--- title: "เกรเดียนต์ (Gradient) และอนุพันธ์ตามทิศ (Directional Derivative): ความหมาย สูตร และตัวอย่าง" url: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/gradient-directional-derivative/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-17 --- > เกรเดียนต์ (gradient, ∇f) คืออะไร ชี้ทางขึ้นชันที่สุด อนุพันธ์ตามทิศ (directional derivative) D_u f = ∇f · u ทำไม gradient ตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง เวกเตอร์ปกติและระนาบสัมผัสของผิวระดับ gradient descent พร้อมตัวอย่างไฟฟ้า เครื่องกล โยธา และแล็บกราฟขั้วที่หมุนทิศได้ ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/gradient-directional-derivative/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # เกรเดียนต์ (Gradient) และอนุพันธ์ตามทิศ (Directional Derivative): ความหมาย สูตร และตัวอย่าง // บทที่ 24.3 · แคลคูลัสหลายตัวแปร · Gradient & Directional Derivative ยืนบนเนินเขา อยากรู้ว่า “เดินไปทางไหนชันที่สุด” และ “ถ้าเดินไปทางตะวันออกเฉียงเหนือจะชันเท่าไร” คำตอบทั้งสองมาจากเวกเตอร์ตัวเดียวที่เรียกว่าเกรเดียนต์ (gradient) $\nabla f$ ซึ่งเป็นหัวใจของแคลคูลัสหลายตัวแปร และปรากฏทุกที่ในงานวิศวกรรม: สนามไฟฟ้า $\mathbf E = -\nabla V$ ฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q = -k\nabla T$ การไหลของน้ำบนผิวดิน และอัลกอริทึม gradient descent ที่ปรับพารามิเตอร์ตัวควบคุมหรือโมเดล หน้านี้มีแล็บหมุนทิศ $\mathbf u$ แล้วดูค่า $D_{\mathbf u}f$ บนกราฟขั้ว และปล่อยจุดลงเขาด้วย gradient descent สรุปใน 30 วินาที - $\nabla f = \langle f_x, f_y\rangle$ (หรือ $\langle f_x, f_y, f_z\rangle$) · ชี้ทาง $f$ เพิ่มเร็วสุด · ขนาด $|\nabla f|$ = อัตราเพิ่มสูงสุด - อนุพันธ์ตามทิศ $D_{\mathbf u}f = \nabla f\cdot\mathbf u = |\nabla f|\cos\theta$ เมื่อ $\mathbf u$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย - $\nabla f$ ตั้งฉากกับเส้นชั้น $f = c$ · ใน 3 มิติ $\nabla F$ คือเวกเตอร์ปกติของผิวระดับ $F = c$ - gradient descent: $\mathbf x \leftarrow \mathbf x - \alpha\nabla f$ ลงเขาทีละก้าว ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี ## เกรเดียนต์คืออะไร พื้นฐาน อนุพันธ์ย่อยให้ความชันตามแกน $x$ และแกน $y$ แต่ผิวมีทิศให้เดินได้ไม่จำกัด ทำไมความรู้เรื่องสองแกนจึงพอทำนายทิศไหนก็ได้? เพราะผิวเรียบเมื่อซูมเข้าจะเป็นระนาบ (บทระนาบสัมผัส) และระนาบถูกกำหนดด้วยความชันสองค่า การรวมสองค่าเป็นเวกเตอร์เดียวคือเกรเดียนต์ ซึ่งเขียนด้วยสัญลักษณ์ $\nabla$ (อ่านว่า “เดล” หรือ “นาบลา”) G1 Gradient เกรเดียนต์ $$\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right\rangle = f_x\,\mathbf i + f_y\,\mathbf j,\qquad \nabla f = \left\langle f_x, f_y, f_z\right\rangle \ \text{(3 ตัวแปร)}$$ ฟังก์ชันสเกลาร์ → สนามเวกเตอร์ · ตัวดำเนินการ $\nabla = \left\langle \dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, \dfrac{\partial}{\partial z}\right\rangle$ (grad) · บางตำราเขียน $\operatorname{grad} f$ ตัวอย่าง G-1 · หา gradient ### หา $\nabla f$ ของ $f(x, y) = x^2 y^3 - 4y$ แล้วคำนวณที่ $(2, -1)$ - $f_x = 2xy^3$ · $f_y = 3x^2y^2 - 4$ - แทน $(2, -1)$: $f_x = 2(2)(-1)^3 = -4$ · $f_y = 3(4)(1) - 4 = 8$ - ดังนั้น $\nabla f(2, -1) = \langle -4, 8\rangle$ · ขนาด $|\nabla f| = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 8.94$ $\nabla f = \langle 2xy^3,\ 3x^2y^2 - 4\rangle$ · ที่ $(2,-1)$ คือ $\langle -4, 8\rangle$ ## อนุพันธ์ตามทิศ (Directional Derivative) พื้นฐาน อนุพันธ์ตามทิศคืออัตราเปลี่ยนของ $f$ เมื่อเดินจากจุดหนึ่งตรงไปตามทิศที่กำหนด ด้วยความเร็วหนึ่งหน่วยต่อหน่วยระยะ ทิศถูกระบุด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย $\mathbf u = \langle \cos\theta, \sin\theta\rangle$ อนุพันธ์ย่อย $f_x$ และ $f_y$ คือกรณีพิเศษของ $D_{\mathbf u}f$ ที่ทิศ $\mathbf u = \mathbf i$ และ $\mathbf u = \mathbf j$ G2 Directional derivative (definition) อนุพันธ์ตามทิศ (นิยาม) $$D_{\mathbf u} f(a, b) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a + h u_1,\ b + h u_2) - f(a, b)}{h} = \left.\frac{d}{dh} f(\mathbf x_0 + h\mathbf u)\right|_{h=0}$$ เดินเป็นเส้นตรง $\mathbf x_0 + h\mathbf u$ แล้วหาอนุพันธ์ของ $f$ ตามระยะ $h$ · $\mathbf u$ ต้องหนึ่งหน่วย ($|\mathbf u| = 1$) จึงให้หน่วยเป็น “ต่อหน่วยระยะ” G3 Computing formula สูตรคำนวณ $$D_{\mathbf u} f = \nabla f \cdot \mathbf u = f_x u_1 + f_y u_2 = |\nabla f|\cos\theta,\qquad \mathbf u = \frac{\mathbf v}{|\mathbf v|}$$ $\theta$ = มุมระหว่าง $\nabla f$ กับ $\mathbf u$ · ถ้าโจทย์ให้ทิศเป็นเวกเตอร์ $\mathbf v$ ใด ๆ ให้ทำเป็นหนึ่งหน่วยก่อนเสมอ (ข้อผิดพลาดอันดับหนึ่ง) · พิสูจน์ด้วยกฎลูกโซ่ $\dfrac{d}{dh}f(a + hu_1, b + hu_2) = f_x u_1 + f_y u_2$ ตัวอย่าง G-2 · อนุพันธ์ตามทิศที่กำหนดด้วยเวกเตอร์ ### ต่อจาก G-1: หา $D_{\mathbf u}f$ ที่ $(2, -1)$ ในทิศ $\mathbf v = \langle 2, 5\rangle$ - $|\mathbf v| = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$ จึง $\mathbf u = \dfrac{\langle 2, 5\rangle}{\sqrt{29}}$ (ทำเป็นหนึ่งหน่วยก่อน!) - $\nabla f(2,-1) = \langle -4, 8\rangle$ จาก G-1 - $D_{\mathbf u} f = \langle -4, 8\rangle\cdot\dfrac{\langle 2, 5\rangle}{\sqrt{29}} = \dfrac{-8 + 40}{\sqrt{29}} = \dfrac{32}{\sqrt{29}} \approx 5.94$ - เทียบกับขนาดสูงสุด $|\nabla f| = 8.94$: ทิศนี้ทำมุม $\theta$ กับ $\nabla f$ โดย $\cos\theta = 5.94/8.94 = 0.665$ → $\theta \approx 48.4^\circ$ $D_{\mathbf u}f = 32/\sqrt{29} \approx 5.94$ (ถ้าลืมทำเป็นหนึ่งหน่วยจะได้ 32 ซึ่งผิด) ## แล็บ: หมุนทิศ u ดู Duf และปล่อยจุดลงเขา พื้นฐาน ลูกศรดำคือ $\nabla f$ (ชี้ขึ้นเขาชันสุด ตั้งฉากกับเส้นชั้นที่ผ่านจุด) ลูกศรฟ้าคือทิศ $\mathbf u$ ที่คุณเลือกด้วยแถบมุม $\theta$ กราฟขั้วด้านขวาแสดงค่า $D_{\mathbf u}f$ ทุกทิศ เป็นวงกลมที่ผ่านจุดกำเนิด (เพราะ $D_{\mathbf u}f = |\nabla f|\cos(\theta - \theta_g)$) ยอดวงกลมอยู่ในทิศ $\nabla f$ ส่วนจุดที่ผ่านจุดกำเนิดคือทิศตั้งฉาก ซึ่ง $D_{\mathbf u}f = 0$ นั่นคือเดินไปตามเส้นชั้น เกรเดียนต์ของ $f = x^2 + 3y^2$ ที่หลายจุด: ลูกศรชี้ทางขึ้นชันที่สุดและตั้งฉากกับเส้นชั้นเสมอ (เส้นชั้นเป็นวงรี) ## ทิศที่ชันที่สุด และอัตราสูงสุด พื้นฐาน จาก $D_{\mathbf u}f = |\nabla f|\cos\theta$ ค่านี้ใหญ่สุดเมื่อ $\cos\theta = 1$ ($\mathbf u$ ทิศเดียวกับ $\nabla f$) เล็กสุดเมื่อ $\cos\theta = -1$ และเป็นศูนย์เมื่อ $\cos\theta = 0$ (ตั้งฉาก) G4 Direction of steepest ascent ทิศขึ้นชันที่สุด $$\max_{|\mathbf u|=1} D_{\mathbf u}f = |\nabla f|\ \ (\mathbf u = \tfrac{\nabla f}{|\nabla f|}),\qquad \min D_{\mathbf u}f = -|\nabla f|\ \ (\mathbf u = -\tfrac{\nabla f}{|\nabla f|}),\qquad D_{\mathbf u}f = 0\ \ (\mathbf u \perp \nabla f)$$ ขึ้นชันสุด $+\nabla f$ · ลงชันสุด $-\nabla f$ · เดินตามเส้นชั้น $\perp\nabla f$ · ถ้า $\nabla f = \mathbf 0$ (จุดวิกฤต) ทุกทิศได้ $D_{\mathbf u}f = 0$ ตัวอย่าง G-3 · อุณหภูมิบนแผ่นโลหะ (เครื่องกล) ### อุณหภูมิบนแผ่นโลหะ $T(x, y) = \dfrac{80}{1 + x^2 + 2y^2}$ °C (x, y เป็นเมตร) แมลงที่ $(3, -1)$ ต้องการหนีร้อนให้เร็วที่สุด ควรเดินไปทิศใด และอุณหภูมิลดเร็วเพียงใด - ที่ $(3, -1)$: ตัวส่วน $1 + 9 + 2 = 12$ · $T = 80/12 = 6.67$ °C - $T_x = \dfrac{-80(2x)}{(1 + x^2 + 2y^2)^2} = \dfrac{-480}{144} = -\dfrac{10}{3}$ · $T_y = \dfrac{-80(4y)}{(1 + x^2 + 2y^2)^2} = \dfrac{320}{144} = \dfrac{20}{9}$ - $\nabla T = \left\langle -\tfrac{10}{3},\ \tfrac{20}{9}\right\rangle \propto \langle -3, 2\rangle$ ชี้ทางที่ร้อนขึ้นเร็วสุด (ไปทางจุดกำเนิดที่ร้อนสุด) - แมลงต้องการเย็นลงเร็วสุด จึงเดินสวนทาง $-\nabla T$ คือทิศ $\langle 3, -2\rangle/\sqrt{13}$ (ห่างออกจากจุดกำเนิด) - อัตราลดสูงสุด $= |\nabla T| = \sqrt{\tfrac{100}{9} + \tfrac{400}{81}} = \sqrt{\tfrac{1300}{81}} = \tfrac{\sqrt{1300}}{9} \approx 4.006$ °C/m เดินทิศ $-\nabla T \propto \langle 3, -2\rangle$ · อุณหภูมิลดเร็วสุด 4.006 °C ต่อเมตร ## เกรเดียนต์ตั้งฉากกับเส้นชั้น และผิวระดับ กลาง ตามเส้นชั้น $f(x, y) = c$ ค่าของ $f$ คงที่ ดังนั้นถ้าเดินเล็กน้อยตามทิศสัมผัสเส้นชั้น $\mathbf T$ จะได้ $D_{\mathbf T}f = \nabla f\cdot\mathbf T = 0$ ผลดอตเป็นศูนย์แปลว่า $\nabla f \perp \mathbf T$ ผลเดียวกันใช้กับผิวระดับ: เวกเตอร์ปกติของผิว $F(x, y, z) = c$ คือ $\nabla F$ ซึ่งให้วิธีเขียนระนาบสัมผัสและเส้นปกติทันที G5 Gradient ⟂ level curve gradient ตั้งฉากเส้นชั้น $$\mathbf r(t) \in \{f = c\} \ \Rightarrow\ \frac{d}{dt}f(\mathbf r(t)) = \nabla f\cdot\mathbf r'(t) = 0$$ เส้นสัมผัสของเส้นชั้นที่ $(a,b)$ มีสมการ $f_x(x - a) + f_y(y - b) = 0$ G6 Tangent plane and normal line of F = c ระนาบสัมผัสและเส้นปกติของผิวระดับ $$F_x(P)(x - x_0) + F_y(P)(y - y_0) + F_z(P)(z - z_0) = 0,\qquad \mathbf r(t) = \mathbf r_0 + t\,\nabla F(P)$$ ถ้าผิวให้ในรูป $z = f(x, y)$ ให้ตั้ง $F = f(x,y) - z$ จะได้ $\nabla F = \langle f_x, f_y, -1\rangle$ ตรงกับระนาบสัมผัสในบทอนุพันธ์ย่อย ตัวอย่าง G-4 · ระนาบสัมผัสของทรงรี ### หาระนาบสัมผัสและเส้นปกติของ $\dfrac{x^2}{4} + y^2 + \dfrac{z^2}{4} = 3$ ที่ $(-2, 1, 2)$ - ตั้ง $F = \dfrac{x^2}{4} + y^2 + \dfrac{z^2}{4} - 3$ ตรวจจุด: $1 + 1 + 1 - 3 = 0$ ✓ - $\nabla F = \left\langle \dfrac{x}{2},\ 2y,\ \dfrac{z}{2}\right\rangle$ ที่ $(-2, 1, 2)$: $\langle -1,\ 2,\ 1\rangle$ - ระนาบสัมผัส: $-1(x + 2) + 2(y - 1) + 1(z - 2) = 0$ → $-x + 2y + z = 6$ - เส้นปกติ: $x = -2 - t,\ y = 1 + 2t,\ z = 2 + t$ - ตรวจ: แทนจุด $(-2,1,2)$: $2 + 2 + 2 = 6$ ✓ ระนาบสัมผัส $-x + 2y + z = 6$ · เส้นปกติ $\langle -2, 1, 2\rangle + t\langle -1, 2, 1\rangle$ ในงานวิศวกรรม: ผิวตัวนำไฟฟ้าเป็นผิวศักย์เท่ากัน ($V$ คงที่) สนาม $\mathbf E = -\nabla V$ จึงตั้งฉากกับผิวตัวนำเสมอ (เงื่อนไขขอบเขตที่ใช้ในการออกแบบอิเล็กโทรด) น้ำบนผิวดินไหลตามทิศ $-\nabla h$ ซึ่งตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง จึงวางแนวร่องระบายน้ำตั้งฉากกับเส้นชั้น และความร้อนไหลตั้งฉากกับ isotherm ## กฎของเกรเดียนต์และสูตรที่ใช้บ่อย กลาง G7 Gradient rules กฎของเกรเดียนต์ $$\nabla(f \pm g) = \nabla f \pm \nabla g,\quad \nabla(fg) = f\nabla g + g\nabla f,\quad \nabla\,h(f) = h'(f)\,\nabla f$$ เป็นกฎของตัวแปรเดียวทุกข้อ ใส่ $\nabla$ แทน $d/dx$ G8 Gradient of radial functions เกรเดียนต์ของฟังก์ชันรัศมี $$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}:\quad \nabla r = \frac{\mathbf r}{r},\qquad \nabla\!\left(\frac1r\right) = -\frac{\mathbf r}{r^3},\qquad \nabla r^n = n\,r^{n-2}\mathbf r$$ สูตรสามข้อนี้ใช้บ่อยมากในไฟฟ้า (ศักย์จากประจุจุด) และแรงโน้มถ่วง · ทิศ $\mathbf r/r$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามรัศมี ตัวอย่าง G-5 · ได้กฎของคูลอมบ์จากศักย์ (ไฟฟ้า) ### ศักย์ของประจุจุด $q$ คือ $V = \dfrac{kq}{r}$ จงหา $\mathbf E = -\nabla V$ - $V = kq\cdot r^{-1}$ จากสูตร G8: $\nabla\left(\dfrac1r\right) = -\dfrac{\mathbf r}{r^3}$ - $\mathbf E = -\nabla V = -kq\left(-\dfrac{\mathbf r}{r^3}\right) = \dfrac{kq\,\mathbf r}{r^3} = \dfrac{kq}{r^2}\,\hat{\mathbf r}$ - นี่คือกฎของคูลอมบ์ — ขนาด $kq/r^2$ พุ่งออกตามรัศมี และเมื่อ $q < 0$ พุ่งเข้า - สรุป: คำนวณศักย์ (สเกลาร์ ง่ายกว่า) แล้วหา gradient ได้สนามเวกเตอร์ทั้ง 3 องค์ประกอบในครั้งเดียว $\mathbf E = \dfrac{kq}{r^2}\hat{\mathbf r}$ · ใช้ได้กับผลรวมของหลายประจุโดยรวม $V$ ก่อนแล้วหา gradient (ดูแล็บประจุจุด) ## Gradient Descent: ลงเขาทีละก้าว กลาง ถ้าต้องการจุดต่ำสุดของ $f$ แต่แก้ $\nabla f = \mathbf 0$ ตรง ๆ ไม่ได้ (ฟังก์ชันซับซ้อน มีพารามิเตอร์นับพัน) ให้เริ่มจากจุดหนึ่งแล้วเดินสวนทางเกรเดียนต์ซ้ำ ๆ ทีละก้าวเล็ก ๆ นี่คือ gradient descent ซึ่งเป็นแกนของการฝึกโครงข่ายประสาทเทียม การจูนพารามิเตอร์ตัวควบคุม และการแก้ปัญหากำลังสองน้อยสุดขนาดใหญ่ ส่วนการไต่ขึ้น (gradient ascent) ใช้หาค่ามากสุด เช่น วิธี perturb & observe ที่ตามจุดกำลังสูงสุดของแผงโซลาร์เซลล์ก็คือการไต่เขา $P(V)$ ในมิติเดียว G9 Gradient descent วิธีลงเขาตามเกรเดียนต์ $$\mathbf x_{k+1} = \mathbf x_k - \alpha\,\nabla f(\mathbf x_k),\qquad \text{ฟังก์ชันกำลังสอง } f = \tfrac12\mathbf x^{\top}\mathbf A\mathbf x:\ \text{ลู่เข้า} \iff 0 $\alpha$ = ขนาดก้าว (learning rate) · เล็กเกิน = ช้า ใหญ่เกิน = แกว่งแล้วแตกออก · เส้นชั้นเป็นวงรียาว ($\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ มาก) = ลู่เข้าช้าเป็นรูปซิกแซก ตัวอย่าง G-6 · ทำสองก้าวด้วยมือ ### $f(x, y) = x^2 + 3y^2$ เริ่มที่ $(2, 1)$ ใช้ $\alpha = 0.1$ ทำ gradient descent สองก้าว - $\nabla f = \langle 2x, 6y\rangle$ · เริ่ม $f(2, 1) = 4 + 3 = 7$ - ก้าวที่ 1: $\nabla f(2,1) = \langle 4, 6\rangle$ · $(x, y) = (2, 1) - 0.1\langle 4, 6\rangle = (1.6,\ 0.4)$ · $f = 2.56 + 0.48 = 3.04$ - ก้าวที่ 2: $\nabla f(1.6, 0.4) = \langle 3.2, 2.4\rangle$ · $(x, y) = (1.28,\ 0.16)$ · $f = 1.638 + 0.077 = 1.715$ - ค่า $f$ ลดลงทุกก้าว (7 → 3.04 → 1.715) และเข้าใกล้จุดต่ำสุด $(0, 0)$ ซึ่ง $f = 0$ $(2,1) \to (1.6, 0.4) \to (1.28, 0.16)$ · $f: 7 \to 3.04 \to 1.715$ ตัวอย่าง G-7 · เลือกขนาดก้าวไม่ได้ถ้าไม่รู้ความโค้ง ### $f = x^2 + 10y^2$ ต้องใช้ $\alpha$ น้อยกว่าเท่าไรจึงลู่เข้า - $\nabla f = \langle 2x, 20y\rangle$ แต่ละก้าวคูณแต่ละพิกัดด้วย $(1 - 2\alpha)$ และ $(1 - 20\alpha)$ - ลู่เข้าเมื่อทั้งสองตัวคูณมีขนาดน้อยกว่า 1: $|1 - 2\alpha| < 1$ ได้ $\alpha < 1$ และ $|1 - 20\alpha| < 1$ ได้ $\alpha < 0.1$ - ข้อจำกัดคือ $\alpha < 0.1 = 2/\lambda_{\max}$ เมื่อ $\lambda_{\max} = 20$ (ค่าเฉพาะที่ใหญ่สุดของ Hessian) - ทดสอบ 30 ก้าวจาก $(2, 1)$: $\alpha = 0.09$ → $(0.005, 0.001)$ ลู่เข้า · $\alpha = 0.1$ → $y$ สลับ $\pm 1$ ตลอด (ขอบเขต) · $\alpha = 0.11$ → $y \approx 237$ แตกออก - ปัญหาของวงรียาว: $x$ ต้องการก้าวใหญ่ (ความโค้งน้อย) แต่ $y$ ต้องการก้าวเล็ก (ความโค้งมาก) ทำให้ช้า จึงมีวิธีขั้นสูง เช่น momentum, Newton, conjugate gradient ลู่เข้าเมื่อ $0 < \alpha < 0.1$ · $\alpha = 0.11$ แตกออก ## นำไปใช้ในงานวิศวกรรม พื้นฐาน | สาขา | เกรเดียนต์ของ | ใช้ทำอะไร | | ไฟฟ้า | ศักย์ไฟฟ้า $V$ | $\mathbf E = -\nabla V$ · สนามตั้งฉากกับผิวตัวนำ (บทไฟฟ้า) | | ไฟฟ้า | กำลัง $P(V_{pv})$ ของแผงโซลาร์ | MPPT แบบ perturb & observe คือการไต่เขา (MPPT) | | เครื่องกล | อุณหภูมิ $T$ | $\mathbf q = -k\nabla T$ ฟลักซ์ความร้อนตั้งฉาก isotherm (บทเครื่องกล) | | เครื่องกล | ความดัน $p$ | แรงสุทธิต่อหน่วยปริมาตรของของไหล $-\nabla p$ | | โยธา | ความสูงภูมิประเทศ $h$ | ความชัน $|\nabla h|$ และทิศน้ำไหล $-\nabla h$ (บทโยธา) | | โยธา / ธรณี | ระดับน้ำใต้ดิน $h$ | กฎของดาร์ซี $\mathbf v = -K\nabla h$ ความเร็วซึมตั้งฉากเส้นระดับ | | ทุกสาขา | ฟังก์ชันค่าความผิดพลาด $J(\theta)$ | gradient descent ปรับพารามิเตอร์ (บทค่าสุดขีด) | ## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน - ลืมทำเวกเตอร์ทิศให้เป็นหนึ่งหน่วย ก่อนดอต · $D_{\mathbf u}f$ ต้องใช้ $\mathbf u$ ที่ $|\mathbf u| = 1$ เสมอ - คิดว่า gradient เป็นสเกลาร์ · $\nabla f$ เป็นเวกเตอร์ (ชี้ทิศ) ส่วน $D_{\mathbf u}f$ เป็นสเกลาร์ - คิดว่า $\nabla f$ อยู่บนผิว 3 มิติ · $\nabla f$ ของ $f(x,y)$ เป็นเวกเตอร์ 2 มิติในระนาบ $xy$ (ทิศบนแผนที่) ไม่ใช่เวกเตอร์ชี้ขึ้นบนผิว - ใช้ gradient descent โดยไม่ตรวจขนาดก้าว · ถ้า $f$ ไม่ลดลงเลยหลังหลายก้าวให้ลด $\alpha$ ลงครึ่งหนึ่ง - สับสนทิศลงเขา · ลงเขาชันสุดคือ $-\nabla f$ (น้ำไหล) ไม่ใช่ $+\nabla f$ ไปต่อที่ค่าสูงสุด-ต่ำสุดและตัวคูณลากรองจ์ ที่ใช้เงื่อนไข $\nabla f = \mathbf 0$ และ $\nabla f \parallel \nabla g$ หาจุดเหมาะสมที่สุด ## คำถามที่พบบ่อย เกรเดียนต์ (gradient) คืออะไร ชี้ไปทางไหน? เกรเดียนต์ของ $f(x,y)$ คือเวกเตอร์ $\nabla f = \langle f_x, f_y\rangle$ ที่รวมอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดไว้ด้วยกัน มันชี้ไปทางที่ $f$ เพิ่มขึ้นเร็วที่สุด และขนาด $|\nabla f|$ คืออัตราเพิ่มสูงสุดนั้น ถ้า $f$ คือความสูงภูเขา $\nabla f$ ชี้ขึ้นเขาทางชันที่สุด และ $-\nabla f$ คือทางที่น้ำไหลลง ทิศของ $\nabla f$ ตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูงเสมอ อนุพันธ์ตามทิศ (directional derivative) หาอย่างไร? ใช้ $D_{\mathbf u} f = \nabla f \cdot \mathbf u$ เมื่อ $\mathbf u$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ถ้าโจทย์ให้ทิศเป็นเวกเตอร์ $\mathbf v$ ใด ๆ ต้องทำเป็นหนึ่งหน่วยก่อน $\mathbf u = \mathbf v/|\mathbf v|$ ตัวอย่าง $f = x^2y^3 - 4y$ ที่ $(2,-1)$ ทิศ $\langle 2, 5\rangle$: $\nabla f = \langle -4, 8\rangle$ และ $D_{\mathbf u} f = (-8 + 40)/\sqrt{29} = 5.94$ ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือลืมทำเวกเตอร์ให้เป็นหนึ่งหน่วย ทำไม gradient ตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง? ตามเส้นชั้น $f$ คงที่ จึงอัตราเปลี่ยนในทิศสัมผัสเส้นชั้นเป็นศูนย์ นั่นคือ $D_{\mathbf u} f = \nabla f \cdot \mathbf u = 0$ เมื่อ $\mathbf u$ สัมผัสเส้นชั้น ดอตเป็นศูนย์แปลว่าตั้งฉากกัน เหตุผลเดียวกันใช้กับผิวระดับ $F(x,y,z) = c$: $\nabla F$ คือเวกเตอร์ปกติของผิว ซึ่งทำให้เขียนระนาบสัมผัสได้ทันที และในไฟฟ้าอธิบายว่าสนาม $\mathbf E = -\nabla V$ ตั้งฉากกับผิวตัวนำ Gradient descent คืออะไร ใช้ทำอะไร? คือวิธีหาจุดต่ำสุดของ $f$ โดยเดินสวนทาง gradient ซ้ำ ๆ: $\mathbf x_{k+1} = \mathbf x_k - \alpha\nabla f(\mathbf x_k)$ เมื่อ $\alpha$ คืออัตราการเรียนรู้ (learning rate) ใช้ฝึกโครงข่ายประสาทเทียม ปรับพารามิเตอร์ตัวควบคุม และแก้ปัญหากำลังสองน้อยสุด ถ้า $\alpha$ ใหญ่เกินไปจะแกว่งแล้วแตกออก (เช่นสำหรับ $x^2 + 10y^2$ ต้อง $\alpha เกรเดียนต์กับอนุพันธ์ย่อยต่างกันอย่างไร? อนุพันธ์ย่อยแต่ละตัวบอกอัตราเปลี่ยนตามแกนเดียว ($f_x$ ตามแกน $x$) ส่วนเกรเดียนต์รวมทุกอนุพันธ์ย่อยเป็นเวกเตอร์เดียว จึงบอกอัตราเปลี่ยนในทุกทิศผ่านการดอตกับเวกเตอร์ทิศ และบอกทิศที่ชันที่สุดได้ด้วย ถ้า $f$ หาอนุพันธ์ได้ ความรู้ $f_x, f_y$ สองตัวก็เพียงพอจะทำนายความชันในทุกทิศ มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **เกรเดียนต์ (gradient) คืออะไร ชี้ไปทางไหน?** เกรเดียนต์ของ $f(x,y)$ คือเวกเตอร์ $\nabla f = \langle f_x, f_y\rangle$ ที่รวมอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดไว้ด้วยกัน มันชี้ไปทางที่ $f$ เพิ่มขึ้นเร็วที่สุด และขนาด $|\nabla f|$ คืออัตราเพิ่มสูงสุดนั้น ถ้า $f$ คือความสูงภูเขา $\nabla f$ ชี้ขึ้นเขาทางชันที่สุด และ $-\nabla f$ คือทางที่น้ำไหลลง ทิศของ $\nabla f$ ตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูงเสมอ **อนุพันธ์ตามทิศ (directional derivative) หาอย่างไร?** ใช้ $D_{\mathbf u} f = \nabla f \cdot \mathbf u$ เมื่อ $\mathbf u$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ถ้าโจทย์ให้ทิศเป็นเวกเตอร์ $\mathbf v$ ใด ๆ ต้องทำเป็นหนึ่งหน่วยก่อน $\mathbf u = \mathbf v/|\mathbf v|$ ตัวอย่าง $f = x^2y^3 - 4y$ ที่ $(2,-1)$ ทิศ $\langle 2, 5\rangle$: $\nabla f = \langle -4, 8\rangle$ และ $D_{\mathbf u} f = (-8 + 40)/\sqrt{29} = 5.94$ ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือลืมทำเวกเตอร์ให้เป็นหนึ่งหน่วย **ทำไม gradient ตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง?** ตามเส้นชั้น $f$ คงที่ จึงอัตราเปลี่ยนในทิศสัมผัสเส้นชั้นเป็นศูนย์ นั่นคือ $D_{\mathbf u} f = \nabla f \cdot \mathbf u = 0$ เมื่อ $\mathbf u$ สัมผัสเส้นชั้น ดอตเป็นศูนย์แปลว่าตั้งฉากกัน เหตุผลเดียวกันใช้กับผิวระดับ $F(x,y,z) = c$: $\nabla F$ คือเวกเตอร์ปกติของผิว ซึ่งทำให้เขียนระนาบสัมผัสได้ทันที และในไฟฟ้าอธิบายว่าสนาม $\mathbf E = -\nabla V$ ตั้งฉากกับผิวตัวนำ **Gradient descent คืออะไร ใช้ทำอะไร?** คือวิธีหาจุดต่ำสุดของ $f$ โดยเดินสวนทาง gradient ซ้ำ ๆ: $\mathbf x_{k+1} = \mathbf x_k - \alpha\nabla f(\mathbf x_k)$ เมื่อ $\alpha$ คืออัตราการเรียนรู้ (learning rate) ใช้ฝึกโครงข่ายประสาทเทียม ปรับพารามิเตอร์ตัวควบคุม และแก้ปัญหากำลังสองน้อยสุด ถ้า $\alpha$ ใหญ่เกินไปจะแกว่งแล้วแตกออก (เช่นสำหรับ $x^2 + 10y^2$ ต้อง $\alpha < 0.1$) ถ้าเล็กเกินไปจะช้ามาก **เกรเดียนต์กับอนุพันธ์ย่อยต่างกันอย่างไร?** อนุพันธ์ย่อยแต่ละตัวบอกอัตราเปลี่ยนตามแกนเดียว ($f_x$ ตามแกน $x$) ส่วนเกรเดียนต์รวมทุกอนุพันธ์ย่อยเป็นเวกเตอร์เดียว จึงบอกอัตราเปลี่ยนในทุกทิศผ่านการดอตกับเวกเตอร์ทิศ และบอกทิศที่ชันที่สุดได้ด้วย ถ้า $f$ หาอนุพันธ์ได้ ความรู้ $f_x, f_y$ สองตัวก็เพียงพอจะทำนายความชันในทุกทิศ