---
title: "ค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันหลายตัวแปร: จุดวิกฤต Hessian ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange Multiplier) และกำลังสองน้อยสุด"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/optimization/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-17
---

> การหาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันหลายตัวแปร (optimization): จุดวิกฤต (critical point) การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง D = fxx fyy − fxy² (second derivative test) Hessian ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บนบริเวณปิด ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange multiplier) ความหมายของ λ และการถดถอยเชิงเส้นด้วยกำลังสองน้อยสุด (least squares) พร้อมตัวอย่างออกแบบไฟฟ้า เครื่องกล โยธา และแล็บโต้ตอบ

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/optimization/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# ค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันหลายตัวแปร: จุดวิกฤต Hessian ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange Multiplier) และกำลังสองน้อยสุด

// บทที่ 24.4 · แคลคูลัสหลายตัวแปร · Optimization


วิศวกรทำงานกับ “ค่าที่ดีที่สุด” ตลอดเวลา: ออกแบบกระป๋องที่ใช้โลหะน้อยที่สุดสำหรับปริมาตรที่กำหนด หาจุดทำงานของแผงโซลาร์ให้ได้กำลังสูงสุด หรือหาเส้นตรงที่พอดีกับข้อมูลที่วัดมา ทั้งหมดคือการหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันหลายตัวแปร หน้านี้สอนครบสามระดับ: จุดวิกฤตและการทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง (Hessian) ค่าสุดขีดที่มีเงื่อนไขด้วยตัวคูณลากรองจ์ และกำลังสองน้อยสุด พร้อมแล็บสามชุดที่เห็นการสัมผัสกันของเส้นชั้นกับเส้นเงื่อนไข

สรุปใน 30 วินาที

- จุดวิกฤต: $\nabla f = \mathbf 0$ · ทดสอบ: $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ · $D>0,\ f_{xx}>0$ ต่ำสุด · $D>0,\ f_{xx}<0$ สูงสุด · $D<0$ อานม้า

- บริเวณปิด: เทียบค่าที่จุดวิกฤตภายใน กับค่าสุดขีดบนขอบ และมุม

- Lagrange: สุดขีดของ $f$ ภายใต้ $g = c$ ที่ $\nabla f = \lambda\nabla g$ · $\lambda = df^*/dc$

- กำลังสองน้อยสุด: เลือก $a, b$ ให้ $S = \sum(y_i - ax_i - b)^2$ ต่ำสุด → สมการปกติเชิงเส้น 2 สมการ

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## จุดวิกฤต (Critical Points) และการทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง พื้นฐาน

ที่ยอดเขาหรือก้นหุบ ผิวราบในแนวนอน: ความชันตามแกนทั้งสองเป็นศูนย์ นั่นคือ $\nabla f = \mathbf 0$ จุดที่ทำให้เป็นจริง (หรือที่อนุพันธ์ไม่มีค่า) เรียกว่าจุดวิกฤต (critical point) แต่ในสองตัวแปร จุดวิกฤตมีสามชนิด ไม่ใช่สอง: ต่ำสุด สูงสุด และจุดอานม้า (saddle point) ซึ่งโค้งขึ้นทางหนึ่งและโค้งลงอีกทางหนึ่ง การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองจำแนกทั้งสามด้วยตัวเลขตัวเดียวคือ $D$

O1 Critical point (necessary condition) จุดวิกฤต (เงื่อนไขจำเป็น)

$$f \text{ มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่จุดภายใน } (a, b) \ \Rightarrow\ f_x(a, b) = 0 \ \text{และ}\ f_y(a, b) = 0\ \ (\nabla f = \mathbf 0)$$

เป็นเงื่อนไข “จำเป็น” ไม่ใช่ “เพียงพอ”: $\nabla f = \mathbf 0$ อาจเป็นจุดอานม้า · ตรวจเฉพาะจุดภายในของโดเมน และจุดที่อนุพันธ์ไม่นิยาม (เช่นยอดแหลมของกรวย)

O2 Second derivative test การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

$$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = \det\mathbf H,\qquad \begin{cases} D > 0,\ f_{xx} > 0 & \Rightarrow \text{ต่ำสุดสัมพัทธ์ (local min)}\\ D > 0,\ f_{xx} $D>0$ หมายถึงโค้งทิศเดียวกันทุกแนว (ชามหรือโดม) · $D<0$ โค้งตรงข้ามกันในบางแนว (อานม้า) · ค่า $D$ ต้องคิด “ที่จุดวิกฤต” เท่านั้น

O3 Hessian and eigenvalues เมทริกซ์เฮสเซียนและค่าเฉพาะ

$$\mathbf H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix}:\quad \lambda_1,\lambda_2 > 0 \Rightarrow \min,\quad \lambda_1,\lambda_2 ใช้ได้กับ $n$ ตัวแปร: ต่ำสุดเมื่อ $\mathbf H$ เป็นบวกแน่นอน (positive definite) · $\det\mathbf H = \lambda_1\lambda_2 = D$ และ $\operatorname{tr}\mathbf H = \lambda_1 + \lambda_2$ · ค่าเฉพาะเป็นความโค้งของผิวในทิศหลัก (ดูค่าเฉพาะ)

### แล็บจุดวิกฤตและ Hessian

เลือกตัวอย่างหรือพิมพ์ฟังก์ชันของคุณ โปรแกรมหาจุด $\nabla f = \mathbf 0$ ทั้งหมดในกรอบ จำแนกชนิดด้วย $D$ และ $f_{xx}$ แล้วทำเครื่องหมายบนผิวและแผนที่เส้นชั้น ลองตัวอย่าง “ลิงอานม้า (D = 0)” เพื่อดูกรณีที่การทดสอบไม่สรุป

จุดวิกฤตสามชนิด: ต่ำสุดสัมพัทธ์ (local minimum) สูงสุดสัมพัทธ์ (local maximum) และจุดอานม้า (saddle point) พร้อมเส้นชั้นความสูงของแต่ละชนิด

ตัวอย่าง O-1 · จำแนกจุดวิกฤต

### หาและจำแนกจุดวิกฤตของ $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy$

- $f_x = 4x^3 - 4y = 0$ และ $f_y = 4y^3 - 4x = 0$ → $y = x^3$ และ $x = y^3$

- แทน $y = x^3$ ใน $x = y^3$: $x = x^9$ → $x(x^8 - 1) = 0$ ได้ $x = 0, 1, -1$ (ค่าจริง) จึงได้จุด $(0, 0),\ (1, 1),\ (-1, -1)$

- อนุพันธ์อันดับสอง: $f_{xx} = 12x^2$ · $f_{yy} = 12y^2$ · $f_{xy} = -4$

- ที่ $(0,0)$: $D = 0\cdot0 - 16 = -16 < 0$ → จุดอานม้า

- ที่ $(1, 1)$ และ $(-1,-1)$: $f_{xx} = 12,\ f_{yy} = 12$ → $D = 144 - 16 = 128 > 0$ และ $f_{xx} > 0$ → ต่ำสุดสัมพัทธ์ ทั้งสองจุด ค่า $f = 1 + 1 - 4 = -2$

$(0,0)$: อานม้า $f = 0$ · $(1,1)$ และ $(-1,-1)$: ต่ำสุดสัมพัทธ์ $f = -2$

ตัวอย่าง O-2 · เมื่อ D = 0

### $f(x, y) = x^3 - 3xy^2$ (monkey saddle) ที่ $(0, 0)$

- $f_x = 3x^2 - 3y^2,\ f_y = -6xy$ → $(0, 0)$ เป็นจุดวิกฤต (และเป็นจุดเดียว)

- $f_{xx} = 6x,\ f_{yy} = -6x,\ f_{xy} = -6y$ ที่จุดกำเนิดเป็น 0 ทั้งหมด → $D = 0$ ทดสอบไม่สรุป

- ตรวจด้วยการพิจารณาตามเส้น: ตามแกน $x$ $f = x^3$ ซึ่งเป็นลบเมื่อ $x < 0$ และบวกเมื่อ $x > 0$ → ไม่ใช่ทั้งสูงสุดและต่ำสุด

- เป็นจุดอานม้าชนิด “สามหุบ” (ผิวมีสามร่องขึ้นและสามร่องลง เหมือนอานสำหรับลิงที่มีหาง)

$D = 0$ การทดสอบไม่สรุป · ตรวจโดยตรงพบเป็นจุดอานม้า

## ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บนบริเวณปิด กลาง

การทดสอบ $D$ บอกแค่ค่าสุดขีด “สัมพัทธ์” (เฉพาะละแวก) งานออกแบบจริงมักถามค่าสุดขีด “สัมบูรณ์” บนบริเวณที่กำหนด เช่นกำลังสูงสุดในช่วงแรงดันที่ใช้ได้ ทฤษฎีบทค่าสุดขีด (Extreme Value Theorem) รับรองว่าฟังก์ชันต่อเนื่องบนบริเวณปิดและมีขอบเขตมีค่าสูงสุดและต่ำสุดแน่นอน ค่าเหล่านั้นอยู่ที่จุดวิกฤตภายในหรือบนขอบ

O4 Absolute extrema on a closed region ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บนบริเวณปิด

$$\text{(1) หา } f \text{ ที่จุดวิกฤตภายใน}\ \ \text{(2) หาค่าสุดขีดของ } f \text{ บนขอบ (ลดเป็นตัวแปรเดียว) รวมมุม}\ \ \text{(3) เทียบทุกค่า: มากสุด = max สัมบูรณ์ น้อยสุด = min สัมบูรณ์}$$

ไม่ต้องใช้ $D$ · ขอบที่เป็นเส้นโค้งอาจใช้ตัวคูณลากรองจ์ (ด้านล่าง) แทนการแทนค่า

ตัวอย่าง O-3 · บนสี่เหลี่ยมผืนผ้า

### หาค่าสูงสุดและต่ำสุดสัมบูรณ์ของ $f(x, y) = x^2 - 2xy + 2y$ บน $0 \le x \le 3,\ 0 \le y \le 2$

- จุดวิกฤตภายใน: $f_x = 2x - 2y = 0$ และ $f_y = -2x + 2 = 0$ → $(1, 1)$ อยู่ภายใน · $f(1, 1) = 1 - 2 + 2 = 1$

- ขอบล่าง $y = 0$, $0 \le x \le 3$: $f = x^2$ ต่ำสุด 0 ที่ $x = 0$ สูงสุด 9 ที่ $x = 3$

- ขอบขวา $x = 3$, $0 \le y \le 2$: $f = 9 - 6y + 2y = 9 - 4y$ ลดลง จาก 9 (ที่ $y = 0$) ถึง 1 (ที่ $y = 2$)

- ขอบบน $y = 2$, $0 \le x \le 3$: $f = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ ต่ำสุด 0 ที่ $x = 2$ สูงสุด 4 ที่ $x = 0$

- ขอบซ้าย $x = 0$, $0 \le y \le 2$: $f = 2y$ จาก 0 ถึง 4

- เทียบค่าที่ได้ทั้งหมด: $1,\ 0,\ 9,\ 1,\ 0,\ 4,\ 4$ → มากสุด 9 ที่ $(3, 0)$ · น้อยสุด 0 ที่ $(0, 0)$ และ $(2, 2)$

สูงสุดสัมบูรณ์ $f = 9$ ที่ $(3, 0)$ · ต่ำสุดสัมบูรณ์ $f = 0$ ที่ $(0, 0)$ และ $(2, 2)$ (จุดวิกฤต $(1,1)$ ให้แค่ $f = 1$ ซึ่งเป็นจุดอานม้า)

ตัวอย่าง O-4 · กล่องไม่มีฝา (เครื่องกล)

### กล่องสี่เหลี่ยมไม่มีฝาทำจากแผ่นโลหะ 12 ตารางเมตร ออกแบบให้ความจุสูงสุด

- ให้ยาว $x$ กว้าง $y$ สูง $z$ · ปริมาตร $V = xyz$ · พื้นที่ผิว $xy + 2yz + 2xz = 12$

- แก้ $z = \dfrac{12 - xy}{2(x + y)}$ แล้วแทน: $V(x, y) = \dfrac{xy(12 - xy)}{2(x + y)}$ (ฟังก์ชันสองตัวแปร)

- แก้ $V_x = V_y = 0$ (โดยสมมาตรของ $x$ กับ $y$) ได้ $x = y = 2$ (จุดวิกฤตที่ใช้ได้ คือ $x, y > 0$)

- $z = \dfrac{12 - 4}{2\cdot 4} = 1$ · $V = 2\cdot2\cdot1 = 4$ ลูกบาศก์เมตร

- เหตุผลว่าเป็นสูงสุด: $V \to 0$ ที่ขอบ ($x\to0$, $y\to0$ หรือ $xy \to 12$) และจุดวิกฤตเดียวที่ภายในจึงต้องเป็นค่าสูงสุด

ขนาด $2 \times 2 \times 1$ ม. (ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส สูงครึ่งหนึ่งของด้านฐาน) ปริมาตร $4$ ม³

## ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange Multipliers) กลาง

งานออกแบบมีเงื่อนไขเสมอ: ปริมาตรต้องได้ 355 mL งบประมาณ 1 ล้านบาท ลวดยาว 100 เมตร วิธีของลากรองจ์หาค่าสุดขีดของ $f(x, y)$ ภายใต้เงื่อนไข $g(x, y) = c$ โดยไม่ต้องแก้เงื่อนไขหาตัวแปรตัวหนึ่ง ภาพเรขาคณิตคือ: เดินตามเส้นเงื่อนไข $g = c$ แล้วดูเส้นชั้นของ $f$ ที่เดินผ่าน ค่า $f$ เพิ่มขึ้นขณะที่เส้นชั้นตัดเส้นเงื่อนไข และหยุดเพิ่ม (สุดขีด) ตอนที่เส้นชั้นเพียงสัมผัสเส้นเงื่อนไข ณ จุดสัมผัส เส้นสัมผัสร่วม แปลว่าเส้นตั้งฉากร่วม นั่นคือ $\nabla f \parallel \nabla g$

O5 Lagrange condition เงื่อนไขของลากรองจ์

$$\nabla f = \lambda\,\nabla g,\quad g(x, y) = c \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases} f_x = \lambda\,g_x\\ f_y = \lambda\,g_y\\ g(x,y) = c \end{cases}\quad(\text{3 สมการ 3 ตัวไม่ทราบ } x, y, \lambda)$$

ใช้ได้เมื่อ $\nabla g \ne \mathbf 0$ บนเส้นเงื่อนไข · สามตัวแปรก็เหมือนกัน (4 สมการ 4 ตัวไม่ทราบ) · เทียบค่า $f$ ที่ทุกจุดที่ได้ แล้วเลือกมากสุด/น้อยสุด · วิธีจำ: สร้าง $\mathcal L = f - \lambda(g - c)$ แล้วตั้ง $\nabla\mathcal L = \mathbf 0$

O6 Two constraints สองเงื่อนไข

$$\nabla f = \lambda\,\nabla g + \mu\,\nabla h,\quad g = c_1,\ h = c_2 \quad(f(x,y,z))$$

เมื่อมีเงื่อนไขสองข้อในสามตัวแปร จุดเหมาะสมที่สุดอยู่บนเส้นโค้งที่เป็นรอยตัดของสองผิว และ $\nabla f$ อยู่ในระนาบที่ขึงด้วย $\nabla g$ กับ $\nabla h$

O7 Meaning of λ (shadow price) ความหมายของ λ

$$\lambda = \frac{df^{*}}{dc},\qquad f^{*}(c) = \text{ค่าสุดขีดเมื่อเงื่อนไขเป็น } g = c$$

ถ้าผ่อนเงื่อนไขเพิ่ม $\Delta c$ ค่าเหมาะสมที่สุดเปลี่ยนประมาณ $\lambda\,\Delta c$ · ในงานวิศวกรรมบอกว่า “ลงทุนเพิ่มทรัพยากร 1 หน่วยคุ้มแค่ไหน”

### แล็บลากรองจ์: เส้นชั้นสัมผัสเส้นเงื่อนไข

เส้นหนาสีดำคือเงื่อนไข $g = c$ เส้นสีคือเส้นชั้นของ $f$ ที่จุดสุดขีดลูกศรสีฟ้า ($\nabla f$) และสีส้มประ ($\nabla g$) ซ้อนทับกัน (ขนานกัน) คลิกบนเส้นเงื่อนไขที่จุดใดก็ได้เพื่อดูว่ามุมระหว่างสองลูกศรเป็นศูนย์เฉพาะที่ตำแหน่งเหล่านี้เท่านั้น

ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange multiplier): ที่จุดเหมาะสมที่สุด เส้นชั้นของ $f$ สัมผัสเส้นเงื่อนไข $g = c$ จึง $\nabla f$ ขนาน $\nabla g$

ตัวอย่าง O-5 · รั้วสี่เหลี่ยมพื้นที่สูงสุด

### ลวดยาว 20 เมตรล้อมรั้วสี่เหลี่ยมผืนผ้า ให้พื้นที่ $f = xy$ มากสุด เมื่อ $g = x + y = 10$ (ครึ่งเส้นรอบรูป) · และหา $\lambda$

- $\nabla f = \langle y, x\rangle$ · $\nabla g = \langle 1, 1\rangle$ → $y = \lambda,\ x = \lambda$ จึง $x = y$

- เงื่อนไข $x + y = 10$ → $x = y = 5$ · $f = 25$ ตารางเมตร (จัตุรัสพื้นที่สูงสุด)

- $\lambda = 5$ · ตรวจความหมาย: เมื่อ $x + y = c$ พื้นที่สูงสุดคือ $f^* = c^2/4$ จึง $df^*/dc = c/2 = 5$ ที่ $c = 10$ ตรงกับ $\lambda$ ✓

- ตีความ: ต่อลวดเพิ่ม 1 เมตร (เส้นรอบรูปเป็น 21 m จึง $c$ เพิ่ม $\Delta c = 0.5$) พื้นที่สูงสุดเพิ่มประมาณ $\lambda\,\Delta c = 5 \times 0.5 = 2.5$ ตร.ม. · ตรวจ: $c = 10.5$ ให้ $f^* = 10.5^2/4 = 27.56$ เพิ่มจาก 25 อยู่ 2.56 ✓

$x = y = 5$, $f_{\max} = 25$ m², $\lambda = 5$

ตัวอย่าง O-6 · สุดขีดบนวงกลม

### หาค่าสูงสุดและต่ำสุดของ $f(x, y) = x^2 + 2y^2$ บนวงกลม $x^2 + y^2 = 1$

- $\nabla f = \langle 2x, 4y\rangle$ · $\nabla g = \langle 2x, 2y\rangle$ · ตั้ง $2x = 2\lambda x$ และ $4y = 2\lambda y$

- กรณี $x \ne 0$: $\lambda = 1$ แล้ว $4y = 2y$ → $y = 0$ → $x = \pm 1$ · $f = 1$

- กรณี $y \ne 0$: $\lambda = 2$ แล้ว $2x = 4x$ → $x = 0$ → $y = \pm 1$ · $f = 2$

- เทียบ: $f(\pm1, 0) = 1,\ f(0, \pm1) = 2$

สูงสุด $f = 2$ ที่ $(0, \pm1)$ ($\lambda = 2$) · ต่ำสุด $f = 1$ ที่ $(\pm1, 0)$ ($\lambda = 1$)

ตัวอย่าง O-7 · กระป๋องใช้โลหะน้อยที่สุด (เครื่องกล)

### กระป๋องทรงกระบอกจุ 355 cm³ ออกแบบรัศมี $r$ และความสูง $h$ ให้พื้นที่ผิว $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ น้อยที่สุด

- เงื่อนไข $g = \pi r^2 h = 355$ · $\nabla A = \langle 4\pi r + 2\pi h,\ 2\pi r\rangle$ · $\nabla g = \langle 2\pi rh,\ \pi r^2\rangle$ (ตัวแปรเรียง $r, h$)

- จาก $2\pi r = \lambda\pi r^2$ ได้ $\lambda = 2/r$

- แทนใน $4\pi r + 2\pi h = \lambda\cdot 2\pi rh = 4\pi h$ → $4\pi r = 2\pi h$ → $h = 2r$

- เงื่อนไข: $\pi r^2(2r) = 355$ → $r = \sqrt[3]{355/(2\pi)} = 3.837$ cm → $h = 7.674$ cm

- $A_{\min} = 6\pi r^2 = 6\pi(14.72) = 277.5$ cm² · กระป๋องที่ดีที่สุดมีความสูง = เส้นผ่านศูนย์กลางพอดี (ในทางปฏิบัติกระป๋องจริงสูงกว่าเพราะเหตุผลการจับถือ รอยตะเข็บ และต้นทุนพิมพ์)

$r = 3.84$ cm, $h = 7.67$ cm ($h = 2r$) · พื้นที่ผิวต่ำสุด $\approx 277.5$ cm²

ตัวอย่าง O-8 · คานที่แข็งแรงที่สุดจากท่อนซุง (โยธา)

### ตัดคานสี่เหลี่ยมกว้าง $w$ สูง $h$ จากซุงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง $D = 0.50$ m ให้ความแข็งแรง $f = wh^2$ (ซึ่งแปรผันตามโมดูลัสหน้าตัด $S = wh^2/6$) สูงสุด

- เงื่อนไข: มุมคานอยู่บนวงกลม $w^2 + h^2 = D^2$ · $\nabla f = \langle h^2,\ 2wh\rangle$ · $\nabla g = \langle 2w,\ 2h\rangle$

- $h^2 = 2\lambda w$ และ $2wh = 2\lambda h$ → (เมื่อ $h \ne 0$) $\lambda = w$ → $h^2 = 2w^2$

- แทนในเงื่อนไข: $w^2 + 2w^2 = D^2$ → $w = D/\sqrt3 = 0.2887$ m และ $h = D\sqrt{2/3} = 0.4082$ m

- $h/w = \sqrt2 = 1.414$ — อัตราส่วนคลาสสิกของคานไม้จากซุงกลม (ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งได้ $w = h = 0.354$ และ $wh^2 = 0.0442$ เทียบกับค่าที่ดีที่สุด $0.2887\times0.4082^2 = 0.0481$, ดีกว่า 8.9%)

$w = 0.289$ m, $h = 0.408$ m ($h/w = \sqrt2$) · แข็งแรงกว่าหน้าตัดจัตุรัสจากซุงเดียวกันราว 9%

## กำลังสองน้อยสุด (Least Squares) และการถดถอยเชิงเส้น กลาง

วัดข้อมูลมาหลายจุด $(x_i, y_i)$ ซึ่งมีสัญญาณรบกวน ต้องการเส้นตรง $y = ax + b$ ที่ “พอดีที่สุด” นิยามความพอดีด้วยผลรวมกำลังสองของความคลาดเคลื่อนในแนวตั้ง $S(a, b) = \sum (y_i - ax_i - b)^2$ แล้วเลือก $a, b$ ที่ทำให้ $S$ ต่ำสุด นี่คือปัญหาหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันสองตัวแปร (ตัวแปรคือ $a, b$ ไม่ใช่ $x, y$!) ซึ่ง $S$ เป็นฟังก์ชันกำลังสองของ $a, b$ จึงมีชามเดียว จุดวิกฤตเดียวคือต่ำสุดแน่นอน และได้สมการเชิงเส้นแก้ตรง ๆ

O8 Normal equations (line fit) สมการปกติของเส้นตรง

$$\frac{\partial S}{\partial a} = 0,\ \frac{\partial S}{\partial b} = 0 \ \Rightarrow\ \begin{cases} \left(\sum x_i^2\right)a + \left(\sum x_i\right)b = \sum x_iy_i\\ \left(\sum x_i\right)a + n\,b = \sum y_i \end{cases}\ \Rightarrow\ a = \frac{n\sum x_iy_i - \sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2},\ \ b = \bar y - a\bar x$$

เส้นผ่านจุดศูนย์กลางข้อมูล $(\bar x, \bar y)$ เสมอ · ต้องมีค่า $x$ ต่างกันอย่างน้อยสองค่า (ตัวส่วน $\ne 0$) · สรุปไว้ใช้เป็นฟังก์ชัน LINEST / polyfit

O9 Coefficient of determination ความพอดีของเส้น

$$R^2 = 1 - \frac{S_{\min}}{\sum (y_i - \bar y)^2}$$

$R^2 = 1$ เส้นผ่านทุกจุดพอดี · $R^2 \approx 0$ เส้นตรงไม่ช่วยอธิบายข้อมูล

O10 Matrix form รูปเมทริกซ์

$$\mathbf A\boldsymbol\theta \approx \mathbf y \ \Rightarrow\ \mathbf A^{\!\top}\mathbf A\,\boldsymbol\theta = \mathbf A^{\!\top}\mathbf y,\quad \mathbf A = \begin{pmatrix} x_1 & 1\\ \vdots & \vdots\\ x_n & 1\end{pmatrix}$$

ใช้ได้กับพหุนามและโมเดลเชิงเส้นในพารามิเตอร์ทุกแบบ · เชื่อมกับพีชคณิตเชิงเส้น

### แล็บกำลังสองน้อยสุด: ชามของ S(a, b)

เลือกชุดข้อมูลจากงานไฟฟ้า เครื่องกล หรือโยธา แล้วลากจุดสีส้มบนแผนที่ขวา (ระนาบ $a$–$b$) หรือใช้แถบเลื่อน เส้นประบนกราฟซ้ายจะเปลี่ยน ส่วนเส้นประสีแดงแสดงความคลาดเคลื่อนแต่ละจุด เมื่อจุดสีส้มไปถึงจุดสีเขียว (ก้นชาม) ผลรวมกำลังสอง $S$ น้อยที่สุด ตรงกับเส้นสีเขียวที่คำนวณจากสมการปกติ คลิกบนกราฟซ้ายเพื่อเพิ่มจุดข้อมูลได้

ตัวอย่าง O-9 · เส้นตรงที่พอดีกับข้อมูลสี่จุด

### ข้อมูล $(1, 2.1),\ (2, 3.9),\ (3, 6.2),\ (4, 7.8)$ จงหา $y = ax + b$

- ผลรวม: $n = 4$ · $\sum x = 10$ · $\sum y = 20.0$ · $\sum x^2 = 30$ · $\sum xy = 2.1 + 7.8 + 18.6 + 31.2 = 59.7$

- สมการปกติ: $30a + 10b = 59.7$ และ $10a + 4b = 20.0$

- จากสมการที่สอง $b = 5 - 2.5a$ แทนในสมการแรก: $30a + 50 - 25a = 59.7$ → $5a = 9.7$ → $a = 1.94$ และ $b = 5 - 4.85 = 0.15$

- ตรวจ: เส้นผ่านจุดศูนย์กลาง $(\bar x, \bar y) = (2.5, 5.0)$: $1.94(2.5) + 0.15 = 5.0$ ✓

$y = 1.94x + 0.15$

ตัวอย่าง O-10 · หาค่าความต้านทานจากการวัด V–I (ไฟฟ้า)

### วัดกระแส $I$ (mA) = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ได้แรงดัน $V$ (V) = 0.51, 1.03, 1.49, 2.02, 2.52, 2.98 ประมาณความต้านทาน $R$

- กฎของโอห์ม $V = RI$: ความชัน $a$ ของกราฟ $V$–$I$ คือ $R$ (หน่วย V/mA = kΩ)

- กำลังสองน้อยสุดให้ $a = 0.4957$ kΩ และ $b = 0.0233$ V (ค่าชดเชยของเครื่องวัด/อ็อฟเซต)

- $R \approx 496\ \Omega$ · $R^2 = 0.9996$ เส้นตรงอธิบายข้อมูลได้ดีมาก และ $b$ เล็กมากเทียบกับ $V$ สูงสุด

- ถ้าบังคับเส้นผ่านจุดกำเนิด ($b = 0$) จะได้ $R = \sum IV/\sum I^2 = 45.6/91 = 0.5011$ kΩ (501 Ω) ใกล้กัน · หากต้องการประเมินความไม่แน่นอนของ $R$ ใช้ความแปรปรวนของส่วนเหลือ

$R \approx 496\ \Omega$ ($R^2 = 0.9996$) · ออฟเซตเครื่องวัด $\approx 23$ mV

## ขั้นตอนแก้โจทย์ออกแบบ พื้นฐาน

- เขียนฟังก์ชันเป้าหมาย $f$ (ต้นทุน พื้นที่ผิว กำลัง ความผิดพลาด) และตัวแปรทั้งหมดพร้อมหน่วย

- ระบุเงื่อนไข ถ้ามีสมการเงื่อนไข เลือก (ก) แทนค่าลดตัวแปร หรือ (ข) ลากรองจ์ (เมื่อแทนยาก หรือต้องการ $\lambda$)

- หาจุดวิกฤต แก้ $\nabla f = \mathbf 0$ (ไม่มีเงื่อนไข) หรือ $\nabla f = \lambda\nabla g$ (มีเงื่อนไข)

- ตรวจชนิด ด้วย $D$ หรือเหตุผลของบริเวณปิด (เทียบกับขอบ) หรือสังเกตว่าค่า $\to \infty$ ที่ขอบ

- ตรวจความสมเหตุสมผล หน่วย ขนาดที่ได้เป็นไปได้ทางกายภาพ (เช่นขนาดไม่เป็นลบ) และเทียบกับค่าตัวเลขอย่างหยาบ

| สาขา | ปัญหา | วิธี |

| ไฟฟ้า | พารามิเตอร์ตัวควบคุมที่ทำให้ค่าความผิดพลาด $J(K_p, K_i)$ ต่ำสุด | จุดวิกฤต / gradient descent (จูน PID) |

| ไฟฟ้า | หาแบบจำลองเส้นตรงของเซนเซอร์จากการสอบเทียบ | กำลังสองน้อยสุด (การสอบเทียบ) |

| เครื่องกล | รูปทรงถัง/ท่อที่ใช้วัสดุน้อยที่สุด | Lagrange (ตัวอย่าง O-7) |

| เครื่องกล | กล่อง/ครีบระบายความร้อนที่รับกำลังได้สูงสุดในพื้นที่จำกัด | จุดวิกฤต + บริเวณปิด |

| โยธา | หน้าตัดคานที่แข็งแรงสุดจากวัสดุกลม | Lagrange (ตัวอย่าง O-8) |

| โยธา | จุดตั้งสถานีที่ทำให้ระยะทางรวมถึงจุดต่าง ๆ สั้นที่สุด | กำลังสองน้อยสุดและจุดวิกฤต |

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- สรุปว่าจุดวิกฤตทุกจุดคือสูงสุดหรือต่ำสุด ต้องแยกจุดอานม้าด้วย $D$ (เช่น $(0,0)$ ของ $x^2 - y^2$)

- ใช้ $D$ ที่จุดที่ไม่ใช่จุดวิกฤต · ต้องแก้ $\nabla f = \mathbf 0$ ก่อนเสมอ

- ลืมตรวจขอบ ในโจทย์บริเวณปิด ค่าสูงสุดสัมบูรณ์มักอยู่บนขอบหรือที่มุม (ตัวอย่าง O-3 ค่าสูงสุดอยู่ที่มุม)

- ลืมเทียบค่า $f$ หลังหาจุดจาก Lagrange · วิธีนี้ให้ “ผู้ต้องสงสัย” ไม่ได้บอกว่าจุดไหนสูงสุดหรือต่ำสุด

- สับสนตัวแปรของกำลังสองน้อยสุด · ตัวแปรเมื่อหาค่าต่ำสุดคือ $a, b$ (พารามิเตอร์) ส่วน $x_i, y_i$ คือข้อมูลคงที่

ไปต่อที่อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น ซึ่งรวมค่าของฟังก์ชันหลายตัวแปรทั่วบริเวณเพื่อหาปริมาตร มวล และจุดศูนย์กลางมวล

## คำถามที่พบบ่อย

จุดวิกฤต (critical point) ของฟังก์ชันสองตัวแปรหาอย่างไร?
ตั้ง $f_x = 0$ และ $f_y = 0$ พร้อมกันแล้วแก้ระบบสมการ ได้จุดที่ผิวมีระนาบสัมผัสแนวนอน (หรือจุดที่ $f_x$ หรือ $f_y$ ไม่มีค่า) ตัวอย่าง $f = x^4 + y^4 - 4xy$: $4x^3 - 4y = 0$ และ $4y^3 - 4x = 0$ ได้ $(0,0), (1,1), (-1,-1)$ จากนั้นจำแนกชนิดด้วยการทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง (second derivative test) ทำอย่างไร?
คำนวณ $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ ที่จุดวิกฤต ถ้า $D > 0$ และ $f_{xx} > 0$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ถ้า $D > 0$ และ $f_{xx}
ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange multiplier) ใช้เมื่อไร และ λ แปลว่าอะไร?
ใช้หาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของ $f$ ภายใต้เงื่อนไข $g(x,y) = c$ โดยแก้ $\nabla f = \lambda\nabla g$ ร่วมกับ $g = c$ ความหมายเชิงเรขาคณิตคือที่จุดเหมาะสม เส้นชั้นของ $f$ สัมผัสเส้นเงื่อนไข จึง gradient ขนานกัน ส่วน $\lambda$ เท่ากับ $df^*/dc$ คืออัตราที่ค่าเหมาะสมที่สุดเปลี่ยนเมื่อผ่อนเงื่อนไข (shadow price) เช่นขยายงบประมาณ 1 หน่วยจะได้ผลดีขึ้นประมาณ $\lambda$ หน่วย

กำลังสองน้อยสุด (least squares) เกี่ยวกับอนุพันธ์ย่อยอย่างไร?
เส้นตรง $y = ax + b$ ที่พอดีกับข้อมูลที่สุดคือเส้นที่ทำให้ผลรวมกำลังสองความคลาดเคลื่อน $S(a,b) = \sum (y_i - ax_i - b)^2$ น้อยที่สุด ซึ่งเป็นปัญหาหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันสองตัวแปร $a, b$ ตั้ง $\partial S/\partial a = 0$ และ $\partial S/\partial b = 0$ ได้ระบบสมการปกติ (normal equations) เชิงเส้นสองสมการ แก้หา $a, b$ ตรง ๆ ได้ นี่คือที่มาของ linear regression

หาค่าสูงสุด-ต่ำสุดสัมบูรณ์บนบริเวณปิดทำอย่างไร?
เมื่อบริเวณปิดและมีขอบเขต (closed and bounded) ค่าสุดขีดสัมบูรณ์มีแน่นอน ให้ (1) หาจุดวิกฤตภายในและคำนวณ $f$ (2) หาค่าสุดขีดบนขอบโดยลดเป็นปัญหาตัวแปรเดียวทีละด้าน ตรวจมุมด้วย (3) เปรียบเทียบค่าทั้งหมด ค่ามากสุดคือค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ค่าน้อยสุดคือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ไม่ต้องทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**จุดวิกฤต (critical point) ของฟังก์ชันสองตัวแปรหาอย่างไร?**
ตั้ง $f_x = 0$ และ $f_y = 0$ พร้อมกันแล้วแก้ระบบสมการ ได้จุดที่ผิวมีระนาบสัมผัสแนวนอน (หรือจุดที่ $f_x$ หรือ $f_y$ ไม่มีค่า) ตัวอย่าง $f = x^4 + y^4 - 4xy$: $4x^3 - 4y = 0$ และ $4y^3 - 4x = 0$ ได้ $(0,0), (1,1), (-1,-1)$ จากนั้นจำแนกชนิดด้วยการทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

**การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง (second derivative test) ทำอย่างไร?**
คำนวณ $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ ที่จุดวิกฤต ถ้า $D > 0$ และ $f_{xx} > 0$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ถ้า $D > 0$ และ $f_{xx} < 0$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ถ้า $D < 0$ เป็นจุดอานม้า (saddle point) ถ้า $D = 0$ ทดสอบนี้ไม่สรุป ต้องดูแบบอื่น เช่นตัวอย่าง $x^3 - 3xy^2$ ที่ $D = 0$ แต่เป็นจุดอานม้า

**ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange multiplier) ใช้เมื่อไร และ λ แปลว่าอะไร?**
ใช้หาค่าสูงสุด-ต่ำสุดของ $f$ ภายใต้เงื่อนไข $g(x,y) = c$ โดยแก้ $\nabla f = \lambda\nabla g$ ร่วมกับ $g = c$ ความหมายเชิงเรขาคณิตคือที่จุดเหมาะสม เส้นชั้นของ $f$ สัมผัสเส้นเงื่อนไข จึง gradient ขนานกัน ส่วน $\lambda$ เท่ากับ $df^*/dc$ คืออัตราที่ค่าเหมาะสมที่สุดเปลี่ยนเมื่อผ่อนเงื่อนไข (shadow price) เช่นขยายงบประมาณ 1 หน่วยจะได้ผลดีขึ้นประมาณ $\lambda$ หน่วย

**กำลังสองน้อยสุด (least squares) เกี่ยวกับอนุพันธ์ย่อยอย่างไร?**
เส้นตรง $y = ax + b$ ที่พอดีกับข้อมูลที่สุดคือเส้นที่ทำให้ผลรวมกำลังสองความคลาดเคลื่อน $S(a,b) = \sum (y_i - ax_i - b)^2$ น้อยที่สุด ซึ่งเป็นปัญหาหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันสองตัวแปร $a, b$ ตั้ง $\partial S/\partial a = 0$ และ $\partial S/\partial b = 0$ ได้ระบบสมการปกติ (normal equations) เชิงเส้นสองสมการ แก้หา $a, b$ ตรง ๆ ได้ นี่คือที่มาของ linear regression

**หาค่าสูงสุด-ต่ำสุดสัมบูรณ์บนบริเวณปิดทำอย่างไร?**
เมื่อบริเวณปิดและมีขอบเขต (closed and bounded) ค่าสุดขีดสัมบูรณ์มีแน่นอน ให้ (1) หาจุดวิกฤตภายในและคำนวณ $f$ (2) หาค่าสุดขีดบนขอบโดยลดเป็นปัญหาตัวแปรเดียวทีละด้าน ตรวจมุมด้วย (3) เปรียบเทียบค่าทั้งหมด ค่ามากสุดคือค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ค่าน้อยสุดคือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ไม่ต้องทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง