--- title: "อินเวอร์สของเมทริกซ์ (Matrix Inverse): วิธีหาและสมบัติ" url: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/inverse/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-12 --- > วิธีหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ครบทุกวิธี สูตรลัด 2×2 วิธีเมทริกซ์ผูกพัน (adjoint/adjugate) จากโคแฟกเตอร์ วิธีเกาส์-จอร์แดน [A | I] สมบัติของอินเวอร์ส ทฤษฎีบทเมทริกซ์หาอินเวอร์สได้ การแก้ x = A⁻¹b สมการเมทริกซ์ AX = B และสูตรขั้นสูง Sherman–Morrison อินเวอร์สเทียม พร้อมตัวอย่างวงจร ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/inverse/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # อินเวอร์สของเมทริกซ์ (Matrix Inverse): วิธีหาและสมบัติ // บทที่ 7.4 · พีชคณิตเชิงเส้น · Matrix Inverse เมทริกซ์ไม่มีการหาร แต่มีอินเวอร์สทำหน้าที่แทน ถ้า $A\mathbf x = \mathbf b$ และ $A$ มีอินเวอร์ส คำตอบคือ $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b$ หน้านี้รวมสามวิธีหาอินเวอร์ส สมบัติที่ต้องจำ และสูตรขั้นสูงที่วิศวกรใช้เมื่อวงจรเปลี่ยนไปเพียงเล็กน้อย สูตรใช้รหัส I สรุปใน 30 วินาที - $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ มีได้เฉพาะเมทริกซ์จัตุรัสที่ $\det A \ne 0$ - 2×2: สลับทแยงหลัก เปลี่ยนเครื่องหมายทแยงรอง หารด้วย $\det$ - n×n: $A^{-1} = \dfrac{\operatorname{adj}A}{\det A}$ หรือลดแถว $[A\mid I] \to [I\mid A^{-1}]$ - $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ และ $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b$ (คูณทางซ้ายเสมอ) ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย ## อินเวอร์สคืออะไร พื้นฐาน สำหรับตัวเลข $a \ne 0$ มี $a^{-1} = 1/a$ ที่ทำให้ $a\cdot a^{-1} = 1$ เมทริกซ์ก็เช่นกัน อินเวอร์ส (inverse, เมทริกซ์ผกผัน) คือเมทริกซ์ที่คูณแล้วได้ $I$ เชิงเรขาคณิตคือการแปลงที่ “ย้อนกลับ” การแปลงของ $A$ ซึ่งทำได้ก็ต่อเมื่อ $A$ ไม่ได้บีบพื้นที่จนแบน ($\det A \ne 0$) I1 Definition of the inverse นิยามอินเวอร์ส $$AA^{-1} = A^{-1}A = I, \qquad A^{-1} \text{ มีจริง} \iff \det A \ne 0$$ ใช้ได้เฉพาะเมทริกซ์จัตุรัส · ถ้ามีอินเวอร์ส มีได้ตัวเดียว (unique) · เรียก $A$ ว่า invertible หรือ nonsingular ส่วน $\det A = 0$ เรียก singular (เอกฐาน) · $A^{-1}$ ไม่ได้แปลว่า $1/a_{ij}$ ทีละช่อง ## สูตรลัด 2×2 พื้นฐาน I2 2×2 inverse อินเวอร์ส 2×2 $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} {d} & {-b} \\ {-c} & {a} \end{pmatrix}, \qquad ad - bc \ne 0$$ จำสามคำ: สลับ $a$ กับ $d$ · เปลี่ยนเครื่องหมาย $b$ กับ $c$ · หารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง I-1 · อินเวอร์ส 2×2 ### หา $A^{-1}$ เมื่อ $A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ - หาดีเทอร์มิแนนต์ก่อนเสมอ ถ้าเป็นศูนย์หยุดได้เลย D1 $$\det A = (4)(6) - (7)(2) = 24 - 14 = 10 \ne 0$$ - สลับ เปลี่ยนเครื่องหมาย หาร I2 $$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} {6} & {-7} \\ {-2} & {4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}$$ $A^{-1} = \dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ ตรวจ: $\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.4 - 1.4 & -2.8 + 2.8 \\ 1.2 - 1.2 & -1.4 + 2.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓ ## วิธีเมทริกซ์ผูกพัน (Adjugate / Adjoint) พื้นฐาน → กลาง หาโคแฟกเตอร์ทุกตัว (ทบทวน D3) เรียงเป็นเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ แล้วทรานสโพส ได้เมทริกซ์ผูกพัน $\operatorname{adj}A$ (ตำราเก่าเรียก adjoint) จากนั้นหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ สูตร 2×2 ข้างบนก็คือกรณีพิเศษของวิธีนี้ I3 Adjugate formula สูตรเมทริกซ์ผูกพัน $$\operatorname{adj}A = C^T = [C_{ji}], \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A, \qquad A\operatorname{adj}A = (\det A)\,I$$ $C = [C_{ij}]$ คือเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ · อย่าลืมทรานสโพส ซึ่งเป็นจุดที่ผิดบ่อยที่สุด · ตรวจ $\det A$ ได้ฟรีจากแถวแรก: $\det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}$ ตัวอย่าง I-2 · อินเวอร์ส 3×3 ด้วยแอดจอยต์ ### หา $A^{-1}$ เมื่อ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ - โคแฟกเตอร์แถว 1 (เครื่องหมาย $+,-,+$) D3 $$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = -24, \quad C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = 20, \quad C_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = -5$$ - ได้ $\det A$ ทันทีจากแถว 1 $$\det A = (1)(-24) + (2)(20) + (3)(-5) = -24 + 40 - 15 = 1$$ - โคแฟกเตอร์แถว 2 (เครื่องหมาย $-,+,-$) และแถว 3 ($+,-,+$) $$\begin{aligned} C_{21} &= -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 18, & C_{22} &= +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -15, & C_{23} &= -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 4 \\ C_{31} &= +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 5, & C_{32} &= -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -4, & C_{33} &= +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \end{aligned}$$ - เรียงเป็นเมทริกซ์โคแฟกเตอร์แล้วทรานสโพส I3 $$C = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \ \xrightarrow{\ T\ }\ \operatorname{adj}A = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$ - $$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A = \frac{1}{1}\operatorname{adj}A$$ $A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ ตรวจแถว 1 ของ $A$ คูณหลัก 1 ของ $A^{-1}$: $(1)(-24) + (2)(20) + (3)(-5) = 1$ ✓ และแถว 1 คูณหลัก 2: $18 - 30 + 12 = 0$ ✓ ## วิธีเกาส์-จอร์แดน [A | I] พื้นฐาน → กลาง วาง $I$ ไว้ข้าง $A$ แล้วลดแถวทั้งก้อนจนด้านซ้ายกลายเป็น $I$ ด้านขวาจะเป็น $A^{-1}$ เอง ถ้าระหว่างทางด้านซ้ายมีแถวศูนย์ แปลว่า $\det A = 0$ ไม่มีอินเวอร์ส I4 Gauss–Jordan inversion หาอินเวอร์สด้วยการลดแถว $$[\,A \mid I\,] \ \xrightarrow{\text{การดำเนินการตามแถว}}\ [\,I \mid A^{-1}\,]$$ I7 Why it works: elementary matrices ทำไมวิธีนี้ได้ผล $$E_k\cdots E_2E_1A = I \ \Rightarrow\ A^{-1} = E_k\cdots E_2E_1 = E_k\cdots E_2E_1\,I$$ การดำเนินการแถวแต่ละครั้งเท่ากับคูณทางซ้ายด้วยเมทริกซ์มูลฐาน $E$ (ได้จากทำการดำเนินการนั้นกับ $I$) ทำกับ $A$ และ $I$ พร้อมกัน ด้านขวาจึงสะสมผลคูณ $E_k\cdots E_1$ ซึ่งก็คือ $A^{-1}$ ตัวอย่าง I-3 · เมทริกซ์เดิม ด้วยเกาส์-จอร์แดน ### หา $A^{-1}$ ของ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ โดยลดแถว $[A\mid I]$ - $$\left[\begin{array}{ccc|ccc} {1} & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & {1} & 4 & 0 & 1 & 0 \\ {0} & {-4} & {-15} & {-5} & {0} & {1} \end{array}\right]$$ - $$\xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & {1} & {-5} & {4} & {1} \end{array}\right]$$ ตัวหลักแถว 3 เป็น 1 พอดี (เพราะ $\det A = 1$) ไม่ต้องหาร - ล้างเหนือตัวหลักของหลักที่ 3 $$\xrightarrow[R_1 \leftarrow R_1 - 3R_3]{R_2 \leftarrow R_2 - 4R_3} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 16 & -12 & -3 \\ 0 & {1} & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right]$$ - $$\xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & {-24} & {18} & {5} \\ 0 & 1 & 0 & {20} & {-15} & {-4} \\ 0 & 0 & 1 & {-5} & {4} & {1} \end{array}\right]$$ ด้านขวาคือ $A^{-1}$ ตรงกับวิธีแอดจอยต์ทุกตัว ใช้ห้าการดำเนินการแถว เทียบกับดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 เก้าตัว ## สมบัติของอินเวอร์ส กลาง I5 Properties of the inverse สมบัติของอินเวอร์ส $$\begin{gathered} (A^{-1})^{-1} = A \qquad {(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}} \qquad (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \\ (kA)^{-1} = \tfrac1k A^{-1}\ (k \ne 0) \qquad (A^k)^{-1} = (A^{-1})^k \qquad \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A} \end{gathered}$$ กฎถุงเท้า-รองเท้า: ใส่ถุงเท้า (B) แล้วใส่รองเท้า (A) ตอนถอดต้องถอดรองเท้าก่อน · ไม่มีสูตร $(A + B)^{-1}$ แบบง่าย I6 Inverses you can write immediately อินเวอร์สที่เขียนได้ทันที $$\begin{gathered} \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)^{-1} = \operatorname{diag}\!\left(\tfrac{1}{d_1}, \dots, \tfrac{1}{d_n}\right) \qquad Q^{-1} = Q^T \ (\text{เชิงตั้งฉาก}) \\ \begin{pmatrix} A & O \\ O & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & D^{-1} \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{gathered}$$ อินเวอร์สของสามเหลี่ยมบน (ล่าง) ยังเป็นสามเหลี่ยมบน (ล่าง) · เมทริกซ์หมุน $R(\theta)^{-1} = R(-\theta) = R(\theta)^T$ I10 Invertible matrix theorem ทฤษฎีบทเมทริกซ์หาอินเวอร์สได้ (สำหรับ $A$ ขนาด $n\times n$ ข้อความต่อไปนี้สมมูลกัน) $$\begin{gathered} A^{-1} \text{ มีจริง} \iff \det A \ne 0 \iff \operatorname{rank}A = n \iff \operatorname{RREF}(A) = I \\ \iff A\mathbf x = \mathbf 0 \text{ มีแต่คำตอบ } \mathbf 0 \iff A\mathbf x = \mathbf b \text{ มีคำตอบเดียวทุก } \mathbf b \\ \iff \text{หลัก (แถว) ของ } A \text{ อิสระเชิงเส้น} \iff 0 \text{ ไม่เป็นค่าเฉพาะของ } A \end{gathered}$$ รู้ข้อเดียวรู้ทั้งหมด เช่น ถ้าเห็นค่าเฉพาะเป็นศูนย์ ก็รู้ทันทีว่าไม่มีอินเวอร์สและระบบไม่มีคำตอบเดียว ## แก้ระบบและสมการเมทริกซ์ด้วยอินเวอร์ส พื้นฐาน → กลาง I8 Solving with the inverse แก้ระบบด้วยอินเวอร์ส $$A\mathbf x = \mathbf b \ \Rightarrow\ \mathbf x = A^{-1}\mathbf b$$ คูณ $A^{-1}$ ทางซ้ายทั้งสองข้าง ไม่ใช่ $\mathbf bA^{-1}$ (ขนาดไม่เข้ากัน) I9 Matrix equations สมการเมทริกซ์ $$AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B, \qquad XA = B \Rightarrow X = BA^{-1}$$ $A^{-1}$ ต้องอยู่ฝั่งเดียวกับที่ $A$ อยู่ · สองคำตอบนี้ต่างกันโดยทั่วไป ตัวอย่าง I-4 · แก้ระบบด้วย A⁻¹ ### แก้ $\begin{aligned} x + 2y + 3z &= 1 \\ y + 4z &= 2 \\ 5x + 6y &= 3 \end{aligned}$ โดยใช้ $A^{-1}$ จากตัวอย่าง I-2 - $$\mathbf x = A^{-1}\mathbf b = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 + 36 + 15 \\ 20 - 30 - 12 \\ -5 + 8 + 3 \end{pmatrix}$$ $(x, y, z) = (27, -22, 6)$ ตรวจ: $27 - 44 + 18 = 1$ ✓ · $-22 + 24 = 2$ ✓ · $135 - 132 = 3$ ✓ ตัวอย่าง I-5 · AX = B กับ XA = B ไม่เหมือนกัน ### ให้ $A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ หา $X$ ที่ทำให้ $AX = B$ และ $Y$ ที่ทำให้ $YA = B$ - $A^{-1} = \tfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ จากตัวอย่าง I-1 · $AX = B$ คูณ $A^{-1}$ ทางซ้าย I9 $$X = A^{-1}B = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 12 & -15 \\ -4 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.2 & -1.5 \\ -0.4 & 1 \end{pmatrix}$$ - $YA = B$ คูณ $A^{-1}$ ทางขวา $$Y = BA^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 10 & -10 \\ -6 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -0.6 & 1.2 \end{pmatrix}$$ $X \ne Y$ ทั้งที่ “หน้าตาโจทย์” คล้ายกัน ลำดับการคูณจึงต้องเขียนให้ชัดทุกครั้ง ตัวอย่าง I-6 · งานวงจร: หาอินเวอร์สครั้งเดียว ใช้ได้กับทุกแหล่งจ่าย ### วงจรสามโนดมีสมการโนด $G\mathbf v = \mathbf i$ โดย $G = \begin{pmatrix} 1.5 & -0.5 & 0 \\ -0.5 & 1.25 & -0.5 \\ 0 & -0.5 & 1 \end{pmatrix}$ S และ $G^{-1} = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.4 & 0.2 \\ 0.4 & 1.2 & 0.6 \\ 0.2 & 0.6 & 1.3 \end{pmatrix}\ \Omega$ หาแรงดันโนดเมื่อ (ก) ฉีดกระแส 10 A เข้าโนด 1 (ข) ฉีด 2 A เข้าโนด 3 (ค) ทั้งสองพร้อมกัน - (ก) $\mathbf i = (10, 0, 0)^T$ ได้ 10 เท่าของหลักที่ 1 ของ $G^{-1}$ I8 $$\mathbf v = 10\begin{pmatrix} 0.8 \\ 0.4 \\ 0.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\text{ V}$$ - (ข) $\mathbf i = (0, 0, 2)^T$ ได้ 2 เท่าของหลักที่ 3 $$\mathbf v = 2\begin{pmatrix} 0.2 \\ 0.6 \\ 1.3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.4 \\ 1.2 \\ 2.6 \end{pmatrix}\text{ V}$$ - (ค) เชิงเส้นจึงบวกกันได้เลย (หลักการซ้อนทับ superposition) $$\mathbf v = \begin{pmatrix} 8.4 \\ 5.2 \\ 4.6 \end{pmatrix}\text{ V}$$ หลักที่ $j$ ของ $G^{-1}$ คือแรงดันทุกโนดเมื่อฉีดกระแส 1 A เข้าโนด $j$ ค่าบนเส้นทแยง $0.8,\ 1.2,\ 1.3\ \Omega$ จึงเป็นความต้านทานขาเข้า (driving-point resistance) ของแต่ละโนดเทียบกราวด์ ที่มาของวงจรนี้อยู่ใน การวิเคราะห์โนด ## สูตรอินเวอร์สขั้นสูง ขั้นสูง I11 Sherman–Morrison formula อัปเดตอินเวอร์สเมื่อเมทริกซ์เปลี่ยนแรงก์หนึ่ง $$(A + \mathbf u\mathbf v^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1}\mathbf u\,\mathbf v^TA^{-1}}{1 + \mathbf v^TA^{-1}\mathbf u}, \qquad 1 + \mathbf v^TA^{-1}\mathbf u \ne 0$$ เปลี่ยนตัวต้านทานตัวเดียวในวงจร $G$ เปลี่ยนแบบแรงก์หนึ่งพอดี จึงได้แรงดันใหม่โดยไม่ต้องหาอินเวอร์สใหม่ (ใช้ในการวิเคราะห์ความไว และ contingency analysis ในระบบไฟฟ้ากำลัง) I12 Block inverse (Schur complement) อินเวอร์สแบบบล็อก $$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} + A^{-1}BS^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}BS^{-1} \\ -S^{-1}CA^{-1} & S^{-1} \end{pmatrix}, \qquad S = D - CA^{-1}B$$ I13 Neumann series อนุกรมนอยมันน์ $$(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + A^3 + \cdots$$ ลู่เข้าเมื่อค่าเฉพาะทุกตัวมี $|\lambda| \lt 1$ เป็นที่มาของวิธีวนซ้ำแบบจาโคบีและเกาส์-ไซเดล และของสูตรป้อนกลับ $T = G/(1 + GH)$ I14 Inverse from Cayley–Hamilton (2×2) อินเวอร์สจากพหุนามลักษณะเฉพาะ $$A^2 - (\operatorname{tr}A)A + (\det A)I = O \ \Rightarrow\ A^{-1} = \frac{(\operatorname{tr}A)I - A}{\det A}$$ ขยายได้ทุกขนาด ดู E14 I15 Moore–Penrose pseudo-inverse อินเวอร์สเทียม (เมทริกซ์ไม่จัตุรัส) $$A^{+} = (A^TA)^{-1}A^T \ \ (\text{หลักอิสระ}), \qquad A^{+} = A^T(AA^T)^{-1} \ \ (\text{แถวอิสระ}), \qquad A^{+} = V\Sigma^{+}U^T \ \ (\text{ทั่วไป ผ่าน SVD})$$ $\hat{\mathbf x} = A^{+}\mathbf b$ ให้คำตอบกำลังสองน้อยสุด (สมการเกิน) หรือคำตอบที่บรรทัดฐานน้อยสุด (สมการขาด) L10 ตัวอย่าง I-7 · เปลี่ยนตัวต้านทานหนึ่งตัว ไม่ต้องหาอินเวอร์สใหม่ ### ในวงจรของตัวอย่าง I-6 เปลี่ยนตัวต้านทานจากโนด 3 ลงกราวด์จาก 2 Ω เป็น 1 Ω (ความนำเพิ่ม 0.5 S) ขณะฉีด 10 A เข้าโนด 1 หาแรงดันใหม่ - $G$ ใหม่ $= G + 0.5\,\mathbf e_3\mathbf e_3^T$ ในสูตรจึงให้ $A = G,\ \mathbf u = 0.5\mathbf e_3,\ \mathbf v = \mathbf e_3$ โดย $\mathbf e_3 = (0, 0, 1)^T$ I11 $$A^{-1}\mathbf u = 0.5\begin{pmatrix} 0.2 \\ 0.6 \\ 1.3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.1 \\ 0.3 \\ 0.65 \end{pmatrix}, \qquad 1 + \mathbf v^TA^{-1}\mathbf u = 1 + 0.65 = 1.65$$ - คูณสูตรเข้ากับ $\mathbf i$ โดยตรง: $\mathbf v^TA^{-1}\mathbf i = v_3^{\text{เดิม}} = 2$ $$\mathbf v_{\text{ใหม่}} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{2}{1.65}\begin{pmatrix} 0.1 \\ 0.3 \\ 0.65 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 0.121 \\ 4 - 0.364 \\ 2 - 0.788 \end{pmatrix}$$ $\mathbf v \approx (7.879,\ 3.636,\ 1.212)$ V (ค่าแม่นตรง $\tfrac{260}{33}, \tfrac{40}{11}, \tfrac{40}{33}$) ใช้แค่การคูณเวกเตอร์ ไม่ต้องลดแถวใหม่ ## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย ระวังจุดเหล่านี้ - ลืมทรานสโพสเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ในวิธีแอดจอยต์ I3 - ไม่เช็ก $\det A$ ก่อน แล้วพยายามหาอินเวอร์สของเมทริกซ์เอกฐาน - เขียน $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ → ต้องกลับลำดับ I5 - เขียน $(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$ → ผิด ไม่มีสูตรนี้ - เขียน $\mathbf x = \mathbf bA^{-1}$ หรือ “หาร” ด้วยเมทริกซ์ $\mathbf b/A$ → ไม่มีนิยาม ต้องเป็น $A^{-1}\mathbf b$ - ในเกาส์-จอร์แดนทำการดำเนินการแถวกับครึ่งซ้ายแต่ลืมทำกับครึ่งขวา - ไม่ตรวจคำตอบ: คูณ $AA^{-1}$ แค่แถวแรกกับหลักแรกก็จับข้อผิดพลาดได้เกือบทุกครั้ง ## เครื่องคิดเลขอินเวอร์สแสดงวิธีทำ ใส่เมทริกซ์ 2×2 ถึง 4×4 เครื่องจะเช็กดีเทอร์มิแนนต์ แล้วลดแถว $[A\mid I]$ ทีละขั้นด้วยเศษส่วนแม่นยำ พร้อมตรวจ $AA^{-1} = I$ ## ต่อยอดไปหน้าถัดไป ถ้าต้องการแค่ตัวแปรเดียว เช่น กระแสในลูปเดียว ไม่จำเป็นต้องหาอินเวอร์สทั้งก้อน กฎของคราเมอร์ ให้สูตรตรงของตัวแปรแต่ละตัวด้วยดีเทอร์มิแนนต์สองตัว ซึ่งจริง ๆ แล้วก็คือสูตรแอดจอยต์ I3 ที่คูณกับ $\mathbf b$ แล้วนั่นเอง ## คำถามที่พบบ่อย เมทริกซ์แบบไหนไม่มีอินเวอร์ส? เมทริกซ์ที่ไม่จัตุรัส และเมทริกซ์จัตุรัสที่ $\det A = 0$ (เมทริกซ์เอกฐาน) เช่นมีแถวหนึ่งเป็นพหุคูณหรือผลรวมของแถวอื่น ในวิธีเกาส์-จอร์แดนจะเห็นแถวศูนย์โผล่ในครึ่งซ้าย ทำให้เป็น $I$ ไม่ได้ ทำไม (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ไม่ใช่ A⁻¹B⁻¹? เพราะต้องย้อนลำดับการกระทำ ตรวจได้จาก $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = I$ ถ้าสลับเป็น $A^{-1}B^{-1}$ จะได้ $ABA^{-1}B^{-1}$ ซึ่งไม่เท่ากับ $I$ โดยทั่วไป วิธีแอดจอยต์กับเกาส์-จอร์แดนใช้วิธีไหนดี? 2×2 ใช้สูตรลัด 3×3 ใช้ได้ทั้งสองวิธี แอดจอยต์เป็นระบบตายตัวต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ย่อย 9 ตัว เกาส์-จอร์แดนเร็วกว่าเมื่อเมทริกซ์มีศูนย์หรือมีเลข 1 ให้ใช้เป็นตัวหลัก ตั้งแต่ 4×4 ขึ้นไปใช้เกาส์-จอร์แดนเสมอ แก้ระบบสมการควรหาอินเวอร์สก่อนไหม? ถ้าแก้ครั้งเดียว ลดแถวตรง ๆ เร็วกว่า แต่ถ้าเมทริกซ์ A เดิมแต่ค่าทางขวาเปลี่ยนหลายครั้ง เช่นวงจรเดิมที่เปลี่ยนแหล่งจ่าย หาอินเวอร์ส (หรือแยก LU) ครั้งเดียวแล้วคูณซ้ำจะคุ้มกว่า และหลักของ A⁻¹ ยังมีความหมายทางวงจรด้วย มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **เมทริกซ์แบบไหนไม่มีอินเวอร์ส?** เมทริกซ์ที่ไม่จัตุรัส และเมทริกซ์จัตุรัสที่ $\det A = 0$ (เมทริกซ์เอกฐาน) เช่นมีแถวหนึ่งเป็นพหุคูณหรือผลรวมของแถวอื่น ในวิธีเกาส์-จอร์แดนจะเห็นแถวศูนย์โผล่ในครึ่งซ้าย ทำให้เป็น $I$ ไม่ได้ **ทำไม (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ไม่ใช่ A⁻¹B⁻¹?** เพราะต้องย้อนลำดับการกระทำ ตรวจได้จาก $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = I$ ถ้าสลับเป็น $A^{-1}B^{-1}$ จะได้ $ABA^{-1}B^{-1}$ ซึ่งไม่เท่ากับ $I$ โดยทั่วไป **วิธีแอดจอยต์กับเกาส์-จอร์แดนใช้วิธีไหนดี?** 2×2 ใช้สูตรลัด 3×3 ใช้ได้ทั้งสองวิธี แอดจอยต์เป็นระบบตายตัวต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ย่อย 9 ตัว เกาส์-จอร์แดนเร็วกว่าเมื่อเมทริกซ์มีศูนย์หรือมีเลข 1 ให้ใช้เป็นตัวหลัก ตั้งแต่ 4×4 ขึ้นไปใช้เกาส์-จอร์แดนเสมอ **แก้ระบบสมการควรหาอินเวอร์สก่อนไหม?** ถ้าแก้ครั้งเดียว ลดแถวตรง ๆ เร็วกว่า แต่ถ้าเมทริกซ์ A เดิมแต่ค่าทางขวาเปลี่ยนหลายครั้ง เช่นวงจรเดิมที่เปลี่ยนแหล่งจ่าย หาอินเวอร์ส (หรือแยก LU) ครั้งเดียวแล้วคูณซ้ำจะคุ้มกว่า และหลักของ A⁻¹ ยังมีความหมายทางวงจรด้วย