---
title: "การประยุกต์เวกเตอร์ทางวิศวกรรม — จากรูปโจทย์สู่คำตอบที่ตรวจได้"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/engineering-applications/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-13
---

> ตัวอย่างวิศวกรรมใช้เวกเตอร์อย่างละเอียด แรงลัพธ์ 2 มิติ ทิศแรงดึงสายเคเบิล 3 มิติ การฉายแรง งานของแรงคงที่และอินทิกรัล โมเมนต์รอบจุดและแกน แรงแม่เหล็กต่อประจุและสายไฟ และความเร็วหุ่นยนต์ พร้อมหน่วย เงื่อนไข สูตรสรุป และแบบฝึกหัดเฉลย

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/engineering-applications/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# การประยุกต์เวกเตอร์ทางวิศวกรรม — จากรูปโจทย์สู่คำตอบที่ตรวจได้

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 3 · Engineering applications


การจำสูตรอย่างเดียวไม่พอ ต้องรู้ว่าเวกเตอร์เริ่มจากไหน ชี้ไปไหน ใช้หน่วยอะไร และสูตรสมมติอะไรไว้ หน้านี้เดินจากการรวมแรงในสองมิติไปสู่สายเคเบิลสามมิติ งาน โมเมนต์ สนามแม่เหล็ก และการเคลื่อนที่ของหุ่นยนต์ ทุกตัวอย่างมีขั้นตอนแทนค่าจริงและจุดตรวจคำตอบ

สรุปใน 30 วินาที
- รวมแรงด้วยการบวกองค์ประกอบในระบบพิกัดเดียวกัน
- แรงดึงสายเคเบิล = ขนาดแรงดึง × เวกเตอร์หนึ่งหน่วยจากวัตถุไปปลายสาย
- Dot product ใช้กับงานและการฉาย ส่วน Cross product ใช้กับโมเมนต์ แม่เหล็ก และการหมุน
- คำตอบต้องมีหน่วย ทิศ จุดอ้างอิง และเงื่อนไขของแบบจำลอง สมดุลของวัตถุแข็งเกร็งต้องตรวจทั้งแรงและโมเมนต์

## 1. ตั้งแบบจำลองก่อนคำนวณ: รูปแรง แกน หน่วย และข้อสมมติ

เริ่มจากแยกวัตถุที่สนใจแล้ววาด Free-body diagram ใส่แรงภายนอกทุกตัว ระบุตำแหน่งที่แรงกระทำ เลือกแกน $x,y,z$ แบบมือขวาและเขียนหน่วยไว้ พิกัดและแรงทั้งหมดต้องอ้างอิงกรอบเดียวกัน จากนั้นจึงเลือกการดำเนินการของเวกเตอร์

| คำถามของโจทย์ | การดำเนินการ | สิ่งที่ต้องรู้เพิ่ม |
| แรงรวมเท่าไร? | บวกเวกเตอร์ $\sum\mathbf F$ | องค์ประกอบหรือขนาดและทิศของแรงทุกตัว |
| แรงตามแนวรางเท่าไร? | Dot กับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย | ทิศบวกของราง |
| งานของแรงเท่าไร? | Dot หรืออินทิกรัลเส้น | แรงคงที่หรือเปลี่ยนตามเส้นทาง |
| แรงทำให้หมุนรอบไหน? | $\mathbf r\times\mathbf F$ | จุดหรือแกนอ้างอิงและจุดออกแรง |
| แรงแม่เหล็กชี้ไปไหน? | Cross และเครื่องหมายประจุ | สนาม ทิศกระแสหรือความเร็ว และส่วนที่อยู่ในสนาม |

ขอบเขตของตัวอย่าง: ตัวเลขต่อไปนี้เป็นโจทย์สาธิต ไม่ใช่การรับรองความปลอดภัยของโครงสร้างหรืออุปกรณ์จริง โดยถือว่าพิกัดและแรงเป็นค่าที่ทราบแน่นอน การออกแบบจริงต้องใช้ข้อมูลวัสดุ ภาระโหลด ข้อจำกัด และมาตรฐานที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติม

## 2. แรงลัพธ์ 2 มิติ: รวมองค์ประกอบก่อนหาขนาด

เมื่อแรงหลายตัวกระทำที่จุดเดียวกัน ให้บวกองค์ประกอบตามแกนเดียวกัน ห้ามบวกขนาดแรงตรง ๆ เว้นแต่ทุกแรงขนานทิศเดียวกัน มุมที่วัดทวนเข็มจากแกน $+x$ ให้ $F_x=F\cos\theta$, $F_y=F\sin\theta$ แต่ถ้าโจทย์วัดจากแกนอื่นต้องอ่านรูปก่อน ไม่ใช้สูตรนี้โดยอัตโนมัติ

E1 Force resultant รวมแรงและอ่านมุมให้ถูกควอดแรนต์

$$\mathbf R=\sum_i\mathbf F_i,\quad R_x=\sum_iF_{ix},\quad R_y=\sum_iF_{iy},\quad\|\mathbf R\|=\sqrt{R_x^2+R_y^2},\quad\theta_R=\operatorname{atan2}(R_y,R_x)$$

$\operatorname{atan2}$ ใช้เครื่องหมายของสององค์ประกอบเพื่อเลือกควอดแรนต์ ต่างจาก $\tan^{-1}(R_y/R_x)$ ที่ต้องแก้มุมเอง หาก $\mathbf R=\mathbf0$ ไม่มีทิศของแรงลัพธ์ที่กำหนดได้

ภาพวาดใช้สเกลองค์ประกอบเดียวกัน แรงลัพธ์เป็นเส้นทแยง ไม่ใช่ผลบวกของความยาวลูกศร

ตัวอย่าง E-1 · แรงจากอุปกรณ์สองตัว

### แรง $\mathbf F_1$ ขนาด $500\,\mathrm N$ ทำมุม $30^\circ$ จาก $+x$ และ $\mathbf F_2=(-100,200)\,\mathrm N$ กระทำที่จุดเดียวกัน

- แตกแรงแรก: $\mathbf F_1=(500\cos30^\circ,500\sin30^\circ)=(433.0127,250)\,\mathrm N$

- รวมองค์ประกอบ: $\mathbf R=(433.0127-100,250+200)=(333.0127,450)\,\mathrm N$

- หาขนาด $\|\mathbf R\|=\sqrt{333.0127^2+450^2}\approx559.819\,\mathrm N$

- มุม $\theta_R=\operatorname{atan2}(450,333.0127)\approx53.50^\circ$ อยู่ควอดแรนต์ที่ 1 เพราะทั้งสององค์ประกอบบวก

แรงลัพธ์ประมาณ $559.82\,\mathrm N$ ทำมุม $53.50^\circ$ ทวนเข็มจากแกน $+x$
ขนาด $\mathbf F_2=\sqrt{100^2+200^2}\approx223.61\,\mathrm N$ และ $\|\mathbf R\|$ อยู่ระหว่าง $|500-223.61|$ กับ $500+223.61$ ตามอสมการสามเหลี่ยม ผ่านการตรวจความสมเหตุผล

หากแรงกระทำคนละตำแหน่งบนวัตถุแข็งเกร็ง เวกเตอร์ $\sum\mathbf F$ ยังบอกแรงรวมได้ แต่ไม่เก็บผลการหมุนครบ ต้องหาโมเมนต์รวมด้วย เช่นแรงขนาดเท่ากันสวนทางกันสองตัวอาจรวมแรงเป็นศูนย์ แต่เกิดคู่ควบแรงที่ทำให้หมุนได้

## 3. สายเคเบิล 3 มิติ: จากพิกัดจุดเป็นแรงดึง

สายเคเบิลอุดมคติรับแรงดึงตามแนวสาย เมื่อสนใจแรงที่สาย $AB$ กระทำต่อจุด $A$ ทิศแรงชี้จาก $A$ ไป $B$ หาเวกเตอร์ระยะทางก่อน แล้วทำให้เป็นหนึ่งหน่วย การคูณแรงดึงกับเวกเตอร์ระยะทางโดยไม่หารความยาวทำให้ทั้งขนาดและหน่วยผิด

E2 Cable force from two points แรงจากตำแหน่งปลายสาย

$$\mathbf d_{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A,\qquad\hat{\mathbf u}_{AB}=\frac{\mathbf d_{AB}}{\|\mathbf d_{AB}\|},\qquad\mathbf F_{AB}=T_{AB}\hat{\mathbf u}_{AB},\quad T_{AB}\ge0$$

ต้องมี $A\ne B$ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยไม่มีหน่วย แรงจึงมีหน่วยนิวตัน หากผลแก้สมการได้แรงดึงติดลบ แบบจำลองสายที่ดึงอย่างเดียวไม่สอดคล้องกับสมมติฐาน อาจต้องพิจารณาว่าสายหย่อนหรือทิศแรงกำหนดผิด

ภาพฉายสามมิติใช้แสดงทิศและจุดอ้างอิง ให้คำนวณจากพิกัดที่ระบุ ไม่อ่านความยาวหรือมุมจากภาพฉาย

ตัวอย่าง E-2 · จุดต่อรับแรงดึงสองเส้นและน้ำหนัก

### ให้ $A=(0,0,0)$, $B=(2,3,6)$, $C=(-4,0,3)$ หน่วยเมตร แรงดึง $T_{AB}=700\,\mathrm N$, $T_{AC}=500\,\mathrm N$ และน้ำหนัก $\mathbf W=(0,0,-1000)\,\mathrm N$

- สาย $AB$: $\mathbf d_{AB}=(2,3,6)\,\mathrm m$, ความยาว $\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7\,\mathrm m$ จึง $\hat{\mathbf u}_{AB}=(2/7,3/7,6/7)$

- แรง $\mathbf F_{AB}=700(2/7,3/7,6/7)=(200,300,600)\,\mathrm N$ ตรวจขนาดได้ $700\,\mathrm N$

- สาย $AC$: ความยาว $\sqrt{(-4)^2+3^2}=5\,\mathrm m$ จึง $\mathbf F_{AC}=500(-4/5,0,3/5)=(-400,0,300)\,\mathrm N$

- แรงรวมที่ยังไม่รวมแรงรองรับ: $\mathbf R=\mathbf F_{AB}+\mathbf F_{AC}+\mathbf W=(-200,300,-100)\,\mathrm N$ ไม่เป็นศูนย์ จึงยังไม่สมดุล

- ถ้ามีจุดรองรับอุดมคติที่ $A$ สามารถให้แรงปฏิกิริยาสามองค์ประกอบและต้องการสมดุลจุดต่อ ต้องมี $\mathbf F_{\rm support}=-\mathbf R=(200,-300,100)\,\mathrm N$

แรงรองรับที่ต้องการ $(200,-300,100)\,\mathrm N$ มีขนาด $\sqrt{140000}\approx374.17\,\mathrm N$
นี่เป็นการหาแรงรองรับเมื่อกำหนดแรงดึงมาแล้ว ไม่ใช่การพิสูจน์ว่าโครงสร้างที่มีเพียงสองสายกับน้ำหนักสมดุลได้เอง และไม่ได้ตรวจความแข็งแรงของสาย

ถ้าแรงดึงยังไม่ทราบ ใช้ $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$, $\sum F_z=0$ ตั้งระบบสมการจากเวกเตอร์หนึ่งหน่วย การมีสามสมการไม่ได้รับประกันว่าจะหาคำตอบได้เสมอ ต้องตรวจจำนวนตัวไม่ทราบค่าและความเป็นอิสระของทิศแรงด้วย ดูวิธีแก้ระบบที่ ระบบสมการเชิงเส้น

เจาะลึกแรงตามแนวเส้นและทิศทางโคไซน์แบบครบอยู่ใน ทิศทางโคไซน์ (ตัวอย่างเสาไฟฟ้ากับสายยึด K-4)

## 4. แรงตามรางและแรงตั้งฉาก: ใช้ Projection ให้ถูกชนิด

ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ได้เฉพาะตามแนวราง ต้องแยกแรงเป็นส่วนตามรางและส่วนตั้งฉาก แรงตามรางมีทั้งแบบ “สเกลาร์มีเครื่องหมาย” กับ “เวกเตอร์” ซึ่งไม่ใช่คำตอบชนิดเดียวกัน กำหนด $\hat{\mathbf u}$ เป็นทิศบวกหนึ่งหน่วยของรางก่อน

E3 Resolve force along a direction แยกแรงขนานและตั้งฉาก

$$F_{\parallel}=\mathbf F\cdot\hat{\mathbf u},\qquad\mathbf F_{\parallel}=(\mathbf F\cdot\hat{\mathbf u})\hat{\mathbf u},\qquad\mathbf F_{\perp}=\mathbf F-\mathbf F_{\parallel}$$

$F_{\parallel}$ มีหน่วยนิวตันและอาจติดลบ ส่วน $\mathbf F_{\parallel}$ มีองค์ประกอบเวกเตอร์ หากฉายลงบน $\mathbf d$ ที่ไม่เป็นหนึ่งหน่วย ใช้ $\mathbf F_{\parallel}=(\mathbf F\cdot\mathbf d)\mathbf d/(\mathbf d\cdot\mathbf d)$

ตัวอย่าง E-3 · รางเอียงในระนาบ

### แรง $\mathbf F=(80,20)\,\mathrm N$ กระทำกับชิ้นส่วนที่รางมีทิศ $\mathbf d=(3,4)$ หาแรงตามราง

- ความยาว $\|\mathbf d\|=5$ จึง $\hat{\mathbf u}=(3/5,4/5)=(0.6,0.8)$

- สเกลาร์ตามราง $F_{\parallel}=80(0.6)+20(0.8)=64\,\mathrm N$

- เวกเตอร์ตามราง $\mathbf F_{\parallel}=64(0.6,0.8)=(38.4,51.2)\,\mathrm N$

- เวกเตอร์ตั้งฉาก $\mathbf F_\perp=(80,20)-(38.4,51.2)=(41.6,-31.2)\,\mathrm N$ ตรวจ Dot กับรางได้ $41.6(0.6)-31.2(0.8)=0$

แรงตามทิศบวกราง $64\,\mathrm N$ · ส่วนตั้งฉากมีขนาด $\sqrt{41.6^2+31.2^2}=52\,\mathrm N$
ตรวจพีทาโกรัส $64^2+52^2=6800=80^2+20^2$ แต่จะสรุปแรงปฏิกิริยาของรางเท่ากับ $-\mathbf F_\perp$ ได้ต่อเมื่อรวมแรงอื่นและเงื่อนไขการเคลื่อนที่ตามแนวตั้งฉากครบแล้ว

ดูนิยาม แผนภาพ และการฉายลงบนระนาบเพิ่มเติมที่ Component และ Projection

## 5. งานของแรง: Dot product สำหรับแรงคงที่ อินทิกรัลสำหรับแรงเปลี่ยน

งานเป็นพลังงานที่แรงถ่ายโอนผ่านการเคลื่อนที่ตามแนวแรง จึงเป็นสเกลาร์ที่อาจบวก ลบ หรือศูนย์ การที่แรงมีขนาดมากไม่ได้แปลว่าทำงานมาก ถ้าแรงตั้งฉากกับการกระจัดตลอดทาง งานของแรงนั้นเป็นศูนย์

E4 Work by a constant force งานของเวกเตอร์แรงคงที่

$$W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r=\|\mathbf F\|\|\Delta\mathbf r\|\cos\theta,\qquad\Delta\mathbf r=\mathbf r_2-\mathbf r_1$$

แรงต้องคงที่ทั้งขนาดและทิศ ใช้การกระจัดจากต้นทางถึงปลายทาง ไม่ใช่ระยะทางรวมโดยอัตโนมัติ หน่วย $\mathrm{N\,m}=\mathrm J$

E5 Work along a path งานเมื่อแรงเปลี่ยนตามเส้นทาง

$$W=\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf F(\mathbf r(t),t)\cdot\frac{d\mathbf r}{dt}\,dt$$

$\mathbf r(t)$ ระบุเส้นทางและทิศการเคลื่อนที่ ถ้าเคลื่อนตามแกน $x$ เพียงแกนเดียว สูตรลดเป็น $W=\int_{x_1}^{x_2}F_x(x)\,dx$ ความเป็นอิสระจากเส้นทางต้องมีเงื่อนไขของแรงอนุรักษ์ ไม่ใช่สมบัติของแรงทั่วไป

ตัวอย่าง E-4 · แรงเอียงดึงชิ้นส่วนตามแนวนอน

### แรงคงที่ $\mathbf F=(30,40,0)\,\mathrm N$ ทำให้ชิ้นส่วนกระจัด $\Delta\mathbf r=(6,0,0)\,\mathrm m$ หางานของแรงนี้

- Dot โดยองค์ประกอบ: $W=30(6)+40(0)+0(0)=180\,\mathrm J$

- ตรวจแบบเรขาคณิต: $\|\mathbf F\|=50\,\mathrm N$, $\cos\theta=30/50=0.6$ จึง $W=50\cdot6\cdot0.6=180\,\mathrm J$

- แรง $40\,\mathrm N$ ตามแกน $y$ ไม่ทำงานในการเคลื่อนที่นี้ เพราะไม่มีการกระจัดตามแกน $y$

งานของแรงที่กำหนด $180\,\mathrm J$ เป็นบวก · ไม่ใช่ $50\cdot6=300\,\mathrm J$
เป็นงานของแรงนี้เพียงตัวเดียว หากมีแรงเสียดทานหรือแรงอื่น ต้องรวมงานทุกแรงก่อนใช้ทฤษฎีงาน–พลังงาน $W_{\rm net}=\Delta K$

ตัวอย่าง E-5 · แอคชูเอเตอร์ที่แรงเพิ่มตามตำแหน่ง

### แรงตามแกน $x$ เป็น $F_x(x)=kx$, $k=2\,\mathrm{N/m}$ เคลื่อนจาก $x=0$ ถึง $3\,\mathrm m$

- แรงไม่คงที่: ที่ต้นทาง 0 นิวตัน ที่ปลายทาง 6 นิวตัน จึงใช้ค่า 6 นิวตันคูณระยะทั้งหมดไม่ได้

- อินทิเกรต $W=\int_0^{3\,\mathrm m}kx\,dx=\tfrac12k[(3\,\mathrm m)^2-0^2]=\tfrac12(2\,\mathrm{N/m})(9\,\mathrm{m^2})=9\,\mathrm J$

- ตรวจจากกราฟแรง–ตำแหน่ง: พื้นที่สามเหลี่ยมฐาน $3\,\mathrm m$ สูง $6\,\mathrm N$ เท่ากับ $\tfrac12(3)(6)=9\,\mathrm J$

งาน $9\,\mathrm J$ · หากใช้แรงปลายทางจะได้ 18 จูล ซึ่งมากเกินจริงสองเท่า
หากโจทย์เป็นแรงสปริงคืนสู่สมดุล $F_x=-kx$ ในช่วงเดียวกัน งานของสปริงเป็น $-9\,\mathrm J$ ส่วนงานจากแรงภายนอกเพื่อยืดอย่างช้า ๆ โดยไม่มีการสูญเสียเป็น $+9\,\mathrm J$

## 6. โมเมนต์แรง: ตำแหน่งอ้างอิงต้องมาก่อน Cross product

กำหนดจุดอ้างอิง $O$ และจุดออกแรง $P$ เวกเตอร์ $\mathbf r_{OP}$ ต้องชี้จาก $O$ ไป $P$ แล้วคำนวณ $\mathbf r_{OP}\times\mathbf F$ ตามลำดับนี้ โมเมนต์บอกแนวโน้มการหมุนรอบจุด ไม่ใช่แรงอีกตัวที่กระทำตามทิศเดียวกับแรงเดิม

E6 Moment about a point โมเมนต์รอบจุด

$$\boldsymbol\tau_O=\mathbf r_{OP}\times\mathbf F,\qquad\|\boldsymbol\tau_O\|=rF\sin\theta=F d_\perp$$

$d_\perp$ คือระยะตั้งฉากจากจุด $O$ ถึงแนวแรง ไม่ใช่ความยาว $r$ เสมอ หน่วยรายงานเป็น $\mathrm{N\,m}$ แม้มิติเท่าจูล แต่โมเมนต์เป็นเวกเตอร์ส่วนงานเป็นสเกลาร์ จึงไม่เรียกโมเมนต์ว่าพลังงาน

ประแจยาว $0.25\,\mathrm m$ ออกแรง $100\,\mathrm N$ ที่มุม $60^\circ$ จึงได้โมเมนต์ $0.25\cdot100\sin60^\circ\approx21.65\,\mathrm{N\,m}$ แขนตั้งฉากยาวประมาณ $0.2165\,\mathrm m$

ตัวอย่าง E-6 · โมเมนต์สามมิติและการแยกรอบแกน

### ให้ $\mathbf r_{OP}=(0.2,0.1,0)\,\mathrm m$, $\mathbf F=(0,100,50)\,\mathrm N$ หาโมเมนต์รอบ $O$

- องค์ประกอบ $x$: $\tau_x=0.1(50)-0(100)=5\,\mathrm{N\,m}$

- องค์ประกอบ $y$: $\tau_y=0(0)-0.2(50)=-10\,\mathrm{N\,m}$

- องค์ประกอบ $z$: $\tau_z=0.2(100)-0.1(0)=20\,\mathrm{N\,m}$

- ขนาดรวม $\|\boldsymbol\tau_O\|=\sqrt{5^2+(-10)^2+20^2}=\sqrt{525}\approx22.913\,\mathrm{N\,m}$

- ตรวจตั้งฉาก: $\boldsymbol\tau_O\cdot\mathbf r_{OP}=5(0.2)-10(0.1)=0$ และ $\boldsymbol\tau_O\cdot\mathbf F=-10(100)+20(50)=0$

$\boldsymbol\tau_O=(5,-10,20)\,\mathrm{N\,m}$ · ขนาดรวมประมาณ $22.91\,\mathrm{N\,m}$ · องค์ประกอบรอบ $+z$ คือ $+20\,\mathrm{N\,m}$

E7 Moment about an axis โมเมนต์รอบแกนเป็นสเกลาร์มีเครื่องหมาย

$$\tau_{\hat{\mathbf u}}=\hat{\mathbf u}\cdot\boldsymbol\tau_O=\hat{\mathbf u}\cdot(\mathbf r_{OP}\times\mathbf F),\qquad\|\hat{\mathbf u}\|=1$$

เลือก $O$ บนแกนที่สนใจ และ $\hat{\mathbf u}$ ชี้ทิศบวกของแกนนั้น เปลี่ยน $O$ เป็นจุดอื่นบนแกนเดียวกันไม่เปลี่ยนสเกลาร์นี้ เพราะการเปลี่ยน $\mathbf r$ เป็นพจน์ตาม $\hat{\mathbf u}$ ให้ Dot ของ $\hat{\mathbf u}$ กับ $\hat{\mathbf u}\times\mathbf F$ เป็นศูนย์

จากตัวอย่าง E-6 ถ้าแกนมีทิศ $\hat{\mathbf u}=(1,1,0)/\sqrt2$ จะได้ $\tau_{\hat{\mathbf u}}=(5-10)/\sqrt2=-5/\sqrt2\approx-3.536\,\mathrm{N\,m}$ เครื่องหมายลบหมายถึงสวนกับทิศบวกที่ตั้งไว้ ไม่ใช่ขนาดโมเมนต์ติดลบ

ย้ายแรงตามแนวแรงได้เมื่อใด? สำหรับผลแรงภายนอกต่อวัตถุแข็งเกร็ง การย้ายจุดออกแรงตามแนวแรงเดียวกันไม่เปลี่ยนโมเมนต์ เพราะเวกเตอร์ระยะที่เพิ่มขนานกับ $\mathbf F$ มี Cross เป็นศูนย์ แต่การย้ายแรงขนานไปอีกแนวต้องเพิ่มคู่ควบแรง และการวิเคราะห์ความเค้นภายในต้องพิจารณาจุดออกแรงจริงด้วย

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

โมเมนต์รอบแกน แรงคู่ควบ ระบบสมมูล และแรงปฏิกิริยาของคาน อยู่ใน ระบบแรง

## 7. แรงแม่เหล็กต่อประจุ: กฎมือขวาแล้วตรวจเครื่องหมาย q

แรงแม่เหล็กเป็นส่วนหนึ่งของแรงลอเรนซ์ $\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)$ ในหัวข้อนี้พิจารณาเฉพาะส่วนแม่เหล็ก ทำกฎมือขวาจาก $\mathbf v$ ไป $\mathbf B$ ก่อน แล้วคูณด้วยประจุ หากประจุลบ ทิศแรงกลับจากทิศ Cross product

E8 Magnetic force on a charge แรงแม่เหล็กต่อประจุเคลื่อนที่

$$\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B,\qquad \|\mathbf F_B\|=|q|vB\sin\theta,\qquad \mathbf F_B\cdot\mathbf v=0$$

$q$ หน่วยคูลอมบ์ $\mathbf v$ หน่วยเมตรต่อวินาที $\mathbf B$ หน่วยเทสลา ใช้ค่าขณะนั้นได้แม้สนามไม่สม่ำเสมอ แต่การทำนายวิถีต้องแก้สมการการเคลื่อนที่ตามสนาม แรงแม่เหล็กเพียงส่วนนี้ไม่ทำงานต่อประจุจุด เพราะตั้งฉากกับความเร็ว

ตัวอย่าง E-7 · อิเล็กตรอนในสนามตามแกน z

### ให้ $q=-e=-1.602176634\times10^{-19}\,\mathrm C$, $\mathbf v=(2.0\times10^6,0,0)\,\mathrm{m/s}$, $\mathbf B=(0,0,0.10)\,\mathrm T$

- ทิศ Cross: $\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf k}=-\hat{\mathbf j}$ จึง $\mathbf v\times\mathbf B=(0,-2.0\times10^5,0)$

- คูณประจุลบ: $\mathbf F_B=(-1.602176634\times10^{-19})(0,-2.0\times10^5,0)=(0,3.204353268\times10^{-14},0)\,\mathrm N$

- ตรวจขนาด $|q|vB=(1.602176634\times10^{-19})(2.0\times10^6)(0.10)=3.204353268\times10^{-14}\,\mathrm N$ และ Dot กับความเร็วได้ศูนย์

แรงประมาณ $3.2\times10^{-14}\,\mathrm N$ ชี้ $+y$ · ถ้าเป็นประจุบวกขนาดเท่ากัน แรงจะชี้ $-y$
แสดงเลขละเอียดระหว่างคำนวณเพื่อเช็กเครื่องหมาย แต่รายงานขนาดสุดท้ายประมาณสองเลขนัยสำคัญตามข้อมูล $v,B$

ถ้า $\mathbf v\parallel\mathbf B$ หรือประจุหยุดนิ่ง แรงแม่เหล็กเป็นศูนย์แม้สนามมีค่าไม่เป็นศูนย์ หากมีสนามไฟฟ้าด้วย ส่วน $q\mathbf E$ สามารถทำงานและเปลี่ยนพลังงานจลน์ได้ จึงไม่ควรสรุปว่าแรงลอเรนซ์ทั้งหมดไม่ทำงาน

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 8. แรงแม่เหล็กต่อสายไฟ: ช่วงสายที่อยู่ในสนามและทิศกระแส

เวกเตอร์ $\mathbf L$ มีขนาดเท่าความยาวช่วงสายที่อยู่ในสนามและชี้ตามกระแสแบบดั้งเดิม ไม่ใช่ตามการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในโลหะ สูตรย่อใช้เมื่อสายช่วงนั้นตรง กระแสคงที่ และสนามสม่ำเสมอ

E9 Magnetic force on a conductor สายตรงและรูปอินทิกรัล

$$\mathbf F_B=I\mathbf L\times\mathbf B\quad\text{(สายตรง สนามสม่ำเสมอ)},\qquad\mathbf F_B=I\int_Cd\boldsymbol\ell\times\mathbf B(\mathbf r)\quad\text{(กระแสคงที่)}$$

$d\boldsymbol\ell$ ชี้ตามกระแสตลอดเส้นทาง ต้องรวมแรงทุกช่วงที่อยู่ในสนาม โดยเฉพาะขดลวดปิด: ในสนามสม่ำเสมอแรงรวมอาจเป็นศูนย์ แต่โมเมนต์รวมอาจไม่เป็นศูนย์

ตัวอย่าง E-8 · ช่วงสายตรงในช่องสนาม

### สายช่วงยาว $0.30\,\mathrm m$ ตาม $+x$ อยู่ในสนาม $\mathbf B=(0,0,0.20)\,\mathrm T$ มีกระแส $5.0\,\mathrm A$ ตาม $+x$

- กำหนด $\mathbf L=(0.30,0,0)\,\mathrm m$ เฉพาะช่วงในสนาม

- Cross: $\mathbf L\times\mathbf B=(0,-0.30(0.20),0)=(0,-0.060,0)$

- คูณกระแส $\mathbf F_B=5.0(0,-0.060,0)=(0,-0.30,0)\,\mathrm N$

แรง $0.30\,\mathrm N$ ชี้ $-y$ · กลับกระแสหรือกลับสนามอย่างใดอย่างหนึ่งแล้วทิศกลับ แต่กลับทั้งสองพร้อมกันทิศเดิม
หน่วย $\mathrm A\cdot\mathrm m\cdot\mathrm T=\mathrm N$ เพราะ $1\,\mathrm T=1\,\mathrm{N/(A\,m)}$

ในมอเตอร์และแอคชูเอเตอร์ ต้องพิจารณาตำแหน่งของแต่ละช่วงสายเพื่อหาโมเมนต์ด้วย อย่าสรุปกำลังกลจากขนาดแรงเพียงอย่างเดียว กำลังขึ้นกับความเร็วตามทิศแรง และพลังงานมาจากระบบวงจรไฟฟ้าที่จ่ายให้เครื่อง

## 9. หุ่นยนต์: ความเร็วปลายแขนเกิดจาก Cross product

สำหรับวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม $\boldsymbol\omega$ ความเร็วสัมพัทธ์ของจุดที่มีเวกเตอร์ตำแหน่ง $\mathbf r$ จากจุดอ้างอิงบนวัตถุคือ $\boldsymbol\omega\times\mathbf r$ หากจุดอ้างอิงเคลื่อนที่ด้วย ต้องบวกความเร็วของจุดอ้างอิง ไม่ใช่ใช้สูตรหมุนอย่างเดียว

E10 Rotation and revolute-joint Jacobian ความเร็วจากข้อต่อหมุน

$$\mathbf v_P=\mathbf v_O+\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{OP},\qquad\mathbf J_{v,i}=\hat{\mathbf z}_i\times(\mathbf p-\mathbf o_i),\qquad\mathbf v_{P,i}=\mathbf J_{v,i}\dot q_i$$

สูตร Jacobian ใช้กับข้อต่อหมุนที่แกนทิศหนึ่งหน่วย $\hat{\mathbf z}_i$ ผ่าน $\mathbf o_i$ โดยทุกเวกเตอร์แสดงในกรอบเดียวกัน $\dot q_i$ เป็นความเร็วเชิงมุมเป็นเรเดียนต่อวินาที สำหรับหลายข้อต่อ รวมผล $\mathbf v=\sum_i\mathbf J_{v,i}\dot q_i$ ตามแบบจำลองคิเนแมติกส์ ส่วนข้อต่อเลื่อนมีคอลัมน์ความเร็วเป็นทิศแกนเลื่อน

ตัวอย่าง E-9 · ปลายแขนหมุนรอบแกน z

### จุด $O$ อยู่กับที่ $\boldsymbol\omega=(0,0,2)\,\mathrm{rad/s}$, $\mathbf r_{OP}=(0.30,0.40,0)\,\mathrm m$

- Cross ตามลำดับ $\boldsymbol\omega\times\mathbf r$: $\mathbf v_P=(0(0)-2(0.40),2(0.30)-0(0),0)=(-0.80,0.60,0)\,\mathrm{m/s}$

- ตรวจความเร็วสัมผัส: $\mathbf v_P\cdot\mathbf r_{OP}=-0.80(0.30)+0.60(0.40)=0$

- ระยะถึงแกน $r_\perp=\sqrt{0.30^2+0.40^2}=0.50\,\mathrm m$ จึงอัตราเร็ว $\omega r_\perp=2(0.50)=1.0\,\mathrm{m/s}$ ตรงกับ $\sqrt{0.80^2+0.60^2}=1.0$

ความเร็ว $(-0.80,0.60,0)\,\mathrm{m/s}$ · อัตราเร็ว $1.0\,\mathrm{m/s}$
ความเร็วนี้เป็นค่าขณะหนึ่ง ไม่ใช่การกระจัดเมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งวินาที เพราะทิศ $\mathbf r$ และทิศความเร็วเปลี่ยนระหว่างการหมุน

ศึกษาความเร็วหุ่นยนต์เพิ่มเติมได้จาก Modern Robotics — §5.1.1 Space Jacobian ซึ่งใช้ทวิสต์และ Space Jacobian การจัดองค์ประกอบของทวิสต์ต่างจากคอลัมน์ความเร็วตำแหน่ง $\mathbf J_{v,i}$ ที่ใช้ด้านบน จึงต้องตรวจนิยามกรอบพิกัดและแปลงความเร็วของจุดให้ตรงกันก่อนเทียบสูตร

FK/IK, Jacobian, ภาวะเอกฐาน และการเลือกมอเตอร์จาก τ = JᵀF อยู่ในบท เวกเตอร์ในแขนกล

## 10. สมดุล: รวมแรงเป็นศูนย์แล้วต้องตรวจโมเมนต์อีกหรือไม่?

E11 Static equilibrium เงื่อนไขสมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง

$$\sum\mathbf F=\mathbf0,\qquad\sum\boldsymbol\tau_O=\mathbf0$$

ในสามมิติเป็นสมการสเกลาร์ถึง 6 สมการ ในปัญหาระนาบทั่วไปใช้ $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$, $\sum\tau_z=0$ สำหรับจุดมวลหรือจุดต่อที่แรงทุกตัวผ่านจุดเดียวกัน การตรวจแรงเป็นศูนย์เพียงพอสำหรับสมดุลการเลื่อนของแบบจำลองนั้น

ตัวอย่าง E-10 · คู่ควบแรงที่แรงรวมเป็นศูนย์

### ที่ $P_1=(0.20,0,0)\,\mathrm m$ มีแรง $\mathbf F_1=(0,100,0)\,\mathrm N$ และที่ $P_2=(-0.20,0,0)\,\mathrm m$ มีแรง $\mathbf F_2=(0,-100,0)\,\mathrm N$

- แรงรวม $\mathbf F_1+\mathbf F_2=\mathbf0$

- โมเมนต์รอบจุดกำเนิดของแรงแรก $(0.20,0,0)\times(0,100,0)=(0,0,20)\,\mathrm{N\,m}$

- โมเมนต์ของแรงที่สอง $(-0.20,0,0)\times(0,-100,0)=(0,0,20)\,\mathrm{N\,m}$

โมเมนต์รวม $(0,0,40)\,\mathrm{N\,m}$ จึงไม่สมดุลการหมุน แม้แรงรวมเป็นศูนย์
ตรวจจากระยะระหว่างแนวแรง $0.40\,\mathrm m$: คู่ควบแรงมีขนาด $100(0.40)=40\,\mathrm{N\,m}$

## 11. ข้อผิดพลาดที่ทำให้คำตอบวิศวกรรมผิดทั้งทิศและหน่วย

- ใช้มิลลิเมตรร่วมกับเมตร: แปลง $200\,\mathrm{mm}=0.200\,\mathrm m$ ก่อนคูณแรง เพื่อให้โมเมนต์ออกมาเป็น $\mathrm{N\,m}$
- คูณแรงดึงกับเวกเตอร์ระยะทางทันที: ต้องหารความยาวให้เป็นหนึ่งหน่วยก่อน มิฉะนั้นหน่วยกลายเป็น $\mathrm{N\,m}$ แทน $\mathrm N$
- ใช้ระยะทางแทนการกระจัดในงานของแรงคงที่: เลือกเวกเตอร์จากต้นทางถึงปลายทาง แล้ว Dot กับแรง
- ใช้แรงปลายทางคูณระยะเมื่อแรงเปลี่ยน: ใช้อินทิกรัลหรือวิธีเฉลี่ยที่มีเหตุผลจากฟังก์ชันแรง ไม่เดาค่าเฉลี่ย
- โมเมนต์ใช้ $\mathbf F\times\mathbf r$: ลำดับกลับทำให้เครื่องหมายทุกแกนกลับ ต้องเป็น $\mathbf r\times\mathbf F$
- แทนโมเมนต์รอบแกนด้วยขนาดรวม: ต้อง Dot เวกเตอร์โมเมนต์กับทิศแกนหนึ่งหน่วย
- อ่านแรงประจุลบจากมือขวาอย่างเดียว: กฎมือขวาให้ทิศ $\mathbf v\times\mathbf B$ แล้วต้องคูณเครื่องหมาย $q$
- ใช้ความยาวสายทั้งหมดในสนามเฉพาะบางช่วง: ใช้เฉพาะช่วงที่มีสนามตามแบบจำลอง และอินทิเกรตถ้าทิศสายหรือสนามเปลี่ยน
- เชื่อมเฟสเซอร์กับเวกเตอร์อวกาศโดยไม่กำหนดความหมาย: เฟสเซอร์ $\underline V=V_{\rm rms}\angle\phi$ ใช้มุมแทนเฟสเวลา กำลังเชิงซ้อนของวงจรใช้ $S=\underline V\underline I^*$ ตามข้อตกลง RMS ไม่ใช่ $\mathbf F\cdot\mathbf v$ หรือ Cross ของเวกเตอร์ตำแหน่ง

## 12. แบบฝึกหัด: ฝึกเลือกสูตรก่อนแทนค่า

- แรง $(120,-40,30)\,\mathrm N$ กับ $(-20,90,-10)\,\mathrm N$ กระทำที่จุดเดียวกัน หาแรงลัพธ์และขนาด
- จุด $A=(1,0,0)$, $B=(3,3,6)$ หน่วยเมตร สายมีแรงดึง 350 นิวตัน หาแรงที่สายกระทำต่อ $A$
- แรงคงที่ $(10,-5,2)\,\mathrm N$ กระจัด $(3,4,-1)\,\mathrm m$ หางาน
- แรง $F_x=3x^2$ โดยสัมประสิทธิ์มีหน่วย $\mathrm{N/m^2}$ เคลื่อนจาก 0 ถึง 2 เมตร หางาน
- ให้ $\mathbf r=(0.4,0,0)\,\mathrm m$, $\mathbf F=(0,-30,10)\,\mathrm N$ หาโมเมนต์และองค์ประกอบรอบ $+z$
- สายตรง $I=2\,\mathrm A$, $\mathbf L=(0,0.5,0)\,\mathrm m$, $\mathbf B=(0.3,0,0)\,\mathrm T$ หาแรงแม่เหล็ก
- ข้อต่อหมุน $\boldsymbol\omega=(0,0,-3)\,\mathrm{rad/s}$, $\mathbf r=(0.2,0,0)\,\mathrm m$ และจุดอ้างอิงอยู่กับที่ หาเวกเตอร์ความเร็ว

เปิดเฉลยพร้อมเหตุผล

- $\mathbf R=(100,50,20)\,\mathrm N$, $\|\mathbf R\|=\sqrt{10000+2500+400}=\sqrt{12900}\approx113.58\,\mathrm N$
- $\mathbf d_{AB}=(2,3,6)\,\mathrm m$ ความยาว 7 เมตร จึง $\mathbf F=350(2,3,6)/7=(100,150,300)\,\mathrm N$
- $W=10(3)-5(4)+2(-1)=8\,\mathrm J$ เป็นบวก
- ให้ $k=3\,\mathrm{N/m^2}$ แล้ว $W=\int_0^{2\,\mathrm m}kx^2dx=(k/3)(2\,\mathrm m)^3=8\,\mathrm J$
- $\boldsymbol\tau=(0,-4,-12)\,\mathrm{N\,m}$; รอบ $+z$ คือ $-12\,\mathrm{N\,m}$ ส่วนขนาดรวม $\sqrt{160}\approx12.65\,\mathrm{N\,m}$
- $\mathbf L\times\mathbf B=(0,0,-0.15)$ จึง $\mathbf F=(0,0,-0.30)\,\mathrm N$ เพราะ $\hat{\mathbf j}\times\hat{\mathbf i}=-\hat{\mathbf k}$
- $\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r=(0,-0.6,0)\,\mathrm{m/s}$ สวนทิศตัวอย่างการหมุนด้วย $+\omega_z$

## 13. สรุปสูตรและเงื่อนไขใช้งาน

| ปริมาณ | สูตร | เงื่อนไขที่ต้องตรวจ | รหัส |
| แรงลัพธ์ | $\mathbf R=\sum\mathbf F_i$ | ระบบพิกัดเดียวกัน; วัตถุแข็งเกร็งต้องเก็บโมเมนต์ด้วย | E1 |
| แรงสายเคเบิล | $T(\mathbf r_B-\mathbf r_A)/\|\mathbf r_B-\mathbf r_A\|$ | สายดึงจาก A ไป B; A และ B ไม่ตรงกัน | E2 |
| แรงตามแนว | $F_\parallel=\mathbf F\cdot\hat{\mathbf u}$ | ทิศ $\hat{\mathbf u}$ ต้องเป็นหนึ่งหน่วย | E3 |
| งานแรงคงที่ | $W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r$ | แรงคงที่ทั้งขนาดและทิศ | E4 |
| งานทั่วไป | $W=\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ | ระบุเส้นทางและทิศให้ครบ | E5 |
| โมเมนต์รอบจุด | $\boldsymbol\tau_O=\mathbf r_{OP}\times\mathbf F$ | ตำแหน่งเริ่มจาก O ไปจุดออกแรง P | E6 |
| โมเมนต์รอบแกน | $\tau_u=\hat{\mathbf u}\cdot\boldsymbol\tau_O$ | แกนผ่าน O; $\hat{\mathbf u}$ เป็นหนึ่งหน่วย | E7 |
| แรงต่อประจุ | $\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B$ | แยกจากแรงไฟฟ้า; ตรวจเครื่องหมายประจุ | E8 |
| แรงสายตรง | $\mathbf F_B=I\mathbf L\times\mathbf B$ | สายตรง สนามสม่ำเสมอ กระแสคงที่ | E9 |
| ความเร็วจากการหมุน | $\mathbf v_P=\mathbf v_O+\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{OP}$ | วัตถุแข็งเกร็ง; หน่วยมุม rad/s | E10 |
| สมดุลวัตถุแข็งเกร็ง | $\sum\mathbf F=\mathbf0,\ \sum\boldsymbol\tau_O=\mathbf0$ | ตรวจแรงภายนอกและโมเมนต์ภายนอกครบ | E11 |

## 14. แหล่งอ่านต่อและเส้นทางค้นคว้า

ใช้ตำราเปิดต่อไปนี้เพื่ออ่านนิยาม เงื่อนไขทางฟิสิกส์ และตัวอย่างเพิ่มเติม แยกหลักคณิตศาสตร์ออกจากข้อสมมติของอุปกรณ์จริงเสมอ

- OpenStax, Calculus Volume 3 — §2.3 The Dot Product: มุม องค์ประกอบ การฉาย และงาน
- OpenStax, Calculus Volume 3 — §2.4 The Cross Product: ทิศตั้งฉาก พื้นที่ Scalar triple product และโมเมนต์
- OpenStax, University Physics Volume 1 — §7.1 Work: งานของแรงคงที่และแรงแปรผัน
- OpenStax, University Physics Volume 1 — §10.6 Torque: แนวแรง แขนโมเมนต์ และกฎมือขวา
- OpenStax, University Physics Volume 1 — §12.1 Conditions for Static Equilibrium: เงื่อนไขสมดุลแรงและโมเมนต์
- OpenStax, University Physics Volume 2 — §11.2 Magnetic Fields and Lines: แรงแม่เหล็กต่อประจุและทิศสนาม
- OpenStax, University Physics Volume 2 — §11.4 Magnetic Force on a Current-Carrying Conductor: แรงต่อกระแสและเงื่อนไขของสูตรสายตรง
- Northwestern University, Modern Robotics — §5.1.1 Space Jacobian: ทวิสต์ Space Jacobian และการเชื่อมความเร็วข้อต่อกับความเร็วของวัตถุแข็งเกร็ง

ย้อนทบทวน พื้นฐานเวกเตอร์, การบวก ลบ และคูณสเกลาร์, Component และ Projection, Dot product, Cross product หรือทดลองตัวเลขของตนเองใน Vector Lab

## คำถามที่พบบ่อย

เมื่อไรใช้ Dot product และเมื่อไรใช้ Cross product ในงานวิศวกรรม?
ใช้ Dot เมื่อหาส่วนตามทิศ เช่น งาน F·Δr หรือองค์ประกอบแรงตามแกน ใช้ Cross เมื่อต้องการทิศตั้งฉาก เช่น โมเมนต์ r×F แรงแม่เหล็ก qv×B หรือความเร็วจากการหมุน ω×r

ทราบจุดปลายสายเคเบิลแล้วหาแรงเวกเตอร์ได้อย่างไร?
ลบตำแหน่งปลายสายกับจุดที่แรงกระทำเพื่อได้เวกเตอร์ทิศ หารด้วยความยาวให้เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย แล้วคูณขนาดแรงดึง สายดึงวัตถุเข้าหาปลายสาย ไม่ผลักออกจากปลายสาย

ใช้ W=F·Δr ได้ทุกกรณีหรือไม่?
สูตรนี้ใช้เมื่อแรงเป็นเวกเตอร์คงที่ตลอดการเคลื่อนที่ ถ้าแรงเปลี่ยนตามตำแหน่งหรือทิศ ต้องคำนวณ W=∫F·dr ตามเส้นทาง หรืออินทิเกรตตามพารามิเตอร์ที่ระบุ

โมเมนต์รอบจุดกับโมเมนต์รอบแกนต่างกันอย่างไร?
โมเมนต์รอบจุดเป็นเวกเตอร์ τO=r×F ส่วนโมเมนต์รอบแกนเป็นสเกลาร์มีเครื่องหมาย τu=û·τO เมื่อ û เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามแกนที่ผ่าน O ขนาดโมเมนต์รวมไม่ได้เท่ากับองค์ประกอบรอบแกนเสมอ

สูตรแรงแม่เหล็กของสายไฟ IL×B มีเงื่อนไขอะไร?
ใช้กับช่วงสายตรงที่อยู่ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอและมีกระแสคงที่ โดย L ชี้ตามกระแสแบบดั้งเดิม ถ้าสายโค้งหรือสนามเปลี่ยนตามตำแหน่ง ให้ใช้ dF=I dl×B แล้วอินทิเกรตตลอดช่วงสาย

เวกเตอร์ในอวกาศเหมือนเฟสเซอร์วงจร AC หรือไม่?
ไม่เหมือนกันโดยอัตโนมัติ เวกเตอร์ตำแหน่งและแรงมีแกนเชิงพื้นที่ ส่วนเฟสเซอร์ใช้ระนาบเชิงซ้อนแทนขนาดและเฟสของสัญญาณไซน์ตามเวลา การคำนวณกำลังเชิงซ้อนจึงมีข้อตกลง RMS และคอนจูเกตของตัวเอง

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**เมื่อไรใช้ Dot product และเมื่อไรใช้ Cross product ในงานวิศวกรรม?**
ใช้ Dot เมื่อหาส่วนตามทิศ เช่น งาน F·Δr หรือองค์ประกอบแรงตามแกน ใช้ Cross เมื่อต้องการทิศตั้งฉาก เช่น โมเมนต์ r×F แรงแม่เหล็ก qv×B หรือความเร็วจากการหมุน ω×r

**ทราบจุดปลายสายเคเบิลแล้วหาแรงเวกเตอร์ได้อย่างไร?**
ลบตำแหน่งปลายสายกับจุดที่แรงกระทำเพื่อได้เวกเตอร์ทิศ หารด้วยความยาวให้เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย แล้วคูณขนาดแรงดึง สายดึงวัตถุเข้าหาปลายสาย ไม่ผลักออกจากปลายสาย

**ใช้ W=F·Δr ได้ทุกกรณีหรือไม่?**
สูตรนี้ใช้เมื่อแรงเป็นเวกเตอร์คงที่ตลอดการเคลื่อนที่ ถ้าแรงเปลี่ยนตามตำแหน่งหรือทิศ ต้องคำนวณ W=∫F·dr ตามเส้นทาง หรืออินทิเกรตตามพารามิเตอร์ที่ระบุ

**โมเมนต์รอบจุดกับโมเมนต์รอบแกนต่างกันอย่างไร?**
โมเมนต์รอบจุดเป็นเวกเตอร์ τO=r×F ส่วนโมเมนต์รอบแกนเป็นสเกลาร์มีเครื่องหมาย τu=û·τO เมื่อ û เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามแกนที่ผ่าน O ขนาดโมเมนต์รวมไม่ได้เท่ากับองค์ประกอบรอบแกนเสมอ

**สูตรแรงแม่เหล็กของสายไฟ IL×B มีเงื่อนไขอะไร?**
ใช้กับช่วงสายตรงที่อยู่ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอและมีกระแสคงที่ โดย L ชี้ตามกระแสแบบดั้งเดิม ถ้าสายโค้งหรือสนามเปลี่ยนตามตำแหน่ง ให้ใช้ dF=I dl×B แล้วอินทิเกรตตลอดช่วงสาย

**เวกเตอร์ในอวกาศเหมือนเฟสเซอร์วงจร AC หรือไม่?**
ไม่เหมือนกันโดยอัตโนมัติ เวกเตอร์ตำแหน่งและแรงมีแกนเชิงพื้นที่ ส่วนเฟสเซอร์ใช้ระนาบเชิงซ้อนแทนขนาดและเฟสของสัญญาณไซน์ตามเวลา การคำนวณกำลังเชิงซ้อนจึงมีข้อตกลง RMS และคอนจูเกตของตัวเอง