--- title: "ลำดับและอนุกรม (Sequences & Series): จากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์ ครบทุกระดับพร้อมแล็บและแนวข้อสอบ" url: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-26 --- > เรียนลำดับและอนุกรมภาษาไทยครบทั้งบท: ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า (ratio, root, integral, comparison) อนุกรมสลับ อนุกรมกำลังและรัศมีการลู่เข้า อนุกรมเทย์เลอร์-แมคลอริน อนุกรมโลรองต์และเรซิดิว อุปนัยแบบเข้ม ตั้งแต่เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม พร้อมเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ แล็บ 23 ชุด แนวข้อสอบ 60 ข้อ และเครื่องสุ่มโจทย์ ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ · คู่มือฉบับสมบูรณ์ของชุดนี้: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/guide.md # ลำดับและอนุกรม (Sequences & Series): จากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์ ครบทุกระดับพร้อมแล็บและแนวข้อสอบ // บทที่ 26 · Sequences & Series · 10 หน้า บทนี้ตอบคำถามเดียวที่ลึกขึ้นเรื่อย ๆ: “บวกจำนวนไม่สิ้นสุดแล้วได้อะไร” เริ่มจากลำดับเลขคณิต-เรขาคณิตระดับเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย ผ่านการทดสอบการลู่เข้าของแคลคูลัส 2 ไปจนถึงอนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ที่วิศวกรใช้ประมาณฟังก์ชัน แก้สมการเชิงอนุพันธ์ และออกแบบระบบดิจิทัล ทุกหน้ามีสูตรพร้อมรหัสอ้างอิง ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขแล้ว และแล็บโต้ตอบที่ใช้บนมือถือได้ ในบทนี้มีอะไร - 12 หน้า 5 ส่วน: ลำดับ · อนุกรมและการทดสอบ · อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ โลรองต์ · การประยุกต์ แล็บ และแนวข้อสอบ · เครื่องคิดเลขและอุปนัยแบบเข้ม - 148 สูตรมีรหัสอ้างอิง และ 82 ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขด้วย sympy แล้ว - แล็บ 12 ชุด: ผลบวกย่อย ขอบเขตปริพันธ์ จัดเรียงอนุกรมสลับ รัศมีการลู่เข้าในระนาบเชิงซ้อน พหุนามเทย์เลอร์ จำนวนพจน์ที่ต้องใช้ วงแหวนโลรองต์ และการประมาณในงานวิศวกรรม - แนวข้อสอบ 60 ข้อ 3 ระดับ เกมเลือกการทดสอบ 40 ข้อ และเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัด - ใหม่: เครื่องคิดเลข 6 ชุดที่แสดงวิธีทำด้วยเลขแม่นตรง (ซิกมา เวียนเกิด หาสูตรจากพจน์ ออยเลอร์–แมคลอริน) และ อุปนัยแบบเข้ม 17 ตัวอย่าง + แล็บ 11 ชุด ## แผนที่ทั้งบท: แต่ละเรื่องต่อกันอย่างไร ทุกหัวข้อในบทนี้สร้างบนหัวข้อก่อนหน้า: อนุกรมคือลิมิตของลำดับผลบวกย่อย การทดสอบบอกว่าลิมิตนั้นมีหรือไม่ อนุกรมกำลังคืออนุกรมที่มีตัวแปร อนุกรมเทย์เลอร์บอกว่าสัมประสิทธิ์ต้องเป็นอะไร และอนุกรมโลรองต์ขยายไปยังบริเวณรอบจุดเอกฐาน เส้นทางของบทลำดับและอนุกรม: จากลำดับ → อนุกรม → การทดสอบ → อนุกรมกำลัง → เทย์เลอร์ → โลรองต์ → การแปลง Z และงานวิศวกรรม ## เลือกเส้นทางเรียนตามเป้าหมาย เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย ### ลำดับและอนุกรม ม.ปลาย - ลำดับเลขคณิต · เรขาคณิต - ลิมิตของลำดับ - ซิกมาและสูตรผลบวก - อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ · ทศนิยมซ้ำ - แนวข้อสอบชุด A (20 ข้อ) - เครื่องคิดเลขเลขคณิต-เรขาคณิต + โหมดฝึก แคลคูลัส 2 · ปี 1 ### อนุกรมอนันต์ถึงเทย์เลอร์ - อนุกรมอนันต์ · กล้องส่องทางไกล · อนุกรม p - การทดสอบการลู่เข้า · ผังเลือกใช้ - อนุกรมสลับ · สัมบูรณ์ · มีเงื่อนไข - อนุกรมกำลัง · ช่วงการลู่เข้า - อนุกรมเทย์เลอร์ · แมคลอริน - อุปนัยแบบเข้ม · ลำดับเวียนเกิด คณิตศาสตร์วิศวกรรม ### ตัวแปรเชิงซ้อนและระบบ - รัศมีการลู่เข้าจากระนาบเชิงซ้อน - แก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยอนุกรม - อนุกรมโลรองต์ · เรซิดิว - การแปลง Z และ ROC - อนุกรมในงานวิศวกรรม - ความสัมพันธ์เวียนเกิด · ฟังก์ชันก่อกำเนิด aₙ (Q)→Sₙ = Σaₖ (S)→ลู่เข้า? (T)→± สลับ (A)→Σcₙxⁿ (P)→f⁽ⁿ⁾(a)/n! (Y)→Σaₙzⁿ, n ∈ ℤ (L)→งานวิศวกรรม (E)→เครื่องคิดเลข (C)→อุปนัยแบบเข้ม (N) ## ทุกหน้าในบทลำดับและอนุกรม ส่วนที่ 1 ### ลำดับ Sequences ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ ε–N ทฤษฎีบทแซนด์วิช ลำดับทางเดียวมีขอบเขต และลำดับโคชี aₙ26.1 ลำดับ (Sequences): เลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ และทฤษฎีบทการลู่เข้า Sequences & Their Limits นิยามลำดับ สูตรพจน์ทั่วไป ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต ฮาร์มอนิก ความสัมพันธ์เวียนเกิดและสมการลักษณะเฉพาะ ลิมิต ε–N ทฤษฎีบทลิมิต แซนด์วิช ลำดับทางเดียวมีขอบเขต ลำดับย่อย ลำดับโคชี และลิมิตมาตรฐาน เปิดหน้า →สูตร Q1, Q2, … ส่วนที่ 2 ### อนุกรมและการทดสอบการลู่เข้า Series & Convergence Tests ผลบวกย่อย อนุกรมเรขาคณิต กล้องส่องทางไกล อนุกรม p การทดสอบทุกแบบ อนุกรมสลับ และการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์-มีเงื่อนไข Σaₙ26.2 อนุกรมอนันต์ (Infinite Series): ผลบวกย่อย อนุกรมเรขาคณิต กล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก และอนุกรม p Infinite Series อนุกรมคือลิมิตของผลบวกย่อย อนุกรมเรขาคณิตและทศนิยมซ้ำ อนุกรมกล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก อนุกรม p สมบัติเชิงเส้น nth-term test สูตรผลบวก Σk Σk² Σk³ และอนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต พร้อมแล็บผลบวกย่อย เปิดหน้า →สูตร S1, S2, … ρ < 126.3 การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม (Convergence Tests): พจน์ที่ n ปริพันธ์ เปรียบเทียบ อัตราส่วน ราก และผังเลือกใช้ Convergence Tests for Series nth-term test การทดสอบด้วยปริพันธ์และขอบเขตเศษเหลือ การเปรียบเทียบโดยตรงและแบบลิมิต อัตราส่วน ราก การควบแน่นของโคชี ราบี และผังตัดสินใจเลือกการทดสอบ พร้อมเกมฝึกเลือกการทดสอบ เปิดหน้า →สูตร T1, T2, … ±26.4 อนุกรมสลับและการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (Alternating Series & Absolute Convergence): ไลบ์นิซ ความคลาดเคลื่อน และการจัดเรียงใหม่ Alternating Series & Absolute Convergence การทดสอบอนุกรมสลับ (Leibniz) ขอบเขตความคลาดเคลื่อน ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์และมีเงื่อนไข ทฤษฎีบทการจัดเรียงใหม่ของรีมันน์ การทดสอบดีริชเลต์-อาเบล และผลคูณโคชี พร้อมแล็บจัดเรียงอนุกรมให้ได้ผลบวกที่ต้องการ เปิดหน้า →สูตร A1, A2, … ส่วนที่ 3 ### อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ Power, Taylor & Laurent Series รัศมีการลู่เข้า อนุพันธ์-อินทิกรัลทีละพจน์ อนุกรมเทย์เลอร์-แมคลอรินพร้อมเศษเหลือ และอนุกรมโลรองต์บนวงแหวนในระนาบเชิงซ้อน Σcₙxⁿ26.5 อนุกรมกำลัง (Power Series): รัศมีและช่วงการลู่เข้า อนุพันธ์-อินทิกรัลทีละพจน์ และการแทนฟังก์ชัน Power Series รูปทั่วไป Σcₙ(x − a)ⁿ หารัศมีการลู่เข้าด้วยอัตราส่วน ราก และโคชี-อาดามาร์ ตรวจปลายช่วง อนุพันธ์และอินทิกรัลทีละพจน์ แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรมเรขาคณิต ทฤษฎีบทของอาเบล และแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยอนุกรม เปิดหน้า →สูตร P1, P2, … f⁽ⁿ⁾/n!26.6 อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน (Taylor & Maclaurin Series): สูตร ตารางอนุกรม เศษเหลือ ทวินาม และการประมาณค่า Taylor & Maclaurin Series สร้างพหุนามเทย์เลอร์ ตารางแมคลอรินที่ต้องจำ ทฤษฎีบทเทย์เลอร์และเศษเหลือลากรองจ์ จำนวนพจน์ที่ต้องใช้ อนุกรมทวินาม เทคนิคแทนค่า คูณ หาร หาลิมิตด้วยอนุกรม หาผลบวกอนุกรม สูตรออยเลอร์ และฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันวิเคราะห์ เปิดหน้า →สูตร Y1, Y2, … Σaₙzⁿ26.7 อนุกรมโลรองต์ (Laurent Series): บริเวณวงแหวน ภาวะเอกฐาน เรซิดิว และการแปลง Z Laurent Series ทำไมอนุกรมเทย์เลอร์ใช้ไม่ได้ใกล้จุดเอกฐาน วงแหวนการลู่เข้า ส่วนหลัก กระจาย 1/((z−1)(z−2)) ทั้งสามบริเวณ จุดเอกฐานถอดได้ โพล เอกฐานแท้ เรซิดิวและทฤษฎีบทเรซิดิว และการแปลง Z ที่แท้จริงคืออนุกรมโลรองต์ เปิดหน้า →สูตร L1, L2, … ส่วนที่ 4 ### การประยุกต์ แล็บ และแนวข้อสอบ Applications, Labs & Exam Practice อนุกรมในวงจร สัญญาณดิจิทัล การแปลง Z วิธีเชิงตัวเลข แล็บรวม และแนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยถึงไฟนอลพร้อมเครื่องสุ่มโจทย์ ≈26.8 อนุกรมในงานวิศวกรรม (Series in Engineering): การประมาณ วงจรไม่เชิงเส้น สัญญาณดิจิทัล การแปลง Z และวิธีเชิงตัวเลข Series in Engineering ประมาณมุมเล็กและคาบลูกตุ้ม แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด บันไดตัวต้านทานอนันต์ การคำนวณ sin และ eˣ ในไมโครคอนโทรลเลอร์ ตัวกรองดิจิทัลและการแปลง Z มูลค่าปัจจุบันของโครงการ และการแพร่ความคลาดเคลื่อน เปิดหน้า →สูตร E1, E2, … ✓26.9 แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม (Exam Practice): เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย มิดเทอม และไฟนอล พร้อมเฉลยละเอียดและโจทย์สุ่ม Sequences & Series Exam Practice โจทย์แบ่งสามระดับ: เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย (A-Level · TCAS) แคลคูลัส 1-2 ในมหาวิทยาลัย และคณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง ทุกข้อมีเฉลยทีละขั้น พร้อมเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัดที่ตรวจคำตอบให้ทันที เปิดหน้า →โจทย์ 60 ข้อ 3 ระดับ + เครื่องสุ่มโจทย์ ▶26.10 แล็บลำดับและอนุกรม (Series Lab): ผลบวกย่อย การทดสอบ อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ในหน้าเดียว Sequences & Series Lab Bench รวมเครื่องมือโต้ตอบทุกบท: สำรวจลำดับและใยแมงมุม ผลบวกย่อย ทดสอบการลู่เข้า ขอบเขตปริพันธ์ จัดเรียงอนุกรมสลับ รัศมีการลู่เข้าในระนาบเชิงซ้อน พหุนามเทย์เลอร์ จำนวนพจน์ที่ต้องใช้ และวงแหวนโลรองต์ เปิดหน้า →แล็บ 12 ชุด พิมพ์สมการเองได้ ส่วนที่ 5 ### เครื่องคิดเลขและอุปนัยแบบเข้ม Calculators & Strong Induction เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรมที่แสดงวิธีทำด้วยเลขแม่นตรงทั้งระดับพื้นฐาน กลาง ขั้นสูง และการพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มพร้อมแล็บฝึกพิสูจน์ Σ=26.11 เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม (Sequence & Series Calculators): พื้นฐาน กลาง ขั้นสูง พร้อมวิธีทำและโหมดฝึก Sequence & Series Calculators ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต (กรอก 3 ค่า หาที่เหลือ) ซิกมาแบบรูปปิด (สูตรผลบวกกำลัง กล้องส่องทางไกล พหุนาม×rᵏ) หาสูตรจากพจน์ด้วยตารางผลต่าง แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดพร้อมฟังก์ชันก่อกำเนิดและบทพิสูจน์ ออยเลอร์–แมคลอริน ทศนิยมซ้ำ และเงินงวด ทุกเครื่องมือแสดงวิธีทำและสุ่มโจทย์ฝึก เปิดหน้า →สูตร C1, C2, … ∀j