---
title: "ลำดับ (Sequences): เลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ และทฤษฎีบทการลู่เข้า"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/sequences/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-24
---

> ลำดับ (sequence) คืออะไร สูตรพจน์ทั่วไป ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence) ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence) ลำดับฮาร์มอนิก ความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) และสมการลักษณะเฉพาะ ลิมิตของลำดับ นิยาม ε–N ทฤษฎีบทแซนด์วิช ลำดับทางเดียวมีขอบเขต ลำดับโคชี พร้อมตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและแล็บโต้ตอบ

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/sequences/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# ลำดับ (Sequences): เลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ และทฤษฎีบทการลู่เข้า

// บทที่ 26.1 · ลำดับและอนุกรม · Sequences


ลำดับคือจำนวนที่เรียงเป็นแถวตามกฎ เช่น ยอดเงินฝากทุกสิ้นปี แรงดันของตัวเก็บประจุทุกตัวอย่างสัญญาณ หรือค่าประมาณที่ได้จากวิธีของนิวตันทีละรอบ คำถามสำคัญที่สุดคือ “เมื่อ n ใหญ่มาก ๆ ลำดับเข้าใกล้ค่าใดหรือไม่” หน้านี้ปูพื้นตั้งแต่สูตรลำดับระดับมัธยมปลาย จนถึงนิยาม ε–N และทฤษฎีบทที่ใช้พิสูจน์การลู่เข้า ซึ่งเป็นฐานของอนุกรมทุกชนิดในบทนี้

สรุปใน 30 วินาที

- เลขคณิต $a_n = a_1 + (n-1)d$ · เรขาคณิต $a_n = a_1 r^{n-1}$ · ฮาร์มอนิก: ส่วนกลับเป็นเลขคณิต

- $a_n \to L$ หมายถึง ทุก $\varepsilon > 0$ มี $N$ ที่ $n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$

- ลำดับโตเร็วเรียงจากช้าไปเร็ว: $\ln n \ll n^p \ll a^n \ll n! \ll n^n$ · $\left(1 + \tfrac{x}{n}\right)^n \to e^x$

- ทางเดียว + มีขอบเขต ⇒ ลู่เข้า · มีลำดับย่อยสองชุดลู่เข้าคนละค่า ⇒ ลู่ออก

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · เตรียมสอบเข้ากลาง แคลคูลัส 1-2ขั้นสูง พิสูจน์ · คณิตวิเคราะห์

## ลำดับคืออะไร: สูตรพจน์ทั่วไปและแบบเวียนเกิด พื้นฐาน

ลำดับ (sequence) คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนนับ เขียนค่าที่ตำแหน่ง n ว่า $a_n$ เรียกว่าพจน์ที่ n (n-th term) ลำดับกำหนดได้สองแบบ: เขียนสูตรตรง ๆ ของ $a_n$ เป็นฟังก์ชันของ n หรือบอกพจน์แรกแล้วบอกวิธีสร้างพจน์ถัดไปจากพจน์ก่อนหน้า (เวียนเกิด) ทั้งสองแบบพบบ่อยในงานวิศวกรรม: สูตรตรงคำนวณพจน์ไกล ๆ ได้ทันที ส่วนแบบเวียนเกิดคือสิ่งที่คอมพิวเตอร์และตัวกรองดิจิทัลทำจริง

Q1 Sequence ลำดับ

$$a : \mathbb N \to \mathbb R,\quad n \mapsto a_n \qquad (a_n)_{n=1}^{\infty} = a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots$$

ลำดับจำกัด (finite) มีพจน์สุดท้าย ลำดับอนันต์ (infinite) ไม่มี · ดัชนีเริ่มที่ 0 หรือ 1 ก็ได้ ต้องอ่านโจทย์ให้ดี

Q2 Explicit vs recursive สูตรตรงกับเวียนเกิด

$$a_n = f(n) \qquad\text{หรือ}\qquad a_1 \text{ กำหนด},\ a_{n+1} = g(a_n)$$

ตัวอย่าง: $a_n = 2^n$ กับ $a_1 = 2,\ a_{n+1} = 2a_n$ คือลำดับเดียวกัน

Q3 Bounded & monotone มีขอบเขต · ทางเดียว

$$|a_n| \le M\ \forall n \qquad a_{n+1} \ge a_n\ (\text{เพิ่ม}) \quad a_{n+1} \le a_n\ (\text{ลด})$$

ตรวจความเป็นทางเดียวด้วย $a_{n+1} - a_n$, $a_{n+1}/a_n$ (พจน์บวก) หรือ $f'(x)$ ของ $f(n) = a_n$

ตัวอย่าง Q-1 · หาสูตรพจน์ทั่วไป

### เขียนสูตร $a_n$ ของ (ก) $\tfrac12, \tfrac23, \tfrac34, \dots$ (ข) $1, -\tfrac14, \tfrac19, -\tfrac1{16}, \dots$ (ค) $2, 6, 12, 20, 30, \dots$

- (ก) ตัวเศษเป็น 1, 2, 3, … และตัวส่วนมากกว่าตัวเศษ 1 ⇒ $a_n = \dfrac{n}{n+1}$

- (ข) ตัวส่วนเป็นกำลังสอง $n^2$ เครื่องหมายสลับเริ่มบวก ⇒ $a_n = \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}$

- (ค) ผลต่าง 4, 6, 8, 10 เพิ่มทีละ 2 (ผลต่างอันดับสองคงที่ ⇒ พหุนามดีกรีสอง) ลองแยก $2 = 1\cdot2,\ 6 = 2\cdot3,\ 12 = 3\cdot4$ ⇒ $a_n = n(n+1)$

(ก) $\dfrac{n}{n+1}$ · (ข) $\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ · (ค) $n(n+1)$ — ตรวจโดยแทน n = 1, 2, 3 ทุกครั้ง

## ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต และฮาร์มอนิก พื้นฐาน

สองลำดับนี้คือแกนของข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเรื่องลำดับ ลำดับเลขคณิต (arithmetic) เพิ่มด้วย “การบวกค่าคงที่” เหมือนเงินเดือนที่ขึ้นปีละเท่ากัน ลำดับเรขาคณิต (geometric) เพิ่มด้วย “การคูณค่าคงที่” เหมือนดอกเบี้ยทบต้นหรือแรงดันที่ลดลงในแต่ละช่วงเวลาคงที่ของวงจร RC

Q4 Arithmetic sequence ลำดับเลขคณิต

$$a_n = a_1 + (n-1)d,\qquad d = a_{n+1} - a_n,\qquad a_n = a_m + (n-m)d$$

$a, b, c$ เป็นเลขคณิต ⇔ $2b = a + c$ (b คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต)

Q5 Geometric sequence ลำดับเรขาคณิต

$$a_n = a_1 r^{n-1},\qquad r = \frac{a_{n+1}}{a_n},\qquad a_n = a_m r^{n-m}$$

$a, b, c$ (บวก) เป็นเรขาคณิต ⇔ $b^2 = ac$ · $r^n \to 0$ เมื่อ $|r| < 1$

Q6 Harmonic sequence ลำดับฮาร์มอนิก

$$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \dots \text{ เป็นเลขคณิต} \quad\Rightarrow\quad a_n = \frac{1}{\frac{1}{a_1} + (n-1)d}$$

เช่น $1, \tfrac12, \tfrac13, \dots$ · $b$ เป็นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของ $a, c$ ⇔ $b = \dfrac{2ac}{a+c}$

Q7 AM ≥ GM ≥ HM อสมการค่าเฉลี่ย

$$\frac{a+b}{2} \ \ge\ \sqrt{ab} \ \ge\ \frac{2ab}{a+b}\qquad (a, b > 0)$$

เท่ากันเมื่อ $a = b$ · ใช้ในโจทย์ค่าสูงสุด-ต่ำสุดระดับ ม.ปลาย บ่อยมาก

ตัวอย่าง Q-2 · เลขคณิต

### ลำดับเลขคณิตมี $a_4 = 11$ และ $a_{10} = 29$ จงหา $a_1,\ d$ และ $a_{20}$

- ใช้ $a_{10} = a_4 + 6d$: $29 = 11 + 6d \Rightarrow d = 3$

- $a_4 = a_1 + 3d \Rightarrow 11 = a_1 + 9 \Rightarrow a_1 = 2$

- $a_{20} = a_1 + 19d = 2 + 57 = 59$

$a_1 = 2,\ d = 3,\ a_{20} = 59$ (เทคนิค: ไม่ต้องแก้ระบบสมการ ใช้ $a_n = a_m + (n - m)d$ ตรง ๆ)

ตัวอย่าง Q-3 · เรขาคณิต (แนวข้อสอบเข้า)

### สามจำนวนเรียงเป็นลำดับเรขาคณิต ผลบวกเท่ากับ 26 และผลคูณเท่ากับ 216 จงหาสามจำนวนนั้น

- เขียนสามจำนวนเป็น $\dfrac{b}{r},\ b,\ br$ (สมมาตรรอบพจน์กลาง) ผลคูณ $= b^3 = 216 \Rightarrow b = 6$

- ผลบวก: $\dfrac6r + 6 + 6r = 26 \Rightarrow 6r^2 - 20r + 6 = 0 \Rightarrow 3r^2 - 10r + 3 = 0$

- $(3r - 1)(r - 3) = 0 \Rightarrow r = 3$ หรือ $r = \tfrac13$

สามจำนวนคือ 2, 6, 18 (หรือเรียงกลับ 18, 6, 2) — ตรวจ: 2 + 6 + 18 = 26 และ 2 · 6 · 18 = 216

แนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยโจทย์ “สามจำนวนเป็นลำดับเลขคณิต/เรขาคณิต” ให้เขียนเป็น $a - d,\ a,\ a + d$ หรือ $\tfrac{b}{r},\ b,\ br$ เสมอ ผลบวกหรือผลคูณจะตัดตัวแปรไปหนึ่งตัวทันที ประหยัดเวลาได้มาก

## แล็บลำดับ: พจน์ ลิมิต แถบ ε และใยแมงมุม พื้นฐาน

พิมพ์สูตรพจน์ทั่วไป หรือสลับเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิด แล้วเลื่อนค่า ε ดูว่า N ต้องใหญ่แค่ไหนจึงทำให้ทุกพจน์หลังจากนั้นอยู่ในแถบรอบลิมิต มุมมองใยแมงมุมแสดงลำดับเวียนเกิดเป็นบันไดระหว่างกราฟ $y = g(x)$ กับเส้น $y = x$

## ความสัมพันธ์เวียนเกิดและสมการลักษณะเฉพาะ กลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น (linear recurrence) เป็น “สมการเชิงอนุพันธ์ของโลกดิจิทัล” วิธีแก้มีโครงเดียวกับสมการเชิงอนุพันธ์: หาคำตอบเฉพาะ (จุดตรึง) แล้วบวกคำตอบเอกพันธ์ที่เป็นเลขยกกำลัง ทักษะนี้ใช้ต่อในตัวกรองดิจิทัล การแปลง Z และระบบควบคุมแบบดิจิทัล

Q8 First-order linear recurrence เวียนเกิดเชิงเส้นอันดับหนึ่ง

$$a_{n+1} = r a_n + c\ (r \ne 1)\ \Rightarrow\ a_n = L + (a_1 - L)\,r^{n-1},\quad L = \frac{c}{1-r}$$

$L$ คือจุดตรึง ($L = rL + c$) · ลู่เข้าสู่ $L$ ⇔ $|r| < 1$ (หรือ $a_1 = L$)

Q9 Second-order: characteristic equation สมการลักษณะเฉพาะ

$$a_{n+2} = p\,a_{n+1} + q\,a_n:\quad t^2 = pt + q\ \Rightarrow\ a_n = \begin{cases} A t_1^{\,n} + B t_2^{\,n} & t_1 \ne t_2 \\ (A + Bn)\,t^{\,n} & \text{รากซ้ำ} \end{cases}$$

รากเชิงซ้อน $\rho e^{\pm j\theta}$ ให้ $\rho^n(A\cos n\theta + B\sin n\theta)$ — ลำดับแกว่ง ลู่เข้า 0 เมื่อ $\rho < 1$

Q10 Fibonacci & Binet's formula ฟีโบนัชชีและสูตรบิเนต์

$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n,\ F_0 = 0,\ F_1 = 1 \ \Rightarrow\ F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5},\quad \varphi, \psi = \frac{1 \pm \sqrt5}{2}$$

$F_{n+1}/F_n \to \varphi \approx 1.618$ ซึ่งเป็นค่าเดียวกับความต้านทานของบันไดตัวต้านทานอนันต์ (หน่วย R)

ตัวอย่าง Q-4 · อันดับหนึ่ง

### $a_1 = 1,\ a_{n+1} = 3a_n + 2$ จงหาสูตรพจน์ทั่วไป และบอกว่าลู่เข้าหรือไม่

- จุดตรึง: $L = 3L + 2 \Rightarrow L = -1$

- ตั้ง $b_n = a_n - L = a_n + 1$ จะได้ $b_{n+1} = 3b_n$ เป็นเรขาคณิต $b_1 = 2$ ⇒ $b_n = 2\cdot 3^{n-1}$

- $a_n = -1 + 2\cdot 3^{n-1}$ · ตรวจ: $a_2 = 5,\ a_3 = 17,\ a_4 = 53$ ตรงกับการคำนวณทีละขั้น

- $|r| = 3 > 1$ ⇒ $a_n \to \infty$ ลู่ออก (จุดตรึง −1 เป็นจุดตรึงไม่เสถียร)

$a_n = 2\cdot 3^{n-1} - 1$ ลู่ออก

ตัวอย่าง Q-5 · อันดับสอง

### $a_0 = 2,\ a_1 = 5,\ a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ จงหา $a_n$

- สมการลักษณะเฉพาะ $t^2 = 5t - 6 \Rightarrow t^2 - 5t + 6 = 0 \Rightarrow t = 2, 3$

- $a_n = A\,2^n + B\,3^n$ · $n = 0: A + B = 2$ · $n = 1: 2A + 3B = 5$ ⇒ $B = 1,\ A = 1$

- ตรวจ $a_2 = 5\cdot5 - 6\cdot2 = 13 = 4 + 9$ ✓

$a_n = 2^n + 3^n$

ในงานไฟฟ้า สมการ $y[n] = 0.8\,y[n-1] + 0.2\,x[n]$ ของตัวกรองดิจิทัลอันดับหนึ่งคือ Q8 พอดี โดยมี $r = 0.8$ ค่าตอบสนองต่อขั้นบันไดจึงเข้าสู่ 1 แบบเรขาคณิต ดูการคำนวณเต็มในอนุกรมในงานวิศวกรรม

## ลิมิตของลำดับ: ลู่เข้าและลู่ออก กลาง

ลำดับลู่เข้า (converges) สู่ $L$ ถ้าพจน์เข้าใกล้ $L$ และ “อยู่ใกล้ตลอดไป” นิยามแบบ ε–N ทำให้คำว่าใกล้ชัดเจน: ไม่ว่าจะขอความแม่นยำ ε เล็กเพียงใด ต้องมีตำแหน่ง N ที่ทุกพจน์หลังจากนั้นห่างจาก $L$ ไม่ถึง ε ถ้าไม่มี $L$ แบบนี้ ลำดับลู่ออก (diverges) ซึ่งอาจโตไม่มีขอบเขตหรือแกว่ง

นิยาม ε–N: หลังตำแหน่ง N ทุกพจน์ต้องอยู่ในแถบ $(L - \varepsilon,\ L + \varepsilon)$ ยิ่ง ε เล็ก N ยิ่งต้องใหญ่

Q11 Limit of a sequence (ε–N) ลิมิตของลำดับ

$$\lim_{n\to\infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0\ \exists N:\ n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$$

$a_n \to \infty$ หมายถึง ทุก $M$ มี $N$ ที่ $n > N \Rightarrow a_n > M$ (ลู่ออกสู่อนันต์) · ลิมิตถ้ามีจะมีค่าเดียว

Q12 Limit laws สมบัติของลิมิต

$$\lim(a_n \pm b_n) = A \pm B,\quad \lim a_n b_n = AB,\quad \lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}\ (B \ne 0)$$

ใช้ได้เมื่อ $a_n \to A$ และ $b_n \to B$ เป็นจำนวนจริงทั้งคู่ · $\infty - \infty$, $0\cdot\infty$, $\infty/\infty$ ต้องจัดรูปก่อน

Q13 Through a function ผ่านฟังก์ชัน f(x)

$$\lim_{x\to\infty} f(x) = L,\ a_n = f(n)\ \Rightarrow\ \lim_{n\to\infty} a_n = L;\quad g \text{ ต่อเนื่อง} \Rightarrow g(a_n) \to g(L)$$

จึงใช้กฎของโลปิตาลกับ $f(x)$ ได้ (ห้ามหาอนุพันธ์เทียบ n ตรง ๆ) · บทกลับไม่จริง: $\sin(\pi n) \to 0$ แต่ $\sin \pi x$ ไม่มีลิมิต

Q14 Standard limits ลิมิตมาตรฐานที่ต้องจำ

$$r^n \to 0\ (|r|<1),\quad \sqrt[n]{n} \to 1,\quad \sqrt[n]{a} \to 1\ (a>0),\quad \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \to e^x,\quad \frac{n^k}{a^n} \to 0\ (a>1),\quad \frac{a^n}{n!} \to 0,\quad \frac{n!}{n^n} \to 0$$

ลำดับความเร็วการโต: $\ln n \ll n^{p} \ll a^{n} \ll n! \ll n^{n}$ ($p > 0,\ a > 1$) ตัวที่โตเร็วกว่าชนะเสมอเมื่อ n ใหญ่พอ

ลำดับชั้นการโตของลำดับ (สเกล log): ln n โตช้าที่สุด n! และ nⁿ แซงทุกตัวในที่สุด — นี่คือเหตุผลที่ $n^{100}/1.01^n \to 0$ แม้ช่วงแรกตัวเศษจะใหญ่มหาศาล

ตัวอย่าง Q-6 · หาลิมิต

### (ก) $\lim \dfrac{2n^2 - 3n}{5n^2 + 1}$ (ข) $\lim\left(\sqrt{n^2 + n} - n\right)$ (ค) $\lim\left(1 - \dfrac3n\right)^{2n}$

- (ก) หารด้วยกำลังสูงสุด $n^2$: $\dfrac{2 - 3/n}{5 + 1/n^2} \to \dfrac25$

- (ข) รูป $\infty - \infty$ คูณด้วยคอนจูเกต: $\dfrac{(n^2 + n) - n^2}{\sqrt{n^2+n} + n} = \dfrac{n}{\sqrt{n^2+n} + n} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 1/n} + 1} \to \dfrac12$

- (ค) $\left(1 - \dfrac3n\right)^{2n} = \left[\left(1 + \dfrac{-3}{n}\right)^{n}\right]^2 \to (e^{-3})^2 = e^{-6}$ ใช้ Q14 กับ $x = -3$

(ก) $\tfrac25$ · (ข) $\tfrac12$ · (ค) $e^{-6} \approx 0.00248$

ตัวอย่าง Q-7 · พิสูจน์ด้วย ε–N

### พิสูจน์ว่า $\lim \dfrac{3n+1}{n+2} = 3$ และหา N เมื่อ $\varepsilon = 0.01$

- คำนวณระยะห่าง: $\left|\dfrac{3n+1}{n+2} - 3\right| = \left|\dfrac{3n + 1 - 3n - 6}{n+2}\right| = \dfrac{5}{n+2}$

- ต้องการ $\dfrac{5}{n+2} < \varepsilon \iff n > \dfrac5\varepsilon - 2$ จึงเลือก $N = \left\lceil \dfrac5\varepsilon - 2 \right\rceil$ แล้วทุก $n > N$ ใช้ได้

- $\varepsilon = 0.01$: $n > 500 - 2 = 498$ ⇒ $N = 498$ (พจน์ที่ 499 เป็นต้นไปอยู่ในแถบ)

ทุก ε มี N จึงลู่เข้าสู่ 3 ตามนิยาม · ε = 0.01 ใช้ N = 498

กับดักที่พบบ่อย$\left(1 + \tfrac1n\right)^n$ ไม่ได้เข้าใกล้ $1^\infty = 1$ แต่เข้าใกล้ $e \approx 2.718$ — รูป $1^\infty$ เป็นรูปไม่กำหนด ต้องใช้ Q14 หรือเขียนเป็น $e^{n\ln(1 + 1/n)}$ แล้วหาลิมิตของเลขชี้กำลัง

## ทฤษฎีบทแซนด์วิชและลำดับสลับเครื่องหมาย กลาง

Q15 Squeeze theorem ทฤษฎีบทแซนด์วิช

$$b_n \le a_n \le c_n\ (n \ge n_0),\ \ b_n, c_n \to L\ \Rightarrow\ a_n \to L$$

ใช้กับพจน์ที่มี $\sin, \cos, (-1)^n$ หรือแฟกทอเรียลที่ประมาณยาก

0 alternating sign ค่าสัมบูรณ์ ลู่เข้าศูนย์">
Q16 |aₙ| → 0 ⇒ aₙ → 0 ค่าสัมบูรณ์เข้าใกล้ศูนย์

$$|a_n| \to 0 \iff a_n \to 0 \qquad (\text{เฉพาะลิมิต } 0)$$

$(-1)^n/n \to 0$ แต่ $(-1)^n$ ลู่ออก · $|a_n| \to L \ne 0$ ไม่ได้บอกว่า $a_n$ ลู่เข้า

ตัวอย่าง Q-8 · แซนด์วิช

### หา (ก) $\lim \dfrac{\sin n}{n}$ (ข) $\lim \dfrac{n!}{n^n}$

- (ก) $-\dfrac1n \le \dfrac{\sin n}{n} \le \dfrac1n$ และทั้งสองข้าง → 0 ⇒ ลิมิตเป็น 0

- (ข) $\dfrac{n!}{n^n} = \dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{2}{n}\cdots\dfrac{n}{n} \le \dfrac1n$ (ทุกตัวประกอบหลังตัวแรก ≤ 1) และ $\dfrac{n!}{n^n} > 0$ ⇒ ประกบระหว่าง 0 กับ $\tfrac1n$ ⇒ ลิมิต 0

ทั้งสองลิมิตเท่ากับ 0

## ลำดับทางเดียวมีขอบเขต (Monotone Convergence Theorem) กลาง

ทฤษฎีบทนี้ตอบปัญหาของลำดับเวียนเกิด: เรามักหาสูตรตรงไม่ได้ แต่ถ้าพิสูจน์ได้ว่าลำดับ “ขึ้นอย่างเดียวและมีเพดาน” ลำดับต้องลู่เข้า จากนั้นจึงแทน $L = g(L)$ หาค่าลิมิตได้อย่างถูกต้อง

Q17 Monotone convergence theorem ทางเดียว + มีขอบเขต ⇒ ลู่เข้า

$$a_n \uparrow,\ a_n \le M \Rightarrow a_n \to \sup a_n \le M;\qquad a_n \downarrow,\ a_n \ge m \Rightarrow a_n \to \inf a_n$$

พิสูจน์ความมีขอบเขตและทางเดียวของลำดับเวียนเกิดมักใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

Q18 Fixed-point iteration การวนหาจุดตรึง

$$a_{n+1} = g(a_n),\ g(L) = L,\ |g'(L)| < 1 \Rightarrow a_n \to L \text{ (เมื่อเริ่มใกล้ } L)$$

$|g'(L)| > 1$ จุดตรึงไม่เสถียร · วิธีของนิวตันคือ $g(x) = x - f(x)/f'(x)$ ซึ่งมี $g'(L) = 0$ จึงลู่เข้าเร็วมาก

ตัวอย่าง Q-9 · ลำดับเวียนเกิด

### $a_1 = 1,\ a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$ ลู่เข้าหรือไม่ ถ้าลู่เข้า ลิมิตเท่าไร

- มีขอบเขตบน 3 (อุปนัย): $a_1 = 1 < 3$ · ถ้า $a_k < 3$ แล้ว $a_{k+1} = \sqrt{6 + a_k} < \sqrt{9} = 3$

- เพิ่มขึ้น: $a_{k+1}^2 - a_k^2 = 6 + a_k - a_k^2 = (3 - a_k)(2 + a_k) > 0$ เมื่อ $0 < a_k < 3$ ⇒ $a_{k+1} > a_k$

- Q17 ⇒ ลู่เข้าสู่ L บางค่า ผ่านลิมิตในสมการ: $L = \sqrt{6 + L} \Rightarrow L^2 - L - 6 = 0 \Rightarrow L = 3$ (ตัด −2 เพราะพจน์เป็นบวก)

ลู่เข้าสู่ 3 · ตรวจ $g'(3) = \tfrac{1}{2\sqrt9} = \tfrac16$ น้อยกว่า 1 สอดคล้องกับ Q18

กับดักที่พบบ่อยห้ามแทน $L = g(L)$ ก่อนพิสูจน์ว่าลู่เข้า ตัวอย่าง $a_1 = 1,\ a_{n+1} = 2a_n$: แทนได้ $L = 0$ แต่ลำดับจริงคือ $1, 2, 4, 8, \dots \to \infty$

## ลำดับย่อย ลำดับโคชี และโบลซาโน-ไวแยร์สตราส ขั้นสูง

หัวข้อนี้คือเครื่องมือของคณิตวิเคราะห์ (real analysis) ที่ทำให้การพิสูจน์การลู่เข้าทำได้โดยไม่ต้องรู้ค่าลิมิตล่วงหน้า ลำดับโคชีคือรากฐานของการทดสอบอนุกรมหลายแบบในหน้าถัดไป

Q19 Subsequences ลำดับย่อย

$$a_n \to L \Rightarrow a_{n_k} \to L \text{ ทุกลำดับย่อย};\quad a_{2n} \to L_1 \ne L_2 \leftarrow a_{2n+1} \Rightarrow \text{ลู่ออก}$$

ถ้าลำดับย่อยคู่และคี่ลู่เข้าสู่ค่าเดียวกัน ลำดับเดิมลู่เข้า (ใช้พิสูจน์การทดสอบอนุกรมสลับ)

Q20 Bolzano–Weierstrass ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวแยร์สตราส

$$(a_n) \text{ มีขอบเขต} \Rightarrow \text{มีลำดับย่อยที่ลู่เข้า}$$

เช่น $\sin n$ มีขอบเขต จึงมีลำดับย่อยลู่เข้า (จริง ๆ มีลำดับย่อยลู่เข้าสู่ทุกค่าใน [−1, 1])

Q21 Cauchy sequence ลำดับโคชี

$$\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ m, n > N \Rightarrow |a_m - a_n| < \varepsilon \iff (a_n) \text{ ลู่เข้าใน } \mathbb R$$

พจน์เข้าใกล้กันเองโดยไม่ต้องรู้ลิมิต · ใช้พิสูจน์ว่าอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์แล้วลู่เข้า

Q22 Stolz–Cesàro โลปิตาลฉบับลำดับ

$$b_n \uparrow \infty,\ \lim \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \ \Rightarrow\ \lim \frac{a_n}{b_n} = L$$

เช่น $\dfrac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{n^3} \to \lim \dfrac{(n+1)^2}{(n+1)^3 - n^3} = \dfrac13$

ตัวอย่าง Q-10 · ลำดับย่อย

### แสดงว่า $a_n = (-1)^n\dfrac{n}{n+1}$ ลู่ออก

- ลำดับย่อยคู่: $a_{2k} = \dfrac{2k}{2k+1} \to 1$

- ลำดับย่อยคี่: $a_{2k+1} = -\dfrac{2k+1}{2k+2} \to -1$

- ลิมิตของลำดับย่อยไม่เท่ากัน ⇒ ตาม Q19 ลำดับเดิมลู่ออก ทั้งที่ $|a_n| \to 1$

ลู่ออก (แกว่งระหว่างใกล้ 1 กับใกล้ −1)

## เช็กลิสต์หาลิมิตของลำดับ พื้นฐาน

1. เศษส่วนของพหุนาม/รากหารด้วยกำลังสูงสุดของตัวส่วน · รูป $\infty - \infty$ ที่มีรากใช้คอนจูเกต

2. รูป $1^\infty$ใช้ $\left(1 + \tfrac{x}{n}\right)^n \to e^x$ หรือ $e^{\lim n\ln(\cdot)}$

3. ยกกำลัง แฟกทอเรียล ลอการิทึมเทียบลำดับชั้นการโต Q14 หรือใช้โลปิตาลกับ f(x)

4. มี sin, cos, (−1)ⁿประกบด้วยแซนด์วิช Q15 หรือดูลำดับย่อย Q19

5. ลำดับเวียนเกิดพิสูจน์ทางเดียว + มีขอบเขต (Q17) ก่อน แล้วจึงแก้ $L = g(L)$

6. ตรวจด้วยแล็บดูค่าพจน์ที่ n ใหญ่เพื่อยืนยันคำตอบ ไม่ใช่แทนการพิสูจน์

## ต่อไป: จากลำดับสู่อนุกรม

เมื่อเข้าใจลิมิตของลำดับแล้ว อนุกรมก็คือลิมิตของลำดับผลบวกย่อย $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ หน้าถัดไป อนุกรมอนันต์ เริ่มจากอนุกรมเรขาคณิต กล้องส่องทางไกล และอนุกรม p ถ้าต้องการทบทวนลิมิตของฟังก์ชันก่อน ดู ลิมิตและความต่อเนื่อง และสรุปทั้งบทแบบหน้าเดียวที่ ลำดับและอนุกรมฉบับสรุป · ฝึกโจทย์ที่ แนวข้อสอบชุด A

## คำถามที่พบบ่อย

ลำดับกับอนุกรมต่างกันอย่างไร?
ลำดับ (sequence) คือรายการจำนวนเรียงกัน $a_1, a_2, a_3, \dots$ เป็นฟังก์ชันจากจำนวนนับไปยังจำนวนจริง ส่วนอนุกรม (series) คือผลบวกของพจน์ในลำดับ $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ ลำดับ 1/2, 1/4, 1/8, … ลู่เข้าสู่ 0 แต่อนุกรม 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ ลู่เข้าสู่ 1

จะรู้ได้อย่างไรว่าลำดับลู่เข้าหรือลู่ออก?
หาลิมิต $\lim_{n\to\infty} a_n$ ถ้าได้จำนวนจริงค่าเดียวคือลู่เข้า ถ้าเป็นอนันต์หรือไม่มีค่า (แกว่ง) คือลู่ออก เครื่องมือหลักคือหารด้วยกำลังสูงสุด ลิมิตมาตรฐาน กฎของโลปิตาลผ่านฟังก์ชัน f(x) ทฤษฎีบทแซนด์วิช และทฤษฎีบทลำดับทางเดียวมีขอบเขตสำหรับลำดับเวียนเกิด

ลำดับที่มีขอบเขตต้องลู่เข้าเสมอไหม?
ไม่ เช่น $(-1)^n$ มีขอบเขตแต่แกว่งระหว่าง −1 กับ 1 ลำดับที่มีขอบเขตจะลู่เข้าแน่นอนก็ต่อเมื่อเป็นลำดับทางเดียว (เพิ่มตลอดหรือลดตลอด) นี่คือทฤษฎีบทลำดับทางเดียวมีขอบเขต (Monotone Convergence Theorem)

แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด a(n+2) = p a(n+1) + q a(n) อย่างไร?
เขียนสมการลักษณะเฉพาะ $t^2 = pt + q$ ถ้ารากต่างกัน $t_1, t_2$ ได้ $a_n = A t_1^n + B t_2^n$ ถ้ารากซ้ำ $t$ ได้ $a_n = (A + Bn)t^n$ แล้วหาค่าคงที่ A, B จากสองพจน์แรก ลำดับฟีโบนัชชีให้สูตรของบิเนต์ $F_n = (\varphi^n - \psi^n)/\sqrt5$

ทำไมหาลิมิตของลำดับเวียนเกิดด้วยการแทน L = g(L) แล้วบางครั้งได้คำตอบผิด?
การแทน $L = g(L)$ ใช้ได้ก็ต่อเมื่อพิสูจน์แล้วว่าลำดับลู่เข้า เช่น $a_{n+1} = 2a_n,\ a_1 = 1$ ให้ $L = 2L \Rightarrow L = 0$ แต่ลำดับจริงคือ $2^{n-1} \to \infty$ ต้องพิสูจน์ความเป็นทางเดียวและมีขอบเขตก่อน หรือดูเงื่อนไข $|g'(L)| มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ลำดับกับอนุกรมต่างกันอย่างไร?**
ลำดับ (sequence) คือรายการจำนวนเรียงกัน $a_1, a_2, a_3, \dots$ เป็นฟังก์ชันจากจำนวนนับไปยังจำนวนจริง ส่วนอนุกรม (series) คือผลบวกของพจน์ในลำดับ $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ ลำดับ 1/2, 1/4, 1/8, … ลู่เข้าสู่ 0 แต่อนุกรม 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ ลู่เข้าสู่ 1

**จะรู้ได้อย่างไรว่าลำดับลู่เข้าหรือลู่ออก?**
หาลิมิต $\lim_{n\to\infty} a_n$ ถ้าได้จำนวนจริงค่าเดียวคือลู่เข้า ถ้าเป็นอนันต์หรือไม่มีค่า (แกว่ง) คือลู่ออก เครื่องมือหลักคือหารด้วยกำลังสูงสุด ลิมิตมาตรฐาน กฎของโลปิตาลผ่านฟังก์ชัน f(x) ทฤษฎีบทแซนด์วิช และทฤษฎีบทลำดับทางเดียวมีขอบเขตสำหรับลำดับเวียนเกิด

**ลำดับที่มีขอบเขตต้องลู่เข้าเสมอไหม?**
ไม่ เช่น $(-1)^n$ มีขอบเขตแต่แกว่งระหว่าง −1 กับ 1 ลำดับที่มีขอบเขตจะลู่เข้าแน่นอนก็ต่อเมื่อเป็นลำดับทางเดียว (เพิ่มตลอดหรือลดตลอด) นี่คือทฤษฎีบทลำดับทางเดียวมีขอบเขต (Monotone Convergence Theorem)

**แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด a(n+2) = p a(n+1) + q a(n) อย่างไร?**
เขียนสมการลักษณะเฉพาะ $t^2 = pt + q$ ถ้ารากต่างกัน $t_1, t_2$ ได้ $a_n = A t_1^n + B t_2^n$ ถ้ารากซ้ำ $t$ ได้ $a_n = (A + Bn)t^n$ แล้วหาค่าคงที่ A, B จากสองพจน์แรก ลำดับฟีโบนัชชีให้สูตรของบิเนต์ $F_n = (\varphi^n - \psi^n)/\sqrt5$

**ทำไมหาลิมิตของลำดับเวียนเกิดด้วยการแทน L = g(L) แล้วบางครั้งได้คำตอบผิด?**
การแทน $L = g(L)$ ใช้ได้ก็ต่อเมื่อพิสูจน์แล้วว่าลำดับลู่เข้า เช่น $a_{n+1} = 2a_n,\ a_1 = 1$ ให้ $L = 2L \Rightarrow L = 0$ แต่ลำดับจริงคือ $2^{n-1} \to \infty$ ต้องพิสูจน์ความเป็นทางเดียวและมีขอบเขตก่อน หรือดูเงื่อนไข $|g'(L)| < 1$