--- title: "ระบบสมการเชิงเส้นและการกำจัดแบบเกาส์ (Systems of Linear Equations)" url: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/linear-systems/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-25 --- > แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์แต่งเติม การดำเนินการตามแถว การกำจัดแบบเกาส์ เกาส์-จอร์แดน รูปแบบขั้นบันได REF และ RREF แรงก์ เงื่อนไขมีคำตอบเดียว ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบไม่จำกัด ระบบเอกพันธ์ การแยก LU ระบบป่วย และวิธีกำลังสองน้อยสุด พร้อมวิธีทำทีละขั้น ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/linear-systems/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # ระบบสมการเชิงเส้นและการกำจัดแบบเกาส์ (Systems of Linear Equations) // บทที่ 7.3 · พีชคณิตเชิงเส้น · Systems of Linear Equations การลดแถว (row reduction) คือวิธีที่ทรงพลังที่สุดของพีชคณิตเชิงเส้น ใช้ได้กับทุกระบบ ทุกขนาด ทั้งที่มีคำตอบเดียว ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบไม่จำกัด และเป็นวิธีที่โปรแกรมจำลองวงจรอย่าง SPICE ใช้จริง หน้านี้เริ่มจากภาพของเส้นตรงตัดกันแบบ ม.ปลาย ไปจนถึงแรงก์ การแยก LU และกำลังสองน้อยสุด สูตรใช้รหัส L สรุปใน 30 วินาที - เขียนระบบเป็นเมทริกซ์แต่งเติม $[A\mid\mathbf b]$ แล้วลดแถวด้วยการดำเนินการสามแบบ: สลับแถว คูณแถว บวกพหุคูณ - ลดจนเป็นขั้นบันได (REF) แล้วแทนค่าย้อนกลับ หรือลดต่อเป็น RREF แล้วอ่านคำตอบ - แถว $[0\ \cdots\ 0\mid c\ne0]$ = ไม่มีคำตอบ · ตัวหลักครบทุกหลัก = คำตอบเดียว · มีหลักไม่มีตัวหลัก = คำตอบไม่จำกัด - แรงก์ = จำนวนตัวหลัก และจำนวนพารามิเตอร์อิสระ = จำนวนตัวแปร − แรงก์ ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย ## ภาพของระบบสมการ: สามกรณีที่เป็นไปได้ พื้นฐาน ระบบสองสมการสองตัวแปรคือเส้นตรงสองเส้น คำตอบคือจุดที่เส้นทั้งสองตัดกัน ซึ่งมีได้แค่สามแบบ และสามแบบนี้เป็นจริงกับระบบทุกขนาด ไม่มีระบบเชิงเส้นไหนมีคำตอบสองหรือสามคำตอบพอดี สามมิติก็เหมือนกัน แต่เป็นระนาบตัดกัน: ตัดกันที่จุดเดียว ไม่มีจุดร่วม หรือตัดกันเป็นเส้น/ระนาบ (ไม่จำกัด) L1 Matrix form and augmented matrix รูปเมทริกซ์และเมทริกซ์แต่งเติม $$\begin{aligned} a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ &\ \,\vdots \\ a_{m1}x_1 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{aligned} \iff A\mathbf x = \mathbf b \iff \left[\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right]$$ $A$ เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ (coefficient matrix) $m\times n$ · $\mathbf x$ เวกเตอร์ตัวแปร · $\mathbf b$ ค่าคงที่ทางขวา · เส้นตั้งแยก A กับ b ไว้เพื่อเตือนว่าหลักขวาสุดคือค่าคงที่ ## การดำเนินการตามแถวเบื้องต้น พื้นฐาน สามการดำเนินการนี้คือสิ่งที่ทำกับสมการได้อยู่แล้วตั้งแต่ ม.ต้น: สลับลำดับสมการ คูณสมการด้วยค่าไม่เป็นศูนย์ และเอาสมการหนึ่งบวกด้วยพหุคูณของอีกสมการ ทำแล้วคำตอบไม่เปลี่ยน ระบบใหม่จึง “สมมูล” กับระบบเดิม L2 Elementary row operations การดำเนินการตามแถวเบื้องต้น $$\text{(1) } R_i \leftrightarrow R_j \qquad \text{(2) } R_i \leftarrow kR_i \ (k \ne 0) \qquad \text{(3) } R_i \leftarrow R_i + kR_j \ (i \ne j)$$ เขียนกำกับไว้บนลูกศรทุกครั้ง เช่น $\xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1}$ ช่วยให้ตรวจย้อนได้ และเป็นวิธีที่อาจารย์ให้คะแนนวิธีทำ L3 Row echelon form (REF) รูปแบบขั้นบันไดแถว $$\begin{pmatrix} {\blacksquare} & * & * & * \\ 0 & {\blacksquare} & * & * \\ 0 & 0 & 0 & {\blacksquare} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ตัวหลัก (pivot, ■ ไม่เป็นศูนย์) แต่ละแถวอยู่ขวาของแถวบน · ใต้ตัวหลักเป็นศูนย์ · แถวศูนย์อยู่ล่างสุด L4 Reduced row echelon form (RREF) รูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูป $$\begin{pmatrix} {1} & 0 & * & 0 \\ 0 & {1} & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ เพิ่มจาก REF: ตัวหลักเป็น 1 และเหนือตัวหลักเป็นศูนย์ด้วย RREF ของเมทริกซ์หนึ่งมีแบบเดียว (unique) ## การกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian Elimination) พื้นฐาน L8 Gaussian elimination + back substitution ขั้นตอนการกำจัดแบบเกาส์ $$[A\mid\mathbf b] \ \xrightarrow{\text{สร้างศูนย์ใต้ตัวหลักทีละหลัก}} \ [U\mid\mathbf c] \ \xrightarrow{\text{แทนค่าย้อนกลับ ล่าง → บน}} \ \mathbf x$$ ทีละหลักจากซ้ายไปขวา: (1) เลือกตัวหลักที่ไม่เป็นศูนย์ ถ้าเป็น 0 ให้สลับแถว (2) ใช้ $R_i \leftarrow R_i - \tfrac{a_{ik}}{a_{kk}}R_k$ ล้างทุกตัวใต้ตัวหลัก (3) ขยับไปหลักถัดไป · เคล็ดลับทำมือ: ถ้ามีแถวที่ขึ้นต้นด้วย 1 ให้สลับขึ้นมาเป็นตัวหลัก เลี่ยงเศษส่วน ตัวอย่าง L-1 · เกาส์ 3×3 ### แก้ระบบ $\begin{aligned} x + y + z &= 6 \\ 2x - y + z &= 3 \\ x + 2y - z &= 2 \end{aligned}$ - เขียนเมทริกซ์แต่งเติม L1 $$\left[\begin{array}{ccc|c} {1} & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \end{array}\right]$$ - ใช้ ${1}$ มุมซ้ายบนล้างหลักที่ 1 L2 $$\xrightarrow[R_3 \leftarrow R_3 - R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & {-3} & {-1} & {-9} \\ 0 & {1} & {-2} & {-4} \end{array}\right]$$ - แถว 3 ขึ้นต้นด้วย 1 สลับขึ้นมาเป็นตัวหลักจะไม่มีเศษส่วน $$\xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & {1} & -2 & -4 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \end{array}\right]$$ - $$\xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & {-7} & {-21} \end{array}\right]$$ ได้รูปขั้นบันได L3 - แทนค่าย้อนกลับจากแถวล่าง $$\begin{aligned} -7z &= -21 &&\Rightarrow\ {z = 3} \\ y - 2(3) &= -4 &&\Rightarrow\ {y = 2} \\ x + 2 + 3 &= 6 &&\Rightarrow\ {x = 1} \end{aligned}$$ $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ ตรวจ: $1 + 2 + 3 = 6$ ✓ · $2 - 2 + 3 = 3$ ✓ · $1 + 4 - 3 = 2$ ✓ ตัวอย่าง L-2 · ลดต่อเป็น RREF (เกาส์-จอร์แดน) ### ทำต่อจากขั้นบันไดของตัวอย่าง L-1 จนอ่านคำตอบได้ทันที - $$\xrightarrow{R_3 \leftarrow -\frac17R_3} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & {1} & 3 \end{array}\right]$$ - ล้างเหนือตัวหลักของหลักที่ 3 $$\xrightarrow[R_1 \leftarrow R_1 - R_3]{R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & {1} & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$ - $$\xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & {1} \\ 0 & 1 & 0 & {2} \\ 0 & 0 & 1 & {3} \end{array}\right]$$ ด้านซ้ายกลายเป็น $I$ ด้านขวาคือคำตอบ L4 อ่านได้เลย $x = 1,\ y = 2,\ z = 3$ ถ้าวางหลัก $I$ ทางขวาแทน $\mathbf b$ จะได้อินเวอร์สด้วยวิธีเดียวกัน ดูหน้าอินเวอร์ส ## แรงก์และเงื่อนไขการมีคำตอบ กลาง เจาะลึกแยกหน้า: วิธีหาแรงก์ด้วยไมเนอร์ โจทย์พารามิเตอร์ $k$ ปริภูมิศูนย์ แรงก์-ภาวะศูนย์ และแล็บสามระนาบ 3 มิติ อยู่ใน ค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ (แรงก์) บทที่ 7.10 หลังลดแถวแล้วไม่ต้องเดาอีก ทุกอย่างอ่านจากตำแหน่งของตัวหลัก จำนวนตัวหลักมีชื่อเรียกว่าแรงก์ (rank, ลำดับชั้น) L5 Rank แรงก์ $$\operatorname{rank}A = \text{จำนวนตัวหลักใน REF ของ } A$$ เท่ากับจำนวนแถวที่อิสระเชิงเส้น = จำนวนหลักที่อิสระเชิงเส้น · $\operatorname{rank}A \le \min(m, n)$ · $\operatorname{rank}A^T = \operatorname{rank}A$ L7 Homogeneous system and rank–nullity ระบบเอกพันธ์ $$A\mathbf x = \mathbf 0 \text{ มีคำตอบไม่ชัด} \iff \operatorname{rank}A \lt n, \qquad \dim N(A) = n - \operatorname{rank}A$$ ระบบเอกพันธ์มีคำตอบ $\mathbf x = \mathbf 0$ เสมอ (trivial) ถ้า $A$ จัตุรัส มีคำตอบอื่นด้วยก็ต่อเมื่อ $\det A = 0$ ซึ่งเป็นหัวใจของการหาเวกเตอร์เฉพาะ L6 Rouché–Capelli theorem เงื่อนไขการมีคำตอบ (ตัวแปร $n$ ตัว) $$\begin{cases} \operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] & \text{ไม่มีคำตอบ (inconsistent)} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = n & \text{มีคำตอบเดียว} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = r \lt n & \text{มีคำตอบไม่จำกัด มีพารามิเตอร์อิสระ } n - r \text{ ตัว} \end{cases}$$ อ่านง่าย ๆ จาก REF: เจอแถว $[0\ \cdots\ 0\mid c\ne0]$ = ไม่มีคำตอบ · ไม่เจอ และทุกหลักของ A มีตัวหลัก = คำตอบเดียว · ไม่เจอ แต่บางหลักไม่มีตัวหลัก = ไม่จำกัด L12 Structure of the general solution โครงสร้างของคำตอบทั่วไป $$\mathbf x = \mathbf x_p + \mathbf x_h, \qquad A\mathbf x_p = \mathbf b, \quad A\mathbf x_h = \mathbf 0$$ คำตอบเฉพาะหนึ่งตัวบวกคำตอบทุกตัวของระบบเอกพันธ์ โครงสร้างเดียวกับคำตอบสมการเชิงอนุพันธ์ในวงจร (ผลตอบสนองบังคับ + ผลตอบสนองธรรมชาติ) ตัวอย่าง L-3 · ระบบที่ไม่มีคำตอบ ### แก้ระบบ $\begin{aligned} x + y + z &= 3 \\ x + 2y + 3z &= 5 \\ 2x + 3y + 4z &= 9 \end{aligned}$ - $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 9 \end{array}\right] \xrightarrow[R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - R_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right]$$ - $$\xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ {0} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right]$$ - แถวสุดท้ายอ่านว่า $0x + 0y + 0z = 1$ คือ $0 = 1$ เป็นไปไม่ได้ · $\operatorname{rank}A = 2 \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = 3$ L6 ระบบไม่มีคำตอบ (สมการที่ 3 ขัดกับผลบวกของสมการ 1 และ 2 ซึ่งให้ $2x + 3y + 4z = 8$) ตัวอย่าง L-4 · ระบบที่มีคำตอบไม่จำกัด ### เปลี่ยนค่าคงที่สมการที่ 3 เป็น 8: $\ 2x + 3y + 4z = 8$ - ลดแถวเหมือนเดิม แถวสุดท้ายกลายเป็นศูนย์ทั้งแถว แล้วลดต่อเป็น RREF $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} {1} & 0 & -1 & 1 \\ 0 & {1} & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$ - หลักที่ 3 (ของ $z$) ไม่มีตัวหลัก → $z$ เป็นตัวแปรอิสระ ตั้ง $z = t$ · จำนวนพารามิเตอร์ $= 3 - 2 = 1$ L6 $$x - z = 1 \Rightarrow x = 1 + t, \qquad y + 2z = 2 \Rightarrow y = 2 - 2t$$ - เขียนในรูปเวกเตอร์ แยกส่วนคงที่กับส่วนที่คูณ $t$ L12 $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\mathbf x_p} + t\underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\mathbf x_h}, \quad t \in \mathbb R$$ คำตอบไม่จำกัด เป็นเส้นตรงในปริภูมิสามมิติ เช่น $t = 0$ ได้ $(1, 2, 0)$ และ $t = 1$ ได้ $(2, 0, 1)$ ตรวจ $\mathbf x_h$: $A\mathbf x_h = (1 - 2 + 1,\ 1 - 4 + 3,\ 2 - 6 + 4) = (0, 0, 0)$ ✓ คำตอบที่เขียนต่างกัน (เช่นเลือก $x = s$ เป็นพารามิเตอร์) ก็ถูกได้ ถ้าแทนกลับแล้วสอดคล้องทุกสมการ ## เลือกวิธีไหนดี พื้นฐาน → กลาง | วิธี | เหมาะกับ | ข้อจำกัด | จำนวนการคูณโดยประมาณ | | แทนค่า/กำจัดตัวแปร (ม.ต้น) | 2 ตัวแปร | เกิน 3 ตัวแปรสับสนง่าย | — | | คราเมอร์ | 2–3 ตัวแปร ต้องการตัวแปรเดียว มีพารามิเตอร์ตัวอักษร | ต้อง $\det A \ne 0$ ช้ามากเมื่อ n ใหญ่ | $(n+1)$ ดีเทอร์มิแนนต์ | | อินเวอร์ส $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b$ | $A$ เดิม แต่ $\mathbf b$ เปลี่ยนหลายรอบ | ต้อง $\det A \ne 0$ หาอินเวอร์สแพงกว่าแก้ตรง | $\approx n^3$ | | เกาส์ / เกาส์-จอร์แดน | ทุกกรณี บอกได้ว่าไม่มีหรือไม่จำกัด | ทำมือนานเมื่อ n ใหญ่ | $\approx n^3/3$ | | LU (คอมพิวเตอร์) | ระบบใหญ่ $\mathbf b$ หลายชุด | ต้องสลับแถวเพื่อความเสถียร | $\approx n^3/3$ ครั้งเดียว แล้ว $n^2$ ต่อ $\mathbf b$ | ## การแยก LU (LU Decomposition) ขั้นสูง เจาะลึกแยกหน้า: PA = LU แบบสลับแถว โชเลสกี อัลกอริทึมโทมัส และแล็บแยก LU ทีละขั้น อยู่ใน ผลเฉลยเชิงตัวเลข บทที่ 7.11 การกำจัดแบบเกาส์คือการแยก $A$ เป็นผลคูณของสามเหลี่ยมล่าง $L$ (เก็บตัวคูณที่ใช้ล้างแถว) กับสามเหลี่ยมบน $U$ (ผลลัพธ์ขั้นบันได) แยกครั้งเดียวแล้วแก้ $\mathbf b$ ใหม่ได้เร็วมาก วงจรเดิมที่เปลี่ยนแหล่งจ่ายหลายรอบจึงใช้ LU L9 LU decomposition การแยก LU (แบบ Doolittle) $$A = LU \quad\Rightarrow\quad A\mathbf x = \mathbf b \iff \begin{cases} L\mathbf y = \mathbf b & \text{(แทนค่าไปข้างหน้า บน → ล่าง)} \\ U\mathbf x = \mathbf y & \text{(แทนค่าย้อนกลับ ล่าง → บน)} \end{cases}$$ $L$ มี 1 บนเส้นทแยง และ $l_{ik}$ = ตัวคูณที่ใช้ใน $R_i \leftarrow R_i - l_{ik}R_k$ · ถ้าต้องสลับแถวจะได้ $PA = LU$ โดย $P$ คือเมทริกซ์สลับแถว · $\det A = \pm\prod u_{ii}$ ตัวอย่าง L-5 · แยก LU แล้วแก้ระบบ ### แยก $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 3 \\ 8 & 7 & 9 \end{pmatrix}$ แล้วแก้ $A\mathbf x = (4, 10, 24)^T$ - ล้างหลัก 1 ด้วยตัวคูณ $l_{21} = 4/2 = {2}$ และ $l_{31} = 8/2 = {4}$ $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 5 \end{pmatrix}$$ - ล้างหลัก 2 ด้วย $l_{32} = 3/1 = {3}$ ได้ $U$ แล้วเก็บตัวคูณลง $L$ L9 $$U = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ {2} & 1 & 0 \\ {4} & {3} & 1 \end{pmatrix}$$ - แทนค่าไปข้างหน้า $L\mathbf y = \mathbf b$ $$y_1 = 4, \quad 2(4) + y_2 = 10 \Rightarrow y_2 = 2, \quad 4(4) + 3(2) + y_3 = 24 \Rightarrow y_3 = 2$$ - แทนค่าย้อนกลับ $U\mathbf x = \mathbf y$ $$2x_3 = 2 \Rightarrow x_3 = 1, \quad x_2 + 1 = 2 \Rightarrow x_2 = 1, \quad 2x_1 + 1 + 1 = 4 \Rightarrow x_1 = 1$$ $\mathbf x = (1, 1, 1)^T$ และได้ $\det A = 2\cdot1\cdot2 = 4$ มาฟรี ## ระบบป่วยและการสลับแถวเชิงตัวเลข ขั้นสูง เจาะลึกแยกหน้า: นอร์ม เลขเงื่อนไข ขอบเขตความคลาดเคลื่อน การทดลองปัดเศษ และวิธีทำซ้ำจาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR อยู่ใน ผลเฉลยเชิงตัวเลข บทที่ 7.11 บนกระดาษ $\det A \ne 0$ ก็พอ แต่ในงานจริงค่าที่วัดมีความคลาดเคลื่อน ถ้าเส้นตรงสองเส้นเกือบขนานกัน ขยับข้อมูลนิดเดียวจุดตัดเลื่อนไปไกล ระบบแบบนี้เรียกระบบป่วย (ill-conditioned) L11 Condition number เลขเงื่อนไข $$\kappa(A) = \lVert A\rVert\,\lVert A^{-1}\rVert, \qquad \frac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \kappa(A)\,\frac{\lVert\delta\mathbf b\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert}$$ ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของ $\mathbf b$ ถูกขยายได้ถึง $\kappa$ เท่า · $\kappa \approx 10^k$ แปลว่าเสียความแม่นยำราว $k$ หลัก · การลดแถวด้วยคอมพิวเตอร์ต้องเลือกตัวหลักที่มีขนาดใหญ่สุดในหลัก (partial pivoting) เพื่อไม่ขยายความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษ ตัวอย่าง L-6 · เห็นระบบป่วยด้วยตา ### เปรียบเทียบ $\begin{aligned} x + y &= 2 \\ x + 1.0001y &= 2.0001 \end{aligned}$ กับระบบที่เปลี่ยนค่าขวาของสมการที่ 2 เป็น $2.0002$ - ระบบแรก: ลบสมการได้ $0.0001y = 0.0001$ จึง $y = 1,\ x = 1$ - ระบบที่สอง: $0.0001y = 0.0002$ จึง $y = 2,\ x = 0$ - ค่าขวาเปลี่ยนแค่ 0.005% แต่คำตอบเปลี่ยนจาก $(1,1)$ เป็น $(0,2)$ · เลขเงื่อนไขของระบบนี้ $\kappa \approx 4\times10^4$ L11 สองเส้นเกือบทับกัน จุดตัดจึงไวมาก ในการวัดจริงต้องออกแบบการทดลองให้สมการ “ตัดกันชัด ๆ” หรือใช้ข้อมูลหลายจุดด้วยวิธีกำลังสองน้อยสุด ## สมการมากกว่าตัวแปร: กำลังสองน้อยสุด ขั้นสูง ในห้องแล็บเราวัดข้อมูลมากกว่าจำนวนตัวแปรที่ต้องการเสมอ ระบบจึงมีสมการเกินและไม่มีคำตอบที่ตรงทุกสมการ (ข้อมูลมีสัญญาณรบกวน) วิธีกำลังสองน้อยสุดหา $\mathbf x$ ที่ทำให้ผลรวมกำลังสองของความคลาดเคลื่อนน้อยที่สุด L10 Least squares (normal equations) สมการปกติ $$\min_{\mathbf x}\lVert A\mathbf x - \mathbf b\rVert^2 \iff A^TA\,\hat{\mathbf x} = A^T\mathbf b \iff \hat{\mathbf x} = (A^TA)^{-1}A^T\mathbf b$$ $A^TA$ จัตุรัสและสมมาตรเสมอ หาอินเวอร์สได้เมื่อหลักของ $A$ อิสระเชิงเส้น · $(A^TA)^{-1}A^T$ คืออินเวอร์สเทียม (pseudo-inverse) I15 ตัวอย่าง L-7 · หาค่าความต้านทานจากข้อมูลวัด ### วัดกระแสและแรงดันตกคร่อมตัวต้านทานได้ $(I, V)$ = (1 mA, 2.1 V), (2 mA, 3.9 V), (3 mA, 6.2 V), (4 mA, 7.8 V) ฟิต $V = RI + V_0$ - ตั้งสมการ 4 สมการ 2 ตัวแปร $(R, V_0)$ โดย $I$ หน่วย mA จึงได้ $R$ หน่วย kΩ $$\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix} R \\ V_0 \end{pmatrix} \approx \underbrace{\begin{pmatrix} 2.1 \\ 3.9 \\ 6.2 \\ 7.8 \end{pmatrix}}_{\mathbf b}$$ - คำนวณ $A^TA$ และ $A^T\mathbf b$ L10 $$A^TA = \begin{pmatrix} \sum I^2 & \sum I \\ \sum I & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 & 10 \\ 10 & 4 \end{pmatrix}, \qquad A^T\mathbf b = \begin{pmatrix} \sum IV \\ \sum V \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 59.7 \\ 20 \end{pmatrix}$$ - แก้ระบบ 2×2 ด้วยคราเมอร์ $\det = 120 - 100 = 20$ $$R = \frac{(59.7)(4) - (10)(20)}{20} = \frac{38.8}{20} = 1.94, \qquad V_0 = \frac{(30)(20) - (10)(59.7)}{20} = 0.15$$ $R \approx 1.94\ \text{k}\Omega$ และ $V_0 \approx 0.15$ V (ค่าชดเชยของเครื่องวัด) ## เครื่องคิดเลขแก้ระบบสมการแสดงวิธีทำ ใส่ $A$ และ $\mathbf b$ เครื่องจะลดแถวแบบเกาส์-จอร์แดนเป็นเศษส่วนทีละขั้น บอกว่ามีคำตอบเดียว ไม่มีคำตอบ หรือไม่จำกัด (พร้อมคำตอบในรูปพารามิเตอร์) และถ้ามีคำตอบเดียวจะแสดงวิธีคราเมอร์ให้เทียบด้วย ## ต่อยอดไปหน้าถัดไป ถ้าวาง $I$ ไว้ทางขวาแทน $\mathbf b$ แล้วลดแถวแบบเกาส์-จอร์แดน ด้านขวาจะกลายเป็น $A^{-1}$ นั่นคือหัวข้อของ อินเวอร์สของเมทริกซ์ ส่วนระบบเอกพันธ์ $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ คือประตูสู่ ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ เส้นทางต่อสำหรับเรื่องระบบสมการโดยตรง: แรงก์และทฤษฎีบทการมีคำตอบ → กฎของคราเมอร์ → วิธีเชิงตัวเลข (LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล) → แนวข้อสอบ 45 ข้อ ## คำถามที่พบบ่อย รู้ได้อย่างไรว่าระบบสมการไม่มีคำตอบ? ลดแถวเมทริกซ์แต่งเติม $[A\mid\mathbf b]$ ถ้าเจอแถว $[0\ 0\ \cdots\ 0\mid c]$ ที่ $c \ne 0$ แปลว่า $0 = c$ เป็นไปไม่ได้ ระบบจึงไม่มีคำตอบ ในภาษาแรงก์คือ $\operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b]$ คำตอบไม่จำกัดเขียนอย่างไร? ลดแถวเป็น RREF หลักที่ไม่มีตัวหลัก (pivot) คือตัวแปรอิสระ ตั้งให้เป็นพารามิเตอร์ เช่น $z = t$ แล้วเขียนตัวแปรอื่นในรูป $t$ จำนวนพารามิเตอร์เท่ากับจำนวนตัวแปรลบแรงก์ เกาส์กับเกาส์-จอร์แดนต่างกันอย่างไร? เกาส์ลดแถวจนเป็นขั้นบันได (สามเหลี่ยมบน) แล้วแทนค่าย้อนกลับจากล่างขึ้นบน เกาส์-จอร์แดนลดต่อจนตัวหลักเป็น 1 และเหนือ-ใต้ตัวหลักเป็นศูนย์หมด อ่านคำตอบได้ทันที เกาส์ใช้การคำนวณน้อยกว่าเล็กน้อย เกาส์-จอร์แดนเหมาะกับการหาอินเวอร์ส ทำไมโปรแกรมคอมพิวเตอร์ไม่ใช้กฎของคราเมอร์? เพราะต้องหาดีเทอร์มิแนนต์ $n+1$ ตัว ซึ่งช้ากว่าการลดแถวมากเมื่อ $n$ ใหญ่ โปรแกรมอย่าง MATLAB, NumPy และ SPICE ใช้การแยก LU พร้อมการสลับแถว (partial pivoting) ซึ่งทั้งเร็วและเสถียรเชิงตัวเลข มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **รู้ได้อย่างไรว่าระบบสมการไม่มีคำตอบ?** ลดแถวเมทริกซ์แต่งเติม $[A\mid\mathbf b]$ ถ้าเจอแถว $[0\ 0\ \cdots\ 0\mid c]$ ที่ $c \ne 0$ แปลว่า $0 = c$ เป็นไปไม่ได้ ระบบจึงไม่มีคำตอบ ในภาษาแรงก์คือ $\operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b]$ **คำตอบไม่จำกัดเขียนอย่างไร?** ลดแถวเป็น RREF หลักที่ไม่มีตัวหลัก (pivot) คือตัวแปรอิสระ ตั้งให้เป็นพารามิเตอร์ เช่น $z = t$ แล้วเขียนตัวแปรอื่นในรูป $t$ จำนวนพารามิเตอร์เท่ากับจำนวนตัวแปรลบแรงก์ **เกาส์กับเกาส์-จอร์แดนต่างกันอย่างไร?** เกาส์ลดแถวจนเป็นขั้นบันได (สามเหลี่ยมบน) แล้วแทนค่าย้อนกลับจากล่างขึ้นบน เกาส์-จอร์แดนลดต่อจนตัวหลักเป็น 1 และเหนือ-ใต้ตัวหลักเป็นศูนย์หมด อ่านคำตอบได้ทันที เกาส์ใช้การคำนวณน้อยกว่าเล็กน้อย เกาส์-จอร์แดนเหมาะกับการหาอินเวอร์ส **ทำไมโปรแกรมคอมพิวเตอร์ไม่ใช้กฎของคราเมอร์?** เพราะต้องหาดีเทอร์มิแนนต์ $n+1$ ตัว ซึ่งช้ากว่าการลดแถวมากเมื่อ $n$ ใหญ่ โปรแกรมอย่าง MATLAB, NumPy และ SPICE ใช้การแยก LU พร้อมการสลับแถว (partial pivoting) ซึ่งทั้งเร็วและเสถียรเชิงตัวเลข