--- title: "แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม (Exam Practice): เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย มิดเทอม และไฟนอล พร้อมเฉลยละเอียดและโจทย์สุ่ม" url: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/exam-practice/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-24 --- > แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม 60 ข้อพร้อมเฉลยทีละขั้น แบ่ง 3 ชุด: เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย (ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต ซิกมา อนุกรมอนันต์ ลิมิตของลำดับ) แคลคูลัส 2 (การทดสอบการลู่เข้า ช่วงการลู่เข้า อนุกรมเทย์เลอร์ ลิมิตด้วยอนุกรม) และคณิตศาสตร์วิศวกรรม (อนุกรมโลรองต์ เรซิดิว การแปลง Z แก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยอนุกรม) พร้อมเครื่องสุ่มโจทย์ตรวจคำตอบอัตโนมัติ ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/exam-practice/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม (Exam Practice): เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย มิดเทอม และไฟนอล พร้อมเฉลยละเอียดและโจทย์สุ่ม // บทที่ 26.9 · ลำดับและอนุกรม · Exam Practice 60 ข้อเรียงจากระดับมัธยมปลายถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม ทุกข้อซ่อนเฉลยไว้ให้ลองทำเองก่อน แต่ละเฉลยบอกเครื่องมือที่ใช้และลิงก์กลับไปยังหัวข้อในบทเรียน ปิดท้ายด้วยเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัดที่ตรวจคำตอบให้ทันที และเกมฝึกเลือกการทดสอบ วิธีใช้หน้านี้ - อ่านโจทย์ ลองทำในกระดาษ 3–5 นาที แล้วค่อยแตะ “เฉลย” เพื่อเทียบ - ผิดข้อไหน ให้กดลิงก์ในเฉลยกลับไปอ่านหัวข้อนั้น แล้วฝึกหมวดเดียวกันในเครื่องสุ่มโจทย์ - ชุด A ≈ A-Level / TCAS · ชุด B ≈ มิดเทอม-ไฟนอลแคลคูลัส 2 · ชุด C ≈ คณิตศาสตร์วิศวกรรม / ตัวแปรเชิงซ้อน ## ผังหัวข้อที่ออกสอบ | หัวข้อ | เข้ามหาวิทยาลัย | แคลคูลัส 2 | คณิตศาสตร์วิศวกรรม | บทเรียน | | ลำดับเลขคณิต · เรขาคณิต · เวียนเกิด | ●●● | ● | ● | 26.1 | | ลิมิตของลำดับ | ●● | ●● | ● | 26.1 | | ซิกมา · อนุกรมเรขาคณิต · กล้องส่องทางไกล | ●●● | ●● | ● | 26.2 | | การทดสอบการลู่เข้า · อนุกรมสลับ | — | ●●● | ●● | 26.3 · 26.4 | | อนุกรมกำลัง · ช่วงการลู่เข้า | — | ●●● | ●● | 26.5 | | อนุกรมเทย์เลอร์ · ลิมิตด้วยอนุกรม | ● | ●●● | ●● | 26.6 | | อนุกรมโลรองต์ · เรซิดิว · การแปลง Z | — | — | ●●● | 26.7 | ## ชุด A · เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย (20 ข้อ) พื้นฐาน A1ลำดับเลขคณิตมี $a_3 = 7$ และ $a_8 = 22$ จงหา $S_{20}$ $a_8 - a_3 = 5d = 15 \Rightarrow d = 3,\ a_1 = 1$ · $S_{20} = \tfrac{20}{2}\left(2\cdot1 + 19\cdot3\right) = 10\times59$ 590 · S4 A2จำนวนเต็มระหว่าง 100 ถึง 500 ที่หารด้วย 7 ลงตัวมีกี่จำนวน และผลบวกเท่าใด ตัวแรก 105 ตัวสุดท้าย 497 · $n = \tfrac{497 - 105}{7} + 1 = 57$ · $S = \tfrac{57}{2}(105 + 497) = 57\times301$ 57 จำนวน ผลบวก 17,157 A3ลำดับเรขาคณิตมี $a_2 = 12$ และ $a_5 = 96$ จงหา $S_6$ $r^3 = 96/12 = 8 \Rightarrow r = 2,\ a_1 = 6$ · $S_6 = 6\cdot\dfrac{2^6 - 1}{2 - 1}$ 378 A4$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n + 3^n}{6^n}$ แยก $\sum\left(\tfrac13\right)^n + \sum\left(\tfrac12\right)^n = \dfrac{1/3}{2/3} + \dfrac{1/2}{1/2} = \tfrac12 + 1$ $\tfrac32$ · S6 A5เขียน $0.1\overline{23}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ $\tfrac{1}{10} + \tfrac{23}{1000}\left(1 + \tfrac{1}{100} + \cdots\right) = \tfrac{1}{10} + \tfrac{23}{990} = \tfrac{99 + 23}{990} = \tfrac{122}{990}$ $\tfrac{61}{495}$ A6$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k(k+1)(k+2)$ $= \sum(k^3 + 3k^2 + 2k) = 3025 + 3(385) + 2(55)$ หรือสูตรลัด $\tfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} = \tfrac{10\cdot11\cdot12\cdot13}{4}$ 4,290 · S3 A7$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+3)}$ $\dfrac{1}{n(n+3)} = \dfrac13\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+3}\right)$ เหลือ 3 พจน์แรก: $\dfrac13\left(1 + \tfrac12 + \tfrac13\right) = \dfrac13\cdot\dfrac{11}{6}$ $\tfrac{11}{18}$ · S9 A8$\lim\left(\sqrt{n^2 + 3n} - \sqrt{n^2 - n}\right)$ คูณคอนจูเกต: $\dfrac{4n}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2-n}} = \dfrac{4}{\sqrt{1 + 3/n} + \sqrt{1 - 1/n}} \to \dfrac42$ 2 A9$\lim\left(1 + \dfrac2n\right)^{3n}$ $\left[\left(1 + \tfrac2n\right)^n\right]^3 \to (e^2)^3$ $e^6$ · Q14 A10$\lim\dfrac{3^{n+1} + 2^n}{3^n - 2^{n+1}}$ หารด้วย $3^n$: $\dfrac{3 + (2/3)^n}{1 - 2(2/3)^n} \to 3$ 3 A11$\lim\dfrac{1 + 2 + 3 + \cdots + n}{n^2}$ $\dfrac{n(n+1)/2}{n^2} \to \tfrac12$ $\tfrac12$ A12สามจำนวนเป็นลำดับเลขคณิต ผลบวก 18 ผลคูณ 120 จงหาสามจำนวนนั้น เขียน $6 - d,\ 6,\ 6 + d$ (เพราะผลบวก $3\times6$) · $6(36 - d^2) = 120 \Rightarrow d^2 = 16$ 2, 6, 10 A13อนุกรมเรขาคณิตอนันต์มีผลบวก 12 และผลบวกของพจน์ตำแหน่งคี่ (พจน์ที่ 1, 3, 5, …) เท่ากับ 9 จงหา a และ r $\dfrac{a}{1-r} = 12$ และ $\dfrac{a}{1-r^2} = 9$ · หาร: $\dfrac{1}{1+r} = \dfrac{9}{12} \Rightarrow r = \tfrac13,\ a = 12\cdot\tfrac23$ $a = 8,\ r = \tfrac13$ A14$a_1 = 2,\ a_{n+1} = a_n + 2n$ จงหา $a_{20}$ $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}2k = 2 + n(n-1)$ · $a_{20} = 2 + 20\cdot19$ 382 A15$a_1 = 1,\ a_{n+1} = 2a_n + 1$ จงหาสูตร $a_n$ และ $a_{10}$ จุดตรึง L = −1 ⇒ $a_n + 1 = 2^{n-1}(a_1 + 1) = 2^n$ $a_n = 2^n - 1,\ a_{10} = 1023$ · Q8 A16ผลบวกของจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 100 ที่หารด้วย 3 ไม่ลงตัว ผลบวกทั้งหมด 5050 ลบผลคูณของ 3: $3(1 + 2 + \cdots + 33) = 3\cdot561 = 1683$ 3,367 A17$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4^n}$ วิธี S − rS หรือสูตร $\dfrac{r}{(1-r)^2}$ กับ $r = \tfrac14$: $\dfrac{1/4}{9/16}$ $\tfrac49$ · S16 A18$\lim n\left(\sqrt{n^2 + 1} - n\right)$ $n\cdot\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1} + n} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 1/n^2} + 1} \to \tfrac12$ $\tfrac12$ A19หาค่า x ที่ทำให้ $1 + \dfrac{x-2}{3} + \left(\dfrac{x-2}{3}\right)^2 + \cdots = 2$ $\dfrac{1}{1 - r} = 2 \Rightarrow r = \tfrac12$ (ตรวจ |r| < 1 ✓) · $\dfrac{x-2}{3} = \tfrac12$ $x = \tfrac72$ A20$a_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 - n}$ ลู่เข้าสู่ค่าใด และหา N ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $|a_n - L| < 0.01$ ทุก $n > N$ $L = \tfrac12$ · $a_n - \tfrac12 = \dfrac{n + 2}{4n^2 - 2n}$ (บวกและลดลง) ต้องการ $\dfrac{n+2}{4n^2 - 2n} < 0.01 \iff 0.04n^2 - 1.02n - 2 > 0 \iff n > 27.3$ $L = \tfrac12,\ N = 27$ · Q11 ## ชุด B · แคลคูลัส 2 มิดเทอม-ไฟนอล (20 ข้อ) กลาง B1$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2 + 1}{n^3 + 2n}$ ลู่เข้าหรือลู่ออก เทียบลิมิตกับ $\tfrac1n$: $\lim\dfrac{n^3 + n}{n^3 + 2n} = 1$ ฮาร์มอนิกลู่ออก ลู่ออก · T5 B2$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}$ ลู่เข้าหรือไม่ ถ้าลู่เข้าหาผลบวก อัตราส่วน $\tfrac{(n+1)^2}{2n^2} \to \tfrac12$ ลู่เข้า · สูตร $\sum n^2r^n = \dfrac{r(1+r)}{(1-r)^3} = \dfrac{(1/2)(3/2)}{1/8}$ ลู่เข้า ผลบวก 6 B3$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n + 1}$ ลู่เข้าแบบใด $b_n = \tfrac{1}{\sqrt n + 1}$ ลดลง → 0 ลู่เข้า (ไลบ์นิซ) · ค่าสัมบูรณ์เทียบลิมิตกับ $1/\sqrt n$ ลู่ออก ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข · A5 B4$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)$ $\ln(1 + u) \sim u$ ⇒ เทียบลิมิตกับ $1/n^2$ ได้ 1 ลู่เข้า · T6 B5$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n + n}{3^n - n}$ ตัวเด่น $(2/3)^n$: $\lim\dfrac{(2^n + n)/(3^n - n)}{(2/3)^n} = 1$ อนุกรมเรขาคณิต r = 2/3 ลู่เข้า ลู่เข้า B6หาผลบวก $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}$ $\sum nr^n = \dfrac{r}{(1-r)^2}$ กับ $r = e^{-1}$: $\dfrac{e^{-1}}{(1 - e^{-1})^2} = \dfrac{e}{(e-1)^2}$ $\dfrac{e}{(e-1)^2} \approx 0.9207$ B7หาช่วงการลู่เข้าของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+1)^n}{n\,3^n}$ อัตราส่วน $\tfrac{|x+1|}{3}$ ⇒ $R = 3$ รอบ −1 · x = −4: $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ ลู่เข้า · x = 2: $\sum\tfrac1n$ ลู่ออก $[-4, 2)$ · P5 B8หาช่วงการลู่เข้าของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^n}{2^n(n+1)}$ อัตราส่วน $\tfrac{|x|}{2}$ ⇒ $R = 2$ · ที่ $x = \pm2$: $|a_n| = \tfrac{n}{n+1} \to 1 \ne 0$ ลู่ออกทั้งสองปลาย $(-2, 2)$ B9หาช่วงการลู่เข้าของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{2n}}{9^n\,n^2}$ อนุกรมใน $u = (x-1)^2/9$: ลู่เข้าเมื่อ $|x - 1| < 3$ · ปลาย: $\sum\tfrac{1}{n^2}$ ลู่เข้าทั้งคู่ $[-2, 4]$ B10หารัศมีการลู่เข้าของ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!\,x^n}{(2n)!}$ $\left|\tfrac{c_{n+1}}{c_n}\right| = \dfrac{n+1}{(2n+2)(2n+1)} = \dfrac{1}{2(2n+1)} \to 0$ $R = \infty$ B11อนุกรมแมคลอรินของ $x^2e^{-x}$ ถึงพจน์ $x^5$ $x^2\left(1 - x + \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{6} + \cdots\right)$ $x^2 - x^3 + \tfrac{x^4}{2} - \tfrac{x^5}{6}$ · Y16 B12อนุกรมเทย์เลอร์ของ $\tfrac1x$ รอบ $a = 2$ และช่วงการลู่เข้า $\dfrac{1}{2 + (x-2)} = \dfrac12\cdot\dfrac{1}{1 + \frac{x-2}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n(x-2)^n}{2^{n+1}}$ · ลู่เข้าเมื่อ $|x - 2| < 2$ $\sum\tfrac{(-1)^n(x-2)^n}{2^{n+1}}$, ช่วง $(0, 4)$ B13$\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x^2} - 1 - x^2}{x^4}$ $e^{x^2} = 1 + x^2 + \tfrac{x^4}{2} + \cdots$ $\tfrac12$ · ลิมิตด้วยอนุกรม B14$\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x) - x + x^2/2}{x^3}$ $\ln(1+x) = x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3} - \cdots$ $\tfrac13$ B15$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\pi^{2n+1}}{4^{2n+1}(2n+1)!}$ เป็นอนุกรมของ $\sin x$ ที่ $x = \tfrac{\pi}{4}$ $\tfrac{\sqrt2}{2}$ B16$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,2^n}$ $\ln(1+x) = \sum\tfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$ ที่ $x = \tfrac12$ $\ln\tfrac32 \approx 0.4055$ B17ประมาณ $\displaystyle\int_0^{0.5}\frac{dx}{1 + x^4}$ ให้คลาดไม่เกิน $10^{-4}$ $\dfrac{1}{1+x^4} = 1 - x^4 + x^8 - \cdots$ อินทิกรัล: $0.5 - \tfrac{0.5^5}{5} + \tfrac{0.5^9}{9} - \tfrac{0.5^{13}}{13} + \cdots$ · พจน์ที่สี่ $9.4\times10^{-6} < 10^{-4}$ จึงพอที่สามพจน์: $0.5 - 0.00625 + 0.000217$ ≈ 0.49397 (ค่าจริง 0.493958) B18ต้องบวก $\sum 1/n^4$ กี่พจน์ ความคลาดจึงน้อยกว่า $10^{-4}$ (ใช้ขอบเขตปริพันธ์) $R_N \le \int_N^\infty x^{-4}dx = \dfrac{1}{3N^3} < 10^{-4} \iff N^3 > 3333.3$ · $14^3 = 2744,\ 15^3 = 3375$ 15 พจน์ · T3 B19ประมาณ $\cos 0.3$ ด้วย $P_4$ และหาขอบเขตความคลาด $1 - \tfrac{0.09}{2} + \tfrac{0.0081}{24} = 0.9553375$ · อนุกรมสลับ: $|R| \le \tfrac{0.3^6}{720} = 1.01\times10^{-6}$ 0.9553375 ± 1.0×10⁻⁶ (จริง 0.9553365) B20$\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n\ln n\,\ln(\ln n)}$ $\int_3^\infty\dfrac{dx}{x\ln x\ln\ln x} = \left[\ln\ln\ln x\right]_3^\infty = \infty$ (ลู่ออกช้าที่สุดเท่าที่จะนึกออก) ลู่ออก · T2 ## ชุด C · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง (20 ข้อ) ขั้นสูง C1อนุกรมโลรองต์ของ $\dfrac{1}{z(z-2)}$ ใน (ก) $0 < |z| < 2$ (ข) $|z| > 2$ $\dfrac{1}{z(z-2)} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{z-2} - \dfrac1z\right)$ · (ก) $\dfrac{1}{z-2} = -\sum\dfrac{z^n}{2^{n+1}}$ · (ข) $\dfrac{1}{z-2} = \sum\dfrac{2^n}{z^{n+1}}$ แล้วพจน์ $\tfrac{1}{2z}$ หักล้าง (ก) $-\tfrac{1}{2z} - \tfrac14 - \tfrac{z}{8} - \tfrac{z^2}{16} - \cdots$ · (ข) $\tfrac{1}{z^2} + \tfrac{2}{z^3} + \tfrac{4}{z^4} + \cdots$ · L-1 C2เรซิดิวของ $\dfrac{z}{(z-1)(z+2)^2}$ ที่ทุกโพล z = 1 (อย่างง่าย): $\dfrac{1}{9}$ · z = −2 (อันดับ 2): $\dfrac{d}{dz}\left[\dfrac{z}{z-1}\right]_{-2} = \dfrac{-1}{(z-1)^2}\Big|_{-2} = -\dfrac19$ $\tfrac19$ และ $-\tfrac19$ (ผลรวมเป็น 0 เพราะดีกรีล่างมากกว่าบน 2) C3$\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{z^2 + 1}{z(z-1)}\,dz$ Res ที่ 0: $\tfrac{1}{-1} = -1$ · Res ที่ 1: $\tfrac{2}{1} = 2$ · รวม 1 $2\pi i$ · L9 C4$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^2 + 4x + 5}$ โพล $-2 \pm i$ ครึ่งบน $-2 + i$: Res $= \tfrac{1}{2i}$ ⇒ $2\pi i\cdot\tfrac{1}{2i}$ $\pi$ C5$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x^2 + 1}\,dx$ ใช้ $\dfrac{e^{iz}}{z^2+1}$ (บนครึ่งบน $|e^{iz}| \le 1$) Res ที่ i: $\dfrac{e^{-1}}{2i}$ ⇒ ส่วนจริงของ $2\pi i\cdot\dfrac{e^{-1}}{2i}$ $\dfrac{\pi}{e} \approx 1.1557$ C6จำแนกจุด z = 0 ของ $\dfrac{1 - \cos z}{z^5}$ และหาเรซิดิว $\dfrac{1}{z^5}\left(\tfrac{z^2}{2} - \tfrac{z^4}{24} + \cdots\right) = \dfrac{1}{2z^3} - \dfrac{1}{24z} + \cdots$ โพลอันดับ 3 · Res $= -\tfrac{1}{24}$ C7จำแนกจุด z = 0 ของ $z\sin\dfrac1z$ $z\left(\tfrac1z - \tfrac{1}{6z^3} + \tfrac{1}{120z^5} - \cdots\right) = 1 - \tfrac{1}{6z^2} + \cdots$ ส่วนหลักอนันต์พจน์ เอกฐานแท้ · Res = 0 (ไม่มีพจน์ $z^{-1}$) C8หา x[n] จาก $X(z) = \dfrac{2z}{z - 0.8},\ |z| > 0.8$ คู่พื้นฐาน $a^nu[n] \leftrightarrow \tfrac{z}{z-a}$ ROC ข้างนอก $x[n] = 2(0.8)^n u[n]$ · L11 C9หา x[n] จาก $X(z) = \dfrac{1}{1 - 3z^{-1}},\ |z| < 3$ $\dfrac{z}{z - 3}$ ROC ข้างใน ⇒ กระจายกำลังบวกของ z: $-\sum_{m\ge1}3^{-m}z^m$ ⇒ ข้างซ้าย $x[n] = -3^n u[-n-1]$ C10ระบบ $h[n] = (-0.5)^n u[n] + 2^n u[-n-1]$ เสถียรหรือไม่ $\sum|h[n]| = \sum_{n\ge0}0.5^n + \sum_{n\le-1}2^n = 2 + 1 = 3$ จำกัด · ROC $0.5 < |z| < 2$ มีวงกลมหนึ่งหน่วย เสถียร (แต่ไม่ causal) · L12 C11แก้ $y' = 2xy,\ y(0) = 1$ ด้วยอนุกรมกำลัง $(n+1)c_{n+1} = 2c_{n-1}$, $c_1 = 0$ ⇒ $c_{2k} = \tfrac{1}{k!}$, พจน์คี่เป็น 0 $y = \sum\tfrac{x^{2k}}{k!} = e^{x^2}$ · P13 C12แก้ $y'' - xy' - y = 0,\ y(0) = 1,\ y'(0) = 0$ $(n+2)(n+1)c_{n+2} = (n+1)c_n \Rightarrow c_{n+2} = \dfrac{c_n}{n+2}$ · $c_0 = 1$: $c_2 = \tfrac12,\ c_4 = \tfrac18,\ c_6 = \tfrac1{48}$ $y = \sum\dfrac{x^{2k}}{2^k k!} = e^{x^2/2}$ C13$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots(2n)}\right)^2$ ลู่เข้าหรือไม่ อัตราส่วน → 1 และราบีได้ $n\left(\tfrac{(2n+2)^2}{(2n+1)^2} - 1\right) \to 1$ สรุปไม่ได้ทั้งคู่ · สเตอร์ลิง: $a_n \sim \dfrac{1}{\pi n}$ เทียบลิมิตกับฮาร์มอนิก ลู่ออก · T12 C14จัดเรียง $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ เป็น “บวก 3 ตัว ลบ 2 ตัว” ผลบวกใหม่เป็นเท่าไร สูตร $\ln 2 + \tfrac12\ln\tfrac{p}{q}$ กับ p = 3, q = 2 $\ln 2 + \tfrac12\ln\tfrac32 \approx 0.8959$ · A8 C15$f(x) = \sum_{n\ge1}\dfrac{x^n}{n^2}$ หาช่วงการลู่เข้าของ f และ f′ f: R = 1 ปลายทั้งสอง $\sum\tfrac{(\pm1)^n}{n^2}$ ลู่เข้า ⇒ [−1, 1] · $f' = \sum\tfrac{x^{n-1}}{n}$: ที่ x = 1 ฮาร์มอนิกลู่ออก x = −1 ลู่เข้า f: $[-1, 1]$ · f′: $[-1, 1)$ — R เท่าเดิม แต่ปลายช่วงเปลี่ยน (P6) C16หาผลบวก $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}$ $\dfrac{1}{1+x^3} = \sum(-1)^nx^{3n}$ อินทิกรัล 0 ถึง 1 ทีละพจน์ (ทฤษฎีบทของอาเบลรองรับที่ x = 1): $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{1+x^3}$ $\dfrac{\ln 2}{3} + \dfrac{\pi}{3\sqrt3} \approx 0.83565$ C17ต้องใช้อนุกรม $e = \sum 1/n!$ ถึงดีกรีเท่าใด จึงคลาดไม่เกิน $10^{-10}$ (ใช้ $e < 3$) $R_n \le \dfrac{3}{(n+1)!} < 10^{-10} \iff (n+1)! > 3\times10^{10}$ · $13! = 6.2\times10^9$ ไม่พอ · $14! = 8.7\times10^{10}$ ✓ ดีกรี 13 (14 พจน์) · Y13 C18ประมาณ $H_{1000} = 1 + \tfrac12 + \cdots + \tfrac{1}{1000}$ โดยไม่บวกทีละพจน์ $H_n \approx \ln n + \gamma + \tfrac{1}{2n} = 6.90776 + 0.57722 + 0.0005$ ≈ 7.48547 (ค่าจริง 7.4854709) · S12 C19ประมาณ $J_0(1)$ ด้วย 4 พจน์ของอนุกรมเบสเซล และบอกขอบเขตความคลาด $J_0(1) = 1 - \tfrac14 + \tfrac{1}{64} - \tfrac{1}{2304} + \cdots = 0.765191$ · อนุกรมสลับ พจน์ถัดไป $\tfrac{(1/2)^8}{(4!)^2} = 6.8\times10^{-6}$ 0.76519 ± 7×10⁻⁶ (จริง 0.7651977) · P14 C20กำหนด $\operatorname{Res}_{z=0}\dfrac{\pi\cot\pi z}{z^2} = -\dfrac{\pi^2}{3}$ และผลรวมเรซิดิวทั้งหมดของ $\dfrac{\pi\cot\pi z}{z^2}$ เป็น 0 (อินทิกรัลรอบสี่เหลี่ยมใหญ่ → 0) จงหา $\sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{n^2}$ ที่ $z = n \ne 0$ (โพลอย่างง่ายของ cot): Res $= \tfrac{1}{n^2}$ · $\sum_{n\ne0}\tfrac{1}{n^2} - \tfrac{\pi^2}{3} = 0 \Rightarrow 2\sum_{n\ge1}\tfrac{1}{n^2} = \tfrac{\pi^2}{3}$ $\tfrac{\pi^2}{6}$ — ปัญหาบาเซิลแก้ด้วยเรซิดิว ## เครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัด พื้นฐาน เลือกหมวดที่ต้องการ (กดเพื่อเปิด-ปิด) พิมพ์คำตอบแล้วกด “ตรวจ” ทุกข้อมีเฉลยทีละขั้น คะแนนเก็บไว้ในเบราว์เซอร์ของคุณ ## เกมเลือกการทดสอบการลู่เข้า กลาง ## 10 ความผิดพลาดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุด - สรุปว่า “$a_n \to 0$ จึงลู่เข้า” — การทดสอบพจน์ที่ n สรุปได้แค่ลู่ออก - ใช้ $\tfrac{a}{1-r}$ ทั้งที่ $|r| \ge 1$ หรือใช้ a = 1 ทั้งที่พจน์แรกไม่ใช่ 1 - กล้องส่องทางไกลที่มีช่องว่าง k เหลือพจน์แค่ตัวเดียว (ต้องเหลือ k ตัว) - ใช้ ratio test กับเศษส่วนของพหุนาม แล้วงงที่ได้ 1 - เปรียบเทียบตรงแต่ทิศของอสมการผิด (เทียบกับตัวใหญ่ที่ลู่ออก) - ลืมตรวจปลายช่วงของอนุกรมกำลัง หรือใช้ ratio test ที่ปลายช่วง - $(2x-1)^n$ ระบุจุดศูนย์กลางเป็น 1 แทนที่จะเป็น ½ - หาลิมิตลำดับเวียนเกิดโดยแทน L = g(L) โดยไม่พิสูจน์ว่าลู่เข้า - อนุกรมโลรองต์ใช้บริเวณผิด (ไม่ได้ดูว่าโพลอยู่ในหรือนอกวงแหวน) - สูตรเรซิดิวแบบลิมิตกับจุดเอกฐานแท้ (ต้องกระจายอนุกรม) ## เรียนต่อ ทบทวนบทเรียนทั้งหมดที่ ภาพรวมลำดับและอนุกรม หรือเปิดเครื่องมือครบชุดใน แล็บรวม · โจทย์อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์อยู่ที่ อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ และ บทความตัวอย่างอุปนัย ## คำถามที่พบบ่อย ข้อสอบลำดับและอนุกรมเข้ามหาวิทยาลัยออกเรื่องอะไรบ้าง? ส่วนใหญ่เป็นลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต (หาพจน์ทั่วไป ผลบวก n พจน์) สัญลักษณ์ซิกมาและสูตรผลบวก $\sum k, \sum k^2, \sum k^3$ ผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ทศนิยมซ้ำ อนุกรมกล้องส่องทางไกล และลิมิตของลำดับ (รวมรูป $(1 + a/n)^n$) ชุด A ในหน้านี้ครอบคลุมทุกหัวข้อนี้ ควรฝึกโจทย์ลำดับและอนุกรมอย่างไรให้ได้ผล? ทำเองก่อนโดยเปิดโหมดซ่อนเฉลย จับเวลาข้อละ 3–5 นาที แล้วค่อยเปิดเฉลยเทียบวิธีคิด ข้อที่ผิดให้ย้อนไปอ่านหัวข้อในบทเรียนตามลิงก์ แล้วใช้เครื่องสุ่มโจทย์ฝึกหมวดนั้นซ้ำจนถูกต่อเนื่อง 5 ข้อ โจทย์ในหน้านี้เป็นข้อสอบจริงหรือไม่? เป็นโจทย์ที่แต่งขึ้นตามแนวและระดับความยากของข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ข้อสอบกลางภาคและปลายภาควิชาแคลคูลัสและคณิตศาสตร์วิศวกรรม ไม่ใช่ข้อสอบจริงของหน่วยงานใด ทุกคำตอบตรวจด้วยโปรแกรมคำนวณสัญลักษณ์ (sympy) แล้ว เครื่องสุ่มโจทย์ตรวจคำตอบแบบไหนได้บ้าง? พิมพ์เป็นจำนวนเต็ม ทศนิยม เศษส่วน (เช่น 3/4) หรือนิพจน์ (เช่น pi/4, sqrt(2)/2, e^2) ระบบประเมินค่าและเทียบกับคำตอบด้วยความคลาดไม่เกินหนึ่งในล้าน โจทย์แบบเลือกตอบ (ลู่เข้า/ลู่ออก) ให้กดเลือก แล้วดูเฉลยทีละขั้นได้ทุกข้อ มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **ข้อสอบลำดับและอนุกรมเข้ามหาวิทยาลัยออกเรื่องอะไรบ้าง?** ส่วนใหญ่เป็นลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต (หาพจน์ทั่วไป ผลบวก n พจน์) สัญลักษณ์ซิกมาและสูตรผลบวก $\sum k, \sum k^2, \sum k^3$ ผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ทศนิยมซ้ำ อนุกรมกล้องส่องทางไกล และลิมิตของลำดับ (รวมรูป $(1 + a/n)^n$) ชุด A ในหน้านี้ครอบคลุมทุกหัวข้อนี้ **ควรฝึกโจทย์ลำดับและอนุกรมอย่างไรให้ได้ผล?** ทำเองก่อนโดยเปิดโหมดซ่อนเฉลย จับเวลาข้อละ 3–5 นาที แล้วค่อยเปิดเฉลยเทียบวิธีคิด ข้อที่ผิดให้ย้อนไปอ่านหัวข้อในบทเรียนตามลิงก์ แล้วใช้เครื่องสุ่มโจทย์ฝึกหมวดนั้นซ้ำจนถูกต่อเนื่อง 5 ข้อ **โจทย์ในหน้านี้เป็นข้อสอบจริงหรือไม่?** เป็นโจทย์ที่แต่งขึ้นตามแนวและระดับความยากของข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ข้อสอบกลางภาคและปลายภาควิชาแคลคูลัสและคณิตศาสตร์วิศวกรรม ไม่ใช่ข้อสอบจริงของหน่วยงานใด ทุกคำตอบตรวจด้วยโปรแกรมคำนวณสัญลักษณ์ (sympy) แล้ว **เครื่องสุ่มโจทย์ตรวจคำตอบแบบไหนได้บ้าง?** พิมพ์เป็นจำนวนเต็ม ทศนิยม เศษส่วน (เช่น 3/4) หรือนิพจน์ (เช่น pi/4, sqrt(2)/2, e^2) ระบบประเมินค่าและเทียบกับคำตอบด้วยความคลาดไม่เกินหนึ่งในล้าน โจทย์แบบเลือกตอบ (ลู่เข้า/ลู่ออก) ให้กดเลือก แล้วดูเฉลยทีละขั้นได้ทุกข้อ