---
title: "แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมไฟฟ้า: สนามไฟฟ้า ศักย์ กฎของเกาส์ ตัวเก็บประจุ และสมการแมกซ์เวลล์"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/electrical-engineering/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-17
---

> การประยุกต์แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมไฟฟ้า (electrical engineering): สนามไฟฟ้า E = −∇V ศักย์ไฟฟ้า (electric potential) ประจุจุดและสนามซ้อนทับ กฎของเกาส์ (Gauss's law) ความจุของตัวเก็บประจุและสายโคแอกเชียล หลักดินและแรงดันก้าว สมการลาปลาซ-พัวซอง สมการแมกซ์เวลล์ เวกเตอร์พอยน์ติง พร้อมแล็บลากประจุและตรวจกฎของเกาส์

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/electrical-engineering/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมไฟฟ้า: สนามไฟฟ้า ศักย์ กฎของเกาส์ ตัวเก็บประจุ และสมการแมกซ์เวลล์

// บทที่ 24.10 · การประยุกต์ · Electrical Engineering


แม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetics) คือวิชาที่แคลคูลัสหลายตัวแปรทั้งหมดมารวมกัน: gradient เปลี่ยนศักย์เป็นสนาม อินทิกรัลผิวหาฟลักซ์ อินทิกรัลเส้นหาแรงดัน divergence และ curl แปลงกฎทั้งสี่ให้เป็นสมการที่แก้ได้ หน้านี้ใช้เครื่องมือจากบทก่อนหน้าแก้โจทย์ไฟฟ้าจริง ตั้งแต่สนามของประจุจุดและแล็บลากประจุ กฎของเกาส์ ความจุของแผ่นขนานและสายโคแอกเชียล ค่าความต้านทานดินของหลักดินและแรงดันก้าว (step voltage) ไปจนถึงสมการแมกซ์เวลล์ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า และพลังงานที่ไหลเข้าสู่ลวดนำกระแสผ่านเวกเตอร์พอยน์ติง

สรุปใน 30 วินาที

- $\mathbf E = -\nabla V$ · $V = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum\dfrac{q_i}{r_i}$ · $V_{AB} = -\int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l$ (ไม่ขึ้นกับเส้นทางเพราะ $\nabla\times\mathbf E = \mathbf 0$)

- เกาส์: $\oiint\mathbf E\cdot d\mathbf S = Q_{enc}/\varepsilon_0$ · $\nabla\cdot\mathbf E = \rho_v/\varepsilon_0$ · เส้นประจุ $E = \lambda/2\pi\varepsilon_0r$ · ระนาบ $E = \sigma/2\varepsilon_0$

- ความจุ: $C = Q/V$ · แผ่นขนาน $\varepsilon_0A/d$ · โคแอกเชียล $2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a)$ · พลังงาน $\tfrac12\varepsilon_0\iiint E^2dV = \tfrac12CV^2$

- ลาปลาซ/พัวซอง: $\nabla^2V = -\rho_v/\varepsilon_0$ · พอยน์ติง: $\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H$, $P = \oiint\mathbf S\cdot d\mathbf A$

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## สนามไฟฟ้าจากศักย์: E = −∇V พื้นฐาน

ศักย์ไฟฟ้า $V(x, y, z)$ เป็นสเกลาร์ (ตัวเลขเดียวต่อจุด) ซึ่งคำนวณง่ายกว่าสนามเวกเตอร์ เพราะรวมจากหลายประจุได้โดยบวกตัวเลข แล้วใช้ $\mathbf E = -\nabla V$ หาสนามทั้งสามองค์ประกอบในครั้งเดียว (บทเกรเดียนต์) ผลคือเส้นศักย์เท่ากัน (equipotential) ตั้งฉากกับเส้นแรงเสมอ และ $\mathbf E$ ชี้ไปทางที่ศักย์ลดลง

E1 Point charge and superposition ประจุจุดและการซ้อนทับ

$$V(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i\frac{q_i}{|\mathbf r - \mathbf r_i|},\qquad \mathbf E(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i q_i\frac{\mathbf r - \mathbf r_i}{|\mathbf r - \mathbf r_i|^3},\qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8.988\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$$

$\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ F/m · ศักย์บวกกันได้เป็นตัวเลข สนามบวกกันเป็นเวกเตอร์ · $V$ อ้างอิง $V(\infty) = 0$

E2 Field from potential and voltage สนามจากศักย์และแรงดัน

$$\mathbf E = -\nabla V = -\left\langle\frac{\partial V}{\partial x},\ \frac{\partial V}{\partial y},\ \frac{\partial V}{\partial z}\right\rangle,\qquad V_A - V_B = \int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l,\qquad \nabla\times\mathbf E = \mathbf 0\ \text{(สถิต)}$$

สนามอนุรักษ์: แรงดันระหว่างสองจุดไม่ขึ้นกับเส้นทาง (ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น) · $\mathbf E \perp$ ผิวศักย์เท่ากัน · ผิวตัวนำเป็นผิวศักย์เท่ากัน $\Rightarrow$ $\mathbf E$ ตั้งฉากผิวตัวนำ

### แล็บประจุจุด: ลากประจุ ดู V และ E

แล็บอยู่ในระนาบ $z = 0$ (หน่วย nC, เมตร) สีพื้นแสดงศักย์ (ส้ม = บวก ฟ้า = ลบ) เส้นสีแสดงเส้นศักย์เท่ากัน และเส้นดำคือเส้นแรง ลากประจุได้ ลากจุด P เพื่ออ่าน $V$ และ $\mathbf E$ ตารางเทียบ $\mathbf E$ จากสูตรคูลอมบ์กับ $-\nabla V$ ที่คำนวณด้วยผลต่างของ $V$ (ตรงกันเสมอ) เลือกเครื่องมือเพื่อเพิ่ม/ลบประจุ และเปิด “ทรงกลมเกาส์” เพื่อตรวจฟลักซ์

ตัวอย่าง E-1 · ไดโพล (dipole)

### ประจุ $+2$ nC ที่ $(-1, 0)$ และ $-2$ nC ที่ $(1, 0)$ (เมตร) หา $V$ และ $\mathbf E$ ที่จุดกำเนิดและที่ $(0, 1)$

- $V = kq\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$ ที่จุดกำเนิด $r_1 = r_2 = 1$ → $V = 0$ · ที่ $(0, 1)$ ก็ $r_1 = r_2 = \sqrt2$ → $V = 0$ (ทั้งแกน $y$ คือเส้นศักย์เท่ากันที่ 0 V — ระนาบแบ่งครึ่งระหว่างประจุคู่)

- ที่จุดกำเนิด: ประจุบวกผลักไปทาง $+x$ ประจุลบดึงไปทาง $+x$ → $E_x = 2\cdot\dfrac{kq}{1^2} = 2(8.988\times10^9)(2\times10^{-9}) = 35.95$ V/m, $E_y = 0$

- ที่ $(0, 1)$: แต่ละประจุห่าง $\sqrt2$ ได้ขนาด $kq/2 = 8.988$ V/m · จากประจุบวก ทิศ $(1, 1)/\sqrt2$ → $(6.355, 6.355)$ · จากประจุลบ ทิศ $(1, -1)/\sqrt2$ → $(6.355, -6.355)$

- รวม: $\mathbf E = (12.71,\ 0)$ V/m — ชี้ขนานแกน $x$ ตั้งฉากกับเส้นศักย์เท่ากัน (แกน $y$) ✓ สังเกต: ตามแกน $y$ สนามชี้ $+x$ เสมอ จึง $V$ ไม่เปลี่ยนตามแกน $y$

- ตรวจ $\mathbf E = -\nabla V$: ในแล็บ ตั้ง P ที่ $(0, 1)$ แล้วเทียบแถว “E จากสูตรคูลอมบ์” กับ “E = −∇V” ได้ $(12.71, 0)$ V/m ทั้งสองแถว

$V(0,0) = V(0,1) = 0$ · $\mathbf E(0,0) = (35.95, 0)$ V/m · $\mathbf E(0,1) = (12.71, 0)$ V/m

## กฎของเกาส์ในงานไฟฟ้า กลาง

กฎของเกาส์ $\oiint\mathbf E\cdot d\mathbf S = Q_{enc}/\varepsilon_0$ เป็นทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ของไฟฟ้า (บทอินทิกรัลบนผิว) ใช้ได้เสมอ แต่ใช้หาสนามได้สะดวกเฉพาะเมื่อมีความสมมาตรสูง เพราะต้องเลือกผิวเกาส์ให้ $\mathbf E\cdot\mathbf n$ คงที่ ในแล็บด้านบนเปิดสวิตช์ “ทรงกลมเกาส์” แล้วลากวงเขียว: ฟลักซ์ผ่านทรงกลมมีค่าเท่ากับ $Q_{ใน}/\varepsilon_0$ เสมอ ประจุนอกวงให้ฟลักซ์สุทธิเป็นศูนย์

E3 Fields from Gauss's law (symmetric charges) สนามจากกฎของเกาส์ (ประจุสมมาตร)

$$\text{ทรงกลม: } E = \frac{Q_{enc}}{4\pi\varepsilon_0r^2}\quad\text{เส้นประจุ: } E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\quad\text{ระนาบ: } E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\quad\text{ผิวตัวนำ: } E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

ผิวเกาส์: ทรงกลมรัศมี $r$ · ทรงกระบอกรัศมี $r$ ยาว $L$ (ฟลักซ์ผ่านผนังข้าง) · กล่องกระดุม (pillbox) คร่อมระนาบ · ผิวตัวนำ: สนามภายใน = 0 จึงฟลักซ์ออกด้านเดียว

E4 Poisson and Laplace equations สมการพัวซองและลาปลาซ

$$\nabla\cdot\mathbf E = \frac{\rho_v}{\varepsilon_0},\ \ \mathbf E = -\nabla V\ \Longrightarrow\ \nabla^2V = -\frac{\rho_v}{\varepsilon_0}\quad(\text{พัวซอง}),\qquad \nabla^2V = 0\quad(\rho_v = 0:\ \text{ลาปลาซ})$$

ใช้หา $V$ เมื่อรู้แรงดันที่ขอบ (ขั้วอิเล็กโทรด) · คำตอบของลาปลาซไม่มีค่าสูงสุด/ต่ำสุดภายใน (สูงสุดอยู่ที่ขอบ) · สมการรูปเดียวกันใช้กับอุณหภูมิคงตัวและระดับน้ำใต้ดิน

ตัวอย่าง E-2 · สนามของเส้นประจุและแผ่นระนาบ

### (ก) เส้นประจุยาวมาก $\lambda = 10$ nC/m หา $E$ ที่ 0.5 m (ข) แผ่นประจุระนาบ $\sigma = 20$ nC/m² หา $E$

- (ก) ผิวเกาส์ทรงกระบอกรัศมี $r$ ยาว $L$: $E(2\pi rL) = \lambda L/\varepsilon_0$ → $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r} = \dfrac{10\times10^{-9}}{2\pi(8.854\times10^{-12})(0.5)} = 359.5$ V/m

- (ข) กล่องกระดุมคร่อมแผ่น พื้นที่หน้า $A$ สองด้าน: $2EA = \sigma A/\varepsilon_0$ → $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \dfrac{20\times10^{-9}}{2(8.854\times10^{-12})} = 1129$ V/m (คงที่ ไม่ขึ้นกับระยะ)

- ตรวจด้วยศักย์: $V(r) = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r + C$ → $E = -\dfrac{dV}{dr} = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$ ✓ สอดคล้องกับ (ก) และ $\nabla^2V = \dfrac1r\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dV}{dr}\right) = 0$

(ก) $E = 359.5$ V/m · (ข) $E = 1129$ V/m

## ความจุ พลังงานในสนาม และสายโคแอกเชียล กลาง

ความจุ (capacitance) $C = Q/V$ คืออัตราส่วนประจุที่เก็บต่อแรงดัน ขั้นตอนมาตรฐานคือ: (1) สมมติประจุ $Q$ บนอิเล็กโทรด (2) หา $\mathbf E$ ด้วยกฎของเกาส์ (3) หา $V = -\int\mathbf E\cdot d\mathbf l$ ระหว่างสองอิเล็กโทรด (4) $C = Q/V$ พลังงานที่สะสมคืออินทิกรัลสามชั้นของความหนาแน่นพลังงานสนาม $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ ทั่วปริมาตร

E5 Capacitance and stored energy ความจุและพลังงานที่สะสม

$$C = \frac{Q}{V},\qquad C_{\text{plates}} = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_rA}{d},\qquad w_E = \tfrac12\varepsilon E^2,\qquad W = \iiint\tfrac12\varepsilon E^2\,dV = \tfrac12CV^2$$

$W$ จากอินทิกรัลสามชั้นของ $w_E$ เท่ากับ $\tfrac12CV^2$ เสมอ (ตรวจสอบได้) · ละเลยผลที่ขอบ (fringe) สำหรับแผ่นขนานที่ระยะห่างน้อยกว่าขนาดแผ่นมาก

E6 Coaxial cable สายโคแอกเชียล

$$E(r) = \frac{V_0}{r\ln(b/a)},\quad V(r) = V_0\frac{\ln(b/r)}{\ln(b/a)},\quad C' = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}\ \text{F/m},\quad L' = \frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac ba\ \text{H/m}$$

$a$ = รัศมีแกนใน · $b$ = รัศมีด้านในของชีลด์ · $\varepsilon_r$ = ค่าไดอิเล็กทริก (โพลีเอทิลีน ≈ 2.3) · $V(r)$ เป็นคำตอบของสมการลาปลาซในพิกัดทรงกระบอก $\tfrac1r(rV')' = 0$

ตัวอย่าง E-3 · ตัวเก็บประจุแผ่นขนาน

### แผ่น 10 cm × 10 cm ห่าง 1 mm ในอากาศ ต่อกับ 100 V หา $E$, $C$, $Q$, $W$ และตรวจ $W$ ด้วยอินทิกรัลความหนาแน่นพลังงาน

- $E = V/d = 100/0.001 = 1.00\times10^{5}$ V/m (สม่ำเสมอระหว่างแผ่น)

- $C = \dfrac{\varepsilon_0A}{d} = \dfrac{8.854\times10^{-12}\times0.01}{0.001} = 88.54$ pF · $Q = CV = 8.854$ nC

- $W = \tfrac12CV^2 = \tfrac12(88.54\times10^{-12})(100)^2 = 4.427\times10^{-7}$ J = 0.443 µJ

- ตรวจด้วยสนาม: $w_E = \tfrac12\varepsilon_0E^2 = \tfrac12(8.854\times10^{-12})(10^{5})^2 = 0.04427$ J/m³ คูณปริมาตร $Ad = 10^{-5}$ m³ → $W = 4.427\times10^{-7}$ J ✓ (ตรงกัน)

$E = 10^5$ V/m · $C = 88.54$ pF · $Q = 8.85$ nC · $W = 0.443$ µJ

ตัวอย่าง E-4 · ความจุสายโคแอกเชียลต่อเมตร

### สายโคแอก $a = 0.45$ mm, $b = 1.47$ mm ไดอิเล็กทริกโพลีเอทิลีน $\varepsilon_r = 2.3$ หา $C'$ และสนามสูงสุดที่แกนในเมื่อใส่ 100 V

- สมมติประจุเส้น $\lambda$ บนแกนใน · เกาส์: $E(r) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_rr}$

- แรงดัน $V_0 = \displaystyle\int_a^bE\,dr = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\ln\dfrac ba$ · $C' = \dfrac{\lambda}{V_0} = \dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}$

- $\ln(1.47/0.45) = \ln3.267 = 1.1838$ → $C' = \dfrac{2\pi(8.854\times10^{-12})(2.3)}{1.1838} = 108.1$ pF/m (สาย RG-58 ในแค็ตตาล็อกอยู่ราว 101 pF/m — ใกล้เคียง)

- สนามที่แกนใน $r = a$: $E = \dfrac{V_0}{a\ln(b/a)} = \dfrac{100}{(0.45\times10^{-3})(1.1838)} = 1.877\times10^{5}$ V/m = 187.7 kV/m (สนามสูงสุดอยู่ติดแกนใน จึงกำหนดแรงดันที่สายทนได้)

$C' = 108.1$ pF/m · $E_{\max} = 187.7$ kV/m ที่ 100 V

## หลักดิน ความต้านทานจากสนาม และแรงดันก้าว กลาง

ความหนาแน่นกระแส $\mathbf J$ กับสนาม $\mathbf E$ สัมพันธ์ด้วยกฎของโอห์มในรูปจุด $\mathbf J = \sigma\mathbf E$ กระแสรวมคือฟลักซ์ของ $\mathbf J$ ผ่านหน้าตัด $I = \iint\mathbf J\cdot d\mathbf S$ และแรงดันคืออินทิกรัลเส้นของ $\mathbf E$ ความต้านทาน $R = V/I$ จึงคำนวณได้จากสองอินทิกรัลนี้ ตัวอย่างสำคัญคือการต่อลงดิน (earthing) ซึ่งความปลอดภัยของคนขึ้นกับสนามที่ผิวดินรอบหลักดิน

E7 Resistance from the fields ความต้านทานจากสนาม

$$\mathbf J = \sigma\mathbf E,\qquad I = \iint_S\mathbf J\cdot d\mathbf S,\qquad V = \int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l,\qquad R = \frac VI = \frac{\int\mathbf E\cdot d\mathbf l}{\sigma\iint\mathbf E\cdot d\mathbf S}$$

$\nabla\cdot\mathbf J = 0$ ในสภาวะคงตัว (กระแสไม่สะสม) จึง $\nabla\cdot(\sigma\nabla V) = 0$ หรือ $\nabla^2V = 0$ เมื่อ $\sigma$ สม่ำเสมอ · $\rho = 1/\sigma$ ความต้านทานจำเพาะ (Ω·m)

E8 Hemispherical earth electrode หลักดินครึ่งทรงกลม

$$J(r) = \frac{I}{2\pi r^2},\quad V(r) = \frac{\rho I}{2\pi r},\quad R_g = \frac{\rho}{2\pi a},\quad V_{\text{step}} = \frac{\rho I}{2\pi}\left(\frac1{r_1} - \frac1{r_2}\right)$$

กระแสกระจายออกครึ่งทรงกลม (ผิวพื้นที่ $2\pi r^2$) · แรงดันเมื่อห่าง $r$ ลดเป็น $1/r$ · แรงดันก้าวคือความต่างศักย์ระหว่างสองเท้าที่ห่างกันก้าวหนึ่ง (~1 m)

ตัวอย่าง E-5 · หลักดินและแรงดันก้าว

### หลักดินครึ่งทรงกลมรัศมี $a = 0.10$ m ในดินความต้านทานจำเพาะ $\rho = 100\ \Omega\!\cdot\!\text{m}$ เมื่อเกิดกระแสลัดวงจร $I = 1000$ A ลงดิน หา $R_g$, $V$ ที่ผิวดินห่าง 1 m และแรงดันก้าวระหว่าง $r = 1.0$ กับ $1.8$ m

- กระแสไหลออกทุกทิศบนครึ่งทรงกลมรัศมี $r$: $I = J(2\pi r^2)$ → $J = \dfrac{I}{2\pi r^2}$ · $E = \rho J = \dfrac{\rho I}{2\pi r^2}$

- $V(r) = \displaystyle\int_r^\infty E\,dr' = \dfrac{\rho I}{2\pi r}$ · ที่ผิวหลักดิน $V(a) = \dfrac{\rho I}{2\pi a}$ → $R_g = \dfrac{V(a)}{I} = \dfrac{\rho}{2\pi a} = \dfrac{100}{2\pi(0.1)} = 159.2\ \Omega$

- $V(r = 1\text{ m}) = \dfrac{100\times1000}{2\pi(1)} = 15\,915$ V (เทียบกับดินไกล) และ $V(1.8) = 8842$ V

- แรงดันก้าว $= 15\,915 - 8842 = 7073$ V อันตรายถึงชีวิต (เกณฑ์ปลอดภัยโดยทั่วไปอยู่ระดับร้อยโวลต์) จึงต้องลดโดยทำหลักดินหลายแท่ง ตาข่ายต่อลงดิน และปูผิวหินกรวดความต้านทานสูงในสถานีไฟฟ้าย่อย

$R_g = 159.2\ \Omega$ · $V(1\text{ m}) = 15.9$ kV · แรงดันก้าว (1.0→1.8 m) = 7.07 kV

## สมการแมกซ์เวลล์ คลื่น และเวกเตอร์พอยน์ติง ขั้นสูง

สมการแมกซ์เวลล์สี่ข้อ (ดูตารางในบทผิวและสโตกส์) มีรูปอนุพันธ์ที่ใช้ div และ curl ถ้าแทนกันและใช้เอกลักษณ์ $\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf E) - \nabla^2\mathbf E$ (D9) ในที่ว่าง ($\rho = 0,\ \mathbf J = \mathbf 0$) จะได้สมการคลื่น ซึ่งทำนองค์ประกอบสำคัญคือ ความเร็วคลื่นเท่ากับ $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$

E9 Electromagnetic wave equation สมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = -\frac{\partial}{\partial t}\nabla\times\mathbf B = -\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}\ \ \Longrightarrow\ \ \nabla^2\mathbf E = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2},\qquad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$$

ใช้ $\nabla\cdot\mathbf E = 0$ ในที่ว่าง · คลื่นระนาบ $E_x = E_0\cos(kz - \omega t)$ เป็นคำตอบเมื่อ $\omega = ck$ · $\lambda = c/f$ · ความไม่แปรผันนี้คือแกนของสายอากาศ สายส่งความถี่สูง และท่อนำคลื่น

E10 Poynting vector and power เวกเตอร์พอยน์ติงและกำลัง

$$\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H,\qquad P_{\text{out}} = \oiint_S\mathbf S\cdot d\mathbf A,\qquad \text{ความร้อนจูล: } P = \iiint\mathbf J\cdot\mathbf E\,dV = \iiint\sigma E^2\,dV$$

ทฤษฎีบทพอยน์ติง: กำลังที่ไหลเข้าผ่านผิว = กำลังที่สูญเสียในตัวนำ + อัตราเปลี่ยนของพลังงานสนาม · คลื่นระนาบ $S = E_0^2/(2\eta_0)$ ค่าเฉลี่ย, $\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = 376.7\ \Omega$

ตัวอย่าง E-6 · พลังงานไหลเข้าสู่ลวดนำกระแส

### ลวดทองแดงรัศมี 1 mm ยาว 1 m นำกระแสตรง 10 A ($\sigma = 5.8\times10^7$ S/m) หา $\mathbf J, \mathbf E, \mathbf H$ ที่ผิวลวด และแสดงว่ากำลังที่ไหลเข้าผ่านผิวลวดตามเวกเตอร์พอยน์ติงเท่ากับ $I^2R$

- $J = I/A = 10/(\pi\times10^{-6}) = 3.183\times10^{6}$ A/m² · $E = J/\sigma = 0.05488$ V/m (ตามแนวลวด)

- กฎของแอมแปร์รอบผิวลวด: $H(2\pi a) = I$ → $H = \dfrac{10}{2\pi(10^{-3})} = 1591.5$ A/m (ล้อมรอบลวด)

- $\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H$ ตั้งฉากกับทั้งคู่ ชี้ เข้าผิวลวด (ตามรัศมีเข้า) ขนาด $S = EH = 0.05488\times1591.5 = 87.35$ W/m²

- กำลังที่ไหลเข้าทั้งผิวข้าง (พื้นที่ $2\pi aL = 6.283\times10^{-3}$ m²): $P = 87.35\times6.283\times10^{-3} = 0.5488$ W

- เทียบกับความร้อนจูล: $R = \dfrac{L}{\sigma A} = \dfrac{1}{(5.8\times10^7)(3.1416\times10^{-6})} = 5.488$ mΩ → $I^2R = 100\times5.488\times10^{-3} = 0.5488$ W ตรงกับกำลังที่ไหลเข้าตามพอยน์ติงทุกหลัก ✓ (ใช้ $\sigma$ ค่าเดียวกัน)

$P = \oiint\mathbf S\cdot d\mathbf A = 0.549$ W = $I^2R$ — พลังงานไหลเข้ามาจากสนามรอบ ๆ ไม่ได้ “ไหลตามเนื้อลวด”

ตัวอย่าง E-7 · คลื่นระนาบ 100 MHz

### คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าระนาบในอากาศที่ 100 MHz มีแอมพลิจูด $E_0 = 10$ V/m หา $c$, $\lambda$, $k$ และความหนาแน่นกำลังเฉลี่ย

- $c = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \dfrac{1}{\sqrt{(4\pi\times10^{-7})(8.854\times10^{-12})}} = 2.998\times10^8$ m/s

- $\lambda = c/f = 2.998\times10^8/10^8 = 3.00$ m · $k = 2\pi/\lambda = 2.096$ rad/m · $\omega = 2\pi f = 6.283\times10^8$ rad/s ($\omega/k = c$ ✓)

- $\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = 376.7\ \Omega$ · $H_0 = E_0/\eta_0 = 0.02654$ A/m

- $\langle S\rangle = \dfrac{E_0^2}{2\eta_0} = \dfrac{100}{753.5} = 0.1327$ W/m² (ตัวเลขนี้คือกำลังที่สายอากาศรับ 1 m² จะได้ ถ้ารับได้หมด)

$c = 3.00\times10^8$ m/s · $\lambda = 3.00$ m · $\langle S\rangle = 0.133$ W/m²

## สรุป: เครื่องมือแคลคูลัสกับโจทย์ไฟฟ้า พื้นฐาน

| ปัญหาไฟฟ้า | เครื่องมือ | ผลลัพธ์ |

| สนามจากประจุหลายตัว | รวมศักย์ แล้ว gradient | $\mathbf E = -\nabla V$ (E1, E2 · แล็บลากประจุ) |

| สนามของรูปทรงสมมาตร | ผิวเกาส์ + อินทิกรัลผิว | เส้น ระนาบ ทรงกลม (E3) |

| ศักย์ระหว่างอิเล็กโทรด | สมการลาปลาซ | $V(r)$ ของโคแอกเชียล (E4, E6) |

| ความจุ $C$ และพลังงาน | เกาส์ + อินทิกรัลเส้น + อินทิกรัลสามชั้น | แผ่นขนาน โคแอก (E5, E6) |

| ความต้านทานของรูปทรง | $\mathbf J$, $\mathbf E$, ฟลักซ์ | หลักดิน แรงดันก้าว (E7, E8) |

| EMF เหนี่ยวนำ | สโตกส์ + อินทิกรัลผิว | $-d\Phi/dt$ (บทผิว ตัวอย่าง S-10) |

| คลื่นและกำลังที่แผ่ | curl curl และ Poynting | $c$, $\lambda$, $\langle S\rangle$ (E9, E10) |

| ฮาร์โมนิกรูปคลื่นหลายตัวแปร | ฟูเรียร์ซีรีส์ + Laplace | ดู อนุกรมฟูเรียร์ และ การแปลงลาปลาซ |

เส้นทางต่อ: สนามไฟฟ้า-แม่เหล็กและแรงลอเรนซ์ด้วยเวกเตอร์ · แล็บสนามในชุดเวกเตอร์ · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · ระบบไฟฟ้ากำลังและการป้องกัน (การต่อลงดินและการทำงานของรีเลย์ใช้สนามและศักย์ในหน้านี้)

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- ลืมเครื่องหมายลบใน $\mathbf E = -\nabla V$ · สนามชี้ไปทางที่ศักย์ลด

- ใช้กฎของเกาส์กับรูปที่ไม่สมมาตร · กฎใช้ได้เสมอแต่ $E$ ออกจากอินทิกรัลไม่ได้ (ต้องซ้อนทับหรือแก้เชิงตัวเลข)

- ลืมว่าระบบหน่วย · $k = 8.988\times10^9$ ใช้กับ C, m · ถ้าใช้ nC ต้องคูณ $10^{-9}$ (ในแล็บทำให้แล้ว)

- ใช้ $\varepsilon_0$ แทน $\varepsilon_0\varepsilon_r$ ในไดอิเล็กทริก · ความจุเพิ่มขึ้น $\varepsilon_r$ เท่า

- เข้าใจผิดว่าพลังงานไหลตามเนื้อลวด · เวกเตอร์พอยน์ติงชี้เข้าผิวลวดจากสนามรอบ ๆ (E-6)

ไปต่อที่วิศวกรรมเครื่องกล ซึ่งใช้สมการรูปเดียวกัน (ลาปลาซ, ดีเวอร์เจนซ์, เกรเดียนต์) กับความร้อนและของไหล

## คำถามที่พบบ่อย

สนามไฟฟ้า E ได้จากศักย์ไฟฟ้า V ได้อย่างไร?
ใช้ $\mathbf E = -\nabla V = -\left\langle\dfrac{\partial V}{\partial x}, \dfrac{\partial V}{\partial y}, \dfrac{\partial V}{\partial z}\right\rangle$ คือสนามไฟฟ้าเท่ากับลบเกรเดียนต์ของศักย์ ชี้ไปทางที่ศักย์ลดลงเร็วสุด และตั้งฉากกับผิวศักย์เท่ากัน ข้อดีคือหา $V$ ซึ่งเป็นสเกลาร์ (บวกกันได้ง่าย $V = k\sum q_i/r_i$) แล้วหาอนุพันธ์ย่อยจะได้ $\mathbf E$ ทั้งสามองค์ประกอบ ตัวอย่าง $V = kq/r$ ได้ $\mathbf E = kq\,\hat{\mathbf r}/r^2$ ซึ่งคือกฎของคูลอมบ์

กฎของเกาส์ (Gauss's law) ใช้หาสนามไฟฟ้าอย่างไร?
กฎบอกว่า $\oiint\mathbf E\cdot d\mathbf S = Q_{enc}/\varepsilon_0$ เมื่อมีความสมมาตร (ทรงกลม ทรงกระบอก ระนาบ) เลือกผิวเกาส์ให้ $\mathbf E$ ตั้งฉากกับผิวและมีขนาดคงที่ แล้วอินทิกรัลลดเหลือ $E\times$พื้นที่ ตัวอย่าง เส้นประจุยาวอนันต์: $E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0r)$ · แผ่นระนาบอนันต์: $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$ · ทรงกลม: $E = kQ/r^2$ นอกทรงกลม ถ้าไม่มีความสมมาตรต้องใช้สนามซ้อนทับหรือแก้สมการลาปลาซ-พัวซอง

สมการลาปลาซกับสมการพัวซองต่างกันอย่างไร ใช้เมื่อไร?
สมการพัวซอง $\nabla^2V = -\rho_v/\varepsilon_0$ ใช้ในบริเวณที่มีประจุ ส่วนสมการลาปลาซ $\nabla^2V = 0$ เป็นกรณีที่ไม่มีประจุในบริเวณนั้น (ประจุอยู่เฉพาะที่ขอบเขต เช่นขั้วอิเล็กโทรด) ใช้หาศักย์ระหว่างอิเล็กโทรดเมื่อรู้แรงดันที่ขอบ เช่นในสายโคแอกเชียล $V(r) = V_0\ln(b/r)/\ln(b/a)$ และในตัวเก็บประจุแผ่นขนาน $V$ เปลี่ยนเป็นเส้นตรงตามระยะ สมการนี้ยังใช้กับการนำความร้อนสภาวะคงตัวและการซึมของน้ำใต้ดินด้วย

คำนวณความจุ (capacitance) ด้วยแคลคูลัสหลายตัวแปรอย่างไร?
ขั้นตอนมาตรฐาน: สมมติประจุ $Q$ บนอิเล็กโทรด หาสนาม $\mathbf E$ ด้วยกฎของเกาส์ หาแรงดัน $V = -\int\mathbf E\cdot d\mathbf l$ ระหว่างอิเล็กโทรดทั้งสอง แล้ว $C = Q/V$ ตัวอย่างแผ่นขนาน $C = \varepsilon_0A/d$ สายโคแอกเชียล $C' = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a)$ ต่อเมตร (สาย RG-58 ได้ราว 108 pF/m) พลังงานที่สะสมคือ $W = \tfrac12\varepsilon_0\iiint E^2\,dV = \tfrac12CV^2$

เวกเตอร์พอยน์ติง (Poynting vector) คืออะไร?
เวกเตอร์พอยน์ติง $\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H$ (W/m²) บอกทิศและขนาดของกำลังที่ไหลผ่านพื้นที่หนึ่งหน่วยของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า อินทิกรัลบนผิวปิด $\oiint\mathbf S\cdot d\mathbf A$ คือกำลังที่ไหลออกจากปริมาตร เช่นลวดนำกระแส 10 A ที่ร้อนขึ้น 0.549 W เป็นพลังงานที่ไหล “เข้า” ผ่านผิวลวดจากสนามรอบ ๆ ตรงกับ $I^2R$ และสำหรับคลื่นระนาบ $S = E_0^2/(2\eta_0)$ เมื่อ $\eta_0 = 376.7\ \Omega$

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**สนามไฟฟ้า E ได้จากศักย์ไฟฟ้า V ได้อย่างไร?**
ใช้ $\mathbf E = -\nabla V = -\left\langle\dfrac{\partial V}{\partial x}, \dfrac{\partial V}{\partial y}, \dfrac{\partial V}{\partial z}\right\rangle$ คือสนามไฟฟ้าเท่ากับลบเกรเดียนต์ของศักย์ ชี้ไปทางที่ศักย์ลดลงเร็วสุด และตั้งฉากกับผิวศักย์เท่ากัน ข้อดีคือหา $V$ ซึ่งเป็นสเกลาร์ (บวกกันได้ง่าย $V = k\sum q_i/r_i$) แล้วหาอนุพันธ์ย่อยจะได้ $\mathbf E$ ทั้งสามองค์ประกอบ ตัวอย่าง $V = kq/r$ ได้ $\mathbf E = kq\,\hat{\mathbf r}/r^2$ ซึ่งคือกฎของคูลอมบ์

**กฎของเกาส์ (Gauss's law) ใช้หาสนามไฟฟ้าอย่างไร?**
กฎบอกว่า $\oiint\mathbf E\cdot d\mathbf S = Q_{enc}/\varepsilon_0$ เมื่อมีความสมมาตร (ทรงกลม ทรงกระบอก ระนาบ) เลือกผิวเกาส์ให้ $\mathbf E$ ตั้งฉากกับผิวและมีขนาดคงที่ แล้วอินทิกรัลลดเหลือ $E\times$พื้นที่ ตัวอย่าง เส้นประจุยาวอนันต์: $E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0r)$ · แผ่นระนาบอนันต์: $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$ · ทรงกลม: $E = kQ/r^2$ นอกทรงกลม ถ้าไม่มีความสมมาตรต้องใช้สนามซ้อนทับหรือแก้สมการลาปลาซ-พัวซอง

**สมการลาปลาซกับสมการพัวซองต่างกันอย่างไร ใช้เมื่อไร?**
สมการพัวซอง $\nabla^2V = -\rho_v/\varepsilon_0$ ใช้ในบริเวณที่มีประจุ ส่วนสมการลาปลาซ $\nabla^2V = 0$ เป็นกรณีที่ไม่มีประจุในบริเวณนั้น (ประจุอยู่เฉพาะที่ขอบเขต เช่นขั้วอิเล็กโทรด) ใช้หาศักย์ระหว่างอิเล็กโทรดเมื่อรู้แรงดันที่ขอบ เช่นในสายโคแอกเชียล $V(r) = V_0\ln(b/r)/\ln(b/a)$ และในตัวเก็บประจุแผ่นขนาน $V$ เปลี่ยนเป็นเส้นตรงตามระยะ สมการนี้ยังใช้กับการนำความร้อนสภาวะคงตัวและการซึมของน้ำใต้ดินด้วย

**คำนวณความจุ (capacitance) ด้วยแคลคูลัสหลายตัวแปรอย่างไร?**
ขั้นตอนมาตรฐาน: สมมติประจุ $Q$ บนอิเล็กโทรด หาสนาม $\mathbf E$ ด้วยกฎของเกาส์ หาแรงดัน $V = -\int\mathbf E\cdot d\mathbf l$ ระหว่างอิเล็กโทรดทั้งสอง แล้ว $C = Q/V$ ตัวอย่างแผ่นขนาน $C = \varepsilon_0A/d$ สายโคแอกเชียล $C' = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a)$ ต่อเมตร (สาย RG-58 ได้ราว 108 pF/m) พลังงานที่สะสมคือ $W = \tfrac12\varepsilon_0\iiint E^2\,dV = \tfrac12CV^2$

**เวกเตอร์พอยน์ติง (Poynting vector) คืออะไร?**
เวกเตอร์พอยน์ติง $\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H$ (W/m²) บอกทิศและขนาดของกำลังที่ไหลผ่านพื้นที่หนึ่งหน่วยของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า อินทิกรัลบนผิวปิด $\oiint\mathbf S\cdot d\mathbf A$ คือกำลังที่ไหลออกจากปริมาตร เช่นลวดนำกระแส 10 A ที่ร้อนขึ้น 0.549 W เป็นพลังงานที่ไหล “เข้า” ผ่านผิวลวดจากสนามรอบ ๆ ตรงกับ $I^2R$ และสำหรับคลื่นระนาบ $S = E_0^2/(2\eta_0)$ เมื่อ $\eta_0 = 376.7\ \Omega$