---
title: "หม้อแปลงและสายส่งในระบบไฟฟ้ากำลัง: วงจรสมมูล %Z การควบคุมแรงดัน แบบจำลองสายส่ง และสมการส่งกำลัง P-δ"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/transformers-lines/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-13
---

> ปูพื้นหม้อแปลงและสายส่งสำหรับวิชาระบบไฟฟ้ากำลัง: วงจรสมมูลหม้อแปลง %Z %R %X จากการทดสอบลัดวงจร voltage regulation การสูญเสียทองแดงตามภาระ ประสิทธิภาพ กลุ่มเวกเตอร์ Dyn11 แบบจำลองสายสั้น ปานกลาง (π) ยาว แรงดันตก ΔV ≈ (RP + XQ)/V ปรากฏการณ์เฟอร์รันติ สมการส่งกำลัง P = V₁V₂ sin δ / X กำลังรีแอกทีฟกับแรงดัน และเสถียรภาพสถิต พร้อมเครื่องคำนวณ

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/power-systems/transformers-lines/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# หม้อแปลงและสายส่งในระบบไฟฟ้ากำลัง: วงจรสมมูล %Z การควบคุมแรงดัน แบบจำลองสายส่ง และสมการส่งกำลัง P-δ

// บทที่ 18.4 · ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน · Transformers, Lines & Power Transfer


หม้อแปลงและสายส่งคือ “ท่อ” ของระบบไฟฟ้า ในวิชาระบบไฟฟ้ากำลังเรามองทั้งคู่เป็นอิมพีแดนซ์ที่ส่วนใหญ่เป็นรีแอกแตนซ์ ผลที่ตามมาคือสองเรื่องที่ต้องเข้าใจให้ขาด: แรงดันตกขึ้นกับ Q มากกว่าที่คิด และกำลังจริงไหลตามมุมของแรงดัน

สรุปใน 30 วินาที

- หม้อแปลงในระบบกำลัง ≈ อิมพีแดนซ์ %Z (ส่วนใหญ่เป็น X) อัตราส่วน X/R 3–15

- แรงดันตก $\Delta V \approx (RP + XQ)/V$ — Q ทำให้แรงดันตกมากเพราะ X ใหญ่

- $P = V_sV_r\sin\delta/X$: กำลังไหลตามมุม สูงสุดที่ δ = 90°

- Q ไหลจากแรงดันสูงไปแรงดันต่ำ — ควบคุมแรงดันด้วย Q

## หม้อแปลง: วงจรสมมูลและ %Z พื้นฐาน

วงจรสมมูลเต็มของหม้อแปลงมีความต้านทานขดลวด รีแอกแตนซ์รั่ว และกิ่งขนาน (แกนเหล็ก) สำหรับการคำนวณระบบไฟฟ้าส่วนใหญ่ กิ่งขนานกระแสน้อยมาก (≈ 0.5–2 %) จึงตัดทิ้ง เหลืออิมพีแดนซ์อนุกรมตัวเดียว $R + jX$ ซึ่งดาต้าชีตบอกเป็น %Z (หรือ $u_k$)

L1 Impedance from the short-circuit test %Z %R %X จากการทดสอบลัดวงจร

$$\%Z = \frac{V_{sc}}{V_n}\times 100 \qquad \%R = \frac{P_{cu,n}}{S_n}\times 100 \qquad \%X = \sqrt{\%Z^2 - \%R^2}$$

ตัวอย่าง L-1

### หม้อแปลง 1,000 kVA 22 kV/400 V ทดสอบลัดวงจรด้าน 22 kV ได้ 1,320 V และ 10 kW

- L1: $\%Z = 1320/22000 \times 100 = 6\,\%$ · $\%R = 10/1000 \times 100 = 1\,\%$ · $\%X = \sqrt{36-1} = 5.92\,\%$

- X/R = 5.92 — ใกล้ค่าทั่วไปของหม้อแปลงขนาดนี้ ค่านี้กำหนดค่ายอดของกระแสลัดวงจร (F5)

- ลัดวงจรที่ขั้วแรงต่ำ (ต้นทางแข็งแรงมาก): $I_k \approx I_n/0.06 = 1443/0.06 = 24$ kA

L3 Load losses and efficiency การสูญเสียตามภาระและประสิทธิภาพ

$$P_{cu}(x) = x^2 P_{cu,n} \qquad \eta = \frac{x S_n\cos\varphi}{x S_n\cos\varphi + P_{fe} + x^2 P_{cu,n}} \qquad x = S/S_n$$

ประสิทธิภาพสูงสุดเมื่อ $x^2P_{cu,n} = P_{fe}$ หม้อแปลงจำหน่ายออกแบบให้สูงสุดที่ภาระ 40–60 % เพราะส่วนใหญ่ไม่ได้จ่ายเต็มพิกัดตลอดเวลา

กลุ่มเวกเตอร์ Dyn11 (หม้อแปลงจำหน่ายในไทย): ด้านแรงสูงต่อ Δ ด้านแรงต่ำต่อ Y มีนิวทรัลนำออก แรงดันด้านแรงต่ำนำหน้าด้านแรงสูง 30° (เลข 11 = ตำแหน่ง 11 นาฬิกา) ขด Δ ทำให้กระแสลำดับศูนย์และฮาร์มอนิกที่ 3 วนอยู่ในขด ไม่ไหลขึ้นระบบแรงสูง — สำคัญมากในเรื่อง ลัดลงดิน

## Voltage regulation และแรงดันตกในสาย กลาง

L2 Transformer voltage regulation แรงดันตกในหม้อแปลง (%)

$$\varepsilon \approx x\left(\%R\cos\varphi + \%X\sin\varphi\right) + \frac{\big[x(\%X\cos\varphi - \%R\sin\varphi)\big]^2}{200}$$

L4 Voltage-drop approximation แรงดันตกโดยประมาณ (สามเฟส ใช้ P Q รวม แรงดันสาย)

$$\Delta V \approx \frac{R\,P + X\,Q}{V} \qquad \Delta V\% = \frac{RP + XQ}{V^2}\times 100$$

ตัวอย่าง L-2

### หม้อแปลง 1,000 kVA 6 % X/R 6 จ่าย 700 kW PF 0.8

- $S = 875$ kVA → $x = 0.875$ · $\%R = 0.99,\ \%X = 5.92$ · $\cos\varphi = 0.8,\ \sin\varphi = 0.6$

- L2: $0.875(0.99 \times 0.8 + 5.92 \times 0.6) + [0.875(5.92 \times 0.8 - 0.99 \times 0.6)]^2/200 = 3.80 + 0.07 = 3.86\,\%$

- ถ้า PF = 1 (700 kVA): $0.7 \times 0.99 + (0.7 \times 5.92)^2/200 = 0.78\,\%$ — PF ต่ำทำให้แรงดันตกเพิ่มเกือบ 5 เท่า

ตัวอย่าง L-3

### สายป้อน 22 kV R = 2 Ω X = 4 Ω ต่อเฟส จ่าย 5 MW + 3 Mvar

- L4: $\Delta V = (2 \times 5\text{e}6 + 4 \times 3\text{e}6)/22\text{e}3 = 22\text{e}6/22\text{e}3 = 1{,}000$ V = 4.5 %

- ติดคาปาซิเตอร์ปลายสาย 3 Mvar (Q → 0): $\Delta V = 10\text{e}6/22\text{e}3 = 455$ V = 2.1 % — คาปาซิเตอร์ “ยกแรงดัน” เพราะลดเทอม XQ

## แบบจำลองสายส่ง: สั้น ปานกลาง ยาว กลาง

| แบบจำลอง | ความยาว (50 Hz) | องค์ประกอบ |

| สายสั้น | < 80 km | $Z = R + jX$ อนุกรมอย่างเดียว |

| สายปานกลาง (π) | 80–250 km | Z อนุกรม + Y/2 สองข้าง (ความจุไฟฟ้าลงดิน) |

| สายยาว | > 250 km | พารามิเตอร์กระจาย ใช้ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก $\gamma\ell$ |

L5 Nominal-π line แบบจำลอง π ของสายปานกลาง

$$\mathbf V_s = \left(1 + \frac{\mathbf Z\mathbf Y}{2}\right)\mathbf V_r + \mathbf Z\,\mathbf I_r \qquad \mathbf I_s = \mathbf Y\left(1 + \frac{\mathbf Z\mathbf Y}{4}\right)\mathbf V_r + \left(1 + \frac{\mathbf Z\mathbf Y}{2}\right)\mathbf I_r$$

ปรากฏการณ์เฟอร์รันติ: สายยาวที่ไม่มีโหลด ($I_r = 0$) ให้ $V_r = V_s/(1 + ZY/2)$ และเพราะ $ZY$ เป็นลบเกือบจริง แรงดันปลายทางจึง สูงกว่า ต้นทาง ต้องใช้ shunt reactor ในสาย 500 kV ช่วงโหลดต่ำ

## สมการส่งกำลัง P-δ และกำลังรีแอกทีฟ กลาง

L6 Power-angle equation (lossless line) สมการส่งกำลัง

$$P = \frac{V_s\,V_r}{X}\sin\delta \qquad P_{max} = \frac{V_sV_r}{X}\ \ (\delta = 90^\circ)$$

L7 Reactive power at each end กำลังรีแอกทีฟที่ปลายทั้งสอง

$$Q_s = \frac{V_s^2 - V_sV_r\cos\delta}{X} \qquad Q_r = \frac{V_sV_r\cos\delta - V_r^2}{X}$$

L8 Steady-state stability margin ส่วนเผื่อเสถียรภาพสถิต

$$M = \frac{P_{max} - P}{P_{max}} = 1 - \sin\delta$$

ตัวอย่าง L-4

### V_s = V_r = 1.0 pu, X = 0.5 pu ต้องส่ง P = 1.0 pu

- L6: $P_{max} = 1/0.5 = 2.0$ pu → $\sin\delta = 1/2$ → $\delta = 30^\circ$

- L8: ส่วนเผื่อ 50 % · L7: $Q_s = (1 - \cos 30^\circ)/0.5 = 0.268$ pu และ $Q_r = -0.268$ pu (ปลายทางต้องจ่าย Q ด้วย)

- สายกินรีแอกทีฟ $Q_s - Q_r = 0.536 = I^2X$ — สายยิ่งส่งกำลังมาก ยิ่งกิน Q แรงดันจึงตกเมื่อโหลดสูง

## คำถามที่พบบ่อย

%Z ของหม้อแปลงวัดได้อย่างไร?
จากการทดสอบลัดวงจร: ลัดขั้วด้านหนึ่ง แล้วค่อย ๆ เพิ่มแรงดันอีกด้านจนกระแสเท่ากับพิกัด แรงดันที่ใช้เทียบกับแรงดันพิกัดคือ %Z (u_k) กำลังที่วัดได้ขณะนั้นคือการสูญเสียทองแดง ใช้หา %R และ %X ได้

ทำไมการส่งกำลังจริงขึ้นกับมุม δ แต่กำลังรีแอกทีฟขึ้นกับขนาดแรงดัน?
สายส่งมีรีแอกแตนซ์มากกว่าความต้านทานมาก จากสมการ P = V₁V₂ sin δ / X กำลังจริงไหลจากด้านที่มุมนำไปด้านที่มุมตาม ส่วน Q ≈ V(V₁cos δ − V₂)/X ขึ้นกับผลต่างขนาดแรงดันเป็นหลัก การควบคุมระบบจึงแยกเป็น P-f (governor) และ Q-V (AVR คาปาซิเตอร์ แทปหม้อแปลง)

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**%Z ของหม้อแปลงวัดได้อย่างไร?**
จากการทดสอบลัดวงจร: ลัดขั้วด้านหนึ่ง แล้วค่อย ๆ เพิ่มแรงดันอีกด้านจนกระแสเท่ากับพิกัด แรงดันที่ใช้เทียบกับแรงดันพิกัดคือ %Z (u_k) กำลังที่วัดได้ขณะนั้นคือการสูญเสียทองแดง ใช้หา %R และ %X ได้

**ทำไมการส่งกำลังจริงขึ้นกับมุม δ แต่กำลังรีแอกทีฟขึ้นกับขนาดแรงดัน?**
สายส่งมีรีแอกแตนซ์มากกว่าความต้านทานมาก จากสมการ P = V₁V₂ sin δ / X กำลังจริงไหลจากด้านที่มุมนำไปด้านที่มุมตาม ส่วน Q ≈ V(V₁cos δ − V₂)/X ขึ้นกับผลต่างขนาดแรงดันเป็นหลัก การควบคุมระบบจึงแยกเป็น P-f (governor) และ Q-V (AVR คาปาซิเตอร์ แทปหม้อแปลง)