---
title: "ค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ (แรงก์, Rank of a Matrix): หาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ โจทย์พารามิเตอร์ k และทฤษฎีบทการมีคำตอบ"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/rank/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-25
---

> แรงก์หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ครบจบ ตั้งแต่ความหมาย การหาด้วยการลดแถวเป็นขั้นบันไดและด้วยไมเนอร์ โจทย์แรงก์มีพารามิเตอร์ k ที่ออกสอบบ่อย ทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี (คำตอบเดียว ไม่จำกัด ไม่มี) ปริภูมิศูนย์ แรงก์-ภาวะศูนย์ และแรงก์ในวงจรไฟฟ้ากับระบบควบคุม พร้อมแล็บคำนวณทีละขั้นและแล็บสามระนาบ 3 มิติ

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/rank/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# ค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ (แรงก์, Rank of a Matrix): หาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ โจทย์พารามิเตอร์ k และทฤษฎีบทการมีคำตอบ

// บทที่ 7.10 · พีชคณิตเชิงเส้น · Rank of a Matrix


แรงก์คือตัวเลขตัวเดียวที่ตอบได้ว่าในเมทริกซ์มี “ข้อมูลไม่ซ้ำกัน” อยู่กี่แถว ระบบสมการจึงรู้ได้ทันทีว่ามีคำตอบเดียว มีไม่จำกัด หรือไม่มีเลย หน้านี้ไล่จากวิธีนับแบบ ม.ปลาย ผ่านโจทย์พารามิเตอร์ $k$ ที่ออกสอบบ่อย ไปจนถึงปริภูมิศูนย์ แรงก์-ภาวะศูนย์ และการใช้แรงก์ในวงจรไฟฟ้ากับระบบควบคุม สูตรใช้รหัส R

สรุปใน 30 วินาที

- $\operatorname{rank}A$ = จำนวนแถวไม่เป็นศูนย์หลังลดแถวเป็นขั้นบันได = จำนวนตัวหลัก (pivot)

- จำนวนแถวอิสระ = จำนวนหลักอิสระเสมอ จึงได้ $\operatorname{rank}A^T = \operatorname{rank}A \le \min(m, n)$

- เมทริกซ์ $n\times n$: $\det A \ne 0 \iff \operatorname{rank}A = n$ ถ้า $\det A = 0$ ต้องลดแถวจึงรู้ว่าแรงก์เหลือเท่าไร

- ระบบ $A\mathbf x = \mathbf b$: $\operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b]$ ไม่มีคำตอบ · เท่ากัน $= n$ คำตอบเดียว · เท่ากัน $= r \lt n$ ไม่จำกัด มีตัวแปรอิสระ $n - r$ ตัว

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · เตรียมสอบ · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## แรงก์คืออะไร: นับข้อมูลที่ไม่ซ้ำกัน พื้นฐาน

สมมุติมีสามสมการ แต่สมการที่สามได้จากการบวกสองสมการแรก สมการที่สามจึงไม่ได้ให้ข้อมูลใหม่ ระบบนี้ “ดูเหมือน” มีสามสมการ แต่มีข้อมูลจริงแค่สอง ตัวเลข 2 นี้คือแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

แรงก์คือจำนวนทิศทางที่หลักทั้งหมดของเมทริกซ์ “ครอบคลุม” ได้ เวกเตอร์ทุกตัวอยู่บนเส้นเดียว = แรงก์ 1 · อยู่บนระนาบเดียว = แรงก์ 2 · กางเต็มสามมิติ = แรงก์ 3

R1 Definition of rank นิยามแรงก์

$$\operatorname{rank}A = \text{จำนวนแถวอิสระเชิงเส้น} = \text{จำนวนหลักอิสระเชิงเส้น} = \text{จำนวนตัวหลักในรูปขั้นบันได}$$

ทั้งสามนิยามให้ค่าเดียวกันเสมอ ตำราไทยบางเล่มเรียก “ค่าลำดับขั้น” หรือ “ลำดับชั้น” เขียนได้ทั้ง $\operatorname{rank}A$, $r(A)$, $\rho(A)$

R2 Basic bounds ขอบเขตของแรงก์

$$0 \le \operatorname{rank}A \le \min(m, n), \qquad \operatorname{rank}A^T = \operatorname{rank}A$$

$\operatorname{rank}A = 0$ เฉพาะเมทริกซ์ศูนย์ · เมทริกซ์ $3\times5$ มีแรงก์ได้มากสุด 3

R3 Row operations keep the rank ลดแถวแล้วแรงก์ไม่เปลี่ยน

$$A \sim B \ (\text{ด้วย } R_i \leftrightarrow R_j,\ kR_i,\ R_i + kR_j) \Rightarrow \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}B$$

ต่างจากดีเทอร์มิแนนต์ที่เปลี่ยนเครื่องหมายหรือถูกคูณ แรงก์ไม่สนใจเลย จึงลดแถวได้อิสระ (และลดหลักได้ด้วย)

## หาแรงก์ด้วยการลดแถวเป็นขั้นบันได พื้นฐาน

วิธีที่ใช้ได้กับเมทริกซ์ทุกขนาด: ใช้การดำเนินการตามแถว (ดู ระบบสมการ: การดำเนินการแถว) ทำให้ใต้ตัวหลักเป็นศูนย์ทีละหลัก จนได้รูปขั้นบันได (row echelon form, REF) แล้วนับแถวที่ไม่เป็นศูนย์

- เลือกตัวหลักในหลักซ้ายสุดที่ยังไม่เป็นศูนย์ (สลับแถวถ้าจำเป็น เลือก ±1 จะคำนวณง่าย)

- กำจัดตัวเลขใต้ตัวหลักให้เป็นศูนย์ด้วย $R_i \leftarrow R_i - kR_{\text{หลัก}}$

- ขยับลงหนึ่งแถว ขวาหนึ่งหลัก ทำซ้ำ (หลักไหนไม่มีตัวหลักให้ข้ามไป)

- นับแถวที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งแถว = แรงก์

ตัวอย่าง R-1 · 3×3

### หาแรงก์ของ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

- ใช้ ${1}$ ที่มุมบนซ้ายเป็นตัวหลัก กำจัดหลักที่ 1: $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\ R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$

$$\begin{pmatrix} {1} & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

- ตัวหลักถัดไปคือ $-1$ กำจัดใต้มัน: $R_3 \leftarrow R_3 - R_2$

$$\begin{pmatrix} {1} & 2 & -1 \\ 0 & {-1} & 3 \\ {0} & {0} & {0} \end{pmatrix}$$

$\operatorname{rank}A = 2$ (แถวไม่เป็นศูนย์ 2 แถว)

เหตุผล: แถว 3 = แถว 1 + แถว 2 พอดี $(1+2,\ 2+3,\ -1+1) = (3, 5, 0)$ · ตรวจซ้ำ $\det A = 0$ สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง R-2 · 3×4 ไม่จัตุรัส

### หาแรงก์ของ $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 7 \\ -1 & -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

- $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\ R_3 \leftarrow R_3 + R_1$

$$\begin{pmatrix} {1} & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

- หลักที่ 2 ใต้แถว 1 เป็นศูนย์หมด จึงข้ามไปหลักที่ 3 ใช้ $1$ เป็นตัวหลัก: $R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$

$$\begin{pmatrix} {1} & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & {1} & 1 \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{pmatrix}$$

$\operatorname{rank}B = 2$ ตัวหลักอยู่หลักที่ 1 และ 3

หลักที่ 2 ไม่มีตัวหลักเพราะหลัก 2 = 2 × หลัก 1 และหลัก 4 = 3 × หลัก 1 + หลัก 3 ตรวจ: $3\cdot(1, 2, -1) + (0, 1, 2) = (3, 7, -1)$ ✓

ตัวอย่าง R-3 · 4×4

### หาแรงก์ของ $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

- $R_2 - R_1,\ R_3 - R_1,\ R_4 - 2R_1$

$$\begin{pmatrix} {1} & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

- $R_3 - 2R_2,\ R_4 - R_2$

$$\begin{pmatrix} {1} & 1 & 1 & 1 \\ 0 & {1} & 2 & 3 \\ 0 & 0 & {1} & 3 \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{pmatrix}$$

$\operatorname{rank}C = 3$

สังเกตตั้งแต่แรก: แถว 4 = แถว 1 + แถว 2 จึงคาดว่าแรงก์ไม่เกิน 3 ส่วนสามแถวแรก (สามเหลี่ยมปาสคาล) อิสระกัน

## หาแรงก์ด้วยไมเนอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ย่อย) กลาง

ไมเนอร์อันดับ $k$ คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อย $k\times k$ ที่ได้จากการเลือก $k$ แถวและ $k$ หลัก วิธีนี้สะดวกกับเมทริกซ์ 3×3 หรือ 3×4 ที่มีตัวแปร และใช้คู่กับ สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

R4 Determinantal rank แรงก์จากไมเนอร์

$$\operatorname{rank}A = r \iff \text{มีไมเนอร์อันดับ } r \text{ ที่ไม่เป็นศูนย์ และไมเนอร์อันดับ } r + 1 \text{ ทุกตัวเป็นศูนย์}$$

R5 Square matrices เมทริกซ์จัตุรัส

$$A_{n\times n}:\quad \operatorname{rank}A = n \iff \det A \ne 0 \iff A^{-1} \text{ มีอยู่}$$

เป็นส่วนหนึ่งของ ทฤษฎีบทเมทริกซ์หาอินเวอร์สได้ I10

ตัวอย่าง R-4 · ไมเนอร์

### หาแรงก์ของ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ ด้วยไมเนอร์

- ไมเนอร์อันดับ 3 มีตัวเดียวคือ $\det A$ D2

$$\det A = (45 + 84 + 96) - (105 + 48 + 72) = 225 - 225 = 0 \ \Rightarrow\ \operatorname{rank}A \lt 3$$

- ลองไมเนอร์อันดับ 2 มุมบนซ้าย R4

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 8 = -3 \ne 0$$

$\operatorname{rank}A = 2$

ไม่ต้องตรวจไมเนอร์ 2×2 ครบทั้ง 9 ตัว เจอตัวที่ไม่เป็นศูนย์เพียงตัวเดียวก็พอ · ข้อควรระวัง: ถ้าเมทริกซ์ $4\times4$ ต้องไล่ไมเนอร์จำนวนมาก การลดแถวจะเร็วกว่า

## แล็บหาแรงก์ทีละขั้น (เศษส่วนแม่นตรง)

พิมพ์เมทริกซ์ได้ถึง 6 แถว 7 หลัก หนึ่งบรรทัดต่อหนึ่งแถว ใช้เศษส่วนอย่าง 3/4 ได้ แล็บจะลดแถวทีละขั้นพร้อมแรเงาตัวหลัก บอกแรงก์ ภาวะศูนย์ ฐานของปริภูมิหลักและปริภูมิศูนย์ ถ้าติ๊ก “หลักสุดท้ายคือ b” จะเทียบ $\operatorname{rank}A$ กับ $\operatorname{rank}[A\mid\mathbf b]$ และเขียนคำตอบทั่วไปให้

## แรงก์ที่มีพารามิเตอร์ $k$: โจทย์ที่ออกสอบบ่อย กลาง

รูปแบบคำถาม “จงหาค่า $k$ ที่ทำให้แรงก์เท่ากับ 2” หรือ “แรงก์ของ $A$ เป็นเท่าใดสำหรับทุกค่า $k$” มีขั้นตอนตายตัวสามขั้น

R6 Procedure for a parameter ขั้นตอนโจทย์พารามิเตอร์

$$\text{① หา } \det A(k) \text{ แยกตัวประกอบ} \ \rightarrow\ \text{② } k \text{ ที่ } \det \ne 0 \Rightarrow \operatorname{rank} = n \ \rightarrow\ \text{③ แทน } k \text{ ที่ทำให้ } \det = 0 \text{ ทีละค่า แล้วลดแถว}$$

ข้อ ③ ห้ามข้าม: $\det = 0$ บอกแค่ว่าแรงก์ไม่เต็ม อาจเหลือ $n - 1$ หรือน้อยกว่านั้น · ถ้าเมทริกซ์ไม่จัตุรัส ให้ลดแถวโดยเก็บ $k$ ไว้ แล้วแยกกรณีตามตัวที่อาจเป็นศูนย์

ตัวอย่าง R-5 · พารามิเตอร์ k

### หาแรงก์ของ $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{pmatrix}$ สำหรับทุกค่า $k$

- กระจายตามแถวแรก D4

$$\det A = 1(k - 1) - 1(1 - k) + k(1 - k^2) = -k^3 + 3k - 2 = {-(k - 1)^2(k + 2)}$$

- $k \ne 1$ และ $k \ne -2$: $\det A \ne 0$ จึงได้ $\operatorname{rank}A = 3$ R5

- $k = 1$: ทุกแถวเป็น $(1, 1, 1)$ ลดแถวเหลือแถวเดียว

$$\begin{pmatrix} {1} & 1 & 1 \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ \operatorname{rank}A = 1$$

- $k = -2$: $R_2 - R_1,\ R_3 + 2R_1$ แล้ว $R_3 + R_2$

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} {1} & 1 & -2 \\ 0 & {-3} & 3 \\ {0} & {0} & {0} \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ \operatorname{rank}A = 2$$

$\operatorname{rank}A = 3$ เมื่อ $k \ne 1, -2$ · $\operatorname{rank}A = 1$ เมื่อ $k = 1$ · $\operatorname{rank}A = 2$ เมื่อ $k = -2$

ราก $k = 1$ เป็นรากซ้ำสองชั้น แรงก์ก็ลดลงสองขั้นพอดี (จาก 3 เหลือ 1) เป็นเรื่องบังเอิญที่ดีของเมทริกซ์สมมาตรนี้ ไม่ใช่กฎทั่วไป

เลื่อนค่า $k$ ในแล็บด้านล่างแล้วดูว่ากราฟของ $\det A(k)$ แตะศูนย์ตรงไหน และแรงก์ลดลงเท่าไรที่จุดนั้น มีชุดตัวอย่างระบบเอกพันธ์และระบบ $[A\mid\mathbf b]$ ให้ลองด้วย

## แรงก์กับการมีคำตอบของระบบสมการ พื้นฐาน → กลาง

นี่คือเหตุผลหลักที่ต้องรู้จักแรงก์ เทียบแรงก์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ $A$ กับเมทริกซ์แต่งเติม $[A\mid\mathbf b]$ ก็รู้ทันทีว่าระบบเป็นแบบไหน โดยไม่ต้องแก้จนจบ

R7 Rouché–Capelli theorem ทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี (โครเนกเกอร์-กาเปลลี)

$$A\mathbf x = \mathbf b,\ A_{m\times n}: \quad \begin{cases} \operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] & \text{ไม่มีคำตอบ (inconsistent)} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = n & \text{คำตอบเดียว} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = r \lt n & \text{คำตอบไม่จำกัด} \end{cases}$$

R8 Free variables จำนวนตัวแปรอิสระ

$$\text{จำนวนตัวแปรอิสระ} = n - \operatorname{rank}A$$

คำตอบไม่จำกัดเขียนเป็น $\mathbf x = \mathbf x_p + t_1\mathbf v_1 + \cdots + t_{n-r}\mathbf v_{n-r}$

R9 Homogeneous systems ระบบเอกพันธ์ $A\mathbf x = \mathbf 0$

$$\text{มีคำตอบไม่ชัด } (\mathbf x \ne \mathbf 0) \iff \operatorname{rank}A \lt n \ \overset{n\times n}{\iff}\ \det A = 0$$

ระบบเอกพันธ์มี $\mathbf x = \mathbf 0$ เสมอ จึงไม่มีกรณี “ไม่มีคำตอบ”

สามกรณีของระบบสามสมการสามตัวแปร มองเป็นสามระนาบ: ตัดกันที่จุดเดียว (rank 3, 3) · ผ่านเส้นเดียวกันเหมือนหน้าหนังสือ (rank 2, 2) · ตัดกันเป็นคู่ ๆ แต่ไม่มีจุดร่วม (rank 2, 3)

ตัวอย่าง R-6 · พารามิเตอร์ a, b

### พิจารณา $\begin{aligned} x + y + z &= 1 \\ x + 2y + 3z &= 2 \\ x + 3y + az &= b \end{aligned}$ หาเงื่อนไขของ $a, b$ ที่ทำให้ระบบมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด และไม่มีคำตอบ

- ลดแถวเมทริกซ์แต่งเติม: $R_2 - R_1,\ R_3 - R_1$

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & a - 1 & b - 1 \end{array}\right)$$

- $R_3 - 2R_2$

$$\left(\begin{array}{ccc|c} {1} & 1 & 1 & 1 \\ 0 & {1} & 2 & 1 \\ 0 & 0 & {a - 5} & {b - 3} \end{array}\right)$$

- อ่านแถวสุดท้ายด้วย R7

$$\begin{aligned} a \ne 5 &: \ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = 3 \Rightarrow \text{คำตอบเดียว} \\ a = 5,\ b = 3 &: \ \text{แถว } [0\ 0\ 0 \mid 0] \Rightarrow \operatorname{rank} = 2 = 2 \lt 3 \Rightarrow \text{ไม่จำกัด} \\ a = 5,\ b \ne 3 &: \ [0\ 0\ 0 \mid b - 3] \Rightarrow 2 \lt 3 \Rightarrow \text{ไม่มีคำตอบ} \end{aligned}$$

- กรณีไม่จำกัด ให้ $z = t$: จากแถว 2 $y = 1 - 2t$ จากแถว 1 $x = 1 - y - z = t$ R8

$$(x, y, z) = (0, 1, 0) + t(1, -2, 1)$$

$a \ne 5$: คำตอบเดียว (เช่น $a = 6, b = 4$ ได้ $(1, -1, 1)$) · $a = 5, b = 3$: ไม่จำกัด $(t, 1 - 2t, t)$ · $a = 5, b \ne 3$: ไม่มีคำตอบ

ตรวจกรณีไม่จำกัดในสมการที่ 3: $t + 3(1 - 2t) + 5t = 3$ ✓ ทุกค่า $t$

ตัวอย่าง R-7 · ระบบเอกพันธ์

### หา $k$ ที่ทำให้ $\begin{aligned} x + 2y + z &= 0 \\ 2x + y + z &= 0 \\ x - y + kz &= 0 \end{aligned}$ มีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้วหาคำตอบนั้น

-
$$\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & k \end{pmatrix} = 1(k + 1) - 2(2k - 1) + 1(-2 - 1) = -3k$$

- ต้องการ $\det = 0$ R9 จึงได้ $k = 0$

- แทน $k = 0$: สมการ 1 ลบสมการ 2 ได้ $-x + y = 0 \Rightarrow y = x$ แทนในสมการ 1: $3x + z = 0 \Rightarrow z = -3x$

$k = 0$ และ $(x, y, z) = t(1, 1, -3)$

ตรวจสมการ 3: $1 - 1 + 0\cdot(-3) = 0$ ✓ · แรงก์ = 2 จึงมีตัวแปรอิสระ $3 - 2 = 1$ ตัว

### แล็บสามระนาบ 3 มิติ: เห็นแรงก์เป็นภาพ

แต่ละสมการ $ax + by + cz = d$ คือระนาบหนึ่งระนาบ ลากที่ภาพเพื่อหมุน เลือกกรณีต่าง ๆ แล้วสังเกตว่าแรงก์สองตัวสัมพันธ์กับรูปการตัดกันอย่างไร ชุด “เลื่อน a, b” คือระบบในตัวอย่าง R-6

## ปริภูมิหลัก ปริภูมิศูนย์ และทฤษฎีบทแรงก์-ภาวะศูนย์ กลาง → ขั้นสูง

แรงก์คือ “มิติ” ของปริภูมิหลัก (column space) $C(A)$ ซึ่งคือเซตของ $A\mathbf x$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ ส่วนปริภูมิศูนย์ (null space) $N(A)$ คือเซตของ $\mathbf x$ ที่ทำให้ $A\mathbf x = \mathbf 0$ สองปริภูมินี้แบ่งจำนวนตัวแปร $n$ กันพอดี

R10 Rank–nullity theorem ทฤษฎีบทแรงก์-ภาวะศูนย์

$$\operatorname{rank}A + \operatorname{nullity}A = n, \qquad \operatorname{nullity}A = \dim N(A)$$

$n$ คือจำนวนหลัก (จำนวนตัวแปร) ไม่ใช่จำนวนแถว

R11 Bases from row reduction หาฐานจากการลดแถว

$$C(A):\ \text{หลักของ } {A \text{ เดิม}} \text{ ที่ตำแหน่งตัวหลัก} \qquad R(A):\ \text{แถวไม่เป็นศูนย์ของ REF} \qquad N(A):\ \text{แก้ } \operatorname{RREF}(A)\,\mathbf x = \mathbf 0$$

ข้อผิดพลาดยอดนิยม: เอาหลักของ REF มาเป็นฐานของ $C(A)$ — ผิด เพราะการลดแถวเปลี่ยนปริภูมิหลัก (แต่ไม่เปลี่ยนปริภูมิแถว)

ตัวอย่าง R-8 · ฐานของปริภูมิ

### จาก $B$ ในตัวอย่าง R-2 หาฐานของ $C(B)$ และ $N(B)$ แล้วตรวจทฤษฎีบทแรงก์-ภาวะศูนย์

- ตัวหลักอยู่หลักที่ 1 และ 3 จึงใช้หลัก 1 และ 3 ของ $B$ เดิม R11

$$C(B) = \operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$$

- RREF ของ $B$ คือ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ตัวแปรอิสระ $x_2 = s,\ x_4 = t$ ได้ $x_1 = -2s - 3t,\ x_3 = -t$

$$\mathbf x = s\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

- ตรวจ R10: $\operatorname{rank} + \operatorname{nullity} = 2 + 2 = 4 = n$ ✓

ฐานของ $C(B)$: $(1, 2, -1),\ (0, 1, 2)$ · ฐานของ $N(B)$: $(-2, 1, 0, 0),\ (-3, 0, -1, 1)$

ตรวจ $B(-3, 0, -1, 1)^T = (-3 + 0 + 0 + 3,\ -6 - 1 + 7,\ 3 - 2 - 1) = (0, 0, 0)$ ✓

## สมบัติของแรงก์ที่ใช้พิสูจน์และแก้โจทย์ ขั้นสูง

R12 Products · Sylvester's inequality ผลคูณ

$$\operatorname{rank}A + \operatorname{rank}B - n \le \operatorname{rank}(AB) \le \min(\operatorname{rank}A, \operatorname{rank}B)$$

$A$ ขนาด $m\times n$, $B$ ขนาด $n\times p$ · คูณด้วยเมทริกซ์หาอินเวอร์สได้ แรงก์ไม่เปลี่ยน: $\operatorname{rank}(PAQ) = \operatorname{rank}A$

R13 Sums and Gram matrices ผลบวกและ $A^TA$

$$\operatorname{rank}(A + B) \le \operatorname{rank}A + \operatorname{rank}B, \qquad \operatorname{rank}(A^TA) = \operatorname{rank}(AA^T) = \operatorname{rank}A$$

ข้อหลังคือเหตุผลที่ กำลังสองน้อยสุด $A^TA\mathbf x = A^T\mathbf b$ มีคำตอบเดียวเมื่อหลักของ $A$ อิสระกัน

R14 Rank-one matrices เมทริกซ์แรงก์ 1

$$\operatorname{rank}A = 1 \iff A = \mathbf u\mathbf v^T,\ \mathbf u \ne \mathbf 0,\ \mathbf v \ne \mathbf 0$$

ทุกแถวเป็นพหุคูณของแถวเดียวกัน · เป็นฐานของ Sherman–Morrison และการบีบอัดข้อมูลด้วย SVD

R15 Rank of the adjugate แรงก์ของ $\operatorname{adj}A$

$$\operatorname{rank}(\operatorname{adj}A) = \begin{cases} n & \operatorname{rank}A = n \\ 1 & \operatorname{rank}A = n - 1 \\ 0 & \operatorname{rank}A \le n - 2 \end{cases}$$

เช่น $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ แรงก์ 2 จึงได้ $\operatorname{adj}A$ แรงก์ 1

## แรงก์ในงานวิศวกรรม: วงจรไฟฟ้า ระบบควบคุม และข้อมูลจริง กลาง → ขั้นสูง

R16 Incidence matrix of a circuit เมทริกซ์อุบัติการณ์ของวงจร

$$\operatorname{rank}A_{\text{inc}} = n_{\text{node}} - 1 \ \Rightarrow\ \text{KCL อิสระ } n - 1 \text{ สมการ},\quad \text{KVL อิสระ } b - n + 1 \text{ สมการ (= จำนวนเมช)}$$

ผลรวมของทุกแถวเป็นศูนย์ (กระแสออกจากโนดหนึ่งเข้าอีกโนด) แรงก์จึงขาดไปหนึ่งเสมอ ต่อยอดใน การประยุกต์: เมทริกซ์อุบัติการณ์

R17 Kalman controllability test ทดสอบการควบคุมได้

$$\dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B u \ \text{ควบคุมได้} \iff \operatorname{rank}\begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix} = n$$

การสังเกตได้ใช้ $\operatorname{rank}\begin{bmatrix} C^T & A^TC^T & \cdots \end{bmatrix} = n$ แบบเดียวกัน

R18 Numerical rank แรงก์เชิงตัวเลข (ข้อมูลจริงมีความคลาดเคลื่อน)

$$\operatorname{rank}_\varepsilon A = \#\{\sigma_i \gt \varepsilon\},\qquad \varepsilon = \max(m, n)\,\sigma_1\,\epsilon_{\text{mach}} \ (\text{ค่าเริ่มต้นของ NumPy/MATLAB})$$

$\sigma_i$ คือค่าเอกฐาน (singular values) จาก SVD · ข้อมูลวัดจริงแทบไม่มีเมทริกซ์ที่ $\det = 0$ พอดี จึงนับเฉพาะ $\sigma_i$ ที่ใหญ่กว่าระดับสัญญาณรบกวน

ตัวอย่าง R-9 · วงจร 4 โนด 5 กิ่ง

### วงจรมีโนด 1–4 กิ่ง $1\to2,\ 2\to3,\ 3\to4,\ 4\to1,\ 1\to3$ เขียนเมทริกซ์อุบัติการณ์ หาแรงก์ และจำนวนสมการ KCL/KVL อิสระ

- แถว = โนด หลัก = กิ่ง ใส่ $+1$ ที่โนดต้นทาง $-1$ ที่โนดปลายทาง

$$A_{\text{inc}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

- ทุกหลักมี $+1$ กับ $-1$ อย่างละตัว ผลรวมสี่แถว = $\mathbf 0$ แรงก์จึงไม่เกิน 3 และลดแถวได้ตัวหลักสามตัวพอดี R16

$\operatorname{rank} = 3$: KCL อิสระ $4 - 1 = 3$ สมการ · KVL อิสระ $5 - 4 + 1 = 2$ สมการ (สองเมช)

นี่คือเหตุผลที่การวิเคราะห์โนดเลือกโนดอ้างอิง (กราวด์) หนึ่งโนดแล้วเขียนสมการเฉพาะอีก $n - 1$ โนด ดู วิเคราะห์โนดด้วยเมทริกซ์

ตัวอย่าง R-10 · ระบบควบคุม

### ระบบ $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$ ตรวจการควบคุมได้เมื่อ (ก) $B = (0, 1)^T$ (ข) $B = (1, -1)^T$

- (ก) $AB = (1, -3)^T$ R17

$$\operatorname{rank}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} = 2 \ (\det = -1 \ne 0)$$

- (ข) $AB = (-1, 1)^T = -B$

$$\operatorname{rank}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = 1 \lt 2$$

(ก) ควบคุมได้ · (ข) ควบคุมไม่ได้

ใน (ข) $B$ เป็นเวกเตอร์เฉพาะของ $A$ ($\lambda = -1$) อินพุตจึงกระตุ้นได้แค่โหมดเดียว อีกโหมด ($\lambda = -2$) ไม่มีทางควบคุม

เรื่องแรงก์เชิงตัวเลข: เมทริกซ์ $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1.0001 \end{pmatrix}$ มีแรงก์ 2 ตามทฤษฎี แต่ค่าเอกฐานคือ $\sigma_1 \approx 2.00005$ และ $\sigma_2 \approx 5\times10^{-5}$ ถ้าข้อมูลมีความคลาดเคลื่อนระดับ $10^{-3}$ ในทางปฏิบัติจึงมองเป็นแรงก์ 1 ผลกระทบของเมทริกซ์แบบนี้ต่อการแก้ระบบอยู่ในหน้า ผลเฉลยเชิงตัวเลข: เลขเงื่อนไข

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

กับดักในข้อสอบ

- เห็น $\det A = 0$ แล้วตอบ “แรงก์ = $n - 1$” ทันที — ต้องลดแถวตรวจ (ตัวอย่าง R-5 ที่ $k = 1$ ได้แรงก์ 1)

- นับแถวของ REF ที่มีศูนย์บางตัวว่าเป็นแถวศูนย์ — แถวศูนย์ต้องเป็นศูนย์ทั้งแถว

- ใช้หลักของ REF เป็นฐานของปริภูมิหลัก — ต้องใช้หลักของ $A$ เดิม R11

- ลืมว่า $n$ ในแรงก์-ภาวะศูนย์คือจำนวนหลัก (ตัวแปร) ไม่ใช่จำนวนแถว

- เทียบแค่ $\operatorname{rank}A$ กับ $n$ โดยไม่ดู $\operatorname{rank}[A\mid\mathbf b]$ — ระบบอาจไม่มีคำตอบ

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

เมื่อรู้ว่าระบบมีคำตอบเดียวแล้ว คำถามต่อไปคือจะหาคำตอบอย่างไรให้เร็วและแม่น สำหรับ 2–3 ตัวแปรใช้ กฎของคราเมอร์ หรือ อินเวอร์ส ส่วนระบบใหญ่ที่คอมพิวเตอร์แก้ใช้ วิธีเชิงตัวเลข: LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล ฝึกโจทย์แรงก์เพิ่มได้ที่ แนวข้อสอบชุด B และอ่านสรุปแบบบทความที่ แรงก์ของเมทริกซ์คืออะไร (English)

## คำถามที่พบบ่อย

แรงก์ของเมทริกซ์คืออะไร?
แรงก์ (ค่าลำดับขั้น) คือจำนวนแถวที่เป็นอิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์ ซึ่งเท่ากับจำนวนหลักที่อิสระเสมอ หาได้ง่ายที่สุดโดยลดแถวให้เป็นรูปขั้นบันไดแล้วนับแถวที่ไม่เป็นศูนย์ (จำนวนตัวหลัก) ในภาษาระบบสมการคือจำนวนสมการที่ไม่ซ้ำซ้อนกัน

หาแรงก์ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ได้ไหม?
ได้ แรงก์คืออันดับของไมเนอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยจัตุรัส) ที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่เป็นศูนย์ สำหรับเมทริกซ์ n×n ถ้า det ≠ 0 แรงก์คือ n แต่ถ้า det = 0 ต้องหาไมเนอร์ขนาดเล็กลงหรือลดแถวต่อ เพราะ det = 0 บอกแค่ว่าแรงก์ไม่เต็ม ไม่ได้บอกว่าเหลือเท่าไร

แรงก์บอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ Ax = b?
ตามทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี ถ้า rank A
โจทย์หาแรงก์ที่มีพารามิเตอร์ k ทำอย่างไร?
ถ้าเป็นเมทริกซ์จัตุรัส ให้หา det ในรูปของ k ก่อน ค่า k ที่ไม่ทำให้ det เป็นศูนย์ได้แรงก์เต็ม ส่วนค่า k ที่ทำให้ det = 0 ต้องแทนค่าทีละตัวแล้วลดแถวเพื่อนับแรงก์จริง เช่น [[1,1,k],[1,k,1],[k,1,1]] มี det = −(k−1)²(k+2) ได้แรงก์ 1 เมื่อ k = 1 แรงก์ 2 เมื่อ k = −2 และแรงก์ 3 เมื่อ k อื่น

ทฤษฎีบทแรงก์-ภาวะศูนย์ (rank–nullity) ใช้ทำอะไร?
สำหรับเมทริกซ์ m×n จะได้ rank A + nullity A = n ใช้นับจำนวนตัวแปรอิสระของระบบเอกพันธ์ Ax = 0 (เท่ากับ nullity) และจำนวนเวกเตอร์ในฐานของปริภูมิศูนย์ ในวงจรไฟฟ้าใช้นับจำนวนสมการ KCL และ KVL ที่เป็นอิสระ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**แรงก์ของเมทริกซ์คืออะไร?**
แรงก์ (ค่าลำดับขั้น) คือจำนวนแถวที่เป็นอิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์ ซึ่งเท่ากับจำนวนหลักที่อิสระเสมอ หาได้ง่ายที่สุดโดยลดแถวให้เป็นรูปขั้นบันไดแล้วนับแถวที่ไม่เป็นศูนย์ (จำนวนตัวหลัก) ในภาษาระบบสมการคือจำนวนสมการที่ไม่ซ้ำซ้อนกัน

**หาแรงก์ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ได้ไหม?**
ได้ แรงก์คืออันดับของไมเนอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยจัตุรัส) ที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่เป็นศูนย์ สำหรับเมทริกซ์ n×n ถ้า det ≠ 0 แรงก์คือ n แต่ถ้า det = 0 ต้องหาไมเนอร์ขนาดเล็กลงหรือลดแถวต่อ เพราะ det = 0 บอกแค่ว่าแรงก์ไม่เต็ม ไม่ได้บอกว่าเหลือเท่าไร

**แรงก์บอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ Ax = b?**
ตามทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี ถ้า rank A < rank [A|b] ระบบไม่มีคำตอบ ถ้า rank A = rank [A|b] = n (จำนวนตัวแปร) มีคำตอบเดียว และถ้า rank A = rank [A|b] = r < n มีคำตอบไม่จำกัดโดยมีตัวแปรอิสระ n − r ตัว

**โจทย์หาแรงก์ที่มีพารามิเตอร์ k ทำอย่างไร?**
ถ้าเป็นเมทริกซ์จัตุรัส ให้หา det ในรูปของ k ก่อน ค่า k ที่ไม่ทำให้ det เป็นศูนย์ได้แรงก์เต็ม ส่วนค่า k ที่ทำให้ det = 0 ต้องแทนค่าทีละตัวแล้วลดแถวเพื่อนับแรงก์จริง เช่น [[1,1,k],[1,k,1],[k,1,1]] มี det = −(k−1)²(k+2) ได้แรงก์ 1 เมื่อ k = 1 แรงก์ 2 เมื่อ k = −2 และแรงก์ 3 เมื่อ k อื่น

**ทฤษฎีบทแรงก์-ภาวะศูนย์ (rank–nullity) ใช้ทำอะไร?**
สำหรับเมทริกซ์ m×n จะได้ rank A + nullity A = n ใช้นับจำนวนตัวแปรอิสระของระบบเอกพันธ์ Ax = 0 (เท่ากับ nullity) และจำนวนเวกเตอร์ในฐานของปริภูมิศูนย์ ในวงจรไฟฟ้าใช้นับจำนวนสมการ KCL และ KVL ที่เป็นอิสระ