--- title: "sin และ cos ในไฟฟ้ากระแสสลับ: แอมพลิจูด เฟส นำหน้า-ตามหลัง และ RMS" url: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/sinusoids/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-13 --- > เรียนพื้นฐานไฟฟ้ากระแสสลับภาษาไทย: v(t) = Vm sin(ωt + φ) ความถี่ คาบ ความถี่เชิงมุม แปลง sin เป็น cos ด้วย ±90° เครื่องหมายลบคือ ±180° เทียบเฟสและบอกนำหน้า-ตามหลัง รวม A cos + B sin เป็นไซน์เดียวด้วยเวกเตอร์ ค่าเฉลี่ยและค่า RMS ไฟบ้าน 220 V วัดความต่างเฟสจากออสซิลโลสโคป อนุพันธ์ของไซน์เลื่อนเฟส 90° พร้อมแล็บเฟสเซอร์หมุน ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/sinusoids/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # sin และ cos ในไฟฟ้ากระแสสลับ: แอมพลิจูด เฟส นำหน้า-ตามหลัง และ RMS // เวกเตอร์ · ส่วนที่ 4 · Sine & cosine in AC circuits ไฟฟ้าที่เสียบปลั๊กใช้ทุกวันเป็นคลื่นไซน์ 50 Hz ที่เกิดจากขดลวดหมุนในเครื่องกำเนิด ก่อนจะใช้เฟสเซอร์วิเคราะห์วงจรได้ ต้องอ่านคลื่นไซน์ให้คล่อง: แอมพลิจูด ความถี่ มุมเฟส การแปลงระหว่าง sin กับ cos และการบอกว่าอะไรนำหน้าหรือตามหลัง บทนี้ยังแสดงว่า $A\cos\omega t+B\sin\omega t$ คือเวกเตอร์ (A, B) ในคราบของคลื่น — สะพานที่จะพาไปสู่เฟสเซอร์ สรุปใน 30 วินาที - $v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi)$, $\omega=2\pi f$, $T=1/f$; ไฟบ้าน 220 V RMS → $V_m=311$ V, 50 Hz - $\sin\theta=\cos(\theta-90^\circ)$, $-\sin\theta=\sin(\theta\pm180^\circ)$ - เทียบเฟสต้องใช้ฟังก์ชันเดียวกัน แอมพลิจูดบวก และความถี่เดียวกัน - $A\cos\omega t+B\sin\omega t=\sqrt{A^2+B^2}\cos(\omega t-\delta)$, $\delta=\operatorname{atan2}(B,A)$ ## 1. ไซน์มาจากไหน: ขดลวดหมุนกับ dot product พื้นฐาน ขดลวดพื้นที่ A หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω ในสนาม B ทำให้มุมระหว่างเวกเตอร์ปกติกับสนามเป็น ωt ฟลักซ์ $\Phi=\mathbf B\cdot\mathbf A=BA\cos\omega t$ (ดู M6) และแรงดันเหนี่ยวนำ $e=-N\,d\Phi/dt=NBA\omega\sin\omega t$ ไซน์จึงเกิดจากการฉายของเวกเตอร์ที่หมุนโดยธรรมชาติ — ความคิดนี้คือหัวใจของเฟสเซอร์ในบทถัดไป ## 2. พารามิเตอร์ของคลื่นไซน์ พื้นฐาน W1 General sinusoid รูปทั่วไปของสัญญาณไซน์ $$v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi),\qquad \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}\ \ [\text{rad/s}],\qquad T=\frac1f$$ $V_m$ แอมพลิจูด (ค่ายอด) $\varphi$ มุมเฟส (ค่าที่ t = 0) ระวังหน่วย: ωt เป็นเรเดียน ถ้าเขียน φ เป็นองศาต้องแปลงก่อนแทนค่าในเครื่องคิดเลข ตัวอย่าง W-1 · ไฟบ้านประเทศไทย ### แรงดันไฟบ้าน 220 V RMS 50 Hz มุมเฟส 0° จงหา V_m, ω, T และค่าแรงดันที่ t = 2.5 ms - $V_m=220\sqrt2=311.1$ V, $\omega=2\pi(50)=314.16$ rad/s, $T=1/50=20$ ms - ที่ t = 2.5 ms: $\omega t=314.16(0.0025)=0.7854$ rad = 45° - $v=311.1\sin45^\circ=220.0$ V — บังเอิญเท่าค่า RMS พอดีที่มุม 45° $v(t)=311\sin(314.16t)$ V · ที่ 2.5 ms ได้ 220 V ## 3. แปลงระหว่าง sin กับ cos และจัดการเครื่องหมายลบ พื้นฐาน ดูจากวงกลมหนึ่งหน่วย: cos คือการฉายบนแกนนอน sin คือการฉายบนแกนตั้ง ลูกศรที่หมุนทวนเข็มจะไปถึงแกนตั้งช้ากว่าแกนนอน 90° ดังนั้น sin ตามหลัง cos อยู่ 90° (ดู สูตรตรีโกณมิติ) W2 Conversion identities เอกลักษณ์ที่ใช้แปลงรูป $$\sin\theta=\cos(\theta-90^\circ),\quad \cos\theta=\sin(\theta+90^\circ),\quad -\sin\theta=\sin(\theta\pm180^\circ),\quad -\cos\theta=\cos(\theta\pm180^\circ)$$ จำเป็นภาพ: เลื่อน ±90° สลับ sin↔cos และเลื่อน ±180° กลับเครื่องหมาย เลือกเครื่องหมายที่ทำให้มุมอยู่ในช่วง −180° ถึง 180° ตัวอย่าง W-2 · จัดรูปให้แอมพลิจูดเป็นบวก ### เขียน $i(t)=-5\cos(\omega t+30^\circ)$ A ในรูป sin ที่แอมพลิจูดเป็นบวก - กำจัดเครื่องหมายลบ: $-\cos x=\cos(x-180^\circ)$ → $5\cos(\omega t-150^\circ)$ - แปลงเป็น sin: $\cos y=\sin(y+90^\circ)$ → $5\sin(\omega t-60^\circ)$ - ตรวจที่ t = 0: $-5\cos30^\circ=-4.330$ และ $5\sin(-60^\circ)=-4.330$ ✓ $i(t)=5\sin(\omega t-60^\circ)$ A ## 4. ความต่างเฟส: นำหน้าหรือตามหลัง กลาง W3 Phase difference ความต่างเฟส $$v=V_m\sin(\omega t+\varphi_v),\ i=I_m\sin(\omega t+\varphi_i):\qquad \Delta\varphi=\varphi_v-\varphi_i\ \begin{cases}>0 & i\ \text{ตามหลัง}\ v\ (\text{inductive})\\<0 & i\ \text{นำหน้า}\ v\ (\text{capacitive})\end{cases}$$ เงื่อนไขก่อนเทียบ: ความถี่เดียวกัน ฟังก์ชันเดียวกัน (sin กับ sin) แอมพลิจูดบวก และเลือก Δφ ในช่วง −180° ถึง 180° W4 Phase from a time shift แปลงเวลาเลื่อนเป็นมุมเฟส $$\Delta\varphi=\omega\,\Delta t=360^\circ\cdot\frac{\Delta t}{T}$$ บนสโคป วัด Δt ระหว่างจุดผ่านศูนย์ขาขึ้นของสองสัญญาณ (ดู การวัดด้วยสโคป) ตัวอย่าง W-3 · ใครนำหน้า? ### $v=100\sin(\omega t+20^\circ)$ V และ $i=4\cos(\omega t-50^\circ)$ A อะไรนำหน้า กี่องศา - แปลง i เป็น sin: $4\cos(\omega t-50^\circ)=4\sin(\omega t+40^\circ)$ - $\Delta\varphi=\varphi_v-\varphi_i=20^\circ-40^\circ=-20^\circ$ กระแสนำหน้าแรงดัน 20° → โหลดมีลักษณะตัวเก็บประจุ (ถ้าเทียบ cos กับ sin ตรง ๆ จะได้คำตอบผิดเป็น 70°) ตัวอย่าง W-4 · วัดจากออสซิลโลสโคป ### ที่ 50 Hz กระแสมอเตอร์ผ่านศูนย์ขาขึ้นช้ากว่าแรงดัน 1.5 ms จงหามุมเฟสและเพาเวอร์แฟกเตอร์ - $\Delta\varphi=360^\circ(1.5/20)=27^\circ$ กระแสตามหลัง - PF = cos 27° = 0.891 ตามหลัง (lagging) — ต่อใน เพาเวอร์แฟกเตอร์ 27° ตามหลัง · PF = 0.891 ## 5. A cos + B sin คือเวกเตอร์ (A, B) กลาง ขยาย $C\cos(\omega t-\delta)=C\cos\delta\cos\omega t+C\sin\delta\sin\omega t$ เทียบสัมประสิทธิ์กับ $A\cos\omega t+B\sin\omega t$ ได้ $A=C\cos\delta$, $B=C\sin\delta$ นี่คือการเขียนเวกเตอร์ (A, B) ในรูปขนาด C และมุม δ — พื้นฐานเวกเตอร์ 2 มิติ ล้วน ๆ W5 Combining cos and sin of the same frequency รวมเป็นไซน์เดียว $$A\cos\omega t+B\sin\omega t=C\cos(\omega t-\delta)=C\sin(\omega t+90^\circ-\delta),\qquad C=\sqrt{A^2+B^2},\quad \delta=\operatorname{atan2}(B,A)$$ ใช้ atan2 เพราะ A หรือ B อาจติดลบ ผลลัพธ์นี้ใช้บ่อยมากในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรด้วยวิธีสัมประสิทธิ์ (ก่อนรู้จักเฟสเซอร์) ตัวอย่าง W-5 · คำตอบสภาวะคงตัวของวงจร ### ได้คำตอบ $i(t)=3\cos\omega t+4\sin\omega t$ A จงเขียนเป็นไซน์เดียว - $C=\sqrt{3^2+4^2}=5$ A, $\delta=\operatorname{atan2}(4,3)=53.13^\circ$ - $i=5\cos(\omega t-53.13^\circ)=5\sin(\omega t+36.87^\circ)$ A แอมพลิจูด 5 A ไม่ใช่ 7 A — ค่ายอดของผลรวมคือความยาวของเวกเตอร์ (3, 4) ## 6. ค่าเฉลี่ยและค่า RMS พื้นฐาน W6 RMS value ค่า RMS (ค่ายังผล) $$V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac1T\int_0^T v^2(t)\,dt}=\sqrt{\frac{V_m^2}{T}\int_0^T\sin^2\omega t\,dt}=\frac{V_m}{\sqrt2}$$ ใช้ $\sin^2x=\tfrac12(1-\cos2x)$ ค่าเฉลี่ยของ $\sin^2$ ในหนึ่งคาบเท่ากับ 1/2 (ดู อินทิกรัล) ใช้ได้กับไซน์เท่านั้น คลื่นที่มีฮาร์มอนิกต้องคำนวณจากนิยาม (พาร์เซวาล) W7 Average values ค่าเฉลี่ย $$\frac1T\int_0^T v\,dt=0,\qquad V_{\text{avg,half}}=\frac{2V_m}{\pi}\approx0.637V_m,\qquad \text{form factor}=\frac{V_{\text{rms}}}{V_{\text{avg,half}}}=1.111$$ มิเตอร์ราคาถูกวัดค่าเฉลี่ยแล้วคูณ 1.111 จึงอ่านถูกเฉพาะไซน์ มิเตอร์ “True RMS” ใช้นิยาม W6 ## 7. อนุพันธ์ของไซน์เลื่อนเฟส 90°: ทำไม L และ C ทำให้เกิดเฟส กลาง W8 Calculus shifts phase by 90° อนุพันธ์และปริพันธ์ของไซน์ $$\frac{d}{dt}\sin(\omega t+\varphi)=\omega\sin(\omega t+\varphi+90^\circ),\qquad \int\sin(\omega t+\varphi)\,dt=\frac1\omega\sin(\omega t+\varphi-90^\circ)$$ ตัวเหนี่ยวนำ $v=L\,di/dt$ → แรงดันนำหน้ากระแส 90° และคูณ ωL ตัวเก็บประจุ $i=C\,dv/dt$ → กระแสนำหน้าแรงดัน 90° คูณ ωC — จำว่า “ELI the ICE man” ทดลองด้านล่าง: เปลี่ยนมุมเฟสของกระแส φ_i ให้ติดลบ (ตามหลัง) แล้วเลือกฟังก์ชันอ้างอิงเป็น sin หรือ cos สังเกตว่าเงาบนแกนจินตภาพคือ sin และเงาบนแกนจริงคือ cos ของลูกศรเดียวกัน เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ ## 8. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย | ข้อผิดพลาด | วิธีป้องกัน | | เทียบเฟสระหว่าง sin กับ cos ตรง ๆ | แปลงให้เป็นฟังก์ชันเดียวกันก่อนด้วย W2 | | เทียบเฟสเมื่อแอมพลิจูดติดลบ | ย้ายเครื่องหมายลบเข้าไปในมุมด้วย ±180° | | ใช้องศากับเรเดียนปนกัน | ωt เป็นเรเดียนเสมอ แปลง φ ให้หน่วยเดียวกันก่อนบวก | | ใช้ 220 V เป็นค่ายอด | 220 V คือ RMS ค่ายอด 311 V (สำคัญเมื่อเลือกพิกัดแรงดันของตัวเก็บประจุและไดโอด) | | บวกแอมพลิจูดของไซน์ที่ต่างเฟส | รวมแบบเวกเตอร์ด้วย W5 หรือเฟสเซอร์ | ## 9. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย - $v=170\sin(377t-30^\circ)$ V จงหา f, T, V_rms - เขียน $-8\sin(\omega t+120^\circ)$ เป็น cos แอมพลิจูดบวก - $v=10\cos(\omega t+10^\circ)$, $i=2\sin(\omega t+70^\circ)$ อะไรนำหน้ากี่องศา? - รวม $-6\cos\omega t+8\sin\omega t$ เป็นไซน์เดียว เปิดเฉลย - f = 377/2π = 60.0 Hz, T = 16.67 ms, V_rms = 170/√2 = 120.2 V (ไฟบ้านอเมริกา) - $-8\sin(\omega t+120^\circ)=8\sin(\omega t-60^\circ)=8\cos(\omega t-150^\circ)$ - v = 10 sin(ωt + 100°) เทียบ i ที่ 70°: แรงดันนำหน้า 30° (กระแสตามหลัง — โหลดแบบเหนี่ยวนำ) - C = 10, δ = atan2(8, −6) = 126.87° → $10\cos(\omega t-126.87^\circ)$ ## 10. สรุปสูตร | หัวข้อ | สูตร | | W1 รูปทั่วไป | $V_m\sin(\omega t+\varphi)$, $\omega=2\pi f$ | | W2 แปลงรูป | ±90° สลับ sin/cos, ±180° กลับเครื่องหมาย | | W3–W4 ความต่างเฟส | $\Delta\varphi=\varphi_v-\varphi_i=360^\circ\Delta t/T$ | | W5 รวมเป็นไซน์เดียว | $\sqrt{A^2+B^2}\cos(\omega t-\operatorname{atan2}(B,A))$ | | W6–W7 RMS / เฉลี่ย | $V_m/\sqrt2$, $2V_m/\pi$ | | W8 อนุพันธ์ | คูณ ω และเลื่อน +90° | ## 11. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ - OpenStax University Physics Vol. 2 §15.1–15.2 AC Sources, Simple AC Circuits - C. K. Alexander & M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits, บทที่ 9 Sinusoids and Phasors - PhET Trig Tour — วงกลมหนึ่งหน่วยกับกราฟ sin cos tan ต่อไป: เปลี่ยนไซน์ให้เป็นลูกศรที่คำนวณง่ายใน พื้นฐานเฟสเซอร์ ## คำถามที่พบบ่อย sin กับ cos ต่างกันอย่างไรในไฟฟ้ากระแสสลับ? เป็นคลื่นรูปเดียวกันที่เลื่อนเฟสกัน 90° คือ sin θ = cos(θ − 90°) และ cos θ = sin(θ + 90°) หมายความว่า cos นำหน้า sin อยู่ 90° ก่อนเทียบเฟสของสองสัญญาณต้องแปลงให้อยู่ในฟังก์ชันเดียวกันและแอมพลิจูดเป็นบวกก่อนเสมอ ไฟบ้าน 220 V มีค่ายอดเท่าไร? 220 V เป็นค่า RMS ค่ายอดคือ 220 × √2 ≈ 311 V และค่ายอดถึงยอดคือ 622 V ความถี่ 50 Hz คาบ 20 ms ความถี่เชิงมุม ω = 2π(50) ≈ 314 rad/s บอกได้อย่างไรว่ากระแสนำหน้าหรือตามหลังแรงดัน? เขียนทั้งสองเป็น sin (หรือ cos) ที่แอมพลิจูดเป็นบวก แล้วเทียบมุมเฟส ตัวที่มุมเฟสมากกว่านำหน้า บนออสซิลโลสโคป ตัวที่ผ่านศูนย์ขาขึ้นก่อนคือตัวที่นำหน้า วงจรแบบเหนี่ยวนำกระแสตามหลัง วงจรแบบตัวเก็บประจุกระแสนำหน้า ทำไมค่า RMS ของไซน์คือ Vm/√2? ค่า RMS คือรากที่สองของค่าเฉลี่ยของกำลังสอง ค่าเฉลี่ยของ sin² ในหนึ่งคาบเท่ากับ 1/2 จึงได้ V_rms = Vm/√2 ความหมายทางกายภาพคือแรงดันกระแสตรงที่ทำให้ตัวต้านทานร้อนเท่ากัน มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **sin กับ cos ต่างกันอย่างไรในไฟฟ้ากระแสสลับ?** เป็นคลื่นรูปเดียวกันที่เลื่อนเฟสกัน 90° คือ sin θ = cos(θ − 90°) และ cos θ = sin(θ + 90°) หมายความว่า cos นำหน้า sin อยู่ 90° ก่อนเทียบเฟสของสองสัญญาณต้องแปลงให้อยู่ในฟังก์ชันเดียวกันและแอมพลิจูดเป็นบวกก่อนเสมอ **ไฟบ้าน 220 V มีค่ายอดเท่าไร?** 220 V เป็นค่า RMS ค่ายอดคือ 220 × √2 ≈ 311 V และค่ายอดถึงยอดคือ 622 V ความถี่ 50 Hz คาบ 20 ms ความถี่เชิงมุม ω = 2π(50) ≈ 314 rad/s **บอกได้อย่างไรว่ากระแสนำหน้าหรือตามหลังแรงดัน?** เขียนทั้งสองเป็น sin (หรือ cos) ที่แอมพลิจูดเป็นบวก แล้วเทียบมุมเฟส ตัวที่มุมเฟสมากกว่านำหน้า บนออสซิลโลสโคป ตัวที่ผ่านศูนย์ขาขึ้นก่อนคือตัวที่นำหน้า วงจรแบบเหนี่ยวนำกระแสตามหลัง วงจรแบบตัวเก็บประจุกระแสนำหน้า **ทำไมค่า RMS ของไซน์คือ Vm/√2?** ค่า RMS คือรากที่สองของค่าเฉลี่ยของกำลังสอง ค่าเฉลี่ยของ sin² ในหนึ่งคาบเท่ากับ 1/2 จึงได้ V_rms = Vm/√2 ความหมายทางกายภาพคือแรงดันกระแสตรงที่ทำให้ตัวต้านทานร้อนเท่ากัน