--- title: "การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม (Convergence Tests): พจน์ที่ n ปริพันธ์ เปรียบเทียบ อัตราส่วน ราก และผังเลือกใช้" url: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/convergence-tests/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-24 --- > การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมครบทุกแบบ: nth-term test, integral test พร้อมขอบเขตเศษเหลือ, comparison test, limit comparison test, ratio test, root test, Cauchy condensation, Raabe's test และผังตัดสินใจเลือกการทดสอบ พร้อมตัวอย่างวิธีทำ ตารางสรุป เกมฝึกเลือกการทดสอบ 40 ข้อ และแล็บโต้ตอบ ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/convergence-tests/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม (Convergence Tests): พจน์ที่ n ปริพันธ์ เปรียบเทียบ อัตราส่วน ราก และผังเลือกใช้ // บทที่ 26.3 · ลำดับและอนุกรม · Convergence Tests อนุกรมส่วนใหญ่หาผลบวกเป็นสูตรไม่ได้ แต่วิศวกรยังต้องรู้ว่าบวกแล้ว “จำกัด” หรือไม่ ก่อนนำไปคำนวณ หน้านี้รวบรวมการทดสอบสำหรับอนุกรมพจน์บวกทุกแบบที่ใช้ในแคลคูลัส 2 และคณิตศาสตร์วิศวกรรม พร้อมผังตัดสินใจที่บอกว่าเห็นรูปแบบไหนควรใช้อะไร และเกมฝึกให้มองเป็นภายในไม่กี่วินาที ส่วนอนุกรมที่มีเครื่องหมายสลับอยู่ในหน้าอนุกรมสลับ สรุปใน 30 วินาที - $a_n \not\to 0$ ⇒ ลู่ออก · เรขาคณิต $|r| < 1$ · อนุกรม p $p > 1$ - เศษส่วนพหุนาม: เทียบลิมิตกับ $1/n^{p}$ โดย $p$ = (ดีกรีล่าง − ดีกรีบน) - อัตราส่วน $\rho = \lim|a_{n+1}/a_n|$ · ราก $\rho = \lim\sqrt[n]{|a_n|}$: $\rho < 1$ ลู่เข้า, $\rho > 1$ ลู่ออก, $\rho = 1$ สรุปไม่ได้ - ปริพันธ์: f บวก ต่อเนื่อง ลดลง ⇒ $\sum f(n)$ กับ $\int f$ ไปทางเดียวกัน และให้ขอบเขตเศษเหลือ ระดับพื้นฐาน ใช้ได้ทุกคนกลาง แคลคูลัส 2ขั้นสูง กรณีที่การทดสอบปกติสรุปไม่ได้ ## ผังเลือกการทดสอบ: เห็นรูปแบบไหน ใช้อะไร พื้นฐาน ทักษะที่ข้อสอบวัดจริงไม่ใช่การจำทฤษฎีบท แต่คือการมองพจน์ $a_n$ แล้วรู้ว่าควรใช้เครื่องมือไหน ผังนี้เรียงจากการทดสอบที่เร็วที่สุดไปหาที่ใช้แรงมากที่สุด ทำตามลำดับแล้วจะไม่เสียเวลาลองผิดลองถูก ผังตัดสินใจเลือกการทดสอบการลู่เข้า (อ่านจากบนลงล่าง หยุดที่ข้อแรกที่ใช้ได้) | เห็นอะไรในพจน์ | ใช้การทดสอบ | ตัวอย่าง | | พจน์ไม่เข้าใกล้ 0 ($\tfrac{n}{n+1}$, $(1 + \tfrac1n)^n$, $\cos n$) | พจน์ที่ n ⇒ ลู่ออก | $\sum \tfrac{n}{n+1}$ | | $ar^n$, $\tfrac{c}{n^p}$ | เรขาคณิต · อนุกรม p (จำผล) | $\sum \tfrac{5}{4^n}$, $\sum \tfrac{1}{\sqrt n}$ | | แยกเศษส่วนย่อยได้ / ผลต่างของลำดับ | กล้องส่องทางไกล | $\sum \tfrac{1}{n(n+1)}$ | | เศษส่วนของพหุนาม ราก ($\tfrac{3n+5}{n^3-2}$) | เปรียบเทียบแบบลิมิต กับ $1/n^p$ | $\sum \tfrac{n+1}{n^3 - n + 2}$ | | มี sin, cos ที่มีขอบเขต | เปรียบเทียบตรง | $\sum \tfrac{2 + \sin n}{n^2}$ | | $n!$, $c^n$, $n^n$ | อัตราส่วน | $\sum \tfrac{n^3}{3^n}$ | | ยกกำลัง n ทั้งก้อน $(\cdots)^n$ | ราก | $\sum \left(\tfrac{2n}{3n+1}\right)^n$ | | มี $\ln n$, หาปริพันธ์ได้ ($\tfrac{1}{n\ln n}$, $ne^{-n^2}$) | ปริพันธ์ | $\sum \tfrac{1}{n(\ln n)^2}$ | | อัตราส่วน/ราก ได้ 1 แต่มีแฟกทอเรียล | ราบี · สเตอร์ลิง | $\sum \tfrac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}$ | | เครื่องหมายสลับ $(-1)^n$ | อนุกรมสลับ · ค่าสัมบูรณ์ | $\sum \tfrac{(-1)^n}{\sqrt n}$ | ## การทดสอบพจน์ที่ n (n-th Term Test) พื้นฐาน T1 n-th term test for divergence การทดสอบพจน์ที่ n $$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \ \text{(หรือไม่มีลิมิต)} \ \Longrightarrow\ \sum a_n \ \text{ลู่ออก}$$ ใช้เป็นด่านแรกทุกข้อ ใช้เวลา 5 วินาที · ถ้าได้ $a_n \to 0$ สรุปไม่ได้ ต้องไปข้อถัดไปในผัง ## การทดสอบด้วยปริพันธ์ (Integral Test) และขอบเขตเศษเหลือ กลาง ถ้าพจน์มาจากฟังก์ชันที่ลดลง ผลบวกของพจน์คือพื้นที่สี่เหลี่ยมกว้าง 1 ซึ่งประกบพื้นที่ใต้กราฟจากทั้งบนและล่าง อนุกรมกับปริพันธ์จึงลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน และยิ่งไปกว่านั้น ปริพันธ์บอกได้ว่าผลบวกจริงอยู่ในช่วงใด สี่เหลี่ยมสูง $f(n+1)$ อยู่ใต้กราฟ (ส้ม) และสี่เหลี่ยมสูง $f(n)$ อยู่เหนือกราฟ (ฟ้า) จึงได้ $\sum_{n\ge2} a_n \le \int_1^\infty f \le \sum_{n\ge1} a_n$ T2 Integral test การทดสอบด้วยปริพันธ์ $$a_n = f(n),\ f \text{ บวก ต่อเนื่อง ลดลงเมื่อ } x \ge N:\qquad \sum_{n=N}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า} \iff \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx \text{ ลู่เข้า}$$ ตรวจ “ลดลง” ด้วย $f'(x) < 0$ · ค่าปริพันธ์ ≠ ผลบวกของอนุกรม · ใช้พิสูจน์อนุกรม p ($\int_1^\infty x^{-p}dx$ จำกัด ⇔ $p > 1$) T3 Remainder estimate ขอบเขตเศษเหลือจากปริพันธ์ $$\int_{N+1}^{\infty} f(x)\,dx \ \le\ R_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \ \le\ \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx \quad\Rightarrow\quad S_N + \int_{N+1}^{\infty} f \le S \le S_N + \int_N^{\infty} f$$ ค่ากลางของช่วงเป็นค่าประมาณที่ดีมากโดยบวกพจน์ไม่กี่ตัว ตัวอย่าง T-1 · ประมาณผลบวก ### ประมาณ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ โดยบวก 10 พจน์ แล้วหาช่วงที่ผลบวกจริงอยู่ - $S_{10} = 1 + \tfrac18 + \tfrac1{27} + \cdots + \tfrac{1}{1000} = 1.1975320$ - $\displaystyle\int_N^{\infty}\frac{dx}{x^3} = \frac{1}{2N^2}$ ⇒ ขอบล่าง $S_{10} + \tfrac{1}{2\cdot 11^2} = 1.2016642$ · ขอบบน $S_{10} + \tfrac{1}{2\cdot10^2} = 1.2025320$ - ค่ากลาง $1.2020981 \pm 0.0004339$ ผลบวกจริง $\zeta(3) = 1.2020569$ อยู่ในช่วง $1.20166 \le S \le 1.20253$ — แม่นถึงทศนิยม 3 ตำแหน่งด้วยพจน์เพียง 10 ตัว ขณะที่ $S_{10}$ อย่างเดียวคลาดถึง 0.0045 ตัวอย่าง T-2 · ลู่เข้าหรือลู่ออก ### (ก) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n^2}$ (ข) $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{\ln n}}$ - (ก) $f(x) = xe^{-x^2}$ บวก ต่อเนื่อง และ $f'(x) = e^{-x^2}(1 - 2x^2) < 0$ เมื่อ $x \ge 1$ · $\int_1^\infty xe^{-x^2}dx = \left[-\tfrac12 e^{-x^2}\right]_1^\infty = \tfrac{1}{2e}$ จำกัด ⇒ ลู่เข้า - (ข) แทน $u = \ln x$: $\int_2^\infty \dfrac{dx}{x\sqrt{\ln x}} = \int_{\ln2}^\infty u^{-1/2}du = \left[2\sqrt u\right]_{\ln 2}^{\infty} = \infty$ ⇒ ลู่ออก (ก) ลู่เข้า · (ข) ลู่ออก — ข้อ (ข) คืออนุกรม $\sum 1/(n(\ln n)^p)$ ที่ $p = \tfrac12 \le 1$ ## การทดสอบโดยการเปรียบเทียบ (Direct Comparison Test) กลาง หลักคิดง่ายมาก: ถ้าตัวใหญ่บวกแล้วจำกัด ตัวเล็กก็จำกัด ถ้าตัวเล็กบวกแล้วไม่จำกัด ตัวใหญ่ก็ไม่จำกัด สิ่งที่ต้องระวังคือทิศของอสมการ: เทียบกับตัวใหญ่ที่ลู่ออก หรือตัวเล็กที่ลู่เข้า สรุปอะไรไม่ได้ T4 Direct comparison test การเปรียบเทียบโดยตรง $$0 \le a_n \le b_n \ (n \ge N):\qquad \sum b_n \text{ ลู่เข้า} \Rightarrow \sum a_n \text{ ลู่เข้า};\qquad \sum a_n \text{ ลู่ออก} \Rightarrow \sum b_n \text{ ลู่ออก}$$ ตัวเทียบยอดนิยม: $\tfrac{1}{n^p}$, $r^n$ · อสมการช่วย $|\sin x| \le 1$, $\ln n < \sqrt n$, $\ln n < n^{\epsilon}$ (n ใหญ่พอ), $n! \ge 2^{n-1}$ ตัวอย่าง T-3 · เปรียบเทียบตรง ### (ก) $\sum \dfrac{1}{2^n + 1}$ (ข) $\sum \dfrac{2 + \sin n}{n^2}$ (ค) $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt n - 1}$ - (ก) $\dfrac{1}{2^n + 1} < \dfrac{1}{2^n}$ และ $\sum (1/2)^n$ ลู่เข้า ⇒ ลู่เข้า - (ข) $0 < \dfrac{2 + \sin n}{n^2} \le \dfrac{3}{n^2}$ และ $\sum 3/n^2$ ลู่เข้า ⇒ ลู่เข้า - (ค) $\dfrac{1}{\sqrt n - 1} > \dfrac{1}{\sqrt n}$ และ $\sum 1/\sqrt n$ ลู่ออก (p = ½) ⇒ ลู่ออก (ก) ลู่เข้า · (ข) ลู่เข้า · (ค) ลู่ออก ## การเปรียบเทียบแบบลิมิต (Limit Comparison Test) กลาง ในทางปฏิบัติ การทดสอบนี้ใช้บ่อยที่สุด เพราะไม่ต้องหาอสมการที่ถูกทิศ ดูแค่ว่าเมื่อ n ใหญ่ พจน์ “ประพฤติเหมือน” อะไร โดยเก็บเฉพาะตัวเด่น (dominant term) ของเศษและส่วน T5 Limit comparison test การเปรียบเทียบแบบลิมิต $$a_n, b_n > 0,\quad \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = c,\ \ 0 < c < \infty\ \Rightarrow\ \sum a_n,\ \sum b_n \text{ ลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน}$$ $c = 0$ และ $\sum b_n$ ลู่เข้า ⇒ $\sum a_n$ ลู่เข้า · $c = \infty$ และ $\sum b_n$ ลู่ออก ⇒ $\sum a_n$ ลู่ออก · เลือก $b_n$ = ตัวเด่นบน/ตัวเด่นล่าง T6 Asymptotic equivalents พจน์ที่สมมูลกันเมื่อ n ใหญ่ $$\sin\tfrac1n \sim \tfrac1n,\quad 1 - \cos\tfrac1n \sim \tfrac{1}{2n^2},\quad \ln\left(1 + \tfrac1n\right) \sim \tfrac1n,\quad e^{1/n} - 1 \sim \tfrac1n$$ มาจากอนุกรมเทย์เลอร์ พจน์แรก · ใช้คู่กับ T5 ได้ทันที ตัวอย่าง T-4 · เปรียบเทียบแบบลิมิต ### (ก) $\sum \dfrac{n+1}{n^3 - n + 2}$ (ข) $\sum \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$ (ค) $\sum \sin\dfrac{1}{n^2}$ - (ก) ตัวเด่น $\tfrac{n}{n^3} = \tfrac{1}{n^2}$: $\lim \dfrac{(n+1)/(n^3-n+2)}{1/n^2} = \lim\dfrac{n^3 + n^2}{n^3 - n + 2} = 1$ ⇒ ลู่เข้าเหมือน $\sum 1/n^2$ - (ข) $\sqrt{n^2+1} \sim n$: $\lim \dfrac{1/\sqrt{n^2+1}}{1/n} = 1$ ⇒ ลู่ออกเหมือนฮาร์มอนิก - (ค) $\lim \dfrac{\sin(1/n^2)}{1/n^2} = 1$ (เพราะ $\tfrac{\sin u}{u} \to 1$) ⇒ ลู่เข้าเหมือน $\sum 1/n^2$ (ก) ลู่เข้า · (ข) ลู่ออก · (ค) ลู่เข้า สูตรลัดสำหรับเศษส่วนของพหุนามถ้า $a_n = \dfrac{P(n)}{Q(n)}$ โดย P ดีกรี p และ Q ดีกรี q แล้ว $a_n \sim \dfrac{C}{n^{q-p}}$ อนุกรมลู่เข้า ⇔ $q - p > 1$ (ดีกรีล่างมากกว่าบนอย่างน้อย 2) · รากนับดีกรีครึ่ง เช่น $\sqrt{n^3 + 1}$ มีดีกรี 3/2 ## การทดสอบอัตราส่วน (Ratio Test) กลาง ถ้าพจน์ถัดไปเล็กกว่าพจน์ก่อนหน้าด้วยอัตราส่วนเกือบคงที่ $\rho$ อนุกรมก็ประพฤติเหมือนอนุกรมเรขาคณิตอัตราส่วน $\rho$ การทดสอบนี้จึงเก่งกับพจน์ที่มีการคูณซ้ำ เช่น แฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง T7 Ratio test (d'Alembert) การทดสอบอัตราส่วน $$\rho = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|:\qquad \rho < 1 \Rightarrow \text{ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์},\quad \rho > 1 \text{ (หรือ } \infty) \Rightarrow \text{ลู่ออก},\quad \rho = 1 \Rightarrow \text{สรุปไม่ได้}$$ อนุกรม p ทุกตัวให้ $\rho = 1$ จึงใช้ ratio test กับเศษส่วนของพหุนามไม่ได้ · ตัวช่วย $\dfrac{(n+1)!}{n!} = n+1$, $\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac1e$ ตัวอย่าง T-5 · อัตราส่วน ### (ก) $\sum \dfrac{n^3}{3^n}$ (ข) $\sum \dfrac{(2n)!}{(n!)^2\,5^n}$ (ค) $\sum \dfrac{n^n}{n!}$ - (ก) $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(n+1)^3}{3^{n+1}}\cdot\dfrac{3^n}{n^3} = \dfrac13\left(1 + \dfrac1n\right)^3 \to \dfrac13 < 1$ ⇒ ลู่เข้า - (ข) $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2\cdot5} = \dfrac{2(2n+1)}{5(n+1)} \to \dfrac45 < 1$ ⇒ ลู่เข้า - (ค) $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{n^n} = \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n \to e > 1$ ⇒ ลู่ออก (ก) ลู่เข้า · (ข) ลู่เข้า · (ค) ลู่ออก ## การทดสอบราก (Root Test) กลาง T8 Root test (Cauchy) การทดสอบราก $$\rho = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\ \left(\text{ทั่วไปใช้ } \limsup\right):\quad \rho < 1 \Rightarrow \text{ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์},\quad \rho > 1 \Rightarrow \text{ลู่ออก},\quad \rho = 1 \Rightarrow \text{สรุปไม่ได้}$$ เหมาะกับ $(\cdots)^n$ · ตัวช่วย $\sqrt[n]{n} \to 1$, $\sqrt[n]{n^k} \to 1$, $\sqrt[n]{c} \to 1$ T9 Ratio vs root อัตราส่วนกับราก $$\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L \ \Rightarrow\ \lim\sqrt[n]{|a_n|} = L$$ รากแข็งแรงกว่า: บางอนุกรมอัตราส่วนแกว่ง (ไม่มีลิมิต) แต่รากยังสรุปได้ เช่น $\sum 2^{-n + (-1)^n}$ ตัวอย่าง T-6 · ราก ### (ก) $\sum\left(\dfrac{2n}{3n+1}\right)^n$ (ข) $\sum\left(1 + \dfrac1n\right)^{-n^2}$ - (ก) $\sqrt[n]{a_n} = \dfrac{2n}{3n+1} \to \dfrac23 < 1$ ⇒ ลู่เข้า - (ข) $\sqrt[n]{a_n} = \left(1 + \dfrac1n\right)^{-n} \to \dfrac1e < 1$ ⇒ ลู่เข้า (ใช้อัตราส่วนจะยุ่งกว่ามาก) ลู่เข้าทั้งคู่ ## เมื่อการทดสอบปกติได้ 1: ควบแน่นของโคชี ราบี และสเตอร์ลิง ขั้นสูง ข้อสอบไฟนอลและคณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูงชอบอนุกรมที่ ratio test ได้ 1 พอดี เครื่องมือสามชิ้นนี้ปิดช่องว่างนั้น T10 Cauchy condensation test การทดสอบควบแน่นของโคชี $$a_n \downarrow 0:\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า} \iff \sum_{k=0}^{\infty} 2^k a_{2^k} \text{ ลู่เข้า}$$ $\sum \dfrac{1}{n(\ln n)^p} \to \sum \dfrac{2^k}{2^k (k\ln 2)^p} = \dfrac{1}{(\ln2)^p}\sum\dfrac{1}{k^p}$ ลู่เข้า ⇔ $p > 1$ T11 Raabe's test การทดสอบราบี $$R = \lim_{n\to\infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right):\quad R > 1 \Rightarrow \text{ลู่เข้า},\quad R < 1 \Rightarrow \text{ลู่ออก}$$ ใช้เมื่อ ratio test ได้ $\rho = 1$ · อนุกรม p ให้ $R = p$ พอดี จึงเป็นการวัด “p ที่แฝงอยู่” T12 Stirling's approximation สูตรประมาณของสเตอร์ลิง $$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n,\qquad \binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$$ เปลี่ยนแฟกทอเรียลเป็นกำลัง แล้วใช้ T5 หรือ T1 · $10! = 3{,}628{,}800$ สูตรให้ 3,598,696 (คลาด 0.8 %) ตัวอย่าง T-7 · ราบี ### $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}$ ลู่เข้าหรือไม่ - $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2n+1}{2n+2} \to 1$ ratio test สรุปไม่ได้ - ราบี: $n\left(\dfrac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) = n\left(\dfrac{2n+2}{2n+1} - 1\right) = \dfrac{n}{2n+1} \to \dfrac12 < 1$ ⇒ ลู่ออก - ยืนยันด้วยสเตอร์ลิง: $a_n = \dfrac{(2n)!}{4^n (n!)^2} = \dfrac{1}{4^n}\binom{2n}{n} \sim \dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}$ เทียบลิมิตกับ $1/\sqrt n$ ซึ่งลู่ออก ลู่ออก (พจน์ลดลงช้าเหมือน $1/\sqrt{n}$) ## ตัวทดสอบอนุกรมแบบโต้ตอบ พื้นฐาน เลือกอนุกรมมาตรฐานเพื่อดูเหตุผลเต็ม หรือพิมพ์ $a_n$ เองเพื่อดูอัตราส่วน รากที่ n และผลบวกย่อย (หลักฐานเชิงตัวเลข ไม่ใช่บทพิสูจน์) ## เกมฝึกเลือกการทดสอบ กลาง 40 อนุกรมจากง่ายไปยาก รวมกับดักที่เจอในข้อสอบจริง เช่น $\sum 1/n^{1+1/n}$ และ $\sum (1 + 1/n)^n$ เลือกการทดสอบและผลสรุปแล้วกดตรวจ ## แบบฝึกหัดผสม (ซ่อนเฉลย) กลาง 1$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+2}{n^4+1}$ เทียบลิมิตกับ $1/n^2$: $\lim\dfrac{n^4 + 2n^2}{n^4+1} = 1$ ⇒ ลู่เข้า 2$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^n}{n!}$ อัตราส่วน $\dfrac{5}{n+1} \to 0$ ⇒ ลู่เข้า (ผลบวก $e^5 - 1$) 3$\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{\ln n}$ $\dfrac{n}{\ln n} \to \infty \ne 0$ ⇒ ลู่ออก ด้วยพจน์ที่ n 4$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$ ราก: $\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n} \to \dfrac1e < 1$ ⇒ ลู่เข้า 5$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan n}{n^2}$ $0 < \arctan n < \tfrac{\pi}{2}$ ⇒ $a_n < \dfrac{\pi/2}{n^2}$ ⇒ ลู่เข้า (เปรียบเทียบตรง) 6$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n\,n!}{n^n}$ อัตราส่วน $2\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac2e \approx 0.736 < 1$ ⇒ ลู่เข้า (ถ้าเปลี่ยน 2 เป็น 3 จะได้ 3/e > 1 ลู่ออก) 7$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1.01}}$ เทียบกับ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot 1.01}$ ตัวแรกเป็นอนุกรม p ที่ $p = 1.01 > 1$ ลู่เข้า · ตัวที่สองคือ $\tfrac{1}{1.01}\sum\tfrac1n$ ลู่ออก ระวังอ่านโจทย์ 8$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n - n}$ เทียบลิมิตกับ $1/3^n$: $\lim\dfrac{3^n}{3^n - n} = 1$ ⇒ ลู่เข้า (เปรียบเทียบตรงใช้ไม่ได้ทันทีเพราะ $\tfrac{1}{3^n - n} > \tfrac{1}{3^n}$) ## ตารางสรุปการทดสอบ พื้นฐาน | การทดสอบ | เงื่อนไข | ลู่เข้าเมื่อ | ลู่ออกเมื่อ | สรุปไม่ได้ | | พจน์ที่ n (T1) | ใด ๆ | — | $a_n \not\to 0$ | $a_n \to 0$ | | เรขาคณิต | $\sum ar^n$ | $|r| < 1$ | $|r| \ge 1$ | — | | อนุกรม p | $\sum 1/n^p$ | $p > 1$ | $p \le 1$ | — | | ปริพันธ์ (T2) | f บวก ต่อเนื่อง ลด | $\int f$ จำกัด | $\int f = \infty$ | — | | เปรียบเทียบ (T4) | $0 \le a_n \le b_n$ | $\sum b_n$ ลู่เข้า | $\sum a_n$ ลู่ออก | ทิศผิด | | เปรียบเทียบลิมิต (T5) | $a_n, b_n > 0$ | $0 < c < \infty$: ไปทางเดียวกับ $\sum b_n$ | $c = 0,\infty$ บางกรณี | | อัตราส่วน (T7) | $a_n \ne 0$ | $\rho < 1$ | $\rho > 1$ | $\rho = 1$ | | ราก (T8) | ใด ๆ | $\rho < 1$ | $\rho > 1$ | $\rho = 1$ | | ราบี (T11) | $a_n > 0$ | $R > 1$ | $R < 1$ | $R = 1$ | ## ต่อไป: อนุกรมที่มีเครื่องหมายสลับ ทุกการทดสอบในหน้านี้ต้องการพจน์บวก (หรือใช้กับค่าสัมบูรณ์) อนุกรมอย่าง $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ ต้องใช้แนวคิดใหม่คือการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ไปต่อที่ อนุกรมสลับและการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ · อ่านบทความผังตัดสินใจฉบับย่อ เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร (English) · ฝึกเพิ่มที่ แนวข้อสอบชุด B ## คำถามที่พบบ่อย ควรเลือกใช้การทดสอบการลู่เข้าแบบไหนก่อน? ไล่ตามลำดับนี้: (1) พจน์ไม่เข้าใกล้ 0 ⇒ ลู่ออก (2) เป็นเรขาคณิตหรืออนุกรม p ตอบได้ทันที (3) แยกเศษส่วนย่อยได้ ลองกล้องส่องทางไกล (4) เป็นเศษส่วนของพหุนามหรือราก ใช้เปรียบเทียบแบบลิมิตกับ 1/nᵖ (5) มีแฟกทอเรียลหรือ cⁿ ใช้อัตราส่วน (6) ยกกำลัง n ทั้งก้อนใช้ราก (7) มี ln หรือหาปริพันธ์ได้ง่ายใช้ปริพันธ์ (8) เครื่องหมายสลับใช้การทดสอบอนุกรมสลับ ratio test ได้ค่า 1 แปลว่าอะไร? แปลว่าสรุปไม่ได้ อนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ออกก็ได้ เช่น $\sum 1/n$ และ $\sum 1/n^2$ ให้อัตราส่วนเข้าใกล้ 1 ทั้งคู่ แต่ตัวแรกลู่ออก ตัวที่สองลู่เข้า ต้องใช้การทดสอบอื่น เช่น เปรียบเทียบ ปริพันธ์ หรือราบี comparison test กับ limit comparison test ต่างกันอย่างไร? comparison test ต้องพิสูจน์อสมการ $0 \le a_n \le b_n$ จริงทุกพจน์ (ใช้สรุปลู่เข้าจากตัวใหญ่ หรือลู่ออกจากตัวเล็ก) ส่วน limit comparison test ดูแค่ $\lim a_n/b_n = c$ ถ้า $0 integral test ใช้ได้เมื่อไร? เมื่อ $a_n = f(n)$ โดย f เป็นบวก ต่อเนื่อง และลดลงเมื่อ x มากพอ แล้วอนุกรมกับ $\int_N^{\infty} f(x)\,dx$ ลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน ค่าปริพันธ์ไม่ใช่ผลบวกของอนุกรม แต่ให้ขอบเขตเศษเหลือ $\int_{N+1}^{\infty} f \le R_N \le \int_N^{\infty} f$ root test เหมาะกับอนุกรมแบบไหน? อนุกรมที่พจน์ยกกำลัง n ทั้งก้อน เช่น $(\tfrac{n}{2n+1})^n$ หรือ $(1 - 1/n)^{n^2}$ เพราะ $\sqrt[n]{a_n}$ ทำให้เลขชี้กำลังหายไป root test แข็งแรงกว่า ratio test เล็กน้อย (ถ้า ratio test สรุปได้ root test สรุปได้เหมือนกัน) และใช้หารัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังได้ด้วย มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **ควรเลือกใช้การทดสอบการลู่เข้าแบบไหนก่อน?** ไล่ตามลำดับนี้: (1) พจน์ไม่เข้าใกล้ 0 ⇒ ลู่ออก (2) เป็นเรขาคณิตหรืออนุกรม p ตอบได้ทันที (3) แยกเศษส่วนย่อยได้ ลองกล้องส่องทางไกล (4) เป็นเศษส่วนของพหุนามหรือราก ใช้เปรียบเทียบแบบลิมิตกับ 1/nᵖ (5) มีแฟกทอเรียลหรือ cⁿ ใช้อัตราส่วน (6) ยกกำลัง n ทั้งก้อนใช้ราก (7) มี ln หรือหาปริพันธ์ได้ง่ายใช้ปริพันธ์ (8) เครื่องหมายสลับใช้การทดสอบอนุกรมสลับ **ratio test ได้ค่า 1 แปลว่าอะไร?** แปลว่าสรุปไม่ได้ อนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ออกก็ได้ เช่น $\sum 1/n$ และ $\sum 1/n^2$ ให้อัตราส่วนเข้าใกล้ 1 ทั้งคู่ แต่ตัวแรกลู่ออก ตัวที่สองลู่เข้า ต้องใช้การทดสอบอื่น เช่น เปรียบเทียบ ปริพันธ์ หรือราบี **comparison test กับ limit comparison test ต่างกันอย่างไร?** comparison test ต้องพิสูจน์อสมการ $0 \le a_n \le b_n$ จริงทุกพจน์ (ใช้สรุปลู่เข้าจากตัวใหญ่ หรือลู่ออกจากตัวเล็ก) ส่วน limit comparison test ดูแค่ $\lim a_n/b_n = c$ ถ้า $0 < c < \infty$ อนุกรมทั้งสองลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน สะดวกกว่ามากสำหรับเศษส่วนของพหุนาม **integral test ใช้ได้เมื่อไร?** เมื่อ $a_n = f(n)$ โดย f เป็นบวก ต่อเนื่อง และลดลงเมื่อ x มากพอ แล้วอนุกรมกับ $\int_N^{\infty} f(x)\,dx$ ลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน ค่าปริพันธ์ไม่ใช่ผลบวกของอนุกรม แต่ให้ขอบเขตเศษเหลือ $\int_{N+1}^{\infty} f \le R_N \le \int_N^{\infty} f$ **root test เหมาะกับอนุกรมแบบไหน?** อนุกรมที่พจน์ยกกำลัง n ทั้งก้อน เช่น $(\tfrac{n}{2n+1})^n$ หรือ $(1 - 1/n)^{n^2}$ เพราะ $\sqrt[n]{a_n}$ ทำให้เลขชี้กำลังหายไป root test แข็งแรงกว่า ratio test เล็กน้อย (ถ้า ratio test สรุปได้ root test สรุปได้เหมือนกัน) และใช้หารัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังได้ด้วย