---
title: "แล็บลำดับและอนุกรม (Series Lab): ผลบวกย่อย การทดสอบ อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ในหน้าเดียว"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/series-lab/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-26
---

> เครื่องมือออนไลน์ภาษาไทยสำหรับลำดับและอนุกรม 12 ชุด: สำรวจลำดับและใยแมงมุม ผลบวกย่อย (partial sums) ทดสอบการลู่เข้า (convergence test) ขอบเขตปริพันธ์ จัดเรียงอนุกรมสลับ (Riemann rearrangement) รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง พหุนามเทย์เลอร์ จำนวนพจน์ที่ต้องใช้ วงแหวนอนุกรมโลรองต์ (Laurent series) และเครื่องสุ่มโจทย์

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/series-lab/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# แล็บลำดับและอนุกรม (Series Lab): ผลบวกย่อย การทดสอบ อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ในหน้าเดียว

// บทที่ 26.10 · ลำดับและอนุกรม · Series Lab


รวมเครื่องมือโต้ตอบทุกชิ้นของบทลำดับและอนุกรมไว้ในหน้าเดียว เรียงตามลำดับที่เรียน ทุกแล็บพิมพ์สูตรเองได้หรือเลือกตัวอย่างสำเร็จรูป ใช้คู่กับบทเรียนเพื่อ “เห็น” สิ่งที่สูตรบอก แล้วกลับไปเขียนเหตุผลให้ครบในกระดาษ

12 เครื่องมือในหน้านี้

- ลำดับและใยแมงมุม · ผลบวกย่อย · ตัวทดสอบอนุกรม · ขอบเขตปริพันธ์

- อนุกรมสลับและการจัดเรียงใหม่ · เกมเลือกการทดสอบ · รัศมีการลู่เข้า

- พหุนามเทย์เลอร์ · ต้องใช้กี่พจน์ · วงแหวนโลรองต์ · โจทย์สุ่ม · การประมาณในงานวิศวกรรม

## 1. สำรวจลำดับ: พจน์ ลิมิต ε–N และใยแมงมุม

พิมพ์สูตรพจน์ทั่วไป $a_n = f(n)$ หรือความสัมพันธ์เวียนเกิด $a_{n+1} = g(a_n)$ ดูว่าพจน์เข้าใกล้ค่าใด แถบ ε รอบลิมิตบอก N ที่ทำให้ทุกพจน์หลังจากนั้นอยู่ในแถบ (นิยาม ε–N) และมุมมองใยแมงมุม (cobweb) อธิบายว่าลำดับเวียนเกิดลู่เข้าจุดตรึงเมื่อ $|g'(L)| < 1$ · บทเรียน: ลำดับและลิมิตของลำดับ

## 2. ผลบวกย่อย: อนุกรมคือลิมิตของ Sₙ

แท่งสีฟ้าคือพจน์ $a_n$ เส้นสีส้มคือผลบวกย่อย $S_n$ และเส้นเขียวคือผลบวกจริง ตารางแสดงความคลาดเคลื่อนเทียบกับสูตรเศษเหลือของแต่ละแบบ (เรขาคณิต กล้องส่องทางไกล ปริพันธ์ อนุกรมสลับ) · บทเรียน: อนุกรมอนันต์

## 3. ตัวทดสอบอนุกรม: เหตุผลแบบเต็มสำหรับ 14 อนุกรมมาตรฐาน

เลือกอนุกรมเพื่อดูการทดสอบที่เหมาะสมพร้อมเหตุผลทีละขั้น หรือพิมพ์ $a_n$ เองเพื่อดูอัตราส่วน รากที่ n และผลบวกย่อยเป็นหลักฐานเชิงตัวเลข · บทเรียน: การทดสอบการลู่เข้า

## 4. การทดสอบด้วยปริพันธ์: สี่เหลี่ยมใต้และเหนือกราฟ

อนุกรมพจน์บวกที่ลดลงกับปริพันธ์ไม่ตรงแบบพอดี แต่ถูกประกบด้วยสี่เหลี่ยมสองชุด จึงลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน และให้ช่วงประมาณผลบวกที่แคบมาก $S_N + \int_{N+1}^{\infty} f \le S \le S_N + \int_{N}^{\infty} f$

## 5. อนุกรมสลับ: ขอบเขตความคลาด และการจัดเรียงใหม่ของรีมันน์

โหมดแรกแสดงว่าผลบวกย่อยของอนุกรมสลับกระโดดข้ามผลบวกจริงทุกครั้ง ความคลาดจึงไม่เกินพจน์ถัดไป $b_{N+1}$ โหมดที่สองจัดลำดับพจน์ของ $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ ใหม่ให้ได้ผลบวกเท่าใดก็ได้ตามต้องการ · บทเรียน: อนุกรมสลับและการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

## 6. เกมฝึกเลือกการทดสอบ (40 อนุกรม 3 ระดับ)

ทักษะที่ข้อสอบวัดจริงคือ “มองแล้วรู้ว่าต้องใช้อะไร” เลือกการทดสอบที่เหมาะที่สุดและผลสรุป แล้วกดตรวจเพื่อดูเหตุผล ระดับพื้นฐานตรงกับข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ระดับกลางตรงกับแคลคูลัส 2 ระดับสูงมีกับดักแบบไฟนอล

## 7. อนุกรมกำลัง: ช่วงการลู่เข้าบนเส้นจำนวน และดิสก์ในระนาบเชิงซ้อน

ผลบวกย่อยเกาะฟังก์ชันได้เฉพาะในช่วง $|x - a| < R$ ภาพทางขวาอธิบายว่าทำไม $\frac{1}{1+x^2}$ ที่เรียบทุกจุดบนแกนจริงจึงมี $R = 1$: รัศมีคือระยะถึงจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดในระนาบเชิงซ้อน · บทเรียน: อนุกรมกำลัง

## 8. พหุนามเทย์เลอร์: f(x) เทียบ Pₙ(x) ความคลาด และขอบเขตลากรองจ์

พิมพ์ฟังก์ชันใดก็ได้และจุดกระจาย a สัมประสิทธิ์คำนวณแบบแม่นตรงด้วยการหาอนุพันธ์อัตโนมัติ (ไม่ใช่ผลต่างจำกัด) ตารางแสดงความคลาดจริงเทียบขอบเขตลากรองจ์ · บทเรียน: อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน

## 9. ต้องใช้กี่พจน์? คำนวณจากขอบเขตเศษเหลือ

คำถามยอดนิยมในข้อสอบ: “ต้องใช้กี่พจน์จึงประมาณค่าได้ถูกต้องทศนิยม k ตำแหน่ง” เครื่องมือนี้ไล่ดีกรีทีละขั้น แสดงทั้งขอบเขตที่คำนวณได้โดยไม่รู้ค่าจริง และความคลาดจริง

## 10. อนุกรมโลรองต์: วงแหวน ส่วนหลัก เรซิดิว และการแปลง Z

เลือกฟังก์ชัน จุดศูนย์กลาง และบริเวณ แล็บแสดงอนุกรมโลรองต์ของบริเวณนั้นพร้อมสัมประสิทธิ์ ลากจุด z เพื่อดูการลู่เข้า-ลู่ออก ตัวอย่างการแปลง Z แสดงว่าบริเวณการลู่เข้า (ROC) คือวงแหวนของอนุกรมโลรองต์ · บทเรียน: อนุกรมโลรองต์

## 11. โจทย์สุ่มไม่จำกัด พร้อมตรวจคำตอบ

เลือกหมวดที่ต้องการฝึก (กดเพื่อเปิด-ปิด) แล้วพิมพ์คำตอบเป็นเศษส่วน ทศนิยม หรือนิพจน์ เช่น 3/4, pi/4, -1/6 ทุกข้อมีเฉลยทีละขั้น คะแนนเก็บไว้ในเบราว์เซอร์นี้ · ข้อสอบเต็มชุด: แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม

## 12. อนุกรมเทย์เลอร์ในงานวิศวกรรม: ลูกตุ้ม ไมโครคอนโทรลเลอร์ ไดโอด

สามตัวอย่างที่อนุกรมกลายเป็นการตัดสินใจทางวิศวกรรม: สูตรคาบลูกตุ้มใช้ได้ถึงมุมเท่าไร ต้องใช้กี่พจน์คำนวณ sin บนชิปด้วย float32 และแบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดใช้ได้แค่ไหน · บทเรียน: อนุกรมในงานวิศวกรรม

## เครื่องมือเพิ่มเติม: เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ และแล็บอุปนัยแบบเข้ม

แล็บในหน้านี้เน้น “ดูภาพ” ถ้าต้องการคำตอบแม่นตรงพร้อมวิธีทำแบบเฉลยข้อสอบ ใช้ เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม (26.11): ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต ซิกมาแบบรูปปิด หาสูตรจากพจน์ด้วยตารางผลต่าง แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดพร้อมฟังก์ชันก่อกำเนิด และออยเลอร์–แมคลอริน ทุกตัวมีโหมดฝึก ส่วนการพิสูจน์ว่าสูตร “จริงทุก n” ฝึกได้ที่ อุปนัยแบบเข้ม (26.12) ซึ่งมีแล็บอีก 11 ชุด

ซิกมา Σ พร้อมวิธีทำหาสูตรจากพจน์แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดกรณีฐานกี่ตัวแสตมป์ (โฟรเบเนียส)

## เรียนต่อ

กลับไปที่ ภาพรวมบทลำดับและอนุกรม เพื่อเลือกเส้นทางเรียนและค้นหาสูตร หรือต่อยอดสู่ อนุกรมฟูริเยร์ (อนุกรมของฟังก์ชันไซน์-โคไซน์สำหรับสัญญาณ) และ จำนวนเชิงซ้อนและทฤษฎีบทเรซิดิว ในบทการแปลงลาปลาซ

## คำถามที่พบบ่อย

แล็บนี้ใช้ตรวจการบ้านเรื่องอนุกรมได้ไหม?
ได้ในฐานะเครื่องมือตรวจ: พิมพ์พจน์ทั่วไป $a_n$ หรือสัมประสิทธิ์ $c_n$ เองได้ ผลบวกย่อยและรัศมีการลู่เข้าที่แสดงเป็นค่าตัวเลข ส่วนบทสรุปลู่เข้า-ลู่ออกของอนุกรมที่พิมพ์เองเป็นหลักฐานเชิงตัวเลข ไม่ใช่บทพิสูจน์ ข้อสอบยังต้องเขียนการทดสอบให้ครบ

ทำไม Σ 1/(n ln n) ในแล็บดูเหมือนนิ่งแต่บทเรียนบอกว่าลู่ออก?
เพราะผลบวกย่อยโตแบบ $\ln(\ln N)$ ซึ่งช้ามาก บวกหนึ่งล้านพจน์ได้แค่ราว 3.3 คอมพิวเตอร์จึงดูเหมือนนิ่ง การทดสอบด้วยปริพันธ์ $\int_2^{\infty} dx/(x\ln x) = \infty$ เป็นตัวตัดสิน นี่คือเหตุผลที่ต้องพิสูจน์ ไม่ใช่ดูตัวเลข

จะรู้ได้อย่างไรว่าต้องใช้กี่พจน์ของอนุกรมเทย์เลอร์?
ใช้ขอบเขตเศษเหลือ เช่น ลากรองจ์ $|R_n| \le M|x-a|^{n+1}/(n+1)!$ หรือสำหรับอนุกรมสลับ $|R_n| \le b_{n+1}$ แล้วหา n ที่ทำให้ขอบเขตน้อยกว่าความคลาดที่ยอมรับได้ เครื่องมือ “ต้องใช้กี่พจน์” ในหน้านี้ทำขั้นตอนนี้ให้ดูทีละแถว

วงแหวนในแล็บอนุกรมโลรองต์คืออะไร?
อนุกรมโลรองต์ $\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-c)^n$ ลู่เข้าในวงแหวน $r_1 มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**แล็บนี้ใช้ตรวจการบ้านเรื่องอนุกรมได้ไหม?**
ได้ในฐานะเครื่องมือตรวจ: พิมพ์พจน์ทั่วไป $a_n$ หรือสัมประสิทธิ์ $c_n$ เองได้ ผลบวกย่อยและรัศมีการลู่เข้าที่แสดงเป็นค่าตัวเลข ส่วนบทสรุปลู่เข้า-ลู่ออกของอนุกรมที่พิมพ์เองเป็นหลักฐานเชิงตัวเลข ไม่ใช่บทพิสูจน์ ข้อสอบยังต้องเขียนการทดสอบให้ครบ

**ทำไม Σ 1/(n ln n) ในแล็บดูเหมือนนิ่งแต่บทเรียนบอกว่าลู่ออก?**
เพราะผลบวกย่อยโตแบบ $\ln(\ln N)$ ซึ่งช้ามาก บวกหนึ่งล้านพจน์ได้แค่ราว 3.3 คอมพิวเตอร์จึงดูเหมือนนิ่ง การทดสอบด้วยปริพันธ์ $\int_2^{\infty} dx/(x\ln x) = \infty$ เป็นตัวตัดสิน นี่คือเหตุผลที่ต้องพิสูจน์ ไม่ใช่ดูตัวเลข

**จะรู้ได้อย่างไรว่าต้องใช้กี่พจน์ของอนุกรมเทย์เลอร์?**
ใช้ขอบเขตเศษเหลือ เช่น ลากรองจ์ $|R_n| \le M|x-a|^{n+1}/(n+1)!$ หรือสำหรับอนุกรมสลับ $|R_n| \le b_{n+1}$ แล้วหา n ที่ทำให้ขอบเขตน้อยกว่าความคลาดที่ยอมรับได้ เครื่องมือ “ต้องใช้กี่พจน์” ในหน้านี้ทำขั้นตอนนี้ให้ดูทีละแถว

**วงแหวนในแล็บอนุกรมโลรองต์คืออะไร?**
อนุกรมโลรองต์ $\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-c)^n$ ลู่เข้าในวงแหวน $r_1 < |z-c| < r_2$ ซึ่งขอบเป็นวงกลมผ่านโพลของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเดียวกันมีอนุกรมโลรองต์คนละชุดในแต่ละวงแหวน ลากจุด z ในแล็บเพื่อดูว่าออกนอกวงแหวนแล้วผลบวกย่อยลู่ออก