--- title: "ระบบแรง: โมเมนต์ แรงคู่ควบ ระบบสมมูล และสมดุล" url: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/force-systems/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-13 --- > เรียนระบบแรงภาษาไทยแบบวิศวกร: ชนิดของระบบแรง โมเมนต์รอบจุด M = r × F และแบบสเกลาร์ Fd ทฤษฎีวาริยอง โมเมนต์รอบแกนด้วย triple product แรงคู่ควบ การย้ายแรงเป็นระบบแรง-แรงคู่ควบ ลดระบบเป็นแรงลัพธ์เดี่ยว แรงกระจาย แผนภาพวัตถุอิสระ แรงปฏิกิริยาของคาน และแรงบนบัสบาร์ พร้อมแล็บคานและฉากโมเมนต์ 3 มิติ ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/force-systems/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # ระบบแรง: โมเมนต์ แรงคู่ควบ ระบบสมมูล และสมดุล // เวกเตอร์ · ส่วนที่ 3 · Force systems, moments & equilibrium แรงลัพธ์บอกได้ว่าวัตถุจะ “เลื่อน” อย่างไร แต่ไม่บอกว่าจะ “หมุน” หรือไม่ แรงสองแรงที่รวมกันเป็นศูนย์อาจบิดพวงมาลัยให้หมุนได้ บทนี้จัดระบบเครื่องมือของวิชากลศาสตร์วิศวกรรม: โมเมนต์เชิงเวกเตอร์ แรงคู่ควบ การย้ายแรง การลดทั้งระบบให้เหลือแรงเดียว และการหาแรงปฏิกิริยาจากสมการสมดุลสามสมการ ซึ่งเป็นพื้นฐานของงานออกแบบโครงสร้าง ตู้ไฟฟ้า บัสบาร์ และเสาสายส่ง สรุปใน 30 วินาที - $\mathbf M_O=\mathbf r\times\mathbf F$; ในระนาบ $M_O=xF_y-yF_x$ (ทวนเข็ม +) หรือ $M_O=Fd$ - แรงคู่ควบ: $\sum\mathbf F=\mathbf 0$ แต่ $M=Fd$ เท่ากันทุกจุด - ระบบใดก็ลดเป็น $\mathbf R=\sum\mathbf F$ ที่ O + $\mathbf M_O=\sum\mathbf r\times\mathbf F$ ได้เสมอ - สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง: $\sum\mathbf F=\mathbf 0$ และ $\sum\mathbf M=\mathbf 0$ ## 1. ชนิดของระบบแรงและจำนวนสมการที่ต้องใช้ พื้นฐาน | ระบบแรง | ลักษณะ | สมการสมดุลที่เป็นอิสระ | ตัวอย่าง | | แรงร่วมจุด (concurrent) ในระนาบ | แนวแรงตัดกันที่จุดเดียว | 2: ΣFx = 0, ΣFy = 0 | ห่วงบนโต๊ะแรง โคมไฟแขวน | | แรงร่วมจุดสามมิติ | ตัดที่จุดเดียวในอวกาศ | 3: ΣFx, ΣFy, ΣFz | ยอดเสาที่มีสายยึดหลายเส้น | | แรงขนาน (parallel) | แนวแรงขนานกันทั้งหมด | 2: ΣFy = 0, ΣM = 0 | คานรับน้ำหนักแนวดิ่ง | | แรงในระนาบทั่วไป (coplanar) | อยู่ในระนาบเดียว แนวไม่ร่วมจุด | 3: ΣFx, ΣFy, ΣM | คาน เฟรม โครงถัก | | แรงสามมิติทั่วไป | ไม่มีข้อจำกัด | 6: ΣF (3) + ΣM (3) | แขนกล ตู้ไฟฟ้าบนฐานสี่จุด | จำนวนสมการบอกว่าหาแรงที่ไม่ทราบได้สูงสุดกี่ตัว ถ้ามีตัวไม่ทราบมากกว่า เรียกว่า statically indeterminate ต้องใช้สมการการเสียรูปเพิ่มในวิชากลศาสตร์วัสดุ ## 2. โมเมนต์ของแรงรอบจุด: สเกลาร์และเวกเตอร์ พื้นฐาน โมเมนต์วัด “ความสามารถในการหมุน” ของแรงรอบจุด O ขึ้นกับขนาดแรงและระยะตั้งฉากจาก O ถึงแนวแรง (แขนโมเมนต์) แรงที่แนวผ่าน O ไม่ทำให้หมุนรอบ O เลยไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด แขนโมเมนต์ d คือระยะตั้งฉากจาก O ถึงแนวแรง (เส้นประ) ไม่ใช่ความยาวของ r S1 Scalar moment โมเมนต์แบบสเกลาร์ $$M_O=F\,d=F\,r\sin\theta \qquad[\text{N}\cdot\text{m}]$$ ทิศหมุนบอกด้วยเครื่องหมาย: ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก (กฎมือขวาชี้ออกจากกระดาษ +z) S2 Vector moment โมเมนต์เชิงเวกเตอร์ $$\mathbf M_O=\mathbf r\times\mathbf F=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ r_x&r_y&r_z\\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix}$$ ขนาดคือโมเมนต์ ทิศคือแกนหมุนตามกฎมือขวา วิธีนี้จำเป็นในสามมิติที่หาระยะตั้งฉากยาก S3 Planar moment from components โมเมนต์ในระนาบจากองค์ประกอบ $$M_O=x\,F_y-y\,F_x$$ คือองค์ประกอบ z ของ $\mathbf r\times\mathbf F$ เมื่อ $r_z=F_z=0$ วิธีนี้แทนการหาแขนโมเมนต์ทั้งหมด S4 Varignon's theorem ทฤษฎีวาริยอง $$\mathbf r\times(\mathbf F_1+\mathbf F_2+\cdots)=\mathbf r\times\mathbf F_1+\mathbf r\times\mathbf F_2+\cdots$$ โมเมนต์ของแรงเท่ากับผลรวมโมเมนต์ขององค์ประกอบ จึงแตกแรงเอียงเป็น F_x, F_y แล้วคิดทีละส่วนได้ (มาจากสมบัติการแจกแจงของ cross product) ตัวอย่าง S-1 · ประแจขันน็อตตู้ไฟ ### ออกแรง 200 N ที่ปลายประแจยาว 0.25 m แรงทำมุม 60° กับด้ามประแจ จงหาแรงบิดที่น็อต - แขนโมเมนต์ $d=r\sin60^\circ=0.25(0.8660)=0.2165$ m - $M=Fd=200(0.2165)=43.30$ N·m - ถ้าดึงตั้งฉากกับด้าม (θ = 90°) จะได้สูงสุด 50 N·m — แรงบิดที่ระบุบนน็อต (torque spec) ต้องใช้ประแจทอร์กที่ดึงตั้งฉาก M = 43.3 N·m ## 3. โมเมนต์รอบแกน: ส่วนของโมเมนต์ที่ทำให้หมุนจริง กลาง ประตูหมุนได้รอบบานพับเท่านั้น โมเมนต์ส่วนที่ตั้งฉากกับบานพับจะถูกบานพับรับไป สิ่งที่ทำให้ประตูหมุนคือส่วนฉายของ $\mathbf M_O$ บนแกน ซึ่งเป็น scalar triple product S5 Moment about an axis โมเมนต์รอบแกน a $$M_a=\mathbf u_a\cdot(\mathbf r\times\mathbf F)=\begin{vmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\ r_x&r_y&r_z\\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix}$$ $\mathbf r$ คือเวกเตอร์จากจุดใดก็ได้บนแกนไปยังจุดใดก็ได้บนแนวแรง $\mathbf u_a$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแกน เครื่องหมายบอกทิศหมุนตามกฎมือขวารอบ $\mathbf u_a$ ตัวอย่าง S-2 · แรงกดบนแขนยื่นของตู้ ### แรง $\mathbf F=(0,0,-200)$ N กระทำที่จุด $\mathbf r=(0.5,\ 0.8,\ 0)$ m จากจุดยึด O จงหา $\mathbf M_O$ และโมเมนต์รอบแกน x และรอบแนว (1,1,0) - $\mathbf M_O=\mathbf r\times\mathbf F=\big(0.8(-200)-0,\ 0-0.5(-200),\ 0\big)=(-160,\ 100,\ 0)$ N·m - $|\mathbf M_O|=\sqrt{160^2+100^2}=188.7$ N·m แขนโมเมนต์ $188.7/200=0.943$ m - รอบแกน x: $M_x=\mathbf i\cdot\mathbf M_O=-160$ N·m (ตามเข็มเมื่อมองจากปลายแกน +x) - รอบแนว $\mathbf u=(1,1,0)/\sqrt2$: $M_u=(-160+100)/\sqrt2=-42.43$ N·m $\mathbf M_O=(-160,100,0)$ N·m · $M_x=-160$ · $M_u=-42.4$ N·m เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ ## 4. แรงคู่ควบ: หมุนโดยไม่เลื่อน พื้นฐาน S6 Couple moment โมเมนต์ของแรงคู่ควบ $$\mathbf M=\mathbf r_{AB}\times\mathbf F,\qquad M=F\,d$$ แรง $\mathbf F$ ที่ B กับ $-\mathbf F$ ที่ A โมเมนต์รอบจุด O ใด ๆ คือ $\mathbf r_B\times\mathbf F+\mathbf r_A\times(-\mathbf F)=(\mathbf r_B-\mathbf r_A)\times\mathbf F$ ไม่ขึ้นกับ O เลย จึงเป็น free vector ตัวอย่าง S-3 · พวงมาลัยและเพลามอเตอร์ ### มือสองข้างหมุนพวงมาลัยเส้นผ่านศูนย์กลาง 0.4 m ด้วยแรงข้างละ 30 N ในทิศตรงข้าม จงหาแรงบิด - สองแรงขนาดเท่ากัน ทิศตรงข้าม แนวห่างกัน d = 0.4 m → แรงคู่ควบ - $M=Fd=30(0.4)=12$ N·m และ $\sum\mathbf F=\mathbf 0$: ไม่ดันพวงมาลัยไปด้านใด - เพลามอเตอร์ไฟฟ้าก็ได้แรงบิดเป็นแรงคู่ควบจากแรงแม่เหล็กบนขดลวดสองข้าง ดู τ = m × B M = 12 N·m ## 5. ย้ายแรงโดยไม่เปลี่ยนผล: ระบบแรง-แรงคู่ควบสมมูล กลาง ถ้าอยากย้ายแรง F จากจุด A ไปจุด O (ที่ไม่อยู่บนแนวแรง) ให้ใส่ F และ −F ที่ O (รวมเป็นศูนย์ ไม่เปลี่ยนอะไร) แล้วสังเกตว่า −F ที่ O กับ F ที่ A เป็นแรงคู่ควบ ผลลัพธ์คือแรง F ที่ O บวกโมเมนต์ $\mathbf r_{OA}\times\mathbf F$ S7 Equivalent force–couple system ระบบแรง-แรงคู่ควบสมมูลที่จุด O $$\mathbf F_R=\sum\mathbf F_i,\qquad (\mathbf M_R)_O=\sum\mathbf r_{i}\times\mathbf F_i+\sum\mathbf M_{\text{couple}}$$ ทุกระบบแรงลดรูปเหลือ “หนึ่งแรง + หนึ่งโมเมนต์” ที่จุดใดก็ได้ ถ้าย้ายจุดอ้างอิง แรงเท่าเดิมแต่โมเมนต์เปลี่ยน: $\mathbf M_P=\mathbf M_O+\mathbf r_{PO}\times\mathbf F_R$ ## 6. ลดระบบแรงในระนาบเป็นแรงลัพธ์เดี่ยว กลาง S8 Single resultant (coplanar) ตำแหน่งของแรงลัพธ์เดี่ยว $$\bar x=\frac{(M_R)_O}{R_y}\quad(\text{จุดตัดแกน }x),\qquad d=\frac{|(M_R)_O|}{R}\quad(\text{ระยะตั้งฉากจาก }O)$$ ใช้ได้เมื่อ $\mathbf R\ne\mathbf 0$ ถ้า $\mathbf R=\mathbf 0$ แต่ $M\ne0$ ระบบเป็นแรงคู่ควบล้วน ไม่มีแรงเดียวที่แทนได้ ตัวอย่าง S-4 · แรงสามแรงบนคานยาว 6 m ### F₁ = 800 N ลงในแนวดิ่งที่ x = 1.5 m, F₂ = 600 N ที่ 240° (ลงซ้าย) ที่ x = 3.5 m, F₃ = 400 N ขึ้นที่ x = 5 m จงหาระบบสมมูลที่ O (x = 0) และแรงลัพธ์เดี่ยว - องค์ประกอบ F₂: $600\cos240^\circ=-300$, $600\sin240^\circ=-519.6$ N - $R_x=-300$ N, $R_y=-800-519.6+400=-919.6$ N, $R=967.3$ N ที่ 251.9° - $M_O=\sum xF_y=1.5(-800)+3.5(-519.6)+5(400)=-1018.7$ N·m (ตามเข็ม) — แรงตามแนวคาน ($F_x$, y = 0) ไม่มีโมเมนต์ - $\bar x=M_O/R_y=-1018.7/-919.6=1.108$ m ระบบทั้งหมดเทียบเท่าแรง 967 N ที่ 251.9° กระทำที่ x = 1.11 m — ค่าเริ่มต้นของแล็บด้านล่าง เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ ## 7. แรงกระจายเป็นแรงเดียว กลาง น้ำหนักรางเคเบิล ลม หรือแรงดันน้ำ เป็นแรงกระจาย $w(x)$ (N/m) ใช้ S8 แบบต่อเนื่อง: แรงลัพธ์เท่ากับพื้นที่ใต้กราฟ และกระทำที่จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่นั้น S9 Distributed load แรงลัพธ์ของแรงกระจาย $$W=\int_0^L w(x)\,dx,\qquad \bar x=\frac{\int_0^L x\,w(x)\,dx}{W};\qquad \text{สม่ำเสมอ: }W=wL,\ \bar x=\tfrac L2;\quad \text{สามเหลี่ยม: }W=\tfrac12w_0L,\ \bar x=\tfrac L3\ \text{จากด้านสูง}$$ ตัวอย่าง S-5 · รางเคเบิลบนขายึดยื่น ### รางเคเบิลกดขายึดยื่นยาว 0.6 m ด้วยน้ำหนักกระจายสม่ำเสมอ 1.5 kN/m และมีแรงจุด 0.2 kN ที่ปลาย จงหาโมเมนต์ที่โคนขายึด - แรงกระจาย → แรงเดียว $W=1.5(0.6)=0.9$ kN ที่ 0.3 m - $M=-(0.9)(0.3)-(0.2)(0.6)=-0.27-0.12=-0.39$ kN·m (ตามเข็ม) - โคนต้องให้โมเมนต์ปฏิกิริยา +0.39 kN·m และแรงขึ้น 1.1 kN — ใช้เลือกพุกและขนาดเหล็ก M_โคน = 0.39 kN·m (390 N·m) ## 8. สมดุลของวัตถุแข็งเกร็งและแรงปฏิกิริยา กลาง S10 Equilibrium of a rigid body เงื่อนไขสมดุล $$\sum\mathbf F=\mathbf 0,\qquad \sum\mathbf M_O=\mathbf 0\qquad\Longrightarrow\qquad \text{ระนาบ: }\sum F_x=0,\ \sum F_y=0,\ \sum M_O=0$$ เลือกจุดหมุนที่มีแรงไม่ทราบผ่านมากที่สุด เพื่อให้สมการโมเมนต์มีตัวไม่ทราบน้อยที่สุด | ฐานรองรับ | แรงปฏิกิริยาที่ให้ | สัญลักษณ์ใน FBD | | ล้อเลื่อน / ผิวเรียบ | 1 แรง ตั้งฉากกับผิว | B_y | | หมุด (pin) | 2 แรง | A_x, A_y | | ยึดแน่น (fixed) | 2 แรง + 1 โมเมนต์ | A_x, A_y, M_A | | เชือก / สายเคเบิล | 1 แรงดึงตามสาย | T | ตัวอย่าง S-6 · คานช่วงเดียว ### คาน S-4 วางบนหมุด A (x = 0) และล้อเลื่อน B (x = 6 m) จงหาแรงปฏิกิริยา - วาด FBD: A_x, A_y ที่ A และ B_y ที่ B พร้อมแรงทั้งสาม - $\sum M_A=0:\ 6B_y+(-1018.7)=0\Rightarrow B_y=169.8$ N - $\sum F_y=0:\ A_y+169.8-919.6=0\Rightarrow A_y=749.8$ N - $\sum F_x=0:\ A_x-300=0\Rightarrow A_x=300$ N (หมุดต้านแรงแนวนอนจาก F₂) - ตรวจด้วย $\sum M_B=0$: $-6(749.8)+(-4.5)(-800)+(-2.5)(-519.6)+(-1)(400)=-4498.8+3600+1299+(-400)\approx0$ ✓ A_x = 300 N, A_y = 749.8 N, B_y = 169.8 N — สอดคล้องกับ x̄ = 1.11 m ที่ใกล้ A เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ ## 9. ระบบแรงในงานไฟฟ้า กลาง บัสบาร์ ### แรงลัดวงจร กระแสลัดวงจร 20 kA ในบาร์ขนานห่าง 0.1 m สร้างแรง 800 N ต่อเมตร (M11) เป็นแรงกระจายบนบาร์ ฉนวนรองรับต้องรับแรงปฏิกิริยาตาม S9–S10 เสาไฟฟ้า ### สายและสายยึด แรงดึงสายไฟสามมิติรวมกันที่ยอดเสา (K-4) ส่วนแนวนอนสร้างโมเมนต์ที่โคนเสา ต้องหักล้างด้วยสายยึด มอเตอร์ ### แรงบิดและฐาน แรงบิดของมอเตอร์เป็นแรงคู่ควบ ฐานยึดต้องให้แรงคู่ควบตรงข้าม แรงที่สลักเกลียวจึงขึ้นกับระยะห่างของสลักเกลียว (M = F d) ## 10. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย | ข้อผิดพลาด | วิธีป้องกัน | | ใช้ความยาวของ r เป็นแขนโมเมนต์ | ใช้ d ตั้งฉาก หรือใช้ $xF_y-yF_x$ | | สลับลำดับ $\mathbf F\times\mathbf r$ | ทิศกลับ ต้องเป็น $\mathbf r\times\mathbf F$ เสมอ (r จากจุดอ้างอิงไปหาแรง) | | ΣF = 0 แล้วสรุปว่าสมดุล | ต้องตรวจ ΣM = 0 ด้วย แรงคู่ควบมี ΣF = 0 แต่หมุน | | ลืมแรงปฏิกิริยาแนวนอนที่หมุด | หมุดให้สองแรงเสมอ ถ้าไม่มีแรงแนวนอนผลจะออกมาเป็นศูนย์เอง | | วางแรงกระจายผิดตำแหน่ง | แรงลัพธ์อยู่ที่เซนทรอยด์ของพื้นที่ใต้กราฟ ไม่ใช่กึ่งกลางเสมอ | ## 11. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย - แรง $\mathbf F=(30,40)$ N กระทำที่จุด (2, 1) m จงหาโมเมนต์รอบจุดกำเนิด - แรง $\mathbf F=(100,-50,200)$ N กระทำที่ $\mathbf r=(0.3,0.2,0)$ m จงหา $\mathbf M_O$ และ $M_z$ - คานยาว 4 m รับแรง 2 kN ลงที่กึ่งกลาง และ 1 kN ลงที่ปลาย B (x = 4 m) วางบนหมุด A กับล้อเลื่อน B จงหาแรงปฏิกิริยา - แรงคู่ควบ 50 N ห่างกัน 0.12 m กับแรงคู่ควบอีกคู่ 80 N ห่าง 0.05 m ทิศตรงข้ามกัน โมเมนต์รวมเท่าไร? เปิดเฉลย - $M_O=xF_y-yF_x=2(40)-1(30)=50$ N·m (ทวนเข็ม) - $\mathbf M_O=(0.2\cdot200-0,\ 0-0.3\cdot200,\ 0.3(-50)-0.2(100))=(40,\ -60,\ -35)$ N·m; $M_z=-35$ N·m - $\sum M_A:\ 4B_y-2(2)-1(4)=0\Rightarrow B_y=2$ kN; $A_y=3-2=1$ kN; $A_x=0$ - $50(0.12)-80(0.05)=6-4=2$ N·m ในทิศของคู่แรก ## 12. สรุปสูตร | หัวข้อ | สูตร | | S1–S3 โมเมนต์ | $M=Fd$, $\mathbf M=\mathbf r\times\mathbf F$, $M=xF_y-yF_x$ | | S4 วาริยอง | โมเมนต์ของผลรวม = ผลรวมของโมเมนต์ | | S5 รอบแกน | $M_a=\mathbf u_a\cdot(\mathbf r\times\mathbf F)$ | | S6 แรงคู่ควบ | $M=Fd$ เท่ากันทุกจุด | | S7–S8 ระบบสมมูล | $\mathbf R=\sum\mathbf F$, $\mathbf M_O=\sum\mathbf r\times\mathbf F$, $\bar x=M_O/R_y$ | | S9 แรงกระจาย | $W=\int w\,dx$ ที่เซนทรอยด์ | | S10 สมดุล | $\sum\mathbf F=\mathbf 0,\ \sum\mathbf M=\mathbf 0$ | ## 13. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ - OpenStax University Physics Vol. 1 §12.1–12.2 Static Equilibrium — เงื่อนไขสมดุลและตัวอย่าง - OpenStax University Physics Vol. 1 §10.6 Torque — แรงบิดเชิงเวกเตอร์ - Baker & Haynes, Engineering Statics: Open and Interactive — ตำราสแตติกส์เปิดพร้อมภาพโต้ตอบ (บทที่ 4–5) ต่อไป: เปลี่ยนกรอบพิกัดให้คำนวณง่ายขึ้นใน การหมุนแกนพิกัด หรือใช้โมเมนต์กับข้อต่อหุ่นยนต์ใน เวกเตอร์ในแขนกล ## คำถามที่พบบ่อย โมเมนต์ของแรงคำนวณอย่างไร? แบบเวกเตอร์ M_O = r × F โดย r คือเวกเตอร์จากจุด O ไปยังจุดใดก็ได้บนแนวแรง แบบสเกลาร์ M_O = F·d โดย d คือระยะตั้งฉากจากจุด O ถึงแนวแรง ในสองมิติใช้ M_O = x F_y − y F_x (ทวนเข็มเป็นบวก) แรงคู่ควบคืออะไร? แรงสองแรงขนาดเท่ากัน ทิศตรงข้าม แนวขนานกันห่างกัน d ผลรวมแรงเป็นศูนย์แต่ทำให้หมุนด้วยโมเมนต์ M = F·d ซึ่งมีค่าเท่ากันรอบทุกจุด จึงย้ายไปไว้ที่ใดก็ได้บนวัตถุ เช่น แรงบิดจากมอเตอร์หรือการหมุนพวงมาลัยสองมือ วัตถุแข็งเกร็งสมดุลเมื่อใด? เมื่อผลรวมแรงเป็นศูนย์และผลรวมโมเมนต์รอบจุดใดจุดหนึ่งเป็นศูนย์ด้วย ในระนาบได้สามสมการ ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0 จึงหาแรงปฏิกิริยาที่ไม่ทราบได้สามตัว เช่น หมุดหนึ่งตัวกับล้อเลื่อนหนึ่งตัวของคานช่วงเดียว ทำไมต้องลดระบบแรงเป็นแรงลัพธ์เดี่ยว? ทำให้รู้ว่าระบบแรงทั้งหมดมีผลเหมือนแรงเดียวที่ตำแหน่งใด ใช้ออกแบบฐานรากให้แรงลงตรงกลาง วางตำแหน่งจุดยก หรือหาจุดศูนย์กลางของแรงกระจาย ตำแหน่งได้จาก x̄ = M_O / R_y มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **โมเมนต์ของแรงคำนวณอย่างไร?** แบบเวกเตอร์ M_O = r × F โดย r คือเวกเตอร์จากจุด O ไปยังจุดใดก็ได้บนแนวแรง แบบสเกลาร์ M_O = F·d โดย d คือระยะตั้งฉากจากจุด O ถึงแนวแรง ในสองมิติใช้ M_O = x F_y − y F_x (ทวนเข็มเป็นบวก) **แรงคู่ควบคืออะไร?** แรงสองแรงขนาดเท่ากัน ทิศตรงข้าม แนวขนานกันห่างกัน d ผลรวมแรงเป็นศูนย์แต่ทำให้หมุนด้วยโมเมนต์ M = F·d ซึ่งมีค่าเท่ากันรอบทุกจุด จึงย้ายไปไว้ที่ใดก็ได้บนวัตถุ เช่น แรงบิดจากมอเตอร์หรือการหมุนพวงมาลัยสองมือ **วัตถุแข็งเกร็งสมดุลเมื่อใด?** เมื่อผลรวมแรงเป็นศูนย์และผลรวมโมเมนต์รอบจุดใดจุดหนึ่งเป็นศูนย์ด้วย ในระนาบได้สามสมการ ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0 จึงหาแรงปฏิกิริยาที่ไม่ทราบได้สามตัว เช่น หมุดหนึ่งตัวกับล้อเลื่อนหนึ่งตัวของคานช่วงเดียว **ทำไมต้องลดระบบแรงเป็นแรงลัพธ์เดี่ยว?** ทำให้รู้ว่าระบบแรงทั้งหมดมีผลเหมือนแรงเดียวที่ตำแหน่งใด ใช้ออกแบบฐานรากให้แรงลงตรงกลาง วางตำแหน่งจุดยก หรือหาจุดศูนย์กลางของแรงกระจาย ตำแหน่งได้จาก x̄ = M_O / R_y