---
title: "พื้นฐานเวกเตอร์ 2D และ 3D: ขนาด ทิศทาง และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/foundations/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-13
---

> เข้าใจเวกเตอร์ตั้งแต่สเกลาร์กับเวกเตอร์ พิกัด 2D/3D เวกเตอร์จากสองจุด ความยาว มุม atan2 เวกเตอร์หนึ่งหน่วย และ direction cosines พร้อมภาพ ตัวอย่างแรงในสายเคเบิล สูตรอ้างอิง และแบบฝึกเฉลย

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/foundations/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# พื้นฐานเวกเตอร์ 2D และ 3D: ขนาด ทิศทาง และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 1 · Vector foundations


ลูกศรหนึ่งเส้นบอกได้ทั้ง “เท่าไร” และ “ไปทางไหน” เมื่อเขียนลูกศรเป็นองค์ประกอบตามแกน เราจะคำนวณแรง การเคลื่อนที่ และตำแหน่งของหุ่นยนต์ได้ด้วยพีชคณิต หน้านี้เริ่มจากภาพที่มองเห็น แล้วค่อยเชื่อมสู่สูตร 2 มิติและ 3 มิติ พร้อมตัวอย่างที่ระบุหน่วยและตรวจคำตอบได้ทุกขั้น

สรุปใน 30 วินาที

- เวกเตอร์มีขนาดและทิศทาง เขียนใน 2D เป็น $(a_x,a_y)$ และใน 3D เป็น $(a_x,a_y,a_z)$ เมื่อเลือกแกนแล้ว

- ลูกศรจาก $A$ ไป $B$ คือ “พิกัดปลายลบพิกัดต้น” $\overrightarrow{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A$

- ในแกนฉากมาตรฐาน $\|\mathbf a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ และ $\hat{\mathbf a}=\mathbf a/\|\mathbf a\|$ เมื่อ $\mathbf a\ne\mathbf0$

- องค์ประกอบอาจติดลบ แต่ขนาดไม่ติดลบ ส่วนเวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทาง

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรม

## 1. สเกลาร์กับเวกเตอร์: ตัวเลขเดียวเพียงพอหรือยัง? พื้นฐาน

ถ้าบอกว่า “มอเตอร์หนัก 8 kg” เราทราบมวลครบแล้ว แต่ถ้าบอกว่า “ออกแรง 80 N” เรายังไม่ทราบว่าจะดึงไปซ้าย ขวา หรือขึ้นบน ข้อมูลทิศทางทำให้ปริมาณสองชนิดนี้ต่างกัน สเกลาร์ (scalar) มีค่าตัวเลขและหน่วย ส่วนเวกเตอร์ (vector) มีขนาด ทิศทาง และหน่วยตามปริมาณที่แทน

| ปริมาณสเกลาร์ | ปริมาณเวกเตอร์ | ความต่างที่ต้องระวัง |

| ระยะทาง 10 m | การกระจัด 10 m ไปทางตะวันออก | เดินอ้อมกลับจุดเดิมได้ระยะทางเพิ่ม แต่การกระจัดเป็นศูนย์ |

| อัตราเร็ว 5 m/s | ความเร็ว $(3,4)$ m/s | อัตราเร็วคือขนาดของเวกเตอร์ความเร็ว |

| มวล 2 kg | แรงโน้มถ่วง $(0,-19.62)$ N | ตัวอย่างเลือกแกน $+y$ ขึ้น และ $g=9.81$ m/s² |

| พลังงาน 20 J | แรง 20 N ไปทาง $+x$ | พลังงานกับแรงมีชนิดและหน่วยต่างกัน จึงนำมาบวกกันไม่ได้ |

สเกลาร์อาจติดลบได้ เช่น อุณหภูมิหรือประจุไฟฟ้า จึงไม่ควรใช้เครื่องหมายบวก/ลบตัดสินว่าเป็นสเกลาร์หรือเวกเตอร์ ในบทนี้ใช้ $\mathbf a$ หรือ $\vec a$ แทนเวกเตอร์ และใช้ $a$ หรือ $\|\mathbf a\|$ แทนขนาดเมื่อระบุชัดเจน

ขอบเขตที่ใช้ในบทเรียนเราศึกษาเวกเตอร์จริงในปริภูมิยูคลิดและแกนพิกัดฉากที่มีเวกเตอร์ฐานความยาว 1 สูตรผลรวมกำลังสองและองค์ประกอบตามแกนในหน้านี้ใช้กับฐานตั้งฉากมาตรฐาน ถ้าใช้ฐานเอียง ต้องรวมผลคูณระหว่างเวกเตอร์ฐานด้วย

## 2. เขียนลูกศรเป็นองค์ประกอบใน 2D และ 3D พื้นฐาน

เลือกจุดกำเนิดและทิศบวกของแกนก่อน แล้วถามว่าลูกศรพาเราเคลื่อนไปตามแกนแต่ละแกนเท่าไร ตัวอย่าง $(3,2)$ หมายถึงไปทาง $+x$ 3 หน่วยและทาง $+y$ 2 หน่วย สองตัวเลขนี้เป็นองค์ประกอบ (components) ของเวกเตอร์ ไม่ใช่ความยาวของลูกศรสองเส้นที่ต้องบวกกันเพื่อให้ได้ขนาด

องค์ประกอบ $a_x,a_y$ คือระยะที่มีเครื่องหมายตามแกน ส่วน $\|\mathbf a\|$ คือความยาวของลูกศรทแยง

F1 Cartesian vector representation รูปองค์ประกอบในแกนฉาก

$$\mathbf a=(a_x,a_y)=a_x\hat{\mathbf i}+a_y\hat{\mathbf j},\qquad \mathbf a=(a_x,a_y,a_z)=a_x\hat{\mathbf i}+a_y\hat{\mathbf j}+a_z\hat{\mathbf k}$$

$\hat{\mathbf i}=(1,0,0)$, $\hat{\mathbf j}=(0,1,0)$, $\hat{\mathbf k}=(0,0,1)$ เป็นเวกเตอร์ฐานหนึ่งหน่วย หลายตำราเขียน $\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$ โดยละหมวก ทั้งสามตัวตั้งฉากกัน

F2 Equality and the zero vector ความเท่ากันและเวกเตอร์ศูนย์

$$\mathbf a=\mathbf b\iff a_x=b_x,\ a_y=b_y,\ a_z=b_z;\qquad \mathbf0=(0,0,0)$$

ใช้เมื่อเขียนในฐานเดียวกันและมีมิติเท่ากัน ใน 2D ตัดองค์ประกอบ $z$ ออก เวกเตอร์ศูนย์มีขนาด 0 และไม่มีทิศทางเฉพาะ

F3 Column-vector notation เวกเตอร์ในรูปเมทริกซ์หลัก

$$\mathbf a=\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix},\qquad \mathbf a^T=\begin{pmatrix}a_x&a_y&a_z\end{pmatrix}$$

วงเล็บ $(a_x,a_y,a_z)$ ในบทเรียนเป็นการระบุองค์ประกอบ เมื่อต้องคูณเมทริกซ์จะใช้เวกเตอร์หลักให้ขนาดสอดคล้องกัน ดู เมทริกซ์และการดำเนินการ

ใน 3D เพิ่มแกน $z$ ขึ้นมา ระบบมือขวากำหนดให้เมื่อหมุนจาก $+x$ ไป $+y$ ตามมุมเล็กกว่า 180° นิ้วหัวแม่มือชี้ $+z$ การวาดบนกระดาษเป็นภาพฉาย จึงอย่าวัดความยาวจริงหรือมุมจริงจากภาพเอียงด้วยไม้บรรทัด ให้ใช้พิกัดคำนวณ

การมีองค์ประกอบ 3 ตัวไม่ได้เปลี่ยนหลักการ: อ่านการเปลี่ยนแปลงตามแต่ละแกน และใช้พีทาโกรัสในสามมิติ

## 3. จุด ตำแหน่ง และเวกเตอร์จากสองจุด พื้นฐาน

จุดบอกว่าอยู่ที่ไหน ส่วนเวกเตอร์การกระจัดบอกว่าต้องย้ายจากจุดหนึ่งไปอีกจุดอย่างไร เมื่อเลือกจุดกำเนิด $O$ จุด $A$ จึงมีเวกเตอร์ตำแหน่ง $\mathbf r_A=\overrightarrow{OA}$ ถ้าเปลี่ยนจุดกำเนิด ตำแหน่งเปลี่ยนได้ แต่การกระจัดระหว่างจุดเดิมไม่เปลี่ยน ตราบใดที่ยังใช้ทิศแกนและหน่วยเดิม

F4 Vector between two points เวกเตอร์จากจุด A ไปจุด B

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A=(x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A),\qquad \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$$

จำว่า “ปลายลบต้น” การสลับต้นกับปลายเปลี่ยนทิศและเครื่องหมาย แต่ไม่เปลี่ยนความยาว ใน 2D ใช้เพียง $x,y$

เวกเตอร์อิสระ (free vector) สองตัวเท่ากันถ้ามีขนาดและทิศทางเท่ากัน แม้เริ่มลูกศรที่คนละจุด แต่แรงในกลศาสตร์มีจุดกระทำ: ย้ายแรงไปอีกเส้นแนวแรงอาจเปลี่ยนโมเมนต์ต่อวัตถุ แม้องค์ประกอบแรงจะเหมือนเดิม ประเด็นนี้สำคัญใน cross product และโมเมนต์

ตัวอย่าง F-1 · การกระจัดบนโต๊ะทดลอง

### หัววัดย้ายจาก $A=(-2,1)$ cm ไป $B=(4,-3)$ cm จงหาเวกเตอร์การกระจัดและระยะตรงระหว่างจุด

- ใช้ปลายลบต้นตาม F4: $\overrightarrow{AB}=(4-(-2),-3-1)=(6,-4)$ cm

- เครื่องหมายหมายถึงไปขวา 6 cm และลง 4 cm ส่วนระยะตรงใช้พีทาโกรัส: $\sqrt{6^2+(-4)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ cm

- ตรวจทิศกลับ: $\overrightarrow{BA}=(-6,4)$ cm มีความยาวเท่าเดิม ถ้าหัววัดเดินอ้อม ระยะทางที่เดินจริงอาจมากกว่าระยะตรงนี้

การกระจัด $(6,-4)$ cm · ระยะตรง $2\sqrt{13}\approx7.211$ cm

## 4. ขนาดเวกเตอร์: พีทาโกรัสจากสองแกนสู่สามแกน พื้นฐาน

ใน 2D องค์ประกอบตั้งฉากกันจึงสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากได้ ใน 3D หาความยาวเงาบนระนาบ $xy$ ก่อนเป็น $\rho=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ แล้วประกอบกับแกน $z$ อีกครั้ง: $\|\mathbf a\|=\sqrt{\rho^2+a_z^2}$ จึงได้ผลรวมกำลังสองสามตัว ขนาดหรือ Euclidean norm เป็นสเกลาร์และมีหน่วยเดียวกับองค์ประกอบ

F5 Euclidean magnitude ขนาดของเวกเตอร์ 2D/3D

$$\|\mathbf a\|_{2D}=\sqrt{a_x^2+a_y^2},\qquad \|\mathbf a\|_{3D}=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\ge0$$

$\|\mathbf a\|=0\iff\mathbf a=\mathbf0$ · การยกกำลังสองต้องรวมวงเล็บเครื่องหมายลบ เช่น $(-4)^2=16$

F6 Distance between points ระยะตรงระหว่างจุด

$$d(A,B)=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$$

ต้องแปลงพิกัดทุกแกนให้มีหน่วยเดียวกันก่อน คำนวณจากพิกัดในกรอบเดียวกัน และค่อยเปลี่ยนหน่วยคำตอบ

ตัวอย่าง F-2 · ระยะเคลื่อนที่ของแขนหุ่นยนต์สามแกน

### ปลายแขนย้ายจาก $A=(0.2,-0.1,0.5)$ m ไป $B=(0.5,0.3,1.7)$ m จงหาการกระจัดและระยะตรง

- พิกัดใช้เมตรทั้งหมด: $\overrightarrow{AB}=(0.5-0.2,0.3-(-0.1),1.7-0.5)=(0.3,0.4,1.2)$ m

- หาความยาวเงาบนพื้น $xy$: $\rho=\sqrt{0.3^2+0.4^2}=0.5$ m

- รวมความสูง: $d=\sqrt{0.5^2+1.2^2}=\sqrt{1.69}=1.3$ m ซึ่งมากกว่าการกระจัดตามแต่ละแกน

การกระจัด $(0.3,0.4,1.2)$ m · ระยะตรง $1.3$ m · ระยะทางจริงขึ้นกับเส้นทางเคลื่อนที่

## 5. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย: แยกขนาดออกจากทิศทาง พื้นฐาน

ถ้ารู้ว่ามีแรงตึง 500 N แต่ต้องการรู้แต่ละองค์ประกอบ เราต้องมีตัวแทนทิศทางที่ไม่เพิ่มขนาดแรง เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) ทำหน้าที่นี้: หารทุกองค์ประกอบด้วยความยาวเวกเตอร์เดิม จึงได้เวกเตอร์ทิศเดิมยาว 1 กระบวนการนี้เรียก normalization

F7 Normalization เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศเดียวกัน

$$\hat{\mathbf a}=\frac{\mathbf a}{\|\mathbf a\|},\qquad \|\hat{\mathbf a}\|=1,\qquad \mathbf a\ne\mathbf0$$

หารทุกองค์ประกอบด้วยค่าบวกเดียวกัน เวกเตอร์หนึ่งหน่วยไม่มีหน่วยทางกายภาพ เพราะหน่วยตัวเศษกับตัวส่วนตัดกัน

F8 Magnitude times direction สร้างเวกเตอร์จากขนาดและทิศ

$$\mathbf F=F\hat{\mathbf u},\qquad F=\|\mathbf F\|\ge0,\quad\|\hat{\mathbf u}\|=1$$

$F$ บอกขนาดแรง หน่วย N และ $\hat{\mathbf u}$ บอกทิศ ถ้าสเกลาร์ติดลบ ผลลัพธ์จะกลับทิศจาก $\hat{\mathbf u}$

ตัวอย่าง F-3 · แรงตึงสายเคเบิล 3D

### สายเคเบิลดึงจุด $A=(1,2,0)$ m ไปหา $B=(3,5,6)$ m ด้วยแรงตึง 700 N จงหาเวกเตอร์แรงที่กระทำต่อ A

- แรงที่จุด A ดึงเข้าหา B จึงใช้ $\mathbf d=\overrightarrow{AB}=(2,3,6)$ m ไม่ใช้ $\overrightarrow{BA}$

- ความยาวสาย $\|\mathbf d\|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{49}=7$ m

- หาเวกเตอร์ทิศ $\hat{\mathbf u}_{AB}=(2/7,3/7,6/7)$ ตรวจ $(2/7)^2+(3/7)^2+(6/7)^2=1$

- คูณด้วยขนาดแรง: $\mathbf F_A=700\hat{\mathbf u}_{AB}=(200,300,600)$ N ตรวจ $\sqrt{200^2+300^2+600^2}=700$ N

$\mathbf F_A=(200,300,600)$ N · แรงจากสายที่จุด B มีทิศตรงข้าม $(-200,-300,-600)$ N สำหรับสายเส้นเดียวกันที่ตึงและไม่มีแรงภายนอกตามแนวสาย

เวกเตอร์ศูนย์ห้าม normalize$\mathbf0/\|\mathbf0\|$ เป็นการหารด้วยศูนย์ ถ้าเซนเซอร์รายงานการกระจัดศูนย์ ต้องระบุว่า “ไม่มีการกระจัดและไม่กำหนดทิศทาง” ในโปรแกรมให้ตรวจขนาดก่อนหาร หากขนาดใกล้ศูนย์เทียบกับความละเอียดของเครื่องมือ ทิศที่คำนวณอาจไวต่อสัญญาณรบกวนมาก

## 6. มุมทิศทางใน 2D และ direction cosines ใน 3D กลาง

ใน 2D ใช้มุมเดียวได้เมื่อกำหนดวัดจากแกน $+x$ ทวนเข็มนาฬิกา ใน 3D เวกเตอร์มีอิสระด้านทิศทางสองตัว เราอาจใช้มุมแนวราบกับมุมเงย หรือใช้มุมกับแกนทั้งสามซึ่งมีเงื่อนไขสัมพันธ์กัน หน้านี้ใช้มุมกับแกน $+x,+y,+z$ เป็น $\alpha,\beta,\gamma$

F9 Two-dimensional direction ขนาดและมุมใน 2D

$$a_x=a\cos\theta,\qquad a_y=a\sin\theta,\qquad \theta=\operatorname{atan2}(a_y,a_x),\qquad a=\|\mathbf a\|>0$$

สูตรคอมพิวเตอร์โดยทั่วไปเรียงอาร์กิวเมนต์ $y,x$ แต่ควรตรวจเอกสารของเครื่องมือที่ใช้ ผลลัพธ์มักอยู่ใน $(-\pi,\pi]$; ถ้าต้องการ $[0,2\pi)$ ให้บวก $2\pi$ เมื่อมุมติดลบ ใช้หน่วยเรเดียนหรือองศาให้ตรงกับโหมดเครื่องคิดเลข

F10 Direction cosines โคไซน์ทิศทางในสามมิติ

$$\cos\alpha=\frac{a_x}{\|\mathbf a\|},\qquad \cos\beta=\frac{a_y}{\|\mathbf a\|},\qquad \cos\gamma=\frac{a_z}{\|\mathbf a\|},\qquad \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$$

ใช้เมื่อ $\mathbf a\ne\mathbf0$ มุมทั้งสามอยู่ในช่วง 0° ถึง 180° องค์ประกอบติดลบหมายถึงมุมกับแกนนั้นมากกว่า 90° ผลรวมของมุมทั้งสามไม่จำเป็นต้องเท่ากับ 180°

ตัวอย่าง F-4 · เลือกควอดแรนต์ให้ถูก

### แรง $\mathbf F=(-30,40)$ N มีขนาดและมุมจากแกน +x เท่าไร?

- ขนาด $F=\sqrt{(-30)^2+40^2}=50$ N

- $F_x<0,F_y>0$ จึงอยู่ควอดแรนต์ II คำตอบมุมต้องอยู่ระหว่าง 90° และ 180°

- ใช้ $\operatorname{atan2}(40,-30)\approx126.870^\circ$ ถ้าใช้ $\arctan(40/(-30))$ จะได้ $-53.130^\circ$ ซึ่งผิดควอดแรนต์ ต้องปรับเพิ่ม 180°

- ตรวจกลับ $50\cos126.870^\circ\approx-30$ N และ $50\sin126.870^\circ\approx40$ N เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคือ $(-0.6,0.8)$

ขนาด 50 N · มุม $126.870^\circ$ จาก +x ทวนเข็มนาฬิกา · ทิศ $(-0.6,0.8)$

ตัวอย่าง F-5 · มุมของสายเคเบิลกับแต่ละแกน

### สำหรับทิศ $\mathbf d=(2,3,6)$ จงหา direction cosines และมุมกับแกน

- $\|\mathbf d\|=7$ จึงได้ $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=(2/7,3/7,6/7)$

- ตั้งเครื่องคิดเลขเป็นองศา: $\alpha=\cos^{-1}(2/7)\approx73.398^\circ$, $\beta\approx64.623^\circ$, $\gamma\approx31.003^\circ$

- ตรวจผลรวมกำลังสอง $4/49+9/49+36/49=1$ ส่วนแกน $z$ มีองค์ประกอบมากที่สุด จึงทำมุมเล็กที่สุดกับเวกเตอร์

มุมกับแกน $+x,+y,+z$ ประมาณ $73.398^\circ,64.623^\circ,31.003^\circ$ ตามลำดับ

ไปให้ลึกกว่านี้: ทิศทางโคไซน์และการแตกแรงสามมิติมุม α β γ เอกลักษณ์ cos²α + cos²β + cos²γ = 1 การแตกแรงสองขั้นด้วยมุมราบ-มุมเงย และแรงตามแนวสายเคเบิล อยู่ในบท ทิศทางโคไซน์ ลองลากหมุนฉากด้านล่างเพื่อเห็นมุมทั้งสามจริง ๆ

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 7. อ่านเวกเตอร์ในงานวิศวกรรมอย่างมีความหมาย

ก่อนแทนสูตรให้เขียนว่าเวกเตอร์แทนปริมาณอะไร ใช้แกนของใคร และหน่วยอะไร ตัวอย่าง $\mathbf v=(3,4)$ m/s หมายถึงความเร็วตามแกน $x,y$ เป็น 3 และ 4 m/s ส่วนอัตราเร็วเป็น 5 m/s ถ้าเขียน $\mathbf F=(3,4)$ N ตัวเลขเหมือนกันแต่แทนแรง และนำไปใช้ในกฎของนิวตัน การมีรูปองค์ประกอบเหมือนกันไม่ได้ทำให้ปริมาณต่างชนิดบวกกันได้

ข้อมูลจาก IMU หรือแรงที่วัดบนชิ้นงานมักอยู่ในกรอบแกนของเซนเซอร์ ส่วนแบบ CAD และแขนหุ่นยนต์อาจอยู่ในกรอบโลก ต้องแปลงสู่กรอบเดียวกันก่อนเปรียบเทียบหรือรวมเวกเตอร์ ดูวิธีแตกแรง เปลี่ยนฐาน และฉายในหน้า องค์ประกอบและ projection

กระบวนการสั้นที่ใช้ได้กับทุกโจทย์
- กำหนดกรอบแกน ทิศบวก และหน่วย
- วาดลูกศรพร้อมจุดต้นและปลายเมื่อเป็นการกระจัด
- เขียนองค์ประกอบพร้อมเครื่องหมาย
- คำนวณขนาดหรือทิศโดยใช้สูตรที่ตรงกับคำถาม
- ตรวจหน่วย ควอดแรนต์ และขนาดว่าตรงกับภาพหรือไม่

## 8. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

| สิ่งที่มักทำผิด | วิธีแก้และตรวจ |

| ใช้ $a_x+a_y$ เป็นขนาด | ใช้ $\sqrt{a_x^2+a_y^2}$; ตัวอย่าง $(3,4)$ ยาว 5 ไม่ใช่ 7 |

| สลับปลายลบต้น | $\overrightarrow{AB}=B-A$; ดูว่าลูกศรชี้เข้า B หรือไม่ |

| ให้ขนาดติดลบเพราะองค์ประกอบติดลบ | ขนาดไม่ติดลบ เช่น $(-3,0)$ มีขนาด 3 |

| ใช้ arctan อัตราส่วนแล้วไม่ดูควอดแรนต์ | ใช้ atan2 และตรวจเครื่องหมายทั้งสองแกน |

| หารด้วยขนาดของเวกเตอร์ศูนย์ | หยุดและระบุว่าทิศไม่กำหนด |

| บวกพิกัด cm กับ m โดยตรง | แปลงหน่วยก่อน เช่น 20 cm = 0.20 m |

| อ่านมุมจากภาพ 3D ที่วาดเอียง | ใช้ direction cosines จากองค์ประกอบจริง |

## 9. สรุปสูตรพร้อมเงื่อนไข

| ต้องการหา | สูตร | เงื่อนไข/ลิงก์ |

| เวกเตอร์จากสองจุด | $\overrightarrow{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A$ | กรอบเดียวกัน · F4 |

| ขนาด | $\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ | ฐานตั้งฉากหนึ่งหน่วย · F5 |

| เวกเตอร์หนึ่งหน่วย | $\hat{\mathbf a}=\mathbf a/\|\mathbf a\|$ | $\mathbf a\ne\mathbf0$ · F7 |

| แรงจากขนาดและทิศ | $\mathbf F=F\hat{\mathbf u}$ | $\|\hat{\mathbf u}\|=1$ · F8 |

| องค์ประกอบ 2D จากมุม | $(a\cos\theta,a\sin\theta)$ | วัดมุมจาก +x · F9 |

| มุม 2D จากองค์ประกอบ | $\operatorname{atan2}(a_y,a_x)$ | เวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ · F9 |

| โคไซน์ทิศทาง 3D | $(a_x,a_y,a_z)/\|\mathbf a\|$ | ผลรวมกำลังสอง = 1 · F10 |

## 10. แบบฝึกสั้น พร้อมเฉลยที่ตรวจเองได้

- ให้ $\mathbf a=(-6,8)$ mm จงหาขนาดและเวกเตอร์หนึ่งหน่วย
- ให้ $P=(2,-1,4)$, $Q=(-1,3,4)$ m จงหา $\overrightarrow{PQ}$ และระยะห่าง
- แรงขนาด 20 N ทำมุม 150° จาก +x จงหาองค์ประกอบ
- เวกเตอร์ $(0,0,0)$ มีเวกเตอร์หนึ่งหน่วยหรือไม่? เพราะอะไร?

เปิดเฉลยและวิธีตรวจ

- $\|\mathbf a\|=\sqrt{36+64}=10$ mm; $\hat{\mathbf a}=(-0.6,0.8)$ และ $0.36+0.64=1$

- $\overrightarrow{PQ}=(-1-2,3-(-1),4-4)=(-3,4,0)$ m; ระยะ $\sqrt{9+16}=5$ m

- $F_x=20\cos150^\circ=-10\sqrt3\approx-17.321$ N, $F_y=20\sin150^\circ=10$ N; อยู่ควอดแรนต์ II และขนาดกลับเป็น 20 N

- ไม่มีทิศทางเฉพาะและหารด้วยขนาด 0 ไม่ได้ จึง normalize ไม่ได้

ลองเปลี่ยนองค์ประกอบและอ่านผลจากภาพใน Vector Lab แล้วอธิบายด้วยคำของตนเองว่าทำไมลูกศรกลับทิศเมื่อเครื่องหมายเปลี่ยน

## 11. เอกสารอ้างอิงและเส้นทางเรียนต่อ

เนื้อหาเรียบเรียงตามนิยามเวกเตอร์ยูคลิดมาตรฐาน ตัวอย่างงานวิศวกรรมในหน้านี้เป็นตัวอย่างเพื่อการเรียนรู้โดยระบุพิกัดและสมมติฐานไว้ ไม่ใช่ข้อมูลการทดสอบเครื่องจักรเฉพาะรุ่น

- OpenStax, Calculus Volume 3, §2.1 Vectors in the Plane — องค์ประกอบ ขนาด การดำเนินการ และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใน 2D
- OpenStax, Calculus Volume 3, §2.2 Vectors in Three Dimensions — ระบบพิกัด 3D ระยะห่าง และเวกเตอร์ในปริภูมิ

ถัดไปฝึก บวก ลบ และคูณสเกลาร์ แล้วเชื่อมไป components และ projection, dot product, cross product และ การประยุกต์ทางวิศวกรรม ทุกหน้ามีสูตรและตัวอย่างของตนเอง โดยรวมค้นหาได้จาก หน้าหลักพีชคณิตเวกเตอร์

## คำถามที่พบบ่อย

เวกเตอร์ต่างจากสเกลาร์อย่างไร?
สเกลาร์ระบุด้วยตัวเลขและหน่วย เช่น มวล 5 kg ส่วนเวกเตอร์ต้องระบุขนาดและทิศทาง เช่น แรง 5 N ไปทางขวา ในระบบพิกัดฉากเขียนเวกเตอร์ด้วยองค์ประกอบ x, y และ z ได้

หาความยาวเวกเตอร์ 2D และ 3D อย่างไร?
ในแกนตั้งฉากที่มีเวกเตอร์ฐานหนึ่งหน่วย เวกเตอร์ 2D (ax, ay) มีความยาว sqrt(ax² + ay²) และเวกเตอร์ 3D (ax, ay, az) มีความยาว sqrt(ax² + ay² + az²)

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคืออะไร?
เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 1 ใช้ระบุทิศทาง ถ้าเวกเตอร์ a ไม่เป็นศูนย์ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศเดียวกันคือ a หารด้วยความยาวของ a เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทางจึงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยจากการหารไม่ได้

ทำไมใช้ atan2 แทน arctan(ay/ax)?
atan2 ตรวจเครื่องหมายของทั้ง ax และ ay จึงเลือกควอดแรนต์ถูกต้องและรองรับ ax เท่ากับศูนย์ ส่วน arctan ของอัตราส่วนอย่างเดียวแยกทิศทางที่ต่างกัน 180 องศาไม่ได้ เวกเตอร์ศูนย์ยังไม่มีมุมทิศทาง

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**เวกเตอร์ต่างจากสเกลาร์อย่างไร?**
สเกลาร์ระบุด้วยตัวเลขและหน่วย เช่น มวล 5 kg ส่วนเวกเตอร์ต้องระบุขนาดและทิศทาง เช่น แรง 5 N ไปทางขวา ในระบบพิกัดฉากเขียนเวกเตอร์ด้วยองค์ประกอบ x, y และ z ได้

**หาความยาวเวกเตอร์ 2D และ 3D อย่างไร?**
ในแกนตั้งฉากที่มีเวกเตอร์ฐานหนึ่งหน่วย เวกเตอร์ 2D (ax, ay) มีความยาว sqrt(ax² + ay²) และเวกเตอร์ 3D (ax, ay, az) มีความยาว sqrt(ax² + ay² + az²)

**เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคืออะไร?**
เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 1 ใช้ระบุทิศทาง ถ้าเวกเตอร์ a ไม่เป็นศูนย์ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศเดียวกันคือ a หารด้วยความยาวของ a เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทางจึงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยจากการหารไม่ได้

**ทำไมใช้ atan2 แทน arctan(ay/ax)?**
atan2 ตรวจเครื่องหมายของทั้ง ax และ ay จึงเลือกควอดแรนต์ถูกต้องและรองรับ ax เท่ากับศูนย์ ส่วน arctan ของอัตราส่วนอย่างเดียวแยกทิศทางที่ต่างกัน 180 องศาไม่ได้ เวกเตอร์ศูนย์ยังไม่มีมุมทิศทาง