--- title: "อนุกรมกำลัง (Power Series): รัศมีและช่วงการลู่เข้า อนุพันธ์-อินทิกรัลทีละพจน์ และการแทนฟังก์ชัน" url: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/power-series/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-24 --- > อนุกรมกำลัง (power series) Σcₙ(x − a)ⁿ คืออะไร วิธีหารัศมีการลู่เข้า (radius of convergence) ด้วยการทดสอบอัตราส่วนและราก สูตรโคชี-อาดามาร์ การตรวจปลายช่วงเพื่อหาช่วงการลู่เข้า (interval of convergence) อนุพันธ์และอินทิกรัลทีละพจน์ แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรมเรขาคณิต ทฤษฎีบทของอาเบล รัศมีจากจุดเอกฐานเชิงซ้อน และแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยอนุกรม ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/power-series/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # อนุกรมกำลัง (Power Series): รัศมีและช่วงการลู่เข้า อนุพันธ์-อินทิกรัลทีละพจน์ และการแทนฟังก์ชัน // บทที่ 26.5 · ลำดับและอนุกรม · Power Series อนุกรมกำลังคือ “พหุนามที่ยาวไม่สิ้นสุด” $c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots$ ต่างจากอนุกรมตัวเลขตรงที่การลู่เข้าขึ้นกับ x คำตอบมีรูปแบบสวยงามเสมอ: ลู่เข้าในช่วงที่สมมาตรรอบ a รัศมี R และลู่ออกนอกช่วง ในช่วงนั้นอนุกรมประพฤติเหมือนพหุนาม หาอนุพันธ์และอินทิกรัลทีละพจน์ได้ ทำให้เป็นเครื่องมือหลักในการแทนฟังก์ชัน คำนวณเชิงตัวเลข และแก้สมการเชิงอนุพันธ์ สรุปใน 30 วินาที - $\sum c_n(x-a)^n$ ลู่เข้าเมื่อ $|x - a| < R$ ลู่ออกเมื่อ $|x - a| > R$ (R อาจเป็น 0 หรือ ∞) - $R = \lim\left|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}\right|$ หรือ $\dfrac1R = \limsup\sqrt[n]{|c_n|}$ · ปลายช่วงต้องทดสอบเอง - หาอนุพันธ์/อินทิกรัลทีละพจน์ได้ใน $|x - a| < R$ โดย R ไม่เปลี่ยน - R = ระยะจาก a ถึงจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดในระนาบเชิงซ้อน ระดับพื้นฐาน แนวคิดกลาง แคลคูลัส 2ขั้นสูง คณิตศาสตร์วิศวกรรม ## อนุกรมกำลังคืออะไร พื้นฐาน ตัวอย่างแรกเราเห็นแล้วในหน้าอนุกรมเรขาคณิต: $1 + x + x^2 + \cdots = \dfrac{1}{1-x}$ เมื่อ $|x| < 1$ ด้านซ้ายคืออนุกรมกำลัง ด้านขวาคือฟังก์ชันที่มันแทน โดยแทนได้เฉพาะในช่วง $(-1, 1)$ เท่านั้น ทั้งบทนี้คือการศึกษาว่าเกิดอะไรขึ้นกับคู่นี้ P1 Power series centered at a อนุกรมกำลังรอบจุด a $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$$ $a$ = จุดศูนย์กลาง (center) · $c_n$ = สัมประสิทธิ์ · ที่ $x = a$ ลู่เข้าเสมอ (เท่ากับ $c_0$) ช่วงการลู่เข้ามีจุดศูนย์กลาง a รัศมี R: ข้างในลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ข้างนอกลู่ออก ที่ปลายทั้งสองต้องตรวจเอง ## รัศมีการลู่เข้า: สามกรณีเท่านั้น กลาง P2 Radius of convergence theorem ทฤษฎีบทรัศมีการลู่เข้า $$\exists R \in [0, \infty]:\quad |x - a| < R \Rightarrow \text{ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์},\qquad |x - a| > R \Rightarrow \text{ลู่ออก}$$ R = 0: ลู่เข้าแค่ที่ $x = a$ · R = ∞: ลู่เข้าทุก x · ไม่มีกรณีที่ลู่เข้าเป็นช่วงไม่สมมาตร (ยกเว้นปลายช่วง) P3 Ratio formula สูตรจากอัตราส่วน $$R = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| \quad(\text{ถ้าลิมิตมี})$$ ระวังลำดับ: $c_n$ อยู่บน · ในทางปฏิบัติใช้ ratio test กับพจน์เต็ม $|a_{n+1}/a_n|$ แล้วแก้อสมการ < 1 จะไม่สับสน P4 Cauchy–Hadamard formula สูตรโคชี-อาดามาร์ $$\frac1R = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}$$ ใช้ได้เสมอ แม้มีช่องว่าง (สัมประสิทธิ์เป็น 0 สลับ) ที่สูตรอัตราส่วนใช้ไม่ได้ P5 Interval of convergence ช่วงการลู่เข้า $$(a - R,\ a + R) \ \cup\ \{\text{ปลายที่ลู่เข้า}\}:\quad (\,),\ [\,),\ (\,],\ [\,]$$ ที่ปลายช่วง ratio test ให้ 1 เสมอ ต้องใช้ p-series, ไลบ์นิซ, พจน์ที่ n หรือเปรียบเทียบ ตัวอย่าง P-1 · ครบสูตร ### หาช่วงการลู่เข้าของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^n}{n\,2^n}$ - อัตราส่วน: $\left|\dfrac{(x-3)^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}\cdot\dfrac{n\,2^n}{(x-3)^n}\right| = \dfrac{|x-3|}{2}\cdot\dfrac{n}{n+1} \to \dfrac{|x-3|}{2}$ - ลู่เข้าเมื่อ $\dfrac{|x-3|}{2} < 1 \iff |x - 3| < 2$ ⇒ $R = 2$, ช่วงเปิด $(1, 5)$ - ปลายซ้าย $x = 1$: $\sum\dfrac{(-2)^n}{n2^n} = \sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ ลู่เข้า (ไลบ์นิซ) · ปลายขวา $x = 5$: $\sum\dfrac{2^n}{n2^n} = \sum\dfrac1n$ ลู่ออก $R = 2$ · ช่วงการลู่เข้า $[1, 5)$ (ในแล็บพิมพ์ cₙ แล้วตั้ง a = 3) ตัวอย่าง P-2 · R เป็นค่าพิเศษ และช่องว่าง ### หาช่วงการลู่เข้าของ (ก) $\sum\dfrac{n!\,x^n}{n^n}$ (ข) $\sum\dfrac{x^{2n}}{4^n}$ (ค) $\sum\dfrac{(2x-1)^n}{n^2}$ - (ก) $\left|\dfrac{c_{n+1}}{c_n}\right| = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac1e$ ⇒ $R = e$ · ที่ $x = \pm e$: $|a_n| = \dfrac{n!\,e^n}{n^n} \sim \sqrt{2\pi n} \to \infty$ ลู่ออกทั้งสองปลาย ⇒ $(-e, e)$ - (ข) มีแต่กำลังคู่ (ช่องว่าง) มองเป็นเรขาคณิตของ $u = x^2/4$: ลู่เข้า ⇔ $x^2/4 < 1 \iff |x| < 2$ · ที่ $x = \pm2$ ได้ $\sum 1$ ลู่ออก ⇒ $(-2, 2)$ - (ค) อัตราส่วน $|2x - 1|\cdot\dfrac{n^2}{(n+1)^2} \to |2x-1| < 1 \iff 0 < x < 1$ ($R = \tfrac12$ รอบ $a = \tfrac12$) · ปลาย: $\sum\dfrac{(\pm1)^n}{n^2}$ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ทั้งคู่ ⇒ $[0, 1]$ (ก) $(-e, e)$ · (ข) $(-2, 2)$ · (ค) $[0, 1]$ — ข้อ (ค) ระวัง: $(2x-1)^n = 2^n(x - \tfrac12)^n$ จึงมีจุดศูนย์กลาง ½ ไม่ใช่ 1 ## แล็บรัศมีการลู่เข้า: เส้นจำนวนจริงและระนาบเชิงซ้อน พื้นฐาน เลือกอนุกรมแล้วเลื่อนดีกรี N ของผลบวกย่อย: ในแถบเขียวเส้นส้มเกาะฟังก์ชันแน่นขึ้นเรื่อย ๆ นอกแถบเส้นส้มแกว่งหนี วงกลมเขียวทึบ/แดงโปร่งบอกปลายช่วงที่ลู่เข้า/ลู่ออก ภาพระนาบเชิงซ้อนแสดงจุดเอกฐานที่กำหนดรัศมี หรือเลือก “พิมพ์ cₙ เอง” ## ตรวจปลายช่วง: ที่ที่ข้อสอบเก็บคะแนน กลาง นักศึกษาส่วนใหญ่หา R ได้ แต่เสียคะแนนที่ปลายช่วง ตารางนี้สรุปอนุกรมกำลังมาตรฐานที่มีรัศมี 1 แต่ปลายช่วงต่างกันทั้งหมด จำไว้ใช้เป็นตัวเทียบ | อนุกรม | ฟังก์ชัน | x = −1 | x = 1 | ช่วง | | $\sum x^n$ | $\tfrac{1}{1-x}$ | ลู่ออก | ลู่ออก | $(-1, 1)$ | | $\sum \tfrac{x^n}{n}$ | $-\ln(1-x)$ | มีเงื่อนไข | ลู่ออก | $[-1, 1)$ | | $\sum \tfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$ | $\ln(1+x)$ | ลู่ออก | มีเงื่อนไข | $(-1, 1]$ | | $\sum \tfrac{x^n}{n^2}$ | $\operatorname{Li}_2(x)$ | สัมบูรณ์ | สัมบูรณ์ | $[-1, 1]$ | | $\sum \tfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ | $\arctan x$ | มีเงื่อนไข | มีเงื่อนไข | $[-1, 1]$ | แนวข้อสอบโจทย์ “หาช่วงการลู่เข้า” ให้คะแนนสามส่วน: หา R (ใช้อัตราส่วนหรือราก) · ตรวจปลายซ้าย · ตรวจปลายขวา เขียนการทดสอบที่ใช้ที่ปลายแต่ละข้างให้ชัด ห้ามสรุปจาก ratio test ที่ปลายช่วงเพราะได้ 1 เสมอ ## อนุพันธ์และอินทิกรัลทีละพจน์ กลาง ภายในช่วงลู่เข้า อนุกรมกำลังเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ และทำได้ทีละพจน์เหมือนพหุนาม นี่คือ “เครื่องจักรผลิตอนุกรม”: เริ่มจากอนุกรมเรขาคณิตตัวเดียว หาอนุพันธ์ อินทิกรัล หรือแทนตัวแปร จะได้อนุกรมของฟังก์ชันอื่นอีกมาก P6 Term-by-term calculus อนุพันธ์และอินทิกรัลทีละพจน์ $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n \ \Rightarrow\ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n (x-a)^{n-1},\quad \int f\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n(x-a)^{n+1}}{n+1}$$ ทั้งสองมีรัศมี R เท่าเดิม · ปลายช่วงอาจได้หรือเสียการลู่เข้า ต้องตรวจใหม่ P7 Series built from the geometric series อนุกรมที่สร้างจากอนุกรมเรขาคณิต $$\frac{1}{1-x} = \sum x^n,\quad \frac{1}{(1-x)^2} = \sum (n+1)x^n,\quad \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n},\quad \arctan x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$$ ทั้งหมดมี $R = 1$ · $\ln(1+x) = \int_0^x \tfrac{dt}{1+t}$ · $\arctan x = \int_0^x\tfrac{dt}{1+t^2}$ ตัวอย่าง P-3 · หาผลบวกด้วยอนุพันธ์-อินทิกรัล ### หาผลบวก (ก) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$ (ข) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,2^n}$ - (ก) จาก $\sum x^n = \dfrac{1}{1-x}$ หาอนุพันธ์: $\sum nx^{n-1} = \dfrac{1}{(1-x)^2}$ คูณ x: $\sum nx^n = \dfrac{x}{(1-x)^2}$ · ที่ $x = \tfrac12$: $\dfrac{1/2}{1/4} = 2$ - (ข) อินทิกรัล $\sum x^{n-1}$ ตั้งแต่ 0 ถึง x: $\sum\dfrac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$ · ที่ $x = \tfrac12$: $-\ln\tfrac12 = \ln 2$ (ก) 2 · (ข) $\ln 2 \approx 0.6931$ (ลู่เข้าเร็วกว่า $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ มาก) ## แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรมกำลัง: เทคนิคเรขาคณิต กลาง P8 The geometric trick เทคนิคอนุกรมเรขาคณิต $$\frac{1}{c - x} = \frac1c\cdot\frac{1}{1 - x/c} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{c^{n+1}},\quad |x| < |c|;\qquad \frac{1}{c - x} = \frac{1}{(c - a) - (x - a)} \text{ สำหรับรอบ } a$$ ฟังก์ชันตรรกยะ: แยกเศษส่วนย่อยก่อน แล้วกระจายทีละตัว รัศมี = ระยะถึงโพลที่ใกล้ที่สุด ตัวอย่าง P-4 · ฟังก์ชันตรรกยะ ### เขียน $f(x) = \dfrac{3}{(1-x)(1+2x)}$ เป็นอนุกรมกำลังรอบ 0 และหารัศมีการลู่เข้า - แยกเศษส่วนย่อย: $\dfrac{3}{(1-x)(1+2x)} = \dfrac{1}{1-x} + \dfrac{2}{1+2x}$ (ตรวจที่ x = 1 และ x = −½) - $\dfrac{1}{1-x} = \sum x^n$ ($|x| < 1$) · $\dfrac{2}{1+2x} = 2\sum(-2x)^n$ ($|x| < \tfrac12$) - รวม: $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\left[1 + 2(-2)^n\right]x^n = 3 - 3x + 9x^2 - 15x^3 + 33x^4 - \cdots$ - ต้องลู่เข้าทั้งสองตัว ⇒ $R = \tfrac12$ ตรงกับระยะจาก 0 ถึงโพล $x = -\tfrac12$ $c_n = 1 + 2(-2)^n,\ R = \tfrac12$ ## รัศมีการลู่เข้ามาจากระนาบเชิงซ้อน ขั้นสูง ทำไมอนุกรมของ $\dfrac{1}{1+x^2}$ จึงลู่เข้าแค่ $|x| < 1$ ทั้งที่กราฟบนแกนจริงเรียบทุกจุด คำตอบอยู่นอกแกนจริง: อนุกรมกำลังลู่เข้าเป็น “ดิสก์” ในระนาบเชิงซ้อน และดิสก์ขยายได้จนชนจุดเอกฐานแรก ส่วนที่เห็นบนแกนจริงคือรอยตัดของดิสก์ ความเข้าใจนี้นำไปสู่อนุกรมโลรองต์ และฟังก์ชันวิเคราะห์ ดิสก์การลู่เข้ารอบ 0 ของ $1/(1+z^2)$ ขยายได้จนชนโพล $\pm i$ จึงมี R = 1 รอยตัดบนแกนจริงคือช่วง (−1, 1) P9 Radius = distance to the nearest singularity รัศมีคือระยะถึงจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุด $$f \text{ วิเคราะห์ใน } |z - a| < \rho \text{ และมีจุดเอกฐานบน } |z - a| = \rho \ \Rightarrow\ R = \rho$$ $\dfrac{1}{x^2 - 4x + 13}$: โพล $2 \pm 3i$ · รอบ 0 ได้ $R = \sqrt{13} \approx 3.61$ · รอบ 2 ได้ $R = 3$ — ไม่ต้องคำนวณสัมประสิทธิ์เลย P10 Uniqueness ความเป็นหนึ่งเดียว $$\sum c_n (x-a)^n = \sum d_n (x-a)^n \text{ ใกล้ } a \Rightarrow c_n = d_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$$ ได้อนุกรมด้วยวิธีใดก็ตาม (แทนค่า แยกเศษส่วน คูณ) ผลคืออนุกรมเทย์เลอร์ตัวเดียวกันเสมอ P11 Abel's theorem ทฤษฎีบทของอาเบล $$\sum c_n R^n \text{ ลู่เข้า} \Rightarrow \lim_{x\to R^-}\sum c_n x^n = \sum c_n R^n$$ ใช้หาผลบวกที่ปลายช่วง: $\arctan 1 = \tfrac{\pi}{4} = 1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots$ และ $\ln 2 = 1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ P12 Uniform convergence ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ $$|x - a| \le r < R:\quad |c_n(x-a)^n| \le |c_n| r^n =: M_n,\ \sum M_n < \infty$$ Weierstrass M-test ⇒ ลู่เข้าสม่ำเสมอบนช่วงปิดข้างใน จึงสลับลิมิต อนุพันธ์ และอินทิกรัลกับผลบวกได้ ## แก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยอนุกรมกำลัง ขั้นสูง สมการเชิงอนุพันธ์จำนวนมากในฟิสิกส์และวิศวกรรมไม่มีคำตอบเป็นฟังก์ชันพื้นฐาน วิธีอนุกรมกำลังเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์เป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดของสัมประสิทธิ์ ซึ่งคอมพิวเตอร์คำนวณได้ทันที (เทียบกับการแปลงลาปลาซที่เหมาะกับสัมประสิทธิ์คงที่) P13 Power series method วิธีอนุกรมกำลัง $$y = \sum c_n x^n,\ y' = \sum (n+1)c_{n+1}x^n,\ y'' = \sum (n+2)(n+1)c_{n+2}x^n \ \Rightarrow \text{ เทียบสัมประสิทธิ์ของ } x^n$$ จุดสามัญ (ordinary point) ให้คำตอบอนุกรมกำลังเสมอ · จุดเอกฐานปกติใช้วิธีโฟรเบเนียส $y = x^r\sum c_n x^n$ P14 Bessel function J₀ ฟังก์ชันเบสเซล $$x^2y'' + xy' + x^2y = 0:\quad J_0(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k},\ R = \infty$$ ใช้กับการสั่นของแผ่นกลม การนำความร้อนในทรงกระบอก และแอมพลิจูดของไซด์แบนด์ในสัญญาณ FM ตัวอย่าง P-5 · y″ + y = 0 ### แก้ $y'' + y = 0$ ด้วยอนุกรมกำลังรอบ 0 - แทน $y = \sum c_n x^n$: $\sum\left[(n+2)(n+1)c_{n+2} + c_n\right]x^n = 0$ ⇒ $c_{n+2} = -\dfrac{c_n}{(n+2)(n+1)}$ - เริ่มจาก $c_0$: $c_2 = -\tfrac{c_0}{2!},\ c_4 = \tfrac{c_0}{4!}, \dots$ · เริ่มจาก $c_1$: $c_3 = -\tfrac{c_1}{3!},\ c_5 = \tfrac{c_1}{5!}, \dots$ - $y = c_0\left(1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \cdots\right) + c_1\left(x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \cdots\right) = c_0\cos x + c_1\sin x$ $y = c_0\cos x + c_1\sin x$ — นิยามของ sin และ cos ผ่านอนุกรมคือคำตอบของสมการการสั่นอย่างง่าย (วงจร LC, สปริง-มวล) ตัวอย่าง P-6 · สมการไม่เชิงเส้น ### หา 3 พจน์แรกของคำตอบ $y' = 1 + y^2,\ y(0) = 0$ - $y(0) = 0$ ⇒ $c_0 = 0$ · $y'(0) = 1 + 0 = 1$ ⇒ $c_1 = 1$ - หาอนุพันธ์ต่อ: $y'' = 2yy'$ ⇒ $y''(0) = 0$ · $y''' = 2(y')^2 + 2yy''$ ⇒ $y'''(0) = 2$ ⇒ $c_3 = \tfrac{2}{3!} = \tfrac13$ - ต่อไปจะได้ $c_5 = \tfrac{2}{15}$ ตรงกับอนุกรมของ $\tan x$ ซึ่งคือคำตอบแม่นตรง $y = x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2x^5}{15} + \cdots = \tan x$ · R = π/2 (จุดเอกฐานที่ x = ±π/2 ทำให้คำตอบระเบิด) ## ต่อไป: สัมประสิทธิ์มาจากไหน ทฤษฎีบทความเป็นหนึ่งเดียว (P10) บอกว่าสัมประสิทธิ์ต้องเป็น $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ เสมอ นั่นคืออนุกรมเทย์เลอร์ หน้าถัดไปจะสร้างอนุกรมของทุกฟังก์ชันพื้นฐาน พร้อมเศษเหลือที่บอกความแม่นยำ · อ่านบทความ รัศมีการลู่เข้าหาอย่างไร (English) · ทบทวนอนุกรมสลับสำหรับปลายช่วง ## คำถามที่พบบ่อย รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร? ใช้การทดสอบอัตราส่วนกับค่าสัมบูรณ์ของพจน์: $\lim\left|\dfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\right| = |x-a|\,L ทำไมต้องตรวจปลายช่วงแยก? ที่ $|x - a| = R$ การทดสอบอัตราส่วนได้ค่า 1 ซึ่งสรุปไม่ได้ ต้องแทนค่า x ที่ปลายทั้งสองแล้วทดสอบอนุกรมตัวเลขที่ได้ด้วยวิธีอื่น ปลายแต่ละข้างอาจลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ มีเงื่อนไข หรือลู่ออกก็ได้ เช่น $\sum x^n/n$ ลู่เข้าที่ x = −1 แต่ลู่ออกที่ x = 1 หาอนุพันธ์หรืออินทิกรัลอนุกรมกำลังทีละพจน์ได้ไหม? ได้ ภายในช่วง $|x - a| ทำไม 1/(1+x²) ที่เรียบทุกจุดบนเส้นจำนวนจริงจึงมีรัศมีการลู่เข้าเพียง 1? เพราะรัศมีการลู่เข้ารอบจุด a เท่ากับระยะจาก a ไปยังจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดในระนาบเชิงซ้อน ฟังก์ชัน $1/(1+z^2)$ มีโพลที่ $z = \pm i$ ห่างจาก 0 หนึ่งหน่วย จึงได้ R = 1 แม้บนแกนจริงจะไม่มีปัญหาใด ๆ อนุกรมกำลังใช้แก้สมการเชิงอนุพันธ์อย่างไร? สมมติ $y = \sum c_n x^n$ แทนลงในสมการ เทียบสัมประสิทธิ์ของ $x^n$ ทั้งสองข้าง จะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิดของ $c_n$ เช่น $y'' + y = 0$ ให้ $c_{n+2} = -c_n/((n+2)(n+1))$ ซึ่งคืออนุกรมของ cos x และ sin x วิธีนี้ให้ฟังก์ชันพิเศษอย่างเบสเซล (Bessel) ที่ใช้ในการสั่นของแผ่นกลมและสเปกตรัม FM มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร?** ใช้การทดสอบอัตราส่วนกับค่าสัมบูรณ์ของพจน์: $\lim\left|\dfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\right| = |x-a|\,L < 1$ ได้ $|x - a| < 1/L$ ดังนั้น $R = 1/L = \lim|c_n/c_{n+1}|$ หรือใช้ราก $1/R = \limsup\sqrt[n]{|c_n|}$ (โคชี-อาดามาร์) ถ้า L = 0 ได้ R = ∞ ถ้า L = ∞ ได้ R = 0 **ทำไมต้องตรวจปลายช่วงแยก?** ที่ $|x - a| = R$ การทดสอบอัตราส่วนได้ค่า 1 ซึ่งสรุปไม่ได้ ต้องแทนค่า x ที่ปลายทั้งสองแล้วทดสอบอนุกรมตัวเลขที่ได้ด้วยวิธีอื่น ปลายแต่ละข้างอาจลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ มีเงื่อนไข หรือลู่ออกก็ได้ เช่น $\sum x^n/n$ ลู่เข้าที่ x = −1 แต่ลู่ออกที่ x = 1 **หาอนุพันธ์หรืออินทิกรัลอนุกรมกำลังทีละพจน์ได้ไหม?** ได้ ภายในช่วง $|x - a| < R$ และรัศมีการลู่เข้าไม่เปลี่ยน แต่พฤติกรรมที่ปลายช่วงอาจเปลี่ยน เช่น $\sum x^n/n^2$ ลู่เข้าที่ทั้งสองปลาย แต่อนุพันธ์ $\sum x^{n-1}/n$ ลู่ออกที่ x = 1 เทคนิคนี้ใช้หาอนุกรมของ ln(1+x) และ arctan x จากอนุกรมเรขาคณิต **ทำไม 1/(1+x²) ที่เรียบทุกจุดบนเส้นจำนวนจริงจึงมีรัศมีการลู่เข้าเพียง 1?** เพราะรัศมีการลู่เข้ารอบจุด a เท่ากับระยะจาก a ไปยังจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดในระนาบเชิงซ้อน ฟังก์ชัน $1/(1+z^2)$ มีโพลที่ $z = \pm i$ ห่างจาก 0 หนึ่งหน่วย จึงได้ R = 1 แม้บนแกนจริงจะไม่มีปัญหาใด ๆ **อนุกรมกำลังใช้แก้สมการเชิงอนุพันธ์อย่างไร?** สมมติ $y = \sum c_n x^n$ แทนลงในสมการ เทียบสัมประสิทธิ์ของ $x^n$ ทั้งสองข้าง จะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิดของ $c_n$ เช่น $y'' + y = 0$ ให้ $c_{n+2} = -c_n/((n+2)(n+1))$ ซึ่งคืออนุกรมของ cos x และ sin x วิธีนี้ให้ฟังก์ชันพิเศษอย่างเบสเซล (Bessel) ที่ใช้ในการสั่นของแผ่นกลมและสเปกตรัม FM