---
title: "แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมเครื่องกล: การนำความร้อน การไหลของของไหล จุดศูนย์กลางมวล และจาโคเบียนหุ่นยนต์"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/mechanical-engineering/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-17
---

> การประยุกต์แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมเครื่องกล (mechanical engineering): กฎของฟูริเยร์ q = −k∇T สมการความร้อนและลาปลาซ การนำความร้อนในผนังและท่อกลม ความต่อเนื่อง ∇·v = 0 ความหมุนวน (vorticity) ของของไหล การไหลรอบทรงกระบอกและ Bernoulli จุดศูนย์กลางมวลและโมเมนต์ความเฉื่อยของล้อช่วยแรง การขยายตัวทางความร้อนและจาโคเบียนแขนกล พร้อมแล็บความร้อนและสนามการไหล

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/mechanical-engineering/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมเครื่องกล: การนำความร้อน การไหลของของไหล จุดศูนย์กลางมวล และจาโคเบียนหุ่นยนต์

// บทที่ 24.11 · การประยุกต์ · Mechanical Engineering


เครื่องกลคือวิชาที่ปริมาณทุกอย่างกระจายอยู่ในอวกาศ: อุณหภูมิในครีบระบายความร้อน ความเร็วของลมรอบใบพัด มวลที่กระจายในล้อช่วยแรง และมุมข้อต่อที่กำหนดตำแหน่งปลายแขนกล หน้านี้ใช้ gradient divergence curl และอินทิกรัลหลายชั้นกับโจทย์ของวิศวกรเครื่องกลโดยตรง: กฎของฟูริเยร์ q = −k∇T และการนำความร้อนในผนังและท่อ ความต่อเนื่องและความหมุนวนของของไหล การไหลศักย์รอบทรงกระบอกกับ Bernoulli โมเมนต์ความเฉื่อยและพลังงานของล้อช่วยแรง การขยายตัวทางความร้อนด้วยผลต่างรวม และจาโคเบียนที่เปลี่ยนความเร็วข้อต่อเป็นความเร็วปลายแขน พร้อมแล็บความร้อนที่ลาก isotherm และวัดฟลักซ์ได้

สรุปใน 30 วินาที

- ความร้อน: $\mathbf q = -k\nabla T$ · คงตัวไม่มีแหล่งกำเนิด: $\nabla^2T = 0$ · $\oint\mathbf q\cdot\mathbf n\,dS = 0$ (เข้า = ออก) · ท่อกลม $\dot Q' = 2\pi k(T_i - T_o)/\ln(r_o/r_i)$

- ของไหล: ไม่บีบอัด $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ · ความหมุนวน $\boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v$ · ศักย์ $\mathbf v = \nabla\phi$, $\nabla^2\phi = 0$ · Bernoulli $p + \tfrac12\rho v^2 = \text{ค่าคงที่}$

- มวล: $I = \iiint r_\perp^2\rho\,dV$ · จานตัน $\tfrac12mR^2$ · พลังงานจลน์หมุน $\tfrac12I\omega^2$ · แกนขนาน $I = I_c + md^2$

- แขนกล: $\mathbf v = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta}$, $\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F$, $\det\mathbf J = L_1L_2\sin\theta_2$ · ขยายตัวความร้อน $\Delta A/A \approx 2\alpha\Delta T$

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## การนำความร้อนและกฎของฟูริเยร์: q = −k∇T พื้นฐาน

ความร้อนไหลจากร้อนไปเย็นตามทิศที่อุณหภูมิลดเร็วที่สุด ซึ่งคือ $-\nabla T$ (บทเกรเดียนต์) กฎของฟูริเยร์เขียนข้อเท็จจริงนี้เป็นสมการ: ฟลักซ์ความร้อน (heat flux) $\mathbf q = -k\nabla T$ หน่วย W/m² ตั้งฉากกับเส้นอุณหภูมิเท่ากัน (isotherm) เสมอ เมื่อรวมกับการอนุรักษ์พลังงาน (ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์) จะได้สมการความร้อน และในสภาวะคงตัวเหลือสมการลาปลาซ

K1 Fourier's law กฎของฟูริเยร์

$$\mathbf q = -k\,\nabla T,\qquad |\mathbf q| = k\,|\nabla T|,\qquad \dot Q = \iint_S\mathbf q\cdot\mathbf n\,dS$$

$k$ (W/m·K): ทองแดง 400 · อะลูมิเนียม 237 · เหล็กกล้า 50 · คอนกรีต 1.4 · อิฐ 0.7 · ไม้ 0.15 · ฉนวนโฟม 0.04 · $\dot Q$ = อัตราความร้อนผ่านผิว S (W) · 1 มิติ: $q = -k\,dT/dx$

K2 Heat equation สมการความร้อน

$$\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf q + \dot q_{gen} = k\,\nabla^2T + \dot q_{gen},\qquad \text{คงตัว ไม่มีแหล่งกำเนิด: }\ \nabla^2T = 0$$

ที่มา: ความร้อนสุทธิที่ไหลออกจากปริมาตรเล็กคือ $\oiint\mathbf q\cdot\mathbf n\,dS = \iiint\nabla\cdot\mathbf q\,dV$ (เกาส์) · $\alpha = k/\rho c$ การแพร่ความร้อน (m²/s) · $\rho c$ = ความจุความร้อนต่อปริมาตร

K3 Mean value property and maximum principle สมบัติค่าเฉลี่ยและหลักการค่าสูงสุด

$$\nabla^2T = 0\ \Rightarrow\ T(\mathbf x_0) = \frac{1}{2\pi R}\oint_{|\mathbf x - \mathbf x_0| = R}T\,ds,\qquad T_{\max},\ T_{\min}\ \text{อยู่บนขอบเสมอ}$$

อุณหภูมิที่จุดหนึ่งเท่ากับค่าเฉลี่ยบนวงกลมรอบมัน (ภายใต้เงื่อนไขอยู่ในบริเวณ) จึงไม่มีจุดร้อนสุดหรือเย็นสุดภายในแผ่น ตรวจคำตอบเชิงตัวเลขได้ง่าย

### แล็บการนำความร้อนในแผ่น

เลือกสถานการณ์แล้วลากจุด P: สีแสดงอุณหภูมิ เส้นบางคือ isotherm ลูกศรดำคือฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q = -k\nabla T$ (ตั้งฉากกับ isotherm และชี้จากร้อนไปเย็น) กรอบเขียวคือ “กล่องตรวจ” รอบ P: ความร้อนสุทธิที่ไหลออก $\oint\mathbf q\cdot\mathbf n\,ds$ ต้องเท่ากับ $\iint\nabla\cdot\mathbf q\,dA = \iint -k\nabla^2T\,dA$ ในสภาวะคงตัวที่ $\nabla^2T = 0$ ได้ศูนย์ (สถานการณ์ “จุดร้อนแบบเกาส์” ไม่ใช่ steady จึงได้ค่าไม่เป็นศูนย์) ลองเปลี่ยนวัสดุเพื่อดูว่า $k$ มีผลกับ $\mathbf q$ แต่ไม่มีผลกับรูปร่าง isotherm

ฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q = -k\nabla T$ ตั้งฉากกับ isotherm เสมอ: ความร้อนไหลจากร้อนไปเย็น ตามทิศที่อุณหภูมิลดเร็วที่สุด (heat flux perpendicular to isotherms)

ตัวอย่าง K-1 · ผนังอิฐ (ภาระความเย็น)

### ผนังอิฐหนา 0.20 m ($k = 0.72$ W/m·K) ผิวนอก 35 °C ผิวในห้อง 25 °C พื้นที่ผนัง 12 m² หาฟลักซ์และความร้อนที่เข้าห้อง

- ผนังใหญ่เทียบกับความหนา อุณหภูมิเปลี่ยนแค่แนวความหนา (1 มิติ): $T(x) = 35 - 50x$ (องศา, $x$ เมตรจากผิวนอก) · $\dfrac{dT}{dx} = -50$ K/m

- $q = -k\dfrac{dT}{dx} = -0.72(-50) = 36$ W/m² (ชี้เข้าห้อง ทิศ $+x$)

- $\dot Q = qA = 36\times12 = 432$ W (ภาระความเย็นจากผนัง) · ฟลักซ์เท่ากันทุกหน้าตัดตามความหนา เพราะ $\nabla^2T = 0$

- ถ้าเปลี่ยนเป็นฉนวนโฟม $k = 0.04$ ความหนาเท่ากัน: $q = 2.0$ W/m² (ลดลง 18 เท่า) จึงเห็นว่าวัสดุมีผลกับขนาดของฟลักซ์ ไม่ใช่รูปร่างสนามอุณหภูมิ

$q = 36$ W/m² · $\dot Q = 432$ W

ตัวอย่าง K-2 · ท่อไอน้ำ (การนำความร้อนในแนวรัศมี)

### ท่อเหล็กกล้าผนังหนา $r_i = 0.10$ m ถึง $r_o = 0.50$ m ($k = 50$) ผิวใน 150 °C ผิวนอก 25 °C หา $T(r)$ และอัตราความร้อนต่อความยาวท่อ

- สมมาตรรอบแกน: $T = T(r)$ · สมการลาปลาซในพิกัดทรงกระบอก $\dfrac1r\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dT}{dr}\right) = 0$ → $r\,T' = C_1$ → $T = C_1\ln r + C_2$

- เงื่อนไขขอบ: $T(r_i) = 150,\ T(r_o) = 25$ → $T(r) = 150 - 125\dfrac{\ln(r/r_i)}{\ln(r_o/r_i)}$ = $150 - 77.67\ln(10r)$

- ฟลักซ์ $q_r = -k\dfrac{dT}{dr} = \dfrac{k\cdot125}{r\ln(r_o/r_i)} = \dfrac{3883}{r}$ W/m² ($\ln5 = 1.6094$)

- อัตราความร้อนต่อเมตรความยาว: $\dot Q' = q_r\cdot2\pi r = \dfrac{2\pi k(T_i - T_o)}{\ln(r_o/r_i)} = \dfrac{2\pi(50)(125)}{1.6094} = 24\,400$ W/m — คงที่ทุกรัศมี เพราะความร้อนที่ผ่านผิวทรงกระบอกแต่ละชั้นเท่ากัน (ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์: $\nabla\cdot\mathbf q = 0$)

$T(r) = 150 - 125\ln(10r)/\ln5$ · $\dot Q' \approx 24.4$ kW/m (ทุกรัศมี)

ตัวอย่าง K-3 · อุณหภูมิกลางแผ่นจากสมบัติค่าเฉลี่ย

### แผ่นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ขอบบน 100 °C ขอบอื่นสามด้าน 20 °C ในสภาวะคงตัว หาอุณหภูมิที่จุดกลางแผ่น

- $\nabla^2T = 0$ และเป็นเชิงเส้น: ตั้ง $\theta = T - 20$ จะได้ขอบบน $\theta = 80$ K ที่เหลือ 0 K

- วางสำเนาของปัญหานี้สี่ชุด หมุนไปทีละ 90° แล้วรวมกัน จะได้ปัญหาที่ ทุกขอบ เป็น 80 K ซึ่งมีคำตอบ $\theta = 80$ ทั่วแผ่น · โดยสมมาตรทั้งสี่ชุดให้ค่าที่จุดกลางเท่ากัน จึง $\theta(\text{center}) = 80/4 = 20$ K

- อุณหภูมิกลางแผ่น $T = 20 + 20 = 40$ °C (ค่าเฉลี่ยของอุณหภูมิขอบทั้งสี่: $\tfrac14(100 + 20 + 20 + 20) = 40$)

- ตรวจในแล็บ: ตั้ง P ที่ $(0.5, 0.5)$ ได้ $T = 40.0$ °C และ $\nabla^2T \approx 0$ · ใกล้ขอบบน (ที่มุมบน) สนามชันมาก ฟลักซ์สูงมาก ตรงข้ามที่ก้นแผ่นแทบไม่มีความร้อนไหลถึง

$T_{\text{center}} = 40$ °C

## ของไหล: ความต่อเนื่อง ความหมุนวน และการไหลรอบทรงกระบอก กลาง

สนามความเร็ว $\mathbf v(x, y, z, t)$ คือสนามเวกเตอร์ (บทสนามเวกเตอร์) divergence บอกว่าของไหลถูกบีบอัดหรือไม่ curl บอกว่ามีการหมุนวนหรือไม่ ของไหลอุดมคติ (ไม่หนืด ไม่บีบอัด ไม่หมุนวน) เป็นกรณีที่คำตอบทั้งหมดมาจากสมการลาปลาซ: $\mathbf v = \nabla\phi$ และ $\nabla^2\phi = 0$

K4 Continuity equation สมการความต่อเนื่อง

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf v) = 0\ \ \xrightarrow{\ \rho\text{ คงที่}\ }\ \ \nabla\cdot\mathbf v = 0$$

การอนุรักษ์มวล · ฟลักซ์เข้า = ฟลักซ์ออกของปริมาตรใด ๆ · ท่อหน้าตัดเปลี่ยน: $A_1v_1 = A_2v_2$ (เป็นรูปปริพันธ์ที่อินทิเกรตเหนือหน้าตัด)

K5 Vorticity, circulation, potential flow ความหมุนวน การหมุนเวียน การไหลศักย์

$$\boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v,\qquad \Gamma = \oint_C\mathbf v\cdot d\mathbf l = \iint_S\boldsymbol\zeta\cdot\mathbf n\,dS,\qquad \boldsymbol\zeta = \mathbf 0\ \Rightarrow\ \mathbf v = \nabla\phi,\ \nabla^2\phi = 0$$

ความหมุนวนคือสองเท่าของความเร็วเชิงมุมของอนุภาค · $\Gamma$ = การหมุนเวียน (circulation) ตามทฤษฎีบทสโตกส์ · ปีกเครื่องบิน: แรงยก $L' = \rho U\Gamma$ (Kutta–Joukowski)

K6 Bernoulli equation สมการเบอร์นูลลี

$$p + \tfrac12\rho|\mathbf v|^2 + \rho gz = \text{ค่าคงที่ตามเส้นกระแส (หรือทั่วสนามถ้า irrotational)},\qquad C_p = \frac{p - p_\infty}{\tfrac12\rho U^2} = 1 - \frac{|\mathbf v|^2}{U^2}$$

ใช้กับการไหลคงตัว ไม่หนืด ไม่บีบอัด · ความดันลดเมื่อความเร็วเพิ่ม (ท่อเวนทูรี ปีก) · สัมประสิทธิ์ความดัน $C_p$ ใช้เทียบกับการทดลองอุโมงค์ลม

แล็บด้านล่างใช้สนามความเร็วอุดมคติรอบทรงกระบอก (ปรับให้รัศมี 1 และความเร็วไกล 1) เปิดสีพื้นตามขนาด $|\mathbf v|$ แล้วดูว่าความเร็วสูงสุดที่ยอดและก้นทรงกระบอก ลองเปิดเส้นกระแสและอนุภาค

ตัวอย่าง K-4 · การไหลรอบทรงกระบอก

### ลมความเร็ว $U = 2$ m/s พัดผ่านเสาทรงกระบอกรัศมี $a = 0.05$ m (ใช้แบบจำลองอุดมคติ $\rho = 1.2$ kg/m³) หาความเร็วบนผิวที่ยอดเสา และความดันที่จุดหยุดนิ่งกับที่ยอด

- สนามความเร็ว (พิกัดไร้มิติ $a = 1,\ U = 1$): $v_x = 1 - \dfrac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2},\ v_y = -\dfrac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$ · ตรวจ $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ และ $\nabla\times\mathbf v = 0$ ได้ทั้งคู่ (ลองเปิดสีพื้น div/curl ในแล็บ)

- ที่ยอด $(0, a)$: $v_x = U(1 + 1) = 2U = 4$ m/s และ $v_y = 0$ → ความเร็วที่ผิวมากสุด = $2U$ (เร็วเป็นสองเท่าของลมที่ไกล)

- จุดหยุดนิ่งหน้าเสา $(-a, 0)$: $\mathbf v = \mathbf 0$ · เบอร์นูลลี: $p - p_\infty = \tfrac12\rho U^2 = \tfrac12(1.2)(4) = 2.4$ Pa

- ที่ยอด: $p - p_\infty = \tfrac12\rho(U^2 - (2U)^2) = -\tfrac32\rho U^2 = -1.5(1.2)(4) = -7.2$ Pa ($C_p = -3$) ความดันต่ำที่ข้างเสาทำให้เกิดแรงดูด

$v_{\text{top}} = 4$ m/s · $p_{\text{stag}} - p_\infty = +2.4$ Pa · $p_{\text{top}} - p_\infty = -7.2$ Pa (การไหลอุดมคติให้แรงต้านเป็นศูนย์ — ความต้านจริงมาจากความหนืดและการแยกตัวของชั้นขอบ)

ตัวอย่าง K-5 · พายุหมุน (Rankine vortex)

### แบบจำลองพายุหมุน: ภายในแกนรัศมี $R = 50$ m หมุนเหมือนวัตถุแข็ง $v = \omega r$ ภายนอก $v = \Gamma/(2\pi r)$ ความเร็วสูงสุดที่ $r = R$ คือ 60 m/s หาความหมุนวนภายในแกน การหมุนเวียน $\Gamma$ และความเร็วที่ $r = 100$ m

- ภายใน: $\omega = v_{\max}/R = 60/50 = 1.2$ rad/s · $\nabla\times\mathbf v = 2\omega = 2.4$ s⁻¹ (คงที่ ตามสูตร D6 ในบทสนามเวกเตอร์)

- ที่ขอบแกน: $\Gamma = \oint\mathbf v\cdot d\mathbf l = v_{\max}\cdot2\pi R = 60\times2\pi\times50 = 18\,850$ m²/s (ตรงกับ $\iint\zeta\,dA = 2.4\times\pi R^2 = 18\,850$ ตามทฤษฎีบทสโตกส์/กรีน ✓)

- ภายนอก: $\Gamma$ คงที่ (curl เป็นศูนย์นอกแกนแต่ยังมีการหมุนเวียน เพราะวงนั้นล้อมรูของแกน) → $v(100) = \dfrac{\Gamma}{2\pi r} = \dfrac{18\,850}{2\pi(100)} = 30$ m/s (ลดลงครึ่งหนึ่งเมื่อรัศมีเป็นสองเท่า)

- ความดัน: ภายนอกเป็นการไหลศักย์ใช้ Bernoulli ได้ เมื่อเทียบกับไกล: $p_\infty - p(100) = \tfrac12\rho(30)^2 = 540$ Pa ที่ $\rho = 1.2$ ความดันต่ำที่ตาพายุที่เกิดจากการหมุน

$\zeta = 2.4$ s⁻¹ ในแกน · $\Gamma = 1.885\times10^4$ m²/s · $v(100\text{ m}) = 30$ m/s

## จุดศูนย์กลางมวล โมเมนต์ความเฉื่อย และพลังงานของล้อช่วยแรง กลาง

อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้นของบทก่อน (M12, M13) เป็นเครื่องมือประจำของวิศวกรเครื่องกลสำหรับชิ้นส่วนหมุน สมการการหมุน $\tau = I\alpha$ และพลังงานจลน์ $\tfrac12I\omega^2$ ต้องการ $I$ ที่คำนวณจาก $\iiint r_\perp^2\rho\,dV$ ทฤษฎีบทแกนขนาน $I = I_c + md^2$ ใช้ย้ายแกนจากจุดศูนย์กลางมวลไปแกนอื่น

K7 Moments of inertia (standard shapes) โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปทรงมาตรฐาน

$$I_{\text{แผ่นสี่เหลี่ยม}} = \frac{m(a^2 + b^2)}{12},\quad I_{\text{จานตัน}} = \tfrac12mR^2,\quad I_{\text{ทรงกลมตัน}} = \tfrac25mR^2,\quad I = I_c + md^2,\quad E_k = \tfrac12I\omega^2$$

ที่มา: ตัวอย่าง M-12, M-13 ในบทอินทิกรัลหลายชั้น และ K-6 ข้างล่าง · แกนผ่านจุดศูนย์กลางมวลตั้งฉากกับแผ่น · วงแหวนบางรัศมี $R$: $mR^2$

ตัวอย่าง K-6 · แผ่นเหล็กและล้อช่วยแรง

### (ก) แผ่นเหล็กกล้า $0.40\times0.30$ m หนา 10 mm ($\rho = 7850$ kg/m³) หา $I$ รอบแกนตั้งฉากแผ่นที่ผ่านกึ่งกลาง (ข) ล้อช่วยแรงจานเหล็กรัศมี 0.25 m หนา 50 mm หมุน 3000 rpm หา $I$ และพลังงานที่สะสม

- (ก) $I_z = \rho_s\iint(x^2 + y^2)\,dA$ เมื่อ $\rho_s$ = มวลต่อพื้นที่ · $= \rho_s\left(\dfrac{a^3b}{12} + \dfrac{ab^3}{12}\right) = \dfrac{m(a^2 + b^2)}{12}$

- $m = 7850\times0.40\times0.30\times0.010 = 9.42$ kg · $I_z = \dfrac{9.42(0.40^2 + 0.30^2)}{12} = \dfrac{9.42\times0.25}{12} = 0.1963$ kg·m²

- (ข) $m = \rho\pi R^2h = 7850\pi(0.25)^2(0.05) = 77.07$ kg · $I = \tfrac12mR^2 = \tfrac12(77.07)(0.0625) = 2.408$ kg·m²

- $\omega = 3000\times2\pi/60 = 314.16$ rad/s · $E_k = \tfrac12I\omega^2 = \tfrac12(2.408)(314.16)^2 = 1.188\times10^{5}$ J ≈ 119 kJ (เทียบเท่าพลังงานของรถ 1000 kg ที่วิ่งราว 54 km/h)

(ก) $I_z = 0.196$ kg·m² · (ข) $I = 2.41$ kg·m², $E_k = 119$ kJ

ในแล็บ ตั้ง $f = 1$ (ความหนาแน่นผิว 1 kg/m²) ของสี่เหลี่ยม $0.4\times0.3$ m จะได้มวล $M = 0.12$ และ $J = I_x + I_y = 0.12\times0.25/12 = 0.0025$ เป็นตัวเลขเดียวกับ $m(a^2+b^2)/12$ ของสูตรเมื่อมวลเท่ากับ 0.12 หน่วย (ลองเทียบ)

## อนุพันธ์ย่อยในเทอร์โมไดนามิกส์และการขยายตัวทางความร้อน พื้นฐาน

สมบัติของสารแสดงด้วยอนุพันธ์ย่อยของสมการสถานะ เช่นสัมประสิทธิ์การขยายตัวเชิงปริมาตร $\beta = \tfrac1V\left(\tfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P$ และสัมประสิทธิ์การบีบอัด $\kappa_T = -\tfrac1V\left(\tfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T$ ซึ่งหาได้ด้วยวิธีเดียวกับบทอนุพันธ์ย่อย และการขยายตัวของชิ้นส่วนด้วยอุณหภูมิใช้ผลต่างรวม

K8 Thermal expansion (total differential) การขยายตัวทางความร้อน (ผลต่างรวม)

$$\Delta L = \alpha L\,\Delta T,\qquad A = LW \Rightarrow \frac{\Delta A}{A} \approx 2\alpha\Delta T,\qquad \frac{\Delta V}{V} \approx 3\alpha\Delta T;\qquad \text{แก๊สอุดมคติ: } \beta = \frac1T,\ \ \kappa_T = \frac1P$$

$dA = W\,dL + L\,dW$ → ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์รวมกัน (บท P12) · เหล็กกล้า $\alpha \approx 12\times10^{-6}$ K⁻¹ · อะลูมิเนียม $23\times10^{-6}$ · คอนกรีต $10\times10^{-6}$

ตัวอย่าง K-7 · รางเหล็กและแผ่นเหล็ก

### (ก) รางเหล็กยาว 10 m เมื่อร้อนขึ้น 80 K ยาวขึ้นเท่าไร (ข) แผ่นเหล็ก 1 × 1 m ขยายพื้นที่กี่ % (ค) $\beta$ และ $\kappa_T$ ของอากาศ 300 K, 1 atm

- (ก) $\Delta L = \alpha L\Delta T = 12\times10^{-6}\times10\times80 = 9.6\times10^{-3}$ m = 9.6 mm (จึงต้องเว้นรอยต่อขยายตัว)

- (ข) $dA = W\,dL + L\,dW = 2L\cdot\alpha L\,dT$ → $\Delta A/A = 2\alpha\Delta T = 2(12\times10^{-6})(80) = 1.92\times10^{-3}$ = 0.192% (= $1920$ mm² บนแผ่น 1 m²)

- (ค) จาก $PV = nRT$: $\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P = \dfrac{nR}{P} = \dfrac VT$ → $\beta = \dfrac1T = 3.33\times10^{-3}$ K⁻¹ · $\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T = -\dfrac{V}{P}$ → $\kappa_T = \dfrac1P = 9.87\times10^{-6}$ Pa⁻¹

(ก) 9.6 mm · (ข) 0.192% · (ค) $\beta = 3.33\times10^{-3}$ K⁻¹, $\kappa_T = 9.87\times10^{-6}$ Pa⁻¹

## จาโคเบียนของแขนกล: ความเร็วและแรงบิดข้อต่อ ขั้นสูง

ตำแหน่งปลายแขนกลเป็นฟังก์ชันหลายตัวแปรของมุมข้อต่อ $\mathbf x = \mathbf f(\boldsymbol\theta)$ ดังนั้นความเร็วปลายแขนตามกฎลูกโซ่ $\dot{\mathbf x} = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta}$ เมื่อ $\mathbf J = \partial\mathbf f/\partial\boldsymbol\theta$ คือเมทริกซ์จาโคเบียน (P19) และจากหลักงานเสมือน แรงที่ปลายแขน $\mathbf F$ ต้องการแรงบิดข้อต่อ $\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F$ รายละเอียดจลนศาสตร์ไปข้างหน้า-ย้อนกลับอยู่ในบทเวกเตอร์ในแขนกล

K9 Two-link planar arm แขนกลสองข้อต่อบนระนาบ

$$x = L_1c_1 + L_2c_{12},\ \ y = L_1s_1 + L_2s_{12};\quad \mathbf J = \begin{pmatrix} -L_1s_1 - L_2s_{12} & -L_2s_{12}\\ L_1c_1 + L_2c_{12} & L_2c_{12}\end{pmatrix},\quad \det\mathbf J = L_1L_2\sin\theta_2$$

$c_1 = \cos\theta_1,\ s_{12} = \sin(\theta_1 + \theta_2)$ · $\dot{\mathbf x} = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta}$ · $\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F$ · $\det\mathbf J = 0$ ที่ $\theta_2 = 0,\pi$ (แขนเหยียดหรือพับสนิท): จุดเอกฐาน (singularity) ปลายแขนเคลื่อนไปตามแนวแขนไม่ได้ · ระวังหน่วย rad

ตัวอย่าง K-8 · จาโคเบียนแขนกล 2 ข้อต่อ

### แขนกล $L_1 = 0.5$ m, $L_2 = 0.4$ m ที่ $\theta_1 = 30^\circ,\ \theta_2 = 60^\circ$ ข้อต่อหมุน $\dot\theta_1 = 1$, $\dot\theta_2 = 0.5$ rad/s และปลายแขนรับแรง $\mathbf F = (0, -10)$ N หาตำแหน่ง ความเร็วปลาย $\det\mathbf J$ และแรงบิดข้อต่อ

- ตำแหน่ง: $x = 0.5\cos30^\circ + 0.4\cos90^\circ = 0.4330$ · $y = 0.5\sin30^\circ + 0.4\sin90^\circ = 0.25 + 0.4 = 0.650$ m

- $\mathbf J = \begin{pmatrix}-0.5(0.5) - 0.4(1) & -0.4(1)\\ 0.5(0.866) + 0.4(0) & 0.4(0)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0.650 & -0.400\\ 0.433 & 0\end{pmatrix}$

- $\det\mathbf J = (-0.650)(0) - (-0.400)(0.433) = 0.1732$ = $L_1L_2\sin60^\circ = 0.2\times0.866$ ✓ (ไม่เป็นศูนย์ → ไม่อยู่ที่จุดเอกฐาน)

- ความเร็วปลาย: $\dot{\mathbf x} = \mathbf J\begin{pmatrix}1\\0.5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0.650 - 0.200\\ 0.433\end{pmatrix} = (-0.850,\ 0.433)$ m/s · อัตราเร็ว $0.954$ m/s

- แรงบิด: $\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F = \begin{pmatrix}-0.650 & 0.433\\ -0.400 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\-10\end{pmatrix} = (-4.33,\ 0)$ N·m · ตรวจด้วยกลศาสตร์: ข้อต่อที่ 2 ที่ $\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$ ทำให้แขนท่อนที่ 2 ตั้งฉากพอดี แรงลงแนวดิ่งขนานแขน จึงไม่มีโมเมนต์ที่ข้อศอก ($\tau_2 = 0$) ส่วนที่ไหล่ $\tau_1 = 10\times0.433 = 4.33$ N·m (แขนยื่นไปทางขวา 0.433 m) ✓

ปลายแขน $(0.433, 0.650)$ m · $\dot{\mathbf x} = (-0.850, 0.433)$ m/s · $\det\mathbf J = 0.1732$ · $\boldsymbol\tau = (-4.33, 0)$ N·m

แล็บจาโคเบียนด้านบนถูกตั้งเป็นแผนที่ $(u, v) = (\theta_1, \theta_2) \mapsto (x, y)$ ของแขนกลนี้ (ใช้ $u$ แทน $\theta_1$ และ $v$ แทน $\theta_2$) ค่า $\det J$ ในแล็บเท่ากับ $L_1L_2\sin v$ เมื่อลาก $v$ เข้าใกล้ 0 พื้นที่ของภาพของช่องเล็กจะหายไปทั้งหมด — นั่นคือแขนที่ “แบน” เข้าหาจุดเอกฐาน

## สรุปเครื่องมือแคลคูลัสกับโจทย์เครื่องกล พื้นฐาน

| ปัญหาเครื่องกล | เครื่องมือ | ผลลัพธ์ |

| การนำความร้อนในผนัง ท่อ ครีบ | $\nabla T$, $\nabla^2T = 0$, ฟลักซ์ผ่านผิว | $\mathbf q = -k\nabla T$, $\dot Q'$ ท่อ (K1–K3) |

| การไหลรอบวัตถุ | div, curl, potential, Bernoulli | $\mathbf v$, $p$, $C_p$ (K4–K6) |

| กระแสน้ำวนและแรงยก | การหมุนเวียน $\Gamma = \oint\mathbf v\cdot d\mathbf l$ | ความหมุนวน แรงยก $\rho U\Gamma$ (K5) |

| ชิ้นส่วนหมุน ล้อช่วยแรง | อินทิกรัลสามชั้น $\iiint r^2\rho\,dV$ | $I$, $E_k = \tfrac12I\omega^2$ (K7) |

| ขยายตัวทางความร้อน ความเค้นความร้อน | ผลต่างรวม | $\Delta L$, $\Delta A/A$ (K8) |

| หุ่นยนต์ แขนกล | เมทริกซ์จาโคเบียน | $\mathbf v = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta}$, $\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F$, จุดเอกฐาน (K9) |

| ปรับพารามิเตอร์ตัวควบคุม / หาเส้นโค้งสอบเทียบ | gradient descent, กำลังสองน้อยสุด | บทค่าสุดขีด · ระบบควบคุม |

| ความเค้นและความเครียดในวัสดุ | ดีเวอร์เจนซ์ของเทนเซอร์ $\nabla\cdot\boldsymbol\sigma + \mathbf f = \mathbf 0$ | สมดุลภายใน (วิชากลศาสตร์วัสดุ) |

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- ลืมเครื่องหมายลบใน $\mathbf q = -k\nabla T$ · ความร้อนไหลสวนทาง gradient (ลงจากร้อนไปเย็น)

- ใช้ $\nabla^2T = 0$ กับกรณีไม่คงตัวหรือมีแหล่งกำเนิด · ตรวจเงื่อนไขก่อนเสมอ

- ใช้ Bernoulli ข้ามเส้นกระแสโดยการไหลมีความหมุนวน · ค่าคงที่เปลี่ยนตามเส้นกระแส เว้นแต่การไหลเป็น irrotational ทั้งสนาม

- ใช้รอบต่อนาที (rpm) แทน rad/s ใน $\tfrac12I\omega^2$ · ต้องแปลง $\omega = 2\pi n/60$

- ใช้องศากับจาโคเบียน · $\partial/\partial\theta$ ต้องเป็น rad จึงเป็นความเร็ว (องศาจะผิดไป $\pi/180$ เท่า)

- ลืมจุดเอกฐาน · เมื่อ $\det\mathbf J \approx 0$ $\mathbf J^{-1}$ ใหญ่มาก ความเร็วข้อต่อที่ต้องใช้พุ่งสูง

ไปต่อที่วิศวกรรมโยธา ที่ใช้อินทิกรัลสองชั้นกับปริมาตรดิน คุณสมบัติหน้าตัด และสมการลาปลาซกับการซึมของน้ำ

## คำถามที่พบบ่อย

กฎของฟูริเยร์ (Fourier's law) คืออะไร เกี่ยวกับ gradient อย่างไร?
กฎของฟูริเยร์บอกว่าความร้อนไหลจากร้อนไปเย็น ด้วยฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q = -k\nabla T$ เมื่อ $k$ คือสภาพนำความร้อน (W/m·K) และ $\nabla T$ คือเกรเดียนต์อุณหภูมิ เครื่องหมายลบแสดงว่าความร้อนไหลสวนทาง gradient (ลงจากร้อนไปเย็น) ฟลักซ์ตั้งฉากกับ isotherm เสมอ และมีขนาด $|\mathbf q| = k|\nabla T|$ ตัวอย่าง ผนังอิฐหนา 0.2 m ต่างอุณหภูมิ 10 K (k = 0.72) มี $q = 36$ W/m²

สมการความร้อน (heat equation) กับสมการลาปลาซต่างกันอย่างไร?
สมการความร้อน $\rho c\,\partial T/\partial t = k\nabla^2T + \dot q_{gen}$ บอกอุณหภูมิที่เปลี่ยนตามเวลา เมื่อเข้าสู่สภาวะคงตัว ($\partial T/\partial t = 0$) และไม่มีแหล่งกำเนิดความร้อน ($\dot q_{gen} = 0$) จะเหลือสมการลาปลาซ $\nabla^2T = 0$ ซึ่งหมายความว่า $\nabla\cdot\mathbf q = 0$ ความร้อนที่ไหลเข้าบริเวณใดเท่ากับที่ไหลออก ผลคือไม่มีจุดร้อนสุดหรือเย็นสุดภายในแผ่น (อยู่ที่ขอบเสมอ) และอุณหภูมิที่จุดศูนย์กลางเท่ากับค่าเฉลี่ยรอบวงกลมที่ล้อมมัน

สมการความต่อเนื่อง (continuity equation) ของของไหลคืออะไร?
เป็นการอนุรักษ์มวลในรูปอนุพันธ์ $\partial\rho/\partial t + \nabla\cdot(\rho\mathbf v) = 0$ สำหรับของไหลที่ไม่บีบอัด ($\rho$ คงที่) เหลือ $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ นั่นคือฟลักซ์ที่ไหลเข้าปริมาตรใด ๆ เท่ากับฟลักซ์ที่ไหลออก ใช้ตรวจว่าสนามความเร็วที่เสนอเป็นไปได้ และใช้หาองค์ประกอบความเร็วที่ขาดไป เช่นถ้า $v_x = x$ และ $v_y = -y$ แล้ว $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ ถูกต้อง แต่ถ้า $v_y = y$ จะมีดีเวอร์เจนซ์ 2 (ของไหลถูกสร้างขึ้น)

ความหมุนวน (vorticity) ของของไหลคืออะไร คำนวณอย่างไร?
ความหมุนวน $\boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v$ วัดการหมุนเฉพาะที่ของอนุภาคของไหล ขนาดเท่ากับสองเท่าของความเร็วเชิงมุมของอนุภาค การไหลที่ $\nabla\times\mathbf v = \mathbf 0$ เรียกว่า irrotational (มีศักย์ความเร็ว) เช่นการไหลอุดมคติรอบทรงกระบอก และกระแสน้ำวนอิสระ ส่วนการหมุนแบบวัตถุแข็ง $\mathbf v = \boldsymbol\omega\times\mathbf r$ มี $\nabla\times\mathbf v = 2\boldsymbol\omega$ ตัวอย่างพายุหมุนแบบ Rankine ภายในแกนมีความหมุนวนคงที่ ภายนอกเป็นศูนย์แต่ยังมีการหมุนเวียน Γ ≠ 0

จาโคเบียนของแขนกลหาอย่างไร และใช้ทำอะไร?
จาโคเบียน $\mathbf J$ คือเมทริกซ์ของอนุพันธ์ย่อยของตำแหน่งปลายแขนต่อมุมข้อต่อ $J_{ij} = \partial x_i/\partial\theta_j$ ใช้แปลงความเร็วข้อต่อเป็นความเร็วปลายแขน $\mathbf v = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta}$ และแปลงแรงที่ปลายแขนเป็นแรงบิดข้อต่อ $\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F$ แขน 2 ข้อต่อระนาบมี $\det\mathbf J = L_1L_2\sin\theta_2$ ซึ่งเป็นศูนย์เมื่อแขนเหยียดตรงหรือพับสนิท (จุดเอกฐาน singularity) ที่ปลายแขนไม่สามารถเคลื่อนที่ในบางทิศได้

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**กฎของฟูริเยร์ (Fourier's law) คืออะไร เกี่ยวกับ gradient อย่างไร?**
กฎของฟูริเยร์บอกว่าความร้อนไหลจากร้อนไปเย็น ด้วยฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q = -k\nabla T$ เมื่อ $k$ คือสภาพนำความร้อน (W/m·K) และ $\nabla T$ คือเกรเดียนต์อุณหภูมิ เครื่องหมายลบแสดงว่าความร้อนไหลสวนทาง gradient (ลงจากร้อนไปเย็น) ฟลักซ์ตั้งฉากกับ isotherm เสมอ และมีขนาด $|\mathbf q| = k|\nabla T|$ ตัวอย่าง ผนังอิฐหนา 0.2 m ต่างอุณหภูมิ 10 K (k = 0.72) มี $q = 36$ W/m²

**สมการความร้อน (heat equation) กับสมการลาปลาซต่างกันอย่างไร?**
สมการความร้อน $\rho c\,\partial T/\partial t = k\nabla^2T + \dot q_{gen}$ บอกอุณหภูมิที่เปลี่ยนตามเวลา เมื่อเข้าสู่สภาวะคงตัว ($\partial T/\partial t = 0$) และไม่มีแหล่งกำเนิดความร้อน ($\dot q_{gen} = 0$) จะเหลือสมการลาปลาซ $\nabla^2T = 0$ ซึ่งหมายความว่า $\nabla\cdot\mathbf q = 0$ ความร้อนที่ไหลเข้าบริเวณใดเท่ากับที่ไหลออก ผลคือไม่มีจุดร้อนสุดหรือเย็นสุดภายในแผ่น (อยู่ที่ขอบเสมอ) และอุณหภูมิที่จุดศูนย์กลางเท่ากับค่าเฉลี่ยรอบวงกลมที่ล้อมมัน

**สมการความต่อเนื่อง (continuity equation) ของของไหลคืออะไร?**
เป็นการอนุรักษ์มวลในรูปอนุพันธ์ $\partial\rho/\partial t + \nabla\cdot(\rho\mathbf v) = 0$ สำหรับของไหลที่ไม่บีบอัด ($\rho$ คงที่) เหลือ $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ นั่นคือฟลักซ์ที่ไหลเข้าปริมาตรใด ๆ เท่ากับฟลักซ์ที่ไหลออก ใช้ตรวจว่าสนามความเร็วที่เสนอเป็นไปได้ และใช้หาองค์ประกอบความเร็วที่ขาดไป เช่นถ้า $v_x = x$ และ $v_y = -y$ แล้ว $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ ถูกต้อง แต่ถ้า $v_y = y$ จะมีดีเวอร์เจนซ์ 2 (ของไหลถูกสร้างขึ้น)

**ความหมุนวน (vorticity) ของของไหลคืออะไร คำนวณอย่างไร?**
ความหมุนวน $\boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v$ วัดการหมุนเฉพาะที่ของอนุภาคของไหล ขนาดเท่ากับสองเท่าของความเร็วเชิงมุมของอนุภาค การไหลที่ $\nabla\times\mathbf v = \mathbf 0$ เรียกว่า irrotational (มีศักย์ความเร็ว) เช่นการไหลอุดมคติรอบทรงกระบอก และกระแสน้ำวนอิสระ ส่วนการหมุนแบบวัตถุแข็ง $\mathbf v = \boldsymbol\omega\times\mathbf r$ มี $\nabla\times\mathbf v = 2\boldsymbol\omega$ ตัวอย่างพายุหมุนแบบ Rankine ภายในแกนมีความหมุนวนคงที่ ภายนอกเป็นศูนย์แต่ยังมีการหมุนเวียน Γ ≠ 0

**จาโคเบียนของแขนกลหาอย่างไร และใช้ทำอะไร?**
จาโคเบียน $\mathbf J$ คือเมทริกซ์ของอนุพันธ์ย่อยของตำแหน่งปลายแขนต่อมุมข้อต่อ $J_{ij} = \partial x_i/\partial\theta_j$ ใช้แปลงความเร็วข้อต่อเป็นความเร็วปลายแขน $\mathbf v = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta}$ และแปลงแรงที่ปลายแขนเป็นแรงบิดข้อต่อ $\boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F$ แขน 2 ข้อต่อระนาบมี $\det\mathbf J = L_1L_2\sin\theta_2$ ซึ่งเป็นศูนย์เมื่อแขนเหยียดตรงหรือพับสนิท (จุดเอกฐาน singularity) ที่ปลายแขนไม่สามารถเคลื่อนที่ในบางทิศได้