---
title: "อนุพันธ์ย่อย (Partial Derivatives): สูตร ตัวอย่าง ระนาบสัมผัส กฎลูกโซ่ และการประมาณความคลาดเคลื่อน"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/partial-derivatives/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-17
---

> อนุพันธ์ย่อย (partial derivative) คืออะไร วิธีหา ∂f/∂x และ ∂f/∂y ความหมายเป็นความชันของรอยตัด อนุพันธ์อันดับสูงและทฤษฎีบทของแคลโร (Clairaut) ระนาบสัมผัส (tangent plane) การประมาณเชิงเส้น ผลต่างรวม (total differential) กฎลูกโซ่ (chain rule) อนุพันธ์โดยปริยาย และการแพร่ความคลาดเคลื่อนในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา พร้อมแล็บ

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/partial-derivatives/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# อนุพันธ์ย่อย (Partial Derivatives): สูตร ตัวอย่าง ระนาบสัมผัส กฎลูกโซ่ และการประมาณความคลาดเคลื่อน

// บทที่ 24.2 · แคลคูลัสหลายตัวแปร · Partial Derivatives


เมื่อปริมาณหนึ่งขึ้นกับหลายตัวแปร คำถามแรกที่วิศวกรถามคือ “ถ้าขยับตัวแปรนี้ตัวเดียว ค่าเปลี่ยนเท่าไร” คำตอบคืออนุพันธ์ย่อย (partial derivative) หน้านี้สอนตั้งแต่วิธีหา ความหมายเป็นความชันของรอยตัด อนุพันธ์อันดับสูง ระนาบสัมผัส ไปจนถึงกฎลูกโซ่และการประมาณความคลาดเคลื่อนของสูตรที่ใช้ค่าที่วัดมาหลายตัว (error propagation) ซึ่งเป็นเรื่องที่ใช้จริงทุกครั้งที่อ่านเครื่องมือวัด

สรุปใน 30 วินาที

- วิธีหา: ตรึงตัวแปรอื่นเป็นค่าคงที่ แล้วหาอนุพันธ์ตามตัวที่สนใจด้วยกฎเดิมของตัวแปรเดียว

- ความหมาย: $f_x$ คือความชันของผิวตามแนวแกน $x$ (ตัดด้วยระนาบ $y =$ ค่าคงที่) · $f_y$ ตามแนวแกน $y$

- ระนาบสัมผัส: $L(x,y) = f(a,b) + f_x(x-a) + f_y(y-b)$ · ผลต่างรวม: $df = f_x\,dx + f_y\,dy$

- กฎลูกโซ่: $\dfrac{dz}{dt} = f_x \dfrac{dx}{dt} + f_y \dfrac{dy}{dt}$ · โดยปริยาย: $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}$

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## อนุพันธ์ย่อยคืออะไร และหาอย่างไร พื้นฐาน

จากแคลคูลัสตัวแปรเดียว อนุพันธ์ $f'(x)$ บอกอัตราเปลี่ยนของ $f$ เมื่อ $x$ เปลี่ยน แต่ $f(x, y)$ มีสองตัวแปร จึงมี “ทิศ” ให้ขยับได้หลายทิศ ทิศที่ง่ายที่สุดคือขยับตัวแปรเดียวโดยอีกตัวไม่ขยับ นั่นคืออนุพันธ์ย่อย เหมือนอ่านค่ากำลังไฟ $P = V^2/R$ ว่าเปลี่ยนเท่าไรเมื่อปรับ $V$ โดยไม่แตะ $R$

P1 Partial derivative (definition) อนุพันธ์ย่อย (นิยาม)

$$f_x(a, b) = \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h,\, b) - f(a,\, b)}{h},\qquad f_y(a, b) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a,\, b+h) - f(a,\, b)}{h}$$

ตัวแปรที่ไม่ได้ขยับ ($b$ ใน $f_x$) ถูกตรึงไว้ · ถ้าลิมิตมีที่ทุกจุดของบริเวณ จะได้ฟังก์ชัน $f_x(x, y)$ และ $f_y(x, y)$

P2 Notation สัญกรณ์ที่เจอบ่อย

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \partial_x f = D_x f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$$

เครื่องหมาย $\partial$ อ่านว่า “พาร์เชียล” · ในเทอร์โมไดนามิกส์เขียนตัวห้อยบอกตัวแปรที่ตรึง เช่น $(\partial P/\partial V)_T$

P3 Working rule วิธีทำในทางปฏิบัติ

$$\frac{\partial}{\partial x}\big[\,\text{นิพจน์ใน } x, y\,\big]\ :\ y \text{ เป็นค่าคงที่}$$

กฎยกกำลัง ผลคูณ ผลหาร และลูกโซ่ใช้ได้ทั้งหมดเหมือนเดิม · ตรวจ: ถ้านิพจน์ไม่มี $x$ เลย $f_x = 0$

ตัวอย่าง P-1 · พหุนามกับตรีโกณ

### หา $f_x$ และ $f_y$ ของ $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$

- หา $f_x$: ถือ $y$ เป็นค่าคงที่ · พจน์แรก $\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy$

- พจน์ที่สอง ใช้กฎลูกโซ่: $\dfrac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy) \cdot \dfrac{\partial (xy)}{\partial x} = y\cos(xy)$

- รวม $f_x = 2xy + y\cos(xy)$

- หา $f_y$: ถือ $x$ เป็นค่าคงที่ · $\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2$ และ $\dfrac{\partial}{\partial y}\sin(xy) = x\cos(xy)$

- ได้ $f_y = x^2 + x\cos(xy)$

$f_x = 2xy + y\cos(xy)$ · $f_y = x^2 + x\cos(xy)$

ตัวอย่าง P-2 · เทอร์โมไดนามิกส์ (เครื่องกล)

### แก๊สอุดมคติ 1 mol: $P = \dfrac{RT}{V}$ หา $\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V$ และ $\left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_T$ ที่ $T = 300$ K, $V = 0.0245$ m³ ($R = 8.314$ J/mol·K)

- $\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V = \dfrac{R}{V}$ (ตรึง $V$) → $\dfrac{8.314}{0.0245} = 339.3$ Pa/K

- $\left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_T = -\dfrac{RT}{V^2}$ (ตรึง $T$) → $-\dfrac{8.314 \times 300}{0.0245^2} = -4.155\times10^{6}$ Pa/m³

- ที่จุดนี้ $P = RT/V = 1.018\times10^5$ Pa (ประมาณ 1 atm) ตีความ: อุ่นขึ้น 1 K ที่ปริมาตรคงที่ ความดันเพิ่ม 339 Pa · บีบปริมาตรลง 1 ลิตร ($10^{-3}$ m³) ที่อุณหภูมิคงที่ ความดันเพิ่มราว 4155 Pa

$\partial P/\partial T = 339.3$ Pa/K · $\partial P/\partial V = -4.155\times10^{6}$ Pa/m³ (เครื่องหมายลบ: ปริมาตรมากขึ้น ความดันลดลง)

## ความหมายเชิงเรขาคณิต: ความชันของรอยตัด พื้นฐาน

ตัดผิว $z = f(x, y)$ ด้วยระนาบ $y = b$ จะได้เส้นโค้งบนระนาบนั้นซึ่งเป็นฟังก์ชันของ $x$ ตัวเดียว ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ที่จุด $(a, b)$ คือ $f_x(a, b)$ เช่นเดียวกัน ตัดด้วย $x = a$ ได้ความชัน $f_y(a, b)$ ในแล็บ เส้นประสีส้มและสีฟ้าคือเส้นสัมผัสสองเส้นนี้ ลองลากจุดไปรอบ ๆ และเปิดสวิตช์ระนาบสัมผัส ระนาบที่ถูกขึงด้วยเส้นประทั้งสองเส้น

$f_x$ คือความชันของรอยตัดตามแนวแกน $x$ (ระนาบ $y = b$) และ $f_y$ คือความชันของรอยตัดตามแนวแกน $y$ (ระนาบ $x = a$) ที่จุดเดียวกัน

P4 Slopes of the traces ความชันของรอยตัด

$$\begin{aligned} \text{ระนาบ } y = b:&\quad z = f(x, b),\quad \text{ความชัน} = f_x(a, b)\\ \text{ระนาบ } x = a:&\quad z = f(a, y),\quad \text{ความชัน} = f_y(a, b) \end{aligned}$$

อัตราเปลี่ยนตามแกนแต่ละแกน ไม่ใช่ความชันชันสุดของผิว (นั่นคือ gradient ในบทถัดไป)

P5 Rate of change and units อัตราเปลี่ยนและหน่วย

$$\Delta f \approx f_x\,\Delta x \quad(\Delta y = 0),\qquad [f_x] = \frac{[f]}{[x]}$$

หน่วยของ $\partial P/\partial T$ คือ Pa/K · ตรวจหน่วยทุกครั้งเป็นวิธีจับความผิดพลาดที่ดีที่สุด

## อนุพันธ์ย่อยอันดับสูงและทฤษฎีบทของแคลโร กลาง

หาอนุพันธ์ย่อยซ้ำได้ ในสองตัวแปรมีสี่ตัวอันดับสอง: $f_{xx},\ f_{yy}$ (ตัวเดียวซ้ำ) และอนุพันธ์ผสม $f_{xy},\ f_{yx}$ สัญกรณ์ $f_{xy}$ อ่านจากซ้ายไปขวา คือหาตาม $x$ ก่อนแล้วตาม $y$ (ตรงข้ามกับ $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ ที่อ่านจากขวาไปซ้าย)

P6 Second partial derivatives อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง

$$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy} = (f_x)_y = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x},\quad f_{yx} = (f_y)_x$$

$f_{xx}$ = ความโค้งของรอยตัดตามแกน $x$ (โค้งขึ้นถ้า $> 0$) · $f_{xy}$ = ความ “บิด” ของผิว

P7 Clairaut's theorem ทฤษฎีบทของแคลโร

$$f_{xy},\, f_{yx} \text{ ต่อเนื่องบนวงกลมเปิดรอบ } (a, b) \ \Rightarrow\ f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$$

ใช้ตรวจคำตอบ และใช้เลือกลำดับการหาที่ง่ายกว่า · สนามเวกเตอร์ $(P, Q)$ ที่มี $P_y \ne Q_x$ ไม่อนุรักษ์ (ดูสนามเวกเตอร์)

P8 Laplace's equation สมการลาปลาซ

$$\nabla^2 u = u_{xx} + u_{yy} = 0 \quad(\text{ฟังก์ชันฮาร์มอนิก})$$

อุณหภูมิสภาวะคงตัวในแผ่น (ไม่มีแหล่งความร้อน) ศักย์ไฟฟ้าในที่ว่างไม่มีประจุ ศักย์ความเร็วของของไหลอุดมคติ และระดับพีโซเมตริกของน้ำใต้ดิน ต่างเป็นคำตอบ

P9 Heat (diffusion) equation สมการความร้อน

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

$\alpha$ = การแพร่ความร้อน (m²/s) · ตัวอย่างสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) ที่ใช้อนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งในเวลาและอันดับสองในตำแหน่ง

ตัวอย่าง P-3 · ตรวจ Clairaut

### ให้ $f(x, y) = x\,e^{xy}$ แสดงว่า $f_{xy} = f_{yx}$

- $f_x = e^{xy} + x\cdot y\,e^{xy} = (1 + xy)\,e^{xy}$

- $f_{xy} = \dfrac{\partial}{\partial y}\big[(1 + xy)e^{xy}\big] = x\,e^{xy} + (1 + xy)\,x\,e^{xy} = x(2 + xy)\,e^{xy}$

- อีกลำดับ: $f_y = x\cdot x\,e^{xy} = x^2 e^{xy}$ แล้ว $f_{yx} = 2x\,e^{xy} + x^2\cdot y\,e^{xy} = x(2 + xy)\,e^{xy}$

- ทั้งสองเท่ากัน ตามทฤษฎีบทของแคลโร (ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและพหุนามต่อเนื่องทุกจุด)

$f_{xy} = f_{yx} = x(2 + xy)\,e^{xy}$

ตัวอย่าง P-4 · ตรวจสมการลาปลาซและสมการความร้อน

### (ก) $u = \ln\sqrt{x^2 + y^2}$ เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกหรือไม่ (ข) $u = e^{-\alpha t}\sin x$ สอดคล้อง $u_t = u_{xx}$ เมื่อ $\alpha = 1$ หรือไม่

- (ก) $u = \tfrac12\ln(x^2 + y^2)$ · $u_x = \dfrac{x}{x^2+y^2}$ · $u_{xx} = \dfrac{(x^2+y^2) - 2x^2}{(x^2+y^2)^2} = \dfrac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$

- โดยสมมาตร $u_{yy} = \dfrac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}$ รวมกันได้ $u_{xx} + u_{yy} = 0$ ทุกจุดยกเว้นจุดกำเนิด → ฮาร์มอนิก (นี่คือศักย์ของเส้นประจุยาวอนันต์ และอุณหภูมิรอบท่อกลม)

- (ข) $u_t = -e^{-t}\sin x$ และ $u_x = e^{-t}\cos x$ จึง $u_{xx} = -e^{-t}\sin x$

- $u_t = u_{xx}$ เป็นจริง → สอดคล้องสมการความร้อนที่ $\alpha = 1$ (คลื่นอุณหภูมิรูปไซน์ที่ค่อย ๆ จางลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล)

(ก) ฮาร์มอนิก $u_{xx} + u_{yy} = 0$ · (ข) สอดคล้อง $u_t = u_{xx}$

## ระนาบสัมผัสและการประมาณเชิงเส้น กลาง

ตัวแปรเดียว: เส้นสัมผัส $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ ประมาณเส้นโค้งใกล้ $a$ สองตัวแปร: ระนาบสัมผัส (tangent plane) ที่ขึงด้วยเส้นสัมผัสทั้งสองเส้นของรอยตัดประมาณผิวใกล้จุดนั้น ถ้าซูมเข้าไปที่ผิวเรียบมากพอ จะเห็นผิวแบนราบเป็นระนาบนี้ ในแล็บด้านบนเปิดสวิตช์ “ระนาบสัมผัส” แล้วย้ายจุด ระนาบกลิ้งตามผิวเสมอ

P10 Tangent plane ระนาบสัมผัส

$$z = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)$$

มีเมื่อ $f_x, f_y$ ต่อเนื่องที่จุดนั้น (เพียงพอให้ $f$ หาอนุพันธ์ได้) · เวกเตอร์ปกติของระนาบคือ $\langle f_x, f_y, -1\rangle$

P11 Linearization การประมาณเชิงเส้น

$$f(x, y) \approx L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)$$

แม่นเมื่อ $(x, y)$ ใกล้ $(a, b)$ · ความผิดพลาดเป็นอันดับสอง (กำลังสองของระยะ) และขึ้นกับ $f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}$

ตัวอย่าง P-5 · ระนาบสัมผัสและประมาณค่า

### หาระนาบสัมผัสของ $f(x, y) = \sqrt{20 - x^2 - 7y^2}$ ที่ $(2, 1)$ แล้วประมาณ $f(1.95,\ 1.08)$

- $f(2, 1) = \sqrt{20 - 4 - 7} = \sqrt{9} = 3$

- $f_x = \dfrac{-x}{\sqrt{20 - x^2 - 7y^2}} \Rightarrow f_x(2,1) = -\dfrac{2}{3}$ · $f_y = \dfrac{-7y}{\sqrt{20 - x^2 - 7y^2}} \Rightarrow f_y(2,1) = -\dfrac{7}{3}$

- ระนาบสัมผัส: $z = 3 - \dfrac{2}{3}(x - 2) - \dfrac{7}{3}(y - 1)$

- ประมาณ: $L(1.95, 1.08) = 3 - \tfrac23(-0.05) - \tfrac73(0.08) = 3 + 0.0333 - 0.1867 = 2.8467$

- ค่าจริง $f(1.95, 1.08) = \sqrt{20 - 3.8025 - 8.1648} = \sqrt{8.0327} = 2.8342$ · คลาดเคลื่อน 0.0125 หรือ 0.44%

$L(x,y) = 3 - \tfrac23(x-2) - \tfrac73(y-1)$ · $f(1.95, 1.08) \approx 2.847$ (จริง 2.834)

## ผลต่างรวม (Total Differential) และการแพร่ความคลาดเคลื่อน กลาง

เปลี่ยน $x$ เล็กน้อย $dx$ และ $y$ เล็กน้อย $dy$ พร้อมกัน ค่า $f$ เปลี่ยนโดยประมาณเท่ากับผลรวมของการเปลี่ยนจากแต่ละตัวแปร นี่คือสูตรของผลต่างรวม (total differential) และเป็นฐานของการแพร่ความคลาดเคลื่อน (error propagation) ที่ช่าง วิศวกร และนักวิทยาศาสตร์ใช้ประเมินว่าสูตรซึ่งใช้ค่าที่วัดมาหลายค่าจะคลาดเคลื่อนเท่าไร

P12 Total differential ผลต่างรวม

$$df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy,\qquad \Delta f \approx df \quad(\text{เมื่อ } \Delta x, \Delta y \text{ เล็ก})$$

สามตัวแปร: $df = f_x\,dx + f_y\,dy + f_z\,dz$ · เป็นการประมาณเชิงเส้นในรูปการเปลี่ยนแปลง

P13 Worst-case error ความคลาดเคลื่อนสูงสุด

$$|\Delta f| \lesssim \left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|\Delta x + \left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\Delta y$$

ใช้เมื่อต้องการ “รับประกัน” ขอบเขต (เช่นพิกัดความเผื่อทางกล)

P14 RSS (quadrature) error ความคลาดเคลื่อนแบบ RSS

$$\Delta f \approx \sqrt{\left(f_x\,\Delta x\right)^2 + \left(f_y\,\Delta y\right)^2}$$

เมื่อความคลาดเคลื่อนของตัวแปรเป็นอิสระต่อกัน (วัดคนละเครื่อง) · เล็กกว่าค่าแย่สุดเสมอ

ตัวอย่าง P-6 · ความต้านทานจากแรงดันและกระแส (ไฟฟ้า)

### วัด $V = 12.0 \pm 0.1$ V และ $I = 2.00 \pm 0.02$ A คำนวณ $R = V/I$ พร้อมความคลาดเคลื่อน

- $R = V/I = 12.0/2.00 = 6.00$ Ω

- $\dfrac{\partial R}{\partial V} = \dfrac1I = 0.5$ Ω/V · $\dfrac{\partial R}{\partial I} = -\dfrac{V}{I^2} = -\dfrac{12}{4} = -3$ Ω/A

- แย่สุด: $\Delta R \le 0.5(0.1) + 3(0.02) = 0.05 + 0.06 = 0.11$ Ω (1.83%)

- RSS: $\Delta R \approx \sqrt{0.05^2 + 0.06^2} = \sqrt{0.0061} = 0.078$ Ω (1.30%)

- สังเกต: ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของ $V$ คือ 0.83% ของ $I$ คือ 1.0% — กระแสมีน้ำหนักมากกว่า จึงปรับปรุงด้วยการใช้แอมมิเตอร์ที่ละเอียดขึ้นจะได้ผลมากสุด

$R = 6.00 \pm 0.11$ Ω (แย่สุด) หรือ $\pm 0.08$ Ω (RSS)

ตัวอย่าง P-7 · ปริมาตรจากการวัดขนาด (เครื่องกล)

### กระบอกสูบวัดได้ $r = 5.00 \pm 0.05$ cm และ $h = 12.0 \pm 0.1$ cm ปริมาตร $V = \pi r^2 h$ คลาดเคลื่อนเท่าไร

- $V = \pi (5)^2 (12) = 300\pi = 942.5$ cm³

- $\dfrac{\partial V}{\partial r} = 2\pi r h = 2\pi(5)(12) = 376.99$ cm² · $\dfrac{\partial V}{\partial h} = \pi r^2 = 78.54$ cm²

- $dV = 376.99(0.05) + 78.54(0.1) = 18.85 + 7.85 = 26.70$ cm³ → 2.83%

- รัศมีมีผลมากกว่าความสูง 2.4 เท่า (18.85 เทียบ 7.85) เพราะ $r$ มีความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ 1% และยังถูกยกกำลังสองจึงนับเป็นสองเท่า ส่วน $h$ มี 0.83% ได้ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของ $V$ ≈ $2(1\%) + 0.83\% = 2.83\%$

$V = 942.5 \pm 26.7$ cm³ (≈ 2.8%)

### เครื่องคิดเลขแพร่ความคลาดเคลื่อน

ใส่สูตรของคุณพร้อมค่าที่วัดและความไม่แน่นอน ตารางจะแสดงว่าตัวแปรใดทำให้ผลคลาดเคลื่อนมากที่สุด ซึ่งบอกว่าควรลงทุนปรับปรุงการวัดตัวไหน ตัวอย่างสุดท้ายคือการโก่งตัวของคานรับน้ำหนักแผ่ (โยธา)

## กฎลูกโซ่และอนุพันธ์โดยปริยาย กลาง

ตัวแปรของ $f$ เองอาจขึ้นกับตัวแปรอื่น เช่นตำแหน่ง $(x, y)$ ของอนุภาคที่เคลื่อนที่ตามเวลา $t$ กฎลูกโซ่หลายตัวแปรบอกว่า $f$ เปลี่ยนตามเวลาเท่าไร วิธีจำที่ง่ายที่สุดคือแผนภาพต้นไม้ (tree diagram): ลากกิ่งจาก $f$ ไปหาตัวแปรกลาง แล้วไปหาตัวแปรต้นทาง คูณตามกิ่ง บวกทุกเส้นทางที่ไปถึงตัวแปรปลาย

แผนภาพต้นไม้ของกฎลูกโซ่: $z = f(x, y)$ โดย $x = x(s, t)$ และ $y = y(s, t)$ · $\partial z/\partial s$ = ผลรวมของผลคูณตามกิ่งจาก $z$ ถึง $s$ ทุกเส้นทาง

P15 Chain rule (one parameter) กฎลูกโซ่ (พารามิเตอร์เดียว)

$$z = f(x(t),\, y(t)) \ \Rightarrow\ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} = \nabla f \cdot \mathbf r'(t)$$

เขียนแบบเวกเตอร์ได้เป็น gradient จุดดอตกับความเร็ว (ดูบทเกรเดียนต์) · เป็น “อนุพันธ์รวม” ตามเวลา

P16 Chain rule (two parameters) กฎลูกโซ่ (สองพารามิเตอร์)

$$\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s},\qquad \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$$

ในรูปเมทริกซ์: $\begin{pmatrix} z_s & z_t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_x & z_y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_s & x_t \\ y_s & y_t \end{pmatrix}$ (คูณด้วยเมทริกซ์จาโคเบียน)

P17 Implicit differentiation (2 variables) อนุพันธ์โดยปริยาย

$$F(x, y) = 0 \ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}\quad (F_y \ne 0)$$

ได้จากกฎลูกโซ่ $F_x + F_y\,\dfrac{dy}{dx} = 0$ · ไม่ต้องแก้หา $y$ ก่อน

P18 Implicit differentiation (3 variables) อนุพันธ์โดยปริยาย (สามตัวแปร)

$$F(x, y, z) = 0 \ \Rightarrow\ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} \quad (F_z \ne 0)$$

$z$ เป็นฟังก์ชันของ $x, y$ โดยปริยาย · เช่นสมการสถานะ $F(P, V, T) = 0$

ตัวอย่าง P-8 · กฎลูกโซ่พารามิเตอร์เดียว

### $z = x^2 y + 3xy^4$ เมื่อ $x = \sin 2t,\ y = \cos t$ หา $dz/dt$ ที่ $t = 0$

- $\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2xy + 3y^4$ · $\dfrac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 12xy^3$

- $\dfrac{dx}{dt} = 2\cos 2t$ · $\dfrac{dy}{dt} = -\sin t$

- ที่ $t = 0$: $x = 0,\ y = 1$ · $z_x = 0 + 3 = 3$ · $z_y = 0 + 0 = 0$ · $x' = 2$ · $y' = 0$

- $\dfrac{dz}{dt} = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 6$

$\left.\dfrac{dz}{dt}\right|_{t=0} = 6$

ตัวอย่าง P-9 · กำลังไฟฟ้าที่เปลี่ยนตามเวลา (ไฟฟ้า)

### แรงดัน $V(t) = 12 + 0.5t$ V และความต้านทาน $R(t) = 8 + 0.1t$ Ω (ร้อนขึ้นจึงเพิ่ม) กำลัง $P = V^2/R$ เปลี่ยนด้วยอัตราเท่าไรที่ $t = 0$

- $P_V = \dfrac{2V}{R} = \dfrac{24}{8} = 3$ W/V · $P_R = -\dfrac{V^2}{R^2} = -\dfrac{144}{64} = -2.25$ W/Ω

- $V' = 0.5$ V/s · $R' = 0.1$ Ω/s

- $\dfrac{dP}{dt} = 3(0.5) + (-2.25)(0.1) = 1.5 - 0.225 = 1.275$ W/s

- ตีความ: แรงดันที่เพิ่มดันกำลังขึ้น (+1.5 W/s) ส่วนความต้านทานที่เพิ่มดึงลง (−0.225 W/s)

$dP/dt = 1.275$ W/s ที่ $t = 0$ (ที่ $P = 18$ W)

ตัวอย่าง P-10 · อนุพันธ์โดยปริยาย

### (ก) $x^3 + y^3 = 6xy$ หา $dy/dx$ (ข) แสดงความสัมพันธ์วัฏจักรของแก๊สอุดมคติ $\left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_T\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P\left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_V = -1$

- (ก) $F = x^3 + y^3 - 6xy$ · $F_x = 3x^2 - 6y$ · $F_y = 3y^2 - 6x$

- $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y} = -\dfrac{3x^2 - 6y}{3y^2 - 6x} = \dfrac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$

- (ข) จาก $PV = nRT$: $\left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_T = -\dfrac{nRT}{V^2}$ · $\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P = \dfrac{nR}{P}$ · $\left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_V = \dfrac{V}{nR}$

- คูณกัน: $-\dfrac{nRT}{V^2}\cdot\dfrac{nR}{P}\cdot\dfrac{V}{nR} = -\dfrac{nRT}{PV} = -1$ (เพราะ $PV = nRT$) · ไม่ใช่ $+1$ อย่างที่เข้าใจผิดจากการ “ตัด” $\partial$

(ก) $dy/dx = \dfrac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$ · (ข) ผลคูณ $= -1$

### เมทริกซ์จาโคเบียน (Jacobian Matrix)

เมื่อมีฟังก์ชันหลายตัวพร้อมกัน เช่นพิกัดใหม่ $(u, v)$ จากพิกัดเดิม $(x, y)$ หรือตำแหน่งปลายแขนกลจากมุมข้อต่อ จัดอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดเป็นเมทริกซ์เดียว เรียกว่าเมทริกซ์จาโคเบียน (Jacobian matrix) ซึ่งเป็น “อนุพันธ์” ของการแปลง และเป็นตัวที่ปรากฏทั้งในการเปลี่ยนตัวแปรของอินทิกรัลหลายชั้นและในจลนศาสตร์ของแขนกล

P19 Jacobian matrix เมทริกซ์จาโคเบียน

$$\mathbf F(u, v) = \big(x(u,v),\, y(u,v)\big) \ \Rightarrow\ \mathbf J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{pmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{pmatrix},\qquad \Delta \mathbf F \approx \mathbf J\,\Delta(u, v)^{\!\top}$$

$\lvert\det\mathbf J\rvert$ = ตัวคูณพื้นที่ท้องถิ่น · ตัวอย่างพิกัดขั้ว $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$: $\det\mathbf J = r$ (แล็บ Jacobian ในบทอินทิกรัล)

## นำไปใช้ในงานวิศวกรรม พื้นฐาน

| สาขา | อนุพันธ์ย่อยที่ใช้ | ความหมาย |

| ไฟฟ้า | $\partial P/\partial V,\ \partial P/\partial R$ ของ $P = V^2/R$ | ความไวของกำลังต่อแรงดันและความต้านทาน (sensitivity) |

| ไฟฟ้า | $E_x = -\partial V/\partial x$ | สนามไฟฟ้าจากศักย์ (บทไฟฟ้า) |

| เครื่องกล | $(\partial P/\partial T)_V,\ (\partial U/\partial T)_V = C_v$ | สมบัติแก๊ส ความร้อนจำเพาะ |

| เครื่องกล | $\partial T/\partial x$ ในกฎของฟูริเยร์ | ฟลักซ์ความร้อน (บทเครื่องกล) |

| โยธา | $\partial h/\partial x,\ \partial h/\partial y$ ของภูมิประเทศ | ความลาดชันและทิศน้ำไหล (บทโยธา) |

| โยธา | $\partial\delta/\partial w,\ \partial\delta/\partial L$ ของการโก่งตัว | ตัวแปรใดต้องคุมความแม่นยำมากสุด |

| ทุกสาขา | $\partial J/\partial a,\ \partial J/\partial b$ ของฟังก์ชันค่าความผิดพลาด | การหาพารามิเตอร์ที่พอดีที่สุด (กำลังสองน้อยสุด) |

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- ลืมว่าตัวแปรอื่นเป็นค่าคงที่ เช่นหา $\partial/\partial x$ ของ $x y^2$ แล้วได้ $2xy$ · ที่ถูกคือ $y^2$

- “ตัด” $\partial$ ในสูตรวัฏจักร เช่นเขียน $\dfrac{\partial P}{\partial V}\dfrac{\partial V}{\partial T}\dfrac{\partial T}{\partial P} = 1$ ซึ่งผิด (ได้ −1) เพราะตัวแปรที่ตรึงต่างกัน

- ใช้ประมาณเชิงเส้นไกลจากจุดสัมผัส ความผิดพลาดโตเป็นกำลังสองของระยะ ตรวจด้วยอนุพันธ์อันดับสอง

- รวมความคลาดเคลื่อนโดยไม่ใส่ค่าสัมบูรณ์ พจน์ลบอาจหักล้างกันได้ในสูตร จึงต้องใช้ $|f_x|\Delta x$ ในกรณีแย่สุด

- ลืมใส่หน่วย หน่วยของ $\partial f/\partial x$ คือหน่วยของ $f$ ต่อหน่วยของ $x$ · ใช้ตรวจคำตอบได้ทันที

ไปต่อที่เกรเดียนต์และอนุพันธ์ตามทิศ ซึ่งรวม $f_x$ กับ $f_y$ เป็นเวกเตอร์เดียว บอกทั้งทิศที่ชันที่สุดและความชันในทิศใดก็ได้

## คำถามที่พบบ่อย

อนุพันธ์ย่อย (partial derivative) หาอย่างไร?
ในการหา $\partial f/\partial x$ ให้มองตัวแปรอื่นทั้งหมด (เช่น $y$) เป็น “ค่าคงที่” แล้วหาอนุพันธ์ตาม $x$ ด้วยกฎของตัวแปรเดียวตามปกติ (กฎยกกำลัง ผลคูณ ผลหาร ลูกโซ่) ทำแบบเดียวกันกับ $y$ ตัวอย่าง $f = x^2 y + \sin(xy)$ ได้ $f_x = 2xy + y\cos(xy)$ และ $f_y = x^2 + x\cos(xy)$ เมื่อหาแล้วค่อยแทนจุดที่ต้องการ

อนุพันธ์ย่อยกับอนุพันธ์รวม (total derivative) ต่างกันอย่างไร?
อนุพันธ์ย่อยวัดการเปลี่ยนแปลงของ $f$ เมื่อเปลี่ยนตัวแปรเพียงตัวเดียวและตรึงตัวอื่นไว้ ส่วนอนุพันธ์รวม $df/dt$ วัดการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดเมื่อทุกตัวแปรเปลี่ยนไปตามเวลา คำนวณด้วยกฎลูกโซ่ $\dfrac{df}{dt} = f_x\dfrac{dx}{dt} + f_y\dfrac{dy}{dt}$ เช่นกำลัง $P(V, R)$ ที่แรงดันและความต้านทานต่างเปลี่ยนตามเวลา

ระนาบสัมผัสของ z = f(x, y) หาอย่างไร?
ที่จุด $(a, b)$ ระนาบสัมผัสคือ $z = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)$ ใช้ประมาณค่า $f$ ใกล้จุดนั้นได้ (linearization) เช่น $f = \sqrt{20 - x^2 - 7y^2}$ ที่ $(2, 1)$ ได้ $L = 3 - \tfrac23(x-2) - \tfrac73(y-1)$ และ $f(1.95, 1.08) \approx 2.847$ (ค่าจริง 2.834)

ทำไม f_xy = f_yx ? ต้องมีเงื่อนไขอะไร?
ทฤษฎีบทของแคลโร (Clairaut) บอกว่าถ้า $f_{xy}$ และ $f_{yx}$ ต่อเนื่องบนบริเวณเปิดที่ครอบจุดนั้น แล้วสองอนุพันธ์ผสมเท่ากัน ฟังก์ชันที่ใช้ในงานวิศวกรรมแทบทั้งหมดเรียบพอ จึงเลือกหาลำดับใดก่อนก็ได้ ใช้เป็นเครื่องมือตรวจคำตอบ และเป็นเกณฑ์ว่าสนามเวกเตอร์ $P\,\mathbf i + Q\,\mathbf j$ อนุรักษ์หรือไม่ ($P_y = Q_x$)

หา error propagation ของสูตรที่วัดหลายค่าอย่างไร?
ใช้ผลต่างรวม $\Delta f \approx |f_x|\Delta x + |f_y|\Delta y$ (ค่าแย่สุด) หรือ $\Delta f \approx \sqrt{(f_x\Delta x)^2 + (f_y\Delta y)^2}$ (RSS เมื่อความคลาดเคลื่อนอิสระกัน) เช่น $R = V/I$ เมื่อ $V = 12.0 \pm 0.1$ V และ $I = 2.00 \pm 0.02$ A ได้ $R = 6.00$ Ω และ $\Delta R \approx 0.05 + 0.06 = 0.11$ Ω แบบแย่สุด หรือ 0.078 Ω แบบ RSS

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**อนุพันธ์ย่อย (partial derivative) หาอย่างไร?**
ในการหา $\partial f/\partial x$ ให้มองตัวแปรอื่นทั้งหมด (เช่น $y$) เป็น “ค่าคงที่” แล้วหาอนุพันธ์ตาม $x$ ด้วยกฎของตัวแปรเดียวตามปกติ (กฎยกกำลัง ผลคูณ ผลหาร ลูกโซ่) ทำแบบเดียวกันกับ $y$ ตัวอย่าง $f = x^2 y + \sin(xy)$ ได้ $f_x = 2xy + y\cos(xy)$ และ $f_y = x^2 + x\cos(xy)$ เมื่อหาแล้วค่อยแทนจุดที่ต้องการ

**อนุพันธ์ย่อยกับอนุพันธ์รวม (total derivative) ต่างกันอย่างไร?**
อนุพันธ์ย่อยวัดการเปลี่ยนแปลงของ $f$ เมื่อเปลี่ยนตัวแปรเพียงตัวเดียวและตรึงตัวอื่นไว้ ส่วนอนุพันธ์รวม $df/dt$ วัดการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดเมื่อทุกตัวแปรเปลี่ยนไปตามเวลา คำนวณด้วยกฎลูกโซ่ $\dfrac{df}{dt} = f_x\dfrac{dx}{dt} + f_y\dfrac{dy}{dt}$ เช่นกำลัง $P(V, R)$ ที่แรงดันและความต้านทานต่างเปลี่ยนตามเวลา

**ระนาบสัมผัสของ z = f(x, y) หาอย่างไร?**
ที่จุด $(a, b)$ ระนาบสัมผัสคือ $z = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)$ ใช้ประมาณค่า $f$ ใกล้จุดนั้นได้ (linearization) เช่น $f = \sqrt{20 - x^2 - 7y^2}$ ที่ $(2, 1)$ ได้ $L = 3 - \tfrac23(x-2) - \tfrac73(y-1)$ และ $f(1.95, 1.08) \approx 2.847$ (ค่าจริง 2.834)

**ทำไม f_xy = f_yx ? ต้องมีเงื่อนไขอะไร?**
ทฤษฎีบทของแคลโร (Clairaut) บอกว่าถ้า $f_{xy}$ และ $f_{yx}$ ต่อเนื่องบนบริเวณเปิดที่ครอบจุดนั้น แล้วสองอนุพันธ์ผสมเท่ากัน ฟังก์ชันที่ใช้ในงานวิศวกรรมแทบทั้งหมดเรียบพอ จึงเลือกหาลำดับใดก่อนก็ได้ ใช้เป็นเครื่องมือตรวจคำตอบ และเป็นเกณฑ์ว่าสนามเวกเตอร์ $P\,\mathbf i + Q\,\mathbf j$ อนุรักษ์หรือไม่ ($P_y = Q_x$)

**หา error propagation ของสูตรที่วัดหลายค่าอย่างไร?**
ใช้ผลต่างรวม $\Delta f \approx |f_x|\Delta x + |f_y|\Delta y$ (ค่าแย่สุด) หรือ $\Delta f \approx \sqrt{(f_x\Delta x)^2 + (f_y\Delta y)^2}$ (RSS เมื่อความคลาดเคลื่อนอิสระกัน) เช่น $R = V/I$ เมื่อ $V = 12.0 \pm 0.1$ V และ $I = 2.00 \pm 0.02$ A ได้ $R = 6.00$ Ω และ $\Delta R \approx 0.05 + 0.06 = 0.11$ Ω แบบแย่สุด หรือ 0.078 Ω แบบ RSS