---
title: "การบวก ลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ใน 2D/3D"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/operations/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-13
---

> เรียนการบวกเวกเตอร์แบบหัวต่อหาง กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน การลบและคูณสเกลาร์จาก 2D ถึง 3D พร้อมตัวอย่างแรงลัพธ์ แรงสมดุล ความเร็วสัมพัทธ์ การเคลื่อนที่ และสรุปสูตรพร้อมแบบฝึกเฉลย

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/operations/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# การบวก ลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ใน 2D/3D

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 1 · Vector operations


การรวมแรงจากหลายสายเคเบิล การหาความเร็วสัมพัทธ์ และการคำนวณตำแหน่งใหม่ของหุ่นยนต์ ใช้สามการดำเนินการพื้นฐานเดียวกัน: บวก ลบ และคูณสเกลาร์ เราจะเห็นจากภาพว่าลูกศรประกอบกันอย่างไร แล้วคำนวณทีละองค์ประกอบ พร้อมแยก “เวกเตอร์ผลลัพธ์” ออกจาก “ขนาดผลลัพธ์” ให้ชัด

สรุปใน 30 วินาที
- บวกหรือลบองค์ประกอบแกนเดียวกัน: $(a_x\pm b_x,a_y\pm b_y,a_z\pm b_z)$
- $\mathbf a-\mathbf b=\mathbf a+(-\mathbf b)$: กลับทิศตัวที่ถูกลบ แล้วใช้กฎหัวต่อหาง
- $c\mathbf a=(ca_x,ca_y,ca_z)$ และ $\|c\mathbf a\|=|c|\|\mathbf a\|$
- ต้องใช้กรอบแกนเดียวกัน หน่วยเข้ากัน และรวมองค์ประกอบก่อนหาขนาด

## 1. ก่อนคำนวณ: แกน หน่วย และชนิดของปริมาณ

เวกเตอร์ $(3,4)$ ที่วัดในแกนของเซนเซอร์อาจชี้คนละทิศกับ $(3,4)$ ในแกนของห้องทดลอง ถ้าจะรวมกันต้องแปลงเป็นกรอบเดียวกันก่อน นอกจากนี้แรงหน่วย N รวมกับแรงหน่วย N ได้ แต่รวมแรงกับความเร็ว m/s ไม่ได้ แม้ทั้งคู่มีองค์ประกอบสองตัว

สำหรับเวกเตอร์บนระนาบ $xy$ เราฝังไว้ใน 3D ได้เป็น $(a_x,a_y,0)$ เมื่อบริบทกำหนดระนาบนั้นชัดเจน จึงรวมกับเวกเตอร์ 3D ได้อย่างมีความหมาย อย่าเติมองค์ประกอบ 0 โดยไม่ทราบว่าเวกเตอร์สองมิติเดิมอยู่ในระนาบใด ถ้าต้องทบทวนพิกัดและเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ให้เริ่มจาก พื้นฐานเวกเตอร์ 2D/3D

## 2. บวกเวกเตอร์: หัวต่อหางและสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นฐาน

เดินตาม $\mathbf a$ ก่อน แล้วเดินตาม $\mathbf b$ การกระจัดรวมคือ $\mathbf a+\mathbf b$ ภาพหัวต่อหาง (head-to-tail) วางหางของ $\mathbf b$ ที่หัวของ $\mathbf a$ โดยไม่หมุนหรือย่อขยาย ลูกศรผลบวกลากจากจุดเริ่มแรกไปจุดสุดท้าย ถ้าวางทั้งสองเวกเตอร์ให้มีหางร่วมกัน จะได้ผลบวกเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เวกเตอร์ย้ายขนานได้โดยขนาดและทิศคงเดิม การเดินคนละลำดับยังลงท้ายที่จุดเดียวกัน

V1 Component-wise addition บวกทีละองค์ประกอบ

$$\mathbf a+\mathbf b=(a_x+b_x,\ a_y+b_y,\ a_z+b_z),\qquad \mathbf R=\sum_{k=1}^{n}\mathbf F_k$$

ใน 2D ใช้เฉพาะ $x,y$ การรวมหลายเวกเตอร์ใช้ $R_x=\sum F_{kx}$, $R_y=\sum F_{ky}$, $R_z=\sum F_{kz}$ แล้วค่อยหาขนาด

V2 Properties of vector addition สมบัติของการบวก

$$\mathbf a+\mathbf b=\mathbf b+\mathbf a,\quad(\mathbf a+\mathbf b)+\mathbf c=\mathbf a+(\mathbf b+\mathbf c),\quad\mathbf a+\mathbf0=\mathbf a,\quad\mathbf a+(-\mathbf a)=\mathbf0$$

พิสูจน์ได้จากการใช้สมบัติของจำนวนจริงในแต่ละองค์ประกอบ การหาผลรวมแรงสลับลำดับได้ แต่จุดกระทำของแรงยังสำคัญเมื่อพิจารณาโมเมนต์ต่อวัตถุ

ตัวอย่าง V-1 · แรงลัพธ์สองมิติ

### แรงสองแรงที่จุดเดียวกันเป็น $\mathbf F_1=(120,-40)$ N และ $\mathbf F_2=(-30,80)$ N จงหาเวกเตอร์แรงลัพธ์ ขนาด และทิศ

- รวมแกน $x$: $R_x=120-30=90$ N รวมแกน $y$: $R_y=-40+80=40$ N จึงได้ $\mathbf R=(90,40)$ N

- คำนวณขนาดหลังรวมองค์ประกอบ: $R=\sqrt{90^2+40^2}=\sqrt{9700}=10\sqrt{97}\approx98.489$ N

- องค์ประกอบทั้งสองเป็นบวก จึงอยู่ควอดแรนต์ I: $\theta=\operatorname{atan2}(40,90)\approx23.962^\circ$ จาก +x ทวนเข็มนาฬิกา

- ตรวจคร่าว ๆ: แรงลัพธ์ชี้ขวาและขึ้น ขนาดเล็กกว่า $\|\mathbf F_1\|+\|\mathbf F_2\|$ เพราะสองแรงไม่ได้ชี้ทิศเดียวกัน

$\mathbf R=(90,40)$ N · $R\approx98.489$ N · $\theta\approx23.962^\circ$

## 3. ลบเวกเตอร์: กลับทิศก่อนบวก พื้นฐาน

จำนวนลบของเวกเตอร์ $-\mathbf b$ มีความยาวเท่าเดิม แต่ชี้สวนทาง ดังนั้น $\mathbf a-\mathbf b$ เท่ากับเดินตาม $-\mathbf b$ และ $\mathbf a$ ต่อกัน ถ้าวาง $\mathbf a$ กับ $\mathbf b$ ให้หางอยู่ที่จุดเดียวกัน ลูกศรจากหัวของ b ไปหัวของ a คือผลต่าง $\mathbf a-\mathbf b$

V3 Vector subtraction การลบเวกเตอร์

$$-\mathbf b=(-b_x,-b_y,-b_z),\qquad \mathbf a-\mathbf b=\mathbf a+(-\mathbf b)=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z)$$

ทั่วไป $\mathbf a-\mathbf b\ne\mathbf b-\mathbf a$ แต่ $\mathbf b-\mathbf a=-(\mathbf a-\mathbf b)$ และผลต่างสองทิศมีขนาดเท่ากัน

ผลต่างจากหัว b ไปหัว a: ปลายลบต้นให้ $(4,1)-(1,3)=(3,-2)$

ตัวอย่าง V-2 · ความเร็วสัมพัทธ์ของรถตรวจสอบ

### ในกรอบพื้น รถ A มี $\mathbf v_A=(12,3)$ m/s และรถ B มี $\mathbf v_B=(5,-1)$ m/s จงหาความเร็วของ A ที่ผู้สังเกตบน B เห็น

- ภายใต้กรอบที่เลื่อนที่โดยไม่หมุน ใช้ $\mathbf v_{A/B}=\mathbf v_A-\mathbf v_B$ โดยความเร็วทั้งคู่ต้องอยู่ในแกนเดียวกัน

- ลบองค์ประกอบ: $\mathbf v_{A/B}=(12-5,3-(-1))=(7,4)$ m/s

- อัตราเร็วสัมพัทธ์ $\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65}\approx8.062$ m/s ไม่ใช่ $\|\mathbf v_A\|-\|\mathbf v_B\|$

$\mathbf v_{A/B}=(7,4)$ m/s · ถ้าเปลี่ยนเป็น B เทียบกับ A จะได้ $(-7,-4)$ m/s

ถ้ากรอบผู้สังเกตหมุนการลบความเร็วอย่างเดียวไม่พอ ต้องรวมการเปลี่ยนกรอบและเทอมจากการหมุน เช่น $\boldsymbol\omega\times\mathbf r$ ตามสมการการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ รายละเอียดเชิงกายภาพเชื่อมกับ cross product

## 4. คูณด้วยสเกลาร์: ย่อ ขยาย กลับทิศ พื้นฐาน

ถ้า $c>0$ เวกเตอร์ $c\mathbf a$ ชี้ทิศเดิม ถ้า $c<0$ ชี้สวนทาง ขนาดใหม่คือ $|c|$ เท่าของขนาดเดิม ถ้า $c=0$ ได้เวกเตอร์ศูนย์ ตัวอย่าง $0.5\mathbf a$ ยาวครึ่งหนึ่ง ส่วน $-2\mathbf a$ ยาวสองเท่าและกลับทิศ

V4 Scalar multiplication คูณทุกองค์ประกอบด้วยสเกลาร์

$$c\mathbf a=(ca_x,ca_y,ca_z),\qquad \|c\mathbf a\|=|c|\|\mathbf a\|$$

ใช้ค่าสัมบูรณ์เมื่อหาขนาด ถ้า $c$ มีหน่วย หน่วยผลลัพธ์คูณกันด้วย เช่น $m\mathbf a$ มีหน่วย kg·m/s² = N เมื่อ $m$ เป็นมวลและ $\mathbf a$ เป็นความเร่ง

V5 Distributive laws and linear combinations การแจกแจงและผลรวมเชิงเส้น

$$c(\mathbf a+\mathbf b)=c\mathbf a+c\mathbf b,\qquad(c+d)\mathbf a=c\mathbf a+d\mathbf a,\qquad c(d\mathbf a)=(cd)\mathbf a,\qquad\mathbf w=c\mathbf a+d\mathbf b$$

นิพจน์สุดท้ายเรียกผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ตรวจหน่วยของทุกพจน์ให้เหมือนกันก่อนรวม สเกลาร์ทั้งสองอาจมีค่าต่างกันและติดลบได้

ขนาดเปลี่ยนด้วย $|c|$ ส่วนเครื่องหมายของ $c$ กำหนดว่าจะคงทิศหรือกลับทิศ

ตัวอย่าง V-3 · ผลรวมเชิงเส้นสามมิติ

### ให้ $\mathbf a=(2,-1,3)$, $\mathbf b=(-1,4,2)$ จงหา $2\mathbf a-3\mathbf b$

- คูณเข้าทุกองค์ประกอบ: $2\mathbf a=(4,-2,6)$, $3\mathbf b=(-3,12,6)$

- ลบทีละแกน: $(4-(-3),-2-12,6-6)=(7,-14,0)$

- ตรวจด้วยการแจกแจงตรง: $2(2)-3(-1)=7$, $2(-1)-3(4)=-14$, $2(3)-3(2)=0$

- ถ้าถามขนาดด้วย จะได้ $\sqrt{7^2+(-14)^2}=\sqrt{245}=7\sqrt5\approx15.652$

$2\mathbf a-3\mathbf b=(7,-14,0)$ · องค์ประกอบ z หักล้างกันพอดี

## 5. ทำไมขนาดผลบวกไม่เท่ากับผลบวกของขนาด?

เวกเตอร์ $(3,0)$ และ $(0,4)$ มีขนาด 3 และ 4 แต่ผลบวก $(3,4)$ ยาว 5 การนำ 3 + 4 = 7 เป็นแรงลัพธ์จึงผิด เพราะข้อมูลทิศทางหายไป ถ้าสองเวกเตอร์ชี้ทิศเดียวกันจึงบวกขนาดได้ตรง ๆ ถ้าชี้ตรงข้าม ขนาดต่างกันจะหักล้างกัน

V6 Triangle and reverse triangle inequalities ขอบเขตของขนาดผลบวก

$$\big|\|\mathbf a\|-\|\mathbf b\|\big|\le\|\mathbf a+\mathbf b\|\le\|\mathbf a\|+\|\mathbf b\|$$

ขอบบนเกิดเมื่อเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ชี้ทิศเดียวกัน ขอบล่างเกิดเมื่อชี้ตรงข้าม หากเวกเตอร์ใดเป็นศูนย์ทั้งสองขอบเท่ากัน ใช้ตรวจคำตอบแรงลัพธ์ได้ทันที

V7 Magnitude from the included angle ขนาดผลบวกจากมุมระหว่างเวกเตอร์

$$\|\mathbf a+\mathbf b\|=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\theta},\qquad\|\mathbf a-\mathbf b\|=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\theta}$$

$a=\|\mathbf a\|$, $b=\|\mathbf b\|$; $\theta\in[0,\pi]$ เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์เมื่อวางหางร่วมกัน ถ้าตัวใดเป็นศูนย์ มุมไม่กำหนดแต่ใช้สูตรองค์ประกอบหาขนาดได้ ดูที่มาจาก dot product

ตรวจกรณีสำคัญ: $\theta=0^\circ$ ได้ $a+b$; $\theta=90^\circ$ ได้ $\sqrt{a^2+b^2}$; $\theta=180^\circ$ ได้ $|a-b|$ อย่าสับสนมุมระหว่างลูกศรหางร่วมกับมุมภายในสามเหลี่ยมหัวต่อหาง ซึ่งอาจเป็นมุมเสริมกัน

ต่อยอด: กฎของโคไซน์และกฎของไซน์สูตรขนาดผลบวกจากมุมระหว่างเวกเตอร์คือกฎของโคไซน์ ส่วนทิศของผลบวกหาด้วยกฎของไซน์ ดูวิธีใช้แบบวิศวกร กรณีมุมป้าน การแตกแรงตามแนวเฉียง และโต๊ะแรงเสมือนใน แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 6. ใช้จริง: แรงสมดุล การเคลื่อนที่ และ interpolation กลาง

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงว่าพีชคณิตเวกเตอร์เป็นเครื่องมืออ่านสถานการณ์ทางกายภาพ ไม่ใช่เพียงการจับตัวเลขใส่วงเล็บ แต่ละตัวอย่างจึงระบุว่าเวกเตอร์แทนอะไรและมีสมมติฐานใด

V8 Force balance for a particle สมดุลแรงของอนุภาค

$$\sum_k\mathbf F_k=\mathbf0\iff\sum_k F_{kx}=0,\ \sum_k F_{ky}=0,\ \sum_k F_{kz}=0;\qquad\mathbf F_{\rm balance}=-\sum_k\mathbf F_k$$

ใช้กับอนุภาคหรือแรงที่กระทำร่วมจุดเดียวกัน สำหรับวัตถุแข็งต้องตรวจ $\sum\boldsymbol\tau=\mathbf0$ เพิ่มเติมด้วย แรงลัพธ์ศูนย์เพียงอย่างเดียวไม่ได้รับประกันว่าไม่หมุน

ตัวอย่าง V-4 · แรงที่ต้องเพิ่มเพื่อให้ห่วงอยู่สมดุล

### แรงทั้งหมดที่ห่วงร่วมจุดเป็น $\mathbf F_1=(200,100,300)$ N, $\mathbf F_2=(-50,150,-100)$ N และน้ำหนัก $\mathbf W=(0,0,-400)$ N ต้องเพิ่มแรงใด?

- กำหนด $+z$ ขึ้น น้ำหนักจึงมีองค์ประกอบ z ติดลบ รวมแรงเดิม $\mathbf R=(200-50+0,100+150+0,300-100-400)=(150,250,-200)$ N

- แรงสมดุลต้องตรงข้ามกับผลรวม: $\mathbf F_3=-\mathbf R=(-150,-250,200)$ N

- ขนาด $\|\mathbf F_3\|=\sqrt{150^2+250^2+200^2}=\sqrt{125000}=250\sqrt2\approx353.553$ N

- ตรวจสมดุลทั้งสามแกน: $150-150=0$, $250-250=0$, $-200+200=0$ หากใช้สายเคเบิล แรงนี้ต้องมีทิศเข้าหาจุดยึดจริงและสายรับได้เฉพาะแรงดึง

ต้องเพิ่มแรง $(-150,-250,200)$ N ขนาด $353.553$ N ณ จุดร่วมเดียวกัน

ตัวอย่าง V-5 · ตำแหน่งรถอัตโนมัติเมื่อความเร่งคงที่

### กำหนด $\mathbf r_0=(1,2)$ m, $\mathbf v_0=(3,-1)$ m/s และ $\mathbf a=(0,2)$ m/s² คงที่ จงหา $\mathbf r,\mathbf v$ ที่ $t=2$ s

- ใช้สมการคงความเร่งในกรอบเฉื่อยเดียวกัน: $\mathbf v=\mathbf v_0+t\mathbf a$ และ $\mathbf r=\mathbf r_0+t\mathbf v_0+\tfrac12t^2\mathbf a$

- $t\mathbf a=2(0,2)=(0,4)$ m/s จึงได้ $\mathbf v=(3,-1)+(0,4)=(3,3)$ m/s

- $t\mathbf v_0=(6,-2)$ m และ $\tfrac12t^2\mathbf a=2(0,2)=(0,4)$ m จึงได้ $\mathbf r=(1,2)+(6,-2)+(0,4)=(7,4)$ m

- ตรวจด้วยสมการรายแกน: $x=1+3(2)=7$, $y=2-1(2)+\tfrac12(2)(2^2)=4$ การกระจัดเป็น $(6,2)$ m ซึ่งต่างจากตำแหน่ง $(7,4)$ m

ที่ 2 s ตำแหน่ง $(7,4)$ m และความเร็ว $(3,3)$ m/s · ทุกพจน์ในสมการตำแหน่งมีหน่วย m

V9 Linear interpolation between points จุดบนส่วนของเส้นตรง

$$\mathbf r(t)=(1-t)\mathbf r_A+t\mathbf r_B=\mathbf r_A+t(\mathbf r_B-\mathbf r_A),\qquad0\le t\le1$$

$t$ ในสูตรนี้เป็นพารามิเตอร์ไร้หน่วย ไม่ใช่เวลาโดยอัตโนมัติ $t=0$ ได้ A, $t=1$ ได้ B; ถ้าอยู่นอกช่วงนี้เป็น extrapolation บนเส้นตรงเดียวกัน ผลรวมค่าน้ำหนักเท่ากับ 1 จึงใช้กับตำแหน่งได้โดยไม่ขึ้นกับการเลื่อนจุดกำเนิด

ตัวอย่าง V-6 · กำหนด waypoint ให้แขนหุ่นยนต์

### จาก $A=(1,-2,0)$ m ไป $B=(5,2,8)$ m ต้องการจุดที่เดินทางไปแล้ว 25% ของระยะตรง

- การกระจัด $\mathbf r_B-\mathbf r_A=(4,4,8)$ m เลือกพารามิเตอร์ $t=0.25$

- $\mathbf r(0.25)=(1,-2,0)+0.25(4,4,8)=(1,-2,0)+(1,1,2)=(2,-1,2)$ m

- ตรวจระยะ: จาก A ไป waypoint ยาว $\sqrt{1+1+4}=\sqrt6$ m ส่วน AB ยาว $\sqrt{16+16+64}=4\sqrt6$ m อัตราส่วนเท่ากับ 1/4

waypoint คือ $(2,-1,2)$ m · สูตรระบุตำแหน่งบนเส้นตรง ส่วนความเร็วและความเร่งต้องออกแบบแยกต่างหาก

งานที่มีมุมระหว่างแรง การแยกแรงตามแนวเอียง งาน และกำลัง ใช้ dot product ส่วนโมเมนต์ ความเร็วจากการหมุน และแรงแม่เหล็ก ใช้ cross product ตัวอย่างต่อเนื่องอยู่ใน การประยุกต์ทางวิศวกรรม

## 7. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและวิธีตรวจคำตอบ

| ข้อผิดพลาด | ตัวอย่าง/วิธีแก้ |

| รวมขนาดแทนรวมเวกเตอร์ | $(3,0)+(0,4)=(3,4)$ ขนาด 5 ไม่ใช่ 7 |

| ลบจำนวนลบแล้วเครื่องหมายผิด | $3-(-1)=4$; เขียนวงเล็บก่อนแทนค่า |

| คูณสเกลาร์แค่องค์ประกอบเดียว | $2(1,-3,4)=(2,-6,8)$ ต้องคูณทั้งสามตัว |

| ใช้ $c$ แทน $|c|$ ในสูตรขนาด | $\|-2\mathbf a\|=2\|\mathbf a\|$ ขนาดไม่ติดลบ |

| คิดว่าผลต่างสลับที่ได้ | $\mathbf b-\mathbf a=-(\mathbf a-\mathbf b)$ |

| บวกเวกเตอร์ต่างกรอบแกน | หมุนองค์ประกอบสู่กรอบเดียวกันก่อน ดู การเปลี่ยนฐาน |

| เห็นแรงรวมศูนย์แล้วสรุปวัตถุแข็งสมดุลทั้งหมด | ต้องตรวจโมเมนต์รวมด้วย แรงคู่ควบอาจทำให้หมุน |

| เขียน “คูณเวกเตอร์” โดยไม่ระบุชนิด | คูณสเกลาร์ให้เวกเตอร์; dot ให้สเกลาร์; cross ใน 3D ให้เวกเตอร์ ทั้งสามต่างกัน |

ตรวจคำตอบสี่ข้อองค์ประกอบตรงกับทิศที่วาดหรือไม่? ทุกพจน์มีหน่วยเดียวกันหรือไม่? ขนาดผลบวกอยู่ในขอบเขต V6 หรือไม่? ถ้าบวกตัวตรงข้ามกลับเข้าไป ได้เวกเตอร์ต้นหรือไม่?

## 8. สรุปสูตรบวก ลบ และคูณสเกลาร์

| การดำเนินการ | สูตร | ภาพ/การใช้งาน |

| V1 บวก | $\mathbf a+\mathbf b=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)$ | หัวต่อหาง · รวมแรง |

| V3 ลบ | $\mathbf a-\mathbf b=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z)$ | จากหัว b ไปหัว a · ความเร็วสัมพัทธ์ |

| V4 คูณสเกลาร์ | $c\mathbf a=(ca_x,ca_y,ca_z)$ | ย่อ ขยาย หรือกลับทิศ |

| V4 ขนาดหลังคูณ | $\|c\mathbf a\|=|c|\|\mathbf a\|$ | ตรวจขนาดไม่ติดลบ |

| V7 ขนาดผลบวก | $\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\theta}$ | รู้ขนาดและมุมระหว่างเวกเตอร์ |

| V8 แรงสมดุล | $\mathbf F_{\rm balance}=-\sum\mathbf F_k$ | อนุภาคหรือแรงร่วมจุด |

| V9 จุดระหว่าง A และ B | $\mathbf r_A+t(\mathbf r_B-\mathbf r_A)$ | $0\le t\le1$, waypoint บนส่วนเส้นตรง |

## 9. แบบฝึกเพื่อเช็กความเข้าใจ

- ให้ $\mathbf a=(3,-2)$, $\mathbf b=(-1,5)$ หา $\mathbf a+\mathbf b$, $\mathbf a-\mathbf b$, $-2\mathbf a$
- ให้ $\mathbf p=(1,2,-2)$, $\mathbf q=(3,0,1)$ หา $3\mathbf p+2\mathbf q$ และขนาด
- แรงร่วมจุด $(40,0)$ N กับ $(0,30)$ N ต้องเพิ่มแรงใดจึงสมดุล? ขนาดเท่าไร?
- เวกเตอร์ยาว 5 และ 8 ทำมุม 60° กัน ผลบวกมีขนาดเท่าไร? ถ้ากลับทิศตัวหลัง ขนาดใหม่เท่าไร?
- หา midpoint ระหว่าง $A=(2,0,-1)$ กับ $B=(6,4,3)$

เปิดเฉลยพร้อมวิธีตรวจ

- ผลบวก $(2,3)$; ผลต่าง $(4,-7)$; $-2\mathbf a=(-6,4)$ ตรวจว่าตัวสุดท้ายขนาดเป็นสองเท่าและกลับทิศ

- $3\mathbf p+2\mathbf q=(3,6,-6)+(6,0,2)=(9,6,-4)$; ขนาด $\sqrt{81+36+16}=\sqrt{133}\approx11.533$

- แรงลัพธ์ $(40,30)$ N จึงเพิ่ม $(-40,-30)$ N ขนาด 50 N

- ผลบวก $\sqrt{25+64+2(5)(8)\cos60^\circ}=\sqrt{129}\approx11.358$; กลับทิศตัวหลังได้ผลต่างขนาด $\sqrt{25+64-40}=7$ ทั้งสองอยู่ระหว่าง 3 กับ 13

- ใช้ $t=0.5$: $(A+B)/2=(4,2,1)$; การกระจัดจาก A ถึง midpoint เป็นครึ่งของ $B-A$

เปิด Vector Lab ทดลองให้สองเวกเตอร์ชี้ทิศเดียวกัน ตั้งฉาก และตรงข้าม แล้วเปรียบเทียบขนาดกับสูตรก่อนดูคำตอบ

## 10. เอกสารอ้างอิงและอ่านต่อ

- OpenStax, Calculus Volume 3, §2.1 Vectors in the Plane — การบวก ลบ คูณสเกลาร์ และการตีความเชิงเรขาคณิต
- OpenStax, Calculus Volume 3, §2.2 Vectors in Three Dimensions — การขยายการดำเนินการและขนาดสู่ 3D
- OpenStax, University Physics Volume 1, §5.1 Forces — แรงเป็นเวกเตอร์และแรงลัพธ์

ไปต่อที่ components และ projection เพื่อแยกแรงตามแนวเอียง ต่อด้วย dot product สำหรับมุม งาน และกำลัง และ cross product สำหรับโมเมนต์และการหมุน ก่อนรวมทุกเครื่องมือใน ตัวอย่างวิศวกรรม ดูสารบัญและสูตรทั้งหมดที่ หน้าหลักพีชคณิตเวกเตอร์

## คำถามที่พบบ่อย

บวกเวกเตอร์ 2D และ 3D อย่างไร?
เมื่อเวกเตอร์อยู่ในกรอบแกนเดียวกันและมีหน่วยเดียวกัน ให้บวกองค์ประกอบที่ตรงกัน เช่น (ax, ay, az) + (bx, by, bz) = (ax + bx, ay + by, az + bz) ภาพเรขาคณิตใช้กฎหัวต่อหางหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ลบเวกเตอร์หมายความว่าอย่างไร?
a − b คือ a + (−b) โดย −b มีขนาดเท่า b แต่กลับทิศ ถ้าวาง a และ b ที่จุดต้นเดียวกัน ลูกศรจากปลาย b ไปปลาย a คือ a − b

คูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ติดลบเกิดอะไรขึ้น?
สเกลาร์ติดลบกลับทิศเวกเตอร์และปรับขนาดด้วยค่าสัมบูรณ์ของสเกลาร์ เช่น −2a มีทิศตรงข้าม a และยาวเป็นสองเท่า ถ้าคูณด้วยศูนย์จะได้เวกเตอร์ศูนย์

ขนาดผลบวกเท่ากับผลบวกของขนาดไหม?
ไม่เสมอไป ขนาดของ a + b ไม่เกินขนาด a บวกขนาด b และจะเท่ากันเมื่อเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ชี้ทิศเดียวกัน ถ้าชี้สวนกันบางส่วนจะหักล้างกัน

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**บวกเวกเตอร์ 2D และ 3D อย่างไร?**
เมื่อเวกเตอร์อยู่ในกรอบแกนเดียวกันและมีหน่วยเดียวกัน ให้บวกองค์ประกอบที่ตรงกัน เช่น (ax, ay, az) + (bx, by, bz) = (ax + bx, ay + by, az + bz) ภาพเรขาคณิตใช้กฎหัวต่อหางหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน

**ลบเวกเตอร์หมายความว่าอย่างไร?**
a − b คือ a + (−b) โดย −b มีขนาดเท่า b แต่กลับทิศ ถ้าวาง a และ b ที่จุดต้นเดียวกัน ลูกศรจากปลาย b ไปปลาย a คือ a − b

**คูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ติดลบเกิดอะไรขึ้น?**
สเกลาร์ติดลบกลับทิศเวกเตอร์และปรับขนาดด้วยค่าสัมบูรณ์ของสเกลาร์ เช่น −2a มีทิศตรงข้าม a และยาวเป็นสองเท่า ถ้าคูณด้วยศูนย์จะได้เวกเตอร์ศูนย์

**ขนาดผลบวกเท่ากับผลบวกของขนาดไหม?**
ไม่เสมอไป ขนาดของ a + b ไม่เกินขนาด a บวกขนาด b และจะเท่ากันเมื่อเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ชี้ทิศเดียวกัน ถ้าชี้สวนกันบางส่วนจะหักล้างกัน