--- title: "แนวข้อสอบเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ และกฎของคราเมอร์ (Exam Practice): 45 ข้อพร้อมเฉลย และโจทย์สุ่มไม่จำกัด" url: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/exam-practice/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-25 --- > แนวข้อสอบเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ 45 ข้อพร้อมเฉลยทีละขั้น 3 ชุด: เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย (A-Level สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส คราเมอร์ ระบบมีพารามิเตอร์) ป.ตรีพีชคณิตเชิงเส้น (แรงก์ ปริภูมิศูนย์ LU วงจร AC) และวิธีเชิงตัวเลข (จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR เลขเงื่อนไข) พร้อมสูตรต้องจำและเครื่องสุ่มโจทย์ที่ตรวจคำตอบได้ ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/exam-practice/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # แนวข้อสอบเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ และกฎของคราเมอร์ (Exam Practice): 45 ข้อพร้อมเฉลย และโจทย์สุ่มไม่จำกัด // บทที่ 7.12 · พีชคณิตเชิงเส้น · Exam Practice 45 ข้อเรียงจากระดับมัธยมปลายถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม ทุกข้อซ่อนเฉลยไว้ให้ลองทำเองก่อน เฉลยแต่ละข้อบอกสูตรที่ใช้พร้อมลิงก์กลับไปยังหน้าเนื้อหา และมีเครื่องสุ่มโจทย์ 10 แบบที่ตรวจคำตอบให้ทันที ใช้ได้ทั้งเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย สอบกลางภาค และสอบปลายภาค ใช้หน้านี้อย่างไร - ทวนสูตรต้องจำ 5 นาที แล้วเลือกชุดตามเป้าหมาย: A สอบเข้ามหาวิทยาลัย (A-Level / TCAS) · B พีชคณิตเชิงเส้น ป.ตรี · C วิธีเชิงตัวเลขและงานวิศวกรรม - กดที่โจทย์เพื่อเปิดเฉลยหลังทำเสร็จ ข้อที่ผิดให้กดรหัสสูตรในเฉลยกลับไปอ่านเนื้อหา - ฝึกซ้ำด้วยเครื่องสุ่มโจทย์ จนถูกติดกันอย่างน้อย 5 ข้อในแต่ละระดับ ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · เตรียมสอบกลาง ป.ตรี วิศวกรรมเข้มข้น วิธีเชิงตัวเลข · งานจริง ## สูตรต้องจำก่อนเข้าห้องสอบ สรุปสูตรที่ใช้ในทั้ง 45 ข้อ ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ $n\times n$ และ $k$ เป็นค่าคงที่ กดรหัสสูตรเพื่อดูที่มาและตัวอย่าง X1 Determinant rules สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ $$\det(kA) = k^n\det A,\quad \det A^T = \det A,\quad \det(AB) = \det A\det B,\quad \det A^{-1} = \tfrac{1}{\det A}$$ สลับสองแถว: เปลี่ยนเครื่องหมาย · คูณแถวด้วย $k$: คูณ $k$ · บวกพหุคูณของแถวอื่น: ไม่เปลี่ยน — D5–D12 X2 Adjugate shortcuts สูตรลัด $\operatorname{adj}$ $$A\operatorname{adj}A = (\det A)I,\quad \det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1},\quad \operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-2}A$$ D22–D24 X3 2×2 inverse อินเวอร์ส 2×2 $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$ $AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B$ · $XA = B \Rightarrow X = BA^{-1}$ — I9 X4 Cramer's rule กฎของคราเมอร์ $$x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta},\quad \Delta = \det A \ne 0$$ ถามตัวแปรเดียว ใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว — C1 X5 Solutions by rank จำนวนคำตอบจากแรงก์ $$r(A) \lt r([A\mid\mathbf b]): \text{ไม่มี} \quad r(A) = r([A\mid\mathbf b]) = n: \text{เดียว} \quad = r \lt n: \text{ไม่จำกัด}$$ ระบบจัตุรัส: $\Delta \ne 0$ ⇒ คำตอบเดียว · $\Delta = 0$ ⇒ ลดแถวดูว่าไม่มีหรือไม่จำกัด — R7 X6 Cayley–Hamilton for 2×2 ลัดยกกำลัง 2×2 $$A^2 - (\operatorname{tr}A)A + (\det A)I = O$$ ใช้ลดกำลังสูงหรือหา $A^{-1} = \frac{(\operatorname{tr}A)I - A}{\det A}$ — E-ชุดเคย์ลีย์-แฮมิลตัน X7 Iterative methods จาโคบีและเกาส์-ไซเดล $$x_i^{\text{ใหม่}} = \frac{b_i - \sum_{j\ne i}a_{ij}x_j}{a_{ii}}$$ จาโคบีใช้ $x_j$ รอบเก่าทั้งหมด · เกาส์-ไซเดลใช้ค่าใหม่ทันที · ทแยงเด่นแท้ ⇒ ลู่เข้า — N13–N18 X8 Condition number เลขเงื่อนไข $$\kappa_\infty = \lVert A\rVert_\infty\lVert A^{-1}\rVert_\infty,\quad \frac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \kappa\frac{\lVert\delta\mathbf b\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert}$$ $\lVert A\rVert_\infty$ = ผลรวมค่าสัมบูรณ์ในแถวที่มากที่สุด — N22–N24 ## โจทย์สุ่มไม่จำกัด: ตรวจคำตอบและดูเฉลยทันที เลือกระดับ แล้วกด “ข้อใหม่” ได้เรื่อย ๆ มี 10 แบบ: ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 อินเวอร์ส 2×2 สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ คราเมอร์หาตัวแปรเดียว หาแรงก์ พารามิเตอร์ k ระบบไม่มีคำตอบ จาโคบี/เกาส์-ไซเดลหนึ่งรอบ และเลขเงื่อนไข ตอบเป็นจำนวนเต็ม เศษส่วน หรือทศนิยมก็ได้ ## ชุด A · เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย (18 ข้อ) พื้นฐาน แนว A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 และข้อสอบเข้าคณะวิศวกรรมศาสตร์ เน้นสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส และระบบสมการ ควรทำได้ข้อละไม่เกิน 3 นาที A1ให้ $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$ จงหา $\det(2A - B)$ $2A - B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$ · $\det = 9 - (-16)$ 25 · ระวัง: $\det(2A - B) \ne 2\det A - \det B$ D12 A2$A$ เป็นเมทริกซ์ $3\times3$ ที่ $\det A = 4$ จงหา $\det(2A^{-1}A^T)$ $\det(2A^{-1}A^T) = 2^3\cdot\det A^{-1}\cdot\det A^T = 8\cdot\tfrac14\cdot4$ 8 · X1 A3$A$ เป็นเมทริกซ์ $3\times3$ ที่ $\det A = -2$ จงหา $\det(3A^{-1})$ และ $\det(\operatorname{adj}A)$ $\det(3A^{-1}) = 27\cdot\left(-\tfrac12\right)$ · $\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{3-1} = (-2)^2$ $-\tfrac{27}{2}$ และ $4$ · X2 A4ผลบวกของค่า $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\begin{vmatrix} x + 2 & 4 \\ 1 & x - 1 \end{vmatrix} = 0$ $(x + 2)(x - 1) - 4 = x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0$ ได้ $x = -3, 2$ $-1$ A5จงหา $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ กระจายตามแถว 1: $1(0 - 2) - 2(12 + 4) + (-1)(3 - 0) = -2 - 32 - 3$ $-37$ · D4 A6ถ้า $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 5$ จงหา $\begin{vmatrix} 2a & 2b & 2c \\ g & h & i \\ d + 3a & e + 3b & f + 3c \end{vmatrix}$ ดึง 2 ออกจากแถว 1 · แถว 3 ลบ $\tfrac32$ ของแถว 1 เดิม (ไม่เปลี่ยนค่า) เหลือ $(d, e, f)$ · สลับแถว 2 กับ 3 ได้เครื่องหมายลบ $2\times(-5) = -10$ · D6 D7 D8 A7ให้ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ผลบวกของสมาชิกทุกตัวของ $A^{-1}$ เท่ากับเท่าใด $A^{-1} = \dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac32 & -\tfrac12 \end{pmatrix}$ $-2 + 1 + \tfrac32 - \tfrac12 = 0$ · X3 A8หาเมทริกซ์ $X$ ที่ทำให้ $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ $\det = 1$ จึง $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$ · คูณทางซ้าย: $X = A^{-1}B$ $X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ · I9 A9ใช้กฎของคราเมอร์หาเฉพาะ $y$ จาก $\begin{aligned} 2x + y - z &= 3 \\ x + 3y + 2z &= 14 \\ 3x - y + z &= 2 \end{aligned}$ $\Delta = 2(3 + 2) - 1(1 - 6) + (-1)(-1 - 9) = 25$ · $\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 14 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(10) - 3(-5) + (-1)(-40) = 75$ $y = 75/25 = 3$ (คำตอบเต็มคือ $(1, 3, 2)$) · X4 A10หาค่า $k$ ที่ทำให้ระบบ $kx + 2y = 3,\ 8x + ky = 6$ ไม่มีคำตอบ $\Delta = k^2 - 16 = 0 \Rightarrow k = \pm4$ · $k = 4$: สมการที่ 2 คือสมการที่ 1 คูณ 2 พอดี → ไม่จำกัด · $k = -4$: $-4x + 2y = 3$ กับ $8x - 4y = 6$ (คูณ $-2$ ได้ $-6 \ne 6$) → ขนาน $k = -4$ · X5 A11ให้ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ จงหา $A^2 - 5A + 2I$ $\operatorname{tr}A = 5,\ \det A = -2$ โดยเคย์ลีย์-แฮมิลตัน $A^2 - 5A - 2I = O$ จึง $A^2 - 5A + 2I = 4I$ $\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ · X6 A12ให้ $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ จงหา $A^5$ $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix},\ A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$ เห็นรูปแบบ $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ (พิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์) $\begin{pmatrix} 1 & 31 \\ 0 & 32 \end{pmatrix}$ A13ให้ $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ และ $B$ เป็นเมทริกซ์ $2\times2$ ที่ $\det B = -3$ จงหา $\det(A^3B^{-1})$ $\det A = 5$ · $\det(A^3B^{-1}) = 5^3\cdot\tfrac{1}{-3}$ $-\tfrac{125}{3}$ · X1 A14หาพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(1, 1),\ (4, 2),\ (2, 5)$ เวกเตอร์จากจุดแรก $(3, 1)$ และ $(1, 4)$ · พื้นที่ $= \tfrac12\left|\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\right| = \tfrac12|12 - 1|$ $\tfrac{11}{2}$ ตารางหน่วย · D17 A15หาแรงก์ของ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 10 \end{pmatrix}$ $R_2 - 2R_1 = (0, 0, 0)$ · $R_3 - 3R_1 = (0, 0, 1)$ เหลือแถวไม่เป็นศูนย์ 2 แถว 2 · การลดแถว A16ผลบวกของค่า $k$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{pmatrix}$ ไม่มีอินเวอร์ส เทคนิค: บวกทุกหลักเข้าหลักแรก ทุกแถวได้ $k + 2$ ดึงออกมา จึงมีตัวประกอบ $(k + 2)$ · คำนวณเต็ม $\det = -(k - 1)^2(k + 2)$ $k = 1, -2$ ผลบวก $-1$ · ตัวอย่าง R-5 A17$A$ เป็นเมทริกซ์จำนวนจริง $3\times3$ ที่ $A^3 = 2I$ จงหา $\det A$ และ $\det(\operatorname{adj}A)$ $(\det A)^3 = \det(2I) = 2^3 = 8$ และ $\det A$ เป็นจำนวนจริง จึง $\det A = 2$ · $\det(\operatorname{adj}A) = 2^2$ $\det A = 2,\ \det(\operatorname{adj}A) = 4$ A18ระบบ $\begin{aligned} x + y + z &= 6 \\ x + 2y + 3z &= 14 \\ x + 4y + kz &= m \end{aligned}$ มีคำตอบไม่จำกัด จงหา $k + m$ ลดแถว: $R_2 - R_1 = (0, 1, 2 \mid 8)$, $R_3 - R_1 = (0, 3, k - 1 \mid m - 6)$, แล้ว $R_3 - 3R_2 = (0, 0, k - 7 \mid m - 30)$ · ไม่จำกัดเมื่อแถวนี้เป็นศูนย์ทั้งแถว $k = 7,\ m = 30$ ได้ $k + m = 37$ · ตัวอย่าง R-6 ## ชุด B · พีชคณิตเชิงเส้น ป.ตรี (15 ข้อ) กลาง แนวข้อสอบกลางภาคและปลายภาคคณิตศาสตร์วิศวกรรม: แรงก์ ปริภูมิศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์ 4×4 อินเวอร์ส 3×3 LU ระบบมีพารามิเตอร์ และโจทย์วงจร B1หาแรงก์ ภาวะศูนย์ และฐานของปริภูมิศูนย์ของ $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 5 & 1 \\ 3 & -3 & 7 & 1 \end{pmatrix}$ RREF: $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ · $x_2 = s,\ x_4 = t$: $x_1 = s + 2t,\ x_3 = -t$ แรงก์ 2 · ภาวะศูนย์ 2 · ฐาน $(1, 1, 0, 0),\ (2, 0, -1, 1)$ · R10 R11 B2หาค่า $\lambda$ ที่ทำให้ $(1 - \lambda)x + 2y = 0,\ 3x + (2 - \lambda)y = 0$ มีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ ต้องการ $\det = (1 - \lambda)(2 - \lambda) - 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda + 1) = 0$ $\lambda = 4$ หรือ $-1$ (คือค่าเฉพาะของ $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$) · R9 B3หา $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 5 & 0 & 7 \\ -1 & 1 & 4 & 2 \\ 3 & 7 & 1 & 8 \end{pmatrix}$ ด้วยการลดแถว $R_2 - 2R_1,\ R_3 + R_1,\ R_4 - 3R_1$ ได้ $(0, 1, 2, 1), (0, 3, 3, 5), (0, 1, 4, -1)$ · $R_3 - 3R_2,\ R_4 - R_2$ ได้ $(0, 0, -3, 2), (0, 0, 2, -2)$ · $R_4 + \tfrac23R_3$ ได้ $(0, 0, 0, -\tfrac23)$ $\det = 1\cdot1\cdot(-3)\cdot\left(-\tfrac23\right) = 2$ · ลดแถว B4หา $A^{-1}$ เมื่อ $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 8 \end{pmatrix}$ $\det A = 1(-8 - 3) - 0 + 2(2 + 4) = 1$ · เมทริกซ์โคแฟกเตอร์ทรานสโพส (แอดจอยต์) หารด้วย 1 $A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 1 \\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ · ตรวจแถว 1 × หลัก 1: $-11 + 0 + 12 = 1$ ✓ · I3 B5วงจรสองเมชมีสมการ $(R_1 + R_2)I_1 - R_2I_2 = V$ และ $-R_2I_1 + (R_2 + R_3)I_2 = 0$ หา $I_2$ ในรูปทั่วไป $\Delta = (R_1 + R_2)(R_2 + R_3) - R_2^2 = R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3$ · $\Delta_2 = (R_1 + R_2)\cdot0 - (-R_2)V = R_2V$ $I_2 = \dfrac{R_2V}{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}$ · คราเมอร์กับวงจร B6แยก $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 4 & 9 & -3 \\ -2 & -3 & 7 \end{pmatrix}$ เป็น $LU$ แล้วแก้ $A\mathbf x = (2, 8, 10)^T$ $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\ U = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ · $L\mathbf y = \mathbf b$: $\mathbf y = (2, 4, 8)$ · $U\mathbf x = \mathbf y$: $x_3 = 2,\ x_2 = 2,\ x_1 = (2 - 8 + 4)/2$ $\mathbf x = (-1, 2, 2)$ · N8 · B7ระบบ $\begin{aligned} x + 2y - z &= 1 \\ 2x + 5y + z &= 4 \\ x + 3y + az &= b \end{aligned}$ หาเงื่อนไขของ $a, b$ สำหรับคำตอบเดียว ไม่จำกัด ไม่มี และเขียนคำตอบกรณีไม่จำกัด ลดแถวได้แถวสุดท้าย $(0, 0, a - 2 \mid b - 3)$ · กรณีไม่จำกัด $z = t$: $y = 2 - 3t,\ x = 1 - 2y + z = -3 + 7t$ $a \ne 2$: เดียว · $a = 2, b = 3$: $(x, y, z) = (-3, 2, 0) + t(7, -3, 1)$ · $a = 2, b \ne 3$: ไม่มี · R7 B8หาแรงก์ของ $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & k \\ 1 & 4 & k^2 \end{pmatrix}$ สำหรับทุกค่า $k$ เป็นทรานสโพสของเมทริกซ์แวนเดอร์มอนด์ที่จุด $1, 2, k$: $\det = (2 - 1)(k - 1)(k - 2)$ · $k = 1$ หรือ $2$ มีสองหลักซ้ำกัน แต่สองแถวแรกยังอิสระ แรงก์ 3 เมื่อ $k \ne 1, 2$ · แรงก์ 2 เมื่อ $k = 1$ หรือ $2$ · D15 · B9หาเส้นตรง $y = c_0 + c_1x$ ที่ฟิตข้อมูล $(1, 1), (2, 2), (3, 2)$ ดีที่สุดแบบกำลังสองน้อยสุด สมการปกติ $A^TA\mathbf c = A^T\mathbf y$: $\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 14 \end{pmatrix}\mathbf c = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$ · คราเมอร์ $\Delta = 6$: $c_0 = (70 - 66)/6,\ c_1 = (33 - 30)/6$ $y = \tfrac23 + \tfrac12x$ · กำลังสองน้อยสุด B10หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $4\times4$ ที่แนวทแยงเป็น 3 และสมาชิกอื่นเป็น 1 ทั้งหมด สูตร $\det = (a - b)^{n-1}(a + (n - 1)b)$ กับ $a = 3,\ b = 1,\ n = 4$ (หรือบวกทุกหลักเข้าหลักแรกแล้วลดแถว) $2^3\times6 = 48$ · D25 B11$A$ เป็นเมทริกซ์ $3\times3$ ที่ $\det A = 3$ จงหา $\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A)$ ในรูปของ $A$ และหา $\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A))$ $\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-2}A = 3A$ · $\det(3A) = 27\times3$ $3A$ และ $81$ (= $3^{(n-1)^2}$) · D23 B12วงจร AC มีสมการเมช $(2 + j)\mathbf I_1 - j\mathbf I_2 = 10$ และ $-j\mathbf I_1 + (1 + 2j)\mathbf I_2 = 0$ หา $\mathbf I_1,\ \mathbf I_2$ $\Delta = (2 + j)(1 + 2j) - (-j)^2 = 5j + 1$ · $\Delta_1 = 10(1 + 2j)$ · $\Delta_2 = 10j$ · หารเชิงซ้อนคูณด้วยสังยุค $1 - 5j$ $\mathbf I_1 = \tfrac{55 - 15j}{13} \approx 4.385\angle{-15.3^\circ}$ A · $\mathbf I_2 = \tfrac{25 + 5j}{13} \approx 1.961\angle 11.3^\circ$ A · คราเมอร์กับ AC B13หา $\det(sI - A)$ และขั้วของระบบเมื่อ $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{pmatrix}$ $\det\begin{pmatrix} s & -1 \\ 6 & s + 5 \end{pmatrix} = s(s + 5) + 6 = s^2 + 5s + 6 = (s + 2)(s + 3)$ $s^2 + 5s + 6$ ขั้ว $s = -2, -3$ (เสถียร) · ค่าเฉพาะ B14หาค่า $k$ ที่ทำให้เวกเตอร์ $(1, 2, 3),\ (2, k, 4),\ (3, 5, 7)$ ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & k & 4 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix} = (7k - 20) - 2(14 - 12) + 3(10 - 3k) = 6 - 2k = 0$ $k = 3$ (แรงก์ลดเหลือ 2) · R5 B15$A$ ขนาด $4\times5$ แรงก์ 3 และ $B$ ขนาด $5\times3$ แรงก์ 3 แรงก์ของ $AB$ อยู่ในช่วงใด อสมการซิลเวสเตอร์: $3 + 3 - 5 \le \operatorname{rank}(AB) \le \min(3, 3)$ $1 \le \operatorname{rank}(AB) \le 3$ · R12 ## ชุด C · วิธีเชิงตัวเลขและงานวิศวกรรม (12 ข้อ) เข้มข้น แนววิชา Numerical Methods และคณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง: จาโคบี เกาส์-ไซเดล การลู่เข้า SOR การสลับแถว โทมัส โชเลสกี และเลขเงื่อนไข C1ระบบ $\begin{aligned} 5x - y + z &= 10 \\ 2x + 8y - z &= 11 \\ -x + y + 4z &= 3 \end{aligned}$ เริ่มที่ $\mathbf x^{(0)} = \mathbf 0$ หา $\mathbf x^{(1)}$ ด้วยจาโคบี และด้วยเกาส์-ไซเดล จาโคบี: $x = 10/5,\ y = 11/8,\ z = 3/4$ · เกาส์-ไซเดล: $x = 2$, $y = (11 - 2\cdot2)/8 = \tfrac78$, $z = (3 + 2 - \tfrac78)/4 = \tfrac{33}{32}$ จาโคบี $(2, 1.375, 0.75)$ · เกาส์-ไซเดล $(2, 0.875, 1.03125)$ · คำตอบจริง $(2, 1, 1)$ · X7 C2ทำเกาส์-ไซเดลต่อจากข้อ C1 อีกหนึ่งรอบ หา $\mathbf x^{(2)}$ $x = (10 + 0.875 - 1.03125)/5 = 1.96875$ · $y = (11 - 2(1.96875) + 1.03125)/8 = 1.01172$ · $z = (3 + 1.96875 - 1.01172)/4 = 0.98926$ $(1.96875,\ 1.01172,\ 0.98926)$ — คลาดเคลื่อนไม่เกิน 0.032 หลังสองรอบ · C3ระบบในข้อ C1 รับประกันได้หรือไม่ว่าจาโคบีและเกาส์-ไซเดลจะลู่เข้าจากทุกค่าเริ่มต้น ตรวจทแยงเด่นแท้: $5 \gt 1 + 1,\ 8 \gt 2 + 1,\ 4 \gt 1 + 1$ ครบทุกแถว รับประกันได้ · N18 C4จัดลำดับสมการ $x + 6y - 2z = 3,\ 7x - y + z = 8,\ x + y + 5z = 12$ ใหม่ให้ทแยงเด่นก่อนใช้เกาส์-ไซเดล สมการที่มีสัมประสิทธิ์ $x$ ใหญ่สุด (7) ไว้แถวแรก สัมประสิทธิ์ $y$ ใหญ่สุด (6) แถวสอง $z$ (5) แถวสาม: $7 \gt 2,\ 6 \gt 3,\ 5 \gt 2$ ลำดับ $7x - y + z = 8$ → $x + 6y - 2z = 3$ → $x + y + 5z = 12$ · คำตอบ $(1, 1, 2)$ C5หา $\rho(T_J)$ และ $\rho(T_{GS})$ ของ $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ และประมาณจำนวนรอบที่ต้องใช้เพื่อลดความคลาดเคลื่อน $10^6$ เท่า $T_J = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & 0 \end{pmatrix}$ ค่าเฉพาะ $\pm\tfrac12$ · $T_{GS} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 \\ 0 & \tfrac14 \end{pmatrix}$ ค่าเฉพาะ $0, \tfrac14$ · $k \approx 6/(-\log_{10}\rho)$ $\rho_J = \tfrac12$ (≈ 20 รอบ) · $\rho_{GS} = \tfrac14 = \rho_J^2$ (≈ 10 รอบ) · N20 C6ระบบ $\operatorname{tridiag}(-1, 2, -1)$ ขนาด $10\times10$ หา $\omega$ ที่ดีที่สุดของ SOR และรัศมีสเปกตรัมที่ได้ $\rho_J = \cos\tfrac{\pi}{11} = 0.9595$ · $\omega^* = \dfrac{2}{1 + \sqrt{1 - \rho_J^2}} = \dfrac{2}{1 + \sin(\pi/11)}$ $\omega^* \approx 1.560$ และ $\rho = \omega^* - 1 \approx 0.560$ · N21 C7หา $\kappa_\infty(A)$ ของ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ $\lVert A\rVert_\infty = \max(3, 7) = 7$ · $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$ ได้ $\lVert A^{-1}\rVert_\infty = \max(3, 2) = 3$ $\kappa_\infty = 21$ · X8 C8แก้ $10^{-5}x + y = 1,\ x + y = 2$ บนเครื่องที่เก็บ 4 หลักนัยสำคัญ แบบไม่สลับแถวและแบบสลับแถว ไม่สลับ: $m = 10^5$, $a_{22} = 1 - 10^5 \to -1.000\times10^5$, $b_2 = 2 - 10^5 \to -1.000\times10^5$ ได้ $y = 1.000,\ x = (1 - 1)/10^{-5} = 0$ · สลับ: $m = 10^{-5}$ ได้ $y = 1.000,\ x = 2 - 1 = 1.000$ ไม่สลับ $x = 0$ (ผิด 100%) · สลับ $x = 1.000$ (ค่าจริง 1.00001) · C9ใช้อัลกอริทึมโทมัสแก้ $\begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}\mathbf x = \begin{pmatrix} 15 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}$ $c_1' = -\tfrac14,\ d_1' = \tfrac{15}{4}$ · $m_2 = 4 - \tfrac14 = \tfrac{15}{4}$: $c_2' = -\tfrac{4}{15},\ d_2' = \tfrac{7/4}{15/4} = \tfrac{7}{15}$ · $m_3 = 4 - \tfrac{4}{15} = \tfrac{56}{15}$: $d_3' = \tfrac{7 + 7/15}{56/15} = 2$ · ย้อนกลับ $x_3 = 2,\ x_2 = \tfrac{7}{15} + \tfrac{4}{15}(2) = 1,\ x_1 = \tfrac{15}{4} + \tfrac14(1) = 4$ $\mathbf x = (4, 1, 2)$ · N12 C10หาการแยกโชเลสกี $A = LL^T$ ของ $A = \begin{pmatrix} 9 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 5 \\ 3 & 5 & 14 \end{pmatrix}$ $\ell_{11} = 3,\ \ell_{21} = \ell_{31} = 1$ · $\ell_{22} = \sqrt{5 - 1} = 2,\ \ell_{32} = (5 - 1)/2 = 2$ · $\ell_{33} = \sqrt{14 - 1 - 4} = 3$ $L = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ · N11 C11ระบบหนึ่งมี $\kappa(A) = 10^3$ ค่าคงที่ทางขวาวัดมาคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ $10^{-6}$ คำตอบคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ได้มากสุดเท่าใด และเสียความแม่นราวกี่หลัก $\dfrac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le 10^3\times10^{-6}$ · หลักที่เสีย $\approx \log_{10}10^3$ ไม่เกิน $10^{-3}$ (0.1%) · เสียราว 3 หลัก · N24 C12แผ่นโลหะมีโหนดภายใน 2×2 ($T_1$ ซ้ายบน $T_2$ ขวาบน $T_3$ ซ้ายล่าง $T_4$ ขวาล่าง) ขอบบน 100 °C ขอบซ้าย 50 °C ขอบขวาและล่าง 0 °C หาอุณหภูมิทุกโหนด $4T_1 - T_2 - T_3 = 150,\ 4T_2 - T_1 - T_4 = 100,\ 4T_3 - T_1 - T_4 = 50,\ 4T_4 - T_2 - T_3 = 0$ · บวกทั้งสี่: $2\sum T = 300$ · สมการ 1 + 4 ได้ $T_1 + T_4 = 75$, สมการ 1 − 4 ได้ $T_1 - T_4 = 37.5$ · ทำนองเดียวกัน $T_2 + T_3 = 75,\ T_2 - T_3 = 12.5$ $(T_1, T_2, T_3, T_4) = (56.25,\ 43.75,\ 31.25,\ 18.75)$ °C · แล็บแผ่นความร้อน ## แล็บประกอบเฉลย ปุ่ม “ดูในแล็บ” ในเฉลยจะโหลดโจทย์ลงแล็บด้านล่างนี้ แล็บฉบับเต็มอยู่ในหน้า แรงก์ และ ผลเฉลยเชิงตัวเลข แล็บ LU / PA = LU / โชเลสกี แล็บแรงก์กับพารามิเตอร์ k ซิมูเลเตอร์จาโคบี · เกาส์-ไซเดล · SOR แล็บการสลับแถวและการปัดเศษ ## เทคนิคประหยัดเวลาในห้องสอบ ใช้ได้จริงในข้อสอบปรนัย - ถามแค่ $\det$ ของเมทริกซ์ที่แปลงมา — อย่าคำนวณเมทริกซ์ใหม่ ใช้สมบัติ X1 X2 ทีละขั้น (A2 A3 A6) - ทุกแถวผลบวกเท่ากัน — บวกทุกหลักเข้าหลักแรกแล้วดึงตัวร่วมออก ได้ตัวประกอบทันที (A16 B10) - 2×2 ยกกำลังสูง — ใช้เคย์ลีย์-แฮมิลตันลดกำลัง หรือหาแบบรูปจาก $A^2, A^3$ (A11 A12) - ถามตัวแปรเดียวในระบบ 3×3 — คราเมอร์ ใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่ $\Delta$ กับ $\Delta_i$ (A9) - ระบบมีพารามิเตอร์ — ลดแถวให้แถวสุดท้ายเป็น $(0, 0, f(k) \mid g(k))$ แล้วอ่านสามกรณี (A18 B7) - เมทริกซ์สามเหลี่ยม — $\det$ = ผลคูณแนวทแยง และค่าเฉพาะ = สมาชิกแนวทแยง กับดักที่เจอบ่อย - $\det(kA) = k\det A$ ✗ ต้องเป็น $k^n\det A$ - $\det(A + B) = \det A + \det B$ ✗ ไม่มีสูตรนี้ - $AX = B \Rightarrow X = BA^{-1}$ ✗ ต้องคูณทางซ้าย $X = A^{-1}B$ - $\Delta = 0$ แล้วตอบ “ไม่มีคำตอบ” ทันที ✗ อาจไม่จำกัดก็ได้ (A10 ที่ $k = 4$) - จาโคบีรอบเดียวกันใช้ค่าใหม่ ✗ นั่นคือเกาส์-ไซเดล (C1) อ่านทวนเนื้อหาแบบบทความสั้น: สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ที่ออกสอบบ่อย · กฎของคราเมอร์ใช้อย่างไร · แรงก์ของเมทริกซ์ · แผนที่การเรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ ## คำถามที่พบบ่อย ข้อสอบเมทริกซ์เข้ามหาวิทยาลัยออกเรื่องอะไรบ้าง? ส่วนใหญ่เป็นการบวก คูณ ทรานสโพส ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ (det(kA) = kⁿ det A, det(A⁻¹), det(adj A)) อินเวอร์ส 2×2 การแก้สมการเมทริกซ์ AX = B กฎของคราเมอร์ และระบบสมการที่มีพารามิเตอร์ ซึ่งรวมไว้ในชุด A ของหน้านี้ ควรฝึกโจทย์เมทริกซ์อย่างไรให้ได้ผล? ทวนสูตรต้องจำในหน้านี้ก่อน แล้วทำชุด A โดยไม่เปิดเฉลย จับเวลาข้อละ 2–3 นาที ข้อที่ผิดให้กดลิงก์ในเฉลยไปอ่านสูตรต้นทาง จากนั้นใช้เครื่องสุ่มโจทย์ฝึกรูปแบบเดิมซ้ำจนถูกติดกันหลายข้อ โจทย์ในหน้านี้เป็นข้อสอบจริงหรือไม่? เป็นโจทย์ที่แต่งขึ้นตามแนวและระดับความยากของข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ข้อสอบกลางภาคและปลายภาคพีชคณิตเชิงเส้นและคณิตศาสตร์วิศวกรรม ทุกคำตอบตรวจด้วยโปรแกรมคำนวณสัญลักษณ์ (SymPy) แล้ว เครื่องสุ่มโจทย์ตรวจคำตอบแบบไหนได้? พิมพ์จำนวนเต็ม เศษส่วน เช่น -3/4 หรือทศนิยม ระบบเทียบกับคำตอบแม่นตรงแบบเศษส่วน ทศนิยมยอมให้คลาดเคลื่อนเล็กน้อย จากนั้นแสดงเฉลยทีละขั้น และเก็บคะแนนไว้ในเบราว์เซอร์ของคุณ มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **ข้อสอบเมทริกซ์เข้ามหาวิทยาลัยออกเรื่องอะไรบ้าง?** ส่วนใหญ่เป็นการบวก คูณ ทรานสโพส ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ (det(kA) = kⁿ det A, det(A⁻¹), det(adj A)) อินเวอร์ส 2×2 การแก้สมการเมทริกซ์ AX = B กฎของคราเมอร์ และระบบสมการที่มีพารามิเตอร์ ซึ่งรวมไว้ในชุด A ของหน้านี้ **ควรฝึกโจทย์เมทริกซ์อย่างไรให้ได้ผล?** ทวนสูตรต้องจำในหน้านี้ก่อน แล้วทำชุด A โดยไม่เปิดเฉลย จับเวลาข้อละ 2–3 นาที ข้อที่ผิดให้กดลิงก์ในเฉลยไปอ่านสูตรต้นทาง จากนั้นใช้เครื่องสุ่มโจทย์ฝึกรูปแบบเดิมซ้ำจนถูกติดกันหลายข้อ **โจทย์ในหน้านี้เป็นข้อสอบจริงหรือไม่?** เป็นโจทย์ที่แต่งขึ้นตามแนวและระดับความยากของข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ข้อสอบกลางภาคและปลายภาคพีชคณิตเชิงเส้นและคณิตศาสตร์วิศวกรรม ทุกคำตอบตรวจด้วยโปรแกรมคำนวณสัญลักษณ์ (SymPy) แล้ว **เครื่องสุ่มโจทย์ตรวจคำตอบแบบไหนได้?** พิมพ์จำนวนเต็ม เศษส่วน เช่น -3/4 หรือทศนิยม ระบบเทียบกับคำตอบแม่นตรงแบบเศษส่วน ทศนิยมยอมให้คลาดเคลื่อนเล็กน้อย จากนั้นแสดงเฉลยทีละขั้น และเก็บคะแนนไว้ในเบราว์เซอร์ของคุณ