูง$a_0 = 1,\ a_1 = 4,\ a_n = 4a_{n-1} - 4a_{n-2}$ จงหาสูตรปิด
$(t-2)^2 = 0$ รากซ้ำ ⇒ $a_n = (A + Bn)2^n$, $A = 1$, $2(1 + B) = 4$ ⇒ $B = 1$
$a_n = (n + 1)2^n$

P10 ขั้นสูงหอคอยฮานอย $a_1 = 1,\ a_n = 2a_{n-1} + 1$ ย้าย 64 แผ่นต้องกี่ครั้ง
$a_n + 1 = 2(a_{n-1} + 1)$ ⇒ $a_n = 2^n - 1$
$2^{64} - 1 \approx 1.8\times10^{19}$ ครั้ง

P11 ขั้นสูง$a_0 = 1,\ a_1 = 2,\ a_n = 2a_{n-1} - 2a_{n-2}$ จงหา $a_8$ โดยไม่ไล่ทีละพจน์
$t = 1 \pm i = \sqrt2e^{\pm i\pi/4}$ ⇒ $a_n = (\sqrt2)^n\left(\cos\tfrac{n\pi}{4} + \sin\tfrac{n\pi}{4}\right)$ ⇒ $a_8 = 16(1 + 0)$
$a_8 = 16$

P12 ขั้นสูงประมาณ $H_{10^{9}} = 1 + \tfrac12 + \dots + \tfrac{1}{10^9}$ ถึงทศนิยม 6 ตำแหน่ง
$H_n \approx \ln n + \gamma + \tfrac{1}{2n} = 20.7232658 + 0.5772157 + 0.0000000005$
$\approx 21.300482$

## เครื่องมือนี้คำนวณอย่างไร และเชื่อถือได้แค่ไหน

- เลขแม่นตรง: ทุกค่าที่เป็นเศษส่วนเก็บเป็นตัวเศษ-ตัวส่วนจำนวนเต็มขนาดไม่จำกัด (BigInt) ไม่มีการปัดเศษ รากของสมการกำลังสองเก็บในรูป $p + q\sqrt D$ จึงได้คำตอบอย่าง $\tfrac{\sqrt5}{5}$ แทน 0.4472

- ตรวจย้อนกลับเสมอ: สูตรผลบวกเทียบกับการบวกตรงทุกพจน์ สูตรปิดของเวียนเกิดเทียบกับการไล่ความสัมพันธ์ทีละพจน์ และแสดงตารางตรวจให้ดู

- ส่วนที่เป็นค่าประมาณบอกชัด: รากของพหุนามดีกรีสามที่ไม่มีรากตรรกยะ ผลบวกอนันต์ที่ไม่มีรูปปิด และการ “จับคู่” กับค่าคงตัวอย่าง $\pi^2/6$ เป็นหลักฐานเชิงตัวเลข ไม่ใช่บทพิสูจน์

- ทดสอบกับ sympy: ตัวอย่างทุกข้อในหน้านี้ตรวจด้วย sympy และชุดทดสอบอัตโนมัติของเครื่องมือ (scripts/test-seq-calc.mjs)

- ขอบเขต: เวียนเกิดสัมประสิทธิ์คงที่อันดับไม่เกิน 3 · พจน์ไม่เอกพันธ์ในรูปพหุนาม × $s^n$ · ซิกมาแบบรูปปิดสำหรับพหุนาม พหุนาม×$r^k$ และเศษส่วนที่ยุบได้

ลิงก์ตรงไปยังโจทย์ใช้รูปแบบ ?q= ได้ เช่น sum k^2, k=1..n · a(n)=a(n-1)+a(n-2), a(0)=0, a(1)=1 · 2, 6, 12, 20, 30 หรือกดปุ่ม “🔗 ลิงก์โจทย์นี้” ในเครื่องมือเพื่อส่งโจทย์ให้เพื่อนในกลุ่มเรียน

## เรียนต่อ

พิสูจน์ว่าสูตรที่เครื่องคิดเลขให้ “จริงทุก n” ด้วย อุปนัยแบบเข้ม (26.12) ทบทวนทฤษฎีที่ ลำดับ (26.1) และ อนุกรมอนันต์ (26.2) ใช้เครื่องมือเชิงภาพที่ แล็บลำดับและอนุกรม หรือทดสอบตัวเองด้วย แนวข้อสอบ 60 ข้อ

## คำถามที่พบบ่อย

เครื่องคิดเลขนี้ต่างจากการกดเครื่องคิดเลขธรรมดาอย่างไร?
คำนวณด้วยเลขแม่นตรง (เศษส่วนและกรณฑ์ เช่น $\tfrac{61}{495}$ หรือ $\tfrac{1+\sqrt5}{2}$) ไม่ใช่ทศนิยมปัดเศษ และแสดงวิธีทำทุกขั้นแบบที่เขียนในข้อสอบ: สูตรที่ใช้ การแทนค่า การตรวจคำตอบ และมีโหมดฝึกที่สุ่มโจทย์ให้ลองทำเองก่อนดูเฉลย

หาสูตรผลบวก Σk² หรือ Σk(k+1) ได้อย่างไร?
พิมพ์พจน์ในช่อง f(k) เช่น k^2 หรือ k(k+1) ให้ขอบบนเป็น n เครื่องมือจะกระจายพจน์ แยกด้วยสมบัติเชิงเส้น ใช้สูตรผลบวกกำลัง $\sum k = \tfrac{n(n+1)}{2},\ \sum k^2 = \tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},\ \sum k^3 = \left(\tfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$ แล้วแยกตัวประกอบคำตอบให้ เช่น $\sum k(k+1) = \tfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

ถ้ารู้แค่พจน์แรก ๆ ของลำดับ จะหาสูตรพจน์ทั่วไปได้ไหม?
ได้ถ้าลำดับเป็นพหุนาม (ใช้ตารางผลต่างและสูตรของนิวตัน) เรขาคณิต ผลคูณ หรือเวียนเกิดเชิงเส้น แต่พจน์จำนวนจำกัดไม่ได้กำหนดลำดับเพียงหนึ่งเดียว เช่น 1, 2, 4, 8, 16 อาจต่อด้วย 31 ก็ได้ (โจทย์แบ่งวงกลม) สูตรที่เครื่องมือให้คือสูตรที่ง่ายที่สุดที่เข้ากับข้อมูล ในข้อสอบต้องยืนยันด้วยกฎของโจทย์หรือพิสูจน์ด้วยอุปนัย

แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด a(n) = 5a(n−1) − 6a(n−2) อย่างไร?
เขียนสมการลักษณะเฉพาะ $t^2 - 5t + 6 = 0$ ได้ราก 2 และ 3 คำตอบทั่วไปคือ $a_n = A\cdot 3^n + B\cdot 2^n$ แล้วหา A, B จากค่าเริ่มต้น เช่น $a_0 = 1,\ a_1 = 4$ ได้ $a_n = 2\cdot3^n - 2^n$ เครื่องมือในหน้านี้ทำครบรวมรากซ้ำ รากเชิงซ้อน พจน์ไม่เอกพันธ์ ฟังก์ชันก่อกำเนิด และพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้ม

ทำไม Σ 1/k² ไม่มีสูตรผลบวกแบบ Σk²?
เพราะ $1/k^2$ ไม่ใช่พหุนามและแยกเศษส่วนย่อยแล้วไม่หักล้างกันแบบกล้องส่องทางไกล ผลบวกอนันต์คือ $\pi^2/6$ (ปัญหาบาเซิล) ซึ่งต้องใช้วิธีอื่น เช่น อนุกรมฟูริเยร์ เครื่องมือผลบวกความแม่นยำสูงในหน้านี้ใช้สูตรออยเลอร์–แมคลอรินคำนวณได้ถูก 15 หลักจากเพียง 10 พจน์

ใช้ตรวจการบ้านได้ไหม และเชื่อถือได้แค่ไหน?
ได้ ส่วนที่เป็นเศษส่วนและกรณฑ์คำนวณแม่นตรงทุกหลัก และตรวจย้อนกลับโดยแทนค่าทุกครั้ง ส่วนที่เป็นค่าประมาณ (รากที่ไม่เป็นตรรกยะของพหุนามดีกรีสาม ผลบวกอนันต์ที่ไม่มีรูปปิด) จะบอกชัดว่าเป็นค่าประมาณ ทั้งนี้ข้อสอบยังต้องเขียนเหตุผลเอง เครื่องมือมีไว้ตรวจและฝึก

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เครื่องคิดเลขนี้ต่างจากการกดเครื่องคิดเลขธรรมดาอย่างไร?**
คำนวณด้วยเลขแม่นตรง (เศษส่วนและกรณฑ์ เช่น $\tfrac{61}{495}$ หรือ $\tfrac{1+\sqrt5}{2}$) ไม่ใช่ทศนิยมปัดเศษ และแสดงวิธีทำทุกขั้นแบบที่เขียนในข้อสอบ: สูตรที่ใช้ การแทนค่า การตรวจคำตอบ และมีโหมดฝึกที่สุ่มโจทย์ให้ลองทำเองก่อนดูเฉลย

**หาสูตรผลบวก Σk² หรือ Σk(k+1) ได้อย่างไร?**
พิมพ์พจน์ในช่อง f(k) เช่น k^2 หรือ k(k+1) ให้ขอบบนเป็น n เครื่องมือจะกระจายพจน์ แยกด้วยสมบัติเชิงเส้น ใช้สูตรผลบวกกำลัง $\sum k = \tfrac{n(n+1)}{2},\ \sum k^2 = \tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},\ \sum k^3 = \left(\tfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$ แล้วแยกตัวประกอบคำตอบให้ เช่น $\sum k(k+1) = \tfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

**ถ้ารู้แค่พจน์แรก ๆ ของลำดับ จะหาสูตรพจน์ทั่วไปได้ไหม?**
ได้ถ้าลำดับเป็นพหุนาม (ใช้ตารางผลต่างและสูตรของนิวตัน) เรขาคณิต ผลคูณ หรือเวียนเกิดเชิงเส้น แต่พจน์จำนวนจำกัดไม่ได้กำหนดลำดับเพียงหนึ่งเดียว เช่น 1, 2, 4, 8, 16 อาจต่อด้วย 31 ก็ได้ (โจทย์แบ่งวงกลม) สูตรที่เครื่องมือให้คือสูตรที่ง่ายที่สุดที่เข้ากับข้อมูล ในข้อสอบต้องยืนยันด้วยกฎของโจทย์หรือพิสูจน์ด้วยอุปนัย

**แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด a(n) = 5a(n−1) − 6a(n−2) อย่างไร?**
เขียนสมการลักษณะเฉพาะ $t^2 - 5t + 6 = 0$ ได้ราก 2 และ 3 คำตอบทั่วไปคือ $a_n = A\cdot 3^n + B\cdot 2^n$ แล้วหา A, B จากค่าเริ่มต้น เช่น $a_0 = 1,\ a_1 = 4$ ได้ $a_n = 2\cdot3^n - 2^n$ เครื่องมือในหน้านี้ทำครบรวมรากซ้ำ รากเชิงซ้อน พจน์ไม่เอกพันธ์ ฟังก์ชันก่อกำเนิด และพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้ม

**ทำไม Σ 1/k² ไม่มีสูตรผลบวกแบบ Σk²?**
เพราะ $1/k^2$ ไม่ใช่พหุนามและแยกเศษส่วนย่อยแล้วไม่หักล้างกันแบบกล้องส่องทางไกล ผลบวกอนันต์คือ $\pi^2/6$ (ปัญหาบาเซิล) ซึ่งต้องใช้วิธีอื่น เช่น อนุกรมฟูริเยร์ เครื่องมือผลบวกความแม่นยำสูงในหน้านี้ใช้สูตรออยเลอร์–แมคลอรินคำนวณได้ถูก 15 หลักจากเพียง 10 พจน์

**ใช้ตรวจการบ้านได้ไหม และเชื่อถือได้แค่ไหน?**
ได้ ส่วนที่เป็นเศษส่วนและกรณฑ์คำนวณแม่นตรงทุกหลัก และตรวจย้อนกลับโดยแทนค่าทุกครั้ง ส่วนที่เป็นค่าประมาณ (รากที่ไม่เป็นตรรกยะของพหุนามดีกรีสาม ผลบวกอนันต์ที่ไม่มีรูปปิด) จะบอกชัดว่าเป็นค่าประมาณ ทั้งนี้ข้อสอบยังต้องเขียนเหตุผลเอง เครื่องมือมีไว้ตรวจและฝึก

---

# การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม (Convergence Tests): พจน์ที่ n ปริพันธ์ เปรียบเทียบ อัตราส่วน ราก และผังเลือกใช้

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/convergence-tests/
Updated: 2026-10-24
Summary: การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมครบทุกแบบ: nth-term test, integral test พร้อมขอบเขตเศษเหลือ, comparison test, limit comparison test, ratio test, root test, Cauchy condensation, Raabe's test และผังตัดสินใจเลือกการทดสอบ พร้อมตัวอย่างวิธีทำ ตารางสรุป เกมฝึกเลือกการทดสอบ 40 ข้อ และแล็บโต้ตอบ

// บทที่ 26.3 · ลำดับและอนุกรม · Convergence Tests

# การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม (Convergence Tests): พจน์ที่ n ปริพันธ์ เปรียบเทียบ อัตราส่วน ราก และผังเลือกใช้

อนุกรมส่วนใหญ่หาผลบวกเป็นสูตรไม่ได้ แต่วิศวกรยังต้องรู้ว่าบวกแล้ว “จำกัด” หรือไม่ ก่อนนำไปคำนวณ หน้านี้รวบรวมการทดสอบสำหรับอนุกรมพจน์บวกทุกแบบที่ใช้ในแคลคูลัส 2 และคณิตศาสตร์วิศวกรรม พร้อมผังตัดสินใจที่บอกว่าเห็นรูปแบบไหนควรใช้อะไร และเกมฝึกให้มองเป็นภายในไม่กี่วินาที ส่วนอนุกรมที่มีเครื่องหมายสลับอยู่ในหน้าอนุกรมสลับ

สรุปใน 30 วินาที

- $a_n \not\to 0$ ⇒ ลู่ออก · เรขาคณิต $|r| < 1$ · อนุกรม p $p > 1$

- เศษส่วนพหุนาม: เทียบลิมิตกับ $1/n^{p}$ โดย $p$ = (ดีกรีล่าง − ดีกรีบน)

- อัตราส่วน $\rho = \lim|a_{n+1}/a_n|$ · ราก $\rho = \lim\sqrt[n]{|a_n|}$: $\rho < 1$ ลู่เข้า, $\rho > 1$ ลู่ออก, $\rho = 1$ สรุปไม่ได้

- ปริพันธ์: f บวก ต่อเนื่อง ลดลง ⇒ $\sum f(n)$ กับ $\int f$ ไปทางเดียวกัน และให้ขอบเขตเศษเหลือ

ระดับพื้นฐาน ใช้ได้ทุกคนกลาง แคลคูลัส 2ขั้นสูง กรณีที่การทดสอบปกติสรุปไม่ได้

## ผังเลือกการทดสอบ: เห็นรูปแบบไหน ใช้อะไร พื้นฐาน

ทักษะที่ข้อสอบวัดจริงไม่ใช่การจำทฤษฎีบท แต่คือการมองพจน์ $a_n$ แล้วรู้ว่าควรใช้เครื่องมือไหน ผังนี้เรียงจากการทดสอบที่เร็วที่สุดไปหาที่ใช้แรงมากที่สุด ทำตามลำดับแล้วจะไม่เสียเวลาลองผิดลองถูก

ผังตัดสินใจเลือกการทดสอบการลู่เข้า (อ่านจากบนลงล่าง หยุดที่ข้อแรกที่ใช้ได้)

| เห็นอะไรในพจน์ | ใช้การทดสอบ | ตัวอย่าง |

| พจน์ไม่เข้าใกล้ 0 ($\tfrac{n}{n+1}$, $(1 + \tfrac1n)^n$, $\cos n$) | พจน์ที่ n ⇒ ลู่ออก | $\sum \tfrac{n}{n+1}$ |

| $ar^n$, $\tfrac{c}{n^p}$ | เรขาคณิต · อนุกรม p (จำผล) | $\sum \tfrac{5}{4^n}$, $\sum \tfrac{1}{\sqrt n}$ |

| แยกเศษส่วนย่อยได้ / ผลต่างของลำดับ | กล้องส่องทางไกล | $\sum \tfrac{1}{n(n+1)}$ |

| เศษส่วนของพหุนาม ราก ($\tfrac{3n+5}{n^3-2}$) | เปรียบเทียบแบบลิมิต กับ $1/n^p$ | $\sum \tfrac{n+1}{n^3 - n + 2}$ |

| มี sin, cos ที่มีขอบเขต | เปรียบเทียบตรง | $\sum \tfrac{2 + \sin n}{n^2}$ |

| $n!$, $c^n$, $n^n$ | อัตราส่วน | $\sum \tfrac{n^3}{3^n}$ |

| ยกกำลัง n ทั้งก้อน $(\cdots)^n$ | ราก | $\sum \left(\tfrac{2n}{3n+1}\right)^n$ |

| มี $\ln n$, หาปริพันธ์ได้ ($\tfrac{1}{n\ln n}$, $ne^{-n^2}$) | ปริพันธ์ | $\sum \tfrac{1}{n(\ln n)^2}$ |

| อัตราส่วน/ราก ได้ 1 แต่มีแฟกทอเรียล | ราบี · สเตอร์ลิง | $\sum \tfrac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}$ |

| เครื่องหมายสลับ $(-1)^n$ | อนุกรมสลับ · ค่าสัมบูรณ์ | $\sum \tfrac{(-1)^n}{\sqrt n}$ |

## การทดสอบพจน์ที่ n (n-th Term Test) พื้นฐาน

T1 n-th term test for divergence การทดสอบพจน์ที่ n

$$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \ \text{(หรือไม่มีลิมิต)} \ \Longrightarrow\ \sum a_n \ \text{ลู่ออก}$$

ใช้เป็นด่านแรกทุกข้อ ใช้เวลา 5 วินาที · ถ้าได้ $a_n \to 0$ สรุปไม่ได้ ต้องไปข้อถัดไปในผัง

## การทดสอบด้วยปริพันธ์ (Integral Test) และขอบเขตเศษเหลือ กลาง

ถ้าพจน์มาจากฟังก์ชันที่ลดลง ผลบวกของพจน์คือพื้นที่สี่เหลี่ยมกว้าง 1 ซึ่งประกบพื้นที่ใต้กราฟจากทั้งบนและล่าง อนุกรมกับปริพันธ์จึงลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน และยิ่งไปกว่านั้น ปริพันธ์บอกได้ว่าผลบวกจริงอยู่ในช่วงใด

สี่เหลี่ยมสูง $f(n+1)$ อยู่ใต้กราฟ (ส้ม) และสี่เหลี่ยมสูง $f(n)$ อยู่เหนือกราฟ (ฟ้า) จึงได้ $\sum_{n\ge2} a_n \le \int_1^\infty f \le \sum_{n\ge1} a_n$

T2 Integral test การทดสอบด้วยปริพันธ์

$$a_n = f(n),\ f \text{ บวก ต่อเนื่อง ลดลงเมื่อ } x \ge N:\qquad \sum_{n=N}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า} \iff \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx \text{ ลู่เข้า}$$

ตรวจ “ลดลง” ด้วย $f'(x) < 0$ · ค่าปริพันธ์ ≠ ผลบวกของอนุกรม · ใช้พิสูจน์อนุกรม p ($\int_1^\infty x^{-p}dx$ จำกัด ⇔ $p > 1$)

T3 Remainder estimate ขอบเขตเศษเหลือจากปริพันธ์

$$\int_{N+1}^{\infty} f(x)\,dx \ \le\ R_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \ \le\ \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx \quad\Rightarrow\quad S_N + \int_{N+1}^{\infty} f \le S \le S_N + \int_N^{\infty} f$$

ค่ากลางของช่วงเป็นค่าประมาณที่ดีมากโดยบวกพจน์ไม่กี่ตัว

ตัวอย่าง T-1 · ประมาณผลบวก

### ประมาณ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ โดยบวก 10 พจน์ แล้วหาช่วงที่ผลบวกจริงอยู่

- $S_{10} = 1 + \tfrac18 + \tfrac1{27} + \cdots + \tfrac{1}{1000} = 1.1975320$

- $\displaystyle\int_N^{\infty}\frac{dx}{x^3} = \frac{1}{2N^2}$ ⇒ ขอบล่าง $S_{10} + \tfrac{1}{2\cdot 11^2} = 1.2016642$ · ขอบบน $S_{10} + \tfrac{1}{2\cdot10^2} = 1.2025320$

- ค่ากลาง $1.2020981 \pm 0.0004339$ ผลบวกจริง $\zeta(3) = 1.2020569$ อยู่ในช่วง

$1.20166 \le S \le 1.20253$ — แม่นถึงทศนิยม 3 ตำแหน่งด้วยพจน์เพียง 10 ตัว ขณะที่ $S_{10}$ อย่างเดียวคลาดถึง 0.0045

ตัวอย่าง T-2 · ลู่เข้าหรือลู่ออก

### (ก) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n^2}$ (ข) $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{\ln n}}$

- (ก) $f(x) = xe^{-x^2}$ บวก ต่อเนื่อง และ $f'(x) = e^{-x^2}(1 - 2x^2) < 0$ เมื่อ $x \ge 1$ · $\int_1^\infty xe^{-x^2}dx = \left[-\tfrac12 e^{-x^2}\right]_1^\infty = \tfrac{1}{2e}$ จำกัด ⇒ ลู่เข้า

- (ข) แทน $u = \ln x$: $\int_2^\infty \dfrac{dx}{x\sqrt{\ln x}} = \int_{\ln2}^\infty u^{-1/2}du = \left[2\sqrt u\right]_{\ln 2}^{\infty} = \infty$ ⇒ ลู่ออก

(ก) ลู่เข้า · (ข) ลู่ออก — ข้อ (ข) คืออนุกรม $\sum 1/(n(\ln n)^p)$ ที่ $p = \tfrac12 \le 1$

## การทดสอบโดยการเปรียบเทียบ (Direct Comparison Test) กลาง

หลักคิดง่ายมาก: ถ้าตัวใหญ่บวกแล้วจำกัด ตัวเล็กก็จำกัด ถ้าตัวเล็กบวกแล้วไม่จำกัด ตัวใหญ่ก็ไม่จำกัด สิ่งที่ต้องระวังคือทิศของอสมการ: เทียบกับตัวใหญ่ที่ลู่ออก หรือตัวเล็กที่ลู่เข้า สรุปอะไรไม่ได้

T4 Direct comparison test การเปรียบเทียบโดยตรง

$$0 \le a_n \le b_n \ (n \ge N):\qquad \sum b_n \text{ ลู่เข้า} \Rightarrow \sum a_n \text{ ลู่เข้า};\qquad \sum a_n \text{ ลู่ออก} \Rightarrow \sum b_n \text{ ลู่ออก}$$

ตัวเทียบยอดนิยม: $\tfrac{1}{n^p}$, $r^n$ · อสมการช่วย $|\sin x| \le 1$, $\ln n < \sqrt n$, $\ln n < n^{\epsilon}$ (n ใหญ่พอ), $n! \ge 2^{n-1}$

ตัวอย่าง T-3 · เปรียบเทียบตรง

### (ก) $\sum \dfrac{1}{2^n + 1}$ (ข) $\sum \dfrac{2 + \sin n}{n^2}$ (ค) $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt n - 1}$

- (ก) $\dfrac{1}{2^n + 1} < \dfrac{1}{2^n}$ และ $\sum (1/2)^n$ ลู่เข้า ⇒ ลู่เข้า

- (ข) $0 < \dfrac{2 + \sin n}{n^2} \le \dfrac{3}{n^2}$ และ $\sum 3/n^2$ ลู่เข้า ⇒ ลู่เข้า

- (ค) $\dfrac{1}{\sqrt n - 1} > \dfrac{1}{\sqrt n}$ และ $\sum 1/\sqrt n$ ลู่ออก (p = ½) ⇒ ลู่ออก

(ก) ลู่เข้า · (ข) ลู่เข้า · (ค) ลู่ออก

## การเปรียบเทียบแบบลิมิต (Limit Comparison Test) กลาง

ในทางปฏิบัติ การทดสอบนี้ใช้บ่อยที่สุด เพราะไม่ต้องหาอสมการที่ถูกทิศ ดูแค่ว่าเมื่อ n ใหญ่ พจน์ “ประพฤติเหมือน” อะไร โดยเก็บเฉพาะตัวเด่น (dominant term) ของเศษและส่วน

T5 Limit comparison test การเปรียบเทียบแบบลิมิต

$$a_n, b_n > 0,\quad \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = c,\ \ 0 < c < \infty\ \Rightarrow\ \sum a_n,\ \sum b_n \text{ ลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน}$$

$c = 0$ และ $\sum b_n$ ลู่เข้า ⇒ $\sum a_n$ ลู่เข้า · $c = \infty$ และ $\sum b_n$ ลู่ออก ⇒ $\sum a_n$ ลู่ออก · เลือก $b_n$ = ตัวเด่นบน/ตัวเด่นล่าง

T6 Asymptotic equivalents พจน์ที่สมมูลกันเมื่อ n ใหญ่

$$\sin\tfrac1n \sim \tfrac1n,\quad 1 - \cos\tfrac1n \sim \tfrac{1}{2n^2},\quad \ln\left(1 + \tfrac1n\right) \sim \tfrac1n,\quad e^{1/n} - 1 \sim \tfrac1n$$

มาจากอนุกรมเทย์เลอร์ พจน์แรก · ใช้คู่กับ T5 ได้ทันที

ตัวอย่าง T-4 · เปรียบเทียบแบบลิมิต

### (ก) $\sum \dfrac{n+1}{n^3 - n + 2}$ (ข) $\sum \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$ (ค) $\sum \sin\dfrac{1}{n^2}$

- (ก) ตัวเด่น $\tfrac{n}{n^3} = \tfrac{1}{n^2}$: $\lim \dfrac{(n+1)/(n^3-n+2)}{1/n^2} = \lim\dfrac{n^3 + n^2}{n^3 - n + 2} = 1$ ⇒ ลู่เข้าเหมือน $\sum 1/n^2$

- (ข) $\sqrt{n^2+1} \sim n$: $\lim \dfrac{1/\sqrt{n^2+1}}{1/n} = 1$ ⇒ ลู่ออกเหมือนฮาร์มอนิก

- (ค) $\lim \dfrac{\sin(1/n^2)}{1/n^2} = 1$ (เพราะ $\tfrac{\sin u}{u} \to 1$) ⇒ ลู่เข้าเหมือน $\sum 1/n^2$

(ก) ลู่เข้า · (ข) ลู่ออก · (ค) ลู่เข้า

สูตรลัดสำหรับเศษส่วนของพหุนามถ้า $a_n = \dfrac{P(n)}{Q(n)}$ โดย P ดีกรี p และ Q ดีกรี q แล้ว $a_n \sim \dfrac{C}{n^{q-p}}$ อนุกรมลู่เข้า ⇔ $q - p > 1$ (ดีกรีล่างมากกว่าบนอย่างน้อย 2) · รากนับดีกรีครึ่ง เช่น $\sqrt{n^3 + 1}$ มีดีกรี 3/2

## การทดสอบอัตราส่วน (Ratio Test) กลาง

ถ้าพจน์ถัดไปเล็กกว่าพจน์ก่อนหน้าด้วยอัตราส่วนเกือบคงที่ $\rho$ อนุกรมก็ประพฤติเหมือนอนุกรมเรขาคณิตอัตราส่วน $\rho$ การทดสอบนี้จึงเก่งกับพจน์ที่มีการคูณซ้ำ เช่น แฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง

T7 Ratio test (d'Alembert) การทดสอบอัตราส่วน

$$\rho = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|:\qquad \rho < 1 \Rightarrow \text{ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์},\quad \rho > 1 \text{ (หรือ } \infty) \Rightarrow \text{ลู่ออก},\quad \rho = 1 \Rightarrow \text{สรุปไม่ได้}$$

อนุกรม p ทุกตัวให้ $\rho = 1$ จึงใช้ ratio test กับเศษส่วนของพหุนามไม่ได้ · ตัวช่วย $\dfrac{(n+1)!}{n!} = n+1$, $\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac1e$

ตัวอย่าง T-5 · อัตราส่วน

### (ก) $\sum \dfrac{n^3}{3^n}$ (ข) $\sum \dfrac{(2n)!}{(n!)^2\,5^n}$ (ค) $\sum \dfrac{n^n}{n!}$

- (ก) $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(n+1)^3}{3^{n+1}}\cdot\dfrac{3^n}{n^3} = \dfrac13\left(1 + \dfrac1n\right)^3 \to \dfrac13 < 1$ ⇒ ลู่เข้า

- (ข) $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2\cdot5} = \dfrac{2(2n+1)}{5(n+1)} \to \dfrac45 < 1$ ⇒ ลู่เข้า

- (ค) $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{n^n} = \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n \to e > 1$ ⇒ ลู่ออก

(ก) ลู่เข้า · (ข) ลู่เข้า · (ค) ลู่ออก

## การทดสอบราก (Root Test) กลาง

T8 Root test (Cauchy) การทดสอบราก

$$\rho = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\ \left(\text{ทั่วไปใช้ } \limsup\right):\quad \rho < 1 \Rightarrow \text{ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์},\quad \rho > 1 \Rightarrow \text{ลู่ออก},\quad \rho = 1 \Rightarrow \text{สรุปไม่ได้}$$

เหมาะกับ $(\cdots)^n$ · ตัวช่วย $\sqrt[n]{n} \to 1$, $\sqrt[n]{n^k} \to 1$, $\sqrt[n]{c} \to 1$

T9 Ratio vs root อัตราส่วนกับราก

$$\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L \ \Rightarrow\ \lim\sqrt[n]{|a_n|} = L$$

รากแข็งแรงกว่า: บางอนุกรมอัตราส่วนแกว่ง (ไม่มีลิมิต) แต่รากยังสรุปได้ เช่น $\sum 2^{-n + (-1)^n}$

ตัวอย่าง T-6 · ราก

### (ก) $\sum\left(\dfrac{2n}{3n+1}\right)^n$ (ข) $\sum\left(1 + \dfrac1n\right)^{-n^2}$

- (ก) $\sqrt[n]{a_n} = \dfrac{2n}{3n+1} \to \dfrac23 < 1$ ⇒ ลู่เข้า

- (ข) $\sqrt[n]{a_n} = \left(1 + \dfrac1n\right)^{-n} \to \dfrac1e < 1$ ⇒ ลู่เข้า (ใช้อัตราส่วนจะยุ่งกว่ามาก)

ลู่เข้าทั้งคู่

## เมื่อการทดสอบปกติได้ 1: ควบแน่นของโคชี ราบี และสเตอร์ลิง ขั้นสูง

ข้อสอบไฟนอลและคณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูงชอบอนุกรมที่ ratio test ได้ 1 พอดี เครื่องมือสามชิ้นนี้ปิดช่องว่างนั้น

T10 Cauchy condensation test การทดสอบควบแน่นของโคชี

$$a_n \downarrow 0:\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า} \iff \sum_{k=0}^{\infty} 2^k a_{2^k} \text{ ลู่เข้า}$$

$\sum \dfrac{1}{n(\ln n)^p} \to \sum \dfrac{2^k}{2^k (k\ln 2)^p} = \dfrac{1}{(\ln2)^p}\sum\dfrac{1}{k^p}$ ลู่เข้า ⇔ $p > 1$

T11 Raabe's test การทดสอบราบี

$$R = \lim_{n\to\infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right):\quad R > 1 \Rightarrow \text{ลู่เข้า},\quad R < 1 \Rightarrow \text{ลู่ออก}$$

ใช้เมื่อ ratio test ได้ $\rho = 1$ · อนุกรม p ให้ $R = p$ พอดี จึงเป็นการวัด “p ที่แฝงอยู่”

T12 Stirling's approximation สูตรประมาณของสเตอร์ลิง

$$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n,\qquad \binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$$

เปลี่ยนแฟกทอเรียลเป็นกำลัง แล้วใช้ T5 หรือ T1 · $10! = 3{,}628{,}800$ สูตรให้ 3,598,696 (คลาด 0.8 %)

ตัวอย่าง T-7 · ราบี

### $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}$ ลู่เข้าหรือไม่

- $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2n+1}{2n+2} \to 1$ ratio test สรุปไม่ได้

- ราบี: $n\left(\dfrac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) = n\left(\dfrac{2n+2}{2n+1} - 1\right) = \dfrac{n}{2n+1} \to \dfrac12 < 1$ ⇒ ลู่ออก

- ยืนยันด้วยสเตอร์ลิง: $a_n = \dfrac{(2n)!}{4^n (n!)^2} = \dfrac{1}{4^n}\binom{2n}{n} \sim \dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}$ เทียบลิมิตกับ $1/\sqrt n$ ซึ่งลู่ออก

ลู่ออก (พจน์ลดลงช้าเหมือน $1/\sqrt{n}$)

## ตัวทดสอบอนุกรมแบบโต้ตอบ พื้นฐาน

เลือกอนุกรมมาตรฐานเพื่อดูเหตุผลเต็ม หรือพิมพ์ $a_n$ เองเพื่อดูอัตราส่วน รากที่ n และผลบวกย่อย (หลักฐานเชิงตัวเลข ไม่ใช่บทพิสูจน์)

## เกมฝึกเลือกการทดสอบ กลาง

40 อนุกรมจากง่ายไปยาก รวมกับดักที่เจอในข้อสอบจริง เช่น $\sum 1/n^{1+1/n}$ และ $\sum (1 + 1/n)^n$ เลือกการทดสอบและผลสรุปแล้วกดตรวจ

## แบบฝึกหัดผสม (ซ่อนเฉลย) กลาง

1$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+2}{n^4+1}$
เทียบลิมิตกับ $1/n^2$: $\lim\dfrac{n^4 + 2n^2}{n^4+1} = 1$ ⇒ ลู่เข้า

2$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^n}{n!}$
อัตราส่วน $\dfrac{5}{n+1} \to 0$ ⇒ ลู่เข้า (ผลบวก $e^5 - 1$)

3$\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{\ln n}$
$\dfrac{n}{\ln n} \to \infty \ne 0$ ⇒ ลู่ออก ด้วยพจน์ที่ n

4$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$
ราก: $\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n} \to \dfrac1e < 1$ ⇒ ลู่เข้า

5$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan n}{n^2}$
$0 < \arctan n < \tfrac{\pi}{2}$ ⇒ $a_n < \dfrac{\pi/2}{n^2}$ ⇒ ลู่เข้า (เปรียบเทียบตรง)

6$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n\,n!}{n^n}$
อัตราส่วน $2\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac2e \approx 0.736 < 1$ ⇒ ลู่เข้า (ถ้าเปลี่ยน 2 เป็น 3 จะได้ 3/e > 1 ลู่ออก)

7$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1.01}}$ เทียบกับ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot 1.01}$
ตัวแรกเป็นอนุกรม p ที่ $p = 1.01 > 1$ ลู่เข้า · ตัวที่สองคือ $\tfrac{1}{1.01}\sum\tfrac1n$ ลู่ออก ระวังอ่านโจทย์

8$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n - n}$
เทียบลิมิตกับ $1/3^n$: $\lim\dfrac{3^n}{3^n - n} = 1$ ⇒ ลู่เข้า (เปรียบเทียบตรงใช้ไม่ได้ทันทีเพราะ $\tfrac{1}{3^n - n} > \tfrac{1}{3^n}$)

## ตารางสรุปการทดสอบ พื้นฐาน

| การทดสอบ | เงื่อนไข | ลู่เข้าเมื่อ | ลู่ออกเมื่อ | สรุปไม่ได้ |

| พจน์ที่ n (T1) | ใด ๆ | — | $a_n \not\to 0$ | $a_n \to 0$ |

| เรขาคณิต | $\sum ar^n$ | $|r| < 1$ | $|r| \ge 1$ | — |

| อนุกรม p | $\sum 1/n^p$ | $p > 1$ | $p \le 1$ | — |

| ปริพันธ์ (T2) | f บวก ต่อเนื่อง ลด | $\int f$ จำกัด | $\int f = \infty$ | — |

| เปรียบเทียบ (T4) | $0 \le a_n \le b_n$ | $\sum b_n$ ลู่เข้า | $\sum a_n$ ลู่ออก | ทิศผิด |

| เปรียบเทียบลิมิต (T5) | $a_n, b_n > 0$ | $0 < c < \infty$: ไปทางเดียวกับ $\sum b_n$ | $c = 0,\infty$ บางกรณี |

| อัตราส่วน (T7) | $a_n \ne 0$ | $\rho < 1$ | $\rho > 1$ | $\rho = 1$ |

| ราก (T8) | ใด ๆ | $\rho < 1$ | $\rho > 1$ | $\rho = 1$ |

| ราบี (T11) | $a_n > 0$ | $R > 1$ | $R < 1$ | $R = 1$ |

## ต่อไป: อนุกรมที่มีเครื่องหมายสลับ

ทุกการทดสอบในหน้านี้ต้องการพจน์บวก (หรือใช้กับค่าสัมบูรณ์) อนุกรมอย่าง $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ ต้องใช้แนวคิดใหม่คือการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ไปต่อที่ อนุกรมสลับและการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ · อ่านบทความผังตัดสินใจฉบับย่อ เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร (English) · ฝึกเพิ่มที่ แนวข้อสอบชุด B

## คำถามที่พบบ่อย

ควรเลือกใช้การทดสอบการลู่เข้าแบบไหนก่อน?
ไล่ตามลำดับนี้: (1) พจน์ไม่เข้าใกล้ 0 ⇒ ลู่ออก (2) เป็นเรขาคณิตหรืออนุกรม p ตอบได้ทันที (3) แยกเศษส่วนย่อยได้ ลองกล้องส่องทางไกล (4) เป็นเศษส่วนของพหุนามหรือราก ใช้เปรียบเทียบแบบลิมิตกับ 1/nᵖ (5) มีแฟกทอเรียลหรือ cⁿ ใช้อัตราส่วน (6) ยกกำลัง n ทั้งก้อนใช้ราก (7) มี ln หรือหาปริพันธ์ได้ง่ายใช้ปริพันธ์ (8) เครื่องหมายสลับใช้การทดสอบอนุกรมสลับ

ratio test ได้ค่า 1 แปลว่าอะไร?
แปลว่าสรุปไม่ได้ อนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ออกก็ได้ เช่น $\sum 1/n$ และ $\sum 1/n^2$ ให้อัตราส่วนเข้าใกล้ 1 ทั้งคู่ แต่ตัวแรกลู่ออก ตัวที่สองลู่เข้า ต้องใช้การทดสอบอื่น เช่น เปรียบเทียบ ปริพันธ์ หรือราบี

comparison test กับ limit comparison test ต่างกันอย่างไร?
comparison test ต้องพิสูจน์อสมการ $0 \le a_n \le b_n$ จริงทุกพจน์ (ใช้สรุปลู่เข้าจากตัวใหญ่ หรือลู่ออกจากตัวเล็ก) ส่วน limit comparison test ดูแค่ $\lim a_n/b_n = c$ ถ้า $0
integral test ใช้ได้เมื่อไร?
เมื่อ $a_n = f(n)$ โดย f เป็นบวก ต่อเนื่อง และลดลงเมื่อ x มากพอ แล้วอนุกรมกับ $\int_N^{\infty} f(x)\,dx$ ลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน ค่าปริพันธ์ไม่ใช่ผลบวกของอนุกรม แต่ให้ขอบเขตเศษเหลือ $\int_{N+1}^{\infty} f \le R_N \le \int_N^{\infty} f$

root test เหมาะกับอนุกรมแบบไหน?
อนุกรมที่พจน์ยกกำลัง n ทั้งก้อน เช่น $(\tfrac{n}{2n+1})^n$ หรือ $(1 - 1/n)^{n^2}$ เพราะ $\sqrt[n]{a_n}$ ทำให้เลขชี้กำลังหายไป root test แข็งแรงกว่า ratio test เล็กน้อย (ถ้า ratio test สรุปได้ root test สรุปได้เหมือนกัน) และใช้หารัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังได้ด้วย

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ควรเลือกใช้การทดสอบการลู่เข้าแบบไหนก่อน?**
ไล่ตามลำดับนี้: (1) พจน์ไม่เข้าใกล้ 0 ⇒ ลู่ออก (2) เป็นเรขาคณิตหรืออนุกรม p ตอบได้ทันที (3) แยกเศษส่วนย่อยได้ ลองกล้องส่องทางไกล (4) เป็นเศษส่วนของพหุนามหรือราก ใช้เปรียบเทียบแบบลิมิตกับ 1/nᵖ (5) มีแฟกทอเรียลหรือ cⁿ ใช้อัตราส่วน (6) ยกกำลัง n ทั้งก้อนใช้ราก (7) มี ln หรือหาปริพันธ์ได้ง่ายใช้ปริพันธ์ (8) เครื่องหมายสลับใช้การทดสอบอนุกรมสลับ

**ratio test ได้ค่า 1 แปลว่าอะไร?**
แปลว่าสรุปไม่ได้ อนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ออกก็ได้ เช่น $\sum 1/n$ และ $\sum 1/n^2$ ให้อัตราส่วนเข้าใกล้ 1 ทั้งคู่ แต่ตัวแรกลู่ออก ตัวที่สองลู่เข้า ต้องใช้การทดสอบอื่น เช่น เปรียบเทียบ ปริพันธ์ หรือราบี

**comparison test กับ limit comparison test ต่างกันอย่างไร?**
comparison test ต้องพิสูจน์อสมการ $0 \le a_n \le b_n$ จริงทุกพจน์ (ใช้สรุปลู่เข้าจากตัวใหญ่ หรือลู่ออกจากตัวเล็ก) ส่วน limit comparison test ดูแค่ $\lim a_n/b_n = c$ ถ้า $0 < c < \infty$ อนุกรมทั้งสองลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน สะดวกกว่ามากสำหรับเศษส่วนของพหุนาม

**integral test ใช้ได้เมื่อไร?**
เมื่อ $a_n = f(n)$ โดย f เป็นบวก ต่อเนื่อง และลดลงเมื่อ x มากพอ แล้วอนุกรมกับ $\int_N^{\infty} f(x)\,dx$ ลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน ค่าปริพันธ์ไม่ใช่ผลบวกของอนุกรม แต่ให้ขอบเขตเศษเหลือ $\int_{N+1}^{\infty} f \le R_N \le \int_N^{\infty} f$

**root test เหมาะกับอนุกรมแบบไหน?**
อนุกรมที่พจน์ยกกำลัง n ทั้งก้อน เช่น $(\tfrac{n}{2n+1})^n$ หรือ $(1 - 1/n)^{n^2}$ เพราะ $\sqrt[n]{a_n}$ ทำให้เลขชี้กำลังหายไป root test แข็งแรงกว่า ratio test เล็กน้อย (ถ้า ratio test สรุปได้ root test สรุปได้เหมือนกัน) และใช้หารัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังได้ด้วย

---

# อนุกรมในงานวิศวกรรม (Series in Engineering): การประมาณ วงจรไม่เชิงเส้น สัญญาณดิจิทัล การแปลง Z และวิธีเชิงตัวเลข

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/engineering-applications/
Updated: 2026-10-24
Summary: การประยุกต์ลำดับและอนุกรมในงานวิศวกรรม: ประมาณมุมเล็ก sin θ ≈ θ และคาบลูกตุ้มมุมกว้าง แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด (small-signal model) การคำนวณ sin และ eˣ ในไมโครคอนโทรลเลอร์ด้วยอนุกรมเทย์เลอร์และ Horner ตัวกรองดิจิทัลกับการแปลง Z และเสถียรภาพ บันไดตัวต้านทานอนันต์ มูลค่าปัจจุบันของโครงการ และการแพร่ความคลาดเคลื่อน พร้อมแล็บโต้ตอบ

// บทที่ 26.8 · ลำดับและอนุกรม · Series in Engineering

# อนุกรมในงานวิศวกรรม (Series in Engineering): การประมาณ วงจรไม่เชิงเส้น สัญญาณดิจิทัล การแปลง Z และวิธีเชิงตัวเลข

สูตรวิศวกรรมจำนวนมากที่ท่องกันมา เช่น $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, $r_d = V_T/I_D$ หรือ “ค่าคงที่เวลา 5τ” แท้จริงคือพจน์แรกของอนุกรม การรู้ว่าตัดพจน์ไหนทิ้งไปบอกได้ทันทีว่าสูตรใช้ได้ถึงแค่ไหน หน้านี้รวมตัวอย่างจากกลศาสตร์ อิเล็กทรอนิกส์ ระบบฝังตัว การประมวลผลสัญญาณ วงจร และเศรษฐศาสตร์วิศวกรรม ทุกตัวเลขคำนวณซ้ำได้ในแล็บ

สรุปใน 30 วินาที

- การทำให้เป็นเชิงเส้น = พหุนามเทย์เลอร์ดีกรี 1 · พจน์ถัดไปบอกขอบเขตความแม่นยำ

- sin θ ≈ θ คลาด 1 % ที่ 14° · คาบลูกตุ้มที่ 60° ยาวกว่าสูตรมุมเล็ก 7.3 %

- ลำดับเรขาคณิต = ผลตอบสนองของตัวกรองอันดับหนึ่ง · การแปลง Z = อนุกรมโลรองต์ · เสถียร ⇔ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

- sin บน float32: ลดช่วงเป็น [−π/2, π/2] แล้วใช้ 6 พจน์ด้วย Horner

## ประมาณมุมเล็กและคาบลูกตุ้มมุมกว้าง พื้นฐาน

สมการลูกตุ้ม $\ddot\theta + \tfrac{g}{L}\sin\theta = 0$ แก้เป็นสูตรปิดไม่ได้ แต่ถ้าแทน $\sin\theta$ ด้วยพจน์แรก $\theta$ จะได้สมการการสั่นอย่างง่ายที่มีคาบ $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ คำถามทางวิศวกรรมคือ “ใช้ได้ถึงมุมเท่าไร” ซึ่งพจน์ถัดไปของอนุกรมตอบได้

E1 Small-angle approximations การประมาณมุมเล็ก

$$\sin\theta \approx \theta - \frac{\theta^3}{6},\quad \tan\theta \approx \theta + \frac{\theta^3}{3},\quad \cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2};\qquad \frac{\theta - \sin\theta}{\sin\theta} \approx \frac{\theta^2}{6}$$

θ เป็นเรเดียน · ความคลาด 1 %: sin θ ≈ θ ถึง 14.0° · tan θ ≈ θ ถึง 9.9° · cos θ ≈ 1 ถึง 8.1°

E2 Pendulum period, any amplitude คาบลูกตุ้มทุกมุม

$$\frac{T}{T_0} = \frac{2}{\pi}K\!\left(\sin\frac{\theta_0}{2}\right) = 1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \frac{11\,\theta_0^4}{3072} + \frac{173\,\theta_0^6}{737280} + \cdots$$

K คืออินทิกรัลวงรีชนิดที่หนึ่ง · คำนวณแม่นตรงได้ด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต $T/T_0 = 1/\operatorname{AGM}(1, \cos\tfrac{\theta_0}{2})$

ตัวอย่าง E-1 · ลูกตุ้มนาฬิกาและเครน

### ลูกตุ้มยาว 1 m แกว่งด้วยแอมพลิจูด 60° คาบจริงยาวกว่าสูตร $2\pi\sqrt{L/g}$ กี่เปอร์เซ็นต์ และถ้าใช้สองพจน์แรกของ E2 คลาดเท่าไร (g = 9.81 m/s²)

- $T_0 = 2\pi\sqrt{1/9.81} = 2.006$ s · $\theta_0 = \pi/3 = 1.0472$ rad

- ค่าแม่นตรง $T/T_0 = 1.07318$ ⇒ $T = 2.153$ s ยาวกว่าสูตรมุมเล็ก 7.3 %

- สองพจน์: $1 + \tfrac{(1.0472)^2}{16} = 1.06854$ คลาด −0.43 % · สามพจน์: 1.07285 คลาด −0.03 %

ยาวกว่า 7.3 % — นาฬิกาลูกตุ้มจึงใช้แอมพลิจูดเล็ก ส่วนเครนยกของที่แกว่งมุมกว้างต้องใช้สูตรเต็มในการคำนวณระบบป้องกันการแกว่ง

## แบบจำลองสัญญาณเล็ก: ไดโอดและทรานซิสเตอร์ กลาง

วงจรอิเล็กทรอนิกส์ทั้งหมดที่เรียนในวิชาอิเล็กทรอนิกส์อนาล็อกวิเคราะห์ด้วย “แบบจำลองสัญญาณเล็ก” ซึ่งคือการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์รอบจุดทำงาน (bias point) แล้วเก็บแค่พจน์ดีกรีหนึ่ง พจน์ดีกรีสองที่ทิ้งไปคือที่มาของความเพี้ยนฮาร์มอนิก

E3 Diode small-signal model แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด

$$i_D = I_S e^{v_D/V_T} \Rightarrow \Delta i = I_D\left(e^{\Delta v/V_T} - 1\right) = I_D\left(\frac{\Delta v}{V_T} + \frac{\Delta v^2}{2V_T^2} + \cdots\right),\quad g_m = \frac{I_D}{V_T},\ r_d = \frac{V_T}{I_D}$$

$V_T = kT/q \approx 25.85$ mV ที่ 300 K · BJT ใช้สูตรเดียวกัน $g_m = I_C/V_T$ · MOSFET (กำลังสอง): $g_m = 2I_D/V_{ov}$

E4 Second-harmonic distortion ความเพี้ยนฮาร์มอนิกที่สอง

$$\Delta v = V_p\cos\omega t \Rightarrow \frac{I_D V_p^2}{2V_T^2}\cos^2\omega t = \frac{I_D V_p^2}{4V_T^2}(1 + \cos 2\omega t)$$

อัตราส่วนฮาร์มอนิกที่สองต่อพื้นฐาน $\approx \dfrac{V_p}{4V_T}$ · 2.6 mV ให้ราว 2.5 %

ตัวอย่าง E-2 · สัญญาณเล็กแค่ไหน

### ไดโอดไบแอสที่ $I_D = 1$ mA หา $r_d$ และความคลาดของแบบจำลองเชิงเส้นเมื่อ $\Delta v = 1$, 5 และ 10 mV

- $r_d = V_T/I_D = 25.85\ \Omega$ · $g_m = 38.7$ mS

- $\Delta v = 1$ mV: จริง $1\,(e^{1/25.85} - 1) = 0.03944$ mA · เชิงเส้น 0.03868 mA ⇒ คลาด −1.9 %

- $\Delta v = 5$ mV: จริง 0.2134 mA · เชิงเส้น 0.1934 mA ⇒ −9.4 % · เพิ่มพจน์ดีกรีสองเหลือ −0.6 %

- $\Delta v = 10$ mV: เชิงเส้นคลาด −18 % · ดีกรีสองคลาด −2.3 %

$r_d = 25.85\ \Omega$ · “สัญญาณเล็ก” สำหรับไดโอดหมายถึงไม่กี่มิลลิโวลต์ (≪ V_T)

## แล็บการประมาณในงานวิศวกรรม พื้นฐาน

สามโหมด: คาบลูกตุ้มเทียบสูตรอนุกรม 1–5 พจน์ · ความคลาดของ sin x จากอนุกรมบนช่วง [−π, π] เทียบ ε ของ float32 พร้อมโค้ดภาษา C · ไดโอดสัญญาณเล็กเทียบแบบเชิงเส้นและดีกรีสอง

## คำนวณ sin x และ eˣ บนไมโครคอนโทรลเลอร์ กลาง

ชิปที่ไม่มีหน่วยคำนวณฟังก์ชันพิเศษต้องคำนวณ sin, cos, exp เองจากการบวกและคูณ สองเทคนิคที่ทำให้อนุกรมเทย์เลอร์ใช้งานได้จริงคือการลดช่วง (ทำให้ |x| เล็ก เพราะเศษเหลือแปรตาม $|x|^{n+1}$) และวิธีของฮอร์เนอร์ (ลดจำนวนการคูณและความคลาดจากการปัดเศษ)

E5 Horner's method วิธีของฮอร์เนอร์

$$\sin x \approx x\left(1 + x^2\left(-\tfrac{1}{3!} + x^2\left(\tfrac{1}{5!} + x^2\left(-\tfrac{1}{7!} + \cdots\right)\right)\right)\right)$$

ดีกรี n ใช้การคูณ n ครั้ง (แทนการคำนวณกำลังแยก) · ทุกขั้นเป็น multiply-add ที่ DSP ทำได้ในคำสั่งเดียว

E6 Range reduction การลดช่วง

$$\sin x = \sin(\pi - x),\ \ \sin(x + 2\pi k) = \sin x;\qquad e^x = 2^k e^r,\ \ |r| \le \tfrac{\ln 2}{2}$$

หลังลดช่วง |x| ≤ π/2 สำหรับ sin และ |r| ≤ 0.347 สำหรับ exp ทำให้ใช้พจน์น้อย · $2^k$ คือการปรับเลขชี้กำลังของ float โดยตรง

ตัวอย่าง E-3 · ใช้กี่พจน์สำหรับ float32

### ต้องใช้อนุกรมแมคลอรินของ sin x กี่พจน์บนช่วง $|x| \le \pi/2$ ให้คลาดไม่เกินครึ่งหน่วยหลักสุดท้ายของ float32 ใกล้ 1 (ประมาณ $6\times10^{-8}$)

- อนุกรมสลับ ความคลาด ≤ พจน์แรกที่ตัดทิ้ง ที่ขอบช่วง $x = \pi/2$: K พจน์ ⇒ $\dfrac{(\pi/2)^{2K+1}}{(2K+1)!}$

- K = 5 (ดีกรี 9): $3.6\times10^{-6}$ ไม่พอ · K = 6 (ดีกรี 11): $5.7\times10^{-8}$ ✓

- ถ้าไม่ลดช่วง (|x| ≤ π) ด้วย 6 พจน์ ความคลาดสูงสุดถึง $4.5\times10^{-4}$ แย่กว่าเกือบหมื่นเท่า

6 พจน์ (ดีกรี 11) หลังลดช่วง · ใช้การคูณ 7 ครั้งด้วย Horner

## ตัวกรองดิจิทัล ลำดับเรขาคณิต และการแปลง Z กลาง

ตัวกรองค่าเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนักเอกซ์โพเนนเชียล (EMA) ที่ใช้กรองสัญญาณเซนเซอร์ในไมโครคอนโทรลเลอร์ คือความสัมพันธ์เวียนเกิดอันดับหนึ่ง (Q8) ผลตอบสนองทั้งหมดอ่านได้จากอนุกรมเรขาคณิต

E7 First-order IIR filter ตัวกรองดิจิทัลอันดับหนึ่ง

$$y[n] = a\,y[n-1] + (1-a)\,x[n]:\quad h[n] = (1-a)a^n u[n],\quad s[n] = \sum_{k=0}^{n} h[k] = 1 - a^{n+1},\quad H(z) = \frac{1-a}{1 - az^{-1}},\ |z| > |a|$$

อัตราขยาย DC $= \sum h[n] = H(1) = 1$ · ค่าคงที่เวลาประมาณ $\tfrac{1}{1-a}$ ตัวอย่าง · เสถียร ⇔ $\sum|h[n]| < \infty$ ⇔ $|a| < 1$ (L12)

ตัวอย่าง E-4 · ตัวกรองเซนเซอร์

### ตัวกรอง $y[n] = 0.9\,y[n-1] + 0.1\,x[n]$ เริ่มจาก $y[-1] = 0$ ป้อนขั้นบันได $x[n] = 1$ ต้องใช้กี่ตัวอย่างเอาต์พุตจึงถึง 95 % ถ้าสุ่มตัวอย่างทุก 10 ms คิดเป็นเวลาเท่าไร

- จาก E7: $y[n] = 1 - 0.9^{n+1}$ ต้องการ $0.9^{n+1} \le 0.05$

- $n + 1 \ge \dfrac{\ln 0.05}{\ln 0.9} = 28.43$ ⇒ $n + 1 = 29$ ⇒ $n = 28$ (ตัวอย่างที่ 29 นับจาก n = 0) · ตรวจ $y[27] = 0.948$, $y[28] = 0.953$

- เวลา $\approx 29 \times 10 = 290$ ms

29 ตัวอย่าง ≈ 0.29 s — ค่า a ใกล้ 1 กรองสัญญาณรบกวนได้มาก แต่ตอบสนองช้า (แลกเปลี่ยนแบบเดียวกับ τ ของวงจร RC)

## บันไดตัวต้านทานอนันต์และเศษส่วนต่อเนื่อง กลาง

สายส่งสัญญาณยาวและแบบจำลองสายเคเบิลมักเป็นบันไดของตัวต้านทานหรืออิมพีแดนซ์ซ้ำกันหลายขั้น ความต้านทานที่มองเข้าไปเป็นลำดับเวียนเกิด และขีดจำกัดของมันคือ “อิมพีแดนซ์ลักษณะเฉพาะ” (characteristic impedance)

บันไดตัวต้านทาน แต่ละขั้นมี R อนุกรมและ R ขนานลงกราวด์ ความต้านทานที่มองเข้า $R_{n+1} = R + R\parallel R_n$

E8 Infinite resistor ladder บันไดตัวต้านทานอนันต์

$$R_{n+1} = R + \frac{R\,R_n}{R + R_n},\quad R_\infty = R + \frac{R\,R_\infty}{R + R_\infty} \Rightarrow R_\infty = \frac{1 + \sqrt5}{2}R \approx 1.618R$$

$R_n/R = F_{2n+1}/F_{2n}$ (อัตราส่วนฟีโบนัชชี: 2, 5/3, 13/8, 34/21, …) ลู่เข้าเร็วแบบเรขาคณิต

ตัวอย่าง E-5 · ขั้นจำกัด

### R = 10 Ω หาความต้านทานของบันไดอนันต์ และบันได 1–5 ขั้นคลาดจากค่าอนันต์เท่าไร

- $R_\infty = 10 \times 1.6180 = 16.180\ \Omega$

- $R_1 = 20,\ R_2 = 16.667,\ R_3 = 16.250,\ R_4 = 16.190,\ R_5 = 16.182\ \Omega$

- ความคลาด: 23.6 %, 3.0 %, 0.43 %, 0.063 %, 0.009 % (ลดลงประมาณ 7 เท่าต่อขั้น ≈ $\varphi^4$)

16.18 Ω · บันไดเพียง 4 ขั้นก็ใช้แทนสายยาวไม่สิ้นสุดได้ในทางปฏิบัติ

## เศรษฐศาสตร์วิศวกรรม: มูลค่าปัจจุบันเป็นอนุกรมเรขาคณิต พื้นฐาน

E9 Present value of an annuity มูลค่าปัจจุบันของรายรับคงที่

$$PV = \sum_{k=1}^{n}\frac{A}{(1+i)^k} = A\,\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i},\qquad n \to \infty:\ PV = \frac{A}{i}$$

เป็น S5 กับ $r = \tfrac{1}{1+i}$ · ใช้เทียบโครงการโซลาร์ ตู้คาปาซิเตอร์ หรือการเปลี่ยนมอเตอร์ประสิทธิภาพสูง

ตัวอย่าง E-6 · โซลาร์รูฟท็อป

### ระบบโซลาร์ช่วยประหยัดค่าไฟปีละ 12,000 บาท นาน 25 ปี อัตราคิดลด 6 % ต่อปี มูลค่าปัจจุบันรวมเท่าไร

- $PV = 12{,}000 \times \dfrac{1 - 1.06^{-25}}{0.06} = 12{,}000 \times 12.7834$

- $= 153{,}400$ บาท (เทียบกับรวมเงินตรง ๆ 300,000 บาท และถ้าประหยัดตลอดไป $12{,}000/0.06 = 200{,}000$ บาท)

≈ 153,400 บาท — ถ้าติดตั้งได้ต่ำกว่านี้ (และค่าบำรุงรักษารวมแล้ว) โครงการคุ้มค่า ดูการออกแบบเต็มในเศรษฐศาสตร์โซลาร์เซลล์

## การแพร่ความคลาดเคลื่อนจากการวัด กลาง

E10 Linear error propagation การแพร่ความคลาดเคลื่อนเชิงเส้น

$$\Delta f \approx f'(x)\,\Delta x,\qquad f = Cx^k \Rightarrow \frac{\Delta f}{f} \approx k\frac{\Delta x}{x}$$

พหุนามเทย์เลอร์ดีกรีหนึ่ง · หลายตัวแปรใช้อนุพันธ์ย่อย $\Delta f \approx |f_x|\Delta x + |f_y|\Delta y$

E11 Early-time RC response ช่วงแรกของวงจร RC

$$v_C = V\left(1 - e^{-t/\tau}\right) = V\left(\frac{t}{\tau} - \frac{t^2}{2\tau^2} + \cdots\right) \approx \frac{V}{\tau}t$$

ช่วง $t \ll \tau$ ตัวเก็บประจุชาร์จเป็นเส้นตรงเหมือนป้อนด้วยแหล่งจ่ายกระแส $I = V/R$ (หลักของวงจรสร้างสัญญาณฟันเลื่อย)

ตัวอย่าง E-7 · กำลังไฟฟ้า

### แรงดันจ่ายตัวต้านทานผิดพลาด +1 % กำลัง $P = V^2/R$ ผิดพลาดเท่าไร

- E10 กับ k = 2: $\dfrac{\Delta P}{P} \approx 2\times1\% = 2\%$

- ค่าแม่นตรง $(1.01)^2 - 1 = 2.01\%$ พจน์ที่ทิ้งคือ $(\Delta V/V)^2$

≈ 2 % — กฎ “ความคลาดสัมพัทธ์คูณด้วยเลขชี้กำลัง” ใช้ตรวจสเปกเครื่องวัดได้รวดเร็ว

## อนุกรมที่อยู่เบื้องหลังวิชาอื่นในหลักสูตร พื้นฐาน

สัญญาณ · ไฟฟ้ากำลัง

### อนุกรมฟูริเยร์
อนุกรมของ sin-cos แทนรูปคลื่นคาบ ใช้วิเคราะห์ฮาร์มอนิก THD และวงจรเรียงกระแส

วงจร · ควบคุม

### Inverse Laplace ด้วยเรซิดิว
แยกเศษส่วนย่อย = หาเรซิดิว (อนุกรมโลรองต์) ของ F(s)eˢᵗ ที่แต่ละโพล

ควบคุมดิจิทัล

### การแปลง Z และ ZOH
ROC เป็นวงแหวนของอนุกรมโลรองต์ เสถียรเมื่อโพลอยู่ในวงกลมหนึ่งหน่วย

อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

### แบบจำลองเฉลี่ยและสัญญาณเล็ก
ทำให้คอนเวอร์เตอร์ที่สวิตช์ไม่เชิงเส้นเป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงาน แบบเดียวกับไดโอด

## ต่อไป: ฝึกโจทย์ให้พร้อมสอบ

ทุกเครื่องมือในบทพร้อมแล้ว ไปทดสอบความเข้าใจที่ แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม ซึ่งมีโจทย์ 60 ข้อสามระดับพร้อมเฉลย และเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัด · ใช้เครื่องมือทั้งหมดใน แล็บรวม · ทบทวน อนุกรมเทย์เลอร์

## คำถามที่พบบ่อย

ประมาณ sin θ ≈ θ ใช้ได้ถึงมุมเท่าไร?
ขึ้นกับความคลาดที่ยอมรับได้ ความคลาดสัมพัทธ์ประมาณ $\theta^2/6$ (θ เป็นเรเดียน) ถ้ายอมให้คลาด 1 % ใช้ได้ถึงราว 0.244 rad หรือ 14° ส่วน tan θ ≈ θ คลาด 1 % ที่ราว 9.9° และ cos θ ≈ 1 คลาด 1 % ที่ราว 8.1°

แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดมาจากไหน?
มาจากพหุนามเทย์เลอร์ดีกรีหนึ่งของสมการไดโอด $i = I_S(e^{v/V_T} - 1)$ รอบจุดไบแอส ได้ $\Delta i \approx (I_D/V_T)\Delta v$ คือความนำ $g_m = I_D/V_T$ หรือความต้านทาน $r_d = V_T/I_D$ ใช้ได้ดีเมื่อ $|\Delta v| \ll V_T \approx 26$ mV ที่ 1 mV คลาดราว 2 % ที่ 10 mV คลาดราว 18 %

ไมโครคอนโทรลเลอร์คำนวณ sin x ด้วยอนุกรมเทย์เลอร์จริงไหม?
ใช้หลักการเดียวกัน: ลดช่วง (range reduction) ให้ x อยู่ในช่วงเล็ก แล้วประเมินพหุนามด้วยวิธีของฮอร์เนอร์ ช่วง [−π/2, π/2] ต้องใช้ 6 พจน์ (ดีกรี 11) จึงคลาดไม่เกิน $5.7\times10^{-8}$ พอสำหรับ float32 ไลบรารีจริงลดช่วงเหลือ [−π/4, π/4] และใช้สัมประสิทธิ์แบบ minimax ที่ปรับจากเทย์เลอร์

อนุกรมเกี่ยวกับตัวกรองดิจิทัลและการแปลง Z อย่างไร?
ผลตอบสนองอิมพัลส์ของตัวกรองอันดับหนึ่ง $h[n] = (1-a)a^n$ เป็นลำดับเรขาคณิต ผลตอบสนองต่อขั้นบันไดคือผลบวกย่อยของมัน และการแปลง Z $H(z) = \sum h[n]z^{-n}$ คืออนุกรมโลรองต์ ระบบเสถียรเมื่อ $\sum|h[n]|$ ลู่เข้า ซึ่งสำหรับตัวกรองนี้คือ $|a|
มูลค่าปัจจุบันของรายรับที่ได้เท่ากันทุกปีคำนวณอย่างไร?
เป็นอนุกรมเรขาคณิตจำกัด $PV = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{(1+i)^k} = A\dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$ เช่น ประหยัดปีละ 12,000 บาท 25 ปี อัตราคิดลด 6 % ได้ PV ≈ 153,400 บาท ถ้าไม่สิ้นสุดได้ A/i = 200,000 บาท

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ประมาณ sin θ ≈ θ ใช้ได้ถึงมุมเท่าไร?**
ขึ้นกับความคลาดที่ยอมรับได้ ความคลาดสัมพัทธ์ประมาณ $\theta^2/6$ (θ เป็นเรเดียน) ถ้ายอมให้คลาด 1 % ใช้ได้ถึงราว 0.244 rad หรือ 14° ส่วน tan θ ≈ θ คลาด 1 % ที่ราว 9.9° และ cos θ ≈ 1 คลาด 1 % ที่ราว 8.1°

**แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดมาจากไหน?**
มาจากพหุนามเทย์เลอร์ดีกรีหนึ่งของสมการไดโอด $i = I_S(e^{v/V_T} - 1)$ รอบจุดไบแอส ได้ $\Delta i \approx (I_D/V_T)\Delta v$ คือความนำ $g_m = I_D/V_T$ หรือความต้านทาน $r_d = V_T/I_D$ ใช้ได้ดีเมื่อ $|\Delta v| \ll V_T \approx 26$ mV ที่ 1 mV คลาดราว 2 % ที่ 10 mV คลาดราว 18 %

**ไมโครคอนโทรลเลอร์คำนวณ sin x ด้วยอนุกรมเทย์เลอร์จริงไหม?**
ใช้หลักการเดียวกัน: ลดช่วง (range reduction) ให้ x อยู่ในช่วงเล็ก แล้วประเมินพหุนามด้วยวิธีของฮอร์เนอร์ ช่วง [−π/2, π/2] ต้องใช้ 6 พจน์ (ดีกรี 11) จึงคลาดไม่เกิน $5.7\times10^{-8}$ พอสำหรับ float32 ไลบรารีจริงลดช่วงเหลือ [−π/4, π/4] และใช้สัมประสิทธิ์แบบ minimax ที่ปรับจากเทย์เลอร์

**อนุกรมเกี่ยวกับตัวกรองดิจิทัลและการแปลง Z อย่างไร?**
ผลตอบสนองอิมพัลส์ของตัวกรองอันดับหนึ่ง $h[n] = (1-a)a^n$ เป็นลำดับเรขาคณิต ผลตอบสนองต่อขั้นบันไดคือผลบวกย่อยของมัน และการแปลง Z $H(z) = \sum h[n]z^{-n}$ คืออนุกรมโลรองต์ ระบบเสถียรเมื่อ $\sum|h[n]|$ ลู่เข้า ซึ่งสำหรับตัวกรองนี้คือ $|a| < 1$

**มูลค่าปัจจุบันของรายรับที่ได้เท่ากันทุกปีคำนวณอย่างไร?**
เป็นอนุกรมเรขาคณิตจำกัด $PV = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{(1+i)^k} = A\dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$ เช่น ประหยัดปีละ 12,000 บาท 25 ปี อัตราคิดลด 6 % ได้ PV ≈ 153,400 บาท ถ้าไม่สิ้นสุดได้ A/i = 200,000 บาท

---

# แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม (Exam Practice): เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย มิดเทอม และไฟนอล พร้อมเฉลยละเอียดและโจทย์สุ่ม

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/exam-practice/
Updated: 2026-10-24
Summary: แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม 60 ข้อพร้อมเฉลยทีละขั้น แบ่ง 3 ชุด: เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย (ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต ซิกมา อนุกรมอนันต์ ลิมิตของลำดับ) แคลคูลัส 2 (การทดสอบการลู่เข้า ช่วงการลู่เข้า อนุกรมเทย์เลอร์ ลิมิตด้วยอนุกรม) และคณิตศาสตร์วิศวกรรม (อนุกรมโลรองต์ เรซิดิว การแปลง Z แก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยอนุกรม) พร้อมเครื่องสุ่มโจทย์ตรวจคำตอบอัตโนมัติ

// บทที่ 26.9 · ลำดับและอนุกรม · Exam Practice

# แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม (Exam Practice): เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย มิดเทอม และไฟนอล พร้อมเฉลยละเอียดและโจทย์สุ่ม

60 ข้อเรียงจากระดับมัธยมปลายถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม ทุกข้อซ่อนเฉลยไว้ให้ลองทำเองก่อน แต่ละเฉลยบอกเครื่องมือที่ใช้และลิงก์กลับไปยังหัวข้อในบทเรียน ปิดท้ายด้วยเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัดที่ตรวจคำตอบให้ทันที และเกมฝึกเลือกการทดสอบ

วิธีใช้หน้านี้

- อ่านโจทย์ ลองทำในกระดาษ 3–5 นาที แล้วค่อยแตะ “เฉลย” เพื่อเทียบ

- ผิดข้อไหน ให้กดลิงก์ในเฉลยกลับไปอ่านหัวข้อนั้น แล้วฝึกหมวดเดียวกันในเครื่องสุ่มโจทย์

- ชุด A ≈ A-Level / TCAS · ชุด B ≈ มิดเทอม-ไฟนอลแคลคูลัส 2 · ชุด C ≈ คณิตศาสตร์วิศวกรรม / ตัวแปรเชิงซ้อน

## ผังหัวข้อที่ออกสอบ

| หัวข้อ | เข้ามหาวิทยาลัย | แคลคูลัส 2 | คณิตศาสตร์วิศวกรรม | บทเรียน |

| ลำดับเลขคณิต · เรขาคณิต · เวียนเกิด | ●●● | ● | ● | 26.1 |

| ลิมิตของลำดับ | ●● | ●● | ● | 26.1 |

| ซิกมา · อนุกรมเรขาคณิต · กล้องส่องทางไกล | ●●● | ●● | ● | 26.2 |

| การทดสอบการลู่เข้า · อนุกรมสลับ | — | ●●● | ●● | 26.3 · 26.4 |

| อนุกรมกำลัง · ช่วงการลู่เข้า | — | ●●● | ●● | 26.5 |

| อนุกรมเทย์เลอร์ · ลิมิตด้วยอนุกรม | ● | ●●● | ●● | 26.6 |

| อนุกรมโลรองต์ · เรซิดิว · การแปลง Z | — | — | ●●● | 26.7 |

## ชุด A · เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย (20 ข้อ) พื้นฐาน

A1ลำดับเลขคณิตมี $a_3 = 7$ และ $a_8 = 22$ จงหา $S_{20}$
$a_8 - a_3 = 5d = 15 \Rightarrow d = 3,\ a_1 = 1$ · $S_{20} = \tfrac{20}{2}\left(2\cdot1 + 19\cdot3\right) = 10\times59$
590 · S4

A2จำนวนเต็มระหว่าง 100 ถึง 500 ที่หารด้วย 7 ลงตัวมีกี่จำนวน และผลบวกเท่าใด
ตัวแรก 105 ตัวสุดท้าย 497 · $n = \tfrac{497 - 105}{7} + 1 = 57$ · $S = \tfrac{57}{2}(105 + 497) = 57\times301$
57 จำนวน ผลบวก 17,157

A3ลำดับเรขาคณิตมี $a_2 = 12$ และ $a_5 = 96$ จงหา $S_6$
$r^3 = 96/12 = 8 \Rightarrow r = 2,\ a_1 = 6$ · $S_6 = 6\cdot\dfrac{2^6 - 1}{2 - 1}$
378

A4$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n + 3^n}{6^n}$
แยก $\sum\left(\tfrac13\right)^n + \sum\left(\tfrac12\right)^n = \dfrac{1/3}{2/3} + \dfrac{1/2}{1/2} = \tfrac12 + 1$
$\tfrac32$ · S6

A5เขียน $0.1\overline{23}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
$\tfrac{1}{10} + \tfrac{23}{1000}\left(1 + \tfrac{1}{100} + \cdots\right) = \tfrac{1}{10} + \tfrac{23}{990} = \tfrac{99 + 23}{990} = \tfrac{122}{990}$
$\tfrac{61}{495}$

A6$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k(k+1)(k+2)$
$= \sum(k^3 + 3k^2 + 2k) = 3025 + 3(385) + 2(55)$ หรือสูตรลัด $\tfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} = \tfrac{10\cdot11\cdot12\cdot13}{4}$
4,290 · S3

A7$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+3)}$
$\dfrac{1}{n(n+3)} = \dfrac13\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+3}\right)$ เหลือ 3 พจน์แรก: $\dfrac13\left(1 + \tfrac12 + \tfrac13\right) = \dfrac13\cdot\dfrac{11}{6}$
$\tfrac{11}{18}$ · S9

A8$\lim\left(\sqrt{n^2 + 3n} - \sqrt{n^2 - n}\right)$
คูณคอนจูเกต: $\dfrac{4n}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2-n}} = \dfrac{4}{\sqrt{1 + 3/n} + \sqrt{1 - 1/n}} \to \dfrac42$
2

A9$\lim\left(1 + \dfrac2n\right)^{3n}$
$\left[\left(1 + \tfrac2n\right)^n\right]^3 \to (e^2)^3$
$e^6$ · Q14

A10$\lim\dfrac{3^{n+1} + 2^n}{3^n - 2^{n+1}}$
หารด้วย $3^n$: $\dfrac{3 + (2/3)^n}{1 - 2(2/3)^n} \to 3$
3

A11$\lim\dfrac{1 + 2 + 3 + \cdots + n}{n^2}$
$\dfrac{n(n+1)/2}{n^2} \to \tfrac12$
$\tfrac12$

A12สามจำนวนเป็นลำดับเลขคณิต ผลบวก 18 ผลคูณ 120 จงหาสามจำนวนนั้น
เขียน $6 - d,\ 6,\ 6 + d$ (เพราะผลบวก $3\times6$) · $6(36 - d^2) = 120 \Rightarrow d^2 = 16$
2, 6, 10

A13อนุกรมเรขาคณิตอนันต์มีผลบวก 12 และผลบวกของพจน์ตำแหน่งคี่ (พจน์ที่ 1, 3, 5, …) เท่ากับ 9 จงหา a และ r
$\dfrac{a}{1-r} = 12$ และ $\dfrac{a}{1-r^2} = 9$ · หาร: $\dfrac{1}{1+r} = \dfrac{9}{12} \Rightarrow r = \tfrac13,\ a = 12\cdot\tfrac23$
$a = 8,\ r = \tfrac13$

A14$a_1 = 2,\ a_{n+1} = a_n + 2n$ จงหา $a_{20}$
$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}2k = 2 + n(n-1)$ · $a_{20} = 2 + 20\cdot19$
382

A15$a_1 = 1,\ a_{n+1} = 2a_n + 1$ จงหาสูตร $a_n$ และ $a_{10}$
จุดตรึง L = −1 ⇒ $a_n + 1 = 2^{n-1}(a_1 + 1) = 2^n$
$a_n = 2^n - 1,\ a_{10} = 1023$ · Q8

A16ผลบวกของจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 100 ที่หารด้วย 3 ไม่ลงตัว
ผลบวกทั้งหมด 5050 ลบผลคูณของ 3: $3(1 + 2 + \cdots + 33) = 3\cdot561 = 1683$
3,367

A17$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4^n}$
วิธี S − rS หรือสูตร $\dfrac{r}{(1-r)^2}$ กับ $r = \tfrac14$: $\dfrac{1/4}{9/16}$
$\tfrac49$ · S16

A18$\lim n\left(\sqrt{n^2 + 1} - n\right)$
$n\cdot\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1} + n} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 1/n^2} + 1} \to \tfrac12$
$\tfrac12$

A19หาค่า x ที่ทำให้ $1 + \dfrac{x-2}{3} + \left(\dfrac{x-2}{3}\right)^2 + \cdots = 2$
$\dfrac{1}{1 - r} = 2 \Rightarrow r = \tfrac12$ (ตรวจ |r| < 1 ✓) · $\dfrac{x-2}{3} = \tfrac12$
$x = \tfrac72$

A20$a_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 - n}$ ลู่เข้าสู่ค่าใด และหา N ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $|a_n - L| < 0.01$ ทุก $n > N$
$L = \tfrac12$ · $a_n - \tfrac12 = \dfrac{n + 2}{4n^2 - 2n}$ (บวกและลดลง) ต้องการ $\dfrac{n+2}{4n^2 - 2n} < 0.01 \iff 0.04n^2 - 1.02n - 2 > 0 \iff n > 27.3$
$L = \tfrac12,\ N = 27$ · Q11

## ชุด B · แคลคูลัส 2 มิดเทอม-ไฟนอล (20 ข้อ) กลาง

B1$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2 + 1}{n^3 + 2n}$ ลู่เข้าหรือลู่ออก
เทียบลิมิตกับ $\tfrac1n$: $\lim\dfrac{n^3 + n}{n^3 + 2n} = 1$ ฮาร์มอนิกลู่ออก
ลู่ออก · T5

B2$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}$ ลู่เข้าหรือไม่ ถ้าลู่เข้าหาผลบวก
อัตราส่วน $\tfrac{(n+1)^2}{2n^2} \to \tfrac12$ ลู่เข้า · สูตร $\sum n^2r^n = \dfrac{r(1+r)}{(1-r)^3} = \dfrac{(1/2)(3/2)}{1/8}$
ลู่เข้า ผลบวก 6

B3$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n + 1}$ ลู่เข้าแบบใด
$b_n = \tfrac{1}{\sqrt n + 1}$ ลดลง → 0 ลู่เข้า (ไลบ์นิซ) · ค่าสัมบูรณ์เทียบลิมิตกับ $1/\sqrt n$ ลู่ออก
ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข · A5

B4$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)$
$\ln(1 + u) \sim u$ ⇒ เทียบลิมิตกับ $1/n^2$ ได้ 1
ลู่เข้า · T6

B5$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n + n}{3^n - n}$
ตัวเด่น $(2/3)^n$: $\lim\dfrac{(2^n + n)/(3^n - n)}{(2/3)^n} = 1$ อนุกรมเรขาคณิต r = 2/3 ลู่เข้า
ลู่เข้า

B6หาผลบวก $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}$
$\sum nr^n = \dfrac{r}{(1-r)^2}$ กับ $r = e^{-1}$: $\dfrac{e^{-1}}{(1 - e^{-1})^2} = \dfrac{e}{(e-1)^2}$
$\dfrac{e}{(e-1)^2} \approx 0.9207$

B7หาช่วงการลู่เข้าของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+1)^n}{n\,3^n}$
อัตราส่วน $\tfrac{|x+1|}{3}$ ⇒ $R = 3$ รอบ −1 · x = −4: $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ ลู่เข้า · x = 2: $\sum\tfrac1n$ ลู่ออก
$[-4, 2)$ · P5

B8หาช่วงการลู่เข้าของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^n}{2^n(n+1)}$
อัตราส่วน $\tfrac{|x|}{2}$ ⇒ $R = 2$ · ที่ $x = \pm2$: $|a_n| = \tfrac{n}{n+1} \to 1 \ne 0$ ลู่ออกทั้งสองปลาย
$(-2, 2)$

B9หาช่วงการลู่เข้าของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{2n}}{9^n\,n^2}$
อนุกรมใน $u = (x-1)^2/9$: ลู่เข้าเมื่อ $|x - 1| < 3$ · ปลาย: $\sum\tfrac{1}{n^2}$ ลู่เข้าทั้งคู่
$[-2, 4]$

B10หารัศมีการลู่เข้าของ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!\,x^n}{(2n)!}$
$\left|\tfrac{c_{n+1}}{c_n}\right| = \dfrac{n+1}{(2n+2)(2n+1)} = \dfrac{1}{2(2n+1)} \to 0$
$R = \infty$

B11อนุกรมแมคลอรินของ $x^2e^{-x}$ ถึงพจน์ $x^5$
$x^2\left(1 - x + \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{6} + \cdots\right)$
$x^2 - x^3 + \tfrac{x^4}{2} - \tfrac{x^5}{6}$ · Y16

B12อนุกรมเทย์เลอร์ของ $\tfrac1x$ รอบ $a = 2$ และช่วงการลู่เข้า
$\dfrac{1}{2 + (x-2)} = \dfrac12\cdot\dfrac{1}{1 + \frac{x-2}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n(x-2)^n}{2^{n+1}}$ · ลู่เข้าเมื่อ $|x - 2| < 2$
$\sum\tfrac{(-1)^n(x-2)^n}{2^{n+1}}$, ช่วง $(0, 4)$

B13$\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x^2} - 1 - x^2}{x^4}$
$e^{x^2} = 1 + x^2 + \tfrac{x^4}{2} + \cdots$
$\tfrac12$ · ลิมิตด้วยอนุกรม

B14$\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x) - x + x^2/2}{x^3}$
$\ln(1+x) = x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3} - \cdots$
$\tfrac13$

B15$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\pi^{2n+1}}{4^{2n+1}(2n+1)!}$
เป็นอนุกรมของ $\sin x$ ที่ $x = \tfrac{\pi}{4}$
$\tfrac{\sqrt2}{2}$

B16$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,2^n}$
$\ln(1+x) = \sum\tfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$ ที่ $x = \tfrac12$
$\ln\tfrac32 \approx 0.4055$

B17ประมาณ $\displaystyle\int_0^{0.5}\frac{dx}{1 + x^4}$ ให้คลาดไม่เกิน $10^{-4}$
$\dfrac{1}{1+x^4} = 1 - x^4 + x^8 - \cdots$ อินทิกรัล: $0.5 - \tfrac{0.5^5}{5} + \tfrac{0.5^9}{9} - \tfrac{0.5^{13}}{13} + \cdots$ · พจน์ที่สี่ $9.4\times10^{-6} < 10^{-4}$ จึงพอที่สามพจน์: $0.5 - 0.00625 + 0.000217$
≈ 0.49397 (ค่าจริง 0.493958)

B18ต้องบวก $\sum 1/n^4$ กี่พจน์ ความคลาดจึงน้อยกว่า $10^{-4}$ (ใช้ขอบเขตปริพันธ์)
$R_N \le \int_N^\infty x^{-4}dx = \dfrac{1}{3N^3} < 10^{-4} \iff N^3 > 3333.3$ · $14^3 = 2744,\ 15^3 = 3375$
15 พจน์ · T3

B19ประมาณ $\cos 0.3$ ด้วย $P_4$ และหาขอบเขตความคลาด
$1 - \tfrac{0.09}{2} + \tfrac{0.0081}{24} = 0.9553375$ · อนุกรมสลับ: $|R| \le \tfrac{0.3^6}{720} = 1.01\times10^{-6}$
0.9553375 ± 1.0×10⁻⁶ (จริง 0.9553365)

B20$\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n\ln n\,\ln(\ln n)}$
$\int_3^\infty\dfrac{dx}{x\ln x\ln\ln x} = \left[\ln\ln\ln x\right]_3^\infty = \infty$ (ลู่ออกช้าที่สุดเท่าที่จะนึกออก)
ลู่ออก · T2

## ชุด C · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง (20 ข้อ) ขั้นสูง

C1อนุกรมโลรองต์ของ $\dfrac{1}{z(z-2)}$ ใน (ก) $0 < |z| < 2$ (ข) $|z| > 2$
$\dfrac{1}{z(z-2)} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{z-2} - \dfrac1z\right)$ · (ก) $\dfrac{1}{z-2} = -\sum\dfrac{z^n}{2^{n+1}}$ · (ข) $\dfrac{1}{z-2} = \sum\dfrac{2^n}{z^{n+1}}$ แล้วพจน์ $\tfrac{1}{2z}$ หักล้าง
(ก) $-\tfrac{1}{2z} - \tfrac14 - \tfrac{z}{8} - \tfrac{z^2}{16} - \cdots$ · (ข) $\tfrac{1}{z^2} + \tfrac{2}{z^3} + \tfrac{4}{z^4} + \cdots$ · L-1

C2เรซิดิวของ $\dfrac{z}{(z-1)(z+2)^2}$ ที่ทุกโพล
z = 1 (อย่างง่าย): $\dfrac{1}{9}$ · z = −2 (อันดับ 2): $\dfrac{d}{dz}\left[\dfrac{z}{z-1}\right]_{-2} = \dfrac{-1}{(z-1)^2}\Big|_{-2} = -\dfrac19$
$\tfrac19$ และ $-\tfrac19$ (ผลรวมเป็น 0 เพราะดีกรีล่างมากกว่าบน 2)

C3$\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{z^2 + 1}{z(z-1)}\,dz$
Res ที่ 0: $\tfrac{1}{-1} = -1$ · Res ที่ 1: $\tfrac{2}{1} = 2$ · รวม 1
$2\pi i$ · L9

C4$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^2 + 4x + 5}$
โพล $-2 \pm i$ ครึ่งบน $-2 + i$: Res $= \tfrac{1}{2i}$ ⇒ $2\pi i\cdot\tfrac{1}{2i}$
$\pi$

C5$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x^2 + 1}\,dx$
ใช้ $\dfrac{e^{iz}}{z^2+1}$ (บนครึ่งบน $|e^{iz}| \le 1$) Res ที่ i: $\dfrac{e^{-1}}{2i}$ ⇒ ส่วนจริงของ $2\pi i\cdot\dfrac{e^{-1}}{2i}$
$\dfrac{\pi}{e} \approx 1.1557$

C6จำแนกจุด z = 0 ของ $\dfrac{1 - \cos z}{z^5}$ และหาเรซิดิว
$\dfrac{1}{z^5}\left(\tfrac{z^2}{2} - \tfrac{z^4}{24} + \cdots\right) = \dfrac{1}{2z^3} - \dfrac{1}{24z} + \cdots$
โพลอันดับ 3 · Res $= -\tfrac{1}{24}$

C7จำแนกจุด z = 0 ของ $z\sin\dfrac1z$
$z\left(\tfrac1z - \tfrac{1}{6z^3} + \tfrac{1}{120z^5} - \cdots\right) = 1 - \tfrac{1}{6z^2} + \cdots$ ส่วนหลักอนันต์พจน์
เอกฐานแท้ · Res = 0 (ไม่มีพจน์ $z^{-1}$)

C8หา x[n] จาก $X(z) = \dfrac{2z}{z - 0.8},\ |z| > 0.8$
คู่พื้นฐาน $a^nu[n] \leftrightarrow \tfrac{z}{z-a}$ ROC ข้างนอก
$x[n] = 2(0.8)^n u[n]$ · L11

C9หา x[n] จาก $X(z) = \dfrac{1}{1 - 3z^{-1}},\ |z| < 3$
$\dfrac{z}{z - 3}$ ROC ข้างใน ⇒ กระจายกำลังบวกของ z: $-\sum_{m\ge1}3^{-m}z^m$ ⇒ ข้างซ้าย
$x[n] = -3^n u[-n-1]$

C10ระบบ $h[n] = (-0.5)^n u[n] + 2^n u[-n-1]$ เสถียรหรือไม่
$\sum|h[n]| = \sum_{n\ge0}0.5^n + \sum_{n\le-1}2^n = 2 + 1 = 3$ จำกัด · ROC $0.5 < |z| < 2$ มีวงกลมหนึ่งหน่วย
เสถียร (แต่ไม่ causal) · L12

C11แก้ $y' = 2xy,\ y(0) = 1$ ด้วยอนุกรมกำลัง
$(n+1)c_{n+1} = 2c_{n-1}$, $c_1 = 0$ ⇒ $c_{2k} = \tfrac{1}{k!}$, พจน์คี่เป็น 0
$y = \sum\tfrac{x^{2k}}{k!} = e^{x^2}$ · P13

C12แก้ $y'' - xy' - y = 0,\ y(0) = 1,\ y'(0) = 0$
$(n+2)(n+1)c_{n+2} = (n+1)c_n \Rightarrow c_{n+2} = \dfrac{c_n}{n+2}$ · $c_0 = 1$: $c_2 = \tfrac12,\ c_4 = \tfrac18,\ c_6 = \tfrac1{48}$
$y = \sum\dfrac{x^{2k}}{2^k k!} = e^{x^2/2}$

C13$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots(2n)}\right)^2$ ลู่เข้าหรือไม่
อัตราส่วน → 1 และราบีได้ $n\left(\tfrac{(2n+2)^2}{(2n+1)^2} - 1\right) \to 1$ สรุปไม่ได้ทั้งคู่ · สเตอร์ลิง: $a_n \sim \dfrac{1}{\pi n}$ เทียบลิมิตกับฮาร์มอนิก
ลู่ออก · T12

C14จัดเรียง $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ เป็น “บวก 3 ตัว ลบ 2 ตัว” ผลบวกใหม่เป็นเท่าไร
สูตร $\ln 2 + \tfrac12\ln\tfrac{p}{q}$ กับ p = 3, q = 2
$\ln 2 + \tfrac12\ln\tfrac32 \approx 0.8959$ · A8

C15$f(x) = \sum_{n\ge1}\dfrac{x^n}{n^2}$ หาช่วงการลู่เข้าของ f และ f′
f: R = 1 ปลายทั้งสอง $\sum\tfrac{(\pm1)^n}{n^2}$ ลู่เข้า ⇒ [−1, 1] · $f' = \sum\tfrac{x^{n-1}}{n}$: ที่ x = 1 ฮาร์มอนิกลู่ออก x = −1 ลู่เข้า
f: $[-1, 1]$ · f′: $[-1, 1)$ — R เท่าเดิม แต่ปลายช่วงเปลี่ยน (P6)

C16หาผลบวก $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}$
$\dfrac{1}{1+x^3} = \sum(-1)^nx^{3n}$ อินทิกรัล 0 ถึง 1 ทีละพจน์ (ทฤษฎีบทของอาเบลรองรับที่ x = 1): $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{1+x^3}$
$\dfrac{\ln 2}{3} + \dfrac{\pi}{3\sqrt3} \approx 0.83565$

C17ต้องใช้อนุกรม $e = \sum 1/n!$ ถึงดีกรีเท่าใด จึงคลาดไม่เกิน $10^{-10}$ (ใช้ $e < 3$)
$R_n \le \dfrac{3}{(n+1)!} < 10^{-10} \iff (n+1)! > 3\times10^{10}$ · $13! = 6.2\times10^9$ ไม่พอ · $14! = 8.7\times10^{10}$ ✓
ดีกรี 13 (14 พจน์) · Y13

C18ประมาณ $H_{1000} = 1 + \tfrac12 + \cdots + \tfrac{1}{1000}$ โดยไม่บวกทีละพจน์
$H_n \approx \ln n + \gamma + \tfrac{1}{2n} = 6.90776 + 0.57722 + 0.0005$
≈ 7.48547 (ค่าจริง 7.4854709) · S12

C19ประมาณ $J_0(1)$ ด้วย 4 พจน์ของอนุกรมเบสเซล และบอกขอบเขตความคลาด
$J_0(1) = 1 - \tfrac14 + \tfrac{1}{64} - \tfrac{1}{2304} + \cdots = 0.765191$ · อนุกรมสลับ พจน์ถัดไป $\tfrac{(1/2)^8}{(4!)^2} = 6.8\times10^{-6}$
0.76519 ± 7×10⁻⁶ (จริง 0.7651977) · P14

C20กำหนด $\operatorname{Res}_{z=0}\dfrac{\pi\cot\pi z}{z^2} = -\dfrac{\pi^2}{3}$ และผลรวมเรซิดิวทั้งหมดของ $\dfrac{\pi\cot\pi z}{z^2}$ เป็น 0 (อินทิกรัลรอบสี่เหลี่ยมใหญ่ → 0) จงหา $\sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{n^2}$
ที่ $z = n \ne 0$ (โพลอย่างง่ายของ cot): Res $= \tfrac{1}{n^2}$ · $\sum_{n\ne0}\tfrac{1}{n^2} - \tfrac{\pi^2}{3} = 0 \Rightarrow 2\sum_{n\ge1}\tfrac{1}{n^2} = \tfrac{\pi^2}{3}$
$\tfrac{\pi^2}{6}$ — ปัญหาบาเซิลแก้ด้วยเรซิดิว

## เครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัด พื้นฐาน

เลือกหมวดที่ต้องการ (กดเพื่อเปิด-ปิด) พิมพ์คำตอบแล้วกด “ตรวจ” ทุกข้อมีเฉลยทีละขั้น คะแนนเก็บไว้ในเบราว์เซอร์ของคุณ

## เกมเลือกการทดสอบการลู่เข้า กลาง

## 10 ความผิดพลาดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุด

- สรุปว่า “$a_n \to 0$ จึงลู่เข้า” — การทดสอบพจน์ที่ n สรุปได้แค่ลู่ออก

- ใช้ $\tfrac{a}{1-r}$ ทั้งที่ $|r| \ge 1$ หรือใช้ a = 1 ทั้งที่พจน์แรกไม่ใช่ 1

- กล้องส่องทางไกลที่มีช่องว่าง k เหลือพจน์แค่ตัวเดียว (ต้องเหลือ k ตัว)

- ใช้ ratio test กับเศษส่วนของพหุนาม แล้วงงที่ได้ 1

- เปรียบเทียบตรงแต่ทิศของอสมการผิด (เทียบกับตัวใหญ่ที่ลู่ออก)

- ลืมตรวจปลายช่วงของอนุกรมกำลัง หรือใช้ ratio test ที่ปลายช่วง

- $(2x-1)^n$ ระบุจุดศูนย์กลางเป็น 1 แทนที่จะเป็น ½

- หาลิมิตลำดับเวียนเกิดโดยแทน L = g(L) โดยไม่พิสูจน์ว่าลู่เข้า

- อนุกรมโลรองต์ใช้บริเวณผิด (ไม่ได้ดูว่าโพลอยู่ในหรือนอกวงแหวน)

- สูตรเรซิดิวแบบลิมิตกับจุดเอกฐานแท้ (ต้องกระจายอนุกรม)

## เรียนต่อ

ทบทวนบทเรียนทั้งหมดที่ ภาพรวมลำดับและอนุกรม หรือเปิดเครื่องมือครบชุดใน แล็บรวม · โจทย์อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์อยู่ที่ อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ และ บทความตัวอย่างอุปนัย

## คำถามที่พบบ่อย

ข้อสอบลำดับและอนุกรมเข้ามหาวิทยาลัยออกเรื่องอะไรบ้าง?
ส่วนใหญ่เป็นลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต (หาพจน์ทั่วไป ผลบวก n พจน์) สัญลักษณ์ซิกมาและสูตรผลบวก $\sum k, \sum k^2, \sum k^3$ ผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ทศนิยมซ้ำ อนุกรมกล้องส่องทางไกล และลิมิตของลำดับ (รวมรูป $(1 + a/n)^n$) ชุด A ในหน้านี้ครอบคลุมทุกหัวข้อนี้

ควรฝึกโจทย์ลำดับและอนุกรมอย่างไรให้ได้ผล?
ทำเองก่อนโดยเปิดโหมดซ่อนเฉลย จับเวลาข้อละ 3–5 นาที แล้วค่อยเปิดเฉลยเทียบวิธีคิด ข้อที่ผิดให้ย้อนไปอ่านหัวข้อในบทเรียนตามลิงก์ แล้วใช้เครื่องสุ่มโจทย์ฝึกหมวดนั้นซ้ำจนถูกต่อเนื่อง 5 ข้อ

โจทย์ในหน้านี้เป็นข้อสอบจริงหรือไม่?
เป็นโจทย์ที่แต่งขึ้นตามแนวและระดับความยากของข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ข้อสอบกลางภาคและปลายภาควิชาแคลคูลัสและคณิตศาสตร์วิศวกรรม ไม่ใช่ข้อสอบจริงของหน่วยงานใด ทุกคำตอบตรวจด้วยโปรแกรมคำนวณสัญลักษณ์ (sympy) แล้ว

เครื่องสุ่มโจทย์ตรวจคำตอบแบบไหนได้บ้าง?
พิมพ์เป็นจำนวนเต็ม ทศนิยม เศษส่วน (เช่น 3/4) หรือนิพจน์ (เช่น pi/4, sqrt(2)/2, e^2) ระบบประเมินค่าและเทียบกับคำตอบด้วยความคลาดไม่เกินหนึ่งในล้าน โจทย์แบบเลือกตอบ (ลู่เข้า/ลู่ออก) ให้กดเลือก แล้วดูเฉลยทีละขั้นได้ทุกข้อ

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ข้อสอบลำดับและอนุกรมเข้ามหาวิทยาลัยออกเรื่องอะไรบ้าง?**
ส่วนใหญ่เป็นลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต (หาพจน์ทั่วไป ผลบวก n พจน์) สัญลักษณ์ซิกมาและสูตรผลบวก $\sum k, \sum k^2, \sum k^3$ ผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ทศนิยมซ้ำ อนุกรมกล้องส่องทางไกล และลิมิตของลำดับ (รวมรูป $(1 + a/n)^n$) ชุด A ในหน้านี้ครอบคลุมทุกหัวข้อนี้

**ควรฝึกโจทย์ลำดับและอนุกรมอย่างไรให้ได้ผล?**
ทำเองก่อนโดยเปิดโหมดซ่อนเฉลย จับเวลาข้อละ 3–5 นาที แล้วค่อยเปิดเฉลยเทียบวิธีคิด ข้อที่ผิดให้ย้อนไปอ่านหัวข้อในบทเรียนตามลิงก์ แล้วใช้เครื่องสุ่มโจทย์ฝึกหมวดนั้นซ้ำจนถูกต่อเนื่อง 5 ข้อ

**โจทย์ในหน้านี้เป็นข้อสอบจริงหรือไม่?**
เป็นโจทย์ที่แต่งขึ้นตามแนวและระดับความยากของข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ข้อสอบกลางภาคและปลายภาควิชาแคลคูลัสและคณิตศาสตร์วิศวกรรม ไม่ใช่ข้อสอบจริงของหน่วยงานใด ทุกคำตอบตรวจด้วยโปรแกรมคำนวณสัญลักษณ์ (sympy) แล้ว

**เครื่องสุ่มโจทย์ตรวจคำตอบแบบไหนได้บ้าง?**
พิมพ์เป็นจำนวนเต็ม ทศนิยม เศษส่วน (เช่น 3/4) หรือนิพจน์ (เช่น pi/4, sqrt(2)/2, e^2) ระบบประเมินค่าและเทียบกับคำตอบด้วยความคลาดไม่เกินหนึ่งในล้าน โจทย์แบบเลือกตอบ (ลู่เข้า/ลู่ออก) ให้กดเลือก แล้วดูเฉลยทีละขั้นได้ทุกข้อ

---

# อนุกรมอนันต์ (Infinite Series): ผลบวกย่อย อนุกรมเรขาคณิต กล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก และอนุกรม p

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/infinite-series/
Updated: 2026-10-24
Summary: อนุกรมอนันต์ (infinite series) คือลิมิตของผลบวกย่อย (partial sums) เรียนสูตรผลบวก Σk Σk² Σk³ อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ a/(1−r) ทศนิยมซ้ำ อนุกรมกล้องส่องทางไกล (telescoping) อนุกรมฮาร์มอนิกลู่ออก อนุกรม p และอนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต Σ n rⁿ พร้อมตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและแล็บผลบวกย่อย

// บทที่ 26.2 · ลำดับและอนุกรม · Infinite Series

# อนุกรมอนันต์ (Infinite Series): ผลบวกย่อย อนุกรมเรขาคณิต กล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก และอนุกรม p

บวกจำนวนไม่สิ้นสุดแล้วได้ค่าจำกัดได้อย่างไร คำตอบคือมองผ่านลำดับผลบวกย่อย ถ้าผลบวกสะสมเข้าใกล้ค่าหนึ่ง ค่านั้นคือผลบวกของอนุกรม หน้านี้รวมอนุกรมที่หาผลบวกได้จริงทั้งหมด (เรขาคณิต กล้องส่องทางไกล เลขคณิต-เรขาคณิต) อนุกรมมาตรฐานที่ใช้เป็นตัวเทียบ (ฮาร์มอนิก อนุกรม p) และการทดสอบพจน์ที่ n ซึ่งเป็นด่านแรกของทุกโจทย์

สรุปใน 30 วินาที

- $\sum a_n = \lim S_n$ · ถ้าลิมิตไม่มีหรือเป็นอนันต์ อนุกรมลู่ออก · $a_n = S_n - S_{n-1}$

- เรขาคณิต: $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$ เมื่อ $|r| < 1$ · กล้องส่องทางไกล: $\sum (b_n - b_{n+1}) = b_1 - \lim b_n$

- อนุกรม p $\sum 1/n^p$ ลู่เข้า ⇔ $p > 1$ · ฮาร์มอนิก ($p = 1$) ลู่ออก

- $a_n \not\to 0 \Rightarrow$ ลู่ออก แต่ $a_n \to 0$ ยังสรุปไม่ได้

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · เตรียมสอบเข้ากลาง แคลคูลัส 2ขั้นสูง ทฤษฎี

## อนุกรมคือลิมิตของผลบวกย่อย พื้นฐาน

ให้ลำดับ $a_1, a_2, a_3, \dots$ ผลบวกย่อย (partial sum) ตัวที่ n คือ $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ ซึ่งเป็นลำดับใหม่ อนุกรม $\sum a_n$ ลู่เข้า เมื่อลำดับ $S_n$ ลู่เข้า และผลบวกของอนุกรมคือลิมิตนั้น ภาพด้านล่างคือหัวใจของทั้งบท: แท่งคือพจน์ เส้นคือผลบวกสะสม

พจน์ $a_n = (1/2)^n$ (แท่ง) และผลบวกย่อย $S_n$ (จุด) ซึ่งเข้าใกล้ 1 แต่ไม่ถึง ส่วนที่ขาด $1 - S_n = (1/2)^n$ คือเศษเหลือ (remainder)

S1 Sum of a series ผลบวกของอนุกรม

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} S_N,\qquad S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$$

เศษเหลือ (remainder) $R_N = S - S_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n$ บอกความคลาดเมื่อหยุดบวกที่ N

S2 Terms from partial sums หาพจน์จากผลบวกย่อย

$$a_1 = S_1,\qquad a_n = S_n - S_{n-1}\ (n \ge 2)$$

โจทย์ให้สูตร $S_n$ มา ให้หา $a_n$ ด้วยวิธีนี้ และผลบวกอนันต์คือ $\lim S_n$

ตัวอย่าง S-1 · ผลบวกย่อยให้มา

### อนุกรมหนึ่งมี $S_n = \dfrac{n}{2n+1}$ จงหา $a_n$ และผลบวกของอนุกรม

- $a_n = \dfrac{n}{2n+1} - \dfrac{n-1}{2n-1} = \dfrac{n(2n-1) - (n-1)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} = \dfrac{1}{4n^2 - 1}$ (ใช้ได้ทั้ง n = 1 ด้วย เพราะ $S_1 = \tfrac13$)

- ผลบวก $= \lim \dfrac{n}{2n+1} = \dfrac12$

$a_n = \dfrac{1}{4n^2-1}$ และ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2-1} = \frac12$

## แล็บผลบวกย่อย พื้นฐาน

เลือกอนุกรมแล้วเลื่อนจำนวนพจน์ N เทียบผลบวกย่อยกับผลบวกจริง และดูสูตรเศษเหลือของแต่ละแบบ ลองเลือกฮาร์มอนิกเพื่อดูผลบวกที่โตไม่หยุดแม้จะช้ามาก

## อนุกรมจำกัดและสูตรซิกมา พื้นฐาน

ก่อนไปอนุกรมอนันต์ ต้องคล่องผลบวกจำกัด ซึ่งออกข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยทุกปี สูตรสามตัวของ $\sum k^p$ และสมบัติเชิงเส้นของซิกมาใช้แก้โจทย์ผลบวกของพหุนามได้ทุกข้อ

S3 Power sums สูตรผลบวกกำลัง

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$$

พิสูจน์ได้ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ · $\sum (c\,a_k + b_k) = c\sum a_k + \sum b_k$ · $\sum_{k=1}^n c = cn$

S4 Arithmetic series อนุกรมเลขคณิต

$$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right) = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n-1)d\right]$$

“จำนวนพจน์ × ค่าเฉลี่ยของพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย” แบบเกาส์ · อนุกรมเลขคณิตอนันต์ลู่ออกเสมอ (ยกเว้นทุกพจน์เป็น 0)

S5 Finite geometric series อนุกรมเรขาคณิตจำกัด

$$S_n = a_1 + a_1 r + \cdots + a_1 r^{n-1} = a_1\frac{1 - r^n}{1 - r}\quad (r \ne 1)$$

ได้จาก $S_n - rS_n = a_1 - a_1 r^n$ · ถ้า $r = 1$: $S_n = n a_1$

ตัวอย่าง S-2 · ซิกมา (แนวข้อสอบเข้า)

### (ก) $\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(2k-1)(k+1)$ (ข) $1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot4 + \cdots + 20\cdot21$

- (ก) กระจาย $(2k-1)(k+1) = 2k^2 + k - 1$ แล้วแยกซิกมา: $2\sum k^2 + \sum k - \sum 1$

- n = 20: $\sum k^2 = \dfrac{20\cdot21\cdot41}{6} = 2870$, $\sum k = 210$, $\sum 1 = 20$ ⇒ $5740 + 210 - 20 = 5930$

- (ข) $\sum_{k=1}^{20} k(k+1) = \sum k^2 + \sum k = 2870 + 210 = 3080$ · ตรวจด้วยสูตรลัด $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} = \dfrac{20\cdot21\cdot22}{3} = 3080$

(ก) 5930 · (ข) 3080

## อนุกรมเรขาคณิตอนันต์และทศนิยมซ้ำ พื้นฐาน

อนุกรมเรขาคณิตเป็นอนุกรมอนันต์ตัวแรกที่หาผลบวกได้ และเป็นตัวเทียบสำคัญของการทดสอบทุกแบบ จาก S5 ถ้า $|r| < 1$ แล้ว $r^n \to 0$ ผลบวกย่อยจึงเข้าใกล้ $\dfrac{a}{1-r}$

S6 Infinite geometric series อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + \cdots = \frac{a}{1-r} \iff |r| < 1;\qquad |r| \ge 1 \Rightarrow \text{ลู่ออก}$$

a = พจน์แรกของอนุกรม (อย่าหลงใช้ 1) · เศษเหลือ $R_N = \dfrac{ar^N}{1-r}$

S7 Repeating decimals ทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

$$0.\overline{d_1 d_2\cdots d_k} = \frac{d_1 d_2 \cdots d_k}{\underbrace{99\cdots9}_{k}}$$

มาจาก $\tfrac{D}{10^k} + \tfrac{D}{10^{2k}} + \cdots$ · $0.\overline{9} = \tfrac{9}{9} = 1$ พอดี

ตัวอย่าง S-3 · ทศนิยมซ้ำและเรขาคณิต

### (ก) เขียน $0.2\overline{45}$ เป็นเศษส่วน (ข) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n+1}}{5^n}$ (ค) ค่า x ใดที่ $\sum_{n=0}^{\infty}(x-1)^n$ ลู่เข้า และผลบวกเท่าไร

- (ก) $0.2\overline{45} = \dfrac{2}{10} + \dfrac{45}{1000} + \dfrac{45}{100000} + \cdots = \dfrac15 + \dfrac{45/1000}{1 - 1/100} = \dfrac15 + \dfrac{45}{990} = \dfrac15 + \dfrac{1}{22} = \dfrac{27}{110}$

- (ข) พจน์แรก (n = 1) $= \dfrac{9}{5}$, $r = \dfrac35$ ⇒ $S = \dfrac{9/5}{1 - 3/5} = \dfrac{9/5}{2/5} = \dfrac92$

- (ค) $r = x - 1$ ต้อง $|x - 1| < 1 \iff 0 < x < 2$ และ $S = \dfrac{1}{1 - (x-1)} = \dfrac{1}{2-x}$

(ก) $\tfrac{27}{110}$ · (ข) $\tfrac92$ · (ค) $0 < x < 2,\ S = \tfrac{1}{2-x}$ — ข้อ (ค) คืออนุกรมกำลังตัวแรกของเรา (ดูอนุกรมกำลัง)

ตัวอย่าง S-4 · แนวข้อสอบเข้า + ฟิสิกส์

### (ก) อนุกรมเรขาคณิตอนันต์มีผลบวก 8 และผลบวกของกำลังสองของพจน์เท่ากับ 32 จงหา a และ r (ข) ปล่อยลูกบอลจากความสูง 12 m ทุกครั้งที่กระทบพื้นจะเด้งขึ้น 3/4 ของความสูงก่อนหน้า ระยะทางรวมเท่าไร

- (ก) $\dfrac{a}{1-r} = 8$ และกำลังสองของพจน์เป็นเรขาคณิตอัตราส่วน $r^2$: $\dfrac{a^2}{1-r^2} = 32$

- หารสมการที่สองด้วยกำลังสองของสมการแรก: $\dfrac{a^2/(1-r^2)}{a^2/(1-r)^2} = \dfrac{1-r}{1+r} = \dfrac{32}{64} = \dfrac12 \Rightarrow r = \dfrac13,\ a = 8\cdot\dfrac23 = \dfrac{16}{3}$

- (ข) ความสูงที่เด้งขึ้น 9, 6.75, … รวม $\dfrac{9}{1 - 3/4} = 36$ m ขาขึ้นและขาลงเท่ากัน ⇒ $2\times36 = 72$ บวกระยะตกแรก 12 m

(ก) $a = \tfrac{16}{3},\ r = \tfrac13$ · (ข) 84 m

แนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยข้อสอบชอบให้ “ผลบวกอนันต์” และ “ผลบวกของกำลังสอง” หรือ “ผลบวกพจน์คี่” มาพร้อมกัน จำว่ากำลังสองของพจน์ยังเป็นเรขาคณิตด้วยอัตราส่วน $r^2$ และพจน์ตำแหน่งคี่เป็นเรขาคณิตด้วยอัตราส่วน $r^2$ เช่นกัน แล้วหารสองสมการเพื่อกำจัด a

## อนุกรมกล้องส่องทางไกล (Telescoping Series) กลาง

ชื่อมาจากกล้องโทรทรรศน์แบบพับเก็บได้: เมื่อเขียนพจน์เป็นผลต่างของลำดับเดียวกัน พจน์กลางจะหักล้างกันจนเหลือหัวกับท้าย ทักษะที่ต้องมีคือการแยกเศษส่วนย่อย (partial fractions)

$\left(1 - \tfrac12\right) + \left(\tfrac12 - \tfrac13\right) + \left(\tfrac13 - \tfrac14\right) + \cdots$ พจน์กลางหักล้างกันเป็นคู่ เหลือ $1 - \tfrac{1}{N+1}$

S8 Telescoping series อนุกรมกล้องส่องทางไกล

$$\sum_{n=1}^{N}(b_n - b_{n+1}) = b_1 - b_{N+1}\ \Rightarrow\ \sum_{n=1}^{\infty}(b_n - b_{n+1}) = b_1 - \lim_{n\to\infty} b_n$$

ถ้า $b_n$ ไม่มีลิมิตจำกัด อนุกรมลู่ออก เช่น $\sum\ln\frac{n+1}{n} = \lim\ln(N+1) = \infty$

S9 Partial fractions for telescoping แยกเศษส่วนย่อย

$$\frac{1}{n(n+k)} = \frac1k\left(\frac1n - \frac{1}{n+k}\right),\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+k)} = \frac1k\left(1 + \frac12 + \cdots + \frac1k\right)$$

ช่องว่าง k ทำให้เหลือ k พจน์แรก (ไม่ใช่พจน์เดียว) — จุดที่ทำผิดบ่อยที่สุด

ตัวอย่าง S-5 · กล้องส่องทางไกล

### (ก) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}$ (ข) $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}$ (ค) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1 + \frac1n\right)$

- (ก) $\dfrac{1}{n(n+2)} = \dfrac12\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+2}\right)$ เหลือสองพจน์แรกของ $\tfrac1n$: $\dfrac12\left(1 + \dfrac12\right) = \dfrac34$

- (ข) $\dfrac{1}{n^2-1} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n+1}\right)$ เริ่ม n = 2 เหลือ $\dfrac12\left(1 + \dfrac12\right) = \dfrac34$

- (ค) $\ln\left(1 + \tfrac1n\right) = \ln(n+1) - \ln n$ ⇒ $S_N = \ln(N+1) \to \infty$ ลู่ออก

(ก) $\tfrac34$ · (ข) $\tfrac34$ · (ค) ลู่ออก ทั้งที่พจน์ → 0

## อนุกรมฮาร์มอนิกและอนุกรม p กลาง

อนุกรมฮาร์มอนิก $\sum 1/n$ เป็นตัวอย่างคลาสสิกว่า “พจน์เข้าใกล้ศูนย์ ไม่ได้แปลว่าบวกแล้วจำกัด” การพิสูจน์ของนิโคล โอเรสม์ (ศตวรรษที่ 14) จัดกลุ่มพจน์ให้แต่ละกลุ่มมากกว่า ½ ส่วนอนุกรม p เป็นตัวเทียบมาตรฐานที่สุดในการทดสอบแบบเปรียบเทียบ

จัดกลุ่มพจน์ของอนุกรมฮาร์มอนิกเป็นชุดขนาด 1, 2, 4, 8, … ทุกชุดมากกว่า ½ ผลบวกจึงไม่มีขอบเขต

S10 Harmonic series diverges อนุกรมฮาร์มอนิกลู่ออก

$$1 + \tfrac12 + \underbrace{\tfrac13 + \tfrac14}_{>\frac12} + \underbrace{\tfrac15 + \cdots + \tfrac18}_{>\frac12} + \cdots \ \Rightarrow\ S_{2^k} > 1 + \frac{k}{2} \to \infty$$

ลู่ออกช้ามาก: ต้องใช้ 12,367 พจน์จึงเกิน 10

1 อนุกรม p">
S11 p-series อนุกรม p

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\ \text{ลู่เข้า} \iff p > 1$$

พิสูจน์ด้วยการทดสอบด้วยปริพันธ์ · $p = 2$: $\pi^2/6$ (ปัญหาบาเซิล) · $p = 4$: $\pi^4/90$

S12 Growth of harmonic numbers การโตของผลบวกฮาร์มอนิก

$$H_n = \sum_{k=1}^{n}\frac1k = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \cdots,\quad \gamma \approx 0.5772$$

γ คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเคโรนี · ใช้ประมาณ $H_{1000} \approx 7.485$

ตัวอย่าง S-6 · ฮาร์มอนิก

### ต้องบวกอนุกรมฮาร์มอนิกอย่างน้อยกี่พจน์ ผลบวกจึงเกิน 10

- ใช้ S12: $\ln n + 0.5772 > 10 \Rightarrow \ln n > 9.4228 \Rightarrow n > e^{9.4228} \approx 12{,}367$ (ค่าประมาณเท่านั้น ต้องยืนยัน)

- คำนวณตรงยืนยัน: $H_{12366} \approx 9.99996$ และ $H_{12367} \approx 10.00004$

12,367 พจน์ — ล้านพจน์ได้แค่ราว 14.39 แต่ก็ยังโตไม่หยุด

## สมบัติของอนุกรมและการทดสอบพจน์ที่ n พื้นฐาน

S13 Linearity สมบัติเชิงเส้น

$$\sum(c\,a_n + b_n) = c\sum a_n + \sum b_n\quad(\text{เมื่อทั้งสองลู่เข้า})$$

ลู่เข้า + ลู่ออก = ลู่ออกเสมอ · ลู่ออก + ลู่ออก อาจลู่เข้าได้ เช่น $\sum 1 + \sum(-1)$

S14 n-th term test การทดสอบพจน์ที่ n

$$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \ \ (\text{หรือไม่มี}) \ \Rightarrow\ \sum a_n \text{ ลู่ออก}$$

เพราะถ้า $\sum a_n = S$ แล้ว $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$ · บทกลับไม่จริง (ฮาร์มอนิก)

S15 Tails decide convergence พจน์ช่วงแรกไม่มีผล

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า} \iff \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า}$$

ตัดหรือเพิ่มพจน์จำนวนจำกัดไม่เปลี่ยนการลู่เข้า (แต่เปลี่ยนค่าผลบวก) · เลื่อนดัชนีได้ตามสะดวก

กับดักที่พบบ่อยเขียนว่า “$a_n \to 0$ จึงลู่เข้า” ผิดทุกครั้ง nth-term test ใช้สรุปได้เพียงทางเดียวคือลู่ออก ถ้าพจน์เข้าใกล้ 0 ต้องไปใช้การทดสอบอื่นในหน้าถัดไป

## อนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต: วิธี S − rS กลาง

พจน์รูป (เลขคณิต) × (เรขาคณิต) เช่น $n r^n$ พบในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและในค่าคาดหมายของความน่าจะเป็น วิธีมาตรฐานคือคูณด้วย r แล้วลบเพื่อให้เหลืออนุกรมเรขาคณิตธรรมดา

S16 Arithmetico-geometric series อนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต

$$\sum_{n=1}^{\infty} n r^n = \frac{r}{(1-r)^2},\qquad \sum_{n=1}^{\infty} n^2 r^n = \frac{r(1+r)}{(1-r)^3}\qquad (|r| < 1)$$

วิธี: $S - rS = r + r^2 + r^3 + \cdots = \dfrac{r}{1-r}$ · หรือหาอนุพันธ์ของ $\sum r^n$ ในอนุกรมกำลัง

ตัวอย่าง S-7 · S − rS

### (ก) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n}$ (ข) $1 + \dfrac22 + \dfrac34 + \dfrac48 + \dfrac5{16} + \cdots$

- (ก) $S = \tfrac13 + \tfrac{2}{9} + \tfrac{3}{27} + \cdots$ · $\tfrac13 S = \tfrac19 + \tfrac{2}{27} + \cdots$ · ลบ: $\tfrac23 S = \tfrac13 + \tfrac19 + \tfrac1{27} + \cdots = \dfrac{1/3}{1 - 1/3} = \tfrac12 \Rightarrow S = \tfrac34$

- ตรวจด้วย S16: $\dfrac{1/3}{(2/3)^2} = \dfrac{1/3}{4/9} = \dfrac34$ ✓

- (ข) พจน์ทั่วไป $\dfrac{n}{2^{n-1}} = 2\cdot\dfrac{n}{2^n}$ ⇒ $2\cdot\dfrac{1/2}{(1/2)^2} = 2\cdot2 = 4$

(ก) $\tfrac34$ · (ข) 4

## อนุกรมในโลกจริง: ซีโน เกล็ดหิมะค็อค และเงิน กลาง

ปฏิทรรศน์ของซีโน: เดินครึ่งทาง แล้วครึ่งของที่เหลือ ไปเรื่อย ๆ ระยะทางรวม $\tfrac12 + \tfrac14 + \cdots = 1$ และเวลารวมก็จำกัด อนุกรมอนันต์จึงไม่ได้แปลว่าใช้เวลาอนันต์ · เกล็ดหิมะค็อค: ทุกขั้นเพิ่มสามเหลี่ยมเล็ก $3\cdot4^{k-1}$ รูป แต่ละรูปพื้นที่ $A_0/9^k$ พื้นที่รวม $A_0\left(1 + \sum_{k\ge1}\tfrac{3\cdot4^{k-1}}{9^k}\right) = \tfrac85 A_0$ จำกัด ขณะที่เส้นรอบรูปคูณด้วย $\tfrac43$ ทุกขั้นจึงยาวอนันต์ · เงินและพลังงาน: มูลค่าปัจจุบันของรายรับเท่ากันทุกปีเป็นอนุกรมเรขาคณิต ดูตัวอย่างโซลาร์รูฟท็อปในอนุกรมในงานวิศวกรรม

## ต่อไป: ทดสอบว่าลู่เข้าหรือไม่ เมื่อหาผลบวกไม่ได้

อนุกรมส่วนใหญ่ เช่น $\sum \dfrac{1}{n^2+1}$ หรือ $\sum \dfrac{n!}{n^n}$ หาผลบวกเป็นสูตรไม่ได้ แต่เรายังตัดสินได้ว่าลู่เข้าหรือไม่ด้วยการทดสอบการลู่เข้า เช่น ปริพันธ์ เปรียบเทียบ อัตราส่วน และราก ทบทวนลำดับได้ที่ ลำดับและลิมิตของลำดับ หรืออ่านบทความ สูตรอนุกรมเรขาคณิตแบบเข้าใจง่าย

## คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมอนันต์บวกกันได้อย่างไรในเมื่อมีพจน์ไม่สิ้นสุด?
ไม่ได้บวกทีละพจน์จนหมด แต่ดูลำดับผลบวกย่อย $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ ถ้า $S_n$ ลู่เข้าสู่ $S$ เราให้นิยามว่าอนุกรมมีผลบวก $S$ เช่น $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots$ มี $S_n = 1 - (1/2)^n \to 1$

สูตรผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์คืออะไร ใช้ได้เมื่อไร?
$a + ar + ar^2 + \cdots = \dfrac{a}{1-r}$ ใช้ได้เฉพาะเมื่อ $|r|
ทำไมอนุกรมฮาร์มอนิก 1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ ลู่ออก ทั้งที่พจน์เข้าใกล้ 0?
จัดกลุ่ม $\tfrac13 + \tfrac14 > \tfrac12$, $\tfrac15 + \cdots + \tfrac18 > \tfrac12$ ไปเรื่อย ๆ ได้ $\tfrac12$ เพิ่มขึ้นไม่สิ้นสุด ผลบวกย่อยจึงโตไม่มีขอบเขต แม้จะช้ามากแบบ $\ln n$ (ต้องบวก 12,367 พจน์จึงเกิน 10) การที่พจน์เข้าใกล้ 0 เป็นเงื่อนไขจำเป็นแต่ไม่พอ

อนุกรมกล้องส่องทางไกล (telescoping) คืออะไร?
อนุกรมที่เขียนพจน์เป็นผลต่าง $b_n - b_{n+1}$ ได้ เมื่อบวกกันพจน์กลางจะหักล้างกันหมด เหลือ $S_N = b_1 - b_{N+1}$ เช่น $\sum \dfrac{1}{n(n+1)} = \sum\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+1}\right) = 1$ วิธีหาคือแยกเศษส่วนย่อย

หาผลบวก Σ n/2ⁿ หรือ 1 + 2x + 3x² + ⋯ อย่างไร?
เป็นอนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต ใช้วิธี S − rS: ถ้า $S = \sum n r^n$ แล้ว $S - rS = r + r^2 + \cdots = \dfrac{r}{1-r}$ จึงได้ $S = \dfrac{r}{(1-r)^2}$ เมื่อ $|r| มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**อนุกรมอนันต์บวกกันได้อย่างไรในเมื่อมีพจน์ไม่สิ้นสุด?**
ไม่ได้บวกทีละพจน์จนหมด แต่ดูลำดับผลบวกย่อย $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ ถ้า $S_n$ ลู่เข้าสู่ $S$ เราให้นิยามว่าอนุกรมมีผลบวก $S$ เช่น $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots$ มี $S_n = 1 - (1/2)^n \to 1$

**สูตรผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์คืออะไร ใช้ได้เมื่อไร?**
$a + ar + ar^2 + \cdots = \dfrac{a}{1-r}$ ใช้ได้เฉพาะเมื่อ $|r| < 1$ ถ้า $|r| \ge 1$ อนุกรมลู่ออก โดย a คือพจน์แรกของอนุกรม (ไม่จำเป็นต้องเป็น 1) และ r คืออัตราส่วนร่วม

**ทำไมอนุกรมฮาร์มอนิก 1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ ลู่ออก ทั้งที่พจน์เข้าใกล้ 0?**
จัดกลุ่ม $\tfrac13 + \tfrac14 > \tfrac12$, $\tfrac15 + \cdots + \tfrac18 > \tfrac12$ ไปเรื่อย ๆ ได้ $\tfrac12$ เพิ่มขึ้นไม่สิ้นสุด ผลบวกย่อยจึงโตไม่มีขอบเขต แม้จะช้ามากแบบ $\ln n$ (ต้องบวก 12,367 พจน์จึงเกิน 10) การที่พจน์เข้าใกล้ 0 เป็นเงื่อนไขจำเป็นแต่ไม่พอ

**อนุกรมกล้องส่องทางไกล (telescoping) คืออะไร?**
อนุกรมที่เขียนพจน์เป็นผลต่าง $b_n - b_{n+1}$ ได้ เมื่อบวกกันพจน์กลางจะหักล้างกันหมด เหลือ $S_N = b_1 - b_{N+1}$ เช่น $\sum \dfrac{1}{n(n+1)} = \sum\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+1}\right) = 1$ วิธีหาคือแยกเศษส่วนย่อย

**หาผลบวก Σ n/2ⁿ หรือ 1 + 2x + 3x² + ⋯ อย่างไร?**
เป็นอนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต ใช้วิธี S − rS: ถ้า $S = \sum n r^n$ แล้ว $S - rS = r + r^2 + \cdots = \dfrac{r}{1-r}$ จึงได้ $S = \dfrac{r}{(1-r)^2}$ เมื่อ $|r| < 1$ เช่น $\sum n/2^n = 2$

---

# อนุกรมโลรองต์ (Laurent Series): บริเวณวงแหวน ภาวะเอกฐาน เรซิดิว และการแปลง Z

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/laurent-series/
Updated: 2026-10-24
Summary: อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) Σaₙ(z − c)ⁿ ที่มีกำลังลบ ลู่เข้าบนวงแหวน (annulus) ทฤษฎีบทโลรองต์ ส่วนหลัก (principal part) วิธีกระจาย 1/((z−1)(z−2)) ทั้งสามบริเวณด้วยอนุกรมเรขาคณิต ชนิดของจุดเอกฐาน: ถอดได้ โพล เอกฐานแท้ เรซิดิวและทฤษฎีบทเรซิดิว อินทิกรัลจริงด้วยเรซิดิว และการแปลง Z ที่แท้จริงคืออนุกรมโลรองต์พร้อม ROC

// บทที่ 26.7 · ลำดับและอนุกรม · Laurent Series

# อนุกรมโลรองต์ (Laurent Series): บริเวณวงแหวน ภาวะเอกฐาน เรซิดิว และการแปลง Z

อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ไม่ได้รอบจุดที่ฟังก์ชันระเบิด เช่น $\tfrac{1}{z}$ ที่ 0 ปีแยร์ อัลฟองส์ โลรองต์ (1843) แก้ด้วยการยอมให้มีกำลังลบ อนุกรมที่ได้ลู่เข้าบน “วงแหวน” ระหว่างจุดเอกฐาน และสัมประสิทธิ์ตัวเดียว $a_{-1}$ ก็พอสำหรับคำนวณอินทิกรัลรอบเส้นปิดทั้งหมด หน้านี้ใช้แค่อนุกรมเรขาคณิตเป็นเครื่องมือหลัก แล้วต่อยอดไปถึงเรซิดิว การแปลงลาปลาซผกผัน และการแปลง Z ที่วิศวกรไฟฟ้าใช้ทุกวัน

สรุปใน 30 วินาที

- $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-c)^n$ บนวงแหวน $r_1 < |z-c| < r_2$ · กำลังลบ = ส่วนหลัก

- เครื่องมือหลัก: $\dfrac{1}{z-p}$ กระจายเป็นกำลังบวกเมื่อ $|z| < |p|$ และกำลังลบเมื่อ $|z| > |p|$

- ส่วนหลัก: ไม่มี = ถอดได้ · จำกัด = โพล · อนันต์ = เอกฐานแท้

- $\operatorname{Res}_{z=c}f = a_{-1}$ และ $\oint_C f\,dz = 2\pi i\sum\operatorname{Res}$ · การแปลง Z คืออนุกรมโลรองต์รอบ 0

ระดับพื้นฐาน แนวคิด · อนุกรมเรขาคณิตกลาง คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง ตัวแปรเชิงซ้อน

## ทำไมต้องมีอนุกรมโลรองต์ พื้นฐาน

จากอนุกรมกำลัง เราเห็นว่าอนุกรมเทย์เลอร์ลู่เข้าในดิสก์ที่ขยายได้จนชนจุดเอกฐานแรก ถ้าจุดศูนย์กลางเป็นจุดเอกฐานเสียเอง ดิสก์มีรัศมีศูนย์ ใช้ไม่ได้เลย แต่ฟังก์ชันอย่าง $\tfrac{e^z}{z^2}$ ก็ยังประพฤติดีในบริเวณ “รอบ ๆ” 0 แค่ไม่ใช่ที่ 0 เอง ถ้าเราตัดจุด 0 ทิ้งเหลือเป็นวงแหวนเจาะ ก็เขียนได้ว่า

$$\frac{e^z}{z^2} = \frac{1}{z^2}\left(1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots\right) = \underbrace{\frac{1}{z^2} + \frac{1}{z}}_{\text{ส่วนหลัก}} + \underbrace{\frac12 + \frac{z}{6} + \cdots}_{\text{ส่วนวิเคราะห์}},\quad 0 < |z| < \infty$$

นี่คืออนุกรมโลรองต์: มีกำลังลบได้ ส่วนกำลังลบเรียกว่าส่วนหลัก (principal part) เพราะเป็นตัวกำหนดพฤติกรรมใกล้จุดเอกฐาน ต้องรู้พื้นฐานจำนวนเชิงซ้อนก่อน ทบทวนได้ที่ จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์

L1 Laurent series อนุกรมโลรองต์

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - c)^n = \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-c)^n}}_{\text{ส่วนหลัก (principal part)}} + \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-c)^n}_{\text{ส่วนวิเคราะห์ (analytic part)}}$$

ลู่เข้าเมื่อทั้งสองส่วนลู่เข้า: ส่วนวิเคราะห์ลู่เข้าเมื่อ $|z - c| < r_2$ ส่วนหลักลู่เข้าเมื่อ $|z - c| > r_1$ จึงได้วงแหวน

L2 Laurent's theorem ทฤษฎีบทโลรองต์

$$f \text{ วิเคราะห์ใน } r_1 < |z - c| < r_2 \ \Rightarrow\ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-c)^n \text{ แบบเดียว},\quad a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-c|=\rho}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}\,dz$$

“แบบเดียว” สำคัญที่สุด: หาด้วยวิธีใดก็ได้ (อนุกรมเรขาคณิต แทนอนุกรมที่รู้) ไม่ต้องคำนวณอินทิกรัล · $r_1$ อาจเป็น 0, $r_2$ อาจเป็น ∞

## เครื่องมือหลัก: อนุกรมเรขาคณิตสองทิศ พื้นฐาน

ฟังก์ชันตรรกยะเกือบทั้งหมดกระจายได้ด้วยเทคนิคเดียว: แยกเศษส่วนย่อย แล้วกระจาย $\tfrac{1}{z - p}$ แต่ละตัว ถ้าบริเวณที่สนใจอยู่ในวงกลม $|z| = |p|$ ให้ดึง p ออก ถ้าอยู่นอก ให้ดึง z ออก เพื่อให้ได้อัตราส่วนที่ขนาดน้อยกว่า 1 เสมอ

L3 1/(z − p) inside and outside กระจาย 1/(z − p) สองแบบ

$$|z| < |p|:\ \frac{1}{z-p} = -\frac1p\cdot\frac{1}{1 - z/p} = -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{p^{n+1}};\qquad |z| > |p|:\ \frac{1}{z-p} = \frac1z\cdot\frac{1}{1 - p/z} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{p^n}{z^{n+1}}$$

รอบจุดศูนย์กลาง c แทน z ด้วย $z - c$ และ p ด้วย $p - c$ · โพลซ้ำ $\tfrac{1}{(z-p)^m}$ ใช้อนุกรมทวินาม $(1-u)^{-m} = \sum\binom{m+j-1}{j}u^j$

## ตัวอย่างคลาสสิก: 1/((z−1)(z−2)) ทั้งสามบริเวณ กลาง

โพลที่ $z = 1$ และ $z = 2$ แบ่งระนาบรอบ 0 ออกเป็นสามบริเวณ แต่ละบริเวณมีอนุกรมของตัวเอง โจทย์นี้ออกข้อสอบคณิตศาสตร์วิศวกรรมแทบทุกมหาวิทยาลัย

สามบริเวณรอบ 0 ของ $f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)}$: ดิสก์ |z| < 1 (เทย์เลอร์), วงแหวน 1 < |z| < 2 และภายนอก |z| > 2 วงกลมแบ่งเขตผ่านโพลพอดี

ตัวอย่าง L-1 · สามบริเวณ

### หาอนุกรมโลรองต์ของ $f(z) = \dfrac{1}{(z-1)(z-2)}$ ใน (ก) $|z| < 1$ (ข) $1 < |z| < 2$ (ค) $|z| > 2$

- แยกเศษส่วนย่อย: $f(z) = \dfrac{1}{z-2} - \dfrac{1}{z-1}$

- (ก) $|z| < 1$ อยู่ในทั้งสองวงกลม ใช้ L3 แบบ “ใน” ทั้งคู่: $\dfrac{1}{z-2} = -\sum\dfrac{z^n}{2^{n+1}}$, $-\dfrac{1}{z-1} = \sum z^n$ ⇒ $f = \sum_{n=0}^{\infty}\left(1 - \dfrac{1}{2^{n+1}}\right)z^n = \dfrac12 + \dfrac34 z + \dfrac78 z^2 + \cdots$ (เป็นเทย์เลอร์)

- (ข) $1 < |z| < 2$: นอกวงกลมของ 1 ใน 2 · $-\dfrac{1}{z-1} = -\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{z^{n+1}}$ (แบบ “นอก”) ⇒ $f = -\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{z^n} - \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{2^{n+1}} = \cdots - \dfrac{1}{z^2} - \dfrac1z - \dfrac12 - \dfrac{z}{4} - \dfrac{z^2}{8} - \cdots$

- (ค) $|z| > 2$: “นอก” ทั้งคู่: $\dfrac{1}{z-2} = \sum\dfrac{2^n}{z^{n+1}}$ ⇒ $f = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{2^n - 1}{z^{n+1}} = \dfrac{1}{z^2} + \dfrac{3}{z^3} + \dfrac{7}{z^4} + \cdots$

(ก) $\sum(1 - 2^{-n-1})z^n$ · (ข) $-\sum_{n\ge1}z^{-n} - \sum_{n\ge0}2^{-n-1}z^n$ · (ค) $\sum_{n\ge2}(2^{n-1} - 1)z^{-n}$ — สามอนุกรม ฟังก์ชันเดียว

ตัวอย่าง L-2 · รอบโพล

### ฟังก์ชันเดิม กระจายรอบ $z = 1$ ในวงแหวนเจาะ $0 < |z - 1| < 1$ แล้วหาเรซิดิวที่ z = 1

- ให้ $w = z - 1$: $f = \dfrac{1}{w(w - 1)} = -\dfrac1w\cdot\dfrac{1}{1 - w}$

- $|w| < 1$: $\dfrac{1}{1-w} = 1 + w + w^2 + \cdots$ ⇒ $f = -\dfrac1w - 1 - w - w^2 - \cdots$

$f = -\dfrac{1}{z-1} - 1 - (z-1) - (z-1)^2 - \cdots$ · โพลอย่างง่าย · $\operatorname{Res}_{z=1} f = -1$

## แล็บวงแหวนโลรองต์ พื้นฐาน

เลือกฟังก์ชัน จุดศูนย์กลาง และบริเวณ แล็บแสดงอนุกรม สัมประสิทธิ์ (แท่งส้ม = ส่วนหลัก) และชนิดของจุดศูนย์กลาง ลากจุดเขียว z ในระนาบ: ในวงแหวนผลบวกย่อยลู่เข้าหา f(z) ออกนอกวงแหวนแล้วความคลาดพุ่งขึ้น แม้ f(z) เองจะมีค่าปกติ

## กระจายจากอนุกรมที่รู้แล้ว กลาง

ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ตรรกยะ ใช้ตารางอนุกรมแมคลอรินแล้วหารหรือแทนค่า ความเป็นหนึ่งเดียว (L2) รับประกันว่าคำตอบถูก

ตัวอย่าง L-3 · ใช้ตารางแมคลอริน

### หาอนุกรมโลรองต์รอบ 0 และเรซิดิวของ (ก) $e^{1/z}$ (ข) $\dfrac{\sin z}{z^4}$ (ค) $\dfrac{e^z - 1}{z}$ (ง) $z^2 e^{1/z}$

- (ก) แทน $u = 1/z$ ใน $e^u$: $e^{1/z} = 1 + \dfrac1z + \dfrac{1}{2!\,z^2} + \dfrac{1}{3!\,z^3} + \cdots$ ($|z| > 0$) ส่วนหลักอนันต์พจน์ · $\operatorname{Res} = 1$

- (ข) $\dfrac{1}{z^4}\left(z - \dfrac{z^3}{6} + \dfrac{z^5}{120} - \cdots\right) = \dfrac{1}{z^3} - \dfrac{1}{6z} + \dfrac{z}{120} - \cdots$ · โพลอันดับ 3 · $\operatorname{Res} = -\tfrac16$

- (ค) $\dfrac1z\left(z + \dfrac{z^2}{2} + \cdots\right) = 1 + \dfrac{z}{2} + \dfrac{z^2}{6} + \cdots$ ไม่มีกำลังลบ · ถอดได้ (นิยาม f(0) = 1) · $\operatorname{Res} = 0$

- (ง) $z^2\sum\dfrac{1}{n!\,z^n} = z^2 + z + \dfrac12 + \dfrac{1}{6z} + \dfrac{1}{24z^2} + \cdots$ · $a_{-1}$ มาจาก n = 3 · $\operatorname{Res} = \tfrac16$

Res: (ก) 1 · (ข) −1/6 · (ค) 0 · (ง) 1/6 — ข้อ (ง) สูตรลิมิตใช้ไม่ได้เพราะเป็นเอกฐานแท้ ต้องใช้อนุกรมเท่านั้น

## ชนิดของจุดเอกฐานโดดเดี่ยว กลาง

จุด c เป็นจุดเอกฐานโดดเดี่ยว (isolated singularity) ถ้า f วิเคราะห์ในวงแหวนเจาะ $0 < |z - c| < r$ แต่ไม่วิเคราะห์ที่ c อนุกรมโลรองต์ในวงแหวนนี้บอกชนิดได้ทันทีจากจำนวนพจน์ในส่วนหลัก

ขนาด |f(z)| ใกล้จุดเอกฐานสามชนิด: ถอดได้ (มีขอบเขต) · โพล (โตเป็นอนันต์ทุกทิศ) · เอกฐานแท้ (พฤติกรรมขึ้นกับทิศที่เข้าใกล้)

L4 Removable singularity จุดเอกฐานที่ถอดได้

$$a_{-n} = 0\ \forall n \ge 1 \iff \lim_{z\to c} f(z) \text{ มีค่าจำกัด}$$

เช่น $\tfrac{\sin z}{z}$, $\tfrac{e^z - 1}{z}$ ที่ 0 · “แก้” ได้ด้วยการนิยามค่าที่ c

L5 Pole of order m โพลอันดับ m

$$a_{-m} \ne 0,\ a_{-n} = 0\ (n > m) \iff (z-c)^m f(z) \text{ วิเคราะห์และไม่เป็นศูนย์ที่ } c$$

$|f| \to \infty$ เมื่อ $z \to c$ · m = 1 เรียกโพลอย่างง่าย (simple pole) · ศูนย์อันดับ m ของตัวส่วน ⇒ โพลอันดับ m (ถ้าตัวเศษไม่เป็นศูนย์)

L6 Essential singularity จุดเอกฐานแท้

$$a_{-n} \ne 0 \text{ สำหรับ } n \text{ จำนวนอนันต์}$$

คาโซราตี-ไวแยร์สตราส: ใกล้ c ค่าของ f เข้าใกล้ทุกจำนวนเชิงซ้อน · $e^{1/z}$ → ∞ ตามแกนจริงบวก → 0 ตามแกนจริงลบ

วิธีบอกอันดับโพลโดยไม่กระจายอนุกรมถ้า $f = g/h$, $g(c) \ne 0$ และ h มีศูนย์อันดับ m ที่ c แล้ว f มีโพลอันดับ m เช่น $\dfrac{1}{\sin^2 z}$ มีโพลอันดับ 2 ที่ทุก $z = k\pi$ · ถ้า g ก็เป็นศูนย์ที่ c ด้วย ให้หักลบอันดับ เช่น $\dfrac{\sin z}{z^4}$: ศูนย์อันดับ 1 บน ศูนย์อันดับ 4 ล่าง ⇒ โพลอันดับ 3

## เรซิดิวและทฤษฎีบทเรซิดิว กลาง

อินทิกรัลรอบวงกลมของ $(z - c)^n$ เป็นศูนย์ทุก n ยกเว้น n = −1 ซึ่งได้ $2\pi i$ เมื่ออินทิกรัลอนุกรมโลรองต์ทีละพจน์ ทุกพจน์หายไปเหลือแค่ $2\pi i\,a_{-1}$ สัมประสิทธิ์ตัวนี้จึงได้ชื่อว่า “เรซิดิว” (residue = ส่วนที่เหลือ)

L7 Residue เรซิดิว

$$\operatorname{Res}_{z=c} f = a_{-1} = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-c|=\rho} f(z)\,dz$$

มาจาก $\oint (z-c)^n dz = 2\pi i$ ถ้า $n = -1$ และ 0 ถ้า $n \ne -1$

L8 Residue formulas สูตรหาเรซิดิว

$$\text{โพลอย่างง่าย: } \lim_{z\to c}(z-c)f(z) = \frac{g(c)}{h'(c)}\ \left(f = \tfrac{g}{h}\right);\qquad \text{อันดับ } m:\ \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to c}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\Big[(z-c)^m f(z)\Big]$$

เอกฐานแท้: ต้องกระจายอนุกรม · สูตร g/h′ คือสิ่งที่ใช้ในInverse Laplace แบบ Heaviside

L9 Residue theorem ทฤษฎีบทเรซิดิว

$$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k}\operatorname{Res}_{z=z_k} f \qquad (z_k \text{ อยู่ภายใน } C,\ C \text{ วนทวนเข็มนาฬิกา})$$

เปลี่ยนอินทิกรัลเป็นการหาสัมประสิทธิ์ · ใช้หาอินทิกรัลจริงที่ยาก อินเวอร์สลาปลาซ (Bromwich) และอินเวอร์ส Z

ตัวอย่าง L-4 · อินทิกรัลเส้นปิด

### คำนวณ $\displaystyle\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z(z-2)}\,dz$

- โพลอย่างง่ายที่ 0 และ 2 อยู่ใน $|z| = 3$ ทั้งคู่

- $\operatorname{Res}_{0} = \lim_{z\to0} z f = \dfrac{e^0}{0 - 2} = -\dfrac12$ · $\operatorname{Res}_{2} = \lim_{z\to2}(z-2)f = \dfrac{e^2}{2}$

- $\oint = 2\pi i\left(\dfrac{e^2}{2} - \dfrac12\right) = \pi i\,(e^2 - 1)$

$\pi i(e^2 - 1) \approx 20.07\,i$ · ถ้าใช้วงกลม $|z| = 1$ จะได้เฉพาะเรซิดิวที่ 0: $-\pi i$

ตัวอย่าง L-5 · อินทิกรัลจริงด้วยเรซิดิว

### (ก) $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$ (ข) $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2 + \cos\theta}$

- (ก) ปิดเส้นทางด้วยครึ่งวงกลมบน (อินทิกรัลบนครึ่งวงกลม → 0) โพลในครึ่งบนคือ $z = i$ อันดับ 2: $\operatorname{Res} = \dfrac{d}{dz}\left[\dfrac{1}{(z+i)^2}\right]_{z=i} = \dfrac{-2}{(2i)^3} = \dfrac{1}{4i}$

- อินทิกรัล $= 2\pi i\cdot\dfrac{1}{4i} = \dfrac{\pi}{2}$

- (ข) แทน $z = e^{i\theta}$: $\cos\theta = \tfrac12(z + z^{-1}),\ d\theta = \tfrac{dz}{iz}$ ได้ $\oint_{|z|=1}\dfrac{2\,dz}{i(z^2 + 4z + 1)}$ โพล $z = -2 \pm \sqrt3$ ในวงกลมหนึ่งหน่วยมีแค่ $-2 + \sqrt3$

- $\operatorname{Res} = \dfrac{2}{i\,(2z + 4)}\Big|_{z=-2+\sqrt3} = \dfrac{2}{2\sqrt3\,i} = \dfrac{1}{\sqrt3\,i}$ ⇒ อินทิกรัล $= 2\pi i\cdot\dfrac{1}{\sqrt3\,i} = \dfrac{2\pi}{\sqrt3}$

(ก) $\tfrac{\pi}{2}$ · (ข) $\tfrac{2\pi}{\sqrt3} \approx 3.628$

## การแปลง Z คืออนุกรมโลรองต์ ขั้นสูง

สำหรับวิศวกรไฟฟ้า นี่คือเหตุผลที่สำคัญที่สุดในการเรียนอนุกรมโลรองต์ การแปลง Z ของสัญญาณไม่ต่อเนื่อง $x[n]$ นิยามเป็นอนุกรมโลรองต์รอบ 0 โดยตรง เรื่องที่ตำราระบบสัญญาณเรียกว่า “บริเวณการลู่เข้า (ROC)” คือวงแหวนของหน้านี้ และการหาการแปลงผกผันคือการเลือกวงแหวนให้ถูกแล้วกระจายด้วยอนุกรมเรขาคณิต (เทียบกับ ROC ของลาปลาซในโพล-ซีโร่และ ROC)

L10 Z-transform = Laurent series การแปลง Z คืออนุกรมโลรองต์

$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n},\qquad \text{ROC} = \{ r_1 < |z| < r_2 \},\qquad x[n] = \frac{1}{2\pi i}\oint X(z)\,z^{n-1}\,dz$$

ROC $|z| > r$ ⇔ สัญญาณข้างขวา (causal ถ้าไม่มีพจน์ n < 0) · $|z| < r$ ⇔ ข้างซ้าย · วงแหวน ⇔ สองด้าน · ระบบเสถียร ⇔ ROC มีวงกลมหนึ่งหน่วย

|a| basic z transform pair คู่การแปลง Z">
L11 The basic pair คู่พื้นฐาน

$$a^n u[n] \longleftrightarrow \frac{z}{z-a},\ |z| > |a|;\qquad -a^n u[-n-1] \longleftrightarrow \frac{z}{z-a},\ |z| < |a|$$

X(z) เดียวกัน ROC ต่างกัน = สัญญาณต่างกัน · พิสูจน์ด้วย L3 ทั้งสองแบบ

L12 Stability = absolute convergence เสถียรภาพคือการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

$$\text{BIBO เสถียร} \iff \sum_{n}|h[n]| < \infty \iff |z| = 1 \subset \text{ROC}$$

แนวคิด “ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์” จากหน้าอนุกรมสลับคือเงื่อนไขเสถียรภาพของระบบดิจิทัลโดยตรง

ตัวอย่าง L-6 · อินเวอร์ส Z สาม ROC

### $X(z) = \dfrac{z}{(z - \frac12)(z - 2)}$ หา $x[n]$ เมื่อ ROC เป็น (ก) $|z| > 2$ (ข) $\tfrac12 < |z| < 2$ (ค) $|z| < \tfrac12$

- แยก $\dfrac{X(z)}{z} = \dfrac{1}{(z-\frac12)(z-2)} = \dfrac{-2/3}{z - \frac12} + \dfrac{2/3}{z - 2}$ ⇒ $X(z) = -\dfrac23\cdot\dfrac{z}{z - \frac12} + \dfrac23\cdot\dfrac{z}{z-2}$

- (ก) $|z| > 2$ อยู่นอกทั้งสองโพล ใช้ L11 แบบข้างขวาทั้งคู่: $x[n] = \dfrac23\left(2^n - \left(\tfrac12\right)^n\right)u[n]$ (causal แต่ไม่เสถียร เพราะ ROC ไม่มี |z| = 1)

- (ข) $\tfrac12 < |z| < 2$: โพล ½ อยู่ข้างใน (ข้างขวา) โพล 2 อยู่ข้างนอก (ข้างซ้าย): $x[n] = -\dfrac23\left(\tfrac12\right)^n u[n] - \dfrac23\,2^n u[-n-1]$ (สองด้าน และเสถียร)

- (ค) $|z| < \tfrac12$ อยู่ในทั้งคู่ (ข้างซ้ายทั้งคู่): $x[n] = \dfrac23\left(\left(\tfrac12\right)^n - 2^n\right)u[-n-1]$

X(z) เดียว สามสัญญาณ เลือกตาม ROC — ตรงกับสามบริเวณของอนุกรมโลรองต์ทุกประการ ดูการใช้ในระบบควบคุมแบบดิจิทัล

## เชื่อมกับการแปลงลาปลาซผกผัน ขั้นสูง

สูตรผกผันของลาปลาซ (Bromwich) เป็นอินทิกรัลเส้นในระนาบ s ซึ่งปิดเส้นทางแล้วใช้ทฤษฎีบทเรซิดิวได้: $f(t) = \sum \operatorname{Res}\left[F(s)e^{st}\right]$ ที่โพลทั้งหมดของ F(s) วิธีแยกเศษส่วนย่อยแบบ Heaviside cover-up คือสูตร L8 นั่นเอง ดูวิธีทำครบทุกกรณีที่ Inverse Laplace Transform

L13 Inverse Laplace by residues อินเวอร์สลาปลาซด้วยเรซิดิว

$$f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty}F(s)e^{st}\,ds = \sum_{\text{โพล } s_k}\operatorname{Res}_{s=s_k}\left[F(s)\,e^{st}\right],\quad t > 0$$

ตัวอย่าง $F(s) = \tfrac{1}{s(s+2)}$: Res ที่ 0 = ½ · Res ที่ −2 = $-\tfrac12e^{-2t}$ ⇒ $f(t) = \tfrac12(1 - e^{-2t})$

## สรุปขั้นตอนทำโจทย์อนุกรมโลรองต์ พื้นฐาน

1. หาโพลทั้งหมดวาดบนระนาบ หาระยะจากจุดศูนย์กลาง c ไปแต่ละโพล

2. ระบุวงแหวนวงกลมผ่านโพลแบ่งเขต · โจทย์บอกบริเวณมา หรือดูว่าจุดที่สนใจอยู่วงไหน

3. แยกเศษส่วนย่อยหรือดึงตัวประกอบที่รู้อนุกรม (eᶻ, sin z) ออกมา

4. กระจายแต่ละตัวโพลข้างใน ⇒ กำลังลบ · โพลข้างนอก ⇒ กำลังบวก (L3)

5. รวมและตรวจเทียบสัมประสิทธิ์สองสามตัวแรกกับแล็บ หรือแทนค่า z หนึ่งจุด

6. ตอบคำถามชนิดจุดเอกฐาน (L4–L6) · เรซิดิว $a_{-1}$ · อินทิกรัล (L9) · สัญญาณ x[n] (L10)

## ต่อไป: อนุกรมในงานวิศวกรรม

เห็นแล้วว่าอนุกรมโลรองต์คือภาษาของการแปลง Z หน้าถัดไป อนุกรมในงานวิศวกรรม นำทุกเครื่องมือของบทไปใช้กับลูกตุ้ม ไดโอด ไมโครคอนโทรลเลอร์ ตัวกรองดิจิทัล และการเงินของโครงการ · อ่านบทความ อนุกรมโลรองต์ต่างจากเทย์เลอร์อย่างไร (English) · ฝึกโจทย์ แนวข้อสอบชุด C

## คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมโลรองต์ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร?
อนุกรมเทย์เลอร์มีเฉพาะกำลังไม่ลบ $\sum_{n\ge0} a_n (z-c)^n$ และลู่เข้าในดิสก์ ใช้ได้เมื่อ f วิเคราะห์ที่ c อนุกรมโลรองต์ยอมให้มีกำลังลบ $\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-c)^n$ และลู่เข้าในวงแหวน $r_1
ทำไมฟังก์ชันเดียวมีอนุกรมโลรองต์ได้หลายแบบ?
เพราะอนุกรมโลรองต์ขึ้นกับบริเวณวงแหวน ซึ่งถูกแบ่งด้วยวงกลมที่ผ่านโพล เช่น $1/((z-1)(z-2))$ รอบ 0 มีสามบริเวณ |z| 2 แต่ละบริเวณให้อนุกรมต่างกัน แต่ในแต่ละวงแหวนอนุกรมมีได้แบบเดียว (ทฤษฎีบทโลรองต์)

จำแนกจุดเอกฐานด้วยอนุกรมโลรองต์อย่างไร?
ดูส่วนหลัก (กำลังลบ) ในวงแหวนเจาะ $0
เรซิดิวคืออะไร และหาอย่างไร?
เรซิดิวของ f ที่จุดเอกฐานโดดเดี่ยว c คือสัมประสิทธิ์ $a_{-1}$ ของ $1/(z-c)$ ในอนุกรมโลรองต์บนวงแหวนเจาะรอบ c ถ้าเป็นโพลอย่างง่าย $\operatorname{Res} = \lim_{z\to c}(z-c)f(z)$ ถ้าเป็นโพลอันดับ m ใช้ $\tfrac{1}{(m-1)!}\lim \tfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-c)^m f(z)]$ ทฤษฎีบทเรซิดิวให้ $\oint f\,dz = 2\pi i\sum \operatorname{Res}$

การแปลง Z เกี่ยวกับอนุกรมโลรองต์อย่างไร?
การแปลง Z $X(z) = \sum x[n] z^{-n}$ คืออนุกรมโลรองต์รอบ 0 โดยสัญญาณ x[n] คือสัมประสิทธิ์ของ $z^{-n}$ บริเวณการลู่เข้า (ROC) จึงเป็นวงแหวนเสมอ: |z| > r ให้สัญญาณข้างขวา (causal) · |z| มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**อนุกรมโลรองต์ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร?**
อนุกรมเทย์เลอร์มีเฉพาะกำลังไม่ลบ $\sum_{n\ge0} a_n (z-c)^n$ และลู่เข้าในดิสก์ ใช้ได้เมื่อ f วิเคราะห์ที่ c อนุกรมโลรองต์ยอมให้มีกำลังลบ $\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-c)^n$ และลู่เข้าในวงแหวน $r_1 < |z - c| < r_2$ จึงใช้รอบจุดเอกฐานได้ ถ้า f วิเคราะห์ทั้งดิสก์ อนุกรมโลรองต์จะเป็นอนุกรมเทย์เลอร์

**ทำไมฟังก์ชันเดียวมีอนุกรมโลรองต์ได้หลายแบบ?**
เพราะอนุกรมโลรองต์ขึ้นกับบริเวณวงแหวน ซึ่งถูกแบ่งด้วยวงกลมที่ผ่านโพล เช่น $1/((z-1)(z-2))$ รอบ 0 มีสามบริเวณ |z|  2 แต่ละบริเวณให้อนุกรมต่างกัน แต่ในแต่ละวงแหวนอนุกรมมีได้แบบเดียว (ทฤษฎีบทโลรองต์)

**จำแนกจุดเอกฐานด้วยอนุกรมโลรองต์อย่างไร?**
ดูส่วนหลัก (กำลังลบ) ในวงแหวนเจาะ $0 < |z - c| < r$: ไม่มีพจน์กำลังลบเลย = จุดเอกฐานที่ถอดได้ · มีจำนวนจำกัด กำลังลบสูงสุด m = โพลอันดับ m · มีอนันต์พจน์ = จุดเอกฐานแท้ เช่น $e^{1/z}$ ที่ 0

**เรซิดิวคืออะไร และหาอย่างไร?**
เรซิดิวของ f ที่จุดเอกฐานโดดเดี่ยว c คือสัมประสิทธิ์ $a_{-1}$ ของ $1/(z-c)$ ในอนุกรมโลรองต์บนวงแหวนเจาะรอบ c ถ้าเป็นโพลอย่างง่าย $\operatorname{Res} = \lim_{z\to c}(z-c)f(z)$ ถ้าเป็นโพลอันดับ m ใช้ $\tfrac{1}{(m-1)!}\lim \tfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-c)^m f(z)]$ ทฤษฎีบทเรซิดิวให้ $\oint f\,dz = 2\pi i\sum \operatorname{Res}$

**การแปลง Z เกี่ยวกับอนุกรมโลรองต์อย่างไร?**
การแปลง Z $X(z) = \sum x[n] z^{-n}$ คืออนุกรมโลรองต์รอบ 0 โดยสัญญาณ x[n] คือสัมประสิทธิ์ของ $z^{-n}$ บริเวณการลู่เข้า (ROC) จึงเป็นวงแหวนเสมอ: |z| > r ให้สัญญาณข้างขวา (causal) · |z| < r ให้สัญญาณข้างซ้าย · วงแหวนระหว่างโพลให้สัญญาณสองด้าน การหา X(z) ผกผันคือการหาอนุกรมโลรองต์ในวงแหวนที่ถูกต้อง

---

# อนุกรมกำลัง (Power Series): รัศมีและช่วงการลู่เข้า อนุพันธ์-อินทิกรัลทีละพจน์ และการแทนฟังก์ชัน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/power-series/
Updated: 2026-10-24
Summary: อนุกรมกำลัง (power series) Σcₙ(x − a)ⁿ คืออะไร วิธีหารัศมีการลู่เข้า (radius of convergence) ด้วยการทดสอบอัตราส่วนและราก สูตรโคชี-อาดามาร์ การตรวจปลายช่วงเพื่อหาช่วงการลู่เข้า (interval of convergence) อนุพันธ์และอินทิกรัลทีละพจน์ แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรมเรขาคณิต ทฤษฎีบทของอาเบล รัศมีจากจุดเอกฐานเชิงซ้อน และแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยอนุกรม

// บทที่ 26.5 · ลำดับและอนุกรม · Power Series

# อนุกรมกำลัง (Power Series): รัศมีและช่วงการลู่เข้า อนุพันธ์-อินทิกรัลทีละพจน์ และการแทนฟังก์ชัน

อนุกรมกำลังคือ “พหุนามที่ยาวไม่สิ้นสุด” $c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots$ ต่างจากอนุกรมตัวเลขตรงที่การลู่เข้าขึ้นกับ x คำตอบมีรูปแบบสวยงามเสมอ: ลู่เข้าในช่วงที่สมมาตรรอบ a รัศมี R และลู่ออกนอกช่วง ในช่วงนั้นอนุกรมประพฤติเหมือนพหุนาม หาอนุพันธ์และอินทิกรัลทีละพจน์ได้ ทำให้เป็นเครื่องมือหลักในการแทนฟังก์ชัน คำนวณเชิงตัวเลข และแก้สมการเชิงอนุพันธ์

สรุปใน 30 วินาที

- $\sum c_n(x-a)^n$ ลู่เข้าเมื่อ $|x - a| < R$ ลู่ออกเมื่อ $|x - a| > R$ (R อาจเป็น 0 หรือ ∞)

- $R = \lim\left|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}\right|$ หรือ $\dfrac1R = \limsup\sqrt[n]{|c_n|}$ · ปลายช่วงต้องทดสอบเอง

- หาอนุพันธ์/อินทิกรัลทีละพจน์ได้ใน $|x - a| < R$ โดย R ไม่เปลี่ยน

- R = ระยะจาก a ถึงจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดในระนาบเชิงซ้อน

ระดับพื้นฐาน แนวคิดกลาง แคลคูลัส 2ขั้นสูง คณิตศาสตร์วิศวกรรม

## อนุกรมกำลังคืออะไร พื้นฐาน

ตัวอย่างแรกเราเห็นแล้วในหน้าอนุกรมเรขาคณิต: $1 + x + x^2 + \cdots = \dfrac{1}{1-x}$ เมื่อ $|x| < 1$ ด้านซ้ายคืออนุกรมกำลัง ด้านขวาคือฟังก์ชันที่มันแทน โดยแทนได้เฉพาะในช่วง $(-1, 1)$ เท่านั้น ทั้งบทนี้คือการศึกษาว่าเกิดอะไรขึ้นกับคู่นี้

P1 Power series centered at a อนุกรมกำลังรอบจุด a

$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$$

$a$ = จุดศูนย์กลาง (center) · $c_n$ = สัมประสิทธิ์ · ที่ $x = a$ ลู่เข้าเสมอ (เท่ากับ $c_0$)

ช่วงการลู่เข้ามีจุดศูนย์กลาง a รัศมี R: ข้างในลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ข้างนอกลู่ออก ที่ปลายทั้งสองต้องตรวจเอง

## รัศมีการลู่เข้า: สามกรณีเท่านั้น กลาง

P2 Radius of convergence theorem ทฤษฎีบทรัศมีการลู่เข้า

$$\exists R \in [0, \infty]:\quad |x - a| < R \Rightarrow \text{ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์},\qquad |x - a| > R \Rightarrow \text{ลู่ออก}$$

R = 0: ลู่เข้าแค่ที่ $x = a$ · R = ∞: ลู่เข้าทุก x · ไม่มีกรณีที่ลู่เข้าเป็นช่วงไม่สมมาตร (ยกเว้นปลายช่วง)

P3 Ratio formula สูตรจากอัตราส่วน

$$R = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| \quad(\text{ถ้าลิมิตมี})$$

ระวังลำดับ: $c_n$ อยู่บน · ในทางปฏิบัติใช้ ratio test กับพจน์เต็ม $|a_{n+1}/a_n|$ แล้วแก้อสมการ < 1 จะไม่สับสน

P4 Cauchy–Hadamard formula สูตรโคชี-อาดามาร์

$$\frac1R = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}$$

ใช้ได้เสมอ แม้มีช่องว่าง (สัมประสิทธิ์เป็น 0 สลับ) ที่สูตรอัตราส่วนใช้ไม่ได้

P5 Interval of convergence ช่วงการลู่เข้า

$$(a - R,\ a + R) \ \cup\ \{\text{ปลายที่ลู่เข้า}\}:\quad (\,),\ [\,),\ (\,],\ [\,]$$

ที่ปลายช่วง ratio test ให้ 1 เสมอ ต้องใช้ p-series, ไลบ์นิซ, พจน์ที่ n หรือเปรียบเทียบ

ตัวอย่าง P-1 · ครบสูตร

### หาช่วงการลู่เข้าของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^n}{n\,2^n}$

- อัตราส่วน: $\left|\dfrac{(x-3)^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}\cdot\dfrac{n\,2^n}{(x-3)^n}\right| = \dfrac{|x-3|}{2}\cdot\dfrac{n}{n+1} \to \dfrac{|x-3|}{2}$

- ลู่เข้าเมื่อ $\dfrac{|x-3|}{2} < 1 \iff |x - 3| < 2$ ⇒ $R = 2$, ช่วงเปิด $(1, 5)$

- ปลายซ้าย $x = 1$: $\sum\dfrac{(-2)^n}{n2^n} = \sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ ลู่เข้า (ไลบ์นิซ) · ปลายขวา $x = 5$: $\sum\dfrac{2^n}{n2^n} = \sum\dfrac1n$ ลู่ออก

$R = 2$ · ช่วงการลู่เข้า $[1, 5)$ (ในแล็บพิมพ์ cₙ แล้วตั้ง a = 3)

ตัวอย่าง P-2 · R เป็นค่าพิเศษ และช่องว่าง

### หาช่วงการลู่เข้าของ (ก) $\sum\dfrac{n!\,x^n}{n^n}$ (ข) $\sum\dfrac{x^{2n}}{4^n}$ (ค) $\sum\dfrac{(2x-1)^n}{n^2}$

- (ก) $\left|\dfrac{c_{n+1}}{c_n}\right| = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac1e$ ⇒ $R = e$ · ที่ $x = \pm e$: $|a_n| = \dfrac{n!\,e^n}{n^n} \sim \sqrt{2\pi n} \to \infty$ ลู่ออกทั้งสองปลาย ⇒ $(-e, e)$

- (ข) มีแต่กำลังคู่ (ช่องว่าง) มองเป็นเรขาคณิตของ $u = x^2/4$: ลู่เข้า ⇔ $x^2/4 < 1 \iff |x| < 2$ · ที่ $x = \pm2$ ได้ $\sum 1$ ลู่ออก ⇒ $(-2, 2)$

- (ค) อัตราส่วน $|2x - 1|\cdot\dfrac{n^2}{(n+1)^2} \to |2x-1| < 1 \iff 0 < x < 1$ ($R = \tfrac12$ รอบ $a = \tfrac12$) · ปลาย: $\sum\dfrac{(\pm1)^n}{n^2}$ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ทั้งคู่ ⇒ $[0, 1]$

(ก) $(-e, e)$ · (ข) $(-2, 2)$ · (ค) $[0, 1]$ — ข้อ (ค) ระวัง: $(2x-1)^n = 2^n(x - \tfrac12)^n$ จึงมีจุดศูนย์กลาง ½ ไม่ใช่ 1

## แล็บรัศมีการลู่เข้า: เส้นจำนวนจริงและระนาบเชิงซ้อน พื้นฐาน

เลือกอนุกรมแล้วเลื่อนดีกรี N ของผลบวกย่อย: ในแถบเขียวเส้นส้มเกาะฟังก์ชันแน่นขึ้นเรื่อย ๆ นอกแถบเส้นส้มแกว่งหนี วงกลมเขียวทึบ/แดงโปร่งบอกปลายช่วงที่ลู่เข้า/ลู่ออก ภาพระนาบเชิงซ้อนแสดงจุดเอกฐานที่กำหนดรัศมี หรือเลือก “พิมพ์ cₙ เอง”

## ตรวจปลายช่วง: ที่ที่ข้อสอบเก็บคะแนน กลาง

นักศึกษาส่วนใหญ่หา R ได้ แต่เสียคะแนนที่ปลายช่วง ตารางนี้สรุปอนุกรมกำลังมาตรฐานที่มีรัศมี 1 แต่ปลายช่วงต่างกันทั้งหมด จำไว้ใช้เป็นตัวเทียบ

| อนุกรม | ฟังก์ชัน | x = −1 | x = 1 | ช่วง |

| $\sum x^n$ | $\tfrac{1}{1-x}$ | ลู่ออก | ลู่ออก | $(-1, 1)$ |

| $\sum \tfrac{x^n}{n}$ | $-\ln(1-x)$ | มีเงื่อนไข | ลู่ออก | $[-1, 1)$ |

| $\sum \tfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$ | $\ln(1+x)$ | ลู่ออก | มีเงื่อนไข | $(-1, 1]$ |

| $\sum \tfrac{x^n}{n^2}$ | $\operatorname{Li}_2(x)$ | สัมบูรณ์ | สัมบูรณ์ | $[-1, 1]$ |

| $\sum \tfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ | $\arctan x$ | มีเงื่อนไข | มีเงื่อนไข | $[-1, 1]$ |

แนวข้อสอบโจทย์ “หาช่วงการลู่เข้า” ให้คะแนนสามส่วน: หา R (ใช้อัตราส่วนหรือราก) · ตรวจปลายซ้าย · ตรวจปลายขวา เขียนการทดสอบที่ใช้ที่ปลายแต่ละข้างให้ชัด ห้ามสรุปจาก ratio test ที่ปลายช่วงเพราะได้ 1 เสมอ

## อนุพันธ์และอินทิกรัลทีละพจน์ กลาง

ภายในช่วงลู่เข้า อนุกรมกำลังเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ และทำได้ทีละพจน์เหมือนพหุนาม นี่คือ “เครื่องจักรผลิตอนุกรม”: เริ่มจากอนุกรมเรขาคณิตตัวเดียว หาอนุพันธ์ อินทิกรัล หรือแทนตัวแปร จะได้อนุกรมของฟังก์ชันอื่นอีกมาก

P6 Term-by-term calculus อนุพันธ์และอินทิกรัลทีละพจน์

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n \ \Rightarrow\ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n (x-a)^{n-1},\quad \int f\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n(x-a)^{n+1}}{n+1}$$

ทั้งสองมีรัศมี R เท่าเดิม · ปลายช่วงอาจได้หรือเสียการลู่เข้า ต้องตรวจใหม่

P7 Series built from the geometric series อนุกรมที่สร้างจากอนุกรมเรขาคณิต

$$\frac{1}{1-x} = \sum x^n,\quad \frac{1}{(1-x)^2} = \sum (n+1)x^n,\quad \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n},\quad \arctan x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$$

ทั้งหมดมี $R = 1$ · $\ln(1+x) = \int_0^x \tfrac{dt}{1+t}$ · $\arctan x = \int_0^x\tfrac{dt}{1+t^2}$

ตัวอย่าง P-3 · หาผลบวกด้วยอนุพันธ์-อินทิกรัล

### หาผลบวก (ก) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$ (ข) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,2^n}$

- (ก) จาก $\sum x^n = \dfrac{1}{1-x}$ หาอนุพันธ์: $\sum nx^{n-1} = \dfrac{1}{(1-x)^2}$ คูณ x: $\sum nx^n = \dfrac{x}{(1-x)^2}$ · ที่ $x = \tfrac12$: $\dfrac{1/2}{1/4} = 2$

- (ข) อินทิกรัล $\sum x^{n-1}$ ตั้งแต่ 0 ถึง x: $\sum\dfrac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$ · ที่ $x = \tfrac12$: $-\ln\tfrac12 = \ln 2$

(ก) 2 · (ข) $\ln 2 \approx 0.6931$ (ลู่เข้าเร็วกว่า $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ มาก)

## แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรมกำลัง: เทคนิคเรขาคณิต กลาง

P8 The geometric trick เทคนิคอนุกรมเรขาคณิต

$$\frac{1}{c - x} = \frac1c\cdot\frac{1}{1 - x/c} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{c^{n+1}},\quad |x| < |c|;\qquad \frac{1}{c - x} = \frac{1}{(c - a) - (x - a)} \text{ สำหรับรอบ } a$$

ฟังก์ชันตรรกยะ: แยกเศษส่วนย่อยก่อน แล้วกระจายทีละตัว รัศมี = ระยะถึงโพลที่ใกล้ที่สุด

ตัวอย่าง P-4 · ฟังก์ชันตรรกยะ

### เขียน $f(x) = \dfrac{3}{(1-x)(1+2x)}$ เป็นอนุกรมกำลังรอบ 0 และหารัศมีการลู่เข้า

- แยกเศษส่วนย่อย: $\dfrac{3}{(1-x)(1+2x)} = \dfrac{1}{1-x} + \dfrac{2}{1+2x}$ (ตรวจที่ x = 1 และ x = −½)

- $\dfrac{1}{1-x} = \sum x^n$ ($|x| < 1$) · $\dfrac{2}{1+2x} = 2\sum(-2x)^n$ ($|x| < \tfrac12$)

- รวม: $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\left[1 + 2(-2)^n\right]x^n = 3 - 3x + 9x^2 - 15x^3 + 33x^4 - \cdots$

- ต้องลู่เข้าทั้งสองตัว ⇒ $R = \tfrac12$ ตรงกับระยะจาก 0 ถึงโพล $x = -\tfrac12$

$c_n = 1 + 2(-2)^n,\ R = \tfrac12$

## รัศมีการลู่เข้ามาจากระนาบเชิงซ้อน ขั้นสูง

ทำไมอนุกรมของ $\dfrac{1}{1+x^2}$ จึงลู่เข้าแค่ $|x| < 1$ ทั้งที่กราฟบนแกนจริงเรียบทุกจุด คำตอบอยู่นอกแกนจริง: อนุกรมกำลังลู่เข้าเป็น “ดิสก์” ในระนาบเชิงซ้อน และดิสก์ขยายได้จนชนจุดเอกฐานแรก ส่วนที่เห็นบนแกนจริงคือรอยตัดของดิสก์ ความเข้าใจนี้นำไปสู่อนุกรมโลรองต์ และฟังก์ชันวิเคราะห์

ดิสก์การลู่เข้ารอบ 0 ของ $1/(1+z^2)$ ขยายได้จนชนโพล $\pm i$ จึงมี R = 1 รอยตัดบนแกนจริงคือช่วง (−1, 1)

P9 Radius = distance to the nearest singularity รัศมีคือระยะถึงจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุด

$$f \text{ วิเคราะห์ใน } |z - a| < \rho \text{ และมีจุดเอกฐานบน } |z - a| = \rho \ \Rightarrow\ R = \rho$$

$\dfrac{1}{x^2 - 4x + 13}$: โพล $2 \pm 3i$ · รอบ 0 ได้ $R = \sqrt{13} \approx 3.61$ · รอบ 2 ได้ $R = 3$ — ไม่ต้องคำนวณสัมประสิทธิ์เลย

P10 Uniqueness ความเป็นหนึ่งเดียว

$$\sum c_n (x-a)^n = \sum d_n (x-a)^n \text{ ใกล้ } a \Rightarrow c_n = d_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$$

ได้อนุกรมด้วยวิธีใดก็ตาม (แทนค่า แยกเศษส่วน คูณ) ผลคืออนุกรมเทย์เลอร์ตัวเดียวกันเสมอ

P11 Abel's theorem ทฤษฎีบทของอาเบล

$$\sum c_n R^n \text{ ลู่เข้า} \Rightarrow \lim_{x\to R^-}\sum c_n x^n = \sum c_n R^n$$

ใช้หาผลบวกที่ปลายช่วง: $\arctan 1 = \tfrac{\pi}{4} = 1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots$ และ $\ln 2 = 1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$

P12 Uniform convergence ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ

$$|x - a| \le r < R:\quad |c_n(x-a)^n| \le |c_n| r^n =: M_n,\ \sum M_n < \infty$$

Weierstrass M-test ⇒ ลู่เข้าสม่ำเสมอบนช่วงปิดข้างใน จึงสลับลิมิต อนุพันธ์ และอินทิกรัลกับผลบวกได้

## แก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยอนุกรมกำลัง ขั้นสูง

สมการเชิงอนุพันธ์จำนวนมากในฟิสิกส์และวิศวกรรมไม่มีคำตอบเป็นฟังก์ชันพื้นฐาน วิธีอนุกรมกำลังเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์เป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดของสัมประสิทธิ์ ซึ่งคอมพิวเตอร์คำนวณได้ทันที (เทียบกับการแปลงลาปลาซที่เหมาะกับสัมประสิทธิ์คงที่)

P13 Power series method วิธีอนุกรมกำลัง

$$y = \sum c_n x^n,\ y' = \sum (n+1)c_{n+1}x^n,\ y'' = \sum (n+2)(n+1)c_{n+2}x^n \ \Rightarrow \text{ เทียบสัมประสิทธิ์ของ } x^n$$

จุดสามัญ (ordinary point) ให้คำตอบอนุกรมกำลังเสมอ · จุดเอกฐานปกติใช้วิธีโฟรเบเนียส $y = x^r\sum c_n x^n$

P14 Bessel function J₀ ฟังก์ชันเบสเซล

$$x^2y'' + xy' + x^2y = 0:\quad J_0(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k},\ R = \infty$$

ใช้กับการสั่นของแผ่นกลม การนำความร้อนในทรงกระบอก และแอมพลิจูดของไซด์แบนด์ในสัญญาณ FM

ตัวอย่าง P-5 · y″ + y = 0

### แก้ $y'' + y = 0$ ด้วยอนุกรมกำลังรอบ 0

- แทน $y = \sum c_n x^n$: $\sum\left[(n+2)(n+1)c_{n+2} + c_n\right]x^n = 0$ ⇒ $c_{n+2} = -\dfrac{c_n}{(n+2)(n+1)}$

- เริ่มจาก $c_0$: $c_2 = -\tfrac{c_0}{2!},\ c_4 = \tfrac{c_0}{4!}, \dots$ · เริ่มจาก $c_1$: $c_3 = -\tfrac{c_1}{3!},\ c_5 = \tfrac{c_1}{5!}, \dots$

- $y = c_0\left(1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \cdots\right) + c_1\left(x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \cdots\right) = c_0\cos x + c_1\sin x$

$y = c_0\cos x + c_1\sin x$ — นิยามของ sin และ cos ผ่านอนุกรมคือคำตอบของสมการการสั่นอย่างง่าย (วงจร LC, สปริง-มวล)

ตัวอย่าง P-6 · สมการไม่เชิงเส้น

### หา 3 พจน์แรกของคำตอบ $y' = 1 + y^2,\ y(0) = 0$

- $y(0) = 0$ ⇒ $c_0 = 0$ · $y'(0) = 1 + 0 = 1$ ⇒ $c_1 = 1$

- หาอนุพันธ์ต่อ: $y'' = 2yy'$ ⇒ $y''(0) = 0$ · $y''' = 2(y')^2 + 2yy''$ ⇒ $y'''(0) = 2$ ⇒ $c_3 = \tfrac{2}{3!} = \tfrac13$

- ต่อไปจะได้ $c_5 = \tfrac{2}{15}$ ตรงกับอนุกรมของ $\tan x$ ซึ่งคือคำตอบแม่นตรง

$y = x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2x^5}{15} + \cdots = \tan x$ · R = π/2 (จุดเอกฐานที่ x = ±π/2 ทำให้คำตอบระเบิด)

## ต่อไป: สัมประสิทธิ์มาจากไหน

ทฤษฎีบทความเป็นหนึ่งเดียว (P10) บอกว่าสัมประสิทธิ์ต้องเป็น $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ เสมอ นั่นคืออนุกรมเทย์เลอร์ หน้าถัดไปจะสร้างอนุกรมของทุกฟังก์ชันพื้นฐาน พร้อมเศษเหลือที่บอกความแม่นยำ · อ่านบทความ รัศมีการลู่เข้าหาอย่างไร (English) · ทบทวนอนุกรมสลับสำหรับปลายช่วง

## คำถามที่พบบ่อย

รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร?
ใช้การทดสอบอัตราส่วนกับค่าสัมบูรณ์ของพจน์: $\lim\left|\dfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\right| = |x-a|\,L
ทำไมต้องตรวจปลายช่วงแยก?
ที่ $|x - a| = R$ การทดสอบอัตราส่วนได้ค่า 1 ซึ่งสรุปไม่ได้ ต้องแทนค่า x ที่ปลายทั้งสองแล้วทดสอบอนุกรมตัวเลขที่ได้ด้วยวิธีอื่น ปลายแต่ละข้างอาจลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ มีเงื่อนไข หรือลู่ออกก็ได้ เช่น $\sum x^n/n$ ลู่เข้าที่ x = −1 แต่ลู่ออกที่ x = 1

หาอนุพันธ์หรืออินทิกรัลอนุกรมกำลังทีละพจน์ได้ไหม?
ได้ ภายในช่วง $|x - a|
ทำไม 1/(1+x²) ที่เรียบทุกจุดบนเส้นจำนวนจริงจึงมีรัศมีการลู่เข้าเพียง 1?
เพราะรัศมีการลู่เข้ารอบจุด a เท่ากับระยะจาก a ไปยังจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดในระนาบเชิงซ้อน ฟังก์ชัน $1/(1+z^2)$ มีโพลที่ $z = \pm i$ ห่างจาก 0 หนึ่งหน่วย จึงได้ R = 1 แม้บนแกนจริงจะไม่มีปัญหาใด ๆ

อนุกรมกำลังใช้แก้สมการเชิงอนุพันธ์อย่างไร?
สมมติ $y = \sum c_n x^n$ แทนลงในสมการ เทียบสัมประสิทธิ์ของ $x^n$ ทั้งสองข้าง จะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิดของ $c_n$ เช่น $y'' + y = 0$ ให้ $c_{n+2} = -c_n/((n+2)(n+1))$ ซึ่งคืออนุกรมของ cos x และ sin x วิธีนี้ให้ฟังก์ชันพิเศษอย่างเบสเซล (Bessel) ที่ใช้ในการสั่นของแผ่นกลมและสเปกตรัม FM

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร?**
ใช้การทดสอบอัตราส่วนกับค่าสัมบูรณ์ของพจน์: $\lim\left|\dfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\right| = |x-a|\,L < 1$ ได้ $|x - a| < 1/L$ ดังนั้น $R = 1/L = \lim|c_n/c_{n+1}|$ หรือใช้ราก $1/R = \limsup\sqrt[n]{|c_n|}$ (โคชี-อาดามาร์) ถ้า L = 0 ได้ R = ∞ ถ้า L = ∞ ได้ R = 0

**ทำไมต้องตรวจปลายช่วงแยก?**
ที่ $|x - a| = R$ การทดสอบอัตราส่วนได้ค่า 1 ซึ่งสรุปไม่ได้ ต้องแทนค่า x ที่ปลายทั้งสองแล้วทดสอบอนุกรมตัวเลขที่ได้ด้วยวิธีอื่น ปลายแต่ละข้างอาจลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ มีเงื่อนไข หรือลู่ออกก็ได้ เช่น $\sum x^n/n$ ลู่เข้าที่ x = −1 แต่ลู่ออกที่ x = 1

**หาอนุพันธ์หรืออินทิกรัลอนุกรมกำลังทีละพจน์ได้ไหม?**
ได้ ภายในช่วง $|x - a| < R$ และรัศมีการลู่เข้าไม่เปลี่ยน แต่พฤติกรรมที่ปลายช่วงอาจเปลี่ยน เช่น $\sum x^n/n^2$ ลู่เข้าที่ทั้งสองปลาย แต่อนุพันธ์ $\sum x^{n-1}/n$ ลู่ออกที่ x = 1 เทคนิคนี้ใช้หาอนุกรมของ ln(1+x) และ arctan x จากอนุกรมเรขาคณิต

**ทำไม 1/(1+x²) ที่เรียบทุกจุดบนเส้นจำนวนจริงจึงมีรัศมีการลู่เข้าเพียง 1?**
เพราะรัศมีการลู่เข้ารอบจุด a เท่ากับระยะจาก a ไปยังจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดในระนาบเชิงซ้อน ฟังก์ชัน $1/(1+z^2)$ มีโพลที่ $z = \pm i$ ห่างจาก 0 หนึ่งหน่วย จึงได้ R = 1 แม้บนแกนจริงจะไม่มีปัญหาใด ๆ

**อนุกรมกำลังใช้แก้สมการเชิงอนุพันธ์อย่างไร?**
สมมติ $y = \sum c_n x^n$ แทนลงในสมการ เทียบสัมประสิทธิ์ของ $x^n$ ทั้งสองข้าง จะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิดของ $c_n$ เช่น $y'' + y = 0$ ให้ $c_{n+2} = -c_n/((n+2)(n+1))$ ซึ่งคืออนุกรมของ cos x และ sin x วิธีนี้ให้ฟังก์ชันพิเศษอย่างเบสเซล (Bessel) ที่ใช้ในการสั่นของแผ่นกลมและสเปกตรัม FM

---

# ลำดับ (Sequences): เลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ และทฤษฎีบทการลู่เข้า

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/sequences/
Updated: 2026-10-24
Summary: ลำดับ (sequence) คืออะไร สูตรพจน์ทั่วไป ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence) ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence) ลำดับฮาร์มอนิก ความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) และสมการลักษณะเฉพาะ ลิมิตของลำดับ นิยาม ε–N ทฤษฎีบทแซนด์วิช ลำดับทางเดียวมีขอบเขต ลำดับโคชี พร้อมตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและแล็บโต้ตอบ

// บทที่ 26.1 · ลำดับและอนุกรม · Sequences

# ลำดับ (Sequences): เลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ และทฤษฎีบทการลู่เข้า

ลำดับคือจำนวนที่เรียงเป็นแถวตามกฎ เช่น ยอดเงินฝากทุกสิ้นปี แรงดันของตัวเก็บประจุทุกตัวอย่างสัญญาณ หรือค่าประมาณที่ได้จากวิธีของนิวตันทีละรอบ คำถามสำคัญที่สุดคือ “เมื่อ n ใหญ่มาก ๆ ลำดับเข้าใกล้ค่าใดหรือไม่” หน้านี้ปูพื้นตั้งแต่สูตรลำดับระดับมัธยมปลาย จนถึงนิยาม ε–N และทฤษฎีบทที่ใช้พิสูจน์การลู่เข้า ซึ่งเป็นฐานของอนุกรมทุกชนิดในบทนี้

สรุปใน 30 วินาที

- เลขคณิต $a_n = a_1 + (n-1)d$ · เรขาคณิต $a_n = a_1 r^{n-1}$ · ฮาร์มอนิก: ส่วนกลับเป็นเลขคณิต

- $a_n \to L$ หมายถึง ทุก $\varepsilon > 0$ มี $N$ ที่ $n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$

- ลำดับโตเร็วเรียงจากช้าไปเร็ว: $\ln n \ll n^p \ll a^n \ll n! \ll n^n$ · $\left(1 + \tfrac{x}{n}\right)^n \to e^x$

- ทางเดียว + มีขอบเขต ⇒ ลู่เข้า · มีลำดับย่อยสองชุดลู่เข้าคนละค่า ⇒ ลู่ออก

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · เตรียมสอบเข้ากลาง แคลคูลัส 1-2ขั้นสูง พิสูจน์ · คณิตวิเคราะห์

## ลำดับคืออะไร: สูตรพจน์ทั่วไปและแบบเวียนเกิด พื้นฐาน

ลำดับ (sequence) คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนนับ เขียนค่าที่ตำแหน่ง n ว่า $a_n$ เรียกว่าพจน์ที่ n (n-th term) ลำดับกำหนดได้สองแบบ: เขียนสูตรตรง ๆ ของ $a_n$ เป็นฟังก์ชันของ n หรือบอกพจน์แรกแล้วบอกวิธีสร้างพจน์ถัดไปจากพจน์ก่อนหน้า (เวียนเกิด) ทั้งสองแบบพบบ่อยในงานวิศวกรรม: สูตรตรงคำนวณพจน์ไกล ๆ ได้ทันที ส่วนแบบเวียนเกิดคือสิ่งที่คอมพิวเตอร์และตัวกรองดิจิทัลทำจริง

Q1 Sequence ลำดับ

$$a : \mathbb N \to \mathbb R,\quad n \mapsto a_n \qquad (a_n)_{n=1}^{\infty} = a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots$$

ลำดับจำกัด (finite) มีพจน์สุดท้าย ลำดับอนันต์ (infinite) ไม่มี · ดัชนีเริ่มที่ 0 หรือ 1 ก็ได้ ต้องอ่านโจทย์ให้ดี

Q2 Explicit vs recursive สูตรตรงกับเวียนเกิด

$$a_n = f(n) \qquad\text{หรือ}\qquad a_1 \text{ กำหนด},\ a_{n+1} = g(a_n)$$

ตัวอย่าง: $a_n = 2^n$ กับ $a_1 = 2,\ a_{n+1} = 2a_n$ คือลำดับเดียวกัน

Q3 Bounded & monotone มีขอบเขต · ทางเดียว

$$|a_n| \le M\ \forall n \qquad a_{n+1} \ge a_n\ (\text{เพิ่ม}) \quad a_{n+1} \le a_n\ (\text{ลด})$$

ตรวจความเป็นทางเดียวด้วย $a_{n+1} - a_n$, $a_{n+1}/a_n$ (พจน์บวก) หรือ $f'(x)$ ของ $f(n) = a_n$

ตัวอย่าง Q-1 · หาสูตรพจน์ทั่วไป

### เขียนสูตร $a_n$ ของ (ก) $\tfrac12, \tfrac23, \tfrac34, \dots$ (ข) $1, -\tfrac14, \tfrac19, -\tfrac1{16}, \dots$ (ค) $2, 6, 12, 20, 30, \dots$

- (ก) ตัวเศษเป็น 1, 2, 3, … และตัวส่วนมากกว่าตัวเศษ 1 ⇒ $a_n = \dfrac{n}{n+1}$

- (ข) ตัวส่วนเป็นกำลังสอง $n^2$ เครื่องหมายสลับเริ่มบวก ⇒ $a_n = \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}$

- (ค) ผลต่าง 4, 6, 8, 10 เพิ่มทีละ 2 (ผลต่างอันดับสองคงที่ ⇒ พหุนามดีกรีสอง) ลองแยก $2 = 1\cdot2,\ 6 = 2\cdot3,\ 12 = 3\cdot4$ ⇒ $a_n = n(n+1)$

(ก) $\dfrac{n}{n+1}$ · (ข) $\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ · (ค) $n(n+1)$ — ตรวจโดยแทน n = 1, 2, 3 ทุกครั้ง

## ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต และฮาร์มอนิก พื้นฐาน

สองลำดับนี้คือแกนของข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเรื่องลำดับ ลำดับเลขคณิต (arithmetic) เพิ่มด้วย “การบวกค่าคงที่” เหมือนเงินเดือนที่ขึ้นปีละเท่ากัน ลำดับเรขาคณิต (geometric) เพิ่มด้วย “การคูณค่าคงที่” เหมือนดอกเบี้ยทบต้นหรือแรงดันที่ลดลงในแต่ละช่วงเวลาคงที่ของวงจร RC

Q4 Arithmetic sequence ลำดับเลขคณิต

$$a_n = a_1 + (n-1)d,\qquad d = a_{n+1} - a_n,\qquad a_n = a_m + (n-m)d$$

$a, b, c$ เป็นเลขคณิต ⇔ $2b = a + c$ (b คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต)

Q5 Geometric sequence ลำดับเรขาคณิต

$$a_n = a_1 r^{n-1},\qquad r = \frac{a_{n+1}}{a_n},\qquad a_n = a_m r^{n-m}$$

$a, b, c$ (บวก) เป็นเรขาคณิต ⇔ $b^2 = ac$ · $r^n \to 0$ เมื่อ $|r| < 1$

Q6 Harmonic sequence ลำดับฮาร์มอนิก

$$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \dots \text{ เป็นเลขคณิต} \quad\Rightarrow\quad a_n = \frac{1}{\frac{1}{a_1} + (n-1)d}$$

เช่น $1, \tfrac12, \tfrac13, \dots$ · $b$ เป็นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของ $a, c$ ⇔ $b = \dfrac{2ac}{a+c}$

Q7 AM ≥ GM ≥ HM อสมการค่าเฉลี่ย

$$\frac{a+b}{2} \ \ge\ \sqrt{ab} \ \ge\ \frac{2ab}{a+b}\qquad (a, b > 0)$$

เท่ากันเมื่อ $a = b$ · ใช้ในโจทย์ค่าสูงสุด-ต่ำสุดระดับ ม.ปลาย บ่อยมาก

ตัวอย่าง Q-2 · เลขคณิต

### ลำดับเลขคณิตมี $a_4 = 11$ และ $a_{10} = 29$ จงหา $a_1,\ d$ และ $a_{20}$

- ใช้ $a_{10} = a_4 + 6d$: $29 = 11 + 6d \Rightarrow d = 3$

- $a_4 = a_1 + 3d \Rightarrow 11 = a_1 + 9 \Rightarrow a_1 = 2$

- $a_{20} = a_1 + 19d = 2 + 57 = 59$

$a_1 = 2,\ d = 3,\ a_{20} = 59$ (เทคนิค: ไม่ต้องแก้ระบบสมการ ใช้ $a_n = a_m + (n - m)d$ ตรง ๆ)

ตัวอย่าง Q-3 · เรขาคณิต (แนวข้อสอบเข้า)

### สามจำนวนเรียงเป็นลำดับเรขาคณิต ผลบวกเท่ากับ 26 และผลคูณเท่ากับ 216 จงหาสามจำนวนนั้น

- เขียนสามจำนวนเป็น $\dfrac{b}{r},\ b,\ br$ (สมมาตรรอบพจน์กลาง) ผลคูณ $= b^3 = 216 \Rightarrow b = 6$

- ผลบวก: $\dfrac6r + 6 + 6r = 26 \Rightarrow 6r^2 - 20r + 6 = 0 \Rightarrow 3r^2 - 10r + 3 = 0$

- $(3r - 1)(r - 3) = 0 \Rightarrow r = 3$ หรือ $r = \tfrac13$

สามจำนวนคือ 2, 6, 18 (หรือเรียงกลับ 18, 6, 2) — ตรวจ: 2 + 6 + 18 = 26 และ 2 · 6 · 18 = 216

แนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยโจทย์ “สามจำนวนเป็นลำดับเลขคณิต/เรขาคณิต” ให้เขียนเป็น $a - d,\ a,\ a + d$ หรือ $\tfrac{b}{r},\ b,\ br$ เสมอ ผลบวกหรือผลคูณจะตัดตัวแปรไปหนึ่งตัวทันที ประหยัดเวลาได้มาก

## แล็บลำดับ: พจน์ ลิมิต แถบ ε และใยแมงมุม พื้นฐาน

พิมพ์สูตรพจน์ทั่วไป หรือสลับเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิด แล้วเลื่อนค่า ε ดูว่า N ต้องใหญ่แค่ไหนจึงทำให้ทุกพจน์หลังจากนั้นอยู่ในแถบรอบลิมิต มุมมองใยแมงมุมแสดงลำดับเวียนเกิดเป็นบันไดระหว่างกราฟ $y = g(x)$ กับเส้น $y = x$

## ความสัมพันธ์เวียนเกิดและสมการลักษณะเฉพาะ กลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น (linear recurrence) เป็น “สมการเชิงอนุพันธ์ของโลกดิจิทัล” วิธีแก้มีโครงเดียวกับสมการเชิงอนุพันธ์: หาคำตอบเฉพาะ (จุดตรึง) แล้วบวกคำตอบเอกพันธ์ที่เป็นเลขยกกำลัง ทักษะนี้ใช้ต่อในตัวกรองดิจิทัล การแปลง Z และระบบควบคุมแบบดิจิทัล

Q8 First-order linear recurrence เวียนเกิดเชิงเส้นอันดับหนึ่ง

$$a_{n+1} = r a_n + c\ (r \ne 1)\ \Rightarrow\ a_n = L + (a_1 - L)\,r^{n-1},\quad L = \frac{c}{1-r}$$

$L$ คือจุดตรึง ($L = rL + c$) · ลู่เข้าสู่ $L$ ⇔ $|r| < 1$ (หรือ $a_1 = L$)

Q9 Second-order: characteristic equation สมการลักษณะเฉพาะ

$$a_{n+2} = p\,a_{n+1} + q\,a_n:\quad t^2 = pt + q\ \Rightarrow\ a_n = \begin{cases} A t_1^{\,n} + B t_2^{\,n} & t_1 \ne t_2 \\ (A + Bn)\,t^{\,n} & \text{รากซ้ำ} \end{cases}$$

รากเชิงซ้อน $\rho e^{\pm j\theta}$ ให้ $\rho^n(A\cos n\theta + B\sin n\theta)$ — ลำดับแกว่ง ลู่เข้า 0 เมื่อ $\rho < 1$

Q10 Fibonacci & Binet's formula ฟีโบนัชชีและสูตรบิเนต์

$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n,\ F_0 = 0,\ F_1 = 1 \ \Rightarrow\ F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5},\quad \varphi, \psi = \frac{1 \pm \sqrt5}{2}$$

$F_{n+1}/F_n \to \varphi \approx 1.618$ ซึ่งเป็นค่าเดียวกับความต้านทานของบันไดตัวต้านทานอนันต์ (หน่วย R)

ตัวอย่าง Q-4 · อันดับหนึ่ง

### $a_1 = 1,\ a_{n+1} = 3a_n + 2$ จงหาสูตรพจน์ทั่วไป และบอกว่าลู่เข้าหรือไม่

- จุดตรึง: $L = 3L + 2 \Rightarrow L = -1$

- ตั้ง $b_n = a_n - L = a_n + 1$ จะได้ $b_{n+1} = 3b_n$ เป็นเรขาคณิต $b_1 = 2$ ⇒ $b_n = 2\cdot 3^{n-1}$

- $a_n = -1 + 2\cdot 3^{n-1}$ · ตรวจ: $a_2 = 5,\ a_3 = 17,\ a_4 = 53$ ตรงกับการคำนวณทีละขั้น

- $|r| = 3 > 1$ ⇒ $a_n \to \infty$ ลู่ออก (จุดตรึง −1 เป็นจุดตรึงไม่เสถียร)

$a_n = 2\cdot 3^{n-1} - 1$ ลู่ออก

ตัวอย่าง Q-5 · อันดับสอง

### $a_0 = 2,\ a_1 = 5,\ a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ จงหา $a_n$

- สมการลักษณะเฉพาะ $t^2 = 5t - 6 \Rightarrow t^2 - 5t + 6 = 0 \Rightarrow t = 2, 3$

- $a_n = A\,2^n + B\,3^n$ · $n = 0: A + B = 2$ · $n = 1: 2A + 3B = 5$ ⇒ $B = 1,\ A = 1$

- ตรวจ $a_2 = 5\cdot5 - 6\cdot2 = 13 = 4 + 9$ ✓

$a_n = 2^n + 3^n$

ในงานไฟฟ้า สมการ $y[n] = 0.8\,y[n-1] + 0.2\,x[n]$ ของตัวกรองดิจิทัลอันดับหนึ่งคือ Q8 พอดี โดยมี $r = 0.8$ ค่าตอบสนองต่อขั้นบันไดจึงเข้าสู่ 1 แบบเรขาคณิต ดูการคำนวณเต็มในอนุกรมในงานวิศวกรรม

## ลิมิตของลำดับ: ลู่เข้าและลู่ออก กลาง

ลำดับลู่เข้า (converges) สู่ $L$ ถ้าพจน์เข้าใกล้ $L$ และ “อยู่ใกล้ตลอดไป” นิยามแบบ ε–N ทำให้คำว่าใกล้ชัดเจน: ไม่ว่าจะขอความแม่นยำ ε เล็กเพียงใด ต้องมีตำแหน่ง N ที่ทุกพจน์หลังจากนั้นห่างจาก $L$ ไม่ถึง ε ถ้าไม่มี $L$ แบบนี้ ลำดับลู่ออก (diverges) ซึ่งอาจโตไม่มีขอบเขตหรือแกว่ง

นิยาม ε–N: หลังตำแหน่ง N ทุกพจน์ต้องอยู่ในแถบ $(L - \varepsilon,\ L + \varepsilon)$ ยิ่ง ε เล็ก N ยิ่งต้องใหญ่

Q11 Limit of a sequence (ε–N) ลิมิตของลำดับ

$$\lim_{n\to\infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0\ \exists N:\ n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$$

$a_n \to \infty$ หมายถึง ทุก $M$ มี $N$ ที่ $n > N \Rightarrow a_n > M$ (ลู่ออกสู่อนันต์) · ลิมิตถ้ามีจะมีค่าเดียว

Q12 Limit laws สมบัติของลิมิต

$$\lim(a_n \pm b_n) = A \pm B,\quad \lim a_n b_n = AB,\quad \lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}\ (B \ne 0)$$

ใช้ได้เมื่อ $a_n \to A$ และ $b_n \to B$ เป็นจำนวนจริงทั้งคู่ · $\infty - \infty$, $0\cdot\infty$, $\infty/\infty$ ต้องจัดรูปก่อน

Q13 Through a function ผ่านฟังก์ชัน f(x)

$$\lim_{x\to\infty} f(x) = L,\ a_n = f(n)\ \Rightarrow\ \lim_{n\to\infty} a_n = L;\quad g \text{ ต่อเนื่อง} \Rightarrow g(a_n) \to g(L)$$

จึงใช้กฎของโลปิตาลกับ $f(x)$ ได้ (ห้ามหาอนุพันธ์เทียบ n ตรง ๆ) · บทกลับไม่จริง: $\sin(\pi n) \to 0$ แต่ $\sin \pi x$ ไม่มีลิมิต

Q14 Standard limits ลิมิตมาตรฐานที่ต้องจำ

$$r^n \to 0\ (|r|<1),\quad \sqrt[n]{n} \to 1,\quad \sqrt[n]{a} \to 1\ (a>0),\quad \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \to e^x,\quad \frac{n^k}{a^n} \to 0\ (a>1),\quad \frac{a^n}{n!} \to 0,\quad \frac{n!}{n^n} \to 0$$

ลำดับความเร็วการโต: $\ln n \ll n^{p} \ll a^{n} \ll n! \ll n^{n}$ ($p > 0,\ a > 1$) ตัวที่โตเร็วกว่าชนะเสมอเมื่อ n ใหญ่พอ

ลำดับชั้นการโตของลำดับ (สเกล log): ln n โตช้าที่สุด n! และ nⁿ แซงทุกตัวในที่สุด — นี่คือเหตุผลที่ $n^{100}/1.01^n \to 0$ แม้ช่วงแรกตัวเศษจะใหญ่มหาศาล

ตัวอย่าง Q-6 · หาลิมิต

### (ก) $\lim \dfrac{2n^2 - 3n}{5n^2 + 1}$ (ข) $\lim\left(\sqrt{n^2 + n} - n\right)$ (ค) $\lim\left(1 - \dfrac3n\right)^{2n}$

- (ก) หารด้วยกำลังสูงสุด $n^2$: $\dfrac{2 - 3/n}{5 + 1/n^2} \to \dfrac25$

- (ข) รูป $\infty - \infty$ คูณด้วยคอนจูเกต: $\dfrac{(n^2 + n) - n^2}{\sqrt{n^2+n} + n} = \dfrac{n}{\sqrt{n^2+n} + n} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 1/n} + 1} \to \dfrac12$

- (ค) $\left(1 - \dfrac3n\right)^{2n} = \left[\left(1 + \dfrac{-3}{n}\right)^{n}\right]^2 \to (e^{-3})^2 = e^{-6}$ ใช้ Q14 กับ $x = -3$

(ก) $\tfrac25$ · (ข) $\tfrac12$ · (ค) $e^{-6} \approx 0.00248$

ตัวอย่าง Q-7 · พิสูจน์ด้วย ε–N

### พิสูจน์ว่า $\lim \dfrac{3n+1}{n+2} = 3$ และหา N เมื่อ $\varepsilon = 0.01$

- คำนวณระยะห่าง: $\left|\dfrac{3n+1}{n+2} - 3\right| = \left|\dfrac{3n + 1 - 3n - 6}{n+2}\right| = \dfrac{5}{n+2}$

- ต้องการ $\dfrac{5}{n+2} < \varepsilon \iff n > \dfrac5\varepsilon - 2$ จึงเลือก $N = \left\lceil \dfrac5\varepsilon - 2 \right\rceil$ แล้วทุก $n > N$ ใช้ได้

- $\varepsilon = 0.01$: $n > 500 - 2 = 498$ ⇒ $N = 498$ (พจน์ที่ 499 เป็นต้นไปอยู่ในแถบ)

ทุก ε มี N จึงลู่เข้าสู่ 3 ตามนิยาม · ε = 0.01 ใช้ N = 498

กับดักที่พบบ่อย$\left(1 + \tfrac1n\right)^n$ ไม่ได้เข้าใกล้ $1^\infty = 1$ แต่เข้าใกล้ $e \approx 2.718$ — รูป $1^\infty$ เป็นรูปไม่กำหนด ต้องใช้ Q14 หรือเขียนเป็น $e^{n\ln(1 + 1/n)}$ แล้วหาลิมิตของเลขชี้กำลัง

## ทฤษฎีบทแซนด์วิชและลำดับสลับเครื่องหมาย กลาง

Q15 Squeeze theorem ทฤษฎีบทแซนด์วิช

$$b_n \le a_n \le c_n\ (n \ge n_0),\ \ b_n, c_n \to L\ \Rightarrow\ a_n \to L$$

ใช้กับพจน์ที่มี $\sin, \cos, (-1)^n$ หรือแฟกทอเรียลที่ประมาณยาก

0 alternating sign ค่าสัมบูรณ์ ลู่เข้าศูนย์">
Q16 |aₙ| → 0 ⇒ aₙ → 0 ค่าสัมบูรณ์เข้าใกล้ศูนย์

$$|a_n| \to 0 \iff a_n \to 0 \qquad (\text{เฉพาะลิมิต } 0)$$

$(-1)^n/n \to 0$ แต่ $(-1)^n$ ลู่ออก · $|a_n| \to L \ne 0$ ไม่ได้บอกว่า $a_n$ ลู่เข้า

ตัวอย่าง Q-8 · แซนด์วิช

### หา (ก) $\lim \dfrac{\sin n}{n}$ (ข) $\lim \dfrac{n!}{n^n}$

- (ก) $-\dfrac1n \le \dfrac{\sin n}{n} \le \dfrac1n$ และทั้งสองข้าง → 0 ⇒ ลิมิตเป็น 0

- (ข) $\dfrac{n!}{n^n} = \dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{2}{n}\cdots\dfrac{n}{n} \le \dfrac1n$ (ทุกตัวประกอบหลังตัวแรก ≤ 1) และ $\dfrac{n!}{n^n} > 0$ ⇒ ประกบระหว่าง 0 กับ $\tfrac1n$ ⇒ ลิมิต 0

ทั้งสองลิมิตเท่ากับ 0

## ลำดับทางเดียวมีขอบเขต (Monotone Convergence Theorem) กลาง

ทฤษฎีบทนี้ตอบปัญหาของลำดับเวียนเกิด: เรามักหาสูตรตรงไม่ได้ แต่ถ้าพิสูจน์ได้ว่าลำดับ “ขึ้นอย่างเดียวและมีเพดาน” ลำดับต้องลู่เข้า จากนั้นจึงแทน $L = g(L)$ หาค่าลิมิตได้อย่างถูกต้อง

Q17 Monotone convergence theorem ทางเดียว + มีขอบเขต ⇒ ลู่เข้า

$$a_n \uparrow,\ a_n \le M \Rightarrow a_n \to \sup a_n \le M;\qquad a_n \downarrow,\ a_n \ge m \Rightarrow a_n \to \inf a_n$$

พิสูจน์ความมีขอบเขตและทางเดียวของลำดับเวียนเกิดมักใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

Q18 Fixed-point iteration การวนหาจุดตรึง

$$a_{n+1} = g(a_n),\ g(L) = L,\ |g'(L)| < 1 \Rightarrow a_n \to L \text{ (เมื่อเริ่มใกล้ } L)$$

$|g'(L)| > 1$ จุดตรึงไม่เสถียร · วิธีของนิวตันคือ $g(x) = x - f(x)/f'(x)$ ซึ่งมี $g'(L) = 0$ จึงลู่เข้าเร็วมาก

ตัวอย่าง Q-9 · ลำดับเวียนเกิด

### $a_1 = 1,\ a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$ ลู่เข้าหรือไม่ ถ้าลู่เข้า ลิมิตเท่าไร

- มีขอบเขตบน 3 (อุปนัย): $a_1 = 1 < 3$ · ถ้า $a_k < 3$ แล้ว $a_{k+1} = \sqrt{6 + a_k} < \sqrt{9} = 3$

- เพิ่มขึ้น: $a_{k+1}^2 - a_k^2 = 6 + a_k - a_k^2 = (3 - a_k)(2 + a_k) > 0$ เมื่อ $0 < a_k < 3$ ⇒ $a_{k+1} > a_k$

- Q17 ⇒ ลู่เข้าสู่ L บางค่า ผ่านลิมิตในสมการ: $L = \sqrt{6 + L} \Rightarrow L^2 - L - 6 = 0 \Rightarrow L = 3$ (ตัด −2 เพราะพจน์เป็นบวก)

ลู่เข้าสู่ 3 · ตรวจ $g'(3) = \tfrac{1}{2\sqrt9} = \tfrac16$ น้อยกว่า 1 สอดคล้องกับ Q18

กับดักที่พบบ่อยห้ามแทน $L = g(L)$ ก่อนพิสูจน์ว่าลู่เข้า ตัวอย่าง $a_1 = 1,\ a_{n+1} = 2a_n$: แทนได้ $L = 0$ แต่ลำดับจริงคือ $1, 2, 4, 8, \dots \to \infty$

## ลำดับย่อย ลำดับโคชี และโบลซาโน-ไวแยร์สตราส ขั้นสูง

หัวข้อนี้คือเครื่องมือของคณิตวิเคราะห์ (real analysis) ที่ทำให้การพิสูจน์การลู่เข้าทำได้โดยไม่ต้องรู้ค่าลิมิตล่วงหน้า ลำดับโคชีคือรากฐานของการทดสอบอนุกรมหลายแบบในหน้าถัดไป

Q19 Subsequences ลำดับย่อย

$$a_n \to L \Rightarrow a_{n_k} \to L \text{ ทุกลำดับย่อย};\quad a_{2n} \to L_1 \ne L_2 \leftarrow a_{2n+1} \Rightarrow \text{ลู่ออก}$$

ถ้าลำดับย่อยคู่และคี่ลู่เข้าสู่ค่าเดียวกัน ลำดับเดิมลู่เข้า (ใช้พิสูจน์การทดสอบอนุกรมสลับ)

Q20 Bolzano–Weierstrass ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวแยร์สตราส

$$(a_n) \text{ มีขอบเขต} \Rightarrow \text{มีลำดับย่อยที่ลู่เข้า}$$

เช่น $\sin n$ มีขอบเขต จึงมีลำดับย่อยลู่เข้า (จริง ๆ มีลำดับย่อยลู่เข้าสู่ทุกค่าใน [−1, 1])

Q21 Cauchy sequence ลำดับโคชี

$$\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ m, n > N \Rightarrow |a_m - a_n| < \varepsilon \iff (a_n) \text{ ลู่เข้าใน } \mathbb R$$

พจน์เข้าใกล้กันเองโดยไม่ต้องรู้ลิมิต · ใช้พิสูจน์ว่าอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์แล้วลู่เข้า

Q22 Stolz–Cesàro โลปิตาลฉบับลำดับ

$$b_n \uparrow \infty,\ \lim \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \ \Rightarrow\ \lim \frac{a_n}{b_n} = L$$

เช่น $\dfrac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{n^3} \to \lim \dfrac{(n+1)^2}{(n+1)^3 - n^3} = \dfrac13$

ตัวอย่าง Q-10 · ลำดับย่อย

### แสดงว่า $a_n = (-1)^n\dfrac{n}{n+1}$ ลู่ออก

- ลำดับย่อยคู่: $a_{2k} = \dfrac{2k}{2k+1} \to 1$

- ลำดับย่อยคี่: $a_{2k+1} = -\dfrac{2k+1}{2k+2} \to -1$

- ลิมิตของลำดับย่อยไม่เท่ากัน ⇒ ตาม Q19 ลำดับเดิมลู่ออก ทั้งที่ $|a_n| \to 1$

ลู่ออก (แกว่งระหว่างใกล้ 1 กับใกล้ −1)

## เช็กลิสต์หาลิมิตของลำดับ พื้นฐาน

1. เศษส่วนของพหุนาม/รากหารด้วยกำลังสูงสุดของตัวส่วน · รูป $\infty - \infty$ ที่มีรากใช้คอนจูเกต

2. รูป $1^\infty$ใช้ $\left(1 + \tfrac{x}{n}\right)^n \to e^x$ หรือ $e^{\lim n\ln(\cdot)}$

3. ยกกำลัง แฟกทอเรียล ลอการิทึมเทียบลำดับชั้นการโต Q14 หรือใช้โลปิตาลกับ f(x)

4. มี sin, cos, (−1)ⁿประกบด้วยแซนด์วิช Q15 หรือดูลำดับย่อย Q19

5. ลำดับเวียนเกิดพิสูจน์ทางเดียว + มีขอบเขต (Q17) ก่อน แล้วจึงแก้ $L = g(L)$

6. ตรวจด้วยแล็บดูค่าพจน์ที่ n ใหญ่เพื่อยืนยันคำตอบ ไม่ใช่แทนการพิสูจน์

## ต่อไป: จากลำดับสู่อนุกรม

เมื่อเข้าใจลิมิตของลำดับแล้ว อนุกรมก็คือลิมิตของลำดับผลบวกย่อย $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ หน้าถัดไป อนุกรมอนันต์ เริ่มจากอนุกรมเรขาคณิต กล้องส่องทางไกล และอนุกรม p ถ้าต้องการทบทวนลิมิตของฟังก์ชันก่อน ดู ลิมิตและความต่อเนื่อง และสรุปทั้งบทแบบหน้าเดียวที่ ลำดับและอนุกรมฉบับสรุป · ฝึกโจทย์ที่ แนวข้อสอบชุด A

## คำถามที่พบบ่อย

ลำดับกับอนุกรมต่างกันอย่างไร?
ลำดับ (sequence) คือรายการจำนวนเรียงกัน $a_1, a_2, a_3, \dots$ เป็นฟังก์ชันจากจำนวนนับไปยังจำนวนจริง ส่วนอนุกรม (series) คือผลบวกของพจน์ในลำดับ $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ ลำดับ 1/2, 1/4, 1/8, … ลู่เข้าสู่ 0 แต่อนุกรม 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ ลู่เข้าสู่ 1

จะรู้ได้อย่างไรว่าลำดับลู่เข้าหรือลู่ออก?
หาลิมิต $\lim_{n\to\infty} a_n$ ถ้าได้จำนวนจริงค่าเดียวคือลู่เข้า ถ้าเป็นอนันต์หรือไม่มีค่า (แกว่ง) คือลู่ออก เครื่องมือหลักคือหารด้วยกำลังสูงสุด ลิมิตมาตรฐาน กฎของโลปิตาลผ่านฟังก์ชัน f(x) ทฤษฎีบทแซนด์วิช และทฤษฎีบทลำดับทางเดียวมีขอบเขตสำหรับลำดับเวียนเกิด

ลำดับที่มีขอบเขตต้องลู่เข้าเสมอไหม?
ไม่ เช่น $(-1)^n$ มีขอบเขตแต่แกว่งระหว่าง −1 กับ 1 ลำดับที่มีขอบเขตจะลู่เข้าแน่นอนก็ต่อเมื่อเป็นลำดับทางเดียว (เพิ่มตลอดหรือลดตลอด) นี่คือทฤษฎีบทลำดับทางเดียวมีขอบเขต (Monotone Convergence Theorem)

แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด a(n+2) = p a(n+1) + q a(n) อย่างไร?
เขียนสมการลักษณะเฉพาะ $t^2 = pt + q$ ถ้ารากต่างกัน $t_1, t_2$ ได้ $a_n = A t_1^n + B t_2^n$ ถ้ารากซ้ำ $t$ ได้ $a_n = (A + Bn)t^n$ แล้วหาค่าคงที่ A, B จากสองพจน์แรก ลำดับฟีโบนัชชีให้สูตรของบิเนต์ $F_n = (\varphi^n - \psi^n)/\sqrt5$

ทำไมหาลิมิตของลำดับเวียนเกิดด้วยการแทน L = g(L) แล้วบางครั้งได้คำตอบผิด?
การแทน $L = g(L)$ ใช้ได้ก็ต่อเมื่อพิสูจน์แล้วว่าลำดับลู่เข้า เช่น $a_{n+1} = 2a_n,\ a_1 = 1$ ให้ $L = 2L \Rightarrow L = 0$ แต่ลำดับจริงคือ $2^{n-1} \to \infty$ ต้องพิสูจน์ความเป็นทางเดียวและมีขอบเขตก่อน หรือดูเงื่อนไข $|g'(L)| มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ลำดับกับอนุกรมต่างกันอย่างไร?**
ลำดับ (sequence) คือรายการจำนวนเรียงกัน $a_1, a_2, a_3, \dots$ เป็นฟังก์ชันจากจำนวนนับไปยังจำนวนจริง ส่วนอนุกรม (series) คือผลบวกของพจน์ในลำดับ $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ ลำดับ 1/2, 1/4, 1/8, … ลู่เข้าสู่ 0 แต่อนุกรม 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ ลู่เข้าสู่ 1

**จะรู้ได้อย่างไรว่าลำดับลู่เข้าหรือลู่ออก?**
หาลิมิต $\lim_{n\to\infty} a_n$ ถ้าได้จำนวนจริงค่าเดียวคือลู่เข้า ถ้าเป็นอนันต์หรือไม่มีค่า (แกว่ง) คือลู่ออก เครื่องมือหลักคือหารด้วยกำลังสูงสุด ลิมิตมาตรฐาน กฎของโลปิตาลผ่านฟังก์ชัน f(x) ทฤษฎีบทแซนด์วิช และทฤษฎีบทลำดับทางเดียวมีขอบเขตสำหรับลำดับเวียนเกิด

**ลำดับที่มีขอบเขตต้องลู่เข้าเสมอไหม?**
ไม่ เช่น $(-1)^n$ มีขอบเขตแต่แกว่งระหว่าง −1 กับ 1 ลำดับที่มีขอบเขตจะลู่เข้าแน่นอนก็ต่อเมื่อเป็นลำดับทางเดียว (เพิ่มตลอดหรือลดตลอด) นี่คือทฤษฎีบทลำดับทางเดียวมีขอบเขต (Monotone Convergence Theorem)

**แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด a(n+2) = p a(n+1) + q a(n) อย่างไร?**
เขียนสมการลักษณะเฉพาะ $t^2 = pt + q$ ถ้ารากต่างกัน $t_1, t_2$ ได้ $a_n = A t_1^n + B t_2^n$ ถ้ารากซ้ำ $t$ ได้ $a_n = (A + Bn)t^n$ แล้วหาค่าคงที่ A, B จากสองพจน์แรก ลำดับฟีโบนัชชีให้สูตรของบิเนต์ $F_n = (\varphi^n - \psi^n)/\sqrt5$

**ทำไมหาลิมิตของลำดับเวียนเกิดด้วยการแทน L = g(L) แล้วบางครั้งได้คำตอบผิด?**
การแทน $L = g(L)$ ใช้ได้ก็ต่อเมื่อพิสูจน์แล้วว่าลำดับลู่เข้า เช่น $a_{n+1} = 2a_n,\ a_1 = 1$ ให้ $L = 2L \Rightarrow L = 0$ แต่ลำดับจริงคือ $2^{n-1} \to \infty$ ต้องพิสูจน์ความเป็นทางเดียวและมีขอบเขตก่อน หรือดูเงื่อนไข $|g'(L)| < 1$

---

# แล็บลำดับและอนุกรม (Series Lab): ผลบวกย่อย การทดสอบ อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ในหน้าเดียว

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/series-lab/
Updated: 2026-10-26
Summary: เครื่องมือออนไลน์ภาษาไทยสำหรับลำดับและอนุกรม 12 ชุด: สำรวจลำดับและใยแมงมุม ผลบวกย่อย (partial sums) ทดสอบการลู่เข้า (convergence test) ขอบเขตปริพันธ์ จัดเรียงอนุกรมสลับ (Riemann rearrangement) รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง พหุนามเทย์เลอร์ จำนวนพจน์ที่ต้องใช้ วงแหวนอนุกรมโลรองต์ (Laurent series) และเครื่องสุ่มโจทย์

// บทที่ 26.10 · ลำดับและอนุกรม · Series Lab

# แล็บลำดับและอนุกรม (Series Lab): ผลบวกย่อย การทดสอบ อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ในหน้าเดียว

รวมเครื่องมือโต้ตอบทุกชิ้นของบทลำดับและอนุกรมไว้ในหน้าเดียว เรียงตามลำดับที่เรียน ทุกแล็บพิมพ์สูตรเองได้หรือเลือกตัวอย่างสำเร็จรูป ใช้คู่กับบทเรียนเพื่อ “เห็น” สิ่งที่สูตรบอก แล้วกลับไปเขียนเหตุผลให้ครบในกระดาษ

12 เครื่องมือในหน้านี้

- ลำดับและใยแมงมุม · ผลบวกย่อย · ตัวทดสอบอนุกรม · ขอบเขตปริพันธ์

- อนุกรมสลับและการจัดเรียงใหม่ · เกมเลือกการทดสอบ · รัศมีการลู่เข้า

- พหุนามเทย์เลอร์ · ต้องใช้กี่พจน์ · วงแหวนโลรองต์ · โจทย์สุ่ม · การประมาณในงานวิศวกรรม

## 1. สำรวจลำดับ: พจน์ ลิมิต ε–N และใยแมงมุม

พิมพ์สูตรพจน์ทั่วไป $a_n = f(n)$ หรือความสัมพันธ์เวียนเกิด $a_{n+1} = g(a_n)$ ดูว่าพจน์เข้าใกล้ค่าใด แถบ ε รอบลิมิตบอก N ที่ทำให้ทุกพจน์หลังจากนั้นอยู่ในแถบ (นิยาม ε–N) และมุมมองใยแมงมุม (cobweb) อธิบายว่าลำดับเวียนเกิดลู่เข้าจุดตรึงเมื่อ $|g'(L)| < 1$ · บทเรียน: ลำดับและลิมิตของลำดับ

## 2. ผลบวกย่อย: อนุกรมคือลิมิตของ Sₙ

แท่งสีฟ้าคือพจน์ $a_n$ เส้นสีส้มคือผลบวกย่อย $S_n$ และเส้นเขียวคือผลบวกจริง ตารางแสดงความคลาดเคลื่อนเทียบกับสูตรเศษเหลือของแต่ละแบบ (เรขาคณิต กล้องส่องทางไกล ปริพันธ์ อนุกรมสลับ) · บทเรียน: อนุกรมอนันต์

## 3. ตัวทดสอบอนุกรม: เหตุผลแบบเต็มสำหรับ 14 อนุกรมมาตรฐาน

เลือกอนุกรมเพื่อดูการทดสอบที่เหมาะสมพร้อมเหตุผลทีละขั้น หรือพิมพ์ $a_n$ เองเพื่อดูอัตราส่วน รากที่ n และผลบวกย่อยเป็นหลักฐานเชิงตัวเลข · บทเรียน: การทดสอบการลู่เข้า

## 4. การทดสอบด้วยปริพันธ์: สี่เหลี่ยมใต้และเหนือกราฟ

อนุกรมพจน์บวกที่ลดลงกับปริพันธ์ไม่ตรงแบบพอดี แต่ถูกประกบด้วยสี่เหลี่ยมสองชุด จึงลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน และให้ช่วงประมาณผลบวกที่แคบมาก $S_N + \int_{N+1}^{\infty} f \le S \le S_N + \int_{N}^{\infty} f$

## 5. อนุกรมสลับ: ขอบเขตความคลาด และการจัดเรียงใหม่ของรีมันน์

โหมดแรกแสดงว่าผลบวกย่อยของอนุกรมสลับกระโดดข้ามผลบวกจริงทุกครั้ง ความคลาดจึงไม่เกินพจน์ถัดไป $b_{N+1}$ โหมดที่สองจัดลำดับพจน์ของ $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ ใหม่ให้ได้ผลบวกเท่าใดก็ได้ตามต้องการ · บทเรียน: อนุกรมสลับและการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

## 6. เกมฝึกเลือกการทดสอบ (40 อนุกรม 3 ระดับ)

ทักษะที่ข้อสอบวัดจริงคือ “มองแล้วรู้ว่าต้องใช้อะไร” เลือกการทดสอบที่เหมาะที่สุดและผลสรุป แล้วกดตรวจเพื่อดูเหตุผล ระดับพื้นฐานตรงกับข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ระดับกลางตรงกับแคลคูลัส 2 ระดับสูงมีกับดักแบบไฟนอล

## 7. อนุกรมกำลัง: ช่วงการลู่เข้าบนเส้นจำนวน และดิสก์ในระนาบเชิงซ้อน

ผลบวกย่อยเกาะฟังก์ชันได้เฉพาะในช่วง $|x - a| < R$ ภาพทางขวาอธิบายว่าทำไม $\frac{1}{1+x^2}$ ที่เรียบทุกจุดบนแกนจริงจึงมี $R = 1$: รัศมีคือระยะถึงจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดในระนาบเชิงซ้อน · บทเรียน: อนุกรมกำลัง

## 8. พหุนามเทย์เลอร์: f(x) เทียบ Pₙ(x) ความคลาด และขอบเขตลากรองจ์

พิมพ์ฟังก์ชันใดก็ได้และจุดกระจาย a สัมประสิทธิ์คำนวณแบบแม่นตรงด้วยการหาอนุพันธ์อัตโนมัติ (ไม่ใช่ผลต่างจำกัด) ตารางแสดงความคลาดจริงเทียบขอบเขตลากรองจ์ · บทเรียน: อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน

## 9. ต้องใช้กี่พจน์? คำนวณจากขอบเขตเศษเหลือ

คำถามยอดนิยมในข้อสอบ: “ต้องใช้กี่พจน์จึงประมาณค่าได้ถูกต้องทศนิยม k ตำแหน่ง” เครื่องมือนี้ไล่ดีกรีทีละขั้น แสดงทั้งขอบเขตที่คำนวณได้โดยไม่รู้ค่าจริง และความคลาดจริง

## 10. อนุกรมโลรองต์: วงแหวน ส่วนหลัก เรซิดิว และการแปลง Z

เลือกฟังก์ชัน จุดศูนย์กลาง และบริเวณ แล็บแสดงอนุกรมโลรองต์ของบริเวณนั้นพร้อมสัมประสิทธิ์ ลากจุด z เพื่อดูการลู่เข้า-ลู่ออก ตัวอย่างการแปลง Z แสดงว่าบริเวณการลู่เข้า (ROC) คือวงแหวนของอนุกรมโลรองต์ · บทเรียน: อนุกรมโลรองต์

## 11. โจทย์สุ่มไม่จำกัด พร้อมตรวจคำตอบ

เลือกหมวดที่ต้องการฝึก (กดเพื่อเปิด-ปิด) แล้วพิมพ์คำตอบเป็นเศษส่วน ทศนิยม หรือนิพจน์ เช่น 3/4, pi/4, -1/6 ทุกข้อมีเฉลยทีละขั้น คะแนนเก็บไว้ในเบราว์เซอร์นี้ · ข้อสอบเต็มชุด: แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม

## 12. อนุกรมเทย์เลอร์ในงานวิศวกรรม: ลูกตุ้ม ไมโครคอนโทรลเลอร์ ไดโอด

สามตัวอย่างที่อนุกรมกลายเป็นการตัดสินใจทางวิศวกรรม: สูตรคาบลูกตุ้มใช้ได้ถึงมุมเท่าไร ต้องใช้กี่พจน์คำนวณ sin บนชิปด้วย float32 และแบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดใช้ได้แค่ไหน · บทเรียน: อนุกรมในงานวิศวกรรม

## เครื่องมือเพิ่มเติม: เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ และแล็บอุปนัยแบบเข้ม

แล็บในหน้านี้เน้น “ดูภาพ” ถ้าต้องการคำตอบแม่นตรงพร้อมวิธีทำแบบเฉลยข้อสอบ ใช้ เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม (26.11): ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต ซิกมาแบบรูปปิด หาสูตรจากพจน์ด้วยตารางผลต่าง แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดพร้อมฟังก์ชันก่อกำเนิด และออยเลอร์–แมคลอริน ทุกตัวมีโหมดฝึก ส่วนการพิสูจน์ว่าสูตร “จริงทุก n” ฝึกได้ที่ อุปนัยแบบเข้ม (26.12) ซึ่งมีแล็บอีก 11 ชุด

ซิกมา Σ พร้อมวิธีทำหาสูตรจากพจน์แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดกรณีฐานกี่ตัวแสตมป์ (โฟรเบเนียส)

## เรียนต่อ

กลับไปที่ ภาพรวมบทลำดับและอนุกรม เพื่อเลือกเส้นทางเรียนและค้นหาสูตร หรือต่อยอดสู่ อนุกรมฟูริเยร์ (อนุกรมของฟังก์ชันไซน์-โคไซน์สำหรับสัญญาณ) และ จำนวนเชิงซ้อนและทฤษฎีบทเรซิดิว ในบทการแปลงลาปลาซ

## คำถามที่พบบ่อย

แล็บนี้ใช้ตรวจการบ้านเรื่องอนุกรมได้ไหม?
ได้ในฐานะเครื่องมือตรวจ: พิมพ์พจน์ทั่วไป $a_n$ หรือสัมประสิทธิ์ $c_n$ เองได้ ผลบวกย่อยและรัศมีการลู่เข้าที่แสดงเป็นค่าตัวเลข ส่วนบทสรุปลู่เข้า-ลู่ออกของอนุกรมที่พิมพ์เองเป็นหลักฐานเชิงตัวเลข ไม่ใช่บทพิสูจน์ ข้อสอบยังต้องเขียนการทดสอบให้ครบ

ทำไม Σ 1/(n ln n) ในแล็บดูเหมือนนิ่งแต่บทเรียนบอกว่าลู่ออก?
เพราะผลบวกย่อยโตแบบ $\ln(\ln N)$ ซึ่งช้ามาก บวกหนึ่งล้านพจน์ได้แค่ราว 3.3 คอมพิวเตอร์จึงดูเหมือนนิ่ง การทดสอบด้วยปริพันธ์ $\int_2^{\infty} dx/(x\ln x) = \infty$ เป็นตัวตัดสิน นี่คือเหตุผลที่ต้องพิสูจน์ ไม่ใช่ดูตัวเลข

จะรู้ได้อย่างไรว่าต้องใช้กี่พจน์ของอนุกรมเทย์เลอร์?
ใช้ขอบเขตเศษเหลือ เช่น ลากรองจ์ $|R_n| \le M|x-a|^{n+1}/(n+1)!$ หรือสำหรับอนุกรมสลับ $|R_n| \le b_{n+1}$ แล้วหา n ที่ทำให้ขอบเขตน้อยกว่าความคลาดที่ยอมรับได้ เครื่องมือ “ต้องใช้กี่พจน์” ในหน้านี้ทำขั้นตอนนี้ให้ดูทีละแถว

วงแหวนในแล็บอนุกรมโลรองต์คืออะไร?
อนุกรมโลรองต์ $\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-c)^n$ ลู่เข้าในวงแหวน $r_1 มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**แล็บนี้ใช้ตรวจการบ้านเรื่องอนุกรมได้ไหม?**
ได้ในฐานะเครื่องมือตรวจ: พิมพ์พจน์ทั่วไป $a_n$ หรือสัมประสิทธิ์ $c_n$ เองได้ ผลบวกย่อยและรัศมีการลู่เข้าที่แสดงเป็นค่าตัวเลข ส่วนบทสรุปลู่เข้า-ลู่ออกของอนุกรมที่พิมพ์เองเป็นหลักฐานเชิงตัวเลข ไม่ใช่บทพิสูจน์ ข้อสอบยังต้องเขียนการทดสอบให้ครบ

**ทำไม Σ 1/(n ln n) ในแล็บดูเหมือนนิ่งแต่บทเรียนบอกว่าลู่ออก?**
เพราะผลบวกย่อยโตแบบ $\ln(\ln N)$ ซึ่งช้ามาก บวกหนึ่งล้านพจน์ได้แค่ราว 3.3 คอมพิวเตอร์จึงดูเหมือนนิ่ง การทดสอบด้วยปริพันธ์ $\int_2^{\infty} dx/(x\ln x) = \infty$ เป็นตัวตัดสิน นี่คือเหตุผลที่ต้องพิสูจน์ ไม่ใช่ดูตัวเลข

**จะรู้ได้อย่างไรว่าต้องใช้กี่พจน์ของอนุกรมเทย์เลอร์?**
ใช้ขอบเขตเศษเหลือ เช่น ลากรองจ์ $|R_n| \le M|x-a|^{n+1}/(n+1)!$ หรือสำหรับอนุกรมสลับ $|R_n| \le b_{n+1}$ แล้วหา n ที่ทำให้ขอบเขตน้อยกว่าความคลาดที่ยอมรับได้ เครื่องมือ “ต้องใช้กี่พจน์” ในหน้านี้ทำขั้นตอนนี้ให้ดูทีละแถว

**วงแหวนในแล็บอนุกรมโลรองต์คืออะไร?**
อนุกรมโลรองต์ $\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-c)^n$ ลู่เข้าในวงแหวน $r_1 < |z-c| < r_2$ ซึ่งขอบเป็นวงกลมผ่านโพลของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเดียวกันมีอนุกรมโลรองต์คนละชุดในแต่ละวงแหวน ลากจุด z ในแล็บเพื่อดูว่าออกนอกวงแหวนแล้วผลบวกย่อยลู่ออก

---

# อุปนัยแบบเข้ม (Strong Induction): หลักการ จำนวนกรณีฐาน ตัวอย่างเข้มข้น 17 ข้อ และแล็บฝึกพิสูจน์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/strong-induction/
Updated: 2026-10-26
Summary: อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แบบเข้ม (strong induction) ภาษาไทยแบบเจาะลึก: ต่างจากอุปนัยธรรมดาอย่างไร ต้องมีกรณีฐานกี่ตัว ตัวอย่าง 17 ข้อพร้อมวิธีทำ (แสตมป์ จำนวนเฉพาะ ฟีโบนัชชี ลำดับเวียนเกิด เกม merge sort ระบบควบคุม) และแล็บโต้ตอบ 11 ชุดให้ฝึกพิสูจน์บนมือถือ

// บทที่ 26.12 · ลำดับและอนุกรม · Strong Induction

# อุปนัยแบบเข้ม (Strong Induction): หลักการ จำนวนกรณีฐาน ตัวอย่างเข้มข้น 17 ข้อ และแล็บฝึกพิสูจน์

อุปนัยธรรมดาบอกว่า “ถ้าตัวก่อนหน้าล้ม ตัวถัดไปล้ม” แต่โจทย์จริงจำนวนมากต้องการมากกว่านั้น: ฟีโบนัชชีต้องรู้สองตัวก่อนหน้า แสตมป์ 3 บาทย้อนกลับสามขั้น จำนวนเต็มแตกเป็นตัวประกอบที่เล็กกว่าเท่าไรก็ได้ อุปนัยแบบเข้มให้เราสมมติทุกกรณีที่เล็กกว่าพร้อมกัน หน้านี้พาฝึกตั้งแต่หลักการ การนับกรณีฐาน ไปจนถึงอัลกอริทึมและระบบควบคุม ด้วยตัวอย่าง 17 ข้อและแล็บที่ลองทำได้บนมือถือ

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · โอลิมปิกเบื้องต้นกลาง คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง · แคลคูลัสขั้นสูง อัลกอริทึม · วิศวกรรม

สรุปสั้นที่สุด

- สมมติฐานแบบเข้ม: $P(j)$ จริงทุก $n_0 \le j \le n - 1$ แล้วพิสูจน์ $P(n)$

- จำนวนกรณีฐาน = จำนวนขั้นที่ย้อนกลับไกลที่สุด (ย้อน 2 ขั้น ต้องมี 2 กรณีฐาน)

- ใช้เมื่อ P(n) อาศัย $P(n-2)$, $P(n-3)$, $P(\lfloor n/2\rfloor)$, ตัวประกอบของ n หรือ “ชิ้นที่เล็กกว่า” ที่ไม่รู้ขนาดล่วงหน้า

- แล็บ 11 ชุด: กรณีฐาน · แสตมป์ · ต้นไม้ตัวประกอบ · ช็อกโกแลต · เกม · ฐานสอง/ฟีโบนัชชี · ปูกระเบื้อง · ขอบเขต · เวียนเกิด · เรียงบทพิสูจน์ · หาจุดผิด

## อุปนัยแบบเข้มคืออะไร ต่างจากอุปนัยธรรมดาอย่างไร พื้นฐาน

นึกถึงแถวโดมิโน อุปนัยธรรมดา (weak / ordinary induction) รับประกันว่า “ตัวที่ k ล้มแล้วชนตัวที่ k + 1” ส่วนอุปนัยแบบเข้ม (strong / complete induction) รับประกันว่า “ถ้าตัวที่ $n_0$ ถึง $n - 1$ ล้มหมดแล้ว ตัวที่ n ก็ล้ม” เปรียบได้กับโดมิโนที่ต้องถูกชนจากหลายตัวพร้อมกัน หรือจากตัวที่อยู่ห่างออกไป

N1 Principle of strong induction หลักอุปนัยแบบเข้ม

$$\begin{gathered} P(n_0) \\ \wedge\ \Big[\forall n > n_0:\ \big(P(n_0) \wedge \dots \wedge P(n-1)\big) \Rightarrow P(n)\Big] \\ \Longrightarrow\ \forall n \ge n_0:\ P(n) \end{gathered}$$

ถ้าขั้นอุปนัยใช้ได้ตั้งแต่ $n \ge n_0 + b$ เท่านั้น ต้องพิสูจน์ $P(n_0), \dots, P(n_0 + b - 1)$ ตรง ๆ (กรณีฐาน b ตัว)

N2 Equivalence อุปนัยธรรมดา ⇔ แบบเข้ม ⇔ หลักการจัดอันดับดี

$$\begin{gathered} Q(n) := P(n_0) \wedge P(n_0 + 1) \wedge \dots \wedge P(n) \\ \text{แบบเข้มบน } P \ \equiv\ \text{แบบธรรมดาบน } Q \end{gathered}$$

หลักการจัดอันดับดี (well-ordering): เซตย่อยไม่ว่างของจำนวนนับมีสมาชิกน้อยที่สุดเสมอ ใช้พิสูจน์แบบ “สมมติมีตัวอย่างค้าน ให้ n เป็นตัวที่เล็กที่สุด”

N3 How many base cases กฎจำนวนกรณีฐาน

$$\begin{gathered} P(n) \Leftarrow P(n - s_1), \dots, P(n - s_m) \\ \Rightarrow\ \text{กรณีฐาน } \max_i s_i \text{ ตัวติดกัน} \end{gathered}$$

ถ้าย้อนแบบ $\lfloor n/2\rfloor$ หรือตัวประกอบ ต้องตรวจว่าทุกกรณีที่ย้อนไปยังอยู่ในโดเมน $\ge n_0$

แม่แบบเขียนพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้ม 5 ขั้น

- ข้อความ เขียน $P(n)$ ให้ชัด และบอกโดเมน $n \ge n_0$

- ดูขั้นอุปนัยก่อน ร่างว่าจะพิสูจน์ $P(n)$ จากกรณีใด ($n-1$? $n-2$? $n-3$? ตัวประกอบ?) เพื่อรู้ว่าต้องมีกรณีฐานกี่ตัว

- กรณีฐาน ตรวจ $P(n_0), P(n_0+1), \dots$ ครบทุกตัวที่ขั้นอุปนัยยังใช้ไม่ได้

- สมมติฐานอุปนัยแบบเข้ม “ให้ $n \ge n_0 + b$ และสมมติว่า $P(j)$ จริงทุก $n_0 \le j < n$”

- ขั้นอุปนัย + สรุป แสดง $P(n)$ โดยชี้ว่าใช้ $P(\cdot)$ ตัวใดและทำไมมันอยู่ในช่วงที่สมมติ แล้วสรุป “โดยหลักอุปนัยแบบเข้ม $P(n)$ จริงทุก $n \ge n_0$”

ภาษาอังกฤษที่ใช้ในข้อสอบ: “Assume, as the strong inductive hypothesis, that $P(j)$ holds for all $n_0 \le j \le k$. We show $P(k+1)$.” · ทบทวนอุปนัยธรรมดาได้ที่ อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (3.2)

## ต้องมีกรณีฐานกี่ตัว: ทดลองให้บทพิสูจน์พังเอง พื้นฐาน

แล็บนี้แสดง P(n) ตั้งแต่ $n_0$ ถึง $n_0 + 29$ แต่ละช่องจะ “ล้ม” (เขียว) ได้ก็ต่อเมื่อกรณีที่มันอาศัยล้มหมดแล้ว แตะตัวเลขเพื่อดูว่ามันอาศัยใคร แล้วลองลดจำนวนกรณีฐานทีละหนึ่ง จะเห็นทันทีว่าช่องแรกที่ขาดหลักยึดอยู่ตรงไหน ลองแบบแบ่งครึ่ง ⌊n/2⌋ และแยกตัวประกอบด้วย: ขั้นอุปนัยกระโดดไกลมากแต่กรณีฐานกลับน้อย เพราะสิ่งที่สำคัญคือ “กรณีที่อ้างถึงถูกพิสูจน์ไปก่อนแล้วหรือยัง” ไม่ใช่ระยะห่าง

กฎที่ใช้ในข้อสอบก่อนเขียนกรณีฐาน ให้ร่างขั้นอุปนัยเสมอ ถ้าขั้นอุปนัยใช้ $P(n-1)$ กับ $P(n-2)$ ขั้นอุปนัยนั้นใช้ได้ตั้งแต่ $n \ge n_0 + 2$ จึงต้องพิสูจน์ $P(n_0)$ และ $P(n_0+1)$ เอง ข้อสอบมักหักคะแนนเต็มขั้นถ้าขาดกรณีฐานตัวที่สอง

## กลุ่มที่ 1: แสตมป์และเหรียญ (ปัญหาโฟรเบเนียส) พื้นฐาน

“มีแสตมป์ราคา a และ b บาท ราคาใดบ้างที่รวมได้พอดี” เป็นตัวอย่างคลาสสิกที่สุดของอุปนัยแบบเข้ม เพราะขั้นอุปนัย “เติมแสตมป์ดวงที่ถูกที่สุดอีกดวง” ย้อนกลับไปหลายขั้นพร้อมกัน

N4 Frobenius number ราคาใหญ่สุดที่รวมไม่ได้ (สองชนิด)

$$\begin{gathered} \gcd(a, b) = 1 \ \Rightarrow\ g(a, b) = ab - a - b \\ \#\{\text{ราคาที่รวมไม่ได้}\} = \frac{(a-1)(b-1)}{2} \end{gathered}$$

ทุกราคา $n > ab - a - b$ รวมได้ · ถ้า $\gcd(a,b) = d > 1$ จะรวมได้เฉพาะพหุคูณของ d

ตัวอย่าง N-1 · กรณีฐานสามตัว

### แสดงว่าทุกราคา $n \ge 8$ บาท รวมได้พอดีด้วยแสตมป์ 3 และ 5 บาท

- ข้อความ $P(n)$: มีจำนวนเต็ม $x, y \ge 0$ ที่ $n = 3x + 5y$

- ดูขั้นอุปนัย: จะได้ $n$ จาก $n - 3$ แล้วเติมแสตมป์ 3 บาท ⇒ ย้อน 3 ขั้น ⇒ ต้องมีกรณีฐาน 3 ตัว

- กรณีฐาน: $8 = 3 + 5$, $9 = 3 + 3 + 3$, $10 = 5 + 5$

- สมมติฐานแบบเข้ม: ให้ $n \ge 11$ และ $P(j)$ จริงทุก $8 \le j < n$ เพราะ $8 \le n - 3 < n$ จึงมี ${n - 3 = 3x + 5y}$

- $n = 3(x + 1) + 5y$ ⇒ $P(n)$ จริง ∎

ราคาที่รวมไม่ได้มีเพียง 1, 2, 4, 7 (สี่ค่า $= \tfrac{2\cdot4}{2}$) และ $7 = 3\cdot5 - 3 - 5$

ตัวอย่าง N-2 · กรณีฐานสี่ตัว

### แสตมป์ 4 และ 7 บาท ราคาใดบ้างที่รวมไม่ได้ และพิสูจน์ว่าราคาตั้งแต่ 18 บาทขึ้นไปรวมได้หมด

- $g(4, 7) = 28 - 4 - 7 = 17$ ราคาที่รวมไม่ได้: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 13, 17 (เก้าค่า $= \tfrac{3\cdot6}{2}$)

- ขั้นอุปนัยเติมแสตมป์ 4 บาท ⇒ กรณีฐาน 4 ตัว: $18 = 4 + 7 + 7$, $19 = 4\cdot3 + 7$, $20 = 4\cdot5$, $21 = 7\cdot3$

- ให้ $n \ge 22$ และสมมติ $P(j)$ ทุก $18 \le j < n$ เพราะ $n - 4 \ge 18$ จึงมี ${P(n-4)}$ เติม 4 บาทได้ $P(n)$ ∎

รวมได้ทุก $n \ge 18$

## กลุ่มที่ 2: จำนวนเฉพาะ การแยกตัวประกอบ และการเขียนเลขฐานสอง พื้นฐาน

ตัวอย่างนี้แสดงเหตุผลที่อุปนัยธรรมดาไม่พอ: ถ้า $n = 360$ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เราแตกเป็น $18 \times 20$ การรู้ว่า 359 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะไม่ช่วยอะไร สิ่งที่ต้องการคือรู้เรื่องของ 18 และ 20

N5 Fundamental theorem of arithmetic ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต

$$n \ge 2\ \Rightarrow\ n = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}$$

มีอยู่จริงและเขียนได้แบบเดียว (ไม่นับลำดับ) · ส่วน “มีอยู่จริง” พิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้ม ส่วน “แบบเดียว” ใช้บทตั้งของยุคลิด $p \mid ab \Rightarrow p \mid a \lor p \mid b$

ตัวอย่าง N-3 · ผลคูณจำนวนเฉพาะ

### พิสูจน์ว่าจำนวนเต็ม $n \ge 2$ ทุกตัวเขียนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้

- กรณีฐาน $n = 2$ เป็นจำนวนเฉพาะ (ผลคูณของจำนวนเฉพาะหนึ่งตัว)

- สมมติฐานแบบเข้ม: ให้ $n \ge 3$ และทุก $2 \le j < n$ เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ

- ถ้า n เป็นจำนวนเฉพาะ จบทันที ถ้าไม่ใช่ $n = ab$ โดย $2 \le a, b \le n/2 < n$ จึงใช้ ${P(a),\ P(b)}$ ได้

- นำผลคูณจำนวนเฉพาะของ a กับ b มาต่อกันเป็นของ n ∎

กรณีฐานมีตัวเดียว แม้ขั้นอุปนัยกระโดดไกล เพราะ a, b ≥ 2 อยู่ในโดเมนเสมอ

ตัวอย่าง N-4 · เลขฐานสอง

### พิสูจน์ว่าจำนวนนับ n ทุกตัวเขียนเป็นผลบวกของกำลังของ 2 ที่ไม่ซ้ำกันได้ (มีเลขฐานสองเสมอ)

- กรณีฐาน $n = 1 = 2^0$

- ให้ $n \ge 2$ และสมมติ $P(j)$ ทุก $1 \le j < n$ เขียน $n = 2m + b$ โดย $b \in \{0, 1\}$ และ $1 \le m = \lfloor n/2\rfloor < n$

- จาก ${P(m)}$: $m = \sum 2^{e_i}$ (e ต่างกัน) ⇒ $2m = \sum 2^{e_i + 1}$ ไม่มีพจน์ $2^0$ จึงบวก $b\cdot 2^0$ ได้โดยไม่ซ้ำ ∎

นี่คือการหารสองซ้ำ ๆ แปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง

## กลุ่มที่ 3: ลำดับเวียนเกิด สูตรปิด และขอบเขต กลาง

นี่คือกลุ่มที่พบบ่อยที่สุดในข้อสอบมหาวิทยาลัย ความสัมพันธ์ $a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2}$ ย้อนสองขั้น จึงต้องใช้อุปนัยแบบเข้ม (หรืออุปนัยธรรมดาบนคู่ $(a_{n-1}, a_n)$) และกรณีฐานสองตัวเสมอ

N6 Fibonacci bounds & Binet ขอบเขตและสูตรของบิเนต์

$$\begin{gathered} \varphi^{n-2} \le F_n \le \varphi^{n-1}\ (n \ge 1) \\ F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5},\quad \varphi, \psi = \frac{1 \pm \sqrt5}{2} \end{gathered}$$

กุญแจของทุกข้อคือ $\varphi^2 = \varphi + 1$ (และ $\psi^2 = \psi + 1$)

N7 Geometric bound ขอบเขต $a_n \le Cr^n$ ของเวียนเกิดสัมประสิทธิ์ไม่ติดลบ

$$\begin{gathered} a_n = \sum_{i=1}^{k} c_i a_{n-i},\ c_i \ge 0 \\ \sum_{i=1}^{k} c_i r^{-i} \le 1,\quad a_{n_0+j} \le C r^{n_0+j}\ (j < k) \\ \Longrightarrow\ a_n \le C r^n \end{gathered}$$

r ที่เล็กที่สุดที่ใช้ได้คือรากบวกที่ใหญ่ที่สุดของสมการลักษณะเฉพาะ

ตัวอย่าง N-5 · ขอบเขตบน

### $F_1 = F_2 = 1,\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ พิสูจน์ว่า $F_n < 2^n$ ทุก $n \ge 1$

- กรณีฐาน (สองตัวเพราะย้อนสองขั้น): $F_1 = 1 < 2,\ F_2 = 1 < 4$

- ให้ $n \ge 3$ และ $P(j)$ ทุก $1 \le j < n$: $F_n = {F_{n-1}} + {F_{n-2}} < 2^{n-1} + 2^{n-2} = 3\cdot2^{n-2} < 4\cdot 2^{n-2} = 2^n$ ∎

ฐาน 2 “หลวม” มาก ฐานที่เล็กที่สุดที่ใช้ได้คือ $\varphi \approx 1.618$ ลองเลื่อนแถบในแล็บด้านล่างให้ r ต่ำกว่า φ แล้วดูขั้นอุปนัยพัง

ตัวอย่าง N-6 · ขอบเขตล่างด้วย φ

### พิสูจน์ว่า $F_n \ge \varphi^{n-2}$ ทุก $n \ge 1$ เมื่อ $\varphi = \tfrac{1+\sqrt5}{2}$

- กรณีฐาน: $F_1 = 1 \ge \varphi^{-1} \approx 0.618$ และ $F_2 = 1 \ge \varphi^0 = 1$

- $F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \ge \varphi^{n-3} + \varphi^{n-4} = \varphi^{n-4}(\varphi + 1) = \varphi^{n-4}\cdot\varphi^2 = \varphi^{n-2}$ ∎

ใช้ $\varphi^2 = \varphi + 1$ เป็นกุญแจ ผลนี้ทำให้รู้ว่าอัลกอริทึมยุคลิดใช้จำนวนรอบเป็นลอการิทึม (ทฤษฎีบทของลาเม)

ตัวอย่าง N-7 · สูตรปิด

### $a_1 = 1,\ a_2 = 5,\ a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}$ พิสูจน์ว่า $a_n = 2^n + (-1)^n$

- กรณีฐาน: $2 - 1 = 1 = a_1$, $4 + 1 = 5 = a_2$ ✓

- ให้ $n \ge 3$ และสมมติสูตรจริงสำหรับ $n - 1$ และ $n - 2$:

$$\begin{aligned} a_n &= {2^{n-1} + (-1)^{n-1}} + 2\big({2^{n-2} + (-1)^{n-2}}\big) \\ &= 2^{n-1} + 2^{n-1} + (-1)^{n-2}(-1 + 2) \\ &= 2^n + (-1)^n \end{aligned}$$

สูตรมาจากสมการลักษณะเฉพาะ $t^2 = t + 2$ ราก 2 และ −1

ตัวอย่าง N-8 · กรณีฐานสามตัว

### $T_1 = T_2 = T_3 = 1,\ T_n = T_{n-1} + T_{n-2} + T_{n-3}$ พิสูจน์ว่า $T_n < 2^n$

- ย้อน 3 ขั้น ⇒ กรณีฐาน 3 ตัว: $1 < 2,\ 1 < 4,\ 1 < 8$

- ให้ $n \ge 4$: $T_n < 2^{n-1} + 2^{n-2} + 2^{n-3} = 7\cdot2^{n-3} < 8\cdot 2^{n-3} = 2^n$ ∎

ลำดับจริง 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, … โตด้วยฐานราว 1.839

ตัวอย่าง N-9 · สูตรของบิเนต์

### $F_0 = 0,\ F_1 = 1,\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ พิสูจน์ $F_n = \dfrac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}$

- กรณีฐาน: $n = 0$ ได้ $0$ และ $n = 1$ ได้ $\tfrac{\varphi - \psi}{\sqrt5} = \tfrac{\sqrt5}{\sqrt5} = 1$

- ให้ $n \ge 2$: $F_n = \dfrac{\varphi^{n-1} - \psi^{n-1}}{\sqrt5} + \dfrac{\varphi^{n-2} - \psi^{n-2}}{\sqrt5} = \dfrac{\varphi^{n-2}(\varphi + 1) - \psi^{n-2}(\psi + 1)}{\sqrt5}$

- แทน $\varphi + 1 = \varphi^2,\ \psi + 1 = \psi^2$ ได้ $\dfrac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}$ ∎

เพราะ $|\psi| < 1$ จึงได้ $F_n$ = จำนวนเต็มที่ใกล้ $\varphi^n/\sqrt5$ ที่สุด

### เครื่องแก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดที่เขียนบทพิสูจน์ให้

พิมพ์ความสัมพันธ์และค่าเริ่มต้น เครื่องมือหาสูตรปิดแบบแม่นตรง แล้วสร้างบทพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้ม (กดเปิดส่วน “พิสูจน์สูตรด้วยอุปนัยแบบเข้ม” ท้ายผลลัพธ์) ใช้ตรวจว่าเราเขียนกรณีฐานครบและอ้างสมมติฐานถูกตัวหรือไม่ · รายละเอียดวิธีอยู่ที่ เครื่องคิดเลข 26.11

## กลุ่มที่ 4: การนับและการแบ่งชิ้น กลาง

เมื่อสิ่งของ “แตกเป็นสองชิ้นที่เล็กกว่า” โดยไม่รู้ว่าแต่ละชิ้นใหญ่เท่าไร อุปนัยแบบเข้มคือเครื่องมือธรรมชาติ

ตัวอย่าง N-10 · ช็อกโกแลต

### แท่งช็อกโกแลต $m \times n$ หักได้ครั้งละหนึ่งชิ้นตามร่อง ต้องหักกี่ครั้งจึงได้ชิ้น $1 \times 1$ ทั้งหมด

- ให้ $P(k)$: แท่งที่มี k ช่อง (รูปใดก็ได้) ต้องหัก $k - 1$ ครั้งพอดี · กรณีฐาน $k = 1$: หัก 0 ครั้ง

- ให้ $k \ge 2$ สมมติ $P(j)$ ทุก $j < k$ การหักครั้งแรกให้สองชิ้นขนาด $p, q$ โดย $p + q = k$ และ $1 \le p, q < k$

- รวม $1 + {(p - 1)} + {(q - 1)} = k - 1$ ∎ (มุมมองที่สั้นกว่า: หักหนึ่งครั้งเพิ่มชิ้นหนึ่งชิ้นเสมอ)

$mn - 1$ ครั้ง ไม่ว่าจะหักแบบไหน · แท่ง 3 × 4 ใช้ 11 ครั้ง

ตัวอย่าง N-11 · ปูกระเบื้องโดมิโน

### กระดาน $2 \times n$ ปูด้วยโดมิโน $1 \times 2$ ได้กี่แบบ

- ดูชิ้นสุดท้ายทางขวา: เป็นโดมิโนตั้งหนึ่งชิ้น (เหลือ $2 \times (n-1)$) หรือโดมิโนนอนสองชิ้นซ้อนกัน (เหลือ $2 \times (n-2)$) ⇒ $T(n) = T(n-1) + T(n-2)$

- กรณีฐาน $T(1) = 1,\ T(2) = 2$ จากนั้นอุปนัยแบบเข้มแสดงว่า $T(n) = F_{n+1}$ (เพราะทั้งสองข้างมีความสัมพันธ์และกรณีฐานเดียวกัน)

$T(5) = F_6 = 8$ แบบ ดูทั้งแปดแบบในแล็บ

ตัวอย่าง N-12 · ทฤษฎีบทเซกเคนดอร์ฟ

### พิสูจน์ว่าจำนวนนับทุกตัวเขียนเป็นผลบวกของเลขฟีโบนัชชี (1, 2, 3, 5, 8, …) ที่ไม่มีสองตัวใดติดกันในลำดับได้

- กรณีฐาน $n = 1 = F$ · ให้ $n \ge 2$ และสมมติ $P(j)$ ทุก $j < n$

- ถ้า n เป็นเลขฟีโบนัชชีจบทันที มิฉะนั้นให้ $F_k$ ใหญ่สุดที่ $F_k < n < F_{k+1}$ และ $r = n - F_k$

- $r < F_{k+1} - F_k = F_{k-1}$ และ $r < n$ ⇒ ${P(r)}$ ให้ผลบวกของเลขฟีโบนัชชีที่ไม่ติดกันซึ่งทุกตัวเล็กกว่า $F_{k-1}$ จึงไม่ติดกับ $F_k$ ∎

$100 = 89 + 8 + 3$

## กลุ่มที่ 5: เกม อัลกอริทึม และระบบควบคุม ขั้นสูง

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ อุปนัยแบบเข้มคือวิธีมาตรฐานในการพิสูจน์อัลกอริทึมแบบเรียกตัวเอง (recursive) เพราะการเรียกซ้ำมักลดขนาดปัญหาเป็นครึ่งหรือเป็นชิ้นใด ๆ ที่เล็กกว่า

N8 Divide-and-conquer bounds ขอบเขตอัลกอริทึมแบ่งครึ่ง

$$\begin{gathered} T(n) = T\big(\lfloor\tfrac n2\rfloor\big) + T\big(\lceil\tfrac n2\rceil\big) + n \\ \Rightarrow\ T(n) \le n\lceil\log_2 n\rceil \\ C(n) = 1 + C\big(\lfloor\tfrac n2\rfloor\big) \ \Rightarrow\ C(n) = \lfloor\log_2 n\rfloor + 1 \end{gathered}$$

$T(1) = 0,\ C(1) = 1$ · merge sort และ binary search ตามลำดับ

N9 Take-away games เกมหยิบ (P/N positions)

$$\begin{gathered} n \text{ แพ้} \iff \text{ทุกการหยิบนำไปสู่ตำแหน่งชนะ} \\ \text{หยิบ } \{1, \dots, k\}:\ n \text{ แพ้} \iff (k+1) \mid n \end{gathered}$$

ตำแหน่ง 0 เป็นกรณีฐาน (คนที่ต้องเดินแพ้) ทุกตำแหน่งตัดสินจากตำแหน่งที่เล็กกว่าหลายตัว

ตัวอย่าง N-13 · เกมหยิบเหรียญ

### มีเหรียญ n อัน ผลัดกันหยิบครั้งละ 1, 2 หรือ 3 อัน ผู้หยิบอันสุดท้ายชนะ พิสูจน์ว่าผู้เริ่มก่อนแพ้ก็ต่อเมื่อ $4 \mid n$

- $P(n)$: ตำแหน่ง n แพ้ (สำหรับคนที่ต้องเดิน) ⇔ $4 \mid n$ · กรณีฐาน $n = 0$: ไม่มีให้หยิบ แพ้ และ $4 \mid 0$ ✓

- ให้ $n \ge 1$ และสมมติ $P(j)$ ทุก $j < n$ ถ้า $4 \mid n$: ทุกการหยิบได้ $n - 1, n - 2, n - 3$ ซึ่งหาร 4 ไม่ลงตัว จึงเป็นตำแหน่งชนะตาม ${P(n-1)}$, ${P(n-2)}$, ${P(n-3)}$ ⇒ n แพ้

- ถ้า $4 \nmid n$: หยิบ $n \bmod 4$ อันไปที่พหุคูณของ 4 ซึ่งแพ้ตามสมมติฐาน ⇒ n ชนะ ∎

กลยุทธ์: ทิ้งพหุคูณของ 4 ให้คู่แข่งเสมอ ลองชนะคอมพิวเตอร์ในแล็บ

ตัวอย่าง N-14 · merge sort

### $T(1) = 0,\ T(n) = T(\lfloor n/2\rfloor) + T(\lceil n/2\rceil) + n$ พิสูจน์ $T(n) \le n\lceil\log_2 n\rceil$

- กรณีฐาน $T(1) = 0 \le 1\cdot 0$ · ให้ $n \ge 2$ และ $c = \lceil\log_2 n\rceil$ จึงมี $n \le 2^c$

- $\lceil n/2\rceil \le 2^{c-1}$ ⇒ ทั้งสองครึ่งมี $\lceil\log_2(\cdot)\rceil \le c - 1$ และเล็กกว่า n จึงใช้ ${\text{สมมติฐานแบบเข้ม}}$ ได้

- $T(n) \le \lfloor\tfrac n2\rfloor(c-1) + \lceil\tfrac n2\rceil(c-1) + n = n(c - 1) + n = nc$ ∎

merge sort ใช้การเปรียบเทียบ $O(n\log n)$ · อุปนัยธรรมดาบน $n - 1$ ใช้ไม่ได้เพราะการเรียกซ้ำกระโดดไปที่ $n/2$

ตัวอย่าง N-15 · binary search

### $C(1) = 1,\ C(n) = 1 + C(\lfloor n/2\rfloor)$ พิสูจน์ $C(n) = \lfloor\log_2 n\rfloor + 1$

- กรณีฐาน $C(1) = 1 = 0 + 1$ · ให้ $n \ge 2$ สมมติสูตรจริงทุก $j < n$ โดยเฉพาะ $j = \lfloor n/2\rfloor$

- ถ้า $2^m \le n < 2^{m+1}$ แล้ว $2^{m-1} \le \lfloor n/2\rfloor < 2^m$ ⇒ $\lfloor\log_2\lfloor n/2\rfloor\rfloor = m - 1$

- $C(n) = 1 + {(m - 1) + 1} = m + 1 = \lfloor\log_2 n\rfloor + 1$ ∎

ค้นข้อมูลล้านรายการ (เรียงแล้ว) ใช้ไม่เกิน 20 รอบ

ตัวอย่าง N-16 · เอกลักษณ์ของเบซู

### พิสูจน์ว่า $\gcd(a, b) = ax + by$ สำหรับจำนวนเต็ม x, y บางค่า (ทุก $a \ge 0,\ b \ge 0$ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน) แล้วหา x, y ของ $\gcd(252, 198)$

- อุปนัยแบบเข้มบน b · กรณีฐาน $b = 0$: $\gcd(a, 0) = a = a\cdot1 + 0\cdot0$

- ให้ $b \ge 1$: $a = qb + r$ โดย $0 \le r < b$ และ $\gcd(a, b) = \gcd(b, r)$ จาก ${P(r)}$ (เพราะ $r < b$): $\gcd(b, r) = bx' + ry'$

- แทน $r = a - qb$: $\gcd(a,b) = ay' + b(x' - qy')$ ∎ (นี่คืออัลกอริทึมยุคลิดแบบขยาย)

- $252 = 1\cdot198 + 54,\ 198 = 3\cdot54 + 36,\ 54 = 1\cdot36 + 18,\ 36 = 2\cdot18$ ย้อนกลับได้ $18 = 252\cdot4 - 198\cdot5$

$\gcd(252, 198) = 18 = 4(252) - 5(198)$ · r เป็นค่าใดก็ได้ที่น้อยกว่า b จึงต้องใช้อุปนัยแบบเข้ม

ตัวอย่าง N-17 · ระบบควบคุมดิจิทัล

### ค่าความคลาดของลูปควบคุมแบบไม่ต่อเนื่องสอดคล้อง $e_n = 0.5e_{n-1} + 0.3e_{n-2}$ โดย $e_0 = e_1 = 1$ พิสูจน์ว่า $e_n \le C(0.86)^n$ และหา C

- สัมประสิทธิ์ไม่ติดลบ ใช้ N7 กับ $r = 0.86$: $\tfrac{0.5}{0.86} + \tfrac{0.3}{0.86^2} = 0.5814 + 0.4056 = 0.9870 \le 1$ ✓ (ราก $t^2 = 0.5t + 0.3$ คือ 0.8521 จึงเลือก r ต่ำกว่า 0.8521 ไม่ได้)

- กรณีฐานสองตัว: ต้องการ $C \ge e_0 = 1$ และ $C \ge e_1/0.86 = 1.1628$ ⇒ เลือก $C = 1.1628$

- ขั้นอุปนัยแบบเข้ม: $e_n \le 0.5\,{Cr^{n-1}} + 0.3\,{Cr^{n-2}} = Cr^n\left(\tfrac{0.5}{r} + \tfrac{0.3}{r^2}\right) \le Cr^n$ ∎

ความคลาดลดลงอย่างน้อยแบบเรขาคณิตด้วยอัตรา 0.86 ต่อรอบ: หลัง 30 รอบเหลือไม่เกิน $1.1628(0.86)^{30} \approx 0.013$

## เปรียบเทียบ: อุปนัยธรรมดา อุปนัยแบบเข้ม และหลักการจัดอันดับดี

| | อุปนัยธรรมดา | อุปนัยแบบเข้ม | หลักการจัดอันดับดี |

| สมมติ | $P(k)$ | $P(n_0), \dots, P(n-1)$ ทั้งหมด | มีตัวอย่างค้านที่เล็กที่สุด n |

| พิสูจน์ | $P(k+1)$ | $P(n)$ | ได้ตัวอย่างค้านที่เล็กกว่า n (ขัดแย้ง) |

| เหมาะกับ | สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการทีละขั้น | เวียนเกิดหลายขั้น ตัวประกอบ แบ่งครึ่ง แบ่งชิ้น | พิสูจน์การมีอยู่ ความเป็นอตรรกยะ การสิ้นสุดของอัลกอริทึม |

| กรณีฐาน | ส่วนใหญ่ 1 ตัว | เท่ากับจำนวนขั้นที่ย้อนไกลที่สุด | มักแฝงอยู่ในการแยกกรณี |

ทั้งสามแบบพิสูจน์สิ่งเดียวกันได้เสมอ (N2) การเลือกแบบเข้มไม่ได้ทำให้บทพิสูจน์ “แข็งแรงกว่า” แต่ทำให้เขียนง่ายและอ่านเข้าใจกว่าเมื่อขั้นอุปนัยต้องการหลายกรณี ถ้าใช้แค่ $P(k)$ ก็เขียนแบบธรรมดาได้ ไม่ผิด

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: เกมหาจุดผิด

- กรณีฐานไม่พอ: ย้อนสองขั้นแต่ตรวจแค่ตัวเดียว (ผิดบ่อยที่สุด)

- อ้างกรณีที่อยู่นอกโดเมน: ใช้ $P(n-3)$ เมื่อ $n - 3$ ยังต่ำกว่า $n_0$ หรือใช้ $a - 1 = 0$ ที่ไม่ใช่จำนวนนับ

- อ้างสมมติฐานถูก แต่ตรรกะต่อจากนั้นผิด: เช่น “ผลคูณของจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะ”

- เขียนสมมติฐานไม่ครบ: ต้องบอกช่วง “ทุก $n_0 \le j < n$” ไม่ใช่ “สมมติว่าจริง”

## ฝึกพิสูจน์แบบภาคปฏิบัติ

### เรียงบรรทัดบทพิสูจน์ (มีบรรทัดหลอก)

บทพิสูจน์ที่ได้คะแนนเต็มคือบทพิสูจน์ที่เรียงเหตุผลถูก แตะบรรทัดตามลำดับ ระวังบรรทัดหลอกที่ดูน่าเชื่อแต่ใช้ไม่ได้ เช่น “สมมติแค่ P(n − 1)” ในโจทย์ที่ต้องย้อนสามขั้น

### โจทย์ฝึก 10 ข้อ (มีเฉลย)

S1 พื้นฐานพิสูจน์ว่าทุกราคา $n \ge 12$ บาทรวมได้ด้วยแสตมป์ 4 และ 5 บาท
กรณีฐาน 4 ตัว: $12 = 4\cdot3,\ 13 = 4\cdot2 + 5,\ 14 = 4 + 5\cdot2,\ 15 = 5\cdot3$ ขั้นอุปนัย: $n \ge 16$ ⇒ $n - 4 \ge 12$ ใช้ $P(n-4)$ แล้วเติม 4 บาท
$g(4,5) = 11$

S2 พื้นฐานมีเหรียญ 6, 9, 20 (ชุดไก่ทอด) ราคาใดใหญ่สุดที่ซื้อพอดีไม่ได้
ไล่ตารางพบว่า 44, 45, 46, 47, 48, 49 ทำได้ครบหกค่าติดกัน (เท่ากับเหรียญที่เล็กที่สุด) จึงทำได้ทุกค่าที่มากกว่าด้วยการเติม 6 ค่าที่ทำไม่ได้ใหญ่สุดคือ 43
43

S3 พื้นฐาน$a_1 = 1,\ a_2 = 3,\ a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ พิสูจน์ $a_n < (7/4)^n$
กรณีฐาน $1 < 1.75,\ 3 < 3.0625$ ขั้นอุปนัย: $a_n < (7/4)^{n-1} + (7/4)^{n-2} = (7/4)^{n-2}\cdot\tfrac{11}{4}$ และ $\tfrac{11}{4} < \tfrac{49}{16}$ ✓
ใช้ได้เพราะ $\tfrac{4}{7} + \tfrac{16}{49} = \tfrac{44}{49} \le 1$

S4 กลาง$a_0 = 1,\ a_1 = 4,\ a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2}$ พิสูจน์ $a_n = 2\cdot3^n - 2^n$
กรณีฐาน $2 - 1 = 1,\ 6 - 2 = 4$ ขั้นอุปนัย: $5(2\cdot3^{n-1} - 2^{n-1}) - 6(2\cdot3^{n-2} - 2^{n-2}) = 2\cdot3^{n-2}(15 - 6) - 2^{n-2}(10 - 6) = 2\cdot3^n - 2^n$
✓

S5 กลางพิสูจน์ว่า $F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$
อุปนัยธรรมดาพอ (ใช้แค่ P(n−1)): $\sum_{k=1}^{n} F_k = (F_{n+1} - 1) + F_n = F_{n+2} - 1$ · ตัวอย่างนี้แสดงว่าไม่ต้องใช้แบบเข้มทุกครั้ง
กรณีฐาน $F_1 = 1 = F_3 - 1$

S6 กลางเกมหยิบครั้งละ 1, 3 หรือ 4 อัน ตำแหน่งใดแพ้
ไล่ตาราง: 0 แพ้, 1 ชนะ, 2 แพ้, 3, 4, 5, 6 ชนะ, 7 แพ้, … ตำแหน่งแพ้คือ $n \equiv 0, 2 \pmod 7$ พิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มเพราะตำแหน่ง n ขึ้นกับ n−1, n−3, n−4
0, 2, 7, 9, 14, 16, …

S7 กลางพิสูจน์ว่าต้นไม้ (tree) ที่มี n จุดยอดมีเส้นเชื่อม $n - 1$ เส้น
อุปนัยแบบเข้มบน n: ลบเส้นเชื่อมหนึ่งเส้นได้ต้นไม้สองต้นขนาด $p + q = n$ จากสมมติฐานมีเส้น $(p-1) + (q-1)$ รวมเส้นที่ลบกลับคืน $= n - 1$ (โครงสร้างเดียวกับช็อกโกแลต)
กรณีฐาน n = 1 มี 0 เส้น

S8 ขั้นสูง$a_1 = 1,\ a_n = a_{\lfloor n/2\rfloor} + a_{\lceil n/2\rceil}$ สำหรับ $n \ge 2$ หาและพิสูจน์สูตร
ลองค่า: 1, 2, 3, 4, … เดา $a_n = n$ ขั้นอุปนัย $a_n = \lfloor n/2\rfloor + \lceil n/2\rceil = n$ ใช้ $P(\lfloor n/2\rfloor), P(\lceil n/2\rceil)$ ซึ่งทั้งคู่ $< n$ เมื่อ $n \ge 2$
$a_n = n$

S9 ขั้นสูงพิสูจน์ว่า $\sqrt2$ เป็นจำนวนอตรรกยะด้วยหลักการจัดอันดับดี
สมมติ $\sqrt2 = p/q$ และให้ q เป็นตัวส่วนบวกที่เล็กที่สุด ได้ $p^2 = 2q^2$ ⇒ p คู่ ⇒ q คู่ ⇒ $\sqrt2 = (p/2)/(q/2)$ มีตัวส่วนเล็กกว่า q ขัดแย้ง
เป็นรูป “ตัวอย่างค้านที่เล็กที่สุด” ของอุปนัยแบบเข้ม

S10 ขั้นสูง$e_n = 0.6e_{n-1} + 0.2e_{n-2},\ e_0 = 2,\ e_1 = 1$ หา r ที่เล็กที่สุดที่ $e_n \le Cr^n$ พิสูจน์ได้ด้วยวิธี N7
r ต้องสอดคล้อง $0.6/r + 0.2/r^2 \le 1$ ⇔ $r^2 - 0.6r - 0.2 \ge 0$ ⇒ $r \ge 0.3 + \sqrt{0.29} \approx 0.8385$ เลือก r ใดก็ได้ที่ไม่น้อยกว่านี้ แล้วให้ $C = \max(e_0, e_1/r)$
$r_{\min} = 0.3 + \sqrt{0.29} \approx 0.8385$

## เรียนต่อ

ทบทวนอุปนัยธรรมดาและแม่แบบ 4 ขั้นที่ อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (3.2) อ่านตัวอย่างอีก 14 ข้อใน บทความอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ หาสูตรที่จะพิสูจน์ด้วย เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม (26.11) และดูทฤษฎีลำดับเวียนเกิดที่ ลำดับ (26.1)

## คำถามที่พบบ่อย

อุปนัยแบบเข้ม (strong induction) ต่างจากอุปนัยธรรมดาอย่างไร?
อุปนัยธรรมดาสมมติเพียง $P(k)$ แล้วพิสูจน์ $P(k+1)$ ส่วนอุปนัยแบบเข้มสมมติว่า $P(j)$ จริงทุก j ตั้งแต่กรณีฐานจนถึง $n-1$ แล้วพิสูจน์ $P(n)$ ใช้เมื่อการพิสูจน์ $P(n)$ ต้องอาศัยกรณีที่ย้อนไปไกลกว่าหนึ่งขั้นหรือไม่รู้ล่วงหน้าว่าย้อนไปเท่าไร เช่น $P(n-2)$, $P(\lfloor n/2\rfloor)$ หรือตัวประกอบของ n ทั้งสองแบบมีพลังเท่ากันในทางตรรกะ

ต้องมีกรณีฐานกี่ตัว?
เท่ากับจำนวนขั้นที่ขั้นอุปนัยย้อนกลับไกลที่สุด ถ้าใช้ $P(n-1)$ และ $P(n-2)$ ต้องมีกรณีฐานสองตัว (เช่น $F_1$ และ $F_2$) ถ้าใช้ $P(n-4)$ แบบโจทย์แสตมป์ 4 และ 5 บาทต้องมีสี่ตัว ถ้าขาดไปแม้ตัวเดียว ทั้งบทพิสูจน์ใช้ไม่ได้

พิสูจน์ว่าทุกราคาตั้งแต่ 8 บาทขึ้นไปรวมได้ด้วยแสตมป์ 3 และ 5 บาทอย่างไร?
กรณีฐาน $8 = 3+5,\ 9 = 3+3+3,\ 10 = 5+5$ ขั้นอุปนัยแบบเข้ม: ให้ $n \ge 11$ และสมมติว่าทุกราคา j ที่ $8 \le j
ทำไมการพิสูจน์ว่าทุกจำนวนเต็มเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะต้องใช้อุปนัยแบบเข้ม?
เพราะถ้า n ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ n = ab โดย a และ b เล็กกว่า n แต่ไม่ใช่ n − 1 การรู้ว่า n − 1 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะไม่ช่วยอะไรเลย ต้องสมมติว่าทุกจำนวนที่เล็กกว่า n เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ จึงใช้สมมติฐานกับ a และ b ได้

อุปนัยแบบเข้มใช้ในงานวิศวกรรมหรือวิทยาการคอมพิวเตอร์อย่างไร?
ใช้พิสูจน์ความถูกต้องและเวลาทำงานของอัลกอริทึมแบบแบ่งแล้วเอาชนะ (เช่น merge sort ใช้การเปรียบเทียบไม่เกิน $n\lceil\log_2 n\rceil$ ครั้ง binary search ใช้ $\lfloor\log_2 n\rfloor + 1$ รอบ) พิสูจน์สูตรปิดของลำดับเวียนเกิดในตัวกรองดิจิทัล และพิสูจน์ว่าค่าความคลาดในระบบควบคุมดิจิทัลลดลงแบบเรขาคณิต $|e_n| \le Cr^n$

มีที่ให้ฝึกเขียนพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มไหม?
หน้านี้มีแล็บโต้ตอบ 11 ชุด เช่น ตารางว่าแต่ละ P(n) อาศัยกรณีใด ทดลองลดกรณีฐานแล้วดูบทพิสูจน์พัง เกมเรียงบรรทัดบทพิสูจน์ที่มีบรรทัดหลอก เกมหาจุดผิด และเครื่องแก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดที่สร้างบทพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มให้อัตโนมัติ พร้อมโจทย์ฝึกที่มีเฉลย

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**อุปนัยแบบเข้ม (strong induction) ต่างจากอุปนัยธรรมดาอย่างไร?**
อุปนัยธรรมดาสมมติเพียง $P(k)$ แล้วพิสูจน์ $P(k+1)$ ส่วนอุปนัยแบบเข้มสมมติว่า $P(j)$ จริงทุก j ตั้งแต่กรณีฐานจนถึง $n-1$ แล้วพิสูจน์ $P(n)$ ใช้เมื่อการพิสูจน์ $P(n)$ ต้องอาศัยกรณีที่ย้อนไปไกลกว่าหนึ่งขั้นหรือไม่รู้ล่วงหน้าว่าย้อนไปเท่าไร เช่น $P(n-2)$, $P(\lfloor n/2\rfloor)$ หรือตัวประกอบของ n ทั้งสองแบบมีพลังเท่ากันในทางตรรกะ

**ต้องมีกรณีฐานกี่ตัว?**
เท่ากับจำนวนขั้นที่ขั้นอุปนัยย้อนกลับไกลที่สุด ถ้าใช้ $P(n-1)$ และ $P(n-2)$ ต้องมีกรณีฐานสองตัว (เช่น $F_1$ และ $F_2$) ถ้าใช้ $P(n-4)$ แบบโจทย์แสตมป์ 4 และ 5 บาทต้องมีสี่ตัว ถ้าขาดไปแม้ตัวเดียว ทั้งบทพิสูจน์ใช้ไม่ได้

**พิสูจน์ว่าทุกราคาตั้งแต่ 8 บาทขึ้นไปรวมได้ด้วยแสตมป์ 3 และ 5 บาทอย่างไร?**
กรณีฐาน $8 = 3+5,\ 9 = 3+3+3,\ 10 = 5+5$ ขั้นอุปนัยแบบเข้ม: ให้ $n \ge 11$ และสมมติว่าทุกราคา j ที่ $8 \le j < n$ รวมได้ เพราะ $n - 3 \ge 8$ จึงรวม $n-3$ ได้ แล้วเติมแสตมป์ 3 บาทอีกดวง ต้องมีกรณีฐานสามตัวเพราะขั้นอุปนัยย้อนกลับ 3 ขั้น

**ทำไมการพิสูจน์ว่าทุกจำนวนเต็มเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะต้องใช้อุปนัยแบบเข้ม?**
เพราะถ้า n ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ n = ab โดย a และ b เล็กกว่า n แต่ไม่ใช่ n − 1 การรู้ว่า n − 1 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะไม่ช่วยอะไรเลย ต้องสมมติว่าทุกจำนวนที่เล็กกว่า n เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ จึงใช้สมมติฐานกับ a และ b ได้

**อุปนัยแบบเข้มใช้ในงานวิศวกรรมหรือวิทยาการคอมพิวเตอร์อย่างไร?**
ใช้พิสูจน์ความถูกต้องและเวลาทำงานของอัลกอริทึมแบบแบ่งแล้วเอาชนะ (เช่น merge sort ใช้การเปรียบเทียบไม่เกิน $n\lceil\log_2 n\rceil$ ครั้ง binary search ใช้ $\lfloor\log_2 n\rfloor + 1$ รอบ) พิสูจน์สูตรปิดของลำดับเวียนเกิดในตัวกรองดิจิทัล และพิสูจน์ว่าค่าความคลาดในระบบควบคุมดิจิทัลลดลงแบบเรขาคณิต $|e_n| \le Cr^n$

**มีที่ให้ฝึกเขียนพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มไหม?**
หน้านี้มีแล็บโต้ตอบ 11 ชุด เช่น ตารางว่าแต่ละ P(n) อาศัยกรณีใด ทดลองลดกรณีฐานแล้วดูบทพิสูจน์พัง เกมเรียงบรรทัดบทพิสูจน์ที่มีบรรทัดหลอก เกมหาจุดผิด และเครื่องแก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดที่สร้างบทพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มให้อัตโนมัติ พร้อมโจทย์ฝึกที่มีเฉลย

---

# อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน (Taylor & Maclaurin Series): สูตร ตารางอนุกรม เศษเหลือ ทวินาม และการประมาณค่า

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/taylor-series/
Updated: 2026-10-24
Summary: อนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series) และอนุกรมแมคลอริน (Maclaurin series) คืออะไร สูตร f⁽ⁿ⁾(a)/n! ตารางอนุกรมที่ต้องจำ eˣ sin cos ln(1+x) arctan (1+x)^α พหุนามเทย์เลอร์ ทฤษฎีบทเทย์เลอร์และเศษเหลือลากรองจ์ จำนวนพจน์ที่ต้องใช้ อนุกรมทวินาม เทคนิคแทนค่า คูณ หาร อินทิกรัล หาลิมิตด้วยอนุกรม หาผลบวกอนุกรม สูตรออยเลอร์ พร้อมแล็บพหุนามเทย์เลอร์

// บทที่ 26.6 · ลำดับและอนุกรม · Taylor & Maclaurin Series

# อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน (Taylor & Maclaurin Series): สูตร ตารางอนุกรม เศษเหลือ ทวินาม และการประมาณค่า

เครื่องคิดเลขไม่รู้จัก sin หรือ eˣ มันรู้แค่บวก ลบ คูณ หาร อนุกรมเทย์เลอร์คือสะพานที่เปลี่ยนฟังก์ชันใด ๆ ให้เป็นพหุนาม โดยจับคู่ค่าและอนุพันธ์ทุกอันดับที่จุดหนึ่ง หน้านี้สอนการสร้างอนุกรม ตารางที่ต้องจำ วิธีบอกความแม่นยำด้วยเศษเหลือ เทคนิคลัดที่ไม่ต้องหาอนุพันธ์ และการใช้หาลิมิตกับผลบวก ซึ่งออกข้อสอบทุกระดับ

สรุปใน 30 วินาที

- $f(x) = \sum\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ · a = 0 เรียกแมคลอริน

- $e^x,\ \sin x,\ \cos x$ ลู่เข้าทุก x · $\tfrac{1}{1-x},\ \ln(1+x),\ \arctan x,\ (1+x)^\alpha$ มีรัศมี 1

- $|R_n| \le \dfrac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}$ · อนุกรมสลับ: คลาดไม่เกินพจน์ถัดไป

- หาอนุกรมด้วยการแทนค่า คูณ หาร อินทิกรัล แทนการหาอนุพันธ์ทีละอันดับ

ระดับพื้นฐาน ตาราง · ประมาณค่ากลาง แคลคูลัส 2ขั้นสูง ทฤษฎี · หลายตัวแปร

## แนวคิด: พหุนามที่มีอนุพันธ์ตรงกับฟังก์ชัน พื้นฐาน

อยากได้พหุนาม $P(x)$ ที่ใกล้ $f(x)$ ที่สุดรอบจุด a วิธีที่เป็นธรรมชาติคือบังคับให้ $P(a) = f(a)$, $P'(a) = f'(a)$, $P''(a) = f''(a)$, … ไปเรื่อย ๆ เมื่อหาอนุพันธ์ $c_n(x-a)^n$ n ครั้งจะได้ $n!\,c_n$ จึงต้องเลือก $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ ดีกรีหนึ่งคือเส้นสัมผัส ดีกรีสองเพิ่มความโค้ง และยิ่งดีกรีสูงยิ่งเกาะได้กว้าง

พหุนามแมคลอรินของ sin x ดีกรี 1, 3, 5, 7 และ 9 ยิ่งดีกรีสูง ยิ่งเกาะกราฟจริงได้กว้างขึ้น (sin x ลู่เข้าทุก x)

Y1 Taylor series อนุกรมเทย์เลอร์

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$$

เท่ากับ f จริงเมื่อเศษเหลือ $R_n(x) \to 0$ (f วิเคราะห์) · เป็นอนุกรมกำลังตัวเดียวที่แทน f ได้ (P10)

Y2 Maclaurin series อนุกรมแมคลอริน

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

กรณี a = 0 ตั้งชื่อตามโคลิน แมคลอริน (ศตวรรษที่ 18)

Y3 Taylor polynomial พหุนามเทย์เลอร์ดีกรี n

$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k,\qquad P_1 = \text{การประมาณเชิงเส้น}$$

$P_1(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$ คือ linearization ในบทอนุพันธ์

ตัวอย่าง Y-1 · จากนิยาม

### หาอนุกรมเทย์เลอร์ของ (ก) $\ln x$ รอบ $a = 1$ (ข) $e^x$ รอบ $a = 2$

- (ก) $f = \ln x,\ f' = x^{-1},\ f'' = -x^{-2},\ f''' = 2x^{-3},\ f^{(n)} = (-1)^{n+1}(n-1)!\,x^{-n}$ ⇒ ที่ x = 1: $f^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}(n-1)!$

- $c_n = \dfrac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{n!} = \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ ⇒ $\ln x = (x-1) - \dfrac{(x-1)^2}{2} + \dfrac{(x-1)^3}{3} - \cdots$, $0 < x \le 2$

- (ข) อนุพันธ์ทุกอันดับของ $e^x$ คือ $e^x$ ⇒ $f^{(n)}(2) = e^2$ ⇒ $e^x = e^2\sum\dfrac{(x-2)^n}{n!}$ ลู่เข้าทุก x

(ก) $\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}{n}$ · (ข) $e^2\sum\dfrac{(x-2)^n}{n!}$ — ข้อ (ข) ตรวจได้จาก $e^x = e^2\cdot e^{x-2}$

## ตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ พื้นฐาน

จำเจ็ดตัวนี้ให้ขึ้นใจ แล้วอนุกรมเกือบทั้งหมดในข้อสอบสร้างได้จากเทคนิคในหัวข้อถัดไป สังเกตรูปแบบ: ฟังก์ชันคู่ (cos) มีแต่กำลังคู่ ฟังก์ชันคี่ (sin, arctan) มีแต่กำลังคี่

Y4 Exponential เอกซ์โพเนนเชียล

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,\quad R = \infty$$

ที่ x = 1 ได้ $e = \sum 1/n!$ · $e^{-x}$ สลับเครื่องหมาย

Y5 Sine ไซน์

$$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots,\quad R = \infty$$

x เป็นเรเดียนเสมอ · $\sin x \approx x$ เมื่อมุมเล็ก

Y6 Cosine โคไซน์

$$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots,\quad R = \infty$$

หาอนุพันธ์ของ Y5 ทีละพจน์ได้ Y6 · $1 - \cos x \approx x^2/2$

Y7 Geometric เรขาคณิต

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n = 1 + x + x^2 + \cdots,\quad |x| < 1$$

แม่ของอนุกรมตรรกยะทั้งหมด · $\frac{1}{1+x} = \sum(-1)^n x^n$

Y8 Logarithm ลอการิทึม

$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots,\quad -1 < x \le 1$$

ไม่มีอนุกรมแมคลอรินของ $\ln x$ (ไม่นิยามที่ 0) ต้องใช้รอบ a = 1

Y9 Arctangent อาร์กแทนเจนต์

$$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots,\quad |x| \le 1$$

ที่ x = 1 ได้อนุกรมเกรกอรี-ไลบ์นิซ $\tfrac{\pi}{4}$

Y10 Binomial series อนุกรมทวินาม (นิวตัน)

$$(1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots,\quad |x| < 1$$

α จำนวนเต็มบวกได้พหุนาม (สิ้นสุด) · $\sqrt{1+x} = 1 + \tfrac{x}{2} - \tfrac{x^2}{8} + \tfrac{x^3}{16} - \cdots$ · $\tfrac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \tfrac{x}{2} + \tfrac{3x^2}{8} - \cdots$

Y11 Hyperbolic ไฮเพอร์โบลิก

$$\sinh x = \sum\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \cosh x = \sum\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

เหมือน sin, cos แต่ไม่สลับเครื่องหมาย · $R = \infty$

Y12 tan, arcsin, sec พจน์ต้นที่ควรรู้

$$\tan x = x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2x^5}{15} + \cdots,\ \ \arcsin x = x + \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{3x^5}{40} + \cdots,\ \ \sec x = 1 + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{5x^4}{24} + \cdots$$

tan, sec: $R = \tfrac{\pi}{2}$ · arcsin: $R = 1$

## แล็บพหุนามเทย์เลอร์ พื้นฐาน

พิมพ์ฟังก์ชันและจุดกระจาย เลื่อนดีกรี n และจุด x ที่ต้องการประเมิน ดูความคลาดจริงเทียบขอบเขตลากรองจ์ และสังเกตว่านอกรัศมีการลู่เข้า (เช่น $\ln(1+x)$ ที่ x > 1) เพิ่มดีกรีเท่าไรก็ไม่ช่วย

## ประมาณค่าด้วยพหุนามเทย์เลอร์ พื้นฐาน

ตัวอย่าง Y-2 · ประมาณรากที่สอง

### ใช้พหุนามเทย์เลอร์ดีกรีสองของ $\sqrt x$ รอบ $a = 4$ ประมาณ $\sqrt{4.1}$

- $f(4) = 2,\ f'(x) = \tfrac{1}{2\sqrt x} \Rightarrow f'(4) = \tfrac14,\ f''(x) = -\tfrac{1}{4x^{3/2}} \Rightarrow f''(4) = -\tfrac{1}{32}$

- $P_2(x) = 2 + \tfrac14(x-4) - \tfrac{1}{64}(x-4)^2$ (เพราะ $\tfrac{-1/32}{2!} = -\tfrac1{64}$)

- $P_2(4.1) = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375$ ค่าจริง 2.02484567 คลาด $1.9\times10^{-6}$

$\sqrt{4.1} \approx 2.024844$ ถูกต้อง 5 ตำแหน่ง ด้วยการคำนวณเลขในใจ

ตัวอย่าง Y-3 · ทวินาม

### ประมาณ (ก) $\sqrt{1.1}$ ด้วย 4 พจน์ (ข) $\sqrt[3]{1.03}$ ด้วย 3 พจน์

- (ก) $\sqrt{1+x} = 1 + \tfrac{x}{2} - \tfrac{x^2}{8} + \tfrac{x^3}{16}$ ที่ x = 0.1: $1 + 0.05 - 0.00125 + 0.0000625 = 1.0488125$ (จริง 1.0488088, คลาด $3.7\times10^{-6}$)

- (ข) $(1+x)^{1/3} = 1 + \tfrac{x}{3} - \tfrac{x^2}{9} + \cdots$ ที่ x = 0.03: $1 + 0.01 - 0.0001 = 1.0099$ (จริง 1.0099016)

(ก) 1.04881 · (ข) 1.0099 — ฟิสิกส์ใช้แบบเดียวกันกับ $\tfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \approx 1 + \tfrac{v^2}{2c^2}$ ได้พลังงานจลน์ $\tfrac12mv^2$ เป็นพจน์แรก

## ทฤษฎีบทเทย์เลอร์และเศษเหลือ: ต้องใช้กี่พจน์ กลาง

การประมาณที่ไม่บอกความคลาดใช้ในงานวิศวกรรมไม่ได้ ทฤษฎีบทเทย์เลอร์บอกว่าความต่างระหว่างฟังก์ชันกับพหุนาม (เศษเหลือ) เขียนได้เป็นพจน์ถัดไปที่ประเมินที่จุดใดจุดหนึ่งระหว่าง a กับ x เราไม่รู้จุดนั้น แต่หาขอบเขตได้

Y13 Taylor's theorem (Lagrange remainder) ทฤษฎีบทเทย์เลอร์ เศษเหลือแบบลากรองจ์

$$f(x) = P_n(x) + R_n(x),\quad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},\ \xi \text{ ระหว่าง } a,\ x \ \Rightarrow\ |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$$

$M = \max|f^{(n+1)}|$ บนช่วงระหว่าง a กับ x · sin, cos: M = 1 · $e^x$ (x > 0): $M = e^x$ ใช้ $e < 3$ ช่วยประมาณ

Y14 Integral remainder เศษเหลือรูปอินทิกรัล

$$R_n(x) = \frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t)\,(x-t)^n\,dt$$

แม่นตรง ไม่มี ξ · ใช้พิสูจน์ว่าอนุกรมทวินามลู่เข้าสู่ $(1+x)^\alpha$

Y15 Alternating shortcut ทางลัดอนุกรมสลับ

$$\text{อนุกรมสลับที่ผ่านไลบ์นิซ:}\ |R| \le |\text{พจน์แรกที่ตัดทิ้ง}|$$

sin, cos, arctan, ln(1+x) ที่ $0 < x \le 1$ ใช้ได้ (A3)

ตัวอย่าง Y-4 · ใช้กี่พจน์ (ลากรองจ์)

### ต้องใช้พหุนามแมคลอรินดีกรีเท่าใด ประมาณ $e^{0.5}$ ให้คลาดไม่เกิน $10^{-5}$

- $|R_n(0.5)| \le \dfrac{e^{0.5}}{(n+1)!}(0.5)^{n+1} < \dfrac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!}$ (ใช้ $e^{0.5} < 2$)

- $n = 5$: $\dfrac{2(0.5)^6}{720} = 4.3\times10^{-5}$ ยังไม่พอ · $n = 6$: $\dfrac{2(0.5)^7}{5040} = 3.1\times10^{-6}$ ✓

- $P_6(0.5) = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208333 + 0.0026042 + 0.0002604 + 0.0000217 = 1.6487196$ ค่าจริง 1.6487213 คลาด $1.7\times10^{-6}$

ดีกรี 6 (7 พจน์) · ขอบเขตรับประกันโดยไม่ต้องรู้ค่าจริง ซึ่งเป็นสิ่งที่โจทย์ต้องการ

ตัวอย่าง Y-5 · ใช้กี่พจน์ (อนุกรมสลับ)

### ประมาณ $\sin(0.2)$ ด้วย $x - \tfrac{x^3}{6}$ และหาขอบเขตความคลาด

- $0.2 - \dfrac{0.008}{6} = 0.1986667$

- อนุกรมสลับ พจน์แรกที่ตัดทิ้ง $\dfrac{0.2^5}{5!} = 2.67\times10^{-6}$ ⇒ $|R| \le 2.67\times10^{-6}$

- ค่าจริง $\sin 0.2 = 0.1986693$ คลาดจริง $2.66\times10^{-6}$ (ขอบเขตแทบจะพอดี)

$\sin 0.2 \approx 0.19867$ คลาดไม่เกิน $2.7\times10^{-6}$

## เทคนิคลัด: แทนค่า คูณ หาร อินทิกรัล ประกอบ กลาง

การหาอนุพันธ์ทีละอันดับของ $e^{-x^2}$ หรือ $e^x\sin x$ ยุ่งเกินจำเป็น เพราะทฤษฎีบทความเป็นหนึ่งเดียวรับประกันว่าได้อนุกรมด้วยวิธีใดก็คืออนุกรมเทย์เลอร์ตัวเดียวกัน เทคนิคเหล่านี้จึงเป็นทักษะหลักในข้อสอบ

Y16 Substitution แทนค่า

$$e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$$

แทน $u = -x^2$ ใน Y4 · รัศมีเปลี่ยนตามตัวแปร: $\tfrac{1}{1-2x}$ มี $R = \tfrac12$

Y17 Multiply & divide คูณและหาร

$$e^x\sin x = x + x^2 + \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30} + \cdots,\qquad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = x + \frac{x^3}{3} + \cdots$$

คูณเหมือนพหุนาม เก็บถึงดีกรีที่ต้องการ · หารด้วยการหารยาวหรือเทียบสัมประสิทธิ์

Y18 Integrate term by term อินทิกรัลทีละพจน์

$$\int_0^1 e^{-x^2}dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\,(2n+1)} = 1 - \frac13 + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \cdots$$

ใช้กับอินทิกรัลที่ไม่มีปฏิยานุพันธ์พื้นฐาน (ฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน erf ในสถิติและการแพร่ความร้อน)

Y19 Composition ฟังก์ชันประกอบ

$$e^{\sin x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} - \frac{x^5}{15} + \cdots$$

แทนอนุกรมของ $\sin x$ ลงใน $e^u$ แล้วเก็บพจน์ถึงดีกรีที่ต้องการ (พจน์ $x^3$ หักล้างเป็น 0)

ตัวอย่าง Y-6 · อินทิกรัลที่หาปฏิยานุพันธ์ไม่ได้

### ประมาณ $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ ด้วย 5 พจน์ และบอกความคลาด

- จาก Y18: $1 - \tfrac13 + \tfrac{1}{10} - \tfrac{1}{42} + \tfrac{1}{216} = 0.747487$

- เป็นอนุกรมสลับ ความคลาด ≤ พจน์ถัดไป $\dfrac{1}{5!\cdot 11} = \dfrac{1}{1320} = 7.6\times10^{-4}$

- ค่าจริง $\tfrac{\sqrt\pi}{2}\operatorname{erf}(1) = 0.746824$ คลาด $6.6\times10^{-4}$ อยู่ในขอบเขต

≈ 0.7475 ± 0.0008 — ใช้ 7 พจน์จะได้ถูกต้องทศนิยม 4 ตำแหน่ง

## หาลิมิตด้วยอนุกรมเทย์เลอร์ กลาง

รูป 0/0 ที่ต้องใช้โลปิตาลหลายครั้ง แก้ด้วยอนุกรมได้ในบรรทัดเดียว: แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรม ตัดพจน์ที่หักล้างกัน แล้วดูพจน์แรกที่เหลือ วิธีนี้ยังบอก “อัตราการเข้าใกล้” ซึ่งโลปิตาลไม่บอก

ตัวอย่าง Y-7 · ลิมิต (แนวข้อสอบ)

### (ก) $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x - x + x^3/6}{x^5}$ (ข) $\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x - x}{x^3}$ (ค) $\lim_{x\to0}\dfrac{x - \sin x}{x - \tan x}$

- (ก) $\sin x - x + \tfrac{x^3}{6} = \tfrac{x^5}{120} - \tfrac{x^7}{5040} + \cdots$ ⇒ ลิมิต $\tfrac{1}{120}$

- (ข) $\tan x - x = \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2x^5}{15} + \cdots$ ⇒ ลิมิต $\tfrac13$

- (ค) ตัวเศษ $\tfrac{x^3}{6} - \cdots$ ตัวส่วน $-\tfrac{x^3}{3} - \cdots$ ⇒ $\dfrac{1/6}{-1/3} = -\tfrac12$

(ก) $\tfrac{1}{120}$ · (ข) $\tfrac13$ · (ค) $-\tfrac12$ — ข้อ (ก) ถ้าใช้โลปิตาลต้องหาอนุพันธ์ 5 ครั้ง

## หาผลบวกอนุกรมจากอนุกรมเทย์เลอร์ กลาง

ย้อนทาง: เห็นอนุกรมตัวเลขแล้วจำได้ว่าเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันใดที่จุดใด เช่น $\sum\tfrac{2^n}{n!} = e^2$, $\sum\tfrac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!} = \cos\pi = -1$

ตัวอย่าง Y-8 · หาผลบวก

### (ก) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}$ (ข) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}$

- (ก) $\dfrac{n^2}{n!} = \dfrac{n}{(n-1)!}$ ให้ $m = n - 1$: $\sum_{m\ge0}\dfrac{m+1}{m!} = \sum\dfrac{m}{m!} + \sum\dfrac{1}{m!} = e + e = 2e$

- (ข) เทียบ $\arctan x = \sum\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$: ต้องการ $x^{2n} = 3^{-n}$ ⇒ $x = \tfrac{1}{\sqrt3}$ ⇒ อนุกรม $= \sqrt3\arctan\tfrac{1}{\sqrt3} = \sqrt3\cdot\tfrac{\pi}{6}$

(ก) $2e \approx 5.4366$ · (ข) $\tfrac{\pi\sqrt3}{6} \approx 0.9069$ (นี่คืออนุกรมที่ลู่เข้าเร็วสำหรับคำนวณ π)

## สูตรออยเลอร์: จากอนุกรมสู่เฟสเซอร์ กลาง

แทน $x = j\theta$ ในอนุกรมของ $e^x$ แล้วแยกพจน์คู่-คี่ จะได้อนุกรมของ cos และ sin พอดี นี่คือรากฐานของการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับด้วยเฟสเซอร์ และของอนุกรมฟูริเยร์

Y20 Euler's formula สูตรออยเลอร์

$$e^{j\theta} = \sum\frac{(j\theta)^n}{n!} = \underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)}_{\cos\theta} + j\underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\right)}_{\sin\theta}$$

$j^2 = -1,\ j^3 = -j,\ j^4 = 1$ ทำให้เครื่องหมายสลับ · $e^{j\pi} + 1 = 0$

## ฟังก์ชันวิเคราะห์ และฟังก์ชันที่อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ไม่ได้ ขั้นสูง

Y21 Analytic function ฟังก์ชันวิเคราะห์

$$f \text{ วิเคราะห์ที่ } a \iff f(x) = \sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \text{ ในบางช่วงรอบ } a$$

พหุนาม eˣ sin cos ln ราก และผลบวก ผลคูณ ผลหาร ประกอบของพวกนี้ วิเคราะห์ในโดเมนของมัน

Y22 Smooth but not analytic เรียบแต่ไม่วิเคราะห์

$$f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases},\quad f^{(n)}(0) = 0\ \forall n$$

อนุกรมเทย์เลอร์รอบ 0 เป็น 0 ทุกพจน์ ลู่เข้าทุก x แต่ไม่เท่ากับ f — ต้องตรวจ $R_n \to 0$ เสมอ

Y23 Two-variable Taylor expansion เทย์เลอร์สองตัวแปร

$$f(a+h, b+k) \approx f + f_x h + f_y k + \tfrac12\left(f_{xx}h^2 + 2f_{xy}hk + f_{yy}k^2\right)$$

ทุกอนุพันธ์ประเมินที่ (a, b) · พจน์อันดับสองคือเมทริกซ์เฮสเซียน ใช้จำแนกจุดวิกฤตในค่าสุดขีดหลายตัวแปร

## ต่อไป: เมื่อมีจุดเอกฐานอยู่ตรงกลาง

อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ไม่ได้รอบจุดที่ฟังก์ชันระเบิด เช่น $\tfrac{1}{z}$ หรือ $e^{1/z}$ รอบ 0 ทางแก้คือยอมให้มีกำลังลบ ได้อนุกรมโลรองต์ ซึ่งเป็นเครื่องมือของเรซิดิว การแปลงลาปลาซผกผัน และการแปลง Z · ดูการใช้อนุกรมเทย์เลอร์ในงานจริงที่ อนุกรมในงานวิศวกรรม · บทความ อนุกรมเทย์เลอร์คืออะไร

## คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมเทย์เลอร์กับอนุกรมแมคลอรินต่างกันอย่างไร?
อนุกรมเทย์เลอร์ของ f รอบจุด a คือ $\sum \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ ส่วนอนุกรมแมคลอรินคือกรณีพิเศษที่ a = 0 คือ $\sum \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ เช่น $e^x = 1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \cdots$ เป็นอนุกรมแมคลอริน

อนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำมีอะไรบ้าง?
$e^x = \sum\tfrac{x^n}{n!}$, $\sin x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $\cos x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ (ทั้งสามลู่เข้าทุก x), $\tfrac{1}{1-x} = \sum x^n$, $\ln(1+x) = \sum\tfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$, $\arctan x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ และ $(1+x)^\alpha = \sum\binom{\alpha}{n}x^n$ (สี่ตัวหลังมีรัศมี 1)

จะรู้ได้อย่างไรว่าประมาณด้วยพหุนามเทย์เลอร์แล้วคลาดเท่าไร?
ใช้เศษเหลือลากรองจ์ $|R_n(x)| \le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ โดย M คือค่ามากสุดของ $|f^{(n+1)}|$ ระหว่าง a กับ x หรือถ้าอนุกรมเป็นอนุกรมสลับ ความคลาดไม่เกินพจน์แรกที่ตัดทิ้ง เช่น $\sin 0.2 \approx 0.2 - 0.008/6$ คลาดไม่เกิน $0.2^5/120 \approx 2.7\times10^{-6}$

ใช้อนุกรมเทย์เลอร์หาลิมิตอย่างไร?
แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรมแล้วตัดพจน์ต้น ๆ ที่หักล้างกัน เช่น $\lim_{x\to0}\dfrac{x - \sin x}{x^3}$: ตัวเศษ $= x - (x - \tfrac{x^3}{6} + \cdots) = \tfrac{x^3}{6} - \cdots$ ลิมิตจึงเป็น $\tfrac16$ เร็วกว่าใช้โลปิตาลสามครั้ง

ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ มีอนุกรมเทย์เลอร์เท่ากับตัวเองเสมอไหม?
ไม่เสมอ ตัวอย่างคลาสสิก $f(x) = e^{-1/x^2}$ (f(0) = 0) มีอนุพันธ์ทุกอันดับที่ 0 เป็นศูนย์ อนุกรมเทย์เลอร์จึงเป็น 0 แต่ f ไม่เป็นศูนย์เมื่อ x ≠ 0 ฟังก์ชันที่อนุกรมเทย์เลอร์ลู่เข้าสู่ตัวเองเรียกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic) ฟังก์ชันพื้นฐานเกือบทั้งหมดเป็นแบบนี้

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**อนุกรมเทย์เลอร์กับอนุกรมแมคลอรินต่างกันอย่างไร?**
อนุกรมเทย์เลอร์ของ f รอบจุด a คือ $\sum \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ ส่วนอนุกรมแมคลอรินคือกรณีพิเศษที่ a = 0 คือ $\sum \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ เช่น $e^x = 1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \cdots$ เป็นอนุกรมแมคลอริน

**อนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำมีอะไรบ้าง?**
$e^x = \sum\tfrac{x^n}{n!}$, $\sin x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $\cos x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ (ทั้งสามลู่เข้าทุก x), $\tfrac{1}{1-x} = \sum x^n$, $\ln(1+x) = \sum\tfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$, $\arctan x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ และ $(1+x)^\alpha = \sum\binom{\alpha}{n}x^n$ (สี่ตัวหลังมีรัศมี 1)

**จะรู้ได้อย่างไรว่าประมาณด้วยพหุนามเทย์เลอร์แล้วคลาดเท่าไร?**
ใช้เศษเหลือลากรองจ์ $|R_n(x)| \le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ โดย M คือค่ามากสุดของ $|f^{(n+1)}|$ ระหว่าง a กับ x หรือถ้าอนุกรมเป็นอนุกรมสลับ ความคลาดไม่เกินพจน์แรกที่ตัดทิ้ง เช่น $\sin 0.2 \approx 0.2 - 0.008/6$ คลาดไม่เกิน $0.2^5/120 \approx 2.7\times10^{-6}$

**ใช้อนุกรมเทย์เลอร์หาลิมิตอย่างไร?**
แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรมแล้วตัดพจน์ต้น ๆ ที่หักล้างกัน เช่น $\lim_{x\to0}\dfrac{x - \sin x}{x^3}$: ตัวเศษ $= x - (x - \tfrac{x^3}{6} + \cdots) = \tfrac{x^3}{6} - \cdots$ ลิมิตจึงเป็น $\tfrac16$ เร็วกว่าใช้โลปิตาลสามครั้ง

**ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ มีอนุกรมเทย์เลอร์เท่ากับตัวเองเสมอไหม?**
ไม่เสมอ ตัวอย่างคลาสสิก $f(x) = e^{-1/x^2}$ (f(0) = 0) มีอนุพันธ์ทุกอันดับที่ 0 เป็นศูนย์ อนุกรมเทย์เลอร์จึงเป็น 0 แต่ f ไม่เป็นศูนย์เมื่อ x ≠ 0 ฟังก์ชันที่อนุกรมเทย์เลอร์ลู่เข้าสู่ตัวเองเรียกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic) ฟังก์ชันพื้นฐานเกือบทั้งหมดเป็นแบบนี้

---

# สัญญาณเบื้องต้น: เห็นหน้าตาสัญญาณ แปลงเวลา และดำเนินการระหว่างสัญญาณ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/signals/
Updated: 2026-10-12
Summary: แล็บโต้ตอบพื้นฐานวิชาสัญญาณและระบบ พิมพ์สมการสัญญาณเองได้ ทั้งสัญญาณเวลาต่อเนื่อง x(t) และไม่ต่อเนื่อง x[n] ดูอนุพันธ์ อินทิกรัล ส่วนคู่คี่ พลังงาน สเปกตรัม การเลื่อน สเกล กลับเวลา และคอนโวลูชันแบบกลับและเลื่อน

// ทฤษฎีประกอบแล็บ

## พื้นฐานของสัญญาณ

สรุปใน 30 วินาที

- สัญญาณคือฟังก์ชันของเวลา: $x(t)$ เวลาต่อเนื่อง หรือ $x[n]$ ไม่ต่อเนื่องทางเวลา

- สัญญาณพื้นฐานผูกกันด้วยแคลคูลัส: $\delta \xrightarrow{\int} u \xrightarrow{\int} r$

- $y(t) = x(a(t - t_0))$: จุด τ เดิมไปอยู่ที่ $t = t_0 + \tau/a$

- คอนโวลูชัน = กลับ เลื่อน คูณ แล้วหาพื้นที่ ใช้หาเอาต์พุตของระบบ

## สัญญาณคืออะไร

สัญญาณคือปริมาณที่เปลี่ยนไปตามเวลาและเก็บข้อมูลบางอย่างไว้ เช่น แรงดันไฟบ้าน กระแสมอเตอร์ หรือค่าจากเซนเซอร์ เราเขียนเป็นฟังก์ชันของเวลาได้สองแบบ

| ชนิด | สัญลักษณ์ | นิยามอยู่ที่ | ตัวอย่าง |

| เวลาต่อเนื่อง | $x(t)$ | ทุกค่าจริง t | แรงดันบนสายไฟ |

| ไม่ต่อเนื่องทางเวลา | $x[n]$ | เฉพาะจำนวนเต็ม n | ค่าที่ไมโครคอนโทรลเลอร์อ่านได้ทุก $T_s$ |

สัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลามักได้จากการสุ่ม $x[n] = x(nT_s)$ เปิด "จุดสุ่ม x(nTs)" ในแล็บแล้วลองปรับ $T_s$ ดู และระวังคำว่า "ต่อเนื่อง" สองความหมาย สัญญาณเวลาต่อเนื่องอาจ ไม่ต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์ ได้ เช่น $u(t)$ กระโดดที่ $t = 0$ แล็บแสดงจุดกระโดดด้วยจุดทึบและจุดโปร่ง

## สัญญาณพื้นฐาน

| ชื่อ | นิยาม | พิมพ์ในแล็บ |

| ขั้นบันได | $u(t) = 1$ เมื่อ $t \ge 0$, 0 เมื่อ $t < 0$ | u(t) |

| แรมป์ | $r(t) = t\,u(t)$ | r(t) |

| อิมพัลส์ | $\delta(t) = 0$ เมื่อ $t \ne 0$ และ $\int\delta(t)\,dt = 1$ | delta(t) |

| พัลส์สี่เหลี่ยม | $\operatorname{rect}(t) = 1$ เมื่อ $|t| < \tfrac12$ | rect(t) |

| เอกซ์โพเนนเชียล | $e^{-at}u(t)$ | exp(-a*t)*u(t) |

| ไซน์ | $A\cos(2\pi f t + \phi)$ | A*cos(2*pi*f*t + phi) |

สามตัวแรกผูกกันด้วยแคลคูลัส

$$r(t) = \int_{-\infty}^{t} u(\tau)\,d\tau \qquad u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau)\,d\tau \qquad \delta(t) = \frac{du}{dt}$$

ในแล็บ เลือก $u(t)$ แล้วดูกราฟอนุพันธ์ (ได้อิมพัลส์) และกราฟอินทิกรัลสะสม (ได้แรมป์) สมบัติสำคัญของอิมพัลส์คือการกรอง (sifting): $\int x(t)\,\delta(t - t_0)\,dt = x(t_0)$

## การแปลงตัวแปรเวลา

เขียนทุกการแปลงให้อยู่ในรูปเดียว

$$y(t) = A\,x\big(a(t - t_0)\big) + C \qquad\text{จุด } \tau \text{ ของ } x \text{ ไปอยู่ที่ } t = t_0 + \frac{\tau}{a}$$

- $t_0 > 0$ เลื่อนไปทางขวา (ล่าช้า) · $t_0 < 0$ เลื่อนไปทางซ้าย

- $|a| > 1$ บีบเข้า · $|a| < 1$ ยืดออก · $a < 0$ กลับเวลา

ตัวอย่างที่ 1 · จุดที่มักพลาด

### สัญญาณ $x(2t - 4)$ เลื่อนไปกี่หน่วยเมื่อเทียบกับ $x(t)$

ดูวิธีทำ

$$x(2t - 4) = x\big(2(t - 2)\big) \quad\Rightarrow\quad a = 2,\ t_0 = 2$$

บีบเข้า 2 เท่า แล้วเลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย ไม่ใช่ 4 จุด τ = 0 ของสัญญาณเดิมไปอยู่ที่ t = 2 และจุด τ = 1 ไปอยู่ที่ t = 2.5 ลองตั้ง a = 2, t₀ = 2 ในโหมด "แปลงทางเวลา" แล้วดูลูกศร

## สัญญาณคู่และสัญญาณคี่

$$x_e(t) = \tfrac12\big[x(t) + x(-t)\big] \qquad x_o(t) = \tfrac12\big[x(t) - x(-t)\big] \qquad x(t) = x_e(t) + x_o(t)$$

สัญญาณคู่สมมาตรรอบแกนตั้ง เช่น $\cos t$ สัญญาณคี่สมมาตรรอบจุดกำเนิด เช่น $\sin t$ ทุกสัญญาณแยกเป็นผลรวมของสองส่วนนี้ได้เสมอ แล็บแสดงทั้งสองส่วนและสัดส่วนพลังงาน

## พลังงานและกำลังของสัญญาณ

$$E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\,dt \qquad P = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2\,dt$$

- สัญญาณพลังงาน: E จำกัด (P = 0) เช่น $e^{-t}u(t)$ มี $E = \int_0^\infty e^{-2t}\,dt = \tfrac12$

- สัญญาณกำลัง: E ไม่จำกัดแต่ P จำกัด เช่น $A\cos\omega t$ มี $P = A^2/2$

ลองเลือก exp(-t)*u(t) ในแล็บ ค่า E จะออกมาใกล้ 0.5 และเส้นพลังงานสะสมจะนิ่ง ส่วนโคไซน์เส้นจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ

## สัญญาณคาบ

สัญญาณคาบทุกตัวเขียนเป็นผลรวมของไซน์ที่ความถี่เป็นจำนวนเต็มเท่าของ $1/T$ ได้ เรียนวิธีหาและใช้งานในวงจรไฟฟ้าทีละขั้นที่ อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก และลองใน แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก

สัญญาณเป็นคาบเมื่อ $x(t + T) = x(t)$ ทุก t ผลรวมไซน์หลายตัวเป็นคาบเมื่ออัตราส่วนความถี่เป็นจำนวนตรรกยะ สำหรับเวลาไม่ต่อเนื่องมีข้อควรระวัง $\cos(\omega_0 n)$ เป็นคาบก็ต่อเมื่อ $\omega_0/2\pi$ เป็นจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 2

### $\cos(\pi n/4)$ และ $\cos(n)$ เป็นคาบหรือไม่

ดูวิธีทำ

$\cos(\pi n/4)$: $\omega_0/2\pi = 1/8$ เป็นตรรกยะ คาบพื้นฐาน $N_0 = 8$

$\cos(n)$: $\omega_0/2\pi = 1/(2\pi)$ เป็นอตรรกยะ จึง ไม่เป็นคาบ แม้ $\cos t$ จะเป็นคาบก็ตาม

ในแล็บโหมด x[n] ลองพิมพ์ cos(pi*n/4) จะพบ N₀ = 8 ส่วน cos(n) จะไม่พบคาบ

## การดำเนินการระหว่างสัญญาณ

การบวกและคูณทำทีละเวลา การคูณสัญญาณช้ากับสัญญาณเร็วคือการมอดูเลต ผลลัพธ์ถูกจำกัดอยู่ในเปลือกของตัวคูณ ส่วนคอนโวลูชันคือหัวใจของวิชาสัญญาณและระบบ

$$y(t) = (x_1 * x_2)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau)\,x_2(t - \tau)\,d\tau \qquad y[n] = \sum_{k} x_1[k]\,x_2[n-k]$$

อ่านเป็นขั้นตอน: กลับ $x_2$ → เลื่อนไปที่ t → คูณกับ $x_1$ → หาพื้นที่

- พื้นที่ใต้ y เท่ากับพื้นที่ใต้ $x_1$ คูณพื้นที่ใต้ $x_2$

- ความยาวของ y เท่ากับความยาวของ $x_1$ บวกความยาวของ $x_2$

- คอนโวลูชันกับ $\delta(t - t_0)$ คือการเลื่อนสัญญาณไป $t_0$

ตัวอย่างที่ 3

### หา $\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ และ $u[n] * u[n]$

ดูวิธีทำ

พัลส์กว้าง 1 สองตัวซ้อนกันมากที่สุดที่ t = 0 และเหลื่อมกันเป็นเส้นตรงเมื่อเลื่อนออก จึงได้สามเหลี่ยมฐานกว้าง 2 พื้นที่ 1 × 1 = 1

$$\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) = \operatorname{tri}(t) \qquad u[n] * u[n] = \sum_{k=0}^{n} 1 = (n+1)\,u[n]$$

ลองในโหมด "ดำเนินการระหว่างสัญญาณ" ตั้ง x₁ = x₂ = rect(t) แล้วกด "เลื่อน t" จะเห็นพื้นที่แรเงาโตขึ้นแล้วเล็กลงเป็นรูปสามเหลี่ยม

คอนโวลูชันเชื่อมกับบทก่อนหน้าโดยตรง เอาต์พุตของระบบคือคอนโวลูชันระหว่างอินพุตกับผลตอบสนองอิมพัลส์ $h(t)$ ลองตั้ง x₁ = u(t) และ x₂ = exp(-t)*u(t) จะได้ $1 - e^{-t}$ ซึ่งคือผลตอบสนองขั้นบันไดใน แล็บระบบอันดับหนึ่ง ที่ τ = 1

## ต่อยอด: สัญญาณในระบบควบคุม

สัญญาณขั้นบันได อิมพัลส์ และไซน์ คืออินพุตทดสอบมาตรฐานของระบบควบคุม ไซน์นำไปสู่ผลตอบสนองความถี่และโบด ส่วนสัญญาณไม่ต่อเนื่อง x[n] นำไปสู่ระบบควบคุมดิจิทัลและการแปลง z

## คำถามที่พบบ่อย

สัญญาณเวลาต่อเนื่องกับสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลาต่างกันอย่างไร?
สัญญาณเวลาต่อเนื่อง $x(t)$ มีค่าทุกขณะเวลา ส่วนสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา $x[n]$ มีค่าเฉพาะที่จำนวนเต็ม n มักได้จากการสุ่ม $x[n] = x(nT_s)$ สัญญาณเวลาต่อเนื่องอาจมีจุดกระโดดได้ เช่น $u(t)$ จึงต้องแยกคำว่าเวลาต่อเนื่องออกจากคำว่าต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์

ทำไมอิมพัลส์ δ(t) จึงวาดเป็นลูกศร?
เพราะ $\delta(t)$ ไม่ใช่ฟังก์ชันธรรมดา มีความกว้างเป็นศูนย์แต่มีพื้นที่เท่ากับ 1 ความสูงจึงวาดตามจริงไม่ได้ ลูกศรแทนตำแหน่ง และตัวเลขในวงเล็บบอกพื้นที่หรือน้ำหนักของอิมพัลส์

x(2t − 4) เลื่อนไปกี่หน่วย?
เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย ไม่ใช่ 4 เพราะ $x(2t-4) = x(2(t-2))$ ให้จัดรูปเป็น $x(a(t-t_0))$ ก่อนเสมอ จุดที่ $\tau$ ของสัญญาณเดิมจะไปอยู่ที่ $t = t_0 + \tau/a$

คอนโวลูชันใช้ทำอะไร?
ใช้หาผลตอบสนองของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา ถ้ารู้ผลตอบสนองอิมพัลส์ $h(t)$ ของระบบ เอาต์พุตสำหรับอินพุตใด ๆ คือ $y = x * h$ เช่น ระบบอันดับหนึ่งมี $h(t) = \tfrac{1}{\tau}e^{-t/\tau}u(t)$

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**สัญญาณเวลาต่อเนื่องกับสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลาต่างกันอย่างไร?**
สัญญาณเวลาต่อเนื่อง $x(t)$ มีค่าทุกขณะเวลา ส่วนสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา $x[n]$ มีค่าเฉพาะที่จำนวนเต็ม n มักได้จากการสุ่ม $x[n] = x(nT_s)$ สัญญาณเวลาต่อเนื่องอาจมีจุดกระโดดได้ เช่น $u(t)$ จึงต้องแยกคำว่าเวลาต่อเนื่องออกจากคำว่าต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์

**ทำไมอิมพัลส์ δ(t) จึงวาดเป็นลูกศร?**
เพราะ $\delta(t)$ ไม่ใช่ฟังก์ชันธรรมดา มีความกว้างเป็นศูนย์แต่มีพื้นที่เท่ากับ 1 ความสูงจึงวาดตามจริงไม่ได้ ลูกศรแทนตำแหน่ง และตัวเลขในวงเล็บบอกพื้นที่หรือน้ำหนักของอิมพัลส์

**x(2t − 4) เลื่อนไปกี่หน่วย?**
เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย ไม่ใช่ 4 เพราะ $x(2t-4) = x(2(t-2))$ ให้จัดรูปเป็น $x(a(t-t_0))$ ก่อนเสมอ จุดที่ $\tau$ ของสัญญาณเดิมจะไปอยู่ที่ $t = t_0 + \tau/a$

**คอนโวลูชันใช้ทำอะไร?**
ใช้หาผลตอบสนองของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา ถ้ารู้ผลตอบสนองอิมพัลส์ $h(t)$ ของระบบ เอาต์พุตสำหรับอินพุตใด ๆ คือ $y = x * h$ เช่น ระบบอันดับหนึ่งมี $h(t) = \tfrac{1}{\tau}e^{-t/\tau}u(t)$

---

# ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ (Solar PV System Design)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/
Updated: 2026-10-13
Summary: คู่มือออกแบบและใช้งานโซลาร์เซลล์ภาษาไทยฉบับละเอียด 19 หน้า: เส้นโค้ง I-V เลือกแผง TOPCon HJT แสงอาทิตย์ในไทย on-grid off-grid hybrid ขนานไฟ กฟภ. กฟน. ออกแบบสตริง สายไฟ SPD กราวด์ แบตเตอรี่ LiFePO4 คาดการณ์พลังงาน PR ระยะคืนทุน พยากรณ์ล่วงหน้า MPPT อินเวอร์เตอร์ เลือกตัวควบคุม โซลาร์จ่ายแอร์ โซลาร์ฟาร์ม ปั๊มน้ำเกษตร ติดตั้งบำรุงรักษา พร้อมเครื่องคำนวณฟรี

// บทที่ 16 · Solar PV System Design · ช่าง → ป.ตรี → ป.โท

# ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ (Solar PV System Design)

โซลาร์เซลล์ไม่ใช่แค่ “ซื้อแผงมาวางบนหลังคา” ระบบที่ดีเริ่มจากการเข้าใจเส้นโค้ง I-V ของแผง รู้ว่าแสงอาทิตย์ของพื้นที่ให้พลังงานเท่าไร ออกแบบสตริงให้เข้ากับอินเวอร์เตอร์ทั้งตอนหนาวและตอนร้อน ป้องกันฝั่ง DC ที่ดับอาร์กยาก คาดการณ์พลังงานและความคุ้มค่าก่อนลงทุน และเข้าใจอิเล็กทรอนิกส์กำลังที่อยู่ข้างใน ชุดนี้มี 19 หน้า 105 สูตรที่มีรหัสอ้างอิงถาวร 46 ตัวอย่างวิธีทำด้วยตัวเลขจริง และเครื่องคำนวณที่ใช้ได้ทันที

สรุปใน 30 วินาที

- พลังงานต่อปี $E \approx P_{STC}\times H_{POA}\times 365\times PR$ — ในไทย 1 kWp ≈ 1,300–1,450 kWh/ปี

- สตริง: $N_s V_{oc}(T_{min}) \le V_{dc,max}$ และ $N_s V_{mp}(T_{cell,max}) \ge V_{MPPT,min}$

- On-grid คุ้มที่สุดเมื่อขนาดพอดีโหลดกลางวัน แบตเตอรี่คุ้มเมื่อมีโหลดกลางคืนหรือไฟดับบ่อย

- ฝั่ง DC อันตรายกว่าที่คิด: ใช้สาย ขั้วต่อ ฟิวส์ และสวิตช์ที่พิกัด DC เท่านั้น

- เลือกอุปกรณ์จากมาตรฐานและการรองรับระยะยาว ไม่ใช่จากราคาต่อวัตต์อย่างเดียว

ระดับพื้นฐาน เจ้าของบ้าน · ช่าง · ปวช./ปวส.กลาง ป.ตรี · ผู้ออกแบบติดตั้งขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย · โรงไฟฟ้า

## ขั้นตอนออกแบบระบบโซลาร์ 10 ขั้น พื้นฐาน

ทุกระบบตั้งแต่หลังคาบ้าน 3 kW จนถึงโซลาร์ฟาร์ม 50 MW ใช้ลำดับความคิดเดียวกัน ต่างกันแค่ความละเอียดของข้อมูลและเครื่องมือ แต่ละขั้นลิงก์ไปยังหน้าที่อธิบายละเอียด อ่านตามลำดับหรือข้ามไปขั้นที่ต้องการก็ได้

| ขั้น | ทำอะไร | ผลลัพธ์ | อ่านต่อ |

| 1 | เก็บข้อมูลการใช้ไฟ บิล 12 เดือน โหลดกลางวัน/กลางคืน ไฟดับบ่อยไหม | kWh/เดือน โปรไฟล์โหลด | ขนาดจากบิล |

| 2 | เลือกชนิดระบบ on-grid / hybrid / off-grid / DC ตรง | สถาปัตยกรรมระบบ | ชนิดระบบ |

| 3 | สำรวจพื้นที่ ทิศ มุมเอียง เงาบัง ความแข็งแรงหลังคา | พื้นที่ใช้ได้ ค่า POA | แสงอาทิตย์ · เงา |

| 4 | เลือกแผงตามพื้นที่ งบ และสภาพอากาศ | รุ่นแผงและดาต้าชีต | เลือกแผง |

| 5 | เลือกอินเวอร์เตอร์และออกแบบสตริง | $N_s \times N_p$ DC/AC ratio | ออกแบบสตริง |

| 6 | เลือกแบตเตอรี่ (ถ้ามี) | kWh, V, BMS | แบตเตอรี่ |

| 7 | สายไฟ อุปกรณ์ป้องกัน กราวด์ จุดต่อเข้าตู้ไฟ | Single-line diagram | สายไฟ · ป้องกัน |

| 8 | คาดการณ์พลังงานและการสูญเสีย | kWh/ปี PR รายเดือน | คาดการณ์พลังงาน |

| 9 | วิเคราะห์ความคุ้มค่าและความเสี่ยง | คืนทุน NPV IRR LCOE | ความคุ้มค่า |

| 10 | ขออนุญาต ติดตั้ง ทดสอบ ส่งมอบ เฝ้าติดตาม บำรุงรักษา | รายงานทดสอบ ระบบ monitoring | ติดตั้ง · O&M · เฝ้าติดตาม |

☀ แสงอาทิตย์→แผง (DC)→MPPT · DC-DC→DC-link / แบตเตอรี่→อินเวอร์เตอร์ (AC)→ตู้ไฟ · โหลด · กริด

## สมการหลักที่ใช้ทั้งชุด พื้นฐาน

| เรื่อง | สมการ | ความหมาย | รหัส |

| กำลังของแผง | $P = V I,\ \ FF = \dfrac{V_{mp}I_{mp}}{V_{oc}I_{sc}}$ | จุดทำงานบนเส้นโค้ง I-V | P3 |

| ผลของอุณหภูมิ | $P = P_{STC}\left[1+\gamma (T_c-25)\right]$ | ร้อนขึ้น 10 °C กำลังลด ≈ 3 % | P6 |

| พลังงานต่อปี | $E = P_{STC}\,H_{POA}\,365\,PR$ | ใช้กับทุกขนาดระบบ | E1 |

| แผงต่อสตริงสูงสุด | $N_{s,max} = \left\lfloor V_{dc,max}/V_{oc}(T_{min})\right\rfloor$ | ห้ามเกินแม้ตอนเช้าหนาว | D2 |

| ความจุแบตเตอรี่ | $C = \dfrac{E_{day}\,N_{auto}}{DoD\,\eta}$ | kWh พิกัดที่ต้องซื้อ | B1 |

| ความคุ้มค่า | $LCOE = \dfrac{\sum (C_t)/(1+r)^t}{\sum E_t/(1+r)^t}$ | ต้นทุนต่อหน่วยตลอดอายุ | F5 |

## เลือกเส้นทางตามเป้าหมายของคุณ

| เป้าหมาย | ระบบที่เหมาะ | อ่านตามลำดับ |

| บ้านพักอาศัย ลดค่าไฟกลางวัน | On-grid 3–10 kW | ขนาดจากบิล → เลือกแผง → สตริง → ขนานไฟ → คุ้มไหม |

| บ้านที่ไฟดับบ่อย หรือใช้ไฟกลางคืนมาก | Hybrid + LiFePO4 | ชนิดระบบ → แบตเตอรี่ → เลือกอินเวอร์เตอร์ |

| ลดค่าไฟแอร์ ร้านค้า สำนักงาน | On-grid / Hybrid | โซลาร์จ่ายแอร์ → โปรไฟล์โหลด |

| สวน ไร่ นา บ่อปลา ไม่มีไฟฟ้า | ปั๊มน้ำ DC / VFD โซลาร์ | ปั๊มน้ำและเกษตร → สายไฟ |

| โรงงาน อาคารใหญ่ 100 kW–1 MW | On-grid หลายอินเวอร์เตอร์ / zero export | โปรไฟล์ TOU → คาดการณ์ → monitoring |

| โรงไฟฟ้า โซลาร์ฟาร์ม | Utility-scale MW | โซลาร์ฟาร์ม → grid code → พยากรณ์ |

| นักศึกษา วิศวกรออกแบบวงจร | อิเล็กทรอนิกส์กำลัง | I-V → MPPT → อินเวอร์เตอร์ → ชิปและ MCU |

## เริ่มตามระดับของคุณ

พื้นฐาน

เจ้าของบ้าน ช่างไฟฟ้า ปวช./ปวส. ที่อยากเข้าใจก่อนซื้อหรือก่อนติดตั้ง

ชนิดระบบ → ขนาดจากบิล → เลือกแผง → ความปลอดภัย → เครื่องมือ

กลาง

นักศึกษาวิศวกรรม ผู้ออกแบบและผู้รับเหมาติดตั้ง

I-V → สตริง → คาดการณ์ → แบตเตอรี่ → ความคุ้มค่า → ทดสอบ

ขั้นสูง

ป.โท งานวิจัย วิศวกรโรงไฟฟ้าและผู้พัฒนาอินเวอร์เตอร์

MPPT → ควบคุมอินเวอร์เตอร์ → พยากรณ์ ML → โซลาร์ฟาร์ม

## ทุกบทในชุดนี้

ส่วนที่ 1

### พื้นฐานและการเลือกแผง Fundamentals & Modules
เซลล์แสงอาทิตย์ทำงานอย่างไร เส้นโค้ง I-V ผลของแสงและอุณหภูมิ แสงอาทิตย์ในไทย มุมเอียง เงาบัง และการเลือกแผงจากดาต้าชีต

I-V16.1
เซลล์แสงอาทิตย์ทำงานอย่างไร: เส้นโค้ง I-V แบบจำลองไดโอด STC NOCT และผลของอุณหภูมิ
How a Solar Cell Works: I-V Curve
รอยต่อ p-n กับแสง แบบจำลองไดโอดเดี่ยว Isc Voc MPP fill factor ประสิทธิภาพ STC กับ NOCT สัมประสิทธิ์อุณหภูมิ บายพาสไดโอด พร้อมแล็บเส้นโค้ง I-V และเงาบัง
เปิดหน้า →สูตร P1, P2, …

PSH16.2
แสงอาทิตย์ในประเทศไทย: ความเข้มแสง ชั่วโมงแดดสูงสุด มุมเอียง ทิศ และเงาบัง
Solar Resource, Orientation & Shading
GHI DNI DHI POA ชั่วโมงแดดสูงสุด (PSH) ข้อมูลแสงของไทย ตำแหน่งดวงอาทิตย์ มุมเอียงและทิศที่เหมาะ ระยะห่างแถวกันเงา และวิธีประเมินเงาบังหน้างาน
เปิดหน้า →สูตร R1, R2, …

Wp16.3
เลือกแผงโซลาร์เซลล์: PERC TOPCon HJT Back-contact Bifacial อ่านดาต้าชีต และมาตรฐาน
Choosing Solar Panels
เทคโนโลยีเซลล์ปัจจุบัน half-cut multi-busbar bifacial อ่านดาต้าชีตทุกบรรทัด tolerance การเสื่อม ประกัน มาตรฐาน IEC 61215 61730 มอก. และเช็กลิสต์เลือกซื้อ
เปิดหน้า →สูตร M1, M2, …

ส่วนที่ 2

### ออกแบบระบบและการจ่ายไฟ System Design & Grid Connection
เลือกชนิดระบบ ขนานไฟกับ กฟภ./กฟน. ออกแบบสตริงให้เข้ากับอินเวอร์เตอร์ สายไฟ อุปกรณ์ป้องกัน กราวด์ และแบตเตอรี่

⇄16.4
ระบบโซลาร์ On-grid Off-grid Hybrid และการขนานไฟกับ กฟภ. กฟน.
System Types & Grid Connection
เปรียบเทียบ on-grid off-grid hybrid และระบบ DC ตรง zero export net billing ขั้นตอนขออนุญาต กฟภ. กฟน. กกพ. ท้องถิ่น และการเลือกระบบตามรูปแบบการใช้ไฟ
เปิดหน้า →สูตร S1, S2, …

Ns16.5
ออกแบบสตริงและจับคู่อินเวอร์เตอร์: Voc ตอนหนาว ช่วง MPPT กระแส และ DC/AC ratio
String Sizing & Inverter Matching
คำนวณจำนวนแผงต่ออนุกรมสูงสุดต่ำสุด สตริงขนานต่อ MPPT ตรวจกระแส Isc DC/AC ratio และ clipping พร้อมเครื่องคำนวณและตัวอย่างระบบ 5 kW 10 kW และ 100 kW
เปิดหน้า →สูตร D1, D2, …

⏚16.6
สายไฟ ฟิวส์ เบรกเกอร์ SPD กราวด์ และการต่อเข้าตู้ไฟ สำหรับระบบโซลาร์
Wiring, Protection & Earthing
สาย PV1-F ขั้วต่อ MC4 แรงดันตก ฟิวส์สตริง DC isolator SPD Type 1/2 RCD Type A/B กราวด์และ equipotential bonding การต่อเข้าตู้ไฟบ้าน ไฟไหม้ DC และ rapid shutdown
เปิดหน้า →สูตร W1, W2, …

kWh16.7
แบตเตอรี่สำหรับโซลาร์: LiFePO4 ขนาด kWh DoD C-rate BMS และระบบสำรองไฟ
Battery Storage for PV
เคมีแบตเตอรี่ LFP NMC ตะกั่วกรด โซเดียมไอออน ขนาดตามพลังงานกลางคืนและวันสำรอง DoD C-rate อายุรอบ BMS ระบบ 48 V กับ high voltage ความปลอดภัย และความคุ้มค่า
เปิดหน้า →สูตร B1, B2, …

ส่วนที่ 3

### คาดการณ์ล่วงหน้าและความคุ้มค่า Prediction & Economics
คำนวณพลังงานที่จะผลิตได้ก่อนติดตั้ง เลือกขนาดจากบิลค่าไฟ ระยะคืนทุน NPV IRR LCOE และพยากรณ์กำลังผลิตรายชั่วโมงถึงรายวัน

PR16.8
คาดการณ์พลังงานที่ผลิตได้: Performance Ratio ห่วงโซ่การสูญเสีย และ kWh/kWp ในไทย
Energy Yield Prediction
สมการพลังงาน E = P·H·PR แยกการสูญเสียทีละขั้น อุณหภูมิ ฝุ่น สาย อินเวอร์เตอร์ clipping การเสื่อมรายปี P50 P90 รายเดือน และการใช้ PVGIS PVsyst SAM
เปิดหน้า →สูตร E1, E2, …

kWp16.9
เลือกขนาดระบบจากบิลค่าไฟและโปรไฟล์โหลด: ใช้เองกลางวัน ส่งคืนกริด และแบตเตอรี่
Sizing from Bills & Load Profile
อ่านบิลค่าไฟ แยกโหลดกลางวันกลางคืน self-consumption self-sufficiency โปรไฟล์บ้าน ร้านค้า โรงงาน TOU ความต้องการพลังไฟฟ้า และตัวอย่างเลือกขนาด 3 กรณี
เปิดหน้า →สูตร L1, L2, …

฿16.10
ความคุ้มค่าของโซลาร์เซลล์: ระยะคืนทุน NPV IRR LCOE และการวิเคราะห์ความไว
Economics: Payback, NPV, IRR, LCOE
ต้นทุนระบบ ผลประหยัดรายปี ระยะคืนทุนอย่างง่ายและคิดลด NPV IRR LCOE ค่าเสื่อม การเปลี่ยนอินเวอร์เตอร์ ภาษีและสินเชื่อ และการวิเคราะห์ความไวพร้อมเครื่องคำนวณ
เปิดหน้า →สูตร F1, F2, …

ŷ16.11
พยากรณ์กำลังผลิตโซลาร์ล่วงหน้าและการเฝ้าติดตาม: clear-sky พยากรณ์อากาศ ML และตรวจจับความผิดปกติ
PV Forecasting & Monitoring
ระยะพยากรณ์นาทีถึงวัน แบบจำลอง clear-sky persistence NWP ดาวเทียม machine learning ตัวชี้วัด MAE RMSE skill score ระบบเฝ้าติดตาม KPI และตรวจจับความผิดปกติอัตโนมัติ
เปิดหน้า →สูตร A1, A2, …

ส่วนที่ 4

### อิเล็กทรอนิกส์กำลังในระบบโซลาร์ Power Electronics for PV
MPPT อินเวอร์เตอร์เชื่อมกริด PLL การควบคุมกระแส anti-islanding และการเลือกตัวควบคุม ชิป และ MCU ที่ทันสมัยแต่ไม่ตกยุค

MPP16.12
MPPT ติดตามจุดกำลังสูงสุด: P&O Incremental Conductance เงาบังบางส่วน และ Global MPPT
Maximum Power Point Tracking
ทำไมต้องมีคอนเวอร์เตอร์ระหว่างแผงกับโหลด จุดทำงานกับความต้านทาน P&O InC ขนาดก้าว ความถี่ ประสิทธิภาพ MPPT เงาบังกับหลายยอด global scan และโค้ดตัวอย่าง พร้อมซิมูเลเตอร์
เปิดหน้า →สูตร T1, T2, …

DC→AC16.13
อินเวอร์เตอร์โซลาร์: โครงสร้าง Boost + H-bridge PLL ควบคุมกระแสกริด Anti-islanding และมาตรฐาน
PV Inverters & Grid-Tie Control
string micro optimizer central โครงสร้างสองขั้น DC-link SPWM ฟิลเตอร์ L LCL PLL ควบคุมกระแสแบบ PR และ dq anti-islanding grid code ride-through Volt-VAR และฮาร์มอนิก
เปิดหน้า →สูตร V1, V2, …

IC16.14
เลือกตัวควบคุมโซลาร์: ชาร์จคอนโทรลเลอร์ อินเวอร์เตอร์ ชิป และ MCU รุ่นปัจจุบันกับรุ่นที่แข็งแกร่งไม่ตกยุค
Choosing Solar Controllers, Chips & MCUs
PWM กับ MPPT ชาร์จคอนโทรลเลอร์ เกณฑ์เลือกอินเวอร์เตอร์ on-grid hybrid ชิป MPPT ชาร์จเจอร์ gate driver MCU C2000 STM32G4 dsPIC33 ESP32 การสื่อสาร Modbus CAN และการวางแผนไม่ให้ตกยุค
เปิดหน้า →สูตร C1, C2, …

ส่วนที่ 5

### งานประยุกต์และภาคปฏิบัติ Applications & Practice
โซลาร์จ่ายแอร์ โซลาร์ฟาร์ม ปั๊มน้ำและเกษตร งานติดตั้ง ทดสอบ บำรุงรักษา วิเคราะห์อาการเสีย และเครื่องมือออกแบบออนไลน์

❄16.15
โซลาร์เซลล์จ่ายแอร์: คำนวณ BTU เป็น kW ขนาดแผง แอร์อินเวอร์เตอร์ แอร์ DC/AC ไฮบริด และกระแสกระชาก
Solar Power for Air Conditioning
ภาระความเย็น BTU COP EER SEER แอร์เบอร์ 5 กำลังไฟจริงตลอดวัน ทำไมแอร์กับโซลาร์เข้ากันดี วิธีต่อแบบ on-grid hybrid และแอร์โซลาร์ DC การเลือกขนาดและตัวอย่าง
เปิดหน้า →สูตร H1, H2, …

MW16.16
ออกแบบโซลาร์ฟาร์ม: ผังแผง ระยะห่างแถว GCR Tracker อินเวอร์เตอร์ หม้อแปลง และการเชื่อมต่อระบบ
Utility-Scale Solar Farm Design
ขั้นตอนพัฒนาโครงการ เลือกที่ดิน ผังและ GCR fixed tilt กับ single-axis tracker bifacial central กับ string inverter MV สถานีไฟฟ้า SCADA grid code โซลาร์ลอยน้ำ และพลังงานต่อไร่
เปิดหน้า →สูตร G1, G2, …

Q·H16.17
โซลาร์เพื่อการเกษตร: ปั๊มน้ำโซลาร์ คำนวณ Head และอัตราไหล Agrivoltaics และฟาร์มอัจฉริยะ
Solar Pumping & Agrivoltaics
ความต้องการน้ำของพืช กำลังปั๊ม ρgQH หัวสูบรวม ปั๊ม DC บัสเลส ปั๊ม AC ผ่าน VFD ถังเก็บน้ำแทนแบตเตอรี่ โซลาร์ร่วมกับเกษตร โรงเรือน ฟาร์มปศุสัตว์และประมง และ IoT
เปิดหน้า →สูตร K1, K2, …

✓16.18
ติดตั้ง ทดสอบ ส่งมอบ และบำรุงรักษาระบบโซลาร์: IEC 62446 I-V tracer ภาพความร้อน และวิเคราะห์อาการเสีย
Installation, Commissioning & O&M
หลังคาและโครงยึด ขั้นตอนติดตั้งปลอดภัย การทดสอบก่อนจ่ายไฟ Voc Isc ฉนวน I-V curve ภาพถ่ายความร้อน ล้างแผง ตารางบำรุงรักษา และตารางอาการเสีย 20 แบบ
เปิดหน้า →สูตร I1, I2, …

▶16.19
เครื่องมือออกแบบระบบโซลาร์ออนไลน์: สตริง พลังงาน แบตเตอรี่ แอร์ ปั๊มน้ำ สายไฟ และความคุ้มค่า
Solar PV Design Calculator
รวมเครื่องคำนวณทุกตัวในหน้าเดียว: แล็บเส้น I-V ขนาดจากบิล ออกแบบสตริง คาดการณ์พลังงาน แบตเตอรี่ แอร์ ปั๊มน้ำ แรงดันตก และความคุ้มค่า พร้อมใบงานฝึกออกแบบ
เปิดหน้า →เครื่องคำนวณ 9 ตัว

## ลองเลย: แผงเดียวกัน ต่างแสง ต่างอุณหภูมิ ต่างเงา

กดปุ่ม “ใบไม้บัง 1 ช่อง” แล้วดูว่าเส้นกำลัง P-V มีสองยอด อัลกอริทึม MPPT แบบง่ายที่เริ่มจากฝั่งแรงดันสูงจะติดอยู่ที่ยอดเล็ก ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น และแก้อย่างไร อ่านที่ เซลล์และเส้น I-V และ MPPT

คาดการณ์พลังงานของระบบ 5 kWp ในพื้นที่ของคุณ (เปลี่ยนพื้นที่ ทิศ และการสูญเสียได้):

## ค้นหาสูตรทั้งหมดในที่เดียว

ทุกสูตรมีรหัสถาวร (P เซลล์ · R แสงอาทิตย์ · M แผง · S ระบบ · D สตริง · W สายไฟ · B แบตเตอรี่ · E พลังงาน · L ขนาดจากโหลด · F ความคุ้มค่า · A พยากรณ์ · T MPPT · V อินเวอร์เตอร์ · C ตัวควบคุม · H แอร์ · G ฟาร์ม · K เกษตร · I ติดตั้ง) อ้างอิงข้ามหน้าได้

## ความรู้พื้นฐานที่เกี่ยวข้องบนเว็บนี้

| ความรู้ | ใช้ทำอะไรในวิชานี้ | บทเรียน |

| บั๊ก บูสต์ คอนเวอร์เตอร์ | MPPT ชาร์จคอนโทรลเลอร์ ขั้น DC-DC ของอินเวอร์เตอร์ | บั๊ก · บูสต์ |

| แล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์ | ทดลอง MPPT กับแผงจำลอง | พรีเซ็ต solar-mppt |

| อนุกรมฟูเรียร์ ฮาร์มอนิก | THD ของกระแสอินเวอร์เตอร์ SPWM ฟิลเตอร์ | สเปกตรัมอินเวอร์เตอร์ · THD · IEEE 519 |

| ระบบควบคุม PI และ Bode | ลูปกระแส ลูปแรงดัน DC-link PLL | PID · Bode |

| ตัวเลือกชิปควบคุม | เลือก MCU gate driver สำหรับอินเวอร์เตอร์ | เลือกชิปควบคุมและ MCU |

| แคลคูลัส | พลังงาน = อินทิกรัลกำลัง ค่าเฉลี่ย | แคลคูลัสเบื้องต้น · อินทิกรัล |

## มาตรฐานและแหล่งข้อมูลที่ใช้อ้างอิง

- แผง: IEC 61215 (คุณภาพการออกแบบ), IEC 61730 (ความปลอดภัย), IEC 61853 (สมรรถนะตามแสงและอุณหภูมิ), มอก. 61215 / มอก. 61730

- ระบบและการติดตั้ง: IEC 60364-7-712 (ระบบ PV ในอาคาร), IEC 62548 (ออกแบบ PV array), มาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้าสำหรับประเทศไทย (วสท.) และข้อกำหนดของการไฟฟ้า

- อินเวอร์เตอร์และการเชื่อมต่อ: IEC 62109 (ความปลอดภัย), IEC 62116 (anti-islanding), IEC 61727, IEEE 1547-2018, ระเบียบการเชื่อมต่อระบบโครงข่ายไฟฟ้าของ กฟภ. และ กฟน.

- สายและอุปกรณ์: EN 50618 / IEC 62930 (สาย PV), IEC 62852 (ขั้วต่อ), IEC 60269-6 (ฟิวส์ gPV), IEC 61643-31 (SPD ฝั่ง PV)

- ทดสอบและส่งมอบ: IEC 62446-1 (เอกสาร การทดสอบ การตรวจ), IEC 62446-3 (ภาพถ่ายความร้อน), IEC 61724 (การเฝ้าติดตามสมรรถนะ)

- แบตเตอรี่: IEC 62619 (ความปลอดภัยลิเทียมในอุตสาหกรรม), UL 9540 / UL 9540A (ระบบกักเก็บพลังงาน)

- ข้อมูลแสงอาทิตย์: แผนที่ศักยภาพพลังงานแสงอาทิตย์ของกรมพัฒนาพลังงานทดแทนและอนุรักษ์พลังงาน (พพ.), PVGIS (European Commission JRC), NASA POWER, NREL NSRDB

หมายเหตุ ข้อกำหนดการขนานไฟ อัตรารับซื้อไฟ และขั้นตอนขออนุญาตเปลี่ยนตามนโยบายของรัฐและการไฟฟ้า ตรวจประกาศฉบับล่าสุดของ กกพ. กฟภ. และ กฟน. ก่อนออกแบบจริงเสมอ ตัวเลขราคาในชุดนี้เป็นค่าตั้งต้นเพื่อการคำนวณ ให้แทนด้วยใบเสนอราคาจริง

## ตำราอ้างอิง

- G. M. Masters, Renewable and Efficient Electric Power Systems, 2nd ed., Wiley — พื้นฐานแสงอาทิตย์และระบบ PV ที่อ่านง่ายที่สุด

- A. Luque & S. Hegedus (eds.), Handbook of Photovoltaic Science and Engineering, 2nd ed., Wiley — อ้างอิงเชิงลึกทุกด้าน

- K. Mertens, Photovoltaics: Fundamentals, Technology and Practice, 2nd ed., Wiley — เซลล์ แผง ระบบ และการวัด

- R. Teodorescu, M. Liserre, P. Rodríguez, Grid Converters for Photovoltaic and Wind Power Systems, Wiley-IEEE — การควบคุมอินเวอร์เตอร์เชื่อมกริด

- J. A. Duffie & W. A. Beckman, Solar Engineering of Thermal Processes, Photovoltaics and Wind, 5th ed. — ตำแหน่งดวงอาทิตย์และแสงบนระนาบเอียง

- IEA PVPS Task 13 reports — ความเชื่อถือได้ การเสื่อม และความไม่แน่นอนของการคาดการณ์พลังงาน

## คำถามที่พบบ่อย

ติดโซลาร์เซลล์บ้านควรเริ่มคำนวณจากอะไร?
เริ่มจากบิลค่าไฟ 12 เดือนและดูว่าใช้ไฟช่วงกลางวันมากแค่ไหน ระบบ on-grid ที่คุ้มที่สุดคือขนาดพอดีกับโหลดกลางวัน แล้วค่อยตรวจพื้นที่หลังคา ทิศ เงาบัง และงบประมาณ ดูวิธีทำในหน้าเลือกขนาดจากบิลค่าไฟ

แผงโซลาร์ 1 kWp ในประเทศไทยผลิตไฟได้วันละกี่หน่วย?
โดยเฉลี่ยประมาณ 3.6–4.0 kWh ต่อวัน หรือ 1,300–1,450 kWh ต่อปี ขึ้นกับพื้นที่ ทิศ มุมเอียง อุณหภูมิ ฝุ่น และเงาบัง คำนวณจาก E = P × PSH × PR โดย PSH ของไทยประมาณ 4.6–5.2 ชั่วโมง และ PR ประมาณ 0.75–0.82

On-grid, Off-grid และ Hybrid ต่างกันอย่างไร?
On-grid ต่อขนานกับการไฟฟ้า ไม่มีแบตเตอรี่ ถูกที่สุดแต่ไฟดับแล้วระบบหยุดตามมาตรฐานป้องกันการจ่ายไฟย้อน Off-grid ไม่ต่อการไฟฟ้า ต้องมีแบตเตอรี่พอสำหรับกลางคืนและวันฝนตก Hybrid ต่อกริดและมีแบตเตอรี่ เก็บไฟไว้ใช้กลางคืนและสำรองเมื่อไฟดับ

โซลาร์เซลล์ใช้กับแอร์ได้ไหม?
ได้และเหมาะมาก เพราะแอร์ทำงานหนักช่วงกลางวันพร้อมกับที่แผงผลิตไฟได้มาก แอร์ 12,000 BTU แบบอินเวอร์เตอร์เบอร์ 5 ใช้ไฟเฉลี่ยประมาณ 0.4–0.6 kW ขณะทำงาน แผงประมาณ 1–1.5 kWp ช่วยจ่ายได้เกือบทั้งหมดในช่วงกลางวัน

เว็บนี้มีเครื่องคำนวณอะไรบ้าง?
มีแล็บเส้นโค้ง I-V พร้อมเงาบัง เครื่องเลือกขนาดจากบิล ออกแบบสตริง คาดการณ์พลังงานรายเดือน ขนาดแบตเตอรี่ แอร์โซลาร์ แรงดันตกในสาย และความคุ้มค่า NPV IRR LCOE ใช้ฟรีในเบราว์เซอร์ รวมอยู่ในหน้าเครื่องมือออกแบบ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ติดโซลาร์เซลล์บ้านควรเริ่มคำนวณจากอะไร?**
เริ่มจากบิลค่าไฟ 12 เดือนและดูว่าใช้ไฟช่วงกลางวันมากแค่ไหน ระบบ on-grid ที่คุ้มที่สุดคือขนาดพอดีกับโหลดกลางวัน แล้วค่อยตรวจพื้นที่หลังคา ทิศ เงาบัง และงบประมาณ ดูวิธีทำในหน้าเลือกขนาดจากบิลค่าไฟ

**แผงโซลาร์ 1 kWp ในประเทศไทยผลิตไฟได้วันละกี่หน่วย?**
โดยเฉลี่ยประมาณ 3.6–4.0 kWh ต่อวัน หรือ 1,300–1,450 kWh ต่อปี ขึ้นกับพื้นที่ ทิศ มุมเอียง อุณหภูมิ ฝุ่น และเงาบัง คำนวณจาก E = P × PSH × PR โดย PSH ของไทยประมาณ 4.6–5.2 ชั่วโมง และ PR ประมาณ 0.75–0.82

**On-grid, Off-grid และ Hybrid ต่างกันอย่างไร?**
On-grid ต่อขนานกับการไฟฟ้า ไม่มีแบตเตอรี่ ถูกที่สุดแต่ไฟดับแล้วระบบหยุดตามมาตรฐานป้องกันการจ่ายไฟย้อน Off-grid ไม่ต่อการไฟฟ้า ต้องมีแบตเตอรี่พอสำหรับกลางคืนและวันฝนตก Hybrid ต่อกริดและมีแบตเตอรี่ เก็บไฟไว้ใช้กลางคืนและสำรองเมื่อไฟดับ

**โซลาร์เซลล์ใช้กับแอร์ได้ไหม?**
ได้และเหมาะมาก เพราะแอร์ทำงานหนักช่วงกลางวันพร้อมกับที่แผงผลิตไฟได้มาก แอร์ 12,000 BTU แบบอินเวอร์เตอร์เบอร์ 5 ใช้ไฟเฉลี่ยประมาณ 0.4–0.6 kW ขณะทำงาน แผงประมาณ 1–1.5 kWp ช่วยจ่ายได้เกือบทั้งหมดในช่วงกลางวัน

**เว็บนี้มีเครื่องคำนวณอะไรบ้าง?**
มีแล็บเส้นโค้ง I-V พร้อมเงาบัง เครื่องเลือกขนาดจากบิล ออกแบบสตริง คาดการณ์พลังงานรายเดือน ขนาดแบตเตอรี่ แอร์โซลาร์ แรงดันตกในสาย และความคุ้มค่า NPV IRR LCOE ใช้ฟรีในเบราว์เซอร์ รวมอยู่ในหน้าเครื่องมือออกแบบ

---

# แบตเตอรี่สำหรับโซลาร์: LiFePO4 ขนาด kWh DoD C-rate BMS และระบบสำรองไฟ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/battery-storage/
Updated: 2026-10-13
Summary: เลือกและคำนวณแบตเตอรี่สำหรับระบบโซลาร์ hybrid และ off-grid: เคมี LiFePO4 NMC ตะกั่วกรด โซเดียมไอออน สูตรความจุจากพลังงานกลางคืนและวันสำรอง DoD ประสิทธิภาพ Ah C-rate อายุรอบและอายุปฏิทิน ต้นทุนต่อหน่วยที่ผ่านแบต (LCOS) BMS ระบบ 48 V กับ high voltage การตั้งค่าชาร์จ ความปลอดภัย IEC 62619 UL 9540A พร้อมเครื่องคำนวณและตัวอย่าง

// บทที่ 16.7 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · Battery Storage for PV

# แบตเตอรี่สำหรับโซลาร์: LiFePO4 ขนาด kWh DoD C-rate BMS และระบบสำรองไฟ

แบตเตอรี่คือส่วนที่แพงที่สุดและอันตรายที่สุดของระบบ hybrid และ off-grid ถ้าเล็กเกินไป ไฟหมดก่อนเช้า ถ้าใหญ่เกินไป ไม่เคยถูกใช้เต็มและไม่คุ้ม ถ้าเลือกเคมีหรือ BMS ผิด อายุสั้นหรือเสี่ยงไฟไหม้ หน้านี้คำนวณขนาดทั้งด้านพลังงานและกำลัง เปรียบเทียบเคมี และประเมินความคุ้มค่าแบบตรงไปตรงมา

สรุปใน 30 วินาที

- ความจุ $= \dfrac{E_{night} \times \text{วันสำรอง}}{DoD \times \eta}$ แล้วตรวจกำลัง (C-rate) และพลังงานแผงที่ใช้ชาร์จ

- งานติดตั้งอยู่กับที่ปี 2026: LiFePO4 เป็นค่าเริ่มต้น ตะกั่วกรดเหลือเฉพาะงบต่ำมาก โซเดียมไอออนเริ่มเข้าตลาด

- แบตกับอินเวอร์เตอร์ต้องคุยกันผ่าน CAN/RS485 (closed-loop) และอยู่ในรายการเข้ากันได้

- มูลค่าหลักของแบตในไทยวันนี้คือไฟสำรอง TOU และ peak shaving มากกว่าการเก็บไฟกลางวันไว้ใช้กลางคืน

## ศัพท์ที่ต้องรู้ พื้นฐาน

| คำ | ความหมาย |

| ความจุพิกัด (kWh, Ah) | พลังงานหรือประจุทั้งหมดที่เก็บได้เมื่อใหม่ ที่อัตราคายประจุมาตรฐาน · kWh = Ah × V / 1000 |

| SoC (State of Charge) | ประจุที่เหลือเป็น % ของความจุ |

| DoD (Depth of Discharge) | สัดส่วนที่ใช้ได้จริงต่อรอบ = 100 % − SoC ต่ำสุด |

| SoH (State of Health) | ความจุปัจจุบันเทียบตอนใหม่ ปกติสิ้นอายุที่ 70–80 % |

| C-rate | กระแสเทียบความจุ: 1C = กระแสที่คายหมดใน 1 ชั่วโมง |

| Round-trip efficiency | พลังงานที่ได้ออก ÷ พลังงานที่ใส่เข้า LFP 92–97 % (เฉพาะเซลล์) ตะกั่วกรด 75–85 % |

| Cycle life / calendar life | จำนวนรอบจนเหลือ 70–80 % / อายุตามเวลาแม้ไม่ใช้ (ขึ้นกับอุณหภูมิและ SoC ที่เก็บ) |

| Autonomy | จำนวนวันที่แบตจ่ายโหลดได้เองโดยไม่มีแสง (สำคัญกับ off-grid) |

## เปรียบเทียบเคมีแบตเตอรี่ พื้นฐาน

| เคมี | V ต่อเซลล์ | DoD ใช้งาน | อายุรอบ | ความปลอดภัย | เหมาะกับ |

| LiFePO4 (LFP) | 3.2 V | 90–100 % | 4,000–8,000 | ดีมาก | บ้าน อาคาร ฟาร์ม off-grid ทุกขนาด (ค่าเริ่มต้น) |

| NMC / NCA | 3.6–3.7 V | 80–90 % | 1,500–4,000 | ต้องระวัง thermal runaway | รถยนต์ไฟฟ้า แบตมือสองจาก EV (ต้องมี BMS ใหม่และการทดสอบ) |

| ตะกั่วกรด AGM / Gel | 2.0 V | 50 % | 500–1,500 | ดี แต่มีไฮโดรเจนเมื่อชาร์จเกิน | งบต่ำมาก สำรองนาน ๆ ครั้ง |

| ตะกั่วกรดน้ำ (OPzS) | 2.0 V | 50–60 % | 1,500–3,000 | ต้องระบายอากาศ เติมน้ำกลั่น | สถานีสื่อสารเดิม |

| โซเดียมไอออน | ~3.1 V | 90–100 % | 3,000–6,000 (ช่วงเริ่มตลาด) | ดี ทนเย็น ขนส่งที่ 0 V ได้ | เริ่มมีในระบบกักเก็บพลังงาน ตามดูตลาด |

ค่าเป็นช่วงทั่วไปจากดาต้าชีตผลิตภัณฑ์ ใช้ค่าของรุ่นที่จะซื้อจริงในการออกแบบ อายุรอบขึ้นกับ DoD อุณหภูมิ และ C-rate ที่ระบุในเงื่อนไขทดสอบ

## คำนวณขนาดแบตเตอรี่ พื้นฐาน

B1 Nominal battery capacity ความจุพิกัดที่ต้องการ

$$C_{nom} = \frac{E_{bat,day}\times N_{auto}}{DoD \times \eta_{bat+inv}}$$

B2 kWh to Ah แปลงพลังงานเป็นแอมป์-ชั่วโมง

$$C_{Ah} = \frac{C_{kWh}\times 1000}{V_{nom}} \qquad V_{nom} = N_{cell}\,V_{cell}\quad(\text{LFP }16\text{s} = 51.2\ \text{V})$$

B3 Battery current and C-rate กระแสแบตและ C-rate

$$I_{bat} = \frac{P_{load}}{V_{bat}\,\eta_{inv}} \qquad C\text{-rate} = \frac{I_{bat}}{C_{Ah}}$$

B4 Off-grid array size ขนาดแผงสำหรับระบบ off-grid

$$P_{PV} = \frac{E_{load,day}}{PSH_{worst}\times PR_{off}} \qquad PR_{off} \approx 0.60\text{–}0.70$$

ระบบ off-grid มี PR ต่ำกว่า on-grid เพราะพลังงานส่วนใหญ่ผ่านแบตเตอรี่ และเมื่อแบตเต็ม MPPT ต้องลดกำลังแผงทิ้ง (curtailment) ใช้ PSH ของเดือนที่แย่ที่สุด (ในไทยมักเป็นส.ค.–ก.ย. หรือช่วงหมอกควันในภาคเหนือ)

ตัวอย่าง B-1

### บ้าน hybrid: ใช้ไฟกลางคืน 6 kWh

- B1: $C_{nom} = \dfrac{6 \times 1}{0.90 \times 0.90} = 7.41$ kWh

- B2: ที่ 51.2 V → $7410/51.2 = 145$ Ah → เลือก 2 โมดูล 5.12 kWh (100 Ah) = 10.24 kWh 200 Ah เหลือเผื่อการเสื่อม 20–30 %

- B3: โหลดสูงสุด 3.5 kW → $I = 3500/(51.2 \times 0.94) = 72.7$ A → C-rate = 72.7/200 = 0.36C ✓ (LFP ทั่วไปต่อเนื่อง ≤ 0.5C)

- ชาร์จเต็มจาก DoD 90 % ด้วยกำลัง 5 kW: $t = 10.24(0.9)/(5 \times 0.95) = 1.9$ ชั่วโมง → แผงต้องมีพลังงานเหลือจากโหลดกลางวันอย่างน้อย ≈ 9.7 kWh ในวันปกติ

ตัวอย่าง B-2

### บ้านพักบนดอย off-grid ใช้ไฟ 3 kWh/วัน สำรอง 2 วัน

- LFP, DoD 80 % (เผื่ออายุ), $\eta$ = 0.85: $C_{nom} = 3(2)/(0.8 \times 0.85) = 8.8$ kWh → 2 × 5.12 kWh

- B4: PSH เดือนแย่สุด 4.2 h, $PR_{off}$ = 0.65 → $P_{PV} = 3/(4.2 \times 0.65) = 1.10$ kWp → เผื่อชาร์จคืนหลังวันฝนตก ใช้ 2 kWp (4 แผง × 580 W = 2.32 kWp)

- ถ้าเป็นตะกั่วกรด DoD 50 %: $3(2)/(0.5 \times 0.8) = 15$ kWh = 313 Ah ที่ 48 V — หนักกว่า 3–4 เท่าและอายุสั้นกว่ามาก

## BMS แรงดันระบบ และการตั้งค่าชาร์จ กลาง

### BMS (Battery Management System) ทำอะไร

- วัดแรงดันทุกเซลล์ อุณหภูมิหลายจุด และกระแส · ตัดเมื่อแรงดันเซลล์เกินหรือต่ำเกิน กระแสเกิน อุณหภูมิผิดปกติ (โดยเฉพาะห้ามชาร์จ LFP ที่ต่ำกว่า 0 °C)

- ปรับสมดุลเซลล์ (passive balancing หรือ active balancing)

- ประมาณ SoC/SoH และส่งค่าขีดจำกัดกระแสชาร์จ/คาย (CCL/DCL) และแรงดันเป้าหมายให้อินเวอร์เตอร์ผ่าน CAN หรือ RS485 — เรียกว่า closed-loop communication ทำให้อินเวอร์เตอร์ชาร์จตามที่แบตต้องการจริง

### 48 V (low voltage) กับ high voltage

| | LV 48/51.2 V | HV 150–800 V |

| กระแสที่ 5 kW | ~100 A (สายใหญ่ 35–50 mm² ฟิวส์/เบรกเกอร์ DC กระแสสูง) | ~10–25 A |

| ประสิทธิภาพ | ต่ำกว่าเล็กน้อย (ขั้น DC-DC แปลงแรงดันสูงขึ้น) | สูงกว่า |

| ความปลอดภัยต่อการสัมผัส | แรงดันต่ำ (ELV) แต่กระแสลัดวงจรสูงมาก | แรงดันอันตราย ต้องติดตั้งโดยผู้ชำนาญ |

| ขยายระบบ | ขนานโมดูลง่าย หลายยี่ห้อ | ซ้อนเป็นสแต็กของยี่ห้อเดียวกัน |

| เหมาะกับ | บ้าน 3–15 kW off-grid/hybrid ทั่วไป | บ้านใหญ่ อาคาร ระบบ 3 เฟส |

### ค่าชาร์จทั่วไปของ LFP 16 เซลล์ (51.2 V)

- Bulk/Absorption: 3.45–3.55 V/เซลล์ → 55.2–56.8 V · Float: 3.35–3.40 V/เซลล์ → 53.6–54.4 V (หรือไม่ใช้ float)

- ตัดคายประจุ: 2.9–3.0 V/เซลล์ → 46.4–48 V · ใช้ค่าที่ผู้ผลิตแบตกำหนดเสมอ และใช้ closed-loop เมื่อทำได้

- เก็บระยะยาวที่ SoC 40–60 % ในที่ร่ม อุณหภูมิสูงเร่งการเสื่อมตามเวลา (ห้องแบตควรไม่เกิน 30–35 °C)

## แบตเตอรี่คุ้มไหม กลาง

B5 Simple levelized cost of storage ต้นทุนต่อหน่วยที่ผ่านแบตเตอรี่ (อย่างง่าย)

$$LCOS \approx \frac{\text{ราคาแบต}}{C_{nom}\times DoD \times N_{cycles,eff}\times \eta} \qquad N_{cycles,eff} = \min(N_{cycle\,life},\ 365\,Y_{calendar})$$

B6 Value of shifting one kWh มูลค่าของการเก็บไฟกลางวันไว้ใช้กลางคืน

$$v_{shift} = c_{buy,night} - c_{sell,day} \qquad \text{คุ้มเมื่อ } v_{shift} > LCOS$$

ตัวอย่าง B-3

### LCOS ของ LFP 10.24 kWh

สมมติราคาแบตติดตั้ง 70,000 บาท (≈ 6,840 บาท/kWh — ใช้ราคาจริงของคุณแทน) อายุปฏิทิน 15 ปี ใช้วันละรอบ

- $N_{cycles,eff} = \min(6000,\ 365 \times 15) = 5{,}475$ รอบ

- $LCOS = \dfrac{70{,}000}{10.24 \times 0.9 \times 5475 \times 0.9} = 1.54$ บาท/kWh

- B6: ค่าไฟกลางคืน 4.2 − ราคาขายกลางวัน 2.2 = 2.0 บาท/kWh > 1.54 → คุ้มเล็กน้อย ถ้าใช้ทุกวันจนครบอายุ แต่ยังไม่รวมส่วนต่างราคาอินเวอร์เตอร์ไฮบริดและค่าเสียโอกาสของเงิน

- ข้อสรุป: ซื้อแบตเพราะต้องการไฟสำรอง ใช้กับ TOU หรือ peak shaving ของกิจการ — ถ้าเหตุผลเดียวคือย้ายไฟกลางวันไปกลางคืน ให้คำนวณด้วยตัวเลขของตัวเองก่อน

## ความปลอดภัยและการติดตั้ง พื้นฐาน

- เลือกแบตที่ผ่าน IEC 62619 (และ UL 9540A สำหรับการลามไฟระดับระบบ) มี BMS ที่ตัดได้จริง ไม่ใช่แบตประกอบเองจากเซลล์ไม่ทราบที่มา

- ติดตั้งในที่อากาศถ่ายเท ไม่โดนแดด ไม่ใช่ห้องนอนหรือทางหนีไฟ ห่างจากวัสดุติดไฟ พื้นแข็งแรงรับน้ำหนัก (แบต 5 kWh ≈ 45–55 kg)

- ฝั่ง DC ของแบตต้องมีฟิวส์หรือเบรกเกอร์ DC ใกล้ขั้วแบตที่ตัดกระแสลัดวงจรระดับหลายพันแอมป์ได้ (เช่น ฟิวส์ NH หรือ class T) สายขนาดพอและย้ำหัวด้วยเครื่องมือที่ถูกต้อง

- เมื่อขนานหลายโมดูล ใช้สายยาวเท่ากันหรือต่อแบบทแยง (diagonal) ให้กระแสแบ่งเท่ากัน และเชื่อมการสื่อสาร BMS ตามคู่มือ

- เตรียมถังดับเพลิงที่เหมาะ และแจ้งผู้อยู่อาศัยเรื่องการตัดระบบในกรณีฉุกเฉิน

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- แบบจำลองวงจรสมมูล (Thevenin 1RC/2RC) ของเซลล์ LFP และการประมาณ SoC ด้วย Extended/Unscented Kalman filter — ยากเพราะเส้น OCV-SoC ของ LFP แบนมาก

- แบบจำลองการเสื่อม แยก calendar aging (ขึ้นกับอุณหภูมิและ SoC ตาม Arrhenius) และ cycle aging (ขึ้นกับ DoD และ throughput) เพื่อหานโยบายการชาร์จที่เหมาะสม

- Energy management ด้วย model predictive control ใช้พยากรณ์แสงและโหลดล่วงหน้า (ดู พยากรณ์) เพื่อตัดสินใจชาร์จ/คายในอัตรา TOU

- Second-life EV batteries ทดสอบ SoH คัดกลุ่ม ออกแบบ BMS ใหม่ และประเด็นความปลอดภัย

- ตัวแปลง DC-DC สองทิศทาง (bidirectional buck-boost, DAB) ระหว่างแบตกับ DC-link — ต่อยอดจาก อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

## คำถามที่พบบ่อย

บ้านควรใช้แบตเตอรี่โซลาร์กี่ kWh?
เริ่มจากพลังงานที่ใช้ช่วงไม่มีแดด (ประมาณ 17:00–07:00 น.) ที่ต้องการให้แบตจ่าย หารด้วย DoD และประสิทธิภาพ เช่น ใช้กลางคืน 6 kWh DoD 90 % ประสิทธิภาพ 90 % ต้องการแบตพิกัดประมาณ 7.4 kWh ในทางปฏิบัติเลือก 10 kWh (สองโมดูล 5.12 kWh) แล้วตรวจว่าแผงมีพลังงานเหลือพอชาร์จเต็มในวันปกติ

ทำไมแบตเตอรี่โซลาร์ส่วนใหญ่เป็น LiFePO4?
LiFePO4 (LFP) ปลอดภัยกว่า NMC มาก เพราะเกิด thermal runaway ยากกว่าและไม่ปล่อยออกซิเจน อายุรอบ 4,000–8,000 รอบ ใช้ DoD ได้ 90–100 % ไม่มีโคบอลต์ ราคาลดลงต่อเนื่อง ข้อเสียคือหนักกว่าและความหนาแน่นพลังงานต่ำกว่า ซึ่งไม่สำคัญสำหรับงานติดตั้งอยู่กับที่

ติดแบตเตอรี่แล้วคุ้มไหม?
คุ้มเมื่อแต่ละหน่วยที่ย้ายจากกลางวันไปกลางคืนสร้างมูลค่ามากกว่าต้นทุนต่อหน่วยที่ผ่านแบต (LCOS) ภายใต้ net billing มูลค่าคือค่าไฟลบราคาขายไฟ ประมาณ 2 บาท/หน่วย ขณะที่ LCOS ของ LFP คุณภาพดีอยู่ราว 1.5–3 บาท/หน่วย จึงใกล้จุดคุ้มทุน มูลค่าที่ทำให้คุ้มชัดเจนมักเป็นไฟสำรองตอนไฟดับ อัตรา TOU หรือการลดความต้องการพลังไฟฟ้าสูงสุด

## FAQ

**บ้านควรใช้แบตเตอรี่โซลาร์กี่ kWh?**
เริ่มจากพลังงานที่ใช้ช่วงไม่มีแดด (ประมาณ 17:00–07:00 น.) ที่ต้องการให้แบตจ่าย หารด้วย DoD และประสิทธิภาพ เช่น ใช้กลางคืน 6 kWh DoD 90 % ประสิทธิภาพ 90 % ต้องการแบตพิกัดประมาณ 7.4 kWh ในทางปฏิบัติเลือก 10 kWh (สองโมดูล 5.12 kWh) แล้วตรวจว่าแผงมีพลังงานเหลือพอชาร์จเต็มในวันปกติ

**ทำไมแบตเตอรี่โซลาร์ส่วนใหญ่เป็น LiFePO4?**
LiFePO4 (LFP) ปลอดภัยกว่า NMC มาก เพราะเกิด thermal runaway ยากกว่าและไม่ปล่อยออกซิเจน อายุรอบ 4,000–8,000 รอบ ใช้ DoD ได้ 90–100 % ไม่มีโคบอลต์ ราคาลดลงต่อเนื่อง ข้อเสียคือหนักกว่าและความหนาแน่นพลังงานต่ำกว่า ซึ่งไม่สำคัญสำหรับงานติดตั้งอยู่กับที่

**ติดแบตเตอรี่แล้วคุ้มไหม?**
คุ้มเมื่อแต่ละหน่วยที่ย้ายจากกลางวันไปกลางคืนสร้างมูลค่ามากกว่าต้นทุนต่อหน่วยที่ผ่านแบต (LCOS) ภายใต้ net billing มูลค่าคือค่าไฟลบราคาขายไฟ ประมาณ 2 บาท/หน่วย ขณะที่ LCOS ของ LFP คุณภาพดีอยู่ราว 1.5–3 บาท/หน่วย จึงใกล้จุดคุ้มทุน มูลค่าที่ทำให้คุ้มชัดเจนมักเป็นไฟสำรองตอนไฟดับ อัตรา TOU หรือการลดความต้องการพลังไฟฟ้าสูงสุด

---

# เลือกตัวควบคุมโซลาร์: ชาร์จคอนโทรลเลอร์ อินเวอร์เตอร์ ชิป และ MCU รุ่นปัจจุบันกับรุ่นที่แข็งแกร่งไม่ตกยุค

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/controller-selection/
Updated: 2026-10-13
Summary: คู่มือเลือกตัวควบคุมสำหรับระบบโซลาร์ทั้งผู้ใช้และผู้ออกแบบวงจร: ชาร์จคอนโทรลเลอร์ PWM กับ MPPT การคำนวณกระแสและแรงดัน เกณฑ์เลือกอินเวอร์เตอร์ on-grid hybrid off-grid ชิปชาร์จ MPPT BQ24650 BQ25798 LT8490 SPV1040 gate driver แยกฉนวน UCC21520 ADuM4135 เซนเซอร์กระแส AMC1301 MCU TI C2000 STM32G474 dsPIC33 ESP32 โปรโตคอล Modbus SunSpec CAN และวิธีเลือกให้ไม่ตกยุค พร้อมตารางเทียบรุ่นแข็งแกร่งกับรุ่นปัจจุบัน

// บทที่ 16.14 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · Choosing Solar Controllers, Chips & MCUs

# เลือกตัวควบคุมโซลาร์: ชาร์จคอนโทรลเลอร์ อินเวอร์เตอร์ ชิป และ MCU รุ่นปัจจุบันกับรุ่นที่แข็งแกร่งไม่ตกยุค

“ตัวควบคุม” ในระบบโซลาร์มีสองระดับ ระดับผู้ใช้คือ ชาร์จคอนโทรลเลอร์และอินเวอร์เตอร์ ที่ซื้อสำเร็จ ระดับผู้ออกแบบคือ ชิปและไมโครคอนโทรลเลอร์ ที่อยู่ข้างใน หน้านี้ให้เกณฑ์เลือกทั้งสองระดับ แยกเป็น “ตัวกลางที่แข็งแกร่ง” — เทคโนโลยีที่พิสูจน์แล้ว หาง่าย มีเอกสารครบ — กับ “รุ่นปัจจุบัน” — สมรรถนะสูงกว่า แต่ต้องตรวจความพร้อมของห่วงโซ่อุปทาน และวิธีเลือกให้ระบบไม่ตกยุคตลอด 10–25 ปี

สรุปใน 30 วินาที

- แผงใหญ่กว่า ~200 W: ใช้ MPPT เสมอ · ระบบใหม่เลือกแบต 48 V (หรือ HV) แทน 12/24 V

- อินเวอร์เตอร์: อยู่ในรายชื่อการไฟฟ้า · รับกระแสแผงรุ่นใหม่ · โปรโตคอลเปิด · มีบริการในไทย

- ออกแบบเอง: ชิปควบคุมเฉพาะทางคุมลูปเร็ว + MCU กำกับ คือสถาปัตยกรรมที่ทนทานที่สุด

- MCU งานกำลัง: C2000, STM32G4, dsPIC33 · งาน IoT/MPPT ช้า: ESP32

- ตรวจสถานะชิป (Active/NRND) และระวังของปลอมทุกครั้ง

## หลักการเลือก: ปัจจุบัน vs ตัวกลางที่แข็งแกร่ง พื้นฐาน

| เกณฑ์ | ตัวกลางที่แข็งแกร่ง (robust mainstream) | รุ่นปัจจุบัน (state of the art) |

| ความเสี่ยงทางเทคนิค | ต่ำ มีข้อมูลภาคสนามหลายปี | สูงกว่า ข้อมูลภาคสนามสั้น |

| สมรรถนะ | เพียงพอ | ประสิทธิภาพสูง เล็ก ฟังก์ชันมาก |

| การหาอะไหล่/ช่าง | ง่าย หลายแหล่ง | ผู้ผลิตน้อยราย |

| ความเสี่ยงของปลอม | สูงสำหรับชิปยอดนิยม — ซื้อจากตัวแทนจำหน่ายที่ได้รับอนุญาต | ต่ำกว่า |

| เหมาะกับ | งานสอน งานซ่อม งานพื้นที่ห่างไกล งานที่ต้องการความเชื่อถือได้สูง | ผลิตภัณฑ์ใหม่ โครงการที่ต้องการประสิทธิภาพ งานวิจัย |

คำแนะนำในทางปฏิบัติคือ ใช้รุ่นปัจจุบันในจุดที่ให้ผลมาก (เช่น สวิตช์ SiC ในอินเวอร์เตอร์ MCU รุ่นใหม่) และ ใช้ตัวกลางที่แข็งแกร่งในจุดที่ความเชื่อถือได้สำคัญที่สุด (วงจรป้องกัน แหล่งจ่ายเลี้ยงวงจร โปรโตคอลสื่อสาร)

## ชาร์จคอนโทรลเลอร์: PWM กับ MPPT พื้นฐาน

| | PWM | MPPT |

| หลักการ | สวิตช์ต่อแผงกับแบตโดยตรง แผงทำงานที่แรงดันแบต | บั๊กคอนเวอร์เตอร์ แผงทำงานที่ $V_{mp}$ (ดู ตัวอย่าง T-2) |

| แผงที่เข้ากันได้ | แผงเล็ก $V_{mp}$ ≈ 17–18 V กับแบต 12 V เท่านั้น | แผงทุกขนาด ต่ออนุกรมได้ถึงแรงดันเข้าสูงสุด |

| พลังงานที่ได้ | ต่ำกว่า 20–40 % กับแผงใหญ่ | เต็มที่ (ประสิทธิภาพ 95–98 %) |

| ราคา | ถูกมาก | แพงกว่า แต่คุ้มเมื่อแผง > 200 W |

| ใช้กับ | ไฟส่องสว่างโซลาร์ ระบบ 12 V ขนาดเล็ก | off-grid ทุกขนาด ระบบ DC-coupled |

C1 Charge controller current rating พิกัดกระแสชาร์จคอนโทรลเลอร์ (ด้านแบต)

$$I_{cc} \ge \frac{P_{PV}}{V_{bat,nom}} \quad (\text{เกินได้เล็กน้อย คอนโทรลเลอร์ MPPT ส่วนใหญ่จำกัดกระแสเอง})$$

C2 Maximum PV input voltage แรงดันขาเข้าสูงสุด

$$N_s\,V_{oc}(T_{min}) V_{bat,max} + 5\ \text{V}$$

ตัวอย่าง C-1

### แผง 4 × 580 W (2.32 kWp) สำหรับบ้านสวน off-grid

- แบต 24 V (25.6 V): $I = 2320/25.6 = 91$ A → คอนโทรลเลอร์ 100 A ราคาสูง สายแบตใหญ่

- แบต 48 V (51.2 V): $I = 2320/51.2 = 45$ A → คอนโทรลเลอร์ 50–60 A — ระบบใหม่ควรเลือก 48 V

- ต่อ 2 อนุกรม × 2 ขนาน: $V_{oc}$ ตอนหนาว = 2 × 54.16 = 108.3 V → ใช้รุ่นแรงดันเข้า 150 V ได้ (เผื่อ 28 %)

- ต่อ 4 อนุกรม: 216.6 V → ต้องใช้รุ่น 250 V ขึ้นไป แต่ได้กระแสน้อยลงครึ่งหนึ่ง สายเล็กลง

- ตรวจขอบล่าง: $V_{mp}$ ตอนร้อน 2 × 36.9 = 73.7 V > แรงดันชาร์จสูงสุด 56.8 V + 5 V ✓

### เกณฑ์เลือกชาร์จคอนโทรลเลอร์ MPPT

- ประสิทธิภาพสูงสุด ≥ 97 % และกราฟประสิทธิภาพที่กำลังต่ำ (ระบบ off-grid ทำงานที่กำลังต่ำบ่อย)

- โปรไฟล์ชาร์จสำหรับ LiFePO4 ปรับค่าได้ และสื่อสารกับ BMS (CAN/RS485) หรืออย่างน้อยรับสัญญาณหยุดชาร์จได้

- ป้องกันการต่อกลับขั้ว ทั้งด้านแผงและแบต ป้องกันอุณหภูมิ มีเซนเซอร์อุณหภูมิแบต

- บันทึกข้อมูลและสื่อสาร (Bluetooth/RS485/VE.Direct/Modbus) ระวังรุ่นราคาถูกที่โฆษณา “MPPT” แต่ข้างในเป็น PWM

- ตัวอย่างในตลาดที่มีเอกสารครบ: ซีรีส์ SmartSolar/BlueSolar ของ Victron, Tracer ของ EPEVER, Morningstar TriStar MPPT และรุ่นของผู้ผลิตอินเวอร์เตอร์ — เลือกตามบริการหลังการขายในพื้นที่

## เลือกอินเวอร์เตอร์ พื้นฐาน

| หัวข้อ | ต้องมี (แข็งแกร่ง) | ข้อดีของรุ่นปัจจุบัน |

| การรับรอง | อยู่ในรายชื่อที่ กฟภ./กฟน. ยอมรับ ผ่าน IEC 62109, 62116, 61727 | ผ่าน IEEE 1547-2018 / grid code ใหม่ ฟังก์ชัน Volt-VAR |

| อินพุต DC | $I_{MPPT,max}$ ≥ $I_{mp}$ ของแผง (16 A ขึ้นไป) | 18–20 A ต่อสตริง รองรับแผง 210 mm และ bifacial · 3–4 MPPT |

| DC/AC ที่อนุญาต | ≥ 130 % | 150–200 % |

| ประสิทธิภาพ | Euro ≥ 97 % | 98–98.5 % (SiC) |

| ความทนทาน | IP65 ทำงานเต็มพิกัดถึง 45 °C ระบายความร้อนดี | ไร้พัดลม หรือพัดลมเปลี่ยนได้ |

| ความปลอดภัย | RCMU ตรวจ Riso SPD DC/AC | AFCI, rapid shutdown, ตรวจ I-V curve สตริงจากระยะไกล |

| การสื่อสาร | Modbus RTU/TCP (SunSpec), Wi-Fi/LAN | API เปิด เชื่อม EMS/VPP อัปเดตเฟิร์มแวร์ทางไกล |

| ไฮบริด | รายการแบตที่รองรับ closed-loop CAN/RS485 · สลับเป็นไฟสำรอง < 20 ms | แบต HV · ขนานหลายเครื่อง · จ่ายโหลดไม่สมดุล 3 เฟส · generator port |

| บริการ | ประกัน ≥ 5 ปีขยายได้ ศูนย์บริการและเครื่องสำรองในไทย | ประกัน 10 ปี วิเคราะห์ระยะไกล |

บทเรียนจากหน้างาน ยี่ห้อที่ดีที่สุดในกระดาษไม่มีประโยชน์ถ้าเสียแล้วรอเครื่องเปลี่ยน 3 เดือน สำหรับบ้านและกิจการ การบริการในพื้นที่ และ ความเข้ากันได้กับแบตที่หาได้ในอนาคต มักสำคัญกว่าประสิทธิภาพที่ต่างกัน 0.5 %

## ชิปสำหรับออกแบบวงจรโซลาร์เอง กลาง

รายการต่อไปนี้เป็นตัวอย่างชิปที่ใช้แพร่หลายและมีเอกสารการออกแบบครบ ณ ช่วงที่เขียน ตรวจสถานะการผลิต ดาต้าชีตฉบับล่าสุด และแหล่งจำหน่ายที่ได้รับอนุญาตก่อนออกแบบทุกครั้ง

| หน้าที่ | ตัวกลางที่แข็งแกร่ง | รุ่นปัจจุบัน / สมรรถนะสูง | หมายเหตุ |

| ชาร์จ MPPT แผงเล็ก (< 50 W) | TI BQ24650 (synchronous buck, คุมแรงดันแผง) · ST SPV1040 (boost MPPT สำหรับเซลล์ไม่กี่เซลล์) | TI BQ25798 (buck-boost, MPPT, I²C, 1–4 เซลล์) | IoT เซนเซอร์ไร้สาย ไฟสนาม |

| ชาร์จ MPPT 50–500 W | ADI LT3652 (power tracking) · บั๊กควบคุมด้วย MCU + ไดรเวอร์ครึ่งบริดจ์ | ADI LT8490 / LT8491 (buck-boost 4 สวิตช์ MPPT ในตัว ถึง 80 V) | LT8491 มี I²C telemetry |

| Gate driver ครึ่งบริดจ์ไม่แยกฉนวน | IR2110 / IR2184 / IRS2186 (bootstrap) | TI UCC27712, UCC27282 · Infineon 2EDL | IR2110 ของปลอมมาก |

| Gate driver แยกฉนวน (อินเวอร์เตอร์) | ออปโตคัปเปลอร์ไดรเวอร์ (เช่น ตระกูล HCPL-3120/ACPL) | TI UCC21520 / UCC21530 / UCC5350 · ADI ADuM4120 / ADuM4135 (DESAT) · Infineon EiceDRIVER 1ED/2ED · Si823x | SiC ต้องการ −3 ถึง −5 V ปิด และ miller clamp |

| วัดกระแส | shunt + ออปแอมป์ differential · Hall แบบ ACS712 (รุ่นเก่า) | shunt + isolated amplifier AMC1300/AMC1301, delta-sigma AMC1306 · Allegro ACS724/ACS37002 · LEM closed-loop | ป้องกันกระแสเกินรอบต่อรอบต้องเร็ว < 1 µs |

| สวิตช์ 100–150 V (ชาร์จเจอร์) | Si MOSFET trench | Si MOSFET Rds(on) ต่ำ · GaN 100 V | — |

| สวิตช์ 650 V (อินเวอร์เตอร์ 1 เฟส, micro) | IGBT 600/650 V · superjunction MOSFET | SiC MOSFET 650 V · GaN 650 V (micro-inverter) | — |

| สวิตช์ 1,200 V (3 เฟส) | IGBT module | SiC MOSFET 1,200 V / โมดูล 3 ระดับ | — |

| แหล่งจ่ายเลี้ยงวงจรจากแผง | flyback ด้วย UC3843/UC2844 (คลาสสิก) | flyback IC ที่มีสวิตช์ 1,700 V ในตัว (รับ DC 1,000 V) | ระวังแรงดัน Voc สูงสุด |

## ไมโครคอนโทรลเลอร์สำหรับงานโซลาร์ กลาง

| ตระกูล | จุดเด่น | เหมาะกับ | สถานะ |

| TI C2000 (F28004x · F28003x · F28P55x · F28P65x) | HRPWM, ADC ทริกเกอร์ตาม PWM, CLA, comparator subsystem ตัดกระแสในฮาร์ดแวร์, ไลบรารี DCL และ solar/PLL | อินเวอร์เตอร์เชื่อมกริด ไฮบริด งานอุตสาหกรรมและวิจัย | ตัวกลางที่แข็งแกร่ง + รุ่นใหม่ต่อเนื่อง |

| STM32G474 (และ STM32F334 รุ่นก่อน) | HRTIM 184 ps, ADC 5 ตัว, comparator+DAC, CORDIC/FMAC บอร์ด Nucleo ราคาถูก | MPPT, DC-DC, อินเวอร์เตอร์ขนาดเล็ก การสอน | แข็งแกร่ง มีบอร์ดและชุมชนมาก |

| Microchip dsPIC33CK/CH, dsPIC33A | PWM ความละเอียดสูง DSP engine เครื่องมือ PowerSmart/DCLD | SMPS ดิจิทัล ชาร์จเจอร์ micro-inverter | แข็งแกร่ง อายุผลิตภัณฑ์ยาว |

| Infineon XMC4000 / PSoC Control C3 | CCU8/HRPWM, ADC เร็ว | มอเตอร์ ปั๊ม อินเวอร์เตอร์ | รุ่นปัจจุบัน |

| ESP32 / ESP32-S3 / ESP32-C6 | Wi-Fi/BLE ราคาถูก | monitoring, data logger, MPPT ลูปช้า, IoT ฟาร์ม | ไม่เหมาะลูปกระแสเร็ว |

| RP2040 / RP2350 | PIO ยืดหยุ่น ราคาถูก | งานสอน ลอจิกเสริม เก็บข้อมูล | เหมาะงานไม่วิกฤต |

### สถาปัตยกรรมที่แนะนำ

- ฮาร์ดแวร์ป้องกันอิสระจากซอฟต์แวร์: comparator ตัดกระแสเกินรอบต่อรอบ DESAT ของไดรเวอร์ watchdog และรีเลย์ที่ตัดได้แม้ MCU ค้าง

- MCU งานกำลัง คุมลูปกระแส/แรงดัน PLL MPPT ที่อัตราสุ่มสม่ำเสมอ (interrupt จาก PWM)

- MCU/โมดูลสื่อสารแยก (เช่น ESP32) จัดการ Wi-Fi, คลาวด์, หน้าจอ — ไม่ให้งานสื่อสารรบกวนจังหวะของลูปควบคุม และอัปเดตเฟิร์มแวร์ฝั่งสื่อสารได้โดยไม่แตะส่วนความปลอดภัย

- โปรโตคอล: Modbus RTU/TCP พร้อมแผนที่รีจิสเตอร์ SunSpec สำหรับอินเวอร์เตอร์ · CAN สำหรับ BMS (โปรโตคอลแบตที่อินเวอร์เตอร์ส่วนใหญ่รองรับ) · MQTT สำหรับคลาวด์

## เลือกอย่างไรไม่ให้ตกยุค พื้นฐาน

### สำหรับผู้ซื้อระบบ

- เลือกอินเวอร์เตอร์ที่ รองรับแบตเตอรี่ แม้ยังไม่ซื้อแบตวันนี้ (hybrid-ready) หรือวางแผน AC-coupling ไว้

- เผื่อ DC/AC และ MPPT ว่างสำหรับเพิ่มแผงในอนาคต

- โปรโตคอลเปิด (Modbus/SunSpec) ให้เปลี่ยนแพลตฟอร์ม monitoring หรือเชื่อม EMS/VPP ได้ ไม่ผูกกับคลาวด์ของผู้ผลิตรายเดียว

- ผู้ผลิตที่ออกอัปเดตเฟิร์มแวร์ต่อเนื่อง (ข้อกำหนดของการไฟฟ้าเปลี่ยนได้ เครื่องที่อัปเดตไม่ได้อาจขนานไฟต่อไม่ได้)

### สำหรับผู้ออกแบบวงจร

- ชิปสถานะ Active และอยู่ในโครงการรับประกันอายุผลิตภัณฑ์ (product longevity) ของผู้ผลิต 10–15 ปี หลีกเลี่ยง NRND/Last-time-buy

- เลือกตระกูลที่มีรุ่น ขาตรงกัน หลายขนาดหน่วยความจำ และมี second source สำหรับชิ้นส่วนทั่วไป (MOSFET, ไดรเวอร์, ตัวเก็บประจุ)

- แยกชั้นฮาร์ดแวร์ (HAL) ในเฟิร์มแวร์ ให้ย้ายจาก MCU หนึ่งไปอีกตัวได้โดยแก้น้อยที่สุด เขียนอัลกอริทึมควบคุม (PI, PLL, MPPT) เป็นโมดูลอิสระที่ทดสอบบนคอมพิวเตอร์ได้

- ออกแบบ PCB ให้รองรับสวิตช์สองแบบ (เช่น ฟุตพรินต์ TO-247-4 ที่ใส่ได้ทั้ง Si และ SiC พร้อมไดรเวอร์ที่ตั้งแรงดันลบได้)

- ซื้อชิปจากตัวแทนจำหน่ายที่ได้รับอนุญาตเท่านั้น ชิปยอดนิยมราคาถูกผิดปกติในตลาดออนไลน์มักเป็นของปลอมหรือรีมาร์ก

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- Functional safety (IEC 61508 แนวคิด) ในอินเวอร์เตอร์ไฮบริดและ BMS: การวิเคราะห์ FMEA, diagnostic coverage และ safe state

- Cybersecurity ของอินเวอร์เตอร์ที่เชื่อมอินเทอร์เน็ต (IEC 62443 แนวคิด, secure boot, signed firmware) — สำคัญเมื่อมีอินเวอร์เตอร์จำนวนมากที่สั่งการพร้อมกันได้

- Hardware-in-the-loop (Typhoon HIL, OPAL-RT, PLECS RT Box) ทดสอบเฟิร์มแวร์กับแบบจำลองกริดและแผงแบบเรียลไทม์ก่อนต่อของจริง

- Model-based design ด้วย MATLAB/Simulink หรือ PLECS แล้วสร้างโค้ดอัตโนมัติลง C2000/STM32

## คำถามที่พบบ่อย

ชาร์จคอนโทรลเลอร์ MPPT ควรเลือกกี่แอมป์?
พิกัดของชาร์จคอนโทรลเลอร์บอกเป็นกระแสด้านแบตเตอรี่ คำนวณจากกำลังแผงหารด้วยแรงดันแบต เช่น แผง 2.32 kWp ชาร์จแบต 24 V (25.6 V) ได้กระแสสูงสุดประมาณ 91 A ต้องใช้ 100 A ถ้าเปลี่ยนเป็นแบต 48 V กระแสเหลือ 45 A ใช้ 50–60 A และต้องตรวจว่า Voc ของสตริงตอนหนาวไม่เกินแรงดันเข้าสูงสุดของคอนโทรลเลอร์

จะเลือกอุปกรณ์อย่างไรไม่ให้ตกยุคเร็ว?
เลือกอุปกรณ์ที่ใช้โปรโตคอลเปิดและเป็นมาตรฐาน (Modbus, SunSpec, CAN) อัปเดตเฟิร์มแวร์ได้ มีตัวแทนและอะไหล่ในประเทศ รองรับกระแสของแผงรุ่นใหม่และแบตเตอรี่แรงดันสูง สำหรับนักออกแบบวงจร เลือกชิปที่สถานะ Active อยู่ในโครงการรับประกันอายุผลิตภัณฑ์ของผู้ผลิต มีรุ่นที่ขาตรงกันในตระกูลเดียวกัน และเขียนเฟิร์มแวร์แยกชั้นฮาร์ดแวร์เพื่อย้ายชิปได้

นักศึกษาควรใช้ไมโครคอนโทรลเลอร์ตัวไหนทำโปรเจกต์ MPPT หรืออินเวอร์เตอร์?
งานที่มีลูปควบคุมกระแสเร็ว เช่น อินเวอร์เตอร์เชื่อมกริด ควรใช้ MCU สำหรับงานกำลังโดยเฉพาะ เช่น TI C2000 หรือ STM32G474 ที่มี PWM ความละเอียดสูง ADC ทริกเกอร์ตาม PWM และ comparator ตัดกระแสเกินในตัว ส่วนงาน MPPT ชาร์จแบตที่ลูปช้าและงานเฝ้าติดตาม IoT ใช้ ESP32 หรือ RP2040/RP2350 ได้ดีและราคาถูก

## FAQ

**ชาร์จคอนโทรลเลอร์ MPPT ควรเลือกกี่แอมป์?**
พิกัดของชาร์จคอนโทรลเลอร์บอกเป็นกระแสด้านแบตเตอรี่ คำนวณจากกำลังแผงหารด้วยแรงดันแบต เช่น แผง 2.32 kWp ชาร์จแบต 24 V (25.6 V) ได้กระแสสูงสุดประมาณ 91 A ต้องใช้ 100 A ถ้าเปลี่ยนเป็นแบต 48 V กระแสเหลือ 45 A ใช้ 50–60 A และต้องตรวจว่า Voc ของสตริงตอนหนาวไม่เกินแรงดันเข้าสูงสุดของคอนโทรลเลอร์

**จะเลือกอุปกรณ์อย่างไรไม่ให้ตกยุคเร็ว?**
เลือกอุปกรณ์ที่ใช้โปรโตคอลเปิดและเป็นมาตรฐาน (Modbus, SunSpec, CAN) อัปเดตเฟิร์มแวร์ได้ มีตัวแทนและอะไหล่ในประเทศ รองรับกระแสของแผงรุ่นใหม่และแบตเตอรี่แรงดันสูง สำหรับนักออกแบบวงจร เลือกชิปที่สถานะ Active อยู่ในโครงการรับประกันอายุผลิตภัณฑ์ของผู้ผลิต มีรุ่นที่ขาตรงกันในตระกูลเดียวกัน และเขียนเฟิร์มแวร์แยกชั้นฮาร์ดแวร์เพื่อย้ายชิปได้

**นักศึกษาควรใช้ไมโครคอนโทรลเลอร์ตัวไหนทำโปรเจกต์ MPPT หรืออินเวอร์เตอร์?**
งานที่มีลูปควบคุมกระแสเร็ว เช่น อินเวอร์เตอร์เชื่อมกริด ควรใช้ MCU สำหรับงานกำลังโดยเฉพาะ เช่น TI C2000 หรือ STM32G474 ที่มี PWM ความละเอียดสูง ADC ทริกเกอร์ตาม PWM และ comparator ตัดกระแสเกินในตัว ส่วนงาน MPPT ชาร์จแบตที่ลูปช้าและงานเฝ้าติดตาม IoT ใช้ ESP32 หรือ RP2040/RP2350 ได้ดีและราคาถูก

---

# เครื่องมือออกแบบระบบโซลาร์ออนไลน์: สตริง พลังงาน แบตเตอรี่ แอร์ ปั๊มน้ำ สายไฟ และความคุ้มค่า

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/design-lab/
Updated: 2026-10-13
Summary: เครื่องคำนวณออกแบบโซลาร์เซลล์ภาษาไทย 9 ตัวในหน้าเดียว ใช้ฟรีในเบราว์เซอร์: แล็บเส้นโค้ง I-V และ P-V พร้อมเงาบัง เลือกขนาดจากบิลค่าไฟ ออกแบบสตริงกับอินเวอร์เตอร์ คาดการณ์พลังงานรายเดือนและ PR ขนาดแบตเตอรี่ โซลาร์สำหรับแอร์ ปั๊มน้ำโซลาร์ แรงดันตกในสาย และระยะคืนทุน NPV IRR LCOE เรียงตามขั้นตอนออกแบบ พร้อมใบงานฝึก

// บทที่ 16.19 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · Solar PV Design Calculator

# เครื่องมือออกแบบระบบโซลาร์ออนไลน์: สตริง พลังงาน แบตเตอรี่ แอร์ ปั๊มน้ำ สายไฟ และความคุ้มค่า

เครื่องคำนวณทุกตัวของชุดนี้เรียงตามลำดับการออกแบบจริง เริ่มจากดูพฤติกรรมของแผง เลือกขนาด ออกแบบสตริง คาดการณ์พลังงาน เลือกแบตเตอรี่ แล้วจบที่ความคุ้มค่า แต่ละตัวมีรหัสสูตรกำกับ คลิกไปอ่านที่มาได้ ทุกช่องพิมพ์แก้ได้และคำนวณใหม่ทันที (ไม่มีการส่งข้อมูลออกจากเครื่อง)

วิธีใช้

- ค่าเริ่มต้นทุกตัวคือระบบบ้าน 5–6 kWp ในกรุงเทพฯ ด้วยแผง 580 Wp — แทนด้วยข้อมูลของคุณ

- เครื่องหมาย ✓/✗ คือการตรวจเงื่อนไขการออกแบบ ✗ ต้องแก้ก่อนไปขั้นถัดไป

- ผลลัพธ์ของขั้นก่อนเป็นค่าเข้าของขั้นถัดไป (เช่น kWh/kWp จาก ④ ไปใส่ใน ⑨)

## ① แผงทำงานอย่างไรเมื่อแสง อุณหภูมิ และเงาเปลี่ยน

เข้าใจเส้นโค้งก่อนออกแบบ: ร้อนแล้วแรงดันลด (ใช้ใน ③) เงาทำให้มีหลายยอด (สำคัญกับการวางแผงและเลือกอินเวอร์เตอร์) · ทฤษฎี: เซลล์และเส้น I-V · MPPT

## ② เลือกขนาดระบบจากบิลค่าไฟ

ทฤษฎี: ขนาดจากบิล · ชนิดระบบ

## ③ ออกแบบสตริงและจับคู่อินเวอร์เตอร์

ทฤษฎี: ออกแบบสตริง · อ่านดาต้าชีตแผง

## ④ คาดการณ์พลังงานรายเดือนและ PR

ทฤษฎี: คาดการณ์พลังงาน · แสงอาทิตย์ มุมเอียง เงา

## ⑤ ขนาดแบตเตอรี่ (ถ้ามี)

ทฤษฎี: แบตเตอรี่

## ⑥ โซลาร์สำหรับแอร์

ทฤษฎี: โซลาร์จ่ายแอร์

## ⑦ ปั๊มน้ำโซลาร์เพื่อการเกษตร

ทฤษฎี: ปั๊มน้ำและเกษตร

## ⑧ แรงดันตกและขนาดสาย

ทฤษฎี: สายไฟและการป้องกัน

## ⑨ ความคุ้มค่า: คืนทุน NPV IRR LCOE

ทฤษฎี: ความคุ้มค่า

## ใบงานฝึกออกแบบ

ใช้เครื่องคำนวณด้านบนทำโจทย์ แล้วเปิดดูแนวคำตอบ (ตัวเลขอาจต่างเล็กน้อยตามการปัดเศษ)

ใบงาน 1 แผงร้อนเสียกำลังเท่าไร

ในแล็บ ① กด STC จด MPP แล้วตั้งอุณหภูมิอากาศ 35 °C (ไม่เลือกช่องอุณหภูมิเซลล์) แสง 1,000 W/m² คำนวณ % ที่หายไป เทียบกับสูตร P6 + P7

แนวคำตอบ: เซลล์ ≈ 63.8 °C แล็บให้ ≈ 510 W (หายไป ≈ 12 %) สูตร P6 ให้ 514.8 W ความต่างเล็กน้อยมาจากแบบจำลองไดโอดเทียบกับสัมประสิทธิ์เชิงเส้นในดาต้าชีต

ใบงาน 2 เงาบังสองระดับ

ตั้งสตริงย่อย 1 = 100 %, 2 = 60 %, 3 = 30 % (ปุ่ม “เงาเสาไล่ระดับ”) มีกี่ยอด ยอดไหนสูงสุด P&O จากฝั่ง $V_{oc}$ เสียกี่ %

แนวคำตอบ: สามยอด global MPP อยู่ที่แรงดันกลาง ≈ 26–27 V (≈ 200 W) P&O ติดยอดแรงดันสูง ≈ 157 W เสียราว 20 %

ใบงาน 3 ภาคเหนือหนาวจัด

ใน ③ ตั้งอุณหภูมิต่ำสุด 0 °C แบบที่เลือกยังผ่านไหม จำนวนแผงต่อสตริงสูงสุดเปลี่ยนเป็นเท่าไร

แนวคำตอบ: $V_{oc}$ ต่อแผง 55.5 V จำนวนสูงสุดลดจาก 11 เป็น 10 แผงสำหรับอินเวอร์เตอร์ 600 V แบบ 5 × 2 ยังผ่าน

ใบงาน 4 หลังคาร้อน ไม่มีช่องลม และฝุ่นมาก

ใน ④ เปลี่ยนการติดตั้งเป็น “ติดชิดหลังคา” ฝุ่น 5 % เงา 3 % PR และ kWh/kWp เปลี่ยนเท่าไร

แนวคำตอบ: PR ลดจาก ≈ 79 % เหลือ ≈ 73 % ผลผลิตจำเพาะจาก ≈ 1,437 เหลือ ≈ 1,335 kWh/kWp (หายไป ≈ 7 %)

ใบงาน 5 แบต 24 V หรือ 48 V

ใน ⑤ เปลี่ยนแรงดันระบบเป็น 25.6 V และขนาดลูก 2.56 kWh ดูกระแส DC และ C-rate ที่โหลด 3.5 kW เทียบกับ 51.2 V

แนวคำตอบ: กระแสเพิ่มเป็นสองเท่า (≈ 145 A) ต้องใช้สายและฟิวส์ใหญ่ขึ้นมาก — เหตุผลที่ระบบใหม่ใช้ 48 V ขึ้นไป

ใบงาน 6 ความคุ้มค่าเมื่อใช้เองน้อย

ใน ⑨ ตั้งสัดส่วนใช้เอง 40 % ระยะคืนทุนเป็นเท่าไร แล้วลดขนาดระบบเหลือ 3 kWp และใช้เอง 85 % เทียบ IRR

แนวคำตอบ: ใช้เอง 40 %: คืนทุน ≈ 7.9 ปี IRR ≈ 11.7 % · ระบบ 3 kWp ใช้เอง 85 %: คืนทุน ≈ 5.9 ปี IRR ≈ 16.7 % — ระบบเล็กที่ใช้เองเกือบหมดให้ผลตอบแทนต่อบาทสูงกว่า แม้ประหยัดรวมน้อยกว่า (สอดคล้องกับตัวอย่าง S-1)

ใบงาน 7 ปั๊มน้ำหัวสูง

ใน ⑦ เปลี่ยนระดับน้ำนิ่งเป็น 40 m จำนวนแผงเปลี่ยนเท่าไร ถ้าเปลี่ยนจากน้ำหยดเป็นปล่อยตามร่อง (ประสิทธิภาพ 55 %) ล่ะ

แนวคำตอบ: หัวสูบ 58 m แผงเพิ่มเป็นประมาณ 1.5 เท่า · ประสิทธิภาพการให้น้ำ 55 % ทำให้ต้องการน้ำเพิ่มราว 64 % — ระบบให้น้ำที่ดีลดขนาดโซลาร์ได้มาก

## ขอบเขตและข้อจำกัดของเครื่องมือ

- ข้อมูลแสงเป็นค่าเฉลี่ยระยะยาวที่ปัดเศษของแต่ละภูมิภาคและรูปแบบรายเดือนของภาคกลาง ไม่ใช่ข้อมูลรายชั่วโมงของพิกัดจริง

- ตัวประกอบทิศและมุมเอียงเป็นค่าประมาณสำหรับละติจูด 13–18° N

- แล็บ I-V ใช้แบบจำลองไดโอดเดี่ยวที่ไม่มี $R_{sh}$ และบายพาสไดโอดอุดมคติ (แรงดันตก 0.45 V)

- ตัวเลขราคาและค่าไฟเป็นค่าตั้งต้น ให้ใช้ใบเสนอราคาและบิลจริง

- การออกแบบจริงต้องผ่านมาตรฐาน ข้อกำหนดของการไฟฟ้า และการรับรองของวิศวกร

อยากเห็นวงจรภายในทำงานระดับการสวิตช์? ลอง แล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์ พรีเซ็ตโซลาร์ + MPPT

## คำถามที่พบบ่อย

เครื่องคำนวณนี้ใช้แทนซอฟต์แวร์ออกแบบมืออาชีพได้ไหม?
ใช้สำหรับเรียนรู้ ประเมินเบื้องต้น และตรวจตัวเลขของผู้รับเหมาได้ดี แต่ข้อมูลแสงเป็นค่าเฉลี่ยประมาณ และไม่ได้จำลองเงาสามมิติหรือข้อมูลรายชั่วโมง งานจริงที่ต้องลงทุนควรตรวจด้วยข้อมูลของพิกัดจริง (เช่น PVGIS) ซอฟต์แวร์ของผู้ผลิตอินเวอร์เตอร์ และให้วิศวกรรับรองการออกแบบ

ข้อมูลที่กรอกถูกส่งไปที่ไหนไหม?
ไม่ส่ง การคำนวณทั้งหมดทำในเบราว์เซอร์ของผู้ใช้ด้วย JavaScript ไม่มีการเก็บหรือส่งข้อมูลออกไป

## FAQ

**เครื่องคำนวณนี้ใช้แทนซอฟต์แวร์ออกแบบมืออาชีพได้ไหม?**
ใช้สำหรับเรียนรู้ ประเมินเบื้องต้น และตรวจตัวเลขของผู้รับเหมาได้ดี แต่ข้อมูลแสงเป็นค่าเฉลี่ยประมาณ และไม่ได้จำลองเงาสามมิติหรือข้อมูลรายชั่วโมง งานจริงที่ต้องลงทุนควรตรวจด้วยข้อมูลของพิกัดจริง (เช่น PVGIS) ซอฟต์แวร์ของผู้ผลิตอินเวอร์เตอร์ และให้วิศวกรรับรองการออกแบบ

**ข้อมูลที่กรอกถูกส่งไปที่ไหนไหม?**
ไม่ส่ง การคำนวณทั้งหมดทำในเบราว์เซอร์ของผู้ใช้ด้วย JavaScript ไม่มีการเก็บหรือส่งข้อมูลออกไป

---

# ความคุ้มค่าของโซลาร์เซลล์: ระยะคืนทุน NPV IRR LCOE และการวิเคราะห์ความไว

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/economics/
Updated: 2026-10-13
Summary: วิเคราะห์ความคุ้มค่าของระบบโซลาร์เซลล์แบบวิศวกรรมเศรษฐศาสตร์: เงินลงทุน ผลประหยัดรายปีจากการใช้เองและขายไฟ ระยะคืนทุนอย่างง่ายและแบบคิดลด มูลค่าปัจจุบันสุทธิ NPV อัตราผลตอบแทนภายใน IRR ต้นทุนพลังงานเฉลี่ย LCOE การเสื่อมของแผง ค่าบำรุงรักษา การเปลี่ยนอินเวอร์เตอร์ สินเชื่อ ภาษี และการวิเคราะห์ความไว พร้อมเครื่องคำนวณและกราฟกระแสเงินสด

// บทที่ 16.10 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · Economics: Payback, NPV, IRR, LCOE

# ความคุ้มค่าของโซลาร์เซลล์: ระยะคืนทุน NPV IRR LCOE และการวิเคราะห์ความไว

“คืนทุนกี่ปี” เป็นคำถามที่ดีแต่ไม่พอ ระบบโซลาร์ใช้งาน 25–30 ปี มีค่าใช้จ่ายระหว่างทาง (ล้างแผง เปลี่ยนอินเวอร์เตอร์) พลังงานลดลงทุกปี และค่าไฟเปลี่ยน หน้านี้สร้างกระแสเงินสดรายปีแล้วคำนวณตัวชี้วัดมาตรฐาน 4 ตัว พร้อมวิเคราะห์ว่าตัวแปรไหนกระทบผลมากที่สุด

สรุปใน 30 วินาที

- ตัวแปรที่กระทบมากที่สุด: ราคาติดตั้ง สัดส่วนใช้เอง และค่าไฟ — ไม่ใช่ยี่ห้อแผง

- ระบบบ้านตัวอย่าง 5 kWp: คืนทุน ≈ 6 ปี IRR ≈ 16 % LCOE ≈ 2 บาท/kWh

- คิดค่าเปลี่ยนอินเวอร์เตอร์ (ปี 10–15) และการเสื่อม 0.4–0.5 %/ปีเสมอ

- ถ้ากู้เงินมาติด ค่างวดอาจสูงกว่าผลประหยัดในปีแรก ๆ — ดูกระแสเงินสดรายปี

## สร้างกระแสเงินสดรายปี พื้นฐาน

F1 Investment เงินลงทุนเริ่มต้น

$$CAPEX = P_{STC}\times c_{kWp} \quad (+\ \text{แบตเตอรี่ ค่าขออนุญาต ปรับปรุงตู้ไฟ หลังคา})$$

F2 Net saving in year y ผลประหยัดสุทธิในปีที่ y

$$S_y = E_1(1-d)^{y-1}\left[SCR\cdot c_{buy}(1+e)^{y-1} + (1-SCR)\,c_{sell}\right] - C_{O\&M} - C_{repl,y}$$

$d$ = การเสื่อมต่อปี $e$ = อัตราค่าไฟที่เพิ่มต่อปี $c_{sell}$ = ราคาขายไฟส่วนเกิน (คงที่ตามสัญญา) $C_{O\&M}$ = ค่าล้าง ตรวจ ประกัน (≈ 0.5–1.5 % ของ CAPEX ต่อปี) $C_{repl,y}$ = ค่าเปลี่ยนอุปกรณ์ในปีนั้น (อินเวอร์เตอร์ราวปีที่ 10–15)

F3 Simple payback ระยะคืนทุนอย่างง่าย

$$PB \approx \frac{CAPEX}{S_1} \quad \text{(หรือปีที่เงินสดสะสม } -CAPEX + \textstyle\sum S_y \text{ เป็นบวก)}$$

ตัวอย่าง F-1

### บ้าน 5 kWp: ปีแรก

ราคาติดตั้ง 30,000 บาท/kWp ผลผลิต 1,350 kWh/kWp ใช้เอง 80 % ค่าไฟ 4.2 บาท ขายไฟ 2.2 บาท O&M 1 %/ปี

- F1: CAPEX = 5 × 30,000 = 150,000 บาท · $E_1$ = 6,750 kWh

- ใช้เอง 5,400 kWh × 4.2 = 22,680 บาท · ขาย 1,350 kWh × 2.2 = 2,970 บาท

- O&M = 1,500 บาท → $S_1$ = 22,680 + 2,970 − 1,500 = 24,150 บาท

- F3: PB ≈ 150,000/24,150 = 6.2 ปี (เมื่อนับค่าไฟที่เพิ่มปีละ 1.5 % จากเงินสดสะสมจริง ได้ 6.1 ปี)

## NPV IRR LCOE และระยะคืนทุนคิดลด กลาง

F4 Net present value มูลค่าปัจจุบันสุทธิ

$$NPV = -CAPEX + \sum_{y=1}^{N}\frac{S_y}{(1+r)^y}$$

F5 Levelized cost of electricity ต้นทุนพลังงานเฉลี่ยตลอดอายุ

$$LCOE = \frac{CAPEX + \sum_{y=1}^{N}\dfrac{C_{O\&M,y} + C_{repl,y}}{(1+r)^y}}{\sum_{y=1}^{N}\dfrac{E_y}{(1+r)^y}}$$

F6 Internal rate of return อัตราผลตอบแทนภายใน

$$0 = -CAPEX + \sum_{y=1}^{N}\frac{S_y}{(1+IRR)^y}$$

F7 Discounted payback ระยะคืนทุนแบบคิดลด

$$\min\Big\{ Y : -CAPEX + \sum_{y=1}^{Y}\frac{S_y}{(1+r)^y} \ge 0 \Big\}$$

- NPV > 0 โครงการเพิ่มความมั่งคั่งเมื่อเทียบกับการเอาเงินไปลงทุนที่ผลตอบแทน $r$

- IRR เทียบกับดอกเบี้ยเงินฝาก/พันธบัตร (ทางเลือกของเงินเย็น) หรือต้นทุนเงินกู้ — ระบบโซลาร์ที่ดีมี IRR 12–20 % ซึ่งสูงกว่าทางเลือกปลอดภัยส่วนใหญ่

- LCOE ไม่ขึ้นกับค่าไฟ ใช้เทียบเทคโนโลยีหรือเทียบกับค่าไฟที่จะซื้อ ถ้า LCOE < ค่าไฟ ทุกหน่วยที่ใช้เองคือกำไร

- IRR หาด้วยการลองค่าหรือ bisection (เครื่องคำนวณด้านล่างใช้ bisection) ใน Excel ใช้ =IRR(ช่วงกระแสเงินสด) และ =NPV(r, ช่วงปี 1..N) - CAPEX

## เครื่องคำนวณความคุ้มค่า

ค่าเริ่มต้นคือตัวอย่าง F-1 อายุ 25 ปี เปลี่ยนอินเวอร์เตอร์ปีที่ 12 (12 % ของเงินลงทุน) อัตราคิดลด 5 % กราฟคือเงินสดสะสม จุดที่ตัดแกนศูนย์คือระยะคืนทุน

## วิเคราะห์ความไว (Sensitivity) กลาง

เปลี่ยนตัวแปรทีละตัวจากกรณีฐาน (5 kWp, 30,000 บาท/kWp, ใช้เอง 80 %, ค่าไฟ 4.2 บาท เพิ่ม 1.5 %/ปี, 1,350 kWh/kWp, r = 5 %) คำนวณด้วยเครื่องคำนวณในหน้านี้:

| กรณี | คืนทุน (ปี) | IRR | NPV 25 ปี | LCOE (บาท/kWh) |

| กรณีฐาน | 6.1 | 16.2 % | 210,800 | 2.00 |

| ราคาติดตั้ง −20 % (24,000/kWp) | 4.8 | 20.8 % | 247,000 | 1.60 |

| ราคาติดตั้ง +20 % (36,000/kWp) | 7.3 | 13.0 % | 174,500 | 2.40 |

| ใช้เองแค่ 50 % | 7.3 | 12.8 % | 138,700 | 2.00 |

| ใช้เอง 100 % | 5.5 | 18.3 % | 258,900 | 2.00 |

| ค่าไฟ 3.8 บาท | 6.7 | 14.6 % | 177,300 | 2.00 |

| ค่าไฟ 4.6 บาท | 5.6 | 17.8 % | 244,300 | 2.00 |

| ค่าไฟไม่ขึ้นเลย | 6.3 | 14.8 % | 163,700 | 2.00 |

| ผลผลิต 1,250 kWh/kWp (เงา/ฝุ่น) | 6.6 | 14.8 % | 181,700 | 2.16 |

| อัตราคิดลด 8 % | 6.1 (คิดลด 8.6) | 16.2 % | 120,400 | 2.50 |

อ่านตาราง: ราคาติดตั้งและสัดส่วนใช้เองกระทบมากที่สุด การเลือกขนาดให้พอดีโหลด (หน้าขนาดจากบิล) และการเปรียบเทียบราคาหลายเจ้าจึงสำคัญกว่าการเลือกแผงที่ถูกกว่าไม่กี่เปอร์เซ็นต์ ส่วนการเสื่อมและค่าบำรุงรักษากระทบน้อยกว่า แต่ต้องใส่ไว้เพื่อไม่ให้ผลดูดีเกินจริง

## สินเชื่อ ภาษี และรูปแบบการลงทุน กลาง

F8 Loan payment (annuity) ค่างวดเงินกู้รายปี

$$A = P\,\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$$

ตัวอย่าง F-2

### กู้ 150,000 บาท ดอกเบี้ย 5 % 5 ปี

- $A = 150{,}000 \dfrac{0.05(1.05)^5}{(1.05)^5 - 1} = 34{,}646$ บาท/ปี (≈ 2,890 บาท/เดือน)

- ผลประหยัดปีแรก 24,150 บาท → เงินสดสุทธิ −10,500 บาท/ปี ช่วง 5 ปีแรก

- ถ้ายืดเป็น 8 ปี ค่างวด ≈ 23,200 บาท/ปี ใกล้ผลประหยัด → ผ่อนแทนค่าไฟได้พอดี (cash-flow neutral)

- รูปแบบการลงทุน: ซื้อขาด (CAPEX) · ผ่อนกับธนาคาร (สินเชื่อสีเขียว) · เช่าระบบ · Private PPA (ผู้ลงทุนติดตั้งและขายไฟให้ในราคาต่ำกว่าการไฟฟ้า ส่วนลด 10–30 % สัญญา 10–25 ปี เหมาะกับกิจการที่ไม่อยากลงทุนเอง)

- ภาษีและสิทธิประโยชน์: นิติบุคคลหักค่าเสื่อมราคาของระบบได้ และอาจได้สิทธิประโยชน์จากมาตรการส่งเสริมการลงทุนด้านการประหยัดพลังงานและพลังงานทดแทน บุคคลธรรมดาให้ติดตามมาตรการลดหย่อนที่รัฐประกาศในแต่ละปี ตรวจเงื่อนไขกับหน่วยงานที่เกี่ยวข้องก่อนนำมาคิดในงบประมาณ

- ประกันภัย: เพิ่มระบบโซลาร์ในกรมธรรม์ที่อยู่อาศัยหรืออัคคีภัย (บางบริษัทกำหนดให้มีวิศวกรรับรอง)

## ข้อผิดพลาดที่ทำให้ตัวเลขสวยเกินจริง

- คิดว่าใช้เองได้ 100 % ทั้งที่โหลดกลางวันน้อยกว่าการผลิต

- ใช้ค่าไฟเฉลี่ยทั้งบิล แทนค่าไฟส่วนเพิ่มของหน่วยที่ถูกแทนจริง (บางกรณีกลับกัน: TOU on-peak แพงกว่าเฉลี่ย)

- ไม่หักการเสื่อม ค่าล้างแผง ค่าเปลี่ยนอินเวอร์เตอร์

- สมมติค่าไฟขึ้นปีละ 3–5 % ตลอด 25 ปี

- ใช้ผลผลิตของภาคที่แดดดีที่สุด หรือจากระบบที่ไม่มีเงา ทั้งที่หลังคาของตัวเองมีเงา

- ไม่นับค่าใช้จ่ายแฝง: ปรับปรุงตู้ไฟ ซ่อมหลังคา ค่าขออนุญาต ค่าวิศวกร

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- Monte Carlo สุ่มตัวแปร (แสงรายปี ค่าไฟ การเสื่อม ความพร้อมใช้) หา distribution ของ NPV และความน่าจะเป็นที่จะขาดทุน

- Real options มูลค่าของการรอซื้อแบตเตอรี่ภายหลังเมื่อราคาลด หรือขยายระบบเมื่อมีรถไฟฟ้า

- Project finance ของโซลาร์ฟาร์ม: DSCR, P90 debt sizing, tariff structure ของ PPA, CAPEX/OPEX ของ MW และ WACC

- ต้นทุนภายนอก มูลค่าคาร์บอน (REC/I-REC, Thailand Voluntary Emission Reduction) และผลต่อการตัดสินใจลงทุน

## คำถามที่พบบ่อย

โซลาร์เซลล์บ้านคืนทุนกี่ปี?
ระบบ on-grid ที่ขนาดพอดีโหลดกลางวันในประเทศไทยมักคืนทุนอย่างง่ายประมาณ 5–7 ปี ขึ้นกับราคาติดตั้ง สัดส่วนที่ใช้เอง ค่าไฟ และผลผลิตของพื้นที่ ระบบที่มีแบตเตอรี่คืนทุนนานกว่า (ประมาณ 8–12 ปี) กิจการที่ใช้อัตรา TOU และใช้ไฟกลางวันมากอาจคืนทุนได้ภายใน 3–5 ปี

LCOE ของโซลาร์เซลล์คืออะไร ทำไมต้องรู้?
LCOE คือต้นทุนต่อหน่วยไฟฟ้าตลอดอายุโครงการ คำนวณจากต้นทุนทั้งหมดที่คิดลดแล้วหารด้วยพลังงานทั้งหมดที่คิดลดแล้ว ถ้า LCOE ต่ำกว่าค่าไฟที่ประหยัดได้ ระบบคุ้มทุน ระบบบ้านในไทยมี LCOE ประมาณ 1.6–2.5 บาท/kWh ต่ำกว่าค่าไฟบ้านราว 4–4.5 บาท/kWh

ระยะคืนทุน กับ IRR ควรดูอะไร?
ระยะคืนทุนบอกความเร็วที่ได้เงินคืน เข้าใจง่ายแต่ไม่สนใจผลตอบแทนหลังคืนทุนและมูลค่าของเวลา IRR บอกผลตอบแทนต่อปีตลอดอายุ เปรียบเทียบกับดอกเบี้ยเงินฝากหรือต้นทุนเงินกู้ได้ NPV บอกมูลค่าความมั่งคั่งที่เพิ่มขึ้นจริง ควรดูทั้งสามค่าประกอบกับการวิเคราะห์ความไว

## FAQ

**โซลาร์เซลล์บ้านคืนทุนกี่ปี?**
ระบบ on-grid ที่ขนาดพอดีโหลดกลางวันในประเทศไทยมักคืนทุนอย่างง่ายประมาณ 5–7 ปี ขึ้นกับราคาติดตั้ง สัดส่วนที่ใช้เอง ค่าไฟ และผลผลิตของพื้นที่ ระบบที่มีแบตเตอรี่คืนทุนนานกว่า (ประมาณ 8–12 ปี) กิจการที่ใช้อัตรา TOU และใช้ไฟกลางวันมากอาจคืนทุนได้ภายใน 3–5 ปี

**LCOE ของโซลาร์เซลล์คืออะไร ทำไมต้องรู้?**
LCOE คือต้นทุนต่อหน่วยไฟฟ้าตลอดอายุโครงการ คำนวณจากต้นทุนทั้งหมดที่คิดลดแล้วหารด้วยพลังงานทั้งหมดที่คิดลดแล้ว ถ้า LCOE ต่ำกว่าค่าไฟที่ประหยัดได้ ระบบคุ้มทุน ระบบบ้านในไทยมี LCOE ประมาณ 1.6–2.5 บาท/kWh ต่ำกว่าค่าไฟบ้านราว 4–4.5 บาท/kWh

**ระยะคืนทุน กับ IRR ควรดูอะไร?**
ระยะคืนทุนบอกความเร็วที่ได้เงินคืน เข้าใจง่ายแต่ไม่สนใจผลตอบแทนหลังคืนทุนและมูลค่าของเวลา IRR บอกผลตอบแทนต่อปีตลอดอายุ เปรียบเทียบกับดอกเบี้ยเงินฝากหรือต้นทุนเงินกู้ได้ NPV บอกมูลค่าความมั่งคั่งที่เพิ่มขึ้นจริง ควรดูทั้งสามค่าประกอบกับการวิเคราะห์ความไว

---

# คาดการณ์พลังงานที่ผลิตได้: Performance Ratio ห่วงโซ่การสูญเสีย และ kWh/kWp ในไทย

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/energy-yield/
Updated: 2026-10-13
Summary: วิธีคาดการณ์พลังงานไฟฟ้าจากโซลาร์เซลล์ก่อนติดตั้ง: สมการ E = P × H × PR final yield reference yield performance ratio ตาม IEC 61724 การสูญเสียทีละรายการ อุณหภูมิ ฝุ่น เงา mismatch สาย อินเวอร์เตอร์ clipping การเสื่อมรายปี capacity factor P50 P90 ความไม่แน่นอน ผลผลิตรายเดือนของไทย และการใช้ PVGIS PVsyst SAM pvlib พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 16.8 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · Energy Yield Prediction

# คาดการณ์พลังงานที่ผลิตได้: Performance Ratio ห่วงโซ่การสูญเสีย และ kWh/kWp ในไทย

ก่อนลงทุนต้องตอบให้ได้ว่า “ระบบนี้จะผลิตไฟได้ปีละกี่หน่วย และมั่นใจแค่ไหน” คำตอบไม่ใช่กำลังบนป้ายคูณชั่วโมงแดด แต่ต้องหักการสูญเสียทีละรายการ ตั้งแต่ความร้อนของแผงจนถึงสาย AC แล้วบอกความไม่แน่นอนด้วย หน้านี้สร้างการคาดการณ์แบบที่วิศวกรใช้ ตั้งแต่สูตรบรรทัดเดียวจนถึง P50/P90

สรุปใน 30 วินาที

- $E = P_{STC}\times H_{POA}\times PR$ · ไทย: 1 kWp ≈ 1,300–1,450 kWh/ปี ≈ 3.6–4.0 kWh/วัน

- PR = ผลคูณของ (1 − การสูญเสีย) ทุกรายการ การสูญเสียที่ใหญ่ที่สุดในไทยคืออุณหภูมิ (8–12 %)

- มี.ค.–เม.ย. ผลิตมากสุด ส.ค.–ก.ย. น้อยสุด ต่างกันราว 25 %

- รายงานเป็น P50 และ P90 เสมอเมื่อใช้ตัดสินใจลงทุน

## สมการพลังงานบรรทัดเดียว พื้นฐาน

E1 Energy yield พลังงานที่ผลิตได้

$$E_{day} = P_{STC}\times PSH_{POA}\times PR \qquad E_{year} = P_{STC}\times H_{POA,year}\times PR$$

E2 Yields and PR (IEC 61724) ผลผลิตจำเพาะและ performance ratio

$$Y_f = \frac{E_{AC}}{P_{STC}}\ \left[\tfrac{\text{kWh}}{\text{kWp}}\right] \qquad Y_r = \frac{H_{POA}}{1\ \text{kW/m}^2}\ [\text{h}] \qquad PR = \frac{Y_f}{Y_r}$$

$Y_f$ (specific yield) ใช้เทียบระบบต่างขนาดในพื้นที่เดียวกัน $PR$ ใช้เทียบระบบต่างพื้นที่ เพราะหักผลของแสงออกแล้ว ทั้งสองค่าคือภาษากลางระหว่างผู้ออกแบบ ผู้ลงทุน และผู้ดูแลระบบ

## ห่วงโซ่การสูญเสีย กลาง

E3 PR as a loss chain PR จากห่วงโซ่การสูญเสีย

$$PR = \prod_i (1 - L_i)$$

E4 Temperature loss การสูญเสียจากอุณหภูมิ

$$L_T \approx |\gamma|\,(\bar T_{c} - 25) \qquad \bar T_c \approx \bar T_{a,day} + \Delta T_{mount}$$

$\bar T_c$ คืออุณหภูมิเซลล์เฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพลังงาน (ช่วงที่แสงมากมีน้ำหนักมาก) $\Delta T_{mount}$ ประมาณ 18–32 °C ตามวิธีติดตั้ง (ลอยน้ำต่ำสุด ติดชิดหลังคาสูงสุด)

| รายการ | ช่วงทั่วไปในไทย | ลดได้อย่างไร |

| อุณหภูมิ | 8–12 % | แผง γ ต่ำ (HJT/TOPCon) ยกแผงให้มีช่องลม |

| ฝุ่น/สิ่งสกปรก | 2–6 % (ฟาร์มใกล้ไร่อ้อย ถนนลูกรัง ฟาร์มสัตว์ปีก 5–10 %) | มุมเอียง ≥ 10° ล้างตามรอบ |

| เงาบัง | 0–10 % | ออกแบบตามกฎ 09–15 น. แยก MPPT optimizer |

| แสงน้อย + มุมตกกระทบ (IAM) + สเปกตรัม | 2–4 % | กระจก AR coating แผง low-light ดี |

| Mismatch + LID | 1–3 % | แผงรุ่นเดียวกัน n-type (ไม่มี LID) |

| สาย DC | 1–2 % | สายใหญ่ขึ้น สตริงยาวขึ้น |

| อินเวอร์เตอร์ (ประสิทธิภาพถ่วงน้ำหนัก) | 1.5–4 % | อินเวอร์เตอร์ Euro/CEC efficiency ≥ 97.5 % |

| Clipping | 0–3 % | DC/AC 1.1–1.3 |

| สาย AC + หม้อแปลง (ฟาร์ม) | 0.5–2 % | — |

| หยุดทำงาน/ไฟดับ/ตัดเพราะแรงดันเกิน | 0.5–3 % | monitoring แจ้งเตือน ตรวจแรงดันกริด |

ตัวอย่าง E-1

### ระบบ 5.8 kWp กรุงเทพฯ หลังคาทิศใต้ 15°

- GHI 4.8 kWh/m²/วัน × ตัวประกอบระนาบเอียง 1.04 → $H_{POA}$ = 4.99 kWh/m²/วัน

- E4: อากาศกลางวันเฉลี่ย 33 °C + ยกลอยบนหลังคา 25 °C → $\bar T_c$ = 58 °C → $L_T = 0.29(58-25) = 9.6\ \%$

- E3: $PR = (1-0.096)(1-0.03)(1-0.02)(1-0.015)(1-0.025)(1-0.005)(1-0.03)(1-0.01) = 0.789$

- E1: $E_{year} = 5.8 \times 4.99 \times 365 \times 0.789 \approx 8{,}340$ kWh/ปี → $Y_f$ ≈ 1,437 kWh/kWp ≈ 22.8 kWh/วัน

- ถ้าหลังคาร้อนไม่มีช่องลม (+7 °C) ฝุ่น 5 % และมีเงาเช้า 3 % → PR ลดเหลือ ≈ 0.73 และ $Y_f$ ≈ 1,330 — นี่คือเหตุผลที่ค่าในไทยมีช่วงกว้าง 1,300–1,450

## เครื่องคำนวณพลังงานและ PR

เปลี่ยนพื้นที่ ทิศ การติดตั้ง และการสูญเสียแต่ละรายการ กราฟแท่งแสดงพลังงานรายเดือนตามรูปแบบแสงของภาคกลาง (ค่าประมาณ)

## รายเดือน รายปี และการเสื่อม กลาง

ผลผลิตรายเดือนตามรูปแบบแสงของภาคกลาง (ค่าสัมพัทธ์ มี.ค. 1.13 · เม.ย. 1.16 · ส.ค. 0.93 · ก.ย. 0.92) ระบบในตัวอย่าง E-1 ผลิตเดือนมีนาคม ≈ 800 kWh และกันยายน ≈ 630 kWh การวางแผนการเงินรายเดือนจึงควรเผื่อช่วงฝน

E5 Energy with yearly degradation พลังงานเมื่อแผงเสื่อมทุกปี

$$E_y = E_1\,(1-d)^{y-1} \qquad \sum_{y=1}^{N}E_y = E_1\,\frac{1-(1-d)^N}{d}$$

ตัวอย่าง: $d$ = 0.4 %/ปี $N$ = 25 ปี → ผลรวมเท่ากับ $E_1 \times 23.8$ ไม่ใช่ $E_1 \times 25$ (ใช้ในหน้า ความคุ้มค่า)

E6 Capacity factor ตัวประกอบกำลังการผลิต

$$CF = \frac{E_{year}}{P_{rated}\times 8760\ \text{h}}$$

โซลาร์ในไทยมี CF ราว 15–17 % เทียบ kWp (สูงขึ้นถ้าเทียบพิกัด AC ของระบบที่ DC/AC > 1) ใช้เทียบกับโรงไฟฟ้าชนิดอื่นและคำนวณขนาดที่ต้องการต่อพลังงาน

## ความไม่แน่นอน P50 และ P90 ขั้นสูง

E7 P90 from combined uncertainty P90 จากความไม่แน่นอนรวม

$$\sigma_{tot} = \sqrt{\sum_i \sigma_i^2} \qquad P_{90} = P_{50}\,(1 - 1.282\,\sigma_{tot}) \qquad \sigma_{IAV,N\text{ yr}} = \frac{\sigma_{IAV}}{\sqrt N}$$

1.282 มาจากการแจกแจงปกติ (โอกาสเกิน 90 %) แหล่งความไม่แน่นอนหลัก: ความแปรปรวนของแสงระหว่างปี (inter-annual variability) ความแม่นของข้อมูลแสง แบบจำลองการแปลงเป็นระนาบเอียงและแบบจำลองระบบ การสูญเสียที่ประมาณ (ฝุ่น การเสื่อม ความพร้อมใช้)

ตัวอย่าง E-2

### P90 ของโครงการ

ความแปรปรวนรายปี 4 % ข้อมูลแสง 5 % แบบจำลอง 3 % การสูญเสียอื่น 3 %

- $\sigma_{tot} = \sqrt{4^2+5^2+3^2+3^2} = 7.7\ \%$

- P90 หนึ่งปี $= P_{50}(1 - 1.282 \times 0.077) = 0.90\,P_{50}$

- P90 เฉลี่ย 10 ปี: ความแปรปรวนรายปีลดเหลือ $4/\sqrt{10} = 1.26\ \%$ → $\sigma_{tot}$ = 6.7 % → P90 = 0.91 $P_{50}$

- ความหมาย: ส่วนที่ลดไม่ได้ด้วยเวลาคือข้อมูลแสงและแบบจำลอง — การวัดแสงหน้างานจริง 1 ปีช่วยลดความไม่แน่นอนได้มากที่สุด

## คำนวณรายชั่วโมงด้วยตัวเอง ขั้นสูง

ซอฟต์แวร์ทุกตัวทำสิ่งเดียวกันในหลักการ: ทุกชั่วโมงของปีตัวแทน (8,760 ค่า) คำนวณตำแหน่งดวงอาทิตย์ แปลงแสงเป็นบนระนาบแผง หักเงาและ IAM คำนวณอุณหภูมิเซลล์ คำนวณกำลัง DC หักการสูญเสีย DC ผ่านแบบจำลองอินเวอร์เตอร์ (รวม clipping) แล้วรวมเป็นพลังงาน โค้ดแบบย่อ (Python/NumPy) เพื่อให้เห็นโครงสร้าง:

import numpy as np
# poa: W/m2 บนระนาบแผง (8760 ค่า), ta: อุณหภูมิอากาศ °C, จากข้อมูลรายชั่วโมงของพื้นที่
P_stc, gamma, noct = 5800.0, -0.0029, 43.0 # W, 1/°C, °C
p_ac_max, eta_inv = 5000.0, 0.975
dc_loss = (1-0.03)*(1-0.02)*(1-0.015)*(1-0.03) # ฝุ่น, mismatch, สาย DC, IAM/แสงน้อย

tc = ta + (noct - 20) / 800 * poa # P7
p_dc = P_stc * poa / 1000 * (1 + gamma * (tc - 25)) * dc_loss
p_ac = np.minimum(p_dc * eta_inv, p_ac_max) # clipping ที่พิกัด AC
E_kwh = p_ac.sum() / 1000 # ข้อมูลรายชั่วโมง → Wh ต่อชั่วโมง
PR = E_kwh / (P_stc / 1000 * poa.sum() / 1000)
สำหรับงานวิจัยใช้ไลบรารี pvlib python ซึ่งมีแบบจำลองตำแหน่งดวงอาทิตย์ (SPA) การแปลงแสง (Perez, Hay-Davies) อุณหภูมิเซลล์ (SAPM, Faiman) แบบจำลองไดโอดเดี่ยว (CEC, De Soto) และ PVWatts ครบ และดึงข้อมูลจาก PVGIS/NSRDB ได้

## ซอฟต์แวร์และแหล่งข้อมูล

| เครื่องมือ | ราคา | เหมาะกับ |

| PVGIS (European Commission JRC) | ฟรี บนเว็บ | ประเมินเบื้องต้น ข้อมูลรายชั่วโมง TMY ของไทย |

| SAM (NREL System Advisor Model) | ฟรี | จำลองละเอียด + การเงิน + แบตเตอรี่ |

| pvlib python | ฟรี โอเพนซอร์ส | งานวิจัย ระบบอัตโนมัติ เทียบกับข้อมูลวัดจริง |

| PVsyst | เชิงพาณิชย์ | มาตรฐานอุตสาหกรรม รายงานสำหรับธนาคาร P50/P90 |

| HelioScope, Aurora, PVcase | เชิงพาณิชย์ | ออกแบบผังบนภาพดาวเทียม/3D เงาบัง สายไฟ |

| แอปของผู้ผลิตอินเวอร์เตอร์ | ฟรี | ตรวจสตริงกับอินเวอร์เตอร์รุ่นนั้น |

ตรวจสอบย้อนกลับเสมอ หลังติดตั้งให้เทียบพลังงานจริงกับการคาดการณ์ที่ปรับด้วยแสงจริงของเดือนนั้น (weather-corrected PR) ไม่ใช่เทียบกับค่าเฉลี่ยระยะยาว เพราะปีที่ฝนมากผลิตน้อยลงได้ 5–8 % โดยระบบไม่ได้ผิดปกติ (ดู เฝ้าติดตาม)

## คำถามที่พบบ่อย

Performance Ratio (PR) ของระบบโซลาร์ที่ดีควรเป็นเท่าไร?
ระบบหลังคาในประเทศไทยที่ออกแบบดีมี PR รายปีประมาณ 0.75–0.82 โซลาร์ฟาร์มที่ดูแลดีได้ 0.80–0.85 PR ต่ำกว่า 0.7 บ่งชี้ปัญหา เช่น เงาบัง ฝุ่นมาก อินเวอร์เตอร์ตัดบ่อย หรือแผงเสื่อม PR ในไทยต่ำกว่าประเทศเขตหนาวเพราะอุณหภูมิเซลล์สูง

P50 กับ P90 ต่างกันอย่างไร?
P50 คือพลังงานรายปีที่มีโอกาสเกินครึ่งหนึ่ง (ค่ากลาง) P90 คือพลังงานที่มีโอกาส 90 % ที่จะผลิตได้มากกว่า ใช้เป็นฐานของสินเชื่อโครงการ ถ้าความไม่แน่นอนรวมประมาณ 7–8 % P90 หนึ่งปีจะต่ำกว่า P50 ประมาณ 10 %

ใช้โปรแกรมอะไรคาดการณ์พลังงานโซลาร์ได้ฟรี?
PVGIS ของ European Commission ใช้ผ่านเว็บได้ทันทีและมีข้อมูลประเทศไทย SAM ของ NREL เป็นโปรแกรมฟรีที่ละเอียดรวมการเงิน pvlib python เหมาะกับงานวิจัยและการคำนวณรายชั่วโมงเอง ส่วน PVsyst เป็นโปรแกรมเชิงพาณิชย์ที่ธนาคารและผู้พัฒนาโครงการใช้เป็นมาตรฐาน

## FAQ

**Performance Ratio (PR) ของระบบโซลาร์ที่ดีควรเป็นเท่าไร?**
ระบบหลังคาในประเทศไทยที่ออกแบบดีมี PR รายปีประมาณ 0.75–0.82 โซลาร์ฟาร์มที่ดูแลดีได้ 0.80–0.85 PR ต่ำกว่า 0.7 บ่งชี้ปัญหา เช่น เงาบัง ฝุ่นมาก อินเวอร์เตอร์ตัดบ่อย หรือแผงเสื่อม PR ในไทยต่ำกว่าประเทศเขตหนาวเพราะอุณหภูมิเซลล์สูง

**P50 กับ P90 ต่างกันอย่างไร?**
P50 คือพลังงานรายปีที่มีโอกาสเกินครึ่งหนึ่ง (ค่ากลาง) P90 คือพลังงานที่มีโอกาส 90 % ที่จะผลิตได้มากกว่า ใช้เป็นฐานของสินเชื่อโครงการ ถ้าความไม่แน่นอนรวมประมาณ 7–8 % P90 หนึ่งปีจะต่ำกว่า P50 ประมาณ 10 %

**ใช้โปรแกรมอะไรคาดการณ์พลังงานโซลาร์ได้ฟรี?**
PVGIS ของ European Commission ใช้ผ่านเว็บได้ทันทีและมีข้อมูลประเทศไทย SAM ของ NREL เป็นโปรแกรมฟรีที่ละเอียดรวมการเงิน pvlib python เหมาะกับงานวิจัยและการคำนวณรายชั่วโมงเอง ส่วน PVsyst เป็นโปรแกรมเชิงพาณิชย์ที่ธนาคารและผู้พัฒนาโครงการใช้เป็นมาตรฐาน

---

# พยากรณ์กำลังผลิตโซลาร์ล่วงหน้าและการเฝ้าติดตาม: clear-sky พยากรณ์อากาศ ML และตรวจจับความผิดปกติ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/forecasting-monitoring/
Updated: 2026-10-13
Summary: การคาดการณ์ล่วงหน้าของระบบโซลาร์: ระยะพยากรณ์ตั้งแต่นาทีถึงวัน แบบจำลองท้องฟ้าแจ่มใส clear-sky index persistence การพยากรณ์จากภาพดาวเทียม กล้องท้องฟ้า และแบบจำลองอากาศเชิงตัวเลข (NWP) machine learning และการพยากรณ์เชิงความน่าจะเป็น ตัวชี้วัด MAE RMSE skill score ระบบเฝ้าติดตาม KPI PR availability performance index และการตรวจจับความผิดปกติอัตโนมัติ พร้อมตัวอย่างและโค้ด

// บทที่ 16.11 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · PV Forecasting & Monitoring

# พยากรณ์กำลังผลิตโซลาร์ล่วงหน้าและการเฝ้าติดตาม: clear-sky พยากรณ์อากาศ ML และตรวจจับความผิดปกติ

การคาดการณ์รายปี (หน้าก่อน) ตอบว่าควรลงทุนไหม แต่เมื่อระบบเดินแล้ว คำถามเปลี่ยนเป็น “พรุ่งนี้บ่ายจะผลิตได้เท่าไร” เพื่อวางแผนชาร์จแบต ตั้งเวลาโหลด ซื้อขายไฟ หรือให้ศูนย์ควบคุมของการไฟฟ้าเตรียมโรงไฟฟ้าสำรอง และ “วันนี้ผลิตน้อยเพราะเมฆหรือเพราะระบบเสีย” หน้านี้ครอบคลุมทั้งการพยากรณ์ล่วงหน้าและการเฝ้าติดตามที่ใช้ตอบสองคำถามนี้

สรุปใน 30 วินาที

- แยกส่วนแน่นอน (ดวงอาทิตย์ → clear-sky) ออกจากส่วนไม่แน่นอน (เมฆ → clear-sky index)

- นาที: กล้องท้องฟ้า · ชั่วโมง: ดาวเทียม · วันถึงหลายวัน: แบบจำลองอากาศ NWP + ML

- รายงานความแม่นเป็น skill score เทียบ persistence เสมอ

- เฝ้าติดตามด้วย “พลังงานที่ควรได้” จากแสงจริง แล้วเทียบสตริงกันเอง

## ใครต้องการพยากรณ์ และต้องการล่วงหน้าแค่ไหน พื้นฐาน

| ผู้ใช้ | ใช้ทำอะไร | ระยะล่วงหน้า |

| บ้าน/อาคารที่มีแบตเตอรี่ | ตัดสินใจว่าคืนนี้ควรชาร์จแบตจากกริดราคาถูก (TOU off-peak) หรือรอแดดพรุ่งนี้ | 12–36 ชั่วโมง |

| โรงงาน | ตั้งเวลาโหลดยืดหยุ่น (ห้องเย็น ปั๊ม ชาร์จรถยก) ลด peak demand | ชั่วโมง–1 วัน |

| โซลาร์ฟาร์ม/ผู้รวมไฟ (VPP) | แจ้งกำลังผลิตล่วงหน้าตามสัญญาหรือข้อกำหนดของผู้ควบคุมระบบ | วันถัดไป และปรับระหว่างวัน |

| ศูนย์ควบคุมระบบไฟฟ้า | เตรียมกำลังสำรอง (reserve) และ ramp ของโรงไฟฟ้าอื่น | นาที–หลายวัน |

| ระบบ hybrid ที่ microgrid/เกาะ | จัดการเครื่องปั่นไฟและแบต ลดน้ำมัน | นาที–ชั่วโมง |

## ระยะพยากรณ์และวิธีที่เหมาะ กลาง

| ระยะ | วิธี | ข้อมูลที่ใช้ |

| วินาที–30 นาที (nowcasting) | กล้องถ่ายท้องฟ้า (all-sky imager) ติดตามการเคลื่อนของเมฆ · ข้อมูลกำลังผลิตล่าสุด | ภาพท้องฟ้า, SCADA |

| 30 นาที–6 ชั่วโมง | Cloud motion vector จากภาพดาวเทียม (Himawari สำหรับเอเชีย ทุก 10 นาที) | ดาวเทียม |

| 6 ชั่วโมง–7 วัน | แบบจำลองอากาศเชิงตัวเลข (NWP) เช่น ECMWF IFS, NOAA GFS, WRF ระดับภูมิภาค + การแก้ค่าเชิงสถิติ/ML | NWP, ข้อมูลย้อนหลังของโรงไฟฟ้า |

| เดือน–ฤดู | ค่าเฉลี่ยระยะยาว + ดัชนีภูมิอากาศ (ENSO) | ภูมิอากาศวิทยา |

ในประเทศไทย ความยากอยู่ที่เมฆก่อตัวเร็ว (convective clouds) ช่วงบ่ายในฤดูฝน และหมอกควันในภาคเหนือช่วงต้นปี ส่วนฤดูแล้งท้องฟ้าค่อนข้างคงที่ พยากรณ์แม่นกว่า

## แยกส่วนแน่นอนออกด้วย clear-sky กลาง

A1 Clear-sky index ดัชนีท้องฟ้าแจ่มใส

$$k^*(t) = \frac{G(t)}{G_{cs}(t)} \qquad \hat P(t+h) = \hat k^*(t+h)\,P_{cs}(t+h)$$

A2 Haurwitz clear-sky model แบบจำลองท้องฟ้าแจ่มใสอย่างง่าย

$$GHI_{cs} = 1098\,\cos\theta_z\,\exp\!\left(-\frac{0.057}{\cos\theta_z}\right)\ \text{W/m}^2$$

แบบจำลองนี้ใช้เพียงมุมเซนิท (R4) แบบจำลองที่แม่นกว่า (Ineichen–Perez, REST2, McClear) ใช้ความขุ่นของบรรยากาศ (Linke turbidity, aerosol, ไอน้ำ) ซึ่งสำคัญในไทยเพราะหมอกควันและความชื้นสูง

ตัวอย่าง A-1

### แสงฟ้าใสตอนเที่ยงที่กรุงเทพฯ วันที่ 21 มีนาคม

- มุมเงย 75.8° (ตัวอย่าง R-2) → $\theta_z = 14.2^\circ$, $\cos\theta_z = 0.969$

- $GHI_{cs} = 1098(0.969)\exp(-0.057/0.969) = 1098(0.969)(0.943) = 1{,}004\ \text{W/m}^2$

- ถ้าวัดได้ 650 W/m² → $k^* = 0.65$ มีเมฆบางส่วน · ถ้าพรุ่งนี้พยากรณ์ $k^* = 0.8$ ที่เวลาเดียวกัน → $\hat G \approx 800$ W/m²

A3 (Smart) persistence baseline การพยากรณ์อ้างอิงแบบคงสภาพ

$$\hat P(t+h) = P(t) \qquad \text{smart: } \hat k^*(t+h) = k^*(t)\ \Rightarrow\ \hat P(t+h) = k^*(t)\,P_{cs}(t+h)$$

Persistence คือ “พรุ่งนี้เหมือนวันนี้” หรือ “อีก 15 นาทีเหมือนตอนนี้” เป็นคู่แข่งที่เอาชนะยากในระยะสั้นมาก ทุกวิธีพยากรณ์ต้องเทียบกับมันก่อน

## Machine learning และการพยากรณ์เชิงความน่าจะเป็น ขั้นสูง

แนวทางที่ใช้ได้ผลในทางปฏิบัติคือ ให้ NWP บอกสภาพอากาศ แล้วให้ ML แปลงเป็นกำลังของโรงไฟฟ้านั้น (model output statistics) เพราะ ML เรียนรู้ความลำเอียงของ NWP ในพื้นที่ และพฤติกรรมเฉพาะของระบบ (เงา clipping ฝุ่น) จากข้อมูลย้อนหลัง

- คุณลักษณะ (features): GHI/k* จาก NWP หลายจุดรอบโรงไฟฟ้า เมฆต่ำ/กลาง/สูง อุณหภูมิ ความชื้น ลม มุมดวงอาทิตย์ ชั่วโมง วันในปี กำลังผลิตล่าสุด (สำหรับระยะสั้น)

- แบบจำลอง: gradient boosting (XGBoost/LightGBM) ทำงานดีกับข้อมูลตาราง · LSTM/Temporal CNN/Transformer สำหรับลำดับเวลา · CNN กับภาพดาวเทียม

- เชิงความน่าจะเป็น: พยากรณ์ quantile (P10, P50, P90) ด้วย quantile regression หรือ ensemble ของ NWP ให้ผู้ใช้ตัดสินใจด้วยความเสี่ยง เช่น สำรองแบตไว้เผื่อกรณี P10

- ข้อควรระวัง: แบ่งข้อมูล train/test ตามเวลา (ห้ามสุ่มปน) ตรวจข้อมูลช่วงไฟดับ/ตัด export ที่ไม่ใช่สภาพอากาศ และ retrain เมื่อระบบเปลี่ยน

# พยากรณ์ day-ahead แบบย่อ: NWP + gradient boosting (scikit-learn)
import pandas as pd
from sklearn.ensemble import GradientBoostingRegressor

df = pd.read_csv("plant_hourly.csv", parse_dates=["time"]) # กำลังจริง + NWP ของวันก่อนหน้า
df = df[df.sun_elev > 0] # เฉพาะกลางวัน
X = df[["nwp_ghi", "nwp_cloud_low", "nwp_cloud_mid", "nwp_temp", "sun_elev", "hour", "doy"]]
y = df["p_ac_kw"]

cut = df.time < "2026-01-01" # แบ่งตามเวลา ไม่สุ่ม
model = GradientBoostingRegressor(n_estimators=400, max_depth=4, learning_rate=0.05)
model.fit(X[cut], y[cut])
pred = model.predict(X[~cut]).clip(0, df.p_ac_max.iloc[0]) # ไม่ติดลบ ไม่เกินพิกัด
nmae = (abs(pred - y[~cut])).mean() / df.p_ac_max.iloc[0]

## วัดความแม่นของการพยากรณ์ กลาง

A4 Error metrics ตัวชี้วัดความคลาดเคลื่อน

$$MAE = \frac{1}{n}\sum|\hat P_i - P_i| \qquad RMSE = \sqrt{\frac{1}{n}\sum(\hat P_i - P_i)^2} \qquad nMAE = \frac{MAE}{P_{rated}}$$

A5 Forecast skill score คะแนนทักษะเทียบ persistence

$$SS = 1 - \frac{RMSE_{model}}{RMSE_{persistence}}$$

ตัวอย่าง A-2

### พยากรณ์พลังงานรายวัน 5 วัน (MWh)

| วัน | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

| จริง | 3.2 | 4.1 | 4.6 | 3.9 | 2.1 |

| พยากรณ์ | 3.0 | 4.4 | 4.3 | 3.5 | 2.9 |

| Persistence (เท่าเมื่อวาน) | 3.5 | 3.2 | 4.1 | 4.6 | 3.9 |

- ความคลาดเคลื่อนของพยากรณ์: −0.2, +0.3, −0.3, −0.4, +0.8 → MAE = 2.0/5 = 0.40 MWh

- $RMSE_{model} = \sqrt{(0.04+0.09+0.09+0.16+0.64)/5} = 0.45$ MWh

- $RMSE_{pers} = \sqrt{(0.09+0.81+0.25+0.49+3.24)/5} = 0.99$ MWh

- A5: $SS = 1 - 0.45/0.99 = 0.54$ — ดีกว่า persistence 54 % · วันที่ 5 พลาดมากสุด (พายุฝนที่พยากรณ์ไม่ทัน) RMSE ลงโทษความผิดพลาดใหญ่มากกว่า MAE

## ระบบเฝ้าติดตามและ KPI พื้นฐาน

- ข้อมูล: อินเวอร์เตอร์ส่งค่าผ่าน Modbus RTU/TCP (โปรไฟล์ SunSpec) หรือคลาวด์ของผู้ผลิต: กำลัง AC/DC แรงดันและกระแสแต่ละ MPPT/สตริง อุณหภูมิ รหัสความผิดพร่อง · มิเตอร์ที่จุดต่อ · เซนเซอร์แสงบนระนาบแผง (เซลล์อ้างอิงหรือไพราโนมิเตอร์) และอุณหภูมิแผงสำหรับระบบเชิงพาณิชย์

- KPI ตาม IEC 61724-1: พลังงาน, $Y_f$, PR (และ PR ปรับอุณหภูมิ), availability, ความผิดพร่องและเวลาซ่อม

- ระบบบ้าน: แอปของผู้ผลิตอินเวอร์เตอร์เพียงพอ ตั้งการแจ้งเตือนเมื่อพลังงานรายวันต่ำกว่าค่าคาดหมายหรือมี error

- ระบบใหญ่: SCADA/แพลตฟอร์ม monitoring ที่รวมหลายยี่ห้อ ตรวจรายสตริงด้วยตัวเลขเชิงสถิติ และส่งงานให้ทีม O&M

A6 Expected power and performance index กำลังที่ควรได้และดัชนีสมรรถนะ

$$P_{exp} = P_{STC}\,\frac{G_{POA}}{1000}\left[1+\gamma(T_c-25)\right]\eta_{sys} \qquad PI = \frac{P_{meas}}{P_{exp}}$$

A7 String deviation from the median ค่าเบี่ยงเบนของสตริงจากค่ามัธยฐาน

$$\delta_k = \frac{I_k - \operatorname{median}(I)}{\operatorname{median}(I)} \qquad \text{เตือนเมื่อ } \delta_k 600\ \text{W/m}^2$$

ตัวอย่าง A-3

### ระบบ 5.8 kWp ผลิตน้อยหรือแค่มีเมฆ

เวลา 11:00 น. เซนเซอร์วัด $G_{POA}$ = 820 W/m² อุณหภูมิแผง 55 °C อินเวอร์เตอร์จ่าย 3.2 kW $\eta_{sys}$ (สาย ฝุ่น อินเวอร์เตอร์) ≈ 0.92

- $P_{exp} = 5.8(0.82)\left[1 - 0.0029(30)\right](0.92) = 5.8(0.82)(0.913)(0.92) = 3.99$ kW

- $PI = 3.2/3.99 = 0.80$ — ต่ำกว่าปกติ 20 % ทั้งที่แสงดี ไม่ใช่เพราะเมฆ

- ดูข้อมูลราย MPPT: MPPT1 7.6 A, MPPT2 4.9 A ขณะที่ทั้งสองทิศเดียวกัน → $\delta_2 = -35\ \%$ (เทียบ MPPT1)

- แรงดัน MPPT2 ต่ำกว่าปกติราว 1/3 ของแผงหนึ่งแผง → สงสัยบายพาสไดโอดลัดหรือเงาใหม่ ส่งช่างตรวจด้วยกล้องความร้อนและวัด $V_{oc}$ รายแผง (ดู ตารางอาการเสีย)

### การตรวจจับความผิดปกติที่ใช้ได้จริง

- เทียบกันเอง: สตริงเทียบสตริง อินเวอร์เตอร์เทียบอินเวอร์เตอร์ในทิศเดียวกัน — ไม่ต้องมีเซนเซอร์แสงก็ใช้ได้

- เทียบกับที่ควรได้: PI จากแสงและอุณหภูมิจริง หรือจากข้อมูลดาวเทียมเมื่อไม่มีเซนเซอร์

- รูปร่างกราฟรายวัน: ยอดแบน = clipping หรือจำกัดกำลัง · ตกเป็นศูนย์กลางวัน = trip (แรงดันกริดเกิน ฉนวนต่ำ) · ไม่สมมาตรเช้า-บ่าย = เงาข้างเดียว

- แนวโน้มระยะยาว: soiling ratio ระหว่างรอบล้าง และอัตราการเสื่อมรายปีด้วยวิธี year-on-year (เช่น ไลบรารี RdTools ของ NREL)

- ML: isolation forest / autoencoder กับข้อมูลหลายตัวแปร สำหรับระบบใหญ่ที่มีข้อมูลมาก (และต้องมีวิศวกรตรวจสอบผล)

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- Spatio-temporal forecasting ใช้ข้อมูลโรงไฟฟ้าข้างเคียงเป็นเซนเซอร์เมฆที่ลอยมา (graph neural networks)

- Regional/aggregate forecasting ของ PV บนหลังคาที่ไม่มีมิเตอร์แยก (behind-the-meter) สำหรับผู้ควบคุมระบบ — upscaling จากระบบตัวอย่าง

- Probabilistic evaluation: CRPS, pinball loss, reliability diagram

- Forecast-driven control: MPC สำหรับแบตเตอรี่และโหลดยืดหยุ่น การเสนอราคาในตลาดไฟฟ้าภายใต้ความไม่แน่นอน

- Physics-informed ML และ digital twin ของโรงไฟฟ้าสำหรับ O&M เชิงพยากรณ์

## คำถามที่พบบ่อย

พยากรณ์กำลังผลิตโซลาร์ล่วงหน้าทำได้แม่นแค่ไหน?
ขึ้นกับระยะเวลาล่วงหน้าและสภาพอากาศ พยากรณ์ล่วงหน้า 1 วันสำหรับโรงไฟฟ้าเดี่ยวมักมีความคลาดเคลื่อนเฉลี่ยสัมบูรณ์ประมาณ 5–10 % ของกำลังติดตั้งในเวลากลางวัน ฤดูฝนที่เมฆเปลี่ยนเร็วคลาดเคลื่อนมากกว่าฤดูแล้ง การรวมหลายโรงไฟฟ้าในพื้นที่กว้างช่วยลดความคลาดเคลื่อนลงมาก

Clear-sky index คืออะไร?
คืออัตราส่วนระหว่างแสงที่วัดหรือพยากรณ์ได้กับแสงที่จะได้ถ้าท้องฟ้าแจ่มใสในเวลาเดียวกัน ค่า 1 คือฟ้าใส ค่าต่ำคือมีเมฆ การพยากรณ์ค่า clear-sky index แทนการพยากรณ์แสงโดยตรงช่วยแยกส่วนที่คำนวณได้แน่นอน (ตำแหน่งดวงอาทิตย์) ออกจากส่วนที่ไม่แน่นอน (เมฆ)

จะรู้ได้อย่างไรว่าระบบโซลาร์ผลิตไฟน้อยผิดปกติ?
เทียบพลังงานจริงกับพลังงานที่ควรผลิตได้จากแสงและอุณหภูมิจริงของช่วงเวลานั้น ไม่ใช่เทียบกับเดือนก่อน ถ้า performance index ต่ำกว่าประมาณ 0.9 ต่อเนื่องให้ตรวจ และเทียบกระแสของแต่ละสตริงกันเอง สตริงที่ต่ำกว่าค่ามัธยฐานเกินประมาณ 10 % ในวันฟ้าใสบ่งชี้แผงสกปรก เงาใหม่ ขั้วต่อเสีย หรือบายพาสไดโอดลัด

## FAQ

**พยากรณ์กำลังผลิตโซลาร์ล่วงหน้าทำได้แม่นแค่ไหน?**
ขึ้นกับระยะเวลาล่วงหน้าและสภาพอากาศ พยากรณ์ล่วงหน้า 1 วันสำหรับโรงไฟฟ้าเดี่ยวมักมีความคลาดเคลื่อนเฉลี่ยสัมบูรณ์ประมาณ 5–10 % ของกำลังติดตั้งในเวลากลางวัน ฤดูฝนที่เมฆเปลี่ยนเร็วคลาดเคลื่อนมากกว่าฤดูแล้ง การรวมหลายโรงไฟฟ้าในพื้นที่กว้างช่วยลดความคลาดเคลื่อนลงมาก

**Clear-sky index คืออะไร?**
คืออัตราส่วนระหว่างแสงที่วัดหรือพยากรณ์ได้กับแสงที่จะได้ถ้าท้องฟ้าแจ่มใสในเวลาเดียวกัน ค่า 1 คือฟ้าใส ค่าต่ำคือมีเมฆ การพยากรณ์ค่า clear-sky index แทนการพยากรณ์แสงโดยตรงช่วยแยกส่วนที่คำนวณได้แน่นอน (ตำแหน่งดวงอาทิตย์) ออกจากส่วนที่ไม่แน่นอน (เมฆ)

**จะรู้ได้อย่างไรว่าระบบโซลาร์ผลิตไฟน้อยผิดปกติ?**
เทียบพลังงานจริงกับพลังงานที่ควรผลิตได้จากแสงและอุณหภูมิจริงของช่วงเวลานั้น ไม่ใช่เทียบกับเดือนก่อน ถ้า performance index ต่ำกว่าประมาณ 0.9 ต่อเนื่องให้ตรวจ และเทียบกระแสของแต่ละสตริงกันเอง สตริงที่ต่ำกว่าค่ามัธยฐานเกินประมาณ 10 % ในวันฟ้าใสบ่งชี้แผงสกปรก เงาใหม่ ขั้วต่อเสีย หรือบายพาสไดโอดลัด

---

# ติดตั้ง ทดสอบ ส่งมอบ และบำรุงรักษาระบบโซลาร์: IEC 62446 I-V tracer ภาพความร้อน และวิเคราะห์อาการเสีย

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/installation-maintenance/
Updated: 2026-10-13
Summary: งานภาคสนามของระบบโซลาร์เซลล์: เตรียมหลังคาและโครงยึด แรงลม ความปลอดภัยการทำงานบนที่สูงและไฟ DC ขั้นตอนติดตั้ง การทดสอบก่อนจ่ายไฟตาม IEC 62446-1 ขั้ว Voc Isc ความต้านทานฉนวน I-V curve tracer ภาพถ่ายความร้อน IEC 62446-3 EL เอกสารส่งมอบ ตารางบำรุงรักษา คำนวณรอบล้างแผงที่คุ้มที่สุด และตารางวิเคราะห์อาการเสีย 20 แบบ

// บทที่ 16.18 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · Installation, Commissioning & O&M

# ติดตั้ง ทดสอบ ส่งมอบ และบำรุงรักษาระบบโซลาร์: IEC 62446 I-V tracer ภาพความร้อน และวิเคราะห์อาการเสีย

การออกแบบที่ดีพังได้ด้วยการติดตั้งที่ไม่ดี: ขั้วต่อย้ำไม่แน่น สายถูกบาดใต้แผง น็อตยึดหลังคารั่ว หรือไม่เคยวัดค่าจริงเทียบกับที่ออกแบบ หน้านี้รวมงานภาคสนามตั้งแต่วันติดตั้งจนถึงปีที่ 25: ขั้นตอนที่ปลอดภัย การทดสอบก่อนจ่ายไฟพร้อมวิธีตีความตัวเลข ตารางบำรุงรักษา และตารางวิเคราะห์อาการเสีย

สรุปใน 30 วินาที

- ทุกสตริง: วัดขั้ว $V_{oc}$ $I_{sc}$ และฉนวน แล้วเทียบกับค่าที่ปรับตามแสงและอุณหภูมิขณะวัด

- $V_{oc}$ ต่ำไป 1/3 แผง = ไดโอดลัด · ต่ำไปหนึ่งแผง = ต่อข้าม/แผงหาย · ฉนวนต่ำ = สายถลอกหรือความชื้น

- ภาพความร้อนและ I-V curve หาปัญหาที่ตาเปล่ามองไม่เห็น

- ล้างแผงเมื่อมูลค่าไฟที่เสียไปเท่ากับค่าล้าง ไม่ใช่ตามปฏิทินอย่างเดียว

## ความปลอดภัยต้องมาก่อน พื้นฐาน

- ทำงานบนที่สูง: เข็มขัดนิรภัยแบบเต็มตัวพร้อมจุดยึด บันไดยึดแน่น ห้ามเดินบนแผ่นหลังคาโปร่งแสงหรือกระเบื้องที่ไม่ได้รับน้ำหนัก หยุดงานเมื่อลมแรงหรือฝนฟ้าคะนอง

- ไฟ DC มีตลอดเวลาที่มีแสง: ใช้เครื่องมือหุ้มฉนวน ถุงมือ แว่นตา ห้ามถอดขั้ว MC4 ขณะมีกระแส (ตัด DC isolator หรือหยุดอินเวอร์เตอร์ก่อน) ปิดแผงด้วยผ้าทึบเมื่อต้องทำงานกับขั้วที่เปิดอยู่

- ล็อกและติดป้าย (LOTO) ทั้งฝั่ง AC และ DC ก่อนทำงานกับอินเวอร์เตอร์และแบตเตอรี่

- ผู้ปฏิบัติงาน มีความรู้และใบอนุญาตตามข้อกำหนด งานต่อเข้าระบบไฟฟ้าทำโดยช่าง/วิศวกรไฟฟ้าที่มีคุณสมบัติ

## ขั้นตอนติดตั้ง พื้นฐาน

- สำรวจโครงสร้าง: แป จันทัน ระยะห่าง สภาพสนิม แผ่นหลังคาเดิม ให้วิศวกรโยธาประเมินน้ำหนักเพิ่ม (ระบบหลังคาทั่วไป 12–20 kg/m²) และแรงลมยก ตามมาตรฐานการคำนวณแรงลมของกรมโยธาธิการและผังเมือง (มยผ. 1311)

- เลือกอุปกรณ์ยึดให้ตรงชนิดหลังคา: เมทัลชีต (แคลมป์ยึดลอนหรือ L-foot พร้อมยางกันซึม) กระเบื้องลอน/CPAC (ตะขอใต้กระเบื้อง) ดาดฟ้าคอนกรีต (ฐานถ่วงน้ำหนักหรือพุกเคมีพร้อมกันซึม) — วัสดุอะลูมิเนียมและสแตนเลส น็อตกันคลาย

- วางราง จัดแนว เว้นระยะขอบหลังคา (ลมแรงที่ขอบและมุม) และช่องลมใต้แผง ≥ 10 cm

- ยกและวางแผง ตามจุดจับยึดในคู่มือแผง ขันด้วยแรงบิดที่กำหนด (torque wrench) ห้ามเหยียบ ห้ามวางของทับ

- เดินสาย DC ตาม หน้าสายไฟ ย้ำขั้วด้วยเครื่องมือที่ถูกต้อง ทดสอบดึง ยึดสายด้วยคลิปสแตนเลส/เคเบิลไทร์ทน UV ติดฉลากสตริงที่ปลายสายทั้งสองด้าน

- ติดตั้งอินเวอร์เตอร์ ในที่ร่ม อากาศถ่ายเท เว้นระยะรอบตัวเครื่องตามคู่มือ ต่อสายดิน SPD สวิตช์ตัดตอน เบรกเกอร์

- ทดสอบตามหัวข้อถัดไปก่อนเชื่อมกริด แล้วตั้งค่าประเทศ/มาตรฐาน (country code) ให้ตรงกับข้อกำหนดของการไฟฟ้า

## การทดสอบก่อนจ่ายไฟ (IEC 62446-1) กลาง

| การทดสอบ | เครื่องมือ | เกณฑ์/สิ่งที่ดู |

| ตรวจด้วยตา | เช็กลิสต์ | สายยึดแน่น ไม่ห้อย ขั้วต่อยี่ห้อเดียวกัน ป้ายครบ ไม่มีแผงแตก |

| ความต่อเนื่องของสายดิน/ประสานศักย์ | มิเตอร์ความต้านทานต่ำ | ทุกโครงและกรอบแผงต่อถึงขั้วดินหลัก |

| ขั้ว (polarity) | มัลติมิเตอร์ DC | ถูกขั้วทุกสตริงก่อนเสียบเข้าอินเวอร์เตอร์ (กลับขั้วอาจทำให้อินเวอร์เตอร์เสียหาย) |

| $V_{oc}$ ทุกสตริง | มัลติมิเตอร์ DC CAT III 1000 V ขึ้นไป | เทียบค่าคาดหมาย (I1) และเทียบสตริงกันเอง ต่างกันไม่เกิน ~2–3 % |

| $I_{sc}$ หรือกระแสใช้งาน | แคลมป์มิเตอร์ DC / I-V tracer | เทียบค่าคาดหมายที่แสงขณะวัด (≥ 400–600 W/m²) |

| ความต้านทานฉนวน | เครื่องทดสอบฉนวน 500/1,000 V DC | ≥ 1 MΩ ตามเกณฑ์ของมาตรฐาน (ทดสอบ + และ − ลงดิน โดยใช้วิธีที่ปลอดภัยตามคู่มือเครื่องมือ) |

| การทำงาน | — | สวิตช์ตัดตอน การตัดเมื่อไฟดับ (anti-islanding) การสื่อสาร monitoring |

| (ระดับ 2) I-V curve ทุกสตริง | I-V curve tracer + เซนเซอร์แสง/อุณหภูมิ | รูปร่างเส้นโค้ง FF กำลังที่ปรับเป็น STC |

| (ระดับ 2) ภาพถ่ายความร้อน | กล้องอินฟราเรด/โดรน (IEC 62446-3) | แสงบนแผง ≥ 600 W/m² หา hot spot ไดโอด ขั้วต่อร้อน |

I1 Expected string values at test conditions ค่าคาดหมายของสตริงขณะทดสอบ

$$V_{oc,exp} = N_s V_{oc,STC}\left[1+\beta(T_c-25)\right] \qquad I_{sc,exp} = I_{sc,STC}\,\frac{G}{1000}\left[1+\alpha(T_c-25)\right]$$

ตัวอย่าง I-1

### ตีความผลวัดสตริง 10 แผง

ขณะวัด: แสง 850 W/m² อุณหภูมิแผง 45 °C (วัดด้านหลังแผง)

- $V_{oc,exp} = 10(52.2)\left[1 - 0.0025(20)\right] = 495.9$ V · $I_{sc,exp} = 14.1(0.85)\left[1 + 0.00045(20)\right] = 12.09$ A

- สตริง A วัดได้ 489 V 12.0 A → ต่าง −1.4 % และ −0.7 % ปกติ

- สตริง B วัดได้ 479 V → ต่ำไป ≈ 17 V ≈ 1/3 ของแผงหนึ่งแผง → บายพาสไดโอดลัดหนึ่งตัว ไล่วัดรายแผง

- สตริง C วัดได้ 446 V → ต่ำไป ≈ 50 V ≈ หนึ่งแผง → ต่อข้ามแผงหรือนับแผงผิด ตรวจการเดินสาย

- สตริง D วัดได้ 495 V แต่กระแส 8.9 A → กระแสต่ำ 26 % → เงา สกปรกเฉพาะส่วน แผงต่างรุ่น หรือเซลล์ร้าว — ตรวจด้วยกล้องความร้อน/I-V curve

### อ่านรูปร่างเส้น I-V จาก curve tracer

| รูปร่างที่ผิดปกติ | สาเหตุที่น่าจะเป็น |

| ขั้นบันได (notch) | เงาบางส่วน สกปรกเฉพาะจุด เซลล์ร้าว บายพาสไดโอดนำ |

| ความชันใกล้ $V_{oc}$ ลดลง (โค้งลาด) | $R_s$ สูง: ขั้วต่อหลวม/ไหม้ ริบบอนขาด สายเล็ก |

| ความชันใกล้ $I_{sc}$ เอียงลง | $R_{sh}$ ต่ำ: PID เซลล์รั่ว |

| กระแสต่ำทั้งเส้น | ฝุ่นทั่วแผง การเสื่อม เซนเซอร์แสงไม่ตรงระนาบ |

| แรงดันต่ำเป็นขั้น 1/3 แผง | บายพาสไดโอดลัด |

### เอกสารส่งมอบ

SLD ฉบับติดตั้งจริง ผังแผงและสตริง ดาต้าชีตและใบรับรอง ผลทดสอบทุกสตริง (พร้อมแสงและอุณหภูมิขณะวัด) ภาพถ่ายระหว่างติดตั้ง (ขั้วต่อ จุดยึด กันซึม) ใบรับประกัน คู่มือการใช้งานและบำรุงรักษา ข้อมูลการเข้าระบบ monitoring และขั้นตอนตัดระบบฉุกเฉิน — ผลทดสอบวันส่งมอบคือ “ค่าตั้งต้น” ที่ใช้เทียบไปอีก 25 ปีและใช้ในการเคลมประกัน

## ตารางบำรุงรักษา พื้นฐาน

| ความถี่ | บ้าน/อาคาร | เพิ่มสำหรับระบบใหญ่ |

| รายวัน/รายสัปดาห์ | ดูพลังงานในแอป เทียบวันที่แดดคล้ายกัน | ระบบแจ้งเตือนอัตโนมัติ PI รายสตริง (A6) |

| ทุก 3–6 เดือน | ล้างแผงตามความสกปรก ตรวจด้วยตาจากพื้น | ตัดหญ้า ตรวจรั้ว ระบายน้ำ |

| ทุก 6–12 เดือน | ทำความสะอาดอินเวอร์เตอร์ (ไส้กรอง ช่องลม) ตรวจ SPD ตรวจขั้วต่อในตู้ | ภาพความร้อน combiner/หม้อแปลง ขันขั้วตามแรงบิด |

| ปีละครั้ง | ตรวจโครงยึด สนิม กันซึม สายใต้แผง วัด $V_{oc}$/กระแสสตริงเทียบวันส่งมอบ | I-V curve ตัวอย่างสตริง ภาพความร้อนทั้งฟาร์มด้วยโดรน ทดสอบฉนวน |

| หลังพายุ/ฟ้าผ่า | ตรวจแผงแตก สายหลุด SPD | ตรวจตัวติดตามและรั้ว |

| ปีที่ 10–15 | วางแผนเปลี่ยนอินเวอร์เตอร์ พัดลม ตัวเก็บประจุ | retrofit อุปกรณ์รุ่นใหม่ |

## ล้างแผงเมื่อไรจึงคุ้ม กลาง

I2 Soiling ratio อัตราส่วนความสกปรก

$$SR = \frac{P_{dirty}}{P_{clean}}\ \text{(ที่แสงและอุณหภูมิเดียวกัน)} \qquad L_{soil} = 1 - SR$$

I3 Optimal cleaning interval (linear soiling) รอบล้างที่คุ้มที่สุด

$$\text{มูลค่าที่เสียใน } n \text{ วัน} \approx \frac{s\,n^2}{2}\,E_{day}\,c \qquad n^* = \sqrt{\frac{2\,C_{clean}}{s\,E_{day}\,c}}$$

$s$ = อัตราสะสมฝุ่น (สัดส่วนต่อวัน เช่น 0.001 = 0.1 %/วัน ในหน้าแล้ง) $E_{day}$ = พลังงานต่อวัน $c$ = มูลค่าต่อหน่วย $C_{clean}$ = ค่าล้างต่อครั้ง ล้างเมื่อครบ $n^*$ วัน หรือก่อนหน้านั้นถ้าฝนไม่ตก

ตัวอย่าง I-2

### บ้าน 5.8 kWp ค่าล้างครั้งละ 800 บาท

- $E_{day}$ = 22.8 kWh, $c$ = 4.2 บาท, $s$ = 0.1 %/วัน (หน้าแล้ง ไม่มีฝน)

- $n^* = \sqrt{\dfrac{2(800)}{0.001(22.8)(4.2)}} = \sqrt{16{,}700} \approx 129$ วัน

- ที่ 129 วัน แผงสกปรกสะสม ≈ 6.5 % (เฉลี่ยช่วงนั้น ≈ 3 %) → ล้างราว 2–3 ครั้งต่อปีเฉพาะช่วงแล้ง ฝนช่วยล้างหน้าฝน

- ถ้าใกล้ไร่อ้อยช่วงเผาหรือฟาร์มไก่ $s$ อาจเป็น 0.3–0.5 %/วัน → $n^*$ ≈ 60–75 วัน

## ตารางวิเคราะห์อาการเสีย 20 แบบ กลาง

| # | อาการ | สาเหตุที่น่าจะเป็น | วิธีตรวจ/แก้ |

| 1 | อินเวอร์เตอร์ไม่ทำงานเลยตอนเช้า | แรงดันสตริงต่ำกว่า start-up, DC isolator ปิด, ฟิวส์ขาด | วัด $V_{oc}$ ที่ขั้วอินเวอร์เตอร์ |

| 2 | Error “Isolation fault / Riso low” ตอนเช้าหลังฝนตก | สายถลอกที่ขอบราง ขั้วต่อเปียก กล่องแยกสายมีน้ำ | ทดสอบฉนวนทีละสตริง ตรวจขั้วต่อ |

| 3 | ตัดช่วงเที่ยง “Grid overvoltage” | แรงดันสายจำหน่ายสูง สาย AC เล็ก/ยาว | วัดแรงดันที่มิเตอร์และขั้วอินเวอร์เตอร์ แก้สาย AC แจ้งการไฟฟ้า เปิด Volt-VAR ตามที่อนุญาต |

| 4 | กำลังแบนเรียบช่วงเที่ยง | clipping ตาม DC/AC, export limit, derating ความร้อน | ดูอุณหภูมิอินเวอร์เตอร์ การตั้งค่า |

| 5 | สตริงหนึ่งกระแสต่ำกว่าเพื่อน | เงาใหม่ ฝุ่นเฉพาะจุด แผงเสีย ขั้วต่อหลวม | เทียบ δ (A7) ภาพความร้อน |

| 6 | แรงดันสตริงต่ำ 1/3 แผง | บายพาสไดโอดลัด | วัด $V_{oc}$ รายแผง เปลี่ยนกล่องต่อสาย/แผง |

| 7 | จุดร้อนบนแผง (hot spot) | เซลล์ร้าว เงาถาวร สิ่งสกปรกเกาะ (มูลนก) | ภาพความร้อน ทำความสะอาด เคลมแผง |

| 8 | ขั้วต่อ MC4 ร้อน ไหม้ | ต่างยี่ห้อ ย้ำไม่ดี น้ำเข้า | ตัดออกเปลี่ยนคู่ใหม่ยี่ห้อเดียวกัน |

| 9 | พลังงานลดลงทีละน้อยทุกปีมากกว่าการเสื่อม | PID ฝุ่นสะสม เงาต้นไม้ที่โตขึ้น | I-V curve ดูความชัน PID recovery ตัดแต่งต้นไม้ |

| 10 | อินเวอร์เตอร์หยุดเป็นพัก ๆ ช่วงบ่ายร้อน | ระบายความร้อนไม่พอ พัดลมเสีย ติดตั้งกลางแดด | ย้ายที่/ทำร่มเงา ทำความสะอาดพัดลม |

| 11 | RCD ทริปบ่อย | กระแสรั่วผ่านความจุแผงในอากาศชื้น RCD ไม่ตรงชนิด/พิกัด | ใช้ชนิดและพิกัดที่ผู้ผลิตกำหนด ตรวจฉนวน |

| 12 | Hybrid ไม่ชาร์จแบต/แบตหยุดกะทันหัน | การสื่อสาร BMS ขาด โปรโตคอลไม่ตรง แบตร้อน | ตรวจสาย CAN/RS485 ตั้งค่ายี่ห้อแบต |

| 13 | ไฟสำรองไม่ทำงานตอนไฟดับ | โหลดสำรองเกิน ไม่ได้เดินสายตู้สำรอง ตั้งค่า EPS ปิด | ทดสอบตัดไฟเมนเป็นระยะ |

| 14 | มิเตอร์การไฟฟ้าหมุนแปลก/บิลไม่ลด | CT ของ zero export กลับทิศ มิเตอร์ยังไม่ได้เปลี่ยน | ตรวจทิศ CT และสถานะการขนานไฟ |

| 15 | monitoring ขาดหาย | Wi-Fi อ่อน รหัสผ่านเปลี่ยน ดองเกิลเสีย | ใช้ LAN/4G หรือเราเตอร์ใกล้เครื่อง |

| 16 | หลังคารั่วหลังติดตั้ง | จุดเจาะกันซึมไม่ดี สกรูเอียง | ซ่อมกันซึม ใช้อุปกรณ์ยึดที่ไม่เจาะลอน |

| 17 | แผงแตก/กระจกร้าว | ลูกเห็บ กิ่งไม้ แรงบิดยึดมาก แผงบิดตัว | เปลี่ยนแผง (ตัดสตริงก่อน) ตรวจแรงบิดจุดยึด |

| 18 | หนู/สัตว์กัดสาย | สายไม่อยู่ในท่อ ช่องใต้แผงเป็นที่หลบ | ตะแกรงกันสัตว์ ท่อหุ้ม |

| 19 | พลังงานต่ำทั้งระบบแต่ไม่มี error | ฝุ่นทั่วทั้งระบบ ปีฝนชุก (เทียบด้วยแสงจริง) | คำนวณ PI จากแสงจริง ล้างแผง |

| 20 | อินเวอร์เตอร์เสียงหึ่ง/ร้อนผิดปกติ | ตัวเก็บประจุเสื่อม ฮาร์มอนิก ภาระเกิน | ติดต่อผู้ผลิต ตรวจคุณภาพไฟฟ้า (แล็บฮาร์มอนิก) |

วิธีคิดแบบเป็นระบบเหมือนงานซ่อมคอนเวอร์เตอร์ (วิเคราะห์อาการเสียของคอนเวอร์เตอร์): เริ่มจากข้อมูล → แยกส่วน (สตริง/อินเวอร์เตอร์/กริด) → วัดค่าที่เทียบได้ → เปลี่ยนทีละอย่าง → บันทึก

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- EL (electroluminescence) และ UVF (UV fluorescence) ภาคสนามเพื่อหารอยร้าวเซลล์ในฟาร์มขนาดใหญ่ (ทำกลางคืนหรือด้วยกล้องที่กรองแสง)

- การวิเคราะห์ภาพความร้อนจากโดรนด้วย AI จำแนกชนิดความผิดปกติอัตโนมัติ และหาตำแหน่งบนผังด้วย GPS

- Reliability-centered maintenance และการวางแผนอะไหล่จากอัตราความเสียหาย (FIT) ของอินเวอร์เตอร์ ขั้วต่อ และแผง

- การรีไซเคิลแผงหมดอายุ และการซ่อมแผง (repowering) เมื่อแผงรุ่นเดิมหาไม่ได้

## คำถามที่พบบ่อย

แผงโซลาร์ควรล้างบ่อยแค่ไหน?
ขึ้นกับฝุ่นในพื้นที่ ในเมืองที่ฝนตกตามฤดูมักล้าง 2–3 ครั้งต่อปี โดยเฉพาะปลายหน้าแล้ง พื้นที่ใกล้ไร่อ้อย ถนนลูกรัง โรงสี หรือฟาร์มสัตว์ปีกอาจต้องล้างทุก 1–2 เดือน วิธีตัดสินที่ดีคือเทียบพลังงานก่อนและหลังล้าง หรือคำนวณรอบที่ทำให้ค่าล้างเท่ากับมูลค่าไฟที่เสียไปจากฝุ่น

ทดสอบระบบโซลาร์ก่อนเปิดใช้งานต้องวัดอะไรบ้าง?
ตาม IEC 62446-1 อย่างน้อยต้องตรวจความต่อเนื่องของสายดินและการประสานศักย์ ตรวจขั้ววัดแรงดันเปิดวงจรของทุกสตริง วัดกระแสลัดวงจรหรือกระแสใช้งาน ทดสอบการทำงานของอุปกรณ์ตัดตอนและอินเวอร์เตอร์ และวัดความต้านทานฉนวนของวงจร DC แล้วบันทึกผลพร้อมแสงและอุณหภูมิขณะวัด ระบบใหญ่ควรวัด I-V curve ทุกสตริงและถ่ายภาพความร้อน

ล้างแผงโซลาร์ด้วยน้ำประปาและแปรงธรรมดาได้ไหม?
ใช้น้ำสะอาดแรงดันต่ำ ฟองน้ำหรือแปรงขนนุ่ม ไม่ใช้สารเคมีกัดกร่อนหรือแปรงลวด น้ำบาดาลกระด้างทิ้งคราบหินปูนได้ ล้างตอนเช้าหรือเย็นที่แผงไม่ร้อน เพื่อป้องกันกระจกช็อกจากน้ำเย็น ห้ามเหยียบแผง และระวังการตกจากที่สูงกับไฟ DC ที่มีอยู่ตลอดเวลาที่มีแสง

## FAQ

**แผงโซลาร์ควรล้างบ่อยแค่ไหน?**
ขึ้นกับฝุ่นในพื้นที่ ในเมืองที่ฝนตกตามฤดูมักล้าง 2–3 ครั้งต่อปี โดยเฉพาะปลายหน้าแล้ง พื้นที่ใกล้ไร่อ้อย ถนนลูกรัง โรงสี หรือฟาร์มสัตว์ปีกอาจต้องล้างทุก 1–2 เดือน วิธีตัดสินที่ดีคือเทียบพลังงานก่อนและหลังล้าง หรือคำนวณรอบที่ทำให้ค่าล้างเท่ากับมูลค่าไฟที่เสียไปจากฝุ่น

**ทดสอบระบบโซลาร์ก่อนเปิดใช้งานต้องวัดอะไรบ้าง?**
ตาม IEC 62446-1 อย่างน้อยต้องตรวจความต่อเนื่องของสายดินและการประสานศักย์ ตรวจขั้ววัดแรงดันเปิดวงจรของทุกสตริง วัดกระแสลัดวงจรหรือกระแสใช้งาน ทดสอบการทำงานของอุปกรณ์ตัดตอนและอินเวอร์เตอร์ และวัดความต้านทานฉนวนของวงจร DC แล้วบันทึกผลพร้อมแสงและอุณหภูมิขณะวัด ระบบใหญ่ควรวัด I-V curve ทุกสตริงและถ่ายภาพความร้อน

**ล้างแผงโซลาร์ด้วยน้ำประปาและแปรงธรรมดาได้ไหม?**
ใช้น้ำสะอาดแรงดันต่ำ ฟองน้ำหรือแปรงขนนุ่ม ไม่ใช้สารเคมีกัดกร่อนหรือแปรงลวด น้ำบาดาลกระด้างทิ้งคราบหินปูนได้ ล้างตอนเช้าหรือเย็นที่แผงไม่ร้อน เพื่อป้องกันกระจกช็อกจากน้ำเย็น ห้ามเหยียบแผง และระวังการตกจากที่สูงกับไฟ DC ที่มีอยู่ตลอดเวลาที่มีแสง

---

# เลือกขนาดระบบจากบิลค่าไฟและโปรไฟล์โหลด: ใช้เองกลางวัน ส่งคืนกริด และแบตเตอรี่

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/load-sizing/
Updated: 2026-10-13
Summary: วิธีเลือกขนาดโซลาร์เซลล์ให้คุ้มที่สุด: อ่านบิลค่าไฟ อัตราก้าวหน้าและ TOU แยกโหลดกลางวันกลางคืน วิธีสำรวจเครื่องใช้ไฟฟ้า self-consumption self-sufficiency โปรไฟล์โหลดบ้าน ร้านค้า สำนักงาน โรงงาน ห้องเย็น zero export ช่วงวันหยุด และตัวอย่างเลือกขนาด 3 กรณีพร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 16.9 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · Sizing from Bills & Load Profile

# เลือกขนาดระบบจากบิลค่าไฟและโปรไฟล์โหลด: ใช้เองกลางวัน ส่งคืนกริด และแบตเตอรี่

คำถามที่พบบ่อยที่สุดคือ “ติดกี่ kW ดี” คำตอบที่ถูกไม่ได้มาจากพื้นที่หลังคาหรืองบประมาณ แต่มาจาก รูปร่างของการใช้ไฟตลอดวัน โซลาร์ผลิตไฟเป็นรูประฆังคว่ำช่วง 07:00–17:00 น. ส่วนที่ซ้อนทับกับโหลดคือส่วนที่คุ้มที่สุด หน้านี้สอนวิธีหาส่วนนั้นจากบิล จากการสำรวจเครื่องใช้ไฟฟ้า และจากข้อมูลมิเตอร์

สรุปใน 30 วินาที

- ขนาดที่คุ้มที่สุดของ on-grid ≈ พลังงานที่ใช้ช่วงมีแดดต่อปี ÷ ผลผลิตจำเพาะ (≈ 1,350 kWh/kWp)

- หน่วยที่ใช้เองแทนค่าไฟหน่วยแพงสุด (อัตราก้าวหน้า หรือ on-peak ของ TOU)

- กิจการ: ระวังวันหยุด — โหลดหายแต่แผงยังผลิต

- ข้อมูลมิเตอร์ราย 15 นาทีดีกว่าการเดาทุกครั้ง

## อ่านบิลค่าไฟให้ได้ข้อมูลออกแบบ พื้นฐาน

- หน่วยที่ใช้ (kWh) 12 เดือน — เห็นฤดูกาล (แอร์หน้าร้อน) ใช้ค่าเฉลี่ยและค่าสูงสุด

- ประเภทผู้ใช้ไฟ บ้านอยู่อาศัยอัตราก้าวหน้า (ยิ่งใช้มาก หน่วยท้าย ๆ ยิ่งแพง) หรืออัตรา TOU กิจการขนาดเล็ก/กลาง/ใหญ่

- ค่า Ft และ VAT ปรับทุกงวด ค่าไฟเฉลี่ยรวมทั้งหมดของบ้านในช่วงปี 2567–2569 อยู่ราว 4–4.5 บาท/หน่วย

- กิจการ TOU: แยก kWh on-peak / off-peak / holiday และ kW ความต้องการพลังไฟฟ้าสูงสุด (demand charge) ถ้ามี

มูลค่าของหน่วยที่ใช้เองคือ “ค่าไฟส่วนเพิ่ม” บ้านอัตราก้าวหน้า หน่วยที่โซลาร์ช่วยลดคือหน่วยท้าย ๆ ซึ่งเป็นขั้นราคาสูงสุด ผู้ใช้ TOU ประเภทแรงดันต่ำ ค่าไฟ on-peak (จ.–ศ. 09:00–22:00 น.) สูงกว่า off-peak ราว 2 เท่า และแผงผลิตไฟช่วง on-peak พอดี อัตราจริงตรวจจากประกาศของการไฟฟ้าล่าสุด

L1 Daytime energy from the bill พลังงานที่ใช้ช่วงมีแดด

$$E_{sun,day} = \frac{E_{month}\times f_{sun}}{30}$$

L2 PV size matched to daytime load ขนาดระบบที่พอดีโหลดกลางวัน

$$P_{PV} \approx \frac{365\,E_{sun,day}}{Y_f\times SCR_{target}}$$

$f_{sun}$ = สัดส่วนพลังงานที่ใช้ช่วง ~08:00–17:00 น. $Y_f$ = ผลผลิตจำเพาะ (E2) $SCR_{target}$ = สัดส่วนที่ต้องการใช้เอง (ใช้ 0.85–0.95 เพราะวันฟ้าใสแผงผลิตเกินโหลดได้ แม้ค่าเฉลี่ยจะพอดี)

## โปรไฟล์โหลดแบบต่าง ๆ พื้นฐาน

| ประเภท | $f_{sun}$ โดยประมาณ | ลักษณะ | แนวทาง |

| บ้าน ทำงานนอกบ้าน | 20–30 % | พีคหัวค่ำ 18–23 น. (แอร์ห้องนอน) | ระบบเล็ก หรือ hybrid ถ้าต้องการลดค่าไฟกลางคืน |

| บ้าน มีคนอยู่ / ทำงานที่บ้าน | 40–55 % | แอร์กลางวัน คอมพิวเตอร์ | on-grid 3–5 kWp |

| ร้านค้า คลินิก สำนักงาน | 65–85 % | เปิด 08–18 น. แอร์เป็นหลัก | on-grid ขนาดพอดีโหลดกลางวัน คืนทุนเร็ว |

| โรงงาน 1 กะ | 60–75 % (วันทำงาน) | วันหยุดโหลดหาย | ระวังวันหยุด / ขออนุญาตส่งออก / zero export |

| โรงงาน 3 กะ ห้องเย็น โรงพยาบาล | 35–45 % | โหลดฐานสูงตลอด 24 ชม. | ติดได้ใหญ่ ใช้เองเกือบหมด |

| ฟาร์มปั๊มน้ำ | ~100 % | สูบน้ำช่วงมีแดด | ปั๊มโซลาร์ต่อตรง (ดู เกษตร) |

### ใช้ข้อมูลจริงแทนการเดา

- มิเตอร์ AMR/สมาร์ตมิเตอร์ ของกิจการมักบันทึกทุก 15 นาที ขอข้อมูลจากการไฟฟ้าหรือระบบของอาคาร

- ติดมิเตอร์วัดกำลังพร้อม CT (ราคาไม่กี่ร้อยถึงพันบาท) บันทึก 1–4 สัปดาห์ เพียงพอสำหรับบ้านและร้าน

- วาดโปรไฟล์โหลดซ้อนกับโปรไฟล์โซลาร์ (รูประฆังคว่ำ สูงสุดราว 12:00–12:30 น.) ส่วนที่ซ้อนคือ $E_{self}$

## วิธีสำรวจเครื่องใช้ไฟฟ้า พื้นฐาน

L3 Appliance energy พลังงานจากรายการเครื่องใช้ไฟฟ้า

$$E = \sum_i P_i\,h_i\,k_i$$

$P_i$ = กำลังไฟฟ้า (W) $h_i$ = ชั่วโมงใช้งานต่อวัน $k_i$ = สัดส่วนเวลาที่ทำงานจริง (duty) เช่น ตู้เย็นคอมเพรสเซอร์ทำงาน 30–50 % ของเวลา แอร์อินเวอร์เตอร์ทำงานเฉลี่ย 40–60 % ของกำลังพิกัด (ดูหน้าแอร์)

ตัวอย่าง L-1

### บ้านทำงานที่บ้าน: โหลดช่วง 09:00–16:00 น.

| เครื่องใช้ | กำลังเฉลี่ย | ชม. ช่วงมีแดด | kWh/วัน |

| แอร์ 12,000 BTU อินเวอร์เตอร์ | 0.5 kW | 6 | 3.0 |

| ตู้เย็น (ช่วงกลางวัน) | 0.05 kW เฉลี่ย | 8 | 0.4 |

| คอมพิวเตอร์ + จอ + เราเตอร์ | 0.15 kW | 8 | 1.2 |

| ปั๊มน้ำ | 0.4 kW | 1 | 0.4 |

| เครื่องซักผ้า | 0.5 kW | 1 | 0.5 |

| รวม | | | 5.5 |

- L2: $P_{PV} = 365(5.5)/(1350 \times 1.0) = 1.49$ kWp (ถ้ายอมให้ใช้เอง ~90 %: 1.65 kWp)

- เลือก 3 แผง × 580 W = 1.74 kWp หรือ 4 แผง × 450 W = 1.8 kWp กับอินเวอร์เตอร์ 1.5–2 kW

- ถ้าย้ายการซักผ้า รีดผ้า ชาร์จรถไฟฟ้า มาเป็นช่วงกลางวัน โหลดกลางวันเพิ่ม ขนาดที่คุ้มก็เพิ่มตาม — การปรับพฤติกรรมเป็นการลงทุนที่ถูกที่สุด

## เครื่องคำนวณขนาดจากบิลค่าไฟ

## กรณีศึกษา กลาง

ตัวอย่าง L-2

### บ้าน 600 หน่วย/เดือน ใช้กลางวัน 45 %

- L1: $E_{sun,day} = 600(0.45)/30 = 9.0$ kWh/วัน

- L2: $P_{PV} = 365(9.0)/(1350 \times 0.9) = 2.70$ kWp → 5 แผง × 580 W = 2.90 kWp

- ผลิตได้ ≈ 2.9 × 1350/12 = 326 kWh/เดือน ใช้เองได้ ≈ 270 kWh/เดือน (จำกัดด้วยโหลดกลางวัน)

- ประหยัด ≈ 270 × 4.2 = 1,134 บาท/เดือน + ขายส่วนเกิน ≈ 56 × 2.2 = 123 บาท ลดบิลได้ราว 45 % (เทียบกับตัวอย่าง S-1 ที่ติด 5 kWp)

ตัวอย่าง L-3

### โรงงานเล็ก TOU: วันทำงานโหลดฐาน 60 kW วันหยุด 15 kW

ระบบ zero export (ห้ามส่งออก) ผลผลิตจำเพาะ 1,350 kWh/kWp (3.70 kWh/kWp/วัน) วันหยุด 104 วัน/ปี โหลดวันหยุดใช้ได้สูงสุด ≈ 15 kW × 7 h = 105 kWh/วัน

- 100 kWp: วันหยุดผลิต 370 kWh ใช้ได้ 105 → ทิ้ง ≈ 265 × 104 = 27,500 kWh/ปี = 20 % ของพลังงานทั้งปี

- 60 kWp: วันหยุดผลิต 222 kWh ทิ้ง ≈ 117 × 104 = 12,200 kWh/ปี = 15 % — และกำลังสูงสุดช่วงเที่ยงวันทำงาน (~45–50 kW AC) ยังต่ำกว่าโหลดฐาน 60 kW ✓

- มูลค่า 60 kWp: วันทำงาน $222 \times 261 = 57{,}900$ kWh × on-peak 5.80 ≈ 335,800 บาท + วันหยุด $105 \times 104 = 10{,}900$ kWh × off-peak 2.64 ≈ 28,800 บาท → รวม ≈ 364,600 บาท/ปี

- เงินลงทุน 60 kWp × 22,000 บาท/kWp = 1.32 ล้านบาท → คืนทุนอย่างง่าย ≈ 3.6 ปี

- ทางเลือกเพิ่ม: ขออนุญาตส่งออกไฟวันหยุด ย้ายงานบางอย่าง (ชาร์จรถยก ปั๊ม ห้องเย็นแช่ล่วงหน้า) มาวันหยุดกลางวัน หรือเพิ่มแบตเตอรี่ขนาดเล็กเพื่อตัด peak — ประเมินด้วยข้อมูลมิเตอร์ราย 15 นาที

ตัวเลขค่าไฟ TOU ในตัวอย่างใช้อัตราประเภทแรงดันต่ำที่ประกาศใช้ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา (ก่อนรวม Ft และ VAT) เพื่อแสดงวิธีคิด ใช้อัตราในบิลของคุณจริงเสมอ

## โหลดใหม่ที่เปลี่ยนการเลือกขนาด

- รถยนต์ไฟฟ้า: 15–20 kWh/100 km ถ้าชาร์จกลางวันที่บ้านหรือที่ทำงาน เป็นโหลดที่ “ยืดหยุ่น” ที่สุดสำหรับดูดซับไฟโซลาร์ (เครื่องชาร์จที่มีโหมด solar surplus)

- ปั๊มความร้อนผลิตน้ำร้อน ตั้งเวลาทำงานกลางวัน เก็บความร้อนในถัง

- แอร์ ตั้งเวลา pre-cooling ช่วงบ่ายก่อนกลับบ้าน (ดู โซลาร์จ่ายแอร์)

- เผื่อขยาย: เลือกอินเวอร์เตอร์ที่รับแผงเพิ่มได้ (DC/AC ถึง 1.5) หรือเตรียมพื้นที่หลังคา/ท่อสายไว้

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- จำลองรายชั่วโมงทั้งปี ด้วยโปรไฟล์โหลด 8,760 ค่า × ผลผลิตโซลาร์รายชั่วโมง หา SCR/SSR ที่แต่ละขนาดและขนาดแบต (grid search หรือ optimization)

- Load disaggregation (NILM) แยกเครื่องใช้ไฟฟ้าจากสัญญาณมิเตอร์รวม ด้วย machine learning

- Demand charge ของกิจการขนาดกลางและใหญ่: โซลาร์ลดความต้องการพลังไฟฟ้าสูงสุดได้ไม่แน่นอนเพราะเมฆ ต้องใช้แบตหรือ load control และการพยากรณ์

- การประเมินหลายเกณฑ์ NPV, IRR, SSR, การลดคาร์บอน (กริดไทยปล่อยราว 0.4–0.5 kgCO₂/kWh) สำหรับรายงาน ESG

## คำถามที่พบบ่อย

บ้านใช้ไฟเดือนละ 500–600 หน่วย ควรติดโซลาร์กี่ kW?
ขึ้นกับว่าใช้ไฟช่วงกลางวันเท่าไร ถ้าใช้กลางวันประมาณ 40–50 % ของทั้งหมด (มีคนอยู่บ้าน เปิดแอร์กลางวัน) ขนาดที่ใช้เองได้เกือบหมดคือประมาณ 2.5–3.5 kWp ถ้าทำงานนอกบ้านทั้งวัน โหลดกลางวันเหลือแค่ตู้เย็นและปั๊มน้ำ ขนาดที่คุ้มอาจเหลือ 1.5–2 kWp เว้นแต่จะขายไฟส่วนเกินหรือเพิ่มแบตเตอรี่

ทำไมไม่ติดให้ใหญ่ที่สุดเท่าที่หลังคารับได้?
ไฟส่วนที่เกินโหลดกลางวันต้องส่งออกในราคารับซื้อที่ต่ำกว่าค่าไฟเกือบครึ่ง หรือถูกตัดทิ้งถ้าเป็นระบบ zero export เงินที่ลงทุนส่วนเกินจึงคืนทุนช้ากว่าส่วนที่ใช้เองมาก การเลือกขนาดพอดีโหลดกลางวันให้ผลตอบแทนต่อบาทสูงสุด แล้วค่อยขยายภายหลังเมื่อโหลดกลางวันเพิ่ม เช่น ซื้อรถยนต์ไฟฟ้าชาร์จกลางวัน

ผู้ใช้ไฟอัตรา TOU ติดโซลาร์คุ้มกว่าไหม?
ส่วนใหญ่คุ้มกว่า เพราะช่วงที่แผงผลิตไฟคือวันธรรมดาเวลา 09:00–16:00 น. ซึ่งอยู่ในช่วง on-peak ที่ค่าไฟแพงที่สุด ไฟจากโซลาร์จึงแทนไฟราคาแพง แต่ในวันหยุดซึ่งเป็น off-peak ทั้งวัน มูลค่าต่อหน่วยจะต่ำลง และกิจการที่หยุดวันหยุดอาจมีไฟเหลือ

## FAQ

**บ้านใช้ไฟเดือนละ 500–600 หน่วย ควรติดโซลาร์กี่ kW?**
ขึ้นกับว่าใช้ไฟช่วงกลางวันเท่าไร ถ้าใช้กลางวันประมาณ 40–50 % ของทั้งหมด (มีคนอยู่บ้าน เปิดแอร์กลางวัน) ขนาดที่ใช้เองได้เกือบหมดคือประมาณ 2.5–3.5 kWp ถ้าทำงานนอกบ้านทั้งวัน โหลดกลางวันเหลือแค่ตู้เย็นและปั๊มน้ำ ขนาดที่คุ้มอาจเหลือ 1.5–2 kWp เว้นแต่จะขายไฟส่วนเกินหรือเพิ่มแบตเตอรี่

**ทำไมไม่ติดให้ใหญ่ที่สุดเท่าที่หลังคารับได้?**
ไฟส่วนที่เกินโหลดกลางวันต้องส่งออกในราคารับซื้อที่ต่ำกว่าค่าไฟเกือบครึ่ง หรือถูกตัดทิ้งถ้าเป็นระบบ zero export เงินที่ลงทุนส่วนเกินจึงคืนทุนช้ากว่าส่วนที่ใช้เองมาก การเลือกขนาดพอดีโหลดกลางวันให้ผลตอบแทนต่อบาทสูงสุด แล้วค่อยขยายภายหลังเมื่อโหลดกลางวันเพิ่ม เช่น ซื้อรถยนต์ไฟฟ้าชาร์จกลางวัน

**ผู้ใช้ไฟอัตรา TOU ติดโซลาร์คุ้มกว่าไหม?**
ส่วนใหญ่คุ้มกว่า เพราะช่วงที่แผงผลิตไฟคือวันธรรมดาเวลา 09:00–16:00 น. ซึ่งอยู่ในช่วง on-peak ที่ค่าไฟแพงที่สุด ไฟจากโซลาร์จึงแทนไฟราคาแพง แต่ในวันหยุดซึ่งเป็น off-peak ทั้งวัน มูลค่าต่อหน่วยจะต่ำลง และกิจการที่หยุดวันหยุดอาจมีไฟเหลือ

---

# MPPT ติดตามจุดกำลังสูงสุด: P&O Incremental Conductance เงาบังบางส่วน และ Global MPPT

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/mppt/
Updated: 2026-10-13
Summary: MPPT ภาษาไทยแบบละเอียด: ทำไมต่อแผงตรงกับโหลดหรือแบตแล้วเสียกำลัง จุดทำงานบนเส้นโค้ง I-V คอนเวอร์เตอร์เปลี่ยนความต้านทานที่แผงมองเห็น เงื่อนไข dP/dV = 0 อัลกอริทึม Perturb & Observe และ Incremental Conductance ขนาดก้าวและคาบ ประสิทธิภาพ MPPT ตาม EN 50530 ชาร์จคอนโทรลเลอร์ PWM กับ MPPT เงาบังบางส่วนกับหลายยอด global scan โค้ด C สำหรับไมโครคอนโทรลเลอร์ และแล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์

// บทที่ 16.12 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · Maximum Power Point Tracking

# MPPT ติดตามจุดกำลังสูงสุด: P&O Incremental Conductance เงาบังบางส่วน และ Global MPPT

แผงโซลาร์ไม่ได้ “จ่าย 580 W” เสมอ มันจ่ายกำลังตามจุดที่โหลดดึงให้ทำงานบนเส้นโค้ง I-V ถ้าจุดนั้นไม่ใช่ MPP กำลังหายไปทันที 20–40 % MPPT คือหัวใจด้านอิเล็กทรอนิกส์กำลังของระบบโซลาร์ทุกระบบ ตั้งแต่ชาร์จคอนโทรลเลอร์ 12 V จนถึงอินเวอร์เตอร์ 3 MW หน้านี้เชื่อมเส้นโค้ง I-V เข้ากับ บั๊ก และ บูสต์คอนเวอร์เตอร์ แล้วเขียนอัลกอริทึมจริง

สรุปใน 30 วินาที

- โหลดกำหนดจุดทำงานของแผง คอนเวอร์เตอร์เปลี่ยน “ความต้านทานที่แผงมองเห็น” ได้ด้วย duty

- MPP: $dP/dV = 0 \iff dI/dV = -I/V$

- P&O: ขยับแล้วดูกำลัง · InC: ดูความชัน · ขนาดก้าวและคาบคือการแลกระหว่างความเร็วกับการแกว่ง

- เงาบังทำให้มีหลายยอด ต้องกวาดหา global MPP เป็นระยะ

## ทำไมต้องมี MPPT: โหลดกำหนดจุดทำงาน พื้นฐาน

ถ้าต่อแผงตรงกับตัวต้านทาน $R$ จุดทำงานคือจุดตัดของเส้นโค้ง I-V กับเส้นตรง $I = V/R$ มีค่า $R$ เพียงค่าเดียวที่ทำให้จุดตัดอยู่ที่ MPP:

T1 Optimum load resistance ความต้านทานโหลดที่ทำให้ได้ MPP

$$R_{mpp} = \frac{V_{mp}}{I_{mp}}$$

ตัวอย่าง T-1

### แผง 580 W ต่อตรงกับตัวต้านทาน

- $R_{mpp} = 43.4/13.37 = 3.25\ \Omega$ → ได้ 580 W

- $R = 6\ \Omega$: จุดตัดที่ ≈ 48.9 V, 8.15 A → 399 W (เสีย 31 %)

- $R = 2\ \Omega$: จุดตัดที่ ≈ 28.2 V, 14.1 A → 398 W (เสีย 31 %)

- และ $R_{mpp}$ เองเปลี่ยนตลอดวันตามแสงและอุณหภูมิ — ไม่มีโหลดคงที่ใดที่ดีตลอดวัน (ค่าคำนวณจากแบบจำลองในแล็บ I-V)

### คอนเวอร์เตอร์คือ “หม้อแปลงความต้านทาน”

ในสถานะคงตัวและไม่คิดการสูญเสีย คอนเวอร์เตอร์ DC-DC ทำให้แผงมองเห็นความต้านทานที่ขึ้นกับ duty $D$:

T2 Input resistance seen by the panel ความต้านทานที่แผงมองเห็น

$$\text{buck: } R_{in} = \frac{R_L}{D^2} \qquad \text{boost: } R_{in} = R_L(1-D)^2 \qquad \text{buck-boost: } R_{in} = R_L\frac{(1-D)^2}{D^2}$$

ผลที่ตามมา: บั๊กทำได้เฉพาะ $R_{in} \ge R_L$ บูสต์ทำได้เฉพาะ $R_{in} \le R_L$ บั๊ก-บูสต์และ Ćuk ทำได้ทั้งสองทาง และ เครื่องหมายการควบคุมกลับกัน: ในบั๊ก เพิ่ม $D$ แล้วแรงดันแผงลด ในบูสต์ เพิ่ม $D$ แล้วแรงดันแผงลดเช่นกัน (เพราะดึงกระแสมากขึ้น) — ต้องตั้งทิศให้ถูกในโค้ด หรือควบคุมผ่านลูปแรงดันขาเข้า $V_{ref}$ แทนการคุม $D$ ตรง ๆ

เมื่อโหลดเป็นแบตเตอรี่ แรงดันขาออกเกือบคงที่ คอนเวอร์เตอร์จึงเลือกแรงดันแผงได้อิสระ: บั๊ก $V_{pv} = V_{bat}/D$ และบูสต์ $V_{pv} = V_{bat}(1-D)$

ตัวอย่าง T-2

### ชาร์จแบต 24 V (LFP 25.6 V): PWM กับ MPPT

- PWM (สวิตช์ต่อตรง): แผงถูกดึงลงไปที่แรงดันชาร์จ ≈ 27.6 V → กระแส ≈ $I_{sc}$ = 14.1 A → 389 W ที่ 25 °C (67 % ของ 580 W) · ตอนเซลล์ 60 °C ได้ ≈ 396 W เทียบ MPP 517 W (77 %)

- MPPT (บั๊ก): แผงทำงานที่ $V_{mp}$ = 43.4 V → $D = 27.6/43.4 \approx 0.64$ → 580 W × ประสิทธิภาพคอนเวอร์เตอร์ 97 % = 563 W

- กำลังเพิ่มขึ้น 30–45 % → สำหรับแผงขนาดใหญ่ MPPT คุ้มเสมอ PWM เหมาะเฉพาะแผงเล็กที่ $V_{mp}$ ≈ 17–18 V คู่กับแบต 12 V

## อัลกอริทึม P&O และ Incremental Conductance กลาง

T3 MPP condition เงื่อนไขของจุดกำลังสูงสุด

$$\frac{dP}{dV} = I + V\frac{dI}{dV} = 0 \iff \frac{dI}{dV} = -\frac{I}{V} \qquad \begin{cases} dP/dV > 0 & \text{อยู่ซ้าย MPP → เพิ่ม } V \\ dP/dV T4 Perturb & Observe update กฎของ P&O

$$V_{ref}[k+1] = V_{ref}[k] + \Delta V\cdot\operatorname{sign}\!\big(\Delta P[k]\cdot\Delta V[k]\big)$$

| | Perturb & Observe (P&O, hill climbing) | Incremental Conductance (InC) |

| หลักการ | ขยับแรงดัน ดูว่ากำลังเพิ่มหรือลด | เทียบ $dI/dV$ กับ $-I/V$ |

| ที่ MPP | แกว่งรอบ MPP ตลอด (3 ระดับ) | หยุดได้เมื่อ $|dI/dV + I/V| < \varepsilon$ |

| แสงเปลี่ยนเร็ว | อาจเดินผิดทาง (สับสนระหว่างผลของการขยับกับผลของเมฆ) | ดีกว่าเล็กน้อย |

| การคำนวณ | คูณ เปรียบเทียบ | หาร (หรือคูณไขว้) เพิ่มเล็กน้อย |

| ใช้จริง | แพร่หลายที่สุด มักเพิ่ม dP-P&O / ก้าวปรับได้ | ใช้มากในอินเวอร์เตอร์ |

ในทางปฏิบัติทั้งสองวิธีให้ประสิทธิภาพใกล้กันมากเมื่อปรับพารามิเตอร์ดี ความต่างอยู่ที่ ขนาดก้าว และ คาบการขยับ:

T5 Steady-state oscillation loss การสูญเสียจากการแกว่งรอบ MPP

$$\Delta P_{loss} \approx \frac{1}{2}\left|\frac{d^2P}{dV^2}\right|_{mpp}\overline{(V - V_{mp})^2} \;\propto\; \Delta V^2$$

T6 Perturbation period คาบการขยับ

$$T_p > t_{settle} + t_{filter} \qquad (\text{มักเลือก } T_p = 20\text{–}200\ \text{ms})$$

- ก้าวใหญ่: ตามแสงที่เปลี่ยนเร็วทัน แต่แกว่งรอบ MPP มาก (สูญเสียตาม $\Delta V^2$)

- ก้าวเล็ก: แม่นในสภาวะคงที่ แต่ตามไม่ทันเมฆ ต้องเลือกก้าวไม่เล็กกว่าความละเอียดของ PWM และ ADC (มิฉะนั้นขยับแล้วไม่มีอะไรเปลี่ยน)

- คาบสั้นเกินไป: วัดก่อนคอนเวอร์เตอร์เข้าที่ (โดยเฉพาะตัวเก็บประจุขาเข้าใหญ่และลูปแรงดันช้า) อัลกอริทึมจะตัดสินใจผิด ต้องรอให้ $V_{pv}$ เข้าที่ก่อนเสมอ

- ก้าวแปรผัน: $\Delta V = k\,|\Delta P/\Delta V|$ ก้าวใหญ่เมื่อไกล MPP ก้าวเล็กเมื่อใกล้

T7 MPPT efficiency (EN 50530) ประสิทธิภาพการติดตาม

$$\eta_{MPPT} = \frac{\int P_{pv}(t)\,dt}{\int P_{mpp}(t)\,dt} \qquad (\text{static} > 99.5\ \%,\ \text{dynamic} > 99\ \%\ \text{สำหรับอินเวอร์เตอร์ที่ดี})$$

T8 Fractional Voc / Isc methods วิธีประมาณจากสัดส่วน

$$V_{mp} \approx k_V\,V_{oc}\ (k_V \approx 0.76\text{–}0.84) \qquad I_{mp} \approx k_I\,I_{sc}\ (k_I \approx 0.90\text{–}0.95)$$

วิธีสัดส่วนง่ายมาก (หยุดจ่ายสั้น ๆ วัด $V_{oc}$ แล้วตั้ง $V_{ref}$) แต่ไม่ใช่ MPP จริงและเสียพลังงานตอนหยุดวัด ใช้เป็นจุดเริ่มต้นของ P&O หรือในวงจรราคาถูก

## เงาบังบางส่วนและ Global MPPT กลาง

เมื่อบางกลุ่มเซลล์ถูกบัง บายพาสไดโอดนำ เส้น P-V มีหลายยอด (ดูหน้าเซลล์) P&O และ InC เป็นวิธีไต่เขา จึงหยุดที่ยอดใกล้ที่สุด ซึ่งอาจไม่ใช่ยอดสูงสุด ลองในแล็บด้านล่าง: กด “ใบไม้บัง 1 ช่อง” — P&O ที่เริ่มจากฝั่ง $V_{oc}$ ติดที่ ≈ 150 W ขณะที่ global MPP ≈ 340 W

### วิธีหา global MPP

- Periodic scan ทุก 5–15 นาที กวาด $V_{ref}$ จากประมาณ $0.95V_{oc}$ ลงมาถึงขอบล่างของช่วง MPPT บันทึกยอดที่ดีที่สุด แล้วกลับไปทำ P&O รอบยอดนั้น เสียพลังงานระหว่างกวาด 0.1–0.3 %

- Event-triggered scan กวาดเมื่อกำลังเปลี่ยนเกินเกณฑ์ หรือเมื่อแรงดันที่ MPP ต่ำผิดสัดส่วนจาก $N_s \times 0.8 V_{oc,mod}$

- ใช้ความรู้โครงสร้าง ยอดของสตริงที่มีบายพาสไดโอดมักอยู่ใกล้ $k\times 0.8\,V_{oc,sub}$ จึงตรวจเฉพาะจุดเหล่านั้น (ลดเวลากวาด)

- Metaheuristics (PSO, GWO, ฯลฯ) ในงานวิจัย — ต้องเทียบกับ scan อย่างง่ายอย่างเป็นธรรม เพราะ scan ก็ทำได้ดีในอินเวอร์เตอร์จริง

- แก้ที่ระดับฮาร์ดแวร์ optimizer/micro-inverter ทำ MPPT ระดับแผง ไม่มีปัญหาหลายยอดระดับสตริง

## โค้ด C สำหรับไมโครคอนโทรลเลอร์ กลาง

โครงสร้างที่แนะนำ: ลูปเร็ว (ทุกคาบ PWM หรือทุก 10–50 µs) คุมแรงดันแผงให้เท่ากับ $V_{ref}$ ด้วย PI (ดู ควบคุมดิจิทัล) และลูป MPPT ช้า (ทุก $T_p$) ปรับ $V_{ref}$ ค่าที่วัดต้องกรองเฉลี่ยตลอดคาบ $T_p$

/* MPPT: เรียกทุก Tp (เช่น 100 ms) ด้วยค่าเฉลี่ยของ v, i ในคาบนั้น */
#define STEP 0.5f /* V ต่อก้าว (≥ ความละเอียดของลูปแรงดัน) */
#define VMIN (0.55f * VOC_STC)
#define VMAX (0.95f * VOC_STC)

static float v_prev, p_prev, i_prev, vref = 0.80f * VOC_STC;

void mppt_po(float v, float i) /* Perturb & Observe (T4) */
{
float p = v * i, dv = v - v_prev, dp = p - p_prev;
if (dp != 0.0f) {
if ((dp > 0.0f) == (dv > 0.0f)) vref += STEP; /* dP/dV > 0: ซ้าย MPP */
else vref -= STEP; /* dP/dV < 0: ขวา MPP */
}
vref = fminf(fmaxf(vref, VMIN), VMAX);
v_prev = v; p_prev = p;
}

void mppt_inc(float v, float i) /* Incremental Conductance (T3) */
{
float dv = v - v_prev, di = i - i_prev;
if (fabsf(dv) < 1e-3f) { /* แรงดันไม่เปลี่ยน: ดูกระแส (แสงเปลี่ยน) */
if (di > 0.0f) vref += STEP; else if (di < 0.0f) vref -= STEP;
} else {
float g = di * v + i * dv; /* = v·dv·(dI/dV + I/V) คูณไขว้ ไม่ต้องหาร */
g = (dv > 0.0f) ? g : -g;
if (g > EPS) vref += STEP; else if (g < -EPS) vref -= STEP;
}
vref = fminf(fmaxf(vref, VMIN), VMAX);
v_prev = v; i_prev = i;
}

- ป้องกันเพิ่มเติม: ถ้าแบตเต็มหรือโหลดรับไม่ได้ ให้เปลี่ยนจากโหมด MPPT เป็นโหมดคุมแรงดัน/กระแสขาออก (curtail) โดยเลื่อน $V_{ref}$ ไปทางขวาของ MPP (ฝั่ง $V_{oc}$) ซึ่งเสถียรกว่าฝั่งซ้าย

- ตอนเริ่มต้น: เริ่มที่ $0.8V_{oc}$ ที่วัดได้จริง (T8) และใช้ soft-start

- ทดสอบด้วยแหล่งจ่ายจำลองแผง (PV simulator / solar array simulator) หรือแหล่งจ่ายต่อตัวต้านทานอนุกรม ก่อนใช้แผงจริง (ดู แหล่งจ่ายทดสอบ)

## ทดลองในซิมูเลเตอร์คอนเวอร์เตอร์

แล็บด้านล่างจำลองแผง 36 เซลล์ต่อบั๊กคอนเวอร์เตอร์ที่มี P&O MPPT ระดับการสวิตช์จริง ดูช่อง 1 (แรงดันแผง) และช่อง 2 (กระแสแผง) ไต่ขึ้นหา MPP แล้วแกว่งรอบจุดนั้น ลองเปลี่ยนแสง G ระหว่างจำลอง หรือเปลี่ยนโหลด แล้วดูว่า MPPT ตามได้เร็วแค่ไหน ฉบับเต็มอยู่ที่ แล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- Drift ของ P&O เมื่อแสงเพิ่มต่อเนื่อง (ramp) — แก้ด้วย dP-P&O ที่แยกผลของแสงด้วยการวัดกลางคาบ

- Model-based / extremum seeking control ใช้ ripple ของการสวิตช์เป็นสัญญาณขยับเอง (ripple correlation control) ตอบสนองระดับ kHz

- MPPT ในอินเวอร์เตอร์เฟสเดียว: กำลังกระเพื่อม 100 Hz บน DC-link ทำให้ $V_{pv}$ กระเพื่อม — ต้องเลือกช่วงวัดและ C ให้เหมาะ (ดู อินเวอร์เตอร์)

- เสถียรภาพของลูปแรงดันขาเข้า: ความต้านทานพลวัตของแผงเปลี่ยนจากบวกมากใกล้ $V_{oc}$ ไปเป็นค่าน้อยใกล้ $I_{sc}$ — gain ของ plant เปลี่ยนตามจุดทำงาน ตัวชดเชยต้องเสถียรทั้งช่วง (ดู ออกแบบตัวชดเชย)

- ทดสอบตาม EN 50530 ด้วยโปรไฟล์แสงขึ้นลงแบบ ramp ที่กำหนด วัด static และ dynamic MPPT efficiency

## คำถามที่พบบ่อย

MPPT ทำงานอย่างไร?
MPPT คือการควบคุมคอนเวอร์เตอร์ DC-DC ระหว่างแผงกับโหลดให้แผงทำงานที่แรงดันซึ่งให้กำลังสูงสุดเสมอ ตัวควบคุมวัดแรงดันและกระแสของแผง ขยับแรงดันอ้างอิงทีละน้อย ถ้ากำลังเพิ่มก็ขยับต่อในทิศเดิม ถ้ากำลังลดก็กลับทิศ (Perturb and Observe) หรือใช้เงื่อนไขความชัน dI/dV = −I/V (Incremental Conductance) จุดทำงานจึงวนอยู่รอบจุดกำลังสูงสุดเมื่อแสงและอุณหภูมิเปลี่ยน

ชาร์จคอนโทรลเลอร์ PWM กับ MPPT ต่างกันเท่าไร?
แบบ PWM ต่อแผงกับแบตเตอรี่ผ่านสวิตช์ แผงจึงถูกบังคับให้ทำงานที่แรงดันแบตเตอรี่ซึ่งต่ำกว่า Vmp มาก เช่น แผง 580 W ที่ Vmp 43 V ต่อกับแบต 24 V ได้ไม่ถึง 400 W แบบ MPPT ใช้บั๊กคอนเวอร์เตอร์ให้แผงทำงานที่ Vmp แล้วแปลงลงมาเป็นแรงดันแบต ได้กำลังมากกว่า 20–40 % สำหรับแผงขนาดใหญ่ แบบ PWM เหมาะเฉพาะแผงเล็กที่ออกแบบมาคู่กับแบต 12 V

ทำไมอินเวอร์เตอร์ผลิตไฟน้อยเมื่อมีเงาบังแผงบางส่วน แม้เงาจะเล็ก?
เงาบังทำให้บายพาสไดโอดนำ เส้นกำลัง P-V ของสตริงมีหลายยอด อัลกอริทึม MPPT แบบไต่เขาอาจติดอยู่ที่ยอดเล็ก (local maximum) และไม่หาเจอยอดใหญ่ (global maximum) อินเวอร์เตอร์ที่มีฟังก์ชัน global MPPT หรือ shade scan จะกวาดแรงดันทั้งช่วงเป็นระยะเพื่อหายอดที่ดีที่สุด

## FAQ

**MPPT ทำงานอย่างไร?**
MPPT คือการควบคุมคอนเวอร์เตอร์ DC-DC ระหว่างแผงกับโหลดให้แผงทำงานที่แรงดันซึ่งให้กำลังสูงสุดเสมอ ตัวควบคุมวัดแรงดันและกระแสของแผง ขยับแรงดันอ้างอิงทีละน้อย ถ้ากำลังเพิ่มก็ขยับต่อในทิศเดิม ถ้ากำลังลดก็กลับทิศ (Perturb and Observe) หรือใช้เงื่อนไขความชัน dI/dV = −I/V (Incremental Conductance) จุดทำงานจึงวนอยู่รอบจุดกำลังสูงสุดเมื่อแสงและอุณหภูมิเปลี่ยน

**ชาร์จคอนโทรลเลอร์ PWM กับ MPPT ต่างกันเท่าไร?**
แบบ PWM ต่อแผงกับแบตเตอรี่ผ่านสวิตช์ แผงจึงถูกบังคับให้ทำงานที่แรงดันแบตเตอรี่ซึ่งต่ำกว่า Vmp มาก เช่น แผง 580 W ที่ Vmp 43 V ต่อกับแบต 24 V ได้ไม่ถึง 400 W แบบ MPPT ใช้บั๊กคอนเวอร์เตอร์ให้แผงทำงานที่ Vmp แล้วแปลงลงมาเป็นแรงดันแบต ได้กำลังมากกว่า 20–40 % สำหรับแผงขนาดใหญ่ แบบ PWM เหมาะเฉพาะแผงเล็กที่ออกแบบมาคู่กับแบต 12 V

**ทำไมอินเวอร์เตอร์ผลิตไฟน้อยเมื่อมีเงาบังแผงบางส่วน แม้เงาจะเล็ก?**
เงาบังทำให้บายพาสไดโอดนำ เส้นกำลัง P-V ของสตริงมีหลายยอด อัลกอริทึม MPPT แบบไต่เขาอาจติดอยู่ที่ยอดเล็ก (local maximum) และไม่หาเจอยอดใหญ่ (global maximum) อินเวอร์เตอร์ที่มีฟังก์ชัน global MPPT หรือ shade scan จะกวาดแรงดันทั้งช่วงเป็นระยะเพื่อหายอดที่ดีที่สุด

---

# เลือกแผงโซลาร์เซลล์: PERC TOPCon HJT Back-contact Bifacial อ่านดาต้าชีต และมาตรฐาน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/panel-selection/
Updated: 2026-10-13
Summary: วิธีเลือกแผงโซลาร์เซลล์แบบวิศวกร: เปรียบเทียบเทคโนโลยี PERC TOPCon HJT back-contact และฟิล์มบาง ขนาดเวเฟอร์ 182 210R half-cut multi-busbar glass-glass bifacial อ่านดาต้าชีตทุกบรรทัด สัมประสิทธิ์อุณหภูมิ การเสื่อมรายปี ประกันสินค้าและกำลัง มาตรฐาน IEC 61215 61730 61701 62716 มอก. PID และเช็กลิสต์ก่อนซื้อ

// บทที่ 16.3 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · Choosing Solar Panels

# เลือกแผงโซลาร์เซลล์: PERC TOPCon HJT Back-contact Bifacial อ่านดาต้าชีต และมาตรฐาน

ราคาต่อวัตต์เป็นเกณฑ์ที่หลอกง่ายที่สุด แผงที่ถูกกว่า 5 % แต่ร้อนกว่า เสื่อมเร็วกว่า หรือขายผ่านตัวแทนที่ไม่มีวันอยู่ถึงปีที่ 10 อาจแพงกว่าในระยะยาว หน้านี้แยกเทคโนโลยีปัจจุบัน สอนอ่านดาต้าชีตทีละบรรทัด และให้เช็กลิสต์สำหรับซื้อแผงที่ใช้ได้ 25–30 ปี

สรุปใน 30 วินาที

- ปี 2026 ตลาดหลักคือ n-type TOPCon รองลงมาคือ HJT และ back-contact PERC กำลังหมดยุค

- เลือกจากพลังงานตลอดอายุต่อบาท: ประสิทธิภาพ × สัมประสิทธิ์อุณหภูมิ × การเสื่อม × ความน่าเชื่อถือ

- บ้าน: แผง 430–500 W ขนาดยกขึ้นหลังคาได้สะดวก · ฟาร์ม: 600–720 W glass-glass bifacial

- ต้องมีใบรับรอง IEC 61215 + 61730 และผ่าน มอก. ชายทะเลเพิ่ม IEC 61701 ฟาร์มปศุสัตว์เพิ่ม IEC 62716

## เทคโนโลยีเซลล์ปัจจุบัน พื้นฐาน

| เทคโนโลยี | ประสิทธิภาพแผง | γ (%/°C) | Bifaciality | จุดเด่น | ข้อควรระวัง |

| Mono PERC (p-type) | 20–21.5 % | −0.34 ถึง −0.36 | ~0.70 | ราคาถูก ผลิตมานาน ข้อมูลภาคสนามเยอะ | LID/LeTID เสื่อมปีแรก 2 % ผู้ผลิตลดกำลังผลิตลงเรื่อย ๆ |

| TOPCon (n-type) | 22–23.5 % | −0.29 ถึง −0.30 | 0.80–0.85 | กระแสหลักปัจจุบัน คุ้มราคา ไม่มี LID | ไวต่อความชื้นและ UV (UVID) ในรุ่นแรก ๆ เลือกรุ่นที่ผ่านการทดสอบขยาย |

| HJT Heterojunction | 22.5–24 % | −0.24 ถึง −0.26 | 0.85–0.95 | ทนร้อนดีที่สุด เสื่อมช้า เหมาะเขตร้อน | แพงกว่า ต้องการกระบวนการเคลือบและบรรจุที่ดี |

| Back-contact (IBC, HPBC, ABC) | 23–24.5 % | −0.26 ถึง −0.29 | 0.65–0.75 | หน้าแผงไม่มีเส้นโลหะ ประสิทธิภาพสูงสุด สวย ทนเงาบังบางส่วนดีในบางรุ่น | bifaciality ต่ำกว่า ราคาสูง มีผู้ผลิตน้อยราย |

| ฟิล์มบาง CdTe | 19–20 % | −0.28 ถึง −0.32 | — | ทนร้อนและแสงกระจายดี ใช้ในโรงไฟฟ้า | หนัก แรงดันสูงต่อแผง แทบไม่มีขายให้บ้านในไทย |

| Perovskite-silicon tandem | วิจัย/นำร่อง | — | — | ทำลายขีดจำกัดรอยต่อเดียว (> 30 % ในห้องแล็บ) | ยังต้องพิสูจน์อายุการใช้งาน 25 ปี |

ตัวเลขเป็นช่วงทั่วไปของผลิตภัณฑ์เชิงพาณิชย์ราวปี 2025–2026 ผู้ผลิตแต่ละรายต่างกัน ใช้ค่าในดาต้าชีตของรุ่นที่จะซื้อจริงเสมอ

### โครงสร้างแผงที่ควรรู้

- Half-cut / third-cut ตัดเซลล์เป็นครึ่ง กระแสต่อเซลล์ลดครึ่ง การสูญเสีย $I^2R$ ในริบบอนลดเหลือ 1/4 และทนเงาบังแนวนอนดีขึ้น

- Multi-busbar (MBB, 16BB) และ 0BB เส้นโลหะบางหลายเส้น ลดการบังแสงและทนรอยร้าวขนาดเล็กได้ดีกว่า

- Glass-glass (กระจกหน้าหลัง 2 + 2 mm) ทนความชื้น PID และไฟไหม้ดีกว่า glass-backsheet แต่หนักกว่าและต้องจับยึดตามจุดที่ผู้ผลิตกำหนด

- ขนาดเวเฟอร์: M10 (182 mm), G12R (182 × 210 mm), G12 (210 mm) ทำให้แผงมีกระแส 13–18 A — ต้องเลือกอินเวอร์เตอร์ที่รับกระแสต่อ MPPT ได้

- ขนาดแผง: แผงบ้าน 1.7–2.0 m² (≈ 21–25 kg) สองคนยกขึ้นหลังคาได้ แผงฟาร์ม 2.6–3.1 m² (≈ 32–38 kg) ต้องใช้อุปกรณ์ยก และหลังคาบ้านส่วนใหญ่ไม่ควรใช้

## พื้นที่ที่ต้องใช้ พื้นฐาน

M1 Area per kWp พื้นที่แผงต่อกำลังติดตั้ง

$$A_{panel} = \frac{P_{STC}}{\eta \cdot 1000\ \text{W/m}^2} \qquad \frac{A}{\text{kWp}} = \frac{1}{\eta}\ \text{m}^2 \quad (\eta = 22.5\% \Rightarrow 4.4\ \text{m}^2/\text{kWp})$$

บนหลังคาจริงต้องเผื่อระยะขอบ ทางเดิน รางยึด และพื้นที่ที่มีเงา ใช้ 5–6 m²/kWp สำหรับหลังคาลาด และ 8–12 m²/kWp สำหรับดาดฟ้าที่ต้องยกแผงเป็นแถว

ตัวอย่าง M-1

### หลังคาทิศใต้ใช้ได้ 40 m² ติดได้กี่ kWp

- แผง 580 W ขนาด 2.583 m² → ถ้าวางได้เต็ม $\lfloor 40/2.583\rfloor = 15$ แผง = 8.7 kWp

- แต่พื้นที่หลังคาเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูและต้องเว้นขอบ 0.3–0.5 m ใช้ตัวประกอบการจัดวาง 0.75 → ≈ 11 แผง ≈ 6.4 kWp

- ถ้าใช้แผงบ้าน 450 W (1.95 m²) จัดวางยืดหยุ่นกว่า อาจได้ 15 แผง = 6.75 kWp และยกขึ้นหลังคาง่ายกว่า — ขนาดแผงจึงเป็นการตัดสินใจเชิงติดตั้ง ไม่ใช่แค่ราคา

## อ่านดาต้าชีตทีละบรรทัด พื้นฐาน

| บรรทัด | ค่าตัวอย่าง | ใช้ทำอะไร |

| Maximum power $P_{max}$ (STC) | 580 W | ขนาดระบบ kWp |

| Power tolerance | 0 ~ +5 W | ต้องเป็นบวกเท่านั้น (positive tolerance) |

| Open-circuit voltage $V_{oc}$ | 52.2 V | จำนวนแผงต่อสตริงสูงสุด (ร่วมกับ β และอุณหภูมิต่ำสุด) |

| MPP voltage $V_{mp}$ | 43.4 V | ตรวจช่วง MPPT ของอินเวอร์เตอร์ |

| Short-circuit current $I_{sc}$ | 14.10 A | ฟิวส์ สาย พิกัดกระแสอินเวอร์เตอร์ |

| MPP current $I_{mp}$ | 13.37 A | กระแสใช้งานต่อ MPPT |

| Module efficiency | 22.5 % | พื้นที่ที่ต้องใช้ |

| Temperature coefficients β / α / γ | −0.25 / +0.045 / −0.29 %/°C | แรงดันตอนหนาว พลังงานตอนร้อน |

| NOCT / NMOT | 43 ± 2 °C | อุณหภูมิเซลล์ภาคสนาม |

| Maximum system voltage | 1,500 V DC (IEC) | แรงดันสตริงต้องไม่เกินค่านี้ (บ้านมักใช้ ≤ 600 V) |

| Maximum series fuse rating | 25–30 A | ขนานได้กี่สตริงโดยไม่ต้องมีฟิวส์ |

| Bifaciality | 80 ± 5 % | กำลังเพิ่มจากด้านหลัง |

| Mechanical load (front/back) | 5,400 / 2,400 Pa | ลมแรงและจุดยึด (ต้องยึดตามตำแหน่งที่ดาต้าชีตทดสอบ) |

| Operating temperature | −40 ถึง +85 °C | — |

| Junction box / bypass diodes | IP68, 3 diodes | ความทนน้ำ การแบ่งสตริงย่อย |

| Connector | MC4 / MC4-EVO2 compatible | ห้ามต่อขั้วต่างยี่ห้อกัน (ดู สายไฟ) |

| Cable length | ±300–1,400 mm | แนวการวางแผงและการเดินสายกลับ (leap-frog) |

ค่าในตารางคือแผงตัวอย่างที่ใช้ทั้งชุดนี้ (แผง TOPCon 144 half-cut 580 Wp) ซึ่งเป็นค่าตัวแทนของแผงในตลาด ไม่ได้อ้างอิงรุ่นใดรุ่นหนึ่ง

## การเสื่อมและประกัน กลาง

M2 Linear power warranty กำลังที่รับประกันในปีที่ y

$$\frac{P_y}{P_0} = 1 - d_1 - d\,(y-1)$$

$d_1$ = การเสื่อมปีแรก (n-type ≈ 1 %, PERC ≈ 2 %) $d$ = การเสื่อมรายปีหลังจากนั้น (n-type 0.35–0.4 %, PERC 0.55 %) ประกันมี 2 ส่วน: ประกันสินค้า (product warranty: วัสดุและการผลิต 12–25 ปี) และ ประกันกำลัง (performance warranty 25–30 ปี) การเคลมจริงต้องพิสูจน์ด้วยการวัดที่เชื่อถือได้ จึงควรเก็บผล flash test และ I-V ตอนส่งมอบ

ตัวอย่าง M-2

### กำลังที่ปีที่ 25 และพลังงานตลอดอายุ

- TOPCon: $1 - 0.01 - 0.004(24) = 0.894$ → เหลือ 89.4 % ที่ปีที่ 25 (87.4 % ที่ปีที่ 30)

- PERC: $1 - 0.02 - 0.0055(24) = 0.848$ → เหลือ 84.8 %

- กำลังเฉลี่ย 25 ปี: TOPCon 94.2 % · PERC 91.4 %

- รวมผลอุณหภูมิที่เซลล์เฉลี่ยถ่วงพลังงาน 50 °C: TOPCon $(1-0.0029 \cdot 25)(0.942) = 0.874$ · PERC $(1-0.0035\cdot 25)(0.914) = 0.834$

- สรุป: แผง TOPCon ที่ Wp เท่ากันให้พลังงานตลอดอายุมากกว่าประมาณ 4.8 % — ถ้าราคาต่างกันไม่เกินนี้ TOPCon คุ้มกว่า

### กลไกการเสื่อมที่ต้องรู้จัก

- LID / LeTID (light- and elevated-temperature-induced degradation) ใน p-type PERC

- PID (potential-induced degradation) แผงปลายลบของสตริงแรงดันสูงรั่วผ่านกระจกในอากาศชื้น ป้องกันด้วยแผงที่ผ่าน IEC TS 62804 และอินเวอร์เตอร์ที่มีฟังก์ชัน anti-PID / PID recovery

- UVID การเสื่อมจากแสง UV ที่พบในเซลล์ n-type บางรุ่น ดูผลการทดสอบขยาย (extended UV) ของผู้ผลิต

- รอยร้าวขนาดเล็ก จากการขนส่ง การเหยียบ การยกผิดวิธี มองไม่เห็นด้วยตา ตรวจด้วย EL (electroluminescence)

- Delamination, browning, snail trail, backsheet cracking จากวัสดุบรรจุคุณภาพต่ำ

## แผงสองหน้า (Bifacial) คุ้มเมื่อไร กลาง

M3 Bifacial gain กำลังเพิ่มจากด้านหลัง

$$P \approx P_{front}\left(1 + \varphi\,\frac{G_{rear}}{G_{front}}\right) \qquad \varphi = \frac{\eta_{rear}}{\eta_{front}}$$

- หลังคาเมทัลชีตที่แผงวางชิด: แสงด้านหลังแทบไม่มี ได้เพิ่ม 0–2 % ไม่คุ้ม

- ดาดฟ้าคอนกรีตหรือเมมเบรนสีขาว ยกแผงสูง 0.5–1 m: $G_{rear}/G_{front}$ ≈ 8–15 % ได้เพิ่ม 6–12 %

- ฟาร์มพื้นหญ้า ยกสูง 1–1.5 m: ได้เพิ่ม 3–7 % ทรายหรือหินสีอ่อน 6–10 % ตัวติดตามแกนเดียว 7–12 %

- เวลาออกแบบสตริงต้องคิดกระแสที่เพิ่มจากด้านหลังด้วย (ดาต้าชีตมีตารางกำลังที่ 5–25 % bifacial gain)

ตัวอย่าง M-3

### แผง bifacial บนดาดฟ้าสีขาว

- $\varphi = 0.80$ แสงด้านหลังวัดได้ 10 % ของด้านหน้า

- $P \approx P_{front}(1 + 0.80 \times 0.10) = 1.08\,P_{front}$

- แผง 580 W จ่ายได้เทียบเท่า ≈ 626 W ที่ STC กระแส $I_{sc}$ เพิ่มเป็น ≈ 15.2 A — ต้องตรวจพิกัดกระแสต่อ MPPT ใหม่

## มาตรฐานและใบรับรอง พื้นฐาน

| มาตรฐาน | ทดสอบอะไร | จำเป็นเมื่อ |

| IEC 61215-1/-2 · มอก. 61215 | คุณสมบัติการออกแบบ: ความร้อน-เย็นซ้ำ ความชื้น-ความร้อน แรงกล ลูกเห็บ hot spot | ทุกงาน |

| IEC 61730-1/-2 · มอก. 61730 | ความปลอดภัยทางไฟฟ้า ฉนวน ไฟไหม้ | ทุกงาน |

| IEC 61701 | ละอองเกลือ | ห่างชายทะเลไม่เกินราว 5 km |

| IEC 62716 | แอมโมเนีย | หลังคาฟาร์มไก่ สุกร โรงงานปุ๋ย |

| IEC TS 62804 | PID | ระบบแรงดันสูง อากาศชื้น |

| IEC 60068-2-68 | ทรายและฝุ่นปลิว | พื้นที่แห้งแล้ง ลมแรง |

| UL 61730 / IEC 61730 ระดับไฟไหม้ | การลุกลามไฟบนหลังคา | อาคารสาธารณะ ข้อกำหนดประกันภัย |

สำหรับระบบที่ขนานกับการไฟฟ้าและโครงการภาครัฐ ให้ตรวจรายการผลิตภัณฑ์ที่ได้รับการรับรองตามประกาศของ สมอ. และข้อกำหนดของการไฟฟ้าในขณะนั้น ใบรับรองต้องระบุ รุ่นตรงกับที่ซื้อ และ โรงงานที่ผลิตจริง

## เช็กลิสต์ก่อนซื้อแผง

- ใบรับรอง IEC 61215 + 61730 และ มอก. ของรุ่นนั้น จากหน่วยรับรองที่ตรวจสอบได้ (TÜV, UL, Intertek, CSA ฯลฯ)

- ประกันสินค้า ≥ 12 ปี ประกันกำลัง ≥ 25 ปี เงื่อนไขการเคลมในประเทศไทยมีตัวแทนรับผิดชอบชัดเจน

- γ ต่ำ (≤ −0.30 %/°C) เพราะไทยร้อน และ positive power tolerance

- กระแส $I_{sc}$ และ $I_{mp}$ เข้ากับอินเวอร์เตอร์ที่เลือก (หลายรุ่นรับได้แค่ 13–16 A ต่อ MPPT)

- ขนาดและน้ำหนักเหมาะกับหลังคาและการขนย้าย ระยะจับยึดตามคู่มือการติดตั้ง

- ผลทดสอบอิสระ (PVEL Scorecard, RETC PVMI) ถ้ามี — บอกความทนทานจริงมากกว่าคำว่า Tier 1

- ใบ flash test รายแผงและหมายเลขซีเรียลตรวจกับผู้ผลิตได้ ระวังแผงเกรด B หรือแผงมือสองที่ถูกนำมาติดฉลากใหม่

- เผื่อแผงสำรอง 1–2 % สำหรับงานซ่อมในอนาคต เพราะรุ่นเปลี่ยนเร็วมาก แผงต่างรุ่นใส่สตริงเดิมแล้วเกิด mismatch

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- Energy rating ตาม IEC 61853-3/-4 คำนวณ kWh/kWp ของแผงในภูมิอากาศอ้างอิง (รวมถึง tropical humid) — เทียบแผงด้วยพลังงานแทนกำลัง STC

- Bifacial modeling ด้วย view factor หรือ ray tracing (pvfactors, bifacial_radiance) รวมผลเงาของโครงยึดและความไม่สม่ำเสมอของแสงด้านหลัง (rear mismatch)

- Accelerated testing ที่เกินมาตรฐาน (DH2000, TC600, sequence testing) และความสัมพันธ์กับการเสื่อมภาคสนามในเขตร้อนชื้น

- Carbon footprint และ recycling ของแผง ข้อกำหนดด้าน ESG และการจัดการแผงหมดอายุในประเทศไทย

## คำถามที่พบบ่อย

แผง TOPCon กับ HJT ต่างกันอย่างไร และอะไรเหมาะกับประเทศไทย?
ทั้งสองเป็นเซลล์ n-type ประสิทธิภาพสูงที่ไม่มีปัญหา LID แบบ PERC TOPCon เป็นกระแสหลักของตลาดเพราะราคาคุ้ม HJT มีสัมประสิทธิ์อุณหภูมิดีกว่า (ประมาณ −0.24 %/°C) และ bifaciality สูงกว่า ให้พลังงานต่อปีมากกว่าในอากาศร้อนเล็กน้อยแต่แพงกว่า ในไทยทั้งสองเหมาะ เลือกจากราคาต่อพลังงานที่ได้ตลอดอายุ ความพร้อมของผู้จำหน่าย และประกัน

แผงโซลาร์มีอายุการใช้งานกี่ปี?
แผงคุณภาพดีมีประกันกำลัง 25–30 ปี โดยรับประกันว่ากำลังจะเหลือประมาณ 87–89 % ที่ปีที่ 30 สำหรับ n-type การเสื่อมปีแรกราว 1 % และหลังจากนั้นราว 0.4 % ต่อปี ในทางปฏิบัติแผงมักใช้งานได้นานกว่า 30 ปี แต่อินเวอร์เตอร์มักต้องเปลี่ยนหนึ่งครั้งในช่วงอายุระบบ

Tier 1 หมายความว่าแผงมีคุณภาพดีใช่ไหม?
ไม่ใช่โดยตรง Tier 1 ของ BloombergNEF เป็นรายชื่อผู้ผลิตที่ธนาคารยอมปล่อยสินเชื่อให้โครงการที่ใช้แผงยี่ห้อนั้น วัดความมั่นคงทางการเงิน ไม่ใช่ผลทดสอบคุณภาพ ควรดูผลทดสอบอิสระเช่น PVEL Scorecard หรือ RETC PV Module Index ประกอบกับใบรับรอง IEC และ มอก.

## FAQ

**แผง TOPCon กับ HJT ต่างกันอย่างไร และอะไรเหมาะกับประเทศไทย?**
ทั้งสองเป็นเซลล์ n-type ประสิทธิภาพสูงที่ไม่มีปัญหา LID แบบ PERC TOPCon เป็นกระแสหลักของตลาดเพราะราคาคุ้ม HJT มีสัมประสิทธิ์อุณหภูมิดีกว่า (ประมาณ −0.24 %/°C) และ bifaciality สูงกว่า ให้พลังงานต่อปีมากกว่าในอากาศร้อนเล็กน้อยแต่แพงกว่า ในไทยทั้งสองเหมาะ เลือกจากราคาต่อพลังงานที่ได้ตลอดอายุ ความพร้อมของผู้จำหน่าย และประกัน

**แผงโซลาร์มีอายุการใช้งานกี่ปี?**
แผงคุณภาพดีมีประกันกำลัง 25–30 ปี โดยรับประกันว่ากำลังจะเหลือประมาณ 87–89 % ที่ปีที่ 30 สำหรับ n-type การเสื่อมปีแรกราว 1 % และหลังจากนั้นราว 0.4 % ต่อปี ในทางปฏิบัติแผงมักใช้งานได้นานกว่า 30 ปี แต่อินเวอร์เตอร์มักต้องเปลี่ยนหนึ่งครั้งในช่วงอายุระบบ

**Tier 1 หมายความว่าแผงมีคุณภาพดีใช่ไหม?**
ไม่ใช่โดยตรง Tier 1 ของ BloombergNEF เป็นรายชื่อผู้ผลิตที่ธนาคารยอมปล่อยสินเชื่อให้โครงการที่ใช้แผงยี่ห้อนั้น วัดความมั่นคงทางการเงิน ไม่ใช่ผลทดสอบคุณภาพ ควรดูผลทดสอบอิสระเช่น PVEL Scorecard หรือ RETC PV Module Index ประกอบกับใบรับรอง IEC และ มอก.

---

# เซลล์แสงอาทิตย์ทำงานอย่างไร: เส้นโค้ง I-V แบบจำลองไดโอด STC NOCT และผลของอุณหภูมิ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/pv-cell/
Updated: 2026-10-13
Summary: หลักการโซลาร์เซลล์ภาษาไทยแบบละเอียด: รอยต่อ p-n กับโฟตอน แบบจำลองไดโอดเดี่ยว เส้นโค้ง I-V และ P-V Isc Voc MPP fill factor ประสิทธิภาพ STC NOCT สัมประสิทธิ์อุณหภูมิ ผลของแสงน้อย การต่ออนุกรมขนาน บายพาสไดโอด hot spot พร้อมแล็บเส้นโค้ง I-V และเงาบังแบบโต้ตอบ

// บทที่ 16.1 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · How a Solar Cell Works

# เซลล์แสงอาทิตย์ทำงานอย่างไร: เส้นโค้ง I-V แบบจำลองไดโอด STC NOCT และผลของอุณหภูมิ

ทุกการตัดสินใจในระบบโซลาร์ ตั้งแต่จำนวนแผงต่อสตริงจนถึงอัลกอริทึม MPPT ย้อนกลับมาที่เส้นโค้งเส้นเดียว คือเส้นโค้ง I-V ของแผง หน้านี้สร้างเส้นโค้งนั้นจากฟิสิกส์ของรอยต่อ p-n อ่านค่าจากดาต้าชีต และดูว่าแสง อุณหภูมิ และเงาเปลี่ยนมันอย่างไร

สรุปใน 30 วินาที

- เซลล์คือไดโอดที่มีแหล่งกระแส $I_{ph}\propto G$ ขนานอยู่ — เส้น I-V คือเส้นไดโอดกลับหัว

- $I_{sc}$ แปรตามแสงเกือบเป็นเชิงเส้น $V_{oc}$ แปรตามแสงแบบลอการิทึม

- ร้อนขึ้น 1 °C: $V_{oc}$ ลด ≈ 0.25–0.30 % กำลังลด ≈ 0.26–0.35 %

- STC (1000 W/m², เซลล์ 25 °C) เป็นแค่จุดอ้างอิง ในไทยเซลล์ทำงานที่ 50–70 °C

- เงาบังเซลล์เดียวทำให้กลุ่มเซลล์ทั้งกลุ่มถูกบายพาส และ P-V มีหลายยอด

## จากโฟตอนถึงกระแสไฟฟ้า พื้นฐาน

เซลล์ซิลิคอนเป็นแผ่นสารกึ่งตัวนำบางประมาณ 130–180 µm ที่มีรอยต่อ p-n ใกล้ผิวหน้า เมื่อโฟตอนที่มีพลังงานมากกว่าแถบพลังงานต้องห้าม (bandgap) $E_g$ ของซิลิคอน (1.12 eV) ถูกดูดกลืน มันสร้างคู่อิเล็กตรอน-โฮล สนามไฟฟ้าในบริเวณปลอดพาหะ (depletion region) แยกอิเล็กตรอนไปฝั่ง n และโฮลไปฝั่ง p ถ้าต่อวงจรภายนอก พาหะเหล่านี้ไหลเป็นกระแสได้

P1 Photon energy & cut-off wavelength พลังงานโฟตอนและความยาวคลื่นตัด

$$E_{ph} = \frac{hc}{\lambda} \qquad \lambda_{g} = \frac{hc}{E_g} = \frac{1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}}{1.12\ \text{eV}} \approx 1107\ \text{nm}$$

แสงที่ยาวกว่า ~1,107 nm (อินฟราเรดไกล) ผ่านไปโดยไม่สร้างพาหะ ส่วนโฟตอนพลังงานสูง (สีฟ้า UV) สร้างพาหะได้คู่เดียวเท่ากัน พลังงานส่วนเกินกลายเป็นความร้อน สองกลไกนี้ทำให้เซลล์รอยต่อเดียวมีขีดจำกัดทางทฤษฎี (Shockley–Queisser) ประมาณ 33 % ที่ bandgap เหมาะสม และราว 29–30 % สำหรับซิลิคอนเมื่อรวม Auger recombination เซลล์เชิงพาณิชย์ปี 2026 ทำได้ 23–26 % และแผงได้ 21–24 %

- ทำไมเซลล์ร้อนขึ้น: แสงที่ไม่ได้เป็นไฟฟ้า (75–80 %) กลายเป็นความร้อนบนแผงเกือบทั้งหมด

- ทำไมกระแสแปรตามแสง: จำนวนคู่พาหะแปรตามจำนวนโฟตอน กระแส $I_{ph}$ จึงแปรตามความเข้มแสง $G$ (W/m²) เกือบเป็นเชิงเส้น

- ทำไมแรงดันมีเพดาน: แรงดันของเซลล์ซิลิคอนหนึ่งเซลล์อยู่ที่ราว 0.68–0.75 V ตอนเปิดวงจร ไม่ว่าเซลล์ใหญ่แค่ไหน — ต้องต่ออนุกรมหลายเซลล์จึงได้แรงดันใช้งาน

## แบบจำลองไดโอดเดี่ยว (Single-Diode Model) กลาง

วงจรสมมูลของเซลล์หรือแผงคือแหล่งกระแส $I_{ph}$ ขนานกับไดโอด ความต้านทานขนาน $R_{sh}$ (กระแสรั่วตามขอบเซลล์และข้อบกพร่อง) และความต้านทานอนุกรม $R_s$ (เนื้อสาร หน้าสัมผัส busbar ริบบอน) เมื่อแผงมี $N_s$ เซลล์อนุกรม:

P2 Single-diode model สมการแบบจำลองไดโอดเดี่ยว

$$I = I_{ph} - I_0\left[\exp\!\left(\frac{V + I R_s}{n N_s V_T}\right) - 1\right] - \frac{V + I R_s}{R_{sh}}, \qquad V_T = \frac{kT}{q} \approx 25.7\ \text{mV at } 25^\circ\text{C}$$

$n$ คือ ideality factor (1.0–1.5 สำหรับซิลิคอน) $I_0$ คือกระแสอิ่มตัวย้อนกลับ (ระดับ 10⁻¹⁰–10⁻⁹ A สำหรับแผง) ซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วตามอุณหภูมิ สมการนี้เป็น implicit (มี $I$ สองข้าง) จึงต้องแก้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข เช่น Newton–Raphson หรือฟังก์ชัน Lambert W แต่จุดสำคัญสามจุดหาได้ตรง ๆ:

P3 Short circuit, open circuit, MPP and fill factor จุดสำคัญบนเส้นโค้ง I-V

$$I_{sc}\approx I_{ph} \qquad V_{oc} \approx nN_sV_T\ln\!\left(\frac{I_{ph}}{I_0}+1\right) \qquad P_{mp}=V_{mp}I_{mp} \qquad FF=\frac{V_{mp}I_{mp}}{V_{oc}I_{sc}}$$

P4 Conversion efficiency ประสิทธิภาพการแปลงพลังงาน

$$\eta = \frac{P_{mp}}{G\cdot A} \qquad (\text{STC: } G = 1000\ \text{W/m}^2)$$

Fill factor บอกความ “เหลี่ยม” ของเส้นโค้ง แผงซิลิคอนดีมี FF 0.78–0.83 ค่า FF ต่ำบ่งชี้ $R_s$ สูง (ริบบอนหลวม รอยร้าว ขั้วต่อเสื่อม) หรือ $R_{sh}$ ต่ำ (PID เซลล์รั่ว) — เป็นเครื่องมือวินิจฉัยหลักในงาน ทดสอบด้วย I-V curve tracer

ตัวอย่าง P-1

### อ่านดาต้าชีตแผง 580 Wp: FF และประสิทธิภาพ

แผง TOPCon 144 half-cut: $P_{max}$ = 580 W, $V_{oc}$ = 52.2 V, $I_{sc}$ = 14.10 A, $V_{mp}$ = 43.4 V, $I_{mp}$ = 13.37 A ขนาด 2,278 × 1,134 mm

- $FF = \dfrac{43.4 \times 13.37}{52.2 \times 14.10} = \dfrac{580.3}{736.0} = 0.788$

- พื้นที่ $A = 2.278 \times 1.134 = 2.583\ \text{m}^2$

- $\eta = \dfrac{580}{1000 \times 2.583} = 22.5\ \%$

- อัตราส่วนที่ใช้ตรวจความสมเหตุสมผล: $V_{mp}/V_{oc}$ = 0.83 และ $I_{mp}/I_{sc}$ = 0.95 — อยู่ในช่วงปกติของซิลิคอนผลึก

## ผลของความเข้มแสง พื้นฐาน

P5 Irradiance dependence กระแสและแรงดันเมื่อแสงเปลี่ยน

$$I_{sc}(G) = I_{sc,STC}\,\frac{G}{1000} \qquad V_{oc}(G) \approx V_{oc,STC} + nN_sV_T\ln\!\frac{G}{1000}$$

แสงลดลงครึ่งหนึ่ง กระแสลดลงครึ่งหนึ่งแต่แรงดันลดเพียงเล็กน้อย ตัวอย่างแผง 72 เซลล์เทียบเท่า ($n$ = 1.2, $nN_sV_T$ ≈ 2.22 V) ที่แสง 200 W/m²: $V_{oc}$ ลดลง $2.22\ln 5 \approx 3.6$ V เหลือ ≈ 48.6 V นี่คือเหตุผลที่ อินเวอร์เตอร์เริ่มทำงานตั้งแต่เช้ามืด (แรงดันพอแล้ว แม้กระแสยังน้อย) และเป็นเหตุผลที่การออกแบบสตริงต้องคิดแรงดันสูงสุดตอนเช้าหนาว ๆ ที่แสงยังอ่อน

ประสิทธิภาพที่แสงน้อย (low-light performance) ระบุในดาต้าชีตเป็น % ของประสิทธิภาพ STC ที่ 200 W/m² ปกติ 95–99 % แผงที่มี $R_{sh}$ สูงทำได้ดีกว่าในวันครึ้ม

## ผลของอุณหภูมิ: ศัตรูอันดับหนึ่งของโซลาร์ในประเทศไทย พื้นฐาน

ดาต้าชีตให้สัมประสิทธิ์อุณหภูมิสามตัว β (ของ $V_{oc}$), α (ของ $I_{sc}$) และ γ (ของ $P_{max}$) ในหน่วย %/°C ใช้แบบเชิงเส้นรอบ 25 °C:

P6 Temperature coefficients สัมประสิทธิ์อุณหภูมิ

$$V_{oc}(T_c) = V_{oc,STC}\left[1+\beta (T_c-25)\right] \quad I_{sc}(T_c) = I_{sc,STC}\left[1+\alpha (T_c-25)\right] \quad P(T_c) = P_{STC}\left[1+\gamma (T_c-25)\right]$$

ค่าทั่วไป: PERC β ≈ −0.27, γ ≈ −0.34 %/°C · TOPCon β ≈ −0.25, γ ≈ −0.29 · HJT β ≈ −0.24, γ ≈ −0.24 ถึง −0.26 · α ≈ +0.04 ถึง +0.05 %/°C สัมประสิทธิ์ของ $V_{mp}$ ประมาณ $\gamma - \alpha$ เพราะ $P = VI$

P7 Cell temperature from NOCT/NMOT ประมาณอุณหภูมิเซลล์

$$T_c \approx T_a + \frac{NOCT - 20}{800}\,G$$

NOCT (หรือ NMOT ในมาตรฐาน IEC 61215 รุ่นใหม่) คืออุณหภูมิเซลล์ที่ 800 W/m², อากาศ 20 °C, ลม 1 m/s, แผงยึดแบบเปิดด้านหลัง มักอยู่ที่ 41–45 °C แผงที่ติดชิดหลังคาหรือไม่มีลมหมุนเวียนจะร้อนกว่าที่สูตรนี้บอก 5–15 °C

ตัวอย่าง P-2

### เที่ยงวันเดือนเมษายน: แผง 580 W จ่ายได้จริงเท่าไร

อากาศ 35 °C แสง 1,000 W/m² NOCT = 43 °C, γ = −0.29 %/°C, β = −0.25 %/°C, α = +0.045 %/°C

- อุณหภูมิเซลล์: $T_c = 35 + \dfrac{43-20}{800}(1000) = 35 + 28.75 = 63.75\ ^\circ\text{C}$

- กำลัง: $P = 580\left[1 - 0.0029(63.75-25)\right] = 580(0.8876) = 514.8\ \text{W}$ — หายไป 11 %

- $V_{oc} = 52.2\left[1-0.0025(38.75)\right] = 47.1\ \text{V}$ และ $I_{sc} = 14.1\left[1+0.00045(38.75)\right] = 14.35\ \text{A}$

- ข้อสรุปเชิงออกแบบ: ใช้ $V_{mp}$ ตอนร้อนในการตรวจขอบล่างของช่วง MPPT และใช้ $V_{oc}$ ตอนหนาวในการตรวจแรงดันสูงสุด (ดู ออกแบบสตริง)

ทางเลือกในเขตร้อน แผงที่ γ ต่ำ (HJT, TOPCon) ให้พลังงานต่อปีมากกว่าแผง PERC ที่พิกัดเท่ากันราว 1.5–3 % ในไทย การยกแผงให้มีช่องลมใต้แผง 10–15 cm ช่วยลดอุณหภูมิเซลล์ได้หลายองศา ซึ่งได้ผลใกล้เคียงกัน

## แล็บ: เส้นโค้ง I-V และ P-V ของแผงจริง

แล็บนี้ใช้แบบจำลองไดโอดเดี่ยว (P2) ที่ปรับค่า $I_0$ และ $R_s$ ให้ผ่านจุด $V_{oc}$, $I_{sc}$ และ MPP ของแผง 580 Wp ในตัวอย่าง P-1 พอดี แผงแบ่งเป็นสามสตริงย่อย (24 เซลล์เทียบเท่าต่อกลุ่ม) แต่ละกลุ่มมีบายพาสไดโอดของตัวเอง ลองทำตามนี้:

- กด STC แล้วอ่าน $V_{oc}$, $I_{sc}$, MPP ให้ตรงกับดาต้าชีต

- เลื่อนแสงจาก 1,000 ลงเหลือ 200 W/m² — กระแสลดตามแสง แรงดันแทบไม่ลด (P5)

- กด เที่ยงร้อน — เส้นโค้งเลื่อนซ้าย กำลังหายไปราว 9–11 % (P6, P7)

- กด ใบไม้บัง 1 ช่อง — เส้น I-V เป็นขั้นบันได P-V มีสองยอด

- เอาเครื่องหมาย มีบายพาสไดโอด ออก — กำลังทั้งแผงถูกจำกัดด้วยกลุ่มที่ถูกบัง

## ต่ออนุกรม ต่อขนาน และ mismatch พื้นฐาน

P8 Series and parallel connection การต่ออนุกรมและขนาน

$$\text{อนุกรม } N_s:\ V_{str} = \sum V_k,\ I_{str} = I\ (\text{ร่วมกัน}) \qquad \text{ขนาน } N_p:\ I_{arr} = \sum I_j,\ V_{arr} = V\ (\text{ร่วมกัน})$$

- อนุกรม แรงดันบวกกัน กระแสต้องเท่ากันทุกแผง แผงที่อ่อนที่สุด (สกปรก ร้อน ถูกบัง) จะดึงกระแสทั้งสตริงลง จึงไม่ควรผสมแผงต่างรุ่นต่างกระแสในสตริงเดียว

- ขนาน กระแสบวกกัน แรงดันต้องเท่ากัน สตริงที่ขนานกันต้องมีจำนวนแผงเท่ากันและวางทิศเดียวกัน ถ้าทิศต่างกันให้แยกไปคนละ MPPT

- Mismatch loss เกิดจากแผงที่มีค่าต่างกันเล็กน้อย (power tolerance 0/+5 W, การเสื่อมไม่เท่ากัน) โดยปกติ 0.5–2 %

- กระแสย้อน เมื่อสตริงหนึ่งลัดวงจร สตริงอื่นที่ขนานอยู่จะดันกระแสย้อนเข้า ถ้าขนานเกิน 2–3 สตริงต้องมีฟิวส์สตริง (ดู W5)

## เงาบัง บายพาสไดโอด และ hot spot กลาง

ในสตริงอนุกรม เซลล์ทุกเซลล์ต้องนำกระแสเท่ากัน ถ้าเซลล์หนึ่งถูกบังจนผลิตกระแสได้น้อยกว่ากระแสสตริง มันจะถูกบังคับให้ทำงานในย่านไบแอสย้อนกลับ กลายเป็นโหลดที่กินกำลังของเซลล์อื่น เกิดความร้อนเฉพาะจุด (hot spot) จนแผ่นหลังไหม้หรือกระจกแตกได้

แผงทั่วไปจึงแบ่งเซลล์เป็น 3 กลุ่ม แต่ละกลุ่มมี บายพาสไดโอด (Schottky หรือ smart bypass ชนิด MOSFET) ในกล่องต่อสาย เมื่อกลุ่มใดถูกบัง ไดโอดนำ ทำให้แรงดันกลุ่มนั้นเหลือ −0.3 ถึง −0.5 V สตริงยังจ่ายกระแสเต็มผ่านกลุ่มที่ดี ผลคือ:

- แผงเสียกำลังประมาณ 1/3 ต่อกลุ่มที่ถูกบัง แทนที่จะเสียเกือบทั้งหมด

- เส้น I-V เป็นขั้นบันได และเส้น P-V มี หลายยอด (local maxima) ซึ่งทำให้ MPPT แบบไต่เขาติดยอดผิดได้ — แก้ด้วย global scan (ดู MPPT ภายใต้เงาบังบางส่วน)

- แผง half-cut (ครึ่งบน-ครึ่งล่างต่อขนานกัน) ทนเงาบังแนวนอนได้ดีกว่า: เงาที่บังครึ่งล่างทำให้เสียกำลังแค่ครึ่งหนึ่งของกลุ่ม

ตัวอย่าง P-3

### ใบไม้บังเซลล์เดียว เสียกำลังเท่าไร

- ใบไม้บังเซลล์หนึ่งในกลุ่มที่ 3 ให้แสงเหลือ 25 % กลุ่มนี้ผลิตกระแสได้แค่ $0.25 \times 14.1 \approx 3.5$ A

- ถ้าทำงานที่กระแส 13 A (กลุ่ม 1–2 ทำงานเต็ม) กลุ่ม 3 ถูกบายพาส แรงดันแผงเหลือราว 2/3 → กำลังราว 2/3 ของปกติ ≈ 340 W ที่เซลล์ร้อน (ในแล็บ)

- ถ้าทำงานที่กระแส ≈ 3.5 A ทั้งสามกลุ่มนำ แรงดันเต็มแต่กระแสน้อย → ≈ 150 W

- จึงมีสองยอดบนเส้น P-V และยอดที่ดีกว่าคือยอดแรงดันต่ำ (global MPP) — อินเวอร์เตอร์ที่ไม่มี global scan อาจติดที่ยอด 150 W ทั้งวัน

- ถ้าไม่มีบายพาสไดโอด กระแสทั้งแผงถูกจำกัดที่ ≈ 3.5 A และเซลล์ที่ถูกบังร้อนจัด → นี่คือเหตุผลที่บายพาสไดโอดเป็นอุปกรณ์ความปลอดภัย ไม่ใช่แค่เพิ่มกำลัง

ห้ามมองข้าม บายพาสไดโอดที่เสียแบบลัดวงจรทำให้แรงดันแผงหายไป 1/3 ตลอดเวลา ส่วนที่เสียแบบเปิดวงจรทำให้เกิด hot spot เมื่อมีเงา ตรวจได้จากการวัด $V_{oc}$ ของแต่ละแผงเทียบกัน และภาพถ่ายความร้อน (ดู งานบำรุงรักษา)

## STC NOCT BNPI และค่าที่ดาต้าชีตบอก พื้นฐาน

| เงื่อนไข | แสง | อุณหภูมิ | ใช้ทำอะไร |

| STC (Standard Test Conditions) | 1,000 W/m², AM 1.5 | เซลล์ 25 °C | พิกัดบนป้าย Wp เทียบแผงต่างยี่ห้อ |

| NOCT / NMOT | 800 W/m² | อากาศ 20 °C ลม 1 m/s | ประมาณอุณหภูมิเซลล์และกำลังภาคสนาม |

| BNPI / BSTC (แผงสองหน้า) | หน้า 1,000 + หลัง 135 W/m² | เซลล์ 25 °C | กำลังรวมของแผง bifacial |

| Low irradiance | 200 W/m² | เซลล์ 25 °C | ประสิทธิภาพวันครึ้ม เช้า เย็น |

AM 1.5 (air mass) หมายถึงสเปกตรัมแสงที่ผ่านชั้นบรรยากาศ 1.5 เท่าของความหนาแนวดิ่ง (ดวงอาทิตย์สูงจากขอบฟ้าราว 42°) เป็นสเปกตรัมอ้างอิงตาม IEC 60904-3

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- สกัดพารามิเตอร์ 5 ตัว ($I_{ph}, I_0, n, R_s, R_{sh}$) จากดาต้าชีตหรือจาก I-V ที่วัดจริง: วิธี De Soto (2006), วิธีวนซ้ำของ Villalva (2009) หรือ curve fitting ด้วย least squares — ใช้ใน PVsyst และ pvlib (`pvlib.ivtools`)

- แบบจำลองไดโอดคู่ แยก recombination ในบริเวณปลอดพาหะ ($n\approx 2$) ช่วยให้แม่นที่แสงน้อย

- ผลลัพธ์ Lambert W ทำให้เขียน $I(V)$ แบบ explicit ได้: เร็วพอสำหรับคำนวณรายชั่วโมงทั้งปีหรือใช้ใน HIL simulator

- Spectral mismatch และ IAM แสงเช้าเย็นมีสเปกตรัมแดงกว่าและตกกระทบมุมเฉียง กระจก AR coating ช่วยลดการสะท้อน

- Reverse-bias breakdown ของเซลล์ TOPCon/HJT ต่ำกว่า PERC (บางรุ่น −5 ถึง −10 V) ทำให้การออกแบบบายพาสและการวิเคราะห์ hot spot ต่างไป

- การเสื่อมเชิงกลไก: LID, LeTID, PID, UVID (สำคัญกับ TOPCon), การเกิดรอยร้าว (micro-crack) และการกัดกร่อนหน้าสัมผัส — ผลต่อ $R_s$, $R_{sh}$ และ $I_{sc}$ ต่างกัน วินิจฉัยได้จากรูปร่างเส้น I-V

## คำถามที่พบบ่อย

Voc กับ Isc ของแผงโซลาร์คืออะไร?
Voc คือแรงดันเมื่อเปิดวงจร (ไม่มีกระแส) Isc คือกระแสเมื่อลัดวงจร (แรงดันศูนย์) ทั้งสองเป็นจุดปลายของเส้นโค้ง I-V แผงไม่จ่ายกำลังที่ทั้งสองจุด กำลังสูงสุดอยู่ที่จุด MPP ซึ่งประมาณ 80–84 % ของ Voc และ 93–95 % ของ Isc สำหรับแผงซิลิคอนปัจจุบัน

ทำไมแผงโซลาร์ผลิตไฟได้น้อยลงตอนร้อนจัด?
แรงดันของรอยต่อ p-n ลดลงเมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น ประมาณ −0.25 ถึง −0.30 % ต่อองศาสำหรับ Voc ขณะที่กระแสเพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อย กำลังจึงลดลงประมาณ −0.26 ถึง −0.35 % ต่อองศา ในประเทศไทยเซลล์ร้อนถึง 60–70 °C กำลังจึงต่ำกว่าพิกัด STC 10–13 %

บายพาสไดโอดในกล่องต่อสายทำหน้าที่อะไร?
เมื่อบางเซลล์ถูกบังแสง กระแสของสตริงจะบังคับให้เซลล์นั้นรับแรงดันย้อนกลับและร้อนจนเกิด hot spot บายพาสไดโอดจะนำกระแสข้ามกลุ่มเซลล์ที่ถูกบัง แผงจึงเสียกำลังเพียงประมาณหนึ่งในสามแทนที่จะเสียเกือบทั้งแผง และป้องกันเซลล์ไหม้

## FAQ

**Voc กับ Isc ของแผงโซลาร์คืออะไร?**
Voc คือแรงดันเมื่อเปิดวงจร (ไม่มีกระแส) Isc คือกระแสเมื่อลัดวงจร (แรงดันศูนย์) ทั้งสองเป็นจุดปลายของเส้นโค้ง I-V แผงไม่จ่ายกำลังที่ทั้งสองจุด กำลังสูงสุดอยู่ที่จุด MPP ซึ่งประมาณ 80–84 % ของ Voc และ 93–95 % ของ Isc สำหรับแผงซิลิคอนปัจจุบัน

**ทำไมแผงโซลาร์ผลิตไฟได้น้อยลงตอนร้อนจัด?**
แรงดันของรอยต่อ p-n ลดลงเมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น ประมาณ −0.25 ถึง −0.30 % ต่อองศาสำหรับ Voc ขณะที่กระแสเพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อย กำลังจึงลดลงประมาณ −0.26 ถึง −0.35 % ต่อองศา ในประเทศไทยเซลล์ร้อนถึง 60–70 °C กำลังจึงต่ำกว่าพิกัด STC 10–13 %

**บายพาสไดโอดในกล่องต่อสายทำหน้าที่อะไร?**
เมื่อบางเซลล์ถูกบังแสง กระแสของสตริงจะบังคับให้เซลล์นั้นรับแรงดันย้อนกลับและร้อนจนเกิด hot spot บายพาสไดโอดจะนำกระแสข้ามกลุ่มเซลล์ที่ถูกบัง แผงจึงเสียกำลังเพียงประมาณหนึ่งในสามแทนที่จะเสียเกือบทั้งแผง และป้องกันเซลล์ไหม้

---

# อินเวอร์เตอร์โซลาร์: โครงสร้าง Boost + H-bridge, PLL, ควบคุมกระแสกริด, Anti-islanding และมาตรฐาน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/pv-inverter/
Updated: 2026-10-13
Summary: อิเล็กทรอนิกส์กำลังของอินเวอร์เตอร์โซลาร์แบบละเอียด: string micro optimizer central โครงสร้างสองขั้น boost + full-bridge แรงดัน DC-link ตัวเก็บประจุ 100 Hz SPWM unipolar ฟิลเตอร์ L และ LCL วงจรไร้หม้อแปลง H5 HERIC กระแสรั่ว PLL ควบคุมกระแสแบบ PR และ dq กำลังจริงและกำลังรีแอกทีฟ Volt-VAR anti-islanding IEC 62116 IEEE 1547 ride-through ฮาร์มอนิก และ grid-forming พร้อมตัวอย่างออกแบบ 5 kW

// บทที่ 16.13 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · PV Inverters & Grid-Tie Control

# อินเวอร์เตอร์โซลาร์: โครงสร้าง Boost + H-bridge, PLL, ควบคุมกระแสกริด, Anti-islanding และมาตรฐาน

อินเวอร์เตอร์คือ “สมอง” ของระบบโซลาร์: ทำ MPPT แปลง DC เป็น AC ที่สะอาดและซิงโครไนซ์กับกริด ป้องกันตัวเองและผู้คน และสื่อสารกับผู้ใช้ หน้านี้เปิดฝาอินเวอร์เตอร์ออกดูทีละบล็อก พร้อมสมการออกแบบที่ใช้ได้จริงกับอินเวอร์เตอร์ 5 kW และเชื่อมกับเนื้อหา อิเล็กทรอนิกส์กำลัง ระบบควบคุม และ สเปกตรัม PWM

สรุปใน 30 วินาที

- Boost (MPPT) → DC-link (C ใหญ่ รับกำลังกระเพื่อม 100 Hz) → H-bridge SPWM → ฟิลเตอร์ L/LCL → กริด

- ลูปซ้อน: ลูปกระแส (เร็ว) ← ลูปแรงดัน DC-link (ช้า) ← MPPT (ช้าสุด) และ PLL ให้มุมเฟส

- อินเวอร์เตอร์เป็นแหล่งกระแส (grid-following) ต้องตัดเมื่อเกิด islanding

- มาตรฐาน: IEC 62109 62116 61727 IEEE 1547 และข้อกำหนดของ กฟภ./กฟน.

## ชนิดของอินเวอร์เตอร์ตามขนาด พื้นฐาน

| ชนิด | กำลัง | จุดเด่น | ข้อจำกัด |

| Micro-inverter | 0.3–2 kW | MPPT รายแผง แรงดัน DC ต่ำ ขยายง่าย | ราคาต่อวัตต์สูง ตัวเครื่องอยู่บนหลังคาร้อน |

| String inverter 1 เฟส | 1–10 kW | มาตรฐานบ้าน ราคาคุ้ม หลาย MPPT | เงาบังกระทบทั้งสตริง |

| String inverter 3 เฟส | 5–350 kW | อาคาร โรงงาน และฟาร์มแบบกระจาย ซ่อมโดยเปลี่ยนเครื่อง | จำนวนเครื่องมาก |

| Central inverter | 1–5 MVA | ต้นทุนต่อ MW ต่ำสุดสำหรับฟาร์มใหญ่ | จุดเสียจุดเดียวกระทบมาก ต้องมีอะไหล่และช่างเฉพาะ |

| Hybrid inverter | 3–30 kW | PV + แบต + ไฟสำรอง ในเครื่องเดียว | ต้องเลือกแบตที่เข้ากันได้ |

## โครงสร้างภายในอินเวอร์เตอร์ 1 เฟส กลาง

สตริง PV→EMI filter DC · ตรวจ Riso→Boost (MPPT) ต่อ MPPT→DC-link 380–420 V→H-bridge (H5/HERIC) SPWM→ฟิลเตอร์ LCL→รีเลย์ตัดต่อ ×2 · RCMU→EMI filter AC · กริด

- ขั้น boost หนึ่งตัวต่อ MPPT ทำ MPPT ของแต่ละสตริงอิสระ (ดู MPPT) และยกแรงดันขึ้นเมื่อสตริงสั้น ถ้าแรงดันสตริงสูงกว่า DC-link อยู่แล้ว ขั้น boost จะถูกบายพาสเพื่อลดการสูญเสีย

- DC-link แยกพลวัตของสองขั้นออกจากกัน และรับกำลังกระเพื่อม 100 Hz ของระบบ 1 เฟส

- H-bridge สวิตช์ 16–50 kHz ด้วย MOSFET (Si/SiC) หรือ IGBT · วงจรไร้หม้อแปลงแบบ H5 หรือ HERIC เพิ่มสวิตช์เพื่อแยกแผงออกจากกริดช่วง freewheeling ทำให้แรงดันโหมดร่วม (common-mode) ของแผงเทียบดินคงที่ ลดกระแสรั่วผ่านความจุแผง-ดิน (ซึ่ง RCMU ต้องตรวจ ≤ 300 mA และตรวจกระแสกระโดด 30 mA)

- รีเลย์สองชุดอนุกรม ตามมาตรฐานความปลอดภัย ตัดได้แม้รีเลย์ตัวหนึ่งติด ทดสอบตัวเองก่อนเชื่อมกริดทุกครั้ง

- ระบบ 3 เฟส ใช้วงจรสามขาสองระดับ หรือสามระดับ (NPC/T-type) เพื่อลด ripple และความเค้นแรงดันที่ DC-link 600–1,100 V

## แรงดันและตัวเก็บประจุ DC-link กลาง

V1 Minimum DC-link voltage แรงดัน DC-link ต่ำสุด

$$\text{1 เฟส: } V_{dc} > \sqrt2\,V_{g,max} \qquad \text{3 เฟส SPWM: } V_{dc} > \frac{2\sqrt2}{\sqrt3}V_{LL} \qquad \text{3 เฟส SVPWM: } V_{dc} > \sqrt2\,V_{LL}$$

ระบบ 230 V ที่แรงดันกริดสูงสุด +10 % ต้องการ $V_{dc} > 358$ V บวกแรงดันตกบนฟิลเตอร์และ margin ของการควบคุม → ใช้ 380–420 V · ระบบ 3 เฟส 400 V ต้องการ ≈ 653 V (SPWM) หรือ ≈ 566 V (SVPWM/third-harmonic injection)

V2 DC-link capacitor for 2ω power ripple (1-phase) ตัวเก็บประจุสำหรับกำลังกระเพื่อม 100 Hz

$$p(t) = P\left[1 - \cos(2\omega t)\right] \quad\Rightarrow\quad C_{dc} = \frac{P}{\omega\,V_{dc}\,\Delta V_{pp}}$$

ตัวอย่าง V-1

### DC-link ของอินเวอร์เตอร์ 5 kW 1 เฟส

- $V_{dc}$ = 400 V ยอมให้ ripple 5 % → $\Delta V_{pp}$ = 20 V

- $C_{dc} = \dfrac{5000}{(2\pi \cdot 50)(400)(20)} = 1{,}989\ \mu\text{F}$ → เช่น 4 × 560 µF/450 V อิเล็กโตรไลต์ ขนาน (ต้องตรวจพิกัดกระแส ripple 100 Hz และอุณหภูมิ เพราะอายุตัวเก็บประจุกำหนดอายุอินเวอร์เตอร์)

- ทางเลือกใหม่: ฟิล์มคาปาซิเตอร์ขนาดเล็กลงร่วมกับ power decoupling แบบแอกทีฟ เพื่อยืดอายุ (สำคัญกับ micro-inverter ที่ร้อน)

## SPWM และฟิลเตอร์ L/LCL กลาง

SPWM แบบ unipolar ทำให้แรงดันขาออกสวิตช์ระหว่าง 0 กับ ±$V_{dc}$ ที่ความถี่ประสิทธิผล $2f_{sw}$ ฮาร์มอนิกจึงย้ายไปรอบ $2f_{sw}$ และ ripple ลดลง 4 เท่าเทียบ bipolar (สเปกตรัมละเอียดอยู่ที่ อนุกรมฟูเรียร์ของอินเวอร์เตอร์)

V3 Grid-side inductor ripple (full-bridge) ริปเปิลกระแสของตัวเหนี่ยวนำ

$$\text{unipolar: } \Delta I_{pp} = \frac{V_{dc}\,d(1-d)}{2 L f_{sw}} \le \frac{V_{dc}}{8 L f_{sw}} \qquad \text{bipolar: } \Delta I_{pp,max} = \frac{V_{dc}}{2 L f_{sw}}$$

V4 LCL resonance ความถี่เรโซแนนซ์ของฟิลเตอร์ LCL

$$f_{res} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{L_1 + L_2}{L_1 L_2 C_f}} \qquad 10 f_g ตัวอย่าง V-2

### ฟิลเตอร์ของอินเวอร์เตอร์ 5 kW 230 V, $f_{sw}$ = 20 kHz

- กระแสพิกัด $5000/230 = 21.7$ A rms → ยอด 30.7 A · ยอมให้ ripple 20 % ของยอด = 6.1 A

- V3 (unipolar): $L \ge \dfrac{400}{8(20\text{k})(6.1)} = 410\ \mu\text{H}$ — ถ้าใช้ฟิลเตอร์ L อย่างเดียว ฮาร์มอนิกความถี่สูงยังผ่านไปกริดมาก

- ใช้ LCL: $L_1$ = 0.5 mH (ฝั่งอินเวอร์เตอร์) $L_2$ = 0.15 mH (ฝั่งกริด) $C_f$ = 5 µF

- V4: $f_{res} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{0.65\text{m}}{(0.5\text{m})(0.15\text{m})(5\,\mu)}} = 6.6$ kHz อยู่ระหว่าง 500 Hz กับ 10 kHz ✓

- เรโซแนนซ์ต้องหน่วง: passive damping (R อนุกรม $C_f$) หรือ active damping ในลูปควบคุม (ป้อนกลับกระแส $C_f$) — ไม่หน่วงแล้วลูปกระแสจะแกว่งที่ $f_{res}$

## PLL และการควบคุมกระแสกริด ขั้นสูง

อินเวอร์เตอร์เชื่อมกริดเป็น แหล่งกระแสที่ควบคุมได้ โครงสร้างลูปซ้อน (ดู ควบคุมตัวแปลงกำลัง):

- PLL หามุมเฟส $\theta$ และความถี่ของแรงดันกริด · แบบ 3 เฟสใช้ SRF-PLL: แปลง $v_{abc}$ เป็น $v_d, v_q$ แล้วใช้ PI บังคับ $v_q \to 0$ · แบบ 1 เฟสสร้างสัญญาณตั้งฉากด้วย SOGI (second-order generalized integrator) ก่อน · แบนด์วิดท์ 10–30 Hz (เร็วไปติดฮาร์มอนิก ช้าไปตามความถี่ไม่ทัน)

- ลูปแรงดัน DC-link (แบนด์วิดท์ ~10 Hz ช้ากว่า 100 Hz ripple) บอกว่าต้องส่งกำลังเท่าไร → กำหนดแอมพลิจูดกระแสอ้างอิง

- ลูปกระแส (แบนด์วิดท์ 1–2 kHz) ทำให้กระแสตามไซน์อ้างอิงที่มีเฟส $\theta$ จาก PLL · ระบบ 1 เฟสนิยมตัวควบคุม PR · 3 เฟสใช้ PI ในกรอบ dq + decoupling

V5 Proportional-resonant (PR) controller ตัวควบคุมแบบเรโซแนนซ์

$$G_{PR}(s) = K_p + \frac{2K_r\,\omega_c\,s}{s^2 + 2\omega_c s + \omega_0^2} \qquad \omega_0 = 2\pi\cdot 50$$

PI ธรรมดาตามไซน์ไม่ได้โดยไม่มีความผิดพลาดของเฟสและขนาด PR ให้อัตราขยายสูงมากที่ $\omega_0$ (เทียบเท่า PI ในกรอบหมุน) เพิ่มตัวชดเชยฮาร์มอนิก (HC) ที่ 3, 5, 7 เพื่อลดฮาร์มอนิกของกระแสเมื่อแรงดันกริดบิดเบี้ยว

V6 Power in the dq frame (amplitude-invariant) กำลังในกรอบ dq

$$P = \tfrac32\,(v_d i_d + v_q i_q) \qquad Q = \tfrac32\,(v_q i_d - v_d i_q) \qquad (v_q = 0:\ P = \tfrac32 v_d i_d,\ Q = -\tfrac32 v_d i_q)$$

เมื่อ PLL ล็อกแล้ว $i_d$ คุมกำลังจริง $i_q$ คุมกำลังรีแอกทีฟอย่างอิสระ จึงทำฟังก์ชันช่วยกริดได้

V7 Reactive power for a power factor กำลังรีแอกทีฟที่เพาเวอร์แฟกเตอร์ที่กำหนด

$$Q = P\tan(\cos^{-1}PF) \qquad S = \frac{P}{PF}$$

ตัวอย่าง V-3

### จ่ายกำลังรีแอกทีฟช่วยคุมแรงดัน

- อินเวอร์เตอร์ 5 kW ตั้งให้ทำงานที่ PF 0.9 (ดูดกำลังรีแอกทีฟ) เมื่อแรงดันสูง: $Q = 5\tan(25.8^\circ) = 2.42$ kvar

- ต้องการพิกัด $S = 5/0.9 = 5.56$ kVA — ถ้าอินเวอร์เตอร์พิกัด 5 kVA จะต้องลดกำลังจริงลงเหลือ 4.5 kW ขณะใช้ PF 0.9 (นี่คือเหตุผลที่บางโครงการเลือกพิกัด kVA สูงกว่า kW)

## Anti-islanding และการป้องกันที่จุดต่อ กลาง

- Passive: แรงดันต่ำ/เกิน ความถี่ต่ำ/เกิน อัตราเปลี่ยนความถี่ (ROCOF) การกระโดดของเฟส — ไม่พอเมื่อกำลังโหลดในเกาะพอดีกับกำลังอินเวอร์เตอร์ (non-detection zone)

- Active: Sandia frequency shift, slip-mode frequency shift, การฉีดกระแสรบกวนเล็กน้อยเพื่อวัดอิมพีแดนซ์ — เมื่อกริดหายไป สิ่งรบกวนจะผลักความถี่ออกนอกช่วงจนตัด

- มาตรฐานทดสอบ: IEC 62116 (ทดสอบด้วยโหลด RLC เรโซแนนซ์ที่ Q = 1 ต้องตัดภายใน 2 วินาที) · IEEE 1547.1 · อินเวอร์เตอร์สำหรับขนานไฟในไทยต้องผ่านการทดสอบตามระเบียบของ กฟภ./กฟน. และอยู่ในรายชื่อที่ประกาศ

- Ride-through vs trip: ระบบเล็กเดิมเน้นตัดเร็ว แต่เมื่อโซลาร์มีสัดส่วนสูง ถ้าทุกเครื่องตัดพร้อมกันเมื่อแรงดันตกชั่วขณะ ระบบไฟจะยิ่งแย่ grid code สมัยใหม่ (IEEE 1547-2018, ข้อกำหนดของผู้ควบคุมระบบสำหรับโรงไฟฟ้า) จึงกำหนดให้ ทนแรงดันตก (LVRT/HVRT) และจ่ายกระแสรีแอกทีฟช่วย ในช่วงเวลาที่กำหนด และตัดเมื่อเกินขอบเขตนั้น

- ฟังก์ชันช่วยกริด: Volt-VAR (ดูดกำลังรีแอกทีฟเมื่อแรงดันสูง) Volt-Watt (ลดกำลังเมื่อแรงดันเกิน) Freq-Watt (ลดกำลังเมื่อความถี่สูง) และการจำกัดกำลังส่งออก

## คุณภาพไฟฟ้าและมาตรฐานที่เกี่ยวข้อง พื้นฐาน

| หัวข้อ | ข้อกำหนดทั่วไป | มาตรฐาน |

| ความปลอดภัยของคอนเวอร์เตอร์ | ฉนวน กระแสรั่ว การตรวจ Riso RCMU | IEC 62109-1/-2 |

| Anti-islanding | ตัดภายใน 2 s | IEC 62116 |

| THD กระแส | < 5 % ที่พิกัด (แยกขีดจำกัดรายฮาร์มอนิก) | IEC 61727, IEEE 1547 (ดู THD · IEEE 519) |

| DC injection | < 0.5–1 % ของกระแสพิกัด | IEC 61727 และข้อกำหนดการไฟฟ้า |

| Power factor | > 0.9–0.95 เมื่อจ่ายเกิน 50 % (หรือตามที่ตั้ง) | ข้อกำหนดการเชื่อมต่อ |

| ประสิทธิภาพ | Max 97–99 % · Euro/CEC weighted 96.5–98.5 % | EN 50530 (MPPT), IEC 61683 |

| EMC | การแผ่คลื่นและภูมิคุ้มกัน | IEC 61000-6-x, CISPR 11 |

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- Grid-forming control (droop, virtual synchronous machine, dispatchable virtual oscillator) ความเฉื่อยเสมือน การจำกัดกระแสเมื่อเกิดลัดวงจร และเสถียรภาพเมื่อกริดอ่อน (SCR ต่ำ)

- เสถียรภาพแบบอิมพีแดนซ์ ระหว่างอินเวอร์เตอร์หลายเครื่องกับสายจำหน่าย (harmonic resonance, PLL-induced instability) วิเคราะห์ด้วยเกณฑ์ Nyquist ของอัตราส่วนอิมพีแดนซ์ (ดู Nyquist)

- Model predictive control และ deadbeat current control สำหรับอินเวอร์เตอร์ความถี่สวิตช์ต่ำกำลังสูง

- SiC/GaN ทำให้ $f_{sw}$ สูงขึ้น ฟิลเตอร์เล็กลง แต่ต้องจัดการ dv/dt กระแสรั่ว และ EMI

- ความเชื่อถือได้ ของตัวเก็บประจุ DC-link และโมดูลสวิตช์ภายใต้วัฏจักรความร้อนรายวันในอากาศร้อน (mission-profile based lifetime)

## คำถามที่พบบ่อย

อินเวอร์เตอร์ออนกริดแปลงไฟ DC เป็น AC อย่างไร?
อินเวอร์เตอร์ส่วนใหญ่มีสองขั้น ขั้นแรกเป็นบูสต์คอนเวอร์เตอร์ที่ทำ MPPT และยกแรงดันแผงขึ้นเป็นแรงดัน DC-link ประมาณ 380–420 V ขั้นที่สองเป็นวงจรเต็มบริดจ์ที่สวิตช์ด้วย PWM แบบไซน์ที่ความถี่สิบกว่าถึงหลายสิบกิโลเฮิรตซ์ แล้วกรองด้วยตัวเหนี่ยวนำหรือฟิลเตอร์ LCL ให้เป็นกระแสไซน์ที่มีเฟสตรงกับแรงดันกริด โดยใช้ PLL ล็อกเฟสและลูปควบคุมกระแส

Anti-islanding คืออะไร?
คือฟังก์ชันที่ทำให้อินเวอร์เตอร์หยุดจ่ายไฟเมื่อการไฟฟ้าดับ เพื่อไม่ให้สายที่ควรไม่มีไฟกลับมีไฟจากโซลาร์จนเป็นอันตรายต่อช่าง อินเวอร์เตอร์ตรวจแรงดันและความถี่ที่ผิดปกติ และใช้วิธีเชิงรุกเช่นการเลื่อนความถี่เล็กน้อยเพื่อดูการตอบสนองของระบบ ต้องตัดภายในเวลาที่มาตรฐานกำหนด เช่น 2 วินาทีตาม IEC 62116

Grid-forming กับ grid-following inverter ต่างกันอย่างไร?
Grid-following ซึ่งเป็นอินเวอร์เตอร์โซลาร์ส่วนใหญ่ ทำตัวเป็นแหล่งกระแสที่ตามแรงดันและความถี่ของกริดผ่าน PLL ต้องมีกริดอยู่ก่อน Grid-forming ทำตัวเป็นแหล่งแรงดันที่สร้างแรงดันและความถี่เอง ใช้ในโหมดสำรองไฟของอินเวอร์เตอร์ไฮบริด microgrid และระบบที่มีพลังงานหมุนเวียนสัดส่วนสูง ซึ่งต้องการความเฉื่อยเสมือนเพื่อพยุงความถี่

## FAQ

**อินเวอร์เตอร์ออนกริดแปลงไฟ DC เป็น AC อย่างไร?**
อินเวอร์เตอร์ส่วนใหญ่มีสองขั้น ขั้นแรกเป็นบูสต์คอนเวอร์เตอร์ที่ทำ MPPT และยกแรงดันแผงขึ้นเป็นแรงดัน DC-link ประมาณ 380–420 V ขั้นที่สองเป็นวงจรเต็มบริดจ์ที่สวิตช์ด้วย PWM แบบไซน์ที่ความถี่สิบกว่าถึงหลายสิบกิโลเฮิรตซ์ แล้วกรองด้วยตัวเหนี่ยวนำหรือฟิลเตอร์ LCL ให้เป็นกระแสไซน์ที่มีเฟสตรงกับแรงดันกริด โดยใช้ PLL ล็อกเฟสและลูปควบคุมกระแส

**Anti-islanding คืออะไร?**
คือฟังก์ชันที่ทำให้อินเวอร์เตอร์หยุดจ่ายไฟเมื่อการไฟฟ้าดับ เพื่อไม่ให้สายที่ควรไม่มีไฟกลับมีไฟจากโซลาร์จนเป็นอันตรายต่อช่าง อินเวอร์เตอร์ตรวจแรงดันและความถี่ที่ผิดปกติ และใช้วิธีเชิงรุกเช่นการเลื่อนความถี่เล็กน้อยเพื่อดูการตอบสนองของระบบ ต้องตัดภายในเวลาที่มาตรฐานกำหนด เช่น 2 วินาทีตาม IEC 62116

**Grid-forming กับ grid-following inverter ต่างกันอย่างไร?**
Grid-following ซึ่งเป็นอินเวอร์เตอร์โซลาร์ส่วนใหญ่ ทำตัวเป็นแหล่งกระแสที่ตามแรงดันและความถี่ของกริดผ่าน PLL ต้องมีกริดอยู่ก่อน Grid-forming ทำตัวเป็นแหล่งแรงดันที่สร้างแรงดันและความถี่เอง ใช้ในโหมดสำรองไฟของอินเวอร์เตอร์ไฮบริด microgrid และระบบที่มีพลังงานหมุนเวียนสัดส่วนสูง ซึ่งต้องการความเฉื่อยเสมือนเพื่อพยุงความถี่

---

# โซลาร์เพื่อการเกษตร: ปั๊มน้ำโซลาร์ คำนวณ Head และอัตราไหล Agrivoltaics และฟาร์มอัจฉริยะ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/solar-agriculture/
Updated: 2026-10-13
Summary: ออกแบบโซลาร์เซลล์สำหรับการทำฟาร์มและการเกษตรในไทย: ความต้องการน้ำของพืช ET₀ Kc หัวสูบรวม TDH การสูญเสียในท่อ Hazen-Williams กำลังปั๊ม ρgQH ขนาดแผงจากพลังงานไฮดรอลิก ปั๊ม DC บัสเลส ปั๊มบาดาล ปั๊ม AC ผ่าน VFD ถังเก็บน้ำแทนแบตเตอรี่ บ่อปลาและเครื่องเติมอากาศ ฟาร์มปศุสัตว์ ห้องเย็น agrivoltaics Land Equivalent Ratio และ IoT สมาร์ตฟาร์ม พร้อมเครื่องคำนวณ

// บทที่ 16.17 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · Solar Pumping & Agrivoltaics

# โซลาร์เพื่อการเกษตร: ปั๊มน้ำโซลาร์ คำนวณ Head และอัตราไหล Agrivoltaics และฟาร์มอัจฉริยะ

พื้นที่เกษตรจำนวนมากอยู่ไกลสายไฟ หรือใช้เครื่องสูบน้ำดีเซลที่ค่าน้ำมันแพงและต้องเฝ้า ขณะที่พืชต้องการน้ำมากที่สุดในวันที่แดดจัดที่สุด ปั๊มน้ำโซลาร์จึงเป็นงานโซลาร์ที่คืนทุนเร็วที่สุดงานหนึ่ง หน้านี้คำนวณตั้งแต่ความต้องการน้ำของพืชจนถึงจำนวนแผง แล้วขยายไปยังบ่อปลา ฟาร์มสัตว์ ห้องเย็น และการทำเกษตรใต้แผง

สรุปใน 30 วินาที

- พลังงานไฮดรอลิก (kWh) = ปริมาตร (m³) × หัวสูบ (m) ÷ 367

- หัวสูบรวม = ยกสถิต + ระดับลดขณะสูบ + สูญเสียในท่อ + แรงดันปลายทาง

- ถังเก็บน้ำ = แบตเตอรี่ที่ถูกที่สุด · ปั๊ม DC บัสเลส / ปั๊ม AC + VFD โซลาร์

- แผง ≈ 1.3–2 เท่าของกำลังปั๊ม 1 kWp ยกน้ำ 38 m ได้ ≈ 18 m³/วัน

## น้ำที่พืชต้องการ พื้นฐาน

K1 Crop water requirement ความต้องการน้ำของพืช

$$ET_c = K_c\,ET_0\ [\text{mm/วัน}] \qquad V = \frac{ET_c\,[\text{mm}]\times A\,[\text{m}^2]}{1000\,\eta_{irr}}\ [\text{m}^3] \qquad 1\ \text{mm บน } 1\ \text{ไร่} = 1.6\ \text{m}^3$$

$ET_0$ (reference evapotranspiration) ในไทยประมาณ 3.5–6 mm/วัน สูงสุดช่วงหน้าแล้ง $K_c$ ขึ้นกับพืชและระยะการเติบโต (0.4–1.2) $\eta_{irr}$ = ประสิทธิภาพการให้น้ำ: น้ำหยด 85–95 % สปริงเกลอร์ 70–80 % ปล่อยตามร่อง 50–60 % — การเปลี่ยนเป็นน้ำหยดจึงลดขนาดระบบสูบได้มาก

## หัวสูบรวม (Total Dynamic Head) พื้นฐาน

K2 Total dynamic head หัวสูบรวม

$$H = H_{static} + H_{drawdown} + H_{friction} + H_{outlet}$$

- $H_{static}$ ระยะแนวดิ่งจากผิวน้ำนิ่งถึงจุดปล่อยน้ำสูงสุด (หรือปากถังพักบนหอสูง)

- $H_{drawdown}$ ระดับน้ำในบ่อบาดาลที่ลดลงขณะสูบ (จากผลทดสอบบ่อ)

- $H_{outlet}$ แรงดันที่ต้องการที่หัวจ่าย: น้ำหยด 7–15 m (0.7–1.5 bar) สปริงเกลอร์ 20–30 m ปล่อยลงถัง 0

K3 Pipe friction (Hazen–Williams, SI) การสูญเสียแรงเสียดทานในท่อ

$$h_f = \frac{10.67\,L\,Q^{1.852}}{C^{1.852}\,d^{4.87}} \qquad (Q\ \text{m}^3/\text{s},\ d\ \text{m},\ C_{PE/PVC}\approx 140\text{–}150)$$

สังเกตเลขชี้กำลัง 4.87 ของเส้นผ่านศูนย์กลาง: ขยายท่อเพียงขนาดเดียวลดการสูญเสียได้ 3 เท่า ท่อเล็กเป็นสาเหตุที่พบบ่อยที่สุดที่ทำให้ปั๊มโซลาร์ได้น้ำน้อยกว่าที่คาด

ตัวอย่าง K-1

### ท่อ PE ยาว 200 m อัตราไหล 7.3 m³/h

- $Q = 7.3/3600 = 0.00203\ \text{m}^3/\text{s}$, $C$ = 140

- ท่อ 2 นิ้ว ($d$ ≈ 0.050 m): $h_f$ ≈ 5.0 m

- ท่อ 2½ นิ้ว ($d$ ≈ 0.0635 m): $h_f$ ≈ 1.6 m (+ ข้อต่อ วาล์ว ≈ 1.4 m → ใช้ 3 m)

- ประหยัดหัวสูบ 3.4 m ≈ 9 % ของหัวสูบรวม → แผงเล็กลงเกือบ 10 % ด้วยค่าท่อที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อย

## กำลังปั๊มและขนาดแผง กลาง

K4 Hydraulic power and energy กำลังและพลังงานไฮดรอลิก

$$P_{hyd} = \rho g Q H \quad\Rightarrow\quad P_{hyd}\,[\text{kW}] = \frac{Q\,[\text{m}^3/\text{h}]\times H\,[\text{m}]}{367} \qquad E_{hyd}\,[\text{kWh}] = \frac{V\,[\text{m}^3]\times H\,[\text{m}]}{367}$$

K5 Electrical input (wire-to-water) กำลังไฟฟ้าที่ปั๊มต้องการ

$$P_{el} = \frac{P_{hyd}}{\eta_{pump}\,\eta_{motor}\,\eta_{ctrl}} \qquad \eta_{w2w} \approx 0.40\text{–}0.60$$

K6 PV array for pumping ขนาดแผงสำหรับปั๊มน้ำ

$$P_{PV} = \frac{E_{hyd}}{\eta_{w2w}\,PSH\,PR_{pump}} \qquad \frac{V}{P_{PV}} = \frac{367\,PSH\,PR_{pump}\,\eta_{w2w}}{H}\ \left[\tfrac{\text{m}^3}{\text{วัน}\cdot\text{kWp}}\right]$$

ตัวอย่าง K-2

### สวนผัก/ผลไม้ 5 ไร่ ให้น้ำหยดจากบ่อบาดาล

- K1: $ET_0$ = 5 mm/วัน $K_c$ = 1.0 → 5 mm/วัน × 8,000 m² ÷ 1000 ÷ 0.9 = 44.4 m³/วัน

- K2: $H$ = 20 (ระดับน้ำนิ่ง) + 5 (ลดขณะสูบ) + 3 (ท่อ 2½ นิ้ว) + 10 (น้ำหยด) = 38 m

- สูบ 6 ชั่วโมงช่วงแดดดี → $Q$ = 7.4 m³/h · K4: $P_{hyd} = 7.4 \times 38/367 = 0.77$ kW

- K5: $\eta_{w2w}$ = 0.5 → $P_{el}$ ≈ 1.5 kW → เลือกปั๊มบาดาลโซลาร์ 1.5 kW ที่ให้ 7–8 m³/h ที่ 38 m (ตรวจจากกราฟ Q-H ของผู้ผลิต)

- K6: $E_{hyd} = 44.4 \times 38/367 = 4.6$ kWh → $P_{PV} = 4.6/(0.5 \times 5 \times 0.75) = 2.45$ kWp → 5 แผง × 580 W = 2.9 kWp (≈ 1.9 เท่าของกำลังปั๊ม)

- ถังพัก 1 วัน (≈ 45 m³) หรือบ่อพัก ช่วยให้วันครึ้มยังให้น้ำได้

## เครื่องคำนวณปั๊มน้ำโซลาร์

## ชนิดปั๊มและตัวควบคุม พื้นฐาน

| ชนิด | กำลัง | เหมาะกับ | หมายเหตุ |

| ปั๊ม DC บัสเลส (BLDC) ผิวดิน/แช่ | 100 W–1.5 kW | บ่อตื้น สระ ร่องสวน น้ำหยดแปลงเล็ก | ประสิทธิภาพสูง ต่อแผงผ่านคอนโทรลเลอร์ MPPT ของปั๊ม |

| ปั๊มบาดาล DC บัสเลส (submersible) | 0.5–4 kW | บ่อบาดาล 3–4 นิ้ว หัวสูบสูง | เลือกใบพัดแบบ helical rotor สำหรับหัวสูงอัตราไหลต่ำ หรือ centrifugal สำหรับอัตราไหลสูง |

| ปั๊ม AC 3 เฟสเดิม + Solar VFD | 0.75–75 kW | ฟาร์มใหญ่ ใช้ปั๊มเดิม ระบบชลประทาน | VFD ที่มี MPPT รับ DC จากแผงโดยตรง (ต่อแผงแรงดันสูง 500–800 V) สลับใช้ไฟ AC ได้ |

| ปั๊มหอยโข่ง/ไดอะแฟรม 12–24 V | < 200 W | รดน้ำต้นไม้ พ่นยา งานเล็ก | ต่อแบต/แผงเล็ก |

- ทำไมไม่ใช้อินเวอร์เตอร์ off-grid + ปั๊ม AC ธรรมดา: ปั๊มดึงกระแสกระชากสูงตอนสตาร์ต ต้องมีแบตและอินเวอร์เตอร์ใหญ่ ปั๊มโซลาร์และ solar VFD ปรับความเร็วตามแสง สตาร์ตนุ่มนวล ไม่ต้องมีแบต

- ฟังก์ชันที่ควรมีในคอนโทรลเลอร์: MPPT, ป้องกันบ่อแห้ง (dry-run), สวิตช์ลูกลอยถังเต็ม, ป้องกันกระแสเกิน/แรงดันเกิน, บันทึกข้อมูลและส่งค่าผ่านมือถือ

- ความปลอดภัย: สาย DC จากแผงถึงคอนโทรลเลอร์ยาวและอยู่กลางแจ้ง ใช้สาย PV และอุปกรณ์ DC ตาม หน้าสายไฟ กราวด์โครงแผงและท่อโลหะ ติด SPD เพราะพื้นที่โล่งฟ้าผ่าบ่อย

## งานฟาร์มอื่นที่ใช้โซลาร์ได้ดี

| งาน | แนวทาง | ข้อควรระวัง |

| บ่อปลา/กุ้ง เครื่องเติมอากาศ (ตีน้ำ) | เครื่องตีน้ำกลางวันใช้โซลาร์ตรง กลางคืนซึ่งออกซิเจนต่ำสุดใช้ไฟกริด/แบต/เครื่องปั่นไฟ | ห้ามไฟดับตอนเช้ามืด สัตว์น้ำตายได้ ต้องมีระบบสำรอง |

| โรงเรือนไก่/สุกร | หลังคาโรงเรือนกว้าง โหลดพัดลมระบบ EVAP กลางวันตรงกับแดด | แผงทนแอมโมเนีย IEC 62716 ทำความสะอาดบ่อยขึ้น |

| ห้องเย็น เก็บผลผลิต | ทำความเย็นช่วงกลางวัน ใช้มวลความเย็น/น้ำแข็งเก็บพลังงาน | ออกแบบฉนวนและประตูก่อน |

| อบแห้งผลผลิต | ตู้อบลมร้อนพลังแสงอาทิตย์ + พัดลม DC จากแผง | ควบคุมความชื้นและอุณหภูมิ |

| รั้วไฟฟ้า กล้อง ไฟส่องสว่าง | ระบบ 12/24 V ขนาดเล็กพร้อมแบต | ป้องกันการขโมย |

| เครื่องจักรเกษตรไฟฟ้า | ชาร์จรถไถ/โดรนพ่นยาไฟฟ้ากลางวัน | วางแผนโหลดตามแดด |

## Agrivoltaics: ปลูกพืชใต้แผงโซลาร์ กลาง

K7 Land equivalent ratio อัตราส่วนการใช้ที่ดินเทียบเท่า

$$LER = \frac{Y_{crop,AV}}{Y_{crop,mono}} + \frac{E_{PV,AV}}{E_{PV,mono}} \qquad LER > 1\ \Rightarrow\ \text{ทำร่วมกันดีกว่าแยกพื้นที่}$$

- โครงสร้าง: ยกแผงสูง 2.5–5 m ให้คนและเครื่องจักรทำงานได้ หรือแผงแนวตั้งสองหน้า (vertical bifacial) วางเป็นแถวห่าง GCR 0.2–0.4 ให้แสงผ่าน 50–80 %

- พืชที่เหมาะ: พืชทนร่มหรือชอบร่มบางส่วน ผักใบ สมุนไพร กาแฟ โกโก้ ไม้ผลบางชนิด หญ้าเลี้ยงสัตว์ — ในเขตร้อนร่มเงาบางส่วนช่วยลดความเครียดจากความร้อนและลดการระเหยของน้ำ

- ผลลัพธ์งานวิจัย: หลายโครงการรายงาน LER มากกว่า 1 (ในยุโรปบางโครงการ 1.6–1.9) แต่ผลขึ้นกับพืช ภูมิอากาศ และการออกแบบ ต้องทดลองในพื้นที่ก่อนขยาย

- อื่น ๆ: ปศุสัตว์ใต้แผง (แกะ แพะ ไก่) ช่วยควบคุมหญ้า · โซลาร์บนหลังคาโรงเรือน (ระวังแสงไม่พอสำหรับพืชในโรงเรือน) · โซลาร์ลอยน้ำบนบ่อเกษตร (ดู ลอยน้ำ)

## สมาร์ตฟาร์มพลังแสงอาทิตย์ กลาง

- เซนเซอร์ความชื้นดิน + คอนโทรลเลอร์ (ESP32/LoRaWAN) เปิดวาล์วน้ำหยดเมื่อดินแห้ง ประหยัดน้ำ 20–40 % จึงใช้แผงและปั๊มเล็กลง

- สถานีอากาศขนาดเล็ก วัดแสง อุณหภูมิ ความชื้น ฝน คำนวณ ET₀ เอง (สมการ FAO-56 Penman–Monteith)

- ระดับน้ำในถัง/บ่อบาดาล แจ้งเตือนผ่าน LINE/แอป เมื่อปั๊มทำงานผิดปกติ

- พลังงานของอุปกรณ์ IoT แผง 5–20 W + แบต LFP ขนาดเล็ก + ชิปชาร์จ MPPT (ดู ชิปสำหรับออกแบบ) ออกแบบให้อยู่ได้ 3–5 วันไม่มีแดด

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- แบบจำลองระบบปั๊มรายชั่วโมง: เส้นโค้งปั๊มที่ความเร็วต่าง ๆ (affinity laws $Q \propto n,\ H \propto n^2,\ P \propto n^3$) ร่วมกับเส้นโค้งระบบท่อและกำลังแผงรายชั่วโมง หาปริมาณน้ำรายวันจริง (มีแสงขั้นต่ำที่ปั๊มเริ่มส่งน้ำได้)

- การจัดการน้ำใต้ดินอย่างยั่งยืน: ปั๊มโซลาร์ที่ค่าน้ำแทบเป็นศูนย์อาจกระตุ้นการสูบเกิน ต้องมีการวัดและกติกา

- Agrivoltaic modeling ร่วมแบบจำลองพืช (crop model) กับการกระจายแสงใต้แผง และวัดผลจริงในภูมิอากาศเขตร้อน

- PV-powered irrigation scheduling ด้วยการพยากรณ์แสงและความต้องการน้ำล่วงหน้า (MPC)

## คำถามที่พบบ่อย

ปั๊มน้ำโซลาร์ต้องใช้แผงกี่วัตต์?
คำนวณจากน้ำที่ต้องการต่อวันและหัวสูบรวม พลังงานไฮดรอลิก (kWh) = ปริมาณน้ำ (m³) × หัวสูบ (m) ÷ 367 หารด้วยประสิทธิภาพรวมของปั๊ม มอเตอร์ และคอนโทรลเลอร์ (ประมาณ 40–60 %) ได้พลังงานไฟฟ้าต่อวัน แล้วหารด้วยชั่วโมงแดดสูงสุดและ PR เช่น น้ำ 44 m³/วัน หัวสูบ 38 m ต้องใช้แผงประมาณ 2.5 kWp โดยทั่วไปใช้แผง 1.3–2 เท่าของกำลังปั๊ม

ปั๊มน้ำโซลาร์ต้องมีแบตเตอรี่ไหม?
ส่วนใหญ่ไม่ต้อง ใช้ถังเก็บน้ำหรือบ่อพักแทนแบตเตอรี่ สูบน้ำขึ้นถังช่วงมีแดดแล้วปล่อยน้ำด้วยแรงโน้มถ่วงเมื่อต้องการ ถูกกว่าแบตเตอรี่มากและอายุยาวกว่า ใช้แบตเฉพาะเมื่อต้องสูบหรือให้น้ำตอนกลางคืน หรือเมื่อต้องการแรงดันคงที่ตลอดเวลา

Agrivoltaics คืออะไร คุ้มไหม?
คือการทำเกษตรและผลิตไฟฟ้าจากโซลาร์บนพื้นที่เดียวกัน โดยยกแผงสูงหรือเว้นระยะให้แสงผ่านพอสำหรับพืช เหมาะกับพืชที่ทนร่มหรือชอบร่มบางส่วน และพื้นที่แดดจัดที่พืชเครียดจากความร้อน ผลรวมการใช้ที่ดินมักดีกว่าแยกทำ (Land Equivalent Ratio มากกว่า 1) แต่โครงสร้างแพงกว่าฟาร์มปกติและต้องออกแบบให้เครื่องจักรเกษตรทำงานได้

## FAQ

**ปั๊มน้ำโซลาร์ต้องใช้แผงกี่วัตต์?**
คำนวณจากน้ำที่ต้องการต่อวันและหัวสูบรวม พลังงานไฮดรอลิก (kWh) = ปริมาณน้ำ (m³) × หัวสูบ (m) ÷ 367 หารด้วยประสิทธิภาพรวมของปั๊ม มอเตอร์ และคอนโทรลเลอร์ (ประมาณ 40–60 %) ได้พลังงานไฟฟ้าต่อวัน แล้วหารด้วยชั่วโมงแดดสูงสุดและ PR เช่น น้ำ 44 m³/วัน หัวสูบ 38 m ต้องใช้แผงประมาณ 2.5 kWp โดยทั่วไปใช้แผง 1.3–2 เท่าของกำลังปั๊ม

**ปั๊มน้ำโซลาร์ต้องมีแบตเตอรี่ไหม?**
ส่วนใหญ่ไม่ต้อง ใช้ถังเก็บน้ำหรือบ่อพักแทนแบตเตอรี่ สูบน้ำขึ้นถังช่วงมีแดดแล้วปล่อยน้ำด้วยแรงโน้มถ่วงเมื่อต้องการ ถูกกว่าแบตเตอรี่มากและอายุยาวกว่า ใช้แบตเฉพาะเมื่อต้องสูบหรือให้น้ำตอนกลางคืน หรือเมื่อต้องการแรงดันคงที่ตลอดเวลา

**Agrivoltaics คืออะไร คุ้มไหม?**
คือการทำเกษตรและผลิตไฟฟ้าจากโซลาร์บนพื้นที่เดียวกัน โดยยกแผงสูงหรือเว้นระยะให้แสงผ่านพอสำหรับพืช เหมาะกับพืชที่ทนร่มหรือชอบร่มบางส่วน และพื้นที่แดดจัดที่พืชเครียดจากความร้อน ผลรวมการใช้ที่ดินมักดีกว่าแยกทำ (Land Equivalent Ratio มากกว่า 1) แต่โครงสร้างแพงกว่าฟาร์มปกติและต้องออกแบบให้เครื่องจักรเกษตรทำงานได้

---

# โซลาร์เซลล์จ่ายแอร์: คำนวณ BTU เป็น kW ขนาดแผง แอร์อินเวอร์เตอร์ แอร์ DC/AC ไฮบริด และกระแสกระชาก

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/solar-air-conditioner/
Updated: 2026-10-13
Summary: ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์สำหรับเครื่องปรับอากาศในประเทศไทย: เลือก BTU ตามขนาดห้อง แปลง BTU เป็น kW COP EER SEER ฉลากเบอร์ 5 กำลังไฟจริงของแอร์อินเวอร์เตอร์ตลอดวัน ทำไมแอร์กับโซลาร์เข้ากันดี วิธีต่อแบบ on-grid hybrid off-grid และแอร์โซลาร์ DC/AC กระแสกระชากของคอมเพรสเซอร์ ขนาดแผงและแบตเตอรี่ ตัวอย่างบ้านและสำนักงาน และเครื่องคำนวณ

// บทที่ 16.15 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · Solar Power for Air Conditioning

# โซลาร์เซลล์จ่ายแอร์: คำนวณ BTU เป็น kW ขนาดแผง แอร์อินเวอร์เตอร์ แอร์ DC/AC ไฮบริด และกระแสกระชาก

ในประเทศไทย แอร์คือโหลดที่ใหญ่ที่สุดของบ้านและสำนักงาน — มักเป็น 40–60 % ของค่าไฟ — และทำงานหนักที่สุดในช่วงที่แดดแรงที่สุด ภาระความเย็นกับพลังงานแสงอาทิตย์จึงมาจากต้นเหตุเดียวกัน ทำให้แอร์เป็นโหลดที่จับคู่กับโซลาร์ได้ดีที่สุด หน้านี้คำนวณตั้งแต่ BTU ของห้องจนถึงจำนวนแผงและค่าไฟที่ประหยัด

สรุปใน 30 วินาที

- 12,000 BTU/h = 3.52 kW ความเย็น แอร์เบอร์ 5 ใช้ไฟเพียง 1/4–1/6 ของนั้น

- กำลังเฉลี่ย ≈ BTU × ภาระ ÷ SEER → แอร์ 12,000 BTU อินเวอร์เตอร์ ≈ 0.4–0.6 kW

- แผง ≈ 1–1.5 kWp ต่อแอร์ 12,000 BTU ที่เปิดกลางวัน (ผ่านอินเวอร์เตอร์ on-grid)

- แอร์อินเวอร์เตอร์เหมาะกับโซลาร์ที่สุด แอร์ความเร็วคงที่กระชาก 3–6 เท่า

- กันความร้อนเข้าบ้านก่อน — ถูกกว่าการซื้อแผงเพิ่ม

## ทำไมแอร์กับโซลาร์เข้ากันดี พื้นฐาน

- เวลาตรงกัน: ความร้อนที่เข้าอาคารผ่านหลังคาและผนังสูงสุดช่วงบ่าย ซึ่งยังเป็นช่วงที่แผงผลิตไฟมาก ร้าน สำนักงาน คลินิก โรงเรียน ใช้แอร์ช่วงเวลาเดียวกับแดดพอดี

- ฤดูตรงกัน: เดือนมีนาคม–พฤษภาคมที่แอร์ทำงานหนักที่สุด เป็นเดือนที่แสงอาทิตย์มากที่สุดของปี

- หลังคาร่มเย็นขึ้น: แผงบนหลังคาบังแดดบางส่วน ลดความร้อนเข้าห้องใต้หลังคาได้

- ข้อจำกัด: แอร์ห้องนอนที่เปิดกลางคืนไม่ได้ประโยชน์จาก on-grid โดยตรง (ต้องใช้แบตเตอรี่หรือ pre-cooling)

## BTU kW COP EER SEER: แปลงหน่วยให้ถูก พื้นฐาน

H1 BTU/h to kW แปลงขนาดแอร์เป็นกิโลวัตต์ความเย็น

$$Q\ [\text{kW}] = \text{BTU/h}\times 0.29307\times 10^{-3} \qquad 12{,}000\ \text{BTU/h} = 1\ \text{ton} = 3.52\ \text{kW}$$

H2 COP, EER and SEER ตัวชี้วัดประสิทธิภาพ

$$COP = \frac{Q_{cool}}{P_{el}} \qquad EER\ [\text{BTU/h/W}] = 3.412\,COP \qquad SEER = \frac{\text{ความเย็นทั้งฤดู (BTU)}}{\text{พลังงานไฟฟ้าทั้งฤดู (Wh)}}$$

ความเย็น ≠ ไฟฟ้า: แอร์เป็นปั๊มความร้อน ย้ายความร้อน 3–6 หน่วยต่อไฟฟ้า 1 หน่วย ค่าบนฉลากประหยัดไฟเบอร์ 5 ของไทยใช้ SEER (BTU/h ต่อ W ตามฤดูกาล) แอร์อินเวอร์เตอร์รุ่นปัจจุบันมี SEER ประมาณ 15–27 ขึ้นกับขนาด แอร์ความเร็วคงที่รุ่นเก่ามี EER ราว 9–11

H3 Average electrical power กำลังไฟฟ้าเฉลี่ยขณะเปิดแอร์

$$\bar P_{el}\ [\text{W}] \approx \frac{\text{BTU/h}\times LF}{SEER} \qquad P_{el,rated} = \frac{\text{BTU/h}}{EER}$$

$LF$ = ภาระเฉลี่ยเทียบพิกัด (0.5–0.9) ขึ้นกับขนาดห้อง ฉนวน จำนวนคน อุณหภูมิที่ตั้ง และเวลาของวัน แอร์อินเวอร์เตอร์ลดความเร็วคอมเพรสเซอร์เมื่อห้องเย็นแล้ว กำลังจริงจึงต่ำกว่าพิกัดมาก

H4 Rule-of-thumb room size เลือก BTU ตามพื้นที่ห้อง (เพดานสูง ~2.6 m)

$$\text{BTU/h} \approx A\,[\text{m}^2] \times \begin{cases} 700\text{–}800 & \text{ห้องนอน/ห้องไม่โดนแดด} \\ 800\text{–}1{,}000 & \text{ห้องโดนแดด ห้องรับแขก สำนักงาน ร้านค้า} \end{cases}$$

กฎหัวแม่มือนี้ใช้คัดเลือกเบื้องต้น งานอาคารใหญ่ต้องคำนวณภาระความเย็น (cooling load) จากผนัง หลังคา หน้าต่าง คน อุปกรณ์ และอากาศภายนอก แอร์ที่ใหญ่เกินไปตัดต่อบ่อย ไม่ดึงความชื้น และไม่ประหยัด

ตัวอย่าง H-1

### ห้องนอน 18 m²

- H4: $18 \times 700 = 12{,}600$ BTU/h → เลือก 12,000–13,000 BTU

- H1: $12{,}000 \times 0.29307 = 3.52$ kW ความเย็น

- H3: SEER 20, LF 0.8 → $\bar P = 12{,}000(0.8)/20 = 480$ W · พิกัดที่ EER 12 → 1,000 W

- H2: COP เฉลี่ย = $20/3.412 = 5.86$ — ไฟ 1 หน่วยย้ายความร้อนได้ราว 5.9 หน่วย

## ขนาดแผงสำหรับแอร์ กลาง

H5 PV size for an air conditioner ขนาดแผงสำหรับแอร์

$$P_{PV} \ge \max\!\left( \frac{N\,\bar P_{el}\,h_{sun}}{PSH\times PR},\ \frac{N\,\bar P_{el}}{0.55} \right)$$

เงื่อนไขแรกคือพลังงาน (พลังงานแผงต่อวันพอกับพลังงานแอร์ช่วงมีแดด) เงื่อนไขที่สองคือกำลัง: ช่วง 09:00–10:00 และ 15:00–16:00 น. แผงจ่ายได้ราว 50–60 % ของ kWp ถ้าต้องการให้แอร์ใช้ไฟโซลาร์เกือบทั้งหมดตลอดช่วงนั้น แผงต้องใหญ่พอ (ส่วนที่ขาดดึงจากกริดอัตโนมัติในระบบ on-grid)

H6 Compressor starting surge กำลังกระชากตอนสตาร์ต

$$P_{surge} \approx k_{LRA}\,P_{el,rated} \qquad k_{LRA} \approx 3\text{–}6\ (\text{ความเร็วคงที่}),\ \approx 1\text{–}1.5\ (\text{อินเวอร์เตอร์})$$

สำคัญกับระบบ off-grid และโหมดไฟสำรองของ hybrid: อินเวอร์เตอร์ต้องรับกำลังกระชากได้ (ดูค่า surge/peak power 5–10 วินาทีในดาต้าชีต) และแบตต้องจ่ายกระแสนั้นได้ (B3)

## เครื่องคำนวณแผงสำหรับแอร์

## วิธีต่อโซลาร์กับแอร์ พื้นฐาน

| รูปแบบ | หลักการ | ข้อดี | ข้อจำกัด |

| On-grid ทั้งบ้าน | อินเวอร์เตอร์จ่ายเข้าตู้ไฟ แอร์ใช้ไฟจากโซลาร์ก่อนอัตโนมัติ | ง่าย คุ้มที่สุด ใช้กับแอร์ทุกเครื่องและโหลดอื่น | ไฟดับแอร์ดับ ไม่ช่วยกลางคืน |

| Hybrid + แบต | เพิ่มแบตเก็บไฟกลางวัน | ใช้แอร์หัวค่ำได้ มีไฟสำรอง | แพง ต้องดูความคุ้ม (B5–B6) |

| แอร์โซลาร์ DC/AC ไฮบริด | ชุดคอยล์ร้อนมีช่องรับ DC จากแผงเข้าบัส DC ของอินเวอร์เตอร์คอมเพรสเซอร์ ใช้ไฟบ้านเสริม | ไม่ต้องมีอินเวอร์เตอร์แยก ไม่ส่งไฟย้อนกริด (ไม่ต้องขออนุญาตขนานไฟในหลายกรณี — ตรวจกับการไฟฟ้า) | แผงใช้ได้กับแอร์เครื่องนั้นเท่านั้น ไฟเหลือทิ้งเมื่อแอร์ไม่ทำงาน ต้องใช้แผงตามสเปกผู้ผลิต |

| Off-grid | แผง + แบต + อินเวอร์เตอร์ off-grid | ไม่มีสายไฟฟ้าก็ใช้แอร์ได้ | ต้องใช้แบตใหญ่และเผื่อกำลังกระชาก |

| Solar thermal cooling | ความร้อนจากแผงรับแสงขับเครื่องทำความเย็นแบบดูดซึม | ใช้ในอาคารใหญ่บางแห่ง | ซับซ้อน ราคาแพง ไม่นิยมเทียบกับ PV + แอร์อินเวอร์เตอร์ |

## ตัวอย่างออกแบบ กลาง

ตัวอย่าง H-2

### บ้าน: แอร์ 12,000 BTU เปิด 8 ชม. (6 ชม. ช่วงมีแดด)

- $\bar P$ = 0.48 kW (ตัวอย่าง H-1) → พลังงานต่อวัน $0.48 \times 8 = 3.8$ kWh · ช่วงมีแดด $0.48 \times 6 = 2.9$ kWh

- H5 พลังงาน: $2.9/(4.8 \times 0.78) = 0.77$ kWp · H5 กำลัง: $0.48/0.55 = 0.87$ kWp → 2 แผง × 580 W = 1.16 kWp

- ค่าไฟแอร์ทั้งเดือน ≈ $3.8 \times 30 \times 4.2$ ≈ 484 บาท ประหยัดได้ ≈ 363 บาท/เดือน (ส่วนที่เหลือคือช่วงกลางคืน)

- ข้อสังเกต: แอร์อินเวอร์เตอร์เบอร์ 5 ประหยัดอยู่แล้ว ระบบโซลาร์ขนาดนี้คุ้มเมื่อรวมกับโหลดกลางวันอื่นของบ้าน (ดู ขนาดจากบิล) — ถ้าแอร์เก่า EER 9 การเปลี่ยนแอร์ใหม่อาจคุ้มกว่าการติดโซลาร์ก่อน

ตัวอย่าง H-3

### สำนักงาน: แอร์ 24,000 BTU 4 เครื่อง เปิด 08:00–18:00 น.

- SEER 16, LF 0.8: $\bar P = 24{,}000(0.8)/16 = 1.2$ kW/เครื่อง → 4.8 kW รวม

- พลังงาน 10 ชม. = 48 kWh/วัน · ช่วงมีแดด 7 ชม. = 33.6 kWh

- H5: พลังงาน $33.6/(4.8 \times 0.78) = 8.97$ kWp · กำลัง $4.8/0.55 = 8.73$ kWp → 16 แผง = 9.28 kWp อินเวอร์เตอร์ 3 เฟส 8 kW

- ค่าไฟแอร์ ≈ 6,050 บาท/เดือน ประหยัด ≈ 4,230 บาท/เดือน (≈ 70 %) ผู้ใช้ TOU ประหยัดมากกว่านี้เพราะแทนไฟ on-peak

ตัวอย่าง H-4

### เปิดแอร์ห้องนอน 12,000 BTU กลางคืนด้วยแบตเตอรี่

- เปิด 8 ชม. × 0.48 kW = 3.84 kWh

- B1: $3.84/(0.9 \times 0.9) = 4.74$ kWh → แบต 5.12 kWh หนึ่งลูก (ถ้าไม่มีโหลดกลางคืนอื่น)

- แผงต้องผลิตเพิ่มอีก ≈ 4.3 kWh/วัน สำหรับชาร์จ → +1.2 kWp

- ทางเลือกที่ถูกกว่า: pre-cooling เปิดแอร์ห้องนอนช่วง 15:00–18:00 น. ด้วยไฟโซลาร์ ทำให้ผนังและเฟอร์นิเจอร์เย็น แล้วตั้งอุณหภูมิสูงขึ้นเล็กน้อยตอนกลางคืน

## ลดภาระความร้อนก่อน แล้วค่อยเพิ่มแผง

- ฉนวนหลังคา (ใยแก้ว 3–6 นิ้ว หรือฉนวนพ่น) และฟอยล์สะท้อนรังสี ลดความร้อนผ่านหลังคาได้มากที่สุด

- บังแดดหน้าต่างทิศตะวันตก กันสาด ฟิล์มกรองแสง ต้นไม้ — ความร้อนช่วงบ่ายเป็นตัวกำหนดขนาดแอร์

- ตั้ง 25–26 °C ทุก 1 °C ที่ตั้งสูงขึ้นประหยัดราว 5–10 % พัดลมช่วยให้รู้สึกเย็นที่อุณหภูมิสูงขึ้น

- ล้างแอร์ทุก 6 เดือน คอยล์สกปรกลดประสิทธิภาพ 10–30 %

- คอยล์ร้อนในที่ร่ม อากาศถ่ายเท ไม่ตั้งในที่อับหรือโดนแดดบ่ายจัด

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- อินเวอร์เตอร์ของคอมเพรสเซอร์ (PMSM/BLDC + PFC) เป็นวงจรเดียวกับอินเวอร์เตอร์โซลาร์แต่ใช้ field-oriented control — แอร์ DC/AC ไฮบริดรวม MPPT เข้ากับบัส DC เดียวกัน

- Thermal storage (น้ำเย็น/น้ำแข็ง) ในอาคารใหญ่ ผลิตความเย็นด้วยไฟโซลาร์กลางวัน ใช้ตอนเย็น — ถูกกว่าแบตเตอรี่ต่อ kWh

- Model predictive control ของ HVAC ร่วมกับการพยากรณ์แสงและอุณหภูมิ (ดู พยากรณ์) ใช้มวลความร้อนของอาคารเป็นแบตเตอรี่

- ผลต่อกริด แอร์จำนวนมากในชั่วโมงเดียวกันกับโซลาร์บนหลังคาลดพีคกลางวันของระบบไฟฟ้า แต่ย้ายพีคไปหัวค่ำ (duck curve)

## คำถามที่พบบ่อย

แอร์ 12,000 BTU ใช้แผงโซลาร์กี่แผง?
แอร์อินเวอร์เตอร์เบอร์ 5 ขนาด 12,000 BTU ใช้ไฟเฉลี่ยประมาณ 0.4–0.6 kW ขณะทำงาน ถ้าเปิดช่วงกลางวัน 6 ชั่วโมง ใช้พลังงานประมาณ 3 kWh แผงประมาณ 1–1.5 kWp หรือแผง 580 W จำนวน 2–3 แผงผ่านอินเวอร์เตอร์ on-grid ช่วยจ่ายได้เกือบทั้งหมดในช่วงมีแดด ถ้าต้องการเปิดกลางคืนต้องเพิ่มแบตเตอรี่หรือใช้ไฟการไฟฟ้า

ต่อแผงโซลาร์เข้าแอร์ตรง ๆ ได้ไหม?
แอร์ทั่วไปใช้ไฟ AC 220 V ต้องผ่านอินเวอร์เตอร์เสมอ ยกเว้นแอร์โซลาร์แบบ DC/AC ไฮบริดที่มีช่องรับไฟ DC จากแผงเข้าบัส DC ของคอมเพรสเซอร์โดยตรง และใช้ไฟบ้านเสริมเมื่อแสงไม่พอ ต้องต่อแผงตามจำนวนและแรงดันที่ผู้ผลิตแอร์กำหนดเท่านั้น

แอร์ธรรมดา (ไม่ใช่อินเวอร์เตอร์) ใช้กับระบบ off-grid ได้ไหม?
ได้แต่ต้องระวัง คอมเพรสเซอร์แบบความเร็วคงที่ดึงกระแสกระชากตอนสตาร์ตประมาณ 3–6 เท่าของกระแสใช้งาน อินเวอร์เตอร์ off-grid ต้องรับกำลังกระชากนั้นได้ และคอมเพรสเซอร์ตัดต่อบ่อยทำให้สิ้นเปลืองพลังงานแบต แอร์อินเวอร์เตอร์สตาร์ตแบบนุ่มนวลและประหยัดกว่ามาก จึงเหมาะกับโซลาร์มากกว่า

## FAQ

**แอร์ 12,000 BTU ใช้แผงโซลาร์กี่แผง?**
แอร์อินเวอร์เตอร์เบอร์ 5 ขนาด 12,000 BTU ใช้ไฟเฉลี่ยประมาณ 0.4–0.6 kW ขณะทำงาน ถ้าเปิดช่วงกลางวัน 6 ชั่วโมง ใช้พลังงานประมาณ 3 kWh แผงประมาณ 1–1.5 kWp หรือแผง 580 W จำนวน 2–3 แผงผ่านอินเวอร์เตอร์ on-grid ช่วยจ่ายได้เกือบทั้งหมดในช่วงมีแดด ถ้าต้องการเปิดกลางคืนต้องเพิ่มแบตเตอรี่หรือใช้ไฟการไฟฟ้า

**ต่อแผงโซลาร์เข้าแอร์ตรง ๆ ได้ไหม?**
แอร์ทั่วไปใช้ไฟ AC 220 V ต้องผ่านอินเวอร์เตอร์เสมอ ยกเว้นแอร์โซลาร์แบบ DC/AC ไฮบริดที่มีช่องรับไฟ DC จากแผงเข้าบัส DC ของคอมเพรสเซอร์โดยตรง และใช้ไฟบ้านเสริมเมื่อแสงไม่พอ ต้องต่อแผงตามจำนวนและแรงดันที่ผู้ผลิตแอร์กำหนดเท่านั้น

**แอร์ธรรมดา (ไม่ใช่อินเวอร์เตอร์) ใช้กับระบบ off-grid ได้ไหม?**
ได้แต่ต้องระวัง คอมเพรสเซอร์แบบความเร็วคงที่ดึงกระแสกระชากตอนสตาร์ตประมาณ 3–6 เท่าของกระแสใช้งาน อินเวอร์เตอร์ off-grid ต้องรับกำลังกระชากนั้นได้ และคอมเพรสเซอร์ตัดต่อบ่อยทำให้สิ้นเปลืองพลังงานแบต แอร์อินเวอร์เตอร์สตาร์ตแบบนุ่มนวลและประหยัดกว่ามาก จึงเหมาะกับโซลาร์มากกว่า

---

# ออกแบบโซลาร์ฟาร์ม: ผังแผง ระยะห่างแถว GCR Tracker อินเวอร์เตอร์ หม้อแปลง และการเชื่อมต่อระบบ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/solar-farm/
Updated: 2026-10-13
Summary: การออกแบบโรงไฟฟ้าพลังงานแสงอาทิตย์ (โซลาร์ฟาร์ม) ภาษาไทย: ขั้นตอนพัฒนาโครงการ เลือกที่ดินและจุดเชื่อมต่อ พื้นที่ต่อ MW ประมาณ 5 ไร่ GCR fixed tilt กับ single-axis tracker แผงสองหน้า ระบบ DC 1,500 V string กับ central inverter หม้อแปลงและระบบ 22/33 kV SCADA สถานีตรวจวัดอากาศ ระบบป้องกัน grid code ฟาร์มลอยน้ำ พลังงานต่อไร่ การบำรุงรักษา และตัวอย่างฟาร์ม 5 MWp

// บทที่ 16.16 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · Utility-Scale Solar Farm Design

# ออกแบบโซลาร์ฟาร์ม: ผังแผง ระยะห่างแถว GCR Tracker อินเวอร์เตอร์ หม้อแปลง และการเชื่อมต่อระบบ

โซลาร์ฟาร์มใช้หลักเดียวกับระบบบนหลังคา แต่ทุกการตัดสินใจถูกคูณด้วยหลายพันแผงและ 25 ปี: เปลี่ยนระยะห่างแถว 10 cm คือที่ดินหลายไร่ เลือกอินเวอร์เตอร์ผิดคือรายได้ที่หายเป็นล้าน หน้านี้ไล่ตั้งแต่การพัฒนาโครงการ การวางผัง ไปจนถึงระบบแรงดันปานกลางและการเชื่อมต่อกับการไฟฟ้า

สรุปใน 30 วินาที

- ที่ดิน ≈ 5 ไร่/MWp (fixed) · พลังงาน ≈ 1,450–1,550 MWh/MWp/ปี ในพื้นที่แดดดี

- จุดเชื่อมต่อ (ความสามารถของสายและสถานีไฟฟ้า) มักกำหนดขนาดโครงการมากกว่าที่ดิน

- DC 1,500 V + string inverter 200–350 kW หรือ central 3–5 MVA → หม้อแปลง 0.8/22–33 kV

- Tracker + bifacial ได้พลังงานเพิ่ม 10–20 % ต้องเทียบด้วย LCOE

## ขั้นตอนพัฒนาโครงการ พื้นฐาน

- สัญญาและนโยบาย: รูปแบบการขายไฟ (สัญญาซื้อขายไฟกับการไฟฟ้าตามประกาศรับซื้อ, private PPA กับนิคม/โรงงาน, ใช้เอง) กำหนดขนาด ราคา และข้อกำหนดทางเทคนิค

- จุดเชื่อมต่อ: ตรวจความสามารถของสายจำหน่าย 22/33 kV หรือสถานีไฟฟ้าที่ใกล้ที่สุด (grid capacity) ระยะทางสายเชื่อมต่อ และผลการศึกษาการเชื่อมต่อ

- ที่ดิน: สถานะทางกฎหมายของที่ดิน (ที่ดินบางประเภท เช่น ส.ป.ก. มีข้อจำกัดการใช้) ผังเมือง ความลาดเอียง (< 5 % ดีที่สุด) ระดับน้ำท่วมย้อนหลัง ถนนเข้าออก

- ข้อมูลแสงและพื้นที่: ข้อมูลดาวเทียมระยะยาว + สถานีวัดแสงหน้างาน (ช่วยลดความไม่แน่นอน P90 ดู E7) สำรวจดิน (geotechnical) ทดสอบแรงดึงเสาเข็ม ความต้านทานดินสำหรับระบบกราวด์

- ใบอนุญาต: ใบอนุญาตผลิตไฟฟ้าและใบอนุญาตที่เกี่ยวข้อง การประเมินผลกระทบสิ่งแวดล้อมตามขนาด การรับฟังความคิดเห็นชุมชน

- ออกแบบเบื้องต้นและการเงิน: ผัง พลังงาน P50/P90 ต้นทุน LCOE IRR (ดู ความคุ้มค่า)

- EPC: ออกแบบละเอียด จัดซื้อ ก่อสร้าง ทดสอบ (FAT/SAT) ทดสอบเดินเครื่อง (COD) ทดสอบสมรรถนะ (PR test)

- O&M 20–25 ปี: monitoring ล้างแผง ตัดหญ้า ซ่อม อะไหล่ รายงานสมรรถนะ

## ผังแผงและพื้นที่ที่ต้องใช้ กลาง

G1 Land area พื้นที่ที่ดินที่ต้องใช้

$$A_{land} \approx \frac{P_{STC}}{\eta\cdot 1000\ \text{W/m}^2\cdot GCR}\times k_{aux} \qquad 1\ \text{ไร่} = 1{,}600\ \text{m}^2,\ k_{aux}\approx 1.2\text{–}1.3$$

G2 Energy per unit land พลังงานต่อไร่

$$\frac{E}{A_{land}} = \frac{P_{STC}\,Y_f}{A_{land}}$$

ตัวอย่าง G-1

### ที่ดินและพลังงานของ 1 MWp

- แผง 580 W ประสิทธิภาพ 22.5 % → 1,724 แผง พื้นที่แผง 4,450 m²

- GCR 0.7 (ตัวอย่าง R-3) และพื้นที่ส่วนประกอบ $k_{aux}$ = 1.25: $A_{land} = 4{,}450/0.7 \times 1.25 = 7{,}950\ \text{m}^2$ ≈ 5.0 ไร่

- G2: $Y_f$ ≈ 1,430 kWh/kWp → 1,430 MWh/ปี ÷ 5 ไร่ ≈ 290 MWh/ไร่/ปี ที่ราคาไฟ 2–3 บาท/kWh คือรายได้หลายแสนบาทต่อไร่ต่อปี — เทียบได้ว่าทำไมที่ดินใกล้สถานีไฟฟ้ามีมูลค่าสูง

### หลักการจัดผัง

- โต๊ะแผง (table) 2 แผงแนวตั้ง (2P) × 14–28 แผง หรือ 1P บนตัวติดตาม ขนาดโต๊ะตรงกับความยาวสตริง (เช่น 28 แผง/สตริงที่ 1,500 V) เพื่อลดสาย

- ทางเดินและถนน สำหรับรถล้างแผงและรถบำรุงรักษา ทางระบายน้ำตามแนวลาดธรรมชาติ

- ตำแหน่งอินเวอร์เตอร์/สถานีแปลงแรงดัน อยู่กลางกลุ่มแผงเพื่อลดความยาวสาย DC ที่แพงและสูญเสียสูง

- ระยะจากรั้วและต้นไม้ ตามการวิเคราะห์เงา (R7) ระดับแผงเหนือระดับน้ำท่วมสูงสุดที่บันทึกได้ + ระยะเผื่อ

- พืชคลุมดิน ลดฝุ่นและการกัดเซาะ (ดินเปลือยในหน้าแล้งทำให้แผงสกปรกเร็ว) และเปิดทางให้ทำเกษตรร่วม (ดู agrivoltaics)

## Fixed tilt, Single-axis tracker และ Bifacial กลาง

| | Fixed tilt 10–15° ทิศใต้ | Horizontal single-axis tracker (HSAT) แนวเหนือ-ใต้ |

| พลังงานต่อ kWp (ไทย) | ฐาน | +10–15 % (+ bifacial อีก 5–8 %) |

| รูปร่างการผลิต | ระฆังแหลม | ไหล่กว้าง ช่วงเช้า-บ่ายสูงขึ้น เหมาะ PPA ที่ราคาสูงช่วงเย็น |

| GCR / ที่ดิน | 0.6–0.8 | 0.3–0.45 ใช้ที่ดินมากกว่า |

| ความซับซ้อน | ต่ำ | มอเตอร์ ตัวควบคุม backtracking stow ลมแรง |

| ข้อจำกัด | — | ดินอ่อน น้ำท่วม ความลาดเอียงต่างระดับ |

Backtracking: ช่วงเช้าเย็นตัวติดตามเอียงกลับเพื่อไม่ให้แถวบังกันเอง แลกกับมุมตกกระทบที่ไม่ดีที่สุด ยังได้พลังงานมากกว่าปล่อยให้บัง ตัวควบคุมรุ่นใหม่ใช้ข้อมูลภูมิประเทศและแสงกระจายเพื่อเลือกมุม (diffuse-optimized tracking) ซึ่งช่วยมากในวันครึ้มของไทย

## ระบบไฟฟ้าของฟาร์ม กลาง

สตริง 1,500 V→combiner box / string inverter→สถานีแปลงแรงดัน (inverter + หม้อแปลง 0.6–0.8/22–33 kV + RMU)→สายป้อน MV วงแหวน→สวิตช์เกียร์ MV + มิเตอร์ + รีเลย์ป้องกันที่จุดต่อ→สายของการไฟฟ้า

| | String inverter (200–350 kW) | Central inverter (3–5 MVA) |

| MPPT | หลายตัวต่อเครื่อง ทนเงาและ mismatch ดี | น้อย ต่อหลายสิบสตริง |

| การซ่อม | เปลี่ยนทั้งเครื่องในไม่กี่ชั่วโมง เสียทีละน้อย | ต้องมีช่างเฉพาะ เสียครั้งละมาก |

| ต้นทุน | สูงกว่าเล็กน้อยต่อ W ลดสาย DC/combiner | ต่ำสุดต่อ W ในโครงการใหญ่มาก |

| นิยมในไทย | ฟาร์มหลาย MW ถึงหลายสิบ MW และหลังคาโรงงาน | ฟาร์มขนาดใหญ่มาก |

G3 MV current and transformer rating กระแสแรงดันปานกลางและพิกัดหม้อแปลง

$$I_{MV} = \frac{S}{\sqrt3\,V_{LL}} \qquad S_{tr} \ge \frac{P_{AC,max}}{PF_{min}}$$

G4 Three-phase cable loss การสูญเสียในสายสามเฟส

$$P_{loss} = 3\,I^2\,R'\,L$$

G5 Availability ความพร้อมใช้งาน

$$A = \frac{T_{period} - T_{down}}{T_{period}} \qquad \text{หรือแบบถ่วงพลังงาน } A_E = \frac{E_{actual}}{E_{actual}+E_{lost}}$$

ตัวอย่าง G-2

### ฟาร์ม 5 MWp ที่ลพบุรี เชื่อม 22 kV

- DC/AC 1.25 → อินเวอร์เตอร์รวม 4 MW AC (เช่น string inverter 250 kW × 16) · ที่ดิน ≈ 25 ไร่

- พลังงาน: GHI 5.1 × 1.04 × 365 × PR 0.78 × 5,000 kWp ≈ 7,550 MWh/ปี (≈ 1,510 kWh/kWp)

- G3: $I_{22kV} = 4\text{M}/(\sqrt3 \cdot 22\text{k}) = 105$ A · หม้อแปลง PF 0.95 → ≥ 4.2 MVA (เช่น 2 × 2.5 MVA เพื่อความยืดหยุ่นเมื่อซ่อม)

- G4: สาย MV อะลูมิเนียม 2 km $R'$ ≈ 0.32 Ω/km → $3(105)^2(0.32)(2) = 21$ kW ≈ 0.5 % ที่กำลังเต็ม

- ระบบป้องกันที่จุดต่อ: รีเลย์แรงดัน/ความถี่ ป้องกันกระแสเกิน ทิศทางกำลัง (ถ้าห้ามย้อนเกินพิกัด) และอินเตอร์ล็อกกับการไฟฟ้าตามข้อกำหนด

### SCADA และการวัด

- สถานีตรวจวัดอากาศ: ไพราโนมิเตอร์บนระนาบแผงและแนวราบ (Class A ตาม IEC 61724-1) อุณหภูมิแผง ลม ฝน ตัววัดความสกปรก (soiling station)

- SCADA/PPC (power plant controller) คุมกำลังจริง กำลังรีแอกทีฟ ramp rate ตามคำสั่งศูนย์ควบคุม และส่งพยากรณ์ (ดู พยากรณ์)

- เครือข่ายไฟเบอร์ออปติก ระบบกล้อง รั้ว และไฟส่องสว่างเพื่อความปลอดภัย (การขโมยสายทองแดงพบบ่อย)

## โซลาร์ลอยน้ำ (Floating PV) กลาง

- ติดบนทุ่นลอยในอ่างเก็บน้ำ บ่อดินเก่า บ่อบำบัดน้ำ — ไม่ใช้ที่ดิน น้ำช่วยลดอุณหภูมิแผง (PR สูงขึ้นเล็กน้อย) และลดการระเหยของน้ำ

- ในไทย กฟผ. พัฒนาโซลาร์ลอยน้ำร่วมกับเขื่อนพลังน้ำ (hydro-floating solar hybrid) เช่นที่เขื่อนสิรินธรและเขื่อนอุบลรัตน์ ใช้สายส่งเดิมของเขื่อนและใช้น้ำในเขื่อนเป็น “แบตเตอรี่” ชดเชยช่วงเมฆ

- ประเด็นออกแบบ: ระบบสมอยึดตามระดับน้ำขึ้นลงหลายเมตร แรงลมและคลื่น สาย DC ลอยน้ำต้องทนน้ำ (AD7/AD8) ความชื้นสูงทำให้ PID และการกัดกร่อนมากขึ้น การเข้าถึงเพื่อบำรุงรักษา และผลต่อระบบนิเวศ

## การดำเนินงานและบำรุงรักษาฟาร์ม

| งาน | ความถี่ (ทั่วไป) | หมายเหตุ |

| ล้างแผง | 2–6 ครั้ง/ปี ตามฝุ่น | ตัดสินจาก soiling ratio เทียบค่าน้ำและค่าแรง ใช้น้ำ RO/น้ำอ่อน หุ่นยนต์ล้างแบบแห้งในฟาร์มใหญ่ |

| ตัดหญ้า/จัดการพืช | ทุก 1–3 เดือนช่วงฝน | หญ้าสูงบังแผงแถวล่าง ใช้แกะ/ปศุสัตว์บางพื้นที่ |

| ภาพถ่ายความร้อนด้วยโดรน | 1–2 ครั้ง/ปี | หา hot spot ไดโอดเสีย แผงแตก ตาม IEC 62446-3 |

| ตรวจขั้วต่อ/ขันแน่น (torque) | ปีละครั้ง | กล้องความร้อนที่ combiner และหม้อแปลง |

| บำรุงรักษาหม้อแปลง/สวิตช์เกียร์ | ตามผู้ผลิต | ตรวจน้ำมัน DGA ทดสอบรีเลย์ |

| อินเวอร์เตอร์ | ทุก 6–12 เดือน | ทำความสะอาดไส้กรอง พัดลม อัปเดตเฟิร์มแวร์ |

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- Layout optimization หา GCR ความยาวโต๊ะ และตำแหน่งอินเวอร์เตอร์ที่ทำให้ LCOE ต่ำสุดบนที่ดินรูปร่างจริงและภูมิประเทศ (terrain-following tracker)

- PV + BESS ในฟาร์ม: firming, ramp-rate control, time-shifting และ DC-coupled storage ที่ใช้พลังงาน clipping

- Grid code และการศึกษาเชิงพลวัต ของโรงไฟฟ้าอินเวอร์เตอร์: fault ride-through, short-circuit contribution, ฮาร์มอนิกและเรโซแนนซ์กับสายเคเบิลยาว (ดู ฮาร์มอนิกและฟิลเตอร์)

- Performance guarantee test ตาม IEC 61724-2/-3 และการจัดการข้อพิพาทเรื่องสมรรถนะระหว่างเจ้าของกับ EPC

## คำถามที่พบบ่อย

โซลาร์ฟาร์ม 1 MW ใช้ที่ดินกี่ไร่?
ด้วยแผงประสิทธิภาพประมาณ 22–23 % แบบยึดอยู่กับที่ ใช้ที่ดินประมาณ 4.5–6 ไร่ต่อ MWp รวมทางเดิน ถนน รั้ว และพื้นที่อุปกรณ์ ถ้าใช้ตัวติดตามแกนเดียวต้องเว้นระยะแถวมากขึ้น ใช้ประมาณ 6–8 ไร่ต่อ MWp ฟาร์มเก่าที่ใช้แผงประสิทธิภาพต่ำเคยใช้ถึง 10–15 ไร่ต่อ MW

โซลาร์ฟาร์ม 1 MW ผลิตไฟได้ปีละเท่าไร?
ในพื้นที่แดดดีของไทยประมาณ 1,450–1,550 MWh ต่อปีต่อ MWp สำหรับแบบยึดอยู่กับที่ และเพิ่มขึ้นประมาณ 10–15 % ถ้าใช้ตัวติดตามแกนเดียวกับแผงสองหน้า ขึ้นกับแสงของพื้นที่ การสูญเสีย และความพร้อมใช้งานของระบบ

Single-axis tracker คุ้มในประเทศไทยไหม?
ขึ้นกับพื้นที่และราคา ไทยมีแสงกระจายสูงเพราะความชื้นและเมฆ ตัวติดตามจึงได้พลังงานเพิ่มน้อยกว่าในทะเลทราย (ประมาณ 10–15 % เทียบ 20–25 %) แต่ราคาตัวติดตามลดลงมาก และช่วยให้รูปร่างการผลิตกว้างขึ้นช่วงเช้าเย็น ต้องเทียบ LCOE ของสองแบบด้วยราคาจริง ดินที่ทรุดตัวหรือน้ำท่วมขังเป็นข้อจำกัดสำคัญ

## FAQ

**โซลาร์ฟาร์ม 1 MW ใช้ที่ดินกี่ไร่?**
ด้วยแผงประสิทธิภาพประมาณ 22–23 % แบบยึดอยู่กับที่ ใช้ที่ดินประมาณ 4.5–6 ไร่ต่อ MWp รวมทางเดิน ถนน รั้ว และพื้นที่อุปกรณ์ ถ้าใช้ตัวติดตามแกนเดียวต้องเว้นระยะแถวมากขึ้น ใช้ประมาณ 6–8 ไร่ต่อ MWp ฟาร์มเก่าที่ใช้แผงประสิทธิภาพต่ำเคยใช้ถึง 10–15 ไร่ต่อ MW

**โซลาร์ฟาร์ม 1 MW ผลิตไฟได้ปีละเท่าไร?**
ในพื้นที่แดดดีของไทยประมาณ 1,450–1,550 MWh ต่อปีต่อ MWp สำหรับแบบยึดอยู่กับที่ และเพิ่มขึ้นประมาณ 10–15 % ถ้าใช้ตัวติดตามแกนเดียวกับแผงสองหน้า ขึ้นกับแสงของพื้นที่ การสูญเสีย และความพร้อมใช้งานของระบบ

**Single-axis tracker คุ้มในประเทศไทยไหม?**
ขึ้นกับพื้นที่และราคา ไทยมีแสงกระจายสูงเพราะความชื้นและเมฆ ตัวติดตามจึงได้พลังงานเพิ่มน้อยกว่าในทะเลทราย (ประมาณ 10–15 % เทียบ 20–25 %) แต่ราคาตัวติดตามลดลงมาก และช่วยให้รูปร่างการผลิตกว้างขึ้นช่วงเช้าเย็น ต้องเทียบ LCOE ของสองแบบด้วยราคาจริง ดินที่ทรุดตัวหรือน้ำท่วมขังเป็นข้อจำกัดสำคัญ

---

# แสงอาทิตย์ในประเทศไทย: ความเข้มแสง ชั่วโมงแดดสูงสุด มุมเอียง ทิศ และเงาบัง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/solar-resource/
Updated: 2026-10-13
Summary: ทรัพยากรแสงอาทิตย์สำหรับออกแบบโซลาร์เซลล์ในไทย: GHI DNI DHI POA ชั่วโมงแดดสูงสุด PSH ค่าเฉลี่ย 18.2 MJ/m²/วัน ตำแหน่งดวงอาทิตย์ มุมเงย มุมทิศ มุมเอียงและทิศที่เหมาะสม ตะวันออก-ตะวันตก ระยะห่างแถวกันเงา GCR การประเมินเงาบัง พร้อมตัวอย่างคำนวณกรุงเทพฯ

// บทที่ 16.2 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · Solar Resource, Orientation & Shading

# แสงอาทิตย์ในประเทศไทย: ความเข้มแสง ชั่วโมงแดดสูงสุด มุมเอียง ทิศ และเงาบัง

แผงรุ่นเดียวกัน ติดที่ลพบุรีกับภูเก็ต หรือหันทิศใต้กับทิศเหนือ ให้พลังงานต่างกันได้ 10–20 % หน้านี้อธิบายว่าแสงอาทิตย์ถูกวัดและรายงานอย่างไร แปลงเป็น “ชั่วโมงแดดสูงสุด” ที่ใช้ออกแบบ ตำแหน่งดวงอาทิตย์ในแต่ละฤดูของประเทศไทย มุมเอียงและทิศที่เหมาะ และวิธีคำนวณระยะกันเงา

สรุปใน 30 วินาที

- PSH = พลังงานแสงทั้งวัน (kWh/m²) ÷ 1 kW/m² — ไทยเฉลี่ย ≈ 5 ชั่วโมง

- ไทยอยู่ละติจูด 6–20° N ดวงอาทิตย์อ้อมทิศใต้ช่วงพ.ย.–ก.พ. และอ้อมทิศเหนือช่วงพ.ค.–ก.ค.

- ทิศใต้เอียง 10–15° ดีที่สุด แต่ตะวันออก/ตะวันตกเสียแค่ราว 5 % — อย่าทิ้งหลังคาสองทิศนี้

- ออกแบบไม่ให้มีเงาช่วง 09:00–15:00 น. ของวันที่ 21 ธันวาคม

## แสงอาทิตย์มีกี่ส่วน: GHI DNI DHI และ POA พื้นฐาน

เหนือชั้นบรรยากาศ ความเข้มแสงอาทิตย์เฉลี่ยประมาณ 1,361 W/m² (solar constant) เมื่อผ่านบรรยากาศ บางส่วนถูกดูดกลืนและกระเจิง ที่พื้นผิวโลกตอนเที่ยงวันฟ้าใส ความเข้มบนระนาบที่หันหาดวงอาทิตย์อยู่ราว 1,000 W/m² จึงเป็นที่มาของค่า STC

| ปริมาณ | ความหมาย | วัดด้วย |

| GHI Global Horizontal Irradiance | แสงรวมที่ตกบนพื้นราบ | ไพราโนมิเตอร์วางแนวราบ |

| DNI Direct Normal Irradiance | แสงตรงจากดวงอาทิตย์ วัดตั้งฉากกับลำแสง | ไพรเฮลิโอมิเตอร์บนตัวติดตาม |

| DHI Diffuse Horizontal Irradiance | แสงกระจายจากท้องฟ้าและเมฆ | ไพราโนมิเตอร์ที่มีลูกบังแสงตรง |

| POA Plane-of-Array Irradiance | แสงบนระนาบของแผงที่เอียง | ไพราโนมิเตอร์หรือเซลล์อ้างอิงที่เอียงเท่าแผง |

R1 Irradiance closure ความสัมพันธ์ของแสงตรงและแสงกระจาย

$$GHI = DNI\cos\theta_z + DHI$$

$\theta_z$ คือมุมเซนิท (มุมจากแนวดิ่งถึงดวงอาทิตย์) ในประเทศไทยแสงกระจายมีสัดส่วนสูง (40–60 % ของ GHI ต่อปี) เพราะความชื้นและเมฆในฤดูฝน ผลที่ตามมาคือ การเอียงแผงมาก ๆ หรือการใช้ตัวติดตามได้ประโยชน์น้อยกว่าในพื้นที่แห้งแล้ง และมุมเอียงที่เหมาะจะต่ำ

R2 Plane-of-array irradiance (isotropic sky) แสงบนระนาบเอียง

$$G_{POA} = DNI\cos\theta + DHI\,\frac{1+\cos\beta}{2} + GHI\,\rho\,\frac{1-\cos\beta}{2}$$

$\theta$ = มุมตกกระทบบนแผง $\beta$ = มุมเอียงของแผง $\rho$ = albedo ของพื้น (หญ้า 0.2 คอนกรีต 0.25–0.3 หลังคาขาว 0.6–0.8) แบบจำลองนี้ถือว่าท้องฟ้าสว่างเท่ากันทุกทิศ ซอฟต์แวร์มืออาชีพใช้แบบจำลอง Hay–Davies หรือ Perez ที่แม่นกว่า แต่หลักคิดเหมือนกัน

## ชั่วโมงแดดสูงสุด (Peak Sun Hours) พื้นฐาน

ความเข้มแสงเปลี่ยนตลอดวัน จากศูนย์ตอนเช้า ขึ้นสูงสุดตอนเที่ยง แล้วลดลงตอนเย็น พื้นที่ใต้กราฟความเข้มแสงตลอดวันคือ พลังงานแสงต่อวัน $H$ (kWh/m²/วัน) ถ้าบีบพลังงานนี้ให้เป็นสี่เหลี่ยมสูง 1,000 W/m² ความกว้างของสี่เหลี่ยมคือ PSH

R3 Peak sun hours ชั่วโมงแดดสูงสุด

$$H = \int_{\text{day}} G(t)\,dt \qquad PSH = \frac{H\ [\text{kWh/m}^2]}{1\ \text{kW/m}^2} \qquad 1\ \text{kWh} = 3.6\ \text{MJ}$$

ข้อดีของ PSH คือคำนวณพลังงานแผงได้ทันที: แผง 1 kWp × PSH 5 ชั่วโมง = 5 kWh ต่อวัน “ก่อนหักการสูญเสีย” (หักด้วย PR ในหน้า คาดการณ์พลังงาน) ข้อควรระวัง: PSH ที่ใช้ต้องเป็นค่าบนระนาบแผง (POA) ไม่ใช่บนแนวราบ เมื่อแผงเอียงหรือหันทิศอื่นต้องคูณด้วยตัวประกอบการแปลง

ตัวอย่าง R-1

### แปลงข้อมูลแผนที่แสงอาทิตย์เป็น PSH

- แผนที่ศักยภาพแสงอาทิตย์ของ พพ. ให้ค่าเฉลี่ยทั้งประเทศ ≈ 18.2 MJ/m²/วัน

- $H = 18.2 / 3.6 = 5.06\ \text{kWh/m}^2\text{/วัน}$ → PSH ≈ 5.1 ชั่วโมง

- พลังงานแสงต่อปี ≈ $5.06 \times 365 = 1{,}846\ \text{kWh/m}^2$ — ใกล้เคียงสเปน ตอนใต้ของอิตาลี และสูงกว่าเยอรมนี (≈ 1,100) เกือบ 70 %

## ข้อมูลแสงอาทิตย์ของประเทศไทย พื้นฐาน

ค่าในตารางเป็นค่าประมาณระยะยาวที่ปัดเศษ (สอดคล้องกับช่วงที่รายงานใน PVGIS NASA POWER และแผนที่ของ พพ.) ใช้สำหรับประเมินเบื้องต้นและในเครื่องคำนวณของชุดนี้ งานจริงให้ดึงข้อมูลของพิกัดหน้างาน

| พื้นที่ | GHI เฉลี่ย (kWh/m²/วัน) | ลักษณะ |

| ภาคกลางตอนบน (ลพบุรี สระบุรี นครสวรรค์) | 5.1–5.3 | แห้ง แดดจัด ศักยภาพสูงสุดกลุ่มหนึ่ง |

| ภาคอีสาน (ขอนแก่น นครราชสีมา อุบลฯ) | 5.0–5.3 | แดดดี ฤดูแล้งยาว ฝุ่นมากช่วงแล้ง |

| ภาคเหนือ (เชียงใหม่) | 4.9–5.1 | หมอกควันช่วงก.พ.–เม.ย. ลดแสง 5–15 % |

| กรุงเทพฯ และปริมณฑล | 4.7–4.9 | หมอกควันเมือง ความชื้นสูง |

| ภาคตะวันออก (ชลบุรี ระยอง) | 4.8–5.0 | ชายทะเล ไอเกลือ (เลือกแผงทนละอองเกลือ IEC 61701) |

| ภาคใต้ (สุราษฎร์ สงขลา ภูเก็ต) | 4.5–4.8 | ฝนสองฤดู เมฆมาก |

รูปแบบรายเดือน (ภาคกลาง): สูงสุดช่วงมีนาคม–เมษายน (สูงกว่าค่าเฉลี่ยปีราว 13–16 %) ต่ำสุดช่วงสิงหาคม–กันยายน (ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยราว 7–8 %) ต่างจากประเทศเขตอบอุ่นที่ฤดูหนาวผลิตได้เพียง 1/4 ของฤดูร้อน ความผันแปรตามฤดูของไทยจึงต่ำ — ข้อดีสำคัญของระบบ off-grid และปั๊มน้ำ

แหล่งข้อมูลที่ใช้ได้ฟรี PVGIS (re.jrc.ec.europa.eu/pvg_tools) ให้ข้อมูลรายชั่วโมงของไทยจากดาวเทียม และคำนวณพลังงานให้ด้วย · NASA POWER (power.larc.nasa.gov) ข้อมูลรายวันย้อนหลังหลายสิบปี · Global Solar Atlas (World Bank) แผนที่ละเอียด · แผนที่ศักยภาพพลังงานแสงอาทิตย์ของกรมพัฒนาพลังงานทดแทนและอนุรักษ์พลังงาน

## ตำแหน่งดวงอาทิตย์ กลาง

ตำแหน่งดวงอาทิตย์บอกด้วยสองมุม: มุมเงย (elevation, altitude) $\alpha$ จากขอบฟ้า และ มุมทิศ (azimuth) $\gamma_s$ ในหน้านี้วัดจากทิศใต้ บวกไปทางตะวันตก คำนวณจากละติจูด $\varphi$ มุมเดคลิเนชัน $\delta$ และมุมชั่วโมง $\omega$:

R4 Solar position ตำแหน่งดวงอาทิตย์

$$\delta = 23.45^\circ\sin\!\left(\frac{360^\circ(284+n)}{365}\right) \qquad \omega = 15^\circ(t_{solar}-12)$$

$$\sin\alpha = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos\omega \qquad \cos\gamma_s = \frac{\sin\alpha\sin\varphi - \sin\delta}{\cos\alpha\cos\varphi}$$

R5 Solar time เวลาสุริยะจากเวลานาฬิกา

$$t_{solar} = t_{clock} + \frac{4\ \text{min}}{1^\circ}\,(L_{loc} - L_{std}) + EoT \qquad L_{std} = 105^\circ\text{E (เวลาประเทศไทย)}$$

กรุงเทพฯ อยู่ลองจิจูด 100.5° E จึงช้ากว่าเวลามาตรฐาน $4(100.5-105) = -18$ นาที เที่ยงสุริยะของกรุงเทพฯ จึงอยู่ราว 12:18 น. (บวกลบ EoT ไม่เกิน ±16 นาทีตามฤดู) — ระบบโซลาร์ในไทยจึงผลิตสูงสุดราว 12:10–12:40 น. ไม่ใช่ 12:00 น.

ตัวอย่าง R-2

### ดวงอาทิตย์ที่กรุงเทพฯ (φ = 13.75° N) ในสามฤดู

- 21 ธันวาคม $\delta = -23.45^\circ$: เที่ยงสุริยะ $\alpha = 90^\circ - |\varphi - \delta| = 90 - 37.2 = 52.8^\circ$ อยู่ทิศใต้ · 09:00 น. $\alpha = 32.4^\circ$ มุมทิศ 50° ไปทางตะวันออกของทิศใต้

- 21 มีนาคม $\delta \approx 0^\circ$: เที่ยง $\alpha = 75.8^\circ$ · 09:00 น. $\alpha = 43.2^\circ$

- 21 มิถุนายน $\delta = +23.45^\circ$: เที่ยง $\alpha = 90 - |13.75 - 23.45| = 80.3^\circ$ แต่ อยู่ทางทิศเหนือ ของจุดเหนือศีรษะ · 09:00 น. มุมทิศ 110° คือเฉียงไปทางตะวันออกค่อนเหนือ

- ความหมาย: แผงที่เอียงไปทิศใต้มากเกินไปจะเสียแสงช่วงพ.ค.–ก.ค. และผนังทิศเหนือของอาคารก็ทอดเงาได้ในฤดูร้อน

R6 Angle of incidence on a tilted panel มุมตกกระทบบนแผงเอียง

$$\cos\theta = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\cos(\gamma_s - \gamma_p)$$

$\gamma_p$ คือมุมทิศของแผง (ใต้ = 0, ตะวันตก = +90°) ถ้า $\cos\theta

## มุมเอียงและทิศที่เหมาะสม พื้นฐาน

| ทิศ / มุมเอียง (ละติจูด 13–18° N) | พลังงานต่อปีเทียบแนวราบ (ประมาณ) | หมายเหตุ |

| ทิศใต้ 10–20° | ×1.03–1.05 | ดีที่สุดต่อปี กระจายดีทุกฤดู |

| แนวราบ 0–5° | ×1.00 | ฝุ่นและน้ำขัง ล้างตัวเองไม่ได้ ควรเอียง ≥ 5° |

| ทิศใต้ 30° | ×1.01–1.02 | ดีหน้าหนาว เสียหน้าฝน |

| ตะวันออก หรือ ตะวันตก 15° | ×0.94–0.96 | ตะวันตกช่วยโหลดแอร์ช่วงบ่าย |

| ทิศเหนือ 15° | ×0.86–0.90 | ยังใช้ได้ถ้ามุมเอียงต่ำ |

| ผนังแนวตั้งทิศใต้ | ×0.55–0.65 | BIPV ใช้เมื่อหลังคาไม่พอ |

- กฎหัวแม่มือ: ในเขตร้อน มุมเอียงที่ให้พลังงานสูงสุดต่อปีมักต่ำกว่าละติจูดเล็กน้อย เพราะแสงกระจายมาก และดวงอาทิตย์อยู่ทางทิศเหนือในบางเดือน

- หลังคาที่มีอยู่แล้วชนะเสมอ: การทำโครงยกเพื่อเปลี่ยนมุมจาก 5° เป็น 15° ได้พลังงานเพิ่มแค่ 2–3 % แต่เพิ่มแรงลม น้ำหนัก และค่าใช้จ่าย ส่วนใหญ่จึงติดตามแนวหลังคา

- ทิศตะวันออก–ตะวันตก (E-W) แบบหลังคาจั่วสองฝั่ง ได้พลังงานต่อ kWp ลดลงเล็กน้อย แต่ได้กำลังผลิตกว้างตลอดวัน ลด clipping ของอินเวอร์เตอร์ และวางแผงได้แน่นขึ้นบนหลังคาแบน

- ทิศต่างกันต้องแยก MPPT สตริงที่หันคนละทิศไม่ควรขนานเข้า MPPT เดียวกัน (ดู ออกแบบสตริง)

## เงาบังและระยะห่าง กลาง

เงาเป็นการสูญเสียที่ไม่เป็นสัดส่วน: เงาบังพื้นที่แผง 3 % อาจทำให้พลังงานสตริงหายไป 10–30 % เพราะเซลล์ต่ออนุกรม (ดู บายพาสไดโอด) เกณฑ์ออกแบบที่นิยมคือ ไม่มีเงาบนแผงช่วง 09:00–15:00 น. เวลาสุริยะของวันที่ 21 ธันวาคม ซึ่งเป็นวันที่ดวงอาทิตย์ต่ำที่สุดทางทิศใต้ (เงายาวที่สุดไปทางทิศเหนือ)

R7 Shadow length and row pitch ความยาวเงาและระยะห่างแถว

$$d_{NS} = \frac{h\cos\gamma_s}{\tan\alpha} \qquad \text{pitch} = L\cos\beta + d_{NS} \qquad GCR = \frac{L}{\text{pitch}}$$

$h$ = ความสูงของขอบบนแถวหน้าเหนือขอบล่างของแถวหลัง $L$ = ความยาวแผงตามแนวเอียง GCR (ground coverage ratio) = สัดส่วนพื้นที่ที่แผงคลุม ค่า GCR สูงใช้ที่ดินคุ้มแต่เงาบังระหว่างแถวมากขึ้นช่วงเช้าเย็น

ตัวอย่าง R-3

### ระยะห่างแถวของโซลาร์ฟาร์มที่กรุงเทพฯ

แถวละ 2 แผงแนวตั้ง (2 × 2.278 m) เอียง 15° ทิศใต้

- $L = 4.556$ m · ความสูง $h = L\sin 15^\circ = 1.18$ m · ระยะฉายแนวราบ $L\cos 15^\circ = 4.40$ m

- 21 ธ.ค. 09:00 น.: $\alpha = 32.4^\circ$, $\gamma_s = 50.2^\circ$ (จากตัวอย่าง R-2)

- $d_{NS} = \dfrac{1.18 \cos 50.2^\circ}{\tan 32.4^\circ} = \dfrac{1.18(0.640)}{0.635} = 1.19$ m

- pitch = 4.40 + 1.19 = 5.59 m → GCR = 4.556/5.59 = 0.81

- ในทางปฏิบัติมักเพิ่มระยะเป็น 6–6.5 m เพื่อทางเดินล้างแผงและลดเงาช่วงเช้ามืด (GCR ≈ 0.7) ดู ออกแบบโซลาร์ฟาร์ม

ตัวอย่าง R-4

### กำแพงกันตกบนดาดฟ้าสูง 1 m ต้องเว้นระยะเท่าไร

- เวลาเที่ยงวันที่ 21 ธ.ค.: $d = 1/\tan 52.8^\circ = 0.76$ m

- เวลา 09:00 น. (มุมทิศ 50.2°): $d_{NS} = 1(0.640)/0.635 = 1.0$ m

- สรุป: วางแถวแรกห่างกำแพงด้านทิศใต้อย่างน้อย 1.0 m (วัดจากระดับขอบล่างแผง) กำแพงด้านทิศตะวันออกและตะวันตกต้องตรวจช่วงเช้าและบ่ายด้วยมุมทิศ 90° ซึ่งเงายาวกว่ามาก

### วิธีประเมินเงาหน้างาน

- เดินสำรวจ จดวัตถุทุกชิ้นทางทิศตะวันออก ใต้ ตะวันตก: ต้นไม้ (โตขึ้นทุกปี) เสาไฟ จานดาวเทียม ถังน้ำ ห้องบันได ตึกข้างเคียงที่อาจสร้างในอนาคต

- ภาพทางเดินดวงอาทิตย์ (sun path) ใช้แอปบนมือถือหรือเครื่องมืออย่าง Solar Pathfinder / SunEye ถ่ายภาพขอบฟ้าแล้วซ้อนเส้นทางดวงอาทิตย์ทั้งปี

- โมเดล 3 มิติ ใช้ SketchUp + Skelion, PVsyst near shading, หรือ HelioScope/Aurora จากภาพดาวเทียมและโดรน สำหรับระบบเชิงพาณิชย์

- แก้ด้วยการออกแบบ จัดแผงที่มีเงาไว้ในสตริงเดียวกัน แยก MPPT ใช้แผง half-cut หมุนแผงให้เงาไล่ตามแนวยาว หรือใช้ optimizer/micro-inverter เฉพาะแผงที่ถูกบัง

## ทดลองผลของพื้นที่และทิศ

เปลี่ยนพื้นที่และทิศในเครื่องคำนวณด้านล่างเพื่อดูผลต่อพลังงานต่อปีและรายเดือน รายละเอียดการสูญเสียแต่ละรายการอธิบายในหน้า คาดการณ์พลังงาน

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- Decomposition models (Erbs, DISC, DIRINT, Engerer) แยก GHI เป็น DNI + DHI เมื่อมีเฉพาะ GHI จากดาวเทียมหรือสถานีอุตุฯ

- Transposition models Perez 1990 แบ่งท้องฟ้าเป็น circumsolar และ horizon brightening ให้ POA แม่นกว่า isotropic 2–5 %

- ข้อมูลดาวเทียม (Himawari-8/9 สำหรับเอเชีย) ประมวลด้วย Heliosat ให้ GHI ความละเอียด 1–5 km ทุก 10 นาที ความไม่แน่นอนรายปี ±3–6 %

- ปีตัวแทน (TMY) และความผันแปรระหว่างปี (inter-annual variability) ใช้คำนวณ P90 สำหรับสินเชื่อโครงการ (ดู P50/P90)

- ฝุ่นละอองและหมอกควัน (aerosol optical depth) ลด DNI มากกว่า GHI ส่งผลต่อระบบตัวติดตามและแผงสองหน้า

## คำถามที่พบบ่อย

ชั่วโมงแดดสูงสุด (Peak Sun Hours) ของประเทศไทยเท่าไร?
ค่าเฉลี่ยทั้งประเทศประมาณ 5 ชั่วโมงต่อวัน (พลังงานแสงอาทิตย์รวมราว 18.2 MJ/m² ต่อวัน หรือ 5.06 kWh/m² ต่อวัน) ภาคกลางตอนบนและภาคอีสานสูงกว่าเล็กน้อย ภาคใต้และพื้นที่ฝนชุกต่ำกว่า ชั่วโมงแดดสูงสุดไม่ใช่จำนวนชั่วโมงที่มีแดด แต่เป็นพลังงานทั้งวันที่แปลงเป็นชั่วโมงที่ความเข้ม 1,000 W/m²

ควรหันแผงโซลาร์ไปทางทิศไหนและเอียงกี่องศาในไทย?
ทิศใต้เอียง 10–15 องศาให้พลังงานต่อปีสูงสุดสำหรับภาคกลาง ภาคเหนือเอียงได้ถึง 15–20 องศา ไม่ควรต่ำกว่า 5–10 องศาเพื่อให้ฝนล้างฝุ่นได้ ทิศตะวันออกหรือตะวันตกเสียพลังงานต่อปีเพียงประมาณ 4–8 % ที่มุมเอียงต่ำ และช่วยกระจายการผลิตให้ตรงกับโหลดเช้าหรือบ่าย

ต้องเว้นระยะจากผนังหรือแถวแผงด้านหน้าเท่าไรถึงไม่มีเงา?
ใช้เงื่อนไขไม่มีเงาช่วง 9:00–15:00 น. ของวันที่ 21 ธันวาคม (ดวงอาทิตย์ต่ำที่สุดทางทิศใต้) ระยะทางทิศเหนือ-ใต้ของเงาเท่ากับความสูงของวัตถุคูณ cos มุมทิศดวงอาทิตย์หารด้วย tan มุมเงย ที่กรุงเทพฯ 9:00 น. มุมเงยประมาณ 32 องศา เงายาวประมาณ 1 เท่าของความสูง

## FAQ

**ชั่วโมงแดดสูงสุด (Peak Sun Hours) ของประเทศไทยเท่าไร?**
ค่าเฉลี่ยทั้งประเทศประมาณ 5 ชั่วโมงต่อวัน (พลังงานแสงอาทิตย์รวมราว 18.2 MJ/m² ต่อวัน หรือ 5.06 kWh/m² ต่อวัน) ภาคกลางตอนบนและภาคอีสานสูงกว่าเล็กน้อย ภาคใต้และพื้นที่ฝนชุกต่ำกว่า ชั่วโมงแดดสูงสุดไม่ใช่จำนวนชั่วโมงที่มีแดด แต่เป็นพลังงานทั้งวันที่แปลงเป็นชั่วโมงที่ความเข้ม 1,000 W/m²

**ควรหันแผงโซลาร์ไปทางทิศไหนและเอียงกี่องศาในไทย?**
ทิศใต้เอียง 10–15 องศาให้พลังงานต่อปีสูงสุดสำหรับภาคกลาง ภาคเหนือเอียงได้ถึง 15–20 องศา ไม่ควรต่ำกว่า 5–10 องศาเพื่อให้ฝนล้างฝุ่นได้ ทิศตะวันออกหรือตะวันตกเสียพลังงานต่อปีเพียงประมาณ 4–8 % ที่มุมเอียงต่ำ และช่วยกระจายการผลิตให้ตรงกับโหลดเช้าหรือบ่าย

**ต้องเว้นระยะจากผนังหรือแถวแผงด้านหน้าเท่าไรถึงไม่มีเงา?**
ใช้เงื่อนไขไม่มีเงาช่วง 9:00–15:00 น. ของวันที่ 21 ธันวาคม (ดวงอาทิตย์ต่ำที่สุดทางทิศใต้) ระยะทางทิศเหนือ-ใต้ของเงาเท่ากับความสูงของวัตถุคูณ cos มุมทิศดวงอาทิตย์หารด้วย tan มุมเงย ที่กรุงเทพฯ 9:00 น. มุมเงยประมาณ 32 องศา เงายาวประมาณ 1 เท่าของความสูง

---

# ออกแบบสตริงและจับคู่อินเวอร์เตอร์: Voc ตอนหนาว ช่วง MPPT กระแส และ DC/AC ratio

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/string-sizing/
Updated: 2026-10-13
Summary: วิธีคำนวณจำนวนแผงโซลาร์ต่อสตริงและจำนวนสตริงต่อ MPPT แบบละเอียด: แรงดัน Voc ที่อุณหภูมิต่ำสุด Vmp ที่เซลล์ร้อนสุด ช่วง MPPT และ full-load MPPT กระแส Imp และ Isc ต่อ MPPT DC/AC ratio และ clipping สตริงหลายทิศ พร้อมเครื่องคำนวณออนไลน์และตัวอย่างระบบ 5 kW 10 kW 100 kW

// บทที่ 16.5 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · String Sizing & Inverter Matching

# ออกแบบสตริงและจับคู่อินเวอร์เตอร์: Voc ตอนหนาว ช่วง MPPT กระแส และ DC/AC ratio

อินเวอร์เตอร์รับแรงดันได้ในหน้าต่างหนึ่ง และรับกระแสได้ไม่เกินค่าหนึ่ง ส่วนแรงดันของสตริงเปลี่ยนตามอุณหภูมิทุกวัน การออกแบบสตริงคือการเลือก “แผงกี่แผงต่ออนุกรม และกี่สตริงต่อขนาน” ให้สตริงอยู่ในหน้าต่างนั้น ทั้งในเช้าที่หนาวที่สุดและเที่ยงที่ร้อนที่สุดของปี — พลาดด้านบนอินเวอร์เตอร์พัง พลาดด้านล่างเสียพลังงานทุกบ่าย

สรุปใน 30 วินาที

- ขีดบน: $N_s V_{oc}(T_{min}) \le V_{dc,max}$ — ห้ามเกินเด็ดขาด

- ขีดล่าง: $N_s V_{mp}(T_{c,max}) \ge V_{MPPT,min}$ — ต่ำกว่านี้เสียพลังงานช่วงร้อน

- กระแส: $N_p I_{mp} \le I_{MPPT,max}$ และ $1.25 N_p I_{sc} \le I_{sc,max}$

- DC/AC 1.1–1.3 · สตริงต่างทิศแยก MPPT · สตริงขนานต้องจำนวนแผงเท่ากัน

## ค่าในดาต้าชีตอินเวอร์เตอร์ที่ต้องใช้ พื้นฐาน

| ค่า | ตัวอย่าง 5 kW 1 เฟส | ความหมาย |

| Max. DC input voltage $V_{dc,max}$ | 600 V | เกินแล้วเสียหายถาวร (ไม่ครอบคลุมประกัน) |

| MPPT voltage range | 120–550 V | ช่วงที่ MPPT ทำงาน |

| Full-load MPPT range | ~ 160–550 V | ช่วงที่จ่ายได้เต็มพิกัด (บางยี่ห้อระบุ) |

| Start-up voltage | ~ 100–150 V | แรงดันที่เริ่มทำงานตอนเช้า |

| Rated DC voltage | 360 V | แรงดันที่ประสิทธิภาพดีที่สุด |

| จำนวน MPPT / สตริงต่อ MPPT | 2 / 1 | แยกทิศหรือแยกขนาดสตริง |

| Max. input current per MPPT | 16 A | เกินแล้วอินเวอร์เตอร์ตัดยอด (ไม่พัง) |

| Max. short-circuit current per MPPT | 22 A | ความปลอดภัยของวงจรภายใน ต้องไม่เกิน |

| Max. DC input power / DC/AC ที่อนุญาต | 7.5 kW (150 %) | ขนาดแผงสูงสุดที่ผู้ผลิตยอม |

| Rated AC power | 5 kW | ฐานของ DC/AC ratio และการขออนุญาต |

## ขีดจำกัดแรงดัน: หนาวสุดและร้อนสุด พื้นฐาน

แรงดันของแผงขึ้นกับอุณหภูมิเซลล์เป็นหลัก (P6) แรงดันสูงสุดเกิดในเช้าที่อากาศหนาวที่สุด เมื่อแสงพอให้แรงดันขึ้นเต็มแต่แผงยังไม่ร้อน จึงใช้ อุณหภูมิอากาศต่ำสุดเป็นอุณหภูมิเซลล์ ส่วนแรงดันต่ำสุดขณะทำงานเกิดตอนเที่ยงที่แผงร้อนที่สุด

D1 Maximum module voltage (coldest morning) แรงดันสูงสุดของแผงตอนหนาวสุด

$$V_{oc,max} = V_{oc,STC}\left[1 + \beta_{V_{oc}}\,(T_{min} - 25)\right]$$

D2 Maximum modules per string จำนวนแผงต่อสตริงสูงสุด

$$N_{s,max} = \left\lfloor \frac{V_{dc,max}}{V_{oc,max}} \right\rfloor \quad \text{(และต้องไม่เกิน } V_{sys,max}\text{ ของแผงด้วย)}$$

D3 Minimum MPP voltage (hottest noon) แรงดัน MPP ต่ำสุดตอนร้อนสุด

$$V_{mp,min} = V_{mp,STC}\left[1 + \beta_{V_{mp}}(T_{c,max} - 25)\right] \qquad \beta_{V_{mp}} \approx \gamma - \alpha$$

D4 Minimum modules per string จำนวนแผงต่อสตริงต่ำสุด

$$N_{s,min} = \left\lceil \frac{V_{MPPT,min}}{V_{mp,min}} \right\rceil$$

D5 MPPT upper limit ขอบบนของช่วง MPPT

$$N_{s} \le \left\lfloor \frac{V_{MPPT,max}}{V_{mp}(T_{min})} \right\rfloor$$

### เลือก $T_{min}$ และ $T_{c,max}$ อย่างไร

- $T_{min}$: อุณหภูมิต่ำสุดที่เคยบันทึกของพื้นที่ (จากกรมอุตุนิยมวิทยา) กรุงเทพฯ และภาคใต้ใช้ 10–15 °C ภาคกลางและอีสาน 5–10 °C ภาคเหนือและพื้นที่สูง 0–5 °C ถ้าไม่แน่ใจใช้ค่าต่ำไว้ก่อน (ปลอดภัยกว่า)

- $T_{c,max}$: อุณหภูมิเซลล์สูงสุด ≈ อากาศสูงสุด + 30–35 °C (P7) ในไทยใช้ 70–75 °C สำหรับแผงยกลอย และ 75–80 °C สำหรับแผงติดชิดหลังคา

- ผลของ $T_{min}$ ไม่น้อย: ถ้าเปลี่ยนจาก 10 °C เป็น 0 °C แผงตัวอย่างมี $V_{oc,max}$ 55.5 V และอินเวอร์เตอร์ 600 V ยังรับได้ 10 แผง (จาก 11) — ในภาคเหนือต้องคิดค่านี้จริงจัง

อย่าเผื่อด้านบนน้อยเกินไป แรงดันเกิน $V_{dc,max}$ แม้เพียงไม่กี่นาทีตอนเช้าก็ทำให้ตัวเก็บประจุหรือสวิตช์ด้านเข้าเสียหายได้ และผู้ผลิตจะไม่รับประกัน บางรายแนะนำให้เผื่ออีก 2–3 % สำหรับ tolerance และแสงที่สูงกว่า 1,000 W/m² จากเมฆสะท้อน (cloud enhancement)

## ขีดจำกัดกระแส: สตริงขนานต่อ MPPT พื้นฐาน

D6 Parallel strings per MPPT จำนวนสตริงขนานต่อ MPPT

$$N_p \le \left\lfloor \frac{I_{MPPT,max}}{I_{mp}} \right\rfloor \qquad 1.25\,N_p\,I_{sc} \le I_{sc,max}$$

ตัวคูณ 1.25 เผื่อแสงที่สูงกว่า STC (cloud enhancement, albedo) และกระแสด้านหลังของแผงสองหน้า ข้อกำหนดของ IEC 62548 ใช้ตัวคูณนี้กับการเลือกสายและฟิวส์ด้วย ถ้า $N_p I_{mp}$ เกิน $I_{MPPT,max}$ เล็กน้อย อินเวอร์เตอร์จะจำกัดกระแสเอง (เสียพลังงานแต่ไม่พัง) แต่ถ้า $I_{sc}$ เกิน $I_{sc,max}$ อาจเสียหายเมื่อเกิดความผิดพร่องภายใน

แผงกระแสสูงกับอินเวอร์เตอร์รุ่นเก่า: แผง 182/210 mm มี $I_{mp}$ 13–18 A อินเวอร์เตอร์รุ่นเก่ารับได้ 11–13 A ต่อ MPPT จึงต้องตรวจทุกครั้ง อินเวอร์เตอร์รุ่นปัจจุบันจำนวนมากรองรับ 16–20 A ต่อสตริงแล้ว

## DC/AC ratio และ clipping กลาง

D7 DC/AC ratio อัตราส่วนกำลังแผงต่อพิกัดอินเวอร์เตอร์

$$r_{DC/AC} = \frac{N_s N_p P_{STC}}{P_{AC,rated}}$$

แผงในไทยแทบไม่เคยจ่ายกำลังถึง STC เพราะอุณหภูมิ ฝุ่น และการสูญเสียในสาย กำลังสูงสุดจริงช่วงเที่ยงจึงอยู่ราว 75–85 % ของ $P_{STC}$ การใช้แผงมากกว่าพิกัดอินเวอร์เตอร์ (oversizing) ทำให้อินเวอร์เตอร์ทำงานใกล้พิกัดนานขึ้น ได้พลังงานเช้าเย็นมากขึ้น และต้นทุนต่อหน่วยลดลง เมื่อกำลัง DC เกินพิกัด อินเวอร์เตอร์จะเลื่อนจุดทำงานออกจาก MPP เพื่อจำกัดกำลัง (clipping)

| DC/AC | clipping ต่อปีในไทย (ประมาณ) | ใช้เมื่อ |

| 1.0–1.1 | ~0 % | สัญญาจำกัดกำลังส่งออกตามพิกัด kW แผง |

| 1.1–1.3 | 0.2–2 % | บ้านและอาคารทั่วไป (แนะนำ) |

| 1.3–1.5 | 2–6 % | หลังคาตะวันออก-ตะวันตก ระบบที่ขนาดอินเวอร์เตอร์ถูกจำกัดด้วยสัญญาหรือหม้อแปลง |

D8 Minimum voltage for full power แรงดันต่ำสุดที่ยังจ่ายเต็มพิกัด

$$V_{full,min} \approx \frac{P_{AC,rated}}{\eta_{inv}\,\sum I_{MPPT,max}}$$

ถ้าแรงดันสตริงตอนร้อนต่ำกว่า $V_{full,min}$ อินเวอร์เตอร์ถูกจำกัดด้วยกระแส ไม่สามารถจ่ายเต็มพิกัด แม้แสงมาก — เกิดบ่อยในระบบที่สตริงสั้นเกินไป

## เครื่องคำนวณสตริง

ใส่ค่าจากดาต้าชีตแผงและอินเวอร์เตอร์ เครื่องจะคำนวณช่วงจำนวนแผงที่ใช้ได้ แล้วตรวจแบบที่คุณเลือกทีละเงื่อนไข (✓/✗) ค่าเริ่มต้นคือตัวอย่าง D-1

## ตัวอย่างออกแบบ 3 ขนาด กลาง

ทุกตัวอย่างใช้แผง 580 Wp ($V_{oc}$ 52.2 V, $V_{mp}$ 43.4 V, $I_{sc}$ 14.10 A, $I_{mp}$ 13.37 A, β = −0.25, γ = −0.29, α = +0.045 %/°C) $T_{min}$ = 10 °C $T_{c,max}$ = 70 °C จึงได้ $V_{oc,max}$ = 54.16 V $V_{mp,min}$ = 36.86 V $V_{mp}(T_{min})$ = 45.58 V (ใช้ $\beta_{V_{mp}} = -0.335$ %/°C)

ตัวอย่าง D-1

### บ้าน: อินเวอร์เตอร์ไฮบริด 5 kW 1 เฟส

$V_{dc,max}$ 600 V · MPPT 120–550 V · 2 MPPT · 16 A/MPPT · $I_{sc,max}$ 22 A/MPPT

- D2: $N_{s,max} = \lfloor 600/54.16 \rfloor = 11$

- D4: $N_{s,min} = \lceil 120/36.86\rceil = 4$ · D5: $\lfloor 550/45.58 \rfloor = 12$ → ใช้ได้ 4–11 แผงต่อสตริง

- D6: $\lfloor 16/13.37 \rfloor = 1$ สตริงต่อ MPPT · $1.25 \times 14.1 = 17.6 \le 22$ ✓

- เลือก 5 แผง × 2 สตริง (สตริงละ MPPT) = 10 แผง = 5.80 kWp → DC/AC = 1.16 ✓

- ตรวจ: $V_{oc}$ สตริงตอนหนาว 270.8 V ≤ 600 ✓ · $V_{mp}$ ตอนร้อน 184.3 V ≥ 120 ✓ · D8: $5000/(0.97 \times 32) = 161$ V ≤ 184 ✓

- ข้อสังเกต: ถ้าหลังคามีสองทิศ ใช้สตริงละทิศ แต่ละ MPPT ทำงานอิสระ ถ้าทิศเดียว อาจเลือก 10 แผงสตริงเดียว (Voc 541.6 V) ได้แรงดันใกล้ rated DC voltage มากกว่า แต่เหลือ MPPT ว่างหนึ่งตัว และเงาบังส่งผลทั้งสตริง

ตัวอย่าง D-2

### บ้านใหญ่/ร้านค้า: อินเวอร์เตอร์ 10 kW 3 เฟส

$V_{dc,max}$ 1,100 V · MPPT 160–1,000 V · 2 MPPT · 16 A/MPPT

- $N_{s,max} = \lfloor 1100/54.16 \rfloor = 20$ · $N_{s,min} = \lceil 160/36.86 \rceil = 5$ · ขอบบน MPPT $\lfloor 1000/45.58\rfloor = 21$

- เลือก 11 แผง × 2 สตริง = 22 แผง = 12.76 kWp → DC/AC = 1.28

- ตรวจ: $V_{oc}$ ตอนหนาว 595.7 V ✓ · $V_{mp}$ ตอนร้อน 405.4 V ✓ · $V_{mp}$ ตอนหนาว 501.4 V ✓ (ใกล้ rated DC voltage ของอินเวอร์เตอร์ 3 เฟสส่วนใหญ่ ≈ 600 V)

ตัวอย่าง D-3

### โรงงาน: อินเวอร์เตอร์ 100 kW

$V_{dc,max}$ 1,100 V · MPPT 200–1,000 V · 10 MPPT · 2 สตริงต่อ MPPT · 32 A/MPPT · $I_{sc,max}$ 40 A/MPPT · เป้า DC/AC ≈ 1.25

- เลือก 18 แผงต่อสตริง: $V_{oc}$ ตอนหนาว $18 \times 54.16 = 974.8$ V ≤ 1,100 ✓ (เผื่อ 11 %) · $V_{mp}$ ตอนร้อน 663.4 V ✓ · ตอนหนาว 820.5 V ✓

- แผงที่ต้องการ: $1.25 \times 100/0.58 \approx 216$ แผง = 12 สตริง × 18 = 216 แผง = 125.3 kWp → DC/AC = 1.25

- กระแสต่อ MPPT ที่มี 2 สตริง: $2 \times 13.37 = 26.7$ A ≤ 32 ✓ · $1.25 \times 2 \times 14.1 = 35.3$ A ≤ 40 ✓

- 12 สตริงบน 10 MPPT: 2 MPPT รับ 2 สตริง อีก 8 MPPT รับ 1 สตริง — ทุกสตริงใน MPPT เดียวกันต้องทิศเดียวกันและยาวเท่ากัน

- สตริงยาวทำให้กระแส DC ต่ำ สายเล็กลง แรงดันตกน้อย (ดู สายไฟ) แต่ต้องใช้อุปกรณ์ DC พิกัด 1,000–1,100 V ทั้งหมด

## กฎการจัดสตริงที่ใช้จริง

- แผงในสตริงเดียวกัน: รุ่นเดียวกัน ทิศเดียวกัน มุมเอียงเดียวกัน เงาใกล้เคียงกัน

- สตริงที่ขนานใน MPPT เดียวกัน: จำนวนแผงเท่ากันและทิศเดียวกัน

- สตริงต่างทิศหรือต่างความยาว: แยก MPPT

- เงาบังบางแผงเป็นประจำ: รวมแผงที่มีเงาไว้ในสตริงเดียว อย่ากระจายไปทุกสตริง หรือใช้ optimizer เฉพาะแผงนั้น

- เดินสาย + และ − ของสตริงคู่กันไป (leap-frog / ไม่ให้เกิดวงรอบ) ลดพื้นที่วงลูปเพื่อลดแรงดันเหนี่ยวนำจากฟ้าผ่า

- ระบบใหญ่: ออกแบบให้สตริงยาวเท่ากันทั้งโครงการ ใช้ combiner box หรือ string inverter กระจายตามโซน

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- Clipping loss แบบรายชั่วโมง คำนวณจากข้อมูล POA รายชั่วโมงหรือราย 1–5 นาที (ข้อมูลรายชั่วโมงประเมิน clipping ต่ำเกินจริงเมื่อเมฆผ่านเร็ว)

- Optimal DC/AC ratio แก้ปัญหาเชิงเศรษฐศาสตร์: ต้นทุนแผงส่วนเพิ่มเทียบพลังงานส่วนเพิ่ม โดยมีข้อจำกัดของสัญญาและ grid code

- สายยาวกับแรงดันสูง 1,500 V ในโซลาร์ฟาร์ม ลดจำนวน combiner และต้นทุนสาย แต่ต้องออกแบบฉนวนและ PID

- ผลของ $I_{sc}$ ที่เพิ่มจากด้านหลังของแผงสองหน้า และ cloud enhancement ที่วัดได้ถึง 1,400–1,600 W/m² ในเขตร้อนช่วงสั้น ๆ ต่อการเลือกฟิวส์และอินเวอร์เตอร์

## คำถามที่พบบ่อย

ต่อแผงโซลาร์อนุกรมได้สูงสุดกี่แผง?
หาร Vdc สูงสุดของอินเวอร์เตอร์ด้วย Voc ของแผงที่อุณหภูมิต่ำสุดของพื้นที่ แล้วปัดลง เช่น อินเวอร์เตอร์ 600 V แผง Voc 52.2 V β −0.25 %/°C ที่ 10 °C Voc เพิ่มเป็น 54.2 V ต่อได้สูงสุด 11 แผง ต้องใช้ Voc ตอนหนาวเพราะแรงดันสูงที่สุดเกิดตอนเช้าที่อากาศเย็นและแผงยังไม่ร้อน

DC/AC ratio ควรเป็นเท่าไร?
สำหรับประเทศไทยนิยม 1.1–1.3 คือแผงใหญ่กว่าพิกัดอินเวอร์เตอร์ 10–30 % เพราะแผงแทบไม่เคยจ่ายถึงพิกัด STC จากอุณหภูมิและการสูญเสีย การสูญเสียจากการตัดยอด (clipping) ที่ 1.2–1.3 มักไม่เกิน 1–2 % แต่ได้พลังงานช่วงเช้าเย็นเพิ่ม ต้องไม่เกินค่าที่ผู้ผลิตอินเวอร์เตอร์อนุญาตและเงื่อนไขของการไฟฟ้า

แผงสองทิศต่อเข้า MPPT เดียวกันได้ไหม?
ไม่ควร สตริงที่ขนานกันต้องมีแรงดัน MPP ใกล้กัน ถ้าทิศต่างกัน แสงและอุณหภูมิต่างกัน จุด MPP ไม่ตรงกันทำให้เสียพลังงาน ให้แยกแต่ละทิศไปคนละ MPPT หรือใช้ optimizer ถ้าจำเป็นต้องรวม ต้องเป็นสตริงจำนวนแผงเท่ากันและยอมรับการสูญเสีย

## FAQ

**ต่อแผงโซลาร์อนุกรมได้สูงสุดกี่แผง?**
หาร Vdc สูงสุดของอินเวอร์เตอร์ด้วย Voc ของแผงที่อุณหภูมิต่ำสุดของพื้นที่ แล้วปัดลง เช่น อินเวอร์เตอร์ 600 V แผง Voc 52.2 V β −0.25 %/°C ที่ 10 °C Voc เพิ่มเป็น 54.2 V ต่อได้สูงสุด 11 แผง ต้องใช้ Voc ตอนหนาวเพราะแรงดันสูงที่สุดเกิดตอนเช้าที่อากาศเย็นและแผงยังไม่ร้อน

**DC/AC ratio ควรเป็นเท่าไร?**
สำหรับประเทศไทยนิยม 1.1–1.3 คือแผงใหญ่กว่าพิกัดอินเวอร์เตอร์ 10–30 % เพราะแผงแทบไม่เคยจ่ายถึงพิกัด STC จากอุณหภูมิและการสูญเสีย การสูญเสียจากการตัดยอด (clipping) ที่ 1.2–1.3 มักไม่เกิน 1–2 % แต่ได้พลังงานช่วงเช้าเย็นเพิ่ม ต้องไม่เกินค่าที่ผู้ผลิตอินเวอร์เตอร์อนุญาตและเงื่อนไขของการไฟฟ้า

**แผงสองทิศต่อเข้า MPPT เดียวกันได้ไหม?**
ไม่ควร สตริงที่ขนานกันต้องมีแรงดัน MPP ใกล้กัน ถ้าทิศต่างกัน แสงและอุณหภูมิต่างกัน จุด MPP ไม่ตรงกันทำให้เสียพลังงาน ให้แยกแต่ละทิศไปคนละ MPPT หรือใช้ optimizer ถ้าจำเป็นต้องรวม ต้องเป็นสตริงจำนวนแผงเท่ากันและยอมรับการสูญเสีย

---

# ระบบโซลาร์ On-grid Off-grid Hybrid และการขนานไฟกับ กฟภ. กฟน.

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/system-types/
Updated: 2026-10-13
Summary: เปรียบเทียบระบบโซลาร์เซลล์ on-grid (grid-tie) off-grid hybrid และ DC ตรง DC-coupled กับ AC-coupled micro-inverter และ optimizer zero export กันไฟย้อน net billing สมดุลพลังงาน self-consumption self-sufficiency ขั้นตอนขออนุญาตขนานไฟ กฟภ. กฟน. แจ้ง กกพ. และท้องถิ่น และวิธีเลือกระบบให้ตรงกับการใช้ไฟ

// บทที่ 16.4 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · System Types & Grid Connection

# ระบบโซลาร์ On-grid Off-grid Hybrid และการขนานไฟกับ กฟภ. กฟน.

การนำไฟจากแผงมาใช้มีได้หลายสถาปัตยกรรม และแต่ละแบบเหมาะกับรูปแบบการใช้ไฟต่างกัน การเลือกผิดตั้งแต่ขั้นนี้ทำให้ทั้งโครงการไม่คุ้ม เช่น ใส่แบตเตอรี่ให้บ้านที่ใช้ไฟแค่กลางวัน หรือติด on-grid ให้บ้านที่ต้องการไฟสำรองตอนไฟดับ

สรุปใน 30 วินาที

- On-grid: ถูกที่สุด คืนทุนเร็ว แต่ไฟดับแล้วดับด้วย

- Hybrid: on-grid + แบต + ไฟสำรอง แพงขึ้น คุ้มเมื่อใช้ไฟกลางคืนมากหรือไฟดับบ่อย

- Off-grid: ไม่มีการไฟฟ้า แบตต้องพอทั้งกลางคืนและวันฝนตก ออกแบบเผื่อมาก

- ต่อขนานกับการไฟฟ้าทุกกรณีต้องใช้อินเวอร์เตอร์ในรายชื่อที่การไฟฟ้ายอมรับ และแจ้ง/ขออนุญาตตามระเบียบ

## เปรียบเทียบระบบหลัก พื้นฐาน

| | On-grid (Grid-tie) | Hybrid | Off-grid | DC ตรง |

| ต่อกับการไฟฟ้า | ต่อ | ต่อ | ไม่ต่อ | ไม่ต่อ |

| แบตเตอรี่ | ไม่มี | มี | มี (ขนาดใหญ่) | ไม่มี หรือใช้ถังน้ำแทน |

| ไฟดับ | ระบบหยุด | จ่ายโหลดสำรองต่อ | ไม่เกี่ยว | ไม่เกี่ยว |

| อุปกรณ์หลัก | อินเวอร์เตอร์ on-grid | อินเวอร์เตอร์ไฮบริด + แบต + BMS | อินเวอร์เตอร์ off-grid / ชาร์จคอนโทรลเลอร์ + แบต (+ เครื่องปั่นไฟ) | คอนโทรลเลอร์ปั๊ม / ตัวแปลง DC |

| ราคาต่อ kWp (เทียบ) | 1× | 1.6–2.5× | 2–3× | 0.7–1.2× |

| ประสิทธิภาพรวม | สูงสุด (96–98 % ที่อินเวอร์เตอร์) | สูง ยกเว้นไฟที่ผ่านแบต | ต่ำกว่า (ไฟเข้าแบตแล้วออก) | สูง |

| เหมาะกับ | บ้าน ร้าน โรงงาน ที่ใช้ไฟกลางวัน | บ้านใช้ไฟกลางคืน ไฟดับบ่อย ต้องการความมั่นคง | เกาะ ดอย สวน ไร่ สถานีสื่อสาร | ปั๊มน้ำเกษตร พัดลม DC ไฟส่องสว่าง |

### รูปแบบย่อยที่พบบ่อย

- String inverter แผงหลายแผงต่ออนุกรมเป็นสตริงเข้าอินเวอร์เตอร์ตัวเดียว ราคาต่อวัตต์ต่ำ บำรุงรักษาง่าย

- Micro-inverter อินเวอร์เตอร์เล็กต่อแผง 1–4 แผง แรงดัน DC ต่ำ (< 60–80 V) ปลอดภัยเรื่องไฟไหม้ DC ทนเงาบังดี แต่ราคาสูงและอุปกรณ์อยู่บนหลังคาร้อน

- Power optimizer DC-DC ต่อแผง ทำ MPPT ระดับแผง ส่งไปอินเวอร์เตอร์สตริง มีฟังก์ชัน rapid shutdown

- Zero export / Export limit ระบบ on-grid หรือ hybrid ที่มีมิเตอร์หรือ CT ที่จุดต่อ ลดกำลังเมื่อจะมีไฟย้อนออก ใช้เมื่อไม่ได้ขายไฟหรือหม้อแปลงรับไฟย้อนไม่ได้

- Off-grid + เครื่องกำเนิดไฟฟ้า (PV-diesel hybrid) ใช้เมื่อพลังงานแสงไม่พอในบางฤดู แบตเล็กลงได้มาก

## สมดุลพลังงาน: ใช้เอง ส่งออก ซื้อเข้า กลาง

ทุกช่วงเวลา กำลังจากแผง โหลด และการไฟฟ้า ต้องสมดุลกันที่ตู้ไฟ ถ้ารวมทั้งปี:

S1 Energy balance at the meter สมดุลพลังงานที่จุดต่อ

$$E_{PV} = E_{self} + E_{export} \qquad E_{load} = E_{self} + E_{import}$$

S2 Self-consumption and self-sufficiency อัตราการใช้เองและการพึ่งพาตนเอง

$$SCR = \frac{E_{self}}{E_{PV}} \qquad SSR = \frac{E_{self}}{E_{load}}$$

S3 Bill saving under net billing ผลประหยัดค่าไฟแบบ net billing

$$\text{Saving} = E_{self}\,c_{buy} + E_{export}\,c_{sell} \qquad c_{sell} ภายใต้ net billing ไฟที่ใช้เองมีค่าเท่าค่าไฟที่ไม่ต้องซื้อ (≈ 4–4.5 บาท/หน่วยรวม Ft และ VAT) แต่ไฟส่วนเกินที่ส่งออกได้ราคารับซื้อต่ำกว่า (โครงการโซลาร์ภาคประชาชนช่วงปี 2567–2568 ใช้ 2.20 บาท/หน่วย สัญญา 10 ปี) ผลคือ ทุกหน่วยที่ใช้เองมีค่าเกือบสองเท่าของหน่วยที่ขาย การออกแบบที่ดีจึงพยายามให้ SCR สูง (ดู เลือกขนาดจากบิล)

ตัวอย่าง S-1

### บ้านใช้ไฟ 600 หน่วย/เดือน ติด 5 kWp

ระบบผลิต 600 kWh/เดือน บ้านใช้ไฟช่วงมีแดด 270 kWh/เดือน ค่าไฟ 4.2 บาท/หน่วย ราคารับซื้อ 2.2 บาท/หน่วย

- $E_{self} = 270$ kWh (ใช้ได้ไม่เกินโหลดกลางวัน) · $E_{export} = 600 - 270 = 330$ kWh

- Saving = $270(4.2) + 330(2.2) = 1{,}134 + 726 = 1{,}860$ บาท/เดือน

- SCR = 270/600 = 45 % · SSR = 270/600 = 45 %

- ถ้าติดแค่ 2.9 kWp (ผลิต ≈ 326 kWh ใช้เองได้ ≈ 270) ประหยัด ≈ 1,134 + 123 = 1,257 บาท ด้วยเงินลงทุนแค่ 58 % — ผลตอบแทนต่อบาทดีกว่า แม้ประหยัดรวมน้อยกว่า

## Hybrid แบบ DC-coupled กับ AC-coupled กลาง

S4 Efficiency of a conversion chain ประสิทธิภาพของห่วงโซ่การแปลง

$$\eta_{chain} = \prod_k \eta_k$$

| | DC-coupled | AC-coupled |

| เส้นทาง PV → แบต → โหลด AC | MPPT DC-DC (0.98) → แบต (0.95) → อินเวอร์เตอร์ (0.96) | PV inverter (0.97) → battery inverter ชาร์จ (0.96) → แบต (0.95) → ดิสชาร์จ (0.96) |

| ประสิทธิภาพรวม | $0.98 \times 0.95 \times 0.96 \approx 0.89$ | $0.97\times0.96\times0.95\times0.96 \approx 0.85$ |

| เหมาะกับ | ระบบใหม่ทั้งชุด | เพิ่มแบตให้ระบบ on-grid ที่มีอยู่ ระบบใหญ่หลายอินเวอร์เตอร์ |

| ข้อจำกัด | ขนาดแผงและแบตผูกกับอินเวอร์เตอร์ตัวเดียว | อุปกรณ์มากขึ้น ต้องประสานการควบคุม (frequency shifting ในโหมด off-grid) |

ประสิทธิภาพต่างกันราว 4 % เฉพาะพลังงานที่ผ่านแบตเตอรี่ ส่วนพลังงานที่ใช้ตรงช่วงกลางวันผ่านการแปลงขั้นเดียวในทั้งสองแบบ

## ทำไมระบบ on-grid ต้องดับเมื่อไฟดับ พื้นฐาน

ถ้าอินเวอร์เตอร์ยังจ่ายไฟเข้าสายที่การไฟฟ้าตัดออกเพื่อซ่อม ช่างที่คิดว่าสายไม่มีไฟจะถูกไฟดูด ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า islanding มาตรฐานจึงกำหนดให้อินเวอร์เตอร์ตรวจจับและตัดตัวเองภายใน 2 วินาที (IEC 62116, IEEE 1547) ด้วยการเฝ้าดูแรงดันและความถี่ (passive) ร่วมกับการรบกวนเล็กน้อยเพื่อดูการตอบสนอง (active) รายละเอียดอยู่ที่ อินเวอร์เตอร์โซลาร์

ระบบ hybrid จ่ายโหลดสำรองได้เพราะมี สวิตช์ถ่ายโอน (transfer relay) ในตัวที่แยกวงจรโหลดสำรองออกจากการไฟฟ้าก่อน แล้วจึงสร้างไฟ AC เองจากแบตเตอรี่ — วงจรสำรองต้องเดินสายแยกเป็นตู้โหลดสำรอง (backup/EPS panel) ไม่ใช่ทั้งบ้าน

## ขั้นตอนขออนุญาตขนานไฟในประเทศไทย พื้นฐาน

ขั้นตอนโดยทั่วไปของระบบบนหลังคาขนาดเล็ก (สรุปเพื่อให้เห็นภาพรวม รายละเอียด เอกสาร และค่าธรรมเนียมเปลี่ยนตามประกาศ ตรวจเว็บไซต์ของการไฟฟ้าและ กกพ. ฉบับล่าสุดก่อนยื่นทุกครั้ง):

- ตรวจโครงสร้างหลังคา ให้วิศวกรโยธาประเมินและรับรองความแข็งแรง ระบบบนหลังคาที่พื้นที่และน้ำหนักไม่เกินเกณฑ์ที่กฎกระทรวงกำหนดสามารถใช้วิธีแจ้งต่อเจ้าพนักงานท้องถิ่นแทนการขออนุญาตดัดแปลงอาคาร

- ยื่นคำขอขนานไฟ กับการไฟฟ้าส่วนภูมิภาค (กฟภ.) หรือการไฟฟ้านครหลวง (กฟน.) ตามพื้นที่ ผ่านระบบออนไลน์ แนบแบบ single-line diagram รายการอุปกรณ์ ใบรับรองวิศวกรไฟฟ้า และใบรับรองโครงสร้าง

- แจ้ง กกพ. (สำนักงานคณะกรรมการกำกับกิจการพลังงาน) เรื่องการยกเว้นใบอนุญาตผลิตไฟฟ้าสำหรับระบบขนาดเล็ก

- ติดตั้ง ด้วยอินเวอร์เตอร์ที่อยู่ในรายชื่อที่ผ่านการทดสอบของการไฟฟ้า อุปกรณ์ตามมาตรฐาน และช่างหรือวิศวกรที่มีใบอนุญาต

- การไฟฟ้าตรวจและทดสอบ (เช่น ทดสอบการตัดเมื่อไฟดับ) เปลี่ยนมิเตอร์เป็นแบบวัดสองทาง (ถ้าขายไฟ) แล้วจึงเริ่มขนานไฟและนับวันซื้อขาย

ห้ามขนานไฟก่อนได้รับอนุญาต การต่อระบบ on-grid โดยไม่แจ้งการไฟฟ้า อาจผิดระเบียบ ถูกตัดไฟ หรือมีปัญหากับประกันภัยเมื่อเกิดเหตุ ระบบ zero export ก็ยังเป็นการต่อขนานและต้องปฏิบัติตามระเบียบ

### โครงการขนาดใหญ่

- ระบบหลังคาโรงงานและอาคารพาณิชย์ขนาดหลายร้อย kW ถึง MW: ศึกษาการเชื่อมต่อ (grid impact study) ข้อกำหนดการเชื่อมต่อระบบโครงข่ายไฟฟ้า (grid code) ระบบป้องกันที่จุดต่อ และอาจต้องขอรับใบอนุญาตผลิตไฟฟ้า

- โรงไฟฟ้า (โซลาร์ฟาร์ม) ขายไฟเข้าระบบ: เข้าร่วมตามประกาศรับซื้อไฟฟ้าของรัฐ (PPA) ใบอนุญาตผลิตไฟฟ้า การใช้ที่ดิน รายงานสิ่งแวดล้อม (CoP/EIA ตามขนาด) และสัญญาซื้อขายไฟฟ้า (ดู โซลาร์ฟาร์ม)

- รูปแบบธุรกิจที่พบบ่อย: ลงทุนเอง (CAPEX), เช่าระบบ, Private PPA (ผู้ลงทุนติดตั้งให้แล้วขายไฟในราคาต่ำกว่าการไฟฟ้า), ESCO

## เลือกระบบให้ตรงกับการใช้ไฟ

| ถ้า… | เลือก | เหตุผล |

| ใช้ไฟกลางวันมาก (แอร์ ร้าน สำนักงาน โรงงานกะกลางวัน) | On-grid ขนาดพอดีโหลดกลางวัน | ใช้เองเกือบ 100 % คืนทุน 4–6 ปี |

| ใช้ไฟกลางคืนเป็นหลัก ไม่ค่อยมีคนอยู่กลางวัน | On-grid ขนาดเล็ก หรือ Hybrid | แบตเตอรี่ช่วยย้ายพลังงาน แต่คืนทุนนานขึ้น |

| ไฟดับบ่อย มีอุปกรณ์สำคัญ (ตู้แช่ ปั๊มออกซิเจนบ่อปลา เครื่องมือแพทย์) | Hybrid + ตู้โหลดสำรอง | มูลค่าความมั่นคงสูงกว่าค่าไฟ |

| ไม่มีสายการไฟฟ้า หรือค่าเดินสายแพงมาก | Off-grid (+ เครื่องปั่นไฟสำรอง) | ถูกกว่าการพาดสายหลายกิโลเมตร |

| ใช้ไฟเพื่อสูบน้ำช่วงกลางวัน | ปั๊มโซลาร์ DC / VFD ต่อตรง | ถังน้ำเก็บพลังงานแทนแบต (ดู เกษตร) |

| หม้อแปลงหรือสัญญาไม่ให้ไฟย้อน | On-grid / Hybrid + zero export | ใช้เองล้วน ไม่ส่งออก |

| หลังคาหลายทิศ มีเงามาก | Micro-inverter หรือ optimizer | MPPT ระดับแผง |

## ประเด็นระดับปริญญาโท ขั้นสูง

- Hosting capacity ของสายจำหน่ายแรงต่ำ: แรงดันเกินช่วงเที่ยง (voltage rise) เมื่อ PV หนาแน่น วิเคราะห์ด้วย load flow แก้ด้วย Volt-VAR, Volt-Watt, OLTC หรือแบตเตอรี่ชุมชน

- Virtual power plant (VPP) และ demand response รวมระบบ hybrid หลายพันหลังเป็นโรงไฟฟ้าเสมือน

- Microgrid ที่สลับโหมด grid-connected/islanded อย่างราบรื่น grid-forming inverter และการแบ่งโหลดด้วย droop control

- Peer-to-peer energy trading ระหว่างบ้าน ทดลองในไทยหลายพื้นที่ ประเด็นด้านกฎหมายและการคิดค่าผ่านสาย (wheeling charge)

## คำถามที่พบบ่อย

ระบบ On-grid ใช้ไฟได้ตอนไฟดับไหม?
ไม่ได้ อินเวอร์เตอร์ on-grid ต้องหยุดจ่ายไฟภายในเวลาที่มาตรฐานกำหนดเมื่อไฟการไฟฟ้าดับ (anti-islanding) เพื่อความปลอดภัยของช่างที่ซ่อมสายส่ง ถ้าต้องการไฟสำรองต้องใช้ระบบ hybrid ที่มีแบตเตอรี่และช่องจ่ายโหลดสำรอง (backup/EPS)

Zero export คืออะไร ต้องขออนุญาตการไฟฟ้าไหม?
Zero export คือการควบคุมไม่ให้ไฟจากโซลาร์ไหลย้อนออกสู่ระบบการไฟฟ้า โดยใช้มิเตอร์หรือ CT วัดกำลังที่จุดต่อแล้วลดกำลังอินเวอร์เตอร์ แม้ไม่ขายไฟ ระบบที่ต่อขนานกับการไฟฟ้ายังต้องแจ้งหรือขออนุญาตตามระเบียบของ กฟภ. หรือ กฟน. และใช้อินเวอร์เตอร์ที่อยู่ในรายชื่อที่การไฟฟ้ายอมรับ

Hybrid แบบ DC-coupled กับ AC-coupled ต่างกันอย่างไร?
DC-coupled ต่อแผงและแบตเตอรี่เข้าอินเวอร์เตอร์ไฮบริดตัวเดียว ชาร์จแบตจากแผงโดยตรง ประสิทธิภาพสูงกว่าและถูกกว่าสำหรับระบบใหม่ AC-coupled เพิ่มแบตเตอรี่พร้อมอินเวอร์เตอร์แบตเข้าทางฝั่ง AC เหมาะกับการเพิ่มแบตให้ระบบ on-grid เดิม แต่พลังงานผ่านการแปลงหลายขั้นกว่า

## FAQ

**ระบบ On-grid ใช้ไฟได้ตอนไฟดับไหม?**
ไม่ได้ อินเวอร์เตอร์ on-grid ต้องหยุดจ่ายไฟภายในเวลาที่มาตรฐานกำหนดเมื่อไฟการไฟฟ้าดับ (anti-islanding) เพื่อความปลอดภัยของช่างที่ซ่อมสายส่ง ถ้าต้องการไฟสำรองต้องใช้ระบบ hybrid ที่มีแบตเตอรี่และช่องจ่ายโหลดสำรอง (backup/EPS)

**Zero export คืออะไร ต้องขออนุญาตการไฟฟ้าไหม?**
Zero export คือการควบคุมไม่ให้ไฟจากโซลาร์ไหลย้อนออกสู่ระบบการไฟฟ้า โดยใช้มิเตอร์หรือ CT วัดกำลังที่จุดต่อแล้วลดกำลังอินเวอร์เตอร์ แม้ไม่ขายไฟ ระบบที่ต่อขนานกับการไฟฟ้ายังต้องแจ้งหรือขออนุญาตตามระเบียบของ กฟภ. หรือ กฟน. และใช้อินเวอร์เตอร์ที่อยู่ในรายชื่อที่การไฟฟ้ายอมรับ

**Hybrid แบบ DC-coupled กับ AC-coupled ต่างกันอย่างไร?**
DC-coupled ต่อแผงและแบตเตอรี่เข้าอินเวอร์เตอร์ไฮบริดตัวเดียว ชาร์จแบตจากแผงโดยตรง ประสิทธิภาพสูงกว่าและถูกกว่าสำหรับระบบใหม่ AC-coupled เพิ่มแบตเตอรี่พร้อมอินเวอร์เตอร์แบตเข้าทางฝั่ง AC เหมาะกับการเพิ่มแบตให้ระบบ on-grid เดิม แต่พลังงานผ่านการแปลงหลายขั้นกว่า

---

# สายไฟ ฟิวส์ เบรกเกอร์ SPD กราวด์ และการต่อเข้าตู้ไฟ สำหรับระบบโซลาร์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/solar-pv/wiring-protection/
Updated: 2026-10-13
Summary: ออกแบบฝั่ง DC และ AC ของระบบโซลาร์เซลล์ให้ปลอดภัย: ทำไมไฟ DC อันตรายกว่า AC สาย PV1-F H1Z2Z2-K ขั้วต่อ MC4 คำนวณแรงดันตกและขนาดสาย ฟิวส์สตริง gPV เมื่อไรต้องใช้ DC isolator DC-PV2 SPD Type 1 Type 2 RCD Type A Type B เบรกเกอร์ AC กราวด์ equipotential bonding ล่อฟ้า การต่อเข้าตู้ไฟบ้าน AFCI และ rapid shutdown พร้อมเครื่องคำนวณและตัวอย่าง

// บทที่ 16.6 · ออกแบบระบบโซลาร์เซลล์ · Wiring, Protection & Earthing

# สายไฟ ฟิวส์ เบรกเกอร์ SPD กราวด์ และการต่อเข้าตู้ไฟ สำหรับระบบโซลาร์

ไฟไหม้จากระบบโซลาร์เกือบทั้งหมดเริ่มที่ฝั่ง DC: ขั้วต่อหลวม ขั้วต่อต่างยี่ห้อ สายถูกบาดที่ขอบรางยึด หรือใช้อุปกรณ์ AC ตัดวงจร DC หน้านี้รวมการเลือกสาย คำนวณแรงดันตก อุปกรณ์ป้องกันกระแสเกินและแรงดันเกิน กราวด์ และจุดต่อเข้าตู้ไฟ ให้ระบบปลอดภัยตลอด 25 ปี

สรุปใน 30 วินาที

- ฝั่ง DC: สาย PV1-F/H1Z2Z2-K · ขั้วต่อยี่ห้อเดียวกันย้ำด้วยคีมที่ถูกต้อง · สวิตช์ DC-PV2 · ฟิวส์ gPV เมื่อขนาน ≥ 3 สตริง

- ออกแบบกระแสฝั่ง DC ด้วย $1.25\,I_{sc}$ · แรงดันตก DC ≤ 1–1.5 % · AC ≤ 1–2 %

- SPD ทั้งฝั่ง DC และ AC · กราวด์โครงและกรอบแผงด้วยสาย ≥ 6 mm²

- ฝั่ง AC: เบรกเกอร์แยกสำหรับอินเวอร์เตอร์ · RCD ตามที่ผู้ผลิตกำหนด (Type B ถ้าอินเวอร์เตอร์ไม่มีการแยกที่เพียงพอ) · ป้ายเตือนแหล่งจ่ายสองทาง

## ทำไมไฟ DC จากแผงอันตรายเป็นพิเศษ พื้นฐาน

- ปิดไม่ได้: ตราบใดที่มีแสง แผงมีแรงดันเสมอ ตัดเบรกเกอร์ที่ตู้ไฟแล้วสาย DC บนหลังคายังมีไฟหลายร้อยโวลต์

- อาร์กไม่ดับเอง: กระแส AC ผ่านศูนย์ 100 ครั้งต่อวินาที อาร์กจึงดับเองได้ แต่อาร์ก DC ที่แรงดัน 300–1,000 V ต่อเนื่องได้นานจนวัสดุรอบข้างลุกไหม้

- กระแสลัดวงจรต่ำ: $I_{sc}$ สูงกว่ากระแสใช้งานเพียง ~5 % อุปกรณ์ป้องกันกระแสเกินทั่วไปจึงมองไม่เห็นความผิดพร่องหลายชนิด การป้องกันต้องอาศัยการออกแบบและติดตั้งที่ถูกต้องเป็นหลัก

- อยู่กลางแจ้ง 25 ปี: UV ความร้อน 70–80 °C บนหลังคา ฝน หนู และการขยายตัวของโครงโลหะ

## ผังวงจรเส้นเดียว (Single-Line Diagram) ของระบบบ้าน พื้นฐาน

สตริงแผง→(ฟิวส์ gPV ถ้าจำเป็น)→DC isolator DC-PV2→SPD DC Type 2→อินเวอร์เตอร์→AC isolator / เบรกเกอร์→SPD AC · RCD (ตามผู้ผลิต)→ตู้ไฟ · มิเตอร์

ใน SLD ต้องระบุ: จำนวนแผงต่อสตริงและจำนวนสตริง $V_{oc,max}$ และ $I_{sc}$ ขนาดและชนิดสายทุกช่วง พิกัดฟิวส์ สวิตช์ SPD เบรกเกอร์ RCD จุดต่อลงดิน และจุดต่อเข้าระบบการไฟฟ้า เป็นเอกสารที่การไฟฟ้าและผู้ตรวจต้องใช้ และเป็นส่วนหนึ่งของเอกสารส่งมอบตาม IEC 62446-1

## สายไฟและขั้วต่อฝั่ง DC พื้นฐาน

- สาย: PV1-F หรือ H1Z2Z2-K (EN 50618 / IEC 62930) ทองแดงฝอยชุบดีบุก ฉนวนสองชั้นทน UV แรงดัน 1,000–1,500 V DC ขนาดที่ใช้บ่อย 4 mm² (สตริง) และ 6–10 mm² (สายยาวหรือรวมสตริง)

- ขั้วต่อ: MC4 หรือที่ “compatible” ต้องเป็น ยี่ห้อและรุ่นเดียวกันทั้งสองฝั่ง (IEC 62852 ทดสอบแบบจับคู่) การเสียบต่างยี่ห้อเป็นสาเหตุอันดับต้นของอาร์กและไฟไหม้ ย้ำหัวด้วยคีมย้ำที่ผู้ผลิตกำหนด ห้ามใช้คีมธรรมดา

- การเดิน: ใช้ท่อหรือรางที่ทน UV ยึดสายไม่ให้ห้อยแตะหลังคา ห้ามรัดสายผ่านขอบคมของราง เว้นห่วงหยดน้ำ (drip loop) ที่จุดเข้าท่อ เดินสาย + และ − คู่กันเพื่อลดพื้นที่วงรอบ

- ภายในอาคาร: เดินในท่อโลหะ แยกจากสาย AC และติดป้าย “สาย DC จากแผงโซลาร์ มีไฟแม้ตัดเบรกเกอร์”

W1 DC voltage drop แรงดันตกในสาย DC (ไป-กลับ)

$$\Delta V = \frac{2\,L\,I\,\rho_T}{A} \qquad \Delta V\% = \frac{\Delta V}{V}\times 100 \qquad A_{min} = \frac{2\,L\,I\,\rho_T}{\Delta V\%_{max}\,V/100}$$

W2 Copper resistivity vs temperature ความต้านทานจำเพาะของทองแดง

$$\rho_T = \rho_{20}\left[1 + 0.00393\,(T-20)\right] \qquad \rho_{20} = 0.01724\ \Omega\,\text{mm}^2/\text{m}$$

W3 AC voltage drop แรงดันตกฝั่ง AC

$$\Delta V_{1\phi} = 2LI\,(R'\cos\varphi + X'\sin\varphi) \qquad \Delta V_{3\phi} = \sqrt{3}\,LI\,(R'\cos\varphi + X'\sin\varphi)$$

$R'$, $X'$ คือความต้านทานและรีแอกแตนซ์ต่อเมตรของสาย อินเวอร์เตอร์จ่ายที่ $\cos\varphi \approx 1$ จึงใช้แค่ส่วน $R'$ ได้ แรงดันตกฝั่ง AC มีผลมากกว่าที่คิด: แรงดันที่ขั้วอินเวอร์เตอร์ = แรงดันกริด + แรงดันตก ถ้าสายจำหน่ายแรงดันสูงอยู่แล้วช่วงเที่ยง อินเวอร์เตอร์จะตัดเพราะแรงดันเกิน (overvoltage trip) ควรให้แรงดันตกฝั่ง AC ≤ 1 % สำหรับระบบบ้าน

ตัวอย่าง W-1

### สายสตริงยาว 30 m: 4 หรือ 6 mm²

สตริง 5 แผง $I_{mp}$ = 13.37 A สายยาวทางเดียว 30 m ทองแดงที่ 70 °C

- $\rho_{70} = 0.01724\left[1+0.00393(50)\right] = 0.02063\ \Omega\,\text{mm}^2/\text{m}$

- 4 mm²: $\Delta V = 2(30)(13.37)(0.02063)/4 = 4.14$ V → $4.14/217 = 1.9\ \%$ ที่ $V_{mp}$ STC และ 2.2 % ตอนร้อน · สูญเสีย 55 W

- 6 mm²: $\Delta V = 2.76$ V → 1.27 % (1.5 % ตอนร้อน) · สูญเสีย 37 W

- เลือก 6 mm² — ต้นทุนสายเพิ่มไม่กี่ร้อยบาท แต่ได้พลังงานคืนราว 18 W ตลอดช่วงแดดจัดไปอีก 25 ปี (ทดลองในเครื่องคำนวณด้านล่าง)

W4 DC design current กระแสที่ใช้เลือกสายและอุปกรณ์ฝั่ง DC

$$I_{design,string} = 1.25\,I_{sc} \qquad I_{design,array} = 1.25\,N_p\,I_{sc}$$

ความสามารถนำกระแส (ampacity) ของสายต้องลดค่าตามอุณหภูมิแวดล้อม (หลังคาร้อน 60–70 °C) และจำนวนสายที่รวมกลุ่มในท่อ ใช้ตารางของผู้ผลิตสายหรือมาตรฐาน วสท./IEC 60364-5-52 แล้วเลือกขนาดที่ผ่านทั้งเงื่อนไขกระแส (W4) และแรงดันตก (W1)

## ฟิวส์สตริง: เมื่อไรต้องมี กลาง

เมื่อสตริงหนึ่งลัดวงจร (เช่น ขั้วต่อทะลุลงโครง) สตริงอื่นที่ขนานอยู่จะดันกระแสย้อนเข้าไป แผงทนกระแสย้อนได้ไม่เกินค่า “maximum series fuse rating” $I_{MOD,OCPR}$ ในดาต้าชีต (เช่น 25–30 A)

W5 String fuse requirement and rating (IEC 62548) เงื่อนไขและพิกัดฟิวส์สตริง

$$\text{ต้องมีฟิวส์เมื่อ } (N_p - 1)\,1.25\,I_{sc} > I_{MOD,OCPR} \qquad 1.5\,I_{sc} ตัวอย่าง W-2

### รวม 3 สตริงเข้า MPPT เดียว

แผง $I_{sc}$ = 14.1 A, maximum series fuse = 30 A

- กระแสย้อนสูงสุด $(3-1)(1.25)(14.1) = 35.3$ A > 30 A → ต้องมีฟิวส์

- ถ้า 2 สตริง: $(2-1)(1.25)(14.1) = 17.6$ A ≤ 30 A → ไม่ต้องมี

- พิกัดฟิวส์: $1.5(14.1) = 21.2 < I_n \le \min(33.8, 30)$ → เลือก 25 A gPV พิกัดแรงดัน ≥ $V_{oc,max}$ ของสตริง ติดทั้งขั้ว + และ −

## สวิตช์ตัดตอน DC (DC isolator) พื้นฐาน

- ใช้สวิตช์ที่ระบุ DC-PV2 ตาม IEC 60947-3 (หรือ DC-PV1 สำหรับงานเบา) แรงดัน ≥ $V_{oc,max}$ กระแส ≥ $1.25 I_{sc} N_p$ ตัดได้ทั้งขั้ว + และ −

- ติดใกล้อินเวอร์เตอร์ (หลายรุ่นมีในตัว) ระบบที่สาย DC ยาวเข้าอาคารควรมีอีกชุดใกล้แผงหรือก่อนเข้าอาคาร

- สวิตช์ DC ในกล่องพลาสติกกลางแดดเป็นจุดเสียบ่อย: เลือก IP65/66 ติดใต้ร่มเงา ติดตั้งให้ทางเข้าสายอยู่ด้านล่าง ใช้เคเบิลแกลนด์ขนาดพอดีสาย

- ห้ามใช้เบรกเกอร์ AC หรือ MCB ที่ไม่ได้ระบุพิกัด DC (และขั้วถูกต้อง สำหรับ DC breaker ที่มีขั้ว) — ใส่กลับขั้วแล้วตัดอาร์กไม่ได้

## อุปกรณ์ป้องกันแรงดันเกิน (SPD) และฟ้าผ่า กลาง

ประเทศไทยมีวันฟ้าคะนองสูง (หลายพื้นที่ > 80–100 วันต่อปี) แผงบนหลังคาเป็นตัวรับแรงดันเหนี่ยวนำจากฟ้าผ่าใกล้ ๆ ได้ดี SPD จึงเป็นอุปกรณ์จำเป็น

| ตำแหน่ง | ชนิด | เลือกอย่างไร |

| ฝั่ง DC ที่อินเวอร์เตอร์ | Type 2 (Type 1+2 ถ้ามีระบบล่อฟ้าและระยะห่างไม่พอ) | $U_{CPV} \ge V_{oc,max}$ ของอาร์เรย์ · $I_{SCPV} \ge 1.25 N_p I_{sc}$ · ตาม IEC 61643-31 |

| ฝั่ง DC ใกล้แผง | Type 2 | เมื่อสาย DC ยาวเกิน ~10 m |

| ฝั่ง AC ที่อินเวอร์เตอร์ / ตู้ไฟ | Type 2 (Type 1+2 ที่ตู้เมนถ้ามีล่อฟ้าหรือสายอากาศ) | $U_c \ge$ 275 V (ระบบ 230/400 V) |

- สายต่อ SPD ลงดินต้องสั้นที่สุด (รวมสองข้าง < 0.5 m) มิฉะนั้นแรงดันตกบนสายเหนี่ยวนำจะทำให้ SPD ไร้ประโยชน์

- อาคารที่มีระบบล่อฟ้า: ติดแผงให้ห่างจากตัวนำล่อฟ้าตามระยะแยก (separation distance) ตาม IEC 62305-3 หรือออกแบบให้อยู่ในพื้นที่ป้องกัน ถ้าไม่ได้ต้องเชื่อมเข้ากับระบบล่อฟ้าและใช้ SPD Type 1

- SPD เป็นวัสดุสิ้นเปลือง ตรวจหน้าต่างแสดงสถานะทุกครั้งที่บำรุงรักษาและหลังพายุฟ้าคะนองรุนแรง

## กราวด์และการประสานศักย์ พื้นฐาน

- ต่อกรอบแผงและโครงยึดลงดิน (equipotential bonding) ด้วยสายทองแดง ≥ 6 mm² (≥ 16 mm² เมื่อเชื่อมกับระบบล่อฟ้า) ใช้ขั้วต่อหรือแหวนกัดผิว (bonding washer/WEEB) ที่เจาะผ่านผิวอโนไดซ์ของกรอบอลูมิเนียม ระวังการกัดกร่อนระหว่างทองแดงกับอลูมิเนียม (ใช้ขั้วต่อ bi-metal หรือสแตนเลส)

- ระบบไฟฟ้าแรงต่ำในไทย ส่วนใหญ่เป็น TN-C-S ต่อสายดินของระบบโซลาร์เข้ากับขั้วดินหลักของอาคารตามมาตรฐานการติดตั้งทางไฟฟ้าของ วสท. และข้อกำหนดของการไฟฟ้า ไม่ตอกหลักดินแยกลอย ๆ ที่ไม่ได้เชื่อมกับระบบหลัก

- ห้ามต่อขั้ว + หรือ − ของแผงลงดิน เว้นแต่ผู้ผลิตแผงและอินเวอร์เตอร์กำหนด (functional earthing สำหรับแผงบางชนิด) อินเวอร์เตอร์ไม่มีหม้อแปลงส่วนใหญ่ต้องการอาร์เรย์แบบลอย (floating) และตรวจความต้านทานฉนวน (Riso) ก่อนเริ่มทำงานทุกเช้า

## ฝั่ง AC และการต่อเข้าตู้ไฟ พื้นฐาน

W6 Inverter AC current and breaker กระแสขาออกและเบรกเกอร์ฝั่ง AC

$$I_{AC,1\phi} = \frac{P_{AC}}{V\cos\varphi} \qquad I_{AC,3\phi} = \frac{P_{AC}}{\sqrt{3}\,V_{LL}\cos\varphi} \qquad I_{n,CB} \ge 1.25\,I_{AC,max}$$

ตัวอย่าง W-3

### เบรกเกอร์สำหรับอินเวอร์เตอร์ 5 kW และ 10 kW

- 5 kW 1 เฟส 230 V: $I = 5000/230 = 21.7$ A → $1.25 \times 21.7 = 27.2$ A → เบรกเกอร์ 32 A 2P (หรือตามค่าสูงสุดที่ผู้ผลิตแนะนำ ใช้ $I_{AC,max}$ จากดาต้าชีตถ้ามี)

- 10 kW 3 เฟส 400 V: $I = 10000/(\sqrt{3}\cdot 400) = 14.4$ A → $1.25 \times 14.4 = 18.0$ A → เบรกเกอร์ 20 A 4P

- สายต้องรับกระแสได้ไม่น้อยกว่าพิกัดเบรกเกอร์ตามวิธีเดินสาย และแรงดันตกตามข้อ W3

- จุดต่อ: ต่อเข้าเบรกเกอร์ย่อยเฉพาะของอินเวอร์เตอร์ในตู้ไฟ (load-side connection) ตรวจว่าบัสบาร์และเมนเบรกเกอร์ของตู้รับกระแสรวมจากการไฟฟ้า + อินเวอร์เตอร์ได้ (กฎ 120 % ใน NEC เป็นแนวคิดที่ใช้อ้างอิง)

- RCD: ทำตามคู่มืออินเวอร์เตอร์ อินเวอร์เตอร์ที่ผู้ผลิตยืนยันว่าไม่สามารถป้อนกระแสรั่ว DC เข้าระบบ (มีการแยกอย่างง่ายหรือมี RCMU ในตัว) ใช้ RCD Type A ได้ ถ้าไม่ใช่ต้องใช้ Type B

- ป้าย: ที่ตู้ไฟและมิเตอร์ “ระบบนี้มีแหล่งจ่ายไฟสองแหล่ง” ระบุตำแหน่งสวิตช์ตัดของอินเวอร์เตอร์ ให้ผู้ซ่อมและพนักงานดับเพลิงเห็นชัด

- ระบบ hybrid: แยกตู้โหลดสำรอง (backup panel) ห้ามต่อเอาต์พุตสำรองเข้ากับวงจรที่มีไฟการไฟฟ้า ตรวจ N-PE switching ในโหมดสำรองตามคู่มือ

## ไฟไหม้ AFCI และ Rapid Shutdown กลาง

- AFCI (arc-fault circuit interrupter) ในอินเวอร์เตอร์ตรวจลายเซ็นความถี่สูงของอาร์กแบบอนุกรมแล้วหยุดทำงาน (UL 1699B, IEC 63027) อินเวอร์เตอร์รุ่นใหม่หลายยี่ห้อมีให้ ควรเปิดใช้

- Rapid shutdown ลดแรงดันสายบนหลังคาให้ต่ำกว่า ~30 V ภายในเวลาสั้นเมื่อสั่งหยุด (ข้อบังคับใน NEC 690.12 ของสหรัฐฯ) ทำได้ด้วย optimizer, micro-inverter หรือ MLPE shutdown device เหมาะกับอาคารสาธารณะ อาคารสูง และโรงงานที่มีวัสดุติดไฟ

- สาเหตุไฟไหม้ที่พบมากที่สุด: ขั้วต่อต่างยี่ห้อหรือย้ำไม่ดี สวิตช์ DC เสื่อม ฉนวนสายถูกบาด และการทำงานต่อโดยไม่ตรวจหลังพายุ — ป้องกันได้ด้วยการตรวจตามตาราง (ดู งานบำรุงรักษา)

## เช็กลิสต์ฝั่ง DC และ AC

- สาย PV ตามมาตรฐาน ขนาดผ่านทั้งกระแสและแรงดันตก

- ขั้วต่อยี่ห้อเดียวกัน ย้ำด้วยเครื่องมือของผู้ผลิต ทดสอบดึง

- อุปกรณ์ DC ทุกตัวมีพิกัดแรงดัน ≥ $V_{oc,max}$ และพิกัดกระแส ≥ $1.25\,I_{sc}$ ต่อวงจร

- ฟิวส์ gPV เมื่อจำเป็นตาม W5

- SPD DC และ AC ติดใกล้อุปกรณ์ที่ป้องกัน สายลงดินสั้น

- กรอบแผงและโครงประสานศักย์ ต่อเข้าระบบดินหลัก

- เบรกเกอร์ AC แยก RCD ตามผู้ผลิต ป้ายเตือนครบ

- ทดสอบตาม IEC 62446-1 ก่อนจ่ายไฟ (ขั้ว $V_{oc}$ $I_{sc}$ ฉนวน) — ดู การทดสอบส่งมอบ

## คำถามที่พบบ่อย

ใช้เบรกเกอร์ AC ธรรมดาตัดไฟฝั่ง DC ของแผงโซลาร์ได้ไหม?
ไม่ได้ กระแส DC ไม่มีจุดผ่านศูนย์ทุกครึ่งรอบแบบ AC อาร์กที่เกิดตอนตัดวงจรจึงดับยาก เบรกเกอร์หรือสวิตช์ AC ที่ไม่ได้ออกแบบสำหรับ DC อาจเกิดอาร์กค้างและไหม้ ต้องใช้อุปกรณ์ที่ระบุพิกัดแรงดัน DC ไม่น้อยกว่า Voc สูงสุดของสตริง และสำหรับ DC isolator ควรระบุ utilization category DC-PV2 ตาม IEC 60947-3

ระบบโซลาร์ต้องมีฟิวส์สตริงทุกระบบไหม?
ไม่ทุกระบบ ฟิวส์สตริงจำเป็นเมื่อมีสตริงขนานกันตั้งแต่ 3 สตริงขึ้นไปในวงจรเดียว (หรือเมื่อกระแสย้อนจากสตริงอื่นรวมกันเกินพิกัด maximum series fuse ของแผง) ระบบบ้านที่ใช้สตริงละ MPPT หรือขนานแค่ 2 สตริงมักไม่ต้องใช้ ถ้าใช้ต้องเป็นฟิวส์ชนิด gPV ตาม IEC 60269-6 ติดทั้งขั้วบวกและลบ

สาย DC ของโซลาร์ใช้สาย THW หรือ VCT ได้ไหม?
ไม่ควร สายโซลาร์ต้องทนแสง UV โอโซน อุณหภูมิสูง และแรงดัน DC ถึง 1,000–1,500 V ตลอด 25 ปี ให้ใช้สาย PV1-F หรือ H1Z2Z2-K ตาม EN 50618 / IEC 62930 ซึ่งเป็นฉนวนสองชั้นแบบ cross-linked ส่วนสาย THW เป็น PVC ไม่ทน UV และไม่ได้ออกแบบสำหรับงานนี้

## FAQ

**ใช้เบรกเกอร์ AC ธรรมดาตัดไฟฝั่ง DC ของแผงโซลาร์ได้ไหม?**
ไม่ได้ กระแส DC ไม่มีจุดผ่านศูนย์ทุกครึ่งรอบแบบ AC อาร์กที่เกิดตอนตัดวงจรจึงดับยาก เบรกเกอร์หรือสวิตช์ AC ที่ไม่ได้ออกแบบสำหรับ DC อาจเกิดอาร์กค้างและไหม้ ต้องใช้อุปกรณ์ที่ระบุพิกัดแรงดัน DC ไม่น้อยกว่า Voc สูงสุดของสตริง และสำหรับ DC isolator ควรระบุ utilization category DC-PV2 ตาม IEC 60947-3

**ระบบโซลาร์ต้องมีฟิวส์สตริงทุกระบบไหม?**
ไม่ทุกระบบ ฟิวส์สตริงจำเป็นเมื่อมีสตริงขนานกันตั้งแต่ 3 สตริงขึ้นไปในวงจรเดียว (หรือเมื่อกระแสย้อนจากสตริงอื่นรวมกันเกินพิกัด maximum series fuse ของแผง) ระบบบ้านที่ใช้สตริงละ MPPT หรือขนานแค่ 2 สตริงมักไม่ต้องใช้ ถ้าใช้ต้องเป็นฟิวส์ชนิด gPV ตาม IEC 60269-6 ติดทั้งขั้วบวกและลบ

**สาย DC ของโซลาร์ใช้สาย THW หรือ VCT ได้ไหม?**
ไม่ควร สายโซลาร์ต้องทนแสง UV โอโซน อุณหภูมิสูง และแรงดัน DC ถึง 1,000–1,500 V ตลอด 25 ปี ให้ใช้สาย PV1-F หรือ H1Z2Z2-K ตาม EN 50618 / IEC 62930 ซึ่งเป็นฉนวนสองชั้นแบบ cross-linked ส่วนสาย THW เป็น PVC ไม่ทน UV และไม่ได้ออกแบบสำหรับงานนี้

---

# สูตรตรีโกณมิติทั้งหมด และตารางค่า sin cos tan

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/trigonometry/
Updated: 2026-10-12
Summary: รวมสูตรตรีโกณมิติครบทุกหมวดพร้อมชื่อภาษาอังกฤษ เริ่มจากวงกลมหนึ่งหน่วยแบบโต้ตอบ มุมพิเศษ เอกลักษณ์พีทาโกรัส ผลบวกผลต่าง มุมสองเท่า สามเท่า ครึ่งมุม ผลคูณเป็นผลบวก ออยเลอร์ ฟังก์ชันผกผัน กฎของไซน์โคไซน์ แคลคูลัส และตารางค่า sin cos tan ทุก 0.05° ตั้งแต่ 0° ถึง 90° ทั้งองศาและเรเดียน ค้นหาและคัดลอกได้

// บทที่ 2 · คณิตศาสตร์พื้นฐาน · สูตรและตาราง

# สูตรตรีโกณมิติทั้งหมด และตารางค่า sin cos tan

เริ่มจากวงกลมหนึ่งหน่วย แล้วไล่ไปทุกหมวดที่วิศวกรต้องใช้ ตั้งแต่มุมพิเศษ เอกลักษณ์พีทาโกรัส สูตรมุมประกอบ ไปจนถึงสูตรของออยเลอร์ ฟังก์ชันผกผัน กฎของสามเหลี่ยม แคลคูลัส และอนุกรม ทุกสูตรมีชื่อภาษาอังกฤษกำกับไว้ให้ค้นต่อได้ ท้ายหน้าเป็นตารางค่า sin cos tan ทุก 0.05° ตั้งแต่ 0° ถึง 90° รวม 1,801 แถว

สรุปใน 30 วินาที

- จุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่มุม θ คือ $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ และ $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$

- สูตรแม่บทมีสองตัว คือ $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ กับสูตรผลบวกของมุม สูตรอื่นเกือบทั้งหมดได้มาจากสองตัวนี้

- มุมนอกจตุภาคที่ 1 ให้ใช้มุมอ้างอิงเปิดตาราง แล้วใส่เครื่องหมายตาม ASTC

- ในแคลคูลัสและงานไฟฟ้า มุมต้องเป็นเรเดียน: $180^\circ = \pi$ rad

## วงกลมหนึ่งหน่วย (Unit Circle)

วงกลมหนึ่งหน่วยคือวงกลมรัศมี 1 ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด วางมุม θ ในตำแหน่งมาตรฐาน (standard position) คือให้แขนเริ่มต้น (initial side) ทับแกน x บวก แล้วหมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุมบวก แขนสิ้นสุด (terminal side) จะตัดวงกลมที่จุด P จุดนี้คือนิยามของ cos และ sin โดยตรง

### คำศัพท์ที่ใช้กับวงกลมหนึ่งหน่วย

Unit-circle definition นิยามบนวงกลมหนึ่งหน่วย

$$\begin{gathered} P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta) \\ x^2 + y^2 = 1 \end{gathered}$$

วงกลมรัศมี r ใด ๆ ใช้ $(x, y) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$

Reference angle มุมอ้างอิง $\theta_{\text{ref}}$

$$\theta_{\text{ref}} = \begin{cases} \theta & \text{Q I} \\ 180^\circ - \theta & \text{Q II} \\ \theta - 180^\circ & \text{Q III} \\ 360^\circ - \theta & \text{Q IV} \end{cases}$$

มุมแหลมระหว่างแขนสิ้นสุดกับแกน x ค่าตรีโกณของ θ เท่ากับค่าของ $\theta_{\text{ref}}$ ต่างกันแค่เครื่องหมาย

Coterminal angles มุมที่มีแขนสิ้นสุดร่วมกัน

$$\begin{gathered} \theta + 360^\circ k \;=\; \theta + 2\pi k \\ (k \in \mathbb{Z}) \end{gathered}$$

เช่น 30°, 390°, −330° อยู่ตำแหน่งเดียวกันบนวง จึงมีค่าตรีโกณเท่ากันทุกตัว

ASTC rule เครื่องหมายในแต่ละจตุภาค

Q II · Ssin, csc บวก
Q I · Aบวกทุกตัว

Q III · Ttan, cot บวก
Q IV · Ccos, sec บวก

จำว่า “All Students Take Calculus” ไล่ทวนเข็มจากจตุภาคที่ 1

## การวัดมุม องศาและเรเดียน (Angle Measure)

หนึ่งเรเดียนคือมุมที่รองรับความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมี วงกลมหนึ่งรอบยาว $2\pi r$ จึงเท่ากับ $2\pi$ เรเดียน หน่วยเรเดียนไม่มีมิติ (เป็นอัตราส่วนความยาวต่อความยาว) จึงใช้ได้ตรง ๆ ในสูตรแคลคูลัสและฟิสิกส์

Degree–radian conversion การแปลงองศาและเรเดียน

$$\begin{gathered} \theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180^\circ}{\pi} \end{gathered}$$

$1\ \text{rad} \approx 57.29578^\circ$ และ $1^\circ \approx 0.0174533$ rad

Arc length ความยาวส่วนโค้ง

$$s = r\theta$$

θ เป็นเรเดียน

Area of a sector พื้นที่เซกเตอร์

$$A = \tfrac12 r^2\theta = \tfrac12 r s$$

Chord length ความยาวคอร์ด

$$c = 2r\sin\frac{\theta}{2}$$

Angular frequency ความถี่เชิงมุม

$$\begin{gathered} \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \\ \theta(t) = \omega t + \phi \end{gathered}$$

ไฟบ้าน 50 Hz มี $\omega = 100\pi \approx 314.16$ rad/s

Turn and gradian หน่วยอื่น

$$1\ \text{turn} = 360^\circ = 2\pi\ \text{rad} = 400\ \text{grad}$$

เครื่องคิดเลขมีโหมด DEG, RAD, GRAD ตรวจโหมดก่อนกดทุกครั้ง

## ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหก (Six Trigonometric Functions)

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม θ เรียกว่า ด้านข้าม (opposite) ด้านที่ติดกับ θ เรียกว่า ด้านชิด (adjacent) และด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่า ด้านฉาก หรือ ไฮโปเทนิวส์ (hypotenuse) นิยามนี้ตรงกับวงกลมหนึ่งหน่วยเมื่อด้านฉากยาว 1

Right-triangle ratios (SOH-CAH-TOA) อัตราส่วนในสามเหลี่ยมมุมฉาก

$$\begin{gathered} \sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}} \\ \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}} \\ \tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}} \end{gathered}$$

ภาษาไทยจำว่า sin = ข้าม/ฉาก, cos = ชิด/ฉาก, tan = ข้าม/ชิด

Reciprocal identities เอกลักษณ์ส่วนกลับ

$$\begin{gathered} \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} \\ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \\ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} \end{gathered}$$

cosecant, secant, cotangent · คู่ที่มี “co” จับคู่กับตัวที่ไม่มี co

Quotient identities เอกลักษณ์ผลหาร

$$\begin{gathered} \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \end{gathered}$$

Slope interpretation tan คือความชัน

$$m = \tan\theta$$

เส้นตรงที่ทำมุม θ กับแกน x มีความชัน tan θ และ tan θ ยังเป็นความยาวเส้นสัมผัสวงกลมที่ x = 1 (ดูเส้นสีเขียวในรูปวงกลม)

### โดเมน เรนจ์ และคาบ (Domain, Range, Period)

| ฟังก์ชัน | โดเมน | เรนจ์ | คาบ | คู่/คี่ |

| $\sin\theta$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | คี่ (odd) |

| $\cos\theta$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | คู่ (even) |

| $\tan\theta$ | $\theta \ne \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ | คี่ |

| $\csc\theta$ | $\theta \ne k\pi$ | $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$ | $2\pi$ | คี่ |

| $\sec\theta$ | $\theta \ne \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ | $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$ | $2\pi$ | คู่ |

| $\cot\theta$ | $\theta \ne k\pi$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ | คี่ |

## ค่าตรีโกณมิติของมุมพิเศษ (Exact Values of Special Angles)

The √n / 2 pattern เทคนิคจำมุม 0° 30° 45° 60° 90°

$$\begin{gathered} \sin\theta:\ \frac{\sqrt0}{2},\ \frac{\sqrt1}{2},\ \frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt3}{2},\ \frac{\sqrt4}{2} \\ \cos\theta:\ \text{ลำดับเดียวกันแต่กลับหลัง} \end{gathered}$$

มาจากสามเหลี่ยมมุมฉากสองแบบ คือ 45-45-90 ด้าน $1 : 1 : \sqrt2$ และ 30-60-90 ด้าน $1 : \sqrt3 : 2$

| θ | เรเดียน | sin θ | cos θ | tan θ |

| 0° | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ |

| 15° | $\tfrac{\pi}{12}$ | $\tfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ | $\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ | $2-\sqrt3$ |

| 18° | $\tfrac{\pi}{10}$ | $\tfrac{\sqrt5-1}{4}$ | $\tfrac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}$ | $\tfrac{\sqrt{25-10\sqrt5}}{5}$ |

| 22.5° | $\tfrac{\pi}{8}$ | $\tfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$ | $\sqrt2-1$ |

| 30° | $\tfrac{\pi}{6}$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{3}$ |

| 36° | $\tfrac{\pi}{5}$ | $\tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}$ | $\tfrac{1+\sqrt5}{4}$ | $\sqrt{5-2\sqrt5}$ |

| 45° | $\tfrac{\pi}{4}$ | $\tfrac{\sqrt2}{2}$ | $\tfrac{\sqrt2}{2}$ | $1$ |

| 54° | $\tfrac{3\pi}{10}$ | $\tfrac{1+\sqrt5}{4}$ | $\tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}$ | $\tfrac{\sqrt{25+10\sqrt5}}{5}$ |

| 60° | $\tfrac{\pi}{3}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac12$ | $\sqrt3$ |

| 67.5° | $\tfrac{3\pi}{8}$ | $\tfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$ | $\sqrt2+1$ |

| 72° | $\tfrac{2\pi}{5}$ | $\tfrac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}$ | $\tfrac{\sqrt5-1}{4}$ | $\sqrt{5+2\sqrt5}$ |

| 75° | $\tfrac{5\pi}{12}$ | $\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ | $\tfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ | $2+\sqrt3$ |

| 90° | $\tfrac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | ไม่นิยาม |

ค่า $\cos 36^\circ = \tfrac{1+\sqrt5}{4} = \tfrac{\varphi}{2}$ เมื่อ $\varphi$ คืออัตราส่วนทองคำ (golden ratio) มุม 18°, 36°, 54°, 72° จึงพบในรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า

### ส่วนกลับของมุมหลัก (csc, sec, cot)

| θ | csc θ | sec θ | cot θ |

| 0° | ไม่นิยาม | $1$ | ไม่นิยาม |

| 30° | $2$ | $\tfrac{2\sqrt3}{3}$ | $\sqrt3$ |

| 45° | $\sqrt2$ | $\sqrt2$ | $1$ |

| 60° | $\tfrac{2\sqrt3}{3}$ | $2$ | $\tfrac{\sqrt3}{3}$ |

| 90° | $1$ | ไม่นิยาม | $0$ |

### รอบวงกลม 0° ถึง 360°

| θ | rad | จตุภาค | sin θ | cos θ | tan θ |

| 0° | $0$ | แกน +x | $0$ | $1$ | $0$ |

| 30° | $\tfrac{\pi}{6}$ | I | $\tfrac12$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{3}$ |

| 45° | $\tfrac{\pi}{4}$ | I | $\tfrac{\sqrt2}{2}$ | $\tfrac{\sqrt2}{2}$ | $1$ |

| 60° | $\tfrac{\pi}{3}$ | I | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac12$ | $\sqrt3$ |

| 90° | $\tfrac{\pi}{2}$ | แกน +y | $1$ | $0$ | ไม่นิยาม |

| 120° | $\tfrac{2\pi}{3}$ | II | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $-\tfrac12$ | $-\sqrt3$ |

| 135° | $\tfrac{3\pi}{4}$ | II | $\tfrac{\sqrt2}{2}$ | $-\tfrac{\sqrt2}{2}$ | $-1$ |

| 150° | $\tfrac{5\pi}{6}$ | II | $\tfrac12$ | $-\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $-\tfrac{\sqrt3}{3}$ |

| 180° | $\pi$ | แกน −x | $0$ | $-1$ | $0$ |

| 210° | $\tfrac{7\pi}{6}$ | III | $-\tfrac12$ | $-\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{3}$ |

| 225° | $\tfrac{5\pi}{4}$ | III | $-\tfrac{\sqrt2}{2}$ | $-\tfrac{\sqrt2}{2}$ | $1$ |

| 240° | $\tfrac{4\pi}{3}$ | III | $-\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $-\tfrac12$ | $\sqrt3$ |

| 270° | $\tfrac{3\pi}{2}$ | แกน −y | $-1$ | $0$ | ไม่นิยาม |

| 300° | $\tfrac{5\pi}{3}$ | IV | $-\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac12$ | $-\sqrt3$ |

| 315° | $\tfrac{7\pi}{4}$ | IV | $-\tfrac{\sqrt2}{2}$ | $\tfrac{\sqrt2}{2}$ | $-1$ |

| 330° | $\tfrac{11\pi}{6}$ | IV | $-\tfrac12$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $-\tfrac{\sqrt3}{3}$ |

| 360° | $2\pi$ | แกน +x | $0$ | $1$ | $0$ |

## เอกลักษณ์พีทาโกรัส (Pythagorean Identities)

จุด $(\cos\theta, \sin\theta)$ อยู่บนวงกลม $x^2 + y^2 = 1$ เสมอ จึงได้เอกลักษณ์ตัวแรกทันที อีกสองตัวได้จากการหารด้วย $\cos^2\theta$ และ $\sin^2\theta$

Pythagorean identity เอกลักษณ์พีทาโกรัส

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$

Tangent–secant form รูป tan กับ sec

$$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$$

Cotangent–cosecant form รูป cot กับ csc

$$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$$

Expressing one function by another เขียนฟังก์ชันหนึ่งด้วยอีกฟังก์ชัน

$$\begin{gathered} \sin\theta = \pm\sqrt{1-\cos^2\theta} = \pm\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} \\ \cos\theta = \pm\sqrt{1-\sin^2\theta} = \pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} \end{gathered}$$

เลือกเครื่องหมายตามจตุภาคของ θ

## สมมาตร คาบ และโคฟังก์ชัน (Symmetry, Periodicity, Cofunctions)

Even–odd identities เอกลักษณ์ฟังก์ชันคู่-คี่

$$\begin{gathered} \sin(-\theta) = -\sin\theta \\ \cos(-\theta) = \cos\theta \\ \tan(-\theta) = -\tan\theta \end{gathered}$$

cos และ sec เป็นฟังก์ชันคู่ ที่เหลือเป็นฟังก์ชันคี่

Periodicity identities เอกลักษณ์คาบ

$$\begin{gathered} \sin(\theta + 2\pi k) = \sin\theta \\ \cos(\theta + 2\pi k) = \cos\theta \\ \tan(\theta + \pi k) = \tan\theta \end{gathered}$$

Cofunction identities เอกลักษณ์โคฟังก์ชัน (มุมประกอบสองมุมฉาก)

$$\begin{gathered} \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta \\ \tan\!\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta \\ \sec\!\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \csc\theta \end{gathered}$$

คำว่า co-sine มาจาก complement’s sine คือ sine ของมุมที่เหลือ เช่น cos 70° = sin 20°

Supplementary-angle identities มุมรวมกันได้ 180°

$$\begin{gathered} \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \\ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \\ \tan(\pi - \theta) = -\tan\theta \end{gathered}$$

Quarter-period shifts การเลื่อนเฟส 90° และ 180°

$$\begin{gathered} \sin\!\left(\theta + \tfrac{\pi}{2}\right) = \cos\theta \\ \cos\!\left(\theta + \tfrac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta \\ \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta \\ \cos(\theta + \pi) = -\cos\theta \end{gathered}$$

ในวงจรไฟฟ้า cos นำหน้า (lead) sin อยู่ 90° กระแสในตัวเก็บประจุจึงนำแรงดัน 90° เพราะ $\tfrac{d}{dt}\sin\omega t = \omega\cos\omega t$

### ตารางลดมุม (Reduction Formulas)

กฎจำ: มุม $\pi \pm \theta$ และ $2\pi - \theta$ ชื่อฟังก์ชันคงเดิม ส่วนมุม $\tfrac{\pi}{2} \pm \theta$ และ $\tfrac{3\pi}{2} \pm \theta$ เปลี่ยนเป็นโคฟังก์ชัน แล้วใส่เครื่องหมายตามจตุภาคของมุมเดิมโดยถือว่า θ เป็นมุมแหลม

| มุม | sin | cos | tan |

| $-\theta$ | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |

| $\tfrac{\pi}{2} - \theta$ | $\cos\theta$ | $\sin\theta$ | $\cot\theta$ |

| $\tfrac{\pi}{2} + \theta$ | $\cos\theta$ | $-\sin\theta$ | $-\cot\theta$ |

| $\pi - \theta$ | $\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |

| $\pi + \theta$ | $-\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $\tan\theta$ |

| $\tfrac{3\pi}{2} - \theta$ | $-\cos\theta$ | $-\sin\theta$ | $\cot\theta$ |

| $\tfrac{3\pi}{2} + \theta$ | $-\cos\theta$ | $\sin\theta$ | $-\cot\theta$ |

| $2\pi - \theta$ | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |

## สูตรผลบวกและผลต่างของมุม (Angle Sum and Difference)

สูตรกลุ่มนี้เป็นแม่บทของสูตรมุมสองเท่า ครึ่งมุม และผลคูณเป็นผลบวก จำสูตร sin กับ cos ให้ได้ก่อน สูตรอื่นแปลงตามมาได้

Sine of a sum / difference sin ของผลบวกและผลต่าง

$$\sin(A \pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B$$

Cosine of a sum / difference cos ของผลบวกและผลต่าง

$$\cos(A \pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B$$

สังเกตเครื่องหมายกลับ: cos ของผลบวกได้ “ลบ”

Tangent of a sum / difference tan ของผลบวกและผลต่าง

$$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A\tan B}$$

Cotangent of a sum / difference cot ของผลบวกและผลต่าง

$$\cot(A \pm B) = \frac{\cot A\cot B \mp 1}{\cot B \pm \cot A}$$

Difference-of-squares forms รูปผลต่างกำลังสอง

$$\begin{gathered} \sin(A+B)\sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B \\ \cos(A+B)\cos(A-B) = \cos^2 A - \sin^2 B \end{gathered}$$

มาจากไหน: หมุนเวกเตอร์ $(\cos B, \sin B)$ ไปอีกมุม A ด้วยเมทริกซ์การหมุน $\begin{bmatrix} \cos A & -\sin A \\ \sin A & \cos A \end{bmatrix}$ จะได้จุด $(\cos(A+B), \sin(A+B))$ คูณเมทริกซ์ออกมาก็ได้สองสูตรแรกพร้อมกัน หรือใช้ $e^{j(A+B)} = e^{jA}e^{jB}$ ในหัวข้อสูตรของออยเลอร์

ตัวอย่างที่ 1

### หาค่าแม่นตรงของ $\sin 75^\circ$

ดูวิธีทำ

$$\begin{aligned} \sin 75^\circ &= \sin(45^\circ + 30^\circ) \\ &= \sin45^\circ\cos30^\circ + \cos45^\circ\sin30^\circ \\ &= \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \end{aligned}$$

$\sin 75^\circ = \tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} \approx 0.965926$ ตรงกับแถว 75.00° ในตารางท้ายหน้า

## สูตรมุมสองเท่า (Double-Angle Formulas)

แทน $B = A$ ในสูตรผลบวกของมุม

Sine double-angle sin มุมสองเท่า

$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$$

Tangent double-angle tan มุมสองเท่า

$$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$$

Cosine double-angle (three forms) cos มุมสองเท่า มีสามรูป

$$\begin{aligned} \cos 2\theta &= \cos^2\theta - \sin^2\theta \\ &= 2\cos^2\theta - 1 \\ &= 1 - 2\sin^2\theta \\ &= \frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta} \end{aligned}$$

เลือกรูปที่ทำให้เหลือฟังก์ชันเดียว จะช่วยให้แก้สมการหรืออินทิเกรตง่ายขึ้น

## สูตรมุมสามเท่าและมุมหลายเท่า (Triple- and Multiple-Angle)

Sine triple-angle sin มุมสามเท่า

$$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$$

Cosine triple-angle cos มุมสามเท่า

$$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$

Tangent triple-angle tan มุมสามเท่า

$$\tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$$

Chebyshev recurrence สูตรเวียนเกิดของมุมหลายเท่า

$$\cos(n+1)\theta = 2\cos\theta\,\cos n\theta - \cos(n-1)\theta$$

$\cos n\theta = T_n(\cos\theta)$ เป็นพหุนามเชบีเชฟ ใช้ออกแบบวงกรองแบบเชบีเชฟ

## สูตรครึ่งมุม (Half-Angle Formulas)

แก้สูตร $\cos 2x$ กลับหา $\sin x$ และ $\cos x$ แล้วแทน $x = \theta/2$ เครื่องหมาย ± ให้เลือกตามจตุภาคของ $\theta/2$ ไม่ใช่ของ θ

Sine half-angle sin ครึ่งมุม

$$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$$

Cosine half-angle cos ครึ่งมุม

$$\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$$

Tangent half-angle tan ครึ่งมุม

$$\begin{aligned} \tan\frac{\theta}{2} &= \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} \\ &= \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} \end{aligned}$$

สองรูปหลังไม่มี ± ให้กังวล ใช้สะดวกกว่า

ตัวอย่างที่ 2

### หา $\cos 22.5^\circ$ จากสูตรครึ่งมุม

ดูวิธีทำ

$$\cos 22.5^\circ = \cos\frac{45^\circ}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \tfrac{\sqrt2}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$$

22.5° อยู่จตุภาคที่ 1 จึงเลือกเครื่องหมายบวก ได้ $\approx 0.923880$

## สูตรลดกำลัง (Power-Reduction Formulas)

เปลี่ยนกำลังสองหรือกำลังสูงให้เป็นผลบวกของ cos มุมหลายเท่าที่มีกำลังหนึ่ง จำเป็นมากเวลาอินทิเกรต หาค่า RMS และหาส่วนประกอบฮาร์มอนิก (ดูการใช้งานจริงใน อ่านสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์จาก sin³ และ cos²)

Square of sine sin กำลังสอง

$$\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$$

Square of cosine cos กำลังสอง

$$\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$$

Square of tangent tan กำลังสอง

$$\tan^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}$$

Product of squares ผลคูณกำลังสอง

$$\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{1-\cos 4\theta}{8}$$

Cube of sine sin กำลังสาม

$$\sin^3\theta = \frac{3\sin\theta - \sin 3\theta}{4}$$

Cube of cosine cos กำลังสาม

$$\cos^3\theta = \frac{3\cos\theta + \cos 3\theta}{4}$$

Fourth power of sine sin กำลังสี่

$$\sin^4\theta = \frac{3 - 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$$

Fourth power of cosine cos กำลังสี่

$$\cos^4\theta = \frac{3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$$

มุมมองวิศวกร: $\cos^3\omega t = \tfrac34\cos\omega t + \tfrac14\cos 3\omega t$ บอกว่าอุปกรณ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นแบบกำลังสาม สร้างฮาร์มอนิกที่ 3 ออกมาด้วยแอมพลิจูดหนึ่งในสี่ (ดู สมมาตรของความไม่เป็นเชิงเส้น)

## ผลคูณเป็นผลบวก (Product-to-Sum Formulas)

ได้จากการบวกหรือลบสูตรผลบวกและผลต่างของมุม หลักการของวงจรผสมสัญญาณ (mixer) และการมอดูเลตแอมพลิจูด (AM)

Product of cosines ผลคูณ cos กับ cos

$$\cos A\cos B = \tfrac12\left[\cos(A-B) + \cos(A+B)\right]$$

Product of sines ผลคูณ sin กับ sin

$$\sin A\sin B = \tfrac12\left[\cos(A-B) - \cos(A+B)\right]$$

Sine–cosine product ผลคูณ sin กับ cos

$$\sin A\cos B = \tfrac12\left[\sin(A+B) + \sin(A-B)\right]$$

Cosine–sine product ผลคูณ cos กับ sin

$$\cos A\sin B = \tfrac12\left[\sin(A+B) - \sin(A-B)\right]$$

ตัวอย่างที่ 3

### มิกเซอร์คูณสัญญาณ 1000 Hz กับ 100 Hz ได้ความถี่อะไร

ดูวิธีทำ

$$\begin{aligned} &\cos(2\pi\cdot1000t)\cos(2\pi\cdot100t) \\ &\quad = \tfrac12\cos(2\pi\cdot900t) + \tfrac12\cos(2\pi\cdot1100t) \end{aligned}$$

ได้ความถี่ผลต่าง 900 Hz และผลบวก 1100 Hz แอมพลิจูดตัวละครึ่งหนึ่ง เรียกว่าแถบข้าง (sidebands) ไม่มี 1000 Hz หรือ 100 Hz เหลืออยู่เลย

## ผลบวกเป็นผลคูณ (Sum-to-Product Formulas)

ทิศกลับของหัวข้อก่อน ใช้แยกตัวประกอบสมการตรีโกณ และอธิบายปรากฏการณ์บีต (beats) เมื่อคลื่นสองความถี่ใกล้กันรวมกัน

Sum of sines ผลบวกของ sin

$$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$

Difference of sines ผลต่างของ sin

$$\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

Sum of cosines ผลบวกของ cos (ใช้อธิบายบีต)

$$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$

Difference of cosines ผลต่างของ cos

$$\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

Sum of tangents ผลบวกของ tan

$$\tan A \pm \tan B = \frac{\sin(A \pm B)}{\cos A\cos B}$$

## การรวมไซน์และโคไซน์เป็นคลื่นเดียว (Harmonic Addition)

ไซน์และโคไซน์ความถี่เดียวกันรวมกันได้คลื่นไซน์ตัวเดียวเสมอ ในตำราบางเล่มเรียกว่า R-formula หรือ auxiliary angle method เป็นพื้นฐานของเฟเซอร์ (phasor) ในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ

Harmonic addition theorem รวมเป็นไซน์ตัวเดียว

$$\begin{gathered} a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \varphi) \\ R = \sqrt{a^2 + b^2} \\ \varphi = \operatorname{atan2}(b, a) \end{gathered}$$

นั่นคือ $\cos\varphi = a/R$ และ $\sin\varphi = b/R$ ค่ามากสุดของนิพจน์คือ R และน้อยสุดคือ −R

Cosine form เขียนเป็น cos

$$\begin{gathered} a\cos\theta + b\sin\theta = R\cos(\theta - \varphi) \\ R = \sqrt{a^2 + b^2} \\ \varphi = \operatorname{atan2}(b, a) \end{gathered}$$

ตัวอย่างที่ 4

### เขียน $3\sin\omega t + 4\cos\omega t$ เป็นคลื่นไซน์ตัวเดียว

ดูวิธีทำ

$$\begin{gathered} R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \\ \varphi = \operatorname{atan2}(4, 3) = \arctan\tfrac43 \approx 53.13^\circ \end{gathered}$$

$3\sin\omega t + 4\cos\omega t = 5\sin(\omega t + 53.13^\circ)$ ค่ายอด 5 นำหน้า sin อยู่ 53.13° เทียบกับเฟเซอร์ $3 + j4 = 5\angle 53.13^\circ$

## การแทนค่า t = tan(θ/2) (Weierstrass Substitution)

เปลี่ยนฟังก์ชันตรีโกณทุกตัวเป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปรเดียว จึงอินทิเกรตด้วยเศษส่วนย่อยได้ เรียกอีกชื่อว่า tangent half-angle substitution

Weierstrass substitution แทนค่าด้วย t = tan(θ/2)

$$\begin{gathered} \sin\theta = \frac{2t}{1+t^2} \\ \cos\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2} \\ \tan\theta = \frac{2t}{1-t^2} \\ d\theta = \frac{2\,dt}{1+t^2} \end{gathered}$$

ใช้กับปริพันธ์อย่าง $\int \frac{d\theta}{a + b\cos\theta}$ และเป็นที่มาของการแปลงไบลิเนียร์ (bilinear / Tustin) ในการออกแบบตัวกรองดิจิทัล ซึ่งมีการบิดความถี่ $\omega_a = \tfrac{2}{T}\tan\tfrac{\omega_d T}{2}$

## สูตรของออยเลอร์และจำนวนเชิงซ้อน (Euler’s Formula)

สะพานเชื่อมตรีโกณมิติกับเลขชี้กำลัง วิศวกรไฟฟ้าใช้ $j = \sqrt{-1}$ แทน i เพราะ i ใช้แทนกระแสไฟฟ้า สูตรเกือบทุกตัวในหน้านี้พิสูจน์ได้ในบรรทัดเดียวด้วยสูตรนี้

Euler’s formula สูตรของออยเลอร์

$$\begin{gathered} e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta \\ e^{j\pi} + 1 = 0 \end{gathered}$$

Exponential forms รูปเลขชี้กำลังของ sin และ cos

$$\begin{gathered} \cos\theta = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2} \\ \sin\theta = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j} \end{gathered}$$

De Moivre’s theorem ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์

$$(\cos\theta + j\sin\theta)^n = \cos n\theta + j\sin n\theta$$

Polar form รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน

$$\begin{gathered} x + jy = r e^{j\theta} = r\angle\theta \\ r = \sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \operatorname{atan2}(y, x) \end{gathered}$$

Link to hyperbolic functions เชื่อมกับฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

$$\begin{gathered} \cos(jx) = \cosh x \\ \sin(jx) = j\sinh x \\ \cosh^2x - \sinh^2x = 1 \end{gathered}$$

พิสูจน์สูตรผลบวกในบรรทัดเดียว: $e^{j(A+B)} = e^{jA}e^{jB} = (\cos A + j\sin A)(\cos B + j\sin B)$ กระจายแล้วเทียบส่วนจริงได้ $\cos(A+B)$ เทียบส่วนจินตภาพได้ $\sin(A+B)$

## ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (Inverse Trigonometric Functions)

ฟังก์ชันตรีโกณไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงต้องจำกัดช่วงก่อนหาตัวผกผัน ช่วงที่เลือกนี้เรียกว่า ค่าหลัก (principal value) เครื่องคิดเลขตอบค่าหลักเสมอ

| ฟังก์ชัน | ชื่ออังกฤษ | โดเมน | เรนจ์ (ค่าหลัก) |

| $\arcsin x = \sin^{-1}x$ | arcsine | $[-1, 1]$ | $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$ |

| $\arccos x = \cos^{-1}x$ | arccosine | $[-1, 1]$ | $[0, \pi]$ |

| $\arctan x = \tan^{-1}x$ | arctangent | $\mathbb{R}$ | $(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})$ |

| $\operatorname{arccot} x$ | arccotangent | $\mathbb{R}$ | $(0, \pi)$ |

| $\operatorname{arcsec} x$ | arcsecant | $|x| \ge 1$ | $[0, \pi],\ \ne \tfrac{\pi}{2}$ |

| $\operatorname{arccsc} x$ | arccosecant | $|x| \ge 1$ | $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],\ \ne 0$ |

ระวัง: $\sin^{-1}x$ คือ arcsin ไม่ใช่ $1/\sin x$ ซึ่งคือ csc x

Complementary identities ผลบวกเป็นมุมฉาก

$$\begin{gathered} \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} \\ \arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} \end{gathered}$$

Reciprocal argument อาร์กิวเมนต์ส่วนกลับ

$$\arctan x + \arctan\frac1x = \begin{cases} \tfrac{\pi}{2} & x \gt 0 \\ -\tfrac{\pi}{2} & x \lt 0 \end{cases}$$

Negative arguments อาร์กิวเมนต์ติดลบ

$$\begin{gathered} \arcsin(-x) = -\arcsin x \\ \arctan(-x) = -\arctan x \\ \arccos(-x) = \pi - \arccos x \end{gathered}$$

Arctangent addition ผลบวกของ arctan

$$\begin{gathered} \arctan a + \arctan b = \arctan\frac{a+b}{1-ab} \\ (ab \lt 1) \end{gathered}$$

Compositions ฟังก์ชันประกอบ (วาดสามเหลี่ยมมุมฉากช่วยคิด)

$$\begin{gathered} \sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2} \\ \tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \end{gathered}$$

Two-argument arctangent (atan2) arctan สองอาร์กิวเมนต์

$$\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases} \arctan\frac{y}{x} & x \gt 0 \\ \arctan\frac{y}{x} + \pi & x \lt 0,\ y \ge 0 \\ \arctan\frac{y}{x} - \pi & x \lt 0,\ y \lt 0 \\ \pm\frac{\pi}{2} & x = 0,\ y \gtrless 0 \end{cases}$$

มุมเฟสของ $-1 - j$ คือ $\operatorname{atan2}(-1, -1) = -135^\circ$ ไม่ใช่ $\arctan(1) = 45^\circ$ ที่เครื่องคิดเลขตอบ

### ผลเฉลยทั่วไปของสมการตรีโกณ (General Solutions)

General solutions ผลเฉลยทุกค่า ($n \in \mathbb{Z}$)

$$\begin{gathered} \sin\theta = \sin\alpha \Rightarrow \theta = n\pi + (-1)^n\alpha \\ \cos\theta = \cos\alpha \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \alpha \\ \tan\theta = \tan\alpha \Rightarrow \theta = n\pi + \alpha \end{gathered}$$

ตัวอย่างที่ 5

### หา θ ทั้งหมดใน $[0, 2\pi)$ ที่ทำให้ $\sin\theta = -\tfrac12$

ดูวิธีทำ

มุมอ้างอิงคือ $\arcsin\tfrac12 = \tfrac{\pi}{6}$ และ sin ติดลบในจตุภาคที่ 3 กับ 4

$$\begin{gathered} \theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \\ \theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \end{gathered}$$

$\theta = \tfrac{7\pi}{6}$ (210°) และ $\tfrac{11\pi}{6}$ (330°) ส่วนเครื่องคิดเลขตอบ $\arcsin(-\tfrac12) = -30^\circ$ ซึ่งเป็นมุมร่วมแขนกับ 330°

## กฎของสามเหลี่ยมใด ๆ (Laws for Any Triangle)

ใช้กับสามเหลี่ยมทั่วไปที่ไม่จำเป็นต้องมีมุมฉาก ให้ด้าน a, b, c อยู่ตรงข้ามมุม A, B, C ตามลำดับ

Law of sines กฎของไซน์

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

R คือรัศมีวงกลมล้อมรอบ (circumradius)

Law of cosines กฎของโคไซน์

$$\begin{gathered} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \\ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{gathered}$$

เมื่อ C = 90° จะลดเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส

Law of tangents กฎของแทนเจนต์

$$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}$$

Projection formula สูตรภาพฉาย

$$a = b\cos C + c\cos B$$

Area (SAS) พื้นที่จากสองด้านกับมุมระหว่าง

$$\text{Area} = \tfrac12 ab\sin C$$

Heron’s formula สูตรของเฮรอน

$$\begin{gathered} \text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ s = \tfrac{a+b+c}{2} \end{gathered}$$

Triangle identities เมื่อ $A + B + C = \pi$

$$\begin{gathered} \tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C \\ \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C \end{gathered}$$

ตัวอย่างที่ 6

### สามเหลี่ยมมี a = 7, b = 8 และมุมระหว่างสองด้าน C = 60° หาด้าน c

ดูวิธีทำ

$$\begin{aligned} c^2 &= 7^2 + 8^2 - 2(7)(8)\cos60^\circ \\ &= 49 + 64 - 56 = 57 \end{aligned}$$

$c = \sqrt{57} \approx 7.550$ หน่วย ใช้แบบเดียวกันรวมแรงหรือเฟเซอร์สองตัวที่ทำมุมกัน

## อนุพันธ์ ปริพันธ์ และลิมิต (Calculus of Trigonometric Functions)

ทุกสูตรในหัวข้อนี้ใช้ได้เมื่อ x เป็นเรเดียนเท่านั้น ถ้าใช้องศาต้องคูณ $\tfrac{\pi}{180}$ เพิ่ม ดูต่อได้ในบทแคลคูลัสเบื้องต้น และวิธีอินทิเกรตทีละขั้นอยู่ในบทอินทิกรัล

Fundamental trigonometric limits ลิมิตพื้นฐาน

$$\begin{gathered} \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1 \\ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x} = 0 \\ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac12 \end{gathered}$$

Derivatives อนุพันธ์

$$\begin{aligned} (\sin x)' &= \cos x & (\cos x)' &= -\sin x \\ (\tan x)' &= \sec^2 x & (\cot x)' &= -\csc^2 x \\ (\sec x)' &= \sec x\tan x & (\csc x)' &= -\csc x\cot x \end{aligned}$$

Derivatives of inverse functions อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

$$\begin{gathered} (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2} \end{gathered}$$

Basic integrals ปริพันธ์พื้นฐาน (ละ + C)

$$\begin{aligned} \int\sin x\,dx &= -\cos x \\ \int\cos x\,dx &= \sin x \\ \int\tan x\,dx &= \ln|\sec x| \\ \int\cot x\,dx &= \ln|\sin x| \\ \int\sec x\,dx &= \ln|\sec x + \tan x| \\ \int\csc x\,dx &= -\ln|\csc x + \cot x| \\ \int\sec^2 x\,dx &= \tan x \\ \int\csc^2 x\,dx &= -\cot x \end{aligned}$$

Integrals of squares ปริพันธ์ของกำลังสอง

$$\begin{gathered} \int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \\ \int\cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \end{gathered}$$

Integrals giving inverse functions ปริพันธ์ที่ได้ฟังก์ชันผกผัน

$$\begin{gathered} \int\frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} \\ \int\frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac1a\arctan\frac{x}{a} \end{gathered}$$

## อนุกรมเทย์เลอร์และการประมาณมุมเล็ก (Taylor Series, Small-Angle Approximation)

Maclaurin series อนุกรมแมคลอริน

$$\begin{gathered} \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \\ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \end{gathered}$$

Series for tan and arctan อนุกรมของ tan และ arctan

$$\begin{gathered} \tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots \\ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots\ (|x| \le 1) \end{gathered}$$

Small-angle approximation การประมาณมุมเล็ก

$$\begin{gathered} \sin\theta \approx \theta \\ \tan\theta \approx \theta \\ \cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2} \end{gathered}$$

ใช้ทำให้สมการลูกตุ้ม $\ddot\theta + \tfrac{g}{L}\sin\theta = 0$ เป็นเชิงเส้น และใช้วิเคราะห์ระบบรอบจุดทำงาน

| มุม | θ (rad) | ผิดพลาดของ sin θ ≈ θ | ผิดพลาดของ tan θ ≈ θ | ผิดพลาดของ cos θ ≈ 1 − θ²/2 |

| 5° | 0.087266 | 0.127% | 0.254% | 0.0002% |

| 10° | 0.174533 | 0.510% | 1.017% | 0.0039% |

| 15° | 0.261799 | 1.152% | 2.295% | 0.0202% |

| 20° | 0.349066 | 2.060% | 4.095% | 0.0656% |

| 30° | 0.523599 | 4.720% | 9.310% | 0.3583% |

กฎง่าย ๆ: ถ้ายอมผิดได้ 1% ใช้ sin θ ≈ θ ได้ถึงราว 14° และ tan θ ≈ θ ได้ถึงราว 10°

ที่มาของอนุกรมเหล่านี้ รัศมีการลู่เข้า ขอบเขตความคลาดเคลื่อนลากรองจ์ และแล็บเลือกดีกรีเอง อยู่ที่ อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน (Taylor Series)

## ค่าเฉลี่ย RMS และความตั้งฉาก (Averages, RMS, Orthogonality)

สูตรกลุ่มนี้เป็นฐานของค่า RMS กำลังไฟฟ้าเฉลี่ย และอนุกรมฟูริเยร์ ทุกปริพันธ์คิดตลอดหนึ่งคาบ เรียนต่อเป็นขั้นตอนที่ ความตั้งฉากและสูตรออยเลอร์–ฟูเรียร์ และ กำลังไฟฟ้าเมื่อมีฮาร์มอนิก

Mean over a period ค่าเฉลี่ยในหนึ่งคาบ

$$\begin{gathered} \overline{\sin\theta} = \overline{\cos\theta} = 0 \\ \overline{\sin^2\theta} = \overline{\cos^2\theta} = \frac12 \end{gathered}$$

RMS of a sinusoid ค่า RMS ของคลื่นไซน์

$$V_{\text{rms}} = \sqrt{\overline{V_m^2\sin^2\omega t}} = \frac{V_m}{\sqrt2} \approx 0.7071\,V_m$$

ไฟบ้าน 230 V rms มีค่ายอดราว 325 V

Orthogonality relations ความตั้งฉากของไซน์ (m, n เป็นจำนวนเต็มบวก)

$$\begin{gathered} \int_0^{2\pi}\sin mx\,\sin nx\,dx = \int_0^{2\pi}\cos mx\,\cos nx\,dx \\ = \begin{cases} \pi & m = n \\ 0 & m \ne n \end{cases} \\ \int_0^{2\pi}\sin mx\,\cos nx\,dx = 0 \end{gathered}$$

Average AC power กำลังไฟฟ้าเฉลี่ย

$$\begin{gathered} v = V_m\cos\omega t,\quad i = I_m\cos(\omega t - \phi) \\ P = \overline{vi} = \frac{V_m I_m}{2}\cos\phi = V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos\phi \end{gathered}$$

ใช้สูตรผลคูณเป็นผลบวก แล้วพจน์ที่ความถี่ 2ω เฉลี่ยได้ศูนย์ เหลือ cos φ คือตัวประกอบกำลัง (power factor)

## ตารางค่า sin cos tan ทุก 0.05° ตั้งแต่ 0° ถึง 90°

ทั้งหมด 1,801 แถว คอลัมน์ซ้ายเป็นองศา ถัดมาเป็นเรเดียน แถวที่เป็นมุมพิเศษทำตัวเน้นและบอกค่าในรูป π ไว้ใต้ค่าเรเดียน ค่าทุกช่องปัดเป็นทศนิยม 6 ตำแหน่ง ส่วน tan ของมุมใกล้ 90° แสดงเลขนัยสำคัญ 7 หลัก

- มุมเกิน 90° ให้หามุมอ้างอิงก่อน แล้วใส่เครื่องหมายตาม ASTC เช่น $\sin 143.13^\circ = +\sin 36.87^\circ$

- csc, sec, cot ใช้ส่วนกลับของค่าในตาราง

- อ่านตารางกลับหัว ได้ด้วยโคฟังก์ชัน: $\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)$ ค่า cos ของแถว 20° จึงเท่ากับค่า sin ของแถว 70°

ค้นหามุม ↑

## คำถามที่พบบ่อย

จำค่า sin cos tan ของมุม 30° 45° 60° อย่างไรให้ไม่ลืม?
เขียน sin ของ 0°, 30°, 45°, 60°, 90° เป็น $\tfrac{\sqrt0}{2}, \tfrac{\sqrt1}{2}, \tfrac{\sqrt2}{2}, \tfrac{\sqrt3}{2}, \tfrac{\sqrt4}{2}$ คือ √ ของ 0 ถึง 4 หารด้วย 2 ส่วน cos คือลำดับเดียวกันแต่กลับหลัง และ tan = sin ÷ cos

ทำไมในแคลคูลัสต้องใช้มุมเป็นเรเดียน?
เพราะสูตร $\tfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$ มาจากลิมิต $\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x} = 1$ ซึ่งจริงเฉพาะเมื่อ x เป็นเรเดียน ถ้าใช้องศาจะได้ $\tfrac{d}{dx}\sin x^\circ = \tfrac{\pi}{180}\cos x^\circ$ มีตัวคูณเกินมา

หาค่า sin ของมุมที่มากกว่า 90° จากตาราง 0°–90° ได้อย่างไร?
หามุมอ้างอิง (reference angle) ซึ่งเป็นมุมแหลมระหว่างแขนมุมกับแกน x แล้วเปิดตาราง จากนั้นใส่เครื่องหมายตามจตุภาค ASTC เช่น $\sin 150^\circ = +\sin 30^\circ = 0.5$ และ $\cos 210^\circ = -\cos 30^\circ$

atan2 ต่างจาก arctan อย่างไร?
$\arctan(y/x)$ ให้มุมได้แค่ช่วง −90° ถึง 90° จึงแยก (1, 1) กับ (−1, −1) ไม่ออก ส่วน $\operatorname{atan2}(y, x)$ ดูเครื่องหมายของ x และ y แยกกัน จึงให้มุมถูกจตุภาคในช่วง −180° ถึง 180° ใช้หามุมเฟสของจำนวนเชิงซ้อนและเฟเซอร์

ตารางนี้ละเอียดแค่ไหน และใช้แทนเครื่องคิดเลขได้ไหม?
ตารางให้ค่าทุก 0.05° ปัดเป็นทศนิยม 6 ตำแหน่ง ถ้ามุมอยู่ระหว่างสองแถว ใช้ช่องค้นหาด้านบนตารางซึ่งคำนวณค่าจริงของมุมใดก็ได้ และหามุมจากค่า sin, cos หรือ tan ได้ด้วย

(The full 1,801-row sin/cos/tan table, 0°–90° every 0.05°, is on the page: https://modsengineeringmath.com/learn/trigonometry/#table — it can also be downloaded there as CSV.)

## FAQ

**จำค่า sin cos tan ของมุม 30° 45° 60° อย่างไรให้ไม่ลืม?**
เขียน sin ของ 0°, 30°, 45°, 60°, 90° เป็น $\tfrac{\sqrt0}{2}, \tfrac{\sqrt1}{2}, \tfrac{\sqrt2}{2}, \tfrac{\sqrt3}{2}, \tfrac{\sqrt4}{2}$ คือ √ ของ 0 ถึง 4 หารด้วย 2 ส่วน cos คือลำดับเดียวกันแต่กลับหลัง และ tan = sin ÷ cos

**ทำไมในแคลคูลัสต้องใช้มุมเป็นเรเดียน?**
เพราะสูตร $\tfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$ มาจากลิมิต $\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x} = 1$ ซึ่งจริงเฉพาะเมื่อ x เป็นเรเดียน ถ้าใช้องศาจะได้ $\tfrac{d}{dx}\sin x^\circ = \tfrac{\pi}{180}\cos x^\circ$ มีตัวคูณเกินมา

**หาค่า sin ของมุมที่มากกว่า 90° จากตาราง 0°–90° ได้อย่างไร?**
หามุมอ้างอิง (reference angle) ซึ่งเป็นมุมแหลมระหว่างแขนมุมกับแกน x แล้วเปิดตาราง จากนั้นใส่เครื่องหมายตามจตุภาค ASTC เช่น $\sin 150^\circ = +\sin 30^\circ = 0.5$ และ $\cos 210^\circ = -\cos 30^\circ$

**atan2 ต่างจาก arctan อย่างไร?**
$\arctan(y/x)$ ให้มุมได้แค่ช่วง −90° ถึง 90° จึงแยก (1, 1) กับ (−1, −1) ไม่ออก ส่วน $\operatorname{atan2}(y, x)$ ดูเครื่องหมายของ x และ y แยกกัน จึงให้มุมถูกจตุภาคในช่วง −180° ถึง 180° ใช้หามุมเฟสของจำนวนเชิงซ้อนและเฟเซอร์

**ตารางนี้ละเอียดแค่ไหน และใช้แทนเครื่องคิดเลขได้ไหม?**
ตารางให้ค่าทุก 0.05° ปัดเป็นทศนิยม 6 ตำแหน่ง ถ้ามุมอยู่ระหว่างสองแถว ใช้ช่องค้นหาด้านบนตารางซึ่งคำนวณค่าจริงของมุมใดก็ได้ และหามุมจากค่า sin, cos หรือ tan ได้ด้วย

---

# เวกเตอร์: จากแรงลัพธ์ถึงเฟสเซอร์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/
Updated: 2026-10-13
Summary: ชุดบทเรียนเวกเตอร์ภาษาไทยที่ครบที่สุด 20 หน้า: พื้นฐาน 2D/3D บวก ลบ องค์ประกอบ การฉาย ทิศทางโคไซน์ Dot/Cross product แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์ ระบบแรงและโมเมนต์ การหมุนแกน แขนกล สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก แรงลอเรนซ์ sin/cos เฟสเซอร์ และวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ พร้อมสตูดิโอเวกเตอร์ 3 มิติหมุนได้ แล็บกลศาสตร์ (ฟิสิกส์ 1) แล็บสนาม (ฟิสิกส์ 2) แล็บวงจร AC และเครื่องมือระดับโลก PhET GeoGebra Falstad

// บทที่ 6 · Vectors: Forces, Fields & Phasors · 20 หน้า

# เวกเตอร์: จากแรงลัพธ์ถึงเฟสเซอร์

เวกเตอร์คือภาษาเดียวกันของแรงในโครงสร้าง ข้อต่อของแขนกล สนามไฟฟ้ารอบประจุ แรงที่หมุนมอเตอร์ และแรงดันในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ ชุดบทเรียนนี้เริ่มจากลูกศรบนกระดาษ ไปจนถึงการวิเคราะห์ระดับวิศวกร: แตกแรงสามมิติด้วยทิศทางโคไซน์ รวมแรงด้วยกฎไซน์-โคไซน์ หาโมเมนต์และแรงปฏิกิริยา หมุนแกนพิกัด คำนวณแขนกล แล้วข้ามมาสู่สนามแม่เหล็กไฟฟ้าและเฟสเซอร์ ทุกหน้ามีแล็บ 3 มิติที่ลากหมุนได้

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

ในชุดนี้มีอะไร

- 20 หน้า 5 ส่วน: พื้นฐาน · ผลคูณ · แรงและกลศาสตร์ · ไฟฟ้า: สนามและเฟสเซอร์ · ห้องแล็บ

- 149 สูตรมีรหัสอ้างอิง และ 105 ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขแล้ว

- แล็บ 3 มิติ 13 ฉาก สตูดิโอเวกเตอร์ แล็บกลศาสตร์ 6 การทดลอง แล็บสนาม 8 การทดลอง แล็บวงจร AC 6 การทดลอง

- เชื่อมเครื่องมือระดับโลก PhET · GeoGebra · Falstad · MATLAB · Python

## เลือกเส้นทางเรียนตามเป้าหมาย

ทุกคนเริ่มที่นี่

### แกนกลาง: เวกเตอร์ 2D / 3D

- พื้นฐาน ขนาด ทิศทาง พิกัด

- บวก ลบ คูณสเกลาร์

- องค์ประกอบและการฉาย

- Dot product · Cross product

ฟิสิกส์ 1 · สแตติกส์ · เครื่องกล

### เส้นทางแรงและกลศาสตร์

- ทิศทางโคไซน์และแรงสามมิติ

- แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์

- ระบบแรง โมเมนต์ สมดุล

- หมุนแกนพิกัด → แขนกล

- แล็บกลศาสตร์ 6 การทดลอง

ฟิสิกส์ 2 · วิศวกรรมไฟฟ้า

### เส้นทางสนามและวงจร AC

- สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก แรงลอเรนซ์

- sin · cos ในไฟฟ้า AC

- พื้นฐานเฟสเซอร์

- วิเคราะห์วงจร AC ด้วยเฟสเซอร์

- แล็บสนาม · แล็บวงจร AC

ลูกศร (F, V, P)→มุมกับสามแกน (K)→กฎไซน์-โคไซน์ (R)→r × F (S, A)→E, B, v × B (M)→ไซน์ (W)→เฟสเซอร์ (H)→วงจร AC (Z)

## ทุกหน้าในชุดเวกเตอร์

ส่วนที่ 1

### พื้นฐานเวกเตอร์ 2D / 3D Vector Basics
ขนาด ทิศทาง พิกัด บวก ลบ คูณสเกลาร์ แตกองค์ประกอบ การฉาย และทิศทางโคไซน์ของแรงสามมิติ

→6.1
เวกเตอร์ ขนาด ทิศทาง และพิกัด 2D/3D
Vector foundations
แยกสเกลาร์กับเวกเตอร์ พิกัด จุดต้นปลาย ขนาด เวกเตอร์หนึ่งหน่วย และทิศทางสามมิติ
เปิดหน้า →สูตร F1, F2, …

+6.2
การบวก ลบ และคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์
Vector operations
ต่อหัวกับหาง กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน แรงลัพธ์ และการคำนวณทีละองค์ประกอบ
เปิดหน้า →สูตร V1, V2, …

⊥6.3
องค์ประกอบและการฉายเวกเตอร์
Components & projection
แตกแรงตามแกน ฉายบนทิศที่ไม่ใช่เวกเตอร์หนึ่งหน่วย และแยกส่วนขนานกับตั้งฉาก
เปิดหน้า →สูตร P1, P2, …

cos γ6.4
ทิศทางโคไซน์และการแตกแรงสามมิติ: α β γ มุมราบ-มุมเงย และแรงตามแนวเส้น
Direction cosines & 3D force components
มุม α β γ กับสามแกน cos²α + cos²β + cos²γ = 1 แตกแรงสองขั้นด้วยมุมราบ-มุมเงย แรงตามสายเคเบิลจากพิกัดสองจุด และฉาก 3 มิติหมุนดูได้
เปิดหน้า →สูตร K1, K2, …

ส่วนที่ 2

### ผลคูณของเวกเตอร์ Dot & Cross Products
Dot product สำหรับมุม งาน และการฉาย · Cross product สำหรับพื้นที่ แรงบิด และทิศตั้งฉาก

·6.5
ผลคูณจุดและมุมระหว่างเวกเตอร์
Dot product
ความหมายเชิงเรขาคณิต พิสูจน์สูตร หามุม ความตั้งฉาก และงานของแรง
เปิดหน้า →สูตร D1, D2, …

×6.6
ผลคูณไขว้ กฎมือขวา พื้นที่และปริมาตร
Cross product
คำนวณสามมิติ ลำดับและเครื่องหมาย พื้นที่เวกเตอร์ และผลคูณสามชั้น
เปิดหน้า →สูตร C1, C2, …

ส่วนที่ 3

### แรงและกลศาสตร์ Forces & Mechanics
แรงลัพธ์ด้วยกฎของไซน์-โคไซน์ ระบบแรงและโมเมนต์ การหมุนแกนพิกัด และเวกเตอร์ในแขนกล

R²6.7
แรงลัพธ์ด้วยกฎของโคไซน์และกฎของไซน์: สี่เหลี่ยมด้านขนาน สามเหลี่ยมแรง และการแตกแรงตามแนวเฉียง
Resultant forces: laws of sines & cosines
พิสูจน์กฎโคไซน์จากเวกเตอร์ รวมสองแรงด้วยสามเหลี่ยมแรง หาทิศด้วยกฎไซน์และกรณีกำกวม แตกแรงตามสองแนวที่ไม่ตั้งฉาก สามแรงขึ้นไปด้วยองค์ประกอบ และทฤษฎีของลามี
เปิดหน้า →สูตร R1, R2, …

ΣM6.8
ระบบแรง: โมเมนต์ แรงคู่ควบ ระบบสมมูล แรงลัพธ์เดี่ยว และสมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง
Force systems, moments & equilibrium
แรงร่วมจุด แรงในระนาบ โมเมนต์ M = r × F และทฤษฎีวาริยอง แรงคู่ควบ ย้ายแรงเป็นระบบแรง-แรงคู่ควบ แรงลัพธ์เดี่ยว แผนภาพวัตถุอิสระ และแรงปฏิกิริยาของคาน
เปิดหน้า →สูตร S1, S2, …

R(θ)6.9
การหมุนแกนพิกัด 2D/3D: เมทริกซ์หมุน มุมออยเลอร์ และการเปลี่ยนกรอบอ้างอิง
Rotation of axes & rotation matrices
องค์ประกอบเดียวกันในสองกรอบ หมุนแกนกับหมุนเวกเตอร์ เมทริกซ์หมุนตั้งฉาก RᵀR = I มุมออยเลอร์ Z-Y-X สูตรโรดริเกส พื้นเอียง และกรอบ dq ของมอเตอร์
เปิดหน้า →สูตร T1, T2, …

J6.10
เวกเตอร์ในแขนกล: จลนศาสตร์ไปข้างหน้า-ย้อนกลับ Jacobian ความเร็ว และแรงบิดข้อต่อ
Vectors in robot arms
ตำแหน่งปลายแขนเป็นผลบวกเวกเตอร์ของข้อแขน FK/IK ของแขน 2 ข้อต่อ แขน 3 มิติ Jacobian v = Jθ̇ ภาวะเอกฐาน และ τ = JᵀF สำหรับเลือกมอเตอร์
เปิดหน้า →สูตร A1, A2, …

τ6.11
การประยุกต์เวกเตอร์ทางวิศวกรรม
Engineering applications
แรงในสายเคเบิล งาน แรงบิด แรงแม่เหล็ก และการเคลื่อนที่ของหุ่นยนต์ พร้อมหน่วยและข้อสมมติ
เปิดหน้า →สูตร E1, E2, …

ส่วนที่ 4

### ไฟฟ้า: สนามและเฟสเซอร์ Fields & Phasors
สนามไฟฟ้า สนามแม่เหล็ก แรงลอเรนซ์ ความสัมพันธ์ sin–cos เฟสเซอร์ และการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ

E·B6.12
เวกเตอร์ในสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก: คูลอมบ์ การซ้อนทับ ลอเรนซ์ F = IL × B และแรงบิดของมอเตอร์
Vectors in electromagnetic fields
แรงคูลอมบ์เชิงเวกเตอร์ สนามจากประจุหลายตัว ศักย์สเกลาร์ ฟลักซ์ Φ = B·A แรงลอเรนซ์ แรงบนลวด สนามจากลวดตรง แรงระหว่างลวดขนาน และแรงบิดบนขดลวด τ = m × B
เปิดหน้า →สูตร M1, M2, …

∿6.13
ความสัมพันธ์ของ sin และ cos ในไฟฟ้ากระแสสลับ: แอมพลิจูด เฟส นำหน้า-ตามหลัง และค่า RMS
Sine & cosine in AC circuits
v(t) = Vm sin(ωt + φ) ความถี่ คาบ ω เปลี่ยน sin เป็น cos ด้วย ±90° หาความต่างเฟสและนำหน้า-ตามหลัง รวม A cos + B sin เป็นไซน์เดียว ค่าเฉลี่ยและ RMS
เปิดหน้า →สูตร W1, W2, …

V∠φ6.14
พื้นฐานเฟสเซอร์: เวกเตอร์หมุน สูตรออยเลอร์ จำนวนเชิงซ้อน และการบวกไซน์ด้วยเวกเตอร์
Phasor fundamentals
เฟสเซอร์คือลูกศรหมุนที่หยุดไว้ที่ t = 0 สูตรออยเลอร์ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและเชิงขั้ว บวก คูณ หาร อนุพันธ์เป็น jω และการบวกไซน์ความถี่เดียวกันด้วยกฎโคไซน์
เปิดหน้า →สูตร H1, H2, …

Z6.15
วิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: อิมพีแดนซ์ KVL KCL เชิงเวกเตอร์ แผนภาพเฟสเซอร์ กำลัง และเรโซแนนซ์
AC circuit analysis with phasors
อิมพีแดนซ์ R jX_L −jX_C วงจรอนุกรม ขนาน และผสม KVL/KCL เป็นการบวกเวกเตอร์ แผนภาพเฟสเซอร์ กำลังเชิงซ้อน S = VI* การแก้ PF เรโซแนนซ์ และ nodal analysis
เปิดหน้า →สูตร Z1, Z2, …

ส่วนที่ 5

### ห้องแล็บและเครื่องมือ Labs & Tools
สตูดิโอเวกเตอร์ 3 มิติ แล็บกลศาสตร์แบบฟิสิกส์ 1 แล็บสนามแบบฟิสิกส์ 2 แล็บวงจร AC และเครื่องมือระดับโลก

↗6.16
สตูดิโอเวกเตอร์ 2D/3D: วาด หมุนแกน วิเคราะห์ และส่งออกไป GeoGebra MATLAB Python
Vector Studio 2D/3D
หมุนมุมมอง 3 มิติด้วยการลาก มุมมอง xy xz yz ผลรวม หัวต่อหาง กล่ององค์ประกอบ มุม α β γ projection cross กรอบหมุนมุมออยเลอร์ และเครื่องคิดเลขเวกเตอร์เดิม
เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ 3 มิติ

⚖6.17
แล็บกลศาสตร์เสมือน (ฟิสิกส์ 1): โต๊ะแรง สามเหลี่ยมแรง เชือกแขวน พื้นเอียง คาน และแขนกล
Virtual mechanics lab (Physics 1)
ทดลองโต๊ะแรงหาแรงสมดุลพร้อม %error กฎไซน์-โคไซน์ ทฤษฎีลามี พื้นเอียงกับแรงเสียดทาน ระบบแรงบนคาน และแขนกล พร้อมใบงานแบบรายงานแล็บ
เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ + ใบงาน

E6.18
แล็บสนามไฟฟ้าและแม่เหล็กเสมือน (ฟิสิกส์ 2): ประจุจุด เส้นแรง ศักย์ ลวดตัวนำ และแรงลอเรนซ์
Virtual electric & magnetic field lab (Physics 2)
ลากประจุแล้วเห็นเวกเตอร์สนาม เส้นแรง เส้นศักย์เท่า และการซ้อนทับที่จุด P สนามจากลวดตรง แรงระหว่างลวด และอนุภาคในสนาม E กับ B
เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ + ใบงาน

∠6.19
แล็บวงจรไฟฟ้ากระแสสลับเสมือน: เฟสเซอร์หมุน บวกไซน์ วงจร RLC และเครื่องคิดเลขจำนวนเชิงซ้อน
Virtual AC circuit lab
เฟสเซอร์หมุนกับรูปคลื่น บวกไซน์ด้วยเวกเตอร์ วงจร RLC อนุกรม ขนาน และแก้ PF พร้อมแผนภาพเฟสเซอร์ สามเหลี่ยมกำลัง ผลตอบสนองเชิงความถี่ และเครื่องคิดเลขเชิงซ้อน
เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ + ใบงาน

⊕6.20
เครื่องมือระดับโลกสำหรับเวกเตอร์ สนาม และวงจร AC: PhET GeoGebra Falstad MATLAB Python
World-class vector tools
เปิดซิมูเลชัน PhET GeoGebra 3D และ Falstad ในหน้าเดียว วิธีใช้ให้ได้ผลกับบทเรียน ส่งออกเวกเตอร์ไป GeoGebra MATLAB Python และตารางเลือกเครื่องมือ
เปิดหน้า →ฝังเครื่องมือจริง + วิธีใช้

## เลือกเครื่องมือให้ตรงกับคำถาม

| คำถาม | เครื่องมือ | ชนิดคำตอบ |

| สองแรงรวมกันได้เท่าไร ชี้ไปไหน? | กฎโคไซน์ + กฎไซน์ | ขนาด (N) และมุม |

| แรงหลายแรงในสามมิติรวมเป็นเท่าไร? | องค์ประกอบ + ทิศทางโคไซน์ | เวกเตอร์ R และ α β γ |

| แรงส่วนที่ดึงตามราง/ตามแนวมีเท่าใด? | Projection หรือ แตกแรงตามแนวเฉียง | สเกลาร์มีเครื่องหมาย / เวกเตอร์ |

| สองทิศทำมุมกันเท่าใด? แรงทำงานเท่าใด? | Dot product | มุม / งาน (J) |

| แรงทำให้หมุนรอบจุด/แกนเท่าใด? | M = r × F, u·(r × F) | โมเมนต์ (N·m) |

| เวกเตอร์เดียวกันในกรอบที่เอียงคือเท่าไร? | เมทริกซ์หมุน | องค์ประกอบใหม่ |

| ปลายแขนกลอยู่ที่ไหน มอเตอร์ต้องแรงแค่ไหน? | FK/IK, τ = JᵀF | ตำแหน่ง / แรงบิดข้อต่อ |

| ประจุหรือลวดได้แรงเท่าไร? | คูลอมบ์, q v × B, I L × B | เวกเตอร์แรง (N) |

| แรงดัน/กระแส AC สองตัวรวมกันได้เท่าไร? | เฟสเซอร์ | ขนาดและมุมเฟส |

| วงจร RLC กินกระแสเท่าไร PF เท่าไร? | อิมพีแดนซ์ + S = VI* | I, P, Q, PF |

## ห้องแล็บและเครื่องมือ

สตูดิโอ 3 มิติ

### สตูดิโอเวกเตอร์ 2D / 3D
หมุนแกน ผลรวม α β γ projection cross กรอบหมุน ส่งออก GeoGebra MATLAB Python

ฟิสิกส์ 1 · 6 การทดลอง

### แล็บกลศาสตร์เสมือน
โต๊ะแรง กฎไซน์-โคไซน์ เชือกแขวน พื้นเอียง คาน แขนกล พร้อมใบงาน

ฟิสิกส์ 2 · 8 การทดลอง

### แล็บสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก
ลากประจุ เส้นแรง ศักย์ ซ้อนทับ ลวดตัวนำ แรงลอเรนซ์

วงจรไฟฟ้า · 6 การทดลอง

### แล็บวงจร AC
เฟสเซอร์หมุน บวกไซน์ RLC เรโซแนนซ์ แก้ PF เครื่องคิดเลขเชิงซ้อน

ระดับโลก

### PhET · GeoGebra · Falstad
เปิดซิมูเลชันชั้นนำในหน้าเดียว พร้อมภารกิจที่ตรงกับบทเรียน

## ดัชนีสูตรที่ค้นหาและอ้างอิงได้

รหัส F พื้นฐาน · V การดำเนินการ · P องค์ประกอบ/การฉาย · K ทิศทางโคไซน์ · D Dot · C Cross · R แรงลัพธ์ · S ระบบแรง · T หมุนแกน · A แขนกล · E งานวิศวกรรม · M สนาม · W ไซน์ · H เฟสเซอร์ · Z วงจร AC คลิกสูตรเพื่ออ่านเงื่อนไขและตัวอย่างเต็ม

## วิธีตรวจคำตอบที่ใช้ได้ทุกบท

- วาดก่อนคำนวณ — ลูกศรคร่าว ๆ บอกเครื่องหมายขององค์ประกอบและควอดแรนต์ล่วงหน้า
- สองวิธีต้องตรงกัน — ตรีโกณมิติ (กฎไซน์-โคไซน์) กับองค์ประกอบ หรือรูปเชิงขั้วกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
- ตรวจขอบเขต — $|F_1-F_2|\le R\le F_1+F_2$, $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$, $\det R=1$
- ตรวจหน่วย — โมเมนต์ N·m, งาน J, สนาม N/C หรือ T, กำลัง W var VA
- ตรวจด้วยแล็บ — ทุกตัวอย่างในชุดนี้ตั้งค่าในแล็บได้ ตัวเลขต้องตรงกัน

## เอกสารค้นคว้าต่อ

- OpenStax Calculus Volume 3 บทที่ 2: Vectors in Space

- OpenStax University Physics Vol. 1 บทที่ 2 Vectors และบทที่ 12 Static Equilibrium

- OpenStax University Physics Vol. 2 บทที่ 5, 11, 15: สนามไฟฟ้า แรงแม่เหล็ก วงจร AC

- Engineering Statics: Open and Interactive · Modern Robotics

- คู่มือและสรุปสูตรแบบ Markdown สำหรับอ่าน ค้นคว้า และผู้ช่วย AI

## ต่อยอดจากเวกเตอร์

เขียนเวกเตอร์เป็นคอลัมน์แล้วต่อยอดสู่ พีชคณิตเชิงเส้น สมการสมดุลหลายตัวแปรแก้ด้วย ระบบสมการเชิงเส้น เฟสเซอร์ต่อยอดสู่ เพาเวอร์แฟกเตอร์ และ ระบบสามเฟส ส่วนแขนกลต่อยอดสู่ ระบบควบคุมหุ่นยนต์

## คำถามที่พบบ่อย

ควรเริ่มเรียนเวกเตอร์จากตรงไหน?
เริ่มที่พื้นฐาน 2D/3D การบวกลบ และองค์ประกอบ แล้วเลือกเส้นทางตามสาขา: สายกลศาสตร์ไปต่อทิศทางโคไซน์ แรงลัพธ์ ระบบแรง และแขนกล สายไฟฟ้าไปต่อ Dot/Cross สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก sin/cos เฟสเซอร์ และวงจร AC ทุกหน้ามีแล็บให้ทดลองควบคู่

เวกเตอร์เกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับอย่างไร?
สัญญาณไซน์ความถี่เดียวกันแทนได้ด้วยเวกเตอร์สองมิติที่เรียกว่าเฟสเซอร์ การบวกแรงดันหรือกระแส AC จึงเป็นการบวกเวกเตอร์ ใช้กฎโคไซน์เดียวกับการหาแรงลัพธ์ KVL และ KCL ของวงจร AC คือรูปหลายเหลี่ยมเวกเตอร์ที่ปิด

แล็บ 3 มิติใช้อย่างไร?
ลากบนภาพเพื่อหมุนมุมมอง กดปุ่ม xy xz yz เพื่อมองจากบน หน้า ข้าง ปุ่ม ⟳ หมุนอัตโนมัติ และปรับแถบเลื่อนเพื่อเปลี่ยนค่า ตัวเลขด้านข้างแสดงวิธีคำนวณทีละขั้น สตูดิโอเวกเตอร์ยังส่งออกคำสั่งไป GeoGebra MATLAB และ Python ได้

Dot product กับ Cross product เลือกใช้อย่างไร?
Dot product ให้สเกลาร์ ใช้หามุม งาน การฉาย และฟลักซ์ ส่วน Cross product ในสามมิติให้เวกเตอร์ตั้งฉาก ใช้หาพื้นที่ โมเมนต์ แรงแม่เหล็ก F = IL × B และแรงบิดของมอเตอร์ τ = m × B

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ควรเริ่มเรียนเวกเตอร์จากตรงไหน?**
เริ่มที่พื้นฐาน 2D/3D การบวกลบ และองค์ประกอบ แล้วเลือกเส้นทางตามสาขา: สายกลศาสตร์ไปต่อทิศทางโคไซน์ แรงลัพธ์ ระบบแรง และแขนกล สายไฟฟ้าไปต่อ Dot/Cross สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก sin/cos เฟสเซอร์ และวงจร AC ทุกหน้ามีแล็บให้ทดลองควบคู่

**เวกเตอร์เกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับอย่างไร?**
สัญญาณไซน์ความถี่เดียวกันแทนได้ด้วยเวกเตอร์สองมิติที่เรียกว่าเฟสเซอร์ การบวกแรงดันหรือกระแส AC จึงเป็นการบวกเวกเตอร์ ใช้กฎโคไซน์เดียวกับการหาแรงลัพธ์ KVL และ KCL ของวงจร AC คือรูปหลายเหลี่ยมเวกเตอร์ที่ปิด

**แล็บ 3 มิติใช้อย่างไร?**
ลากบนภาพเพื่อหมุนมุมมอง กดปุ่ม xy xz yz เพื่อมองจากบน หน้า ข้าง ปุ่ม ⟳ หมุนอัตโนมัติ และปรับแถบเลื่อนเพื่อเปลี่ยนค่า ตัวเลขด้านข้างแสดงวิธีคำนวณทีละขั้น สตูดิโอเวกเตอร์ยังส่งออกคำสั่งไป GeoGebra MATLAB และ Python ได้

**Dot product กับ Cross product เลือกใช้อย่างไร?**
Dot product ให้สเกลาร์ ใช้หามุม งาน การฉาย และฟลักซ์ ส่วน Cross product ในสามมิติให้เวกเตอร์ตั้งฉาก ใช้หาพื้นที่ โมเมนต์ แรงแม่เหล็ก F = IL × B และแรงบิดของมอเตอร์ τ = m × B

---

# วิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับด้วยเฟสเซอร์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/ac-circuits/
Updated: 2026-10-13
Summary: วิเคราะห์วงจร AC ภาษาไทยครบขั้นตอน: แปลงโดเมนเวลาเป็นเฟสเซอร์ อิมพีแดนซ์ของ R L C แอดมิตแตนซ์ วงจร RL ของมอเตอร์ วงจร RLC อนุกรมที่แรงดันคร่อม C มากกว่าแหล่งจ่าย วงจรขนานและ KCL แผนภาพเฟสเซอร์ KVL ต่อหัวต่อหาง กำลังเชิงซ้อน S = VI* สามเหลี่ยมกำลัง แก้เพาเวอร์แฟกเตอร์ด้วยตัวเก็บประจุ เรโซแนนซ์ Q แบนด์วิดท์ วงจรกรองความถี่ต่ำ และเฟสเซอร์สามเฟส พร้อมแล็บวงจร RLC และกราฟผลตอบสนองความถี่

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 4 · AC circuit analysis with phasors

# วิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับด้วยเฟสเซอร์

บทนี้คือจุดที่ทุกอย่างมาบรรจบ: เวกเตอร์ (การบวกหัวต่อหาง) ตรีโกณมิติ (กฎโคไซน์) และจำนวนเชิงซ้อน (การคูณหาร) รวมเป็นวิธีวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับที่วิศวกรใช้ทุกวัน ตั้งแต่มอเตอร์ในบ้าน วงจร RLC เรโซแนนซ์ การแก้เพาเวอร์แฟกเตอร์ในโรงงาน ไปจนถึงวงจรกรองสัญญาณ ทุกตัวอย่างตรวจด้วยตัวเลขและเปิดในแล็บได้ทันที

สรุปใน 30 วินาที

- $Z_R=R,\ Z_L=j\omega L,\ Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}=-\dfrac{j}{\omega C}$; $\mathbf V=Z\mathbf I$

- KVL/KCL เป็นการบวกเวกเตอร์ — ผลรวมขนาดไม่เท่ากับขนาดผลรวม

- $\mathbf S=\mathbf V\mathbf I^*=P+jQ$, PF = $\cos(\varphi_v-\varphi_i)$

- เรโซแนนซ์ $f_0=1/(2\pi\sqrt{LC})$, $Q=\omega_0L/R$, แรงดันคร่อม L และ C = Q เท่าของแหล่งจ่าย

## 1. ขั้นตอนวิเคราะห์ห้าขั้น พื้นฐาน

① เขียนแหล่งจ่ายเป็นเฟสเซอร์→② แปลง R L C เป็น Z→③ แก้วงจรเหมือน DC แต่ใช้จำนวนเชิงซ้อน→④ วาดแผนภาพเฟสเซอร์ตรวจ→⑤ แปลงกลับเป็น v(t), i(t) / หากำลัง

กฎของโอห์ม การต่ออนุกรม-ขนาน ตัวแบ่งแรงดัน KVL KCL nodal และ mesh analysis ที่เรียนในวงจร DC ใช้ได้ทั้งหมด เพียงแต่ตัวเลขทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน (เวกเตอร์สองมิติที่คูณหารได้) ทักษะที่ต้องฝึกคือ การคำนวณเฟสเซอร์ และการวาดแผนภาพเพื่อตรวจคำตอบ

## 2. อิมพีแดนซ์และแอดมิตแตนซ์ พื้นฐาน

Z1 Element impedances อิมพีแดนซ์ของ R L C

$$Z_R=R,\qquad Z_L=j\omega L=jX_L,\qquad Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-jX_C,\qquad X_L=2\pi fL,\quad X_C=\frac{1}{2\pi fC}$$

R: แรงดันร่วมเฟสกับกระแส · L: แรงดันนำหน้า 90° · C: แรงดันตามหลัง 90° (ELI the ICE man) X_L เพิ่มตามความถี่ X_C ลดตามความถี่

Z2 Combining impedances อนุกรม ขนาน และแอดมิตแตนซ์

$$Z_{\text{series}}=\sum Z_k,\qquad \frac{1}{Z_{\text{par}}}=\sum\frac{1}{Z_k},\qquad Z=R+jX=|Z|\angle\theta_Z,\qquad Y=\frac1Z=G+jB$$

θ_Z > 0 = วงจรแบบเหนี่ยวนำ (กระแสตามหลัง) θ_Z < 0 = แบบตัวเก็บประจุ ขนานหลายสาขาใช้ Y บวกกันง่ายกว่า

## 3. วงจร RL อนุกรม: มอเตอร์ในบ้าน พื้นฐาน

ตัวอย่าง Z-1 · มอเตอร์ 220 V 50 Hz

### มอเตอร์จำลองเป็น R = 30 Ω อนุกรม L = 127 mH ต่อกับ 220∠0° V (RMS) 50 Hz จงหากระแส มุมเฟส กำลัง และ PF

- $X_L=2\pi(50)(0.127)=39.90\ \Omega$ → $Z=30+j39.90=49.92\angle53.06^\circ\ \Omega$

- $\mathbf I=\dfrac{220\angle0^\circ}{49.92\angle53.06^\circ}=4.407\angle-53.06^\circ$ A กระแสตามหลัง 53°

- $\mathbf S=\mathbf V\mathbf I^*=220(4.407\angle53.06^\circ)=969.6\angle53.06^\circ=582.7+j775.0$ VA

- PF = cos 53.06° = 0.601 ตามหลัง — P = 582.7 W (ตรวจ: $I^2R=4.407^2\times30$ ✓)

I = 4.41 A ตามหลัง 53.1° · P = 583 W · Q = 775 var · PF = 0.60

## 4. วงจร RLC อนุกรมและ KVL เชิงเวกเตอร์ กลาง

Z3 Series RLC วงจร RLC อนุกรม

$$Z=R+j(X_L-X_C),\qquad \mathbf I=\frac{\mathbf V_s}{Z},\qquad \mathbf V_s=\mathbf V_R+\mathbf V_L+\mathbf V_C\ \ (\text{บวกเวกเตอร์}),\qquad \mathbf V_k=\mathbf V_s\frac{Z_k}{Z}$$

ตัวอย่าง Z-2 · แรงดันคร่อม C มากกว่าแหล่งจ่าย

### R = 30 Ω, L = 127 mH, C = 53 μF ต่ออนุกรมกับ 220∠0° V 50 Hz จงหากระแสและแรงดันคร่อมแต่ละตัว

- $X_L=39.90\ \Omega$, $X_C=1/(2\pi\cdot50\cdot53\times10^{-6})=60.06\ \Omega$

- $Z=30+j(39.90-60.06)=30-j20.16=36.14\angle-33.90^\circ\ \Omega$ (แบบตัวเก็บประจุ)

- $\mathbf I=220/36.14\angle-33.90^\circ=6.087\angle33.90^\circ$ A กระแสนำหน้า

- $\mathbf V_R=182.6\angle33.90^\circ$, $\mathbf V_L=6.087\angle33.90^\circ\times39.90\angle90^\circ=242.8\angle123.90^\circ$, $\mathbf V_C=365.6\angle-56.10^\circ$ V

- KVL ตรวจแบบเวกเตอร์: $(151.6+j101.8)+(-135.5+j201.6)+(203.9-j303.4)=220.0+j0$ ✓ แต่ผลรวมขนาด 182.6 + 242.8 + 365.6 = 791 V

I = 6.09∠33.9° A · V_C = 366 V มากกว่าแหล่งจ่าย 220 V — ต้องเลือกพิกัดแรงดันตัวเก็บประจุจากค่านี้ ไม่ใช่ 220 V

KVL ของวงจร AC คือรูปหลายเหลี่ยมเวกเตอร์ปิด เหมือนรูปหลายเหลี่ยมแรงบนโต๊ะแรง (สเกลประมาณ)

## 5. วงจรขนานและ KCL เชิงเวกเตอร์ กลาง

Z4 Parallel branches วงจรขนาน

$$\mathbf I=\mathbf I_R+\mathbf I_L+\mathbf I_C=\mathbf V\Big(\frac1R+\frac{1}{j\omega L}+j\omega C\Big)=\mathbf V\,Y$$

ตัวอย่าง Z-3 · ฮีตเตอร์ + บัลลาสต์ + ตัวเก็บประจุ

### 220∠0° V 50 Hz ต่อขนาน R = 44 Ω (ฮีตเตอร์ 1.1 kW), L = 0.14 H และ C = 30 μF จงหากระแสสายรวม

- $\mathbf I_R=5\angle0^\circ$, $\mathbf I_L=220/(j43.98)=-j5.002$, $\mathbf I_C=j(314.16)(30\times10^{-6})(220)=j2.073$ A

- KCL: $\mathbf I=5-j2.929=5.795\angle-30.36^\circ$ A

- $Z=220/\mathbf I=37.97\angle30.36^\circ\ \Omega$, PF = cos 30.36° = 0.863 ตามหลัง

I = 5.80 A — น้อยกว่าผลรวมขนาด 5 + 5 + 2.07 = 12.07 A มาก เพราะ I_L กับ I_C หักล้างกัน

## 6. กำลังเชิงซ้อนและสามเหลี่ยมกำลัง กลาง

Z5 Complex power กำลังเชิงซ้อน (เฟสเซอร์ RMS)

$$\mathbf S=\mathbf V\mathbf I^*=P+jQ,\qquad P=VI\cos\theta,\quad Q=VI\sin\theta,\quad |\mathbf S|=VI,\quad \text{PF}=\frac{P}{|\mathbf S|}=\cos\theta,\ \ \theta=\varphi_v-\varphi_i$$

ใช้ conjugate ของกระแสเพื่อให้มุมของ S เท่ากับความต่างเฟส ไม่ใช่ผลบวกเฟส P (W) ทำงานจริง Q (var) ไหลไปกลับ |S| (VA) คือขนาดที่สายและหม้อแปลงต้องรองรับ — สามเหลี่ยมกำลัง

Z6 Power-factor correction แก้ PF ด้วยตัวเก็บประจุขนาน

$$Q_C=P(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2),\qquad C=\frac{Q_C}{\omega V^2}$$

ตัวอย่าง Z-4 · แก้ PF ของมอเตอร์ Z-1 เป็น 0.95

### มอเตอร์ P = 582.7 W, PF 0.601 ตามหลัง ที่ 220 V 50 Hz ต้องใช้ตัวเก็บประจุขนานเท่าใด กระแสสายเหลือเท่าใด

- $\tan\varphi_1=\tan(\arccos0.601)=1.330$, $\tan\varphi_2=\tan(\arccos0.95)=0.3287$

- $Q_C=582.7(1.330-0.3287)=583.4$ var

- $C=583.4/(314.16\times220^2)=38.4\ \mu$F → เลือกค่ามาตรฐาน 40 μF

- เวกเตอร์กระแส: $\mathbf I=\mathbf I_{\text{motor}}+\mathbf I_C$ ส่วนจินตภาพตามหลังถูก I_C หักล้าง กระแสสายลดจาก 4.41 A เหลือ 2.79 A

C ≈ 38 μF (ใช้ 40 μF ได้ PF 0.961) — กระแสลด 37% กำลังจริงเท่าเดิม ลองตัวอย่าง “แก้ PF ด้วย C” ในแล็บ

## 7. เรโซแนนซ์ Q และแบนด์วิดท์ ขั้นสูง

Z7 Series resonance เรโซแนนซ์อนุกรม

$$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\quad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},\quad Q=\frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac LC},\quad \text{BW}=\frac{f_0}{Q}=\frac{R}{2\pi L},\quad |\mathbf V_L|=|\mathbf V_C|=Q|\mathbf V_s|$$

ที่ f₀ เฟสเซอร์ V_L กับ V_C ยาวเท่ากันและชี้สวนกัน หักล้างกันพอดี Z = R ต่ำสุด กระแสสูงสุดร่วมเฟส วงจรขนานกลับกัน: อิมพีแดนซ์สูงสุด

ตัวอย่าง Z-5 · เรโซแนนซ์ที่ 159 Hz

### R = 10 Ω, L = 100 mH, C = 10 μF ต่ออนุกรมกับแหล่งจ่าย 10 V จงหา f₀, Q, BW และแรงดันคร่อม L ที่เรโซแนนซ์

- $f_0=1/(2\pi\sqrt{0.1\times10^{-5}})=159.2$ Hz

- $Q=\omega_0L/R=(1000)(0.1)/10=10$, $\text{BW}=159.2/10=15.9$ Hz

- $I=10/10=1$ A, $|\mathbf V_L|=|\mathbf V_C|=QV=100$ V

แหล่งจ่าย 10 V แต่ L และ C แต่ละตัวมี 100 V — อันตรายจริงในตัวกรองฮาร์มอนิกและวงจรเรโซแนนซ์ ดู ฮาร์มอนิกกับตู้คาปาซิเตอร์

## 8. ตัวแบ่งแรงดันเชิงซ้อน: วงจรกรองความถี่ต่ำ RC กลาง

Z8 RC low-pass filter ตัวแบ่งแรงดันเชิงซ้อน

$$H(j\omega)=\frac{\mathbf V_o}{\mathbf V_i}=\frac{Z_C}{R+Z_C}=\frac{1}{1+j\omega RC},\qquad f_c=\frac{1}{2\pi RC},\qquad |H(f_c)|=\frac{1}{\sqrt2},\ \angle H(f_c)=-45^\circ$$

ตัวอย่าง Z-6 · กรองสัญญาณเซนเซอร์

### R = 1 kΩ, C = 0.1 μF จงหา f_c และอัตราขยายที่ 1 kHz

- $f_c=1/(2\pi\cdot1000\cdot10^{-7})=1591.5$ Hz

- ที่ 1 kHz: $\omega RC=0.6283$ → $H=1/(1+j0.6283)=0.8467\angle-32.14^\circ$

ผ่าน 84.7% ของแอมพลิจูด ล่าช้า 32° — ต่อยอดที่ กราฟโบด

## 9. เฟสเซอร์สามเฟส: เวกเตอร์สามตัวที่รวมเป็นศูนย์ กลาง

Z9 Balanced three-phase set เฟสเซอร์สามเฟสสมดุล

$$\mathbf V_a=V\angle0^\circ,\ \mathbf V_b=V\angle-120^\circ,\ \mathbf V_c=V\angle120^\circ,\qquad \mathbf V_a+\mathbf V_b+\mathbf V_c=\mathbf 0,\qquad \mathbf V_{ab}=\sqrt3\,V\angle30^\circ$$

สามเวกเตอร์ที่ห่างกัน 120° ต่อหัวต่อหางเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าปิดพอดี กระแสสายนิวทรัลของโหลดสมดุลจึงเป็นศูนย์ แรงดันระหว่างสาย 230 × √3 = 400 V — ต่อใน เฟสเซอร์และระบบสามเฟส

## 10. แล็บวงจร RLC ด้วยเฟสเซอร์ พื้นฐาน

เลือกวงจรและปรับ R L C f แล้วดูแผนภาพเฟสเซอร์ (KVL/KCL ต่อหัวต่อหาง) รูปคลื่น v(t), i(t) สามเหลี่ยมกำลัง และกราฟผลตอบสนองเชิงความถี่ ปุ่มด้านบนโหลดตัวอย่าง Z-1, Z-5 และ Z-4 ให้ทันที ลากความถี่ผ่าน f₀ แล้วดูว่า V_L กับ V_C สลับกันยาวกว่า

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

อยากต่อวงจรเองแบบลากสายไฟ ใช้ PhET Circuit Construction Kit: AC และ Falstad Circuit Simulator ในหน้าเครื่องมือระดับโลก แล้วเทียบตัวเลขกับแล็บนี้

## 11. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

| ข้อผิดพลาด | วิธีป้องกัน |

| ใช้ f แทน ω ใน X_L = ωL | X_L = 2πfL ลืม 2π ผิดไป 6.28 เท่า |

| Z_C = jωC | Z_C = 1/(jωC) = −j/(ωC) ตัวเก็บประจุให้รีแอกแตนซ์ติดลบ |

| บวกขนาดแรงดันหรือกระแส | KVL/KCL ต้องบวกเฟสเซอร์ (Z-2, Z-3) |

| S = VI (ไม่ conjugate) | มุมของ S ต้องเป็น $\varphi_v-\varphi_i$ ใช้ $\mathbf I^*$ |

| เลือกพิกัด C จากแรงดันแหล่งจ่าย | วงจรอนุกรมใกล้เรโซแนนซ์ V_C = Q V_s |

| ใช้เฟสเซอร์กับโหลดที่มีฮาร์มอนิก | แยกวิเคราะห์ทีละความถี่ หรือใช้ อนุกรมฟูเรียร์ |

## 12. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

- R = 40 Ω อนุกรม C = 50 μF ที่ 230 V 50 Hz จงหา Z, I และ PF

- วงจร Z-2 ต้องการให้เรโซแนนซ์ที่ 50 Hz ต้องเปลี่ยน C เป็นเท่าใด กระแสจะเป็นเท่าใด?

- โหลด 5 kW PF 0.7 ตามหลังที่ 400 V 50 Hz ต้องการ PF 0.95 ใช้ Q_C เท่าไร?

- $\mathbf V=100\angle20^\circ$ V, $\mathbf I=5\angle-25^\circ$ A จงหา P Q และ PF

เปิดเฉลย

- X_C = 63.66 Ω, Z = 40 − j63.66 = 75.18∠−57.86° Ω, I = 3.059∠57.86° A, PF = 0.532 นำหน้า

- C = 1/(ω²L) = 1/(314.16² × 0.127) = 79.8 μF, I = 220/30 = 7.33 A ร่วมเฟส

- tan φ₁ = 1.0202, tan φ₂ = 0.3287 → Q_C = 5000 × 0.6915 = 3.46 kvar

- S = 100∠20° × 5∠25° = 500∠45° → P = 353.6 W, Q = 353.6 var, PF = 0.707 ตามหลัง

## 13. สรุปสูตร

| หัวข้อ | สูตร |

| Z1–Z2 อิมพีแดนซ์ | $R,\ j\omega L,\ 1/(j\omega C)$; อนุกรมบวก Z ขนานบวก Y |

| Z3 RLC อนุกรม | $Z=R+j(X_L-X_C)$, KVL เวกเตอร์ |

| Z4 ขนาน | $\mathbf I=\mathbf V\,Y$, KCL เวกเตอร์ |

| Z5–Z6 กำลัง | $\mathbf S=\mathbf V\mathbf I^*$, $Q_C=P(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2)$ |

| Z7 เรโซแนนซ์ | $f_0=1/(2\pi\sqrt{LC})$, $Q=\omega_0L/R$ |

| Z8 วงจรกรอง | $H=1/(1+j\omega RC)$ |

| Z9 สามเฟส | $\sum\mathbf V=\mathbf 0$, $V_L=\sqrt3V_\phi$ |

## 14. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

- C. K. Alexander & M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits, บทที่ 9–11 (Sinusoidal steady-state analysis, AC power)

- OpenStax University Physics Vol. 2 §15.3–15.6 RLC circuits, power, resonance

- PhET Circuit Construction Kit: AC และ Falstad Circuit Simulator

ต่อไป: ทดลองครบชุดใน แล็บวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ หรือไปต่อเรื่องกำลังใน เพาเวอร์แฟกเตอร์

## คำถามที่พบบ่อย

อิมพีแดนซ์ของ R L C คืออะไร?
ตัวต้านทาน Z_R = R ตัวเหนี่ยวนำ Z_L = jωL = jX_L ตัวเก็บประจุ Z_C = 1/(jωC) = −jX_C โดย X_L = 2πfL และ X_C = 1/(2πfC) อิมพีแดนซ์ใช้แทนความต้านทานในกฎของโอห์ม V = ZI และต่ออนุกรม-ขนานได้เหมือนตัวต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน

ทำไมแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุในวงจร RLC อนุกรมมากกว่าแรงดันแหล่งจ่ายได้?
เพราะ KVL ในวงจร AC เป็นการบวกเวกเตอร์ แรงดันคร่อม L นำหน้ากระแส 90° แรงดันคร่อม C ตามหลัง 90° สองตัวนี้หักล้างกันบางส่วน แต่ละตัวจึงอาจใหญ่กว่าแรงดันรวมได้มาก โดยเฉพาะใกล้เรโซแนนซ์ที่แรงดันคร่อม L และ C เท่ากับ Q เท่าของแหล่งจ่าย

แก้เพาเวอร์แฟกเตอร์ด้วยตัวเก็บประจุคำนวณอย่างไร?
หากำลังจริง P และมุม φ₁ ปัจจุบัน เลือก PF เป้าหมาย φ₂ แล้ว Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂) ค่าความจุ C = Q_C/(ωV²) ต่อขนานกับโหลด ตัวเก็บประจุให้กระแสนำหน้าที่ไปหักล้างกระแสตามหลังของโหลดแบบเหนี่ยวนำ กระแสในสายจึงลดลงแต่กำลังจริงเท่าเดิม

ความถี่เรโซแนนซ์คืออะไร?
ความถี่ที่ X_L = X_C คือ f₀ = 1/(2π√(LC)) วงจรอนุกรมจะมีอิมพีแดนซ์ต่ำสุดเท่ากับ R กระแสสูงสุดและร่วมเฟสกับแรงดัน ส่วนวงจรขนานจะมีอิมพีแดนซ์สูงสุด ใช้ในวงจรกรองความถี่ วิทยุ และตัวกรองฮาร์มอนิก

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**อิมพีแดนซ์ของ R L C คืออะไร?**
ตัวต้านทาน Z_R = R ตัวเหนี่ยวนำ Z_L = jωL = jX_L ตัวเก็บประจุ Z_C = 1/(jωC) = −jX_C โดย X_L = 2πfL และ X_C = 1/(2πfC) อิมพีแดนซ์ใช้แทนความต้านทานในกฎของโอห์ม V = ZI และต่ออนุกรม-ขนานได้เหมือนตัวต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน

**ทำไมแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุในวงจร RLC อนุกรมมากกว่าแรงดันแหล่งจ่ายได้?**
เพราะ KVL ในวงจร AC เป็นการบวกเวกเตอร์ แรงดันคร่อม L นำหน้ากระแส 90° แรงดันคร่อม C ตามหลัง 90° สองตัวนี้หักล้างกันบางส่วน แต่ละตัวจึงอาจใหญ่กว่าแรงดันรวมได้มาก โดยเฉพาะใกล้เรโซแนนซ์ที่แรงดันคร่อม L และ C เท่ากับ Q เท่าของแหล่งจ่าย

**แก้เพาเวอร์แฟกเตอร์ด้วยตัวเก็บประจุคำนวณอย่างไร?**
หากำลังจริง P และมุม φ₁ ปัจจุบัน เลือก PF เป้าหมาย φ₂ แล้ว Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂) ค่าความจุ C = Q_C/(ωV²) ต่อขนานกับโหลด ตัวเก็บประจุให้กระแสนำหน้าที่ไปหักล้างกระแสตามหลังของโหลดแบบเหนี่ยวนำ กระแสในสายจึงลดลงแต่กำลังจริงเท่าเดิม

**ความถี่เรโซแนนซ์คืออะไร?**
ความถี่ที่ X_L = X_C คือ f₀ = 1/(2π√(LC)) วงจรอนุกรมจะมีอิมพีแดนซ์ต่ำสุดเท่ากับ R กระแสสูงสุดและร่วมเฟสกับแรงดัน ส่วนวงจรขนานจะมีอิมพีแดนซ์สูงสุด ใช้ในวงจรกรองความถี่ วิทยุ และตัวกรองฮาร์มอนิก

---

# แล็บวงจรไฟฟ้ากระแสสลับเสมือน: เฟสเซอร์ที่จับต้องได้

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/ac-lab/
Updated: 2026-10-13
Summary: ห้องแล็บวงจรไฟฟ้ากระแสสลับออนไลน์ฟรี 6 การทดลอง: เฟสเซอร์หมุนกับความสัมพันธ์ sin-cos และนำหน้า-ตามหลัง, บวกไซน์ด้วยเวกเตอร์และกรณีความถี่ต่าง, วงจร RL ของมอเตอร์, วงจร RLC อนุกรมกับการกวาดความถี่และเรโซแนนซ์, วงจรขนานและการแก้เพาเวอร์แฟกเตอร์ด้วยตัวเก็บประจุ, และเครื่องคิดเลขจำนวนเชิงซ้อน แสดงแผนภาพเฟสเซอร์ รูปคลื่น สามเหลี่ยมกำลัง และกราฟผลตอบสนองความถี่ พร้อมตารางบันทึกผล

// เวกเตอร์ · ห้องแล็บ · Virtual AC circuit lab

# แล็บวงจรไฟฟ้ากระแสสลับเสมือน: เฟสเซอร์ที่จับต้องได้

ในห้องแล็บวงจรไฟฟ้าจริง เราวัดแรงดันคร่อม R L C ด้วยมัลติมิเตอร์แล้วงงว่าทำไมผลรวมไม่เท่าแหล่งจ่าย และต้องใช้ออสซิลโลสโคปสองช่องวัดเฟส แล็บเสมือนนี้แสดงเฟสเซอร์ รูปคลื่น และสามเหลี่ยมกำลังไปพร้อมกัน ปรับค่าแล้วเห็นผลทันที เป็นสะพานระหว่างสมการบนกระดาษกับเครื่องมือวัดบนโต๊ะแล็บ

## ก่อนเริ่ม

ทฤษฎีอยู่ในสามบท: sin cos ในไฟฟ้า AC (W) → เฟสเซอร์ (H) → วิเคราะห์วงจร AC (Z) ค่าแรงดันและกระแสในแล็บวงจรเป็นค่า RMS ส่วนแล็บเฟสเซอร์หมุนแสดงค่ายอด

## การทดลองที่ 1 · เฟสเซอร์หมุนกับความสัมพันธ์ sin–cos พื้นฐาน

วัตถุประสงค์ เห็นว่า sin และ cos คือเงาของลูกศรหมุนเดียวกันบนสองแกน และอ่านนำหน้า-ตามหลังจากมุมระหว่างเฟสเซอร์

- ตั้ง φ_v = 0°, φ_i = −30° กดหยุดภาพเมื่อ V อยู่ที่ 90° บันทึกค่าของ i(t) ในขณะนั้น
- สลับฟังก์ชันอ้างอิงเป็น cos: เส้นประในกราฟคือฟังก์ชันอีกตัว ตรวจว่าเลื่อนกัน 90°
- เปลี่ยน φ_i เป็น +40° อ่านคำอธิบายนำหน้า-ตามหลัง และ PF
- ลด “ความเร็วภาพเคลื่อนไหว” เป็น 0.1 แล้วตามจุดบนกราฟ: จุดสูงสุดของ i มาก่อนหรือหลังจุดสูงสุดของ v?

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## การทดลองที่ 2 · บวกไซน์ด้วยเวกเตอร์ พื้นฐาน

วัตถุประสงค์ ยืนยันว่าแอมพลิจูดของผลบวกไซน์ความถี่เดียวกันหาได้จากกฎโคไซน์ (H7) และเห็นว่าความถี่ต่างกันใช้เฟสเซอร์ไม่ได้

- A₁ = 100, A₂ = 80 เปลี่ยน φ₂ เป็น 0°, 60°, 90°, 120°, 180° บันทึกแอมพลิจูดผลรวม
- พล็อตแอมพลิจูดผลรวมเทียบกับ φ₂ และเทียบกับสูตร $\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\varphi_2}$
- เลือกความถี่ v₂ เป็น “2 เท่า” สังเกตว่ามุมระหว่างลูกศรเปลี่ยนตลอด และผลรวมไม่ใช่ไซน์

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ตารางบันทึกผลการทดลองที่ 2 (A₁ = 100, A₂ = 80)
| φ₂ | 0° | 60° | 90° | 120° | 180° |
| |V| จากแล็บ | | | | | |
| |V| ทฤษฎี | 180 | 156.2 | 128.1 | 91.65 | 20 |

## การทดลองที่ 3 · วงจร RL: มอเตอร์ไฟบ้าน พื้นฐาน

วัตถุประสงค์ วัดผลของความเหนี่ยวนำต่อกระแส มุมเฟส และเพาเวอร์แฟกเตอร์ เทียบตัวอย่าง Z-1

- กดปุ่ม “มอเตอร์ไฟบ้าน 220 V 50 Hz” บันทึก I, มุม, P, Q, PF
- เปลี่ยน L เป็น 0, 50, 127, 250 mH บันทึก I และ PF
- เปลี่ยนความถี่เป็น 60 Hz (ไฟอเมริกา) กระแสเพิ่มหรือลด เพราะอะไร?

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ตารางบันทึกผลการทดลองที่ 3 (R = 30 Ω, 220 V, 50 Hz)
| L (mH) | X_L (Ω) | |Z| (Ω) | I (A) | มุมเฟส | P (W) | PF |
| 0 | | | | | | |
| 50 | | | | | | |
| 127 | | | | | | |
| 250 | | | | | | |

## การทดลองที่ 4 · วงจร RLC อนุกรมและการกวาดความถี่ กลาง

วัตถุประสงค์ หาความถี่เรโซแนนซ์ ค่า Q และแบนด์วิดท์จากกราฟ เทียบกับทฤษฎี (Z7)

- กด “RLC อนุกรมที่เรโซแนนซ์” (R = 10 Ω, L = 100 mH, C = 10 μF, 10 V)
- ปรับ f จาก 100 ถึง 220 Hz ทีละ 10 Hz บันทึก I และหาจุดสูงสุด
- หาความถี่สองข้างที่ I = 0.707 I_max วัดแบนด์วิดท์ แล้วคำนวณ Q = f₀/BW
- ที่ f₀ บันทึก V_L และ V_C เทียบกับ Q × 10 V
- เพิ่ม R เป็น 40 Ω: ยอดกราฟต่ำลงและกว้างขึ้นอย่างไร?

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ตารางบันทึกผลการทดลองที่ 4
| รายการ | ค่าจากแล็บ | ทฤษฎี |
| f₀ | | 159.2 Hz |
| I_max | | 1.000 A |
| BW | | 15.9 Hz |
| Q | | 10.0 |
| V_L = V_C ที่ f₀ | | 100 V |

## การทดลองที่ 5 · วงจรขนานและการแก้เพาเวอร์แฟกเตอร์ กลาง

วัตถุประสงค์ แสดงว่าตัวเก็บประจุขนานลดกระแสสายโดยไม่เปลี่ยนกำลังจริง (Z6) และหาค่า C ที่เหมาะสม

- กด “แก้ PF ด้วย C” แล้วตั้ง C = 0 บันทึก I, P, PF (เท่ากับมอเตอร์ในการทดลองที่ 3)
- เพิ่ม C ทีละ 10 μF จนถึง 100 μF บันทึก I และ PF หาค่า C ที่ทำให้ I ต่ำสุด
- เทียบกับทฤษฎี: PF = 1 เมื่อ $C=\dfrac{X_L}{\omega|Z_{RL}|^2}=\dfrac{39.9}{314.16\times49.92^2}=51.0\ \mu$F
- เกิน 51 μF PF กลายเป็นนำหน้า กระแสกลับเพิ่ม — เหตุผลที่ตู้คาปาซิเตอร์ต้องตัดต่อเป็นขั้น

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ตารางบันทึกผลการทดลองที่ 5
| C (μF) | 0 | 20 | 40 | 51 | 70 | 100 |
| I สาย (A) | | | | | | |
| PF | | | | | | |
| P (W) | | | | | | |

ต่อยอดกับตู้คาปาซิเตอร์อัตโนมัติจริงใน แล็บเพาเวอร์แฟกเตอร์

## การทดลองที่ 6 · ฝึกคำนวณจำนวนเชิงซ้อน พื้นฐาน

ใช้เครื่องคิดเลขตรวจการบ้าน: คำนวณด้วยมือก่อน แล้วตั้งค่าเพื่อตรวจ ลองโจทย์เหล่านี้

- $(3+j4)+(5\angle-30^\circ)$
- $(10\angle45^\circ)\div(2-j2)$
- $(6+j8)\parallel(-j10)$ — อิมพีแดนซ์ขนาน

เปิด JavaScript เพื่อใช้เครื่องคิดเลข

เฉลย

- (3 + 4.330) + j(4 − 2.5) = 7.330 + j1.5 = 7.482∠11.57°
- 10∠45° ÷ 2.828∠−45° = 3.536∠90° = j3.536
- (10∠53.13°)(10∠−90°)/(6 − j2) = 100∠−36.87° / 6.325∠−18.43° = 15.81∠−18.43° = 15 − j5 Ω

อยากต่อวงจรเองด้วยสายไฟและมิเตอร์ ใช้ PhET Circuit Construction Kit: AC และ Falstad แล้วเทียบตัวเลขกับแล็บนี้

## คำถามที่พบบ่อย

แผนภาพเฟสเซอร์ในแล็บอ่านอย่างไร?
ในวงจรอนุกรม กระแสเป็นตัวร่วม ลูกศรทึบคือแรงดันแต่ละตัวต่อหัวต่อหางกันจนถึงแรงดันแหล่งจ่าย (KVL) ลูกศรประคือกระแสในสเกลของตัวเอง ในวงจรขนาน แรงดันเป็นตัวร่วม ลูกศรทึบคือกระแสแต่ละสาขาต่อหัวต่อหางเป็นกระแสรวม (KCL)

ทำไมผลรวมขนาดแรงดันในแล็บไม่เท่ากับแรงดันแหล่งจ่าย?
เพราะแรงดันแต่ละตัวมีเฟสต่างกัน การรวมจึงเป็นการบวกเวกเตอร์ ไม่ใช่การบวกตัวเลข เหมือนแรงสองแรงที่ทำมุมกัน แล็บแสดงทั้งผลรวมเวกเตอร์ที่เท่ากับแหล่งจ่าย และผลรวมขนาดที่มากกว่า

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**แผนภาพเฟสเซอร์ในแล็บอ่านอย่างไร?**
ในวงจรอนุกรม กระแสเป็นตัวร่วม ลูกศรทึบคือแรงดันแต่ละตัวต่อหัวต่อหางกันจนถึงแรงดันแหล่งจ่าย (KVL) ลูกศรประคือกระแสในสเกลของตัวเอง ในวงจรขนาน แรงดันเป็นตัวร่วม ลูกศรทึบคือกระแสแต่ละสาขาต่อหัวต่อหางเป็นกระแสรวม (KCL)

**ทำไมผลรวมขนาดแรงดันในแล็บไม่เท่ากับแรงดันแหล่งจ่าย?**
เพราะแรงดันแต่ละตัวมีเฟสต่างกัน การรวมจึงเป็นการบวกเวกเตอร์ ไม่ใช่การบวกตัวเลข เหมือนแรงสองแรงที่ทำมุมกัน แล็บแสดงทั้งผลรวมเวกเตอร์ที่เท่ากับแหล่งจ่าย และผลรวมขนาดที่มากกว่า

---

# องค์ประกอบและการฉายเวกเตอร์ (Components & Projection)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/components-projection/
Updated: 2026-10-13
Summary: อธิบาย component และ projection ตั้งแต่แกน x y z เวกเตอร์หน่วย direction cosines ถึง scalar projection ที่มีเครื่องหมาย vector projection การแยกขนาน–ตั้งฉาก แรงสามมิติและระยะถึงเส้น พร้อมวิธีทำ สูตรและแบบฝึกหัด

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 1 · Components & projection · 2D → 3D

# องค์ประกอบและการฉายเวกเตอร์ (Components & Projection)

แรงหนึ่งแรงอาจทั้งดึงตามแนวคานและผลักด้านข้าง การแยกองค์ประกอบช่วยเขียนแรงในแกนที่คำนวณได้ ส่วนการฉายเวกเตอร์ช่วยตอบว่า “เวกเตอร์นี้มีส่วนไปตามทิศที่เราสนใจเท่าไร” เริ่มจากแกน x–y ที่คุ้นเคย แล้วขยายไปยังแกนเอียงและสามมิติ โดยแยกให้ชัดว่าคำตอบเป็นตัวเลขหรือเป็นลูกศร

สรุปใน 30 วินาที
- ในแกนตั้งฉากมาตรฐาน $\mathbf a=a_x\mathbf i+a_y\mathbf j+a_z\mathbf k$ ตัวเลข $a_x,a_y,a_z$ มีเครื่องหมายได้
- เมื่อ $\mathbf b\ne\mathbf0$, scalar projection คือ $(\mathbf a\cdot\mathbf b)/\|\mathbf b\|$ และ vector projection คือ $[(\mathbf a\cdot\mathbf b)/(\mathbf b\cdot\mathbf b)]\mathbf b$
- ส่วนที่ตั้งฉากคือ $\mathbf a_\perp=\mathbf a-\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a$ ตรวจด้วย $\mathbf a_\perp\cdot\mathbf b=0$
- ค่าฉายติดลบบอกว่าชี้สวนทางกับทิศที่เลือก ไม่ใช่ “ความยาวติดลบ”

## 1. Component คืออะไร: แยกลูกศรเป็นแกน พื้นฐาน

เลือกแกน x ไปทางขวาและแกน y ขึ้นบน เวกเตอร์ $\mathbf a=(3,4)$ หมายถึงไปทาง x เป็นระยะ 3 หน่วย และทาง y เป็นระยะ 4 หน่วย ค่าทั้งสองเรียก องค์ประกอบสเกลาร์ (scalar components) ส่วนลูกศร $3\mathbf i=(3,0)$ และ $4\mathbf j=(0,4)$ เรียกองค์ประกอบเวกเตอร์ (vector components) เมื่อบวกกันจึงได้ลูกศรเดิม

แยกองค์ประกอบโดยเลือกแกนก่อน: ตัวเลข 3 และ 4 เป็นค่าตามแกน ส่วนความยาวของเวกเตอร์คือ 5

P1 Cartesian components องค์ประกอบในฐานตั้งฉากมาตรฐาน

$$\mathbf a=a_x\mathbf i+a_y\mathbf j\quad(2D),\qquad \mathbf a=a_x\mathbf i+a_y\mathbf j+a_z\mathbf k\quad(3D)$$

$$a_x=\mathbf a\cdot\mathbf i,\quad a_y=\mathbf a\cdot\mathbf j,\quad a_z=\mathbf a\cdot\mathbf k$$

$\mathbf i=(1,0,0),\mathbf j=(0,1,0),\mathbf k=(0,0,1)$ แต่ละตัวขนาด 1 และตั้งฉากกัน สูตรดอทเพื่ออ่าน component ใช้คุณสมบัติทั้งสองนี้ หน่วยของ component เท่ากับหน่วยของเวกเตอร์

P2 Resolving a 2D vector เมื่อรู้ขนาดและมุม

$$a_x=A\cos\theta,\qquad a_y=A\sin\theta,\qquad A=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$$

$A=\|\mathbf a\|\ge0$ และ $\theta$ วัดทวนเข็มจากแกน +x ถ้าวัดจาก +y ต้องปรับตำแหน่ง sin/cos ให้ตรงรูป หามุมจาก component ด้วย $\operatorname{atan2}(a_y,a_x)$ เพื่อรักษาควอดแรนต์

P3 Unit direction vector แยกขนาดออกจากทิศ

$$\widehat{\mathbf b}=\frac{\mathbf b}{\|\mathbf b\|},\qquad \|\widehat{\mathbf b}\|=1,\qquad\mathbf b\ne\mathbf0$$

เช่น $\mathbf b=(2,1)$ ได้ $\widehat{\mathbf b}=(2/\sqrt5,1/\sqrt5)$ ใช้บอกทิศเดียวกันโดยไม่มีขนาดมาปน เวกเตอร์ทิศทางนี้ไม่มีหน่วยเมื่อ component ของ b มีหน่วยเดียวกัน

ตัวอย่าง P-1 · แยกแรงที่ชี้ขึ้นทางซ้าย

### แรงขนาด 100 N ทำมุม 120° จากแกน +x มีองค์ประกอบเท่าไร?

- วาดลูกศรในควอดแรนต์ที่ 2 จึงคาดว่า x ติดลบ แต่ y เป็นบวก

- ใช้ P2: $F_x=100\cos120^\circ=-50\,\mathrm N$, $F_y=100\sin120^\circ=50\sqrt3\,\mathrm N$

- ตรวจขนาด: $\sqrt{(-50)^2+(50\sqrt3)^2}=100\,\mathrm N$ ตรงกับโจทย์

$\mathbf F=(-50,50\sqrt3)\,\mathrm N\approx(-50,86.60)\,\mathrm N$

## 2. จาก 2D ไป 3D: มุมกับสามแกนและฐานที่เลือก กลาง

ในสามมิติ การบอกเพียง “ทำมุม 30°” ยังไม่พอระบุทิศ ต้องบอกว่ามุมกับแกนใด และมีข้อมูลอิสระเพียงพอ เช่น ให้สองมุมพร้อมเครื่องหมายของ component ที่เหลือ หรือให้พิกัดปลายทาง เวกเตอร์ $(2,-3,6)$ ขนาด 7 จึงมีเวกเตอร์หน่วย $(2/7,-3/7,6/7)$ ค่า y ติดลบบอกทิศสวนแกน +y

P4 Direction cosines มุมกับแกน +x, +y, +z

$$\cos\alpha=\frac{a_x}{A},\quad\cos\beta=\frac{a_y}{A},\quad\cos\gamma=\frac{a_z}{A},\qquad \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$$

$A=\|\mathbf a\|\gt0$ และมุมทั้งสามอยู่ในช่วง 0°–180° ถ้า component ของแกนหนึ่งติดลบ มุมกับแกนบวกนั้นเป็นมุมป้าน เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีมุมทิศทาง

P5 Components in an orthonormal basis เปลี่ยนเป็นแกนที่หมุนแล้ว

$$a_r=\mathbf a\cdot\mathbf e_r,\qquad\mathbf a=\sum_{r=1}^{n}a_r\mathbf e_r\quad\text{เมื่อ }\mathbf e_r\cdot\mathbf e_s=\delta_{rs}$$

ฐานต้องยาวหนึ่งและตั้งฉากกันครบ n ทิศใน $\mathbb R^n$ ถ้าใช้ฐานไม่ตั้งฉาก ค่าสัมประสิทธิ์ที่ประกอบเวกเตอร์ไม่เท่ากับดอทกับเวกเตอร์ฐานโดยทั่วไป ต้องแก้ระบบสมการแทน

เห็นความต่างของฐานทั่วไป: ให้ $\mathbf e_1=(1,0)$, $\mathbf e_2=(1,1)$ และ $\mathbf a=(3,4)$ เขียนได้ $\mathbf a=-\mathbf e_1+4\mathbf e_2$ แต่ $\mathbf a\cdot\mathbf e_1=3\ne-1$ ค่าสัมประสิทธิ์ในฐานกับค่าฉายจึงเป็นคนละเรื่องเมื่อฐานไม่ตั้งฉาก

## 3. Scalar projection: “ไปตามทิศนี้เท่าไร” พร้อมเครื่องหมาย พื้นฐาน

สมมติเปิดไฟให้เงาของลูกศรตกตั้งฉากบนเส้นตามทิศ $\mathbf b$ ความยาวแบบมีเครื่องหมายของเงานั้นคือ scalar projection หรือ scalar component of a along b เลือกทิศบวกตามลูกศร b ถ้าเงาชี้สวนทิศ b ค่าจะติดลบ การคำนวณใช้ dot product ซึ่งวัดความสอดคล้องของสองทิศ

P6 Signed scalar projection ค่าฉายสเกลาร์ที่มีเครื่องหมาย

$$\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=\mathbf a\cdot\widehat{\mathbf b}=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|}=\|\mathbf a\|\cos\theta,\qquad\mathbf b\ne\mathbf0$$

สมการที่มี $\theta$ ใช้เมื่อ a และ b ไม่เป็นศูนย์ ส่วนสูตรดอทใช้ได้เมื่อ a เป็นศูนย์ โดยให้ค่าฉาย 0 ผลเป็นสเกลาร์ หน่วยเดียวกับ a

| มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ | ค่าฉาย | ความหมาย |
| $0^\circ\le\theta\lt90^\circ$ | เป็นบวก | มีส่วนไปตามทิศ b |
| $\theta=90^\circ$ | 0 | ไม่มีส่วนตามทิศ b |
| $90^\circ\lt\theta\le180^\circ$ | เป็นลบ | มีส่วนสวนทิศ b |

ถ้า $\mathbf a=(-3,4)$ และเลือก $\mathbf b=(1,0)$ จะได้ค่าฉาย −3 แต่ความยาวเงาเท่ากับ 3 ถ้ากลับทิศเป้าหมายเป็น $(-1,0)$ ค่าฉายจะเป็น +3 นี่คือเหตุผลที่ต้องระบุทิศบวกก่อนอ่านเครื่องหมาย

## 4. Vector projection: คืนค่าฉายให้เป็นลูกศร พื้นฐาน

เมื่อรู้ค่าฉายสเกลาร์แล้ว คูณด้วยเวกเตอร์หน่วยของทิศเป้าหมายเพื่อได้ vector projection หรือเวกเตอร์ฉาย คำตอบอยู่บนเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดตามแนว b เสมอ แม้ b จะยาวไม่เท่ากับหนึ่งก็ตาม

P7 Vector projection ฉาย a ลงบนแนว b

$$\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\left(\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a\right)\widehat{\mathbf b}=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|^2}\mathbf b=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b}\mathbf b$$

เงื่อนไข $\mathbf b\ne\mathbf0$ ผลเป็นเวกเตอร์ในมิติเดียวกับ a ความยาว $\|\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a\|=|\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a|$ ใช้ a กับ b ในพิกัดและฐานเดียวกัน

P8 Parallel–perpendicular decomposition แยกขนานและตั้งฉาก

$$\mathbf a_\parallel=\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a,\quad\mathbf a_\perp=\mathbf a-\mathbf a_\parallel,\quad\mathbf a=\mathbf a_\parallel+\mathbf a_\perp$$

$$\mathbf a_\perp\cdot\mathbf b=0,\qquad\|\mathbf a\|^2=\|\mathbf a_\parallel\|^2+\|\mathbf a_\perp\|^2$$

ส่วนเหลือเรียก rejection หรือ orthogonal residual การตรวจดอทเป็นศูนย์และตรวจผลบวกช่วยจับความผิดพลาดได้โดยไม่ต้องวาดรูปสามมิติ

### ทำไมตัวส่วนต้องเป็น b·b?

ให้เวกเตอร์ฉายเป็น $t\mathbf b$ เพราะต้องขนาน b ต้องการให้ส่วนที่เหลือ $\mathbf a-t\mathbf b$ ตั้งฉาก b จึงตั้ง $(\mathbf a-t\mathbf b)\cdot\mathbf b=0$ กระจายได้ $\mathbf a\cdot\mathbf b-t(\mathbf b\cdot\mathbf b)=0$ แล้วแก้ $t=(\mathbf a\cdot\mathbf b)/(\mathbf b\cdot\mathbf b)$ ไม่ใช่หารด้วยความยาวเพียงครั้งเดียว เพราะเราจะคูณกลับด้วย b ที่ยังมีขนาดเดิม

ภาพใช้สเกล x และ y เท่ากัน จุดฉาย (4,2) อยู่บนเส้นตามแนว (2,1) ส่วนที่เหลือ (−1,2) ตั้งฉากกับเส้นนั้น

## 5. ตัวอย่างหลัก: a = (3,4) ฉายบน b = (2,1) พื้นฐาน

ตัวอย่าง P-2 · เป้าหมายไม่ใช่เวกเตอร์หน่วย

### หาค่าฉายสเกลาร์ เวกเตอร์ฉาย และส่วนตั้งฉากของ $\mathbf a=(3,4)$ ตามแนว $\mathbf b=(2,1)$

- เตรียมดอทและความยาว: $\mathbf a\cdot\mathbf b=3(2)+4(1)=10$, $\mathbf b\cdot\mathbf b=2^2+1^2=5$, $\|\mathbf b\|=\sqrt5$

- ค่าฉายสเกลาร์ตาม P6: $\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=10/\sqrt5=2\sqrt5\approx4.472$ เป็นบวก จึงไปตามทิศ b

- เวกเตอร์ฉายตาม P7: $\mathbf a_\parallel=(10/5)(2,1)=(4,2)$ ตัวเลข $10/5=2$ เป็นตัวคูณ b ไม่ใช่ความยาวเงา

- ส่วนตั้งฉากตาม P8: $\mathbf a_\perp=(3,4)-(4,2)=(-1,2)$

- ตรวจ: $(-1,2)\cdot(2,1)=-2+2=0$, $(4,2)+(-1,2)=(3,4)$ และ $25=20+5$ ตามพีทาโกรัส

Scalar projection $=2\sqrt5$ · Vector projection $=(4,2)$ · ส่วนตั้งฉาก $=(-1,2)$

กลับทิศเป้าหมายแล้วเกิดอะไร? เปลี่ยน b เป็น −b ค่าฉายสเกลาร์กลับเครื่องหมาย แต่เวกเตอร์ฉายยังเป็น (4,2) เพราะเส้นที่ฉายยังเป็นเส้นเดิม โดยทั่วไป $\operatorname{proj}_{c\mathbf b}\mathbf a=\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a$ สำหรับ $c\ne0$

## 6. วิศวกรรมสามมิติ: แรงตามแนวคานและแรงด้านข้าง กลาง

สมมติแกนของคานยื่นไปตามทิศ $\mathbf b=(2,1,2)$ และมีแรง $\mathbf F=(120,60,-30)\,\mathrm N$ กระทำที่ปลาย เราแยกแรงเป็นส่วนตามแกนกับส่วนขวางแกน เพื่อเริ่มวิเคราะห์แรงตามแนวแกนและการดัด ก่อนใช้สมดุลและรูปแบบจุดรองรับต่อไป

ตัวอย่าง P-3 · แยกแรง 3D

### หาค่าแรงแบบมีเครื่องหมายตามแกนคาน และเวกเตอร์แรงทั้งสองส่วน

- หาเวกเตอร์หน่วยแกนคาน: $\|\mathbf b\|=\sqrt{4+1+4}=3$, $\widehat{\mathbf b}=(2/3,1/3,2/3)$

- แรงตามแกนแบบสเกลาร์: $F_\parallel=\mathbf F\cdot\widehat{\mathbf b}=120(2/3)+60(1/3)-30(2/3)=80\,\mathrm N$

- แรงตามแกนแบบเวกเตอร์: $\mathbf F_\parallel=80(2/3,1/3,2/3)=(160/3,80/3,160/3)\,\mathrm N$

- แรงขวางแกน: $\mathbf F_\perp=\mathbf F-\mathbf F_\parallel=(200/3,100/3,-250/3)\,\mathrm N$

- ตรวจตั้งฉาก: $\mathbf F_\perp\cdot\mathbf b=(400+100-500)/3=0$ ขนาดแรงขวางคือ $50\sqrt5\,\mathrm N\approx111.80\,\mathrm N$

- ตรวจเอกลักษณ์พีทาโกรัสของขนาดแรง: $\|\mathbf F\|^2=18900\,\mathrm N^2=[80^2+(50\sqrt5)^2]\,\mathrm N^2$ หน่วยทั้งสองข้างตรงกัน

แรงตามแกน +80 N · แรงขวางแกนขนาด $50\sqrt5$ N · ต้องใช้สมดุลเพิ่มเติมเพื่อหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

การฉายเดียวกันใช้กับความเร็วของยานพาหนะตามแนวเส้นทาง องค์ประกอบสนามแม่เหล็กที่ตั้งฉากกับพื้นผิว และแรงที่ก่อให้เกิดงานตามการเคลื่อนที่ ดูกรณีที่รวม cross product สำหรับโมเมนต์และพื้นที่ในหน้า ประยุกต์ทางวิศวกรรม

สองเรื่องที่มักสับสนองค์ประกอบตามแนวเฉียงสองแนว (ใช้กฎไซน์ R5) ไม่เท่ากับการฉาย (dot product) เว้นแต่สองแนวตั้งฉากกัน ส่วนแรงตามสายเคเบิลจากพิกัดสองจุดอยู่ใน K7 และการอ่านองค์ประกอบในกรอบเอียงอยู่ใน การหมุนแกน

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 7. การฉายหาระยะใกล้ที่สุดถึงเส้นและระนาบ กลาง

เส้นตรงที่ไม่จำกัดความยาวเขียนเป็น $\mathbf x(t)=\mathbf q+t\mathbf b$ โดย q เป็นจุดบนเส้นและ b ไม่เป็นศูนย์ ถ้าต้องการจุดบนเส้นที่ใกล้ p ที่สุด ให้ฉาย เวกเตอร์จาก q ไป p คือ $\mathbf p-\mathbf q$ ไม่ใช่ฉายพิกัด p โดยไม่สนจุดเริ่มต้น

P9 Nearest point on an infinite line เท้าฉากและระยะถึงเส้น

$$t_* =\frac{(\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b},\quad \mathbf h=\mathbf q+t_*\mathbf b,\quad d=\|\mathbf p-\mathbf h\|$$

$\mathbf b\ne\mathbf0$ ถ้าเป็น “ช่วงเส้นตรง” จาก q ถึง q+b ต้องจำกัด $t_*$ ให้อยู่ใน [0,1] จุดใกล้ที่สุดอาจเป็นปลายช่วง ไม่ใช่เท้าฉากบนเส้นที่ต่อออกไป

P10 Projection onto a plane ฉายจุดลงระนาบ

$$\mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf q)=0,\quad\mathbf h=\mathbf p-\frac{(\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf n}{\mathbf n\cdot\mathbf n}\mathbf n,\quad d=\frac{|(\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf n|}{\|\mathbf n\|}$$

q เป็นจุดบนระนาบ และ n เป็นเวกเตอร์ปกติที่ไม่เป็นศูนย์ ลบส่วนที่ขนาน n ออก จึงเหลือจุดบนระนาบ ค่าสัมบูรณ์ทำให้ระยะไม่ติดลบ

ตัวอย่าง P-4 · ระยะจุดถึงเส้นในสามมิติ

### หาเท้าฉากจาก $\mathbf p=(4,4,4)$ ลงเส้น $\mathbf x=(-1,2,1)+t(1,2,2)$

- เลือก $\mathbf q=(-1,2,1)$, $\mathbf b=(1,2,2)$, $\mathbf a=\mathbf p-\mathbf q=(5,2,3)$

- หา $t_*=(5+4+6)/(1+4+4)=15/9=5/3$

- เท้าฉาก $\mathbf h=(-1,2,1)+(5/3)(1,2,2)=(2/3,16/3,13/3)$

- เวกเตอร์จากเท้าฉากถึง p คือ $(10/3,-4/3,-1/3)$ ดอท b ได้ $(10-8-2)/3=0$

- ระยะ $d=\sqrt{(100+16+1)/9}=\sqrt{13}\approx3.606$ หน่วยตามพิกัด

เท้าฉาก $(2/3,16/3,13/3)$ · ระยะถึงเส้น $\sqrt{13}$

ตัวอย่าง P-5 · ฉายลงพื้นเอียง

### ฉายจุด $(4,1,1)$ ลงระนาบ $x+y+z=3$

- เวกเตอร์ปกติ $\mathbf n=(1,1,1)$ เลือกจุดบนระนาบ $\mathbf q=(3,0,0)$

- $(\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf n=(1,1,1)\cdot(1,1,1)=3$, $\mathbf n\cdot\mathbf n=3$ ส่วนที่ต้องลบคือ (1,1,1)

- $\mathbf h=(4,1,1)-(1,1,1)=(3,0,0)$ ตรวจผลรวมพิกัดได้ 3 อยู่บนระนาบจริง ระยะคือ $\sqrt3$

จุดฉาย (3,0,0) · ระยะ $\sqrt3$

## 8. เชื่อมกับเมทริกซ์และ least squares ต่อยอด

เมื่อเขียน b เป็นเวกเตอร์หลัก สูตรฉายเปลี่ยนเป็นเมทริกซ์ขนาด n×n ที่รับเวกเตอร์ n มิติและคืนเวกเตอร์ n มิติ การฉายอาจลดความยาวของเวกเตอร์ แต่ฉายซ้ำแล้วไม่เปลี่ยนผล เพราะเวกเตอร์ที่อยู่บนเส้นนั้นอยู่แล้วไม่ต้องย้ายอีก

P11 Orthogonal projection matrix ตัวดำเนินการฉายลงหนึ่งทิศ

$$P=\frac{\mathbf b\mathbf b^T}{\mathbf b^T\mathbf b},\quad\mathbf a_\parallel=P\mathbf a,\quad P^T=P,\quad P^2=P,\quad \mathbf b\ne\mathbf0$$

สำหรับ $\mathbf b=(2,1)^T$: $P=\frac15\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}$ จึงได้ $P(3,4)^T=(4,2)^T$ การเลือกตัวคูณ t ให้ $\|\mathbf a-t\mathbf b\|^2$ น้อยที่สุดให้ค่า t เดียวกับ P7

ขยายไปหลายทิศได้ด้วยฐานตั้งฉาก: รวมการฉายลงแต่ละฐาน ถ้าเมทริกซ์ A มีหลักอิสระแต่ไม่ตั้งฉาก การฉายลง column space คือ $A(A^TA)^{-1}A^T$ ใช้ได้เมื่อหลักของ A อิสระเชิงเส้น หากไม่อิสระต้องใช้ pseudoinverse หรือการแยก QR/SVD ที่เหมาะสม อ่านต่อที่ ระบบสมการและวิธีกำลังสองน้อยสุด

## 9. จุดที่สับสนและกรณีขอบ

- ใช้ $(\mathbf a\cdot\mathbf b)\mathbf b$ ทั้งที่ b ไม่ยาวหนึ่ง: ต้องหารด้วย $\mathbf b\cdot\mathbf b$ ตาม P7 มิฉะนั้นขนาดผิด
- ใช้ตัวส่วนเดียวกันทั้ง scalar และ vector projection: scalar หาร $\|\mathbf b\|$, vector หาร $\|\mathbf b\|^2$ แล้วคูณ b
- ลบค่าสเกลาร์ออกจากเวกเตอร์: ส่วนตั้งฉากต้องใช้ $\mathbf a-\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a$ ไม่ใช่ a ลบ scalar projection
- ลืมกรณี b = 0: ไม่มีทิศให้ฉาย สูตรจึงไม่นิยาม ถ้า a = 0 แต่ b ≠ 0 ทั้งสองค่าฉายเป็นศูนย์
- คิดว่าฉาย a บน b เท่ากับฉาย b บน a: โดยทั่วไปไม่เท่ากัน เวกเตอร์เป้าหมายเป็นตัวกำหนดเส้น
- ผสมหน่วยหรือพิกัดคนละกรอบ: แปลงหน่วยและกรอบอ้างอิงให้ตรงกันก่อน เช่น หน่วยเมตรกับมิลลิเมตร หรือกรอบกล้องกับกรอบหุ่นยนต์
- คิดว่าค่าฉายติดลบเป็นความยาวติดลบ: ค่ามีเครื่องหมายบอกทิศ ความยาวต้องใช้ค่าสัมบูรณ์
- อ่านแรงตามแกนเป็นแรงปฏิกิริยาโดยทันที: ต้องมีสมดุล แบบจำลองวัสดุ และเงื่อนไขจุดรองรับตามโจทย์

การฉายตามทิศเวกเตอร์ศูนย์กับการฉายลงปริภูมิ $\{\mathbf0\}$ เป็นคนละนิยาม กรณีหลังมีจุดเดียวจึงให้ศูนย์เสมอ ในการคำนวณเชิงตัวเลข หาก b เล็กมาก ให้ปรับสเกลด้วยวิธีที่รักษาทิศและใช้การคำนวณ norm ที่เสถียร; อย่าหารด้วยค่าที่ระบบถือว่าเป็นศูนย์โดยไม่แจ้งผล

## 10. ฝึกทำพร้อมเฉลย: ตรวจทั้งขนาดและทิศ

ลองทำก่อนเปิดเฉลย หรือใช้ปุ่มโหมดฝึกทำด้านบน คำตอบของการฉายควรตรวจได้สองข้อเสมอ: ฉายขนานทิศเป้าหมาย และส่วนเหลือตั้งฉากกับทิศนั้น

แบบฝึก P-A · ค่าฉายติดลบ

### ให้ $\mathbf a=(-3,4),\ \mathbf b=(1,0)$ จงหา scalar projection, vector projection และส่วนเหลือ

- $\mathbf a\cdot\mathbf b=-3$, $\|\mathbf b\|=1$ ดังนั้นค่าฉายสเกลาร์คือ −3

- เวกเตอร์ฉาย = $-3(1,0)=(-3,0)$, ส่วนเหลือ = $(-3,4)-(-3,0)=(0,4)$

- ส่วนเหลือดอท b ได้ 0 และความยาวเวกเตอร์ฉายคือ 3 ไม่ใช่ −3

−3 · (−3,0) · (0,4)

แบบฝึก P-B · สามมิติ

### ฉาย $\mathbf a=(1,2,3)$ ลงบนแนว $\mathbf b=(1,1,0)$

- ดอท = 3, norm b = $\sqrt2$, และ b·b = 2

- Scalar projection = $3/\sqrt2$; vector projection = $(3/2,3/2,0)$

- ส่วนเหลือ = $(-1/2,1/2,3)$, ดอท b = 0 และ $14=9/2+19/2$

$\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=3/\sqrt2$, $\mathbf a_\parallel=(3/2,3/2,0)$, $\mathbf a_\perp=(-1/2,1/2,3)$

แบบฝึก P-C · แกนที่หมุน

### ใช้ฐาน $\mathbf e_1=(1,1)/\sqrt2,\ \mathbf e_2=(-1,1)/\sqrt2$ จงหาพิกัดใหม่ของ $\mathbf a=(4,2)$

- ตรวจ e₁ และ e₂ ยาวหนึ่งและดอทกันได้ 0 จึงใช้ P5 ได้

- $a_1=(4+2)/\sqrt2=3\sqrt2$, $a_2=(-4+2)/\sqrt2=-\sqrt2$

- ตรวจประกอบกลับ: $3\sqrt2\mathbf e_1-\sqrt2\mathbf e_2=(3,3)+(1,-1)=(4,2)$

พิกัดในฐานใหม่ $(3\sqrt2,-\sqrt2)$ และขนาดยังเป็น $\sqrt{20}$

## 11. สรุปสูตรและแผนเลือกใช้

| ต้องการหา | ใช้สูตร | ตรวจเงื่อนไข |
| component ตามแกนมาตรฐาน | P1: $a_x=\mathbf a\cdot\mathbf i$ | ฐานหน่วยตั้งฉาก |
| ขนาดกับทิศจากเวกเตอร์ | P3: $\widehat{\mathbf b}=\mathbf b/\|\mathbf b\|$ | b ≠ 0 |
| จำนวนจริงตามทิศ b | P6: $(\mathbf a\cdot\mathbf b)/\|\mathbf b\|$ | มีเครื่องหมาย |
| เวกเตอร์ขนาน b | P7: $[(\mathbf a\cdot\mathbf b)/(\mathbf b\cdot\mathbf b)]\mathbf b$ | b ≠ 0 |
| เวกเตอร์ตั้งฉาก b | P8: $\mathbf a-\mathbf a_\parallel$ | ดอท b ต้องได้ 0 |
| ระยะถึงเส้น / ระนาบ | P9 / P10 | ใช้เวกเตอร์จากจุดบนเส้นหรือระนาบ |
| ฉายข้อมูลด้วยเมทริกซ์ | P11: $P=\mathbf b\mathbf b^T/(\mathbf b^T\mathbf b)$ | เวกเตอร์จริงแบบหลัก |

เริ่มจาก พื้นฐานเวกเตอร์ และ บวก ลบ คูณสเกลาร์ แล้วใช้ dot product อธิบายความสัมพันธ์ของทิศ เมื่อเข้าใจการฉายแล้ว การหาแรงตามแกน โมเมนต์ และฟลักซ์ใน งานวิศวกรรม จะเป็นเรื่องเดียวกันในรูปแบบต่าง ๆ

## แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

- OpenStax, Calculus Volume 3, §2.3 The Dot Product — นิยาม scalar/vector projection การแยกแรงและงาน
- OpenStax, Calculus Volume 3, §2.2 Vectors in Three Dimensions — พิกัดสามมิติและเวกเตอร์หน่วย
- MIT OpenCourseWare, 18.02SC, Vectors, Determinants and Planes — บทเรียนและแบบฝึกหัดเวกเตอร์ ดอท และเรขาคณิตระนาบ

หน้านี้ใช้เวกเตอร์จริงและ Euclidean dot product ในแกนตั้งฉาก การคำนวณ inner product สำหรับจำนวนเชิงซ้อนต้องมีการสังยุคตามนิยามของตำรา ไม่แทนสูตรจริงโดยตรง

## คำถามที่พบบ่อย

Component กับ projection ต่างกันอย่างไร?
Component คือค่าที่ใช้ประกอบเวกเตอร์ตามฐานที่เลือก ส่วน projection คือการฉายตั้งฉากลงบนทิศทางหรือปริภูมิ ถ้าฐานเป็นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกัน ค่า component จะเท่ากับ scalar projection ลงแต่ละแกน แต่ฐานทั่วไปที่ไม่ตั้งฉากใช้กฎนี้ตรง ๆ ไม่ได้

Scalar projection กับ vector projection ต่างกันอย่างไร?
Scalar projection เป็นจำนวนจริงที่มีเครื่องหมาย: comp_b a = (a·b)/||b|| ส่วน vector projection เป็นเวกเตอร์: proj_b a = [(a·b)/(b·b)]b โดย b ต้องไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ความยาวของ vector projection เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของ scalar projection

ต้องทำเวกเตอร์เป้าหมายให้ยาวหนึ่งก่อนฉายหรือไม่?
ไม่จำเป็น ถ้าใช้สูตร proj_b a = [(a·b)/(b·b)]b สูตรนี้รวมการปรับความยาวแล้ว แต่ถ้าเลือกใช้ a·u เป็น scalar projection ต้องตรวจว่า u เป็นเวกเตอร์หน่วยจริง

ฉายลงบนเวกเตอร์ศูนย์ได้ไหม?
การฉายตามทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ไม่นิยาม เพราะเวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทางและสูตรหารด้วยศูนย์ แต่การฉายลงบนปริภูมิที่มีเพียงเวกเตอร์ศูนย์เป็นอีกนิยามหนึ่ง ซึ่งให้เวกเตอร์ศูนย์เสมอ

การฉายแรงลงตามแนวคานคือแรงปฏิกิริยาจริงหรือไม่?
การฉายให้ส่วนของแรงที่ขนานและตั้งฉากกับแนวคาน เพื่อได้แรงปฏิกิริยาหรือแรงในสมาชิกจริงยังต้องใช้แผนภาพวัตถุอิสระ เงื่อนไขสมดุล และแบบจำลองของจุดรองรับเพิ่มเติม

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**Component กับ projection ต่างกันอย่างไร?**
Component คือค่าที่ใช้ประกอบเวกเตอร์ตามฐานที่เลือก ส่วน projection คือการฉายตั้งฉากลงบนทิศทางหรือปริภูมิ ถ้าฐานเป็นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกัน ค่า component จะเท่ากับ scalar projection ลงแต่ละแกน แต่ฐานทั่วไปที่ไม่ตั้งฉากใช้กฎนี้ตรง ๆ ไม่ได้

**Scalar projection กับ vector projection ต่างกันอย่างไร?**
Scalar projection เป็นจำนวนจริงที่มีเครื่องหมาย: comp_b a = (a·b)/||b|| ส่วน vector projection เป็นเวกเตอร์: proj_b a = [(a·b)/(b·b)]b โดย b ต้องไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ความยาวของ vector projection เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของ scalar projection

**ต้องทำเวกเตอร์เป้าหมายให้ยาวหนึ่งก่อนฉายหรือไม่?**
ไม่จำเป็น ถ้าใช้สูตร proj_b a = [(a·b)/(b·b)]b สูตรนี้รวมการปรับความยาวแล้ว แต่ถ้าเลือกใช้ a·u เป็น scalar projection ต้องตรวจว่า u เป็นเวกเตอร์หน่วยจริง

**ฉายลงบนเวกเตอร์ศูนย์ได้ไหม?**
การฉายตามทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ไม่นิยาม เพราะเวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทางและสูตรหารด้วยศูนย์ แต่การฉายลงบนปริภูมิที่มีเพียงเวกเตอร์ศูนย์เป็นอีกนิยามหนึ่ง ซึ่งให้เวกเตอร์ศูนย์เสมอ

**การฉายแรงลงตามแนวคานคือแรงปฏิกิริยาจริงหรือไม่?**
การฉายให้ส่วนของแรงที่ขนานและตั้งฉากกับแนวคาน เพื่อได้แรงปฏิกิริยาหรือแรงในสมาชิกจริงยังต้องใช้แผนภาพวัตถุอิสระ เงื่อนไขสมดุล และแบบจำลองของจุดรองรับเพิ่มเติม

---

# การหมุนแกนพิกัด: เมทริกซ์หมุน มุมออยเลอร์ และการเปลี่ยนกรอบอ้างอิง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/coordinate-rotation/
Updated: 2026-10-13
Summary: เรียนการหมุนแกนภาษาไทย: เวกเตอร์เดียวกันมีองค์ประกอบต่างกันในสองกรอบ สูตร x′ = x cos θ + y sin θ หมุนแกนกับหมุนเวกเตอร์ เมทริกซ์หมุนตั้งฉาก RᵀR = I det R = 1 พื้นเอียง เมทริกซ์ Rx Ry Rz ลำดับการหมุน มุมออยเลอร์ Z-Y-X ของโดรนและ IMU หามุมเอียงจากแรงโน้มถ่วง สูตรโรดริเกส และการแปลง Clarke-Park ของมอเตอร์ พร้อมฉาก 3 มิติหมุนกรอบได้

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 3 · Rotation of axes & rotation matrices

# การหมุนแกนพิกัด: เมทริกซ์หมุน มุมออยเลอร์ และการเปลี่ยนกรอบอ้างอิง

โจทย์พื้นเอียงง่ายขึ้นทันทีเมื่อหมุนแกน x ให้ขนานกับพื้น โดรนรู้ว่าตัวเองเอียงเท่าไรจากการอ่านแรงโน้มถ่วงในแกนของตัวเอง และอินเวอร์เตอร์ขับมอเตอร์ควบคุมกระแสได้นิ่งเพราะหมุนแกนตามโรเตอร์ ทั้งหมดใช้ความคิดเดียว: เวกเตอร์ไม่เปลี่ยน แต่ตัวเลขที่ใช้บรรยายมันเปลี่ยนตามกรอบ บทนี้สร้างเมทริกซ์หมุนจาก dot product แล้วต่อยอดสู่สามมิติ มุมออยเลอร์ และงานไฟฟ้า

สรุปใน 30 วินาที

- องค์ประกอบในแกนใหม่ = dot product กับเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแกนใหม่

- 2D: $x'=x\cos\theta+y\sin\theta,\ y'=-x\sin\theta+y\cos\theta$ คือ $\mathbf v'=R(\theta)^{\mathsf T}\mathbf v$

- $R^{\mathsf T}R=I,\ \det R=1$: ความยาวและมุมไม่เปลี่ยน

- 3D: $R=R_z(\psi)R_y(\theta)R_x(\phi)$ ลำดับสำคัญ — คูณสลับแล้วได้คนละการหมุน

## 1. แนวคิด: ลูกศรเดิม ตัวเลขใหม่ พื้นฐาน

เวกเตอร์ความยาว 7.21 หน่วยที่ชี้ไปทางหนึ่ง อาจเขียนเป็น (6, 4) ในแกน xy หรือ (7.20, 0.46) ในแกนที่หมุนไป 30° ทั้งสองชุดบรรยายลูกศรเส้นเดียวกัน การเลือกกรอบที่ดีทำให้สมการง่ายลง เช่น ให้แกนหนึ่งขนานกับพื้นเอียง กับเพลามอเตอร์ หรือกับแขนหุ่นยนต์

เครื่องมือที่ทำงานนี้คือ dot product: ถ้า $\mathbf e_1'$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแกน x′ องค์ประกอบ x′ ของ $\mathbf v$ คือ $\mathbf v\cdot\mathbf e_1'$ (การฉายบนแกนใหม่ ดู Component · Projection)

## 2. หมุนแกนในระนาบ พื้นฐาน

หมุนแกนไปทวนเข็ม θ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแกนใหม่คือ $\mathbf e_1'=(\cos\theta,\sin\theta)$ และ $\mathbf e_2'=(-\sin\theta,\cos\theta)$ จึงได้

T1 Rotation of axes (2D) องค์ประกอบในแกนที่หมุน θ

$$x'=\mathbf v\cdot\mathbf e_1'=x\cos\theta+y\sin\theta,\qquad y'=\mathbf v\cdot\mathbf e_2'=-x\sin\theta+y\cos\theta$$

$$\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=R(\theta)^{\mathsf T}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$

T2 Active vs passive rotation หมุนเวกเตอร์กับหมุนแกน

$$\text{หมุนเวกเตอร์ (active): }\mathbf v_{\text{new}}=R(\theta)\mathbf v,\qquad \text{หมุนแกน (passive): }\mathbf v'=R(\theta)^{\mathsf T}\mathbf v=R(-\theta)\mathbf v,\qquad R(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$$

ความสับสนอันดับหนึ่งของบทนี้: ตำราหุ่นยนต์มักใช้ active ส่วนตำรากลศาสตร์มักใช้ passive ให้ดูว่าอะไรถูกหมุน — ลูกศรหรือแกน

ตัวอย่าง T-1 · อ่านเวกเตอร์ในแกนที่หมุน 30°

### $\mathbf v=(6,4)$ จงหาองค์ประกอบในแกนที่หมุนทวนเข็ม 30°

- $x'=6\cos30^\circ+4\sin30^\circ=5.196+2=7.196$

- $y'=-6\sin30^\circ+4\cos30^\circ=-3+3.464=0.464$

- ตรวจความยาว: $\sqrt{6^2+4^2}=7.211$ และ $\sqrt{7.196^2+0.464^2}=7.211$ ✓

$\mathbf v'=(7.196,\ 0.464)$ — แกน x′ เกือบขนานกับ v จึงได้ y′ เล็ก

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## 3. เมทริกซ์หมุนเป็นเมทริกซ์ตั้งฉาก กลาง

T3 Properties of rotation matrices สมบัติของเมทริกซ์หมุน

$$R^{\mathsf T}R=RR^{\mathsf T}=I,\qquad R^{-1}=R^{\mathsf T},\qquad \det R=+1,\qquad \lVert R\mathbf v\rVert=\lVert\mathbf v\rVert,\qquad (R\mathbf a)\cdot(R\mathbf b)=\mathbf a\cdot\mathbf b$$

ทุกคอลัมน์คือแกนใหม่หนึ่งแกนที่เขียนในกรอบเดิม ถ้า det = −1 คือการสะท้อน (กลับมือ) ไม่ใช่การหมุน อินเวอร์สที่ได้จากการทรานสโพสทำให้คอมพิวเตอร์คำนวณเร็วมาก

เชื่อมกับ เมทริกซ์และการดำเนินการ และ ค่าเฉพาะ: เมทริกซ์หมุนสามมิติมีค่าเฉพาะ 1 หนึ่งค่า เวกเตอร์เฉพาะคู่กับค่านี้คือแกนหมุน

## 4. ใช้จริงครั้งแรก: พื้นเอียง พื้นฐาน

วางแกน x′ ตามพื้นเอียงมุม θ และ y′ ตั้งฉากพื้น น้ำหนัก $\mathbf W=(0,-mg)$ ในแกนเดิม หมุนแกนด้วย T1 ได้ $W_{x'}=-mg\sin\theta$ (ลงเนิน) และ $W_{y'}=-mg\cos\theta$ (กดพื้น) ทันที ไม่ต้องจำรูปสามเหลี่ยมที่สับสนมุม

ตัวอย่าง T-2 · กล่อง 10 kg บนพื้นเอียง 30°

### จงหาองค์ประกอบน้ำหนักขนานและตั้งฉากกับพื้นด้วยการหมุนแกน

- $\mathbf W=(0,-98.1)$ N, θ = 30°

- $W_{x'}=0\cdot\cos30^\circ+(-98.1)\sin30^\circ=-49.05$ N · $W_{y'}=-0\cdot\sin30^\circ+(-98.1)\cos30^\circ=-84.96$ N

49.05 N ลงเนิน และ 84.96 N กดพื้น — ต่อด้วยแรงเสียดทานในแล็บด้านล่าง

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## 5. หมุนในสามมิติ: Rx Ry Rz และลำดับการหมุน กลาง

T4 Elementary rotations (active, right-hand rule) เมทริกซ์หมุนรอบแกนหลัก

$$R_x(\phi)=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos\phi&-\sin\phi\\0&\sin\phi&\cos\phi\end{bmatrix},\quad R_y(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta&0&\sin\theta\\0&1&0\\-\sin\theta&0&\cos\theta\end{bmatrix},\quad R_z(\psi)=\begin{bmatrix}\cos\psi&-\sin\psi&0\\\sin\psi&\cos\psi&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$

สังเกตเครื่องหมายของ R_y สลับตำแหน่งกับอีกสองตัว เพราะลำดับวงจร z → x (x × z = −y)

T5 Composition is not commutative ลำดับการหมุนสำคัญ

$$R_z(90^\circ)R_x(90^\circ)\,\mathbf i=\mathbf j\qquad\text{แต่}\qquad R_x(90^\circ)R_z(90^\circ)\,\mathbf i=\mathbf k$$

ลองกับโทรศัพท์จริง: หมุนรอบแกนตั้งก่อนแล้วพลิก กับพลิกก่อนแล้วหมุน หน้าจอจะชี้คนละทิศ

## 6. มุมออยเลอร์ Z-Y-X: yaw pitch roll ของโดรนและแขนกล ขั้นสูง

T6 Z-Y-X Euler angles มุมออยเลอร์แบบ yaw-pitch-roll

$$R=R_z(\psi)\,R_y(\theta)\,R_x(\phi),\qquad \mathbf v_{\text{world}}=R\,\mathbf v_{\text{body}},\qquad \mathbf v_{\text{body}}=R^{\mathsf T}\mathbf v_{\text{world}}$$

ψ (yaw) หันรอบแกนตั้ง θ (pitch) เงยรอบแกน y ใหม่ φ (roll) หมุนควงรอบแกน x ใหม่ เมื่อ θ = ±90° จะเกิด gimbal lock (yaw กับ roll กลายเป็นแกนเดียวกัน) ระบบจริงจึงนิยม quaternion ภายใน

T7 Tilt from gravity (accelerometer at rest) หามุมเอียงจากแรงโน้มถ่วง

$$\mathbf f_{\text{body}}=R^{\mathsf T}\begin{bmatrix}0\\0\\g\end{bmatrix}=g\begin{bmatrix}-\sin\theta\\\sin\phi\cos\theta\\\cos\phi\cos\theta\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ \theta=\operatorname{atan2}\!\big(-f_x,\sqrt{f_y^2+f_z^2}\big),\quad \phi=\operatorname{atan2}(f_y,f_z)$$

yaw หาจากแรงโน้มถ่วงไม่ได้ (การหมุนรอบแกนตั้งไม่เปลี่ยนทิศของ g) ต้องใช้แมกนีโตมิเตอร์ช่วย ดูตัวอย่าง K-5

ตัวอย่าง T-3 · ตรวจมุมเอียงของ IMU

### บอร์ดเอียงด้วย ψ = 40°, θ = −25°, φ = 20° จงหาเมทริกซ์ R ค่าที่ accelerometer อ่านได้ขณะนิ่ง และกู้มุมเอียงกลับ

- $R=R_z(40^\circ)R_y(-25^\circ)R_x(20^\circ)=\begin{bmatrix}0.6943&-0.7147&-0.0844\\0.5826&0.6269&-0.5173\\0.4226&0.3100&0.8517\end{bmatrix}$, det R = 1

- $\mathbf f=R^{\mathsf T}(0,0,9.81)=9.81\times(\text{แถวที่ 3 ของ }R)=(4.146,\ 3.041,\ 8.355)$ m/s²

- $\theta=\operatorname{atan2}(-4.146,\sqrt{3.041^2+8.355^2})=-25.0^\circ$, $\phi=\operatorname{atan2}(3.041,8.355)=20.0^\circ$ ✓

- ψ = 40° ไม่ปรากฏใน f เลย ยืนยันว่าต้องใช้เซนเซอร์อื่นหา yaw

accelerometer อ่าน (4.15, 3.04, 8.36) m/s² และกู้ pitch −25°, roll 20° ได้ตรง

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 7. หมุนรอบแกนใด ๆ: สูตรโรดริเกส ขั้นสูง

T8 Rodrigues' rotation formula หมุนรอบแกนหนึ่งหน่วย k ด้วยมุม θ

$$\mathbf v_{\text{rot}}=\mathbf v\cos\theta+(\mathbf k\times\mathbf v)\sin\theta+\mathbf k(\mathbf k\cdot\mathbf v)(1-\cos\theta)$$

อ่านจากเวกเตอร์ล้วน: ส่วนที่ขนานกับแกน $\mathbf k(\mathbf k\cdot\mathbf v)$ ไม่หมุน ส่วนตั้งฉากหมุนในระนาบที่มี $\mathbf v_\perp$ และ $\mathbf k\times\mathbf v$ เป็นแกน — ใช้ทั้ง dot และ cross ในสูตรเดียว

ตัวอย่าง T-4 · หมุนรอบแนวทแยง

### หมุน $\mathbf i=(1,0,0)$ รอบแกน $\mathbf k=(1,1,1)/\sqrt3$ ไป 120°

- $\mathbf k\cdot\mathbf i=1/\sqrt3$, $\mathbf k\times\mathbf i=(0,1,-1)/\sqrt3$, $\cos120^\circ=-\tfrac12$, $\sin120^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$

- $\mathbf v=(-\tfrac12,0,0)+\tfrac12(0,1,-1)+\tfrac{1}{3}(1,1,1)(\tfrac32)=(-\tfrac12+\tfrac12,\ \tfrac12+\tfrac12,\ -\tfrac12+\tfrac12)=(0,1,0)$

ได้ $\mathbf j$ — การหมุน 120° รอบแนว (1,1,1) สลับแกน x → y → z → x เป็นวงจร

## 8. งานไฟฟ้า: การแปลง Clarke และ Park คือการหมุนแกน ขั้นสูง

มอเตอร์สามเฟสที่ควบคุมด้วย field oriented control (FOC) วัดกระแส $i_a,i_b,i_c$ ที่เป็นไซน์ แปลงเป็นเวกเตอร์สองมิติ $(i_\alpha,i_\beta)$ บนระนาบนิ่ง (Clarke) ซึ่งหมุนด้วยความเร็วซิงโครนัส จากนั้นหมุนแกนตามมุมโรเตอร์ θ (Park) เวกเตอร์กระแสจึงนิ่งในกรอบ dq ทำให้ตัวควบคุม PI ควบคุมค่าคงที่ได้ เหมือนนั่งบนม้าหมุนแล้วม้าตัวหน้าดูอยู่กับที่

T9 Clarke and Park transforms (amplitude-invariant) การแปลง Clarke และ Park

$$i_\alpha=\tfrac23\big(i_a-\tfrac12 i_b-\tfrac12 i_c\big),\quad i_\beta=\tfrac{1}{\sqrt3}(i_b-i_c);\qquad \begin{bmatrix}i_d\\i_q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}$$

เมทริกซ์ Park คือ T1 ทุกประการ — เป็นการหมุนแกนแบบ passive ด้วยมุมไฟฟ้าของโรเตอร์

ตัวอย่าง T-5 · กระแสสามเฟสสมดุล 10 A ที่ ωt = 30°

### $i_a=10\cos\omega t,\ i_b=10\cos(\omega t-120^\circ),\ i_c=10\cos(\omega t+120^\circ)$ จงหา $i_\alpha,i_\beta$ และ $i_d,i_q$ เมื่อ θ = ωt = 30°

- $i_a=8.660,\ i_b=0,\ i_c=-8.660$ A

- Clarke: $i_\alpha=\tfrac23(8.660-0+4.330)=8.660$ A, $i_\beta=(0+8.660)/\sqrt3=5.000$ A → เวกเตอร์ยาว 10 A ที่มุม 30°

- Park: $i_d=8.660\cos30^\circ+5\sin30^\circ=10.00$ A, $i_q=-8.660\sin30^\circ+5\cos30^\circ=0$ A

- ไม่ว่า ωt เป็นเท่าใด ได้ $i_d=10,\ i_q=0$ เสมอ: ไซน์สามเส้นกลายเป็นค่าคงที่สองค่า

$i_d=10$ A, $i_q=0$ — นี่คือเหตุผลที่ FOC ควบคุมแรงบิดของมอเตอร์ได้เหมือนมอเตอร์ DC

รายละเอียดการควบคุมอยู่ใน ระบบควบคุมในอิเล็กทรอนิกส์กำลัง และการหมุนของเฟสเซอร์ใน พื้นฐานเฟสเซอร์

## 9. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

| ข้อผิดพลาด | วิธีป้องกัน |

| ใช้ R แทน Rᵀ (หรือกลับกัน) | ถามตัวเองว่าหมุนลูกศรหรือหมุนแกน ตรวจด้วยกรณีง่าย θ = 90° |

| คูณเมทริกซ์ผิดลำดับ | ZYX หมายถึง $R_zR_yR_x$ เวกเตอร์ถูกคูณด้วย R_x ก่อน (อยู่ขวาสุด) |

| ลืมแปลงองศาเป็นเรเดียนในโปรแกรม | Math.cos ใน JavaScript/Python รับเรเดียน |

| ปัดเศษเมทริกซ์จนไม่ตั้งฉาก | ตรวจ $R^{\mathsf T}R\approx I$ และ det ≈ 1 หลังคำนวณเสมอ |

| คิดว่าหา yaw จาก accelerometer ได้ | การหมุนรอบแกนแรงโน้มถ่วงไม่เปลี่ยนค่าที่อ่าน ต้องใช้เข็มทิศหรือไจโร |

## 10. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

- $\mathbf v=(3,-4)$ จงหาองค์ประกอบในแกนที่หมุน 90° และ −53.13°

- หมุนเวกเตอร์ (1, 2, 0) ด้วย $R_z(90^\circ)$

- accelerometer นิ่งอ่าน (0, 4.905, 8.496) m/s² บอร์ดเอียงอย่างไร?

- กระแส $i_\alpha=0,\ i_\beta=7$ A และ θ = 90° จงหา $i_d, i_q$

เปิดเฉลย

- θ = 90°: (−4, −3) · θ = −53.13° (cos = 0.6, sin = −0.8): x′ = 3(0.6) + (−4)(−0.8) = 5, y′ = −3(−0.8) + (−4)(0.6) = 0 → (5, 0) แกน x′ ชี้ตามเวกเตอร์พอดี

- $R_z(90^\circ)(1,2,0)=(-2,1,0)$

- $\theta=\operatorname{atan2}(0,9.81)=0^\circ$, $\phi=\operatorname{atan2}(4.905,8.496)=30^\circ$: roll 30° ไม่เงย

- $i_d=0\cdot0+7\cdot1=7$ A, $i_q=-0+7\cdot0=0$

## 11. สรุปสูตร

| หัวข้อ | สูตร |

| T1 หมุนแกน 2D | $\mathbf v'=R(\theta)^{\mathsf T}\mathbf v$ |

| T2 หมุนเวกเตอร์ | $\mathbf v_{\text{new}}=R(\theta)\mathbf v$ |

| T3 สมบัติ | $R^{\mathsf T}R=I,\ \det R=1$ |

| T4–T6 สามมิติ | $R=R_zR_yR_x$ ลำดับสำคัญ |

| T7 มุมเอียงจาก g | $\theta=\operatorname{atan2}(-f_x,\sqrt{f_y^2+f_z^2}),\ \phi=\operatorname{atan2}(f_y,f_z)$ |

| T8 โรดริเกส | $\mathbf v\cos\theta+(\mathbf k\times\mathbf v)\sin\theta+\mathbf k(\mathbf k\cdot\mathbf v)(1-\cos\theta)$ |

| T9 Clarke–Park | หมุนแกน αβ ตามมุมโรเตอร์ได้ dq |

## 12. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

- Lynch & Park, Modern Robotics (ฉบับเปิด) บทที่ 3 Rigid-Body Motions — เมทริกซ์หมุน exponential coordinates และสูตรโรดริเกส

- MIT OCW 18.06SC Linear Algebra — เมทริกซ์ตั้งฉากและการเปลี่ยนฐาน

- Texas Instruments, Field Orientated Control of 3-Phase AC-Motors (BPRA073) — การแปลง Clarke และ Park ในทางปฏิบัติ

ต่อไป: ใช้เมทริกซ์หมุนต่อกันเป็นโซ่ใน เวกเตอร์ในแขนกล หรือหมุนกรอบเองใน สตูดิโอเวกเตอร์ (ติ๊ก “กรอบหมุน”)

## คำถามที่พบบ่อย

หมุนแกนกับหมุนเวกเตอร์ต่างกันอย่างไร?
หมุนเวกเตอร์ (active) คือย้ายลูกศรไปชี้ทิศใหม่ในกรอบเดิม v_new = R v ส่วนหมุนแกน (passive) คือเวกเตอร์อยู่ที่เดิมแต่เราอ่านองค์ประกอบในแกนที่หมุนไป v′ = Rᵀ v การหมุนแกนไป +θ ให้องค์ประกอบเหมือนการหมุนเวกเตอร์ไป −θ

เมทริกซ์หมุนมีสมบัติอะไร?
คอลัมน์และแถวเป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกัน RᵀR = I จึงหาอินเวอร์สได้ง่าย R⁻¹ = Rᵀ และ det R = +1 การหมุนไม่เปลี่ยนความยาวและมุมระหว่างเวกเตอร์

ลำดับการหมุนสำคัญไหม?
สำคัญมากในสามมิติ การหมุนรอบ x แล้ว z ให้ผลต่างจาก z แล้ว x เพราะการคูณเมทริกซ์ไม่สลับที่ มุมออยเลอร์จึงต้องระบุลำดับเสมอ เช่น Z-Y-X (yaw-pitch-roll)

การหมุนแกนเกี่ยวกับมอเตอร์ไฟฟ้าอย่างไร?
การแปลง Park ในการควบคุมมอเตอร์แบบ field oriented control คือการหมุนแกน αβ ไปตามมุมโรเตอร์ θ ทำให้กระแสสามเฟสที่เป็นไซน์กลายเป็นค่าคงที่ i_d และ i_q ซึ่งควบคุมด้วย PI ได้ง่าย

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**หมุนแกนกับหมุนเวกเตอร์ต่างกันอย่างไร?**
หมุนเวกเตอร์ (active) คือย้ายลูกศรไปชี้ทิศใหม่ในกรอบเดิม v_new = R v ส่วนหมุนแกน (passive) คือเวกเตอร์อยู่ที่เดิมแต่เราอ่านองค์ประกอบในแกนที่หมุนไป v′ = Rᵀ v การหมุนแกนไป +θ ให้องค์ประกอบเหมือนการหมุนเวกเตอร์ไป −θ

**เมทริกซ์หมุนมีสมบัติอะไร?**
คอลัมน์และแถวเป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกัน RᵀR = I จึงหาอินเวอร์สได้ง่าย R⁻¹ = Rᵀ และ det R = +1 การหมุนไม่เปลี่ยนความยาวและมุมระหว่างเวกเตอร์

**ลำดับการหมุนสำคัญไหม?**
สำคัญมากในสามมิติ การหมุนรอบ x แล้ว z ให้ผลต่างจาก z แล้ว x เพราะการคูณเมทริกซ์ไม่สลับที่ มุมออยเลอร์จึงต้องระบุลำดับเสมอ เช่น Z-Y-X (yaw-pitch-roll)

**การหมุนแกนเกี่ยวกับมอเตอร์ไฟฟ้าอย่างไร?**
การแปลง Park ในการควบคุมมอเตอร์แบบ field oriented control คือการหมุนแกน αβ ไปตามมุมโรเตอร์ θ ทำให้กระแสสามเฟสที่เป็นไซน์กลายเป็นค่าคงที่ i_d และ i_q ซึ่งควบคุมด้วย PI ได้ง่าย

---

# Cross Product — ครอสโปรดักต์และทิศตั้งฉาก

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/cross-product/
Updated: 2026-10-13
Summary: เรียน Cross Product ตั้งแต่ภาพเรขาคณิต กฎมือขวา ดีเทอร์มิแนนต์และเครื่องหมายองค์ประกอบ เวกเตอร์ 2 มิติฝังใน 3 มิติ พื้นที่ เวกเตอร์ปกติ Scalar และ Vector Triple Product พร้อมตัวอย่างทีละขั้น สูตรอ้างอิง และแบบฝึกหัดมีเฉลย

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 2 · Cross product

# Cross Product — ครอสโปรดักต์และทิศตั้งฉาก

ถ้า Dot product ถามว่า “แรงช่วยการเคลื่อนที่มากแค่ไหน” Cross product ถามว่า “แรงทำให้หมุนรอบแกนใด มากแค่ไหน” เริ่มจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน แล้วค่อยอ่านทิศตามกฎมือขวาและคำนวณทีละองค์ประกอบ ก่อนต่อยอดไปเวกเตอร์ปกติ ปริมาตร และงานวิศวกรรม

สรุปใน 30 วินาที
- $\mathbf a\times\mathbf b$ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้ง $\mathbf a$ และ $\mathbf b$ เมื่อผลไม่เป็นศูนย์
- ขนาด $\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta$ เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน
- สลับลำดับแล้วกลับเครื่องหมาย: $\mathbf b\times\mathbf a=-\mathbf a\times\mathbf b$
- สูตรบทนี้ใช้ฐานคาร์ทีเซียนตั้งฉากหนึ่งหน่วยแบบมือขวาในสามมิติ; เวกเตอร์ 2 มิติเติมองค์ประกอบ $z=0$ ก่อน

## 1. Cross product เกิดจากพื้นที่และทิศตั้งฉาก

ให้เวกเตอร์จริง $\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb R^3$ มีจุดเริ่มต้นเดียวกัน มุมเล็กระหว่างทั้งคู่คือ $0\le\theta\le\pi$ สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยใช้เวกเตอร์ทั้งสองเป็นด้าน ฐานยาว $\|\mathbf a\|$ และสูง $\|\mathbf b\|\sin\theta$ จึงได้พื้นที่เป็นผลคูณฐานกับสูง Cross product เก็บทั้งขนาดพื้นที่นี้และทิศปกติของระนาบไว้ในเวกเตอร์เดียว

ขนาดของ Cross product เท่ากับพื้นที่ แต่คำตอบยังมีทิศด้วย จุดในวงกลมหมายถึงหัวลูกศรพุ่งออกจากหน้าจอ

C1 Geometric cross product ขนาดและทิศ

$$\mathbf a\times\mathbf b=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta\,\hat{\mathbf n},\qquad \|\mathbf a\times\mathbf b\|=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta$$

$\hat{\mathbf n}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตั้งฉากตามกฎมือขวาจาก $\mathbf a$ ไป $\mathbf b$ ถ้าเวกเตอร์ตัวใดเป็นศูนย์หรือทั้งคู่ขนานกัน ผลคือ $\mathbf0$ และไม่เลือกทิศปกติจากผลนั้น

กรณี $\theta=0^\circ$ หรือ $180^\circ$ สี่เหลี่ยมยุบเป็นเส้น พื้นที่เป็นศูนย์ กรณี $90^\circ$ ได้ขนาดมากที่สุดสำหรับความยาวเวกเตอร์คงที่ ต่างจาก Dot product ที่เป็นศูนย์เมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน ทบทวนการแยกความหมายได้ที่ Dot product

หน่วยของผลคูณ: หากทั้งสองเวกเตอร์เป็นการกระจัดหน่วยเมตร ขนาด Cross product มีหน่วย $\mathrm{m^2}$ ถ้าเป็นตำแหน่งกับแรง จะได้ $\mathrm{m}\cdot\mathrm N$ ซึ่งเป็นหน่วยของโมเมนต์แรง ความหมายขึ้นกับปริมาณที่นำมาคูณ ไม่ได้เป็นพื้นที่ทางกายภาพทุกครั้ง

## 2. กฎมือขวาและลำดับของเวกเตอร์

ใช้มือขวาโค้งนิ้วจากเวกเตอร์ตัวแรก $\mathbf a$ ไปเวกเตอร์ตัวที่สอง $\mathbf b$ ผ่านมุมระหว่าง 0 ถึง 180 องศา นิ้วโป้งชี้ทิศของ $\mathbf a\times\mathbf b$ เมื่อลองสลับลำดับ นิ้วจะโค้งอีกด้าน นิ้วโป้งจึงกลับทิศ นี่คือเหตุผลทางเรขาคณิตของเครื่องหมายลบ

ฐานคาร์ทีเซียนแบบมือขวา: $\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf j}=\hat{\mathbf k}$ และวงรอบ $i\to j\to k\to i$ ให้เครื่องหมายบวก

C2 Basis products ผลคูณฐานที่ต้องจำ

$$\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf j}=\hat{\mathbf k},\quad\hat{\mathbf j}\times\hat{\mathbf k}=\hat{\mathbf i},\quad\hat{\mathbf k}\times\hat{\mathbf i}=\hat{\mathbf j}$$

$$\hat{\mathbf j}\times\hat{\mathbf i}=-\hat{\mathbf k},\quad\hat{\mathbf k}\times\hat{\mathbf j}=-\hat{\mathbf i},\quad\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf k}=-\hat{\mathbf j},\quad\hat{\mathbf e}\times\hat{\mathbf e}=\mathbf0$$

$\hat{\mathbf e}$ ในพจน์สุดท้ายเป็นฐานตัวเดียวกัน เมื่อเขียนภาพบนกระดาษ ใช้ $\odot$ แทนพุ่งออก และ $\otimes$ แทนพุ่งเข้า

ตัวอย่าง C-1 · อ่านทิศโดยยังไม่คำนวณ

### ให้ $\mathbf a=3\hat{\mathbf i}$, $\mathbf b=4\hat{\mathbf j}$ หา $\mathbf a\times\mathbf b$ และ $\mathbf b\times\mathbf a$

- ความยาวคือ 3 และ 4 ตั้งฉากกัน จึงได้ขนาด $3\cdot4\cdot\sin90^\circ=12$

- จาก $\hat{\mathbf i}$ ไป $\hat{\mathbf j}$ ได้ $+\hat{\mathbf k}$ จึง $\mathbf a\times\mathbf b=12\hat{\mathbf k}$

- ย้อนลำดับได้ $\mathbf b\times\mathbf a=-12\hat{\mathbf k}$ ขนาดเท่ากัน แต่ทิศตรงข้าม

$\mathbf a\times\mathbf b=(0,0,12)$, $\mathbf b\times\mathbf a=(0,0,-12)$

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 3. สูตรองค์ประกอบและดีเทอร์มิแนนต์: ระวังเครื่องหมายแกน y

ก่อนคำนวณให้เวกเตอร์ทั้งคู่ใช้ฐานเดียวกัน หากอุปกรณ์วัดตัวหนึ่งใช้พิกัดโลก อีกตัวใช้พิกัดตัวเครื่อง ต้องแปลงพิกัดให้ตรงกันก่อน สูตรต่อไปนี้สมมติฐาน $\hat{\mathbf i},\hat{\mathbf j},\hat{\mathbf k}$ ตั้งฉาก หน่วยยาวเท่ากับ 1 และมีลำดับแบบมือขวา

C3 Component formula คำนวณสามองค์ประกอบ

$$\begin{aligned}\mathbf a\times\mathbf b&=(a_yb_z-a_zb_y)\hat{\mathbf i}+(a_zb_x-a_xb_z)\hat{\mathbf j}+(a_xb_y-a_yb_x)\hat{\mathbf k}\\&=\begin{vmatrix}\hat{\mathbf i}&\hat{\mathbf j}&\hat{\mathbf k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}\end{aligned}$$

รูปดีเทอร์มิแนนต์เป็นสัญลักษณ์ช่วยจำการขยาย ไม่ใช่ดีเทอร์มิแนนต์ตัวเลขธรรมดา เพราะแถวแรกมีเวกเตอร์ ขยายแถวแรกได้เครื่องหมาย $+,-,+$: $\hat{\mathbf i}(a_yb_z-a_zb_y)-\hat{\mathbf j}(a_xb_z-a_zb_x)+\hat{\mathbf k}(a_xb_y-a_yb_x)$ สูตรบรรทัดแรกกระจายลบของพจน์ $j$ ให้แล้ว

C4 Orthogonality checks ตรวจคำตอบด้วย Dot product

$$(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf a=0,\qquad(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf b=0$$

คำตอบถูกต้องต้องผ่านทั้งสองเงื่อนไข แต่เงื่อนไขนี้เพียงอย่างเดียวยังตรวจขนาดหรือการกลับเครื่องหมายไม่ได้ ต้องตรวจสูตรองค์ประกอบและกฎมือขวาด้วย

ตัวอย่าง C-2 · คิดทีละแกนและตรวจสองวิธี

### หา $\mathbf a\times\mathbf b$ เมื่อ $\mathbf a=(2,-1,3)$, $\mathbf b=(1,4,-2)$

- แกน $x$: $a_yb_z-a_zb_y=(-1)(-2)-(3)(4)=2-12=-10$

- แกน $y$: $a_zb_x-a_xb_z=(3)(1)-(2)(-2)=3+4=7$ หากใช้ดีเทอร์มิแนนต์ พจน์ในวงเล็บคือ $-7$ แล้วคูณลบหน้า $j$ ได้ $+7$

- แกน $z$: $a_xb_y-a_yb_x=(2)(4)-(-1)(1)=8+1=9$

- ตรวจตั้งฉากกับ $\mathbf a$: $(-10)(2)+(7)(-1)+(9)(3)=-20-7+27=0$ และกับ $\mathbf b$: $-10+28-18=0$

- ตรวจขนาด: $\|\mathbf a\|^2=14$, $\|\mathbf b\|^2=21$, $\mathbf a\cdot\mathbf b=-8$ จึง $\|\mathbf a\times\mathbf b\|^2=14(21)-(-8)^2=230$ ตรงกับ $(-10)^2+7^2+9^2=230$

$\mathbf a\times\mathbf b=(-10,7,9)$, ขนาด $\sqrt{230}\approx15.166$

สูตรองค์ประกอบมาจากการแจกแจง $(a_x\hat{\mathbf i}+a_y\hat{\mathbf j}+a_z\hat{\mathbf k})\times(b_x\hat{\mathbf i}+b_y\hat{\mathbf j}+b_z\hat{\mathbf k})$ เป็น 9 พจน์ พจน์ที่คูณฐานเดียวกันหายไป เหลือ 6 พจน์ ใช้ C2 รวมเป็นสามแกน ดังนั้นสูตรไม่ได้เป็นเพียงกฎจำเครื่องหมาย แต่สอดคล้องกับความหมายของฐานทุกพจน์

## 4. เวกเตอร์ 2 มิติ: องค์ประกอบ z และพื้นที่มีเครื่องหมาย

ถ้าเวกเตอร์อยู่ในระนาบ $xy$ ให้เติมศูนย์เป็น $\mathbf a=(a_x,a_y,0)$, $\mathbf b=(b_x,b_y,0)$ ผลคูณจะชี้ตามแกน $z$ เท่านั้น บางโปรแกรมคืนค่าตัวเลขเดียว $a_xb_y-a_yb_x$ เรียกว่า 2D cross แต่ตัวเลขนี้เป็นองค์ประกอบ $z$ ของ Cross product สามมิติ จึงต้องแยกจากเวกเตอร์ผลลัพธ์

C5 Planar signed cross ครอสบนระนาบ

$$(a_x,a_y,0)\times(b_x,b_y,0)=(0,0,a_xb_y-a_yb_x),\qquad A_{\rm triangle}=\tfrac12|a_xb_y-a_yb_x|$$

เมื่อ $+x$ ชี้ขวา $+y$ ชี้ขึ้น และมองจากด้าน $+z$ เข้าหาจุดกำเนิด ค่าบวกหมายถึงการหมุนจาก $\mathbf a$ ไป $\mathbf b$ ทวนเข็มนาฬิกาผ่านมุมไม่เกิน $180^\circ$; ค่าลบตามเข็ม ระวังพิกัดจอที่แกน $y$ ชี้ลง เพราะภาพจะดูสลับทิศ

ตัวอย่าง C-3 · พื้นที่สามเหลี่ยมจากจุดสามจุด

### ให้ $A=(1,1)$, $B=(5,2)$, $C=(2,4)$ หาพื้นที่และทิศเรียงจุด

- สร้างเวกเตอร์จากจุดเริ่มต้นเดียวกัน: $\overrightarrow{AB}=(4,1)$, $\overrightarrow{AC}=(1,3)$ อย่า Cross ตำแหน่ง $B$ กับ $C$ โดยตรง เพราะสามเหลี่ยมไม่ได้เริ่มที่จุดกำเนิด

- องค์ประกอบ $z=4(3)-1(1)=11$ ดังนั้น $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,0,11)$

- พื้นที่สามเหลี่ยมคือครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม: $A=11/2=5.5$ ตารางหน่วย เครื่องหมายบวกบอกว่า $A\to B\to C$ เรียงทวนเข็มในพิกัดมาตรฐาน

พื้นที่ $5.5$ ตารางหน่วย · ลำดับจุดทวนเข็มนาฬิกา · หากสลับ $B,C$ พื้นที่ยังเท่าเดิม แต่เครื่องหมายเปลี่ยน

ในงาน CAD หรือเมชสามเหลี่ยม เครื่องหมายนี้ช่วยกำหนดการเรียงจุดและด้านหน้าของพื้นผิว เมื่อมีค่าทศนิยมใกล้ศูนย์มาก ควรเทียบกับเกณฑ์ที่สัมพันธ์กับสเกลของพิกัดและความแม่นยำของการวัด ไม่ตัดสินด้วยการเท่ากับศูนย์แบบตัวเลขลอยตัวเพียงอย่างเดียว

## 5. สมบัติที่ใช้ได้ และเหตุผลที่ห้ามสลับวงเล็บ

C6 Algebraic properties สมบัติพีชคณิต

$$\begin{gathered}\mathbf a\times\mathbf b=-\mathbf b\times\mathbf a,\qquad \mathbf a\times\mathbf a=\mathbf0\\\mathbf a\times(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\times\mathbf b+\mathbf a\times\mathbf c\$\mathbf a+\mathbf b)\times\mathbf c=\mathbf a\times\mathbf c+\mathbf b\times\mathbf c\\(\alpha\mathbf a)\times(\beta\mathbf b)=\alpha\beta(\mathbf a\times\mathbf b)\end{gathered}$$

ใช้ได้กับสเกลาร์จริง \(\alpha,\beta$ การดึงสเกลาร์ออกไม่สลับลำดับเวกเตอร์

C7 Lagrange's identity ตรวจขนาดโดยไม่หามุม

$$\|\mathbf a\times\mathbf b\|^2=\|\mathbf a\|^2\|\mathbf b\|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2$$

มาจาก $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ ใช้ตรวจตัวอย่าง C-2 ได้ทันที ถ้าคำนวณตัวเลขลอยตัวแล้วได้ติดลบเล็กน้อยในกรณีเกือบขนาน ให้ตรวจความคลาดเคลื่อนและความแม่นยำก่อนถอดราก

Cross product ไม่เปลี่ยนกลุ่ม: ให้ $\mathbf a=\hat{\mathbf i}$, $\mathbf b=\hat{\mathbf i}$, $\mathbf c=\hat{\mathbf j}$ จะได้ $(\mathbf a\times\mathbf b)\times\mathbf c=\mathbf0$ แต่ $\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)=\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf k}=-\hat{\mathbf j}$ จึงห้ามลบวงเล็บหรือเลื่อนวงเล็บตามใจ

## 6. เวกเตอร์ปกติและสมการระนาบ

สองทิศที่ไม่ขนานกันในระนาบกำหนดทิศตั้งฉากได้ด้วย Cross product หากต้องการปกติหนึ่งหน่วยให้นำผลหารด้วยความยาว ถ้าผลเป็นศูนย์ แสดงว่าสองทิศไม่พอที่จะกำหนดระนาบ ต้องเลือกเวกเตอร์อิสระอีกตัว

C8 Normal and plane ปกติหนึ่งหน่วยและสมการระนาบ

$$\hat{\mathbf n}=\frac{\mathbf a\times\mathbf b}{\|\mathbf a\times\mathbf b\|},\qquad \mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf p)=0,\quad \mathbf n=\mathbf a\times\mathbf b\ne\mathbf0$$

$\mathbf p$ เป็นจุดหนึ่งบนระนาบ และ $\mathbf x=(x,y,z)$ เป็นจุดทั่วไป $-\hat{\mathbf n}$ ก็เป็นปกติอีกด้านของระนาบเดียวกัน แต่มีผลต่อเครื่องหมายของฟลักซ์และการเรียงเมช

ตัวอย่าง C-4 · หา normal ของแผ่นในสามมิติ

### ระนาบผ่าน $P=(1,2,-1)$ และขนานกับ $\mathbf a=(2,-1,3)$, $\mathbf b=(1,4,-2)$ หาสมการระนาบ

- ใช้ผลจาก C-2: $\mathbf n=(-10,7,9)$ ไม่เป็นศูนย์ จึงกำหนดระนาบได้

- ตั้ง $\mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf p)=0$: $-10(x-1)+7(y-2)+9(z+1)=0$

- จัดรูปเป็น $-10x+7y+9z+5=0$ ตรวจแทน $P$ ได้ $-10+14-9+5=0$

ระนาบ $-10x+7y+9z+5=0$ · ปกติหนึ่งหน่วย $\hat{\mathbf n}=(-10,7,9)/\sqrt{230}$

## 7. Scalar triple product: ปริมาตรและการอยู่ร่วมระนาบ

Cross สองเวกเตอร์ให้เวกเตอร์พื้นที่ แล้ว Dot กับเวกเตอร์ตัวที่สามเพื่อดึงเฉพาะความสูงตามปกติ ผลจึงเป็น “พื้นที่ฐาน × ความสูงมีเครื่องหมาย” สังเกตว่าสูตรนี้ให้สเกลาร์ ต่างจาก Cross สองครั้งที่หัวข้อถัดไป

C9 Scalar triple product ปริมาตรมีเครื่องหมาย

$$s=\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix},\qquad V_{\rm parallelepiped}=|s|,\qquad V_{\rm tetrahedron}=\frac{|s|}{6}$$

หมุนลำดับแบบวงรอบแล้วค่าเดิม: $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)=\mathbf b\cdot(\mathbf c\times\mathbf a)=\mathbf c\cdot(\mathbf a\times\mathbf b)$ สลับสองตัวแล้วเครื่องหมายกลับ ถ้า $s=0$ เวกเตอร์สามตัวพึ่งพาเชิงเส้นและอยู่ในระนาบผ่านจุดกำเนิดร่วมกันได้ ปริมาตรเป็นศูนย์

ตัวอย่าง C-5 · ปริมาตรกล่องเอียง

### ขอบจากมุมเดียวกันเป็น $\mathbf a=(2,0,0)\,\mathrm m$, $\mathbf b=(1,3,0)\,\mathrm m$, $\mathbf c=(0,1,4)\,\mathrm m$

- หา $\mathbf b\times\mathbf c=(12,-4,1)\,\mathrm{m^2}$

- Dot กับ $\mathbf a$: $s=2(12)+0(-4)+0(1)=24\,\mathrm{m^3}$

- ตรวจเรขาคณิต: พื้นที่ฐาน $\|\mathbf a\times\mathbf b\|=6\,\mathrm{m^2}$ ความสูงตามแกน $z=4\,\mathrm m$ จึง $6\cdot4=24\,\mathrm{m^3}$

กล่องเอียงมีปริมาตร $24\,\mathrm{m^3}$ · ทรงสี่หน้าที่ใช้สามขอบนี้จากจุดเดียวกันมีปริมาตร $4\,\mathrm{m^3}$

## 8. Vector triple product: สูตร BAC–CAB

ครอสซ้อนครอส เช่น $\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)$ ยังเป็นเวกเตอร์ โดยผลอยู่ในระนาบที่กางโดย $\mathbf b,\mathbf c$ อัตลักษณ์ต่อไปนี้ทำให้เปลี่ยน Cross ซ้อนเป็นการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ Dot ได้ และย้ำว่าต้องรักษาวงเล็บ

C10 Vector triple product BAC–CAB และวงเล็บอีกด้าน

$$\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)=\mathbf b(\mathbf a\cdot\mathbf c)-\mathbf c(\mathbf a\cdot\mathbf b)$$

$$(\mathbf a\times\mathbf b)\times\mathbf c=\mathbf b(\mathbf a\cdot\mathbf c)-\mathbf a(\mathbf b\cdot\mathbf c)$$

จำ BAC–CAB สำหรับสูตรแรก: เวกเตอร์ $b$ คูณ Dot ของ $a,c$ ลบเวกเตอร์ $c$ คูณ Dot ของ $a,b$ สูตรที่สองมีเวกเตอร์ตัวหลังพจน์ลบต่างกัน จึงห้ามเปลี่ยนกลุ่ม

C11 Double cross and projection ดึงส่วนตั้งฉากกับแนวหนึ่งหน่วย

$$\hat{\mathbf u}\times(\mathbf a\times\hat{\mathbf u})=\mathbf a-(\mathbf a\cdot\hat{\mathbf u})\hat{\mathbf u}=\mathbf a_\perp,\qquad\|\hat{\mathbf u}\|=1$$

สูตรนี้เชื่อมกับ Component และ Projection เพราะแยกส่วนขนานออก เหลือส่วนตั้งฉาก หากใช้ $\hat{\mathbf u}\times(\hat{\mathbf u}\times\mathbf a)$ จะได้ $-\mathbf a_\perp$ เนื่องจากลำดับกลับกัน

ตัวอย่าง C-6 · ดึงองค์ประกอบบนระนาบ xy

### ให้ $\mathbf a=(3,4,5)$, $\hat{\mathbf u}=\hat{\mathbf k}$ คำนวณ $\hat{\mathbf u}\times(\mathbf a\times\hat{\mathbf u})$

- ครอสด้านใน: $(3,4,5)\times(0,0,1)=(4,-3,0)$

- ครอสด้านนอก: $(0,0,1)\times(4,-3,0)=(3,4,0)$

- ตรวจ C11: $\mathbf a\cdot\hat{\mathbf k}=5$ จึง $\mathbf a-5\hat{\mathbf k}=(3,4,0)$

ผล $(3,4,0)$ คือส่วนของ $\mathbf a$ ที่ตั้งฉากกับแกน $z$ ไม่ใช่ส่วนขนานกับแกน $z$

## 9. เหตุใดวิศวกรรมจึงใช้ Cross product

| งาน | สูตร | ความหมาย |
| โมเมนต์แรงรอบจุด O | $\boldsymbol\tau_O=\mathbf r_{OP}\times\mathbf F$ | ขนาดวัดการหมุน ทิศบอกแกนหมุน โดย $\mathbf r$ เริ่มจากจุดอ้างอิงไปจุดออกแรง |
| แรงแม่เหล็กต่อประจุ | $\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B$ | ตั้งฉากกับความเร็วและสนาม ประจุลบกลับทิศจากกฎมือขวา |
| แรงต่อสายตรงในสนามสม่ำเสมอ | $\mathbf F_B=I\mathbf L\times\mathbf B$ | $\mathbf L$ ชี้ตามกระแสแบบดั้งเดิม เฉพาะส่วนสายที่อยู่ในสนาม |
| หุ่นยนต์ข้อต่อหมุน | $\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r$ | ความเร็วสัมผัสตั้งฉากกับแนวรัศมี |

ดูโจทย์ที่แทนค่าหน่วยจริง พร้อมเงื่อนไขการใช้สูตรและการตรวจความสมเหตุผลได้ที่ การประยุกต์เวกเตอร์ทางวิศวกรรม หรือทดลองเปลี่ยนองค์ประกอบและดูทิศผลคูณใน Vector Lab

Cross product ทำงานจริงที่ไหนในชุดนี้โมเมนต์และแรงคู่ควบใน ระบบแรง · ความเร็ว ω × r และ Jacobian ใน แขนกล · แรงลอเรนซ์ F = q v × B แรงบนลวด F = I L × B และแรงบิดมอเตอร์ τ = m × B ใน สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

## 10. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและวิธีตรวจ

- คิดว่า Cross ให้ตัวเลขเหมือน Dot: Cross ในบทนี้ให้เวกเตอร์สามองค์ประกอบ ส่วนขนาดของมันเป็นสเกลาร์
- ลืมลบของแกน y: ใช้ $a_zb_x-a_xb_z$ หรือใช้โคแฟกเตอร์ $-\hat{\mathbf j}(a_xb_z-a_zb_x)$ อย่างใดอย่างหนึ่ง อย่าใส่ลบซ้ำ
- สลับลำดับโดยคิดว่าไม่ต่าง: เขียนชื่อเวกเตอร์ตัวแรกและตัวที่สองไว้เสมอ เช่นโมเมนต์ใช้ $\mathbf r\times\mathbf F$
- ผลเป็นศูนย์แล้วหารหาปกติหนึ่งหน่วย: หารด้วยศูนย์ไม่ได้ ต้องเลือกสองทิศที่ไม่ขนานกัน
- พื้นที่สามเหลี่ยมไม่หารสอง หรือปริมาตรทรงสี่หน้าไม่หารหก: ขนาด Cross คือพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน และขนาด scalar triple คือปริมาตรกล่องเอียง
- ใช้เวกเตอร์คนละระบบพิกัด: แปลงให้เป็นฐานเดียวกันก่อน ผลในฐานมือซ้ายต้องจัดการข้อตกลงการวางแนวอย่างถูกต้อง
- นำเฟสเซอร์ AC มาอ่านเป็นลูกศรในอวกาศ: มุมเฟสในระนาบเชิงซ้อนแสดงความสัมพันธ์ตามเวลา ไม่ใช่มุมระหว่างแรงหรือสนามใน $\mathbb R^3$ โดยอัตโนมัติ

## 11. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

ลองทำโดยปิดเฉลยก่อน ทุกข้อควรเขียนลำดับเวกเตอร์และตรวจทิศหรือหน่วยอย่างน้อยหนึ่งวิธี

- ให้ $\mathbf a=(1,2,0)$, $\mathbf b=(3,-1,0)$ หา Cross และพื้นที่สามเหลี่ยมที่กางด้วยสองเวกเตอร์
- ให้ $\mathbf a=(1,0,2)$, $\mathbf b=(0,3,1)$ หา Cross และตรวจว่าตั้งฉากกับทั้งคู่
- เวกเตอร์สองตัวมีขนาด 5 และ 8 ทำมุม $30^\circ$ พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยมเท่าไร?
- ให้ $\mathbf a=(2,4,6)$, $\mathbf b=(-1,-2,-3)$ หา Cross และอธิบายเหตุผลทางเรขาคณิต
- ให้ขอบ $(1,0,0)$, $(0,2,0)$, $(1,1,3)$ หน่วยเมตร หา scalar triple และปริมาตรทรงสี่หน้า
- ให้ $\mathbf a=(2,-1,4)$, $\hat{\mathbf u}=\hat{\mathbf i}$ หา $\hat{\mathbf u}\times(\mathbf a\times\hat{\mathbf u})$

เปิดเฉลยและจุดตรวจคำตอบ

- $\mathbf a\times\mathbf b=(0,0,-7)$ เพราะ $1(-1)-2(3)=-7$ พื้นที่สามเหลี่ยม $7/2=3.5$ ตารางหน่วย
- $(-6,-1,3)$; Dot กับ $\mathbf a$ ได้ $-6+6=0$ และกับ $\mathbf b$ ได้ $-3+3=0$
- สี่เหลี่ยม $5\cdot8\cdot\sin30^\circ=20$ ตารางหน่วย สามเหลี่ยม 10 ตารางหน่วย
- $\mathbf0$ เพราะ $\mathbf a=-2\mathbf b$ จึงอยู่แนวเดียวกันและสวนทาง
- scalar triple $s=6\,\mathrm{m^3}$ เพราะ $(0,2,0)\times(1,1,3)=(6,0,-2)$; ทรงสี่หน้า $|s|/6=1\,\mathrm{m^3}$
- $\mathbf a-(\mathbf a\cdot\hat{\mathbf i})\hat{\mathbf i}=(0,-1,4)$ เป็นส่วนตั้งฉากกับแกน $x$

## 12. สรุปสูตร Cross product

| ต้องการหา | สูตร | รหัส |
| ขนาดผลคูณ | $\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta$ | C1 |
| องค์ประกอบ | $(a_yb_z-a_zb_y,\ a_zb_x-a_xb_z,\ a_xb_y-a_yb_x)$ | C3 |
| ตรวจตั้งฉาก | $(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf a=(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf b=0$ | C4 |
| พื้นที่สามเหลี่ยม | $\tfrac12\|\mathbf a\times\mathbf b\|$ | C5 |
| ตรวจขนาด | $\|\mathbf a\times\mathbf b\|^2=\|\mathbf a\|^2\|\mathbf b\|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2$ | C7 |
| ปกติหนึ่งหน่วย | $(\mathbf a\times\mathbf b)/\|\mathbf a\times\mathbf b\|$ | C8 |
| ปริมาตรกล่องเอียง | $|\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)|$ | C9 |
| Cross ซ้อน | $\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)=\mathbf b(\mathbf a\cdot\mathbf c)-\mathbf c(\mathbf a\cdot\mathbf b)$ | C10 |

## 13. แหล่งอ่านต่อและขอบเขตของบทเรียน

เนื้อหานี้ใช้เวกเตอร์จริงในปริภูมิยุคลิดและฐานคาร์ทีเซียนแบบมือขวา ตัวอย่างตัวเลขเป็นโจทย์สาธิตที่เขียนขึ้นเพื่ออธิบายสูตร ไม่ใช่ข้อมูลทดสอบอุปกรณ์จริง อ่านนิยามและพิสูจน์เพิ่มเติมจากตำราเปิดต่อไปนี้

- OpenStax, Calculus Volume 3 — §2.4 The Cross Product: กฎมือขวา องค์ประกอบ พื้นที่ Scalar triple product และการประยุกต์โมเมนต์
- OpenStax, University Physics Volume 1 — §10.6 Torque: แขนโมเมนต์และความหมายทางกายภาพของ $\mathbf r\times\mathbf F$
- OpenStax, University Physics Volume 2 — §11.2 Magnetic Fields and Lines: แรงแม่เหล็กต่อประจุและกฎมือขวา

บทถัดไป การประยุกต์เวกเตอร์ทางวิศวกรรม จะรวมการบวก การฉาย Dot และ Cross เพื่อแก้โจทย์แรง งาน โมเมนต์ และสนามแม่เหล็กอย่างเป็นขั้นตอน

## คำถามที่พบบ่อย

Dot product กับ Cross product ต่างกันอย่างไร?
Dot product ให้สเกลาร์และวัดส่วนที่ขนานกัน โดย a·b = |a||b|cosθ ส่วน Cross product ในสามมิติให้เวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้งสองตัว มีขนาด |a||b|sinθ และทิศตามกฎมือขวา

ทำไมองค์ประกอบ j ของ Cross product ต้องระวังเครื่องหมาย?
เมื่อขยายรูปดีเทอร์มิแนนต์ตามแถวแรก เครื่องหมายโคแฟกเตอร์เป็นบวก ลบ บวก จึงได้องค์ประกอบ y เป็น az bx − ax bz ถ้าสลับลำดับการลบแล้วใส่ลบเพิ่มอีกจะผิด

เวกเตอร์สองมิติหา Cross product ได้ไหม?
ฝังเวกเตอร์ (ax, ay) เป็น (ax, ay, 0) ในสามมิติ แล้วผลคือ (0, 0, ax by − ay bx) บางบริบทเรียกจำนวนองค์ประกอบ z นี้ว่า 2D cross product ซึ่งเป็นสเกลาร์พื้นที่มีเครื่องหมาย ต้องระบุข้อตกลงให้ชัด

Cross product เป็นศูนย์หมายถึงอะไร?
ถ้าทั้งสองเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ หมายถึงขนานหรือสวนทางกัน ถ้าเวกเตอร์ตัวใดเป็นศูนย์ก็ได้ผลศูนย์เช่นกัน จึงหาทิศปกติหนึ่งหน่วยจากผลศูนย์ไม่ได้

Cross product ใช้กับเวกเตอร์จำนวนมิติใดก็ได้หรือไม่?
สูตรเวกเตอร์สามองค์ประกอบและกฎมือขวาในบทนี้ใช้กับปริภูมิยุคลิดสามมิติที่มีฐานตั้งฉากหนึ่งหน่วยแบบมือขวา ไม่ใช่สูตรทั่วไปสำหรับเวกเตอร์ n มิติ

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**Dot product กับ Cross product ต่างกันอย่างไร?**
Dot product ให้สเกลาร์และวัดส่วนที่ขนานกัน โดย a·b = |a||b|cosθ ส่วน Cross product ในสามมิติให้เวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้งสองตัว มีขนาด |a||b|sinθ และทิศตามกฎมือขวา

**ทำไมองค์ประกอบ j ของ Cross product ต้องระวังเครื่องหมาย?**
เมื่อขยายรูปดีเทอร์มิแนนต์ตามแถวแรก เครื่องหมายโคแฟกเตอร์เป็นบวก ลบ บวก จึงได้องค์ประกอบ y เป็น az bx − ax bz ถ้าสลับลำดับการลบแล้วใส่ลบเพิ่มอีกจะผิด

**เวกเตอร์สองมิติหา Cross product ได้ไหม?**
ฝังเวกเตอร์ (ax, ay) เป็น (ax, ay, 0) ในสามมิติ แล้วผลคือ (0, 0, ax by − ay bx) บางบริบทเรียกจำนวนองค์ประกอบ z นี้ว่า 2D cross product ซึ่งเป็นสเกลาร์พื้นที่มีเครื่องหมาย ต้องระบุข้อตกลงให้ชัด

**Cross product เป็นศูนย์หมายถึงอะไร?**
ถ้าทั้งสองเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ หมายถึงขนานหรือสวนทางกัน ถ้าเวกเตอร์ตัวใดเป็นศูนย์ก็ได้ผลศูนย์เช่นกัน จึงหาทิศปกติหนึ่งหน่วยจากผลศูนย์ไม่ได้

**Cross product ใช้กับเวกเตอร์จำนวนมิติใดก็ได้หรือไม่?**
สูตรเวกเตอร์สามองค์ประกอบและกฎมือขวาในบทนี้ใช้กับปริภูมิยุคลิดสามมิติที่มีฐานตั้งฉากหนึ่งหน่วยแบบมือขวา ไม่ใช่สูตรทั่วไปสำหรับเวกเตอร์ n มิติ

---

# ทิศทางโคไซน์และการแตกแรงสามมิติ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/direction-cosines/
Updated: 2026-10-13
Summary: เรียนทิศทางโคไซน์ภาษาไทยแบบเข้มข้น: มุม α β γ กับแกน x y z, cos²α + cos²β + cos²γ = 1, เวกเตอร์หนึ่งหน่วย, แตกแรงสองขั้นด้วยมุมราบและมุมเงย, แรงตามแนวสายเคเบิลจากพิกัดสองจุด, รวมแรงสามมิติ, สนามแม่เหล็กจากเซนเซอร์ พร้อมแล็บ 3 มิติหมุนดูได้และตัวอย่างวิธีทำ

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 1 · Direction cosines & 3D force components

# ทิศทางโคไซน์และการแตกแรงสามมิติ

ในสองมิติ มุมเดียวบอกทิศของแรงได้ครบ แต่ในสามมิติ สายเคเบิลของเสาอากาศ แรงบนข้อต่อแขนกล หรือสนามแม่เหล็กที่เซนเซอร์อ่านได้ ต้องบอกทิศด้วยมุมกับสามแกน บทนี้สร้างเครื่องมือหลักของสแตติกส์สามมิติ: มุม α β γ ทิศทางโคไซน์ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย การแตกแรงสองขั้น และการเขียนแรงตามแนวเส้นจากพิกัด พร้อมฉาก 3 มิติที่ลากหมุนดูได้ทุกมุม

สรุปใน 30 วินาที

- $\cos\alpha=F_x/F,\ \cos\beta=F_y/F,\ \cos\gamma=F_z/F$ และ $\mathbf u_F=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$

- เอกลักษณ์ $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$ ทำให้รู้สองมุมแล้วหามุมที่สามได้ (มีสองคำตอบ)

- แตกแรงสองขั้น: $F_h=F\cos\varphi$, $F_z=F\sin\varphi$, แล้ว $F_x=F_h\cos\theta$, $F_y=F_h\sin\theta$

- แรงตามสาย: $\mathbf F=F\,\dfrac{\mathbf r_B-\mathbf r_A}{\lVert\mathbf r_B-\mathbf r_A\rVert}$ ไม่ต้องหามุมเลย

## 1. ทำไมสามมิติต้องใช้มุมกับสามแกน พื้นฐาน

แรง 500 N ที่ “เอียง 60° จากแกน x” ในสามมิติยังไม่ได้บอกอะไรมากนัก เพราะเวกเตอร์ทุกเส้นบนผิวกรวยรอบแกน x ที่มีมุมยอด 60° ทำมุม 60° กับแกน x เหมือนกันหมด เราจึงต้องระบุเพิ่มว่าเวกเตอร์ทำมุมกับแกน y และแกน z เท่าใด หรือใช้มุมสองมุมแบบอื่น เช่น มุมราบกับมุมเงยแบบที่ใช้หันจานดาวเทียม

ทางวิศวกรรม ทิศของแรงสามมิติมักมาจากสามแหล่ง ซึ่งบทนี้จะสอนให้แปลงไปมาได้ทั้งหมด:

แบบ ①

### มุมกับสามแกน α β γ
ตำราสแตติกส์และแบบงานโครงสร้าง เช่น “แรงทำมุม 60°, 45° และ 120° กับแกน x, y, z”

แบบ ②

### มุมราบ θ + มุมเงย φ
เสาอากาศ จานดาวเทียม แผงโซลาร์ ทิศของลมหรือแสงอาทิตย์ บอกเป็นทิศบนพื้นแล้วเงยขึ้น

แบบ ③

### พิกัดสองจุดบนแนวแรง
สายเคเบิล สายยึดเสา โซ่รอก แขนกล รู้ว่าสายวิ่งจากจุดไหนไปจุดไหน

## 2. นิยามมุม α β γ และทิศทางโคไซน์ พื้นฐาน

วางหางของเวกเตอร์ $\mathbf F$ ที่จุดกำเนิด มุม α คือมุมระหว่าง $\mathbf F$ กับแกน +x, β คือมุมกับ +y และ γ คือมุมกับ +z ทุกมุมอยู่ในช่วง 0° ถึง 180° (ไม่ใช้มุมติดลบ เพราะเป็นมุมระหว่างสองทิศในอวกาศ ไม่ใช่การหมุนในระนาบ) เมื่อฉายเวกเตอร์ลงบนแกน x จะได้ $F_x=F\cos\alpha$ ซึ่งก็คือ dot product กับเวกเตอร์ฐาน $\mathbf F\cdot\mathbf i=F(1)\cos\alpha$

มุม α วัดในระนาบที่มีแกน x และ F เอง ไม่ใช่ในระนาบ xy — ภาพสองมิติหลอกตาได้ จึงต้องใช้แล็บหมุนดูด้านล่าง

K1 Direction cosines ทิศทางโคไซน์

$$\cos\alpha=\frac{F_x}{F},\qquad \cos\beta=\frac{F_y}{F},\qquad \cos\gamma=\frac{F_z}{F},\qquad F=\lVert\mathbf F\rVert=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}$$

เครื่องหมายของโคไซน์ตรงกับเครื่องหมายขององค์ประกอบ: $F_x<0$ แปลว่า $\alpha>90^\circ$ ใช้ $\arccos$ ได้ตรง ๆ เพราะผลลัพธ์อยู่ในช่วง 0°–180° พอดี ไม่มีปัญหาควอดแรนต์แบบ arctan

K2 Unit vector from direction cosines เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคือชุดทิศทางโคไซน์

$$\mathbf u_F=\frac{\mathbf F}{F}=\cos\alpha\,\mathbf i+\cos\beta\,\mathbf j+\cos\gamma\,\mathbf k,\qquad \mathbf F=F\,\mathbf u_F$$

นี่คือการแยก “ขนาด” ออกจาก “ทิศ” ให้ชัด: ทิศเก็บใน $\mathbf u_F$ ที่ไม่มีหน่วย ขนาดเก็บใน $F$ ที่มีหน่วยนิวตัน

K3 Fundamental identity ผลบวกกำลังสองของทิศทางโคไซน์

$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$$

พิสูจน์: $\lVert\mathbf u_F\rVert^2=1$ และ $\lVert\mathbf u_F\rVert^2=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma$ จึงเท่ากัน ในสองมิติจะลดรูปเป็น $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ เพราะมุมกับแกน y เท่ากับ $90^\circ-\theta$

ตัวอย่าง K-0 · จากองค์ประกอบสู่มุม

### แรง $\mathbf F=(300,400,500)$ N จงหาขนาด ทิศทางโคไซน์ และมุม α β γ

- ขนาด $F=\sqrt{300^2+400^2+500^2}=\sqrt{500{,}000}=707.11$ N

- $\cos\alpha=300/707.11=0.4243\Rightarrow\alpha=64.90^\circ$; $\cos\beta=0.5657\Rightarrow\beta=55.55^\circ$; $\cos\gamma=0.7071\Rightarrow\gamma=45.00^\circ$

- ตรวจ $0.18+0.32+0.50=1$ ✓ และ $\mathbf u_F=(0.4243,0.5657,0.7071)$

$F=707.1$ N · $\alpha=64.9^\circ,\ \beta=55.6^\circ,\ \gamma=45.0^\circ$ — ค่าเริ่มต้นในแล็บ 3 มิติด้านล่าง ลองลากหมุนดูว่ามุม γ อยู่ระหว่างลูกศรกับแกน z จริง

## 3. จากมุมสู่องค์ประกอบ และการหามุมที่สาม กลาง

K4 Components from magnitude and direction angles องค์ประกอบจากขนาดและมุม

$$\mathbf F=F\cos\alpha\,\mathbf i+F\cos\beta\,\mathbf j+F\cos\gamma\,\mathbf k$$

K5 The third angle มุมที่สามมีสองคำตอบ

$$\cos\gamma=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta},\qquad \gamma_2=180^\circ-\gamma_1$$

เครื่องหมาย + เมื่อแรงชี้ขึ้น ($F_z\ge0$) และ − เมื่อชี้ลง ถ้า $\cos^2\alpha+\cos^2\beta>1$ ชุดมุมนั้นเป็นไปไม่ได้ทางเรขาคณิต เช่น α = β = 30° (เพราะ 0.75 + 0.75 = 1.5)

ตัวอย่าง K-1 · โจทย์คลาสสิกของสแตติกส์

### แรง 500 N ทำมุม α = 60° กับแกน x และ β = 45° กับแกน y แรงชี้ขึ้น จงหา γ และเขียนเวกเตอร์แรง

- $\cos^2\gamma=1-\cos^2 60^\circ-\cos^2 45^\circ=1-0.25-0.5=0.25\Rightarrow\cos\gamma=\pm0.5$

- แรงชี้ขึ้น เลือก $\cos\gamma=+0.5\Rightarrow\gamma=60^\circ$ (ถ้าชี้ลงจะได้ $\gamma=120^\circ$)

- $\mathbf F=500(\cos60^\circ,\cos45^\circ,\cos60^\circ)=(250,\ 353.6,\ 250)$ N

- ตรวจขนาด $\sqrt{250^2+353.6^2+250^2}=500$ N ✓

$\gamma=60^\circ$ · $\mathbf F=250\mathbf i+353.6\mathbf j+250\mathbf k$ N

## 4. แตกแรงสองขั้นด้วยมุมราบ θ และมุมเงย φ กลาง

เมื่อโจทย์บอกทิศเป็น “หันไปทาง 30° จากแกน x บนพื้น แล้วเงยขึ้น 50°” ให้แตกสองครั้ง: ครั้งแรกแยกแรงเป็นส่วนตั้ง $F_z$ กับส่วนนอน $F_h$ ในระนาบแนวดิ่งที่มีแรงอยู่ ครั้งที่สองแยก $F_h$ บนพื้นเป็น $F_x$ และ $F_y$ เหมือนโจทย์สองมิติ ภาพในใจคือ “เงาของแรงบนพื้น” $F_h$ แล้วค่อยแตกเงานั้น

K6 Two-step resolution (azimuth θ, elevation φ) แตกแรงสองขั้น

$$F_h=F\cos\varphi,\quad F_z=F\sin\varphi,\quad F_x=F_h\cos\theta=F\cos\varphi\cos\theta,\quad F_y=F\cos\varphi\sin\theta$$

กลับทาง: $F_h=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$, $\theta=\operatorname{atan2}(F_y,F_x)$, $\varphi=\operatorname{atan2}(F_z,F_h)$ บางตำราใช้มุมจากแกน z (zenith) $\phi_z=90^\circ-\varphi$ แทน ซึ่งก็คือ γ ของ K1 นั่นเอง

ตัวอย่าง K-2 · สายยึดเสาอากาศ

### แรงดึงในสาย 700 N หันไปทาง θ = 30° จากแกน +x บนพื้น และเงยขึ้น φ = 50° จากพื้น จงหาองค์ประกอบและมุม α β γ

- แยกตั้ง-นอน: $F_z=700\sin50^\circ=536.2$ N, $F_h=700\cos50^\circ=450.0$ N

- แยกเงาบนพื้น: $F_x=450.0\cos30^\circ=389.7$ N, $F_y=450.0\sin30^\circ=225.0$ N

- มุมกับแกน: $\alpha=\arccos(389.7/700)=56.17^\circ$, $\beta=\arccos(225.0/700)=71.25^\circ$, $\gamma=\arccos(536.2/700)=40.00^\circ$

- สังเกต $\gamma=90^\circ-\varphi$ เสมอ แต่ $\alpha\ne\theta$ เพราะ α วัดในอวกาศ ไม่ใช่บนพื้น

$\mathbf F=(389.7,\ 225.0,\ 536.2)$ N · α = 56.2°, β = 71.3°, γ = 40.0°

ข้อผิดพลาดยอดนิยมใช้ $F_x=F\cos\theta$ ตรง ๆ โดยลืมคูณ $\cos\varphi$ ก่อน ตัวเลข $700\cos30^\circ=606$ N ใหญ่เกินจริง ตรวจได้ทันทีว่า $F_x^2+F_y^2+F_z^2$ จะมากกว่า $F^2$

## 5. แรงตามแนวเส้น: จากพิกัดสองจุดเป็นเวกเตอร์แรง กลาง

สายเคเบิลรับแรงดึงได้ในแนวสายเท่านั้น ถ้ารู้พิกัดจุดยึด A และจุด B ที่สายวิ่งไปหา เราได้ทิศของแรงทันทีจากเวกเตอร์ตำแหน่ง $\mathbf r_{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A$ วิธีนี้เป็นวิธีที่วิศวกรใช้จริงมากที่สุด เพราะแบบงานบอกพิกัด ไม่ได้บอกมุม

K7 Force directed along a line แรงตามแนวเส้นจาก A ไป B

$$\mathbf r_{AB}=(x_B-x_A)\mathbf i+(y_B-y_A)\mathbf j+(z_B-z_A)\mathbf k,\qquad \mathbf u_{AB}=\frac{\mathbf r_{AB}}{\lVert\mathbf r_{AB}\rVert},\qquad \mathbf F=F\,\mathbf u_{AB}$$

ทิศทางโคไซน์ของแรงคือองค์ประกอบของ $\mathbf u_{AB}$ ระวังทิศ: แรงที่สายกระทำต่อจุด A ชี้จาก A ไป B (สายดึง A เข้าหา B) ส่วนแรงที่กระทำต่อ B ชี้กลับจาก B ไป A

ตัวอย่าง K-3 · สายยึดจากฐานถึงยอดเสา

### สายวิ่งจาก A(0, 0, 0) m ไป B(2, −3, 6) m มีแรงดึง 840 N จงเขียนแรงที่สายกระทำต่อ A เป็นเวกเตอร์ และหามุม α β γ

- $\mathbf r_{AB}=(2,-3,6)$ m ความยาว $\sqrt{4+9+36}=7$ m (ชุดตัวเลข 2-3-6-7 จำง่าย)

- $\mathbf u_{AB}=(2/7,\ -3/7,\ 6/7)=(0.2857,\ -0.4286,\ 0.8571)$

- $\mathbf F=840\,\mathbf u_{AB}=(240,\ -360,\ 720)$ N

- $\alpha=\arccos(2/7)=73.40^\circ$, $\beta=\arccos(-3/7)=115.38^\circ$ (เกิน 90° เพราะ $F_y<0$), $\gamma=\arccos(6/7)=31.00^\circ$

$\mathbf F=240\mathbf i-360\mathbf j+720\mathbf k$ N · ตรวจ $\sqrt{240^2+360^2+720^2}=840$ N ✓

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 6. รวมแรงสามมิติ: องค์ประกอบก่อน ขนาดทีหลัง กลาง

K8 Resultant of 3D forces แรงลัพธ์สามมิติและทิศของมัน

$$\mathbf R=\Big(\sum F_x\Big)\mathbf i+\Big(\sum F_y\Big)\mathbf j+\Big(\sum F_z\Big)\mathbf k,\qquad \cos\alpha_R=\frac{R_x}{R},\ \cos\beta_R=\frac{R_y}{R},\ \cos\gamma_R=\frac{R_z}{R}$$

ตัวอย่าง K-4 · เสาไฟฟ้ากับสายยึดสองเส้น

### ยอดเสาอยู่ที่ P(0, 0, 12) m สาย PA ไปสมอ A(4, −3, 0) m มีแรงดึง 650 N สาย PB ไป B(−3, 4, 0) m มีแรงดึง 390 N จงหาแรงลัพธ์ที่สายทั้งสองกระทำต่อยอดเสา

- $\mathbf r_{PA}=(4,-3,-12)$, $\lVert\mathbf r_{PA}\rVert=13$ m → $\mathbf F_A=650(4,-3,-12)/13=(200,-150,-600)$ N

- $\mathbf r_{PB}=(-3,4,-12)$, $\lVert\mathbf r_{PB}\rVert=13$ m → $\mathbf F_B=390(-3,4,-12)/13=(-90,120,-360)$ N

- รวมองค์ประกอบ $\mathbf R=(110,\ -30,\ -960)$ N, $R=\sqrt{110^2+30^2+960^2}=966.7$ N

- $\alpha_R=83.47^\circ,\ \beta_R=91.78^\circ,\ \gamma_R=173.23^\circ$: แรงลัพธ์เกือบดิ่งลง กดเสาเป็นแรงอัด 960 N

- อ่านผลเชิงวิศวกรรม: ยังมีส่วนแนวนอน $(110,-30)$ N ทำให้ยอดเสาถูกดัด ต้องเพิ่มสายเส้นที่สามหรือปรับแรงดึงให้ส่วนแนวนอนหักล้างกันเป็นศูนย์

$\mathbf R=(110,-30,-960)$ N · $R=966.7$ N · ส่วนแนวนอน 114.0 N ต้องจัดการต่อ

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 7. ฉาก 3 มิติ: หมุนดูมุม α β γ ให้เห็นจริง พื้นฐาน

ลากภาพเพื่อหมุนกล้องรอบเวกเตอร์ ปุ่ม xy · xz · yz ให้มุมมองจากบน หน้า และข้าง ลองสามการทดลองนี้:

- เลือก “ขนาด + มุม α β” ตั้ง α = β = 30° ระบบจะเตือนว่าเป็นไปไม่ได้ อธิบายด้วย K3
- เปลี่ยน Fz ให้ติดลบ แล้วดูว่า γ ข้าม 90° ขณะที่ α β ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย
- มองจากบน (ปุ่ม xy) แล้วสังเกตว่า “เงา” F_h บนพื้นคือสิ่งที่ใช้กับมุมราบ θ ในตัวอย่าง K-2

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 8. ทิศทางโคไซน์กับการหมุนแกน: เมทริกซ์โคไซน์ทิศทาง ขั้นสูง

ถ้ามีกรอบพิกัดใหม่ $x'y'z'$ ที่เอียงจากกรอบเดิม แกนใหม่แต่ละแกนก็มีทิศทางโคไซน์สามค่าเทียบกับแกนเดิม เก้าค่านี้จัดเป็นเมทริกซ์ที่เรียกว่า direction cosine matrix (DCM) ซึ่งเป็นเมทริกซ์หมุนนั่นเอง องค์ประกอบของเวกเตอร์ในกรอบใหม่คือ dot product กับแกนใหม่แต่ละแกน

K9 Direction cosine matrix เมทริกซ์โคไซน์ทิศทาง

$$\begin{bmatrix}F_{x'}\\F_{y'}\\F_{z'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta_{x'x}&\cos\theta_{x'y}&\cos\theta_{x'z}\\\cos\theta_{y'x}&\cos\theta_{y'y}&\cos\theta_{y'z}\\\cos\theta_{z'x}&\cos\theta_{z'y}&\cos\theta_{z'z}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}F_x\\F_y\\F_z\end{bmatrix}$$

แต่ละแถวคือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแกนใหม่ เขียนในกรอบเดิม ทุกแถวยาว 1 และตั้งฉากกัน (K3 ใช้กับทุกแถว) รายละเอียดการหมุนอยู่ในบท การหมุนแกนพิกัด

## 9. ใช้กับงานไฟฟ้า: สนามแม่เหล็กจากเซนเซอร์และทิศของสนาม กลาง

แมกนีโตมิเตอร์สามแกนในโทรศัพท์ โดรน และมิเตอร์อัจฉริยะ อ่านค่าสนามแม่เหล็กออกมาเป็นสามองค์ประกอบ ทิศทางโคไซน์บอกว่าสนามชี้ไปทางใดเทียบกับตัวเครื่อง ส่วนมุมกับระนาบนอน (มุมจุ่ม) และมุมบนพื้น (heading) คือมุมเงยและมุมราบของ K6 แบบเดียวกับการหาทิศของสนามไฟฟ้าลัพธ์จากประจุหลายตัว

ตัวอย่าง K-5 · แมกนีโตมิเตอร์สามแกน (ตัวเลขสมมติ)

### เซนเซอร์วางราบอ่าน $\mathbf B=(30,\ -10,\ -15)\ \mu$T จงหาขนาด ทิศทางโคไซน์ มุมกดลงจากแนวนอน และมุมบนพื้นจากแกน x

- $B=\sqrt{30^2+10^2+15^2}=\sqrt{1225}=35\ \mu$T

- $\mathbf u_B=(0.8571,\ -0.2857,\ -0.4286)$ → α = 31.00°, β = 106.60°, γ = 115.38°

- ส่วนแนวนอน $B_h=\sqrt{30^2+10^2}=31.62\ \mu$T มุมกดลง $\arctan(15/31.62)=25.38^\circ$ (เท่ากับ $\gamma-90^\circ$)

- มุมบนพื้น $\operatorname{atan2}(-10,30)=-18.43^\circ$ คือสนามแนวนอนเบนไปทาง −y จากแกน x ของเครื่อง

$B=35\ \mu$T · กดลง 25.4° · เบน −18.4° จากแกน x (เครื่องเข็มทิศจริงต้องชดเชยความเอียงของเครื่องด้วยการหมุนแกน)

สนามไฟฟ้าลัพธ์จากประจุสามตัวในสามมิติ ใช้ขั้นตอนเดียวกัน: รวมองค์ประกอบ แล้วหาทิศด้วย K8 ทดลองได้ใน บทสนามไฟฟ้าและแม่เหล็ก

## 10. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและวิธีตรวจ

| ข้อผิดพลาด | ทำไมผิด / วิธีตรวจ |

| ใช้ $\cos\theta$ ของมุมราบแทน $\cos\alpha$ | α วัดในอวกาศ ตรวจด้วย K3: ผลรวมกำลังสองต้องเท่ากับ 1 |

| ลืมว่ามุมที่สามมีสองค่า | เลือกตามทิศขึ้น/ลงของแรง ถ้าไม่ระบุต้องรายงานทั้งสองกรณี |

| ใช้ arctan หามุม α β γ | ใช้ arccos ซึ่งให้ 0°–180° ตรงนิยามพอดี |

| กลับทิศ $\mathbf r_{AB}$ | แรงที่สายกระทำต่อจุดยึดชี้ “ออกจากจุดนั้นตามสาย” วาดภาพก่อนลบพิกัด |

| คูณแรงด้วย $\mathbf r_{AB}$ โดยไม่หารความยาว | ได้ขนาดผิดเป็น $F\cdot L$ ตรวจหน่วย: $\mathbf u$ ต้องไม่มีหน่วย |

| บวกขนาดแรงสามมิติ | รวมองค์ประกอบก่อนเสมอ ขนาดผลรวมไม่เท่าผลรวมขนาด |

## 11. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

- $\mathbf F=(-200,\ 150,\ 600)$ N จงหา F และ α β γ

- แรง 1.2 kN มี α = 120°, γ = 45° และ $F_y>0$ จงหา β และองค์ประกอบ

- แรง 400 N หันไปทางมุมราบ θ = 135° เงยลง φ = −20° จงหาองค์ประกอบ

- สายจาก A(1, 2, 0) ไป B(−3, 6, 7) m แรงดึง 450 N จงหาแรงที่กระทำต่อ A

- มุมชุด α = 45°, β = 45°, γ = 45° เป็นไปได้หรือไม่? ทำไม?

เปิดเฉลย

- $F=\sqrt{40000+22500+360000}=650$ N; α = arccos(−0.3077) = 107.9°, β = arccos(0.2308) = 76.66°, γ = arccos(0.9231) = 22.62°

- $\cos^2\beta=1-0.25-0.5=0.25\Rightarrow\beta=60^\circ$; $\mathbf F=1.2(-0.5,\ 0.5,\ 0.7071)=(-0.6,\ 0.6,\ 0.8485)$ kN

- $F_h=400\cos(-20^\circ)=375.9$, $F_z=400\sin(-20^\circ)=-136.8$; $F_x=375.9\cos135^\circ=-265.8$, $F_y=265.8$ N

- $\mathbf r_{AB}=(-4,4,7)$, ยาว 9 m → $\mathbf F=50(-4,4,7)=(-200,\ 200,\ 350)$ N

- ไม่ได้ เพราะ $3\cos^2 45^\circ=1.5\ne1$ มุมที่ทำกับสามแกนเท่ากันได้คือ $\arccos(1/\sqrt3)=54.74^\circ$ (ทิศ (1,1,1))

## 12. สรุปสูตรและการเลือกใช้

| โจทย์ให้ | ใช้สูตร | ได้ |

| องค์ประกอบ | K1 | มุม α β γ |

| ขนาด + มุมสองมุมกับแกน | K5 แล้ว K4 | มุมที่สามและองค์ประกอบ |

| ขนาด + มุมราบ + มุมเงย | K6 | องค์ประกอบ |

| พิกัดสองจุดบนแนวแรง | K7 | เวกเตอร์แรงโดยตรง |

| หลายแรง | K8 | แรงลัพธ์และทิศ |

| กรอบพิกัดเอียง | K9 | องค์ประกอบในกรอบใหม่ |

## 13. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

- OpenStax Calculus Volume 3 §2.3 The Dot Product — นิยาม direction angles และ direction cosines

- OpenStax University Physics Vol. 1 §2.2 Components of a Vector — องค์ประกอบสามมิติ

- R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics, บทที่ 2 (Cartesian vectors, position vectors, force directed along a line) — ตำราหลักของวิชาสแตติกส์

ต่อไป: ใช้ทิศทางโคไซน์รวมแรงด้วยตรีโกณมิติใน แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์ หรือเปิด สตูดิโอเวกเตอร์ 3 มิติ แล้วเลือกตัวอย่าง “ทิศทางโคไซน์”

## คำถามที่พบบ่อย

ทิศทางโคไซน์คืออะไร?
คือโคไซน์ของมุมที่เวกเตอร์ทำกับแกน +x, +y และ +z (มุม α, β, γ ตามลำดับ) ค่าทั้งสามเท่ากับองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศนั้น cos α = Fx/|F|, cos β = Fy/|F|, cos γ = Fz/|F| และต้องเป็นไปตาม cos²α + cos²β + cos²γ = 1

รู้มุมสองมุมแล้วหามุมที่สามได้ไหม?
ได้จาก cos²γ = 1 − cos²α − cos²β แต่จะได้สองคำตอบ γ และ 180° − γ ต้องดูจากโจทย์ว่าแรงชี้ขึ้น (Fz ≥ 0) หรือลง (Fz ≤ 0) ถ้า cos²α + cos²β มากกว่า 1 แปลว่ามุมที่ให้มาเป็นไปไม่ได้

แรงตามสายเคเบิลเขียนเป็นเวกเตอร์อย่างไร?
หาเวกเตอร์ตำแหน่งจากจุดยึดไปจุดที่สายดึง r_AB = B − A หารด้วยความยาวได้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย แล้วคูณขนาดแรงตึง F = |F| r_AB/|r_AB| วิธีนี้ไม่ต้องหามุมเลย และทิศทางโคไซน์คือองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยนั้น

มุม α β γ ต่างจากมุมราบและมุมเงยอย่างไร?
α β γ วัดจากสามแกนโดยตรงและอยู่ในช่วง 0° ถึง 180° ส่วนมุมราบ θ วัดในระนาบ xy และมุมเงย φ วัดจากระนาบ xy ขึ้นไป ใช้แตกแรงสองขั้น F_h = F cos φ, Fz = F sin φ, Fx = F_h cos θ, Fy = F_h sin θ ทั้งสองแบบให้เวกเตอร์เดียวกัน

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ทิศทางโคไซน์คืออะไร?**
คือโคไซน์ของมุมที่เวกเตอร์ทำกับแกน +x, +y และ +z (มุม α, β, γ ตามลำดับ) ค่าทั้งสามเท่ากับองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศนั้น cos α = Fx/|F|, cos β = Fy/|F|, cos γ = Fz/|F| และต้องเป็นไปตาม cos²α + cos²β + cos²γ = 1

**รู้มุมสองมุมแล้วหามุมที่สามได้ไหม?**
ได้จาก cos²γ = 1 − cos²α − cos²β แต่จะได้สองคำตอบ γ และ 180° − γ ต้องดูจากโจทย์ว่าแรงชี้ขึ้น (Fz ≥ 0) หรือลง (Fz ≤ 0) ถ้า cos²α + cos²β มากกว่า 1 แปลว่ามุมที่ให้มาเป็นไปไม่ได้

**แรงตามสายเคเบิลเขียนเป็นเวกเตอร์อย่างไร?**
หาเวกเตอร์ตำแหน่งจากจุดยึดไปจุดที่สายดึง r_AB = B − A หารด้วยความยาวได้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย แล้วคูณขนาดแรงตึง F = |F| r_AB/|r_AB| วิธีนี้ไม่ต้องหามุมเลย และทิศทางโคไซน์คือองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยนั้น

**มุม α β γ ต่างจากมุมราบและมุมเงยอย่างไร?**
α β γ วัดจากสามแกนโดยตรงและอยู่ในช่วง 0° ถึง 180° ส่วนมุมราบ θ วัดในระนาบ xy และมุมเงย φ วัดจากระนาบ xy ขึ้นไป ใช้แตกแรงสองขั้น F_h = F cos φ, Fz = F sin φ, Fx = F_h cos θ, Fy = F_h sin θ ทั้งสองแบบให้เวกเตอร์เดียวกัน

---

# ผลคูณจุด (Dot Product): มุม การฉาย งาน และกำลัง

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/dot-product/
Updated: 2026-10-13
Summary: เรียน dot product อย่างละเอียด ตั้งแต่คูณ component แล้วบวก นิยามเชิงเรขาคณิต เครื่องหมาย มุม ความตั้งฉาก Cauchy–Schwarz การฉายแรง งาน กำลัง และ cosine similarity พร้อมตัวอย่าง 2D–3D สรุปสูตรและเฉลย

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 2 · Dot product · มุมและส่วนตามทิศ

# ผลคูณจุด (Dot Product): มุม การฉาย งาน และกำลัง

ถ้าออกแรงดึงรถเข็นเอียงขึ้น ส่วนใดทำให้รถเคลื่อนตามพื้น? Dot product ตอบคำถามนี้ด้วยตัวเลขเดียว โดยรวมทั้งขนาดและความสอดคล้องของทิศ หน้านี้เชื่อมสูตร “คูณช่องตรงกันแล้วบวก” กับความหมายเชิงเรขาคณิต และใช้คำนวณมุม การฉาย งาน และกำลังอย่างตรวจสอบได้

สรุปใน 30 วินาที
- $\mathbf a\cdot\mathbf b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$ ได้สเกลาร์ ไม่ใช่ลูกศร
- $\mathbf a\cdot\mathbf b=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta$ เมื่อทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์
- ดอทบวก = มุมแหลม, ดอทศูนย์ = ตั้งฉาก, ดอทลบ = มุมป้าน โดยการอ่านมุมต้องไม่มีเวกเตอร์ศูนย์
- งานจากแรงคงที่ $W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r$; กำลังกลทันที $P=\mathbf F\cdot\mathbf v$

## 1. นิยาม: คูณ component ที่ตรงกันแล้วบวก พื้นฐาน

ให้เวกเตอร์จริงสองตัวในมิติเดียวกันและใช้แกนตั้งฉากมาตรฐานเดียวกัน นำ component ตามแกนเดียวกันคูณกัน แล้วรวมผลทั้งหมด เรียก ผลคูณจุด (dot product หรือ scalar product) จุด “·” ระหว่างเวกเตอร์หมายถึงการดำเนินการนี้ ส่วน $3\mathbf a$ หมายถึง คูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ ซึ่งเป็นคนละการดำเนินการ

D1 Dot product in Cartesian coordinates ผลคูณจุด 2D และ 3D

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=a_xb_x+a_yb_y\quad(2D),\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\quad(3D)$$

เช่น $(3,4)\cdot(2,1)=3(2)+4(1)=10$ ห้ามจับช่องสลับแกน ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง หน่วยเป็นผลคูณของหน่วยของ a และ b เช่น N·m

D2 Euclidean inner product in n dimensions สูตรเดียวกันในหลายมิติ

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=\sum_{r=1}^{n}a_rb_r=\mathbf a^T\mathbf b$$

ในรูปเมทริกซ์ a และ b เป็นเวกเตอร์หลัก n×1 จึงได้ (1×n)(n×1) = 1×1 ใช้กับข้อมูลหลายช่องหรือสัญญาณหลายตัวอย่างได้ ส่วน $\mathbf a\mathbf b^T$ เป็นเมทริกซ์ ไม่ใช่ดอท

ขอบเขตของสูตร: หน้านี้ใช้เวกเตอร์จริงและฐาน Euclidean ตั้งฉาก ถ้าเปลี่ยนไปใช้ฐานเอียงที่ไม่ตั้งฉาก การเอาสัมประสิทธิ์พิกัดคูณตรงกันไม่ให้ dot product เดิม ต้องมีเมทริกซ์ Gram ของฐาน ส่วน inner product แบบเชิงซ้อนต้องมีการสังยุคตาม convention ที่เลือก

ตัวอย่าง D-1 · ระวังเครื่องหมาย

### หา $(3,-2,1)\cdot(-1,4,2)$

- จับ x กับ x, y กับ y และ z กับ z: $3(-1)+(-2)(4)+1(2)$

- คูณก่อน: $-3-8+2=-9$ ค่าติดลบไม่ผิด เพราะแต่ละ component มีเครื่องหมายได้

- ทั้งสองเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ จึงแปลผลได้ว่ามุมระหว่างกันเป็นมุมป้าน

$\mathbf a\cdot\mathbf b=-9$

## 2. ความหมายเชิงเรขาคณิต: ขนาด × ขนาด × cos มุม พื้นฐาน

ย้ายเวกเตอร์สองตัวให้เริ่มที่จุดเดียวกันโดยรักษาขนาดและทิศ แล้วมองมุมเล็กระหว่างลูกศร ซึ่งอยู่ในช่วง 0°–180° สำหรับมุมคงที่ ค่าสัมบูรณ์ของดอทเท่ากับผลคูณของขนาดคูณ $|\cos\theta|$ และเครื่องหมายขึ้นกับ $\cos\theta$ เมื่อคงขนาดไว้ ดอทมากขึ้นเมื่อสองเวกเตอร์หันไปทางเดียวกันมากขึ้น เมื่อสองทิศตั้งฉากจะไม่มีส่วนตามทิศของกันและกัน จึงได้ศูนย์

D3 Geometric meaning of the dot product ขนาดและมุม

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta$$

การพูดถึงมุม $\theta$ ต้องให้ $\mathbf a\ne\mathbf0$ และ $\mathbf b\ne\mathbf0$ ถ้ามีเวกเตอร์ศูนย์ ดอทยังนิยามและเท่ากับ 0 แต่ไม่กำหนดมุม

เครื่องหมายบอกความสอดคล้องของทิศ ส่วนค่าจริงยังขึ้นกับขนาดทั้งสองเวกเตอร์

### พิสูจน์ด้วยกฎโคไซน์: ทำไมสูตรพิกัดกับสูตรมุมจึงตรงกัน?

สามเหลี่ยมที่มีด้าน a, b และ a−b ให้กฎโคไซน์ $\|\mathbf a-\mathbf b\|^2=\|\mathbf a\|^2+\|\mathbf b\|^2-2\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta$ แต่เมื่อกระจายกำลังสองทีละพิกัด จะได้ $\sum_r(a_r-b_r)^2=\sum_ra_r^2+\sum_rb_r^2-2\sum_ra_rb_r$ เปรียบเทียบสองสมการแล้วตัดพจน์ขนาดออก จึงได้ $\sum_ra_rb_r=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta$ ความหมายของมุมจึงตามมาจากสูตรพิกัด ไม่ใช่สูตรที่ต้องจำแยกกัน

## 3. หามุมและทดสอบความตั้งฉาก พื้นฐาน

D4 Angle between two nonzero vectors หามุมระหว่างเวกเตอร์

$$\theta=\cos^{-1}\!\left(\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|}\right),\qquad 0\le\theta\le\pi$$

ทั้งคู่ต้องไม่เป็นศูนย์ $\cos^{-1}$ หมายถึง arccos ไม่ใช่ 1/cos ตรวจเครื่องคิดเลขว่าใช้ DEG หรือ RAD ค่าในวงเล็บต้องอยู่ใน [−1,1]

D5 Orthogonality test ทดสอบตั้งฉาก

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=0\iff\mathbf a\perp\mathbf b$$

คำว่า orthogonal ในพีชคณิตรวมเวกเตอร์ศูนย์ด้วย แต่ถ้าตีความว่า “มุม 90°” ต้องให้ทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์ เพราะเวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศ

มุมระหว่าง เส้นตรงที่ไม่มีทิศ ใช้มุมแหลมของสองแนว จึงอาจใช้ $|\mathbf a\cdot\mathbf b|$ ในสูตร cosine แต่มุมระหว่าง เวกเตอร์ที่มีทิศ ห้ามใส่ค่าสัมบูรณ์โดยพลการ เพราะจะทำให้มุมป้านกลายเป็นมุมแหลม

สำหรับโปรแกรม: ตรวจความยาวศูนย์ก่อนหาร หากค่าคลาดเคลื่อนจาก floating point ทำให้ cosine เป็น 1.0000000000000002 สามารถจำกัดค่าไว้ใน [−1,1] หลังตรวจอินพุตแล้วได้ แต่ถ้าค่าเกินช่วงมาก ต้องแก้ข้อผิดพลาดเรื่องสูตรหรือข้อมูลก่อน การเขียน arccos กับเวกเตอร์ศูนย์แล้วคืน 0° ทำให้ผลลวง

## 4. ตัวอย่างหามุมตั้งแต่ 2D ถึง 3D

ตัวอย่าง D-2 · คู่เดียวกับบท Projection

### หามุมระหว่าง $\mathbf a=(3,4)$ และ $\mathbf b=(2,1)$

- ดอท $=3(2)+4(1)=10$, ความยาว $\|\mathbf a\|=5$, $\|\mathbf b\|=\sqrt5$ ทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์

- $\cos\theta=10/(5\sqrt5)=2/\sqrt5\approx0.894427$

- $\theta=\arccos(2/\sqrt5)\approx26.565^\circ$ เป็นมุมแหลมสอดคล้องกับดอทบวก

- ตรวจกับการฉาย: $\|\mathbf a\|\cos\theta=5(2/\sqrt5)=2\sqrt5$ ตรงกับค่าฉายใน ตัวอย่าง Projection

$\theta\approx26.565^\circ$

ตัวอย่าง D-3 · มุมสามมิติโดยไม่ต้องวาดมุมเอง

### หามุมระหว่าง $\mathbf a=(1,2,2)$ และ $\mathbf b=(2,0,1)$

- ดอท $=1(2)+2(0)+2(1)=4$

- ความยาว $\|\mathbf a\|=\sqrt{1+4+4}=3$, $\|\mathbf b\|=\sqrt{4+0+1}=\sqrt5$

- $\cos\theta=4/(3\sqrt5)$, จึงได้ $\theta\approx53.396^\circ$

- ตรวจขอบเขต $|4|\le3\sqrt5$ และดอทบวก จึงควรได้มุมระหว่าง 0° กับ 90°

$\theta\approx53.396^\circ$

ตัวอย่าง D-4 · หา parameter จากความตั้งฉาก

### หา t ที่ทำให้ $(1,t,-1)$ ตั้งฉากกับ $(2,-1,0)$

- ใช้ D5: $1(2)+t(-1)+(-1)(0)=0$

- $2-t=0$ จึงได้ $t=2$

- ตรวจเวกเตอร์ทั้งสองไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นเป็นมุม 90° ได้จริง

$t=2$, และ $(1,2,-1)\cdot(2,-1,0)=0$

## 5. สมบัติที่ใช้จัดรูปและตรวจคำตอบ กลาง

Dot product มีสมบัติคล้ายการคูณจำนวนในเรื่องสลับที่และแจกแจง แต่ไม่มีการหารด้วยเวกเตอร์ และผลของดอทเป็นสเกลาร์จึงต้องระวังชนิดของสิ่งที่คำนวณหลังจากนั้น

D6 Commutativity and bilinearity สลับที่และแจกแจง

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf b\cdot\mathbf a,\qquad \mathbf a\cdot(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\cdot\mathbf b+\mathbf a\cdot\mathbf c$$

$$(\lambda\mathbf a)\cdot\mathbf b=\lambda(\mathbf a\cdot\mathbf b)=\mathbf a\cdot(\lambda\mathbf b),\qquad \mathbf a\cdot\mathbf0=0$$

เวกเตอร์ที่บวกต้องมีมิติเดียวกัน และ $\lambda$ เป็นจำนวนจริง การเรียก bilinear หมายถึงเชิงเส้นในแต่ละตัวเมื่อคงอีกตัวไว้

D7 Norm and squared-distance identities ความยาวและการกระจายกำลังสอง

$$\mathbf a\cdot\mathbf a=\|\mathbf a\|^2\ge0,\qquad\mathbf a\cdot\mathbf a=0\iff\mathbf a=\mathbf0$$

$$\|\mathbf a\pm\mathbf b\|^2=\|\mathbf a\|^2+\|\mathbf b\|^2\pm2\mathbf a\cdot\mathbf b$$

ถ้า a ตั้งฉาก b พจน์ดอทหายไป ได้พีทาโกรัสในหลายมิติ แต่ถ้าไม่ตั้งฉาก ห้ามเอาความยาวมาบวกกำลังสองโดยละพจน์นี้

D8 Cauchy–Schwarz inequality ขอบเขตของดอท

$$|\mathbf a\cdot\mathbf b|\le\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|,\qquad\|\mathbf a+\mathbf b\|\le\|\mathbf a\|+\|\mathbf b\|$$

อสมการแรกเท่ากันเมื่อเวกเตอร์ขึ้นต่อกันเชิงเส้น รวมกรณีเวกเตอร์ศูนย์ ถ้าทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์คือขนานหรือสวนทาง อสมการที่สองคือ triangle inequality

### พิสูจน์ Cauchy–Schwarz จากการฉาย

เมื่อ b ≠ 0 ส่วนตั้งฉาก $\mathbf r=\mathbf a-[(\mathbf a\cdot\mathbf b)/(\mathbf b\cdot\mathbf b)]\mathbf b$ มี $\|\mathbf r\|^2\ge0$ กระจายแล้วได้ $\|\mathbf a\|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2/\|\mathbf b\|^2\ge0$ จึงได้ $(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2\le\|\mathbf a\|^2\|\mathbf b\|^2$ แล้วถอดรากทั้งสองข้าง ถ้า b = 0 ทั้งสองข้างเป็นศูนย์อยู่แล้ว

ตัดดอทไม่ได้: จาก $\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf a\cdot\mathbf c$ สรุป b = c ไม่ได้ เพราะ b−c อาจตั้งฉาก a ตัวอย่าง $\mathbf a=(1,0),\mathbf b=(2,3),\mathbf c=(2,-5)$ ได้ดอท 2 เท่ากันทั้งที่ b และ c ต่างกัน

## 6. Dot product กับ component และ projection เป็นเรื่องเดียวกัน

ถ้า u เป็นเวกเตอร์หน่วย ผลดอท $\mathbf a\cdot\mathbf u=\|\mathbf a\|\cos\theta$ คือค่าของ a ตามทิศ u นั่นคือ scalar projection ถ้าเลือก u เป็นแกน x, y หรือ z ก็ได้ component ที่ใช้อยู่แล้ว จึงไม่ต้องสร้างสูตรใหม่สำหรับแกนเอียง

D9 From dot product to projection ค่าตามทิศและเวกเตอร์ฉาย

$$\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|},\qquad \operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b}\mathbf b,\qquad\mathbf b\ne\mathbf0$$

ตัวแรกเป็นสเกลาร์มีเครื่องหมาย ตัวหลังเป็นเวกเตอร์ เลือกเป้าหมาย b ให้ตรงทิศที่ถาม ดู Component และ Projection สำหรับภาพและวิธีทำละเอียด

ค่าดอทเองยังไม่ใช่ความยาวเงา เว้นแต่เป้าหมายเป็นเวกเตอร์หน่วย เช่น (3,4)·(2,1) = 10 แต่ค่าฉายสเกลาร์คือ $2\sqrt5$ และเวกเตอร์ฉายคือ (4,2) การระบุชนิดคำตอบและหน่วยจึงช่วยแยกสามปริมาณนี้ได้

## 7. การประยุกต์วิศวกรรม: งานและกำลังกล กลาง

การทำงานของแรงขึ้นกับส่วนของแรงที่ไปตามการกระจัด ถ้าแรงเอียงขึ้นแต่การเคลื่อนที่อยู่ตามพื้น มีเพียงองค์ประกอบแนวนอนที่ทำงานจากการกระจัดนั้น แรงตั้งฉากกับการกระจัดอาจยังจำเป็นต่อสมดุล แต่ไม่ให้งานในเส้นทางที่ตั้งฉากกับแรง

D10 Work by a constant force งานจากแรงคงที่

$$W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r=\|\mathbf F\|\|\Delta\mathbf r\|\cos\theta$$

หน่วย N·m = J สูตรนี้ใช้แรงคงที่และการกระจัดระหว่างต้นกับปลาย ถ้าแรงแปรตามตำแหน่งหรือเส้นทาง ใช้ $W=\int_C\mathbf F(\mathbf r)\cdot d\mathbf r$ ไม่แทนแรงที่จุดเดียวลงไปโดยพลการ

D11 Instantaneous mechanical power กำลังกลขณะหนึ่ง

$$P=\frac{dW}{dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v$$

แรงและความเร็วต้องวัดในกรอบอ้างอิงเดียวกัน หน่วย N·m/s = W ค่าบวกคือแรงถ่ายพลังงานเข้าสู่การเคลื่อนที่ ค่าลบคือแรงดึงพลังงานออก เช่น การเบรก

ภาพแสดงทิศ: ส่วนแรงแนวตั้งไม่ทำงานเมื่อการกระจัดมีเฉพาะแนวนอน แรงและการกระจัดไม่ใช้สเกลกายภาพร่วมกัน

ตัวอย่าง D-5 · รถเข็นกับแรงเอียง

### แรงคงที่ $\mathbf F=(50,20,0)\,\mathrm N$ ทำให้จุดที่แรงกระทำเคลื่อน $\Delta\mathbf r=(4,0,0)\,\mathrm m$ แรงนี้ทำงานเท่าไร?

- ระบุว่าโจทย์ถามงานจากแรงนี้ ไม่จำเป็นต้องเท่ากับงานสุทธิจากแรงทั้งหมด

- $W=50(4)+20(0)+0(0)=200\,\mathrm{N\cdot m}$

- ส่วนแรง 20 N ตาม y ตั้งฉากกับการกระจัดจึงไม่มีงาน ใช้ขนาดแรง $\sqrt{2900}$ คูณ 4 โดยไม่คูณ cos จะได้ค่ามากเกินจริง

งานจากแรงนี้ = 200 J

ตัวอย่าง D-6 · กำลังกลที่ไม่ใช่ขนาดแรงคูณขนาดความเร็ว

### ขณะหนึ่ง $\mathbf F=(12,-5,0)\,\mathrm N$, $\mathbf v=(2,1,0)\,\mathrm{m/s}$ หาค่ากำลังของแรงนี้

- $P=\mathbf F\cdot\mathbf v=12(2)+(-5)(1)+0=19\,\mathrm W$

- แยกดูรายแกน: x ให้ +24 W ส่วน y ให้ −5 W เพราะแรงตาม y สวนความเร็วตาม y

- รวมได้ +19 W แรงนี้ถ่ายพลังงานสุทธิเข้าสู่การเคลื่อนที่ขณะนั้น

กำลังทันที 19 W

แรงคงที่ที่ทำงานลบ: แรงเสียดทาน $(-30,0)\,\mathrm N$ กับการกระจัด $(5,0)\,\mathrm m$ ให้งาน −150 J ส่วนแรงโน้มถ่วง $(0,-100)\,\mathrm N$ กับการกระจัดแนวนอน (3,0) m ให้งาน 0 J ต้องพิจารณาการกระจัดของจุดที่แรงกระทำตามแบบจำลองที่เลือก

## 8. เรขาคณิตวิศวกรรม: ทิศทาง ระนาบ และฟลักซ์

หุ่นยนต์และระบบภาพสามมิติต้องตรวจว่าทิศของเครื่องมือเข้าหาพื้นผิวมากน้อยเพียงใด ถ้า n เป็นเวกเตอร์ปกติของพื้นผิว ดอทกับทิศการเคลื่อนที่บอกส่วนที่เคลื่อนเข้าหรือออกจากพื้นผิว ส่วนที่เหลือเป็นการไถลไปตามพื้นผิว

D12 Normal component and oriented flux ส่วนตั้งฉากกับพื้นผิว

$$v_n=\mathbf v\cdot\widehat{\mathbf n},\qquad\Phi=\mathbf B\cdot\mathbf A=BA\cos\theta,\qquad\mathbf A=A\widehat{\mathbf n}$$

สูตรฟลักซ์แม่เหล็กนี้ใช้สนาม B สม่ำเสมอบนพื้นผิวระนาบ พื้นที่ A และทิศปกติที่เลือก หน่วย T·m² = Wb ถ้าสนามไม่สม่ำเสมอหรือพื้นผิวโค้ง ใช้ $\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\widehat{\mathbf n}\,dA$

ตัวอย่าง D-7 · ฟลักซ์ผ่านหน้าตัดคอยล์

### สนามสม่ำเสมอ 0.20 T ทำมุม 60° กับเวกเตอร์ปกติของพื้นที่ 0.010 m² ฟลักซ์เป็นเท่าไร?

- มุมที่ให้วัดกับ ปกติของผิว จึงใช้ cos 60° ได้ ถ้าวัดกับระนาบผิวต้องใช้มุมเติมเต็ม

- $\Phi=(0.20)(0.010)\cos60^\circ=0.0010\,\mathrm{Wb}=1.0\,\mathrm{mWb}$

- ถ้ากลับทิศปกติ ฟลักซ์กลับเครื่องหมาย แต่สนามและพื้นที่ทางกายภาพเท่าเดิม ตัวอย่างนี้เป็นฟลักซ์ต่อหนึ่งผิว; flux linkage ของ N รอบเหมือนกันคือ $N\Phi$

ฟลักซ์ 1.0 mWb ตามทิศปกติที่เลือก

ในเรขาคณิต จุด x อยู่ในระนาบที่ผ่าน q และมีปกติ n เมื่อ $\mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf q)=0$ สำหรับจุดนอกระนาบ ค่า $\mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf q)/\|\mathbf n\|$ เป็นระยะแบบมีเครื่องหมาย หากถามระยะทั่วไปให้ใช้ค่าสัมบูรณ์ ดูการหาเท้าฉากใน บทการฉาย

Dot product ในงานไฟฟ้าฟลักซ์แม่เหล็ก $\Phi=\mathbf B\cdot\mathbf A$ เป็นที่มาของแรงดันไซน์จากเครื่องกำเนิด (M6) และกำลังไฟฟ้าเฉลี่ย $P=VI\cos\theta$ มีรูปเดียวกับ dot product ของเฟสเซอร์แรงดันกับกระแส (Z5)

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 9. สัญญาณ ข้อมูล และ cosine similarity ต่อยอด

มองค่าที่วัด n เวลาเป็นเวกเตอร์ n มิติ เช่น x เป็นรูปแบบที่ต้องการตรวจหาและ y เป็นข้อมูลจากเซนเซอร์ ดอทมากอาจมาจากรูปร่างคล้ายกัน หรือเพียงเพราะสัญญาณมีแอมพลิจูดสูง การหารด้วยความยาวทั้งสองช่วยวัดความสอดคล้องของรูปร่างในเชิงทิศ

D13 Cosine similarity ดอทที่ปรับขนาดออก

$$s=\frac{\mathbf x\cdot\mathbf y}{\|\mathbf x\|\|\mathbf y\|},\qquad -1\le s\le1,\qquad\mathbf x,\mathbf y\ne\mathbf0$$

s = 1 คือทิศเดียวกัน, 0 คือ orthogonal, −1 คือสวนทาง เป็นตัวเลขไม่มีหน่วย ถ้าจะเทียบกับ Pearson correlation ต้องลบค่าเฉลี่ยของข้อมูลก่อน และตรวจว่าความแปรปรวนไม่เป็นศูนย์

ตัวอย่าง D-8 · รูปร่างเดียวกันแต่ระดับต่างกัน

### ให้ $\mathbf x=(1,2,1)$, $\mathbf y=(2,4,2)$ เปรียบเทียบดอทกับ cosine similarity

- ดอท = $1(2)+2(4)+1(2)=12$

- $\|\mathbf x\|=\sqrt6$, $\|\mathbf y\|=2\sqrt6$ จึงได้ $s=12/(\sqrt6\,2\sqrt6)=1$

- y มีแอมพลิจูดสองเท่าของ x แต่รูปร่างมีทิศเดียวกัน ถ้าแทน y ด้วย −y ค่าความคล้ายจะเป็น −1

Dot = 12 · Cosine similarity = 1

ก่อนใช้กับข้อมูลจริง ให้ตรวจว่าช่องตรงกัน เวลา sampling ตรงกัน และหน่วยหรือการปรับสเกลเหมาะสม หากรวมความยาว ความดัน และอุณหภูมิไว้ในเวกเตอร์เดียวกัน ค่าดอทจะขึ้นกับหน่วยที่เลือกอย่างมาก ต้องกำหนดการ normalize หรือ weighting จากความหมายของงาน ไม่ใช่ใช้สูตรแล้วตีความทันที

## 10. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

- ตอบดอทเป็นเวกเตอร์: (3,4)·(2,1) = 10 ไม่ใช่ (6,4) เพราะต้องบวกผลคูณด้วย
- ใช้มิติหรือกรอบอ้างอิงต่างกัน: แปลงให้เป็นพิกัดเดียวกันก่อน เวกเตอร์ใน 2D กับ 3D ต้องกำหนดการฝัง เช่น z = 0 อย่างชัดเจน
- ดอทศูนย์แล้วอ้างมุมฉากโดยไม่ตรวจเวกเตอร์ศูนย์: สูตรพิกัดใช้ได้ แต่สูตรหามุมใช้ไม่ได้เมื่อมีเวกเตอร์ศูนย์
- ลืมความยาวในสูตร cosine: ดอทอย่างเดียวไม่ใช่ cos มุม ต้องหารด้วยความยาวทั้งสอง
- เอาค่าสัมบูรณ์ก่อนหามุม: ทำให้ข้อมูลว่าทิศสวนกันหายไป ใช้ค่าสัมบูรณ์เมื่อโจทย์ถามมุมระหว่างเส้นไม่มีทิศเท่านั้น
- อ่าน $\cos^{-1}$ เป็นส่วนกลับ: หมายถึง inverse function arccos
- หางานด้วยขนาดแรงคูณระยะทุกครั้ง: ต้องใช้ส่วนตามการกระจัด หรือคูณ cos มุมด้วย
- สับสนกับ cross product: ดอทให้สเกลาร์และใช้ cos ส่วน cross ใน 3D ให้เวกเตอร์ปกติและขนาดใช้ sin
- ตัดดอทเหมือนการหารจำนวน: ดอทเท่ากันไม่ได้แปลว่าเวกเตอร์เท่ากัน และไม่มีการหารด้วยเวกเตอร์ในสูตรนี้

## 11. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

แบบฝึก D-A · มุม 120°

### หา dot product และมุมระหว่าง $\mathbf a=(2,0)$, $\mathbf b=(-1,\sqrt3)$

- ดอท = −2 และความยาวทั้งคู่ = 2

- $\cos\theta=-2/(2\cdot2)=-1/2$ จึงได้ 120°

- มุมป้านตรงกับเครื่องหมายลบ ส่วนค่าฉาย a ตาม b เป็น $-2/2=-1$

Dot = −2 · มุม 120°

แบบฝึก D-B · ตรวจตั้งฉากสามมิติ

### ให้ $\mathbf a=(2,-1,3)$, $\mathbf b=(1,5,1)$ จงหาดอทและมุม

- $\mathbf a\cdot\mathbf b=2(1)+(-1)(5)+3(1)=0$

- ทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์ จึงได้มุม 90° โดยไม่ต้องกด arccos

Dot = 0 · มุม 90°

แบบฝึก D-C · งานจากแรงสวนบางแกน

### แรงคงที่ $\mathbf F=(10,-4,2)\,\mathrm N$ กับการกระจัด $\Delta\mathbf r=(3,2,0)\,\mathrm m$ ให้งานเท่าไร?

- $W=10(3)+(-4)(2)+2(0)=30-8=22\,\mathrm J$

- ส่วน x ให้ +30 J ส่วน y ให้ −8 J ส่วน z ไม่มีการกระจัดจึงให้ 0 J

22 J

แบบฝึก D-D · กรณีศูนย์

### $\mathbf0\cdot(1,2,3)$ เป็นเท่าไร และมุมระหว่างสองเวกเตอร์เป็นเท่าไร?

- ดอท = $0(1)+0(2)+0(3)=0$

- ความยาวเวกเตอร์แรกเป็น 0 สูตรหามุมต้องหารด้วย 0 จึงใช้ไม่ได้ และเวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศ

Dot = 0 · มุมไม่นิยาม

## 12. สรุปสูตร: เลือกใช้ตามคำถาม

| คำถาม | สูตรหลัก | จุดตรวจ |
| คำนวณดอทจากพิกัด | D1: $\sum_ra_rb_r$ | มิติและแกนเดียวกัน ผลเป็นสเกลาร์ |
| หามุมระหว่างเวกเตอร์ | D4: $\arccos[(\mathbf a\cdot\mathbf b)/(\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|)]$ | ทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์ |
| ตรวจตั้งฉาก | D5: $\mathbf a\cdot\mathbf b=0$ | มุม 90° ต้องไม่มีเวกเตอร์ศูนย์ |
| หาขนาดหรือระยะ | D7: $\|\mathbf a\|=\sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}$ | ระยะใช้เวกเตอร์ผลต่าง |
| ส่วนตามแนวหนึ่ง | D9: scalar / vector projection | เป้าหมายไม่เป็นศูนย์ |
| งานจากแรงคงที่ | D10: $W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r$ | หน่วย J |
| กำลังกลทันที | D11: $P=\mathbf F\cdot\mathbf v$ | หน่วย W |
| ฟลักซ์สม่ำเสมอผ่านระนาบ | D12: $\Phi=\mathbf B\cdot\mathbf A$ | มุมกับเวกเตอร์ปกติ |
| ความสอดคล้องของทิศข้อมูล | D13: normalized dot | ตรวจการจัดช่องและสเกล |

ต่อจากส่วนตามทิศ ไปสู่ส่วนที่ตั้งฉากและโมเมนต์ด้วย cross product ดูตัวอย่างที่รวมสองผลคูณใน การประยุกต์ทางวิศวกรรม หรือทดลองเปลี่ยนพิกัดใน ห้องทดลองเวกเตอร์ 2D–3D

## แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

- OpenStax, Calculus Volume 3, §2.3 The Dot Product — นิยามเรขาคณิตและพิกัด projection และงาน
- MIT OpenCourseWare, 18.02SC, Vectors, Determinants and Planes — dot product มุม การตั้งฉาก และระนาบ พร้อมโจทย์สำหรับฝึก
- OpenStax, University Physics Volume 1, §7.1 Work และ §7.4 Power — เงื่อนไขทางฟิสิกส์และหน่วยของงาน/กำลัง

ใช้แหล่งอ้างอิงประกอบการตรวจนิยามและศึกษาต่อ ตัวอย่างในหน้านี้เขียนขึ้นเพื่อแสดงขั้นตอนคำนวณในบริบทวิศวกรรม โดยระบุสมมติฐานของแต่ละสูตรไว้ใกล้สูตร

## คำถามที่พบบ่อย

Dot product ได้สเกลาร์หรือเวกเตอร์?
Dot product ของเวกเตอร์จริงสองตัวได้สเกลาร์ คำนวณโดยคูณ component ที่ตรงกันแล้วบวกรวม เช่น (3,4)·(2,1)=10 ต่างจากการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ซึ่งยังได้เวกเตอร์

Dot product เป็นศูนย์แปลว่าทำมุม 90 องศาเสมอไหม?
ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองไม่เป็นศูนย์ ดอทเป็นศูนย์เท่ากับทำมุม 90 องศา แต่เวกเตอร์ศูนย์ดอทกับทุกตัวได้ศูนย์และไม่มีทิศ มุมระหว่างเวกเตอร์ที่มีเวกเตอร์ศูนย์จึงไม่นิยาม

Dot product ติดลบหมายความว่าอย่างไร?
สำหรับเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ ดอทติดลบหมายถึงมุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมป้าน ในการคำนวณงานแปลว่าแรงมีส่วนสวนทางการกระจัด จึงให้งานเป็นลบ ไม่ได้แปลว่าขนาดเวกเตอร์ติดลบ

สูตรหามุมระหว่างเวกเตอร์คืออะไร?
เมื่อ a และ b ไม่เป็นศูนย์ ใช้ θ=arccos[(a·b)/(||a|| ||b||)] โดย θ อยู่ในช่วง 0 ถึง 180 องศา ต้องตรวจหน่วยมุมของเครื่องคิดเลข และจัดการค่าคลาดเคลื่อนเชิงตัวเลขใกล้ ±1 อย่างเหมาะสม

Dot product ใช้หางานและกำลังได้อย่างไร?
แรงคงที่ F กับการกระจัด Δr ให้งาน W=F·Δr หน่วยจูล ส่วนกำลังกลขณะหนึ่งคือ P=F·v หน่วยวัตต์ ถ้าแรงเปลี่ยนตามเส้นทางต้องใช้อินทิกรัลเส้นสำหรับงาน

Cosine similarity ต่างจาก dot product อย่างไร?
Dot product ขึ้นกับทั้งขนาดและทิศ ส่วน cosine similarity หารด้วยขนาดเวกเตอร์ทั้งสอง จึงวัดความสอดคล้องของทิศ มีค่าระหว่าง −1 ถึง 1 และไม่นิยามเมื่อมีเวกเตอร์ศูนย์

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**Dot product ได้สเกลาร์หรือเวกเตอร์?**
Dot product ของเวกเตอร์จริงสองตัวได้สเกลาร์ คำนวณโดยคูณ component ที่ตรงกันแล้วบวกรวม เช่น (3,4)·(2,1)=10 ต่างจากการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ซึ่งยังได้เวกเตอร์

**Dot product เป็นศูนย์แปลว่าทำมุม 90 องศาเสมอไหม?**
ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองไม่เป็นศูนย์ ดอทเป็นศูนย์เท่ากับทำมุม 90 องศา แต่เวกเตอร์ศูนย์ดอทกับทุกตัวได้ศูนย์และไม่มีทิศ มุมระหว่างเวกเตอร์ที่มีเวกเตอร์ศูนย์จึงไม่นิยาม

**Dot product ติดลบหมายความว่าอย่างไร?**
สำหรับเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ ดอทติดลบหมายถึงมุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมป้าน ในการคำนวณงานแปลว่าแรงมีส่วนสวนทางการกระจัด จึงให้งานเป็นลบ ไม่ได้แปลว่าขนาดเวกเตอร์ติดลบ

**สูตรหามุมระหว่างเวกเตอร์คืออะไร?**
เมื่อ a และ b ไม่เป็นศูนย์ ใช้ θ=arccos[(a·b)/(||a|| ||b||)] โดย θ อยู่ในช่วง 0 ถึง 180 องศา ต้องตรวจหน่วยมุมของเครื่องคิดเลข และจัดการค่าคลาดเคลื่อนเชิงตัวเลขใกล้ ±1 อย่างเหมาะสม

**Dot product ใช้หางานและกำลังได้อย่างไร?**
แรงคงที่ F กับการกระจัด Δr ให้งาน W=F·Δr หน่วยจูล ส่วนกำลังกลขณะหนึ่งคือ P=F·v หน่วยวัตต์ ถ้าแรงเปลี่ยนตามเส้นทางต้องใช้อินทิกรัลเส้นสำหรับงาน

**Cosine similarity ต่างจาก dot product อย่างไร?**
Dot product ขึ้นกับทั้งขนาดและทิศ ส่วน cosine similarity หารด้วยขนาดเวกเตอร์ทั้งสอง จึงวัดความสอดคล้องของทิศ มีค่าระหว่าง −1 ถึง 1 และไม่นิยามเมื่อมีเวกเตอร์ศูนย์

---

# เวกเตอร์ในสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/em-fields/
Updated: 2026-10-13
Summary: เรียนแม่เหล็กไฟฟ้าด้วยเวกเตอร์ภาษาไทย: กฎของคูลอมบ์แบบเวกเตอร์ แรงลัพธ์บนประจุ สนามไฟฟ้าและหลักการซ้อนทับ จุดที่สนามเป็นศูนย์ ศักย์ไฟฟ้าแบบสเกลาร์ ฟลักซ์ Φ = B·A แรงลอเรนซ์ F = q(E + v × B) รัศมีวงโคจร แรงบนลวด F = IL × B สนามจากลวดตรง แรงระหว่างบัสบาร์ขณะลัดวงจร และแรงบิดบนขดลวด τ = m × B พร้อมแล็บสนามไฟฟ้า แล็บลวดตัวนำ และฉาก 3 มิติ

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 4 · Vectors in electromagnetic fields

# เวกเตอร์ในสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก

วิศวกรรมไฟฟ้าทั้งศาสตร์ตั้งอยู่บนสนามเวกเตอร์ E และ B แรงที่ทำให้มอเตอร์หมุน แรงที่ฉีกบัสบาร์ตอนลัดวงจร ลำอิเล็กตรอนในหลอดภาพ และหลักการของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ล้วนเขียนด้วย dot product และ cross product บทนี้เดินจากกฎคูลอมบ์แบบเวกเตอร์ การซ้อนทับ ฟลักซ์ ไปจนถึงแรงลอเรนซ์ แรงบนลวด และแรงบิดบนขดลวด พร้อมแล็บที่ลากประจุและลวดได้เหมือนห้องแล็บฟิสิกส์ 2

สรุปใน 30 วินาที

- $\mathbf F_{12}=k\dfrac{q_1q_2}{r^2}\hat{\mathbf r}_{12}$, $\mathbf E=\sum k\dfrac{q_i}{r_i^2}\hat{\mathbf r}_i$ — บวกเป็นเวกเตอร์เสมอ

- ศักย์ $V=\sum kq_i/r_i$ เป็นสเกลาร์ ฟลักซ์ $\Phi=\mathbf B\cdot\mathbf A$ เป็น dot product

- $\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)$, $\mathbf F=I\mathbf L\times\mathbf B$, $\boldsymbol\tau=\mathbf m\times\mathbf B$ — cross product ทั้งสิ้น

- ลวดขนาน: $F/L=\mu_0I_1I_2/(2\pi d)$ กระแสทิศเดียวกันดูดกัน

## 1. ปริมาณไหนเป็นเวกเตอร์ ปริมาณไหนเป็นสเกลาร์ พื้นฐาน

| ปริมาณ | ชนิด | หน่วย | รวมหลายแหล่งอย่างไร |

| แรงไฟฟ้า/แม่เหล็ก F | เวกเตอร์ | N | บวกองค์ประกอบ |

| สนามไฟฟ้า E | เวกเตอร์ | N/C = V/m | บวกองค์ประกอบ (ซ้อนทับ) |

| สนามแม่เหล็ก B | เวกเตอร์ | T = Wb/m² | บวกองค์ประกอบ |

| ศักย์ไฟฟ้า V | สเกลาร์ | V | บวกตัวเลข (มีเครื่องหมาย) |

| ฟลักซ์ Φ | สเกลาร์ (dot product) | Wb | บวกตัวเลข |

| กระแส I | สเกลาร์ที่มีทิศตามลวด | A | KCL; ใน AC บวกแบบเฟสเซอร์ |

## 2. กฎของคูลอมบ์แบบเวกเตอร์ พื้นฐาน

M1 Coulomb's law (vector form) แรงที่ q₁ กระทำต่อ q₂

$$\mathbf F_{12}=k\frac{q_1q_2}{\lVert\mathbf r_2-\mathbf r_1\rVert^2}\,\hat{\mathbf r}_{12}=k\,q_1q_2\,\frac{\mathbf r_2-\mathbf r_1}{\lVert\mathbf r_2-\mathbf r_1\rVert^3},\qquad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8.988\times10^9\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$$

ใส่เครื่องหมายประจุลงไปตรง ๆ: $q_1q_2>0$ แรงชี้ตาม $\hat{\mathbf r}_{12}$ (ผลัก) $q_1q_2<0$ ชี้กลับ (ดูด) รูปที่สองใช้สะดวกกับคอมพิวเตอร์เพราะไม่ต้องหา unit vector แยก

ตัวอย่าง M-1 · แรงลัพธ์บนประจุที่มุมสามเหลี่ยม

### q₁ = +3 μC ที่ (−0.3, −0.2) m, q₂ = −4 μC ที่ (0.3, −0.2) m, q₃ = +2 μC ที่ (0, 0.32) m จงหาแรงลัพธ์บน q₃

- จาก q₁: $\mathbf r=(0.3,\ 0.52)$ m, r = 0.6003 m → $|F|=k(3\times10^{-6})(2\times10^{-6})/0.3604=0.1496$ N ผลัก → $\mathbf F_{13}=(0.0748,\ 0.1296)$ N

- จาก q₂: $\mathbf r=(-0.3,\ 0.52)$ m, r = 0.6003 m → $|F|=0.1995$ N ดูดเข้าหา q₂ → $\mathbf F_{23}=(0.0997,\ -0.1728)$ N

- รวม: $\mathbf F=(0.1745,\ -0.0432)$ N, $|\mathbf F|=0.1797$ N ที่ 346.1° (เบนลงขวา 13.9°)

F ≈ 0.180 N ที่ −13.9° — เลือกตัวอย่าง “สามเหลี่ยม” ในแล็บด้านล่างเพื่อเห็นลูกศรแรงทั้งสองและแรงลัพธ์

## 3. สนามไฟฟ้าและหลักการซ้อนทับ พื้นฐาน

M2 Electric field of a point charge สนามไฟฟ้าของประจุจุด

$$\mathbf E=\frac{\mathbf F}{q_0}=k\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf r},\qquad \mathbf F=q_0\mathbf E$$

M3 Superposition หลักการซ้อนทับ

$$\mathbf E(\mathbf r)=\sum_{i}k\,q_i\,\frac{\mathbf r-\mathbf r_i}{\lVert\mathbf r-\mathbf r_i\rVert^3}\qquad\Longrightarrow\qquad E_x=\sum E_{ix},\ E_y=\sum E_{iy},\ E_z=\sum E_{iz}$$

สนามจากแต่ละประจุไม่รบกวนกัน (ระบบเชิงเส้น) จึงหาทีละตัวแล้วบวกเวกเตอร์ — แบบเดียวกับแรงลัพธ์ใน R7

ตัวอย่าง M-2 · สนามของไดโพล

### +2 μC ที่ (−0.3, 0) m และ −2 μC ที่ (0.3, 0) m จงหาสนามไฟฟ้าที่ P(0, 0.35) m

- ระยะจากประจุทั้งสอง: $\sqrt{0.3^2+0.35^2}=0.4610$ m → $|E_i|=k(2\times10^{-6})/0.2125=84{,}589$ N/C เท่ากัน

- จาก +q: ชี้ออกจาก +q → $(0.3,0.35)/0.461$: $\mathbf E_1=(55{,}050,\ 64{,}225)$ N/C

- จาก −q: ชี้เข้าหา −q → $\mathbf E_2=(55{,}050,\ -64{,}225)$ N/C

- องค์ประกอบ y หักล้างกัน: $\mathbf E=(1.101\times10^5,\ 0)$ N/C ชี้จาก + ไป − ขนานแกนไดโพล

E = 1.10 × 10⁵ N/C ตาม +x — ผลรวมขนาด 1.69 × 10⁵ แต่ผลรวมเวกเตอร์เพียง 1.10 × 10⁵

M4 Electric potential (scalar) ศักย์ไฟฟ้าและความสัมพันธ์กับสนาม

$$V=\sum_i k\frac{q_i}{r_i},\qquad \mathbf E=-\nabla V,\qquad W_{A\to B}=q\,(V_A-V_B)$$

ศักย์รวมแบบตัวเลขไม่ต้องแตกองค์ประกอบ ในตัวอย่าง M-2 ที่ P ได้ V = 0 (ระยะเท่ากัน ประจุตรงข้าม) แต่ E ≠ 0 — สนามคือ “ความชัน” ของศักย์ ไม่ใช่ค่าศักย์ เส้นสนามจึงตั้งฉากกับเส้นศักย์เท่าเสมอ

M5 Point of zero field (two charges) จุดที่สนามเป็นศูนย์

$$\frac{|q_1|}{d_1^2}=\frac{|q_2|}{d_2^2}\quad\text{บนเส้นที่ผ่านประจุทั้งสอง}$$

ประจุต่างชนิด: จุดนี้อยู่นอกช่วง ฝั่งประจุที่เล็กกว่า ประจุชนิดเดียวกัน: อยู่ระหว่างประจุ ใกล้ตัวที่เล็กกว่า

ตัวอย่าง M-3 · จุดที่สนามเป็นศูนย์

### +4 μC ที่ x = −0.2 m และ −1 μC ที่ x = +0.2 m จงหาจุดบนแกน x ที่ E = 0

- ต่างชนิด จุดต้องอยู่นอกช่วง ฝั่ง −1 μC (ตัวเล็ก): x > 0.2

- $\dfrac{4}{(x+0.2)^2}=\dfrac{1}{(x-0.2)^2}\Rightarrow\dfrac{2}{x+0.2}=\dfrac{1}{x-0.2}\Rightarrow2x-0.4=x+0.2\Rightarrow x=0.6$ m

- ตรวจ: $k(4\mu)/0.8^2=k(1\mu)/0.4^2$ ✓ ทิศตรงข้ามกันจึงหักล้าง

x = 0.6 m — เลือกตัวอย่าง “+4 μC กับ −1 μC” ในแล็บ จุด P วางไว้ตรงนั้นแล้ว

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ประจุสามมิติ: ฉากด้านล่างแสดงสนามจากประจุสามตัวบนแกน x, y, z ที่จุด P ใด ๆ ลากหมุนเพื่อเห็นว่าลูกศรทั้งสามบวกกันเป็นลูกศรสีส้มอย่างไร

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 4. ฟลักซ์: dot product ระหว่างสนามกับเวกเตอร์พื้นที่ กลาง

พื้นที่ราบแทนได้ด้วยเวกเตอร์ $\mathbf A=A\hat{\mathbf n}$ ยาวเท่าพื้นที่และตั้งฉากกับผิว ฟลักซ์วัดว่า “เส้นสนามทะลุผิวมากเพียงใด” จึงเป็นการฉายของสนามบนแนวตั้งฉาก

M6 Flux through a flat surface ฟลักซ์ผ่านผิวราบ

$$\Phi_B=\mathbf B\cdot\mathbf A=BA\cos\theta,\qquad \Phi_E=\mathbf E\cdot\mathbf A,\qquad \mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt}$$

ขดลวดหมุนในสนามทำให้ θ = ωt ได้ $\Phi=BA\cos\omega t$ และ $\mathcal E=NBA\omega\sin\omega t$ — นี่คือที่มาของไฟฟ้ากระแสสลับรูปไซน์ (ต่อใน sin cos ในไฟฟ้า AC)

ตัวอย่าง M-4 · ฟลักซ์ผ่านแผ่นเอียง

### B = 0.8 T ตามแกน +z ผ่านแผ่นพื้นที่ 0.12 m² ที่เอียงจนเวกเตอร์ปกติทำมุม 40° กับแกน z

- $\Phi=BA\cos\theta=0.8(0.12)\cos40^\circ=0.0735$ Wb

- ถ้าหมุนแผ่นด้วย 3000 rpm (ω = 314.2 rad/s) และ N = 100 รอบ: $\mathcal E_{\max}=NBA\omega=100(0.8)(0.12)(314.2)=3016$ V

Φ = 73.5 mWb · เครื่องกำเนิดหลักการเดียวกันให้แรงดันยอด ≈ 3 kV

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 5. แรงลอเรนซ์: ประจุที่เคลื่อนที่ในสนาม กลาง

M7 Lorentz force แรงลอเรนซ์

$$\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)$$

ส่วนแม่เหล็ก $q\mathbf v\times\mathbf B$ ตั้งฉากกับ $\mathbf v$ เสมอ: $\mathbf F\cdot\mathbf v=0$ จึงไม่ทำงาน อัตราเร็วคงที่ เปลี่ยนแค่ทิศ ใช้กฎมือขวากับ q > 0 แล้วกลับทิศถ้า q < 0

M8 Motion in a uniform B วงกลม เกลียว และคาบ

$$r=\frac{mv_\perp}{|q|B},\qquad T=\frac{2\pi m}{|q|B},\qquad p=v_\parallel T,\qquad \mathbf v_d=\frac{\mathbf E\times\mathbf B}{B^2}$$

คาบไม่ขึ้นกับความเร็ว (หลักการไซโคลตรอน) ส่วนความเร็วดริฟต์ $\mathbf v_d$ คือเงื่อนไขของตัวเลือกความเร็ว: ประจุที่วิ่งด้วย $v=E/B$ ตั้งฉากกับทั้งคู่จะวิ่งตรง

ตัวอย่าง M-5 · โปรตอนในสนามแม่เหล็ก

### โปรตอนวิ่งด้วย $\mathbf v=(2\times10^5,\ 0,\ 0.6\times10^5)$ m/s ในสนาม $\mathbf B=0.05\,\mathbf k$ T จงหาแรง รัศมี คาบ และระยะเกลียว

- $\mathbf v\times\mathbf B=(0\cdot0.05-0.6\times10^5\cdot0,\ 0.6\times10^5\cdot0-2\times10^5\cdot0.05,\ 0)=(0,\ -10^4,\ 0)$

- $\mathbf F=e(\mathbf v\times\mathbf B)=(0,\ -1.602\times10^{-15},\ 0)$ N — ชี้ −y ตั้งฉากกับทั้ง v และ B

- $r=\dfrac{(1.673\times10^{-27})(2\times10^5)}{(1.602\times10^{-19})(0.05)}=41.76$ mm, $T=1.312\ \mu$s

- ระยะเกลียว $p=v_\parallel T=(0.6\times10^5)(1.312\times10^{-6})=78.7$ mm

r = 41.8 mm, T = 1.31 μs, p = 78.7 mm — ค่าเริ่มต้นของฉาก 3 มิติด้านล่าง

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## 6. แรงบนลวดตัวนำ F = I L × B พื้นฐาน

M9 Force on a straight wire แรงบนลวดตรงในสนามสม่ำเสมอ

$$\mathbf F=I\,\mathbf L\times\mathbf B,\qquad F=ILB\sin\theta$$

$\mathbf L$ ยาวเท่าช่วงลวดที่อยู่ในสนาม ชี้ตามทิศกระแส มาจากแรงลอเรนซ์บนประจุจำนวนมากในลวด ($I\mathbf L=nqA\mathbf v_dL$)

ตัวอย่าง M-6 · ลวดในช่องว่างแม่เหล็ก

### ลวดยาว 0.3 m ตามแกน +x มีกระแส 8 A อยู่ในสนาม 0.5 T ตามแกน +y จงหาแรง

- $\mathbf L\times\mathbf B=(0.3\,\mathbf i)\times(0.5\,\mathbf j)=0.15\,\mathbf k$

- $\mathbf F=8(0.15\,\mathbf k)=1.2\,\mathbf k$ N

F = 1.2 N ตาม +z — ลองหมุนทิศลวดและสนามในฉากด้านล่าง

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 7. สนามจากลวดตรงและแรงระหว่างลวดขนาน กลาง

M10 Field of a long straight wire สนามแม่เหล็กรอบลวดยาว

$$\mathbf B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol\phi},\qquad \hat{\boldsymbol\phi}=\hat{\mathbf z}\times\hat{\mathbf r},\qquad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$$

ทิศวนรอบลวดตามกฎมือขวา (นิ้วโป้งตามกระแส) เขียนเป็นเวกเตอร์ด้วย cross product ทำให้รวมลวดหลายเส้นได้ด้วยการบวกองค์ประกอบ

M11 Force between parallel conductors แรงต่อความยาวระหว่างลวดขนาน

$$\frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}=\frac{2\times10^{-7}\,I_1I_2}{d}\ \ \text{N/m}$$

กระแสทิศเดียวกันดูดกัน ทิศตรงข้ามผลักกัน ได้จาก $I_2\mathbf L\times\mathbf B_1$ — นิยามเดิมของหน่วยแอมแปร์ก็มาจากสูตรนี้

ตัวอย่าง M-7 · บัสบาร์ขณะลัดวงจร

### บัสบาร์สองเส้นห่างกัน 0.1 m มีกระแสลัดวงจร 20 kA (RMS สมมาตร) ในทิศตรงข้าม จงประมาณแรงต่อเมตร และสนามที่จุดกึ่งกลาง

- $F/L=2\times10^{-7}(20{,}000)^2/0.1=800$ N/m ผลักกัน

- ที่กึ่งกลาง (0.05 m จากแต่ละเส้น) กระแสตรงข้ามให้สนามทิศเดียวกัน: $B=2\times\mu_0(20{,}000)/(2\pi\cdot0.05)=2(0.08)=0.16$ T

- ค่ายอดจริงขณะเกิดลัดวงจรอาจสูงกว่านี้หลายเท่าเพราะกระแสยอดรวม DC offset (มาตรฐานการออกแบบใช้ค่ากระแสยอด) ช่วงยึดฉนวนรองรับจึงต้องคำนวณเป็นแรงกระจายแบบ S9

≈ 800 N/m (80 kgf ต่อเมตร) ผลักบาร์ออกจากกัน

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## 8. แรงบิดบนขดลวด τ = m × B: หัวใจของมอเตอร์ กลาง

ขดลวดสี่เหลี่ยมในสนามแม่เหล็ก ด้านที่ตั้งฉากกับสนามได้แรง F = NILB สองด้านในทิศตรงข้าม เป็นแรงคู่ควบ (S6) ส่วนอีกสองด้านได้แรงที่หักล้างกันในแนวเดียว แรงบิดสุทธิเขียนได้สั้นที่สุดด้วยโมเมนต์แม่เหล็ก

M12 Torque on a current loop แรงบิดบนขดลวด

$$\mathbf m=NIA\,\hat{\mathbf n},\qquad \boldsymbol\tau=\mathbf m\times\mathbf B,\qquad \tau=NIAB\sin\theta,\qquad U=-\mathbf m\cdot\mathbf B$$

$\hat{\mathbf n}$ ตามกฎมือขวาของกระแสในขด แรงบิดหมุนให้ $\mathbf m$ ไปขนานกับ $\mathbf B$ (พลังงาน U ต่ำสุด) มอเตอร์ DC จึงต้องมีคอมมิวเตเตอร์กลับกระแสทุกครึ่งรอบ

ตัวอย่าง M-8 · ขดลวดมอเตอร์

### ขดลวด 50 รอบ ขนาด 0.10 × 0.08 m กระแส 3 A ในสนาม 0.4 T เวกเตอร์ปกติทำมุม 60° กับสนาม จงหาแรงบิด

- $m=NIA=50(3)(0.008)=1.2$ A·m²

- $\tau=mB\sin60^\circ=1.2(0.4)(0.8660)=0.4157$ N·m

- แรงบิดสูงสุด 0.48 N·m เมื่อระนาบขดลวดขนานกับสนาม (θ = 90°) และเป็นศูนย์เมื่อ θ = 0°

τ = 0.416 N·m

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 9. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

| ข้อผิดพลาด | วิธีป้องกัน |

| บวกขนาดของสนามจากหลายประจุ | แตกองค์ประกอบแล้วบวก (M3) ศักย์เท่านั้นที่บวกตัวเลขได้ |

| ใช้ |q| แล้วเดาทิศเอง | ใส่เครื่องหมายใน M1/M3 แล้วให้สูตรจัดการทิศ |

| สลับลำดับ v × B หรือ L × B | ลำดับคือ “สิ่งที่เคลื่อนที่ × สนาม” กลับลำดับ = กลับทิศ |

| ลืมกลับทิศสำหรับอิเล็กตรอน | q < 0 ทำให้แรงตรงข้ามกฎมือขวา |

| ใช้ A เป็นสเกลาร์ในฟลักซ์ผิวเอียง | ใช้ $\mathbf B\cdot\mathbf A$ และนิยามทิศ $\hat{\mathbf n}$ ให้ชัด |

## 10. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

- ประจุ +5 μC สองตัวอยู่ที่ (±0.1, 0) m สนามที่ (0, 0.1) m เท่าไร?

- อิเล็กตรอนวิ่ง $\mathbf v=10^6\,\mathbf i$ m/s ใน $\mathbf B=0.01\,\mathbf k$ T แรงชี้ทางไหน รัศมีเท่าไร?

- ลวดยาว 0.5 m กระแส 10 A ทำมุม 30° กับสนาม 0.2 T แรงเท่าไร?

- สายไฟสองเส้นในบ้าน ห่าง 5 mm กระแส 10 A สวนทางกัน แรงต่อเมตรเท่าไร?

เปิดเฉลย

- r = 0.1414 m, |E_i| = k(5μ)/0.02 = 2.247×10⁶ N/C; องค์ประกอบ x หักล้าง, y รวม = 2 × 2.247×10⁶ × (0.1/0.1414) = 3.178×10⁶ N/C ตาม +y

- $\mathbf v\times\mathbf B=10^4(\mathbf i\times\mathbf k)=-10^4\mathbf j$ แต่ q < 0 → แรงตาม +j; r = (9.109×10⁻³¹)(10⁶)/(1.602×10⁻¹⁹ × 0.01) = 0.569 mm

- F = 10(0.5)(0.2)sin30° = 0.5 N

- 2×10⁻⁷ × 100/0.005 = 4 mN/m ผลักกัน (เล็กมากในภาวะปกติ)

## 11. สรุปสูตร

| หัวข้อ | สูตร | ชนิดผลคูณ |

| M1 คูลอมบ์ | $kq_1q_2\,\mathbf r/r^3$ | คูณสเกลาร์ |

| M3 ซ้อนทับ | $\mathbf E=\sum\mathbf E_i$ | บวกเวกเตอร์ |

| M4 ศักย์ | $V=\sum kq/r$ | สเกลาร์ |

| M6 ฟลักซ์ | $\Phi=\mathbf B\cdot\mathbf A$ | dot |

| M7 ลอเรนซ์ | $q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)$ | cross |

| M9 ลวด | $I\mathbf L\times\mathbf B$ | cross |

| M10–M11 ลวดตรง | $\mu_0I/(2\pi r)$, $\mu_0I_1I_2/(2\pi d)$ | cross (ทิศ φ̂) |

| M12 แรงบิดขดลวด | $\mathbf m\times\mathbf B$ | cross |

## 12. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

- OpenStax University Physics Vol. 2 บทที่ 5 Electric Charges and Fields

- OpenStax University Physics Vol. 2 บทที่ 11–12 Magnetic Forces and Fields, Sources of Magnetic Fields

- PhET Charges and Fields และ Faraday's Electromagnetic Lab — ซิมูเลชันระดับโลก เปิดใช้ได้ใน หน้าเครื่องมือระดับโลก

ต่อไป: ขดลวดที่หมุนในสนามให้แรงดันรูปไซน์ ไปต่อที่ ความสัมพันธ์ sin–cos ในไฟฟ้ากระแสสลับ หรือทดลองครบใน แล็บสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

## คำถามที่พบบ่อย

หาสนามไฟฟ้าจากประจุหลายตัวอย่างไร?
ใช้หลักการซ้อนทับ หาเวกเตอร์สนามจากประจุแต่ละตัว E_i = k q_i r̂_i / r_i² แยกเป็นองค์ประกอบ แล้วบวกองค์ประกอบ x y z ทีละแกน ห้ามบวกขนาดของสนามตรง ๆ เพราะทิศต่างกัน ส่วนศักย์ไฟฟ้าเป็นสเกลาร์ บวกตัวเลขได้เลย V = Σ k q_i / r_i

แรงลอเรนซ์คืออะไร?
แรงที่กระทำต่อประจุ q ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ในสนามไฟฟ้า E และสนามแม่เหล็ก B คือ F = q(E + v × B) ส่วนแม่เหล็กตั้งฉากกับความเร็วเสมอ จึงไม่ทำงานและไม่เปลี่ยนอัตราเร็ว แค่เลี้ยวทิศ ประจุจึงวิ่งเป็นวงกลมหรือเกลียวรัศมี r = mv⊥/(|q|B)

แรงบนลวดตัวนำในสนามแม่เหล็กหาอย่างไร?
F = I L × B โดย L เป็นเวกเตอร์ยาวเท่าช่วงลวดที่อยู่ในสนามและชี้ตามทิศกระแส ขนาด F = I L B sin θ ทิศตามกฎมือขวา ถ้าลวดขนานกับสนามจะไม่มีแรง หลักนี้คือที่มาของมอเตอร์ไฟฟ้า

ทำไมบัสบาร์ต้องยึดแน่นในตู้ไฟ?
ขณะลัดวงจร กระแสหลายหมื่นแอมแปร์ในบาร์ขนานสร้างแรงระหว่างกัน F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) เช่น 20 kA ห่าง 10 cm ได้ 800 N ต่อเมตร (ค่ายอดอาจสูงกว่านี้มากเพราะ DC offset) ฉนวนรองรับและระยะยึดต้องออกแบบให้รับแรงนี้

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**หาสนามไฟฟ้าจากประจุหลายตัวอย่างไร?**
ใช้หลักการซ้อนทับ หาเวกเตอร์สนามจากประจุแต่ละตัว E_i = k q_i r̂_i / r_i² แยกเป็นองค์ประกอบ แล้วบวกองค์ประกอบ x y z ทีละแกน ห้ามบวกขนาดของสนามตรง ๆ เพราะทิศต่างกัน ส่วนศักย์ไฟฟ้าเป็นสเกลาร์ บวกตัวเลขได้เลย V = Σ k q_i / r_i

**แรงลอเรนซ์คืออะไร?**
แรงที่กระทำต่อประจุ q ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ในสนามไฟฟ้า E และสนามแม่เหล็ก B คือ F = q(E + v × B) ส่วนแม่เหล็กตั้งฉากกับความเร็วเสมอ จึงไม่ทำงานและไม่เปลี่ยนอัตราเร็ว แค่เลี้ยวทิศ ประจุจึงวิ่งเป็นวงกลมหรือเกลียวรัศมี r = mv⊥/(|q|B)

**แรงบนลวดตัวนำในสนามแม่เหล็กหาอย่างไร?**
F = I L × B โดย L เป็นเวกเตอร์ยาวเท่าช่วงลวดที่อยู่ในสนามและชี้ตามทิศกระแส ขนาด F = I L B sin θ ทิศตามกฎมือขวา ถ้าลวดขนานกับสนามจะไม่มีแรง หลักนี้คือที่มาของมอเตอร์ไฟฟ้า

**ทำไมบัสบาร์ต้องยึดแน่นในตู้ไฟ?**
ขณะลัดวงจร กระแสหลายหมื่นแอมแปร์ในบาร์ขนานสร้างแรงระหว่างกัน F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) เช่น 20 kA ห่าง 10 cm ได้ 800 N ต่อเมตร (ค่ายอดอาจสูงกว่านี้มากเพราะ DC offset) ฉนวนรองรับและระยะยึดต้องออกแบบให้รับแรงนี้

---

# การประยุกต์เวกเตอร์ทางวิศวกรรม — จากรูปโจทย์สู่คำตอบที่ตรวจได้

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/engineering-applications/
Updated: 2026-10-13
Summary: ตัวอย่างวิศวกรรมใช้เวกเตอร์อย่างละเอียด แรงลัพธ์ 2 มิติ ทิศแรงดึงสายเคเบิล 3 มิติ การฉายแรง งานของแรงคงที่และอินทิกรัล โมเมนต์รอบจุดและแกน แรงแม่เหล็กต่อประจุและสายไฟ และความเร็วหุ่นยนต์ พร้อมหน่วย เงื่อนไข สูตรสรุป และแบบฝึกหัดเฉลย

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 3 · Engineering applications

# การประยุกต์เวกเตอร์ทางวิศวกรรม — จากรูปโจทย์สู่คำตอบที่ตรวจได้

การจำสูตรอย่างเดียวไม่พอ ต้องรู้ว่าเวกเตอร์เริ่มจากไหน ชี้ไปไหน ใช้หน่วยอะไร และสูตรสมมติอะไรไว้ หน้านี้เดินจากการรวมแรงในสองมิติไปสู่สายเคเบิลสามมิติ งาน โมเมนต์ สนามแม่เหล็ก และการเคลื่อนที่ของหุ่นยนต์ ทุกตัวอย่างมีขั้นตอนแทนค่าจริงและจุดตรวจคำตอบ

สรุปใน 30 วินาที
- รวมแรงด้วยการบวกองค์ประกอบในระบบพิกัดเดียวกัน
- แรงดึงสายเคเบิล = ขนาดแรงดึง × เวกเตอร์หนึ่งหน่วยจากวัตถุไปปลายสาย
- Dot product ใช้กับงานและการฉาย ส่วน Cross product ใช้กับโมเมนต์ แม่เหล็ก และการหมุน
- คำตอบต้องมีหน่วย ทิศ จุดอ้างอิง และเงื่อนไขของแบบจำลอง สมดุลของวัตถุแข็งเกร็งต้องตรวจทั้งแรงและโมเมนต์

## 1. ตั้งแบบจำลองก่อนคำนวณ: รูปแรง แกน หน่วย และข้อสมมติ

เริ่มจากแยกวัตถุที่สนใจแล้ววาด Free-body diagram ใส่แรงภายนอกทุกตัว ระบุตำแหน่งที่แรงกระทำ เลือกแกน $x,y,z$ แบบมือขวาและเขียนหน่วยไว้ พิกัดและแรงทั้งหมดต้องอ้างอิงกรอบเดียวกัน จากนั้นจึงเลือกการดำเนินการของเวกเตอร์

| คำถามของโจทย์ | การดำเนินการ | สิ่งที่ต้องรู้เพิ่ม |
| แรงรวมเท่าไร? | บวกเวกเตอร์ $\sum\mathbf F$ | องค์ประกอบหรือขนาดและทิศของแรงทุกตัว |
| แรงตามแนวรางเท่าไร? | Dot กับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย | ทิศบวกของราง |
| งานของแรงเท่าไร? | Dot หรืออินทิกรัลเส้น | แรงคงที่หรือเปลี่ยนตามเส้นทาง |
| แรงทำให้หมุนรอบไหน? | $\mathbf r\times\mathbf F$ | จุดหรือแกนอ้างอิงและจุดออกแรง |
| แรงแม่เหล็กชี้ไปไหน? | Cross และเครื่องหมายประจุ | สนาม ทิศกระแสหรือความเร็ว และส่วนที่อยู่ในสนาม |

ขอบเขตของตัวอย่าง: ตัวเลขต่อไปนี้เป็นโจทย์สาธิต ไม่ใช่การรับรองความปลอดภัยของโครงสร้างหรืออุปกรณ์จริง โดยถือว่าพิกัดและแรงเป็นค่าที่ทราบแน่นอน การออกแบบจริงต้องใช้ข้อมูลวัสดุ ภาระโหลด ข้อจำกัด และมาตรฐานที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติม

## 2. แรงลัพธ์ 2 มิติ: รวมองค์ประกอบก่อนหาขนาด

เมื่อแรงหลายตัวกระทำที่จุดเดียวกัน ให้บวกองค์ประกอบตามแกนเดียวกัน ห้ามบวกขนาดแรงตรง ๆ เว้นแต่ทุกแรงขนานทิศเดียวกัน มุมที่วัดทวนเข็มจากแกน $+x$ ให้ $F_x=F\cos\theta$, $F_y=F\sin\theta$ แต่ถ้าโจทย์วัดจากแกนอื่นต้องอ่านรูปก่อน ไม่ใช้สูตรนี้โดยอัตโนมัติ

E1 Force resultant รวมแรงและอ่านมุมให้ถูกควอดแรนต์

$$\mathbf R=\sum_i\mathbf F_i,\quad R_x=\sum_iF_{ix},\quad R_y=\sum_iF_{iy},\quad\|\mathbf R\|=\sqrt{R_x^2+R_y^2},\quad\theta_R=\operatorname{atan2}(R_y,R_x)$$

$\operatorname{atan2}$ ใช้เครื่องหมายของสององค์ประกอบเพื่อเลือกควอดแรนต์ ต่างจาก $\tan^{-1}(R_y/R_x)$ ที่ต้องแก้มุมเอง หาก $\mathbf R=\mathbf0$ ไม่มีทิศของแรงลัพธ์ที่กำหนดได้

ภาพวาดใช้สเกลองค์ประกอบเดียวกัน แรงลัพธ์เป็นเส้นทแยง ไม่ใช่ผลบวกของความยาวลูกศร

ตัวอย่าง E-1 · แรงจากอุปกรณ์สองตัว

### แรง $\mathbf F_1$ ขนาด $500\,\mathrm N$ ทำมุม $30^\circ$ จาก $+x$ และ $\mathbf F_2=(-100,200)\,\mathrm N$ กระทำที่จุดเดียวกัน

- แตกแรงแรก: $\mathbf F_1=(500\cos30^\circ,500\sin30^\circ)=(433.0127,250)\,\mathrm N$

- รวมองค์ประกอบ: $\mathbf R=(433.0127-100,250+200)=(333.0127,450)\,\mathrm N$

- หาขนาด $\|\mathbf R\|=\sqrt{333.0127^2+450^2}\approx559.819\,\mathrm N$

- มุม $\theta_R=\operatorname{atan2}(450,333.0127)\approx53.50^\circ$ อยู่ควอดแรนต์ที่ 1 เพราะทั้งสององค์ประกอบบวก

แรงลัพธ์ประมาณ $559.82\,\mathrm N$ ทำมุม $53.50^\circ$ ทวนเข็มจากแกน $+x$
ขนาด $\mathbf F_2=\sqrt{100^2+200^2}\approx223.61\,\mathrm N$ และ $\|\mathbf R\|$ อยู่ระหว่าง $|500-223.61|$ กับ $500+223.61$ ตามอสมการสามเหลี่ยม ผ่านการตรวจความสมเหตุผล

หากแรงกระทำคนละตำแหน่งบนวัตถุแข็งเกร็ง เวกเตอร์ $\sum\mathbf F$ ยังบอกแรงรวมได้ แต่ไม่เก็บผลการหมุนครบ ต้องหาโมเมนต์รวมด้วย เช่นแรงขนาดเท่ากันสวนทางกันสองตัวอาจรวมแรงเป็นศูนย์ แต่เกิดคู่ควบแรงที่ทำให้หมุนได้

## 3. สายเคเบิล 3 มิติ: จากพิกัดจุดเป็นแรงดึง

สายเคเบิลอุดมคติรับแรงดึงตามแนวสาย เมื่อสนใจแรงที่สาย $AB$ กระทำต่อจุด $A$ ทิศแรงชี้จาก $A$ ไป $B$ หาเวกเตอร์ระยะทางก่อน แล้วทำให้เป็นหนึ่งหน่วย การคูณแรงดึงกับเวกเตอร์ระยะทางโดยไม่หารความยาวทำให้ทั้งขนาดและหน่วยผิด

E2 Cable force from two points แรงจากตำแหน่งปลายสาย

$$\mathbf d_{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A,\qquad\hat{\mathbf u}_{AB}=\frac{\mathbf d_{AB}}{\|\mathbf d_{AB}\|},\qquad\mathbf F_{AB}=T_{AB}\hat{\mathbf u}_{AB},\quad T_{AB}\ge0$$

ต้องมี $A\ne B$ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยไม่มีหน่วย แรงจึงมีหน่วยนิวตัน หากผลแก้สมการได้แรงดึงติดลบ แบบจำลองสายที่ดึงอย่างเดียวไม่สอดคล้องกับสมมติฐาน อาจต้องพิจารณาว่าสายหย่อนหรือทิศแรงกำหนดผิด

ภาพฉายสามมิติใช้แสดงทิศและจุดอ้างอิง ให้คำนวณจากพิกัดที่ระบุ ไม่อ่านความยาวหรือมุมจากภาพฉาย

ตัวอย่าง E-2 · จุดต่อรับแรงดึงสองเส้นและน้ำหนัก

### ให้ $A=(0,0,0)$, $B=(2,3,6)$, $C=(-4,0,3)$ หน่วยเมตร แรงดึง $T_{AB}=700\,\mathrm N$, $T_{AC}=500\,\mathrm N$ และน้ำหนัก $\mathbf W=(0,0,-1000)\,\mathrm N$

- สาย $AB$: $\mathbf d_{AB}=(2,3,6)\,\mathrm m$, ความยาว $\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7\,\mathrm m$ จึง $\hat{\mathbf u}_{AB}=(2/7,3/7,6/7)$

- แรง $\mathbf F_{AB}=700(2/7,3/7,6/7)=(200,300,600)\,\mathrm N$ ตรวจขนาดได้ $700\,\mathrm N$

- สาย $AC$: ความยาว $\sqrt{(-4)^2+3^2}=5\,\mathrm m$ จึง $\mathbf F_{AC}=500(-4/5,0,3/5)=(-400,0,300)\,\mathrm N$

- แรงรวมที่ยังไม่รวมแรงรองรับ: $\mathbf R=\mathbf F_{AB}+\mathbf F_{AC}+\mathbf W=(-200,300,-100)\,\mathrm N$ ไม่เป็นศูนย์ จึงยังไม่สมดุล

- ถ้ามีจุดรองรับอุดมคติที่ $A$ สามารถให้แรงปฏิกิริยาสามองค์ประกอบและต้องการสมดุลจุดต่อ ต้องมี $\mathbf F_{\rm support}=-\mathbf R=(200,-300,100)\,\mathrm N$

แรงรองรับที่ต้องการ $(200,-300,100)\,\mathrm N$ มีขนาด $\sqrt{140000}\approx374.17\,\mathrm N$
นี่เป็นการหาแรงรองรับเมื่อกำหนดแรงดึงมาแล้ว ไม่ใช่การพิสูจน์ว่าโครงสร้างที่มีเพียงสองสายกับน้ำหนักสมดุลได้เอง และไม่ได้ตรวจความแข็งแรงของสาย

ถ้าแรงดึงยังไม่ทราบ ใช้ $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$, $\sum F_z=0$ ตั้งระบบสมการจากเวกเตอร์หนึ่งหน่วย การมีสามสมการไม่ได้รับประกันว่าจะหาคำตอบได้เสมอ ต้องตรวจจำนวนตัวไม่ทราบค่าและความเป็นอิสระของทิศแรงด้วย ดูวิธีแก้ระบบที่ ระบบสมการเชิงเส้น

เจาะลึกแรงตามแนวเส้นและทิศทางโคไซน์แบบครบอยู่ใน ทิศทางโคไซน์ (ตัวอย่างเสาไฟฟ้ากับสายยึด K-4)

## 4. แรงตามรางและแรงตั้งฉาก: ใช้ Projection ให้ถูกชนิด

ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ได้เฉพาะตามแนวราง ต้องแยกแรงเป็นส่วนตามรางและส่วนตั้งฉาก แรงตามรางมีทั้งแบบ “สเกลาร์มีเครื่องหมาย” กับ “เวกเตอร์” ซึ่งไม่ใช่คำตอบชนิดเดียวกัน กำหนด $\hat{\mathbf u}$ เป็นทิศบวกหนึ่งหน่วยของรางก่อน

E3 Resolve force along a direction แยกแรงขนานและตั้งฉาก

$$F_{\parallel}=\mathbf F\cdot\hat{\mathbf u},\qquad\mathbf F_{\parallel}=(\mathbf F\cdot\hat{\mathbf u})\hat{\mathbf u},\qquad\mathbf F_{\perp}=\mathbf F-\mathbf F_{\parallel}$$

$F_{\parallel}$ มีหน่วยนิวตันและอาจติดลบ ส่วน $\mathbf F_{\parallel}$ มีองค์ประกอบเวกเตอร์ หากฉายลงบน $\mathbf d$ ที่ไม่เป็นหนึ่งหน่วย ใช้ $\mathbf F_{\parallel}=(\mathbf F\cdot\mathbf d)\mathbf d/(\mathbf d\cdot\mathbf d)$

ตัวอย่าง E-3 · รางเอียงในระนาบ

### แรง $\mathbf F=(80,20)\,\mathrm N$ กระทำกับชิ้นส่วนที่รางมีทิศ $\mathbf d=(3,4)$ หาแรงตามราง

- ความยาว $\|\mathbf d\|=5$ จึง $\hat{\mathbf u}=(3/5,4/5)=(0.6,0.8)$

- สเกลาร์ตามราง $F_{\parallel}=80(0.6)+20(0.8)=64\,\mathrm N$

- เวกเตอร์ตามราง $\mathbf F_{\parallel}=64(0.6,0.8)=(38.4,51.2)\,\mathrm N$

- เวกเตอร์ตั้งฉาก $\mathbf F_\perp=(80,20)-(38.4,51.2)=(41.6,-31.2)\,\mathrm N$ ตรวจ Dot กับรางได้ $41.6(0.6)-31.2(0.8)=0$

แรงตามทิศบวกราง $64\,\mathrm N$ · ส่วนตั้งฉากมีขนาด $\sqrt{41.6^2+31.2^2}=52\,\mathrm N$
ตรวจพีทาโกรัส $64^2+52^2=6800=80^2+20^2$ แต่จะสรุปแรงปฏิกิริยาของรางเท่ากับ $-\mathbf F_\perp$ ได้ต่อเมื่อรวมแรงอื่นและเงื่อนไขการเคลื่อนที่ตามแนวตั้งฉากครบแล้ว

ดูนิยาม แผนภาพ และการฉายลงบนระนาบเพิ่มเติมที่ Component และ Projection

## 5. งานของแรง: Dot product สำหรับแรงคงที่ อินทิกรัลสำหรับแรงเปลี่ยน

งานเป็นพลังงานที่แรงถ่ายโอนผ่านการเคลื่อนที่ตามแนวแรง จึงเป็นสเกลาร์ที่อาจบวก ลบ หรือศูนย์ การที่แรงมีขนาดมากไม่ได้แปลว่าทำงานมาก ถ้าแรงตั้งฉากกับการกระจัดตลอดทาง งานของแรงนั้นเป็นศูนย์

E4 Work by a constant force งานของเวกเตอร์แรงคงที่

$$W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r=\|\mathbf F\|\|\Delta\mathbf r\|\cos\theta,\qquad\Delta\mathbf r=\mathbf r_2-\mathbf r_1$$

แรงต้องคงที่ทั้งขนาดและทิศ ใช้การกระจัดจากต้นทางถึงปลายทาง ไม่ใช่ระยะทางรวมโดยอัตโนมัติ หน่วย $\mathrm{N\,m}=\mathrm J$

E5 Work along a path งานเมื่อแรงเปลี่ยนตามเส้นทาง

$$W=\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf F(\mathbf r(t),t)\cdot\frac{d\mathbf r}{dt}\,dt$$

$\mathbf r(t)$ ระบุเส้นทางและทิศการเคลื่อนที่ ถ้าเคลื่อนตามแกน $x$ เพียงแกนเดียว สูตรลดเป็น $W=\int_{x_1}^{x_2}F_x(x)\,dx$ ความเป็นอิสระจากเส้นทางต้องมีเงื่อนไขของแรงอนุรักษ์ ไม่ใช่สมบัติของแรงทั่วไป

ตัวอย่าง E-4 · แรงเอียงดึงชิ้นส่วนตามแนวนอน

### แรงคงที่ $\mathbf F=(30,40,0)\,\mathrm N$ ทำให้ชิ้นส่วนกระจัด $\Delta\mathbf r=(6,0,0)\,\mathrm m$ หางานของแรงนี้

- Dot โดยองค์ประกอบ: $W=30(6)+40(0)+0(0)=180\,\mathrm J$

- ตรวจแบบเรขาคณิต: $\|\mathbf F\|=50\,\mathrm N$, $\cos\theta=30/50=0.6$ จึง $W=50\cdot6\cdot0.6=180\,\mathrm J$

- แรง $40\,\mathrm N$ ตามแกน $y$ ไม่ทำงานในการเคลื่อนที่นี้ เพราะไม่มีการกระจัดตามแกน $y$

งานของแรงที่กำหนด $180\,\mathrm J$ เป็นบวก · ไม่ใช่ $50\cdot6=300\,\mathrm J$
เป็นงานของแรงนี้เพียงตัวเดียว หากมีแรงเสียดทานหรือแรงอื่น ต้องรวมงานทุกแรงก่อนใช้ทฤษฎีงาน–พลังงาน $W_{\rm net}=\Delta K$

ตัวอย่าง E-5 · แอคชูเอเตอร์ที่แรงเพิ่มตามตำแหน่ง

### แรงตามแกน $x$ เป็น $F_x(x)=kx$, $k=2\,\mathrm{N/m}$ เคลื่อนจาก $x=0$ ถึง $3\,\mathrm m$

- แรงไม่คงที่: ที่ต้นทาง 0 นิวตัน ที่ปลายทาง 6 นิวตัน จึงใช้ค่า 6 นิวตันคูณระยะทั้งหมดไม่ได้

- อินทิเกรต $W=\int_0^{3\,\mathrm m}kx\,dx=\tfrac12k[(3\,\mathrm m)^2-0^2]=\tfrac12(2\,\mathrm{N/m})(9\,\mathrm{m^2})=9\,\mathrm J$

- ตรวจจากกราฟแรง–ตำแหน่ง: พื้นที่สามเหลี่ยมฐาน $3\,\mathrm m$ สูง $6\,\mathrm N$ เท่ากับ $\tfrac12(3)(6)=9\,\mathrm J$

งาน $9\,\mathrm J$ · หากใช้แรงปลายทางจะได้ 18 จูล ซึ่งมากเกินจริงสองเท่า
หากโจทย์เป็นแรงสปริงคืนสู่สมดุล $F_x=-kx$ ในช่วงเดียวกัน งานของสปริงเป็น $-9\,\mathrm J$ ส่วนงานจากแรงภายนอกเพื่อยืดอย่างช้า ๆ โดยไม่มีการสูญเสียเป็น $+9\,\mathrm J$

## 6. โมเมนต์แรง: ตำแหน่งอ้างอิงต้องมาก่อน Cross product

กำหนดจุดอ้างอิง $O$ และจุดออกแรง $P$ เวกเตอร์ $\mathbf r_{OP}$ ต้องชี้จาก $O$ ไป $P$ แล้วคำนวณ $\mathbf r_{OP}\times\mathbf F$ ตามลำดับนี้ โมเมนต์บอกแนวโน้มการหมุนรอบจุด ไม่ใช่แรงอีกตัวที่กระทำตามทิศเดียวกับแรงเดิม

E6 Moment about a point โมเมนต์รอบจุด

$$\boldsymbol\tau_O=\mathbf r_{OP}\times\mathbf F,\qquad\|\boldsymbol\tau_O\|=rF\sin\theta=F d_\perp$$

$d_\perp$ คือระยะตั้งฉากจากจุด $O$ ถึงแนวแรง ไม่ใช่ความยาว $r$ เสมอ หน่วยรายงานเป็น $\mathrm{N\,m}$ แม้มิติเท่าจูล แต่โมเมนต์เป็นเวกเตอร์ส่วนงานเป็นสเกลาร์ จึงไม่เรียกโมเมนต์ว่าพลังงาน

ประแจยาว $0.25\,\mathrm m$ ออกแรง $100\,\mathrm N$ ที่มุม $60^\circ$ จึงได้โมเมนต์ $0.25\cdot100\sin60^\circ\approx21.65\,\mathrm{N\,m}$ แขนตั้งฉากยาวประมาณ $0.2165\,\mathrm m$

ตัวอย่าง E-6 · โมเมนต์สามมิติและการแยกรอบแกน

### ให้ $\mathbf r_{OP}=(0.2,0.1,0)\,\mathrm m$, $\mathbf F=(0,100,50)\,\mathrm N$ หาโมเมนต์รอบ $O$

- องค์ประกอบ $x$: $\tau_x=0.1(50)-0(100)=5\,\mathrm{N\,m}$

- องค์ประกอบ $y$: $\tau_y=0(0)-0.2(50)=-10\,\mathrm{N\,m}$

- องค์ประกอบ $z$: $\tau_z=0.2(100)-0.1(0)=20\,\mathrm{N\,m}$

- ขนาดรวม $\|\boldsymbol\tau_O\|=\sqrt{5^2+(-10)^2+20^2}=\sqrt{525}\approx22.913\,\mathrm{N\,m}$

- ตรวจตั้งฉาก: $\boldsymbol\tau_O\cdot\mathbf r_{OP}=5(0.2)-10(0.1)=0$ และ $\boldsymbol\tau_O\cdot\mathbf F=-10(100)+20(50)=0$

$\boldsymbol\tau_O=(5,-10,20)\,\mathrm{N\,m}$ · ขนาดรวมประมาณ $22.91\,\mathrm{N\,m}$ · องค์ประกอบรอบ $+z$ คือ $+20\,\mathrm{N\,m}$

E7 Moment about an axis โมเมนต์รอบแกนเป็นสเกลาร์มีเครื่องหมาย

$$\tau_{\hat{\mathbf u}}=\hat{\mathbf u}\cdot\boldsymbol\tau_O=\hat{\mathbf u}\cdot(\mathbf r_{OP}\times\mathbf F),\qquad\|\hat{\mathbf u}\|=1$$

เลือก $O$ บนแกนที่สนใจ และ $\hat{\mathbf u}$ ชี้ทิศบวกของแกนนั้น เปลี่ยน $O$ เป็นจุดอื่นบนแกนเดียวกันไม่เปลี่ยนสเกลาร์นี้ เพราะการเปลี่ยน $\mathbf r$ เป็นพจน์ตาม $\hat{\mathbf u}$ ให้ Dot ของ $\hat{\mathbf u}$ กับ $\hat{\mathbf u}\times\mathbf F$ เป็นศูนย์

จากตัวอย่าง E-6 ถ้าแกนมีทิศ $\hat{\mathbf u}=(1,1,0)/\sqrt2$ จะได้ $\tau_{\hat{\mathbf u}}=(5-10)/\sqrt2=-5/\sqrt2\approx-3.536\,\mathrm{N\,m}$ เครื่องหมายลบหมายถึงสวนกับทิศบวกที่ตั้งไว้ ไม่ใช่ขนาดโมเมนต์ติดลบ

ย้ายแรงตามแนวแรงได้เมื่อใด? สำหรับผลแรงภายนอกต่อวัตถุแข็งเกร็ง การย้ายจุดออกแรงตามแนวแรงเดียวกันไม่เปลี่ยนโมเมนต์ เพราะเวกเตอร์ระยะที่เพิ่มขนานกับ $\mathbf F$ มี Cross เป็นศูนย์ แต่การย้ายแรงขนานไปอีกแนวต้องเพิ่มคู่ควบแรง และการวิเคราะห์ความเค้นภายในต้องพิจารณาจุดออกแรงจริงด้วย

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

โมเมนต์รอบแกน แรงคู่ควบ ระบบสมมูล และแรงปฏิกิริยาของคาน อยู่ใน ระบบแรง

## 7. แรงแม่เหล็กต่อประจุ: กฎมือขวาแล้วตรวจเครื่องหมาย q

แรงแม่เหล็กเป็นส่วนหนึ่งของแรงลอเรนซ์ $\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)$ ในหัวข้อนี้พิจารณาเฉพาะส่วนแม่เหล็ก ทำกฎมือขวาจาก $\mathbf v$ ไป $\mathbf B$ ก่อน แล้วคูณด้วยประจุ หากประจุลบ ทิศแรงกลับจากทิศ Cross product

E8 Magnetic force on a charge แรงแม่เหล็กต่อประจุเคลื่อนที่

$$\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B,\qquad \|\mathbf F_B\|=|q|vB\sin\theta,\qquad \mathbf F_B\cdot\mathbf v=0$$

$q$ หน่วยคูลอมบ์ $\mathbf v$ หน่วยเมตรต่อวินาที $\mathbf B$ หน่วยเทสลา ใช้ค่าขณะนั้นได้แม้สนามไม่สม่ำเสมอ แต่การทำนายวิถีต้องแก้สมการการเคลื่อนที่ตามสนาม แรงแม่เหล็กเพียงส่วนนี้ไม่ทำงานต่อประจุจุด เพราะตั้งฉากกับความเร็ว

ตัวอย่าง E-7 · อิเล็กตรอนในสนามตามแกน z

### ให้ $q=-e=-1.602176634\times10^{-19}\,\mathrm C$, $\mathbf v=(2.0\times10^6,0,0)\,\mathrm{m/s}$, $\mathbf B=(0,0,0.10)\,\mathrm T$

- ทิศ Cross: $\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf k}=-\hat{\mathbf j}$ จึง $\mathbf v\times\mathbf B=(0,-2.0\times10^5,0)$

- คูณประจุลบ: $\mathbf F_B=(-1.602176634\times10^{-19})(0,-2.0\times10^5,0)=(0,3.204353268\times10^{-14},0)\,\mathrm N$

- ตรวจขนาด $|q|vB=(1.602176634\times10^{-19})(2.0\times10^6)(0.10)=3.204353268\times10^{-14}\,\mathrm N$ และ Dot กับความเร็วได้ศูนย์

แรงประมาณ $3.2\times10^{-14}\,\mathrm N$ ชี้ $+y$ · ถ้าเป็นประจุบวกขนาดเท่ากัน แรงจะชี้ $-y$
แสดงเลขละเอียดระหว่างคำนวณเพื่อเช็กเครื่องหมาย แต่รายงานขนาดสุดท้ายประมาณสองเลขนัยสำคัญตามข้อมูล $v,B$

ถ้า $\mathbf v\parallel\mathbf B$ หรือประจุหยุดนิ่ง แรงแม่เหล็กเป็นศูนย์แม้สนามมีค่าไม่เป็นศูนย์ หากมีสนามไฟฟ้าด้วย ส่วน $q\mathbf E$ สามารถทำงานและเปลี่ยนพลังงานจลน์ได้ จึงไม่ควรสรุปว่าแรงลอเรนซ์ทั้งหมดไม่ทำงาน

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 8. แรงแม่เหล็กต่อสายไฟ: ช่วงสายที่อยู่ในสนามและทิศกระแส

เวกเตอร์ $\mathbf L$ มีขนาดเท่าความยาวช่วงสายที่อยู่ในสนามและชี้ตามกระแสแบบดั้งเดิม ไม่ใช่ตามการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในโลหะ สูตรย่อใช้เมื่อสายช่วงนั้นตรง กระแสคงที่ และสนามสม่ำเสมอ

E9 Magnetic force on a conductor สายตรงและรูปอินทิกรัล

$$\mathbf F_B=I\mathbf L\times\mathbf B\quad\text{(สายตรง สนามสม่ำเสมอ)},\qquad\mathbf F_B=I\int_Cd\boldsymbol\ell\times\mathbf B(\mathbf r)\quad\text{(กระแสคงที่)}$$

$d\boldsymbol\ell$ ชี้ตามกระแสตลอดเส้นทาง ต้องรวมแรงทุกช่วงที่อยู่ในสนาม โดยเฉพาะขดลวดปิด: ในสนามสม่ำเสมอแรงรวมอาจเป็นศูนย์ แต่โมเมนต์รวมอาจไม่เป็นศูนย์

ตัวอย่าง E-8 · ช่วงสายตรงในช่องสนาม

### สายช่วงยาว $0.30\,\mathrm m$ ตาม $+x$ อยู่ในสนาม $\mathbf B=(0,0,0.20)\,\mathrm T$ มีกระแส $5.0\,\mathrm A$ ตาม $+x$

- กำหนด $\mathbf L=(0.30,0,0)\,\mathrm m$ เฉพาะช่วงในสนาม

- Cross: $\mathbf L\times\mathbf B=(0,-0.30(0.20),0)=(0,-0.060,0)$

- คูณกระแส $\mathbf F_B=5.0(0,-0.060,0)=(0,-0.30,0)\,\mathrm N$

แรง $0.30\,\mathrm N$ ชี้ $-y$ · กลับกระแสหรือกลับสนามอย่างใดอย่างหนึ่งแล้วทิศกลับ แต่กลับทั้งสองพร้อมกันทิศเดิม
หน่วย $\mathrm A\cdot\mathrm m\cdot\mathrm T=\mathrm N$ เพราะ $1\,\mathrm T=1\,\mathrm{N/(A\,m)}$

ในมอเตอร์และแอคชูเอเตอร์ ต้องพิจารณาตำแหน่งของแต่ละช่วงสายเพื่อหาโมเมนต์ด้วย อย่าสรุปกำลังกลจากขนาดแรงเพียงอย่างเดียว กำลังขึ้นกับความเร็วตามทิศแรง และพลังงานมาจากระบบวงจรไฟฟ้าที่จ่ายให้เครื่อง

## 9. หุ่นยนต์: ความเร็วปลายแขนเกิดจาก Cross product

สำหรับวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม $\boldsymbol\omega$ ความเร็วสัมพัทธ์ของจุดที่มีเวกเตอร์ตำแหน่ง $\mathbf r$ จากจุดอ้างอิงบนวัตถุคือ $\boldsymbol\omega\times\mathbf r$ หากจุดอ้างอิงเคลื่อนที่ด้วย ต้องบวกความเร็วของจุดอ้างอิง ไม่ใช่ใช้สูตรหมุนอย่างเดียว

E10 Rotation and revolute-joint Jacobian ความเร็วจากข้อต่อหมุน

$$\mathbf v_P=\mathbf v_O+\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{OP},\qquad\mathbf J_{v,i}=\hat{\mathbf z}_i\times(\mathbf p-\mathbf o_i),\qquad\mathbf v_{P,i}=\mathbf J_{v,i}\dot q_i$$

สูตร Jacobian ใช้กับข้อต่อหมุนที่แกนทิศหนึ่งหน่วย $\hat{\mathbf z}_i$ ผ่าน $\mathbf o_i$ โดยทุกเวกเตอร์แสดงในกรอบเดียวกัน $\dot q_i$ เป็นความเร็วเชิงมุมเป็นเรเดียนต่อวินาที สำหรับหลายข้อต่อ รวมผล $\mathbf v=\sum_i\mathbf J_{v,i}\dot q_i$ ตามแบบจำลองคิเนแมติกส์ ส่วนข้อต่อเลื่อนมีคอลัมน์ความเร็วเป็นทิศแกนเลื่อน

ตัวอย่าง E-9 · ปลายแขนหมุนรอบแกน z

### จุด $O$ อยู่กับที่ $\boldsymbol\omega=(0,0,2)\,\mathrm{rad/s}$, $\mathbf r_{OP}=(0.30,0.40,0)\,\mathrm m$

- Cross ตามลำดับ $\boldsymbol\omega\times\mathbf r$: $\mathbf v_P=(0(0)-2(0.40),2(0.30)-0(0),0)=(-0.80,0.60,0)\,\mathrm{m/s}$

- ตรวจความเร็วสัมผัส: $\mathbf v_P\cdot\mathbf r_{OP}=-0.80(0.30)+0.60(0.40)=0$

- ระยะถึงแกน $r_\perp=\sqrt{0.30^2+0.40^2}=0.50\,\mathrm m$ จึงอัตราเร็ว $\omega r_\perp=2(0.50)=1.0\,\mathrm{m/s}$ ตรงกับ $\sqrt{0.80^2+0.60^2}=1.0$

ความเร็ว $(-0.80,0.60,0)\,\mathrm{m/s}$ · อัตราเร็ว $1.0\,\mathrm{m/s}$
ความเร็วนี้เป็นค่าขณะหนึ่ง ไม่ใช่การกระจัดเมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งวินาที เพราะทิศ $\mathbf r$ และทิศความเร็วเปลี่ยนระหว่างการหมุน

ศึกษาความเร็วหุ่นยนต์เพิ่มเติมได้จาก Modern Robotics — §5.1.1 Space Jacobian ซึ่งใช้ทวิสต์และ Space Jacobian การจัดองค์ประกอบของทวิสต์ต่างจากคอลัมน์ความเร็วตำแหน่ง $\mathbf J_{v,i}$ ที่ใช้ด้านบน จึงต้องตรวจนิยามกรอบพิกัดและแปลงความเร็วของจุดให้ตรงกันก่อนเทียบสูตร

FK/IK, Jacobian, ภาวะเอกฐาน และการเลือกมอเตอร์จาก τ = JᵀF อยู่ในบท เวกเตอร์ในแขนกล

## 10. สมดุล: รวมแรงเป็นศูนย์แล้วต้องตรวจโมเมนต์อีกหรือไม่?

E11 Static equilibrium เงื่อนไขสมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง

$$\sum\mathbf F=\mathbf0,\qquad\sum\boldsymbol\tau_O=\mathbf0$$

ในสามมิติเป็นสมการสเกลาร์ถึง 6 สมการ ในปัญหาระนาบทั่วไปใช้ $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$, $\sum\tau_z=0$ สำหรับจุดมวลหรือจุดต่อที่แรงทุกตัวผ่านจุดเดียวกัน การตรวจแรงเป็นศูนย์เพียงพอสำหรับสมดุลการเลื่อนของแบบจำลองนั้น

ตัวอย่าง E-10 · คู่ควบแรงที่แรงรวมเป็นศูนย์

### ที่ $P_1=(0.20,0,0)\,\mathrm m$ มีแรง $\mathbf F_1=(0,100,0)\,\mathrm N$ และที่ $P_2=(-0.20,0,0)\,\mathrm m$ มีแรง $\mathbf F_2=(0,-100,0)\,\mathrm N$

- แรงรวม $\mathbf F_1+\mathbf F_2=\mathbf0$

- โมเมนต์รอบจุดกำเนิดของแรงแรก $(0.20,0,0)\times(0,100,0)=(0,0,20)\,\mathrm{N\,m}$

- โมเมนต์ของแรงที่สอง $(-0.20,0,0)\times(0,-100,0)=(0,0,20)\,\mathrm{N\,m}$

โมเมนต์รวม $(0,0,40)\,\mathrm{N\,m}$ จึงไม่สมดุลการหมุน แม้แรงรวมเป็นศูนย์
ตรวจจากระยะระหว่างแนวแรง $0.40\,\mathrm m$: คู่ควบแรงมีขนาด $100(0.40)=40\,\mathrm{N\,m}$

## 11. ข้อผิดพลาดที่ทำให้คำตอบวิศวกรรมผิดทั้งทิศและหน่วย

- ใช้มิลลิเมตรร่วมกับเมตร: แปลง $200\,\mathrm{mm}=0.200\,\mathrm m$ ก่อนคูณแรง เพื่อให้โมเมนต์ออกมาเป็น $\mathrm{N\,m}$
- คูณแรงดึงกับเวกเตอร์ระยะทางทันที: ต้องหารความยาวให้เป็นหนึ่งหน่วยก่อน มิฉะนั้นหน่วยกลายเป็น $\mathrm{N\,m}$ แทน $\mathrm N$
- ใช้ระยะทางแทนการกระจัดในงานของแรงคงที่: เลือกเวกเตอร์จากต้นทางถึงปลายทาง แล้ว Dot กับแรง
- ใช้แรงปลายทางคูณระยะเมื่อแรงเปลี่ยน: ใช้อินทิกรัลหรือวิธีเฉลี่ยที่มีเหตุผลจากฟังก์ชันแรง ไม่เดาค่าเฉลี่ย
- โมเมนต์ใช้ $\mathbf F\times\mathbf r$: ลำดับกลับทำให้เครื่องหมายทุกแกนกลับ ต้องเป็น $\mathbf r\times\mathbf F$
- แทนโมเมนต์รอบแกนด้วยขนาดรวม: ต้อง Dot เวกเตอร์โมเมนต์กับทิศแกนหนึ่งหน่วย
- อ่านแรงประจุลบจากมือขวาอย่างเดียว: กฎมือขวาให้ทิศ $\mathbf v\times\mathbf B$ แล้วต้องคูณเครื่องหมาย $q$
- ใช้ความยาวสายทั้งหมดในสนามเฉพาะบางช่วง: ใช้เฉพาะช่วงที่มีสนามตามแบบจำลอง และอินทิเกรตถ้าทิศสายหรือสนามเปลี่ยน
- เชื่อมเฟสเซอร์กับเวกเตอร์อวกาศโดยไม่กำหนดความหมาย: เฟสเซอร์ $\underline V=V_{\rm rms}\angle\phi$ ใช้มุมแทนเฟสเวลา กำลังเชิงซ้อนของวงจรใช้ $S=\underline V\underline I^*$ ตามข้อตกลง RMS ไม่ใช่ $\mathbf F\cdot\mathbf v$ หรือ Cross ของเวกเตอร์ตำแหน่ง

## 12. แบบฝึกหัด: ฝึกเลือกสูตรก่อนแทนค่า

- แรง $(120,-40,30)\,\mathrm N$ กับ $(-20,90,-10)\,\mathrm N$ กระทำที่จุดเดียวกัน หาแรงลัพธ์และขนาด
- จุด $A=(1,0,0)$, $B=(3,3,6)$ หน่วยเมตร สายมีแรงดึง 350 นิวตัน หาแรงที่สายกระทำต่อ $A$
- แรงคงที่ $(10,-5,2)\,\mathrm N$ กระจัด $(3,4,-1)\,\mathrm m$ หางาน
- แรง $F_x=3x^2$ โดยสัมประสิทธิ์มีหน่วย $\mathrm{N/m^2}$ เคลื่อนจาก 0 ถึง 2 เมตร หางาน
- ให้ $\mathbf r=(0.4,0,0)\,\mathrm m$, $\mathbf F=(0,-30,10)\,\mathrm N$ หาโมเมนต์และองค์ประกอบรอบ $+z$
- สายตรง $I=2\,\mathrm A$, $\mathbf L=(0,0.5,0)\,\mathrm m$, $\mathbf B=(0.3,0,0)\,\mathrm T$ หาแรงแม่เหล็ก
- ข้อต่อหมุน $\boldsymbol\omega=(0,0,-3)\,\mathrm{rad/s}$, $\mathbf r=(0.2,0,0)\,\mathrm m$ และจุดอ้างอิงอยู่กับที่ หาเวกเตอร์ความเร็ว

เปิดเฉลยพร้อมเหตุผล

- $\mathbf R=(100,50,20)\,\mathrm N$, $\|\mathbf R\|=\sqrt{10000+2500+400}=\sqrt{12900}\approx113.58\,\mathrm N$
- $\mathbf d_{AB}=(2,3,6)\,\mathrm m$ ความยาว 7 เมตร จึง $\mathbf F=350(2,3,6)/7=(100,150,300)\,\mathrm N$
- $W=10(3)-5(4)+2(-1)=8\,\mathrm J$ เป็นบวก
- ให้ $k=3\,\mathrm{N/m^2}$ แล้ว $W=\int_0^{2\,\mathrm m}kx^2dx=(k/3)(2\,\mathrm m)^3=8\,\mathrm J$
- $\boldsymbol\tau=(0,-4,-12)\,\mathrm{N\,m}$; รอบ $+z$ คือ $-12\,\mathrm{N\,m}$ ส่วนขนาดรวม $\sqrt{160}\approx12.65\,\mathrm{N\,m}$
- $\mathbf L\times\mathbf B=(0,0,-0.15)$ จึง $\mathbf F=(0,0,-0.30)\,\mathrm N$ เพราะ $\hat{\mathbf j}\times\hat{\mathbf i}=-\hat{\mathbf k}$
- $\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r=(0,-0.6,0)\,\mathrm{m/s}$ สวนทิศตัวอย่างการหมุนด้วย $+\omega_z$

## 13. สรุปสูตรและเงื่อนไขใช้งาน

| ปริมาณ | สูตร | เงื่อนไขที่ต้องตรวจ | รหัส |
| แรงลัพธ์ | $\mathbf R=\sum\mathbf F_i$ | ระบบพิกัดเดียวกัน; วัตถุแข็งเกร็งต้องเก็บโมเมนต์ด้วย | E1 |
| แรงสายเคเบิล | $T(\mathbf r_B-\mathbf r_A)/\|\mathbf r_B-\mathbf r_A\|$ | สายดึงจาก A ไป B; A และ B ไม่ตรงกัน | E2 |
| แรงตามแนว | $F_\parallel=\mathbf F\cdot\hat{\mathbf u}$ | ทิศ $\hat{\mathbf u}$ ต้องเป็นหนึ่งหน่วย | E3 |
| งานแรงคงที่ | $W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r$ | แรงคงที่ทั้งขนาดและทิศ | E4 |
| งานทั่วไป | $W=\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ | ระบุเส้นทางและทิศให้ครบ | E5 |
| โมเมนต์รอบจุด | $\boldsymbol\tau_O=\mathbf r_{OP}\times\mathbf F$ | ตำแหน่งเริ่มจาก O ไปจุดออกแรง P | E6 |
| โมเมนต์รอบแกน | $\tau_u=\hat{\mathbf u}\cdot\boldsymbol\tau_O$ | แกนผ่าน O; $\hat{\mathbf u}$ เป็นหนึ่งหน่วย | E7 |
| แรงต่อประจุ | $\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B$ | แยกจากแรงไฟฟ้า; ตรวจเครื่องหมายประจุ | E8 |
| แรงสายตรง | $\mathbf F_B=I\mathbf L\times\mathbf B$ | สายตรง สนามสม่ำเสมอ กระแสคงที่ | E9 |
| ความเร็วจากการหมุน | $\mathbf v_P=\mathbf v_O+\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{OP}$ | วัตถุแข็งเกร็ง; หน่วยมุม rad/s | E10 |
| สมดุลวัตถุแข็งเกร็ง | $\sum\mathbf F=\mathbf0,\ \sum\boldsymbol\tau_O=\mathbf0$ | ตรวจแรงภายนอกและโมเมนต์ภายนอกครบ | E11 |

## 14. แหล่งอ่านต่อและเส้นทางค้นคว้า

ใช้ตำราเปิดต่อไปนี้เพื่ออ่านนิยาม เงื่อนไขทางฟิสิกส์ และตัวอย่างเพิ่มเติม แยกหลักคณิตศาสตร์ออกจากข้อสมมติของอุปกรณ์จริงเสมอ

- OpenStax, Calculus Volume 3 — §2.3 The Dot Product: มุม องค์ประกอบ การฉาย และงาน
- OpenStax, Calculus Volume 3 — §2.4 The Cross Product: ทิศตั้งฉาก พื้นที่ Scalar triple product และโมเมนต์
- OpenStax, University Physics Volume 1 — §7.1 Work: งานของแรงคงที่และแรงแปรผัน
- OpenStax, University Physics Volume 1 — §10.6 Torque: แนวแรง แขนโมเมนต์ และกฎมือขวา
- OpenStax, University Physics Volume 1 — §12.1 Conditions for Static Equilibrium: เงื่อนไขสมดุลแรงและโมเมนต์
- OpenStax, University Physics Volume 2 — §11.2 Magnetic Fields and Lines: แรงแม่เหล็กต่อประจุและทิศสนาม
- OpenStax, University Physics Volume 2 — §11.4 Magnetic Force on a Current-Carrying Conductor: แรงต่อกระแสและเงื่อนไขของสูตรสายตรง
- Northwestern University, Modern Robotics — §5.1.1 Space Jacobian: ทวิสต์ Space Jacobian และการเชื่อมความเร็วข้อต่อกับความเร็วของวัตถุแข็งเกร็ง

ย้อนทบทวน พื้นฐานเวกเตอร์, การบวก ลบ และคูณสเกลาร์, Component และ Projection, Dot product, Cross product หรือทดลองตัวเลขของตนเองใน Vector Lab

## คำถามที่พบบ่อย

เมื่อไรใช้ Dot product และเมื่อไรใช้ Cross product ในงานวิศวกรรม?
ใช้ Dot เมื่อหาส่วนตามทิศ เช่น งาน F·Δr หรือองค์ประกอบแรงตามแกน ใช้ Cross เมื่อต้องการทิศตั้งฉาก เช่น โมเมนต์ r×F แรงแม่เหล็ก qv×B หรือความเร็วจากการหมุน ω×r

ทราบจุดปลายสายเคเบิลแล้วหาแรงเวกเตอร์ได้อย่างไร?
ลบตำแหน่งปลายสายกับจุดที่แรงกระทำเพื่อได้เวกเตอร์ทิศ หารด้วยความยาวให้เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย แล้วคูณขนาดแรงดึง สายดึงวัตถุเข้าหาปลายสาย ไม่ผลักออกจากปลายสาย

ใช้ W=F·Δr ได้ทุกกรณีหรือไม่?
สูตรนี้ใช้เมื่อแรงเป็นเวกเตอร์คงที่ตลอดการเคลื่อนที่ ถ้าแรงเปลี่ยนตามตำแหน่งหรือทิศ ต้องคำนวณ W=∫F·dr ตามเส้นทาง หรืออินทิเกรตตามพารามิเตอร์ที่ระบุ

โมเมนต์รอบจุดกับโมเมนต์รอบแกนต่างกันอย่างไร?
โมเมนต์รอบจุดเป็นเวกเตอร์ τO=r×F ส่วนโมเมนต์รอบแกนเป็นสเกลาร์มีเครื่องหมาย τu=û·τO เมื่อ û เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามแกนที่ผ่าน O ขนาดโมเมนต์รวมไม่ได้เท่ากับองค์ประกอบรอบแกนเสมอ

สูตรแรงแม่เหล็กของสายไฟ IL×B มีเงื่อนไขอะไร?
ใช้กับช่วงสายตรงที่อยู่ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอและมีกระแสคงที่ โดย L ชี้ตามกระแสแบบดั้งเดิม ถ้าสายโค้งหรือสนามเปลี่ยนตามตำแหน่ง ให้ใช้ dF=I dl×B แล้วอินทิเกรตตลอดช่วงสาย

เวกเตอร์ในอวกาศเหมือนเฟสเซอร์วงจร AC หรือไม่?
ไม่เหมือนกันโดยอัตโนมัติ เวกเตอร์ตำแหน่งและแรงมีแกนเชิงพื้นที่ ส่วนเฟสเซอร์ใช้ระนาบเชิงซ้อนแทนขนาดและเฟสของสัญญาณไซน์ตามเวลา การคำนวณกำลังเชิงซ้อนจึงมีข้อตกลง RMS และคอนจูเกตของตัวเอง

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เมื่อไรใช้ Dot product และเมื่อไรใช้ Cross product ในงานวิศวกรรม?**
ใช้ Dot เมื่อหาส่วนตามทิศ เช่น งาน F·Δr หรือองค์ประกอบแรงตามแกน ใช้ Cross เมื่อต้องการทิศตั้งฉาก เช่น โมเมนต์ r×F แรงแม่เหล็ก qv×B หรือความเร็วจากการหมุน ω×r

**ทราบจุดปลายสายเคเบิลแล้วหาแรงเวกเตอร์ได้อย่างไร?**
ลบตำแหน่งปลายสายกับจุดที่แรงกระทำเพื่อได้เวกเตอร์ทิศ หารด้วยความยาวให้เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย แล้วคูณขนาดแรงดึง สายดึงวัตถุเข้าหาปลายสาย ไม่ผลักออกจากปลายสาย

**ใช้ W=F·Δr ได้ทุกกรณีหรือไม่?**
สูตรนี้ใช้เมื่อแรงเป็นเวกเตอร์คงที่ตลอดการเคลื่อนที่ ถ้าแรงเปลี่ยนตามตำแหน่งหรือทิศ ต้องคำนวณ W=∫F·dr ตามเส้นทาง หรืออินทิเกรตตามพารามิเตอร์ที่ระบุ

**โมเมนต์รอบจุดกับโมเมนต์รอบแกนต่างกันอย่างไร?**
โมเมนต์รอบจุดเป็นเวกเตอร์ τO=r×F ส่วนโมเมนต์รอบแกนเป็นสเกลาร์มีเครื่องหมาย τu=û·τO เมื่อ û เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามแกนที่ผ่าน O ขนาดโมเมนต์รวมไม่ได้เท่ากับองค์ประกอบรอบแกนเสมอ

**สูตรแรงแม่เหล็กของสายไฟ IL×B มีเงื่อนไขอะไร?**
ใช้กับช่วงสายตรงที่อยู่ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอและมีกระแสคงที่ โดย L ชี้ตามกระแสแบบดั้งเดิม ถ้าสายโค้งหรือสนามเปลี่ยนตามตำแหน่ง ให้ใช้ dF=I dl×B แล้วอินทิเกรตตลอดช่วงสาย

**เวกเตอร์ในอวกาศเหมือนเฟสเซอร์วงจร AC หรือไม่?**
ไม่เหมือนกันโดยอัตโนมัติ เวกเตอร์ตำแหน่งและแรงมีแกนเชิงพื้นที่ ส่วนเฟสเซอร์ใช้ระนาบเชิงซ้อนแทนขนาดและเฟสของสัญญาณไซน์ตามเวลา การคำนวณกำลังเชิงซ้อนจึงมีข้อตกลง RMS และคอนจูเกตของตัวเอง

---

# แล็บสนามไฟฟ้าและแม่เหล็กเสมือน: ห้องแล็บฟิสิกส์ 2

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/field-lab/
Updated: 2026-10-13
Summary: ห้องแล็บฟิสิกส์ 2 ด้านสนามไฟฟ้าและแม่เหล็กออนไลน์ฟรี: ลากประจุจุดแล้วเห็นเวกเตอร์สนาม เส้นแรง เส้นศักย์เท่า แผนที่ศักย์ และการซ้อนทับที่จุด P หาจุดสนามเป็นศูนย์ สนามสม่ำเสมอระหว่างแผ่นขนาน แรงคูลอมบ์บนประจุ สนามแม่เหล็กจากลวดตรง แรงระหว่างลวดขนาน สายสามเฟส และอนุภาคมีประจุในสนาม E และ B (วงกลม ตัวเลือกความเร็ว ไซคลอยด์) พร้อมใบงาน 8 การทดลอง

// เวกเตอร์ · ห้องแล็บ · Virtual field lab (Physics 2)

# แล็บสนามไฟฟ้าและแม่เหล็กเสมือน: ห้องแล็บฟิสิกส์ 2

สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กมองไม่เห็นด้วยตา ห้องแล็บจริงจึงใช้ผงเหล็ก กระดาษนำไฟฟ้า และโวลต์มิเตอร์หาเส้นศักย์เท่า ห้องแล็บเสมือนนี้แสดงเวกเตอร์ เส้นแรง และศักย์ได้ทันทีที่ลากประจุ พร้อมแยกให้เห็นว่าสนามที่จุดหนึ่งมาจากประจุแต่ละตัวเท่าไร — หัวใจของหลักการซ้อนทับที่นักศึกษาสับสนบ่อยที่สุด

## วิธีใช้แล็บ

- ลากประจุหรือลวด เพื่อย้ายตำแหน่ง คลิกเลือกแล้วปรับขนาดด้วยแถบ “ประจุของตัวที่เลือก”
- ลากจุด P (สี่เหลี่ยมข้าวหลามตัดสีดำ) หรือคลิกที่ว่างเพื่อวาง P ใหม่ ช่องขวาแสดงสนามจากแต่ละแหล่งและผลรวม
- ตารางพื้นหลังห่าง 0.1 m · k = 8.988 × 10⁹ N·m²/C² · μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ทฤษฎีที่ใช้อยู่ใน เวกเตอร์ในสนามไฟฟ้าและแม่เหล็ก (สูตร M1–M12)

## การทดลองที่ 1 · หลักการซ้อนทับของสนามไฟฟ้า พื้นฐาน

วัตถุประสงค์ แสดงว่าสนามรวมเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของสนามจากประจุแต่ละตัว (M3) ไม่ใช่ผลรวมขนาด

- เลือก “ไดโพล +q −q” วาง P ที่ (0, 0.35) บันทึก |E₁|, |E₂|, |E| (เทียบตัวอย่าง M-2)
- ย้าย P ไป (0.6, 0), (0, 0) และ (−0.6, 0.3) บันทึกค่าทุกจุด
- คำนวณ |E₁| + |E₂| เทียบกับ |E| แล้วอธิบายเมื่อใดสองค่านี้เท่ากัน

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ตารางบันทึกผลการทดลองที่ 1 (ไดโพล ±2 μC ห่าง 0.6 m)
| ตำแหน่ง P (m) | |E₁| (N/C) | |E₂| (N/C) | |E₁| + |E₂| | |E| วัด | ทิศ E | V (V) |

| (0, 0.35) | | | | | | |
| (0.6, 0) | | | | | | |
| (0, 0) | | | | | | |
| (−0.6, 0.3) | | | | | | |

## การทดลองที่ 2 · เส้นแรงและเส้นศักย์เท่า พื้นฐาน

วัตถุประสงค์ วาดรูปแบบสนามของประจุแบบต่าง ๆ และตรวจว่าเส้นแรงตั้งฉากกับเส้นศักย์เท่า (M4)

- เปิด “เส้นแรงไฟฟ้า” และ “เส้นศักย์เท่า” ปิด “เวกเตอร์สนาม” สลับตัวอย่าง: ประจุเดี่ยว ไดโพล ประจุชนิดเดียวกัน ควอดรูโพล ร่างรูปลงสมุด
- หาจุดที่เส้นแรงทุกเส้นหลบไป (จุดอานม้า) ในกรณีประจุชนิดเดียวกัน — ที่นั่น E = 0
- เปิด “แผนที่ศักย์ (สี)” สีแดงคือศักย์บวก สีน้ำเงินคือลบ เส้นศักย์ศูนย์ของไดโพลอยู่ตรงไหน?

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

คำถาม ถ้าวางอิเล็กตรอนไว้บนเส้นศักย์เท่าเส้นหนึ่งแล้วปล่อย มันจะวิ่งไปตามเส้นนั้นหรือไม่? ทำไม?

## การทดลองที่ 3 · จุดที่สนามเป็นศูนย์ กลาง

วัตถุประสงค์ หาจุดที่ E = 0 ของประจุสองตัวต่างขนาดด้วยการทดลอง แล้วเทียบกับ M5

- เลือก “+4 μC กับ −1 μC” จุด P อยู่ที่ (0.6, 0) แล้ว อ่าน |E|
- เลื่อน P ไปทาง 0.55 และ 0.65 m ดูว่า |E| เพิ่มทั้งสองข้าง
- เปลี่ยนประจุ −1 μC เป็น −2 μC แล้วหาจุดใหม่ คำนวณทฤษฎี: $\sqrt{4}/(x+0.2)=\sqrt{2}/(x-0.2)\Rightarrow x=0.2(\sqrt4+\sqrt2)/(\sqrt4-\sqrt2)=1.166$ m (นอกจอ ลองเลื่อนประจุให้ใกล้กันขึ้น)

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## การทดลองที่ 4 · สนามสม่ำเสมอระหว่างแผ่นขนาน กลาง

วัตถุประสงค์ แสดงว่าประจุจำนวนมากเรียงเป็นแผ่นให้สนามเกือบสม่ำเสมอระหว่างแผ่น (หลักของตัวเก็บประจุ) และสนามรั่วที่ขอบ

- เลือก “แผ่นขนาน” วัด |E| ที่ (−0.2, 0), (0, 0), (0.2, 0), (0, 0.1), (0, −0.1) — ค่าใกล้กันมาก
- ย้าย P ไปที่ (0.75, 0) นอกขอบแผ่น สนามลดลงเท่าไร? นี่คือ fringing field
- ตรวจว่าศักย์เปลี่ยนเป็นเส้นตรงจากแผ่นบนลงล่าง: E ≈ ΔV/Δy

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## การทดลองที่ 5 · แรงคูลอมบ์ลัพธ์บนประจุ กลาง

วัตถุประสงค์ หาแรงลัพธ์บนประจุหนึ่งตัวจากประจุอื่นทั้งหมด (M1) ตรวจตัวอย่าง M-1

- เลือก “สามเหลี่ยม” (เลือก q₃ ไว้แล้วและเปิดแรงบนประจุที่เลือก) บันทึกแรงจาก q₁, q₂ และผลรวม
- ลาก q₃ ไปตำแหน่งที่แรงลัพธ์ชี้ตรงไปทาง −y (แนวดิ่งลง)
- เปลี่ยน q₂ เป็น +4 μC แรงลัพธ์บน q₃ เปลี่ยนทิศอย่างไร?

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

สามมิติ: ฉากนี้แสดงการซ้อนทับของสนามจากประจุบนแกน x, y, z ลากหมุนเพื่อดูการบวกเวกเตอร์ในอวกาศ

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## การทดลองที่ 6 · สนามแม่เหล็กจากลวดตรงและแรงระหว่างลวด กลาง

วัตถุประสงค์ ศึกษาสนามรอบลวด $B=\mu_0I/(2\pi r)$ และแรงต่อเมตรระหว่างลวดขนาน (M10, M11)

- เลือก “ลวดเส้นเดียว” วัด |B| ที่ r = 0.1, 0.2, 0.4 m พล็อต B กับ 1/r ต้องได้เส้นตรง
- เลือก “กระแสทิศเดียวกัน” เลือกลวดเส้นหนึ่งแล้วเปิด “แรงต่อเมตรบนลวดที่เลือก” บันทึกทิศ (ดูดกัน) แล้วเปลี่ยนเป็น “สวนทาง”
- เปลี่ยนระยะห่างของลวด ตรวจว่าแรงแปรผกผันกับ d
- เลือก “สายสามเฟสขณะหนึ่ง” สังเกตว่าเมื่อกระแสรวมเป็นศูนย์ สนามไกลจากชุดสายลดลงเร็ว — เหตุผลที่สายสามเฟสวางชิดกัน

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ตารางบันทึกผลการทดลองที่ 6 (I = 10 A)
| r (m) | 1/r (1/m) | |B| วัด (μT) | |B| ทฤษฎี (μT) | %error |
| 0.1 | 10 | | 20.0 | |
| 0.2 | 5 | | 10.0 | |
| 0.4 | 2.5 | | 5.0 | |

## การทดลองที่ 7 · อนุภาคมีประจุในสนาม E และ B ขั้นสูง

วัตถุประสงค์ ศึกษาการเคลื่อนที่ภายใต้แรงลอเรนซ์ $\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)$ (M7, M8) แล็บนี้ใช้หน่วยย่อ (m = 1, |q| = 1) จึงได้ r = v/B และ T = 2π/B

- “วงกลมใน B อย่างเดียว”: วัดรัศมีจากเส้นทางที่ v = 2, 3, 4 (B = 2) แล้วตรวจว่า r แปรตาม v แต่คาบคงที่
- “ประจุลบ”: ทิศการวนกลับเป็นทวนเข็ม
- “ตัวเลือกความเร็ว”: E_y = 6, B = 2 ต้องได้เส้นตรงเมื่อ v₀ = 3 ลองเปลี่ยน v₀ เป็น 2.5 หรือ 3.5 แล้วดูว่าเบนไปทางไหน
- “ไซคลอยด์”: เริ่มนิ่งใน E ⟂ B อนุภาคเดินเป็นโค้งไซคลอยด์ด้วยความเร็วดริฟต์เฉลี่ย E/B ไปทางแกน x ไม่ใช่ทิศของ E

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## การทดลองที่ 8 · แรงบนลวดและแรงบิดบนขดลวด (หลักการมอเตอร์) กลาง

- ฉากแรก: เปลี่ยนมุมระหว่างลวดกับ B จาก 0° ถึง 90° บันทึกแรง ตรวจ $F=ILB\sin\theta$
- ฉากที่สอง: หมุนขดลวดจาก 0° ถึง 180° บันทึกแรงบิด สังเกตว่าแรงบิดกลับทิศหลัง 180° (เหตุผลที่มอเตอร์ DC ต้องมีคอมมิวเตเตอร์)

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

เครื่องมือระดับโลกที่ใช้ต่อได้: PhET Charges and Fields และ Faraday's Electromagnetic Lab และ Falstad 3-D Electrostatic Field

## คำถามที่พบบ่อย

เส้นแรงไฟฟ้ากับเส้นศักย์เท่าสัมพันธ์กันอย่างไร?
ตั้งฉากกันทุกจุด เพราะสนามไฟฟ้าคือความชันของศักย์ E = −∇V การเคลื่อนที่ตามเส้นศักย์เท่าไม่เปลี่ยนศักย์ จึงไม่มีองค์ประกอบของสนามในทิศนั้น เปิดทั้งสองอย่างในแล็บเพื่อเห็นมุมฉากได้ชัด

ความหนาแน่นของเส้นแรงบอกอะไร?
บอกขนาดของสนามโดยประมาณ บริเวณที่เส้นแรงชิดกันสนามแรง ห่างกันสนามอ่อน ในแล็บจำนวนเส้นที่ออกจากประจุแปรตามขนาดประจุ ส่วนลูกศรเวกเตอร์สนามใช้ความยาวและความเข้มบอกขนาดแบบลอการิทึม

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เส้นแรงไฟฟ้ากับเส้นศักย์เท่าสัมพันธ์กันอย่างไร?**
ตั้งฉากกันทุกจุด เพราะสนามไฟฟ้าคือความชันของศักย์ E = −∇V การเคลื่อนที่ตามเส้นศักย์เท่าไม่เปลี่ยนศักย์ จึงไม่มีองค์ประกอบของสนามในทิศนั้น เปิดทั้งสองอย่างในแล็บเพื่อเห็นมุมฉากได้ชัด

**ความหนาแน่นของเส้นแรงบอกอะไร?**
บอกขนาดของสนามโดยประมาณ บริเวณที่เส้นแรงชิดกันสนามแรง ห่างกันสนามอ่อน ในแล็บจำนวนเส้นที่ออกจากประจุแปรตามขนาดประจุ ส่วนลูกศรเวกเตอร์สนามใช้ความยาวและความเข้มบอกขนาดแบบลอการิทึม

---

# ระบบแรง: โมเมนต์ แรงคู่ควบ ระบบสมมูล และสมดุล

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/force-systems/
Updated: 2026-10-13
Summary: เรียนระบบแรงภาษาไทยแบบวิศวกร: ชนิดของระบบแรง โมเมนต์รอบจุด M = r × F และแบบสเกลาร์ Fd ทฤษฎีวาริยอง โมเมนต์รอบแกนด้วย triple product แรงคู่ควบ การย้ายแรงเป็นระบบแรง-แรงคู่ควบ ลดระบบเป็นแรงลัพธ์เดี่ยว แรงกระจาย แผนภาพวัตถุอิสระ แรงปฏิกิริยาของคาน และแรงบนบัสบาร์ พร้อมแล็บคานและฉากโมเมนต์ 3 มิติ

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 3 · Force systems, moments & equilibrium

# ระบบแรง: โมเมนต์ แรงคู่ควบ ระบบสมมูล และสมดุล

แรงลัพธ์บอกได้ว่าวัตถุจะ “เลื่อน” อย่างไร แต่ไม่บอกว่าจะ “หมุน” หรือไม่ แรงสองแรงที่รวมกันเป็นศูนย์อาจบิดพวงมาลัยให้หมุนได้ บทนี้จัดระบบเครื่องมือของวิชากลศาสตร์วิศวกรรม: โมเมนต์เชิงเวกเตอร์ แรงคู่ควบ การย้ายแรง การลดทั้งระบบให้เหลือแรงเดียว และการหาแรงปฏิกิริยาจากสมการสมดุลสามสมการ ซึ่งเป็นพื้นฐานของงานออกแบบโครงสร้าง ตู้ไฟฟ้า บัสบาร์ และเสาสายส่ง

สรุปใน 30 วินาที

- $\mathbf M_O=\mathbf r\times\mathbf F$; ในระนาบ $M_O=xF_y-yF_x$ (ทวนเข็ม +) หรือ $M_O=Fd$

- แรงคู่ควบ: $\sum\mathbf F=\mathbf 0$ แต่ $M=Fd$ เท่ากันทุกจุด

- ระบบใดก็ลดเป็น $\mathbf R=\sum\mathbf F$ ที่ O + $\mathbf M_O=\sum\mathbf r\times\mathbf F$ ได้เสมอ

- สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง: $\sum\mathbf F=\mathbf 0$ และ $\sum\mathbf M=\mathbf 0$

## 1. ชนิดของระบบแรงและจำนวนสมการที่ต้องใช้ พื้นฐาน

| ระบบแรง | ลักษณะ | สมการสมดุลที่เป็นอิสระ | ตัวอย่าง |

| แรงร่วมจุด (concurrent) ในระนาบ | แนวแรงตัดกันที่จุดเดียว | 2: ΣFx = 0, ΣFy = 0 | ห่วงบนโต๊ะแรง โคมไฟแขวน |

| แรงร่วมจุดสามมิติ | ตัดที่จุดเดียวในอวกาศ | 3: ΣFx, ΣFy, ΣFz | ยอดเสาที่มีสายยึดหลายเส้น |

| แรงขนาน (parallel) | แนวแรงขนานกันทั้งหมด | 2: ΣFy = 0, ΣM = 0 | คานรับน้ำหนักแนวดิ่ง |

| แรงในระนาบทั่วไป (coplanar) | อยู่ในระนาบเดียว แนวไม่ร่วมจุด | 3: ΣFx, ΣFy, ΣM | คาน เฟรม โครงถัก |

| แรงสามมิติทั่วไป | ไม่มีข้อจำกัด | 6: ΣF (3) + ΣM (3) | แขนกล ตู้ไฟฟ้าบนฐานสี่จุด |

จำนวนสมการบอกว่าหาแรงที่ไม่ทราบได้สูงสุดกี่ตัว ถ้ามีตัวไม่ทราบมากกว่า เรียกว่า statically indeterminate ต้องใช้สมการการเสียรูปเพิ่มในวิชากลศาสตร์วัสดุ

## 2. โมเมนต์ของแรงรอบจุด: สเกลาร์และเวกเตอร์ พื้นฐาน

โมเมนต์วัด “ความสามารถในการหมุน” ของแรงรอบจุด O ขึ้นกับขนาดแรงและระยะตั้งฉากจาก O ถึงแนวแรง (แขนโมเมนต์) แรงที่แนวผ่าน O ไม่ทำให้หมุนรอบ O เลยไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด

แขนโมเมนต์ d คือระยะตั้งฉากจาก O ถึงแนวแรง (เส้นประ) ไม่ใช่ความยาวของ r

S1 Scalar moment โมเมนต์แบบสเกลาร์

$$M_O=F\,d=F\,r\sin\theta \qquad[\text{N}\cdot\text{m}]$$

ทิศหมุนบอกด้วยเครื่องหมาย: ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก (กฎมือขวาชี้ออกจากกระดาษ +z)

S2 Vector moment โมเมนต์เชิงเวกเตอร์

$$\mathbf M_O=\mathbf r\times\mathbf F=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ r_x&r_y&r_z\\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix}$$

ขนาดคือโมเมนต์ ทิศคือแกนหมุนตามกฎมือขวา วิธีนี้จำเป็นในสามมิติที่หาระยะตั้งฉากยาก

S3 Planar moment from components โมเมนต์ในระนาบจากองค์ประกอบ

$$M_O=x\,F_y-y\,F_x$$

คือองค์ประกอบ z ของ $\mathbf r\times\mathbf F$ เมื่อ $r_z=F_z=0$ วิธีนี้แทนการหาแขนโมเมนต์ทั้งหมด

S4 Varignon's theorem ทฤษฎีวาริยอง

$$\mathbf r\times(\mathbf F_1+\mathbf F_2+\cdots)=\mathbf r\times\mathbf F_1+\mathbf r\times\mathbf F_2+\cdots$$

โมเมนต์ของแรงเท่ากับผลรวมโมเมนต์ขององค์ประกอบ จึงแตกแรงเอียงเป็น F_x, F_y แล้วคิดทีละส่วนได้ (มาจากสมบัติการแจกแจงของ cross product)

ตัวอย่าง S-1 · ประแจขันน็อตตู้ไฟ

### ออกแรง 200 N ที่ปลายประแจยาว 0.25 m แรงทำมุม 60° กับด้ามประแจ จงหาแรงบิดที่น็อต

- แขนโมเมนต์ $d=r\sin60^\circ=0.25(0.8660)=0.2165$ m

- $M=Fd=200(0.2165)=43.30$ N·m

- ถ้าดึงตั้งฉากกับด้าม (θ = 90°) จะได้สูงสุด 50 N·m — แรงบิดที่ระบุบนน็อต (torque spec) ต้องใช้ประแจทอร์กที่ดึงตั้งฉาก

M = 43.3 N·m

## 3. โมเมนต์รอบแกน: ส่วนของโมเมนต์ที่ทำให้หมุนจริง กลาง

ประตูหมุนได้รอบบานพับเท่านั้น โมเมนต์ส่วนที่ตั้งฉากกับบานพับจะถูกบานพับรับไป สิ่งที่ทำให้ประตูหมุนคือส่วนฉายของ $\mathbf M_O$ บนแกน ซึ่งเป็น scalar triple product

S5 Moment about an axis โมเมนต์รอบแกน a

$$M_a=\mathbf u_a\cdot(\mathbf r\times\mathbf F)=\begin{vmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\ r_x&r_y&r_z\\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix}$$

$\mathbf r$ คือเวกเตอร์จากจุดใดก็ได้บนแกนไปยังจุดใดก็ได้บนแนวแรง $\mathbf u_a$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแกน เครื่องหมายบอกทิศหมุนตามกฎมือขวารอบ $\mathbf u_a$

ตัวอย่าง S-2 · แรงกดบนแขนยื่นของตู้

### แรง $\mathbf F=(0,0,-200)$ N กระทำที่จุด $\mathbf r=(0.5,\ 0.8,\ 0)$ m จากจุดยึด O จงหา $\mathbf M_O$ และโมเมนต์รอบแกน x และรอบแนว (1,1,0)

- $\mathbf M_O=\mathbf r\times\mathbf F=\big(0.8(-200)-0,\ 0-0.5(-200),\ 0\big)=(-160,\ 100,\ 0)$ N·m

- $|\mathbf M_O|=\sqrt{160^2+100^2}=188.7$ N·m แขนโมเมนต์ $188.7/200=0.943$ m

- รอบแกน x: $M_x=\mathbf i\cdot\mathbf M_O=-160$ N·m (ตามเข็มเมื่อมองจากปลายแกน +x)

- รอบแนว $\mathbf u=(1,1,0)/\sqrt2$: $M_u=(-160+100)/\sqrt2=-42.43$ N·m

$\mathbf M_O=(-160,100,0)$ N·m · $M_x=-160$ · $M_u=-42.4$ N·m

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 4. แรงคู่ควบ: หมุนโดยไม่เลื่อน พื้นฐาน

S6 Couple moment โมเมนต์ของแรงคู่ควบ

$$\mathbf M=\mathbf r_{AB}\times\mathbf F,\qquad M=F\,d$$

แรง $\mathbf F$ ที่ B กับ $-\mathbf F$ ที่ A โมเมนต์รอบจุด O ใด ๆ คือ $\mathbf r_B\times\mathbf F+\mathbf r_A\times(-\mathbf F)=(\mathbf r_B-\mathbf r_A)\times\mathbf F$ ไม่ขึ้นกับ O เลย จึงเป็น free vector

ตัวอย่าง S-3 · พวงมาลัยและเพลามอเตอร์

### มือสองข้างหมุนพวงมาลัยเส้นผ่านศูนย์กลาง 0.4 m ด้วยแรงข้างละ 30 N ในทิศตรงข้าม จงหาแรงบิด

- สองแรงขนาดเท่ากัน ทิศตรงข้าม แนวห่างกัน d = 0.4 m → แรงคู่ควบ

- $M=Fd=30(0.4)=12$ N·m และ $\sum\mathbf F=\mathbf 0$: ไม่ดันพวงมาลัยไปด้านใด

- เพลามอเตอร์ไฟฟ้าก็ได้แรงบิดเป็นแรงคู่ควบจากแรงแม่เหล็กบนขดลวดสองข้าง ดู τ = m × B

M = 12 N·m

## 5. ย้ายแรงโดยไม่เปลี่ยนผล: ระบบแรง-แรงคู่ควบสมมูล กลาง

ถ้าอยากย้ายแรง F จากจุด A ไปจุด O (ที่ไม่อยู่บนแนวแรง) ให้ใส่ F และ −F ที่ O (รวมเป็นศูนย์ ไม่เปลี่ยนอะไร) แล้วสังเกตว่า −F ที่ O กับ F ที่ A เป็นแรงคู่ควบ ผลลัพธ์คือแรง F ที่ O บวกโมเมนต์ $\mathbf r_{OA}\times\mathbf F$

S7 Equivalent force–couple system ระบบแรง-แรงคู่ควบสมมูลที่จุด O

$$\mathbf F_R=\sum\mathbf F_i,\qquad (\mathbf M_R)_O=\sum\mathbf r_{i}\times\mathbf F_i+\sum\mathbf M_{\text{couple}}$$

ทุกระบบแรงลดรูปเหลือ “หนึ่งแรง + หนึ่งโมเมนต์” ที่จุดใดก็ได้ ถ้าย้ายจุดอ้างอิง แรงเท่าเดิมแต่โมเมนต์เปลี่ยน: $\mathbf M_P=\mathbf M_O+\mathbf r_{PO}\times\mathbf F_R$

## 6. ลดระบบแรงในระนาบเป็นแรงลัพธ์เดี่ยว กลาง

S8 Single resultant (coplanar) ตำแหน่งของแรงลัพธ์เดี่ยว

$$\bar x=\frac{(M_R)_O}{R_y}\quad(\text{จุดตัดแกน }x),\qquad d=\frac{|(M_R)_O|}{R}\quad(\text{ระยะตั้งฉากจาก }O)$$

ใช้ได้เมื่อ $\mathbf R\ne\mathbf 0$ ถ้า $\mathbf R=\mathbf 0$ แต่ $M\ne0$ ระบบเป็นแรงคู่ควบล้วน ไม่มีแรงเดียวที่แทนได้

ตัวอย่าง S-4 · แรงสามแรงบนคานยาว 6 m

### F₁ = 800 N ลงในแนวดิ่งที่ x = 1.5 m, F₂ = 600 N ที่ 240° (ลงซ้าย) ที่ x = 3.5 m, F₃ = 400 N ขึ้นที่ x = 5 m จงหาระบบสมมูลที่ O (x = 0) และแรงลัพธ์เดี่ยว

- องค์ประกอบ F₂: $600\cos240^\circ=-300$, $600\sin240^\circ=-519.6$ N

- $R_x=-300$ N, $R_y=-800-519.6+400=-919.6$ N, $R=967.3$ N ที่ 251.9°

- $M_O=\sum xF_y=1.5(-800)+3.5(-519.6)+5(400)=-1018.7$ N·m (ตามเข็ม) — แรงตามแนวคาน ($F_x$, y = 0) ไม่มีโมเมนต์

- $\bar x=M_O/R_y=-1018.7/-919.6=1.108$ m

ระบบทั้งหมดเทียบเท่าแรง 967 N ที่ 251.9° กระทำที่ x = 1.11 m — ค่าเริ่มต้นของแล็บด้านล่าง

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## 7. แรงกระจายเป็นแรงเดียว กลาง

น้ำหนักรางเคเบิล ลม หรือแรงดันน้ำ เป็นแรงกระจาย $w(x)$ (N/m) ใช้ S8 แบบต่อเนื่อง: แรงลัพธ์เท่ากับพื้นที่ใต้กราฟ และกระทำที่จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่นั้น

S9 Distributed load แรงลัพธ์ของแรงกระจาย

$$W=\int_0^L w(x)\,dx,\qquad \bar x=\frac{\int_0^L x\,w(x)\,dx}{W};\qquad \text{สม่ำเสมอ: }W=wL,\ \bar x=\tfrac L2;\quad \text{สามเหลี่ยม: }W=\tfrac12w_0L,\ \bar x=\tfrac L3\ \text{จากด้านสูง}$$

ตัวอย่าง S-5 · รางเคเบิลบนขายึดยื่น

### รางเคเบิลกดขายึดยื่นยาว 0.6 m ด้วยน้ำหนักกระจายสม่ำเสมอ 1.5 kN/m และมีแรงจุด 0.2 kN ที่ปลาย จงหาโมเมนต์ที่โคนขายึด

- แรงกระจาย → แรงเดียว $W=1.5(0.6)=0.9$ kN ที่ 0.3 m

- $M=-(0.9)(0.3)-(0.2)(0.6)=-0.27-0.12=-0.39$ kN·m (ตามเข็ม)

- โคนต้องให้โมเมนต์ปฏิกิริยา +0.39 kN·m และแรงขึ้น 1.1 kN — ใช้เลือกพุกและขนาดเหล็ก

M_โคน = 0.39 kN·m (390 N·m)

## 8. สมดุลของวัตถุแข็งเกร็งและแรงปฏิกิริยา กลาง

S10 Equilibrium of a rigid body เงื่อนไขสมดุล

$$\sum\mathbf F=\mathbf 0,\qquad \sum\mathbf M_O=\mathbf 0\qquad\Longrightarrow\qquad \text{ระนาบ: }\sum F_x=0,\ \sum F_y=0,\ \sum M_O=0$$

เลือกจุดหมุนที่มีแรงไม่ทราบผ่านมากที่สุด เพื่อให้สมการโมเมนต์มีตัวไม่ทราบน้อยที่สุด

| ฐานรองรับ | แรงปฏิกิริยาที่ให้ | สัญลักษณ์ใน FBD |

| ล้อเลื่อน / ผิวเรียบ | 1 แรง ตั้งฉากกับผิว | B_y |

| หมุด (pin) | 2 แรง | A_x, A_y |

| ยึดแน่น (fixed) | 2 แรง + 1 โมเมนต์ | A_x, A_y, M_A |

| เชือก / สายเคเบิล | 1 แรงดึงตามสาย | T |

ตัวอย่าง S-6 · คานช่วงเดียว

### คาน S-4 วางบนหมุด A (x = 0) และล้อเลื่อน B (x = 6 m) จงหาแรงปฏิกิริยา

- วาด FBD: A_x, A_y ที่ A และ B_y ที่ B พร้อมแรงทั้งสาม

- $\sum M_A=0:\ 6B_y+(-1018.7)=0\Rightarrow B_y=169.8$ N

- $\sum F_y=0:\ A_y+169.8-919.6=0\Rightarrow A_y=749.8$ N

- $\sum F_x=0:\ A_x-300=0\Rightarrow A_x=300$ N (หมุดต้านแรงแนวนอนจาก F₂)

- ตรวจด้วย $\sum M_B=0$: $-6(749.8)+(-4.5)(-800)+(-2.5)(-519.6)+(-1)(400)=-4498.8+3600+1299+(-400)\approx0$ ✓

A_x = 300 N, A_y = 749.8 N, B_y = 169.8 N — สอดคล้องกับ x̄ = 1.11 m ที่ใกล้ A

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## 9. ระบบแรงในงานไฟฟ้า กลาง

บัสบาร์

### แรงลัดวงจร
กระแสลัดวงจร 20 kA ในบาร์ขนานห่าง 0.1 m สร้างแรง 800 N ต่อเมตร (M11) เป็นแรงกระจายบนบาร์ ฉนวนรองรับต้องรับแรงปฏิกิริยาตาม S9–S10

เสาไฟฟ้า

### สายและสายยึด
แรงดึงสายไฟสามมิติรวมกันที่ยอดเสา (K-4) ส่วนแนวนอนสร้างโมเมนต์ที่โคนเสา ต้องหักล้างด้วยสายยึด

มอเตอร์

### แรงบิดและฐาน
แรงบิดของมอเตอร์เป็นแรงคู่ควบ ฐานยึดต้องให้แรงคู่ควบตรงข้าม แรงที่สลักเกลียวจึงขึ้นกับระยะห่างของสลักเกลียว (M = F d)

## 10. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

| ข้อผิดพลาด | วิธีป้องกัน |

| ใช้ความยาวของ r เป็นแขนโมเมนต์ | ใช้ d ตั้งฉาก หรือใช้ $xF_y-yF_x$ |

| สลับลำดับ $\mathbf F\times\mathbf r$ | ทิศกลับ ต้องเป็น $\mathbf r\times\mathbf F$ เสมอ (r จากจุดอ้างอิงไปหาแรง) |

| ΣF = 0 แล้วสรุปว่าสมดุล | ต้องตรวจ ΣM = 0 ด้วย แรงคู่ควบมี ΣF = 0 แต่หมุน |

| ลืมแรงปฏิกิริยาแนวนอนที่หมุด | หมุดให้สองแรงเสมอ ถ้าไม่มีแรงแนวนอนผลจะออกมาเป็นศูนย์เอง |

| วางแรงกระจายผิดตำแหน่ง | แรงลัพธ์อยู่ที่เซนทรอยด์ของพื้นที่ใต้กราฟ ไม่ใช่กึ่งกลางเสมอ |

## 11. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

- แรง $\mathbf F=(30,40)$ N กระทำที่จุด (2, 1) m จงหาโมเมนต์รอบจุดกำเนิด

- แรง $\mathbf F=(100,-50,200)$ N กระทำที่ $\mathbf r=(0.3,0.2,0)$ m จงหา $\mathbf M_O$ และ $M_z$

- คานยาว 4 m รับแรง 2 kN ลงที่กึ่งกลาง และ 1 kN ลงที่ปลาย B (x = 4 m) วางบนหมุด A กับล้อเลื่อน B จงหาแรงปฏิกิริยา

- แรงคู่ควบ 50 N ห่างกัน 0.12 m กับแรงคู่ควบอีกคู่ 80 N ห่าง 0.05 m ทิศตรงข้ามกัน โมเมนต์รวมเท่าไร?

เปิดเฉลย

- $M_O=xF_y-yF_x=2(40)-1(30)=50$ N·m (ทวนเข็ม)

- $\mathbf M_O=(0.2\cdot200-0,\ 0-0.3\cdot200,\ 0.3(-50)-0.2(100))=(40,\ -60,\ -35)$ N·m; $M_z=-35$ N·m

- $\sum M_A:\ 4B_y-2(2)-1(4)=0\Rightarrow B_y=2$ kN; $A_y=3-2=1$ kN; $A_x=0$

- $50(0.12)-80(0.05)=6-4=2$ N·m ในทิศของคู่แรก

## 12. สรุปสูตร

| หัวข้อ | สูตร |

| S1–S3 โมเมนต์ | $M=Fd$, $\mathbf M=\mathbf r\times\mathbf F$, $M=xF_y-yF_x$ |

| S4 วาริยอง | โมเมนต์ของผลรวม = ผลรวมของโมเมนต์ |

| S5 รอบแกน | $M_a=\mathbf u_a\cdot(\mathbf r\times\mathbf F)$ |

| S6 แรงคู่ควบ | $M=Fd$ เท่ากันทุกจุด |

| S7–S8 ระบบสมมูล | $\mathbf R=\sum\mathbf F$, $\mathbf M_O=\sum\mathbf r\times\mathbf F$, $\bar x=M_O/R_y$ |

| S9 แรงกระจาย | $W=\int w\,dx$ ที่เซนทรอยด์ |

| S10 สมดุล | $\sum\mathbf F=\mathbf 0,\ \sum\mathbf M=\mathbf 0$ |

## 13. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

- OpenStax University Physics Vol. 1 §12.1–12.2 Static Equilibrium — เงื่อนไขสมดุลและตัวอย่าง

- OpenStax University Physics Vol. 1 §10.6 Torque — แรงบิดเชิงเวกเตอร์

- Baker & Haynes, Engineering Statics: Open and Interactive — ตำราสแตติกส์เปิดพร้อมภาพโต้ตอบ (บทที่ 4–5)

ต่อไป: เปลี่ยนกรอบพิกัดให้คำนวณง่ายขึ้นใน การหมุนแกนพิกัด หรือใช้โมเมนต์กับข้อต่อหุ่นยนต์ใน เวกเตอร์ในแขนกล

## คำถามที่พบบ่อย

โมเมนต์ของแรงคำนวณอย่างไร?
แบบเวกเตอร์ M_O = r × F โดย r คือเวกเตอร์จากจุด O ไปยังจุดใดก็ได้บนแนวแรง แบบสเกลาร์ M_O = F·d โดย d คือระยะตั้งฉากจากจุด O ถึงแนวแรง ในสองมิติใช้ M_O = x F_y − y F_x (ทวนเข็มเป็นบวก)

แรงคู่ควบคืออะไร?
แรงสองแรงขนาดเท่ากัน ทิศตรงข้าม แนวขนานกันห่างกัน d ผลรวมแรงเป็นศูนย์แต่ทำให้หมุนด้วยโมเมนต์ M = F·d ซึ่งมีค่าเท่ากันรอบทุกจุด จึงย้ายไปไว้ที่ใดก็ได้บนวัตถุ เช่น แรงบิดจากมอเตอร์หรือการหมุนพวงมาลัยสองมือ

วัตถุแข็งเกร็งสมดุลเมื่อใด?
เมื่อผลรวมแรงเป็นศูนย์และผลรวมโมเมนต์รอบจุดใดจุดหนึ่งเป็นศูนย์ด้วย ในระนาบได้สามสมการ ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0 จึงหาแรงปฏิกิริยาที่ไม่ทราบได้สามตัว เช่น หมุดหนึ่งตัวกับล้อเลื่อนหนึ่งตัวของคานช่วงเดียว

ทำไมต้องลดระบบแรงเป็นแรงลัพธ์เดี่ยว?
ทำให้รู้ว่าระบบแรงทั้งหมดมีผลเหมือนแรงเดียวที่ตำแหน่งใด ใช้ออกแบบฐานรากให้แรงลงตรงกลาง วางตำแหน่งจุดยก หรือหาจุดศูนย์กลางของแรงกระจาย ตำแหน่งได้จาก x̄ = M_O / R_y

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**โมเมนต์ของแรงคำนวณอย่างไร?**
แบบเวกเตอร์ M_O = r × F โดย r คือเวกเตอร์จากจุด O ไปยังจุดใดก็ได้บนแนวแรง แบบสเกลาร์ M_O = F·d โดย d คือระยะตั้งฉากจากจุด O ถึงแนวแรง ในสองมิติใช้ M_O = x F_y − y F_x (ทวนเข็มเป็นบวก)

**แรงคู่ควบคืออะไร?**
แรงสองแรงขนาดเท่ากัน ทิศตรงข้าม แนวขนานกันห่างกัน d ผลรวมแรงเป็นศูนย์แต่ทำให้หมุนด้วยโมเมนต์ M = F·d ซึ่งมีค่าเท่ากันรอบทุกจุด จึงย้ายไปไว้ที่ใดก็ได้บนวัตถุ เช่น แรงบิดจากมอเตอร์หรือการหมุนพวงมาลัยสองมือ

**วัตถุแข็งเกร็งสมดุลเมื่อใด?**
เมื่อผลรวมแรงเป็นศูนย์และผลรวมโมเมนต์รอบจุดใดจุดหนึ่งเป็นศูนย์ด้วย ในระนาบได้สามสมการ ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0 จึงหาแรงปฏิกิริยาที่ไม่ทราบได้สามตัว เช่น หมุดหนึ่งตัวกับล้อเลื่อนหนึ่งตัวของคานช่วงเดียว

**ทำไมต้องลดระบบแรงเป็นแรงลัพธ์เดี่ยว?**
ทำให้รู้ว่าระบบแรงทั้งหมดมีผลเหมือนแรงเดียวที่ตำแหน่งใด ใช้ออกแบบฐานรากให้แรงลงตรงกลาง วางตำแหน่งจุดยก หรือหาจุดศูนย์กลางของแรงกระจาย ตำแหน่งได้จาก x̄ = M_O / R_y

---

# พื้นฐานเวกเตอร์ 2D และ 3D: ขนาด ทิศทาง และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/foundations/
Updated: 2026-10-13
Summary: เข้าใจเวกเตอร์ตั้งแต่สเกลาร์กับเวกเตอร์ พิกัด 2D/3D เวกเตอร์จากสองจุด ความยาว มุม atan2 เวกเตอร์หนึ่งหน่วย และ direction cosines พร้อมภาพ ตัวอย่างแรงในสายเคเบิล สูตรอ้างอิง และแบบฝึกเฉลย

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 1 · Vector foundations

# พื้นฐานเวกเตอร์ 2D และ 3D: ขนาด ทิศทาง และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

ลูกศรหนึ่งเส้นบอกได้ทั้ง “เท่าไร” และ “ไปทางไหน” เมื่อเขียนลูกศรเป็นองค์ประกอบตามแกน เราจะคำนวณแรง การเคลื่อนที่ และตำแหน่งของหุ่นยนต์ได้ด้วยพีชคณิต หน้านี้เริ่มจากภาพที่มองเห็น แล้วค่อยเชื่อมสู่สูตร 2 มิติและ 3 มิติ พร้อมตัวอย่างที่ระบุหน่วยและตรวจคำตอบได้ทุกขั้น

สรุปใน 30 วินาที

- เวกเตอร์มีขนาดและทิศทาง เขียนใน 2D เป็น $(a_x,a_y)$ และใน 3D เป็น $(a_x,a_y,a_z)$ เมื่อเลือกแกนแล้ว

- ลูกศรจาก $A$ ไป $B$ คือ “พิกัดปลายลบพิกัดต้น” $\overrightarrow{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A$

- ในแกนฉากมาตรฐาน $\|\mathbf a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ และ $\hat{\mathbf a}=\mathbf a/\|\mathbf a\|$ เมื่อ $\mathbf a\ne\mathbf0$

- องค์ประกอบอาจติดลบ แต่ขนาดไม่ติดลบ ส่วนเวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทาง

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรม

## 1. สเกลาร์กับเวกเตอร์: ตัวเลขเดียวเพียงพอหรือยัง? พื้นฐาน

ถ้าบอกว่า “มอเตอร์หนัก 8 kg” เราทราบมวลครบแล้ว แต่ถ้าบอกว่า “ออกแรง 80 N” เรายังไม่ทราบว่าจะดึงไปซ้าย ขวา หรือขึ้นบน ข้อมูลทิศทางทำให้ปริมาณสองชนิดนี้ต่างกัน สเกลาร์ (scalar) มีค่าตัวเลขและหน่วย ส่วนเวกเตอร์ (vector) มีขนาด ทิศทาง และหน่วยตามปริมาณที่แทน

| ปริมาณสเกลาร์ | ปริมาณเวกเตอร์ | ความต่างที่ต้องระวัง |

| ระยะทาง 10 m | การกระจัด 10 m ไปทางตะวันออก | เดินอ้อมกลับจุดเดิมได้ระยะทางเพิ่ม แต่การกระจัดเป็นศูนย์ |

| อัตราเร็ว 5 m/s | ความเร็ว $(3,4)$ m/s | อัตราเร็วคือขนาดของเวกเตอร์ความเร็ว |

| มวล 2 kg | แรงโน้มถ่วง $(0,-19.62)$ N | ตัวอย่างเลือกแกน $+y$ ขึ้น และ $g=9.81$ m/s² |

| พลังงาน 20 J | แรง 20 N ไปทาง $+x$ | พลังงานกับแรงมีชนิดและหน่วยต่างกัน จึงนำมาบวกกันไม่ได้ |

สเกลาร์อาจติดลบได้ เช่น อุณหภูมิหรือประจุไฟฟ้า จึงไม่ควรใช้เครื่องหมายบวก/ลบตัดสินว่าเป็นสเกลาร์หรือเวกเตอร์ ในบทนี้ใช้ $\mathbf a$ หรือ $\vec a$ แทนเวกเตอร์ และใช้ $a$ หรือ $\|\mathbf a\|$ แทนขนาดเมื่อระบุชัดเจน

ขอบเขตที่ใช้ในบทเรียนเราศึกษาเวกเตอร์จริงในปริภูมิยูคลิดและแกนพิกัดฉากที่มีเวกเตอร์ฐานความยาว 1 สูตรผลรวมกำลังสองและองค์ประกอบตามแกนในหน้านี้ใช้กับฐานตั้งฉากมาตรฐาน ถ้าใช้ฐานเอียง ต้องรวมผลคูณระหว่างเวกเตอร์ฐานด้วย

## 2. เขียนลูกศรเป็นองค์ประกอบใน 2D และ 3D พื้นฐาน

เลือกจุดกำเนิดและทิศบวกของแกนก่อน แล้วถามว่าลูกศรพาเราเคลื่อนไปตามแกนแต่ละแกนเท่าไร ตัวอย่าง $(3,2)$ หมายถึงไปทาง $+x$ 3 หน่วยและทาง $+y$ 2 หน่วย สองตัวเลขนี้เป็นองค์ประกอบ (components) ของเวกเตอร์ ไม่ใช่ความยาวของลูกศรสองเส้นที่ต้องบวกกันเพื่อให้ได้ขนาด

องค์ประกอบ $a_x,a_y$ คือระยะที่มีเครื่องหมายตามแกน ส่วน $\|\mathbf a\|$ คือความยาวของลูกศรทแยง

F1 Cartesian vector representation รูปองค์ประกอบในแกนฉาก

$$\mathbf a=(a_x,a_y)=a_x\hat{\mathbf i}+a_y\hat{\mathbf j},\qquad \mathbf a=(a_x,a_y,a_z)=a_x\hat{\mathbf i}+a_y\hat{\mathbf j}+a_z\hat{\mathbf k}$$

$\hat{\mathbf i}=(1,0,0)$, $\hat{\mathbf j}=(0,1,0)$, $\hat{\mathbf k}=(0,0,1)$ เป็นเวกเตอร์ฐานหนึ่งหน่วย หลายตำราเขียน $\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$ โดยละหมวก ทั้งสามตัวตั้งฉากกัน

F2 Equality and the zero vector ความเท่ากันและเวกเตอร์ศูนย์

$$\mathbf a=\mathbf b\iff a_x=b_x,\ a_y=b_y,\ a_z=b_z;\qquad \mathbf0=(0,0,0)$$

ใช้เมื่อเขียนในฐานเดียวกันและมีมิติเท่ากัน ใน 2D ตัดองค์ประกอบ $z$ ออก เวกเตอร์ศูนย์มีขนาด 0 และไม่มีทิศทางเฉพาะ

F3 Column-vector notation เวกเตอร์ในรูปเมทริกซ์หลัก

$$\mathbf a=\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix},\qquad \mathbf a^T=\begin{pmatrix}a_x&a_y&a_z\end{pmatrix}$$

วงเล็บ $(a_x,a_y,a_z)$ ในบทเรียนเป็นการระบุองค์ประกอบ เมื่อต้องคูณเมทริกซ์จะใช้เวกเตอร์หลักให้ขนาดสอดคล้องกัน ดู เมทริกซ์และการดำเนินการ

ใน 3D เพิ่มแกน $z$ ขึ้นมา ระบบมือขวากำหนดให้เมื่อหมุนจาก $+x$ ไป $+y$ ตามมุมเล็กกว่า 180° นิ้วหัวแม่มือชี้ $+z$ การวาดบนกระดาษเป็นภาพฉาย จึงอย่าวัดความยาวจริงหรือมุมจริงจากภาพเอียงด้วยไม้บรรทัด ให้ใช้พิกัดคำนวณ

การมีองค์ประกอบ 3 ตัวไม่ได้เปลี่ยนหลักการ: อ่านการเปลี่ยนแปลงตามแต่ละแกน และใช้พีทาโกรัสในสามมิติ

## 3. จุด ตำแหน่ง และเวกเตอร์จากสองจุด พื้นฐาน

จุดบอกว่าอยู่ที่ไหน ส่วนเวกเตอร์การกระจัดบอกว่าต้องย้ายจากจุดหนึ่งไปอีกจุดอย่างไร เมื่อเลือกจุดกำเนิด $O$ จุด $A$ จึงมีเวกเตอร์ตำแหน่ง $\mathbf r_A=\overrightarrow{OA}$ ถ้าเปลี่ยนจุดกำเนิด ตำแหน่งเปลี่ยนได้ แต่การกระจัดระหว่างจุดเดิมไม่เปลี่ยน ตราบใดที่ยังใช้ทิศแกนและหน่วยเดิม

F4 Vector between two points เวกเตอร์จากจุด A ไปจุด B

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A=(x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A),\qquad \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$$

จำว่า “ปลายลบต้น” การสลับต้นกับปลายเปลี่ยนทิศและเครื่องหมาย แต่ไม่เปลี่ยนความยาว ใน 2D ใช้เพียง $x,y$

เวกเตอร์อิสระ (free vector) สองตัวเท่ากันถ้ามีขนาดและทิศทางเท่ากัน แม้เริ่มลูกศรที่คนละจุด แต่แรงในกลศาสตร์มีจุดกระทำ: ย้ายแรงไปอีกเส้นแนวแรงอาจเปลี่ยนโมเมนต์ต่อวัตถุ แม้องค์ประกอบแรงจะเหมือนเดิม ประเด็นนี้สำคัญใน cross product และโมเมนต์

ตัวอย่าง F-1 · การกระจัดบนโต๊ะทดลอง

### หัววัดย้ายจาก $A=(-2,1)$ cm ไป $B=(4,-3)$ cm จงหาเวกเตอร์การกระจัดและระยะตรงระหว่างจุด

- ใช้ปลายลบต้นตาม F4: $\overrightarrow{AB}=(4-(-2),-3-1)=(6,-4)$ cm

- เครื่องหมายหมายถึงไปขวา 6 cm และลง 4 cm ส่วนระยะตรงใช้พีทาโกรัส: $\sqrt{6^2+(-4)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ cm

- ตรวจทิศกลับ: $\overrightarrow{BA}=(-6,4)$ cm มีความยาวเท่าเดิม ถ้าหัววัดเดินอ้อม ระยะทางที่เดินจริงอาจมากกว่าระยะตรงนี้

การกระจัด $(6,-4)$ cm · ระยะตรง $2\sqrt{13}\approx7.211$ cm

## 4. ขนาดเวกเตอร์: พีทาโกรัสจากสองแกนสู่สามแกน พื้นฐาน

ใน 2D องค์ประกอบตั้งฉากกันจึงสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากได้ ใน 3D หาความยาวเงาบนระนาบ $xy$ ก่อนเป็น $\rho=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ แล้วประกอบกับแกน $z$ อีกครั้ง: $\|\mathbf a\|=\sqrt{\rho^2+a_z^2}$ จึงได้ผลรวมกำลังสองสามตัว ขนาดหรือ Euclidean norm เป็นสเกลาร์และมีหน่วยเดียวกับองค์ประกอบ

F5 Euclidean magnitude ขนาดของเวกเตอร์ 2D/3D

$$\|\mathbf a\|_{2D}=\sqrt{a_x^2+a_y^2},\qquad \|\mathbf a\|_{3D}=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\ge0$$

$\|\mathbf a\|=0\iff\mathbf a=\mathbf0$ · การยกกำลังสองต้องรวมวงเล็บเครื่องหมายลบ เช่น $(-4)^2=16$

F6 Distance between points ระยะตรงระหว่างจุด

$$d(A,B)=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$$

ต้องแปลงพิกัดทุกแกนให้มีหน่วยเดียวกันก่อน คำนวณจากพิกัดในกรอบเดียวกัน และค่อยเปลี่ยนหน่วยคำตอบ

ตัวอย่าง F-2 · ระยะเคลื่อนที่ของแขนหุ่นยนต์สามแกน

### ปลายแขนย้ายจาก $A=(0.2,-0.1,0.5)$ m ไป $B=(0.5,0.3,1.7)$ m จงหาการกระจัดและระยะตรง

- พิกัดใช้เมตรทั้งหมด: $\overrightarrow{AB}=(0.5-0.2,0.3-(-0.1),1.7-0.5)=(0.3,0.4,1.2)$ m

- หาความยาวเงาบนพื้น $xy$: $\rho=\sqrt{0.3^2+0.4^2}=0.5$ m

- รวมความสูง: $d=\sqrt{0.5^2+1.2^2}=\sqrt{1.69}=1.3$ m ซึ่งมากกว่าการกระจัดตามแต่ละแกน

การกระจัด $(0.3,0.4,1.2)$ m · ระยะตรง $1.3$ m · ระยะทางจริงขึ้นกับเส้นทางเคลื่อนที่

## 5. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: แยกขนาดออกจากทิศทาง พื้นฐาน

ถ้ารู้ว่ามีแรงตึง 500 N แต่ต้องการรู้แต่ละองค์ประกอบ เราต้องมีตัวแทนทิศทางที่ไม่เพิ่มขนาดแรง เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) ทำหน้าที่นี้: หารทุกองค์ประกอบด้วยความยาวเวกเตอร์เดิม จึงได้เวกเตอร์ทิศเดิมยาว 1 กระบวนการนี้เรียก normalization

F7 Normalization เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศเดียวกัน

$$\hat{\mathbf a}=\frac{\mathbf a}{\|\mathbf a\|},\qquad \|\hat{\mathbf a}\|=1,\qquad \mathbf a\ne\mathbf0$$

หารทุกองค์ประกอบด้วยค่าบวกเดียวกัน เวกเตอร์หนึ่งหน่วยไม่มีหน่วยทางกายภาพ เพราะหน่วยตัวเศษกับตัวส่วนตัดกัน

F8 Magnitude times direction สร้างเวกเตอร์จากขนาดและทิศ

$$\mathbf F=F\hat{\mathbf u},\qquad F=\|\mathbf F\|\ge0,\quad\|\hat{\mathbf u}\|=1$$

$F$ บอกขนาดแรง หน่วย N และ $\hat{\mathbf u}$ บอกทิศ ถ้าสเกลาร์ติดลบ ผลลัพธ์จะกลับทิศจาก $\hat{\mathbf u}$

ตัวอย่าง F-3 · แรงตึงสายเคเบิล 3D

### สายเคเบิลดึงจุด $A=(1,2,0)$ m ไปหา $B=(3,5,6)$ m ด้วยแรงตึง 700 N จงหาเวกเตอร์แรงที่กระทำต่อ A

- แรงที่จุด A ดึงเข้าหา B จึงใช้ $\mathbf d=\overrightarrow{AB}=(2,3,6)$ m ไม่ใช้ $\overrightarrow{BA}$

- ความยาวสาย $\|\mathbf d\|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{49}=7$ m

- หาเวกเตอร์ทิศ $\hat{\mathbf u}_{AB}=(2/7,3/7,6/7)$ ตรวจ $(2/7)^2+(3/7)^2+(6/7)^2=1$

- คูณด้วยขนาดแรง: $\mathbf F_A=700\hat{\mathbf u}_{AB}=(200,300,600)$ N ตรวจ $\sqrt{200^2+300^2+600^2}=700$ N

$\mathbf F_A=(200,300,600)$ N · แรงจากสายที่จุด B มีทิศตรงข้าม $(-200,-300,-600)$ N สำหรับสายเส้นเดียวกันที่ตึงและไม่มีแรงภายนอกตามแนวสาย

เวกเตอร์ศูนย์ห้าม normalize$\mathbf0/\|\mathbf0\|$ เป็นการหารด้วยศูนย์ ถ้าเซนเซอร์รายงานการกระจัดศูนย์ ต้องระบุว่า “ไม่มีการกระจัดและไม่กำหนดทิศทาง” ในโปรแกรมให้ตรวจขนาดก่อนหาร หากขนาดใกล้ศูนย์เทียบกับความละเอียดของเครื่องมือ ทิศที่คำนวณอาจไวต่อสัญญาณรบกวนมาก

## 6. มุมทิศทางใน 2D และ direction cosines ใน 3D กลาง

ใน 2D ใช้มุมเดียวได้เมื่อกำหนดวัดจากแกน $+x$ ทวนเข็มนาฬิกา ใน 3D เวกเตอร์มีอิสระด้านทิศทางสองตัว เราอาจใช้มุมแนวราบกับมุมเงย หรือใช้มุมกับแกนทั้งสามซึ่งมีเงื่อนไขสัมพันธ์กัน หน้านี้ใช้มุมกับแกน $+x,+y,+z$ เป็น $\alpha,\beta,\gamma$

F9 Two-dimensional direction ขนาดและมุมใน 2D

$$a_x=a\cos\theta,\qquad a_y=a\sin\theta,\qquad \theta=\operatorname{atan2}(a_y,a_x),\qquad a=\|\mathbf a\|>0$$

สูตรคอมพิวเตอร์โดยทั่วไปเรียงอาร์กิวเมนต์ $y,x$ แต่ควรตรวจเอกสารของเครื่องมือที่ใช้ ผลลัพธ์มักอยู่ใน $(-\pi,\pi]$; ถ้าต้องการ $[0,2\pi)$ ให้บวก $2\pi$ เมื่อมุมติดลบ ใช้หน่วยเรเดียนหรือองศาให้ตรงกับโหมดเครื่องคิดเลข

F10 Direction cosines โคไซน์ทิศทางในสามมิติ

$$\cos\alpha=\frac{a_x}{\|\mathbf a\|},\qquad \cos\beta=\frac{a_y}{\|\mathbf a\|},\qquad \cos\gamma=\frac{a_z}{\|\mathbf a\|},\qquad \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$$

ใช้เมื่อ $\mathbf a\ne\mathbf0$ มุมทั้งสามอยู่ในช่วง 0° ถึง 180° องค์ประกอบติดลบหมายถึงมุมกับแกนนั้นมากกว่า 90° ผลรวมของมุมทั้งสามไม่จำเป็นต้องเท่ากับ 180°

ตัวอย่าง F-4 · เลือกควอดแรนต์ให้ถูก

### แรง $\mathbf F=(-30,40)$ N มีขนาดและมุมจากแกน +x เท่าไร?

- ขนาด $F=\sqrt{(-30)^2+40^2}=50$ N

- $F_x<0,F_y>0$ จึงอยู่ควอดแรนต์ II คำตอบมุมต้องอยู่ระหว่าง 90° และ 180°

- ใช้ $\operatorname{atan2}(40,-30)\approx126.870^\circ$ ถ้าใช้ $\arctan(40/(-30))$ จะได้ $-53.130^\circ$ ซึ่งผิดควอดแรนต์ ต้องปรับเพิ่ม 180°

- ตรวจกลับ $50\cos126.870^\circ\approx-30$ N และ $50\sin126.870^\circ\approx40$ N เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคือ $(-0.6,0.8)$

ขนาด 50 N · มุม $126.870^\circ$ จาก +x ทวนเข็มนาฬิกา · ทิศ $(-0.6,0.8)$

ตัวอย่าง F-5 · มุมของสายเคเบิลกับแต่ละแกน

### สำหรับทิศ $\mathbf d=(2,3,6)$ จงหา direction cosines และมุมกับแกน

- $\|\mathbf d\|=7$ จึงได้ $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=(2/7,3/7,6/7)$

- ตั้งเครื่องคิดเลขเป็นองศา: $\alpha=\cos^{-1}(2/7)\approx73.398^\circ$, $\beta\approx64.623^\circ$, $\gamma\approx31.003^\circ$

- ตรวจผลรวมกำลังสอง $4/49+9/49+36/49=1$ ส่วนแกน $z$ มีองค์ประกอบมากที่สุด จึงทำมุมเล็กที่สุดกับเวกเตอร์

มุมกับแกน $+x,+y,+z$ ประมาณ $73.398^\circ,64.623^\circ,31.003^\circ$ ตามลำดับ

ไปให้ลึกกว่านี้: ทิศทางโคไซน์และการแตกแรงสามมิติมุม α β γ เอกลักษณ์ cos²α + cos²β + cos²γ = 1 การแตกแรงสองขั้นด้วยมุมราบ-มุมเงย และแรงตามแนวสายเคเบิล อยู่ในบท ทิศทางโคไซน์ ลองลากหมุนฉากด้านล่างเพื่อเห็นมุมทั้งสามจริง ๆ

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 7. อ่านเวกเตอร์ในงานวิศวกรรมอย่างมีความหมาย

ก่อนแทนสูตรให้เขียนว่าเวกเตอร์แทนปริมาณอะไร ใช้แกนของใคร และหน่วยอะไร ตัวอย่าง $\mathbf v=(3,4)$ m/s หมายถึงความเร็วตามแกน $x,y$ เป็น 3 และ 4 m/s ส่วนอัตราเร็วเป็น 5 m/s ถ้าเขียน $\mathbf F=(3,4)$ N ตัวเลขเหมือนกันแต่แทนแรง และนำไปใช้ในกฎของนิวตัน การมีรูปองค์ประกอบเหมือนกันไม่ได้ทำให้ปริมาณต่างชนิดบวกกันได้

ข้อมูลจาก IMU หรือแรงที่วัดบนชิ้นงานมักอยู่ในกรอบแกนของเซนเซอร์ ส่วนแบบ CAD และแขนหุ่นยนต์อาจอยู่ในกรอบโลก ต้องแปลงสู่กรอบเดียวกันก่อนเปรียบเทียบหรือรวมเวกเตอร์ ดูวิธีแตกแรง เปลี่ยนฐาน และฉายในหน้า องค์ประกอบและ projection

กระบวนการสั้นที่ใช้ได้กับทุกโจทย์
- กำหนดกรอบแกน ทิศบวก และหน่วย
- วาดลูกศรพร้อมจุดต้นและปลายเมื่อเป็นการกระจัด
- เขียนองค์ประกอบพร้อมเครื่องหมาย
- คำนวณขนาดหรือทิศโดยใช้สูตรที่ตรงกับคำถาม
- ตรวจหน่วย ควอดแรนต์ และขนาดว่าตรงกับภาพหรือไม่

## 8. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

| สิ่งที่มักทำผิด | วิธีแก้และตรวจ |

| ใช้ $a_x+a_y$ เป็นขนาด | ใช้ $\sqrt{a_x^2+a_y^2}$; ตัวอย่าง $(3,4)$ ยาว 5 ไม่ใช่ 7 |

| สลับปลายลบต้น | $\overrightarrow{AB}=B-A$; ดูว่าลูกศรชี้เข้า B หรือไม่ |

| ให้ขนาดติดลบเพราะองค์ประกอบติดลบ | ขนาดไม่ติดลบ เช่น $(-3,0)$ มีขนาด 3 |

| ใช้ arctan อัตราส่วนแล้วไม่ดูควอดแรนต์ | ใช้ atan2 และตรวจเครื่องหมายทั้งสองแกน |

| หารด้วยขนาดของเวกเตอร์ศูนย์ | หยุดและระบุว่าทิศไม่กำหนด |

| บวกพิกัด cm กับ m โดยตรง | แปลงหน่วยก่อน เช่น 20 cm = 0.20 m |

| อ่านมุมจากภาพ 3D ที่วาดเอียง | ใช้ direction cosines จากองค์ประกอบจริง |

## 9. สรุปสูตรพร้อมเงื่อนไข

| ต้องการหา | สูตร | เงื่อนไข/ลิงก์ |

| เวกเตอร์จากสองจุด | $\overrightarrow{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A$ | กรอบเดียวกัน · F4 |

| ขนาด | $\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ | ฐานตั้งฉากหนึ่งหน่วย · F5 |

| เวกเตอร์หนึ่งหน่วย | $\hat{\mathbf a}=\mathbf a/\|\mathbf a\|$ | $\mathbf a\ne\mathbf0$ · F7 |

| แรงจากขนาดและทิศ | $\mathbf F=F\hat{\mathbf u}$ | $\|\hat{\mathbf u}\|=1$ · F8 |

| องค์ประกอบ 2D จากมุม | $(a\cos\theta,a\sin\theta)$ | วัดมุมจาก +x · F9 |

| มุม 2D จากองค์ประกอบ | $\operatorname{atan2}(a_y,a_x)$ | เวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ · F9 |

| โคไซน์ทิศทาง 3D | $(a_x,a_y,a_z)/\|\mathbf a\|$ | ผลรวมกำลังสอง = 1 · F10 |

## 10. แบบฝึกสั้น พร้อมเฉลยที่ตรวจเองได้

- ให้ $\mathbf a=(-6,8)$ mm จงหาขนาดและเวกเตอร์หนึ่งหน่วย
- ให้ $P=(2,-1,4)$, $Q=(-1,3,4)$ m จงหา $\overrightarrow{PQ}$ และระยะห่าง
- แรงขนาด 20 N ทำมุม 150° จาก +x จงหาองค์ประกอบ
- เวกเตอร์ $(0,0,0)$ มีเวกเตอร์หนึ่งหน่วยหรือไม่? เพราะอะไร?

เปิดเฉลยและวิธีตรวจ

- $\|\mathbf a\|=\sqrt{36+64}=10$ mm; $\hat{\mathbf a}=(-0.6,0.8)$ และ $0.36+0.64=1$

- $\overrightarrow{PQ}=(-1-2,3-(-1),4-4)=(-3,4,0)$ m; ระยะ $\sqrt{9+16}=5$ m

- $F_x=20\cos150^\circ=-10\sqrt3\approx-17.321$ N, $F_y=20\sin150^\circ=10$ N; อยู่ควอดแรนต์ II และขนาดกลับเป็น 20 N

- ไม่มีทิศทางเฉพาะและหารด้วยขนาด 0 ไม่ได้ จึง normalize ไม่ได้

ลองเปลี่ยนองค์ประกอบและอ่านผลจากภาพใน Vector Lab แล้วอธิบายด้วยคำของตนเองว่าทำไมลูกศรกลับทิศเมื่อเครื่องหมายเปลี่ยน

## 11. เอกสารอ้างอิงและเส้นทางเรียนต่อ

เนื้อหาเรียบเรียงตามนิยามเวกเตอร์ยูคลิดมาตรฐาน ตัวอย่างงานวิศวกรรมในหน้านี้เป็นตัวอย่างเพื่อการเรียนรู้โดยระบุพิกัดและสมมติฐานไว้ ไม่ใช่ข้อมูลการทดสอบเครื่องจักรเฉพาะรุ่น

- OpenStax, Calculus Volume 3, §2.1 Vectors in the Plane — องค์ประกอบ ขนาด การดำเนินการ และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใน 2D
- OpenStax, Calculus Volume 3, §2.2 Vectors in Three Dimensions — ระบบพิกัด 3D ระยะห่าง และเวกเตอร์ในปริภูมิ

ถัดไปฝึก บวก ลบ และคูณสเกลาร์ แล้วเชื่อมไป components และ projection, dot product, cross product และ การประยุกต์ทางวิศวกรรม ทุกหน้ามีสูตรและตัวอย่างของตนเอง โดยรวมค้นหาได้จาก หน้าหลักพีชคณิตเวกเตอร์

## คำถามที่พบบ่อย

เวกเตอร์ต่างจากสเกลาร์อย่างไร?
สเกลาร์ระบุด้วยตัวเลขและหน่วย เช่น มวล 5 kg ส่วนเวกเตอร์ต้องระบุขนาดและทิศทาง เช่น แรง 5 N ไปทางขวา ในระบบพิกัดฉากเขียนเวกเตอร์ด้วยองค์ประกอบ x, y และ z ได้

หาความยาวเวกเตอร์ 2D และ 3D อย่างไร?
ในแกนตั้งฉากที่มีเวกเตอร์ฐานหนึ่งหน่วย เวกเตอร์ 2D (ax, ay) มีความยาว sqrt(ax² + ay²) และเวกเตอร์ 3D (ax, ay, az) มีความยาว sqrt(ax² + ay² + az²)

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคืออะไร?
เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 1 ใช้ระบุทิศทาง ถ้าเวกเตอร์ a ไม่เป็นศูนย์ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศเดียวกันคือ a หารด้วยความยาวของ a เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทางจึงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยจากการหารไม่ได้

ทำไมใช้ atan2 แทน arctan(ay/ax)?
atan2 ตรวจเครื่องหมายของทั้ง ax และ ay จึงเลือกควอดแรนต์ถูกต้องและรองรับ ax เท่ากับศูนย์ ส่วน arctan ของอัตราส่วนอย่างเดียวแยกทิศทางที่ต่างกัน 180 องศาไม่ได้ เวกเตอร์ศูนย์ยังไม่มีมุมทิศทาง

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เวกเตอร์ต่างจากสเกลาร์อย่างไร?**
สเกลาร์ระบุด้วยตัวเลขและหน่วย เช่น มวล 5 kg ส่วนเวกเตอร์ต้องระบุขนาดและทิศทาง เช่น แรง 5 N ไปทางขวา ในระบบพิกัดฉากเขียนเวกเตอร์ด้วยองค์ประกอบ x, y และ z ได้

**หาความยาวเวกเตอร์ 2D และ 3D อย่างไร?**
ในแกนตั้งฉากที่มีเวกเตอร์ฐานหนึ่งหน่วย เวกเตอร์ 2D (ax, ay) มีความยาว sqrt(ax² + ay²) และเวกเตอร์ 3D (ax, ay, az) มีความยาว sqrt(ax² + ay² + az²)

**เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคืออะไร?**
เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 1 ใช้ระบุทิศทาง ถ้าเวกเตอร์ a ไม่เป็นศูนย์ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศเดียวกันคือ a หารด้วยความยาวของ a เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทางจึงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยจากการหารไม่ได้

**ทำไมใช้ atan2 แทน arctan(ay/ax)?**
atan2 ตรวจเครื่องหมายของทั้ง ax และ ay จึงเลือกควอดแรนต์ถูกต้องและรองรับ ax เท่ากับศูนย์ ส่วน arctan ของอัตราส่วนอย่างเดียวแยกทิศทางที่ต่างกัน 180 องศาไม่ได้ เวกเตอร์ศูนย์ยังไม่มีมุมทิศทาง

---

# แล็บกลศาสตร์เสมือน: ทดลองเวกเตอร์แรงแบบห้องแล็บฟิสิกส์ 1

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/mechanics-lab/
Updated: 2026-10-13
Summary: ห้องแล็บฟิสิกส์ 1 ด้านกลศาสตร์แบบออนไลน์ฟรี 6 การทดลอง: โต๊ะแรงหาแรงสมดุลและ %error, สามเหลี่ยมแรงกับกฎไซน์-โคไซน์ และการแตกแรงตามแนวเฉียง, น้ำหนักแขวนด้วยเชือกสองเส้นกับทฤษฎีลามี, พื้นเอียงกับแรงเสียดทานและการหมุนแกน, ระบบแรงและแรงปฏิกิริยาของคาน, แขนกลสองข้อต่อ มีวัตถุประสงค์ ทฤษฎี ขั้นตอน ตารางบันทึกผล และคำถามท้ายการทดลอง

// เวกเตอร์ · ห้องแล็บ · Virtual mechanics lab (Physics 1)

# แล็บกลศาสตร์เสมือน: ทดลองเวกเตอร์แรงแบบห้องแล็บฟิสิกส์ 1

หกการทดลองที่ครอบคลุมบทเวกเตอร์แรงทั้งหมด ออกแบบให้ทำเหมือนห้องแล็บจริง: อ่านวัตถุประสงค์ ทำนายผลก่อน ปรับอุปกรณ์เสมือน บันทึกค่าลงตาราง แล้วเทียบกับทฤษฎีด้วยเปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อน ทุกแล็บแสดงวิธีคำนวณทีละขั้นให้ตรวจตัวเองได้ เหมาะทั้งเตรียมตัวก่อนเข้าแล็บ ทบทวนก่อนสอบ และใช้สอนในห้องเรียนบนโปรเจกเตอร์

## วิธีใช้ห้องแล็บนี้

- ทำนายก่อน — เขียนคำตอบคร่าว ๆ ลงกระดาษก่อนขยับแถบเลื่อน
- ทดลอง — ปรับค่าตามขั้นตอน สังเกตภาพเวกเตอร์ (ลากตัวเลขหรือพิมพ์ค่าตรงได้)
- บันทึก — กรอกตารางบันทึกผล (พิมพ์หน้านี้หรือคัดลอกลงสมุด)
- เปรียบเทียบ — ใช้ช่องผลลัพธ์ด้านขวาของแต่ละแล็บตรวจวิธีคิด แล้วคำนวณ %error

%error = |ค่าทดลอง − ค่าทฤษฎี| / ค่าทฤษฎี × 100 · g = 9.81 m/s²

## การทดลองที่ 1 · โต๊ะแรง: หาแรงลัพธ์และแรงสมดุล พื้นฐาน

วัตถุประสงค์ หาแรงลัพธ์ของแรงร่วมจุดสองแรงด้วยการทดลอง แล้วเปรียบเทียบกับวิธีกราฟ วิธีกฎโคไซน์ และวิธีองค์ประกอบ

ทฤษฎี ห่วงอยู่นิ่งกลางหมุดเมื่อ $\sum\mathbf F=\mathbf 0$ แรงเส้นที่ 3 ที่ทำให้สมดุล (equilibrant) คือ $\mathbf E=-(\mathbf F_1+\mathbf F_2)$ ขนาดเท่ากับแรงลัพธ์ ทิศตรงข้าม (R1, R7)

ขั้นตอน

- ตั้งเส้นที่ 1 = 200 g ที่ 20° และเส้นที่ 2 = 150 g ที่ 110° ตั้งเส้นที่ 3 และ 4 เป็น 0
- ทำนาย: แรงสองแรงตั้งฉากกัน แรงลัพธ์เท่าไร? (คิดสามเหลี่ยม 3-4-5)
- เพิ่มเส้นที่ 3 แล้วปรับมวลและมุมจนข้อความ “สมดุล” ปรากฏ บันทึกค่า
- ทำซ้ำกับชุดที่ 2: 250 g ที่ 0° และ 250 g ที่ 60° และชุดที่ 3: 300 g ที่ 30° และ 100 g ที่ 200°
- ติ๊ก “รวมมวลที่แขวน 50 g” แล้วสังเกตว่าคำตอบเปลี่ยนอย่างไร (ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในแล็บจริง)

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ตารางบันทึกผลการทดลองที่ 1
| ชุด | m₁ (g) / θ₁ | m₂ (g) / θ₂ | เส้นที่ 3 ที่สมดุล m₃ / θ₃ | E ทฤษฎี (กฎโคไซน์) | %error ขนาด | มุมต่าง |

| 1 | 200 / 20° | 150 / 110° | | | | |

| 2 | 250 / 0° | 250 / 60° | | | | |

| 3 | 300 / 30° | 100 / 200° | | | | |

เฉลยค่าทฤษฎีสำหรับตรวจตัวเอง

- ชุด 1: R = 250 g-แรง (2.453 N) ที่ 56.87° → E = 250 g ที่ 236.87°
- ชุด 2: R = 2(250)cos30° = 433.0 g ที่ 30° → E = 433 g ที่ 210°
- ชุด 3: มุมระหว่างแรง 170° → R = √(300² + 100² + 2·300·100·cos170°) = 202.3 g ที่ 34.92° → E = 202.3 g ที่ 214.92°

คำถามท้ายการทดลอง (1) ทำไมผลรวมมวลของเส้น 1 และ 2 (350 g) ไม่เท่ากับมวลเส้นที่ 3 (250 g) ในชุดแรก? (2) แรงเสียดทานของรอกทำให้ช่วงที่ “ดูเหมือนสมดุล” กว้างขึ้นหรือแคบลง? (3) ถ้าต้องการลด %error ควรเพิ่มหรือลดมวลทั้งหมด เพราะอะไร?

## การทดลองที่ 2 · สามเหลี่ยมแรง: กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ กลาง

วัตถุประสงค์ ใช้กฎของโคไซน์หาขนาด กฎของไซน์หาทิศ และพบกรณีมุมป้านที่ arcsin หลอกเรา จากนั้นแตกแรงตามสองแนวที่ไม่ตั้งฉาก

- ตั้ง F₁ = 600 N ที่ 0°, F₂ = 400 N ที่ 50° บันทึก R, α, ทิศของ R (ตัวอย่าง R-1)
- เปลี่ยน F₂ ไปที่ 90° แล้ว 180° ตรวจว่า R ลดลงจาก F₁ + F₂ ไปถึง |F₁ − F₂|
- ตั้ง F₁ = 200 N, F₂ = 500 N ที่ 150° อ่านคำเตือนเรื่องมุมป้าน เทียบกับ R4
- เลือกโจทย์ “แตกแรง” ตั้ง F = 500 N ที่ 60°, แนว u = 0°, v = 105° บันทึก F_u, F_v และเทียบกับการฉาย F·û
- หมุนแนว v เข้าใกล้ 60° (แนวเดียวกับ F) แล้วดูว่า F_u เป็นศูนย์ เพราะอะไร?

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ตารางบันทึกผลการทดลองที่ 2
| F₁ / θ₁ | F₂ / θ₂ | β (มุมตรงข้าม R) | R (กฎโคไซน์) | α (กฎไซน์) | ทิศ R | ตรวจด้วยองค์ประกอบ |

| 600 / 0° | 400 / 50° | | | | | |

| 600 / 0° | 400 / 90° | | | | | |

| 200 / 0° | 500 / 150° | | | | | |

## การทดลองที่ 3 · น้ำหนักแขวนด้วยเชือกสองเส้น พื้นฐาน

วัตถุประสงค์ หาแรงตึงในเชือกด้วยสมการสมดุลและทฤษฎีของลามี ศึกษาว่ามุมของเชือกมีผลต่อแรงตึงอย่างไร (R8, R9)

- มวล 50 kg, θ₁ = 30°, θ₂ = 45° บันทึก T₁, T₂
- ตั้ง θ₁ = θ₂ แล้วเปลี่ยนจาก 80° ลงไปถึง 5° บันทึกแรงตึงทุก 15° แล้วพล็อตกราฟ T กับ θ
- หามุมที่แรงตึงแต่ละเส้นเท่ากับน้ำหนักพอดี (คำตอบ: 30° เมื่อสองข้างเท่ากัน)
- สังเกตสามเหลี่ยมแรงที่มุมขวาล่าง: ทำไมต้องปิดพอดีเสมอ?

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ตารางบันทึกผลการทดลองที่ 3 (θ₁ = θ₂ = θ, m = 50 kg)
| θ | 80° | 65° | 50° | 35° | 20° | 5° |
| T (N) | | | | | | |
| T/W | | | | | | |

คำถาม สายไฟฟ้าระหว่างเสาจึงต้องหย่อนเล็กน้อยเพราะอะไร? ถ้าดึงสายให้ตึงจนเกือบตรง จะเกิดอะไรกับแรงที่เสาและฉนวน?

## การทดลองที่ 4 · พื้นเอียงและแรงเสียดทาน กลาง

วัตถุประสงค์ แตกน้ำหนักด้วยการหมุนแกน (T1) หามุมพอดีลื่น และหาความเร่งเมื่อมีแรงดึงทำมุม

- m = 10 kg, μs = 0.4, μk = 0.3, P = 0 ค่อย ๆ เพิ่ม θ จนกล่องเริ่มลื่น บันทึกมุม เทียบกับ tan θ = μs
- ที่ θ = 30° เพิ่ม P ที่มุม 20° จนกล่องเริ่มเคลื่อนขึ้นเนิน บันทึก P ที่น้อยที่สุด
- หามุม α ของแรงดึงที่ทำให้ P น้อยที่สุด (ทฤษฎี: tan α = μs)
- ตั้ง P = 150 N ที่ α = 60° สังเกตคำเตือนเมื่อ N < 0

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ตารางบันทึกผลการทดลองที่ 4
| รายการ | ค่าทดลอง | ค่าทฤษฎี | %error |
| มุมพอดีลื่น (μs = 0.4) | | 21.80° | |
| P น้อยที่สุดที่ α = 20° (θ = 30°) | | | |
| α ที่ให้ P น้อยที่สุด | | 21.80° | |

## การทดลองที่ 5 · โมเมนต์และสมดุลของคาน กลาง

วัตถุประสงค์ ลดระบบแรงเป็นแรงลัพธ์เดี่ยว และหาแรงปฏิกิริยาของคานช่วงเดียวจาก ΣF = 0, ΣM = 0 (S8, S10)

- โหมด “ระบบแรง-แรงคู่ควบสมมูล” ใช้ค่าเริ่มต้น บันทึก R, M_O และ x̄
- เลื่อนจุด O ไปที่ 3 m แล้ว 6 m: R เปลี่ยนไหม? M_O เปลี่ยนไหม? x̄ เปลี่ยนไหม?
- เปลี่ยนเป็นโหมด “แรงปฏิกิริยา” บันทึก A_x, A_y, B_y แล้วตรวจว่า A_y·0 + B_y·L = −ΣxF_y
- ใส่แรงคู่ควบ M = 1000 N·m: แรงปฏิกิริยาแนวดิ่งเปลี่ยนแต่ผลรวมคงเดิม อธิบายทำไม

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ตารางบันทึกผลการทดลองที่ 5
| กรณี | R (N) | M_O (N·m) | x̄ (m) | A_y (N) | B_y (N) |
| ค่าเริ่มต้น, O = 0 | | | | | |
| O = 3 m | | | | — | — |
| เพิ่ม M = 1000 N·m | | | | | |

## การทดลองที่ 6 · แขนกลสองข้อต่อ ขั้นสูง

วัตถุประสงค์ เห็นตำแหน่งปลายแขนเป็นผลบวกเวกเตอร์ ใช้ inverse kinematics และหาแรงบิดข้อต่อจาก τ = JᵀF (A1–A6)

- โหมด Forward: θ₁ = 30°, θ₂ = 60° บันทึก p, det J, τ₁, τ₂ (Fy = 19.6 N)
- ตั้ง θ₂ = 0° (เหยียดแขน) แล้วเปลี่ยน θ₁ จาก 90° ลงไป 0° สังเกต τ₁ ว่าสูงสุดที่มุมใด
- โหมด Inverse: คลิกบนภาพที่ (0.6, 0.3) สลับ elbow-up/down เทียบมุมกับตัวอย่าง A-2
- ติ๊ก “ลากเส้นทาง” แล้ววาดเส้นตรงแนวนอน สังเกตว่ามุมข้อต่อต้องเปลี่ยนไม่เป็นเชิงเส้น

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## แนวการเขียนรายงานแล็บ

- บทนำและวัตถุประสงค์ — ทำไมต้องรู้แรงลัพธ์และสมดุล
- ทฤษฎี — สูตรพร้อมรหัสอ้างอิง เช่น R1, R8, S10
- ผลการทดลอง — ตาราง กราฟ (เช่น T กับ θ ในการทดลองที่ 3)
- การวิเคราะห์ — เทียบสามวิธี (กราฟ ตรีโกณ องค์ประกอบ) และ %error
- แหล่งความคลาดเคลื่อน — แรงเสียดทานรอก มวลห่วง การอ่านมุม การปัดเศษ
- สรุป — ตอบวัตถุประสงค์เป็นข้อ ๆ

เครื่องมือเสริมระดับโลก: PhET Vector Addition สำหรับฝึกบวกเวกเตอร์ด้วยกราฟ และ สตูดิโอเวกเตอร์ 3 มิติ สำหรับแรงสามมิติ

## คำถามที่พบบ่อย

แล็บเสมือนนี้ใช้แทนการทดลองจริงได้ไหม?
ใช้เตรียมตัวก่อนเข้าแล็บ ทบทวน และตรวจคำตอบได้ดี เพราะเห็นเวกเตอร์และวิธีคำนวณพร้อมกัน แต่การทดลองจริงมีแรงเสียดทานของรอก น้ำหนักของห่วง และความคลาดเคลื่อนในการอ่านมุมที่ต้องฝึกจัดการเอง ควรใช้ทั้งสองแบบประกอบกัน

คำนวณเปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อนอย่างไร?
%error = |ค่าที่วัดได้ − ค่าทางทฤษฎี| / ค่าทางทฤษฎี × 100 สำหรับโต๊ะแรง ค่าทางทฤษฎีคือแรงสมดุลที่คำนวณจากกฎโคไซน์หรือองค์ประกอบ ส่วนค่าที่วัดคือมวลและมุมของเชือกเส้นที่ทำให้ห่วงอยู่กลางหมุด

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**แล็บเสมือนนี้ใช้แทนการทดลองจริงได้ไหม?**
ใช้เตรียมตัวก่อนเข้าแล็บ ทบทวน และตรวจคำตอบได้ดี เพราะเห็นเวกเตอร์และวิธีคำนวณพร้อมกัน แต่การทดลองจริงมีแรงเสียดทานของรอก น้ำหนักของห่วง และความคลาดเคลื่อนในการอ่านมุมที่ต้องฝึกจัดการเอง ควรใช้ทั้งสองแบบประกอบกัน

**คำนวณเปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อนอย่างไร?**
%error = |ค่าที่วัดได้ − ค่าทางทฤษฎี| / ค่าทางทฤษฎี × 100 สำหรับโต๊ะแรง ค่าทางทฤษฎีคือแรงสมดุลที่คำนวณจากกฎโคไซน์หรือองค์ประกอบ ส่วนค่าที่วัดคือมวลและมุมของเชือกเส้นที่ทำให้ห่วงอยู่กลางหมุด

---

# การบวก ลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ใน 2D/3D

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/operations/
Updated: 2026-10-13
Summary: เรียนการบวกเวกเตอร์แบบหัวต่อหาง กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน การลบและคูณสเกลาร์จาก 2D ถึง 3D พร้อมตัวอย่างแรงลัพธ์ แรงสมดุล ความเร็วสัมพัทธ์ การเคลื่อนที่ และสรุปสูตรพร้อมแบบฝึกเฉลย

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 1 · Vector operations

# การบวก ลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ใน 2D/3D

การรวมแรงจากหลายสายเคเบิล การหาความเร็วสัมพัทธ์ และการคำนวณตำแหน่งใหม่ของหุ่นยนต์ ใช้สามการดำเนินการพื้นฐานเดียวกัน: บวก ลบ และคูณสเกลาร์ เราจะเห็นจากภาพว่าลูกศรประกอบกันอย่างไร แล้วคำนวณทีละองค์ประกอบ พร้อมแยก “เวกเตอร์ผลลัพธ์” ออกจาก “ขนาดผลลัพธ์” ให้ชัด

สรุปใน 30 วินาที
- บวกหรือลบองค์ประกอบแกนเดียวกัน: $(a_x\pm b_x,a_y\pm b_y,a_z\pm b_z)$
- $\mathbf a-\mathbf b=\mathbf a+(-\mathbf b)$: กลับทิศตัวที่ถูกลบ แล้วใช้กฎหัวต่อหาง
- $c\mathbf a=(ca_x,ca_y,ca_z)$ และ $\|c\mathbf a\|=|c|\|\mathbf a\|$
- ต้องใช้กรอบแกนเดียวกัน หน่วยเข้ากัน และรวมองค์ประกอบก่อนหาขนาด

## 1. ก่อนคำนวณ: แกน หน่วย และชนิดของปริมาณ

เวกเตอร์ $(3,4)$ ที่วัดในแกนของเซนเซอร์อาจชี้คนละทิศกับ $(3,4)$ ในแกนของห้องทดลอง ถ้าจะรวมกันต้องแปลงเป็นกรอบเดียวกันก่อน นอกจากนี้แรงหน่วย N รวมกับแรงหน่วย N ได้ แต่รวมแรงกับความเร็ว m/s ไม่ได้ แม้ทั้งคู่มีองค์ประกอบสองตัว

สำหรับเวกเตอร์บนระนาบ $xy$ เราฝังไว้ใน 3D ได้เป็น $(a_x,a_y,0)$ เมื่อบริบทกำหนดระนาบนั้นชัดเจน จึงรวมกับเวกเตอร์ 3D ได้อย่างมีความหมาย อย่าเติมองค์ประกอบ 0 โดยไม่ทราบว่าเวกเตอร์สองมิติเดิมอยู่ในระนาบใด ถ้าต้องทบทวนพิกัดและเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ให้เริ่มจาก พื้นฐานเวกเตอร์ 2D/3D

## 2. บวกเวกเตอร์: หัวต่อหางและสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นฐาน

เดินตาม $\mathbf a$ ก่อน แล้วเดินตาม $\mathbf b$ การกระจัดรวมคือ $\mathbf a+\mathbf b$ ภาพหัวต่อหาง (head-to-tail) วางหางของ $\mathbf b$ ที่หัวของ $\mathbf a$ โดยไม่หมุนหรือย่อขยาย ลูกศรผลบวกลากจากจุดเริ่มแรกไปจุดสุดท้าย ถ้าวางทั้งสองเวกเตอร์ให้มีหางร่วมกัน จะได้ผลบวกเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เวกเตอร์ย้ายขนานได้โดยขนาดและทิศคงเดิม การเดินคนละลำดับยังลงท้ายที่จุดเดียวกัน

V1 Component-wise addition บวกทีละองค์ประกอบ

$$\mathbf a+\mathbf b=(a_x+b_x,\ a_y+b_y,\ a_z+b_z),\qquad \mathbf R=\sum_{k=1}^{n}\mathbf F_k$$

ใน 2D ใช้เฉพาะ $x,y$ การรวมหลายเวกเตอร์ใช้ $R_x=\sum F_{kx}$, $R_y=\sum F_{ky}$, $R_z=\sum F_{kz}$ แล้วค่อยหาขนาด

V2 Properties of vector addition สมบัติของการบวก

$$\mathbf a+\mathbf b=\mathbf b+\mathbf a,\quad(\mathbf a+\mathbf b)+\mathbf c=\mathbf a+(\mathbf b+\mathbf c),\quad\mathbf a+\mathbf0=\mathbf a,\quad\mathbf a+(-\mathbf a)=\mathbf0$$

พิสูจน์ได้จากการใช้สมบัติของจำนวนจริงในแต่ละองค์ประกอบ การหาผลรวมแรงสลับลำดับได้ แต่จุดกระทำของแรงยังสำคัญเมื่อพิจารณาโมเมนต์ต่อวัตถุ

ตัวอย่าง V-1 · แรงลัพธ์สองมิติ

### แรงสองแรงที่จุดเดียวกันเป็น $\mathbf F_1=(120,-40)$ N และ $\mathbf F_2=(-30,80)$ N จงหาเวกเตอร์แรงลัพธ์ ขนาด และทิศ

- รวมแกน $x$: $R_x=120-30=90$ N รวมแกน $y$: $R_y=-40+80=40$ N จึงได้ $\mathbf R=(90,40)$ N

- คำนวณขนาดหลังรวมองค์ประกอบ: $R=\sqrt{90^2+40^2}=\sqrt{9700}=10\sqrt{97}\approx98.489$ N

- องค์ประกอบทั้งสองเป็นบวก จึงอยู่ควอดแรนต์ I: $\theta=\operatorname{atan2}(40,90)\approx23.962^\circ$ จาก +x ทวนเข็มนาฬิกา

- ตรวจคร่าว ๆ: แรงลัพธ์ชี้ขวาและขึ้น ขนาดเล็กกว่า $\|\mathbf F_1\|+\|\mathbf F_2\|$ เพราะสองแรงไม่ได้ชี้ทิศเดียวกัน

$\mathbf R=(90,40)$ N · $R\approx98.489$ N · $\theta\approx23.962^\circ$

## 3. ลบเวกเตอร์: กลับทิศก่อนบวก พื้นฐาน

จำนวนลบของเวกเตอร์ $-\mathbf b$ มีความยาวเท่าเดิม แต่ชี้สวนทาง ดังนั้น $\mathbf a-\mathbf b$ เท่ากับเดินตาม $-\mathbf b$ และ $\mathbf a$ ต่อกัน ถ้าวาง $\mathbf a$ กับ $\mathbf b$ ให้หางอยู่ที่จุดเดียวกัน ลูกศรจากหัวของ b ไปหัวของ a คือผลต่าง $\mathbf a-\mathbf b$

V3 Vector subtraction การลบเวกเตอร์

$$-\mathbf b=(-b_x,-b_y,-b_z),\qquad \mathbf a-\mathbf b=\mathbf a+(-\mathbf b)=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z)$$

ทั่วไป $\mathbf a-\mathbf b\ne\mathbf b-\mathbf a$ แต่ $\mathbf b-\mathbf a=-(\mathbf a-\mathbf b)$ และผลต่างสองทิศมีขนาดเท่ากัน

ผลต่างจากหัว b ไปหัว a: ปลายลบต้นให้ $(4,1)-(1,3)=(3,-2)$

ตัวอย่าง V-2 · ความเร็วสัมพัทธ์ของรถตรวจสอบ

### ในกรอบพื้น รถ A มี $\mathbf v_A=(12,3)$ m/s และรถ B มี $\mathbf v_B=(5,-1)$ m/s จงหาความเร็วของ A ที่ผู้สังเกตบน B เห็น

- ภายใต้กรอบที่เลื่อนที่โดยไม่หมุน ใช้ $\mathbf v_{A/B}=\mathbf v_A-\mathbf v_B$ โดยความเร็วทั้งคู่ต้องอยู่ในแกนเดียวกัน

- ลบองค์ประกอบ: $\mathbf v_{A/B}=(12-5,3-(-1))=(7,4)$ m/s

- อัตราเร็วสัมพัทธ์ $\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65}\approx8.062$ m/s ไม่ใช่ $\|\mathbf v_A\|-\|\mathbf v_B\|$

$\mathbf v_{A/B}=(7,4)$ m/s · ถ้าเปลี่ยนเป็น B เทียบกับ A จะได้ $(-7,-4)$ m/s

ถ้ากรอบผู้สังเกตหมุนการลบความเร็วอย่างเดียวไม่พอ ต้องรวมการเปลี่ยนกรอบและเทอมจากการหมุน เช่น $\boldsymbol\omega\times\mathbf r$ ตามสมการการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ รายละเอียดเชิงกายภาพเชื่อมกับ cross product

## 4. คูณด้วยสเกลาร์: ย่อ ขยาย กลับทิศ พื้นฐาน

ถ้า $c>0$ เวกเตอร์ $c\mathbf a$ ชี้ทิศเดิม ถ้า $c<0$ ชี้สวนทาง ขนาดใหม่คือ $|c|$ เท่าของขนาดเดิม ถ้า $c=0$ ได้เวกเตอร์ศูนย์ ตัวอย่าง $0.5\mathbf a$ ยาวครึ่งหนึ่ง ส่วน $-2\mathbf a$ ยาวสองเท่าและกลับทิศ

V4 Scalar multiplication คูณทุกองค์ประกอบด้วยสเกลาร์

$$c\mathbf a=(ca_x,ca_y,ca_z),\qquad \|c\mathbf a\|=|c|\|\mathbf a\|$$

ใช้ค่าสัมบูรณ์เมื่อหาขนาด ถ้า $c$ มีหน่วย หน่วยผลลัพธ์คูณกันด้วย เช่น $m\mathbf a$ มีหน่วย kg·m/s² = N เมื่อ $m$ เป็นมวลและ $\mathbf a$ เป็นความเร่ง

V5 Distributive laws and linear combinations การแจกแจงและผลรวมเชิงเส้น

$$c(\mathbf a+\mathbf b)=c\mathbf a+c\mathbf b,\qquad(c+d)\mathbf a=c\mathbf a+d\mathbf a,\qquad c(d\mathbf a)=(cd)\mathbf a,\qquad\mathbf w=c\mathbf a+d\mathbf b$$

นิพจน์สุดท้ายเรียกผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ตรวจหน่วยของทุกพจน์ให้เหมือนกันก่อนรวม สเกลาร์ทั้งสองอาจมีค่าต่างกันและติดลบได้

ขนาดเปลี่ยนด้วย $|c|$ ส่วนเครื่องหมายของ $c$ กำหนดว่าจะคงทิศหรือกลับทิศ

ตัวอย่าง V-3 · ผลรวมเชิงเส้นสามมิติ

### ให้ $\mathbf a=(2,-1,3)$, $\mathbf b=(-1,4,2)$ จงหา $2\mathbf a-3\mathbf b$

- คูณเข้าทุกองค์ประกอบ: $2\mathbf a=(4,-2,6)$, $3\mathbf b=(-3,12,6)$

- ลบทีละแกน: $(4-(-3),-2-12,6-6)=(7,-14,0)$

- ตรวจด้วยการแจกแจงตรง: $2(2)-3(-1)=7$, $2(-1)-3(4)=-14$, $2(3)-3(2)=0$

- ถ้าถามขนาดด้วย จะได้ $\sqrt{7^2+(-14)^2}=\sqrt{245}=7\sqrt5\approx15.652$

$2\mathbf a-3\mathbf b=(7,-14,0)$ · องค์ประกอบ z หักล้างกันพอดี

## 5. ทำไมขนาดผลบวกไม่เท่ากับผลบวกของขนาด?

เวกเตอร์ $(3,0)$ และ $(0,4)$ มีขนาด 3 และ 4 แต่ผลบวก $(3,4)$ ยาว 5 การนำ 3 + 4 = 7 เป็นแรงลัพธ์จึงผิด เพราะข้อมูลทิศทางหายไป ถ้าสองเวกเตอร์ชี้ทิศเดียวกันจึงบวกขนาดได้ตรง ๆ ถ้าชี้ตรงข้าม ขนาดต่างกันจะหักล้างกัน

V6 Triangle and reverse triangle inequalities ขอบเขตของขนาดผลบวก

$$\big|\|\mathbf a\|-\|\mathbf b\|\big|\le\|\mathbf a+\mathbf b\|\le\|\mathbf a\|+\|\mathbf b\|$$

ขอบบนเกิดเมื่อเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ชี้ทิศเดียวกัน ขอบล่างเกิดเมื่อชี้ตรงข้าม หากเวกเตอร์ใดเป็นศูนย์ทั้งสองขอบเท่ากัน ใช้ตรวจคำตอบแรงลัพธ์ได้ทันที

V7 Magnitude from the included angle ขนาดผลบวกจากมุมระหว่างเวกเตอร์

$$\|\mathbf a+\mathbf b\|=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\theta},\qquad\|\mathbf a-\mathbf b\|=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\theta}$$

$a=\|\mathbf a\|$, $b=\|\mathbf b\|$; $\theta\in[0,\pi]$ เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์เมื่อวางหางร่วมกัน ถ้าตัวใดเป็นศูนย์ มุมไม่กำหนดแต่ใช้สูตรองค์ประกอบหาขนาดได้ ดูที่มาจาก dot product

ตรวจกรณีสำคัญ: $\theta=0^\circ$ ได้ $a+b$; $\theta=90^\circ$ ได้ $\sqrt{a^2+b^2}$; $\theta=180^\circ$ ได้ $|a-b|$ อย่าสับสนมุมระหว่างลูกศรหางร่วมกับมุมภายในสามเหลี่ยมหัวต่อหาง ซึ่งอาจเป็นมุมเสริมกัน

ต่อยอด: กฎของโคไซน์และกฎของไซน์สูตรขนาดผลบวกจากมุมระหว่างเวกเตอร์คือกฎของโคไซน์ ส่วนทิศของผลบวกหาด้วยกฎของไซน์ ดูวิธีใช้แบบวิศวกร กรณีมุมป้าน การแตกแรงตามแนวเฉียง และโต๊ะแรงเสมือนใน แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 6. ใช้จริง: แรงสมดุล การเคลื่อนที่ และ interpolation กลาง

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงว่าพีชคณิตเวกเตอร์เป็นเครื่องมืออ่านสถานการณ์ทางกายภาพ ไม่ใช่เพียงการจับตัวเลขใส่วงเล็บ แต่ละตัวอย่างจึงระบุว่าเวกเตอร์แทนอะไรและมีสมมติฐานใด

V8 Force balance for a particle สมดุลแรงของอนุภาค

$$\sum_k\mathbf F_k=\mathbf0\iff\sum_k F_{kx}=0,\ \sum_k F_{ky}=0,\ \sum_k F_{kz}=0;\qquad\mathbf F_{\rm balance}=-\sum_k\mathbf F_k$$

ใช้กับอนุภาคหรือแรงที่กระทำร่วมจุดเดียวกัน สำหรับวัตถุแข็งต้องตรวจ $\sum\boldsymbol\tau=\mathbf0$ เพิ่มเติมด้วย แรงลัพธ์ศูนย์เพียงอย่างเดียวไม่ได้รับประกันว่าไม่หมุน

ตัวอย่าง V-4 · แรงที่ต้องเพิ่มเพื่อให้ห่วงอยู่สมดุล

### แรงทั้งหมดที่ห่วงร่วมจุดเป็น $\mathbf F_1=(200,100,300)$ N, $\mathbf F_2=(-50,150,-100)$ N และน้ำหนัก $\mathbf W=(0,0,-400)$ N ต้องเพิ่มแรงใด?

- กำหนด $+z$ ขึ้น น้ำหนักจึงมีองค์ประกอบ z ติดลบ รวมแรงเดิม $\mathbf R=(200-50+0,100+150+0,300-100-400)=(150,250,-200)$ N

- แรงสมดุลต้องตรงข้ามกับผลรวม: $\mathbf F_3=-\mathbf R=(-150,-250,200)$ N

- ขนาด $\|\mathbf F_3\|=\sqrt{150^2+250^2+200^2}=\sqrt{125000}=250\sqrt2\approx353.553$ N

- ตรวจสมดุลทั้งสามแกน: $150-150=0$, $250-250=0$, $-200+200=0$ หากใช้สายเคเบิล แรงนี้ต้องมีทิศเข้าหาจุดยึดจริงและสายรับได้เฉพาะแรงดึง

ต้องเพิ่มแรง $(-150,-250,200)$ N ขนาด $353.553$ N ณ จุดร่วมเดียวกัน

ตัวอย่าง V-5 · ตำแหน่งรถอัตโนมัติเมื่อความเร่งคงที่

### กำหนด $\mathbf r_0=(1,2)$ m, $\mathbf v_0=(3,-1)$ m/s และ $\mathbf a=(0,2)$ m/s² คงที่ จงหา $\mathbf r,\mathbf v$ ที่ $t=2$ s

- ใช้สมการคงความเร่งในกรอบเฉื่อยเดียวกัน: $\mathbf v=\mathbf v_0+t\mathbf a$ และ $\mathbf r=\mathbf r_0+t\mathbf v_0+\tfrac12t^2\mathbf a$

- $t\mathbf a=2(0,2)=(0,4)$ m/s จึงได้ $\mathbf v=(3,-1)+(0,4)=(3,3)$ m/s

- $t\mathbf v_0=(6,-2)$ m และ $\tfrac12t^2\mathbf a=2(0,2)=(0,4)$ m จึงได้ $\mathbf r=(1,2)+(6,-2)+(0,4)=(7,4)$ m

- ตรวจด้วยสมการรายแกน: $x=1+3(2)=7$, $y=2-1(2)+\tfrac12(2)(2^2)=4$ การกระจัดเป็น $(6,2)$ m ซึ่งต่างจากตำแหน่ง $(7,4)$ m

ที่ 2 s ตำแหน่ง $(7,4)$ m และความเร็ว $(3,3)$ m/s · ทุกพจน์ในสมการตำแหน่งมีหน่วย m

V9 Linear interpolation between points จุดบนส่วนของเส้นตรง

$$\mathbf r(t)=(1-t)\mathbf r_A+t\mathbf r_B=\mathbf r_A+t(\mathbf r_B-\mathbf r_A),\qquad0\le t\le1$$

$t$ ในสูตรนี้เป็นพารามิเตอร์ไร้หน่วย ไม่ใช่เวลาโดยอัตโนมัติ $t=0$ ได้ A, $t=1$ ได้ B; ถ้าอยู่นอกช่วงนี้เป็น extrapolation บนเส้นตรงเดียวกัน ผลรวมค่าน้ำหนักเท่ากับ 1 จึงใช้กับตำแหน่งได้โดยไม่ขึ้นกับการเลื่อนจุดกำเนิด

ตัวอย่าง V-6 · กำหนด waypoint ให้แขนหุ่นยนต์

### จาก $A=(1,-2,0)$ m ไป $B=(5,2,8)$ m ต้องการจุดที่เดินทางไปแล้ว 25% ของระยะตรง

- การกระจัด $\mathbf r_B-\mathbf r_A=(4,4,8)$ m เลือกพารามิเตอร์ $t=0.25$

- $\mathbf r(0.25)=(1,-2,0)+0.25(4,4,8)=(1,-2,0)+(1,1,2)=(2,-1,2)$ m

- ตรวจระยะ: จาก A ไป waypoint ยาว $\sqrt{1+1+4}=\sqrt6$ m ส่วน AB ยาว $\sqrt{16+16+64}=4\sqrt6$ m อัตราส่วนเท่ากับ 1/4

waypoint คือ $(2,-1,2)$ m · สูตรระบุตำแหน่งบนเส้นตรง ส่วนความเร็วและความเร่งต้องออกแบบแยกต่างหาก

งานที่มีมุมระหว่างแรง การแยกแรงตามแนวเอียง งาน และกำลัง ใช้ dot product ส่วนโมเมนต์ ความเร็วจากการหมุน และแรงแม่เหล็ก ใช้ cross product ตัวอย่างต่อเนื่องอยู่ใน การประยุกต์ทางวิศวกรรม

## 7. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและวิธีตรวจคำตอบ

| ข้อผิดพลาด | ตัวอย่าง/วิธีแก้ |

| รวมขนาดแทนรวมเวกเตอร์ | $(3,0)+(0,4)=(3,4)$ ขนาด 5 ไม่ใช่ 7 |

| ลบจำนวนลบแล้วเครื่องหมายผิด | $3-(-1)=4$; เขียนวงเล็บก่อนแทนค่า |

| คูณสเกลาร์แค่องค์ประกอบเดียว | $2(1,-3,4)=(2,-6,8)$ ต้องคูณทั้งสามตัว |

| ใช้ $c$ แทน $|c|$ ในสูตรขนาด | $\|-2\mathbf a\|=2\|\mathbf a\|$ ขนาดไม่ติดลบ |

| คิดว่าผลต่างสลับที่ได้ | $\mathbf b-\mathbf a=-(\mathbf a-\mathbf b)$ |

| บวกเวกเตอร์ต่างกรอบแกน | หมุนองค์ประกอบสู่กรอบเดียวกันก่อน ดู การเปลี่ยนฐาน |

| เห็นแรงรวมศูนย์แล้วสรุปวัตถุแข็งสมดุลทั้งหมด | ต้องตรวจโมเมนต์รวมด้วย แรงคู่ควบอาจทำให้หมุน |

| เขียน “คูณเวกเตอร์” โดยไม่ระบุชนิด | คูณสเกลาร์ให้เวกเตอร์; dot ให้สเกลาร์; cross ใน 3D ให้เวกเตอร์ ทั้งสามต่างกัน |

ตรวจคำตอบสี่ข้อองค์ประกอบตรงกับทิศที่วาดหรือไม่? ทุกพจน์มีหน่วยเดียวกันหรือไม่? ขนาดผลบวกอยู่ในขอบเขต V6 หรือไม่? ถ้าบวกตัวตรงข้ามกลับเข้าไป ได้เวกเตอร์ต้นหรือไม่?

## 8. สรุปสูตรบวก ลบ และคูณสเกลาร์

| การดำเนินการ | สูตร | ภาพ/การใช้งาน |

| V1 บวก | $\mathbf a+\mathbf b=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)$ | หัวต่อหาง · รวมแรง |

| V3 ลบ | $\mathbf a-\mathbf b=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z)$ | จากหัว b ไปหัว a · ความเร็วสัมพัทธ์ |

| V4 คูณสเกลาร์ | $c\mathbf a=(ca_x,ca_y,ca_z)$ | ย่อ ขยาย หรือกลับทิศ |

| V4 ขนาดหลังคูณ | $\|c\mathbf a\|=|c|\|\mathbf a\|$ | ตรวจขนาดไม่ติดลบ |

| V7 ขนาดผลบวก | $\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\theta}$ | รู้ขนาดและมุมระหว่างเวกเตอร์ |

| V8 แรงสมดุล | $\mathbf F_{\rm balance}=-\sum\mathbf F_k$ | อนุภาคหรือแรงร่วมจุด |

| V9 จุดระหว่าง A และ B | $\mathbf r_A+t(\mathbf r_B-\mathbf r_A)$ | $0\le t\le1$, waypoint บนส่วนเส้นตรง |

## 9. แบบฝึกเพื่อเช็กความเข้าใจ

- ให้ $\mathbf a=(3,-2)$, $\mathbf b=(-1,5)$ หา $\mathbf a+\mathbf b$, $\mathbf a-\mathbf b$, $-2\mathbf a$
- ให้ $\mathbf p=(1,2,-2)$, $\mathbf q=(3,0,1)$ หา $3\mathbf p+2\mathbf q$ และขนาด
- แรงร่วมจุด $(40,0)$ N กับ $(0,30)$ N ต้องเพิ่มแรงใดจึงสมดุล? ขนาดเท่าไร?
- เวกเตอร์ยาว 5 และ 8 ทำมุม 60° กัน ผลบวกมีขนาดเท่าไร? ถ้ากลับทิศตัวหลัง ขนาดใหม่เท่าไร?
- หา midpoint ระหว่าง $A=(2,0,-1)$ กับ $B=(6,4,3)$

เปิดเฉลยพร้อมวิธีตรวจ

- ผลบวก $(2,3)$; ผลต่าง $(4,-7)$; $-2\mathbf a=(-6,4)$ ตรวจว่าตัวสุดท้ายขนาดเป็นสองเท่าและกลับทิศ

- $3\mathbf p+2\mathbf q=(3,6,-6)+(6,0,2)=(9,6,-4)$; ขนาด $\sqrt{81+36+16}=\sqrt{133}\approx11.533$

- แรงลัพธ์ $(40,30)$ N จึงเพิ่ม $(-40,-30)$ N ขนาด 50 N

- ผลบวก $\sqrt{25+64+2(5)(8)\cos60^\circ}=\sqrt{129}\approx11.358$; กลับทิศตัวหลังได้ผลต่างขนาด $\sqrt{25+64-40}=7$ ทั้งสองอยู่ระหว่าง 3 กับ 13

- ใช้ $t=0.5$: $(A+B)/2=(4,2,1)$; การกระจัดจาก A ถึง midpoint เป็นครึ่งของ $B-A$

เปิด Vector Lab ทดลองให้สองเวกเตอร์ชี้ทิศเดียวกัน ตั้งฉาก และตรงข้าม แล้วเปรียบเทียบขนาดกับสูตรก่อนดูคำตอบ

## 10. เอกสารอ้างอิงและอ่านต่อ

- OpenStax, Calculus Volume 3, §2.1 Vectors in the Plane — การบวก ลบ คูณสเกลาร์ และการตีความเชิงเรขาคณิต
- OpenStax, Calculus Volume 3, §2.2 Vectors in Three Dimensions — การขยายการดำเนินการและขนาดสู่ 3D
- OpenStax, University Physics Volume 1, §5.1 Forces — แรงเป็นเวกเตอร์และแรงลัพธ์

ไปต่อที่ components และ projection เพื่อแยกแรงตามแนวเอียง ต่อด้วย dot product สำหรับมุม งาน และกำลัง และ cross product สำหรับโมเมนต์และการหมุน ก่อนรวมทุกเครื่องมือใน ตัวอย่างวิศวกรรม ดูสารบัญและสูตรทั้งหมดที่ หน้าหลักพีชคณิตเวกเตอร์

## คำถามที่พบบ่อย

บวกเวกเตอร์ 2D และ 3D อย่างไร?
เมื่อเวกเตอร์อยู่ในกรอบแกนเดียวกันและมีหน่วยเดียวกัน ให้บวกองค์ประกอบที่ตรงกัน เช่น (ax, ay, az) + (bx, by, bz) = (ax + bx, ay + by, az + bz) ภาพเรขาคณิตใช้กฎหัวต่อหางหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ลบเวกเตอร์หมายความว่าอย่างไร?
a − b คือ a + (−b) โดย −b มีขนาดเท่า b แต่กลับทิศ ถ้าวาง a และ b ที่จุดต้นเดียวกัน ลูกศรจากปลาย b ไปปลาย a คือ a − b

คูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ติดลบเกิดอะไรขึ้น?
สเกลาร์ติดลบกลับทิศเวกเตอร์และปรับขนาดด้วยค่าสัมบูรณ์ของสเกลาร์ เช่น −2a มีทิศตรงข้าม a และยาวเป็นสองเท่า ถ้าคูณด้วยศูนย์จะได้เวกเตอร์ศูนย์

ขนาดผลบวกเท่ากับผลบวกของขนาดไหม?
ไม่เสมอไป ขนาดของ a + b ไม่เกินขนาด a บวกขนาด b และจะเท่ากันเมื่อเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ชี้ทิศเดียวกัน ถ้าชี้สวนกันบางส่วนจะหักล้างกัน

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**บวกเวกเตอร์ 2D และ 3D อย่างไร?**
เมื่อเวกเตอร์อยู่ในกรอบแกนเดียวกันและมีหน่วยเดียวกัน ให้บวกองค์ประกอบที่ตรงกัน เช่น (ax, ay, az) + (bx, by, bz) = (ax + bx, ay + by, az + bz) ภาพเรขาคณิตใช้กฎหัวต่อหางหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน

**ลบเวกเตอร์หมายความว่าอย่างไร?**
a − b คือ a + (−b) โดย −b มีขนาดเท่า b แต่กลับทิศ ถ้าวาง a และ b ที่จุดต้นเดียวกัน ลูกศรจากปลาย b ไปปลาย a คือ a − b

**คูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ติดลบเกิดอะไรขึ้น?**
สเกลาร์ติดลบกลับทิศเวกเตอร์และปรับขนาดด้วยค่าสัมบูรณ์ของสเกลาร์ เช่น −2a มีทิศตรงข้าม a และยาวเป็นสองเท่า ถ้าคูณด้วยศูนย์จะได้เวกเตอร์ศูนย์

**ขนาดผลบวกเท่ากับผลบวกของขนาดไหม?**
ไม่เสมอไป ขนาดของ a + b ไม่เกินขนาด a บวกขนาด b และจะเท่ากันเมื่อเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ชี้ทิศเดียวกัน ถ้าชี้สวนกันบางส่วนจะหักล้างกัน

---

# พื้นฐานเฟสเซอร์: จากเวกเตอร์หมุนสู่จำนวนเชิงซ้อน

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/phasors/
Updated: 2026-10-13
Summary: เรียนเฟสเซอร์ภาษาไทยตั้งแต่ศูนย์: เฟสเซอร์คือเวกเตอร์หมุนที่หยุดไว้ที่ t = 0 สูตรออยเลอร์ e^{jθ} = cos θ + j sin θ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและรูปเชิงขั้ว แปลงรูปอย่างถูกควอดแรนต์ บวกลบด้วยเวกเตอร์ คูณหารด้วยขนาดและมุม คูณด้วย j คือหมุน 90° อนุพันธ์กลายเป็น jω บวกไซน์ความถี่เดียวกันด้วยกฎโคไซน์ เฟสเซอร์ค่ายอดกับค่า RMS และข้อจำกัด พร้อมแล็บเฟสเซอร์หมุนและเครื่องคิดเลขเชิงซ้อน

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 4 · Phasor fundamentals

# พื้นฐานเฟสเซอร์: จากเวกเตอร์หมุนสู่จำนวนเชิงซ้อน

ถ้าต้องบวกแรงดัน $100\sin(\omega t)$ กับ $80\sin(\omega t+60^\circ)$ ด้วยตรีโกณมิติ จะต้องขยายสูตรผลบวกมุมหลายบรรทัด แต่ถ้ามองแต่ละไซน์เป็นลูกศรที่หมุนด้วยความเร็วเดียวกัน การบวกก็คือการบวกเวกเตอร์สองตัว — เหมือนแรงลัพธ์ทุกประการ เฟสเซอร์คือเครื่องมือที่ทำให้วงจรไฟฟ้ากระแสสลับคำนวณง่ายเท่าวงจรกระแสตรง บทนี้สร้างแนวคิดจากภาพเวกเตอร์ แล้วเชื่อมสู่จำนวนเชิงซ้อนด้วยสูตรออยเลอร์

สรุปใน 30 วินาที

- $V_m\cos(\omega t+\varphi)=\operatorname{Re}\{V_me^{j\varphi}e^{j\omega t}\}$ → เฟสเซอร์ $\mathbf V=V_m\angle\varphi$

- $a+jb=r\angle\theta$, $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\theta=\operatorname{atan2}(b,a)$

- บวก/ลบ: รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (เวกเตอร์) · คูณ/หาร: รูปเชิงขั้ว (คูณขนาด บวกมุม)

- $\dfrac{d}{dt}\leftrightarrow j\omega$: คูณด้วย j คือหมุนไป 90°

## 1. เวกเตอร์หมุน: ไซน์คือเงาของลูกศร พื้นฐาน

วางลูกศรยาว $V_m$ บนระนาบ ให้หมุนทวนเข็มด้วยความเร็วเชิงมุม ω เริ่มที่มุม φ ตอน t = 0 เงาบนแกนนอนคือ $V_m\cos(\omega t+\varphi)$ เงาบนแกนตั้งคือ $V_m\sin(\omega t+\varphi)$ ในวงจรเชิงเส้นที่ทุกสัญญาณมีความถี่เดียวกัน ลูกศรทุกตัวหมุนพร้อมกันด้วย ω เดียว มุมระหว่างลูกศรจึงคงที่ เราจึงถ่ายภาพนิ่งไว้ที่ t = 0 แล้วทำงานกับภาพนิ่งนั้นได้ — ภาพนิ่งนี้คือเฟสเซอร์

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## 2. สูตรออยเลอร์: ลูกศรหมุนเขียนเป็นจำนวนเชิงซ้อน กลาง

จุดบนระนาบ (x, y) เขียนเป็นจำนวนเชิงซ้อน $x+jy$ ได้ (วิศวกรไฟฟ้าใช้ j แทน i เพราะ i คือกระแส) ลูกศรหนึ่งหน่วยที่มุม θ คือ $\cos\theta+j\sin\theta$ สูตรออยเลอร์บอกว่าสิ่งนี้เท่ากับ $e^{j\theta}$ ทำให้การหมุนกลายเป็นการคูณ และการคูณเลขชี้กำลังคือการบวกมุม

H1 Euler's formula สูตรออยเลอร์

$$e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta,\qquad \cos\theta=\operatorname{Re}\{e^{j\theta}\},\quad \sin\theta=\operatorname{Im}\{e^{j\theta}\},\quad j^2=-1$$

พิสูจน์จากอนุกรมเทย์เลอร์ของ $e^x$, $\cos x$, $\sin x$ หรือจาก “$e^{j\theta}$ เป็นคำตอบของ $z'=jz$” ซึ่งคือการเคลื่อนที่ที่ความเร็วตั้งฉากกับตำแหน่งเสมอ = หมุนเป็นวงกลม

H2 Phasor definition นิยามเฟสเซอร์

$$v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi)=\operatorname{Re}\big\{\underbrace{V_me^{j\varphi}}_{\mathbf V}\,e^{j\omega t}\big\}\qquad\Longrightarrow\qquad \mathbf V=V_me^{j\varphi}=V_m\angle\varphi$$

ตำราวงจรส่วนใหญ่อ้างอิงกับ cos ถ้าสัญญาณให้มาเป็น sin ให้แปลงด้วย $\sin x=\cos(x-90^\circ)$ ก่อน หรือใช้ sin เป็นอ้างอิงตลอดทั้งโจทย์ (ห้ามปน)

## 3. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและรูปเชิงขั้ว พื้นฐาน

H3 Rectangular ↔ polar แปลงรูป

$$a+jb=r\angle\theta,\qquad r=\sqrt{a^2+b^2},\quad \theta=\operatorname{atan2}(b,a);\qquad a=r\cos\theta,\quad b=r\sin\theta$$

เหมือนเวกเตอร์สองมิติ (ขนาด-ทิศ ↔ องค์ประกอบ) ทุกประการ ปุ่ม tan⁻¹ ของเครื่องคิดเลขให้มุมแค่ −90° ถึง 90° ต้องดูควอดแรนต์เองเมื่อ a < 0

ตัวอย่าง H-1 · กับดักควอดแรนต์

### เขียน $-3+j4$ ในรูปเชิงขั้ว

- $r=\sqrt{9+16}=5$

- $\tan^{-1}(4/-3)=-53.13^\circ$ แต่จุด (−3, 4) อยู่ควอดแรนต์ II

- $\theta=180^\circ-53.13^\circ=126.87^\circ$ (atan2 ให้ค่านี้โดยตรง)

$-3+j4=5\angle126.87^\circ$ ไม่ใช่ $5\angle-53.13^\circ$ (ซึ่งคือ $3-j4$)

## 4. บวก ลบ คูณ หาร: เลือกรูปให้ถูกงาน พื้นฐาน

H4 Addition / subtraction บวกลบในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

$$(a_1+jb_1)\pm(a_2+jb_2)=(a_1\pm a_2)+j(b_1\pm b_2)$$

คือการบวกเวกเตอร์ (หัวต่อหาง) — KVL และ KCL ในวงจร AC คือการบวกเวกเตอร์ชนิดนี้

H5 Multiplication / division คูณหารในรูปเชิงขั้ว

$$(r_1\angle\theta_1)(r_2\angle\theta_2)=r_1r_2\angle(\theta_1+\theta_2),\qquad \frac{r_1\angle\theta_1}{r_2\angle\theta_2}=\frac{r_1}{r_2}\angle(\theta_1-\theta_2),\qquad \mathbf z^*=r\angle-\theta$$

การคูณคือ “ยืดหด + หมุน” ของเวกเตอร์ ซึ่งไม่มีในพีชคณิตเวกเตอร์ปกติ นี่คือสิ่งที่จำนวนเชิงซ้อนให้เพิ่ม — อิมพีแดนซ์จึงทำหน้าที่ยืดและหมุนเฟสเซอร์กระแสให้เป็นเฟสเซอร์แรงดัน

H6 Multiplying by j คูณด้วย j คือหมุน 90°

$$j=1\angle90^\circ,\qquad -j=\frac1j=1\angle-90^\circ,\qquad j\,(a+jb)=-b+ja$$

ตัวอย่าง H-2 · คูณเฟสเซอร์

### คำนวณ $(10\angle30^\circ)(4-j3)$

- แปลงตัวหลัง: $4-j3=5\angle-36.87^\circ$

- คูณขนาด บวกมุม: $50\angle(30^\circ-36.87^\circ)=50\angle-6.87^\circ$

- กลับเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก: $49.64-j5.98$

$50\angle-6.87^\circ=49.64-j5.98$ — ค่าเริ่มต้นของเครื่องคิดเลขเชิงซ้อนด้านล่าง

ตัวอย่าง H-3 · หารเฟสเซอร์

### คำนวณ $\dfrac{8+j6}{3-j4}$

- $8+j6=10\angle36.87^\circ$, $3-j4=5\angle-53.13^\circ$

- $\dfrac{10}{5}\angle(36.87^\circ+53.13^\circ)=2\angle90^\circ=j2$

- ตรวจด้วยการคูณสังยุค: $\dfrac{(8+j6)(3+j4)}{9+16}=\dfrac{24+j32+j18-24}{25}=\dfrac{j50}{25}=j2$ ✓

$j2=2\angle90^\circ$

เปิด JavaScript เพื่อใช้เครื่องคิดเลข

## 5. บวกไซน์ความถี่เดียวกันด้วยเวกเตอร์และกฎโคไซน์ กลาง

H7 Sum of two sinusoids ผลบวกของไซน์ความถี่เดียวกัน

$$A_1\angle\varphi_1+A_2\angle\varphi_2=A\angle\varphi,\qquad A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)}$$

คือ R1 ของแรงลัพธ์ เพราะเฟสเซอร์คือเวกเตอร์สองมิติ มุมเฟสหาด้วย atan2 ของผลรวมองค์ประกอบ

ตัวอย่าง H-4 · บวกแรงดันสองแหล่ง

### $v_1=100\sin\omega t$ V และ $v_2=80\sin(\omega t+60^\circ)$ V (ใช้ sin เป็นอ้างอิง) จงหา $v_1+v_2$

- เฟสเซอร์: $\mathbf V_1=100\angle0^\circ=100+j0$, $\mathbf V_2=80\angle60^\circ=40+j69.28$

- บวก: $\mathbf V=140+j69.28=156.2\angle26.33^\circ$

- ตรวจด้วยกฎโคไซน์: $\sqrt{100^2+80^2+2(100)(80)\cos60^\circ}=\sqrt{24400}=156.2$ ✓

$v_1+v_2=156.2\sin(\omega t+26.33^\circ)$ V — ไม่ใช่ 180 V

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ตัวอย่าง H-5 · KCL ที่จุดต่อ

### $i_1=10\cos\omega t$ A และ $i_2=6\cos(\omega t+60^\circ)$ A ไหลเข้าจุดต่อเดียวกัน กระแสที่ไหลออกเป็นเท่าไร?

- $\mathbf I=10\angle0^\circ+6\angle60^\circ=(10+3)+j5.196=13+j5.196$

- $\mathbf I=14.0\angle21.79^\circ$ A

$i=14\cos(\omega t+21.79^\circ)$ A — ตัวอย่างเดียวกับ R-8

## 6. อนุพันธ์กลายเป็นการคูณด้วย jω กลาง

H8 Calculus in the phasor domain อนุพันธ์และปริพันธ์

$$\frac{dv}{dt}\ \longleftrightarrow\ j\omega\mathbf V,\qquad \int v\,dt\ \longleftrightarrow\ \frac{\mathbf V}{j\omega}$$

เพราะ $\frac{d}{dt}e^{j\omega t}=j\omega e^{j\omega t}$ — การคูณ jω คือขยาย ω เท่าและหมุน +90° ตรงกับ W8 ผลคือ $\mathbf V_L=j\omega L\,\mathbf I$ และ $\mathbf I_C=j\omega C\,\mathbf V$ สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรกลายเป็นพีชคณิต

ตัวอย่าง H-6 · แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

### กระแส $i=2\cos(1000t)$ A ไหลผ่าน L = 50 mH จงหา v(t)

- $\mathbf I=2\angle0^\circ$, $j\omega L=j(1000)(0.05)=j50\ \Omega$

- $\mathbf V=j50\times2\angle0^\circ=100\angle90^\circ$ V

- ตรวจในโดเมนเวลา: $L\,di/dt=0.05(-2000\sin1000t)=-100\sin1000t=100\cos(1000t+90^\circ)$ ✓

$v(t)=100\cos(1000t+90^\circ)$ V แรงดันนำหน้ากระแส 90°

## 7. เฟสเซอร์ค่ายอดหรือค่า RMS? พื้นฐาน

H9 Peak vs RMS phasors สองธรรมเนียมการเขียน

$$\mathbf V_{\text{peak}}=V_m\angle\varphi,\qquad \mathbf V_{\text{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt2}\angle\varphi,\qquad \mathbf S=\mathbf V_{\text{rms}}\mathbf I_{\text{rms}}^*=\tfrac12\mathbf V_{\text{peak}}\mathbf I_{\text{peak}}^*$$

งานไฟฟ้ากำลัง (ไฟบ้าน 220∠0° V) ใช้ RMS เพื่อให้สูตรกำลังสะอาด ส่วนงานอิเล็กทรอนิกส์และตำราวงจรหลายเล่มใช้ค่ายอด สิ่งสำคัญคือใช้แบบเดียวตลอดโจทย์

## 8. เมื่อไหร่ใช้เฟสเซอร์ไม่ได้ กลาง

- ความถี่ต่างกัน: ลูกศรหมุนด้วยความเร็วต่างกัน มุมระหว่างกันเปลี่ยนตลอด ไม่มีเฟสเซอร์ผลรวม (ลองในแล็บบวกไซน์ เลือก “2 เท่า”) ต้องใช้ superposition ทีละความถี่ ดู วิเคราะห์วงจรด้วยอนุกรมฟูเรียร์

- ช่วงเปลี่ยนสภาวะ (transient): เฟสเซอร์ให้เฉพาะสภาวะคงตัวของไซน์ ช่วงเปิดสวิตช์ต้องใช้ การแปลงลาปลาซ

- วงจรไม่เชิงเส้น: ไดโอด แกนเหล็กอิ่มตัว อินเวอร์เตอร์ — สร้างฮาร์มอนิก ไซน์เข้าไม่ได้ไซน์ออก

## 9. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

| ข้อผิดพลาด | วิธีป้องกัน |

| บวกเฟสเซอร์ในรูปเชิงขั้ว (บวกขนาด บวกมุม) | บวกต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเสมอ |

| tan⁻¹ ผิดควอดแรนต์ | ใช้ atan2 หรือวาดจุดก่อน (H-1) |

| ปน sin กับ cos เป็นอ้างอิง | แปลงทุกสัญญาณให้อ้างอิงเดียวกันก่อนเขียนเฟสเซอร์ |

| ปนค่ายอดกับ RMS | ระบุให้ชัดแต่ต้น โดยเฉพาะตอนคำนวณกำลัง |

| เขียน v(t) = 100∠30° | เฟสเซอร์ไม่ใช่ฟังก์ชันเวลา ต้องแปลงกลับ $v(t)=100\cos(\omega t+30^\circ)$ |

## 10. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

- แปลง $-5-j5$ และ $12\angle-150^\circ$ ไปอีกรูปหนึ่ง

- คำนวณ $(6\angle20^\circ)(2\angle-50^\circ)/(3\angle-90^\circ)$

- $10\cos(\omega t+45^\circ)-10\cos(\omega t-45^\circ)$ = ?

- ประจุ C = 100 μF มีแรงดัน $10\cos(500t)$ V จงหากระแสด้วยเฟสเซอร์

เปิดเฉลย

- $-5-j5=7.071\angle-135^\circ$; $12\angle-150^\circ=-10.39-j6$

- $\dfrac{12\angle-30^\circ}{3\angle-90^\circ}=4\angle60^\circ$

- $(7.071+j7.071)-(7.071-j7.071)=j14.14=14.14\angle90^\circ$ → $14.14\cos(\omega t+90^\circ)=-14.14\sin\omega t$

- $\mathbf I=j\omega C\mathbf V=j(500)(10^{-4})(10)=j0.5$ → $i=0.5\cos(500t+90^\circ)$ A (กระแสนำหน้า 90°)

## 11. สรุปสูตร

| หัวข้อ | สูตร |

| H1–H2 | $e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$, $\mathbf V=V_m\angle\varphi$ |

| H3 แปลงรูป | $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\theta=\operatorname{atan2}(b,a)$ |

| H4–H6 ดำเนินการ | บวก: สี่เหลี่ยมมุมฉาก · คูณ/หาร: เชิงขั้ว · j = หมุน 90° |

| H7 บวกไซน์ | กฎโคไซน์ของเวกเตอร์ |

| H8 แคลคูลัส | $d/dt\to j\omega$, $\int\to1/(j\omega)$ |

| H9 RMS | $\mathbf S=\mathbf V_{\text{rms}}\mathbf I_{\text{rms}}^*$ |

## 12. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

- C. K. Alexander & M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits, บทที่ 9 Sinusoids and Phasors

- MIT OCW 6.002 Circuits and Electronics — Sinusoidal steady state และ impedance

- OpenStax University Physics Vol. 2 §15.2–15.3 — แผนภาพเฟสเซอร์ของ R, L, C

ต่อไป: นำเฟสเซอร์ไปวิเคราะห์วงจรจริงใน วิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับด้วยเฟสเซอร์

## คำถามที่พบบ่อย

เฟสเซอร์คืออะไร?
เฟสเซอร์คือจำนวนเชิงซ้อน (หรือเวกเตอร์สองมิติ) ที่เก็บแอมพลิจูดและมุมเฟสของสัญญาณไซน์ความถี่หนึ่ง เช่น v(t) = 311 cos(ωt + 30°) เขียนเป็น V = 311∠30° ภาพในใจคือลูกศรยาว 311 ที่หมุนด้วยความเร็ว ω แล้วถ่ายภาพไว้ที่ t = 0 สัญญาณจริงคือเงาของลูกศรบนแกนจริง

ทำไมต้องใช้เฟสเซอร์?
เพราะเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ของวงจร RLC ให้เป็นพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน อนุพันธ์กลายเป็นการคูณด้วย jω ทำให้ใช้กฎของโอห์ม KVL KCL และการหารแรงดันแบบวงจรกระแสตรงได้ทันที โดยตัวต้านทานกลายเป็นอิมพีแดนซ์

บวกเฟสเซอร์อย่างไร?
แปลงเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก a + jb แล้วบวกส่วนจริงกับส่วนจริง ส่วนจินตภาพกับส่วนจินตภาพ เหมือนบวกเวกเตอร์สองมิติ ส่วนการคูณและหารทำในรูปเชิงขั้วง่ายกว่า คือคูณขนาดและบวกมุม

เฟสเซอร์ใช้กับสัญญาณที่ความถี่ต่างกันได้ไหม?
ไม่ได้โดยตรง เฟสเซอร์ใช้ได้เมื่อทุกสัญญาณมีความถี่เดียวกันในสภาวะคงตัวของวงจรเชิงเส้น ถ้ามีหลายความถี่ ต้องแก้ทีละความถี่แล้วนำผลในเวลามาบวกกัน (superposition) เช่น การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกด้วยอนุกรมฟูเรียร์

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**เฟสเซอร์คืออะไร?**
เฟสเซอร์คือจำนวนเชิงซ้อน (หรือเวกเตอร์สองมิติ) ที่เก็บแอมพลิจูดและมุมเฟสของสัญญาณไซน์ความถี่หนึ่ง เช่น v(t) = 311 cos(ωt + 30°) เขียนเป็น V = 311∠30° ภาพในใจคือลูกศรยาว 311 ที่หมุนด้วยความเร็ว ω แล้วถ่ายภาพไว้ที่ t = 0 สัญญาณจริงคือเงาของลูกศรบนแกนจริง

**ทำไมต้องใช้เฟสเซอร์?**
เพราะเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ของวงจร RLC ให้เป็นพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน อนุพันธ์กลายเป็นการคูณด้วย jω ทำให้ใช้กฎของโอห์ม KVL KCL และการหารแรงดันแบบวงจรกระแสตรงได้ทันที โดยตัวต้านทานกลายเป็นอิมพีแดนซ์

**บวกเฟสเซอร์อย่างไร?**
แปลงเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก a + jb แล้วบวกส่วนจริงกับส่วนจริง ส่วนจินตภาพกับส่วนจินตภาพ เหมือนบวกเวกเตอร์สองมิติ ส่วนการคูณและหารทำในรูปเชิงขั้วง่ายกว่า คือคูณขนาดและบวกมุม

**เฟสเซอร์ใช้กับสัญญาณที่ความถี่ต่างกันได้ไหม?**
ไม่ได้โดยตรง เฟสเซอร์ใช้ได้เมื่อทุกสัญญาณมีความถี่เดียวกันในสภาวะคงตัวของวงจรเชิงเส้น ถ้ามีหลายความถี่ ต้องแก้ทีละความถี่แล้วนำผลในเวลามาบวกกัน (superposition) เช่น การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกด้วยอนุกรมฟูเรียร์

---

# แรงลัพธ์ด้วยกฎของโคไซน์และกฎของไซน์

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/resultant-forces/
Updated: 2026-10-13
Summary: หาแรงลัพธ์ภาษาไทยแบบเข้มข้น: พิสูจน์กฎโคไซน์และกฎไซน์จากเวกเตอร์ รวมสองแรงด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยมแรง หาทิศด้วยกฎไซน์และกรณีมุมป้าน แตกแรงตามสองแนวที่ไม่ตั้งฉาก แรงที่สองน้อยที่สุด รวมหลายแรงด้วยองค์ประกอบ สมดุลสามแรงและทฤษฎีลามี และการรวมกระแสไฟฟ้าที่จุดต่อ พร้อมแล็บโต๊ะแรงเสมือน

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 3 · Resultant forces: laws of sines & cosines

# แรงลัพธ์ด้วยกฎของโคไซน์และกฎของไซน์

เรือลากสองลำดึงเรือใหญ่คนละมุม เชือกสองเส้นแขวนโคมไฟ กระแสสองสาขาไหลมารวมที่จุดต่อ ทั้งหมดคือคำถามเดียวกัน: สองเวกเตอร์รวมกันได้เท่าไร ชี้ไปทางไหน บทนี้พิสูจน์กฎโคไซน์และกฎไซน์จากพีชคณิตเวกเตอร์ แล้วใช้มันอย่างมืออาชีพ ทั้งรวมแรง แตกแรงตามแนวที่กำหนด หาแรงน้อยที่สุด และแก้สมดุลสามแรง พร้อมโต๊ะแรงเสมือนแบบห้องแล็บฟิสิกส์ 1

สรุปใน 30 วินาที

- ขนาดแรงลัพธ์: $R^2=F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta$ เมื่อ θ = มุมระหว่างสองแรง (ต่อหาง)

- ในสามเหลี่ยมแรงใช้มุมภายใน $\beta=180^\circ-\theta$: $R^2=F_1^2+F_2^2-2F_1F_2\cos\beta$

- ทิศ: $\dfrac{\sin\alpha}{F_2}=\dfrac{\sin\beta}{R}$ แล้วตรวจกรณีมุมป้าน

- สามแรงขึ้นไปหรือสามมิติ: รวมองค์ประกอบ $R_x=\sum F_x,\ R_y=\sum F_y$ ปลอดภัยที่สุด

## 1. สามวิธีหาแรงลัพธ์ และควรเลือกวิธีไหน พื้นฐาน

วิธีที่ 1 · กราฟ

### วาดหัวต่อหางตามสเกล
วัดความยาวและมุมด้วยไม้บรรทัด-โปรแทรกเตอร์ เห็นภาพชัด ความแม่นยำจำกัดที่ ±2%

วิธีที่ 2 · ตรีโกณมิติ

### กฎโคไซน์ + กฎไซน์
เร็วที่สุดสำหรับสองแรง หรือสามแรงที่สมดุล ใช้มุมจากโจทย์โดยตรง

วิธีที่ 3 · องค์ประกอบ

### รวม x, y (, z)
เป็นระบบสำหรับหลายแรงและสามมิติ เครื่องคิดเลขทำได้ทันที ใช้ตรวจวิธีที่ 2

วิศวกรที่ชำนาญใช้ทั้งสองแบบคู่กัน: ตรีโกณมิติให้คำตอบสั้นและเข้าใจเรขาคณิต ส่วนองค์ประกอบใช้ตรวจคำตอบ ถ้าสองวิธีให้ตัวเลขต่างกัน แปลว่ามีมุมใดมุมหนึ่งถูกอ่านผิด

## 2. กฎของโคไซน์: พิสูจน์ด้วย dot product พื้นฐาน

ให้ $\mathbf R=\mathbf F_1+\mathbf F_2$ แล้วคูณ dot กับตัวเอง ใช้ $\mathbf a\cdot\mathbf a=\lVert\mathbf a\rVert^2$ และ $\mathbf F_1\cdot\mathbf F_2=F_1F_2\cos\theta$:

$$R^2=(\mathbf F_1+\mathbf F_2)\cdot(\mathbf F_1+\mathbf F_2)=F_1^2+F_2^2+2\,\mathbf F_1\cdot\mathbf F_2=F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta$$

นี่คือรูปแบบ “สี่เหลี่ยมด้านขนาน” ที่ θ เป็นมุมระหว่างสองแรงเมื่อวางหางชนกัน ถ้าวาดแบบหัวต่อหางเป็นสามเหลี่ยม มุมภายในที่อยู่ตรงข้าม R คือ $\beta=180^\circ-\theta$ และ $\cos\beta=-\cos\theta$ จึงได้รูปที่คุ้นเคยจากตรีโกณมิติ

สองภาพเป็นเรื่องเดียวกัน: ครึ่งล่างของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือสามเหลี่ยมแรง

R1 Parallelogram law (angle between the forces) ขนาดแรงลัพธ์จากมุมระหว่างแรง

$$R=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta},\qquad |F_1-F_2|\le R\le F_1+F_2$$

θ = 0° ได้ $R=F_1+F_2$ (ดึงทางเดียวกัน) θ = 180° ได้ $R=|F_1-F_2|$ θ = 90° ได้พีทาโกรัส

R2 Law of cosines (force triangle) กฎของโคไซน์ในสามเหลี่ยมแรง

$$R^2=F_1^2+F_2^2-2F_1F_2\cos\beta,\qquad \beta=180^\circ-\theta,\qquad \cos\beta=\frac{F_1^2+F_2^2-R^2}{2F_1F_2}$$

รูปหลังใช้หามุมเมื่อรู้ขนาดทั้งสามด้าน เช่น จากโต๊ะแรงที่รู้แต่มวล

ตัวอย่าง R-1 · สองแรงบนห่วงยึด

### F₁ = 600 N ชี้ตาม +x และ F₂ = 400 N ชี้ทำมุม 50° จาก +x จงหาขนาดและทิศของแรงลัพธ์

- มุมระหว่างสองแรง θ = 50° → มุมภายในสามเหลี่ยมตรงข้าม R: β = 180° − 50° = 130°

- $R^2=600^2+400^2-2(600)(400)\cos130^\circ=360000+160000+308538=828538\Rightarrow R=910.2$ N

- กฎไซน์: $\sin\alpha=\dfrac{400\sin130^\circ}{910.2}=0.3366\Rightarrow\alpha=19.67^\circ$ (มุมระหว่าง F₁ กับ R)

- F₂ อยู่ทวนเข็มจาก F₁ ดังนั้นทิศของ R = 0° + 19.67° = 19.67°

- ตรวจด้วยองค์ประกอบ: $R_x=600+400\cos50^\circ=857.1$, $R_y=400\sin50^\circ=306.4$ → 910.2 N ที่ 19.67° ✓

$R=910$ N ที่ 19.7° จากแกน +x

## 3. กฎของไซน์: หาทิศ และกับดักมุมป้าน กลาง

พื้นที่ของสามเหลี่ยมแรงเขียนได้สามแบบตามคู่ด้านที่เลือก: $\tfrac12 F_1F_2\sin\beta=\tfrac12 F_1R\sin\alpha=\tfrac12F_2R\sin\gamma$ ซึ่งก็คือครึ่งหนึ่งของ $\lVert\mathbf a\times\mathbf b\rVert$ ของแต่ละคู่ หารทุกพจน์ด้วย $\tfrac12F_1F_2R$ ได้กฎของไซน์ทันที

R3 Law of sines กฎของไซน์

$$\frac{F_1}{\sin\gamma}=\frac{F_2}{\sin\alpha}=\frac{R}{\sin\beta}$$

มุมแต่ละมุมอยู่ตรงข้ามด้านที่จับคู่: α ตรงข้าม F₂ (คือมุมระหว่าง F₁ กับ R) γ ตรงข้าม F₁ และ β ตรงข้าม R

R4 Ambiguity of arcsin arcsin ให้มุมแหลมเท่านั้น

$$\alpha=\begin{cases}\arcsin\!\Big(\dfrac{F_2\sin\beta}{R}\Big), & F_2^2\le F_1^2+R^2\\[2mm] 180^\circ-\arcsin\!\Big(\dfrac{F_2\sin\beta}{R}\Big), & F_2^2>F_1^2+R^2\end{cases}$$

มุมตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุดเป็นมุมเดียวที่อาจป้านได้ ถ้าสงสัยให้หามุมด้วยกฎโคไซน์รูป R2 แทน เพราะ arccos ไม่กำกวมในช่วง 0°–180°

ตัวอย่าง R-2 · เรือลากสองลำ

### เรือลาก A ดึง 5 kN ทำมุม 20° ทางซ้ายของแนวเรือ เรือลาก B ดึง 4 kN ทำมุม 30° ทางขวา จงหาแรงลัพธ์และมุมเบนจากแนวเรือ

- มุมระหว่างสองแรง θ = 20° + 30° = 50° → β = 130°

- $R=\sqrt{25+16-2(5)(4)\cos130^\circ}=\sqrt{66.71}=8.168$ kN

- มุมระหว่างแรง A กับ R: $\sin\alpha=4\sin130^\circ/8.168=0.3751\Rightarrow\alpha=22.03^\circ$ (A ไม่ใช่ด้านยาวสุด จึงไม่ป้าน)

- R เบนจากแนวของ A ไปทาง B 22.03° → ทิศ R = 20° − 22.03° = −2.03° คือเบนไปทางขวา 2.0°

$R=8.17$ kN เบนขวา 2.0° — ถ้าต้องการให้ R ตรงแนวเรือ ต้องเพิ่มแรงของ B หรือลดมุมของ A

ตัวอย่าง R-3 · กับดักมุมป้าน

### F₁ = 200 N ที่ 0° และ F₂ = 500 N ที่ 150° จงหาทิศของแรงลัพธ์ด้วยกฎของไซน์อย่างถูกต้อง

- θ = 150° → β = 30°

$$R=\sqrt{200^2+500^2-2(200)(500)\cos30^\circ}=341.8\ \text{N}$$

- $\arcsin(500\sin30^\circ/341.8)=\arcsin(0.7314)=47.01^\circ$ — ถ้าใช้ค่านี้ตรง ๆ จะผิด!

- ตรวจ R4: $F_2^2=250000$ มากกว่า $F_1^2+R^2=156795$ → α ป้าน: $\alpha=180^\circ-47.01^\circ=132.99^\circ$

- ตรวจด้วยองค์ประกอบ: $R_x=200+500\cos150^\circ=-233.0$, $R_y=250$ → มุม 132.99° ✓

R = 341.8 N ที่ 133.0° — แรงลัพธ์ “กลับหลัง” F₁ เพราะ F₂ ใหญ่และชี้ถอยหลัง

## 4. แตกแรงหนึ่งแรงตามสองแนวที่กำหนด (ไม่จำเป็นต้องตั้งฉาก) กลาง

งานโครงสร้างและเครนมักมีชิ้นส่วนสองชิ้นรับแรงตามแนวของมันเอง เช่น บูมกับสายเคเบิล เราต้องแตกแรงภายนอกหนึ่งแรงเป็นสองส่วนตามแนว u และ v ที่กำหนด วาดสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยลากเส้นจากปลายแรงขนานกับแต่ละแนว แล้วใช้กฎของไซน์ในสามเหลี่ยมที่ได้

R5 Components along two oblique lines แตกแรงตามแนว u และ v

$$F_u=F\,\frac{\sin(\theta_v-\theta_F)}{\sin(\theta_v-\theta_u)},\qquad F_v=F\,\frac{\sin(\theta_F-\theta_u)}{\sin(\theta_v-\theta_u)}$$

θ แต่ละตัววัดจากแกน +x ทวนเข็ม ค่าลบแปลว่าองค์ประกอบชี้สวนทิศของแนวที่กำหนด F_u ไม่เท่ากับการฉาย $\mathbf F\cdot\mathbf u$ เว้นแต่ u ตั้งฉากกับ v

ตัวอย่าง R-4 · แตกแรง 500 N ตามสองแนว

### แรง 500 N ชี้ที่ 60° จงแตกเป็นองค์ประกอบตามแนว u (0°) และแนว v (105°)

- มุมในสามเหลี่ยม: ระหว่าง F กับ v = 45°, ระหว่าง F กับ u = 60°, ระหว่าง u กับ v = 105° → มุมตรงข้าม F คือ 180° − 105° = 75°

- $F_u=500\sin45^\circ/\sin105^\circ=366.0$ N และ $F_v=500\sin60^\circ/\sin105^\circ=448.3$ N

- ตรวจ: $366.0(1,0)+448.3(\cos105^\circ,\sin105^\circ)=(250.0,\ 433.0)=500(\cos60^\circ,\sin60^\circ)$ ✓

- เทียบการฉาย $\mathbf F\cdot\hat{\mathbf u}=250$ N ≠ 366.0 N: สองความหมายนี้ต่างกันเมื่อแนวไม่ตั้งฉาก

$F_u=366$ N, $F_v=448$ N — ผลรวมขนาด 814 N มากกว่า 500 N ได้ เพราะเป็นเวกเตอร์

R6 Minimum second force แรงที่สองน้อยที่สุดเมื่อกำหนดแนวของแรงลัพธ์

$$F_{2,\min}=F_1\sin\phi\quad\text{เมื่อ }\mathbf F_2\perp\mathbf R,\qquad R=F_1\cos\phi$$

φ คือมุมระหว่าง F₁ กับแนวที่ต้องการให้ R อยู่ ระยะสั้นที่สุดจากจุดปลาย F₁ ไปยังเส้นตรงคือเส้นตั้งฉาก

ตัวอย่าง R-5 · ดึงให้ลัพธ์ตามแนว 30° ด้วยแรงน้อยที่สุด

### F₁ = 800 N ตามแกน +x ต้องเพิ่ม F₂ ให้แรงลัพธ์อยู่ในแนว 30° จาก +x จงหา F₂ ที่น้อยที่สุดและทิศของมัน

- F₂ น้อยที่สุดเมื่อตั้งฉากกับแนวของ R: ทิศ F₂ = 30° + 90° = 120°

- $F_{2,\min}=800\sin30^\circ=400$ N และ $R=800\cos30^\circ=692.8$ N

F₂ = 400 N ที่ 120° · ใช้หลักนี้ออกแบบสายยึดและการวางรอกให้ใช้แรงน้อยที่สุด

## 5. แล็บ: สามเหลี่ยมแรงที่ปรับได้ พื้นฐาน

เปลี่ยนขนาดและทิศของสองแรง แล็บจะวาดสามเหลี่ยมแรงพร้อมมุม α และ β แสดงวิธีทำทั้งกฎโคไซน์ กฎไซน์ และตรวจด้วยองค์ประกอบ ลองตั้ง F₁ = 200, F₂ = 500 ที่ 150° เพื่อดูกรณีมุมป้านของตัวอย่าง R-3 เลือกโจทย์ “แตกแรง” เพื่อตรวจตัวอย่าง R-4

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## 6. สามแรงขึ้นไป: วิธีองค์ประกอบที่ไม่พลาด พื้นฐาน

R7 Resultant by rectangular components แรงลัพธ์จากองค์ประกอบ

$$R_x=\sum_i F_i\cos\theta_i,\quad R_y=\sum_i F_i\sin\theta_i,\quad R=\sqrt{R_x^2+R_y^2},\quad \theta_R=\operatorname{atan2}(R_y,R_x)$$

ใช้ atan2 (หรือดูเครื่องหมายของ R_x, R_y) เพื่อให้ได้ควอดแรนต์ถูก ห้ามใช้ $\arctan(R_y/R_x)$ โดยไม่ตรวจ

ตัวอย่าง R-6 · แรงสามแรงบนเพลต

### F₁ = 200 N ที่ 30°, F₂ = 150 N ที่ 135°, F₃ = 300 N ที่ 250° จงหาแรงลัพธ์

- F₁: (173.2, 100.0) · F₂: (−106.1, 106.1) · F₃: (−102.6, −281.9) N

- $R_x=173.2-106.1-102.6=-35.47$ N, $R_y=100.0+106.1-281.9=-75.84$ N

- $R=\sqrt{35.47^2+75.84^2}=83.73$ N; ควอดแรนต์ III: $\theta_R=\operatorname{atan2}(-75.84,-35.47)=-115.06^\circ=244.94^\circ$

- ถ้าใช้ $\arctan(75.84/35.47)=64.9^\circ$ ตรง ๆ จะได้ทิศตรงข้ามจริง 180°

R = 83.7 N ที่ 244.9° (ชี้ลงซ้าย)

## 7. สมดุลสามแรงและทฤษฎีของลามี กลาง

ถ้าสามแรงร่วมจุดรวมกันเป็นศูนย์ ลูกศรทั้งสามต่อหัวต่อหางแล้วต้องปิดเป็นสามเหลี่ยม ใช้กฎของไซน์กับสามเหลี่ยมนั้นได้ทฤษฎีของลามี มุมที่ใช้คือมุมระหว่างอีกสองแรง (วัดที่จุดร่วม)

R8 Lami's theorem ทฤษฎีของลามี

$$\frac{F_1}{\sin\alpha_{23}}=\frac{F_2}{\sin\alpha_{31}}=\frac{F_3}{\sin\alpha_{12}}$$

$\alpha_{23}$ คือมุมระหว่าง F₂ กับ F₃ ที่จุดร่วม ใช้ได้เฉพาะสามแรงที่สมดุลและร่วมจุดเท่านั้น

R9 Two cables holding a weight แรงตึงในเชือกสองเส้น

$$T_1=\frac{W\cos\theta_2}{\sin(\theta_1+\theta_2)},\qquad T_2=\frac{W\cos\theta_1}{\sin(\theta_1+\theta_2)}$$

θ₁ θ₂ คือมุมของเชือกกับแนวราบ ได้จาก ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 เมื่อ θ เล็ก แรงตึงพุ่งสูงมาก นี่คือเหตุผลที่สายไฟฟ้าต้องหย่อน

ตัวอย่าง R-7 · โคมไฟ 50 kg

### โคมไฟ 50 kg แขวนด้วยเชือกที่ทำมุม 30° และ 45° กับแนวราบ จงหาแรงตึงทั้งสองเส้น

- W = 50 × 9.81 = 490.5 N

- มุมระหว่างแรงที่จุดร่วม: T₁ กับ T₂ = 180° − 30° − 45° = 105°; T₂ กับ W = 90° + 45° = 135°; W กับ T₁ = 90° + 30° = 120°

- ลามี: $\dfrac{T_1}{\sin135^\circ}=\dfrac{T_2}{\sin120^\circ}=\dfrac{490.5}{\sin105^\circ}=507.8$ N

- $T_1=507.8\sin135^\circ=359.1$ N และ $T_2=507.8\sin120^\circ=439.8$ N

T₁ = 359 N (เส้น 30°), T₂ = 440 N (เส้น 45°) — เส้นที่ชันกว่ารับแรงมากกว่า

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## 8. โต๊ะแรง: การทดลองฟิสิกส์ 1 ที่ใช้ทุกสูตรในบทนี้ พื้นฐาน

โต๊ะแรงคือวงกลมมีสเกลองศา ห่วงตรงกลางถูกดึงด้วยเชือกผ่านรอกที่ขอบโต๊ะ ปลายเชือกแขวนมวล แรงในเชือกคือ mg นักศึกษาตั้งแรง F₁ F₂ แล้วหาแรงที่สามที่ทำให้ห่วงอยู่กลางหมุดพอดี (แรงสมดุล E = −R) จากนั้นเทียบกับทฤษฎีด้วย %error ตั้งค่าเริ่มต้นเป็น 200 g ที่ 20° กับ 150 g ที่ 110° ซึ่งตั้งฉากกัน ทำให้ได้สามเหลี่ยม 3-4-5: R = 250 g-แรง

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ใบงานฉบับเต็มพร้อมตารางบันทึกผลอยู่ใน แล็บกลศาสตร์เสมือน

## 9. กฎเดียวกันในวงจรไฟฟ้า: รวมกระแสและแรงดัน AC กลาง

กระแสไฟฟ้ากระแสสลับสองสาขาที่ความถี่เดียวกันรวมกันที่จุดต่อแบบเวกเตอร์ (เฟสเซอร์) ขนาดกระแสรวมจึงใช้กฎของโคไซน์ได้ตรง ๆ โดย θ คือความต่างเฟส นี่คือเหตุผลที่แอมมิเตอร์สองตัวอ่าน 10 A กับ 6 A แต่สายรวมไม่ได้อ่าน 16 A

ตัวอย่าง R-8 · กระแสรวมที่จุดต่อ

### สาขาที่ 1 มีกระแส 10 A (RMS) ที่มุมเฟส 0° สาขาที่ 2 มีกระแส 6 A ที่มุมเฟส 60° จงหากระแสในสายรวม

- KCL แบบเฟสเซอร์: $\mathbf I=\mathbf I_1+\mathbf I_2$ (ความถี่เดียวกัน)

- $I=\sqrt{10^2+6^2+2(10)(6)\cos60^\circ}=\sqrt{196}=14$ A

- มุมเฟส: $\sin\alpha=6\sin120^\circ/14=0.3712\Rightarrow\alpha=21.79^\circ$

$\mathbf I=14\angle21.79^\circ$ A — ไม่ใช่ 16 A รายละเอียดอยู่ใน พื้นฐานเฟสเซอร์

## 10. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

| ข้อผิดพลาด | วิธีป้องกัน |

| ใช้ θ (มุมระหว่างแรง) ในรูป “ลบ” ของกฎโคไซน์ | รูป “บวก” ใช้ θ, รูป “ลบ” ใช้มุมภายใน β = 180° − θ ตรวจ: R ต้องไม่เกิน F₁ + F₂ |

| จับคู่ด้านกับมุมผิดในกฎไซน์ | มุมต้อง “อยู่ตรงข้าม” ด้านที่หาร วาดสามเหลี่ยมแล้วเขียนชื่อมุมก่อนแทนค่า |

| เชื่อ arcsin โดยไม่ตรวจ | ใช้ R4 หรือหามุมด้วย R2 (arccos) |

| สับสนองค์ประกอบตามแนวเฉียงกับการฉาย | แนวไม่ตั้งฉาก → ใช้ R5 ไม่ใช่ dot product |

| ใช้ทฤษฎีลามีกับแรงที่ไม่ร่วมจุดหรือไม่สมดุล | ลามีมาจากสามเหลี่ยมแรงปิด ต้องสมดุลและร่วมจุด |

| บวกกระแส AC สองสาขาเป็นตัวเลข | บวกแบบเวกเตอร์ (เฟสเซอร์) เสมอ |

## 11. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

- แรง 8 kN และ 6 kN ทำมุม 90° กัน จงหาแรงลัพธ์และมุมกับแรง 8 kN

- แรง 300 N และ 300 N ทำมุม 120° กัน แรงลัพธ์มีขนาดเท่าไร?

- R = 1 kN ต้องแตกตามแนว u ที่ทำมุม 30° ใต้ R และแนว v ที่ทำมุม 45° เหนือ R จงหา F_u, F_v

- มวล 20 kg แขวนด้วยเชือกสองเส้นทำมุม 60° กับแนวราบทั้งคู่ แรงตึงแต่ละเส้นเท่าไร?

- แรงดัน AC 120 V ที่ 0° กับ 160 V ที่ 90° ต่ออนุกรมกัน แรงดันรวมเท่าไร?

เปิดเฉลย

- R = √(64 + 36) = 10 kN, มุม = arctan(6/8) = 36.87°

- R = √(90000 + 90000 + 2·90000·cos120°) = √90000 = 300 N (สามเหลี่ยมด้านเท่า)

- มุมตรงข้าม R = 180° − 75° = 105°: F_u = 1000 sin45°/sin105° = 732.1 N, F_v = 1000 sin30°/sin105° = 517.6 N

- T = W cos60°/sin120° = 196.2 × 0.5/0.866 = 113.3 N ต่อเส้น

- |V| = √(120² + 160²) = 200 V ที่ 53.13° (ไม่ใช่ 280 V)

## 12. สรุปสูตร

| ต้องการ | สูตร |

| ขนาด R จากมุมระหว่างแรง | R1 $R^2=F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta$ |

| ขนาด/มุมในสามเหลี่ยมแรง | R2 กฎของโคไซน์ |

| ทิศของ R | R3 กฎของไซน์ + R4 ตรวจมุมป้าน |

| แตกแรงตามสองแนว | R5 |

| แรงน้อยที่สุด | R6 ตั้งฉากกับแนวของ R |

| หลายแรง | R7 องค์ประกอบ + atan2 |

| สมดุลสามแรง | R8 ลามี, R9 เชือกสองเส้น |

## 13. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

- OpenStax University Physics Vol. 1 §2.1 Scalars and Vectors — การบวกเวกเตอร์ด้วยกราฟและกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน

- OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.1–10.2 Law of Sines / Law of Cosines — กรณีกำกวมของกฎไซน์

- R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics, บทที่ 2–3 (vector addition of forces, equilibrium of a particle)

ต่อไป: แรงที่ไม่ร่วมจุดทำให้เกิดการหมุน ไปที่ ระบบแรงและโมเมนต์ หรือดูมุมสามมิติใน ทิศทางโคไซน์

## คำถามที่พบบ่อย

หาแรงลัพธ์ของสองแรงด้วยกฎของโคไซน์อย่างไร?
ถ้าสองแรง F₁ กับ F₂ ทำมุม θ กัน ขนาดแรงลัพธ์คือ R = √(F₁² + F₂² + 2F₁F₂cos θ) (แบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน) หรือเขียนเป็นสามเหลี่ยมแรง R² = F₁² + F₂² − 2F₁F₂cos β โดย β = 180° − θ คือมุมภายในสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้าม R ทั้งสองสูตรให้ค่าเดียวกัน

หาทิศของแรงลัพธ์ด้วยกฎของไซน์อย่างไร?
ใช้ sin α / F₂ = sin β / R โดย α คือมุมระหว่าง F₁ กับ R แล้วบวกหรือลบ α จากทิศของ F₁ ระวังว่า arcsin ให้มุมแหลมเท่านั้น ถ้า F₂² > F₁² + R² มุม α จริงเป็นมุมป้าน 180° − α ควรตรวจด้วยองค์ประกอบทุกครั้ง

เมื่อไหร่ควรใช้กฎไซน์-โคไซน์ เมื่อไหร่ควรใช้องค์ประกอบ?
สองแรง หรือสามแรงที่สมดุล ใช้ตรีโกณมิติของสามเหลี่ยมแรงได้เร็วและเห็นภาพ ส่วนสามแรงขึ้นไปหรือแรงสามมิติ ใช้การรวมองค์ประกอบ x y z ซึ่งเป็นระบบกว่าและพลาดน้อยกว่า

ทฤษฎีของลามีคืออะไร?
เมื่อแรงสามแรงที่ร่วมจุดอยู่ในสมดุล ขนาดของแต่ละแรงหารด้วยไซน์ของมุมระหว่างอีกสองแรงมีค่าเท่ากันหมด F₁/sin α = F₂/sin β = F₃/sin γ ใช้หาแรงตึงในเชือกที่แขวนวัตถุได้ทันที

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**หาแรงลัพธ์ของสองแรงด้วยกฎของโคไซน์อย่างไร?**
ถ้าสองแรง F₁ กับ F₂ ทำมุม θ กัน ขนาดแรงลัพธ์คือ R = √(F₁² + F₂² + 2F₁F₂cos θ) (แบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน) หรือเขียนเป็นสามเหลี่ยมแรง R² = F₁² + F₂² − 2F₁F₂cos β โดย β = 180° − θ คือมุมภายในสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้าม R ทั้งสองสูตรให้ค่าเดียวกัน

**หาทิศของแรงลัพธ์ด้วยกฎของไซน์อย่างไร?**
ใช้ sin α / F₂ = sin β / R โดย α คือมุมระหว่าง F₁ กับ R แล้วบวกหรือลบ α จากทิศของ F₁ ระวังว่า arcsin ให้มุมแหลมเท่านั้น ถ้า F₂² > F₁² + R² มุม α จริงเป็นมุมป้าน 180° − α ควรตรวจด้วยองค์ประกอบทุกครั้ง

**เมื่อไหร่ควรใช้กฎไซน์-โคไซน์ เมื่อไหร่ควรใช้องค์ประกอบ?**
สองแรง หรือสามแรงที่สมดุล ใช้ตรีโกณมิติของสามเหลี่ยมแรงได้เร็วและเห็นภาพ ส่วนสามแรงขึ้นไปหรือแรงสามมิติ ใช้การรวมองค์ประกอบ x y z ซึ่งเป็นระบบกว่าและพลาดน้อยกว่า

**ทฤษฎีของลามีคืออะไร?**
เมื่อแรงสามแรงที่ร่วมจุดอยู่ในสมดุล ขนาดของแต่ละแรงหารด้วยไซน์ของมุมระหว่างอีกสองแรงมีค่าเท่ากันหมด F₁/sin α = F₂/sin β = F₃/sin γ ใช้หาแรงตึงในเชือกที่แขวนวัตถุได้ทันที

---

# เวกเตอร์ในแขนกล: จลนศาสตร์ Jacobian และแรงบิดข้อต่อ

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/robot-arm/
Updated: 2026-10-13
Summary: เรียนแขนกลด้วยเวกเตอร์ภาษาไทย: ตำแหน่งปลายแขนเป็นผลบวกเวกเตอร์ของข้อแขน forward kinematics และ inverse kinematics ของแขน 2 ข้อต่อ (elbow-up/down) พื้นที่ทำงาน แขน 3 มิติ 3 ข้อต่อ Jacobian จาก ω × r ความเร็วปลายแขน ภาวะเอกฐาน แรงบิดข้อต่อ τ = JᵀF จากงานเสมือน และการเลือกมอเตอร์พร้อมเกียร์ มีแล็บแขนกลลากเป้าหมายได้และฉาก 3 มิติ

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 3 · Vectors in robot arms

# เวกเตอร์ในแขนกล: จลนศาสตร์ Jacobian และแรงบิดข้อต่อ

แขนกลในโรงงานประกอบรถยนต์ แขนหยิบชิ้นงานบนสายพาน หรือแขนหุ่นยนต์ที่นักศึกษาสร้างจากเซอร์โว ล้วนคือโซ่ของเวกเตอร์ ตำแหน่งปลายแขนคือผลบวกเวกเตอร์ของข้อแขน ความเร็วปลายแขนคือผลรวมของ ω × r และแรงบิดที่มอเตอร์ต้องให้คือโมเมนต์ของแรงที่ปลายแขน บทนี้เชื่อมทุกเรื่องที่เรียนมา — บวกเวกเตอร์ กฎโคไซน์ cross product และการหมุนแกน — ให้กลายเป็นเครื่องมือออกแบบแขนกลและเลือกมอเตอร์ได้จริง

สรุปใน 30 วินาที

- $\mathbf p=L_1\mathbf e(\theta_1)+L_2\mathbf e(\theta_1+\theta_2)$ — มุมของท่อนที่สองสะสมจากท่อนแรก

- IK: $\cos\theta_2=\dfrac{x^2+y^2-L_1^2-L_2^2}{2L_1L_2}$ (กฎโคไซน์) มีสองท่า

- $\mathbf v=J\dot{\boldsymbol\theta}$, คอลัมน์ของ J = $\mathbf k\times(\mathbf p-\mathbf p_i)$; เอกฐานเมื่อ $\det J=L_1L_2\sin\theta_2=0$

- $\boldsymbol\tau=J^{\mathsf T}\mathbf F$: แรงบิดข้อต่อคือโมเมนต์ของแรงปลายแขนรอบข้อต่อนั้น

## 1. แขนกลคือโซ่ของเวกเตอร์ พื้นฐาน

แขนกลแบบข้อต่อหมุน (revolute) ประกอบด้วยข้อแขนแข็งเกร็งต่อกันด้วยมอเตอร์ เมื่อรู้มุมของมอเตอร์ทุกตัว ข้อแขนแต่ละท่อนคือเวกเตอร์ที่มีความยาวคงที่และทิศตามมุมสะสม ตำแหน่งปลายแขน (end-effector) จึงเป็นผลบวกหัวต่อหางของเวกเตอร์เหล่านี้ — กฎเดียวกับ การบวกเวกเตอร์ ที่เรียนในบทแรก

มุมข้อต่อ θ (เอนโค้ดเดอร์)→ FK →ตำแหน่งปลายแขน p→ IK ←เป้าหมายที่ต้องการ· J ·ความเร็ว v, แรง F

## 2. Forward kinematics ของแขน 2 ข้อต่อในระนาบ พื้นฐาน

A1 Forward kinematics (2R planar) ตำแหน่งปลายแขนจากมุมข้อต่อ

$$\mathbf p=L_1\begin{bmatrix}\cos\theta_1\\\sin\theta_1\end{bmatrix}+L_2\begin{bmatrix}\cos(\theta_1+\theta_2)\\\sin(\theta_1+\theta_2)\end{bmatrix}$$

θ₂ วัดเทียบกับท่อนแรก (เอนโค้ดเดอร์ที่ข้อศอกวัดแบบนี้) ทิศของท่อนสองเทียบโลกจึงเป็น θ₁ + θ₂

A2 Workspace พื้นที่ทำงาน

$$|L_1-L_2|\le\lVert\mathbf p\rVert\le L_1+L_2$$

มาจากอสมการสามเหลี่ยมของเวกเตอร์ เป็นวงแหวน ถ้า L₁ = L₂ ปลายแขนแตะฐานได้ (ระยะใน = 0)

ตัวอย่าง A-1 · หาตำแหน่งปลายแขน

### L₁ = 0.5 m, L₂ = 0.4 m, θ₁ = 30°, θ₂ = 60° จงหาตำแหน่งปลายแขน

- ท่อนแรก: $0.5(\cos30^\circ,\sin30^\circ)=(0.4330,\ 0.2500)$ m

- ท่อนสองชี้ที่ 30° + 60° = 90°: $0.4(\cos90^\circ,\sin90^\circ)=(0,\ 0.4)$ m

- $\mathbf p=(0.4330,\ 0.6500)$ m ระยะจากฐาน 0.781 m อยู่ใน [0.1, 0.9] ✓

$\mathbf p=(0.433,\ 0.650)$ m — ค่าเริ่มต้นของแล็บด้านล่าง

## 3. Inverse kinematics: กฎของโคไซน์ในชีวิตจริง กลาง

ฐาน ข้อศอก และปลายแขนเป็นสามเหลี่ยมที่รู้ความยาวทั้งสามด้าน (L₁, L₂, ‖p‖) มุมที่ข้อศอกหาได้จาก กฎของโคไซน์ — ตัวเดียวกับที่ใช้รวมแรง เพราะ $\mathbf p$ ก็คือ “แรงลัพธ์” ของเวกเตอร์ข้อแขนสองท่อน

A3 Inverse kinematics (2R planar) หามุมข้อต่อจากตำแหน่ง

$$\cos\theta_2=\frac{x^2+y^2-L_1^2-L_2^2}{2L_1L_2},\qquad \theta_2=\pm\arccos(\cdot),\qquad \theta_1=\operatorname{atan2}(y,x)-\operatorname{atan2}\big(L_2\sin\theta_2,\ L_1+L_2\cos\theta_2\big)$$

θ₂ บวก = ข้อศอกลง (elbow-down) θ₂ ลบ = ข้อศอกขึ้น (elbow-up) สำหรับเป้าหมายในควอดแรนต์แรก ถ้า |cos θ₂| > 1 เป้าหมายอยู่นอกพื้นที่ทำงาน

ตัวอย่าง A-2 · ส่งปลายแขนไปหยิบชิ้นงาน

### แขน L₁ = 0.5 m, L₂ = 0.4 m ต้องไปที่ (0.6, 0.3) m จงหามุมข้อต่อทั้งสองท่า

- $\cos\theta_2=\dfrac{0.36+0.09-0.25-0.16}{2(0.5)(0.4)}=\dfrac{0.04}{0.4}=0.1\Rightarrow\theta_2=\pm84.26^\circ$

- ท่าข้อศอกลง (θ₂ = +84.26°): $\theta_1=\operatorname{atan2}(0.3,0.6)-\operatorname{atan2}(0.398,\ 0.540)=26.57^\circ-36.39^\circ=-9.83^\circ$

- ท่าข้อศอกขึ้น (θ₂ = −84.26°): $\theta_1=26.57^\circ+36.39^\circ=62.96^\circ$

- ตรวจด้วย A1: ทั้งสองท่าให้ (0.600, 0.300) ✓ เลือกท่าที่ไม่ชนสิ่งกีดขวางหรือใกล้ท่าปัจจุบันที่สุด

(θ₁, θ₂) = (−9.83°, 84.26°) หรือ (62.96°, −84.26°)

## 4. แล็บแขนกล 2 ข้อต่อ พื้นฐาน

โหมด Forward ปรับมุม θ₁ θ₂ แล้วดูเวกเตอร์ข้อแขนรวมกันเป็น p โหมด Inverse คลิกหรือลากบนภาพเพื่อย้ายเป้าหมาย (กากบาทแดง) แขนจะคำนวณ IK ทันที ติ๊ก “ลากเส้นทาง” แล้วลองวาดตัวอักษร สังเกตว่าเมื่อเหยียดแขนสุดเข้าใกล้ขอบวงแหวน ระบบจะเตือนภาวะเอกฐาน

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## 5. ความเร็วปลายแขนและ Jacobian กลาง

ข้อต่อหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม $\dot\theta_i$ รอบแกน z ทำให้ทุกจุดที่อยู่ปลายน้ำของข้อต่อนั้นเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $\boldsymbol\omega\times\mathbf r$ (ดู ความเร็วจาก cross product) รวมผลของทุกข้อต่อได้ Jacobian

A4 Jacobian and tip velocity Jacobian และความเร็วปลายแขน

$$\mathbf v=J\dot{\boldsymbol\theta},\qquad J=\frac{\partial\mathbf p}{\partial\boldsymbol\theta}=\begin{bmatrix}-L_1s_1-L_2s_{12}&-L_2s_{12}\\L_1c_1+L_2c_{12}&L_2c_{12}\end{bmatrix},\qquad J_{:,i}=\mathbf k\times(\mathbf p-\mathbf p_i)$$

$s_{12}=\sin(\theta_1+\theta_2)$ คอลัมน์ i คือความเร็วปลายแขนเมื่อหมุนข้อต่อ i ด้วย 1 rad/s — ตั้งฉากกับเวกเตอร์จากข้อต่อนั้นไปปลายแขนเสมอ

A5 Kinematic singularity ภาวะเอกฐาน

$$\det J=L_1L_2\sin\theta_2=0\ \Longleftrightarrow\ \theta_2=0^\circ\ \text{(เหยียดสุด)}\ \text{หรือ}\ 180^\circ\ \text{(พับสุด)}$$

สองคอลัมน์ของ J ขนานกัน ปลายแขนขยับในแนวรัศมีไม่ได้ และ $\dot{\boldsymbol\theta}=J^{-1}\mathbf v$ พุ่งไม่จำกัดเมื่อเข้าใกล้ ตัวควบคุมหุ่นยนต์จริงจึงต้องหลีกเลี่ยงหรือใช้ damped least squares

ตัวอย่าง A-3 · ความเร็วปลายแขน

### ที่ท่า A-1 ข้อต่อฐานหมุน $\dot\theta_1=0.5$ rad/s ข้อศอกนิ่ง จงหาความเร็วปลายแขน

- $J=\begin{bmatrix}-0.65&-0.40\\0.433&0\end{bmatrix}$ (คอลัมน์ 1 = $\mathbf k\times\mathbf p=(-0.65,\ 0.433)$)

- $\mathbf v=J\,(0.5,\ 0)^{\mathsf T}=(-0.325,\ 0.2165)$ m/s, $\lVert\mathbf v\rVert=0.3905$ m/s

- ตรวจ: $\lVert\mathbf v\rVert=\omega\lVert\mathbf p\rVert=0.5(0.781)=0.3905$ ✓ และ $\mathbf v\perp\mathbf p$

- $\det J=0.5(0.4)\sin60^\circ=0.1732\ne0$: ไม่อยู่ในภาวะเอกฐาน

v = (−0.325, 0.217) m/s ตั้งฉากกับ p

## 6. แรงบิดข้อต่อ τ = JᵀF: ทำไมมอเตอร์ฐานต้องแรงที่สุด ขั้นสูง

หลักงานเสมือน (virtual work): ถ้าปลายแขนดันวัตถุด้วยแรง F และข้อต่อขยับนิด ๆ δθ งานที่มอเตอร์ทำ $\boldsymbol\tau\cdot\delta\boldsymbol\theta$ ต้องเท่ากับงานที่ปลายแขนทำ $\mathbf F\cdot\delta\mathbf p=\mathbf F\cdot J\delta\boldsymbol\theta$ สำหรับทุก δθ จึงได้

A6 Static joint torques แรงบิดข้อต่อจากแรงที่ปลายแขน

$$\boldsymbol\tau=J^{\mathsf T}\mathbf F\qquad\Longleftrightarrow\qquad \tau_i=\big((\mathbf p-\mathbf p_i)\times\mathbf F\big)\cdot\mathbf k$$

รูปขวาคือโมเมนต์ของแรงปลายแขนรอบข้อต่อ i (S2) ตรงกับสามัญสำนึก: ยิ่งปลายแขนอยู่ไกลจากข้อต่อในแนวตั้งฉากกับแรง แรงบิดยิ่งมาก

A7 Motor sizing through a gearbox เลือกมอเตอร์ผ่านเกียร์

$$\tau_{\text{motor}}=\frac{\tau_{\text{joint}}}{N\,\eta},\qquad i\approx\frac{\tau_{\text{motor}}}{K_t},\qquad \omega_{\text{motor}}=N\,\dot\theta$$

N = อัตราทด η = ประสิทธิภาพเกียร์ $K_t$ = ค่าคงที่แรงบิดของมอเตอร์ (N·m/A) เผื่อค่าความปลอดภัย 1.5–2 เท่าสำหรับความเร่งและแรงเสียดทาน

ตัวอย่าง A-4 · ยกของ 2 kg แล้วเลือกมอเตอร์

### ที่ท่า A-1 ปลายแขนถือของ 2 kg นิ่ง (ไม่คิดน้ำหนักแขน) จงหาแรงบิดข้อต่อ แล้วเลือกมอเตอร์ฐานผ่านเกียร์ 50:1 (η = 0.8, K_t = 0.1 N·m/A)

- แขนต้องออกแรงขึ้นต้านน้ำหนัก: $\mathbf F=(0,\ 2\times9.81)=(0,\ 19.62)$ N

- $\boldsymbol\tau=J^{\mathsf T}\mathbf F=\begin{bmatrix}-0.65&0.433\\-0.40&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\19.62\end{bmatrix}=(8.496,\ 0)$ N·m

- ทำไม τ₂ = 0? ท่อนสองตั้งดิ่ง (30° + 60° = 90°) แรงแนวดิ่งผ่านข้อศอกพอดี แขนโมเมนต์เป็นศูนย์

- มอเตอร์ฐาน: $\tau_m=8.496/(50\times0.8)=0.212$ N·m กระแส ≈ 0.212/0.1 = 2.1 A — เผื่อ 2 เท่า เลือกมอเตอร์ที่ให้ต่อเนื่อง ≥ 0.42 N·m

- ท่าที่แย่ที่สุด: แขนเหยียดแนวนอน τ₁ = 19.62 × 0.9 = 17.7 N·m (มากกว่าเกือบสองเท่า) ต้องออกแบบด้วยท่านี้

τ = (8.50, 0) N·m ที่ท่านี้ · ออกแบบด้วยท่าเหยียดแนวนอน 17.7 N·m

## 7. แขน 3 มิติ: ฐานหมุน + แขนในระนาบแนวดิ่ง กลาง

แขนแบบ articulated ที่พบบ่อยที่สุดมีข้อต่อฐานหมุนรอบแกนตั้ง (q₁) แล้วมีไหล่ (q₂) และศอก (q₃) หมุนในระนาบแนวดิ่ง ฐานหมุนพาระนาบนั้นทั้งระนาบไปด้วย จึงคิดเป็นสองขั้น: หาระยะเอื้อมแนวราบ ρ และความสูง z ในระนาบแขนก่อน แล้วหมุนด้วย q₁ เหมือนการแตกแรงสองขั้นใน K6

A8 3-DOF articulated arm แขน 3 ข้อต่อ (ฐาน-ไหล่-ศอก)

$$\rho=L_2\cos q_2+L_3\cos(q_2+q_3),\quad \mathbf p=\big(\rho\cos q_1,\ \rho\sin q_1,\ h+L_2\sin q_2+L_3\sin(q_2+q_3)\big)$$

A9 Homogeneous transforms เมทริกซ์แปลงเอกพันธ์ (หมุน + เลื่อน)

$$T=\begin{bmatrix}R&\mathbf d\\\mathbf 0^{\mathsf T}&1\end{bmatrix},\qquad T_{0\to n}=T_1T_2\cdots T_n,\qquad \begin{bmatrix}\mathbf p\\1\end{bmatrix}=T_{0\to n}\begin{bmatrix}\mathbf p_n\\1\end{bmatrix}$$

รวมเมทริกซ์หมุน (T4) กับเวกเตอร์เลื่อนไว้ในเมทริกซ์ 4×4 เดียว คูณต่อกันตามข้อต่อ — ตารางพารามิเตอร์ Denavit–Hartenberg เป็นวิธีมาตรฐานเขียน T แต่ละข้อ

ตัวอย่าง A-5 · แขน 3 มิติ

### h = 0.4 m, L₂ = 0.6 m, L₃ = 0.5 m, q₁ = 30°, q₂ = 40°, q₃ = −60° จงหาตำแหน่งปลายแขน

- $\rho=0.6\cos40^\circ+0.5\cos(-20^\circ)=0.4596+0.4698=0.9295$ m

- $z=0.4+0.6\sin40^\circ+0.5\sin(-20^\circ)=0.4+0.3857-0.1710=0.6147$ m

- หมุนด้วยฐาน: $x=0.9295\cos30^\circ=0.8049$, $y=0.9295\sin30^\circ=0.4647$ m

$\mathbf p=(0.805,\ 0.465,\ 0.615)$ m — ลองตั้งค่าเดียวกันในฉาก 3 มิติด้านล่าง

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 8. มุมมองวิศวกรไฟฟ้า: จากเวกเตอร์สู่กระแสมอเตอร์ กลาง

เซนเซอร์

### เอนโค้ดเดอร์ → θ
เอนโค้ดเดอร์ 4096 พัลส์ต่อรอบ ความละเอียด 0.088° ที่ระยะ 0.9 m ทำให้ปลายแขนคลาดได้ 1.4 mm — คำนวณจาก $\delta\mathbf p=J\delta\boldsymbol\theta$

ไดรฟ์

### τ → กระแส
แรงบิดมอเตอร์ BLDC/PMSM แปรตามกระแสแกน q ($\tau=K_t i_q$) ซึ่งได้จากการหมุนแกน Park ใน บทหมุนแกน

ควบคุม

### ลูปตำแหน่ง
ตัวควบคุม PID ของแต่ละข้อต่อและการชดเชยแรงโน้มถ่วง $\tau_g=J^{\mathsf T}\mathbf F_g$ ดูต่อใน ระบบควบคุมหุ่นยนต์

## 9. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

| ข้อผิดพลาด | วิธีป้องกัน |

| ใช้ θ₂ เป็นมุมของท่อนสองเทียบโลก | θ₂ เป็นมุมสัมพัทธ์ ใช้ θ₁ + θ₂ |

| ใช้ arctan(y/x) แทน atan2 | ควอดแรนต์ผิดเมื่อ x < 0 แขนจะเลี้ยวผิดข้าง |

| ลืมว่า IK มีสองคำตอบ | เลือกท่าตามสิ่งกีดขวางและความต่อเนื่องของการเคลื่อนที่ |

| ใช้ J แทน Jᵀ หาแรงบิด | มิติไม่ตรงในแขน 3 ข้อต่อ 2 มิติ (J เป็น 2×3) ทันที |

| เลือกมอเตอร์จากท่าเดียว | หาท่าที่แรงบิดสูงสุด (มักเหยียดแนวนอน) และรวมน้ำหนักแขน |

## 10. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

- L₁ = L₂ = 0.3 m, θ₁ = 90°, θ₂ = −90° จงหา p

- แขนเดียวกัน ต้องการ p = (0.3, 0.3) จงหา θ₂ และ θ₁ (ท่าข้อศอกลง)

- แขนเหยียดแนวนอน (θ₁ = θ₂ = 0) L₁ = 0.5, L₂ = 0.4 ปลายถือ 1 kg จงหา τ₁, τ₂ และ det J

- τ ที่ข้อต่อฐาน 12 N·m เกียร์ 100:1 ประสิทธิภาพ 0.7 มอเตอร์ต้องให้แรงบิดเท่าไร?

เปิดเฉลย

- (0, 0.3) + (0.3cos0°, 0.3sin0°) = (0.3, 0.3) m

- cos θ₂ = (0.18 − 0.18)/0.18 = 0 → θ₂ = 90°; θ₁ = 45° − atan2(0.3, 0.3) = 0° (และท่าอีกแบบคือ θ₁ = 90°, θ₂ = −90° จากข้อ 1)

- F = (0, 9.81): τ₁ = 0.9 × 9.81 = 8.83 N·m, τ₂ = 0.4 × 9.81 = 3.92 N·m; det J = 0 เพราะ θ₂ = 0 (เอกฐาน แต่ยังถือของนิ่งได้)

- 12/(100 × 0.7) = 0.171 N·m

## 11. สรุปสูตร

| หัวข้อ | สูตร |

| A1 FK | $\mathbf p=L_1\mathbf e(\theta_1)+L_2\mathbf e(\theta_1+\theta_2)$ |

| A2 พื้นที่ทำงาน | $|L_1-L_2|\le\lVert\mathbf p\rVert\le L_1+L_2$ |

| A3 IK | กฎโคไซน์ + atan2 สองคำตอบ |

| A4–A5 Jacobian | $\mathbf v=J\dot{\boldsymbol\theta}$, $\det J=L_1L_2\sin\theta_2$ |

| A6–A7 แรงบิด | $\boldsymbol\tau=J^{\mathsf T}\mathbf F$, $\tau_m=\tau/(N\eta)$ |

| A8–A9 สามมิติ | ฐานหมุน + ระนาบแขน, เมทริกซ์ 4×4 |

## 12. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

- Lynch & Park, Modern Robotics (ฉบับเปิดพร้อมวิดีโอ) — บทที่ 4–6 forward/inverse kinematics และ Jacobian

- Peter Corke, Robotics Toolbox (Python/MATLAB) — เครื่องมือระดับโลกสำหรับจำลองแขนกล ใช้ตรวจตัวอย่างในหน้านี้ได้

- J. J. Craig, Introduction to Robotics: Mechanics and Control — ตำรามาตรฐาน DH parameters

ต่อไป: แรงแม่เหล็กที่สร้างแรงบิดในมอเตอร์ข้อต่อใน เวกเตอร์ในสนามไฟฟ้าและแม่เหล็ก หรือทดลองครบชุดใน แล็บกลศาสตร์

## คำถามที่พบบ่อย

Forward kinematics ของแขนกลสองข้อต่อคืออะไร?
คือการหาตำแหน่งปลายแขนจากมุมข้อต่อ โดยบวกเวกเตอร์ของข้อแขนแต่ละท่อน p = L₁(cos θ₁, sin θ₁) + L₂(cos(θ₁+θ₂), sin(θ₁+θ₂)) มุมของท่อนที่สองต้องใช้ θ₁+θ₂ เพราะวัดเทียบกับท่อนแรก

Inverse kinematics หามุมข้อต่ออย่างไร?
ใช้กฎของโคไซน์กับสามเหลี่ยมฐาน-ข้อศอก-ปลายแขน cos θ₂ = (x² + y² − L₁² − L₂²)/(2L₁L₂) ได้สองคำตอบ (ข้อศอกขึ้นหรือลง) แล้ว θ₁ = atan2(y, x) − atan2(L₂ sin θ₂, L₁ + L₂ cos θ₂) ถ้า cos θ₂ อยู่นอก [−1, 1] เป้าหมายอยู่นอกพื้นที่ทำงาน

Jacobian ของแขนกลใช้ทำอะไร?
เชื่อมความเร็วข้อต่อกับความเร็วปลายแขน v = J θ̇ และเชื่อมแรงที่ปลายแขนกับแรงบิดข้อต่อ τ = Jᵀ F เมื่อ det J = 0 (ภาวะเอกฐาน) แขนขยับปลายในบางทิศไม่ได้ และต้องใช้ความเร็วข้อต่อสูงมากเมื่อเข้าใกล้

เลือกมอเตอร์ข้อต่ออย่างไร?
หาแรงบิดสูงสุดที่ข้อต่อจาก τ = JᵀF ในท่าที่แย่ที่สุด (มักเป็นแขนเหยียดแนวนอน) รวมน้ำหนักข้อแขนเอง หารด้วยอัตราทดเกียร์และประสิทธิภาพ แล้วเผื่อค่าความปลอดภัย กระแสมอเตอร์ประมาณจาก τ_motor = K_t i

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**Forward kinematics ของแขนกลสองข้อต่อคืออะไร?**
คือการหาตำแหน่งปลายแขนจากมุมข้อต่อ โดยบวกเวกเตอร์ของข้อแขนแต่ละท่อน p = L₁(cos θ₁, sin θ₁) + L₂(cos(θ₁+θ₂), sin(θ₁+θ₂)) มุมของท่อนที่สองต้องใช้ θ₁+θ₂ เพราะวัดเทียบกับท่อนแรก

**Inverse kinematics หามุมข้อต่ออย่างไร?**
ใช้กฎของโคไซน์กับสามเหลี่ยมฐาน-ข้อศอก-ปลายแขน cos θ₂ = (x² + y² − L₁² − L₂²)/(2L₁L₂) ได้สองคำตอบ (ข้อศอกขึ้นหรือลง) แล้ว θ₁ = atan2(y, x) − atan2(L₂ sin θ₂, L₁ + L₂ cos θ₂) ถ้า cos θ₂ อยู่นอก [−1, 1] เป้าหมายอยู่นอกพื้นที่ทำงาน

**Jacobian ของแขนกลใช้ทำอะไร?**
เชื่อมความเร็วข้อต่อกับความเร็วปลายแขน v = J θ̇ และเชื่อมแรงที่ปลายแขนกับแรงบิดข้อต่อ τ = Jᵀ F เมื่อ det J = 0 (ภาวะเอกฐาน) แขนขยับปลายในบางทิศไม่ได้ และต้องใช้ความเร็วข้อต่อสูงมากเมื่อเข้าใกล้

**เลือกมอเตอร์ข้อต่ออย่างไร?**
หาแรงบิดสูงสุดที่ข้อต่อจาก τ = JᵀF ในท่าที่แย่ที่สุด (มักเป็นแขนเหยียดแนวนอน) รวมน้ำหนักข้อแขนเอง หารด้วยอัตราทดเกียร์และประสิทธิภาพ แล้วเผื่อค่าความปลอดภัย กระแสมอเตอร์ประมาณจาก τ_motor = K_t i

---

# sin และ cos ในไฟฟ้ากระแสสลับ: แอมพลิจูด เฟส นำหน้า-ตามหลัง และ RMS

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/sinusoids/
Updated: 2026-10-13
Summary: เรียนพื้นฐานไฟฟ้ากระแสสลับภาษาไทย: v(t) = Vm sin(ωt + φ) ความถี่ คาบ ความถี่เชิงมุม แปลง sin เป็น cos ด้วย ±90° เครื่องหมายลบคือ ±180° เทียบเฟสและบอกนำหน้า-ตามหลัง รวม A cos + B sin เป็นไซน์เดียวด้วยเวกเตอร์ ค่าเฉลี่ยและค่า RMS ไฟบ้าน 220 V วัดความต่างเฟสจากออสซิลโลสโคป อนุพันธ์ของไซน์เลื่อนเฟส 90° พร้อมแล็บเฟสเซอร์หมุน

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 4 · Sine & cosine in AC circuits

# sin และ cos ในไฟฟ้ากระแสสลับ: แอมพลิจูด เฟส นำหน้า-ตามหลัง และ RMS

ไฟฟ้าที่เสียบปลั๊กใช้ทุกวันเป็นคลื่นไซน์ 50 Hz ที่เกิดจากขดลวดหมุนในเครื่องกำเนิด ก่อนจะใช้เฟสเซอร์วิเคราะห์วงจรได้ ต้องอ่านคลื่นไซน์ให้คล่อง: แอมพลิจูด ความถี่ มุมเฟส การแปลงระหว่าง sin กับ cos และการบอกว่าอะไรนำหน้าหรือตามหลัง บทนี้ยังแสดงว่า $A\cos\omega t+B\sin\omega t$ คือเวกเตอร์ (A, B) ในคราบของคลื่น — สะพานที่จะพาไปสู่เฟสเซอร์

สรุปใน 30 วินาที

- $v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi)$, $\omega=2\pi f$, $T=1/f$; ไฟบ้าน 220 V RMS → $V_m=311$ V, 50 Hz

- $\sin\theta=\cos(\theta-90^\circ)$, $-\sin\theta=\sin(\theta\pm180^\circ)$

- เทียบเฟสต้องใช้ฟังก์ชันเดียวกัน แอมพลิจูดบวก และความถี่เดียวกัน

- $A\cos\omega t+B\sin\omega t=\sqrt{A^2+B^2}\cos(\omega t-\delta)$, $\delta=\operatorname{atan2}(B,A)$

## 1. ไซน์มาจากไหน: ขดลวดหมุนกับ dot product พื้นฐาน

ขดลวดพื้นที่ A หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω ในสนาม B ทำให้มุมระหว่างเวกเตอร์ปกติกับสนามเป็น ωt ฟลักซ์ $\Phi=\mathbf B\cdot\mathbf A=BA\cos\omega t$ (ดู M6) และแรงดันเหนี่ยวนำ $e=-N\,d\Phi/dt=NBA\omega\sin\omega t$ ไซน์จึงเกิดจากการฉายของเวกเตอร์ที่หมุนโดยธรรมชาติ — ความคิดนี้คือหัวใจของเฟสเซอร์ในบทถัดไป

## 2. พารามิเตอร์ของคลื่นไซน์ พื้นฐาน

W1 General sinusoid รูปทั่วไปของสัญญาณไซน์

$$v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi),\qquad \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}\ \ [\text{rad/s}],\qquad T=\frac1f$$

$V_m$ แอมพลิจูด (ค่ายอด) $\varphi$ มุมเฟส (ค่าที่ t = 0) ระวังหน่วย: ωt เป็นเรเดียน ถ้าเขียน φ เป็นองศาต้องแปลงก่อนแทนค่าในเครื่องคิดเลข

ตัวอย่าง W-1 · ไฟบ้านประเทศไทย

### แรงดันไฟบ้าน 220 V RMS 50 Hz มุมเฟส 0° จงหา V_m, ω, T และค่าแรงดันที่ t = 2.5 ms

- $V_m=220\sqrt2=311.1$ V, $\omega=2\pi(50)=314.16$ rad/s, $T=1/50=20$ ms

- ที่ t = 2.5 ms: $\omega t=314.16(0.0025)=0.7854$ rad = 45°

- $v=311.1\sin45^\circ=220.0$ V — บังเอิญเท่าค่า RMS พอดีที่มุม 45°

$v(t)=311\sin(314.16t)$ V · ที่ 2.5 ms ได้ 220 V

## 3. แปลงระหว่าง sin กับ cos และจัดการเครื่องหมายลบ พื้นฐาน

ดูจากวงกลมหนึ่งหน่วย: cos คือการฉายบนแกนนอน sin คือการฉายบนแกนตั้ง ลูกศรที่หมุนทวนเข็มจะไปถึงแกนตั้งช้ากว่าแกนนอน 90° ดังนั้น sin ตามหลัง cos อยู่ 90° (ดู สูตรตรีโกณมิติ)

W2 Conversion identities เอกลักษณ์ที่ใช้แปลงรูป

$$\sin\theta=\cos(\theta-90^\circ),\quad \cos\theta=\sin(\theta+90^\circ),\quad -\sin\theta=\sin(\theta\pm180^\circ),\quad -\cos\theta=\cos(\theta\pm180^\circ)$$

จำเป็นภาพ: เลื่อน ±90° สลับ sin↔cos และเลื่อน ±180° กลับเครื่องหมาย เลือกเครื่องหมายที่ทำให้มุมอยู่ในช่วง −180° ถึง 180°

ตัวอย่าง W-2 · จัดรูปให้แอมพลิจูดเป็นบวก

### เขียน $i(t)=-5\cos(\omega t+30^\circ)$ A ในรูป sin ที่แอมพลิจูดเป็นบวก

- กำจัดเครื่องหมายลบ: $-\cos x=\cos(x-180^\circ)$ → $5\cos(\omega t-150^\circ)$

- แปลงเป็น sin: $\cos y=\sin(y+90^\circ)$ → $5\sin(\omega t-60^\circ)$

- ตรวจที่ t = 0: $-5\cos30^\circ=-4.330$ และ $5\sin(-60^\circ)=-4.330$ ✓

$i(t)=5\sin(\omega t-60^\circ)$ A

## 4. ความต่างเฟส: นำหน้าหรือตามหลัง กลาง

W3 Phase difference ความต่างเฟส

$$v=V_m\sin(\omega t+\varphi_v),\ i=I_m\sin(\omega t+\varphi_i):\qquad \Delta\varphi=\varphi_v-\varphi_i\ \begin{cases}>0 & i\ \text{ตามหลัง}\ v\ (\text{inductive})\\<0 & i\ \text{นำหน้า}\ v\ (\text{capacitive})\end{cases}$$

เงื่อนไขก่อนเทียบ: ความถี่เดียวกัน ฟังก์ชันเดียวกัน (sin กับ sin) แอมพลิจูดบวก และเลือก Δφ ในช่วง −180° ถึง 180°

W4 Phase from a time shift แปลงเวลาเลื่อนเป็นมุมเฟส

$$\Delta\varphi=\omega\,\Delta t=360^\circ\cdot\frac{\Delta t}{T}$$

บนสโคป วัด Δt ระหว่างจุดผ่านศูนย์ขาขึ้นของสองสัญญาณ (ดู การวัดด้วยสโคป)

ตัวอย่าง W-3 · ใครนำหน้า?

### $v=100\sin(\omega t+20^\circ)$ V และ $i=4\cos(\omega t-50^\circ)$ A อะไรนำหน้า กี่องศา

- แปลง i เป็น sin: $4\cos(\omega t-50^\circ)=4\sin(\omega t+40^\circ)$

- $\Delta\varphi=\varphi_v-\varphi_i=20^\circ-40^\circ=-20^\circ$

กระแสนำหน้าแรงดัน 20° → โหลดมีลักษณะตัวเก็บประจุ (ถ้าเทียบ cos กับ sin ตรง ๆ จะได้คำตอบผิดเป็น 70°)

ตัวอย่าง W-4 · วัดจากออสซิลโลสโคป

### ที่ 50 Hz กระแสมอเตอร์ผ่านศูนย์ขาขึ้นช้ากว่าแรงดัน 1.5 ms จงหามุมเฟสและเพาเวอร์แฟกเตอร์

- $\Delta\varphi=360^\circ(1.5/20)=27^\circ$ กระแสตามหลัง

- PF = cos 27° = 0.891 ตามหลัง (lagging) — ต่อใน เพาเวอร์แฟกเตอร์

27° ตามหลัง · PF = 0.891

## 5. A cos + B sin คือเวกเตอร์ (A, B) กลาง

ขยาย $C\cos(\omega t-\delta)=C\cos\delta\cos\omega t+C\sin\delta\sin\omega t$ เทียบสัมประสิทธิ์กับ $A\cos\omega t+B\sin\omega t$ ได้ $A=C\cos\delta$, $B=C\sin\delta$ นี่คือการเขียนเวกเตอร์ (A, B) ในรูปขนาด C และมุม δ — พื้นฐานเวกเตอร์ 2 มิติ ล้วน ๆ

W5 Combining cos and sin of the same frequency รวมเป็นไซน์เดียว

$$A\cos\omega t+B\sin\omega t=C\cos(\omega t-\delta)=C\sin(\omega t+90^\circ-\delta),\qquad C=\sqrt{A^2+B^2},\quad \delta=\operatorname{atan2}(B,A)$$

ใช้ atan2 เพราะ A หรือ B อาจติดลบ ผลลัพธ์นี้ใช้บ่อยมากในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรด้วยวิธีสัมประสิทธิ์ (ก่อนรู้จักเฟสเซอร์)

ตัวอย่าง W-5 · คำตอบสภาวะคงตัวของวงจร

### ได้คำตอบ $i(t)=3\cos\omega t+4\sin\omega t$ A จงเขียนเป็นไซน์เดียว

- $C=\sqrt{3^2+4^2}=5$ A, $\delta=\operatorname{atan2}(4,3)=53.13^\circ$

- $i=5\cos(\omega t-53.13^\circ)=5\sin(\omega t+36.87^\circ)$ A

แอมพลิจูด 5 A ไม่ใช่ 7 A — ค่ายอดของผลรวมคือความยาวของเวกเตอร์ (3, 4)

## 6. ค่าเฉลี่ยและค่า RMS พื้นฐาน

W6 RMS value ค่า RMS (ค่ายังผล)

$$V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac1T\int_0^T v^2(t)\,dt}=\sqrt{\frac{V_m^2}{T}\int_0^T\sin^2\omega t\,dt}=\frac{V_m}{\sqrt2}$$

ใช้ $\sin^2x=\tfrac12(1-\cos2x)$ ค่าเฉลี่ยของ $\sin^2$ ในหนึ่งคาบเท่ากับ 1/2 (ดู อินทิกรัล) ใช้ได้กับไซน์เท่านั้น คลื่นที่มีฮาร์มอนิกต้องคำนวณจากนิยาม (พาร์เซวาล)

W7 Average values ค่าเฉลี่ย

$$\frac1T\int_0^T v\,dt=0,\qquad V_{\text{avg,half}}=\frac{2V_m}{\pi}\approx0.637V_m,\qquad \text{form factor}=\frac{V_{\text{rms}}}{V_{\text{avg,half}}}=1.111$$

มิเตอร์ราคาถูกวัดค่าเฉลี่ยแล้วคูณ 1.111 จึงอ่านถูกเฉพาะไซน์ มิเตอร์ “True RMS” ใช้นิยาม W6

## 7. อนุพันธ์ของไซน์เลื่อนเฟส 90°: ทำไม L และ C ทำให้เกิดเฟส กลาง

W8 Calculus shifts phase by 90° อนุพันธ์และปริพันธ์ของไซน์

$$\frac{d}{dt}\sin(\omega t+\varphi)=\omega\sin(\omega t+\varphi+90^\circ),\qquad \int\sin(\omega t+\varphi)\,dt=\frac1\omega\sin(\omega t+\varphi-90^\circ)$$

ตัวเหนี่ยวนำ $v=L\,di/dt$ → แรงดันนำหน้ากระแส 90° และคูณ ωL ตัวเก็บประจุ $i=C\,dv/dt$ → กระแสนำหน้าแรงดัน 90° คูณ ωC — จำว่า “ELI the ICE man”

ทดลองด้านล่าง: เปลี่ยนมุมเฟสของกระแส φ_i ให้ติดลบ (ตามหลัง) แล้วเลือกฟังก์ชันอ้างอิงเป็น sin หรือ cos สังเกตว่าเงาบนแกนจินตภาพคือ sin และเงาบนแกนจริงคือ cos ของลูกศรเดียวกัน

เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

## 8. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

| ข้อผิดพลาด | วิธีป้องกัน |

| เทียบเฟสระหว่าง sin กับ cos ตรง ๆ | แปลงให้เป็นฟังก์ชันเดียวกันก่อนด้วย W2 |

| เทียบเฟสเมื่อแอมพลิจูดติดลบ | ย้ายเครื่องหมายลบเข้าไปในมุมด้วย ±180° |

| ใช้องศากับเรเดียนปนกัน | ωt เป็นเรเดียนเสมอ แปลง φ ให้หน่วยเดียวกันก่อนบวก |

| ใช้ 220 V เป็นค่ายอด | 220 V คือ RMS ค่ายอด 311 V (สำคัญเมื่อเลือกพิกัดแรงดันของตัวเก็บประจุและไดโอด) |

| บวกแอมพลิจูดของไซน์ที่ต่างเฟส | รวมแบบเวกเตอร์ด้วย W5 หรือเฟสเซอร์ |

## 9. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

- $v=170\sin(377t-30^\circ)$ V จงหา f, T, V_rms

- เขียน $-8\sin(\omega t+120^\circ)$ เป็น cos แอมพลิจูดบวก

- $v=10\cos(\omega t+10^\circ)$, $i=2\sin(\omega t+70^\circ)$ อะไรนำหน้ากี่องศา?

- รวม $-6\cos\omega t+8\sin\omega t$ เป็นไซน์เดียว

เปิดเฉลย

- f = 377/2π = 60.0 Hz, T = 16.67 ms, V_rms = 170/√2 = 120.2 V (ไฟบ้านอเมริกา)

- $-8\sin(\omega t+120^\circ)=8\sin(\omega t-60^\circ)=8\cos(\omega t-150^\circ)$

- v = 10 sin(ωt + 100°) เทียบ i ที่ 70°: แรงดันนำหน้า 30° (กระแสตามหลัง — โหลดแบบเหนี่ยวนำ)

- C = 10, δ = atan2(8, −6) = 126.87° → $10\cos(\omega t-126.87^\circ)$

## 10. สรุปสูตร

| หัวข้อ | สูตร |

| W1 รูปทั่วไป | $V_m\sin(\omega t+\varphi)$, $\omega=2\pi f$ |

| W2 แปลงรูป | ±90° สลับ sin/cos, ±180° กลับเครื่องหมาย |

| W3–W4 ความต่างเฟส | $\Delta\varphi=\varphi_v-\varphi_i=360^\circ\Delta t/T$ |

| W5 รวมเป็นไซน์เดียว | $\sqrt{A^2+B^2}\cos(\omega t-\operatorname{atan2}(B,A))$ |

| W6–W7 RMS / เฉลี่ย | $V_m/\sqrt2$, $2V_m/\pi$ |

| W8 อนุพันธ์ | คูณ ω และเลื่อน +90° |

## 11. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

- OpenStax University Physics Vol. 2 §15.1–15.2 AC Sources, Simple AC Circuits

- C. K. Alexander & M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits, บทที่ 9 Sinusoids and Phasors

- PhET Trig Tour — วงกลมหนึ่งหน่วยกับกราฟ sin cos tan

ต่อไป: เปลี่ยนไซน์ให้เป็นลูกศรที่คำนวณง่ายใน พื้นฐานเฟสเซอร์

## คำถามที่พบบ่อย

sin กับ cos ต่างกันอย่างไรในไฟฟ้ากระแสสลับ?
เป็นคลื่นรูปเดียวกันที่เลื่อนเฟสกัน 90° คือ sin θ = cos(θ − 90°) และ cos θ = sin(θ + 90°) หมายความว่า cos นำหน้า sin อยู่ 90° ก่อนเทียบเฟสของสองสัญญาณต้องแปลงให้อยู่ในฟังก์ชันเดียวกันและแอมพลิจูดเป็นบวกก่อนเสมอ

ไฟบ้าน 220 V มีค่ายอดเท่าไร?
220 V เป็นค่า RMS ค่ายอดคือ 220 × √2 ≈ 311 V และค่ายอดถึงยอดคือ 622 V ความถี่ 50 Hz คาบ 20 ms ความถี่เชิงมุม ω = 2π(50) ≈ 314 rad/s

บอกได้อย่างไรว่ากระแสนำหน้าหรือตามหลังแรงดัน?
เขียนทั้งสองเป็น sin (หรือ cos) ที่แอมพลิจูดเป็นบวก แล้วเทียบมุมเฟส ตัวที่มุมเฟสมากกว่านำหน้า บนออสซิลโลสโคป ตัวที่ผ่านศูนย์ขาขึ้นก่อนคือตัวที่นำหน้า วงจรแบบเหนี่ยวนำกระแสตามหลัง วงจรแบบตัวเก็บประจุกระแสนำหน้า

ทำไมค่า RMS ของไซน์คือ Vm/√2?
ค่า RMS คือรากที่สองของค่าเฉลี่ยของกำลังสอง ค่าเฉลี่ยของ sin² ในหนึ่งคาบเท่ากับ 1/2 จึงได้ V_rms = Vm/√2 ความหมายทางกายภาพคือแรงดันกระแสตรงที่ทำให้ตัวต้านทานร้อนเท่ากัน

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**sin กับ cos ต่างกันอย่างไรในไฟฟ้ากระแสสลับ?**
เป็นคลื่นรูปเดียวกันที่เลื่อนเฟสกัน 90° คือ sin θ = cos(θ − 90°) และ cos θ = sin(θ + 90°) หมายความว่า cos นำหน้า sin อยู่ 90° ก่อนเทียบเฟสของสองสัญญาณต้องแปลงให้อยู่ในฟังก์ชันเดียวกันและแอมพลิจูดเป็นบวกก่อนเสมอ

**ไฟบ้าน 220 V มีค่ายอดเท่าไร?**
220 V เป็นค่า RMS ค่ายอดคือ 220 × √2 ≈ 311 V และค่ายอดถึงยอดคือ 622 V ความถี่ 50 Hz คาบ 20 ms ความถี่เชิงมุม ω = 2π(50) ≈ 314 rad/s

**บอกได้อย่างไรว่ากระแสนำหน้าหรือตามหลังแรงดัน?**
เขียนทั้งสองเป็น sin (หรือ cos) ที่แอมพลิจูดเป็นบวก แล้วเทียบมุมเฟส ตัวที่มุมเฟสมากกว่านำหน้า บนออสซิลโลสโคป ตัวที่ผ่านศูนย์ขาขึ้นก่อนคือตัวที่นำหน้า วงจรแบบเหนี่ยวนำกระแสตามหลัง วงจรแบบตัวเก็บประจุกระแสนำหน้า

**ทำไมค่า RMS ของไซน์คือ Vm/√2?**
ค่า RMS คือรากที่สองของค่าเฉลี่ยของกำลังสอง ค่าเฉลี่ยของ sin² ในหนึ่งคาบเท่ากับ 1/2 จึงได้ V_rms = Vm/√2 ความหมายทางกายภาพคือแรงดันกระแสตรงที่ทำให้ตัวต้านทานร้อนเท่ากัน

---

# สตูดิโอเวกเตอร์ 2D / 3D: วาด หมุนแกน วิเคราะห์ และส่งออก

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/vector-lab/
Updated: 2026-10-13
Summary: เครื่องมือเวกเตอร์ออนไลน์ฟรีภาษาไทย: วาดเวกเตอร์ได้ 8 ตัวใน 2D/3D ลากหมุนมุมมองสามมิติ มุมมอง xy xz yz perspective ผลรวมแรง ต่อหัวต่อหาง กล่ององค์ประกอบ มุม α β γ ทิศทางโคไซน์ projection cross product พื้นที่ triple product กรอบหมุนมุมออยเลอร์ ตารางมุมทุกคู่ แชร์ลิงก์ และส่งออกเป็นคำสั่ง GeoGebra MATLAB Python CSV พร้อมเครื่องคิดเลขเวกเตอร์แบบแสดงวิธีทำและแกลเลอรีฉาก 3 มิติ

// เวกเตอร์ · ห้องแล็บ · Vector Studio 2D / 3D

# สตูดิโอเวกเตอร์ 2D / 3D: วาด หมุนแกน วิเคราะห์ และส่งออก

เครื่องมือเดียวสำหรับทุกบทของชุดเวกเตอร์: ใส่เวกเตอร์ได้สูงสุด 8 ตัว ลากหมุนมุมมองสามมิติ ดูผลรวมแบบหัวต่อหาง กล่ององค์ประกอบ มุม α β γ การฉาย ผลคูณไขว้ และกรอบพิกัดที่หมุนด้วยมุมออยเลอร์ ทุกอย่างคำนวณให้เห็นทีละขั้นในแท็บด้านล่าง แล้วส่งออกไป GeoGebra MATLAB หรือ Python ได้ในคลิกเดียว ลิงก์ของหน้าเก็บชุดเวกเตอร์ไว้ให้แชร์ได้ทันที

## สตูดิโอเวกเตอร์ 3 มิติ

เริ่มจากตัวอย่าง “แรงจากสายเคเบิล 3 เส้น” ลากภาพเพื่อหมุน กด xy xz yz เพื่อมองจากบน หน้า ข้าง ปุ่ม ★ เลือกเวกเตอร์หลัก ☆ เลือกตัวที่สอง สำหรับ projection และ cross ติ๊ก ✓ เพื่อรวมในผลรวม R

เปิด JavaScript เพื่อใช้สตูดิโอ ตัวอย่างด้านล่างอ่านและคำนวณได้โดยไม่ใช้ JavaScript

## ภารกิจในสตูดิโอ

- สมดุลสามมิติ — เลือกตัวอย่าง “สมดุล” ติ๊ก “ต่อหัวต่อหาง” รูปหลายเหลี่ยมแรงปิดพอดี แท็บแรงลัพธ์ต้องได้ R = 0

- ทิศทางโคไซน์ — ตัวอย่าง “ทิศทางโคไซน์” ติ๊กมุม α β γ แล้วกดมุมมอง xz: มุม γ อยู่ระหว่างลูกศรกับแกน z จริงหรือไม่

- กรอบหมุน — ติ๊ก “กรอบหมุน” ปรับ ψ = 90° ดูในแท็บกรอบหมุนว่า x′ ของ i กลายเป็นเท่าไร (คำตอบ: i′ = (0, −1, 0)) อธิบายด้วย T2

- แรงบิด — ตัวอย่าง “Cross product · แรงบิด” ★ = r ☆ = F ติ๊ก “★ × ☆” ได้ M = r × F ตั้งฉากกับระนาบสีเหลือง

- เฟสเซอร์ — ตัวอย่าง “เฟสเซอร์เป็นเวกเตอร์ 2 มิติ” V_R + V_L + V_C ต่อหัวต่อหางเป็น KVL ของวงจร RLC (Z3)

## แกลเลอรีฉาก 3 มิติจากทุกบท

แต่ละฉากมาจากบทเรียนหนึ่งบท เปิดเพื่อทดลองได้ทันที (ฉากเต็มพร้อมคำอธิบายอยู่ในบทนั้น)

ทิศทางโคไซน์ α β γ · บท K

Cross product และกฎมือขวา · บท C

โมเมนต์ r × F และโมเมนต์รอบแกน · บท S

หมุนกรอบพิกัดด้วยมุมออยเลอร์ · บท T

แขนกล 3 ข้อต่อ · บท A

แรงลอเรนซ์และการเคลื่อนที่แบบเกลียว · บท M

แรงบิดบนขดลวด (หลักการมอเตอร์) · บท M

## เครื่องคิดเลขเวกเตอร์แบบแสดงวิธีทำ

เครื่องคิดเลขสองเวกเตอร์ที่เขียนวิธีแทนค่าทุกบรรทัด เหมาะสำหรับตรวจการบ้านเรื่องบวก ลบ คูณสเกลาร์ Dot Cross และ projection

โหมด 2D ใช้เฉพาะองค์ประกอบ x,y ส่วน Cross product ของเวกเตอร์บนระนาบคิดโดยเติม z=0 แล้วแสดงองค์ประกอบตั้งฉากกับระนาบ โหมด 3D ของเครื่องคิดเลขนี้เป็นภาพฉายคงที่ ถ้าต้องการหมุนดูมุมจริงให้ใช้สตูดิโอด้านบน

## ใบงานทดลอง: ทำนายก่อนกดคำนวณ

การทดลอง 1 · Projection

### ส่วนขนานที่ยาวกว่าองค์ประกอบ x ของ A

ตั้ง A=(3,4), B=(2,1) เลือก projection คำถาม: เหตุใดองค์ประกอบ x ของส่วนฉายเป็น 4 มากกว่า x ของ A ที่เป็น 3?

- คำนวณ $A\cdot B=3(2)+4(1)=10$ และ $B\cdot B=5$
- ส่วนขนาน $A_\parallel=(10/5)(2,1)=(4,2)$
- ส่วนตั้งฉาก $A_\perp=(3,4)-(4,2)=(-1,2)$ ตรวจ $(-1,2)\cdot(2,1)=0$

การฉายบนเส้นเอียงไม่ใช่การเก็บ x อย่างเดียว ส่วนตั้งฉากมี x ติดลบ จึงรวมกลับเป็น 3 ได้ แม้ x ของส่วนขนานเท่ากับ 4

เปลี่ยน B เป็น (−2,−1): scalar projection จาก $2\sqrt5$ กลายเป็น $-2\sqrt5$ แต่เวกเตอร์ฉายยังเป็น (4,2) เพราะเส้นที่ฉายเป็นเส้นเดิม

การทดลอง 2 · Dot product

### ตั้งฉาก ทิศเดียว และทิศตรงข้าม

- A=(3,4), B=(−4,3) ให้ dot = −12+12=0 และมุม 90°
- เปลี่ยน B=(6,8) ให้ dot=50 และมุม 0° ขนาด B เป็นสองเท่า A
- เปลี่ยน B=(−6,−8) ให้ dot=−50 และมุม 180°

เครื่องหมาย dot บอกมุมแหลม ศูนย์ หรือมุมป้านได้เมื่อเวกเตอร์ทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์ ลอง A=(0,0): dot ยังคำนวณเป็น 0 แต่มุมไม่กำหนด

การทดลอง 3 · Cross product

### สลับลำดับแล้วทิศกลับ

- เลือก 3D ให้ A=(1,2,2), B=(3,0,4)
- คำนวณ $A\times B=(8,2,-6)$; ขนาด $\sqrt{104}\approx10.1980$
- ตรวจ $(8,2,-6)\cdot A=8+4-12=0$, $(8,2,-6)\cdot B=24-24=0$
- สลับ A และ B จะได้ (−8,−2,6) ขนาดเท่าเดิมแต่ทิศตรงข้าม

Cross ให้ทิศตั้งฉากและพื้นที่ ห้ามแทน cross ด้วยการคูณองค์ประกอบทีละตัว

## ทดลองจากโจทย์วิศวกรรม

- แรงลัพธ์: โหมดบวก A=(30,40) N และ B=(−10,20) N ให้ (20,60) N ขนาด $20\sqrt{10}\approx63.246$ N
- งาน: โหมด dot ให้ A=(30,40) N และ B=(2,0) m ได้ 60 J ไม่ใช่ 100 J เพราะแรงแนวตั้งไม่ทำงานในการเคลื่อนที่แนวนอนนี้
- แรงบิด: โหมด cross 3D ให้ A=(0.2,0,0) m และ B=(0,50,0) N ได้ (0,0,10) N·m ตาม +z

แล็บรับเฉพาะตัวเลขและไม่ทราบหน่วยโดยอัตโนมัติ ผู้ใช้ต้องกำหนดหน่วยให้สอดคล้องกันก่อนแทนค่า อ่านข้อสมมติของระบบจริงใน หน้าการประยุกต์ทางวิศวกรรม

## ขอบเขตและการตรวจคำตอบ

ภาพและผลลัพธ์ใช้ฐานคาร์ทีเซียนตั้งฉากหนึ่งหน่วย ไม่รองรับฐานเฉียงหรือพิกัดโค้งโดยตรง การคำนวณใช้ floating point; ค่าที่เล็กมากอาจคลาดเคลื่อนจากการปัด อย่าใช้ภาพฉายสามมิติพิสูจน์ความตั้งฉาก ให้ตรวจ dot เป็นศูนย์แทน

กลับไปค้น สรุปสูตร หรืออ่านที่มาใน Component / Projection, Dot product และ Cross product

## คำถามที่พบบ่อย

ภาพสามมิติแสดงมุมจริงหรือไม่?
ภาพเป็นการฉายสามมิติลงบนจอสองมิติ มุมและความยาวที่เห็นบนจอขึ้นกับมุมมอง ให้ลากหมุนหลายมุมหรือกดมุมมอง xy xz yz เพื่อดูภาพจริงในแต่ละระนาบ และใช้ตัวเลขในแท็บสรุปตรวจมุมและขนาดเสมอ

แชร์ชุดเวกเตอร์ให้เพื่อนได้ไหม?
ได้ สตูดิโอบันทึกเวกเตอร์ ตัวเลือก และมุมของกรอบหมุนไว้ในลิงก์ของหน้าโดยอัตโนมัติ คัดลอกลิงก์จากแถบที่อยู่แล้วส่งให้เพื่อน เพื่อนจะเปิดเห็นชุดเดียวกัน

ทำไมฉายลงบนเวกเตอร์ศูนย์ไม่ได้?
เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศ และสูตรต้องหารด้วยขนาดหรือขนาดกำลังสองของเวกเตอร์เป้าหมาย เครื่องมือจึงแจ้งว่าไม่กำหนดแทนการแสดงค่าที่ดูเหมือนคำนวณได้

เครื่องมือนี้มีความแม่นยำเท่าใด?
คำนวณด้วยเลขทศนิยม floating point ของ JavaScript แล้วปัดเพื่อแสดงผล เหมาะสำหรับเรียนและตรวจตัวอย่าง ไม่ใช่เครื่องมือรับรองการออกแบบทางวิศวกรรม ควรตรวจเงื่อนไข หน่วย และค่าจริงก่อนใช้

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**ภาพสามมิติแสดงมุมจริงหรือไม่?**
ภาพเป็นการฉายสามมิติลงบนจอสองมิติ มุมและความยาวที่เห็นบนจอขึ้นกับมุมมอง ให้ลากหมุนหลายมุมหรือกดมุมมอง xy xz yz เพื่อดูภาพจริงในแต่ละระนาบ และใช้ตัวเลขในแท็บสรุปตรวจมุมและขนาดเสมอ

**แชร์ชุดเวกเตอร์ให้เพื่อนได้ไหม?**
ได้ สตูดิโอบันทึกเวกเตอร์ ตัวเลือก และมุมของกรอบหมุนไว้ในลิงก์ของหน้าโดยอัตโนมัติ คัดลอกลิงก์จากแถบที่อยู่แล้วส่งให้เพื่อน เพื่อนจะเปิดเห็นชุดเดียวกัน

**ทำไมฉายลงบนเวกเตอร์ศูนย์ไม่ได้?**
เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศ และสูตรต้องหารด้วยขนาดหรือขนาดกำลังสองของเวกเตอร์เป้าหมาย เครื่องมือจึงแจ้งว่าไม่กำหนดแทนการแสดงค่าที่ดูเหมือนคำนวณได้

**เครื่องมือนี้มีความแม่นยำเท่าใด?**
คำนวณด้วยเลขทศนิยม floating point ของ JavaScript แล้วปัดเพื่อแสดงผล เหมาะสำหรับเรียนและตรวจตัวอย่าง ไม่ใช่เครื่องมือรับรองการออกแบบทางวิศวกรรม ควรตรวจเงื่อนไข หน่วย และค่าจริงก่อนใช้

---

# เครื่องมือระดับโลกสำหรับเวกเตอร์ สนาม และวงจร AC

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/vector-tools/
Updated: 2026-10-13
Summary: รวมเครื่องมือระดับโลกที่มีอยู่จริงสำหรับเรียนเวกเตอร์และไฟฟ้า เปิดใช้ได้ในหน้าเดียว: PhET Vector Addition, Charges and Fields, Faraday's Electromagnetic Lab, Circuit Construction Kit: AC และ Trig Tour จากมหาวิทยาลัยโคโลราโด, Falstad Circuit Simulator, GeoGebra 3D Calculator, Desmos 3D, MATLAB/Octave และ Python (NumPy, Matplotlib) พร้อมวิธีใช้ให้ตรงกับบทเรียน ส่งออกเวกเตอร์จากสตูดิโอไปยังเครื่องมือเหล่านี้ และตารางเลือกเครื่องมือ

// เวกเตอร์ · ห้องแล็บ · World-class tools

# เครื่องมือระดับโลกสำหรับเวกเตอร์ สนาม และวงจร AC

มหาวิทยาลัยชั้นนำทั่วโลกสอนเวกเตอร์และไฟฟ้าด้วยซิมูเลชันชุดเดียวกัน: PhET จากมหาวิทยาลัยโคโลราโด GeoGebra สำหรับเรขาคณิตสามมิติ Falstad สำหรับวงจร และ MATLAB/Python สำหรับงานวิศวกรรม หน้านี้นำเครื่องมือเหล่านั้นมาไว้ในที่เดียว เปิดใช้ได้ทันทีโดยไม่ต้องติดตั้ง พร้อมบอกว่าแต่ละตัวเหมาะกับบทเรียนไหน และส่งเวกเตอร์จากสตูดิโอของเว็บนี้ไปคำนวณต่อได้

## แผนที่เครื่องมือ: ใช้อะไรเมื่อไร

ในเว็บนี้ · ฟรี

### สตูดิโอเวกเตอร์ 3D
วาด หมุนแกน ทิศทางโคไซน์ ผลรวม cross กรอบหมุน ส่งออก
เปิด →

ในเว็บนี้ · ฟรี

### แล็บกลศาสตร์ · สนาม · AC
แล็บพร้อมวิธีคำนวณทีละขั้นและใบงาน ตรงกับสูตรในบทเรียน
เปิด →

PhET · CU Boulder · ฟรี

### ซิมูเลชันฟิสิกส์
เวกเตอร์ สนามไฟฟ้า การเหนี่ยวนำ วงจร AC ต่อสายและวัดเหมือนแล็บจริง
ดูด้านล่าง ↓

GeoGebra · ฟรี

### GeoGebra 3D Calculator
เรขาคณิตสามมิติระดับโลก วาดเวกเตอร์ ระนาบ และคำนวณ Dot/Cross
ดูด้านล่าง ↓

Falstad · ฟรี

### Circuit Simulator
วงจรเคลื่อนไหวเห็นกระแสไหล สโคปในตัว ตัวอย่างวงจร AC จำนวนมาก
ดูด้านล่าง ↓

MATLAB · Octave · Python

### เครื่องมือวิศวกรรม
คำนวณเมทริกซ์ แผนภาพเวกเตอร์ quiver3 และงานวิจัย
ดูด้านล่าง ↓

ซิมูเลชันภายนอกโหลดจากเว็บไซต์ของเจ้าของเมื่อกดปุ่มเท่านั้น (ไม่โหลดล่วงหน้า) ลิขสิทธิ์และเครดิตเป็นของผู้พัฒนาแต่ละราย

## PhET Interactive Simulations (University of Colorado Boulder)

PhET คือซิมูเลชันการศึกษาที่ใช้มากที่สุดในโลก ผ่านงานวิจัยด้านการเรียนรู้มาอย่างยาวนาน ใช้คู่กับบทเรียนในเว็บนี้ดังนี้

### Vector Addition — บวกเวกเตอร์ด้วยกราฟและองค์ประกอบ

ลากลูกศรบนตาราง ดูองค์ประกอบ x y มุม และผลรวมแบบหัวต่อหาง ใช้ประกอบ การบวกเวกเตอร์ และ แรงลัพธ์ ภารกิจ: สร้างแรง 600 N ที่ 0° กับ 400 N ที่ 50° แล้วตรวจว่าได้ R ≈ 910 N ที่ 19.7°

PhET · Vector Additionบวกเวกเตอร์ด้วยการลาก ดูองค์ประกอบและมุม (โหมด Explore 1D, 2D, Lab)
หน้า PhET ↗© PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder

### Charges and Fields — สนามไฟฟ้า ศักย์ และเส้นศักย์เท่า

วางประจุ ใช้เซนเซอร์วัดสนาม และวาดเส้นศักย์เท่าด้วยเครื่องมือวัดแรงดัน ใช้ประกอบ สนามไฟฟ้า และ แล็บสนาม ภารกิจ: สร้างไดโพลแล้ววัดว่าเส้นศักย์ 0 V อยู่ตรงกลางพอดี

PhET · Charges and Fieldsประจุ เวกเตอร์สนาม เครื่องวัดแรงดัน และเส้นศักย์เท่า
หน้า PhET ↗© PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder

### Faraday's Electromagnetic Lab — แม่เหล็ก ขดลวด และการเหนี่ยวนำ

แม่เหล็กแท่ง เข็มทิศ ขดลวด หม้อแปลง และเครื่องกำเนิดไฟฟ้า เห็นที่มาของแรงดันไซน์จากขดลวดหมุน (ฟลักซ์ M6, ไซน์มาจากไหน)

PhET · Faraday's Electromagnetic Labแม่เหล็ก ขดลวด หม้อแปลง เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
หน้า PhET ↗© PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder

### Trig Tour — วงกลมหนึ่งหน่วยกับกราฟ sin cos

ลากมุมรอบวงกลมแล้วดูกราฟ sin cos tan เดินตาม เป็นภาพเดียวกับเฟสเซอร์หมุน ใช้ก่อนเรียน sin cos ในไฟฟ้า AC

PhET · Trig Tourวงกลมหนึ่งหน่วย sin cos tan
หน้า PhET ↗© PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder

## วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ: ต่อสายจริง วัดจริง

### PhET Circuit Construction Kit: AC

ลากแหล่งจ่าย AC ตัวต้านทาน ขดลวด ตัวเก็บประจุ ต่อสาย แล้ววัดด้วยโวลต์มิเตอร์ แอมมิเตอร์ และกราฟกระแส ภารกิจ: ต่อ RLC อนุกรม วัดแรงดันคร่อมแต่ละตัว แล้วตรวจว่าผลรวมขนาดมากกว่าแหล่งจ่าย (เทียบ Z-2)

PhET · Circuit Construction Kit: ACต่อวงจร AC ด้วย R L C แหล่งจ่าย มิเตอร์ และกราฟ
หน้า PhET ↗© PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder

### Falstad Circuit Simulator (Paul Falstad)

ซิมูเลเตอร์วงจรที่วิศวกรและอาจารย์ทั่วโลกใช้ เห็นกระแสไหลเป็นจุดเคลื่อนที่ มีสโคปในตัว ตัวอย่างที่เปิดคือวงจร LRC ไปที่เมนู Circuits เพื่อเลือกวงจรกรอง เรโซแนนซ์ และวงจรกำลัง คลิกขวาที่ชิ้นส่วนเพื่อแก้ค่า แล้วเทียบกับ แล็บวงจร AC

Falstad · Circuit Simulatorวงจรเคลื่อนไหวพร้อมสโคป เริ่มที่วงจร LRC
falstad.com ↗© Paul Falstad · circuitjs

สนามไฟฟ้าสามมิติแบบเคลื่อนไหวจากผู้พัฒนาเดียวกัน: Falstad 3-D Electrostatic Field Simulation และ 2-D Electrostatic Fields (เปิดในแท็บใหม่)

## GeoGebra 3D Calculator และ Desmos 3D

สำหรับเรขาคณิตสามมิติที่ซับซ้อน — ระนาบ เส้นตรงในอวกาศ ระยะทาง และการหมุน — GeoGebra 3D คือมาตรฐานโลกในห้องเรียนคณิตศาสตร์ ขั้นตอนใช้ร่วมกับเว็บนี้:

- วาดเวกเตอร์ใน สตูดิโอเวกเตอร์ แล้วเปิดแท็บ “ส่งออก” กดคัดลอกคำสั่ง GeoGebra
- เปิด GeoGebra 3D Calculator ↗ วางในช่อง Input ทีละบรรทัด
- คำนวณต่อด้วยคำสั่งด้านล่าง แล้วเทียบกับคำตอบของสตูดิโอ

| ต้องการ | คำสั่ง GeoGebra | เทียบสูตรในเว็บ |

| สร้างเวกเตอร์ | u = Vector((3, 4, 5)) | F |

| ขนาดและเวกเตอร์หนึ่งหน่วย | Length(u), UnitVector(u) | K2 |

| Dot และ Cross | Dot(u, v), Cross(u, v) | D, C |

| มุมระหว่างเวกเตอร์ | Angle(u, v) | D |

| ระนาบตั้งฉากกับ n ผ่านจุด P | PerpendicularPlane(P, n) | C |

ทางเลือก: Desmos 3D ↗ ใช้ง่ายบนแท็บเล็ต เหมาะวาดพื้นผิวและเวกเตอร์ชุดเล็ก

เปิด JavaScript เพื่อใช้สตูดิโอ

## MATLAB / GNU Octave และ Python: เครื่องมือของวิศวกร

เมื่อโจทย์ใหญ่ขึ้น — แรงหลายสิบแรง แขนกลหกข้อต่อ วงจรหลายโหนด — เราเขียนโปรแกรม ด้านล่างคือโค้ดตั้งต้นที่ตรงกับตัวอย่างในบทเรียน รันได้ฟรีบน Octave Online ↗ หรือ Google Colab ↗

### ตรวจตัวอย่าง K-4 (แรงสายยึดเสา) ด้วย MATLAB/Octave

P = [0 0 12]; A = [4 -3 0]; B = [-3 4 0];
uA = (A-P)/norm(A-P); uB = (B-P)/norm(B-P);
F = 650*uA + 390*uB % ได้ [110 -30 -960]
R = norm(F) % 966.75 N
alpha_beta_gamma = acosd(F/R) % มุมทิศทาง (องศา)

### วงจร RLC อนุกรม (ตัวอย่าง Z-2) ด้วย Python

import numpy as np
w = 2*np.pi*50
Z = 30 + 1j*w*0.127 + 1/(1j*w*53e-6)
I = 220/Z
for name, z in [("VR", 30), ("VL", 1j*w*0.127), ("VC", 1/(1j*w*53e-6))]:
V = I*z
print(name, round(abs(V), 1), "V at", round(np.degrees(np.angle(V)), 2), "deg")
S = 220*np.conj(I); print("P =", S.real, "Q =", S.imag, "PF =", S.real/abs(S))

### แขนกล (ตัวอย่าง A-4) ด้วย Python และ Robotics Toolbox

import numpy as np
L1, L2, t1, t2 = 0.5, 0.4, np.radians(30), np.radians(60)
J = np.array([[-L1*np.sin(t1)-L2*np.sin(t1+t2), -L2*np.sin(t1+t2)],
[ L1*np.cos(t1)+L2*np.cos(t1+t2), L2*np.cos(t1+t2)]])
tau = J.T @ np.array([0, 2*9.81]) # [8.50, 0.00] N·m
# pip install roboticstoolbox-python → ใช้ rtb.ERobot / DHRobot จำลองแขนจริงได้
ตรวจคำตอบเร็ว ๆ ด้วยภาษาธรรมชาติ: Wolfram|Alpha: cross product (1,2,2) and (3,0,4) ↗

## ตารางเลือกเครื่องมือ

| งาน | เริ่มที่ | ต่อยอดด้วย | เหตุผล |

| เข้าใจการบวกเวกเตอร์ | PhET Vector Addition | โต๊ะแรง | ลากเห็นภาพ แล้วตรวจด้วยสูตร |

| แรงสามมิติ ทิศทางโคไซน์ | สตูดิโอเวกเตอร์ | GeoGebra 3D, MATLAB | หมุนแกน ส่งออกคำสั่งได้ |

| สนามไฟฟ้า ศักย์ | แล็บสนาม | PhET Charges and Fields | แยกการซ้อนทับทีละประจุ + เครื่องวัดเสมือน |

| การเหนี่ยวนำ เครื่องกำเนิด | PhET Faraday's Lab | M6 | เห็นฟลักซ์เปลี่ยนเป็นแรงดัน |

| เฟสเซอร์ วงจร RLC | แล็บวงจร AC | PhET CCK: AC, Falstad | เฟสเซอร์ + วงจรที่ต่อเอง |

| แขนกล | แล็บแขนกล | Python Robotics Toolbox | FK/IK/Jacobian → แบบจำลองหุ่นยนต์จริง |

## คำถามที่พบบ่อย

PhET คืออะไร ใช้ฟรีไหม?
PhET Interactive Simulations เป็นโครงการของมหาวิทยาลัยโคโลราโดโบลเดอร์ สร้างซิมูเลชันฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ที่ใช้กันทั่วโลก ใช้ฟรีผ่านเบราว์เซอร์ หน้านี้เปิดซิมูเลชันจากเว็บไซต์ของ PhET โดยตรงเมื่อกดปุ่ม และให้เครดิตเจ้าของผลงาน

ส่งเวกเตอร์จากเว็บนี้ไป GeoGebra อย่างไร?
เปิดสตูดิโอเวกเตอร์ เลือกแท็บส่งออก กดคัดลอกคำสั่ง GeoGebra แล้ววางในช่อง Input ของ GeoGebra 3D Calculator ทีละบรรทัด เวกเตอร์ทั้งหมดจะปรากฏในกราฟสามมิติ ใช้คำสั่งเช่น Length, UnitVector, Dot, Cross, Angle ต่อได้

ควรใช้เครื่องมือไหนเรียนวงจร AC?
เริ่มจากแล็บวงจร AC ของเว็บนี้เพื่อดูเฟสเซอร์และวิธีคำนวณ แล้วใช้ PhET Circuit Construction Kit: AC เพื่อต่อวงจรด้วยสายไฟและวัดด้วยมิเตอร์เสมือน จากนั้นใช้ Falstad Circuit Simulator เมื่อต้องการดูรูปคลื่นและวงจรที่ซับซ้อนขึ้น

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## FAQ

**PhET คืออะไร ใช้ฟรีไหม?**
PhET Interactive Simulations เป็นโครงการของมหาวิทยาลัยโคโลราโดโบลเดอร์ สร้างซิมูเลชันฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ที่ใช้กันทั่วโลก ใช้ฟรีผ่านเบราว์เซอร์ หน้านี้เปิดซิมูเลชันจากเว็บไซต์ของ PhET โดยตรงเมื่อกดปุ่ม และให้เครดิตเจ้าของผลงาน

**ส่งเวกเตอร์จากเว็บนี้ไป GeoGebra อย่างไร?**
เปิดสตูดิโอเวกเตอร์ เลือกแท็บส่งออก กดคัดลอกคำสั่ง GeoGebra แล้ววางในช่อง Input ของ GeoGebra 3D Calculator ทีละบรรทัด เวกเตอร์ทั้งหมดจะปรากฏในกราฟสามมิติ ใช้คำสั่งเช่น Length, UnitVector, Dot, Cross, Angle ต่อได้

**ควรใช้เครื่องมือไหนเรียนวงจร AC?**
เริ่มจากแล็บวงจร AC ของเว็บนี้เพื่อดูเฟสเซอร์และวิธีคำนวณ แล้วใช้ PhET Circuit Construction Kit: AC เพื่อต่อวงจรด้วยสายไฟและวัดด้วยมิเตอร์เสมือน จากนั้นใช้ Falstad Circuit Simulator เมื่อต้องการดูรูปคลื่นและวงจรที่ซับซ้อนขึ้น