---
title: "แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมโยธา: ภูมิประเทศ ดินขุด-ถม คุณสมบัติหน้าตัด แรงดันน้ำ และการไหลซึม"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/civil-engineering/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-17
---

> การประยุกต์แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมโยธา (civil engineering): แผนที่เส้นชั้นความสูง ความลาดชัน |∇h| และทิศน้ำไหล ปริมาตรดินขุด-ถม (cut and fill) ด้วยอินทิกรัลสองชั้นและระดับสมดุล พื้นที่ จุดศูนย์ถ่วง โมเมนต์ความเฉื่อยของหน้าตัดด้วยทฤษฎีบทกรีน น้ำหนักบรรทุกกระจายบนแผ่นพื้น แรงดันน้ำบนเขื่อน กฎของดาร์ซีและสมการลาปลาซของการซึมผ่านดิน พร้อมแล็บภูมิประเทศและแล็บหน้าตัด

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/multivariable-calculus/civil-engineering/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมโยธา: ภูมิประเทศ ดินขุด-ถม คุณสมบัติหน้าตัด แรงดันน้ำ และการไหลซึม

// บทที่ 24.12 · การประยุกต์ · Civil Engineering


วิศวกรโยธาทำงานบนพื้นผิวจริง: ดินที่ต้องขุดและถมให้ได้ระดับ คานที่ต้องรู้โมเมนต์ความเฉื่อยของหน้าตัด แผ่นพื้นที่รับน้ำหนักกระจายไม่สม่ำเสมอ เขื่อนที่รับแรงดันน้ำ และดินที่น้ำซึมผ่าน หน้านี้ใช้แคลคูลัสหลายตัวแปรกับโจทย์เหล่านี้โดยตรง: gradient ของภูมิประเทศให้ความชันและทิศน้ำไหล อินทิกรัลสองชั้นให้ปริมาตรงานดิน อินทิกรัลเส้นตามทฤษฎีบทกรีนให้ A ȳ และ I ของหน้าตัดจากพิกัด และสมการลาปลาซอธิบายการซึมของน้ำ พร้อมแล็บภูมิประเทศที่ปรับระดับ pad แล้วเห็นปริมาตรขุด-ถมทันที และแล็บหน้าตัดที่ลากจุดยอดได้

สรุปใน 30 วินาที

- ความลาดชัน $= 100|\nabla h|$% · น้ำไหลทิศ $-\nabla h$ (ตั้งฉากเส้นชั้นความสูง)

- ขุด $\iint\max(h - z_0, 0)\,dA$ · ถม $\iint\max(z_0 - h, 0)\,dA$ · ขุด = ถม เมื่อ $z_0 = \bar h = \tfrac1A\iint h\,dA$

- หน้าตัด (Green): $A = \tfrac12\sum(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)$ · $I_{\bar x} = I_x - A\bar y^2$ · ความเค้นดัด $\sigma = My/I$

- ดาร์ซี: $\mathbf v = -K\nabla h$ → $\nabla^2h = 0$ · แรงดันน้ำ: $F = \iint\rho gd\,dA = \tfrac12\rho gwH^2$ ที่ $H/3$

ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## ภูมิประเทศเป็นฟังก์ชัน h(x, y): ความลาดชันและทิศน้ำไหล พื้นฐาน

ความสูงของพื้นที่ก่อสร้างคือฟังก์ชันสองตัวแปร $h(x, y)$ และแผนที่เส้นชั้นความสูงคือแผนที่เส้นชั้นของมัน (บทฟังก์ชันหลายตัวแปร) เกรเดียนต์ $\nabla h$ ชี้ทางขึ้นชันที่สุด ขนาดของมันคือความชัน (rise ต่อ run) น้ำฝนไหลลงทางชันที่สุด $-\nabla h$ ซึ่งตั้งฉากกับเส้นชั้นเสมอ

C1 Terrain slope and drainage direction ความลาดชันและทิศน้ำไหล

$$S = 100\,|\nabla h| = 100\sqrt{h_x^2 + h_y^2}\ \%,\qquad \beta = \arctan|\nabla h|,\qquad \text{ทิศน้ำไหล } \mathbf d = -\frac{\nabla h}{|\nabla h|}$$

ทิศเข็มทิศ (bearing จากเหนือตามเข็ม) $= \operatorname{atan2}(d_x, d_y)$ · ถนนทั่วไปความชันไม่เกิน 6–12% · ทางลาดคนพิการ 8.3% (1:12) · เส้นชั้นชิดกัน = ชัน

### แล็บภูมิประเทศและดินขุด-ถม

แผนที่ซ้าย: สีพื้นคือความชัน (น้ำเงิน = ลาด ส้ม-แดง = ชัน) เส้นดำคือเส้นชั้นความสูงทุก 1 m ลูกศรฟ้าคือทิศน้ำไหล $-\nabla h$ กรอบส้มเส้นประคือพื้นที่ปรับระดับ (pad) ภาพขวาแสดงภูมิประเทศ 3 มิติกับระนาบ pad ที่ระดับ $z_0$ เลื่อนแถบ $z_0$ แล้วดูปริมาตรขุดและถมเปลี่ยน แล้วลองตั้ง $z_0$ เท่ากับ “ระดับสมดุล” เพื่อให้ขุด = ถม ลากจุด P เพื่ออ่านความลาดชันและทิศน้ำไหล

หน้าตัดดินขุด-ถม (cut and fill): ส่วนของพื้นดินเดิมที่สูงกว่าระดับออกแบบ $z_0$ คือส่วนที่ต้องขุด (cut) ส่วนที่ต่ำกว่าคือส่วนที่ต้องถม (fill) ปริมาตรคืออินทิกรัลสองชั้นของความต่าง $\lvert h - z_0\rvert$

ตัวอย่าง C-1 · ความลาดชันและทิศน้ำไหล

### ที่ลาดเอียง $h(x, y) = 10 + 0.06x + 0.03y$ เมตร ($x$ ไปทางตะวันออก $y$ ไปทางเหนือ) หาความลาดชัน ทิศน้ำไหล และเส้นชั้นความสูงทุก 1 m ห่างกันกี่เมตร

- $\nabla h = \langle0.06,\ 0.03\rangle$ · $|\nabla h| = \sqrt{0.0036 + 0.0009} = 0.0671$ → ความลาดชัน 6.71% ($\beta = 3.84^\circ$)

- ทิศน้ำไหล $-\nabla h = \langle-0.06,\ -0.03\rangle$ → ชี้ไปทางตะวันตกและใต้ · bearing $= \operatorname{atan2}(-0.06, -0.03) = -116.6^\circ \equiv 243.4^\circ$ (ตะวันตกเฉียงใต้ ค่อนไปทางตะวันตก)

- เส้นชั้นความสูงตั้งฉากกับ $\nabla h$ และห่างกัน $\Delta h/|\nabla h| = 1/0.0671 = 14.9$ m (คำนวณตามทิศ $\nabla h$)

- เทียบกับเกณฑ์: 6.7% ใช้เป็นพื้นระบายน้ำได้ดีและไม่ชันเกินไปสำหรับถนนภายในโครงการ (แต่เกิน 5% ที่มักกำหนดสำหรับลานจอดรถ)

ความลาดชัน $6.71\%$ · น้ำไหลทิศ $243.4^\circ$ · เส้นชั้นห่างกัน 14.9 m

ตัวอย่าง C-2 · ความชันสูงสุดของเนิน

### เนินดิน $h = 8 + 5e^{-r^2/260}$ ($r$ = ระยะจากยอดเนิน, เมตร) ความชันสูงสุดเท่าไร และอยู่ที่ระยะเท่าไรจากยอด

- เนินสมมาตรรอบยอด: $|\nabla h| = \left|\dfrac{dh}{dr}\right| = 5\cdot\dfrac{2r}{260}e^{-r^2/260} = \dfrac{r}{26}e^{-r^2/260}$

- หาค่าสูงสุดตาม $r$: $\dfrac{d}{dr}\left[re^{-r^2/260}\right] = e^{-r^2/260}\left(1 - \dfrac{2r^2}{260}\right) = 0$ → $r^2 = 130$ → $r = 11.40$ m

- $|\nabla h|_{\max} = \dfrac{11.40}{26}e^{-0.5} = 0.4385\times0.6065 = 0.2660$ → ความลาดชัน 26.6% ($14.9^\circ$)

- ที่ยอด $r = 0$ ความชัน 0 (จุดวิกฤตสูงสุด) และที่ไกลมากความชันเข้าสู่ 0 · เส้นชั้นเป็นวงกลม และน้ำไหลออกตามรัศมีทุกทิศ ตั้งฉากเส้นชั้น

ความลาดชันสูงสุด 26.6% ที่ $r = 11.4$ m จากยอด (ในแล็บ จุดนี้คือ $(41.4, 22)$)

## ปริมาตรดินขุด-ถม (Cut and Fill) กลาง

ก่อนก่อสร้างอาคารหรือถนน ต้องปรับพื้นที่ให้ได้ระดับ $z_0$ ดินส่วนสูงกว่าถูกขุดไปถมส่วนต่ำกว่า ความหนาของดินที่ต้องปรับที่จุด $(x, y)$ คือ $h - z_0$ (บวก = ขุด ลบ = ถม) ปริมาตรคืออินทิกรัลสองชั้นเหนือพื้นที่ pad (บทอินทิกรัลหลายชั้น) ถ้าต้องการให้ดินสมดุล (ขุด = ถม) ระดับต้องเป็นความสูงเฉลี่ย

C2 Cut and fill volumes ปริมาตรดินขุดและดินถม

$$V_{\text{cut}} = \iint_R\max\big(h - z_0,\,0\big)\,dA,\qquad V_{\text{fill}} = \iint_R\max\big(z_0 - h,\,0\big)\,dA,\qquad V_{\text{cut}} - V_{\text{fill}} = \iint_R(h - z_0)\,dA = A(\bar h - z_0)$$

ผลต่างขุด − ถม = $A(\bar h - z_0)$ ตรง ๆ จึงสมดุลเมื่อ $z_0 = \bar h$ · ในทางปฏิบัติดินขุดขยายตัว 15–30% และดินถมต้องบดอัด ปรับด้วยตัวคูณ · $\bar h = \tfrac1A\iint_Rh\,dA$ = ความสูงเฉลี่ย (M3)

C3 Grid (four-corner) method วิธีตารางสี่เหลี่ยม (ค่ามุมทั้งสี่)

$$V = \sum_{\text{ช่อง}}A_{\text{ช่อง}}\cdot\frac{d_1 + d_2 + d_3 + d_4}{4},\qquad d = h - z_0$$

ตรงกับอินทิกรัลของผิวสอดแทรกสองเชิงเส้นในแต่ละช่อง (เป็นกฎสี่เหลี่ยมคางหมูสองมิติ) · ใช้ในโปรแกรมคำนวณปริมาณงานดิน · ช่องที่มีทั้งขุดและถมให้แยกเป็นสามเหลี่ยมหรือใช้สูตรเฉพาะ

ตัวอย่าง C-3 · ขุด-ถมบนที่ลาดคลื่น

### พื้นที่ pad $5 \le x \le 55,\ 5 \le y \le 35$ (50 × 30 m) บนภูมิประเทศ $h = 10 + 0.06x + 0.03y + 0.8\sin\frac x9\cos\frac y{11}$ หาปริมาตรขุดและถมเมื่อ $z_0 = 11.5$ m และระดับสมดุล

- พื้นที่ $A = 50\times30 = 1500$ m² · ปริมาตรขุด $\iint\max(h - 11.5, 0)\,dA$ และถม $\iint\max(11.5 - h, 0)\,dA$ อินทิเกรตเชิงตัวเลข (เส้นแบ่งขุด/ถมคือเส้นชั้น $h = 11.5$ ซึ่งเป็นเส้นโค้ง จึงไม่เหมาะกับการหาด้วยมือ)

- ผล: $V_{\text{cut}} = 1497.4$ m³ · $V_{\text{fill}} = 142.3$ m³ · ขุด − ถม = 1355.2 m³ (ดินเหลือต้องขนออก)

- ตรวจด้วยสูตร $A(\bar h - z_0)$: ความสูงเฉลี่ย $\bar h = \dfrac1A\iint h\,dA = 12.403$ m (อินทิกรัลของ $0.8\sin\frac x9\cos\frac y{11}$ บนพื้นที่นี้ได้ $+0.1$ กว่าเล็กน้อย) → $1500(12.403 - 11.5) = 1355$ ✓

- ตั้ง $z_0 = \bar h = 12.403$ m: ขุด = ถม = 680.9 m³ (สมดุล ไม่ต้องขนดินเข้า-ออก)

- จำนวนเที่ยวรถบรรทุก 10 m³ สำหรับส่วนที่ขุดเมื่อ $z_0 = 11.5$: $1497.4/10 \to 150$ เที่ยว (ก่อนคิดการขยายตัว) · แต่ถ้าสมดุล ใช้ 69 เที่ยวภายในโครงการ (ขุดไปถมในโครงการเอง)

$z_0 = 11.5$: ขุด 1497 m³ ถม 142 m³ · สมดุลที่ $z_0 = 12.40$ m: ขุด = ถม = 681 m³

ตัวอย่าง C-4 · วิธีตารางสี่เหลี่ยม

### ช่องสี่เหลี่ยม $10\times10$ m ที่มุมทั้งสี่มีความลึกขุด 0.8, 1.2, 1.0, 0.6 m (เทียบระดับออกแบบ) ปริมาตรดินขุดในช่องนี้

- ความลึกเฉลี่ยจากสี่มุม $= \dfrac{0.8 + 1.2 + 1.0 + 0.6}{4} = 0.90$ m

- $V = 100\times0.90 = 90$ m³

- เหตุผลทางแคลคูลัส: ผิวสอดแทรกสองเชิงเส้น $d(x, y) = a + bx + cy + dxy$ มีอินทิกรัลบนสี่เหลี่ยม = พื้นที่ × ค่าเฉลี่ยของสี่มุมพอดี (พจน์ $xy$ เฉลี่ยออกไปด้วยสมมาตร) จึงไม่ใช่การประมาณหยาบ แต่เป็นอินทิกรัลที่แน่นอนของผิวที่สมมติ

$V = 90$ m³

## คุณสมบัติหน้าตัดคานด้วยทฤษฎีบทกรีน กลาง

ความเค้นดัด $\sigma = My/I$ ต้องการโมเมนต์ความเฉื่อย $I$ ของหน้าตัด ซึ่งคืออินทิกรัลสองชั้น $\iint y^2\,dA$ หน้าตัดจริงมักเป็นรูปหลายเหลี่ยม (ตัว T, I, L, กล่อง) ทฤษฎีบทกรีน (บทอินทิกรัลตามเส้น) เปลี่ยนอินทิกรัลสองชั้นเป็นผลรวมตามขอบของพิกัดจุดยอด ได้สูตรแน่นอนที่คอมพิวเตอร์ใช้ในโปรแกรมวิเคราะห์โครงสร้างทุกตัว

C4 Area and centroid of a polygon พื้นที่และจุดศูนย์ถ่วงของรูปหลายเหลี่ยม

$$c_i = x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i,\quad A = \tfrac12\sum c_i,\quad \bar x = \frac{1}{6A}\sum(x_i + x_{i+1})c_i,\quad \bar y = \frac{1}{6A}\sum(y_i + y_{i+1})c_i$$

จุดยอดเรียงทวนเข็มต่อเนื่อง $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$ · มาจากทฤษฎีบทกรีน $A = \tfrac12\oint x\,dy - y\,dx$ · รูกลวงทำโดยลบหน้าตัดของรู (พื้นที่และโมเมนต์ลบ)

C5 Moments of inertia of a polygon โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปหลายเหลี่ยม

$$I_x = \tfrac1{12}\sum(y_i^2 + y_iy_{i+1} + y_{i+1}^2)c_i,\quad I_y = \tfrac1{12}\sum(x_i^2 + x_ix_{i+1} + x_{i+1}^2)c_i,\quad I_{\bar x} = I_x - A\bar y^2,\quad \tan2\theta_p = \frac{-2I_{\bar x\bar y}}{I_{\bar x} - I_{\bar y}}$$

$I_x, I_y$ รอบแกนที่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัด แล้วย้ายไปจุดศูนย์ถ่วงด้วยทฤษฎีบทแกนขนาน · $I_{\bar x\bar y} = I_{xy} - A\bar x\bar y$ · มุม $\theta_p$ ของแกนหลักที่ผลคูณความเฉื่อยเป็นศูนย์ · สี่เหลี่ยมผืนผ้า $I = bh^3/12$

C6 Flexure formula สูตรการดัด

$$\sigma = \frac{M\,y}{I_{\bar x}},\qquad S = \frac{I_{\bar x}}{c},\qquad \sigma_{\max} = \frac{M}{S}$$

$y$ วัดจากแกนสะเทิน (ผ่านจุดศูนย์ถ่วง) · $c$ = ระยะถึงเส้นใยไกลสุด · หน้าตัดไม่สมมาตรมี $S$ ต่างกันบนและล่าง

### แล็บหน้าตัด: ลากจุดยอด

เลือกรูปร่างหรือแก้พิกัด (หน่วย mm) ลากจุดยอดสีฟ้าบนภาพ ระบบคำนวณ $A$, $\bar x$, $\bar y$, $I_{\bar x}$, $I_{\bar y}$, $I_{\bar x\bar y}$, แกนหลัก และโมดูลัสหน้าตัดทันทีด้วยสูตรของกรีน (แม่นยำ) แล้วตรวจย้อนด้วยจุดตารางหนาแน่น เส้นประสีส้มคือแกนหลัก

ตัวอย่าง C-5 · คานตัว T และความเค้นดัด

### หน้าตัดตัว T: เอวกว้าง 100 สูง 300 mm ปีกกว้าง 300 หนา 100 mm (จุดยอด $(0,0)$, $(100,0)$, $(100,300)$, $(200,300)$, $(200,400)$, $(-100,400)$, $(-100,300)$, $(0,300)$) หา $A, \bar y, I_{\bar x}$ และความเค้นสูงสุดเมื่อ $M = 30$ kN·m

- แบ่งเป็นสองสี่เหลี่ยม: เอว $A_1 = 100\times300 = 30\,000$ mm² ($y_1 = 150$) · ปีก $A_2 = 300\times100 = 30\,000$ mm² ($y_2 = 350$) → $A = 60\,000$ mm²

- $\bar y = \dfrac{30\,000(150) + 30\,000(350)}{60\,000} = 250$ mm · $\bar x = 50$ mm (สมมาตร)

- แกนขนาน: เอว $I = \dfrac{100(300)^3}{12} + 30\,000(250 - 150)^2 = 225\times10^6 + 300\times10^6 = 525\times10^6$ · ปีก $I = \dfrac{300(100)^3}{12} + 30\,000(350 - 250)^2 = 25\times10^6 + 300\times10^6 = 325\times10^6$

- $I_{\bar x} = 850\times10^6$ mm⁴ (ตรงกับสูตรกรีนในแล็บ) · $S_{\text{บน}} = I/150 = 5.667\times10^6$ mm³ · $S_{\text{ล่าง}} = I/250 = 3.400\times10^6$ mm³

- $M = 30$ kN·m $= 30\times10^6$ N·mm (ทำให้ใต้เส้นใยล่างดึง บนอัด): $\sigma_{\text{บน}} = \dfrac{30\times10^6(150)}{850\times10^6} = 5.29$ MPa (อัด) · $\sigma_{\text{ล่าง}} = \dfrac{30\times10^6(250)}{850\times10^6} = 8.82$ MPa (ดึง)

$A = 60\,000$ mm² · $\bar y = 250$ mm · $I = 850\times10^6$ mm⁴ · $\sigma_{\text{บน}} = 5.29$ MPa, $\sigma_{\text{ล่าง}} = 8.82$ MPa

ตัวอย่าง C-6 · ทดสอบสูตรกรีนกับสี่เหลี่ยม

### หน้าตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 300 สูง 500 mm (จุดยอด $(0,0),(300,0),(300,500),(0,500)$) หา $A, \bar x, \bar y, I_{\bar x}$ ด้วยสูตรผลรวมตามขอบ

- $c_1 = 0\cdot0 - 300\cdot0 = 0$ · $c_2 = 300\cdot500 - 300\cdot0 = 150\,000$ · $c_3 = 300\cdot500 - 0\cdot500 = 150\,000$ · $c_4 = 0\cdot0 - 0\cdot500 = 0$

- $A = \tfrac12(0 + 150\,000 + 150\,000 + 0) = 150\,000$ mm² ($= 300\times500$ ✓)

- จุดศูนย์ถ่วง:

$$\bar y = \dfrac{1}{6A}\left[(0 + 0)\cdot0 + (0 + 500)(150\,000) + (500 + 500)(150\,000) + (500 + 0)\cdot0\right] = \dfrac{225\times10^6}{900\,000} = 250\ \text{mm}$$
ตรงตามที่คาด ✓ (และ $\bar x = 150$)

- $I_x$ (รอบแกนที่ขอบล่าง):

$$I_x = \tfrac1{12}\left[(0 + 0 + 250\,000)\cdot150\,000 + (250\,000 + 250\,000 + 250\,000)\cdot150\,000\right] = \tfrac1{12}\left[37.5\times10^9 + 112.5\times10^9\right] = 12.5\times10^9\ \text{mm}^4$$
ตรงกับ $bh^3/3 = 300\cdot500^3/3$ ✓

- ย้ายไปแกนผ่านจุดศูนย์ถ่วง: $I_{\bar x} = I_x - A\bar y^2 = 12.5\times10^9 - 150\,000(250)^2 = 3.125\times10^9$ mm⁴ = $bh^3/12$ ✓

$A = 150\,000$ mm² · $(\bar x, \bar y) = (150, 250)$ · $I_{\bar x} = 3.125\times10^9$ mm⁴ (ตรงกับสูตร $bh^3/12$)

## น้ำหนักบรรทุกกระจายบนแผ่นพื้น กลาง

แผ่นพื้นที่รับน้ำหนักไม่สม่ำเสมอ $q(x, y)$ (kN/m²) เช่นกองวัสดุ ดิน หรือน้ำบนหลังคา ต้องรู้แรงลัพธ์และตำแหน่งที่แรงลัพธ์กระทำเพื่อออกแบบคานรองรับ ทั้งสองเป็นอินทิกรัลสองชั้นแบบเดียวกับมวลและจุดศูนย์กลางมวล (M12) โดย $q$ ทำหน้าที่เป็นความหนาแน่น

C7 Resultant of a distributed load แรงลัพธ์ของน้ำหนักกระจาย

$$R = \iint_Rq(x, y)\,dA,\qquad \bar x = \frac1R\iint x\,q\,dA,\qquad \bar y = \frac1R\iint y\,q\,dA$$

$(\bar x, \bar y)$ = จุดศูนย์กลางของ “ปริมาตรน้ำหนัก” ใต้ผิว $q(x,y)$ · ใช้แทนน้ำหนักกระจายด้วยแรงเดี่ยว $R$ ที่จุดนี้เมื่อคำนวณปฏิกิริยาที่ฐานรองรับ · ผลรวมโมเมนต์เท่ากัน

ตัวอย่าง C-7 · น้ำหนักกระจายแบบสามเหลี่ยมบนแผ่นพื้น

### แผ่นพื้น $6\times4$ m รับน้ำหนักกระจาย $q = 10x/6$ kN/m² (0 ที่ขอบ $x = 0$ ถึง 10 ที่ขอบ $x = 6$) หาแรงลัพธ์และตำแหน่ง

- $R = \displaystyle\int_0^4\!\int_0^6\dfrac{10x}{6}\,dx\,dy = 4\cdot\dfrac{10}{6}\cdot\dfrac{36}{2} = 4\cdot30 = 120$ kN

- $\bar x = \dfrac{1}{120}\displaystyle\int_0^4\!\int_0^6x\cdot\dfrac{10x}{6}\,dx\,dy = \dfrac{1}{120}\cdot4\cdot\dfrac{10}{6}\cdot\dfrac{216}{3} = \dfrac{480}{120} = 4.0$ m (สองในสามของ 6 — ตรงกับเรขาคณิตของพีระมิดลิ่ม)

- $\bar y = 2.0$ m (สมมาตรตามแนว $y$) · แรงลัพธ์ 120 kN กระทำที่ $(4.0,\ 2.0)$ ตรวจในแล็บได้ $M = 120,\ \bar x = 4,\ \bar y = 2$

- ถ้าแผ่นพื้นวางบนคานสองเส้นที่ $x = 0$ และ $x = 6$: ปฏิกิริยา $R_6 = 120\times\dfrac46 = 80$ kN และ $R_0 = 120\times\dfrac26 = 40$ kN (สมดุลโมเมนต์รอบ $x = 0$)

$R = 120$ kN ที่ $(\bar x, \bar y) = (4.0, 2.0)$ m · ปฏิกิริยาคาน 40 และ 80 kN

## แรงดันน้ำบนเขื่อนและการไหลซึมใต้ดิน ขั้นสูง

แรงดันน้ำที่ความลึก $d$ คือ $p = \rho gd$ แรงลัพธ์บนผนังคืออินทิกรัลบนผิว $\mathbf F = \iint p\,\mathbf n\,dS$ ส่วนน้ำใต้ดินซึมผ่านดินตามกฎของดาร์ซี $\mathbf v = -K\nabla h$ ซึ่งเป็นสนามเกรเดียนต์ เมื่อรวมกับความต่อเนื่อง $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ ได้สมการลาปลาซ $\nabla^2h = 0$ สมการเดียวกับศักย์ไฟฟ้า (บทไฟฟ้า) และอุณหภูมิคงตัว (บทเครื่องกล)

C8 Hydrostatic force on a vertical wall แรงดันน้ำบนผนังตั้ง

$$F = \iint p\,dA = \int_0^H\rho g(H - z)\,w\,dz = \tfrac12\rho g\,wH^2,\qquad z_{cp} = \frac{\int z\,p\,dz}{\int p\,dz} = \frac H3\ \text{(เหนือฐาน)}$$

$p = \rho gd$, $d = H - z$ ความลึก · แรงแปรผันกับ $H^2$ · ผนังเอียงหรือโค้งใช้ $\iint p\,\mathbf n\,dS$ ตามบทผิว · เพิ่มแรงยกที่ฐาน (uplift) ในการเช็กเสถียรภาพ

C9 Darcy's law and seepage กฎของดาร์ซีและการไหลซึม

$$\mathbf v = -K\nabla h,\quad Q = \iint_S\mathbf v\cdot\mathbf n\,dA,\quad \nabla\cdot\mathbf v = 0\ \Rightarrow\ \nabla^2h = 0;\qquad Q_{\text{1D}} = K\frac{\Delta h}{L}A$$

$K$ = สภาพนำน้ำ (m/s): กรวด $10^{-2}$ · ทรายสะอาด $10^{-4}$ · ทรายปนทรายแป้ง $10^{-5}$ · ดินเหนียว $\le 10^{-9}$ · $h$ = ระดับพีโซเมตริก · เส้นระดับ $h$ = const ตั้งฉากกับเส้นกระแส → flow net

C10 Radial flow to a well (Thiem) การไหลเข้าบ่อ (Thiem)

$$h(r) = h_w + \frac{Q}{2\pi KT}\ln\frac r{r_w},\qquad Q = \frac{2\pi KT\,(h_2 - h_1)}{\ln(r_2/r_1)}$$

ชั้นน้ำใต้ดินแบบจำกัด (confined) หนา $T$ · คำตอบของลาปลาซในพิกัดทรงกระบอก (รูปเดียวกับ K-2: ท่อกลมนำความร้อน และ E4: สายโคแอกเชียล)

ตัวอย่าง C-8 · แรงดันน้ำบนเขื่อน

### เขื่อนผนังตั้งกว้าง $w = 100$ m น้ำลึก $H = 20$ m ($\rho = 1000$ kg/m³) หาแรงลัพธ์และตำแหน่งที่กระทำ

- แรงดันที่ความลึก $d$: $p = \rho gd = 9810d$ Pa · ที่ฐาน $p = 196.2$ kPa

- $F = \displaystyle\iint p\,dA = \int_0^{20}9810(20 - z)(100)\,dz = 9810\cdot100\cdot\dfrac{20^2}{2} = 1.962\times10^{8}$ N = 196.2 MN

- ตำแหน่ง: $z_{cp} = \dfrac{\int_0^{20}z(20 - z)\,dz}{\int_0^{20}(20 - z)\,dz} = \dfrac{20^3/6}{20^2/2} = \dfrac{20}{3} = 6.67$ m เหนือฐาน (ต่ำกว่าครึ่งความสูงเพราะแรงดันมากที่ล่าง)

- โมเมนต์พลิกคว่ำรอบฐาน $M = F\cdot z_{cp} = 196.2\times6.67 = 1308$ MN·m ต้องถูกต้านด้วยน้ำหนักของเขื่อนและแรงต้านดิน · ถ้าระดับน้ำเพิ่มเป็น 25 m แรงเพิ่ม $(25/20)^2 = 1.56$ เท่า (306.6 MN)

$F = 196.2$ MN ที่ $6.67$ m เหนือฐาน · $M = 1308$ MN·m

ตัวอย่าง C-9 · น้ำซึมผ่านคันดิน

### คันดินทรายปนทรายแป้ง $K = 10^{-5}$ m/s หนา $L = 50$ m ระดับน้ำต่างกัน 5 m หน้าตัดตั้งฉากการไหลกว้าง 10 m สูง 2 m หาความเร็วซึมและปริมาณน้ำซึม

- ระดับน้ำเป็นเส้นตรง $h(x) = h_1 - 5x/50$ ซึ่งเป็นคำตอบของลาปลาซ ($h'' = 0$) · gradient ไฮดรอลิก $i = |\nabla h| = 5/50 = 0.1$

- ดาร์ซี: $v = Ki = 10^{-5}\times0.1 = 1.0\times10^{-6}$ m/s (ตามทิศ $-\nabla h$ คือจากฝั่งสูงไปต่ำ)

- $Q = vA = 10^{-6}\times(10\times2) = 2.0\times10^{-5}$ m³/s = 1.73 m³/วัน

- เทียบกับการนำความร้อนของผนังหนา (K-1) $q = k\Delta T/L$: รูปเดียวกัน $v \leftrightarrow q,\ K \leftrightarrow k,\ h \leftrightarrow T$ — ตารางเปรียบเทียบด้านล่าง

$v = 1.0\times10^{-6}$ m/s · $Q = 2.0\times10^{-5}$ m³/s $\approx 1.73$ m³/วัน

ตัวอย่าง C-10 · บ่อสูบในชั้นน้ำใต้ดินแบบจำกัด

### ชั้นน้ำใต้ดินหนา $T = 20$ m, $K = 10^{-4}$ m/s มีบ่อสังเกตการณ์ที่ $r_1 = 10$ m (ระดับ $h_1 = 18.2$ m) และ $r_2 = 100$ m ($h_2 = 19.6$ m) หาอัตราสูบ $Q$

- การไหลเข้าบ่อสมมาตรรอบแกน $h = h(r)$ · ลาปลาซ: $\dfrac1r\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dh}{dr}\right) = 0$ → $h = C_1\ln r + C_2$

- ดาร์ซี: $v_r = -K\dfrac{dh}{dr} = -\dfrac{KC_1}{r}$ · ฟลักซ์ผ่านทรงกระบอกรัศมี $r$ สูง $T$: $Q = v_r(2\pi rT)$ = คงที่ → $C_1 = \dfrac{Q}{2\pi KT}$ (เมื่อ $Q$ ไหลเข้าบ่อ เครื่องหมายสลับ)

- จากสองบ่อ: $h_2 - h_1 = C_1\ln\dfrac{r_2}{r_1}$ → $Q = \dfrac{2\pi KT(h_2 - h_1)}{\ln(r_2/r_1)} = \dfrac{2\pi(10^{-4})(20)(1.4)}{\ln10} = \dfrac{0.017593}{2.3026} = 7.64\times10^{-3}$ m³/s

- $Q = 7.64$ L/s ≈ 660 m³/วัน · ตรวจแบบเดียวกับ K-2: อัตราไหลต่อความยาว/ความหนาเป็นค่าคงที่ทุกรัศมี

$Q = 7.64$ L/s (Thiem)

### ตารางเปรียบเทียบ: ความร้อน ไหลซึม ไฟฟ้า สมการเดียวกัน

| ปริมาณ | ความร้อน (เครื่องกล) | ไหลซึม (โยธา) | นำไฟฟ้า (ไฟฟ้า) |

| ศักย์ | อุณหภูมิ $T$ | ระดับน้ำ $h$ | แรงดัน $V$ |

| สภาพนำ | $k$ (W/m·K) | $K$ (m/s) | $\sigma$ (S/m) |

| ฟลักซ์ | $\mathbf q = -k\nabla T$ | $\mathbf v = -K\nabla h$ | $\mathbf J = -\sigma\nabla V$ |

| อนุรักษ์ | $\nabla\cdot\mathbf q = 0$ | $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ | $\nabla\cdot\mathbf J = 0$ |

| สมการ | $\nabla^2T = 0$ | $\nabla^2h = 0$ | $\nabla^2V = 0$ |

| ท่อกลม/บ่อ/โคแอก | $\dot Q' = \dfrac{2\pi k\Delta T}{\ln(r_o/r_i)}$ (K-2) | $Q = \dfrac{2\pi KT\Delta h}{\ln(r_2/r_1)}$ (C-10) | $I' = \dfrac{2\pi\sigma V}{\ln(b/a)}$ (E-4) |

เพราะสมการเหมือนกัน คำตอบที่คำนวณครั้งเดียวใช้ได้สามสาขา: แล็บความร้อนในบทเครื่องกลและแล็บประจุในบทไฟฟ้าจึงใช้เรียนการซึมของน้ำได้ด้วย (เส้นกระแสตั้งฉากเส้นศักย์เท่ากัน เหมือน flow net)

## สรุปเครื่องมือแคลคูลัสกับโจทย์โยธา พื้นฐาน

| ปัญหาโยธา | เครื่องมือ | ผลลัพธ์ |

| ความลาดชันและทิศน้ำไหลของพื้นที่ | เกรเดียนต์ $\nabla h$ | $100|\nabla h|$% · $-\nabla h$ (C1) |

| ปริมาณงานดินและระดับสมดุล | อินทิกรัลสองชั้นของ $h - z_0$ | $V_{cut}, V_{fill}, \bar h$ (C2–C3) |

| หน้าตัดคานและเสา | ทฤษฎีบทกรีน / อินทิกรัลสองชั้น | $A, \bar y, I, S, \sigma$ (C4–C6) |

| น้ำหนักกระจาย | อินทิกรัลสองชั้นถ่วงน้ำหนัก | $R, \bar x, \bar y$ (C7) |

| แรงดันน้ำบนเขื่อน/ประตูน้ำ | อินทิกรัลบนผิว | $F, z_{cp}$ (C8) |

| การซึมของน้ำ บ่อสูบ | ดาร์ซี + ลาปลาซ + ฟลักซ์ | $Q$ (C9, C10) |

| การโก่งตัวของคาน | อินทิกรัลตัวแปรเดียวซ้ำ + $\kappa \approx M/EI$ | ดูแล็บคาน และความโค้ง |

| ผิวเปลือกบางและหลังคาโค้ง | พื้นที่ผิว $\iint\sqrt{1 + |\nabla g|^2}\,dA$ | ปริมาณวัสดุ (บทผิว) |

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

- ใช้ค่าเฉลี่ยของความลึกที่ไม่ถ่วงน้ำหนักพื้นที่ · ช่องที่มีขนาดไม่เท่ากันต้องคูณพื้นที่ของแต่ละช่อง

- ไม่แยกส่วนขุดและส่วนถมก่อนรวม · ใช้ $\max(h - z_0, 0)$ ไม่ใช่ $h - z_0$ ตรง ๆ (ผลรวมตรง ๆ ได้แค่ผลต่างสุทธิ)

- ลืมตัวคูณขยายตัวและบดอัด ของดิน · ปริมาตรในสนามต่างจากปริมาตรคำนวณ (ดินร่วนขยายตัว ดินถมอัดตัว)

- ใช้ $I$ รอบแกนที่ขอบแทนที่จุดศูนย์ถ่วง ในสูตร $\sigma = My/I$ · ต้องย้ายแกนด้วยทฤษฎีบทแกนขนานก่อน

- ลำดับจุดยอดตามเข็มนาฬิกา ในสูตรกรีน · ได้เครื่องหมายลบ ใส่ค่าสัมบูรณ์ (โปรแกรมในแล็บทำให้อัตโนมัติ)

- ใช้ความดันเกจกับความดันสัมบูรณ์ปนกัน ในเขื่อน · ความดันบรรยากาศหักล้างกันทั้งสองด้านของผนัง

รวมเครื่องมือทั้งหมดของชุดนี้ไว้ในหน้าเดียวที่แล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร หรือกลับไปดูภาพรวมที่หน้าหลักของชุด

## คำถามที่พบบ่อย

คำนวณปริมาตรดินขุด-ถม (cut and fill) ด้วยอินทิกรัลสองชั้นอย่างไร?
ให้ $h(x, y)$ เป็นความสูงภูมิประเทศเดิมและ $z_0$ เป็นระดับที่ต้องการปรับแต่ง ปริมาตรดินขุดคือ $\iint\max(h - z_0, 0)\,dA$ และปริมาตรดินถมคือ $\iint\max(z_0 - h, 0)\,dA$ บนพื้นที่ปรับแต่ง ในทางปฏิบัติแบ่งเป็นตารางสี่เหลี่ยมแล้วใช้ค่าความลึกที่มุม $V = \tfrac{A}{4}\sum(d_1 + d_2 + d_3 + d_4)$ ซึ่งเท่ากับอินทิกรัลของพื้นผิวสอดแทรกสองเชิงเส้นพอดี ถ้าตั้ง $z_0$ เท่ากับความสูงเฉลี่ย $\bar h = \tfrac1A\iint h\,dA$ จะได้ขุด = ถม (ไม่ต้องขนดินเข้าออก)

ความลาดชัน (slope) ของภูมิประเทศคำนวณจาก gradient อย่างไร?
ความลาดชันเป็นเปอร์เซ็นต์ $= 100\times|\nabla h| = 100\sqrt{h_x^2 + h_y^2}$ และมุมเอียง $\arctan|\nabla h|$ ทิศที่น้ำไหลลงคือ $-\nabla h$ ซึ่งตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง ตัวอย่าง $h = 10 + 0.06x + 0.03y$ ได้ $|\nabla h| = 0.0671$ หรือ 6.7% น้ำไหลไปทางตะวันตกเฉียงใต้ (ทิศ $243^\circ$ จากทิศเหนือ) ใช้กำหนดแนวระบายน้ำ ความชันของทางลาด และตรวจเกณฑ์ความชันสูงสุดของถนน

หา A ȳ และ I ของหน้าตัดรูปหลายเหลี่ยมด้วยทฤษฎีบทกรีนอย่างไร?
ทฤษฎีบทกรีนเปลี่ยนอินทิกรัลสองชั้นบนหน้าตัดให้เป็นผลรวมตามขอบ ทำให้ได้สูตรจากพิกัดจุดยอดโดยตรง $A = \tfrac12\sum(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)$ และ $\bar y = \tfrac{1}{6A}\sum(y_i + y_{i+1})(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)$ ทำนองเดียวกันกับ $\bar x$ และ $I_x$ จากนั้นย้ายแกนมาที่จุดศูนย์ถ่วงด้วยทฤษฎีบทแกนขนาน $I_{\bar x} = I_x - A\bar y^2$ ตัวอย่างหน้าตัดตัว T (สะพานคานตัว T) ได้ $A = 60\,000$ mm², $\bar y = 250$ mm, $I = 850\times10^6$ mm⁴

กฎของดาร์ซี (Darcy's law) เกี่ยวกับสมการลาปลาซอย่างไร?
กฎของดาร์ซีบอกว่าความเร็วซึมของน้ำใต้ดินเป็น $\mathbf v = -K\nabla h$ (ตามสนามเกรเดียนต์ของระดับน้ำ $h$) เมื่อน้ำไม่บีบอัดและสภาวะคงตัว $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ แทนกันได้ $\nabla\cdot(K\nabla h) = 0$ หรือ $\nabla^2h = 0$ เมื่อ $K$ สม่ำเสมอ นั่นคือสมการลาปลาซเดียวกับศักย์ไฟฟ้าและอุณหภูมิคงตัว จึงแก้ปัญหาการซึมใต้เขื่อนด้วยเครือข่ายการไหล (flow net) ซึ่งเส้นศักย์ตั้งฉากกับเส้นกระแสได้

แรงดันน้ำบนผนังเขื่อน (hydrostatic force) คำนวณอย่างไร?
แรงดันที่ความลึก $d$ คือ $p = \rho g d$ เพิ่มเป็นเส้นตรงตามความลึก แรงลัพธ์บนผนังคืออินทิกรัลบนผิว $F = \iint p\,dA$ สำหรับผนังตั้งกว้าง $w$ สูง $H$ เมื่อน้ำเต็มถึงยอด $F = \tfrac12\rho gwH^2$ กระทำที่ความสูง $H/3$ จากฐาน เช่นเขื่อนกว้าง 100 m น้ำลึก 20 m ได้ $F = 196.2$ MN ที่ 6.67 m เหนือฐาน แรงเพิ่มตามกำลังสองของระดับน้ำ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**คำนวณปริมาตรดินขุด-ถม (cut and fill) ด้วยอินทิกรัลสองชั้นอย่างไร?**
ให้ $h(x, y)$ เป็นความสูงภูมิประเทศเดิมและ $z_0$ เป็นระดับที่ต้องการปรับแต่ง ปริมาตรดินขุดคือ $\iint\max(h - z_0, 0)\,dA$ และปริมาตรดินถมคือ $\iint\max(z_0 - h, 0)\,dA$ บนพื้นที่ปรับแต่ง ในทางปฏิบัติแบ่งเป็นตารางสี่เหลี่ยมแล้วใช้ค่าความลึกที่มุม $V = \tfrac{A}{4}\sum(d_1 + d_2 + d_3 + d_4)$ ซึ่งเท่ากับอินทิกรัลของพื้นผิวสอดแทรกสองเชิงเส้นพอดี ถ้าตั้ง $z_0$ เท่ากับความสูงเฉลี่ย $\bar h = \tfrac1A\iint h\,dA$ จะได้ขุด = ถม (ไม่ต้องขนดินเข้าออก)

**ความลาดชัน (slope) ของภูมิประเทศคำนวณจาก gradient อย่างไร?**
ความลาดชันเป็นเปอร์เซ็นต์ $= 100\times|\nabla h| = 100\sqrt{h_x^2 + h_y^2}$ และมุมเอียง $\arctan|\nabla h|$ ทิศที่น้ำไหลลงคือ $-\nabla h$ ซึ่งตั้งฉากกับเส้นชั้นความสูง ตัวอย่าง $h = 10 + 0.06x + 0.03y$ ได้ $|\nabla h| = 0.0671$ หรือ 6.7% น้ำไหลไปทางตะวันตกเฉียงใต้ (ทิศ $243^\circ$ จากทิศเหนือ) ใช้กำหนดแนวระบายน้ำ ความชันของทางลาด และตรวจเกณฑ์ความชันสูงสุดของถนน

**หา A ȳ และ I ของหน้าตัดรูปหลายเหลี่ยมด้วยทฤษฎีบทกรีนอย่างไร?**
ทฤษฎีบทกรีนเปลี่ยนอินทิกรัลสองชั้นบนหน้าตัดให้เป็นผลรวมตามขอบ ทำให้ได้สูตรจากพิกัดจุดยอดโดยตรง $A = \tfrac12\sum(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)$ และ $\bar y = \tfrac{1}{6A}\sum(y_i + y_{i+1})(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)$ ทำนองเดียวกันกับ $\bar x$ และ $I_x$ จากนั้นย้ายแกนมาที่จุดศูนย์ถ่วงด้วยทฤษฎีบทแกนขนาน $I_{\bar x} = I_x - A\bar y^2$ ตัวอย่างหน้าตัดตัว T (สะพานคานตัว T) ได้ $A = 60\,000$ mm², $\bar y = 250$ mm, $I = 850\times10^6$ mm⁴

**กฎของดาร์ซี (Darcy's law) เกี่ยวกับสมการลาปลาซอย่างไร?**
กฎของดาร์ซีบอกว่าความเร็วซึมของน้ำใต้ดินเป็น $\mathbf v = -K\nabla h$ (ตามสนามเกรเดียนต์ของระดับน้ำ $h$) เมื่อน้ำไม่บีบอัดและสภาวะคงตัว $\nabla\cdot\mathbf v = 0$ แทนกันได้ $\nabla\cdot(K\nabla h) = 0$ หรือ $\nabla^2h = 0$ เมื่อ $K$ สม่ำเสมอ นั่นคือสมการลาปลาซเดียวกับศักย์ไฟฟ้าและอุณหภูมิคงตัว จึงแก้ปัญหาการซึมใต้เขื่อนด้วยเครือข่ายการไหล (flow net) ซึ่งเส้นศักย์ตั้งฉากกับเส้นกระแสได้

**แรงดันน้ำบนผนังเขื่อน (hydrostatic force) คำนวณอย่างไร?**
แรงดันที่ความลึก $d$ คือ $p = \rho g d$ เพิ่มเป็นเส้นตรงตามความลึก แรงลัพธ์บนผนังคืออินทิกรัลบนผิว $F = \iint p\,dA$ สำหรับผนังตั้งกว้าง $w$ สูง $H$ เมื่อน้ำเต็มถึงยอด $F = \tfrac12\rho gwH^2$ กระทำที่ความสูง $H/3$ จากฐาน เช่นเขื่อนกว้าง 100 m น้ำลึก 20 m ได้ $F = 196.2$ MN ที่ 6.67 m เหนือฐาน แรงเพิ่มตามกำลังสองของระดับน้ำ