--- title: "พื้นฐานเฟสเซอร์: จากเวกเตอร์หมุนสู่จำนวนเชิงซ้อน" url: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/phasors/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-13 --- > เรียนเฟสเซอร์ภาษาไทยตั้งแต่ศูนย์: เฟสเซอร์คือเวกเตอร์หมุนที่หยุดไว้ที่ t = 0 สูตรออยเลอร์ e^{jθ} = cos θ + j sin θ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและรูปเชิงขั้ว แปลงรูปอย่างถูกควอดแรนต์ บวกลบด้วยเวกเตอร์ คูณหารด้วยขนาดและมุม คูณด้วย j คือหมุน 90° อนุพันธ์กลายเป็น jω บวกไซน์ความถี่เดียวกันด้วยกฎโคไซน์ เฟสเซอร์ค่ายอดกับค่า RMS และข้อจำกัด พร้อมแล็บเฟสเซอร์หมุนและเครื่องคิดเลขเชิงซ้อน ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/phasors/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # พื้นฐานเฟสเซอร์: จากเวกเตอร์หมุนสู่จำนวนเชิงซ้อน // เวกเตอร์ · ส่วนที่ 4 · Phasor fundamentals ถ้าต้องบวกแรงดัน $100\sin(\omega t)$ กับ $80\sin(\omega t+60^\circ)$ ด้วยตรีโกณมิติ จะต้องขยายสูตรผลบวกมุมหลายบรรทัด แต่ถ้ามองแต่ละไซน์เป็นลูกศรที่หมุนด้วยความเร็วเดียวกัน การบวกก็คือการบวกเวกเตอร์สองตัว — เหมือนแรงลัพธ์ทุกประการ เฟสเซอร์คือเครื่องมือที่ทำให้วงจรไฟฟ้ากระแสสลับคำนวณง่ายเท่าวงจรกระแสตรง บทนี้สร้างแนวคิดจากภาพเวกเตอร์ แล้วเชื่อมสู่จำนวนเชิงซ้อนด้วยสูตรออยเลอร์ สรุปใน 30 วินาที - $V_m\cos(\omega t+\varphi)=\operatorname{Re}\{V_me^{j\varphi}e^{j\omega t}\}$ → เฟสเซอร์ $\mathbf V=V_m\angle\varphi$ - $a+jb=r\angle\theta$, $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\theta=\operatorname{atan2}(b,a)$ - บวก/ลบ: รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (เวกเตอร์) · คูณ/หาร: รูปเชิงขั้ว (คูณขนาด บวกมุม) - $\dfrac{d}{dt}\leftrightarrow j\omega$: คูณด้วย j คือหมุนไป 90° ## 1. เวกเตอร์หมุน: ไซน์คือเงาของลูกศร พื้นฐาน วางลูกศรยาว $V_m$ บนระนาบ ให้หมุนทวนเข็มด้วยความเร็วเชิงมุม ω เริ่มที่มุม φ ตอน t = 0 เงาบนแกนนอนคือ $V_m\cos(\omega t+\varphi)$ เงาบนแกนตั้งคือ $V_m\sin(\omega t+\varphi)$ ในวงจรเชิงเส้นที่ทุกสัญญาณมีความถี่เดียวกัน ลูกศรทุกตัวหมุนพร้อมกันด้วย ω เดียว มุมระหว่างลูกศรจึงคงที่ เราจึงถ่ายภาพนิ่งไว้ที่ t = 0 แล้วทำงานกับภาพนิ่งนั้นได้ — ภาพนิ่งนี้คือเฟสเซอร์ เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ ## 2. สูตรออยเลอร์: ลูกศรหมุนเขียนเป็นจำนวนเชิงซ้อน กลาง จุดบนระนาบ (x, y) เขียนเป็นจำนวนเชิงซ้อน $x+jy$ ได้ (วิศวกรไฟฟ้าใช้ j แทน i เพราะ i คือกระแส) ลูกศรหนึ่งหน่วยที่มุม θ คือ $\cos\theta+j\sin\theta$ สูตรออยเลอร์บอกว่าสิ่งนี้เท่ากับ $e^{j\theta}$ ทำให้การหมุนกลายเป็นการคูณ และการคูณเลขชี้กำลังคือการบวกมุม H1 Euler's formula สูตรออยเลอร์ $$e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta,\qquad \cos\theta=\operatorname{Re}\{e^{j\theta}\},\quad \sin\theta=\operatorname{Im}\{e^{j\theta}\},\quad j^2=-1$$ พิสูจน์จากอนุกรมเทย์เลอร์ของ $e^x$, $\cos x$, $\sin x$ หรือจาก “$e^{j\theta}$ เป็นคำตอบของ $z'=jz$” ซึ่งคือการเคลื่อนที่ที่ความเร็วตั้งฉากกับตำแหน่งเสมอ = หมุนเป็นวงกลม H2 Phasor definition นิยามเฟสเซอร์ $$v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi)=\operatorname{Re}\big\{\underbrace{V_me^{j\varphi}}_{\mathbf V}\,e^{j\omega t}\big\}\qquad\Longrightarrow\qquad \mathbf V=V_me^{j\varphi}=V_m\angle\varphi$$ ตำราวงจรส่วนใหญ่อ้างอิงกับ cos ถ้าสัญญาณให้มาเป็น sin ให้แปลงด้วย $\sin x=\cos(x-90^\circ)$ ก่อน หรือใช้ sin เป็นอ้างอิงตลอดทั้งโจทย์ (ห้ามปน) ## 3. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและรูปเชิงขั้ว พื้นฐาน H3 Rectangular ↔ polar แปลงรูป $$a+jb=r\angle\theta,\qquad r=\sqrt{a^2+b^2},\quad \theta=\operatorname{atan2}(b,a);\qquad a=r\cos\theta,\quad b=r\sin\theta$$ เหมือนเวกเตอร์สองมิติ (ขนาด-ทิศ ↔ องค์ประกอบ) ทุกประการ ปุ่ม tan⁻¹ ของเครื่องคิดเลขให้มุมแค่ −90° ถึง 90° ต้องดูควอดแรนต์เองเมื่อ a < 0 ตัวอย่าง H-1 · กับดักควอดแรนต์ ### เขียน $-3+j4$ ในรูปเชิงขั้ว - $r=\sqrt{9+16}=5$ - $\tan^{-1}(4/-3)=-53.13^\circ$ แต่จุด (−3, 4) อยู่ควอดแรนต์ II - $\theta=180^\circ-53.13^\circ=126.87^\circ$ (atan2 ให้ค่านี้โดยตรง) $-3+j4=5\angle126.87^\circ$ ไม่ใช่ $5\angle-53.13^\circ$ (ซึ่งคือ $3-j4$) ## 4. บวก ลบ คูณ หาร: เลือกรูปให้ถูกงาน พื้นฐาน H4 Addition / subtraction บวกลบในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก $$(a_1+jb_1)\pm(a_2+jb_2)=(a_1\pm a_2)+j(b_1\pm b_2)$$ คือการบวกเวกเตอร์ (หัวต่อหาง) — KVL และ KCL ในวงจร AC คือการบวกเวกเตอร์ชนิดนี้ H5 Multiplication / division คูณหารในรูปเชิงขั้ว $$(r_1\angle\theta_1)(r_2\angle\theta_2)=r_1r_2\angle(\theta_1+\theta_2),\qquad \frac{r_1\angle\theta_1}{r_2\angle\theta_2}=\frac{r_1}{r_2}\angle(\theta_1-\theta_2),\qquad \mathbf z^*=r\angle-\theta$$ การคูณคือ “ยืดหด + หมุน” ของเวกเตอร์ ซึ่งไม่มีในพีชคณิตเวกเตอร์ปกติ นี่คือสิ่งที่จำนวนเชิงซ้อนให้เพิ่ม — อิมพีแดนซ์จึงทำหน้าที่ยืดและหมุนเฟสเซอร์กระแสให้เป็นเฟสเซอร์แรงดัน H6 Multiplying by j คูณด้วย j คือหมุน 90° $$j=1\angle90^\circ,\qquad -j=\frac1j=1\angle-90^\circ,\qquad j\,(a+jb)=-b+ja$$ ตัวอย่าง H-2 · คูณเฟสเซอร์ ### คำนวณ $(10\angle30^\circ)(4-j3)$ - แปลงตัวหลัง: $4-j3=5\angle-36.87^\circ$ - คูณขนาด บวกมุม: $50\angle(30^\circ-36.87^\circ)=50\angle-6.87^\circ$ - กลับเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก: $49.64-j5.98$ $50\angle-6.87^\circ=49.64-j5.98$ — ค่าเริ่มต้นของเครื่องคิดเลขเชิงซ้อนด้านล่าง ตัวอย่าง H-3 · หารเฟสเซอร์ ### คำนวณ $\dfrac{8+j6}{3-j4}$ - $8+j6=10\angle36.87^\circ$, $3-j4=5\angle-53.13^\circ$ - $\dfrac{10}{5}\angle(36.87^\circ+53.13^\circ)=2\angle90^\circ=j2$ - ตรวจด้วยการคูณสังยุค: $\dfrac{(8+j6)(3+j4)}{9+16}=\dfrac{24+j32+j18-24}{25}=\dfrac{j50}{25}=j2$ ✓ $j2=2\angle90^\circ$ เปิด JavaScript เพื่อใช้เครื่องคิดเลข ## 5. บวกไซน์ความถี่เดียวกันด้วยเวกเตอร์และกฎโคไซน์ กลาง H7 Sum of two sinusoids ผลบวกของไซน์ความถี่เดียวกัน $$A_1\angle\varphi_1+A_2\angle\varphi_2=A\angle\varphi,\qquad A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)}$$ คือ R1 ของแรงลัพธ์ เพราะเฟสเซอร์คือเวกเตอร์สองมิติ มุมเฟสหาด้วย atan2 ของผลรวมองค์ประกอบ ตัวอย่าง H-4 · บวกแรงดันสองแหล่ง ### $v_1=100\sin\omega t$ V และ $v_2=80\sin(\omega t+60^\circ)$ V (ใช้ sin เป็นอ้างอิง) จงหา $v_1+v_2$ - เฟสเซอร์: $\mathbf V_1=100\angle0^\circ=100+j0$, $\mathbf V_2=80\angle60^\circ=40+j69.28$ - บวก: $\mathbf V=140+j69.28=156.2\angle26.33^\circ$ - ตรวจด้วยกฎโคไซน์: $\sqrt{100^2+80^2+2(100)(80)\cos60^\circ}=\sqrt{24400}=156.2$ ✓ $v_1+v_2=156.2\sin(\omega t+26.33^\circ)$ V — ไม่ใช่ 180 V เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ ตัวอย่าง H-5 · KCL ที่จุดต่อ ### $i_1=10\cos\omega t$ A และ $i_2=6\cos(\omega t+60^\circ)$ A ไหลเข้าจุดต่อเดียวกัน กระแสที่ไหลออกเป็นเท่าไร? - $\mathbf I=10\angle0^\circ+6\angle60^\circ=(10+3)+j5.196=13+j5.196$ - $\mathbf I=14.0\angle21.79^\circ$ A $i=14\cos(\omega t+21.79^\circ)$ A — ตัวอย่างเดียวกับ R-8 ## 6. อนุพันธ์กลายเป็นการคูณด้วย jω กลาง H8 Calculus in the phasor domain อนุพันธ์และปริพันธ์ $$\frac{dv}{dt}\ \longleftrightarrow\ j\omega\mathbf V,\qquad \int v\,dt\ \longleftrightarrow\ \frac{\mathbf V}{j\omega}$$ เพราะ $\frac{d}{dt}e^{j\omega t}=j\omega e^{j\omega t}$ — การคูณ jω คือขยาย ω เท่าและหมุน +90° ตรงกับ W8 ผลคือ $\mathbf V_L=j\omega L\,\mathbf I$ และ $\mathbf I_C=j\omega C\,\mathbf V$ สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรกลายเป็นพีชคณิต ตัวอย่าง H-6 · แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ ### กระแส $i=2\cos(1000t)$ A ไหลผ่าน L = 50 mH จงหา v(t) - $\mathbf I=2\angle0^\circ$, $j\omega L=j(1000)(0.05)=j50\ \Omega$ - $\mathbf V=j50\times2\angle0^\circ=100\angle90^\circ$ V - ตรวจในโดเมนเวลา: $L\,di/dt=0.05(-2000\sin1000t)=-100\sin1000t=100\cos(1000t+90^\circ)$ ✓ $v(t)=100\cos(1000t+90^\circ)$ V แรงดันนำหน้ากระแส 90° ## 7. เฟสเซอร์ค่ายอดหรือค่า RMS? พื้นฐาน H9 Peak vs RMS phasors สองธรรมเนียมการเขียน $$\mathbf V_{\text{peak}}=V_m\angle\varphi,\qquad \mathbf V_{\text{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt2}\angle\varphi,\qquad \mathbf S=\mathbf V_{\text{rms}}\mathbf I_{\text{rms}}^*=\tfrac12\mathbf V_{\text{peak}}\mathbf I_{\text{peak}}^*$$ งานไฟฟ้ากำลัง (ไฟบ้าน 220∠0° V) ใช้ RMS เพื่อให้สูตรกำลังสะอาด ส่วนงานอิเล็กทรอนิกส์และตำราวงจรหลายเล่มใช้ค่ายอด สิ่งสำคัญคือใช้แบบเดียวตลอดโจทย์ ## 8. เมื่อไหร่ใช้เฟสเซอร์ไม่ได้ กลาง - ความถี่ต่างกัน: ลูกศรหมุนด้วยความเร็วต่างกัน มุมระหว่างกันเปลี่ยนตลอด ไม่มีเฟสเซอร์ผลรวม (ลองในแล็บบวกไซน์ เลือก “2 เท่า”) ต้องใช้ superposition ทีละความถี่ ดู วิเคราะห์วงจรด้วยอนุกรมฟูเรียร์ - ช่วงเปลี่ยนสภาวะ (transient): เฟสเซอร์ให้เฉพาะสภาวะคงตัวของไซน์ ช่วงเปิดสวิตช์ต้องใช้ การแปลงลาปลาซ - วงจรไม่เชิงเส้น: ไดโอด แกนเหล็กอิ่มตัว อินเวอร์เตอร์ — สร้างฮาร์มอนิก ไซน์เข้าไม่ได้ไซน์ออก ## 9. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย | ข้อผิดพลาด | วิธีป้องกัน | | บวกเฟสเซอร์ในรูปเชิงขั้ว (บวกขนาด บวกมุม) | บวกต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเสมอ | | tan⁻¹ ผิดควอดแรนต์ | ใช้ atan2 หรือวาดจุดก่อน (H-1) | | ปน sin กับ cos เป็นอ้างอิง | แปลงทุกสัญญาณให้อ้างอิงเดียวกันก่อนเขียนเฟสเซอร์ | | ปนค่ายอดกับ RMS | ระบุให้ชัดแต่ต้น โดยเฉพาะตอนคำนวณกำลัง | | เขียน v(t) = 100∠30° | เฟสเซอร์ไม่ใช่ฟังก์ชันเวลา ต้องแปลงกลับ $v(t)=100\cos(\omega t+30^\circ)$ | ## 10. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย - แปลง $-5-j5$ และ $12\angle-150^\circ$ ไปอีกรูปหนึ่ง - คำนวณ $(6\angle20^\circ)(2\angle-50^\circ)/(3\angle-90^\circ)$ - $10\cos(\omega t+45^\circ)-10\cos(\omega t-45^\circ)$ = ? - ประจุ C = 100 μF มีแรงดัน $10\cos(500t)$ V จงหากระแสด้วยเฟสเซอร์ เปิดเฉลย - $-5-j5=7.071\angle-135^\circ$; $12\angle-150^\circ=-10.39-j6$ - $\dfrac{12\angle-30^\circ}{3\angle-90^\circ}=4\angle60^\circ$ - $(7.071+j7.071)-(7.071-j7.071)=j14.14=14.14\angle90^\circ$ → $14.14\cos(\omega t+90^\circ)=-14.14\sin\omega t$ - $\mathbf I=j\omega C\mathbf V=j(500)(10^{-4})(10)=j0.5$ → $i=0.5\cos(500t+90^\circ)$ A (กระแสนำหน้า 90°) ## 11. สรุปสูตร | หัวข้อ | สูตร | | H1–H2 | $e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$, $\mathbf V=V_m\angle\varphi$ | | H3 แปลงรูป | $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\theta=\operatorname{atan2}(b,a)$ | | H4–H6 ดำเนินการ | บวก: สี่เหลี่ยมมุมฉาก · คูณ/หาร: เชิงขั้ว · j = หมุน 90° | | H7 บวกไซน์ | กฎโคไซน์ของเวกเตอร์ | | H8 แคลคูลัส | $d/dt\to j\omega$, $\int\to1/(j\omega)$ | | H9 RMS | $\mathbf S=\mathbf V_{\text{rms}}\mathbf I_{\text{rms}}^*$ | ## 12. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ - C. K. Alexander & M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits, บทที่ 9 Sinusoids and Phasors - MIT OCW 6.002 Circuits and Electronics — Sinusoidal steady state และ impedance - OpenStax University Physics Vol. 2 §15.2–15.3 — แผนภาพเฟสเซอร์ของ R, L, C ต่อไป: นำเฟสเซอร์ไปวิเคราะห์วงจรจริงใน วิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับด้วยเฟสเซอร์ ## คำถามที่พบบ่อย เฟสเซอร์คืออะไร? เฟสเซอร์คือจำนวนเชิงซ้อน (หรือเวกเตอร์สองมิติ) ที่เก็บแอมพลิจูดและมุมเฟสของสัญญาณไซน์ความถี่หนึ่ง เช่น v(t) = 311 cos(ωt + 30°) เขียนเป็น V = 311∠30° ภาพในใจคือลูกศรยาว 311 ที่หมุนด้วยความเร็ว ω แล้วถ่ายภาพไว้ที่ t = 0 สัญญาณจริงคือเงาของลูกศรบนแกนจริง ทำไมต้องใช้เฟสเซอร์? เพราะเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ของวงจร RLC ให้เป็นพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน อนุพันธ์กลายเป็นการคูณด้วย jω ทำให้ใช้กฎของโอห์ม KVL KCL และการหารแรงดันแบบวงจรกระแสตรงได้ทันที โดยตัวต้านทานกลายเป็นอิมพีแดนซ์ บวกเฟสเซอร์อย่างไร? แปลงเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก a + jb แล้วบวกส่วนจริงกับส่วนจริง ส่วนจินตภาพกับส่วนจินตภาพ เหมือนบวกเวกเตอร์สองมิติ ส่วนการคูณและหารทำในรูปเชิงขั้วง่ายกว่า คือคูณขนาดและบวกมุม เฟสเซอร์ใช้กับสัญญาณที่ความถี่ต่างกันได้ไหม? ไม่ได้โดยตรง เฟสเซอร์ใช้ได้เมื่อทุกสัญญาณมีความถี่เดียวกันในสภาวะคงตัวของวงจรเชิงเส้น ถ้ามีหลายความถี่ ต้องแก้ทีละความถี่แล้วนำผลในเวลามาบวกกัน (superposition) เช่น การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกด้วยอนุกรมฟูเรียร์ มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **เฟสเซอร์คืออะไร?** เฟสเซอร์คือจำนวนเชิงซ้อน (หรือเวกเตอร์สองมิติ) ที่เก็บแอมพลิจูดและมุมเฟสของสัญญาณไซน์ความถี่หนึ่ง เช่น v(t) = 311 cos(ωt + 30°) เขียนเป็น V = 311∠30° ภาพในใจคือลูกศรยาว 311 ที่หมุนด้วยความเร็ว ω แล้วถ่ายภาพไว้ที่ t = 0 สัญญาณจริงคือเงาของลูกศรบนแกนจริง **ทำไมต้องใช้เฟสเซอร์?** เพราะเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ของวงจร RLC ให้เป็นพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน อนุพันธ์กลายเป็นการคูณด้วย jω ทำให้ใช้กฎของโอห์ม KVL KCL และการหารแรงดันแบบวงจรกระแสตรงได้ทันที โดยตัวต้านทานกลายเป็นอิมพีแดนซ์ **บวกเฟสเซอร์อย่างไร?** แปลงเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก a + jb แล้วบวกส่วนจริงกับส่วนจริง ส่วนจินตภาพกับส่วนจินตภาพ เหมือนบวกเวกเตอร์สองมิติ ส่วนการคูณและหารทำในรูปเชิงขั้วง่ายกว่า คือคูณขนาดและบวกมุม **เฟสเซอร์ใช้กับสัญญาณที่ความถี่ต่างกันได้ไหม?** ไม่ได้โดยตรง เฟสเซอร์ใช้ได้เมื่อทุกสัญญาณมีความถี่เดียวกันในสภาวะคงตัวของวงจรเชิงเส้น ถ้ามีหลายความถี่ ต้องแก้ทีละความถี่แล้วนำผลในเวลามาบวกกัน (superposition) เช่น การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกด้วยอนุกรมฟูเรียร์