---
title: "อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน (Taylor & Maclaurin Series): สูตร ตารางอนุกรม เศษเหลือ ทวินาม และการประมาณค่า"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/taylor-series/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-24
---

> อนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series) และอนุกรมแมคลอริน (Maclaurin series) คืออะไร สูตร f⁽ⁿ⁾(a)/n! ตารางอนุกรมที่ต้องจำ eˣ sin cos ln(1+x) arctan (1+x)^α พหุนามเทย์เลอร์ ทฤษฎีบทเทย์เลอร์และเศษเหลือลากรองจ์ จำนวนพจน์ที่ต้องใช้ อนุกรมทวินาม เทคนิคแทนค่า คูณ หาร อินทิกรัล หาลิมิตด้วยอนุกรม หาผลบวกอนุกรม สูตรออยเลอร์ พร้อมแล็บพหุนามเทย์เลอร์

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/taylor-series/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน (Taylor & Maclaurin Series): สูตร ตารางอนุกรม เศษเหลือ ทวินาม และการประมาณค่า

// บทที่ 26.6 · ลำดับและอนุกรม · Taylor & Maclaurin Series


เครื่องคิดเลขไม่รู้จัก sin หรือ eˣ มันรู้แค่บวก ลบ คูณ หาร อนุกรมเทย์เลอร์คือสะพานที่เปลี่ยนฟังก์ชันใด ๆ ให้เป็นพหุนาม โดยจับคู่ค่าและอนุพันธ์ทุกอันดับที่จุดหนึ่ง หน้านี้สอนการสร้างอนุกรม ตารางที่ต้องจำ วิธีบอกความแม่นยำด้วยเศษเหลือ เทคนิคลัดที่ไม่ต้องหาอนุพันธ์ และการใช้หาลิมิตกับผลบวก ซึ่งออกข้อสอบทุกระดับ

สรุปใน 30 วินาที

- $f(x) = \sum\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ · a = 0 เรียกแมคลอริน

- $e^x,\ \sin x,\ \cos x$ ลู่เข้าทุก x · $\tfrac{1}{1-x},\ \ln(1+x),\ \arctan x,\ (1+x)^\alpha$ มีรัศมี 1

- $|R_n| \le \dfrac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}$ · อนุกรมสลับ: คลาดไม่เกินพจน์ถัดไป

- หาอนุกรมด้วยการแทนค่า คูณ หาร อินทิกรัล แทนการหาอนุพันธ์ทีละอันดับ

ระดับพื้นฐาน ตาราง · ประมาณค่ากลาง แคลคูลัส 2ขั้นสูง ทฤษฎี · หลายตัวแปร

## แนวคิด: พหุนามที่มีอนุพันธ์ตรงกับฟังก์ชัน พื้นฐาน

อยากได้พหุนาม $P(x)$ ที่ใกล้ $f(x)$ ที่สุดรอบจุด a วิธีที่เป็นธรรมชาติคือบังคับให้ $P(a) = f(a)$, $P'(a) = f'(a)$, $P''(a) = f''(a)$, … ไปเรื่อย ๆ เมื่อหาอนุพันธ์ $c_n(x-a)^n$ n ครั้งจะได้ $n!\,c_n$ จึงต้องเลือก $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ ดีกรีหนึ่งคือเส้นสัมผัส ดีกรีสองเพิ่มความโค้ง และยิ่งดีกรีสูงยิ่งเกาะได้กว้าง

พหุนามแมคลอรินของ sin x ดีกรี 1, 3, 5, 7 และ 9 ยิ่งดีกรีสูง ยิ่งเกาะกราฟจริงได้กว้างขึ้น (sin x ลู่เข้าทุก x)

Y1 Taylor series อนุกรมเทย์เลอร์

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$$

เท่ากับ f จริงเมื่อเศษเหลือ $R_n(x) \to 0$ (f วิเคราะห์) · เป็นอนุกรมกำลังตัวเดียวที่แทน f ได้ (P10)

Y2 Maclaurin series อนุกรมแมคลอริน

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

กรณี a = 0 ตั้งชื่อตามโคลิน แมคลอริน (ศตวรรษที่ 18)

Y3 Taylor polynomial พหุนามเทย์เลอร์ดีกรี n

$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k,\qquad P_1 = \text{การประมาณเชิงเส้น}$$

$P_1(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$ คือ linearization ในบทอนุพันธ์

ตัวอย่าง Y-1 · จากนิยาม

### หาอนุกรมเทย์เลอร์ของ (ก) $\ln x$ รอบ $a = 1$ (ข) $e^x$ รอบ $a = 2$

- (ก) $f = \ln x,\ f' = x^{-1},\ f'' = -x^{-2},\ f''' = 2x^{-3},\ f^{(n)} = (-1)^{n+1}(n-1)!\,x^{-n}$ ⇒ ที่ x = 1: $f^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}(n-1)!$

- $c_n = \dfrac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{n!} = \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ ⇒ $\ln x = (x-1) - \dfrac{(x-1)^2}{2} + \dfrac{(x-1)^3}{3} - \cdots$, $0 < x \le 2$

- (ข) อนุพันธ์ทุกอันดับของ $e^x$ คือ $e^x$ ⇒ $f^{(n)}(2) = e^2$ ⇒ $e^x = e^2\sum\dfrac{(x-2)^n}{n!}$ ลู่เข้าทุก x

(ก) $\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}{n}$ · (ข) $e^2\sum\dfrac{(x-2)^n}{n!}$ — ข้อ (ข) ตรวจได้จาก $e^x = e^2\cdot e^{x-2}$

## ตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ พื้นฐาน

จำเจ็ดตัวนี้ให้ขึ้นใจ แล้วอนุกรมเกือบทั้งหมดในข้อสอบสร้างได้จากเทคนิคในหัวข้อถัดไป สังเกตรูปแบบ: ฟังก์ชันคู่ (cos) มีแต่กำลังคู่ ฟังก์ชันคี่ (sin, arctan) มีแต่กำลังคี่

Y4 Exponential เอกซ์โพเนนเชียล

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,\quad R = \infty$$

ที่ x = 1 ได้ $e = \sum 1/n!$ · $e^{-x}$ สลับเครื่องหมาย

Y5 Sine ไซน์

$$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots,\quad R = \infty$$

x เป็นเรเดียนเสมอ · $\sin x \approx x$ เมื่อมุมเล็ก

Y6 Cosine โคไซน์

$$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots,\quad R = \infty$$

หาอนุพันธ์ของ Y5 ทีละพจน์ได้ Y6 · $1 - \cos x \approx x^2/2$

Y7 Geometric เรขาคณิต

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n = 1 + x + x^2 + \cdots,\quad |x| < 1$$

แม่ของอนุกรมตรรกยะทั้งหมด · $\frac{1}{1+x} = \sum(-1)^n x^n$

Y8 Logarithm ลอการิทึม

$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots,\quad -1 < x \le 1$$

ไม่มีอนุกรมแมคลอรินของ $\ln x$ (ไม่นิยามที่ 0) ต้องใช้รอบ a = 1

Y9 Arctangent อาร์กแทนเจนต์

$$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots,\quad |x| \le 1$$

ที่ x = 1 ได้อนุกรมเกรกอรี-ไลบ์นิซ $\tfrac{\pi}{4}$

Y10 Binomial series อนุกรมทวินาม (นิวตัน)

$$(1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots,\quad |x| < 1$$

α จำนวนเต็มบวกได้พหุนาม (สิ้นสุด) · $\sqrt{1+x} = 1 + \tfrac{x}{2} - \tfrac{x^2}{8} + \tfrac{x^3}{16} - \cdots$ · $\tfrac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \tfrac{x}{2} + \tfrac{3x^2}{8} - \cdots$

Y11 Hyperbolic ไฮเพอร์โบลิก

$$\sinh x = \sum\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \cosh x = \sum\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

เหมือน sin, cos แต่ไม่สลับเครื่องหมาย · $R = \infty$

Y12 tan, arcsin, sec พจน์ต้นที่ควรรู้

$$\tan x = x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2x^5}{15} + \cdots,\ \ \arcsin x = x + \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{3x^5}{40} + \cdots,\ \ \sec x = 1 + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{5x^4}{24} + \cdots$$

tan, sec: $R = \tfrac{\pi}{2}$ · arcsin: $R = 1$

## แล็บพหุนามเทย์เลอร์ พื้นฐาน

พิมพ์ฟังก์ชันและจุดกระจาย เลื่อนดีกรี n และจุด x ที่ต้องการประเมิน ดูความคลาดจริงเทียบขอบเขตลากรองจ์ และสังเกตว่านอกรัศมีการลู่เข้า (เช่น $\ln(1+x)$ ที่ x > 1) เพิ่มดีกรีเท่าไรก็ไม่ช่วย

## ประมาณค่าด้วยพหุนามเทย์เลอร์ พื้นฐาน

ตัวอย่าง Y-2 · ประมาณรากที่สอง

### ใช้พหุนามเทย์เลอร์ดีกรีสองของ $\sqrt x$ รอบ $a = 4$ ประมาณ $\sqrt{4.1}$

- $f(4) = 2,\ f'(x) = \tfrac{1}{2\sqrt x} \Rightarrow f'(4) = \tfrac14,\ f''(x) = -\tfrac{1}{4x^{3/2}} \Rightarrow f''(4) = -\tfrac{1}{32}$

- $P_2(x) = 2 + \tfrac14(x-4) - \tfrac{1}{64}(x-4)^2$ (เพราะ $\tfrac{-1/32}{2!} = -\tfrac1{64}$)

- $P_2(4.1) = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375$ ค่าจริง 2.02484567 คลาด $1.9\times10^{-6}$

$\sqrt{4.1} \approx 2.024844$ ถูกต้อง 5 ตำแหน่ง ด้วยการคำนวณเลขในใจ

ตัวอย่าง Y-3 · ทวินาม

### ประมาณ (ก) $\sqrt{1.1}$ ด้วย 4 พจน์ (ข) $\sqrt[3]{1.03}$ ด้วย 3 พจน์

- (ก) $\sqrt{1+x} = 1 + \tfrac{x}{2} - \tfrac{x^2}{8} + \tfrac{x^3}{16}$ ที่ x = 0.1: $1 + 0.05 - 0.00125 + 0.0000625 = 1.0488125$ (จริง 1.0488088, คลาด $3.7\times10^{-6}$)

- (ข) $(1+x)^{1/3} = 1 + \tfrac{x}{3} - \tfrac{x^2}{9} + \cdots$ ที่ x = 0.03: $1 + 0.01 - 0.0001 = 1.0099$ (จริง 1.0099016)

(ก) 1.04881 · (ข) 1.0099 — ฟิสิกส์ใช้แบบเดียวกันกับ $\tfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \approx 1 + \tfrac{v^2}{2c^2}$ ได้พลังงานจลน์ $\tfrac12mv^2$ เป็นพจน์แรก

## ทฤษฎีบทเทย์เลอร์และเศษเหลือ: ต้องใช้กี่พจน์ กลาง

การประมาณที่ไม่บอกความคลาดใช้ในงานวิศวกรรมไม่ได้ ทฤษฎีบทเทย์เลอร์บอกว่าความต่างระหว่างฟังก์ชันกับพหุนาม (เศษเหลือ) เขียนได้เป็นพจน์ถัดไปที่ประเมินที่จุดใดจุดหนึ่งระหว่าง a กับ x เราไม่รู้จุดนั้น แต่หาขอบเขตได้

Y13 Taylor's theorem (Lagrange remainder) ทฤษฎีบทเทย์เลอร์ เศษเหลือแบบลากรองจ์

$$f(x) = P_n(x) + R_n(x),\quad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},\ \xi \text{ ระหว่าง } a,\ x \ \Rightarrow\ |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$$

$M = \max|f^{(n+1)}|$ บนช่วงระหว่าง a กับ x · sin, cos: M = 1 · $e^x$ (x > 0): $M = e^x$ ใช้ $e < 3$ ช่วยประมาณ

Y14 Integral remainder เศษเหลือรูปอินทิกรัล

$$R_n(x) = \frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t)\,(x-t)^n\,dt$$

แม่นตรง ไม่มี ξ · ใช้พิสูจน์ว่าอนุกรมทวินามลู่เข้าสู่ $(1+x)^\alpha$

Y15 Alternating shortcut ทางลัดอนุกรมสลับ

$$\text{อนุกรมสลับที่ผ่านไลบ์นิซ:}\ |R| \le |\text{พจน์แรกที่ตัดทิ้ง}|$$

sin, cos, arctan, ln(1+x) ที่ $0 < x \le 1$ ใช้ได้ (A3)

ตัวอย่าง Y-4 · ใช้กี่พจน์ (ลากรองจ์)

### ต้องใช้พหุนามแมคลอรินดีกรีเท่าใด ประมาณ $e^{0.5}$ ให้คลาดไม่เกิน $10^{-5}$

- $|R_n(0.5)| \le \dfrac{e^{0.5}}{(n+1)!}(0.5)^{n+1} < \dfrac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!}$ (ใช้ $e^{0.5} < 2$)

- $n = 5$: $\dfrac{2(0.5)^6}{720} = 4.3\times10^{-5}$ ยังไม่พอ · $n = 6$: $\dfrac{2(0.5)^7}{5040} = 3.1\times10^{-6}$ ✓

- $P_6(0.5) = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208333 + 0.0026042 + 0.0002604 + 0.0000217 = 1.6487196$ ค่าจริง 1.6487213 คลาด $1.7\times10^{-6}$

ดีกรี 6 (7 พจน์) · ขอบเขตรับประกันโดยไม่ต้องรู้ค่าจริง ซึ่งเป็นสิ่งที่โจทย์ต้องการ

ตัวอย่าง Y-5 · ใช้กี่พจน์ (อนุกรมสลับ)

### ประมาณ $\sin(0.2)$ ด้วย $x - \tfrac{x^3}{6}$ และหาขอบเขตความคลาด

- $0.2 - \dfrac{0.008}{6} = 0.1986667$

- อนุกรมสลับ พจน์แรกที่ตัดทิ้ง $\dfrac{0.2^5}{5!} = 2.67\times10^{-6}$ ⇒ $|R| \le 2.67\times10^{-6}$

- ค่าจริง $\sin 0.2 = 0.1986693$ คลาดจริง $2.66\times10^{-6}$ (ขอบเขตแทบจะพอดี)

$\sin 0.2 \approx 0.19867$ คลาดไม่เกิน $2.7\times10^{-6}$

## เทคนิคลัด: แทนค่า คูณ หาร อินทิกรัล ประกอบ กลาง

การหาอนุพันธ์ทีละอันดับของ $e^{-x^2}$ หรือ $e^x\sin x$ ยุ่งเกินจำเป็น เพราะทฤษฎีบทความเป็นหนึ่งเดียวรับประกันว่าได้อนุกรมด้วยวิธีใดก็คืออนุกรมเทย์เลอร์ตัวเดียวกัน เทคนิคเหล่านี้จึงเป็นทักษะหลักในข้อสอบ

Y16 Substitution แทนค่า

$$e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$$

แทน $u = -x^2$ ใน Y4 · รัศมีเปลี่ยนตามตัวแปร: $\tfrac{1}{1-2x}$ มี $R = \tfrac12$

Y17 Multiply & divide คูณและหาร

$$e^x\sin x = x + x^2 + \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30} + \cdots,\qquad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = x + \frac{x^3}{3} + \cdots$$

คูณเหมือนพหุนาม เก็บถึงดีกรีที่ต้องการ · หารด้วยการหารยาวหรือเทียบสัมประสิทธิ์

Y18 Integrate term by term อินทิกรัลทีละพจน์

$$\int_0^1 e^{-x^2}dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\,(2n+1)} = 1 - \frac13 + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \cdots$$

ใช้กับอินทิกรัลที่ไม่มีปฏิยานุพันธ์พื้นฐาน (ฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน erf ในสถิติและการแพร่ความร้อน)

Y19 Composition ฟังก์ชันประกอบ

$$e^{\sin x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} - \frac{x^5}{15} + \cdots$$

แทนอนุกรมของ $\sin x$ ลงใน $e^u$ แล้วเก็บพจน์ถึงดีกรีที่ต้องการ (พจน์ $x^3$ หักล้างเป็น 0)

ตัวอย่าง Y-6 · อินทิกรัลที่หาปฏิยานุพันธ์ไม่ได้

### ประมาณ $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ ด้วย 5 พจน์ และบอกความคลาด

- จาก Y18: $1 - \tfrac13 + \tfrac{1}{10} - \tfrac{1}{42} + \tfrac{1}{216} = 0.747487$

- เป็นอนุกรมสลับ ความคลาด ≤ พจน์ถัดไป $\dfrac{1}{5!\cdot 11} = \dfrac{1}{1320} = 7.6\times10^{-4}$

- ค่าจริง $\tfrac{\sqrt\pi}{2}\operatorname{erf}(1) = 0.746824$ คลาด $6.6\times10^{-4}$ อยู่ในขอบเขต

≈ 0.7475 ± 0.0008 — ใช้ 7 พจน์จะได้ถูกต้องทศนิยม 4 ตำแหน่ง

## หาลิมิตด้วยอนุกรมเทย์เลอร์ กลาง

รูป 0/0 ที่ต้องใช้โลปิตาลหลายครั้ง แก้ด้วยอนุกรมได้ในบรรทัดเดียว: แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรม ตัดพจน์ที่หักล้างกัน แล้วดูพจน์แรกที่เหลือ วิธีนี้ยังบอก “อัตราการเข้าใกล้” ซึ่งโลปิตาลไม่บอก

ตัวอย่าง Y-7 · ลิมิต (แนวข้อสอบ)

### (ก) $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x - x + x^3/6}{x^5}$ (ข) $\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x - x}{x^3}$ (ค) $\lim_{x\to0}\dfrac{x - \sin x}{x - \tan x}$

- (ก) $\sin x - x + \tfrac{x^3}{6} = \tfrac{x^5}{120} - \tfrac{x^7}{5040} + \cdots$ ⇒ ลิมิต $\tfrac{1}{120}$

- (ข) $\tan x - x = \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2x^5}{15} + \cdots$ ⇒ ลิมิต $\tfrac13$

- (ค) ตัวเศษ $\tfrac{x^3}{6} - \cdots$ ตัวส่วน $-\tfrac{x^3}{3} - \cdots$ ⇒ $\dfrac{1/6}{-1/3} = -\tfrac12$

(ก) $\tfrac{1}{120}$ · (ข) $\tfrac13$ · (ค) $-\tfrac12$ — ข้อ (ก) ถ้าใช้โลปิตาลต้องหาอนุพันธ์ 5 ครั้ง

## หาผลบวกอนุกรมจากอนุกรมเทย์เลอร์ กลาง

ย้อนทาง: เห็นอนุกรมตัวเลขแล้วจำได้ว่าเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันใดที่จุดใด เช่น $\sum\tfrac{2^n}{n!} = e^2$, $\sum\tfrac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!} = \cos\pi = -1$

ตัวอย่าง Y-8 · หาผลบวก

### (ก) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}$ (ข) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}$

- (ก) $\dfrac{n^2}{n!} = \dfrac{n}{(n-1)!}$ ให้ $m = n - 1$: $\sum_{m\ge0}\dfrac{m+1}{m!} = \sum\dfrac{m}{m!} + \sum\dfrac{1}{m!} = e + e = 2e$

- (ข) เทียบ $\arctan x = \sum\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$: ต้องการ $x^{2n} = 3^{-n}$ ⇒ $x = \tfrac{1}{\sqrt3}$ ⇒ อนุกรม $= \sqrt3\arctan\tfrac{1}{\sqrt3} = \sqrt3\cdot\tfrac{\pi}{6}$

(ก) $2e \approx 5.4366$ · (ข) $\tfrac{\pi\sqrt3}{6} \approx 0.9069$ (นี่คืออนุกรมที่ลู่เข้าเร็วสำหรับคำนวณ π)

## สูตรออยเลอร์: จากอนุกรมสู่เฟสเซอร์ กลาง

แทน $x = j\theta$ ในอนุกรมของ $e^x$ แล้วแยกพจน์คู่-คี่ จะได้อนุกรมของ cos และ sin พอดี นี่คือรากฐานของการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับด้วยเฟสเซอร์ และของอนุกรมฟูริเยร์

Y20 Euler's formula สูตรออยเลอร์

$$e^{j\theta} = \sum\frac{(j\theta)^n}{n!} = \underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)}_{\cos\theta} + j\underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\right)}_{\sin\theta}$$

$j^2 = -1,\ j^3 = -j,\ j^4 = 1$ ทำให้เครื่องหมายสลับ · $e^{j\pi} + 1 = 0$

## ฟังก์ชันวิเคราะห์ และฟังก์ชันที่อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ไม่ได้ ขั้นสูง

Y21 Analytic function ฟังก์ชันวิเคราะห์

$$f \text{ วิเคราะห์ที่ } a \iff f(x) = \sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \text{ ในบางช่วงรอบ } a$$

พหุนาม eˣ sin cos ln ราก และผลบวก ผลคูณ ผลหาร ประกอบของพวกนี้ วิเคราะห์ในโดเมนของมัน

Y22 Smooth but not analytic เรียบแต่ไม่วิเคราะห์

$$f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases},\quad f^{(n)}(0) = 0\ \forall n$$

อนุกรมเทย์เลอร์รอบ 0 เป็น 0 ทุกพจน์ ลู่เข้าทุก x แต่ไม่เท่ากับ f — ต้องตรวจ $R_n \to 0$ เสมอ

Y23 Two-variable Taylor expansion เทย์เลอร์สองตัวแปร

$$f(a+h, b+k) \approx f + f_x h + f_y k + \tfrac12\left(f_{xx}h^2 + 2f_{xy}hk + f_{yy}k^2\right)$$

ทุกอนุพันธ์ประเมินที่ (a, b) · พจน์อันดับสองคือเมทริกซ์เฮสเซียน ใช้จำแนกจุดวิกฤตในค่าสุดขีดหลายตัวแปร

## ต่อไป: เมื่อมีจุดเอกฐานอยู่ตรงกลาง

อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ไม่ได้รอบจุดที่ฟังก์ชันระเบิด เช่น $\tfrac{1}{z}$ หรือ $e^{1/z}$ รอบ 0 ทางแก้คือยอมให้มีกำลังลบ ได้อนุกรมโลรองต์ ซึ่งเป็นเครื่องมือของเรซิดิว การแปลงลาปลาซผกผัน และการแปลง Z · ดูการใช้อนุกรมเทย์เลอร์ในงานจริงที่ อนุกรมในงานวิศวกรรม · บทความ อนุกรมเทย์เลอร์คืออะไร

## คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมเทย์เลอร์กับอนุกรมแมคลอรินต่างกันอย่างไร?
อนุกรมเทย์เลอร์ของ f รอบจุด a คือ $\sum \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ ส่วนอนุกรมแมคลอรินคือกรณีพิเศษที่ a = 0 คือ $\sum \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ เช่น $e^x = 1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \cdots$ เป็นอนุกรมแมคลอริน

อนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำมีอะไรบ้าง?
$e^x = \sum\tfrac{x^n}{n!}$, $\sin x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $\cos x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ (ทั้งสามลู่เข้าทุก x), $\tfrac{1}{1-x} = \sum x^n$, $\ln(1+x) = \sum\tfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$, $\arctan x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ และ $(1+x)^\alpha = \sum\binom{\alpha}{n}x^n$ (สี่ตัวหลังมีรัศมี 1)

จะรู้ได้อย่างไรว่าประมาณด้วยพหุนามเทย์เลอร์แล้วคลาดเท่าไร?
ใช้เศษเหลือลากรองจ์ $|R_n(x)| \le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ โดย M คือค่ามากสุดของ $|f^{(n+1)}|$ ระหว่าง a กับ x หรือถ้าอนุกรมเป็นอนุกรมสลับ ความคลาดไม่เกินพจน์แรกที่ตัดทิ้ง เช่น $\sin 0.2 \approx 0.2 - 0.008/6$ คลาดไม่เกิน $0.2^5/120 \approx 2.7\times10^{-6}$

ใช้อนุกรมเทย์เลอร์หาลิมิตอย่างไร?
แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรมแล้วตัดพจน์ต้น ๆ ที่หักล้างกัน เช่น $\lim_{x\to0}\dfrac{x - \sin x}{x^3}$: ตัวเศษ $= x - (x - \tfrac{x^3}{6} + \cdots) = \tfrac{x^3}{6} - \cdots$ ลิมิตจึงเป็น $\tfrac16$ เร็วกว่าใช้โลปิตาลสามครั้ง

ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ มีอนุกรมเทย์เลอร์เท่ากับตัวเองเสมอไหม?
ไม่เสมอ ตัวอย่างคลาสสิก $f(x) = e^{-1/x^2}$ (f(0) = 0) มีอนุพันธ์ทุกอันดับที่ 0 เป็นศูนย์ อนุกรมเทย์เลอร์จึงเป็น 0 แต่ f ไม่เป็นศูนย์เมื่อ x ≠ 0 ฟังก์ชันที่อนุกรมเทย์เลอร์ลู่เข้าสู่ตัวเองเรียกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic) ฟังก์ชันพื้นฐานเกือบทั้งหมดเป็นแบบนี้

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**อนุกรมเทย์เลอร์กับอนุกรมแมคลอรินต่างกันอย่างไร?**
อนุกรมเทย์เลอร์ของ f รอบจุด a คือ $\sum \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ ส่วนอนุกรมแมคลอรินคือกรณีพิเศษที่ a = 0 คือ $\sum \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ เช่น $e^x = 1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \cdots$ เป็นอนุกรมแมคลอริน

**อนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำมีอะไรบ้าง?**
$e^x = \sum\tfrac{x^n}{n!}$, $\sin x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $\cos x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ (ทั้งสามลู่เข้าทุก x), $\tfrac{1}{1-x} = \sum x^n$, $\ln(1+x) = \sum\tfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$, $\arctan x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ และ $(1+x)^\alpha = \sum\binom{\alpha}{n}x^n$ (สี่ตัวหลังมีรัศมี 1)

**จะรู้ได้อย่างไรว่าประมาณด้วยพหุนามเทย์เลอร์แล้วคลาดเท่าไร?**
ใช้เศษเหลือลากรองจ์ $|R_n(x)| \le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ โดย M คือค่ามากสุดของ $|f^{(n+1)}|$ ระหว่าง a กับ x หรือถ้าอนุกรมเป็นอนุกรมสลับ ความคลาดไม่เกินพจน์แรกที่ตัดทิ้ง เช่น $\sin 0.2 \approx 0.2 - 0.008/6$ คลาดไม่เกิน $0.2^5/120 \approx 2.7\times10^{-6}$

**ใช้อนุกรมเทย์เลอร์หาลิมิตอย่างไร?**
แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรมแล้วตัดพจน์ต้น ๆ ที่หักล้างกัน เช่น $\lim_{x\to0}\dfrac{x - \sin x}{x^3}$: ตัวเศษ $= x - (x - \tfrac{x^3}{6} + \cdots) = \tfrac{x^3}{6} - \cdots$ ลิมิตจึงเป็น $\tfrac16$ เร็วกว่าใช้โลปิตาลสามครั้ง

**ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ มีอนุกรมเทย์เลอร์เท่ากับตัวเองเสมอไหม?**
ไม่เสมอ ตัวอย่างคลาสสิก $f(x) = e^{-1/x^2}$ (f(0) = 0) มีอนุพันธ์ทุกอันดับที่ 0 เป็นศูนย์ อนุกรมเทย์เลอร์จึงเป็น 0 แต่ f ไม่เป็นศูนย์เมื่อ x ≠ 0 ฟังก์ชันที่อนุกรมเทย์เลอร์ลู่เข้าสู่ตัวเองเรียกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic) ฟังก์ชันพื้นฐานเกือบทั้งหมดเป็นแบบนี้