--- title: "แรงลัพธ์ด้วยกฎของโคไซน์และกฎของไซน์" url: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/resultant-forces/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-13 --- > หาแรงลัพธ์ภาษาไทยแบบเข้มข้น: พิสูจน์กฎโคไซน์และกฎไซน์จากเวกเตอร์ รวมสองแรงด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยมแรง หาทิศด้วยกฎไซน์และกรณีมุมป้าน แตกแรงตามสองแนวที่ไม่ตั้งฉาก แรงที่สองน้อยที่สุด รวมหลายแรงด้วยองค์ประกอบ สมดุลสามแรงและทฤษฎีลามี และการรวมกระแสไฟฟ้าที่จุดต่อ พร้อมแล็บโต๊ะแรงเสมือน ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/resultant-forces/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # แรงลัพธ์ด้วยกฎของโคไซน์และกฎของไซน์ // เวกเตอร์ · ส่วนที่ 3 · Resultant forces: laws of sines & cosines เรือลากสองลำดึงเรือใหญ่คนละมุม เชือกสองเส้นแขวนโคมไฟ กระแสสองสาขาไหลมารวมที่จุดต่อ ทั้งหมดคือคำถามเดียวกัน: สองเวกเตอร์รวมกันได้เท่าไร ชี้ไปทางไหน บทนี้พิสูจน์กฎโคไซน์และกฎไซน์จากพีชคณิตเวกเตอร์ แล้วใช้มันอย่างมืออาชีพ ทั้งรวมแรง แตกแรงตามแนวที่กำหนด หาแรงน้อยที่สุด และแก้สมดุลสามแรง พร้อมโต๊ะแรงเสมือนแบบห้องแล็บฟิสิกส์ 1 สรุปใน 30 วินาที - ขนาดแรงลัพธ์: $R^2=F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta$ เมื่อ θ = มุมระหว่างสองแรง (ต่อหาง) - ในสามเหลี่ยมแรงใช้มุมภายใน $\beta=180^\circ-\theta$: $R^2=F_1^2+F_2^2-2F_1F_2\cos\beta$ - ทิศ: $\dfrac{\sin\alpha}{F_2}=\dfrac{\sin\beta}{R}$ แล้วตรวจกรณีมุมป้าน - สามแรงขึ้นไปหรือสามมิติ: รวมองค์ประกอบ $R_x=\sum F_x,\ R_y=\sum F_y$ ปลอดภัยที่สุด ## 1. สามวิธีหาแรงลัพธ์ และควรเลือกวิธีไหน พื้นฐาน วิธีที่ 1 · กราฟ ### วาดหัวต่อหางตามสเกล วัดความยาวและมุมด้วยไม้บรรทัด-โปรแทรกเตอร์ เห็นภาพชัด ความแม่นยำจำกัดที่ ±2% วิธีที่ 2 · ตรีโกณมิติ ### กฎโคไซน์ + กฎไซน์ เร็วที่สุดสำหรับสองแรง หรือสามแรงที่สมดุล ใช้มุมจากโจทย์โดยตรง วิธีที่ 3 · องค์ประกอบ ### รวม x, y (, z) เป็นระบบสำหรับหลายแรงและสามมิติ เครื่องคิดเลขทำได้ทันที ใช้ตรวจวิธีที่ 2 วิศวกรที่ชำนาญใช้ทั้งสองแบบคู่กัน: ตรีโกณมิติให้คำตอบสั้นและเข้าใจเรขาคณิต ส่วนองค์ประกอบใช้ตรวจคำตอบ ถ้าสองวิธีให้ตัวเลขต่างกัน แปลว่ามีมุมใดมุมหนึ่งถูกอ่านผิด ## 2. กฎของโคไซน์: พิสูจน์ด้วย dot product พื้นฐาน ให้ $\mathbf R=\mathbf F_1+\mathbf F_2$ แล้วคูณ dot กับตัวเอง ใช้ $\mathbf a\cdot\mathbf a=\lVert\mathbf a\rVert^2$ และ $\mathbf F_1\cdot\mathbf F_2=F_1F_2\cos\theta$: $$R^2=(\mathbf F_1+\mathbf F_2)\cdot(\mathbf F_1+\mathbf F_2)=F_1^2+F_2^2+2\,\mathbf F_1\cdot\mathbf F_2=F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta$$ นี่คือรูปแบบ “สี่เหลี่ยมด้านขนาน” ที่ θ เป็นมุมระหว่างสองแรงเมื่อวางหางชนกัน ถ้าวาดแบบหัวต่อหางเป็นสามเหลี่ยม มุมภายในที่อยู่ตรงข้าม R คือ $\beta=180^\circ-\theta$ และ $\cos\beta=-\cos\theta$ จึงได้รูปที่คุ้นเคยจากตรีโกณมิติ สองภาพเป็นเรื่องเดียวกัน: ครึ่งล่างของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือสามเหลี่ยมแรง R1 Parallelogram law (angle between the forces) ขนาดแรงลัพธ์จากมุมระหว่างแรง $$R=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta},\qquad |F_1-F_2|\le R\le F_1+F_2$$ θ = 0° ได้ $R=F_1+F_2$ (ดึงทางเดียวกัน) θ = 180° ได้ $R=|F_1-F_2|$ θ = 90° ได้พีทาโกรัส R2 Law of cosines (force triangle) กฎของโคไซน์ในสามเหลี่ยมแรง $$R^2=F_1^2+F_2^2-2F_1F_2\cos\beta,\qquad \beta=180^\circ-\theta,\qquad \cos\beta=\frac{F_1^2+F_2^2-R^2}{2F_1F_2}$$ รูปหลังใช้หามุมเมื่อรู้ขนาดทั้งสามด้าน เช่น จากโต๊ะแรงที่รู้แต่มวล ตัวอย่าง R-1 · สองแรงบนห่วงยึด ### F₁ = 600 N ชี้ตาม +x และ F₂ = 400 N ชี้ทำมุม 50° จาก +x จงหาขนาดและทิศของแรงลัพธ์ - มุมระหว่างสองแรง θ = 50° → มุมภายในสามเหลี่ยมตรงข้าม R: β = 180° − 50° = 130° - $R^2=600^2+400^2-2(600)(400)\cos130^\circ=360000+160000+308538=828538\Rightarrow R=910.2$ N - กฎไซน์: $\sin\alpha=\dfrac{400\sin130^\circ}{910.2}=0.3366\Rightarrow\alpha=19.67^\circ$ (มุมระหว่าง F₁ กับ R) - F₂ อยู่ทวนเข็มจาก F₁ ดังนั้นทิศของ R = 0° + 19.67° = 19.67° - ตรวจด้วยองค์ประกอบ: $R_x=600+400\cos50^\circ=857.1$, $R_y=400\sin50^\circ=306.4$ → 910.2 N ที่ 19.67° ✓ $R=910$ N ที่ 19.7° จากแกน +x ## 3. กฎของไซน์: หาทิศ และกับดักมุมป้าน กลาง พื้นที่ของสามเหลี่ยมแรงเขียนได้สามแบบตามคู่ด้านที่เลือก: $\tfrac12 F_1F_2\sin\beta=\tfrac12 F_1R\sin\alpha=\tfrac12F_2R\sin\gamma$ ซึ่งก็คือครึ่งหนึ่งของ $\lVert\mathbf a\times\mathbf b\rVert$ ของแต่ละคู่ หารทุกพจน์ด้วย $\tfrac12F_1F_2R$ ได้กฎของไซน์ทันที R3 Law of sines กฎของไซน์ $$\frac{F_1}{\sin\gamma}=\frac{F_2}{\sin\alpha}=\frac{R}{\sin\beta}$$ มุมแต่ละมุมอยู่ตรงข้ามด้านที่จับคู่: α ตรงข้าม F₂ (คือมุมระหว่าง F₁ กับ R) γ ตรงข้าม F₁ และ β ตรงข้าม R R4 Ambiguity of arcsin arcsin ให้มุมแหลมเท่านั้น $$\alpha=\begin{cases}\arcsin\!\Big(\dfrac{F_2\sin\beta}{R}\Big), & F_2^2\le F_1^2+R^2\\[2mm] 180^\circ-\arcsin\!\Big(\dfrac{F_2\sin\beta}{R}\Big), & F_2^2>F_1^2+R^2\end{cases}$$ มุมตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุดเป็นมุมเดียวที่อาจป้านได้ ถ้าสงสัยให้หามุมด้วยกฎโคไซน์รูป R2 แทน เพราะ arccos ไม่กำกวมในช่วง 0°–180° ตัวอย่าง R-2 · เรือลากสองลำ ### เรือลาก A ดึง 5 kN ทำมุม 20° ทางซ้ายของแนวเรือ เรือลาก B ดึง 4 kN ทำมุม 30° ทางขวา จงหาแรงลัพธ์และมุมเบนจากแนวเรือ - มุมระหว่างสองแรง θ = 20° + 30° = 50° → β = 130° - $R=\sqrt{25+16-2(5)(4)\cos130^\circ}=\sqrt{66.71}=8.168$ kN - มุมระหว่างแรง A กับ R: $\sin\alpha=4\sin130^\circ/8.168=0.3751\Rightarrow\alpha=22.03^\circ$ (A ไม่ใช่ด้านยาวสุด จึงไม่ป้าน) - R เบนจากแนวของ A ไปทาง B 22.03° → ทิศ R = 20° − 22.03° = −2.03° คือเบนไปทางขวา 2.0° $R=8.17$ kN เบนขวา 2.0° — ถ้าต้องการให้ R ตรงแนวเรือ ต้องเพิ่มแรงของ B หรือลดมุมของ A ตัวอย่าง R-3 · กับดักมุมป้าน ### F₁ = 200 N ที่ 0° และ F₂ = 500 N ที่ 150° จงหาทิศของแรงลัพธ์ด้วยกฎของไซน์อย่างถูกต้อง - θ = 150° → β = 30° $$R=\sqrt{200^2+500^2-2(200)(500)\cos30^\circ}=341.8\ \text{N}$$ - $\arcsin(500\sin30^\circ/341.8)=\arcsin(0.7314)=47.01^\circ$ — ถ้าใช้ค่านี้ตรง ๆ จะผิด! - ตรวจ R4: $F_2^2=250000$ มากกว่า $F_1^2+R^2=156795$ → α ป้าน: $\alpha=180^\circ-47.01^\circ=132.99^\circ$ - ตรวจด้วยองค์ประกอบ: $R_x=200+500\cos150^\circ=-233.0$, $R_y=250$ → มุม 132.99° ✓ R = 341.8 N ที่ 133.0° — แรงลัพธ์ “กลับหลัง” F₁ เพราะ F₂ ใหญ่และชี้ถอยหลัง ## 4. แตกแรงหนึ่งแรงตามสองแนวที่กำหนด (ไม่จำเป็นต้องตั้งฉาก) กลาง งานโครงสร้างและเครนมักมีชิ้นส่วนสองชิ้นรับแรงตามแนวของมันเอง เช่น บูมกับสายเคเบิล เราต้องแตกแรงภายนอกหนึ่งแรงเป็นสองส่วนตามแนว u และ v ที่กำหนด วาดสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยลากเส้นจากปลายแรงขนานกับแต่ละแนว แล้วใช้กฎของไซน์ในสามเหลี่ยมที่ได้ R5 Components along two oblique lines แตกแรงตามแนว u และ v $$F_u=F\,\frac{\sin(\theta_v-\theta_F)}{\sin(\theta_v-\theta_u)},\qquad F_v=F\,\frac{\sin(\theta_F-\theta_u)}{\sin(\theta_v-\theta_u)}$$ θ แต่ละตัววัดจากแกน +x ทวนเข็ม ค่าลบแปลว่าองค์ประกอบชี้สวนทิศของแนวที่กำหนด F_u ไม่เท่ากับการฉาย $\mathbf F\cdot\mathbf u$ เว้นแต่ u ตั้งฉากกับ v ตัวอย่าง R-4 · แตกแรง 500 N ตามสองแนว ### แรง 500 N ชี้ที่ 60° จงแตกเป็นองค์ประกอบตามแนว u (0°) และแนว v (105°) - มุมในสามเหลี่ยม: ระหว่าง F กับ v = 45°, ระหว่าง F กับ u = 60°, ระหว่าง u กับ v = 105° → มุมตรงข้าม F คือ 180° − 105° = 75° - $F_u=500\sin45^\circ/\sin105^\circ=366.0$ N และ $F_v=500\sin60^\circ/\sin105^\circ=448.3$ N - ตรวจ: $366.0(1,0)+448.3(\cos105^\circ,\sin105^\circ)=(250.0,\ 433.0)=500(\cos60^\circ,\sin60^\circ)$ ✓ - เทียบการฉาย $\mathbf F\cdot\hat{\mathbf u}=250$ N ≠ 366.0 N: สองความหมายนี้ต่างกันเมื่อแนวไม่ตั้งฉาก $F_u=366$ N, $F_v=448$ N — ผลรวมขนาด 814 N มากกว่า 500 N ได้ เพราะเป็นเวกเตอร์ R6 Minimum second force แรงที่สองน้อยที่สุดเมื่อกำหนดแนวของแรงลัพธ์ $$F_{2,\min}=F_1\sin\phi\quad\text{เมื่อ }\mathbf F_2\perp\mathbf R,\qquad R=F_1\cos\phi$$ φ คือมุมระหว่าง F₁ กับแนวที่ต้องการให้ R อยู่ ระยะสั้นที่สุดจากจุดปลาย F₁ ไปยังเส้นตรงคือเส้นตั้งฉาก ตัวอย่าง R-5 · ดึงให้ลัพธ์ตามแนว 30° ด้วยแรงน้อยที่สุด ### F₁ = 800 N ตามแกน +x ต้องเพิ่ม F₂ ให้แรงลัพธ์อยู่ในแนว 30° จาก +x จงหา F₂ ที่น้อยที่สุดและทิศของมัน - F₂ น้อยที่สุดเมื่อตั้งฉากกับแนวของ R: ทิศ F₂ = 30° + 90° = 120° - $F_{2,\min}=800\sin30^\circ=400$ N และ $R=800\cos30^\circ=692.8$ N F₂ = 400 N ที่ 120° · ใช้หลักนี้ออกแบบสายยึดและการวางรอกให้ใช้แรงน้อยที่สุด ## 5. แล็บ: สามเหลี่ยมแรงที่ปรับได้ พื้นฐาน เปลี่ยนขนาดและทิศของสองแรง แล็บจะวาดสามเหลี่ยมแรงพร้อมมุม α และ β แสดงวิธีทำทั้งกฎโคไซน์ กฎไซน์ และตรวจด้วยองค์ประกอบ ลองตั้ง F₁ = 200, F₂ = 500 ที่ 150° เพื่อดูกรณีมุมป้านของตัวอย่าง R-3 เลือกโจทย์ “แตกแรง” เพื่อตรวจตัวอย่าง R-4 เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ ## 6. สามแรงขึ้นไป: วิธีองค์ประกอบที่ไม่พลาด พื้นฐาน R7 Resultant by rectangular components แรงลัพธ์จากองค์ประกอบ $$R_x=\sum_i F_i\cos\theta_i,\quad R_y=\sum_i F_i\sin\theta_i,\quad R=\sqrt{R_x^2+R_y^2},\quad \theta_R=\operatorname{atan2}(R_y,R_x)$$ ใช้ atan2 (หรือดูเครื่องหมายของ R_x, R_y) เพื่อให้ได้ควอดแรนต์ถูก ห้ามใช้ $\arctan(R_y/R_x)$ โดยไม่ตรวจ ตัวอย่าง R-6 · แรงสามแรงบนเพลต ### F₁ = 200 N ที่ 30°, F₂ = 150 N ที่ 135°, F₃ = 300 N ที่ 250° จงหาแรงลัพธ์ - F₁: (173.2, 100.0) · F₂: (−106.1, 106.1) · F₃: (−102.6, −281.9) N - $R_x=173.2-106.1-102.6=-35.47$ N, $R_y=100.0+106.1-281.9=-75.84$ N - $R=\sqrt{35.47^2+75.84^2}=83.73$ N; ควอดแรนต์ III: $\theta_R=\operatorname{atan2}(-75.84,-35.47)=-115.06^\circ=244.94^\circ$ - ถ้าใช้ $\arctan(75.84/35.47)=64.9^\circ$ ตรง ๆ จะได้ทิศตรงข้ามจริง 180° R = 83.7 N ที่ 244.9° (ชี้ลงซ้าย) ## 7. สมดุลสามแรงและทฤษฎีของลามี กลาง ถ้าสามแรงร่วมจุดรวมกันเป็นศูนย์ ลูกศรทั้งสามต่อหัวต่อหางแล้วต้องปิดเป็นสามเหลี่ยม ใช้กฎของไซน์กับสามเหลี่ยมนั้นได้ทฤษฎีของลามี มุมที่ใช้คือมุมระหว่างอีกสองแรง (วัดที่จุดร่วม) R8 Lami's theorem ทฤษฎีของลามี $$\frac{F_1}{\sin\alpha_{23}}=\frac{F_2}{\sin\alpha_{31}}=\frac{F_3}{\sin\alpha_{12}}$$ $\alpha_{23}$ คือมุมระหว่าง F₂ กับ F₃ ที่จุดร่วม ใช้ได้เฉพาะสามแรงที่สมดุลและร่วมจุดเท่านั้น R9 Two cables holding a weight แรงตึงในเชือกสองเส้น $$T_1=\frac{W\cos\theta_2}{\sin(\theta_1+\theta_2)},\qquad T_2=\frac{W\cos\theta_1}{\sin(\theta_1+\theta_2)}$$ θ₁ θ₂ คือมุมของเชือกกับแนวราบ ได้จาก ΣFx = 0 และ ΣFy = 0 เมื่อ θ เล็ก แรงตึงพุ่งสูงมาก นี่คือเหตุผลที่สายไฟฟ้าต้องหย่อน ตัวอย่าง R-7 · โคมไฟ 50 kg ### โคมไฟ 50 kg แขวนด้วยเชือกที่ทำมุม 30° และ 45° กับแนวราบ จงหาแรงตึงทั้งสองเส้น - W = 50 × 9.81 = 490.5 N - มุมระหว่างแรงที่จุดร่วม: T₁ กับ T₂ = 180° − 30° − 45° = 105°; T₂ กับ W = 90° + 45° = 135°; W กับ T₁ = 90° + 30° = 120° - ลามี: $\dfrac{T_1}{\sin135^\circ}=\dfrac{T_2}{\sin120^\circ}=\dfrac{490.5}{\sin105^\circ}=507.8$ N - $T_1=507.8\sin135^\circ=359.1$ N และ $T_2=507.8\sin120^\circ=439.8$ N T₁ = 359 N (เส้น 30°), T₂ = 440 N (เส้น 45°) — เส้นที่ชันกว่ารับแรงมากกว่า เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ ## 8. โต๊ะแรง: การทดลองฟิสิกส์ 1 ที่ใช้ทุกสูตรในบทนี้ พื้นฐาน โต๊ะแรงคือวงกลมมีสเกลองศา ห่วงตรงกลางถูกดึงด้วยเชือกผ่านรอกที่ขอบโต๊ะ ปลายเชือกแขวนมวล แรงในเชือกคือ mg นักศึกษาตั้งแรง F₁ F₂ แล้วหาแรงที่สามที่ทำให้ห่วงอยู่กลางหมุดพอดี (แรงสมดุล E = −R) จากนั้นเทียบกับทฤษฎีด้วย %error ตั้งค่าเริ่มต้นเป็น 200 g ที่ 20° กับ 150 g ที่ 110° ซึ่งตั้งฉากกัน ทำให้ได้สามเหลี่ยม 3-4-5: R = 250 g-แรง เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ ใบงานฉบับเต็มพร้อมตารางบันทึกผลอยู่ใน แล็บกลศาสตร์เสมือน ## 9. กฎเดียวกันในวงจรไฟฟ้า: รวมกระแสและแรงดัน AC กลาง กระแสไฟฟ้ากระแสสลับสองสาขาที่ความถี่เดียวกันรวมกันที่จุดต่อแบบเวกเตอร์ (เฟสเซอร์) ขนาดกระแสรวมจึงใช้กฎของโคไซน์ได้ตรง ๆ โดย θ คือความต่างเฟส นี่คือเหตุผลที่แอมมิเตอร์สองตัวอ่าน 10 A กับ 6 A แต่สายรวมไม่ได้อ่าน 16 A ตัวอย่าง R-8 · กระแสรวมที่จุดต่อ ### สาขาที่ 1 มีกระแส 10 A (RMS) ที่มุมเฟส 0° สาขาที่ 2 มีกระแส 6 A ที่มุมเฟส 60° จงหากระแสในสายรวม - KCL แบบเฟสเซอร์: $\mathbf I=\mathbf I_1+\mathbf I_2$ (ความถี่เดียวกัน) - $I=\sqrt{10^2+6^2+2(10)(6)\cos60^\circ}=\sqrt{196}=14$ A - มุมเฟส: $\sin\alpha=6\sin120^\circ/14=0.3712\Rightarrow\alpha=21.79^\circ$ $\mathbf I=14\angle21.79^\circ$ A — ไม่ใช่ 16 A รายละเอียดอยู่ใน พื้นฐานเฟสเซอร์ ## 10. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย | ข้อผิดพลาด | วิธีป้องกัน | | ใช้ θ (มุมระหว่างแรง) ในรูป “ลบ” ของกฎโคไซน์ | รูป “บวก” ใช้ θ, รูป “ลบ” ใช้มุมภายใน β = 180° − θ ตรวจ: R ต้องไม่เกิน F₁ + F₂ | | จับคู่ด้านกับมุมผิดในกฎไซน์ | มุมต้อง “อยู่ตรงข้าม” ด้านที่หาร วาดสามเหลี่ยมแล้วเขียนชื่อมุมก่อนแทนค่า | | เชื่อ arcsin โดยไม่ตรวจ | ใช้ R4 หรือหามุมด้วย R2 (arccos) | | สับสนองค์ประกอบตามแนวเฉียงกับการฉาย | แนวไม่ตั้งฉาก → ใช้ R5 ไม่ใช่ dot product | | ใช้ทฤษฎีลามีกับแรงที่ไม่ร่วมจุดหรือไม่สมดุล | ลามีมาจากสามเหลี่ยมแรงปิด ต้องสมดุลและร่วมจุด | | บวกกระแส AC สองสาขาเป็นตัวเลข | บวกแบบเวกเตอร์ (เฟสเซอร์) เสมอ | ## 11. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย - แรง 8 kN และ 6 kN ทำมุม 90° กัน จงหาแรงลัพธ์และมุมกับแรง 8 kN - แรง 300 N และ 300 N ทำมุม 120° กัน แรงลัพธ์มีขนาดเท่าไร? - R = 1 kN ต้องแตกตามแนว u ที่ทำมุม 30° ใต้ R และแนว v ที่ทำมุม 45° เหนือ R จงหา F_u, F_v - มวล 20 kg แขวนด้วยเชือกสองเส้นทำมุม 60° กับแนวราบทั้งคู่ แรงตึงแต่ละเส้นเท่าไร? - แรงดัน AC 120 V ที่ 0° กับ 160 V ที่ 90° ต่ออนุกรมกัน แรงดันรวมเท่าไร? เปิดเฉลย - R = √(64 + 36) = 10 kN, มุม = arctan(6/8) = 36.87° - R = √(90000 + 90000 + 2·90000·cos120°) = √90000 = 300 N (สามเหลี่ยมด้านเท่า) - มุมตรงข้าม R = 180° − 75° = 105°: F_u = 1000 sin45°/sin105° = 732.1 N, F_v = 1000 sin30°/sin105° = 517.6 N - T = W cos60°/sin120° = 196.2 × 0.5/0.866 = 113.3 N ต่อเส้น - |V| = √(120² + 160²) = 200 V ที่ 53.13° (ไม่ใช่ 280 V) ## 12. สรุปสูตร | ต้องการ | สูตร | | ขนาด R จากมุมระหว่างแรง | R1 $R^2=F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta$ | | ขนาด/มุมในสามเหลี่ยมแรง | R2 กฎของโคไซน์ | | ทิศของ R | R3 กฎของไซน์ + R4 ตรวจมุมป้าน | | แตกแรงตามสองแนว | R5 | | แรงน้อยที่สุด | R6 ตั้งฉากกับแนวของ R | | หลายแรง | R7 องค์ประกอบ + atan2 | | สมดุลสามแรง | R8 ลามี, R9 เชือกสองเส้น | ## 13. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ - OpenStax University Physics Vol. 1 §2.1 Scalars and Vectors — การบวกเวกเตอร์ด้วยกราฟและกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน - OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.1–10.2 Law of Sines / Law of Cosines — กรณีกำกวมของกฎไซน์ - R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics, บทที่ 2–3 (vector addition of forces, equilibrium of a particle) ต่อไป: แรงที่ไม่ร่วมจุดทำให้เกิดการหมุน ไปที่ ระบบแรงและโมเมนต์ หรือดูมุมสามมิติใน ทิศทางโคไซน์ ## คำถามที่พบบ่อย หาแรงลัพธ์ของสองแรงด้วยกฎของโคไซน์อย่างไร? ถ้าสองแรง F₁ กับ F₂ ทำมุม θ กัน ขนาดแรงลัพธ์คือ R = √(F₁² + F₂² + 2F₁F₂cos θ) (แบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน) หรือเขียนเป็นสามเหลี่ยมแรง R² = F₁² + F₂² − 2F₁F₂cos β โดย β = 180° − θ คือมุมภายในสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้าม R ทั้งสองสูตรให้ค่าเดียวกัน หาทิศของแรงลัพธ์ด้วยกฎของไซน์อย่างไร? ใช้ sin α / F₂ = sin β / R โดย α คือมุมระหว่าง F₁ กับ R แล้วบวกหรือลบ α จากทิศของ F₁ ระวังว่า arcsin ให้มุมแหลมเท่านั้น ถ้า F₂² > F₁² + R² มุม α จริงเป็นมุมป้าน 180° − α ควรตรวจด้วยองค์ประกอบทุกครั้ง เมื่อไหร่ควรใช้กฎไซน์-โคไซน์ เมื่อไหร่ควรใช้องค์ประกอบ? สองแรง หรือสามแรงที่สมดุล ใช้ตรีโกณมิติของสามเหลี่ยมแรงได้เร็วและเห็นภาพ ส่วนสามแรงขึ้นไปหรือแรงสามมิติ ใช้การรวมองค์ประกอบ x y z ซึ่งเป็นระบบกว่าและพลาดน้อยกว่า ทฤษฎีของลามีคืออะไร? เมื่อแรงสามแรงที่ร่วมจุดอยู่ในสมดุล ขนาดของแต่ละแรงหารด้วยไซน์ของมุมระหว่างอีกสองแรงมีค่าเท่ากันหมด F₁/sin α = F₂/sin β = F₃/sin γ ใช้หาแรงตึงในเชือกที่แขวนวัตถุได้ทันที มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **หาแรงลัพธ์ของสองแรงด้วยกฎของโคไซน์อย่างไร?** ถ้าสองแรง F₁ กับ F₂ ทำมุม θ กัน ขนาดแรงลัพธ์คือ R = √(F₁² + F₂² + 2F₁F₂cos θ) (แบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน) หรือเขียนเป็นสามเหลี่ยมแรง R² = F₁² + F₂² − 2F₁F₂cos β โดย β = 180° − θ คือมุมภายในสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้าม R ทั้งสองสูตรให้ค่าเดียวกัน **หาทิศของแรงลัพธ์ด้วยกฎของไซน์อย่างไร?** ใช้ sin α / F₂ = sin β / R โดย α คือมุมระหว่าง F₁ กับ R แล้วบวกหรือลบ α จากทิศของ F₁ ระวังว่า arcsin ให้มุมแหลมเท่านั้น ถ้า F₂² > F₁² + R² มุม α จริงเป็นมุมป้าน 180° − α ควรตรวจด้วยองค์ประกอบทุกครั้ง **เมื่อไหร่ควรใช้กฎไซน์-โคไซน์ เมื่อไหร่ควรใช้องค์ประกอบ?** สองแรง หรือสามแรงที่สมดุล ใช้ตรีโกณมิติของสามเหลี่ยมแรงได้เร็วและเห็นภาพ ส่วนสามแรงขึ้นไปหรือแรงสามมิติ ใช้การรวมองค์ประกอบ x y z ซึ่งเป็นระบบกว่าและพลาดน้อยกว่า **ทฤษฎีของลามีคืออะไร?** เมื่อแรงสามแรงที่ร่วมจุดอยู่ในสมดุล ขนาดของแต่ละแรงหารด้วยไซน์ของมุมระหว่างอีกสองแรงมีค่าเท่ากันหมด F₁/sin α = F₂/sin β = F₃/sin γ ใช้หาแรงตึงในเชือกที่แขวนวัตถุได้ทันที