---
title: "ระบบอันดับสอง อัตราส่วนการหน่วง ζ และความถี่ธรรมชาติ ωn"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/second-order-system/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-12
---

> แล็บโต้ตอบระบบอันดับสอง G(s) = ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²) ปรับ ζ และ ωn หรือค่า R, L, C แล้วดูผลตอบสนองเวลา เปลือกเอกซ์โพเนนเชียล ตำแหน่งขั้วที่ลากได้ Bode plot ระนาบเฟส และ %OS พร้อมกันทุกมุม

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/second-order-system/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# ระบบอันดับสอง อัตราส่วนการหน่วง ζ และความถี่ธรรมชาติ ωn

// ทฤษฎีประกอบแล็บ

## ระบบอันดับสองทำงานอย่างไร

สรุปใน 30 วินาที

- $G(s) = \dfrac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$ มีพารามิเตอร์แค่สองตัว

- ζ กำหนดรูปร่าง: %OS, จำนวนครั้งที่แกว่ง, ยอดเรโซแนนซ์ ขึ้นกับ ζ อย่างเดียว

- ωn กำหนดความเร็ว: แค่ยืดหรือหดแกนเวลา

- ขั้วอยู่บนวงกลมรัศมี ωn ที่มุม θ โดย $\cos\theta = \zeta$ การแกว่งลดลงตามเปลือก $e^{-\zeta\omega_n t}$ ซึ่งมีค่าคงตัวเวลา $\tau = 1/(\zeta\omega_n)$

## รูปมาตรฐานและที่มา

ระบบที่มีตัวเก็บพลังงานสองตัวซึ่งแลกพลังงานกันไปมา เช่น ตัวเหนี่ยวนำกับตัวเก็บประจุในวงจร RLC หรือมวลกับสปริง จะได้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง เขียนในรูปมาตรฐานได้ว่า

$$\ddot y + 2\zeta\omega_n\,\dot y + \omega_n^2\,y = K\omega_n^2\,u(t) \quad\xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\quad G(s) = \frac{K\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

| ระบบ | ωn | ζ |

| วงจร RLC อนุกรม (เอาต์พุต $v_C$) | $\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ | $\dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L}}$ |

| มวล–สปริง–ตัวหน่วง | $\sqrt{k/m}$ | $\dfrac{c}{2\sqrt{km}}$ |

## ζ กับ ωn ทำหน้าที่ต่างกัน

แทนเวลาด้วยเวลาปรับมาตรฐาน $t' = \omega_n t$ จะได้ $\dfrac{d}{dt} = \omega_n\dfrac{d}{dt'}$ แทนลงในสมการแล้วหารด้วย $\omega_n^2$

$$\frac{d^2y}{dt'^2} + 2\zeta\,\frac{dy}{dt'} + y = K\,u$$

ωn หายไปจากสมการทั้งหมด เหลือเพียง ζ แปลว่า รูปร่างของกราฟเมื่อพล็อตเทียบกับ $\omega_n t$ ขึ้นกับ ζ อย่างเดียว ส่วน ωn ทำหน้าที่เพียงยืดหรือหดแกนเวลา ในแล็บด้านบน ลองเลือกแกน "เวลาปรับมาตรฐาน ωₙt" แล้วกด "กวาด ωn" กราฟจะนิ่งสนิท จากนั้นกด "กวาด ζ" จะเห็นรูปร่างเปลี่ยนตั้งแต่แกว่งมากจนถึงค่อย ๆ ขึ้นช้า ๆ

## สี่กรณีของ ζ

| ζ | ชื่อ | ขั้ว | ผลตอบสนองขั้นบันได |

| 0 | ไม่หน่วง | $\pm j\omega_n$ บนแกนจินตภาพ | แกว่งตลอดไป พุ่งเกิน 100% |

| 0 < ζ < 1 | หน่วงน้อย | คู่สังยุค $-\zeta\omega_n \pm j\omega_d$ | พุ่งเกินแล้วแกว่งลดลงตามเปลือก |

| 1 | หน่วงวิกฤต | ขั้วซ้ำที่ $-\omega_n$ | เร็วที่สุดโดยไม่พุ่งเกิน |

| > 1 | หน่วงมาก | ขั้วจริงสองตัว | ไม่พุ่งเกิน ช้า ถูกครอบงำด้วยขั้วที่ใกล้แกนจินตภาพ |

## ตำแหน่งขั้วบอกทุกอย่าง

$$s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = -\sigma \pm j\omega_d \qquad |s| = \omega_n,\quad \cos\theta = \zeta$$

- ระยะจากจุดกำเนิด คือ ωn ขั้วที่อยู่บนวงกลมเดียวกันมีความเร็วโดยรวมเท่ากัน

- มุม θ วัดจากแกนจริงลบ กำหนด ζ จึงกำหนด %OS เส้นรัศมีที่มุมเดียวกันให้ %OS เท่ากัน

- ส่วนจริง σ = ζωn กำหนดอัตราการลดลง เปลือก $e^{-\sigma t}$ มีค่าคงตัวเวลา $\tau = 1/\sigma$ และเวลาเข้าที่ $t_s \approx 4\tau$

- ส่วนจินตภาพ ωd กำหนดความถี่การแกว่ง คาบ $T_d = 2\pi/\omega_d$ และเวลาถึงยอด $t_p = \pi/\omega_d$

ในแล็บ ลากขั้วบนระนาบ s ไปตามวงกลม (ωn คงที่) แล้วดูรูปร่างเปลี่ยน หรือลากออกไปตามเส้นรัศมี (ζ คงที่) แล้วดูว่ากราฟเร็วขึ้นโดย %OS เท่าเดิม

## สเปกในโดเมนเวลา

$$\%OS = 100\,e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}} \qquad t_p = \frac{\pi}{\omega_d} \qquad t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}$$

สูตร $t_s$ มาจากเปลือก $e^{-\zeta\omega_n t}$ ลดลงเหลือประมาณ 2% เมื่อผ่านไป 4τ ค่าจริงอาจต่างเล็กน้อย แล็บแสดงทั้งสองค่าให้เทียบ

ตัวอย่างที่ 1

### ระบบมี ζ = 0.5 และ ωn = 4 rad/s จงหา %OS, tₚ และ tₛ

ดูวิธีทำ

$$\omega_d = 4\sqrt{1 - 0.25} = 3.46\ \text{rad/s} \qquad \%OS = 100\,e^{-0.5\pi/0.866} = 16.3\%$$

$$t_p = \frac{\pi}{3.46} = 0.907\ \text{s} \qquad t_s \approx \frac{4}{0.5 \times 4} = 2\ \text{s}$$

%OS = 16.3%, tₚ = 0.907 s, tₛ ≈ 2 s ลองตั้ง ζ = 0.5 และ ωn = 4 ในแล็บแล้วเปิด "แถบเข้าที่ ±2%" เพื่อเทียบค่า tₛ จริงกับสูตร

ตัวอย่างที่ 2 · ออกแบบ

### ต้องการให้พุ่งเกินไม่เกิน 5% ต้องใช้ ζ อย่างน้อยเท่าใด

ดูวิธีทำ

กลับสูตร %OS โดยให้ $L = -\ln(0.05)$

$$\zeta = \frac{-\ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2(\%OS/100)}} = \frac{2.996}{\sqrt{9.870 + 8.974}} = 0.690$$

ζ ≥ 0.69 ซึ่งตรงกับมุมขั้ว θ ≤ 46.4° บนระนาบ s

## ผลตอบสนองเชิงความถี่

$$\lvert G(j\omega)\rvert = \frac{\omega_n^2}{\sqrt{(\omega_n^2-\omega^2)^2 + (2\zeta\omega_n\omega)^2}} \qquad \angle G(j\omega) = -\tan^{-1}\frac{2\zeta\omega_n\omega}{\omega_n^2 - \omega^2}$$

- ที่ $\omega = \omega_n$ เฟสเท่ากับ −90° เสมอ และขนาดเท่ากับ $1/(2\zeta)$

- ถ้า $\zeta < 0.707$ มียอดเรโซแนนซ์ $M_r = \dfrac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}$ ที่ $\omega_r = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}$

- เหนือ ωn ขนาดลดลง 40 dB ต่อทศวรรษ (สองเท่าของระบบอันดับหนึ่ง)

| ζ | มุมขั้ว θ | %OS | ยอดเรโซแนนซ์ Mr |

| 0.3 | 72.5° | 37.2% | 4.85 dB |

| 0.5 | 60° | 16.3% | 1.25 dB |

| 0.707 | 45° | 4.3% | 0 dB (ไม่มียอด) |

| 1 | 0° | 0% | ไม่มียอด |

ตารางนี้คือหัวใจของบท ζ ตัวเดียวผูกมุมขั้ว การพุ่งเกินในโดเมนเวลา และยอดเรโซแนนซ์ในโดเมนความถี่เข้าด้วยกัน

ผลตอบสนองทั้งหมดในบทนี้คือคอนโวลูชันระหว่างอินพุตกับผลตอบสนองอิมพัลส์ของระบบ ปูพื้นเรื่องสัญญาณและคอนโวลูชันได้ใน แล็บสัญญาณเบื้องต้น

## ตัวอย่างวงจร RLC

ตัวอย่างที่ 3 · วงจร

### วงจร RLC อนุกรม R = 20 Ω, L = 100 mH, C = 100 µF ป้อนแรงดันขั้นบันได จงหา ωn, ζ, %OS และ tₛ ของแรงดันตัวเก็บประจุ

ดูวิธีทำ

$$\omega_n = \frac{1}{\sqrt{(0.1)(100\times10^{-6})}} = 316\ \text{rad/s} \qquad \zeta = \frac{20}{2}\sqrt{\frac{100\times10^{-6}}{0.1}} = 0.316$$

$$\%OS = 100\,e^{-0.316\pi/\sqrt{1-0.1}} = 35.1\% \qquad \tau = \frac{1}{\zeta\omega_n} = 10\ \text{ms} \qquad t_s \approx 4\tau = 40\ \text{ms}$$

ωn = 316 rad/s, ζ = 0.316, พุ่งเกิน 35.1% และเข้าที่ประมาณ 40 ms เลือก "วงจร RLC อนุกรม" ในแล็บ ค่าเริ่มต้นคือวงจรนี้พอดี ลองเพิ่ม R จะเห็น ζ เพิ่มขึ้นและการพุ่งเกินลดลง

## ต่อยอด: ออกแบบระบบอันดับสองด้วยรูทโลคัสและโบด

สูตร %OS, ts, tp ในแล็บนี้คือสเปกที่ใช้ออกแบบตัวควบคุมทั้งหมด ดูผลตอบสนองเวลาและขั้วเด่น รูทโลคัส ที่ใช้เลือกเกนให้ได้ ζ ตามต้องการ เฟสมาร์จินกับ ζ และยอดเรโซแนนซ์บนโบด

## คำถามที่พบบ่อย

อัตราส่วนการหน่วง ζ คืออะไร?
เป็นตัวเลขไร้หน่วยที่บอกว่าระบบสูญเสียพลังงานเร็วแค่ไหนเมื่อเทียบกับการแกว่ง ζ เพียงตัวเดียวกำหนดรูปร่างของผลตอบสนอง ได้แก่ ไม่หน่วง (ζ = 0) หน่วงน้อย (0 1) และกำหนดเปอร์เซ็นต์พุ่งเกินโดยตรง

ทำไมนิยมออกแบบให้ ζ ≈ 0.707?
เพราะเป็นค่าที่สมดุลระหว่างความเร็วกับการพุ่งเกิน พุ่งเกินเพียงประมาณ 4.3% ไม่มียอดเรโซแนนซ์ใน Bode plot และขั้วอยู่ที่มุม 45° พอดี

ζ กับ ωn ตัวไหนทำให้ระบบเร็วขึ้น?
ωn ทำหน้าที่ยืดหรือหดแกนเวลาเท่านั้น เพิ่ม ωn เป็นสองเท่า ทุกอย่างเกิดเร็วขึ้นสองเท่าโดยรูปร่างเหมือนเดิม ส่วน ζ เปลี่ยนรูปร่าง เวลาเข้าที่ประมาณ $4/(\zeta\omega_n)$ จึงขึ้นกับผลคูณ $\zeta\omega_n$ ซึ่งคือระยะของขั้วจากแกนจินตภาพ

ωn กับ ωd ต่างกันอย่างไร?
ωn คือความถี่ที่ระบบจะแกว่งถ้าไม่มีการหน่วงเลย ส่วน ωd = $\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ คือความถี่ที่แกว่งจริงเมื่อมีการหน่วง บนระนาบ s ωn คือระยะจากจุดกำเนิดถึงขั้ว และ ωd คือส่วนจินตภาพของขั้ว

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**อัตราส่วนการหน่วง ζ คืออะไร?**
เป็นตัวเลขไร้หน่วยที่บอกว่าระบบสูญเสียพลังงานเร็วแค่ไหนเมื่อเทียบกับการแกว่ง ζ เพียงตัวเดียวกำหนดรูปร่างของผลตอบสนอง ได้แก่ ไม่หน่วง (ζ = 0) หน่วงน้อย (0  1) และกำหนดเปอร์เซ็นต์พุ่งเกินโดยตรง

**ทำไมนิยมออกแบบให้ ζ ≈ 0.707?**
เพราะเป็นค่าที่สมดุลระหว่างความเร็วกับการพุ่งเกิน พุ่งเกินเพียงประมาณ 4.3% ไม่มียอดเรโซแนนซ์ใน Bode plot และขั้วอยู่ที่มุม 45° พอดี

**ζ กับ ωn ตัวไหนทำให้ระบบเร็วขึ้น?**
ωn ทำหน้าที่ยืดหรือหดแกนเวลาเท่านั้น เพิ่ม ωn เป็นสองเท่า ทุกอย่างเกิดเร็วขึ้นสองเท่าโดยรูปร่างเหมือนเดิม ส่วน ζ เปลี่ยนรูปร่าง เวลาเข้าที่ประมาณ $4/(\zeta\omega_n)$ จึงขึ้นกับผลคูณ $\zeta\omega_n$ ซึ่งคือระยะของขั้วจากแกนจินตภาพ

**ωn กับ ωd ต่างกันอย่างไร?**
ωn คือความถี่ที่ระบบจะแกว่งถ้าไม่มีการหน่วงเลย ส่วน ωd = $\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ คือความถี่ที่แกว่งจริงเมื่อมีการหน่วง บนระนาบ s ωn คือระยะจากจุดกำเนิดถึงขั้ว และ ωd คือส่วนจินตภาพของขั้ว