---
title: "สตูดิโอเวกเตอร์ 2D / 3D: วาด หมุนแกน วิเคราะห์ และส่งออก"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/vector-lab/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-13
---

> เครื่องมือเวกเตอร์ออนไลน์ฟรีภาษาไทย: วาดเวกเตอร์ได้ 8 ตัวใน 2D/3D ลากหมุนมุมมองสามมิติ มุมมอง xy xz yz perspective ผลรวมแรง ต่อหัวต่อหาง กล่ององค์ประกอบ มุม α β γ ทิศทางโคไซน์ projection cross product พื้นที่ triple product กรอบหมุนมุมออยเลอร์ ตารางมุมทุกคู่ แชร์ลิงก์ และส่งออกเป็นคำสั่ง GeoGebra MATLAB Python CSV พร้อมเครื่องคิดเลขเวกเตอร์แบบแสดงวิธีทำและแกลเลอรีฉาก 3 มิติ

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/vector-lab/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# สตูดิโอเวกเตอร์ 2D / 3D: วาด หมุนแกน วิเคราะห์ และส่งออก

// เวกเตอร์ · ห้องแล็บ · Vector Studio 2D / 3D


เครื่องมือเดียวสำหรับทุกบทของชุดเวกเตอร์: ใส่เวกเตอร์ได้สูงสุด 8 ตัว ลากหมุนมุมมองสามมิติ ดูผลรวมแบบหัวต่อหาง กล่ององค์ประกอบ มุม α β γ การฉาย ผลคูณไขว้ และกรอบพิกัดที่หมุนด้วยมุมออยเลอร์ ทุกอย่างคำนวณให้เห็นทีละขั้นในแท็บด้านล่าง แล้วส่งออกไป GeoGebra MATLAB หรือ Python ได้ในคลิกเดียว ลิงก์ของหน้าเก็บชุดเวกเตอร์ไว้ให้แชร์ได้ทันที

## สตูดิโอเวกเตอร์ 3 มิติ

เริ่มจากตัวอย่าง “แรงจากสายเคเบิล 3 เส้น” ลากภาพเพื่อหมุน กด xy xz yz เพื่อมองจากบน หน้า ข้าง ปุ่ม ★ เลือกเวกเตอร์หลัก ☆ เลือกตัวที่สอง สำหรับ projection และ cross ติ๊ก ✓ เพื่อรวมในผลรวม R

เปิด JavaScript เพื่อใช้สตูดิโอ ตัวอย่างด้านล่างอ่านและคำนวณได้โดยไม่ใช้ JavaScript

## ภารกิจในสตูดิโอ

- สมดุลสามมิติ — เลือกตัวอย่าง “สมดุล” ติ๊ก “ต่อหัวต่อหาง” รูปหลายเหลี่ยมแรงปิดพอดี แท็บแรงลัพธ์ต้องได้ R = 0

- ทิศทางโคไซน์ — ตัวอย่าง “ทิศทางโคไซน์” ติ๊กมุม α β γ แล้วกดมุมมอง xz: มุม γ อยู่ระหว่างลูกศรกับแกน z จริงหรือไม่

- กรอบหมุน — ติ๊ก “กรอบหมุน” ปรับ ψ = 90° ดูในแท็บกรอบหมุนว่า x′ ของ i กลายเป็นเท่าไร (คำตอบ: i′ = (0, −1, 0)) อธิบายด้วย T2

- แรงบิด — ตัวอย่าง “Cross product · แรงบิด” ★ = r ☆ = F ติ๊ก “★ × ☆” ได้ M = r × F ตั้งฉากกับระนาบสีเหลือง

- เฟสเซอร์ — ตัวอย่าง “เฟสเซอร์เป็นเวกเตอร์ 2 มิติ” V_R + V_L + V_C ต่อหัวต่อหางเป็น KVL ของวงจร RLC (Z3)

## แกลเลอรีฉาก 3 มิติจากทุกบท

แต่ละฉากมาจากบทเรียนหนึ่งบท เปิดเพื่อทดลองได้ทันที (ฉากเต็มพร้อมคำอธิบายอยู่ในบทนั้น)

ทิศทางโคไซน์ α β γ · บท K

Cross product และกฎมือขวา · บท C

โมเมนต์ r × F และโมเมนต์รอบแกน · บท S

หมุนกรอบพิกัดด้วยมุมออยเลอร์ · บท T

แขนกล 3 ข้อต่อ · บท A

แรงลอเรนซ์และการเคลื่อนที่แบบเกลียว · บท M

แรงบิดบนขดลวด (หลักการมอเตอร์) · บท M

## เครื่องคิดเลขเวกเตอร์แบบแสดงวิธีทำ

เครื่องคิดเลขสองเวกเตอร์ที่เขียนวิธีแทนค่าทุกบรรทัด เหมาะสำหรับตรวจการบ้านเรื่องบวก ลบ คูณสเกลาร์ Dot Cross และ projection

โหมด 2D ใช้เฉพาะองค์ประกอบ x,y ส่วน Cross product ของเวกเตอร์บนระนาบคิดโดยเติม z=0 แล้วแสดงองค์ประกอบตั้งฉากกับระนาบ โหมด 3D ของเครื่องคิดเลขนี้เป็นภาพฉายคงที่ ถ้าต้องการหมุนดูมุมจริงให้ใช้สตูดิโอด้านบน

## ใบงานทดลอง: ทำนายก่อนกดคำนวณ

การทดลอง 1 · Projection

### ส่วนขนานที่ยาวกว่าองค์ประกอบ x ของ A

ตั้ง A=(3,4), B=(2,1) เลือก projection คำถาม: เหตุใดองค์ประกอบ x ของส่วนฉายเป็น 4 มากกว่า x ของ A ที่เป็น 3?

- คำนวณ $A\cdot B=3(2)+4(1)=10$ และ $B\cdot B=5$
- ส่วนขนาน $A_\parallel=(10/5)(2,1)=(4,2)$
- ส่วนตั้งฉาก $A_\perp=(3,4)-(4,2)=(-1,2)$ ตรวจ $(-1,2)\cdot(2,1)=0$

การฉายบนเส้นเอียงไม่ใช่การเก็บ x อย่างเดียว ส่วนตั้งฉากมี x ติดลบ จึงรวมกลับเป็น 3 ได้ แม้ x ของส่วนขนานเท่ากับ 4

เปลี่ยน B เป็น (−2,−1): scalar projection จาก $2\sqrt5$ กลายเป็น $-2\sqrt5$ แต่เวกเตอร์ฉายยังเป็น (4,2) เพราะเส้นที่ฉายเป็นเส้นเดิม

การทดลอง 2 · Dot product

### ตั้งฉาก ทิศเดียว และทิศตรงข้าม

- A=(3,4), B=(−4,3) ให้ dot = −12+12=0 และมุม 90°
- เปลี่ยน B=(6,8) ให้ dot=50 และมุม 0° ขนาด B เป็นสองเท่า A
- เปลี่ยน B=(−6,−8) ให้ dot=−50 และมุม 180°

เครื่องหมาย dot บอกมุมแหลม ศูนย์ หรือมุมป้านได้เมื่อเวกเตอร์ทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์ ลอง A=(0,0): dot ยังคำนวณเป็น 0 แต่มุมไม่กำหนด

การทดลอง 3 · Cross product

### สลับลำดับแล้วทิศกลับ

- เลือก 3D ให้ A=(1,2,2), B=(3,0,4)
- คำนวณ $A\times B=(8,2,-6)$; ขนาด $\sqrt{104}\approx10.1980$
- ตรวจ $(8,2,-6)\cdot A=8+4-12=0$, $(8,2,-6)\cdot B=24-24=0$
- สลับ A และ B จะได้ (−8,−2,6) ขนาดเท่าเดิมแต่ทิศตรงข้าม

Cross ให้ทิศตั้งฉากและพื้นที่ ห้ามแทน cross ด้วยการคูณองค์ประกอบทีละตัว

## ทดลองจากโจทย์วิศวกรรม

- แรงลัพธ์: โหมดบวก A=(30,40) N และ B=(−10,20) N ให้ (20,60) N ขนาด $20\sqrt{10}\approx63.246$ N
- งาน: โหมด dot ให้ A=(30,40) N และ B=(2,0) m ได้ 60 J ไม่ใช่ 100 J เพราะแรงแนวตั้งไม่ทำงานในการเคลื่อนที่แนวนอนนี้
- แรงบิด: โหมด cross 3D ให้ A=(0.2,0,0) m และ B=(0,50,0) N ได้ (0,0,10) N·m ตาม +z

แล็บรับเฉพาะตัวเลขและไม่ทราบหน่วยโดยอัตโนมัติ ผู้ใช้ต้องกำหนดหน่วยให้สอดคล้องกันก่อนแทนค่า อ่านข้อสมมติของระบบจริงใน หน้าการประยุกต์ทางวิศวกรรม

## ขอบเขตและการตรวจคำตอบ

ภาพและผลลัพธ์ใช้ฐานคาร์ทีเซียนตั้งฉากหนึ่งหน่วย ไม่รองรับฐานเฉียงหรือพิกัดโค้งโดยตรง การคำนวณใช้ floating point; ค่าที่เล็กมากอาจคลาดเคลื่อนจากการปัด อย่าใช้ภาพฉายสามมิติพิสูจน์ความตั้งฉาก ให้ตรวจ dot เป็นศูนย์แทน

กลับไปค้น สรุปสูตร หรืออ่านที่มาใน Component / Projection, Dot product และ Cross product

## คำถามที่พบบ่อย

ภาพสามมิติแสดงมุมจริงหรือไม่?
ภาพเป็นการฉายสามมิติลงบนจอสองมิติ มุมและความยาวที่เห็นบนจอขึ้นกับมุมมอง ให้ลากหมุนหลายมุมหรือกดมุมมอง xy xz yz เพื่อดูภาพจริงในแต่ละระนาบ และใช้ตัวเลขในแท็บสรุปตรวจมุมและขนาดเสมอ

แชร์ชุดเวกเตอร์ให้เพื่อนได้ไหม?
ได้ สตูดิโอบันทึกเวกเตอร์ ตัวเลือก และมุมของกรอบหมุนไว้ในลิงก์ของหน้าโดยอัตโนมัติ คัดลอกลิงก์จากแถบที่อยู่แล้วส่งให้เพื่อน เพื่อนจะเปิดเห็นชุดเดียวกัน

ทำไมฉายลงบนเวกเตอร์ศูนย์ไม่ได้?
เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศ และสูตรต้องหารด้วยขนาดหรือขนาดกำลังสองของเวกเตอร์เป้าหมาย เครื่องมือจึงแจ้งว่าไม่กำหนดแทนการแสดงค่าที่ดูเหมือนคำนวณได้

เครื่องมือนี้มีความแม่นยำเท่าใด?
คำนวณด้วยเลขทศนิยม floating point ของ JavaScript แล้วปัดเพื่อแสดงผล เหมาะสำหรับเรียนและตรวจตัวอย่าง ไม่ใช่เครื่องมือรับรองการออกแบบทางวิศวกรรม ควรตรวจเงื่อนไข หน่วย และค่าจริงก่อนใช้

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ภาพสามมิติแสดงมุมจริงหรือไม่?**
ภาพเป็นการฉายสามมิติลงบนจอสองมิติ มุมและความยาวที่เห็นบนจอขึ้นกับมุมมอง ให้ลากหมุนหลายมุมหรือกดมุมมอง xy xz yz เพื่อดูภาพจริงในแต่ละระนาบ และใช้ตัวเลขในแท็บสรุปตรวจมุมและขนาดเสมอ

**แชร์ชุดเวกเตอร์ให้เพื่อนได้ไหม?**
ได้ สตูดิโอบันทึกเวกเตอร์ ตัวเลือก และมุมของกรอบหมุนไว้ในลิงก์ของหน้าโดยอัตโนมัติ คัดลอกลิงก์จากแถบที่อยู่แล้วส่งให้เพื่อน เพื่อนจะเปิดเห็นชุดเดียวกัน

**ทำไมฉายลงบนเวกเตอร์ศูนย์ไม่ได้?**
เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศ และสูตรต้องหารด้วยขนาดหรือขนาดกำลังสองของเวกเตอร์เป้าหมาย เครื่องมือจึงแจ้งว่าไม่กำหนดแทนการแสดงค่าที่ดูเหมือนคำนวณได้

**เครื่องมือนี้มีความแม่นยำเท่าใด?**
คำนวณด้วยเลขทศนิยม floating point ของ JavaScript แล้วปัดเพื่อแสดงผล เหมาะสำหรับเรียนและตรวจตัวอย่าง ไม่ใช่เครื่องมือรับรองการออกแบบทางวิศวกรรม ควรตรวจเงื่อนไข หน่วย และค่าจริงก่อนใช้