---
title: "แบบจำลองบั๊กด้วยการเฉลี่ยสถานะ (State-Space Averaging): จากสวิตช์ ON/OFF สู่สเตตสเปซสัญญาณเล็กทีละขั้น"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-averaged-model/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-15
---

> สร้างแบบจำลองบั๊กด้วยการเฉลี่ยกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุ (state-space averaging) จากสมการ ON/OFF รบกวนสัญญาณเล็กได้เมทริกซ์ A Bd Bg C พร้อมแล็บสร้างสเตตสเปซและเทียบกับสวิตชิ่งจริง

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/power-electronics/buck-averaged-model/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# แบบจำลองบั๊กด้วยการเฉลี่ยสถานะ (State-Space Averaging): จากสวิตช์ ON/OFF สู่สเตตสเปซสัญญาณเล็กทีละขั้น

// บทที่ 15.4 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Buck Averaged Model — State-Space Averaging & Small-Signal


เมื่อต้องการรู้ว่าแรงดันขาออกตอบสนองอย่างไรต่อการเปลี่ยนดิวตี้ แรงดันอินพุต หรือโหลด เราต้องการสมการที่ต่อเนื่องตามเวลา ไม่ใช่สองวงจรที่สลับกัน หน้านี้เฉลี่ยกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุตลอดคาบ แล้วรบกวนด้วยสัญญาณเล็กจนได้เมทริกซ์สเตตสเปซ พร้อมแล็บสร้างเองและแล็บทดสอบกับสวิตชิ่งจริง

สรุปใน 30 วินาที

- ช่วง ON $\dot x = A_1x + B_1v_g$ · ช่วง OFF $\dot x = A_2x + B_2v_g$ เมื่อ $x = [i_L\ \ v_C]^T$

- เฉลี่ย: $\dot x = [dA_1 + d'A_2]x + [dB_1 + d'B_2]v_g$ — ตัวแปรสถานะคือ ค่าเฉลี่ยรายคาบ

- จุดทำงาน $X = -A^{-1}BV_g$ (ได้ $V_o = DV_g$) · รบกวน $d = D+\hat d$ ตัดพจน์อันดับสอง

- ได้ $\dot{\hat x} = A\hat x + B_g\hat v_g + B_d\hat d$ โดย $B_d = (A_1-A_2)X + (B_1-B_2)V_g$

## ทำไมต้องเฉลี่ย และเฉลี่ยอะไร พื้นฐาน

ในหน้า CCM เราหา สถานะคงตัว (DC) ซึ่งตอบคำถามว่า "ตั้ง D เท่าไรจึงได้ Vo" แต่การออกแบบวงป้อนกลับต้องรู้ ไดนามิก: ถ้าเพิ่ม D เล็กน้อย แรงดันขาออกจะตอบสนองอย่างไร (ตกลงก่อน? แกว่ง? ช้าแค่ไหน?) ปัญหาคือ iL และ vC ที่สวิตช์จริงขยับเป็นสามเหลี่ยมทุกคาบ ซึ่งไม่ใช่สิ่งที่เราสนใจ เราสนใจแค่ แนวโน้มช้า ของมัน นั่นคือ ค่าเฉลี่ยรายคาบ

กระแสเฉลี่ยรายคาบนิยามเป็น $\langle i_L\rangle_{T_s}(t) = \dfrac{1}{T_s}\displaystyle\int_{t-T_s}^{t} i_L(\tau)\,d\tau$ สมบัติสำคัญคือการหาอนุพันธ์และการเฉลี่ยสลับที่กันได้: $\dfrac{d}{dt}\langle i_L\rangle = \langle \dfrac{di_L}{dt}\rangle$ ดังนั้นถ้าเรารู้สมการของ $di_L/dt$ ในแต่ละช่วงสวิตช์ เราเฉลี่ยสมการเหล่านั้นได้ตรงๆ — นี่คือแนวคิดของ state-space averaging (Middlebrook และ Ćuk, 1976) ต่อไปนี้ $x$ แทนค่าเฉลี่ยรายคาบ (ไม่เขียนเครื่องหมาย $\langle\ \rangle$ ให้รก)

ข้อสมมติสำคัญ: ความถี่ของสัญญาณที่สนใจและขั้วของระบบต้องต่ำกว่าความถี่สวิตช์มาก (ดูหัวข้อขอบเขตการใช้งาน) และวงจรอยู่ใน CCM ตลอด (ถ้า DCM ใช้แบบจำลองอันดับต่ำกว่า ดูหน้าฟังก์ชันถ่ายโอน)

## ขั้นที่ 1–2: เขียนสมการสถานะของแต่ละช่วงสวิตช์ พื้นฐาน

เลือกตัวแปรสถานะคือตัวที่เก็บพลังงาน: กระแสตัวเหนี่ยวนำ $i_L$ และแรงดันตัวเก็บประจุ $v_C$ เก็บเป็นเวกเตอร์ $x = [\,i_L\ \ v_C\,]^T$ อินพุตคือ $v_g$ (และดิวตี้ $d$ ซึ่งเป็นตัวเลือกวงจร) เอาต์พุตคือ $v_o$ เริ่มจากกรณีอุดมคติ (ไม่มีค่าแฝง ไม่มี ESR) $v_o = v_C$

### ช่วง ON (Q นำ)

จาก KVL ที่ L และ KCL ที่ C (วงจรดูรูปหน้า CCM): $L\dfrac{di_L}{dt} = v_g - v_C$ และ $C\dfrac{dv_C}{dt} = i_L - \dfrac{v_C}{R}$ จัดเป็นเมทริกซ์:

$$\underbrace{\begin{bmatrix}\dot i_L\\ \dot v_C\end{bmatrix}}_{\dot x} = \underbrace{\begin{bmatrix}0 & -\dfrac1L\\[4pt] \dfrac1C & -\dfrac1{RC}\end{bmatrix}}_{A_1}\begin{bmatrix}i_L\\ v_C\end{bmatrix} + \underbrace{\begin{bmatrix}\dfrac1L\\[4pt] 0\end{bmatrix}}_{B_1}v_g,\qquad v_o = \underbrace{\begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}}_{C_1}x$$

### ช่วง OFF (ไดโอดนำ)

แรงดันอินพุตหลุดออกจากวงจร: $L\,di_L/dt = -v_C$ ส่วนสมการตัวเก็บประจุเหมือนเดิม จึงได้

X1 Switched state equations (ideal buck) สมการสถานะแต่ละช่วงของบั๊กอุดมคติ

$$A_1 = A_2 = \begin{bmatrix}0 & -\frac1L\\ \frac1C & -\frac1{RC}\end{bmatrix},\qquad B_1 = \begin{bmatrix}\frac1L\\ 0\end{bmatrix},\quad B_2 = \begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix},\qquad C_1 = C_2 = \begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}$$

สังเกต: ในบั๊กอุดมคติ $A_1 = A_2$ ต่างกันเฉพาะ $B$ (แรงดันอินพุตเข้าเฉพาะช่วง ON) เมื่อมีความต้านทานแฝง $A_1 \ne A_2$ ดูหัวข้อผลของค่าแฝง

## ขั้นที่ 3: เฉลี่ยตามเวลา พื้นฐาน

ภายในหนึ่งคาบ ระบบอยู่ใน ON เป็นสัดส่วน $d$ ของเวลา และ OFF เป็น $d' = 1-d$ เฉลี่ยสมการสองช่วงถ่วงน้ำหนักด้วยสัดส่วนเวลาที่อยู่ในแต่ละช่วง

X2 Averaged state equation สมการสถานะเฉลี่ย

$$\dot x = \big[dA_1 + d'A_2\big]\,x + \big[dB_1 + d'B_2\big]\,v_g,\qquad v_o = \big[dC_1 + d'C_2\big]\,x$$

แทนค่าของบั๊กอุดมคติ: $A = dA_1 + d'A_2 = A_1$ และ $B = dB_1 + d'B_2 = d\,B_1$ ได้

$$\frac{d\langle i_L\rangle}{dt} = \frac{d\,v_g - v_C}{L},\qquad \frac{dv_C}{dt} = \frac{i_L}{C} - \frac{v_C}{RC}$$

ความหมายทางกายภาพ: แรงดันเฉลี่ยที่ L เห็นคือ $d(v_g - v_C) + (1-d)(-v_C) = d\,v_g - v_C$ นั่นคือ สวิตช์กับไดโอดรวมกันทำหน้าที่เป็นแหล่งแรงดัน $d\cdot v_g$ ที่ป้อนตัวกรอง LC ตรงกับมุมมอง $\langle v_{sw}\rangle = DV_g$ ในหน้าก่อน

จุดที่ควรสังเกต: ระบบเฉลี่ยยังเป็น ไม่เชิงเส้น เพราะ $d$ คูณกับ $v_g$ (ผลคูณสองตัวแปร) ถ้าให้ $d$ เป็นค่าคงที่ ระบบเป็นเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา (LTI) แต่เรายังต้องการดูผลเมื่อ $d$ เปลี่ยน ขั้นต่อไปจึงรบกวนแล้วเชิงเส้นรอบจุดทำงาน

## ขั้นที่ 4: จุดทำงาน DC พื้นฐาน

ที่สถานะคงตัว $\dot x = 0$, $d = D$, $v_g = V_g$ ได้ $0 = AX + BV_g$ ดังนั้น

X3 DC operating point จุดทำงาน DC

$$X = -A^{-1}B\,V_g,\qquad Y = C X$$

ผกผันของเมทริกซ์ $A$ ขนาด 2×2 คือ $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\begin{bmatrix}a_{22} & -a_{12}\\ -a_{21} & a_{11}\end{bmatrix}$ ในที่นี้ $\det A = 0\cdot(-\tfrac1{RC}) - (-\tfrac1L)(\tfrac1C) = \tfrac1{LC}$ ดังนั้น

$$A^{-1} = LC\begin{bmatrix}-\frac1{RC} & \frac1L\\ -\frac1C & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\frac LR & C\\ -L & 0\end{bmatrix},\qquad X = -A^{-1}\begin{bmatrix}\frac{D}{L}V_g\\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\dfrac{DV_g}{R}\\[4pt] DV_g\end{bmatrix}$$

ได้ $I_L = DV_g/R$ และ $V_o = V_C = DV_g$ ตรงกับผลของ volt-second balance ทุกประการ — เป็นการตรวจสอบว่าแบบจำลองเฉลี่ยให้ DC ถูกต้อง

## ขั้นที่ 5: รบกวนด้วยสัญญาณเล็ก (perturbation) และเชิงเส้น กลาง

ให้ทุกตัวแปรเท่ากับค่าที่จุดทำงาน (ตัวพิมพ์ใหญ่) บวกการรบกวนเล็กๆ (มีหมวก):

$$d = D + \hat d,\qquad v_g = V_g + \hat v_g,\qquad x = X + \hat x \quad (|\hat d| \ll D,\ |\hat v_g| \ll V_g,\ |\hat x| \ll |X|)$$

แทนลงในสมการเฉลี่ย (กรณีทั่วไปที่ $A_1 \ne A_2$ เขียน $A(d) = A + (A_1 - A_2)\hat d$ และ $B(d)v_g = [B + (B_1 - B_2)\hat d](V_g + \hat v_g)$):

$$\dot X + \dot{\hat x} = \big[A + (A_1-A_2)\hat d\big](X + \hat x) + \big[B + (B_1-B_2)\hat d\big](V_g + \hat v_g)$$

กระจายแล้วจัดกลุ่มตามอันดับของการรบกวน:

X4 Perturbation expansion การกระจายพจน์จากการรบกวน

$$\begin{aligned} \dot X + \dot{\hat x} &= \underbrace{AX + BV_g}_{\text{DC: } =\,0} \\ &\quad + \underbrace{A\hat x + B\hat v_g + \big[(A_1-A_2)X + (B_1-B_2)V_g\big]\hat d}_{\text{อันดับหนึ่ง (เชิงเส้น)}} \\ &\quad + \underbrace{(A_1-A_2)\hat x\hat d + (B_1-B_2)\hat v_g\hat d}_{\text{อันดับสอง (ตัดทิ้ง)}} \end{aligned}$$

- พจน์ DC หักล้างกับ $\dot X = 0$ อยู่แล้ว (จุดทำงานในขั้นที่ 4)

- พจน์อันดับสองคือผลคูณของการรบกวนสองตัว เล็กกว่าพจน์เชิงเส้นมากเมื่อรบกวนเล็ก จึงตัดทิ้ง

- ที่เหลือเป็นสมการเชิงเส้นในตัวแปรรบกวน

สำหรับบั๊กอุดมคติ $A_1 - A_2 = 0$ และ $B_1 - B_2 = B_1$ จึงเหลือผลคูณอันดับสองตัวเดียวคือ $B_1\hat v_g\hat d$ ได้ผลสุดท้าย:

X5 Small-signal state-space model แบบจำลองสเตตสเปซสัญญาณเล็ก

$$\dot{\hat x} = A\hat x + B_g\hat v_g + B_d\hat d,\qquad \hat v_o = C\hat x$$

$$A = DA_1 + D'A_2,\qquad B_g = DB_1 + D'B_2$$

$$B_d = (A_1 - A_2)X + (B_1 - B_2)V_g,\qquad C = DC_1 + D'C_2$$

สำหรับบั๊กอุดมคติ: $B_g = D\begin{bmatrix}1/L\\0\end{bmatrix}$ และ $B_d = V_g\begin{bmatrix}1/L\\0\end{bmatrix}$ แปลความหมายได้ทันที: ทั้ง $\hat v_g$ และ $\hat d$ ป้อนเข้ากระแสตัวเหนี่ยวนำผ่านแรงดัน $D\hat v_g + V_g\hat d$ (ความแตกต่างจากการรบกวนของ $d\cdot v_g$) — ตรงกับเทอมอันดับหนึ่งของ $\langle v_{sw}\rangle = d v_g$ ดูหัวข้อวงจรเฉลี่ย

ตัวอย่างขนาดของพจน์ที่ตัดทิ้ง: $D = 0.5$, $V_g = 24$ V ถ้ารบกวน $\hat d = 0.025$ (5 % ของ D) และ $\hat v_g = 1.2$ V (5 % ของ $V_g$) พจน์เชิงเส้นคือ $D\hat v_g = 0.6$ V กับ $V_g\hat d = 0.6$ V ส่วนพจน์ผลคูณ $\hat d\hat v_g = 0.03$ V คิดเป็น 2.5 % ของผลรวมเชิงเส้น 1.2 V — ถ้ารบกวนใหญ่ขึ้นเป็น 40 % ของจุดทำงาน พจน์ผลคูณจะโตเป็น 20 % แล็บเทียบเชิงเส้นกับสวิตชิ่งแสดงให้เห็น

## ผลของความต้านทานแฝงต่อเมทริกซ์ กลาง

ใส่ $R_{on}$ (สวิตช์) $R_d, V_F$ (ไดโอด) $r_L$ (DCR ของ L) และ ESR $r_C$ แรงดันขาออกที่วัดคือ $v_o = v_C + r_Ci_C$ ซึ่งเมื่อจัดรูป (ให้ $i_C = i_L - v_o/R$) ได้ $v_o = a\,v_C + b\,i_L$ โดย

$$a = \frac{R}{R+r_C},\qquad b = \frac{R\,r_C}{R+r_C}$$

X6 State matrices with parasitics เมทริกซ์สถานะเมื่อมีความต้านทานแฝง

$$A_1 = \begin{bmatrix}-\dfrac{r_L + R_{on} + b}{L} & -\dfrac aL\\[6pt] \dfrac aC & -\dfrac{1}{C(R+r_C)}\end{bmatrix}$$

$$A_2 = \begin{bmatrix}-\dfrac{r_L + R_d + b}{L} & -\dfrac aL\\[6pt] \dfrac aC & -\dfrac{1}{C(R+r_C)}\end{bmatrix}$$

$$B_1 = \begin{bmatrix}\frac1L\\0\end{bmatrix},\quad e_1 = 0,\qquad B_2 = 0,\quad e_2 = \begin{bmatrix}-\frac{V_F}{L}\\0\end{bmatrix},\qquad C_1 = C_2 = \begin{bmatrix}b & a\end{bmatrix}$$

$e_1, e_2$ คือแหล่งคงที่ (แรงดัน $V_F$ ของไดโอดปรากฏเป็นอินพุตคงที่ในช่วง OFF) ในการเฉลี่ยจะเพิ่มพจน์ $e = De_1 + D'e_2 = -D'V_F/L$ ในสมการเฉลี่ย และใน $B_d$ เพิ่ม $(e_1 - e_2) = V_F/L$ ได้

X7 Bd with parasitics เวกเตอร์ควบคุมดิวตี้เมื่อมีค่าแฝง

$$B_d = \begin{bmatrix}\dfrac{V_g + V_F - (R_{on} - R_d)\,I_L}{L}\\[8pt] 0\end{bmatrix},\qquad B_g = \begin{bmatrix}D/L\\ 0\end{bmatrix}$$

| ค่าแฝง | ส่วนที่เมทริกซ์เปลี่ยน | ผลทางไดนามิก |

| $r_L,\ R_{on},\ R_d$ | $A_{11}$ เพิ่มเป็น $-(r_L + DR_{on} + D'R_d)/L$ | เพิ่มการหน่วง (Q ลดลง) · DC ของ $V_o$ ตกลง |

| ESR $r_C$ | $C = [b\ a]$ (ได้ผลเป็นศูนย์ของฟังก์ชันถ่ายโอน) | ศูนย์ที่ $f_z = 1/(2\pi r_CC)$ ทำให้เฟสดีขึ้นที่ความถี่สูง |

| $V_F$ | เพิ่มพจน์คงที่ $e$ · $B_d$ เพิ่ม $V_F/L$ | เลื่อนจุดทำงาน (ต้องชดเชยที่ D) · อัตราขยาย $\hat d$ เพิ่มเล็กน้อย |

| $R_{on} \ne R_d$ | $A_1 \ne A_2$ → ใน $B_d$ มี $-(R_{on}-R_d)I_L$ | อัตราขยาย $\hat d$ ลดลงตามกระแสโหลด |

เมื่อรู้ $A_1, A_2, B_1, B_2, e$ แล้ว การเฉลี่ยและรบกวนทำเหมือนกรณีอุดมคติทุกขั้นตอน เครื่องมือในแล็บด้านล่างคำนวณทุกเมทริกซ์ให้เป็นตัวเลข

## อีกมุมมอง: เฉลี่ยกระแสและแรงดันของสวิตช์ (averaged switch model) กลาง

แทนที่จะเฉลี่ยสมการสถานะ เราเฉลี่ยปริมาณที่ ขา ของสวิตช์ได้เช่นกัน: ในแต่ละคาบสวิตช์ Q ส่งกระแส $i_L$ นาน $d$ ของคาบ และโหนด SW อยู่ที่ $v_g$ นาน $d$ ของคาบ ดังนั้น

X8 Averaged switch terminal relations ความสัมพันธ์เฉลี่ยที่ขาของสวิตช์

$$\langle i_g\rangle = d\,\langle i_L\rangle,\qquad \langle v_{sw}\rangle = d\,\langle v_g\rangle$$

กระแสอินพุตเฉลี่ยคือ $d$ คูณกระแสตัวเหนี่ยวนำ และแรงดันโหนด SW เฉลี่ยคือ $d$ คูณแรงดันอินพุต (วิธี "เฉลี่ยกระแส" ที่หลายตำราเรียกว่า circuit averaging หรือ PWM switch) รบกวน $d = D + \hat d$ เป็นต้น แล้วเก็บเฉพาะอันดับหนึ่ง:

X9 Linearized terminal relations (canonical model) ความสัมพันธ์สัญญาณเล็กที่ขา (แบบจำลองมาตรฐาน)

$$\hat v_{sw} = D\,\hat v_g + V_g\,\hat d,\qquad \hat i_g = D\,\hat i_L + I_L\,\hat d$$

อ่านจากวงจร: ด้านอินพุตเป็นหม้อแปลงอุดมคติอัตรา $1:D$ กับแหล่งกระแส $I_L\hat d$ ขนานที่ขดปฐมภูมิ ด้านเอาต์พุตมีแหล่งแรงดัน $V_g\hat d$ อนุกรมกับขดทุติยภูมิ แล้วต่อ L, C ∥ R ตามปกติ KVL ที่ตัวเหนี่ยวนำให้ $L\,\dot{\hat i}_L = D\hat v_g + V_g\hat d - \hat v_o$ ซึ่งตรงกับแถวแรกของสมการ X5 ทุกตัว แต่วิธีนี้ให้ผลเพิ่มคือ กระแสอินพุต $\hat i_g$ ด้วย (ใช้หา $Z_{in}$ ในหน้าฟังก์ชันถ่ายโอน) และสามารถวิเคราะห์วงจรนี้ใน SPICE ด้วย .ac หรือด้วยมือโดยไม่ต้องใช้เมทริกซ์

## ขอบเขตการใช้งานของแบบจำลองเฉลี่ย ขั้นสูง

X10 Validity of the averaged model เงื่อนไขของแบบจำลองเฉลี่ย

$$f \ll f_s\ (\text{ใช้จริง } f \lesssim f_s/10),\qquad f_0 \ll f_s,\qquad \frac{\Delta i_L}{I_L} \ll 1,\qquad \frac{|\hat d|}{D},\ \frac{|\hat v_g|}{V_g} \ll 1$$

- ความถี่: สัญญาณที่ความถี่ใกล้ $f_s/2$ ถูกสุ่มโดย PWM (ดิวตี้อัปเดตครั้งละคาบ) เกิดเฟสตกประมาณ $e^{-sT_s/2}$ (ดีเลย์ครึ่งคาบ) ซึ่งแบบจำลองเฉลี่ยไม่มี ถ้าต้องการความแม่นใกล้ $f_s/2$ ใช้แบบจำลองแบบสุ่มตัวอย่าง (sampled-data) หรือเพิ่มดีเลย์ $T_s/2$ ด้วยมือ

- ริปเปิล: ถ้าริปเปิลใหญ่ (ใกล้ DCM) การเฉลี่ยโดยถือว่า $i_L$ เป็นเส้นตรงเริ่มคลาดเคลื่อน

- ขนาดของสัญญาณ: ต่ำกว่าประมาณ 10–20 % ของจุดทำงาน จึงตัดพจน์อันดับสองได้

- โหมด: เฉพาะ CCM ตลอด ถ้าเข้า DCM โครงสร้างของสมการเปลี่ยน (ลดอันดับ)

## ตัวอย่างวิธีทำ (ตรวจตัวเลขแล้ว)

โจทย์ฐาน: $V_g = 24$ V, $D = 0.5$, $R = 10\ \Omega$, $L = 300\ \mu$H, $C = 100\ \mu$F (อุดมคติ)

ตัวอย่าง X-1

### สร้างเมทริกซ์ของบั๊กอุดมคติเป็นตัวเลข

- $1/L = 3333.3$ s⁻¹·Ω⁻¹ , $1/C = 10^4$ , $1/(RC) = 1000$ → $A_1 = A_2 = A = \begin{bmatrix}0 & -3333.3\\ 10000 & -1000\end{bmatrix}$

- $B_1 = \begin{bmatrix}3333.3\\0\end{bmatrix}$ → เฉลี่ย $B_g = D\,B_1 = \begin{bmatrix}1666.7\\0\end{bmatrix}$

- จุดทำงาน $X = -A^{-1}B_gV_g$: $\det A = 3.333\times10^7$, $A^{-1} = \begin{bmatrix}-0.00003 & 0.0001\\ -0.0003 & 0\end{bmatrix}$ → $X = \begin{bmatrix}1.2\\12\end{bmatrix}$ ✓ ตรงกับ $I_L = 1.2$ A, $V_o = 12$ V

- ขั้ว (ค่าไอเกนของ $A$): $\det(sI - A) = s^2 + 1000s + 3.333\times10^7 = 0$ → $s = -500 \pm j5752$ rad/s ; $\omega_0 = \sqrt{1/LC} = 5774$ rad/s ($f_0 = 918.9$ Hz), $\zeta = 0.0866$, $Q = R\sqrt{C/L} = 5.77$ — ขั้วคู่ใกล้แกนจินตภาพมาก แรงดันขาออกจะแกว่งแรงเมื่อ $d$ เปลี่ยน

ตัวอย่าง X-2

### รบกวนดิวตี้: หา Bd และตรวจความไวเชิงตัวเลข

- $A_1 - A_2 = 0$, $B_1 - B_2 = B_1$ → $B_d = (A_1 - A_2)X + (B_1 - B_2)V_g = B_1V_g = \begin{bmatrix}80000\\0\end{bmatrix}$ (= $24\times3333.3$)

- อัตราขยาย DC ของ $\hat v_o/\hat d$: ตั้ง $\dot{\hat x} = 0$ → $\hat x = -A^{-1}B_d\hat d = \begin{bmatrix}2.4\\24\end{bmatrix}\hat d$ → $\hat v_o/\hat d = 24$ V (= $V_g$) ✓ ตรงกับ $V_o = DV_g$ ที่ $dV_o/dD = V_g$

- ตรวจด้วยสวิตชิ่ง: เปลี่ยน $D$ จาก 0.5 → 0.51 ($\hat d = 0.01$) ได้ $V_o$ เปลี่ยน $0.24$ V (สภาวะคงตัว 12.24 V) ✓

ตัวอย่าง X-3

### ใส่ค่าแฝงจริง (Ron = 50 mΩ, rL = 0.1 Ω, ESR = 50 mΩ, VF = 0.4 V) ที่ D = 0.5144

- $a = 10/10.05 = 0.99502$, $b = 10(0.05)/10.05 = 0.04975\ \Omega$

- $A_{11}^{(1)} = -(0.1 + 0.05 + 0.04975)/300\mu = -665.8$ · $A_{11}^{(2)} = -(0.1 + 0 + 0.04975)/300\mu = -499.2$ · เฉลี่ยที่ $D = 0.5144$: $A_{11} = -584.9$

- $A = \begin{bmatrix}-584.9 & -3316.7\\ 9950.2 & -995.0\end{bmatrix}$ (แถวที่สองเท่ากันทั้งสองช่วง) · $B_g = \begin{bmatrix}1714.6\\0\end{bmatrix}$ (= D/L)

- $B_d$ (X7): $\dfrac{24 + 0.4 - (0.05-0)(1.2)}{300\mu} = \dfrac{24.34}{300\mu} = 81133$ (สูงกว่าอุดมคติ 80000 เพราะ $V_F$) · จุดทำงานได้ $X = [1.2\ \ 12]^T$ ✓

- ขั้วเปลี่ยนเป็น $-790 \pm j5741$ rad/s (การหน่วงเพิ่มจาก $-500$) เพราะ $A_{11}$ ลบมากขึ้นและ $b$ เพิ่มความต้านทานรวม ค่าหน่วง $\sigma$ นี้ลด $Q$ ลงเหลือ ≈ 3.7 (จาก 5.77)

ตัวอย่าง X-4

### เส้นทางตรวจสอบ: เมทริกซ์ถูกต้องหรือไม่?

- ตรวจ DC: $-A^{-1}B_gV_g$ ต้องให้ $V_o = (DV_g - D'V_F)/(1 + R_s/R)$ ที่ตัวอย่าง X-3 ได้ 12.000 V ✓ (ตรงกับสูตร H8 ในหน้า CCM)

- ตรวจการเชิงเส้น: เปลี่ยน $\hat d$ เล็กและเทียบกับเส้นทฤษฎี — ทำในแล็บ "เทียบสวิตชิ่ง" ด้านล่าง

- ตรวจเสถียรภาพ: ค่าไอเกนของ $A$ ต้องอยู่ซีกซ้าย ($\mathrm{tr}A 0$) ทุกสภาวะของบั๊ก CCM

## แล็บที่ 1: สร้างสเตตสเปซด้วยตัวเอง พื้นฐาน

ป้อน Vin D R L C และค่าแฝง เครื่องมือจะแสดงทีละขั้นตามหน้านี้: ① เมทริกซ์ช่วง ON ② ช่วง OFF ③ เฉลี่ย ④ จุดทำงาน (พร้อมจำลองสวิตชิ่งตรวจ) ⑤ เมทริกซ์สัญญาณเล็ก ⑥ ขั้วของระบบ ใช้ตรวจคำตอบที่คำนวณมือได้ทุกตัวเลข

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ใบงาน X1 — ตรวจมือ: คำนวณ $A_1, B_1, A_{11}$ ของ L = 300 µH, R = 10 Ω มือแล้วเทียบ · ตั้ง L = 150 µH ดูว่า $\omega_0$ เปลี่ยนเป็น $\sqrt2$ เท่า และ $Q$ ลดลงหรือเพิ่มขึ้น (ให้ตอบก่อนกดดู)

ใบงาน X2 — ค่าแฝงแต่ละตัว: เปิดค่าแฝงจริงแล้วตั้งทีละตัวเป็นศูนย์ (DCR, ESR, Rds(on), Vf) ดูว่าแต่ละตัวเปลี่ยนเมทริกซ์ตัวไหนบ้าง (ตรวจกับตารางในหัวข้อ ผลของค่าแฝง)

ใบงาน X3 — โหลดเบา: ตั้ง R = 100 Ω D = 0.5 ในโหมดอุดมคติ สังเกตข้อความเตือน DCM ที่ช่อง ④ — แบบจำลอง CCM ใช้ไม่ได้ เพราะ $K = 0.3 กลาง

เครื่องมือรันสวิตชิ่งจริงทุกจังหวะ (เส้นเทา) แล้วหาค่าเฉลี่ยรายคาบ (เส้นฟ้า) เทียบกับ แบบจำลองเฉลี่ยไม่เชิงเส้น ที่ได้จากขั้นที่ 3 (ส้มประ) และ แบบจำลองสัญญาณเล็ก จากขั้นที่ 5 (ม่วงประ) ตารางด้านล่างคือค่าคลาดเคลื่อนเทียบกับค่าเฉลี่ยจริง ลองสเต็ปเล็ก สเต็ปใหญ่ ไซน์ และลด fs ดู

ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ

ใบงาน X4 — สัญญาณเล็กทดสอบเชิงเส้น: สเต็ป $\Delta D$ = 0.02 → เส้นเชิงเส้นและเฉลี่ยเกือบซ้อนทับ (คลาด < 1 %) เพิ่มเป็น 0.25 แล้วดูว่าเส้นเชิงเส้นคลาดจากเส้นจริงเท่าไร เส้นเฉลี่ยไม่เชิงเส้นยังตามได้ดี

ใบงาน X5 — ขอบเขตด้านความถี่: เลือกไซน์ ±0.03 แล้วเลื่อนความถี่จาก 100 Hz ไปจนถึง 5 kHz ดูว่าเมื่อความถี่เข้าใกล้ $f_s/10$ (5 kHz ที่ $f_s$ = 50 kHz) ค่าคลาดเคลื่อนเริ่มโตหรือไม่ แล้วลอง $f_s$ = 8 kHz

ใบงาน X6 — ค่าแฝงลดการแกว่ง: เปรียบเทียบการแกว่งหลังสเต็ปของอุดมคติกับ "มีค่าแฝงจริง" ค่าหน่วงเพิ่มขึ้นตามตัวอย่าง X-3 หรือไม่ (วัดจากจำนวนครั้งที่ยอดแกว่งก่อนนิ่ง)

## สรุปและก้าวต่อไป

- เขียนสมการสถานะของ ON และ OFF → $A_1,B_1,C_1$ และ $A_2,B_2,C_2$

- เฉลี่ยด้วยสัดส่วนเวลา → $A = DA_1 + D'A_2$, $B = DB_1 + D'B_2$

- จุดทำงาน $X = -A^{-1}BV_g$ (ต้องได้ $V_o$ เท่ากับผลหน้า CCM)

- รบกวนสัญญาณเล็ก ตัดอันดับสอง → $B_d = (A_1-A_2)X + (B_1-B_2)V_g$, $B_g = DB_1 + D'B_2$

- เอาต์พุตแต่ละตัวมีแถว $C$ ของตัวเอง — ต่อไปใช้เมทริกซ์ชุดนี้หาฟังก์ชันถ่ายโอนทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต

ต่อไป: ฟังก์ชันถ่ายโอนทุกแบบของบั๊ก $G_{vd}, G_{vg}, Z_{out}, Z_{in}, G_{iLd}$ · เปรียบเทียบกับภาพรวมของ แบบจำลองสัญญาณเล็กของบูสต์และบั๊ก-บูสต์ · สเตตสเปซพื้นฐานในวิชาระบบควบคุม

## คำถามที่พบบ่อย

state-space averaging คืออะไรและทำไมต้องเฉลี่ย?
บั๊กสลับระหว่างวงจรเชิงเส้นสองแบบ (สวิตช์ ON และ OFF) ทำให้เป็นระบบที่เปลี่ยนตามเวลาและไม่เชิงเส้น วิธี state-space averaging เฉลี่ยสมการสถานะของสองช่วงถ่วงน้ำหนักด้วยดิวตี้ D และ 1−D ได้แบบจำลองที่ต่อเนื่องตามเวลา แล้วค่อยรบกวนด้วยสัญญาณเล็ก (linearize) จนได้ระบบเชิงเส้นที่ใช้ฟังก์ชันถ่ายโอนและตัวชดเชยได้

แบบจำลองเฉลี่ยใช้ได้ถึงความถี่เท่าไร?
ใช้ได้เมื่อความถี่ของสัญญาณและขั้วของระบบต่ำกว่าความถี่สวิตช์มาก โดยทั่วไปไม่เกินประมาณ fs/10 ถึง fs/5 เกินกว่านั้นผลของการสุ่มตัวอย่างของ PWM ทำให้เกิดเฟสตกและความคลาดเคลื่อน ในแล็บด้านล่างจะเห็นข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้นเมื่อลด fs ใกล้ f0

ทำไมต้องตัดพจน์ผลคูณ d̂·v̂g ทิ้ง?
ผลคูณของการรบกวนสองตัวเป็นอันดับสอง เล็กกว่าพจน์อันดับหนึ่งมากเมื่อรบกวนเล็ก เช่น d̂ = 5 % ของ D ผลคูณ d̂·v̂g เทียบกับพจน์เชิงเส้น D·v̂g คิดเป็นสัดส่วน d̂/D = 5 % เมื่อตัดทิ้งได้ระบบเชิงเส้นที่ใช้เครื่องมือทฤษฎีควบคุมได้ แต่ถ้ารบกวนใหญ่ เช่นเปลี่ยนดิวตี้ 40 % แบบจำลองเชิงเส้นจะคลาดเคลื่อนให้เห็น

เมทริกซ์ Bd = (A1−A2)X + (B1−B2)Vg มาจากไหน?
มาจากการรบกวนดิวตี้ในสมการเฉลี่ย (dA1 + (1−d)A2)x + (dB1 + (1−d)B2)vg เมื่อ d = D + d̂ พจน์ที่คูณ d̂ คือ (A1−A2)X + (B1−B2)Vg ซึ่งบอกว่าดิวตี้ที่เปลี่ยนไปกระทบสถานะผ่านความต่างของสองวงจรที่จุดทำงาน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**state-space averaging คืออะไรและทำไมต้องเฉลี่ย?**
บั๊กสลับระหว่างวงจรเชิงเส้นสองแบบ (สวิตช์ ON และ OFF) ทำให้เป็นระบบที่เปลี่ยนตามเวลาและไม่เชิงเส้น วิธี state-space averaging เฉลี่ยสมการสถานะของสองช่วงถ่วงน้ำหนักด้วยดิวตี้ D และ 1−D ได้แบบจำลองที่ต่อเนื่องตามเวลา แล้วค่อยรบกวนด้วยสัญญาณเล็ก (linearize) จนได้ระบบเชิงเส้นที่ใช้ฟังก์ชันถ่ายโอนและตัวชดเชยได้

**แบบจำลองเฉลี่ยใช้ได้ถึงความถี่เท่าไร?**
ใช้ได้เมื่อความถี่ของสัญญาณและขั้วของระบบต่ำกว่าความถี่สวิตช์มาก โดยทั่วไปไม่เกินประมาณ fs/10 ถึง fs/5 เกินกว่านั้นผลของการสุ่มตัวอย่างของ PWM ทำให้เกิดเฟสตกและความคลาดเคลื่อน ในแล็บด้านล่างจะเห็นข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้นเมื่อลด fs ใกล้ f0

**ทำไมต้องตัดพจน์ผลคูณ d̂·v̂g ทิ้ง?**
ผลคูณของการรบกวนสองตัวเป็นอันดับสอง เล็กกว่าพจน์อันดับหนึ่งมากเมื่อรบกวนเล็ก เช่น d̂ = 5 % ของ D ผลคูณ d̂·v̂g เทียบกับพจน์เชิงเส้น D·v̂g คิดเป็นสัดส่วน d̂/D = 5 % เมื่อตัดทิ้งได้ระบบเชิงเส้นที่ใช้เครื่องมือทฤษฎีควบคุมได้ แต่ถ้ารบกวนใหญ่ เช่นเปลี่ยนดิวตี้ 40 % แบบจำลองเชิงเส้นจะคลาดเคลื่อนให้เห็น

**เมทริกซ์ Bd = (A1−A2)X + (B1−B2)Vg มาจากไหน?**
มาจากการรบกวนดิวตี้ในสมการเฉลี่ย (dA1 + (1−d)A2)x + (dB1 + (1−d)B2)vg เมื่อ d = D + d̂ พจน์ที่คูณ d̂ คือ (A1−A2)X + (B1−B2)Vg ซึ่งบอกว่าดิวตี้ที่เปลี่ยนไปกระทบสถานะผ่านความต่างของสองวงจรที่จุดทำงาน