---
title: "แล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร (Multivariable Calculus Lab) ออนไลน์: กราฟผิว gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/multivariable-lab/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-17
---

> เครื่องมือแล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร (multivariable calculus lab) ภาษาไทยใช้ฟรี 19 ชุด: กราฟผิว 3 มิติและระนาบสัมผัส gradient จุดวิกฤต ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange multiplier) อินทิกรัลสองชั้นสามชั้น Jacobian เส้นโค้งในอวกาศ สนามเวกเตอร์ divergence curl ทฤษฎีบท Gauss และ Stokes พร้อมแล็บไฟฟ้า เครื่องกล โยธา พิมพ์สมการเองได้ ไม่ต้องติดตั้ง

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/multivariable-lab/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# แล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร (Multivariable Calculus Lab) ออนไลน์: กราฟผิว gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes

// บทที่ 24.13 · ห้องแล็บ · Multivariable Calculus Lab


รวมเครื่องมือโต้ตอบของทั้งชุด 19 ตัวไว้ในหน้าเดียว พิมพ์สมการของโจทย์ตัวเองลงไปได้เลย ทุกแล็บแสดงสูตรและตัวเลขที่ต้องใช้ในข้อสอบ แล้วลากเมาส์หรือนิ้วเพื่อดูว่าตัวเลขเปลี่ยนอย่างไร เหมาะกับการตรวจคำตอบการบ้านแคลคูลัส 3 และสร้างภาพในหัวก่อนลงมือคำนวณ

วิธีใช้

- พิมพ์สมการ: ใช้ x, y, z, t และ ^ ยกกำลัง * คูณ เช่น sin(x)*cos(y), exp(-(x^2+y^2)) · มี pi และ e

- ลากกราฟ 3 มิติ เพื่อหมุน ลากจุดบนแผนที่เส้นชั้นความสูงเพื่อย้ายตำแหน่ง

- ปุ่มตัวอย่างโหลดโจทย์สำเร็จรูป ใต้แล็บแต่ละตัวมี "ลองทำ" เพื่อชี้ว่าควรสังเกตอะไร

## กลุ่ม 1 · ฟังก์ชันและอนุพันธ์หลายตัวแปร

### 1. กราฟผิว 3 มิติ เส้นชั้นความสูง และระนาบสัมผัส (3D surface, contour, tangent plane)

พิมพ์ $z = f(x, y)$ ดูผิวสามมิติคู่กับแผนที่เส้นชั้นความสูง เปิด "ระนาบสัมผัส" เพื่อดูเส้นตัดและระนาบ $z = f(x_0,y_0) + f_x(x - x_0) + f_y(y - y_0)$ ที่จุดที่ลากได้ เนื้อหา: ฟังก์ชันหลายตัวแปร · อนุพันธ์ย่อย

ลองทำ: ใส่ x^2-y^2 (อานม้า) แล้วย้ายจุดไปที่ (0, 0) ระนาบสัมผัสจะแบนราบแต่ผิวโค้งขึ้นทางหนึ่งและลงอีกทางหนึ่ง · ใส่ sqrt(x^2+y^2) แล้วดูว่ายอดกรวยไม่มีระนาบสัมผัส

### 2. ทดสอบลิมิตสองตัวแปร (Limit along paths)

ลิมิตที่ $(0,0)$ ต้องได้ค่าเดียวกันทุกเส้นทาง แล็บนี้ทดลองเส้นตรง พาราโบลา และเส้นโค้งอื่น ๆ เข้าหาจุดแล้วแจ้งว่า "ไม่มีลิมิต" เมื่อสองเส้นทางให้ค่าต่างกัน เนื้อหา: ลิมิตและความต่อเนื่อง

### 3. เกรเดียนต์ อนุพันธ์ตามทิศ และ gradient descent (Gradient, directional derivative)

$\nabla f$ ชี้ทางขึ้นชันที่สุด หมุนทิศ $\mathbf u$ แล้วดู $D_{\mathbf u}f = \nabla f\cdot\mathbf u$ เปลี่ยนจาก $+|\nabla f|$ ถึง $-|\nabla f|$ ปุ่ม gradient descent เดินตาม $-\nabla f$ ลงหุบ เนื้อหา: เกรเดียนต์และอนุพันธ์ตามทิศ

ลองทำ: ตั้งทิศให้ $D_{\mathbf u}f = 0$ ทิศนั้นขนานเส้นชั้นความสูง · เปลี่ยนเป็น x^2+30y^2 แล้วดู gradient descent ซิกแซ็กเมื่อหุบแคบ

### 4. การประมาณค่าและการแพร่ของความคลาดเคลื่อน (Differentials and error propagation)

$df = f_x\,dx + f_y\,dy$ บอกว่าความคลาดเคลื่อนของ $x, y$ ส่งผลถึง $f$ เท่าไร เช่น กำลัง $P = V^2/R$ หรือปริมาตรทรงกระบอก เนื้อหา: ดิฟเฟอเรนเชียลและความคลาดเคลื่อน

## กลุ่ม 2 · ค่าสูงสุด-ต่ำสุดและการหาค่าเหมาะที่สุด

### 5. จุดวิกฤตและ Hessian (Critical points, saddle point)

แล็บแก้ $\nabla f = 0$ หาจุดวิกฤตทุกจุดในช่วงที่เลือก แล้วจำแนกด้วย $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ เป็นค่าต่ำสุด สูงสุด หรือจุดอานม้า เนื้อหา: ค่าสูงสุด-ต่ำสุดและ Lagrange

### 6. ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange multiplier)

เพิ่มหรือลด $f$ บนเส้นเงื่อนไข $g = c$ จุดที่ $\nabla f = \lambda\nabla g$ คือเส้นชั้นของ $f$ สัมผัสเส้นเงื่อนไขพอดี ลากดูการเลื่อนของเส้นชั้นจนแตะเส้นเงื่อนไข

### 7. กำลังสองน้อยที่สุด (Least squares) จากข้อมูลวัดจริง

ลากจุดข้อมูลแล้วดูเส้นตรงที่ทำให้ผลรวมกำลังสองของความคลาดเคลื่อนน้อยที่สุด ซึ่งเป็นปัญหาค่าต่ำสุดสองตัวแปร (ความชัน $m$ และจุดตัด $b$)

## กลุ่ม 3 · อินทิกรัลหลายชั้น

### 8. อินทิกรัลสองชั้น (Double integral) ผลรวมรีมันน์กับค่าจริง

เลือกบริเวณสี่เหลี่ยม แบบ type I หรือพิกัดขั้ว แล้วเทียบผลรวมรีมันน์กับค่าอินทิกรัลที่แม่นยำ เปิดโหมด "มวล" เพื่อหาจุดศูนย์กลางมวลและโมเมนต์ความเฉื่อย เนื้อหา: อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น

### 9. พิกัดขั้ว (Polar coordinates)

ในพิกัดขั้ว $dA = r\,dr\,d\theta$ ลองหา $\iint e^{-(x^2+y^2)}\,dA$ บนจานรัศมี 2 ได้ $\pi(1 - e^{-4})$ และเมื่อรัศมีใหญ่ขึ้นจะเข้าใกล้ $\pi$

### 10. อินทิกรัลสามชั้น พิกัดทรงกระบอกและทรงกลม (Triple integral)

เลือกระบบพิกัดแล้วดูตัวคูณ $1$ / $r$ / $\rho^2\sin\phi$ พร้อมปริมาตรหรือมวลของทรงตัน เนื้อหา: ทรงกระบอกและทรงกลม

### 11. จาโคเบียนและการเปลี่ยนตัวแปร (Jacobian, change of variables)

ตารางสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ในระนาบ $(u, v)$ ถูกแปลงเป็นรูปโค้งในระนาบ $(x, y)$ โดยพื้นที่ขยายด้วย $|\det\mathbf J|$ ลองพิมพ์ $x(u,v)$ และ $y(u,v)$ เอง

## กลุ่ม 4 · เส้นโค้ง สนามเวกเตอร์ และทฤษฎีบทหลัก

### 12. เส้นโค้งในอวกาศ (Space curve) และกรอบ Frenet

พิมพ์ $x(t), y(t), z(t)$ ดูเวกเตอร์สัมผัส $\mathbf T$ ปกติ $\mathbf N$ ไบนอร์มอล $\mathbf B$ ความโค้ง $\kappa$ และการบิด $\tau$ เนื้อหา: ฟังก์ชันเวกเตอร์

### 13. สนามเวกเตอร์ 2 มิติ ไดเวอร์เจนซ์ และเคิร์ล (Vector field, divergence, curl)

พิมพ์ $P(x,y)$ และ $Q(x,y)$ ดูพื้นหลังสีของ $\nabla\cdot\mathbf F$ หรือ $\nabla\times\mathbf F$ และเส้นการไหล วงกลมทดสอบแสดงการหมุนเวียนและฟลักซ์ เนื้อหา: สนามเวกเตอร์

### 14. งานของแรงและอินทิกรัลตามเส้น (Line integral, path independence)

เปรียบเทียบงาน $\int\mathbf F\cdot d\mathbf r$ ตามเส้นทางต่าง ๆ ระหว่างสองจุดเดียวกัน ถ้าเป็นสนามอนุรักษ์ทุกเส้นทางให้ค่าเท่ากัน เนื้อหา: อินทิกรัลตามเส้นและทฤษฎีบทกรีน

### 15. ตัวตรวจทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ (Gauss) และสโตกส์ (Stokes)

ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์: ฟลักซ์ผ่านผิวปิด $= \iiint\nabla\cdot\mathbf F\,dV$ · ทฤษฎีบทสโตกส์: $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS$ แล็บคำนวณสองข้างเป็นตัวเลขแยกกัน แล้วบอกว่าตรงกันหรือไม่ เนื้อหา: อินทิกรัลบนผิว

## กลุ่ม 5 · แล็บวิศวกรรม ไฟฟ้า เครื่องกล โยธา

### 16. ไฟฟ้า: ประจุ ศักย์ และสนามไฟฟ้า (Electric potential, E = −∇V)

ลากประจุ ดูศักย์ $V$ เส้นสมศักย์ เส้นแรง และฟลักซ์ผ่านทรงกลม (กฎของเกาส์) เนื้อหา: แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมไฟฟ้า

### 17. เครื่องกล: การนำความร้อน (Heat conduction, Fourier's law)

อุณหภูมิ $T(x,y)$ เส้นไอโซเทอร์ม และฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q = -k\nabla T$ เนื้อหา: แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมเครื่องกล

### 18. โยธา: ภูมิประเทศ ความลาดชัน และดินขุด-ถม (Terrain cut and fill)

ปรับระดับออกแบบ $z_0$ ดูปริมาตรขุดและถมจากอินทิกรัลสองชั้น และหาระดับสมดุล เนื้อหา: แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมโยธา

### 19. โยธา-เครื่องกล: คุณสมบัติหน้าตัดด้วยทฤษฎีบทกรีน (Section properties)

วาดหน้าตัดหลายเหลี่ยมแล้วอ่านพื้นที่ จุดศูนย์ถ่วง $I_x, I_y, I_{xy}$ และแกนหลัก (principal axes)

กลับไปอ่านเนื้อหาครบชุดได้ที่หน้าแรกของชุดแคลคูลัสหลายตัวแปร สูตรอ้างอิงที่ใช้ในแล็บทุกตัวอยู่ใน ดัชนีสูตร

## คำถามที่พบบ่อย

แล็บนี้พิมพ์สมการเองได้ไหม ใช้รูปแบบไหน?
ได้ ช่อง $f(x,y)$ ทุกแล็บรับสมการแบบที่พิมพ์ในเครื่องคิดเลข เช่น x^2+y^2, sin(x)*cos(y), exp(-(x^2+y^2)), sqrt(x^2+y^2) ใช้ ^ แทนยกกำลัง * แทนคูณ และมีฟังก์ชัน sin cos tan exp ln sqrt abs รวมถึงค่าคงที่ pi และ e แล็บจะหาอนุพันธ์เชิงสัญลักษณ์และแสดงสูตรให้ทันที ถ้าพิมพ์ผิดจะแจ้งข้อผิดพลาดตรงช่องนั้น

แล็บคิดเลขแบบไหน แม่นยำแค่ไหน?
อนุพันธ์ที่แสดงเป็นสูตรมาจากการหาอนุพันธ์เชิงสัญลักษณ์ (symbolic differentiation) จึงเป็นค่าที่แน่นอน ส่วนอินทิกรัลใช้ควอดราเจอร์เกาส์–เลฌ็องดร์ (Gauss–Legendre quadrature) ความแม่นระดับทศนิยม 8 ตำแหน่งขึ้นไปสำหรับฟังก์ชันเรียบ ตัวตรวจ Gauss–Stokes แสดงทั้งสองข้างของทฤษฎีบทให้เห็นว่าตรงกัน ผลจากแล็บทุกตัวทดสอบเทียบกับ sympy และ numpy ก่อนเผยแพร่

ใช้บนมือถือได้ไหม และหมุนกราฟ 3 มิติอย่างไร?
ได้ ทุกแล็บปรับตามความกว้างหน้าจอ บนกราฟ 3 มิติให้ลากนิ้วหรือเมาส์เพื่อหมุน (orbit) และใช้ปุ่มหรือสไลเดอร์ปรับมุมมอง บนมือถือควรหมุนจอเป็นแนวนอนเมื่อดูแผนที่เส้นชั้นความสูงหรือสนามเวกเตอร์ขนาดใหญ่

แล็บนี้เหมาะกับวิชาไหนและเริ่มจากแล็บไหนดี?
เหมาะกับแคลคูลัส 3 (Calculus III) คณิตศาสตร์วิศวกรรม ฟิสิกส์ไฟฟ้าสนาม และวิชาสถิตยศาสตร์-กลศาสตร์ของไหลที่ใช้แคลคูลัสหลายตัวแปร เริ่มจากแล็บกราฟผิวและเกรเดียนต์ก่อน แล้วไปจุดวิกฤต อินทิกรัลสองชั้น เส้นโค้ง และสนามเวกเตอร์ตามลำดับ ปิดท้ายด้วย Gauss–Stokes และแล็บวิศวกรรมสาขาที่เรียน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**แล็บนี้พิมพ์สมการเองได้ไหม ใช้รูปแบบไหน?**
ได้ ช่อง $f(x,y)$ ทุกแล็บรับสมการแบบที่พิมพ์ในเครื่องคิดเลข เช่น x^2+y^2, sin(x)*cos(y), exp(-(x^2+y^2)), sqrt(x^2+y^2) ใช้ ^ แทนยกกำลัง * แทนคูณ และมีฟังก์ชัน sin cos tan exp ln sqrt abs รวมถึงค่าคงที่ pi และ e แล็บจะหาอนุพันธ์เชิงสัญลักษณ์และแสดงสูตรให้ทันที ถ้าพิมพ์ผิดจะแจ้งข้อผิดพลาดตรงช่องนั้น

**แล็บคิดเลขแบบไหน แม่นยำแค่ไหน?**
อนุพันธ์ที่แสดงเป็นสูตรมาจากการหาอนุพันธ์เชิงสัญลักษณ์ (symbolic differentiation) จึงเป็นค่าที่แน่นอน ส่วนอินทิกรัลใช้ควอดราเจอร์เกาส์–เลฌ็องดร์ (Gauss–Legendre quadrature) ความแม่นระดับทศนิยม 8 ตำแหน่งขึ้นไปสำหรับฟังก์ชันเรียบ ตัวตรวจ Gauss–Stokes แสดงทั้งสองข้างของทฤษฎีบทให้เห็นว่าตรงกัน ผลจากแล็บทุกตัวทดสอบเทียบกับ sympy และ numpy ก่อนเผยแพร่

**ใช้บนมือถือได้ไหม และหมุนกราฟ 3 มิติอย่างไร?**
ได้ ทุกแล็บปรับตามความกว้างหน้าจอ บนกราฟ 3 มิติให้ลากนิ้วหรือเมาส์เพื่อหมุน (orbit) และใช้ปุ่มหรือสไลเดอร์ปรับมุมมอง บนมือถือควรหมุนจอเป็นแนวนอนเมื่อดูแผนที่เส้นชั้นความสูงหรือสนามเวกเตอร์ขนาดใหญ่

**แล็บนี้เหมาะกับวิชาไหนและเริ่มจากแล็บไหนดี?**
เหมาะกับแคลคูลัส 3 (Calculus III) คณิตศาสตร์วิศวกรรม ฟิสิกส์ไฟฟ้าสนาม และวิชาสถิตยศาสตร์-กลศาสตร์ของไหลที่ใช้แคลคูลัสหลายตัวแปร เริ่มจากแล็บกราฟผิวและเกรเดียนต์ก่อน แล้วไปจุดวิกฤต อินทิกรัลสองชั้น เส้นโค้ง และสนามเวกเตอร์ตามลำดับ ปิดท้ายด้วย Gauss–Stokes และแล็บวิศวกรรมสาขาที่เรียน