---
title: "อนุกรมอนันต์ (Infinite Series): ผลบวกย่อย อนุกรมเรขาคณิต กล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก และอนุกรม p"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/infinite-series/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-24
---

> อนุกรมอนันต์ (infinite series) คือลิมิตของผลบวกย่อย (partial sums) เรียนสูตรผลบวก Σk Σk² Σk³ อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ a/(1−r) ทศนิยมซ้ำ อนุกรมกล้องส่องทางไกล (telescoping) อนุกรมฮาร์มอนิกลู่ออก อนุกรม p และอนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต Σ n rⁿ พร้อมตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและแล็บผลบวกย่อย

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/infinite-series/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# อนุกรมอนันต์ (Infinite Series): ผลบวกย่อย อนุกรมเรขาคณิต กล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก และอนุกรม p

// บทที่ 26.2 · ลำดับและอนุกรม · Infinite Series


บวกจำนวนไม่สิ้นสุดแล้วได้ค่าจำกัดได้อย่างไร คำตอบคือมองผ่านลำดับผลบวกย่อย ถ้าผลบวกสะสมเข้าใกล้ค่าหนึ่ง ค่านั้นคือผลบวกของอนุกรม หน้านี้รวมอนุกรมที่หาผลบวกได้จริงทั้งหมด (เรขาคณิต กล้องส่องทางไกล เลขคณิต-เรขาคณิต) อนุกรมมาตรฐานที่ใช้เป็นตัวเทียบ (ฮาร์มอนิก อนุกรม p) และการทดสอบพจน์ที่ n ซึ่งเป็นด่านแรกของทุกโจทย์

สรุปใน 30 วินาที

- $\sum a_n = \lim S_n$ · ถ้าลิมิตไม่มีหรือเป็นอนันต์ อนุกรมลู่ออก · $a_n = S_n - S_{n-1}$

- เรขาคณิต: $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$ เมื่อ $|r| < 1$ · กล้องส่องทางไกล: $\sum (b_n - b_{n+1}) = b_1 - \lim b_n$

- อนุกรม p $\sum 1/n^p$ ลู่เข้า ⇔ $p > 1$ · ฮาร์มอนิก ($p = 1$) ลู่ออก

- $a_n \not\to 0 \Rightarrow$ ลู่ออก แต่ $a_n \to 0$ ยังสรุปไม่ได้

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · เตรียมสอบเข้ากลาง แคลคูลัส 2ขั้นสูง ทฤษฎี

## อนุกรมคือลิมิตของผลบวกย่อย พื้นฐาน

ให้ลำดับ $a_1, a_2, a_3, \dots$ ผลบวกย่อย (partial sum) ตัวที่ n คือ $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ ซึ่งเป็นลำดับใหม่ อนุกรม $\sum a_n$ ลู่เข้า เมื่อลำดับ $S_n$ ลู่เข้า และผลบวกของอนุกรมคือลิมิตนั้น ภาพด้านล่างคือหัวใจของทั้งบท: แท่งคือพจน์ เส้นคือผลบวกสะสม

พจน์ $a_n = (1/2)^n$ (แท่ง) และผลบวกย่อย $S_n$ (จุด) ซึ่งเข้าใกล้ 1 แต่ไม่ถึง ส่วนที่ขาด $1 - S_n = (1/2)^n$ คือเศษเหลือ (remainder)

S1 Sum of a series ผลบวกของอนุกรม

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} S_N,\qquad S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$$

เศษเหลือ (remainder) $R_N = S - S_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n$ บอกความคลาดเมื่อหยุดบวกที่ N

S2 Terms from partial sums หาพจน์จากผลบวกย่อย

$$a_1 = S_1,\qquad a_n = S_n - S_{n-1}\ (n \ge 2)$$

โจทย์ให้สูตร $S_n$ มา ให้หา $a_n$ ด้วยวิธีนี้ และผลบวกอนันต์คือ $\lim S_n$

ตัวอย่าง S-1 · ผลบวกย่อยให้มา

### อนุกรมหนึ่งมี $S_n = \dfrac{n}{2n+1}$ จงหา $a_n$ และผลบวกของอนุกรม

- $a_n = \dfrac{n}{2n+1} - \dfrac{n-1}{2n-1} = \dfrac{n(2n-1) - (n-1)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} = \dfrac{1}{4n^2 - 1}$ (ใช้ได้ทั้ง n = 1 ด้วย เพราะ $S_1 = \tfrac13$)

- ผลบวก $= \lim \dfrac{n}{2n+1} = \dfrac12$

$a_n = \dfrac{1}{4n^2-1}$ และ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2-1} = \frac12$

## แล็บผลบวกย่อย พื้นฐาน

เลือกอนุกรมแล้วเลื่อนจำนวนพจน์ N เทียบผลบวกย่อยกับผลบวกจริง และดูสูตรเศษเหลือของแต่ละแบบ ลองเลือกฮาร์มอนิกเพื่อดูผลบวกที่โตไม่หยุดแม้จะช้ามาก

## อนุกรมจำกัดและสูตรซิกมา พื้นฐาน

ก่อนไปอนุกรมอนันต์ ต้องคล่องผลบวกจำกัด ซึ่งออกข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยทุกปี สูตรสามตัวของ $\sum k^p$ และสมบัติเชิงเส้นของซิกมาใช้แก้โจทย์ผลบวกของพหุนามได้ทุกข้อ

S3 Power sums สูตรผลบวกกำลัง

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$$

พิสูจน์ได้ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ · $\sum (c\,a_k + b_k) = c\sum a_k + \sum b_k$ · $\sum_{k=1}^n c = cn$

S4 Arithmetic series อนุกรมเลขคณิต

$$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right) = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n-1)d\right]$$

“จำนวนพจน์ × ค่าเฉลี่ยของพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย” แบบเกาส์ · อนุกรมเลขคณิตอนันต์ลู่ออกเสมอ (ยกเว้นทุกพจน์เป็น 0)

S5 Finite geometric series อนุกรมเรขาคณิตจำกัด

$$S_n = a_1 + a_1 r + \cdots + a_1 r^{n-1} = a_1\frac{1 - r^n}{1 - r}\quad (r \ne 1)$$

ได้จาก $S_n - rS_n = a_1 - a_1 r^n$ · ถ้า $r = 1$: $S_n = n a_1$

ตัวอย่าง S-2 · ซิกมา (แนวข้อสอบเข้า)

### (ก) $\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(2k-1)(k+1)$ (ข) $1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot4 + \cdots + 20\cdot21$

- (ก) กระจาย $(2k-1)(k+1) = 2k^2 + k - 1$ แล้วแยกซิกมา: $2\sum k^2 + \sum k - \sum 1$

- n = 20: $\sum k^2 = \dfrac{20\cdot21\cdot41}{6} = 2870$, $\sum k = 210$, $\sum 1 = 20$ ⇒ $5740 + 210 - 20 = 5930$

- (ข) $\sum_{k=1}^{20} k(k+1) = \sum k^2 + \sum k = 2870 + 210 = 3080$ · ตรวจด้วยสูตรลัด $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} = \dfrac{20\cdot21\cdot22}{3} = 3080$

(ก) 5930 · (ข) 3080

## อนุกรมเรขาคณิตอนันต์และทศนิยมซ้ำ พื้นฐาน

อนุกรมเรขาคณิตเป็นอนุกรมอนันต์ตัวแรกที่หาผลบวกได้ และเป็นตัวเทียบสำคัญของการทดสอบทุกแบบ จาก S5 ถ้า $|r| < 1$ แล้ว $r^n \to 0$ ผลบวกย่อยจึงเข้าใกล้ $\dfrac{a}{1-r}$

S6 Infinite geometric series อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + \cdots = \frac{a}{1-r} \iff |r| < 1;\qquad |r| \ge 1 \Rightarrow \text{ลู่ออก}$$

a = พจน์แรกของอนุกรม (อย่าหลงใช้ 1) · เศษเหลือ $R_N = \dfrac{ar^N}{1-r}$

S7 Repeating decimals ทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

$$0.\overline{d_1 d_2\cdots d_k} = \frac{d_1 d_2 \cdots d_k}{\underbrace{99\cdots9}_{k}}$$

มาจาก $\tfrac{D}{10^k} + \tfrac{D}{10^{2k}} + \cdots$ · $0.\overline{9} = \tfrac{9}{9} = 1$ พอดี

ตัวอย่าง S-3 · ทศนิยมซ้ำและเรขาคณิต

### (ก) เขียน $0.2\overline{45}$ เป็นเศษส่วน (ข) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n+1}}{5^n}$ (ค) ค่า x ใดที่ $\sum_{n=0}^{\infty}(x-1)^n$ ลู่เข้า และผลบวกเท่าไร

- (ก) $0.2\overline{45} = \dfrac{2}{10} + \dfrac{45}{1000} + \dfrac{45}{100000} + \cdots = \dfrac15 + \dfrac{45/1000}{1 - 1/100} = \dfrac15 + \dfrac{45}{990} = \dfrac15 + \dfrac{1}{22} = \dfrac{27}{110}$

- (ข) พจน์แรก (n = 1) $= \dfrac{9}{5}$, $r = \dfrac35$ ⇒ $S = \dfrac{9/5}{1 - 3/5} = \dfrac{9/5}{2/5} = \dfrac92$

- (ค) $r = x - 1$ ต้อง $|x - 1| < 1 \iff 0 < x < 2$ และ $S = \dfrac{1}{1 - (x-1)} = \dfrac{1}{2-x}$

(ก) $\tfrac{27}{110}$ · (ข) $\tfrac92$ · (ค) $0 < x < 2,\ S = \tfrac{1}{2-x}$ — ข้อ (ค) คืออนุกรมกำลังตัวแรกของเรา (ดูอนุกรมกำลัง)

ตัวอย่าง S-4 · แนวข้อสอบเข้า + ฟิสิกส์

### (ก) อนุกรมเรขาคณิตอนันต์มีผลบวก 8 และผลบวกของกำลังสองของพจน์เท่ากับ 32 จงหา a และ r (ข) ปล่อยลูกบอลจากความสูง 12 m ทุกครั้งที่กระทบพื้นจะเด้งขึ้น 3/4 ของความสูงก่อนหน้า ระยะทางรวมเท่าไร

- (ก) $\dfrac{a}{1-r} = 8$ และกำลังสองของพจน์เป็นเรขาคณิตอัตราส่วน $r^2$: $\dfrac{a^2}{1-r^2} = 32$

- หารสมการที่สองด้วยกำลังสองของสมการแรก: $\dfrac{a^2/(1-r^2)}{a^2/(1-r)^2} = \dfrac{1-r}{1+r} = \dfrac{32}{64} = \dfrac12 \Rightarrow r = \dfrac13,\ a = 8\cdot\dfrac23 = \dfrac{16}{3}$

- (ข) ความสูงที่เด้งขึ้น 9, 6.75, … รวม $\dfrac{9}{1 - 3/4} = 36$ m ขาขึ้นและขาลงเท่ากัน ⇒ $2\times36 = 72$ บวกระยะตกแรก 12 m

(ก) $a = \tfrac{16}{3},\ r = \tfrac13$ · (ข) 84 m

แนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยข้อสอบชอบให้ “ผลบวกอนันต์” และ “ผลบวกของกำลังสอง” หรือ “ผลบวกพจน์คี่” มาพร้อมกัน จำว่ากำลังสองของพจน์ยังเป็นเรขาคณิตด้วยอัตราส่วน $r^2$ และพจน์ตำแหน่งคี่เป็นเรขาคณิตด้วยอัตราส่วน $r^2$ เช่นกัน แล้วหารสองสมการเพื่อกำจัด a

## อนุกรมกล้องส่องทางไกล (Telescoping Series) กลาง

ชื่อมาจากกล้องโทรทรรศน์แบบพับเก็บได้: เมื่อเขียนพจน์เป็นผลต่างของลำดับเดียวกัน พจน์กลางจะหักล้างกันจนเหลือหัวกับท้าย ทักษะที่ต้องมีคือการแยกเศษส่วนย่อย (partial fractions)

$\left(1 - \tfrac12\right) + \left(\tfrac12 - \tfrac13\right) + \left(\tfrac13 - \tfrac14\right) + \cdots$ พจน์กลางหักล้างกันเป็นคู่ เหลือ $1 - \tfrac{1}{N+1}$

S8 Telescoping series อนุกรมกล้องส่องทางไกล

$$\sum_{n=1}^{N}(b_n - b_{n+1}) = b_1 - b_{N+1}\ \Rightarrow\ \sum_{n=1}^{\infty}(b_n - b_{n+1}) = b_1 - \lim_{n\to\infty} b_n$$

ถ้า $b_n$ ไม่มีลิมิตจำกัด อนุกรมลู่ออก เช่น $\sum\ln\frac{n+1}{n} = \lim\ln(N+1) = \infty$

S9 Partial fractions for telescoping แยกเศษส่วนย่อย

$$\frac{1}{n(n+k)} = \frac1k\left(\frac1n - \frac{1}{n+k}\right),\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+k)} = \frac1k\left(1 + \frac12 + \cdots + \frac1k\right)$$

ช่องว่าง k ทำให้เหลือ k พจน์แรก (ไม่ใช่พจน์เดียว) — จุดที่ทำผิดบ่อยที่สุด

ตัวอย่าง S-5 · กล้องส่องทางไกล

### (ก) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}$ (ข) $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}$ (ค) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1 + \frac1n\right)$

- (ก) $\dfrac{1}{n(n+2)} = \dfrac12\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+2}\right)$ เหลือสองพจน์แรกของ $\tfrac1n$: $\dfrac12\left(1 + \dfrac12\right) = \dfrac34$

- (ข) $\dfrac{1}{n^2-1} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n+1}\right)$ เริ่ม n = 2 เหลือ $\dfrac12\left(1 + \dfrac12\right) = \dfrac34$

- (ค) $\ln\left(1 + \tfrac1n\right) = \ln(n+1) - \ln n$ ⇒ $S_N = \ln(N+1) \to \infty$ ลู่ออก

(ก) $\tfrac34$ · (ข) $\tfrac34$ · (ค) ลู่ออก ทั้งที่พจน์ → 0

## อนุกรมฮาร์มอนิกและอนุกรม p กลาง

อนุกรมฮาร์มอนิก $\sum 1/n$ เป็นตัวอย่างคลาสสิกว่า “พจน์เข้าใกล้ศูนย์ ไม่ได้แปลว่าบวกแล้วจำกัด” การพิสูจน์ของนิโคล โอเรสม์ (ศตวรรษที่ 14) จัดกลุ่มพจน์ให้แต่ละกลุ่มมากกว่า ½ ส่วนอนุกรม p เป็นตัวเทียบมาตรฐานที่สุดในการทดสอบแบบเปรียบเทียบ

จัดกลุ่มพจน์ของอนุกรมฮาร์มอนิกเป็นชุดขนาด 1, 2, 4, 8, … ทุกชุดมากกว่า ½ ผลบวกจึงไม่มีขอบเขต

S10 Harmonic series diverges อนุกรมฮาร์มอนิกลู่ออก

$$1 + \tfrac12 + \underbrace{\tfrac13 + \tfrac14}_{>\frac12} + \underbrace{\tfrac15 + \cdots + \tfrac18}_{>\frac12} + \cdots \ \Rightarrow\ S_{2^k} > 1 + \frac{k}{2} \to \infty$$

ลู่ออกช้ามาก: ต้องใช้ 12,367 พจน์จึงเกิน 10

1 อนุกรม p">
S11 p-series อนุกรม p

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\ \text{ลู่เข้า} \iff p > 1$$

พิสูจน์ด้วยการทดสอบด้วยปริพันธ์ · $p = 2$: $\pi^2/6$ (ปัญหาบาเซิล) · $p = 4$: $\pi^4/90$

S12 Growth of harmonic numbers การโตของผลบวกฮาร์มอนิก

$$H_n = \sum_{k=1}^{n}\frac1k = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \cdots,\quad \gamma \approx 0.5772$$

γ คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเคโรนี · ใช้ประมาณ $H_{1000} \approx 7.485$

ตัวอย่าง S-6 · ฮาร์มอนิก

### ต้องบวกอนุกรมฮาร์มอนิกอย่างน้อยกี่พจน์ ผลบวกจึงเกิน 10

- ใช้ S12: $\ln n + 0.5772 > 10 \Rightarrow \ln n > 9.4228 \Rightarrow n > e^{9.4228} \approx 12{,}367$ (ค่าประมาณเท่านั้น ต้องยืนยัน)

- คำนวณตรงยืนยัน: $H_{12366} \approx 9.99996$ และ $H_{12367} \approx 10.00004$

12,367 พจน์ — ล้านพจน์ได้แค่ราว 14.39 แต่ก็ยังโตไม่หยุด

## สมบัติของอนุกรมและการทดสอบพจน์ที่ n พื้นฐาน

S13 Linearity สมบัติเชิงเส้น

$$\sum(c\,a_n + b_n) = c\sum a_n + \sum b_n\quad(\text{เมื่อทั้งสองลู่เข้า})$$

ลู่เข้า + ลู่ออก = ลู่ออกเสมอ · ลู่ออก + ลู่ออก อาจลู่เข้าได้ เช่น $\sum 1 + \sum(-1)$

S14 n-th term test การทดสอบพจน์ที่ n

$$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \ \ (\text{หรือไม่มี}) \ \Rightarrow\ \sum a_n \text{ ลู่ออก}$$

เพราะถ้า $\sum a_n = S$ แล้ว $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$ · บทกลับไม่จริง (ฮาร์มอนิก)

S15 Tails decide convergence พจน์ช่วงแรกไม่มีผล

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า} \iff \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า}$$

ตัดหรือเพิ่มพจน์จำนวนจำกัดไม่เปลี่ยนการลู่เข้า (แต่เปลี่ยนค่าผลบวก) · เลื่อนดัชนีได้ตามสะดวก

กับดักที่พบบ่อยเขียนว่า “$a_n \to 0$ จึงลู่เข้า” ผิดทุกครั้ง nth-term test ใช้สรุปได้เพียงทางเดียวคือลู่ออก ถ้าพจน์เข้าใกล้ 0 ต้องไปใช้การทดสอบอื่นในหน้าถัดไป

## อนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต: วิธี S − rS กลาง

พจน์รูป (เลขคณิต) × (เรขาคณิต) เช่น $n r^n$ พบในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและในค่าคาดหมายของความน่าจะเป็น วิธีมาตรฐานคือคูณด้วย r แล้วลบเพื่อให้เหลืออนุกรมเรขาคณิตธรรมดา

S16 Arithmetico-geometric series อนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต

$$\sum_{n=1}^{\infty} n r^n = \frac{r}{(1-r)^2},\qquad \sum_{n=1}^{\infty} n^2 r^n = \frac{r(1+r)}{(1-r)^3}\qquad (|r| < 1)$$

วิธี: $S - rS = r + r^2 + r^3 + \cdots = \dfrac{r}{1-r}$ · หรือหาอนุพันธ์ของ $\sum r^n$ ในอนุกรมกำลัง

ตัวอย่าง S-7 · S − rS

### (ก) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n}$ (ข) $1 + \dfrac22 + \dfrac34 + \dfrac48 + \dfrac5{16} + \cdots$

- (ก) $S = \tfrac13 + \tfrac{2}{9} + \tfrac{3}{27} + \cdots$ · $\tfrac13 S = \tfrac19 + \tfrac{2}{27} + \cdots$ · ลบ: $\tfrac23 S = \tfrac13 + \tfrac19 + \tfrac1{27} + \cdots = \dfrac{1/3}{1 - 1/3} = \tfrac12 \Rightarrow S = \tfrac34$

- ตรวจด้วย S16: $\dfrac{1/3}{(2/3)^2} = \dfrac{1/3}{4/9} = \dfrac34$ ✓

- (ข) พจน์ทั่วไป $\dfrac{n}{2^{n-1}} = 2\cdot\dfrac{n}{2^n}$ ⇒ $2\cdot\dfrac{1/2}{(1/2)^2} = 2\cdot2 = 4$

(ก) $\tfrac34$ · (ข) 4

## อนุกรมในโลกจริง: ซีโน เกล็ดหิมะค็อค และเงิน กลาง

ปฏิทรรศน์ของซีโน: เดินครึ่งทาง แล้วครึ่งของที่เหลือ ไปเรื่อย ๆ ระยะทางรวม $\tfrac12 + \tfrac14 + \cdots = 1$ และเวลารวมก็จำกัด อนุกรมอนันต์จึงไม่ได้แปลว่าใช้เวลาอนันต์ · เกล็ดหิมะค็อค: ทุกขั้นเพิ่มสามเหลี่ยมเล็ก $3\cdot4^{k-1}$ รูป แต่ละรูปพื้นที่ $A_0/9^k$ พื้นที่รวม $A_0\left(1 + \sum_{k\ge1}\tfrac{3\cdot4^{k-1}}{9^k}\right) = \tfrac85 A_0$ จำกัด ขณะที่เส้นรอบรูปคูณด้วย $\tfrac43$ ทุกขั้นจึงยาวอนันต์ · เงินและพลังงาน: มูลค่าปัจจุบันของรายรับเท่ากันทุกปีเป็นอนุกรมเรขาคณิต ดูตัวอย่างโซลาร์รูฟท็อปในอนุกรมในงานวิศวกรรม

## ต่อไป: ทดสอบว่าลู่เข้าหรือไม่ เมื่อหาผลบวกไม่ได้

อนุกรมส่วนใหญ่ เช่น $\sum \dfrac{1}{n^2+1}$ หรือ $\sum \dfrac{n!}{n^n}$ หาผลบวกเป็นสูตรไม่ได้ แต่เรายังตัดสินได้ว่าลู่เข้าหรือไม่ด้วยการทดสอบการลู่เข้า เช่น ปริพันธ์ เปรียบเทียบ อัตราส่วน และราก ทบทวนลำดับได้ที่ ลำดับและลิมิตของลำดับ หรืออ่านบทความ สูตรอนุกรมเรขาคณิตแบบเข้าใจง่าย

## คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมอนันต์บวกกันได้อย่างไรในเมื่อมีพจน์ไม่สิ้นสุด?
ไม่ได้บวกทีละพจน์จนหมด แต่ดูลำดับผลบวกย่อย $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ ถ้า $S_n$ ลู่เข้าสู่ $S$ เราให้นิยามว่าอนุกรมมีผลบวก $S$ เช่น $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots$ มี $S_n = 1 - (1/2)^n \to 1$

สูตรผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์คืออะไร ใช้ได้เมื่อไร?
$a + ar + ar^2 + \cdots = \dfrac{a}{1-r}$ ใช้ได้เฉพาะเมื่อ $|r|
ทำไมอนุกรมฮาร์มอนิก 1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ ลู่ออก ทั้งที่พจน์เข้าใกล้ 0?
จัดกลุ่ม $\tfrac13 + \tfrac14 > \tfrac12$, $\tfrac15 + \cdots + \tfrac18 > \tfrac12$ ไปเรื่อย ๆ ได้ $\tfrac12$ เพิ่มขึ้นไม่สิ้นสุด ผลบวกย่อยจึงโตไม่มีขอบเขต แม้จะช้ามากแบบ $\ln n$ (ต้องบวก 12,367 พจน์จึงเกิน 10) การที่พจน์เข้าใกล้ 0 เป็นเงื่อนไขจำเป็นแต่ไม่พอ

อนุกรมกล้องส่องทางไกล (telescoping) คืออะไร?
อนุกรมที่เขียนพจน์เป็นผลต่าง $b_n - b_{n+1}$ ได้ เมื่อบวกกันพจน์กลางจะหักล้างกันหมด เหลือ $S_N = b_1 - b_{N+1}$ เช่น $\sum \dfrac{1}{n(n+1)} = \sum\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+1}\right) = 1$ วิธีหาคือแยกเศษส่วนย่อย

หาผลบวก Σ n/2ⁿ หรือ 1 + 2x + 3x² + ⋯ อย่างไร?
เป็นอนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต ใช้วิธี S − rS: ถ้า $S = \sum n r^n$ แล้ว $S - rS = r + r^2 + \cdots = \dfrac{r}{1-r}$ จึงได้ $S = \dfrac{r}{(1-r)^2}$ เมื่อ $|r| มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**อนุกรมอนันต์บวกกันได้อย่างไรในเมื่อมีพจน์ไม่สิ้นสุด?**
ไม่ได้บวกทีละพจน์จนหมด แต่ดูลำดับผลบวกย่อย $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ ถ้า $S_n$ ลู่เข้าสู่ $S$ เราให้นิยามว่าอนุกรมมีผลบวก $S$ เช่น $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots$ มี $S_n = 1 - (1/2)^n \to 1$

**สูตรผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์คืออะไร ใช้ได้เมื่อไร?**
$a + ar + ar^2 + \cdots = \dfrac{a}{1-r}$ ใช้ได้เฉพาะเมื่อ $|r| < 1$ ถ้า $|r| \ge 1$ อนุกรมลู่ออก โดย a คือพจน์แรกของอนุกรม (ไม่จำเป็นต้องเป็น 1) และ r คืออัตราส่วนร่วม

**ทำไมอนุกรมฮาร์มอนิก 1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ ลู่ออก ทั้งที่พจน์เข้าใกล้ 0?**
จัดกลุ่ม $\tfrac13 + \tfrac14 > \tfrac12$, $\tfrac15 + \cdots + \tfrac18 > \tfrac12$ ไปเรื่อย ๆ ได้ $\tfrac12$ เพิ่มขึ้นไม่สิ้นสุด ผลบวกย่อยจึงโตไม่มีขอบเขต แม้จะช้ามากแบบ $\ln n$ (ต้องบวก 12,367 พจน์จึงเกิน 10) การที่พจน์เข้าใกล้ 0 เป็นเงื่อนไขจำเป็นแต่ไม่พอ

**อนุกรมกล้องส่องทางไกล (telescoping) คืออะไร?**
อนุกรมที่เขียนพจน์เป็นผลต่าง $b_n - b_{n+1}$ ได้ เมื่อบวกกันพจน์กลางจะหักล้างกันหมด เหลือ $S_N = b_1 - b_{N+1}$ เช่น $\sum \dfrac{1}{n(n+1)} = \sum\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+1}\right) = 1$ วิธีหาคือแยกเศษส่วนย่อย

**หาผลบวก Σ n/2ⁿ หรือ 1 + 2x + 3x² + ⋯ อย่างไร?**
เป็นอนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต ใช้วิธี S − rS: ถ้า $S = \sum n r^n$ แล้ว $S - rS = r + r^2 + \cdots = \dfrac{r}{1-r}$ จึงได้ $S = \dfrac{r}{(1-r)^2}$ เมื่อ $|r| < 1$ เช่น $\sum n/2^n = 2$