---
title: "ฟังก์ชันถ่ายโอนของบั๊กทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต: Gvd Gvg Zout Zin GiLd พร้อมที่มาและเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือน"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-transfer-functions/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-15
---

> หาฟังก์ชันถ่ายโอน 12 แบบของบั๊ก Gvd Gvg Zout Zin GiLd ด้วย C(sI−A)^-1 B+E ที่มาทีละขั้น ผลของ ESR และ DCR โหมด DCM และเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือนที่ฉีดไซน์ใส่สวิตชิ่งจริงเทียบกับทฤษฎี

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-transfer-functions/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# ฟังก์ชันถ่ายโอนของบั๊กทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต: Gvd Gvg Zout Zin GiLd พร้อมที่มาและเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือน

// บทที่ 15.5 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Buck Transfer Functions — Gvd, Gvg, Zout, Zin, GiLd


จากเมทริกซ์สเตตสเปซสัญญาณเล็ก เราได้ฟังก์ชันถ่ายโอนครบทุกคู่ — แค่เปลี่ยนว่าจะ "ป้อนอะไร" และ "วัดอะไร" หน้านี้แสดงที่มาของทั้ง 12 รูปแบบด้วยสูตรเดียว พร้อมรูปปิดที่แม่นยำเมื่อมี DCR และ ESR แบบ DCM อันดับหนึ่ง และเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือนที่ฉีดไซน์ใส่วงจรสวิตชิ่งจริงเพื่อพิสูจน์

สรุปใน 30 วินาที

- $G(s) = C\,(sI-A)^{-1}B + E$ — เลือกคอลัมน์ $B$ ตามอินพุต เลือกแถว $C$ ตามเอาต์พุต

- ตัวส่วนเดียวกันทุกแบบ: $\Delta(s) = LCs^2 + \tfrac LR s + 1$ → $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, $Q = R\sqrt{C/L}$

- $G_{vd} = V_g/\Delta$ · $G_{vg} = D/\Delta$ · $Z_{out} = sL/\Delta$ · $Z_{in} = \dfrac{R}{D^2}\cdot\dfrac{\Delta}{1+sRC}$

- ใน DCM ลดเหลือขั้วเดียว $G_{vd} = G_{d0}/(1+s/\omega_p)$

## แผนที่: ทำไมมีฟังก์ชันถ่ายโอนหลายรูปแบบ พื้นฐาน

ฟังก์ชันถ่ายโอนคือ อัตราส่วนของเอาต์พุตหนึ่งต่ออินพุตหนึ่ง ขณะที่อินพุตตัวอื่นถูกตรึงเป็นศูนย์ บั๊กมีสามอินพุตที่เราเปลี่ยนได้ (หรือถูกเปลี่ยนโดยโลกภายนอก) และมีเอาต์พุตที่น่าสนใจหลายตัว:

- $\hat d$ ดิวตี้ — ตัวควบคุมสั่งเอง (control input)

- $\hat v_g$ แรงดันอินพุต — แหล่งจ่ายผันผวน (line disturbance)

- $\hat i_x$ กระแสโหลดที่เปลี่ยน — โหลดดึงมากขึ้น (load disturbance) นิยามเป็นแหล่งกระแสขนานกับ R

เอาต์พุตที่ใช้บ่อย: แรงดันขาออก $\hat v_o$ · กระแสตัวเหนี่ยวนำ $\hat i_L$ (ใช้ออกแบบ current mode) · กระแสตัวเก็บประจุ $\hat i_C$ · กระแสอินพุตเฉลี่ย $\hat i_g$ (ใช้ดูปฏิสัมพันธ์กับตัวกรองอินพุต) เพราะระบบเป็นเชิงเส้น จึงใช้หลักการซ้อนทับ:

$$\hat v_o(s) = G_{vd}(s)\,\hat d(s) + G_{vg}(s)\,\hat v_g(s) - Z_{out}(s)\,\hat i_x(s)$$

| เอาต์พุต \ อินพุต | $\hat d$ (ดิวตี้) | $\hat v_g$ (แรงดันอินพุต) | $\hat i_x$ (กระแสโหลด) |

| $\hat v_o$ | $G_{vd}$ ใช้ออกแบบตัวชดเชย | $G_{vg}$ ความไวต่อแรงดันอินพุต (audio susceptibility) | $-Z_{out}$ ผลของโหลดเปลี่ยน (load step) |

| $\hat i_L$ | $G_{iLd}$ current mode · จำกัดกระแส | $G_{iLg}$ | $G_{iLx}$ |

| $\hat i_C$ | $G_{iCd}$ | $G_{iCg}$ | $G_{iCx}$ |

| $\hat i_g$ | $G_{igd}$ | $Y_{in} = 1/Z_{in}$ ปฏิสัมพันธ์กับตัวกรองอินพุต | $G_{igx}$ |

ทั้ง 12 ช่องนี้คำนวณจากเมทริกซ์ชุดเดียวกันที่ได้ในหน้าแบบจำลองเฉลี่ย ตัวส่วน $\Delta(s)$ เหมือนกันทั้งหมด (ขั้วของระบบมีชุดเดียว) ต่างกันที่ตัวเศษซึ่งกำหนดศูนย์และอัตราขยาย

## วิธีหา: สูตรเดียวใช้กับทุกคู่ กลาง

จากสมการสัญญาณเล็ก $\dot{\hat x} = A\hat x + B\hat u$, $\hat y = C\hat x + E\hat u$ แปลง Laplace (ค่าเริ่มต้นศูนย์) ได้ $s\hat x = A\hat x + B\hat u$ → $\hat x = (sI - A)^{-1}B\hat u$ แทนในสมการเอาต์พุต:

T1 Transfer function from state space ฟังก์ชันถ่ายโอนจากสเตตสเปซ

$$G(s) = \frac{\hat y(s)}{\hat u(s)} = C\,(sI - A)^{-1}B + E$$

สำหรับสเตตสเปซขนาด 2×2 ผกผันหาได้ด้วย adjugate: $(sI-A)^{-1} = \dfrac{\operatorname{adj}(sI - A)}{\Delta(s)}$ โดย

T2 Characteristic polynomial and adjugate (2×2) พหุนามลักษณะเฉพาะและ adjugate

$$\Delta(s) = \det(sI - A) = s^2 - \operatorname{tr}(A)\,s + \det A,\qquad \operatorname{adj}(sI-A) = \begin{bmatrix}s - a_{22} & a_{12}\\ a_{21} & s - a_{11}\end{bmatrix}$$

ขั้นตอนทำมือ 4 ขั้น (ใช้ซ้ำได้กับทุกคู่):

- เลือกคอลัมน์อินพุต: $B_d = \begin{bmatrix}V_g/L\\0\end{bmatrix}$ สำหรับ $\hat d$ · $B_g = \begin{bmatrix}D/L\\0\end{bmatrix}$ สำหรับ $\hat v_g$ · $B_x = \begin{bmatrix}0\\-1/C\end{bmatrix}$ สำหรับ $\hat i_x$ (บั๊กอุดมคติ)

- เลือกแถวเอาต์พุต: $C_{v} = [0\ \ 1]$ สำหรับ $\hat v_o$ · $C_{iL} = [1\ \ 0]$ สำหรับ $\hat i_L$

- คำนวณ $\operatorname{adj}(sI-A)\cdot B$ แล้วเลือกแถวตาม $C$

- หารด้วย $\Delta(s)$ แล้วจัดรูปให้พจน์คงที่ของตัวส่วนเป็น 1

## Gvd: จากดิวตี้ไปแรงดันขาออก (ทำให้ดูทีละขั้น) กลาง

บั๊กอุดมคติ: $A = \begin{bmatrix}0 & -1/L\\ 1/C & -1/(RC)\end{bmatrix}$ จาก T2: $\operatorname{tr}A = -\dfrac1{RC}$, $\det A = \dfrac1{LC}$ ดังนั้น

$$\Delta(s) = s^2 + \frac{s}{RC} + \frac1{LC},\qquad \operatorname{adj}(sI-A) = \begin{bmatrix}s + \frac1{RC} & -\frac1L\\ \frac1C & s\end{bmatrix}$$

คูณกับ $B_d = [V_g/L\ \ 0]^T$:

$$\operatorname{adj}(sI-A)\,B_d = \begin{bmatrix}\left(s + \frac1{RC}\right)\frac{V_g}{L}\\[4pt] \frac1C\cdot\frac{V_g}{L}\end{bmatrix}$$

แถวที่สองคือ $\hat v_C$ ($C_v = [0\ 1]$): $G_{vd} = \dfrac{V_g/(LC)}{\Delta(s)}$ คูณบนล่างด้วย $LC$ ให้พจน์คงที่ของตัวส่วนเป็น 1:

T3 Gvd (ideal buck) ฟังก์ชันถ่ายโอนจากดิวตี้ไปแรงดันขาออก

$$G_{vd}(s) = \frac{\hat v_o}{\hat d} = \frac{V_g}{LC\,s^2 + \dfrac{L}{R}\,s + 1}$$

เทียบกับรูปมาตรฐานอันดับสอง $\dfrac{G_0}{1 + \frac{s}{Q\omega_0} + \frac{s^2}{\omega_0^2}}$:

T4 Resonance of the LC filter เรโซแนนซ์ของตัวกรอง LC

$$G_0 = V_g,\qquad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad Q = R\sqrt{\frac CL},\qquad \zeta = \frac1{2Q}$$

- DC: $G_{vd}(0) = V_g$ — เพิ่มดิวตี้ 0.01 แรงดันเพิ่ม $0.01V_g$ ตรงกับ $V_o = DV_g$

- ที่ $f_0$: ขนาดเป็น $QV_g$ และเฟส $-90^\circ$ (ยอดเรโซแนนซ์) ถ้า $Q$ สูง (โหลดเบา หรือค่าแฝงน้อย) ยอดสูงแหลม

- เหนือ $f_0$: ขนาดลดลง 40 dB/ทศวรรษ เฟสตกเป็น $-180^\circ$ — เฟสที่หายไปนี้เองที่ทำให้ต้องมีตัวชดเชย (หน้าตัวชดเชย)

- เหตุที่ L,C ไม่หายไปจากแรงดัน DC: ที่ DC $sL = 0$ และ $1/sC = \infty$ จึงไม่เกี่ยวกับ $G_{vd}(0)$ แต่กำหนดตำแหน่ง $f_0$ และความแหลม

## Gvg, GiLd, GiLg, Zout, Zin: เปลี่ยนคอลัมน์ B หรือแถว C กลาง

ใช้ $\operatorname{adj}(sI-A)$ และ $\Delta(s)$ ชุดเดิมจากข้างบน เปลี่ยนเฉพาะ $B$ และ $C$ แล้วจัดรูปโดยคูณบนล่างด้วย $LC$:

(1) $G_{vg} = \hat v_o/\hat v_g$ ใช้ $B_g = [D/L\ \ 0]^T$ ซึ่งต่างจาก $B_d$ แค่ $V_g \to D$:

T5 Gvg (audio susceptibility) ฟังก์ชันถ่ายโอนจากแรงดันอินพุตไปแรงดันขาออก

$$G_{vg}(s) = \frac{D}{LC\,s^2 + \dfrac LR\,s + 1} \;=\; \frac{D}{V_g}\,G_{vd}(s)$$

บอกว่าแรงดันริปเปิลหรือสัญญาณรบกวนบนอินพุตผ่านมาที่เอาต์พุตเท่าไร — ที่ DC เท่ากับ $D$ (ลด $V_g$ เป็นครึ่งหนึ่งที่ D = 0.5 → $V_o$ ลด 25 %) และมีเรโซแนนซ์ที่ $f_0$ เดียวกัน

(2) กระแสตัวเหนี่ยวนำ ใช้แถวแรก $C_{iL} = [1\ \ 0]$ ของ $\operatorname{adj}(sI-A)B$ ซึ่งคือ $(s + \frac1{RC})\cdot\frac{V_g}{L}$ หารด้วย $\Delta$:

T6 GiLd and GiLg ฟังก์ชันถ่ายโอนของกระแสตัวเหนี่ยวนำ

$$G_{iLd} = \frac{\hat i_L}{\hat d} = \frac{V_g}{R}\cdot\frac{1 + sRC}{LC\,s^2 + \frac LRs + 1},\qquad G_{iLg} = \frac{\hat i_L}{\hat v_g} = \frac{D}{R}\cdot\frac{1 + sRC}{LC\,s^2 + \frac LRs + 1}$$

ศูนย์ที่ $f = 1/(2\pi RC)$ (159 Hz ในตัวอย่าง) เกิดจากตัวเก็บประจุกับโหลด ที่ความถี่เหนือศูนย์ กระแสตัวเหนี่ยวนำตอบสนอง $\hat d$ แบบ 1 ขั้ว ซึ่งเป็นเหตุผลที่ current mode ลดปัญหาของขั้วคู่ LC

(3) อิมพีแดนซ์ขาออก $Z_{out}$ ใช้อินพุตกระแสโหลด $B_x = [0\ \ -1/C]^T$ (กระแสที่เพิ่มขึ้นดึงประจุออกจาก C) เอาต์พุต $\hat v_C$:

$$\operatorname{adj}(sI-A)\,B_x = \begin{bmatrix}-\frac1L\cdot\left(-\frac1C\right)\\[2pt] s\cdot\left(-\frac1C\right)\end{bmatrix} \;\Rightarrow\; \frac{\hat v_o}{\hat i_x} = \frac{-s/C}{\Delta(s)} = -\frac{sL}{LC\,s^2 + \frac LRs + 1}$$

T7 Output impedance Zout อิมพีแดนซ์ขาออก

$$Z_{out}(s) = -\frac{\hat v_o}{\hat i_x} = \frac{sL}{LC\,s^2 + \dfrac LRs + 1} = sL\,\Big\|\,\frac{1}{sC}\,\Big\|\,R$$

ตรวจด้วยวงจร: ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ และโหลด ขนานกัน (แหล่งอินพุตถูกลดเป็นศูนย์ จึงต่อ SW ลงกราวด์ผ่านไดโอด/สวิตช์) ได้ $\dfrac1Z = \dfrac1{sL} + sC + \dfrac1R$ แล้วจัดรูปก็ได้สูตรเดียวกัน ที่ DC $Z_{out} = 0$ (L ลัดวงจร) ที่ $f_0$ L และ C ตัดกัน เหลือ $Z_{out} = R$ (ยอดสูงสุด) เหนือ $f_0$ เป็น $1/(sC)$ ตามตัวเก็บประจุ ดังนั้นการตอบสนองต่อโหลดกระชากสูงสุดบริเวณ $f_0$

(4) อิมพีแดนซ์ขาเข้า $Z_{in}$ เอาต์พุตคือกระแสอินพุตเฉลี่ย $\hat i_g = D\hat i_L + I_L\hat d$ (X9) เมื่อ $\hat d = 0$ ได้ $\hat i_g = D\hat i_L$ ดังนั้น $Y_{in} = D\,G_{iLg}$

T8 Input impedance Zin (open loop) อิมพีแดนซ์ขาเข้าขณะเปิดวง

$$Y_{in} = \frac{\hat i_g}{\hat v_g} = D\,G_{iLg} = \frac{D^2}{R}\cdot\frac{1+sRC}{LC\,s^2+\frac LRs+1},\qquad Z_{in} = \frac{R}{D^2}\cdot\frac{LC\,s^2+\frac LRs+1}{1+sRC}$$

ที่ DC $Z_{in} = R/D^2$ (ความต้านทานโหลดสะท้อนผ่านหม้อแปลง 1:D) เป็นบวก — สำหรับบั๊กที่ ปิดวงป้อนกลับแรงดัน พฤติกรรมช่วงความถี่ต่ำเปลี่ยนเป็นความต้านทาน ลบ $-V_g^2/P$ ตามหน้าเกณฑ์ตัวกรองอินพุต เพราะวงป้อนกลับรักษากำลังให้คงที่

(5) กระแสตัวเก็บประจุ $\hat i_C$ และกระแสอินพุต $\hat i_g$ จากดิวตี้: $\hat i_C = \hat i_L - \hat v_o/R - \hat i_x$ และ $\hat i_g = D\hat i_L + I_L\hat d$ นำ $G_{iLd}$ และ $G_{vd}$ มาประกอบ (ตารางในแล็บคำนวณให้ครบ): ตัวอย่าง $G_{igd}(0) = D\,\dfrac{V_g}{R} + I_L = 2.4$ A ที่ตัวอย่าง D = 0.5

| ฟังก์ชัน | สูตร (ตัวส่วน $\Delta = LCs^2 + \frac LRs + 1$) | DC (24 V, D = 0.5, R = 10 Ω) | ศูนย์ |

| $G_{vd}$ | $V_g/\Delta$ | 24 V | ไม่มี |

| $G_{vg}$ | $D/\Delta$ | 0.5 | ไม่มี |

| $G_{iLd}$ | $\dfrac{V_g}{R}(1+sRC)/\Delta$ | 2.4 A | 159 Hz |

| $G_{iLg}$ | $\dfrac DR(1+sRC)/\Delta$ | 0.05 S | 159 Hz |

| $Z_{out}$ | $sL/\Delta$ | 0 Ω | 0 (ที่ DC) |

| $Y_{in}$ | $\dfrac{D^2}{R}(1+sRC)/\Delta$ | 0.025 S ($Z_{in} = 40\ \Omega$) | 159 Hz |

## เมื่อมี DCR และ ESR: รูปปิดที่แม่นยำ ขั้นสูง

ใช้วิธีเดียวกัน (T1–T2) กับเมทริกซ์ที่มี $R_l = r_L + DR_{on} + D'R_d$ และ $r_C$ (หน้าแบบจำลองเฉลี่ย X6–X7) ผลที่ได้เป็นรูปปิดที่แม่นยำ (ตรวจกับการคำนวณเมทริกซ์ตัวเลขทั้งหกฟังก์ชันด้านล่างที่ความคลาดเคลื่อนระดับ $10^{-15}$):

T9 Exact denominator with parasitics ตัวส่วนที่แม่นยำเมื่อมีค่าแฝง

$$\Delta(s) = 1 + a_1 s + \frac{s^2}{\omega_0^2}$$

$$\omega_0^2 = \frac{R + R_l}{LC\,(R + r_C)},\qquad a_1 = \frac{L + C\,\big[R_l(R+r_C) + R\,r_C\big]}{R + R_l}$$

$$Q = \frac{1}{\omega_0 a_1}\;\approx\; \frac{R\sqrt{C/L}}{1 + RC\,(R_l + r_C)/L}\qquad (R_l,\ r_C \ll R)$$

T10 Exact transfer functions with parasitics ฟังก์ชันถ่ายโอนรูปปิดเมื่อมีค่าแฝง

$$\beta = V_g + V_F - (R_{on}-R_d)I_L$$

$$G_{vd} = \frac{\beta R}{R + R_l}\cdot\frac{1 + s\,r_CC}{\Delta(s)},\qquad G_{vg} = \frac{DR}{R+R_l}\cdot\frac{1 + s\,r_CC}{\Delta(s)}$$

$$G_{iLd} = \frac{\beta}{R+R_l}\cdot\frac{1 + sC(R+r_C)}{\Delta(s)},\qquad G_{iLg} = \frac{D}{R+R_l}\cdot\frac{1 + sC(R+r_C)}{\Delta(s)}$$

$$Z_{out} = \frac{R\,(R_l + sL)(1 + s\,r_CC)}{(R+R_l)\,\Delta(s)},\qquad Z_{in} = \frac{R+R_l}{D^2}\cdot\frac{\Delta(s)}{1 + sC(R+r_C)}$$

เมื่อ $R_l, r_C \to 0$ กลับเป็นผลของอุดมคติ T3–T8 ผลของแต่ละค่า:

- ESR $r_C$ เติมศูนย์ $f_z = 1/(2\pi r_CC)$ ใน $G_{vd}$, $G_{vg}$, $Z_{out}$ (เป็นศูนย์ในซีกซ้าย ให้เฟสเพิ่ม +90° และอัตราลดลงเหลือ −20 dB/dec เหนือ $f_z$) · ตัวอย่าง $r_C = 50$ mΩ, $C = 100\ \mu$F → $f_z = 31.8$ kHz

- ความต้านทานอนุกรม $R_l$ เพิ่มการหน่วง ($a_1$ เพิ่ม) ลด $Q$ และทำให้ $Z_{out}(0) = R\|R_l$ ไม่เป็นศูนย์ และลดอัตราขยาย DC ของ $G_{vd}$ ลง $\dfrac{R}{R+R_l}$

- $V_F$ และ $R_{on}-R_d$ เปลี่ยนเฉพาะอัตราขยายของ $G_{vd}$ ผ่าน $\beta$ (ใหญ่ขึ้นด้วย $V_F$ เล็กลงด้วย $R_{on}I_L$)

- เป็นสาเหตุที่ในทางปฏิบัติ $Q$ ของบั๊กอยู่ที่ 2–6 แทนที่จะสูงเป็นร้อย

ตัวเลข (D = 0.5144, $R_{on} = 50$ mΩ, $r_L = 0.1\ \Omega$, $V_F = 0.4$ V, ESR 50 mΩ ที่ R = 10 Ω): $R_l = 0.1257\ \Omega$, $\beta = 24.34$ V → DC $G_{vd}(0) = 24.04$ V (27.6 dB) · $f_0 = 922.3$ Hz · $Q = 3.67$ (อุดมคติ 5.77) · ยอด $|G_{vd}| = 89.0$ V = 39.0 dB ที่ประมาณ 906 Hz · $Z_{out}(0) = 0.124\ \Omega$ = $R\|R_l$ · ยอด $Z_{out} = 6.32\ \Omega$ ที่ 922 Hz · $Z_{in}(0) = 38.3\ \Omega$

## ฟังก์ชันถ่ายโอนใน DCM: ลดเหลืออันดับหนึ่ง ขั้นสูง

ใน DCM กระแส $i_L$ กลับเป็นศูนย์ทุกคาบ ค่าเฉลี่ยของมันถูกกำหนดทันทีจาก $d, v_g, v$ ไม่ใช่ตัวแปรสถานะอิสระ เหลือสถานะเดียวคือ $v_C$ จากหน้า DCM กระแสเฉลี่ย (แทน $D_2 = D_1(v_g - v)/v$ และ $i_{pk}$):

$$\langle i_L\rangle = \tfrac12\,i_{pk}\,(D_1 + D_2) = \frac{d^2\,T_s\,v_g\,(v_g - v)}{2L\,v} \equiv f(d, v_g, v)$$

สมการเดียวของระบบ $C\,\dot v = f(d,v_g,v) - v/R$ เป็นไม่เชิงเส้น ใช้การรบกวนเหมือนเดิม: $sC\hat v = \dfrac{\partial f}{\partial d}\hat d + \dfrac{\partial f}{\partial v_g}\hat v_g + \dfrac{\partial f}{\partial v}\hat v - \dfrac{\hat v}{R}$ คำนวณอนุพันธ์ย่อยที่จุดทำงาน (ใช้ $D^2/K = M^2/(1-M)$ จากหน้า DCM):

$$\frac{\partial f}{\partial d} = \frac{2V}{RD},\qquad \frac{\partial f}{\partial v_g} = \frac{M(2-M)}{(1-M)R},\qquad \frac{\partial f}{\partial v} = -\frac{1}{(1-M)R}$$

รวม $\dfrac1R + \dfrac1{(1-M)R} = \dfrac{2-M}{(1-M)R}$ แล้วแก้หา $\hat v$:

T11 DCM transfer functions (first order) ฟังก์ชันถ่ายโอนใน DCM (อันดับหนึ่ง)

$$G_{vd} = \frac{G_{d0}}{1 + s/\omega_p},\qquad G_{d0} = \frac{2V_o}{D}\cdot\frac{1-M}{2-M}$$

$$G_{vg} = \frac{M}{1 + s/\omega_p},\qquad \omega_p = \frac{2-M}{(1-M)\,RC}$$

$$Z_{out} = \frac{R_{eq}}{1 + sR_{eq}C},\qquad R_{eq} = R\,\frac{1-M}{2-M}$$

เทียบกับ CCM ($\Delta$ อันดับสอง): ไม่มีขั้วคู่ LC และไม่มียอดเรโซแนนซ์ ขั้วเดียว $f_p = \omega_p/2\pi$ ต่ำมาก (หลักสิบ Hz) เพราะขึ้นกับ RC ของโหลดเบา อัตราขยาย DC $G_{d0}$ และขั้ว $f_p$ เปลี่ยนตามโหลดและ $M$ ตัวอย่าง R = 100 Ω, D = 0.3873 ($M = 0.5$): $G_{d0} = \dfrac{2(12)}{0.3873}\cdot\dfrac{0.5}{1.5} = 20.66$ V (26.3 dB), $\omega_p = \dfrac{1.5}{0.5\times100\times100\mu} = 300$ rad/s ($f_p = 47.7$ Hz), $R_{eq} = 33.3\ \Omega$ เทียบกับ CCM ที่ R = 10 Ω มี $f_0 = 919$ Hz แบบสองขั้ว — ตัวชดเชยที่ออกแบบให้ CCM จึงต้องปรับสำหรับ DCM (ดูหน้าตัวชดเชย) ข้อจำกัด: แบบจำลองนี้ไม่รวมขั้วความถี่สูงใกล้ $f_s$ ที่เกิดจากกระแส $i_L$ ในแต่ละคาบ จึงใช้ได้ที่ความถี่ต่ำกว่าประมาณ $f_s/3$

## ต่อกับตัวควบคุม: PWM และลูปเกน กลาง

ตัวมอดูเลเตอร์ PWM เปรียบเทียบแรงดันควบคุม $v_c$ กับสัญญาณฟันเลื่อย (สูง $V_M$) ได้ $d = v_c/V_M$ → $\hat d = \hat v_c/V_M$ ดังนั้นฟังก์ชันถ่ายโอนจาก $\hat v_c$ ไปเอาต์พุตคือ $G_{vd}/V_M$ ลูปเกนของแรงดันป้อนกลับ $T(s) = G_c(s)\,\dfrac{G_{vd}(s)}{V_M}\,H$ เมื่อปิดวงแล้วฟังก์ชันอื่นๆ ที่ได้ในหน้านี้เปลี่ยนเป็น:

T12 Loop gain and closed-loop functions ลูปเกนและฟังก์ชันตอนปิดวง

$$T(s) = G_c(s)\,\frac{G_{vd}(s)}{V_M}\,H$$

$$Z_{out,cl} = \frac{Z_{out}}{1 + T},\qquad G_{vg,cl} = \frac{G_{vg}}{1 + T},\qquad \frac{\hat v_o}{\hat v_{ref}} = \frac{1}{H}\cdot\frac{T}{1+T}$$

ตัวอย่างความหมาย: ลูปเกนที่ $f$ = 100 Hz ขนาด 30 dB (≈ 32 เท่า) ลดผลของโหลดกระชากและของริปเปิลบนอินพุตลง 33 เท่า ที่ความถี่นั้น — นี่คือเหตุผลหลักของการป้อนกลับ และเป็นที่มาของโจทย์ออกแบบ $G_c$ ให้ $T$ มีครอสโอเวอร์สูงพอแต่ยังมีเฟสมาร์จิน

## ตัวอย่างวิธีทำ (ตรวจตัวเลขแล้ว)

โจทย์ฐาน: $V_g = 24$ V, $D = 0.5$, $R = 10\ \Omega$, $L = 300\ \mu$H, $C = 100\ \mu$F (อุดมคติ ยกเว้นระบุ)

ตัวอย่าง T-1

### หา Gvd ของบั๊กอุดมคติเป็นตัวเลข

- $LC = 3\times10^{-8}$ s², $L/R = 3\times10^{-5}$ s → $G_{vd} = \dfrac{24}{3\times10^{-8}s^2 + 3\times10^{-5}s + 1}$

- $\omega_0 = 1/\sqrt{3\times10^{-8}} = 5774$ rad/s → $f_0 = 918.9$ Hz · $Q = 10\sqrt{100\mu/300\mu} = 5.77$ → $\zeta = 0.0866$

- DC $= 24$ V = 27.6 dB · ที่ $f_0$: $|G_{vd}| = QV_g = 138.6$ V = 42.8 dB (สูงกว่า DC 15.2 dB = 20log Q) เฟส $-90^\circ$

- ตรวจด้วยเครื่องวัดเสมือนในแล็บ (ฉีดไซน์เข้าวงจรสวิตชิ่งจริง): ที่ 926 Hz วัดได้ 42.73 dB เฟส −95.0° ตรงกับทฤษฎี 42.73 dB, −95.0° · ที่ 20 Hz วัด 27.61 dB (ทฤษฎี 27.61 dB) ✓

ตัวอย่าง T-2

### แรงดันอินพุตกระโดด +2.4 V (10 %): Vo เปลี่ยนเท่าไรถ้าเปิดวง (Gvg)

- $G_{vg} = D/\Delta$ → ค่าสุดท้าย $\Delta V_o = D\Delta V_g = 0.5\times2.4 = 1.2$ V

- ระบบอันดับสอง $\zeta = 0.0866$ → overshoot $= e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} = e^{-0.273} = 0.761$ (76 %)

- ค่ายอด $\Delta V_{o,pk} = 1.2\times1.761 = 2.11$ V ที่เวลา $t_p = \pi/\omega_d = 0.546$ ms · จำลองสวิตชิ่งจริง (เปลี่ยน $V_g$ จาก 24 เป็น 26.4 V ที่ D = 0.5 คงที่) ได้ยอด +2.11 V ที่ 0.55 ms และค่าสุดท้าย +1.20 V ✓ — ใหญ่กว่าค่าสุดท้ายเกือบเท่าตัว → ต้องป้อนกลับหรือเพิ่มการหน่วง (ลด Q)

ตัวอย่าง T-3

### กระแสโหลดเปลี่ยน 1 A: Zout บอกอะไร (ค่าแฝงจริง)

- ใช้ค่าแฝงจริงตามหัวข้อก่อนหน้า ($R_l = 0.1257\ \Omega$, ESR 50 mΩ): $Z_{out}(0) = R\|R_l = 0.124\ \Omega$ → ค่าสุดท้ายหลังเปลี่ยนกระแส 1 A ลดแรงดัน $0.124$ V (ความต้านทานในวงจร)

- แต่ช่วงชั่วคราว $Z_{out}$ สูงสุดที่ $f_0$: $|Z_{out}| = 6.32\ \Omega$ → ปลายทางสั่นด้วยแอมพลิจูดสูง การตอบสนองต่อสเต็ปของ $-Z_{out}$ ให้ยอดตก $\approx 1.51$ V ต่อกระแส 1 A ก่อนจะนิ่งที่ −0.125 V

- สำหรับโหลดกระโดด 1.2 A (เต็มพิกัด): $\Delta V \approx 1.2\times1.51 = 1.8$ V ตกชั่วคราว (15 % ของ 12 V) — เปิดวงรับไม่ได้ ต้องใช้วงป้อนกลับที่ลด $Z_{out}$ ลง $1+T$ เท่า (T12) และตัวเก็บประจุที่ใหญ่ขึ้นหรือ ESR ต่ำ

ตัวอย่าง T-4

### โหลดเบาเข้า DCM: ฟังก์ชันถ่ายโอนเปลี่ยนจากสองขั้วเป็นหนึ่งขั้ว

- R = 100 Ω, L = 300 µH, fs = 50 kHz: $K = 0.3$; ต้องการ 12 V → D = 0.3873 ($M = 0.5$) ตามหน้า DCM

- T11: $G_{d0} = 20.66$ V (26.3 dB), $f_p = 47.7$ Hz, $G_{vg}(0) = M = 0.5$ (เท่า CCM), $R_{eq} = 33.3\ \Omega$

- ตรวจด้วยเครื่องวัดเสมือนบนวงจรสวิตชิ่งใน DCM: ที่ 20 Hz วัด 25.60 dB, ที่ 104 Hz 18.74 dB ขณะที่ทฤษฎี DCM ให้ 25.60 และ 18.73 dB (ขั้วเดียว −20 dB/dec หลัง 48 Hz) · ที่ 926 Hz วัด 0.54 dB — ไม่มียอดเรโซแนนซ์ ในขณะที่แบบจำลอง CCM ที่ R = 100 Ω ทำนายยอด 62.8 dB ที่ความถี่นั้น ซึ่งผิดอย่างมาก

- บทเรียน: ตัวชดเชยของโหลดหนัก (ขั้วคู่ที่ ~1 kHz) ใช้กับโหลดเบา (ขั้วเดียวที่ ~50 Hz) ไม่ได้ครอสโอเวอร์เปลี่ยนมาก

## แล็บ: สำรวจฟังก์ชันถ่ายโอนทั้ง 12 แบบ และวัดด้วยสวิตชิ่งจริง กลาง

เลือก อินพุต (สิ่งที่เปลี่ยน) และ เอาต์พุต (สิ่งที่วัด) แล้วเครื่องมือแสดงตัวเศษ ตัวส่วน DC ขั้ว ศูนย์ โบเด และการตอบสนองต่อสเต็ป ตารางล่างสุดสรุปทั้ง 12 ฟังก์ชันที่จุดทำงานนั้น ปุ่ม "วัดด้วยสวิตชิ่งจริง" ฉีดไซน์เล็กที่ความถี่ต่างๆ เข้าวงจรสวิตชิ่ง (ไม่ใช้สูตรใดๆ) แล้ววัดเอาต์พุตด้วยสหสัมพันธ์ จุดสีส้มควรตกบนเส้นทฤษฎี

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

### ใบงานทดลอง

ใบงาน T1 — พิสูจน์ Gvd: โหลดอุดมคติ เลือก d̂ → v̂o กด "วัดด้วยสวิตชิ่งจริง" จดความต่าง (dB, องศา) ที่ 5 ความถี่ แล้วหาความถี่ที่เริ่มต่างเกิน 0.1 dB (ควรเป็นราว fs/20) ทำไมจึงเริ่มต่าง

ใบงาน T2 — Gvg: เลือก v̂g → v̂o ตรวจว่า DC = D = 0.5 แล้วเปลี่ยน D เป็น 0.3 DC ต้องเป็น 0.3 · ยอดเรโซแนนซ์เหมือน Gvd หรือไม่

ใบงาน T3 — Zout: เลือก îx → v̂o ตรวจยอดที่ f0 = R = 10 Ω แล้วเปิดค่าแฝงจริงดูว่ายอดลดเหลือ 6.3 Ω

ใบงาน T4 — ESR zero: เลือก "มี ESR เท่านั้น" ใน Gvd ดูว่าเฟสที่ความถี่สูงดีขึ้นเพียงใด (เฟสไม่ถึง −180° เพราะศูนย์ที่ 31.8 kHz) ปรับ ESR จาก 0 → 50 → 200 mΩ แล้วดูว่าศูนย์เลื่อนไปที่ใด

ใบงาน T5 — DCM: โหลดตัวอย่างโหลดเบา (R = 100 Ω, D = 0.5) ดูโบเดทฤษฎี DCM (ขั้วเดียว เส้นฟ้า) เทียบกับเส้น CCM (ประเทา) และจุดวัดจากสวิตชิ่งจริง จุดตกบนเส้นไหน

ใบงาน T6 — เอาต์พุตอื่น: เลือก d̂ → îL (ศูนย์ที่ 159 Hz) แล้ว d̂ → îg ตรวจ DC ของ Gigd ว่าเป็น 2.4 A และลองขนาดสัญญาณรบกวน 16× (ใหญ่) ดูว่าจุดวัดเริ่มเบี่ยงเมื่อใด (ความไม่เชิงเส้น)

## สรุปและก้าวต่อไป

- ฟังก์ชันถ่ายโอนมีหลายแบบเพราะเลือก (อินพุต, เอาต์พุต) ต่างกัน — สูตรเดียว $C(sI-A)^{-1}B + E$ ครอบคลุมทุกแบบ ตัวส่วนร่วม $\Delta(s)$ = ขั้วของระบบ

- $G_{vd}$ ใช้ออกแบบตัวชดเชย · $G_{vg}$ ใช้ดูการรบกวนจากอินพุต · $Z_{out}$ ใช้ดูโหลดกระชาก · $Z_{in}$ ใช้ดูการอยู่ร่วมกับตัวกรองอินพุต · $G_{iLd}$ ใช้ออกแบบ current mode

- CCM มีขั้วคู่ LC (ยอดแหลม ขึ้นกับ Q) · DCM มีขั้วเดียว · ค่าแฝงลด Q และ ESR เติมศูนย์

ต่อไป: ออกแบบบั๊กครบวงจรและทดสอบโหลดหลายสภาวะ · ออกแบบตัวชดเชย Type II/III จาก $G_{vd}$ ที่ได้ · ภาพรวมแบบจำลองสัญญาณเล็กของบูสต์และบั๊ก-บูสต์ · Bode plot

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมบั๊กคอนเวอร์เตอร์ถึงมีฟังก์ชันถ่ายโอนหลายแบบ?
เพราะระบบมีหลายอินพุต (ดิวตี้ แรงดันอินพุต กระแสโหลด) และหลายเอาต์พุต (แรงดันขาออก กระแสตัวเหนี่ยวนำ กระแสอินพุต) ฟังก์ชันถ่ายโอนแต่ละแบบคืออัตราส่วนของเอาต์พุตหนึ่งต่ออินพุตหนึ่งขณะที่อินพุตอื่นเป็นศูนย์ ทุกแบบมีตัวส่วนเดียวกัน (ขั้วเดียวกัน) ต่างกันที่ตัวเศษ

Gvd ของบั๊กคืออะไรและใช้ทำอะไร?
Gvd = v̂o/d̂ คือฟังก์ชันถ่ายโอนจากดิวตี้ไปแรงดันขาออก ในบั๊กอุดมคติเท่ากับ Vin/(LC·s² + (L/R)·s + 1) มีขั้วคู่ที่ f0 = 1/(2π√LC) ใช้ออกแบบตัวชดเชยของวงป้อนกลับแบบ voltage mode

Zout ของบั๊กบอกอะไร?
Zout คืออิมพีแดนซ์ที่โหลดมองเข้าไปในวงจร ใช้ประเมินว่าแรงดันขาออกตกเท่าไรเมื่อกระแสโหลดเปลี่ยน ΔVo ≈ ΔIo·|Zout| ในบั๊กเปิดวงเท่ากับ sL ∥ 1/(sC) ∥ R เมื่อปิดวงป้อนกลับจะเล็กลงเป็น Zout/(1+T)

ใน DCM ฟังก์ชันถ่ายโอนต่างจาก CCM อย่างไร?
ใน DCM กระแสตัวเหนี่ยวนำไม่ใช่ตัวแปรสถานะอิสระ ระบบลดเหลืออันดับหนึ่ง Gvd = Gd0/(1 + s/ωp) โดย Gd0 = (2Vo/D)(1−M)/(2−M) และ ωp = (2−M)/((1−M)RC) ไม่มีขั้วคู่ LC และไม่มียอดเรโซแนนซ์ ตัวชดเชยที่ออกแบบสำหรับ CCM จึงผิดทันทีที่เข้า DCM

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ทำไมบั๊กคอนเวอร์เตอร์ถึงมีฟังก์ชันถ่ายโอนหลายแบบ?**
เพราะระบบมีหลายอินพุต (ดิวตี้ แรงดันอินพุต กระแสโหลด) และหลายเอาต์พุต (แรงดันขาออก กระแสตัวเหนี่ยวนำ กระแสอินพุต) ฟังก์ชันถ่ายโอนแต่ละแบบคืออัตราส่วนของเอาต์พุตหนึ่งต่ออินพุตหนึ่งขณะที่อินพุตอื่นเป็นศูนย์ ทุกแบบมีตัวส่วนเดียวกัน (ขั้วเดียวกัน) ต่างกันที่ตัวเศษ

**Gvd ของบั๊กคืออะไรและใช้ทำอะไร?**
Gvd = v̂o/d̂ คือฟังก์ชันถ่ายโอนจากดิวตี้ไปแรงดันขาออก ในบั๊กอุดมคติเท่ากับ Vin/(LC·s² + (L/R)·s + 1) มีขั้วคู่ที่ f0 = 1/(2π√LC) ใช้ออกแบบตัวชดเชยของวงป้อนกลับแบบ voltage mode

**Zout ของบั๊กบอกอะไร?**
Zout คืออิมพีแดนซ์ที่โหลดมองเข้าไปในวงจร ใช้ประเมินว่าแรงดันขาออกตกเท่าไรเมื่อกระแสโหลดเปลี่ยน ΔVo ≈ ΔIo·|Zout| ในบั๊กเปิดวงเท่ากับ sL ∥ 1/(sC) ∥ R เมื่อปิดวงป้อนกลับจะเล็กลงเป็น Zout/(1+T)

**ใน DCM ฟังก์ชันถ่ายโอนต่างจาก CCM อย่างไร?**
ใน DCM กระแสตัวเหนี่ยวนำไม่ใช่ตัวแปรสถานะอิสระ ระบบลดเหลืออันดับหนึ่ง Gvd = Gd0/(1 + s/ωp) โดย Gd0 = (2Vo/D)(1−M)/(2−M) และ ωp = (2−M)/((1−M)RC) ไม่มีขั้วคู่ LC และไม่มียอดเรโซแนนซ์ ตัวชดเชยที่ออกแบบสำหรับ CCM จึงผิดทันทีที่เข้า DCM