---
title: "เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม (Sequence & Series Calculators): พื้นฐาน กลาง ขั้นสูง พร้อมวิธีทำและโหมดฝึก"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/calculators/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-26
---

> เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรมภาษาไทยที่แสดงวิธีทำทุกขั้นด้วยเลขแม่นตรง (เศษส่วนและกรณฑ์): ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต ซิกมา (summation) กล้องส่องทางไกล หาสูตรจากพจน์ (difference table) ความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence) ออยเลอร์–แมคลอริน และโหมดฝึกตรวจคำตอบ

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/calculators/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม (Sequence & Series Calculators): พื้นฐาน กลาง ขั้นสูง พร้อมวิธีทำและโหมดฝึก

// บทที่ 26.11 · ลำดับและอนุกรม · Calculators


หกเครื่องมือที่ไม่ได้แค่บอกคำตอบ แต่เขียนวิธีทำให้ดูทีละขั้นเหมือนเฉลยในห้อง ทุกตัวคำนวณด้วยเลขแม่นตรง (เศษส่วนและกรณฑ์) ตรวจคำตอบย้อนกลับเอง และมีปุ่ม 🎯 ฝึกทำ ที่สุ่มโจทย์ให้ลองคิดก่อนดูเฉลย ใช้เป็นภาคปฏิบัติคู่กับบทเรียนได้ทันที

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · เตรียมสอบเข้ากลาง แคลคูลัส · คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องขั้นสูง คณิตศาสตร์วิศวกรรม · วิธีเชิงตัวเลข

6 เครื่องมือในหน้านี้

- พื้นฐาน ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต (กรอก 3 ค่า หาที่เหลือ) · ทศนิยมซ้ำ ค่าเฉลี่ย เงินฝาก-เงินกู้

- กลาง ซิกมา Σ: สูตรผลบวก กล้องส่องทางไกล เลขคณิต-เรขาคณิต · หาสูตรจากพจน์ (ตารางผลต่าง)

- ขั้นสูง ความสัมพันธ์เวียนเกิด + ฟังก์ชันก่อกำเนิด + บทพิสูจน์ · ผลบวกความแม่นยำสูง (ออยเลอร์–แมคลอริน)

## ใช้ให้เป็น “ภาคปฏิบัติ” ไม่ใช่แค่ดูคำตอบ

เครื่องคิดเลขที่ดีที่สุดสำหรับการเรียนคือเครื่องที่บังคับให้เราคิดก่อน ลำดับที่แนะนำสำหรับทุกเครื่องมือในหน้านี้คือ

- กด 🎯 ฝึกทำ ระบบสุ่มโจทย์ระดับข้อสอบ ทำในกระดาษก่อน แล้วพิมพ์คำตอบ (รับ 3/4, 2^10, sqrt(5))

- ดูวิธีทำทีละขั้น เทียบกับของเราทีละบรรทัด ว่าพลาดที่สูตร การแทนค่า หรือพีชคณิต

- เปลี่ยนตัวเลขเอง แล้วทำนายผลก่อนกดคำนวณ เช่น ถ้า r เปลี่ยนจาก 2 เป็น −2 ผลบวกจะเป็นอย่างไร นี่คือวิธีสร้างความเข้าใจที่อยู่ได้นาน

พื้นฐาน1. เลขคณิต · เรขาคณิตกรอกอะไรก็ได้ 3 ค่าจาก a₁, d หรือ r, n, aₙ, Sₙ, S∞ หรือรู้สองพจน์ใด ๆ
กลาง2. ซิกมา Σสูตรผลบวกกำลัง กล้องส่องทางไกล พหุนาม×rᵏ และอนุกรมอนันต์
กลาง3. หาสูตรจากพจน์ตารางผลต่าง สูตรของนิวตัน เรขาคณิต ผลคูณ และเวียนเกิด
ขั้นสูง4. เวียนเกิดเชิงเส้นสมการลักษณะเฉพาะ รากซ้ำ-เชิงซ้อน คำตอบเฉพาะ ฟังก์ชันก่อกำเนิด
ขั้นสูง5. ผลบวกความแม่นยำสูงออยเลอร์–แมคลอริน และเร่งการลู่เข้าของอนุกรมสลับ
พื้นฐาน6. ทศนิยมซ้ำ · ค่าเฉลี่ย · เงินงวดอนุกรมเรขาคณิตในชีวิตจริง

## 1. ลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต: กรอก 3 ค่า หาที่เหลือ พื้นฐาน

ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเรื่องลำดับเกือบทุกข้อคือ “รู้ 3 อย่าง หาอย่างที่ 4” จากห้าปริมาณ $a_1$ (พจน์แรก), $d$ หรือ $r$ (ผลต่างหรืออัตราส่วนร่วม), $n$, $a_n$ และ $S_n$ เครื่องมือนี้รับทุกชุดค่าที่เป็นไปได้ บอกเมื่อข้อมูลขัดกันเอง และบอกเมื่อมีคำตอบมากกว่าหนึ่ง (เช่นเมื่อแก้สมการกำลังสองหา n หรือถอดรากที่มีเลขชี้กำลังคู่)

C1 Arithmetic progression ลำดับและอนุกรมเลขคณิต

$$\begin{gathered} a_n = a_1 + (n-1)d \\ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\big[2a_1 + (n-1)d\big] \end{gathered}$$

รู้ $a_p, a_q$: $d = \dfrac{a_q - a_p}{q - p}$ · หา n จาก $S_n$ ได้สมการกำลังสองใน n

C2 Geometric progression ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต

$$\begin{gathered} a_n = a_1 r^{n-1} \\ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a_1 - a_n r}{1 - r}\ (r \ne 1) \\ S_\infty = \frac{a_1}{1-r}\ (|r| < 1) \end{gathered}$$

รู้ $a_p, a_q$: $r^{q-p} = a_q/a_p$ ถ้า $q - p$ เป็นเลขคู่จะได้ r สองค่า (บวกและลบ)

C3 Inserting means แทรกค่าเฉลี่ย k จำนวนระหว่าง a กับ b

$$\begin{gathered} d = \frac{b - a}{k + 1} \\ r = \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{k+1}} \\ \text{ฮาร์มอนิก: } \frac1a, \dots, \frac1b \text{ เป็นเลขคณิต} \end{gathered}$$

ทั้งหมดมี $k + 2$ พจน์ จึงมี $k + 1$ ช่วง

ตัวอย่าง C-1 · รู้สองพจน์

### ลำดับเลขคณิตมี $a_5 = 17$ และ $a_{12} = 38$ จงหา $a_{30}$ และ $S_{30}$

- สองพจน์ห่างกัน $12 - 5 = 7$ ช่วง ⇒ $7d = 38 - 17 = 21$ ⇒ $d = 3$

- $a_1 = a_5 - 4d = 17 - 12 = 5$ ⇒ $a_n = 3n + 2$

- $a_{30} = 5 + 29(3) = 92$ และ $S_{30} = \tfrac{30}{2}(5 + 92) = 1455$

$a_{30} = 92,\ S_{30} = 1455$

ตัวอย่าง C-2 · กับดักสองคำตอบ

### ลำดับเรขาคณิตมี $a_2 = 6$ และ $a_4 = 54$ จงหา $S_6$

- $r^2 = \dfrac{a_4}{a_2} = 9$ ⇒ $r = 3$ หรือ $r = -3$ (นักเรียนจำนวนมากตอบแค่ค่าบวก)

- $r = 3$: $a_1 = 2$, $S_6 = \dfrac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} = 728$

- $r = -3$: $a_1 = -2$, $S_6 = \dfrac{-2\left(1 - (-3)^6\right)}{1 - (-3)} = \dfrac{-2(-728)}{4} = 364$

$S_6 = 728$ หรือ $364$ ถ้าโจทย์ไม่บอกว่าพจน์เป็นบวก ต้องตอบทั้งสองกรณี

## 2. เครื่องคิดเลขซิกมา (Σ): สูตรผลบวก กล้องส่องทางไกล และพหุนาม × rᵏ กลาง

พิมพ์พจน์ $f(k)$ ขอบล่าง และขอบบน (ตัวเลข, n หรือ inf) เครื่องมือเลือกวิธีให้อัตโนมัติจากรูปของพจน์ และบอกชื่อวิธีที่ใช้ทุกครั้ง เพื่อให้รู้ว่าโจทย์แบบนี้ “ต้องคิดอย่างไร” ไม่ใช่แค่ได้ตัวเลข

| รูปของพจน์ f(k) | วิธี | ตัวอย่าง |

| พหุนามใน k | กระจาย + สมบัติเชิงเส้น + สูตรผลบวกกำลัง (Faulhaber) | $\sum k(k+1)$, $\sum (2k-1)^3$ |

| $c\,r^k$ | อนุกรมเรขาคณิต | $\sum 3\cdot 2^{k-1}$ |

| พหุนาม × $r^k$ | วิธี $S - rS$ (หาผลต่างย้อนกลับแบบไม่ต่อเนื่อง) | $\sum k\,2^k$, $\sum k/2^k$ |

| เศษส่วนของพหุนามที่ตัวส่วนแยกเป็นตัวประกอบเชิงเส้น | เศษส่วนย่อย → กล้องส่องทางไกล | $\sum \frac{1}{k(k+1)}$, $\sum \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ |

| อื่น ๆ ($1/k^2$, $\sqrt k$, …) | บวกตรงแบบแม่นตรง หรือออยเลอร์–แมคลอริน | $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$ |

C4 Power sums (Faulhaber) สูตรผลบวกกำลัง

$$\begin{gathered} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 \end{gathered}$$

$\sum k^4 = \tfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$ · $\sum k^p$ เป็นพหุนามดีกรี $p + 1$ เสมอ

C5 Linearity & index shift สมบัติเชิงเส้นและการเลื่อนดัชนี

$$\begin{gathered} \sum (\alpha f + \beta g) = \alpha\sum f + \beta \sum g \\ \sum_{k=m}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} f(k) - \sum_{k=1}^{m-1} f(k) \end{gathered}$$

$\sum_{k=1}^{n} c = cn$ · ข้อควรระวัง $\sum f g \ne \sum f \cdot \sum g$

C6 Telescoping กล้องส่องทางไกล

$$\begin{gathered} \sum_{k=1}^{n} \big[g(k) - g(k+1)\big] = g(1) - g(n+1) \\ \frac{1}{k(k+m)} = \frac1m\left(\frac1k - \frac{1}{k+m}\right) \end{gathered}$$

ยุบได้เมื่อสัมประสิทธิ์ของเศษส่วนย่อยในแต่ละกลุ่มที่ห่างกันเป็นจำนวนเต็มรวมกันเป็นศูนย์

C7 Arithmetico-geometric อนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต

$$\begin{gathered} \sum_{k=1}^{\infty} k r^{k} = \frac{r}{(1-r)^2}\ (|r| < 1) \\ \sum_{k=1}^{n} P(k)r^k = Q(n)r^n - Q(0) \end{gathered}$$

Q มีดีกรีเท่า P และ $Q(k) - Q(k-1)/r = P(k)$ นี่คือรูปทั่วไปของวิธี $S - rS$

ตัวอย่าง C-3 · กล้องส่องทางไกล

### หา $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ และผลบวกเมื่อ $n \to \infty$

- เศษส่วนย่อย: $\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right)$

- เขียนออกมา พจน์กลางหักล้างกันเป็นคู่ ๆ

$$\tfrac12\Big[\big(1 - \tfrac13\big) + \big(\tfrac13 - \tfrac15\big) + \dots + \big(\tfrac{1}{2n-1} - \tfrac{1}{2n+1}\big)\Big]$$

- เหลือ $\tfrac12\left(1 - \tfrac{1}{2n+1}\right) = \dfrac{n}{2n+1}$ และ $\lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{2n+1} = \dfrac12$

$S_n = \dfrac{n}{2n+1},\ S_\infty = \dfrac12$

ตัวอย่าง C-4 · พหุนาม × rᵏ

### หา $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k}$

- ให้ $S = \tfrac12 + \tfrac{2}{4} + \tfrac{3}{8} + \cdots$ และ $\tfrac12 S = \tfrac14 + \tfrac{2}{8} + \tfrac{3}{16} + \cdots$

- ลบกัน $S - \tfrac12 S = \tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$ (อนุกรมเรขาคณิต)

- $\tfrac12 S = 1$ ⇒ $S = 2$ ตรงกับสูตร C7: $\dfrac{r}{(1-r)^2} = \dfrac{1/2}{1/4} = 2$

$S = 2$

## 3. หาสูตรจากพจน์ที่ให้มา: ตารางผลต่างและสูตรของนิวตัน กลาง

ใส่พจน์ที่รู้แล้วเครื่องมือจะลองสี่แบบตามลำดับ: พหุนาม (ผลต่างอันดับใดอันดับหนึ่งคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) ผลคูณ (อัตราส่วนพจน์ติดกันเป็นพหุนามใน n เช่น แฟกทอเรียล) และเวียนเกิดเชิงเส้น (อัลกอริทึม Berlekamp–Massey) พร้อมพจน์ถัดไปและสูตรผลบวก

C8 Newton forward differences สูตรผลต่างเดินหน้าของนิวตัน

$$\begin{gathered} a_n = \sum_{j=0}^{d} \Delta^j a_1 \binom{n-1}{j} \\ \Delta a_n = a_{n+1} - a_n \end{gathered}$$

ผลต่างอันดับ d คงที่ ⇔ $a_n$ เป็นพหุนามดีกรี d (เหมือนอนุพันธ์อันดับ d ของพหุนามดีกรี d)

C9 Sum from differences ผลบวก n พจน์จากตารางผลต่าง

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{j=0}^{d} \Delta^j a_1 \binom{n}{j+1}$$

เช่น 2, 6, 12, 20 มี $\Delta^0 = 2,\ \Delta^1 = 4,\ \Delta^2 = 2$ ⇒ $S_n = 2n + 4\binom n2 + 2\binom n3 = \tfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

กับดัก: 1, 2, 4, 8, 16, …ส่วนใหญ่ตอบ 32 แต่โจทย์ “ลากเส้นเชื่อม n จุดบนวงกลม แบ่งได้มากที่สุดกี่ส่วน” ให้ 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57 ซึ่งเป็นพหุนามดีกรีสี่ $\tfrac{n^4 - 6n^3 + 23n^2 - 18n + 24}{24}$ ลองใส่ 6 พจน์นี้ในเครื่องมือ พจน์จำนวนจำกัดไม่ได้กำหนดลำดับเพียงหนึ่งเดียว ต้องมีกฎหรือการพิสูจน์เสมอ

ตัวอย่าง C-5 · ผลต่างอันดับสาม

### หาสูตรของ $3, 10, 29, 66, 127, \dots$ และผลบวก n พจน์แรก

- ผลต่าง: $7, 19, 37, 61$ → $12, 18, 24$ → $6, 6$ ผลต่างอันดับสามคงที่ ⇒ พหุนามดีกรีสาม

- ผลต่างอันดับสาม $= 6 = 3!\cdot a$ ⇒ สัมประสิทธิ์ $n^3$ คือ 1 ลอง $a_n - n^3 = 2, 2, 2, \dots$ ⇒ $a_n = n^3 + 2$

- $S_n = \sum k^3 + \sum 2 = \left[\tfrac{n(n+1)}{2}\right]^2 + 2n$

$a_n = n^3 + 2,\ S_n = \tfrac{n^2(n+1)^2}{4} + 2n$

## 4. แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น: สมการลักษณะเฉพาะ คำตอบเฉพาะ และฟังก์ชันก่อกำเนิด ขั้นสูง

เครื่องมือแก้ $a_n = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} + c_3 a_{n-3} + f(n)$ เมื่อสัมประสิทธิ์คงที่ และ $f(n)$ อยู่ในรูปพหุนาม × $s^n$ ผลลัพธ์เป็นเลขแม่นตรงแม้รากเป็นกรณฑ์หรือจำนวนเชิงซ้อน (คำนวณในฟีลด์ $\mathbb{Q}(\sqrt D)$) และให้ครบทั้งรากซ้ำ เรโซแนนซ์ รูปจริงของรากเชิงซ้อน ตารางตรวจ ฟังก์ชันก่อกำเนิด และบทพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มที่สร้างให้อัตโนมัติ

C10 Characteristic equation สมการลักษณะเฉพาะ

$$\begin{gathered} a_n = c_1 a_{n-1} + \dots + c_k a_{n-k} \\ \Rightarrow\ t^k - c_1 t^{k-1} - \dots - c_k = 0 \\ a_n = \sum_i A_i\, t_i^{\,n} \end{gathered}$$

ค่าคงตัว $A_i$ หาจากค่าเริ่มต้น k ค่า (ระบบสมการเชิงเส้น k ตัวแปร)

C11 Repeated & complex roots รากซ้ำและรากเชิงซ้อน

$$\begin{gathered} t \text{ ซ้ำ } m \text{ ครั้ง} \Rightarrow (A_0 + A_1 n + \dots + A_{m-1}n^{m-1})t^n \\ t = \rho e^{\pm i\theta} \Rightarrow \rho^n(A\cos n\theta + B\sin n\theta) \end{gathered}$$

เช่น $a_n = 2a_{n-1} - 2a_{n-2}$ มี $t = 1 \pm i = \sqrt2 e^{\pm i\pi/4}$

C12 Particular solution คำตอบเฉพาะ (เดาสัมประสิทธิ์)

$$\begin{gathered} f(n) = P_d(n)\,s^n \\ \Rightarrow\ a_n^{(p)} = n^m\,Q_d(n)\,s^n \end{gathered}$$

m = จำนวนครั้งที่ s เป็นรากของสมการลักษณะเฉพาะ (m = 0 ถ้าไม่เป็นราก) · $a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)}$ แล้วจึงใช้ค่าเริ่มต้น

C13 Generating function ฟังก์ชันก่อกำเนิด

$$\begin{gathered} G(x) = \sum_{n\ge0} a_n x^n = \frac{N(x)}{1 - c_1x - \dots - c_kx^k} \\ \text{ฟีโบนัชชี: } \frac{x}{1 - x - x^2} \end{gathered}$$

แยกเศษส่วนย่อยแล้วกระจายเป็นอนุกรมเรขาคณิต ได้สูตรปิดเดียวกับสมการลักษณะเฉพาะ

ตัวอย่าง C-6 · เรโซแนนซ์

### $a_0 = 0,\ a_1 = 1,\ a_n = 3a_{n-1} - 2a_{n-2} + 2^n$ จงหาสูตรปิด

- สมการลักษณะเฉพาะ $t^2 - 3t + 2 = (t-1)(t-2) = 0$ ⇒ $a_n^{(h)} = A\cdot 2^n + B$

- $f(n) = 2^n$ และ 2 เป็นรากหนึ่งครั้ง ⇒ เดา $a_n^{(p)} = Cn\,2^n$ (ไม่ใช่ $C2^n$ ซึ่งถูกส่วนเอกพันธ์กลืนไป)

- แทน: $Cn2^n - 3C(n-1)2^{n-1} + 2C(n-2)2^{n-2} = 2^n$ ⇒ $C\big(n - \tfrac32(n-1) + \tfrac12(n-2)\big) = 1$ ⇒ $\tfrac12 C = 1$ ⇒ $C = 2$

- $a_n = A2^n + B + 2n2^n$ จาก $a_0 = 0$: $A + B = 0$ · จาก $a_1 = 1$: $2A + B + 4 = 1$ ⇒ $A = -3,\ B = 3$

$a_n = (2n - 3)2^n + 3$ · ตรวจ $a_2 = 7$ ✓

## 5. ผลบวกความแม่นยำสูง: ออยเลอร์–แมคลอริน และเร่งการลู่เข้าของอนุกรมสลับ ขั้นสูง

อนุกรมอย่าง $\sum 1/k^2$ ลู่เข้าช้ามาก: บวกหนึ่งล้านพจน์ยังคลาดราว $10^{-6}$ สูตรออยเลอร์–แมคลอรินเปลี่ยนหางของอนุกรมเป็นปริพันธ์บวกพจน์แก้ที่มีอนุพันธ์ ได้ค่าถูก 15 หลักจากเพียง 10 พจน์ และใช้ได้กับผลบวกจำกัดที่ n ใหญ่มาก เช่น $H_{10^{12}}$ ส่วนอนุกรมสลับใช้อัลกอริทึม Cohen–Villegas–Zagier ที่ความคลาดลดลงราว $5.8^{-n}$

C14 Euler–Maclaurin สูตรออยเลอร์–แมคลอริน

$$\begin{aligned} \sum_{k=M}^{N} f(k) &= \int_M^N f\,dx + \tfrac{f(M) + f(N)}{2} \\ &\quad + \sum_{j=1}^{p} \tfrac{B_{2j}}{(2j)!}\Big(f^{(2j-1)}(N) - f^{(2j-1)}(M)\Big) \\ &\quad + R_p \end{aligned}$$

$B_2 = \tfrac16,\ B_4 = -\tfrac{1}{30},\ B_6 = \tfrac{1}{42}$ · ทำงานดีเมื่อ M ไม่เล็กเกินไป (บวกตรงช่วงแรกก่อน)

C15 Harmonic numbers จำนวนฮาร์มอนิก

$$\begin{gathered} H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac1k = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \cdots \\ \gamma \approx 0.5772156649 \end{gathered}$$

ลู่ออกแบบลอการิทึม: $H_{10^{12}} \approx 28.21$ เท่านั้น

ตัวอย่าง C-7 · ปัญหาบาเซิลด้วย 10 พจน์

### ประมาณ $\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2$ ด้วยออยเลอร์–แมคลอรินที่ $M = 11$

- บวกตรง $\sum_{k=1}^{10} 1/k^2 = 1.5497677311665$

- ปริพันธ์ $\int_{11}^{\infty} x^{-2}dx = \tfrac{1}{11} = 0.0909090909091$ และ $\tfrac12 f(11) = \tfrac{1}{242} = 0.0041322314050$

- พจน์แก้แรก $-\tfrac{B_2}{2}f'(11) = -\tfrac{1}{12}\cdot\left(-\tfrac{2}{11^3}\right) = 0.0001252191335$ พจน์ต่อไปเล็กลงเร็วมาก

รวม $\approx 1.6449340668482$ ตรงกับ $\pi^2/6$ ถึง 15 หลัก ขณะที่บวกตรง 10 พจน์ได้แค่ 1.5498

## 6. ทศนิยมซ้ำ ค่าเฉลี่ย และเงินฝาก-เงินกู้: อนุกรมเรขาคณิตในชีวิตจริง พื้นฐาน

สามโจทย์ที่ดูไม่เกี่ยวกัน แต่เบื้องหลังคืออนุกรมเรขาคณิตเหมือนกัน: ทศนิยมซ้ำคือผลบวกอนันต์ $\frac{a}{1-r}$ เงินฝากรายงวดคือผลบวกจำกัด $\frac{(1+i)^n - 1}{i}$ และค่างวดผ่อนบ้านคือมูลค่าปัจจุบันของค่างวดทุกงวดรวมกัน

C16 Repeating decimal ทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

$$0.b_1\dots b_L\overline{c_1\dots c_p} = \frac{\overline{b_1\dots b_Lc_1\dots c_p} - \overline{b_1\dots b_L}}{\underbrace{9\cdots9}_{p}\underbrace{0\cdots0}_{L}}$$

เช่น $0.1\overline{23} = \dfrac{123 - 1}{990} = \dfrac{61}{495}$ · $0.\overline{9} = 1$ พอดี

C17 Annuities เงินฝากรายงวดและค่างวดเงินกู้

$$\begin{gathered} FV = P\,\frac{(1+i)^n - 1}{i} \\ R = \frac{PV\cdot i}{1 - (1+i)^{-n}} \end{gathered}$$

i = ดอกเบี้ยต่องวด, n = จำนวนงวด · ฝากต้นงวดคูณ $(1+i)$ เพิ่ม

ตัวอย่าง C-8 · ผ่อนบ้าน

### กู้ 1,500,000 บาท ดอกเบี้ย 6% ต่อปี ผ่อนรายเดือน 20 ปี ค่างวดเท่าไร

- $i = 0.06/12 = 0.005$, $n = 240$ งวด

- $R = \dfrac{1{,}500{,}000 \times 0.005}{1 - 1.005^{-240}} \approx 10{,}746.47$ บาท

- จ่ายรวม $240R \approx 2{,}579{,}151.81$ บาท เป็นดอกเบี้ยราว 1.08 ล้านบาท

ค่างวดประมาณ 10,746.47 บาทต่อเดือน

## ฝึกทำแบบภาคปฏิบัติ: 12 โจทย์ไล่ระดับ

ทำในกระดาษก่อน แล้วกด “เฉลย” หรือ “เปิดในเครื่องคิดเลข” เพื่อดูวิธีทำเต็ม (โจทย์สุ่มไม่จำกัดอยู่ในปุ่ม 🎯 ของแต่ละเครื่องมือ)

P1 พื้นฐานลำดับเลขคณิต 7, 11, 15, … พจน์ใดเท่ากับ 203
$d = 4,\ a_n = 7 + 4(n-1) = 203$ ⇒ $n = 50$
พจน์ที่ 50

P2 พื้นฐานบวกจำนวนคี่ 1 + 3 + 5 + ⋯ ได้ 625 ต้องบวกกี่พจน์
$S_n = n^2 = 625$ ⇒ $n = 25$ (หรือแก้ $\tfrac{n}{2}[2 + 2(n-1)] = 625$)
25 พจน์

P3 พื้นฐานอนุกรมเรขาคณิตอนันต์มีผลบวก 12 และพจน์แรก 8 จงหา r
$12 = \dfrac{8}{1 - r}$ ⇒ $1 - r = \tfrac23$ ⇒ $r = \tfrac13$
$r = \tfrac13$

P4 พื้นฐานเขียน $1.2\overline{45}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
$\dfrac{1245 - 12}{990} = \dfrac{1233}{990} = \dfrac{137}{110}$
$\tfrac{137}{110}$

P5 กลาง$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$
$4\sum k^2 - 4\sum k + n = \tfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n = \tfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$
$\tfrac{n(4n^2 - 1)}{3}$

P6 กลาง$\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2 - 1}$
$\dfrac{1}{k^2-1} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k+1}\right)$ ห่างกันสองขั้น เหลือหัว $\tfrac12\left(1 + \tfrac12\right)$
$\tfrac34$

P7 กลาง$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\cdot 2^k$
$S - 2S = 2 + 2^2 + \dots + 2^n - n2^{n+1}$ ⇒ $S = (n-1)2^{n+1} + 2$
$(n-1)2^{n+1} + 2$

P8 กลางหาสูตรของ 1, 5, 14, 30, 55, 91, …
ผลต่าง 4, 9, 16, 25, 36 คือกำลังสอง ⇒ $a_n = \sum_{k=1}^{n} k^2$
$\tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

P9 ขั้นสูง$a_0 = 1,\ a_1 = 4,\ a_n = 4a_{n-1} - 4a_{n-2}$ จงหาสูตรปิด
$(t-2)^2 = 0$ รากซ้ำ ⇒ $a_n = (A + Bn)2^n$, $A = 1$, $2(1 + B) = 4$ ⇒ $B = 1$
$a_n = (n + 1)2^n$

P10 ขั้นสูงหอคอยฮานอย $a_1 = 1,\ a_n = 2a_{n-1} + 1$ ย้าย 64 แผ่นต้องกี่ครั้ง
$a_n + 1 = 2(a_{n-1} + 1)$ ⇒ $a_n = 2^n - 1$
$2^{64} - 1 \approx 1.8\times10^{19}$ ครั้ง

P11 ขั้นสูง$a_0 = 1,\ a_1 = 2,\ a_n = 2a_{n-1} - 2a_{n-2}$ จงหา $a_8$ โดยไม่ไล่ทีละพจน์
$t = 1 \pm i = \sqrt2e^{\pm i\pi/4}$ ⇒ $a_n = (\sqrt2)^n\left(\cos\tfrac{n\pi}{4} + \sin\tfrac{n\pi}{4}\right)$ ⇒ $a_8 = 16(1 + 0)$
$a_8 = 16$

P12 ขั้นสูงประมาณ $H_{10^{9}} = 1 + \tfrac12 + \dots + \tfrac{1}{10^9}$ ถึงทศนิยม 6 ตำแหน่ง
$H_n \approx \ln n + \gamma + \tfrac{1}{2n} = 20.7232658 + 0.5772157 + 0.0000000005$
$\approx 21.300482$

## เครื่องมือนี้คำนวณอย่างไร และเชื่อถือได้แค่ไหน

- เลขแม่นตรง: ทุกค่าที่เป็นเศษส่วนเก็บเป็นตัวเศษ-ตัวส่วนจำนวนเต็มขนาดไม่จำกัด (BigInt) ไม่มีการปัดเศษ รากของสมการกำลังสองเก็บในรูป $p + q\sqrt D$ จึงได้คำตอบอย่าง $\tfrac{\sqrt5}{5}$ แทน 0.4472

- ตรวจย้อนกลับเสมอ: สูตรผลบวกเทียบกับการบวกตรงทุกพจน์ สูตรปิดของเวียนเกิดเทียบกับการไล่ความสัมพันธ์ทีละพจน์ และแสดงตารางตรวจให้ดู

- ส่วนที่เป็นค่าประมาณบอกชัด: รากของพหุนามดีกรีสามที่ไม่มีรากตรรกยะ ผลบวกอนันต์ที่ไม่มีรูปปิด และการ “จับคู่” กับค่าคงตัวอย่าง $\pi^2/6$ เป็นหลักฐานเชิงตัวเลข ไม่ใช่บทพิสูจน์

- ทดสอบกับ sympy: ตัวอย่างทุกข้อในหน้านี้ตรวจด้วย sympy และชุดทดสอบอัตโนมัติของเครื่องมือ (scripts/test-seq-calc.mjs)

- ขอบเขต: เวียนเกิดสัมประสิทธิ์คงที่อันดับไม่เกิน 3 · พจน์ไม่เอกพันธ์ในรูปพหุนาม × $s^n$ · ซิกมาแบบรูปปิดสำหรับพหุนาม พหุนาม×$r^k$ และเศษส่วนที่ยุบได้

ลิงก์ตรงไปยังโจทย์ใช้รูปแบบ ?q= ได้ เช่น sum k^2, k=1..n · a(n)=a(n-1)+a(n-2), a(0)=0, a(1)=1 · 2, 6, 12, 20, 30 หรือกดปุ่ม “🔗 ลิงก์โจทย์นี้” ในเครื่องมือเพื่อส่งโจทย์ให้เพื่อนในกลุ่มเรียน

## เรียนต่อ

พิสูจน์ว่าสูตรที่เครื่องคิดเลขให้ “จริงทุก n” ด้วย อุปนัยแบบเข้ม (26.12) ทบทวนทฤษฎีที่ ลำดับ (26.1) และ อนุกรมอนันต์ (26.2) ใช้เครื่องมือเชิงภาพที่ แล็บลำดับและอนุกรม หรือทดสอบตัวเองด้วย แนวข้อสอบ 60 ข้อ

## คำถามที่พบบ่อย

เครื่องคิดเลขนี้ต่างจากการกดเครื่องคิดเลขธรรมดาอย่างไร?
คำนวณด้วยเลขแม่นตรง (เศษส่วนและกรณฑ์ เช่น $\tfrac{61}{495}$ หรือ $\tfrac{1+\sqrt5}{2}$) ไม่ใช่ทศนิยมปัดเศษ และแสดงวิธีทำทุกขั้นแบบที่เขียนในข้อสอบ: สูตรที่ใช้ การแทนค่า การตรวจคำตอบ และมีโหมดฝึกที่สุ่มโจทย์ให้ลองทำเองก่อนดูเฉลย

หาสูตรผลบวก Σk² หรือ Σk(k+1) ได้อย่างไร?
พิมพ์พจน์ในช่อง f(k) เช่น k^2 หรือ k(k+1) ให้ขอบบนเป็น n เครื่องมือจะกระจายพจน์ แยกด้วยสมบัติเชิงเส้น ใช้สูตรผลบวกกำลัง $\sum k = \tfrac{n(n+1)}{2},\ \sum k^2 = \tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},\ \sum k^3 = \left(\tfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$ แล้วแยกตัวประกอบคำตอบให้ เช่น $\sum k(k+1) = \tfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

ถ้ารู้แค่พจน์แรก ๆ ของลำดับ จะหาสูตรพจน์ทั่วไปได้ไหม?
ได้ถ้าลำดับเป็นพหุนาม (ใช้ตารางผลต่างและสูตรของนิวตัน) เรขาคณิต ผลคูณ หรือเวียนเกิดเชิงเส้น แต่พจน์จำนวนจำกัดไม่ได้กำหนดลำดับเพียงหนึ่งเดียว เช่น 1, 2, 4, 8, 16 อาจต่อด้วย 31 ก็ได้ (โจทย์แบ่งวงกลม) สูตรที่เครื่องมือให้คือสูตรที่ง่ายที่สุดที่เข้ากับข้อมูล ในข้อสอบต้องยืนยันด้วยกฎของโจทย์หรือพิสูจน์ด้วยอุปนัย

แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด a(n) = 5a(n−1) − 6a(n−2) อย่างไร?
เขียนสมการลักษณะเฉพาะ $t^2 - 5t + 6 = 0$ ได้ราก 2 และ 3 คำตอบทั่วไปคือ $a_n = A\cdot 3^n + B\cdot 2^n$ แล้วหา A, B จากค่าเริ่มต้น เช่น $a_0 = 1,\ a_1 = 4$ ได้ $a_n = 2\cdot3^n - 2^n$ เครื่องมือในหน้านี้ทำครบรวมรากซ้ำ รากเชิงซ้อน พจน์ไม่เอกพันธ์ ฟังก์ชันก่อกำเนิด และพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้ม

ทำไม Σ 1/k² ไม่มีสูตรผลบวกแบบ Σk²?
เพราะ $1/k^2$ ไม่ใช่พหุนามและแยกเศษส่วนย่อยแล้วไม่หักล้างกันแบบกล้องส่องทางไกล ผลบวกอนันต์คือ $\pi^2/6$ (ปัญหาบาเซิล) ซึ่งต้องใช้วิธีอื่น เช่น อนุกรมฟูริเยร์ เครื่องมือผลบวกความแม่นยำสูงในหน้านี้ใช้สูตรออยเลอร์–แมคลอรินคำนวณได้ถูก 15 หลักจากเพียง 10 พจน์

ใช้ตรวจการบ้านได้ไหม และเชื่อถือได้แค่ไหน?
ได้ ส่วนที่เป็นเศษส่วนและกรณฑ์คำนวณแม่นตรงทุกหลัก และตรวจย้อนกลับโดยแทนค่าทุกครั้ง ส่วนที่เป็นค่าประมาณ (รากที่ไม่เป็นตรรกยะของพหุนามดีกรีสาม ผลบวกอนันต์ที่ไม่มีรูปปิด) จะบอกชัดว่าเป็นค่าประมาณ ทั้งนี้ข้อสอบยังต้องเขียนเหตุผลเอง เครื่องมือมีไว้ตรวจและฝึก

มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**เครื่องคิดเลขนี้ต่างจากการกดเครื่องคิดเลขธรรมดาอย่างไร?**
คำนวณด้วยเลขแม่นตรง (เศษส่วนและกรณฑ์ เช่น $\tfrac{61}{495}$ หรือ $\tfrac{1+\sqrt5}{2}$) ไม่ใช่ทศนิยมปัดเศษ และแสดงวิธีทำทุกขั้นแบบที่เขียนในข้อสอบ: สูตรที่ใช้ การแทนค่า การตรวจคำตอบ และมีโหมดฝึกที่สุ่มโจทย์ให้ลองทำเองก่อนดูเฉลย

**หาสูตรผลบวก Σk² หรือ Σk(k+1) ได้อย่างไร?**
พิมพ์พจน์ในช่อง f(k) เช่น k^2 หรือ k(k+1) ให้ขอบบนเป็น n เครื่องมือจะกระจายพจน์ แยกด้วยสมบัติเชิงเส้น ใช้สูตรผลบวกกำลัง $\sum k = \tfrac{n(n+1)}{2},\ \sum k^2 = \tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},\ \sum k^3 = \left(\tfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$ แล้วแยกตัวประกอบคำตอบให้ เช่น $\sum k(k+1) = \tfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

**ถ้ารู้แค่พจน์แรก ๆ ของลำดับ จะหาสูตรพจน์ทั่วไปได้ไหม?**
ได้ถ้าลำดับเป็นพหุนาม (ใช้ตารางผลต่างและสูตรของนิวตัน) เรขาคณิต ผลคูณ หรือเวียนเกิดเชิงเส้น แต่พจน์จำนวนจำกัดไม่ได้กำหนดลำดับเพียงหนึ่งเดียว เช่น 1, 2, 4, 8, 16 อาจต่อด้วย 31 ก็ได้ (โจทย์แบ่งวงกลม) สูตรที่เครื่องมือให้คือสูตรที่ง่ายที่สุดที่เข้ากับข้อมูล ในข้อสอบต้องยืนยันด้วยกฎของโจทย์หรือพิสูจน์ด้วยอุปนัย

**แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด a(n) = 5a(n−1) − 6a(n−2) อย่างไร?**
เขียนสมการลักษณะเฉพาะ $t^2 - 5t + 6 = 0$ ได้ราก 2 และ 3 คำตอบทั่วไปคือ $a_n = A\cdot 3^n + B\cdot 2^n$ แล้วหา A, B จากค่าเริ่มต้น เช่น $a_0 = 1,\ a_1 = 4$ ได้ $a_n = 2\cdot3^n - 2^n$ เครื่องมือในหน้านี้ทำครบรวมรากซ้ำ รากเชิงซ้อน พจน์ไม่เอกพันธ์ ฟังก์ชันก่อกำเนิด และพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้ม

**ทำไม Σ 1/k² ไม่มีสูตรผลบวกแบบ Σk²?**
เพราะ $1/k^2$ ไม่ใช่พหุนามและแยกเศษส่วนย่อยแล้วไม่หักล้างกันแบบกล้องส่องทางไกล ผลบวกอนันต์คือ $\pi^2/6$ (ปัญหาบาเซิล) ซึ่งต้องใช้วิธีอื่น เช่น อนุกรมฟูริเยร์ เครื่องมือผลบวกความแม่นยำสูงในหน้านี้ใช้สูตรออยเลอร์–แมคลอรินคำนวณได้ถูก 15 หลักจากเพียง 10 พจน์

**ใช้ตรวจการบ้านได้ไหม และเชื่อถือได้แค่ไหน?**
ได้ ส่วนที่เป็นเศษส่วนและกรณฑ์คำนวณแม่นตรงทุกหลัก และตรวจย้อนกลับโดยแทนค่าทุกครั้ง ส่วนที่เป็นค่าประมาณ (รากที่ไม่เป็นตรรกยะของพหุนามดีกรีสาม ผลบวกอนันต์ที่ไม่มีรูปปิด) จะบอกชัดว่าเป็นค่าประมาณ ทั้งนี้ข้อสอบยังต้องเขียนเหตุผลเอง เครื่องมือมีไว้ตรวจและฝึก