--- title: "เวกเตอร์: จากแรงลัพธ์ถึงเฟสเซอร์" url: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-13 --- > ชุดบทเรียนเวกเตอร์ภาษาไทยที่ครบที่สุด 20 หน้า: พื้นฐาน 2D/3D บวก ลบ องค์ประกอบ การฉาย ทิศทางโคไซน์ Dot/Cross product แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์ ระบบแรงและโมเมนต์ การหมุนแกน แขนกล สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก แรงลอเรนซ์ sin/cos เฟสเซอร์ และวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ พร้อมสตูดิโอเวกเตอร์ 3 มิติหมุนได้ แล็บกลศาสตร์ (ฟิสิกส์ 1) แล็บสนาม (ฟิสิกส์ 2) แล็บวงจร AC และเครื่องมือระดับโลก PhET GeoGebra Falstad ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ · คู่มือฉบับสมบูรณ์ของชุดนี้: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/guide.md # เวกเตอร์: จากแรงลัพธ์ถึงเฟสเซอร์ // บทที่ 6 · Vectors: Forces, Fields & Phasors · 20 หน้า เวกเตอร์คือภาษาเดียวกันของแรงในโครงสร้าง ข้อต่อของแขนกล สนามไฟฟ้ารอบประจุ แรงที่หมุนมอเตอร์ และแรงดันในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ ชุดบทเรียนนี้เริ่มจากลูกศรบนกระดาษ ไปจนถึงการวิเคราะห์ระดับวิศวกร: แตกแรงสามมิติด้วยทิศทางโคไซน์ รวมแรงด้วยกฎไซน์-โคไซน์ หาโมเมนต์และแรงปฏิกิริยา หมุนแกนพิกัด คำนวณแขนกล แล้วข้ามมาสู่สนามแม่เหล็กไฟฟ้าและเฟสเซอร์ ทุกหน้ามีแล็บ 3 มิติที่ลากหมุนได้ เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ ในชุดนี้มีอะไร - 20 หน้า 5 ส่วน: พื้นฐาน · ผลคูณ · แรงและกลศาสตร์ · ไฟฟ้า: สนามและเฟสเซอร์ · ห้องแล็บ - 149 สูตรมีรหัสอ้างอิง และ 105 ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขแล้ว - แล็บ 3 มิติ 13 ฉาก สตูดิโอเวกเตอร์ แล็บกลศาสตร์ 6 การทดลอง แล็บสนาม 8 การทดลอง แล็บวงจร AC 6 การทดลอง - เชื่อมเครื่องมือระดับโลก PhET · GeoGebra · Falstad · MATLAB · Python ## เลือกเส้นทางเรียนตามเป้าหมาย ทุกคนเริ่มที่นี่ ### แกนกลาง: เวกเตอร์ 2D / 3D - พื้นฐาน ขนาด ทิศทาง พิกัด - บวก ลบ คูณสเกลาร์ - องค์ประกอบและการฉาย - Dot product · Cross product ฟิสิกส์ 1 · สแตติกส์ · เครื่องกล ### เส้นทางแรงและกลศาสตร์ - ทิศทางโคไซน์และแรงสามมิติ - แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์ - ระบบแรง โมเมนต์ สมดุล - หมุนแกนพิกัด → แขนกล - แล็บกลศาสตร์ 6 การทดลอง ฟิสิกส์ 2 · วิศวกรรมไฟฟ้า ### เส้นทางสนามและวงจร AC - สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก แรงลอเรนซ์ - sin · cos ในไฟฟ้า AC - พื้นฐานเฟสเซอร์ - วิเคราะห์วงจร AC ด้วยเฟสเซอร์ - แล็บสนาม · แล็บวงจร AC ลูกศร (F, V, P)→มุมกับสามแกน (K)→กฎไซน์-โคไซน์ (R)→r × F (S, A)→E, B, v × B (M)→ไซน์ (W)→เฟสเซอร์ (H)→วงจร AC (Z) ## ทุกหน้าในชุดเวกเตอร์ ส่วนที่ 1 ### พื้นฐานเวกเตอร์ 2D / 3D Vector Basics ขนาด ทิศทาง พิกัด บวก ลบ คูณสเกลาร์ แตกองค์ประกอบ การฉาย และทิศทางโคไซน์ของแรงสามมิติ →6.1 เวกเตอร์ ขนาด ทิศทาง และพิกัด 2D/3D Vector foundations แยกสเกลาร์กับเวกเตอร์ พิกัด จุดต้นปลาย ขนาด เวกเตอร์หนึ่งหน่วย และทิศทางสามมิติ เปิดหน้า →สูตร F1, F2, … +6.2 การบวก ลบ และคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ Vector operations ต่อหัวกับหาง กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน แรงลัพธ์ และการคำนวณทีละองค์ประกอบ เปิดหน้า →สูตร V1, V2, … ⊥6.3 องค์ประกอบและการฉายเวกเตอร์ Components & projection แตกแรงตามแกน ฉายบนทิศที่ไม่ใช่เวกเตอร์หนึ่งหน่วย และแยกส่วนขนานกับตั้งฉาก เปิดหน้า →สูตร P1, P2, … cos γ6.4 ทิศทางโคไซน์และการแตกแรงสามมิติ: α β γ มุมราบ-มุมเงย และแรงตามแนวเส้น Direction cosines & 3D force components มุม α β γ กับสามแกน cos²α + cos²β + cos²γ = 1 แตกแรงสองขั้นด้วยมุมราบ-มุมเงย แรงตามสายเคเบิลจากพิกัดสองจุด และฉาก 3 มิติหมุนดูได้ เปิดหน้า →สูตร K1, K2, … ส่วนที่ 2 ### ผลคูณของเวกเตอร์ Dot & Cross Products Dot product สำหรับมุม งาน และการฉาย · Cross product สำหรับพื้นที่ แรงบิด และทิศตั้งฉาก ·6.5 ผลคูณจุดและมุมระหว่างเวกเตอร์ Dot product ความหมายเชิงเรขาคณิต พิสูจน์สูตร หามุม ความตั้งฉาก และงานของแรง เปิดหน้า →สูตร D1, D2, … ×6.6 ผลคูณไขว้ กฎมือขวา พื้นที่และปริมาตร Cross product คำนวณสามมิติ ลำดับและเครื่องหมาย พื้นที่เวกเตอร์ และผลคูณสามชั้น เปิดหน้า →สูตร C1, C2, … ส่วนที่ 3 ### แรงและกลศาสตร์ Forces & Mechanics แรงลัพธ์ด้วยกฎของไซน์-โคไซน์ ระบบแรงและโมเมนต์ การหมุนแกนพิกัด และเวกเตอร์ในแขนกล R²6.7 แรงลัพธ์ด้วยกฎของโคไซน์และกฎของไซน์: สี่เหลี่ยมด้านขนาน สามเหลี่ยมแรง และการแตกแรงตามแนวเฉียง Resultant forces: laws of sines & cosines พิสูจน์กฎโคไซน์จากเวกเตอร์ รวมสองแรงด้วยสามเหลี่ยมแรง หาทิศด้วยกฎไซน์และกรณีกำกวม แตกแรงตามสองแนวที่ไม่ตั้งฉาก สามแรงขึ้นไปด้วยองค์ประกอบ และทฤษฎีของลามี เปิดหน้า →สูตร R1, R2, … ΣM6.8 ระบบแรง: โมเมนต์ แรงคู่ควบ ระบบสมมูล แรงลัพธ์เดี่ยว และสมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง Force systems, moments & equilibrium แรงร่วมจุด แรงในระนาบ โมเมนต์ M = r × F และทฤษฎีวาริยอง แรงคู่ควบ ย้ายแรงเป็นระบบแรง-แรงคู่ควบ แรงลัพธ์เดี่ยว แผนภาพวัตถุอิสระ และแรงปฏิกิริยาของคาน เปิดหน้า →สูตร S1, S2, … R(θ)6.9 การหมุนแกนพิกัด 2D/3D: เมทริกซ์หมุน มุมออยเลอร์ และการเปลี่ยนกรอบอ้างอิง Rotation of axes & rotation matrices องค์ประกอบเดียวกันในสองกรอบ หมุนแกนกับหมุนเวกเตอร์ เมทริกซ์หมุนตั้งฉาก RᵀR = I มุมออยเลอร์ Z-Y-X สูตรโรดริเกส พื้นเอียง และกรอบ dq ของมอเตอร์ เปิดหน้า →สูตร T1, T2, … J6.10 เวกเตอร์ในแขนกล: จลนศาสตร์ไปข้างหน้า-ย้อนกลับ Jacobian ความเร็ว และแรงบิดข้อต่อ Vectors in robot arms ตำแหน่งปลายแขนเป็นผลบวกเวกเตอร์ของข้อแขน FK/IK ของแขน 2 ข้อต่อ แขน 3 มิติ Jacobian v = Jθ̇ ภาวะเอกฐาน และ τ = JᵀF สำหรับเลือกมอเตอร์ เปิดหน้า →สูตร A1, A2, … τ6.11 การประยุกต์เวกเตอร์ทางวิศวกรรม Engineering applications แรงในสายเคเบิล งาน แรงบิด แรงแม่เหล็ก และการเคลื่อนที่ของหุ่นยนต์ พร้อมหน่วยและข้อสมมติ เปิดหน้า →สูตร E1, E2, … ส่วนที่ 4 ### ไฟฟ้า: สนามและเฟสเซอร์ Fields & Phasors สนามไฟฟ้า สนามแม่เหล็ก แรงลอเรนซ์ ความสัมพันธ์ sin–cos เฟสเซอร์ และการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ E·B6.12 เวกเตอร์ในสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก: คูลอมบ์ การซ้อนทับ ลอเรนซ์ F = IL × B และแรงบิดของมอเตอร์ Vectors in electromagnetic fields แรงคูลอมบ์เชิงเวกเตอร์ สนามจากประจุหลายตัว ศักย์สเกลาร์ ฟลักซ์ Φ = B·A แรงลอเรนซ์ แรงบนลวด สนามจากลวดตรง แรงระหว่างลวดขนาน และแรงบิดบนขดลวด τ = m × B เปิดหน้า →สูตร M1, M2, … ∿6.13 ความสัมพันธ์ของ sin และ cos ในไฟฟ้ากระแสสลับ: แอมพลิจูด เฟส นำหน้า-ตามหลัง และค่า RMS Sine & cosine in AC circuits v(t) = Vm sin(ωt + φ) ความถี่ คาบ ω เปลี่ยน sin เป็น cos ด้วย ±90° หาความต่างเฟสและนำหน้า-ตามหลัง รวม A cos + B sin เป็นไซน์เดียว ค่าเฉลี่ยและ RMS เปิดหน้า →สูตร W1, W2, … V∠φ6.14 พื้นฐานเฟสเซอร์: เวกเตอร์หมุน สูตรออยเลอร์ จำนวนเชิงซ้อน และการบวกไซน์ด้วยเวกเตอร์ Phasor fundamentals เฟสเซอร์คือลูกศรหมุนที่หยุดไว้ที่ t = 0 สูตรออยเลอร์ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและเชิงขั้ว บวก คูณ หาร อนุพันธ์เป็น jω และการบวกไซน์ความถี่เดียวกันด้วยกฎโคไซน์ เปิดหน้า →สูตร H1, H2, … Z6.15 วิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: อิมพีแดนซ์ KVL KCL เชิงเวกเตอร์ แผนภาพเฟสเซอร์ กำลัง และเรโซแนนซ์ AC circuit analysis with phasors อิมพีแดนซ์ R jX_L −jX_C วงจรอนุกรม ขนาน และผสม KVL/KCL เป็นการบวกเวกเตอร์ แผนภาพเฟสเซอร์ กำลังเชิงซ้อน S = VI* การแก้ PF เรโซแนนซ์ และ nodal analysis เปิดหน้า →สูตร Z1, Z2, … ส่วนที่ 5 ### ห้องแล็บและเครื่องมือ Labs & Tools สตูดิโอเวกเตอร์ 3 มิติ แล็บกลศาสตร์แบบฟิสิกส์ 1 แล็บสนามแบบฟิสิกส์ 2 แล็บวงจร AC และเครื่องมือระดับโลก ↗6.16 สตูดิโอเวกเตอร์ 2D/3D: วาด หมุนแกน วิเคราะห์ และส่งออกไป GeoGebra MATLAB Python Vector Studio 2D/3D หมุนมุมมอง 3 มิติด้วยการลาก มุมมอง xy xz yz ผลรวม หัวต่อหาง กล่ององค์ประกอบ มุม α β γ projection cross กรอบหมุนมุมออยเลอร์ และเครื่องคิดเลขเวกเตอร์เดิม เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ 3 มิติ ⚖6.17 แล็บกลศาสตร์เสมือน (ฟิสิกส์ 1): โต๊ะแรง สามเหลี่ยมแรง เชือกแขวน พื้นเอียง คาน และแขนกล Virtual mechanics lab (Physics 1) ทดลองโต๊ะแรงหาแรงสมดุลพร้อม %error กฎไซน์-โคไซน์ ทฤษฎีลามี พื้นเอียงกับแรงเสียดทาน ระบบแรงบนคาน และแขนกล พร้อมใบงานแบบรายงานแล็บ เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ + ใบงาน E6.18 แล็บสนามไฟฟ้าและแม่เหล็กเสมือน (ฟิสิกส์ 2): ประจุจุด เส้นแรง ศักย์ ลวดตัวนำ และแรงลอเรนซ์ Virtual electric & magnetic field lab (Physics 2) ลากประจุแล้วเห็นเวกเตอร์สนาม เส้นแรง เส้นศักย์เท่า และการซ้อนทับที่จุด P สนามจากลวดตรง แรงระหว่างลวด และอนุภาคในสนาม E กับ B เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ + ใบงาน ∠6.19 แล็บวงจรไฟฟ้ากระแสสลับเสมือน: เฟสเซอร์หมุน บวกไซน์ วงจร RLC และเครื่องคิดเลขจำนวนเชิงซ้อน Virtual AC circuit lab เฟสเซอร์หมุนกับรูปคลื่น บวกไซน์ด้วยเวกเตอร์ วงจร RLC อนุกรม ขนาน และแก้ PF พร้อมแผนภาพเฟสเซอร์ สามเหลี่ยมกำลัง ผลตอบสนองเชิงความถี่ และเครื่องคิดเลขเชิงซ้อน เปิดหน้า →แล็บโต้ตอบ + ใบงาน ⊕6.20 เครื่องมือระดับโลกสำหรับเวกเตอร์ สนาม และวงจร AC: PhET GeoGebra Falstad MATLAB Python World-class vector tools เปิดซิมูเลชัน PhET GeoGebra 3D และ Falstad ในหน้าเดียว วิธีใช้ให้ได้ผลกับบทเรียน ส่งออกเวกเตอร์ไป GeoGebra MATLAB Python และตารางเลือกเครื่องมือ เปิดหน้า →ฝังเครื่องมือจริง + วิธีใช้ ## เลือกเครื่องมือให้ตรงกับคำถาม | คำถาม | เครื่องมือ | ชนิดคำตอบ | | สองแรงรวมกันได้เท่าไร ชี้ไปไหน? | กฎโคไซน์ + กฎไซน์ | ขนาด (N) และมุม | | แรงหลายแรงในสามมิติรวมเป็นเท่าไร? | องค์ประกอบ + ทิศทางโคไซน์ | เวกเตอร์ R และ α β γ | | แรงส่วนที่ดึงตามราง/ตามแนวมีเท่าใด? | Projection หรือ แตกแรงตามแนวเฉียง | สเกลาร์มีเครื่องหมาย / เวกเตอร์ | | สองทิศทำมุมกันเท่าใด? แรงทำงานเท่าใด? | Dot product | มุม / งาน (J) | | แรงทำให้หมุนรอบจุด/แกนเท่าใด? | M = r × F, u·(r × F) | โมเมนต์ (N·m) | | เวกเตอร์เดียวกันในกรอบที่เอียงคือเท่าไร? | เมทริกซ์หมุน | องค์ประกอบใหม่ | | ปลายแขนกลอยู่ที่ไหน มอเตอร์ต้องแรงแค่ไหน? | FK/IK, τ = JᵀF | ตำแหน่ง / แรงบิดข้อต่อ | | ประจุหรือลวดได้แรงเท่าไร? | คูลอมบ์, q v × B, I L × B | เวกเตอร์แรง (N) | | แรงดัน/กระแส AC สองตัวรวมกันได้เท่าไร? | เฟสเซอร์ | ขนาดและมุมเฟส | | วงจร RLC กินกระแสเท่าไร PF เท่าไร? | อิมพีแดนซ์ + S = VI* | I, P, Q, PF | ## ห้องแล็บและเครื่องมือ สตูดิโอ 3 มิติ ### สตูดิโอเวกเตอร์ 2D / 3D หมุนแกน ผลรวม α β γ projection cross กรอบหมุน ส่งออก GeoGebra MATLAB Python ฟิสิกส์ 1 · 6 การทดลอง ### แล็บกลศาสตร์เสมือน โต๊ะแรง กฎไซน์-โคไซน์ เชือกแขวน พื้นเอียง คาน แขนกล พร้อมใบงาน ฟิสิกส์ 2 · 8 การทดลอง ### แล็บสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก ลากประจุ เส้นแรง ศักย์ ซ้อนทับ ลวดตัวนำ แรงลอเรนซ์ วงจรไฟฟ้า · 6 การทดลอง ### แล็บวงจร AC เฟสเซอร์หมุน บวกไซน์ RLC เรโซแนนซ์ แก้ PF เครื่องคิดเลขเชิงซ้อน ระดับโลก ### PhET · GeoGebra · Falstad เปิดซิมูเลชันชั้นนำในหน้าเดียว พร้อมภารกิจที่ตรงกับบทเรียน ## ดัชนีสูตรที่ค้นหาและอ้างอิงได้ รหัส F พื้นฐาน · V การดำเนินการ · P องค์ประกอบ/การฉาย · K ทิศทางโคไซน์ · D Dot · C Cross · R แรงลัพธ์ · S ระบบแรง · T หมุนแกน · A แขนกล · E งานวิศวกรรม · M สนาม · W ไซน์ · H เฟสเซอร์ · Z วงจร AC คลิกสูตรเพื่ออ่านเงื่อนไขและตัวอย่างเต็ม ## วิธีตรวจคำตอบที่ใช้ได้ทุกบท - วาดก่อนคำนวณ — ลูกศรคร่าว ๆ บอกเครื่องหมายขององค์ประกอบและควอดแรนต์ล่วงหน้า - สองวิธีต้องตรงกัน — ตรีโกณมิติ (กฎไซน์-โคไซน์) กับองค์ประกอบ หรือรูปเชิงขั้วกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก - ตรวจขอบเขต — $|F_1-F_2|\le R\le F_1+F_2$, $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$, $\det R=1$ - ตรวจหน่วย — โมเมนต์ N·m, งาน J, สนาม N/C หรือ T, กำลัง W var VA - ตรวจด้วยแล็บ — ทุกตัวอย่างในชุดนี้ตั้งค่าในแล็บได้ ตัวเลขต้องตรงกัน ## เอกสารค้นคว้าต่อ - OpenStax Calculus Volume 3 บทที่ 2: Vectors in Space - OpenStax University Physics Vol. 1 บทที่ 2 Vectors และบทที่ 12 Static Equilibrium - OpenStax University Physics Vol. 2 บทที่ 5, 11, 15: สนามไฟฟ้า แรงแม่เหล็ก วงจร AC - Engineering Statics: Open and Interactive · Modern Robotics - คู่มือและสรุปสูตรแบบ Markdown สำหรับอ่าน ค้นคว้า และผู้ช่วย AI ## ต่อยอดจากเวกเตอร์ เขียนเวกเตอร์เป็นคอลัมน์แล้วต่อยอดสู่ พีชคณิตเชิงเส้น สมการสมดุลหลายตัวแปรแก้ด้วย ระบบสมการเชิงเส้น เฟสเซอร์ต่อยอดสู่ เพาเวอร์แฟกเตอร์ และ ระบบสามเฟส ส่วนแขนกลต่อยอดสู่ ระบบควบคุมหุ่นยนต์ ## คำถามที่พบบ่อย ควรเริ่มเรียนเวกเตอร์จากตรงไหน? เริ่มที่พื้นฐาน 2D/3D การบวกลบ และองค์ประกอบ แล้วเลือกเส้นทางตามสาขา: สายกลศาสตร์ไปต่อทิศทางโคไซน์ แรงลัพธ์ ระบบแรง และแขนกล สายไฟฟ้าไปต่อ Dot/Cross สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก sin/cos เฟสเซอร์ และวงจร AC ทุกหน้ามีแล็บให้ทดลองควบคู่ เวกเตอร์เกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับอย่างไร? สัญญาณไซน์ความถี่เดียวกันแทนได้ด้วยเวกเตอร์สองมิติที่เรียกว่าเฟสเซอร์ การบวกแรงดันหรือกระแส AC จึงเป็นการบวกเวกเตอร์ ใช้กฎโคไซน์เดียวกับการหาแรงลัพธ์ KVL และ KCL ของวงจร AC คือรูปหลายเหลี่ยมเวกเตอร์ที่ปิด แล็บ 3 มิติใช้อย่างไร? ลากบนภาพเพื่อหมุนมุมมอง กดปุ่ม xy xz yz เพื่อมองจากบน หน้า ข้าง ปุ่ม ⟳ หมุนอัตโนมัติ และปรับแถบเลื่อนเพื่อเปลี่ยนค่า ตัวเลขด้านข้างแสดงวิธีคำนวณทีละขั้น สตูดิโอเวกเตอร์ยังส่งออกคำสั่งไป GeoGebra MATLAB และ Python ได้ Dot product กับ Cross product เลือกใช้อย่างไร? Dot product ให้สเกลาร์ ใช้หามุม งาน การฉาย และฟลักซ์ ส่วน Cross product ในสามมิติให้เวกเตอร์ตั้งฉาก ใช้หาพื้นที่ โมเมนต์ แรงแม่เหล็ก F = IL × B และแรงบิดของมอเตอร์ τ = m × B มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **ควรเริ่มเรียนเวกเตอร์จากตรงไหน?** เริ่มที่พื้นฐาน 2D/3D การบวกลบ และองค์ประกอบ แล้วเลือกเส้นทางตามสาขา: สายกลศาสตร์ไปต่อทิศทางโคไซน์ แรงลัพธ์ ระบบแรง และแขนกล สายไฟฟ้าไปต่อ Dot/Cross สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก sin/cos เฟสเซอร์ และวงจร AC ทุกหน้ามีแล็บให้ทดลองควบคู่ **เวกเตอร์เกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับอย่างไร?** สัญญาณไซน์ความถี่เดียวกันแทนได้ด้วยเวกเตอร์สองมิติที่เรียกว่าเฟสเซอร์ การบวกแรงดันหรือกระแส AC จึงเป็นการบวกเวกเตอร์ ใช้กฎโคไซน์เดียวกับการหาแรงลัพธ์ KVL และ KCL ของวงจร AC คือรูปหลายเหลี่ยมเวกเตอร์ที่ปิด **แล็บ 3 มิติใช้อย่างไร?** ลากบนภาพเพื่อหมุนมุมมอง กดปุ่ม xy xz yz เพื่อมองจากบน หน้า ข้าง ปุ่ม ⟳ หมุนอัตโนมัติ และปรับแถบเลื่อนเพื่อเปลี่ยนค่า ตัวเลขด้านข้างแสดงวิธีคำนวณทีละขั้น สตูดิโอเวกเตอร์ยังส่งออกคำสั่งไป GeoGebra MATLAB และ Python ได้ **Dot product กับ Cross product เลือกใช้อย่างไร?** Dot product ให้สเกลาร์ ใช้หามุม งาน การฉาย และฟลักซ์ ส่วน Cross product ในสามมิติให้เวกเตอร์ตั้งฉาก ใช้หาพื้นที่ โมเมนต์ แรงแม่เหล็ก F = IL × B และแรงบิดของมอเตอร์ τ = m × B