--- title: "อินทิกรัลตามเส้น (Line Integrals) งานของแรง และทฤษฎีบทกรีน (Green's Theorem)" url: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/line-integrals/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-17 --- > อินทิกรัลตามเส้น (line integral) ของสนามสเกลาร์ ∫f ds และสนามเวกเตอร์ ∫F·dr คืองานของแรง ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น ความไม่ขึ้นกับเส้นทาง (path independence) ทฤษฎีบทกรีน (Green's theorem) ทั้งรูปการหมุนและฟลักซ์ การหาพื้นที่ด้วยอินทิกรัลเส้น สูตร shoelace พร้อมตัวอย่างไฟฟ้า เครื่องกล โยธา และแล็บเปรียบเทียบเส้นทาง ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/line-integrals/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # อินทิกรัลตามเส้น (Line Integrals) งานของแรง และทฤษฎีบทกรีน (Green's Theorem) // บทที่ 24.8 · แคลคูลัสเวกเตอร์ · Line Integrals & Green's Theorem งานที่แรงทำกับวัตถุที่เคลื่อนไปตามเส้นทางโค้ง มวลของลวดที่ความหนาแน่นไม่คงที่ แรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนำรอบขดลวด และพื้นที่แปลงที่ดินจากพิกัดจุดยอด ทั้งหมดคืออินทิกรัลตามเส้น (line integral) หน้านี้สอนทั้งสองแบบ คือแบบสเกลาร์ที่รวมตามความยาว และแบบเวกเตอร์ที่รวมองค์ประกอบสัมผัส (งาน) แล้วเชื่อมกับสนามอนุรักษ์ด้วยทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น ปิดท้ายด้วยทฤษฎีบทกรีน (Green's theorem) ที่แปลงอินทิกรัลรอบวงปิดเป็นอินทิกรัลสองชั้นของ curl และ div พร้อมแล็บเปรียบเทียบงานตามสองเส้นทางและแล็บวัดการหมุนวนบนวงกลม สรุปใน 30 วินาที - สเกลาร์: $\int_C f\,ds = \int f(\mathbf r(t))\,|\mathbf r'(t)|\,dt$ · เวกเตอร์ (งาน): $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \int \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$ - อนุรักษ์: $\int_C\nabla f\cdot d\mathbf r = f(B) - f(A)$ ไม่ขึ้นกับเส้นทาง · $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r = 0$ - กรีน (ทวนเข็ม): $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R (Q_x - P_y)\,dA$ · รูปฟลักซ์ $\oint\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_R\nabla\cdot\mathbf F\,dA$ - พื้นที่: $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ → สูตร shoelace $A = \tfrac12\left|\sum(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)\right|$ ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี ## อินทิกรัลตามเส้นของฟังก์ชันสเกลาร์ ∫ f ds กลาง ลวดโค้ง $C$ มีความหนาแน่นเชิงเส้น (มวลต่อความยาว) $\rho(x, y, z)$ แบ่งลวดเป็นชิ้นสั้น $ds$ มวลแต่ละชิ้น $\rho\,ds$ รวมกันได้ $M = \int_C\rho\,ds$ นั่นคืออินทิกรัลตามเส้นของฟังก์ชันสเกลาร์ ซึ่งรวมตามความยาวส่วนโค้ง และไม่ขึ้นกับทิศที่เดิน เมื่อ $f = 1$ ได้ความยาวเส้นโค้ง (บทฟังก์ชันเวกเตอร์) L1 Line integral of a scalar function อินทิกรัลตามเส้นของฟังก์ชันสเกลาร์ $$\int_C f\,ds = \int_a^b f\big(\mathbf r(t)\big)\,|\mathbf r'(t)|\,dt,\qquad M = \int_C\rho\,ds,\qquad \bar x = \frac1M\int_C x\rho\,ds$$ $ds = |\mathbf r'(t)|\,dt$ · ผลไม่ขึ้นกับทิศการเดินและไม่ขึ้นกับพารามิเตอร์ (ต่างจากแบบเวกเตอร์ซึ่งเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อกลับทิศ) · ในระนาบ $y = g(x)$: $ds = \sqrt{1 + g'^2}\,dx$ ตัวอย่าง L-1 · มวลของลวดเกลียว (เครื่องกล) ### ลวดเกลียว $\mathbf r(t) = \langle\cos t,\ \sin t,\ t\rangle$ $0 \le t \le 2\pi$ (หน่วย cm) มีความหนาแน่นเชิงเส้น $\rho = x^2 + y^2 + z^2$ g/cm จงหามวล - บนเส้นโค้ง $x^2 + y^2 + z^2 = \cos^2t + \sin^2t + t^2 = 1 + t^2$ · $|\mathbf r'| = \sqrt2$ - $M = \displaystyle\int_0^{2\pi}(1 + t^2)\sqrt2\,dt = \sqrt2\left[t + \dfrac{t^3}{3}\right]_0^{2\pi} = \sqrt2\left(2\pi + \dfrac{8\pi^3}{3}\right)$ - ตัวเลข: $2\pi = 6.283,\ \dfrac{8\pi^3}{3} = 82.68$ → $M = 1.4142\times88.96 = 125.8$ g $M = \sqrt2\left(2\pi + \tfrac{8\pi^3}{3}\right) \approx 125.8$ g ตัวอย่าง L-2 · ความยาวลวดโซลินอยด์ (ไฟฟ้า) ### ขดลวดทองแดงเส้นผ่านศูนย์กลาง 0.5 mm พัน 200 รอบรอบแกนรัศมี 2 cm ระยะพิตช์ 0.5 mm ต่อรอบ หาความยาวลวดและความต้านทาน ($\rho_{Cu} = 1.72\times10^{-8}$ Ω·m) - หนึ่งรอบ: $\mathbf r(t) = \langle R\cos t, R\sin t, ct\rangle$ โดย $c = p/2\pi$ · $|\mathbf r'| = \sqrt{R^2 + c^2}$ ความยาวต่อรอบ $= \sqrt{(2\pi R)^2 + p^2}$ - $2\pi R = 0.12566$ m · $p = 0.0005$ m → $\sqrt{0.12566^2 + 0.0005^2} = 0.125664$ m (พิตช์แทบไม่มีผล) - ความยาวรวม $= 200\times0.125664 = 25.13$ m - พื้นที่หน้าตัด $A = \pi(0.25\times10^{-3})^2 = 1.9635\times10^{-7}$ m² · $R_{wire} = \dfrac{\rho L}{A} = \dfrac{1.72\times10^{-8}\times25.13}{1.9635\times10^{-7}} = 2.20$ Ω $L = 25.13$ m · $R_{wire} \approx 2.20$ Ω ## อินทิกรัลตามเส้นของสนามเวกเตอร์ ∫ F·dr (งาน) กลาง วัตถุเคลื่อนไปตามเส้นทาง $C$ ในสนามแรง $\mathbf F$ งานในช่วงเล็ก $d\mathbf r$ คือ $\mathbf F\cdot d\mathbf r$ (เฉพาะองค์ประกอบของแรงตามแนวเคลื่อนที่ทำงาน) รวมตลอดเส้นทางได้ $W = \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ ต่างจากแบบสเกลาร์ตรงที่ ทิศการเดินมีผล: กลับทิศแล้วงานเปลี่ยนเครื่องหมาย $\int_{-C}\mathbf F\cdot d\mathbf r = -\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ L2 Line integral of a vector field (work) อินทิกรัลตามเส้นของสนามเวกเตอร์ (งาน) $$W = \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_a^b\mathbf F\big(\mathbf r(t)\big)\cdot\mathbf r'(t)\,dt = \int_C P\,dx + Q\,dy + R\,dz$$ ขั้นตอน: (1) กำหนดพารามิเตอร์เส้นทาง $x(t), y(t), z(t)$ (2) หา $\mathbf r'(t)$ (3) แทน $\mathbf F$ ด้วยพิกัดของ $\mathbf r(t)$ (4) ดอต แล้วอินทิเกรต $t$ จาก $a$ ถึง $b$ · กลับทิศ = เครื่องหมายสลับ · วงปิด เขียน $\oint$ L3 Work–energy theorem ทฤษฎีบทงาน–พลังงาน $$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \tfrac12 m\,|\mathbf v_B|^2 - \tfrac12 m\,|\mathbf v_A|^2$$ จากกฎของนิวตัน $\mathbf F = m\mathbf r''$ แล้วอินทิเกรต $m\mathbf r''\cdot\mathbf r'$ · งานรวมคือการเปลี่ยนพลังงานจลน์ ### แล็บเปรียบเทียบงานตามสองเส้นทาง เลือกพรีเซ็ตหรือพิมพ์สนามและเส้นทางเอง (พารามิเตอร์ $t$ จาก 0 ถึง 1) โปรแกรมคำนวณงานตามเส้นทาง A (ส้ม) และเส้นทาง B (ฟ้า) แล้วตรวจ $Q_x - P_y$ สำหรับสนามอนุรักษ์ ค่าตามสองเส้นทางต้องเท่ากัน ลองพรีเซ็ตสุดท้าย $\langle -y, x\rangle/(x^2 + y^2)$ ที่ curl เป็นศูนย์แต่ค่าต่างกัน เพราะบริเวณมีรู ตัวอย่าง L-3 · งานตามสองเส้นทางที่ต่างกัน ### $\mathbf F = \langle x^2,\ xy\rangle$ หางานจาก $(0, 0)$ ถึง $(1, 1)$ ตาม (ก) พาราโบลา $y = x^2$ (ข) เส้นตรง $y = x$ - (ก) $\mathbf r(t) = \langle t, t^2\rangle,\ 0 \le t \le 1$ · $\mathbf r' = \langle 1, 2t\rangle$ · $\mathbf F(\mathbf r(t)) = \langle t^2,\ t\cdot t^2\rangle = \langle t^2, t^3\rangle$ - $\mathbf F\cdot\mathbf r' = t^2 + 2t^4$ → $W_{ก} = \displaystyle\int_0^1(t^2 + 2t^4)\,dt = \dfrac13 + \dfrac25 = \dfrac{11}{15}$ - (ข) $\mathbf r(t) = \langle t, t\rangle$ · $\mathbf r' = \langle1, 1\rangle$ · $\mathbf F = \langle t^2, t^2\rangle$ → $\mathbf F\cdot\mathbf r' = 2t^2$ → $W_{ข} = \displaystyle\int_0^1 2t^2\,dt = \dfrac23$ - $11/15 = 0.7333 \ne 2/3 = 0.6667$ → งานขึ้นกับเส้นทาง · ตรวจ $Q_x - P_y = y - 0 = y \ne 0$ สนามไม่อนุรักษ์ ✓ $W_{ก} = \tfrac{11}{15}$ · $W_{ข} = \tfrac{2}{3}$ · ต่างกัน เพราะ $\nabla\times\mathbf F \ne 0$ ## ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น และความไม่ขึ้นกับเส้นทาง กลาง ตัวแปรเดียว: $\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$ ใช้เพียงค่าที่ปลาย ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้นเป็นรูปทั่วไป: ถ้า $\mathbf F = \nabla f$ งานตามเส้นทางใดก็ได้เท่ากับผลต่างของ $f$ ที่ปลายทั้งสอง ผลคือ “ไม่ต้องหาเส้นทาง” — นี่คือเหตุผลที่แรงดันระหว่างสองจุดในวงจร DC ไม่ขึ้นกับว่าวัดตามสายไหน และที่พลังงานศักย์โน้มถ่วงขึ้นกับความสูงอย่างเดียว L4 Fundamental theorem for line integrals ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น $$\mathbf F = \nabla f \ \Rightarrow\ \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = f\big(\mathbf r(b)\big) - f\big(\mathbf r(a)\big)$$ ใช้เมื่อพบว่า $\mathbf F$ อนุรักษ์ (curl = 0) แล้วหา $f$ (วิธีหาศักย์) · ไฟฟ้า: $\int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf r = V(A) - V(B)$ เมื่อ $\mathbf E = -\nabla V$ L5 Equivalent conditions เงื่อนไขที่สมมูลกัน $$\mathbf F = \nabla f \iff \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r \text{ ไม่ขึ้นกับเส้นทาง} \iff \oint\mathbf F\cdot d\mathbf r = 0\ \text{ทุกวงปิด} \iff \nabla\times\mathbf F = \mathbf 0\ \ (\text{บริเวณไม่มีรู})$$ เหตุผลที่สองข้อแรกสมมูล: วงปิด = เส้นทาง A ตามด้วยเส้นทาง B ย้อนกลับ $\oint = \int_A - \int_B$ · ข้อสุดท้ายต้องการ “เชื่อมต่อแบบง่าย” ตัวอย่าง L-4 · ใช้ศักย์แทนการอินทิเกรตตามเส้น ### $\mathbf F = \langle 2xy + z^3,\ x^2,\ 3xz^2\rangle$ หางานจาก $(0,0,0)$ ถึง $(1,2,1)$ - จากบทสนามเวกเตอร์ (ตัวอย่าง D-5) $\mathbf F$ อนุรักษ์ และ $f = x^2y + xz^3$ - $W = f(1, 2, 1) - f(0, 0, 0) = (1\cdot2 + 1\cdot1) - 0 = 3$ - ตรวจด้วยเส้นตรง $\mathbf r(t) = \langle t, 2t, t\rangle$: $\mathbf F = \langle 4t^2 + t^3,\ t^2,\ 3t^3\rangle$ และ $\mathbf r' = \langle 1, 2, 1\rangle$ → $\mathbf F\cdot\mathbf r' = 4t^2 + t^3 + 2t^2 + 3t^3 = 6t^2 + 4t^3$ - $\displaystyle\int_0^1(6t^2 + 4t^3)\,dt = 2 + 1 = 3$ ✓ ตรงกัน และเส้นทางอื่นใดก็ให้ 3 $W = 3$ (ไม่ขึ้นกับเส้นทาง) ตัวอย่าง L-5 · สนามอนุรักษ์ 2 มิติ ### $\mathbf F = \langle y, x\rangle$ หางานจาก $(0,0)$ ถึง $(2,3)$ ตามเส้นตรง และตาม $\mathbf r(t) = \langle 2t^2, 3t\rangle$ - $P_y = 1 = Q_x$ → อนุรักษ์ · ศักย์ $f = xy$ ($f_x = y,\ f_y = x$ ✓) - ตามเส้นตรง $\langle 2t, 3t\rangle$: $\mathbf F = \langle 3t, 2t\rangle$, $\mathbf r' = \langle 2, 3\rangle$ → $\mathbf F\cdot\mathbf r' = 6t + 6t = 12t$ → $\int_0^1 12t\,dt = 6$ - ตาม $\langle 2t^2, 3t\rangle$: $\mathbf F = \langle 3t, 2t^2\rangle$, $\mathbf r' = \langle 4t, 3\rangle$ → $\mathbf F\cdot\mathbf r' = 12t^2 + 6t^2 = 18t^2$ → $\int_0^1 18t^2\,dt = 6$ - ตรวจด้วยศักย์ $f(2, 3) - f(0, 0) = 6 - 0 = 6$ ✓ ทั้งสามวิธีเท่ากัน $W = 6$ ทุกเส้นทาง ## ทฤษฎีบทของกรีน (Green's Theorem) ขั้นสูง ทฤษฎีบทของกรีนเชื่อมอินทิกรัลตามเส้นปิดรอบบริเวณ $R$ ในระนาบกับอินทิกรัลสองชั้นของบริเวณนั้น แนวคิด: แบ่ง $R$ เป็นช่องเล็ก ๆ ที่แต่ละช่องมีการหมุนวนเล็ก ๆ เท่ากับ $(Q_x - P_y)\,dA$ ตอนรวมช่องทั้งหมด ขอบที่ใช้ร่วมกันของช่องข้างเคียงถูกเดินสองครั้งในทิศตรงข้ามจึงหักล้างกัน เหลือเฉพาะขอบนอกสุด นี่คือ “การหมุนวนทั้งหมดรอบวง = ผลรวมการหมุนวนเล็ก ๆ ข้างใน” ทฤษฎีบทกรีน (Green's theorem): แบ่งบริเวณเป็นช่องเล็ก การหมุนวนของช่องข้างเคียงหักล้างกันที่ขอบร่วม เหลือเฉพาะขอบนอกที่วนทวนเข็มนาฬิกา L6 Green's theorem (circulation form) ทฤษฎีบทกรีน (รูปการหมุนวน) $$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_R\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$$ $C$ = ขอบเขตปิดเรียบเป็นช่วง ๆ วนทวนเข็มนาฬิกา (บริเวณอยู่ทางซ้ายมือเสมอ) · $P, Q$ มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องบน $R$ · ถ้าวนตามเข็มนาฬิกา เพิ่มเครื่องหมายลบ · บริเวณมีรู: ขอบในวนตามเข็ม L7 Green's theorem (flux form) ทฤษฎีบทกรีน (รูปฟลักซ์) $$\oint_C\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \oint_C P\,dy - Q\,dx = \iint_R\left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)dA = \iint_R\nabla\cdot\mathbf F\,dA$$ $\mathbf n$ = เวกเตอร์ปกติชี้ออกนอกบริเวณ · เป็นทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ในสองมิติ (บทผิว) L8 Area by a line integral · shoelace พื้นที่ด้วยอินทิกรัลเส้นและสูตร shoelace $$A = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \tfrac12\oint_C x\,dy - y\,dx,\qquad A_{\text{polygon}} = \tfrac12\Big|\sum_{i=1}^{n}\big(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\big)\Big|$$ เลือก $P, Q$ ให้ $Q_x - P_y = 1$ (เช่น $Q = x, P = 0$ หรือ $Q = x/2, P = -y/2$) · รูปหลายเหลี่ยมคำนวณทีละด้าน (เส้นตรง) จึงได้ผลรวม · $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$ · วนทวนเข็มได้พื้นที่บวก ในแล็บสนามเวกเตอร์ (บทสนามเวกเตอร์) วงกลมทดสอบวัด $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r$ และ $\oint\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds$ เทียบกับ $\iint$ ของ curl และ div ซึ่งคือทฤษฎีบทกรีนในรูปเชิงตัวเลข ลองอีกครั้งที่นี่กับสนามที่ curl ไม่คงที่ แล้วดูว่า $\oint$ ตรงกับ $\iint(Q_x - P_y)\,dA$ โดยประมาณ (ตรงเมื่อ $\rho$ เล็ก) ค่าสองบรรทัดสุดท้ายในกล่องคำตอบเป็นการเทียบโดยตรงกับค่าที่ทฤษฎีบทกรีนทำนาย ตัวอย่าง L-6 · ใช้กรีนแทนการอินทิเกรตเส้นที่ยาก ### คำนวณ $\displaystyle\oint_C\big(3y - e^{\sin x}\big)dx + \big(7x + \sqrt{y^4 + 1}\big)dy$ เมื่อ $C$ คือวงกลม $x^2 + y^2 = 9$ วนทวนเข็ม - อินทิกรัลเส้นตรง ๆ ทำยาก (มี $e^{\sin x}$ และ $\sqrt{y^4 + 1}$ ที่ไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบปิด) ใช้ทฤษฎีบทกรีน - $P = 3y - e^{\sin x}$ → $P_y = 3$ · $Q = 7x + \sqrt{y^4 + 1}$ → $Q_x = 7$ · $Q_x - P_y = 4$ (ค่าคงที่!) - $\displaystyle\oint_C = \iint_R 4\,dA = 4\times\text{พื้นที่วงกลมรัศมี }3 = 4\times9\pi = 36\pi$ $36\pi \approx 113.1$ (พจน์ที่ซับซ้อนหายไปหมดเมื่ออนุพันธ์ย่อยหักล้างกัน) ตัวอย่าง L-7 · พื้นที่วงรีด้วยกรีน ### หาพื้นที่ภายในวงรี $x = a\cos t,\ y = b\sin t$ ด้วย $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ - $dx = -a\sin t\,dt$ และ $dy = b\cos t\,dt$ · $x\,dy - y\,dx = ab\cos^2t\,dt + ab\sin^2t\,dt = ab\,dt$ - $A = \dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}ab\,dt = \dfrac12\cdot ab\cdot2\pi = \pi ab$ - ตรงกับผลของบทอินทิกรัลหลายชั้น (เปลี่ยนตัวแปรด้วย Jacobian $ab$) ✓ $A = \pi ab$ ตัวอย่าง L-8 · พื้นที่แปลงที่ดินจากพิกัดจุดยอด (โยธา / สำรวจ) ### แปลงที่ดินห้าเหลี่ยมมีพิกัด (เมตร): $(0, 0),\ (40, 0),\ (55, 30),\ (20, 45),\ (-5, 25)$ เรียงทวนเข็ม หาพื้นที่ - คำนวณ $x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i$ ทีละด้าน: $0\cdot0 - 40\cdot0 = 0$ · $40\cdot30 - 55\cdot0 = 1200$ · $55\cdot45 - 20\cdot30 = 2475 - 600 = 1875$ · $20\cdot25 - (-5)\cdot45 = 500 + 225 = 725$ · $(-5)\cdot0 - 0\cdot25 = 0$ - ผลรวม $= 0 + 1200 + 1875 + 725 + 0 = 3800$ - $A = \tfrac12\times3800 = 1900$ ตารางเมตร · หน่วยไทย: 1 ตารางวา = 4 ตร.ม. ดังนั้น $1900/4 = 475$ ตารางวา = 1 ไร่ 75 ตารางวา (1 ไร่ = 400 ตร.ว. = 1600 ตร.ม.) - ถ้าเรียงจุดตามเข็มนาฬิกาจะได้ผลรวมเป็น $-3800$ จึงต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ · วิธีนี้ใช้ในโปรแกรมสำรวจและ GIS ทุกชนิด $A = 1900$ m² $\approx 1.19$ ไร่ (ใช้ทฤษฎีบทกรีนกับเส้นขอบที่เป็นเส้นตรงทีละด้าน) ตัวอย่าง L-9 · รูปฟลักซ์ของกรีน ### $\mathbf F = \langle x, y\rangle$ หาฟลักซ์ออกจากวงกลมรัศมี $R$ ด้วยสองวิธี - วิธีตรง: บนวงกลม $\mathbf n = \langle x, y\rangle/R$ → $\mathbf F\cdot\mathbf n = (x^2 + y^2)/R = R$ คงที่ · $\oint\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = R\times2\pi R = 2\pi R^2$ - วิธีกรีน: $\nabla\cdot\mathbf F = 1 + 1 = 2$ → $\iint 2\,dA = 2\times\pi R^2 = 2\pi R^2$ ✓ - ในแล็บ: วงกลมรัศมี 1 ที่จุดกำเนิดให้ flux $= 2\pi = 6.2832$ และ flux ÷ พื้นที่ $= 2$ ตรงกับ $\nabla\cdot\mathbf F$ $\oint\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = 2\pi R^2$ ทั้งสองวิธี ## นำไปใช้ในงานวิศวกรรม พื้นฐาน | สาขา | อินทิกรัลตามเส้น | ความหมาย | | ไฟฟ้า | $V_{AB} = -\int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf r$ | แรงดันระหว่างสองจุด ไม่ขึ้นกับเส้นทางในสนามสถิต (L4) | | ไฟฟ้า | $\oint\mathbf B\cdot d\mathbf l = \mu_0 I_{enc}$ | กฎของแอมแปร์ · สนามรอบลวดเส้นตรง $B = \mu_0I/2\pi r$ (บทผิว) | | ไฟฟ้า | $\mathcal E = \oint\mathbf E\cdot d\mathbf l = -d\Phi_B/dt$ | แรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนำ (กฎฟาราเดย์) — สนามไม่อนุรักษ์ | | เครื่องกล | $W = \int\mathbf F\cdot d\mathbf r$ | งานของแรงตามเส้นทางโค้ง งานของแรงเสียดทานขึ้นกับเส้นทาง | | เครื่องกล | $\Gamma = \oint\mathbf v\cdot d\mathbf l$ | ไหลเวียน (circulation) ของของไหล · ทฤษฎีบท Kutta–Joukowski $L' = \rho U\Gamma$ ของแรงยกปีก | | โยธา | $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ | พื้นที่แปลงที่ดินจากพิกัด (shoelace) · เครื่องมือ planimeter วัดพื้นที่บนแผนที่ (ตัวอย่าง L-8) | | โยธา | $\int_C\rho\,ds$ | น้ำหนักของสายเคเบิลที่น้ำหนักต่อความยาวไม่คงที่ | ## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน - ลืมคูณ $|\mathbf r'|$ ในแบบสเกลาร์ · $\int f\,ds$ ใช้ $|\mathbf r'(t)|\,dt$ (ต่างจาก $\int\mathbf F\cdot d\mathbf r$ ที่ใช้ $\mathbf r'\,dt$ ในผลดอต) - ลืมกลับเครื่องหมายเมื่อเดินย้อนทิศ ในแบบเวกเตอร์ · แบบสเกลาร์ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย - ใช้กรีนกับขอบที่ไม่วนทวนเข็ม · วนตามเข็มได้ผลลบ · และต้องเป็นเส้นปิดที่ไม่ตัดตัวเอง - ใช้ทฤษฎีบทกรีนเมื่อ $\mathbf F$ ไม่นิยามภายในวง · เช่น $\langle -y, x\rangle/(x^2 + y^2)$ รอบจุดกำเนิดให้ $2\pi$ แม้ curl เป็นศูนย์ (มีรูที่จุดกำเนิด) - เข้าใจว่า curl = 0 แล้วอนุรักษ์เสมอ · ต้องบริเวณเชื่อมต่อแบบง่าย ไปต่อที่อินทิกรัลบนผิว ฟลักซ์ และทฤษฎีบทของเกาส์–สโตกส์ ซึ่งเป็นรูปทั่วไปของกรีนในสามมิติ ## คำถามที่พบบ่อย อินทิกรัลตามเส้น (line integral) คืออะไร มีกี่แบบ? มีสองแบบหลัก แบบสเกลาร์ $\int_C f\,ds$ รวมค่า $f$ ตามความยาวเส้น เช่นหามวลของลวดที่ความหนาแน่นไม่สม่ำเสมอ ส่วนแบบเวกเตอร์ $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$ รวมองค์ประกอบของสนามตามแนวสัมผัสเส้นทาง คือ “งาน” ที่สนามทำกับวัตถุที่เคลื่อนไปตามเส้น C ทั้งสองคำนวณโดยกำหนดพารามิเตอร์ $\mathbf r(t)$: $\int f(\mathbf r(t))|\mathbf r'(t)|\,dt$ และ $\int \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$ งานของแรง (work) หาจากอินทิกรัลตามเส้นอย่างไร? งานเมื่อวัตถุเคลื่อนไปตามเส้นทาง C ในสนามแรง $\mathbf F$ คือ $W = \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_a^b \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$ ตัวอย่าง $\mathbf F = \langle x^2, xy\rangle$ ตามพาราโบลา $y = x^2$ จาก (0,0) ถึง (1,1) ได้ $11/15$ แต่ตามเส้นตรง $y = x$ ได้ $2/3$ งานขึ้นกับเส้นทางเพราะสนามไม่อนุรักษ์ ถ้าสนามอนุรักษ์ งานเท่ากับผลต่างของฟังก์ชันศักย์ที่ปลายทั้งสอง ทฤษฎีบทกรีน (Green's theorem) บอกอะไร ใช้เมื่อไร? เชื่อมอินทิกรัลตามเส้นปิดกับอินทิกรัลสองชั้นของบริเวณที่ล้อมอยู่: $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dA$ เมื่อ C ปิด เรียบเป็นช่วง ๆ และวนทวนเข็มนาฬิกา ใช้เมื่ออินทิกรัลหนึ่งง่ายกว่าอีกอัน เช่นคำนวณการหมุนวนรอบวงโดยอินทิกรัลของ curl ทั้งบริเวณ หรือหาพื้นที่โดยเลือก $P, Q$ ให้ $Q_x - P_y = 1$ เช่น $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ ซึ่งเป็นที่มาของสูตรพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมจากพิกัดจุด (shoelace) เมื่อไรอินทิกรัลตามเส้นไม่ขึ้นกับเส้นทาง (path independent)? เมื่อสนามเป็นสนามอนุรักษ์ $\mathbf F = \nabla f$ บนบริเวณเชื่อมต่อ ซึ่งสมมูลกับ (ก) งานรอบวงปิดทุกวงเป็นศูนย์ (ข) $\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$ บนบริเวณที่ไม่มีรู (2 มิติ) หรือ $\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0$ (3 มิติ) ผลคือทฤษฎีบทมูลฐาน $\int_C\nabla f\cdot d\mathbf r = f(B) - f(A)$ ไม่ต้องหาเส้นทาง เพียงหาค่าศักย์ที่ปลายทั้งสอง เช่นแรงดันไฟฟ้าระหว่างสองจุดในสนามไฟฟ้าสถิตไม่ขึ้นกับสายที่ใช้วัด สูตร shoelace คำนวณพื้นที่จากพิกัดคืออะไร? พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$ เรียงต่อเนื่องทวนเข็ม คือ $A = \tfrac12\left|\sum_{i=1}^n (x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)\right|$ โดย $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$ มาจากทฤษฎีบทกรีน $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ คำนวณทีละด้านเป็นเส้นตรง ใช้ในงานสำรวจที่ดินหาพื้นที่แปลงจากพิกัด GPS ตัวอย่างแปลง (0,0),(40,0),(55,30),(20,45),(−5,25) ได้ 1,900 ตร.ม. มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **อินทิกรัลตามเส้น (line integral) คืออะไร มีกี่แบบ?** มีสองแบบหลัก แบบสเกลาร์ $\int_C f\,ds$ รวมค่า $f$ ตามความยาวเส้น เช่นหามวลของลวดที่ความหนาแน่นไม่สม่ำเสมอ ส่วนแบบเวกเตอร์ $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$ รวมองค์ประกอบของสนามตามแนวสัมผัสเส้นทาง คือ “งาน” ที่สนามทำกับวัตถุที่เคลื่อนไปตามเส้น C ทั้งสองคำนวณโดยกำหนดพารามิเตอร์ $\mathbf r(t)$: $\int f(\mathbf r(t))|\mathbf r'(t)|\,dt$ และ $\int \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$ **งานของแรง (work) หาจากอินทิกรัลตามเส้นอย่างไร?** งานเมื่อวัตถุเคลื่อนไปตามเส้นทาง C ในสนามแรง $\mathbf F$ คือ $W = \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_a^b \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$ ตัวอย่าง $\mathbf F = \langle x^2, xy\rangle$ ตามพาราโบลา $y = x^2$ จาก (0,0) ถึง (1,1) ได้ $11/15$ แต่ตามเส้นตรง $y = x$ ได้ $2/3$ งานขึ้นกับเส้นทางเพราะสนามไม่อนุรักษ์ ถ้าสนามอนุรักษ์ งานเท่ากับผลต่างของฟังก์ชันศักย์ที่ปลายทั้งสอง **ทฤษฎีบทกรีน (Green's theorem) บอกอะไร ใช้เมื่อไร?** เชื่อมอินทิกรัลตามเส้นปิดกับอินทิกรัลสองชั้นของบริเวณที่ล้อมอยู่: $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dA$ เมื่อ C ปิด เรียบเป็นช่วง ๆ และวนทวนเข็มนาฬิกา ใช้เมื่ออินทิกรัลหนึ่งง่ายกว่าอีกอัน เช่นคำนวณการหมุนวนรอบวงโดยอินทิกรัลของ curl ทั้งบริเวณ หรือหาพื้นที่โดยเลือก $P, Q$ ให้ $Q_x - P_y = 1$ เช่น $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ ซึ่งเป็นที่มาของสูตรพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมจากพิกัดจุด (shoelace) **เมื่อไรอินทิกรัลตามเส้นไม่ขึ้นกับเส้นทาง (path independent)?** เมื่อสนามเป็นสนามอนุรักษ์ $\mathbf F = \nabla f$ บนบริเวณเชื่อมต่อ ซึ่งสมมูลกับ (ก) งานรอบวงปิดทุกวงเป็นศูนย์ (ข) $\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$ บนบริเวณที่ไม่มีรู (2 มิติ) หรือ $\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0$ (3 มิติ) ผลคือทฤษฎีบทมูลฐาน $\int_C\nabla f\cdot d\mathbf r = f(B) - f(A)$ ไม่ต้องหาเส้นทาง เพียงหาค่าศักย์ที่ปลายทั้งสอง เช่นแรงดันไฟฟ้าระหว่างสองจุดในสนามไฟฟ้าสถิตไม่ขึ้นกับสายที่ใช้วัด **สูตร shoelace คำนวณพื้นที่จากพิกัดคืออะไร?** พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$ เรียงต่อเนื่องทวนเข็ม คือ $A = \tfrac12\left|\sum_{i=1}^n (x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)\right|$ โดย $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$ มาจากทฤษฎีบทกรีน $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ คำนวณทีละด้านเป็นเส้นตรง ใช้ในงานสำรวจที่ดินหาพื้นที่แปลงจากพิกัด GPS ตัวอย่างแปลง (0,0),(40,0),(55,30),(20,45),(−5,25) ได้ 1,900 ตร.ม.