--- title: "อนุกรมในงานวิศวกรรม (Series in Engineering): การประมาณ วงจรไม่เชิงเส้น สัญญาณดิจิทัล การแปลง Z และวิธีเชิงตัวเลข" url: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/engineering-applications/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-24 --- > การประยุกต์ลำดับและอนุกรมในงานวิศวกรรม: ประมาณมุมเล็ก sin θ ≈ θ และคาบลูกตุ้มมุมกว้าง แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด (small-signal model) การคำนวณ sin และ eˣ ในไมโครคอนโทรลเลอร์ด้วยอนุกรมเทย์เลอร์และ Horner ตัวกรองดิจิทัลกับการแปลง Z และเสถียรภาพ บันไดตัวต้านทานอนันต์ มูลค่าปัจจุบันของโครงการ และการแพร่ความคลาดเคลื่อน พร้อมแล็บโต้ตอบ ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/engineering-applications/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # อนุกรมในงานวิศวกรรม (Series in Engineering): การประมาณ วงจรไม่เชิงเส้น สัญญาณดิจิทัล การแปลง Z และวิธีเชิงตัวเลข // บทที่ 26.8 · ลำดับและอนุกรม · Series in Engineering สูตรวิศวกรรมจำนวนมากที่ท่องกันมา เช่น $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, $r_d = V_T/I_D$ หรือ “ค่าคงที่เวลา 5τ” แท้จริงคือพจน์แรกของอนุกรม การรู้ว่าตัดพจน์ไหนทิ้งไปบอกได้ทันทีว่าสูตรใช้ได้ถึงแค่ไหน หน้านี้รวมตัวอย่างจากกลศาสตร์ อิเล็กทรอนิกส์ ระบบฝังตัว การประมวลผลสัญญาณ วงจร และเศรษฐศาสตร์วิศวกรรม ทุกตัวเลขคำนวณซ้ำได้ในแล็บ สรุปใน 30 วินาที - การทำให้เป็นเชิงเส้น = พหุนามเทย์เลอร์ดีกรี 1 · พจน์ถัดไปบอกขอบเขตความแม่นยำ - sin θ ≈ θ คลาด 1 % ที่ 14° · คาบลูกตุ้มที่ 60° ยาวกว่าสูตรมุมเล็ก 7.3 % - ลำดับเรขาคณิต = ผลตอบสนองของตัวกรองอันดับหนึ่ง · การแปลง Z = อนุกรมโลรองต์ · เสถียร ⇔ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ - sin บน float32: ลดช่วงเป็น [−π/2, π/2] แล้วใช้ 6 พจน์ด้วย Horner ## ประมาณมุมเล็กและคาบลูกตุ้มมุมกว้าง พื้นฐาน สมการลูกตุ้ม $\ddot\theta + \tfrac{g}{L}\sin\theta = 0$ แก้เป็นสูตรปิดไม่ได้ แต่ถ้าแทน $\sin\theta$ ด้วยพจน์แรก $\theta$ จะได้สมการการสั่นอย่างง่ายที่มีคาบ $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ คำถามทางวิศวกรรมคือ “ใช้ได้ถึงมุมเท่าไร” ซึ่งพจน์ถัดไปของอนุกรมตอบได้ E1 Small-angle approximations การประมาณมุมเล็ก $$\sin\theta \approx \theta - \frac{\theta^3}{6},\quad \tan\theta \approx \theta + \frac{\theta^3}{3},\quad \cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2};\qquad \frac{\theta - \sin\theta}{\sin\theta} \approx \frac{\theta^2}{6}$$ θ เป็นเรเดียน · ความคลาด 1 %: sin θ ≈ θ ถึง 14.0° · tan θ ≈ θ ถึง 9.9° · cos θ ≈ 1 ถึง 8.1° E2 Pendulum period, any amplitude คาบลูกตุ้มทุกมุม $$\frac{T}{T_0} = \frac{2}{\pi}K\!\left(\sin\frac{\theta_0}{2}\right) = 1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \frac{11\,\theta_0^4}{3072} + \frac{173\,\theta_0^6}{737280} + \cdots$$ K คืออินทิกรัลวงรีชนิดที่หนึ่ง · คำนวณแม่นตรงได้ด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต $T/T_0 = 1/\operatorname{AGM}(1, \cos\tfrac{\theta_0}{2})$ ตัวอย่าง E-1 · ลูกตุ้มนาฬิกาและเครน ### ลูกตุ้มยาว 1 m แกว่งด้วยแอมพลิจูด 60° คาบจริงยาวกว่าสูตร $2\pi\sqrt{L/g}$ กี่เปอร์เซ็นต์ และถ้าใช้สองพจน์แรกของ E2 คลาดเท่าไร (g = 9.81 m/s²) - $T_0 = 2\pi\sqrt{1/9.81} = 2.006$ s · $\theta_0 = \pi/3 = 1.0472$ rad - ค่าแม่นตรง $T/T_0 = 1.07318$ ⇒ $T = 2.153$ s ยาวกว่าสูตรมุมเล็ก 7.3 % - สองพจน์: $1 + \tfrac{(1.0472)^2}{16} = 1.06854$ คลาด −0.43 % · สามพจน์: 1.07285 คลาด −0.03 % ยาวกว่า 7.3 % — นาฬิกาลูกตุ้มจึงใช้แอมพลิจูดเล็ก ส่วนเครนยกของที่แกว่งมุมกว้างต้องใช้สูตรเต็มในการคำนวณระบบป้องกันการแกว่ง ## แบบจำลองสัญญาณเล็ก: ไดโอดและทรานซิสเตอร์ กลาง วงจรอิเล็กทรอนิกส์ทั้งหมดที่เรียนในวิชาอิเล็กทรอนิกส์อนาล็อกวิเคราะห์ด้วย “แบบจำลองสัญญาณเล็ก” ซึ่งคือการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์รอบจุดทำงาน (bias point) แล้วเก็บแค่พจน์ดีกรีหนึ่ง พจน์ดีกรีสองที่ทิ้งไปคือที่มาของความเพี้ยนฮาร์มอนิก E3 Diode small-signal model แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด $$i_D = I_S e^{v_D/V_T} \Rightarrow \Delta i = I_D\left(e^{\Delta v/V_T} - 1\right) = I_D\left(\frac{\Delta v}{V_T} + \frac{\Delta v^2}{2V_T^2} + \cdots\right),\quad g_m = \frac{I_D}{V_T},\ r_d = \frac{V_T}{I_D}$$ $V_T = kT/q \approx 25.85$ mV ที่ 300 K · BJT ใช้สูตรเดียวกัน $g_m = I_C/V_T$ · MOSFET (กำลังสอง): $g_m = 2I_D/V_{ov}$ E4 Second-harmonic distortion ความเพี้ยนฮาร์มอนิกที่สอง $$\Delta v = V_p\cos\omega t \Rightarrow \frac{I_D V_p^2}{2V_T^2}\cos^2\omega t = \frac{I_D V_p^2}{4V_T^2}(1 + \cos 2\omega t)$$ อัตราส่วนฮาร์มอนิกที่สองต่อพื้นฐาน $\approx \dfrac{V_p}{4V_T}$ · 2.6 mV ให้ราว 2.5 % ตัวอย่าง E-2 · สัญญาณเล็กแค่ไหน ### ไดโอดไบแอสที่ $I_D = 1$ mA หา $r_d$ และความคลาดของแบบจำลองเชิงเส้นเมื่อ $\Delta v = 1$, 5 และ 10 mV - $r_d = V_T/I_D = 25.85\ \Omega$ · $g_m = 38.7$ mS - $\Delta v = 1$ mV: จริง $1\,(e^{1/25.85} - 1) = 0.03944$ mA · เชิงเส้น 0.03868 mA ⇒ คลาด −1.9 % - $\Delta v = 5$ mV: จริง 0.2134 mA · เชิงเส้น 0.1934 mA ⇒ −9.4 % · เพิ่มพจน์ดีกรีสองเหลือ −0.6 % - $\Delta v = 10$ mV: เชิงเส้นคลาด −18 % · ดีกรีสองคลาด −2.3 % $r_d = 25.85\ \Omega$ · “สัญญาณเล็ก” สำหรับไดโอดหมายถึงไม่กี่มิลลิโวลต์ (≪ V_T) ## แล็บการประมาณในงานวิศวกรรม พื้นฐาน สามโหมด: คาบลูกตุ้มเทียบสูตรอนุกรม 1–5 พจน์ · ความคลาดของ sin x จากอนุกรมบนช่วง [−π, π] เทียบ ε ของ float32 พร้อมโค้ดภาษา C · ไดโอดสัญญาณเล็กเทียบแบบเชิงเส้นและดีกรีสอง ## คำนวณ sin x และ eˣ บนไมโครคอนโทรลเลอร์ กลาง ชิปที่ไม่มีหน่วยคำนวณฟังก์ชันพิเศษต้องคำนวณ sin, cos, exp เองจากการบวกและคูณ สองเทคนิคที่ทำให้อนุกรมเทย์เลอร์ใช้งานได้จริงคือการลดช่วง (ทำให้ |x| เล็ก เพราะเศษเหลือแปรตาม $|x|^{n+1}$) และวิธีของฮอร์เนอร์ (ลดจำนวนการคูณและความคลาดจากการปัดเศษ) E5 Horner's method วิธีของฮอร์เนอร์ $$\sin x \approx x\left(1 + x^2\left(-\tfrac{1}{3!} + x^2\left(\tfrac{1}{5!} + x^2\left(-\tfrac{1}{7!} + \cdots\right)\right)\right)\right)$$ ดีกรี n ใช้การคูณ n ครั้ง (แทนการคำนวณกำลังแยก) · ทุกขั้นเป็น multiply-add ที่ DSP ทำได้ในคำสั่งเดียว E6 Range reduction การลดช่วง $$\sin x = \sin(\pi - x),\ \ \sin(x + 2\pi k) = \sin x;\qquad e^x = 2^k e^r,\ \ |r| \le \tfrac{\ln 2}{2}$$ หลังลดช่วง |x| ≤ π/2 สำหรับ sin และ |r| ≤ 0.347 สำหรับ exp ทำให้ใช้พจน์น้อย · $2^k$ คือการปรับเลขชี้กำลังของ float โดยตรง ตัวอย่าง E-3 · ใช้กี่พจน์สำหรับ float32 ### ต้องใช้อนุกรมแมคลอรินของ sin x กี่พจน์บนช่วง $|x| \le \pi/2$ ให้คลาดไม่เกินครึ่งหน่วยหลักสุดท้ายของ float32 ใกล้ 1 (ประมาณ $6\times10^{-8}$) - อนุกรมสลับ ความคลาด ≤ พจน์แรกที่ตัดทิ้ง ที่ขอบช่วง $x = \pi/2$: K พจน์ ⇒ $\dfrac{(\pi/2)^{2K+1}}{(2K+1)!}$ - K = 5 (ดีกรี 9): $3.6\times10^{-6}$ ไม่พอ · K = 6 (ดีกรี 11): $5.7\times10^{-8}$ ✓ - ถ้าไม่ลดช่วง (|x| ≤ π) ด้วย 6 พจน์ ความคลาดสูงสุดถึง $4.5\times10^{-4}$ แย่กว่าเกือบหมื่นเท่า 6 พจน์ (ดีกรี 11) หลังลดช่วง · ใช้การคูณ 7 ครั้งด้วย Horner ## ตัวกรองดิจิทัล ลำดับเรขาคณิต และการแปลง Z กลาง ตัวกรองค่าเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนักเอกซ์โพเนนเชียล (EMA) ที่ใช้กรองสัญญาณเซนเซอร์ในไมโครคอนโทรลเลอร์ คือความสัมพันธ์เวียนเกิดอันดับหนึ่ง (Q8) ผลตอบสนองทั้งหมดอ่านได้จากอนุกรมเรขาคณิต E7 First-order IIR filter ตัวกรองดิจิทัลอันดับหนึ่ง $$y[n] = a\,y[n-1] + (1-a)\,x[n]:\quad h[n] = (1-a)a^n u[n],\quad s[n] = \sum_{k=0}^{n} h[k] = 1 - a^{n+1},\quad H(z) = \frac{1-a}{1 - az^{-1}},\ |z| > |a|$$ อัตราขยาย DC $= \sum h[n] = H(1) = 1$ · ค่าคงที่เวลาประมาณ $\tfrac{1}{1-a}$ ตัวอย่าง · เสถียร ⇔ $\sum|h[n]| < \infty$ ⇔ $|a| < 1$ (L12) ตัวอย่าง E-4 · ตัวกรองเซนเซอร์ ### ตัวกรอง $y[n] = 0.9\,y[n-1] + 0.1\,x[n]$ เริ่มจาก $y[-1] = 0$ ป้อนขั้นบันได $x[n] = 1$ ต้องใช้กี่ตัวอย่างเอาต์พุตจึงถึง 95 % ถ้าสุ่มตัวอย่างทุก 10 ms คิดเป็นเวลาเท่าไร - จาก E7: $y[n] = 1 - 0.9^{n+1}$ ต้องการ $0.9^{n+1} \le 0.05$ - $n + 1 \ge \dfrac{\ln 0.05}{\ln 0.9} = 28.43$ ⇒ $n + 1 = 29$ ⇒ $n = 28$ (ตัวอย่างที่ 29 นับจาก n = 0) · ตรวจ $y[27] = 0.948$, $y[28] = 0.953$ - เวลา $\approx 29 \times 10 = 290$ ms 29 ตัวอย่าง ≈ 0.29 s — ค่า a ใกล้ 1 กรองสัญญาณรบกวนได้มาก แต่ตอบสนองช้า (แลกเปลี่ยนแบบเดียวกับ τ ของวงจร RC) ## บันไดตัวต้านทานอนันต์และเศษส่วนต่อเนื่อง กลาง สายส่งสัญญาณยาวและแบบจำลองสายเคเบิลมักเป็นบันไดของตัวต้านทานหรืออิมพีแดนซ์ซ้ำกันหลายขั้น ความต้านทานที่มองเข้าไปเป็นลำดับเวียนเกิด และขีดจำกัดของมันคือ “อิมพีแดนซ์ลักษณะเฉพาะ” (characteristic impedance) บันไดตัวต้านทาน แต่ละขั้นมี R อนุกรมและ R ขนานลงกราวด์ ความต้านทานที่มองเข้า $R_{n+1} = R + R\parallel R_n$ E8 Infinite resistor ladder บันไดตัวต้านทานอนันต์ $$R_{n+1} = R + \frac{R\,R_n}{R + R_n},\quad R_\infty = R + \frac{R\,R_\infty}{R + R_\infty} \Rightarrow R_\infty = \frac{1 + \sqrt5}{2}R \approx 1.618R$$ $R_n/R = F_{2n+1}/F_{2n}$ (อัตราส่วนฟีโบนัชชี: 2, 5/3, 13/8, 34/21, …) ลู่เข้าเร็วแบบเรขาคณิต ตัวอย่าง E-5 · ขั้นจำกัด ### R = 10 Ω หาความต้านทานของบันไดอนันต์ และบันได 1–5 ขั้นคลาดจากค่าอนันต์เท่าไร - $R_\infty = 10 \times 1.6180 = 16.180\ \Omega$ - $R_1 = 20,\ R_2 = 16.667,\ R_3 = 16.250,\ R_4 = 16.190,\ R_5 = 16.182\ \Omega$ - ความคลาด: 23.6 %, 3.0 %, 0.43 %, 0.063 %, 0.009 % (ลดลงประมาณ 7 เท่าต่อขั้น ≈ $\varphi^4$) 16.18 Ω · บันไดเพียง 4 ขั้นก็ใช้แทนสายยาวไม่สิ้นสุดได้ในทางปฏิบัติ ## เศรษฐศาสตร์วิศวกรรม: มูลค่าปัจจุบันเป็นอนุกรมเรขาคณิต พื้นฐาน E9 Present value of an annuity มูลค่าปัจจุบันของรายรับคงที่ $$PV = \sum_{k=1}^{n}\frac{A}{(1+i)^k} = A\,\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i},\qquad n \to \infty:\ PV = \frac{A}{i}$$ เป็น S5 กับ $r = \tfrac{1}{1+i}$ · ใช้เทียบโครงการโซลาร์ ตู้คาปาซิเตอร์ หรือการเปลี่ยนมอเตอร์ประสิทธิภาพสูง ตัวอย่าง E-6 · โซลาร์รูฟท็อป ### ระบบโซลาร์ช่วยประหยัดค่าไฟปีละ 12,000 บาท นาน 25 ปี อัตราคิดลด 6 % ต่อปี มูลค่าปัจจุบันรวมเท่าไร - $PV = 12{,}000 \times \dfrac{1 - 1.06^{-25}}{0.06} = 12{,}000 \times 12.7834$ - $= 153{,}400$ บาท (เทียบกับรวมเงินตรง ๆ 300,000 บาท และถ้าประหยัดตลอดไป $12{,}000/0.06 = 200{,}000$ บาท) ≈ 153,400 บาท — ถ้าติดตั้งได้ต่ำกว่านี้ (และค่าบำรุงรักษารวมแล้ว) โครงการคุ้มค่า ดูการออกแบบเต็มในเศรษฐศาสตร์โซลาร์เซลล์ ## การแพร่ความคลาดเคลื่อนจากการวัด กลาง E10 Linear error propagation การแพร่ความคลาดเคลื่อนเชิงเส้น $$\Delta f \approx f'(x)\,\Delta x,\qquad f = Cx^k \Rightarrow \frac{\Delta f}{f} \approx k\frac{\Delta x}{x}$$ พหุนามเทย์เลอร์ดีกรีหนึ่ง · หลายตัวแปรใช้อนุพันธ์ย่อย $\Delta f \approx |f_x|\Delta x + |f_y|\Delta y$ E11 Early-time RC response ช่วงแรกของวงจร RC $$v_C = V\left(1 - e^{-t/\tau}\right) = V\left(\frac{t}{\tau} - \frac{t^2}{2\tau^2} + \cdots\right) \approx \frac{V}{\tau}t$$ ช่วง $t \ll \tau$ ตัวเก็บประจุชาร์จเป็นเส้นตรงเหมือนป้อนด้วยแหล่งจ่ายกระแส $I = V/R$ (หลักของวงจรสร้างสัญญาณฟันเลื่อย) ตัวอย่าง E-7 · กำลังไฟฟ้า ### แรงดันจ่ายตัวต้านทานผิดพลาด +1 % กำลัง $P = V^2/R$ ผิดพลาดเท่าไร - E10 กับ k = 2: $\dfrac{\Delta P}{P} \approx 2\times1\% = 2\%$ - ค่าแม่นตรง $(1.01)^2 - 1 = 2.01\%$ พจน์ที่ทิ้งคือ $(\Delta V/V)^2$ ≈ 2 % — กฎ “ความคลาดสัมพัทธ์คูณด้วยเลขชี้กำลัง” ใช้ตรวจสเปกเครื่องวัดได้รวดเร็ว ## อนุกรมที่อยู่เบื้องหลังวิชาอื่นในหลักสูตร พื้นฐาน สัญญาณ · ไฟฟ้ากำลัง ### อนุกรมฟูริเยร์ อนุกรมของ sin-cos แทนรูปคลื่นคาบ ใช้วิเคราะห์ฮาร์มอนิก THD และวงจรเรียงกระแส วงจร · ควบคุม ### Inverse Laplace ด้วยเรซิดิว แยกเศษส่วนย่อย = หาเรซิดิว (อนุกรมโลรองต์) ของ F(s)eˢᵗ ที่แต่ละโพล ควบคุมดิจิทัล ### การแปลง Z และ ZOH ROC เป็นวงแหวนของอนุกรมโลรองต์ เสถียรเมื่อโพลอยู่ในวงกลมหนึ่งหน่วย อิเล็กทรอนิกส์กำลัง ### แบบจำลองเฉลี่ยและสัญญาณเล็ก ทำให้คอนเวอร์เตอร์ที่สวิตช์ไม่เชิงเส้นเป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงาน แบบเดียวกับไดโอด ## ต่อไป: ฝึกโจทย์ให้พร้อมสอบ ทุกเครื่องมือในบทพร้อมแล้ว ไปทดสอบความเข้าใจที่ แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม ซึ่งมีโจทย์ 60 ข้อสามระดับพร้อมเฉลย และเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัด · ใช้เครื่องมือทั้งหมดใน แล็บรวม · ทบทวน อนุกรมเทย์เลอร์ ## คำถามที่พบบ่อย ประมาณ sin θ ≈ θ ใช้ได้ถึงมุมเท่าไร? ขึ้นกับความคลาดที่ยอมรับได้ ความคลาดสัมพัทธ์ประมาณ $\theta^2/6$ (θ เป็นเรเดียน) ถ้ายอมให้คลาด 1 % ใช้ได้ถึงราว 0.244 rad หรือ 14° ส่วน tan θ ≈ θ คลาด 1 % ที่ราว 9.9° และ cos θ ≈ 1 คลาด 1 % ที่ราว 8.1° แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดมาจากไหน? มาจากพหุนามเทย์เลอร์ดีกรีหนึ่งของสมการไดโอด $i = I_S(e^{v/V_T} - 1)$ รอบจุดไบแอส ได้ $\Delta i \approx (I_D/V_T)\Delta v$ คือความนำ $g_m = I_D/V_T$ หรือความต้านทาน $r_d = V_T/I_D$ ใช้ได้ดีเมื่อ $|\Delta v| \ll V_T \approx 26$ mV ที่ 1 mV คลาดราว 2 % ที่ 10 mV คลาดราว 18 % ไมโครคอนโทรลเลอร์คำนวณ sin x ด้วยอนุกรมเทย์เลอร์จริงไหม? ใช้หลักการเดียวกัน: ลดช่วง (range reduction) ให้ x อยู่ในช่วงเล็ก แล้วประเมินพหุนามด้วยวิธีของฮอร์เนอร์ ช่วง [−π/2, π/2] ต้องใช้ 6 พจน์ (ดีกรี 11) จึงคลาดไม่เกิน $5.7\times10^{-8}$ พอสำหรับ float32 ไลบรารีจริงลดช่วงเหลือ [−π/4, π/4] และใช้สัมประสิทธิ์แบบ minimax ที่ปรับจากเทย์เลอร์ อนุกรมเกี่ยวกับตัวกรองดิจิทัลและการแปลง Z อย่างไร? ผลตอบสนองอิมพัลส์ของตัวกรองอันดับหนึ่ง $h[n] = (1-a)a^n$ เป็นลำดับเรขาคณิต ผลตอบสนองต่อขั้นบันไดคือผลบวกย่อยของมัน และการแปลง Z $H(z) = \sum h[n]z^{-n}$ คืออนุกรมโลรองต์ ระบบเสถียรเมื่อ $\sum|h[n]|$ ลู่เข้า ซึ่งสำหรับตัวกรองนี้คือ $|a| มูลค่าปัจจุบันของรายรับที่ได้เท่ากันทุกปีคำนวณอย่างไร? เป็นอนุกรมเรขาคณิตจำกัด $PV = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{(1+i)^k} = A\dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$ เช่น ประหยัดปีละ 12,000 บาท 25 ปี อัตราคิดลด 6 % ได้ PV ≈ 153,400 บาท ถ้าไม่สิ้นสุดได้ A/i = 200,000 บาท มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **ประมาณ sin θ ≈ θ ใช้ได้ถึงมุมเท่าไร?** ขึ้นกับความคลาดที่ยอมรับได้ ความคลาดสัมพัทธ์ประมาณ $\theta^2/6$ (θ เป็นเรเดียน) ถ้ายอมให้คลาด 1 % ใช้ได้ถึงราว 0.244 rad หรือ 14° ส่วน tan θ ≈ θ คลาด 1 % ที่ราว 9.9° และ cos θ ≈ 1 คลาด 1 % ที่ราว 8.1° **แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดมาจากไหน?** มาจากพหุนามเทย์เลอร์ดีกรีหนึ่งของสมการไดโอด $i = I_S(e^{v/V_T} - 1)$ รอบจุดไบแอส ได้ $\Delta i \approx (I_D/V_T)\Delta v$ คือความนำ $g_m = I_D/V_T$ หรือความต้านทาน $r_d = V_T/I_D$ ใช้ได้ดีเมื่อ $|\Delta v| \ll V_T \approx 26$ mV ที่ 1 mV คลาดราว 2 % ที่ 10 mV คลาดราว 18 % **ไมโครคอนโทรลเลอร์คำนวณ sin x ด้วยอนุกรมเทย์เลอร์จริงไหม?** ใช้หลักการเดียวกัน: ลดช่วง (range reduction) ให้ x อยู่ในช่วงเล็ก แล้วประเมินพหุนามด้วยวิธีของฮอร์เนอร์ ช่วง [−π/2, π/2] ต้องใช้ 6 พจน์ (ดีกรี 11) จึงคลาดไม่เกิน $5.7\times10^{-8}$ พอสำหรับ float32 ไลบรารีจริงลดช่วงเหลือ [−π/4, π/4] และใช้สัมประสิทธิ์แบบ minimax ที่ปรับจากเทย์เลอร์ **อนุกรมเกี่ยวกับตัวกรองดิจิทัลและการแปลง Z อย่างไร?** ผลตอบสนองอิมพัลส์ของตัวกรองอันดับหนึ่ง $h[n] = (1-a)a^n$ เป็นลำดับเรขาคณิต ผลตอบสนองต่อขั้นบันไดคือผลบวกย่อยของมัน และการแปลง Z $H(z) = \sum h[n]z^{-n}$ คืออนุกรมโลรองต์ ระบบเสถียรเมื่อ $\sum|h[n]|$ ลู่เข้า ซึ่งสำหรับตัวกรองนี้คือ $|a| < 1$ **มูลค่าปัจจุบันของรายรับที่ได้เท่ากันทุกปีคำนวณอย่างไร?** เป็นอนุกรมเรขาคณิตจำกัด $PV = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{(1+i)^k} = A\dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$ เช่น ประหยัดปีละ 12,000 บาท 25 ปี อัตราคิดลด 6 % ได้ PV ≈ 153,400 บาท ถ้าไม่สิ้นสุดได้ A/i = 200,000 บาท