---
title: "สัญญาณเบื้องต้น: เห็นหน้าตาสัญญาณ แปลงเวลา และดำเนินการระหว่างสัญญาณ"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/signals/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-12
---

> แล็บโต้ตอบพื้นฐานวิชาสัญญาณและระบบ พิมพ์สมการสัญญาณเองได้ ทั้งสัญญาณเวลาต่อเนื่อง x(t) และไม่ต่อเนื่อง x[n] ดูอนุพันธ์ อินทิกรัล ส่วนคู่คี่ พลังงาน สเปกตรัม การเลื่อน สเกล กลับเวลา และคอนโวลูชันแบบกลับและเลื่อน

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/signals/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# สัญญาณเบื้องต้น: เห็นหน้าตาสัญญาณ แปลงเวลา และดำเนินการระหว่างสัญญาณ

// ทฤษฎีประกอบแล็บ

## พื้นฐานของสัญญาณ

สรุปใน 30 วินาที

- สัญญาณคือฟังก์ชันของเวลา: $x(t)$ เวลาต่อเนื่อง หรือ $x[n]$ ไม่ต่อเนื่องทางเวลา

- สัญญาณพื้นฐานผูกกันด้วยแคลคูลัส: $\delta \xrightarrow{\int} u \xrightarrow{\int} r$

- $y(t) = x(a(t - t_0))$: จุด τ เดิมไปอยู่ที่ $t = t_0 + \tau/a$

- คอนโวลูชัน = กลับ เลื่อน คูณ แล้วหาพื้นที่ ใช้หาเอาต์พุตของระบบ

## สัญญาณคืออะไร

สัญญาณคือปริมาณที่เปลี่ยนไปตามเวลาและเก็บข้อมูลบางอย่างไว้ เช่น แรงดันไฟบ้าน กระแสมอเตอร์ หรือค่าจากเซนเซอร์ เราเขียนเป็นฟังก์ชันของเวลาได้สองแบบ

| ชนิด | สัญลักษณ์ | นิยามอยู่ที่ | ตัวอย่าง |

| เวลาต่อเนื่อง | $x(t)$ | ทุกค่าจริง t | แรงดันบนสายไฟ |

| ไม่ต่อเนื่องทางเวลา | $x[n]$ | เฉพาะจำนวนเต็ม n | ค่าที่ไมโครคอนโทรลเลอร์อ่านได้ทุก $T_s$ |

สัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลามักได้จากการสุ่ม $x[n] = x(nT_s)$ เปิด "จุดสุ่ม x(nTs)" ในแล็บแล้วลองปรับ $T_s$ ดู และระวังคำว่า "ต่อเนื่อง" สองความหมาย สัญญาณเวลาต่อเนื่องอาจ ไม่ต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์ ได้ เช่น $u(t)$ กระโดดที่ $t = 0$ แล็บแสดงจุดกระโดดด้วยจุดทึบและจุดโปร่ง

## สัญญาณพื้นฐาน

| ชื่อ | นิยาม | พิมพ์ในแล็บ |

| ขั้นบันได | $u(t) = 1$ เมื่อ $t \ge 0$, 0 เมื่อ $t < 0$ | u(t) |

| แรมป์ | $r(t) = t\,u(t)$ | r(t) |

| อิมพัลส์ | $\delta(t) = 0$ เมื่อ $t \ne 0$ และ $\int\delta(t)\,dt = 1$ | delta(t) |

| พัลส์สี่เหลี่ยม | $\operatorname{rect}(t) = 1$ เมื่อ $|t| < \tfrac12$ | rect(t) |

| เอกซ์โพเนนเชียล | $e^{-at}u(t)$ | exp(-a*t)*u(t) |

| ไซน์ | $A\cos(2\pi f t + \phi)$ | A*cos(2*pi*f*t + phi) |

สามตัวแรกผูกกันด้วยแคลคูลัส

$$r(t) = \int_{-\infty}^{t} u(\tau)\,d\tau \qquad u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau)\,d\tau \qquad \delta(t) = \frac{du}{dt}$$

ในแล็บ เลือก $u(t)$ แล้วดูกราฟอนุพันธ์ (ได้อิมพัลส์) และกราฟอินทิกรัลสะสม (ได้แรมป์) สมบัติสำคัญของอิมพัลส์คือการกรอง (sifting): $\int x(t)\,\delta(t - t_0)\,dt = x(t_0)$

## การแปลงตัวแปรเวลา

เขียนทุกการแปลงให้อยู่ในรูปเดียว

$$y(t) = A\,x\big(a(t - t_0)\big) + C \qquad\text{จุด } \tau \text{ ของ } x \text{ ไปอยู่ที่ } t = t_0 + \frac{\tau}{a}$$

- $t_0 > 0$ เลื่อนไปทางขวา (ล่าช้า) · $t_0 < 0$ เลื่อนไปทางซ้าย

- $|a| > 1$ บีบเข้า · $|a| < 1$ ยืดออก · $a < 0$ กลับเวลา

ตัวอย่างที่ 1 · จุดที่มักพลาด

### สัญญาณ $x(2t - 4)$ เลื่อนไปกี่หน่วยเมื่อเทียบกับ $x(t)$

ดูวิธีทำ

$$x(2t - 4) = x\big(2(t - 2)\big) \quad\Rightarrow\quad a = 2,\ t_0 = 2$$

บีบเข้า 2 เท่า แล้วเลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย ไม่ใช่ 4 จุด τ = 0 ของสัญญาณเดิมไปอยู่ที่ t = 2 และจุด τ = 1 ไปอยู่ที่ t = 2.5 ลองตั้ง a = 2, t₀ = 2 ในโหมด "แปลงทางเวลา" แล้วดูลูกศร

## สัญญาณคู่และสัญญาณคี่

$$x_e(t) = \tfrac12\big[x(t) + x(-t)\big] \qquad x_o(t) = \tfrac12\big[x(t) - x(-t)\big] \qquad x(t) = x_e(t) + x_o(t)$$

สัญญาณคู่สมมาตรรอบแกนตั้ง เช่น $\cos t$ สัญญาณคี่สมมาตรรอบจุดกำเนิด เช่น $\sin t$ ทุกสัญญาณแยกเป็นผลรวมของสองส่วนนี้ได้เสมอ แล็บแสดงทั้งสองส่วนและสัดส่วนพลังงาน

## พลังงานและกำลังของสัญญาณ

$$E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\,dt \qquad P = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2\,dt$$

- สัญญาณพลังงาน: E จำกัด (P = 0) เช่น $e^{-t}u(t)$ มี $E = \int_0^\infty e^{-2t}\,dt = \tfrac12$

- สัญญาณกำลัง: E ไม่จำกัดแต่ P จำกัด เช่น $A\cos\omega t$ มี $P = A^2/2$

ลองเลือก exp(-t)*u(t) ในแล็บ ค่า E จะออกมาใกล้ 0.5 และเส้นพลังงานสะสมจะนิ่ง ส่วนโคไซน์เส้นจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ

## สัญญาณคาบ

สัญญาณคาบทุกตัวเขียนเป็นผลรวมของไซน์ที่ความถี่เป็นจำนวนเต็มเท่าของ $1/T$ ได้ เรียนวิธีหาและใช้งานในวงจรไฟฟ้าทีละขั้นที่ อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก และลองใน แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก

สัญญาณเป็นคาบเมื่อ $x(t + T) = x(t)$ ทุก t ผลรวมไซน์หลายตัวเป็นคาบเมื่ออัตราส่วนความถี่เป็นจำนวนตรรกยะ สำหรับเวลาไม่ต่อเนื่องมีข้อควรระวัง $\cos(\omega_0 n)$ เป็นคาบก็ต่อเมื่อ $\omega_0/2\pi$ เป็นจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 2

### $\cos(\pi n/4)$ และ $\cos(n)$ เป็นคาบหรือไม่

ดูวิธีทำ

$\cos(\pi n/4)$: $\omega_0/2\pi = 1/8$ เป็นตรรกยะ คาบพื้นฐาน $N_0 = 8$

$\cos(n)$: $\omega_0/2\pi = 1/(2\pi)$ เป็นอตรรกยะ จึง ไม่เป็นคาบ แม้ $\cos t$ จะเป็นคาบก็ตาม

ในแล็บโหมด x[n] ลองพิมพ์ cos(pi*n/4) จะพบ N₀ = 8 ส่วน cos(n) จะไม่พบคาบ

## การดำเนินการระหว่างสัญญาณ

การบวกและคูณทำทีละเวลา การคูณสัญญาณช้ากับสัญญาณเร็วคือการมอดูเลต ผลลัพธ์ถูกจำกัดอยู่ในเปลือกของตัวคูณ ส่วนคอนโวลูชันคือหัวใจของวิชาสัญญาณและระบบ

$$y(t) = (x_1 * x_2)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau)\,x_2(t - \tau)\,d\tau \qquad y[n] = \sum_{k} x_1[k]\,x_2[n-k]$$

อ่านเป็นขั้นตอน: กลับ $x_2$ → เลื่อนไปที่ t → คูณกับ $x_1$ → หาพื้นที่

- พื้นที่ใต้ y เท่ากับพื้นที่ใต้ $x_1$ คูณพื้นที่ใต้ $x_2$

- ความยาวของ y เท่ากับความยาวของ $x_1$ บวกความยาวของ $x_2$

- คอนโวลูชันกับ $\delta(t - t_0)$ คือการเลื่อนสัญญาณไป $t_0$

ตัวอย่างที่ 3

### หา $\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ และ $u[n] * u[n]$

ดูวิธีทำ

พัลส์กว้าง 1 สองตัวซ้อนกันมากที่สุดที่ t = 0 และเหลื่อมกันเป็นเส้นตรงเมื่อเลื่อนออก จึงได้สามเหลี่ยมฐานกว้าง 2 พื้นที่ 1 × 1 = 1

$$\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) = \operatorname{tri}(t) \qquad u[n] * u[n] = \sum_{k=0}^{n} 1 = (n+1)\,u[n]$$

ลองในโหมด "ดำเนินการระหว่างสัญญาณ" ตั้ง x₁ = x₂ = rect(t) แล้วกด "เลื่อน t" จะเห็นพื้นที่แรเงาโตขึ้นแล้วเล็กลงเป็นรูปสามเหลี่ยม

คอนโวลูชันเชื่อมกับบทก่อนหน้าโดยตรง เอาต์พุตของระบบคือคอนโวลูชันระหว่างอินพุตกับผลตอบสนองอิมพัลส์ $h(t)$ ลองตั้ง x₁ = u(t) และ x₂ = exp(-t)*u(t) จะได้ $1 - e^{-t}$ ซึ่งคือผลตอบสนองขั้นบันไดใน แล็บระบบอันดับหนึ่ง ที่ τ = 1

## ต่อยอด: สัญญาณในระบบควบคุม

สัญญาณขั้นบันได อิมพัลส์ และไซน์ คืออินพุตทดสอบมาตรฐานของระบบควบคุม ไซน์นำไปสู่ผลตอบสนองความถี่และโบด ส่วนสัญญาณไม่ต่อเนื่อง x[n] นำไปสู่ระบบควบคุมดิจิทัลและการแปลง z

## คำถามที่พบบ่อย

สัญญาณเวลาต่อเนื่องกับสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลาต่างกันอย่างไร?
สัญญาณเวลาต่อเนื่อง $x(t)$ มีค่าทุกขณะเวลา ส่วนสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา $x[n]$ มีค่าเฉพาะที่จำนวนเต็ม n มักได้จากการสุ่ม $x[n] = x(nT_s)$ สัญญาณเวลาต่อเนื่องอาจมีจุดกระโดดได้ เช่น $u(t)$ จึงต้องแยกคำว่าเวลาต่อเนื่องออกจากคำว่าต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์

ทำไมอิมพัลส์ δ(t) จึงวาดเป็นลูกศร?
เพราะ $\delta(t)$ ไม่ใช่ฟังก์ชันธรรมดา มีความกว้างเป็นศูนย์แต่มีพื้นที่เท่ากับ 1 ความสูงจึงวาดตามจริงไม่ได้ ลูกศรแทนตำแหน่ง และตัวเลขในวงเล็บบอกพื้นที่หรือน้ำหนักของอิมพัลส์

x(2t − 4) เลื่อนไปกี่หน่วย?
เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย ไม่ใช่ 4 เพราะ $x(2t-4) = x(2(t-2))$ ให้จัดรูปเป็น $x(a(t-t_0))$ ก่อนเสมอ จุดที่ $\tau$ ของสัญญาณเดิมจะไปอยู่ที่ $t = t_0 + \tau/a$

คอนโวลูชันใช้ทำอะไร?
ใช้หาผลตอบสนองของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา ถ้ารู้ผลตอบสนองอิมพัลส์ $h(t)$ ของระบบ เอาต์พุตสำหรับอินพุตใด ๆ คือ $y = x * h$ เช่น ระบบอันดับหนึ่งมี $h(t) = \tfrac{1}{\tau}e^{-t/\tau}u(t)$

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**สัญญาณเวลาต่อเนื่องกับสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลาต่างกันอย่างไร?**
สัญญาณเวลาต่อเนื่อง $x(t)$ มีค่าทุกขณะเวลา ส่วนสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา $x[n]$ มีค่าเฉพาะที่จำนวนเต็ม n มักได้จากการสุ่ม $x[n] = x(nT_s)$ สัญญาณเวลาต่อเนื่องอาจมีจุดกระโดดได้ เช่น $u(t)$ จึงต้องแยกคำว่าเวลาต่อเนื่องออกจากคำว่าต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์

**ทำไมอิมพัลส์ δ(t) จึงวาดเป็นลูกศร?**
เพราะ $\delta(t)$ ไม่ใช่ฟังก์ชันธรรมดา มีความกว้างเป็นศูนย์แต่มีพื้นที่เท่ากับ 1 ความสูงจึงวาดตามจริงไม่ได้ ลูกศรแทนตำแหน่ง และตัวเลขในวงเล็บบอกพื้นที่หรือน้ำหนักของอิมพัลส์

**x(2t − 4) เลื่อนไปกี่หน่วย?**
เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย ไม่ใช่ 4 เพราะ $x(2t-4) = x(2(t-2))$ ให้จัดรูปเป็น $x(a(t-t_0))$ ก่อนเสมอ จุดที่ $\tau$ ของสัญญาณเดิมจะไปอยู่ที่ $t = t_0 + \tau/a$

**คอนโวลูชันใช้ทำอะไร?**
ใช้หาผลตอบสนองของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา ถ้ารู้ผลตอบสนองอิมพัลส์ $h(t)$ ของระบบ เอาต์พุตสำหรับอินพุตใด ๆ คือ $y = x * h$ เช่น ระบบอันดับหนึ่งมี $h(t) = \tfrac{1}{\tau}e^{-t/\tau}u(t)$