--- title: "ทิศทางโคไซน์และการแตกแรงสามมิติ" url: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/direction-cosines/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-13 --- > เรียนทิศทางโคไซน์ภาษาไทยแบบเข้มข้น: มุม α β γ กับแกน x y z, cos²α + cos²β + cos²γ = 1, เวกเตอร์หนึ่งหน่วย, แตกแรงสองขั้นด้วยมุมราบและมุมเงย, แรงตามแนวสายเคเบิลจากพิกัดสองจุด, รวมแรงสามมิติ, สนามแม่เหล็กจากเซนเซอร์ พร้อมแล็บ 3 มิติหมุนดูได้และตัวอย่างวิธีทำ ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/direction-cosines/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # ทิศทางโคไซน์และการแตกแรงสามมิติ // เวกเตอร์ · ส่วนที่ 1 · Direction cosines & 3D force components ในสองมิติ มุมเดียวบอกทิศของแรงได้ครบ แต่ในสามมิติ สายเคเบิลของเสาอากาศ แรงบนข้อต่อแขนกล หรือสนามแม่เหล็กที่เซนเซอร์อ่านได้ ต้องบอกทิศด้วยมุมกับสามแกน บทนี้สร้างเครื่องมือหลักของสแตติกส์สามมิติ: มุม α β γ ทิศทางโคไซน์ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย การแตกแรงสองขั้น และการเขียนแรงตามแนวเส้นจากพิกัด พร้อมฉาก 3 มิติที่ลากหมุนดูได้ทุกมุม สรุปใน 30 วินาที - $\cos\alpha=F_x/F,\ \cos\beta=F_y/F,\ \cos\gamma=F_z/F$ และ $\mathbf u_F=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ - เอกลักษณ์ $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$ ทำให้รู้สองมุมแล้วหามุมที่สามได้ (มีสองคำตอบ) - แตกแรงสองขั้น: $F_h=F\cos\varphi$, $F_z=F\sin\varphi$, แล้ว $F_x=F_h\cos\theta$, $F_y=F_h\sin\theta$ - แรงตามสาย: $\mathbf F=F\,\dfrac{\mathbf r_B-\mathbf r_A}{\lVert\mathbf r_B-\mathbf r_A\rVert}$ ไม่ต้องหามุมเลย ## 1. ทำไมสามมิติต้องใช้มุมกับสามแกน พื้นฐาน แรง 500 N ที่ “เอียง 60° จากแกน x” ในสามมิติยังไม่ได้บอกอะไรมากนัก เพราะเวกเตอร์ทุกเส้นบนผิวกรวยรอบแกน x ที่มีมุมยอด 60° ทำมุม 60° กับแกน x เหมือนกันหมด เราจึงต้องระบุเพิ่มว่าเวกเตอร์ทำมุมกับแกน y และแกน z เท่าใด หรือใช้มุมสองมุมแบบอื่น เช่น มุมราบกับมุมเงยแบบที่ใช้หันจานดาวเทียม ทางวิศวกรรม ทิศของแรงสามมิติมักมาจากสามแหล่ง ซึ่งบทนี้จะสอนให้แปลงไปมาได้ทั้งหมด: แบบ ① ### มุมกับสามแกน α β γ ตำราสแตติกส์และแบบงานโครงสร้าง เช่น “แรงทำมุม 60°, 45° และ 120° กับแกน x, y, z” แบบ ② ### มุมราบ θ + มุมเงย φ เสาอากาศ จานดาวเทียม แผงโซลาร์ ทิศของลมหรือแสงอาทิตย์ บอกเป็นทิศบนพื้นแล้วเงยขึ้น แบบ ③ ### พิกัดสองจุดบนแนวแรง สายเคเบิล สายยึดเสา โซ่รอก แขนกล รู้ว่าสายวิ่งจากจุดไหนไปจุดไหน ## 2. นิยามมุม α β γ และทิศทางโคไซน์ พื้นฐาน วางหางของเวกเตอร์ $\mathbf F$ ที่จุดกำเนิด มุม α คือมุมระหว่าง $\mathbf F$ กับแกน +x, β คือมุมกับ +y และ γ คือมุมกับ +z ทุกมุมอยู่ในช่วง 0° ถึง 180° (ไม่ใช้มุมติดลบ เพราะเป็นมุมระหว่างสองทิศในอวกาศ ไม่ใช่การหมุนในระนาบ) เมื่อฉายเวกเตอร์ลงบนแกน x จะได้ $F_x=F\cos\alpha$ ซึ่งก็คือ dot product กับเวกเตอร์ฐาน $\mathbf F\cdot\mathbf i=F(1)\cos\alpha$ มุม α วัดในระนาบที่มีแกน x และ F เอง ไม่ใช่ในระนาบ xy — ภาพสองมิติหลอกตาได้ จึงต้องใช้แล็บหมุนดูด้านล่าง K1 Direction cosines ทิศทางโคไซน์ $$\cos\alpha=\frac{F_x}{F},\qquad \cos\beta=\frac{F_y}{F},\qquad \cos\gamma=\frac{F_z}{F},\qquad F=\lVert\mathbf F\rVert=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}$$ เครื่องหมายของโคไซน์ตรงกับเครื่องหมายขององค์ประกอบ: $F_x<0$ แปลว่า $\alpha>90^\circ$ ใช้ $\arccos$ ได้ตรง ๆ เพราะผลลัพธ์อยู่ในช่วง 0°–180° พอดี ไม่มีปัญหาควอดแรนต์แบบ arctan K2 Unit vector from direction cosines เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคือชุดทิศทางโคไซน์ $$\mathbf u_F=\frac{\mathbf F}{F}=\cos\alpha\,\mathbf i+\cos\beta\,\mathbf j+\cos\gamma\,\mathbf k,\qquad \mathbf F=F\,\mathbf u_F$$ นี่คือการแยก “ขนาด” ออกจาก “ทิศ” ให้ชัด: ทิศเก็บใน $\mathbf u_F$ ที่ไม่มีหน่วย ขนาดเก็บใน $F$ ที่มีหน่วยนิวตัน K3 Fundamental identity ผลบวกกำลังสองของทิศทางโคไซน์ $$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$$ พิสูจน์: $\lVert\mathbf u_F\rVert^2=1$ และ $\lVert\mathbf u_F\rVert^2=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma$ จึงเท่ากัน ในสองมิติจะลดรูปเป็น $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ เพราะมุมกับแกน y เท่ากับ $90^\circ-\theta$ ตัวอย่าง K-0 · จากองค์ประกอบสู่มุม ### แรง $\mathbf F=(300,400,500)$ N จงหาขนาด ทิศทางโคไซน์ และมุม α β γ - ขนาด $F=\sqrt{300^2+400^2+500^2}=\sqrt{500{,}000}=707.11$ N - $\cos\alpha=300/707.11=0.4243\Rightarrow\alpha=64.90^\circ$; $\cos\beta=0.5657\Rightarrow\beta=55.55^\circ$; $\cos\gamma=0.7071\Rightarrow\gamma=45.00^\circ$ - ตรวจ $0.18+0.32+0.50=1$ ✓ และ $\mathbf u_F=(0.4243,0.5657,0.7071)$ $F=707.1$ N · $\alpha=64.9^\circ,\ \beta=55.6^\circ,\ \gamma=45.0^\circ$ — ค่าเริ่มต้นในแล็บ 3 มิติด้านล่าง ลองลากหมุนดูว่ามุม γ อยู่ระหว่างลูกศรกับแกน z จริง ## 3. จากมุมสู่องค์ประกอบ และการหามุมที่สาม กลาง K4 Components from magnitude and direction angles องค์ประกอบจากขนาดและมุม $$\mathbf F=F\cos\alpha\,\mathbf i+F\cos\beta\,\mathbf j+F\cos\gamma\,\mathbf k$$ K5 The third angle มุมที่สามมีสองคำตอบ $$\cos\gamma=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta},\qquad \gamma_2=180^\circ-\gamma_1$$ เครื่องหมาย + เมื่อแรงชี้ขึ้น ($F_z\ge0$) และ − เมื่อชี้ลง ถ้า $\cos^2\alpha+\cos^2\beta>1$ ชุดมุมนั้นเป็นไปไม่ได้ทางเรขาคณิต เช่น α = β = 30° (เพราะ 0.75 + 0.75 = 1.5) ตัวอย่าง K-1 · โจทย์คลาสสิกของสแตติกส์ ### แรง 500 N ทำมุม α = 60° กับแกน x และ β = 45° กับแกน y แรงชี้ขึ้น จงหา γ และเขียนเวกเตอร์แรง - $\cos^2\gamma=1-\cos^2 60^\circ-\cos^2 45^\circ=1-0.25-0.5=0.25\Rightarrow\cos\gamma=\pm0.5$ - แรงชี้ขึ้น เลือก $\cos\gamma=+0.5\Rightarrow\gamma=60^\circ$ (ถ้าชี้ลงจะได้ $\gamma=120^\circ$) - $\mathbf F=500(\cos60^\circ,\cos45^\circ,\cos60^\circ)=(250,\ 353.6,\ 250)$ N - ตรวจขนาด $\sqrt{250^2+353.6^2+250^2}=500$ N ✓ $\gamma=60^\circ$ · $\mathbf F=250\mathbf i+353.6\mathbf j+250\mathbf k$ N ## 4. แตกแรงสองขั้นด้วยมุมราบ θ และมุมเงย φ กลาง เมื่อโจทย์บอกทิศเป็น “หันไปทาง 30° จากแกน x บนพื้น แล้วเงยขึ้น 50°” ให้แตกสองครั้ง: ครั้งแรกแยกแรงเป็นส่วนตั้ง $F_z$ กับส่วนนอน $F_h$ ในระนาบแนวดิ่งที่มีแรงอยู่ ครั้งที่สองแยก $F_h$ บนพื้นเป็น $F_x$ และ $F_y$ เหมือนโจทย์สองมิติ ภาพในใจคือ “เงาของแรงบนพื้น” $F_h$ แล้วค่อยแตกเงานั้น K6 Two-step resolution (azimuth θ, elevation φ) แตกแรงสองขั้น $$F_h=F\cos\varphi,\quad F_z=F\sin\varphi,\quad F_x=F_h\cos\theta=F\cos\varphi\cos\theta,\quad F_y=F\cos\varphi\sin\theta$$ กลับทาง: $F_h=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$, $\theta=\operatorname{atan2}(F_y,F_x)$, $\varphi=\operatorname{atan2}(F_z,F_h)$ บางตำราใช้มุมจากแกน z (zenith) $\phi_z=90^\circ-\varphi$ แทน ซึ่งก็คือ γ ของ K1 นั่นเอง ตัวอย่าง K-2 · สายยึดเสาอากาศ ### แรงดึงในสาย 700 N หันไปทาง θ = 30° จากแกน +x บนพื้น และเงยขึ้น φ = 50° จากพื้น จงหาองค์ประกอบและมุม α β γ - แยกตั้ง-นอน: $F_z=700\sin50^\circ=536.2$ N, $F_h=700\cos50^\circ=450.0$ N - แยกเงาบนพื้น: $F_x=450.0\cos30^\circ=389.7$ N, $F_y=450.0\sin30^\circ=225.0$ N - มุมกับแกน: $\alpha=\arccos(389.7/700)=56.17^\circ$, $\beta=\arccos(225.0/700)=71.25^\circ$, $\gamma=\arccos(536.2/700)=40.00^\circ$ - สังเกต $\gamma=90^\circ-\varphi$ เสมอ แต่ $\alpha\ne\theta$ เพราะ α วัดในอวกาศ ไม่ใช่บนพื้น $\mathbf F=(389.7,\ 225.0,\ 536.2)$ N · α = 56.2°, β = 71.3°, γ = 40.0° ข้อผิดพลาดยอดนิยมใช้ $F_x=F\cos\theta$ ตรง ๆ โดยลืมคูณ $\cos\varphi$ ก่อน ตัวเลข $700\cos30^\circ=606$ N ใหญ่เกินจริง ตรวจได้ทันทีว่า $F_x^2+F_y^2+F_z^2$ จะมากกว่า $F^2$ ## 5. แรงตามแนวเส้น: จากพิกัดสองจุดเป็นเวกเตอร์แรง กลาง สายเคเบิลรับแรงดึงได้ในแนวสายเท่านั้น ถ้ารู้พิกัดจุดยึด A และจุด B ที่สายวิ่งไปหา เราได้ทิศของแรงทันทีจากเวกเตอร์ตำแหน่ง $\mathbf r_{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A$ วิธีนี้เป็นวิธีที่วิศวกรใช้จริงมากที่สุด เพราะแบบงานบอกพิกัด ไม่ได้บอกมุม K7 Force directed along a line แรงตามแนวเส้นจาก A ไป B $$\mathbf r_{AB}=(x_B-x_A)\mathbf i+(y_B-y_A)\mathbf j+(z_B-z_A)\mathbf k,\qquad \mathbf u_{AB}=\frac{\mathbf r_{AB}}{\lVert\mathbf r_{AB}\rVert},\qquad \mathbf F=F\,\mathbf u_{AB}$$ ทิศทางโคไซน์ของแรงคือองค์ประกอบของ $\mathbf u_{AB}$ ระวังทิศ: แรงที่สายกระทำต่อจุด A ชี้จาก A ไป B (สายดึง A เข้าหา B) ส่วนแรงที่กระทำต่อ B ชี้กลับจาก B ไป A ตัวอย่าง K-3 · สายยึดจากฐานถึงยอดเสา ### สายวิ่งจาก A(0, 0, 0) m ไป B(2, −3, 6) m มีแรงดึง 840 N จงเขียนแรงที่สายกระทำต่อ A เป็นเวกเตอร์ และหามุม α β γ - $\mathbf r_{AB}=(2,-3,6)$ m ความยาว $\sqrt{4+9+36}=7$ m (ชุดตัวเลข 2-3-6-7 จำง่าย) - $\mathbf u_{AB}=(2/7,\ -3/7,\ 6/7)=(0.2857,\ -0.4286,\ 0.8571)$ - $\mathbf F=840\,\mathbf u_{AB}=(240,\ -360,\ 720)$ N - $\alpha=\arccos(2/7)=73.40^\circ$, $\beta=\arccos(-3/7)=115.38^\circ$ (เกิน 90° เพราะ $F_y<0$), $\gamma=\arccos(6/7)=31.00^\circ$ $\mathbf F=240\mathbf i-360\mathbf j+720\mathbf k$ N · ตรวจ $\sqrt{240^2+360^2+720^2}=840$ N ✓ เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ ## 6. รวมแรงสามมิติ: องค์ประกอบก่อน ขนาดทีหลัง กลาง K8 Resultant of 3D forces แรงลัพธ์สามมิติและทิศของมัน $$\mathbf R=\Big(\sum F_x\Big)\mathbf i+\Big(\sum F_y\Big)\mathbf j+\Big(\sum F_z\Big)\mathbf k,\qquad \cos\alpha_R=\frac{R_x}{R},\ \cos\beta_R=\frac{R_y}{R},\ \cos\gamma_R=\frac{R_z}{R}$$ ตัวอย่าง K-4 · เสาไฟฟ้ากับสายยึดสองเส้น ### ยอดเสาอยู่ที่ P(0, 0, 12) m สาย PA ไปสมอ A(4, −3, 0) m มีแรงดึง 650 N สาย PB ไป B(−3, 4, 0) m มีแรงดึง 390 N จงหาแรงลัพธ์ที่สายทั้งสองกระทำต่อยอดเสา - $\mathbf r_{PA}=(4,-3,-12)$, $\lVert\mathbf r_{PA}\rVert=13$ m → $\mathbf F_A=650(4,-3,-12)/13=(200,-150,-600)$ N - $\mathbf r_{PB}=(-3,4,-12)$, $\lVert\mathbf r_{PB}\rVert=13$ m → $\mathbf F_B=390(-3,4,-12)/13=(-90,120,-360)$ N - รวมองค์ประกอบ $\mathbf R=(110,\ -30,\ -960)$ N, $R=\sqrt{110^2+30^2+960^2}=966.7$ N - $\alpha_R=83.47^\circ,\ \beta_R=91.78^\circ,\ \gamma_R=173.23^\circ$: แรงลัพธ์เกือบดิ่งลง กดเสาเป็นแรงอัด 960 N - อ่านผลเชิงวิศวกรรม: ยังมีส่วนแนวนอน $(110,-30)$ N ทำให้ยอดเสาถูกดัด ต้องเพิ่มสายเส้นที่สามหรือปรับแรงดึงให้ส่วนแนวนอนหักล้างกันเป็นศูนย์ $\mathbf R=(110,-30,-960)$ N · $R=966.7$ N · ส่วนแนวนอน 114.0 N ต้องจัดการต่อ เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ ## 7. ฉาก 3 มิติ: หมุนดูมุม α β γ ให้เห็นจริง พื้นฐาน ลากภาพเพื่อหมุนกล้องรอบเวกเตอร์ ปุ่ม xy · xz · yz ให้มุมมองจากบน หน้า และข้าง ลองสามการทดลองนี้: - เลือก “ขนาด + มุม α β” ตั้ง α = β = 30° ระบบจะเตือนว่าเป็นไปไม่ได้ อธิบายด้วย K3 - เปลี่ยน Fz ให้ติดลบ แล้วดูว่า γ ข้าม 90° ขณะที่ α β ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย - มองจากบน (ปุ่ม xy) แล้วสังเกตว่า “เงา” F_h บนพื้นคือสิ่งที่ใช้กับมุมราบ θ ในตัวอย่าง K-2 เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ ## 8. ทิศทางโคไซน์กับการหมุนแกน: เมทริกซ์โคไซน์ทิศทาง ขั้นสูง ถ้ามีกรอบพิกัดใหม่ $x'y'z'$ ที่เอียงจากกรอบเดิม แกนใหม่แต่ละแกนก็มีทิศทางโคไซน์สามค่าเทียบกับแกนเดิม เก้าค่านี้จัดเป็นเมทริกซ์ที่เรียกว่า direction cosine matrix (DCM) ซึ่งเป็นเมทริกซ์หมุนนั่นเอง องค์ประกอบของเวกเตอร์ในกรอบใหม่คือ dot product กับแกนใหม่แต่ละแกน K9 Direction cosine matrix เมทริกซ์โคไซน์ทิศทาง $$\begin{bmatrix}F_{x'}\\F_{y'}\\F_{z'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta_{x'x}&\cos\theta_{x'y}&\cos\theta_{x'z}\\\cos\theta_{y'x}&\cos\theta_{y'y}&\cos\theta_{y'z}\\\cos\theta_{z'x}&\cos\theta_{z'y}&\cos\theta_{z'z}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}F_x\\F_y\\F_z\end{bmatrix}$$ แต่ละแถวคือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแกนใหม่ เขียนในกรอบเดิม ทุกแถวยาว 1 และตั้งฉากกัน (K3 ใช้กับทุกแถว) รายละเอียดการหมุนอยู่ในบท การหมุนแกนพิกัด ## 9. ใช้กับงานไฟฟ้า: สนามแม่เหล็กจากเซนเซอร์และทิศของสนาม กลาง แมกนีโตมิเตอร์สามแกนในโทรศัพท์ โดรน และมิเตอร์อัจฉริยะ อ่านค่าสนามแม่เหล็กออกมาเป็นสามองค์ประกอบ ทิศทางโคไซน์บอกว่าสนามชี้ไปทางใดเทียบกับตัวเครื่อง ส่วนมุมกับระนาบนอน (มุมจุ่ม) และมุมบนพื้น (heading) คือมุมเงยและมุมราบของ K6 แบบเดียวกับการหาทิศของสนามไฟฟ้าลัพธ์จากประจุหลายตัว ตัวอย่าง K-5 · แมกนีโตมิเตอร์สามแกน (ตัวเลขสมมติ) ### เซนเซอร์วางราบอ่าน $\mathbf B=(30,\ -10,\ -15)\ \mu$T จงหาขนาด ทิศทางโคไซน์ มุมกดลงจากแนวนอน และมุมบนพื้นจากแกน x - $B=\sqrt{30^2+10^2+15^2}=\sqrt{1225}=35\ \mu$T - $\mathbf u_B=(0.8571,\ -0.2857,\ -0.4286)$ → α = 31.00°, β = 106.60°, γ = 115.38° - ส่วนแนวนอน $B_h=\sqrt{30^2+10^2}=31.62\ \mu$T มุมกดลง $\arctan(15/31.62)=25.38^\circ$ (เท่ากับ $\gamma-90^\circ$) - มุมบนพื้น $\operatorname{atan2}(-10,30)=-18.43^\circ$ คือสนามแนวนอนเบนไปทาง −y จากแกน x ของเครื่อง $B=35\ \mu$T · กดลง 25.4° · เบน −18.4° จากแกน x (เครื่องเข็มทิศจริงต้องชดเชยความเอียงของเครื่องด้วยการหมุนแกน) สนามไฟฟ้าลัพธ์จากประจุสามตัวในสามมิติ ใช้ขั้นตอนเดียวกัน: รวมองค์ประกอบ แล้วหาทิศด้วย K8 ทดลองได้ใน บทสนามไฟฟ้าและแม่เหล็ก ## 10. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและวิธีตรวจ | ข้อผิดพลาด | ทำไมผิด / วิธีตรวจ | | ใช้ $\cos\theta$ ของมุมราบแทน $\cos\alpha$ | α วัดในอวกาศ ตรวจด้วย K3: ผลรวมกำลังสองต้องเท่ากับ 1 | | ลืมว่ามุมที่สามมีสองค่า | เลือกตามทิศขึ้น/ลงของแรง ถ้าไม่ระบุต้องรายงานทั้งสองกรณี | | ใช้ arctan หามุม α β γ | ใช้ arccos ซึ่งให้ 0°–180° ตรงนิยามพอดี | | กลับทิศ $\mathbf r_{AB}$ | แรงที่สายกระทำต่อจุดยึดชี้ “ออกจากจุดนั้นตามสาย” วาดภาพก่อนลบพิกัด | | คูณแรงด้วย $\mathbf r_{AB}$ โดยไม่หารความยาว | ได้ขนาดผิดเป็น $F\cdot L$ ตรวจหน่วย: $\mathbf u$ ต้องไม่มีหน่วย | | บวกขนาดแรงสามมิติ | รวมองค์ประกอบก่อนเสมอ ขนาดผลรวมไม่เท่าผลรวมขนาด | ## 11. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย - $\mathbf F=(-200,\ 150,\ 600)$ N จงหา F และ α β γ - แรง 1.2 kN มี α = 120°, γ = 45° และ $F_y>0$ จงหา β และองค์ประกอบ - แรง 400 N หันไปทางมุมราบ θ = 135° เงยลง φ = −20° จงหาองค์ประกอบ - สายจาก A(1, 2, 0) ไป B(−3, 6, 7) m แรงดึง 450 N จงหาแรงที่กระทำต่อ A - มุมชุด α = 45°, β = 45°, γ = 45° เป็นไปได้หรือไม่? ทำไม? เปิดเฉลย - $F=\sqrt{40000+22500+360000}=650$ N; α = arccos(−0.3077) = 107.9°, β = arccos(0.2308) = 76.66°, γ = arccos(0.9231) = 22.62° - $\cos^2\beta=1-0.25-0.5=0.25\Rightarrow\beta=60^\circ$; $\mathbf F=1.2(-0.5,\ 0.5,\ 0.7071)=(-0.6,\ 0.6,\ 0.8485)$ kN - $F_h=400\cos(-20^\circ)=375.9$, $F_z=400\sin(-20^\circ)=-136.8$; $F_x=375.9\cos135^\circ=-265.8$, $F_y=265.8$ N - $\mathbf r_{AB}=(-4,4,7)$, ยาว 9 m → $\mathbf F=50(-4,4,7)=(-200,\ 200,\ 350)$ N - ไม่ได้ เพราะ $3\cos^2 45^\circ=1.5\ne1$ มุมที่ทำกับสามแกนเท่ากันได้คือ $\arccos(1/\sqrt3)=54.74^\circ$ (ทิศ (1,1,1)) ## 12. สรุปสูตรและการเลือกใช้ | โจทย์ให้ | ใช้สูตร | ได้ | | องค์ประกอบ | K1 | มุม α β γ | | ขนาด + มุมสองมุมกับแกน | K5 แล้ว K4 | มุมที่สามและองค์ประกอบ | | ขนาด + มุมราบ + มุมเงย | K6 | องค์ประกอบ | | พิกัดสองจุดบนแนวแรง | K7 | เวกเตอร์แรงโดยตรง | | หลายแรง | K8 | แรงลัพธ์และทิศ | | กรอบพิกัดเอียง | K9 | องค์ประกอบในกรอบใหม่ | ## 13. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ - OpenStax Calculus Volume 3 §2.3 The Dot Product — นิยาม direction angles และ direction cosines - OpenStax University Physics Vol. 1 §2.2 Components of a Vector — องค์ประกอบสามมิติ - R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics, บทที่ 2 (Cartesian vectors, position vectors, force directed along a line) — ตำราหลักของวิชาสแตติกส์ ต่อไป: ใช้ทิศทางโคไซน์รวมแรงด้วยตรีโกณมิติใน แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์ หรือเปิด สตูดิโอเวกเตอร์ 3 มิติ แล้วเลือกตัวอย่าง “ทิศทางโคไซน์” ## คำถามที่พบบ่อย ทิศทางโคไซน์คืออะไร? คือโคไซน์ของมุมที่เวกเตอร์ทำกับแกน +x, +y และ +z (มุม α, β, γ ตามลำดับ) ค่าทั้งสามเท่ากับองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศนั้น cos α = Fx/|F|, cos β = Fy/|F|, cos γ = Fz/|F| และต้องเป็นไปตาม cos²α + cos²β + cos²γ = 1 รู้มุมสองมุมแล้วหามุมที่สามได้ไหม? ได้จาก cos²γ = 1 − cos²α − cos²β แต่จะได้สองคำตอบ γ และ 180° − γ ต้องดูจากโจทย์ว่าแรงชี้ขึ้น (Fz ≥ 0) หรือลง (Fz ≤ 0) ถ้า cos²α + cos²β มากกว่า 1 แปลว่ามุมที่ให้มาเป็นไปไม่ได้ แรงตามสายเคเบิลเขียนเป็นเวกเตอร์อย่างไร? หาเวกเตอร์ตำแหน่งจากจุดยึดไปจุดที่สายดึง r_AB = B − A หารด้วยความยาวได้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย แล้วคูณขนาดแรงตึง F = |F| r_AB/|r_AB| วิธีนี้ไม่ต้องหามุมเลย และทิศทางโคไซน์คือองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยนั้น มุม α β γ ต่างจากมุมราบและมุมเงยอย่างไร? α β γ วัดจากสามแกนโดยตรงและอยู่ในช่วง 0° ถึง 180° ส่วนมุมราบ θ วัดในระนาบ xy และมุมเงย φ วัดจากระนาบ xy ขึ้นไป ใช้แตกแรงสองขั้น F_h = F cos φ, Fz = F sin φ, Fx = F_h cos θ, Fy = F_h sin θ ทั้งสองแบบให้เวกเตอร์เดียวกัน มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **ทิศทางโคไซน์คืออะไร?** คือโคไซน์ของมุมที่เวกเตอร์ทำกับแกน +x, +y และ +z (มุม α, β, γ ตามลำดับ) ค่าทั้งสามเท่ากับองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศนั้น cos α = Fx/|F|, cos β = Fy/|F|, cos γ = Fz/|F| และต้องเป็นไปตาม cos²α + cos²β + cos²γ = 1 **รู้มุมสองมุมแล้วหามุมที่สามได้ไหม?** ได้จาก cos²γ = 1 − cos²α − cos²β แต่จะได้สองคำตอบ γ และ 180° − γ ต้องดูจากโจทย์ว่าแรงชี้ขึ้น (Fz ≥ 0) หรือลง (Fz ≤ 0) ถ้า cos²α + cos²β มากกว่า 1 แปลว่ามุมที่ให้มาเป็นไปไม่ได้ **แรงตามสายเคเบิลเขียนเป็นเวกเตอร์อย่างไร?** หาเวกเตอร์ตำแหน่งจากจุดยึดไปจุดที่สายดึง r_AB = B − A หารด้วยความยาวได้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย แล้วคูณขนาดแรงตึง F = |F| r_AB/|r_AB| วิธีนี้ไม่ต้องหามุมเลย และทิศทางโคไซน์คือองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยนั้น **มุม α β γ ต่างจากมุมราบและมุมเงยอย่างไร?** α β γ วัดจากสามแกนโดยตรงและอยู่ในช่วง 0° ถึง 180° ส่วนมุมราบ θ วัดในระนาบ xy และมุมเงย φ วัดจากระนาบ xy ขึ้นไป ใช้แตกแรงสองขั้น F_h = F cos φ, Fz = F sin φ, Fx = F_h cos θ, Fy = F_h sin θ ทั้งสองแบบให้เวกเตอร์เดียวกัน