---
title: "องค์ประกอบและการฉายเวกเตอร์ (Components & Projection)"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/components-projection/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-13
---

> อธิบาย component และ projection ตั้งแต่แกน x y z เวกเตอร์หน่วย direction cosines ถึง scalar projection ที่มีเครื่องหมาย vector projection การแยกขนาน–ตั้งฉาก แรงสามมิติและระยะถึงเส้น พร้อมวิธีทำ สูตรและแบบฝึกหัด

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/vector-algebra/components-projection/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# องค์ประกอบและการฉายเวกเตอร์ (Components & Projection)

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 1 · Components & projection · 2D → 3D


แรงหนึ่งแรงอาจทั้งดึงตามแนวคานและผลักด้านข้าง การแยกองค์ประกอบช่วยเขียนแรงในแกนที่คำนวณได้ ส่วนการฉายเวกเตอร์ช่วยตอบว่า “เวกเตอร์นี้มีส่วนไปตามทิศที่เราสนใจเท่าไร” เริ่มจากแกน x–y ที่คุ้นเคย แล้วขยายไปยังแกนเอียงและสามมิติ โดยแยกให้ชัดว่าคำตอบเป็นตัวเลขหรือเป็นลูกศร

สรุปใน 30 วินาที
- ในแกนตั้งฉากมาตรฐาน $\mathbf a=a_x\mathbf i+a_y\mathbf j+a_z\mathbf k$ ตัวเลข $a_x,a_y,a_z$ มีเครื่องหมายได้
- เมื่อ $\mathbf b\ne\mathbf0$, scalar projection คือ $(\mathbf a\cdot\mathbf b)/\|\mathbf b\|$ และ vector projection คือ $[(\mathbf a\cdot\mathbf b)/(\mathbf b\cdot\mathbf b)]\mathbf b$
- ส่วนที่ตั้งฉากคือ $\mathbf a_\perp=\mathbf a-\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a$ ตรวจด้วย $\mathbf a_\perp\cdot\mathbf b=0$
- ค่าฉายติดลบบอกว่าชี้สวนทางกับทิศที่เลือก ไม่ใช่ “ความยาวติดลบ”

## 1. Component คืออะไร: แยกลูกศรเป็นแกน พื้นฐาน

เลือกแกน x ไปทางขวาและแกน y ขึ้นบน เวกเตอร์ $\mathbf a=(3,4)$ หมายถึงไปทาง x เป็นระยะ 3 หน่วย และทาง y เป็นระยะ 4 หน่วย ค่าทั้งสองเรียก องค์ประกอบสเกลาร์ (scalar components) ส่วนลูกศร $3\mathbf i=(3,0)$ และ $4\mathbf j=(0,4)$ เรียกองค์ประกอบเวกเตอร์ (vector components) เมื่อบวกกันจึงได้ลูกศรเดิม

แยกองค์ประกอบโดยเลือกแกนก่อน: ตัวเลข 3 และ 4 เป็นค่าตามแกน ส่วนความยาวของเวกเตอร์คือ 5

P1 Cartesian components องค์ประกอบในฐานตั้งฉากมาตรฐาน

$$\mathbf a=a_x\mathbf i+a_y\mathbf j\quad(2D),\qquad \mathbf a=a_x\mathbf i+a_y\mathbf j+a_z\mathbf k\quad(3D)$$

$$a_x=\mathbf a\cdot\mathbf i,\quad a_y=\mathbf a\cdot\mathbf j,\quad a_z=\mathbf a\cdot\mathbf k$$

$\mathbf i=(1,0,0),\mathbf j=(0,1,0),\mathbf k=(0,0,1)$ แต่ละตัวขนาด 1 และตั้งฉากกัน สูตรดอทเพื่ออ่าน component ใช้คุณสมบัติทั้งสองนี้ หน่วยของ component เท่ากับหน่วยของเวกเตอร์

P2 Resolving a 2D vector เมื่อรู้ขนาดและมุม

$$a_x=A\cos\theta,\qquad a_y=A\sin\theta,\qquad A=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$$

$A=\|\mathbf a\|\ge0$ และ $\theta$ วัดทวนเข็มจากแกน +x ถ้าวัดจาก +y ต้องปรับตำแหน่ง sin/cos ให้ตรงรูป หามุมจาก component ด้วย $\operatorname{atan2}(a_y,a_x)$ เพื่อรักษาควอดแรนต์

P3 Unit direction vector แยกขนาดออกจากทิศ

$$\widehat{\mathbf b}=\frac{\mathbf b}{\|\mathbf b\|},\qquad \|\widehat{\mathbf b}\|=1,\qquad\mathbf b\ne\mathbf0$$

เช่น $\mathbf b=(2,1)$ ได้ $\widehat{\mathbf b}=(2/\sqrt5,1/\sqrt5)$ ใช้บอกทิศเดียวกันโดยไม่มีขนาดมาปน เวกเตอร์ทิศทางนี้ไม่มีหน่วยเมื่อ component ของ b มีหน่วยเดียวกัน

ตัวอย่าง P-1 · แยกแรงที่ชี้ขึ้นทางซ้าย

### แรงขนาด 100 N ทำมุม 120° จากแกน +x มีองค์ประกอบเท่าไร?

- วาดลูกศรในควอดแรนต์ที่ 2 จึงคาดว่า x ติดลบ แต่ y เป็นบวก

- ใช้ P2: $F_x=100\cos120^\circ=-50\,\mathrm N$, $F_y=100\sin120^\circ=50\sqrt3\,\mathrm N$

- ตรวจขนาด: $\sqrt{(-50)^2+(50\sqrt3)^2}=100\,\mathrm N$ ตรงกับโจทย์

$\mathbf F=(-50,50\sqrt3)\,\mathrm N\approx(-50,86.60)\,\mathrm N$

## 2. จาก 2D ไป 3D: มุมกับสามแกนและฐานที่เลือก กลาง

ในสามมิติ การบอกเพียง “ทำมุม 30°” ยังไม่พอระบุทิศ ต้องบอกว่ามุมกับแกนใด และมีข้อมูลอิสระเพียงพอ เช่น ให้สองมุมพร้อมเครื่องหมายของ component ที่เหลือ หรือให้พิกัดปลายทาง เวกเตอร์ $(2,-3,6)$ ขนาด 7 จึงมีเวกเตอร์หน่วย $(2/7,-3/7,6/7)$ ค่า y ติดลบบอกทิศสวนแกน +y

P4 Direction cosines มุมกับแกน +x, +y, +z

$$\cos\alpha=\frac{a_x}{A},\quad\cos\beta=\frac{a_y}{A},\quad\cos\gamma=\frac{a_z}{A},\qquad \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$$

$A=\|\mathbf a\|\gt0$ และมุมทั้งสามอยู่ในช่วง 0°–180° ถ้า component ของแกนหนึ่งติดลบ มุมกับแกนบวกนั้นเป็นมุมป้าน เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีมุมทิศทาง

P5 Components in an orthonormal basis เปลี่ยนเป็นแกนที่หมุนแล้ว

$$a_r=\mathbf a\cdot\mathbf e_r,\qquad\mathbf a=\sum_{r=1}^{n}a_r\mathbf e_r\quad\text{เมื่อ }\mathbf e_r\cdot\mathbf e_s=\delta_{rs}$$

ฐานต้องยาวหนึ่งและตั้งฉากกันครบ n ทิศใน $\mathbb R^n$ ถ้าใช้ฐานไม่ตั้งฉาก ค่าสัมประสิทธิ์ที่ประกอบเวกเตอร์ไม่เท่ากับดอทกับเวกเตอร์ฐานโดยทั่วไป ต้องแก้ระบบสมการแทน

เห็นความต่างของฐานทั่วไป: ให้ $\mathbf e_1=(1,0)$, $\mathbf e_2=(1,1)$ และ $\mathbf a=(3,4)$ เขียนได้ $\mathbf a=-\mathbf e_1+4\mathbf e_2$ แต่ $\mathbf a\cdot\mathbf e_1=3\ne-1$ ค่าสัมประสิทธิ์ในฐานกับค่าฉายจึงเป็นคนละเรื่องเมื่อฐานไม่ตั้งฉาก

## 3. Scalar projection: “ไปตามทิศนี้เท่าไร” พร้อมเครื่องหมาย พื้นฐาน

สมมติเปิดไฟให้เงาของลูกศรตกตั้งฉากบนเส้นตามทิศ $\mathbf b$ ความยาวแบบมีเครื่องหมายของเงานั้นคือ scalar projection หรือ scalar component of a along b เลือกทิศบวกตามลูกศร b ถ้าเงาชี้สวนทิศ b ค่าจะติดลบ การคำนวณใช้ dot product ซึ่งวัดความสอดคล้องของสองทิศ

P6 Signed scalar projection ค่าฉายสเกลาร์ที่มีเครื่องหมาย

$$\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=\mathbf a\cdot\widehat{\mathbf b}=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|}=\|\mathbf a\|\cos\theta,\qquad\mathbf b\ne\mathbf0$$

สมการที่มี $\theta$ ใช้เมื่อ a และ b ไม่เป็นศูนย์ ส่วนสูตรดอทใช้ได้เมื่อ a เป็นศูนย์ โดยให้ค่าฉาย 0 ผลเป็นสเกลาร์ หน่วยเดียวกับ a

| มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ | ค่าฉาย | ความหมาย |
| $0^\circ\le\theta\lt90^\circ$ | เป็นบวก | มีส่วนไปตามทิศ b |
| $\theta=90^\circ$ | 0 | ไม่มีส่วนตามทิศ b |
| $90^\circ\lt\theta\le180^\circ$ | เป็นลบ | มีส่วนสวนทิศ b |

ถ้า $\mathbf a=(-3,4)$ และเลือก $\mathbf b=(1,0)$ จะได้ค่าฉาย −3 แต่ความยาวเงาเท่ากับ 3 ถ้ากลับทิศเป้าหมายเป็น $(-1,0)$ ค่าฉายจะเป็น +3 นี่คือเหตุผลที่ต้องระบุทิศบวกก่อนอ่านเครื่องหมาย

## 4. Vector projection: คืนค่าฉายให้เป็นลูกศร พื้นฐาน

เมื่อรู้ค่าฉายสเกลาร์แล้ว คูณด้วยเวกเตอร์หน่วยของทิศเป้าหมายเพื่อได้ vector projection หรือเวกเตอร์ฉาย คำตอบอยู่บนเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดตามแนว b เสมอ แม้ b จะยาวไม่เท่ากับหนึ่งก็ตาม

P7 Vector projection ฉาย a ลงบนแนว b

$$\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\left(\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a\right)\widehat{\mathbf b}=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|^2}\mathbf b=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b}\mathbf b$$

เงื่อนไข $\mathbf b\ne\mathbf0$ ผลเป็นเวกเตอร์ในมิติเดียวกับ a ความยาว $\|\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a\|=|\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a|$ ใช้ a กับ b ในพิกัดและฐานเดียวกัน

P8 Parallel–perpendicular decomposition แยกขนานและตั้งฉาก

$$\mathbf a_\parallel=\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a,\quad\mathbf a_\perp=\mathbf a-\mathbf a_\parallel,\quad\mathbf a=\mathbf a_\parallel+\mathbf a_\perp$$

$$\mathbf a_\perp\cdot\mathbf b=0,\qquad\|\mathbf a\|^2=\|\mathbf a_\parallel\|^2+\|\mathbf a_\perp\|^2$$

ส่วนเหลือเรียก rejection หรือ orthogonal residual การตรวจดอทเป็นศูนย์และตรวจผลบวกช่วยจับความผิดพลาดได้โดยไม่ต้องวาดรูปสามมิติ

### ทำไมตัวส่วนต้องเป็น b·b?

ให้เวกเตอร์ฉายเป็น $t\mathbf b$ เพราะต้องขนาน b ต้องการให้ส่วนที่เหลือ $\mathbf a-t\mathbf b$ ตั้งฉาก b จึงตั้ง $(\mathbf a-t\mathbf b)\cdot\mathbf b=0$ กระจายได้ $\mathbf a\cdot\mathbf b-t(\mathbf b\cdot\mathbf b)=0$ แล้วแก้ $t=(\mathbf a\cdot\mathbf b)/(\mathbf b\cdot\mathbf b)$ ไม่ใช่หารด้วยความยาวเพียงครั้งเดียว เพราะเราจะคูณกลับด้วย b ที่ยังมีขนาดเดิม

ภาพใช้สเกล x และ y เท่ากัน จุดฉาย (4,2) อยู่บนเส้นตามแนว (2,1) ส่วนที่เหลือ (−1,2) ตั้งฉากกับเส้นนั้น

## 5. ตัวอย่างหลัก: a = (3,4) ฉายบน b = (2,1) พื้นฐาน

ตัวอย่าง P-2 · เป้าหมายไม่ใช่เวกเตอร์หน่วย

### หาค่าฉายสเกลาร์ เวกเตอร์ฉาย และส่วนตั้งฉากของ $\mathbf a=(3,4)$ ตามแนว $\mathbf b=(2,1)$

- เตรียมดอทและความยาว: $\mathbf a\cdot\mathbf b=3(2)+4(1)=10$, $\mathbf b\cdot\mathbf b=2^2+1^2=5$, $\|\mathbf b\|=\sqrt5$

- ค่าฉายสเกลาร์ตาม P6: $\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=10/\sqrt5=2\sqrt5\approx4.472$ เป็นบวก จึงไปตามทิศ b

- เวกเตอร์ฉายตาม P7: $\mathbf a_\parallel=(10/5)(2,1)=(4,2)$ ตัวเลข $10/5=2$ เป็นตัวคูณ b ไม่ใช่ความยาวเงา

- ส่วนตั้งฉากตาม P8: $\mathbf a_\perp=(3,4)-(4,2)=(-1,2)$

- ตรวจ: $(-1,2)\cdot(2,1)=-2+2=0$, $(4,2)+(-1,2)=(3,4)$ และ $25=20+5$ ตามพีทาโกรัส

Scalar projection $=2\sqrt5$ · Vector projection $=(4,2)$ · ส่วนตั้งฉาก $=(-1,2)$

กลับทิศเป้าหมายแล้วเกิดอะไร? เปลี่ยน b เป็น −b ค่าฉายสเกลาร์กลับเครื่องหมาย แต่เวกเตอร์ฉายยังเป็น (4,2) เพราะเส้นที่ฉายยังเป็นเส้นเดิม โดยทั่วไป $\operatorname{proj}_{c\mathbf b}\mathbf a=\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a$ สำหรับ $c\ne0$

## 6. วิศวกรรมสามมิติ: แรงตามแนวคานและแรงด้านข้าง กลาง

สมมติแกนของคานยื่นไปตามทิศ $\mathbf b=(2,1,2)$ และมีแรง $\mathbf F=(120,60,-30)\,\mathrm N$ กระทำที่ปลาย เราแยกแรงเป็นส่วนตามแกนกับส่วนขวางแกน เพื่อเริ่มวิเคราะห์แรงตามแนวแกนและการดัด ก่อนใช้สมดุลและรูปแบบจุดรองรับต่อไป

ตัวอย่าง P-3 · แยกแรง 3D

### หาค่าแรงแบบมีเครื่องหมายตามแกนคาน และเวกเตอร์แรงทั้งสองส่วน

- หาเวกเตอร์หน่วยแกนคาน: $\|\mathbf b\|=\sqrt{4+1+4}=3$, $\widehat{\mathbf b}=(2/3,1/3,2/3)$

- แรงตามแกนแบบสเกลาร์: $F_\parallel=\mathbf F\cdot\widehat{\mathbf b}=120(2/3)+60(1/3)-30(2/3)=80\,\mathrm N$

- แรงตามแกนแบบเวกเตอร์: $\mathbf F_\parallel=80(2/3,1/3,2/3)=(160/3,80/3,160/3)\,\mathrm N$

- แรงขวางแกน: $\mathbf F_\perp=\mathbf F-\mathbf F_\parallel=(200/3,100/3,-250/3)\,\mathrm N$

- ตรวจตั้งฉาก: $\mathbf F_\perp\cdot\mathbf b=(400+100-500)/3=0$ ขนาดแรงขวางคือ $50\sqrt5\,\mathrm N\approx111.80\,\mathrm N$

- ตรวจเอกลักษณ์พีทาโกรัสของขนาดแรง: $\|\mathbf F\|^2=18900\,\mathrm N^2=[80^2+(50\sqrt5)^2]\,\mathrm N^2$ หน่วยทั้งสองข้างตรงกัน

แรงตามแกน +80 N · แรงขวางแกนขนาด $50\sqrt5$ N · ต้องใช้สมดุลเพิ่มเติมเพื่อหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

การฉายเดียวกันใช้กับความเร็วของยานพาหนะตามแนวเส้นทาง องค์ประกอบสนามแม่เหล็กที่ตั้งฉากกับพื้นผิว และแรงที่ก่อให้เกิดงานตามการเคลื่อนที่ ดูกรณีที่รวม cross product สำหรับโมเมนต์และพื้นที่ในหน้า ประยุกต์ทางวิศวกรรม

สองเรื่องที่มักสับสนองค์ประกอบตามแนวเฉียงสองแนว (ใช้กฎไซน์ R5) ไม่เท่ากับการฉาย (dot product) เว้นแต่สองแนวตั้งฉากกัน ส่วนแรงตามสายเคเบิลจากพิกัดสองจุดอยู่ใน K7 และการอ่านองค์ประกอบในกรอบเอียงอยู่ใน การหมุนแกน

เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ

## 7. การฉายหาระยะใกล้ที่สุดถึงเส้นและระนาบ กลาง

เส้นตรงที่ไม่จำกัดความยาวเขียนเป็น $\mathbf x(t)=\mathbf q+t\mathbf b$ โดย q เป็นจุดบนเส้นและ b ไม่เป็นศูนย์ ถ้าต้องการจุดบนเส้นที่ใกล้ p ที่สุด ให้ฉาย เวกเตอร์จาก q ไป p คือ $\mathbf p-\mathbf q$ ไม่ใช่ฉายพิกัด p โดยไม่สนจุดเริ่มต้น

P9 Nearest point on an infinite line เท้าฉากและระยะถึงเส้น

$$t_* =\frac{(\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b},\quad \mathbf h=\mathbf q+t_*\mathbf b,\quad d=\|\mathbf p-\mathbf h\|$$

$\mathbf b\ne\mathbf0$ ถ้าเป็น “ช่วงเส้นตรง” จาก q ถึง q+b ต้องจำกัด $t_*$ ให้อยู่ใน [0,1] จุดใกล้ที่สุดอาจเป็นปลายช่วง ไม่ใช่เท้าฉากบนเส้นที่ต่อออกไป

P10 Projection onto a plane ฉายจุดลงระนาบ

$$\mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf q)=0,\quad\mathbf h=\mathbf p-\frac{(\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf n}{\mathbf n\cdot\mathbf n}\mathbf n,\quad d=\frac{|(\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf n|}{\|\mathbf n\|}$$

q เป็นจุดบนระนาบ และ n เป็นเวกเตอร์ปกติที่ไม่เป็นศูนย์ ลบส่วนที่ขนาน n ออก จึงเหลือจุดบนระนาบ ค่าสัมบูรณ์ทำให้ระยะไม่ติดลบ

ตัวอย่าง P-4 · ระยะจุดถึงเส้นในสามมิติ

### หาเท้าฉากจาก $\mathbf p=(4,4,4)$ ลงเส้น $\mathbf x=(-1,2,1)+t(1,2,2)$

- เลือก $\mathbf q=(-1,2,1)$, $\mathbf b=(1,2,2)$, $\mathbf a=\mathbf p-\mathbf q=(5,2,3)$

- หา $t_*=(5+4+6)/(1+4+4)=15/9=5/3$

- เท้าฉาก $\mathbf h=(-1,2,1)+(5/3)(1,2,2)=(2/3,16/3,13/3)$

- เวกเตอร์จากเท้าฉากถึง p คือ $(10/3,-4/3,-1/3)$ ดอท b ได้ $(10-8-2)/3=0$

- ระยะ $d=\sqrt{(100+16+1)/9}=\sqrt{13}\approx3.606$ หน่วยตามพิกัด

เท้าฉาก $(2/3,16/3,13/3)$ · ระยะถึงเส้น $\sqrt{13}$

ตัวอย่าง P-5 · ฉายลงพื้นเอียง

### ฉายจุด $(4,1,1)$ ลงระนาบ $x+y+z=3$

- เวกเตอร์ปกติ $\mathbf n=(1,1,1)$ เลือกจุดบนระนาบ $\mathbf q=(3,0,0)$

- $(\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf n=(1,1,1)\cdot(1,1,1)=3$, $\mathbf n\cdot\mathbf n=3$ ส่วนที่ต้องลบคือ (1,1,1)

- $\mathbf h=(4,1,1)-(1,1,1)=(3,0,0)$ ตรวจผลรวมพิกัดได้ 3 อยู่บนระนาบจริง ระยะคือ $\sqrt3$

จุดฉาย (3,0,0) · ระยะ $\sqrt3$

## 8. เชื่อมกับเมทริกซ์และ least squares ต่อยอด

เมื่อเขียน b เป็นเวกเตอร์หลัก สูตรฉายเปลี่ยนเป็นเมทริกซ์ขนาด n×n ที่รับเวกเตอร์ n มิติและคืนเวกเตอร์ n มิติ การฉายอาจลดความยาวของเวกเตอร์ แต่ฉายซ้ำแล้วไม่เปลี่ยนผล เพราะเวกเตอร์ที่อยู่บนเส้นนั้นอยู่แล้วไม่ต้องย้ายอีก

P11 Orthogonal projection matrix ตัวดำเนินการฉายลงหนึ่งทิศ

$$P=\frac{\mathbf b\mathbf b^T}{\mathbf b^T\mathbf b},\quad\mathbf a_\parallel=P\mathbf a,\quad P^T=P,\quad P^2=P,\quad \mathbf b\ne\mathbf0$$

สำหรับ $\mathbf b=(2,1)^T$: $P=\frac15\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}$ จึงได้ $P(3,4)^T=(4,2)^T$ การเลือกตัวคูณ t ให้ $\|\mathbf a-t\mathbf b\|^2$ น้อยที่สุดให้ค่า t เดียวกับ P7

ขยายไปหลายทิศได้ด้วยฐานตั้งฉาก: รวมการฉายลงแต่ละฐาน ถ้าเมทริกซ์ A มีหลักอิสระแต่ไม่ตั้งฉาก การฉายลง column space คือ $A(A^TA)^{-1}A^T$ ใช้ได้เมื่อหลักของ A อิสระเชิงเส้น หากไม่อิสระต้องใช้ pseudoinverse หรือการแยก QR/SVD ที่เหมาะสม อ่านต่อที่ ระบบสมการและวิธีกำลังสองน้อยสุด

## 9. จุดที่สับสนและกรณีขอบ

- ใช้ $(\mathbf a\cdot\mathbf b)\mathbf b$ ทั้งที่ b ไม่ยาวหนึ่ง: ต้องหารด้วย $\mathbf b\cdot\mathbf b$ ตาม P7 มิฉะนั้นขนาดผิด
- ใช้ตัวส่วนเดียวกันทั้ง scalar และ vector projection: scalar หาร $\|\mathbf b\|$, vector หาร $\|\mathbf b\|^2$ แล้วคูณ b
- ลบค่าสเกลาร์ออกจากเวกเตอร์: ส่วนตั้งฉากต้องใช้ $\mathbf a-\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a$ ไม่ใช่ a ลบ scalar projection
- ลืมกรณี b = 0: ไม่มีทิศให้ฉาย สูตรจึงไม่นิยาม ถ้า a = 0 แต่ b ≠ 0 ทั้งสองค่าฉายเป็นศูนย์
- คิดว่าฉาย a บน b เท่ากับฉาย b บน a: โดยทั่วไปไม่เท่ากัน เวกเตอร์เป้าหมายเป็นตัวกำหนดเส้น
- ผสมหน่วยหรือพิกัดคนละกรอบ: แปลงหน่วยและกรอบอ้างอิงให้ตรงกันก่อน เช่น หน่วยเมตรกับมิลลิเมตร หรือกรอบกล้องกับกรอบหุ่นยนต์
- คิดว่าค่าฉายติดลบเป็นความยาวติดลบ: ค่ามีเครื่องหมายบอกทิศ ความยาวต้องใช้ค่าสัมบูรณ์
- อ่านแรงตามแกนเป็นแรงปฏิกิริยาโดยทันที: ต้องมีสมดุล แบบจำลองวัสดุ และเงื่อนไขจุดรองรับตามโจทย์

การฉายตามทิศเวกเตอร์ศูนย์กับการฉายลงปริภูมิ $\{\mathbf0\}$ เป็นคนละนิยาม กรณีหลังมีจุดเดียวจึงให้ศูนย์เสมอ ในการคำนวณเชิงตัวเลข หาก b เล็กมาก ให้ปรับสเกลด้วยวิธีที่รักษาทิศและใช้การคำนวณ norm ที่เสถียร; อย่าหารด้วยค่าที่ระบบถือว่าเป็นศูนย์โดยไม่แจ้งผล

## 10. ฝึกทำพร้อมเฉลย: ตรวจทั้งขนาดและทิศ

ลองทำก่อนเปิดเฉลย หรือใช้ปุ่มโหมดฝึกทำด้านบน คำตอบของการฉายควรตรวจได้สองข้อเสมอ: ฉายขนานทิศเป้าหมาย และส่วนเหลือตั้งฉากกับทิศนั้น

แบบฝึก P-A · ค่าฉายติดลบ

### ให้ $\mathbf a=(-3,4),\ \mathbf b=(1,0)$ จงหา scalar projection, vector projection และส่วนเหลือ

- $\mathbf a\cdot\mathbf b=-3$, $\|\mathbf b\|=1$ ดังนั้นค่าฉายสเกลาร์คือ −3

- เวกเตอร์ฉาย = $-3(1,0)=(-3,0)$, ส่วนเหลือ = $(-3,4)-(-3,0)=(0,4)$

- ส่วนเหลือดอท b ได้ 0 และความยาวเวกเตอร์ฉายคือ 3 ไม่ใช่ −3

−3 · (−3,0) · (0,4)

แบบฝึก P-B · สามมิติ

### ฉาย $\mathbf a=(1,2,3)$ ลงบนแนว $\mathbf b=(1,1,0)$

- ดอท = 3, norm b = $\sqrt2$, และ b·b = 2

- Scalar projection = $3/\sqrt2$; vector projection = $(3/2,3/2,0)$

- ส่วนเหลือ = $(-1/2,1/2,3)$, ดอท b = 0 และ $14=9/2+19/2$

$\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=3/\sqrt2$, $\mathbf a_\parallel=(3/2,3/2,0)$, $\mathbf a_\perp=(-1/2,1/2,3)$

แบบฝึก P-C · แกนที่หมุน

### ใช้ฐาน $\mathbf e_1=(1,1)/\sqrt2,\ \mathbf e_2=(-1,1)/\sqrt2$ จงหาพิกัดใหม่ของ $\mathbf a=(4,2)$

- ตรวจ e₁ และ e₂ ยาวหนึ่งและดอทกันได้ 0 จึงใช้ P5 ได้

- $a_1=(4+2)/\sqrt2=3\sqrt2$, $a_2=(-4+2)/\sqrt2=-\sqrt2$

- ตรวจประกอบกลับ: $3\sqrt2\mathbf e_1-\sqrt2\mathbf e_2=(3,3)+(1,-1)=(4,2)$

พิกัดในฐานใหม่ $(3\sqrt2,-\sqrt2)$ และขนาดยังเป็น $\sqrt{20}$

## 11. สรุปสูตรและแผนเลือกใช้

| ต้องการหา | ใช้สูตร | ตรวจเงื่อนไข |
| component ตามแกนมาตรฐาน | P1: $a_x=\mathbf a\cdot\mathbf i$ | ฐานหน่วยตั้งฉาก |
| ขนาดกับทิศจากเวกเตอร์ | P3: $\widehat{\mathbf b}=\mathbf b/\|\mathbf b\|$ | b ≠ 0 |
| จำนวนจริงตามทิศ b | P6: $(\mathbf a\cdot\mathbf b)/\|\mathbf b\|$ | มีเครื่องหมาย |
| เวกเตอร์ขนาน b | P7: $[(\mathbf a\cdot\mathbf b)/(\mathbf b\cdot\mathbf b)]\mathbf b$ | b ≠ 0 |
| เวกเตอร์ตั้งฉาก b | P8: $\mathbf a-\mathbf a_\parallel$ | ดอท b ต้องได้ 0 |
| ระยะถึงเส้น / ระนาบ | P9 / P10 | ใช้เวกเตอร์จากจุดบนเส้นหรือระนาบ |
| ฉายข้อมูลด้วยเมทริกซ์ | P11: $P=\mathbf b\mathbf b^T/(\mathbf b^T\mathbf b)$ | เวกเตอร์จริงแบบหลัก |

เริ่มจาก พื้นฐานเวกเตอร์ และ บวก ลบ คูณสเกลาร์ แล้วใช้ dot product อธิบายความสัมพันธ์ของทิศ เมื่อเข้าใจการฉายแล้ว การหาแรงตามแกน โมเมนต์ และฟลักซ์ใน งานวิศวกรรม จะเป็นเรื่องเดียวกันในรูปแบบต่าง ๆ

## แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

- OpenStax, Calculus Volume 3, §2.3 The Dot Product — นิยาม scalar/vector projection การแยกแรงและงาน
- OpenStax, Calculus Volume 3, §2.2 Vectors in Three Dimensions — พิกัดสามมิติและเวกเตอร์หน่วย
- MIT OpenCourseWare, 18.02SC, Vectors, Determinants and Planes — บทเรียนและแบบฝึกหัดเวกเตอร์ ดอท และเรขาคณิตระนาบ

หน้านี้ใช้เวกเตอร์จริงและ Euclidean dot product ในแกนตั้งฉาก การคำนวณ inner product สำหรับจำนวนเชิงซ้อนต้องมีการสังยุคตามนิยามของตำรา ไม่แทนสูตรจริงโดยตรง

## คำถามที่พบบ่อย

Component กับ projection ต่างกันอย่างไร?
Component คือค่าที่ใช้ประกอบเวกเตอร์ตามฐานที่เลือก ส่วน projection คือการฉายตั้งฉากลงบนทิศทางหรือปริภูมิ ถ้าฐานเป็นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกัน ค่า component จะเท่ากับ scalar projection ลงแต่ละแกน แต่ฐานทั่วไปที่ไม่ตั้งฉากใช้กฎนี้ตรง ๆ ไม่ได้

Scalar projection กับ vector projection ต่างกันอย่างไร?
Scalar projection เป็นจำนวนจริงที่มีเครื่องหมาย: comp_b a = (a·b)/||b|| ส่วน vector projection เป็นเวกเตอร์: proj_b a = [(a·b)/(b·b)]b โดย b ต้องไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ความยาวของ vector projection เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของ scalar projection

ต้องทำเวกเตอร์เป้าหมายให้ยาวหนึ่งก่อนฉายหรือไม่?
ไม่จำเป็น ถ้าใช้สูตร proj_b a = [(a·b)/(b·b)]b สูตรนี้รวมการปรับความยาวแล้ว แต่ถ้าเลือกใช้ a·u เป็น scalar projection ต้องตรวจว่า u เป็นเวกเตอร์หน่วยจริง

ฉายลงบนเวกเตอร์ศูนย์ได้ไหม?
การฉายตามทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ไม่นิยาม เพราะเวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทางและสูตรหารด้วยศูนย์ แต่การฉายลงบนปริภูมิที่มีเพียงเวกเตอร์ศูนย์เป็นอีกนิยามหนึ่ง ซึ่งให้เวกเตอร์ศูนย์เสมอ

การฉายแรงลงตามแนวคานคือแรงปฏิกิริยาจริงหรือไม่?
การฉายให้ส่วนของแรงที่ขนานและตั้งฉากกับแนวคาน เพื่อได้แรงปฏิกิริยาหรือแรงในสมาชิกจริงยังต้องใช้แผนภาพวัตถุอิสระ เงื่อนไขสมดุล และแบบจำลองของจุดรองรับเพิ่มเติม

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**Component กับ projection ต่างกันอย่างไร?**
Component คือค่าที่ใช้ประกอบเวกเตอร์ตามฐานที่เลือก ส่วน projection คือการฉายตั้งฉากลงบนทิศทางหรือปริภูมิ ถ้าฐานเป็นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกัน ค่า component จะเท่ากับ scalar projection ลงแต่ละแกน แต่ฐานทั่วไปที่ไม่ตั้งฉากใช้กฎนี้ตรง ๆ ไม่ได้

**Scalar projection กับ vector projection ต่างกันอย่างไร?**
Scalar projection เป็นจำนวนจริงที่มีเครื่องหมาย: comp_b a = (a·b)/||b|| ส่วน vector projection เป็นเวกเตอร์: proj_b a = [(a·b)/(b·b)]b โดย b ต้องไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ความยาวของ vector projection เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของ scalar projection

**ต้องทำเวกเตอร์เป้าหมายให้ยาวหนึ่งก่อนฉายหรือไม่?**
ไม่จำเป็น ถ้าใช้สูตร proj_b a = [(a·b)/(b·b)]b สูตรนี้รวมการปรับความยาวแล้ว แต่ถ้าเลือกใช้ a·u เป็น scalar projection ต้องตรวจว่า u เป็นเวกเตอร์หน่วยจริง

**ฉายลงบนเวกเตอร์ศูนย์ได้ไหม?**
การฉายตามทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ไม่นิยาม เพราะเวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทางและสูตรหารด้วยศูนย์ แต่การฉายลงบนปริภูมิที่มีเพียงเวกเตอร์ศูนย์เป็นอีกนิยามหนึ่ง ซึ่งให้เวกเตอร์ศูนย์เสมอ

**การฉายแรงลงตามแนวคานคือแรงปฏิกิริยาจริงหรือไม่?**
การฉายให้ส่วนของแรงที่ขนานและตั้งฉากกับแนวคาน เพื่อได้แรงปฏิกิริยาหรือแรงในสมาชิกจริงยังต้องใช้แผนภาพวัตถุอิสระ เงื่อนไขสมดุล และแบบจำลองของจุดรองรับเพิ่มเติม