--- title: "แคลคูลัสหลายตัวแปรและแคลคูลัสเวกเตอร์ (Multivariable & Vector Calculus): ฟังก์ชันหลายตัวแปร อนุพันธ์ย่อย อินทิกรัลหลายชั้น สนามเวกเตอร์ พร้อมแล็บและงานวิศวกรรม" url: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-17 --- > เรียนแคลคูลัสหลายตัวแปร (multivariable calculus) และแคลคูลัสเวกเตอร์ (vector calculus) ภาษาไทย: ฟังก์ชันหลายตัวแปร อนุพันธ์ย่อย gradient จุดวิกฤต Lagrange อินทิกรัลสองชั้นสามชั้น ฟังก์ชันเวกเตอร์ divergence curl ทฤษฎีบทกรีน Gauss Stokes พร้อมสูตร ตัวอย่างวิธีทำ แล็บออนไลน์ 19 ชุด และงานวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล โยธา ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ · คู่มือฉบับสมบูรณ์ของชุดนี้: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/guide.md # แคลคูลัสหลายตัวแปรและแคลคูลัสเวกเตอร์ (Multivariable & Vector Calculus): ฟังก์ชันหลายตัวแปร อนุพันธ์ย่อย อินทิกรัลหลายชั้น สนามเวกเตอร์ พร้อมแล็บและงานวิศวกรรม // บทที่ 24 · Multivariable & Vector Calculus · 13 หน้า แคลคูลัส 3 ที่นักศึกษาวิศวกรรมต้องผ่านก่อนเข้าสู่วิชาสนามไฟฟ้า การถ่ายเทความร้อน กลศาสตร์ของไหล และโครงสร้าง ชุดนี้เริ่มจากกราฟผิวสามมิติ ไปจนถึงทฤษฎีบทของเกาส์และสโตกส์ ทุกหัวข้อมีสูตรอ้างอิง ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขแล้ว และแล็บให้ลากเมาส์ดูของจริง แล้วปิดท้ายด้วยงานของวิศวกรไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา ในชุดนี้มีอะไร - 13 หน้า 6 ส่วน: ฟังก์ชันหลายตัวแปร · อนุพันธ์ · อินทิกรัลหลายชั้น · เวกเตอร์ · วิศวกรรม · แล็บ - 134 สูตรมีรหัสอ้างอิง และ 111 ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขด้วย sympy และ numpy แล้ว - แล็บโต้ตอบ 19 ชุดพิมพ์สมการเองได้: กราฟผิว gradient Lagrange อินทิกรัล Jacobian เส้นโค้ง สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes ประจุไฟฟ้า การนำความร้อน ดินขุด-ถม หน้าตัด - คำศัพท์เขียนไทยก่อน แล้วระบุอังกฤษในวงเล็บ เพื่อให้ค้นตำราต่างประเทศและอ่านข้อสอบอังกฤษได้ ## เลือกเส้นทางเรียนตามเป้าหมาย ทุกคนเริ่มที่นี่ ### แกนกลางแคลคูลัส 3 - ฟังก์ชันหลายตัวแปร กราฟผิว เส้นชั้นความสูง - อนุพันธ์ย่อย ระนาบสัมผัส กฎลูกโซ่ - Gradient และอนุพันธ์ตามทิศ - ค่าสุดขีดและตัวคูณลากรองจ์ - อินทิกรัลสองชั้น สามชั้น Jacobian คณิตศาสตร์วิศวกรรม · ฟิสิกส์ 2 ### เส้นทางแคลคูลัสเวกเตอร์ - ฟังก์ชันเวกเตอร์ เส้นโค้ง ความโค้ง - สนามเวกเตอร์ div curl - อินทิกรัลตามเส้น ทฤษฎีบทกรีน - ฟลักซ์ Gauss Stokes เลือกสาขาที่เรียน ### เส้นทางวิศวกรรม - ไฟฟ้า: ศักย์ สนาม กฎของเกาส์ Laplace - เครื่องกล: ความร้อน ของไหล Jacobian แขนกล - โยธา: ดินขุด-ถม หน้าตัด แรงดันน้ำ การซึม - แล็บรวมทั้งหมด f(x, y) กราฟผิว (F)→∂f/∂x (P)→∇f (G)→max/min (O)→∬ dA (M)→r(t) (R)→F(x,y,z) (D)→∮ F·dr (L)→∯ F·n dS (S) ## ทุกหน้าในชุดแคลคูลัสหลายตัวแปร ส่วนที่ 1 ### ฟังก์ชันหลายตัวแปร Functions of Several Variables โดเมน กราฟผิว เส้นชั้นความสูง (contour) ลิมิตและความต่อเนื่องในสองตัวแปร f(x,y)24.1 ฟังก์ชันหลายตัวแปร (Functions of Several Variables) คืออะไร: โดเมน กราฟผิว เส้นชั้นความสูง และลิมิต Functions of Several Variables z = f(x, y) กราฟเป็นผิว โดเมนและเรนจ์ เส้นชั้นความสูง (level curves) ผิวระดับ (level surfaces) ผิวกำลังสอง ลิมิตตามหลายเส้นทางและความต่อเนื่อง พร้อมแล็บพื้นผิว 3 มิติกับแผนที่ contour เปิดหน้า →สูตร F1, F2, … ส่วนที่ 2 ### อนุพันธ์หลายตัวแปร Multivariable Differentiation อนุพันธ์ย่อย ระนาบสัมผัส กฎลูกโซ่ gradient อนุพันธ์ตามทิศ จุดวิกฤต Hessian ตัวคูณลากรองจ์ และกำลังสองน้อยสุด ∂f/∂x24.2 อนุพันธ์ย่อย (Partial Derivatives): สูตร ตัวอย่าง ระนาบสัมผัส กฎลูกโซ่ และการประมาณความคลาดเคลื่อน Partial Derivatives อนุพันธ์ย่อยคืออะไร ความหมายเชิงเรขาคณิต อนุพันธ์อันดับสูงและทฤษฎีบทของแคลโร ระนาบสัมผัสและการประมาณเชิงเส้น ผลต่างรวม กฎลูกโซ่ อนุพันธ์โดยปริยาย และการแพร่ความคลาดเคลื่อน เปิดหน้า →สูตร P1, P2, … ∇f24.3 เกรเดียนต์ (Gradient) และอนุพันธ์ตามทิศ (Directional Derivative): ความหมาย สูตร และตัวอย่าง Gradient & Directional Derivative ∇f ชี้ทางขึ้นชันที่สุด D_u f = ∇f·u ตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง เวกเตอร์ปกติของผิวระดับ ระนาบสัมผัสของ F(x,y,z)=c และ gradient descent พร้อมแล็บกราฟขั้ว เปิดหน้า →สูตร G1, G2, … ∇f=024.4 ค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันหลายตัวแปร: จุดวิกฤต Hessian ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange Multiplier) และกำลังสองน้อยสุด Optimization, Lagrange Multipliers & Least Squares ∇f = 0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง (D = fxx fyy − fxy²) ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บนบริเวณปิด ตัวคูณลากรองจ์ λ ความหมายของ λ การถดถอยเชิงเส้นด้วยกำลังสองน้อยสุด และโจทย์ออกแบบวิศวกรรม เปิดหน้า →สูตร O1, O2, … ส่วนที่ 3 ### อินทิกรัลหลายชั้น Multiple Integrals อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น พิกัดขั้ว ทรงกระบอก ทรงกลม จาโคเบียน จุดศูนย์กลางมวล และโมเมนต์ความเฉื่อย ∬24.5 อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น (Double & Triple Integrals): พิกัดขั้ว ทรงกระบอก ทรงกลม และ Jacobian Double & Triple Integrals ผลรวมรีมันน์ในสองมิติ ทฤษฎีบทฟูบินี บริเวณ type I/II สลับลำดับ พิกัดขั้ว อินทิกรัลสามชั้น พิกัดทรงกระบอกและทรงกลม จาโคเบียนเปลี่ยนตัวแปร มวล จุดศูนย์กลางมวล และโมเมนต์ความเฉื่อย เปิดหน้า →สูตร M1, M2, … ส่วนที่ 4 ### ฟังก์ชันเวกเตอร์และแคลคูลัสเวกเตอร์ Vector Functions & Vector Calculus เส้นโค้งในอวกาศ ความโค้ง สนามเวกเตอร์ divergence curl อินทิกรัลตามเส้น ทฤษฎีบท Green Gauss และ Stokes r(t)24.6 ฟังก์ชันเวกเตอร์ (Vector-Valued Functions): เส้นโค้งในอวกาศ ความเร็ว ความเร่ง ความยาวส่วนโค้ง และความโค้ง Vector-Valued Functions & Space Curves r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ ลิมิต อนุพันธ์ อินทิกรัล เส้นสัมผัส ความเร็ว-ความเร่ง ลูกกระสุน ความยาวส่วนโค้ง ความโค้ง κ กรอบ Frenet–Serret (T, N, B) torsion และ a_T a_N พร้อมแล็บเส้นโค้ง 3 มิติ เปิดหน้า →สูตร R1, R2, … ∇·F24.7 สนามเวกเตอร์ (Vector Fields): Gradient, Divergence, Curl และสนามอนุรักษ์ Vector Fields: Divergence & Curl F(x,y,z) ตัวดำเนินการ ∇ ดีเวอร์เจนซ์ เคิร์ล ลาปลาเซียน เอกลักษณ์ curl(grad)=0 และ div(curl)=0 สนามอนุรักษ์และฟังก์ชันศักย์ เส้นกระแส พร้อมแล็บสนามเวกเตอร์ที่วัด div curl บนวงกลม เปิดหน้า →สูตร D1, D2, … ∮24.8 อินทิกรัลตามเส้น (Line Integrals) งานของแรง และทฤษฎีบทกรีน (Green's Theorem) Line Integrals & Green's Theorem ∫ f ds และ ∫ F·dr งานของแรงตามเส้นทาง ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น ความไม่ขึ้นกับเส้นทาง ทฤษฎีบทกรีนทั้งรูปการหมุนและฟลักซ์ พื้นที่ด้วยอินทิกรัลเส้น และตัวอย่างวิศวกรรม เปิดหน้า →สูตร L1, L2, … ∯24.9 อินทิกรัลบนผิว (Surface Integrals) ฟลักซ์ ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ (Gauss) และทฤษฎีบทสโตกส์ (Stokes) Surface Integrals, Divergence Theorem & Stokes' Theorem ผิวพารามิเตอร์ พื้นที่ผิว ฟลักซ์ ∬F·n dS ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ ทฤษฎีบทสโตกส์ กฎของเกาส์ กฎของฟาราเดย์ และสมการแมกซ์เวลล์ พร้อมตัวตรวจ Gauss–Stokes ที่คำนวณทั้งสองฝั่ง เปิดหน้า →สูตร S1, S2, … ส่วนที่ 5 ### การประยุกต์ทางวิศวกรรม Engineering Applications ไฟฟ้า: สนามและศักย์ แมกซ์เวลล์ · เครื่องกล: ความร้อน ของไหล มวล · โยธา: ภูมิประเทศ ดินขุด-ถม หน้าตัด ซึมผ่าน E=−∇V24.10 แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมไฟฟ้า: สนามไฟฟ้า ศักย์ กฎของเกาส์ ตัวเก็บประจุ และสมการแมกซ์เวลล์ Multivariable Calculus in Electrical Engineering E = −∇V ประจุจุดและแล็บลากประจุ กฎของเกาส์ในรูปปริพันธ์และอนุพันธ์ สมการลาปลาซ-พัวซอง ความจุของตัวเก็บประจุ ฟลักซ์แม่เหล็กและกฎของฟาราเดย์ เวกเตอร์พอยน์ติง และความต้านทานจากสนาม เปิดหน้า →สูตร E1, E2, … q=−k∇T24.11 แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมเครื่องกล: การนำความร้อน การไหลของของไหล จุดศูนย์กลางมวล และจาโคเบียนหุ่นยนต์ Multivariable Calculus in Mechanical Engineering กฎของฟูริเยร์ q = −k∇T สมการความร้อนและลาปลาซ ท่อกลมและผนัง ความต่อเนื่อง ∇·v = 0 ความหมุนวน (vorticity) ของไหล จุดศูนย์กลางมวลและโมเมนต์ความเฉื่อย อนุพันธ์ย่อยทางเทอร์โมไดนามิกส์ และจาโคเบียนแขนกล เปิดหน้า →สูตร K1, K2, … cut/fill24.12 แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมโยธา: ภูมิประเทศ ดินขุด-ถม คุณสมบัติหน้าตัด แรงดันน้ำ และการไหลซึมของน้ำ Multivariable Calculus in Civil Engineering แผนที่เส้นชั้นความสูง ความชันและทิศน้ำไหล ปริมาตรดินขุด-ถมด้วยอินทิกรัลสองชั้น ระดับสมดุล A ȳ I ของหน้าตัดด้วยทฤษฎีบทกรีน น้ำหนักแผ่นพื้นที่กระจายไม่สม่ำเสมอ แรงดันน้ำบนผิวโค้ง และฟลักซ์ซึมผ่านดิน เปิดหน้า →สูตร C1, C2, … ส่วนที่ 6 ### ห้องแล็บ Labs เครื่องมือโต้ตอบรวมทุกบท: พื้นผิว gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล เส้นโค้ง สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes ⚗24.13 แล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร: พื้นผิว gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล เส้นโค้ง สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes ในหน้าเดียว Multivariable Calculus Lab Bench ห้องแล็บ 19 ชุดในหน้าเดียว: พื้นผิวและระนาบสัมผัส gradient และ gradient descent จุดวิกฤต Lagrange กำลังสองน้อยสุด อินทิกรัลสองชั้น-สามชั้น Jacobian เส้นโค้งในอวกาศ สนามเวกเตอร์ และตัวตรวจ Gauss–Stokes เปิดหน้า →แล็บรวม ## เลือกเครื่องมือให้ตรงกับคำถาม | คำถาม | เครื่องมือ | ชนิดคำตอบ | | ผิว $z = f(x, y)$ หน้าตาเป็นอย่างไร? | กราฟผิว + เส้นชั้นความสูง | ภาพ 3 มิติ | | ลิมิตที่จุดหนึ่งมีไหม? | ทดสอบหลายเส้นทาง | มี / ไม่มี | | เปลี่ยนทีละตัวแปรแล้ว $f$ เปลี่ยนเท่าไร? | อนุพันธ์ย่อย $f_x, f_y$ | อัตราการเปลี่ยนแปลง | | ทิศไหนขึ้นชันที่สุด? ชันเท่าไร? | $\nabla f$ และ $D_{\mathbf u}f$ | เวกเตอร์ / อัตรา | | ค่าสูงสุด-ต่ำสุดอยู่ที่ไหน? | Hessian, Lagrange | จุด + ชนิด | | ปริมาตร มวล จุดศูนย์กลางมวล? | อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น | ปริมาตร / มวล / พิกัด | | อนุภาคเคลื่อนที่ในอวกาศ ความเร็วและความโค้ง? | $\mathbf r(t)$, Frenet | $\mathbf v, \mathbf a, \kappa$ | | สนามนี้ไหลออก หมุนวน หรือเป็นสนามอนุรักษ์? | div, curl | สเกลาร์ / เวกเตอร์ | | แรงทำงานตามเส้นทางเท่าไร? | $\int\mathbf F\cdot d\mathbf r$, Green | งาน (J) | | ฟลักซ์ผ่านผิวเท่าไร? | $\iint\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$, Gauss, Stokes | ฟลักซ์ | ## ห้องแล็บและเครื่องมือ 19 เครื่องมือ · พิมพ์สมการเองได้ ### แล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร กราฟผิว gradient จุดวิกฤต Lagrange อินทิกรัล Jacobian เส้นโค้ง สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes ไฟฟ้า ### แล็บประจุและศักย์ไฟฟ้า ลากประจุ ดู V, E = −∇V, เส้นสมศักย์ และฟลักซ์ผ่านทรงกลม เครื่องกล ### แล็บการนำความร้อน เส้นไอโซเทอร์ม q = −k∇T และความร้อนที่ไหลผ่านหน้าตัด โยธา ### แล็บภูมิประเทศและดินขุด-ถม ความลาดชัน ทิศน้ำไหล ปริมาตรขุด-ถม และระดับสมดุล โยธา · เครื่องกล ### แล็บคุณสมบัติหน้าตัด พื้นที่ จุดศูนย์ถ่วง โมเมนต์ความเฉื่อยของหน้าตัดหลายเหลี่ยมด้วยทฤษฎีบทกรีน ## ดัชนีสูตรที่ค้นหาและอ้างอิงได้ รหัส F ฟังก์ชันหลายตัวแปร · P อนุพันธ์ย่อย · G เกรเดียนต์ · O ค่าสุดขีด · M อินทิกรัลหลายชั้น · R ฟังก์ชันเวกเตอร์ · D สนามเวกเตอร์ · L อินทิกรัลตามเส้น · S อินทิกรัลบนผิว · E ไฟฟ้า · K เครื่องกล · C โยธา คลิกสูตรเพื่ออ่านเงื่อนไขการใช้และตัวอย่างในหน้าที่เกี่ยวข้อง ## วิธีเรียนและตรวจคำตอบที่ใช้ได้ทุกบท - วาดก่อนคำนวณ — วาดบริเวณในระนาบ xy หรือเส้นชั้นความสูงคร่าว ๆ ก่อนตั้งขอบเขตอินทิกรัลหรือหาจุดวิกฤต - ตรวจหน่วยและมิติ — $\iint$ ของความหนาแน่นพื้นที่ต้องได้มวล ฟลักซ์ต้องมีหน่วยของสนามคูณพื้นที่ - สองวิธีต้องตรงกัน — เปลี่ยนลำดับ $dx\,dy$ เป็น $dy\,dx$ หรือใช้พิกัดขั้ว/ทรงกลมตรวจ และใช้ทฤษฎีบทกรีน-เกาส์-สโตกส์ตรวจอินทิกรัลตามเส้นและบนผิว - ใช้แล็บตรวจทีหลัง ไม่ใช่แทนที่ — ลองคำนวณเองก่อน แล้วพิมพ์โจทย์ลงแล็บ ถ้าไม่ตรงให้ย้อนหาจุดที่ผิด ## เอกสารค้นคว้าต่อ - OpenStax Calculus Volume 3 — ตำราเปิดครบ Calculus III - MIT OpenCourseWare 18.02SC Multivariable Calculus - Paul's Online Math Notes: Calculus III - คู่มือและสรุปสูตรแบบ Markdown สำหรับอ่าน ค้นคว้า และผู้ช่วย AI ## ต่อยอดจากแคลคูลัสหลายตัวแปร ต่อไปที่ การแปลงลาปลาซ สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ในวงจรและระบบควบคุม อนุกรมฟูริเยร์ สำหรับสัญญาณและการนำความร้อน และ พีชคณิตเชิงเส้น สำหรับเมทริกซ์ Jacobian และ Hessian ในรูปเมทริกซ์ ถ้ายังไม่แม่นเรื่องพื้นฐานย้อนไปอ่าน แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ และ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ และเวกเตอร์ ## คำถามที่พบบ่อย แคลคูลัสหลายตัวแปร (Calculus 3) เรียนอะไรบ้าง และยากกว่าแคลคูลัส 1-2 แค่ไหน? แคลคูลัสหลายตัวแปรขยายแคลคูลัส 1-2 จากฟังก์ชันตัวแปรเดียวไปสู่หลายตัวแปร หัวข้อหลักคือฟังก์ชันหลายตัวแปรและกราฟผิว อนุพันธ์ย่อยและ gradient ค่าสูงสุด-ต่ำสุดและตัวคูณลากรองจ์ อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น แล้วต่อด้วยแคลคูลัสเวกเตอร์ ได้แก่ เส้นโค้งในอวกาศ สนามเวกเตอร์ อินทิกรัลตามเส้น ทฤษฎีบทกรีน ดีเวอร์เจนซ์ เคิร์ล และทฤษฎีบทของเกาส์และสโตกส์ ความยากส่วนใหญ่อยู่ที่การมองภาพสามมิติและการตั้งขอบเขตอินทิกรัล ซึ่งแล็บในชุดนี้ช่วยให้เห็นภาพได้ ควรเรียนอะไรก่อนเริ่มแคลคูลัสหลายตัวแปร? ควรคล่องอนุพันธ์และอินทิกรัลตัวแปรเดียว (กฎลูกโซ่ การอินทิกรัลแบบแทนค่า) ตรีโกณมิติพื้นฐาน และเวกเตอร์ 2-3 มิติ โดยเฉพาะ dot product และ cross product ถ้ายังไม่แม่นเวกเตอร์ให้อ่านชุดเวกเตอร์ก่อน จากนั้นเริ่มที่หน้าฟังก์ชันหลายตัวแปรแล้วไล่ตามลำดับ แคลคูลัสหลายตัวแปรใช้ในวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธาอย่างไร? วิศวกรรมไฟฟ้าใช้ $\mathbf E = -\nabla V$ กฎของเกาส์และสมการลาปลาซกับสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก วิศวกรรมเครื่องกลใช้กฎของฟูริเยร์ $\mathbf q = -k\nabla T$ การไหลของของไหล โมเมนต์ความเฉื่อย และจาโคเบียนของแขนกล วิศวกรรมโยธาใช้เส้นชั้นความสูงและความลาดชัน ปริมาตรดินขุด-ถม คุณสมบัติหน้าตัดด้วยทฤษฎีบทกรีน และการซึมของน้ำใต้ดิน แต่ละสาขามีหน้าของตัวเองพร้อมแล็บและตัวอย่างตัวเลขจริง ทฤษฎีบทกรีน ดีเวอร์เจนซ์ และสโตกส์ต่างกันอย่างไร? ทั้งสามคือทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสในมิติสูงขึ้น: อินทิกรัลของ "อนุพันธ์" ภายในบริเวณเท่ากับอินทิกรัลของสนามบน "ขอบ" ทฤษฎีบทกรีนใช้กับบริเวณในระนาบ (วงปิด ↔ พื้นที่) สโตกส์ยกกรีนไปบนผิวโค้งในอวกาศ (วงปิด ↔ เคิร์ลผ่านผิว) ส่วนทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์เชื่อมฟลักซ์ผ่านผิวปิดกับอินทิกรัลสามชั้นของ $\nabla\cdot\mathbf F$ ในแล็บ Gauss–Stokes คำนวณสองข้างแยกกันให้เห็นว่าตัวเลขตรงกัน มีสูตรสรุปแคลคูลัสหลายตัวแปรและเครื่องคิดเลขตรวจคำตอบไหม? มี ดัชนีสูตรในหน้านี้ค้นหาได้ทุกสูตรพร้อมรหัสอ้างอิง และทุกสูตรเชื่อมไปยังตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขแล้ว ส่วนเครื่องมือโต้ตอบอยู่ในหน้าแล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร พิมพ์สมการเองแล้วดู gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล และตัวตรวจ Gauss–Stokes ได้ทันที มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **แคลคูลัสหลายตัวแปร (Calculus 3) เรียนอะไรบ้าง และยากกว่าแคลคูลัส 1-2 แค่ไหน?** แคลคูลัสหลายตัวแปรขยายแคลคูลัส 1-2 จากฟังก์ชันตัวแปรเดียวไปสู่หลายตัวแปร หัวข้อหลักคือฟังก์ชันหลายตัวแปรและกราฟผิว อนุพันธ์ย่อยและ gradient ค่าสูงสุด-ต่ำสุดและตัวคูณลากรองจ์ อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น แล้วต่อด้วยแคลคูลัสเวกเตอร์ ได้แก่ เส้นโค้งในอวกาศ สนามเวกเตอร์ อินทิกรัลตามเส้น ทฤษฎีบทกรีน ดีเวอร์เจนซ์ เคิร์ล และทฤษฎีบทของเกาส์และสโตกส์ ความยากส่วนใหญ่อยู่ที่การมองภาพสามมิติและการตั้งขอบเขตอินทิกรัล ซึ่งแล็บในชุดนี้ช่วยให้เห็นภาพได้ **ควรเรียนอะไรก่อนเริ่มแคลคูลัสหลายตัวแปร?** ควรคล่องอนุพันธ์และอินทิกรัลตัวแปรเดียว (กฎลูกโซ่ การอินทิกรัลแบบแทนค่า) ตรีโกณมิติพื้นฐาน และเวกเตอร์ 2-3 มิติ โดยเฉพาะ dot product และ cross product ถ้ายังไม่แม่นเวกเตอร์ให้อ่านชุดเวกเตอร์ก่อน จากนั้นเริ่มที่หน้าฟังก์ชันหลายตัวแปรแล้วไล่ตามลำดับ **แคลคูลัสหลายตัวแปรใช้ในวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธาอย่างไร?** วิศวกรรมไฟฟ้าใช้ $\mathbf E = -\nabla V$ กฎของเกาส์และสมการลาปลาซกับสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก วิศวกรรมเครื่องกลใช้กฎของฟูริเยร์ $\mathbf q = -k\nabla T$ การไหลของของไหล โมเมนต์ความเฉื่อย และจาโคเบียนของแขนกล วิศวกรรมโยธาใช้เส้นชั้นความสูงและความลาดชัน ปริมาตรดินขุด-ถม คุณสมบัติหน้าตัดด้วยทฤษฎีบทกรีน และการซึมของน้ำใต้ดิน แต่ละสาขามีหน้าของตัวเองพร้อมแล็บและตัวอย่างตัวเลขจริง **ทฤษฎีบทกรีน ดีเวอร์เจนซ์ และสโตกส์ต่างกันอย่างไร?** ทั้งสามคือทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสในมิติสูงขึ้น: อินทิกรัลของ "อนุพันธ์" ภายในบริเวณเท่ากับอินทิกรัลของสนามบน "ขอบ" ทฤษฎีบทกรีนใช้กับบริเวณในระนาบ (วงปิด ↔ พื้นที่) สโตกส์ยกกรีนไปบนผิวโค้งในอวกาศ (วงปิด ↔ เคิร์ลผ่านผิว) ส่วนทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์เชื่อมฟลักซ์ผ่านผิวปิดกับอินทิกรัลสามชั้นของ $\nabla\cdot\mathbf F$ ในแล็บ Gauss–Stokes คำนวณสองข้างแยกกันให้เห็นว่าตัวเลขตรงกัน **มีสูตรสรุปแคลคูลัสหลายตัวแปรและเครื่องคิดเลขตรวจคำตอบไหม?** มี ดัชนีสูตรในหน้านี้ค้นหาได้ทุกสูตรพร้อมรหัสอ้างอิง และทุกสูตรเชื่อมไปยังตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขแล้ว ส่วนเครื่องมือโต้ตอบอยู่ในหน้าแล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร พิมพ์สมการเองแล้วดู gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล และตัวตรวจ Gauss–Stokes ได้ทันที