---
title: "Cross Product — ครอสโปรดักต์และทิศตั้งฉาก"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/cross-product/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-13
---

> เรียน Cross Product ตั้งแต่ภาพเรขาคณิต กฎมือขวา ดีเทอร์มิแนนต์และเครื่องหมายองค์ประกอบ เวกเตอร์ 2 มิติฝังใน 3 มิติ พื้นที่ เวกเตอร์ปกติ Scalar และ Vector Triple Product พร้อมตัวอย่างทีละขั้น สูตรอ้างอิง และแบบฝึกหัดมีเฉลย

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/cross-product/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# Cross Product — ครอสโปรดักต์และทิศตั้งฉาก

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 2 · Cross product


ถ้า Dot product ถามว่า “แรงช่วยการเคลื่อนที่มากแค่ไหน” Cross product ถามว่า “แรงทำให้หมุนรอบแกนใด มากแค่ไหน” เริ่มจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน แล้วค่อยอ่านทิศตามกฎมือขวาและคำนวณทีละองค์ประกอบ ก่อนต่อยอดไปเวกเตอร์ปกติ ปริมาตร และงานวิศวกรรม

สรุปใน 30 วินาที
- $\mathbf a\times\mathbf b$ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้ง $\mathbf a$ และ $\mathbf b$ เมื่อผลไม่เป็นศูนย์
- ขนาด $\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta$ เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน
- สลับลำดับแล้วกลับเครื่องหมาย: $\mathbf b\times\mathbf a=-\mathbf a\times\mathbf b$
- สูตรบทนี้ใช้ฐานคาร์ทีเซียนตั้งฉากหนึ่งหน่วยแบบมือขวาในสามมิติ; เวกเตอร์ 2 มิติเติมองค์ประกอบ $z=0$ ก่อน

## 1. Cross product เกิดจากพื้นที่และทิศตั้งฉาก

ให้เวกเตอร์จริง $\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb R^3$ มีจุดเริ่มต้นเดียวกัน มุมเล็กระหว่างทั้งคู่คือ $0\le\theta\le\pi$ สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยใช้เวกเตอร์ทั้งสองเป็นด้าน ฐานยาว $\|\mathbf a\|$ และสูง $\|\mathbf b\|\sin\theta$ จึงได้พื้นที่เป็นผลคูณฐานกับสูง Cross product เก็บทั้งขนาดพื้นที่นี้และทิศปกติของระนาบไว้ในเวกเตอร์เดียว

ขนาดของ Cross product เท่ากับพื้นที่ แต่คำตอบยังมีทิศด้วย จุดในวงกลมหมายถึงหัวลูกศรพุ่งออกจากหน้าจอ

C1 Geometric cross product ขนาดและทิศ

$$\mathbf a\times\mathbf b=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta\,\hat{\mathbf n},\qquad \|\mathbf a\times\mathbf b\|=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta$$

$\hat{\mathbf n}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตั้งฉากตามกฎมือขวาจาก $\mathbf a$ ไป $\mathbf b$ ถ้าเวกเตอร์ตัวใดเป็นศูนย์หรือทั้งคู่ขนานกัน ผลคือ $\mathbf0$ และไม่เลือกทิศปกติจากผลนั้น

กรณี $\theta=0^\circ$ หรือ $180^\circ$ สี่เหลี่ยมยุบเป็นเส้น พื้นที่เป็นศูนย์ กรณี $90^\circ$ ได้ขนาดมากที่สุดสำหรับความยาวเวกเตอร์คงที่ ต่างจาก Dot product ที่เป็นศูนย์เมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน ทบทวนการแยกความหมายได้ที่ Dot product

หน่วยของผลคูณ: หากทั้งสองเวกเตอร์เป็นการกระจัดหน่วยเมตร ขนาด Cross product มีหน่วย $\mathrm{m^2}$ ถ้าเป็นตำแหน่งกับแรง จะได้ $\mathrm{m}\cdot\mathrm N$ ซึ่งเป็นหน่วยของโมเมนต์แรง ความหมายขึ้นกับปริมาณที่นำมาคูณ ไม่ได้เป็นพื้นที่ทางกายภาพทุกครั้ง

## 2. กฎมือขวาและลำดับของเวกเตอร์

ใช้มือขวาโค้งนิ้วจากเวกเตอร์ตัวแรก $\mathbf a$ ไปเวกเตอร์ตัวที่สอง $\mathbf b$ ผ่านมุมระหว่าง 0 ถึง 180 องศา นิ้วโป้งชี้ทิศของ $\mathbf a\times\mathbf b$ เมื่อลองสลับลำดับ นิ้วจะโค้งอีกด้าน นิ้วโป้งจึงกลับทิศ นี่คือเหตุผลทางเรขาคณิตของเครื่องหมายลบ

ฐานคาร์ทีเซียนแบบมือขวา: $\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf j}=\hat{\mathbf k}$ และวงรอบ $i\to j\to k\to i$ ให้เครื่องหมายบวก

C2 Basis products ผลคูณฐานที่ต้องจำ

$$\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf j}=\hat{\mathbf k},\quad\hat{\mathbf j}\times\hat{\mathbf k}=\hat{\mathbf i},\quad\hat{\mathbf k}\times\hat{\mathbf i}=\hat{\mathbf j}$$

$$\hat{\mathbf j}\times\hat{\mathbf i}=-\hat{\mathbf k},\quad\hat{\mathbf k}\times\hat{\mathbf j}=-\hat{\mathbf i},\quad\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf k}=-\hat{\mathbf j},\quad\hat{\mathbf e}\times\hat{\mathbf e}=\mathbf0$$

$\hat{\mathbf e}$ ในพจน์สุดท้ายเป็นฐานตัวเดียวกัน เมื่อเขียนภาพบนกระดาษ ใช้ $\odot$ แทนพุ่งออก และ $\otimes$ แทนพุ่งเข้า

ตัวอย่าง C-1 · อ่านทิศโดยยังไม่คำนวณ

### ให้ $\mathbf a=3\hat{\mathbf i}$, $\mathbf b=4\hat{\mathbf j}$ หา $\mathbf a\times\mathbf b$ และ $\mathbf b\times\mathbf a$

- ความยาวคือ 3 และ 4 ตั้งฉากกัน จึงได้ขนาด $3\cdot4\cdot\sin90^\circ=12$

- จาก $\hat{\mathbf i}$ ไป $\hat{\mathbf j}$ ได้ $+\hat{\mathbf k}$ จึง $\mathbf a\times\mathbf b=12\hat{\mathbf k}$

- ย้อนลำดับได้ $\mathbf b\times\mathbf a=-12\hat{\mathbf k}$ ขนาดเท่ากัน แต่ทิศตรงข้าม

$\mathbf a\times\mathbf b=(0,0,12)$, $\mathbf b\times\mathbf a=(0,0,-12)$

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 3. สูตรองค์ประกอบและดีเทอร์มิแนนต์: ระวังเครื่องหมายแกน y

ก่อนคำนวณให้เวกเตอร์ทั้งคู่ใช้ฐานเดียวกัน หากอุปกรณ์วัดตัวหนึ่งใช้พิกัดโลก อีกตัวใช้พิกัดตัวเครื่อง ต้องแปลงพิกัดให้ตรงกันก่อน สูตรต่อไปนี้สมมติฐาน $\hat{\mathbf i},\hat{\mathbf j},\hat{\mathbf k}$ ตั้งฉาก หน่วยยาวเท่ากับ 1 และมีลำดับแบบมือขวา

C3 Component formula คำนวณสามองค์ประกอบ

$$\begin{aligned}\mathbf a\times\mathbf b&=(a_yb_z-a_zb_y)\hat{\mathbf i}+(a_zb_x-a_xb_z)\hat{\mathbf j}+(a_xb_y-a_yb_x)\hat{\mathbf k}\\&=\begin{vmatrix}\hat{\mathbf i}&\hat{\mathbf j}&\hat{\mathbf k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}\end{aligned}$$

รูปดีเทอร์มิแนนต์เป็นสัญลักษณ์ช่วยจำการขยาย ไม่ใช่ดีเทอร์มิแนนต์ตัวเลขธรรมดา เพราะแถวแรกมีเวกเตอร์ ขยายแถวแรกได้เครื่องหมาย $+,-,+$: $\hat{\mathbf i}(a_yb_z-a_zb_y)-\hat{\mathbf j}(a_xb_z-a_zb_x)+\hat{\mathbf k}(a_xb_y-a_yb_x)$ สูตรบรรทัดแรกกระจายลบของพจน์ $j$ ให้แล้ว

C4 Orthogonality checks ตรวจคำตอบด้วย Dot product

$$(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf a=0,\qquad(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf b=0$$

คำตอบถูกต้องต้องผ่านทั้งสองเงื่อนไข แต่เงื่อนไขนี้เพียงอย่างเดียวยังตรวจขนาดหรือการกลับเครื่องหมายไม่ได้ ต้องตรวจสูตรองค์ประกอบและกฎมือขวาด้วย

ตัวอย่าง C-2 · คิดทีละแกนและตรวจสองวิธี

### หา $\mathbf a\times\mathbf b$ เมื่อ $\mathbf a=(2,-1,3)$, $\mathbf b=(1,4,-2)$

- แกน $x$: $a_yb_z-a_zb_y=(-1)(-2)-(3)(4)=2-12=-10$

- แกน $y$: $a_zb_x-a_xb_z=(3)(1)-(2)(-2)=3+4=7$ หากใช้ดีเทอร์มิแนนต์ พจน์ในวงเล็บคือ $-7$ แล้วคูณลบหน้า $j$ ได้ $+7$

- แกน $z$: $a_xb_y-a_yb_x=(2)(4)-(-1)(1)=8+1=9$

- ตรวจตั้งฉากกับ $\mathbf a$: $(-10)(2)+(7)(-1)+(9)(3)=-20-7+27=0$ และกับ $\mathbf b$: $-10+28-18=0$

- ตรวจขนาด: $\|\mathbf a\|^2=14$, $\|\mathbf b\|^2=21$, $\mathbf a\cdot\mathbf b=-8$ จึง $\|\mathbf a\times\mathbf b\|^2=14(21)-(-8)^2=230$ ตรงกับ $(-10)^2+7^2+9^2=230$

$\mathbf a\times\mathbf b=(-10,7,9)$, ขนาด $\sqrt{230}\approx15.166$

สูตรองค์ประกอบมาจากการแจกแจง $(a_x\hat{\mathbf i}+a_y\hat{\mathbf j}+a_z\hat{\mathbf k})\times(b_x\hat{\mathbf i}+b_y\hat{\mathbf j}+b_z\hat{\mathbf k})$ เป็น 9 พจน์ พจน์ที่คูณฐานเดียวกันหายไป เหลือ 6 พจน์ ใช้ C2 รวมเป็นสามแกน ดังนั้นสูตรไม่ได้เป็นเพียงกฎจำเครื่องหมาย แต่สอดคล้องกับความหมายของฐานทุกพจน์

## 4. เวกเตอร์ 2 มิติ: องค์ประกอบ z และพื้นที่มีเครื่องหมาย

ถ้าเวกเตอร์อยู่ในระนาบ $xy$ ให้เติมศูนย์เป็น $\mathbf a=(a_x,a_y,0)$, $\mathbf b=(b_x,b_y,0)$ ผลคูณจะชี้ตามแกน $z$ เท่านั้น บางโปรแกรมคืนค่าตัวเลขเดียว $a_xb_y-a_yb_x$ เรียกว่า 2D cross แต่ตัวเลขนี้เป็นองค์ประกอบ $z$ ของ Cross product สามมิติ จึงต้องแยกจากเวกเตอร์ผลลัพธ์

C5 Planar signed cross ครอสบนระนาบ

$$(a_x,a_y,0)\times(b_x,b_y,0)=(0,0,a_xb_y-a_yb_x),\qquad A_{\rm triangle}=\tfrac12|a_xb_y-a_yb_x|$$

เมื่อ $+x$ ชี้ขวา $+y$ ชี้ขึ้น และมองจากด้าน $+z$ เข้าหาจุดกำเนิด ค่าบวกหมายถึงการหมุนจาก $\mathbf a$ ไป $\mathbf b$ ทวนเข็มนาฬิกาผ่านมุมไม่เกิน $180^\circ$; ค่าลบตามเข็ม ระวังพิกัดจอที่แกน $y$ ชี้ลง เพราะภาพจะดูสลับทิศ

ตัวอย่าง C-3 · พื้นที่สามเหลี่ยมจากจุดสามจุด

### ให้ $A=(1,1)$, $B=(5,2)$, $C=(2,4)$ หาพื้นที่และทิศเรียงจุด

- สร้างเวกเตอร์จากจุดเริ่มต้นเดียวกัน: $\overrightarrow{AB}=(4,1)$, $\overrightarrow{AC}=(1,3)$ อย่า Cross ตำแหน่ง $B$ กับ $C$ โดยตรง เพราะสามเหลี่ยมไม่ได้เริ่มที่จุดกำเนิด

- องค์ประกอบ $z=4(3)-1(1)=11$ ดังนั้น $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,0,11)$

- พื้นที่สามเหลี่ยมคือครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม: $A=11/2=5.5$ ตารางหน่วย เครื่องหมายบวกบอกว่า $A\to B\to C$ เรียงทวนเข็มในพิกัดมาตรฐาน

พื้นที่ $5.5$ ตารางหน่วย · ลำดับจุดทวนเข็มนาฬิกา · หากสลับ $B,C$ พื้นที่ยังเท่าเดิม แต่เครื่องหมายเปลี่ยน

ในงาน CAD หรือเมชสามเหลี่ยม เครื่องหมายนี้ช่วยกำหนดการเรียงจุดและด้านหน้าของพื้นผิว เมื่อมีค่าทศนิยมใกล้ศูนย์มาก ควรเทียบกับเกณฑ์ที่สัมพันธ์กับสเกลของพิกัดและความแม่นยำของการวัด ไม่ตัดสินด้วยการเท่ากับศูนย์แบบตัวเลขลอยตัวเพียงอย่างเดียว

## 5. สมบัติที่ใช้ได้ และเหตุผลที่ห้ามสลับวงเล็บ

C6 Algebraic properties สมบัติพีชคณิต

$$\begin{gathered}\mathbf a\times\mathbf b=-\mathbf b\times\mathbf a,\qquad \mathbf a\times\mathbf a=\mathbf0\\\mathbf a\times(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\times\mathbf b+\mathbf a\times\mathbf c\$\mathbf a+\mathbf b)\times\mathbf c=\mathbf a\times\mathbf c+\mathbf b\times\mathbf c\\(\alpha\mathbf a)\times(\beta\mathbf b)=\alpha\beta(\mathbf a\times\mathbf b)\end{gathered}$$

ใช้ได้กับสเกลาร์จริง \(\alpha,\beta$ การดึงสเกลาร์ออกไม่สลับลำดับเวกเตอร์

C7 Lagrange's identity ตรวจขนาดโดยไม่หามุม

$$\|\mathbf a\times\mathbf b\|^2=\|\mathbf a\|^2\|\mathbf b\|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2$$

มาจาก $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ ใช้ตรวจตัวอย่าง C-2 ได้ทันที ถ้าคำนวณตัวเลขลอยตัวแล้วได้ติดลบเล็กน้อยในกรณีเกือบขนาน ให้ตรวจความคลาดเคลื่อนและความแม่นยำก่อนถอดราก

Cross product ไม่เปลี่ยนกลุ่ม: ให้ $\mathbf a=\hat{\mathbf i}$, $\mathbf b=\hat{\mathbf i}$, $\mathbf c=\hat{\mathbf j}$ จะได้ $(\mathbf a\times\mathbf b)\times\mathbf c=\mathbf0$ แต่ $\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)=\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf k}=-\hat{\mathbf j}$ จึงห้ามลบวงเล็บหรือเลื่อนวงเล็บตามใจ

## 6. เวกเตอร์ปกติและสมการระนาบ

สองทิศที่ไม่ขนานกันในระนาบกำหนดทิศตั้งฉากได้ด้วย Cross product หากต้องการปกติหนึ่งหน่วยให้นำผลหารด้วยความยาว ถ้าผลเป็นศูนย์ แสดงว่าสองทิศไม่พอที่จะกำหนดระนาบ ต้องเลือกเวกเตอร์อิสระอีกตัว

C8 Normal and plane ปกติหนึ่งหน่วยและสมการระนาบ

$$\hat{\mathbf n}=\frac{\mathbf a\times\mathbf b}{\|\mathbf a\times\mathbf b\|},\qquad \mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf p)=0,\quad \mathbf n=\mathbf a\times\mathbf b\ne\mathbf0$$

$\mathbf p$ เป็นจุดหนึ่งบนระนาบ และ $\mathbf x=(x,y,z)$ เป็นจุดทั่วไป $-\hat{\mathbf n}$ ก็เป็นปกติอีกด้านของระนาบเดียวกัน แต่มีผลต่อเครื่องหมายของฟลักซ์และการเรียงเมช

ตัวอย่าง C-4 · หา normal ของแผ่นในสามมิติ

### ระนาบผ่าน $P=(1,2,-1)$ และขนานกับ $\mathbf a=(2,-1,3)$, $\mathbf b=(1,4,-2)$ หาสมการระนาบ

- ใช้ผลจาก C-2: $\mathbf n=(-10,7,9)$ ไม่เป็นศูนย์ จึงกำหนดระนาบได้

- ตั้ง $\mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf p)=0$: $-10(x-1)+7(y-2)+9(z+1)=0$

- จัดรูปเป็น $-10x+7y+9z+5=0$ ตรวจแทน $P$ ได้ $-10+14-9+5=0$

ระนาบ $-10x+7y+9z+5=0$ · ปกติหนึ่งหน่วย $\hat{\mathbf n}=(-10,7,9)/\sqrt{230}$

## 7. Scalar triple product: ปริมาตรและการอยู่ร่วมระนาบ

Cross สองเวกเตอร์ให้เวกเตอร์พื้นที่ แล้ว Dot กับเวกเตอร์ตัวที่สามเพื่อดึงเฉพาะความสูงตามปกติ ผลจึงเป็น “พื้นที่ฐาน × ความสูงมีเครื่องหมาย” สังเกตว่าสูตรนี้ให้สเกลาร์ ต่างจาก Cross สองครั้งที่หัวข้อถัดไป

C9 Scalar triple product ปริมาตรมีเครื่องหมาย

$$s=\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix},\qquad V_{\rm parallelepiped}=|s|,\qquad V_{\rm tetrahedron}=\frac{|s|}{6}$$

หมุนลำดับแบบวงรอบแล้วค่าเดิม: $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)=\mathbf b\cdot(\mathbf c\times\mathbf a)=\mathbf c\cdot(\mathbf a\times\mathbf b)$ สลับสองตัวแล้วเครื่องหมายกลับ ถ้า $s=0$ เวกเตอร์สามตัวพึ่งพาเชิงเส้นและอยู่ในระนาบผ่านจุดกำเนิดร่วมกันได้ ปริมาตรเป็นศูนย์

ตัวอย่าง C-5 · ปริมาตรกล่องเอียง

### ขอบจากมุมเดียวกันเป็น $\mathbf a=(2,0,0)\,\mathrm m$, $\mathbf b=(1,3,0)\,\mathrm m$, $\mathbf c=(0,1,4)\,\mathrm m$

- หา $\mathbf b\times\mathbf c=(12,-4,1)\,\mathrm{m^2}$

- Dot กับ $\mathbf a$: $s=2(12)+0(-4)+0(1)=24\,\mathrm{m^3}$

- ตรวจเรขาคณิต: พื้นที่ฐาน $\|\mathbf a\times\mathbf b\|=6\,\mathrm{m^2}$ ความสูงตามแกน $z=4\,\mathrm m$ จึง $6\cdot4=24\,\mathrm{m^3}$

กล่องเอียงมีปริมาตร $24\,\mathrm{m^3}$ · ทรงสี่หน้าที่ใช้สามขอบนี้จากจุดเดียวกันมีปริมาตร $4\,\mathrm{m^3}$

## 8. Vector triple product: สูตร BAC–CAB

ครอสซ้อนครอส เช่น $\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)$ ยังเป็นเวกเตอร์ โดยผลอยู่ในระนาบที่กางโดย $\mathbf b,\mathbf c$ อัตลักษณ์ต่อไปนี้ทำให้เปลี่ยน Cross ซ้อนเป็นการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ Dot ได้ และย้ำว่าต้องรักษาวงเล็บ

C10 Vector triple product BAC–CAB และวงเล็บอีกด้าน

$$\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)=\mathbf b(\mathbf a\cdot\mathbf c)-\mathbf c(\mathbf a\cdot\mathbf b)$$

$$(\mathbf a\times\mathbf b)\times\mathbf c=\mathbf b(\mathbf a\cdot\mathbf c)-\mathbf a(\mathbf b\cdot\mathbf c)$$

จำ BAC–CAB สำหรับสูตรแรก: เวกเตอร์ $b$ คูณ Dot ของ $a,c$ ลบเวกเตอร์ $c$ คูณ Dot ของ $a,b$ สูตรที่สองมีเวกเตอร์ตัวหลังพจน์ลบต่างกัน จึงห้ามเปลี่ยนกลุ่ม

C11 Double cross and projection ดึงส่วนตั้งฉากกับแนวหนึ่งหน่วย

$$\hat{\mathbf u}\times(\mathbf a\times\hat{\mathbf u})=\mathbf a-(\mathbf a\cdot\hat{\mathbf u})\hat{\mathbf u}=\mathbf a_\perp,\qquad\|\hat{\mathbf u}\|=1$$

สูตรนี้เชื่อมกับ Component และ Projection เพราะแยกส่วนขนานออก เหลือส่วนตั้งฉาก หากใช้ $\hat{\mathbf u}\times(\hat{\mathbf u}\times\mathbf a)$ จะได้ $-\mathbf a_\perp$ เนื่องจากลำดับกลับกัน

ตัวอย่าง C-6 · ดึงองค์ประกอบบนระนาบ xy

### ให้ $\mathbf a=(3,4,5)$, $\hat{\mathbf u}=\hat{\mathbf k}$ คำนวณ $\hat{\mathbf u}\times(\mathbf a\times\hat{\mathbf u})$

- ครอสด้านใน: $(3,4,5)\times(0,0,1)=(4,-3,0)$

- ครอสด้านนอก: $(0,0,1)\times(4,-3,0)=(3,4,0)$

- ตรวจ C11: $\mathbf a\cdot\hat{\mathbf k}=5$ จึง $\mathbf a-5\hat{\mathbf k}=(3,4,0)$

ผล $(3,4,0)$ คือส่วนของ $\mathbf a$ ที่ตั้งฉากกับแกน $z$ ไม่ใช่ส่วนขนานกับแกน $z$

## 9. เหตุใดวิศวกรรมจึงใช้ Cross product

| งาน | สูตร | ความหมาย |
| โมเมนต์แรงรอบจุด O | $\boldsymbol\tau_O=\mathbf r_{OP}\times\mathbf F$ | ขนาดวัดการหมุน ทิศบอกแกนหมุน โดย $\mathbf r$ เริ่มจากจุดอ้างอิงไปจุดออกแรง |
| แรงแม่เหล็กต่อประจุ | $\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B$ | ตั้งฉากกับความเร็วและสนาม ประจุลบกลับทิศจากกฎมือขวา |
| แรงต่อสายตรงในสนามสม่ำเสมอ | $\mathbf F_B=I\mathbf L\times\mathbf B$ | $\mathbf L$ ชี้ตามกระแสแบบดั้งเดิม เฉพาะส่วนสายที่อยู่ในสนาม |
| หุ่นยนต์ข้อต่อหมุน | $\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r$ | ความเร็วสัมผัสตั้งฉากกับแนวรัศมี |

ดูโจทย์ที่แทนค่าหน่วยจริง พร้อมเงื่อนไขการใช้สูตรและการตรวจความสมเหตุผลได้ที่ การประยุกต์เวกเตอร์ทางวิศวกรรม หรือทดลองเปลี่ยนองค์ประกอบและดูทิศผลคูณใน Vector Lab

Cross product ทำงานจริงที่ไหนในชุดนี้โมเมนต์และแรงคู่ควบใน ระบบแรง · ความเร็ว ω × r และ Jacobian ใน แขนกล · แรงลอเรนซ์ F = q v × B แรงบนลวด F = I L × B และแรงบิดมอเตอร์ τ = m × B ใน สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

## 10. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและวิธีตรวจ

- คิดว่า Cross ให้ตัวเลขเหมือน Dot: Cross ในบทนี้ให้เวกเตอร์สามองค์ประกอบ ส่วนขนาดของมันเป็นสเกลาร์
- ลืมลบของแกน y: ใช้ $a_zb_x-a_xb_z$ หรือใช้โคแฟกเตอร์ $-\hat{\mathbf j}(a_xb_z-a_zb_x)$ อย่างใดอย่างหนึ่ง อย่าใส่ลบซ้ำ
- สลับลำดับโดยคิดว่าไม่ต่าง: เขียนชื่อเวกเตอร์ตัวแรกและตัวที่สองไว้เสมอ เช่นโมเมนต์ใช้ $\mathbf r\times\mathbf F$
- ผลเป็นศูนย์แล้วหารหาปกติหนึ่งหน่วย: หารด้วยศูนย์ไม่ได้ ต้องเลือกสองทิศที่ไม่ขนานกัน
- พื้นที่สามเหลี่ยมไม่หารสอง หรือปริมาตรทรงสี่หน้าไม่หารหก: ขนาด Cross คือพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน และขนาด scalar triple คือปริมาตรกล่องเอียง
- ใช้เวกเตอร์คนละระบบพิกัด: แปลงให้เป็นฐานเดียวกันก่อน ผลในฐานมือซ้ายต้องจัดการข้อตกลงการวางแนวอย่างถูกต้อง
- นำเฟสเซอร์ AC มาอ่านเป็นลูกศรในอวกาศ: มุมเฟสในระนาบเชิงซ้อนแสดงความสัมพันธ์ตามเวลา ไม่ใช่มุมระหว่างแรงหรือสนามใน $\mathbb R^3$ โดยอัตโนมัติ

## 11. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

ลองทำโดยปิดเฉลยก่อน ทุกข้อควรเขียนลำดับเวกเตอร์และตรวจทิศหรือหน่วยอย่างน้อยหนึ่งวิธี

- ให้ $\mathbf a=(1,2,0)$, $\mathbf b=(3,-1,0)$ หา Cross และพื้นที่สามเหลี่ยมที่กางด้วยสองเวกเตอร์
- ให้ $\mathbf a=(1,0,2)$, $\mathbf b=(0,3,1)$ หา Cross และตรวจว่าตั้งฉากกับทั้งคู่
- เวกเตอร์สองตัวมีขนาด 5 และ 8 ทำมุม $30^\circ$ พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยมเท่าไร?
- ให้ $\mathbf a=(2,4,6)$, $\mathbf b=(-1,-2,-3)$ หา Cross และอธิบายเหตุผลทางเรขาคณิต
- ให้ขอบ $(1,0,0)$, $(0,2,0)$, $(1,1,3)$ หน่วยเมตร หา scalar triple และปริมาตรทรงสี่หน้า
- ให้ $\mathbf a=(2,-1,4)$, $\hat{\mathbf u}=\hat{\mathbf i}$ หา $\hat{\mathbf u}\times(\mathbf a\times\hat{\mathbf u})$

เปิดเฉลยและจุดตรวจคำตอบ

- $\mathbf a\times\mathbf b=(0,0,-7)$ เพราะ $1(-1)-2(3)=-7$ พื้นที่สามเหลี่ยม $7/2=3.5$ ตารางหน่วย
- $(-6,-1,3)$; Dot กับ $\mathbf a$ ได้ $-6+6=0$ และกับ $\mathbf b$ ได้ $-3+3=0$
- สี่เหลี่ยม $5\cdot8\cdot\sin30^\circ=20$ ตารางหน่วย สามเหลี่ยม 10 ตารางหน่วย
- $\mathbf0$ เพราะ $\mathbf a=-2\mathbf b$ จึงอยู่แนวเดียวกันและสวนทาง
- scalar triple $s=6\,\mathrm{m^3}$ เพราะ $(0,2,0)\times(1,1,3)=(6,0,-2)$; ทรงสี่หน้า $|s|/6=1\,\mathrm{m^3}$
- $\mathbf a-(\mathbf a\cdot\hat{\mathbf i})\hat{\mathbf i}=(0,-1,4)$ เป็นส่วนตั้งฉากกับแกน $x$

## 12. สรุปสูตร Cross product

| ต้องการหา | สูตร | รหัส |
| ขนาดผลคูณ | $\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta$ | C1 |
| องค์ประกอบ | $(a_yb_z-a_zb_y,\ a_zb_x-a_xb_z,\ a_xb_y-a_yb_x)$ | C3 |
| ตรวจตั้งฉาก | $(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf a=(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf b=0$ | C4 |
| พื้นที่สามเหลี่ยม | $\tfrac12\|\mathbf a\times\mathbf b\|$ | C5 |
| ตรวจขนาด | $\|\mathbf a\times\mathbf b\|^2=\|\mathbf a\|^2\|\mathbf b\|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2$ | C7 |
| ปกติหนึ่งหน่วย | $(\mathbf a\times\mathbf b)/\|\mathbf a\times\mathbf b\|$ | C8 |
| ปริมาตรกล่องเอียง | $|\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)|$ | C9 |
| Cross ซ้อน | $\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)=\mathbf b(\mathbf a\cdot\mathbf c)-\mathbf c(\mathbf a\cdot\mathbf b)$ | C10 |

## 13. แหล่งอ่านต่อและขอบเขตของบทเรียน

เนื้อหานี้ใช้เวกเตอร์จริงในปริภูมิยุคลิดและฐานคาร์ทีเซียนแบบมือขวา ตัวอย่างตัวเลขเป็นโจทย์สาธิตที่เขียนขึ้นเพื่ออธิบายสูตร ไม่ใช่ข้อมูลทดสอบอุปกรณ์จริง อ่านนิยามและพิสูจน์เพิ่มเติมจากตำราเปิดต่อไปนี้

- OpenStax, Calculus Volume 3 — §2.4 The Cross Product: กฎมือขวา องค์ประกอบ พื้นที่ Scalar triple product และการประยุกต์โมเมนต์
- OpenStax, University Physics Volume 1 — §10.6 Torque: แขนโมเมนต์และความหมายทางกายภาพของ $\mathbf r\times\mathbf F$
- OpenStax, University Physics Volume 2 — §11.2 Magnetic Fields and Lines: แรงแม่เหล็กต่อประจุและกฎมือขวา

บทถัดไป การประยุกต์เวกเตอร์ทางวิศวกรรม จะรวมการบวก การฉาย Dot และ Cross เพื่อแก้โจทย์แรง งาน โมเมนต์ และสนามแม่เหล็กอย่างเป็นขั้นตอน

## คำถามที่พบบ่อย

Dot product กับ Cross product ต่างกันอย่างไร?
Dot product ให้สเกลาร์และวัดส่วนที่ขนานกัน โดย a·b = |a||b|cosθ ส่วน Cross product ในสามมิติให้เวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้งสองตัว มีขนาด |a||b|sinθ และทิศตามกฎมือขวา

ทำไมองค์ประกอบ j ของ Cross product ต้องระวังเครื่องหมาย?
เมื่อขยายรูปดีเทอร์มิแนนต์ตามแถวแรก เครื่องหมายโคแฟกเตอร์เป็นบวก ลบ บวก จึงได้องค์ประกอบ y เป็น az bx − ax bz ถ้าสลับลำดับการลบแล้วใส่ลบเพิ่มอีกจะผิด

เวกเตอร์สองมิติหา Cross product ได้ไหม?
ฝังเวกเตอร์ (ax, ay) เป็น (ax, ay, 0) ในสามมิติ แล้วผลคือ (0, 0, ax by − ay bx) บางบริบทเรียกจำนวนองค์ประกอบ z นี้ว่า 2D cross product ซึ่งเป็นสเกลาร์พื้นที่มีเครื่องหมาย ต้องระบุข้อตกลงให้ชัด

Cross product เป็นศูนย์หมายถึงอะไร?
ถ้าทั้งสองเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ หมายถึงขนานหรือสวนทางกัน ถ้าเวกเตอร์ตัวใดเป็นศูนย์ก็ได้ผลศูนย์เช่นกัน จึงหาทิศปกติหนึ่งหน่วยจากผลศูนย์ไม่ได้

Cross product ใช้กับเวกเตอร์จำนวนมิติใดก็ได้หรือไม่?
สูตรเวกเตอร์สามองค์ประกอบและกฎมือขวาในบทนี้ใช้กับปริภูมิยุคลิดสามมิติที่มีฐานตั้งฉากหนึ่งหน่วยแบบมือขวา ไม่ใช่สูตรทั่วไปสำหรับเวกเตอร์ n มิติ

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**Dot product กับ Cross product ต่างกันอย่างไร?**
Dot product ให้สเกลาร์และวัดส่วนที่ขนานกัน โดย a·b = |a||b|cosθ ส่วน Cross product ในสามมิติให้เวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้งสองตัว มีขนาด |a||b|sinθ และทิศตามกฎมือขวา

**ทำไมองค์ประกอบ j ของ Cross product ต้องระวังเครื่องหมาย?**
เมื่อขยายรูปดีเทอร์มิแนนต์ตามแถวแรก เครื่องหมายโคแฟกเตอร์เป็นบวก ลบ บวก จึงได้องค์ประกอบ y เป็น az bx − ax bz ถ้าสลับลำดับการลบแล้วใส่ลบเพิ่มอีกจะผิด

**เวกเตอร์สองมิติหา Cross product ได้ไหม?**
ฝังเวกเตอร์ (ax, ay) เป็น (ax, ay, 0) ในสามมิติ แล้วผลคือ (0, 0, ax by − ay bx) บางบริบทเรียกจำนวนองค์ประกอบ z นี้ว่า 2D cross product ซึ่งเป็นสเกลาร์พื้นที่มีเครื่องหมาย ต้องระบุข้อตกลงให้ชัด

**Cross product เป็นศูนย์หมายถึงอะไร?**
ถ้าทั้งสองเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ หมายถึงขนานหรือสวนทางกัน ถ้าเวกเตอร์ตัวใดเป็นศูนย์ก็ได้ผลศูนย์เช่นกัน จึงหาทิศปกติหนึ่งหน่วยจากผลศูนย์ไม่ได้

**Cross product ใช้กับเวกเตอร์จำนวนมิติใดก็ได้หรือไม่?**
สูตรเวกเตอร์สามองค์ประกอบและกฎมือขวาในบทนี้ใช้กับปริภูมิยุคลิดสามมิติที่มีฐานตั้งฉากหนึ่งหน่วยแบบมือขวา ไม่ใช่สูตรทั่วไปสำหรับเวกเตอร์ n มิติ